%Author: О.И. Рейнов %Title: О непрерывности шкал некоторых операторных идеалов. I. %Filename: ReiCnucl.tex %TeX: AMSTeX %Length: 62860 bytes %Received Date: %SubjectClass: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, trace class operators, %nuclear operators, p-summing operators, etc. %Abstract: Исследуется вопрос о непрерывности p-абсолютно суммирующих %и p-ядерных норм в соответствующих шкалах банаховых операторных идеалов. %Citation: Preprint %Inserting TeX file starting here. %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex %% 97.6.10) %%AmS-TeX- Version 2.1 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% %%%% AMSTeX %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Last Modified 06.03.99 19:58:57 Sat %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \input amstex \documentstyle{amsppt} %\Monograph \magnification=\magstep1 \parindent=1em %%%% размер двойного тире; "9" имеет половину em \vsize=7.4in %%%% 1in = 2.54 %\NoPageNumbers \def\({\left(} \def\){\right)} \def\[{\left[} \def\]{\right]} \def\sp#1#2{\(#1,#2\)} \def\la{\lambda} \def\ffi{\varphi} \define\e{\varepsilon} \define\al{\alpha} \define\be{\beta} \def\Q{\quad{\qed}} \def\med{\medpagebreak} \def\small{\smallpagebreak} \def\Gr{ \operatorname{ Gr}} \CenteredTagsOnSplits \NoBlackBoxes $$ { } $$ \vskip1in \noindent УДК 513.88\newline Р е й н о в О. И.\ {\bf О непрерывности шкал некоторых операторных идеалов.\, I.} --- Математические заметки \vskip15pt Исследуется вопрос о непрерывности $ p$-абсолютно суммирующих и $ p$-ядерных норм в соответствующих шкалах банаховых операторных идеалов.\ Библиогр. 16 назв. \newpage \NoRunningHeads \pageno=1 \topmatter \title {О НЕПРЕРЫВНОСТИ ШКАЛ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРНЫх ИДЕАЛОВ.\, I.} \endtitle \author { О.И.Рейнов.} \endauthor \address\newline 198904, Санкт--Петербург,\newline Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline Санкт--Петербургский государственный университет,\newline математико--механический факультет,\newline кафедра математического анализа. \endaddress \email orein\@orein.usr.pu.ru \endemail \thanks ${{ }^\dag}$\! Работа выполнена при частичной поддержке Министерства общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36). \endthanks \abstract\nofrills %%%% \nofrills уничтожает "Abstract." Исследуется вопрос о непрерывности $ p$-абсолютно суммирующих и $ p$-ядерных норм в соответствующих шкалах банаховых операторных идеалов. \endabstract \endtopmatter % ========================================== \document \baselineskip=15pt %%%%% расстояние между строками % % ========================================== \footnote""{${ }^\ddag$\! %AMS Subject Classification: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, %trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc. Ключевые слова и фразы: $ p$-абсолютно суммирующие, $ p$-ядерные операторы, свойства аппроксимации, тензорные произведения.} %\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ } %\bigpagebreak % Общая постановка задач, рассматриваемых в заметке, выглядит примерно так. Пусть у нас имеется семейство непрерывно вложенных друг в друга нормированных операторных идеалов (или некоторых пространств операторов, действующих в фиксированных банаховых пространствах): $$ J_\al \subset J_\beta,\, \al\le\beta \ \( \al,\beta\in\Bbb R\). $$ Обозначим нормы в этих идеалах через $ \|\cdot\|_\al $ и зафиксируем $\gamma\in\Bbb R $ и некоторый непрерывный оператор $ T: X\to Y,$ действующий в банаховых пространствах (он может принадлежать или не принадлежать компоненте $ J_{\gamma}(X,Y)$ идеала $ J_{\gamma}).$ Мы говорим, что функция $ u,$ определяемая равенством $ u(\al):= \|T\|_\al,$ {\it непрерывна в точке}\, $\gamma,$ если из неравенства $u(\gamma)<+\infty$ вытекает соотношение $ u(\al)\to u(\gamma)$ при $ \al\to\gamma,$ и {\it строго непрерывна}, если то же самое справедливо и при $u(\gamma)=+\infty.$ Верно ли, что функция $ u$ непрерывна в точке $\gamma $ (справа, слева), либо --- какие условия, близкие к необходимым и достаточным, надо наложить на идеалы, на $ \gamma,$ на банаховы пространства, в которых задан оператор, чтобы эта функция была непрерывной? строго непрерывной? В этих заметках мы всесторонне исследуем этот вопрос для таких операторных идеалов, как идеалы $ p$-абсолютно суммирующих и $ p$-ядерных операторов, а также рассмотрим решение аналогичной задачи для некоторых типов семейств нормированных тензорных произведений банаховых пространств (во второй части заметок). \med %%%%% 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \heading{ \S1. Определения и предварительные факты} \endheading \vskip10pt Все рассматриваемые нами пространства $X,\,Y,\,Z,\dotso$ --- банаховы. Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$. Через $\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ обозначается пространство всех (линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой (вообще, в данной работе под термином "\!оператор" всегда будет пониматься линейный непрерывный оператор). Мы используем стандартные обозначения из теории операторных идеалов --- $\operatorname{\Pi}\!{_p},\, $ $\operatorname{QN}\!{_p},\,$ $\operatorname{N}\!{_p},\, $ $\operatorname{ I}\!{_p}$ --- определения этих классов приводятся ниже (классический справочник по операторным идеалам --- [1]; отметим, однако, что мы придерживаемся обозначений, отличающихся от принятых в [1]). % %%%%% Опр. суммир. оп. ######################## Пусть \,$p\in(0,\infty].$\ Оператор \,$T,$ действующий из $X$ в $Y,$ называется \ {\it абсолютно $p$-суммирующим,}\ если существуют такая постоянная $C>0,$ что для любого конечного набора \, и $\{x_n\}^M_{n=1} \subset X$ выполняется соотношение $$\left( \sum_{n=1}^M \|Tx_n\|^p\right)^{1/p} \le C \, \sup_{\|x,\|\le 1} \left(\sum_{n=1}^M \, ||^p\right)^{1/p} \tag1.1 $$ (в случае, когда $p=+\infty,$ (1.1) переписывается так: $ \|Tx\|\le C \, \|x\|, \ x\in X,$ т.е. абсолютно $\infty$-суммирующие операторы --- это просто все ограниченные линейные отображения). Наименьшая из констант $C>0,$ удовлетворяющая указанному условию (такая всегда существует, если оператор абсолютно $p$-суммирующий) обозначается через $\pi_p (T).$ Если оператор $T$ не является абсолютно $p$-суммирующим, то удобно положить $\pi_p (T)=+\infty.