%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% Material bez dokazatel'stv ob approksimatsii %%%% 08.06.00 04:35:37 Thu %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% поиск вопросов и добавок по !!! % % \input amstex \documentstyle{amsppt} \expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{% \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space} \catcode`\@=11 \def\nologo{\let\logo@\empty} \csname aaaaa \endcsname \nologo % \Monograph % \input trtrtrtr.tex \magnification=\magstep1 \parindent=1em %%%% razmer dvojnogo tire; "9" imeet polovinu em %\vsize=7.4in %%%% 1in = 2.54 \baselineskip=18pt %%%%% rasstojanie mezhdu strokami \hsize=16 true cm \vsize=24 true cm %\mathsurround=3pt %\pagewidth{11.5 true cm} %\pageheight{17.00 true cm} % \tenpoint \def\nor#1{||{#1}||} % norma - gde-to byli nuzhny troe etikh \def\md#1{|{#1}|} % modul' \def\sp#1#2{\(#1,#2\)} % skaljarnoe proizvedenie \def\ove#1{\overline{#1}} % normal'noe kompl. soprjazhenie i cherta nad \def\ovs#1#2{\overset{#1}\to{#2}} \def\({\left(} \def\al{\alpha} \def\lee{\leqslant} \def\){\right)} \def\e{\varepsilon} \def\gee{\geqslant} \def\[{\left[} \def\la{\lambda} \def\]{\right]} \def\ffi{\varphi} \define\be{\beta} \def\ot{\otimes} \def\<{\langle} \def\wh{\widehat} \def\>{\rangle} \def\wt{\widetilde} \def\sbs{\subset} \def\tr{\operatorname{trace}\,} %%%%%%%%%%%%% after 30.01.00 02:44:40 Sat: \def\Gr{\operatorname{Gr}} \def\AP{\operatorname{AP}} \def\BAP{\operatorname{BAP}} \def\MAP{\operatorname{MAP}} \def\CAP{\operatorname{CAP}} \def\N{\operatorname{N}} \def\I{\operatorname{I}} \def\K{\operatorname{K}} \def\id{\operatorname{id}} \def\L{\operatorname{L}} \def\QN{\operatorname{QN}} \def\RN{\operatorname{RN}} \def\J{\operatorname{J}} \def\R{\operatorname{R}} \def\W{\operatorname{W}} \def\WK{\operatorname{WK}} \def\Var{\operatorname{Var}} \def\reg{\operatorname{reg}} \def\dual{\operatorname{dual}} \def\sbs{\subset} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\med{\medpagebreak} \def\QQ{$\quad\blacksquare$} \def\small{\smallpagebreak} \def\Q{\quad\blacksquare} \def\bigp{\bigpagebreak} \def\f{\vec} %\define\shod#1{\underset#1\rightarrow\infty\to\longrightarrow} \CenteredTagsOnSplits \NoBlackBoxes %\, \NoRunningHeads \pageno=1 \footline={\hss\tenrm\folio\hss} % tsentrirovat', shrift, \folio est' % abbreviatura dlja % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi \topmatter \title { Экскурс в теорию аппроксимации операторов в операторных идеалах } \endtitle \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$} \endauthor %\address\newline %Oleg I. Reinov \newline %Department of Mathematics\newline %St Petersburg University\newline %St Peterhof, Bibliotech pl 2\newline %198904 St Petersburg, Russia %\endaddress %\email %orein\@orein.usr.pu.ru %\endemail \thanks %${{ }^\dag}$This work was done with partial support of the Ministry of the %general and professional education of Russia (Grant 97-0-1.7-36) and %FCP ``Integracija", reg. No. 326.53. ${{ }^\dag}$ Работа выполнена при частичной поддержке Министерства общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36) и ФЦП ``Интеграция", рег. номер 326.53. \endthanks % \tenrm %\address\newline %198904, Санкт--Петербург,\newline %Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline %Санкт--Петербургский государственный университет,\newline %математико--механический факультет,\newline %\endaddress % %\email %% \tenrm %orein\@orein.usr.pu.ru %\endemail \address\newline Oleg I. Reinov \newline Department of Mathematics\newline St Petersburg University\newline St Peterhof, Bibliotechnaya pl. 2\newline 198904 St Petersburg, Russia \endaddress \email orein\@orein.usr.pu.ru \endemail \abstract\nofrills %%%% \nofrills unichtozhaet "Abstract." % \tenrm \endabstract \endtopmatter %========================================== \document % ========================================== %\footnote""{${ }^\ddag$ %AMS Subject Classification: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, %trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc. %} %\footnote""{${ }$ %Key words: $p$-nuclear operators, dual ideal, bases, %approximation properties, tensor products. %} %%%%% 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \head{\bf I. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ}\endhead \vskip12pt \heading{\S1. Основные определения и обозначения}\endheading \med Все рассматриваемые нами пространства $X,\,Y,\,Z,\dotso$ --- банаховы. Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$. Обычно мы считаем пространство $X$ канонически вложенным в его второе сопряженное пространство $X^{**},$ но если возникнет необходимость, то это естественное изометрическое вложение мы будем обозначать символом $\pi_X,$\, $\pi_X: X\to X^{**}.$ Через $\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ обозначается пространство всех (линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой (вообще, в данной работе под термином "\!оператор" всегда будет пониматься линейный непрерывный оператор). Мы используем стандартные обозначения из теории операторных идеалов --- $\operatorname{\Pi}\!{_p},\, $ $\operatorname{QN}\!{_p},\,$ $\operatorname{N}\!{_p},\, $ $\operatorname{ I}\!{_p}$ --- определения этих классов приводятся ниже (классический справочник по операторным идеалам --- [12]; отметим, однако, что мы придерживаемся обозначений, отличающихся от принятых в [12]). % %%%%% Опр. суммир. оп. ######################## Пусть \,$p\in(0,\infty].$\ Оператор \,$T,$ действующий из $X$ в $Y,$ называется \ {\it абсолютно $p$-суммирующим,}\ если существуют такая постоянная $C>0,$ что для любого конечного набора \, и $\{x_n\}^M_{n=1} \subset X$ выполняется соотношение $$\left( \sum_{n=1}^M \|Tx_n\|^p\right)^{1/p} \le C \, \sup_{\|x,\|\le 1} \left(\sum_{n=1}^M \, ||^p\right)^{1/p} \tag1.1 $$ (в случае, когда $p=+\infty,$ (1.1) переписывается так: $ \|Tx\|\le C \, \|x\|, \ x\in X,$ т.е. абсолютно $\infty$-суммирующие операторы --- это просто все ограниченные линейные отображения). Наименьшая из констант $C>0,$ удовлетворяющая указанному условию (такая всегда существует, если оператор абсолютно $p$-суммирующий) обозначается через $\pi_p (T).$ Если оператор $T$ не является абсолютно $p$-суммирующим, то удобно положить $\pi_p (T)=+\infty.$ Множество $\operatorname{\Pi}\!{_p} (X,Y)$ всех абсолютно $p$-суммирующих операторов из $X$ в $Y$ при $p>0$ является линейным пространством, а при $p\ge 1$ --- банаховым пространством с нормой $\pi_p.$ Более того, в последнем случае класс $\operatorname{\Pi}\!{_p}$ всех абсолютно $p$-суммирующих операторов является банаховым операторным идеалом (в смысле А.Пича [12]). Отметим, что для показателей $p,q\in (0,+\infty],p\,y_k \qquad\text{ для $x\in X$}, \tag{1.2} $$ где последовательности $\,\{x'_n\}^{\infty}_{n=1}\subset X^* \,$ и $\,\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\subset Y \,$ таковы, что конечна величина $$ a:=\, \left(\sum_{k=1}^\infty \,\|x'_k\|^p\right)^{1/p} \sup \left\{ \left(\sum_{k=1}^\infty \,||^{p'}\right)^{1/p'}: \ y'\in Y^*,\, \|y'\|\le 1\right\} \tag{1.3} $$ (напомним, что через $p'$ мы обозначаем сопряженный к $p$ показатель; в случае, когда один из показателей $\,p,\,p'$ бесконечен, правую часть соотношения (1.3) надо понимать надлежащим образом). Множество всех $p$-ядерных операторов из $X$ в $Y$ обозначается через $\operatorname{N}\!{_p}\,(X,Y),$ а точная нижняя грань $\inf a,$ где инфимум берется по всем представлениям вида (1.2) оператора $T,$ --- через $\nu_p\,(T).$ Для любого $p\ge 1$ класс $\operatorname{N}\!{_p}$ всех $p$-ядерных операторов является банаховым операторным идеалом [12]; при фиксированных пространствах $X,Y$ \ \, $\operatorname{N}\!{_p}\,(X,Y),$ --- банахово пространство с нормой $\nu_p.$ Отметим, что для показателей $p,q\in [1,+\infty],pA>> C(K) @>j>> L_p(K,\mu) @>B>> Y \\ \endCD, \tag {$1.4$} $$ где $ K$ --- некоторый компакт, $ \mu$ --- вероятностная мера Радона на нем, $ j$ --- оператор "тождественного вложения" и $ \|A\|,\,\|B\|$ --- непрерывные операторы. Норма в пространстве $\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y \right)$ вводится следующим образом: $$ i_p(T)=\inf \,\|A\|\,\|B\|. $$ Если $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$ и $ T\in \operatorname{I}\!{_p}(X,Y^{**})$ (мы отождествляем каноническим образом $ Y$ с подпространством в $ Y^{**}$), то мы говорим, что оператор $ T$ является {\it $ p$-интегральным по Гротендику.}\ Пространство всех $p$-интегральных по Гротендику операторов из $X$ в $Y$ (с индуцированной из $\operatorname{I}\!{_p}(X,Y^{**})$ нормой $ i_p^{\operatorname{ Gr}}$) мы обозначаем через $\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right).$ % %%%%%%% Опр. тенз. (ядер.) ######################## Алгебраическое тензорное произведение $X\otimes Y$ банаховых пространств $X,\,Y$ мы естественным образом рассматриваем как множество всех конечномерных операторов из $X^*$ в $Y$ (или из $Y^*$ в $X$), $\,weak^*$-$to$-$weak\,$ непрерывных; в частности, $X^*\otimes Y$ --- все конечномерные операторы из $X$ в $Y$. На тензорном произведении $X\otimes Y$ мы будем рассматривать ряд тензорных норм, некоторые из которых индуцируются соответствующими пространствами операторов, а некоторые --- наоборот сами индуцируют операторные нормы (все эти нормы, с другими обозначениями, впервые, видимо, рассматривались в работе [22]; там же введены и некоторые аппроксимационные условия "порядка $p$", налагаемые на банаховы пространства и связанные, в частности с аппроксимацией абсолютно $p$-суммирующих операторов конечномерными; подобного рода условия появятся и у нас ниже). {\it $p$-проективная тензорная норма}\, $||\cdot||_p$ для $p\in [1,+\infty]$ определяется на произведении $X\otimes Y$ следующим образом: если $z\in X\otimes Y \,$, то $$ ||z||_p :=\ \inf\quad\left(\sum_{k=1}^N\,\|x_k\|^p\right)^{1/p}\! \sup_{\|y'\|\le 1} \left\{ \left(\sum_{k=1}^N\,||^{p'}\right)^{1/p'}\right\} \tag1.5 $$ где $\ 1/p+1/p'=1\ $ и \, infimum \,берется по всевозможным представлениям тензорного элемента $z$ в пространстве $X\otimes Y$ в виде $\,z= \sum_{k=1}^Nx_k\otimes y_k$ \ (формально, формула (1.5) имеет смысл лишь при конечном показателе $p>1;$ в случаях $p=1\,$ и $\,p=+\infty\,$ в этом определении нужно произвести соответствующие тривиальные изменения, на которых мы не останавливаемся). Алгебраическое тензорное произведение пространств $X$ и $Y$, снабженное нормой $||\cdot||_p$, будет обозначаться через $X\otimes _p \,Y$, а его пополнение --- через $X\widehat \otimes _p \,Y\ $ (в случае $p=1$ мы получаем проективное тензорное произведение, введенное и детально изученное А.Гротендиком [5], и играющее огромную роль, в частности, в теории ядерных пространств и теории аппроксимации линейных операторов). Нетрудно заметить, что с ростом показателя $p$ тензорные произведения $X\widehat \otimes _p \,Y$, вообще говоря, "увеличиваются" (кавычки здесь поставлены преднамеренно; проясняет ситуацию следующее замечание). \remark {\bf Замечание 1.1} Каноническое отображение $X\otimes _pY \to\operatorname{L} \left(X^*,Y \right) $ \, естественным образом продолжается по непрерывности до оператора из $\,X\widehat \otimes _p \,Y \,$ в $\,\operatorname{L}\left(X^*,Y \right) $ \, (который мы также будем называть каноническим). При этом продолжении, как известно (см., например, [12], стр.143 и далее, и [15, 16, 19]), может произойти "склеивание" различных тензорных элементов, превращающее их в один и тот же оператор. Такая факторизация никогда не происходит лишь в случае $p=2$. Поэтому, например, естественное отображение $\,X\widehat \otimes _1 \,Y \,\to \,X\widehat \otimes _2 \,Y \ $ \, вполне может быть "факторотображением" с нетривиальным ядром; так что не совсем корректно утверждать, что пространство $\,X\widehat \otimes _2 \,Y \ $ больше, чем $\,X\widehat \otimes _1 \,Y.$ \endremark \smallpagebreak Каждый тензорный элемент $\,z\in X\widehat \otimes _p \,Y\,$ естественным образом порождает $ p$-яде\-р\-ный оператор из $\,X^*\,$ в $\,Y,\,$ который мы будем обозначать через $\,\tilde z\,$ (в случае, когда пространство $\,X\,$ сопряжено, т.е. когда $\,X=W^*\,$ для некоторого банахова пространства $\,W\,$, оператор $\,\tilde z\,$ будет рассматриваться нами, как оператор из $\,W\,$ в $\,Y\,$, что, конечно же, не приведет к недоразумению). \smallpagebreak % %%%%%%% Опр. тенз. (квазиядер..) ######################## Наконец, через $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$ мы обозначаем замыкание множества конечномерных операторов (или подпространства $Y^*\otimes X$) в пространстве $\operatorname{\Pi}\!{_{p'}} (Y,X).$ Отметим, что сопряженное к $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$ пространство совпадает с $\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y^{**} \right),$ причем двойственность определяется стандартным образом при помощи следа суперпозиции соответствующих операторов. \small Другие факты из теории операторных идеалов, используемые нами без всяких ссылок, можно найти в цитированной выше литературе. \bigp \heading{\S2. Аппроксимационные свойства}\endheading \med % %%%%%%%%% Опред. апрокс. свойств Пусть $\,C\ge 1,\,p\in[1,+\infty].$ \, Говорят, что банахово пространство $\,Y\,$ {\it обладает свойством $\,\operatorname{AP}\!{_p}\,$ аппроксимации порядка} $\,p\,$ (коротко --- $\,Y\in\operatorname{AP}\!{_p}$), если для любого банахова пространства $\,X\,$ каноническое отображение $\,X^*\widehat \otimes _p \,Y \,\to \,\operatorname{L}\left(X,Y \right)\ $ \, взаимно однозначно (и, следовательно, $X^*\widehat \otimes _p \,Y = \operatorname{ N}\!{_p}(X,Y)$). Пространство $\,Y\,$ {\it обладает свойством} $C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$, $\,Y\in $ $C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$, если для любого $\,X\,$ естественное отображение $\,X^*\widehat \otimes _p \,Y \,\to \, \operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}} \left(X,Y \right)\ $ есть $C$-изометрическое вложение (в данном случае это означает, что существует непрерывное обратное с нормой не больше $\,C$. Наконец, $\,Y\,$ {\it имеет свойство} $\,\operatorname{BAP}\!{_p}\,$ (соответственно, {\it свойство} $\,\operatorname{MAP}\!{_p}\,$), если оно обладает свойством $\,C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$ для некоторого числа $\,C\ge 1\,$ (соответственно, свойством $\,1$-$\operatorname{MAP}\!{_p}$). Если $\,p=1,\,$ то мы используем общепринятые в этом случае аббревиатуры $\operatorname{AP},\,$ $C$-$\operatorname{MAP},\,$ $\operatorname{BAP},\,$ $\operatorname{MAP}.\,$ В дальнейшем без дополнительных ссылок мы будем использовать следующие хорошо известные (и простые) факты: \ (1) Каждое банахово пространство обладает свойством $\operatorname{MAP}\!{_2};$ \ (2) для всякого $\,p\in [1,+\infty]\,\ $ $\operatorname{AP}\, \Rightarrow\operatorname{AP}\!{_p}\,$; \ (3) для всякого $\,p\in [1,+\infty]\,\ $ $\operatorname{MAP}\, \Rightarrow \operatorname{MAP}\!{_p}\,$; \ (4) если $\,X^*\in AP\,$, то $\,X\in AP\,$. % Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов %\head Некоторые соотношения между свойствами $ \AP_s$ \endhead \small Совершенно аналогично определяются аппроксимационные свойства $ \AP_s$ для $ s\in (0,1]$ (подробности можно найти в [19]). Соберем вместе некоторые известные факты о соотношениях между свойствами $ \AP_s.$ \proclaim {\bf Предложение 2.1}\it Пусть $ 1/s-|1/p-1/q|\gee1$ и $ X$ --- банахово пространство типа $ p$ и котипа $ q.