%\documentstyle[12pt,epsfig,russcorr]{article}
\documentstyle[12pt,epsfig]{article}
\hoffset =-0.7in
\voffset =-0.5in
\textheight =9in
\textwidth =6.5in
\def\baselinestretch{1.2}
\renewcommand{\arraystretch}{1.0}

%---------------------------------------------------------------------
%DEFINITIONS
\def\be{\begin{equation}}
\def\ee{\end{equation}}
\def\disp{\displaystyle}
\def\foot{\footnotesize}
\def\scri{\scriptsize}
\def\ve{\varepsilon}
\def\th{\theta}
\def\lam{\lambda}

\def\R{{\sf I\kern-.2em R}}
\def\C{\kern.1em{\raise.47ex\hbox{$\scriptscriptstyle |$}}\kern-.40em{\sf C}}
\def\Z{{\sf Z\kern-.32em Z}}

\newtheorem{theorem}{\noindent T��६�}
\newtheorem{lemma}{\noindent �����}
\newtheorem{definition}{\noindent ��।������}
\newtheorem{corollary}{\noindent �����⢨�}
\newtheorem{conjecture}{\noindent �।���������}
\newtheorem{statement}{\noindent �⢥ত����}
\newtheorem{remark}{\noindent ����砭��}
\newcommand{\proof}[1]{{\bf ������⥫��⢮.} #1 \rule{2mm}{2mm} \medskip}
\newcommand{\Proof}[1]{{\bf ������⥫��⢮.} #1 \rule{2mm}{2mm} \medskip}
%\renewcommand{\proof}{������⥫��⢮}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{document}

\begin{titlepage}

\begin{center}
{
%\LARGE
\bf    ��������� �������������� ����� � �����������
                           ����� ����
}
\vspace{0.3in}
%\begin{center}

{\large A.M.������ $^{1}$}

\bigskip

{\sl
$^{1}$ �.-������᪮� �⤥����� ��⥬���᪮�� �������
��.\ �.\,�.\,�⥪����
���⠭�� 27, \\ 119011 �.-������, �����.
�� ���筮� �����প� ����, �࠭� 96-15-96060}
\medskip

\end{center}
\bigskip
\end{titlepage}

\vspace{0.3in}

\begin{abstract}

 ���ய�� ��砩���� ��㦤���� �⭮�⥫쭮 ��� �� ����⭮�
 ��㯯� ����� ���� �ᯮ�짮����, ��� �ࠢ����� ��⥬ ��ࠧ����, ---
 ��⥬� ��ࠧ���� � ���ᨬ��쭮 ��������� ���ய��� ����
 � �����⭮� ��᫥ �������� ����⢥���� ��� ������ ��㯯�.
 �����뢠���� � ࠡ�� {\em �㭤����⠫쭮� ��ࠢ���⢮ ��뢠�� ���ய��,
 ᭮� � �����䬨�᪨�  ��ꥬ �� ��㯯�} (�㭪� 2). � ᢮������ ��㯯��
 �㭤����⠫쭮� ��ࠢ���⢮  �ॢ�頥��� �  ࠢ���⢮,
 � �� �����쭮-᢮������ ��㯯�� ࠢ���⢠ ---  ��� (�. �㭪� 3).
 ���ய�� - ��ࠧ�� ����� ��魮� �।�⢮ �ࠢ����� ��ᯮ���樠����
 ��㯯, 祬 ���.  ���㫨����� ��� ����� �ਬ�஢ � �����, �易����
 � ������묨 ��㯯���.


\end{abstract}

\bigskip
\begin{abstract}
  The entropy of the random walk on the discrete contable group could
  be used for comparison of the system of the generators. Fundamental
  inequality between growth, entropy and escape gives the possibility
  to define "the best" system of the generators. We formulate a new
  circle of the problems related to the various growth and asymptotics
  on the groups.
\end{abstract}
\vspace{0.3in}

\noindent {\small {\bf Key words:} ��㯯�, ��ࠧ��騥, ���ய��, ᭮�,
���, �����쭮 ᢮������ ��㯯�, ��㯯� ���}

\section{��������}
   �।� ࠧ����� ᯮᮡ�� "����७��" ��᪮����� ��㯯, �������襥
�����࠭���� ����� ⠪ ���뢠��� ��� --- �.\,�.\ �ᨬ��⨪�
�᫠ ᫮�  ������ �����, ��� ����饭� ��஬��� ������⢮
ࠡ��. ������, �������  � ����� ��㡮��� �ࠪ���⨪�, ᮮ⭮襭��
������ � ��⮬ � ����� ᮡ��,--- ���� �� �� ᠬ� ����� �।��� � ⥮ਨ
�᫥���� �ࠪ���⨪ �����ࠨ�᪨� ��⥬.
�������� ��㤭�� �஡���� --- ��।����� � ���᫨�� ${\it
����ਠ���\/}$
�ࠪ���⨪�, ��������騥 �� �롮� ��⥬ ��ࠧ����.
�� ������� �� �� ���� ��᫥������ � �  �⮩ ���⪮� ࠡ�� �� �ਢ����,
��-��������, ���� ��㬥��� � �ਬ��� � �⮬ ���ࠢ�����.
����� ���஡�� �� १����� ���� �������� � ���� ���� �
"�ᯥ�� ��⥬���᪨� ���".

