%Author: O.I. Reinov.
%Title: A Banach lattice with  AP and without BAP
%
%Filename:    ReiL_BAP.tex
%TeX: AMSTeX
%Length: 28581 bytes
%Received Date:
%SubjectClass: 46B30. Banach lattices. 47B55. Operators on ordered spaces.
%
%Abstract: It is shown that there exists a Banach lattice
%         with the approximation property which does not
%         possess the bounded approximation property.
%

%Citation: Preprint

%Inserting TeX file starting here.

 %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex
 %%                                                               97.6.10)
 %%AmS-TeX- Version 2.1
 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%           AMSTeX
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       %First Modified   05.07.99 2:51:27 Mon
       %Last  Modified   05.07.99 10:06:28 Mon

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Сюда вставляются команды отмены логотипа "AmsTeX"
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %\Monograph
\magnification=\magstep1
\parindent=1em %%%% размер двойного тире; "9" имеет половину em
         %\vsize=7.4in   %%%% 1in = 2.54
     \baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками

  \CenteredTagsOnSplits
\NoBlackBoxes                           % ВАЖНО !!!!!!!!!!
\nopagenumbers %на этой странице не будет номера строки (до \newline)
	       % \nopagenumbers есть аббревиатура для \footline={\hfil}
$$ { }
$$
\vskip0.5in
\def\AP{${AP}$}
\def\BAP{${BAP}$}

\noindent
УДК 513.88\newline
Р е й н о в О. И.\
{\bf A Banach lattice with  \AP\  and without \BAP}
%--- Вестник СПб ГУ
\vskip15pt

 Показывается, что существует банахова решетка со свойством
аппроксимации, не обладающая свойством ограниченной аппроксимации.
\newline Библиогр. 5 назв.

\newpage
\NoRunningHeads
\pageno=1  %номер текущей страницы - для следующей команды:
\footline={\hss\tenrm\folio\hss} % центрировать, шрифт, \folio есть
    %аббревиатура для
    % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi
	      \def\lp{\bold l^{\bold p}}
        \topmatter
        \title {A Banach lattice with  \AP\  and without \BAP}
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$}  \endauthor
\address\newline
                          %\tenrm
198904, Санкт--Петербург,\newline
Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline
Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
математико--механический факультет,\newline
кафедра математического анализа.
\endaddress

\email
                          %\tenrm
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\thanks
                          %\tenrm
${{ }^\dag}$ Работа выполнена при  частичной поддержке  Министерства
общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36)
и ФЦП ``Интеграция", рег. номер 326.53.
\endthanks

\abstract\nofrills       %%%% \nofrills уничтожает "Abstract."
                          %\tenrm
 Показывается, что существует банахова решетка со свойством
аппроксимации, не обладающая свойством ограниченной аппроксимации.
\endabstract
    \endtopmatter
   %==========================================

\document
\baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками
%
  %==========================================
\footnote""{${ }^\ddag$
                          %\tenrm
%AMS Subject Classification: 46B30. Banach lattices.
%                            47B55. Operators on ordered spaces.
Ключевые слова и фразы: банахова решетка, базисы, свойство аппроксимации,
  свойство ограниченной аппроксимации.}

%\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ }
%\bigpagebreak
%


\magnification=\magstep1     \voffset1ex
%\pageheight{23 true cm}
%\pagewidth{16 true cm}

 \def\a{\alpha}                         \def\ot{\otimes}
 \def\la{\lambda}                       \def\wh{\widehat}
 \def\ffi{\varphi}                      \def\wt{\widetilde}
 \define\e{\varepsilon}                 \def\tto{\wt{\wt\ot}}
\def\Q{\quad\blacksquare}               \def\hho{\wh{\wh\ot}}
\def\AP#1{\operatornamewithlimits{AP_#1}}
\def\ap[#1#2]{\operatornamewithlimits{AP}_{#1,#2}}
\def\APD#1{\operatornamewithlimits{AP^{dual}}_#1}
\def\nr[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1,#2}\,}}
\def\NR[#1]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1}\,}}
\def\n#1{\operatornamewithlimits{N_#1}\,}
\def\nd[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1,#2}\,}
\def\ND[#1]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1}\,}
\def\nu[#1]{\operatornamewithlimits{N}^#1\,}
\def\qn#1{\operatornamewithlimits{QN}_#1\,}

