%Author: О.И. Рейнов / Reinov O.I.
%Title:  О ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ С ${\ssize\bold p}$-ЯДЕРНЫМИ СОПРЯЖЕННЫМИ
%     On linear operators with  p-nuclear adjoints
%Filename:    ReiN_pD.tex
%TeX: AMSTeX
%Length: 18,549 bytes
%Received Date:
%SubjectClass: 47B10.
%p-nuclear operators, dual ideal, bases, approximation property etc.
%
%Abstract:
%If $ p\in [1,+\infty]$ and $ T$ is a linear operator
%from a Banach space $ X$ to a Banach space $ Y,$ with
%$ p$-nuclear adjoint, then if one of the space $ X^*$
%or $ Y^{***}$ has the approximation property, then
%$ T$ belongs to the ideal, dual to the ideal $ N_p$
%of all $ p$-nuclear operators. On the other hand,
%there is a Banach space $ W,$ such that $ W^{**}$ has
%a basis, and so that for each $ p\in [1,+\infty], p\neq 2,$
%there exists an operator $ T: W^{**}\to W$ with
%$ p$-nuclear adjoint, which is not in the ideal, dual
%to  $ N_p,$ as an operator from $ W^{**}$ to $ W.$
%
%Citation: preprint
%
%

%Inserting TeX file starting here.

 %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex
 %%                                                               97.6.10)
 %%AmS-TeX- Version 2.1
 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%           AMSTeX
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       %First Modified   31.10.99 12:39:27 Sun
       %Last  Modified   31.10.99 16:08:51 Sun

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Сюда вставляются команды отмены логотипа ``AmsTeX"
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 %\Monograph
\magnification=\magstep1
\parindent=1em %%%% размер двойного тире; ``9" имеет половину em
         %\vsize=7.4in   %%%% 1in = 2.54
 %\NoPageNumbers
     \baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками
\def\lee{\leqslant}
  \CenteredTagsOnSplits
\NoBlackBoxes                           % ВАЖНО !!!!!!!!!!
\nopagenumbers %на этой странице не будет номера строки (до \newline)
	       % \nopagenumbers есть аббревиатура для \footline={\hfil}
$$ { }
$$
\vskip0.5in

\noindent
УДК 513.88\newline
Р е й н о в О. И.\
{\bf О линейных операторах с ${\ssize\bold p}$-ядерными сопряженными}
%--- Математические заметки
\vskip15pt

Если $ 1\lee p\lee +\infty$ и $ T$ --- линейный оператор,
действующий из банахова пространства $ X$ в банахово пространство
$ Y,$ с $ p$-ядерным сопряженным, то, при условии, что одно
из пространств $ X^*$ или $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации,
сам оператор $ T$ принадлежит идеалу, дуальному к идеалу $ N_p$
всех $ p$-ядерных операторов. С другой стороны, существует
банахово пространство $ W,$ для которого $ W^{**}$ имеет базис, и
такое, что для каждого $ p\in [1,+\infty], p\neq 2,$
найдется оператор $ T: W^{**}\to W$ c $ p$-ядерным сопряженным,
который не принадлежит, как оператор из $ W^{**}$ в $ W,$ идеалу,
дуальному к $ N_p.$
Библиогр. 3 назв.

\newpage
\NoRunningHeads
\pageno=1  %номер текущей страницы - для следующей команды:
\footline={\hss\tenrm\folio\hss} % центрировать, шрифт, \folio есть
    %аббревиатура для
    % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi

        \topmatter
        \title {
      О линейных операторах с ${\ssize\bold p}$-ядерными сопряженными
               }
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$}  \endauthor
\address\newline
			  %\tenrm
198904, Санкт--Петербург,\newline
Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline
Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
математико--механический факультет,\newline
кафедра математического анализа.
\endaddress

\email
                          %\tenrm
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\thanks
                          %\tenrm
${{ }^\dag}$ Работа выполнена при  частичной поддержке  Министерства
общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36)
и ФЦП ``Интеграция", рег. номер 326.53.
\endthanks

