\documentstyle{amsppt}
\TagsOnRight
\NoBlackBoxes
\pagewidth{12.6cm}
\pageheight{19.8cm}
\magnification=\magstep1
\tolerance 500
\frenchspacing
\def\bmc{{\Bbb C}}
\def\bmn{{\Bbb N}}
\def\bmz{{\Bbb Z}}
\def\cn{\bmc_N}
\def\ctg{\operatorname{ctg}}
\def\dn{\delta_n}
\def\dN{\delta_N}
\def\Dn{{\Delta_\nu}}
\def\Dnn{{\Delta_{\nu+1}}}
\def\ds{\displaystyle}
\def\fn{f_\nu}
\def\gn{g_\nu}
\def\hn{h_\nu}
\def\hbar{$\underline{\phantom{1}}$}
\def\hbarl{$\underline{\phantom{11}}$}
\def\hc{Ха\-ара--Крес\-тен\-со\-на}
\def\htrule{\noalign {\hrule}}
\def\jn{{j_\nu}}
\def\jnn{{j_{\nu-1}}}
\def\la{\langle}
\def\lb{\{}
\def\lf{\lfloor}
\def\ln{{\Cal L}_N}
\def\nn{{N_\nu}}
\def\nnn{{N_{\nu-1}}}
\def\No{\char "F2}
\def\proof{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о. }
\def\qn{{q_\nu}}
\def\qnn{{q_{\nu-1}}}
\def\ra{\rangle}
\def\rb{\}}
\def\rev#1{\text{\rm rev}_{#1}}
\def\rf{\rfloor}
\def\ss{\scriptstyle}
\def\sss{\scriptscriptstyle}
\def\ts{\textstyle}
\def\vc{Ви\-лен\-ки\-на--Крес\-тен\-со\-на}
\def\vtrule {\vrule height 12pt depth 6pt}
\def\wn{\omega_n}
\def\xh{\widehat{x}}
\def\xn{x_\nu}
\def\yh{\widehat{y}}
\def\yhn{\widehat{y}_\nu}
\def\yn{y_\nu}

\CenteredTagsOnSplits
\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads

\document

{\eightpoint
\flushpar УДК 519.72}
\medskip

\centerline{\it С. М. Машарский}
\medskip

\centerline{\bf АВТОРЕВЕРСНЫЕ СПЕКТРЫ ХААРА--КРЕСТЕНСОНА\footnote{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 99-01-00747).}}
\medskip

\centerline{\bf Введение}

В статье рассматриваются два ортогональных базиса, порождающих дискретные преобразования \hc\ $H_f$ и $H_g$. Первое преобразование $H_f$ связано с прореживанием по частоте. Оно хорошо известно~[1]. Второе преобразование $H_g$ связано с прореживанием по времени. Оно впервые было описано в работе~[2].

Частным случаем преобразований \hc\ являются преобразования Хаара. В работах~[3--5] изучались свойства спектров дискретных сигналов в хааровских базисах. Данная статья является обобщением работы~[4] и логичным продолжением работы~[6]. Прокомментируем ее содержание по параграфам.

В \S1 приведены необходимые сведения об интересующих нас базисах. В \S2 записаны разложения сдвигов единичного импульса. В \S3 введено понятие логарифмически автореверсного спектра. Установлена связь между сигналами $x$ и $y$, у которых $H_f(x)=H_g(y)=:H$, при условии, что спектр $H$ является логарифмически автореверсным. Вычислена размерность множества логарифмически автореверсных спектров.

\medskip
\centerline{\bf \S1. Предварительные сведения}

\smallskip
Линейное пространство $\cn$ комплекснозначных $N$-периодических
последовательностей $x=\lb x(j)\rb$, $j\in\bmz$, будем называть
{\it пространством сигналов}. В $\cn$ обычным образом вводятся скалярное
произведение и норма:
$$
 \la x,y\ra=\sum_{j=0}^{N-1} x(j)\,\overline{y(j)},\qquad
 \|x\|=\la x,x\ra^{1/2}.
$$

Обозначим через $\dN(j)$ единичный $N$-периодический импульс, равный 1 при\linebreak
${j=0,\,\pm N,\,\pm 2N,\,\dots\,}$ и равный нулю при остальных $j\in\bmz$.
Система сигналов\linebreak $\lb\dN(j-k)\rb, k=0,1,\dots N-1$, образует естественный
ортонормированный базис пространства $\cn$.

