%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%         First:  12.06.00 11:02:42 Mon
%%%%         Last:   17.08.00 04:19:22 Thu
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
\magnification=\magstep1
\parindent=1em
     \baselineskip=18pt

\hsize=16 true cm
\vsize=22 true cm


\CenteredTagsOnSplits                        \NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\footline={\hss\tenrm\folio\hss}

        \topmatter
        \title { Заметки о тензорных произведениях операторов
 в Лебеговых пространствах}
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов.}  \endauthor
\address\newline
                          \tenrm
Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
математико--механический факультет,\newline
\endaddress

\email
                         \tenrm
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail
        \endtopmatter

\pageno=1
\footline={\hss\tenrm\folio\hss}

\def\ovs#1#2{\overset{#1}\to{#2}}
\def\Box{\qed}

\def\bfav{\bf}
\def\bfref{\bf}
\def\bigsc{\sl}

\document
\vskip5mm

\footnote""{Работа выполнена при частичной поддержке Министерства
общего и профессионального образования России (грант \No 97-0-1.7-36)
и
Федеральной целевой программой ``Интеграция''
(грант \No~326.53).}

\footnote""{}
\footnote""{$\copyright$\;\;~О.~И.~Рейнов, 2000}



\vskip 5mm

Мы исследуем вопрос, связанный с вычислением норм тензорных произведений
операторов, действующих между функциональными пространствами Лебега:
верно ли, что
норма тензорного произведения
$ A\otimes B: $ $ L^p(\mu\otimes\mu)\to L^q(\nu\otimes\nu)$
операторов
$ A: L^p(\mu)\to L^q(\nu)$ и
$ B: L^p(\mu)\to L^q(\nu)$
совпадает с произведением $ \|A\| \|B\|$ их норм?

Мы формулируем и доказываем
утверждения, которые показывают, что ответ
положителен
тогда и только тогда, когда
$1\leqslant p\leqslant q \leqslant+\infty$.

Этот результат является ответом на вопрос, поставленный автору
профессором  Я.~Ю. Никитиным в конце мая 2000 г.
Полученный результат
может быть использован
при изучении асимптотики хвоста
распределения $L_p$-нормы гауссовских полей на единичном квадрате, у
которых ковариация распадается в произведение одномерных ковариаций.
Типичным примером такого поля является броуновский лист
(см., например, [1]). Такая
асимптотика представляет интерес
также
для вычисления приближенной
бахадуровской асимптотической эффективности непараметрических критериев
независимости, основанных на $L_p$-нормах эмпирических полей
(см. [2, гл.~5])~.


Положительная часть представленных здесь
результатов может быть установлена
с использованием абстрактной техники теории тензорных произведений
в нормированных пространствах, но имеется также и удивительно простое
элементарное доказательство, использующее только некоторые
стандартные факты классической теории интеграла Лебега.
Что касается отрицательной части наших результатов (``контрпримеров''),
то для их вывода используются
некоторые оценки из теории
конечномерных $p$-суммирующих операторов в нормированных пространствах.
Последнее доказательство состоит из одиннадцати лемм, в которых
мы рассматриваем, шаг за шагом, различные возможные случаи,
такие как $1<q<p<2$, $1<q<2<p<+\infty$ и т.д.


\vskip6mm

\centerline{\bigsc $\S$~1.
Предварительные сведения}
\vskip3mm



Алгебраическое тензорное
произведение $ X{\otimes} Y$
банаховых пространств $ X$ и $ Y$
будем рассматривать также как линейное
пространство всех ${}^*$-слабо непрерывных линейных отображений
конечного ранга (конечномерных)
из $ X^*$ в $ Y$ (или из $ Y^*$ в $ X$ --- из контекста всегда понятно,
о каком случае идет речь). Если пространство $ X$ сопряжено, т.~е.
$ X=W^*$ для некоторого нормированного
пространства $ W$, то тензорное произведение
$ W^*{\otimes} Y$
будет рассматриваться как множество всех конечномерных операторов
из $ W$ в $ Y$, что не приведет к недоразумению в конкретных ситуациях.

Норма $ {\alpha}$ на алгебраическом произведении $ X{\otimes} Y$
банаховых пространств $ X$ и $ Y$ называется {\it кросс--нормой}, если
$$ {\alpha}(x{\otimes} y)=\|x\| \|y\|
\quad
\forall
x\in X,\; y\in Y.
$$

Пространство $ X{\otimes} Y$, снабженное нормой $ {\alpha}$, обычно (если не
указано
противное) обозначается через
$ X{\otimes}_{\alpha} Y$, а его пополнение~---
через $ X
\widehat
{\otimes}_{\alpha} Y$.
Пусть $ X$,
$Y$,
$E$,
$F$ --- банаховы пространства.
Алгебраическое тензорное произведение $ A{\otimes} B$
операторов $ A\in L(X,E)$, $B\in L(Y,F)$ есть линейный
оператор из $ X{\otimes} Y$ в $ E{\otimes} F$, однозначно определяемый
своими значениями на элементарных тензорах:
$$
(A{\otimes} B)(x{\otimes} y) :=Ax{\otimes} By,
$$
и продолжаемый на все пространство по линейности:
$$
(A{\otimes} B) \biggl(\;\sum\limits_{i=1}^n x_i{\otimes} y_i\biggr):=
\sum\limits_{i=1}^n Ax_i{\otimes} By_i,\quad x_i\in X,
y_i\in Y.
$$

Пусть
$A{\otimes} B: X{\otimes} Y\to E{\otimes} F$.
Если $ e'\in E^*$ и $ f\in F$, то
$$ \langle (Ax{\otimes} By)e',f\rangle =
\langle Ax,e'\rangle \langle By,f'\rangle =
\langle B\circ(x{\otimes} y)\circ A^*e',f\rangle ,
$$
т.~е. $ (A{\otimes} B)(U)= BUA^*$ для операторов $ U$ из $ X{\otimes} Y$.

%%%%% 1 %%%%%%%% !!! выбросил кусок - бывший комментарий

Если $ E$ --- банахово пространство, $ p\in[1,+\infty]$
и $(\Omega, \Sigma, \mu)$ ---
пространство с положительной мерой, то через
$ L^p (\Omega, \Sigma, \mu; E)$
($ L^p(\mu;E)$
либо $ L^p(X)$)
обозначается
линейное пространство всех сильно измеримых $ E$-значных
функций $ f:\Omega\to E$, для которых конечен интеграл
$$
\|f\|^p_p:=\int\limits_\Omega \|f(\omega)\|_E^p d\mu(\omega).
$$

Пространство $ L^p(E)$,
снабженное нормой (как обычно,
почти всюду
равные функции отождествляются)
$\|\cdot\|_p $,
 становится банаховым (подробности
можно найти в [3]
или любой книге по функциональному анализу,
например, [4] или [5]).
Как хорошо известно, если
$ \nu$ ---  $ \sigma$-конечная мера на некотором пространстве,
то $ L^p(\mu; L^p(\nu))$ естественным образом отождествляется с
множеством всех измеримых функций двух переменных --- с банаховым
пространством $ L^p(\mu{\otimes}\nu)$.
Это
соответствие является изометрией.
Иногда мы
пишем для краткости $ L^p(L^p)$,
что не должно привести к недоразумениям,
поскольку из контекста всегда
понятно о каком именно пространстве идет
речь. Рассматриваемые
далее меры  считаются $ \sigma$-конечными.

Для $ r\in[1,+\infty]$ алгебраическое тензорное
произведение $ L^r{\otimes} L^r$ состоит из тензоров вида
$$
 \Phi=\sum\limits_1^N f_k{\otimes} g_k,
$$
которые
рассматриваются, с одной стороны,
как конечномерные операторы
из $ L^{r'}$ в $ L^r$, а с другой стороны, как функции, измеримые на
произведении $ S \times T$:
$$ \Phi(s,t)=\sum\limits_1^N f_k(s) g_k(t).
$$
Для таких функций имеем
$$
\Phi\in L^r(S\times T, \mu{\otimes}\nu).
$$

Для $ r<\infty$
обозначим через $ L^r{\otimes}_r L^r$ тензорное произведение с нормой
$ \|\cdot\|_r$, индуцированной из $ L^r(\mu\otimes\nu)$,
и через
$ L^r\widetilde {\otimes}_r L^r$~--- его пополнение.
Так как пространство
$ L^r{\otimes}_r L^r$ содержит все простые функции вида (1)
(где вместо $ f_k$,
$g_k$ рассматриваются характеристические функции
попарно дизъюнктных множеств) и $ r<+\infty$,
это пространство плотно в $ L^r(\mu\otimes\nu)$.
Таким образом,
$L^r\widetilde {\otimes}_r L^r$
и
$L^r(\mu\otimes\nu)$ изометрически совпадают.




На тензорном произведении $X\otimes Y$
рассмотрим тензорные нор\-мы.
Некоторые из норм
индуцируются соответствующими простран\-ст\-ва\-ми
операторов, тогда как другие
сами индуцируют операторные нормы
(эти нормы
в других
обозначениях
рассматривались  впервые, видимо, в
[6--8], где были также
введены аппроксимационные условия ``порядка
$p$''
на банаховы пространства и связанные, в частности, с
аппроксимацией абсолютно $p$-сум\-ми\-ру\-ю\-щих операторов конечномерными
операторами).

{\it $p$-Проективная тензорная норма} $\|\cdot\|_p$ для
$p\in [1,+\infty]$ определяется на произведении $X\otimes Y$ следующим
образом:
если $z\in X\otimes Y $, то
$$
\|
z\|_p := \inf\biggl(
\sum\limits_{k=1}^N \|x_k\|^p\biggr)^{1/p}\!\!\!
\sup_{\|y'\|\leqslant 1}
\biggl\{\biggl(\;\sum\limits_{k=1}^N |<y_k,y'>|^{p'}
\biggr)^{1/p'}\biggr\}
\tag{1.1}
$$
где $\ 1/p+1/p'=1\ $ и
инфимум
берется по всевозможным представлениям
$ z=\sum\limits_{k=1}^Nx_k\otimes y_k$
тензорного элемента $z$ в пространстве $X\otimes Y$.
Формула (1.1) имеет смысл
лишь при конечном показателе $p>1$.
В случаях $p=1$, и $p=+\infty$,
определение следует модифицировать очевидным образом.

Алгебраическое тензорное произведение пространств $X$ и $Y$, снабженное
нормой $\|\cdot\|_p$,
обозначается
через $X\otimes_p Y$, а его
пополнение --- через $X\widehat \otimes_p Y.$  % 2 %% !!! Вставлена точка
В случае $p=1$
мы получаем проективное тензорное произведение, введенное и детально
изученное Гротендиком [9] и играющее огромную роль, в частности,
в теории ядерных пространств и теории аппроксимации линейных операторов.

  %%%%% 3 %%%  !!! Выброшено два абзаца - были комментарии


Мы используем стандартные обозначения из теории операторных идеалов:
$\operatorname{\Pi}\!{_p}$,
$\operatorname{N}\!{_p}$
и $\operatorname{ I}\!{_p}$
обозначают идеалы абсолютно $ p$-суммиру\-ю\-щих,
$ p$-ядерных и строго $ p$-интегральных операторов
с нормами
$ \pi_p$, $ \nu_p$ и $ i_p$
соответственно.
Определения этих классов можно найти, например, в
справочнике по операторным идеалам [10].
Отметим, что мы используем
обозначения, отличающиеся от
принятых в [10].

Справедливы следующие неравенства:
$$
\|\cdot\|\leqslant \pi_p\leqslant i_p\leqslant \nu_p\leqslant \nu_1.
$$

Для любых отделимого компактного пространства $ K$ и
пространства с $ \sigma$-ко\-неч\-ной мерой $ \mu$ при $ p\geqslant 1$
имеют место равенства
[10, п. 17.3.5]
 $$
 \Pi_p(C(K), F)={\operatorname{I}}_p(C(K),F),  % 4 %%% !!! Вставлена запятая
\quad
 \Pi_p(L^\infty(\mu), F)={\operatorname{I}}_p(L^\infty(\mu),F).
$$

Если пространство
$ F$ рефлексивно, то
$$
\Pi_1(C(K),F)={\operatorname{N}}_1(C(K),F)=
C^*(K)\widehat {\otimes}_1 F.
$$
Аналогичные соотношения справедливы для
пространства $ L^\infty(\mu)$
(см.  [9, 11]).
С другой стороны,
имеем
[10, п.~19.2.7]
$$
\Pi_p(E,L^\infty) ={\operatorname{I}}_p(E, L^\infty).
$$

Для рефлексивного
пространства $E$ при любом $ p\in[1,+\infty)$
любой
$ p$-интег\-раль\-ный оператор, заданный на $ E$, является
$ p$-ядерным (см., например, [11, 12]).
В частности, для рефлексивного
пространства $ E$ и $ p\in [1,+\infty)$
выполняются соотношения
$$ \Pi_p(E,L^\infty)
 ={\operatorname{I}}_p(E, L^\infty)
= {\operatorname{N}}_p(E, L^\infty),
$$
при этом соответствующие нормы равны.

