%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%               Для ПМА - согласовано с Ниной Николаевной
%%%%          22.11.00 7:52:49 Wed
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
\magnification=\magstep1
\parindent=1em
     \baselineskip=18pt

\hsize=16 true cm

\CenteredTagsOnSplits                        \NoBlackBoxes

\NoRunningHeads
\pageno=1
\footline={\hss\tenrm\folio\hss}
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

        \topmatter
        \title {Геометрические свойства универсально измеримых отображений
                }
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов}  \endauthor
\address{\newline
\rm С.-Петербургский госуниверситет\newline}
\endaddress

\email
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\abstract\nofrills
Изучается вопрос, при каких условиях универсально
измеримые отображения из отделимого топологического  пространства
$ S$ в метрическое пространство $ R$ (с метрикой $ \rho)$
принадлежат классу $ \Cal D$ следующих отображений $ f: S\to R:$

для любого компакта $ K\subset S$ и всякого числа $ \varepsilon>0$
существует такое открытое (в индуцированной топологии) множество
$ V\subset K,$ что колебание $ \omega(f;V)$\ $ R$-значной функции
$ f$ на $ V$ меньше, чем $\varepsilon $ (здесь
$ \omega(f;V)=\sup_{s,t\in V} \rho(f(s),f(t))$).
\endabstract
    \endtopmatter

\footnotetext""{Работа выполнена при частичной поддержке Министерства
общего и профессионального образования России (грант \No 97-0-1.7-36)
и
Федеральной целевой программой ``Интеграция''
(грант \No~326.53).}

\footnotetext""{$\copyright$\;\;~О.~И.~Рейнов, 2000}

\document

В этой небольшой заметке мы хотим еще раз отметить связь
универсально измеримых отображений в топологических пространствах
с их геометрическо-топо\-ло\-ги\-че\-с\-ки\-ми свойствами
в духе работ [1], [2].
В частности, мы возвращаемся к рассмотрению
отображений из класса $ \Cal D,$ введенного в заметке [1].

Напомним основное определение из [1].
Пусть $ S$ --- отделимое топологическое
пространство, $ R$ --- метрическое пространство (с метрикой $ \rho).$
Отображение $ f$ из $ S$ в $ R$ {\it принадлежит классу}\,  $ \Cal D$
(запись: $ f\in \Cal D(S,R),$ либо просто $ f\in \Cal D,$ когда
не возникает недоразумений), если оно обладает следующим свойством:
\smallpagebreak

\roster
\item"{$ (\omega)$}"
 для любого компакта $ K\subset S$ и всякого числа $ \varepsilon>0$
существует такое открытое (в индуцированной топологии) множество
$ V\subset K,$ что колебание $ \omega(f;V)$\ $ R$-значной функции
$ f$ на $ V$ меньше, чем $\varepsilon $ (здесь
$ \omega(f;V)=\sup_{s,t\in V} \rho(f(s),f(t))$).
\endroster
\smallpagebreak

Согласно теореме 1 из [1] всякое отображение $ f\in\Cal D$ универсально
измеримо (т.е. измеримо по Лузину относительно каждой конечной
положительной меры Радона на $ S).$
В этой заметке нас, в частности, будет интересовать вопрос о том,
когда верна обратная импликация, т.е. при каких условиях универсально
измеримое отображение из $ S$ в $ R$ принадлежит классу $ \Cal D$
(иными словами, в каких случаях универсальная измеримость данного отображения
является его чисто топологическим свойством.) Более конкретно этот вопрос
формулируется так. Для каких семейств $ \Cal A$ отображений из $ S$
в $ R$ верно следующее утверждение: отображение $ f$ из $ \Cal A$
универсально измеримо тогда и только тогда, когда оно принадлежит классу
$ \Cal D.$ Заметим, что уже в простейшем случае $ S=R=[0,1]$
в качестве $ \Cal A$ нельзя взять семейство всех отображений (так как
$ \Cal D(S,R)$ здесь состоит из функций I класса Бэра). Поэтому какие-то
условия на семейство $ \Cal A$ придется накладывать.

Один частный случай указанного вопроса уже рассматривался нами (неявно)
в [1, следствие 4]: мы установили, что если $ T$ --- линейный непрерывный
оператор в банаховых пространствах $ X$ и $ Y,$ то отображение
$ T^*$ универсально
измеримо из $ (Y^*, w^*),$ где $w^*=\sigma(Y^*,Y),$
в $ (X^*,\|\cdot\|)$ тогда и только
тогда, когда $ T^*\in \Cal D((Y,w^*), X^*).$ Одно из любопытных следствий
настоящей работы показывает, что здесь совершенно не играет роли то,
что отображение $ T^*$ является линейным оператором, сопряженным
к некоторому линейному непрерывному отображению $ T;$ оказывается, например,
что если $ S$ и $ R$ --- ${}^*$-слабо компактные подмножества в $ Y^*$ и
$ X^*$ соответственно, то для всякого ${}^*$-слабо непрерывного отображения
из $ S$ в $ R$ его универсальная измеримость как отображения из $ (S,w^*)$
в $ (R,\|\cdot\|)$ эквивалентна принадлежности этого отображения
пространству $ \Cal D\left((S,w^*),(R,\|\cdot\|)\right).$

Центральным результатом работы является довольно простая теорема 2.1,
в которой получена новая характеризация универсально измеримых отображений
(одна из "псевдотопологических" характеристик универсально измеримых
отображений в терминах $ "\mu$-колебаний" содержится в теореме 2 из [1]).
То, что этот результат достаточно интересен (несмотря на простоту
доказательства), показывают некоторые его нетривиальные следствия
(см., например, [2]).
Нестрого говоря, теорема 1.1
утверждает, что всякое универсально измеримое отображение $ f$ является
отображением почти входящим в класс $ \Cal D.$ Это и позволяет нам затем
найти некоторые условия на $ f,$ при которых из универсальной измеримости
этого отображения вытекает его принадлежность классу $ \Cal D.$

Перед тем, как перейти к изложению основного материала, нам удобно
сделать некоторые замечания.

\remark {\bf Замечание 0.1}
Если $ S$ --- бэровское пространство\footnote{
Топологическое пространство $ T$ называется пространством Бэра,
если каждое непустое открытое множество в $ X$ является множеством
второй категории, или, что эквивалентно, если дополнение к каждому
множеству первой категории является плотным, или если пересечение
счетного семейства всюду плотных открытых множеств в $ T$ также всюду
плотно.}
то для всякого отображения $ f$
из $ S$ в $ R$ равносильны утверждения:

1) $ f\in\widetilde{\Cal D}(S,R),$ т.е.
если $ K$ --- замкнутое подмножество в $ S$ и $ \varepsilon>0,$ то найдется
такое открытое множество $ V$ в $ S,$ что колебание отображения $ f$ на
$ V\cap K$ меньше, чем $ \varepsilon;$

2) если $ K$ --- замкнутое подмножество в $ S,$ то существует плотное в
$ K$ подмножество $ G\subset K,$ которое является $ G_\delta$-множеством в
$ K$ и такое, что отображение $ f|_K: K\to R$ непрерывно в каждой точке
из $ G.$

Всякое локально компактное пространство, так же как и всякое польское
\footnote{
Польское пространство --- это метризуемое пространство счетного типа,
на котором существует полная метрика.
}
пространство --- бэровские.
\endremark\medpagebreak

Аналогичная характеризация (т.е. равносильность последних двух утверждений)
имеет место и для отображений из класса $ \Cal D$ (с заменой замкнутых
подмножеств $ K$ на компактные; см. определение класса $ \Cal D).$
Мы опускаем простое доказательство этих фактов, отметив лишь, что оно
почти идентично с доказательством приводимого ниже предложения 1.2.