         �� ���砥�,  ������ ��ࠧ�� ���� ��ᯮ���樠��� ��㯯�,
(�.\,�.\ ��㯯� ��ᯮ���樠�쭮�� ���), �।�⠢���騥  �������訩 �����
��� �������� � ���� �ਫ������, ������ ��騥 �ਭ樯� ������� �ਣ���묨
� ��� ��㣨� ��砥�. ��ࠢ��� �窮� ��� ���� � ᢮� �६�
�뫮 ���祭�� ���ய�� ��砩��� ��㦤���� �� ��㯯��.  �� ����⨥
(�. ����) ���� � 1972 ���� ���� \cite{Av}, � 祬 ⮣�� ��� �� �뫮  �����⭮,
� ��᪮�쪨�� ������ ����� � ��८��� ���;  ������ ��ࢮ��砫�� 楫�
�������� ���ய�� �뫨 �⫨�� �� ��, ����� ���� � ���� ����, ---
��� ���� ���ய��  �뫠 �०�� �ᥣ� ����ୠ⨢��� �� �⭮襭�� � ����
�ࠪ���⨪�� � �।���������� ������ ᮮ⭮襭�� ����� ����. �� �祭�
᪮� ���᭨����, �� ���ய�� ���� ���� �।�⢮� ��� ���祭��
��砩��� ��㦤����, � ����� ��।�, �࠭�� ���ᮭ�, ����������
�� ������ (�� ⮫쪮 ����⭮����) ������ � ⠪�� � ��ମ���᪮� �������
�� ��㯯�� � ��. ���⮬� ����� � �.\,�.\,���������祬 (\cite{��},
\cite{KV}) ���� ����㯨� � ���祭�� ��砩��� ��㦤���� � ���ய����� �窨
�७��. ��裡 � ��������쭮����,  ᯥ��஬ �����ᨠ��, ���ਥ� ���⥭�,
����⥧�� ����⥭��࣠ � ��.(� \cite{KV}) \ ��ꥤ����� ���ய����� ⥬�
� ������� ��㣨��. �� ⥬� ����稫� � ���쭥�襬 ����讥 ࠧ��⨥.
    ����� �  ��������� � ��ࢮ��砫쭮� 楫�, �ᯮ���� 㦥
��⠭������� �裡,  �  �ਬ���� ������� �ࠪ���⨪� � ���� ����ᠬ
��㯯. � ��⭮��, � ����⢥ �ਬ�� �� �த������ ���祭�� ⠪ ���뢠����
�������� ��㯯 (\cite{V1}, \cite{V2} ), ���� �� ������ (�����쭮
᢮����� ��㯯�)
�������  ���஡�� ��ᬮ�७ � ࠡ�� ���� � �.\,��砥�� �
�.\,������� (\cite{BNV} ).

   �����᪨,  ��� �易� �  �ᨬ��⨪��  ����  ����� �� ������ ���
�� ��㯯�,  � ���ய�� ���� ����������� ����뢠�� �ᨬ��⨪� ���� ���;
�� �⮬
ᮮ⭮襭�� ����� ���� ���������� ᮮ⭮襭�� ����� ⮯������᪮� �
�����᪮�  ���ய�ﬨ  �८�ࠧ������. �᭮���� 䠪� - {\em �㭤����⠫쭮�
��ࠢ���⢮} - � ���� ��ࠢ���⢮ ����� �⨬� ���ய�ﬨ. ��������
� �������᪨��
��⥬��� ���� �����筮 ������. ���� ������ ���ய��
�஢���� � �祭� �������� ����� �, ����筮, ������.  ���� �㭤����⠫쭮�
��ࠢ���⢮  (�.\ �����)  � �⤥���� �����  㯮�������� � ࠭��
� ࠡ�� �.\,���������� (\cite{K1}), � � �������� ࠡ�� (\cite{K2})
������� �����
��ᬠ�ਢ���� ��� ��᤮�䮢�� ࠧ��୮�⥩  �࠭��  ��㦤����
�� ��ॢ���,~--- �� ��㯯���� �몥 �� ᮮ⢥����� �������� ���祭����
���� ᢮������
��㯯. ������ �� �ᥩ ��魮�� ��� �����, ��-��������, ⠪ � �� ���砫��,
��᫥ ��� ���⠭���� ����� ������ ��� �����.

\bigskip
\bigskip
\section{��।������}
�����  $G$  --- ��⭠� ��㯯� � ������ �᫮� ��ࠧ����,
(${x_1,x_2,...x_k}$) ---  ������� ��⥬�  ��ࠧ����,  � (${x_1^{-1},
x_2^{-1}...,x_k^{-1}}$) --- ����� � ���; ������稬 �१
$$
S=(x_1,x_2,...x_k,x_1^{-1}, x_2^{-1},...,x_k^{-1})
$$
�� �।����������, ����� ������, �� ��⥬� $S$ �������쭠, �.\,�.\
��������, �� � ��᫥ 㤠����� �� ��� �������� ������⮢ ��⥬�
⥬ �� ����� ��஦���� ��㯯�.

����� ������� ��㯯� �����뢠���� ��� ��᮪�⨬�� (�.\,�.\
�������-����� ��ࠧ��騥 �� �ᥤ�����)  ᫮�� � ��䠢��~$S$.
�� ࠧ��砥� ᫮�� � �������� ��㯯� - ����� ᫮�� ���������� �㪢��쭮,
� ����� ������� $g$, ������祬�� $l_S(g)=l(g)$  �.\,�.\ ����ﭨ�
(� ���ਪ� ᫮�)
�� ������� ��㯯� � ������ ��ࠧ���� ���� ������ ���� ᫮�, �।�⠢�����
��� �������.
������⢮ ������⮢ ����� �� ����襩, 祬 $n$  ������砥���
�१ $W_{\leq n}$, � � �筮�� ������~--- $W_n$; �᫮
�।�⠢����� ������� ������� $g$  � ����
(�������� ᮪�⨬���) ᫮�� ����� �� ����襩 $n$ ������稬
�१ $c_n(g)$
� �ନ��� ��� ���� $W_{\leq n}$  ���� "��"~--- ������⢮ �祪 㤠������
�� ������� �� ����� 祬 �� $n$,  $W_n$ "���" ࠤ��� $n$,
$c_n(g)$~---
�᫮ ��⥩ ����� �� ����襩 $n$ ������ �� ������� $e$ � �����
�������~$g$.

