%Author: O.I. Reinov.
%Title: On factorization of operators through the spaces $ l^p.$
%
%Filename:    Reip_fac.tex
%TeX: AMSTeX
%Length: 24205 bytes
%Received Date:
%SubjectClass: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, trace class operators,
%nuclear operators, p-summing operators, etc.
%
%Abstract:
%  We give conditions on a pair of Banach spaces
%X and  Y,  under which
%  (*) each operator from  X to  Y, whose second adjoint
%factors compactly through the space  l^p,
%1\le p\le +\infty, itself compactly factors through  l^p.
%  The conditions are as follows:
%either the space  X*, or the space  Y*** possesses
%the Grothendieck approximation property.
%The corresponding question for parameters  p>1, p\neq 2,
%still being open, we show that for  p=1
%the conditions are essential:
%there exist Banach spaces with the bases for which
%the assertion (*) invalid for the case of  l^1-factoring
%operators.
%

%Citation: Preprint

%Inserting TeX file starting here.

 %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex
 %%                                                               97.6.10)
 %%AmS-TeX- Version 2.1
 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%           AMSTeX
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       %Last Modified   02.07.99 4:49:38 Fri

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Сюда вставляются команды отмены логотипа "AmsTeX"
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %\Monograph
\magnification=\magstep1
\parindent=1em %%%% размер двойного тире; "9" имеет половину em
         %\vsize=7.4in   %%%% 1in = 2.54
     \baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками

  \CenteredTagsOnSplits
\NoBlackBoxes                           % ВАЖНО !!!!!!!!!!
\nopagenumbers %на этой странице не будет номера строки (до \newline)
	       % \nopagenumbers есть аббревиатура для \footline={\hfil}
$$ { }
$$
\vskip0.5in

\noindent
УДК 513.88\newline
Р е й н о в О. И.\
{\bf О факторизации операторов через пространства $ l^p.$ }
%--- Вестник СПб ГУ
\vskip15pt

 Приводятся условия, накладываемые на пару банаховых пространств
$ X$ и $ Y,$  при которых\newline\phantom{!}
$(*)$ всякий оператор из $ X$   в $ Y,$ второй сопряженный
к которому компактно факторизуется через пространство $ l^p,$
$ p\in[1,+\infty],$ сам компактно факторизуется через $ l^p.$\newline
\phantom{!} Эти достаточные условия таковы:
либо пространство $ X^*,$  либо пространство $ Y^{***}$ обладает
свойством аппроксимации Гротендика.
Оставляя открытым соответствующий вопрос для показателей $ p>1,\,p\neq 2,$
мы показываем, что при $ p=1$ указанные условия существенны:
существуют банаховы пространства с базисами Шаудера, для которых
сформулированное утверждение $(*)$ неверно для $ l^1$-факторизуемых
операторов.
\newline Библиогр. 4 назв.

\newpage
\NoRunningHeads
\pageno=1  %номер текущей страницы - для следующей команды:
\footline={\hss\tenrm\folio\hss} % центрировать, шрифт, \folio есть
    %аббревиатура для
    % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi
	      \def\lp{\bold l^{\bold p}}
        \topmatter
        \title {О факторизации операторов через пространства
               $ \lp.$ }
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$}  \endauthor
\address\newline
                          \tenrm
198904, Санкт--Петербург,\newline
Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline
Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
математико--механический факультет,\newline
кафедра математического анализа.
\endaddress

\email
                          \tenrm
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\thanks
                          \tenrm
${{ }^\dag}$ Работа выполнена при  частичной поддержке  Министерства
общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36).
\endthanks