\remark {\bf Замечание 0.2}
Классическая терема Бэра утверждает, что всякая вещественная функция на
польском пространстве, удовлетворяющая условию 1) из замечания 0.1, является
функцией I класса Бэра (т.е. пределом последовательности непрерывных
функций в топологии поточечной сходимости); более того, как установил
бельгийский математик Ж.Бургейн, всякая вещественная функция из класса
$ \Cal D$ также является функцией I класса Бэра.
Ниже нам потребуется бесконечномерный аналог теоремы Бэра.
Мы приведем его формулировку (см. [2]).
\endremark\medpagebreak

{\bf Отступление: теорема Бэра.}


Пусть $ M$ и $ R$ --- два топологических пространства,
$ f$ --- произвольное отображение из $ M$ в $ R.$
Мы будем говорить, что
$ f$ есть бэровская функция I класса из $ M$ в $ R,$ если существует
последовательность непрерывных функций из $ M$ в $ R,$ сходящаяся поточечно
к $ f.$ Функцию $ f$ мы будем называть квазибэровской функцией I класса,
если для всякого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ сужение $ f|_K$
функции $ f$ на $ K$ имеет по крайней одну точку непрерывности.

Хорошо известная теорема Бэра утверждает, что вещественнозначная функция,
заданная на польском пространстве, является бэровской функцией I класса
тогда и только тогда, когда она является квазибэровской функцией I класса
(теорема верна даже для более широкого класса топологических
пространств $ M;$ см., например, [3], замечание на стр. 376--377).

\proclaim {\bf Лемма 0.1}\it
Пусть $ M$ --- нормальное топологическое пространство\footnote{
 Пространство $ T$ называется нормальным, если любые два непересекающиеся
 его замкнутых множества можно отделить открытыми окрестностями.
 Характеристическое для нормальных пространств свойство: любую непрерывную
 на замкнутом подмножестве $ A\subset T$ функцию можно продолжить до
 непрерывной функции на всем $ T,$ причем с сохранением супремума функции
(теорема Титце--Урысона).
Как следствие: аналогичное утверждение справедливо для функций со значениями
в конечномерном пространстве; см. [5], с. 90--92.
},
 $ R$ ---
топологическое векторное пространство, $ f$ --- счетно--значное
отображение из $ M$ в $ R,$ множество значений которого есть множество
$ \{ r_j\}_{j=1}^\infty\subset R.$
Если для каждого $ j$ \ $ f^{-1}(j)$ ---  множество типа $ F_\sigma,$ то
$ f$ --- бэровская $ R$-значная функция I класса.
\endproclaim\rm
\demo\nofrills{\it Доказательство}\ \,
предоставляется читателю (применить теорему Титце--Урысона, "уплывая
по взрастающей цепочке замкнутых множеств в бесконечность" ).
\hfill\hfill\qed\enddemo

Следующее вспомогательное утверждение является, по--видимому, известным
фактом и доказывается методом ab absurdum с использованием трансфинитной
индукции.

\proclaim {\bf Лемма 0.2}\it
Пусть $ M$ --- нормальное топологическое пространство, обладающее свойством:

$(\sigma)$\, всякая строго убывающая вполне упорядоченная система замкнутых
множеств в $ M$ не более чем счетна (свойство Бэра)\footnote{
Это свойство для любого топологического пространства равносильно свойству
Линделефа: из всякого открытого покрытия пространства $M$ можно выделить
не более чем счетное подпокрытие; см. [4], с. 58 и с. 124-125.
}.

Тогда пространство $ M$ совершенно нормально, т. е. всякое замкнутое
его подмножество есть множество типа $ G_\delta.\hfill\hfill\qed$
\endproclaim\rm

\remark {\bf Замечание 0.3}
Обращение леммы 0.2 верно, по крайней мере, для компактных топологических
пространств (см. [4], стр. 58), т. е. в классе компактов свойство
$ ({\sigma})$ характеризует совершенно нормальные пространства\footnote{
Под компактным пространством мы понимаем отделимое
топологическое пространство, всякое открытое покрытие которого содержит
конечное подпокрытие.
}.
\endremark\medpagebreak

\proclaim {\bf Предложение 0.1}\it
Пусть $ M$ --- нормальное топологическое пространство, об\-ладающее
свойством $ (\sigma),$ \, $ R$ --- метризуемое топологическое векторное
прост\-ра\-нство. Пусть, далее, $ f$ --- отображение, для которого выполнено
условие

$ (d)$\ для любого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ и для всякого числа
$ \varepsilon>0$ найдется такое открытое множество $ V$ в $ M,$ что колебание
$ \omega(f; V\cap K)$ функции $ f$ на множестве $ V\cap K$ меньше
$ \varepsilon$ \, (здесь $ \omega(f; A)=\sup \{ \rho(f(s), f(t))\,|\, s,t\in A\},$
где $ \rho$ --- метрика на $ R).$

Тогда $ f$ --- $ R$-значная функция I класса Бэра.
\endproclaim\rm

{\it Доказательство} \, предложения 0.1.
Пусть $ \varepsilon>0, \omega_1$ первый несчетный ординал и $ S_1=M.$
Используя условие $ d,$ построим по трансфинитной индукции (стандартным
образом) такое семейство $ \{ S_\alpha\}_{\alpha<\omega_1}$ замкнутых
подмножеств в $ M,$  что $ S_\alpha\supsetneq S_{\beta}$ и
$ \omega(f; S_\l\setminus S_{\alpha+1})<\varepsilon,$ если $ \alpha<\beta<\omega_1$
и $ S_\alpha\neq\emptyset.$ Так как пространство $ M$ обладает свойством
$ (\sigma),$ то существует такой счетный ординал $ \gamma<\omega_1,$
что $ S_\gamma=\emptyset,$ но $ S_\alpha\neq\emptyset$ при $ \alpha<\gamma.$
По лемме 0.2 каждое из множеств $ S_\alpha\setminus S_{\alpha+1}$ есть
множество типа $ F_\sigma.$ Выберем в каждом таком множестве по точке
$ s_\alpha\in S_\alpha\setminus S_{\alpha+1}$ и положим $ \varphi(s)= f(s_\alpha),$
если $ s\in S_\alpha\setminus S_{\alpha+1}.$ Так как
$ M=\cup_{\alpha<\gamma} S_\alpha\setminus S_{\alpha+1},$ то $ \varphi$ ---
$ R$-значная функция I класса Бэра из $ M$ в $ К$ (лемма 0.1).
При этом, очевидно, $ \sup \rho(\varphi(t),f(t))<\varepsilon.$
Отсюда вытекает, что отображение $ f$ есть равномерный предел
последовательности $ R$-значных функций I класса Бэра из $ M$ в
$ R$ и, значит, само принадлежит этому классу.
\hfill\hfill\qed

