%Author: O.I. Reinov. %Title: On factorization of operators through the spaces $ l^p.$ % %Filename: Reip_fac.tex %TeX: AMSTeX %Length: 24205 bytes %Received Date: %SubjectClass: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, trace class operators, %nuclear operators, p-summing operators, etc. % %Abstract: % We give conditions on a pair of Banach spaces %X and Y, under which % (*) each operator from X to Y, whose second adjoint %factors compactly through the space l^p, %1\le p\le +\infty, itself compactly factors through l^p. % The conditions are as follows: %either the space X*, or the space Y*** possesses %the Grothendieck approximation property. %The corresponding question for parameters p>1, p\neq 2, %still being open, we show that for p=1 %the conditions are essential: %there exist Banach spaces with the bases for which %the assertion (*) invalid for the case of l^1-factoring %operators. % %Citation: Preprint %Inserting TeX file starting here. %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex %% 97.6.10) %%AmS-TeX- Version 2.1 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% %%%% AMSTeX %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Last Modified 02.07.99 4:49:38 Fri %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \input amstex \documentstyle{amsppt} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Сюда вставляются команды отмены логотипа "AmsTeX" \expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{% \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space} \catcode`\@=11 \def\nologo{\let\logo@\empty} \csname aaaaa \endcsname \nologo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\Monograph \magnification=\magstep1 \parindent=1em %%%% размер двойного тире; "9" имеет половину em %\vsize=7.4in %%%% 1in = 2.54 \baselineskip=18pt %%%%% расстояние между строками \CenteredTagsOnSplits \NoBlackBoxes % ВАЖНО !!!!!!!!!! \nopagenumbers %на этой странице не будет номера строки (до \newline) % \nopagenumbers есть аббревиатура для \footline={\hfil} $$ { } $$ \vskip0.5in \noindent УДК 513.88\newline Р е й н о в О. И.\ {\bf О факторизации операторов через пространства $ l^p.$ } %--- Вестник СПб ГУ \vskip15pt Приводятся условия, накладываемые на пару банаховых пространств $ X$ и $ Y,$ при которых\newline\phantom{!} $(*)$ всякий оператор из $ X$ в $ Y,$ второй сопряженный к которому компактно факторизуется через пространство $ l^p,$ $ p\in[1,+\infty],$ сам компактно факторизуется через $ l^p.$\newline \phantom{!} Эти достаточные условия таковы: либо пространство $ X^*,$ либо пространство $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации Гротендика. Оставляя открытым соответствующий вопрос для показателей $ p>1,\,p\neq 2,$ мы показываем, что при $ p=1$ указанные условия существенны: существуют банаховы пространства с базисами Шаудера, для которых сформулированное утверждение $(*)$ неверно для $ l^1$-факторизуемых операторов. \newline Библиогр. 4 назв. \newpage \NoRunningHeads \pageno=1 %номер текущей страницы - для следующей команды: \footline={\hss\tenrm\folio\hss} % центрировать, шрифт, \folio есть %аббревиатура для % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi \def\lp{\bold l^{\bold p}} \topmatter \title {О факторизации операторов через пространства $ \lp.$ } \endtitle \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$} \endauthor \address\newline \tenrm 198904, Санкт--Петербург,\newline Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline Санкт--Петербургский государственный университет,\newline математико--механический факультет,\newline кафедра математического анализа. \endaddress \email \tenrm orein\@orein.usr.pu.ru \endemail \thanks \tenrm ${{ }^\dag}$ Работа выполнена при частичной поддержке Министерства общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36). \endthanks \abstract\nofrills %%%% \nofrills уничтожает "Abstract." \tenrm Приводятся условия, накладываемые на пару банаховых пространств $ X$ и $ Y,$ при которых\newline\phantom{V} $(*)$ всякий оператор из $ X$ в $ Y,$ второй сопряженный к которому компактно факторизуется через пространство $ l^p,\,$ $ 1\le p\le+\infty,\,$ сам компактно факторизуется через $ l^p.