\abstract\nofrills       %%%% \nofrills уничтожает "Abstract."
                          \tenrm
 Приводятся условия, накладываемые на пару банаховых пространств
$ X$ и $ Y,$  при которых\newline\phantom{V}
$(*)$ всякий оператор из $ X$   в $ Y,$ второй сопряженный
к которому компактно факторизуется через пространство $ l^p,\,$
$ 1\le p\le+\infty,\,$ сам компактно факторизуется через $ l^p.$\newline
\phantom{V} Эти достаточные условия таковы:
либо пространство $ X^*,$  либо пространство $ Y^{***}$ обладает
свойством аппроксимации Гротендика.
Оставляя открытым соответствующий вопрос для показателей $ p>1,\,p\neq 2,$
мы показываем, что при $ p=1$ указанные условия существенны:
существуют банаховы пространства с базисами Шаудера, для которых
сформулированное утверждение $(*)$ неверно для $ l^1$-факторизуемых
операторов.
\endabstract
    \endtopmatter
   %==========================================

\document
\baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками
%
  %==========================================
\footnote""{${ }^\ddag$
                          \tenrm
%AMS Subject Classification:  47B10. Hilbert--Schmidt operators,
%trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc.
Ключевые слова и фразы: $ p$-компактные операторы,
  $ l^p$-факторизуемые операторы, базисы, свойства аппроксимации,
  тензорные произведения.}

%\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ }
%\bigpagebreak
%


\magnification=\magstep1     \voffset1ex
%\pageheight{23 true cm}
%\pagewidth{16 true cm}

 \def\a{\alpha}                         \def\ot{\otimes}
 \def\la{\lambda}                       \def\wh{\widehat}
 \def\ffi{\varphi}                      \def\wt{\widetilde}
 \define\e{\varepsilon}                 \def\tto{\wt{\wt\ot}}
\def\Q{\quad\blacksquare}               \def\hho{\wh{\wh\ot}}
\def\A{\operatorname{AP}}
\def\AP#1{\operatornamewithlimits{AP_#1}}
\def\ap[#1#2]{\operatornamewithlimits{AP}_{#1,#2}}
\def\APD#1{\operatornamewithlimits{AP^{dual}}_#1}
\def\nr[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1,#2}\,}}
\def\NR[#1]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1}\,}}
\def\n#1{\operatornamewithlimits{N_#1}\,}
\def\nd[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1,#2}\,}
\def\ND[#1]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1}\,}
\def\nu[#1]{\operatornamewithlimits{N}^#1\,}
\def\qn#1{\operatornamewithlimits{QN}_#1\,}

\def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]}
\def\tr{\operatorname{trace}\,}

\def\N{\frak N}
\def\K{\frak K}
\def\L{\frak L}
\def\D{\frak D}
\def\bw{\text{\bf w}}
\def\bK{\text{\bf K}}
\def\bN{\text{\bf N}}
   \def\<{\langle}
   \def\>{\rangle}


\bigskip

%%%%          САМА СТАТЬЯ:
Один из немногих вопросов, остающихся открытыми в теории операторных идеалов,
связанных с понятием регулярности нормированного идеала, является вопрос
о возможности факторизации непрерывного оператора, действующего в
банаховых пространствах, через классические пространства последовательностей
$ l^p,$ при условии, что этот оператор, рассматриваемый как оператор
со значениями во втором сопряженном к пространству образов, допускает
факторизацию подобного рода. Точнее, речь здесь идет (и пойдет ниже)
о "компактной факторизации" через эти пространства.
Ясно, что мы отбрасываем тривиальный случай, когда $ p=2,$ так как
здесь ответ положителен по очевидным причинам: в гильбертовом пространстве
всякое его (замкнутое) подпространство дополняемо.

Немногое, из того, что известно относительно сформулированного вопроса, ---
это два результата, полученные автором еще в 1982 году (см. [Rei],
следствия 3.4 и 4.2): при $ p=1$  и при $ p=+\infty$ (факторизации через
пространства $ l^1$ и $ c_0$) ответы отрицательны. Техника, развитая
в работе [Rei], позволяла построить соответствующие контрпримеры
в пространствах, вообще говоря, не обладающих свойством аппроксимации
Гротендика.

