%Author: О.И. Рейнов / Reinov O.I. %Title: О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ С ${\ssize\bold p}$-ЯДЕРНЫМИ СОПРЯЖЕННЫМИ % On linear operators with p-nuclear adjoints %Filename: ReiN_pD.tex %TeX: AMSTeX %Length: 18,549 bytes %Received Date: %SubjectClass: 47B10. %p-nuclear operators, dual ideal, bases, approximation property etc. % %Abstract: %If $ p\in [1,+\infty]$ and $ T$ is a linear operator %from a Banach space $ X$ to a Banach space $ Y,$ with %$ p$-nuclear adjoint, then if one of the space $ X^*$ %or $ Y^{***}$ has the approximation property, then %$ T$ belongs to the ideal, dual to the ideal $ N_p$ %of all $ p$-nuclear operators. On the other hand, %there is a Banach space $ W,$ such that $ W^{**}$ has %a basis, and so that for each $ p\in [1,+\infty], p\neq 2,$ %there exists an operator $ T: W^{**}\to W$ with %$ p$-nuclear adjoint, which is not in the ideal, dual %to $ N_p,$ as an operator from $ W^{**}$ to $ W.$ % %Citation: preprint % % %Inserting TeX file starting here. %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex %% 97.6.10) %%AmS-TeX- Version 2.1 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% %%%% AMSTeX %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %First Modified 31.10.99 12:39:27 Sun %Last Modified 31.10.99 16:08:51 Sun %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \input amstex \documentstyle{amsppt} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Сюда вставляются команды отмены логотипа ``AmsTeX" \expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{% \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space} \catcode`\@=11 \def\nologo{\let\logo@\empty} \csname aaaaa \endcsname \nologo %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\Monograph \magnification=\magstep1 \parindent=1em %%%% размер двойного тире; ``9" имеет половину em %\vsize=7.4in %%%% 1in = 2.54 %\NoPageNumbers \baselineskip=18pt %%%%% расстояние между строками \def\lee{\leqslant} \CenteredTagsOnSplits \NoBlackBoxes % ВАЖНО !!!!!!!!!! \nopagenumbers %на этой странице не будет номера строки (до \newline) % \nopagenumbers есть аббревиатура для \footline={\hfil} $$ { } $$ \vskip0.5in \noindent УДК 513.88\newline Р е й н о в О. И.\ {\bf О линейных операторах с ${\ssize\bold p}$-ядерными сопряженными} %--- Математические заметки \vskip15pt Если $ 1\lee p\lee +\infty$ и $ T$ --- линейный оператор, действующий из банахова пространства $ X$ в банахово пространство $ Y,$ с $ p$-ядерным сопряженным, то, при условии, что одно из пространств $ X^*$ или $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации, сам оператор $ T$ принадлежит идеалу, дуальному к идеалу $ N_p$ всех $ p$-ядерных операторов. С другой стороны, существует банахово пространство $ W,$ для которого $ W^{**}$ имеет базис, и такое, что для каждого $ p\in [1,+\infty], p\neq 2,$ найдется оператор $ T: W^{**}\to W$ c $ p$-ядерным сопряженным, который не принадлежит, как оператор из $ W^{**}$ в $ W,$ идеалу, дуальному к $ N_p.$ Библиогр. 