\abstract\nofrills       %%%% \nofrills уничтожает ``Abstract."
                          %\tenrm
Если $ 1\lee p\lee +\infty$ и $ T$ --- линейный оператор,
действующий из банахова пространства $ X$ в банахово пространство
$ Y,$ с $ p$-ядерным сопряженным, то, при условии, что одно
из пространств $ X^*$ или $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации,
сам оператор $ T$ принадлежит идеалу, дуальному к идеалу $ N_p$
всех $ p$-ядерных операторов. С другой стороны, существует
банахово пространство $ W,$ для которого $ W^{**}$ имеет базис, и
такое, что для каждого $ p\in [1,+\infty], p\neq 2,$
найдется оператор $ T: W^{**}\to W$ c $ p$-ядерным сопряженным,
который не принадлежит, как оператор из $ W^{**}$ в $ W,$ идеалу,
дуальному к $ N_p.$
\endabstract
    \endtopmatter
   %==========================================

\document
\baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками
%
  %==========================================
\footnote""{${ }^\ddag$
                          %\tenrm
%AMS Subject Classification:  47B10. Hilbert--Schmidt operators,
%trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc.
Ключевые слова и фразы: $p$-ядерные операторы, дуальный идеал, базисы,
свойства аппроксимации, тензорные произведения.}

%\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ }
%\bigpagebreak
%

\magnification=\magstep1
%\pageheight{23 true cm}
%\pagewidth{16 true cm}

 \def\a{\alpha} \def\al{\alpha}          \def\ot{\otimes}
 \def\la{\lambda}                       \def\wh{\widehat}
 \def\ffi{\varphi}                      \def\wt{\widetilde}
 \define\e{\varepsilon}                 \def\small{\smallpagebreak}
\def\Q{\quad\blacksquare}        \def\QQ{$\quad\blacksquare$}
\def\sbs{\subset}
      \def\({\left(}
 \def\gee{\geqslant}       \def\){\right)}
\def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]}
\def\tr{\operatorname{trace}\,}
\bigskip

%%%%%%%%  Начало   ########################
В ряде предыдущих заметок автор рассматривал вопросы,
связанные с существованием или не существованием в конкретных банаховых
пространствах не $ p$-ядерных операторов с $ p$-ядерными вторыми
сопряженными. Так, например, в недавней работе [3] такие
"плохие" операторы были построены для всех $ p\in [1,2)$
в пространствах с базисами Шаудера.
Здесь мы хотим разобраться с аналогичным случаем для операторов,
{\it первые сопряженные к которым $ p$-ядерны}. Еще в работе [2, \S4]
без доказательства были приведены соответствующие утверждения,
в которых рассматриваемые пространства, однако, не обладали
базисами, --- в лучшем случае лишь одно из пространств, в которых
действовали операторы, обладало свойством аппроксимации, но даже не
ограниченной. В данной заметке, доказывая наконец, частично,
те утверждения из [2], мы показываем, что подобные примеры можно найти
в пространствах с базисами (и даже более хороших). Одновременно, приводятся
достаточные условия для положительного ответа на соответствующий вопрос,
связанный с $ p$-ядерностью сопряженного оператора (причем, эти условия
оказываются близкими к необходимым).
\small

%%%%%%%%  Опр. $ N^p$-оператора     ########################
Все рассматриваемые нами пространства $X,\,Y,\,Z,\dotso$ --- банаховы.
Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными
буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$.
%За числами (вещественными или комплексными) мы резервируем обозначения
%$ a,\, b_k,\, c,\, C_1,\, \a\, $ и т.п..
Для $ p\in [1,+\infty]$
сопряженный показатель $ p'$ определяется из соотношения $ 1/p+1/p'=1.$
Через $\L\left(X,Y \right)$ обозначается пространство всех
(линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой.
Каждое банахово пространство $ X$ мы будем также рассматривать как
подпространство в его втором сопряженным, не вводя обычно никаких
дополнительных обозначений для канонического вложения $ X\to X^{**}.$
Однако, если возникнет необходимость,
%отметить в каком--либо конкретном случае
%(чтобы не возникло путаницы),
через $ \pi_X$ мы обозначим это каноническое вложение.
% пространства $ Y$
%в его второе сопряженное $ Y^{**}.$

Напомним, что {\it банахово пространство обладает свойством аппроксимации
Гротендика}\,(свойством AP), если тождественный оператор на нем
аппроксимируется в топологии компактной сходимости конечномерными
операторами.

