%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%    Material bez dokazatel'stv ob approksimatsii
%%%%           08.06.00 04:35:37 Thu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%% поиск вопросов и добавок по !!!
%
%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
% \Monograph
% \input trtrtrtr.tex
\magnification=\magstep1
\parindent=1em %%%% razmer dvojnogo tire; "9" imeet polovinu em
         %\vsize=7.4in   %%%% 1in = 2.54
     \baselineskip=18pt      %%%%% rasstojanie mezhdu strokami

\hsize=16 true cm
\vsize=24 true cm
%\mathsurround=3pt
            %\pagewidth{11.5 true cm}
            %\pageheight{17.00 true cm}
            %\tenpoint

\def\nor#1{||{#1}||} % norma         - gde-to byli nuzhny troe etikh
\def\md#1{|{#1}|}    % modul'
\def\sp#1#2{\(#1,#2\)}           % skaljarnoe proizvedenie
\def\ove#1{\overline{#1}}    % normal'noe kompl. soprjazhenie i cherta nad
\def\ovs#1#2{\overset{#1}\to{#2}}
     \def\({\left(}       \def\al{\alpha}           \def\lee{\leqslant}
     \def\){\right)}      \def\e{\varepsilon}    \def\gee{\geqslant}
     \def\[{\left[}       \def\la{\lambda}
     \def\]{\right]}      \def\ffi{\varphi}
                          \define\be{\beta}

                                      \def\ot{\otimes}
     \def\<{\langle}                 \def\wh{\widehat}
     \def\>{\rangle}                 \def\wt{\widetilde}
               \def\sbs{\subset}
\def\tr{\operatorname{trace}\,}

  %%%%%%%%%%%%% after 30.01.00 02:44:40 Sat:
\def\Gr{\operatorname{Gr}}
\def\AP{\operatorname{AP}}
\def\BAP{\operatorname{BAP}}
\def\MAP{\operatorname{MAP}}
\def\CAP{\operatorname{CAP}}
\def\N{\operatorname{N}}
\def\I{\operatorname{I}}
\def\K{\operatorname{K}}
\def\id{\operatorname{id}}
\def\L{\operatorname{L}}
\def\QN{\operatorname{QN}}
\def\RN{\operatorname{RN}}
\def\J{\operatorname{J}}
\def\R{\operatorname{R}}
\def\W{\operatorname{W}}
\def\WK{\operatorname{WK}}
\def\Var{\operatorname{Var}}
\def\reg{\operatorname{reg}}
\def\dual{\operatorname{dual}}
           \def\sbs{\subset}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

                                    \def\med{\medpagebreak}
  \def\QQ{$\quad\blacksquare$}      \def\small{\smallpagebreak}
  \def\Q{\quad\blacksquare}         \def\bigp{\bigpagebreak}

 \def\f{\vec}
%\define\shod#1{\underset#1\rightarrow\infty\to\longrightarrow}

\CenteredTagsOnSplits                        \NoBlackBoxes

%\,

\NoRunningHeads
\pageno=1
\footline={\hss\tenrm\folio\hss} % tsentrirovat', shrift, \folio est'
                                 % abbreviatura dlja
    % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi

        \topmatter
        \title {
Экскурс в теорию аппроксимации операторов в операторных идеалах
}
        \endtitle
              \author { О.И.Рейнов${{ }^\dag}$}  \endauthor

%\address\newline
%Oleg I. Reinov \newline
%Department of Mathematics\newline
%St Petersburg University\newline
%St Peterhof, Bibliotech pl 2\newline
%198904  St Petersburg, Russia
%\endaddress

%\email
%orein\@orein.usr.pu.ru
%\endemail

\thanks
%${{ }^\dag}$This work was done with partial support of the Ministry of the
%general and professional education of Russia (Grant 97-0-1.7-36) and
%FCP ``Integracija", reg. No. 326.53.
${{ }^\dag}$ Работа выполнена при  частичной поддержке  Министерства
общего и профессионального образования России (грант номер 97-0-1.7-36)
и ФЦП ``Интеграция", рег. номер 326.53.
\endthanks

%                          \tenrm
%\address\newline
%198904, Санкт--Петербург,\newline
%Петродворец, Библиотечная пл., 2\newline
%Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
%математико--механический факультет,\newline
%\endaddress
%
%\email
%%                          \tenrm
%orein\@orein.usr.pu.ru
%\endemail

\address\newline
Oleg I. Reinov \newline
Department of Mathematics\newline
St Petersburg University\newline
St Peterhof, Bibliotechnaya pl. 2\newline
198904  St Petersburg, Russia
\endaddress

\email
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail


\abstract\nofrills       %%%% \nofrills unichtozhaet "Abstract."
               %           \tenrm
\endabstract
    \endtopmatter
   %==========================================

\document
  %==========================================
%\footnote""{${ }^\ddag$
%AMS Subject Classification:  47B10. Hilbert--Schmidt operators,
%trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc.
%}
%\footnote""{${ }$
%Key words: $p$-nuclear operators, dual ideal, bases,
%approximation properties, tensor products.
%}

%%%%%    1                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\head{\bf I. НЕКОТОРЫЕ ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ}\endhead
\vskip12pt

\heading{\S1. Основные определения и обозначения}\endheading
\med

Все рассматриваемые нами пространства $X,\,Y,\,Z,\dotso$ --- банаховы.
Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными
буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$.
Обычно мы считаем пространство $X$ канонически вложенным в его
второе сопряженное пространство $X^{**},$ но если возникнет необходимость,
то это естественное изометрическое вложение мы будем обозначать
символом $\pi_X,$\, $\pi_X: X\to X^{**}.$

Через $\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ обозначается пространство всех
(линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой
(вообще, в данной работе под термином "\!оператор" всегда будет пониматься
линейный непрерывный оператор).

Мы используем стандартные обозначения из теории операторных идеалов ---
$\operatorname{\Pi}\!{_p},\, $ $\operatorname{QN}\!{_p},\,$
$\operatorname{N}\!{_p},\, $ $\operatorname{ I}\!{_p}$
--- определения этих классов приводятся ниже (классический справочник по
операторным идеалам --- [12]; отметим, однако, что мы придерживаемся
обозначений, отличающихся от принятых в [12]).

%%%%%% Опр. суммир. оп.   ########################

Пусть \,$p\in(0,\infty].$\  Оператор \,$T,$ действующий из $X$ в $Y,$
называется \ {\it абсолютно $p$-суммирующим,}\ если существуют такая
постоянная $C>0,$ что для любого конечного набора
 \, и $\{x_n\}^M_{n=1} \subset X$  выполняется соотношение
   $$\left( \sum_{n=1}^M \|Tx_n\|^p\right)^{1/p} \le
   C \, \sup_{\|x,\|\le 1} \left(\sum_{n=1}^M \, |<x_n,\,x>|^p\right)^{1/p}
    \tag1.1 $$
(в случае, когда $p=+\infty,$ (1.1) переписывается так:
$ \|Tx\|\le C \, \|x\|, \ x\in X,$ т.е. абсолютно $\infty$-суммирующие
операторы --- это просто все ограниченные линейные отображения).
    Наименьшая из констант $C>0,$ удовлетворяющая указанному условию
(такая всегда существует, если оператор абсолютно $p$-суммирующий)
обозначается через $\pi_p (T).$ Если оператор $T$ не является
абсолютно $p$-суммирующим, то удобно положить  $\pi_p (T)=+\infty.$

    Множество $\operatorname{\Pi}\!{_p} (X,Y)$
всех абсолютно $p$-суммирующих операторов из $X$ в $Y$ при $p>0$ является
линейным пространством, а при $p\ge 1$ --- банаховым пространством с нормой
$\pi_p.$ Более того, в последнем случае класс $\operatorname{\Pi}\!{_p}$
всех абсолютно $p$-суммирующих операторов является банаховым операторным
идеалом (в смысле А.Пича [12]). Отметим, что для показателей
$p,q\in (0,+\infty],p<q,$ имеет место включение
$\operatorname{\Pi}\!{_p} \subset \operatorname{\Pi}\!{_q},$ причем
$ \pi_q\le \pi_p.$

%%%%%%%%  Опр. ядерн.     ########################
Для $p\in[1,\infty]$  оператор $T,$ действующий из $X$ в $Y,$ называется
{\it $p$-ядерным,} если его можно представить в следующем виде:
$$
  Tx= \sum_{k=1}^\infty \,<x,x'_k,>\,y_k \qquad\text{ для $x\in X$},
\tag{1.2}
$$
где последовательности
$\,\{x'_n\}^{\infty}_{n=1}\subset X^* \,$ и $\,\{y_n\}^{\infty}_{n=1}\subset
Y \,$ таковы, что конечна величина
$$
  a:=\, \left(\sum_{k=1}^\infty \,\|x'_k\|^p\right)^{1/p}
    \sup \left\{ \left(\sum_{k=1}^\infty \,|<y_k,y'>|^{p'}\right)^{1/p'}:
     \  y'\in Y^*,\, \|y'\|\le 1\right\}  \tag{1.3}
$$
(напомним, что через $p'$ мы обозначаем сопряженный к $p$ показатель;
в случае, когда один из показателей $\,p,\,p'$ бесконечен, правую часть
соотношения (1.3) надо понимать надлежащим образом).
Множество всех $p$-ядерных операторов из $X$ в $Y$ обозначается через
$\operatorname{N}\!{_p}\,(X,Y),$ а точная нижняя грань $\inf a,$
где инфимум берется по всем представлениям вида (1.2) оператора $T,$ ---
через $\nu_p\,(T).$ Для любого $p\ge 1$ класс $\operatorname{N}\!{_p}$ всех
$p$-ядерных операторов является банаховым операторным идеалом [12]; при
фиксированных пространствах $X,Y$ \ \, $\operatorname{N}\!{_p}\,(X,Y),$
--- банахово пространство с нормой $\nu_p.$ Отметим, что для показателей
$p,q\in [1,+\infty],p<q,$ имеет место включение
$\operatorname{N}\!{_p} \subset \operatorname{N}_q$ с соответствующим
неравенством для норм.
\small

%%%%%%%%% Опр. квази яд.    ########################
Оператор $ T: X\to Y$ является {\it квази-$p$-ядерным,}
$ T\in \operatorname{ QN}\!{_p},$ если для некоторого
изометрического вложения $ i:Y\to L_\infty(\nu)$ суперпозиция
$iT$ принадлежит пространству $ \operatorname{\N}{_p}(X, L_\infty(\nu)).$
Квазинорма (норма при $ p\ge1$) в $ T\in \operatorname{ QN}\!{_p}$
индуцируется из пространства $ \operatorname{\Pi}{_p}(X,Y) .$
Пространство $ T\in \operatorname{ QN}\!{_p}(X,Y)$ всегда является
замкнутым подпространством пространства $ \operatorname{\Pi}{_p}(X,Y) .$

%%%%%%%% Опр. интегр.
Через $\,\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y \right),$ где $\,p\in [1,+\infty],$
обозначается банахово пространство всех {\it $p$-инте\-гральных}
({\it в смысле А.Пича})\ отображений из $\,X\,$ в $\,Y.\,$  Оператор
$ T\in\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y \right),$ если он допускает
факторизацию вида
$$
\CD
X         @>A>>  C(K)  @>j>>   L_p(K,\mu)  @>B>>   Y \\
\endCD, \tag {$1.4$}
$$
где $ K$ --- некоторый компакт, $ \mu$ --- вероятностная мера Радона на нем,
$ j$ --- оператор "тождественного вложения" и $ \|A\|,\,\|B\|$ ---
непрерывные операторы. Норма в пространстве
$\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y \right)$  вводится следующим образом:
$$ i_p(T)=\inf \,\|A\|\,\|B\|.
$$

Если $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$ и
$ T\in \operatorname{I}\!{_p}(X,Y^{**})$ (мы отождествляем каноническим
образом $ Y$ с подпространством в $ Y^{**}$), то мы говорим, что оператор
$ T$ является {\it $ p$-интегральным по Гротендику.}\ Пространство всех
$p$-интегральных по Гротендику операторов из $X$ в $Y$ (с индуцированной
из $\operatorname{I}\!{_p}(X,Y^{**})$ нормой $ i_p^{\operatorname{ Gr}}$)
мы обозначаем через
$\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right).$


%%%%%%%%  Опр. тенз. (ядер.)    ########################
Алгебраическое тензорное произведение  $X\otimes Y$ банаховых пространств
$X,\,Y$ мы естественным образом рассматриваем как множество всех
конечномерных операторов из $X^*$ в $Y$ (или из $Y^*$ в $X$),
$\,weak^*$-$to$-$weak\,$ непрерывных; в частности, $X^*\otimes Y$ --- все
конечномерные операторы из $X$ в $Y$.

На тензорном произведении $X\otimes Y$ мы будем рассматривать ряд тензорных
норм, некоторые из которых индуцируются соответствующими пространствами
операторов, а некоторые --- наоборот сами индуцируют операторные нормы
(все эти нормы, с другими обозначениями, впервые, видимо, рассматривались в
работе [22]; там же введены и некоторые аппроксимационные условия "порядка
$p$", налагаемые на банаховы пространства и связанные, в частности с
аппроксимацией абсолютно $p$-суммирующих операторов конечномерными;
подобного рода условия появятся и у нас ниже).

{\it $p$-проективная тензорная норма}\, $||\cdot||_p$ для
$p\in [1,+\infty]$ определяется на произведении  $X\otimes Y$ следующим
образом:
если $z\in X\otimes Y \,$, то
$$
 ||z||_p :=\ \inf\quad\left(\sum_{k=1}^N\,\|x_k\|^p\right)^{1/p}\!
    \sup_{\|y'\|\le 1}
     \left\{ \left(\sum_{k=1}^N\,|<y_k,y'>|^{p'}\right)^{1/p'}\right\}
\tag1.5
$$
где  $\ 1/p+1/p'=1\ $ и \, infimum \,берется по всевозможным представлениям
тензорного элемента $z$ в пространстве  $X\otimes Y$ в виде
$\,z= \sum_{k=1}^Nx_k\otimes y_k$ \ (формально, формула (1.5) имеет смысл
лишь при конечном показателе $p>1;$ в случаях $p=1\,$ и $\,p=+\infty\,$
в этом определении нужно произвести соответствующие тривиальные изменения,
на которых мы не останавливаемся).

Алгебраическое тензорное произведение пространств $X$ и $Y$, снабженное
нормой $||\cdot||_p$, будет обозначаться через $X\otimes _p \,Y$, а его
пополнение --- через $X\widehat \otimes _p \,Y\ $ (в случае $p=1$
мы получаем проективное тензорное произведение, введенное и детально
изученное А.Гротендиком [5], и играющее огромную роль, в частности,
в теории ядерных пространств и теории аппроксимации линейных операторов).

Нетрудно заметить, что с ростом показателя $p$ тензорные произведения
$X\widehat \otimes _p \,Y$, вообще говоря, "увеличиваются" (кавычки здесь
поставлены преднамеренно; проясняет ситуацию следующее замечание).

\remark {\bf Замечание 1.1}
Каноническое отображение $X\otimes _pY \to\operatorname{L}
\left(X^*,Y \right) $ \, естественным образом продолжается по непрерывности
до оператора из  $\,X\widehat \otimes _p \,Y \,$ в
$\,\operatorname{L}\left(X^*,Y \right) $ \, (который мы также будем называть
каноническим). При этом продолжении, как известно (см., например, [12],
стр.143 и далее, и [15, 16, 19]), может произойти "склеивание" различных
тензорных элементов, превращающее их в один и тот же оператор. Такая
факторизация никогда не происходит лишь в случае $p=2$. Поэтому, например,
естественное отображение
$\,X\widehat \otimes _1 \,Y \,\to \,X\widehat \otimes _2 \,Y \ $  \,
вполне может быть "факторотображением" с нетривиальным ядром; так что не
совсем корректно утверждать, что пространство
$\,X\widehat \otimes _2 \,Y \ $  больше, чем $\,X\widehat \otimes _1 \,Y.$
\endremark

   \smallpagebreak
Каждый тензорный элемент $\,z\in X\widehat \otimes _p \,Y\,$
естественным образом порождает $ p$-яде\-р\-ный оператор из
$\,X^*\,$ в $\,Y,\,$ который мы будем обозначать через $\,\tilde z\,$
(в случае, когда пространство $\,X\,$ сопряжено, т.е. когда $\,X=W^*\,$
для некоторого банахова пространства $\,W\,$, оператор  $\,\tilde z\,$
будет рассматриваться нами, как оператор из $\,W\,$ в $\,Y\,$, что,
конечно же, не приведет к недоразумению).
   \smallpagebreak

%%%%%%%%  Опр. тенз. (квазиядер..)    ########################
Наконец, через $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$ мы обозначаем
замыкание множества конечномерных операторов (или подпространства
$Y^*\otimes X$) в пространстве $\operatorname{\Pi}\!{_{p'}} (Y,X).$
Отметим, что сопряженное к $Y^*\widehat{\widehat \otimes}_{p'}X$
пространство совпадает с $\operatorname{I}\!{_p}\left(X,Y^{**} \right),$
причем двойственность определяется стандартным образом при помощи
следа суперпозиции соответствующих операторов.
\small

Другие факты из теории операторных идеалов, используемые нами без всяких
ссылок, можно найти в цитированной выше литературе.
\bigp

\heading{\S2. Аппроксимационные свойства}\endheading
\med

%%%%%%%%%%   Опред. апрокс. свойств
Пусть $\,C\ge 1,\,p\in[1,+\infty].$ \, Говорят, что банахово пространство
$\,Y\,$ {\it обладает свойством $\,\operatorname{AP}\!{_p}\,$
аппроксимации порядка} $\,p\,$ (коротко --- $\,Y\in\operatorname{AP}\!{_p}$),
если для любого банахова пространства $\,X\,$ каноническое отображение
$\,X^*\widehat \otimes _p \,Y \,\to \,\operatorname{L}\left(X,Y \right)\ $
\, взаимно однозначно (и, следовательно, $X^*\widehat \otimes _p \,Y =
\operatorname{ N}\!{_p}(X,Y)$). Пространство $\,Y\,$ {\it обладает
свойством} $C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$, $\,Y\in $
$C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$, если для любого $\,X\,$ естественное
отображение $\,X^*\widehat \otimes _p \,Y \,\to \,
\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}
\left(X,Y \right)\ $ есть $C$-изометрическое вложение (в данном случае это
означает, что существует непрерывное обратное с нормой не больше $\,C$.
Наконец, $\,Y\,$ {\it имеет свойство} $\,\operatorname{BAP}\!{_p}\,$
(соответственно, {\it свойство} $\,\operatorname{MAP}\!{_p}\,$), если оно
обладает свойством $\,C$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$  для некоторого
числа $\,C\ge 1\,$ (соответственно, свойством
$\,1$-$\operatorname{MAP}\!{_p}$).

Если $\,p=1,\,$ то мы используем общепринятые в этом случае аббревиатуры
$\operatorname{AP},\,$ $C$-$\operatorname{MAP},\,$
$\operatorname{BAP},\,$
$\operatorname{MAP}.\,$

В дальнейшем без дополнительных ссылок мы будем использовать следующие
хорошо известные (и простые) факты:
\ (1) Каждое банахово пространство обладает свойством
$\operatorname{MAP}\!{_2};$
\ (2)  для всякого $\,p\in [1,+\infty]\,\ $
$\operatorname{AP}\, \Rightarrow\operatorname{AP}\!{_p}\,$;
\ (3) для всякого $\,p\in [1,+\infty]\,\ $
$\operatorname{MAP}\, \Rightarrow
\operatorname{MAP}\!{_p}\,$;
\ (4) если $\,X^*\in AP\,$, то $\,X\in AP\,$.

%  Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов
%\head  Некоторые соотношения между свойствами $ \AP_s$ \endhead
\small

Совершенно аналогично определяются аппроксимационные свойства $ \AP_s$
для $ s\in (0,1]$ (подробности можно найти в [19]).

