\documentstyle{article}
\input{amssym.def}
\input{amssym}
\textheight 20cm
\textwidth  14cm
\hoffset -2cm
\voffset -3cm
\mag\magstep1
\tolerance 500
\frenchspacing
\arraycolsep 0.2em
\font\bm=msbm10 scaled 1000
\def\bmc{\mbox{\bm C}}
\def\bmn{\mbox{\bm N}}
\def\bmz{\mbox{\bm Z}}
\def\cn{\bmc_N}
\def\dn{\delta_n}
\def\dN{\delta_N}
\def\Dn{{\Delta_\nu}}
\def\Dnn{{\Delta_{\nu+1}}}
\def\ds{\displaystyle}
\def\fn{f_\nu}
\def\gn{g_\nu}
\def\hc{��\-��--���\-⥭\-�\-��}
\def\jn{{j_\nu}}
\def\jnn{{j_{\nu-1}}}
\def\la{\langle}
\def\lb{\{}
\def\lf{\lfloor}
\def\nn{{N_\nu}}
\def\nnn{{N_{\nu-1}}}
\def\No{\char "F2}
\def\omn{{\ts{\lower4pt\hbox{$\ominus$}\atop\hbox{${\ss n}$}}}}
\def\omns{{\ss{\lower4pt\hbox{$\ss\ominus$}\atop\hbox{${\sss n}$}}}}
\def\opn{{\ts{\lower4pt\hbox{$\oplus$}\atop\hbox{${\ss n}$}}}}
\def\opns{{\ss{\lower4pt\hbox{$\ss\oplus$}\atop\hbox{${\sss n}$}}}}
\def\proof{�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�. }
\def\qed{$\ \blacksquare$}
\def\qn{{q_\nu}}
\def\qnn{{q_{\nu-1}}}
\def\ra{\rangle}
\def\rb{\}}
\def\rev#1{\mbox{\rm rev}_{#1}}
\def\revs#1{\!\!\!\!\mbox{\rm\footnotesize rev}_{#1}}
\def\rf{\rfloor}
\def\rn{r_\nu}
\def\rpn{r'_\nu}
\def\ss{\scriptstyle}
\def\sss{\scriptscriptstyle}
\def\ts{\textstyle}
\def\vc{��\-���\-��\-��--���\-⥭\-�\-��}
\def\wn{\omega_n}
\def\xn{x_\nu}
\def\xpn{x'_\nu}
\def\yn{y_\nu}
\def\ypn{y'_\nu}
\def\zn{z_\nu}
\def\zpn{z'_\nu}

\begin{document}

\leftline{��� 519.72; 621.391}
\begin{center}
{\large\bf �. �. ����᪨�} \\[0.5em]
{\large\bf ������� � ���������� ���������� ��������} \\[0.2em]
{\large\bf � ������� �����--�����������\footnote{����� �믮����� ��
䨭��ᮢ�� �����প� ���ᨩ᪮�� 䮭�� �㭤����⠫��� ��᫥�������
(����� �஥�� 99-01-00747).}}
\end{center}

{\small\list{}{\leftmargin 3em\rightmargin 3em}
\item[]
� ����࠭�⢥ ������� $N$-��ਮ���᪨� ᨣ����� $\cn$ �� $N=n^s$
��ᬠ�ਢ����� ��� ��������� �����, �易���e � ������ �८�ࠧ�������
\hc. ��� ࠧ������� �� �⨬ ����ᠬ ����祭� ������� �������� ⥮६ �
ᤢ���, ᢥ�⪥ � ���५�樨.
\item[]
{\bf Sergey M. Masharsky,\quad
Convolution and Correlation of Discrete Signals in Haar--Chrestenson Bases}
\item[]
Two wavelet bases, related with discrete Haar--Chrestenson transform,
are considered in a space $\cn$ of discrete $N$-periodic signals with
$N=n^s$. Analogues of well-known theorems of shift, convolution and
correlation for these bases are obtained.
\endlist}

\medskip
{\large\bf\leftline{��������}}
\medskip

� ��஢�� ��ࠡ�⪥ ᨣ����� ������ ஫� ��ࠥ� �� ᯥ��ࠫ�� ������ �
ࠧ����� ��⮣������� ������. ����� �� ����� ⠪��� ������� ����
��⠭������� �裡 ����� ᯥ��ࠬ� ��室��� ᨣ����� � ᯥ��ࠬ� �� ᤢ���,
ᢥ�⪨ � ���५�樨. � ��饬 ��砥 ��� ����� ��ᬮ�७ �~[1,\,2].
����祭�� � ��� ࠡ��� १����� ��ࠦ��� ᢮��⢠ �������
�८�ࠧ������, ������ ᮡ�⢥��묨 �� �⭮襭�� � ������� ᤢ���.

� ��᫥���� ����⨫�⨥ ��୮ ࠧ�������� ���� ��⮤� ��ࠡ�⪨ ᨣ�����,
�᭮����� �� ࠧ������� �� �������� ����ᠬ~[3,\,4]. � �⫨稥 ��
������᪨� ��⮣������� �८�ࠧ������, �������-�८�ࠧ������ ��
����� ᮡ�⢥��묨 �� �⭮襭�� � �ࠤ�樮��� �����ࠬ ᤢ���, �
���⮬� १����� ࠡ��~[1,\,2] � ��� ���ਬ�����. ������ ����� � ᯥ����
ᨣ����� � ��������� ������ ��⠥��� ���㠫��. � ��⭮� ��砥 (���
����ᮢ ����) ��� ����� ���砫�� �~[5--7].

� ࠡ���~[8,\,9] ��ᬠ�ਢ����� ������ \hc, ����� ����� ����饭���
����ᮢ ����. ��� ��, ��� � � 堠஢᪮� ��砥, ᯥ���� ������� ᨣ�����
� ������ \hc\ ����� ������ �ॢ������� ��������. � ������ ����,
��饩�� ����饭��� ࠡ���~[7], ���砥��� ��� ��� ᯥ��஢ �
�����ﬨ ᤢ���, ᢥ�⪨ � ���५�樨. �� �⮬, � ����ᨬ��� �� �����,
� ����⢥ ������ ᤢ��� ����� ����㯠�� 横���᪨� ��� $n$-���
ᤢ��. ���⢥��⢥���, ᢥ�⪠ � ���५��� ����� ���� 横���᪮� ���
$n$-�筮�.