Если $ T\in L(E, L^r)$ и $ T^*\in \Pi_r(L^{r'}, E^*)$,
то $ T\in \Pi_r(E, L^r)$ и $ \pi_r(T)\leqslant \pi_r(T^*)$  % 5 % !!! \pi
по теореме двойственности Шварца
(см., например, [7, 12--14]).
Поэтому, если $ 1\leqslant r<\infty$,
то для оператора $ T\in L(L^{r'},L^r)$
условия $ T\in\Pi_r$ и $ T^*\in \Pi_r$ равносильны, при этом % 6 % !!! \Pi
$ \pi_r(T)=\pi_r(T^*)$. Кроме того, если дополнительно $ r>1$, % 7 % !!! \pi
то
ввиду
рефлексивности пространства
$ L^r$ пространства $ \Pi_r(L^{r'},L^r)$,
$ {\operatorname{I}}_r(L^{r'},L^r)$
и
$ {\operatorname{N}}_r(L^{r'},L^r)$ совпадают
(с равенством норм) и отождествляются с тензорным произведением
$ L^r\widehat {\otimes}_r L^r$.
При $ r\in [1,+\infty)$ это тензорное произведение
совпадает с тензорным произведением
$ L^r\widetilde {\otimes}_r L^r$ или
с банаховыми пространствами
$ L^r(\mu{\otimes}\nu)$, $ L^r(\mu; L^r(\nu))$ или пространством
$ L^r(\nu; L^r(\mu))$.
Впервые этот факт
установлен  Гротендиком [9]
для случая $ p=1$ и Перссоном [12]  для остальных показателей
$p\geqslant 1$
( см. также [8]).

Если  $ H$ ---  гильбертово пространство, то все пространства $ \Pi_p(H,H)$
совпадают между собой и совпадают с пространством всех операторов
Гильберта~--- Шмидта [15]
(см. также [10]).

Будем говорить,
 что оператор $ U\in {\operatorname{L}}(X,Y)$
{\it факторизуется через гильбертово
пространство} (является 2-{\it факторизуемым}),
если существуют
гильбертово пространство $ H$ и
два оператора $ U_1:X\to H$ и $ U_2:H\to Y$
такие, что $U= U_2 U_1$.
Инфимум произведений $ \|U_1\| \;\|U_2\|$ по всем подобным факторизациям
обозначается через $ \gamma_2(U)$ и является идеальной нормой (в смысле
Пича [10]) на семействе всех 2-факторизуемых операторов.


Если $ 1\leqslant r\leqslant 2\leqslant p\leqslant \infty$, то
любой оператор из
$L^p(\mu)$ в $ L^r(\mu)$ факторизуется через гильбертово пространство
[16, теорема 5.2]
(см. также
[10, п. 22.5.1;
17, следствие 3.7]).

Напомним знаменитую теорему Гротендика (см. [10, п.~22.4.4;
16; 18, п.~6.7]):
любой
 оператор из $ L^1$ в $ L^2$ является
2-абсолютно суммирующим, причем для $ T\in L(L^1,L^2)$
имеем (см. [18])
$$
 \pi_2(T)\leqslant c_K \|T\|,
$$
где $ c_K$~--- постоянная в неравенстве Хинчина
$$
\|x\|_2\leqslant c_K \dfrac1{2^n}
\sum\limits_{\varepsilon\in{\Cal E}}
 |\langle x,{\varepsilon}\rangle |                % 8 % !!! модуль |...|
\quad
\forall~x\in {\Bbb K}^n,
$$
где
$ {\Cal E}$ ~---
множество $ n$-мерных векторов
$ {\varepsilon}=({\varepsilon}_1,
{\varepsilon}_2,\dots,{\varepsilon}_n)$ с
компонентами $ {\varepsilon}_i=\pm1$.
Как показано в
[19], наилучшее значение этой постоянной $ c_K$ равно
$ \sqrt2$.
Эта постоянная не зависит от выбора поля скаляров.




Ниже $ \{ r_n\}$ обозначает последовательность функций Радемахера на отрезке
$ [0,1]$.
Будем говорить,  что оператор
$ U\in{\operatorname{L}}(X,Y)$
есть {\it оператор котипа} $ q$,
$ 2\leqslant q\leqslant \infty$,
если для любого конечного набора векторов $\{ x_j\}$ из пространства $ X$
с некоторой постоянной выполняется неравенство
$$ \biggl(\;\sum \|Ux_j\|^q\biggr)^{1/q}\leqslant C \biggl(\;\int\limits_0^1
\left\|\sum r_j(t) x_j
\right\|^2\biggr)^{1/2}.
$$
Наименьшая такая
постоянная $ C$ обозначается
$ C_q(U)$.

Оператор $ U$ называется {\it оператором типа} $ p$,
$ 1\leqslant p\leqslant 2$,
если для любого конечного набора векторов $\{ x_j\}$ из $ X$ с некоторой
постоянной выполняется неравенство
$$ \biggl(\;\int\limits_0^1 \left\|\sum r_j(t) Ux_j \right\|^2\biggr)^{1/2}
\leqslant C
\biggl(\;\sum \|x_j\|^p\biggr)^{1/p}.
$$
Наименьшая такая постоянная $ C$
обозначается
$ T_p(U)$.

Двойственность этих двух свойств выражается в том факте, что, если
оператор $ U$ имеет тип $ p$, то сопряженное оператор $ U^*$
имеет котип $ p'$, $1/p+1/p'=1$,
и, если $ U^*$ имеет тип $ p$, то $ U$
имеет котип $ p'$. При этом в первом случае $ C_{p'}(U^*)\leqslant T_p(U)$,
а во втором --- $ C_{p'}(U)\leqslant T_p(U^*)$. Если оператор имеет котип $ p$ % 9  !!!
(соответственно тип $ q$), то второй сопряженный к нему обладает тем же
свойством (см. [10, 17]). Особенно важен частный случай, когда $ U$
есть тождественный оператор в некотором банаховом пространстве $ X$.
В этом случае говорят, что пространство $ X$ есть пространство типа $ p$
(котипа $ q)$, если $ {\operatorname{id}}_X$ есть оператор типа $ p$
(котипа $ q,)$ а соответствующие константы типа и котипа
пространства $ X$ обозначаются просто через $ T_p(X)$ и $ C_q(X)$.
Примерами пространств конечного котипа 2 могут служить все пространства
$ L^p$ при $ 1\leqslant p\leqslant 2$,
конечного типа 2 --- пространства $ L^p$
с $2\leqslant p<\infty$ [10].

Имеет место следующая замечательная теорема Море (см. [17, теорема
3.4]): если $ U\in{\operatorname{L}}(X,Y)$ ---
оператор типа 2                          % 10 % !!! оператор
и $ T\in{\operatorname{L}}(Y,Z)$ ---
оператор котипа 2, то оператор $ TU$ факторизуется через % 11 % !!! оператор
гильбертово пространство, причем $ \gamma_2(TU)\leqslant T_2(U) C_2(T)$.
В частности, любое
пространство типа 2 и котипа 2 изоморфно гильбертову
пространству (теорема  Квапеня [20]) и любой оператор $ U,$  % 12 % !!! запятая
действующий из пространства $ X$ типа 2 в пространство $ Y$ котипа 2
факторизуется через гильбертово пространство, причем
$ \gamma_2(U)\leqslant T_2(X) C_2(Y) \|U\|$.   % 12 % !!! \|U\|


Ниже нам потребуется
следующее утверждение
(точнее, его конечномерный аналог),
доказательство которого
можно найти в
[21, предложение (XV,6;1) и его следствие]. Другой вариант этого
утверждения
приводится ниже.
Далее
$ (X,\mu)$ ---
топологической пространство с положительной мерой
Радона (при доказательстве можно считать, что это ---
прямая с мерой Лебега).


\vskip7pt

{\bf Лемма 1.1.}~{\it
Любое
гильбертово пространство вкладывается в некоторое
пространство $ L^0$
{\rm(}с индуцированной топологией{\rm)} и вкладывается
изометрически в некоторое $ L^p$ для
любого
 конечного $ p>0$.
Любое
пространство $ L^s(X,\mu,)$,
$ 0<s<2$, вкладывается в пространство
$ L^0$
{\rm(}с индуцированной топологией{\rm)} и вкладывается изометрически
в пространство $ L^p$, если только $ 0<p<s$.
}
\vskip7pt


Следующие сведения взяты из [10, пп. 20--22]
и приводятся здесь
для удобства читателя.


При
$ 0<p<\infty$
полагаем
$$
c^{(n)}_{2p}:=
\cases
2
\left[
\dfrac{\Gamma\biggl(\dfrac{n+p}2\biggr)}
{\Gamma \biggl(\dfrac n2\biggr)}
\right]
^{1/p}
&
\text{в вещественном случае},
\\
{}
&
\\
2 \left[
%\shave
%avtoru ?
{\dfrac{\Gamma\biggl(\dfrac{2n+p}2\biggr)}
{\Gamma (n)} } \right]^{1/p}
&
\text{в комплексном случае.}
\endcases
$$

Положим
$a_{np}:= c^{(1)}_{2p}/ c^{(n)}_{2p}$.
Тогда
$$ 1=a_{1p}\geqslant a_{2p}\geqslant \dots\geqslant 0,
\quad
\lim_n n^{1/2}a_{np}=c_{2p}^{(1)} (c_{22}^{(1)})^{-1}.
$$

Пусть $ \sigma_2^n$ --- нормированная инвариантная
относительно вращений мера на $ n$-мерной единичной сфере $ S_2^n$.

\vskip7pt

{\bf Лемма 1.2.}~{\it Если $ 0<p<\infty$, то
$$
a^{-1}_{np} \biggl\{\;\int\limits_{S^n_2} |
\langle x,a\rangle |^p d\sigma_2^n(a)
\biggr\}^{1/p}= \|x\|_2 \quad
\forall
 x\in
{\Bbb K}^n.
$$
}
\vskip7pt


Формулу из леммы 1.12 можно получить переходом к сферическим координатам.