Соберем вместе некоторые известные факты о соотношениях между
свойствами $ \AP_s.$

\proclaim {\bf Предложение 2.1}\it
Пусть $ 1/s-|1/p-1/q|\gee1$ и $ X$ --- банахово пространство типа $ p$
и котипа $ q.$ Тогда $ X\in\AP_s.$ В частности, если $ X\sbs L^p,$ то
$ X\in\AP_s,$ где $ 1/s=1+|1/2-1/p|.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
%Из результатов предыдущего параграфа и замечаний после определения 5.1
%вытекают утверждения 1)--3) следующей теоремы.
					      }

\proclaim {\bf Теорема 2.2}\it
$ 1)$ $ \AP_1\implies \AP_s\ \forall\, s>0;$

$ 2)$ $ \AP_r\implies \AP_s,$ если $ 0<s\lee r\lee1;$

$ 3)$ если $ s,r\in [2/3,1)$ и $ s\neq r,$ то свойства $ AP_s$ и
$ \AP_r$ не равносильны;

$ 4)$ если $ p>2,$ то свойства $ \AP_1$ и $ \AP_p$ не равносильны.
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Относительно утверждения 4) см. замечание после основного определения
в работе [15].
	     }

\proclaim {\bf Теорема 2.3}\it
Если $ p>2$ и $ E\in\AP_p,$ то $ E\in\AP_q$ для любого $ q\in[2,p].$
Более того, если для некоторого $ q>2$\ $ E\notin \AP_q,$ то
существует такое пространство $ F$ и оператор $ U\in\QN_1(E,F),$
что для каждого $ \e>0$ найдется элемент $ z\in F^*\wh\ot_{q+\e} E$
такой, что $ \tr z\circ U=1,\, \wt z=0.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 2.4}\it
Если $ s\lee1,\, 1/p+1/s=2$ и $ s\lee q \lee p,$ то
$ \AP_q\implies \AP_s$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 2.5}\it
Если $ p\in[1,+\infty]$ и $ X$ --- фактор--пространство пространства $ l^p,$
то  $ X\in\AP_1$ тогда и только тогда, когда $ X\in\AP_p.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 2.6}\it
Если $ q\gee p>2$ и $ X$ --- фактор--пространство пространства $ l^p,$
то $ X\in\AP_1$ тогда и только тогда, когда $ X\in\AP_q$
(эквивалентно, $ X\in\AP_r\ \forall\,r\gee p;\,$
$ X\in\AP_r\ \forall\,r\gee 2;\,$
$ X\in\AP_r\ \forall\,r> 0.$
\endproclaim\rm
    \bigp

%%%%%%%%%%%%%
\heading{\S3. Условно слабо компактные операторы}\endheading
    \med

%        \title {О некоторых классах линейных непрерывных отображений}
{\eightpoint

В этом параграфе
изучаются некоторые классы линейных непрерывных отображений в банаховых
и локально выпуклых пространствах. Приводится характеризация операторов
$ T: X\to Y,$ переводящих ограниченные множества банахова пространства $ X$
в условно слабо компактные множества банахова пространства $ Y,$
а также рассматривается частный случай, когда $ X=C(K).$  }

\definition {\bf Определение 3.1}
Оператор $ T: X\to Y$ называется условно слабо компактным, если
из всякой ограниченной последовательности $ \{ x_n\}\sbs X$
можно извлечь такую подпоследовательность $ \{ x_{n_k}\},$
что $ \{ Tx_{n_k}\}$ --- последовательность Коши в пространстве
$ \( Y, \sigma(Y,Y^*)\).$
\enddefinition

{\eightpoint
Везде %в этом пункте
ниже через $ X,Y,$ как обычно, мы обозначаем произвольные банаховы
пространства, $ K$ (соответственно $ S)$ --- отделимое компактное
(соответственно, локально компактное) топологическое пространство, $ Q$
--- канторово множество. Если $ X_1, X_2$ --- банаховы пространства,
то через $ \L(X_1, X_2)$  обозначается пространство всех линейных
непрерывных отображений из $ X_1$ в $ X_2.$ Говоря о подпространствах
банаховых пространств мы всегда имеем в виду замкнутые векторные
подпространства.      }

\proclaim {\bf Теорема 3.2}\it
Пусть $ T\in\L(X,Y).$ Следующие условия равносильны:

$ 1)$ $ T$ не является условно слабо компактным оператором;

$ 2)$ существует такое изоморфное $ l^1$ подпространство $ Z\sbs X,$ что
$ T|_Z$ ---изоморфизм;

$ 3)$ существует такое изоморфное $ C^*[0,1]$ подпространство
$ W\sbs Y^*,$ что $ T^*|_W$ ---изоморфизм;

$ 4)$ существует такое изоморфное $ L^1[0,1]$ подпространство
$ W\sbs Y^*,$ что $ T^*|_W$ ---изоморфизм.

Если $ Y$ --- слабо компактно порожденное пространство,
условия $ 1)-4)$ эквивалентны условию

$ 5)$ существует такой оператор $ U\in\L(Y,C[0,1]),$
что $ UT$ есть отображение "на".
\endproclaim\rm


\proclaim {\bf Следствие 3.3}\it
Если существует не условно слабо компактный оператор из $ X $ в
слабо компактно порожденное банахово пространство, то  %существует
найдется
фактор--пространство пространства $ X,$ изоморфное пространству $ C[0,1].$
\endproclaim\rm

Напомним, что оператор $T\in \L(X,Y)$ называется оператором Радона--Никодима,
 $ T\in \RN,$ если $ T$ переводит
векторные меры $ m$ ограниченной вариации в меры, представимые интегралом
Бохнера по $ \Var(m).$

\proclaim {\bf Следствие 3.4}\it
Пусть $ T\in L(X,Y).$ Если $ T^*$ есть оператор типа $ \RN,$ то $ T$ ---
условно слабо компактное отображение. В частности, если $ Y$ ---
слабо секвенциально полное пространство, то $ T^*$ является оператором
типа $ \RN$ тогда и только тогда, когда оператор $ T$ условно слабо
компактен.
\endproclaim\rm

{\eightpoint
Следующее утверждение является обобщением хорошо известного факта
о полной непрерывности произведения двух слабо компактных отображений
$ Z\to C(K)\to Y,$ а также усилением [9, теорема 4.12].   }

\proclaim {\bf Предложение 3.5}\it
Пусть $ U\in\L(X, C(K)),$ $ T\in\L(C(K),Y).$ Если $ U^*$ есть оператор типа
$ \RN,$ а $ T$ -- слабо компактный оператор, то существует последовательность
конечномерных отображений $ A_n:X\to Y,$ \, $ n=1,2,\dots,$
такая, что $ \|A_n-TU\|\to 0$ при $ n\to\infty.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 3.6}\it\,
$1)$ Пусть $ T\in\L(C(K),X).$ Следующие условия эквивалентны:

$ а)$ оператор $ T$ условно слабо компактен;

$ б)$ $ T^*$ есть оператор типа $ \RN;$

$ в)$ не существует изометричного пространству $ C(Q)$ подпространства
$ Z\sbs C(K),$ для которого $ T|_Z$ есть изоморфное вложение $ Z$ в  $ X.$

$ 2)$ Пусть $ U\in\L(C_0(S), X).$ Если существует такая конечная
положительная мера Радона $ \mu$ на $ S,$ что $ U^*(X^*)\sbs L^1(\mu),$
то $ U^*$   есть оператор типа $ \RN.$ Если $ S$ --- метризуемый компакт,
то верно и обратное.
\endproclaim\rm
%\med
\bigp

%        \title {Функции $ \I$ класса Бэра со значениями в метрических...
	  % теоремы 1-2
\heading{\S4. Функции $ \I$ класса Бэра}\endheading
      \med

	 {\eightpoint
Здесь мы сформулируем ряд дополнительных результатов об операторах
Радона--Ни\-ко\-ди\-ма, связанных со свойствами векторнозначных
функций I класса Бэра и некоторых их обобщений. Эти факты,
представляя самостоятельный интерес, существенно используются при
доказательстве некоторых утверждений из следующего раздела,
а также и в ряде других (не входящих в данную статью) приложений.
Мы говорим, что $ f: M\to R$
(в топологических пространствах) является квазибэровской, если
для всякого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ сужение $ f|_K$
имеет хотя бы одну точку непрерывности. Например, справедлива теорема:}
\medpagebreak


\proclaim {\bf Теорема 4.1}\it
Всякая квазибэровская функция со значениями в метрическом пространстве
универсально измерима.
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 4.2}\it
Пусть $ X,Y$ --- банаховы пространства и $ T\in\L(X,Y).$
Если не существует такого подпространства $ Z$ в $ X,$
что $ Z$ изоморфно $ l^1$ и сужение $ T|_Z$ --- изоморфизм, то
для всякого топологического пространства $ S$ с мерой Радона $ \mu$
и для любой $ Y^*$-значной $ \mu$-измеримой функции
$ f:S\to \( Y^*, \sigma(Y^*,Y)\)$ функция $ T^*f: S\to X^*$
является $ X^{**}$-скалярно $ \mu$-измеримой. В частности,
отображение $ T^*$ универсально $ X^{**}$-скалярно измеримо
как отображение из $ \( Y^*, \sigma(Y^*,Y)\)$ в $ X^*$
\endproclaim\rm

	 {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 4.3}
Представляет интерес частный случай, когда мы имеем тождественное
отображение в фиксированно банаховом пространстве (Haydon R.).
\endremark\medpagebreak
			     }

\proclaim {\bf Теорема 4.4}\it
Для линейного непрерывного отображения $ T$ из банахова прост\-ра\-н\-ства $ X$
в банахово пространство $ Y$ эквивалентны утверждения:

$ 1)$ $ T^*$ есть оператор Радона--Никодима, т.е. для любого пространства
$(\Omega, \Sigma, \mu)$ с конечной положительной мерой и для любой
$ \mu$-абсолютно непрерывной $ Y^*$-значной меры $ m:\Omega\to Y^*$
ограниченной вариации\, $ X^*$-значная мера $ T^*m$ представима интегралом
Бохнера по мере $ \mu;$

$ 2)$ для всякого $ {}^*$-слабого компакта $ K\sbs Y^*$ отображение
$ T^*|_K: \( K, \sigma(Y^*,Y)\)\to X^*$ имеет на $ K$ хотя бы одну точку
непрерывности.
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 4.5}\it
Для оператора $ T$ из $ X$ в $ Y$ эквивалентны утверждения:

$ 1)$ множество $ T(X)$ сепарабельно и $ T^*$ --- оператор Радона--Никодима;

$ 2)$ $ T^*$ является векторнозначной функцией $ I$ класса Бэра из
$\( D(Y^*), \sigma(Y^*,Y)\)$ в $ X^*,$ где $ D(T^*)$ --- единичный шар
в $ Y^*$ (т.е. существует последовательность непрерывных отображений
из  $\( D(Y^*), \sigma(Y^*,Y)\)$ в $ X,$ сходящаяся поточечно к $ T^*);$

$ 3)$ множество $ T(X)$ сепарабельно и для всякого $ {}^*$-слабого
компакта $ K\sbs Y^*$ отображение
$ T^*|_K: \( K, \sigma(Y^*,Y)\)\to X^*$ непрерывно везде на $ K$
за исключением быть может множества точек $ I$ категории в
 $ \( K, \sigma(Y^*,Y)\).$
\endproclaim\rm

Приведем только одно из разнообразных следствий.

\proclaim {\bf Следствие 4.6}\it
Если $ K$ --- метризуемое слабо компактное множество
в банаховом пространстве $ X,$ то тождественное отображение
$ \( K, \sigma(X,X^*)\)\to (K, \|\cdot\|)$
есть функция $ I$ класса Бэра.
\endproclaim\rm

\bigp

\head{\bf II. АППРОКСИМАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ОПЕРАТОРОВ}\endhead
\vskip12pt

%%%%%%%%%%%%%
\heading{\S5. Вокруг контрпримера А.Гротендику
  о слабо компактных операторах}\endheading
\med
%%%%    Sib.Math.J 1978, XIX, NO.4
%        \title {Операторы типа RN в банаховых пространствах}

	 {\eightpoint
Начнем с такого обобщения теоремы Гротендика о произведении
аппроксимируемых операторов со слабо компактными:
                     }
\proclaim {\bf Теорема 5.1}\it
Пусть $ X, Y, Z$ --- банаховы пространства, $ T\!\in\L(X,Y),$
$ U\!\in\L(Y,Z).$ Предположим, что существует непрерывный проектор
$ P: X^{**}\to X$ и выполнено одно из следующих условий:

$ 1)$ $ U$ равномерно на каждом компакте приближается конечномерными
отображениями, $ T\in\RN(X,Y);$

$ 2)$ $ T$ равномерно на каждом компакте приближается конечномерными
отображениями, $ U\in\RN(Z^*,Y^*).$

Тогда $ UT$ есть равномерный на каждом компакте предел конечномерных
отображений, норма которых не превосходит $ \|P\|\cdot\|UT\|.$
\endproclaim\rm

%%%%    C. Rend. 296 (18 avril 1983), 597-599
%        \title {Контрпример к одному предположению А.Гротендика}
	 {\eightpoint
В мемуаре [5], Chap.2, p.135,``Question non R\'esolues",
А.Гротендик сформулировал

\proclaim {\bf Предположение}\it
Пусть $ E$ и $ F$ --- два банаховых пространства, $ U: E\to F$ ---
слабо компактный оператор. Если $ U$ может быть аппроксимирован,
равномерно на каждом компактном подмножестве в $ E,$ конечномерными
операторами, то $ U$ можно аппроксимировать в топологии компактной
сходимости конечномерными операторами, нормы которых $ \lee 1.$
\endproclaim\rm

Отметим, что если $ E=F$ и $ U=\operatorname{ id}_E,$ то это предположение
верно (см. [5], Chap.1, p. 181). Этот результат и формулировка
теоремы 15 (Chap.1) позволяли считать, что сформулированное предположение
справедливо также и в общем случае (см. [5], Chap.2, p.135).
	       }


\proclaim {\bf Теорема 5.2}\it
Существуют банаховы пространства $ E$ и $ F$ и компактный оператор
$ U: E\to F$ такие, что
\roster
\item"(1)" $ E$ сепарабельно, также как и все его сопряженные;
\item"(2)" $ E$ удовлетворяет условию аппроксимации;
\item"(3)" если $ d<\infty,$ то нельзя аппроксимировать $ U,$
равномерно на каждом компакте  из $ E,$ операторами конечного ранга
с нормами $ \lee d.$
\endroster
\endproclaim\rm

{\eightpoint
Таким образом, последняя теорема показывает, что
сформулированное предположение не вер\-но,
так же как и неверны некоторые части теоремы 15 и ее следствий 1 и 2 в [5],
Chap.1.

\remark {\bf Замечание 5.3}
Пространство $ E,$ построенное при доказательстве теоремы, обладает
свойством Радона--Никодима (так как $ E^{**}$ сепарабельно), удовлетворяет
условию аппроксимации, но не удовлетворяет условию ограниченной
аппроксимации. Впервые подобного рода пространство было построено
в работе [4].
\endremark\medpagebreak

		    }

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigp

%        \title {Функции $ \I$ класса Бэра со значениями в метрических...
{\eightpoint
 Следующая теорема доказывается с помощью теоремы о векторнозначных
функциях  I класса Бэра и теоремы 4.4 предыдущего раздела.
                                  }

\proclaim {\bf Теорема 5.4}\it
Пусть $ X,Y,W$ --- банаховы пространства, $ T$ и $ Y$ ---линейные
непрерывные отображения соответственно из $ X$ в $ Y$ и  из
$ X^*$ в $ W.$ Предположим, что множество $ T(X)$ сепарабельно в
$ Y,$ а оператор $ U$ приближается равномерно на каждом компакте
пространства $ X^*$ конечномерными операторами из $ X^*$ в $ W.$
Если $ T^*$ является оператором Радона--Никодима, то существует
последовательность $ \left\{ U_n\right\}_{n=1}^\infty$
конечномерных отображений из $ Y^*$ в $ W,$ обладающая следующими свойствами:

$ 1)$ $\|U_n\|\lee \|UT^*\|$\, для каждого $ n=1,2,\dots;$

$ 2)$ все отображения $ U_n$ непрерывны из $ \( Y^*,\sigma(Y^*,Y))\)$
в $ W;$

$ 3)$ последовательность $ \{ U_n\}$ сходится поточечно к отображению
$ UT^*,$ т.е. $ \|U_nf-UT^*f\|\to 0$ при $ n\to\infty$ для любого
элемента $ f\in Y^*.$
\endproclaim\rm
		{\eightpoint
Отметим некоторые следствия }


\proclaim {\bf Следствие 5.5}\it
Пусть $ X,Y,Z$ --- банаховы пространства, $ T\in\L(X,Y)$ и
$ V\in\L(Z,X)$ ---линейные непрерывные отображения.
Предположим, что множество $ T(X)$ сепарабельно в $ Y,$ а
$ T^*$ есть оператор Радона--Никодима. Тогда если $ V^*$ равномерно
на каждом компакте пространства $ X^*$ приближается конечномерными
операторами из $ X^*$ в $ Z^*,$ то существует последовательность
конечномерных операторов из $ Z$ в $ Y,$ нормы которых не превосходят
$ \|TV\|,$ и сопряженные к которым поточечно сходятся к $ (TV)^*.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 5.6}\it
Пусть $ T\in\L(X,Y)$ --- такой оператор, что множество $ T(X)$ сепарабельно.
Предположим, что пространство $ X^*$ удовлетворяет условию аппроксимации.
Тогда $ T^*$ принадлежит классу $ \RN$ в том и только том случае, когда
существует такая последовательность $ \{ U_n\}$ конечномерных отображений
из $ X$ в $ Y,$ что $ \|U_n\|\lee \|T\|$  для всех $ n=1,2,\dots$\,
и операторы $ U_n^*$ сходятся поточечно к $ T^*.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 5.7}\it
Пусть $ T\in\L(X,Y)$ и пространство $ X^*$ удовлетворяет условию
аппроксимации. Если существует последовательность $ \{ \ffi_n\}$
непрерывных отображений из $\( D(Y^*),\sigma(Y^*,Y)\)$ в $ X^*,$
сходящаяся к $ T^*$ поточечно, то существует такая последовательность
$ \{ U_n\}$ конечномерных операторов из $ X$ в $ Y,$
что $ \|U_n\|\lee\|T\|$ для всех $ n$ и $ U^*_n\to T^*$ поточечно.
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 5.8}\it
Для банахова пространства $ X$ эквивалентны утверждения:

$ 1)$ $ X^*$ --- сепарабельное пространство, удовлетворяющее условию
аппроксимации;

$ 2)$ существует такая последовательность конечномерных операторов
$ \{ U_n\}$ из $ X$ в $ Y,$  что $ \|Un\|\lee1$ и
$\| U^*_nx'-x'\|\to 0$ при $ n\to\infty$ для любого $ x'\in X^*.$
\endproclaim\rm

		{\eightpoint
Заметим, что последнее следствие вытекает также из результатов работы
А.Гро\-тен\-ди\-ка [5] и теоремы Банаха--Штейнгауза.  }


\proclaim {\bf Следствие 5.9}\it
Если $ T$ --- слабо компактный оператор из $ X$ в $ Y$ с сепарабельным
образом и если пространство $ Y$  удовлетворяет условию аппроксимации,
то существует такая последовательность $ \{ U_n\}$
конечномерных операторов из $ X$ в $ Y,$ что $ \|U_n\|\lee \|T\|$
и $ U_n\to T$ поточечно.
\endproclaim\rm


\proclaim {\bf Следствие 5.10}\it
Пусть $ K$ --- метризуемый $ {}^*$-слабый компакт в сопряженном банаховом
пространстве $ X,$ удовлетворяющем условию аппроксимации. Если $ K$ является
$ \RN$-множеством, то существует такая последовательность $ V_n$
конечномерных операторов в $ X,$ что на $ K$ отображения $ V^*$ сходятся
поточечно к тождественному отображению $ K\to X^*$ и для всякого $ n$
имеет место включение $ V^*_n(K)\sbs D_a,$ где $ D_a$ --- шар в $ X^*$
с центром в нуле и радиуса $ a= \max_{k\in K} \|k\|.$
\endproclaim\rm

      {\eightpoint
 \remark {\bf Замечание 5.11} См. также предложение 8.2 на стр. 14. %!!!
 \endremark}
 \bigp

\heading{\S6. Обобщения предыдущих фактов на случай аппроксимации порядка
   $ p$\ $ (\text{свойства }\AP_p)$}\endheading

%%%%к з1    Предложения 1-2           %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\med
{\eightpoint
Утверждения, приводимые ниже, используются при доказательствах многих
утверждений, содержащихся в данном обзоре. В частности, они существенно
используются при рассмотрении вопросов  о непрерывности
p-ядерных и других норм по параметру p (см. соответствующий раздел IV
почти в самом конце работы).

Следующее утверждение было анонсировано в [16, теорема 4.2]; равносильное
ему предложение было установлено в работе [1, леммы 7-8]. Можно дать и
другое доказательство (отличное от доказательств в указанных работах),
основанное на определениях аппроксимационных свойств порядка $\,p,\,$
приведенных выше в \S2.}

\proclaim {\bf Предложение 6.1}\it
Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует
непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда для всякого
$\,p\in (1,+\infty)\,$ из того,что $\,Y\,$ обладает свойством
$\,\operatorname{AP}\!{_p}\,$ вытекает условие
$\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}\!{_p}\,$.
В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено, то условия
$\,Y\in \operatorname{AP}\!{_p}\,$ и
$\,Y\in \operatorname{MAP}\!{_p}\,$ эквивалентны между собой.
\endproclaim \rm

{\eightpoint
\remark {\bf Замечание 6.2} \rm
Насколько нам известно, вопрос о том, справедливо ли утверждение
предложения 6.1
в случае $\,p=1\,$, по-прежнему открыт (см. также замечание в самом конце
работы [16]). Основная теорема в этом случае, по-существу, принадлежит
А.Гротендику (см. [5], [3, стр. 246-247]):
если сопряженное пространство обладает свойством Радона-Никодима
и удовлетворяет условию аппроксимации, то оно удовлетворяет и условию
метрической аппроксимации (некоторое ее обобщение можно найти, например,
в работе [14]).
Неясно также, что будет в случае $\,p=+\infty\,$. Мы можем здесь получить
лишь такой аналог упомянутой теоремы А.Гротендика:
\endremark
       }
\med

\proclaim {\bf Предложение 6.3}\it
Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует
непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда если  $\,Y^*\,$
обладает свойством Радона-Никодима и $\,Y\,$удовлетворяет условию
$\,\operatorname{AP}\!{_\infty}\,$, то
$\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}\!{_\infty}\,$.
В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено
и $Y^*\in\RN,$ то условия
$\,Y\in \operatorname{AP}\!{_\infty}\,$ и
$\,Y\in \operatorname{MAP}\!{_\infty}\,$ эквивалентны между собой.
\endproclaim \rm

{\eightpoint
\remark {\bf Замечание 6.4} \rm
 Для любого $ p\in [1,+\infty], p\neq2,$ существуют банаховы пространства
со свойством $ \operatorname{AP}\!{_p},$ не обладающие свойством
$ C-\operatorname{MAP}\!{_p}$ ни при каком $ C\ge 1$ [4],[13]
(подробности можно найти ниже).
\endremark

Следующие два утверждения тесно связаны с предыдущими и, в некотором
смысле, "открывают" вопрос о регулярности классических операторных идеалов.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  Предложение 1.3        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\proclaim {\bf Предложение 6.5}\it
Пусть $ X$ и $ Y$ --- такие банаховы пространства, что либо $ X^*,$ либо
$ Y^{***}$ обладает свойством аппроксимации Гротендика, и пусть
$ p\in [1,+\infty]$  и %%%%%%%% p=\infty просмотреть!!!
$ T\in \operatorname{ L}(X,Y).$ Если $ T\in \operatorname{N}_p(X,Y^{**}),$
то $ T\in \operatorname{ N}_p(X,Y).$
\endproclaim\rm
{ Доказательство} проводится по аналогии с доказательствами теорем
2 из [10] и [5, глава 1, стр. 36]. Несколько более общий факт будет
сформулирован ниже. %!!!