В этой заметке мы приведем достаточные (и, по всей вероятности,
близкие к необходимым) условия, накладываемые на рассматриваемые банаховы
пространства, при которых ответ на упомянутый вопрос положителен
при любом значении параметра $p,\, 1\le p\le \infty.$
С другой стороны, мы покажем, что от тех достаточных аппроксимационных
условий, которые появляются у нас, отказаться (или немного ослабить их)
нельзя. Но, к сожалению, контрпример, который мы укажем, относится
только к одному случаю --- случаю компактной факторизации через
пространство $ l^1.$

По прежнему (давно){\it открытым остается соответствующий вопрос
о $ l^p$-фак\-то\-ри\-за\-ции операторов при}\ $ p>1,\, p\neq 2.$

Мне представляется, что у меня имеется контрпример подобный тому,
что приводится в нижеследующей теореме 2, для случая факторизации
через пространство $ c_0,$ но поскольку соответствующее
доказательство еще до конца не проверено, в этой заметке мы его
не рассматриваем.
\smallpagebreak

Мы придерживаемся стандартных обозначений геометрической теории операторов
в банаховых пространствах. Классический справочник по теории операторных
идеалов --- монография А.Пича [Пич].
Все рассматриваемые нами пространства $X,\,Y,\,Z,\dotso$ --- банаховы.
Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными
буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$.
За числами (вещественными или комплексными) мы резервируем обозначения
$ a,\, b_k,\, c,\, C_1,\, \a\, $ и т.п.. Для $ p\in [1,+\infty]$
сопряженный показатель $ p'$ определяется из соотношения $ 1/p+1/p'=1.$
Через $\L\left(X,Y \right)$ обозначается пространство всех
(линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой
(вообще, в данной работе под термином "\!оператор" всегда будет пониматься
линейный непрерывный оператор).

Напомним, что {\it банахово пространство обладает свойством аппроксимации}
\, (Гро\-те\-н\-дика), если тождественный оператор на нем аппроксимируется
в топологии компактной сходимости конечномерными операторами
(детали и другие переформулировки этого определения можно найти
в книге [Пич], либо непосредственно в первоисточнике [Gro]).
И еще одно важное напоминание. Если $ J$ --- некоторый
операторный идеал, то $ J^{ \operatorname{ reg}}(X, Y)$ обозначает
пространство всех операторов $ T$ из $ X$  в $ Y,$   для которых
$ \pi_Y\,T\in J(X, Y^{**}),$ где, как обычно принято, через $ \pi_Y$
обозначается каноническое изометрическое вложение пространства $ Y$
в его второе сопряженное $ Y^{**}.$ В некоторых случаях нам удобно
будет рассматривать некоторые банаховы пространства как подпространства
их вторых сопряженных (при канонических вложениях), не упоминая явно
операторы $ \pi,$ осуществляющие эти вложения.
\smallpagebreak

Пусть $ 0<p\le\infty.$ Семейство $ \left\{ x_j\right\}_{j=1}^\infty,$
где $ x_j\in X,$  называется {\it слабо $ p$-суммируе\-мым,}
если $ \left\{ \<x_j, x' \>\right\}\in l^p$ для всех $ x'\in X^*.$
Следуя А.Пичу и его обозначениям, мы полагаем
$$ \bw(x_j):=
  \sup_{\|x,\|\le 1} \left(\sum_j \, |\<x_n,\,x\>|^p\right)^{1/p}
$$

Если $ 1\le p\le\infty$ и
 $ S$ --- конечномерный оператор из $ X$ в $ Y,$
то его $ \K_p^0$-норма есть величина
$\bK_p^0(S):= \inf \left\{ \sup_j |a_j|\,\bw_p(x'_j)\,\bw_{p'}(y_j)
\right\},$
где точная нижняя грань берется по всем {\it конечным} представлениям
оператора $ S$ в виде
$$ S=\sum_{i=1}^n \a_j\,x'_j\ot y_j.
$$
Пополнение алгебраического тензорного произведения $ X^*\ot Y$ (которое
рассматривается нами как линейное пространство всех конечномерных операторов)
по этой норме $ \bK_p^0$ мы будем обозначать через
$ X^*\tto_p Y,$ оставляя за нормой в этом пополнении все то же обозначение
  $ \bK_p^0.$
 Каждый тензорный элемент $ z\in  X^*\tto_p Y$
представим в виде сходящегося ряда
$ z=\sum_{i=1}^\infty \a_j\,x'_j\ot y_j,$ где $ \a_j\to 0,$
причем для заранее заданного числа
$ \e>0$ это представление может быть выбрано так, что
$$  \sup_j |a_j|\,\bw_p(x'_j)\,\bw_{p'}(y_j) \le \bK_p^0(z)+\e
$$

