%Author: О.И. Рейнов

%Title: О непрерывности шкал некоторых операторных идеалов. I.

%Filename: ReiCnucl.tex
%TeX: AMSTeX
%Length: 62860 bytes
%Received Date:
%SubjectClass: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, trace class operators,
%nuclear operators, p-summing operators, etc.
%Abstract: Исследуется вопрос о непрерывности p-абсолютно суммирующих
%и p-ядерных норм в соответствующих шкалах банаховых операторных идеалов.

%Citation: Preprint

%Inserting TeX file starting here.

 %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex
 %%                                                               97.6.10)
 %%AmS-TeX- Version 2.1
 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%           AMSTeX
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       %Last Modified   06.03.99 19:58:57 Sat

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\input amstex
\documentstyle{amsppt}
 %\Monograph
\magnification=\magstep1
\parindent=1em %%%% размер двойного тире; "9" имеет половину em
\vsize=7.4in   %%%% 1in = 2.54
 %\NoPageNumbers
       \def\({\left(}
       \def\){\right)}
       \def\[{\left[}
       \def\]{\right]}
       \def\sp#1#2{\(#1,#2\)}
       \def\la{\lambda}
       \def\ffi{\varphi}
\define\e{\varepsilon}
\define\al{\alpha}
\define\be{\beta}
\def\Q{\quad{\qed}}
\def\med{\medpagebreak}
\def\small{\smallpagebreak}
        \def\Gr{ \operatorname{ Gr}}
  \CenteredTagsOnSplits
  \NoBlackBoxes

$$ { }
$$
\vskip1in

\noindent
УДК 513.88\newline
Р е й н о в О. И.\
{\bf О непрерывности шкал некоторых операторных идеалов.\, I.} ---
Математические заметки
\vskip15pt

Исследуется вопрос о непрерывности $ p$-абсолютно суммирующих и
$ p$-ядерных норм в соответствующих шкалах банаховых
операторных идеалов.\ Библиогр. 16 назв.

\newpage
\NoRunningHeads
\pageno=1

        \topmatter
        \title {О НЕПРЕРЫВНОСТИ ШКАЛ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРНЫх ИДЕАЛОВ.\, I.}
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов.}  \endauthor
\address\newline
198904, Санкт--Петербург,\newline
Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline
Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
математико--механический факультет,\newline
кафедра математического анализа.
\endaddress

\email
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\thanks
${{ }^\dag}$\! Работа выполнена при  частичной поддержке  Министерства
общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36).
\endthanks

\abstract\nofrills       %%%% \nofrills уничтожает "Abstract."
Исследуется вопрос о непрерывности $ p$-абсолютно суммирующих и
$ p$-ядерных норм в соответствующих шкалах банаховых
операторных идеалов.
\endabstract
    \endtopmatter
   %==========================================

\document
\baselineskip=15pt      %%%%% расстояние между строками
%
  %==========================================
\footnote""{${ }^\ddag$\!
%AMS Subject Classification:  47B10. Hilbert--Schmidt operators,
%trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc.
Ключевые слова и фразы: $ p$-абсолютно суммирующие, $ p$-ядерные операторы,
свойства аппроксимации, тензорные произведения.}

%\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ }
%\bigpagebreak
%

Общая постановка задач, рассматриваемых в заметке, выглядит примерно так.
Пусть у нас имеется семейство непрерывно вложенных друг в друга
нормированных операторных идеалов (или некоторых пространств операторов,
действующих в фиксированных банаховых пространствах):
$$ J_\al \subset J_\beta,\, \al\le\beta \ \( \al,\beta\in\Bbb R\).
$$
Обозначим нормы в этих идеалах через $ \|\cdot\|_\al $
и зафиксируем  $\gamma\in\Bbb R $ и некоторый непрерывный оператор
$ T: X\to Y,$ действующий в банаховых пространствах (он может принадлежать
или не принадлежать компоненте $ J_{\gamma}(X,Y)$ идеала $ J_{\gamma}).$
Мы говорим, что функция $ u,$ определяемая равенством $ u(\al):= \|T\|_\al,$
{\it непрерывна в точке}\, $\gamma,$ если из неравенства $u(\gamma)<+\infty$
вытекает соотношение $ u(\al)\to u(\gamma)$ при $ \al\to\gamma,$ и
{\it строго непрерывна}, если то же самое справедливо и при
$u(\gamma)=+\infty.$
Верно ли, что функция $ u$
непрерывна в точке $\gamma $ (справа, слева), либо --- какие условия,
близкие к необходимым и достаточным, надо наложить на идеалы, на $ \gamma,$
на банаховы пространства, в которых задан оператор, чтобы эта функция была
непрерывной? строго непрерывной?

В этих заметках мы всесторонне исследуем этот вопрос для таких операторных
идеалов, как идеалы $ p$-абсолютно суммирующих и $ p$-ядерных операторов,
а также рассмотрим решение аналогичной задачи для некоторых типов
семейств нормированных тензорных произведений банаховых пространств
(во второй части заметок).
\med

%%%%%    1                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\heading{ \S1. Определения и предварительные факты}
\endheading
\vskip10pt

Все рассматриваемые нами пространства $X,\,Y,\,Z,\dotso$ --- банаховы.
Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными
буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$.

Через $\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ обозначается пространство всех
(линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой
(вообще, в данной работе под термином "\!оператор" всегда будет пониматься
линейный непрерывный оператор).

Мы используем стандартные обозначения из теории операторных идеалов ---
$\operatorname{\Pi}\!{_p},\, $ $\operatorname{QN}\!{_p},\,$
$\operatorname{N}\!{_p},\, $ $\operatorname{ I}\!{_p}$
--- определения этих классов приводятся ниже (классический справочник по
операторным идеалам --- [1]; отметим, однако, что мы придерживаемся
обозначений, отличающихся от принятых в [1]).

%%%%%% Опр. суммир. оп.   ########################

Пусть \,$p\in(0,\infty].$\  Оператор \,$T,$ действующий из $X$ в $Y,$
называется \ {\it абсолютно $p$-суммирующим,}\ если существуют такая
постоянная $C>0,$ что для любого конечного набора
 \, и $\{x_n\}^M_{n=1} \subset X$  выполняется соотношение
   $$\left( \sum_{n=1}^M \|Tx_n\|^p\right)^{1/p} \le
   C \, \sup_{\|x,\|\le 1} \left(\sum_{n=1}^M \, |<x_n,\,x>|^p\right)^{1/p}
    \tag1.1 $$
(в случае, когда $p=+\infty,$ (1.1) переписывается так:
$ \|Tx\|\le C \, \|x\|, \ x\in X,$ т.е. абсолютно $\infty$-суммирующие
операторы --- это просто все ограниченные линейные отображения).
    Наименьшая из констант $C>0,$ удовлетворяющая указанному условию
(такая всегда существует, если оператор абсолютно $p$-суммирующий)
обозначается через $\pi_p (T).$ Если оператор $T$ не является
абсолютно $p$-суммирующим, то удобно положить  $\pi_p (T)=+\infty.$

    Множество $\operatorname{\Pi}\!{_p} (X,Y)$
всех абсолютно $p$-суммирующих операторов из $X$ в $Y$ при $p>0$ является
линейным пространством, а при $p\ge 1$ --- банаховым пространством с нормой
$\pi_p.$ Более того, в последнем случае класс $\operatorname{\Pi}\!{_p}$
всех абсолютно $p$-суммирующих операторов является банаховым операторным
идеалом (в смысле А.Пича [1]). Отметим, что для показателей
$p,q\in (0,+\infty],p<q,$ имеет место включение
$\operatorname{\Pi}\!{_p} \subset \operatorname{\Pi}\!{_q},$ причем
$ \pi_q\le \pi_p.$

%%%%%%%%% Опр. квази яд.    ########################
Оператор $ T: X\to Y$ является {\it квази-$p$-ядерным,}
$ T\in \operatorname{ QN}\!{_p},$ если для некоторого
изометрического вложения $ i:Y\to L_\infty(\nu)$ суперпозиция
$iT$ принадлежит пространству $ \operatorname{\Pi}\,{_p}(X, L_\infty(\nu)).$
Квазинорма (норма при $ p\ge1$) в $ T\in \operatorname{ QN}\!{_p}$
индуцируется из пространства $ \operatorname{\Pi}\,{_p}(X, L_\infty(\nu)).$

%%%%%%%%  Опр. ядерн.     ########################
Для $p\in[1,\infty]$  оператор $T,$ действующий из $X$ в $Y,$ называется
{\it $p$-ядерным,} если его можно представить в следующем виде:
$$
  Tx= \sum_{k=1}^\infty \,<x,x'_k,>\,y_k \qquad\text{ для $x\in X$},
\tag{1.2}
$$
где последовательности
$\,\{x'_n\}^{\infty}_{n=1}\subset X^* \,$ и $\,\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\subset
Y \,$ таковы, что конечна величина
$$
  a:=\, \left(\sum_{k=1}^\infty \,\|x'_k\|^p\right)^{1/p}
    \sup \left\{ \left(\sum_{k=1}^\infty \,|<y_k,y'>|^{p'}\right)^{1/p'}:
     \  y'\in Y^*,\, \|y'\|\le 1\right\}  \tag{1.3}
$$
(напомним, что через $p'$ мы обозначаем сопряженный к $p$ показатель;
в случае, когда один из показателей $\,p,\,p'$ бесконечен, правую часть
соотношения (1.3) надо понимать надлежащим образом).
Множество всех $p$-ядерных операторов из $X$ в $Y$ обозначается через
$\operatorname{N}\!{_p}\,(X,Y),$ а точная нижняя грань $\inf a,$
где инфимум берется по всем представлениям вида (1.2) оператора $T,$ ---
через $\nu_p\,(T).$ Для любого $p\ge 1$ класс $\operatorname{N}\!{_p}$ всех
$p$-ядерных операторов является банаховым операторным идеалом [1]; при
фиксированных пространствах $X,Y$ \ \, $\operatorname{N}\!{_p}\,(X,Y),$
--- банахово пространство с нормой $\nu_p.$ Отметим, что для показателей
$p,q\in [1,+\infty],p<q,$ имеет место включение
$\operatorname{N}\!{_p} \subset \operatorname{N}_q$ с соответствующим
неравенством для норм.
\small