$ Множество $\operatorname{\Pi}\!{_p} (X,Y)$ всех абсолютно $p$-суммирующих операторов из $X$ в $Y$ при $p>0$ является линейным пространством, а при $p\ge 1$ --- банаховым пространством с нормой $\pi_p.$ Более того, в последнем случае класс $\operatorname{\Pi}\!{_p}$ всех абсолютно $p$-суммирующих операторов является банаховым операторным идеалом (в смысле А.Пича [1]). Отметим, что для показателей $p,q\in (0,+\infty],p\,y_k \qquad\text{ для $x\in X$}, \tag{1.2} $$ где последовательности $\,\{x'_n\}^{\infty}_{n=1}\subset X^* \,$ и $\,\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\subset Y \,$ таковы, что конечна величина $$ a:=\, \left(\sum_{k=1}^\infty \,\|x'_k\|^p\right)^{1/p} \sup \left\{ \left(\sum_{k=1}^\infty \,||^{p'}\right)^{1/p'}: \ y'\in Y^*,\, \|y'\|\le 1\right\} \tag{1.3} $$ (напомним, что через $p'$ мы обозначаем сопряженный к $p$ показатель; в случае, когда один из показателей $\,p,\,p'$ бесконечен, правую часть соотношения (1.3) надо понимать надлежащим образом). Множество всех $p$-ядерных операторов из $X$ в $Y$ обозначается через $\operatorname{N}\!{_p}\,(X,Y),$ а точная нижняя грань $\inf a,$ где инфимум берется по всем представлениям вида (1.2) оператора $T,$ --- через $\nu_p\,(T).$ Для любого $p\ge 1$ класс $\operatorname{N}\!{_p}$ всех $p$-ядерных операторов является банаховым операторным идеалом [1]; при фиксированных пространствах $X,Y$ \ \, $\operatorname{N}\!{_p}\,(X,Y),$ --- банахово пространство с нормой $\nu_p.$ Отметим, что для показателей $p,q\in [1,+\infty],pA>> C(K) @>j>> L_p(K,\mu) @>B>> Y \\ \endCD, \tag {$1.4$} $$ где $ K$ --- некоторый компакт, $ \mu$ --- вероятностная мера Радона на нем, $ j$ --- оператор "тождественного вложения" и $ \|A\|,\,\|B\|$ --- непрерывные операторы. Норма в пространстве $\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y \right)$ вводится следующим образом: $$ i_p(T)=\inf \,\|A\|\,\|B\|. $$ Если $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$ и $ T\in \operatorname{I}\!{_p}(X,Y^{**})$ (мы отождествляем каноническим образом $ Y$ с подпространством в $ Y^{**}$), то мы говорим, что оператор $ T$ является {\it $ p$-интегральным по Гротендику.}\ Пространство всех $p$-интегральных по Гротендику операторов из $X$ в $Y$ (с индуцированной из $\operatorname{I}\!{_p}(X,Y^{**})$ нормой $ i_p^{\operatorname{ Gr}}$) мы обозначаем через $\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right).$ % %%%%%%% Опр. тенз. (ядер.) ######################## Алгебраическое тензорное произведение $X\otimes Y$ банаховых пространств $X,\,Y$ мы естественным образом рассматриваем как множество всех конечномерных операторов из $X^*$ в $Y$ (или из $Y^*$ в $X$), $\,weak^*$-$to$-$weak\,$ непрерывных; в частности, $X^*\otimes Y$ --- все конечномерные операторы из $X$ в $Y$. На тензорном произведении $X\otimes Y$ мы будем рассматривать ряд тензорных норм, некоторые из которых индуцируются соответствующими пространствами операторов, а некоторые --- наоборот сами индуцируют операторные нормы (все эти нормы, с другими обозначениями, впервые, видимо, рассматривались в работе [11]; там же введены и некоторые аппроксимационные условия "порядка $p$", налагаемые на банаховы пространства и связанные, в частности с аппроксимацией абсолютно $p$-суммирующих операторов конечномерными; подобного рода условия появятся и у нас ниже). {\it $p$-проективная тензорная норма}\, $||\cdot||_p$ для $p\in [1,+\infty]$ определяется на произведении $X\otimes Y$ следующим образом: если $z\in X\otimes Y \,$, то $$ ||z||_p :=\ \inf\quad\left(\sum_{k=1}^N\,\|x_k\|^p\right)^{1/p}\! \sup_{\|y'\|\le 1} \left\{ \left(\sum_{k=1}^N\,||^{p'}\right)^{1/p'}\right\} \tag1.5 $$ где $\ 1/p+1/p'=1\ $ и \, infimum \,берется по всевозможным представлениям тензорного элемента $z$ в пространстве $X\otimes Y$ в виде $\,z= \sum_{k=1}^Nx_k\otimes y_k$ \ (формально, формула (1.5) имеет смысл лишь при конечном показателе $p>1;$ в случаях $p=1\,$ и $\,p=+\infty\,$ в этом определении нужно произвести соответствующие тривиальные изменения, на которых мы не останавливаемся). Алгебраическое тензорное произведение пространств $X$ и $Y$, снабженное нормой $||\cdot||_p$, будет обозначаться через $X\otimes _p \,Y$, а его пополнение --- через $X\widehat \otimes _p \,Y\ $ (в случае $p=1$ мы получаем проективное тензорное произведение, введенное и детально изученное А.Гротендиком [3], и играющее огромную роль, в частности, в теории ядерных пространств и теории аппроксимации линейных операторов). Нетрудно заметить, что с ростом показателя $p$ тензорные произведения $X\widehat \otimes _p \,Y$, вообще говоря, "увеличиваются" (кавычки здесь поставлены преднамеренно; проясняет ситуацию следующее замечание). \remark {\bf Замечание 1.1} Каноническое отображение $X\otimes _pY \to\operatorname{L} \left(X^*,Y \right) $ \, естественным образом продолжается по непрерывности до оператора из $\,X\widehat \otimes _p \,Y \,$ в $\,\operatorname{L}\left(X^*,Y \right) $ \, (который мы также будем называть каноническим). При этом продолжении, как известно (см., например, [1], стр.143 и далее, и [4, 5, 6]), может произойти "склеивание" различных тензорных элементов, превращающее их в один и тот же оператор. Такая факторизация никогда не происходит лишь в случае $p=2$. Поэтому, например, естественное отображение $\,X\widehat \otimes _1 \,Y \,\to \,X\widehat \otimes _2 \,Y \ $ \, вполне может быть "факторотображением" с нетривиальным ядром; так что не совсем корректно утверждать, что пространство $\,X\widehat \otimes _2 \,Y \ $ больше, чем $\,X\widehat \otimes _1 \,Y.$ \endremark \smallpagebreak Каждый тензорный элемент $\,z\in X\widehat \otimes _p \,Y\,$ естественным образом порождает $ p-$ядер\-ный оператор из $\,X^*\,$ в $\,Y,\,$ который мы будем обозначать через $\,\tilde z\,$ (в случае, когда пространство $\,X\,$ сопряжено, т.е. когда $\,X=W^*\,$ для некоторого банахова пространства $\,W\,$, оператор $\,\tilde z\,$ будет рассматриваться нами, как оператор из $\,W\,$ в $\,Y\,$, что, конечно же, не приведет к недоразумению). \smallpagebreak % %%%%%%% Об оценках сум. и ядерн. ######################## Ниже нам будет полезно также следующее \remark {\bf Замечание 1.2} \rm Если $T\in \operatorname{\Pi}\!