$\newline \phantom{V} Эти достаточные условия таковы: либо пространство $ X^*,$ либо пространство $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации Гротендика. Оставляя открытым соответствующий вопрос для показателей $ p>1,\,p\neq 2,$ мы показываем, что при $ p=1$ указанные условия существенны: существуют банаховы пространства с базисами Шаудера, для которых сформулированное утверждение $(*)$ неверно для $ l^1$-факторизуемых операторов. \endabstract \endtopmatter % ========================================== \document \baselineskip=18pt %%%%% расстояние между строками % % ========================================== \footnote""{${ }^\ddag$ \tenrm %AMS Subject Classification: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, %trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc. Ключевые слова и фразы: $ p$-компактные операторы, $ l^p$-факторизуемые операторы, базисы, свойства аппроксимации, тензорные произведения.} %\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ } %\bigpagebreak % \magnification=\magstep1 \voffset1ex %\pageheight{23 true cm} %\pagewidth{16 true cm} \def\a{\alpha} \def\ot{\otimes} \def\la{\lambda} \def\wh{\widehat} \def\ffi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \define\e{\varepsilon} \def\tto{\wt{\wt\ot}} \def\Q{\quad\blacksquare} \def\hho{\wh{\wh\ot}} \def\A{\operatorname{AP}} \def\AP#1{\operatornamewithlimits{AP_#1}} \def\ap[#1#2]{\operatornamewithlimits{AP}_{#1,#2}} \def\APD#1{\operatornamewithlimits{AP^{dual}}_#1} \def\nr[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1,#2}\,}} \def\NR[#1]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1}\,}} \def\n#1{\operatornamewithlimits{N_#1}\,} \def\nd[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1,#2}\,} \def\ND[#1]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1}\,} \def\nu[#1]{\operatornamewithlimits{N}^#1\,} \def\qn#1{\operatornamewithlimits{QN}_#1\,} \def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]} \def\tr{\operatorname{trace}\,} \def\N{\frak N} \def\K{\frak K} \def\L{\frak L} \def\D{\frak D} \def\bw{\text{\bf w}} \def\bK{\text{\bf K}} \def\bN{\text{\bf N}} \def\<{\langle} \def\>{\rangle} \bigskip %%%% САМА СТАТЬЯ: Один из немногих вопросов, остающихся открытыми в теории операторных идеалов, связанных с понятием регулярности нормированного идеала, является вопрос о возможности факторизации непрерывного оператора, действующего в банаховых пространствах, через классические пространства последовательностей $ l^p,$ при условии, что этот оператор, рассматриваемый как оператор со значениями во втором сопряженном к пространству образов, допускает факторизацию подобного рода. Точнее, речь здесь идет (и пойдет ниже) о "компактной факторизации" через эти пространства. Ясно, что мы отбрасываем тривиальный случай, когда $ p=2,$ так как здесь ответ положителен по очевидным причинам: в гильбертовом пространстве всякое его (замкнутое) подпространство дополняемо. Немногое, из того, что известно относительно сформулированного вопроса, --- это два результата, полученные автором еще в 1982 году (см. [Rei], следствия 3.4 и 4.2): при $ p=1$ и при $ p=+\infty$ (факторизации через пространства $ l^1$ и $ c_0$) ответы отрицательны. Техника, развитая в работе [Rei], позволяла построить соответствующие контрпримеры в пространствах, вообще говоря, не обладающих свойством аппроксимации Гротендика. В этой заметке мы приведем достаточные (и, по всей вероятности, близкие к необходимым) условия, накладываемые на рассматриваемые банаховы пространства, при которых ответ на упомянутый вопрос положителен при любом значении параметра $p,\, 1\le p\le \infty.