Из предложения 0.1 и классической теоремы Бэра мы получаем:

\proclaim {\bf Следствие 0.1}\it
Если $ M$ --- польское пространство, то всякая вещественнозначная функция
на $ M,$ удовлетворяющая условию $ (d)$\, (в котором $ R$ --- вещественная
прямая), является функцией I класса Бэра и, тем самым, имеет точки
непрерывности на всяком замкнутом подмножестве пространства $ M.$
\hfill\hfill\qed \endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 0.2}\it
Если $ M$ --- совершенно нормальный компакт и $ R$ --- метризуемое
топологическое векторное пространство, то любое отображение из $ M$
в $ R,$ удовлетворяющее условию $ (d)$ (в частности, всякое квазибэровское
отображение I класса), имеет сепарабельный образ
\hfill\hfill\qed \endproclaim\rm

\remark {\bf Замечание 0.4}
Условие $ (d)$ является аналогом в случае абстрактных отображений $ f$
понятия наследственно заостренного  $ (dentable)$ множества
в банаховом пространстве (множество $ B$ в банаховом пространстве называется
наследственно заостренным, если для любого его подмножества $ B_0$
и всякого числа $ \varepsilon>0$ найдется точка $ x\in B_0,$ не принадлежащая
множеству $ \overline{\operatorname{co}}(B_0\setminus D_\varepsilon(x)),$
где $ D_\varepsilon(x)$ ---
шар радиуса $ \varepsilon$
с центром в $ x,$ а $ \overline{\operatorname{co}}$ --- операция взятия замкнутой выпуклой
оболочки). Из теоремы Хана--Банаха легко вытекает, что если $ B$ ---
наследственно заостренное множество множество в банаховом пространстве
$ X,$ то тождественное отображение
$ (B, \sigma(X,X^*))\to X$ удовлетворяет условию $ (d).$
\endremark\medpagebreak


\proclaim {\bf Лемма 0.3 {\rm (см. [5], стр. 125, упр. 22а)}}\it
Пусть $ M$ --- бэровское пространство, $ R$ --- метрическое пространство,
$ f$ --- отображение из $ M$ в $ R.$
Если $ f$ является бэровской функцией I класса, то $ f$ непрерывно везде на
$ M$ за исключением быть может множества точек I категории в $ M. \hfill\hfill\qed$
\endproclaim\rm

Из предложения 0.1 и леммы 0.3 вытекает

\proclaim {\bf Предложение 0.2}\it
Пусть $ M$ --- нормальное топологическое пространство, всякое замкнутое
подмножество которого бэровское и которое обладает свойст\-вом $ (\sigma)$
(например, $ M$ --- польское пространство, либо совершенно нормальный
компакт). Для отображения $ f$ из $ M$ в любое метризуемое топологическое
векторное пространство $ R$ равносильны утверждения:

$ 1)$ $ f$ принадлежит I классу Бэра;

$ 2)$ для любого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ сужение
$ f|_K$ непрерывно везде на $ K$
 за исключением быть может множества точек I категории в $ K;$

$ 3)$ для любого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ сужение
$ f|_K$ имеет на $ K$ хотя бы одну точку непрерывности;

$ 4)$ $ f$ удовлетворяет условию $ (d). \hfill\hfill\qed$
\endproclaim\rm
\medpagebreak

{\bf \S 1.
Классы $ \Cal D_c$ и $ \Cal D_{cl}$ отображений.}\
В этом параграфе мы определим основные объекты изучения в работе и приведем
некоторые их свойства. Несмотря на элементарность результатов (все они
есть непосредственные следствия определений), уже в этом разделе мы сможем
вывести из них ряд любопытных фактов о топологических свойствах подмножеств
пространств Фреше (метризуемых локально выпуклых векторных пространств).
В частности, мы покажем, что одно из интереснейших свойств компактов
Эберлейна, установленное в [6] с использованием топологической характеризации
этих компактов, найденной Розенталем, на самом деле есть совсем простой
факт, получающийся почти "голыми руками".

Везде далее через $ S$ мы обозначаем произвольное отделимое топологическое
пространство, а через $ R$ -- метрическое пространство с метрикой $ \rho$
(если на $ S$ или $ R$  будут накладываться какие--либо ограничения, то мы
особо отметим это). Следующее определение является основным в работе.

\definition {\bf Определение 1.1}
Отображение $ f$ из $ S$ в $ R$ принадлежит классу $ \Cal D_c$
(классу $ \Cal D_{cl}$), если для любого компакта (замкнутого множества)
$ K$ в $ S$ и всякого числа $ \varepsilon>0$ существует открытое в $ K$
подмножество $ V\subset K,$ обладающее следующим свойством: каковы бы ни были
открытые в $ K$ множества $ V_1$ и $ V_2,$ содержащиеся в $ V,$
\, $ \rho(f(V_1), f(V_2))\leqslant\varepsilon.$
\enddefinition

Соответствующие множества отображений мы будем обозначать через
$ \Cal D_c(S,R)$ и $ \Cal D_{cl}.$ Ясно, что
$ \Cal D(S,R)\subset \Cal D_c(S,R)$ и $ \widetilde{\Cal D}\subset \Cal D_{cl}(S,R).$
Основная цель нашей работы --- показать, что класс $ \Cal M$ универсально
измеримых отображений является промежуточным для классов $ \Cal D$ и
$ \Cal D_c$ (см. \S 2; то, что $ \Cal D\subset \Cal M$ установлено в [1]).

Интересен (и важен) вопрос, при каких условиях отображение $ f$ из $ \Cal D_c$
(из $ \Cal D_{cl}$) лежит в классе $ \Cal D$\, (в $ \widetilde{\Cal D}).$
Для частичного ответа на этот вопрос нам удобно ввести

\definition {\bf Определение 1.2}
Пусть $ g$ --- вещественная функция на подмножествах множества $ S\times S.$
Функция $ g$ называется $ c$-полунепрерывной сверху \,($cl$-полунепрерывной
сверху), если для любого компакта (замкнутого множества) $ K\subset S$ и
всякого числа $ a$ множества $ \{ s\in S:\, g( \{ s\}\times K)\leqslant a\}$ и
$ \{ s\in S:\, g( K\times \{ s\})\leqslant a\}$ замкнуты в $ S.$
\enddefinition