{\eightpoint
\remark {\bf Замечание 6.6} На самом деле, аппроксимационные условия,
накладываемые в пре\-дложении 6.5 на пространства $ X^*$ или $ Y^{***},$
можно ослабить.
Чтобы сформулировать это более сильное утверждение, нам пришлось бы
ввести еще несколько определений аппроксимационных свойств банаховых
пространств, что, в силу ограниченности объема статьи, мы в данной работе
делать не будем.
\endremark }
\medpagebreak


\proclaim {\bf Следствие 6.7}\it
Пусть $ p\in[1, +\infty),$ и пусть $ X, Y$ --- такие банаховы пространства,
что $ X^*$ обладает свойством Радона --Никодима и одно из пространств
$ X^*$ или $ Y^{***}$ удовлетворяет условию аппроксимации Гротендика.
Тогда $ \operatorname{ I}_p(X,Y)= \operatorname{ I}_p^{\Gr}(X,Y)=
\operatorname{ N}_p(X,Y).$ Более общо, если $U: Z\to X$ такой оператор
из некоторого банахова пространства $ Z$ в $ X,$ что $ U^*$ является
оператором Радона--Никодима {\rm (см. [14])}, и либо
$ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо $ Y^{***}\in \operatorname{ AP},$
то для любых $ p\in[1, +\infty)$ и $ T\in \operatorname{ I}_p^{\Gr}(X,Y)$
имеет место включение $ TU\in \operatorname{ N}_p(X,Y).$
\endproclaim\rm

{\eightpoint
\remark {\bf Замечание 6.8} Аппроксимационные условия, накладываемые
на рассматриваемые в последних двух утверждениях пространства
существенны и не могут быть заменены на аналогичные условия для
пространств $ X,$ либо $ Y^{**}$ (см. ниже).    %!!!
\endremark }
\medpagebreak

	       %""""""""""""""""""""""""""""""""""




\bigp


\heading{\S7. Аппроксимация операторами из некоторых замкнутых идеалов}
\endheading
\med

%%%%    Математические заметки 1983, 33 No.6
%        \title {Насколько плохим может быть банахово пространство
%          со свойством аппроксимации?}
      {\eightpoint
Пусть $ a\in[1,+\infty].$ Напомним, что банахово пространство $ E$ имеет
свойство $ a$-метрической аппроксимации $ (E\in a$-$\MAP),$ если
тождественное отображение $ \id: E\to E$ принадлежит замыканию в топологии
компактной сходимости шара радиуса $ a$ нормированного пространства
$ E^*\ot E$ всех конечномерных операторов из $ E$ в $ E$ (с обычной
операторной нормой); если $ (E\in a$-$\MAP)$ для $ a=+\infty,$
то говорят, что $ E$ обладает свойством аппроксимации; если
$ (E\in a$-$\MAP)$ для некоторого $ a<+\infty,$ то $ E$ обладает
свойством ограниченной аппроксимации.

Приведем естественный и конкретный вопрос, инспирированный примером
(точнее, контрпримером) Фигеля--Джонсона. Пусть банахово пространство
$ E$ обладает свойством аппроксимации. Вообще говоря, нельзя ожидать,
что $ \id$ приближается равномерно на компактах из $ E$ конечномерными
операторами с ограниченными нормами. Но, быть может, $ \id$ можно
аппроксимировать в топологии компактной сходимости слабо компактными
операторами, нормы которых равномерно ограничены? Или даже компактными
операторами? Понятно, что такого рода вопросы могут быть сформулированы
в общем виде, так что мы приходим к вполне конкретной задаче, которая
и имелась в виду в заглавии работы [18].

Вот другая сторона этой задачи. Свою конструкцию Фигель и Джонсон
применили в [4] для построения неядерного оператора с ядерным сопряженным.
Иными словами, они привели пример линейного непрерывного функционала
на нормированном пространстве $ E^*\ot E,$ который порождается неядерным
оператором $T: E\to E$ (пространство $ E^*$ в [4] сепарабельно, так что
оператор $ T^*$ обязательно будет ядерным). В связи с этим возникает,
например, такой естественный вопрос: существует ли неядерный оператор
$ T:E\to E,$ порождающий линейный непрерывный функционал на пространстве
всех слабо компактных (или хотя бы компактных) операторов в $ E.$
Понятно, что это --- вопрос типа "насколько хорошим может быть неядерный
оператор?".

Основная цель сейчас --- дать по возможности достаточно полные ответы
на сформулированные вопросы. В частности, мы сформулируем утверждения
из [18], показывающие, что существует
банахово пространство со свойством аппроксимации, для которого $ \id$
не приближается в топологии компактной сходимости слабо компактными
операторами с равномерно ограниченными нормами, а также что существует
неядерный оператор, порождающий линейный непрерывный функционал
на пространстве всех слабо компактных отображений (точные формулировки
см. ниже).

Следует отметить, что использованный  в [18] метод доказательств
отличается от метода работы [4] --- лишь при перенормировке банахова
пространства применяется формула для выражения новой нормы через старую,
аналогичную формуле в [4].
      }

Пусть $ \I(X,Y)$ --- линейное подпространство в $ \L(X,Y),$\,
$ 1\lee \la\lee +\infty.$

\definition {\bf Определение 7.1} Пространство $ Y$ обладает свойством
$ \la$-$\MAP(\I)$ (свойством $\la$-метрической
аппроксимации относительно $ \I),$
если для всякого компакта $ K\sbs Y$ и любого $ \e>0$ существует оператор
$ R\in\I(Y,Y)$ такой, что $ \|R\|\lee \la$ и $ \sup_K \|Ry-y\|<\e.$
Мы условимся писать $ Y\in\la$-$\MAP(\I),$ если $ Y$ обладает свойством
$ \la$-$\MAP(\I).$ Если $ \la<+\infty$ и $ Y\in\la$-$\MAP(\I),$ то
$ Y$ обладает свойством $ \BAP(\I).$ Если $ Y\in+\infty$-$\MAP(\I),$
то $ Y$ обладает свойством $ \AP(\I).$
\enddefinition
			       {\eightpoint
Рассмотрим совсем кратко некоторые частные случаи.

а) $ \I(Y,Y)=Y^*\ot Y.$ Свойство  $ \la$-$\MAP(\I)$ есть не что иное, как
свойство $ \la$-метрической аппроксимации Гротендика. Неравносильность
свойств $ \BAP$ и $ \AP$ установлена Фигелем и Джонсоном в [4].

б) $ \I(Y,Y)=\K(Y,Y)$ --- множество всех компактных операторов. Свойство
$ \AP(\K)$ --- это свойство компактной аппроксимации $ \CAP$ (см. [23]).
Есть примеры подпространств в $ l^p, p\neq2,$ не обладающих
свойством $ \CAP$ [23]. Вопрос об эквивалентности свойств $ \BAP(\K)$
и $ \AP(\K)$ был открыт (более того, неизвестно было, влечет ли
свойство аппроксимации Гротендика свойство $ \BAP(\I),$ где $ \I$ ---
какой--либо замкнутый идеал операторов, отличный от идеала всех
аппроксимируемых (см. [12]) и идеала всех ограниченных операторов).

в) $ \I(Y,Y)=\WK(Y,Y)$ --- множество всех слабо компактных операторов.
Поскольку в $ l^1$ есть подпространство без свойства $ \CAP$ и
$ l^1$ обладает свойством Шура, то существует банахово пространство,
не обладающее свойством $ \AP(\WK).$ Этот факт будет использован
в дальнейшем. Ясно, что всякое рефлексивное пространство обладает свойством
$ 1$-$\MAP(\WK),$ так что $ \BAP(\WK)\not\implies \CAP$ (см. б)).

г) $ \I(Y,Y)=\L(Y,Y).$ Всякое банахово пространство обладает свойством
$ 1$-$\MAP(\L),$ и этот тривиальный случай мы исключим из дальнейшего
рассмотрения.

Удобно переформулировать определение 7.1 в несколько других терминах
(впрочем, это представляет и самостоятельный интерес). Это делается
в нижеследующих утверждениях. Далее в этом параграфе $ Y$ ---
фиксированное банахово пространство, $ \I(Y,Y)$ --- фиксированное
линейное подмножество в $ \L(Y,Y),$\, $ 1\lee \la\lee +\infty.$ }

\proclaim {\bf Лемма 7.2}\it
Эквивалентны утверждения:

$1)$ $ Y\notin\la$-$\MAP(\I);$

$2)$ существуют $ \delta>0, \e>0$ и конечномерное подпространство
$ E$ в $ Y$ такие, что
$$     \{ \Phi\in \I(Y,Y); \|\Phi e-e\|\lee \e\,\|e\|\ \forall\,e\in E \}
   \implies                \{ \|\Phi\|\gee  \la+\delta\}.
$$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 7.3}\it
$ Y\notin\la$-$\MAP(\I)\, \iff\, \exists\,\delta>0:\,
  Y\notin(\la+\delta)$-$\MAP(\I).$ Таким образом,
$ \{ \la\in[1,+\infty):\ Y\notin\la$-$\MAP(\I)\}
  =[\la_Y,+\infty), $ где $ \la\lee +\infty.$
 \endproclaim\rm
		     {\eightpoint
По определению $ Y\in\la$-$\MAP(\I)$ тогда и только тогда, когда
$ \id_Y$ принадлежит замыканию шара радиуса $ \la$ из $ \I(Y,Y)$ в
$ \L(Y,Y)$ в топологии компактной сходимости. Последнее равносильно тому
(см. [5], стр. 114), что $ \id_Y$ лежит в замыкании этого шара в
$ \L(Y,Y)$ в слабой топологии $ \sigma \( \L(Y,Y), Y^*\wh\ot Y\).$
Отсюда вытекает          }

\proclaim {\bf Следствие 7.4}\it
Эквивалентны утверждения:

$1)$ $ Y\notin\la$-$\MAP(\I);$

$2)$
$ \exists \, z\in Y^*\wh\ot Y:\ \tr z=1,\ |\tr z\circ \Phi|<\la^{-1}\|\Phi\|
\ \forall\, \Phi\in\I(Y,Y);$

$3)$ $ \exists \,\e>0,\, \exists \, z\in Y^*\wh\ot Y:\ \tr z=1,\
|\tr z\circ \Phi|\lee (\la^{-1}-\e)\,\|\Phi\|
\ \forall\, \Phi\in\I(Y,Y).$
 \endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 7.5}\it
Пусть $ j:\, Y^*\wh\ot Y\to \I(Y,Y)^*$ --- естественное отображение
$($пространство $ \I(Y,Y),$ снабжено обычной операторной нормой$).$
Если $ \I$ --- операторный идеал, то пространство $ Y$ не обладает свойством
$ \la$-$\MAP(\I)$ тогда и только тогда, когда $ \|j^{-1}\|>\la$
$($эквивалентно, $ \|j^{-1}\|>\la+\e$ для некоторого $ \e>0).$
Таким образом,  $ Y\in\la$-$\MAP(\I)$ $ \iff$ $ \la^{-1}\|z\|_{Y^*\wh\ot Y}
\lee \|j(z)\|_{\I(Y,Y)^*} \lee \|z\|_{Y^*\wh\ot Y}$ $ \,\forall\,z\in
Y^*\wh\ot Y$ $($т.е. $ j$ является $ \la$-изометрическим вложением или,
что здесь равносильно, является $ \la+\e$-изометрией для каждого $ \e>0).$
 \endproclaim\rm
		 {\eightpoint
В случае $ \la=+\infty$ имеет место          }

\proclaim {\bf Лемма 7.6}\it
Эквивалентны утверждения:

$ 1)$ $ Y\notin \AP(\I);$

$ 2)$ $ \exists\, z\in Y^*\wh\ot Y:\ \tr z=1,\, \tr z\circ \Phi=0\
\forall\, \Phi\in\I(Y,Y);
$

$ 3)$ естественное отображение $ j: Y^*\wh\ot Y\to \I(Y,Y)^*$
не взаимно однозначно.
\endproclaim\rm
		       {\eightpoint
Пусть $ Y$ --- банахово пространство, $ \I$ ---операторный идеал.
Через $ \I^{\dual}$ мы обозначаем дуальный к $ \I$ идеал\,
$ (T\in\I^{\dual} \iff T^*\in\I).$
Нам будет удобно также обозначать через $ \I_*(Y^*,Y^*)$
линейное подпространство в $ \L(Y^*,Y^*),$ состоящее из операторов,
сопряженных к операторам из $ \I(Y,Y),$
$$ \I_*(Y^*,Y^*)= \{ U\in\L(Y^*,Y^*):\ \exists\, T\in \I(Y,Y),\,
  U=T^*\}.
$$
Для $ A\gee 0$ конечномерного подпространства $L $ в $ Y^*$
определим нормы $ |||\cdot|||^1_{A,L}$ и $ |||\cdot|||^\infty_{A,L}$
в $ Y^*,$ эквивалентные исходной: если $ y'\in Y^*,$ то
$$ \gather
|||y'|||^1_{A,L} = \|y'\|+Ad(y', L), \\
|||y'|||^\infty_{A,L}=\max \{ \|y'\|; Ad(y',L)\},
\endgather
$$
где $ d(y',L)= \inf \{ \|y'-l\|:\ l\in L\}.$
Эти нормы дуальны к некоторым нормам на $ Y,$ которые мы будем обозначать
теми же символами. Пусть $ \Cal A_1$ и $ \Cal A_2$ ---
совокупности всех норм (на $ Y)$ \, $ |||\cdot|||^1_{A,L}$
и $ |||\cdot|||^\infty_{A,L}$ соответственно.

Для банахова пространства $ X$ нам удобно будет писать $ X\in(A_{\I}),$
если

$а_1)$ $ X^*\in \BAP(\I),$ либо

$а_2)$ единичный шар пространства $ \I(X^*,X^*)$ плотен в топологии
поточечной сходимости в множестве операторов
$$ \{ U\Phi:\ \Phi\in\I(X^*,X^*),\, U\in\L(X^*,X^{***}),\,\|U\Phi\|\lee 1
     \}.
$$                     }

\proclaim {\bf Теорема 7.7}\it
Если $ Y\in (A_{\I})$ и для любой нормы $ \al\in \Cal A_1$\,
$(Y,\al)\in 1$-$\MAP(\I^{\dual}),$ то
$ Y^*\in 1$-$\MAP(\I).$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 7.8}\it\,
$1)$ Если $ Y\in (A_{\I})$ и для любой нормы $ \al\in \Cal A_1$\,
$(Y,\al)\in \la$-$\MAP(\I^{\dual}),$ где
$ \la<+\infty,$ то $ Y^*\in 2\la\,(4\la-3)$-$\MAP(I).$

$ 2)$  Если $ Y\in (A_{\I})$ и для любой нормы $ \al\in \Cal A_\infty$\,
$(Y,\al)\in \la$-$\MAP(\I^{\dual}),$ где
$ \la<+\infty,$ то $ Y^*\in 8\la^2$-$\MAP(I).$
 \endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 7.9}\it
Для каждого из перечисленных ниже идеалов операторов $ \I$
существует банахово пространство $ Z$ со свойством аппроксимации
$($Гротендика$),$ не обладающее свойством $ \BAP(\I).$

$ 1)$  идеал компактных операторов;

$ 2)$  идеал слабо компактных операторов;

$ 3)$  идеал строго сингулярных операторов;

$ 4)$  идеал условно слабо компактных операторов;

$ 5)$  идеал $ \RN^{\dual};$

$ 6)$  идеал вполне непрерывных операторов.
 \endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 7.10}\it
Для каждого из идеалов $ I,$ перечисленных в теореме $7.9,$
существуют банахово пространство $ Z$ и оператор $ T\in\L(Z,Z)$
со следующими свойствами:

{\rm а)} $ T=\sum z'_n\ot z_n,\, z'_n\in Z^*,\, z_n\in Z$ $($ряд сходится в
    $ \L(Z,Z)$$);$

{\rm б)} $ T\notin \N(Z,Z);\,$ ряд $ \sum \< z'_n, z_n\>$ расходится;

{\rm в)} $|\tr TU| = |\sum \< z'_n, Uz_n\>|\lee \|U\|$  для всякого
$ U\in\I(Z,Z);$

{\rm г)} $ T^*\in \N(Z^*,Z^*).$
 \endproclaim\rm

		      {\eightpoint
В случае, когда $ \I(Y,Y)=Y^*\ot Y$ (тогда условие $ a_2$ выполнено;
см. [5, стр. 129]), утверждение теоремы 7.7 доказано Джонсоном [6].
Следует отметить, что идея его доказательства использовалась в [18]
(в основном при доказательстве теоремы 7.7). Теорема 7.7, однако,
не является центральной в этом разделе и приведена главным образом
для полноты (тем более, что она получается в процессе доказательства
остальных теорем как побочный результат).

В [4] установлено. что если $ (Y,\al)\in\la$-$\MAP$ для всех
$ \al\in\Cal A_1,$ то $ Y^*\in 2\la\,(4\la+1)$-$\MAP.$ Небольшое улучшение
константы (теорема 7.8) по сравнению с [4], по--видимому, представляет
интерес. Однако более любопытным было бы выяснить (хотя бы в предположениях
теоремы 7.8), верна ли следующая

Г и п о т е з а.  \, Существует абсолютная постоянная $ C\gee 1$ такая,
что если $ (Y,\al)\in\la$-$\MAP(\I^{\dual})$ для всякой нормы $ \al$
на $ Y,$ эквивалентной исходной, то $ Y^*\in C\la$-$\MAP(\I).$

Возможно, что $ C=1.$

В настоящий момент ответ, по крайней мере мне, неизвестен.}
%\med
\bigp

\heading{\S8. По поводу одного вопроса Ю.Брудного}\endheading

\med
%%%%    Вестник СПбГУ    1993, вып. 3  33-35.
%     \title {Аппроксимация операторов в топологии поточечной сходимости}
		  {\eightpoint
Следующие результаты появились благодаря такому вопросу Ю.А.Брудного
(поставленного автору в письме несколько лет назад; см. также [2];
любопытно, что аналогичный вопрос в терминах тензорных произведений
в связи с теорией интерполяции был задан автору и шведским математиком
С.Кайзером): верно ли, что единичный шар из $ \L(X,Y)$ плотен
в единичном шаре пространства $ \L(Y^*,X^*)$ в топологии поточечной
$ Y^*\times X$-сходимости (здесь, как обычно, $ \L(X,Y)$ ---
пространство всех
линейных непрерывных операторов из $ X$ в $ Y)?$
Простейшие достаточные условия для положительного ответа
на этот вопрос: \, а) $ X$ пространство $ Y$ рефлексивно,
\, б) $ X$ обладает свойством метрической аппроксимации.
От условия б), как мы увидим, освободиться, вообще говоря, нельзя.
Условие а), конечно, можно ослабить (см. предложение 1).

Через $ X^*\ot Y$ мы по-прежнему обозначаем множество всех
конечномерных операторов из $ X$в  $ Y$ с обычной нормой.
Для краткости будем писать $ X\in r$-$\MAP,$ если $ X$ обладает
свойством $ r$-метрической аппроксимации: это означает, что шар радиуса
$ r$ пространства $ X^*\ot X$ плотен в единичном шаре пространства
$ \L(X,X)$ в топологии компактной сходимости. При $ r=+\infty$
принято писать $ X\in \AP.$ Заметим, что свойства $ r$-$\MAP$
при различных $ r$ не эквивалентны. Через $ X\wh\ot Y$ обозначается
проективное тензорное произведение пространств $ X$ и $ Y.$ }

\proclaim {\bf Предложение 8.1}\it
Для плотности шара радиуса $ r$ пространства $ \L(X,Y)$ в единичном
шаре пространства $ \L(Y^*,X^*)$ в топологии $ \tau_p$ компактной сходимости
достаточно каждого из следующих условий:

$ 1)$ существует сеть слабо компактных операторов в $ Y,$
сопряженные к которым в топологии $ \tau_p$ сходятся к тождественному
оператору и нормы которых $ \lee r;$

$ 2)$ $ X\in r$-$\MAP;$

$ 3)$ $ Y^*\in r$-$\MAP;$

$ 4)$ $ Y^*\in \AP$ и $ X^{**}\in\RN;$

$ 5)$ $ Y^*\in \RN$ и $ X^*\in\AP.$
\endproclaim\rm
		   {\eightpoint
Утверждения 4) и 5) вытекают из следующего более общего факта: }

\proclaim {\bf Предложение 8.2}\it
Пусть $ T\in\L(X,Z), U\in\L(W,Y).$ Предположим, что выполнено одно
из следующих условий:

$ 1)$ $ U^*\in\AP,$ т.е. $ U^*$ приближается в $ \tau_p$ конечномерными
операторами, и $ T^{**}\in\RN;$

$ 2)$ $ U^*\in\RN,$ \, $ T^*\in\AP.$

Тогда для всякого оператора $ V\in\L(Z, W^{**})$ оператор $ U^{**}VT$
приближается в топологии $ \tau_p$ конечномерными операторами, действующими
из $ X$ в $ Y,$ нормы которых $ \lee \|U^{**}VT\|.$
\endproclaim\rm
			{\eightpoint
То, что все перечисленные условия в предложениях 8.1 и 8.2 существенны,
вытекает из нижеследующих результатов.  }


\proclaim {\bf Предложение 8.3}\it
Существует пространство $ Y$ с базисом и рефлексивное сепарабельное $ X,$
а также элемент $ g\in Y^*\wh\ot X$ такие, что

$ 1)$ $ \tr Ag=0\ \forall\, A\in\L(X,Y);$

$ 2)$ $ g\neq 0,$ т.е. $ \tr Vg=1$ для некоторого $ V\in\L(X,Y^{**})$%

$ 3)$ пространства $ Y,Y^*,Y^{**},\dots\,$ все сепарабельны.
\endproclaim\rm
			{\eightpoint
Доказательство предложения 8.3 основано лишь на существовании банахова
пространства без свойства аппроксимации.