Пусть $N=n^s$, где $n,\,s\in\bmn$, $n\ge2$, $s\ge2$. Постоянно будут использоваться следующие обозначения: $\lf\alpha\rf$ ---
целая часть вещественного числа $\alpha$; $\la k\ra_N=k-\lf k/N\rf N$ ---
остаток от деления целого числа $k$ на $N$. Для целого числа $a\in\lb0,1,\dots,N-1\rb$ запись
$a=(a_{s-1},a_{s-2},\dots,a_0)_n$ означает
$$
 a=a_{s-1}n^{s-1}+a_{s-2}n^{s-2}+\dots+a_0,\quad
 a_k\in0:n-1,\ k\in0:s-1.
$$

В пространстве $\cn$ при $N=n^s$ рассмотрим систему сигналов
$$
 c(j);\quad \fn(\sigma;\,j-p\Dnn),\quad
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s.                      \eqno(1.1)
$$
Здесь $\Dn=n^{\nu-1}$, $\nn=N/n^\nu$, $c(j)\equiv1/N$,
$$
 \fn(\sigma;\,j)=\frac1{n^\nu}\sum_{\tau=0}^{n-1}\wn^{\sigma\tau}
 \sum_{q=\tau\Dn}^{(\tau+1)\Dn-1}\dN(j-q),                      \eqno(1.2)
$$
$\wn=\exp\lb2\pi i/n\rb$ --- первообразный корень степени $n$ из единицы.

Известно [1,~2], что система сигналов (1.1) образует ортогональный базис пространства $\cn$. Он называется {\it базисом \hc, связанным с прореживанием по частоте}. Нетрудно проверить, что $\|\fn(\sigma;\,\cdot-p\Dnn)\|^2=n^{-\nu}$ при всех $p\in0:\nn-1$, $\sigma\in1:n-1$, $\nu\in1:s$.

Любой сигнал $x\in\cn$ допускает представление
$$
 x(j)=\alpha c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,p)\,\fn(\sigma;\,j-p\Dnn),\quad j\in\bmz.           \eqno(1.3)
$$
Коэффициенты этого разложения суть коэффициенты Фурье:
$$
 \alpha=\sum_{j=0}^{N-1}x(j),\qquad
 \xn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}x(j)\,
 \overline{\fn}(\sigma;\,j-p\Dnn).
$$
Совокупность этих коэффициентов
$$
 H_f(x)=\big\lb\alpha;\ \xn(\sigma,p),\
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s\big\rb
$$
образует {\it спектр \hc}\/ сигнала $x$, {\it связанный с прореживанием по
частоте}. Преобразование $x\to H_f(x)$ называется {\it дискретным
преобразованием \hc\ с прореживанием по частоте}.

\medskip
Наряду с базисом (1.1) рассмотрим систему сигналов
$$
 c(j);\quad \gn(\sigma;\,j-p),\quad
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s.                      \eqno(1.4)
$$
Здесь
$$
 \gn(\sigma;\,j)=\frac1{n^\nu}\sum_{\tau=0}^{n-1}\wn^{\sigma\tau}
 \delta_\nnn(j-\tau\nn).                                        \eqno(1.5)
$$
Известно [2], что система сигналов (1.4) также образует ортогональный базис пространства $\cn$. Он называется {\it базисом \hc, связанным с прореживанием по времени}. Нетрудно убедиться, что $\|\gn(\sigma;\,\cdot-p)\|^2=n^{-\nu}$ при всех $p\in0:\nn-1$, $\sigma\in1:n-1$, $\nu\in1:s$.