3 назв. \newpage \NoRunningHeads \pageno=1 %номер текущей страницы - для следующей команды: \footline={\hss\tenrm\folio\hss} % центрировать, шрифт, \folio есть %аббревиатура для % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi \topmatter \title { О линейных операторах с ${\ssize\bold p}$-ядерными сопряженными } \endtitle \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$} \endauthor \address\newline %\tenrm 198904, Санкт--Петербург,\newline Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline Санкт--Петербургский государственный университет,\newline математико--механический факультет,\newline кафедра математического анализа. \endaddress \email %\tenrm orein\@orein.usr.pu.ru \endemail \thanks %\tenrm ${{ }^\dag}$ Работа выполнена при частичной поддержке Министерства общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36) и ФЦП ``Интеграция", рег. номер 326.53. \endthanks \abstract\nofrills %%%% \nofrills уничтожает ``Abstract." %\tenrm Если $ 1\lee p\lee +\infty$ и $ T$ --- линейный оператор, действующий из банахова пространства $ X$ в банахово пространство $ Y,$ с $ p$-ядерным сопряженным, то, при условии, что одно из пространств $ X^*$ или $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации, сам оператор $ T$ принадлежит идеалу, дуальному к идеалу $ N_p$ всех $ p$-ядерных операторов. С другой стороны, существует банахово пространство $ W,$ для которого $ W^{**}$ имеет базис, и такое, что для каждого $ p\in [1,+\infty], p\neq 2,$ найдется оператор $ T: W^{**}\to W$ c $ p$-ядерным сопряженным, который не принадлежит, как оператор из $ W^{**}$ в $ W,$ идеалу, дуальному к $ N_p.$ \endabstract \endtopmatter % ========================================== \document \baselineskip=18pt %%%%% расстояние между строками % % ========================================== \footnote""{${ }^\ddag$ %\tenrm %AMS Subject Classification: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, %trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc. Ключевые слова и фразы: $p$-ядерные операторы, дуальный идеал, базисы, свойства аппроксимации, тензорные произведения.} %\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ } %\bigpagebreak % \magnification=\magstep1 %\pageheight{23 true cm} %\pagewidth{16 true cm} \def\a{\alpha} \def\al{\alpha} \def\ot{\otimes} \def\la{\lambda} \def\wh{\widehat} \def\ffi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \define\e{\varepsilon} \def\small{\smallpagebreak} \def\Q{\quad\blacksquare} \def\QQ{$\quad\blacksquare$} \def\sbs{\subset} \def\({\left(} \def\gee{\geqslant} \def\){\right)} \def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]} \def\tr{\operatorname{trace}\,} \bigskip % %%%%%%% Начало ######################## В ряде предыдущих заметок автор рассматривал вопросы, связанные с существованием или не существованием в конкретных банаховых пространствах не $ p$-ядерных операторов с $ p$-ядерными вторыми сопряженными. Так, например, в недавней работе [3] такие "плохие" операторы были построены для всех $ p\in [1,2)$ в пространствах с базисами Шаудера. Здесь мы хотим разобраться с аналогичным случаем для операторов, {\it первые сопряженные к которым $ p$-ядерны}. Еще в работе [2, \S4] без доказательства были приведены соответствующие утверждения, в которых рассматриваемые пространства, однако, не обладали базисами, --- в лучшем случае лишь одно из пространств, в которых действовали операторы, обладало свойством аппроксимации, но даже не ограниченной. В данной заметке, доказывая наконец, частично, те утверждения из [2], мы показываем, что подобные примеры можно найти в пространствах с базисами (и даже более хороших). Одновременно, приводятся достаточные условия для положительного ответа на соответствующий вопрос, связанный с $ p$-ядерностью сопряженного оператора (причем, эти условия оказываются близкими к необходимым). \small % %%%%%%% Опр. $ N^p$-оператора ######################## Все рассматриваемые нами пространства $X,\,Y,\,Z,\dotso$ --- банаховы. Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$. %За числами (вещественными или комплексными) мы резервируем обозначения %$ a,\, b_k,\, c,\, C_1,\, \a\, $ и т.п.. Для $ p\in [1,+\infty]$ сопряженный показатель $ p'$ определяется из соотношения $ 1/p+1/p'=1.$ Через $\L\left(X,Y \right)$ обозначается пространство всех (линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой. Каждое банахово пространство $ X$ мы будем также рассматривать как подпространство в его втором сопряженным, не вводя обычно никаких дополнительных обозначений для канонического вложения $ X\to X^{**}.$ Однако, если возникнет необходимость, %отметить в каком--либо конкретном случае %(чтобы не возникло путаницы), через $ \pi_X$ мы обозначим это каноническое вложение. % пространства $ Y$ %в его второе сопряженное $ Y^{**}.$ Напомним, что {\it банахово пространство обладает свойством аппроксимации Гротендика}\,(свойством AP), если тождественный оператор на нем аппроксимируется в топологии компактной сходимости конечномерными операторами. Для $p\in[1,\infty]$ оператор $T,$ действующий из $X$ в $Y,$ называется {\it $N^p$-оператором,} если его можно представить в следующем виде: $$ Tx= \sum_{k=1}^\infty \,\,y_k \qquad\text{ для $x\in X$}, \tag1 $$ где последовательности $\,\{x'_n\}^{\infty}_{n=1}\subset X^* \,$ и $\,\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\subset Y \,$ таковы, что конечна величина $$ \al:=\, \left(\sum_{k=1}^\infty \,\|y_k\|^p\right)^{1/p} \sup \left\{ \left(\sum_{k=1}^\infty \,||^{p'}\right)^{1/p'}: \ x\in X,\, \|x\|\le 1\right\} \tag2 $$ (напомним, что через $p'$ мы обозначаем сопряженный к $p$ показатель; в случае, когда один из показателей $\,p,\,p'$ бесконечен, правую часть соотношения (2) надо понимать надлежащим образом). Множество всех $N^p$-операторов из $X$ в $Y$ обозначается нами через ${N}\!{^p}\,(X,Y),$ а точная нижняя грань $\inf \al,$ где инфимум берется по всем представлениям вида (1) оператора $T,$ --- через $\nu^p\,(T).$ Для любого $p\ge 1$ класс ${N}\!{^p}$ всех $N^p$-операторов является банаховым операторным идеалом [1]; при фиксированных пространствах $X,Y$ \ \, ${N}\!{^p}\,(X,Y),$ --- банахово пространство с нормой $\nu^p.$ Отметим, что для показателей $p,q\in [1,+\infty],p|^{p'}\right)^{1/p'}: \ x\in X,\, \|x\|\le 1\right\} %\tag{1.3a} $$ Нетрудно понять, что пространство ${N}\!{^p}\,(X,Y)$ есть образ $ X^*\wh\ot^p Y$ при естественном отображении $ X^*\wh\ot^p Y\to L(X, Y).$ Для $ z\in X^*\wh\ot^p Y$ индуцированный этим тензором оператор мы будем обозначать через $ \wt z.$ Ниже нам понадобится следующая переформулировка следствия 1.2 из [2]: \small $(*)$ Существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство $ E$ такое, что для каждого $ r\neq 2$ каноническое отображение $ E^*\wh\ot^r E\to N^r(E, E)$ не является взаимно однозначным. \small Пространство, сопряженное к $X^*\wh\ot^p Y $ естественным образом изометрически отождествляется с пространством $ \Pi_{p'}^d(Y, X^{**}),$ где через $ \Pi_{p'}^d$ обозначается идеал, дуальный к идеалу абсолютно $ p'$-суммирующих операторов с соответствующей нормой (см. [1]): если $z\in X^*\wh\ot^p Y $ и $U\in \Pi_{p'}^d(Y, X^{**}),$ то двойственность задается при помощи следа $ \tr U\circ z.