Сформулируем теперь центральные результаты.}

\proclaim {\bf Теорема 8.4}\it
Существуют постоянная $ C>0$ и сепарабельное банахово пространство $ E$
с базисом такие, что для всякого $ n$ можно найти сепарабельное
пространство $ E_n$ с базисом и $ n$-мерный оператор $ t: E\to E_n,$
для которых

$ 1)$ $ |\tr Ut|\lee U$ для всех $ U\in\L(E_n,E);$

$ 2)$ $ \|t\|_{\land}\gee C\sqrt n;$

$ 3)$ существует $ \e>0$ и $ V\in\L(E_n,E^{**}),$\, $ \|V\|\lee1,$
такие, что если
$$ R\in \L(E_n,E) \ \text{ и }\ \|Rg-Vg\|\lee \e\|g\|
$$
для всех $ g\in t(E),$ то $ \|R\|\gee C\sqrt n.$
\endproclaim\rm
				 {\eightpoint
Перечислим некоторые более менее очевидные следствия из теоремы 8.4. }

\proclaim {\bf Следствие 8.5}\it    % это - кусок следствия 3, 28n
Существуют сепарабельное пространство $ E$ с базисом и сепарабельное
$ F,$ $ F\in \AP,$
обладающие следующими свойствами:

$ 1)$ существует оператор $ T\in\L(E,F),$ не принадлежащий $ E^*\wh\ot F,$
такой, что для всякого $ U\in\l(F,E)$ суперпозиция $ UT\in E^*\wh\ot E$
и $ |\tr UT|\lee \|U\|;$

$ 2)$ существует оператор $ V: F\to E^{**}$ такой, что %для любого C>0
оператор $ V$ не принадлежит замыканию в $ \L(F,E^{**})$ никакого
шара конечного радиуса пространства $ \L(F,E)$ в топологии поточечной
$ F\times E^*$-сходимости;

$ 3)$ существуют $ C>0$ и $ n$-мерные подпространства $ F_n\sbs F$\,
$ (n=1,2,\dots\,)$ такие, что если $ R\in\L(E,F),$\,
$ R|_{E_n}=V|_{E_n}$ \, $(V$ --- оператор из $ 2)\,),$ то
$ \|R\|\gee C\sqrt n.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 8.6}\it   %это - следствие 4, 28n
Существуют сепарабельное банахово пространство $ Z,$ $ Z\in\AP,$
операторы $ S\in \L(Z,Z)$ и $ Q\in \L(Z,Z^{**})$
такие, что

$ 1)$ $ US\in Z^*\wh\ot Z$ для всякого $ U\in\L(Z,Z)$
(т.е. $ S\in \L(Z,Z)^*),$ но $ S\notin Z^*\wh\ot Z;$

$ 2)$ если $ R_\al\in \L(Z,Z)$ и $ R_\al\to Q$\, \ $ Z\times Z^*$-поточечно,
то $ \|R_\al\|\to+\infty$  (с другой стороны, ясно, что множество
конечномерных операторов $ Z^*\ot Z$ плотно в $ \L(Z,Z^{**})$
в топологии компактной сходимости).
\endproclaim\rm
		     {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 8.7}
Пространство $ Z$ в следствии 8.6 можно выбрать таким образом, что все
сопряженные к $ Z$ пространства будут сепарабельными (это, однако,
не следует непосредственно их теоремы 8.4).
\endremark\medpagebreak

\remark {\bf Замечание 8.8}
Следствие 8.6 дополняет результаты из [18] (см. выше \S7), где,
в частности, установлено,
что существует непрерывный функционал на пространстве всех слабо
компактных операторов, порождаемый не ядерным оператором.
\endremark\medpagebreak

\remark {\bf Замечание 8.9}
Следствие 8.6,2) конечно же отвечает на вопрос, с которого мы начали эту
заметку (так же как и предложение 8.3). В отличие от предложения 8.3
в следствии 8.6 операторы рассматриваются в одном пространстве, которое
к тому же обладает свойством аппроксимации $ \AP.$
\endremark\medpagebreak

\def\W{\operatorname{W}}
Упомянутый выше вопрос Ю.А.Брудного был связан со следующим вопросом,
принадлежащим ему же (см. также [2]). Следуя [2], обозначим через
$ \W(Y^*,X^*)$ множество тех операторов $ T$ из $ Y^*$ в $ X^*,$ для
которых существует число $ \gamma=\gamma(T)>0$ такое, что
$$ | \< Ty',x\>| \lee \gamma(T)\,\sup \{ | \< y', Sx\>|: \
     S\in\L(X,Y), \,\|S\|\lee1\}
$$
и положим $ \|T\|_{\W}= \inf \gamma(T).$ Верно ли, что
$ \W(Y^*,X^*)=\L(Y^*,X^*)?$
Оказывается, имеет место не только это равенство, но и более общий факт.
Для его формулировки нам понадобится следующее определение.
Если $ n\in\Bbb N\cup\{+\infty\},$ то обозначим через $ \W_n(Y^*,X^*)$
множество всех операторов, для которых существует число
$ \gamma_n=\gamma_n(T)$ такое, что
$$ \bigg |\sum_{j=1}^n \< Ty'_j, x_j\>\,\la_j \bigg|\lee
   \gamma_n \sup \bigg \{\bigg |\sum_{j=1}^n \la_j\, \< y'_j, Sx_j\>\bigg|:\
    S\in\L(X,Y),\,\|S\|\lee1 \bigg\}
$$
для всех $ x_j, y_j, \|x_j\|\lee1, \|y_j\|\lee1$ и всех
$ \la_j\gee0:\ \sum_1^n \la_j=1.$

Положим $ \|T\|_{\W_n}=\inf \gamma_n(T).$
Ясно, что в определении $ \W_n$ можно ограничиться элементами $ x_j$ и
$ y_j$ единичной нормы; при этом $ \|\cdot\|_{\W}=\|\cdot\|_{\W_1}$ и
$ \|\cdot\|_{\W_n}\lee \|\cdot\|_{\W_{n+1}}.$ }

\proclaim {\bf Теорема 8.10}\it
Если $ T\in\L(Y^*,X^*),$ то  $ \|T\|\lee \|T\|_{\W_n}\lee \sqrt n\,\|T\|$
\, (при $ n\in\Bbb N).$ В частности, $ \W_n(Y^*,X^*)=\L(Y^*,X^*)$ как
множества и $ \|\cdot\|_{W_1}=\|T\|.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Предложение 8.11}\it
Для всякого $ T\in\L(Y^*,X^*)$ и любого $ n\in\Bbb N \cup\{+\infty\}$
$$ \|T\|_{\W_n}= \sup_{\underset{\ssize \dim\,t\lee n}\to{t\in Y^*\ot X}}
    \,\inf_{S\in\L(X,Y)} \{ \|S\|:\ \tr S\circ t=\tr T^*\circ t\}.
$$
\endproclaim\rm
		    {\eightpoint
Таким образом, $ r=\|T\|_{\W_n}$ есть наименьшее число $ r,$ для которого,
грубо говоря, на всяком $ n$-мерном тензоре $ t\in Y^*\ot X$ элемент $ T$
может быть сколь угодно хорошо приближен операторами из шара радиуса $ r$
пространства $ \L(X,Y).$ Точнее, для $ n\in\Bbb N\cup \{ +\infty\}$
$$ \multline
\|T\|_{\W_n}=
  \inf \{ r>0:\\  \forall\, t\in Y^*\ot X, \dim t\lee n,\,
   \exists \, S\in\L(X,Y), \|S\|\lee r, \tr S\circ t= \tr T^*\circ t \}.
\endmultline
$$

Теперь, используя указанную характеризацию $ \|T\|_{\W_n},$
мы из теоремы 8.4 получаем утверждение, показывающее, что теорема 8.10
точна: }

\proclaim {\bf Следствие 8.12}\it
Существует сепарабельное банахово пространство $ X,$ $ X\in\AP,$
сепарабельное пространство $ Y$ с базисом, оператор $ T\in\L(Y^*,X^*)$
и постоянная $ C>0$ такие, что для всякого $ n\in\Bbb N$ \ \
$\|T\|_{\W_n}\gee C\sqrt n.$ В частности,
$ \|T\|_{\W_\infty}=+\infty$ и, следовательно,
$\W_\infty(Y^*,X^*) \subsetneqq \L(Y^*,X^*).$
\endproclaim\rm
    \bigp

%
\heading{\S9. Пространства без свойства аппроксимации
  порядка $p:$ случай $ p\lee 1$}\endheading
\med
%        \title {О банаховых пространствах без свойства аппроксимации}
%%%%    ФА и приложения 1982 выпуск 4

		    {\eightpoint
 Если $ X$ --- банахово пространство типа $ p$ и котипа $ q,$
то всякое его $ n$-мерное подпространство $ Cn^{1/p-1/q}$-дополняемо
в $ X$ (см. [13]). Шанковский [23] показал, что если
$ T(X)=\sup \{ p:\ X \text{ типа } p \}\neq2$ или
$ C(X)=\inf \{ q:\ X \text{ котипа } q \}\neq2,$  то в $ X$ есть
подпространство без свойства аппроксимации. Таким образом, если всякое
подпространство в $ X$ обладает свойством аппроксимации, то необходимо
$ T(X)=C(X)=2$ и, следовательно, все конечномерные подпространства
в $ X$ "хорошо" дополняемы. При этом пространство $ X$ не обязано быть
гильбертовым (или изоморфным ему). Примеры таких пространств
построены Джонсоном [7].

В связи с примерами Шанковского и Джонсона возникают естественные вопросы:
1){\it если $ T(X)=C(X)=2,$ то верно ли, что всякое подпространство в
$ X$ обладает свойством аппроксимации}? \, 2) насколько хорошо могут быть
дополняемы конечномерные подпространства пространства без свойства
аппроксимации: в частности, {\it существует ли пространство $ X$
без свойства аппроксимации, постоянные $ C$ и $ A$ такие, что
всякое $ n$-мерное подпространство в $ X$\, $ C\,\log^A n$-дополняемо}?
Эта %заметка
параграф посвящен ответам на сформулированные вопросы (отрицательному
--- на первый, положительному --- на второй).
			  \med

 Пример пространства без свойства аппроксимации, обладающего
достаточно хорошими конечномерными подпространствами, можно найти, например,
среди подпространств пространства
$$ Y=
\( \sum_n \( \sum_{A\in\Delta_n} l^2_{\ove{\ove A}}
             \)_{l^{p_n}}
    \)_{l^2}, $$
где $ \Delta_n$  --- подходящее разбиение множества
$ I_n= \{ 2^n+1,\dots , 2^{n+1}\};$
причем $ \ove{\ove{\Delta_n}}\lee C 2^{n/8}.$
Числа $ p_n$ определяются из соотношений
$ 1/p_n-1/2=n^{-1}\log_a n^{1+\e}$
$ (\e>0, a= \root{8}\of{2}).$ Ясно, что $ T(Y)=C(Y)=2.$


Пусть $ I_n= \{ 2^n+1,\dots , 2^{n+1}\};$ $ \{ e_k\}_1^\infty$ ---
стандартный базис в $ c_0;$ $ \{ e'_k\}_1^\infty$ --- набор
соответствующих координатных функционалов. Пусть, далее,
$ z_i=e_{2i}-e_{2i+1}+e_{4i}+e_{4i+1}+e_{4i+2}+e_{4i+3}$ и
$ z_i'= 2^{-1}(e'_{2i}-e'_{2i+1}).$ Обозначим через $ W$ линейную
оболочку множества $ \{ z_i\}$ и определим пространство
$ X_\e$ как замыкание в $ Y$ линейного подпространства $ W.$
			      }

\proclaim {\bf Теорема 9.1}\it
Пространство $ X_\e$ не обладает свойством аппроксимации. Суще\-ст\-ву\-ет
такая постоянная $ C_\e>0,$ что если $ E$ --- $ n$-мерное подпространство
в $ X_\e,$ то
1) $ d(E, l^2_n)\lee C_\e \log^{1+\e} n$ и
2) $E\  C_\e\log^{1+\e} n$-дополняемо в $ Y$ (и, значит, в $ X_\e$).
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
 Если определить $ \{p_n\}$ из соотношений
$ p_n^{-1}-2^{-1}=n^{-1}\, \log_an^{1+\e_n},$  где
$ \e_n\to 0$ и ряд $ \sum n^{-1-\e_n}$ сходится, то те же рассуждения
показывают, что {\it  существует такое банахово пространство $ X$
без свойства аппроксимации, что если $ \e>0$ и $ E$ ---
$ n$-мерное подпространство в $ X,$ то существует такой проектор $ P$
из $ X$ на $ E,$ что $ \gamma_2(P)\lee C_\e\,\log^{1+\e} n.$ }
%В частности, можно взять для любого $ \delta>0$ \,
%$ n^{\e_n}= (\log n)(\log\log n)\dots (\log^{1+\delta} \log\dots\log n).$
Естественно, возникает вопрос: существует ли банахово пространство без
свойства аппроксимации, в котором все $ n$-мерные подпространства
$ C\log n$-дополняемы? $ C\log n$-евклидовы?
		  }
    \med
%%%        \title {Исчезновение тензорных элементов в шкале
%              $ p$-ядерных операторов}
%%%%    Теория операторов и теория функций  1

		    {\eightpoint
Пример Джонсона [7] показывает, что существует банахово пространство,
не изоморфное гильбертову, такое, что все его подпространства обладают
свойством аппроксимации Гротендика. Эквивалентная переформулировка:
существует такое банахово пространство $ X,$ что все его подпространства
имеют свойство $ \AP,$ но для некоторого набора $ \{ E_n\}$
$ n$-мерных подпространств $ E_n$ в $ X$ относительные проекционные
константы $ \la_X(E_n)$ стремятся к $+\infty.$
Отметим, что из конструкции [7] вытекает, что можно найти $ X$ и
$ \{ E_n\}$ с указанными свойствами так, чтобы последовательность
$ \la_X(E_n)$ стремилась к $ +\infty$ быстрее любой степени $ \log n;$
в то же время, обязательно $ \la_X(E_n)\to+\infty$ медленнее любой степени
$ n,$ так как в противном случае метод Шанковского [23] позволил бы
обнаружить среди подпространств $ X$ пространство без свойства $ \AP.$
Любопытно было бы найти какую--либо характеризацию банаховых пространств,
все подпространства которых обладают свойством $ \AP.$ Заметим лишь, что
с помощью конструкции Шанковского из [23] {\it автору удалось найти
пример пространства без свойства аппроксимации, в котором всякое
$ n$-мерное подпространство $ C_\e\log^{1+\e} n$-дополняемо для любого
$ \e>0$} \, (константа $ C_\e$ зависит лишь от $ \e).$\footnote{
Эта теорема была сформулирована выше.} Напомним

\definition {\bf Определение 9.2}
Пространство $ X$ обладает свойством $ \AP_s$\, $ (X\in\AP_s),$
если для любого $ Y$ естественное отображение из $Y^*\wh\ot_s X$ в
$ \L(Y,X)$ взаимно однозначно.
\enddefinition

Напомним также, что $ \AP_r\implies \AP_s,$ если $ s\lee r\lee1;$ \,
$ AP_1$ --- это свойство аппроксимации Гротендика.
Далее, $ \S 2,$ \, $ \AP_1\implies \AP_q\ \forall\,q$
и всякое пространство обладает свойством $ \AP_{2}.$
Для любого $ s>2/3$ существует банахово
пространство, не обладающее свойством $ \AP_s$ \,(здесь $ s\neq2)$
(ниже будут приведены и некоторые намного более сильные факты).
	 }

\proclaim {\bf Теорема 9.3}\it
Пусть $ 0\lee r\lee1/2; c>0$ и банахово пространство $ X$ таково, что

$ (A_r)$ на любое его конечномерное подпространство $ E$ существует
проектор из $ X$ с нормой $ <c(\dim E)^r.$

Тогда $ X\in\AP_s,$ где $ s=(r+1)^{-1}.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Ниже будут сформулированы более общие факты.

Как и в случае $ r=0$ естественно поставить вопрос об обратимости теоремы:
пусть всякое подпространство пространства $ X$ имеет свойство $ \AP_s, s<1.$
Верно ли, что $ X$ удовлетворяет условию $ (A_r)?$
Имеются примеры, показывающие, что и в случае $ r>0$ ответ
отрицательный, а также, что в теореме 9.3 показатель $ s$ увеличить нельзя.
А именно, справедливы следующие теоремы.
		     }

\proclaim {\bf Теорема 9.4}\it
Для любого $ s\in[2/3, 1)$ существует банахово пространств $ Z$
со следующими свойствами:

$ 1)$ $ Z$ удовлетворяет условию $ (A_r),$ где $ r=1/s-1$
(следовательно, $ Z\in\AP_s);$

$ 2)$ в $ Z$ есть подпространство, не обладающее свойством $ AP_t$
ни при каком $ t>s, t\lee1.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 9.5}\it
Пусть $ p\in(2/3,1]$ и $ r=1/p-1.$ Существует банахово пространство
$ Z,$ обладающее свойствами:

$ 1)$ $ Z\notin \AP_p;$

$ 2)$ для всякого $ \delta>0$ существует такая константа $ c>0,$ что если
$ E$ --- конечномерное подпространство в $ Z,$ то
$$ \la_Z(E)\lee c (\dim E)^r\,\log^{2+\delta(\dim E)}.
$$

В частности, для любого $ s<p$  \, $ Z$ удовлетворяет условию
$ (A_{r(s)})$ из теоремы 9.3
и, следовательно, $ Z\in\AP_s\ \forall\, s<p.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 9.6}\it
Пусть $ s\in(2/3,1]$ и $ r=1/s-1.$ Существует банахово пространство $ Z,$
обладающее свойствами:

$ 1)$ всякое подпространство в $ Z$ обладает $ \AP_s;$

$ 2)$ в $ Z$ есть подпространство, не обладающее свойством $ AP_q$
ни при каком $ q\in (s,1];$

$ 3)$ существует последовательность $ \{ E_n\}$ конечномерных
подпространств в $ Z$ такая,  что для любого $ \al>0$
$$ \la_Z(E_n)\,\dim (E_n)^{-r}\,(\log\dim E_n)^{-\al}
	  \underset{n}\rightarrow\infty\to\longrightarrow +\infty.
$$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Теорема 9.3 моментально вытекает из следующей леммы.
Эта лемма, представляя самостоятельный интерес,
нужна также и при доказательстве теоремы 9.6.
			 }

\proclaim {\bf Лемма 9.7}\it
Пусть $ c>0, r\in[0,1/2]$ и $ \{ m_n\}_{n=1}^\infty$ ---
такая числовая последовательность, что $ m_n\to+\infty$ и если
$ E\sbs X$ и $ \dim E\lee m_n,$ то существует конечномерное подпространство
$ F\supset E$ и оператор $ p\in X^*\ot F$ такие, что
$ P|_E=\id_E$ и $ \|P\|\lee cm_n^r.$
Тогда $ X\in\AP_s,$ где $ s=(r+1)^{-1}.$ В частности, если всякое
подпространство в $ X$ размерности $ \lee m_n$ является
$ cm^r_n$-дополняемым, то  всякое подпространство в $ X$ обладает
свойством $ \AP_s.$
\endproclaim\rm

\bigp

\heading{\S10. Дальнейшие вариации на конечномерную тему:
случай $ p=1$}\endheading
\med
%        \title { On non-nuclear operators with nuclear adjoints}
%%%%    Выдержка из эстонской статьи

		    {\eightpoint
Ниже приводятся некоторые дальнейшие результаты, относящиеся
к Гротендиковским аппроксимационным условиям в банаховых пространствах.
Нас интересуют здесь как качественные, так и количественные аспекты проблем,
возникающих в этом направлении. В частности, мы формулируем аналоги
основного результата работы [10] для  случая пространств со свойством
ограниченной аппроксимации Гротендика, так же как и для случая конечномерных
операторов. Например, легко видеть, что для n-мерного оператора
$\,T\,$ имеет место следующее соотношение между его ядерной и интегральной
(по Гротендику) нормами:
если $\,\nu (T)=1\,$ то $\,i(T)\ge 1/\sqrt n.\,$ Оказывается, что
это соотношение асимптотически точно даже в пространствах со свойством
BAP.

