%Author: О.И. Рейнов
%Title: АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА $ \AP s$ И $p$-ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
%            	{Случай $ 0<s\le1$}
%Filename:    ReiS_le1.tex
%TeX: AMSTeX
%Length: 44600 bytes
%Received Date:
%SubjectClass: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, trace class operators,
%nuclear operators, p-summing operators, etc.
%Abstract:

%Citation: Preprint

%Inserting TeX file starting here.

 %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex
 %%                                                               97.6.10)
 %%AmS-TeX- Version 2.1
 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%           AMSTeX
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       %Last Modified   24.06.99 16:05:20 Thu

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Сюда вставляются команды отмены логотипа "AmsTeX"
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %\Monograph
\magnification=\magstep1
\parindent=1em %%%% размер двойного тире; "9" имеет половину em
         %\vsize=7.4in   %%%% 1in = 2.54
 %\NoPageNumbers
     \baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками

  \CenteredTagsOnSplits
\NoBlackBoxes                           % ВАЖНО !!!!!!!!!!
\nopagenumbers %на этой странице не будет номера строки (до \newline)
	       % \nopagenumbers есть аббревиатура для \footline={\hfil}
$$ { }
$$
\vskip0.5in

\noindent
УДК 513.88\newline
Р е й н о в О. И.\
{\bf Аппроксимационные свойства $ \operatorname{AP_s}$ и $p$-ядерные
  операторы (случай $ 0<s\le1$)}
%--- Математические заметки
\vskip15pt

 Изучаются банаховы пространства, обладающие (или не обладающие)
аппроксимационными свойствами $ AP_s,$ $ 0<s\le 1,$ в связи со следующим
известным вопросом в геометрической теории операторов:
при каких условиях на банаховы пространства $ X$ и $ Y$ и на положительные
числа $ r,p$ для непрерывного оператора $ T$   из $ X$ в $ Y$
из $ p$-ядерности его второго сопряженного будет следовать $ r$-ядерность
самого оператора $ T.$ Приводятся, по существу, необходимые и достаточные
условия для положительного ответа на этот вопрос, причем соответствующие
контрпримеры устанавливаются в максимально сильной форме. Так, например,
показывается (и это --- значительное усиление предыдущих результатов
подобного сорта), что существует такая пара сепарабельных банаховых
пространств $ Z, W$, что пространства $ Z^{**}$ и $ W$ имеют базисы Шаудера
и для каждого $ p, 1\le p<2,\,$ найдется не $ p$-ядерный оператор из $ W$
в $ Z$ с $ p$-ядерным вторым сопряженным. Ранее в подобного рода примерах
соответствующие пространства не обладали даже свойством аппроксимации
Гротендика. Техника, развитая в работе, не позволяет разобраться со
случаем $ p>2,$ и это --- тема последующей статьи автора.\
Библиогр. 11 назв.

\newpage
\NoRunningHeads
\pageno=1  %номер текущей страницы - для следующей команды:
\footline={\hss\tenrm\folio\hss} % центрировать, шрифт, \folio есть
    %аббревиатура для
    % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi

        \topmatter
        \title {Аппроксимационные свойства $ \operatorname{\bold{AP_s}}$ и
                ${\ssize\bold p}$-ядерные операторы
                  \eightpoint 	\bf (случай $ 0<{\ssize\bold s}\le1$) }
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$}  \endauthor
\address\newline
                          \tenrm
198904, Санкт--Петербург,\newline
Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline
Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
математико--механический факультет,\newline
кафедра математического анализа.
\endaddress

\email
                          \tenrm
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\thanks
                          \tenrm
${{ }^\dag}$ Работа выполнена при  частичной поддержке  Министерства
общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36).
\endthanks

\abstract\nofrills       %%%% \nofrills уничтожает "Abstract."
                          \tenrm
 Изучаются банаховы пространства, обладающие (или не обладающие)
аппроксимационными свойствами $ AP_s,$ $ 0<s\le 1,$ в связи со следующим
известным вопросом в геометрической теории операторов:
при каких условиях на банаховы пространства $ X$ и $ Y$ и на положительные
числа $ r,p$ для непрерывного оператора $ T$   из $ X$ в $ Y$
из $ p$-ядерности его второго сопряженного будет следовать $ r$-ядерность
самого оператора $ T.$ Приводятся, по существу, необходимые и достаточные
условия для положительного ответа на этот вопрос, причем соответствующие
контрпримеры устанавливаются в максимально сильной форме. Так, например,
показывается (и это --- значительное усиление предыдущих результатов
подобного сорта), что существует такая пара сепарабельных банаховых
пространств $ Z, W$, что пространства $ Z^{**}$ и $ W$ имеют базисы Шаудера
и для каждого $ p, 1\le p<2,\,$ найдется не $ p$-ядерный оператор из $ W$
в $ Z$ с $ p$-ядерным вторым сопряженным. Ранее в подобного рода примерах
соответствующие пространства не обладали даже свойством аппроксимации
Гротендика. Техника, развитая в работе, не позволяет разобраться со
случаем $ p>2,$ и это --- тема последующей статьи автора.
\endabstract
    \endtopmatter
   %==========================================

\document
\baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками
%
  %==========================================
\footnote""{${ }^\ddag$
                          \tenrm
%AMS Subject Classification:  47B10. Hilbert--Schmidt operators,
%trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc.
Ключевые слова и фразы: $ p$-ядерные операторы, базисы,
свойства аппроксимации, тензорные произведения.}

%\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ }
%\bigpagebreak
%


\magnification=\magstep1
%\pageheight{23 true cm}
%\pagewidth{16 true cm}

 \def\a{\alpha}                         \def\ot{\otimes}
 \def\la{\lambda}                       \def\wh{\widehat}
 \def\ffi{\varphi}                      \def\wt{\widetilde}
 \define\e{\varepsilon}
\def\Q{\quad\blacksquare}
\def\A{\operatorname{AP}}
\def\AP#1{\operatornamewithlimits{AP_#1}}
\def\ap[#1#2]{\operatornamewithlimits{AP}_{#1,#2}}
\def\APD#1{\operatornamewithlimits{AP^{dual}}_#1}
\def\nr[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1,#2}\,}}
\def\NR[#1]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1}\,}}
\def\n#1{\operatornamewithlimits{N_#1}\,}
\def\nd[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1,#2}\,}
\def\ND[#1]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1}\,}
\def\nu[#1]{\operatornamewithlimits{N}^#1\,}
\def\qn#1{\operatornamewithlimits{QN}_#1\,}

\def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]}
\def\tr{\operatorname{trace}\,}