$ С другой стороны, мы покажем, что от тех достаточных аппроксимационных условий, которые появляются у нас, отказаться (или немного ослабить их) нельзя. Но, к сожалению, контрпример, который мы укажем, относится только к одному случаю --- случаю компактной факторизации через пространство $ l^1.$ По прежнему (давно){\it открытым остается соответствующий вопрос о $ l^p$-фак\-то\-ри\-за\-ции операторов при}\ $ p>1,\, p\neq 2.$ Мне представляется, что у меня имеется контрпример подобный тому, что приводится в нижеследующей теореме 2, для случая факторизации через пространство $ c_0,$ но поскольку соответствующее доказательство еще до конца не проверено, в этой заметке мы его не рассматриваем. \smallpagebreak Мы придерживаемся стандартных обозначений геометрической теории операторов в банаховых пространствах. Классический справочник по теории операторных идеалов --- монография А.Пича [Пич]. Все рассматриваемые нами пространства $X,\,Y,\,Z,\dotso$ --- банаховы. Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$. За числами (вещественными или комплексными) мы резервируем обозначения $ a,\, b_k,\, c,\, C_1,\, \a\, $ и т.п.. Для $ p\in [1,+\infty]$ сопряженный показатель $ p'$ определяется из соотношения $ 1/p+1/p'=1.$ Через $\L\left(X,Y \right)$ обозначается пространство всех (линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой (вообще, в данной работе под термином "\!оператор" всегда будет пониматься линейный непрерывный оператор). Напомним, что {\it банахово пространство обладает свойством аппроксимации} \, (Гро\-те\-н\-дика), если тождественный оператор на нем аппроксимируется в топологии компактной сходимости конечномерными операторами (детали и другие переформулировки этого определения можно найти в книге [Пич], либо непосредственно в первоисточнике [Gro]). И еще одно важное напоминание. Если $ J$ --- некоторый операторный идеал, то $ J^{ \operatorname{ reg}}(X, Y)$ обозначает пространство всех операторов $ T$ из $ X$ в $ Y,$ для которых $ \pi_Y\,T\in J(X, Y^{**}),$ где, как обычно принято, через $ \pi_Y$ обозначается каноническое изометрическое вложение пространства $ Y$ в его второе сопряженное $ Y^{**}.$ В некоторых случаях нам удобно будет рассматривать некоторые банаховы пространства как подпространства их вторых сопряженных (при канонических вложениях), не упоминая явно операторы $ \pi,$ осуществляющие эти вложения. \smallpagebreak Пусть $ 0\right\}\in l^p$ для всех $ x'\in X^*.$ Следуя А.Пичу и его обозначениям, мы полагаем $$ \bw(x_j):= \sup_{\|x,\|\le 1} \left(\sum_j \, |\|^p\right)^{1/p} $$ Если $ 1\le p\le\infty$ и $ S$ --- конечномерный оператор из $ X$ в $ Y,$ то его $ \K_p^0$-норма есть величина $\bK_p^0(S):= \inf \left\{ \sup_j |a_j|\,\bw_p(x'_j)\,\bw_{p'}(y_j) \right\},$ где точная нижняя грань берется по всем {\it конечным} представлениям оператора $ S$ в виде $$ S=\sum_{i=1}^n \a_j\,x'_j\ot y_j. $$ Пополнение алгебраического тензорного произведения $ X^*\ot Y$ (которое рассматривается нами как линейное пространство всех конечномерных операторов) по этой норме $ \bK_p^0$ мы будем обозначать через $ X^*\tto_p Y,$ оставляя за нормой в этом пополнении все то же обозначение $ \bK_p^0.$ Каждый тензорный элемент $ z\in X^*\tto_p Y$ представим в виде сходящегося ряда $ z=\sum_{i=1}^\infty \a_j\,x'_j\ot y_j,$ где $ \a_j\to 0,$ причем для заранее заданного числа $ \e>0$ это представление может быть выбрано так, что $$ \sup_j |a_j|\,\bw_p(x'_j)\,\bw_{p'}(y_j) \le \bK_p^0(z)+\e $$ Тензорное произведение $ X^*\tto_p Y$ естественным образом порождает в $ \L(X,Y)$ линейное подпространство операторов; оператор, соответствующий элементу $ z$ мы обозначаем через $ \tilde z.