%%%%%%%% Опр. интегр.
Через $\,\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y \right),$ где $\,p\in [1,+\infty],$
обозначается банахово пространство всех {\it $p$-инте\-гральных}
({\it в смысле А.Пича})\ отображений из $\,X\,$ в $\,Y.\,$  Оператор
$ T\in\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y \right),$ если он допускает
факторизацию вида
$$
\CD
X         @>A>>  C(K)  @>j>>   L_p(K,\mu)  @>B>>   Y \\
\endCD, \tag {$1.4$}
$$
где $ K$ --- некоторый компакт, $ \mu$ --- вероятностная мера Радона на нем,
$ j$ --- оператор "тождественного вложения" и $ \|A\|,\,\|B\|$ ---
непрерывные операторы. Норма в пространстве
$\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y \right)$  вводится следующим образом:
$$ i_p(T)=\inf \,\|A\|\,\|B\|.
$$

Если $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$ и
$ T\in \operatorname{I}\!{_p}(X,Y^{**})$ (мы отождествляем каноническим
образом $ Y$ с подпространством в $ Y^{**}$), то мы говорим, что оператор
$ T$ является {\it $ p$-интегральным по Гротендику.}\ Пространство всех
$p$-интегральных по Гротендику операторов из $X$ в $Y$ (с индуцированной
из $\operatorname{I}\!{_p}(X,Y^{**})$ нормой $ i_p^{\operatorname{ Gr}}$)
мы обозначаем через
$\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right).$


%%%%%%%%  Опр. тенз. (ядер.)    ########################
Алгебраическое тензорное произведение  $X\otimes Y$ банаховых пространств
$X,\,Y$ мы естественным образом рассматриваем как множество всех
конечномерных операторов из $X^*$ в $Y$ (или из $Y^*$ в $X$),
$\,weak^*$-$to$-$weak\,$ непрерывных; в частности, $X^*\otimes Y$ --- все
конечномерные операторы из $X$ в $Y$.

На тензорном произведении $X\otimes Y$ мы будем рассматривать ряд тензорных
норм, некоторые из которых индуцируются соответствующими пространствами
операторов, а некоторые --- наоборот сами индуцируют операторные нормы
(все эти нормы, с другими обозначениями, впервые, видимо, рассматривались в
работе [11]; там же введены и некоторые аппроксимационные условия "порядка
$p$", налагаемые на банаховы пространства и связанные, в частности с
аппроксимацией абсолютно $p$-суммирующих операторов конечномерными;
подобного рода условия появятся и у нас ниже).

{\it $p$-проективная тензорная норма}\, $||\cdot||_p$ для
$p\in [1,+\infty]$ определяется на произведении  $X\otimes Y$ следующим
образом:
если $z\in X\otimes Y \,$, то
$$
 ||z||_p :=\ \inf\quad\left(\sum_{k=1}^N\,\|x_k\|^p\right)^{1/p}\!
    \sup_{\|y'\|\le 1}
     \left\{ \left(\sum_{k=1}^N\,|<y_k,y'>|^{p'}\right)^{1/p'}\right\}
\tag1.5
$$
где  $\ 1/p+1/p'=1\ $ и \, infimum \,берется по всевозможным представлениям
тензорного элемента $z$ в пространстве  $X\otimes Y$ в виде
$\,z= \sum_{k=1}^Nx_k\otimes y_k$ \ (формально, формула (1.5) имеет смысл
лишь при конечном показателе $p>1;$ в случаях $p=1\,$ и $\,p=+\infty\,$
в этом определении нужно произвести соответствующие тривиальные изменения,
на которых мы не останавливаемся).

Алгебраическое тензорное произведение пространств $X$ и $Y$, снабженное
нормой $||\cdot||_p$, будет обозначаться через $X\otimes _p \,Y$, а его
пополнение --- через $X\widehat \otimes _p \,Y\ $ (в случае $p=1$
мы получаем проективное тензорное произведение, введенное и детально
изученное А.Гротендиком [3], и играющее огромную роль, в частности,
в теории ядерных пространств и теории аппроксимации линейных операторов).

Нетрудно заметить, что с ростом показателя $p$ тензорные произведения
$X\widehat \otimes _p \,Y$, вообще говоря, "увеличиваются" (кавычки здесь
поставлены преднамеренно; проясняет ситуацию следующее замечание).

\remark {\bf Замечание 1.1}
Каноническое отображение $X\otimes _pY \to\operatorname{L}
\left(X^*,Y \right) $ \, естественным образом продолжается по непрерывности
до оператора из  $\,X\widehat \otimes _p \,Y \,$ в
$\,\operatorname{L}\left(X^*,Y \right) $ \, (который мы также будем называть
каноническим). При этом продолжении, как известно (см., например, [1],
стр.143 и далее, и [4, 5, 6]), может произойти "склеивание" различных
тензорных элементов, превращающее их в один и тот же оператор. Такая
факторизация никогда не происходит лишь в случае $p=2$. Поэтому, например,
естественное отображение
$\,X\widehat \otimes _1 \,Y \,\to \,X\widehat \otimes _2 \,Y \ $  \,
вполне может быть "факторотображением" с нетривиальным ядром; так что не
совсем корректно утверждать, что пространство
$\,X\widehat \otimes _2 \,Y \ $  больше, чем $\,X\widehat \otimes _1 \,Y.$
\endremark

   \smallpagebreak
Каждый тензорный элемент $\,z\in X\widehat \otimes _p \,Y\,$
естественным образом порождает $ p-$ядер\-ный оператор из
$\,X^*\,$ в $\,Y,\,$ который мы будем обозначать через $\,\tilde z\,$
(в случае, когда пространство $\,X\,$ сопряжено, т.е. когда $\,X=W^*\,$
для некоторого банахова пространства $\,W\,$, оператор  $\,\tilde z\,$
будет рассматриваться нами, как оператор из $\,W\,$ в $\,Y\,$, что,
конечно же, не приведет к недоразумению).
   \smallpagebreak

%%%%%%%%  Об оценках сум. и ядерн.      ########################
Ниже нам будет полезно также следующее

\remark {\bf Замечание 1.2} \rm
Если $T\in \operatorname{\Pi}\!{_p} \left(X,Y \right),$
то при различных оценках величины $\pi_p (T)$ всегда можно считать,
что пространства $X$ и $Y$ сепарабельны. Действительно, из соотношения (1.1)
ясно, что для вычисления $\pi_p (T)$ достаточно рассмотреть лишь подходящие
не более чем счетные наборы
$\{x_n\} \subset X$ и $\{x'_n\} \subset X^* \, ;$ поэтому, если заменить
пространства $X,Y$ соответственно на пространства $X_0,Y_0,$ где
$X_0 = \overline{span} \{x_n\}, \, Y_0=\overline{span} \{Tx_n\},$ то
величины $\pi_p (T)$ и $\pi_p (T|_{X_0})$ будут равны между собой.

   Аналогично обстоит дело с $\,p$-ядерными нормами. Для пояснения этого,
зафиксируем $\e>0$ и некоторый $\,p$-ядерный оператор $T$
(для определенности будем считать, что $\,p$ --- конечное число).

Из соотношения (1.2) и определения нормы $\,\nu_p\,$ вытекает, что
найдутся такие счетные множества $\{x'_n\}^{\infty}_{n=1}\,\subset X^*\,$ и
$\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\, \subset Y,$  что оператор $T$ может быть
представлен в виде (1.2) \rm с элементами $\{x'_n\}\,$ и $\{y_n\}\,$ и
$\,\inf a\,$  (см. (1.3)) может быть вычислен с точностью до $\e$ на этих
семействах.

Пусть $\{c_n\}_{n=1}^\infty$ --- такая положительная числовая
последовательность, что  $\, c_n \to 0\,$ и
$\sum c_n^{-p}\, ||x'_n||^p \le (1+\e)^p\sum ||x'_n||^p.$
Обозначим через $B$ сильно замкнутую абсолютно выпуклую оболочку в
пространстве $X^*$ множества $\left\{\tilde x'_n \right\}$
где $\ \tilde x'_n:=c_n||x'_n||^{-1}\,x'_n$ для $n=1,2,\dotso$\
(по выбору числовой последовательности $\{c_n\}$, это сильно компактное
подмножество в $X^*$; см., например, [ШЕФЕР], стр.88), и пусть $X^*_B$ ---
банахово пространство с единичным шаром $B$, естественным образом
ассоциированное с парой $\,(X^*,B).$
Как хорошо известно (см.,например,[ШЕФЕР], стр.150, упр.3), это пространство
сопряжено к некоторому сепарабельному (в силу компактности $B$)
банахову пространству $X_0$, причем оператор тождественного вложения
$X^*_B \to X^*$ является сопряженным  к каноническому отображению $\varPhi$
из $X$ в $X_0$. Если обозначить еще через $Y_0$ подпространство в $Y$,
порожденное семейством $\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\,$, то, очевидно, наш
оператор $T$ допускает факторизацию $T=jT_0\Phi,$ где $j: Y_0\to Y$ ---
тождественное вложение, а $T_0: X_0 \to Y_0$ --- оператор, индуцированный
отображением $T$, т.е. $T_0 (x_0)=  \sum c_k^{-1}||x'_k||
\left<x_0,\tilde x'_k,\right>\,y_k \quad$   для $x_0\in X_0$.