\bigskip

Мы придерживаемся стандартных обозначений геометрической теории операторов
в банаховых пространствах. Классический справочник по теории операторных
идеалов --- монография А.Пича [7]. Обозначения и терминологию, которые мы
используем, можно найти, например,  в [7], [8], [10], [11].
Для наших целей достаточно лишь напомнить, что, если $ X, Y$ ---
пара банаховых пространств и $ p>0,$ то через $ N_p(X, Y)$ обозначается
пространство всех $ p$-ядерных операторов из $ X$ в $ Y,$ а через
$ X^*\wh\ot_p Y$ --- ассоциированное с ним $ p$-проективное тензорное
произведение. И еще одно важное напоминание. Если $ J$ --- некоторый
операторный идеал, то $ J^{ \operatorname{ reg}}(X, Y)$ обозначает
пространство всех операторов $ T$ из $ X$  в $ Y,$   для которых
$ \pi_Y\,T\in J(X, Y^{**}),$ где, как обычно принято, через $ \pi_Y$
обозначается каноническое изометрическое вложение пространства $ Y$
в его второе сопряженное $ Y^{**}.$
\smallpagebreak

В этой заметке нас, в основном, будут интересовать следующие два вопроса:
\roster
\item "{1)}"
При каких условиях на банаховы пространства $\,X,Y\,$
каноническое отображение
$X^*\widehat \otimes _p \,Y\to\operatornamewithlimits{N_p}\left(X,Y \right)$
взаимно однозначно?
\item "{2)}"
При каких условиях на банаховы пространства $\,X,Y\,$ и на положительные
числа $\,s,r\,$ \
$\operatornamewithlimits{N_s^{reg}}\left(X,Y \right)\subset
\operatornamewithlimits{N_r}\left(X,Y \right)$?
\endroster
Оба эти вопроса весьма подробно изучались, например, в работах [10], [11].
Вопрос (2) рассматривался также в [2] при $r=s=1$  и в [8] при $r=s>1$.
При некоторых других значениях параметров $p,r,s$ оба эти вопроса
исследовались в работе [3]. Так, известная теорема А.Гротендика о 2/3
утверждает, что всегда $ \operatorname{ N_{2/3}^{reg}}\subset
\operatorname{ N}_1$ (несколько ниже, доказательство этого утверждения можно
будет увидеть в замечании 2)

В качестве примеров отметим еще следующие факты:
\roster
\item "{a)}"
если $X,Y$ -- произвольные банаховы пространства, то каноническое
отображение $X^*\widehat \otimes _{2/3} \,Y \to
\operatorname{L}\left(X,Y \right)$  всегда взаимно однозначно (см. [3], [9],
а также следствие $ 1'$ ниже);
\item "{b)}"
если каждое конечномерное подпространство $E$ пространства $Y\ $
 $\ C\left({\operatorname{dim}E}\right)^\alpha $-дополняемо в $ Y$
(где $0<\alpha\le 1/2$), то для $s,$ $\ 1/s=1+\alpha,$ и
для каждого банахова пространства $X$ каноническое отображение
$X^*\widehat \otimes _{s} \,Y \to\operatorname{L}\left(X,Y \right)$
взаимно однозначно (см. [10]);
\item "{c)}"
если $0<s\le1$ и $1/s=1/2+1/r,$  то
$\operatornamewithlimits{N_s^{reg}}\left(X,Y \right)\subset
\operatornamewithlimits{N_r}\left(X,Y \right)$
для любых банаховых пространств $X,Y$ (см. [3]);
\item "{d)}"
если $p\ge 1$ и $X^*\in \operatorname{AP},$ то
$\operatornamewithlimits{N_p^{reg}}\left(X,Y \right)\subset
\operatornamewithlimits{N_p}\left(X,Y \right)$
для любого банахова пространства $Y$ (см. [3] относительно случая
$p=1;$ что касается случая $p>1$, то здесь доказательство проводится по
той же схеме, что и в [3], поэтому мы не станем повторяться).
\endroster
\remark {\bf Замечание {\rm 1}}
Аналог утверждения  d) в предположении, что  $ Y^{**}\in
\operatorname{ AP}$   (вместо $ X^*$), был сформулирован в [3] для
$ p=1$ и в [5] для $ p>1.$ Ниже мы увидим, что эти последние факты неверны
(впрочем, относительно случая $ p=1$ см. работу [6]).
\endremark
%
В [10], среди прочего, показано, что утверждения \, (a)--(c) не могут быть
улучшены "в шкале пространств $ l_p.$" Ниже мы уточним утверждения
(a)--(c) для "шкалы пространств Лоренца"\footnote{
Но не в самой полной общности;
по существу, нас дополнительно будет интересовать лишь пространство
$ l_{s,\infty}$ при $ s< 1;$ но и при рассмотрении этого случая
возникают не совсем очевидные обобщения; см. например, теорему 4 ниже.},
и покажем, что полученные новые утверждения неулучшаемы и здесь.

Мы увидим также (и это, пожалуй, основное в работе), что
все "отрицательные" результаты работ [8], [10], соответствующие утверждениям
(a)--(d), имеют место в намного более сильных вариантах. Первый пример
подобного рода "усиленного" контрпримера можно найти в статье [6], где
установлено, что существует банахово пространство $ Z$ со специальными
свойствами: \phantom{vv} (i) $Z^{**}$ сепарабельно и имеет базис
(а $ Z^{***}$ без свойства аппроксимации);
\phantom{vv} (ii)
$\operatornamewithlimits{N_1^{reg}}\left(Z^{**},Z \right)\not\subset
\operatornamewithlimits{N_1}\left(Z^{**},Z \right)$.
Это --- пример, показывающий: что вторая часть утверждения А.Гротендика
[3] (гл.1, с. 86, предложение 15) неверна. Ниже мы распространим указанный
контрпример на случай показателей ядерности $ p,$ больших единицы
и меньших двойки (но, конечно, отличных от двойки; соответствующие
контрпримеры для $ p>2$ --- тема последующей статьи); см. теорему 5
и ее следствие	.

Ниже мы часто будем использовать следующие два факта,
установленные в работе [4], --- первый из них есть
в точности теорема 1 в [4], а второй --- следствие 1
там же (существование базиса в пространстве $ Z^{**}$
в лемме 2 вытекает из определения пространства $ Z$
в доказательстве этого следствия в [4]).

\proclaim {\bf Лемма 1}\it
Для всякого сепарабельного банахова пространства $ X$
существуют сепарабельное банахово пространство $ E$
и линейный гомоморфизм $ \psi: E^*\to X$ такие, что
$ E^*$ имеет базис и $ E^{**}=\psi^*(X^*)\oplus \pi_E(E).$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Лемма 2}\it
Для всякого сепарабельного банахова пространства $ Y$
существуют сепарабельное банахово пространство $ Z$
и линейный гомоморфизм $ \ffi: Z^{**}\to Y$ такие, что
$ Z^{**}$ имеет базис (и, следовательно, сепарабельно)
и ядро гомоморфизма $ \ffi$  есть $ \pi_Z(Z).$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 1}\it
Для всякого сепарабельного банахова пространства $ Y$
существуют сепарабельное банахово пространство $ Z$
такое, что $ Z^{**}$ имеет базис, $ Z^{**}/\pi_Z(Z)$
изоморфно пространству $ Y,$\ $ \pi_Z(Z)^{\perp}$ дополняемо в $ Z^{***}$
% последнее верно всегда: $ Z^{***}=Z^*\oplus \pi_Z(Z)^{\perp}$ -
% это проверяется непосредственно, но нигде не видел; ПОСМОТРЕТЬ!!!
и выполняются следующие условия:\newline
\phantom{vvv}(a)
для любого $ p\in (0,1]$\ и всякого банахова пространства
$ E$ тензорное произведение $E^*\wh\ot_p Y)$ изоморфно пространству
$E^*\wh\ot_p \(Z^{**}/\pi_Z(Z)\),$ которое, в свою очередь, изоморфно
фактор-пространству $$ N_p\(E, Z^{**}\)/\[\NR[p]\(E,\pi_Z(Z)\)
\bigcap \( N_1(E, \pi_Z(Z))\) \];$$
\phantom{vvv}(b)
для любого $ p\in (0,1]$\ и всякого банахова пространства
$ E$ пространство $ N_p(E,Y)$ изоморфно пространству
$ N_p\(E,Z^{**}/\pi_Z(Z)\),$ которое, в свою очередь, изоморфно
фактор-пространству $ N_p\(E, Z^{**}\)/\NR[p]\(E,\pi_Z(Z)\).$