����� $m_{\leq n}$ (ᮮ�., $m_n$) ���� ࠢ����ୠ� ��ନ஢����� ��� ��
$W_{\leq n}$, (ᮮ�., �� $W_n$). �।�������, ��  $\mu_n$~---
�ந����쭠� ᨬ����筠� ($\mu({g})=\mu({g^{-1}})$) ��� �� ������⢥ $S$.        .
����� $\mu^{*n}$ --- $n$-� ᢥ�⪠ ���� $\mu$ � ᮡ��, ��� ��।��祭� ��
������⢥  $W_{\leq n}$. C���⪠ ��।������ �� ��㫥:
$$\mu^{*n}({g})=\sum_{g=g_1g_2..g_n} \prod_{i=1...n}\mu ({g_i)}$$
\smallskip
�ᮡ� ����� �।�⠢��� ࠢ����ୠ� ��� �� $S, \mu_S$
� �⮬ ��砥
$$
\mu_S^{*n}({g})=c_n(g)/(2k)^n
$$
⥬ ᠬ�,  ���  $\mu_S^{*n}({g})$  ������� $g$
�ய��樮���쭠 ��� �।�⠢����� �⮣� ������� � ��⥬�~$S$.
\smallskip

�᫨ ����  $m_{\leq n}$ �  $m_n$  ��ࠦ��� � �����஬ ��᫥  ��������
��㯯�, �筥� ��� �᫠ ���設 �  ���  ����, � ���� $\mu_S^{*n}$~---
�易�� � ���������, �.\,�.\ �  ��⮬ �᫠ ��⥩ � �⮬ ���,
� ���� $\mu^{*n}$~--- ��� ����襭���� �᫠ ��⥩; �� �� ����
������� �� �롮� ��ࠧ����.


\bigskip
������ �� ����� ����� ��� ������ ����⠭�. �०�� �ᥣ� ��� �������
"���" ��� ��ꥬ:
\begin{definition}
{\it �����䬨�᪨� ��ꥬ�� ��㯯� G � �������� ��⥬� ��ࠧ���� $S$}
������� �᫮
$$
\lim (\log |W_n|)/n =v
$$
\end{definition}
����⢮����� �।��� ����� ᫥��� �� ��ࠢ���⢠
$$
|W_{n+m}| \leq |W_n| \cdot |W_m|
$$
\bigskip

�����䬨�᪨� ��ꥬ �⫨祭 �� ��� ��� ��㯯 ��ᯮ���樠�쭮�� ���
� ⮫쪮 ��� ���. �祢����, �� ��� ��� ��㯯 ��� ����� �������
� �� ⠪�� ��㫥:
$$
\lim \log (|W_{\leq n}|)/n =v,
$$
��᪮��� �����䬨�᪨� �ᨬ��⨪� �஢ � ��� ���������.

\smallskip
��������, �� ���ய�� ���� $\nu$ �� ����筮� ������⢥ $K$
���� �᫮
$$
H(\nu)=-\sum_K \nu(k) \cdot \log (\nu(k))
$$
(������� ������)

  ���ய�� ࠢ����୮� ���� ���� ������ �᫠ ������⮢ ������⢠.
\begin{definition} (�. \cite {Av}, \cite{KV})
{\it ���ய��� ���� $(G, \mu)$ ���뢠���� �।��\/}
$$
\lim  H(\mu^{*n})/n=h(G, \mu)
$$
�.\,�.\ �।�� ��ନ஢����� ���ய�� �⥯���� �� ᢥ�⪥ ���� $\mu$
�� ��ࠧ����.
\end{definition}
\smallskip
��� �।�� ⠪�� ������� � ࠢ�� ��䨬��,
�� ����� ᫥��� �� ��ࠢ���⢠:
$$
H(\nu_1*\nu_2) \leq H(\nu_1) + H(\nu_2)
$$
����⨬, �� �����䬨�᪨� ��ꥬ 䠪��᪨ ���� �।�� ��ନ஢�����
���ய��  ࠢ������� ���.
\smallskip

������ �� ���� ������ �ࠪ���⨪�: ��ᬮ�ਬ ����� ������� $l(.)$,
��� �㭪樮��� (������騩 �� $S$) �� ������⢥
 $W_{\leq n}$, ᭠������� ��ன  $\mu^{*n}$, � ���쬥� ��� �।���
 �� �⮩ ���.
���� ������, ��ᬮ�ਬ ��⥬���᪮� �������� ����� ������� ��
��砩��� ��㦤���� �� $n$  蠣�� � ��室��� ��ன $\mu$~---
�.\,�.\ ���᫨�
�।��� ����� ��砩���� ᫮��~--- $l_n(\mu)$. ������� �।��
$$
l(\mu)= \lim l_n(\mu)/n
$$
\begin{definition}
 ��᫮ $l=l(\mu)$ �������  {\it ᭮ᮬ ��� ᪮����� �室� ��
��᪮��筮���\/}
o⭮�⥫쭮  ������ ����, � � ��砥 ���� $\mu_S$~--- ᪮����� �室� ��
��᪮��筮��� �⭮�⥫쭮 ������ ��⥬� ��ࠧ����.
\end{definition}

\smallskip

\begin{theorem}
 {��������������� �����������}.

���ய�� �ந����쭮� ᨬ����筮� ���� �� ��㯯�, ��।��祭���
�� ������ ��⥬� ��ࠧ���� �⮩ ��㯯� �� �ॢ�蠥� �����䬨�᪮��
��ꥬ� � �⮩ ��⥬�, 㬭�������� �� ᪮���� �室� �� ��᪮��筮���
(᭮�) �⭮�⥫쭮 ����.
$$
h \leq l \cdot v
$$
\end{theorem}

\section{������⥫��⢮ ⥮६�, ᫥��⢨�, �᭮��� �஡����}

\begin{lemma}
 �᫨ ᭮� �⫨祭 �� ���, � ��砩��� ��᫥����⥫쭮��� ���� ᫮�
 㤮���⢮���  ������ ������ �ᥫ, �.\,�.\ ��� ���
 $\epsilon > 0$ ������� ⠪�� $N$, ��
 �� ��� $n \geq N$ ����� ���� ᮮ⭮襭��
 $$
 \mu^{*n}(g: |l(g)/l -1| \leq \epsilon) \geq (1-\epsilon)
 $$