Нетрудно видеть, что, по выбору последовательности $\{c_n\}$, оператор $T_0$
является $\,p$-ядерным и, более того,
$\nu_p(T)\le \nu_p (T_0)\le (1+\e)\,(\nu_p(T)+\e).$

В силу произвольности числа $\, \e$, для оценок $ \nu_p$-нормы $ T$
достаточно оценить (сверху или снизу) $ \nu_p$-норму оператора $ T_0,$
то есть и в случае $ p$-ядерного оператора можно рассматривать $ T$ как
оператор, действующий в сепарабельных банаховых пространствах.

Конечно, аналогичные замечания можно сделать и для случаев, когда мы
интересуемся равномерными оценками $\pi_p$- или $\nu_p$-норм не более
чем счетного числа операторов в банаховых пространствах.
\endremark
\small

%%%%%%%%  Опр. тенз. (квазиядер..)    ########################
Наконец, через $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$ мы обозначаем
замыкание множества конечномерных операторов (или подпространства
$Y^*\otimes X$) в пространстве $\operatorname{\Pi}\!{_p} (Y,X).$
Отметим, что сопряженное к $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$
пространство совпадает с $\operatorname{I}\!{_p'}\left(X,Y^{**} \right),$
причем двойственность определяется стандартным образом при помощи
следа суперпозиции соответствующих операторов.
\small

Другие факты из теории операторных идеалов, используемые нами без всяких
ссылок, можно найти в цитированной выше литературе.

%%%%%%%%%%   Опред. апрокс. свойств
Пусть $\,C\ge 1,\,p\in[1,+\infty].$ \, Говорят, что банахово пространство
$\,Y\,$ {\it обладает свойством $\,\operatorname{AP}\!{_p}\,$
аппроксимации порядка} $\,p\,$ (коротко --- $\,Y\in\operatorname{AP}\!{_p}$),
если для любого банахова пространства $\,X\,$ каноническое отображение
$\,X^*\widehat \otimes _p \,Y \,\to \,\operatorname{L}\left(X,Y \right)\ $
\, взаимно однозначно (и, следовательно, $X^*\widehat \otimes _p \,Y =
\operatorname{ N}\!{_p}(X,Y)$). Пространство $\,Y\,$ {\it обладает
свойством} $C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$, $\,Y\in $
$C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$, если для любого $\,X\,$ естественное
отображение $\,X^*\widehat \otimes _p \,Y \,\to \,
\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}
\left(X,Y \right)\ $ есть $C$-изометрическое вложение (в данном случае это
означает, что существует непрерывное обратное с нормой не больше $\,C$.
Наконец, $\,Y\,$ {\it имеет свойство} $\,\operatorname{BAP}\!{_p}\,$
(соответственно, {\it свойство} $\,\operatorname{MAP}\!{_p}\,$), если оно
обладает свойством $\,C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$  для некоторого
числа $\,C\ge 1\,$ (соответственно, свойством
$\,1$-$\operatorname{MAP}\!{_p}$).

Если $\,p=1,\,$ то мы используем общепринятые в этом случае аббревиатуры
$\operatorname{AP},\,$ $C$-$\operatorname{MAP},\,$
$\operatorname{BAP},\,$
$\operatorname{MAP}.\,$

В дальнейшем без дополнительных ссылок мы будем использовать следующие
хорошо известные (и простые) факты:
\ (1) Каждое банахово пространство обладает свойством
$\operatorname{MAP}\!{_2};$
\ (2)  для всякого $\,p\in [1,+\infty]\,\ $
$\operatorname{AP}\, \Rightarrow\operatorname{AP}\!{_p}\,$;
\ (3) для всякого $\,p\in [1,+\infty]\,\ $
$\operatorname{MAP}\, \Rightarrow
\operatorname{MAP}\!{_p}\,$;
\ (4) если $\,X^*\in AP\,$, то $\,X\in AP\,$.
%%%%к 1    Предложения 1-2           %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\small

Следующее утверждение было анонсировано в [5, теорема 4.2]; равносильное
ему предложение было установлено в работе [8, леммы 7-8]. Мы дадим здесь
(в частности, для полноты изложения) непосредственное его доказательство,
основанное на определениях аппроксимационных свойств порядка $\,p,\,$
приведенных выше.

\proclaim {\bf Предложение 1.1}\it
Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует
непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда для всякого
$\,p\in (1,+\infty)\,$ из того,что $\,Y\,$ обладает свойством
$\,\operatorname{AP}\!{_p}\,$ вытекает условие
$\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$.
В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено, то условия
$\,Y\in \operatorname{AP}\!{_p}\,$ и
$\,Y\in \operatorname{MAP}\!{_p}\,$ эквивалентны между собой.
\endproclaim \rm

\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
Предположим, что $\,Y\in \operatorname{AP}\!{_p}\,$,
и рассмотрим элемент $\,z=\tilde z\in X^*\widehat\otimes_p Y=
\operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right)\,$.
Мы зафиксируем некоторое число $\,\e >0\,$ и покажем, что
$$\nu _p(z)\le \|P\|\,i^{\operatorname{Gr}}_p(z)+\e \tag1.6$$
(ясно, что из соотношения (1.6) вытекает утверждение нашей леммы).

Пусть $\,U\,$ --- такой абсолютно $\,p'$-суммирующий оператор из $\,Y\,$
в $\,X^{**}\,$, что $\,\pi(U) < 1\,$ и $\,\operatorname{trace} Uz\ge
\nu_p(z)-\e\,$. Если $\,z=\sum x'_n\otimes y_n\,$ --- какое-либо
$\,p\,$-ядерное представление оператора $\,z\,$, то последнее неравенство
означает, что $\,\operatorname{trace} Uz = \sum \left\langle
x'_n\,,Uy_n \right\rangle \ge\nu_p(z)-\e$.

Суперпозиция операторов $\,U\,$ и $\,z\,$ допускает следующую факторизацию:
$$
\CD
X         @>z>>  Y  @>A>>   Y_0  @>j>>   Y_{p'}  @>B>>   X^{**} \\
\endCD \tag {$1.7$}$$
где все операторы непрерывны, причем
$\,\|A\|\le 1,\,\|B\|\le 1,\, \pi_{p'}(j)\le 1 \,$ и
$\,Y_{p'}\,$ --- подпространство в некотором {\it рефлексивном}
пространстве $\,\operatorname{L}_{p'}(\mu)\,$. Имеем:
$$ \align
\operatorname{trace} Uz &=\sum\left\langle x'_n\,,BjAy_n \right\rangle=\\
&= \sum\left\langle B^*x'_n\,,jAy_n \right\rangle \qquad
 \foldedtext{(мы отождествляем $x'_n$ с
 элементами из $X^{***}$~)}         \\
&= \operatorname{trace} jA\circ w,
\endalign $$
где $\,w=z\circ B,\,$ а точнее, $\,w=\sum B^*x'_n\otimes y_n\,\in
Y^*_{p'}\widehat \otimes _p \,Y\,$.

Так как пространство $\,Y_{p'}\,$ рефлексивно, то
$\,\operatorname{I}\!{_p}\left(Y_{p'},Y \right)
=\operatorname{N}\!{_p}\left(Y_{p'},Y  \right)\,
$ (вместе с равенством норм; см., например, [9]. Поэтому
$$\multline
\nu_p(z)-\e\,\le\,\operatorname{trace}\, Uz\,=\, \operatorname{trace}
\,iA\circ w\,
\le \,\nu_p(w)\, \pi_{p'}(jA)\,\le \\  \le
\, i_p(w)\,=\, i_p(P\pi w)\,\le \,\|B\|\,\|P\|\,
i^{\operatorname{Gr}}_p(z)\,\le
\,\|P\|\,i^{\operatorname{Gr}}_p(z),
\endmultline \tag1.8$$
что и дает нам неравенство (1.6).
 $  \Q $ \enddemo \rm

\remark {\bf Замечание 1.3} \rm
Насколько нам известно, вопрос о том, справедливо ли утверждение леммы
в случае $\,p=1\,$, по-прежнему открыт (см. также замечание в самом конце
работы [5]). Основная теорема в этом случае, по-существу, принадлежит
А.Гротендику (см. [3], [10, стр. 246-247]):
если сопряженное пространство обладает свойством Радона-Никодима
и удовлетворяет условию аппроксимации, то оно удовлетворяет и условию
метрической аппроксимации (некоторое ее обобщение можно найти, например,
в работе [11]).
Неясно также, что будет в случае $\,p=+\infty\,$. Мы можем здесь получить
лишь такой аналог упомянутой теоремы А.Гротендика:
\endremark

\med

\proclaim {\bf Предложение 1.2 }\it
Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует
непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда если  $\,Y^*\,$
обладает свойством Радона-Никодима и $\,Y\,$удовлетворяет условию
$\,\operatorname{AP}\!{_\infty}\,$, то
$\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}\!{_\infty}\,$.
В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено, то условия
$\,Y\in \operatorname{AP}\!{_\infty}\,$ и
$\,Y\in \operatorname{MAP}\!{_\infty}\,$ эквивалентны между собой.
\endproclaim \rm

\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
В проведенном выше доказательстве предложения 1.1 теперь $ p'=1,$
$\,Y_{p'}=Y_1\,$ ---
подпространство некоторого пространства $\,L^1(\mu)\,$, что и мешает
дальнейшему проведению аналогичных рассуждений. Но однако, выручает
предположение о наличии в $\,Y^*\,$ свойства Радона-Никодима.