При этом все изоморфизмы в утверждениях (a) и (b) "канонические",
то есть естественным образом порождаются заданным гомоморфизмом
$ Z^{**}\to Z^{**}/\pi_z(Z)\to Y$ {\rm (подробности --- в доказательстве)}.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Пусть $ Z$ --- из леммы 2. Обозначим для простоты $ Z^{**}/\pi_Z(Z)$
через $ F.$

Факторотображение $ \psi: Z^{**}\to Z^{**}/\pi_Z(Z)=F $
индуцирует естественным образом отображение
$ \Psi: N_p(E, Z^{**})\to E^*\wh\ot_p F,\,$ $ \Psi(T):= \psi\circ T.$
Так как $ p\le 1,$ то понятно, что это отображение $ \Psi$ есть
отображение "на". Посмотрим, что из себя представляет ядро этого
отображения.

Пусть $ U\in \operatorname{ Ker}\,\Psi.$ Это означает, что для любого
$ A\in \operatorname{ L}(F, E^{**})$  след $ \tr A\circ\psi\circ U$
равен нулю; или, что для любого $ B\in \operatorname{ L}(Z^{**}, E^{**}),$
такого, что $ B|_{\pi_z(Z)},$ след $ \tr B\circ U$ равен нулю.
Отсюда вытекает, что $ U(E)\subset \pi_Z(Z)$  (в противном случае,
найдется такой одномерный оператор
$ R\in \operatorname{ L}(Z^{**}, E^{**}),$ что $ R|\pi_Z(Z)=0$ и
$ \tr R\circ U\neq 0$).

Итак, $ U\in \NR[p](E, \pi_Z(Z)).$  Нам надо уточнить это включение:
докажем, что, на самом деле,
$ U\in N_1(E, \pi_Z(Z))$ %$\subset \NR[p](E, \pi_Z(Z)).$
Предположим, что $ U\notin N_1(E, \pi_Z(Z)).$ Тогда найдется такой
оператор $ B\in \operatorname{ L}(Z^{**}, E^{**}),$ что
$ \tr B\circ U =1,$ но $ \tr B\circ T =0$ для любого
$ T\in N_1(E, \pi_Z(Z)).$ Так как $ \pi_Z(Z)$ обладает свойством
аппроксимации Гротендика, то из последнего вытекает, что
$ B|_{\pi_Z(Z)}=0,$ что противоречит выбору и свойствам $ U.$
Итак, $ U\in N_1(E, \pi_Z(Z)).$ С другой стороны, очевидно, что для любых
$ V\in N_1(E, \pi_Z(Z))$ и $ B\in \operatorname{ L}(Z^{**}, E^{**}),$
где $ B|_{\pi_Z(Z)}=0,$ имеем: $ \tr B\circ V=0.$
Поэтому $ \operatorname{ Ker}\,\Psi =
\NR[p]\(E,\pi_Z(Z)\) \cap \( N_1(E, \pi_Z(Z))\).$ Отсюда вытекает
утверждение (a).

Рассмотрим теперь факторотображение
$$ \Psi_0:\qquad N_p(E, Z^{**})\overset{\Psi}\to\to E^*\wh\ot_p F
    \overset{j}\to\to N_p(E, F),
$$
где $ j$ --- каноническое факторотображение, Его ядро
$ \operatorname{ Ker}\,\Psi_0$ состоит из всех тез операторов
$ U\in N_p(E, Z^{}**),$ которые превращаются в тождественный нуль после
действия факторизации $ \psi: Z^{**}\to F,$ то есть из тех $ U,$
для которых $ U(E)\subset \operatorname{ Ker}\,\psi=\pi_Z(Z).$
Это и означает, что
$ \operatorname{ Ker}\, \Psi_0= \NR[p](E, \pi_z(Z)).$
$\quad\blacksquare$\enddemo

Отметим любопытный "побочный" эффект наших рассуждений (это, конечно,
"выстрел из пушки по воробьям"):

\proclaim {\bf Следствие $1'$ {\rm (А.Гротендик [3])}}\it
Если $ p\in (0,2/3],$ то $ G^*\wh\ot_p Y = N_p(G,Y)$ для любых
банаховых пространств $ G$ и $ Y$ (то есть факторизации при каноническом
фактор-отображении $ G^*\wh\ot_p Y \to N_p(G,Y)$ не происходит).
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Ясно, что можно ограничиться рассмотрением лишь сепарабельных пространств.
Если $ p\le 2/3,$ то всякий оператор $ U\in \NR[p](G, \pi_z(Z)),$
где $ Z$ --- из леммы 2 (или, что то же самое, из следствия 1),
факторизуется через ядерный диагональный оператор (см. ниже замечание 2)
и, следовательно, сам является ядерным. Поэтому
$ \NR[p]\(G,\pi_Z(Z)\)\cap \( N_1(G, \pi_Z(Z))\)= \NR[p]\(G,\pi_Z(Z)\)$
и применимо следствие 1.
$\quad\blacksquare$\enddemo

Напомним, что банахово пространство $ X$ обладает свойством аппроксимации
порядка  $p, \, p\in (0,+\infty]\,$ (коротко,
$X\in \operatornamewithlimits{AP_p}$), если для каждого банахова
пространства $ Z$ каноническое отображение
$Z^*\widehat \otimes _p \,X \to \operatorname{L} \left(Z,X \right)$
является взаимно однозначным (см., например, [8], [10]). Удобно ввести еще
дополнительные обозначение и определение, связанные с аппроксимационными
условиями. Именно, для пары пространств $ X,Y$  и числа $ s\in(0,1)$
обозначим через   $Y^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X $
линейное пространство, состоящее из тензоров
$ z\in Y^*\widehat \otimes _1 \,X$ (проективное тензорное произведение),
допускающих представление вида
$$ z=\sum_{k=1}^\infty \la_k \,y'_k\otimes x_k  \
\text{ где }\ \la_k\searrow,\,\la_k^s=o(1/k),\, \|y'_k\|\,\|x_k\|=1.
$$
\definition {Определение {\rm 1}}
Банахово пространство обладает свойством
$\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}\,$, где $s\in (0,1],\,$
если для любого банахова пространства $ Z$ каноническое отображение
$Z^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X  \to
\operatorname{L} \left(Z,X \right)$
взаимно однозначно (иными словами, $Z^*\widehat\otimes _{s,\infty} \,X =
\operatornamewithlimits{N_{s,\infty}}\left(Z,X \right);$  должно быть
вполне понятно, что из себя представляет операторное пространство справа).
\enddefinition