Тензорное произведение $ X^*\tto_p Y$  естественным образом порождает
в $ \L(X,Y)$ линейное подпространство операторов;
оператор, соответствующий элементу $ z$ мы обозначаем через $ \tilde z.$
Вполне возможно (хотя, это, вообще говоря, неизвестно), что некоторые
{\it различные тензоры} \, $ z_1, z_2$ могут "склеиваться" при превращении
их в операторы (то есть, при $ z_1\neq z_2$ никто не запрещает быть
справедливым равенству $ \tilde z_1 = \tilde z_2$).
Факторпространство рассматриваемого тензорного произведения по
ядру (если таковое не тривиально) указанного отображения мы обозначаем
(опять таки, следуя обозначениям А.Пича) через $ \K_p(X,Y),\,$ а
получаемую при этом норму на этом пространстве операторов ---
через $ \bK_p.$ Отметим, что $ \[\K_p, \bK_p\] $ есть нормированный
операторный идеал, и он является частным случаем так называемых
идеалов $ (r, p ,q)$-ядерных операторов ---
$ \[\N_{(r,p,q)}, \bN_{(r,p,q)}\]\!:$\ \,
$ \[\K_p, \bK_p\] =  \[\N_{(\infty,p,p')}, \bN_{(\infty,p,p')}\].$
За подробностями мы отсылаем читателя к книге [Пич], стр. 280--291.
Однако имеется одна очень важная для нас вещь, касающаяся возможности
упомянутой нетривиальной факторизации. Именно,
{\it если одно из пространств $ X^*$ или $ Y$ обладает свойством
аппроксимации, то имеет место {\rm (формальное)} равенство}
$ \[X^*\tto_p Y, \bK_p^0\] = \[\K_p, \bK_p\],$
то есть ядро канонического отображения
$ X^*\tto_p Y \to \K_p(X, Y)$ тривиально и это отображение есть
изометрическая биекция. Доказательство этого факта в настоящее время
стандартно, и мы опускаем его, предлагая читателю в качестве
нетрудного упражнения.

Мы говорим, что оператор $ T: X\to Y$ {\it компактно факторизуется через
пространство $ l^p,$} \, (в терминологии А.Пича, является
{\it $ p$-компактным}\,),  если существуют два компактных оператора
$ A: X\to l^p$ и $ B: l^p\to Y,$ для которых $ T=BA.$ При этом,
в качестве нормы такого " $ l^p$-факторизуемого оператора" мы берем величину
$ \inf\,\|A\|\,\|B\|,$  где точная нижняя грань берется по всевозможным
факторизациям оператора $ T$ указанного вида.

Одна из центральных теорем, относящаяся к компактно
$ l^p$-факторизуемым операторам, формулируется при помощи следующих
соотношений:
$$ \bK_p(T) = \inf\,\{\|A\|\,\|B\|:\, T=BA: X\to l^p\to Y;\, A,B \,
\text{ --- компактны} \}
$$
и {\it идеал $ \K_p$ совпадает с идеалом всех операторов, компактно
факторизуемых через}\ $ l^p$\, (см. [Пич], стр. 291, теорема 18.3.2).
Сопряженное к $ \K_p(X,Y)$ пространство $ \D_{p'}(Y,X^{**}),\, $
описывается на той же странице указанной монографии, но поскольку,
по существу, знание того, из каких операторов состоит это сопряженное
пространство, нам не понадобится, то мы и не станем здесь вдаваться
в дальнейшие детали. Читателю стоит, все таки, заглянуть в эту книгу,
чтобы получить некоторую минимальную информацию об элементах
сопряженного пространства. Для нас важно то, что из определения
операторов, входящих в это пространство, моментально следует,
что {\it все ряды, которые будут возникать при доказательстве нашей
первой теоремы, сходятся}\ (так что нам не придется всякий раз
отвлекаться на проверку факта сходимости при появлении очередного ряда).