�ப�������㥬 ᮤ�ঠ��� ���� �� ࠧ�����.

� ࠧ�.~1 ᮤ�ঠ��� �।���⥫�� ᢥ�����, ����室��� ��� ���������
���쭥�襣� ���ਠ��. ����� �������� ������ \hc, ������ ��।������
� �ਢ������ �᭮��� ᢮��⢠ ����樨 $n$-�筮�� ᤢ���.

� ࠧ�.~2 ��ᬠ�ਢ����� ����� \hc, �易��� � ��०������� �� ����.
� ����⢥ ������ ᤢ��� ����� ����㯠�� $n$-��� ᤢ��. ��⠭������,
�� ᤢ�� ᨣ���� �ਢ���� � ᤢ���� ����� ������ ��� ᯥ���
� �����६���� �����⮬ ᯥ��ࠫ��� �����樥�⮢ � �������᭮�
���᪮��, � ᢥ�⪠ � ���५��� ���� ᨣ����� --- ᮮ⢥��⢥��� �
�����筮� ᢥ�⪥ � ���५�樨 �� ᯥ��஢.

� ࠧ�.~3 ��ᬠ�ਢ����� ����� \hc, �易��� � ��०������� �� �६���.
�����஬ ᤢ��� ����� ���� 横���᪨� ᤢ��. ��� ᯥ��� ᤢ���
� �⮬ ��砥 ����祭 १����, ��������� �।�⠢������� � ࠧ�.~2.
��� ᯥ��஢ ᢥ�⪨ � ���५�樨 १����� ����� ⮭���: ᢥ�⪠ �
���५��� ���� ᨣ����� �ਢ���� ᮮ⢥��⢥��� � ������஢�����
ᢥ�⪥ � ���५�樨 ᮮ⢥������� ������ �� ᯥ��஢ (����䨪���
�����砥��� � ⮬, �� �� ���᫥��� �����⢫���� ������ ���
᫠������).

��ࠪ�� ����祭��� � ���� १���⮢ �������� ��������� �� �� �ᯥ譮�
�ਬ������ � �ਪ������ ������ 䨫���樨, ᦠ�� � ��।�� ᨣ����� ��
������� �裡.

\bigskip
{\large\bf\leftline{1. �।���⥫�� ᢥ�����}}
\medskip

�������� ����࠭�⢮ $\cn$ �������᭮������ $N$-��ਮ���᪨�
��᫥����⥫쭮��� $x=\lb x(j)\rb$, $j\in\bmz$, �㤥� ���뢠��
{\it ����࠭�⢮� ᨣ�����}. � $\cn$ ����� ��ࠧ�� �������� ᪠��୮�
�ந�������� � ��ଠ:
$$
 \la x,y\ra=\sum_{j=0}^{N-1} x(j)\,\overline{y(j)},\qquad
 \|x\|=\la x,x\ra^{1/2}.
$$

������稬 �१ $\dN(j)$ ������� $N$-��ਮ���᪨� ������, ࠢ�� 1 ��
$j=0,\,\pm N,\,\pm 2N,\,\dots\,$ � ࠢ�� ��� �� ��⠫��� $j\in\bmz$.
���⥬� ᨣ����� $\lb\dN(j-k)\rb, k=0,1,\dots N-1$, ��ࠧ�� ����⢥���
��⮭�ନ஢���� ����� ����࠭�⢠ $\cn$.

����� $n,\,s\in\bmn$, $n\ge2$, $s\ge2$. � ����࠭�⢥ $\cn$ �� $N=n^s$
��ᬮ�ਬ ��� ��������� �����:
$$
 c(j);\quad \fn(\sigma;\,j-p\Dnn),\quad
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s;                      \eqno(1.1)
$$
$$
 c(j);\quad \gn(\sigma;\,j-p),\quad
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s.                      \eqno(1.2)
$$
����� $\Dn=n^{\nu-1}$, $\nn=N/n^\nu$, $c(j)\equiv1$,
$$
 \fn(\sigma;\,j)=\sum_{\tau=0}^{n-1}\wn^{\sigma\tau}
 \sum_{q=\tau\Dn}^{(\tau+1)\Dn-1}\dN(j-q),                      \eqno(1.3)
$$
$$
 \gn(\sigma;\,j)=\sum_{\tau=0}^{n-1}\wn^{\sigma\tau}
 \delta_\nnn(j-\tau\nn),                                        \eqno(1.4)
$$
$\wn=\exp\lb2\pi i/n\rb$ --- ��ࢮ��ࠧ�� ��७� �� 1 �⥯��� $n$.

������ (1.1) � (1.2) ���뢠���� {\it ����ᠬ� \hc, �易��묨}\/
ᮮ⢥��⢥��� {\it � ��०������� �� ����}\/ � {\it ��०������� ��
�६���}~[9]. �� $n=2$ ����砥� ������ ����.

����ﭭ� ���� �ᯮ�짮������ ᫥���騥 ������祭��: $\lf\alpha\rf$ ---
楫�� ���� ����⢥����� �᫠ $\alpha$; $\la k\ra_n=k-\lf k/n\rf n$ ---
���⮪ �� ������� 楫��� �᫠ $k$ �� ����ࠫ쭮� $n$.

��� 楫��� �᫠ $a\in\lb0,1,\dots,N-1\rb$ ������
$a=(a_{s-1},a_{s-2},\dots,a_0)_n$ ����砥�
$$
 a=a_{s-1}n^{s-1}+a_{s-2}n^{s-2}+\dots+a_0,\quad
 a_k\in0:n-1,\ k\in0:s-1.
$$
����� $a,\,b\in\lb0,1,\dots,N-1\rb$, $a=(a_{s-1},\dots,a_0)_n$,
$b=(b_{s-1},\dots,b_0)_n$. {\it ��ࠧ�來�� �㬬�� �� �����} $n$ �ᥫ $a$
� $b$ ���뢠���� �᫮ $c=(c_{s-1},\dots,c_0)_n$, ⠪��, ��
$c_k=\la a_k+b_k\ra_n$, $k\in0:s-1$. ��⪮ �� ᮮ⭮襭�� �����뢠���� ⠪:
$c=a\opn b$. �祢����, �� ������ ``$\opn$'' �� �뢮��� �� ������⢠
$\lb0,1,\dots,N-1\rb$ � �������� ᫥���騬� ᢮��⢠��:
$$
 a\opn b = b\opn a,\qquad a\opn 0 = a,\qquad
 a\opn(b\opn c) = (a\opn b)\opn c.
$$
��᫮ $a^*$ ���뢠���� {\it $n$-�筮 ��⨢��������}\/ ��� $a$, �᫨
$a\opn a^*=0$. ����㤭� ������, �� �᫨ $a^*=(a^*_{s-1},\dots,a^*_0)_n$,
� �� �᫮��� $\la a_k+a^*_k\ra_n=0$, $k\in0:s-1$, ᫥���
$$
 a^*_k=\la-a_k\ra_n=\left\lb
  \begin{array}{ccl}
    n-a_k,&~&a_k\ne0,\\
        0,&~&a_k = 0.
  \end{array}
 \right.
$$
��᫮ $a\omn b:=a\opn b^*$ ���뢠���� {\it ��ࠧ�來�� ࠧ������ �� �����
$n$}.

