\documentstyle{amsppt} \TagsOnRight \NoBlackBoxes \pagewidth{12.6cm} \pageheight{19.8cm} \magnification=\magstep1 \tolerance 500 \frenchspacing \def\bmc{{\Bbb C}} \def\bmn{{\Bbb N}} \def\bmz{{\Bbb Z}} \def\cn{\bmc_N} \def\ctg{\operatorname{ctg}} \def\dn{\delta_n} \def\dN{\delta_N} \def\Dn{{\Delta_\nu}} \def\Dnn{{\Delta_{\nu+1}}} \def\ds{\displaystyle} \def\fn{f_\nu} \def\gn{g_\nu} \def\hn{h_\nu} \def\hbar{$\underline{\phantom{1}}$} \def\hbarl{$\underline{\phantom{11}}$} \def\hc{Ха\-ара--Крес\-тен\-со\-на} \def\htrule{\noalign {\hrule}} \def\jn{{j_\nu}} \def\jnn{{j_{\nu-1}}} \def\la{\langle} \def\lb{\{} \def\lf{\lfloor} \def\ln{{\Cal L}_N} \def\nn{{N_\nu}} \def\nnn{{N_{\nu-1}}} \def\No{\char "F2} \def\proof{Д\,о\,к\,а\,з\,а\,т\,е\,л\,ь\,с\,т\,в\,о. } \def\qn{{q_\nu}} \def\qnn{{q_{\nu-1}}} \def\ra{\rangle} \def\rb{\}} \def\rev#1{\text{\rm rev}_{#1}} \def\rf{\rfloor} \def\ss{\scriptstyle} \def\sss{\scriptscriptstyle} \def\ts{\textstyle} \def\vc{Ви\-лен\-ки\-на--Крес\-тен\-со\-на} \def\vtrule {\vrule height 12pt depth 6pt} \def\wn{\omega_n} \def\xh{\widehat{x}} \def\xn{x_\nu} \def\yh{\widehat{y}} \def\yhn{\widehat{y}_\nu} \def\yn{y_\nu} \CenteredTagsOnSplits \NoBlackBoxes \NoRunningHeads \document {\eightpoint \flushpar УДК 519.72} \medskip \centerline{\it С. М. Машарский} \medskip \centerline{\bf АВТОРЕВЕРСНЫЕ СПЕКТРЫ ХААРА--КРЕСТЕНСОНА\footnote{Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер проекта 99-01-00747).}} \medskip \centerline{\bf Введение} В статье рассматриваются два ортогональных базиса, порождающих дискретные преобразования \hc\ $H_f$ и $H_g$. Первое преобразование $H_f$ связано с прореживанием по частоте. Оно хорошо известно~[1]. Второе преобразование $H_g$ связано с прореживанием по времени. Оно впервые было описано в работе~[2]. Частным случаем преобразований \hc\ являются преобразования Хаара. В работах~[3--5] изучались свойства спектров дискретных сигналов в хааровских базисах. Данная статья является обобщением работы~[4] и логичным продолжением работы~[6]. Прокомментируем ее содержание по параграфам. В \S1 приведены необходимые сведения об интересующих нас базисах. В \S2 записаны разложения сдвигов единичного импульса. В \S3 введено понятие логарифмически автореверсного спектра. Установлена связь между сигналами $x$ и $y$, у которых $H_f(x)=H_g(y)=:H$, при условии, что спектр $H$ является логарифмически автореверсным. Вычислена размерность множества логарифмически автореверсных спектров. \medskip \centerline{\bf \S1. Предварительные сведения} \smallskip Линейное пространство $\cn$ комплекснозначных $N$-периодических последовательностей $x=\lb x(j)\rb$, $j\in\bmz$, будем называть {\it пространством сигналов}. В $\cn$ обычным образом вводятся скалярное произведение и норма: $$ \la x,y\ra=\sum_{j=0}^{N-1} x(j)\,\overline{y(j)},\qquad \|x\|=\la