\definition {\bf Пример 1.1}
Пусть $ E$ --- $ (\Cal D\Cal F)$-пространство (см. [7]), $ r$ --- метрика
на $ E',$ превращающая $ E'$ в сопряженное к $ E$ пространство Фреше.
Если $ f$ --- непрерывное отображение из $ S$ в $ (E', \sigma(E',E)),$
то функция $ g(A,B)=r(f(A), f(B))$ \, $ c$-полунепрерывна сверху.
\enddefinition
{\it Доказательство.}\,
Достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда  $ S=(E', \sigma(E',E))$
и $ f=\operatorname{id}.$ Пусть $ a\geqslant0$ и $ K$ ---
компактное множество в $ (E', \sigma(E',E)).$ Тогда
$ G:= \{ x'\in E':\, g( \{ x'\},K)\leqslant a\} =
 \{ x'\in E':\, g( K,\{ x'\})\leqslant a\} = \{ x'\in E':\, r(x',K)\leqslant a\}
\supset K+D_a(0)$\, (через $ D_a(z)$ мы обозначаем замкнутый шар\footnote{
Так как замыкание выпуклого множества является одним и тем же для всех
(локально выпуклых) топологий на $ E',$ согласованных с двойственностью
$ (E',E),$ то этот шар будет и ${}^*$-слабо замкнутым;
см. [7], с. 166, предложение 3.1.
}
радиусом $ a$ с центром в точке $ z).$ Так как множество $ K+D_a(0)$ \,
${}^*$-слабо замкнуто в $ E',$ то достаточно установить, что
$ G\subset K+D_a(0).$ Пусть $ x'\in G.$ Тогда для любого натурального $ n$
найдется такой элемент $ z_n\in K, $ что $ r(x',z_n)\leqslant a + 1/n,$
т.е. $ K_n:=K\cap D_{a+1/n}(x')\neq \emptyset$ для всякого $ n.$ Так как
$ K\supset K_1\supset K_2\supset\dots $\, и $ K_n$ --- компакты в
$  (E', \sigma(E',E)),$ то $ \cap_n K_n\neq \emptyset.$ Если теперь
$ z\in \cap_n K_n,$ то $ r(z,x')\leqslant a$ и, следовательно,
$ x'\in D_a(z)\subset K+D_a(0). \hfill\hfill\qed$

Введение в рассмотрение определения 1.2 оправдывается следующим фактом.

\proclaim {\bf Предложение 1.1}\it\
$1)$\, Если $ f\in \Cal D_c$ и функция $ \rho(f\times f)$ \,
$ c$-полунепрерывна сверху, то $ f\in \Cal D(S,R).$

$2)$\, Если $ f\in \Cal D_{cl}$ и функция $ \rho(f\times f)$ \,
$ cl$-полунепрерывна сверху, то $ f\in \widetilde{\Cal D}(S,R).$
\endproclaim\rm

{\it Доказательства}\ обоих утверждений совершенно аналогичны,
поэтому мы докажем лишь одно из них, например, первое.
Пусть $ K$ --- компакт в $ S$ и $ \varepsilon>0.$ По условию найдется такое
открытое в $ K$ множество $ V,$\, $ V\subset K,$ что
$ \rho (f(V_1),f(V_2))<\varepsilon/4$ для любых открытых подмножеств $ V_1$ и
$ V_2$ в $ V.$ Зафиксируем точки $ x,y\in V.$ Пусть $ \{ U_\alpha\}$ ---
стягивающаяся к точке $ x$ система окрестностей этой точки в $ V,$
\, $ V_2$ --- компактная окрестность точки $ y.$ Возьмем в каждом множестве
$ U_\alpha$ точку $ z_\alpha,$ для которой $ \rho(f(z_al),f(V_2) )\leqslant
  \rho(f(U_\alpha),f(V_2))+\varepsilon/4.$ Так как $ z_\alpha\to x,$\,
$ \rho(f(U_\alpha),f(V_2))<\varepsilon/4$ и функция $ \rho(f\times f)$ \,
$ c$-полунепрерывна сверху, то $ \rho(f(x), f(V_2))\leqslant \varepsilon/2.$
Теперь пусть $ \{W_\alpha\}$ --- система компактных окрестностей в $ V$ точки
$ y,$ стягивающаяся к $ y,$ и $ w_\alpha\in W_\alpha$ --- такие элементы, что
$ \rho(f(x), f(w_\alpha))\leqslant \rho(f(x), f(W_\alpha))+\varepsilon/2.$ Так как
$ w_\alpha\to y,$\, $ \rho(f(x), f(W_\alpha))\leqslant \varepsilon/2$ и функция
$\rho(f\times f)$ \, $ с$-полунепрерывна сверху, то
$ \rho(f(x), f(y))\leqslant \varepsilon.$
\hfill\hfill\qed

Для дальнейшего нам удобно обозначить через $ \Cal G_\delta$ совокупность
всех топологических пространств $ T,$ обладающих следующим свойством:
\smallpagebreak

$(*)$\ в $ T$ содержится плотное $ G_\delta$-множество,
состоящее из $ G_\delta$-точек (т.е. точек, которые
являются пересечениями счетного числа открытых множеств).

\proclaim {\bf Предложение 1.2}\it
Пусть $ (K,\tau)$ --- бэровское топологическое пространство. Предположим,
что на множестве $ K$ можно задать метрику $ r$ со следующим свойством:

$ (s)$\ если $ s,t\in K$ и $ t\neq s,$ то найдутся окрестности $ V_1$ и
$ V_2$ в $ (K,\tau)$ точек $ t$ и $ s,$ для которых $ r(V_1,V_2)>0.$

Если тождественное отображение $ j: (K,\tau)\to (K,r)$ принадлежит классу
$ \Cal D_c,$ то для любого компакта $ M$ в $ (K,\tau)$ выполняется включение
$ (M, \tau)\in \Cal G_\delta.$ Если $ j\in \Cal D_{cl},$ то
$ (K,\tau)\in \Cal G_\delta.$
\endproclaim\rm

\definition {\bf Пример 1.2}
Пусть $ E$ --- пространство Фреше, $ F$ --- подпространство в $ E',$
разделяющее точки $ E,$ \, $ K$ --- подмножество в $ E,$ \,
$ \tau=\sigma(E,F).$ Тогда метрика $ r$ на $ K,$ порожденная метрикой
пространства $ E,$ обладает свойством $ (s).$
\enddefinition