\def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]}
   \def\<{\langle}
   \def\>{\rangle}
\def\tr{\operatorname{trace}\,}

\def\N{\frak N}
\def\K{\frak K}
\def\L{\frak L}
\def\D{\frak D}
\def\bw{\text{\bf w}}
\def\bK{\text{\bf K}}
\def\bN{\text{\bf N}}


\bigskip

%%%%          САМА СТАТЬЯ:
\smallpagebreak

Первый пример банахова пространства без свойства аппроксимации Гротендика
был построен еще в 1972-м году шведским математиком П. Энфло [Enf]
(это была
довольно сложная конструкция, и на самом деле  П. Энфло  привел
пример рефлексивного пространства без свойства метрической аппроксимации;
по одной из  теорем A. Гротендика [Grt], в рефлексивных пространствах
свойства аппроксимации и метрической аппроксимации равносильны).
Сразу же после построения такого рода пространства (которое специалисты
по анализу ждали около сорока лет) пример Энфло стал "обрабатываться"
многими его коллегами из самых разных стран мира.
Пожалуй, простейшие изложения примера пространства без аппроксимативного
свойства можно найти в работах [Dav], [Mit] и в книге [Ptch].
Менее, чем через год уже был приведен пример, отвечающий  на один
из старейших вопросов А. Гротендика, --- пример пространства без свойства
ограниченной аппроксимации, но обладающего свойством аппроксимации [FiJo].
Но еще до примера Энфло было ясно, что математический мир приближается
к построению такого рода пространств: Линденштраусс [Lin], в предположении,
что существует пространство без аппроксимативного свойства,
показал, что из этого вытекает существование пространства
со свойством аппроксимации, но сопряженное к которому этим свойством
не обладает (на одной из центральных теорем Линденштраусса, кстати,
и была основана конструкция, предложенная Фигелем и
Джонсоном).

В 1975-м году A. Шанковский (на конференции в Англии)
привел первый пример банаховой решетки без свойства аппроксимации,
а затем модифицировал его так [Sznk], что получил пример сепарабельного
функционального рефлексивного пространства (тем самым,
рефлексивной банаховой решетки) без свойство аппроксимации.
Пользуясь случаем, отметим, что Энфло, по существу, построил
свои контрпримеры среди подпространств пространств $ l_p$
при $ p \in  (2,+\infty],$
а Шанковский позднее дополнил их примерами подобного рода пространств
среди подпространств  в $ l_p$ при $ p\in [1,2)$
(его конструкции совершенно не зависимы от построений Энфло и годятся
для всех параметров $ p\in[1,+\infty],, p\neq 2$).
Следствием этого стал факт (мы не
приводим точной формулировки), что если банахово пространство
"совсем не гильбертово",
то в нем сидит подпространство без свойства аппроксимации.

 Насколько мне известно, открытым остался и остается такой вопрос:
верно ли, что если сопряженное к некоторому банахову пространству
пространство обладает свойством аппроксимации, то оно обладает и
свойством ограниченной аппроксимации?
На этот вопрос нет ответа уже более двадцати лет,

В этой заметке мы отвечаем на другой вопрос, касающийся условий
аппроксимации различного вида, а именно, мы показываем
(и техника доказательства отличается от развитой
Фигелем и Джонсоном),  что существует даже банахова решетка,
обладающая свойством аппроксимации, но не удовлетворяющая условию
ограниченной аппроксимации.

Напомним некоторые необходимые нам определения.

Семейство $\{ f_i\}_{i\in I}$ ненулевых элементов банахова пространства
$ F$ называется {\it безусловным базисом} \,в  $ F,$ если
$\{ f_i\}_{i\in I}$ тотально на $F$ и существует постоянная $ \la$
со следующими свойствами:\newline
\phantom{V!}($UB$) {\it Для любых конечных семейств скаляров
$ \{ \a_i\}$ and $ \{ \beta_i\} $ \, таких, что
$ |\beta_i|\le |\a_i|$ для всех $ i$ in $ I,$\, выполняется неравенство}
$ \|\sum \beta_i f_i\| \le \la\,\|\sum \a_i f_i\|.$
\smallpagebreak