x,x\ra^{1/2}. $$ Обозначим через $\dN(j)$ единичный $N$-периодический импульс, равный 1 при\linebreak ${j=0,\,\pm N,\,\pm 2N,\,\dots\,}$ и равный нулю при остальных $j\in\bmz$. Система сигналов\linebreak $\lb\dN(j-k)\rb, k=0,1,\dots N-1$, образует естественный ортонормированный базис пространства $\cn$. Пусть $N=n^s$, где $n,\,s\in\bmn$, $n\ge2$, $s\ge2$. Постоянно будут использоваться следующие обозначения: $\lf\alpha\rf$ --- целая часть вещественного числа $\alpha$; $\la k\ra_N=k-\lf k/N\rf N$ --- остаток от деления целого числа $k$ на $N$. Для целого числа $a\in\lb0,1,\dots,N-1\rb$ запись $a=(a_{s-1},a_{s-2},\dots,a_0)_n$ означает $$ a=a_{s-1}n^{s-1}+a_{s-2}n^{s-2}+\dots+a_0,\quad a_k\in0:n-1,\ k\in0:s-1. $$ В пространстве $\cn$ при $N=n^s$ рассмотрим систему сигналов $$ c(j);\quad \fn(\sigma;\,j-p\Dnn),\quad p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s. \eqno(1.1) $$ Здесь $\Dn=n^{\nu-1}$, $\nn=N/n^\nu$, $c(j)\equiv1/N$, $$ \fn(\sigma;\,j)=\frac1{n^\nu}\sum_{\tau=0}^{n-1}\wn^{\sigma\tau} \sum_{q=\tau\Dn}^{(\tau+1)\Dn-1}\dN(j-q), \eqno(1.2) $$ $\wn=\exp\lb2\pi i/n\rb$ --- первообразный корень степени $n$ из единицы. Известно [1,~2], что система сигналов (1.1) образует ортогональный базис пространства $\cn$. Он называется {\it базисом \hc, связанным с прореживанием по частоте}. Нетрудно проверить, что $\|\fn(\sigma;\,\cdot-p\Dnn)\|^2=n^{-\nu}$ при всех $p\in0:\nn-1$, $\sigma\in1:n-1$, $\nu\in1:s$. Любой сигнал $x\in\cn$ допускает представление $$ x(j)=\alpha c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \xn(\sigma,p)\,\fn(\sigma;\,j-p\Dnn),\quad j\in\bmz. \eqno(1.3) $$ Коэффициенты этого разложения суть коэффициенты Фурье: $$ \alpha=\sum_{j=0}^{N-1}x(j),\qquad \xn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}x(j)\, \overline{\fn}(\sigma;\,j-p\Dnn). $$ Совокупность этих коэффициентов $$ H_f(x)=\big\lb\alpha;\ \xn(\sigma,p),\ p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s\big\rb $$ образует {\it спектр \hc}\/ сигнала $x$, {\it связанный с прореживанием по частоте}. Преобразование $x\to H_f(x)$ называется {\it дискретным преобразованием \hc\ с прореживанием по частоте}. \medskip Наряду с базисом (1.1) рассмотрим систему сигналов $$ c(j);\quad \gn(\sigma;\,j-p),\quad p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s. \eqno(1.4) $$ Здесь $$ \gn(\sigma;\,j)=\frac1{n^\nu}\sum_{\tau=0}^{n-1}\wn^{\sigma\tau} \delta_\nnn(j-\tau\nn). \eqno(1.5) $$ Известно [2], что система сигналов (1.4) также образует ортогональный базис пространства $\cn$. Он называется {\it базисом \hc, связанным с прореживанием по времени}. Нетрудно убедиться, что $\|\gn(\sigma;\,\cdot-p)\|^2=n^{-\nu}$ при всех $p\in0:\nn-1$, $\sigma\in1:n-1$, $\nu\in1:s$. Любой сигнал $y\in\cn$ допускает представление $$ y(j)=\beta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \yn(\sigma,p)\,\gn(\sigma;\,j-p),\quad