Для $p\in[1,\infty]$  оператор $T,$ действующий из $X$ в $Y,$ называется
{\it $N^p$-оператором,} если его можно представить в следующем виде:
$$
  Tx= \sum_{k=1}^\infty \,<x,x'_k,>\,y_k \qquad\text{ для $x\in X$},
\tag1
$$
где последовательности
$\,\{x'_n\}^{\infty}_{n=1}\subset X^* \,$ и $\,\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\subset
Y \,$ таковы, что конечна величина
$$
  \al:=\, \left(\sum_{k=1}^\infty \,\|y_k\|^p\right)^{1/p}
    \sup \left\{ \left(\sum_{k=1}^\infty \,|<x'_k,x>|^{p'}\right)^{1/p'}:
     \  x\in X,\, \|x\|\le 1\right\}  \tag2
$$
(напомним, что через $p'$ мы обозначаем сопряженный к $p$ показатель;
в случае, когда один из показателей $\,p,\,p'$ бесконечен, правую часть
соотношения (2) надо понимать надлежащим образом).
Множество всех $N^p$-операторов из $X$ в $Y$ обозначается нами через
${N}\!{^p}\,(X,Y),$ а точная нижняя грань $\inf \al,$
где инфимум берется по всем представлениям вида (1) оператора $T,$ ---
через $\nu^p\,(T).$ Для любого $p\ge 1$ класс ${N}\!{^p}$ всех
$N^p$-операторов является банаховым операторным идеалом [1]; при
фиксированных пространствах $X,Y$ \ \, ${N}\!{^p}\,(X,Y),$
--- банахово пространство с нормой $\nu^p.$ Отметим, что для показателей
$p,q\in [1,+\infty],p<q,$ имеет место включение
${N}\!{^p} \subset {N}^q$ с соответствующим неравенством для норм.
\small

Ассоциированное с пространством ${N}\!{^p}\,(X,Y)$ тензорное произведение
мы обозначим чрез $ X^*\wh\ot^p Y:$ это есть пополнение алгебраического
тензорного произведения $ X^*\ot Y$ по норме $ \nu_0^p,$ которая
для $ z\in X^*\ot Y$ определяется как точная нижняя грань по
всевозможным представлениям $ z=\sum_{k=1}^N \,x'_k\ot\,y_k $
в  $ X^*\ot Y$ чисел
$$
   \left(\sum_{k=1}^N \,\|y_k\|^p\right)^{1/p}
    \sup \left\{ \left(\sum_{k=1}^N \,|<x'_k,x>|^{p'}\right)^{1/p'}:
     \  x\in X,\, \|x\|\le 1\right\}  %\tag{1.3a}
$$
Нетрудно понять, что пространство ${N}\!{^p}\,(X,Y)$ есть образ
$ X^*\wh\ot^p Y$ при естественном отображении
$ X^*\wh\ot^p Y\to L(X, Y).$ Для $ z\in  X^*\wh\ot^p Y$ индуцированный
этим тензором оператор мы будем обозначать через $ \wt z.$

Ниже нам понадобится следующая переформулировка
следствия 1.2 из [2]:
\small

 $(*)$ Существует сепарабельное рефлексивное банахово
пространство $ E$ такое, что для каждого $ r\neq 2$ каноническое
отображение $ E^*\wh\ot^r E\to N^r(E, E)$ не является взаимно однозначным.
\small

Пространство, сопряженное к $X^*\wh\ot^p Y $ естественным образом
изометрически отождествляется с пространством $ \Pi_{p'}^d(Y, X^{**}),$
где через $ \Pi_{p'}^d$ обозначается идеал, дуальный к идеалу абсолютно
$ p'$-суммирующих операторов с соответствующей нормой (см. [1]):
если $z\in X^*\wh\ot^p Y $ и    $U\in \Pi_{p'}^d(Y, X^{**}),$
то двойственность задается при помощи следа $ \tr U\circ z.$
Отметим, что в случае когда одно из пространств $ X^*$ или $ Y$
обладает свойством аппроксимации, каноническое отображение
$ X^*\wh\ot^p Y\to L(X, Y)$ взаимно однозначно и, таким образом,
мы можем написать, что в этом случае
  $ X^*\wh\ot^p Y= {N}\!{^p}\,(X,Y).$

Утверждение $ (*)$ может быть переформулировано следующим образом:
\small

$(**)$ для каждого $ r\neq 2$
 существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ E,$
тензорный элемент $ z\in E^*\wh\ot^r E$
и оператор $ U\in \Pi^d_{r'}(Y,X)$ такие, что
 $ \tr U\circ z=1$ и ассоциированный с $ z$ оператор $ \wt z=0.$
      \small