\vskip7pt

{\bf Лемма 1.3.}~{\it Если $ 0<p<\infty$, то
$ \pi_p(I: l_2^n\to l_2^n) = a^{-1}_{np}$.
}

\vskip7pt

В частных случаях $ p=1,2$ имеем
$$
a_{n2}= \left[\dfrac{\Gamma\biggl(\dfrac 32\biggr)}{\Gamma
\biggl(\dfrac12\biggr)}
\dfrac{\Gamma\biggl(\dfrac n2\biggr)}{\Gamma\biggl(\dfrac {n+2}{2}\biggr)}
\right]^{1/2}=
\left[\dfrac12 \dfrac {\Gamma \biggl(\dfrac n2\biggr)}{\dfrac n2
\Gamma\biggl(\dfrac n2\biggr)}\right]^{1/2}=\dfrac 1{\sqrt n},
$$

$$ a_{n1}=\dfrac{\Gamma(1)}{\Gamma\biggl(\dfrac12\biggr)}
\dfrac{\Gamma\biggl(\dfrac n2\biggr)}{\Gamma\biggl(\dfrac {n+1}{2}\biggr)}
=\dfrac1{\sqrt \pi} \dfrac {\Gamma \biggl(\dfrac n2\biggr)}
{\Gamma\biggl(\dfrac {n+1}2\biggr)}.
$$

Для нас важна асимптотика величины $ a_{n2} a^{-1}_{n1}$.
Напомним, что
$\Gamma({\alpha}+1)
\sim \sqrt{2\pi} e^{-{\alpha}} {\alpha}^{{\alpha}+1/2}$
при $ {\alpha}\to+\infty$.
Имеем
$$\align
a_{n2} a^{-1}_{n1}
&=
\sqrt{\dfrac \pi n}
\dfrac{\Gamma \biggl(\dfrac{n+1}2\biggr)}{\Gamma(\dfrac n2)} % 13 % !!! (...)
\sim
\sqrt{\dfrac \pi n} \dfrac
{ e^{-{(n-1)/2}}
\biggl(\dfrac{n-1}2\biggr)^{(n-1)/2 +1/2}}
{ e^{-{n/2+                         % 14 % !!! + вместо минуса
1}} \biggl(\dfrac{n}2-1\biggr)^{(n/2-1)
+1/2}}
\\
&=
\sqrt{\dfrac \pi n} e^{-1/2} \biggl(\dfrac{n-1}{n-2}\biggr)^{n/2}
\dfrac{2^{-1/2}}{(n-2)^{-1/2}}
\\
&
\sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2en}} \sqrt n
\biggl( 1+\dfrac 1{n-2}\biggr)^{(n-2)/2}
\to\sqrt{\dfrac\pi2}
\quad
\text{при}~
n\to\infty.
\endalign
  $$
Поэтому
$$
\pi_1(I: l^n_2\to l^n_2)=
( \sqrt{\pi/2}+o(1))
\pi_2(I: l^n_2\to l^n_2).
$$


Согласно
[10, п. 20.2.1],
если $ 0<p\leqslant s\leqslant \infty$, то произведение $ ST$
$ s$-абсолютно суммирующего оператора $ S$ и так называемого
$ (s,p)$-смешивающего
оператора
$ T$
(см. определение в [10, п. 20.1.1])
является $ p$-абсолютно суммирующим оператором, причем
$$
\pi_p(ST)\leqslant M_{(s,p)}(T) \pi_s(S),
$$
где $ M_{(s,p)}$ ---
соответствующая квазинорма.
В силу
[10, п.~22.1.6]
при
 $ 0<p<s\leqslant 2$ справедливо равенство
$$
M_{(s,p)}(I: l^n_2\to l^n_2) =a_{ns}a_{np}^{-1}.
$$

Поэтому
для любого $ n$-мерного оператора
$ U\in L(H,H)$ и  $0<p<s\leqslant 2 $
$$ \pi_1(U)\leqslant a_{n2}a_{n1}^{-1}
\pi_2(U)= \biggl( \sqrt{\dfrac\pi2}+o(1)\biggr) \pi_2(U).
$$



Мы переформулируем
лемму из
[10, п.~21.1.3]
для случая $ s<2$
таким образом, чтобы
не вдаваться в подробности появления соответствующей меры.


\vskip7pt
{\bf Лемма 1.4.}~{\it Для
каждого $ s\in (0,2)$ существует вероятностная
мера $ \mu$ на прямой $
{\Bbb R} $
{\rm(}соответственно на комплексной плоскости{\rm)}
такая,
что  при $0<p<s$             % 14.5 % !!! добавлено  $0<p<s$
$$
c_{sp}^{-1} \biggl\{\;\int\limits_{{\Bbb K}^m} |\langle x,a\rangle |^p
d\mu_s^m(a)
\biggr\}^{1/p}=\|x\|_s\quad
\forall
~x\in{\Bbb K}^m,
$$
где
$ \mu_s^m$ ~---
$ m$-кратное произведение меры $ \mu_s$ на себя
и
$ c_{sp}$ --- некоторая постоянная, громоздкую формулу для которой
можно найти в {\rm [10, п.~21.1.2].}
}

\vskip7pt


В теории вероятностей мера $ \mu_s$ известна как {\it устойчивый закон
распределения.}

При $ 1\leqslant s\leqslant 2$ и
$ 0<p<s$ имеем
$$ \pi_p(I: l_{s'}^n\to l_s^n) =
c_{sp}^{-1} \biggl\{\;\int\limits_{{\Bbb K}^
m} |\langle x,a\rangle |^p d\mu_s^m(a)
\biggr\}^{1/p}.
$$
Довольно длинное вычисление показывает, что
$$
\pi_p(I: l_{s'}^n\to l_s^n)\asymp (n \log n)^{1/s}.
$$
Отметим также,
что при $ 1\leqslant s\leqslant 2$
$$ \pi_s(I: l_{s'}^n\to l_s^n)\leqslant \nu_s(I: l_\infty^n\to l_s^n)=n^{1/s}
$$
(см. лемму 22.4.7 в [10], где подсчитана правая норма).



\vskip5mm
\centerline{\bigsc $\S$~2.
Некоторые положительные результаты}
\vskip5mm



Начнем с  изложения
оценок различных норм
тензорных произведений операторов.
Приводимый перечень результатов
не претендует на полноту.

В работе  Сафара [6] $ E{\otimes}_{g_k} F$ ---
тензорное произведение, снабженное
конечной $ k$-ядерной нормой в обычном смысле (т.~е. оно
порождает после пополнения $ E\widehat {\otimes}_k F$). Используя наши
обозначения, сформулируем
предложение 3 из этой статьи:
если $ 1\leqslant p\leqslant \infty$,
 $ E$,
$E_1$,
$F$,
$F_1$ ---
банаховы пространства и
$A\in L(E,E_1)$, $ B\in L(F,F_1)$, то
$ A{\otimes} B$ действует непрерывно
из $ E{\otimes}_{p} F$ в $ E_1{\otimes}_{p} F_1$
с нормой, не превосходящей $ \|A\|\; \|B\|$.

Следующий результат об устойчивости тензорных произведений операторов
получен Голубом [22]
(см. также  [23, предложение (2.b.3)]).
Пусть $ 1\leqslant p<\infty$,
$ X_j$,
$Y_j$ ---
банаховы пространства и $ T_j\in L(X_j,Y_j)$,
$ j=1,2$,~---
$ p$-абсолютно суммирующие операторы.
Тогда оператор $ T_1{\otimes} T_2$ является $ p$-абсолютно суммирующим из
инъективного тензорного произведения
$X_1\widehat {\widehat {\otimes}} X_2$ в инъективное тензорное произведение
$Y_1\widehat {\widehat {\otimes}} Y_2$, причем
$$ \pi_p(T_1{\otimes} T_2)\leqslant \pi_p(T_1) \pi_p(T_2).
$$
Этот результат применялся Пичем [24] (см.  [23, теорема 2.b.1])
для доказательства известной теоремы из [25]
о распределении собственных чисел $ p$-абсолютно суммирующих операторов.
Некоторые другие подобные результаты можно найти в [26].


В [18,  п. 6.7, с.~ 254--255]
 показано,
что
если
$ S:l_2^m\to l_1^n$ --- оператор из $ l_2^m$
в $ l_1^n$ и $ S{\otimes} S: l^{m^2}_2\to l_1^{n^2}$ --- соответствующее
тензорное произведение, то
$$
\|S{\otimes} S\|\leqslant c_K \|S\|^2,
$$
где $ c_K$ --- постоянная из неравенства Хинчина (см. $\S$~1).

На самом деле, из доказательства, приведенного в [18],
вытекает, что
аналогичное неравенство верно
также
для пары различных $ S_1$
и
$S_2$
(аналогичное
замечание справедливо относительно
следующего утверждения).

В случае оператора $ S:l_1^n\to l_2^n$ имеет место даже равенство
соответствующих величин:
если $ S:l_1^n\to l_2^m$ --- оператор из $ l_1^n$
в $ l_2^m$ и $ S{\otimes} S: l^{n^2}_1\to l_2^{m^2}$ --- соответствующее
тензорное произведение, то
$$ \|S{\otimes} S\|= \|S\|^2.
$$

Имеется оценка для $ \pi_2$-нормы тензорных произведений операторов,
аналогичная оценкам из
предыдущих лемм. Именно,
если $ S:l_1^n\to l_2^m$ --- оператор из $ l_1^n$
в $ l_2^m$ и $ S{\otimes} S: l^{n^2}_1\to l_2^{m^2}$ --- соответствующее
тензорное произведение, то
$$
\pi_2^2(S)\leqslant c_K \pi_2(S{\otimes} S).
$$



Укажем
простой факт, который сводит решение задачи,
поставленной в начале работы, к оценке снизу
нормы тензорного произведения
операторов через произведение их норм.


\vskip7pt
{\bf Лемма 2.1.}~{\it Пусть $ A\in{\operatorname{L}}(X,E)$,
$B\in{\operatorname{L}}(Y,F)$.
Для любых
кросс-норм $ {\alpha}$ и $ \beta$
на $ X{\otimes} Y$ и $ E{\otimes} F$
соответственно справедливо неравенство
$$ \|A{\otimes} B\| \geqslant \|A\| \|B\|
$$
{\rm (}левая часть неравенства может принимать и бесконечное значение{\rm).}
}

\vskip7pt

{\it Доказательство}.
Зафиксируем $ {\varepsilon}>0$.
Пусть $ x\in X$ и $ y\in Y$ ---        % 15 % !!! y
единичные векторы
такие, что
$$
\|Ax\|\geqslant (1-{\varepsilon}) \|A\|,
\quad
 \|By\|\geqslant (1-{\varepsilon}) \|B\|.
$$
Тогда
$$
\|x{\otimes} y\|=1,
\quad
 \|(A{\otimes} B)(x{\otimes} y)\|
= \|Ax\| \|By\|\geqslant (1-{\varepsilon})^2 \|A\| \|B\|.
\eqno{\Box}
$$

Из этой леммы и леммы Сафара
(см. выше) получаем

\vskip7pt
{\bf Следствие 2.2.}~{\it В условиях леммы Сафара
$\|A\otimes B\|=\|A\| \|B\|$.
}
\vskip7pt


Более того, поскольку при $ p<q$ пространство
$E_1{\otimes}_{p} F_1 $ непрерывно
канонически отображается в $ E_1{\otimes}_{q} F_1$
(с нормой отображения единица), то верно
следующее
утверждение.

\vskip7pt
{\bf Следствие 2.3.}~{\it Если
$ 1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$, $ E$,
$E_1$,
$F$,
$F_1$ ---
банаховы пространства и
$A\in L(E,E_1)$, $ B\in L(F,F_1)$, то
$ A{\otimes} B$
действует
непрерывно из $ E{\otimes}_{p} F$ в $ E_1{\otimes}_{q} F_1$
с нормой, равной $ \|A\| \|B\|$.    % 16 % !!! выброшена ; точка  с запятой
В частности, для таких показателей $ p$,
$q$
ответ на вопрос, сформулированный
в начале данной статьи, положителен.
}
\vskip7pt



Используя формулу $ (A{\otimes} B)(U)=BUA^*$ из $\S$~1,
можно распространить действие оператора $ A{\otimes} B$
на пространства
операторов. Например, если
$$ A_0: E\to X,
\quad
 A=A_0^*: X^*\to E^*,
\quad
B: Y\to F,
$$
то для любого $ p$ можно рассмотреть оператор
$ A{\otimes} B:\Pi_p(X,Y)\to \Pi_p(E,F)$
по формуле
$$
(A{\otimes} B)(U)=(A_0^*{\otimes} B)(U):=BUA_0. % 17 % !!! вставил (U)
$$
На замыкании
$ X^*\widehat {\widehat {\otimes}}_p Y$
множества всех конечномерных операторов
в $ \Pi_p(X,Y)$ оператор $ A{\otimes} B$
действует так же, как
действовали соответствующие отображения в случае тензорных
произведений несопряженных пространств. При этом
$$ \pi_p((A{\otimes} B)(U))=\pi_p(BUA_0)\leqslant \|A\| \|B\| \pi_p(U)$$,
и из общих соображений вытекает

\vskip7pt

{\bf Предложение 2.4.}~{\it Пусть $ X$,
$Y$,
$E$,
$F$ --- банаховы пространства, $ 1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$,
$ A_0\in L(E,X)$, $ B\in L(Y,F)$. Тогда для оператора
$ A_0^*{\otimes} B: \Pi_p(X,Y)\to \Pi_q(E,F)$
имеем
$$ \|A_0^*{\otimes} B\|=\|A_0^*\| \|B\|.
$$
}
\vskip2pt


Аналогично обстоит дело и с $ p$-ядерными операторами.