$ Тогда $ X\in\AP_s.$ В частности, если $ X\sbs L^p,$ то $ X\in\AP_s,$ где $ 1/s=1+|1/2-1/p|.$ \endproclaim\rm {\eightpoint %Из результатов предыдущего параграфа и замечаний после определения 5.1 %вытекают утверждения 1)--3) следующей теоремы. } \proclaim {\bf Теорема 2.2}\it $ 1)$ $ \AP_1\implies \AP_s\ \forall\, s>0;$ $ 2)$ $ \AP_r\implies \AP_s,$ если $ 02,$ то свойства $ \AP_1$ и $ \AP_p$ не равносильны. \endproclaim\rm {\eightpoint Относительно утверждения 4) см. замечание после основного определения в работе [15]. } \proclaim {\bf Теорема 2.3}\it Если $ p>2$ и $ E\in\AP_p,$ то $ E\in\AP_q$ для любого $ q\in[2,p].$ Более того, если для некоторого $ q>2$\ $ E\notin \AP_q,$ то существует такое пространство $ F$ и оператор $ U\in\QN_1(E,F),$ что для каждого $ \e>0$ найдется элемент $ z\in F^*\wh\ot_{q+\e} E$ такой, что $ \tr z\circ U=1,\, \wt z=0.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 2.4}\it Если $ s\lee1,\, 1/p+1/s=2$ и $ s\lee q \lee p,$ то $ \AP_q\implies \AP_s$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 2.5}\it Если $ p\in[1,+\infty]$ и $ X$ --- фактор--пространство пространства $ l^p,$ то $ X\in\AP_1$ тогда и только тогда, когда $ X\in\AP_p.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 2.6}\it Если $ q\gee p>2$ и $ X$ --- фактор--пространство пространства $ l^p,$ то $ X\in\AP_1$ тогда и только тогда, когда $ X\in\AP_q$ (эквивалентно, $ X\in\AP_r\ \forall\,r\gee p;\,$ $ X\in\AP_r\ \forall\,r\gee 2;\,$ $ X\in\AP_r\ \forall\,r> 0.$ \endproclaim\rm \bigp %%% %%%%%%%%%% \heading{\S3. Условно слабо компактные операторы}\endheading \med % \title {О некоторых классах линейных непрерывных отображений} {\eightpoint В этом параграфе изучаются некоторые классы линейных непрерывных отображений в банаховых и локально выпуклых пространствах. Приводится характеризация операторов $ T: X\to Y,$ переводящих ограниченные множества банахова пространства $ X$ в условно слабо компактные множества банахова пространства $ Y,$ а также рассматривается частный случай, когда $ X=C(K).$ } \definition {\bf Определение 3.1} Оператор $ T: X\to Y$ называется условно слабо компактным, если из всякой ограниченной последовательности $ \{ x_n\}\sbs X$ можно извлечь такую подпоследовательность $ \{ x_{n_k}\},$ что $ \{ Tx_{n_k}\}$ --- последовательность Коши в пространстве $ \( Y, \sigma(Y,Y^*)\).$ \enddefinition {\eightpoint Везде %в этом пункте ниже через $ X,Y,$ как обычно, мы обозначаем произвольные банаховы пространства, $ K$ (соответственно $ S)$ --- отделимое компактное (соответственно, локально компактное) топологическое пространство, $ Q$ --- канторово множество. Если $ X_1, X_2$ --- банаховы пространства, то через $ \L(X_1, X_2)$ обозначается пространство всех линейных непрерывных отображений из $ X_1$ в $ X_2.$ Говоря о подпространствах банаховых пространств мы всегда имеем в виду замкнутые векторные подпространства. } \proclaim {\bf Теорема 3.2}\it Пусть $ T\in\L(X,Y).$ Следующие условия равносильны: $ 1)$ $ T$ не является условно слабо компактным оператором; $ 2)$ существует такое изоморфное $ l^1$ подпространство $ Z\sbs X,$ что $ T|_Z$ ---изоморфизм; $ 3)$ существует такое изоморфное $ C^*[0,1]$ подпространство $ W\sbs Y^*,$ что $ T^*|_W$ ---изоморфизм; $ 4)$ существует такое изоморфное $ L^1[0,1]$ подпространство $ W\sbs Y^*,$ что $ T^*|_W$ ---изоморфизм. Если $ Y$ --- слабо компактно порожденное пространство, условия $ 1)-4)$ эквивалентны условию $ 5)$ существует такой оператор $ U\in\L(Y,C[0,1]),$ что $ UT$ есть отображение "на". \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 3.3}\it Если существует не условно слабо компактный оператор из $ X $ в слабо компактно порожденное банахово пространство, то %существует найдется фактор--пространство пространства $ X,$ изоморфное пространству $ C[0,1].$ \endproclaim\rm Напомним, что оператор $T\in \L(X,Y)$ называется оператором Радона--Никодима, $ T\in \RN,$ если $ T$ переводит векторные меры $ m$ ограниченной вариации в меры, представимые интегралом Бохнера по $ \Var(m).$ \proclaim {\bf Следствие 3.4}\it Пусть $ T\in L(X,Y).$ Если $ T^*$ есть оператор типа $ \RN,$ то $ T$ --- условно слабо компактное отображение. В частности, если $ Y$ --- слабо секвенциально полное пространство, то $ T^*$ является оператором типа $ \RN$ тогда и только тогда, когда оператор $ T$ условно слабо компактен. \endproclaim\rm {\eightpoint Следующее утверждение является обобщением хорошо известного факта о полной непрерывности произведения двух слабо компактных отображений $ Z\to C(K)\to Y,$ а также усилением [9, теорема 4.12]. } \proclaim {\bf Предложение 3.5}\it Пусть $ U\in\L(X, C(K)),$ $ T\in\L(C(K),Y).$ Если $ U^*$ есть оператор типа $ \RN,$ а $ T$ -- слабо компактный оператор, то существует последовательность конечномерных отображений $ A_n:X\to Y,$ \, $ n=1,2,\dots,$ такая, что $ \|A_n-TU\|\to 0$ при $ n\to\infty.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 3.6}\it\, $1)$ Пусть $ T\in\L(C(K),X).$ Следующие условия эквивалентны: $ а)$ оператор $ T$ условно слабо компактен; $ б)$ $ T^*$ есть оператор типа $ \RN;$ $ в)$ не существует изометричного пространству $ C(Q)$ подпространства $ Z\sbs C(K),$ для которого $ T|_Z$ есть изоморфное вложение $ Z$ в $ X.$ $ 2)$ Пусть $ U\in\L(C_0(S), X).$ Если существует такая конечная положительная мера Радона $ \mu$ на $ S,$ что $ U^*(X^*)\sbs L^1(\mu),$ то $ U^*$ есть оператор типа $ \RN.$ Если $ S$ --- метризуемый компакт, то верно и обратное. \endproclaim\rm %\med \bigp % \title {Функции $ \I$ класса Бэра со значениями в метрических... % теоремы 1-2 \heading{\S4. Функции $ \I$ класса Бэра}\endheading \med {\eightpoint Здесь мы сформулируем ряд дополнительных результатов об операторах Радона--Ни\-ко\-ди\-ма, связанных со свойствами векторнозначных функций I класса Бэра и некоторых их обобщений. Эти факты, представляя самостоятельный интерес, существенно используются при доказательстве некоторых утверждений из следующего раздела, а также и в ряде других (не входящих в данную статью) приложений. Мы говорим, что $ f: M\to R$ (в топологических пространствах) является квазибэровской, если для всякого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ сужение $ f|_K$ имеет хотя бы одну точку непрерывности. Например, справедлива теорема:} \medpagebreak \proclaim {\bf Теорема 4.1}\it Всякая квазибэровская функция со значениями в метрическом пространстве универсально измерима. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 4.2}\it Пусть $ X,Y$ --- банаховы пространства и $ T\in\L(X,Y).$ Если не существует такого подпространства $ Z$ в $ X,$ что $ Z$ изоморфно $ l^1$ и сужение $ T|_Z$ --- изоморфизм, то для всякого топологического пространства $ S$ с мерой Радона $ \mu$ и для любой $ Y^*$-значной $ \mu$-измеримой функции $ f:S\to \( Y^*, \sigma(Y^*,Y)\)$ функция $ T^*f: S\to X^*$ является $ X^{**}$-скалярно $ \mu$-измеримой. В частности, отображение $ T^*$ универсально $ X^{**}$-скалярно измеримо как отображение из $ \( Y^*, \sigma(Y^*,Y)\)$ в $ X^*$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 4.3} Представляет интерес частный случай, когда мы имеем тождественное отображение в фиксированно банаховом пространстве (Haydon R.). \endremark\medpagebreak } \proclaim {\bf Теорема 4.4}\it Для линейного непрерывного отображения $ T$ из банахова прост\-ра\-н\-ства $ X$ в банахово пространство $ Y$ эквивалентны утверждения: $ 1)$ $ T^*$ есть оператор Радона--Никодима, т.е. для любого пространства $(\Omega, \Sigma, \mu)$ с конечной положительной мерой и для любой $ \mu$-абсолютно непрерывной $ Y^*$-значной меры $ m:\Omega\to Y^*$ ограниченной вариации\, $ X^*$-значная мера $ T^*m$ представима интегралом Бохнера по мере $ \mu;$ $ 2)$ для всякого $ {}^*$-слабого компакта $ K\sbs Y^*$ отображение $ T^*|_K: \( K, \sigma(Y^*,Y)\)\to X^*$ имеет на $ K$ хотя бы одну точку непрерывности. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 4.5}\it Для оператора $ T$ из $ X$ в $ Y$ эквивалентны утверждения: $ 1)$ множество $ T(X)$ сепарабельно и $ T^*$ --- оператор Радона--Никодима; $ 2)$ $ T^*$ является векторнозначной функцией $ I$ класса Бэра из $\( D(Y^*), \sigma(Y^*,Y)\)$ в $ X^*,$ где $ D(T^*)$ --- единичный шар в $ Y^*$ (т.е. существует последовательность непрерывных отображений из $\( D(Y^*), \sigma(Y^*,Y)\)$ в $ X,$ сходящаяся поточечно к $ T^*);$ $ 3)$ множество $ T(X)$ сепарабельно и для всякого $ {}^*$-слабого компакта $ K\sbs Y^*$ отображение $ T^*|_K: \( K, \sigma(Y^*,Y)\)\to X^*$ непрерывно везде на $ K$ за исключением быть может множества точек $ I$ категории в $ \( K, \sigma(Y^*,Y)\).$ \endproclaim\rm Приведем только одно из разнообразных следствий. \proclaim {\bf Следствие 4.6}\it Если $ K$ --- метризуемое слабо компактное множество в банаховом пространстве $ X,$ то тождественное отображение $ \( K, \sigma(X,X^*)\)\to (K, \|\cdot\|)$ есть функция $ I$ класса Бэра. \endproclaim\rm \bigp \head{\bf II. АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ}\endhead \vskip12pt %%% %%%%%%%%%% \heading{\S5. Вокруг контрпримера А.Гротендику о слабо компактных операторах}\endheading \med %%%% Sib.Math.J 1978, XIX, NO.4 % \title {Операторы типа RN в банаховых пространствах} {\eightpoint Начнем с такого обобщения теоремы Гротендика о произведении аппроксимируемых операторов со слабо компактными: } \proclaim {\bf Теорема 5.1}\it Пусть $ X, Y, Z$ --- банаховы пространства, $ T\!\in\L(X,Y),$ $ U\!\in\L(Y,Z).$ Предположим, что существует непрерывный проектор $ P: X^{**}\to X$ и выполнено одно из следующих условий: $ 1)$ $ U$ равномерно на каждом компакте приближается конечномерными отображениями, $ T\in\RN(X,Y);$ $ 2)$ $ T$ равномерно на каждом компакте приближается конечномерными отображениями, $ U\in\RN(Z^*,Y^*).$ Тогда $ UT$ есть равномерный на каждом компакте предел конечномерных отображений, норма которых не превосходит $ \|P\|\cdot\|UT\|.$ \endproclaim\rm % %%% C. Rend. 296 (18 avril 1983), 597-599 % \title {Контрпример к одному предположению А.Гротендика} {\eightpoint В мемуаре [5], Chap.2, p.135,``Question non R\'esolues", А.Гротендик сформулировал \proclaim {\bf Предположение}\it Пусть $ E$ и $ F$ --- два банаховых пространства, $ U: E\to F$ --- слабо компактный оператор. Если $ U$ может быть аппроксимирован, равномерно на каждом компактном подмножестве в $ E,$ конечномерными операторами, то $ U$ можно аппроксимировать в топологии компактной сходимости конечномерными операторами, нормы которых $ \lee 1.$ \endproclaim\rm Отметим, что если $ E=F$ и $ U=\operatorname{ id}_E,$ то это предположение верно (см. [5], Chap.1, p. 181). Этот результат и формулировка теоремы 15 (Chap.1) позволяли считать, что сформулированное предположение справедливо также и в общем случае (см. [5], Chap.2, p.135). } \proclaim {\bf Теорема 5.2}\it Существуют банаховы пространства $ E$ и $ F$ и компактный оператор $ U: E\to F$ такие, что \roster \item"(1)" $ E$ сепарабельно, также как и все его сопряженные; \item"(2)" $ E$ удовлетворяет условию аппроксимации; \item"(3)" если $ d<\infty,$ то нельзя аппроксимировать $ U,$ равномерно на каждом компакте из $ E,$ операторами конечного ранга с нормами $ \lee d.$ \endroster \endproclaim\rm {\eightpoint Таким образом, последняя теорема показывает, что сформулированное предположение не вер\-но, так же как и неверны некоторые части теоремы 15 и ее следствий 1 и 2 в [5], Chap.1. \remark {\bf Замечание 5.3} Пространство $ E,$ построенное при доказательстве теоремы, обладает свойством Радона--Никодима (так как $ E^{**}$ сепарабельно), удовлетворяет условию аппроксимации, но не удовлетворяет условию ограниченной аппроксимации. Впервые подобного рода пространство было построено в работе [4]. \endremark\medpagebreak } % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \bigp % \title {Функции $ \I$ класса Бэра со значениями в метрических... {\eightpoint Следующая теорема доказывается с помощью теоремы о векторнозначных функциях I класса Бэра и теоремы 4.4 предыдущего раздела. } \proclaim {\bf Теорема 5.4}\it Пусть $ X,Y,W$ --- банаховы пространства, $ T$ и $ Y$ ---линейные непрерывные отображения соответственно из $ X$ в $ Y$ и из $ X^*$ в $ W.$ Предположим, что множество $ T(X)$ сепарабельно в $ Y,$ а оператор $ U$ приближается равномерно на каждом компакте пространства $ X^*$ конечномерными операторами из $ X^*$ в $ W.$ Если $ T^*$ является оператором Радона--Никодима, то существует последовательность $ \left\{ U_n\right\}_{n=1}^\infty$ конечномерных отображений из $ Y^*$ в $ W,$ обладающая следующими свойствами: $ 1)$ $\|U_n\|\lee \|UT^*\|$\, для каждого $ n=1,2,\dots;$ $ 2)$ все отображения $ U_n$ непрерывны из $ \( Y^*,\sigma(Y^*,Y))\)$ в $ W;$ $ 3)$ последовательность $ \{ U_n\}$ сходится поточечно к отображению $ UT^*,$ т.е. $ \|U_nf-UT^*f\|\to 0$ при $ n\to\infty$ для любого элемента $ f\in Y^*.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Отметим некоторые следствия } \proclaim {\bf Следствие 5.5}\it Пусть $ X,Y,Z$ --- банаховы пространства, $ T\in\L(X,Y)$ и $ V\in\L(Z,X)$ ---линейные непрерывные отображения. Предположим, что множество $ T(X)$ сепарабельно в $ Y,$ а $ T^*$ есть оператор Радона--Никодима. Тогда если $ V^*$ равномерно на каждом компакте пространства $ X^*$ приближается конечномерными операторами из $ X^*$ в $ Z^*,$ то существует последовательность конечномерных операторов из $ Z$ в $ Y,$ нормы которых не превосходят $ \|TV\|,$ и сопряженные к которым поточечно сходятся к $ (TV)^*.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 5.6}\it Пусть $ T\in\L(X,Y)$ --- такой оператор, что множество $ T(X)$ сепарабельно. Предположим, что пространство $ X^*$ удовлетворяет условию аппроксимации. Тогда $ T^*$ принадлежит классу $ \RN$ в том и только том случае, когда существует такая последовательность $ \{ U_n\}$ конечномерных отображений из $ X$ в $ Y,$ что $ \|U_n\|\lee \|T\|$ для всех $ n=1,2,\dots$\, и операторы $ U_n^*$ сходятся поточечно к $ T^*.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 5.7}\it Пусть $ T\in\L(X,Y)$ и пространство $ X^*$ удовлетворяет условию аппроксимации. Если существует последовательность $ \{ \ffi_n\}$ непрерывных отображений из $\( D(Y^*),\sigma(Y^*,Y)\)$ в $ X^*,$ сходящаяся к $ T^*$ поточечно, то существует такая последовательность $ \{ U_n\}$ конечномерных операторов из $ X$ в $ Y,$ что $ \|U_n\|\lee\|T\|$ для всех $ n$ и $ U^*_n\to T^*$ поточечно. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 5.8}\it Для банахова пространства $ X$ эквивалентны утверждения: $ 1)$ $ X^*$ --- сепарабельное пространство, удовлетворяющее условию аппроксимации; $ 2)$ существует такая последовательность конечномерных операторов $ \{ U_n\}$ из $ X$ в $ Y,$ что $ \|Un\|\lee1$ и $\| U^*_nx'-x'\|\to 0$ при $ n\to\infty$ для любого $ x'\in X^*.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Заметим, что последнее следствие вытекает также из результатов работы А.Гро\-тен\-ди\-ка [5] и теоремы Банаха--Штейнгауза. } \proclaim {\bf Следствие 5.9}\it Если $ T$ --- слабо компактный оператор из $ X$ в $ Y$ с сепарабельным образом и если пространство $ Y$ удовлетворяет условию аппроксимации, то существует такая последовательность $ \{ U_n\}$ конечномерных операторов из $ X$ в $ Y,$ что $ \|U_n\|\lee \|T\|$ и $ U_n\to T$ поточечно. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 5.10}\it Пусть $ K$ --- метризуемый $ {}^*$-слабый компакт в сопряженном банаховом пространстве $ X,$ удовлетворяющем условию аппроксимации. Если $ K$ является $ \RN$-множеством, то существует такая последовательность $ V_n$ конечномерных операторов в $ X,$ что на $ K$ отображения $ V^*$ сходятся поточечно к тождественному отображению $ K\to X^*$ и для всякого $ n$ имеет место включение $ V^*_n(K)\sbs D_a,$ где $ D_a$ --- шар в $ X^*$ с центром в нуле и радиуса $ a= \max_{k\in K} \|k\|.$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 5.11} См. также предложение 8.2 на стр. 14. %!!! \endremark} \bigp \heading{\S6. Обобщения предыдущих фактов на случай аппроксимации порядка $ p$\ $ (\text{свойства }\AP_p)$}\endheading %%%% к з1 Предложения 1-2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \med {\eightpoint Утверждения, приводимые ниже, используются при доказательствах многих утверждений, содержащихся в данном обзоре. В частности, они существенно используются при рассмотрении вопросов о непрерывности p-ядерных и других норм по параметру p (см. соответствующий раздел IV почти в самом конце работы). Следующее утверждение было анонсировано в [16, теорема 4.2]; равносильное ему предложение было установлено в работе [1, леммы 7-8]. Можно дать и другое доказательство (отличное от доказательств в указанных работах), основанное на определениях аппроксимационных свойств порядка $\,p,\,$ приведенных выше в \S2.} \proclaim {\bf Предложение 6.1}\it Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда для всякого $\,p\in (1,+\infty)\,$ из того,что $\,Y\,$ обладает свойством $\,\operatorname{AP}\!{_p}\,$ вытекает условие $\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$. В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено, то условия $\,Y\in \operatorname{AP}\!{_p}\,$ и $\,Y\in \operatorname{MAP}\!{_p}\,$ эквивалентны между собой. \endproclaim \rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 6.2} \rm Насколько нам известно, вопрос о том, справедливо ли утверждение предложения 6.1 в случае $\,p=1\,$, по-прежнему открыт (см. также замечание в самом конце работы [16]). Основная теорема в этом случае, по-существу, принадлежит А.Гротендику (см. [5], [3, стр. 246-247]): если сопряженное пространство обладает свойством Радона-Никодима и удовлетворяет условию аппроксимации, то оно удовлетворяет и условию метрической аппроксимации (некоторое ее обобщение можно найти, например, в работе [14]). Неясно также, что будет в случае $\,p=+\infty\,$. Мы можем здесь получить лишь такой аналог упомянутой теоремы А.Гротендика: \endremark } \med \proclaim {\bf Предложение 6.3}\it Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда если $\,Y^*\,$ обладает свойством Радона-Никодима и $\,Y\,$удовлетворяет условию $\,\operatorname{AP}\!{_\infty}\,$, то $\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}\!{_\infty}\,$. В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено и $Y^*\in\RN,$ то условия $\,Y\in \operatorname{AP}\!{_\infty}\,$ и $\,Y\in \operatorname{MAP}\!{_\infty}\,$ эквивалентны между собой. \endproclaim \rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 6.4} \rm Для любого $ p\in [1,+\infty], p\neq2,$ существуют банаховы пространства со свойством $ \operatorname{AP}\!{_p},$ не обладающие свойством $ C-\operatorname{MAP}\!{_p}$ ни при каком $ C\ge 1$ [4],[13] (подробности можно найти ниже). \endremark Следующие два утверждения тесно связаны с предыдущими и, в некотором смысле, "открывают" вопрос о регулярности классических операторных идеалов.} %%%%%%%%% %%%%%%%%%% Предложение 1.3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \proclaim {\bf Предложение 6.5}\it Пусть $ X$ и $ Y$ --- такие банаховы пространства, что либо $ X^*,$ либо $ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации Гротендика, и пусть $ p\in [1,+\infty]$ и %%%%%%%% p=\infty просмотреть!!! $ T\in \operatorname{ L}(X,Y).$ Если $ T\in \operatorname{N}_p(X,Y^{**}),$ то $ T\in \operatorname{ N}_p(X,Y).$ \endproclaim\rm { Доказательство} проводится по аналогии с доказательствами теорем 2 из [10] и [5, глава 1, стр. 36]. Несколько более общий факт будет сформулирован ниже. %!!! {\eightpoint \remark {\bf Замечание 6.6} На самом деле, аппроксимационные условия, накладываемые в пре\-дложении 6.5 на пространства $ X^*$ или $ Y^{***},$ можно ослабить. Чтобы сформулировать это более сильное утверждение, нам пришлось бы ввести еще несколько определений аппроксимационных свойств банаховых пространств, что, в силу ограниченности объема статьи, мы в данной работе делать не будем. \endremark } \medpagebreak \proclaim {\bf Следствие 6.7}\it Пусть $ p\in[1, +\infty),$ и пусть $ X, Y$ --- такие банаховы пространства, что $ X^*$ обладает свойством Радона --Никодима и одно из пространств $ X^*$ или $ Y^{***}$ удовлетворяет условию аппроксимации Гротендика. Тогда $ \operatorname{ I}_p(X,Y)= \operatorname{ I}_p^{\Gr}(X,Y)= \operatorname{ N}_p(X,Y).$ Более общо, если $U: Z\to X$ такой оператор из некоторого банахова пространства $ Z$ в $ X,$ что $ U^*$ является оператором Радона--Никодима {\rm (см. [14])}, и либо $ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо $ Y^{***}\in \operatorname{ AP},$ то для любых $ p\in[1, +\infty)$ и $ T\in \operatorname{ I}_p^{\Gr}(X,Y)$ имеет место включение $ TU\in \operatorname{ N}_p(X,Y).$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 6.8} Аппроксимационные условия, накладываемые на рассматриваемые в последних двух утверждениях пространства существенны и не могут быть заменены на аналогичные условия для пространств $ X,$ либо $ Y^{**}$ (см. ниже). %!!! \endremark } \medpagebreak %"""""""""""""""""""""""""""""""""" \bigp \heading{\S7. Аппроксимация операторами из некоторых замкнутых идеалов} \endheading \med % %%% Математические заметки 1983, 33 No.6 % \title {Насколько плохим может быть банахово пространство % со свойством аппроксимации?} {\eightpoint Пусть $ a\in[1,+\infty].$ Напомним, что банахово пространство $ E$ имеет свойство $ a$-метрической аппроксимации $ (E\in a$-$\MAP),$ если тождественное отображение $ \id: E\to E$ принадлежит замыканию в топологии компактной сходимости шара радиуса $ a$ нормированного пространства $ E^*\ot E$ всех конечномерных операторов из $ E$ в $ E$ (с обычной операторной нормой); если $ (E\in a$-$\MAP)$ для $ a=+\infty,$ то говорят, что $ E$ обладает свойством аппроксимации; если $ (E\in a$-$\MAP)$ для некоторого $ a<+\infty,$ то $ E$ обладает свойством ограниченной аппроксимации. Приведем естественный и конкретный вопрос, инспирированный примером (точнее, контрпримером) Фигеля--Джонсона. Пусть банахово пространство $ E$ обладает свойством аппроксимации. Вообще говоря, нельзя ожидать, что $ \id$ приближается равномерно на компактах из $ E$ конечномерными операторами с ограниченными нормами. Но, быть может, $ \id$ можно аппроксимировать в топологии компактной сходимости слабо компактными операторами, нормы которых равномерно ограничены? Или даже компактными операторами? Понятно, что такого рода вопросы могут быть сформулированы в общем виде, так что мы приходим к вполне конкретной задаче, которая и имелась в виду в заглавии работы [18]. Вот другая сторона этой задачи. Свою конструкцию Фигель и Джонсон применили в [4] для построения неядерного оператора с ядерным сопряженным. Иными словами, они привели пример линейного непрерывного функционала на нормированном пространстве $ E^*\ot E,$ который порождается неядерным оператором $T: E\to E$ (пространство $ E^*$ в [4] сепарабельно, так что оператор $ T^*$ обязательно будет ядерным). В связи с этим возникает, например, такой естественный вопрос: существует ли неядерный оператор $ T:E\to E,$ порождающий линейный непрерывный функционал на пространстве всех слабо компактных (или хотя бы компактных) операторов в $ E.$ Понятно, что это --- вопрос типа "насколько хорошим может быть неядерный оператор?". Основная цель сейчас --- дать по возможности достаточно полные ответы на сформулированные вопросы. В частности, мы сформулируем утверждения из [18], показывающие, что существует банахово пространство со свойством аппроксимации, для которого $ \id$ не приближается в топологии компактной сходимости слабо компактными операторами с равномерно ограниченными нормами, а также что существует неядерный оператор, порождающий линейный непрерывный функционал на пространстве всех слабо компактных отображений (точные формулировки см. ниже). Следует отметить, что использованный в [18] метод доказательств отличается от метода работы [4] --- лишь при перенормировке банахова пространства применяется формула для выражения новой нормы через старую, аналогичную формуле в [4]. } Пусть $ \I(X,Y)$ --- линейное подпространство в $ \L(X,Y),$\, $ 1\lee \la\lee +\infty.$ \definition {\bf Определение 7.1} Пространство $ Y$ обладает свойством $ \la$-$\MAP(\I)$ (свойством $\la$-метрической аппроксимации относительно $ \I),$ если для всякого компакта $ K\sbs Y$ и любого $ \e>0$ существует оператор $ R\in\I(Y,Y)$ такой, что $ \|R\|\lee \la$ и $ \sup_K \|Ry-y\|<\e.$ Мы условимся писать $ Y\in\la$-$\MAP(\I),$ если $ Y$ обладает свойством $ \la$-$\MAP(\I).$ Если $ \la<+\infty$ и $ Y\in\la$-$\MAP(\I),$ то $ Y$ обладает свойством $ \BAP(\I).$ Если $ Y\in+\infty$-$\MAP(\I),$ то $ Y$ обладает свойством $ \AP(\I).$ \enddefinition {\eightpoint Рассмотрим совсем кратко некоторые частные случаи. а) $ \I(Y,Y)=Y^*\ot Y.$ Свойство $ \la$-$\MAP(\I)$ есть не что иное, как свойство $ \la$-метрической аппроксимации Гротендика. Неравносильность свойств $ \BAP$ и $ \AP$ установлена Фигелем и Джонсоном в [4]. б) $ \I(Y,Y)=\K(Y,Y)$ --- множество всех компактных операторов. Свойство $ \AP(\K)$ --- это свойство компактной аппроксимации $ \CAP$ (см. [23]). Есть примеры подпространств в $ l^p, p\neq2,$ не обладающих свойством $ \CAP$ [23]. Вопрос об эквивалентности свойств $ \BAP(\K)$ и $ \AP(\K)$ был открыт (более того, неизвестно было, влечет ли свойство аппроксимации Гротендика свойство $ \BAP(\I),$ где $ \I$ --- какой--либо замкнутый идеал операторов, отличный от идеала всех аппроксимируемых (см. [12]) и идеала всех ограниченных операторов). в) $ \I(Y,Y)=\WK(Y,Y)$ --- множество всех слабо компактных операторов. Поскольку в $ l^1$ есть подпространство без свойства $ \CAP$ и $ l^1$ обладает свойством Шура, то существует банахово пространство, не обладающее свойством $ \AP(\WK).$ Этот факт будет использован в дальнейшем. Ясно, что всякое рефлексивное пространство обладает свойством $ 1$-$\MAP(\WK),$ так что $ \BAP(\WK)\not\implies \CAP$ (см. б)). г) $ \I(Y,Y)=\L(Y,Y).$ Всякое банахово пространство обладает свойством $ 1$-$\MAP(\L),$ и этот тривиальный случай мы исключим из дальнейшего рассмотрения. Удобно переформулировать определение 7.1 в несколько других терминах (впрочем, это представляет и самостоятельный интерес). Это делается в нижеследующих утверждениях. Далее в этом параграфе $ Y$ --- фиксированное банахово пространство, $ \I(Y,Y)$ --- фиксированное линейное подмножество в $ \L(Y,Y),$\, $ 1\lee \la\lee +\infty.$ } \proclaim {\bf Лемма 7.2}\it Эквивалентны утверждения: $1)$ $ Y\notin\la$-$\MAP(\I);$ $2)$ существуют $ \delta>0, \e>0$ и конечномерное подпространство $ E$ в $ Y$ такие, что $$ \{ \Phi\in \I(Y,Y); \|\Phi e-e\|\lee \e\,\|e\|\ \forall\,e\in E \} \implies \{ \|\Phi\|\gee \la+\delta\}. $$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 7.3}\it $ Y\notin\la$-$\MAP(\I)\, \iff\, \exists\,\delta>0:\, Y\notin(\la+\delta)$-$\MAP(\I).$ Таким образом, $ \{ \la\in[1,+\infty):\ Y\notin\la$-$\MAP(\I)\} =[\la_Y,+\infty), $ где $ \la\lee +\infty.$ \endproclaim\rm {\eightpoint По определению $ Y\in\la$-$\MAP(\I)$ тогда и только тогда, когда $ \id_Y$ принадлежит замыканию шара радиуса $ \la$ из $ \I(Y,Y)$ в $ \L(Y,Y)$ в топологии компактной сходимости. Последнее равносильно тому (см. [5], стр. 114), что $ \id_Y$ лежит в замыкании этого шара в $ \L(Y,Y)$ в слабой топологии $ \sigma \( \L(Y,Y), Y^*\wh\ot Y\).$ Отсюда вытекает } \proclaim {\bf Следствие 7.4}\it Эквивалентны утверждения: $1)$ $ Y\notin\la$-$\MAP(\I);$ $2)$ $ \exists \, z\in Y^*\wh\ot Y:\ \tr z=1,\ |\tr z\circ \Phi|<\la^{-1}\|\Phi\| \ \forall\, \Phi\in\I(Y,Y);$ $3)$ $ \exists \,\e>0,\, \exists \, z\in Y^*\wh\ot Y:\ \tr z=1,\ |\tr z\circ \Phi|\lee (\la^{-1}-\e)\,\|\Phi\| \ \forall\, \Phi\in\I(Y,Y).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 7.5}\it Пусть $ j:\, Y^*\wh\ot Y\to \I(Y,Y)^*$ --- естественное отображение $($пространство $ \I(Y,Y),$ снабжено обычной операторной нормой$).$ Если $ \I$ --- операторный идеал, то пространство $ Y$ не обладает свойством $ \la$-$\MAP(\I)$ тогда и только тогда, когда $ \|j^{-1}\|>\la$ $($эквивалентно, $ \|j^{-1}\|>\la+\e$ для некоторого $ \e>0).$ Таким образом, $ Y\in\la$-$\MAP(\I)$ $ \iff$ $ \la^{-1}\|z\|_{Y^*\wh\ot Y} \lee \|j(z)\|_{\I(Y,Y)^*} \lee \|z\|_{Y^*\wh\ot Y}$ $ \,\forall\,z\in Y^*\wh\ot Y$ $($т.е. $ j$ является $ \la$-изометрическим вложением или, что здесь равносильно, является $ \la+\e$-изометрией для каждого $ \e>0).$ \endproclaim\rm {\eightpoint В случае $ \la=+\infty$ имеет место } \proclaim {\bf Лемма 7.6}\it Эквивалентны утверждения: $ 1)$ $ Y\notin \AP(\I);$ $ 2)$ $ \exists\, z\in Y^*\wh\ot Y:\ \tr z=1,\, \tr z\circ \Phi=0\ \forall\, \Phi\in\I(Y,Y); $ $ 3)$ естественное отображение $ j: Y^*\wh\ot Y\to \I(Y,Y)^*$ не взаимно однозначно. \endproclaim\rm {\eightpoint Пусть $ Y$ --- банахово пространство, $ \I$ ---операторный идеал. Через $ \I^{\dual}$ мы обозначаем дуальный к $ \I$ идеал\, $ (T\in\I^{\dual} \iff T^*\in\I).$ Нам будет удобно также обозначать через $ \I_*(Y^*,Y^*)$ линейное подпространство в $ \L(Y^*,Y^*),$ состоящее из операторов, сопряженных к операторам из $ \I(Y,Y),$ $$ \I_*(Y^*,Y^*)= \{ U\in\L(Y^*,Y^*):\ \exists\, T\in \I(Y,Y),\, U=T^*\}. $$ Для $ A\gee 0$ конечномерного подпространства $L $ в $ Y^*$ определим нормы $ |||\cdot|||^1_{A,L}$ и $ |||\cdot|||^\infty_{A,L}$ в $ Y^*,$ эквивалентные исходной: если $ y'\in Y^*,$ то $$ \gather |||y'|||^1_{A,L} = \|y'\|+Ad(y', L), \\ |||y'|||^\infty_{A,L}=\max \{ \|y'\|; Ad(y',L)\}, \endgather $$ где $ d(y',L)= \inf \{ \|y'-l\|:\ l\in L\}.$ Эти нормы дуальны к некоторым нормам на $ Y,$ которые мы будем обозначать теми же символами. Пусть $ \Cal A_1$ и $ \Cal A_2$ --- совокупности всех норм (на $ Y)$ \, $ |||\cdot|||^1_{A,L}$ и $ |||\cdot|||^\infty_{A,L}$ соответственно. Для банахова пространства $ X$ нам удобно будет писать $ X\in(A_{\I}),$ если $а_1)$ $ X^*\in \BAP(\I),$ либо $а_2)$ единичный шар пространства $ \I(X^*,X^*)$ плотен в топологии поточечной сходимости в множестве операторов $$ \{ U\Phi:\ \Phi\in\I(X^*,X^*),\, U\in\L(X^*,X^{***}),\,\|U\Phi\|\lee 1 \}. $$ } \proclaim {\bf Теорема 7.7}\it Если $ Y\in (A_{\I})$ и для любой нормы $ \al\in \Cal A_1$\, $(Y,\al)\in 1$-$\MAP(\I^{\dual}),$ то $ Y^*\in 1$-$\MAP(\I).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 7.8}\it\, $1)$ Если $ Y\in (A_{\I})$ и для любой нормы $ \al\in \Cal A_1$\, $(Y,\al)\in \la$-$\MAP(\I^{\dual}),$ где $ \la<+\infty,$ то $ Y^*\in 2\la\,(4\la-3)$-$\MAP(I).$ $ 2)$ Если $ Y\in (A_{\I})$ и для любой нормы $ \al\in \Cal A_\infty$\, $(Y,\al)\in \la$-$\MAP(\I^{\dual}),$ где $ \la<+\infty,$ то $ Y^*\in 8\la^2$-$\MAP(I).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 7.9}\it Для каждого из перечисленных ниже идеалов операторов $ \I$ существует банахово пространство $ Z$ со свойством аппроксимации $($Гротендика$),$ не обладающее свойством $ \BAP(\I).$ $ 1)$ идеал компактных операторов; $ 2)$ идеал слабо компактных операторов; $ 3)$ идеал строго сингулярных операторов; $ 4)$ идеал условно слабо компактных операторов; $ 5)$ идеал $ \RN^{\dual};$ $ 6)$ идеал вполне непрерывных операторов. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 7.10}\it Для каждого из идеалов $ I,$ перечисленных в теореме $7.9,$ существуют банахово пространство $ Z$ и оператор $ T\in\L(Z,Z)$ со следующими свойствами: {\rm а)} $ T=\sum z'_n\ot z_n,\, z'_n\in Z^*,\, z_n\in Z$ $($ряд сходится в $ \L(Z,Z)$$);$ {\rm б)} $ T\notin \N(Z,Z);\,$ ряд $ \sum \< z'_n, z_n\>$ расходится; {\rm в)} $|\tr TU| = |\sum \< z'_n, Uz_n\>|\lee \|U\|$ для всякого $ U\in\I(Z,Z);$ {\rm г)} $ T^*\in \N(Z^*,Z^*).$ \endproclaim\rm {\eightpoint В случае, когда $ \I(Y,Y)=Y^*\ot Y$ (тогда условие $ a_2$ выполнено; см. [5, стр. 129]), утверждение теоремы 7.7 доказано Джонсоном [6]. Следует отметить, что идея его доказательства использовалась в [18] (в основном при доказательстве теоремы 7.7). Теорема 7.7, однако, не является центральной в этом разделе и приведена главным образом для полноты (тем более, что она получается в процессе доказательства остальных теорем как побочный результат). В [4] установлено. что если $ (Y,\al)\in\la$-$\MAP$ для всех $ \al\in\Cal A_1,$ то $ Y^*\in 2\la\,(4\la+1)$-$\MAP.$ Небольшое улучшение константы (теорема 7.8) по сравнению с [4], по--видимому, представляет интерес. Однако более любопытным было бы выяснить (хотя бы в предположениях теоремы 7.8), верна ли следующая Г и п о т е з а. \, Существует абсолютная постоянная $ C\gee 1$ такая, что если $ (Y,\al)\in\la$-$\MAP(\I^{\dual})$ для всякой нормы $ \al$ на $ Y,$ эквивалентной исходной, то $ Y^*\in C\la$-$\MAP(\I).$ Возможно, что $ C=1.$ В настоящий момент ответ, по крайней мере мне, неизвестен.} %\med \bigp \heading{\S8. По поводу одного вопроса Ю.Брудного}\endheading \med %% %% Вестник СПбГУ 1993, вып. 3 33-35. % \title {Аппроксимация операторов в топологии поточечной сходимости} {\eightpoint Следующие результаты появились благодаря такому вопросу Ю.А.Брудного (поставленного автору в письме несколько лет назад; см. также [2]; любопытно, что аналогичный вопрос в терминах тензорных произведений в связи с теорией интерполяции был задан автору и шведским математиком С.Кайзером): верно ли, что единичный шар из $ \L(X,Y)$ плотен в единичном шаре пространства $ \L(Y^*,X^*)$ в топологии поточечной $ Y^*\times X$-сходимости (здесь, как обычно, $ \L(X,Y)$ --- пространство всех линейных непрерывных операторов из $ X$ в $ Y)?$ Простейшие достаточные условия для положительного ответа на этот вопрос: \, а) $ X$ пространство $ Y$ рефлексивно, \, б) $ X$ обладает свойством метрической аппроксимации. От условия б), как мы увидим, освободиться, вообще говоря, нельзя. Условие а), конечно, можно ослабить (см. предложение 1). Через $ X^*\ot Y$ мы по-прежнему обозначаем множество всех конечномерных операторов из $ X$в $ Y$ с обычной нормой. Для краткости будем писать $ X\in r$-$\MAP,$ если $ X$ обладает свойством $ r$-метрической аппроксимации: это означает, что шар радиуса $ r$ пространства $ X^*\ot X$ плотен в единичном шаре пространства $ \L(X,X)$ в топологии компактной сходимости. При $ r=+\infty$ принято писать $ X\in \AP.$ Заметим, что свойства $ r$-$\MAP$ при различных $ r$ не эквивалентны. Через $ X\wh\ot Y$ обозначается проективное тензорное произведение пространств $ X$ и $ Y.$ } \proclaim {\bf Предложение 8.1}\it Для плотности шара радиуса $ r$ пространства $ \L(X,Y)$ в единичном шаре пространства $ \L(Y^*,X^*)$ в топологии $ \tau_p$ компактной сходимости достаточно каждого из следующих условий: $ 1)$ существует сеть слабо компактных операторов в $ Y,$ сопряженные к которым в топологии $ \tau_p$ сходятся к тождественному оператору и нормы которых $ \lee r;$ $ 2)$ $ X\in r$-$\MAP;$ $ 3)$ $ Y^*\in r$-$\MAP;$ $ 4)$ $ Y^*\in \AP$ и $ X^{**}\in\RN;$ $ 5)$ $ Y^*\in \RN$ и $ X^*\in\AP.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Утверждения 4) и 5) вытекают из следующего более общего факта: } \proclaim {\bf Предложение 8.2}\it Пусть $ T\in\L(X,Z), U\in\L(W,Y).$ Предположим, что выполнено одно из следующих условий: $ 1)$ $ U^*\in\AP,$ т.е. $ U^*$ приближается в $ \tau_p$ конечномерными операторами, и $ T^{**}\in\RN;$ $ 2)$ $ U^*\in\RN,$ \, $ T^*\in\AP.$ Тогда для всякого оператора $ V\in\L(Z, W^{**})$ оператор $ U^{**}VT$ приближается в топологии $ \tau_p$ конечномерными операторами, действующими из $ X$ в $ Y,$ нормы которых $ \lee \|U^{**}VT\|.$ \endproclaim\rm {\eightpoint То, что все перечисленные условия в предложениях 8.1 и 8.2 существенны, вытекает из нижеследующих результатов. } \proclaim {\bf Предложение 8.3}\it Существует пространство $ Y$ с базисом и рефлексивное сепарабельное $ X,$ а также элемент $ g\in Y^*\wh\ot X$ такие, что $ 1)$ $ \tr Ag=0\ \forall\, A\in\L(X,Y);$ $ 2)$ $ g\neq 0,$ т.е. $ \tr Vg=1$ для некоторого $ V\in\L(X,Y^{**})$% $ 3)$ пространства $ Y,Y^*,Y^{**},\dots\,$ все сепарабельны. \endproclaim\rm {\eightpoint Доказательство предложения 8.3 основано лишь на существовании банахова пространства без свойства аппроксимации. Сформулируем теперь центральные результаты.} \proclaim {\bf Теорема 8.4}\it Существуют постоянная $ C>0$ и сепарабельное банахово пространство $ E$ с базисом такие, что для всякого $ n$ можно найти сепарабельное пространство $ E_n$ с базисом и $ n$-мерный оператор $ t: E\to E_n,$ для которых $ 1)$ $ |\tr Ut|\lee U$ для всех $ U\in\L(E_n,E);$ $ 2)$ $ \|t\|_{\land}\gee C\sqrt n;$ $ 3)$ существует $ \e>0$ и $ V\in\L(E_n,E^{**}),$\, $ \|V\|\lee1,$ такие, что если $$ R\in \L(E_n,E) \ \text{ и }\ \|Rg-Vg\|\lee \e\|g\| $$ для всех $ g\in t(E),$ то $ \|R\|\gee C\sqrt n.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Перечислим некоторые более менее очевидные следствия из теоремы 8.4. } \proclaim {\bf Следствие 8.5}\it % это - кусок следствия 3, 28n Существуют сепарабельное пространство $ E$ с базисом и сепарабельное $ F,$ $ F\in \AP,$ обладающие следующими свойствами: $ 1)$ существует оператор $ T\in\L(E,F),$ не принадлежащий $ E^*\wh\ot F,$ такой, что для всякого $ U\in\l(F,E)$ суперпозиция $ UT\in E^*\wh\ot E$ и $ |\tr UT|\lee \|U\|;$ $ 2)$ существует оператор $ V: F\to E^{**}$ такой, что %для любого C>0 оператор $ V$ не принадлежит замыканию в $ \L(F,E^{**})$ никакого шара конечного радиуса пространства $ \L(F,E)$ в топологии поточечной $ F\times E^*$-сходимости; $ 3)$ существуют $ C>0$ и $ n$-мерные подпространства $ F_n\sbs F$\, $ (n=1,2,\dots\,)$ такие, что если $ R\in\L(E,F),$\, $ R|_{E_n}=V|_{E_n}$ \, $(V$ --- оператор из $ 2)\,),$ то $ \|R\|\gee C\sqrt n.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 8.6}\it %это - следствие 4, 28n Существуют сепарабельное банахово пространство $ Z,$ $ Z\in\AP,$ операторы $ S\in \L(Z,Z)$ и $ Q\in \L(Z,Z^{**})$ такие, что $ 1)$ $ US\in Z^*\wh\ot Z$ для всякого $ U\in\L(Z,Z)$ (т.е. $ S\in \L(Z,Z)^*),$ но $ S\notin Z^*\wh\ot Z;$ $ 2)$ если $ R_\al\in \L(Z,Z)$ и $ R_\al\to Q$\, \ $ Z\times Z^*$-поточечно, то $ \|R_\al\|\to+\infty$ (с другой стороны, ясно, что множество конечномерных операторов $ Z^*\ot Z$ плотно в $ \L(Z,Z^{**})$ в топологии компактной сходимости). \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 8.7} Пространство $ Z$ в следствии 8.6 можно выбрать таким образом, что все сопряженные к $ Z$ пространства будут сепарабельными (это, однако, не следует непосредственно их теоремы 8.4). \endremark\medpagebreak \remark {\bf Замечание 8.8} Следствие 8.6 дополняет результаты из [18] (см. выше \S7), где, в частности, установлено, что существует непрерывный функционал на пространстве всех слабо компактных операторов, порождаемый не ядерным оператором. \endremark\medpagebreak \remark {\bf Замечание 8.9} Следствие 8.6,2) конечно же отвечает на вопрос, с которого мы начали эту заметку (так же как и предложение 8.3). В отличие от предложения 8.3 в следствии 8.6 операторы рассматриваются в одном пространстве, которое к тому же обладает свойством аппроксимации $ \AP.$ \endremark\medpagebreak \def\W{\operatorname{W}} Упомянутый выше вопрос Ю.А.Брудного был связан со следующим вопросом, принадлежащим ему же (см. также [2]). Следуя [2], обозначим через $ \W(Y^*,X^*)$ множество тех операторов $ T$ из $ Y^*$ в $ X^*,$ для которых существует число $ \gamma=\gamma(T)>0$ такое, что $$ | \< Ty',x\>| \lee \gamma(T)\,\sup \{ | \< y', Sx\>|: \ S\in\L(X,Y), \,\|S\|\lee1\} $$ и положим $ \|T\|_{\W}= \inf \gamma(T).$ Верно ли, что $ \W(Y^*,X^*)=\L(Y^*,X^*)?$ Оказывается, имеет место не только это равенство, но и более общий факт. Для его формулировки нам понадобится следующее определение. Если $ n\in\Bbb N\cup\{+\infty\},$ то обозначим через $ \W_n(Y^*,X^*)$ множество всех операторов, для которых существует число $ \gamma_n=\gamma_n(T)$ такое, что $$ \bigg |\sum_{j=1}^n \< Ty'_j, x_j\>\,\la_j \bigg|\lee \gamma_n \sup \bigg \{\bigg |\sum_{j=1}^n \la_j\, \< y'_j, Sx_j\>\bigg|:\ S\in\L(X,Y),\,\|S\|\lee1 \bigg\} $$ для всех $ x_j, y_j, \|x_j\|\lee1, \|y_j\|\lee1$ и всех $ \la_j\gee0:\ \sum_1^n \la_j=1.$ Положим $ \|T\|_{\W_n}=\inf \gamma_n(T).$ Ясно, что в определении $ \W_n$ можно ограничиться элементами $ x_j$ и $ y_j$ единичной нормы; при этом $ \|\cdot\|_{\W}=\|\cdot\|_{\W_1}$ и $ \|\cdot\|_{\W_n}\lee \|\cdot\|_{\W_{n+1}}.$ } \proclaim {\bf Теорема 8.10}\it Если $ T\in\L(Y^*,X^*),$ то $ \|T\|\lee \|T\|_{\W_n}\lee \sqrt n\,\|T\|$ \, (при $ n\in\Bbb N).$ В частности, $ \W_n(Y^*,X^*)=\L(Y^*,X^*)$ как множества и $ \|\cdot\|_{W_1}=\|T\|.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Предложение 8.11}\it Для всякого $ T\in\L(Y^*,X^*)$ и любого $ n\in\Bbb N \cup\{+\infty\}$ $$ \|T\|_{\W_n}= \sup_{\underset{\ssize \dim\,t\lee n}\to{t\in Y^*\ot X}} \,\inf_{S\in\L(X,Y)} \{ \|S\|:\ \tr S\circ t=\tr T^*\circ t\}. $$ \endproclaim\rm {\eightpoint Таким образом, $ r=\|T\|_{\W_n}$ есть наименьшее число $ r,$ для которого, грубо говоря, на всяком $ n$-мерном тензоре $ t\in Y^*\ot X$ элемент $ T$ может быть сколь угодно хорошо приближен операторами из шара радиуса $ r$ пространства $ \L(X,Y).$ Точнее, для $ n\in\Bbb N\cup \{ +\infty\}$ $$ \multline \|T\|_{\W_n}= \inf \{ r>0:\\ \forall\, t\in Y^*\ot X, \dim t\lee n,\, \exists \, S\in\L(X,Y), \|S\|\lee r, \tr S\circ t= \tr T^*\circ t \}. \endmultline $$ Теперь, используя указанную характеризацию $ \|T\|_{\W_n},$ мы из теоремы 8.4 получаем утверждение, показывающее, что теорема 8.10 точна: } \proclaim {\bf Следствие 8.12}\it Существует сепарабельное банахово пространство $ X,$ $ X\in\AP,$ сепарабельное пространство $ Y$ с базисом, оператор $ T\in\L(Y^*,X^*)$ и постоянная $ C>0$ такие, что для всякого $ n\in\Bbb N$ \ \ $\|T\|_{\W_n}\gee C\sqrt n.$ В частности, $ \|T\|_{\W_\infty}=+\infty$ и, следовательно, $\W_\infty(Y^*,X^*) \subsetneqq \L(Y^*,X^*).$ \endproclaim\rm \bigp % \heading{\S9. Пространства без свойства аппроксимации порядка $p:$ случай $ p\lee 1$}\endheading \med % \title {О банаховых пространствах без свойства аппроксимации} %%%% ФА и приложения 1982 выпуск 4 {\eightpoint Если $ X$ --- банахово пространство типа $ p$ и котипа $ q,$ то всякое его $ n$-мерное подпространство $ Cn^{1/p-1/q}$-дополняемо в $ X$ (см. [13]). Шанковский [23] показал, что если $ T(X)=\sup \{ p:\ X \text{ типа } p \}\neq2$ или $ C(X)=\inf \{ q:\ X \text{ котипа } q \}\neq2,$ то в $ X$ есть подпространство без свойства аппроксимации. Таким образом, если всякое подпространство в $ X$ обладает свойством аппроксимации, то необходимо $ T(X)=C(X)=2$ и, следовательно, все конечномерные подпространства в $ X$ "хорошо" дополняемы. При этом пространство $ X$ не обязано быть гильбертовым (или изоморфным ему). Примеры таких пространств построены Джонсоном [7]. В связи с примерами Шанковского и Джонсона возникают естественные вопросы: 1){\it если $ T(X)=C(X)=2,$ то верно ли, что всякое подпространство в $ X$ обладает свойством аппроксимации}? \, 2) насколько хорошо могут быть дополняемы конечномерные подпространства пространства без свойства аппроксимации: в частности, {\it существует ли пространство $ X$ без свойства аппроксимации, постоянные $ C$ и $ A$ такие, что всякое $ n$-мерное подпространство в $ X$\, $ C\,\log^A n$-дополняемо}? Эта %заметка параграф посвящен ответам на сформулированные вопросы (отрицательному --- на первый, положительному --- на второй). \med Пример пространства без свойства аппроксимации, обладающего достаточно хорошими конечномерными подпространствами, можно найти, например, среди подпространств пространства $$ Y= \( \sum_n \( \sum_{A\in\Delta_n} l^2_{\ove{\ove A}} \)_{l^{p_n}} \)_{l^2}, $$ где $ \Delta_n$ --- подходящее разбиение множества $ I_n= \{ 2^n+1,\dots , 2^{n+1}\};$ причем $ \ove{\ove{\Delta_n}}\lee C 2^{n/8}.$ Числа $ p_n$ определяются из соотношений $ 1/p_n-1/2=n^{-1}\log_a n^{1+\e}$ $ (\e>0, a= \root{8}\of{2}).$ Ясно, что $ T(Y)=C(Y)=2.$ Пусть $ I_n= \{ 2^n+1,\dots , 2^{n+1}\};$ $ \{ e_k\}_1^\infty$ --- стандартный базис в $ c_0;$ $ \{ e'_k\}_1^\infty$ --- набор соответствующих координатных функционалов. Пусть, далее, $ z_i=e_{2i}-e_{2i+1}+e_{4i}+e_{4i+1}+e_{4i+2}+e_{4i+3}$ и $ z_i'= 2^{-1}(e'_{2i}-e'_{2i+1}).$ Обозначим через $ W$ линейную оболочку множества $ \{ z_i\}$ и определим пространство $ X_\e$ как замыкание в $ Y$ линейного подпространства $ W.$ } \proclaim {\bf Теорема 9.1}\it Пространство $ X_\e$ не обладает свойством аппроксимации. Суще\-ст\-ву\-ет такая постоянная $ C_\e>0,$ что если $ E$ --- $ n$-мерное подпространство в $ X_\e,$ то 1) $ d(E, l^2_n)\lee C_\e \log^{1+\e} n$ и 2) $E\ C_\e\log^{1+\e} n$-дополняемо в $ Y$ (и, значит, в $ X_\e$). \endproclaim\rm {\eightpoint Если определить $ \{p_n\}$ из соотношений $ p_n^{-1}-2^{-1}=n^{-1}\, \log_an^{1+\e_n},$ где $ \e_n\to 0$ и ряд $ \sum n^{-1-\e_n}$ сходится, то те же рассуждения показывают, что {\it существует такое банахово пространство $ X$ без свойства аппроксимации, что если $ \e>0$ и $ E$ --- $ n$-мерное подпространство в $ X,$ то существует такой проектор $ P$ из $ X$ на $ E,$ что $ \gamma_2(P)\lee C_\e\,\log^{1+\e} n.$ } %В частности, можно взять для любого $ \delta>0$ \, %$ n^{\e_n}= (\log n)(\log\log n)\dots (\log^{1+\delta} \log\dots\log n).$ Естественно, возникает вопрос: существует ли банахово пространство без свойства аппроксимации, в котором все $ n$-мерные подпространства $ C\log n$-дополняемы? $ C\log n$-евклидовы? } \med %%% \title {Исчезновение тензорных элементов в шкале % $ p$-ядерных операторов} %%%% Теория операторов и теория функций 1 {\eightpoint Пример Джонсона [7] показывает, что существует банахово пространство, не изоморфное гильбертову, такое, что все его подпространства обладают свойством аппроксимации Гротендика. Эквивалентная переформулировка: существует такое банахово пространство $ X,$ что все его подпространства имеют свойство $ \AP,$ но для некоторого набора $ \{ E_n\}$ $ n$-мерных подпространств $ E_n$ в $ X$ относительные проекционные константы $ \la_X(E_n)$ стремятся к $+\infty.$ Отметим, что из конструкции [7] вытекает, что можно найти $ X$ и $ \{ E_n\}$ с указанными свойствами так, чтобы последовательность $ \la_X(E_n)$ стремилась к $ +\infty$ быстрее любой степени $ \log n;$ в то же время, обязательно $ \la_X(E_n)\to+\infty$ медленнее любой степени $ n,$ так как в противном случае метод Шанковского [23] позволил бы обнаружить среди подпространств $ X$ пространство без свойства $ \AP.$ Любопытно было бы найти какую--либо характеризацию банаховых пространств, все подпространства которых обладают свойством $ \AP.$ Заметим лишь, что с помощью конструкции Шанковского из [23] {\it автору удалось найти пример пространства без свойства аппроксимации, в котором всякое $ n$-мерное подпространство $ C_\e\log^{1+\e} n$-дополняемо для любого $ \e>0$} \, (константа $ C_\e$ зависит лишь от $ \e).