%Author: О.И. Рейнов %Title: АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА $ \AP s$ И $p$-ЯДЕРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ % {Случай $ 02,$ и это --- тема последующей статьи автора.\ Библиогр. 11 назв. \newpage \NoRunningHeads \pageno=1 %номер текущей страницы - для следующей команды: \footline={\hss\tenrm\folio\hss} % центрировать, шрифт, \folio есть %аббревиатура для % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi \topmatter \title {Аппроксимационные свойства $ \operatorname{\bold{AP_s}}$ и ${\ssize\bold p}$-ядерные операторы \eightpoint \bf (случай $ 0<{\ssize\bold s}\le1$) } \endtitle \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$} \endauthor \address\newline \tenrm 198904, Санкт--Петербург,\newline Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline Санкт--Петербургский государственный университет,\newline математико--механический факультет,\newline кафедра математического анализа. \endaddress \email \tenrm orein\@orein.usr.pu.ru \endemail \thanks \tenrm ${{ }^\dag}$ Работа выполнена при частичной поддержке Министерства общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36). \endthanks \abstract\nofrills %%%% \nofrills уничтожает "Abstract." \tenrm Изучаются банаховы пространства, обладающие (или не обладающие) аппроксимационными свойствами $ AP_s,$ $ 02,$ и это --- тема последующей статьи автора. \endabstract \endtopmatter % ========================================== \document \baselineskip=18pt %%%%% расстояние между строками % % ========================================== \footnote""{${ }^\ddag$ \tenrm %AMS Subject Classification: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, %trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc. Ключевые слова и фразы: $ p$-ядерные операторы, базисы, свойства аппроксимации, тензорные произведения.} %\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ } %\bigpagebreak % \magnification=\magstep1 %\pageheight{23 true cm} %\pagewidth{16 true cm} \def\a{\alpha} \def\ot{\otimes} \def\la{\lambda} \def\wh{\widehat} \def\ffi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \define\e{\varepsilon} \def\Q{\quad\blacksquare} \def\A{\operatorname{AP}} \def\AP#1{\operatornamewithlimits{AP_#1}} \def\ap[#1#2]{\operatornamewithlimits{AP}_{#1,#2}} \def\APD#1{\operatornamewithlimits{AP^{dual}}_#1} \def\nr[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1,#2}\,}} \def\NR[#1]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1}\,}} \def\n#1{\operatornamewithlimits{N_#1}\,} \def\nd[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1,#2}\,} \def\ND[#1]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1}\,} \def\nu[#1]{\operatornamewithlimits{N}^#1\,} \def\qn#1{\operatornamewithlimits{QN}_#1\,} \def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]} \def\tr{\operatorname{trace}\,} \bigskip Мы придерживаемся стандартных обозначений геометрической теории операторов в банаховых пространствах. Классический справочник по теории операторных идеалов --- монография А.Пича [7]. Обозначения и терминологию, которые мы используем, можно найти, например, в [7], [8], [10], [11]. Для наших целей достаточно лишь напомнить, что, если $ X, Y$ --- пара банаховых пространств и $ p>0,$ то через $ N_p(X, Y)$ обозначается пространство всех $ p$-ядерных операторов из $ X$ в $ Y,$ а через $ X^*\wh\ot_p Y$ --- ассоциированное с ним $ p$-проективное тензорное произведение. И еще одно важное напоминание. Если $ J$ --- некоторый операторный идеал, то $ J^{ \operatorname{ reg}}(X, Y)$ обозначает пространство всех операторов $ T$ из $ X$ в $ Y,$ для которых $ \pi_Y\,T\in J(X, Y^{**}),$ где, как обычно принято, через $ \pi_Y$ обозначается каноническое изометрическое вложение пространства $ Y$ в его второе сопряженное $ Y^{**}.$ \smallpagebreak В этой заметке нас, в основном, будут интересовать следующие два вопроса: \roster \item "{1)}" При каких условиях на банаховы пространства $\,X,Y\,$ каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _p \,Y\to\operatornamewithlimits{N_p}\left(X,Y \right)$ взаимно однозначно? \item "{2)}" При каких условиях на банаховы пространства $\,X,Y\,$ и на положительные числа $\,s,r\,$ \ $\operatornamewithlimits{N_s^{reg}}\left(X,Y \right)\subset \operatornamewithlimits{N_r}\left(X,Y \right)$? \endroster Оба эти вопроса весьма подробно изучались, например, в работах [10], [11]. Вопрос (2) рассматривался также в [2] при $r=s=1$ и в [8] при $r=s>1$. При некоторых других значениях параметров $p,r,s$ оба эти вопроса исследовались в работе [3]. Так, известная теорема А.