\vskip7pt

{\bf Предложение 2.5.}~{\it Пусть $ X$,
$Y$,
$E$,
$F$ --- банаховы пространства, $ 1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$,
$ A_0\in L(E,X)$, $ B\in L(Y,F)$. Тогда для оператора
$ A_0^*{\otimes} B: {\operatorname{N}}_p(X,Y)\to {\operatorname{N}}_q(E,F)$
имеем
$$ \|A_0^*{\otimes} B\|=\|A_0^*\| \|B\|.
$$
}
\vskip2pt


Можно сформулировать  ряд других аналогичных утверждений.


Теперь отметим некоторые
результаты, связанные с понятиями типа и
котипа банаховых пространств. Предположим, что
$ X$
и
$Y$
~---
пространства
 типа 2, а
$ E$
и
$F$~---
пространства
 котипа 2. Пусть
$ A:X\to E$
и
$ B:Y\to F$.
По теореме Море $ A^*$ и $ B$
факторизуются через гильбертово пространство, и для любого  оператора
$ U:X^*\to Y$ (например, для $ U\in X{\otimes} Y$) появляется диаграмма
вида
$$
BUA^*: E^* \to l^2 \to X^* @>U>> Y\to l^2 \to F.
$$
Можно
сформулировать общий простой факт (относительно
произведений операторных идеалов см. [10]).

\vskip7pt

{\bf Предложение 2.6.}~{\it Если $ X$
и
$Y$ --- пространства типа $2$, $ E$
и
$F$ --- пространства котипа $2$, $ A:X\to E$, $ B:Y\to F$,
$ {\operatorname{I}}$ --- некоторый нормированный операторный идеал и
$ U\in I(X^*,Y)$, то
$ (A{\otimes} B)(U)=BUA^*\in
\Gamma_2\circ {\operatorname{I}}\circ \Gamma_2$,
где $ \Gamma_2$ --- идеал $2$-факторизуемых операторов. При этом
$$ \|(A{\otimes} B)(U)\|\leqslant
T_2(X) T_2(Y) C_2(E) C_2(F) \|U\|_{{\operatorname{I}}}.
$$
}
\vskip2pt

Вместо $ {\operatorname{I}}(X^*,Y)$ можно рассматривать замыкание в этом
пространстве
тензорного произведения $ X{\otimes} Y$.
Тогда мы приходим к утверждению типа
рассмотренных выше:
в условиях предложения 2.6 имеем
$$
A{\otimes} B: X\widehat {\otimes}_
{{\operatorname{I}}} Y\to E\widehat
{\otimes}_{\Gamma_2{\operatorname{I}}\Gamma_2} F,\quad
\|A{\otimes} B\|\leqslant T_2(X) T_2(Y) C_2(E) C_2(F).
$$

Аналогично можно рассматривать пространства типа $ \Pi_p$
и пространства
$ p$-ядер\-ных операторов.
Например, для $ {\operatorname{I}}=\Pi_p$
справедливы следующие утверждения
(напомним, что в гильбертовом
пространстве все классы $ \Pi_r$ совпадают).

\vskip7pt

{\bf Следствие 2.7.}~{\it Пусть
$ 0<p<\infty$, $ X$
и
$Y$ --- пространства типа $2$,
$ E$ и $ F$ ---
пространства котипа $2$, $ A:X\to E$, $ B:Y\to F$.
Тогда отображение $ A{\otimes} B: \Pi_p(X^*,Y)\to \Pi_q(E^*,F)$
непрерывно для любого $ q>0$.
}


\vskip7pt

{\bf Следствие 2.8.}~{\it Пусть $ 1\leqslant p,q<\infty$,
$ X$
и
$Y$ --- пространства типа $2$,
$ E$ и $ F$ ---
пространства котипа $2$, $ A:X\to E$, $ B:Y\to F$.
Тогда отображение $ A{\otimes} B: X\widehat
{\otimes}_p Y)\to E\widehat {\otimes}_q F$
непрерывно.
}

\vskip7pt

{\bf Следствие 2.9.}~{\it Пусть $ p_1,p_2\geqslant 2$, $ q_1,q_2\in [1,2]$,
$ A: L^{p_1}\to L^{q_1}$, $ B: L^{p_2}\to L^{q_2}$. % 18 % !!! {p_2}
Тогда отображение
$$ A{\otimes} B: L^{p_1}
\widehat {\otimes}_p L^{p_2}\to L^{q_1}\widehat {\otimes}_q L^{q_2}
$$
непрерывно
при любых показателях
$ p,q\in [1,+\infty)$.
}
\vskip2pt


Примеры, соответствующие следствию  2.9
(в частности, неравенство
$ \|A{\otimes} B\|>\|A\| \|B\|$),
даны
в $\S$~4.

Можно показать (но это несколько сложнее предыдущего),
что справедливо следующее утверждение.

\vskip7pt

{\bf Предложение 2.10.}~{\it Пусть $ X$,
$Y$,
$E$,
$F$ --- произвольные
пространства, $ A:X\to E$, $ B:Y\to F$.
Если $ A$ ~--- пространство типа $2$
и
$ B$ --- пространство котипа $2$, то $ A{\otimes} B$
действует из $ X\widehat {\widehat
 {\otimes}} Y$ в $ \Gamma_2(E^*,F)$ и непрерывно, причем
$$
\|A{\otimes} B\|\leqslant T_2(A) C_2(B) \|A\| \|B\|.
$$
Более того, $ A{\otimes} B$ действует непрерывно  из $ L(X^*,Y)$
в $ \Gamma_2(E^*,F)$.
}


\vskip5mm

\centerline{\bigsc $\S$~3.
Элементарное доказательство основного факта}
\vskip5mm

Мы установим последнюю часть следствия 2.3
элементарными средствами.
Итак, мы рассматриваем пространства $(S, \mu)$ и $(T,\nu)$
с $ \sigma$-конечными мерами.
Далее $ 1\leqslant p\leqslant q<+\infty$.
Предположим, что
операторы $ A$
и
$B$ отображают $ L^p(\mu)$ в
$ L^q(\nu)$:
$$
L^p(\mu) @>A>> L^q(\nu),
\quad
L^p(\mu) @>B>> L^q(\nu).
$$


Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [10]).

\vskip7pt
{\bf Лемма 3.1.}~{\it  Пусть $(S, \mu)$ и
$(T,\nu)$ --- пространства с $ \sigma$-конеч\-ны\-ми
мерами и $ f$ --- $ \mu{\otimes}\nu$-измеримая функция на
$S\times T$. Если $ 0<p\leqslant q<+\infty$, то
$$\multline
\left\{\int\limits_{T} \biggl(\;\int\limits_{S} |f(s, t)|^p
d\mu(s)\biggr)^{q/p} d\nu(t) \right\}^{1/q}
\\
 \leqslant
\left\{\int\limits_{S} \biggl(\;\int\limits_{T} |f(s,t)|^q
d\nu(t)\biggr)^{p/q} d\mu(s) \right\}^{1/p}.
\endmultline    $$
}
\vskip7pt

Мы выбросим все ``плохие'' множества меры нуль и будем всюду писать
(или понимать, что все происходит)
``для любого'' значения аргумента
(будь то $ s$ или $ t$, или иное).
Чтобы избежать громоздких обозначений,
пишем
$ ds$ и т.~п. вместо $ d\mu(s)$.

В качестве аргументов берутся
$ s$,
$t$,
$u$,
$v$.
Значения
функции $ f\in L^p(\mu\otimes \nu)$
записываем в виде
$ f(s,t)$.
Если
$ t\in T$, то
эта запись
означает $ f(\cdot,t)\in L^p_s$.
Более того,
мы используем
обозначения следующего типа:
если $ t\in T$, то $ f(\ovs s{\cdot},t)\in L^p_s$ (т.~е. буква над
точкой показывает, какой из аргументов в конкретном случае
здесь надо поставить).

Например, если $ t\in T$, то мы пишем (сейчас рассматривается значение
оператора $ A$ на функции
$ f(\cdot, t)$ при фиксированном значении $t$):
$ A_s \biggl( f(\ovs s\cdot, t)\biggr)(\ovs u\cdot)\in L^q_u$, т.~е.
$$
A_s
( f(\ovs s\cdot,\ovs t\cdot)
)(\ovs u\cdot)\in
L^p_t(L^q_u)\subset L^q_u(L^p_t)\
@>1\otimes B>> L^q_u(L^q_v)\
$$
(предпоследнее соотношение --- это лемма 3.1, поскольку
$ p\leqslant q$).

Таким образом,
$ A_s ( f(\ovs s\cdot,\ovs t\cdot))(\ovs u\cdot)$
понимается также в следующем смысле:
для всех $u$
функция
$ A_s
( f(\ovs s\cdot, t))( u)$ ---           % 19 % !!! вставил ---
функция от $ t,$                         % 20 % !!! запятая
принадлежащая
пространству $ L^p_t$.


Далее (подробности см. в доказательстве теоремы 3.2),
для каждого
$u$
$$
B_t
( A_s ( f(\ovs s\cdot, \ovs t\cdot))(u))
(\ovs v\cdot)\in L^q_v,
$$
и, следовательно,
$$
B_t
( A_s
( f(\ovs s\cdot, \ovs t\cdot))(\ovs u\cdot))
(\ovs v\cdot)\in L^q_u(L^q_v)
\tag{3.1}
$$
является функцией
переменных $ u$
и
$v$.
Функция (3.1) есть образ функции $ f\in L_s^p(L^p_t)(=L^p_t(L^p_s))$
при отображении $ A\otimes B$
(см. ниже).


Оператор $ A\otimes B$ на
элементарных тензорах вида $ {\varphi}\otimes \psi$
(или на функциях $ {\varphi}(s) \psi(t)$) действует по формуле
$$
(A\otimes B)({\varphi}\otimes \psi)= A{\varphi}\otimes B\psi
$$
или ~--- в терминах функций ---
$$
(A{\varphi}\otimes B\psi) (u,v)= A({\varphi}(\ovs s\cdot))(u)
B(\psi(\ovs t\cdot))(v).
$$

 По линейности этот оператора
очевидным образом продолжается
на тензоры общего вида
$$ (A\otimes B)\biggl(\;\sum\limits_1^N f_k\otimes g_k\biggr)
=\sum\limits_1^N A(f_k){\otimes} B(g_k).
$$

\vskip7pt

{\bf Теорема 3.2.}~{\it
Если $ 1\leqslant p\leqslant q<+\infty$, то
$$
\|A\otimes B\|= \|A\| \|B\|.
$$
}
\vskip2pt

{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Неравенство
$ \|A\otimes B\|\geqslant \|A\| \|B\| $
справедливо в силу леммы 2.1.
Для доказательства
обратного неравенства
существенно используется лемма 3.1 и, следовательно,
соотношение $ p\leqslant q$.

Как отмечалось выше,
на элементарных функциях (или тензорах) вида
$ f(\ovs s\cdot,\ovs t\cdot)={\varphi}(\ovs s\cdot) \psi(\ovs t\cdot)$
значение оператора
$ A{\otimes} B$ вычисляется следующим образом:
$$ A_s({\varphi}(\ovs s\cdot))(\ovs u\cdot)
B_t(\psi(\ovs t\cdot))(\ovs v\cdot)
$$
или
(ввиду
линейности $ A$ и $ B$)
$$ B_t
[A_s({\varphi}
(\ovs s\cdot) \psi(\ovs t\cdot))(\ovs u\cdot)]
(\ovs v\cdot)\in {\operatorname{L}}^q_u(L^q_v)
\equiv L^q(\nu(u)\otimes\nu(v)).         % 21 % !!! \nu вместо \mu
$$
Справедливость этого и
последующих включений,
а также непрерывность
тензорного произведения операторов
устанавливает\-ся ни\-же.
Переходя к линейной оболочке элементарных тензоров, а затем к замыканию
этой оболочки
в пространстве $ L^p(L^p)= L^p\widehat {\otimes}_p L^p$,
получаем, что для каждой функции $ f\in L^p(L^p)= L^p(\nu{\otimes}\nu)$
                           % 22 % !!! \nu вместо \mu
(если угодно, для начала --- до доказательства непрерывности $ A{\otimes} B$ ---
можно считать, что все происходит на линейной оболочке элементарных
тензоров)
$$\align
( A_s{\otimes} B_t)
f(\ovs s\cdot,\ovs t\cdot)
&=
{ B_t
[A_s(f(\ovs s\cdot,\ovs t\cdot))(\ovs u\cdot)]
}
(\ovs v\cdot)
\in {\operatorname{L}}^q_u(L^q_v)
\\
&
\equiv L^q(\nu_u,\nu_v)\equiv L^q_u\widehat {\otimes}_q L^q_v,
\endalign
$$
т.~е. $ (A{\otimes} B)f$ есть вектор-функция из $ L^q_u(L^q_v)$,
действующая следующим образом:
$$
u \mapsto
B_t [A_s(f(\ovs s\cdot,\ovs t\cdot))( u)] (\ovs v\cdot)
\in L^q_v.
$$
Отметим,
что это утверждение верно, по крайней мере, на линейной
оболочке элементарных тензоров или функций.
Установим теперь
указанные выше
включения, непрерывность
тензорного оператора и оценки норм различных функций,
из которых получим требуемое неравенство.