\demo{\it Доказательство предложения 1.2} Мы покажем, что если
$ j\in \Cal D_{cl},$ то $ (K,\tau)\in \Cal G_\delta$ (ясно, что тогда
все будет доказано). Итак, пусть $ j\in \Cal D_{cl}.$ Для любого $ \varepsilon>0$
существует такое открытое множество $ V$ в $ (K,\tau),$ что
$ r(U_1,U_2)<\varepsilon,$ если $ U_1$ и $U_2$ --- открытые подмножества в $ V.$
Пусть $ A_\varepsilon$ --- объединение всех таких открытых множеств $ V.$ Положим
$ A=\cap_n A_{1/n}.$ Множество $ A$ --- это совокупность всех точек
$ s$ из $ K,$ обладающих следующим свойством: для всякого $ \varepsilon>0$
существует открытая окрестность $ V_\varepsilon=V_\varepsilon(s)$ точки $ s$ такая, что
$ r(U_1,U_2)<\varepsilon,$ если $ U_1$ и $ U_2$ --- открытые подмножества $ V_\varepsilon.$
Зафиксируем точку $ s\in A$ и для каждого $ \varepsilon>0$ возьмем в $ K$ открытое
подмножество $ V_\varepsilon=V_\varepsilon(s),$ обладающее указанным свойством. Положим
$ B=\cap_n V_{1/n}.$ Покажем, что $ B=\{s\}.$ Если $ t\in B,$ то
$ t,s\in V_{1/n}$ для любого $ n.$ Предположим, что $ t\neq s.$ Тогда,
по условию, в $ K$ найдутся такие окрестности $ W_1$ и $ W_2$ точек
$ t$ и $ s$ соответственно, что $ r(W_1,W_2)>0.$ С другой стороны,
для любого $ n$ по определению множества $ V_{1/n}$ мы имеем:
$$ \frac1n > r(W_1\cap V_{1/n}, W_2\cap V_{2/1} )=
  \inf_{\underset{\ssize {z\in W_1\cap V_{1/n}}}\to{y\in W_2\cap V_{1/n}}}
    r(z,y)
   \geqslant
   \inf_{\underset{\ssize {z\in W_1}}\to{y\in W_2}} r(z,y)
   = r(W_1,W_2).
$$

Полученное противоречие показывает, что $ \cap_n V_{1/n}= \{ s\}$ и,
следовательно, всякая точка из $ A$ есть $ G_\delta$-точка в $ (K,\tau).$
Нам осталось лишь установить, что каждое из открытых множеств $ A_\varepsilon$
плотно в $ K.$ Если это не так и $ A_\varepsilon$ не плотно в $ K$ для некоторого
$ \varepsilon>0,$ то в дополнении замыкания множества $ A_\varepsilon$ в $ (K,\tau)$
найдется открытое подмножество $ V$ такое, что $ r(U_1,U_2)<\varepsilon,$
если $ U_1$ и $ U_2$ --- открыты и лежат в $ V.$ Это противоречит
определению множества $ A_\varepsilon.$
\hfill\hfill\qed\enddemo

\remark {\bf Замечание 1.1}
Если тождественное отображение $ (K, r)\to (K,\tau)$  непрерывно, то
в вышеприведенном доказательстве каждое из множеств $ V_\varepsilon$ представляет
собой открытое множество в топологии $ \widetilde r$ , порожденной метрикой $ r,$
причем, как видно из доказательства, диаметр $ \operatorname{ diam} V_\varepsilon$
открытого в обеих топологиях множества $ V_\varepsilon$ не больше $ \varepsilon.$
Поэтому в каждой точке $ s$ множества $ A$ (из доказательства предложения)
базы окрестностей в топологиях $ \tau$ и $ \widetilde r$ совпадают и, следовательно,
тождественное отображение $ (K,\tau)\to (K,\widetilde r)$ непрерывно в каждой
точке множества $ A.$ Таким образом, как  {\it следствие из доказательства}\,
предложение 1.2 мы получаем такой любопытный факт:
\endremark\medpagebreak

\proclaim {\bf Предложение 1.2a}\it
Пусть $ (K,\tau)$ --- бэровское топологическое пространство. Предположим,
что на множестве $ K$ можно задать метрику $ r,$ порождающую топологию
$ \widetilde r,$ которая не слабее топологии $ \tau,$ и которая обладает
следующим свойством:

$ (s)$\ если $ s,t\in K$ и $ t\neq s,$ то найдутся окрестности $ V_1$ и
$ V_2$ в $ (K,\tau)$ точек $ t$ и $ s,$ для которых $ r(V_1,V_2)>0.$

Если тождественное отображение $ j: (K,\tau)\to (K,r)$ принадлежит классу
$ \Cal D_c,$ то для любого компакта $ M$ в $ (K,\tau)$
в $ M$ содержится плотное метризуемое в $ \tau$ \, $ G_\delta$-множество
$ A,$  состоящее из $ G_\delta$-точек, такое, что тождественное
отображение $ (K,\tau)\to (K,\widetilde r)$ непрерывно в каждой точке множества
$ A.$ Аналогичное заключение можно сделать в случае, когда $ j\in\Cal D_{cl}$
(только вместо компактов $ M$ рассматривается все пространство
$ K.) \hfill\hfill\qed$
\endproclaim\rm




{\bf \S 2.
Основная теорема и следствия.\

\definition {\bf Определение 2.1}
Пусть $ \Delta$ --- канторов дисконтинуум, $Q$ --- отделимый компакт.
Мы говорим, что $ Q$ есть {\it компакт канторовского типа со слоями}
$ \{ A_\delta\}_{\delta\in\Delta},$
если $ A_\delta\subset Q$ при $ \delta\in\Delta$ и существует такое
непрерывное отображение $ \varphi: Q\to\Delta,$
что\ $ (i)$\, $\varphi(Q)=\Delta,$\ и \ \,
$ (ii)$\, $ A_\delta=\varphi^{-1}(\delta)$\,
для всех $ \delta\in\Delta.$
\enddefinition

\proclaim {\bf Теорема 2.1}\it
Пусть $ f$ --- отображение из отделимого топологического пространства $ S$
в метрическое пространство $ R=(R, \rho).$
Если $ f\notin \Cal D_c(S,R),$ то существуют такие число $ \varepsilon>0$
и компакт канторовского типа $ Q\subset S$ со слоями
$ \{ A_\delta\}_{\delta\in\Delta},$
 что $ \rho\left( f(A_{\delta_1}), f(A_{\delta_2})\right)>\varepsilon$ для любых
$ \delta_1,\delta_2,\, \delta_1\neq\delta_2.$
Обратно, если существуют число $ \varepsilon>0$ и компакт $ Q\subset S,$
обладающие указанными свойствами, и если ни один из слоев $ A_\delta,$
$ \delta\in\Delta,$ не является открытым в $ Q$ множеством, то
$ f\notin\Cal D_c.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Пусть $ f\notin\Cal D_c.$
По определению это означает,что найдутся такие компакт $ K$ в $ S$ и число
$ \varepsilon>0,$ что каково-бы ни было относительно открытое множество $ V$ в $ K,$
в $ V$ содержатся два (относительно) открытых множества $ V_1$ и $ V_2,$
расстояние между образами которых больше $ \varepsilon.$
Используя это обстоятельство, построим по индукции (аналогично тому как
строится канторово множество) последовательность открытых в компакте
$ K$ его подмножеств $ \{ V_j\}_{j=1}^\infty$ со следующими свойствами:
\smallpagebreak

(1)\, $ V_1=K;$

(2)\, если $ k=0,1,2,\dots,\, j=2^k, 2^k+1,\dots, 2^{k+1}-1,$
то\, $ \overline V_{2j}\cup \overline V_{2j+1}\subset V_j;$

(3)\, $ \rho\left( f(\overline V_{2j}), f(\overline V_{2j+1})\right)>\varepsilon,$ если $ j\geqslant 1.$
\smallpagebreak

Из (2) и (3) вытекает, что если $ 1\leqslant i\leqslant j$ и $ V_i\not\supset V_j,$
то $ \rho \left( f(\overline V_j), f(\overline V_j)\right)>\varepsilon.$

Положим
$$ Q:= \bigcap_{k=0}^\infty\,\bigcup _{j=2^k}^{2^{k+1}-1} V_j=
 \bigcup_{\{n_i\}}\, \left\{ \bigcap_{l=1}^\infty \, \overline V_{n_l}:
  0<n_1<n_2<\dots
\right\}
$$
(мы опускаем совсем простую проверку правого равенства).