Если $\,X\,$ --- банахово пространство, то $\,\pi_X:X\to X^{**}\,$
обозначает
каноническое вложение. Нам будет удобно говорить, что
банахово пространство $\,X\,$  {\it вполне сепарабельно}, если как
$\,X\,$ так и все его сопряженные пространства сепарабельны.
			      }

%
\proclaim {Теорема 10.1}\it
Существует вполне сепарабельное сопряженное банахово пространство $\,W\,$
с базисом такое, что для каждого $\,\al\ge 1\,$ на $\,W\,$ можно
ввести эквивалентную норму $\,\|\cdot\|_\al,$ с которой пространство
$\,W_\al = (W,\|\cdot\|_\al)\,$
обладает следующими свойствами:
\roster
\item "{(i)}"
$\,W_\al\in\al\,$-$\,\operatorname{MAP}\,$;
\item "{(ii)}"
$\,W_\al\notin\beta\,$-$\,\operatorname{MAP},\ \forall \beta < \al\,$;
\item "{(iii)}"
для любого $\,\e >0\,$ существует ядерный оператор
$\,t\in W^*\widehat \otimes W $ такой, что
{\rm a)}
$ \operatorname{trace}\, t=1\,$,
{\rm b)}
$ 1/ \al \le \|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{I}\left(W_\al,W_\al \right)}
 \le (1+\e)\, 1/ \al, $
{\rm c)}
$\,1 \,\le\, \|\,t\,\|_{\,\operatornamewithlimits{N}\left(W_\al,W_\al \right)}
\,\le \,(1+\e),\ $
{\rm d)}
$\,\|\,t\,\|_{\,\operatornamewithlimits{I}\left(W,W_\al \right)}
 \,\le \,1+\e, $
{\rm e)}~
$ \|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{N}\left(W,W_\al \right)}
\ge c\,\al \ \,
$ для некоторой абсолютной постоянной $\,c>0.\,$
\endroster
\endproclaim                  \rm


\proclaim {Теорема 10.2}      \it
Существует сепарабельное сопряженное банахово пространство $\,W$
с базисом и постоянная $\,C>0\,$ такие, что для каждого
$\,n\in\Bbb N\,$ найдется эквивалентная норма
$\,\|\cdot\|_n\,$ на $\,W\,$ и $n$-мерный оператор
$\,t_n:\, W_n\to W_n\,$,
где $\,W_n=\,\left(W,\|\cdot\|_n \right),\,$
обладающие следующими свойствами:

{\rm (i)}
$\,W_n\in\,\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP};\ $

{\rm (ii)}
$\,W_n\notin\,C^{-1}\,\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP}; $

{\rm (iii)}
$\,\|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{I}\left(W_n,W_n \right)}
 \le C/\sqrt n; \ $\

{\rm (iv)}
$\,\|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{N}\left(W_n,W_n \right)}
 \ge \operatorname{trace} t_n=1; $

{\rm (v)}~
$\,\|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{I}\left(W,W_n \right)}
 \le C ;\ $

{\rm (vi)}
$\,\|\,t\,\|_{\operatornamewithlimits{N}\left(W,W_n \right)}
 \ge c\sqrt n\ $ для некоторой абсолютной постоянной $\,c>0.$
\endproclaim                        \rm


\proclaim {Следствие 10.3}          \it
Если $\,Z\,$ --- такое сепарабельное %банахово
пространство, что
$\,Z^{**}\in \operatorname{AP}\,$ и $\,Z^{**}/\,Z\notin \operatorname{AP},$
то естественное вложение $\,\pi_Z: Z\to Z^{**}\,$ факторизуется через
сепарабельное пространство $\,X\,$ со свойством аппроксимации,
не обладающее свойством ограниченной аппроксимации.
\endproclaim                              \rm

		    {\eightpoint
(Это, по существу, получается при доказательстве теоремы 10.2).
				      }

\proclaim {Следствие 10.4}\it
Существуют вполне сепарабельное банахово пространство $\,X,$  $Y\,$ и
операторы
$\,A\in \operatorname{L}(Y,X),\,$
$\,B\in \operatorname{L}(X,Y^{**})\,$ и
$\,T\in \operatorname{L}(Y^{**},Y),\,$
со следующими свойствами:
\roster
\item "{1)}"
$\,X\in \operatorname{AP},\,$ $\,Y^{**}\,$ имеет базис;
\item "{2)}"
$\,\pi_Y=BA,\,$  $\,\pi_YT=BAT\in
\operatorname{N}\left(Y^{**},Y^{**} \right)\,$
\item "{3)}"
$\,T\in \operatornamewithlimits{N^{reg}}\left(Y^{**},Y \right),\,$
но
$\,T\,$ не лежит в замыкании множества $\,Y^{***}\otimes Y\,$ в
$\, \operatornamewithlimits{N^{reg}}\left(Y^{**},Y \right);\,$
\item "{4)}"
$\,AT\notin \operatorname{N}\left(Y^{**},X) \right),\,$
но
$\,AT\,$ не лежит в замыкании множества $\,Y^{***}\otimes X\,$ в
$\, \operatornamewithlimits{N^{reg}}\left(Y^{**},X \right).\,$
\endroster
\endproclaim                    \rm
\med

%_______________________________________________________________________

\med
%
\head{\bf III. АППРОКСИМАЦИЯ В $\Pi_p(X,Y)$ И АППРОКСИМАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА
                  ПОРЯДКА $p:$ случай $ p\gee1.$}\endhead
\vskip12pt

\heading{\S11. Топологический аспект}\endheading
%        \title {Аппроксимация операторов в банаховых пространствах}
%%%%    Калинин 1985 Применен. ФА в т. прибл.
 \med

 %\head \S 1. Аппроксимация абсолютно $ p$-суммирующих операторов \endhead

		    {\eightpoint
Ниже мы опишем топологию $ \tau_p$ в пространстве
$ \Pi_p(Y,X),$ для которой замыкание выпуклых множеств в $ \tau_p$
и в $ {}^*$\!-слабой топологии пространства $ \Pi_p(Y,X)$ совпадают
(это ответ на соответствующий вопрос Сафара в [22], с. 385).
Затем мы исследуем некоторые свойства пространства $ \Pi_p,$
связанные с этой топологией.
		    }

Итак, рассмотрим в пространстве $ \Pi_p(Y,X)$ топологию $ \tau_p$\
$ \pi_p$-компактной сходимости, базу окрестностей нуля в которой
определяют множества вида
$$ \omega_{K,\e}= \left\{ U\in \Pi_p(Y,X):\ \pi_p(U\Phi_K)<\e\right\},
$$
где $ \e>0,$\, $ K=\ove{\Gamma(K)}$ --- компактное подмножество в $ Y.$

\proclaim {\bf Предложение 11.1}\it
Пусть $ \R$ --- линейное подпространство в $ \Pi_p(Y,X),$  содержащее
$ Y^*\ot X.$ Тогда $ (\R,\tau_p)'$ изоморфно факторпространству
пространства\linebreak $ X^*\wh\ot Y.$ Точнее, если $ \ffi\in (\R, \tau_p)',$
то существует элемент $ z=\sum_1^\infty x'_n\ot y_n\in X^*\wh\ot Y$
такой, что
$$ \ffi(U)= \tr\, U\circ z,\ \, U\in \R. \tag$*$
$$
Обратно, для любого $ z\in X^*\wh\ot Y$ формула $ (*)$ определяет
линейный непрерывный функционал на $ (\R,\tau_p).$
\endproclaim\rm


\proclaim {\bf Следствие 11.2}\it
$ (\R,\tau_p)'=(\R,\sigma)',$ где $ \sigma=\sigma(\R, X^*\wh\ot_{p'} Y).$
Таким образом, замыкания в $ \tau_p$ и в $ \sigma$ выпуклых подмножеств
пространства $ \Pi_p(Y, X)$ совпадают.
\endproclaim\rm

Обозначим через $ X^*\wt\ot_{p'} Y$ замыкание
в пространстве $ \I_{p'}(X, Y^{**})$ (сопряженном к $ Y^*\wh{\wh\ot}_p X)$
множества  $ X^*\ot Y$ конечномерных операторов.

\proclaim {\bf Предложение 11.3}\it
Пусть $ A$ --- пересечение единичного шара из сопряженного к
$ X^*\wt\ot_{p'} Y$ пространства $ G=G(Y, X^{**})$ с пространством
$ Y^*\ot X.$ $ {*}$\!-слабое замыкание множества $ A$ в $ G\cap \Pi_p(Y,X)$
совпадает с замыканием $ A$ в $ (\Pi_p(Y, X), \tau_p).$
\endproclaim\rm


\proclaim {\bf Следствие 11.4}\it
В обозначениях предложения $11.3$ замыкание множества $ A$ в $ \tau_p$
совпадает с замыканием $ A$ в пространстве $ \L(Y,X)$ в топологии
компактной сходимости.
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 11.5}\it
Пусть $ C>0$ и $ T\in \Pi_p(Y,X).$ Эквивалентны следующие утверждения:

$1)$ существует сеть $ \left\{ T_\al\right\}, T_\al\in Y^*\ot X,$
сходящаяся к $ T$ в топологии $ \tau_p$ и такая, что $ \pi_p(T_\al)\lee C;$

$2)$ существует сеть $ \left\{ T_\al\right\}, T_\al\in Y^*\ot X,$
сходящаяся к $ T$ в топологии компактной сходимости
и такая, что $ \pi_p(T_\al)\lee C.$
\endproclaim\rm


\proclaim {\bf Предложение 11.6}\it
Для оператора $ T\in \Pi_p(Y,X), \ove{T(Y)}=X,$ следующие условия
равносильны:

$1)$ $ T\in \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p};$

$2)$ существует сеть операторов $ R_\al\in Y^*\ot Y$ такая, что
$ TR_\al\to T$ в топологии $ \tau_p.$
\endproclaim\rm


		    {\eightpoint
Следующие два предложения дают достаточные (но не необходимые, как
мы увидим ниже) условия плотности множества всех конечномерных
операторов в пространстве $ \Pi_p(Y,X)$ в топологии $ \tau_p$\
$ \pi_p$-компактной сходимости.
		       }

\proclaim {\bf Предложение 11.7}\it
%Если $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\pi_p},$ то  !!!
%$ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$
% --- Так было сформулировано в той статье, что проблематично -
%  так в случае p=\infty получается вроде бы открытый вопрос
%    Здесь - более нормальная формулировка:           !!!
Если $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\pi_p}$ для всякого банахова
простра\-н\-ства $ Y,$  то для любого $ Y$\
$ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$
\endproclaim\rm


\proclaim {\bf Предложение 11.8}\it
Если каноническое отображение $ j: X^*\wh\ot_{p'} Y\to \N_{p'}(X,Y)$
взаимно однозначно, то $ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Для рефлексивного пространства $ X$ сопряженное к $ X^*\wh\ot_{p'} Y$
пространство совпадает с пространством
$ \Pi_p(Y,X).$ Поэтому из 11.2 и 11.8 вытекает
			   }

\proclaim {\bf Следствие 11.9}\it
Для рефлексивного пространства $ X$ каноническое отображение
$ j: X^*\wh\ot_{p'} Y\to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно тогда и только
тогда, когда множество конечномерных операторов плотно в пространстве
$ \Pi_p(Y,X)$ в топологии $ \tau_p$\ $ \pi_p$-компактной сходимости.
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
В заключение наших рассуждений на тему
аппроксимации абсолютно $ p$-суммирующих операторов
приведем утверждение, показывающее, что из
существования не аппроксимируемого в топологии $ \tau_p$ абсолютно
$ p$-суммирующего оператора вытекает существование не аппроксимируемого
(в этой же топологии) квази-$ p$-ядерного оператора
(со значениями в том же пространстве).
	      }

\proclaim {\bf Предложение 11.10}\it
Если существует оператор
$ T\in \Pi_p(Y,X)\setminus \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p},$
то существуют рефлексивное пространство $ Z$ и оператор
$ U\in\QN_p(Z,X),$ не принадлежащий замыканию $\ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$
\endproclaim\rm
       \med
% \head \S 2. Аппроксимационные свойства банаховых пространств\endhead

		    {\eightpoint
Далее в этом параграфе мы фиксируем пространство образов
(либо пространство задания) операторов и исследуем условия,
при которых возможна аппроксимация конечномерными отображениями всех
абсолютно $ p$-суммирующих операторов со значениями в данном пространстве
(либо действующих из данного пространства).
				     }

\proclaim {\bf Предложение 11.11}\it
Для банахова пространства $ X$ равносильны утверждения:

$1)$ для всякого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство
$ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\pi_p};$

$2)$ для всякого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство
$ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p};$

$3)$ для всякого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство
$ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p};$

$4)$ для всякого рефлексивного банахова пространства $ Y$ имеет место
равенство $ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$
\endproclaim\rm


\proclaim {\bf Следствие 11.12}\it
Если для любого рефлексивного пространства $ Y$ каноническое отображение
$ X^*\wh\ot_{p'} Y \to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно, то для всякого
банахова пространства $ Y$ имеет место равенство
$ \QN_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\pi_p}.$
\endproclaim\rm


		    {\eightpoint
Из следствий 11.9 и 11.12 вытекает
				      }

\proclaim {\bf Следствие 11.13}\it
Для рефлексивного банахова пространства $ X$ равносильны\linebreak
утверждения:

$1)$ для %всякого
любого пространства $ Y$ каноническое отображение
$ X^*\wh\ot_{p'} Y\! \to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно;

$2)$ для всякого пространства $ Y$ конечномерные операторы плотны
в банаховом пространстве $ \QN_p(Y,X).$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Следующее утверждение содержит в себе, помимо прочего, частичное обращение
предложения 11.8.
		       }

\proclaim {\bf Следствие 11.14}\it
Для произвольного банахова пространства $ X$ равносильны ут\-вер\-ждения:

$1)$ для всякого пространства $ Y$ каноническое отображение
$Y^*\wh\ot_p X \to \N_p(Y,X)$ взаимно однозначно;

$2)$ для всякого рефлексивного банахова пространства $ Y$
каноническое отображение
$Y^*\wh\ot_p X \to \N_p(Y,X)$ взаимно однозначно;

$3)$ для всякого (рефлексивного) пространства $ Y$
$ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\tau_{p'}}= \Pi_{p'}(X,Y).$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Из предыдущего утверждения получается следующее хорошо известное
предложение:
			 }

\proclaim {\bf Следствие 11.15}\it
Если банахово пространство $ X$ обладает свойством аппроксимации
(Гротендика), то для любого $ p>1$ и любого пространства $ Y$ каноническое
отображение $Y^*\wh\ot_p X \to \N_p(Y,X)$ взаимно однозначно;
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Доказанные факты приводят нас к следующему определению, эквивалентному
соответствующему определению в [15], [16], [19], так же как и
определению, приведенному в начале данной работы.
			 }

\definition {\bf Определение 11.16}
Пусть $ p\gee 1.$ Банахово пространство $ X$ обладает свойством $ \AP_p$
(свойством аппроксимации порядка $ p$), если всякий абсолютно
$ p'$-суммиру\-ю\-щий оператор, действующий из пространства $ X,$
может быть аппроксимирован в топологии $ \pi_p'$-компактной сходимости
$ \tau_{p'}$ операторами конечного ранга.
\enddefinition

		    {\eightpoint
Из предложения 11.7 и следствия 11.14 вытекает
			     }

\proclaim {\bf Следствие 11.17}\it
Если для любого банахова пространства $ Y$ имеет место равенство
$ \QN_{p'}(X,Y)=\ove{X^*\ot Y}^{\,\pi_{p'}},$ то пространство $ X$
обладает свойством $ \AP_p.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Сформулируем для полноты картины следующее утверждение
о характеризации пространств со свойством $ \AP_p$ (доказательство
см. в [1]).
			  }

\proclaim {\bf Предложение 11.18}\it
Банахово пространство $ X$ обладает свойством $ \AP_p$ тогда и
только тогда, когда для любого банахова пространства $ Y,$
любого оператора $ T\in \Pi_{p'}(X,Y),$ всякой слабо
$ p'$-суммируемой последовательности $ \{ x_k\}$ элементов
пространства $ X$ и для любого $ \e>0$ существует такой конечномерный
оператор $ R: X\to Y,$ что $ \sum \|Ux_k-Rx_k\|^{p'}<\e.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Как и свойство $ \AP_1$ (обычное свойство аппроксимации Гротендика),
свойства $ \AP_p$ весьма полезны при исследовании разного рода вопросов
в геометрической теории линейных операторов (например, при описании
сопряженных пространств к некоторым пространствам операторов; так,
если $ X$ обладает свойством $ \AP_p,$ то
$ \N_p(Y,X)^*=\Pi_{p'}(X,Y^{**})$ для всякого пространства $ Y).$
Нам, однако, в заключение рассмотренной серии "положительных результатов"
хотелось бы привести один
простой факт, справедливый без каких--либо предположений об аппроксимации
(см. [22], где аналогичное утверждение
доказано в предположении свойства аппроксимации; см. также [8],
теорема 4.6, в которой установлен несколько менее общий результат).
					 }

\proclaim {\bf Предложение 11.19}\it Пусть $ p\in[1,+\infty).$
Равносильны утверждения:                    % действительно и при 1?!!!

$1)$ банаховы пространства $ X$ и $ Y$ рефлексивны;

$2)$ пространство $ \QN_p(X,Y)$ рефлексивно;

$3)$ пространство $ \Pi_p(X,Y)$ рефлексивно.
\endproclaim\rm
\med               %Proof !!! ?

 %\head \S 3. Контрпримеры\endhead

		    {\eightpoint
Обратимся теперь к рассмотрению некоторых контрпримеров, связанных
с темой этого параграфа
(большое число контрпримеров, касающихся свойств $ \AP_p,$ содержится
в [15], [16], [19]; многие из них рассматриваются в данной работе).
Напомним, что
для любого $ p\gee 1$ существует сепарабельное рефлексивное банахово
пространство, не обладающее свойством $ \AP_p.$ Более того, для любого
$ p\gee 1$ существует сепарабельное рефлексивное $ E,$ оператор
$ R\in \Pi_{p'}(E,E)$ и тензорный элемент $ t\in E^*\wh\ot_p E$ такие,
что $ \tr t\circ R=1$ и $ \tr t\circ A=0$ для любого конечномерного
оператора $ A\in E^*\ot E$ (за подробностями мы отсылаем читателя к работам
[15], [16], [19]).
					 }

\proclaim {\bf Предложение 11.20}\it
Для любого $ p\in [1,+\infty]$ существует сепарабельное рефлексивное
пространство $ E,$ сепарабельное сопряженное пространство $ H$ с базисом
такие, что каноническое отображение $ j: H^*\wh\ot_{p'} E\to \N_{p'}(H,E)$
не взаимно однозначно. С другой стороны, так как $ H$ обладает
свойством аппроксимации, то $ \QN_p(E,H)=\ove{E^*\ot H}^{\,\pi_p}$ и
$ \Pi_p(E,H)= \ove{E^*\ot H}^{\,\tau_p}.$
\endproclaim\rm


\proclaim {\bf Следствие 11.21}\it
Для всякого $ p\in[1,+\infty]$ существуют банахово пространство $ Z,$
элемент $ z\in Z^*\wh\ot_{p'} Z$ и оператор $ \Psi\in\Pi_p(Z,Z^{**})$
такие, что $ \tr \Psi\circ z=1,$ но $ \tr \Phi\circ z=0$ для всех
$ \Phi\in \Pi_p(Z,Z).$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 11.22}
При $ p=+\infty$ получаем ненулевой тензорный элемент $ z\in Z^*\wh\ot_1 Z,$
обращающийся в нуль на подпространстве $ \L(Z,Z)$ пространства
$ \L(Z,Z^{**}).$ Это --- ответ на вопрос (устный) шведского математика
С.Кайзера, который и обратил мое внимание на возможность существования
такого элемента $ z.$
\endremark\medpagebreak

Теперь мы покажем, что обращения предложения 11.7 и следствия 11.17
также не верны.
					     }

\proclaim {\bf Предложение 11.23}\it
Для всякого $ p\in [1,+\infty]$ существуют сепарабельное рефлексивное
пространство $ E,$ сепарабельное сопряженное пространство $ H$ с базисом
(и, значит, со свойством $ \AP_{p'}$) такие, что
$ \QN_{p}(H,E)\neq \ove{H^*\ot E}^{\,\pi_p};$ с другой стороны,
$ \Pi_p(H,E)=\ove{H^*\ot E}^{\,\tau_p}$ {\rm(см. следствие 11.14).}
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
В заключение приведем следующее, на первый взгляд удивительное,
утверждение, которое показывает, грубо говоря, что существуют
пространства $ X$ и $ Y,$ для которых замыкание в\linebreak
$\(\Pi_p(X,Y^{**}), w^*\)$
множества конечномерных операторов из $X$ в $Y$
минимально: совпадает с
$ X^*\wh{\wh\ot}_p Y. $
		       }

\proclaim {\bf Предложение 11.24}\it
Для всякого $ p\in [1,+\infty)$ существуют такие банаховы
(сепарабельные и рефлексивные) пространства $ X$ и $ Y,$ что
$$ \ove{X^*\ot Y}^{\,\tau_p}= X^*\wh{\wh\ot}_p Y.
$$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 11.25}
По--видимому, не известно, верно ли предложение 11.24 при $ p=+\infty.$
\endremark\medpagebreak
			     }
 %    \med
\bigp

%
\heading{\S12. Пространства без свойств $AP_p, p\gee1$}\endheading
%%%%    Math. Nachr. 109   -- 1982
%        \title {Свойства аппроксимации порядка $ p$ и существование
%          не $ p$-ядерных операторов с $ p$-ядерными вторыми сопряженными}
%%

%{\bf Леммы}
В этом параграфе мы приведем представляющие и самостоятельный интерес
вспомогательные утверждения (они, в частности, используются при
установлении всех фактов следующего параграфа).