{\it Безусловная базисная константа} базиса $\{ f_i\}_{i\in I}$
определяется как наименьшая постоянная $ \la,$ удовлетворяющая условию
($UB$); она обозначается через $ u \( \{ f_i\}\).$
{\it Безусловная базисная константа} пространства $ F$
определяется как {\it infimum} констант $ u \( \{ f_i\}\) $
по всевозможным безусловным базисам $\{f_i\}_{i\in I}$
пространства $ F.$ Ее обычно обозначают через $ ub(F).$\footnote{
Это определение имеет смысл как в вещественном, так и в комплексном случае,
так же как и в случае конечномерного пространства.
Известно, что для любого конечномерного пространства $ F$ \
$ ub(F)\le ( \operatorname{ dim}\,F)^{1/2}.$}
Напомним, что пространство $ F$ с безусловным базисом $ \la$-изометрично
некоторой банаховой решетке, где $ \la= ub(F).$


Банахово пространство $Z $ {\it имеет}\ {\it l.u.st}\
(локально безусловную структуру, см. [G-L]) если существует
постоянная $ \la$ со следующим свойством:
для каждого конечномерного подпространства $ E\subset Z,$
существуют пространство  пространство $ F$ с безусловным базисом
и факторизация
$$ \CD
      j:\ E @>A>> F @>B>> Z
\endCD       \tag{LUST}
$$
естественного вложения $ j: E\to Z$ через $ F$ такие, что
$ j=BA$ и $ ||A||\,\|B\|\, ub(F)\le \la.$
Наименьшее $ \la$ с этим свойством называется {\it l.u.st--константой}
(локально безусловной постоянной) пространства  $ Z$ и обозначается
через $lu(Z).$

Известно, что {\it банахово пространство $ Z$ имеет l.u.st тогда и только
тогда, когда его второе сопряженное $ Z^{**}$
изоморфно дополняемому подпространству некоторой банаховой
решетки\footnote{
{\it Банаховой решеткой} называется векторная решетка $ E$, снабженная
полной монотонной нормой: из того, что $ |x|\le |y|$ в $ E,$ следует
выполнение неравенства $ ||x||\le ||y||.$ }   }
(см. [FJT]); таким образом, каждая рефлексивная банахова решетка
имеет локально безусловную структуру.

Отметим, что в факторизации (LUST) всегда можно считать, что один из
операторов $ A$ или $ B$ имеет единичную норму. С другой стороны,
так как $ 1\le \|BA\|\le \|B\|\,\|A\|$  и $ ub(F)\ge 1,$
то $ \|B\|\,\|A\| \le \dfrac \la{ub(F)}\le\la$ и
$ 1\le ub(F) \le \|B\|\,\|A\|\, ub(F)\le \la.$
Таким образом, мы
можем предполагать (что и сделаем ниже при доказательстве теоремы 1),
что $ \|B\|= 1,$\, $ \|A\|\le \la$ и $ub(F)\le \la $ (хотя это и
грубые оценки, но для наших целей они достаточны).

Еще некоторые определения связаны с понятием условий аппроксимации
для банаховых пространств.


Пространство $ E$  {\it обладает свойством аппроксимации},\, если
для всякого положительного числа $ \e>0$ и для любых конечных подмножеств
 $ H\subset E^*,$\ $ G\subset E,$ лежащих в единичных шарах
соответствующих пространств, существует такой конечномерный оператор
$ R\in E\ot E^*,$ что при всех $ e\in G$ и $ e'\in H$ выполняется
неравенство $ |\<e', e \> - \<Re', e \>|<\e.$ Эквивалентная
переформулировка в терминах аппроксимации тождественного оператора в
некоторой топологии: {\it банахово пространство обладает свойством
аппроксимации},\, если тождественный оператор на нем
аппроксимируется в топологии компактной сходимости конечномерными
операторами (детали и другие переформулировки этого определения можно найти
непосредственно в первоисточнике [Gro]).
Равносильность приведенных двух определений свойства аппроксимации
устанавливается сравнительно нетрудно; доказательство этой эквивалентности
есть у А.Гротендика [Gro]. Нам в этой заметке удобнее будет использовать
первое из двух сформулированных определений.