Если $ 1<n_1<n_2<\dots$\, и $ 1<n'_1<n'_2<\dots,$
то множества $ \cap_l V_{n_l}$ и $ \cap_l V_{n'_l}$
либо не пересекаются, либо совпадают.
Действительно, пусть, например, $ z\in
\cap_l V_{n_l}\setminus \cap_l  V_{n'_l},$
т.е. $ z\in V_{n_l}$ для любого $ l$ и существует $ l_0,$
для которого $ z\notin V_{n_{l_0}}.$
Поэтому $ V_{n_l}\not\subset V_{n_{l_0}}$ для всякого $ l$
и, следовательно, при $ n_l>n_{l_0}$\quad
$ \rho \left( f(\overline V_{n_l}), f(V_{n'_{l_0}})\right)>\varepsilon;$
в частности, $ \overline V_{n_l}\cap V_{n'_{l_0}}=\emptyset.$

Рассмотрим теперь систему $ \{ \Delta_j\}_{j=1}^\infty$
отрезков, лежащих в $ [0,1],$ получающуюся в процессе стандартного
построения канторова дисконтинуума (т.е. $ \Delta_1=[0,1],$
$\Delta_2=[0,1/3], \Delta_3=[1/3,1]$ и т.д.).
Для любой последовательности натуральных чисел положим
$ \varphi(z):= \cap_l \Delta_{n_l},$ если
$ z\in \cap_l \Delta_{n_l}\neq\emptyset.$
Из приведенных рассуждений и построения семейства $ \{ V_j\}$
следует, что эта формула определяет отображение $ \varphi$
из компакта $ Q$ на все канторово множество $ \Delta,$
причем для каждой точки $ \delta\in\Delta$\quad $ \varphi^{-1}(\{\delta\})$
есть множество вида $ \cap_l V_{n_l}.$
Кроме того, по построению, для любых двух различных множеств
$ \cap_l V_{n_l}$  и $ \cap_l V_{n'_l}$
имеет место равенство
$ \rho \left( f(\cap_l V_{n_l}), f(\cap_l V_{n'_{l_0}})\right)>\varepsilon.$
Таким образом, нам осталось проверить лишь непрерывность отображения
$ \varphi,$ а она вытекает из равенства
$$ \varphi^{-1}(\Delta\cap \Delta_k)=
 \bigcup_{\{n_l\}}\, \left\{ \bigcap_l V_{n_l}:\
0<n_1<n_2<\dots;\, \exists l,\, V_{n_l=V_k}
\right\} = Q\cap V_k,
$$
так как множество $ V_k$ открыто в $ K.$

Для доказательства обратного утверждения рассмотрим произвольное
непустое открытое подмножество $ V$ компакта $ Q.$
Существуют по крайней мере два различных слоя $ A_{\delta_1}$ и
$ A_{\delta_2}$ в $ Q,$ с которым множество $ V$ пересекается
(так как никакой слой $ A_\delta$ не является открытым). Это означает, что
$ \delta_1, \delta_2\in\varphi(V).$
Пусть $ W_1$ и $ W_2$ --- дизъюнктные окрестности в $ \Delta$
точек $ \delta_1, \delta_2,$ и пусть
$ V_1=\varphi^{-1}(W_1)\cap V,$\, $ V_2=\varphi^{-1}(W_2)\cap V.$
Множества $ V_1$ и $ V_2$ открыты в $ Q$ и содержатся в $ V,$
причем ни для какого слоя $ A_\delta$ не могут одновременно выполняться
соотношения $ V_1\cap A_\delta=\neq\emptyset$ и
$ V_2\cap A_\delta=\neq\emptyset.$
Поэтому любые две точки $ t\in V_1$ и $ s\in V_2$ лежат в разных слоях
компакта $ Q$ и, следовательно, для них $ \rho(f(t), f(s))>\varepsilon;$
отсюда вытекает, что $ \rho \left( f(v_1), f(V_2)\right)>\varepsilon,$
что и завершает доказательство.
\hfill\hfill\qed
\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 2.1}\it
Предположим, что все сепарабельные подмножества в $ S$ метризуемы.
Отображение $ f:S\to R$ не принадлежит классу $ \Cal D_c$ тогда и только
тогда, когда существует гомеоморфное канторову дисконтинууму подмножество
$ P$ в $ S$ и число $ \varepsilon>0,$ обладающие тем свойством, что
$ \rho(f(s), f(t))>\varepsilon$ для любых двух различных точек $ s$ и $ t$
из $ P.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Пусть $ f\notin \Cal D_c,$\,  $ Q$ --- компакт канторовского типа в $ S,$
указанный в заключении теоремы, и $ \varphi$ --- непрерывное отображение из
$ Q$ на $ \Delta,$ удовлетворяющее условиям $ (i)$ и $ (ii)$
определения 2.1. Так как компакт $ \Delta$ метризуем, то найдется такое
сепарабельное компактное подмножество $ Q_1$ (которое по условию. метризуемо)
компакта $ Q,$ что $ \varphi(Q_1)=\Delta.$
Хорошо известный топологический результат Куратовского утверждает, что
в этом случае в $ Q_1$ содержится компактное подмножество $P,$
гомеоморфное канторову дисконтинууму, такое, что отображение
$ \varphi|_P: P\to \varphi(P)$ взаимно однозначно.
Ясно, что этот компакт $ P$ удовлетворяет заключению следствия 2.1.
Обратно, пусть $ P$ --- компакт в $ S$ и $ \varepsilon>0,$ причем
$ \rho\left(f(s), f(t)\right)>\varepsilon$ для $ s, t \in P,$ $ s\neq t.$
Если $ V$ --- открытое в $ P$ множество, то для любых непересекающихся
множеств $ V_1$ и $ V_2$ в $ V$\ \,
$ \rho\left(f(V_1), f(V_2)\right)>\varepsilon,$ т.е.
Поэтому $ f$ не принадлежит классу $\Cal D_c.$
\hfill\hfill\qed
\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 2.2}\it \,
$ 1)$ Если метрическое пространство $ R$ сепарабельно, то всякое
отображение из любого топологического пространства в $ R$
принадлежит классу $ \Cal D_c.$

$ 2)$ \, Если никакой компакт в $ S$ не есть компакт канторовского типа,
то всякое отображение из $ S$ в любое метрическое пространство принадлежит
классу $ \Cal D_c;$ в частности, это имеет место, когда мощность $ S$
меньше мощности континуума. \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

Обозначим через $ \Cal M(S,R)$ совокупность всех универсально измеримых
отображений из $S$  в $ R.$
Одним из основных следствий теоремы 2.1 является