Действительно, из [11] (см. также [12, теорема 1.1]
вытекает, в частности, что оператор $\,U,$
обязательно будет квази-$1$-ядерным, и, следовательно, можно считать, что
оператор $\,B\,$ в факторизации (1.7) компактен (см., например, [1,
19.2.6, стр.311, Предложение]; к сожалению там несколько громоздкие
обозначения).

Поэтому для любого положительного $ \e$ суперпозиция операторов $ U$ и $ z$
допускает факторизацию следующего вида:
\font\arr=cmsy10 scaled 1200 %математические символы увеличенные
\def\dwnn{\arr\char"26}   %стрелка \ вниз увеличенная
\def\upp{\arr\char"25}    %стрелка \ вверх увеличенная
$$
 \gather
X         @>\ \, z\ \,>>
Y  @>\ A\ >>   Y_0  @>\ \,j\ \,>>   Y_1  @>\ B\ >>   X^{**} \\
 \text{\dwnn} \!  \overset {z_1}\to{ }
 \text{\upp} \! \overset {z_2}\to{ }
 \hphantom{\searrow \!  \overset {z_1}\to{ } \,   \nearrow \! \overset
   {z_2}\to{ }}  \  \qquad
    \qquad    \qquad
    \tag1.9  \\
        l^\infty    \qquad\qquad\qquad\qquad \ \qquad
     \endgather
$$
где $ B$ --- компактный оператор, а $ z_1,z_2$ --- такие непрерывные операторы,
что $ || z_1||\le1,\,$ $ i_{\infty}(z_2)$ $ \le i_{\infty}(z)+\e$
(по поводу левой факторизации в диаграмме см. [1, 19.3.9, стр.314]).
Но тогда оператор $ z_1\circ B$ (напомним, что образ $ z_1^{**}\,(X^{**})$
содержится в $ l^{\infty}$ в силу компактности оператора $ z_1$)
аппроксимируется конечномерными по обычной операторной норме и,
следовательно, для суперпозиции $ w=z\circ B$ $=$ $z_2(z_1\circ B)$
имеют место неравенства $ \nu_{\infty}(w)$
$\le\, i_{\infty}(z_2)\,
|| z_1\circ B||$ $ \le i_{\infty}(z)+\e.$
Поэтому в неравенстве $(1.8)$ при $ p=+\infty$ получаем окончательно:
$\nu_{\infty}(z)-
\e$ $\le \,|| P||\left(i_{\infty}^{\operatorname{Gr}}(z)
+\e \right)$
(можно было также при оценке нормы $ \nu_{\infty}(w)$ использовать
[1, 19.1.9, лемма 1, стр. 304]).
$  \Q $ \enddemo \rm

\remark {\bf Замечание 1.4} \rm
 Для любого $ p\in [1,+\infty], p\neq2,$ существуют банаховы пространства
со свойством $ \operatorname{AP}\!{_p},$ не обладающие свойством
$ C-\operatorname{MAP}\!{_p}$ ни при каком $ C\ge 1$ [13],[4].
\endremark

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Предложение 1.3        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\proclaim {\bf Предложение 1.3}\it
Пусть $ X$ и $ Y$ --- такие банаховы пространства, что либо $ X^*,$ либо
$ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации Гротендика, и пусть
$ p\in [1,+\infty]$  и %%%%%%%% p=\infty просмотреть!!!
$ T\in \operatorname{ L}(X,Y).$ Если $ T\in \operatorname{N}_p(X,Y^{**}),$
то $ T\in \operatorname{ N}_p(X,Y).$
\endproclaim\rm
{\it Доказательство} проводится по аналогии с доказательствами теорем
2 из [14] и [3, глава 1, стр. 36], и мы не будем останавливаться на нем
сейчас. $\quad\blacksquare$

\remark {\bf Замечание 1.5} На самом деле, аппроксимационные условия,
накладываемые в пре\-дложении 1.3 на пространства $ X^*$ или $ Y^{***},$
можно ослабить.
Чтобы сформулировать это более сильное утверждение, нам пришлось бы
ввести еще несколько определений аппроксимационных свойств банаховых
пространств, что, в силу ограниченности объема статьи, мы в данной заметке
делать не будем.
\endremark\medpagebreak

\proclaim {\bf Следствие 1.1}\it
Пусть $ p\in[1, +\infty),$ и пусть $ X, Y$ --- такие банаховы пространства,
что $ X^*$ обладает свойством Радона --Никодима и одно из пространств
$ X^*$ или $ Y^{***}$ удовлетворяет условию аппроксимации Гротендика.
Тогда $ \operatorname{ I}_p(X,Y)= \operatorname{ I}_p^{\Gr}(X,Y)=
\operatorname{ N}_p(X,Y).$ Более общо, если $U: Z\to X$ такой оператор
из некоторого банахова пространства $ Z$ в $ X,$ что $ U^*$ является
оператором Радона--Никодима {\rm (см. [11])}, и либо
$ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо $ Y^{***}\in \operatorname{ AP},$
то для любых $ p\in[1, +\infty)$ и $ T\in \operatorname{ I}_p^{\Gr}(X,Y)$
имеет место включение $ TU\in \operatorname{ N}_p(X,Y).$
$\quad\blacksquare$\endproclaim\rm

\remark {\bf Замечание 1.6} Аппроксимационные условия, накладываемые
на рассматриваемые в последних двух утверждениях пространства
существенны и не могут быть заменены на аналогичные условия для
пространств $ X,$ либо $ Y^{**}$ (см. ниже \S4).
\endremark\medpagebreak

% 2        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\med\med

\heading{ S2. Непрерывность $\pi_p$- \, и $\nu_p$-норм}
\endheading
\vskip10pt

\proclaim {\bf Лемма 2.1 }\it
Если $X, \, Y$ --- банаховы пространства, $T$ --- конечномерный
оператор из $X $ в $Y, $ и $1\le r\le +\infty,$ то
$ \lim_{s \to r} \, \pi_s\,(T)=\pi_r(T).$
\endproclaim \rm

\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
Пусть $\e >0.$ Рассмотрим сначала случай, когда $1\le r<+\infty.$

Так как $T$ --- конечномерный квази-$r$-ядерный оператор, то найдется
такой конечный набор $\{x'_n\}^M_{n=1},$  элементов пространства
$X^*,$ что
$$   \left( \sum_{n=1}^M \|x'_n\|^r\right)^{1/r} \le 1, \tag2.1$$
и для любого $x\in X$
$$  \|Tx\| \le (1+\e)\, \pi_r\,(T)\,\left(\sum_{n=1}^M \,
|<x,\, x'_n>|^r\right)^{1/r}. \tag2.2 $$
\par Если $1\le s<r,$ то
$$  \|Tx\| \le (1+\e)\, M^{1/s-1/r}\,
\pi_r\,(T)\,\left(\sum_{n=1}^M \, |<x,\, x'_n>|^s\right)^{1/s},
\quad \forall x\in X; \tag2.3 $$
так что, вместе с (2.3), \, (2.1)
влечет соотношение $ \pi _s\, (T) \le M^{1/s-1/r}\, \pi_r \, (T)\, ,$
\, если  $1\le s\le r.$

Если же  $1\le r\le s,$ то
$$\,\left(\sum_{n=1}^M \, |<x,\, x'_n>|^r\right)^{1/r}\, \le \,
\,M^{1/r-1/s}\, \left(\sum_{n=1}^M \, |<x,\,x'_n>|^s\right)^{1/s}
$$
откуда, используя (2.1) и (2.2), получаем
$$  \|Tx\| \le (1+\e)\, M^{1/r-1/s}\, \pi_r\,(T)\,\left(\sum_{n=1}^M
\, |<x,\, x'_n>|^s\right)^{1/s}  $$
и $ \pi _r\, (T) \le M^{1/r-1/s}\, \pi_s \, (T)\, .$

Таким образом, для всякого $s\in [1,\, +\infty)$
$$M^{-|1/r-1/s|}\, \pi_s \, (T)\, \le \pi _r\, (T) \le
M^{|1/r-1/s|}\, \pi_s \, (T)\, . $$

   В случае, когда $r=+\infty,$ \, $\pi _r\, (T) = \|T\| \le \,\pi _s\, (T)$
для любого $s>0.$ Если $\{x'_n\}^M_{n=1}$ --- такой конечный набор элементов
единичного шара пространства $X^*,$ что для каждого $x\in X\, $  \quad
$\|Tx\| \le (1+\e )\, \|T\|\, \sup_n |<x,\, x'_n>|,$
то
$$\|Tx\| \le (1+\e )\, \|T\|\, \left(\sum_{n=1}^M\, |<x,\,
x'_n>|^s\right)^{1/s}$$
для $x\in X,$ причем $\left(\sum_{n=1}^M\, \|x'_n\|^s\right)^{1/s}
\le M^{1/s}.$ Поэтому
$\pi _{\infty}\, (T) \ge M^{-1/s}\, \pi _s (T). \qed$
\enddemo \rm
%######к 2###############
\proclaim {\bf Лемма 2.2 }\it Пусть $X,Y $ --- банаховы пространства,
 $r\in [1,+\infty) $ и $T\in \Pi_s(X,Y)$ для всех $ s, s>r.$
 Тогда $ \lim_{s \to r\ssize +0} \, \pi_s\,(T)=\pi_r(T).$ В частности, если
 все нормы $\pi_s\,(T)$ при $s>r$ ограничены одной константой $C>0,$
 то $T\in \Pi_r(X,Y)$ и $\pi_r(T) \le C.$
\endproclaim \rm