��䨪��㥬 $q\in\lb0,1,\dots,N-1\rb$. �⮡ࠦ���� $j\to j\opn q$ �
$j\to j\omn q$, $j\in\lb0,1,\dots,N-1\rb$, ���뢠���� ᮮ⢥��⢥���
{\it $n$-ᤢ���� ��ࠢ�}\/ � {\it $n$-ᤢ���� �����}\/ �� ����稭� $q$.
�⬥⨬, �� $n$-ᤢ�� ���� ����⠭����� ������⢠ $\lb0,1,\dots,N-1\rb$.

\bigskip
{\large\bf\leftline{2. ����� \hc, �易��� � ��०�������}}
{\large\bf\leftline{\quad\,�� ����, � ������ $n$-�筮�� ᤢ���}}
\medskip

��筥� � ��᪮�쪨� �ᯮ����⥫��� �⢥ত����.

\medskip
{\bf ����� 2.1.} {\it �� $\sigma\in1:n-1$ �ࠢ������ ��㫠}
$$
 \fn(\sigma;\,j)=\wn^{\sigma\lf j/\Dn\rf}\,
 \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf\big),
 \quad j\in\bmz.                                                \eqno(2.1)
$$

\proof
�ࠢ�� ���� (2.1) ࠢ�� $\wn^{\sigma\tau}$ ��
$j\in\tau\Dn:(\tau+1)\Dn-1$, $\tau\in0:n-1$, � ࠢ�� 0 �� $j\in\Dnn:N-1$
(�����, �� $N=\Dnn\nn$). �� �� ���祭�� �� 㪠������ $j$ �ਭ�����
ᮣ��᭮~(1.3) � $\fn(\sigma;\,j)$. ����� ��ࠧ��, �� $j\in0:N-1$
ࠢ���⢮~(2.1) ��୮. ��⠥��� �஢���� $N$-��ਮ��筮��� �ࠢ��
���~(2.1). ��� ᫥��� �� ⮣�, �� �� �� $k\in\bmz$
$$
 \frac{j+kN}\Dn=\frac j\Dn+nk\nn,\qquad
 \frac{j+kN}\Dnn=\frac j\Dnn+k\nn.
$$

����� ��������. \qed

\medskip
{\bf �����⢨�.} {\it �� $p\in0:\nn-1$ �ࠢ������ ࠢ���⢮}
$$
 \fn(\sigma;\,j-p\Dnn)=\wn^{\sigma\lf j/\Dn\rf}\,
 \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf-p\big).                           \eqno(2.2)
$$

\medskip
����� (2.1) � (2.2) ��᪮�쪮 ������� �� $j\in0:N-1$. � ������,
�᫨ $j=(j_{s-1},\dots,j_0)_n$, �
$$
 \Big\lf\frac j\Dn\Big\rf=j_{s-1}n^{s-\nu}+\dots+n\,\jn+\jnn,
$$
⠪ ��
$$
 \wn^{\lf j/\Dn\rf}=\wn^\jnn.                                   \eqno(2.3)
$$

\medskip
{\bf ����� 2.2.} {\it �� 䨪�஢����� $q\in0:N-1$,
$q=(q_{s-1},\dots,q_0)_n$ �ࠢ������ ࠢ���⢮}
$$
 \fn(\sigma;\,j\omn q)=\wn^{-\sigma\qnn}\,
 \fn\big(\sigma;\,j-\lf q/\Dnn\rf\Dnn\big),
 \quad j\in0:N-1.                                               \eqno(2.4)
$$

\proof
����� $j=\lf j/\Dnn\rf\Dnn+\jnn\Dn+\la j\ra_\Dn$,
\,$q=\lf q/\Dnn\rf\Dnn+\qnn\Dn+\la q\ra_\Dn$. �����,
$$
 j\omn q=\left(
           \Big\lf\frac j\Dnn\Big\rf \omn
           \Big\lf\frac q\Dnn\Big\rf
         \right) \Dnn
        + \la\jnn-\qnn\ra_n\,\Dn
        + \Big(\la j\ra_\Dn\omn\la q\ra_\Dn\Big).
$$
�����᭮ (2.1) � (2.3) ����砥�
$$
 \fn(\sigma;\,j\omn q)=\wn^{\sigma(\jnn-\qnn)}\,
 \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf\omn\lf q/\Dnn\rf\big).            \eqno(2.5)
$$
�⬥⨬, �� �� $a,\,b\in0:N-1$
$$
 \delta_\nn(a\omn b)=
  \left\lb
   \begin{array}{rl}
    1,&\mbox{\rm �᫨}\ a=b\\
    0,&\mbox{\rm �᫨}\ a\ne b
   \end{array}
  \right\rb
 =\delta_\nn(a-b),
$$
���⮬� ࠢ���⢮ (2.5) �ਭ����� ���
$$
 \fn(\sigma;\,j\omn q)=\wn^{-\sigma\qnn}\,\big[\wn^{\sigma\jnn}\,
 \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf-\lf q/\Dnn\rf\big)\big].
$$
���뢠� (2.2) � (2.3), ��室�� � (2.4). ����� ��������. \qed

\medskip
{\bf �����⢨�.} {\it �� $p\in0:\nn-1$ �ࠢ������ ࠢ���⢮}
$$
 \fn(\sigma;\,j\omn p\Dnn)=\fn(\sigma;\,j-p\Dnn),
 \quad j\in0:N-1.                                               \eqno(2.6)
$$