Любой сигнал $y\in\cn$ допускает представление
$$
 y(j)=\beta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \yn(\sigma,p)\,\gn(\sigma;\,j-p),\quad j\in\bmz.           \eqno(1.6)
$$
Коэффициенты этого разложения суть коэффициенты Фурье:
$$
 \beta=\sum_{j=0}^{N-1}y(j),\qquad
 \yn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}y(j)\,
 \overline{\gn}(\sigma;\,j-p).
$$
Совокупность этих коэффициентов
$$
 H_g(y)=\big\lb\beta;\ \yn(\sigma,p),\
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s\big\rb
$$
образует {\it спектр \hc}\/ сигнала $y$, {\it связанный с прореживанием по
времени}. Преобразование $y\to H_g(y)$ называется {\it дискретным
преобразованием \hc\ с прореживанием по времени}.

\medskip
Для базисных сигналов \hc\ можно получить более компактные выражения, чем~(1.2) и~(1.5).

\medskip
{\bf Лемма 1.1.} {\it При $\sigma\in1:n-1$ справедлива формула}
$$
 \fn(\sigma;\,j)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\lf j/\Dn\rf}\,
 \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf\big),
 \quad j\in\bmz.                                                \eqno(1.7)
$$

\proof
Правая часть (1.7) равна $n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\tau}$ при
$j\in\tau\Dn:(\tau+1)\Dn-1$, $\tau\in0:n-1$, и равна 0 при $j\in\Dnn:N-1$
(учесть, что $N=\Dnn\nn$). Те же значения при указанных $j$ принимает
согласно~(1.2) и $\fn(\sigma;\,j)$. Таким образом, при $j\in0:N-1$
равенство~(1.7) верно. Остается проверить $N$-периодичность правой
части~(1.7). Она следует из того, что при любом $k\in\bmz$
$$
 \frac{j+kN}\Dn=\frac j\Dn+nk\nn,\qquad
 \frac{j+kN}\Dnn=\frac j\Dnn+k\nn.
$$

Лемма доказана.

\medskip
{\bf Следствие.} {\it При $p\in0:\nn-1$ справедливо равенство}
$$
 \fn(\sigma;\,j-p\Dnn)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\lf j/\Dn\rf}\,
 \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf-p\big).                           \eqno(1.8)
$$

\medskip
Формулы (1.7) и (1.8) несколько упрощаются при $j\in0:N-1$. А именно,
если $j=(j_{s-1},\dots,j_0)_n$, то $\lf j/\Dn\rf=j_{s-1}n^{s-\nu}+\dots+n\,\jn+\jnn$, так что
$$
 \wn^{\lf j/\Dn\rf}=\wn^\jnn.                                   \eqno(1.9)
$$

\medskip
{\bf Лемма 1.2.} {\it При $\sigma\in1:n-1$ справедлива формула}
$$
 \gn(\sigma;\,j)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\,
 \delta_\nn(j),\quad j\in\bmz.                                  \eqno(1.10)
$$

\proof
Сигнал $\gn(\sigma;\,j)$ в силу (1.5) является $\nnn$-периодическим.
Тем же свойством обладает и сигнал, стоящий в правой части~(1.10). Значит,
равенство~(1.10) достаточно проверить на основном периоде $0:\nnn-1$.

Пусть $j=\tau\nn$ при некотором $\tau\in0:n-1$. Тогда правая часть~(1.10)
принимает значение $n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\tau}$. Это же значение согласно~(1.5)
принимает и $\gn(\sigma;\,j)$. При остальных $j\in0:\nnn-1$ равенство~(1.10)
превращается в $0=0$. Лемма доказана.

\medskip
{\bf Следствие.} {\it При $p\in0:\nn-1$ справедливо равенство}
$$
 \gn(\sigma;\,j-p)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\,
 \delta_\nn(j-p),\quad j\in\bmz.                                \eqno(1.11)
$$

\proof
Покажем, что
$$
 \wn^{\sigma\lf(j-p)/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p)=
 \wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p).                     \eqno(1.12)
$$
Поскольку в обеих частях этого равенства стоят $\nnn$-периодические по $j$
сигналы, то достаточно проверить его на периоде $p:p+\nnn-1$.
При $j=p+\tau\nn$, $\tau\in0:n-1$, равенство~(1.12) верно. Но оно также верно
и при остальных $j$ из указанного периода, поскольку в этом случае обе
части~(1.12) равны нулю. Таким образом, равенство~(1.12) при $p\in0:\nn-1$ и
$j\in\bmz$ установлено.

Теперь (1.11) следует из (1.10) и (1.12).