Пусть фиксировано некоторое число $ C\ge 1.$
Говорят, что банахово пространство $ X$ {\it обладает свойством
$ C$-ограниченной аппроксимации}\, (в другой терминологии, --- свойством
$ C$-метрической аппроксимации),
если тождественный оператор пространства
$ X$ лежит в замыкании в топологии компактной сходимости шара радиуса
$ C$ нормированного пространства всех линейных непрерывных операторов
в $ X:$\, для любого числа $ \e>0$ и для всякого компакта $ K\subset X$
существует такой конечномерный оператор $ R\in X^*\ot X,$ что
$ \|R\|\le C$ и $ \sup_{x\in K} \,||x-Rx||<\e.$ Пространство $ X$
{\it обладает свойством ограниченной аппроксимации},\, если оно обладает
свойством $ C$-ограниченной аппроксимации для некоторого числа $ C\ge 1.$
\smallpagebreak


\proclaim {\bf Теорема 1}\it
Существует сепарабельная банахова решетка, обладающая свойством
аппроксимации, но не обладающая свойством ограниченной аппроксимации.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Пусть $\, E$ --- рефлексивная сепарабельная банахова решетка без
свойства аппроксимации (см. [Szk]). Выберем в $ E$ возрастающую цепочку
$\{ E_n\}_{n=1}^\infty$ конечномерных подпространств, для которых
объединение\ $ \bigcup_n E_n$ плотно в $ E.$ Для каждого натурального
$ n$ \, найдем конечномерное пространство $ F_n$ с $ K$-безусловным
базисом (константа $ K$ зависит {\it только от решетки}\ $ E$) и
два оператора $ V_n: E_n\to F_n$ и $ U_n: F_n\to E,$  для которых
суперпозиция $ U_nV_n$ представляет собой тождественное вложение
подпространства $ E_n$ в банахову решетку $ E$ и выполняются
неравенства $ \|U_n\|\le 1, \,\|V_n\|\le K.$
   Рассмотрим сумму по типу $ l_1$ пространств $ F_n:$\quad\,
$ Y\!:= \( \sum_n F_n\)_{l_1}\!;$\ это --- пространство с $ K$-безусловным
базисом и, следовательно, банахова решетка.
Далее, определим непрерывный оператор $ T$ из $ Y$ в $ E$ следующим
образом: если $ \{ f_n\}_n\in  Y= \( \sum_n F_n\)_{l_1},$ где для каждого
$\, n$\quad\, $ f_n\in F_n,$ то $ T \{ f_n\}:= \sum_n U_n(f_n).$ Важно
отметить, что, по выбору операторов $ U_n,$\ $ ||T||\le 1.$

Положим $ X_0:= \bigcup_n E_n$  и рассмотрим нелинейные отображения
$ \wt V_n: X_0\to Y,$\, $ n=1,2,\dots,$
$$ \wt V_n(e):= \left\{   \aligned
&(\undersetbrace{n}\to{0,0,\dots,0, V_n e},0,\dots),
                               \qquad     e\in E_n, \\
 &(0,0,\dots,0,0,0,\dots), \quad \qquad   e\notin E_n\\
\endaligned  \right.
$$
для $ e\in X_0.$

Если $ y'\in Y^*,$ то для любых $ n\in\Bbb N$  и $ x\in X_0$ при помощи
суперпозиции $ y'\circ \wt V_n: X_0\to Y\to \wh{\Bbb R}$  \, мы можем
определить элемент $ \( S_n(y')\)(x)\in \wh{\Bbb R}^{X_0},$
полагая $\( S_n(y')\)(x):= y' \( \wt V_n(x)\). $
У нас возникают отображения $S_n: Y^*\to\wh{\Bbb R}^{X_0}, $
совокупность которых мы можем рассматривать как последовательность
$ \{S_n\}_n$ точек компакта $ \( \wh{\Bbb R}^{X_0}\)^{Y^*}.$
Пусть $ \{S_{n_\a}\}_\a$ --- сходящаяся в этом компакте подсеть
и $ S$ --- ее предел. Рассматривая $ S$ как отображение из $ Y^*$
в пространство $ X_0^*= E^*,$ мы получаем для любых $ y'\in Y^*$
и $ x\in X_0:$
$$ \<Sy', x\> = \lim_\a \( S_{n_\a}(y')\)(x)=
    \lim_\a \<y', \wt V_{n_\a}(x)\>,
$$
откуда
$$ |\<Sy', x\>| \le K\,\|y'\|\,\|x\|,\qquad \forall\ x\in X_0,\,y'\in Y^*.
$$
Понятно, что отображение $ S$ линейно на $ X_0,$ и мы можем продолжить
его с плотного множества на все пространство $ E$ без увеличения нормы,
которая не больше, чем $ K.$