Имеем
$$\align
\|A_s
( f(\ovs s\cdot,
\ovs t\cdot)) (\ovs u\cdot)\|^p_{L^p_t(L^q_u)}
&=
\int \|A_s
( f(\ovs s\cdot, t))
(\ovs u\cdot)\|^p_{L^q_u} dt
\\
&=\int \biggl(
\int |A_s
( f(\ovs s\cdot, t)) (u)|^q du
\biggr)^{p/q} dt
\\
&\leqslant
\int \|A\|^p \|
f(\ovs s\cdot,t)\|_{L^p_s}^{p} dt=
  \|A\|^p \|f                  % 23 % !!! вставил \|A\|^p \|f
(\ovs s\cdot, \ovs t\cdot)\|^p_{L^p_t(L^p_s)}.
\tag{3.2}
\endalign
$$

По лемме 3.1
имеем $ L^p_t(L^q_u)\subset L^q_u(L^p_t)$
(вложение с нормой $ \leqslant 1)$.
Поэтому вектор-функцию, норма которой
оценивалась
в (3.2),
можно рассматривать также следующим образом:
для любого
$u$
$$
t\mapsto A_s ( f(\ovs s\cdot, t)) (u)\in L^p_t.
$$

Теперь, для любого  $ u$
$$\align
\|B_t
[ A_s ( f(\ovs s\cdot, \ovs t\cdot)) (u)]
(\ovs v\cdot)\|^q_{L^q_v}
&=
\int |B_t
[ A_s ( f(\ovs s\cdot, \ovs t\cdot)) (u)] (v)|^q dv
\\
&
\leqslant
\|B\|^q \|A_s
( f(\ovs s\cdot, \ovs t\cdot)) (u)\|^q_{L^p_t}
\\
&=
\|B\|^q \biggl(\;\int |A_s
( f(\ovs s\cdot, t)) (u)|^p dt \biggr)^{q/p}.
\tag{3.3}
\endalign
$$

Используя последовательно
формулу (3.3), лемму 3.1 и формулу (3.2), приходим
к искомому неравенству
$$\align
\|(A{\otimes} B) f\|^q_{L^q_u(L^q_v)}
&=
\int\int
|B_t
[ A_s
( f(\ovs s\cdot, \ovs t\cdot)) (u)] (v)|^q dv du
\\
&\leqslant \int
\|B\|^q \biggl(\;\int |A_s
( f(\ovs s\cdot, t)) (u)|^p dt \biggr)^{q/p} du
\\
&\leqslant \|B\|^q \biggl(\;\int
\biggl(\;\int |A_s
( f(\ovs s\cdot, t)) (u)|^q du \biggr)^{p/q} dt
\biggr)^{q/p}
\\
&= \|B\|^q
\|A_s
( f(\ovs s\cdot,\ovs t\cdot)
) (\ovs u\cdot)\|^q_{L^p_t(L^q_u)}
\\
&\leqslant
\|B\|^q \|A\|^q \|f\|^q_{L^p(L^p)}.
\endalign
 $$
\hfill$\Box$


\vskip6mm
\heading
{\bigsc
\S~4.~ Некоторые контрпримеры}
\endheading
\vskip2mm

Во многих формулируемых ниже леммах условия на нормы, вычисляемые
в различных пространствах, эквивалентны между собой, но для полноты
картины мы приводим эти условия, формально отличающиеся друг от друга.

\vskip7pt
{\bf Лемма 4.1.}~{\it Существует
последовательность
операторов $ A_n$ %\linebreak
$\in {\operatorname{L}}(l_2^n, L^1(\mu))$
такая, что
$\operatorname{dim} A_n=n$,
$\|A_n\|=1$
для каждого $ n$
и
$ \|A_n{\otimes} A_n\|\geqslant \sqrt {\pi/2}+o(1)$
при $ n\to \infty$, где норма
рассматривается в любом из следующих пространств{\rm:}

\vskip2pt


{\rm 1)}~ ${\operatorname{L}} ( l_2^{n^2}, L^1(\mu{\otimes}\mu))$,

\vskip2pt

{\rm 2)}~${\operatorname{L}}( \Pi_2(l^n_2,l^n_2), \Pi_1(L^\infty(\mu),
L^1(\mu)))$,
\vskip2pt

{\rm 3)}~${\operatorname{L}}( {\operatorname{N}}_2(l^n_2,
l^n_2), {\operatorname{N}}_1(L^\infty(\mu),L^1(\mu)))$,

\vskip2pt
{\rm 4)}~ ${\operatorname{L}}( {\operatorname{I}}_2(l^n_2,l^n_2),
{\operatorname{I}}_1(L^\infty(\mu),L^1(\mu)))$,

\vskip2pt
{\rm 5)}~${\operatorname{L}} ( l^n_2\widetilde {\otimes}_2
l^n_2, L^1(\mu)\widetilde {\otimes}_1 L^1(\mu))$.

}
\vskip7pt

{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Пусть $ j:l^n_2\to L^1(\mu)$ --- изометрическое вложение,
$ I={\operatorname{id}}_{l^n_2}: l^n_2\to l^n_2$
--- тождественное отображение.
Тогда
$$
I\in {\operatorname{N}}_2(l^n_2,l^n_2),    % 24 % !!! l^n_2 вместо l^n_1
\quad
 \pi_2(I)=\nu_2(I)=i_2(I)
=\sqrt n.
$$
Для
$ T=jj^*: L^\infty(\mu)\to l^n_2\to L^1(\mu)$
имеем
$$
\nu_1(T)=i_1(T)=\pi_1(T)=\pi_1(j^*)=\nu_1(j^*).
$$
Предпоследнее равенство
справедливо,
так как
$ j$ --- изометрическое
вложение.
Последнее равенство и первые два
равенства вытекают из конечномерности
рассматриваемых операторов, инъективности идеалов абсолютно
$ p$-суммирующих операторов и свойств этих операторов, отмеченных в начале
статьи.
Напомним, что в конечномерной ситуации ядерность
оператора равносильна ядерности его сопряженного
оператора (при этом соответствующие ядерные нормы равны).
Продолжим цепочку равенств:
$$
\nu_1(T)=\nu_1(j^*)=\nu_1(j)\geqslant \pi_1(j)=\pi_1(I).
$$

Таким образом,
$$
\nu_1(T)\geqslant \pi_1({\operatorname{id}}_{l^n_2})=
a^{-1}_{n1}\sim \sqrt{\pi/2} \sqrt n.
$$
Следовательно,
$$
\nu_1((j{\otimes} j)(I)) =\nu_1(T)\geqslant a^{-1}_{n1}=
(\sqrt{\pi/2}+o(1)) \pi_2(I),
$$
так что
$$
\|j{\otimes} j\| \geqslant (\sqrt{\pi/2}+o(1)).
$$

Для завершения доказательства достаточно положить
$ A_n=j: l^n_2\to L^1(\mu)$.
\hfill$\Box$
\vskip7pt




{\bf Лемма 4.2.}~{\it Для любого $ s\in (1,2)$ существуют
постоянная $ c_s>0$ и последовательность операторов
$ A_n: l_s^n\to L^1(\mu)$
такие, что
$\operatorname{dim} A_n=n$,
$\|A_n\|=1$
для каждого $ n$,
но
$ \|A_n{\otimes} A_n\|\geqslant c_s \log^{1/s}n$, где норма
рассматривается в любом из следующих пространств{\rm:}
\vskip2pt

{\rm 1)}~ ${\operatorname{L}}
( l_s^{n^2}, L^1(\mu{\otimes}\mu))$,

\vskip2pt
{\rm2)}~${\operatorname{L}}
( \Pi_s(l^n_{s'},l^n_s), \Pi_1(L^\infty(\mu),L^1(\mu)))$,

\vskip2pt
{\rm3)}~${\operatorname{L}} ( {\operatorname{N}}_s(l^n_{s'},l^n_s),
{\operatorname{N}}_1(L^\infty(\mu),L^1(\mu)))$,

\vskip2pt
{\rm4)}~ ${\operatorname{L}} ( {\operatorname{I}}_s(l^n_{s'},l^n_s),
{\operatorname{I}}_1(L^\infty(\mu),L^1(\mu)))$,

\vskip2pt
{\rm5)}~${\operatorname{L}} ( l^n_s\widetilde {\otimes}_s l^n_s,
L^1(\mu)\widetilde {\otimes}_1 L^1(\mu))$.

}
\vskip7pt

{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Пусть $1<s<2$ и $ j:l^n_s\to L^1(\mu)$ --- изометрическое вложение.
Если $ I: l^n_{s'}\to l^n_s$ --- формально тождественное отображение, то
$ \pi_s(I)=\nu_s(I)=n^{1/s}$.
Действительно, взяв для оператора $ I$ естественное $ s$-ядерное
представление
$$
T=\sum\limits_{i=1}^n e_i{\otimes} e_i,
$$
где $ e_i$ --- $i$-й орт в $ \Bbb K$,
получим неравенство ``$ \leqslant $''.
С другой стороны, для слабо
$ s$-суммируемой последовательности $ \{ e_i\}_{i=1}^n\subset l^n_{s'}$
(со слабо $ s$-суммируемой нормой, равной единице)
справедливо
равенство
$$
\biggl(\;\sum \|Ie_k\|^s\biggr)^{1/s}=n^{1/s}, % 25 % !!! 1/s вместо 1/p
$$
из которого
следует
$ \pi_s(I)\geqslant n^{1/s}$.

Как и в доказательстве леммы 4.1,
положим $ T=jIj^*$. Тогда
$$
\nu_1(T)=i_1(T)=\pi_1(T)=\pi_1(Ij^*)=\nu_1(Ij^*)  % 25 % !!!  \pi - не pi
$$
и, следовательно,
$$
\nu_1(T)=\nu_1(jI)\geqslant \pi_1(jI)=\pi_1(I)\asymp (n \log n)^{1/s}.
$$
Отсюда вытекает существование постоянной $ c_s>0$
такой, что
$$
\nu_1(T)\geqslant c_s \log^{1/s} n n^{1/s}=     % 26 % !!! вставка n
c_s \log^{1/s} n \nu_s(I).                        % 27 % !!! вставка n
$$

Окончательно,
$$
\nu_1((j{\otimes} j)(I))\geqslant c_s \log^{1/s} n \nu_s(I), %28% !!! n
$$
что доказывает неравенство
$ \|j{\otimes} j\|\geqslant c_s \log^{1/s} n$.   % 29 % !!! вставка n
\hfill$\Box$


\vskip7pt


{\bf Лемма 4.3.}~{\it Существует последовательность
операторов $ B_n$\linebreak$\in {\operatorname{L}}(L^\infty(\mu),l_2^n)$
такая, что
$ \operatorname{dim} B_n=n$,
$\|B_n\|=1$
для каждого $ n$
и
$ \|B_n{\otimes} B_n\|\geqslant \sqrt {\pi/2}+o(1)$
при $ n\to \infty$,
где норма
рассматривается в пространстве
$${\operatorname{L}}
(L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}}L^\infty(\mu), \Pi_2(l^n_2,
l^n_2))$$
или, что то же самое, в пространстве
${\operatorname{L}} (L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}}L^\infty(\mu),
l^n_2\widetilde
{\otimes}_2 l^n_2)$.
}
\vskip7pt

