%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% Для ПМА - согласовано с Ниной Николаевной %%%% 22.11.00 7:52:49 Wed %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% \input amstex \documentstyle{amsppt} \expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{% \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space} \catcode`\@=11 \def\nologo{\let\logo@\empty} \csname aaaaa \endcsname \nologo \magnification=\magstep1 \parindent=1em \baselineskip=18pt \hsize=16 true cm \CenteredTagsOnSplits \NoBlackBoxes \NoRunningHeads \pageno=1 \footline={\hss\tenrm\folio\hss} %%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \topmatter \title {Геометрические свойства универсально измеримых отображений } \endtitle \author { О.И.Рейнов} \endauthor \address{\newline \rm С.-Петербургский госуниверситет\newline} \endaddress \email orein\@orein.usr.pu.ru \endemail \abstract\nofrills Изучается вопрос, при каких условиях универсально измеримые отображения из отделимого топологического пространства $ S$ в метрическое пространство $ R$ (с метрикой $ \rho)$ принадлежат классу $ \Cal D$ следующих отображений $ f: S\to R:$ для любого компакта $ K\subset S$ и всякого числа $ \varepsilon>0$ существует такое открытое (в индуцированной топологии) множество $ V\subset K,$ что колебание $ \omega(f;V)$\ $ R$-значной функции $ f$ на $ V$ меньше, чем $\varepsilon $ (здесь $ \omega(f;V)=\sup_{s,t\in V} \rho(f(s),f(t))$). \endabstract \endtopmatter \footnotetext""{Работа выполнена при частичной поддержке Министерства общего и профессионального образования России (грант \No 97-0-1.7-36) и Федеральной целевой программой ``Интеграция'' (грант \No~326.53).} \footnotetext""{$\copyright$\;\;~О.~И.~Рейнов, 2000} \document В этой небольшой заметке мы хотим еще раз отметить связь универсально измеримых отображений в топологических пространствах с их геометрическо-топо\-ло\-ги\-че\-с\-ки\-ми свойствами в духе работ [1], [2]. В частности, мы возвращаемся к рассмотрению отображений из класса $ \Cal D,$ введенного в заметке [1]. Напомним основное определение из [1]. Пусть $ S$ --- отделимое топологическое пространство, $ R$ --- метрическое пространство (с метрикой $ \rho).$ Отображение $ f$ из $ S$ в $ R$ {\it принадлежит классу}\, $ \Cal D$ (запись: $ f\in \Cal D(S,R),$ либо просто $ f\in \Cal D,$ когда не возникает недоразумений), если оно обладает следующим свойством: \smallpagebreak \roster \item"{$ (\omega)$}" для любого компакта $ K\subset S$ и всякого числа $ \varepsilon>0$ существует такое открытое (в индуцированной топологии) множество $ V\subset K,$ что колебание $ \omega(f;V)$\ $ R$-значной функции $ f$ на $ V$ меньше, чем $\varepsilon $ (здесь $ \omega(f;V)=\sup_{s,t\in V} \rho(f(s),f(t))$). \endroster \smallpagebreak Согласно теореме 1 из [1] всякое отображение $ f\in\Cal D$ универсально измеримо (т.е. измеримо по Лузину относительно каждой конечной положительной меры Радона на $ S).$ В этой заметке нас, в частности, будет интересовать вопрос о том, когда верна обратная импликация, т.е. при каких условиях универсально измеримое отображение из $ S$ в $ R$ принадлежит классу $ \Cal D$ (иными словами, в каких случаях универсальная измеримость данного отображения является его чисто топологическим свойством.) Более конкретно этот вопрос формулируется так. Для каких семейств $ \Cal A$ отображений из $ S$ в $ R$ верно следующее утверждение: отображение $ f$ из $ \Cal A$ универсально измеримо тогда и только тогда, когда оно принадлежит классу $ \Cal D.