На плотном же множестве $ X_0$ мы имеем: для всех
$ e\in X_0$ и $ e'\in E^*=X_0^*$ \
$$ \<ST^* e', e\> = \lim_\a \( S_{n_\a}(T^*e')\) (e)=
 \lim_\a \<T^*e', \wt V_{n_\a}(e) \> =
 \lim_\a \<e', T\(\wt V_{n_\a}(e)\) \> = \<e', e\>.
$$

Таким образом, мы имеем следующие диаграммы
$$ \CD         \operatorname{ id}_{E_n}:\
      X_0 @>\wt V_n>> Y @>T>> E \phantom{\ : \operatorname{ id}_{E^*}}  \\
	  \phantom{\operatorname{ id}_{E_n}:\ }
      E^* @<S<< Y^* @<T^*<< E^* \ : \operatorname{ id}_{E^*}
  \endCD  \tag1
$$
где пространства $ Y, E$ и их сопряженные являются банаховыми решетками
и оператор $ T$ действует "на".

Всюду ниже пусть $ L:= T^*(E^*)$ --- слабо${}^*$ замкнутое подпространство
в $ Y^*.$

Так как пространство $ E$ не обладает свойством аппроксимации, то\newline
%\smallpagebreak
 \phantom{V1}($*$) {\it для всякого положительного $ C>0$ существует такое
число $ \e>0$ и такие конечные подмножества $ H\subset E^*,$
\ $ G\subset E,$ лежащие в единичных шарах соответствующих пространств,
что как только для некоторого конечномерного оператора
$ R\in E\ot E^*$ при всех $ e\in G$ и $ e'\in H$ выполняется неравенство
$$ |\<e', e \> - \<Re', e \>|<\e, \tag2
$$
так сразу обязательно}\ $ \|R\|\ge C.$
\smallpagebreak

Зафиксируем произвольную постоянную $ C>1$ и выберем число
$ \e>0$ и подмножества $ H, G,$ в соответствии с условием ($*$).
Для  произвольного $ e\in G$ пусть $ y_e$ будет такой элемент из
$ Y,$ что $ T(y_e)=e$ и $ \|y_e\|\le 2$ \, (из определения оператора $T$
ясно, что он переводит шар радиуса 2 пространства $ Y$ во множество,
содержащее единичный шар пространства $ E$).
В частности, для $ e\in G$ и $ e'\in E^*$
$$ \<y_e, T^*e' \> =\<T(y_e), e'\> = \<e, e'\> = \<e, ST^*e'\>,\ \text{или }
        y_e|_L= S^*e|_L.  \tag3   $$

Теперь, по нашим фиксированным числам $ C$ и $ \e$ мы выберем два таких
числа $ A$ и $ \e_1>0,$ \, что
$ \sqrt A\ge C>1 $ и $ (2+K)A^{-1/2}+\e_1 <\e.$

Определим, наконец, дуальную норму на $ Y^*,$ эквивалентную исходной:
$$ |||y'|||_0:= \max \left\{ ||y'||, A \operatorname{ dist}(y', L)\right\}.
$$
Эта норма, в свою очередь, порождает эквивалентную исходной норму
на пространстве $ Y,$  единичный шар которой пусть, к примеру, будет
$ B.$
Теперь --- заключительный шаг в этих длительных рассуждениях:
в качестве еще одного единичного шара (функционал Минковского которого
мы обозначим через $ |||\cdot|||$) мы возьмем замкнутую выпуклую солидную
оболочку\footnote{
{\it С\'олидная оболочка} множества $ M\subset Y$\,  определяется так:
$\operatorname{ sol}\,(M):= \{y\in Y:\ \exists \,y_1\in Y,\, |y|\le|y_1|\}.$
Замкнутая выпуклая солидная оболочка множества $ M$ есть
$\overline{ \operatorname{ co}} \, \operatorname{ sol}\,(M).$}
$ \operatorname{ sol}\,(B)$ множества $ B.$