Гротендика о 2/3 утверждает, что всегда $ \operatorname{ N_{2/3}^{reg}}\subset \operatorname{ N}_1$ (несколько ниже, доказательство этого утверждения можно будет увидеть в замечании 2) В качестве примеров отметим еще следующие факты: \roster \item "{a)}" если $X,Y$ -- произвольные банаховы пространства, то каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _{2/3} \,Y \to \operatorname{L}\left(X,Y \right)$ всегда взаимно однозначно (см. [3], [9], а также следствие $ 1'$ ниже); \item "{b)}" если каждое конечномерное подпространство $E$ пространства $Y\ $ $\ C\left({\operatorname{dim}E}\right)^\alpha $-дополняемо в $ Y$ (где $0<\alpha\le 1/2$), то для $s,$ $\ 1/s=1+\alpha,$ и для каждого банахова пространства $X$ каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _{s} \,Y \to\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ взаимно однозначно (см. [10]); \item "{c)}" если $01$, то здесь доказательство проводится по той же схеме, что и в [3], поэтому мы не станем повторяться). \endroster \remark {\bf Замечание {\rm 1}} Аналог утверждения d) в предположении, что $ Y^{**}\in \operatorname{ AP}$ (вместо $ X^*$), был сформулирован в [3] для $ p=1$ и в [5] для $ p>1.$ Ниже мы увидим, что эти последние факты неверны (впрочем, относительно случая $ p=1$ см. работу [6]). \endremark % В [10], среди прочего, показано, что утверждения \, (a)--(c) не могут быть улучшены "в шкале пространств $ l_p.$" Ниже мы уточним утверждения (a)--(c) для "шкалы пространств Лоренца"\footnote{ Но не в самой полной общности; по существу, нас дополнительно будет интересовать лишь пространство $ l_{s,\infty}$ при $ s< 1;$ но и при рассмотрении этого случая возникают не совсем очевидные обобщения; см. например, теорему 4 ниже.}, и покажем, что полученные новые утверждения неулучшаемы и здесь. Мы увидим также (и это, пожалуй, основное в работе), что все "отрицательные" результаты работ [8], [10], соответствующие утверждениям (a)--(d), имеют место в намного более сильных вариантах. Первый пример подобного рода "усиленного" контрпримера можно найти в статье [6], где установлено, что существует банахово пространство $ Z$ со специальными свойствами: \phantom{vv} (i) $Z^{**}$ сепарабельно и имеет базис (а $ Z^{***}$ без свойства аппроксимации); \phantom{vv} (ii) $\operatornamewithlimits{N_1^{reg}}\left(Z^{**},Z \right)\not\subset \operatornamewithlimits{N_1}\left(Z^{**},Z \right)$. Это --- пример, показывающий: что вторая часть утверждения А.Гротендика [3] (гл.1, с. 86, предложение 15) неверна. Ниже мы распространим указанный контрпример на случай показателей ядерности $ p,$ больших единицы и меньших двойки (но, конечно, отличных от двойки; соответствующие контрпримеры для $ p>2$ --- тема последующей статьи); см. теорему 5 и ее следствие . Ниже мы часто будем использовать следующие два факта, установленные в работе [4], --- первый из них есть в точности теорема 1 в [4], а второй --- следствие 1 там же (существование базиса в пространстве $ Z^{**}$ в лемме 2 вытекает из определения пространства $ Z$ в доказательстве этого следствия в [4]). \proclaim {\bf Лемма 1}\it Для всякого сепарабельного банахова пространства $ X$ существуют сепарабельное банахово пространство $ E$ и линейный гомоморфизм $ \psi: E^*\to X$ такие, что $ E^*$ имеет базис и $ E^{**}=\psi^*(X^*)\oplus \pi_E(E).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Лемма 2}\it Для всякого сепарабельного банахова пространства $ Y$ существуют сепарабельное банахово пространство $ Z$ и линейный гомоморфизм $ \ffi: Z^{**}\to Y$ такие, что $ Z^{**}$ имеет базис (и, следовательно, сепарабельно) и ядро гомоморфизма $ \ffi$ есть $ \pi_Z(Z).