{_p} \left(X,Y \right),$ то при различных оценках величины $\pi_p (T)$ всегда можно считать, что пространства $X$ и $Y$ сепарабельны. Действительно, из соотношения (1.1) ясно, что для вычисления $\pi_p (T)$ достаточно рассмотреть лишь подходящие не более чем счетные наборы $\{x_n\} \subset X$ и $\{x'_n\} \subset X^* \, ;$ поэтому, если заменить пространства $X,Y$ соответственно на пространства $X_0,Y_0,$ где $X_0 = \overline{span} \{x_n\}, \, Y_0=\overline{span} \{Tx_n\},$ то величины $\pi_p (T)$ и $\pi_p (T|_{X_0})$ будут равны между собой. Аналогично обстоит дело с $\,p$-ядерными нормами. Для пояснения этого, зафиксируем $\e>0$ и некоторый $\,p$-ядерный оператор $T$ (для определенности будем считать, что $\,p$ --- конечное число). Из соотношения (1.2) и определения нормы $\,\nu_p\,$ вытекает, что найдутся такие счетные множества $\{x'_n\}^{\infty}_{n=1}\,\subset X^*\,$ и $\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\, \subset Y,$ что оператор $T$ может быть представлен в виде (1.2) \rm с элементами $\{x'_n\}\,$ и $\{y_n\}\,$ и $\,\inf a\,$ (см. (1.3)) может быть вычислен с точностью до $\e$ на этих семействах. Пусть $\{c_n\}_{n=1}^\infty$ --- такая положительная числовая последовательность, что $\, c_n \to 0\,$ и $\sum c_n^{-p}\, ||x'_n||^p \le (1+\e)^p\sum ||x'_n||^p.$ Обозначим через $B$ сильно замкнутую абсолютно выпуклую оболочку в пространстве $X^*$ множества $\left\{\tilde x'_n \right\}$ где $\ \tilde x'_n:=c_n||x'_n||^{-1}\,x'_n$ для $n=1,2,\dotso$\ (по выбору числовой последовательности $\{c_n\}$, это сильно компактное подмножество в $X^*$; см., например, [ШЕФЕР], стр.88), и пусть $X^*_B$ --- банахово пространство с единичным шаром $B$, естественным образом ассоциированное с парой $\,(X^*,B).$ Как хорошо известно (см.,например,[ШЕФЕР], стр.150, упр.3), это пространство сопряжено к некоторому сепарабельному (в силу компактности $B$) банахову пространству $X_0$, причем оператор тождественного вложения $X^*_B \to X^*$ является сопряженным к каноническому отображению $\varPhi$ из $X$ в $X_0$. Если обозначить еще через $Y_0$ подпространство в $Y$, порожденное семейством $\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\,$, то, очевидно, наш оператор $T$ допускает факторизацию $T=jT_0\Phi,$ где $j: Y_0\to Y$ --- тождественное вложение, а $T_0: X_0 \to Y_0$ --- оператор, индуцированный отображением $T$, т.е. $T_0 (x_0)= \sum c_k^{-1}||x'_k|| \left\,y_k \quad$ для $x_0\in X_0$. Нетрудно видеть, что, по выбору последовательности $\{c_n\}$, оператор $T_0$ является $\,p$-ядерным и, более того, $\nu_p(T)\le \nu_p (T_0)\le (1+\e)\,(\nu_p(T)+\e).$ В силу произвольности числа $\, \e$, для оценок $ \nu_p$-нормы $ T$ достаточно оценить (сверху или снизу) $ \nu_p$-норму оператора $ T_0,$ то есть и в случае $ p$-ядерного оператора можно рассматривать $ T$ как оператор, действующий в сепарабельных банаховых пространствах. Конечно, аналогичные замечания можно сделать и для случаев, когда мы интересуемся равномерными оценками $\pi_p$- или $\nu_p$-норм не более чем счетного числа операторов в банаховых пространствах. \endremark \small % %%%%%%% Опр. тенз. (квазиядер..) ######################## Наконец, через $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$ мы обозначаем замыкание множества конечномерных операторов (или подпространства $Y^*\otimes X$) в пространстве $\operatorname{\Pi}\!{_p} (Y,X).$ Отметим, что сопряженное к $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$ пространство совпадает с $\operatorname{I}\!{_p'}\left(X,Y^{**} \right),$ причем двойственность определяется стандартным образом при помощи следа суперпозиции соответствующих операторов. \small Другие факты из теории операторных идеалов, используемые нами без всяких ссылок, можно найти в цитированной выше литературе. % %%%%%%%%% Опред. апрокс. свойств Пусть $\,C\ge 1,\,p\in[1,+\infty].$ \, Говорят, что банахово пространство $\,Y\,$ {\it обладает свойством $\,\operatorname{AP}\!{_p}\,$ аппроксимации порядка} $\,p\,$ (коротко --- $\,Y\in\operatorname{AP}\!{_p}$), если для любого банахова пространства $\,X\,$ каноническое отображение $\,X^*\widehat \otimes _p \,Y \,\to \,\operatorname{L}\left(X,Y \right)\ $ \, взаимно однозначно (и, следовательно, $X^*\widehat \otimes _p \,Y = \operatorname{ N}\!{_p}(X,Y)$). Пространство $\,Y\,$ {\it обладает свойством} $C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$, $\,Y\in $ $C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$, если для любого $\,X\,$ естественное отображение $\,X^*\widehat \otimes _p \,Y \,\to \, \operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}} \left(X,Y \right)\ $ есть $C$-изометрическое вложение (в данном случае это означает, что существует непрерывное обратное с нормой не больше $\,C$. Наконец, $\,Y\,$ {\it имеет свойство} $\,\operatorname{BAP}\!{_p}\,$ (соответственно, {\it свойство} $\,\operatorname{MAP}\!{_p}\,$), если оно обладает свойством $\,C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$ для некоторого числа $\,C\ge 1\,$ (соответственно, свойством $\,1$-$\operatorname{MAP}\!{_p}$). Если $\,p=1,\,$ то мы используем общепринятые в этом случае аббревиатуры $\operatorname{AP},\,$ $C$-$\operatorname{MAP},\,$ $\operatorname{BAP},\,$ $\operatorname{MAP}.\,$ В дальнейшем без дополнительных ссылок мы будем использовать следующие хорошо известные (и простые) факты: \ (1) Каждое банахово пространство обладает свойством $\operatorname{MAP}\!{_2};$ \ (2) для всякого $\,p\in [1,+\infty]\,\ $ $\operatorname{AP}\, \Rightarrow\operatorname{AP}\!{_p}\,$; \ (3) для всякого $\,p\in [1,+\infty]\,\ $ $\operatorname{MAP}\, \Rightarrow \operatorname{MAP}\!{_p}\,$; \ (4) если $\,X^*\in AP\,$, то $\,X\in AP\,$. %%%% к 1 Предложения 1-2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \small Следующее утверждение было анонсировано в [5, теорема 4.2]; равносильное ему предложение было установлено в работе [8, леммы 7-8]. Мы дадим здесь (в частности, для полноты изложения) непосредственное его доказательство, основанное на определениях аппроксимационных свойств порядка $\,p,\,$ приведенных выше. \proclaim {\bf Предложение 1.1}\it Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда для всякого $\,p\in (1,+\infty)\,$ из того,что $\,Y\,$ обладает свойством $\,\operatorname{AP}\!