{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Пусть $ j: l^n_2\to L^1(\mu)$ --- изометрическое вложение (такое же, как
и в доказательстве леммы 4.1). Рассмотрим оператор
$ j^*: L^\infty(\mu)\to l^n_2$
и положим $ B_n:=j^*$. Здесь мы будем пользоваться
попеременно обозначениями $ B_n$ и $ j$, $ j^*$.
Оператор $ B_n{\otimes} B_n$ действует
линейно из $ L^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu)$
в $ l^n_2{\otimes} l^n_2.$
При этом для тензора
$ f{\otimes} g\in L^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu)$ значение
$ (B_n{\otimes} B_n)(f{\otimes} g)$ есть $
B_nf{\otimes} B_ng=j^*f{\otimes} j^*g\in l^n_2{\otimes} l^n_2$
и
при
$ x\in l^n_2$
имеем
$$
(j^*f{\otimes} j^*g)(x)= \langle j^*f,x\rangle j^*g= \langle f,jx\rangle
j^*g=
j^*((f{\otimes} g)(jx)),
$$
где тензор $ f{\otimes} g$
рассматривается как одномерный оператор из $ L^1(\mu)$
в $ L^\infty(\mu)$. Если $ U\in L^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu)$, то
оператор $ j^*Uj$ действует
следующим образом:
$$
l^n_2 @>j>> L^1(\mu) @>U>> L^\infty(\mu) @>j^*>> l^n_2. % 30 % !!! l^n_2
$$
Ввиду
линейности $ B_n{\otimes} B_n$
для любого такого $ U$
имеем
$$
(B_n{\otimes} B_n)(U)= j^*Uj\in \Pi_2(l^n_2,l^n_2)=l_2^n{\otimes} l^n_2.
$$                         % 31 % !!! \Pi_2(l^n_2,l^n_2)

Пусть $ {\varepsilon}>0$ и $ U$ --- оператор (тензорный элемент) из
пространства
$ L^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu)$
такой,
что $ \|U\|=1$ и
$ {\operatorname{trace} } Ujj^*\geqslant \nu_1(jj^*) (1-{\varepsilon})$.
Такой оператор существует, поскольку
$$
( L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}} L^\infty(\mu))^*
=I_1(L^\infty(\mu), L^1(\mu)^{**})
$$ и пространство
$ N_1(L^\infty(\mu),L^1(\mu))$ канонически изометрично подпространству
последнего.
Так как $
|{\operatorname{trace} } AB|\leqslant \pi_2(A) \pi_2(B)$
(см. [10]),
имеем
$$\align
\nu_1(jj^*)(1-{\varepsilon})
&\leqslant |{\operatorname{trace} } Ujj^*|=|{\operatorname{trace} }
j^*Uj|
\\
&\leqslant
\pi_2(j^*Uj) \pi_2({\operatorname{id}}_{l^n_2})=  % 31 % !!! j^*Uj
\pi_2                                               % 32 % !!!  \pi_2
((B_n{\otimes} B_n)(U)) \sqrt n,
\endalign $$
откуда (см. доказательство леммы 4.1)
$$
\sqrt n \pi_2
((B_n{\otimes} B_n)(U))
\geqslant (1-{\varepsilon}) \pi_1({\operatorname{id}}_{l^n_2})
\geqslant (1-{\varepsilon})
( \sqrt{\pi/2}+o(1)) \sqrt n
$$
или
$$ \pi_2
((B_n{\otimes} B_n)(U))
\geqslant (1-{\varepsilon}) ( \sqrt{\pi/2}+o(1)
) \|U\|.
$$
Ввиду
произвольности $ {\varepsilon}>0$ и изометричности оператора $ j$
норма оператора $ B_n{\otimes} B_n$
как оператора из
$ L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}} L^\infty(\mu)$
в $ \Pi_2(l^n_2,l^n_2)$ не меньше, чем
$( \sqrt{\pi/2}+o(1))$.
\hfill$\Box$


\vskip7pt

{\bf Лемма 4.4.}~{\it Для любого $ r\in (2,+\infty)$ существуют
постоянная $ c_r>0$ и последовательность операторов
$ B_n: L^\infty(\mu)\to l_r^n$
такие, что
$\operatorname{dim} B_n=n$,
$\|B_n\|=1$,
для каждого $n$,
но
$$
\|B_n{\otimes} B_n\|\geqslant c_r \log^{1/r'}n,
$$
где норма
рассматривается в пространстве
$${\operatorname{L}} ( L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}}L^\infty(\mu),
\Pi_r(l^n_{r'},l^n_{r}))
$$
или, что то же самое, в пространстве
$$
{\operatorname{L}} (L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}}
L^\infty(\mu), l^n_r\widetilde {\otimes}_r l^n_r).
$$
}
\vskip7pt

{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Рассуждения аналогичны
доказательству леммы
4.3, но отличаются в некоторых деталях,
поэтому мы приведем его здесь
в более коротком виде.
Пусть $ 2<r<+\infty$.
Чтобы пользоваться обозначениями и
некоторыми сведениями из доказательства ``двойственной'' леммы 4.2,
мы переобозначим $ r'$ через $ s$, так что $ r=s'$ и
$ 1<s<2$.
Пусть $j:l^n_s\to L^1(\mu)$ ---
изометрическое вложение из доказательства леммы 4.2.
Рассмотрим линейное отображение $ j^*{\otimes} j^*$. Оно действует из
$ L^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu)$ по формуле
$$ (j^*{\otimes} j^*)(U)=j^*Uj:\ l_s^n @>j>> L^1(\mu)
@>U>> L^\infty(\mu) @>j^*>> l^n_{s'},
$$
что
устанавливается в точности так же, как при доказательстве леммы 4.3.
Если $ I:l^n_{s'}\to l^n_s$ --- формально тождественное отображение,
то имеет смысл след оператора вида $ Ij^*Uj$, и этот след равен следу
оператора $ j^*UjI$, действующего согласно следующей диаграмме:
$$
j^*UjI:\ l^n_{s'} @>I>> l_s^n @>j>> L^1(\mu)
@>U>> L^\infty(\mu) @>j^*>> l^n_{s'}.
$$
Пусть $U\in L^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu)$,
$ \|U\|=1$, $ {\operatorname{trace} } U(jIj^*)\geqslant 1/2 \nu_1(jIj^*)$.
Как и в доказательстве леммы 4.2, правая часть последнего
неравенства не меньше, чем $ 1/2 \pi_1(I)\asymp (n \log n)^{1/s}$.
Оценим след $ {\operatorname{trace} } U(jIj^*)$ сверху.
При этой оценке мы используем следующий
хорошо известный факт (см., например, [10, п. 20.2.4,
формула (2)]):
$ \Pi_{s'}\circ {\operatorname{N}}_s
\subset {\operatorname{N}}_1$, т. е. если
$ X @>B>> Y @>A>> Z$,  $ A\in\Pi_{s'}$,
$ B\in {\operatorname{N}}_s$,
то произведение
$ AB$
принадлежит
${\operatorname{N}}_1(X,Z)$, причем
$$
\nu_1(AB)\leqslant \nu_s(B) \pi_{s'}(A).      % 33 % !!! {s'}(A)
$$
В качестве $ A$
возьмем оператор $ j^*Uj$, а в качестве $ B$ ---    % 33 % !!! j^*Uj
оператор $ I$. Тогда
$$\align
|{\operatorname{trace} }
U(jIj^*)|
&=|{\operatorname{trace}
} (j^*Uj)I|\leqslant \nu_s(I) \pi_{s'}(j^*Uj)
\\
&\leqslant
n^{1/s} \pi_{s'}
( (j^*{\otimes} j^*)(U)).
\endalign  $$
По поводу последнего неравенства см. начало доказательства леммы 4.2.
Ввиду выбора
оператора $ U$ и приведенных выше рассуждений
приходим к неравенствам
$$
c'_s \log^{1/s} n\leqslant \dfrac1{n^{1/s}} \pi_1(I)\leqslant
\dfrac 1{n^{1/s}} |{\operatorname{trace} } j^*UjI|\leqslant
\pi_{s'} ( (j^*{\otimes} j^*)(U))
$$
с некоторой постоянной $ c'_s$, зависящей только от $ s$.

Так как $ \|U\|=1$, норма оператора $ j^*{\otimes} j^*$ как оператора
из $ L^\infty(\mu)\widehat
{\widehat {\otimes}} L^\infty(\mu)$ в $ \Pi_{s'}(l^n_s,l^n_{s'})$
оценивается снизу следующим образом:
$$
\|j^*{\otimes} j^*\|\geqslant c'_s \log^{1/s}n.
\eqno{\Box}
$$




\vskip7pt

{\bf Лемма 4.5.}~{\it Для любых $ s, r\in (1,2)$,
$r<s$, существуют
постоянная $ D_{s,r}>0$ и последовательность операторов
$ A_n: l_s^n\to L^r(\mu)$
такие, что
$ \operatorname{dim} A_n=n$,       % 34 % !!!  = n
$\|A_n\|=1$
для каждого $ n$,
но
$$
\|A_n{\otimes} A_n\|\geqslant D_{s,r} \log^{1/s}n,
$$
где норма
рассматривается в любом из следующих пространств{\rm:}

\vskip2pt
{\rm1)}~${\operatorname{L}}
( l_s^{n^2}, L^r(\mu{\otimes}\mu))$,

\vskip2pt

{\rm2)}~${\operatorname{L}}
( \Pi_s(l^n_{s'},l^n_s), \Pi_r(L^{r'}(\mu),L^r(\mu)))$,
\vskip2pt

{\rm3)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{N}}_s(l^n_{s'},l^n_s),
{\operatorname{N}}_r(L^{r'}(\mu),L^r(\mu)))$,
\vskip2pt

{\rm4)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{I}}_s(l^n_{s'},l^n_s), {\operatorname{I}}_r(L^{r'}(\mu),
L^r(\mu)))$,
\vskip2pt

{\rm5)}~ ${\operatorname{L}}
( l^n_s\widetilde {\otimes}_s l^n_s, L^r(\mu)\widetilde
{\otimes}_r L^r(\mu))$.
}
\vskip7pt

{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Ниже мера $ \mu$ предполагается конечной.
Зафиксируем $ r$
и
$s$
такие, что $ 1<r<s<2$. Пусть $ j$ --- изометрическое
вложение из $ l^n_s$ в $ L^1(\mu)$
такое, что $ j$ действует из $ l^n_s$
в $ L^r(\mu)\subset L^1(\mu)$, причем ``изометрически с точностью
до постоянного множителя'',
т.~е. если $ {\alpha}_r$~---
тожественное вложение $ L^r(\mu)\hookrightarrow L^1(\mu)$ и
$ j_r$ ----
индуцированный отображением $ j$ оператор из $ l^n_s$ в $ L^r(\mu)$,
так что $ j={\alpha}_rj_r$, то для всех $ x\in l^n_s$
имеем
$$ \|x\|_s=d_{sr} \|j_rx\|_{L^r}=\|jx\|_{L^1}
$$
с некоторой положительной постоянной $ d_{sr}$ (см. лемму 1.4).
Рассмотрим тензорные произведения
$$\align
j_r{\otimes} j_r:
& l^n_s\widetilde {\otimes}_s l^n_s @>>>    % 35 % !!!  s вместо 2
L^r(\mu)\widetilde {\otimes}_r L^r(\mu),\\
{\alpha}_r{\otimes}{\alpha}_r:
& L^r(\mu)\widetilde {\otimes}_r L^r(\mu) @>>>
L^1(\mu)\widetilde {\otimes}_r L^1(\mu).
\endalign  $$
Так как
$ L^p(\mu)\widetilde {\otimes}_p L^p(\mu)$    % 36 % !!!  p вместо r
$ = L^p(\mu{\otimes}\mu)$ для конечных $ p\geqslant 1$,
последний оператор
есть тождественное вложение
$L^r(\mu{\otimes}\mu)\to L^1(\mu{\otimes}\mu)$.
Поскольку
$ \|j{\otimes} j\|\geqslant c_s \log^{1/s} n$
(см. доказательство леммы 4.2),
имеем
$$
c_s \log^{1/s} n\leqslant \|j_r{\otimes} j_r\|
\|{\alpha}_r{\otimes} {\alpha}_r\|.
$$
Следовательно,
$$
\|j_r{\otimes} j_r\|\geqslant D_{s,r} \log^{1/s} n.
$$
с некоторой постоянной $ D_{s,r}>0$.
\hfill$\Box$

При использовании схемы приведенного доказательства
в доказательстве
аналога леммы 4.5 для $ s=2$
возникают трудности, так как в этом случае
требуются
довольно тонкие оценки. Поэтому
рассмотрим случай
$ 1<r<s=2$
независимо аналогичным способом,
как при доказательстве
леммы 4.1.