\medskip
Отметим, что формулы (1.10) и (1.11) принимают более простой вид при $j\in0:N-1$. А именно, если $j=(j_{s-1},\dots,j_0)_n$, то
$\lf j/\nn\rf=j_{s-1}n^{\nu-1}+\dots+j_{s-\nu+1}\,n+j_{s-\nu}$,
так что
$$
 \wn^{\lf j/\nn\rf}=\wn^{j_{s-\nu}}.                            \eqno(1.13)
$$

\medskip
\centerline{\bf \S2. Спектры сдвигов единичного импульса}

\smallskip
Зафиксируем число $q\in0:N-1$, \,$q=(q_{s-1},\dots,q_0)_n$.

\medskip
{\bf Теорема 2.1.} {\it Сигнал $\dN(\cdot-q)$ допускает следующее представление
в базисе \hc\ с прореживанием по частоте:
$$
 \dN(j-q)=c(j)+
 \sum_{\nu=1}^s\sum_{\sigma=1}^{n-1} \wn^{-\sigma\qnn} \fn(\sigma;\,j-p_\nu^0(q)\Dnn),
$$
где $c(j)\equiv 1/N$, \,$p_\nu^0(q)=\lf q/\Dnn\rf$}.

\smallskip
\proof
Представим сигнал $x=\dN(\cdot-q)$ в соответствии с~(1.3):
$$
 \dN(j-q)=\alpha c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \xn(\sigma,p)\,\fn(\sigma;\,j-p\Dnn).
$$
Тогда $\alpha=\sum\limits_{j=0}^{N-1}\dN(j-q)=1$,
$$
 \xn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}\dN(j-q)\,\overline{\fn}(\sigma;\,j-p\Dnn)=n^\nu\,\overline{\fn}(\sigma;\,q-p\Dnn).
$$
Учитывая (1.8) и (1.9), получаем
$$
 \xn(\sigma,p)=\wn^{-\sigma\qnn}\delta_{\nn}\big(\lf q/\Dnn\rf-p\big)=\left\{\!
 \matrix
  \wn^{-\sigma\qnn},\ \text{если}\,\ p=\lf q/\Dnn\rf,\qquad\qquad\qquad\\
  0\quad \text{при остальных}\,\ p\in0:\nn-1.
  \endmatrix\right.
$$

Теорема доказана.

\medskip
{\bf Теорема 2.2.} {\it Сигнал $\dN(\cdot-q)$ допускает следующее представление
в базисе \hc\ с прореживанием по времени:
$$
 \dN(j-q)=c(j)+
 \sum_{\nu=1}^s\sum_{\sigma=1}^{n-1} \wn^{-\sigma q_{s-\nu}} \gn(\sigma;\,j-p_\nu^1(q)),
$$
где $p_\nu^1(q)=\la q\ra_\nn$}.

\smallskip
\proof
Представим сигнал $y=\dN(\cdot-q)$ в соответствии с~(1.6):
$$
 \dN(j-q)=\beta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \yn(\sigma,p)\,\gn(\sigma;\,j-p).
$$
Тогда $\beta=\sum\limits_{j=0}^{N-1}\dN(j-q)=1$,
$$
 \yn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}\dN(j-q)\,\overline{\gn}(\sigma;\,j-p)=n^\nu\,\overline{\gn}(\sigma;\,q-p).
$$
Учитывая (1.11) и (1.13), получаем
$$
 \yn(\sigma,p)=\wn^{-\sigma q_{s-\nu}}\delta_{\nn}(q-p)=\left\{\!
 \matrix
  \wn^{-\sigma q_{s-\nu}},\ \text{если}\,\ p=\la q\ra_\nn,\qquad\qquad\qquad\qquad\\
  0\quad \text{при остальных}\,\ p\in0:\nn-1.
  \endmatrix\right.
$$

Теорема доказана.

\medskip
\centerline{\bf \S3. Логарифмически автореверсные спектры}

\smallskip
В этом параграфе будет установлена связь между базисами \hc~(1.1) и~(1.4).