\end{lemma}

\begin{proof}{
���ᬮ�ਬ ����� ��砫��� ��१��� ᫮� ��� 樫�����᪨� �㭪樮����
�� ��᪮��筮�
�ந�������� $(G^{\infty}, \mu^{\infty})$. �����  $l_n(\omega)$ ����
����� ������� ��㯯�, �⢥��饣� ��砫쭮�� ��१�� �� $n$ �㪢
��᪮��筮� ��᫥����⥫쭮�� $\omega$ � ��䠢�� $S$. ��᫥����⥫쭮���
$l_n(\omega), n=1,\dots $,
��� ����� ������, 㤮���⢮��� �᫮��� �㡠���⨢��� �࣮���᪮�
⥮६� (��������) �⭮�⥫쭮 ������ ᤢ��� T, ��� �८�ࠧ������
$G^{\infty}$  � �த��� ��ன $\mu^{\infty}$, � ������:
$$
l_{n+m}(\omega) \leq l_n(\omega) + l_m(T^n \omega)
$$
���⮬� ��᫥����⥫쭮��� $l_n(\omega)/n$ �室���� ���� ����.
��, �� �� �।�� ���� ����⠭�, ᫥��� �� ������ $0-1$ ���
��᫥����⥫쭮�� ������ᨬ�� � ⮣�, �� ��� �।�� �� �������
�� �� ��������� ����筮�� ��१�� ��᫥����⥫쭮��. �⢥ত����
����� ࠢ��ᨫ쭮 �室����� �� ��� ��᫥����⥫쭮��  ��ନ஢�����
���� ������⮢ �, ᫥����⥫쭮, ��⥪��� ��  �室����� ���� ����.}
\end{proof}
\smallskip

{\bf ����砭��. }
�᫨ ᭮� �⫨祭 �� ���, � ����� ���� ��� ᫮�, ��� �⢥ত��� �����,
����� ������� �� $n$ � ����� � ⮩ �� ᪮�����. � ��㣮� ��஭�,
��� �����⭮, �� �� �������� �
������ ��㣨� ��㯯�� ᭮� ࠢ�� ���, � ᪮���� ��� ���� ᫮� �����
���冷� $\sqrt n$. �����, ���⠢����� � �⮩ �裡,~--- ����� �� ��
᪮���� ��� �����-���� ��㯯 ���� �஬����筮�  �����  $\sqrt n$ � $n$.
�� �� ���, ��᪮�쪮 �����⭮, �� �� ���砫��.  �⢥� ������⥫��,
⠪�� �ਬ��� ����஥�� ������� ���.\ �.\,���� �� �᭮�� ���쬠
�������� � ⥮ਨ ��砩��� ��㦤���� � ��ᬠ�ਢ������ ࠭�� ᯫ�⥭��
(� \cite{V3}). �� �� १���� � ᢮��⢠� ᭮� �� ᯫ�⥭��� �.
� �����饬 ᡮ୨��.

\smallskip
��३��� � ������⥫���� ⥮६�.

\begin{proof}{
���쬥� �ந����쭮� ������⥫쭮�  $\epsilon$  � �롥६ �� �����
����ࠫ쭮� $n$.
�������� ���� $\mu^{*n}$ � ��㪫�� ��������� ���� ���, ���� �� ������
--- $\mu_1$ ���� ��ନ஢����� ��࠭�祭�� �⮩ ���� �� ������⢮
$V$ �� ������⮢,
����� ������ ����� � ���ࢠ��  $[(1-\epsilon)l \cdot n,
(1+\epsilon)l \cdot n]$, � ��㣠� --- $\mu_2$ --- ���� ��ନ஢�����
��࠭�祭��  ���� $\mu^{*n}$  �� ���������� � �������� $V$
� $W_{\leq n}$. �� ����� ������⢮ $V$ ����� ���� ����� $1-\epsilon$,
� �᫮ ������⮢ �� ��஬ �� �ॢ�蠥� ��饥 �᫮ ������⮢ �
$W_{\leq n}$.

   ����� ���ய�� $H(\mu^{*n})$ �業�������
$$
H(\mu^{*n}) \leq (1-\epsilon)H(\mu_1)-\log (1-\epsilon)
                    +\epsilon \cdot \log (W_{\leq n})
$$
(��᫥���� ᫠������ �業����� ᢥ��� ���ய�� ���� $\mu_2$ ���ய���
ࠢ����୮� ���� �� $W_{\leq n}$).
������� �� $n$ � ���室� � �।��� �� $n$ � ��⮬ ⮣�, �� ��᫥����
᫠������, ��᫥ ������� �� $n$ ��६���� � �����䬨�᪮�� ��ꥬ� $v$,
㬭�������� �� $\epsilon$ (�.\ ��।������), ����砥�
$$
h \leq (1-\epsilon) H(\mu_1)/n +\epsilon \cdot v
$$

 ��  $H(\mu_1)/n$ �業������� ᢥ��� ��ࠦ����� $(\log |V|)/n$, ���஥ ��
$n$ ��६�饬�� � ��᪮��筮��, ����  $l \cdot v$, �.\,�.\
$$
h \leq (1-\epsilon)l \cdot v + \epsilon \cdot v
$$
� � ᨫ� �ந����쭮�� $\epsilon$ ����砥�  �㦭�� ��ࠢ���⢮:
$$
h \leq l \cdot v
$$}
\end{proof}


\begin{corollary} �᫨ $l=0$, � ���� ��� ᫮� ��������� ���������,
� � ���ய�� ࠢ�� ���. ��� ᠬ� ������⥫쭮��� ���ய�� �����
������� ��� ���� ⨯���� �� �⮩ ��� ᫮�.
\end{corollary}
\qquad ��������, ��୮ � ���⭮�.

����訢����� �������� �㭤����⠫쭮�� ��ࠢ���⢠ � ��ࠢ���⢮�
����� ⮯������᪮� � �����᪮�
���ய��� �������᪨� ��⥬ (�. ����. \cite{DS}).
������ ��९���� ��ࠢ���⢮ � ����
$$
h/l \leq v
$$
����� ���� ������ �� ����, � �ࠢ�� -⮫쪮 �� ������⢠ ��ࠧ����.
(��. \cite{K2}, ��� ��� ��ॢ쥢 �ࠢ�� ���� ��⮫���뢠����, ��� ��᤮�䮢�
ࠧ��୮��� �����ன ����). �⭮襭�� � ����� ��� ���� {\em ��ନ஢�����
���ய��} (�.�. ���ய�� �� ���� 蠣 - ��� �㪢� - � ॠ�쭮�
���饭�� ᫮��). ������稬 ��� �१ $\hat h$.