\vskip7pt
{\bf Лемма 4.6.}~{\it Для любого
$ r\in(1,2)$
существует последовательность
операторов $ A_n\in {\operatorname{L}}(l_2^n, L^r(\mu))$
такая, что
$\operatorname{dim} A_n=n$,
$\|A_n\|=1$
для каждого $ n$
и
$ \|A_n{\otimes} A_n\|\geqslant C(r)$,
при $ n\to \infty$
с некоторой постоянной $ C(r)>1$,
где норма
рассматривается в любом из следующих пространств{\rm:}

\vskip2pt

{\rm1)}~ ${\operatorname{L}}
( l_2^{n^2}, L^r(\mu{\otimes}\mu)$,
\vskip2pt

{\rm2)}~${\operatorname{L}}
( \Pi_2(l^n_2,l^n_2), \Pi_r(L^{r'}(\mu),L^r(\mu)))$,
\vskip2pt

{\rm3)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{N}}_2(l^n_2,l^n_2), {\operatorname{N}}_r(L^{r'}(\mu),L^r(\mu))
)$,
\vskip2pt

{\rm4)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{I}}_2(l^n_2,l^n_2), {\operatorname{I}}_r(L^{r'}(\mu),
L^r(\mu)))$,
\vskip2pt

{\rm5)}~ ${\operatorname{L}}
( l^n_2\widetilde {\otimes}_2 l^n_2, L^r(\mu)\widetilde {\otimes}_r
L^r(\mu))$.
}

\vskip7pt


{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Пусть $ I: l^n_2\to l^n_2$ --- тождественное отображение и
$ j: l^n_2\to L^r(\mu)$ --- некоторое изометрическое вложение.
Рассмотрим
$ j{\otimes} j: l^n_2{\otimes} l^n_2\to L^r(\mu){\otimes} L^r(\mu)$.
Так же, как и выше,
в качестве образа $ (j{\otimes} j)(I)$
получаем оператор
$$
jj^*: L^{r'}(\mu) @>j^*>> l^n_2 @>j>> L^r(\mu).
$$
Имеем
$$
\nu_r(jj^*)=\pi_r(jj^*)=\pi_r(j^*)\geqslant \pi_r(j)=\pi_r(I)=a_{nr}^{-1}.
$$          % 37 % !!!  второе - \pi_r; четвертое - \pi_r(j); p на r
Последнее равенство есть утверждение леммы 1.3.
Здесь   % 38 % !!!  Ниже до конца доказательства замена "p" на "r"
$$ a_{nr}= \left[\dfrac{\Gamma \biggl(\dfrac{1+r}{2}\biggr)
\Gamma \biggl(\dfrac n2\biggr)}
{\Gamma \biggl(\dfrac12\biggr) \Gamma
\biggl(\dfrac{n+r}2\biggr)}\right]^{1/r}.
$$
Можно показать, что
$$
a_{nr}\sim\dfrac1{\sqrt n} \dfrac{\sqrt2}{\pi^{1/{2r}}}
\Gamma \biggl(\dfrac{1+r}2\biggr)^{1/r}.
$$

Таким образом,
$$
\nu_r((j{\otimes} j)(I))\geqslant \pi_2(I)
\biggl(\dfrac{\pi^{1/{2r}}}{\sqrt2} \Gamma
\biggl(\dfrac{1+r}{2}\biggr)^{-1/r}+
o(1) \biggr)
$$
при $ n\to +\infty$, что при больших $ n$ дает неравенство
$$
\nu_r( (j{\otimes} j)(I))> C \pi_2(I),
\quad
C>1,
$$
т. е. $ \|j{\otimes} j\|>C>1$, в то время как $\|j\| \;\|j\|=1. $\hfill$\Box$


\vskip7pt


{\bf Лемма 4.7.}~{\it Существует последовательность
операторов $ A_n$\linebreak$\in {\operatorname{L}}(L^\infty(\mu), L^1(\mu))$
такая, что
$\operatorname{dim} A_n=n$,
$\|A_n\|=1$
для каждого $ n$
и
$ \|A_n{\otimes} A_n\|\geqslant \sqrt {\pi/2}+o(1)$
при $ n\to \infty$,
где норма
рассматривается в пространстве
$${\operatorname{L}}
( L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}} L^\infty(\mu),
L^1(\mu{\otimes}\mu))$$ или,
что то же самое, в пространстве
${\operatorname{L}}
( L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}} L^\infty(\mu),
L^1(\mu)\widetilde {\otimes}_1 L^1(\mu))$.
}
\vskip7pt


{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Пусть $ j:l^n_2\to L^1(\mu)$ --- изометрическое вложение. Рассмотрим
оператор
$$\multline
jj^*{\otimes} jj^*=(j{\otimes} j)\circ(j^*{\otimes} j^*):
\\
 L^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu) @>J^*{\otimes} j^*>> j^n_2{\otimes} l^n_2
@>j{\otimes} j>> L^1(\mu){\otimes} L^1(\mu).
\endmultline $$
Если $ U\in L^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu)$, то
значение этого оператора
на элементе (или операторе) $ U$ вычисляется согласно следующей диаграмме:
$$
L^\infty(\mu) @>j^*>> l^n_2 @>j>> L^1(\mu) @>U>> L^\infty(\mu)
@>j^*>> l^n_2 @>j>> L^1(\mu),
$$
т. е.
(см. начало доказательства леммы 4.3)
$$
V:=(jj^*{\otimes} jj^*)(U)= (j{\otimes} j)(j^*Uj)= jj^*Ujj^*.
$$
Используя свойства абсолютно суммирующих операторов на пространствах
типа $ L^\infty$, конечномерность рассматриваемых отображений
и теорему
двойственности Шварца, получаем следующую цепочку соотношений:
$$\align
\nu_1(V)
&=\pi_1(V)=\pi_1(j^*Ujj^*)=\nu_1((j^*Ujj^*)^*)
\geqslant                     % 39 % !!!  \geqslant
\pi_1(j^*U^*j)
\\
&\geqslant \pi_1              % 40 % !!!  \pi_1
(j(j^*Uj))=\pi_1(j^*Uj)\geqslant \pi_2(j^*Uj)
\endalign $$
(последнее неравенство вытекает
из общего соотношения $ \pi_2\leqslant \pi_1$.)
Дальнейшие рассуждения аналогичны
второй части
доказательства леммы 4.3.

Пусть $ {\varepsilon}>0$, $ U\in L^\infty{\otimes} L^\infty$, $ \|U\|=1$,
$$
{\operatorname{trace} } Ujj^* (={\operatorname{trace} } j^*Uj)<
\geqslant
(1-{\varepsilon}) \nu_1(jj^*).
$$
Имеем
$$ (1-{\varepsilon}) \nu_1(jj^*)\leqslant |{\operatorname{trace} }
j^*Uj|\leqslant
\pi_2(j^*Uj) \pi_2({\operatorname{id}}_{l^n_2})
= \pi_2(j^*Uj) \sqrt n.
$$
Поэтому
$$\align
\nu_1(V)
&\geqslant \pi_2(j^*Uj)\geqslant (1-{\varepsilon})
\dfrac1{\sqrt n} \nu_1(jj^*)
=(1-{\varepsilon}) \dfrac1{\sqrt n} \pi_1(jj^*)
\\
&=
(1-{\varepsilon}) \dfrac1{\sqrt n} \pi_1(j^*)=
(1-{\varepsilon}) \dfrac1{\sqrt n} \nu_1(j^*)=
(1-{\varepsilon}) \dfrac1{\sqrt n} \nu_1(j)
\\
&=
(1-{\varepsilon}) \dfrac1{\sqrt n} \pi_1(j)=
(1-{\varepsilon}) \dfrac1{\sqrt n} \pi_1({\operatorname{id}}_{l^n_2})=
(1-{\varepsilon}) \dfrac1{\sqrt n} a^{-1}_{n1}
\\
&=
(1-{\varepsilon}) \dfrac1{\sqrt n}
( \sqrt n (\sqrt{ \pi/ 2}+o(1)))
\\
&=
(1-{\varepsilon}) ( \sqrt{\pi/ 2} +o(1)).
\endalign $$
Таким образом,
$$
\nu_1 \biggl( (jj^*{\otimes} jj^*)(U)\biggr)=\nu_1(V)\geqslant
(1-{\varepsilon}) \sqrt{\dfrac{\pi}2}+o(1).
$$
Так как $ \|U\|=1$
и
$ {\varepsilon}>0$
произвольно,
заключаем
$$
\|jj^*{\otimes} jj^*\|\geqslant
\sqrt{{\pi}/2}+o(1)>1.
\eqno{\Box}
$$




\vskip7pt


{\bf Лемма 4.8.}~{\it Для любого $ r\in(1,2)$
существует последовательность
операторов $ A_n\in {\operatorname{L}}(L^\infty(\mu), L^r(\mu))$
такая, что
$\operatorname{dim} A_n=n$,
$\|A_n\|=1$
для каждого $ n$
и
$ \|A_n{\otimes} A_n\|\geqslant \sqrt {\pi/2}+o(1)$
при $ n\to \infty$, где норма
рассматривается в пространстве
$$
{\operatorname{L}}
( L^\infty(\mu)\widehat {\widehat {\otimes}} L^\infty(\mu),
L^r(\mu{\otimes}\mu))
$$
или,
что то же самое, в пространстве
$$
{\operatorname{L}} ( L^\infty(\mu)\widehat {\widehat
{\otimes}} L^\infty(\mu), L^r(\mu)\widetilde {\otimes}_r L^r(\mu)
).
$$
}
\vskip7pt


{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Пусть $ 1<r<2$.
Пусть $ j_1:l^n_2\to L^1(\mu)$ и
$ j_r:l^n_2\to L^r(\mu)$ --- произвольные изометрические вложения.
Рассмотрим оператор
$$
j_rj_1^*{\otimes} j_rj_1^*:
{\operatorname{L}}^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu)
\to L^r(\mu{\otimes} L^r(\mu)),
$$
который при
$ U\in {\operatorname{L}}^\infty(\mu){\otimes} L^\infty(\mu) $
принимает значение
$$\multline
V:=(j_rj_1^*{\otimes} j_rj_1^*)(U)=j_rj_1^*U j_1j_r^*:
\\
L^{r'} @>j_r^*>> l^m_2 @>j_1>> L^1(\mu) @>U>> L^\infty(\mu)
@>j^*_1>> l^n_2 @>j_r>> L^r(\mu).
\endmultline $$
В силу изометричности $ j_1$ и $ j_r$
и теоремы двойственности
Шварца имеем
$$\align
\nu_r(V)
&=\pi_r(j^*_1Uj_1j^*_r)\geqslant \pi_r(j_rj^*_1U^*j_1)=
\pi_r(j^*_1U^*j_1)
\\
&\geqslant \pi_2(j^*_1U^*j_1)=\pi_2(j^*_1Uj_1).
\endalign $$
Оператор $ j^*_1Uj_1$ действует следующим образом:
$$
l^n_2 @>j_1>> L^1(\mu) @>U>> L^\infty(\mu) @>j_1^*>> l_2^n.
        $$                        % 41 % !!!  вместо J-1^*     j_1^* и еще l_2^n

Мы находимся в точности такой же
ситуации, как при
доказательстве леммы 4.3.
Выбирая при $ {\varepsilon}>0$ соответствующий оператор
$ U$ (см. доказательство леммы 4.3),
получаем
$$
\pi_2(j_1^*Uj_1)\geqslant (1-{\varepsilon})
( \sqrt{\pi/2}+o(1)).
$$
Поэтому
$$ \nu_r(V)\geqslant (1-{\varepsilon})
( \sqrt{\pi/2}+o(1)).
$$
Следовательно,
$$
\|j_rj^*_1{\otimes} j_1j_r^*\|\geqslant \sqrt{\pi/2}+o(1).
\eqno{\Box}
$$


\vskip7pt

Следующие две леммы
доказываются
применением лемм 4.6 и 4.5
соответственно.
Следует перейти к сопряженному тензорному отображению:
к $ j^*{\otimes} j^*=(j{\otimes} j)^*$ в лемме 4.6 и к
$ j_r^*{\otimes} j_r^*=
(j_r{\otimes} j_r)^*$ в лемме 4.5.
Мы приведем только доказательство леммы
4.9,
оставляя аналогичные рассуждения для
леммы 4.10 читателю.