\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
Как уже отмечалось выше, при доказательстве нашей леммы мы можем
считать, что пространства $X$ и $Y$ сепарабельны (надо применить
замечание 1.2 к не более чем счетному семейству
$\{ \pi_{s_n}\,(T)\} \bigcup \{ \pi_r(T)\} ,$ где $\{s_n\}_{n=1}^\infty \,$
--- произвольная фиксированная последовательность, сходящаяся к $r$ справа).
Как хорошо известно, всякое сепарабельное банахово пространство (в
частности, $Y$ ) изометрически вкладывается в некоторое сепарабельное
пространство $\operatorname{C}\, (K)$, даже в пространство $\operatorname{C}\, [0,1]$ (теорема
Банаха-Мазура; см., например, [15], СТР.172).
Поэтому, в силу инъективности идеалов $\Pi_p,$ можно предполагать, что
в качестве пространства $Y$  рассматривается пространство  $\operatorname{C}\, [0,1].$
Пусть $\{P_k\}_{k=1}^\infty$ --- последовательность проекторов единичной
нормы в $\operatorname{C}\, [0,1],$ сходящаяся поточечно к тождественному оператору
(можно взять семейство проекторов в $\operatorname{C}\, [0,1],$ порожденное
каким-нибудь стандартным базисом Шаудера, например, системой
Фабера-Шаудера [16, стр.217]). Положим $R_k=P_k\,T,$ и пусть
$\pi = \lim_{s \to r\ssize +} \, \pi_s\,(T)$  (напомним, что $\pi_s\,(T)$
как функция аргумента $s$ убывает на $(r,r+\e),$ каково бы ни было $\e>0$).
Мы можем, очевидно, считать, что $\pi <+\infty$ (см. ниже замечание 2.2).
Так как для любых $k=1,2,\dots$ и $s>r$ \ $\pi_s\,(R_k)\le \pi_s\,(T)\le
\pi, $ то, с одной стороны, по лемме 2.1,  $\pi_p\,(R_k)=
\lim_{s \to r\ssize +} \, \pi_s\,(R_k)$ и, следовательно,
$\pi_p\,(R_k)\le \pi,$  а с другой стороны, поскольку последовательность
$\{R_k\}$ сходится поточечно к оператору $T,$ \ $\pi_p\,(T)\le
\sup_k \pi_p\,(R_k)$ (см., например, [12, лемма 3.1]).
Таким образом, окончательно
получаем, что $\pi = \lim_{s \to r\ssize +} \, \pi_s\,(T) \le  \, \pi_r\,(T)
\le \sup_k \pi_p\,(R_k) \le \pi.$ $ \Q $ \enddemo \rm

\remark {\bf Замечание 2.2} \rm
Если при каком-то $ s>r$ \ $\pi_s\,(T)=+\infty,$  то тем более
$\pi_r\,(T)=+\infty,$ и заключение леммы становится тривиальным.
Заключение леммы также тривиально в случае, когда все  $\pi_s\,(T), s>r,$
конечны, но $ \lim_{s \to r\ssize +} \, \pi_s\,(T)=+\infty,$ так как
тогда  $ \pi_s\,(T)\le \pi_r\,(T).$
 \endremark

%#######к 2########
\proclaim {\bf Лемма 2.3 }\it
Если $X,Y $ --- банаховы пространства, $p\in (1,+\infty] $ и $T$ ---
$q$-ядерный оператор из $X$ в $Y$ для некоторого $q\in [1,+\infty),
\, q<p,$ то $ \lim_{q \to p\ssize -0} \, \nu_q\,(T)=\nu_p\,(T).$
                                   \endproclaim \rm
\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
Ниже мы будем рассматривать только те показатели $q,$ которые меньше, чем
$p,$ и для которых оператор $T$ является $q$-ядерным. В этих случаях всегда
будет выполняться неравенство $\nu_p\, (T)\le \nu_q\, (T).$

Так как функция $\nu_q\, (T)$ убывает на любом достаточно малом интервале
$(p-\e,p,)\,\e>0,$ то существует конечный предел
     $ \lim_{q \to p\ssize -} \, \nu_q\,(T),$ который не меньше, чем
$\nu_p\,(T).$ Ясно, что случай нулевого оператора $T$ можно отбросить и
считать для простоты, что указанный предел равен 1.

Пусть $q_1$ таково, что при всех \, $q\in (q_1,p)$ \quad
$\nu_q (T)>1-\e$. Сопряженное пространство                            %  √
$\operatorname{G}\!{_q}$ к пространству                            %описать
$\operatorname{N}\!{_q}\left(X,Y \right)$ есть
некоторое подпространство в пространстве
$\operatorname{\Pi}\!{_{q\prime}}\left(Y,X^{**} \right)$; поэтому для
всякого $q\in (q_1,p)$ найдется такой  абсолютно $q'$-суммирую\-щий оператор
$U_q$, что $\pi_{q'}\left(U_q \right)\le1$ и
$\operatorname{trace}\,U_qT>1-\e.$

Для каждого $q\in (q_1,p)$ семейство $\left\{U_s \right\}_{s\ge q}$
лежит в единичном шаре пространства $\operatorname{G}\!{_q}$ (и с ростом
показателя $q$ уменьшается). Рассмотрим ${\,}^*$-слабое замыкание
$A_q= {\overline{\left\{U_s \right\}}}_{s\ge q}^{\,*}$
этого семейства в $\operatorname{G}\!{_q}$  (или, что то же самое,
в пространстве $\operatorname{\Pi}\!{_{q\prime}}\left(Y,X^{**} \right)$).
Если фиксировать показатель $q\in (q_1,p)$, то для любых $s',s''\in (q,p),
\,s'<s''$ \quad $A_{s''}\subset A_{s'}\subset A_q$, причем эти семейства
являются ${\,}^*$-слабо компактными подмножествами ${\,}^*$-слабо
компактного единичного шара пространства  $\operatorname{G}\!{_q}$,
лежащего в $\operatorname{\Pi}\!{_{q\prime}}\left(Y,X^{**} \right)$.
Поэтому множество
$\widetilde A_q := \bigcap_{p\le s\le q}A_s$ не пусто, а так как
множества $A_{s}$ убывают с приближением $s$ к $p$, то
$\widetilde A_q$ не зависит от $q$, что позволяет нам обозначить
$\widetilde A_q$ просто через $\widetilde A$. Непустое множество
$\widetilde A$  лежит в единичных шарах всех пространств
$\operatorname{G}{_q}$ при  $q\in (q_1,p)$. Поэтому, если рассмотреть
какую-либо его предельную точку $U$, то $U$ будет также и предельной точкой
любого  семейства $\left\{U_s \right\}_{s\ge q}\ $ $\,q\in (q_1,p) $ с
$\pi_{q'}$-нормой $\,\pi_{q'} (U)\le 1$. Следовательно, с одной стороны,
$\operatorname{trace}\,UT\ge 1-\e$, а с другой стороны,
по лемме 2.2, $\,\pi_{p'}(U)\le 1.$

Резюмируя все сказанное, мы получаем:
$$1-\e \le \operatorname{trace}\,UT \le \nu_p (T)\pi_{p'}(U)
\le \nu_p(T) \le 1.$$
В силу произвольности положительного числа $\e$, \ $\nu_p(T)=1$ и, таким
образом  $\nu_p(T)=  \lim_{q \to p\ssize -} \, \nu_q\,(T) \Q$
\enddemo \rm

\remark {\bf Замечание 2.3} \rm
Предположение о $\ q$-ядерности оператора $T$ при некотором показателе,
меньшем $p,$ существенно. Диагональный оператор $\ \Delta: l^{\infty}
\to l^p,\ \,p>1,\ $ с диагональю из $\ \,l^{p}\setminus \cup_{q<p}l^q \ \,$
является $\ p$-ядерным, но не будет $\ q$-ядерным ни при каком $\,q<p\,$ (это
совсем просто; см. [1], стр. 290, 18.2.4).  \endremark
%%%%%%%%%к 2%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\proclaim {\bf Лемма 2.4 }\it
Если $p\in (0,+\infty]$ и $T\in \operatorname{\Pi}\!{_{p-\delta}}
\left(X,Y \right)$ для некоторого $\delta >0$, то
$$\lim_{q\to p-0} \pi_q\left(T \right) = \pi_p\left(T \right).$$
\endproclaim \rm
\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
Пусть $q_0<p$ таково, что $T\in \operatorname{\Pi}\!{_{q_0}}
\left(X,Y \right)$. Зафиксируем $\e>0$ и рассмотрим конечномерное
подпространство $E$ в $X$, для которого
$$\pi_{q_0}\left(T \right)\le \pi_{q_0}\left(T\mid _E \right)+\e
\text{\quad и \quad}
\pi_{p}\left(T \right)\le \pi_{p}\left(T\mid _E \right)+\e $$
(это возможно по определению абсолютно $r$-суммирующих операторов и
норм $\pi_r$).
По лемме 2.1 найдется такой показатель $q_1\in (q_0,p)$, что при всех
$q\in (q_1,p)$ \quad \ $|\pi_p\left(T\mid _E \right)-
\pi_q\left(T\mid _E \right)|<\e$,
откуда получаем (при $q\in (q_1,p)$ ):
$$\align
 |\pi_p\left(T \right)-\pi_q\left(T\right)| &\le
 |\pi_p\left(T \right)-\pi_p\left(T\mid_E\right)| + \\
 +&|\pi_p\left(T\mid_E \right)-\pi_q\left(T\mid_E\right)| +
 |\pi_q\left(T\mid_E \right)-\pi_q\left(T\right)| \le 3\e. \Q
\endalign
$$
 \enddemo \rm