�᫨ ��ᬮ���� �த���-���� �� ��᪮��筮� �ந��������
���⥫�� ���� $\mu$ � ᮬ����⥫ﬨ $\mu$, � ��ନ஢�����
���ய�� $\hat h$ ����� ��⮫���뢠����, ��� �।��쭠� ���ய�� �� ���� 蠣
ࠧ������ ��᪮����� ᫮� �� ������ ���������⭮�� �⭮�⥫쭮 ࠢ���⢠
��砫��� �ࠣ���⮢ ��� ᫮� � ��㯯�, � $v$  �⠭������ �।��쭮�
���ய��� ࠢ������� ��� �� ������. ���⮬� �㪢��쭮 ��� ��ࠢ���⢮
�� ����� � �筮�� ⮣� �� ��᫠, �� � � ⮯������᪮� ��������
(��������� �८�ࠧ������, � ���� ���� ��᫥����⥫쭮��� ࠧ������) .

������, �� �������� ���쬠 �������
� ����� ��।�  ��⮬�, �� ������ ��������騥 ����� ������
��宦�. ��� ���.

\smallskip
����� ������⢮ ��ࠧ���� �, ⥬ ᠬ�, ���祭�� $v$ --- 䨪�஢���,
������� ���� � ���⥫�� �� ������ ������⢥ ��ࠧ���� � �� ������,
���⠢������ ���ᨬ� ��ࠦ���� $\hat h$ - {\em ��ன ���ᨬ��쭮�
��ନ஢����� ���ய��} �⭮�⥫쭮 ������� ������⢠ ��ࠧ����.
\smallskip

�. ����� ��� ������� ��������� ���������� ���������� ������������
���� ������������ ������������� ��������? ����� ��� �����������?

� ����⢥ �������� ����⢥���� ���� $\mu$ ᫥������ �� ���� ࠢ�������
���� �� ��ࠧ���� ��㯯� � ����� � ���, ��, ��-��������,
�� �ᥣ�� ��� ���⠢��� ���ᨬ� �⭮襭�� $\hat h=h/l$, ��᪮��� ��ࠧ��騥,
����� ������, ����� ���� ��ࠢ���ࠢ�묨.

 ����� ���������, �� ��� ���ᨬ��쭮� ��ନ஢����� ���ய�� �������,
�� ��� ������� ������⢠ ��ࠧ���� ���ᨬ��쭮� $\hat h=h/l$ ��ண� �����
$v$.
  ������� ᨬ����筮� ������⢮ ��ࠧ���� � ��ᯮ���樠�쭮� ��㯯�
{\em ����६����}, �᫨ �� ��� �������  ᨬ����筠� ��� �� ���,
��� ���ன �㭤����⠫쭮� ��ࠢ���⢮ � �ਢ������� �ଥ �⠭������
ࠢ���⢮�: $\hat h =v$.

�. � ����� ������� ���������� ������������� ������� ����������?

\smallskip
�㤥� ⥯��� ����஢��� � ᠬ� ������⢮ ��ࠧ���� � �᪠��
��� ����ਠ��� �ࠪ���⨪�.

���ᬮ�ਬ ��ࠦ����
$$
\frac{h}{l \cdot v}=\frac{\hat h}{v} \equiv q=q(S, \mu)
$$
(� �।���������, �� $l \ne 0$)
� ��� ��६� �� �ᥬ ᨬ������ ��ࠬ $\mu$, ���⥫� ������
�����  � ����筮� ᨬ����筮� ������⢥ $S$:
$$
q(S)= \sup_{\mu}  q(S,\mu)
$$
 �� ⥮६� 1 �᫮  $q(S)$ ��
�ॢ��室�� �������, � ࠢ�� ������ ⮫쪮 ��� ����६�����
��⥬.
\smallskip
����� ��ࠧ��, ������ {\em ��ꥪ⨢�� ᯮᮡ �ࠢ����� ��⥬
��ࠧ����: 祬 ����� ����稭� $q(S)$ ⥬ ��䥪⨢��� ������
��⥬� ��ࠧ����}.


�. ������� ������������� ������� ���������� ���������� �������.
�������� ����� ��� ��, � ������� �������� $v$ - �����������.

����⨬, �� ���祭�� $v$ ᠬ� �� ᥡ� ���� �� ������ � ��㯯�,
������ ����� � ᫥���騬 ����ਠ�⮬ ���� ����� ��㡮���
���ଠ�� � ��㯯�.

 ��� �ந����쭮� ��ᯮ���樠�쭮� ��㯯� ������稬
$$
q_G= sup_{S} q(S).
$$
�� �᫮ - ���� ����ਠ�� ��㯯�. ���⥬� ��ࠧ����, �� ���ன
�ਭ������� ���ᨬ��쭮� ���祭�� $q(S)$ ������� {\em
���ᨬ��쭮�}.
��㯯� ��� ������ $q_G=1$ �㤥� ���뢠�� {\em ᢮�����-������묨}.
� �����饬� �६��� ��� �� ������� ��㯯�, ��� ������  $q_G <1$.

\smallskip
���᭨� ����來� ��� ��� ����⨩. ��� ����� ����⠭� $q$,
⥬ ����� �ᨬ����᪠� ���� ������⮢ ��㯯�, ����砥��� � �����
��砩���� ��㦤���� (� ������ ��ன �� ��ࠧ����) �� $n$ 蠣��, �।�
��� ������⮢ ᮮ⢥�����饩 �����. � ��⭮��, �᫨ $q=1$ ��
�����஬  �롮� ��ࠧ���� � �������饩 ���� �� ��� (���ਬ��,
ࠢ����୮�), � ⨯��� ��砩�� ᫮�� �ᨬ����᪨ ����뢠�� ���
��㯯�. � ��⨢��������� �� ��砥 ��� ��⠢���� ���� ��ᯮ���樠�쭮
����� ����.

\section{�ਬ���; ������� ��㯯�}
\bigskip
����६ ������� ᢥ����� � �㭤����⠫쭮� ��ࠢ���⢥ � �ਬ���
���᫥��� ��������� ����⠭�. �� ᮢᥬ �������. ��������, �� ��
��ᬠ�ਢ��� ���� ��ᯮ���樠��� ��㯯�. �� ��ᠥ��� ��� -
�����䬨�᪮�� ��ꥬ� - � ��� ����饭� ����⪨ ࠡ��. ������
���ய�� � ᭮� ���᫥�� � �祭� �������� �����. ��������
��䥪⨢�� ᯮᮡ ���᫥��� ���ய�� ��⮨� � �ᯮ�짮�����
������� ⥮६� �������, ����������� � \cite{KV} � \cite{D}. �� ��୥���
� �⮬� ���᫥��� � ��㣮� ����
���㬥����, �।�⠢��� ����� �த����� �� ���᫥��� ��� ������᪨�
��㯯 - $SL(n,\textbf Z)$, ��㣨� ��㯯 �����, ࠧ�訬�� ��㯯 � �.�.
�� ���業���㥬 �������� �� ����� ⠪ ���뢠���� �������� ��㯯.
�� ᭠砫� �ਢ���� ����� ������� �ਬ��.