\vskip7pt
{\bf Лемма 4.9.}~{\it Для любого
$ p\in(2,+\infty)$
существует последовательность
операторов $ B_n\in {\operatorname{L}}(L^p(\mu),l_2^n )$
такая, что
$\operatorname{dim} B_n=n$,
$\|B_n\|=1$
для каждого $ n$
и
$ \|B_n{\otimes} B_n\|\geqslant C(p)$
при $ n\to \infty$
с некоторой постоянной $ C(p)>1$, где норма
рассматривается в любом из следующих пространств{\rm:}

\vskip2pt
{\rm1)}~ ${\operatorname{L}}
( L^p(\mu{\otimes}\mu),l_2^{n^2}, )$,

\vskip2pt
{\rm2)}~ ${\operatorname{L}}
( \Pi_p(L^{p'}(\mu),L^p(\mu)),\Pi_2(l^n_2,l^n_2), )$,
\vskip2pt

{\rm3)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{N}}_p(L^{p'}(\mu),L^p(\mu)),{\operatorname{N}}_2(l^n_2,
l^n_2), )$,

\vskip2pt

{\rm4)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{I}}_p(L^{p'}(\mu),L^p(\mu)),{\operatorname{I}}_2(l^n_2,
l^n_2), )$,

\vskip2pt
{\rm5)}~ ${\operatorname{L}}
( L^p(\mu)\widetilde {\otimes}_p L^p(\mu),l^n_2\widetilde
{\otimes}_2 l^n_2, )$.
}
\vskip7pt


{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Пусть $ 2<p<\infty$ и $ r:=p'$, так что $ 1<r<2$.
Мы можем использовать
рассуждения из доказательства леммы 4.6.
В обозначениях этого доказательства
оператор $ j{\otimes} j$
имеет сопряженный
оператор $ j^*{\otimes} j^*$,
действующий из $ L^p(\mu)\widetilde {\otimes}_p L^p(\mu) $ в $ l_2^n\widetilde
{\otimes}_2 l^n_2$,
причем
$$
\|j^*{\otimes} j^*\|\geqslant C(r)>1.
\eqno{\Box}
$$


\vskip7pt

{\bf Лемма 4.10.}~{\it Для любых $ p, q\in (2,+\infty), p<q$,
существуют постоянная $ D_{p,q}>0$
и последовательность операторов
$ B_n: L^q(\mu)\to l_p^n$
такие, что
$\operatorname{dim} B_n$,
$\|B_n\|=1$
для каждого $ n$,
но
$$
\|B_n{\otimes} B_n\|\geqslant D_{p,q} \log^{1/{p'}}n,
$$
где норма
рассматривается в любом из следующих пространств{\rm:}

\vskip2pt
{\rm1)}~ ${\operatorname{L}}
( L^q(\mu{\otimes}\mu),l_p^{n^2})$,
\vskip2pt

{\rm2)}~ ${\operatorname{L}}
( \Pi_q(L^{q'}(\mu),L^q(\mu)),\Pi_p(l^n_{p'},l^n_p) )$,

\vskip2pt
{\rm3)}
~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{N}}_q(L^{q'}(\mu),L^q(\mu)),{\operatorname{N}}_p(l^n_{p'},
l^n_p) )$,
\vskip2pt

{\rm4)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{I}}_q(L^{q'}(\mu),L^q(\mu)),{\operatorname{I}}_p(l^n_{p'},
l^n_p) )$,
\vskip2pt

{\rm5)}~ ${\operatorname{L}}
( L^q(\mu)\widetilde {\otimes}_q L^q(\mu),l^n_p\widetilde
{\otimes}_p l^n_p, )$.
}
\vskip7pt


{\bf Лемма 4.11.}~{\it Если $ 1<s<2<r<+\infty$, то
существуют постоянная $ С'_r>1$
и последовательность операторов
$ B_n: L^r(\mu)\to L^s(\mu)$
такие, что
$\operatorname{dim} B_n$,
$\|B_n\|=1$
для каждого $ n$,
но
$$
\|B_n{\otimes} B_n\|\geqslant C_r,
$$
где норма
рассматривается в любом из следующих пространств{\rm:}
\vskip2pt

{\rm1)}~ ${\operatorname{L}}
( L^r(\mu{\otimes}\mu),L^s(\mu{\otimes}\mu) )$, %42% !!! L^s(\mu{\otimes}\mu)
\vskip2pt


{\rm2)}~ ${\operatorname{L}}
( \Pi_r(L^{r'}(\mu),L^r(\mu)),\Pi_s(L^{s'}(\mu),L^s(\mu))
)$,
\vskip2pt


{\rm3)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{N}}_r(L^{r'}(\mu),L^r(\mu)),{\operatorname{N}}
_s(L^{s'}(\mu),L^s(\mu))
)$,


\vskip2pt

{\rm4)}~ ${\operatorname{L}}
( {\operatorname{I}}_r(L^{r'}(\mu),L^r(\mu)),
{\operatorname{I}}_s(L^{s'}(\mu),L^s(\mu)) )$,
\vskip2pt


{\rm5)}~ ${\operatorname{L}}
( L^r(\mu)\widetilde {\otimes}_r L^r(\mu),L^s(\mu)\widetilde
{\otimes}_s L^s(\mu),)$.
}
\vskip7pt


{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о.}~
Обозначим через $ j_r$ и $ j_s$ некоторые изометрические вложения
пространства $ l^n_2$ в $ L^{r'}(\mu)$ и в $ L^s(\mu)$ соответственно
и рассмотрим тензорный оператор $ j_sj^*_r{\otimes} j_sj_r^*$,
который действует из
$
L^r(\mu){\otimes}_r L^r(\mu)$ в $L^s(\mu){\otimes}_s L^s(\mu)$,
следующим образом: для $ U\in L^r(\mu){\otimes}_r L^r(\mu)$
$$\multline
V:= (j_sj^*_r{\otimes} j_sj_r^*)(U):    %43% !!! j_r^* вместо jr^*
\\
L^{s'}(\mu) @>j^*_s>> l_2^n @>j_r>> L^{r'}(\mu) @>U>> L^r(\mu)
@>j^*_r>> l^m_2 @>j_s>> L^s(\mu).
\endmultline $$
Так как $ s<2$,         %44% !! $ s<2$ вместо $ r>2$
по
теореме двойственности имеем
$$\align
\nu_s(V)
&=\pi_s(j^*_rUj_rj^*_s)\geqslant \pi_s(j_sj^*_rU^*j_r)=
\pi_s(j^*_rU^*j_r)
\\
&\geqslant \pi_2(j^*_rU^*j_r)= \pi_2(j^*_rUj_r).
\endalign $$
Теперь мы находимся в ситуации доказательства леммы 4.9
(см. также замечание перед формулировкой этой леммы). Поэтому
$$ \|j_sj^*_r{\otimes} j_sj_r^*\|\geqslant
C'_r>1
$$
для некоторой постоянной
$ C'_r>1$, зависящей только от $ r$.
\hfill$\Box$


\vskip4mm
\centerline{\bigsc Литература}
\vskip2mm






1.~{\bfref Adler R.~J.}
An introduction to continuity, extrema,
and related topics for general Gaussian processes.
IMS Lecture Notes -- Monograph Ser., Hayward, California.
1990.
Vol. 12.


2.~{\bfref  Никитин Я.~Ю.}
Асимптотическая эффективность непараметрических критериев.
М., Наука, 1995.

3.~{\bfref  Diestel J., Uhl J.J.}
Vector Measures.
Providence: Am. Math. Soc., 1977.



4.~{\bfref  Канторович Л. В., Акилов Г. П.}
Функциональный анализ.
М., Наука, 1977.

5.~{\bfref  Данфорд Н., Шварц Дж.~Е.}
Линейные операторы (общая теория).
М.,
%Иностранная литература?
1962.

6.~{\bfref  Saphar P.}
Les normes tensorielles $ g_k$ et $ d_k$~//
S\'eminaire L. Schwartz.
\'Ecole Polytechnique, Centre de Math\'ematieques,
1969--1970.



7.~{\bfref  Saphar P.}
Applications $ p$-sommantes et $ p$-d\'ecomposantes~//
C. R.~Acad. Sci. Paris. S\'er A.
1970. Vol.~ 270.
P.~1093--1096.

8.~{\bfref  Saphar P.}
Analyse math\'ematique:
applications $ p$-sommantes et $ p$-d\'ecomposantes~//
S\'eminaire L. Schwartz.
 \'Ecole Polytechnique, Centre de Math\'ematieques.
1969--1970.


9.~{\bfref  Grothendieck A. }
Produits tensoriels topologiques et espases nucl\'eaires~//
Mem. Am. Math. Soc. 1955. Vol.~16. P.~1-196.   %45% !!! 1-196


10.~{\bfref  Пич А.}
Операторные идеалы.
М., Мир,
1982.


11.~
{\bfref  Рейнов О.~И.}
Операторы типа $RN$ в банаховых пространствах~//
Докл. АН СССР. 1975. Т.~220. С.~528--531.



12.~{\bfref  Persson A.}
On some properties of $p$-nuclear and $p$-integral operators~//
Studia Math. 1969. Vol.~33.
P.~ 213--232.


13.~{\bfref  Schwartz L.}             %%46 !!!  radonifiantes
Le th\'eor\`eme de dualit\'e pour les applications radonifiantes~//
S\'emi\-naire L. Schwartz.
\'Ecole Polytechnique, Centre de Math\'e\-ma\-tie\-ques.
1969--1970.


14.~{\bfref  Cohen J.~S.}             %%47 !!! nuclear
Absolutely $ p$-summing, $ p$-nuclear operators and their conjugates~//
Math. Ann.
1973. Vol.~ 201.
 P. 177--200.

15.~{\bfref  Pe\l czy\'nski A.}
A characterization of Hilbert--Schmidt operators~//
Studia Math.
1969.~Vol.~ 28.
 P. 355--360.


16.~{\bfref  Lindenstrauss J., Pe\l czy\'nski A.}
Absolutely summing
operators in ${\Cal L}_p$ spaces and their applications~//
Studia Math.                      %%48 !!! замена \\ на //
1968. Vol.~ 29.
P. 275--326.

17.~{\bfref  Pisier G.}
Factrization of linear operators and geometry of Banach spaces.
Conf. Board in the Math. Siences. Reg. Conf. Ser. in Math. N 60
Amer. Math. Soc., Providence.
1986, 164 p.


18.~{\bfref  Carl B., Stephani I.}
Entropy, compactness and the appro\-xi\-ma\-ti\-on of operators.
Cambridge Tracts in Mathematics 98,
Cambridge University Press.
1990

19.~{\bfref  Szarek S.~J.}
On the best constants in the Khinchin inequality~//
Studia Math.
1976. Vol.~ 58.
P. 197--208.

20.~{\bfref  Kwapie\'n S. }
Isomorphic characterizations of inner product spaces by
orthogonal series with vector valued coefficients~//
Studia Math.
1972. Vol.~ 44.
P. 583--595.


21.~{\bfref  Schwartz L.}
Mouvement brownien~//
S\'eminaire L. Schwartz.
\'Ecole Polytechnique, Centre de Math\'ematieques.
1969--1970.


22.~{\bfref  Holub J.~R. }
Tensor product mappings. II~//
Proc. Amer. Math. Soc.
1974. Vol.~ 42.
P. 437--441.

23.~{\bfref  K\"onig H.}
Eigemvalue distribution of compact operators.
Operator theory: advances and applications.
Basel-Boston-Stuttgart,
Birkh\"auser Verlag,
1986.

24.~{\bfref  Pietsch A.}
Eigenvalues of absolutely $ r$-summing operators~//
Aspects of Mathematics and its Applications.
Elsevier Science Publishers B.V.
1986.
P. 607--617.

25.~ {\bfref  Johnson W.~B., K\"onig H., Maurey B., Retherford J.~R.}
Eigenvalues of $ p$-summing and $ l_p$-type operators in
Banach spaces~//
J. Funct. Anal.
1979. Vol.~ 32.
P. 353--380.

26.~{\bfref  K\"onig H. }
On the tensor stability of $ s$-number ideals~//
Math. Ann.
1984. Vol.~ 269.
P. 77--93.



\enddocument