j\in\bmz. \eqno(1.6) $$ Коэффициенты этого разложения суть коэффициенты Фурье: $$ \beta=\sum_{j=0}^{N-1}y(j),\qquad \yn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}y(j)\, \overline{\gn}(\sigma;\,j-p). $$ Совокупность этих коэффициентов $$ H_g(y)=\big\lb\beta;\ \yn(\sigma,p),\ p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s\big\rb $$ образует {\it спектр \hc}\/ сигнала $y$, {\it связанный с прореживанием по времени}. Преобразование $y\to H_g(y)$ называется {\it дискретным преобразованием \hc\ с прореживанием по времени}. \medskip Для базисных сигналов \hc\ можно получить более компактные выражения, чем~(1.2) и~(1.5). \medskip {\bf Лемма 1.1.} {\it При $\sigma\in1:n-1$ справедлива формула} $$ \fn(\sigma;\,j)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\lf j/\Dn\rf}\, \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf\big), \quad j\in\bmz. \eqno(1.7) $$ \proof Правая часть (1.7) равна $n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\tau}$ при $j\in\tau\Dn:(\tau+1)\Dn-1$, $\tau\in0:n-1$, и равна 0 при $j\in\Dnn:N-1$ (учесть, что $N=\Dnn\nn$). Те же значения при указанных $j$ принимает согласно~(1.2) и $\fn(\sigma;\,j)$. Таким образом, при $j\in0:N-1$ равенство~(1.7) верно. Остается проверить $N$-периодичность правой части~(1.7). Она следует из того, что при любом $k\in\bmz$ $$ \frac{j+kN}\Dn=\frac j\Dn+nk\nn,\qquad \frac{j+kN}\Dnn=\frac j\Dnn+k\nn. $$ Лемма доказана. \medskip {\bf Следствие.} {\it При $p\in0:\nn-1$ справедливо равенство} $$ \fn(\sigma;\,j-p\Dnn)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\lf j/\Dn\rf}\, \delta_\nn\big(\lf j/\Dnn\rf-p\big). \eqno(1.8) $$ \medskip Формулы (1.7) и (1.8) несколько упрощаются при $j\in0:N-1$. А именно, если $j=(j_{s-1},\dots,j_0)_n$, то $\lf j/\Dn\rf=j_{s-1}n^{s-\nu}+\dots+n\,\jn+\jnn$, так что $$ \wn^{\lf j/\Dn\rf}=\wn^\jnn. \eqno(1.9) $$ \medskip {\bf Лемма 1.2.} {\it При $\sigma\in1:n-1$ справедлива формула} $$ \gn(\sigma;\,j)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\, \delta_\nn(j),\quad j\in\bmz. \eqno(1.10) $$ \proof Сигнал $\gn(\sigma;\,j)$ в силу (1.5) является $\nnn$-периодическим. Тем же свойством обладает и сигнал, стоящий в правой части~(1.10). Значит, равенство~(1.10) достаточно проверить на основном периоде $0:\nnn-1$. Пусть $j=\tau\nn$ при некотором $\tau\in0:n-1$. Тогда правая часть~(1.10) принимает значение $n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\tau}$. Это же значение согласно~(1.5) принимает и $\gn(\sigma;\,j)$. При остальных $j\in0:\nnn-1$ равенство~(1.10) превращается в $0=0$. Лемма доказана. \medskip {\bf Следствие.