\remark {\bf Замечание 2.4} \rm
Предположение о принадлежности оператора $T$ классу
$\operatorname{\Pi}\!{_q}$ при некотором показателе $q$,
меньшем $p,$ существенно. Оператор тождественного вложения
$\operatorname{C}[0,1] \to \operatorname{L}\!{^p}[0,1]$
является абсолютно $\ p$-суммирующим, но не будет абсолютно
$\ q$-суммирующим
ни при каком $\,q<p\,$ (см. [1], стр. 270, 17.3.9).  \endremark
%%%%%%%%%%к 2%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\proclaim {\bf Лемма 2.5 }\it
Пусть $\,C\ge1,\,1\le p<+\infty$, \, $X,Y$ --- банаховы пространства и
$T$ --- оператор из
$X$ в $Y$, для которого выполняется следующее условие:
$$\nu_p (T)\le C\sup \left\{\operatorname{trace}UT: U\in Y^*\otimes
\,X^{**},\, \pi_{p'}(U)\le 1 \right\}\tag2.4$$
(оба выражения в $\,(2.4),$ могут принимать и бесконечные значения).
Тогда
$$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)\ge C^{-1}\nu_p\,(T).
$$
В частности, если $C=1$, (т.е. если норма  $\nu_p (T)$ равна
{\it supremum'}у из соотношения $\,(2.4)$), то
$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)= \nu_p\,(T).$
\endproclaim \rm

\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
Рассмотрим сначала случай, когда $\nu_p(T)=+\infty$. Если мы зафиксируем
произвольную положительную постоянную $a$, то, в силу соотношения
$\,(2.4)$, найдется такой конечномерный оператор $U:Y\to X^{**}$, что
$\operatorname{trace}UT>a\, $ и $\,\pi_{p'}(U)\le 1$.
Если $M$ --- натуральное число из доказательства леммы 2.1 (в котором
вместо $ T$ рассматривается оператор $ U$),
то при $q>p$ имеет место неравенство \
$\,\pi_{q'}(U)\le M^{1/p-1/q}\pi_{p'}(U)\le M^{1/p-1/q}$ (см. доказательство
леммы 2.1). Поэтому для $q$, достаточно близких к $p$ (например, таких,
что $M^{1/p-1/q}<2$), \ $a< \operatorname{trace}UT\le \pi_{q'}(U)\,
\nu_q(T)\le M^{1/p-1/q}<2\nu_q(T)$, т.е. $\nu_q(T)>a/2$.
Поскольку число $a$ бралось произвольным,
$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)= +\infty$.

Предположим теперь, что $\,\nu_p(T)<+\infty$, и пусть $\nu:=
\lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)$.
Если имеет место место строгое неравенство $\nu< C^{-1}\nu_p\,(T),$
то, выбирая достаточно малое
положительное число $\e$, мы можем найти такой конечномерный оператор
$U:Y\to X^{**}$, что  $\,\pi_{p'}(U)\le 1$ и
$\,\operatorname{trace}UT>C^{-1}\nu_p(T)>\nu+\e$. В этом случае,
$\,\nu+\e <\operatorname{trace}UT \le
\lim_{q \to p\ssize +0} \,\left(\nu_q\,(T)\,\pi_{q'}(U) \right) \le
\nu  \lim_{q \to p\ssize +0} \,\pi_{q'}(U)$.
Используя лемму 2.1, получаем:
$\ \nu+\e< \nu$. Это противоречие показывает, что
$\nu\ge C^{-1}\nu_p\,(T).$
$  \Q $ \enddemo \rm

%%%%%%%%%%%%%%
\proclaim {\bf Лемма 2.6 }\it Пусть $X,Y $ --- банаховы пространства,
 $p\in [1,+\infty) $ и $T\in \operatorname{ I}_q^{ \operatorname{ Gr}}
(X,Y)$ для всех $ q, q>p.$  Тогда
$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)=
  i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T).$
В частности, если все нормы $i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)$ при $q>p$
ограничены одной константой $C>0,$  то
$T\in \operatorname{ I}_p^{ \operatorname{ Gr}}(X,Y)$
и $i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T) \le C.$
\endproclaim \rm
\demo{\it Доказательство} Заметим, что так как величина
$i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)$ возрастает при $ q\searrow p,$
то существует предел
$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)=
  i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T),$ который не больше, чем
$i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T)$ (последняя величина может быть и
бесконечной). Без ограничения общности, мы можем считать, что этот
предел равен единице (относительно случая, когда он бесконечен, см.
ниже замечание 2.5). Мы предположим, что $ 1<i_p^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)
\le{+\infty},$ и придем к противоречию.
Таким образом, сейчас при любом $ q>p$
$$ \|T\|\le i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)\le1=
     \lim_{q \to p\ssize +0} \, i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)<
       i_p^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)\le{+\infty}.
$$
Удобно иметь перед глазами следующие диаграммы (как обычно, мы
отождествляем $ Y$ с подпространством его второго сопряженного):
$$
   \alignat 3
T\in & \operatorname{I}_{p}(X,Y^{**})&\hookrightarrow
    &\operatorname{ I}_{q}(X,Y^{**})&\hookrightarrow
               &\operatorname{ L}(X,Y^{**})\\
  { }  &\phantom{*} Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X &\hookleftarrow
        &\phantom{*}  Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{q'}X &\hookleftarrow
	       &\phantom{*}   Y^*{\widehat \otimes}_1 X\ni z
   \endalignat
$$
Здесь верхняя строчка описывает ситуацию, в которой мы находимся, причем
пространства операторов, появляющиеся в ней, являются сопряженными
пространства\-ми к тензорным произведениям, которые составляют нижнюю
диаграмму; ядерный тензор $ z$ будет выбран ниже.

Так как замкнутый единичный шар $ B_p$ пространства
$ \operatorname{ I_p}(X,Y^{**})$ \, $ {}^*$-слабо замкнут
в пространстве $ \operatorname{ L}(X,Y^{**}),$ то, по теореме Хана--Банаха,
существует (ядерный) тензорный элемент $ z\in Y^*{\widehat \otimes}_1 X,$
для которого
$$ | \operatorname{ trace}\,Tz| >
 \sup_{\underset{\ssize U\in B_p} \to{ U\in \operatorname{ L}(X,Y^{**})}}\,
       =\pi_{p'}(z).
$$
По лемме 2.4, $ \pi_{q'}\to \pi_{p'}$ при $ q'\to p'-0$ (а это как раз наша
ситуация). Пусть $ \e>0.$ Для всех $ q',$ не превосходящих $ p'$ и
достаточно близких к $ p',$ мы будем иметь:
$$ | \operatorname{ trace}\,Tz| >\pi_{p'}(z)\ge \pi_{q'}(z)-\e.
$$
Так как $ i_q^{\Gr}(T)\le1,$ то
$$ \pi_{q'}(z)= \sup_{\underset{\ssize i_q(V)=1}
       \to{ V\in \operatorname{ I}_q(X,Y^{**})}}\,
	  | \operatorname{ trace}\,Vz|\ge
	    \big|  \operatorname{ trace}\,
              \frac {Tz}{i_q^{\operatorname{ Gr}}(T)} \big|
	> | \operatorname{ trace}\,Tz|>  \pi_{p'}(z) \ge \pi_{q'}(z)-\e.
$$
В силу произвольности числа $ \e>0,$ мы приходим к противоречию.
$\quad\blacksquare$\enddemo

\remark {\bf Замечание 2.5} \rm
Если $i^{\operatorname{Gr}}_q\,(T)=+\infty$ при каком-то $ q>p,$ то тем
более $i^{\operatorname{Gr}}_p\,(T)=+\infty,$ и заключение леммы становится
тривиальным. Заключение леммы также тривиально в случае, когда все
$i^{\operatorname{Gr}}_q\,(T), q>p,$ конечны, но
$ \lim_{q \to p\ssize +} \, i^{\operatorname{Gr}}_q\,(T)=+\infty,$ так как
тогда  $ i^{\operatorname{Gr}}_q\,(T)\le i^{\operatorname{Gr}}_p\,(T).$
 \endremark


%%%%%%%%%%%к 2%%%%
\remark {\bf Замечание 2.6} \rm
Несмотря на простоту доказательств приведенных лемм, с объектами,
появляющимися в этих доказательствах, надо обращаться чрезвычайно осторожно.
Особенно наглядно это проявляется в доказательстве леммы 2.5..
Откуда (и зачем) появляется константа $C>0$ в условии $(2.4)$ будет ясно
из дальнейшего. А вот почему мы в  $(2.4)$ мы ограничились рассмотрением
лишь конечномерных операторов $U$?

Во-первых, для того, чтобы был вполне
определен след суперпозиции $UT$ и чтобы (после этого) можно было
использовать оценки вида $"\operatorname{trace}UT \le
\nu_q\,(T)\,\pi_{q'}(U)".$ Упростить формулировку леммы 2.5 можно, наложив
некоторые аппроксимационные условия на пространства $X,Y$, что позволило бы
рассматривать и случай неконечномерных $U$ из класса
$\operatorname{\Pi}\!{_{p\prime}}.$
Однако вторая (появляющаяся теперь) проблема --- предельный переход в конце
доказательства леммы 2.5: лемма 2.1 уже не работает, а применение
леммы 2.4 не проходит в силу замечания 2.4 к ней.