Нам потребуется перестановка {\it reverse}. Пусть $j\in0:n^\nu-1$, $j=(\jnn,j_{\nu-2},\dots,j_0)_n$. Тогда по определению
$$
 \rev\nu(j)=(j_0,j_1,\dots,\jnn)_n.
$$
К этому определению добавим формальное равенство $\rev0(0)=0$.

\medskip
{\bf Теорема 3.1.} {\it Пусть $\sigma\in1:n-1$, $p\in0:\nn-1$. Справедливо тождество}
$$
 \fn\big(\sigma;\,\rev{s}(j)-p\Dnn\big)=\gn\big(\sigma;\,j-\rev{s-\nu}(p)\big),
 \quad j\in0:N-1.                                               \eqno(3.1)
$$

\proof
Пусть $j=(j_{s-1},\dots,j_0)_n$, $p=(p_{s-\nu-1},\dots,p_0)_n$. Согласно~(1.11) $\gn(\sigma;\,j-p)$ отлично от нуля тогда и только тогда, когда $\la j\ra_\nn=p$, т.\,е. когда $j_k=p_k$, $k\in0:s-\nu-1$. При таких $j$ в силу~(1.13) имеем $\gn(\sigma;\,j-p)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma j_{s-\nu}}$.

Пусть $l=(l_{s-1},\dots,l_0)_n$, $q=(q_{s-\nu-1},\dots,q_0)_n$. Согласно~(1.8) $\fn(\sigma;\,l-q\Dnn)$ отлично от нуля тогда и только тогда, когда $\lf l/\Dnn\rf=q$, т.\,е. когда $l_\mu=q_{\mu-\nu}$, $\mu\in\nu:s-1$. При таких $l$ в силу~(1.9) имеем $\fn(\sigma;\,l-q\Dnn)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma l_{\nu-1}}$.

Возьмем $l=\rev{s}(j)$, $q=\rev{s-\nu}(p)$. Тогда
$$
 l_\mu=j_{s-1-\mu},\quad \mu\in0:s-1;
$$
$$
 q_\mu=p_{s-\nu-1-\mu},\quad \mu\in0:s-\nu-1.
$$
В частности, $l_{\nu-1}=j_{s-\nu}$. Получаем, что $\fn(\sigma;\,\rev{s}(j)-\rev{s-\nu}(p)\Dnn)$ отлично от нуля тогда и только тогда, когда $j_{s-1-\mu}=p_{s-1-\mu}$, $\mu\in\nu:s-1$, или, что то же самое, когда $j_k=p_k$, $k\in0:s-\nu-1$. При этом $\fn(\sigma;\,\rev{s}(j)-\rev{s-\nu}(p)\Dnn)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma j_{s-\nu}}$.

Итак, мы показали, что
$$
 \fn(\sigma;\,\rev{s}(j)-\rev{s-\nu}(p)\Dnn)=\gn(\sigma;\,j-p).
$$
Равенство (3.1) получается отсюда заменой $p$ на $\rev{s-\nu}(p)$. Теорема доказана.

\medskip
{\bf Определение.} Спектр
$$
 H=\big\lb\eta;\ \hn(\sigma,p),\
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s\big\rb
$$
назовем {\it логарифмически автореверсным}, если
$$
 \hn(\sigma,p)=\hn\big(\sigma,\rev{s-\nu}(p)\big),              \eqno(3.2)
$$
$$
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s-1.
$$
При $s=1$ и $s=2$ любой спектр по определению является логарифмически автореверсным. При $\nu=s-1$ равенство~(3.2) выполняется автоматически.

\medskip
{\bf Теорема 3.2.} {\it Пусть сигналы $x$ и $y$ из $\cn$ таковы, что $H_f(x)=H_g(y)=:H$, и пусть при этом спектр $H$ является логарифмически автореверсным. Тогда необходимо}
$$
 y(j)=x\big(\rev{s}(j)\big), \quad j\in0:N-1.                   \eqno(3.3)
$$

\proof
Для сигнала $y$ имеем
$$
 y(j)=\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{q=0}^{\nn-1}
 \hn(\sigma,q)\,\gn(\sigma;\,j-q).
$$
Сделаем замену $p=\rev{s-\nu}(q)$ и воспользуемся (3.2) и (3.1):
$$
 y(j)=\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \hn\big(\sigma,\rev{s-\nu}(p)\big)\,\gn\big(\sigma;\,j-\rev{s-\nu}(p)\big)=
$$
$$
 =\eta c\big(\rev{s}(j)\big)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \hn(\sigma,p)\,\fn\big(\sigma;\,\rev{s}(j)-p\Dnn\big)%=
%$$
%$$
 =x\big(\rev{s}(j)\big).
$$

Теорема доказана.