Все три имеющиеся нормы на пространстве $ Y,$ эквивалентны друг другу и,
более того, пространство $ \( Y, |||\cdot|||\)$ есть банахова решетка
(решеточная структура просто наследуется из первоначального
$ \( Y, ||\cdot||\)$).
Очевидно, что если $ y\in Y,$ то
$ ||y||\ge |||y|||_0 \ge |||y|||,$ \, {\it причем все три нормы на $ Y^*$,
сопряженные к этим нормам, совпадают на подпространстве}\
$ L\subset Y^*.$
Наша ближайшая цель --- показать, что банахова решетка
$\wt Y_C := \(Y, |||\cdot|||\)$ не обладает свойством $ \wt C$-ограниченной
аппроксимации, если только  $\wt C< C/K$ (напомним, что $ C$ ---
произвольная, а $ K$ --- абсолютная постоянные).

Итак, пусть $ \Phi\in Y^*\ot Y$ и
$ |||\Phi y_e-y_e |||<\e_1$ \, для всех $ e\in G.$  Мы хотим показать, что
$ |||\Phi|||\ge C/K$ (имеется в виду норма оператора $ \Phi$ в пространстве
$ \wt Y_C$).

Возьмем произвольные $ e'\in H$   и $ e\in G,$ \,и пусть $ l\in L$ таково,
что $ ||l- \Phi^*T^* e'||= \operatorname{ dist}\,(\Phi^*T^* e', L).$
Вспоминая, что $ |||T^* e'|||= ||T^* e'||\le ||T||\,||e'||\le 1,$ \,
$ ||y_e||\le 2$ и $ \|S\|\le K,$
мы последовательно получаем:
$$ \multline
   |||\Phi^*|||\ge \frac{||| \Phi^*T^* e'|||}{||| T^* e'|||} \ge
     \frac {A\, \operatorname{ dist}\,(\Phi^*T^* e', L)}{|| T^* e'||}\ge
     A\, ||l- \Phi^*T^* e'||\ge \\ \ge
  \frac A{2+K} \,|\< \Phi^*T^* e'-l, y_e-S^* e\>|\, \underset{(3)}\to{=}\,
     \frac A{2+K}\, |\< \Phi^*T^* e', y_e-S^* e\>| =  \\ =
    \frac A{2+K}\, |\< T^* e', \Phi y_e\> - \< \Phi^*T^* e', S^* e\>| \ge \\
    \ge \frac A{2+K}\, \( |\<T^* e', y_e\> - \<S\Phi^* T^* e', e\>| -
	 |\< T^* e', \Phi y_e-y_e\>|  \).
\endmultline
$$
Далее, так как (см. (3) и (1)) \
$\<T^* e', y_e\> = \<<T^* e', S^*e\>= \< ST^* e', e\>= \<e', e\>\,$
и\,
$$ |\< T^* e', \Phi y_e-y_e\>| \le |||T^* e'|||\ ||| \Phi y_e-y_e|||\le
  1\cdot \e_1=\e_1,
$$
то мы можем продолжить цепочку наших неравенств следующим образом:
$$ |||\Phi^*|||\ge  \frac A{2+K}\, |\<e, e'> - \,\<S\Phi^* T^* e', e\>|-
       \frac A{2+K}\,\e_1.
$$

Обозначая через $ R$ конечномерный оператор $S\Phi^* T^* \in E\ot E^*,$
окончательно мы получаем:
$$ |\<e' - Re', e\>|\le \frac {2+K}A\,|||\Phi^*||| +\e_1. \tag4
$$
Поскольку для любого $ f'\in E^*$
 $$\multline
  \|Rf'\|= \|S\Phi^* T^* f'\| \le K\, ||\Phi^* T^* f'||\le
   ||| \Phi^* (T^* f')||| \le \\
    \le K\,|||\Phi^*|||\ |||T^* f'|||=
        K\, ||T^* f'||\ |||\Phi^*||| \le K\, |||\Phi^*|||\ ||f'||,
\endmultline  $$
то $ \|R\| \le K\, |||\Phi^*|||.$

Теперь, если $ |||\Phi^*|||< C,$ то из (4) и из условия $ \sqrt A\ge C$
вытекает, что
$$ |\<e' - Re', e\>| <  \frac {2+K}A\,C+\e_1\le (2+K)A^{-1/2}+\e_1 <\e $$
(вспомним выбор чисел $ A$ и $ \e_1$).
Поэтому, принимая во внимание (2) и условие ($*$), мы приходим к неравенству
$ ||R||\ge C,$ \, что дает нам: $ |||\Phi^*|||\ge C/K.$