$\footnote{ Эта теорема была сформулирована выше.} Напомним \definition {\bf Определение 9.2} Пространство $ X$ обладает свойством $ \AP_s$\, $ (X\in\AP_s),$ если для любого $ Y$ естественное отображение из $Y^*\wh\ot_s X$ в $ \L(Y,X)$ взаимно однозначно. \enddefinition Напомним также, что $ \AP_r\implies \AP_s,$ если $ s\lee r\lee1;$ \, $ AP_1$ --- это свойство аппроксимации Гротендика. Далее, $ \S 2,$ \, $ \AP_1\implies \AP_q\ \forall\,q$ и всякое пространство обладает свойством $ \AP_{2}.$ Для любого $ s>2/3$ существует банахово пространство, не обладающее свойством $ \AP_s$ \,(здесь $ s\neq2)$ (ниже будут приведены и некоторые намного более сильные факты). } \proclaim {\bf Теорема 9.3}\it Пусть $ 0\lee r\lee1/2; c>0$ и банахово пространство $ X$ таково, что $ (A_r)$ на любое его конечномерное подпространство $ E$ существует проектор из $ X$ с нормой $ 0$ ответ отрицательный, а также, что в теореме 9.3 показатель $ s$ увеличить нельзя. А именно, справедливы следующие теоремы. } \proclaim {\bf Теорема 9.4}\it Для любого $ s\in[2/3, 1)$ существует банахово пространств $ Z$ со следующими свойствами: $ 1)$ $ Z$ удовлетворяет условию $ (A_r),$ где $ r=1/s-1$ (следовательно, $ Z\in\AP_s);$ $ 2)$ в $ Z$ есть подпространство, не обладающее свойством $ AP_t$ ни при каком $ t>s, t\lee1.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 9.5}\it Пусть $ p\in(2/3,1]$ и $ r=1/p-1.$ Существует банахово пространство $ Z,$ обладающее свойствами: $ 1)$ $ Z\notin \AP_p;$ $ 2)$ для всякого $ \delta>0$ существует такая константа $ c>0,$ что если $ E$ --- конечномерное подпространство в $ Z,$ то $$ \la_Z(E)\lee c (\dim E)^r\,\log^{2+\delta(\dim E)}. $$ В частности, для любого $ s0$ $$ \la_Z(E_n)\,\dim (E_n)^{-r}\,(\log\dim E_n)^{-\al} \underset{n}\rightarrow\infty\to\longrightarrow +\infty. $$ \endproclaim\rm {\eightpoint Теорема 9.3 моментально вытекает из следующей леммы. Эта лемма, представляя самостоятельный интерес, нужна также и при доказательстве теоремы 9.6. } \proclaim {\bf Лемма 9.7}\it Пусть $ c>0, r\in[0,1/2]$ и $ \{ m_n\}_{n=1}^\infty$ --- такая числовая последовательность, что $ m_n\to+\infty$ и если $ E\sbs X$ и $ \dim E\lee m_n,$ то существует конечномерное подпространство $ F\supset E$ и оператор $ p\in X^*\ot F$ такие, что $ P|_E=\id_E$ и $ \|P\|\lee cm_n^r.$ Тогда $ X\in\AP_s,$ где $ s=(r+1)^{-1}.$ В частности, если всякое подпространство в $ X$ размерности $ \lee m_n$ является $ cm^r_n$-дополняемым, то всякое подпространство в $ X$ обладает свойством $ \AP_s.$ \endproclaim\rm \bigp \heading{\S10. Дальнейшие вариации на конечномерную тему: случай $ p=1$}\endheading \med % \title { On non-nuclear operators with nuclear adjoints} %%%% Выдержка из эстонской статьи {\eightpoint Ниже приводятся некоторые дальнейшие результаты, относящиеся к Гротендиковским аппроксимационным условиям в банаховых пространствах. Нас интересуют здесь как качественные, так и количественные аспекты проблем, возникающих в этом направлении. В частности, мы формулируем аналоги основного результата работы [10] для случая пространств со свойством ограниченной аппроксимации Гротендика, так же как и для случая конечномерных операторов. Например, легко видеть, что для n-мерного оператора $\,T\,$ имеет место следующее соотношение между его ядерной и интегральной (по Гротендику) нормами: если $\,\nu (T)=1\,$ то $\,i(T)\ge 1/\sqrt n.\,$ Оказывается, что это соотношение асимптотически точно даже в пространствах со свойством BAP. Если $\,X\,$ --- банахово пространство, то $\,\pi_X:X\to X^{**}\,$ обозначает каноническое вложение. Нам будет удобно говорить, что банахово пространство $\,X\,$ {\it вполне сепарабельно}, если как $\,X\,$ так и все его сопряженные пространства сепарабельны. } % \proclaim {Теорема 10.1}\it Существует вполне сепарабельное сопряженное банахово пространство $\,W\,$ с базисом такое, что для каждого $\,\al\ge 1\,$ на $\,W\,$ можно ввести эквивалентную норму $\,\|\cdot\|_\al,$ с которой пространство $\,W_\al = (W,\|\cdot\|_\al)\,$ обладает следующими свойствами: \roster \item "{(i)}" $\,W_\al\in\al\,$-$\,\operatorname{MAP}\,$; \item "{(ii)}" $\,W_\al\notin\beta\,$-$\,\operatorname{MAP},\ \forall \beta < \al\,$; \item "{(iii)}" для любого $\,\e >0\,$ существует ядерный оператор $\,t\in W^*\widehat \otimes W $ такой, что {\rm a)} $ \operatorname{trace}\, t=1\,$, {\rm b)} $ 1/ \al \le \|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{I}\left(W_\al,W_\al \right)} \le (1+\e)\, 1/ \al, $ {\rm c)} $\,1 \,\le\, \|\,t\,\|_{\,\operatornamewithlimits{N}\left(W_\al,W_\al \right)} \,\le \,(1+\e),\ $ {\rm d)} $\,\|\,t\,\|_{\,\operatornamewithlimits{I}\left(W,W_\al \right)} \,\le \,1+\e, $ {\rm e)}~ $ \|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{N}\left(W,W_\al \right)} \ge c\,\al \ \, $ для некоторой абсолютной постоянной $\,c>0.\,$ \endroster \endproclaim \rm \proclaim {Теорема 10.2} \it Существует сепарабельное сопряженное банахово пространство $\,W$ с базисом и постоянная $\,C>0\,$ такие, что для каждого $\,n\in\Bbb N\,$ найдется эквивалентная норма $\,\|\cdot\|_n\,$ на $\,W\,$ и $n$-мерный оператор $\,t_n:\, W_n\to W_n\,$, где $\,W_n=\,\left(W,\|\cdot\|_n \right),\,$ обладающие следующими свойствами: {\rm (i)} $\,W_n\in\,\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP};\ $ {\rm (ii)} $\,W_n\notin\,C^{-1}\,\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP}; $ {\rm (iii)} $\,\|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{I}\left(W_n,W_n \right)} \le C/\sqrt n; \ $\ {\rm (iv)} $\,\|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{N}\left(W_n,W_n \right)} \ge \operatorname{trace} t_n=1; $ {\rm (v)}~ $\,\|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{I}\left(W,W_n \right)} \le C ;\ $ {\rm (vi)} $\,\|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{N}\left(W,W_n \right)} \ge c\sqrt n\ $ для некоторой абсолютной постоянной $\,c>0.$ \endproclaim \rm \proclaim {Следствие 10.3} \it Если $\,Z\,$ --- такое сепарабельное %банахово пространство, что $\,Z^{**}\in \operatorname{AP}\,$ и $\,Z^{**}/\,Z\notin \operatorname{AP},$ то естественное вложение $\,\pi_Z: Z\to Z^{**}\,$ факторизуется через сепарабельное пространство $\,X\,$ со свойством аппроксимации, не обладающее свойством ограниченной аппроксимации. \endproclaim \rm {\eightpoint (Это, по существу, получается при доказательстве теоремы 10.2). } \proclaim {Следствие 10.4}\it Существуют вполне сепарабельное банахово пространство $\,X,$ $Y\,$ и операторы $\,A\in \operatorname{L}(Y,X),\,$ $\,B\in \operatorname{L}(X,Y^{**})\,$ и $\,T\in \operatorname{L}(Y^{**},Y),\,$ со следующими свойствами: \roster \item "{1)}" $\,X\in \operatorname{AP},\,$ $\,Y^{**}\,$ имеет базис; \item "{2)}" $\,\pi_Y=BA,\,$ $\,\pi_YT=BAT\in \operatorname{N}\left(Y^{**},Y^{**} \right)\,$ \item "{3)}" $\,T\in \operatornamewithlimits{N^{reg}}\left(Y^{**},Y \right),\,$ но $\,T\,$ не лежит в замыкании множества $\,Y^{***}\otimes Y\,$ в $\, \operatornamewithlimits{N^{reg}}\left(Y^{**},Y \right);\,$ \item "{4)}" $\,AT\notin \operatorname{N}\left(Y^{**},X) \right),\,$ но $\,AT\,$ не лежит в замыкании множества $\,Y^{***}\otimes X\,$ в $\, \operatornamewithlimits{N^{reg}}\left(Y^{**},X \right).\,$ \endroster \endproclaim \rm \med %_______________________________________________________________________ \med % \head{\bf III. АППРОКСИМАЦИЯ В $\Pi_p(X,Y)$ И АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА ПОРЯДКА $p:$ случай $ p\gee1.$}\endhead \vskip12pt \heading{\S11. Топологический аспект}\endheading % \title {Аппроксимация операторов в банаховых пространствах} %%%% Калинин 1985 Применен. ФА в т. прибл. \med %\head \S 1. Аппроксимация абсолютно $ p$-суммирующих операторов \endhead {\eightpoint Ниже мы опишем топологию $ \tau_p$ в пространстве $ \Pi_p(Y,X),$ для которой замыкание выпуклых множеств в $ \tau_p$ и в $ {}^*$\!-слабой топологии пространства $ \Pi_p(Y,X)$ совпадают (это ответ на соответствующий вопрос Сафара в [22], с. 385). Затем мы исследуем некоторые свойства пространства $ \Pi_p,$ связанные с этой топологией. } Итак, рассмотрим в пространстве $ \Pi_p(Y,X)$ топологию $ \tau_p$\ $ \pi_p$-компактной сходимости, базу окрестностей нуля в которой определяют множества вида $$ \omega_{K,\e}= \left\{ U\in \Pi_p(Y,X):\ \pi_p(U\Phi_K)<\e\right\}, $$ где $ \e>0,$\, $ K=\ove{\Gamma(K)}$ --- компактное подмножество в $ Y.$ \proclaim {\bf Предложение 11.1}\it Пусть $ \R$ --- линейное подпространство в $ \Pi_p(Y,X),$ содержащее $ Y^*\ot X.$ Тогда $ (\R,\tau_p)'$ изоморфно факторпространству пространства\linebreak $ X^*\wh\ot Y.$ Точнее, если $ \ffi\in (\R, \tau_p)',$ то существует элемент $ z=\sum_1^\infty x'_n\ot y_n\in X^*\wh\ot Y$ такой, что $$ \ffi(U)= \tr\, U\circ z,\ \, U\in \R. \tag$*$ $$ Обратно, для любого $ z\in X^*\wh\ot Y$ формула $ (*)$ определяет линейный непрерывный функционал на $ (\R,\tau_p).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 11.2}\it $ (\R,\tau_p)'=(\R,\sigma)',$ где $ \sigma=\sigma(\R, X^*\wh\ot_{p'} Y).$ Таким образом, замыкания в $ \tau_p$ и в $ \sigma$ выпуклых подмножеств пространства $ \Pi_p(Y, X)$ совпадают. \endproclaim\rm Обозначим через $ X^*\wt\ot_{p'} Y$ замыкание в пространстве $ \I_{p'}(X, Y^{**})$ (сопряженном к $ Y^*\wh{\wh\ot}_p X)$ множества $ X^*\ot Y$ конечномерных операторов. \proclaim {\bf Предложение 11.3}\it Пусть $ A$ --- пересечение единичного шара из сопряженного к $ X^*\wt\ot_{p'} Y$ пространства $ G=G(Y, X^{**})$ с пространством $ Y^*\ot X.$ $ {*}$\!-слабое замыкание множества $ A$ в $ G\cap \Pi_p(Y,X)$ совпадает с замыканием $ A$ в $ (\Pi_p(Y, X), \tau_p).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 11.4}\it В обозначениях предложения $11.3$ замыкание множества $ A$ в $ \tau_p$ совпадает с замыканием $ A$ в пространстве $ \L(Y,X)$ в топологии компактной сходимости. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 11.5}\it Пусть $ C>0$ и $ T\in \Pi_p(Y,X).$ Эквивалентны следующие утверждения: $1)$ существует сеть $ \left\{ T_\al\right\}, T_\al\in Y^*\ot X,$ сходящаяся к $ T$ в топологии $ \tau_p$ и такая, что $ \pi_p(T_\al)\lee C;$ $2)$ существует сеть $ \left\{ T_\al\right\}, T_\al\in Y^*\ot X,$ сходящаяся к $ T$ в топологии компактной сходимости и такая, что $ \pi_p(T_\al)\lee C.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Предложение 11.6}\it Для оператора $ T\in \Pi_p(Y,X), \ove{T(Y)}=X,$ следующие условия равносильны: $1)$ $ T\in \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p};$ $2)$ существует сеть операторов $ R_\al\in Y^*\ot Y$ такая, что $ TR_\al\to T$ в топологии $ \tau_p.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Следующие два предложения дают достаточные (но не необходимые, как мы увидим ниже) условия плотности множества всех конечномерных операторов в пространстве $ \Pi_p(Y,X)$ в топологии $ \tau_p$\ $ \pi_p$-компактной сходимости. } \proclaim {\bf Предложение 11.7}\it %Если $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\pi_p},$ то !!! %$ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$ % --- Так было сформулировано в той статье, что проблематично - % так в случае p=\infty получается вроде бы открытый вопрос % Здесь - более нормальная формулировка: !!! Если $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\pi_p}$ для всякого банахова простра\-н\-ства $ Y,$ то для любого $ Y$\ $ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Предложение 11.8}\it Если каноническое отображение $ j: X^*\wh\ot_{p'} Y\to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно, то $ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Для рефлексивного пространства $ X$ сопряженное к $ X^*\wh\ot_{p'} Y$ пространство совпадает с пространством $ \Pi_p(Y,X).$ Поэтому из 11.2 и 11.8 вытекает } \proclaim {\bf Следствие 11.9}\it Для рефлексивного пространства $ X$ каноническое отображение $ j: X^*\wh\ot_{p'} Y\to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно тогда и только тогда, когда множество конечномерных операторов плотно в пространстве $ \Pi_p(Y,X)$ в топологии $ \tau_p$\ $ \pi_p$-компактной сходимости. \endproclaim\rm {\eightpoint В заключение наших рассуждений на тему аппроксимации абсолютно $ p$-суммирующих операторов приведем утверждение, показывающее, что из существования не аппроксимируемого в топологии $ \tau_p$ абсолютно $ p$-суммирующего оператора вытекает существование не аппроксимируемого (в этой же топологии) квази-$ p$-ядерного оператора (со значениями в том же пространстве). } \proclaim {\bf Предложение 11.10}\it Если существует оператор $ T\in \Pi_p(Y,X)\setminus \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p},$ то существуют рефлексивное пространство $ Z$ и оператор $ U\in\QN_p(Z,X),$ не принадлежащий замыканию $\ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$ \endproclaim\rm \med % \head \S 2. Аппроксимационные свойства банаховых пространств\endhead {\eightpoint Далее в этом параграфе мы фиксируем пространство образов (либо пространство задания) операторов и исследуем условия, при которых возможна аппроксимация конечномерными отображениями всех абсолютно $ p$-суммирующих операторов со значениями в данном пространстве (либо действующих из данного пространства). } \proclaim {\bf Предложение 11.11}\it Для банахова пространства $ X$ равносильны утверждения: $1)$ для всякого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\pi_p};$ $2)$ для всякого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство $ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p};$ $3)$ для всякого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p};$ $4)$ для всякого рефлексивного банахова пространства $ Y$ имеет место равенство $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 11.12}\it Если для любого рефлексивного пространства $ Y$ каноническое отображение $ X^*\wh\ot_{p'} Y \to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно, то для всякого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\pi_p}.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Из следствий 11.9 и 11.12 вытекает } \proclaim {\bf Следствие 11.13}\it Для рефлексивного банахова пространства $ X$ равносильны\linebreak утверждения: $1)$ для %всякого любого пространства $ Y$ каноническое отображение $ X^*\wh\ot_{p'} Y\! \to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно; $2)$ для всякого пространства $ Y$ конечномерные операторы плотны в банаховом пространстве $ \QN_p(Y,X).$ \endproclaim\rm {\eightpoint Следующее утверждение содержит в себе, помимо прочего, частичное обращение предложения 11.8. } \proclaim {\bf Следствие 11.14}\it Для произвольного банахова пространства $ X$ равносильны ут\-вер\-ждения: $1)$ для всякого пространства $ Y$ каноническое отображение $Y^*\wh\ot_p X \to \N_p(Y,X)$ взаимно однозначно; $2)$ для всякого рефлексивного банахова пространства $ Y$ каноническое отображение $Y^*\wh\ot_p X \to \N_p(Y,X)$ взаимно однозначно; $3)$ для всякого (рефлексивного) пространства $ Y$ $ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\tau_{p'}}= \Pi_{p'}(X,Y).$ \endproclaim\rm {\eightpoint Из предыдущего утверждения получается следующее хорошо известное предложение: } \proclaim {\bf Следствие 11.15}\it Если банахово пространство $ X$ обладает свойством аппроксимации (Гротендика), то для любого $ p>1$ и любого пространства $ Y$ каноническое отображение $Y^*\wh\ot_p X \to \N_p(Y,X)$ взаимно однозначно; \endproclaim\rm {\eightpoint Доказанные факты приводят нас к следующему определению, эквивалентному соответствующему определению в [15], [16], [19], так же как и определению, приведенному в начале данной работы. } \definition {\bf Определение 11.16} Пусть $ p\gee 1.