\proclaim {Теорема {\rm 1}}
Пусть $\, p\in [1,+\infty].$
Если одно из пространств $\, X^* $ или $\, Y^{***} $ обладает свойством
аппроксимации Гротендика,
то всякий оператор из $ X$  в $ Y,$ второй сопряженный к которому компактно
факторизуется через пространство $ l^p,$ сам компактно факторизуется
через \,$ l^p.$ Таким образом, в этом случае
$ \K^{ \operatorname{ reg}}_p (X, Y)= \K_p (X, Y).$
\endproclaim

\demo{Доказательство}
   Предположим, что существует такой оператор $ T\in \L(X,Y),$
что $ T\notin \K_p(X,Y),$ но $ \pi_Y\,T\in \K_p(X,Y^{**}).$
Так как либо $ X^*,$ либо $ Y^{**}$  обладает свойством аппроксимации,
то $ \K_p(X,Y^{**})=X^*\tto_p Y^{**}.$
Следовательно, оператор $ \pi_Y\,T$ можно отождествить с тензорным элементом
$ t\in X^*\tto_p Y^{**};$ при этом, по выбору $ T,$ \
$  t\notin X^*\tto_p Y$ \ (здесь $  X^*\tto_p Y$ рассматривается как
подпространство пространства $  X^*\tto_p Y^{**}$).
Следовательно, существует такой оператор
$ U\in \D_{p'}(Y^{**},X^{**})=\( X^*\tto_p Y^{**}\)^*,$ что
$ \tr U\circ t=\tr \(t^*\circ \( U^*|_{X^*}\) \)=1$ и
$ \tr U\circ \pi_Y\circ z=0$ для любого $ z\in X^*\tto_p Y.$
Из последнего вытекает, в частности, что
$$ U|_{\pi_Y(Y)}=0 \, \text{ и }\,  \pi_Y^*\,U^*|_{X^*}=0. \tag1$$
Действительно, если $ x'\in X^*$ и $ y\in Y,$ то
$$ \<U\pi_Y\,y,x'\> = \<y, \pi_Y^*\,U^*|_{X^*}x'\> =
\tr \,(U\pi_Y)\circ (x'\otimes y)=0.
$$
Очевидно, что тензорный элемент $ U\circ t$  порождает оператор
$ U\pi_Y T,$ который, в силу предыдущего, тождественно равен нулю.

Если $ X^*$ обладает свойством аппроксимации, то
 $ X^*\tto_p X^{**}= \K_p(X,X^{**})$
и, значит, тензорный элемент  $ U\circ t$
нулевой, что противоречит равенству
$ \tr\, U\circ t=1.$

Пусть теперь $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации.
В этом случае оператор
$ V:= \( U^*|_{X^*}\)\circ T^*\circ \pi_Y^*:$ \
$$ \CD    Y^{***} @>\pi_Y^* >> Y^* @> T^* >> X^* @> U^*|_{X^*} >> Y^{***}
\endCD $$
однозначно определяет некоторый тензорный элемент
$ t_0\in Y^{****}\tto_{p'} Y^{***}.$
Возьмем какое-либо представление $ t=\sum \a_j\,x'_j\otimes y''_j$ для $ t$
как элемента пространства $ X^*\tto_p Y^{**}.$
Обозначая для простоты через $ U_*$ оператор $ U^*|{X^*}$ и
вспоминая, что $ \pi_Y T=t,$ получаем:
$$\multline
   Vy'''=U_*\, \( T^*\pi_Y^*\,y'''\) =
    U_*\, \( (T^*\pi_Y^*\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = \\ =
    U_*\, \( (\pi_Y T)^*\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) =
    U_*\, \( (\sum y''_n\otimes x'_n)\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\)
  = \\ =U_*\, \( \sum \<y''_n, \pi_Y^*\, y'''\> \,x'_n \) =
      \sum \<\pi_Y^{**}y''_n,  y'''\> \,U_* x'_n.
  \endmultline
$$