} {\it При $p\in0:\nn-1$ справедливо равенство} $$ \gn(\sigma;\,j-p)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\, \delta_\nn(j-p),\quad j\in\bmz. \eqno(1.11) $$ \proof Покажем, что $$ \wn^{\sigma\lf(j-p)/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p)= \wn^{\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p). \eqno(1.12) $$ Поскольку в обеих частях этого равенства стоят $\nnn$-периодические по $j$ сигналы, то достаточно проверить его на периоде $p:p+\nnn-1$. При $j=p+\tau\nn$, $\tau\in0:n-1$, равенство~(1.12) верно. Но оно также верно и при остальных $j$ из указанного периода, поскольку в этом случае обе части~(1.12) равны нулю. Таким образом, равенство~(1.12) при $p\in0:\nn-1$ и $j\in\bmz$ установлено. Теперь (1.11) следует из (1.10) и (1.12). \medskip Отметим, что формулы (1.10) и (1.11) принимают более простой вид при $j\in0:N-1$. А именно, если $j=(j_{s-1},\dots,j_0)_n$, то $\lf j/\nn\rf=j_{s-1}n^{\nu-1}+\dots+j_{s-\nu+1}\,n+j_{s-\nu}$, так что $$ \wn^{\lf j/\nn\rf}=\wn^{j_{s-\nu}}. \eqno(1.13) $$ \medskip \centerline{\bf \S2. Спектры сдвигов единичного импульса} \smallskip Зафиксируем число $q\in0:N-1$, \,$q=(q_{s-1},\dots,q_0)_n$. \medskip {\bf Теорема 2.1.} {\it Сигнал $\dN(\cdot-q)$ допускает следующее представление в базисе \hc\ с прореживанием по частоте: $$ \dN(j-q)=c(j)+ \sum_{\nu=1}^s\sum_{\sigma=1}^{n-1} \wn^{-\sigma\qnn} \fn(\sigma;\,j-p_\nu^0(q)\Dnn), $$ где $c(j)\equiv 1/N$, \,$p_\nu^0(q)=\lf q/\Dnn\rf$}. \smallskip \proof Представим сигнал $x=\dN(\cdot-q)$ в соответствии с~(1.3): $$ \dN(j-q)=\alpha c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \xn(\sigma,p)\,\fn(\sigma;\,j-p\Dnn). $$ Тогда $\alpha=\sum\limits_{j=0}^{N-1}\dN(j-q)=1$, $$ \xn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}\dN(j-q)\,\overline{\fn}(\sigma;\,j-p\Dnn)=n^\nu\,\overline{\fn}(\sigma;\,q-p\Dnn). $$ Учитывая (1.8) и (1.9), получаем $$ \xn(\sigma,p)=\wn^{-\sigma\qnn}\delta_{\nn}\big(\lf q/\Dnn\rf-p\big)=\left\{\! \matrix \wn^{-\sigma\qnn},\ \text{если}\,\ p=\lf q/\Dnn\rf,\qquad\qquad\qquad\\ 0\quad \text{при остальных}\,\ p\in0:\nn-1. \endmatrix\right. $$ Теорема доказана. \medskip {\bf Теорема 2.2.} {\it Сигнал $\dN(\cdot-q)$ допускает следующее представление в базисе \hc\ с прореживанием по времени: $$ \dN(j-q)=c(j)+ \sum_{\nu=1}^s\sum_{\sigma=1}^{n-1} \wn^{-\sigma q_{s-\nu}} \gn(\sigma;\,j-p_\nu^1(q)), $$ где $p_\nu^1(q)=\la q\ra_\nn$}. \smallskip \proof Представим сигнал $y=\dN(\cdot-q)$ в соответствии с~(1.6): $$ \dN(j-q)=\beta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \yn(\sigma,p)\,\gn(\sigma;\,j-p). $$ Тогда $\beta=\sum\limits_{j=0}^{N-1}\dN(j-q)=1$, $$ \yn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}\dN(j-q)\,\overline{\gn}(\sigma;\,j-p)=n^\nu\,\overline{\gn}(\sigma;\,q-p). $$ Учитывая (1.11) и (1.13), получаем $$ \yn(\sigma,p)=\wn^{-\sigma q_{s-\nu}}\delta_{\nn}(q-p)=\left\{\! \matrix \wn^{-\sigma q_{s-\nu}},\ \text{если}\,\ p=\la q\ra_\nn,\qquad\qquad\qquad\qquad\\ 0\quad \text{при остальных}\,\ p\in0:\nn-1. \endmatrix\right. $$ Теорема доказана. \medskip \centerline{\bf \S3. Логарифмически автореверсные спектры} \smallskip В этом параграфе будет установлена связь между базисами \hc~(1.1) и~(1.4). Нам потребуется перестановка {\it reverse}. Пусть $j\in0:n^\nu-1$, $j=(\jnn,j_{\nu-2},\dots,j_0)_n$. Тогда по определению $$ \rev\nu(j)=(j_0,j_1,\dots,\jnn)_n. $$ К этому определению добавим формальное равенство $\rev0(0)=0$. \medskip {\bf Теорема 3.1.} {\it Пусть $\sigma\in1:n-1$, $p\in0:\nn-1$. Справедливо тождество} $$ \fn\big(\sigma;\,\rev{s}(j)-p\Dnn\big)=\gn\big(\sigma;\,j-\rev{s-\nu}(p)\big), \quad j\in0:N-1. \eqno(3.1) $$ \proof Пусть $j=(j_{s-1},\dots,j_0)_n$, $p=(p_{s-\nu-1},\dots,p_0)_n$. Согласно~(1.11) $\gn(\sigma;\,j-p)$ отлично от нуля тогда и только тогда, когда $\la j\ra_\nn=p$, т.\,е. когда $j_k=p_k$, $k\in0:s-\nu-1$. При таких $j$ в силу~(1.13) имеем $\gn(\sigma;\,j-p)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma j_{s-\nu}}$. Пусть $l=(l_{s-1},\dots,l_0)_n$, $q=(q_{s-\nu-1},\dots,q_0)_n$. Согласно~(1.8) $\fn(\sigma;\,l-q\Dnn)$ отлично от нуля тогда и только тогда, когда $\lf l/\Dnn\rf=q$, т.\,е. когда $l_\mu=q_{\mu-\nu}$, $\mu\in\nu:s-1$. При таких $l$ в силу~(1.9) имеем $\fn(\sigma;\,l-q\Dnn)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma l_{\nu-1}}$. Возьмем $l=\rev{s}(j)$, $q=\rev{s-\nu}(p)$. Тогда $$ l_\mu=j_{s-1-\mu},\quad \mu\in0:s-1; $$ $$ q_\mu=p_{s-\nu-1-\mu},\quad \mu\in0:s-\nu-1. $$ В частности, $l_{\nu-1}=j_{s-\nu}$. Получаем, что $\fn(\sigma;\,\rev{s}(j)-\rev{s-\nu}(p)\Dnn)$ отлично от нуля тогда и только тогда, когда $j_{s-1-\mu}=p_{s-1-\mu}$, $\mu\in\nu:s-1$, или, что то же самое, когда $j_k=p_k$, $k\in0:s-\nu-1$. При этом $\fn(\sigma;\,\rev{s}(j)-\rev{s-\nu}(p)\Dnn)=n^{-\nu}\,\wn^{\sigma j_{s-\nu}}$. Итак, мы показали, что $$ \fn(\sigma;\,\rev{s}(j)-\rev{s-\nu}(p)\Dnn)=\gn(\sigma;\,j-p). $$ Равенство (3.1) получается отсюда заменой $p$ на $\rev{s-\nu}(p)$. Теорема доказана. \medskip {\bf Определение.} Спектр $$ H=\big\lb\eta;\ \hn(\sigma,p),\ p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s\big\rb $$ назовем {\it логарифмически автореверсным}, если $$ \hn(\sigma,p)=\hn\big(\sigma,\rev{s-\nu}(p)\big), \eqno(3.2) $$ $$ p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s-1. $$ При $s=1$ и $s=2$ любой спектр по определению является логарифмически автореверсным. При $\nu=s-1$ равенство~(3.2) выполняется автоматически. \medskip {\bf Теорема 3.2.