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 1}\it Для всякого сепарабельного банахова пространства $ Y$ существуют сепарабельное банахово пространство $ Z$ такое, что $ Z^{**}$ имеет базис, $ Z^{**}/\pi_Z(Z)$ изоморфно пространству $ Y,$\ $ \pi_Z(Z)^{\perp}$ дополняемо в $ Z^{***}$ % последнее верно всегда: $ Z^{***}=Z^*\oplus \pi_Z(Z)^{\perp}$ - % это проверяется непосредственно, но нигде не видел; ПОСМОТРЕТЬ!!! и выполняются следующие условия:\newline \phantom{vvv}(a) для любого $ p\in (0,1]$\ и всякого банахова пространства $ E$ тензорное произведение $E^*\wh\ot_p Y)$ изоморфно пространству $E^*\wh\ot_p \(Z^{**}/\pi_Z(Z)\),$ которое, в свою очередь, изоморфно фактор-пространству $$ N_p\(E, Z^{**}\)/\[\NR[p]\(E,\pi_Z(Z)\) \bigcap \( N_1(E, \pi_Z(Z))\) \];$$ \phantom{vvv}(b) для любого $ p\in (0,1]$\ и всякого банахова пространства $ E$ пространство $ N_p(E,Y)$ изоморфно пространству $ N_p\(E,Z^{**}/\pi_Z(Z)\),$ которое, в свою очередь, изоморфно фактор-пространству $ N_p\(E, Z^{**}\)/\NR[p]\(E,\pi_Z(Z)\).$ При этом все изоморфизмы в утверждениях (a) и (b) "канонические", то есть естественным образом порождаются заданным гомоморфизмом $ Z^{**}\to Z^{**}/\pi_z(Z)\to Y$ {\rm (подробности --- в доказательстве)}. \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Пусть $ Z$ --- из леммы 2. Обозначим для простоты $ Z^{**}/\pi_Z(Z)$ через $ F.$ Факторотображение $ \psi: Z^{**}\to Z^{**}/\pi_Z(Z)=F $ индуцирует естественным образом отображение $ \Psi: N_p(E, Z^{**})\to E^*\wh\ot_p F,\,$ $ \Psi(T):= \psi\circ T.$ Так как $ p\le 1,$ то понятно, что это отображение $ \Psi$ есть отображение "на". Посмотрим, что из себя представляет ядро этого отображения. Пусть $ U\in \operatorname{ Ker}\,\Psi.$ Это означает, что для любого $ A\in \operatorname{ L}(F, E^{**})$ след $ \tr A\circ\psi\circ U$ равен нулю; или, что для любого $ B\in \operatorname{ L}(Z^{**}, E^{**}),$ такого, что $ B|_{\pi_z(Z)},$ след $ \tr B\circ U$ равен нулю. Отсюда вытекает, что $ U(E)\subset \pi_Z(Z)$ (в противном случае, найдется такой одномерный оператор $ R\in \operatorname{ L}(Z^{**}, E^{**}),$ что $ R|\pi_Z(Z)=0$ и $ \tr R\circ U\neq 0$). Итак, $ U\in \NR[p](E, \pi_Z(Z)).$ Нам надо уточнить это включение: докажем, что, на самом деле, $ U\in N_1(E, \pi_Z(Z))$ %$\subset \NR[p](E, \pi_Z(Z)).$ Предположим, что $ U\notin N_1(E, \pi_Z(Z)).$ Тогда найдется такой оператор $ B\in \operatorname{ L}(Z^{**}, E^{**}),$ что $ \tr B\circ U =1,$ но $ \tr B\circ T =0$ для любого $ T\in N_1(E, \pi_Z(Z)).$ Так как $ \pi_Z(Z)$ обладает свойством аппроксимации Гротендика, то из последнего вытекает, что $ B|_{\pi_Z(Z)}=0,$ что противоречит выбору и свойствам $ U.$ Итак, $ U\in N_1(E, \pi_Z(Z)).$ С другой стороны, очевидно, что для любых $ V\in N_1(E, \pi_Z(Z))$ и $ B\in \operatorname{ L}(Z^{**}, E^{**}),$ где $ B|_{\pi_Z(Z)}=0,$ имеем: $ \tr B\circ V=0.$ Поэтому $ \operatorname{ Ker}\,\Psi = \NR[p]\(E,\pi_Z(Z)\) \cap \( N_1(E, \pi_Z(Z))\).$ Отсюда вытекает утверждение (a). Рассмотрим теперь факторотображение $$ \Psi_0:\qquad N_p(E, Z^{**})\overset{\Psi}\to\to E^*\wh\ot_p F \overset{j}\to\to N_p(E, F), $$ где $ j$ --- каноническое факторотображение, Его ядро $ \operatorname{ Ker}\,\Psi_0$ состоит из всех тез операторов $ U\in N_p(E, Z^{}**),$ которые превращаются в тождественный нуль после действия факторизации $ \psi: Z^{**}\to F,$ то есть из тех $ U,$ для которых $ U(E)\subset \operatorname{ Ker}\,\psi=\pi_Z(Z).$ Это и означает, что $ \operatorname{ Ker}\, \Psi_0= \NR[p](E, \pi_z(Z)).$ $\quad\blacksquare$\enddemo Отметим любопытный "побочный" эффект наших рассуждений (это, конечно, "выстрел из пушки по воробьям"): \proclaim {\bf Следствие $1'$ {\rm (А.Гротендик [3])}}\it Если $ p\in (0,2/3],$ то $ G^*\wh\ot_p Y = N_p(G,Y)$ для любых банаховых пространств $ G$ и $ Y$ (то есть факторизации при каноническом фактор-отображении $ G^*\wh\ot_p Y \to N_p(G,Y)$ не происходит). \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Ясно, что можно ограничиться рассмотрением лишь сепарабельных пространств. Если $ p\le 2/3,$ то всякий оператор $ U\in \NR[p](G, \pi_z(Z)),$ где $ Z$ --- из леммы 2 (или, что то же самое, из следствия 1), факторизуется через ядерный диагональный оператор (см. ниже замечание 2) и, следовательно, сам является ядерным. Поэтому $ \NR[p]\(G,\pi_Z(Z)\)\cap \( N_1(G, \pi_Z(Z))\)= \NR[p]\(G,\pi_Z(Z)\)$ и применимо следствие 1. $\quad\blacksquare$\enddemo Напомним, что банахово пространство $ X$ обладает свойством аппроксимации порядка $p, \, p\in (0,+\infty]\,$ (коротко, $X\in \operatornamewithlimits{AP_p}$), если для каждого банахова пространства $ Z$ каноническое отображение $Z^*\widehat \otimes _p \,X \to \operatorname{L} \left(Z,X \right)$ является взаимно