{_p}\,$ вытекает условие $\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$. В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено, то условия $\,Y\in \operatorname{AP}\!{_p}\,$ и $\,Y\in \operatorname{MAP}\!{_p}\,$ эквивалентны между собой. \endproclaim \rm \demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm Предположим, что $\,Y\in \operatorname{AP}\!{_p}\,$, и рассмотрим элемент $\,z=\tilde z\in X^*\widehat\otimes_p Y= \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right)\,$. Мы зафиксируем некоторое число $\,\e >0\,$ и покажем, что $$\nu _p(z)\le \|P\|\,i^{\operatorname{Gr}}_p(z)+\e \tag1.6$$ (ясно, что из соотношения (1.6) вытекает утверждение нашей леммы). Пусть $\,U\,$ --- такой абсолютно $\,p'$-суммирующий оператор из $\,Y\,$ в $\,X^{**}\,$, что $\,\pi(U) < 1\,$ и $\,\operatorname{trace} Uz\ge \nu_p(z)-\e\,$. Если $\,z=\sum x'_n\otimes y_n\,$ --- какое-либо $\,p\,$-ядерное представление оператора $\,z\,$, то последнее неравенство означает, что $\,\operatorname{trace} Uz = \sum \left\langle x'_n\,,Uy_n \right\rangle \ge\nu_p(z)-\e$. Суперпозиция операторов $\,U\,$ и $\,z\,$ допускает следующую факторизацию: $$ \CD X @>z>> Y @>A>> Y_0 @>j>> Y_{p'} @>B>> X^{**} \\ \endCD \tag {$1.7$}$$ где все операторы непрерывны, причем $\,\|A\|\le 1,\,\|B\|\le 1,\, \pi_{p'}(j)\le 1 \,$ и $\,Y_{p'}\,$ --- подпространство в некотором {\it рефлексивном} пространстве $\,\operatorname{L}_{p'}(\mu)\,$. Имеем: $$ \align \operatorname{trace} Uz &=\sum\left\langle x'_n\,,BjAy_n \right\rangle=\\ &= \sum\left\langle B^*x'_n\,,jAy_n \right\rangle \qquad \foldedtext{(мы отождествляем $x'_n$ с элементами из $X^{***}$~)} \\ &= \operatorname{trace} jA\circ w, \endalign $$ где $\,w=z\circ B,\,$ а точнее, $\,w=\sum B^*x'_n\otimes y_n\,\in Y^*_{p'}\widehat \otimes _p \,Y\,$. Так как пространство $\,Y_{p'}\,$ рефлексивно, то $\,\operatorname{I}\!{_p}\left(Y_{p'},Y \right) =\operatorname{N}\!{_p}\left(Y_{p'},Y \right)\, $ (вместе с равенством норм; см., например, [9]. Поэтому $$\multline \nu_p(z)-\e\,\le\,\operatorname{trace}\, Uz\,=\, \operatorname{trace} \,iA\circ w\, \le \,\nu_p(w)\, \pi_{p'}(jA)\,\le \\ \le \, i_p(w)\,=\, i_p(P\pi w)\,\le \,\|B\|\,\|P\|\, i^{\operatorname{Gr}}_p(z)\,\le \,\|P\|\,i^{\operatorname{Gr}}_p(z), \endmultline \tag1.8$$ что и дает нам неравенство (1.6). $ \Q $ \enddemo \rm \remark {\bf Замечание 1.3} \rm Насколько нам известно, вопрос о том, справедливо ли утверждение леммы в случае $\,p=1\,$, по-прежнему открыт (см. также замечание в самом конце работы [5]). Основная теорема в этом случае, по-существу, принадлежит А.Гротендику (см. [3], [10, стр. 246-247]): если сопряженное пространство обладает свойством Радона-Никодима и удовлетворяет условию аппроксимации, то оно удовлетворяет и условию метрической аппроксимации (некоторое ее обобщение можно найти, например, в работе [11]). Неясно также, что будет в случае $\,p=+\infty\,$. Мы можем здесь получить лишь такой аналог упомянутой теоремы А.Гротендика: \endremark \med \proclaim {\bf Предложение 1.2 }\it Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда если $\,Y^*\,$ обладает свойством Радона-Никодима и $\,Y\,$удовлетворяет условию $\,\operatorname{AP}\!{_\infty}\,$, то $\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}\!{_\infty}\,$. В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено, то условия $\,Y\in \operatorname{AP}\!{_\infty}\,$ и $\,Y\in \operatorname{MAP}\!{_\infty}\,$ эквивалентны между собой. \endproclaim \rm \demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm В проведенном выше доказательстве предложения 1.1 теперь $ p'=1,$ $\,Y_{p'}=Y_1\,$ --- подпространство некоторого пространства $\,L^1(\mu)\,$, что и мешает дальнейшему проведению аналогичных рассуждений. Но однако, выручает предположение о наличии в $\,Y^*\,$ свойства Радона-Никодима. Действительно, из [11] (см. также [12, теорема 1.1] вытекает, в частности, что оператор $\,U,$ обязательно будет квази-$1$-ядерным, и, следовательно, можно считать, что оператор $\,B\,$ в факторизации (1.7) компактен (см., например, [1, 19.2.6, стр.311, Предложение]; к сожалению там несколько громоздкие обозначения). Поэтому для любого положительного $ \e$ суперпозиция операторов $ U$ и $ z$ допускает факторизацию следующего вида: \font\arr=cmsy10 scaled 1200 %математические символы увеличенные \def\dwnn{\arr\char"26} %стрелка \ вниз увеличенная \def\upp{\arr\char"25} %стрелка \ вверх увеличенная $$ \gather X @>\ \, z\ \,>> Y @>\ A\ >> Y_0 @>\ \,j\ \,>> Y_1 @>\ B\ >> X^{**} \\ \text{\dwnn} \! \overset {z_1}\to{ } \text{\upp} \! \overset {z_2}\to{ } \hphantom{\searrow \! \overset {z_1}\to{ } \, \nearrow \! \overset {z_2}\to{ }} \ \qquad \qquad \qquad \tag1.9 \\ l^\infty \qquad\qquad\qquad\qquad \ \qquad \endgather $$ где $ B$ --- компактный оператор, а $ z_1,z_2$ --- такие непрерывные операторы, что $ || z_1||\le1,\,$ $ i_{\infty}(z_2)$ $ \le i_{\infty}(z)+\e$ (по поводу левой факторизации в диаграмме см. [1, 19.3.9, стр.314]). Но тогда оператор $ z_1\circ B$ (напомним, что образ $ z_1^{**}\,(X^{**})$ содержится в $ l^{\infty}$ в силу компактности оператора $ z_1$) аппроксимируется конечномерными по обычной операторной норме и, следовательно, для суперпозиции $ w=z\circ B$ $=$ $z_2(z_1\circ B)$ имеют место неравенства $ \nu_{\infty}(w)$ $\le\, i_{\infty}(z_2)\, || z_1\circ B||$ $ \le i_{\infty}(z)+\e.$ Поэтому в неравенстве $(1.8)$ при $ p=+\infty$ получаем окончательно: $\nu_{\infty}(z)- \e$ $\le \,|| P||\left(i_{\infty}^{\operatorname{Gr}}(z) +\e \right)$ (можно было также при оценке нормы $ \nu_{\infty}(w)$ использовать [1, 19.1.9, лемма 1, стр. 304]). $ \Q $ \enddemo \rm \remark {\bf Замечание 1.4} \rm Для любого $ p\in [1,+\infty], p\neq2,$ существуют банаховы пространства со свойством $ \operatorname{AP}\!{_p},$ не обладающие свойством $ C-\operatorname{MAP}\!{_p}$ ни при каком $ C\ge 1$ [13],[4]. \endremark %%%%%%%%% %%%%%%%%%% Предложение 1.3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \proclaim {\bf Предложение 1.3}\it Пусть $ X$ и $ Y$ --- такие банаховы пространства, что либо $ X^*,$ либо $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации Гротендика, и пусть $ p\in [1,+\infty]$ и %%%%%%%% p=\infty просмотреть!!! $ T\in \operatorname{ L}(X,Y).$ Если $ T\in \operatorname{N}_p(X,Y^{**}),$ то $ T\in \operatorname{ N}_p(X,Y).