\proclaim {\bf Следствие 2.3}\it\,
$ \Cal D(S,R)\subset \Cal M(S,R)\subset \Cal D_c(S,R).$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Левое включение доказано в работе [1]. Для доказательства второго
включения рассмотрим отображение $ f$ из $ S$ в $ R,$ не принадлежащее
классу $ \Cal D_c.$ Пусть $ Q$ --- компакт канторовского типа
со слоями $ \{ A_\delta\}_{\delta\in\Delta}$ из теоремы 2.1 и
$ \varphi:Q\to \Delta$ --- такое непрерывное отображение из $ Q$ на $ \Delta,$
что $ \varphi^{-1}(\{\delta\})=A_\delta.$
Пусть $ \widetilde \mu$ --- неатомическая вероятность на $\Delta.$
Существует вероятность $ \mu$ на $ Q,$ образ которой при отображении
$ \varphi$ есть мера $ \widetilde\mu.$
Покажем, что $ f$ не является $ \mu$-измеримым отображением. Действительно,
в противном случае для любого натурального $n$ найдется такой
компакт $ K_n\subset Q,$ что $ \mu(K_n)>1-1/n$ и сужение $ f$ на $ K_n$
непрерывно; следовательно $ f(K_n)$ --- компакт в $ R.$
Так как $ \widetilde\mu$ --- неатомическая мера и
$ \mu(K_n)\leqslant \widetilde\mu(\varphi(K_n)),$ то при любом $ n>0$
компакт $ K_n$ пересекается с несчетным числом слоев $ A_\delta.$
Поэтому множество $ f(K_n)$ не может быть сепарабельным и, тем более,
компактным в $ R$ (ввиду того, что
$ \rho \left( f(A_{\delta_1}), f(A_{\delta_2})\right)>\varepsilon$
при $ \delta_1\neq\delta_2).$
\hfill\hfill\qed
\enddemo

Как показывают простейшие примеры, оба включения в следствии 2.3
могут быть строгими (так, в случае $ S=R=[0,1]$ пространство
$ \Cal D(S,R)$ состоит из функций I-го класса Бэра, а
$ \Cal D(S,R)=[0,1]^{[0,1]}$ по следствию 2.2).
Однако, предложение 1.1,1) дает нам возможность выделить в пространстве
$ R^S$ подмножество, состоящее из отображений, для которых вхождение
в один из указанных классов $ \Cal D$ или $ \Cal D_c$ обеспечивает и
их принадлежность двум другим классам. Обозначим через $ \Cal A(S,R)$
совокупность всех таких отображений из $ S$ в $ R,$ что
функция $ \rho(f\times f)$\ $ c$-полунепрерывна сверху на $ S\times S.$

\proclaim {\bf Следствие 2.4}\it
Для отображения $ f\in \Cal A(S,R)$ эквивалентны условия:

$ 1)$\, $f\in \Cal D,$

$ 2)$\, $ f\in \Cal M,$

$ 3)$\, $ f\in\Cal D_c.$
   \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 2.5}\it
Для отображения $ f\in \Cal A(S,R)$ эквивалентны условия:

$ 1)$\, $ f$ универсально измеримо,

$ 2)$\, для всякого компакта $ K$  в $ S$ отображение $ f|_K$
непрерывно в каждой точке некоторого плотного в $ K$
подмножества $ G,$ которое является $ G_\delta$-множеством II
категории в $ K.$
\hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 2.6}\it
Пусть $ K$ --- совершенно нормальный компакт (например, метрический),
$ R$ --- метризуемое топологическое векторное пространство.
Для отображения $ f\in\Cal A(K,R)$ эквивалентны условия:

$ 1)$\, $ f$ универсально измеримо,

$ 2)$\, $ f$ --- \, $ R$-значная функция I класса Бэра.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Согласно замечаниям 1 и 2 %!!!
утверждение 2) равносильно тому, что $ f$ принадлежит классу $ \Cal D;$
следовательно, $ 2)\iff 1)$ по следствию 2.4.
\hfill\hfill\qed
\enddemo

Из следствия 2.6 мы немедленно получаем такой важный результат:

\proclaim {\bf Следствие 2.7}\it
Если $ K$ --- совершенно нормальный компакт и $ R$ ---
метризуемое ТВП, то любое отображение
$ f\in \Cal A(K,R)\cap \Cal M(K,R)$ имеет сепарабельный образ.
 \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

Из следствий 2.2 и 2.4 вытекает

\proclaim{\bf Следствие 2.8}\it
Если либо $ R$ --- сепарабельное метрическое пространство,
либо никакой компакт в $ S$ не есть компакт канторовского типа,
то имеет место включение
$ \Cal A(S,R)\subset \Cal D(S,R)$ и, следовательно, всякое отображение
$ f\in \Cal A(S,R)$ универсально измеримо.
 \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

Из следствий 2.1 и 2.4 вытекает

\proclaim {\bf Следствие 2.9}\it
Предположим, что сепарабельные компакты в $ S$ метризуемы и
$ f\in \Cal A(S,R).$  Если $ f$ не является универсально измеримым,
то в $ S$ найдется такой компакт $ Q,$ гомеоморфный канторову множеству,
что $ \rho(f(s), f(t))>\varepsilon$ для всех $ s, t\in Q\,$ $ (s\neq t),$
где $ \varepsilon$ --- некоторое фиксированное положительное число.
 \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 2.10}\it
Пусть $ (K,\tau)$ --- отделимый компакт. Если на множестве $ K$
существует метрика $ r,$ обладающая свойством $ (s)$
из предложения 1.2, и такая, что тождественное отображение
$ (K,\tau)\to (K,r)$ универсально измеримо, то множество $ G_\delta$-точек
пространства $ (K,\tau)$ является множеством II категории.
 \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

{\bf \S 3.
Некоторые обобщения.}\
Сделаем ряд замечаний по поводу простых обобщений приведенных выше
утверждений и их доказательств. В определении класса $\Cal D_c$
и далее в \S2 мы сознательно ограничивали себя рассмотрением тех свойств
отображений, которые полностью определяются свойствами сужений этих
отображений на компактные подмножества их области задания.
Нетрудно видеть, что все основные доказательства из \S2
пройдут, если в определениях классов $ \Cal D$ и $ \Cal D_c$
вместо компактных подмножеств брать любые замкнутые подмножества
(т.е. рассматривать классы $ \widetilde{\Cal D}$ и $ \Cal D_{cl};$
см. замечание 1 и определение 1.2)
и дополнительно требовать выполнение следующих условий:

а)\, замкнутые подпространства пространства $ S$ регулярны и в любом
замкнутом подпространстве пространства $ S$ пересечение любой убывающей
последовательности замкнутых окрестностей имеет непустое пересечение;

б)\, для пары $(S,R)$ верна теорема Бэра (см. замечание 2).

Условие а) необходимо при доказательстве теоремы 2.1; б) используется
в следствии 2.6. Примером пространства $ S$ с условием а) может служить
произвольное регулярное топологическое пространство, всякое
замкнутое подмножество которого является непрерывным образом
полного метрического пространства. Примеры пространств с условием б) ---
польские пространства (а также совершенно нормальные компакты).