{\bf �ਬ�� 1. ��������� ��㯯�. }
���᫥��� � �⮬ ��砥 ��� �������.
\begin{theorem}  �������ୠ� ��� �� ����⢥���� ��ࠧ���� � ������
� ��� � ᢮������ ��㯯� � $k$ ($k \geq 2$) ��ࠧ��騬� - �����
���ᨬ����� ���ய��, �㭤����⠫쭮� ��ࠢ���⢮ �ॢ�頥��� �
ࠢ���⢮, � ��⥬� ��ࠧ���� --- ����६��쭠, �.�.
᢮������ ��㯯� - ᢮�����-�������.
���祭�� ����⠭� � �⮬ ��砥 ⠪���
$$
v= \log (2k-1), l=(k-1)/k, h=l \cdot v
$$
\end{theorem}
\begin{proof}{
���᫥��� �����䬨�᪮�� ��ꥬ� - �ਢ���쭮: �᫮ ᫮� �����
$n>0$ � �筮�� ࠢ�� $2k \cdot (2k-1)^{n-1}$, ᫥����⥫쭮 $v=\log (2k-1)$.
C���, � ���� ��ନ஢����� �� $n$ ��⥬���᪮� �������� ����� ᫮��
���� �।��� ࠧ��� ��砩���� ��㦤���� �� $\bf N$ � ����⭮��ﬨ
���室� $Prob[i \to i+1]= 2k-1/2k$, � $Prob[i \to i-1] = 1/2k-1$,
�� $i \ne 0$, �, ᫥����⥫쭮, $l=k-1/k$. ���ய�� ���� $\mu^{*n}$
ࠢ��  ���ய�� ᬥ� ࠢ������� ��।������ �� ᫮��� �����
$s=0,...n$  c ���������� ��।�������  � ����⢥ �����樥�⮢ ᬥ�
�, ��᪮��� ���⥫� �⮣� ��।������ ���� ������� � $n$, �
�� ��ᯮ���樠�쭮, � ��� ����� � ���ய�� ࠢ�� ���; ᫥����⥫쭮,
���ய�� ࠢ�� ���ய�� ࠢ����୮�� ��।������ �� ᫮��� ⨯�筮� �����,
�.�. $  ln \cdot \log (2k-1) $ � ��᫥ ��ନ஢�� �� $n$ ����砥�
$h=k-1/k \cdot \log(2k-1)$,  �.�. -- ࠢ���⢮ � �㭤����⠫쭮� ��ࠢ���⢥.
}
\end{proof}

 ��� ���७��, 䠪��-��㯯 ���������� �� ᢮������ � �������
 ����ᯮ���樠���� ��㯯 (�.�. ����㠫쭮-᢮����� ��㯯�)
 ����� �筮 ⠪�� ��. ������, ����� � ��砥 ���� ��㯯 �,
 � ��⭮��, �������� ��㤭�� � �孨�᪮� �⭮襭��,  --
 ���᫥��� ���ய��, -- ��ࠧ�� ᫮����.

 ������騩 ����� ���樨஢�� �室�⢮� ����࡮���᪨�
 � ᢮������ ��㯯: \\
D.  ����� �� ��������������� ������ �� ������� ��������-�������?

�᫨ �� --- � ��� ����� ��ࠧ���� � ��� �㤥� ࠢ���⢮ � �㭤����⠫쭮�
��ࠢ���⢥? ����ᥭ ⠪�� ᫥���騩 �����:  \\

�.  ����� �� �������� ��������������� ������ ������������ ���� $g \geq 2$?

\smallskip
{\bf �ਬ�� 2. �����쭮 ᢮����� ��㯯�, ��㯯� ���. }

�������� ⥯��� ��।������ �������� ��㯯 (\cite{V1},\cite{V2}).
\begin{definition}
��㯯� (�����㯯�, ������) ���뢠���� �����쭮� �᫨ ��� ��஦����
������ ��� ���� ������ 㯮�冷祭�� ������⢮� ��ࠧ���� $z_1,\dots,$
��祬 ��ࠧ��騥 � ����ࠬ�, �⫨��騬��� ����� 祬 �� $s$ (� ��������
����᭮� ��砥 $s=1$) -- ����������, � �ᥤ��� ����� ���� �易��
������-���� ᮮ⭮襭�ﬨ. �᫨ �� ᮮ⭮襭�� ������� ���� ��
ࠧ���� ����஢ ��ࠧ����, � �����쭠� ��㯯� (�����㯯�, ������)
���뢠���� {\em �����쭮� ��樮��୮�}.
\end{definition}
  �� ��ᬮ�ਬ ����� ���� ��砩 $s=1$ �.�. ������஢���� ��
  ����ﭨ� 2 � �����. ��ନ� "�����쭮���" � ������ � ��ॣ�㦥�,
  �� ����� �������� ᪮॥ 䨧��᪠�: ������஢����
  㤠������ ��� �� ��㣠 ������⮢ �⢥砥� ��  "������������⢨�".

  ��㯯� ������, ��㯯� ���, ������ ����� � ��. - �ਬ��
  �������� ��㯯 � ������. ����� ��騬 ��ࠧ�� ����� ��ᬠ�ਢ���
  � ����⢥ $z_i$ �� ��ࠧ��騥, � �����㯯� ��� ����������.
  � ᠬ�� ��᫥���� �६� ⠪�� ��ꥪ�� �⠫� ������� �
  ��⥬���᪮� 䨧��� (�. ࠡ��� \cite{A}, \cite{H}).
  �� ����� ��饥 ����⨥ - �����쭮��� �� �⭮襭�� � ����, -
  � ��襬 ��砥 ��� ���� 楯�. ����ᥭ ⠪�� ��砩 横��,
  ����� ��ࠧ��騥 ��ࠬ��ਧ����� ���ﬨ �� �������.


\begin{definition}
�����쭮 ᢮������ ��㯯�� $LF_k$ (�����㯯�� $LF^{+}_k$, �����ன)
���뢠���� ��㯯� (ᮮ�....) � ���ன �ᥤ��� ��ࠧ��騥
$z_i, z_{i+1},  i=1 \dots k,  k \leq \infty$
��஦���� ᢮����� �����㯯� c ���� ��ࠧ��騬�, � ��⠫�� ����
��ࠧ���� --- ����������.
\end{definition}

  �����쭮 ᢮������ ��㯯� $LF_k$ ���� � �����⭮� ��᫥ ���பᨬ�樥�
  ��㯯� ��� $B_{k+1}$: ��� ���� �����६���� � �����㯯�, � �����㯯��
  ��㯯� ���.