\medskip
Эта теорема в определенном смысле обратима.

\medskip
{\bf Теорема 3.3.} {\it Пусть $x$, $y$ --- сигналы, удовлетворяющие условию~$(3.3)$, и пусть $H_f(x)=H_g(y)=:H$. Тогда спектр $H$ является логарифмически автореверсным.}

\smallskip
\proof
Согласно (3.1)
$$
 x\big(\rev{s}(j)\big)=\eta c\big(\rev{s}(j)\big)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \hn(\sigma,p)\,\fn\big(\sigma;\,\rev{s}(j)-p\Dnn\big)=
$$
$$
 =\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \hn(\sigma,p)\,\gn\big(\sigma;\,j-\rev{s-\nu}(p)\big)=
$$
$$
 =\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \hn\big(\sigma,\rev{s-\nu}(p)\big)\,\gn(\sigma;\,j-p).
$$
Но по условию теоремы
$$
 x\big(\rev{s}(j)\big)=y(j)=\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1}
 \hn(\sigma,p)\,\gn(\sigma;\,j-p).
$$
В силу единственности разложения по ортогональному базису~(1.4) приходим к~(3.2). Теорема доказана.

\medskip
Рассмотрим в качестве примера кусочно-линейный сигнал $\yh$, задаваемый на основном периоде равенством
$$
 \yh(j)=j,\quad j\in0:N-1.
$$
Вычислим спектр \hc\ сигнала $\yh$, связанный с прореживанием по времени. Пусть $H_g(\yh)=\lb \widehat\beta;\,\yhn(\sigma,p)\rb$. Тогда
$$
 \widehat\beta=\sum_{j=0}^{N-1}\yh(j)=\frac{N(N-1)}2;
$$
$$
 \yhn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}\yh(j)\,\overline{\gn}(\sigma;\,j-p)=\sum_{j=0}^{N-1}j\wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p).
$$
Мы воспользовались формулой (1.11).

Представим $j$ в виде $j=q\nnn+\tau\nn+l$, где $q\in0:\Dn-1$, $\tau\in0:n-1$, $l\in0:\nn-1$. Получим
$$
 \yhn(\sigma,p)=\sum_{q=0}^{\Dn-1}\sum_{\tau=0}^{n-1}\sum_{l=0}^{\nn-1}
 (q\nnn+\tau\nn+l)\,\wn^{-\sigma\tau}\,\delta_\nn(l-p)=
$$
$$
 =\sum_{q=0}^{\Dn-1}\sum_{\tau=0}^{n-1}(\tau\nn+q\nnn+p)\,\wn^{-\sigma\tau}.
$$
Так как $\sigma\in1:n-1$, то $\sum\limits_{\tau=0}^{n-1}\wn^{-\sigma\tau}=0$. С учетом этого факта приходим к выражению
$$
 \yhn(\sigma,p)=\sum_{q=0}^{\Dn-1}\sum_{\tau=0}^{n-1}\tau\nn\,\wn^{-\sigma\tau}=\Delta_s\sum_{\tau=0}^{n-1}\tau\wn^{-\sigma\tau}.
$$
Введем обозначение $z(\sigma)=\sum\limits_{\tau=0}^{n-1}\tau\wn^{-\sigma\tau}$, $\sigma\in1:n-1$. Имеем
$$
 z(\sigma)=\sum_{\tau=1}^{n-1}\tau\wn^{-\sigma\tau}=\sum_{\tau=0}^{n-1}(\tau+1)\,\wn^{-\sigma(\tau+1)}-n=
$$
$$
 =\wn^{-\sigma}\Big\lb\sum_{\tau=0}^{n-1}\tau\wn^{-\sigma\tau}+\sum_{\tau=0}^{n-1}\wn^{-\sigma\tau}\Big\rb-n=\wn^{-\sigma} z(\sigma)-n,
$$
откуда
$$
 z(\sigma)=\frac{n}{\wn^{-\sigma}-1}=\frac n2\,\big(i\ctg\frac{\pi\sigma}n-1\big).
$$
Таким образом, окончательно получаем
$$
 \yhn(\sigma,p)=\Delta_s z(\sigma)=\frac N2\,\big(i\ctg\frac{\pi\sigma}n-1\big),\quad
 p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s.
$$