Отметим, что пространство $ X$ обладает свойством
$ \operatorname{ AP}_{s,\infty}$ тогда и только тогда, когда
взаимно однозначным является каноническое отображение
$X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X  \to
\operatorname{L} \left(X,X \right);$ в этом случае,
$X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X =
\operatornamewithlimits{N_{s,\infty}}\left(X,X \right).$

\proclaim {Теорема {\rm 1}}
\roster
\runinitem "{1)}"
Пусть $\alpha\in (0,1/2],\, C>0,\,$ и $X$ --- банахово пространство.
Если каждое конечномерное подпространство $E$ пространства $X$
$C\,( \operatorname{ dim}E^\alpha)$-дополняемо в $X,$ то
$X\in \operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}},$
где $1/s=1+\alpha$. В частности, {\rm (надо взять $\,\alpha =1/2$),}
всякое банахово пространство обладает свойством
$\operatornamewithlimits{AP_{2/3,\infty}},$ а если $X$ является
подпространством или факторпространством некоторого пространства
$\operatornamewithlimits{L^p}(\mu),$ где $p\in (1,+\infty)$, $p\ne 2$,
то $X\in\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$ \  ($1/s=1+|1/p-1/2|$).
\endroster
\roster
\runinitem "{\phantom{vv}2)}"
Для каждого $s\in [2/3,1)$ существует такое сепарабельное рефлексивное
пространство $Y,$ что $Y\in \operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$, но
$Y\notin \operatornamewithlimits{AP_{r}}$ каково бы ни было $r\in (s,1]$.
\endroster
\endproclaim

{\it Доказательство} части 2) теоремы совершенно аналогично
доказательству соответствующего факта из [10] (а именно, утверждений
1) и 2) теоремы 5.4 в [10]); доказательство этой теоремы 5.4
дословно переносится на наш случай, только вместо леммы 5.1 из [10]
надо использовать такое усиление части 1 нашей теоремы 1:

\proclaim {Предложение {\rm 1}}
Пусть $\alpha\in (0,1/2],\, C>0	,\,$ и $X$ --- банахово пространство.
Предположим: что для каждого конечномерного подпространства
$E$ пространства $X$ найдется такое конечномерное подпространство
$E,\, E\subset F\subset X,\, $ что
$F$ --- $\, C\left(\operatorname{dim}E \right)^\alpha$-дополняемо
в $X$. Тогда $X\in\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$, где
$1/s=1+\a$.
\endproclaim
Здесь снова достаточно сослаться на статью [10].
Наше предложение 1, по существу, доказано в работе [10], лемма 5.1:
если внимательно просмотреть доказательство этой леммы в [10],
то нетрудно увидеть, что основное, что использовалось в этом
доказательстве, --- это принадлежность соответствующего тензора $ z$
проективному тензорному произведению (у нас в этой работе все тензоры
таковы) и оценка $ \lambda_j^s=o(j^{-1})$ для коэффициентов $ z$ из
доказательства упомянутой леммы 5.1. Поэтому мы не станем повторять
все те аргументы из [10], использованные при доказательстве этой
леммы, а отошлем читателя за подробностями к работе [10].
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proclaim {Теорема {\rm 2}}
\roster
\runinitem "{1)}"
\,Пусть $\, s\in \(0,1\).
$ Если $\, X^*\in \,\ap[s\infty]\ $ или $\, Y^{***}\in \,\ap[s\infty],\ $
то $\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\).$
В частности, для любых банаховых пространств $X\,$ и $Y\,$
имеем:
$\nr[{2/3}\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\left(X,Y\right).$
\endroster
\roster
\runinitem "{\phantom{vv}2)}"
Существует банахово пространство $Z,\,$ обладающее следующими свойствами:
     	\phantom{vvvv} (i)
$Z^{**}\,$ имеет базис \ (\,следовательно, $Z^{**}\in \A $);\newline
     	\phantom{vvvv} (ii)
для каждого  $\ s\in \(2/3,1\]$ \qquad
$\NR[s] \left(Z^{**},Z\right)\not\subset \n1\(Z^{**},Z\).$
\newline
Таким образом, аппроксимационные условия, наложенные на $X\,$ и $Y\,$
в $1)$ существенны.
\endroster
\endproclaim

\demo{Доказательство}
   1) Предположим, что существует такой оператор $ T\in L(X,Y),$
что $ T\notin N_1(X,Y),$ но $ \pi_Y\,T\in N_{s,\infty}(X,Y^{**}).$
Так как либо $ X^*,$ либо $ Y^{**}$  обладает свойством $ \ap[s\infty],$
то $ N_{s,\infty}(X,Y^{**})=X^*\widehat\otimes_{s,\infty} Y^{**}.$
Следовательно, оператор $ \pi_Y\,T$ можно отождествить с тензорным элементом
$ t\in X^*\widehat\otimes_{s,\infty} Y^{**}\subset
X^*\widehat\otimes_1 Y^{**};$ при этом по выбору $ T,$ \
$  t\notin X^*\widehat\otimes_1 Y$ \ (как обычно,
$  X^*\widehat\otimes_1 Y$ рассматривается как подпространство пространства
$  X^*\widehat\otimes_1 Y^{**}$). Следовательно, существует такой оператор
$ U\in L(Y^{**},X^{**})=\( X^*\widehat\otimes_1 Y^{**}\)^*,$ что
$ \tr U\circ t=\tr \(t\circ \( U^*|_{X^*}\) \)=1$ и
$ \tr U\circ z=0$ для любого $ z\in X^*\widehat\otimes_1 Y.$
Из последнего вытекает, в частности, что $ U|_Y=0$ и $ \pi^*\,U^*|_{X^*}=0.$
Действительно, если $ x'\in X^*$ и $ y\in Y,$ то
$$ <U\pi_Y\,y,x'> = <y, \pi^*\,U^*x'> = \tr \,U\circ (x'\otimes y)=0.
$$
Очевидно, что тензорный элемент $ U\circ t$  порождает оператор
$ UT,$ который тождественно равен нулю.