Оставшийся тривиальный случай, когда $ |||\Phi^*|||\ge C$\, (и, значит,
$ \ge C/K$) завершает доказательство того факта, что банахова
решетка $\wt Y_C= \(Y, |||\cdot|||\),$  обладая свойством ограниченной
аппроксимации (даже базисом), не обладает свойством $ \wt C$-ограниченной
аппроксимации ни при каком $\wt C,$ меньшем, чем $ C/K. $

Для окончания доказательства нашей теоремы теперь достаточно для каждого
числа $ C=n = 2, 3, \dots,$ построить описанным выше способом
соответствующую банахову решетку $ \wt Y_n$ и положить
$ X:= \{ \sum_n \wt Y_n\}_{l_1}.$
Эта банахова решетка (со своей естественной решеточной структурой)
обладает свойством аппроксимации (таково каждое слагаемое в указанной
сумме по типу $ l_1$), но, как нетрудно понять, не обладает свойством
ограниченной аппроксимации.
$ \Q$ \enddemo

\bigpagebreak




%%%%%%%%%%%%   ЛИТЕРАТУРА
\Refs\nofrills{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА} % начало, \nofrills убирает
	    % английский текст и получаем только то, что в скобках
\widestnumber\key{P355}  % можно в преамбуле или после \Refs --
	% это задает размер ключа типа "Rei7" - если это опустить,
	% то ключ наедет на цитируемую статью!





\ref \key  Dav
\by   A. M.Davie     \pages 261--266
\paper  The approximation problem for Banach spaces
\yr 1973  \vol 5  % 16 % будет просто жирное "16".
\jour   Bull. London Math. Soc.
\finalinfo $ MR 49 \# 3499$
\endref

 \ref \key  Enf
%\no  %после \ref вместо \no
\by P. Enflo  \pages 309--317
\paper  A counterexample to the approximaton problem in Banach spaces
\yr 11973  \vol  130 % 16 % будет просто жирное "16".
\jour Acta Mat.
\finalinfo $MR 53 \# 6288 $
\endref

\ref \key\nofrills FiJo\by Figiel T., Johnson W.B.\pages 197--200
\paper  The approximation property does not imply  the bounded
   approximation property
\yr 1973\vol 41
\jour   Proc. Amer. Math. Soc.
 \finalinfo  $MR 49 \# 5782.$
\endref

\ref \key  FJT
%\no  %после \ref вместо \no
\by T.Figiel, W.B.Johnson and L.Tzafriri  \pages  395-412
\paper  On Banach lattices and spaces having local unconditional structure
    with applications to Lorentz function spaces
\yr 1975  \vol 13  % 16 % будет просто жирное "16".
\issue
\jour  J. Approximation Theory
\finalinfo $MR 51 \# 3866.$
\endref

\ref \key  G-L
%\no  %после \ref вместо \no
\by  Y.Gordon, D.R.Lewis \pages  27--48
\paper  Absolutely summing operators and local unconditional structures
\yr 1974  \vol 133  % 16 % будет просто жирное "16".
\jour     Acta Math.
\finalinfo  $MR 53 \# 14091.$
\endref

\ref \key Grt\by Grothendieck A. \pages pp. 196 + 140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espases nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\finalinfo
\endref

\ref \key Lin\by Lindenstrauss J.\pages  279--284
\paper  On James' paper "Separable Conjugate Spaces"
\yr 1971\vol 9
\jour Israel J. Math.
\endref

 \ref \key      Ptch       \by Пич А.
  \book Операторные идеалы
  \yr 1982, 536 с\vol
  \publ     Москва: Мир
  \endref

\ref \key Sznk
%\no  %после \ref вместо \no
\by   A. Szankowski \pages 329--337
\paper A Banach lattice without the approximation property
\yr  1976 \vol  24 % 16 % будет просто жирное "16".
\issue \nofrills{Nos. 3--4  }      % 3 % это дает "no. 3";
\jour Israel J. Math.
\finalinfo $MR 54 \# 8245.$
\endref