однозначным (см., например, [8], [10]). Удобно ввести еще дополнительные обозначение и определение, связанные с аппроксимационными условиями. Именно, для пары пространств $ X,Y$ и числа $ s\in(0,1)$ обозначим через $Y^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X $ линейное пространство, состоящее из тензоров $ z\in Y^*\widehat \otimes _1 \,X$ (проективное тензорное произведение), допускающих представление вида $$ z=\sum_{k=1}^\infty \la_k \,y'_k\otimes x_k \ \text{ где }\ \la_k\searrow,\,\la_k^s=o(1/k),\, \|y'_k\|\,\|x_k\|=1. $$ \definition {Определение {\rm 1}} Банахово пространство обладает свойством $\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}\,$, где $s\in (0,1],\,$ если для любого банахова пространства $ Z$ каноническое отображение $Z^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X \to \operatorname{L} \left(Z,X \right)$ взаимно однозначно (иными словами, $Z^*\widehat\otimes _{s,\infty} \,X = \operatornamewithlimits{N_{s,\infty}}\left(Z,X \right);$ должно быть вполне понятно, что из себя представляет операторное пространство справа). \enddefinition Отметим, что пространство $ X$ обладает свойством $ \operatorname{ AP}_{s,\infty}$ тогда и только тогда, когда взаимно однозначным является каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X \to \operatorname{L} \left(X,X \right);$ в этом случае, $X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X = \operatornamewithlimits{N_{s,\infty}}\left(X,X \right).$ \proclaim {Теорема {\rm 1}} \roster \runinitem "{1)}" Пусть $\alpha\in (0,1/2],\, C>0,\,$ и $X$ --- банахово пространство. Если каждое конечномерное подпространство $E$ пространства $X$ $C\,( \operatorname{ dim}E^\alpha)$-дополняемо в $X,$ то $X\in \operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}},$ где $1/s=1+\alpha$. В частности, {\rm (надо взять $\,\alpha =1/2$),} всякое банахово пространство обладает свойством $\operatornamewithlimits{AP_{2/3,\infty}},$ а если $X$ является подпространством или факторпространством некоторого пространства $\operatornamewithlimits{L^p}(\mu),$ где $p\in (1,+\infty)$, $p\ne 2$, то $X\in\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$ \ ($1/s=1+|1/p-1/2|$). \endroster \roster \runinitem "{\phantom{vv}2)}" Для каждого $s\in [2/3,1)$ существует такое сепарабельное рефлексивное пространство $Y,$ что $Y\in \operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$, но $Y\notin \operatornamewithlimits{AP_{r}}$ каково бы ни было $r\in (s,1]$. \endroster \endproclaim {\it Доказательство} части 2) теоремы совершенно аналогично доказательству соответствующего факта из [10] (а именно, утверждений 1) и 2) теоремы 5.4 в [10]); доказательство этой теоремы 5.4 дословно переносится на наш случай, только вместо леммы 5.1 из [10] надо использовать такое усиление части 1 нашей теоремы 1: \proclaim {Предложение {\rm 1}} Пусть $\alpha\in (0,1/2],\, C>0 ,\,$ и $X$ --- банахово пространство. Предположим: что для каждого конечномерного подпространства $E$ пространства $X$ найдется такое конечномерное подпространство $E,\, E\subset F\subset X,\, $ что $F$ --- $\, C\left(\operatorname{dim}E \right)^\alpha$-дополняемо в $X$. Тогда $X\in\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$, где $1/s=1+\a$. \endproclaim Здесь снова достаточно сослаться на статью [10]. Наше предложение 1, по существу, доказано в работе [10], лемма 5.1: если внимательно просмотреть доказательство этой леммы в [10], то нетрудно увидеть, что основное, что использовалось в этом доказательстве, --- это принадлежность соответствующего тензора $ z$ проективному тензорному произведению (у нас в этой работе все тензоры таковы) и оценка $ \lambda_j^s=o(j^{-1})$ для коэффициентов $ z$ из доказательства упомянутой леммы 5.1. Поэтому мы не станем повторять все те аргументы из [10], использованные при доказательстве этой леммы, а отошлем читателя за подробностями к работе [10]. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \proclaim {Теорема {\rm 2}} \roster \runinitem "{1)}" \,Пусть $\, s\in \(0,1\). $ Если $\, X^*\in \,\ap[s\infty]\ $ или $\, Y^{***}\in \,\ap[s\infty],\ $ то $\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\).$ В частности, для любых банаховых пространств $X\,$ и $Y\,$ имеем: $\nr[{2/3}\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\left(X,Y\right).