Если $ X^*\in\ap[s,\infty],$ то
 $ X^*\widehat\otimes_{s,\infty} X^{**}= N_{s,\infty}(X,X^{**})$
и, значит, тензорный элемент нулевой, что противоречит равенству
$ \tr\, U\circ t=1.$

Пусть теперь $ Y^{***}\in \ap[s,\infty].$ В этом случае оператор
$$ V:= \( U^*|_{X^*}\)\circ T^*\circ \pi_Y^*: \
       Y^{***}\to Y^* \to X^*\to Y^{***}
$$
однозначно определяет некоторый тензорный элемент
$ t_0\in Y^{****}\widehat{\otimes}_{s,\infty} Y^{***}.$
Возьмем какое-либо представление $ t=\sum x'_n\otimes y_n$ для $ t$
как элемента пространства $ X^*\widehat{\otimes}_{s,\infty} Y^{**}.$
Имеем:
$$\multline
   Vy'''=U^*\, \( T^*\pi_Y^*\,y'''\) =
    U^*\, \( (T^*\pi_Y^*\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) =
    U^*\, \( (\pi_Y T)^*\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = \\ =
    U^*\, \( (\sum y''_n\otimes x'_n)\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\)
    =U^*\, \( \sum <y''_n, \pi_Y^*\, y'''> \,x'_n \) = \\ =
      \sum <\pi_Y^{**}y''_n,  y'''> \,U^* x'_n.
  \endmultline
$$

Итак, оператор $ V$ (или элемент $ t_0$) имеет в пространстве
$ Y^{****}\widehat\otimes_{s,\infty} Y^{***}$ представление
$$ V= \sum \pi_Y^{**}(y''_n)\otimes U^* (x'_n).
$$
Следовательно,
$$  \tr t_0=\tr V= \sum <\pi_Y^{**}(y''_n), U^* (x'_n)> =
	\sum <y''_n, \pi_Y^*\,U^* x'_n> =  \sum 0=0.
$$
С другой стороны,
$$  Vy'''= U^* \( \pi_Y T\)^* y'''= U^*\circ t^* (y''')=
     \( \sum <y''_n, y'''> \, x'_n\)=
      \sum <y''_n, y'''> \, U^* x'_n,
$$
откуда  $ V=\sum y''_n\otimes U^*(x'_n).$   Поэтому
$$ \tr t_0=\tr V= \sum <y''_n, U^* x'_n> = \sum <Uy''_n, x'_n>
= \tr U\circ t=1.$$
Полученное противоречие завершает доказательство первой части пункта 1).
Случай $ s=3/2$ сводится к применению только что доказанного утверждения и
первой части теоремы 1.

  2) Хорошо известно, что существует сепарабельное рефлексивное банахово
пространство $ X$ и ненулевой тензорный элемент $ z\in X^*\wh\ot_1 X$
такие, что $ z\in X^*\wh\ot_s X$ для всех $ s>2/3,$  но ассоциированный
оператор $ \wt z$ есть тождественный нуль (см., например, [1], [7]).
Таким образом, для любого $ s\in (0,1]$ \ $ X^*\wh\ot_s X\neq N_s(X,X).$
По следствию 1, существуют сепарабельное $ Z$  и гомоморфизм
$ \ffi: Z^{**}\to X$ такие, что $ Z^{**}$ имеет базис,
$ \operatorname{ Ker}\,\ffi=\pi_Z(Z),\,$ $ \ffi^*(X^*)$ дополняемо
в $ Z^{***}$ и $ \NR[s](X,Z)\not\subset N_1(X,Z)$ при всех $ s>2/3.$
Так как $ \ffi^*(X^*)$ дополняемо в $ Z^{***},$ то, очевидно,
$ \NR[s](Z^{**}, Z) \not\subset Z^{***}\wh\ot_1 Z = N_1(Z^{**}, Z)$
при любом $ s>2/3.$
 $\Q$ \enddemo

\remark {\bf Замечание {\rm 2}}
Совсем нетрудно показать, что $\ \NR[2/3]\subset \n1. $
Действительно, если оператор $ T$ действует из пространства $ E$
в пространство $ Z$ и является $ 2/3$-ядерным как оператор из $ E$
в $ Z^{**},$ то по самому определению $ 2/3$-ядерного оператора,
"расщепляя" коэффициенты его разложения в тензорный ряд на пары
соответствующим образом подобранных множителей, мы можем разложить
сам оператор $ T$ в произведение:
$$
 \gather
T:\  E   @>\ \, A\ \,>>  c_0  @>\ \Delta_1\ >>   l^1  @>\ \,j\ \,>>
                l^2  @>\ \Delta_2\ >>  l^1  @>\ B\ >>  Z^{**} \\
     \endgather
$$
где $ \Delta_j$ --- диагональные операторы (таким образом,
$ \Delta_1$ --- ядерный), а остальные операторы непрерывны.
Спроектировав ортогонально в $ l^2$ на замыкание образа оператора
$ j\,\Delta_1\,A,$ и рассмотрев $ B$ только на этой проекции,
мы получим в совокупности все тот же оператор $ T:E\to Z;$  этот
простой трюк показывает, что $ T$ --- ядерный из $ E$ в $ Z.$
В данный момент у меня нет никакой идеи, как примерно подобным способом
непосредственно можно получить соответствующий результат из последней
теоремы (то есть, для $\nr[{2/3}\infty] $).

%At this moment I have no idea
%how to obtain the inclusion $\,\nr[{2/3}{\infty}]\subset \n1\,$
%directly by an analogous way \,(may be, one have to get a factorization
%through $\,l_2\,$ not for whole operator but for its finite dimensional
%parts by using the fact that every $\,n$-dimensional subspace of a
%Banach space is $\,n^{1/2}$-complemented ).
\endremark
%

\proclaim {Следствие {\rm 2}}
Пусть $X$ --- такое рефлексивное банахово пространство, что
каждое $n$-мерное подпространство в $X$
$\,Cn^\alpha$-дополняемо в $X$
\,(здесь $C>0, \alpha \in (0,1/2) \,$ --- некоторые постоянные,
$\,n=1,2,\dotso $).
Тогда для любого банахова пространства $Y$
 $$\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\).$$
где $\,1/s=1+\alpha$.
\par В частности, если $\,X\subset L^p(\mu), 1<p<+\infty, p\ne 2, $
\, и $\,1/s=1+|1/2-1/p|$, \, то
 $$\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\) \qquad
 \text{для каждого }Y.$$
\endproclaim

  {\it Для доказательства} достаточно применить теорему 1,1) и теорему 2,1)
и использовать тот факт: что любое
$n$-мерное подпространство пространства
  $\ L^p(\mu) $ \quad $Cn^{|1/2-1/p|}\,$-дополняемо в  $\, L^p(\mu) $.