\medskip
{\bf ����� 2.3.} {\it �� $j\in0:N-1$, $\sigma\in1:n-1$ �ࠢ������ ࠢ���⢮}
$$
 \fn(\sigma;\,j^*)=\overline{\fn}(\sigma;\,j).                  \eqno(2.7)
$$

\proof
�᫨ $j\in\Dnn:N-1$, � � $j^*\in\Dnn:N-1$, ���⮬� �� ⠪�� $j$ (2.7)
�ॢ�頥��� � ⮦���⢮ $0=0$. ����� ⥯��� $j\in\tau\Dn:(\tau+1)\Dn-1$ ��
�����஬ $\tau\in0:n-1$. �� �����, �� $j=(\tau,j_{\nu-2},\dots,j_0)_n$,
���⮬� $j^*=(\tau^*,j^*_{\nu-2},\dots,j^*_0)_n$. �����᭮~(2.1) �~(2.3)
�� ⠪�� $j$ �����
$$
 \fn(\sigma;\,j^*)=\wn^{\sigma\tau^*}=\wn^{-\sigma\tau}
                  =\overline{\fn}(\sigma;\,j).
$$

����� ��������. \qed

\bigskip
�� ᨣ��� $x\in\cn$ ����� ࠧ������ �� ��⮣����쭮�� ������~(1.1):
$$
 x(j)=\alpha+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,p)\,\fn(\sigma;\,j-p\Dnn),\quad j\in\bmz.           \eqno(2.8)
$$
�����
$$
 \alpha=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}x(j),\qquad
 \xn(\sigma,p)=\frac1{n^\nu}\sum_{j=0}^{N-1}x(j)\,
 \overline{\fn}(\sigma;\,j-p\Dnn).
$$
�����㯭���� �����樥�⮢ ࠧ������� (2.8)
$$
 H_f(x)=\big\lb\alpha;\ \xn(\sigma,p),\
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s\big\rb
$$
��ࠧ�� {\it ᯥ��� \hc}\/ ᨣ���� $x$, {\it �易��� � ��०������� ��
����}. �८�ࠧ������ $x\to H_f(x)$ ���뢠���� {\it ������
�८�ࠧ������� \hc\ � ��०������� �� ����}.

��⠭���� ��� ����� ᯥ��ࠬ� ��室���� � $n$-�筮 ᤢ���⮣� ᨣ����.

\medskip
{\bf ���६� 2.1.} {\it ��䨪��㥬 $q\in0:N-1$, $q=(q_{s-1},\dots,q_0)_n$.
����� � ᨣ����� $x\in\cn$ ��ᬮ�ਬ ᨣ��� $\tilde x(j)=x(j\omn q)$,
$j\in0:N-1$. ����� $H_f(x)=\lb\alpha;\ \xn(\sigma,p)\rb$,
$H_f(\tilde x)=\lb\tilde\alpha;\ \tilde\xn(\sigma,p)\rb$.
����� $\tilde\alpha=\alpha$ �}
$$
 \tilde\xn(\sigma,p)=\wn^{-\sigma\qnn}\,
 \xn\big(\sigma,\,p\omn\lf q/\Dnn\rf\big),
$$
$$
 p\in0:\nn-1,\quad \sigma\in1:n-1,\quad \nu\in1:s.
$$

\proof
�����᭮ (2.8) � (2.6)
$$
 x(j\omn q)=\alpha+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,k)\,\fn\big(\sigma;\,(j\omn q)\omn k\Dnn\big).
$$
��� ���
$$
 (j\omn q)\omn k\Dnn=j\omn(q\opn k\Dnn)=
 j\omn\big((\lf q/\Dnn\rf\opn k)\Dnn+\qnn\Dn+\la q\ra_\Dn\big),
$$
� � ᨫ� (2.4) �����
$$
 x(j\omn q)=\alpha+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,k)\,\wn^{-\sigma\qnn}\,
 \fn\big(\sigma;\,j-(\lf q/\Dnn\rf\opn k)\Dnn\big).
$$
�ந����� ������ $p=k\opn\lf q/\Dnn\rf$, ����稬
$$
 x(j\omn q)=\alpha+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,\,p\omn\lf q/\Dnn\rf)\,\wn^{-\sigma\qnn}\,
 \fn(\sigma;\,j-p\Dnn).
$$
��⠥��� ����� �����⢥������ ࠧ������� �� ��⮣����쭮�� ������. \qed

\medskip
��३��� � ������ � ᯥ��� ᢥ�⪨. ����� $x,\,y\in\cn$; ᨣ��� $z$,
�ନ�㥬� �� �ࠢ���
$$
 z(j)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)\,y(j\omn k),\quad j\in0:N-1,         \eqno(2.9)
$$
���뢠���� {\it $n$-ᢥ�⪮�}\/ ᨣ����� $x$ � $y$.

\medskip
{\bf ���६� 2.2.} {\it ����� $z$ --- $n$-ᢥ�⪠ ᨣ����� $x$ � $y$,
$H_f(x)=\lb\alpha;\ \xn(\sigma,p)\rb$, $H_f(y)=\lb\beta;\ \yn(\sigma,p)\rb$,
$H_f(z)=\lb\gamma;\ \zn(\sigma,p)\rb$.
����� $\gamma=\alpha\beta N$ �}
$$
 \zn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,q)\,\yn(\sigma,\,p\omn q),
$$
$$
 p\in0:\nn-1,\quad \sigma\in1:n-1,\quad \nu\in1:s.
$$