Приведем ряд утверждений, которые легко получить, соответствующим образом
модифицировав изложенные выше доказательства (отступая от принятых правил,
мы будем нумеровать эти утверждения в соответствии с нумерацией их
аналогов из \S2).

\proclaim {\bf Следствие 3.1}\it
Пусть $ S$ --- суслинское\footnote{
 Пространство называется {\it суслинским,}\, если оно метризуемо и
 является непрерывным образом польского пространства.
}
 пространство, удовлетворяющее условию а).
Для отображения $ f$ из $ S$ в метрическое пространство $ R$
эквивалентны утверждения:

$ 1)$\, существуют такие число $ \varepsilon>0$ и замкнутое подмножество $ K$
в $ S,$ что для любого (относительно) открытого множества $ V$ в $ K$
найдутся два относительно открытых множества $ V_1, V_2\subset V$
такие, что $ \rho \left( f(V_1), f(V_2)\right)>\varepsilon;$

$ 2)$\, существует гомеоморфное канторову дисконтинууму подмножество $ P$
в $ S$ число $ \varepsilon>0,$ обладающие тем свойством, что
$ \rho(f(s), f(t))>\varepsilon$ для любых двух различных точек $ s$ и $ t$ из $ P.$
  \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 3.3}\it
Если $ S$ удовлетворяет условию а) и $f$ --- универсально измеримое
отображение из $ S$ в $ R,$ то $f$ не может обладать свойством $1),$
сформулированным в предыдущем следствии.
\hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

Заменяя в определении класса $ \Cal A$ \, $ c$-полунепрерывность на
$ cl$-полунепрерывность (см. определение 1.2), мы рассмотрим
совокупность $ \widetilde{\Cal A}(S,R)$ тех отображений $ f:S\to R,$
что функция $ \rho (f\times f)$ \, $ cl$-полунепрерывна сверху
на $ S\times S.$
Отметим, что по предложению 1.1,2)
$ \Cal D_{cl}\cap \widetilde{\Cal A}\subset \widetilde{\Cal D}.$
Следствие 3.1 показывает, что для пространств с условием а)
$ \Cal D_{cl}(S,R)=\Cal D_c.$
Используя следствие 2.4 и то, что $ \widetilde{\Cal A}\subset \Cal A,$
мы получаем отсюда:

\proclaim {\bf Следствие 3.4}\it
Пусть $ S$ удовлетворяет условию а). Для $ f\in\widetilde{\Cal A}(S,R)$
эквивалентны утверждения:

$ 1)$\, $ f\in \Cal D_{cl};$
$ 2)$\, $ f\in \widetilde{\Cal D};$
$ 3)$\, $ f\in \Cal D;$
$ 4)$\, $ f\in \Cal M;$
$ 5)$\, $ f\in \Cal D_c.$
    \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

Из следствия 3.4 и замечания 1) вытекает

\proclaim {\bf Следствие 3.5}\it
Если $ S$ --- польское пространство и $ f\in \widetilde{\Cal A}(S,R),$
то эквивалентны утверждения:

$ 1)$\, $ f$ универсально измеримо;

$ 2)$, для всякого замкнутого подмножества $ K$ в $ S$
отображение $ f|_K$ непрерывно в каждой точке некоторого плотного в $ K$
подмножества $ G,$ которое является $ G_\delta$-множеством II категории
в $ K.$
  \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 3.6}\it
Пусть $ S$ --- польское пространство, $ R$ --- метризуемое ТВП.
Для отображения $ f\in\widetilde{\Cal A}(S,R)$
эквивалентны условия.

$ 1)$\, $ f\in\Cal M;$

$ 2)$\, $ f$ ---\, $ R$-значная функция I класса Бэра.
   \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 3.7}\it
Если $ S$ --- суслинское пространство, и $ R$ --- метризуемое ТВП,
то любое отображение $ f\in \widetilde{\Cal A}(S,R)\cap \Cal M(S,R)$
имеет сепарабельный образ.
 \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 3.9}\it
Предположим, что сепарабельные компакты в $ S$ метризуемы.
Пусть $ S$ удовлетворяет условию а) и $ f\in \widetilde{\Cal A}(S,R).$
Если $ f\notin \Cal M,$ то в $ S$ найдется такой компакт $ Q,$
гомеоморфный канторову множеству, что $ \rho (f(s), f(t))>\varepsilon$
для всех $ s,t\in Q$\, $ (s\neq t)$, где $ \varepsilon$ ---
некоторое фиксированное положительное число.
 \hfill\hfill\qed
\endproclaim\rm

Чтобы показать, в каких конкретных ситуациях могут быть применены
последние результаты, приведем лишь один пример. Основные применения
доказанных в данной работе утверждений (их приложения в геометрической
теории линейных операторов) мы намерены изложить в последующей
статье.

\definition {\bf Пример 3.1}
Пусть $ E$ --- $ (\Cal D\Cal F)$-пространство, $ r$ --- метрика
на $ E',$ превращающая $ E'$ в сопряженное к $ E$ пространство Фреше.
Если $ f$ --- непрерывное отображение из отделимого топологического
пространства $ S$ в $ (E', \sigma(E',E)),$
то $ f$ принадлежит множеству $ \widetilde{\Cal A} \left( S, (E',r)\right).$
\enddefinition
Это, по существу, установлено при рассмотрении примера 1.1.
    \hfill\hfill\qed




\Refs\nofrills{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА}



\ref \no 1  \by Рейнов О.И.   \pages  949-954
\paper  Об одном классе универсально измеримых отображений
\yr 1979 \vol 26 \issue  \nofrills вып. 6,
\jour  Матем. заметки
\finalinfo
\endref


\ref \no 2 \by Рейнов О.И.  \pages 135-149
\paper Функции I класса Бэра со значениями в метрических
    пространствах и их применения
\yr 1984
\vol 135
\jour Записки научн. сем.  ЛОМИ.
\endref



\ref \no 3  \by E.Odell, H.P.Rosenthal  \pages 375-384
\paper   A double dual characterization of separable Banach spaces
      containing $l_1,$
\yr  1975\vol 20 \issue  3-4
\jour    Israel J. Math.
\endref

 \ref \no 4
\by Александров П.С., Урысон П.С.
\book Мемуар о компактных топологических пространствах
\publ М.: Наука
\yr  1971
\endref

\ref \no 5
\by   Бурбаки Н.
\book Общая топология
\publ М.: Наука \vol вып. 3\nofrills
\yr    1975
\endref

\ref \no 6  \by Y.Beniamini, M.E.Rudin, M.Wage  \pages 309-324
\paper  Continuous images of weakly compact subsets of Banach spaces
\yr 1977 \vol 70 \issue 2
\jour Pacific J. Math.
\finalinfo
\endref

 \ref \no 7 \by  Х.Шеффер\pages 360~с\!\,
 \paper  Топологические векторные пространства
 \yr 1971\vol
 \jour      Москва: Мир
 \endref




\endRefs

%%%%%%%

\enddocument