$ \endroster \roster \runinitem "{\phantom{vv}2)}" Существует банахово пространство $Z,\,$ обладающее следующими свойствами: \phantom{vvvv} (i) $Z^{**}\,$ имеет базис \ (\,следовательно, $Z^{**}\in \A $);\newline \phantom{vvvv} (ii) для каждого $\ s\in \(2/3,1\]$ \qquad $\NR[s] \left(Z^{**},Z\right)\not\subset \n1\(Z^{**},Z\).$ \newline Таким образом, аппроксимационные условия, наложенные на $X\,$ и $Y\,$ в $1)$ существенны. \endroster \endproclaim \demo{Доказательство} 1) Предположим, что существует такой оператор $ T\in L(X,Y),$ что $ T\notin N_1(X,Y),$ но $ \pi_Y\,T\in N_{s,\infty}(X,Y^{**}).$ Так как либо $ X^*,$ либо $ Y^{**}$ обладает свойством $ \ap[s\infty],$ то $ N_{s,\infty}(X,Y^{**})=X^*\widehat\otimes_{s,\infty} Y^{**}.$ Следовательно, оператор $ \pi_Y\,T$ можно отождествить с тензорным элементом $ t\in X^*\widehat\otimes_{s,\infty} Y^{**}\subset X^*\widehat\otimes_1 Y^{**};$ при этом по выбору $ T,$ \ $ t\notin X^*\widehat\otimes_1 Y$ \ (как обычно, $ X^*\widehat\otimes_1 Y$ рассматривается как подпространство пространства $ X^*\widehat\otimes_1 Y^{**}$). Следовательно, существует такой оператор $ U\in L(Y^{**},X^{**})=\( X^*\widehat\otimes_1 Y^{**}\)^*,$ что $ \tr U\circ t=\tr \(t\circ \( U^*|_{X^*}\) \)=1$ и $ \tr U\circ z=0$ для любого $ z\in X^*\widehat\otimes_1 Y.$ Из последнего вытекает, в частности, что $ U|_Y=0$ и $ \pi^*\,U^*|_{X^*}=0.$ Действительно, если $ x'\in X^*$ и $ y\in Y,$ то $$ = = \tr \,U\circ (x'\otimes y)=0. $$ Очевидно, что тензорный элемент $ U\circ t$ порождает оператор $ UT,$ который тождественно равен нулю. Если $ X^*\in\ap[s,\infty],$ то $ X^*\widehat\otimes_{s,\infty} X^{**}= N_{s,\infty}(X,X^{**})$ и, значит, тензорный элемент нулевой, что противоречит равенству $ \tr\, U\circ t=1.$ Пусть теперь $ Y^{***}\in \ap[s,\infty].$ В этом случае оператор $$ V:= \( U^*|_{X^*}\)\circ T^*\circ \pi_Y^*: \ Y^{***}\to Y^* \to X^*\to Y^{***} $$ однозначно определяет некоторый тензорный элемент $ t_0\in Y^{****}\widehat{\otimes}_{s,\infty} Y^{***}.$ Возьмем какое-либо представление $ t=\sum x'_n\otimes y_n$ для $ t$ как элемента пространства $ X^*\widehat{\otimes}_{s,\infty} Y^{**}.$ Имеем: $$\multline Vy'''=U^*\, \( T^*\pi_Y^*\,y'''\) = U^*\, \( (T^*\pi_Y^*\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = U^*\, \( (\pi_Y T)^*\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = \\ = U^*\, \( (\sum y''_n\otimes x'_n)\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) =U^*\, \( \sum \,x'_n \) = \\ = \sum <\pi_Y^{**}y''_n, y'''> \,U^* x'_n. \endmultline $$ Итак, оператор $ V$ (или элемент $ t_0$) имеет в пространстве $ Y^{****}\widehat\otimes_{s,\infty} Y^{***}$ представление $$ V= \sum \pi_Y^{**}(y''_n)\otimes U^* (x'_n). $$ Следовательно, $$ \tr t_0=\tr V= \sum <\pi_Y^{**}(y''_n), U^* (x'_n)> = \sum = \sum 0=0. $$ С другой стороны, $$ Vy'''= U^* \( \pi_Y T\)^* y'''= U^*\circ t^* (y''')= \( \sum \, x'_n\)= \sum \, U^* x'_n, $$ откуда $ V=\sum y''_n\otimes U^*(x'_n).$ Поэтому $$ \tr t_0=\tr V= \sum = \sum = \tr U\circ t=1.$$ Полученное противоречие завершает доказательство первой части пункта 1). Случай $ s=3/2$ сводится к применению только что доказанного утверждения и первой части теоремы 1. 2) Хорошо известно, что существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство $ X$ и ненулевой тензорный элемент $ z\in X^*\wh\ot_1 X$ такие, что $ z\in X^*\wh\ot_s X$ для всех $ s>2/3,$ но ассоциированный оператор $ \wt z$ есть тождественный нуль (см., например, [1], [7]). Таким образом, для любого $ s\in (0,1]$ \ $ X^*\wh\ot_s X\neq N_s(X,X).$ По следствию 1, существуют сепарабельное $ Z$ и гомоморфизм $ \ffi: Z^{**}\to X$ такие, что $ Z^{**}$ имеет базис, $ \operatorname{ Ker}\,\ffi=\pi_Z(Z),\,$ $ \ffi^*(X^*)$ дополняемо в $ Z^{***}$ и $ \NR[s](X,Z)\not\subset N_1(X,Z)$ при всех $ s>2/3.$ Так как $ \ffi^*(X^*)$ дополняемо в $ Z^{***},$ то, очевидно, $ \NR[s](Z^{**}, Z) \not\subset Z^{***}\wh\ot_1 Z = N_1(Z^{**}, Z)$ при любом $ s>2/3.