Отметим, что $\yhn(\sigma,p)$ не зависит от $p$, поэтому спектр $H_g(\yh)$ является по определению логарифмически автореверсным. Если мы обозначим через $\xh$ сигнал, имеющий такой же спектр в базисе \hc\ с прореживанием по частоте, то в силу теоремы~3.2 для $\xh$ будем иметь
$$
 \xh(j)=\rev{s}(j),\quad j\in0:N-1.
$$
Непосредственно этот результат было бы получить нелегко.

\medskip
Обозначим через $\ln$ линейное множество логарифмически автореверсных спектров и через
$\dim\ln$ --- его размерность. Напомним, что $N=n^s$.

\medskip
{\bf Теорема 3.4.} {\it Справедливо равенство}
$$
 \dim\ln=\frac n2\left[n^{s-1}+\Big(2+
 \frac{n-1}2\big(1+(-1)^s\big)\Big)
 n^{\left\lf\frac{s-1}2\right\rf}-1 \right].
                                                                \eqno(3.4)
$$

\proof
При $s=1$ и $s=2$ теорема верна. Пусть $s\ge3$ и $\nu\in2:s-1$. Обозначим через $\zeta_\nu$ количество тех $p\in0:n^\nu-1$, для которых $\rev\nu(p)=p$. Очевидно, что $\zeta_{2k}=n^k$, $\zeta_{2k+1}=n^{k+1}$, т.\,е. $\zeta_\nu=n^{\lf(\nu+1)/2\rf}$.

Условия (3.2) с учетом замечания к определению логарифмически автореверсного спектра можно переписать так:
$$
 h_{s-\nu}\big(\sigma,p\big)-h_{s-\nu}\big(\sigma,\rev\nu(p)\big)=0,
$$
$$
 p\in0:n^\nu-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in2:s-1.
$$
Эти условия представляют собой линейную однородную систему, состоящую из\linebreak
$\frac{n-1}2\sum\limits_{\nu=2}^{s-1}(n^\nu-\zeta_\nu)$ уравнений с линейно независимыми строками коэффициентов. Поэтому
$$
 \dim\ln=N-\frac{n-1}2\sum_{\nu=2}^{s-1}(n^\nu-\zeta_\nu)=n^s-\frac{n(n-1)}2\sum_{\nu=1}^{s-2}\big(n^\nu-n^{\lf\nu/2\rf}\big).
$$

При $s=2l+1$ имеем
$$
 \sum_{\nu=1}^{s-2}n^{\lf\nu/2\rf}=\sum_{k=0}^{l-1}n^{\left\lf\frac{2k+1}2\right\rf}+\sum_{k=1}^{l-1}n^{\left\lf\frac{2k}2\right\rf}=2\sum_{k=0}^{l-1}n^k-1=2\frac{n^l-1}{n-1}-1.
$$
В этом случае
$$
 \dim\ln=n^s-\frac{n(n-1)}2\left[\frac{n^{s-1}-1}{n-1}-1-\Big(2\frac{n^l-1}{n-1}-1\Big)\right]=
$$
$$
 =\frac{n^s}{2\,}+n^{l+1}-\frac{n}2=\frac{n}2\big[n^{s-1}+2n^{\left\lf\frac{s-1}2\right\rf}-1\big],
$$
что соответствует (3.4).

При $s=2l+2$
$$
 \sum_{\nu=1}^{s-2}n^{\lf\nu/2\rf}=2\frac{n^l-1}{n-1}-1+n^l=\frac{(n+1)n^l-2}{n-1}-1.
$$
Поскольку $l=\lf(s-1)/2\rf$, то
$$
 \dim\ln=\frac{n}2\big[n^{s-1}+(n+1)n^{\left\lf\frac{s-1}2\right\rf}-1\big],
$$
что также соответствует (3.4).