Итак, оператор $ V$ (или элемент $ t_0$) имеет в пространстве
$ Y^{****}\tto_{p'} Y^{***}$ представление
$$ V= \sum \pi_Y^{**}(y''_n)\otimes U_* (x'_n).
$$
Следовательно (см. (1)),
$$  \tr t_0=\tr V= \sum \<\pi_Y^{**}(y''_n), U_* (x'_n)\> =
	\sum \<y''_n, \pi_Y^*\,U_* x'_n\> =  \sum 0=0.
$$
С другой стороны,
$$\multline
 Vy'''= U_* \( \pi_Y T\)^* y'''= \(U^*|{X^*}\)\circ t^* (y''')=\\
     =U_*\, \( \sum \<y''_n, y'''\> \, x'_n\)=
      \sum \<y''_n, y'''\> \, U_* x'_n,
\endmultline $$
откуда  $ V=\sum y''_n\otimes U_*(x'_n).$   Поэтому
$$ \tr t_0=\tr V= \sum \<y''_n, U_* x'_n\> = \sum \<Uy''_n, x'_n\>
= \tr U\circ t=1.$$
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
 $\Q$ \enddemo


Наш следующий результат показывает, что, вообще говоря,
аппроксимационные условия, наложенные на $X\,$ и $Y\,$
в теореме 1) существенны и их нельзя заменить на более слабые условия
"одно из пространств $ X$ или $ Y^{**}$ обладает свойством
(ограниченной) аппроксимации".

\proclaim {Теорема {\rm 2}}
Существует банахово пространство $Z,\,$ со следующими свойствами:
    \newline 	\phantom{iii} i\,{\rm)}
все сопряженные к $ Z$ пространства сепарабельны;
    \newline 	\phantom{ii} ii\,{\rm)}
$Z^{**}\,$ имеет ограниченно полный базис;
    \newline  	\phantom{i} iii\,{\rm)}
$Z^{***}\,$ не обладает свойством аппроксимации;
    \newline  	\phantom{i} iv\,{\rm)}
существует оператор $ T\in\L(Z^{**},Z),$
не факторизуемый компактно через пространство $ l^1,$ для которого,
однако, оператор $ \pi_Z\,T: Z^{**}\to Z\hookrightarrow Z^{**}$ компактно
факторизуется через $ l^1.$ \newline\phantom{iii}
 Таким образом,
    $ \K_1(Z^{**}, Z)\subsetneqq  \K_1^{ \operatorname{ reg}}(Z^{**}, Z).$
\endproclaim
\demo{Доказательство}
Мы воспользуемся следующим результатом, установленным в работе
[Rei] (см. лемму 1.2,2) и следствие 1.2):
существует такое рефлексивное сепарабельное банахово пространство
$ E,$ что для каждого $ r,\,$ $ 1\le r\le \infty\,$ $ r\neq 2,$\,
каноническое отображение $ E^*\wh\ot_r E\to \N_p(E, E)$ не является взаимно
однозначным. Здесь  $ E^*\wh\ot_r E$ --- $ r$-проективное тензорное
произведение, ассоциированное с пространством $ \N_p(E, E)$ всех
$ p$-ядерных операторов в $ E.$ Мы рассмотрим случай $ r=\infty$ и,
переходя к сопряженным пространствам, сформулируем двойственный результат
(полагая $ X:=E^*$):
существует такое рефлексивное сепарабельное банахово пространство
$ X,$ что каноническое отображение $ X^*\tto_1 X\to \K_1(E, E)$
не является взаимно однозначным.