От всех этих проблем можно избавиться очень просто: надо потребовать,
чтобы $X$ или $Y$ удовлетворяли достаточно сильным условиям {\it
ограниченной} (с этим термином, кстати, и связано появление константы
$C>0$) аппроксимации (см. ниже, например, пример 3.1 и следствия 3.1, 3.2).
 \endremark %

%%%%%%%%%%%%  3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\med\med

\heading{ \S3 Некоторые следствия}
\endheading
\vskip10pt

Приведем некоторые условия, накладываемые на банаховы пространства $X,Y$,
при которых имеет место соотношение $(2.4)$.
\definition {\bf Пример 3.1 }\rm
Если $C>0$  и $Y\in C$-$\operatorname{BAP}\!{_p}$, то   $(2.4)$
выполнено с константой $C$ для любого банахова пространства $X$ и любого
оператора $T\in \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right).$
                            \enddefinition
В частности, с помощью леммы 2.5 получаются такие следствия:
\proclaim {\bf Следствие 3.1}\it
Если $p\ge 1$  и $Y\in \operatorname{MAP}\!{_p}$, то для всякого
банахова пространства $X$  семейство норм $\nu_p$  на
$\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ непрерывно в точке $p$.
\roster
\runinitem "{}" Таким образом,
\item "{\phantom{vv}(i)}"
семейство норм $\nu_p$ непрерывно в точке 2;
\endroster\roster
\runinitem "{\phantom{vv}(ii)}"
если $Y\in \operatorname{MAP}$, то для всякого
банахова пространства $X$  семейство норм $\nu_p$  на
$\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ непрерывно в любой точке $p,\, p\ge 1$.
   \endroster
                                    \endproclaim \rm

\remark {\bf Замечание 3.1} \rm
Еще раз напомним, что в определении непрерывности семейства норм,
в частности, семейства $q$-ядерных норм в точке $p$, требуется, чтобы
рассматриваемые операторы $T$ имели в данной точке конечные нормы, т.е.
в нашем случае: $\nu_p(T)<+\infty $. Мы увидим ниже (теорема 4.1), что
в противном случае следствие 3.1, например, неверно (это в нашей
терминологии  означает {\it не строгую} непрерывность справа семейства
$\left\{\nu_q \right\}$). Некоторые достаточные условия для строгой
непрерывности этого семейства норм дает, вместе со следствием 3.1,
следствие 3.5 (см. ниже).
\endremark
%
\proclaim {\bf Следствие 3.2 }\it
Пусть $С\ge 1, \,p\ge 1$, \,и \, $Y$ --- банахово пространство.
Если существуют такие банахово пространство $X$ и оператор $T\in
\operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right)$,
что $$\lim_{p+0}\nu_q(T)<C^{-1}\, \nu_p(T),$$
то пространство $Y$ не обладает свойством $C$-
$\operatorname{BAP}\!{_p}$.
\endproclaim \rm

\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
Действительно, в противном случае выполняется соотношение $(2.4)$
(с постоянной $C$), в котором обе части неравенства конечны; следовательно,
применение леммы 2.5 приводит к противоречию.
$  \Q$ \enddemo \rm

\proclaim {\bf Следствие 3.3 }\it
Если $T\in \operatorname{L}\left(X,Y \right),$ но \,
$T\notin \operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right)$, то
$\ \nu_q(T)\to \nu_p(T)=+\infty$ \ при \, $q\to p+0$.
\endproclaim \rm

\demo {\it Д о к а з а т е л ь с т в о}\rm
Действительно, так как пространство
$\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y^{**} \right)$ есть сопряженное к
пространству $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$
при естественной двойственности, то норма в его подпространстве
$\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right)$ не больше, чем
соответствующий supremum в соотношении $(2.4)$. Поэтому, если
$T\notin \operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right)$, то
и последний supremum бесконечен (что, кстати автоматически влечет
соотношение
$T\notin \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right),$ т.е.
$\nu_p(T)=+\infty$.)
Следовательно, применима лемма 2.5.
$  \Q$ \enddemo \rm

Нам представляется интересным переформулировать последнее утверждение
в свя\-зи со следующим известным (решенным отрицательно в [13],[4]) вопросом:
верно ли, что из $p$-ядерности второго сопряженного к некоторому оператору
вытекает $p$-ядер\-ность самого этого оператора? Приводимая переформулировка
следствия 3.3 дает некоторые достаточные (и, тривиально, необходимые)
условия для положительного ответа на последний вопрос:

\proclaim {\bf Следствие 3.4 }\it
Если $T\in \operatorname{L}\left(X,Y \right)$,
$T\notin \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right)$ и семейство
$\left\{\nu_q(T) \right\}_{q>p}$ \, ограниче\-но, то
$T\notin \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right)$;
в частности, если
$\left\{\nu_q(T) \right\}_{q>p}$ \, ограничено, то из
$p$-ядерности оператора $T^{**}$ \, вытекает $p$-ядерность оператора
$T. \Q$
\endproclaim \rm

\remark {\bf Замечание 3.2} \rm
Еще раз подчеркнем тонкость рассматриваемых аппроксимационных условий и
связанных с ними рассуждений и утверждений на примере "предельного перехода
в следствии 3.2. В этом следствии чем хуже "$p$-ядерность" оператора
$T$
(точнее, чем больше норма $\nu_p(T)$ при равномерной ограниченности норм
$\nu_q(T),\, q>p$), тем более плохим с точки зрения условий ограниченной
аппроксимации оказывается пространство $Y$: в такой ситуации константе $C$
позволительно расти с ростом $\nu_p(T)$, и "в пределе" естественно ожидать
появления такого "следствия" (заранее, чтобы не допустить недоразумений,
отметим, что {\it формулируемое "следствие" неверно!} ).

\item {} \rm Если существует не $p$-ядерный
оператор
$T: X\to Y,$ для которого $\sup_{q>p}\,\nu_q(T)<+\infty$, то пространство
$Y$ не обладает свойством $\operatorname{BAP}\!{_p}$.
\smallskip \noindent
Тонкость здесь как раз и состоит в том, что подобный "предельный переход"
не допустим, и имеется пример пространства $Y$ с базисом (даже еще более
хорошего, --- см. ниже теорему 4.1), для которого первая часть утверждения
этого "следствия" \rm в действительности имеет место (это так
по-крайней мере для всех $p\in [1,2));$ в \S4 мы рассмотрим только
простейший случай $ p=1$).
Любопытно также отметить в связи со сказанным, что следствие 3.3
показывает, что если оператор $T$ "совсем плохой"
($T\notin \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}$), то  его $q$-ядерные
нормы ведут себя как надо, а именно, не ограничены при $q\to p$.
 \endremark

%%%%%%%%%% Следствие 3.5   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proclaim {\bf Следствие 3.5}\it
Пусть $ X$ и $ Y$ --- такие банаховы пространства, что $ X^*$ обладает
свойством Радона--Никодима и либо $ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо
$ Y^{***}\in \operatorname{ AP}.$ Пусть, далее, $T\in \operatorname{L}(X,Y)$
и $ 1\le p<+\infty.$ Если $ C:=\sup_{p<q}\,\nu_q(T)<+\infty,$ то
$ \nu_p\le C.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Достаточно применить следствие 1.1 и лемму 2.6.
$\quad\blacksquare$\enddemo
\med\med

%%%%%%%%%% \S4               %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\heading{ \S4. (Контр)пример}
\endheading
\vskip10pt

Перед тем как формулировать основной результат этого параграфа, удобно
ввести (следуя А. Гротендику) следующее

\definition {\bf Определение 4.1} Пусть $ s\in(0,1].$ Оператор $ T,$
действующий из банахова пространства $ X$ в банахово пространство $ Y,$
называется {\it $ s$-ядерным},\, если он представляется в виде
$$ Tx= \sum_{j=1}^\infty \la_j < x, x'_j> x_j,  \tag4.1
$$
где $ \|x_j\|,\,\|x'_j\|\le1$ и $ x_j,\, x'_j\to 0$ при $ j\to\infty,$
а положительная числовая последовательность $ \{ \la_j\}$ такова,
что ряд $ \sum_{j=1}^\infty \la_j^s$ сходится. Обозначения для этого класса
операторов: $ \operatorname{ N}_s(X, Y)$ (при $ s=1$ это определение
полностью согласуется с соответствующим определением из \S1.)
\enddefinition

Напомним еще раз, что каждое банахово пространство мы рассматриваем также
как подпространство его второго сопряженного (не вводя никаких обозначений
для оператора канонического вложения).

\proclaim {\bf Лемма 4.1 {\rm см. [6, теорема 3.1,А]}}\it
Если $ T\in \operatorname{ L}(X,Y)$ и $ T\in\operatorname{N}_s(X, Y^{**}),$
для некоторого $ s\in[2/3, 1],$ то $T\in\operatorname{N}_q(X, Y),$
где показатель $ q, 1\le q\le2,$ \, определяется из соотношений
$ s=\dfrac{2q}{q+2},$ или $ q=\dfrac{2s}{2-s}.$ $\quad\blacksquare$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 4.1}\it
Существуют такие банахово пространство $ Z$ и оператор $ S:Z^{**}\to Z,$
что
\roster
\item"(1)" пространство $ Z^{**}$ имеет ограниченно полный базис;
\item"(2)" все сопряженные к $ Z$ пространства $ Z^*,Z^{**}, Z^{***}, \dots$
	  сепарабельны {\rm(и, следовательно, обладают свойством $ RN$)};
\item"(3)" $ Z^{***}$ не обладает свойством аппроксимации;
\item"(4)" $ S\in N_s(Z^{**}, Z^{**})\,$ для любого $s> 2/3;$
\item"(5)" $ C:=\sup_{q>1}\,\nu_q(S)\le1,$ но
\item"(6)" $ S\notin N(Z^{**}, Z).$
\endroster
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Пусть $ X$ --- сепарабельное рефлексивное банахово пространство без
свойства аппроксимации, для которого существует ненулевой тензорный элемент
$ t\in X^*\widehat \otimes_1 X,$  допускающий представление вида
$$ t=\sum_{j=1}^\infty \la_j x'_j\otimes x_j,
$$
где $ \|x_j\|,\,\|x'_j\|\le1$ и $ x_j,\, x'_j\to 0$ при $ j\to\infty,$
а положительная числовая последовательность $ \{ \la_j\}$ такова,
что ряд $ \sum_{j=1}^\infty \la_j^s$ сходится при любом $ s>2/3;$
причем оператор $ \widetilde t,$ порождаемый тензором $ t$ по формуле,
аналогичной (4.1), равен нулю (см. [17]).
Ввиду сепарабельности и рефлексивности $ X,$ согласно [18], существует
банахово пространство $ Z$ и гомоморфизм $ \varPhi$
пространства $ Z^{**}$ на $ X$
такие, что $ Z$ удовлетворяет условиям 1)--3) и $ \operatorname{ Ker}\,\varPhi
= Z.$