$ Заметим, что уже в простейшем случае $ S=R=[0,1]$ в качестве $ \Cal A$ нельзя взять семейство всех отображений (так как $ \Cal D(S,R)$ здесь состоит из функций I класса Бэра). Поэтому какие-то условия на семейство $ \Cal A$ придется накладывать. Один частный случай указанного вопроса уже рассматривался нами (неявно) в [1, следствие 4]: мы установили, что если $ T$ --- линейный непрерывный оператор в банаховых пространствах $ X$ и $ Y,$ то отображение $ T^*$ универсально измеримо из $ (Y^*, w^*),$ где $w^*=\sigma(Y^*,Y),$ в $ (X^*,\|\cdot\|)$ тогда и только тогда, когда $ T^*\in \Cal D((Y,w^*), X^*).$ Одно из любопытных следствий настоящей работы показывает, что здесь совершенно не играет роли то, что отображение $ T^*$ является линейным оператором, сопряженным к некоторому линейному непрерывному отображению $ T;$ оказывается, например, что если $ S$ и $ R$ --- ${}^*$-слабо компактные подмножества в $ Y^*$ и $ X^*$ соответственно, то для всякого ${}^*$-слабо непрерывного отображения из $ S$ в $ R$ его универсальная измеримость как отображения из $ (S,w^*)$ в $ (R,\|\cdot\|)$ эквивалентна принадлежности этого отображения пространству $ \Cal D\left((S,w^*),(R,\|\cdot\|)\right).$ Центральным результатом работы является довольно простая теорема 2.1, в которой получена новая характеризация универсально измеримых отображений (одна из "псевдотопологических" характеристик универсально измеримых отображений в терминах $ "\mu$-колебаний" содержится в теореме 2 из [1]). То, что этот результат достаточно интересен (несмотря на простоту доказательства), показывают некоторые его нетривиальные следствия (см., например, [2]). Нестрого говоря, теорема 1.1 утверждает, что всякое универсально измеримое отображение $ f$ является отображением почти входящим в класс $ \Cal D.$ Это и позволяет нам затем найти некоторые условия на $ f,$ при которых из универсальной измеримости этого отображения вытекает его принадлежность классу $ \Cal D.$ Перед тем, как перейти к изложению основного материала, нам удобно сделать некоторые замечания. \remark {\bf Замечание 0.1} Если $ S$ --- бэровское пространство\footnote{ Топологическое пространство $ T$ называется пространством Бэра, если каждое непустое открытое множество в $ X$ является множеством второй категории, или, что эквивалентно, если дополнение к каждому множеству первой категории является плотным, или если пересечение счетного семейства всюду плотных открытых множеств в $ T$ также всюду плотно.} то для всякого отображения $ f$ из $ S$ в $ R$ равносильны утверждения: 1) $ f\in\widetilde{\Cal D}(S,R),$ т.е. если $ K$ --- замкнутое подмножество в $ S$ и $ \varepsilon>0,$ то найдется такое открытое множество $ V$ в $ S,$ что колебание отображения $ f$ на $ V\cap K$ меньше, чем $ \varepsilon;$ 2) если $ K$ --- замкнутое подмножество в $ S,$ то существует плотное в $ K$ подмножество $ G\subset K,$ которое является $ G_\delta$-множеством в $ K$ и такое, что отображение $ f|_K: K\to R$ непрерывно в каждой точке из $ G.$ Всякое локально компактное пространство, так же как и всякое польское \footnote{ Польское пространство --- это метризуемое пространство счетного типа, на котором существует полная метрика. } пространство --- бэровские. \endremark\medpagebreak Аналогичная характеризация (т.е. равносильность последних двух утверждений) имеет место и для отображений из класса $ \Cal D$ (с заменой замкнутых подмножеств $ K$ на компактные; см. определение класса $ \Cal D).$ Мы опускаем простое доказательство этих фактов, отметив лишь, что оно почти идентично с доказательством приводимого ниже предложения 1.2. \remark {\bf Замечание 0.2} Классическая терема Бэра утверждает, что всякая вещественная функция на польском пространстве, удовлетворяющая условию 1) из замечания 0.1, является функцией I класса Бэра (т.е. пределом последовательности непрерывных функций в топологии поточечной сходимости); более того, как установил бельгийский математик Ж.