$ Банахово пространство $ X$ обладает свойством $ \AP_p$ (свойством аппроксимации порядка $ p$), если всякий абсолютно $ p'$-суммиру\-ю\-щий оператор, действующий из пространства $ X,$ может быть аппроксимирован в топологии $ \pi_p'$-компактной сходимости $ \tau_{p'}$ операторами конечного ранга. \enddefinition {\eightpoint Из предложения 11.7 и следствия 11.14 вытекает } \proclaim {\bf Следствие 11.17}\it Если для любого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство $ \QN_{p'}(X,Y)=\ove{X^*\ot Y}^{\,\pi_{p'}},$ то пространство $ X$ обладает свойством $ \AP_p.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Сформулируем для полноты картины следующее утверждение о характеризации пространств со свойством $ \AP_p$ (доказательство см. в [1]). } \proclaim {\bf Предложение 11.18}\it Банахово пространство $ X$ обладает свойством $ \AP_p$ тогда и только тогда, когда для любого банахова пространства $ Y,$ любого оператора $ T\in \Pi_{p'}(X,Y),$ всякой слабо $ p'$-суммируемой последовательности $ \{ x_k\}$ элементов пространства $ X$ и для любого $ \e>0$ существует такой конечномерный оператор $ R: X\to Y,$ что $ \sum \|Ux_k-Rx_k\|^{p'}<\e.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Как и свойство $ \AP_1$ (обычное свойство аппроксимации Гротендика), свойства $ \AP_p$ весьма полезны при исследовании разного рода вопросов в геометрической теории линейных операторов (например, при описании сопряженных пространств к некоторым пространствам операторов; так, если $ X$ обладает свойством $ \AP_p,$ то $ \N_p(Y,X)^*=\Pi_{p'}(X,Y^{**})$ для всякого пространства $ Y).$ Нам, однако, в заключение рассмотренной серии "положительных результатов" хотелось бы привести один простой факт, справедливый без каких--либо предположений об аппроксимации (см. [22], где аналогичное утверждение доказано в предположении свойства аппроксимации; см. также [8], теорема 4.6, в которой установлен несколько менее общий результат). } \proclaim {\bf Предложение 11.19}\it Пусть $ p\in[1,+\infty).$ Равносильны утверждения: % действительно и при 1?!!! $1)$ банаховы пространства $ X$ и $ Y$ рефлексивны; $2)$ пространство $ \QN_p(X,Y)$ рефлексивно; $3)$ пространство $ \Pi_p(X,Y)$ рефлексивно. \endproclaim\rm \med %Proof !!! ? %\head \S 3. Контрпримеры\endhead {\eightpoint Обратимся теперь к рассмотрению некоторых контрпримеров, связанных с темой этого параграфа (большое число контрпримеров, касающихся свойств $ \AP_p,$ содержится в [15], [16], [19]; многие из них рассматриваются в данной работе). Напомним, что для любого $ p\gee 1$ существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство, не обладающее свойством $ \AP_p.$ Более того, для любого $ p\gee 1$ существует сепарабельное рефлексивное $ E,$ оператор $ R\in \Pi_{p'}(E,E)$ и тензорный элемент $ t\in E^*\wh\ot_p E$ такие, что $ \tr t\circ R=1$ и $ \tr t\circ A=0$ для любого конечномерного оператора $ A\in E^*\ot E$ (за подробностями мы отсылаем читателя к работам [15], [16], [19]). } \proclaim {\bf Предложение 11.20}\it Для любого $ p\in [1,+\infty]$ существует сепарабельное рефлексивное пространство $ E,$ сепарабельное сопряженное пространство $ H$ с базисом такие, что каноническое отображение $ j: H^*\wh\ot_{p'} E\to \N_{p'}(H,E)$ не взаимно однозначно. С другой стороны, так как $ H$ обладает свойством аппроксимации, то $ \QN_p(E,H)=\ove{E^*\ot H}^{\,\pi_p}$ и $ \Pi_p(E,H)= \ove{E^*\ot H}^{\,\tau_p}.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 11.21}\it Для всякого $ p\in[1,+\infty]$ существуют банахово пространство $ Z,$ элемент $ z\in Z^*\wh\ot_{p'} Z$ и оператор $ \Psi\in\Pi_p(Z,Z^{**})$ такие, что $ \tr \Psi\circ z=1,$ но $ \tr \Phi\circ z=0$ для всех $ \Phi\in \Pi_p(Z,Z).$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 11.22} При $ p=+\infty$ получаем ненулевой тензорный элемент $ z\in Z^*\wh\ot_1 Z,$ обращающийся в нуль на подпространстве $ \L(Z,Z)$ пространства $ \L(Z,Z^{**}).$ Это --- ответ на вопрос (устный) шведского математика С.Кайзера, который и обратил мое внимание на возможность существования такого элемента $ z.$ \endremark\medpagebreak Теперь мы покажем, что обращения предложения 11.7 и следствия 11.17 также не верны. } \proclaim {\bf Предложение 11.23}\it Для всякого $ p\in [1,+\infty]$ существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ E,$ сепарабельное сопряженное пространство $ H$ с базисом (и, значит, со свойством $ \AP_{p'}$) такие, что $ \QN_{p}(H,E)\neq \ove{H^*\ot E}^{\,\pi_p};$ с другой стороны, $ \Pi_p(H,E)=\ove{H^*\ot E}^{\,\tau_p}$ {\rm(см. следствие 11.14).} \endproclaim\rm {\eightpoint В заключение приведем следующее, на первый взгляд удивительное, утверждение, которое показывает, грубо говоря, что существуют пространства $ X$ и $ Y,$ для которых замыкание в\linebreak $\(\Pi_p(X,Y^{**}), w^*\)$ множества конечномерных операторов из $X$ в $Y$ минимально: совпадает с $ X^*\wh{\wh\ot}_p Y. $ } \proclaim {\bf Предложение 11.24}\it Для всякого $ p\in [1,+\infty)$ существуют такие банаховы (сепарабельные и рефлексивные) пространства $ X$ и $ Y,$ что $$ \ove{X^*\ot Y}^{\,\tau_p}= X^*\wh{\wh\ot}_p Y. $$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 11.25} По--видимому, не известно, верно ли предложение 11.24 при $ p=+\infty.$ \endremark\medpagebreak } % \med \bigp % \heading{\S12. Пространства без свойств $AP_p, p\gee1$}\endheading %%%% Math. Nachr. 109 -- 1982 % \title {Свойства аппроксимации порядка $ p$ и существование % не $ p$-ядерных операторов с $ p$-ядерными вторыми сопряженными} %% %{\bf Леммы} В этом параграфе мы приведем представляющие и самостоятельный интерес вспомогательные утверждения (они, в частности, используются при установлении всех фактов следующего параграфа). \proclaim {\bf Лемма 12.1}\it $ 1)$ Для каждого $ p<2$ существуют два сепарабельных рефлексивных банаховых пространства $ E,F,$ оператор $ \ove{U}\in\QN_{p'}(E,F)$ и элемент $ z\in F^*\wh\ot_1 E$ такие, что $ \tr z\circ \ove{U}=1$ и $ \tr z\circ \ffi=0$ для каждого $ \ffi\in E^*\ot F.$ $ 2)$ Для каждого $ v>2$ существуют два сепарабельных рефлексивных банаховых пространства $ E,F,$ оператор $ \ove{U}\in\QN_{1}(E,F)$ и элемент $ z\in F^*\wh\ot_м E$ такие, что $ \tr z\circ \ove{U}=1$ и $ \tr z\circ \ffi=0$ для каждого $ \ffi\in E^*\ot F.$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 12.2} В утверждении 1) леммы мы можем найти $ E,F,\ove{U}$ и $ z$ с тем дополнительным свойством, что $ \ove{U}\in \cap_{q>2} \QN_q(E,F).$ \endremark\medpagebreak } \proclaim {\bf Следствие 12.3}\it Для каждого $ r\neq2$ существует квази-$r$-ядерный оператор, не принадлежащий замыканию множества всех конечномерных отображений по $ \pi_r$-норме. Более того, $ 1)$ если $ r>2,$ то существует квази-$r$-ядерный оператор, не принадлежащий замыканию конечномерных относительно обычной операторной нормы (и даже в топологии компактной сходимости!); $ 2)$ существует оператор из $ \QN_1$ (и, таким образом, из $ \QN_r, r<2),$ который не лежит в замыкании множества конечномерных операторов по норме $ \pi_a,$ каково бы ни было $ a\in[1,2).$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 12.4} 1) Из замечания 12.2 следует, что существует оператор $ U\in \cap_{q>2} \QN_q(E,F),$ не лежащий в замыкании множества конечномерных операторов в топологии компактной сходимости. 2) Лемма 12.1 предоставляет примеры (для каждого $ r\neq2)$ $ r$-абсолютно суммирующих отображений (и даже квази-$r$-ядерных), которые не являются $ r$-интегральными (впервые подобного рода примеры были построены в [11]), так же как и примеры квази-$r$-ядерных операторов (для $ r>2),$ не являющихся $ p$-факторизуемыми ни для какого $ p.$ \endremark\medpagebreak } \proclaim {\bf Следствие 12.5}\it Существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство $ Z$ такое, что для каждого $ r\neq2$ естественное отображение $ Z^*\wh\ot_r Z\to \N_r(Z,Z)$ не взаимно однозначно. В частности, для каждого $ r\neq2$ пространство $Z$ не обладает свойством $ \AP_r.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Следствия 12.3 и 12.5 (они --- из работы [16]) в свое время показали, что ответы на ряд старых вопросов Пича, Пелчинского, Сафара и др. отрицательны. } \proclaim {\bf Лемма 12.6}\it $ 1)$ Для каждого $ p<2$ существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ Y,$ сепарабельно пространство $ X$ с базисом (и с сепарабельными сопряженными), оператор $ U\in\QN_{p'}(X,Y)$ и $ \wh{T}\in Y^*\wh\ot_1 X^{**}$ такие, что $ \tr \wh{T}\circ \ffi=0$ для любого $ \ffi\in X^*\ot Y$ и $ \tr \wh{T}\circ U=1.$ $ 2)$ Для каждого $ v>2$ существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ Y,$ сепарабельно пространство $ X$ с базисом, оператор $ U\in\QN_{1}(X,Y)$ и элемент $ \wh{T}\in Y^*\wh\ot_v X^{**}$ такие, что $ \tr \wh{T}\circ U=1$ и $ \tr \wh{T}\circ \ffi=0$ для любого $ \ffi\in X^*\ot Y.$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 12.7} В лемме 12.6 $ X$ обладает свойством $ \MAP,$ а $ X^{**}$ не обладает свойством $ \AP_p$ в случае 1) и свойством $ \AP_v$ в случае 2). \endremark\medpagebreak } %\med \bigp % %{ПРОСТРАНСТВА БЕЗ СВОЙСТВ $AP_p$: } % Где исчезают тензорные элементы? % Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов %\head Где исчезают тензорные элементы? \endhead {\eightpoint Следующая теорема из [19] дополняет и уточняет предыдущие результаты. Для сокращения формулировки теоремы нам удобно ввести такое обозначение: если $ s\lee p,$ то $ j_{sp}$ --- каноническое отображение $ X^*\wh\ot_s Y\to X^*\wh\ot_p Y.$ } \proclaim {\bf Теорема 12.8}\it\, $ А)$ Если $ s\lee1$ и $ p\gee 2s/(2-s),$ то для любых $ X$ и $ Y$ каноническое отображение $ \ffi_{sp}: j_{sp}(X^*\wh\ot_s Y)\to \L(X,Y)$ взаимно однозначно. $ B)$ Если $ s\in[1,2],$ то для любых $ X$ и $ Y$ отображение $ \ffi_{s2}$ взаимно однозначно. $ C)$ Если $ s>2,$ то не существует числа $ p,$ такого, что для всех $ X$ и $ Y$ отображение $ \ffi_{sp}$ взаимно однозначно. $ A')$ $ 1)$ Для любых чисел $ s\in(2/3, 1]$ и $ p<2s/(2-s)$ существуют пространства $ X$ и $ Y,$ такие, что $ \ffi_{sp}$ не является взаимно однозначным. $ 2)$ Если $ r\in[2/3, 1),$ то существует пара пространств $ X,Y,$ таких, что для любого $ s>r$ отображение $ \ffi_{sp}$ взаимно однозначно при $ p>2r/(2-r),$ но не является взаимно однозначным при $ p=2r/(2-r).$ $ B')$ Если $ 1\lee s\lee p<2,$ то существует пара пространств $ X,Y,$ таких, что отображение $ \ffi_{sp}$ не взаимно однозначно. \endproclaim\rm %\med %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \bigp % % \heading{\S13. Нерегулярность идеалов $\N_p:$ случай незамкнутости $\N_p$ в $\N_p^{\reg}$}\endheading %%%% Math. Nachr. 109 -- 1982 % \title {Свойства аппроксимации порядка $ p$ и существование % не $ p$-ядерных операторов с $ p$-ядерными вторыми сопряженными} %% Основная теорема этого параграфа --- теорема из [16] о перенормировке типа Фигеля--Джонсона [4] пространства $ X$ из леммы 12.6 предыдущего параграфа (со свойством метрической аппроксимации), для которого второе сопряженное не об\-ла\-дает свойством $ \AP_p$ (или $ \AP_v$). \proclaim {\bf Теорема 13.1}\it Пусть $ X,Y,U$ --- из леммы $12.6.$ Существует конечномерный оператор $ T_0\in Y^*\ot X,$ для которого справедливы следующие утверждения: $ 1)$ Для любого $ \delta>0$ и для каждого $ p<2$ существует эквивалентная норма на $ X,$ скажем $ |||\cdot|||,$ такая, что если $ X_\delta= (X, |||\cdot|||),$ то $ (i_1)$ $ X_\delta\in \AP;$ $ (ii_1)$ $ \|U\|_{\Pi_{p'}(X_\delta,Y)}\lee 3/2;$ $ (iii_1)$ $ U$ не принадлежит замыканию шара радиуса $ 4/5\,\delta$ пространства $ X^*_{\pi_\infty} Y$ в пространстве $ \L(X_\delta, Y)$ в топологии компактной (или поточечной) сходимости; $ (iv_1)$ $ \|T_0\|_{Y^*\wh\ot_p,X_\delta}\gee 1/2;$ $ (v_1)$ $ \|T_0\|_{\I_1(Y,X^{**})}< \delta.$ $ 2)$ Для любого $ \delta>0$ и для каждого $ v>2$ существует эквивалентная норма на $ X,$ скажем $ |||\cdot|||,$ такая, что если $ X_\delta= (X, |||\cdot|||),$ то $ (i_2)$ $ X_\delta\in \AP;$ $ (ii_2)$ $ \|U\|_{\Pi_1(X_\delta,Y)}\lee 3/2;$ $ (iii_2)$ $ U$ не принадлежит замыканию шара радиуса $ 4/5\,\delta$ пространства $ X^*_{\pi_{v'}} Y$ в пространстве $ \Pi_{v'}(X_\delta, Y)$ в топологии компактной $($или поточечной$)$ сходимости; $ (iv_2)$ $ \|T_0\|_\infty\gee 1/2;$\footnote{Для $ R\in \L(Z_1,Z_2)$ \ $ \|R\|_\infty= \inf \{ \|R_1\|\,\|R_2\|:\ R_1\in\L(Z_1,C(K)),\, R_2\in\L(C(K), Z_2)\}.$ } $ (v_2)$ $ \|T_0\|_{\I_v(Y,X^{**})}< \delta.$ Более того, как в случае $1),$ так и в случае $2)$ норма $ |||\cdot|||,$ дуальная к которой определяется соотношением $ |||x'|||=\|x'\|+A \operatorname{ dist}\, (x',L),$ удовлетворяет всем указанным выше условиям при подходящем выборе числа $ A.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 13.2}\it $ 1)$ Для каждого $ C>0$ и любого $ q>2$ существует сепарабельное пространство $ X$ и сепарабельное рефлексивное пространство $ Y,$ оператор $ U\in \QN_q(X,Y)$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \BAP,$ \,$\pi_q(U)=1$ и $ U$ не является пределом конечномерных операторов $ \ffi,$ с нормами $\|\ffi\| \lee C, $ в топологии компактной сходимости. $ 2)$ Для каждого $ C>0$ и любого $ q>2$ существует сепарабельное пространство $ X$ и сепарабельное рефлексивное пространство $ Y,$ оператор $ U\in \QN_1(X,Y)$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \BAP,$ \,$\pi_1(U)=1$ и $ U$ не является пределом конечномерных операторов $ \ffi,$ с нормами $\pi_q(\ffi) \lee C, $ в топологии компактной сходимости. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 13.3}\it $ 1)$ Для каждого $ \delta>0$ и любого $ p<2$ существует сепарабельное пространство $ X,$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y $ и оператор $ T\in Y^*\ot X$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \BAP,$ $ \|T\|_{\N_p(Y,X)}=1$ и $ \|T\|_{\I_1(Y,X^{**})}<\delta.$ $ 2)$ Для каждого $ \delta>0$ и любого $ p>2$ существует сепарабельное пространство $ X,$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y $ и оператор $ T\in Y^*\ot X$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \BAP,$ $ \|T\|_\infty=1$ и $ \|T\|_{\I_p(Y,X^{**})}<\delta.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 13.4}\it Для каждого $ C>0$ и для любого $ p\gee1, p\neq2$ существует банахово пространство $ X$ со свойством $ C$-$\MAP_p$ такое, что $ X$ не обладает свойством $ C_1$-$\MAP,$ если $ C_12$ существуют сепарабельное пространство $ X$ $($со свойством $\AP),$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$ и оператор $ U\in\QN_q(X,Y)$ такие, что $ (i)$ $ U$ лежит в замыкании множества $ X^*\ot Y$ в $ \QN_q(X,Y)$ в топологии $$ \sigma \( \QN_q(X,Y), Y^*\wh\ot_{q'} X\)$$ $($следовательно, и в топологии компактной сходимости$),$ но $ (ii)$ для всякого $ C<+\infty$ \, $ U$ не является пределом, в топологии компактной сходимости, конечномерных операторов $ \Phi,$ нормы которых $ \|\Phi\|\lee C.$ $ 2)$ Существуют сепарабельное пространство $ X$ $($со свойством $\AP),$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$ и оператор $ U\in\QN_1(X,Y)$ такие, что $ (i)$ $U\in X^*\ot_2 Y$ \,$(очевидно),$ но $ (ii)$ если $q<2,$ то для всякого $ C>0$ \, $ U$ не является пределом, в топологии компактной сходимости, конечномерных операторов $ \Phi,$ для которых $ \pi_q(\Phi)\lee C.