Так как $ \varPhi$ --- гомоморфизм, то последовательность $ \{ x_j\}\subset X$
можно поднять до элементов пространства $ Z^{**}$ без существенного
увеличения норм, точнее, для некоторой абсолютной постоянной $ C>1$
найдутся элементы $ z''_j\in Z^{**},$\, $ j=1,2,\dots,$ для которых
$ \varPhi\,z''_j=x_j$ и $ \|z''_j\|\le C$ для всех $ j\in\Bbb N.$
Так как $ Z^{**}\in \operatorname{ MAP}$ (это пространство обладает
свойством Радона--Никодима и удовлетворяет условию аппроксимации, ---
см. замечание 1.3), то, по предложению 1.1,
$X^*\widehat \otimes_q Z^{**}= \operatorname{ N}_q(X, X^{**})$ для
любого $ q\ge1.$ Поэтому формула
$$ \al:= \sum_{j=1}^\infty \la_j x'_j\otimes z''_j
$$
однозначно определяет  как оператор $ \al,$ который является $s$-ядерным
при любом $ s>2/3,$ так и соответствующий тензорный элемент из
$X^*\widehat \otimes_q Z^{**},$ который мы обозначаем тем же символом.
Отметим, что $ \operatorname{ Im}\,\al\subset \operatorname{ Ker}\,\varPhi,$
так как при всех $ x\in X$
$$ \varPhi(\al x)= \sum_{j=1}^\infty \la_j <x'_j,x>\,\varPhi z''_j=
      \sum_{j=1}^\infty \la_j <x'_j,x>\,x_j=  0.
$$
Следовательно, $ \operatorname{ Im}\,\al\subset Z,$ и мы можем вполне
корректно определить оператор $ \beta: X\to Z, $  являющийся приведением
оператора $ \al.$ Так как, по построению, оператор $ \al$ является
$ s$-ядерным для любого $ s>2/3,$ то, по лемме 1.4,
$ \beta\in \operatorname{ N}_q(X,Z)$ для каждого $ q>1.$

Положим $S=\beta\,\varPhi. $ Тогда $ S\in\operatorname{ N}_q(Z^{**},Z)$
для каждого $ q>1$ и $ S\in\operatorname{ N}_s(Z^{**},Z^{**})$ для
любого $ s>2/3.$ Осталось установить справедливость утверждений (5) и (6).

Без ограничения общности, мы можем считать, что $ \nu_1(S:Z^{**}\to Z^{**})
=1,$ откуда  $ \nu_q(S:Z^{**}\to Z^{**}) \le 1$ при всех $ q\ge 1.$
Зафиксируем $ q>1$ и рассмотрим включения
$$ S\in\operatorname{ N}_q(Z^{**},Z)\subset
        \operatorname{ N}_q(Z^{**},Z^{**})\subset
           \operatorname{ I}_q(Z^{**},Z^{**}).  \tag 4.2
$$
Поскольку $ Z^{**}\in \operatorname{ MAP}$ и $ Z^{***}$ обладает
свойством Радона--Никодима, то оба вложения из (4.2) изометрические и,
более того, последнее включение на самом деле превращается в равенство.
Принимая это во внимание, получаем свойство (5).

Наконец, почему оператор $ S$ не является ядерным, как оператор из
$ Z^{**}$ в $ Z?$ В этом заключительном в данной заметке доказательстве
нам придется использовать обозначение для канонического вложения
банахова пространства $ W$ в его второе сопряженное, ---
$ \pi_W: W\hookrightarrow W^{**}.$

Если $ S\in \operatorname{ N}_1(Z^{**},Z),$ то
(здесь и ниже снова используем свойство метрической аппроксимации
в $ Z^{**}$)
$$ \operatorname{ trace}\,\pi_Z S= \operatorname{ trace}\,\al\varPhi=
      \sum_{j=1}^\infty \la_j <\varPhi^* x_j', z''_j > =
          \sum_{j=1}^\infty \la_j <x_j', \varPhi z''_j > =
            \sum_{j=1}^\infty \la_j <x_j', x_j > = 1.
$$
Мы воспользовались тем фактом, что
$\sum_{j=1}^\infty \la_j \varPhi^* x_j'\otimes z''_j$ --- ядерное
представление оператора $ \al\varPhi: Z^{**}\to X\to Z^{**}.$
С другой стороны, $ \operatorname{ trace}\,\pi_Z S=
\operatorname{ trace}\,\pi_Z^* S^*.$
$$
   \alignat 3
     &   Z   @>\hphantom{*}\pi_Z \hphantom{*}>>      Z^{**}
                              & @>\hphantom{*}S\hphantom{*}  >>
               &Z &     @>\hphantom{*}\pi_Z\hphantom{*}>> & Z^{**} \\
 { }  &  Z^* @<<\pi_Z^*<    Z^{***}    & @<<S^*<
        &    Z^*     &  @<<\pi_Z^*<       & Z^{***}
   \endalignat
$$
При этом, $ \operatorname{ trace}\,\pi_Z^* S^*=0,$ так как
$$ \pi_Z^* S^*=\pi_Z^* S^*\pi_Z^* \pi_{Z^*}=
   (\pi_Z S\pi_Z)^*\pi_{Z^*}= (\al\varPhi\pi_Z)^*\pi_{Z^*}=
	(\al\cdot0)^*\pi_{Z^*} $$
(напомним, что $ \operatorname{ Im}\,\pi_Z= \operatorname{ Ker}\,\varPhi$).
$\quad\blacksquare$\enddemo



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\med\small
%################ END #########################################3
\bigpagebreak

\centerline{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА}
\medpagebreak

\eightpoint

\ref \no 1 \by Пич А.\pages 536 с
 \paper Операторные идеалы
 \yr 1982\vol
 \jour     Москва: Мир
 \endref

\ref \no 2 \by Saphar P.\pages 71-100
 \paper  Produits tensoriels d'espaces de Banach et classes
d'applications lineaires
 \yr 1970\vol  38
 \jour  Studia Math.
 \endref

\ref \no3\by Grothendieck A. \pages 196-140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espases nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\endref

\ref \no 4  \by Рейнов О.И.\pages 43-47
\paper  Свойства аппроксимации порядка  p  и существование не  p-ядерных
  операторов с  p-ядерными вторыми сопряженными
\yr 1981\vol   256, 1
\jour   ДАН СССР
\endref

\ref \no 5  \by Reinov O.I.\pages   125-134
\paper   Approximation properties of order p and the existence of
  non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints
\yr 1982 \vol  109
\jour    Math. Nachr.
\endref

\ref \no 6  \by Рейнов О.И.\pages 145-165
\paper   Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов
\yr 1983\vol
\jour В кн. "Теория операторов и теория функций".  Л.:ЛГУ
\endref

  \ref \no 7\by Шеффер Х.\pages 360~с\!\,
 \paper  Топологические векторные пространства
 \yr 1971\vol
 \jour      Москва: Мир
 \endref

\ref \no 8  \by Bourgain J., Reinov O.I. \pages 19-27
\paper On the approximation properties   for the space $H^\infty$
\yr 1985\vol   122
\jour Math. Nachr.
\endref

\ref \no 9\by Persson A. and Pietsch A.\pages 19-62
\paper  p-nucleare und p-integrale Abbildungen   in Banachr\"aumen
\yr 1969\vol33
\jour Studia Math.
\endref

\ref  \no10\by Diestel J. and Uhl J.J.\pages
 \paper   Vector measures
 \yr 1977\vol   15
 \jour   Math. Survey 15,   Amer. Math. Soc., Providence RI.
 \endref

\ref \no 11  \by Рейнов О.И.\pages  528-531
\paper  Операторы типа RN в банаховых пространствах
\yr 1975\vol    220, No 3
\jour    ДАН СССР
\endref

\ref \no 12\by Макаров Б.М., Самарский В.Г.\pages   122-144
\paper  Слабая секвенциальная полнота и близкие к ней свойства некоторых
  пространств операторов
\yr 1983\vol 1
\jour в сб. "Теория операторов и теория функций", ЛГУ
\endref

\ref \no 13\by Figiel T., Johnson W.B.\pages 197-200
\paper  The approximation property does not imply  the bounded
   approximation property
\yr 1973\vol 41
\jour   Proc. Amer. Math. Soc.
\endref

\ref \no 14  \by Оя Э., Рейнов О.\pages 14-17
\paper  Контрпример А.Гротендику
\yr 1988\vol 37
\jour Известия АН Эстонской ССР. Физика -- Математика
\endref

\ref \no 15\by Люстерник Л.А., Соболев В.И.\pages 271
\paper   Краткий курс функционального анализ
\yr 1982\vol
\jour  М.: Высш. Школа
\endref

\ref \no 16\by Кашин Б.С., Саакян А.А.\pages  496
\paper Ортогональные ряды
\yr 1984 \vol
\jour   Москва: Наука
\endref

\ref \no 17\by Davie A.M. \pages  261-266
\paper  The approximation problem for Banach spaces
\yr 1973\vol 5
\jour Bull. London Math. Soc.
\endref

\ref \no 18\by Lindenstrauss J.\pages  279-284
\paper  On James' paper "Separable Conjugate Spaces"
\yr 1971\vol 9
\jour Israel J. Math.
\endref


\enddocument





198904, Санкт--Петербург,
Петродворец, Библиотечная пл., 2
Санкт--Петербургский государственный университет,
математико--механический факультет,
кафедра математического анализа.
email: orein\@orein.usr.pu.ru



%\end
%