Бургейн, всякая вещественная функция из класса $ \Cal D$ также является функцией I класса Бэра. Ниже нам потребуется бесконечномерный аналог теоремы Бэра. Мы приведем его формулировку (см. [2]). \endremark\medpagebreak {\bf Отступление: теорема Бэра.} Пусть $ M$ и $ R$ --- два топологических пространства, $ f$ --- произвольное отображение из $ M$ в $ R.$ Мы будем говорить, что $ f$ есть бэровская функция I класса из $ M$ в $ R,$ если существует последовательность непрерывных функций из $ M$ в $ R,$ сходящаяся поточечно к $ f.$ Функцию $ f$ мы будем называть квазибэровской функцией I класса, если для всякого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ сужение $ f|_K$ функции $ f$ на $ K$ имеет по крайней одну точку непрерывности. Хорошо известная теорема Бэра утверждает, что вещественнозначная функция, заданная на польском пространстве, является бэровской функцией I класса тогда и только тогда, когда она является квазибэровской функцией I класса (теорема верна даже для более широкого класса топологических пространств $ M;$ см., например, [3], замечание на стр. 376--377). \proclaim {\bf Лемма 0.1}\it Пусть $ M$ --- нормальное топологическое пространство\footnote{ Пространство $ T$ называется нормальным, если любые два непересекающиеся его замкнутых множества можно отделить открытыми окрестностями. Характеристическое для нормальных пространств свойство: любую непрерывную на замкнутом подмножестве $ A\subset T$ функцию можно продолжить до непрерывной функции на всем $ T,$ причем с сохранением супремума функции (теорема Титце--Урысона). Как следствие: аналогичное утверждение справедливо для функций со значениями в конечномерном пространстве; см. [5], с. 90--92. }, $ R$ --- топологическое векторное пространство, $ f$ --- счетно--значное отображение из $ M$ в $ R,$ множество значений которого есть множество $ \{ r_j\}_{j=1}^\infty\subset R.$ Если для каждого $ j$ \ $ f^{-1}(j)$ --- множество типа $ F_\sigma,$ то $ f$ --- бэровская $ R$-значная функция I класса. \endproclaim\rm \demo\nofrills{\it Доказательство}\ \, предоставляется читателю (применить теорему Титце--Урысона, "уплывая по взрастающей цепочке замкнутых множеств в бесконечность" ). \hfill\hfill\qed\enddemo Следующее вспомогательное утверждение является, по--видимому, известным фактом и доказывается методом ab absurdum с использованием трансфинитной индукции. \proclaim {\bf Лемма 0.2}\it Пусть $ M$ --- нормальное топологическое пространство, обладающее свойством: $(\sigma)$\, всякая строго убывающая вполне упорядоченная система замкнутых множеств в $ M$ не более чем счетна (свойство Бэра)\footnote{ Это свойство для любого топологического пространства равносильно свойству Линделефа: из всякого открытого покрытия пространства $M$ можно выделить не более чем счетное подпокрытие; см. [4], с. 58 и с. 124-125. }. Тогда пространство $ M$ совершенно нормально, т. е. всякое замкнутое его подмножество есть множество типа $ G_\delta.\hfill\hfill\qed$ \endproclaim\rm \remark {\bf Замечание 0.3} Обращение леммы 0.2 верно, по крайней мере, для компактных топологических пространств (см. [4], стр. 58), т. е. в классе компактов свойство $ ({\sigma})$ характеризует совершенно нормальные пространства\footnote{ Под компактным пространством мы понимаем отделимое топологическое пространство, всякое открытое покрытие которого содержит конечное подпокрытие. }. \endremark\medpagebreak \proclaim {\bf Предложение 0.1}\it Пусть $ M$ --- нормальное топологическое пространство, об\-ладающее свойством $ (\sigma),$ \, $ R$ --- метризуемое топологическое векторное прост\-ра\-нство. Пусть, далее, $ f$ --- отображение, для которого выполнено условие $ (d)$\ для любого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ и для всякого числа $ \varepsilon>0$ найдется такое открытое множество $ V$ в $ M,$ что колебание $ \omega(f; V\cap K)$ функции $ f$ на множестве $ V\cap K$ меньше $ \varepsilon$ \, (здесь $ \omega(f; A)=\sup \{ \rho(f(s), f(t))\,|\, s,t\in A\},$ где $ \rho$ --- метрика на $ R).