$ Вполне возможно (хотя, это, вообще говоря, неизвестно), что некоторые {\it различные тензоры} \, $ z_1, z_2$ могут "склеиваться" при превращении их в операторы (то есть, при $ z_1\neq z_2$ никто не запрещает быть справедливым равенству $ \tilde z_1 = \tilde z_2$). Факторпространство рассматриваемого тензорного произведения по ядру (если таковое не тривиально) указанного отображения мы обозначаем (опять таки, следуя обозначениям А.Пича) через $ \K_p(X,Y),\,$ а получаемую при этом норму на этом пространстве операторов --- через $ \bK_p.$ Отметим, что $ \[\K_p, \bK_p\] $ есть нормированный операторный идеал, и он является частным случаем так называемых идеалов $ (r, p ,q)$-ядерных операторов --- $ \[\N_{(r,p,q)}, \bN_{(r,p,q)}\]\!:$\ \, $ \[\K_p, \bK_p\] = \[\N_{(\infty,p,p')}, \bN_{(\infty,p,p')}\].$ За подробностями мы отсылаем читателя к книге [Пич], стр. 280--291. Однако имеется одна очень важная для нас вещь, касающаяся возможности упомянутой нетривиальной факторизации. Именно, {\it если одно из пространств $ X^*$ или $ Y$ обладает свойством аппроксимации, то имеет место {\rm (формальное)} равенство} $ \[X^*\tto_p Y, \bK_p^0\] = \[\K_p, \bK_p\],$ то есть ядро канонического отображения $ X^*\tto_p Y \to \K_p(X, Y)$ тривиально и это отображение есть изометрическая биекция. Доказательство этого факта в настоящее время стандартно, и мы опускаем его, предлагая читателю в качестве нетрудного упражнения. Мы говорим, что оператор $ T: X\to Y$ {\it компактно факторизуется через пространство $ l^p,$} \, (в терминологии А.Пича, является {\it $ p$-компактным}\,), если существуют два компактных оператора $ A: X\to l^p$ и $ B: l^p\to Y,$ для которых $ T=BA.$ При этом, в качестве нормы такого " $ l^p$-факторизуемого оператора" мы берем величину $ \inf\,\|A\|\,\|B\|,$ где точная нижняя грань берется по всевозможным факторизациям оператора $ T$ указанного вида. Одна из центральных теорем, относящаяся к компактно $ l^p$-факторизуемым операторам, формулируется при помощи следующих соотношений: $$ \bK_p(T) = \inf\,\{\|A\|\,\|B\|:\, T=BA: X\to l^p\to Y;\, A,B \, \text{ --- компактны} \} $$ и {\it идеал $ \K_p$ совпадает с идеалом всех операторов, компактно факторизуемых через}\ $ l^p$\, (см. [Пич], стр. 291, теорема 18.3.2). Сопряженное к $ \K_p(X,Y)$ пространство $ \D_{p'}(Y,X^{**}),\, $ описывается на той же странице указанной монографии, но поскольку, по существу, знание того, из каких операторов состоит это сопряженное пространство, нам не понадобится, то мы и не станем здесь вдаваться в дальнейшие детали. Читателю стоит, все таки, заглянуть в эту книгу, чтобы получить некоторую минимальную информацию об элементах сопряженного пространства. Для нас важно то, что из определения операторов, входящих в это пространство, моментально следует, что {\it все ряды, которые будут возникать при доказательстве нашей первой теоремы, сходятся}\ (так что нам не придется всякий раз отвлекаться на проверку факта сходимости при появлении очередного ряда). \proclaim {Теорема {\rm 1}} Пусть $\, p\in [1,+\infty].$ Если одно из пространств $\, X^* $ или $\, Y^{***} $ обладает свойством аппроксимации Гротендика, то всякий оператор из $ X$ в $ Y,$ второй сопряженный к которому компактно факторизуется через пространство $ l^p,$ сам компактно факторизуется через \,$ l^p.$ Таким образом, в этом случае $ \K^{ \operatorname{ reg}}_p (X, Y)= \K_p (X, Y).$ \endproclaim \demo{Доказательство} Предположим, что существует такой оператор $ T\in \L(X,Y),$ что $ T\notin \K_p(X,Y),$ но $ \pi_Y\,T\in \K_p(X,Y^{**}).$ Так как либо $ X^*,$ либо $ Y^{**}$ обладает свойством аппроксимации, то $ \K_p(X,Y^{**})=X^*\tto_p Y^{**}.