\proclaim {\bf Лемма 12.1}\it
$ 1)$ Для каждого $ p<2$ существуют два сепарабельных рефлексивных
банаховых пространства $ E,F,$ оператор $ \ove{U}\in\QN_{p'}(E,F)$ и элемент
$ z\in F^*\wh\ot_1 E$ такие, что $ \tr z\circ \ove{U}=1$ и $ \tr z\circ \ffi=0$
для каждого $ \ffi\in E^*\ot F.$


$ 2)$ Для каждого $ v>2$
существуют два сепарабельных рефлексивных банаховых пространства $ E,F,$
оператор $ \ove{U}\in\QN_{1}(E,F)$ и элемент $ z\in F^*\wh\ot_м E$ такие,
что $ \tr z\circ \ove{U}=1$ и $ \tr z\circ \ffi=0$ для каждого
$ \ffi\in E^*\ot F.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 12.2}
В утверждении 1) леммы мы можем найти $ E,F,\ove{U}$ и $ z$ с тем
дополнительным свойством, что
$ \ove{U}\in \cap_{q>2} \QN_q(E,F).$
\endremark\medpagebreak
      }


\proclaim {\bf Следствие 12.3}\it
Для каждого $ r\neq2$ существует квази-$r$-ядерный оператор, не принадлежащий
замыканию множества всех конечномерных отображений по $ \pi_r$-норме.
Более того,

$ 1)$ если $ r>2,$ то существует квази-$r$-ядерный оператор,
не принадлежащий замыканию конечномерных относительно обычной операторной
нормы (и даже в топологии компактной сходимости!);

$ 2)$ существует оператор из $ \QN_1$ (и, таким образом, из
$ \QN_r, r<2),$ который не лежит в замыкании множества конечномерных
операторов по норме $ \pi_a,$ каково бы ни было $ a\in[1,2).$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 12.4}
1) Из замечания 12.2 следует, что существует оператор
$ U\in \cap_{q>2} \QN_q(E,F),$ не лежащий в замыкании множества
конечномерных операторов в топологии компактной сходимости.

2) Лемма 12.1 предоставляет примеры (для каждого $ r\neq2)$
$ r$-абсолютно суммирующих отображений (и даже квази-$r$-ядерных),
которые не являются $ r$-интегральными (впервые подобного рода
примеры были построены в [11]), так же как и
примеры квази-$r$-ядерных операторов (для $ r>2),$
не являющихся $ p$-факторизуемыми ни для какого $ p.$
\endremark\medpagebreak
       }

\proclaim {\bf Следствие 12.5}\it
Существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство $ Z$
такое, что для каждого $ r\neq2$ естественное отображение
$ Z^*\wh\ot_r Z\to \N_r(Z,Z)$ не взаимно однозначно.
В частности, для каждого $ r\neq2$ пространство $Z$ не обладает
свойством $ \AP_r.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Следствия 12.3 и 12.5 (они --- из работы [16]) в свое время показали,
что ответы на ряд старых вопросов Пича, Пелчинского, Сафара и др.
отрицательны.
		   }

\proclaim {\bf Лемма 12.6}\it
$ 1)$ Для каждого $ p<2$ существуют сепарабельное рефлексивное пространство
$ Y,$ сепарабельно пространство $ X$ с базисом (и с сепарабельными
сопряженными), оператор $ U\in\QN_{p'}(X,Y)$ и $ \wh{T}\in Y^*\wh\ot_1 X^{**}$
такие, что $ \tr \wh{T}\circ \ffi=0$ для любого $ \ffi\in X^*\ot Y$
и $ \tr \wh{T}\circ U=1.$

$ 2)$ Для каждого $ v>2$ существуют сепарабельное рефлексивное пространство
$ Y,$ сепарабельно пространство $ X$ с базисом,
оператор $ U\in\QN_{1}(X,Y)$ и элемент $ \wh{T}\in Y^*\wh\ot_v X^{**}$
такие, что $ \tr \wh{T}\circ U=1$ и
$ \tr \wh{T}\circ \ffi=0$ для любого $ \ffi\in X^*\ot Y.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 12.7} В лемме 12.6 $ X$
обладает свойством $ \MAP,$
а $ X^{**}$ не обладает свойством $ \AP_p$ в случае 1) и свойством
$ \AP_v$ в случае 2).
\endremark\medpagebreak
		   }
%\med
    \bigp

%
%{ПРОСТРАНСТВА БЕЗ СВОЙСТВ $AP_p$: }
%               Где исчезают тензорные элементы?
%  Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов

%\head  Где исчезают тензорные элементы? \endhead

		    {\eightpoint
Следующая теорема из [19] дополняет и уточняет предыдущие результаты.

Для сокращения формулировки теоремы нам удобно ввести такое обозначение:
если $ s\lee p,$ то $ j_{sp}$ --- каноническое отображение
$ X^*\wh\ot_s Y\to X^*\wh\ot_p Y.$
				  }

\proclaim {\bf Теорема 12.8}\it\,
$ А)$ Если $ s\lee1$ и $ p\gee 2s/(2-s),$ то для любых $ X$  и $ Y$
каноническое отображение $ \ffi_{sp}: j_{sp}(X^*\wh\ot_s Y)\to \L(X,Y)$
взаимно однозначно.

$ B)$ Если $ s\in[1,2],$ то для любых $ X$  и $ Y$ отображение
$ \ffi_{s2}$  взаимно однозначно.

$ C)$ Если $ s>2,$ то не существует числа $ p,$ такого, что для всех $ X$
и $ Y$ отображение $ \ffi_{sp}$  взаимно однозначно.

$ A')$
$ 1)$ Для любых чисел $ s\in(2/3, 1]$ и $ p<2s/(2-s)$ существуют
пространства $ X$ и $ Y,$ такие, что $ \ffi_{sp}$ не является взаимно
однозначным.

$ 2)$ Если $ r\in[2/3, 1),$ то существует пара пространств $ X,Y,$
таких, что для любого $ s>r$ отображение $ \ffi_{sp}$ взаимно
однозначно при $ p>2r/(2-r),$ но не является взаимно однозначным при
$ p=2r/(2-r).$

$ B')$ Если $ 1\lee s\lee p<2,$ то существует пара пространств $ X,Y,$
таких, что отображение $ \ffi_{sp}$ не взаимно однозначно.

\endproclaim\rm
%\med

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

     \bigp

%%
\heading{\S13. Нерегулярность идеалов $\N_p:$ случай незамкнутости
           $\N_p$  в $\N_p^{\reg}$}\endheading
%%%%    Math. Nachr. 109   -- 1982
%        \title {Свойства аппроксимации порядка $ p$ и существование
%          не $ p$-ядерных операторов с $ p$-ядерными вторыми сопряженными}
%%


Основная теорема этого параграфа --- теорема из [16] о перенормировке типа
Фигеля--Джонсона [4] пространства $ X$ из леммы 12.6 предыдущего параграфа
(со свойством метрической аппроксимации),
для которого второе сопряженное не об\-ла\-дает свойством $ \AP_p$
(или $ \AP_v$).

\proclaim {\bf Теорема 13.1}\it
Пусть $ X,Y,U$ --- из леммы $12.6.$ Существует конечномерный оператор
$ T_0\in Y^*\ot X,$ для которого справедливы следующие
утверждения:

$ 1)$ Для любого $ \delta>0$ и для каждого $ p<2$ существует эквивалентная
норма на $ X,$ скажем $ |||\cdot|||,$ такая, что если
$ X_\delta= (X, |||\cdot|||),$ то

$ (i_1)$ $ X_\delta\in \AP;$

$ (ii_1)$ $ \|U\|_{\Pi_{p'}(X_\delta,Y)}\lee 3/2;$

$ (iii_1)$ $ U$ не принадлежит замыканию шара радиуса $ 4/5\,\delta$
пространства $ X^*_{\pi_\infty} Y$ в пространстве $ \L(X_\delta, Y)$
в топологии компактной (или поточечной) сходимости;

$ (iv_1)$ $ \|T_0\|_{Y^*\wh\ot_p,X_\delta}\gee 1/2;$

$ (v_1)$ $ \|T_0\|_{\I_1(Y,X^{**})}< \delta.$

$ 2)$ Для любого $ \delta>0$ и для каждого $ v>2$ существует эквивалентная
норма на $ X,$ скажем $ |||\cdot|||,$ такая, что если
$ X_\delta= (X, |||\cdot|||),$ то

$ (i_2)$ $ X_\delta\in \AP;$

$ (ii_2)$ $ \|U\|_{\Pi_1(X_\delta,Y)}\lee 3/2;$

$ (iii_2)$  $ U$ не принадлежит замыканию шара радиуса $ 4/5\,\delta$
пространства $ X^*_{\pi_{v'}} Y$ в пространстве $ \Pi_{v'}(X_\delta, Y)$
в топологии компактной $($или поточечной$)$ сходимости;

$ (iv_2)$ $ \|T_0\|_\infty\gee 1/2;$\footnote{Для $ R\in \L(Z_1,Z_2)$ \
$ \|R\|_\infty= \inf \{ \|R_1\|\,\|R_2\|:\ R_1\in\L(Z_1,C(K)),\,
R_2\in\L(C(K), Z_2)\}.$    }

$ (v_2)$ $ \|T_0\|_{\I_v(Y,X^{**})}< \delta.$

Более того, как в случае $1),$ так и в случае $2)$ норма $ |||\cdot|||,$
дуальная к которой определяется соотношением
$ |||x'|||=\|x'\|+A \operatorname{ dist}\, (x',L),$
удовлетворяет всем указанным выше условиям при подходящем выборе
числа $ A.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 13.2}\it
$ 1)$ Для каждого $ C>0$ и любого $ q>2$ существует сепарабельное пространство
$ X$ и сепарабельное рефлексивное пространство $ Y,$ оператор
$ U\in \QN_q(X,Y)$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \BAP,$
\,$\pi_q(U)=1$ и $ U$ не является пределом конечномерных операторов
$ \ffi,$ с нормами $\|\ffi\| \lee C, $ в топологии компактной сходимости.

$ 2)$ Для каждого $ C>0$ и любого $ q>2$ существует сепарабельное пространство
$ X$ и сепарабельное рефлексивное пространство $ Y,$ оператор
$ U\in \QN_1(X,Y)$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \BAP,$
\,$\pi_1(U)=1$ и $ U$ не является пределом конечномерных операторов
$ \ffi,$ с нормами $\pi_q(\ffi) \lee C, $ в топологии компактной сходимости.
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 13.3}\it
$ 1)$ Для каждого $ \delta>0$ и любого $ p<2$ существует сепарабельное
пространство $ X,$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y $ и оператор
$ T\in Y^*\ot X$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \BAP,$
$ \|T\|_{\N_p(Y,X)}=1$ и $ \|T\|_{\I_1(Y,X^{**})}<\delta.$

$ 2)$ Для каждого $ \delta>0$ и любого $ p>2$ существует сепарабельное
пространство $ X,$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y $ и оператор
$ T\in Y^*\ot X$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \BAP,$
$ \|T\|_\infty=1$ и $ \|T\|_{\I_p(Y,X^{**})}<\delta.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 13.4}\it
Для каждого $ C>0$ и для любого $ p\gee1, p\neq2$
существует банахово пространство $ X$ со свойством $ C$-$\MAP_p$
такое, что $ X$ не обладает свойством $ C_1$-$\MAP,$ если $ C_1<C.$
\endproclaim\rm
 \small

%\head {\bf \S 3. Применения } \endhead
Теперь мы приведем основные применения сформулированной выше теоремы.

\proclaim {\bf Теорема 13.5}\it
$ 1)$ Для каждого $ q>2$ существуют сепарабельное пространство $ X$
$($со свойством $\AP),$  сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$
и оператор $ U\in\QN_q(X,Y)$ такие, что

$ (i)$ $ U$ лежит в замыкании множества $ X^*\ot Y$ в $ \QN_q(X,Y)$
в топологии $$ \sigma \( \QN_q(X,Y), Y^*\wh\ot_{q'} X\)$$
$($следовательно, и в топологии компактной сходимости$),$ но

$ (ii)$ для всякого $ C<+\infty$ \, $ U$ не является пределом,
в топологии компактной сходимости, конечномерных операторов $ \Phi,$
нормы которых $ \|\Phi\|\lee C.$

$ 2)$ Существуют сепарабельное пространство $ X$
$($со свойством $\AP),$  сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$
и оператор $ U\in\QN_1(X,Y)$ такие, что

$ (i)$ $U\in X^*\ot_2 Y$ \,$(очевидно),$ но

$ (ii)$ если $q<2,$ то для всякого $ C>0$ \, $ U$ не является пределом,
в топологии компактной сходимости, конечномерных операторов $ \Phi,$
для которых $ \pi_q(\Phi)\lee C.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 13.6}\it
$ 1)$  Существуют сепарабельное пространство $ X$ $($со свойством $\AP),$
сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$ и оператор $ T\in\L(X,Y)$
такие, что $ T^{**}\in\N_1(Y,X^{**}),$ но для каждого $ p<2$\
$T\notin \N_p(Y,X);$ более того, существует последовательность
$ \{ T_n\}$ в $ Y^*\ot X$ такая, что $ T_n\to T$ по норме, индуцированной
из $ \N_1(X,Y^{**}).$


$ 2)$ Существуют сепарабельное пространство $ X$ (со свойством $\AP),$
сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$ и оператор $ T\in\L(X,Y)$
такие, что для каждого $ p>2$\ $ T^{**}\in\N_p(Y,X^{**}),$ но
$T$ не факторизуется ни через какое пространство $ C(K)$ $($следовательно,
не лежит в $ \N_r,$ если $ r\in[1, +\infty));$
более того, существует последовательность
$ \{ T_n\}$ в $ Y^*\ot X$ такая, что $ T_n\to T$ по любой из норм
$ \wt{\nu_p},\, p>2,$ индуцированной из $ \N_p(X,Y^{**}).$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 13.7}\it
Существует банахово пространство со свойством $ \AP$ $($сле\-до\-ва\-тельно,
со
свойством $ \AP_p$ для каждого $ p>0),$ не обладающее свойством
$ \BAP_p$ ни для какого $p,$ $p\neq2.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 13.8}\it
Для каждого $ p\neq2$ существует интегральный по Гротендику, но не
интегральный по Пичу оператор.
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 13.9}\it
Для каждого $ p\neq2$ существует не $ p$-ядерный оператор с
$ p$-ядерным вторым сопряженным.
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 13.10}\it
Существует оператор, не факторизуемый ни через какое пространство
$ C(K),$ второй сопряженный к которому компактно факторизуется
через пространство $ c_0.$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Как следствие мы опять (и подобное будет происходить на протяжении всей
статьи) получаем следующий результат Фигеля--Джонсона:
существует банахово пространство со свойством $ \AP,$ не обладающее
свойством $ \BAP;$ существует не ядерный оператор с ядерным сопряженным.

\remark {\bf Замечание 13.11}
Так как в лемме 12.1,1), в лемме 12.6,1), в теореме 13.1,1),
в следствии 13.2,1)\ $ \ove{U}$ и $ U\in \cap_{q>2} \QN_q$\,
(см. замечание 12.2), то мы в теореме 13.5,1) имеем:
$ \exists\, X,Y; \,U\in \cap_{q>2} \QN_q $ такие, что $ U$
принадлежит замыканию множества конечномерных отображений
в топологии компактной сходимости $ \tau_c,$ но для каждого $ C>0$ \,
$ U$ не есть предел в $ \tau_c$ конечномерных операторов $ \ffi,$
нормы которых не превосходят $ C.$
\endremark %\medpagebreak
    						   }
    \bigp
% {\it C) НЕРЕГУЛЯРНОСТЬ ИДЕАЛОВ $\N_p:$ СЛУЧАЙ НЕЗАМКНУТОСТИ
  %         $\N_p$  В $\N_p^{\reg}$:}
%           Где исчезают $ p$-ядерные операторы?
%\head \S 3. Где исчезают $ p$-ядерные операторы? \endhead
 Следующая теорема из [19] полностью отвечает на вопрос типа
"где исчезают $ p$-ядерные операторы?" (подробное обсуждение проблемы
можно найти в [19]).

\proclaim {\bf Теорема 13.12}\it
$ A)$ Пусть $ s\lee1, p=2s/(2-s);$\, $ T\in\L(X,Y).$
Если $ T\in \N_s(X,Y^{**}),$ то $ T\in\N_p(X,Y).$

$ B)$ Пусть $ s\in[1,2].$ Если $ T\in\L(X,Y)$ и $ T\in\N_s(X,Y^{**}),$
то $ T\in\N_2(X,Y).$

$ A')$
$ 1)$ Если $ s\in(2/3,1]$ и $ p<2s/(2-s),$ то
существуют пространства $ X,Y$ и оператор $ T\in\L(X,Y)$ такие, что
$ T\in\N_s(X,Y^{**}),$ но $ T\notin \N_p(X,Y).$

$ 2)$ Для всякого $ r\in[2/3,1)$ существуют пространства $ X,Y$
и оператор $ T\in\L(X,Y)$ такие, что $ T\in\N_s(X,Y^{**})$ для любого
$ s>r,$ но $ T\notin\N_{2r/(2-r)}(X,Y);$
в то же время $ T\in\cap \{ \N_q(X,Y):\ q>2r/(2-r)\}.$

$ B')$ Существуют пространства $ X,Y$ и оператор $ T\in L(X,Y)$ такие,
что $ T\in\N_1(X,Y^{**}),$ но $ T\notin\N_p(X,Y)$ при $ p<2.$

$ C')$  Существуют пространства $ X,Y$ и оператор $ T\in L(X,Y)$ такие
что $ T\in\N_s(X,Y^{**})$ для любого $ s>2,$
но $ T\notin\N_\infty(X,Y).$
\endproclaim\rm

\remark {\bf Замечание 13.13}
В утверждениях $ A'),\,1)-2)$ и в $B'), C') $\ существует последовательность
$ \{ T_n\}$ в $ Y^*\ot X$ такая, что $ T_n\to T$ по норме, индуцированной
соответственно из
$\N_s(X,Y^{**}),\, \N_1(X,Y^{**}).$
 \endremark\medpagebreak

\proclaim {\bf Следствие 13.14}\it
При $ p>2/3, p\neq 2,$
идеал $ \N_p$ не является регулярным.
\endproclaim\rm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% из CompR2.tex

\proclaim {\bf Теорема 13.15}\it
Пусть $ s\gee 1.$
 Предположим, что каноническое отображение
$ X^*\otimes_s Y^{****}\to \L(X, Y^{****})$ взаимно однозначно или
$ Y^{***}\in \AP_1.$ Тогда имеет место включение
$ \N_s^{\reg}(X,Y)\subset \N_s(X,Y).$
В частности, это верно, если $ X^*\in \AP_1$  или $ Y^{****}\in \AP_s.$
\endproclaim\rm

\remark {\bf Замечание 13.16}
Приводимая ниже теорема 14.1  показывает, что аппроксимационные условия
в теореме 13.15 существенны.
\endremark
%\medpagebreak
\bigp


%
\heading{\S14. Нерегулярность идеалов $\N_p:$ случай замкнутости
            $\N_p$  в $\N_p^{\reg}$}\endheading
  \med

Перед тем как сформулировать центральные результаты этого параграфа,
отметим, что при доказательстве нижеследующей теоремы получается
тот факт, что соответствующие пространства $ \N_p$ являются собственными
{\it замкнутыми}\ подпро\-странствами в $ \N_p^{\reg}$ (откуда
автоматически вытекает, в частности, снова нерегулярность рассматриваемых
операторных идеалов).