\proof
�� �।��饩 ⥮६�
$$
 y(j\omn k)=y(k^*\omn j^*)=
$$
$$
 =\beta+
 \sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{l=0}^{\nn-1}
 \wn^{-\sigma j^*_{\nu-1}}\,\yn(\sigma,\,l\omn\lf j^*/\Dnn\rf)\,
 \fn(\sigma;\,k^*-l\Dnn).                                       \eqno(2.10)
$$
�����᭮ (2.6) � (2.7)
$$
 \fn(\sigma;\,k^*-l\Dnn)=\fn(\sigma;\,k^*\omn l\Dnn)=
 \overline{\fn}(\sigma;\,k\omn l^*\Dnn)=
 \overline{\fn}(\sigma;\,k-l^*\Dnn).
$$
�ந����� � (2.10) ������ $q=l^*$, � ��⮬ �।��饣� ࠢ���⢠ ����稬
$$
 y(j\omn k)=\beta+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \wn^{\sigma\jnn}\,\yn(\sigma,\,q^*\opn\lf j/\Dnn\rf)\,
 \overline{\fn}(\sigma;\,k-q\Dnn).                              \eqno(2.11)
$$
��� 㦥 㯮��������, ����� (1.1) ���� ��⮣������; �஬� ⮣�,
�����⭮~[9], �� $\|\fn(\sigma;\cdot-q\Dnn)\|^2=n^\nu$. ���뢠� �� 䠪��,
� ⠪�� ����~(2.8), (2.11) � ��।������~(2.9), ����襬
$$
 z(j)=\alpha\beta N+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,q)\,\wn^{\sigma\jnn}\,\yn(\sigma,\,q^*\opn\lf j/\Dnn\rf)\,
 n^\nu.
$$
�� � ᨫ� (2.2)
$$
 \wn^{\sigma\jnn}\,\yn(\sigma,\,q^*\opn\lf j/\Dnn\rf)=
 \sum_{p=0}^{\nn-1} \yn(\sigma,\,q^*\opn p)\,\wn^{\sigma\jnn}\,
 \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf-p\big)=
$$
$$
 =\sum_{p=0}^{\nn-1} \yn(\sigma,\,p\omn q)\,\fn(\sigma;\,j-p\Dnn).
$$
�����,
$$
 z(j)=\alpha\beta N+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \Bigg\lb
  n^\nu\sum_{q=0}^{\nn-1} \xn(\sigma,q)\,\yn(\sigma,\,p\omn q)
 \Bigg\rb \fn(\sigma;\,j-p\Dnn).
$$

���६� ��������. \qed

\medskip
����� $x,\,y\in\cn$. ������ $r$, �ନ�㥬� �� �ࠢ���
$$
 r(j)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)\,\overline y(k\omn j),
 \quad j\in0:N-1,                                               \eqno(2.12)
$$
���뢠���� {\it $n$-���५�樥�}\/ ᨣ����� $x$ � $y$.

\medskip
{\bf ���६� 2.3.} {\it ����� $r$ --- $n$-���५��� ᨣ����� $x$ � $y$,
$H_f(x)=\lb\alpha;\ \xn(\sigma,p)\rb$, $H_f(y)=\lb\beta;\ \yn(\sigma,p)\rb$,
$H_f(r)=\lb\varrho;\ \rn(\sigma,p)\rb$.
����� $\varrho=\alpha\overline\beta N$ �}
$$
 \rn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,q)\,\overline{\yn}(\sigma,\,q\omn p),
$$
$$
 p\in0:\nn-1,\quad \sigma\in1:n-1,\quad \nu\in1:s.
$$

\proof ������ (2.12) �।�⠢��� ᮡ�� $n$-ᢥ��� ᨣ����� $x$ � $v$, ���
$$
 v(j)=\overline y(j^*),\quad j\in0:N-1.
$$
�����᭮ (2.6) � (2.7)
$$
 v(j)=\overline\beta+
 \sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \overline{\yn}(\sigma,p)\,\overline{\fn}(\sigma;\,j^*-p\Dnn)=
$$
$$
 =\overline\beta+
 \sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \overline{\yn}(\sigma,p)\,\fn(\sigma;\,j-p^*\Dnn).
$$
��� �� ⥮६� 2.2 ����砥� $\varrho=\alpha\overline\beta N$,
$$
 \rn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,q)\,v_\nu(\sigma,\,p\omn q)=
 n^\nu\sum_{q=0}^{\nn-1} \xn(\sigma,q)\,\overline{\yn}(\sigma,\,q\omn p),
$$
$$
 p\in0:\nn-1,\quad \sigma\in1:n-1,\quad \nu\in1:s.
$$

���६� ��������. \qed

\bigskip
{\large\bf\leftline{3. ����� \hc, �易��� � ��०�������}}
{\large\bf\leftline{\quad\,�� �६���, � ������ 横���᪮�� ᤢ���}}
\medskip

���⨬�� � ������⭮�� ������ (1.2).

\medskip
{\bf ����� 3.1.} {\it �� $\sigma\in1:n-1$ �ࠢ������ ��㫠}
$$
 \gn(\sigma;\,j)=\wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\,
 \delta_\nn(j),\quad j\in\bmz.                                  \eqno(3.1)
$$

\proof
������ $\gn(\sigma;\,j)$ � ᨫ� (1.4) ���� $\nnn$-��ਮ���᪨�.
��� �� ᢮��⢮� �������� � ᨣ���, ���騩 � �ࠢ�� ���~(3.1). �����,
ࠢ���⢮~(3.1) �����筮 �஢���� �� �᭮���� ��ਮ�� $0:\nnn-1$.

����� $j=\tau\nn$ �� �����஬ $\tau\in0:n-1$. ����� �ࠢ�� ����~(3.1)
�ਭ����� ���祭�� $\wn^{\sigma\tau}$. �� �� ���祭�� ᮣ��᭮~(1.4)
�ਭ����� � $\gn(\sigma;\,j)$. �� ��⠫��� $j\in0:\nnn$ ࠢ���⢮~(3.1)
�ॢ�頥��� � $0=0$. ����� ��������. \qed

\medskip
{\bf �����⢨�.} {\it �� $p\in0:\nn-1$ �ࠢ������ ࠢ���⢮}
$$
 \gn(\sigma;\,j-p)=\wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\,
 \delta_\nn(j-p),\quad j\in\bmz.                                \eqno(3.2)
$$

\proof
�������, ��
$$
 \wn^{\sigma\lf(j-p)/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p)=
 \wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p).                     \eqno(3.3)
$$
��᪮��� � ����� ����� �⮣� ࠢ���⢠ ���� $\nnn$-��ਮ���᪨� �� $j$
ᨣ����, � �����筮 �஢���� ��� �� ��ਮ�� $p:p+\nnn-1$.
�� $j=p+\tau\nn$, $\tau\in0:n-1$, ࠢ���⢮~(3.3) ��୮. �� ��� ⠪�� ��୮
� �� ��⠫��� $j$ �� 㪠������� ��ਮ��, ��᪮��� � �⮬ ��砥 ���
���~(3.3) ࠢ�� ���. ����� ��ࠧ��, ࠢ���⢮~(3.3) �� $p\in0:\nn-1$ �
$j\in\bmz$ ��⠭������.