Теорема доказана.

\medskip
В таблице приведены значения $\dim\ln$ при некоторых $n$ и $s$.

\bigskip
\centerline{\qquad Т а б л и ц а}
\medskip

 \moveright 0cm \vbox{
 \vbox{\tabskip=-3pt\offinterlineskip
 \halign {
 # \vtrule \tabskip=0pt
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 &# \vtrule\,\vtrule
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 &# \vtrule
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 &# \vtrule
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 &# \vtrule
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 &# \vtrule
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 &# \vtrule
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 &# \vtrule
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 &# \vtrule
 &# \tabskip=0pt plus 0pt
 \vtrule \tabskip 0pt \cr \htrule

&& {\hss ~$n\Big\backslash\,s$\hss}
 && {\hss \phantom{1}1\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}2\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}3\hss}
 && {\hss ~\phantom{11}4\hss}
 && {\hss ~\phantom{111}5\hss}
 && {\hss ~\phantom{111}6\hss}
 && {\hss ~\phantom{1111}7\hss}
 \cr  \htrule\htrule
&& {\hss \phantom{1}2\hss}
 && {\hss \phantom{1}2\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}4\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}7\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}13\hss}
 && {\hss ~\phantom{11}23\hss}
 && {\hss ~\phantom{11}43\hss}
 && {\hss ~\phantom{111}79\hss}
 \cr  \htrule
&& {\hss \phantom{1}3\hss}
 && {\hss \phantom{1}3\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}9\hss}
 && {\hss ~21\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}57\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}147\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}417\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}1173\hss}
 \cr  \htrule
&& {\hss \phantom{1}4\hss}
 && {\hss \phantom{1}4\hss}
 && {\hss ~16\hss}
 && {\hss ~46\hss}
 && {\hss ~166\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}574\hss}
 && {\hss ~2206\hss}
 && {\hss ~\phantom{1}8446\hss}
 \cr  \htrule
&& {\hss \phantom{1}5\hss}
 && {\hss \phantom{1}5\hss}
 && {\hss ~25\hss}
 && {\hss ~85\hss}
 && {\hss ~385\hss}
 && {\hss ~1685\hss}
 && {\hss ~8185\hss}
 && {\hss ~39685\hss}
\cr  \htrule}}}

%\newpage
\bigskip
\centerline{\bf Литература}
\medskip

\noindent
1.~{\it Дагман Э. Е., Кухарев Г. А.}
   Быстрые дискретные ортогональные преобразования.
   \phantom{1. }Новосибирск: Наука, 1983. 232~с.

\smallskip\noindent
2.~{\it Малоземов В. Н., Машарский С. М.}
   Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с
   \phantom{1. }дискретным преобразованием \vc{}
   // Электронный архив пре-
   \phantom{1. }принтов С.-Петербургского мат. общества.
   Препринт \No~1999-21.\par\noindent
   \phantom{1. }{\tt http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/1999/index.html\#21}

\smallskip\noindent
3.~{\it Malozemov V. N., Masharsky S. M.}
   Haar spectra of discrete signals.
   In: Tools for Math.
   \phantom{1. }Modelling. The Second International Conf.
   June 14--19, 1999. Abstracts. St.~Petersburg,
   \phantom{1. }1999. P.~86--87.

\smallskip\noindent
4.~{\it Малоземов В. Н., Машарский С. М.}
   Сравнительное изучение двух вейвлетных ба-
   \phantom{1. }зисов
   // Проблемы передачи информации. 2000. Т.~36. Вып.~2. С.~27--37.

\smallskip\noindent
5.~{\it Малоземов В. Н., Машарский С. М.}
   Хааровские спектры дискретных сверток
   //
   \phantom{1. }Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 2000. Т.~40. \No~6. С.~954--960.

\smallskip\noindent
6.~{\it Машарский С. М.}
   Свертка и корреляция дискретных сигналов в базисах Хаара--
   \phantom{1. }Крестенсона
   // Электронный архив препринтов С.-Петербургского мат. общества.
   \phantom{1. }Препринт \No~2000-09.
   \ {\tt http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/2000/index.html\#09}
\bigskip

\enddocument