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 13.6}\it $ 1)$ Существуют сепарабельное пространство $ X$ $($со свойством $\AP),$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$ и оператор $ T\in\L(X,Y)$ такие, что $ T^{**}\in\N_1(Y,X^{**}),$ но для каждого $ p<2$\ $T\notin \N_p(Y,X);$ более того, существует последовательность $ \{ T_n\}$ в $ Y^*\ot X$ такая, что $ T_n\to T$ по норме, индуцированной из $ \N_1(X,Y^{**}).$ $ 2)$ Существуют сепарабельное пространство $ X$ (со свойством $\AP),$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$ и оператор $ T\in\L(X,Y)$ такие, что для каждого $ p>2$\ $ T^{**}\in\N_p(Y,X^{**}),$ но $T$ не факторизуется ни через какое пространство $ C(K)$ $($следовательно, не лежит в $ \N_r,$ если $ r\in[1, +\infty));$ более того, существует последовательность $ \{ T_n\}$ в $ Y^*\ot X$ такая, что $ T_n\to T$ по любой из норм $ \wt{\nu_p},\, p>2,$ индуцированной из $ \N_p(X,Y^{**}).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 13.7}\it Существует банахово пространство со свойством $ \AP$ $($сле\-до\-ва\-тельно, со свойством $ \AP_p$ для каждого $ p>0),$ не обладающее свойством $ \BAP_p$ ни для какого $p,$ $p\neq2.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 13.8}\it Для каждого $ p\neq2$ существует интегральный по Гротендику, но не интегральный по Пичу оператор. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 13.9}\it Для каждого $ p\neq2$ существует не $ p$-ядерный оператор с $ p$-ядерным вторым сопряженным. \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 13.10}\it Существует оператор, не факторизуемый ни через какое пространство $ C(K),$ второй сопряженный к которому компактно факторизуется через пространство $ c_0.$ \endproclaim\rm {\eightpoint Как следствие мы опять (и подобное будет происходить на протяжении всей статьи) получаем следующий результат Фигеля--Джонсона: существует банахово пространство со свойством $ \AP,$ не обладающее свойством $ \BAP;$ существует не ядерный оператор с ядерным сопряженным. \remark {\bf Замечание 13.11} Так как в лемме 12.1,1), в лемме 12.6,1), в теореме 13.1,1), в следствии 13.2,1)\ $ \ove{U}$ и $ U\in \cap_{q>2} \QN_q$\, (см. замечание 12.2), то мы в теореме 13.5,1) имеем: $ \exists\, X,Y; \,U\in \cap_{q>2} \QN_q $ такие, что $ U$ принадлежит замыканию множества конечномерных отображений в топологии компактной сходимости $ \tau_c,$ но для каждого $ C>0$ \, $ U$ не есть предел в $ \tau_c$ конечномерных операторов $ \ffi,$ нормы которых не превосходят $ C.$ \endremark %\medpagebreak } \bigp % {\it C) НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ ИДЕАЛОВ $\N_p:$ СЛУЧАЙ НЕЗАМКНУТОСТИ % $\N_p$ В $\N_p^{\reg}$:} % Где исчезают $ p$-ядерные операторы? %\head \S 3. Где исчезают $ p$-ядерные операторы? \endhead Следующая теорема из [19] полностью отвечает на вопрос типа "где исчезают $ p$-ядерные операторы?" (подробное обсуждение проблемы можно найти в [19]). \proclaim {\bf Теорема 13.12}\it $ A)$ Пусть $ s\lee1, p=2s/(2-s);$\, $ T\in\L(X,Y).$ Если $ T\in \N_s(X,Y^{**}),$ то $ T\in\N_p(X,Y).$ $ B)$ Пусть $ s\in[1,2].$ Если $ T\in\L(X,Y)$ и $ T\in\N_s(X,Y^{**}),$ то $ T\in\N_2(X,Y).$ $ A')$ $ 1)$ Если $ s\in(2/3,1]$ и $ p<2s/(2-s),$ то существуют пространства $ X,Y$ и оператор $ T\in\L(X,Y)$ такие, что $ T\in\N_s(X,Y^{**}),$ но $ T\notin \N_p(X,Y).$ $ 2)$ Для всякого $ r\in[2/3,1)$ существуют пространства $ X,Y$ и оператор $ T\in\L(X,Y)$ такие, что $ T\in\N_s(X,Y^{**})$ для любого $ s>r,$ но $ T\notin\N_{2r/(2-r)}(X,Y);$ в то же время $ T\in\cap \{ \N_q(X,Y):\ q>2r/(2-r)\}.$ $ B')$ Существуют пространства $ X,Y$ и оператор $ T\in L(X,Y)$ такие, что $ T\in\N_1(X,Y^{**}),$ но $ T\notin\N_p(X,Y)$ при $ p<2.$ $ C')$ Существуют пространства $ X,Y$ и оператор $ T\in L(X,Y)$ такие что $ T\in\N_s(X,Y^{**})$ для любого $ s>2,$ но $ T\notin\N_\infty(X,Y).$ \endproclaim\rm \remark {\bf Замечание 13.13} В утверждениях $ A'),\,1)-2)$ и в $B'), C') $\ существует последовательность $ \{ T_n\}$ в $ Y^*\ot X$ такая, что $ T_n\to T$ по норме, индуцированной соответственно из $\N_s(X,Y^{**}),\, \N_1(X,Y^{**}).$ \endremark\medpagebreak \proclaim {\bf Следствие 13.14}\it При $ p>2/3, p\neq 2,$ идеал $ \N_p$ не является регулярным. \endproclaim\rm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % из CompR2.tex \proclaim {\bf Теорема 13.15}\it Пусть $ s\gee 1.$ Предположим, что каноническое отображение $ X^*\otimes_s Y^{****}\to \L(X, Y^{****})$ взаимно однозначно или $ Y^{***}\in \AP_1.$ Тогда имеет место включение $ \N_s^{\reg}(X,Y)\subset \N_s(X,Y).$ В частности, это верно, если $ X^*\in \AP_1$ или $ Y^{****}\in \AP_s.$ \endproclaim\rm \remark {\bf Замечание 13.16} Приводимая ниже теорема 14.1 показывает, что аппроксимационные условия в теореме 13.15 существенны. \endremark %\medpagebreak \bigp % \heading{\S14. Нерегулярность идеалов $\N_p:$ случай замкнутости $\N_p$ в $\N_p^{\reg}$}\endheading \med Перед тем как сформулировать центральные результаты этого параграфа, отметим, что при доказательстве нижеследующей теоремы получается тот факт, что соответствующие пространства $ \N_p$ являются собственными {\it замкнутыми}\ подпро\-странствами в $ \N_p^{\reg}$ (откуда автоматически вытекает, в частности, снова нерегулярность рассматриваемых операторных идеалов). \proclaim {\bf Теорема 14.1}\it $1)$ Существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ F,$ сепарабельное пространство $ Z,$ $ T\in\L(F,Z)$ и $ U\in \cap_{q>2} \Pi_q(Z^{**},F)$ такие, что $ Z^{**}$ имеет базис, $ U|_Z=0,$ $ \tr UT^{**}=1,$ $ T\in \N_1^{\reg}(F,Z)$ и $ T\notin \N_p(F,Z),$ если $ p<2.$ $2)$ Для каждого $ s>2$ существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ F,$ сепарабельное пространство $ Z,$ $ T\in\L(F,Z)$ и $ U\in \Pi_1(Z^{**},F)$ такие, что $ Z^{**}$ имеет базис, $ U|_Z=0,$ $ \tr UT^{**}=1,$ $ T\in \N_s^{\reg}(F,Z)$ и $ T\notin \N_\infty(F,Z).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 14.2}\it $1)$ Существуют два пространства $ W$ и $ Z$ такие, что $ W$ и $ Z^{**}$ имеют базисы и такие, что $ \N_1^{\reg}(W,Z)\not\sbs \N_p(W,Z)$ для $ p<2.$ $2)$Для каждого $ s>2$ существуют два пространства $ W$ и $ Z$ такие, что $ W$ и $ Z^{**}$ имеют базисы и такие, что $ \N_s^{\reg}(W,Z)\not\sbs \N_\infty(W,Z).$ \endproclaim\rm \remark {\bf Замечание 14.3} Последний результат обобщает основную теорему из [10], полученную для $ p=1.$ \endremark\medpagebreak \proclaim {\bf Следствие 14.4}\it Существует сепарабельное пространство $ V$ такое, что $ V$ име\-ет базис и такое, что: $1)$ для каждого $ p\gee 1, p\neq 2,$ существует $ T\in \L(V,V),$ $ T\notin \N_p(V,V),$ такой, что $ T^{**}$ является $ p$-ядерным; $2)$ существует $ T\in\L(V,V)$ такой, что $ T$ не факторизуется ни через какое пространство $ C(K),$ но $ T^{**}$ факторизуется через пространство $ c_0.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 14.5}\it $1)$ Существуют такие два пространства $ F, Z$ и операторы $ T\in\Pi_0(F,Z),$ $ U\in \bigcap_{p>2} \Pi_p(Z^{**}, F),$ что $ Z^{**}$ имеет базис, $ TU\notin \N_1(Z^{**}, Z),$ но $ T^{**}\in \N_1(Z^{**}, Z^{**}).$ $2)$ Для каждого $ s>2$ существуют два пространства $ F$ и $ Z$ и операторы $ T\in \Pi_s(F, Z),$ $ U\in \Pi_0(Z^{**}, F)$ такие, что $ Z^{**}$ имеет базис, $ TU\notin \N_1(Z^{**}, F),$ но $ T^{**}U\in \N_1(Z^{**}, Z^{**}).$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 14.6}\it Для каждого $ r>2$ существуют пространства $ F,$ $ G$ и $ Z$ и операторы $ T\in \N_r(F, G)$ и $ U\in\N^{\reg}_1(G, Z)$ такие, что $ F,$ $ G,$ $ Z^{**}$ имеют базисы и $ UT\notin \N_p(F,Z),$ если $ p<2.$ В частности, $ \I_1\circ\I_r\not\sbs \cup_{p<2}\N_p;$ если $ q<2$ и $ 1/r+1/s=1/q\lee 1,$ то $ \I_s\circ\Pi_r\not\sbs \N_q$ $(\I_p$ {\rm --- идеал $ p$-интегральных операторов).} \endproclaim\rm \remark {\bf Замечание 14.7} Если $ 1/r+1/s=1/q\lee 1$ и $ 12$ }\endheading %\head Плохие квази-$q$-ядерные операторы %\endhead {\eightpoint Если $ U\in\Pi_{p'},$ то на всяком $ n$-мерном подпространстве области определения оператора $ U$ его можно отождествить с таким конечномерным оператором $ \Phi,$ что $ \pi_{p'}\lee n^{1/2-1/{p'}}\pi_{p'}(U).$ Что можно сказать о точности этого результата? } \proclaim {\bf Теорема 15.1}\it Для любых $ q>2$ и $ \e>0$ существуют пространства $ E,F$ и оператор $ U\in\QN_q(E,F),$ такие, что $ 1)$ $E=\cup_1^\infty E_n,$\, где $ E1\sbs E_2\sbs \dots;$\, $ \dim E_n\lee n;$ $ 2)$ существует $ C>0$ такое, что если $ \Phi\in E^*\ot F$ и $ \Phi|_{E_n}= U|_{E_n},$ то $ \pi_q(\Phi)\gee Cn^{1/2-1/q-\e}\pi_q(U).$ \endproclaim\rm {\eightpoint Таким образом, в степенной шкале сформулированный выше результат является точным. В теореме 15.1 (таково ее доказательство в [19]), однако, оба пространства $ E$ и $ F$ не обладают свойством аппроксимации, а оператор $ U$ не принадлежит замыканию конечномерных операторов в топологии $ \tau_c$ компактной сходимости. Можно ли найти оператор $ U$ из $ \QN_q$ (для $ Q>2),$ также обладающий "экстремальным" свойством 2), но аппроксимируемый в $ \tau_c$ операторами конечного ранга? Оказывается, можно, но подпространства $ E_n$ из 1) в этом случае (у нас) уже не расположены в $ E$ так же хорошо, как в теореме 1 (см. ниже теорему 2). Наиболее прозрачна ситуация при $ q=+\infty,$ т.е. $ \pi_q=\|\cdot\|.$ В этом случае наш второй вопрос выглядит так. Пусть $ T\in\L(X,Y).$ Поскольку на всякое $ n$ -мерное подпространств $ H$ в $ X$ есть проектор с нормой не выше $ N^{1/2},$ то на $ H$ оператор $ T$ можно отождествить с некоторым оператором $ \Phi\in X^*\ot Y,$\, $ \|\Phi\|\lee n^{1/2}\|T\|.$ Предположим, что оператор $ T$ "обладает свойством аппроксимации", т.е. $ T\in \ove{X^*\ot Y}^{\,\tau_c},$ но "не обладает свойством ограниченной аппроксимации", т.е. нет такой постоянной $ c>0,$ что на всяком конечномерном подпространстве в $ X$ оператор $ T$ совпадает с некоторым $ \Phi\in X^*\ot Y,$ $ \|\Phi\|\lee c.$ Насколько плохим может быть этот оператор с количественной точки зрения? Верно ли, что, вообще говоря, на $ n$-мерных подпространствах он не может быть приближен конечномерными операторами, нормы которых существенно меньше $ n^{1/2}\|T\|?$\footnote{На $ n$-мерных вне зависимости от $ n$!!! 06.02.00 0:46:58 Sat} Следующая теорема показывает, что такие операторы есть. } \proclaim {\bf Теорема 15.2}\it Для всяких $ q>2$ и $ \e>0$ существуют пространства $ E,F$ и оператор $ U\in\QN_q(E,F)$ такие, что $ 1)$ $ E$ обладает свойством аппроксимации; $ 2)$ в $ E$ содержится набор $ \{ E_n\}$ подпространств таких. что $ a)$ $ \dim E_n\lee n;$ $ b)$ если $ \Phi\in E^*\ot F$ и $ \Phi|_{E_n}=U|_{E_n},$ то $ \pi_q(\Phi)\gee Cn^{1/2-1/q-\e},$ где константа $ C>0$ зависит только от $ q,\e.$ \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 15.3} %!!! в статье немого по-другому. На самом деле при доказательстве теоремы получается, что в утверждении в 2б) имеет место неравенство $ \|\Phi\|\gee cn^{1/2-1/q-\e}$ для всякого конечномерного $ \Phi$ такого, что $ \Phi|_{E_n}=U|_{E_n}.$ Кроме того, при $ q=+\infty$ можно взять $ E=F$ и $ U=\id_E.$ \endremark\medpagebreak } \bigp %%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 \heading{\S16. Пример: пространство Харди $H^\infty$}\endheading Неизвестно, обладает ли пространство Харди $ H^\infty$ свойством аппроксимации, Однако, можно показать, что для каждого $ p\neq1$ \, $ H^\infty$ обладает аппроксимационным свойством $ \AP_p,$ и, более того, что $ H^\infty$ удовлетворяет условию аппроксимации "с точностью до логарифма" (см. теорему 16.5). Напомним еще раз, что банахово пространство $ X$ имеет свойство $ \AP_p,$ если каноническое отображение $ Y^*\wh\ot_p X\to \N_p(Y,X)$ взаимно однозначно. Если $ p\gee 1,$ то $ X$ имеет свойство $C$-$\MAP_p,$ если для каждого $ Y$ каноническое отображение $ Y^*\wh\ot_p X\to \I_p(Y,X^{**})$ есть $ C$-изометричное вложение. \proclaim {\bf Теорема 16.1}\it Пространство $ H^\infty$ обладает свойством $ \AP_p$ для всякого $ p>0, p\neq1.$ Более того, если $ p>1,$ то $ H^\infty$ и все его четные сопряженные имеют свойство $1$-$\MAP_p;$ если $ p<1,$ то все сопряженные к $ H^\infty$ пространства имеют свойство $ \AP_p.$ \endproclaim\rm Теорема 16.1 является непосредственным следствием следующих трех утверждений. \proclaim {\bf Теорема 16.2}\it Пусть $ p>1$ и $ X$ --- такое банахово пространство, что $ \Pi_{p'}(X,Z)$ $=\I_{'}p(X,Z)$ как множества для каждого (рефлексивного) банахова пространства $ Z.$ Тогда $ X$ и все его четные сопряженные обладают свойством $1$-$\MAP_p.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 16.3} \rm (ср. [19]). \it Если $ p\in[1,2]$ и $ X$ имеет свойство $ \AP_p,$ то $ X$ обладает также свойством $ \AP_s,$ где $ 1/p+1/s=2.$ Таким образом, если $ X$ имеет свойство $ \AP_p$ для каждого $ p>1,$ то $ X$ имеет свойство $ \AP_p$ для всех $ p>0, p\neq1.$ \endproclaim\rm Из теорем 16.2 и 16.3 вытекает \proclaim {\bf Следствие 16.4}\it Пусть $ p>1$ и $ X$ --- такое банахово пространство, что для каждого $($рефлексивного$)$ банахова пространства $ Z$ \ %имеет место равенство $ \Pi_{p'}(X,Z)=\I_{p'}(X,Z).$ Если $ 1/s+1/p=2,$ то пространство $ X,$ так же как и все его сопряженные, обладают свойством $ \AP_s.$ \endproclaim\rm \proclaim {\bf Теорема 16.5} \it Существует такая функция $ B(\e),$ \,$\e>0,$ что если $ (x_j)_{j=2}^\infty$ --- последовательность в $ H^\infty,$ удовлетворяющая соотношениям $$ \|x_j\|\le \frac1{\log j}, \ j=2,3,\dots, $$ то существует такой оператор $ T: H^\infty\to H^\infty,$ что $ 1)$ \, $\sup_j \|Tx_j-x_j\|<\e, $ $ 21)$\, $ \operatorname{ rank} T< B(\e),$ $ 3)$\, $ \|T\|< B(\e).$ \endproclaim\rm \bigp % \med %%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 \head{\bf IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ p-ЯДЕРНЫХ И ДРУГИХ НОРМ ПО ПАРАМЕТРУ p}\endhead \vskip12pt % 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\med\med \heading{\S17. Непрерывность $\pi_p$- \, и $\nu_p$-норм} \endheading %\vskip10pt \med \proclaim {\bf Лемма 17.1}\it Если $X, \, Y$ --- банаховы пространства, $T$ --- конечномерный оператор из $X $ в $Y, $ и $1\le r\le +\infty,$ то $ \lim_{s \to r} \, \pi_s\,(T)=\pi_r(T).$ \endproclaim \rm \proclaim {\bf Лемма 17.2}\it Пусть $X,Y $ --- банаховы пространства, $r\in [1,+\infty) $ и $T\in \Pi_s(X,Y)$ для всех $ s, s>r.$ Тогда $ \lim_{s \to r\ssize +0} \, \pi_s\,(T)=\pi_r(T).$ В частности, если все нормы $\pi_s\,(T)$ при $s>r$ ограничены одной константой $C>0,$ то $T\in \Pi_r(X,Y)$ и $\pi_r(T) \le C.$ \endproclaim \rm \proclaim {\bf Лемма 17.3}\it Если $X,Y $ --- банаховы пространства, $p\in (1,+\infty] $ и $T$ --- $q$-ядерный оператор из $X$ в $Y$ для некоторого $q\in [1,+\infty), \, q0$, то $$\lim_{q\to p-0} \pi_q\left(T \right) = \pi_p\left(T \right).$$ \endproclaim \rm \proclaim {\bf Лемма 17.5}\it Пусть $\,C\ge1,\,1\le p<+\infty$, \, $X,Y$ --- банаховы пространства и $T$ --- оператор из $X$ в $Y$, для которого выполняется следующее условие: $$\nu_p (T)\le C\sup \left\{\operatorname{trace}UT: U\in Y^*\otimes \,X^{**},\, \pi_{p'}(U)\le 1 \right\}\tag17.1$$ {\rm(оба выражения в $\,(17.1),$ могут принимать и бесконечные значения).} Тогда $$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)\ge C^{-1}\nu_p\,(T). $$ В частности, если $C=1$, {\rm(т.е. если норма $\nu_p (T)$ равна {\it supremum'}у из соотношения $\,(17.1)$),} то $ \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)= \nu_p\,(T).$ \endproclaim \rm \proclaim {\bf Лемма 17.6}\it Пусть $X,Y $ --- банаховы пространства, $p\in [1,+\infty) $ и $T\in \operatorname{ I}_q^{ \operatorname{ Gr}} (X,Y)$ для всех $ q, q>p.