  \remark {\bf Замечание {\rm 3}}
В теореме 2,1) и следствии 2 мы получили, на самом деле, следующее формально
более сильное включение
  $\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \,X^*\widehat \otimes _1 \,Y.$
Последнее включение следует понимать таким образом: каждый оператор
$\,T\in \nr[s\infty]\,\(X,Y\)$\, (однозначно)  поро\-ж\-дается %некоторым
тензорным элементом из пространства
  $X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y^{**}\subset
  X^*\widehat \otimes _1 \,Y^{**}$,
который (тензорный элемент), в свою очередь, принадлежит пространству
$X^*\widehat \otimes _1 \,Y$,  подпространству пространства
$X^*\widehat \otimes _1 \,Y^{**}$; так что, если
$$\alignat 2
&\sum x'_n \otimes y^{\prime\prime}_n &\quad
  &\text{-- \ представление оператора
               $T$ в пространстве $X^*\widehat \otimes _{s,\infty}Y^{**}$},\\
&\sum \tilde x'_n \otimes \tilde y^{\prime\prime}_n &\quad
  &\text{-- \ в пространстве
               $X^*\widehat \otimes _1 \,Y^{**}$ \ и}  \\
&\sum \Tilde{\Tilde x}'_n \otimes \Tilde{\Tilde y}^{\prime\prime}_n &\quad
  &\text{-- \ в пространстве
               $X^*\widehat \otimes _1 \,Y$},
\endalignat $$
то для всякого
$\,U\in \operatorname{L} \(Y^{**},X^{**}\)$
$$\tr U\circ T = \sum \langle x'_n, Uy''_n\rangle =
 \sum \langle\tilde x'_n ,\tilde y''_n \rangle =
 \sum  \langle\Tilde{\Tilde x}'_n,\Tilde{\Tilde y}''_n\rangle $$
(заметим, что след вполне определен, поскольку в теореме 2,1) и в
следствии 2 естественное отображение
$\nr[s\infty]\,\(X^*,Y^{**}\) \to \operatorname{L} \(X,Y^{**}\)$
взаимно однозначно).
\endremark
  %
Тем же методом, что и при доказательстве теоремы 2,1), устанавливается
\proclaim {Теорема {\rm 2$'$}}
Пусть $s\in \(0,1\].$ Если $X^*\in \AP s,$ или $Y^{***}\,\in\AP s,$ то
$\NR[s] \(X,Y\) \subset \n1\(X,Y\).$
\endproclaim

Внимательно просмотрев доказательство пункта 2) теоремы 2
 и следствия 1, нетрудно увидеть, что имеет место следующий
более сильный факт:

\proclaim {Предложение {\rm 2}}
Существуют сепарабельное банахово пространство
$Z$ и оператор
$A\in \operatorname{L} \(Z^{**},Z\)$ такие, что
$Z^{**}$ имеет базис,
$\pi_Z\, A\in \n s \(Z^{**},Z^{**}\)$ для каждого  $s>2/3,$  но
$A\notin \n1 \(Z^{**},Z\).$
\endproclaim

\proclaim {Теорема {\rm 3}}
Для всякого $s\in \[2/3,1\) $ существует такое сепарабельное банахово
пространство $Z,$ что
\roster
\item "{(i)}"
$Z^{**}$ имеет базис;
\item "{(ii)}"
все пространства $Z, Z^*, Z^{**},\dotso$ обладают свойством $\AP s$;
\item "{(iii)}"
$Z^{***}$ не обладает свойством $\AP r,$ каково бы ни было  $r\in \(s,1\]$;
\item "{(iv)}"
для всякого банахова пространства $X$
 $$\nr[s\infty] \(X,Z\) \subset \n1\(X,Z\) \quad \text{и}\quad
     \nr[s\infty] \(Z^{**},X\) \subset \n1\(Z^{**},X\);$$
\item "{(v)}"
 для каждого $\ r\in \(s,1\]$ \quad
 $\NR[r] \(Z^{**},Z\) \not\subset \n1\(Z^{**},Z\).$
%{\roster \item "{ }"
%\item "{ }"
Более того, существует такой оператор
              $U: Z^{**} \to Z, $
что $U\in \NR[r]\(Z^{**},Z \)$  для всех $\ r\in \(s,1\],$
но $U\notin \n1\(Z^{**},Z\).$
%\endroster}
\endroster
\endproclaim

{\it Доказательство} проводится по схеме, аналогичной доказательству пункта
2) теоремы 2 с использованием последовательно теоремы 1,2), следствия 1
и теоремы 2,1). Мы опускаем подробное доказательство, предоставляя его,
в качестве нетрудного упражнения, читателю. С другой стороны, автор
намеревается привести более общий факт с подробным доказательством в
последующей работе, которая будет посвящена, в частности, рассмотрению
случая $ s\ge 1.$

%The method of the proof of Theorem 2.3 is essentially the same as one
%for the part 2) of Theorem 2.2 by using Corollary 1, Theorem 2.1 and
%Theorem 2.2,1). We omit it since later the analogous arguments will be
%applied to the case $s\ge 1$.

Рассмотрим теперь вопрос о том, что можно получить в утверждениях наших
теорем, если полностью отказаться от каких-либо аппроксимационных
предположений относительно рассматриваемых пространств (как, например,
в случае $ s=2/3$ из теоремы 2,1) - хотя там неявно подобные условия присутствуют,
ведь каждое банахово пространство обладает свойством $ \ap[2/3,\infty]$).
Сначала посмотрим, как будет выглядеть в этой ситуации часть 1) теоремы2.

Предварительно сформулируем одно вспомогательное предложение, которое,
по существу, доказано в [10] (теорема 2,1,А).
Нам удобно будет обозначать каноническое отображение
$X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y  \to  X^*\widehat \otimes _p \,Y$
через $\varphi ^{\infty}_{sp},$  а каноническое отображение
 $X^*\widehat \otimes _p \,Y \to \operatorname{L} \(X,Y\) $ ---
через $j_p.$

\proclaim {Предложение {\rm 3}}
Если $s\le 1$ и $p\ge 2s/(2-s),$ то отображение
$$j_p:\, \varphi ^{\infty}_{sp}\(X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y\) \to
\operatorname{L} \(X,Y\) $$
является взаимно однозначным.
\endproclaim

Доказательство этого предложения можно найти в [10] (см. доказательство
пункта $ A$ теоремы 2,1; --- оно почти дословно переносится на наш
случай, рассматриваемый в предложении 3).
\smallpagebreak

Приведем теперь усиление теоремы 3.1.A) из [10], где было показано, что
в условиях предложения 3 имеет место включение
$\NR[s] \(X,Y\) \subset \n p\(X,Y\) $. Доказательство, однако, не будет
столь элементарным, как в [10].

\proclaim {Теорема {\rm 4}}
Если $2/3\le s<1$ и $p=2s/(2-s),$  то
$\nr[s\infty] \(X,Y\)  \subset \n p\(X,Y\), $
каковы бы ни были банаховы пространства $X$  и $Y$.
\endproclaim
\demo{Proof} Пусть  $ T\in \nr[s\infty]$   и $ T\neq 0.$
Зафиксируем тензорный элемент
$ t=\sum \bar x'_n\ot y''_n\in X^*\wh\ot_{s,\infty} Y^{**},$
порождающий оператор $ T$ (то есть, $\pi_Y T=\wt t$).
Достаточно показать, что $ t\in X^*\wh\ot_p Y$ (то есть, что образ
$ \ffi^\infty_{sp}(t)\in X^*\wh\ot_p Y^{**}$ лежит, на самом деле,
в подпространстве $ X^*\wh\ot_p Y$).