 � ࠡ�� �.��砥��, �.������� � ���� \cite{BNV} ���஡�� ��ᬮ�७ ��砩
 �����쭮 ᢮������ ��㯯� � �����㯯� � ��襨��������� �窨 �७��,
 � १����� ����� १஢��� � ᫥���騬 ��ࠧ��:

\begin{theorem}
  ����⢥��� ��ࠧ��騥 � �����쭮 ᢮������ ��㯯� (�����㯯�)
  �� ���� ����६���묨. ����� �筮, ��� ��� �᫠ ��ࠧ����
  (������ � ��᪮��筮�!) $k$ ���� ᫥���騥 �業��:

 ��� �����쭮 ᢮������ �����㯯� $LF^{+}_k$ :

$$
  v = \log4 +  o(k^{-1}),
$$
$$
l=1,
$$

{\em �.�. � �����㯯�  $LF^{+}_k$  ��� ᮪�饭��}

$$
   h=\log3+\epsilon(n,k),
$$
   ��� $\epsilon(n,k) \rightarrow 0, n,k \rightarrow \infty$,
   $k$ -�᫮ ��ࠧ���� (�.�. ��᪮��筮�), � $n$ - ����� ������⮢.

 ����� ��ࠧ��, �� �����筮 ������ $k$  � �� ��᪮��筮� $k$
  ����砥� $v \cdot l \not= h$.

  ��� �����쭮 ᢮������ ��㯯� $LF_k$:

$$
  v= \log 7 + o_k(1),
$$
$$
  l=2/3 - \beta,
$$
 ��� $\beta$ - ������⥫쭠� ����⠭� (��������, ࠢ��� ��� ��
 ��᪮��筮�  $k$)

$$
h= \log (3-\alpha) + o(k^{-1}),
$$

 ��� ����⠭� $\alpha$ �� �ॢ��室�� �� ����� 1/2.

 ����� ��ࠧ��, � ����⢥���� ��ࠧ����  �����쭮
 ᢮������ ��㯯� (�����㯯�) �㭤����⠫쭮�
 ��ࠢ���⢮ ���� ��ண�� $v \cdot l > h$.
\end{theorem}

\smallskip
 ���஡��� �஢������ ���᫥��� � (\cite{BNV}) �易�� � ����᭮�
 ᠬ�� �� ᥡ� ��������ਪ�� (�.�. ��� � �� �᭮�����),
 �室��� � ��������ਪ�� ����ࠬ� � ⠡��� ����. ����ભ��,
 �� ���� ������� ���� 㤮���⢮�⥫�� �業�� ����⠭�,
 ��������騥 ᤥ���� �뢮�� � �����ᨬ��쭮�� � ��., ���
 �� ���祭��, ��-��������, ���� ����⥫쭮 ��㤭��.

\smallskip
\smallskip
{\bf ����砭��. }

1.�������⭮, ���� �� ࠢ����ୠ� ��� ��ன
 ���ᨬ��쭮� ���ய��.

2.����᭮, �� �����䬨�᪨� ��ꥬ � ����⠭��
 $l$ � $h$ � �����쭮 ᢮������ ��㯯� {\em �⠡�����������} � ��⮬ �᫠
 ��ࠧ���� $k$, � �� ��६���� � ��᪮��筮��, ��� �����
 �뫮 �� �।��������.

3.���᫥��� � \cite{BNV} �஢����� ⠪�� ��� �����쭮 ᢮������ ��㯯
 � ��ࠧ��騬� ����筮�� ���浪�. �᫨ ���冷� ��६���� � ��᪮��筮��,
 � �� ����⠭�� ��६���� � �� ���祭�� ��� �����쭮 ᢮������ ��㯯�.

 4.�� ⥮६� �  㯮���⮩ ��� �裡 �����쭮 ᢮������ ��㯯� � ��㯯��
 ��� ����砥� �����஭��� �業�� �� �� ����⠭� ��� ��㯯� ���: ����뢠����,
 �� � ����� ��� ������᪮� ��⥬� ��ࠧ���� �⮩ ��㯯�  � ࠢ����୮�
 ���� �㭤����⠫쭮� ��ࠢ���⢮ --- ����ண��,
 �, �筮 ⠪��, ��� � �����쭮 ᢮������ ��㯯�, �� ����⠭��
 �⠡����������� � ����筮�� ���祭�� ����� �᫮ ��ࠧ���� ��६����
 � ��᪮��筮��.
 ��� ᠬ�, {\em � ��㯯�� ��� ������⢮ ������⮢,
 ������ ⨯��묨 ��砩�묨 ᫮���� � ����⢥���� ��ࠧ����
 c ࠢ����୮� ��ன, ��⠢��� ���� ��ᯮ���樠�쭮 ����� ����
 �� ������⢠ ��� ������⮢}.

 �⬥⨬ ��,�� ��ࠧ��騥 � �������� ��㯯�� ��ࠢ���ࠢ��, �筥�,
 ��⮦���⢥���� ����⠭����, �� ������ ��ࠦ����� ($i \to k-i$)
 �� ��஦���� ��⮬��䨧� ��㯯�. ���⮬� ����� �뫮 �� �।��������,
 �� ࠢ����ୠ� -��� �� ��ࠧ���� � �� ������ �� ������ ����⢥���.
 ������, �᫨ ����� 横������ �����쭮 ᢮������ ��㯯� (�.�.
 �⮦���⢨�� �����  � ��᫥���� ��ࠧ��騥 � �����쭮 ᢮������ ��㯯�,
 � ��� �業�� �� ���������, ��� ⥯��� 㦥 横���᪠� ��㯯� �࠭��⨢��
 ������� �� ��ࠧ���� � ࠢ����ୠ� ��� �⠭������ ����⢥����.