\proclaim {\bf Теорема 14.1}\it
$1)$ Существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ F,$ сепарабельное
пространство $ Z,$ $ T\in\L(F,Z)$ и $ U\in \cap_{q>2} \Pi_q(Z^{**},F)$
такие, что $ Z^{**}$ имеет базис, $ U|_Z=0,$ $ \tr UT^{**}=1,$
$ T\in \N_1^{\reg}(F,Z)$ и $ T\notin \N_p(F,Z),$ если $ p<2.$

$2)$ Для каждого $ s>2$ существуют сепарабельное рефлексивное
пространство $ F,$ сепарабельное пространство $ Z,$ $ T\in\L(F,Z)$ и
$ U\in \Pi_1(Z^{**},F)$ такие, что $ Z^{**}$ имеет базис,
$ U|_Z=0,$ $ \tr UT^{**}=1,$
$ T\in \N_s^{\reg}(F,Z)$ и $ T\notin \N_\infty(F,Z).$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 14.2}\it
$1)$ Существуют два пространства $ W$ и $ Z$ такие, что $ W$ и $ Z^{**}$
имеют базисы и такие, что
$ \N_1^{\reg}(W,Z)\not\sbs \N_p(W,Z)$ для $ p<2.$

$2)$Для каждого $ s>2$ существуют два пространства $ W$ и $ Z$ такие,
что $ W$ и $ Z^{**}$ имеют базисы и такие, что
$ \N_s^{\reg}(W,Z)\not\sbs \N_\infty(W,Z).$
\endproclaim\rm

\remark {\bf Замечание 14.3}
Последний результат обобщает основную теорему из [10], полученную для
$ p=1.$
\endremark\medpagebreak

\proclaim {\bf Следствие 14.4}\it
Существует сепарабельное пространство $ V$ такое, что $ V$ име\-ет базис и
такое, что:

$1)$ для каждого $ p\gee 1, p\neq 2,$ существует $ T\in \L(V,V),$
$ T\notin \N_p(V,V),$ такой, что $ T^{**}$ является $ p$-ядерным;

$2)$ существует $ T\in\L(V,V)$ такой, что $ T$ не факторизуется ни
через какое пространство $ C(K),$ но $ T^{**}$ факторизуется
через пространство $ c_0.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 14.5}\it
$1)$ Существуют такие два пространства $ F, Z$ и операторы
$ T\in\Pi_0(F,Z),$ $ U\in \bigcap_{p>2} \Pi_p(Z^{**}, F),$ что
$ Z^{**}$ имеет базис, $ TU\notin \N_1(Z^{**}, Z),$ но
$ T^{**}\in \N_1(Z^{**}, Z^{**}).$

$2)$ Для каждого $ s>2$ существуют два пространства $ F$ и $ Z$ и операторы
$ T\in \Pi_s(F, Z),$ $ U\in \Pi_0(Z^{**}, F)$ такие, что
$ Z^{**}$ имеет базис, $ TU\notin \N_1(Z^{**}, F),$
но $ T^{**}U\in \N_1(Z^{**}, Z^{**}).$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 14.6}\it
Для каждого $ r>2$ существуют пространства $ F,$ $ G$ и $ Z$ и операторы
$ T\in \N_r(F, G)$ и $ U\in\N^{\reg}_1(G, Z)$ такие, что
$ F,$ $ G,$ $ Z^{**}$  имеют базисы и
$ UT\notin \N_p(F,Z),$ если $ p<2.$
В частности, $ \I_1\circ\I_r\not\sbs \cup_{p<2}\N_p;$ если $ q<2$ и
$ 1/r+1/s=1/q\lee 1,$ то $ \I_s\circ\Pi_r\not\sbs \N_q$
$(\I_p$ {\rm --- идеал $ p$-интегральных операторов).}
\endproclaim\rm

\remark {\bf Замечание 14.7}
Если $ 1/r+1/s=1/q\lee 1$ и $ 1<r,s<+\infty,$ то
$ \I_s\circ\Pi_r\sbs \N_q^{\reg}$ (см. [12], теорема 24.6.4).
\endremark\medpagebreak
    \bigp

%%%%    Теория операторов и теория функций  1
%  Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов
\heading{\S15. Приближение квази-p-ядерных операторов:
           количественный аспект, $p>2$ }\endheading
  %\head  Плохие квази-$q$-ядерные операторы
%\endhead

		    {\eightpoint
Если $ U\in\Pi_{p'},$
то на всяком $ n$-мерном подпространстве области определения оператора $ U$
его можно отождествить с таким конечномерным оператором $ \Phi,$
что $ \pi_{p'}\lee n^{1/2-1/{p'}}\pi_{p'}(U).$  Что можно сказать
о точности этого результата?
			       }

\proclaim {\bf Теорема 15.1}\it
Для любых $ q>2$ и $ \e>0$ существуют пространства $ E,F$ и оператор
$ U\in\QN_q(E,F),$ такие, что

$ 1)$ $E=\cup_1^\infty E_n,$\, где $ E1\sbs E_2\sbs \dots;$\,
$ \dim E_n\lee n;$

$ 2)$ существует $ C>0$ такое, что если $ \Phi\in E^*\ot F$ и
$ \Phi|_{E_n}= U|_{E_n},$ то $ \pi_q(\Phi)\gee Cn^{1/2-1/q-\e}\pi_q(U).$
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
Таким образом, в степенной шкале сформулированный выше результат является
точным. В теореме 15.1 (таково ее доказательство в [19]), однако,
 оба пространства $ E$ и $ F$ не обладают
свойством аппроксимации, а оператор $ U$ не принадлежит замыканию
конечномерных операторов в топологии $ \tau_c$ компактной сходимости.
Можно ли найти оператор $ U$ из $ \QN_q$ (для $ Q>2),$ также обладающий
"экстремальным" свойством 2), но аппроксимируемый в $ \tau_c$ операторами
конечного ранга? Оказывается, можно, но подпространства $ E_n$ из 1)
в этом случае (у нас) уже не расположены в $ E$ так же хорошо, как
в теореме 1 (см. ниже теорему 2).

Наиболее прозрачна ситуация при $ q=+\infty,$  т.е. $ \pi_q=\|\cdot\|.$
В этом случае наш второй вопрос выглядит так. Пусть $ T\in\L(X,Y).$
Поскольку на всякое $ n$ -мерное подпространств $ H$ в $ X$ есть проектор
с нормой не выше $ N^{1/2},$ то на $ H$ оператор $ T$ можно отождествить
с некоторым оператором $ \Phi\in X^*\ot Y,$\, $ \|\Phi\|\lee n^{1/2}\|T\|.$
Предположим, что оператор $ T$ "обладает свойством аппроксимации",
т.е. $ T\in \ove{X^*\ot Y}^{\,\tau_c},$ но "не обладает свойством
ограниченной аппроксимации", т.е. нет такой постоянной $ c>0,$ что
на всяком конечномерном подпространстве в $ X$  оператор $ T$
совпадает с некоторым $ \Phi\in X^*\ot Y,$ $ \|\Phi\|\lee c.$
Насколько плохим может быть этот оператор  с количественной точки зрения?
Верно ли, что, вообще говоря, на $ n$-мерных подпространствах он не может
быть приближен конечномерными операторами, нормы которых существенно меньше
$ n^{1/2}\|T\|?$\footnote{На $ n$-мерных вне зависимости от $ n$!!!
06.02.00 0:46:58 Sat}
Следующая теорема показывает, что такие операторы есть.
				       }
\proclaim {\bf Теорема 15.2}\it
Для всяких $ q>2$ и $ \e>0$ существуют пространства $ E,F$ и оператор
$ U\in\QN_q(E,F)$ такие, что

$ 1)$ $ E$  обладает свойством аппроксимации;

$ 2)$ в $ E$ содержится набор $ \{ E_n\}$ подпространств  таких. что

$ a)$ $ \dim E_n\lee n;$

$ b)$ если $ \Phi\in E^*\ot F$ и $ \Phi|_{E_n}=U|_{E_n},$
то $ \pi_q(\Phi)\gee Cn^{1/2-1/q-\e},$ где константа $ C>0$ зависит
только от $ q,\e.$
\endproclaim\rm


		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 15.3} %!!! в статье немого по-другому.
На самом деле при доказательстве теоремы получается, что в утверждении
в 2б) имеет место неравенство $ \|\Phi\|\gee cn^{1/2-1/q-\e}$
для всякого конечномерного $ \Phi$ такого, что  $ \Phi|_{E_n}=U|_{E_n}.$
Кроме того, при $ q=+\infty$ можно взять $ E=F$ и $ U=\id_E.$
\endremark\medpagebreak
		}
     		 \bigp

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\heading{\S16. Пример: пространство Харди $H^\infty$}\endheading

Неизвестно, обладает ли пространство Харди $ H^\infty$ свойством
аппроксимации, Однако, можно показать, что для каждого $ p\neq1$
\, $ H^\infty$ обладает аппроксимационным свойством $ \AP_p,$
и, более того, что $ H^\infty$
удовлетворяет условию аппроксимации "с точностью до логарифма"
(см. теорему 16.5).

Напомним еще раз, что
банахово пространство $ X$ имеет свойство $ \AP_p,$ если
каноническое отображение $ Y^*\wh\ot_p X\to \N_p(Y,X)$
взаимно однозначно. Если $ p\gee 1,$ то $ X$ имеет свойство $C$-$\MAP_p,$
если для каждого $ Y$ каноническое отображение
$ Y^*\wh\ot_p X\to \I_p(Y,X^{**})$ есть $ C$-изометричное вложение.


\proclaim {\bf Теорема 16.1}\it
Пространство $ H^\infty$ обладает свойством $ \AP_p$ для всякого
$ p>0, p\neq1.$ Более того, если $ p>1,$ то $ H^\infty$ и все его
четные сопряженные имеют свойство $1$-$\MAP_p;$ если $ p<1,$ то
все сопряженные к $ H^\infty$ пространства имеют свойство $ \AP_p.$
\endproclaim\rm

Теорема 16.1 является непосредственным следствием следующих трех
утверждений.

\proclaim {\bf Теорема 16.2}\it
Пусть $ p>1$ и $ X$ --- такое банахово пространство, что
$ \Pi_{p'}(X,Z)$ $=\I_{'}p(X,Z)$ как множества для каждого (рефлексивного)
банахова пространства $ Z.$ Тогда $ X$ и все его четные сопряженные
обладают свойством $1$-$\MAP_p.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 16.3} \rm (ср. [19]). \it
Если $ p\in[1,2]$ и $ X$ имеет свойство $ \AP_p,$ то $ X$
обладает также свойством $ \AP_s,$ где $ 1/p+1/s=2.$ Таким образом,
если $ X$ имеет свойство $ \AP_p$ для каждого $ p>1,$ то $ X$
имеет свойство $ \AP_p$ для всех $ p>0, p\neq1.$
\endproclaim\rm

Из теорем 16.2 и 16.3 вытекает

\proclaim {\bf Следствие 16.4}\it
Пусть $ p>1$ и $ X$ --- такое банахово пространство, что
для каждого $($рефлексивного$)$ банахова пространства $ Z$ \
%имеет место равенство
$ \Pi_{p'}(X,Z)=\I_{p'}(X,Z).$
Если $ 1/s+1/p=2,$ то пространство $ X,$ так же как
и все его сопряженные, обладают свойством $ \AP_s.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 16.5} \it
Существует такая функция $ B(\e),$ \,$\e>0,$ что если $ (x_j)_{j=2}^\infty$
--- последовательность в $ H^\infty,$ удовлетворяющая соотношениям
$$ \|x_j\|\le \frac1{\log j}, \ j=2,3,\dots,
$$
то существует такой оператор $ T: H^\infty\to H^\infty,$ что

$ 1)$ \, $\sup_j \|Tx_j-x_j\|<\e, $

$ 21)$\, $ \operatorname{ rank} T< B(\e),$

$ 3)$\, $ \|T\|< B(\e).$
\endproclaim\rm
\bigp
%     \med

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\head{\bf IV. НЕПРЕРЫВНОСТЬ p-ЯДЕРНЫХ И ДРУГИХ НОРМ ПО ПАРАМЕТРУ p}\endhead
\vskip12pt

% 2        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\med\med

\heading{\S17. Непрерывность $\pi_p$- \, и $\nu_p$-норм}
\endheading
%\vskip10pt
\med

\proclaim {\bf Лемма 17.1}\it
Если $X, \, Y$ --- банаховы пространства, $T$ --- конечномерный
оператор из $X $ в $Y, $ и $1\le r\le +\infty,$ то
$ \lim_{s \to r} \, \pi_s\,(T)=\pi_r(T).$
\endproclaim \rm

\proclaim {\bf Лемма 17.2}\it Пусть $X,Y $ --- банаховы пространства,
 $r\in [1,+\infty) $ и $T\in \Pi_s(X,Y)$ для всех $ s, s>r.$
 Тогда $ \lim_{s \to r\ssize +0} \, \pi_s\,(T)=\pi_r(T).$ В частности, если
 все нормы $\pi_s\,(T)$ при $s>r$ ограничены одной константой $C>0,$
 то $T\in \Pi_r(X,Y)$ и $\pi_r(T) \le C.$
\endproclaim \rm


\proclaim {\bf Лемма 17.3}\it
Если $X,Y $ --- банаховы пространства, $p\in (1,+\infty] $ и $T$ ---
$q$-ядерный оператор из $X$ в $Y$ для некоторого $q\in [1,+\infty),
\, q<p,$ то $ \lim_{q \to p\ssize -0} \, \nu_q\,(T)=\nu_p\,(T).$
                                   \endproclaim \rm

\proclaim {\bf Лемма 17.4}\it
Если $p\in (0,+\infty]$ и $T\in \operatorname{\Pi}\!{_{p-\delta}}
\left(X,Y \right)$ для некоторого $\delta >0$, то
$$\lim_{q\to p-0} \pi_q\left(T \right) = \pi_p\left(T \right).$$
\endproclaim \rm

\proclaim {\bf Лемма 17.5}\it
Пусть $\,C\ge1,\,1\le p<+\infty$, \, $X,Y$ --- банаховы пространства и
$T$ --- оператор из
$X$ в $Y$, для которого выполняется следующее условие:
$$\nu_p (T)\le C\sup \left\{\operatorname{trace}UT: U\in Y^*\otimes
\,X^{**},\, \pi_{p'}(U)\le 1 \right\}\tag17.1$$
{\rm(оба выражения в $\,(17.1),$ могут принимать и бесконечные значения).}
Тогда
$$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)\ge C^{-1}\nu_p\,(T).
$$
В частности, если $C=1$, {\rm(т.е. если норма  $\nu_p (T)$ равна
{\it supremum'}у из соотношения $\,(17.1)$),} то
$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, \nu_q\,(T)= \nu_p\,(T).$
\endproclaim \rm


\proclaim {\bf Лемма 17.6}\it Пусть $X,Y $ --- банаховы пространства,
 $p\in [1,+\infty) $ и $T\in \operatorname{ I}_q^{ \operatorname{ Gr}}
(X,Y)$ для всех $ q, q>p.$  Тогда
$ \lim_{q \to p\ssize +0} \, i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)=
  i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T).$
В частности, если все нормы $i_q^{ \operatorname{ Gr}}\,(T)$ при $q>p$
ограничены одной константой $C>0,$  то
$T\in \operatorname{ I}_p^{ \operatorname{ Gr}}(X,Y)$
и $i_p^{ \operatorname{ Gr}}(T) \le C.$
\endproclaim \rm
%\med
\bigp

\heading{\S18. Некоторые следствия}
\endheading                               %
%\vskip10pt
\med

		    {\eightpoint
Приведем некоторые условия, накладываемые на банаховы пространства $X,Y$,
при которых имеет место соотношение $(17.1)$.
\definition {\bf Пример 18.1 }\rm
Если $C>0$  и $Y\in C$-$\operatorname{BAP}\!{_p}$, то   $(17.1)$
выполнено с константой $C$ для любого банахова пространства $X$ и любого
оператора $T\in \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right).$
                            \enddefinition

В частности, с помощью леммы 17.5 получаются такие следствия: }

\proclaim {\bf Следствие 18.2}\it
Если $p\ge 1$  и $Y\in \operatorname{MAP}\!{_p}$, то для всякого
банахова пространства $X$  семейство норм $\nu_p$  на
$\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ непрерывно в точке $p$.\newline
\roster
\runinitem "{}" Таким образом,
\item "{\phantom{vv}(i)}"
семейство норм $\nu_p$ непрерывно в точке $2;$
\endroster\roster
\runinitem "{\phantom{vv}(ii)}"
если $Y\in \operatorname{MAP}$, то для всякого
банахова пространства $X$  семейство норм $\nu_p$  на
$\operatorname{L}\left(X,Y \right)$ непрерывно в любой точке $p,\, p\ge 1$.
   \endroster
                                    \endproclaim \rm

%
\proclaim {\bf Следствие 18.3}\it
Пусть $С\ge 1, \,p\ge 1$, \,и \, $Y$ --- банахово пространство.
Если существуют такие банахово пространство $X$ и оператор $T\in
\operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right)$,
что $$\lim_{p+0}\nu_q(T)<C^{-1}\, \nu_p(T),$$
то пространство $Y$ не обладает свойством $C$-
$\operatorname{BAP}\!{_p}$.
\endproclaim \rm


\proclaim {\bf Следствие 18.4}\it
Если $T\in \operatorname{L}\left(X,Y \right),$ но \,
$T\notin \operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right)$, то
$\ \nu_q(T)\to \nu_p(T)=+\infty$ \ при \, $q\to p+0$.
\endproclaim \rm


		    {\eightpoint
Нам представляется интересным переформулировать последнее утверждение
в свя\-зи со следующим известным (решенным отрицательно в [15],[16]) вопросом:
верно ли, что из $p$-ядерности второго сопряженного к некоторому оператору
вытекает $p$-ядер\-ность самого этого оператора? Приводимая переформулировка
следствия 18.4 дает некоторые достаточные (и, тривиально, необходимые)
условия для положительного ответа на последний вопрос:
					   }

\proclaim {\bf Следствие 18.5}\it
Если $T\in \operatorname{L}\left(X,Y \right)$,
$T\notin \operatorname{N}\!{_p}\left(X,Y \right)$ и семейство
$\left\{\nu_q(T) \right\}_{q>p}$ \, огра\-ни\-че\-но, то
$T\notin \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}\left(X,Y \right)$;
в частности, если
$\left\{\nu_q(T) \right\}_{q>p}$ \, ограничено, то из
$p$-ядер\-но\-с\-ти оператора $T^{**}$ \, вытекает $p$-ядерность оператора
$T. $
\endproclaim \rm

		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание 18.6} \rm
Еще раз подчеркнем тонкость рассматриваемых аппроксимационных условий и
связанных с ними рассуждений и утверждений на примере "предельного перехода
в следствии 18.3. В этом следствии чем хуже "$p$-ядерность" оператора
$T$
(точнее, чем больше норма $\nu_p(T)$ при равномерной ограниченности норм
$\nu_q(T),\, q>p$), тем более плохим с точки зрения условий ограниченной
аппроксимации оказывается пространство $Y$: в такой ситуации константе $C$
позволительно расти с ростом $\nu_p(T)$, и "в пределе" естественно ожидать
появления такого "следствия" (заранее, чтобы не допустить недоразумений,
отметим, что {\it формулируемое "следствие" неверно!} ).

\item {} \rm Если существует не $p$-ядерный
оператор
$T: X\to Y,$ для которого $\sup_{q>p}\,\nu_q(T)<+\infty$, то пространство
$Y$ не обладает свойством $\operatorname{BAP}\!{_p}$.
\smallskip \noindent
Тонкость здесь как раз и состоит в том, что подобный "предельный переход"
не допустим, и имеется пример пространства $Y$ с базисом (даже еще более
хорошего, --- см. ниже теорему 19.2),
для которого первая часть утверждения
этого "следствия" \rm в действительности имеет место (это так
по-крайней мере для всех $p\in [1,2));$ в \S19 мы рассмотрим только
простейший случай $ p=1$).
Любопытно также отметить в связи со сказанным, что следствие 18.4
показывает, что если оператор $T$ "совсем плохой"
($T\notin \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}$), то  его $q$-ядерные
нормы ведут себя как надо, а именно, не ограничены при $q\to p$.
 \endremark
						   }

%%%%%%%%%% Следствие 3.5   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proclaim {\bf Следствие 18.7}\it
Пусть $ X$ и $ Y$ --- такие банаховы пространства, что $ X^*$ обладает
свойством Радона--Никодима и либо $ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо
$ Y^{***}\in \operatorname{ AP}.$ Пусть, далее, $T\in \operatorname{L}(X,Y)$
и $ 1\le p<+\infty.$ Если $ C:=\sup_{p<q}\,\nu_q(T)<+\infty,$ то
$ \nu_p\le C.$
\endproclaim\rm
     \bigp

%%%%%%%%%% \S4               %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\heading{\S19. (Контр)пример}
\endheading
%\vskip10pt
 \med

		    {\eightpoint
Напомним еще раз, что каждое банахово пространство мы рассматриваем также
как подпространство его второго сопряженного (не вводя никаких обозначений
для оператора канонического вложения). В доказательстве "положительной
части" теоремы 19.2 существенно используется следующая}

\proclaim {\bf Лемма 19.1 {\rm (см. [19, теорема 3.1,А])}}\it
Если $ T\in \operatorname{ L}(X,Y)$ и $ T\in\operatorname{N}_s(X, Y^{**}),$
для некоторого $ s\in[2/3, 1],$ то $T\in\operatorname{N}_q(X, Y),$
где показатель $ q, 1\le q\le2,$ \, определяется из соотношений
$ s=\dfrac{2q}{q+2},$ или $ q=\dfrac{2s}{2-s}.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Теорема 19.2}\it
Существуют такие банахово пространство $ Z$ и оператор $ S:Z^{**}\to Z,$
что
\roster
\item"(1)" пространство $ Z^{**}$ имеет ограниченно полный базис;
\item"(2)" все сопряженные к $ Z$ пространства $ Z^*,Z^{**}, Z^{***}, \dots$
	  сепарабельны {\rm(и, следовательно, обладают свойством $ RN$)};
\item"(3)" $ Z^{***}$ не обладает свойством аппроксимации;
\item"(4)" $ S\in N_s(Z^{**}, Z^{**})\,$ для любого $s> 2/3;$
\item"(5)" $ C:=\sup_{q>1}\,\nu_q(S)\le1,$ но
\item"(6)" $ S\notin N(Z^{**}, Z).$
\endroster
\endproclaim\rm
%\med
\bigpagebreak

%%%%%%%%%%%%%%
\head{\bf V. ДОбАВЛЕНИЕ: о свойствах $ \AP_{s,\infty}, \, s<1$}\endhead

\def\a{\alpha}                         \def\ot{\otimes}
 \def\la{\lambda}                       \def\wh{\widehat}
 \def\ffi{\varphi}                      \def\wt{\widetilde}
 \def\e{\varepsilon}
\def\Q{\quad\blacksquare}
\def\A{\operatorname{AP}}
\def\AP#1{\operatornamewithlimits{AP_#1}}
\def\ap[#1#2]{\operatornamewithlimits{AP}_{#1,#2}}
\def\APD#1{\operatornamewithlimits{AP^{dual}}_#1}
\def\nr[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1,#2}\,}}
\def\NR[#1]{\operatornamewithlimits{N^{reg}_{#1}\,}}
\def\n#1{\operatornamewithlimits{N_#1}\,}
\def\nd[#1#2]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1,#2}\,}
\def\ND[#1]{\operatornamewithlimits{N^{dual}}_{#1}\,}
\def\nu[#1]{\operatornamewithlimits{N}^#1\,}
\def\qn#1{\operatornamewithlimits{QN}_#1\,}

\def\({\left(}\def\){\right)}\def\[{\left[}\def\]{\right]}
\def\tr{\operatorname{trace}\,}
     \vskip12pt