$ Отметим, что в случае когда одно из пространств $ X^*$ или $ Y$ обладает свойством аппроксимации, каноническое отображение $ X^*\wh\ot^p Y\to L(X, Y)$ взаимно однозначно и, таким образом, мы можем написать, что в этом случае $ X^*\wh\ot^p Y= {N}\!{^p}\,(X,Y).$ Утверждение $ (*)$ может быть переформулировано следующим образом: \small $(**)$ для каждого $ r\neq 2$ существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ E,$ тензорный элемент $ z\in E^*\wh\ot^r E$ и оператор $ U\in \Pi^d_{r'}(Y,X)$ такие, что $ \tr U\circ z=1$ и ассоциированный с $ z$ оператор $ \wt z=0.$ \small % %%%%%%%%%% положительный результат \proclaim {Теорема {\rm 1}} Пусть $\, p\in [1,+\infty].$ Если $\, X^*\in \,AP\ $ или $\, Y^{***}\in \,AP\ $ и $ T\in L(X,Y).$ Если $ T\in N^p(X, Y^{**}),$ то $T\in N^p(X,Y).$ Иначе говоря, в этих условиях, из $ p$-ядерности сопряженного оператора $ T^*$ вытекает принадлежность оператора $ T$ пространству $ N^p(X, Y).$ \endproclaim \demo{Доказательство} Предположим, что существует такой оператор $ T\in L(X,Y),$ что $ T\notin N^p(X,Y),$ но $ \pi_Y\,T\in N^p(X,Y^{**}).$ Так как либо $ X^*,$ либо $ Y^{**}$ обладает свойством $ AP,$ то $ N^p(X,Y^{**})=X^*\widehat\otimes^p Y^{**}.$ Следовательно, оператор $ \pi_Y\,T$ можно отождествить с тензорным элементом $ t\in X^*\widehat\otimes^p Y^{**};$ при этом, по выбору $ T,$ \ $ t\notin X^*\widehat\otimes^p Y$ \ (пространство $ X^*\widehat\otimes^p Y$ рассматривается как подпространство пространства $ X^*\widehat\otimes^p Y^{**}$\!). Следовательно, существует такой оператор $ U\in \Pi^d_{p'}(Y^{**},X^{**})=\( X^*\widehat\otimes^p Y^{**}\)^*,$ что $ \tr U\circ t=\tr \(t^*\circ \( U^*|_{X^*}\) \)=1$ и $ \tr U\circ \pi_Y\circ z=0$ для любого $ z\in X^*\widehat\otimes^p Y.$ Из последнего вытекает, в частности, что $ U\pi_Y=0$ и $ \pi_Y^*\,U^*|_{X^*}=0.$ Действительно, если $ x'\in X^*$ и $ y\in Y,$ то $$ = = \tr \,U\circ (x'\otimes \pi_Y(y))=0. $$ Очевидно, что тензорный элемент $ U\circ t$ порождает оператор $ U\pi_Y T,$ который тождественно равен нулю. Если $ X^*\in AP,$ то $ X^*\widehat\otimes^p Y^{**}= N^p(X,Y^{**})$ и, значит, этот тензорный элемент нулевой, что противоречит равенству $ \tr\, U\circ t=1.$ Пусть теперь $ Y^{***}\in AP.$ В этом случае оператор $$ V:= \( U^*|_{X^*}\)\circ T^*\circ \pi_Y^*: \ Y^{***}\to Y^* \to X^*\to Y^{***} $$ однозначно определяет некоторый тензорный элемент $ t_0$ из проективного тензорного призведения $ Y^{****}\widehat{\otimes} Y^{***}.$ Возьмем какое-либо представление $ t=\sum x'_n\otimes y''_n$ для $ t$ как элемента пространства $ X^*\widehat{\otimes}^p Y^{**}.$ Обозначив для краткости оператор $ U^*|_{X^*}$ через $ U_*,$ получаем: $$\multline Vy'''=U_*\, \( T^*\pi_Y^*\,y'''\) = U_*\, \( (T^*\pi_Y^*\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = U_*\, \( (\pi_Y T)^*\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = \\ = U_*\, \( (\sum y''_n\otimes x'_n)\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) =U_*\, \( \sum \,x'_n \) = \\ = \sum <\pi_Y^{**}y''_n, y'''> \,U_* x'_n. \endmultline $$ Итак, оператор $ V$ (или элемент $ t_0$) имеет в пространстве $ Y^{****}\widehat\otimes Y^{***}$ представление $$ V= \sum \pi_Y^{**}(y''_n)\otimes U_* (x'_n). $$ Следовательно, $$ \tr t_0=\tr V= \sum <\pi_Y^{**}(y''_n), U_* (x'_n)> = \sum = \sum 0=0. $$ С другой стороны, $$ Vy'''= U_* \( \pi_Y T\)^* y'''= U_*\circ t^* (y''')= U_*\, \( \sum \, x'_n\)= \sum \, U_* x'_n, $$ откуда $ V=\sum y''_n\otimes U_*(x'_n).