} {\it Пусть сигналы $x$ и $y$ из $\cn$ таковы, что $H_f(x)=H_g(y)=:H$, и пусть при этом спектр $H$ является логарифмически автореверсным. Тогда необходимо} $$ y(j)=x\big(\rev{s}(j)\big), \quad j\in0:N-1. \eqno(3.3) $$ \proof Для сигнала $y$ имеем $$ y(j)=\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{q=0}^{\nn-1} \hn(\sigma,q)\,\gn(\sigma;\,j-q). $$ Сделаем замену $p=\rev{s-\nu}(q)$ и воспользуемся (3.2) и (3.1): $$ y(j)=\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \hn\big(\sigma,\rev{s-\nu}(p)\big)\,\gn\big(\sigma;\,j-\rev{s-\nu}(p)\big)= $$ $$ =\eta c\big(\rev{s}(j)\big)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \hn(\sigma,p)\,\fn\big(\sigma;\,\rev{s}(j)-p\Dnn\big)%= %$$ %$$ =x\big(\rev{s}(j)\big). $$ Теорема доказана. \medskip Эта теорема в определенном смысле обратима. \medskip {\bf Теорема 3.3.} {\it Пусть $x$, $y$ --- сигналы, удовлетворяющие условию~$(3.3)$, и пусть $H_f(x)=H_g(y)=:H$. Тогда спектр $H$ является логарифмически автореверсным.} \smallskip \proof Согласно (3.1) $$ x\big(\rev{s}(j)\big)=\eta c\big(\rev{s}(j)\big)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \hn(\sigma,p)\,\fn\big(\sigma;\,\rev{s}(j)-p\Dnn\big)= $$ $$ =\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \hn(\sigma,p)\,\gn\big(\sigma;\,j-\rev{s-\nu}(p)\big)= $$ $$ =\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \hn\big(\sigma,\rev{s-\nu}(p)\big)\,\gn(\sigma;\,j-p). $$ Но по условию теоремы $$ x\big(\rev{s}(j)\big)=y(j)=\eta c(j)+\sum_{\nu=1}^{s}\sum_{\sigma=1}^{n-1}\sum_{p=0}^{\nn-1} \hn(\sigma,p)\,\gn(\sigma;\,j-p). $$ В силу единственности разложения по ортогональному базису~(1.4) приходим к~(3.2). Теорема доказана. \medskip Рассмотрим в качестве примера кусочно-линейный сигнал $\yh$, задаваемый на основном периоде равенством $$ \yh(j)=j,\quad j\in0:N-1. $$ Вычислим спектр \hc\ сигнала $\yh$, связанный с прореживанием по времени. Пусть $H_g(\yh)=\lb \widehat\beta;\,\yhn(\sigma,p)\rb$. Тогда $$ \widehat\beta=\sum_{j=0}^{N-1}\yh(j)=\frac{N(N-1)}2; $$ $$ \yhn(\sigma,p)=n^\nu\sum_{j=0}^{N-1}\yh(j)\,\overline{\gn}(\sigma;\,j-p)=\sum_{j=0}^{N-1}j\wn^{-\sigma\lf j/\nn\rf}\,\delta_\nn(j-p). $$ Мы воспользовались формулой (1.11). Представим $j$ в виде $j=q\nnn+\tau\nn+l$, где $q\in0:\Dn-1$, $\tau\in0:n-1$, $l\in0:\nn-1$. Получим $$ \yhn(\sigma,p)=\sum_{q=0}^{\Dn-1}\sum_{\tau=0}^{n-1}\sum_{l=0}^{\nn-1} (q\nnn+\tau\nn+l)\,\wn^{-\sigma\tau}\,\delta_\nn(l-p)= $$ $$ =\sum_{q=0}^{\Dn-1}\sum_{\tau=0}^{n-1}(\tau\nn+q\nnn+p)\,\wn^{-\sigma\tau}. $$ Так как $\sigma\in1:n-1$, то $\sum\limits_{\tau=0}^{n-1}\wn^{-\sigma\tau}=0$. С учетом этого факта приходим к выражению $$ \yhn(\sigma,p)=\sum_{q=0}^{\Dn-1}\sum_{\tau=0}^{n-1}\tau\nn\,\wn^{-\sigma\tau}=\Delta_s\sum_{\tau=0}^{n-1}\tau\wn^{-\sigma\tau}. $$ Введем обозначение $z(\sigma)=\sum\limits_{\tau=0}^{n-1}\tau\wn^{-\sigma\tau}$, $\sigma\in1:n-1$. Имеем $$ z(\sigma)=\sum_{\tau=1}^{n-1}\tau\wn^{-\sigma\tau}=\sum_{\tau=0}^{n-1}(\tau+1)\,\wn^{-\sigma(\tau+1)}-n= $$ $$ =\wn^{-\sigma}\Big\lb\sum_{\tau=0}^{n-1}\tau\wn^{-\sigma\tau}+\sum_{\tau=0}^{n-1}\wn^{-\sigma\tau}\Big\rb-n=\wn^{-\sigma} z(\sigma)-n, $$ откуда $$ z(\sigma)=\frac{n}{\wn^{-\sigma}-1}=\frac n2\,\big(i\ctg\frac{\pi\sigma}n-1\big). $$ Таким