$ $\Q$ \enddemo \remark {\bf Замечание {\rm 2}} Совсем нетрудно показать, что $\ \NR[2/3]\subset \n1. $ Действительно, если оператор $ T$ действует из пространства $ E$ в пространство $ Z$ и является $ 2/3$-ядерным как оператор из $ E$ в $ Z^{**},$ то по самому определению $ 2/3$-ядерного оператора, "расщепляя" коэффициенты его разложения в тензорный ряд на пары соответствующим образом подобранных множителей, мы можем разложить сам оператор $ T$ в произведение: $$ \gather T:\ E @>\ \, A\ \,>> c_0 @>\ \Delta_1\ >> l^1 @>\ \,j\ \,>> l^2 @>\ \Delta_2\ >> l^1 @>\ B\ >> Z^{**} \\ \endgather $$ где $ \Delta_j$ --- диагональные операторы (таким образом, $ \Delta_1$ --- ядерный), а остальные операторы непрерывны. Спроектировав ортогонально в $ l^2$ на замыкание образа оператора $ j\,\Delta_1\,A,$ и рассмотрев $ B$ только на этой проекции, мы получим в совокупности все тот же оператор $ T:E\to Z;$ этот простой трюк показывает, что $ T$ --- ядерный из $ E$ в $ Z.$ В данный момент у меня нет никакой идеи, как примерно подобным способом непосредственно можно получить соответствующий результат из последней теоремы (то есть, для $\nr[{2/3}\infty] $). %At this moment I have no idea %how to obtain the inclusion $\,\nr[{2/3}{\infty}]\subset \n1\,$ %directly by an analogous way \,(may be, one have to get a factorization %through $\,l_2\,$ not for whole operator but for its finite dimensional %parts by using the fact that every $\,n$-dimensional subspace of a %Banach space is $\,n^{1/2}$-complemented ). \endremark % \proclaim {Следствие {\rm 2}} Пусть $X$ --- такое рефлексивное банахово пространство, что каждое $n$-мерное подпространство в $X$ $\,Cn^\alpha$-дополняемо в $X$ \,(здесь $C>0, \alpha \in (0,1/2) \,$ --- некоторые постоянные, $\,n=1,2,\dotso $). Тогда для любого банахова пространства $Y$ $$\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\).$$ где $\,1/s=1+\alpha$. \par В частности, если $\,X\subset L^p(\mu), 12/3,$ но $A\notin \n1 \(Z^{**},Z\).$ \endproclaim \proclaim {Теорема {\rm 3}} Для всякого $s\in \[2/3,1\) $ существует такое сепарабельное банахово пространство $Z,$ что \roster \item "{(i)}" $Z^{**}$ имеет базис; \item "{(ii)}" все пространства $Z, Z^*, Z^{**},\dotso$ обладают свойством $\AP s$; \item "{(iii)}" $Z^{***}$ не обладает свойством $\AP r,$ каково бы ни было $r\in \(s,1\]$; \item "{(iv)}" для всякого банахова пространства $X$ $$\nr[s\infty] \(X,Z\) \subset \n1\(X,Z\) \quad \text{и}\quad \nr[s\infty] \(Z^{**},X\) \subset \n1\(Z^{**},X\);$$ \item "{(v)}" для каждого $\ r\in \(s,1\]$ \quad $\NR[r] \(Z^{**},Z\) \not\subset \n1\(Z^{**},Z\).$ %{\roster \item "{ }" %\item "{ }" Более того, существует такой оператор $U: Z^{**} \to Z, $ что $U\in \NR[r]\(Z^{**},Z \)$ для всех $\ r\in \(s,1\],$ но $U\notin \n1\(Z^{**},Z\).$ %\endroster} \endroster \endproclaim {\it Доказательство} проводится по схеме, аналогичной доказательству пункта 2) теоремы 2 с использованием последовательно теоремы 1,2), следствия 1 и теоремы 2,1). Мы опускаем подробное доказательство, предоставляя его, в качестве нетрудного упражнения, читателю. С другой стороны, автор намеревается привести более общий факт с подробным доказательством в последующей работе, которая будет посвящена, в частности, рассмотрению случая $ s\ge 1.$ %The method of the proof of Theorem 2.3 is essentially the same as one %for the part 2) of Theorem 2.2 by using Corollary 1, Theorem 2.1 and %Theorem 2.2,1). We omit it since later the analogous arguments will be %applied to the case $s\ge 1$. Рассмотрим теперь вопрос о том, что можно получить в утверждениях наших теорем, если полностью отказаться от каких-либо аппроксимационных предположений относительно рассматриваемых пространств (как, например, в случае $ s=2/3$ из теоремы 2,1) - хотя там неявно подобные условия присутствуют, ведь каждое банахово пространство обладает свойством $ \ap[2/3,\infty]$). Сначала посмотрим, как будет выглядеть в этой ситуации часть 1) теоремы2. Предварительно сформулируем одно вспомогательное предложение, которое, по существу, доказано в [10] (теорема 2,1,А). Нам удобно будет обозначать каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y \to X^*\widehat \otimes _p \,Y$ через $\varphi ^{\infty}_{sp},$ а каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _p \,Y \to \operatorname{L} \(X,Y\) $ --- через $j_p.