%
%%%%%%%%%%  положительный результат

\proclaim {Теорема {\rm 1}}
Пусть $\, p\in [1,+\infty].$
Если $\, X^*\in \,AP\ $ или $\, Y^{***}\in \,AP\ $ и
$ T\in L(X,Y).$ Если $ T\in N^p(X, Y^{**}),$
то $T\in N^p(X,Y).$ Иначе говоря, в этих условиях,
из $ p$-ядерности сопряженного оператора $ T^*$ вытекает
принадлежность оператора $ T$ пространству $ N^p(X, Y).$
\endproclaim

\demo{Доказательство}
    Предположим, что существует такой оператор $ T\in L(X,Y),$
что $ T\notin N^p(X,Y),$ но $ \pi_Y\,T\in N^p(X,Y^{**}).$
Так как либо $ X^*,$ либо $ Y^{**}$  обладает свойством $ AP,$
то $ N^p(X,Y^{**})=X^*\widehat\otimes^p Y^{**}.$
Следовательно, оператор $ \pi_Y\,T$ можно отождествить
с тензорным элементом
$ t\in X^*\widehat\otimes^p Y^{**};$ при этом, по выбору $ T,$ \
$  t\notin X^*\widehat\otimes^p Y$ \ (пространство
$  X^*\widehat\otimes^p Y$ рассматривается как подпространство пространства
$  X^*\widehat\otimes^p Y^{**}$\!). Следовательно, существует такой оператор
$ U\in \Pi^d_{p'}(Y^{**},X^{**})=\( X^*\widehat\otimes^p Y^{**}\)^*,$ что
$ \tr U\circ t=\tr \(t^*\circ \( U^*|_{X^*}\) \)=1$ и
$ \tr U\circ \pi_Y\circ z=0$ для любого $ z\in X^*\widehat\otimes^p Y.$
Из последнего вытекает, в частности, что $ U\pi_Y=0$ и
$ \pi_Y^*\,U^*|_{X^*}=0.$
Действительно, если $ x'\in X^*$ и $ y\in Y,$ то
$$ <U\pi_Y\,y,x'> = <y, \pi_Y^*\,U^*|_{X^*}x'>
       = \tr \,U\circ (x'\otimes \pi_Y(y))=0.
$$
Очевидно, что тензорный элемент $ U\circ t$  порождает оператор
$ U\pi_Y T,$ который тождественно равен нулю.

Если $ X^*\in AP,$ то
 $ X^*\widehat\otimes^p Y^{**}= N^p(X,Y^{**})$
и, значит, этот тензорный элемент нулевой, что противоречит равенству
$ \tr\, U\circ t=1.$

Пусть теперь $ Y^{***}\in AP.$ В этом случае оператор
$$ V:= \( U^*|_{X^*}\)\circ T^*\circ \pi_Y^*: \
       Y^{***}\to Y^* \to X^*\to Y^{***}
$$
однозначно определяет некоторый тензорный элемент
$ t_0$ из проективного тензорного призведения
$ Y^{****}\widehat{\otimes} Y^{***}.$
Возьмем какое-либо представление $ t=\sum x'_n\otimes y''_n$ для $ t$
как элемента пространства $ X^*\widehat{\otimes}^p Y^{**}.$
Обозначив для краткости оператор $ U^*|_{X^*}$ через $ U_*,$
получаем:
$$\multline
   Vy'''=U_*\, \( T^*\pi_Y^*\,y'''\) =
    U_*\, \( (T^*\pi_Y^*\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) =
    U_*\, \( (\pi_Y T)^*\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\) = \\ =
    U_*\, \( (\sum y''_n\otimes x'_n)\,\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y'''\)
    =U_*\, \( \sum <y''_n, \pi_Y^*\, y'''> \,x'_n \) = \\ =
      \sum <\pi_Y^{**}y''_n,  y'''> \,U_* x'_n.
  \endmultline
$$

Итак, оператор $ V$ (или элемент $ t_0$) имеет в пространстве
$ Y^{****}\widehat\otimes Y^{***}$ представление
$$ V= \sum \pi_Y^{**}(y''_n)\otimes U_* (x'_n).
$$
Следовательно,
$$  \tr t_0=\tr V= \sum <\pi_Y^{**}(y''_n), U_* (x'_n)> =
	\sum <y''_n, \pi_Y^*\,U_* x'_n> =  \sum 0=0.
$$
С другой стороны,
$$  Vy'''= U_* \( \pi_Y T\)^* y'''= U_*\circ t^* (y''')=
     U_*\, \( \sum <y''_n, y'''> \, x'_n\)=
      \sum <y''_n, y'''> \, U_* x'_n,
$$
откуда  $ V=\sum y''_n\otimes U_*(x'_n).$   Поэтому
$$ \tr t_0=\tr V= \sum <y''_n, U_* x'_n> = \sum <Uy''_n, x'_n>
= \tr U\circ t=1.$$
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
	       \QQ
\enddemo