������ (3.2) ᫥��� �� (3.1) � (3.3). \qed

\medskip
����� (3.1) � (3.2) �ਭ����� ����� ���⮩ ��� �� $j\in0:N-1$. � ������,
�᫨ $j=(j_{s-1},\dots,j_0)_n$, �
$$
 \Big\lf\frac j\nn\Big\rf=j_{s-1}n^{\nu-1}+\dots+j_{s-\nu+1}\,n+j_{s-\nu},
$$
⠪ ��
$$
 \wn^{\lf j/\nn\rf}=\wn^{j_{s-\nu}}.                            \eqno(3.4)
$$

\medskip
{\bf ����� 3.2.} {\it �� ��� 楫�� $j$ � $p$}
$$
 \gn(\sigma;\,j-p)=\wn^{\sigma\lf p/\nn\rf}\,
 \gn\big(\sigma;\,j-\la p\ra_\nn\big).                          \eqno(3.5)
$$

\proof
�����᭮ (3.1) �� $j,\,k\in\bmz$ �����
$$
 \gn(\sigma;\,j-k\nn)=\wn^{\sigma k}\,\gn(\sigma;\,j).          \eqno(3.6)
$$
��᪮��� $p=\lf p/\nn\rf\nn+\la p\ra_\nn$, �
$$
 j-p=\big(j-\la p\ra_\nn\big)-\lf p/\nn\rf\nn.
$$
��⠥��� ��ᯮ�짮������ ��㫮� (3.6). \qed

\medskip
{\bf ����� 3.3.} {\it �� $\sigma\in1:n-1$ �ࠢ������ ⮦���⢠}
$$
 \gn(\sigma;\,-j)=\overline{\gn}(\sigma;\,j)=\gn(n-\sigma;\,j),
 \quad j\in\bmz.                                                \eqno(3.7)
$$

\proof
�஢�ਬ, ��
$$
 \wn^{\sigma\lf-j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j)=
 \wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j),\quad j\in\bmz        \eqno(3.8)
$$
����⢨⥫쭮, �᫨ $j=k\nn$ �� �����஬ $k\in\bmz$, � ����� � �ࠢ��
����~(3.8) ࠢ�� $\wn^{-\sigma k}$. �� ��⠫��� $j\in\bmz$ ��� ���
ࠢ���⢠~(3.8) ࠢ�� ���.

��३��� � ������⥫���� ࠢ���⢠ (3.7). �����᭮ (3.1) � (3.8) �����
$$
 \gn(\sigma;\,-j)=\wn^{\sigma\lf-j/\nn\rf}\,\delta_\nn(-j)=
 \wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j)=\overline{\gn}(\sigma;\,j).
$$
� ��㣮� ��஭�,
$$
 \wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j)=
 \wn^{(n-\sigma)\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j)=\gn(n-\sigma;\,j).
$$

����� ��������. \qed

\bigskip
�� ᨣ��� $x\in\cn$ ����� ࠧ������ �� ��⮣����쭮�� ������~(1.2):
$$
 x(j)=\alpha'+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \xpn(\sigma,p)\,\gn(\sigma;\,j-p),\quad j\in\bmz.              \eqno(3.9)
$$
�����
$$
 \alpha'=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}x(j),\qquad
 \xpn(\sigma,p)=\frac1{n^\nu}\sum_{j=0}^{N-1}x(j)\,
 \overline{\gn}(\sigma;\,j-p).
$$
�����㯭���� �����樥�⮢ �⮣� ࠧ�������
$$
 H_g(x)=\big\lb\alpha';\ \xpn(\sigma,p),\
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s\big\rb
$$
��ࠧ�� {\it ᯥ��� \hc}\/ ᨣ���� $x$, {\it �易��� � ��०������� ��
�६���}. �८�ࠧ������ $x\to H_g(x)$ ���뢠���� {\it ������
�८�ࠧ������� \hc\ � ��०������� �� �६���}.

��⠭���� ��� ����� ᯥ��ࠬ� ��室���� � ᤢ���⮣� ᨣ����.

\medskip
{\bf ���६� 3.1.} {\it ��䨪��㥬 $q\in0:N-1$.
����� � ᨣ����� $x\in\cn$ ��ᬮ�ਬ ᨣ��� $\tilde x(j)=x(j-q)$.
����� $H_g(x)=\lb\alpha';\ \xpn(\sigma,p)\rb$,
$H_g(\tilde x)=\lb\tilde\alpha';\ \tilde\xpn(\sigma,p)\rb$.
����� $\tilde\alpha'=\alpha'$ �}
$$
 \tilde\xpn(\sigma,p)=\wn^{-\sigma\lf(p-q)/\nn\rf}\,
 \xpn\big(\sigma,\,\la p-q\ra_\nn\big),
$$
$$
 p\in0:\nn-1,\quad \sigma\in1:n-1,\quad \nu\in1:s.
$$

\proof
�����᭮ (3.9) � (3.5) �����
$$
 x(j-q)=\alpha'+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{\nn-1}
 \xpn(\sigma,k)\,\gn(\sigma;\,j-q-k)=
$$
$$
 =\alpha'+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{k=0}^{\nn-1}
 \xpn(\sigma,k)\,\wn^{\sigma\lf(q+k)/\nn\rf}\,
 \gn\big(\sigma;\,j-\la q+k\ra_\nn\big).
$$
�ந������ ������ $p=\la q+k\ra_\nn$. � �⮬ ��砥 $k=\la p-q\ra_\nn$ �
$$
 \Big\lf\frac{q+k}\nn\Big\rf=\Big\lf\frac{q+\la p-q\ra_\nn}\nn\Big\rf=
 \lf q/\nn\rf+\Big\lf\frac{\la q\ra_\nn+\la p-q\ra_\nn}\nn\Big\rf.
$$
�⬥⨬, ��
$$
 \Big\lf\frac{\la q\ra_\nn+\la p-q\ra_\nn}\nn\Big\rf=
  \left\lb
   \begin{array}{rl}
    0,&\mbox{\rm �᫨}\ p\ge\la q\ra_\nn\\
    1,&\mbox{\rm �᫨}\ p < \la q\ra_\nn
   \end{array}
  \right\rb
 =-\Big\lf\frac{p-\la q\ra_\nn}\nn\Big\rf.
$$
�����,
$$
 \Big\lf\frac{q+k}\nn\Big\rf=
 \lf q/\nn\rf-\Big\lf\frac{p-\la q\ra_\nn}\nn\Big\rf=
 -\left(\Big\lf\frac{p-\la q\ra_\nn}\nn\Big\rf-\lf q/\nn\rf\right)=
 -\Big\lf\frac{p-q}\nn\Big\rf.
$$
�����⥫쭮 ����砥�
$$
 x(j-q)=\alpha'+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \xpn\big(\sigma,\la p-q\ra_\nn\big)\,
 \wn^{-\sigma\lf(p-q)/\nn\rf}\,\gn(\sigma;\,j-p).
$$