$ \endproclaim\rm {\it Доказательство} проводится по аналогии с доказательствами теорем 2 из [14] и [3, глава 1, стр. 36], и мы не будем останавливаться на нем сейчас. $\quad\blacksquare$ \remark {\bf Замечание 1.5} На самом деле, аппроксимационные условия, накладываемые в пре\-дложении 1.3 на пространства $ X^*$ или $ Y^{***},$ можно ослабить. Чтобы сформулировать это более сильное утверждение, нам пришлось бы ввести еще несколько определений аппроксимационных свойств банаховых пространств, что, в силу ограниченности объема статьи, мы в данной заметке делать не будем. \endremark\medpagebreak \proclaim {\bf Следствие 1.1}\it Пусть $ p\in[1, +\infty),$ и пусть $ X, Y$ --- такие банаховы пространства, что $ X^*$ обладает свойством Радона --Никодима и одно из пространств $ X^*$ или $ Y^{***}$ удовлетворяет условию аппроксимации Гротендика. Тогда $ \operatorname{ I}_p(X,Y)= \operatorname{ I}_p^{\Gr}(X,Y)= \operatorname{ N}_p(X,Y).$ Более общо, если $U: Z\to X$ такой оператор из некоторого банахова пространства $ Z$ в $ X,$ что $ U^*$ является оператором Радона--Никодима {\rm (см. [11])}, и либо $ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо $ Y^{***}\in \operatorname{ AP},$ то для любых $ p\in[1, +\infty)$ и $ T\in \operatorname{ I}_p^{\Gr}(X,Y)$ имеет место включение $ TU\in \operatorname{ N}_p(X,Y).$ $\quad\blacksquare$\endproclaim\rm \remark {\bf Замечание 1.6} Аппроксимационные условия, накладываемые на рассматриваемые в последних двух утверждениях пространства существенны и не могут быть заменены на аналогичные условия для пространств $ X,$ либо $ Y^{**}$ (см. ниже \S4). \endremark\medpagebreak % 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \med\med \heading{ S2. Непрерывность $\pi_p$- \, и $\nu_p$-норм} \endheading \vskip10pt \proclaim {\bf Лемма 2.1 }\it Если $X, \, Y$ --- банаховы пространства, $T$ --- конечномерный оператор из $X $ в $Y, $ и $1\le r\le +\infty,$ то $ \lim_{s \to r} \, \pi_s\,(T)=\pi_r(T).$ \endproclaim \rm \demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm Пусть $\e >0.$ Рассмотрим сначала случай, когда $1\le r<+\infty.$ Так как $T$ --- конечномерный квази-$r$-ядерный оператор, то найдется такой конечный набор $\{x'_n\}^M_{n=1},$ элементов пространства $X^*,$ что $$ \left( \sum_{n=1}^M \|x'_n\|^r\right)^{1/r} \le 1, \tag2.1$$ и для любого $x\in X$ $$ \|Tx\| \le (1+\e)\, \pi_r\,(T)\,\left(\sum_{n=1}^M \, ||^r\right)^{1/r}. \tag2.2 $$ \par Если $1\le s|^s\right)^{1/s}, \quad \forall x\in X; \tag2.3 $$ так что, вместе с (2.3), \, (2.1) влечет соотношение $ \pi _s\, (T) \le M^{1/s-1/r}\, \pi_r \, (T)\, ,$ \, если $1\le s\le r.$ Если же $1\le r\le s,$ то $$\,\left(\sum_{n=1}^M \, ||^r\right)^{1/r}\, \le \, \,M^{1/r-1/s}\, \left(\sum_{n=1}^M \, ||^s\right)^{1/s} $$ откуда, используя (2.1) и (2.2), получаем $$ \|Tx\| \le (1+\e)\, M^{1/r-1/s}\, \pi_r\,(T)\,\left(\sum_{n=1}^M \, ||^s\right)^{1/s} $$ и $ \pi _r\, (T) \le M^{1/r-1/s}\, \pi_s \, (T)\, .$ Таким образом, для всякого $s\in [1,\, +\infty)$ $$M^{-|1/r-1/s|}\, \pi_s \, (T)\, \le \pi _r\, (T) \le M^{|1/r-1/s|}\, \pi_s \, (T)\, . $$ В случае, когда $r=+\infty,$ \, $\pi _r\, (T) = \|T\| \le \,\pi _s\, (T)$ для любого $s>0.$ Если $\{x'_n\}^M_{n=1}$ --- такой конечный набор элементов единичного шара пространства $X^*,$ что для каждого $x\in X\, $ \quad $\|Tx\| \le (1+\e )\, \|T\|\, \sup_n ||,$ то $$\|Tx\| \le (1+\e )\, \|T\|\, \left(\sum_{n=1}^M\, ||^s\right)^{1/s}$$ для $x\in X,$ причем $\left(\sum_{n=1}^M\, \|x'_n\|^s\right)^{1/s} \le M^{1/s}.$ Поэтому $\pi _{\infty}\, (T) \ge M^{-1/s}\, \pi _s (T). \qed$ \enddemo \rm %###### к 2############### \proclaim {\bf Лемма 2.2 }\it Пусть $X,Y $ --- банаховы пространства, $r\in [1,+\infty) $ и $T\in \Pi_s(X,Y)$ для всех $ s, s>r.$ Тогда $ \lim_{s \to r\ssize +0} \, \pi_s\,(T)=\pi_r(T).$ В частности, если все нормы $\pi_s\,(T)$ при $s>r$ ограничены одной константой $C>0,$ то $T\in \Pi_r(X,Y)$ и $\pi_r(T) \le C.$ \endproclaim \rm \demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm Как уже отмечалось выше, при доказательстве нашей леммы мы можем считать, что пространства $X$ и $Y$ сепарабельны (надо применить замечание 1.2 к не более чем счетному семейству $\{ \pi_{s_n}\,(T)\} \bigcup \{ \pi_r(T)\} ,$ где $\{s_n\}_{n=1}^\infty \,$ --- произвольная фиксированная последовательность, сходящаяся к $r$ справа). Как хорошо известно, всякое сепарабельное банахово пространство (в частности, $Y$ ) изометрически вкладывается в некоторое сепарабельное пространство $\operatorname{C}\, (K)$, даже в пространство $\operatorname{C}\, [0,1]$ (теорема Банаха-Мазура; см., например, [15], СТР.172). Поэтому, в силу инъективности идеалов $\Pi_p,$ можно предполагать, что в качестве пространства $Y$ рассматривается пространство $\operatorname{C}\, [0,1].$ Пусть $\{P_k\}_{k=1}^\infty$ --- последовательность проекторов единичной нормы в $\operatorname{C}\, [0,1],$ сходящаяся поточечно к тождественному оператору (можно взять семейство проекторов в $\operatorname{C}\, [0,1],$ порожденное каким-нибудь стандартным базисом Шаудера, например, системой Фабера-Шаудера [16, стр.217]). Положим $R_k=P_k\,T,$ и пусть $\pi = \lim_{s \to r\ssize +} \, \pi_s\,(T)$ (напомним, что $\pi_s\,(T)$ как функция аргумента $s$ убывает на $(r,r+\e),$ каково бы ни было $\e>0$). Мы можем, очевидно, считать, что $\pi <+\infty$ (см. ниже замечание 2.2). Так как для любых $k=1,2,\dots$ и $s>r$ \ $\pi_s\,(R_k)\le \pi_s\,(T)\le \pi, $ то, с одной стороны, по лемме 2.1, $\pi_p\,(R_k)= \lim_{s \to r\ssize +} \, \pi_s\,(R_k)$ и, следовательно, $\pi_p\,(R_k)\le \pi,$ а с другой стороны, поскольку последовательность $\{R_k\}$ сходится поточечно к оператору $T,$ \ $\pi_p\,(T)\le \sup_k \pi_p\,(R_k)$ (см., например, [12, лемма 3.1]). Таким образом, окончательно получаем, что $\pi = \lim_{s \to r\ssize +} \, \pi_s\,(T) \le \, \pi_r\,(T) \le \sup_k \pi_p\,(R_k) \le \pi.$ $ \Q $ \enddemo \rm \remark {\bf Замечание 2.2} \rm Если при каком-то $ s>r$ \ $\pi_s\,(T)=+\infty,$ то тем более $\pi_r\,(T)=+\infty,$ и заключение леммы становится тривиальным. Заключение леммы также тривиально в случае, когда все $\pi_s\,(T), s>r,$ конечны, но $ \lim_{s \to r\ssize +} \, \pi_s\,(T)=+\infty,$ так как тогда $ \pi_s\,(T)\le \pi_r\,(T).