Предположим, что $ t\notin  X^*\wh\ot_p Y.$  В этом случае найдется оператор
$ U\in \Pi_{p'} (Y^{**}, X^{**}),$ для которого $ \tr U\circ t=0$ и,
с другой стороны, $ \tr U\circ z=1$ для всех $ z\in X^*\wt\ot_p Y.$
В дальнейшем удобно иметь перед глазами несколько диаграмм (с
комментариями):
$$
 \gather
  X   @>\ \, T\ \,>>   Y   @>\   \pi_Y  >>  Y^{**} @>\ \,B\ \,>>
                Z_{p'}  @>\ S\ >>  X^{**}  @>\ T^{**}\ >>  \pi_Y(Y) \\
     \endgather
$$
($U=SB;\ \wt t=\pi_Y T; \ B\pi_Y=jB_0;$\
$A:=\pi^{-1}T^{**}S $ (он появится позже);
\  $ U\pi_Y=0 $ и $Sj=0 $ )
$$
 \gather                   Y  @>\ B_0\ >>
  Y_{p'}  @>\ \, j\ \,>>  Z_{p'}  @>\ S\ >>   X^{**}  @>\ \,T^{**}\ \,>>
                \pi_Y(Y)  @>\ \pi^{-1}_Y\ >>  Y  @>\ B_0\ >>  Y_{p'} \\
     \endgather
$$
Здесь $ Z_{p'}\subset L_{p'}(\mu)$ (для некоторой конечной меры $ \mu$);
$ B\in\Pi_{p'}(Y^{**}, Z_{p'})$ и $S\in L(Z_{p'}, X^{**}),\,$ ---
таковы, что $ U=SB;$
$Y_{p'}=B\pi_Y(Y);$\ $ B_0$ --- оператор, индуцированный оператором $ B;$
$ j$ --- тождественное вложение.
Заметим, что, в силу компактности $ T,$ \  $T^{**}(X^{**})\subset \pi_Y(Y).$
Кроме того, $ U\pi=0$ по предположению; следовательно, $ Sj=0.$
Обозначим также оператор $ \pi^{-1}_Y T^{**}S$ через $ A.$

Так как  $ Z_{p'}\subset L_{p'}(\mu)$  и
$ \pi_Y A\in N_{s,\infty},$ то, по теореме 1,1), оператор $ \pi_Y A$
однозначно определяется тензорным элементом из $ Z^*_{p'}\wh\ot_{s,\infty},$
который мы снова будем обозначать через $ \pi_Y A.$ Ясно, что
$$ \pi_Y A= T^{**} S = \sum S^* \( \pi_{X^*}(\bar x'_n)\) \ot \bar y''_n.
$$
По следствию 2 и замечанию после него, $ A\in Z^*_{p'}\wh\ot_1 Y,$
причем
$$ \multline
 \tr B(\pi_Y A)=\tr (B\pi_Y)\circ A =
\sum <S^*\pi_{X^*}\bar x'_n,\, B\bar y''_n> =\\
=\sum <\bar x'_n,\, U\bar y''_n> = \tr U\circ t=1.
 \endmultline
$$
Отсюда, в частности, вытекает, что $ \pi_Y a\neq 0$\, (и $ A\neq 0$).

Возьмем некоторое представление $ A$ вида $ \sum z'_n\ot y_n$ как элемента
пространства $ Z^*_{p'}\ot_1 Y;$ это также и представление тензорного
элемента $ \pi_Y A\in Z^*_{p'}\wh\ot_{s,\infty} Y^{**}$\ (но в пространстве
$ \pi_Y A\in Z^*_{p'}\wh\ot_1 Y^{**} $). Имеем:
$$ \multline
   1= \tr (B\pi_Y)\circ A=\tr (jB_0)\circ A= \tr (jB_0)\circ
\( \sum z'_n\ot y_n\)=\\ = \sum <z'_n,\, jB_0 y_n > =
\sum <z'_n,\, jB_0^{**}\pi_y y_n> = \tr \( jB_0^{**}\)\circ
\( \sum z'_n\ot \pi_Y y_n\) =\\ =
         \tr \( jB_0^{**}\)\circ \( \pi_Y A\)
= \tr \( jB_0^{**}\)\circ
\( \sum S^* \( \pi_{X^*}(\bar x'_n)\) \ot \bar y''_n\)= \\=
\sum <S^*\pi_{X^*}\bar x'_n,\, jB_0^{**}\bar y''_n> =
\tr B_0^{**}\circ \( \sum \((Sj)^*\, \pi_{X^*}\)\ot \bar y''_n\).
  \endmultline
$$
Отсюда следует, что тензорный элемент
$ \a:= \sum \((Sj)^*\, \pi_{X^*}\)\ot \bar y''_n,$
лежащий в пространстве $ Y^*_{p'}\wh\ot Y^{**},$ не равен нулю.
По теореме 1,1), не равен нулю и порождаемый им оператор $ \wt \a.$
Остается заметить, что $ \wt\a=T^{**}Sj=0.$
$\Q$ \enddemo

\remark {\bf Замечание {\rm 4}}
Утверждение $\text{A}'$ теоремы 3.1 из [10] показывает, что наша теорема 4
точна. Аналогичное замечание можно отнести и к проложению 3.
Следующий факт, однако, намного сильнее, чем часть $\text{A}'$
теоремы 3.1 из [10], в которой установлено существование двух банаховых
пространств $X$ и $Y,$ для которых, в частности,
$\NR[s] \(X,Y\)\not\subset \n p \(X,Y\)$ и $Y\in \A$.
Под впечатлением неверного результата А.Гротендика, о котором шла речь выше
(см. начало заметки --- до определения 1), я написал в замечании
к теореме 3.1 в [10], что $ Y$ "конечно, не обладает свойством ограниченной
аппроксимации" $\operatorname{BAP}$.
Сейчас мы увидим, что последняя фраза была лишена оснований.
\endremark

\proclaim {Теорема {\rm 5}}
Пусть $r\in [2/3,1)$ и $1/r=1/2+1/p.$ Существуют два сепарабельных банаховых
пространства $Z$ и $W$ такие, что
\roster
\item "{(i)}"
$W$ и $Z^{**}$ имеют базисы;
\item "{(ii)}"
как $W,$ так и все сопряженные к нему пространства $ W',W'',\dots\,$
обладают свойством $\ap[r\infty]$;
\item "{(iii)}"
$W^*$ не обладает свойством $\AP s$ ни при каком  $s \in (r,1]$;
\item "{(iv)}"
для любого банахова пространства $\ E$ \quad
$\nr[r\infty]\(W,E\)\subset \n1\(W,E\)$;
\item "{(v)}"
$\NR[s]\(W,Z\)\not\subset \n p \(W,Z\),$ каково бы ни было $s\in (r,1]$.
\endroster
\endproclaim

\demo{Proof}
Достаточно показать, что для каждого $ s, r<s<1,$ найдутся пространства
$ Z=Z_s$  и $ W=W_s$ с указанными в формулировке теоремы свойствами,
причем при данном фиксированном $ s$ в (iii) достаточно получить более
слабое условие $ W^*\notin \ap[s,\infty]$ (поскольку $ s$ бегает по всему
промежутку $ (r,1)$, а свойство $ \AP 1$ --- самое сильное из всех
аппроксимационных свойств). Если это будет сделано, то для $ s_n\searrow r$
пространства $ \( \sum Z_{s_n}\)_{l_2}$ и  $ \( \sum W_{s_n}\)_{l_2}$
уже полностью будут удовлетворять всем условиям теоремы.