$ \proclaim {Предложение {\rm 3}} Если $s\le 1$ и $p\ge 2s/(2-s),$ то отображение $$j_p:\, \varphi ^{\infty}_{sp}\(X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y\) \to \operatorname{L} \(X,Y\) $$ является взаимно однозначным. \endproclaim Доказательство этого предложения можно найти в [10] (см. доказательство пункта $ A$ теоремы 2,1; --- оно почти дословно переносится на наш случай, рассматриваемый в предложении 3). \smallpagebreak Приведем теперь усиление теоремы 3.1.A) из [10], где было показано, что в условиях предложения 3 имеет место включение $\NR[s] \(X,Y\) \subset \n p\(X,Y\) $. Доказательство, однако, не будет столь элементарным, как в [10]. \proclaim {Теорема {\rm 4}} Если $2/3\le s<1$ и $p=2s/(2-s),$ то $\nr[s\infty] \(X,Y\) \subset \n p\(X,Y\), $ каковы бы ни были банаховы пространства $X$ и $Y$. \endproclaim \demo{Proof} Пусть $ T\in \nr[s\infty]$ и $ T\neq 0.$ Зафиксируем тензорный элемент $ t=\sum \bar x'_n\ot y''_n\in X^*\wh\ot_{s,\infty} Y^{**},$ порождающий оператор $ T$ (то есть, $\pi_Y T=\wt t$). Достаточно показать, что $ t\in X^*\wh\ot_p Y$ (то есть, что образ $ \ffi^\infty_{sp}(t)\in X^*\wh\ot_p Y^{**}$ лежит, на самом деле, в подпространстве $ X^*\wh\ot_p Y$). Предположим, что $ t\notin X^*\wh\ot_p Y.$ В этом случае найдется оператор $ U\in \Pi_{p'} (Y^{**}, X^{**}),$ для которого $ \tr U\circ t=0$ и, с другой стороны, $ \tr U\circ z=1$ для всех $ z\in X^*\wt\ot_p Y.$ В дальнейшем удобно иметь перед глазами несколько диаграмм (с комментариями): $$ \gather X @>\ \, T\ \,>> Y @>\ \pi_Y >> Y^{**} @>\ \,B\ \,>> Z_{p'} @>\ S\ >> X^{**} @>\ T^{**}\ >> \pi_Y(Y) \\ \endgather $$ ($U=SB;\ \wt t=\pi_Y T; \ B\pi_Y=jB_0;$\ $A:=\pi^{-1}T^{**}S $ (он появится позже); \ $ U\pi_Y=0 $ и $Sj=0 $ ) $$ \gather Y @>\ B_0\ >> Y_{p'} @>\ \, j\ \,>> Z_{p'} @>\ S\ >> X^{**} @>\ \,T^{**}\ \,>> \pi_Y(Y) @>\ \pi^{-1}_Y\ >> Y @>\ B_0\ >> Y_{p'} \\ \endgather $$ Здесь $ Z_{p'}\subset L_{p'}(\mu)$ (для некоторой конечной меры $ \mu$); $ B\in\Pi_{p'}(Y^{**}, Z_{p'})$ и $S\in L(Z_{p'}, X^{**}),\,$ --- таковы, что $ U=SB;$ $Y_{p'}=B\pi_Y(Y);$\ $ B_0$ --- оператор, индуцированный оператором $ B;$ $ j$ --- тождественное вложение. Заметим, что, в силу компактности $ T,$ \ $T^{**}(X^{**})\subset \pi_Y(Y).$ Кроме того, $ U\pi=0$ по предположению; следовательно, $ Sj=0.$ Обозначим также оператор $ \pi^{-1}_Y T^{**}S$ через $ A.$ Так как $ Z_{p'}\subset L_{p'}(\mu)$ и $ \pi_Y A\in N_{s,\infty},$ то, по теореме 1,1), оператор $ \pi_Y A$ однозначно определяется тензорным элементом из $ Z^*_{p'}\wh\ot_{s,\infty},$ который мы снова будем обозначать через $ \pi_Y A.$ Ясно, что $$ \pi_Y A= T^{**} S = \sum S^* \( \pi_{X^*}(\bar x'_n)\) \ot \bar y''_n. $$ По следствию 2 и замечанию после него, $ A\in Z^*_{p'}\wh\ot_1 Y,$ причем $$ \multline \tr B(\pi_Y A)=\tr (B\pi_Y)\circ A = \sum =\\ =\sum <\bar x'_n,\, U\bar y''_n> = \tr U\circ t=1. \endmultline $$ Отсюда, в частности, вытекает, что $ \pi_Y a\neq 0$\, (и $ A\neq 0$). Возьмем некоторое представление $ A$ вида $ \sum z'_n\ot y_n$ как элемента пространства $ Z^*_{p'}\ot_1 Y;$ это также и представление тензорного элемента $ \pi_Y A\in Z^*_{p'}\wh\ot_{s,\infty} Y^{**}$\ (но в пространстве $ \pi_Y A\in Z^*_{p'}\wh\ot_1 Y^{**} $). Имеем: $$ \multline 1= \tr (B\pi_Y)\circ A=\tr (jB_0)\circ A= \tr (jB_0)\circ \( \sum z'_n\ot y_n\)=\\ = \sum = \sum = \tr \( jB_0^{**}\)\circ \( \sum z'_n\ot \pi_Y y_n\) =\\ = \tr \( jB_0^{**}\)\circ \( \pi_Y A\) = \tr \( jB_0^{**}\)\circ \( \sum S^* \( \pi_{X^*}(\bar x'_n)\) \ot \bar y''_n\)= \\= \sum = \tr B_0^{**}\circ \( \sum \((Sj)^*\, \pi_{X^*}\)\ot \bar y''_n\). \endmultline $$ Отсюда следует, что тензорный элемент $ \a:= \sum \((Sj)^*\, \pi_{X^*}\)\ot \bar y''_n,$ лежащий в пространстве $ Y^*_{p'}\wh\ot Y^{**},$ не равен нулю. По теореме 1,1), не равен нулю и порождаемый им оператор $ \wt \a.$ Остается заметить, что $ \wt\a=T^{**}Sj=0.$ $\Q$ \enddemo \remark {\bf Замечание {\rm 4}} Утверждение $\text{A}'$ теоремы 3.1 из [10] показывает, что наша теорема 4 точна. Аналогичное замечание можно отнести и к проложению 3. Следующий факт, однако, намного сильнее, чем часть $\text{A}'$ теоремы 3.1 из [10], в которой установлено существование двух банаховых пространств $X$ и $Y,$ для которых, в частности, $\NR[s] \(X,Y\)\not\subset \n p \(X,Y\)$ и $Y\in \A$. Под впечатлением неверного результата А.Гротендика, о котором шла речь выше (см. начало заметки --- до определения 1), я написал в замечании к теореме 3.1 в [10], что $ Y$ "конечно, не обладает свойством ограниченной аппроксимации" $\operatorname{BAP}$. Сейчас мы увидим, что последняя фраза была лишена оснований. \endremark \proclaim {Теорема {\rm 5}} Пусть $r\in [2/3,1)$ и $1/r=1/2+1/p.