$ Поэтому $$ \tr t_0=\tr V= \sum = \sum = \tr U\circ t=1.$$ Полученное противоречие завершает доказательство теоремы. \QQ \enddemo %%%%%%%%%% отрицательный результат \proclaim {\bf Теорема 2}\it Для каждого $ r\in [1,\infty], r\neq 2$ существуют такие сепарабельное пространство $ W$ и оператор $ T\in L(W^{**}, W),$ что $ W^{**}$ имеет базис, $ T\in N^r(W^{**}, W^{**}),$ но $ T\notin N^r(W^{**}, W).$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Зафиксируем $ r\in [1,\infty], r\neq 2$ \, и возьмем тройку $ (E, z,U)$ из утверждения $ (**).$ Пусть $ W$ ---такое сепарабельное пространство, что $ W^{**}$ имеет базис и существует такой линейны гомоморфизм $ \ffi$ из $ W^{**}$ на $ E$ с ядром $ W\sbs W^{**},$ что подпространство $ \ffi^*(E^*)$ дополняемо в $ W^{***}$ (см. [4]). Поднимем тензорный элемент $ z,$ лежащий в $ E^*\wh\ot^r E$ до элемента\footnote{ Если $ z=\sum_{k=1}^N \,e'_k\ot\,e_k $ --- какое--либо представление $ z$ в $ E^*\wh\ot^r E,$ то мы выберем $ \{ w''_n\}\sbs W^{**}$ так, чтобы последняя последовательность была абсолютно $ r$-суммируемой и $ \ffi(w''_n)=e_n$ для каждого $ n.$} $ \al\in E^*\wh\ot^r W^{**},$ так что $ \ffi\circ \al=z,$ и положим $ V:= U\circ \ffi.$ Так как $ \tr V\circ\al=\tr U\circ z=1$ и $ W^{**}$ обладает свойством аппроксимации, то $ \wt \al=\al\neq 0.$ Кроме того, оператор $ \wt{\ffi\circ\al}:E\to W^{**}\to W,$ ассоциированный с тензором $ \ffi\circ\al,$ равен нулю. Поэтому $ \al(E)\subset \operatorname{ Ker}\ffi= W\sbs W^{**},$ то есть оператор $ \al$ действует из $ E$ в $ W.$ Поскольку подпространство $ \ffi^*(E^*)$ дополняемо в $ W^{***},$ то $ \al\circ\ffi\in W^{***}\wh\ot^r W= N^r(W^{**},W)$ тогда и только тогда, когда $ \al\in E^{*}\wh\ot^r W= N^r(E,W).$ Если $ \al\in N^r(E,W),$ то для произвольного его (ненулевого!) $N^p$-представления вида $ \al=\sum e'_n\ot w_n$ суперпозиция $ \ffi\circ\al$ есть нулевой тензорный элемент в $ E^*\wh\ot E;$ но эта суперпозиция представляет собой элемент $ z, $ который по самому своему выбору не может быть нулевым. Таким образом, $ \al\notin N^r(E,W)$ и, тем самым, $ \al\circ\ffi\notin W^{***}\wh\ot^r W= N^r(W^{**},W).$ С другой стороны, конечно, $ \al\circ\ffi\in W^{***}\wh\ot^r W^{**}= N^r(W^{**},W^{**}). \Q$ \enddemo % Таким образом, аппроксимационные условия, наложенные на $X\,$ и $Y\,$ в теореме 1 сущес\-твен\-ны. Ясно, что из теоремы 2 вытекает существование {\it одного пространства} $ W,$ для которого при всех указанных значениях параметра $ r$ верно заключение теоремы. \medpagebreak \vskip0.2in \eightpoint \centerline{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА} \bigpagebreak \ref \no 1 \by Пич А.\pages 536 с \paper Операторные идеалы \yr 1982\vol \jour Москва: Мир \endref \ref \no 2 \by Reinov O.I.\pages 125-134 \paper Approximation properties of order p and the existence of non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints \yr 1982 \vol 109 \jour Math. Nachr. \endref \ref \no 3 \by Рейнов О.И. \pages \paper Аппроксимационные свойства $ \operatorname{AP_s}$ и $p$-ядерные операторы (случай $ 0