Итак, пусть $ s\in (r,1),$ так что $ p<2s/(2-s).$
По теореме 2.1,А'),1) из [10], существуют сепарабельные рефлексивные
пространства $ X$ и $ Y,$  тензорный элемент $ z\in X^*\wh\ot_s Y$
и оператор $ U\in QN_{p'}(Y,X)$ (квази-$p'$-ядерный) такие, что
 $ \tr U\circ z=1$ и ассоциированный оператор $ \wt z=0,$ причем
пространство $ X$ может быть выбрано как подпространство в
$ L_{p'}$ (последнее содержится в доказательстве указанной теоремы из [10]).

Пусть $ Z$ ---такое сепарабельное пространство, что $ Z^{**}$  имеет
базис и существует гомоморфизм $ \ffi$ из $ Z^{**}$ на $ Y$ с ядром
$ \pi_Z(Z)$ (см. лемму 1). Поднимем (ядерный) тензорный элемент
$ z,$ лежащий в $ X^*\wh\ot_s Y$ до элемента $ \a\in X^*\wh\ot_s Z^{**},$
так что $ \ffi\circ \a=z,$ и положим $ V:= U\circ \ffi.$
Так как $ \tr V\circ\a=\tr U\circ z=1$ и $ Z^{**}$ обладает свойством
аппроксимации (свойством $ \AP 1$), то $ \wt \a=\a\neq 0.$
Кроме того, оператор $ \wt{\ffi\circ\a},$ ассоциированный с тензором
$ \ffi\circ\a,$ равен нулю. Поэтому
$ \a(X)\subset \operatorname{ Ker}\ffi= \pi_Z(Z),$ то есть оператор
$ \a$ действует из $ X$ в $ Z.$

Если $ \a\in X^*\wh\ot_p Z,$ то для произвольного его $ p$-ядерного
представления вида $ \a=\sum x'_n\ot z_n$ имеем:
$ \tr V\circ\a=\sum <x'_n,\, Vz_n>= \sum 0=0;$ следовательно,
$ \a\notin X^*\wh\ot_p Z$ (мы воспользовались тем, что
$ V\in\Pi_{p'}(Z,X)$). Таким образом,
$\NR[s]\(X,Z\)\not\subset \n p \(X,Z\).$

Заметим, что $ X$  (и $ X^*$) обладает свойством $ \ap[r,\infty]$
(теорема 1,1) --- вспомним, где лежит пространство $ X$),
но не обладает свойством $ \ap[s,\infty]$ (теорема 2,1)).

Рассмотрим теперь такое сепарабельное банахово пространство $ E,$
что $ E^*$ имеет базис и существует гомоморфизм $ \psi$ из $E^*$
на $ X$ с тем свойством, что  $ E^{**}=\psi^*(X^*)\oplus \pi_E(E)$
(лемма 1). Положим $ W=E^*.$ Так как $ E\in\AP 1$ и
$ X^*\in \ap[r,\infty],$ то все сопряженные пространства
$W^*, W^{**},\dots$ обладают свойством $ \ap[r,\infty];$
по теореме 2,1), имеет место утверждение (iv), а по построению,
--- утверждение (v). Кроме того, $ W^*\notin \ap[s,\infty].$
$\Q$ \enddemo

Из (i) и (v) предыдущей теоремы моментально вытекает
\proclaim {\bf Следствие 3}\it
Существует пара сепарабельных банаховых пространств $ Z, W$
со следующими свойствами.
Пространства $ Z^{**}$ и $ W$ имеют базисы (и, следовательно, обладают
свойством аппроксимации), и для каждого $ p, 1\le p<2,\,$
найдется не $ p$-ядерный оператор из $ W$ в $ Z$ с $ p$-ядерным вторым
сопряженным.
\endproclaim\rm

\remark {\bf Замечание 5}
Подобного феномена не может быть, если либо $ W^*,$  либо
$ Z^{***}$ обладает свойством аппроксимации. Вскользь об этом уже
упоминалось выше (частный случай сформулирован в теореме $2'$).
Что касается случая $ p>2,$ то с ним будет иметь дело последующая статья
автора.
\endremark\medpagebreak


    \vskip0.5in


 %\eightpoint                % \newpage    ${ }$\smallskip
\centerline{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА}
\bigpagebreak

\ref \no 1\by Davie A.M. \pages  261-266
\paper  The approximation problem for Banach spaces
\yr 1973\vol 5
\jour Bull. London Math. Soc.
\endref

\ref \no 2\by Figiel T., Johnson W.B.\pages 197-200
\paper  The approximation property does not imply  the bounded
   approximation property
\yr 1973\vol 41
\jour   Proc. Amer. Math. Soc.
\endref

\ref \no3\by Grothendieck A. \pages 196-140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espases nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\endref

\ref \no 4\by Lindenstrauss J.\pages  279-284
\paper  On James' paper "Separable Conjugate Spaces"
\yr 1971\vol 9
\jour Israel J. Math.
\endref

\ref \no 5\by Макаров Б.М., Самарский В.Г.\pages   122-144
\paper  Слабая секвенциальная полнота и близкие к ней свойства некоторых
  пространств операторов
\yr 1983\vol 1
\jour в кн. "Теория операторов и теория функций". Л.:ЛГУ
\endref

\ref \no 6  \by Oja E., Reinov O.I.   \pages  121-122
\paper  Un contre-exemple \`a une affirmation de A.Grothendieck
\yr  1987 \vol  305
\jour   C. R. Acad. Sc. Paris. --- Serie I
\endref

\ref \no 7 \by Пич А.\pages 536 с
 \paper Операторные идеалы
 \yr 1982\vol
 \jour     Москва: Мир
 \endref

\ref \no 8  \by Reinov O.I.\pages   125-134
\paper   Approximation properties of order p and the existence of
  non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints
\yr 1982 \vol  109
\jour    Math. Nachr.
\endref

\ref \no 9  \by Рейнов О.И.  \pages  115-116
\paper  Простое доказательство двух теорем  А. Гротендика
\yr 1983 \vol 7
\jour  Вестн. ЛГУ
\endref

\ref \no 10  \by Рейнов О.И.\pages 145-165
\paper   Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов
\yr 1983\vol
\jour в кн. "Теория операторов и теория функций".  Л.:ЛГУ
\endref

\ref \no 11\by Reinov O.I.  \pages 905-907
\paper Sur les operateurs p-nucl\'eaires entre espaces de Banach avec bases
\yr 1993\vol  316
\jour  C. R. Acad. Sc. Paris. ---  Serie I
\endref



\enddocument







%######### СЛЕДУЮЩАЯ СТАТЬЯ - СЛУЧАЙ s>1 - нужно обобщение Линденштраусса
%%%%%%%%%
            Рабочее поле