$ \endremark %####### к 2######## \proclaim {\bf Лемма 2.3 }\it Если $X,Y $ --- банаховы пространства, $p\in (1,+\infty] $ и $T$ --- $q$-ядерный оператор из $X$ в $Y$ для некоторого $q\in [1,+\infty), \, q0,$ то существует конечный предел $ \lim_{q \to p\ssize -} \, \nu_q\,(T),$ который не меньше, чем $\nu_p\,(T).$ Ясно, что случай нулевого оператора $T$ можно отбросить и считать для простоты, что указанный предел равен 1. Пусть $q_1$ таково, что при всех \, $q\in (q_1,p)$ \quad $\nu_q (T)>1-\e$. Сопряженное пространство % √ $\operatorname{G}\!{_q}$ к пространству %описать $\operatorname{N}\!{_q}\left(X,Y \right)$ есть некоторое подпространство в пространстве $\operatorname{\Pi}\!{_{q\prime}}\left(Y,X^{**} \right)$; поэтому для всякого $q\in (q_1,p)$ найдется такой абсолютно $q'$-суммирую\-щий оператор $U_q$, что $\pi_{q'}\left(U_q \right)\le1$ и $\operatorname{trace}\,U_qT>1-\e.$ Для каждого $q\in (q_1,p)$ семейство $\left\{U_s \right\}_{s\ge q}$ лежит в единичном шаре пространства $\operatorname{G}\!{_q}$ (и с ростом показателя $q$ уменьшается). Рассмотрим ${\,}^*$-слабое замыкание $A_q= {\overline{\left\{U_s \right\}}}_{s\ge q}^{\,*}$ этого семейства в $\operatorname{G}\!{_q}$ (или, что то же самое, в пространстве $\operatorname{\Pi}\!{_{q\prime}}\left(Y,X^{**} \right)$). Если фиксировать показатель $q\in (q_1,p)$, то для любых $s',s''\in (q,p), \,s'1,\ $ с диагональю из $\ \,l^{p}\setminus \cup_{q0$, то $$\lim_{q\to p-0} \pi_q\left(T \right) = \pi_p\left(T \right).$$ \endproclaim \rm \demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm Пусть $q_00$ и рассмотрим конечномерное подпространство $E$ в $X$, для которого $$\pi_{q_0}\left(T \right)\le \pi_{q_0}\left(T\mid _E \right)+\e \text{\quad и \quad} \pi_{p}\left(T \right)\le \pi_{p}\left(T\mid _E \right)+\e $$ (это возможно по определению абсолютно $r$-суммирующих операторов и норм $\pi_r$). По лемме 2.1 найдется такой показатель $q_1\in (q_0,p)$, что при всех $q\in (q_1,p)$ \quad \ $|\pi_p\left(T\mid _E \right)- \pi_q\left(T\mid _E \right)|<\e$, откуда получаем (при $q\in (q_1,p)$ ): $$\align |\pi_p\left(T \right)-\pi_q\left(T\right)| &\le |\pi_p\left(T \right)-\pi_p\left(T\mid_E\right)| + \\ +&|\pi_p\left(T\mid_E \right)-\pi_q\left(T\mid_E\right)| + |\pi_q\left(T\mid_E \right)-\pi_q\left(T\right)| \le 3\e. \Q \endalign $$ \enddemo \rm \remark {\bf Замечание 2.4} \rm Предположение о принадлежности оператора $T$ классу $\operatorname{\Pi}\!{_q}$ при некотором показателе $q$, меньшем $p,$ существенно. Оператор тождественного вложения $\operatorname{C}[0,1] \to \operatorname{L}\!{^p}[0,1]$ является абсолютно $\ p$-суммирующим, но не будет абсолютно $\ q$-суммирующим ни при каком $\,qa\, $ и $\,\pi_{p'}(U)\le 1$. Если $M$ --- натуральное число из доказательства леммы 2.1 (в котором вместо $ T$ рассматривается оператор $ U$), то при $q>p$ имеет место неравенство \ $\,\pi_{q'}(U)\le M^{1/p-1/q}\pi_{p'}(U)\le M^{1/p-1/q}$ (см. доказательство леммы 2.1). Поэтому для $q$, достаточно близких к $p$ (например, таких, что $M^{1/p-1/q}<2$), \ $a< \operatorname{trace}UT\le \pi_{q'}(U)\, \nu_q(T)\le M^{1/p-1/q}<2\nu_q(T)$, т.е. $\nu_q(T)>a/2$. Поскольку число $a$ бралось произвольным, $ \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)= +\infty$. Предположим теперь, что $\,\nu_p(T)<+\infty$, и пусть $\nu:= \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)$. Если имеет место место строгое неравенство $\nu< C^{-1}\nu_p\,(T),$ то, выбирая достаточно малое положительное число $\e$, мы можем найти такой конечномерный оператор $U:Y\to X^{**}$, что $\,\pi_{p'}(U)\le 1$ и $\,\operatorname{trace}UT>C^{-1}\nu_p(T)>\nu+\e$. В этом случае, $\,\nu+\e <\operatorname{trace}UT \le \lim_{q \to p\ssize +0} \,\left(\nu_q\,(T)\,\pi_{q'}(U) \right) \le \nu \lim_{q \to p\ssize +0} \,\pi_{q'}(U)$. Используя лемму 2.1, получаем: $\ \nu+\e< \nu$. Это противоречие показывает, что $\nu\ge C^{-1}\nu_p\,(T).$ $ \Q $ \enddemo \rm %%%%%%%%%%%%%% \proclaim {\bf Лемма 2.6 }\it Пусть $X,Y $ --- банаховы пространства, $p\in [1,+\infty) $ и $T\in \operatorname{ I}_q^{ \operatorname{ Gr}} (X,Y)$ для всех $ q, q>p.$ Тогда $ \lim_{q \to p\ssize +0} \, i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)= i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T).$ В частности, если все нормы $i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)$ при $q>p$ ограничены одной константой $C>0,$ то $T\in \operatorname{ I}_p^{ \operatorname{ Gr}}(X,Y)$ и $i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T) \le C.$ \endproclaim \rm \demo{\it Доказательство} Заметим, что так как величина $i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)$ возрастает при $ q\searrow p,$ то существует предел $ \lim_{q \to p\ssize +0} \, i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)= i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T),$ который не больше, чем $i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T)$ (последняя величина может быть и бесконечной). Без ограничения общности, мы можем считать, что этот предел равен единице (относительно случая, когда он бесконечен, см. ниже замечание 2.5). Мы предположим, что $ 1p$ $$ \|T\|\le i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)\le1= \lim_{q \to p\ssize +0} \, i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)< i_p^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)\le{+\infty}. $$ Удобно иметь перед глазами следующие диаграммы (как обычно, мы отождествляем $ Y$ с подпространством его второго сопряженного): $$ \alignat 3 T\in & \operatorname{I}_{p}(X,Y^{**})&\hookrightarrow &\operatorname{ I}_{q}(X,Y^{**})&\hookrightarrow &\operatorname{ L}(X,Y^{**})\\ { } &\phantom{*} Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X &\hookleftarrow &\phantom{*} Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{q'}X &\hookleftarrow &\phantom{*} Y^*{\widehat \otimes}_1 X\ni z \endalignat $$ Здесь верхняя строчка описывает ситуацию, в которой мы находимся, причем пространства операторов, появляющиеся в ней, являются сопряженными пространства\-ми к тензорным произведениям, которые составляют нижнюю диаграмму; ядерный тензор $ z$ будет выбран ниже. Так как замкнутый единичный шар $ B_p$ пространства $ \operatorname{ I_p}(X,Y^{**})$ \, $ {}^*$-слабо замкнут в пространстве $ \operatorname{ L}(X,Y^{**}),$ то, по теореме Хана--Банаха, существует (ядерный) тензорный элемент $ z\in Y^*{\widehat \otimes}_1 X,$ для которого $$ | \operatorname{ trace}\,Tz| > \sup_{\underset{\ssize U\in B_p} \to{ U\in \operatorname{ L}(X,Y^{**})}}\, =\pi_{p'}(z). $$ По лемме 2.4, $ \pi_{q'}\to \pi_{p'}$ при $ q'\to p'-0$ (а это как раз наша ситуация). Пусть $ \e>0.