���६� ��������. \qed

\medskip
��३��� � ������ � ᯥ��� ᢥ�⪨. ��������, �� 横���᪮� ᢥ�⪮�
ᨣ����� $x$ � $y$ �� $\cn$ ���뢠���� ᨣ��� $z=x*y$ � ��������⠬�
$$
 z(j)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)\,y(j-k),\quad j\in\bmz.              \eqno(3.10)
$$

\medskip
{\bf ���६� 3.2.} {\it ����� $z$ --- 横���᪠� ᢥ�⪠ ᨣ����� $x$ � $y$,
$H_g(x)=\lb\alpha';\ \xpn(\sigma,p)\rb$,
$H_g(y)=\lb\beta';\ \ypn(\sigma,p)\rb$,
$H_g(z)=\lb\gamma';\ \zpn(\sigma,p)\rb$.
����� $\gamma'=\alpha'\beta' N$ �}
$$
 \zpn(n-\sigma,\,p)=n^\nu\Bigg\lb
 \sum_{q=0}^{p} \xpn(\sigma,q)\,\ypn(\sigma,\,p-q)+
 \wn^\sigma\sum_{q=p+1}^{\nn-1} \xpn(\sigma,q)\,\ypn(\sigma,\,\nn+p-q)
 \Bigg\rb,
$$
$$
 p\in0:\nn-1,\quad \sigma\in1:n-1,\quad \nu\in1:s.
$$

\proof
�� ⥮६� 3.1
$$
 y(j-k)=y\big(-k-(-j)\big)=
$$
$$
 =\beta'+
 \sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{l=0}^{\nn-1}
 \wn^{-\sigma\lf(l+j)/\nn\rf}\,\ypn\big(\sigma,\la l+j\ra_\nn)\,
 \gn(\sigma;\,-k-l).
$$
������� ������ $q=\la-l\ra_\nn$. ����� $l=\la-q\ra_\nn$.

�� $q\in1:\nn-1$ ����砥� $\big\la\la-q\ra_\nn+j\big\ra_\nn=\la j-q\ra_\nn$,
$$
 \Big\lf\frac{\la-q\ra_\nn+j}\nn\Big\rf=
 \Big\lf\frac{\nn-q+j}\nn\Big\rf=\Big\lf\frac{j-q}\nn\Big\rf+1.
$$
�஬� ⮣�, � ᨫ� (3.6)
$$
 \gn\big(\sigma;\,-k-\la-q\ra_\nn\big)=\gn(\sigma;\,-k-\nn+q)=
 \wn^\sigma\,\gn(\sigma;\,q-k).
$$
����� ��ࠧ��, ᫠������ � �����ᮬ $q$ ����� ���
$$
 \wn^{-\sigma\lf(j-q)/\nn\rf}\,\ypn\big(\sigma,\la j-q\ra_\nn)\,
 \gn(\sigma;\,q-k).                                             \eqno(3.11)
$$

�� $q=0$ ����砥� $\la-q\ra_\nn=0$; ᫠������ � �����ᮬ $q=0$ ����� ���
$\wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\times$\linebreak   %% ���� \linebreak � \times,
                                              %% �᫨ ���窠 㤫������
$\times\,\ypn\big(\sigma,\la j\ra_\nn)\,\gn(\sigma;\,-k)$,
�� �ଠ�쭮 ᮢ������ �~(3.11).

���뢠� ᪠������ ��� � ����� 3.3, ��室�� � ࠢ�����
$$
 y(j-k)=\beta'+
 \sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \wn^{-\sigma\lf(j-q)/\nn\rf}\,\ypn\big(\sigma,\la j-q\ra_\nn\big)\,
 \overline{\gn}(\sigma;\,k-q).                                  \eqno(3.12)
$$

��� 㦥 㯮��������, ����� (1.2) ���� ��⮣������; �஬� ⮣�~[9],
\linebreak  %% ���� \linebreak,
            %% �᫨ ���窠 㤫������
$\|\gn(\sigma;\cdot-q)\|^2=n^\nu$. ������� �� �� 䠪��, � ⠪�� ��
����~(3.9), (3.12) � ��।������~(3.10), ����襬
$$
 z(j)=\alpha'\beta' N+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \xpn(\sigma,q)\,\wn^{-\sigma\lf(j-q)/\nn\rf}\,
 \ypn\big(\sigma,\,\la j-q\ra_\nn\big)\,n^\nu.
$$
��
$$
 \wn^{-\sigma\lf(j-q)/\nn\rf}\,\ypn\big(\sigma,\,\la j-q\ra_\nn\big)=
 \wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,
 \wn^{-\sigma\left\lf(\la j\ra_\nn-q)/\nn\right\rf}\,
 \ypn\big(\sigma,\,\big\la\la j\ra_\nn-q\big\ra_\nn\big)=
$$
$$
 =\wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,\sum_{p=0}^{\nn-1}\wn^{-\sigma\lf(p-q)/\nn\rf}\,
 \ypn\big(\sigma,\,\la p-q\ra_\nn\big)\,\delta_\nn\big(\la j\ra_\nn-p\big).
$$
�����᭮ (3.2) � (3.7)
$$
 \wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn\big(\la j\ra_\nn-p\big)=
 \wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p)=\gn(n-\sigma;\,j-p),
$$
���⮬�
$$
 z(j)=\alpha'\beta' N+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \!\Bigg\lb n^\nu\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \xpn(\sigma,q)\,\wn^{-\sigma\lf(p-q)/\nn\rf}\,
 \ypn\big(\sigma,\,\la p-q\ra_\nn\big)\Bigg\rb\,
 \gn(n-\sigma;\,j-p).
$$
��⠫��� �������, ��
$$
 \sum_{q=0}^{\nn-1} \wn^{-\sigma\lf(p-q)/\nn\rf}\,
 \xpn(\sigma,q)\,\ypn\big(\sigma,\,\la p-q\ra_\nn\big)=
$$
$$
 =\sum_{q=0}^{p} \xpn(\sigma,q)\,\ypn(\sigma,p-q)+
 \wn^\sigma\sum_{q=p+1}^{\nn-1}\xpn(\sigma,q)\,\ypn(\sigma,\nn+p-q).
$$