\endRefs

\enddocument



 \end

                  Working place

%	   1              РЕШЕТКИ
из

\ref\key КанА %\no    %одно из двух  Rei или 10
\by  Канторович Л.В., Акилов Г.П.
\book    Функциональный анализ
 \bookinfo второе издание
\publ Москва: Наука \vol \nofrills  % Наука и т.п.    % том или вып.
\publaddr      %Москва и т.п.
\yr 1977, 742 с    %год. 000 с. напр., 1985. 543 с.
\endref

Вещественное векторное пространство $ X$ называется {\it векторной решеткой,}
\ если $ X$ является одновременно решеткой, то есть упорядоченным множеством,
в котором для любых двух элементов $ x, y\in X$ существует их супремум
$ x \vee y$ и инфимум $x\wedge y,$ причем выполняются следующие условия
согласования алгебраических операций и порядка:
\item 1) для любого $ x\in X$ из $ x\le y$ вытекает $ x+z\le y+z;$
\item 2) если $ x\ge 0,$ и число $ \la\ge 0,$ то $ \la x \ge 0.$


Норма $ ||\cdot||$ на векторной решетке называется монотонной, если из
$ |x|\le |y|$ следует, что $ ||x||\le ||y||.$ {\it Нормированной решеткой]
называется ВР, снабженная монотонной нормой. Полная по норме НР называется
{\it банаховой решеткой.} \,
  ________________________

Из
\ref\key P86 %\no    %одно из двух  Rei или 10
\by  Pisier G.
\book  Factorization of linear operators and geometry of Banach spaces
\bookinfo Conf. Board in the Math. Siences. Reg. Conf. Ser. in Math.\, N 60
\publ Amer. Math. Soc. \vol \nofrills  % Наука ит.п.    % том или вып.
\publaddr Providence     %Москва ит.п.
\yr 1986, 164 p    %год. 000 с. напр., 1985. 543 с.
\endref

стр.104--106:

A family $\{ f_i\}_{i\in I}$  of nonzero elements in a Banach space $ F$
is an {\it unconditional basis} \, for $ F$ if  $\{ f_i\}_{i\in I}$
is total in $F$  and if there is a constant $ \la$ with the following
property:
\phantom(V!)($UB$) {\it For any finitely supported families of scalars
$ \{ \a_i\}_{i\in I}$ and $ \{ \beta_i\}_{i\in I} $ \, such that
$ |\beta_i|\le |\a_i|$ for all $ i$ in $ I,$\, we have}
$ \|\sum \beta_i f_i\| \le \|\sum \a_i f_i\|.$
\smallpagebreak

The {\it unconditional basic constant} of $\{ f_i\}_{i\in I}$ is defined as
the smallest constant $ \la$ satisfying ($UB$); it is denoted by
$ u \( \{ f_i\}\).$
The  {\it unconditional basic constant} of $ F$ is defined as the infimum of
$ u \( \{ f_i\}\) $ over all possible unconditional bases $\{f_i\}_{i\in I}$
of $ F.$ It is denoted by $ ub(F).$\footnote{
The definition makes sence both in the real and complex cases, and also
in the finite--dimensional case. For a f.d. space $ F$ in is known that
$ ub(F)\le ( \operatorname{ dim}\,F)^{1/2}.$}
Recall that a space $ F$ with an unconditional basis is $ \la$-ismorphic
to a Banach lattce with  $ \la= ub(F).$

A Banach space $Z $ has {\it l.u.st}\, (local unconditional structure,
see [G-L]) if there is a constant $ \la$ with the following property:
for any f.d. subspace $ E\subset Z,$  there is a space $ F$ with an
unconditional basis and a factorization
$$ \CD
      j:\ E @>A>> F @>B>> Z
\endCD
$$
of the natural injection $ j: E\to Z$  through $ F,$ such that
$ j=BA$ and $ ||A||\,\|B\|\, ub(F)\le \la.$
The smallest $ \la$ with this property is called the  l.u.st constant
of $ Z$  and denoted by $lu(Z).$

It is known that {\it a Banach space $ Z$  has l.u.st iff
its bidual $ z^{**}$ is isomorphic to a complemented subspace
of a Banach lattice} (see [FJT]); so, every {\it reflexive} Banach
lattice has l.u.st.

_____________________________________________





;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;;;;;;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
y
y
y
y
y7


d
d
b
n

n
в
в
а
п
п
п
п
п
fffffffffff