$ Существуют два сепарабельных банаховых пространства $Z$ и $W$ такие, что \roster \item "{(i)}" $W$ и $Z^{**}$ имеют базисы; \item "{(ii)}" как $W,$ так и все сопряженные к нему пространства $ W',W'',\dots\,$ обладают свойством $\ap[r\infty]$; \item "{(iii)}" $W^*$ не обладает свойством $\AP s$ ни при каком $s \in (r,1]$; \item "{(iv)}" для любого банахова пространства $\ E$ \quad $\nr[r\infty]\(W,E\)\subset \n1\(W,E\)$; \item "{(v)}" $\NR[s]\(W,Z\)\not\subset \n p \(W,Z\),$ каково бы ни было $s\in (r,1]$. \endroster \endproclaim \demo{Proof} Достаточно показать, что для каждого $ s, r= \sum 0=0;$ следовательно, $ \a\notin X^*\wh\ot_p Z$ (мы воспользовались тем, что $ V\in\Pi_{p'}(Z,X)$). Таким образом, $\NR[s]\(X,Z\)\not\subset \n p \(X,Z\).$ Заметим, что $ X$ (и $ X^*$) обладает свойством $ \ap[r,\infty]$ (теорема 1,1) --- вспомним, где лежит пространство $ X$), но не обладает свойством $ \ap[s,\infty]$ (теорема 2,1)). Рассмотрим теперь такое сепарабельное банахово пространство $ E,$ что $ E^*$ имеет базис и существует гомоморфизм $ \psi$ из $E^*$ на $ X$ с тем свойством, что $ E^{**}=\psi^*(X^*)\oplus \pi_E(E)$ (лемма 1). Положим $ W=E^*.$ Так как $ E\in\AP 1$ и $ X^*\in \ap[r,\infty],$ то все сопряженные пространства $W^*, W^{**},\dots$ обладают свойством $ \ap[r,\infty];$ по теореме 2,1), имеет место утверждение (iv), а по построению, --- утверждение (v). Кроме того, $ W^*\notin \ap[s,\infty].$ $\Q$ \enddemo Из (i) и (v) предыдущей теоремы моментально вытекает \proclaim {\bf Следствие 3}\it Существует пара сепарабельных банаховых пространств $ Z, W$ со следующими свойствами. Пространства $ Z^{**}$ и $ W$ имеют базисы (и, следовательно, обладают свойством аппроксимации), и для каждого $ p, 1\le p<2,\,$ найдется не $ p$-ядерный оператор из $ W$ в $ Z$ с $ p$-ядерным вторым сопряженным. \endproclaim\rm \remark {\bf Замечание 5} Подобного феномена не может быть, если либо $ W^*,$ либо $ Z^{***}$ обладает свойством аппроксимации. Вскользь об этом уже упоминалось выше (частный случай сформулирован в теореме $2'$). Что касается случая $ p>2,$ то с ним будет иметь дело последующая статья автора. \endremark\medpagebreak \vskip0.5in %\eightpoint % \newpage ${ }$\smallskip \centerline{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА} \bigpagebreak \ref \no 1\by Davie A.M. \pages 261-266 \paper The approximation problem for Banach spaces \yr 1973\vol 5 \jour Bull. London Math. Soc. \endref \ref \no 2\by Figiel T., Johnson W.B.\pages 197-200 \paper The approximation property does not imply the bounded approximation property \yr 1973\vol 41 \jour Proc. Amer. Math. Soc. \endref \ref \no3\by Grothendieck A. \pages 196-140 \paper Produits tensoriels topologiques et espases nucl\'eaires \yr 1955\vol 16 \jour Mem. Amer. Math. Soc. \endref \ref \no 4\by Lindenstrauss J.\pages 279-284 \paper On James' paper "Separable Conjugate Spaces" \yr 1971\vol 9 \jour Israel J. Math. \endref \ref \no 5\by Макаров Б.М., Самарский В.Г.\pages 122-144 \paper Слабая секвенциальная полнота и близкие к ней свойства некоторых пространств операторов \yr 1983\vol 1 \jour в кн. "Теория операторов и теория функций". Л.:ЛГУ \endref \ref \no 6 \by Oja E., Reinov O.I. \pages 121-122 \paper Un contre-exemple \`a une affirmation de A.Grothendieck \yr 1987 \vol 305 \jour C. R. Acad. Sc. Paris. --- Serie I \endref \ref \no 7 \by Пич А.\pages 536 с \paper Операторные идеалы \yr 1982\vol \jour Москва: Мир \endref \ref \no 8 \by Reinov O.I.\pages 125-134 \paper Approximation properties of order p and the existence of non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints \yr 1982 \vol 109 \jour Math. Nachr. \endref \ref \no 9 \by Рейнов О.И. \pages 115-116 \paper Простое доказательство двух теорем А. Гротендика \yr 1983 \vol 7 \jour Вестн. ЛГУ \endref \ref \no 10 \by Рейнов О.И.\pages 145-165 \paper Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов \yr 1983\vol \jour в кн. "Теория операторов и теория функций". Л.:ЛГУ \endref \ref \no 11\by Reinov O.I. \pages 905-907 \paper Sur les operateurs p-nucl\'eaires entre espaces de Banach avec bases \yr 1993\vol 316 \jour C. R. Acad. Sc. Paris. --- Serie I \endref \enddocument %######### СЛЕДУЮЩАЯ СТАТЬЯ - СЛУЧАЙ s>1 - нужно обобщение Линденштраусса %%%%%%%%% Рабочее поле