%%%%%%%%%%  отрицательный результат
\proclaim {\bf Теорема 2}\it
Для каждого $ r\in [1,\infty], r\neq 2$ существуют такие сепарабельное
пространство $ W$ и оператор $ T\in L(W^{**}, W),$ что
$ W^{**}$ имеет базис, $ T\in N^r(W^{**}, W^{**}),$ но
$ T\notin N^r(W^{**}, W).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Зафиксируем $ r\in [1,\infty], r\neq 2$ \, и возьмем тройку $ (E, z,U)$
из утверждения $ (**).$
Пусть $ W$ ---такое сепарабельное пространство, что $ W^{**}$  имеет
базис и существует такой линейны гомоморфизм $ \ffi$ из $ W^{**}$
на $ E$ с ядром
$ W\sbs W^{**},$ что подпространство $ \ffi^*(E^*)$ дополняемо в $ W^{***}$
(см. [4]). Поднимем  тензорный элемент
$ z,$ лежащий в $ E^*\wh\ot^r E$ до элемента\footnote{
Если $ z=\sum_{k=1}^N \,e'_k\ot\,e_k $ --- какое--либо представление $ z$
в  $ E^*\wh\ot^r E,$  то мы выберем $ \{ w''_n\}\sbs W^{**}$ так, чтобы
последняя последовательность была абсолютно $ r$-суммируемой и
$ \ffi(w''_n)=e_n$ для каждого $ n.$}
$ \al\in E^*\wh\ot^r W^{**},$
так что $ \ffi\circ \al=z,$ и положим $ V:= U\circ \ffi.$
Так как $ \tr V\circ\al=\tr U\circ z=1$ и $ W^{**}$ обладает свойством
аппроксимации, то $ \wt \al=\al\neq 0.$
Кроме того, оператор $ \wt{\ffi\circ\al}:E\to W^{**}\to W,$
ассоциированный с тензором $ \ffi\circ\al,$ равен нулю. Поэтому
$ \al(E)\subset \operatorname{ Ker}\ffi= W\sbs W^{**},$ то есть оператор
$ \al$ действует из $ E$ в $ W.$

Поскольку подпространство $ \ffi^*(E^*)$  дополняемо в $ W^{***},$
то $ \al\circ\ffi\in W^{***}\wh\ot^r W= N^r(W^{**},W)$ тогда
и только тогда, когда $ \al\in E^{*}\wh\ot^r W= N^r(E,W).$

Если $ \al\in  N^r(E,W),$
то для произвольного его (ненулевого!) $N^p$-представления
вида $ \al=\sum e'_n\ot w_n$ суперпозиция $ \ffi\circ\al$ есть
нулевой тензорный элемент в $ E^*\wh\ot E;$ но эта суперпозиция
представляет собой элемент $ z, $ который по самому своему выбору не может
быть нулевым. Таким образом, $ \al\notin  N^r(E,W)$ и, тем самым,
 $ \al\circ\ffi\notin W^{***}\wh\ot^r W= N^r(W^{**},W).$
С другой стороны, конечно,
 $ \al\circ\ffi\in W^{***}\wh\ot^r W^{**}= N^r(W^{**},W^{**}). \Q$
\enddemo

%
Таким образом, аппроксимационные условия, наложенные на $X\,$ и $Y\,$
в теореме 1 сущес\-твен\-ны.

Ясно, что из теоремы 2 вытекает существование {\it одного пространства}
$ W,$ для которого при всех указанных значениях параметра
$ r$ верно заключение теоремы.
\medpagebreak


    \vskip0.2in


 \eightpoint
\centerline{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА}
\bigpagebreak

\ref \no 1 \by Пич А.\pages 536 с
 \paper Операторные идеалы
 \yr 1982\vol
 \jour     Москва: Мир
 \endref

\ref \no 2  \by Reinov O.I.\pages   125-134
\paper   Approximation properties of order p and the existence of
  non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints
\yr 1982 \vol  109
\jour    Math. Nachr.
\endref

\ref \no 3  \by Рейнов О.И.  \pages
\paper
Аппроксимационные свойства $ \operatorname{AP_s}$ и $p$-ядерные
  операторы (случай $ 0<s\le1$)
\yr  \vol  \issue
\jour (в печати)
\endref

\enddocument

%
%%%%%%%%%
%