$ Для всех $ q',$ не превосходящих $ p'$ и достаточно близких к $ p',$ мы будем иметь: $$ | \operatorname{ trace}\,Tz| >\pi_{p'}(z)\ge \pi_{q'}(z)-\e. $$ Так как $ i_q^{\Gr}(T)\le1,$ то $$ \pi_{q'}(z)= \sup_{\underset{\ssize i_q(V)=1} \to{ V\in \operatorname{ I}_q(X,Y^{**})}}\, | \operatorname{ trace}\,Vz|\ge \big| \operatorname{ trace}\, \frac {Tz}{i_q^{\operatorname{ Gr}}(T)} \big| > | \operatorname{ trace}\,Tz|> \pi_{p'}(z) \ge \pi_{q'}(z)-\e. $$ В силу произвольности числа $ \e>0,$ мы приходим к противоречию. $\quad\blacksquare$\enddemo \remark {\bf Замечание 2.5} \rm Если $i^{\operatorname{Gr}}_q\,(T)=+\infty$ при каком-то $ q>p,$ то тем более $i^{\operatorname{Gr}}_p\,(T)=+\infty,$ и заключение леммы становится тривиальным. Заключение леммы также тривиально в случае, когда все $i^{\operatorname{Gr}}_q\,(T), q>p,$ конечны, но $ \lim_{q \to p\ssize +} \, i^{\operatorname{Gr}}_q\,(T)=+\infty,$ так как тогда $ i^{\operatorname{Gr}}_q\,(T)\le i^{\operatorname{Gr}}_p\,(T).$ \endremark %%%%%%%%%%% к 2%%%% \remark {\bf Замечание 2.6} \rm Несмотря на простоту доказательств приведенных лемм, с объектами, появляющимися в этих доказательствах, надо обращаться чрезвычайно осторожно. Особенно наглядно это проявляется в доказательстве леммы 2.5.. Откуда (и зачем) появляется константа $C>0$ в условии $(2.4)$ будет ясно из дальнейшего. А вот почему мы в $(2.4)$ мы ограничились рассмотрением лишь конечномерных операторов $U$? Во-первых, для того, чтобы был вполне определен след суперпозиции $UT$ и чтобы (после этого) можно было использовать оценки вида $"\operatorname{trace}UT \le \nu_q\,(T)\,\pi_{q'}(U)".$ Упростить формулировку леммы 2.5 можно, наложив некоторые аппроксимационные условия на пространства $X,Y$, что позволило бы рассматривать и случай неконечномерных $U$ из класса $\operatorname{\Pi}\!{_{p\prime}}.$ Однако вторая (появляющаяся теперь) проблема --- предельный переход в конце доказательства леммы 2.5: лемма 2.1 уже не работает, а применение леммы 2.4 не проходит в силу замечания 2.4 к ней. От всех этих проблем можно избавиться очень просто: надо потребовать, чтобы $X$ или $Y$ удовлетворяли достаточно сильным условиям {\it ограниченной} (с этим термином, кстати, и связано появление константы $C>0$) аппроксимации (см. ниже, например, пример 3.1 и следствия 3.1, 3.2). \endremark % %%%%%%%%%%%% 3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \med\med \heading{ \S3 Некоторые следствия} \endheading \vskip10pt Приведем некоторые условия, накладываемые на банаховы пространства $X,Y$, при которых имеет место соотношение $(2.4)$. \definition {\bf Пример 3.1 }\rm Если $C>0$ и $Y\in C$-$\operatorname{BAP}\!{_p}$, то $(2.4)$ выполнено с константой $C$ для любого банахова пространства $X$ и любого оператора $T\in \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right).$ \enddefinition В частности, с помощью леммы 2.5 получаются такие следствия: \proclaim {\bf Следствие 3.1}\it Если $p\ge 1$ и $Y\in \operatorname{MAP}\!{_p}$, то для всякого банахова пространства $X$ семейство норм $\nu_p$ на $\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ непрерывно в точке $p$. \roster \runinitem "{}" Таким образом, \item "{\phantom{vv}(i)}" семейство норм $\nu_p$ непрерывно в точке 2; \endroster\roster \runinitem "{\phantom{vv}(ii)}" если $Y\in \operatorname{MAP}$, то для всякого банахова пространства $X$ семейство норм $\nu_p$ на $\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ непрерывно в любой точке $p,\, p\ge 1$. \endroster \endproclaim \rm \remark {\bf Замечание 3.1} \rm Еще раз напомним, что в определении непрерывности семейства норм, в частности, семейства $q$-ядерных норм в точке $p$, требуется, чтобы рассматриваемые операторы $T$ имели в данной точке конечные нормы, т.е. в нашем случае: $\nu_p(T)<+\infty $. Мы увидим ниже (теорема 4.1), что в противном случае следствие 3.1, например, неверно (это в нашей терминологии означает {\it не строгую} непрерывность справа семейства $\left\{\nu_q \right\}$). Некоторые достаточные условия для строгой непрерывности этого семейства норм дает, вместе со следствием 3.1, следствие 3.5 (см. ниже). \endremark % \proclaim {\bf Следствие 3.2 }\it Пусть $С\ge 1, \,p\ge 1$, \,и \, $Y$ --- банахово пространство. Если существуют такие банахово пространство $X$ и оператор $T\in \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right)$, что $$\lim_{p+0}\nu_q(T)p}$ \, ограниче\-но, то $T\notin \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right)$; в частности, если $\left\{\nu_q(T) \right\}_{q>p}$ \, ограничено, то из $p$-ядерности оператора $T^{**}$ \, вытекает $p$-ядерность оператора $T. \Q$ \endproclaim \rm \remark {\bf Замечание 3.2} \rm Еще раз подчеркнем тонкость рассматриваемых аппроксимационных условий и связанных с ними рассуждений и утверждений на примере "предельного перехода в следствии 3.2. В этом следствии чем хуже "$p$-ядерность" оператора $T$ (точнее, чем больше норма $\nu_p(T)$ при равномерной ограниченности норм $\nu_q(T),\, q>p$), тем более плохим с точки зрения условий ограниченной аппроксимации оказывается пространство $Y$: в такой ситуации константе $C$ позволительно расти с ростом $\nu_p(T)$, и "в пределе" естественно ожидать появления такого "следствия" (заранее, чтобы не допустить недоразумений, отметим, что {\it формулируемое "следствие" неверно!} ). \item {} \rm Если существует не $p$-ядерный оператор $T: X\to Y,$ для которого $\sup_{q>p}\,\nu_q(T)<+\infty$, то пространство $Y$ не обладает свойством $\operatorname{BAP}\!