Воспользовавшись теоремой 1 и следствием 1 из работы [Lin]
(см. также доказательство указанного следствия),
найдем такое сепарабельное банахово пространство $ Z,$
что $ Z^{**}$ имеет ограниченно полный базис и пространство $ X$
изоморфно факторпространству $ Z^{**}/\pi_Z(Z),$ причем соответствующий
линейный гомоморфизм $ \ffi: Z^{**}\to X$ \, (с ядром
$ \operatorname{ Ker \ffi}= \pi_Z(Z)$) обладает тем свойством,
что подпространство $ \ffi^*(X^*)$ дополняемо в $ Z^{***}.$

Пусть $ u\in  X^*\tto_1 X$ --- ненулевой тензорный элемент, порождающий
оператор $ \wt u,$ тождественно равный нулю. Рассмотрим какое--либо
представление тензора $ u$ в виде
$$ u= \sum_{j=1}^\infty \a_j\,x'_j\ot x_j,
$$
где последовательность $ \left\{ x_j\right\}$ ограничена, последовательность
$ \left\{ x'_j\right\}$ слабо 1-суммиру\-е\-ма, а $ \a_j\to 0.$
Без существенного увеличения норм, мы можем поднять элементы $ x_j$
до элементов $ z''_j$ пространства $ Z^{**}$ так, что для любого
$ j\in\Bbb N$\ $ \ffi(z''_j)=x_j$ и последовательность $ \left\{
z''_j\right\}$ ограничена в $ Z^{**}.$
Возникающий тензорный элемент
$$ v = \sum_{j=1}^\infty \a_j\,x'_j\ot z''_j,
$$
лежит в тензорном произведении $ X^*\tto_1 Z^{**}$ и не равен нулю,
причем суперпозиция $ u=\ffi\circ v,$ рассматриваемая как оператор,
есть нуль. Так как пространство $ Z^{**}$ имеет базис (и, в частности,
обладает свойством аппроксимации), то элемент $ v$ вполне корректно
отождествим с порождаемым им оператором $ \wt v: X\to Z^{**},$
который, тем самым, не нулевой, и, в силу сказанного выше, для которого
образ $ \wt v(X)$ лежит в подпространстве $ \pi_Z(Z)$ --- ядре
оператора $ \ffi.$
Мы получаем, таким образом, оператор $ V: X\to Z,$ для которого
справедливы соотношения $V=\pi_Z \wt v $ и $ V^{**}=\wt v.$
Нетрудно понять, что оператор $ V$ не может лежать в пространстве
$ \K_1(X, Z)=X^*\tto_1 Z,$ так как иначе для любого его тензорного
разложения (ненулевого!) в этом пространстве образ его после
действия гомоморфизма $ \ffi$ (мы сейчас отождествляем пространства
$ Z$ и $ \pi_Z(Z)$) оказался бы нулевым тензором в $ X^*\tto_1 X,$
а этот образ есть $ u.$ Итак, мы теперь можем заключить, что
$X^*\tto_1 Z = \K_1(X, Z)\subsetneqq \K_1^{ \operatorname{ reg}}(X, Z). $

Вспоминая, наконец, что подпространство $ \ffi^*(X*)$  дополняемо в
$ Z^{***},$ мы видим, что $ \K_1(Z^{**}, Z) =
Z^{***}\tto_1 Z\subsetneqq \K_1^{ \operatorname{ reg}}(Z^{**}, Z).$
 $\Q$ \enddemo




%                             ЦИТАТЫ

\Refs\nofrills{Цитированная литература}
\widestnumber\key{[БеЛф1]}
\smallpagebreak

\ref \key Gro%\no1
\by Grothendieck A. \pages 196-140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espases nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\endref

\ref \key Lin%\no 2
\by Lindenstrauss J.\pages  279-284
\paper  On James' paper "Separable Conjugate Spaces"
\yr 1971\vol 9
\jour Israel J. Math.
\endref

\ref  \key Пич      % \no 3
\by Пич А.\pages 536 с
 \paper Операторные идеалы
 \yr 1982\vol
 \jour     Москва: Мир
 \endref

\ref \key Rei  %\no 4
 \by Reinov O.I.\pages   125-134
\paper   Approximation properties of order p and the existence of
  non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints
\yr 1982 \vol  109
\jour    Math. Nachr.
\endref

\endRefs



\enddocument


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    END OF PAPER
%