$ Следовательно, оператор $ \pi_Y\,T$ можно отождествить с тензорным элементом $ t\in X^*\tto_p Y^{**};$ при этом, по выбору $ T,$ \ $ t\notin X^*\tto_p Y$ \ (здесь $ X^*\tto_p Y$ рассматривается как подпространство пространства $ X^*\tto_p Y^{**}$). Следовательно, существует такой оператор $ U\in \D_{p'}(Y^{**},X^{**})=\( X^*\tto_p Y^{**}\)^*,$ что $ \tr U\circ t=\tr \(t^*\circ \( U^*|_{X^*}\) \)=1$ и $ \tr U\circ \pi_Y\circ z=0$ для любого $ z\in X^*\tto_p Y.$ Из последнего вытекает, в частности, что $$ U|_{\pi_Y(Y)}=0 \, \text{ и }\, \pi_Y^*\,U^*|_{X^*}=0. \tag1$$ Действительно, если $ x'\in X^*$ и $ y\in Y,$ то $$ \ = \ = \tr \,(U\pi_Y)\circ (x'\otimes y)=0. $$ Очевидно, что тензорный элемент $ U\circ t$ порождает оператор $ U\pi_Y T,$ который, в силу предыдущего, тождественно равен нулю. Если $ X^*$ обладает свойством аппроксимации, то $ X^*\tto_p X^{**}= \K_p(X,X^{**})$ и, значит, тензорный элемент $ U\circ t$ нулевой, что противоречит равенству $ \tr\, U\circ t=1.$ Пусть теперь $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации. В этом случае оператор $ V:= \( U^*|_{X^*}\)\circ T^*\circ \pi_Y^*:$ \ $$ \CD Y^{***} @>\pi_Y^* >> Y^* @> T^* >> X^* @> U^*|_{X^*} >> Y^{***} \endCD $$ однозначно определяет некоторый тензорный элемент $ t_0\in Y^{****}\tto_{p'} Y^{***}.$ Возьмем какое-либо представление $ t=\sum \a_j\,x'_j\otimes y''_j$ для $ t$ как элемента пространства $ X^*\tto_p Y^{**}.$ Обозначая для простоты через $ U_*$ оператор $ U^*|{X^*}$ и вспоминая, что $ \pi_Y T=t,$ получаем: $$\multline Vy'''=U_*\, \( T^*\pi_Y^*\,y'''\) = U_*\, \( (T^*\pi_Y^*\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = \\ = U_*\, \( (\pi_Y T)^*\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = U_*\, \( (\sum y''_n\otimes x'_n)\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = \\ =U_*\, \( \sum \ \,x'_n \) = \sum \<\pi_Y^{**}y''_n, y'''\> \,U_* x'_n. \endmultline $$ Итак, оператор $ V$ (или элемент $ t_0$) имеет в пространстве $ Y^{****}\tto_{p'} Y^{***}$ представление $$ V= \sum \pi_Y^{**}(y''_n)\otimes U_* (x'_n). $$ Следовательно (см. (1)), $$ \tr t_0=\tr V= \sum \<\pi_Y^{**}(y''_n), U_* (x'_n)\> = \sum \ = \sum 0=0. $$ С другой стороны, $$\multline Vy'''= U_* \( \pi_Y T\)^* y'''= \(U^*|{X^*}\)\circ t^* (y''')=\\ =U_*\, \( \sum \ \, x'_n\)= \sum \ \, U_* x'_n, \endmultline $$ откуда $ V=\sum y''_n\otimes U_*(x'_n).$ Поэтому $$ \tr t_0=\tr V= \sum \ = \sum \ = \tr U\circ t=1.$$ Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. $\Q$ \enddemo Наш следующий результат показывает, что, вообще говоря, аппроксимационные условия, наложенные на $X\,$ и $Y\,$ в теореме 1) существенны и их нельзя заменить на более слабые условия "одно из пространств $ X$ или $ Y^{**}$ обладает свойством (ограниченной) аппроксимации". \proclaim {Теорема {\rm 2}} Существует банахово пространство $Z,\,$ со следующими свойствами: \newline \phantom{iii} i\,{\rm)} все сопряженные к $ Z$ пространства сепарабельны; \newline \phantom{ii} ii\,{\rm)} $Z^{**}\,$ имеет ограниченно полный базис; \newline \phantom{i} iii\,{\rm)} $Z^{***}\,$ не обладает свойством аппроксимации; \newline \phantom{i} iv\,{\rm)} существует оператор $ T\in\L(Z^{**},Z),$ не факторизуемый компактно через пространство $ l^1,$ для которого, однако, оператор $ \pi_Z\,T: Z^{**}\to Z\hookrightarrow Z^{**}$ компактно факторизуется через $ l^1.$ \newline\phantom{iii} Таким образом, $ \K_1(Z^{**}, Z)\subsetneqq \K_1^{ \operatorname{ reg}}(Z^{**}, Z).$ \endproclaim \demo{Доказательство} Мы воспользуемся следующим результатом, установленным в работе [Rei] (см. лемму 1.2,2) и следствие 1.2): существует такое рефлексивное сепарабельное банахово пространство $ E,$ что для каждого $ r,\,$ $ 1\le r\le \infty\,$ $ r\neq 2,$\, каноническое отображение $ E^*\wh\ot_r E\to \N_p(E, E)$ не является взаимно однозначным. Здесь $ E^*\wh\ot_r E$ --- $ r$-проективное тензорное произведение, ассоциированное с пространством $ \N_p(E, E)$ всех $ p$-ядерных операторов в $ E.