{_p}$. \smallskip \noindent Тонкость здесь как раз и состоит в том, что подобный "предельный переход" не допустим, и имеется пример пространства $Y$ с базисом (даже еще более хорошего, --- см. ниже теорему 4.1), для которого первая часть утверждения этого "следствия" \rm в действительности имеет место (это так по-крайней мере для всех $p\in [1,2));$ в \S4 мы рассмотрим только простейший случай $ p=1$). Любопытно также отметить в связи со сказанным, что следствие 3.3 показывает, что если оператор $T$ "совсем плохой" ($T\notin \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}$), то его $q$-ядерные нормы ведут себя как надо, а именно, не ограничены при $q\to p$. \endremark %%%%%%%%%% Следствие 3.5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \proclaim {\bf Следствие 3.5}\it Пусть $ X$ и $ Y$ --- такие банаховы пространства, что $ X^*$ обладает свойством Радона--Никодима и либо $ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо $ Y^{***}\in \operatorname{ AP}.$ Пусть, далее, $T\in \operatorname{L}(X,Y)$ и $ 1\le p<+\infty.$ Если $ C:=\sup_{p x_j, \tag4.1 $$ где $ \|x_j\|,\,\|x'_j\|\le1$ и $ x_j,\, x'_j\to 0$ при $ j\to\infty,$ а положительная числовая последовательность $ \{ \la_j\}$ такова, что ряд $ \sum_{j=1}^\infty \la_j^s$ сходится. Обозначения для этого класса операторов: $ \operatorname{ N}_s(X, Y)$ (при $ s=1$ это определение полностью согласуется с соответствующим определением из \S1.) \enddefinition Напомним еще раз, что каждое банахово пространство мы рассматриваем также как подпространство его второго сопряженного (не вводя никаких обозначений для оператора канонического вложения). \proclaim {\bf Лемма 4.1 {\rm см. [6, теорема 3.1,А]}}\it Если $ T\in \operatorname{ L}(X,Y)$ и $ T\in\operatorname{N}_s(X, Y^{**}),$ для некоторого $ s\in[2/3, 1],$ то $T\in\operatorname{N}_q(X, Y),$ где показатель $ q, 1\le q\le2,$ \, определяется из соотношений $ s=\dfrac{2q}{q+2},$ или $ q=\dfrac{2s}{2-s}.$ $\quad\blacksquare$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 4.1}\it Существуют такие банахово пространство $ Z$ и оператор $ S:Z^{**}\to Z,$ что \roster \item"(1)" пространство $ Z^{**}$ имеет ограниченно полный базис; \item"(2)" все сопряженные к $ Z$ пространства $ Z^*,Z^{**}, Z^{***}, \dots$ сепарабельны {\rm(и, следовательно, обладают свойством $ RN$)}; \item"(3)" $ Z^{***}$ не обладает свойством аппроксимации; \item"(4)" $ S\in N_s(Z^{**}, Z^{**})\,$ для любого $s> 2/3;$ \item"(5)" $ C:=\sup_{q>1}\,\nu_q(S)\le1,$ но \item"(6)" $ S\notin N(Z^{**}, Z).$ \endroster \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Пусть $ X$ --- сепарабельное рефлексивное банахово пространство без свойства аппроксимации, для которого существует ненулевой тензорный элемент $ t\in X^*\widehat \otimes_1 X,$ допускающий представление вида $$ t=\sum_{j=1}^\infty \la_j x'_j\otimes x_j, $$ где $ \|x_j\|,\,\|x'_j\|\le1$ и $ x_j,\, x'_j\to 0$ при $ j\to\infty,$ а положительная числовая последовательность $ \{ \la_j\}$ такова, что ряд $ \sum_{j=1}^\infty \la_j^s$ сходится при любом $ s>2/3;$ причем оператор $ \widetilde t,$ порождаемый тензором $ t$ по формуле, аналогичной (4.1), равен нулю (см. [17]). Ввиду сепарабельности и рефлексивности $ X,$ согласно [18], существует банахово пространство $ Z$ и гомоморфизм $ \varPhi$ пространства $ Z^{**}$ на $ X$ такие, что $ Z$ удовлетворяет условиям 1)--3) и $ \operatorname{ Ker}\,\varPhi = Z.$ Так как $ \varPhi$ --- гомоморфизм, то последовательность $ \{ x_j\}\subset X$ можно поднять до элементов пространства $ Z^{**}$ без существенного увеличения норм, точнее, для некоторой абсолютной постоянной $ C>1$ найдутся элементы $ z''_j\in Z^{**},$\, $ j=1,2,\dots,$ для которых $ \varPhi\,z''_j=x_j$ и $ \|z''_j\|\le C$ для всех $ j\in\Bbb N.$ Так как $ Z^{**}\in \operatorname{ MAP}$ (это пространство обладает свойством Радона--Никодима и удовлетворяет условию аппроксимации, --- см. замечание 1.3), то, по предложению 1.1, $X^*\widehat \otimes_q Z^{**}= \operatorname{ N}_q(X, X^{**})$ для любого $ q\ge1.$ Поэтому формула $$ \al:= \sum_{j=1}^\infty \la_j x'_j\otimes z''_j $$ однозначно определяет как оператор $ \al,$ который является $s$-ядерным при любом $ s>2/3,$ так и соответствующий тензорный элемент из $X^*\widehat \otimes_q Z^{**},$ который мы обозначаем тем же символом. Отметим, что $ \operatorname{ Im}\,\al\subset \operatorname{ Ker}\,\varPhi,$ так как при всех $ x\in X$ $$ \varPhi(\al x)= \sum_{j=1}^\infty \la_j \,\varPhi z''_j= \sum_{j=1}^\infty \la_j \,x_j= 0. $$ Следовательно, $ \operatorname{ Im}\,\al\subset Z,$ и мы можем вполне корректно определить оператор $ \beta: X\to Z, $ являющийся приведением оператора $ \al.$ Так как, по построению, оператор $ \al$ является $ s$-ядерным для любого $ s>2/3,$ то, по лемме 1.4, $ \beta\in \operatorname{ N}_q(X,Z)$ для каждого $ q>1.$ Положим $S=\beta\,\varPhi. $ Тогда $ S\in\operatorname{ N}_q(Z^{**},Z)$ для каждого $ q>1$ и $ S\in\operatorname{ N}_s(Z^{**},Z^{**})$ для любого $ s>2/3.$ Осталось установить справедливость утверждений (5) и (6). Без ограничения общности, мы можем считать, что $ \nu_1(S:Z^{**}\to Z^{**}) =1,$ откуда $ \nu_q(S:Z^{**}\to Z^{**}) \le 1$ при всех $ q\ge 1.$ Зафиксируем $ q>1$ и рассмотрим включения $$ S\in\operatorname{ N}_q(Z^{**},Z)\subset \operatorname{ N}_q(Z^{**},Z^{**})\subset \operatorname{ I}_q(Z^{**},Z^{**}). \tag 4.2 $$ Поскольку $ Z^{**}\in \operatorname{ MAP}$ и $ Z^{***}$ обладает свойством Радона--Никодима, то оба вложения из (4.2) изометрические и, более того, последнее включение на самом деле превращается в равенство. Принимая это во внимание, получаем свойство (5). Наконец, почему оператор $ S$ не является ядерным, как оператор из $ Z^{**}$ в $ Z?$ В этом заключительном в данной заметке доказательстве нам придется использовать обозначение для канонического вложения банахова пространства $ W$ в его второе сопряженное, --- $ \pi_W: W\hookrightarrow W^{**}.$ Если $ S\in \operatorname{ N}_1(Z^{**},Z),$ то (здесь и ниже снова используем свойство метрической аппроксимации в $ Z^{**}$) $$ \operatorname{ trace}\,\pi_Z S= \operatorname{ trace}\,\al\varPhi= \sum_{j=1}^\infty \la_j <\varPhi^* x_j', z''_j > = \sum_{j=1}^\infty \la_j = \sum_{j=1}^\infty \la_j = 1. $$ Мы воспользовались тем фактом, что $\sum_{j=1}^\infty \la_j \varPhi^* x_j'\otimes z''_j$ --- ядерное представление оператора $ \al\varPhi: Z^{**}\to X\to Z^{**}.$ С другой стороны, $ \operatorname{ trace}\,\pi_Z S= \operatorname{ trace}\,\pi_Z^* S^*.$ $$ \alignat 3 & Z @>\hphantom{*}\pi_Z \hphantom{*}>> Z^{**} & @>\hphantom{*}S\hphantom{*} >> &Z & @>\hphantom{*}\pi_Z\hphantom{*}>> & Z^{**} \\ { } & Z^* @<<\pi_Z^*< Z^{***} & @<