���६� ��������. \qed

\medskip
��������, �� 横���᪮� ���५�樥� ᨣ����� $x$ � $y$ �� $\cn$
���뢠���� ᨣ��� $r$ � ��������⠬�
$$
 r(j)=\sum_{k=0}^{N-1}x(k)\,\overline{y}(k-j),\quad j\in\bmz.   \eqno(3.13)
$$

\medskip
{\bf ���६� 3.3.} {\it ����� $r$ --- 横���᪠� ���५��� ᨣ����� $x$ �
$y$, $H_g(x)=\lb\alpha';\ \xpn(\sigma,p)\rb$,
$H_g(y)=\lb\beta';\ \ypn(\sigma,p)\rb$,
$H_g(r)=\lb\varrho';\ \rpn(\sigma,p)\rb$.
����� $\varrho'=\alpha'\overline{\beta'}N$ �}
$$
 \rpn(n-\sigma,\,p)=n^\nu\Bigg\lb
 \sum_{q=p}^{\nn-1} \xpn(\sigma,q)\,\overline{\ypn}(\sigma,\,q-p)+
 \wn^{-\sigma}\sum_{q=0}^{p-1} \xpn(\sigma,q)\,
 \overline{\ypn}(\sigma,\,\nn+q-p) \Bigg\rb,
$$
$$
 p\in0:\nn-1,\quad \sigma\in1:n-1,\quad \nu\in1:s.
$$

\proof
������ (3.13) ���� 横���᪠� ᢥ�⪠ ᨣ���� $x$ � ᨣ�����
$$
 v(j):=\overline{y}(-j)=\overline{\beta'}+
 \sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \overline{\ypn}(\sigma,p)\,\overline{\gn}(\sigma;\,-j-p)=
$$
$$
 =\overline{\beta'}+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \overline{\ypn}(\sigma,p)\,\gn(\sigma;\,j+p).
$$
�� ��ᯮ�짮������ ��㫮� (3.7).

������ ᯥ��� \hc\ ᨣ���� $v$. �� $p\in1:\nn-1$ ᮣ��᭮~(3.6) �����
$$
 \gn(\sigma;\,j+p)=\wn^{-\sigma}\,\gn(\sigma;\,j+p-\nn)=
 \wn^{-\sigma}\,\gn\big(\sigma;\,j-(\nn-p)\big),
$$
���⮬�
$$
 v'_\nu(\sigma,p)=\wn^{-\sigma}\,\overline{\ypn}(\sigma,\nn-p),
$$
$$
 p\in1:\nn-1,\quad \sigma\in1:n-1,\quad \nu\in1:s.
$$
�� �⮬, �祢����, $v'_\nu(\sigma,0)=\overline{\ypn}(\sigma,0)$,
$\sigma\in1:n-1$, $\nu\in1:s$.

�� ⥮६� 3.2 ����砥� $\varrho'=\alpha'\overline{\beta'}N$,
$$
 \rpn(n-\sigma,\,p)=n^\nu\Bigg\lb
 \sum_{q=0}^{p-1} \xpn(\sigma,q)\,v'_\nu(\sigma,\,p-q)+
 \xpn(\sigma,p)\,v'_\nu(\sigma,\,0)+
$$
$$
 +\wn^\sigma\sum_{q=p+1}^{\nn-1} \xpn(\sigma,q)\,
 v'_\nu(\sigma,\,\nn+p-q)\Bigg\rb=
$$
$$
 =n^\nu\Bigg\lb \wn^{-\sigma} \sum_{q=0}^{p-1}
 \xpn(\sigma,q)\,\overline{\ypn}(\sigma,\,\nn+q-p)+
 \xpn(\sigma,p)\,\overline{\ypn}(\sigma,\,0)%+
%$$
%$$
 +\sum_{q=p+1}^{\nn-1} \xpn(\sigma,q)\,
 \overline{\ypn}(\sigma,\,q-p) \Bigg\rb.
$$

���६� ��������. \qed

\newpage
%\bigskip
{\large\bf\leftline{�������}}

\begin{enumerate}
\item {\it �������� �. �., ��䨬�� �. �.}
      �����, ᢥ�⪠ � ���५�樮���� �㭪�� ������� ᨣ�����
      � �ந����쭮� �����
      // ��� ����. 1980. �.~250. \No~1. �.~47--51.
\item {\it ���ॢ �. �.}
      �᭮��� ⥮६� ᤢ���, ᢥ�⪨ � ���५�樨 ��� �����
      ��\-஢�� ��ࠡ�⪨ ᨣ�����
      // ���. �㧮�. ����������஭���. 1985. �.~28. \No~8. �.~26--31.
\item {\it Daubechies I.}
      The wavelet transform, time-frequency localization and signal analysis
      // IEEE Trans. Inform. Theory. 1990. No.~5. P.~961--1005.
\item {\it ����客 �. �.}
      ��ਮ���᪨� ������ �ᯫ�᪨.
      // ������ � ������. 1996. �.~8. \No~3. �.~151--183.
\item {\it Malozemov V. N., Masharsky S. M.}
      Haar spectra of discrete signals.
      In: Tools for Math. Modelling. The Second International Conf.
      June 14--19, 1999. Abstracts. St.~Petersburg, 1999.P.~86--87.
\item {\it ��������� �. �., ����᪨� �. �.}
      �ࠢ��⥫쭮� ���祭�� ���� ��������� ����ᮢ
      // �஡���� ��।�� ���ଠ樨. 2000. �.~36. ��.~2.
\item {\it ��������� �. �., ����᪨� �. �.}
      ���஢᪨� ᯥ���� ������� ᢥ�⮪
      // ���. ����. ���. � ��⥬. 䨧. 2000. �.~40. \No~6.
\item {\it ������ �. �., ���ॢ �. �.}
      ������ ������ ��⮣������ �८�ࠧ������.
      ����ᨡ���: ��㪠, 1983. 232~�.
\item {\it ��������� �. �., ����᪨� �. �.}
      ����饭�� �������� ������, �易��� � ������
      �८�ࠧ������� \vc{}
      // �����஭�� ��娢 �९ਭ⮢ �.-������᪮�� ���. ����⢠.
      �९ਭ� \No~1999-21.\\
      {\sf http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/1999/index.html\#21}
\end{enumerate}

\end{document}