образом, окончательно получаем $$ \yhn(\sigma,p)=\Delta_s z(\sigma)=\frac N2\,\big(i\ctg\frac{\pi\sigma}n-1\big),\quad p\in0:\nn-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in1:s. $$ Отметим, что $\yhn(\sigma,p)$ не зависит от $p$, поэтому спектр $H_g(\yh)$ является по определению логарифмически автореверсным. Если мы обозначим через $\xh$ сигнал, имеющий такой же спектр в базисе \hc\ с прореживанием по частоте, то в силу теоремы~3.2 для $\xh$ будем иметь $$ \xh(j)=\rev{s}(j),\quad j\in0:N-1. $$ Непосредственно этот результат было бы получить нелегко. \medskip Обозначим через $\ln$ линейное множество логарифмически автореверсных спектров и через $\dim\ln$ --- его размерность. Напомним, что $N=n^s$. \medskip {\bf Теорема 3.4.} {\it Справедливо равенство} $$ \dim\ln=\frac n2\left[n^{s-1}+\Big(2+ \frac{n-1}2\big(1+(-1)^s\big)\Big) n^{\left\lf\frac{s-1}2\right\rf}-1 \right]. \eqno(3.4) $$ \proof При $s=1$ и $s=2$ теорема верна. Пусть $s\ge3$ и $\nu\in2:s-1$. Обозначим через $\zeta_\nu$ количество тех $p\in0:n^\nu-1$, для которых $\rev\nu(p)=p$. Очевидно, что $\zeta_{2k}=n^k$, $\zeta_{2k+1}=n^{k+1}$, т.\,е. $\zeta_\nu=n^{\lf(\nu+1)/2\rf}$. Условия (3.2) с учетом замечания к определению логарифмически автореверсного спектра можно переписать так: $$ h_{s-\nu}\big(\sigma,p\big)-h_{s-\nu}\big(\sigma,\rev\nu(p)\big)=0, $$ $$ p\in0:n^\nu-1,\ \sigma\in1:n-1,\ \nu\in2:s-1. $$ Эти условия представляют собой линейную однородную систему, состоящую из\linebreak $\frac{n-1}2\sum\limits_{\nu=2}^{s-1}(n^\nu-\zeta_\nu)$ уравнений с линейно независимыми строками коэффициентов. Поэтому $$ \dim\ln=N-\frac{n-1}2\sum_{\nu=2}^{s-1}(n^\nu-\zeta_\nu)=n^s-\frac{n(n-1)}2\sum_{\nu=1}^{s-2}\big(n^\nu-n^{\lf\nu/2\rf}\big). $$ При $s=2l+1$ имеем $$ \sum_{\nu=1}^{s-2}n^{\lf\nu/2\rf}=\sum_{k=0}^{l-1}n^{\left\lf\frac{2k+1}2\right\rf}+\sum_{k=1}^{l-1}n^{\left\lf\frac{2k}2\right\rf}=2\sum_{k=0}^{l-1}n^k-1=2\frac{n^l-1}{n-1}-1. $$ В этом случае $$ \dim\ln=n^s-\frac{n(n-1)}2\left[\frac{n^{s-1}-1}{n-1}-1-\Big(2\frac{n^l-1}{n-1}-1\Big)\right]= $$ $$ =\frac{n^s}{2\,}+n^{l+1}-\frac{n}2=\frac{n}2\big[n^{s-1}+2n^{\left\lf\frac{s-1}2\right\rf}-1\big], $$ что соответствует (3.4). При $s=2l+2$ $$ \sum_{\nu=1}^{s-2}n^{\lf\nu/2\rf}=2\frac{n^l-1}{n-1}-1+n^l=\frac{(n+1)n^l-2}{n-1}-1. $$ Поскольку $l=\lf(s-1)/2\rf$, то $$ \dim\ln=\frac{n}2\big[n^{s-1}+(n+1)n^{\left\lf\frac{s-1}2\right\rf}-1\big], $$ что также соответствует (3.4). Теорема доказана. \medskip В таблице приведены значения $\dim\ln$ при некоторых $n$ и $s$. \bigskip \centerline{\qquad Т а б л и ц а} \medskip \moveright 0cm \vbox{ \vbox{\tabskip=-3pt\offinterlineskip \halign { # \vtrule \tabskip=0pt &# \tabskip=0pt plus 0pt &# \vtrule\,\vtrule &# \tabskip=0pt plus 0pt &# \vtrule &# \tabskip=0pt plus 0pt &# \vtrule &# \tabskip=0pt plus 0pt &# \vtrule &# \tabskip=0pt