Для пары пространств $ X,Y$  и числа $ s\in(0,1)$
обозначим через   $Y^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X $
линейное пространство, состоящее из тензоров
$ z\in Y^*\widehat \otimes _1 \,X$ (проективное тензорное произведение),
допускающих представление вида
$$ z=\sum_{k=1}^\infty \la_k \,y'_k\otimes x_k  \
\text{ где }\ \la_k\searrow,\,\la_k^s=o(1/k),\, \|y'_k\|\,\|x_k\|=1.
$$
\definition {Определение V.1}
Банахово пространство обладает свойством
$\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}},$ где $s\in (0,1),$
если для любого пространства $ Z$ каноническое отображение
$Z^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X  \to
\operatorname{L} \left(Z,X \right)$
взаимно однозначно (иными словами, $Z^*\widehat\otimes _{s,\infty} \,X =
\operatornamewithlimits{N_{s,\infty}}\left(Z,X \right);$  должно быть
вполне понятно, что из себя представляет операторное пространство справа).
\enddefinition

		    {\eightpoint
Отметим, что пространство $ X$ обладает свойством
$ \operatorname{ AP}_{s,\infty}$ тогда и только тогда, когда
взаимно однозначным является каноническое отображение
$X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X  \to
\operatorname{L} \left(X,X \right);$ в этом случае,
$X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X =
\operatornamewithlimits{N_{s,\infty}}\left(X,X \right).$
				 }

\proclaim {Теорема V.2}\it
\roster
\runinitem "{1)}"
Пусть $\alpha\in (0,1/2],\, C>0,\,$ и $X$ --- банахово пространство.
Если каждое конечномерное подпространство $E$ пространства $X$
$C\,( \operatorname{ dim}E)^\alpha$-дополняемо в $X,$ то
$X\in \operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}},$
где $1/s=1+\alpha$. В частности, {\rm (надо взять $\,\alpha =1/2$),}
всякое банахово пространство обладает свойством
$\operatornamewithlimits{AP_{2/3,\infty}},$ а если $X$ является
подпространством или факторпространством некоторого пространства
$\operatornamewithlimits{L^p}(\mu),$ где $p\in (1,+\infty)$, $p\ne 2$,
то $X\in\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$ \  $(1/s=1+|1/p-1/2|).$
\endroster
\roster
\runinitem "{\phantom{vv}2)}"
Для каждого $s\in [2/3,1)$ существует такое сепарабельное рефлексивное
пространство $Y,$ что $Y\in \operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$, но
$Y\notin \operatornamewithlimits{AP_{r}}$ каково бы ни было $r\in (s,1]$.
\endroster
\endproclaim


\proclaim {Предложение V.3}\it
Пусть $\alpha\in (0,1/2],\, C>0	,\,$ и $X$ --- банахово пространство.
Предположим: что для каждого конечномерного подпространства
$E$ пространства $X$ найдется такое конечномерное подпространство
$E,\, E\subset F\subset X,\, $ что
$F$  $\, C\left(\operatorname{dim}E \right)^\alpha$-дополняемо
в $X$. Тогда $X\in\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}$, где
$1/s=1+\a$.
\endproclaim

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proclaim {Теорема V.4}       \it
\roster
\runinitem "{1)}"
\,Пусть $\, s\in \(0,1\).
$ Если $\, X^*\in \,\ap[s\infty]\ $ или $\, Y^{***}\in \,\ap[s\infty],\ $
то $\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\).$
В частности, для любых банаховых пространств $X\,$ и $Y\,$
имеем:
$\nr[{2/3}\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\left(X,Y\right).$
\endroster
\roster
\runinitem "{\phantom{vv}2)}"
Существует такое банахово пространство $Z,\,$ что\newline
      \phantom{vvvv} $(i)$
$Z^{**}\,$ имеет базис \ $($\,следовательно, $Z^{**}\in \A);$\newline
      \phantom{vvvv} $(ii)$
для каждого  $\ s\in \(2/3,1\]$ \qquad
$\NR[s] \left(Z^{**},Z\right)\not\subset \n1\(Z^{**},Z\).$
\newline
Таким образом, аппроксимационные условия, наложенные на $X\,$ и $Y\,$
в $1)$ сущес\-твен\-ны.
\endroster
\endproclaim                         \rm


		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание V.5}
Совсем нетрудно показать, что $\ \NR[2/3]\subset \n1. $
Действительно, если оператор $ T$ действует из пространства $ E$
в пространство $ Z$ и является $ 2/3$-ядерным как оператор из $ E$
в $ Z^{**},$ то по самому определению $ 2/3$-ядерного оператора,
``расщепляя" коэффициенты его разложения в тензорный ряд на пары
соответствующим образом подобранных множителей, мы можем разложить
сам оператор $ T$ в произведение:
$$
 \gather
T:\  E   @>\ \, A\ \,>>  c_0  @>\ \Delta_1\ >>   l^1  @>\ \,j\ \,>>
                l^2  @>\ \Delta_2\ >>  l^1  @>\ B\ >>  Z^{**} \\
     \endgather
$$
где $ \Delta_j$ --- диагональные операторы (таким образом,
$ \Delta_1$ --- ядерный), а остальные операторы непрерывны.
Спроектировав ортогонально в $ l^2$ на замыкание образа оператора
$ j\,\Delta_1\,A,$ и рассмотрев $ B$ только на этой проекции,
мы получим в совокупности все тот же оператор $ T:E\to Z;$  этот
простой трюк показывает, что $ T$ --- ядерный из $ E$ в $ Z.$
В данный момент у меня нет никакой идеи, как примерно подобным способом
непосредственно можно получить соответствующий результат из последней
теоремы (то есть, для $\nr[{2/3}\infty] $).
\endremark                                            }
%

\proclaim {Следствие V.6}           \it
Пусть $X$ --- такое рефлексивное банахово пространство, что
каждое $n$-мерное подпространство в $X$
$\,Cn^\alpha$-дополняемо в $X$
\,$($здесь $C>0, \alpha \in (0,1/2) \,$ --- некоторые постоянные,
$\,n=1,2,\dotso ).$
Тогда для любого банахова пространства $Y$
 $$\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\).$$
где $\,1/s=1+\alpha$.
\par В частности, если $\,X\subset L^p(\mu), 1<p<+\infty, p\ne 2, $
\, и $\,1/s=1+|1/2-1/p|$, \, то
 $$\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \n1\(X,Y\) \qquad
 \text{для каждого }Y.$$
\endproclaim                               \rm

		    {\eightpoint
  \remark {\bf Замечание V.7}
В теореме V.4,1) и следствии V.6 мы получили, на самом деле, следующее
формально более сильное включение
  $\nr[s\infty]\left(X,Y\right)\subset \,X^*\widehat \otimes _1 \,Y.$
Последнее включение следует понимать таким образом: каждый оператор
$\,T\in \nr[s\infty]\,\(X,Y\)$\, (однозначно)  поро\-ж\-дается %некоторым
тензорным элементом из пространства
  $X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y^{**}\subset
  X^*\widehat \otimes _1 \,Y^{**}$,
который (тензорный элемент), в свою очередь, принадлежит пространству
$X^*\widehat \otimes _1 \,Y$,  подпространству пространства
$X^*\widehat \otimes _1 \,Y^{**}$; так что, если
$$\alignat 2
&\sum x'_n \otimes y^{\prime\prime}_n &\quad
  &\text{-- \ представление оператора
               $T$ в пространстве $X^*\widehat \otimes _{s,\infty}Y^{**}$},\\
&\sum \tilde x'_n \otimes \tilde y^{\prime\prime}_n &\quad
  &\text{-- \ в пространстве
               $X^*\widehat \otimes _1 \,Y^{**}$ \ и}  \\
&\sum \Tilde{\Tilde x}'_n \otimes \Tilde{\Tilde y}%^{\prime\prime}_n
                                &\quad
  &\text{-- \ в пространстве
               $X^*\widehat \otimes _1 \,Y$},
\endalignat $$
то для всякого
$\,U\in \operatorname{L} \(Y^{**},X^{**}\)$
$$\tr U\circ T = \sum \langle x'_n, Uy''_n\rangle =
 \sum \langle\tilde x'_n , U\tilde y''_n \rangle =
 \sum  \langle\Tilde{\Tilde x}'_n, U\Tilde{\Tilde y}_n\rangle $$
(заметим, что след вполне определен, поскольку в теореме V.4,1) и в
следствии V.6 естественное отображение
$\nr[s\infty]\,\(X,Y^{**}\) \to \operatorname{L} \(X,Y^{**}\)$
взаимно однозначно).
  \endremark
				      }

\proclaim {Теорема V.8} \it
Пусть $s\in \(0,1\].$ Если $X^*\in \AP s,$ или $Y^{***}\,\in\AP s,$ то
$\NR[s] \(X,Y\) \subset \n1\(X,Y\).$
\endproclaim                      \rm

		    {\eightpoint
На самом деле имеет место следующий
более сильный факт, чем утверждение в пункте 2) теоремы V.4:  }

\proclaim {Предложение V.9}      \it
Существуют такие сепарабельное банахово пространство
$Z$ и оператор
$A\in \operatorname{L} \(Z^{**},Z\),$ что
$Z^{**}$ имеет базис,
$\pi_Z\, A\in \n s \(Z^{**},Z^{**}\)$ для каждого  $s>2/3,$  но
$A\notin \n1 \(Z^{**},Z\).$
\endproclaim                               \rm

\proclaim {Теорема V.10}             \it
Для всякого $s\in \[2/3,1\) $ существует такое сепарабельное банахово
пространство $Z,$ что
\roster
\item "{(i)}"
$Z^{**}$ имеет базис;
\item "{(ii)}"
все пространства $Z, Z^*, Z^{**},\dotso$ обладают свойством $\AP s$;
\item "{(iii)}"
$Z^{***}$ не обладает свойством $\AP r,$ каково бы ни было  $r\in \(s,1\]$;
\item "{(iv)}"
для всякого банахова пространства $X$
 $$\nr[s\infty] \(X,Z\) \subset \n1\(X,Z\) \quad \text{и}\quad
     \nr[s\infty] \(Z^{**},X\) \subset \n1\(Z^{**},X\);$$
\item "{(v)}"
 для каждого $\ r\in \(s,1\]$ \quad
 $\NR[r] \(Z^{**},Z\) \not\subset \n1\(Z^{**},Z\).$
%{\roster \item "{ }"
%\item "{ }"
Более того, существует такой оператор
              $U: Z^{**} \to Z, $
что $U\in \NR[r]\(Z^{**},Z \)$  для всех $\ r\in \(s,1\],$
но $U\notin \n1\(Z^{**},Z\).$
%\endroster}
\endroster
\endproclaim       \rm

		    {\eightpoint
Рассмотрим теперь вопрос о том, что можно получить в утверждениях наших
теорем, если полностью отказаться от каких-либо аппроксимационных
предположений относительно рассматриваемых пространств (как, например,
в случае $ s=2/3$ из теоремы V.4,1) - хотя
там неявно подобные условия присутствуют,
ведь каждое банахово пространство обладает свойством $ \ap[2/3,\infty]$).
Сначала посмотрим, как будет выглядеть в этой ситуации часть 1)
теоремы V.4.

Предварительно сформулируем одно вспомогательное предложение, которое,
по существу, доказано в [19] (теорема 2,1,А).
Нам удобно %будет
обозначить каноническое отображение
$X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y  \to  X^*\widehat \otimes _p \,Y$
через $\varphi ^{\infty}_{sp},$  а каноническое отображение
 $X^*\widehat \otimes _p \,Y \to \operatorname{L} \(X,Y\) $ ---
через $j_p.$
					   }

\proclaim {Предложение V.11}\it
Если $s\le 1$ и $p\ge 2s/(2-s),$ то отображение
$$j_p:\, \varphi ^{\infty}_{sp}\(X^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,Y\) \to
\operatorname{L} \(X,Y\) $$
является взаимно однозначным.
\endproclaim                      \rm

		    {\eightpoint
Приведем теперь усиление теоремы 3.1.A) из [19], где было показано, что
в условиях предложения V.11 имеет место включение
$\NR[s] \(X,Y\) \subset \n p\(X,Y\) $. Доказательство, однако, не
столь элементарно, как в [19].
				   }

\proclaim {Теорема V.12}          \it
Если $2/3\le s<1$ и $p=2s/(2-s),$  то
$\nr[s\infty] \(X,Y\)  \subset \n p\(X,Y\), $
каковы бы ни были банаховы пространства $X$  и $Y$.
\endproclaim                            \rm

		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание V.13}
Утверждение $\text{A}'$ теоремы 3.1 из [19] показывает, что наша
теорема V.12
точна. Аналогичное замечание можно отнести и к предложению V.11.
Следующий факт, однако, намного сильнее, чем часть $\text{A}'$
теоремы 3.1 из [19], в которой установлено существование двух банаховых
пространств $X$ и $Y,$ для которых, в частности,
$\NR[s] \(X,Y\)\not\subset \n p \(X,Y\)$ и $Y\in \A$.
Под впечатлением неверного результата А.Гротендика, о котором шла речь выше,
%(см. начало заметки --- до определения 1),
я написал в замечании
к теореме 3.1 в [19], что $ Y$ ``конечно, не обладает свойством ограниченной
аппроксимации" $\operatorname{BAP}$.
Сейчас мы увидим, что последняя фраза была лишена оснований.
\endremark
		 }

\proclaim {Теорема V.14}\it
Пусть $r\in [2/3,1)$ и $1/r=1/2+1/p.$ Существуют два сепарабельных банаховых
пространства $Z$ и $W$ такие, что
\roster
\item "{(i)}"
$W$ и $Z^{**}$ имеют базисы;
\item "{(ii)}"
как $W,$ так и все сопряженные к нему пространства $ W',W'',\dots\,$
обладают свойством $\ap[r\infty]$;
\item "{(iii)}"
$W^*$ не обладает свойством $\AP s$ ни при каком  $s \in (r,1]$;
\item "{(iv)}"
для любого банахова пространства $\ E$ \quad
$\nr[r\infty]\(W,E\)\subset \n1\(W,E\)$;
\item "{(v)}"
$\NR[s]\(W,Z\)\not\subset \n p \(W,Z\),$ каково бы ни было $s\in (r,1]$.
\endroster
\endproclaim                 \rm

		    {\eightpoint
Из (i) и (v) предыдущей теоремы моментально вытекает         }

\proclaim {\bf Следствие V.15}\it
Существует пара сепарабельных банаховых пространств $ Z$ и $ W$
со следующими свойствами.
Пространства $ Z^{**}$ и $ W$ имеют базисы (и, следовательно, обладают
свойством аппроксимации), и для каждого $ p, 1\le p<2,\,$
найдется не $ p$-ядерный оператор из $ W$ в $ Z$ с $ p$-ядерным вторым
сопряженным.
\endproclaim\rm

		    {\eightpoint
\remark {\bf Замечание V.16}
Подобного феномена не может быть, если либо $ W^*,$  либо
$ Z^{***}$ обладает свойством аппроксимации. Вскользь об этом уже
упоминалось выше (частный случай сформулирован в теореме V.8).
Что касается случая $ p>2,$ то его мы здесь не рассматриваем.
\endremark
\bigp                             }

 %
\head{\bf VI. ДВЕ НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ}\endhead
    \vskip12pt

Уже более двадцати лет открытыми остаются ответы на следующие проблемы.
\small

1). Предположим, что $ X$ --- такое банахово пространство, что
$ X^*$ обладает свойством аппроксимации. Верно ли, что пространство
$ X^*$ обладает свойством ограниченной аппроксимации?
\small

2). Пусть оператор $ T,$ действующий из банахова пространства $ X$
в банахово пространство $ Y,$ таков, что его второй сопряженный $ T^{**}$
факторизуется через некоторое пространство $ l_p,$ где
$ 1<p\neq 2<\infty.$ Верно ли, что сам оператор $ T$ допускает
(строгую) факторизацию подобного рода?

\remark {\bf Замечание VI.1}
Если $ X^*$ обладает свойством Радона--Никодима, то ответ на вопрос 1)
положителен.
Если либо $ p=1,$ либо $ p=+\infty,$ то ответ на вопрос 2) отрицателен.
Если $ p=2,$ то ответ на второй вопрос с очевидностью положителен.
\endremark
\med

\vskip0.2in

%____________________-----------------------______________________%
%%%%%     Английский без повторов в алф. порядке
\Refs%\nofrills{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА} % начало, \nofrills убирает
      % английский текст и получаем только то, что в скобках

\ref \no 1  \by Bourgain J., Reinov O.I. \pages 19-27
\paper On the approximation properties   for the space $H^\infty$
\yr 1985\vol   122
\jour Math. Nachr.
\endref

\ref\no 2%\key
\by   Brudnyi Y.A., Aisenstein M.H.
\paper Сomputable interpolational functors
\inbook  Investigations in the theory of functions of several
real variables
\bookinfo %Edited by
\publaddr Jaroslavl': JaGU%Providence
\publ \vol \nofrills  % Наука и т.п.    % том или вып.
\yr  1986
\pages 3--35%489--504
\finalinfo (in Russian)
\endref

\ref  \no 3\by Diestel J. and Uhl J.J.\pages
 \paper   Vector measures
 \yr 1977\vol   15
 \jour   Math. Survey 15,   Amer. Math. Soc., Providence RI.
 \endref

\ref \no 4 \by Figiel T., Johnson W.B.\pages 197--200
\paper  The approximation property does not imply  the bounded
   approximation property
\yr 1973\vol 41
\jour   Proc. Amer. Math. Soc.
 \finalinfo  $MR 49 \# 5782.$
\endref

\ref \no 5\by Grothendieck A. \pages pp. 196 + 140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espaces nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\finalinfo
\endref

\ref \no 6  \by Johnson W.B. \pages 301--310
\paper A complementary universal conjugate Banach space and its
  relation to thr approxmation problem
\yr 1972 \vol 13 \issue
\jour         Israel J. Math.
\endref

\ref \no 7  \by Johnson W.B.  \pages  1-11
\paper Banach spaces all of whose subspaces have the approximation property
\yr 1980 \vol  \issue exp. 16,\nofrills
\jour Seminaire d'analyse fonctionelle 1979--1980
\endref

 \ref \no 8\by Makarov B.M., Samarskii V.G.\pages   122-144
\paper  Weak sequential completeness and close properties of some
  spaces of operators
\yr 1983\vol
\jour in book ``Theory of operators and theory of functions".
Leningrad University
\finalinfo (in Russian)
\endref

\ref \no 9  \by Nielsen N.J.  \pages  5--62
\paper  Banach ideals determined by Banach lattices and their
  applications
\yr 1973 \vol 109 \issue
\jour    Dissertationes Math.
\endref

\ref \no 10  \by Oja E., Reinov O.I.\pages 121-122
\paper  Un contre--exemple \`a une affirmation de  A. Grothen\-dieck
\yr 1987\vol 305
\jour  C. R. Acad. Sc. Paris, Serie I
\endref

\ref \no 11  \by Pe\l czy\'nski A.\pages 63--70
\paper p-integral operators commuting with group
  represetations andexamples of quasi-p-integral operators which are
	   not p-integral
\yr 1969 \vol 33 \issue
\jour  Studia Math.
\finalinfo   $MR 39 \# 6125.$
\endref

\ref\no 12   %одно из двух  Rei или 10
\by   Pietsch A.
\book  Operator ideals
\bookinfo North-Holland%Edited by
\publ Deutscher Verlag der Wiss. \vol \nofrills  % Наука и т.п.
\publaddr  Berlin    %Москва и т.п.
\yr  1978   %год. 000 с. напр., 1985. 543 с.
\endref

\ref \no 13  \by Pisier G.  \pages 1-21
\paper Estimations des distances \`a un espace euclidien et
   des constantes de proj\'ection des espace de Banach
      de dimensions finie
\yr 1979 \vol  \issue exp. 10,\nofrills
\jour  Seminaire d'analyse fonctionelle 1978--1979
\endref

\ref \no 14  \by Reinov O.I. \pages  528-531
\paper  Operators of type RN in Banach spaces
\yr 1975\vol    220 \issue  3
\jour    DAN SSSR
\finalinfo (in Russian)
\endref

\ref \no 15  \by Reinov O.I. \pages 43-47
\paper   Approximation properties of order p and the existence of
  non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints
\yr 1981 \vol 256 \issue  1
\jour DAN SSSR
\finalinfo (in Russian)
\endref

\ref \no 16  \by Reinov O.I.\pages   125-134
\paper   Approximation properties of order p and the existence of
  non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints
\yr 1982 \vol  109
\jour    Math. Nachr.
\endref

\ref \no 17  \by  Reinov O.I. \pages  115-116
\paper  A simple proof of two theorems of A.Grothendieck
\yr 1983 \vol 7
\jour  Vestnik LGU
\finalinfo (in Russian)
\endref

\ref \no 18  \by Reinov O.I.  \pages  833-846
\paper How bad may be a Banach space with the approximaton property?
\yr 1983 \vol 33  \issue  6
\jour    Matem. zametki
\finalinfo (in Russian)
\endref

\ref \no 19  \by Reinov O.I.\pages 145-165
\paper   Disappearing tensor elements in the scale of $ p$-nuclear
operators
\yr 1983\vol
\jour in book ``Theory of operators and theory of functions".
Leningrad University
\finalinfo (in Russian)
\endref

\ref \no 20 \by Reinov O.I. \pages
\paper  A finite dimensional aspect of the existence
    of non-nuclear operators with nuclear ajoints
\yr 1983\vol
\jour Reports of  the Univ. of Stockholm., No 12
\endref

\ref \no 21 \by Reinov O.I. \pages   257-264
\paper   A survey of some results in connection with
  Grothendieck approximation property
\yr 1984 \vol 119
\jour     Math. Nachr.
\endref

\ref \no 22 \by Saphar P.\pages 71-100   $MR 43 \# 878.$
 \paper  Produits tensoriels d'espaces de Banach et classes
d'applications lineaires
 \yr 1970\vol  38
 \jour  Studia Math.
 \endref

\ref \no 23  \by Szankowski A.   \pages 123--130
\paper  Subspaces without approximation property
\yr 1978 \vol 30 \issue
\jour Israel J. Math.
\endref

\endRefs

\enddocument