$ Мы рассмотрим случай $ r=\infty$ и, переходя к сопряженным пространствам, сформулируем двойственный результат (полагая $ X:=E^*$): существует такое рефлексивное сепарабельное банахово пространство $ X,$ что каноническое отображение $ X^*\tto_1 X\to \K_1(E, E)$ не является взаимно однозначным. Воспользовавшись теоремой 1 и следствием 1 из работы [Lin] (см. также доказательство указанного следствия), найдем такое сепарабельное банахово пространство $ Z,$ что $ Z^{**}$ имеет ограниченно полный базис и пространство $ X$ изоморфно факторпространству $ Z^{**}/\pi_Z(Z),$ причем соответствующий линейный гомоморфизм $ \ffi: Z^{**}\to X$ \, (с ядром $ \operatorname{ Ker \ffi}= \pi_Z(Z)$) обладает тем свойством, что подпространство $ \ffi^*(X^*)$ дополняемо в $ Z^{***}.$ Пусть $ u\in X^*\tto_1 X$ --- ненулевой тензорный элемент, порождающий оператор $ \wt u,$ тождественно равный нулю. Рассмотрим какое--либо представление тензора $ u$ в виде $$ u= \sum_{j=1}^\infty \a_j\,x'_j\ot x_j, $$ где последовательность $ \left\{ x_j\right\}$ ограничена, последовательность $ \left\{ x'_j\right\}$ слабо 1-суммиру\-е\-ма, а $ \a_j\to 0.$ Без существенного увеличения норм, мы можем поднять элементы $ x_j$ до элементов $ z''_j$ пространства $ Z^{**}$ так, что для любого $ j\in\Bbb N$\ $ \ffi(z''_j)=x_j$ и последовательность $ \left\{ z''_j\right\}$ ограничена в $ Z^{**}.$ Возникающий тензорный элемент $$ v = \sum_{j=1}^\infty \a_j\,x'_j\ot z''_j, $$ лежит в тензорном произведении $ X^*\tto_1 Z^{**}$ и не равен нулю, причем суперпозиция $ u=\ffi\circ v,$ рассматриваемая как оператор, есть нуль. Так как пространство $ Z^{**}$ имеет базис (и, в частности, обладает свойством аппроксимации), то элемент $ v$ вполне корректно отождествим с порождаемым им оператором $ \wt v: X\to Z^{**},$ который, тем самым, не нулевой, и, в силу сказанного выше, для которого образ $ \wt v(X)$ лежит в подпространстве $ \pi_Z(Z)$ --- ядре оператора $ \ffi.$ Мы получаем, таким образом, оператор $ V: X\to Z,$ для которого справедливы соотношения $V=\pi_Z \wt v $ и $ V^{**}=\wt v.$ Нетрудно понять, что оператор $ V$ не может лежать в пространстве $ \K_1(X, Z)=X^*\tto_1 Z,$ так как иначе для любого его тензорного разложения (ненулевого!) в этом пространстве образ его после действия гомоморфизма $ \ffi$ (мы сейчас отождествляем пространства $ Z$ и $ \pi_Z(Z)$) оказался бы нулевым тензором в $ X^*\tto_1 X,$ а этот образ есть $ u.$ Итак, мы теперь можем заключить, что $X^*\tto_1 Z = \K_1(X, Z)\subsetneqq \K_1^{ \operatorname{ reg}}(X, Z). $ Вспоминая, наконец, что подпространство $ \ffi^*(X*)$ дополняемо в $ Z^{***},$ мы видим, что $ \K_1(Z^{**}, Z) = Z^{***}\tto_1 Z\subsetneqq \K_1^{ \operatorname{ reg}}(Z^{**}, Z).$ $\Q$ \enddemo % ЦИТАТЫ \Refs\nofrills{Цитированная литература} \widestnumber\key{[БеЛф1]} \smallpagebreak \ref \key Gro%\no1 \by Grothendieck A. \pages 196-140 \paper Produits tensoriels topologiques et espases nucl\'eaires \yr 1955\vol 16 \jour Mem. Amer. Math. Soc. \endref \ref \key Lin%\no 2 \by Lindenstrauss J.\pages 279-284 \paper On James' paper "Separable Conjugate Spaces" \yr 1971\vol 9 \jour Israel J. Math. \endref \ref \key Пич % \no 3 \by Пич А.\pages 536 с \paper Операторные идеалы \yr 1982\vol \jour Москва: Мир \endref \ref \key Rei %\no 4 \by Reinov O.I.\pages 125-134 \paper Approximation properties of order p and the existence of non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints \yr 1982 \vol 109 \jour Math. Nachr. \endref \endRefs \enddocument %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% END OF PAPER %