$ Тогда $ \lim_{q \to p\ssize +0} \, i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)= i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T).$ В частности, если все нормы $i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)$ при $q>p$ ограничены одной константой $C>0,$ то $T\in \operatorname{ I}_p^{ \operatorname{ Gr}}(X,Y)$ и $i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T) \le C.$ \endproclaim \rm %\med \bigp \heading{\S18. Некоторые следствия} \endheading % %\vskip10pt \med {\eightpoint Приведем некоторые условия, накладываемые на банаховы пространства $X,Y$, при которых имеет место соотношение $(17.1)$. \definition {\bf Пример 18.1 }\rm Если $C>0$ и $Y\in C$-$\operatorname{BAP}\!{_p}$, то $(17.1)$ выполнено с константой $C$ для любого банахова пространства $X$ и любого оператора $T\in \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right).$ \enddefinition В частности, с помощью леммы 17.5 получаются такие следствия: } \proclaim {\bf Следствие 18.2}\it Если $p\ge 1$ и $Y\in \operatorname{MAP}\!{_p}$, то для всякого банахова пространства $X$ семейство норм $\nu_p$ на $\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ непрерывно в точке $p$.\newline \roster \runinitem "{}" Таким образом, \item "{\phantom{vv}(i)}" семейство норм $\nu_p$ непрерывно в точке $2;$ \endroster\roster \runinitem "{\phantom{vv}(ii)}" если $Y\in \operatorname{MAP}$, то для всякого банахова пространства $X$ семейство норм $\nu_p$ на $\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ непрерывно в любой точке $p,\, p\ge 1$. \endroster \endproclaim \rm % \proclaim {\bf Следствие 18.3}\it Пусть $С\ge 1, \,p\ge 1$, \,и \, $Y$ --- банахово пространство. Если существуют такие банахово пространство $X$ и оператор $T\in \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right)$, что $$\lim_{p+0}\nu_q(T)p}$ \, огра\-ни\-че\-но, то $T\notin \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right)$; в частности, если $\left\{\nu_q(T) \right\}_{q>p}$ \, ограничено, то из $p$-ядер\-но\-с\-ти оператора $T^{**}$ \, вытекает $p$-ядерность оператора $T. $ \endproclaim \rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание 18.6} \rm Еще раз подчеркнем тонкость рассматриваемых аппроксимационных условий и связанных с ними рассуждений и утверждений на примере "предельного перехода в следствии 18.3. В этом следствии чем хуже "$p$-ядерность" оператора $T$ (точнее, чем больше норма $\nu_p(T)$ при равномерной ограниченности норм $\nu_q(T),\, q>p$), тем более плохим с точки зрения условий ограниченной аппроксимации оказывается пространство $Y$: в такой ситуации константе $C$ позволительно расти с ростом $\nu_p(T)$, и "в пределе" естественно ожидать появления такого "следствия" (заранее, чтобы не допустить недоразумений, отметим, что {\it формулируемое "следствие" неверно!} ). \item {} \rm Если существует не $p$-ядерный оператор $T: X\to Y,$ для которого $\sup_{q>p}\,\nu_q(T)<+\infty$, то пространство $Y$ не обладает свойством $\operatorname{BAP}\!{_p}$. \smallskip \noindent Тонкость здесь как раз и состоит в том, что подобный "предельный переход" не допустим, и имеется пример пространства $Y$ с базисом (даже еще более хорошего, --- см. ниже теорему 19.2), для которого первая часть утверждения этого "следствия" \rm в действительности имеет место (это так по-крайней мере для всех $p\in [1,2));$ в \S19 мы рассмотрим только простейший случай $ p=1$). Любопытно также отметить в связи со сказанным, что следствие 18.4 показывает, что если оператор $T$ "совсем плохой" ($T\notin \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}$), то его $q$-ядерные нормы ведут себя как надо, а именно, не ограничены при $q\to p$. \endremark } %%%%%%%%%% Следствие 3.5 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \proclaim {\bf Следствие 18.7}\it Пусть $ X$ и $ Y$ --- такие банаховы пространства, что $ X^*$ обладает свойством Радона--Никодима и либо $ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо $ Y^{***}\in \operatorname{ AP}.$ Пусть, далее, $T\in \operatorname{L}(X,Y)$ и $ 1\le p<+\infty.$ Если $ C:=\sup_{p 2/3;$ \item"(5)" $ C:=\sup_{q>1}\,\nu_q(S)\le1,$ но \item"(6)" $ S\notin N(Z^{**}, Z).$ \endroster \endproclaim\rm %\med \bigpagebreak %%%%%%%%%%%%%% \head{\bf V. ДОбАВЛЕНИЕ: о свойствах $ \AP_{s,\infty}, \, s<1$}\endhead \def\a{\alpha} \def\ot{\otimes} \def\la{\lambda} \def\wh{\widehat} \def\ffi{\varphi} \def\wt{\widetilde} \def\e{\varepsilon} \def\Q{\quad\blacksquare} \def\A{\operatorname{AP}} \def\AP#1{\operatornamewithlimits{AP_#1}} \def\ap[#1#2]{\operatornamewithlimits{AP}_{#1,#2}} \def\APD#1{\operatornamewithlimits{AP^{dual}}_#1} \def\nr[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1,#2}\,}} \def\NR[#1]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1}\,}} \def\n#1{\operatornamewithlimits{N_#1}\,} \def\nd[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1,#2}\,} \def\ND[#1]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1}\,} \def\nu[#1]{\operatornamewithlimits{N}^#1\,} \def\qn#1{\operatornamewithlimits{QN}_#1\,} \def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]} \def\tr{\operatorname{trace}\,} \vskip12pt Для пары пространств $ X,Y$ и числа $ s\in(0,1)$ обозначим через $Y^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X $ линейное пространство, состоящее из тензоров $ z\in Y^*\widehat \otimes _1 \,X$ (проективное тензорное произведение), допускающих представление вида $$ z=\sum_{k=1}^\infty \la_k \,y'_k\otimes x_k \ \text{ где }\ \la_k\searrow,\,\la_k^s=o(1/k),\, \|y'_k\|\,\|x_k\|=1. $$ \definition {Определение V.1} Банахово пространство обладает свойством $\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}},$ где $s\in (0,1),$ если для любого пространства $ Z$ каноническое отображение $Z^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X \to \operatorname{L} \left(Z,X \right)$ взаимно однозначно (иными словами, $Z^*\widehat\otimes _{s,\infty} \,X = \operatornamewithlimits{N_{s,\infty}}\left(Z,X \right);$ должно быть вполне понятно, что из себя представляет операторное пространство справа). \enddefinition {\eightpoint Отметим, что пространство $ X$ обладает свойством $ \operatorname{ AP}_{s,\infty}$ тогда и только тогда, когда взаимно однозначным является каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X \to \operatorname{L} \left(X,X \right);$ в этом случае, $X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X = \operatornamewithlimits{N_{s,\infty}}\left(X,X \right).$ } \proclaim {Теорема V.2}\it \roster \runinitem "{1)}" Пусть $\alpha\in (0,1/2],\, C>0,\,$ и $X$ --- банахово пространство. Если каждое конечномерное подпространство $E$ пространства $X$ $C\,( \operatorname{ dim}E)^\alpha$-дополняемо в $X,$ то $X\in \operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}},$ где $1/s=1+\alpha$. В частности, {\rm (надо взять $\,\alpha =1/2$),} всякое банахово пространство обладает свойством $\operatornamewithlimits{AP_{2/3,\infty}},$ а если $X$ является подпространством или факторпространством некоторого пространства $\operatornamewithlimits{L^p}(\mu),$ где $p\in (1,+\infty)$, $p\ne 2$, то $X\in\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$ \ $(1/s=1+|1/p-1/2|).$ \endroster \roster \runinitem "{\phantom{vv}2)}" Для каждого $s\in [2/3,1)$ существует такое сепарабельное рефлексивное пространство $Y,$ что $Y\in \operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$, но $Y\notin \operatornamewithlimits{AP_{r}}$ каково бы ни было $r\in (s,1]$. \endroster \endproclaim \proclaim {Предложение V.3}\it Пусть $\alpha\in (0,1/2],\, C>0 ,\,$ и $X$ --- банахово пространство. Предположим: что для каждого конечномерного подпространства $E$ пространства $X$ найдется такое конечномерное подпространство $E,\, E\subset F\subset X,\, $ что $F$ $\, C\left(\operatorname{dim}E \right)^\alpha$-дополняемо в $X$. Тогда $X\in\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$, где $1/s=1+\a$. \endproclaim %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \proclaim {Теорема V.4} \it \roster \runinitem "{1)}" \,Пусть $\, s\in \(0,1\). $ Если $\, X^*\in \,\ap[s\infty]\ $ или $\, Y^{***}\in \,\ap[s\infty],\ $ то $\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\).$ В частности, для любых банаховых пространств $X\,$ и $Y\,$ имеем: $\nr[{2/3}\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\left(X,Y\right).$ \endroster \roster \runinitem "{\phantom{vv}2)}" Существует такое банахово пространство $Z,\,$ что\newline \phantom{vvvv} $(i)$ $Z^{**}\,$ имеет базис \ $($\,следовательно, $Z^{**}\in \A);$\newline \phantom{vvvv} $(ii)$ для каждого $\ s\in \(2/3,1\]$ \qquad $\NR[s] \left(Z^{**},Z\right)\not\subset \n1\(Z^{**},Z\).$ \newline Таким образом, аппроксимационные условия, наложенные на $X\,$ и $Y\,$ в $1)$ сущес\-твен\-ны. \endroster \endproclaim \rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание V.5} Совсем нетрудно показать, что $\ \NR[2/3]\subset \n1. $ Действительно, если оператор $ T$ действует из пространства $ E$ в пространство $ Z$ и является $ 2/3$-ядерным как оператор из $ E$ в $ Z^{**},$ то по самому определению $ 2/3$-ядерного оператора, ``расщепляя" коэффициенты его разложения в тензорный ряд на пары соответствующим образом подобранных множителей, мы можем разложить сам оператор $ T$ в произведение: $$ \gather T:\ E @>\ \, A\ \,>> c_0 @>\ \Delta_1\ >> l^1 @>\ \,j\ \,>> l^2 @>\ \Delta_2\ >> l^1 @>\ B\ >> Z^{**} \\ \endgather $$ где $ \Delta_j$ --- диагональные операторы (таким образом, $ \Delta_1$ --- ядерный), а остальные операторы непрерывны. Спроектировав ортогонально в $ l^2$ на замыкание образа оператора $ j\,\Delta_1\,A,$ и рассмотрев $ B$ только на этой проекции, мы получим в совокупности все тот же оператор $ T:E\to Z;$ этот простой трюк показывает, что $ T$ --- ядерный из $ E$ в $ Z.$ В данный момент у меня нет никакой идеи, как примерно подобным способом непосредственно можно получить соответствующий результат из последней теоремы (то есть, для $\nr[{2/3}\infty] $). \endremark } % \proclaim {Следствие V.6} \it Пусть $X$ --- такое рефлексивное банахово пространство, что каждое $n$-мерное подпространство в $X$ $\,Cn^\alpha$-дополняемо в $X$ \,$($здесь $C>0, \alpha \in (0,1/2) \,$ --- некоторые постоянные, $\,n=1,2,\dotso ).$ Тогда для любого банахова пространства $Y$ $$\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\).$$ где $\,1/s=1+\alpha$. \par В частности, если $\,X\subset L^p(\mu), 12/3,$ но $A\notin \n1 \(Z^{**},Z\).$ \endproclaim \rm \proclaim {Теорема V.10} \it Для всякого $s\in \[2/3,1\) $ существует такое сепарабельное банахово пространство $Z,$ что \roster \item "{(i)}" $Z^{**}$ имеет базис; \item "{(ii)}" все пространства $Z, Z^*, Z^{**},\dotso$ обладают свойством $\AP s$; \item "{(iii)}" $Z^{***}$ не обладает свойством $\AP r,$ каково бы ни было $r\in \(s,1\]$; \item "{(iv)}" для всякого банахова пространства $X$ $$\nr[s\infty] \(X,Z\) \subset \n1\(X,Z\) \quad \text{и}\quad \nr[s\infty] \(Z^{**},X\) \subset \n1\(Z^{**},X\);$$ \item "{(v)}" для каждого $\ r\in \(s,1\]$ \quad $\NR[r] \(Z^{**},Z\) \not\subset \n1\(Z^{**},Z\).$ %{\roster \item "{ }" %\item "{ }" Более того, существует такой оператор $U: Z^{**} \to Z, $ что $U\in \NR[r]\(Z^{**},Z \)$ для всех $\ r\in \(s,1\],$ но $U\notin \n1\(Z^{**},Z\).$ %\endroster} \endroster \endproclaim \rm {\eightpoint Рассмотрим теперь вопрос о том, что можно получить в утверждениях наших теорем, если полностью отказаться от каких-либо аппроксимационных предположений относительно рассматриваемых пространств (как, например, в случае $ s=2/3$ из теоремы V.4,1) - хотя там неявно подобные условия присутствуют, ведь каждое банахово пространство обладает свойством $ \ap[2/3,\infty]$). Сначала посмотрим, как будет выглядеть в этой ситуации часть 1) теоремы V.4. Предварительно сформулируем одно вспомогательное предложение, которое, по существу, доказано в [19] (теорема 2,1,А). Нам удобно %будет обозначить каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y \to X^*\widehat \otimes _p \,Y$ через $\varphi ^{\infty}_{sp},$ а каноническое отображение $X^*\widehat \otimes _p \,Y \to \operatorname{L} \(X,Y\) $ --- через $j_p.$ } \proclaim {Предложение V.11}\it Если $s\le 1$ и $p\ge 2s/(2-s),$ то отображение $$j_p:\, \varphi ^{\infty}_{sp}\(X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y\) \to \operatorname{L} \(X,Y\) $$ является взаимно однозначным. \endproclaim \rm {\eightpoint Приведем теперь усиление теоремы 3.1.A) из [19], где было показано, что в условиях предложения V.11 имеет место включение $\NR[s] \(X,Y\) \subset \n p\(X,Y\) $. Доказательство, однако, не столь элементарно, как в [19]. } \proclaim {Теорема V.12} \it Если $2/3\le s<1$ и $p=2s/(2-s),$ то $\nr[s\infty] \(X,Y\) \subset \n p\(X,Y\), $ каковы бы ни были банаховы пространства $X$ и $Y$. \endproclaim \rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание V.13} Утверждение $\text{A}'$ теоремы 3.1 из [19] показывает, что наша теорема V.12 точна. Аналогичное замечание можно отнести и к предложению V.11. Следующий факт, однако, намного сильнее, чем часть $\text{A}'$ теоремы 3.1 из [19], в которой установлено существование двух банаховых пространств $X$ и $Y,$ для которых, в частности, $\NR[s] \(X,Y\)\not\subset \n p \(X,Y\)$ и $Y\in \A$. Под впечатлением неверного результата А.Гротендика, о котором шла речь выше, %(см. начало заметки --- до определения 1), я написал в замечании к теореме 3.1 в [19], что $ Y$ ``конечно, не обладает свойством ограниченной аппроксимации" $\operatorname{BAP}$. Сейчас мы увидим, что последняя фраза была лишена оснований. \endremark } \proclaim {Теорема V.14}\it Пусть $r\in [2/3,1)$ и $1/r=1/2+1/p.$ Существуют два сепарабельных банаховых пространства $Z$ и $W$ такие, что \roster \item "{(i)}" $W$ и $Z^{**}$ имеют базисы; \item "{(ii)}" как $W,$ так и все сопряженные к нему пространства $ W',W'',\dots\,$ обладают свойством $\ap[r\infty]$; \item "{(iii)}" $W^*$ не обладает свойством $\AP s$ ни при каком $s \in (r,1]$; \item "{(iv)}" для любого банахова пространства $\ E$ \quad $\nr[r\infty]\(W,E\)\subset \n1\(W,E\)$; \item "{(v)}" $\NR[s]\(W,Z\)\not\subset \n p \(W,Z\),$ каково бы ни было $s\in (r,1]$. \endroster \endproclaim \rm {\eightpoint Из (i) и (v) предыдущей теоремы моментально вытекает } \proclaim {\bf Следствие V.15}\it Существует пара сепарабельных банаховых пространств $ Z$ и $ W$ со следующими свойствами. Пространства $ Z^{**}$ и $ W$ имеют базисы (и, следовательно, обладают свойством аппроксимации), и для каждого $ p, 1\le p<2,\,$ найдется не $ p$-ядерный оператор из $ W$ в $ Z$ с $ p$-ядерным вторым сопряженным. \endproclaim\rm {\eightpoint \remark {\bf Замечание V.16} Подобного феномена не может быть, если либо $ W^*,$ либо $ Z^{***}$ обладает свойством аппроксимации. Вскользь об этом уже упоминалось выше (частный случай сформулирован в теореме V.8). Что касается случая $ p>2,$ то его мы здесь не рассматриваем. \endremark \bigp } % \head{\bf VI. ДВЕ НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ}\endhead \vskip12pt Уже более двадцати лет открытыми остаются ответы на следующие проблемы. \small 1). Предположим, что $ X$ --- такое банахово пространство, что $ X^*$ обладает свойством аппроксимации. Верно ли, что пространство $ X^*$ обладает свойством ограниченной аппроксимации? \small 2). Пусть оператор $ T,$ действующий из банахова пространства $ X$ в банахово пространство $ Y,$ таков, что его второй сопряженный $ T^{**}$ факторизуется через некоторое пространство $ l_p,$ где $ 1