 {\bf �ਬ�� 3.�����쭮-{\itshape M}-᢮����� ��㯯�. }
 ������ � ��ᬮ�७�� ᫥���騩 ����� �������� ��㯯.
 ���ᬮ�ਬ �, ��� ���� �������ࠧ�� ��㯯 -- {\itshape M} � � ��� ᢮������
 ��㯯� � ���� ��ࠧ��騬� $F_{\itshape M}(2)$. {\em �����쭮-{\itshape M}-
 ᢮������ ��㯯��} $LF_{\itshape M}(k)$ c $k$ ��ࠧ��騬�
 $(z_1, \dots, z_k)$ ������� ��㯯� ��஦������ �⨬� ��ࠧ��騬�
 � ᮮ⭮襭�ﬨ:
 $z_i \cdot z_j = z_j \cdot z_i, |i-j| \geq 2$,  � $(z_i, z_{i+1})$
 -- ���� ��ࠧ��騥 �����㯯�, �������᪨ ������䭮� $F_{\itshape M}(2)$.
 ���㬥����, ����⢮����� ⠪�� ��㯯 ��� �ந����쭮�� �������ࠧ��
 ${\itshape M}$ --- ���祢����, � ᠬ� ��㯯�  $LF_{\itshape M}(k)$
 �� $k \geq 3$ �������ࠧ��, ����� ������ �� �ਭ�������.
 ���ᬮ�ਬ, ���ਬ��, �����쭮 ᢮������ ࠧ�訬�� ��㯯� ��㯥�� 2
 � ���� ��ࠧ��騬� � ����ந� �⨬ ᯮᮡ�� �����쭮-ࠧ�訬��  ᢮������
 ��㯯�. ������� �⮩ ��㯯� �����쭮 ᫮��� (�� $k \geq 3$) � ���
 㦥 �� �﫥��� ࠧ�訬��. ������ �� �।���� ��ᬮ�७�� �����쭮
 ᢮������ ��㯯� ᫥���, �� ��� � ��� �⠡����������.
 �� ��㯯�, ��-��������, ��������� � �裡 � ���⠫���᪨�� ����ᠬ�.

 ����� ���⮩ ����� �������� ��㯯 - �����쭮 ���쯮⥭�� ᢮�����
 ��㯯�. �� �������� � ࠡ��� �� ⥮ਨ ��⥣��㥬�� ��⥬. ���� ���⮩
 ��ਠ�� ��㯯� -  ⠪��: �ᥤ��� ��ࠧ��騥 $(z_i, z_{i+1})$
 �������᪨ ��஦���� ������� ��㯯� ��������࣠, � �� ��⠫�� ����
 --- ����������. ���� ���쯮⥭�� ��㯯� ����� ������������ ��� --
 �����쭮-���쯮⥭�� ᢮����� ��㯯� 㦥 ��ᯮ���樠��� ��
 $k \geq 3$.
 �।������⥫쭮, �� ��� ��� ����� �㭤����⠫쭮� ��ࠢ���⢮
 ��⠥��� ��ண��. � ��� � �࠭�楩 ���ᮭ�, ���ਢ���쭮���
 ���ன ࠢ��ᨫ쭠 ������⥫쭮�� ���ய��, � ᯥ��ࠫ쭮�
 ⥮ਥ� � ��ମ���᪨� �������� �� ��㯯��, � ��⭮��, �� ��������
 ��㯯��, �� ��୥��� � ��㣮� ����.

\newpage

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Av} Avez A. {\it Entropie des groupes de fuini.} C.R.Acad.
Sc.Paris 275A 1363-1366.

\bibitem{��} ���訪 �., ���������� �. {\it ���砩�� ��㦤���� �� ��㯯��:
�࠭���, ���ய��, ࠢ����୮� ��।������}. ��� ���� 1979.

\bibitem{KV} Kaimanovich V., Vershik A. {\it Random Walks on Discrete
Groups} Ann. of Prob. v.11, No.3 457-490.

\bibitem{K1} ���������� �. {\it ���ய���� ���਩ ���ᨬ��쭮�� �࠭���
��㦤���� �� ��㯯��} ��� ���� 31,193-197, 1985

\bibitem{K2} Kaimanovich V. {\it Hausdorf dimension of the harmonic measure on
trees} Ergod.Th Dyn. Syst. 18. 3, 631-660,1998.

\bibitem{V1} Vershik A. {\it ������� ��樮���� �������}. � �.
"���� ᨡ��᪮� 誮�� "������ � ������" ������ 1988 3-22.
Engl.Transl.:Amer.Math.Transl.(2) v.148, 1-13, 1992

\bibitem{V2}  Vershik A. {\it Local algebras and a new version of
Young's orthogonal form}. Banach Center Publ. 1990 v.26 part 2 467-473
PWN-Polish Sci Publ.

\bibitem{V3}  Vershik A. {\it ���� ��㯯�, ������� � ������}
� ��. �ਭ��� �. ��㯯� � ����ਠ��� �।��� �.1973.112-135.
Revised English transl. {\it Amenability and approximation of infinite groups}
Selecta Math.Sov. V.2, 4 311-330.

\bibitem{BNV} Bikbov R., Nechaev S., Vershik A. {\it Statistical properties
of braid groups in locally free approximation}. Prep. IHES 1999.
submitted to Comm.Math.Phys.

\bibitem{D}  Deriennic Y. {\it Lois "zero ou deux" pour les processus de
Markov} Ann.Inst.H.Poincare Sect B. 12 111-129.

\bibitem{DS} {\it Dynamical systems}. 2- nd edition ed. Ya Sinai.
Springer 1999.
\bibitem{A} Alekseev A., Faddeev L., Frohlich J and Schmerus V.
{\it Representation theory of lattice current algebras} Commun. Math. Phys.
191(1998 31.
\bibitem{H}  Hausser F, Nill F. {\it Diagonal crossed product of
quantum groups} Rev. in Math. Phys. v.11, 5,1999, 553-630.
\end{thebibliography}

\enddocument
\end