plus 0pt &# \vtrule &# \tabskip=0pt plus 0pt &# \vtrule &# \tabskip=0pt plus 0pt &# \vtrule &# \tabskip=0pt plus 0pt &# \vtrule &# \tabskip=0pt plus 0pt \vtrule \tabskip 0pt \cr \htrule && {\hss ~$n\Big\backslash\,s$\hss} && {\hss \phantom{1}1\hss} && {\hss ~\phantom{1}2\hss} && {\hss ~\phantom{1}3\hss} && {\hss ~\phantom{11}4\hss} && {\hss ~\phantom{111}5\hss} && {\hss ~\phantom{111}6\hss} && {\hss ~\phantom{1111}7\hss} \cr \htrule\htrule && {\hss \phantom{1}2\hss} && {\hss \phantom{1}2\hss} && {\hss ~\phantom{1}4\hss} && {\hss ~\phantom{1}7\hss} && {\hss ~\phantom{1}13\hss} && {\hss ~\phantom{11}23\hss} && {\hss ~\phantom{11}43\hss} && {\hss ~\phantom{111}79\hss} \cr \htrule && {\hss \phantom{1}3\hss} && {\hss \phantom{1}3\hss} && {\hss ~\phantom{1}9\hss} && {\hss ~21\hss} && {\hss ~\phantom{1}57\hss} && {\hss ~\phantom{1}147\hss} && {\hss ~\phantom{1}417\hss} && {\hss ~\phantom{1}1173\hss} \cr \htrule && {\hss \phantom{1}4\hss} && {\hss \phantom{1}4\hss} && {\hss ~16\hss} && {\hss ~46\hss} && {\hss ~166\hss} && {\hss ~\phantom{1}574\hss} && {\hss ~2206\hss} && {\hss ~\phantom{1}8446\hss} \cr \htrule && {\hss \phantom{1}5\hss} && {\hss \phantom{1}5\hss} && {\hss ~25\hss} && {\hss ~85\hss} && {\hss ~385\hss} && {\hss ~1685\hss} && {\hss ~8185\hss} && {\hss ~39685\hss} \cr \htrule}}} %\newpage \bigskip \centerline{\bf Литература} \medskip \noindent 1.~{\it Дагман Э. Е., Кухарев Г. А.} Быстрые дискретные ортогональные преобразования. \phantom{1. }Новосибирск: Наука, 1983. 232~с. \smallskip\noindent 2.~{\it Малоземов В. Н., Машарский С. М.} Обобщенные вейвлетные базисы, связанные с \phantom{1. }дискретным преобразованием \vc{} // Электронный архив пре- \phantom{1. }принтов С.-Петербургского мат. общества. Препринт \No~1999-21.\par\noindent \phantom{1. }{\tt http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/1999/index.html\#21} \smallskip\noindent 3.~{\it Malozemov V. N., Masharsky S. M.} Haar spectra of discrete signals. In: Tools for Math. \phantom{1. }Modelling. The Second International Conf. June 14--19, 1999. Abstracts. St.~Petersburg, \phantom{1. }1999. P.~86--87. \smallskip\noindent 4.~{\it Малоземов В. Н., Машарский С. М.} Сравнительное изучение двух вейвлетных ба- \phantom{1. }зисов // Проблемы передачи информации. 2000. Т.~36. Вып.~2. С.~27--37. \smallskip\noindent 5.~{\it Малоземов В. Н., Машарский С. М.} Хааровские спектры дискретных сверток // \phantom{1. }Журн. вычисл. мат. и матем. физ. 2000. Т.~40. \No~6. С.~954--960. \smallskip\noindent 6.~{\it Машарский С. М.} Свертка и корреляция дискретных сигналов в базисах Хаара-- \phantom{1. }Крестенсона // Электронный архив препринтов С.-Петербургского мат. общества. \phantom{1. }Препринт \No~2000-09. \ {\tt http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/2000/index.html\#09} \bigskip \enddocument