$ Тогда $ f$ --- $ R$-значная функция I класса Бэра. \endproclaim\rm {\it Доказательство} \, предложения 0.1. Пусть $ \varepsilon>0, \omega_1$ первый несчетный ординал и $ S_1=M.$ Используя условие $ d,$ построим по трансфинитной индукции (стандартным образом) такое семейство $ \{ S_\alpha\}_{\alpha<\omega_1}$ замкнутых подмножеств в $ M,$ что $ S_\alpha\supsetneq S_{\beta}$ и $ \omega(f; S_\l\setminus S_{\alpha+1})<\varepsilon,$ если $ \alpha<\beta<\omega_1$ и $ S_\alpha\neq\emptyset.$ Так как пространство $ M$ обладает свойством $ (\sigma),$ то существует такой счетный ординал $ \gamma<\omega_1,$ что $ S_\gamma=\emptyset,$ но $ S_\alpha\neq\emptyset$ при $ \alpha<\gamma.$ По лемме 0.2 каждое из множеств $ S_\alpha\setminus S_{\alpha+1}$ есть множество типа $ F_\sigma.$ Выберем в каждом таком множестве по точке $ s_\alpha\in S_\alpha\setminus S_{\alpha+1}$ и положим $ \varphi(s)= f(s_\alpha),$ если $ s\in S_\alpha\setminus S_{\alpha+1}.$ Так как $ M=\cup_{\alpha<\gamma} S_\alpha\setminus S_{\alpha+1},$ то $ \varphi$ --- $ R$-значная функция I класса Бэра из $ M$ в $ К$ (лемма 0.1). При этом, очевидно, $ \sup \rho(\varphi(t),f(t))<\varepsilon.$ Отсюда вытекает, что отображение $ f$ есть равномерный предел последовательности $ R$-значных функций I класса Бэра из $ M$ в $ R$ и, значит, само принадлежит этому классу. \hfill\hfill\qed Из предложения 0.1 и классической теоремы Бэра мы получаем: \proclaim {\bf Следствие 0.1}\it Если $ M$ --- польское пространство, то всякая вещественнозначная функция на $ M,$ удовлетворяющая условию $ (d)$\, (в котором $ R$ --- вещественная прямая), является функцией I класса Бэра и, тем самым, имеет точки непрерывности на всяком замкнутом подмножестве пространства $ M.$ \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 0.2}\it Если $ M$ --- совершенно нормальный компакт и $ R$ --- метризуемое топологическое векторное пространство, то любое отображение из $ M$ в $ R,$ удовлетворяющее условию $ (d)$ (в частности, всякое квазибэровское отображение I класса), имеет сепарабельный образ \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \remark {\bf Замечание 0.4} Условие $ (d)$ является аналогом в случае абстрактных отображений $ f$ понятия наследственно заостренного $ (dentable)$ множества в банаховом пространстве (множество $ B$ в банаховом пространстве называется наследственно заостренным, если для любого его подмножества $ B_0$ и всякого числа $ \varepsilon>0$ найдется точка $ x\in B_0,$ не принадлежащая множеству $ \overline{\operatorname{co}}(B_0\setminus D_\varepsilon(x)),$ где $ D_\varepsilon(x)$ --- шар радиуса $ \varepsilon$ с центром в $ x,$ а $ \overline{\operatorname{co}}$ --- операция взятия замкнутой выпуклой оболочки). Из теоремы Хана--Банаха легко вытекает, что если $ B$ --- наследственно заостренное множество множество в банаховом пространстве $ X,$ то тождественное отображение $ (B, \sigma(X,X^*))\to X$ удовлетворяет условию $ (d).$ \endremark\medpagebreak \proclaim {\bf Лемма 0.3 {\rm (см. [5], стр. 125, упр. 22а)}}\it Пусть $ M$ --- бэровское пространство, $ R$ --- метрическое пространство, $ f$ --- отображение из $ M$ в $ R.$ Если $ f$ является бэровской функцией I класса, то $ f$ непрерывно везде на $ M$ за исключением быть может множества точек I категории в $ M. \hfill\hfill\qed$ \endproclaim\rm Из предложения 0.1 и леммы 0.3 вытекает \proclaim {\bf Предложение 0.2}\it Пусть $ M$ --- нормальное топологическое пространство, всякое замкнутое подмножество которого бэровское и которое обладает свойст\-вом $ (\sigma)$ (например, $ M$ --- польское пространство, либо совершенно нормальный компакт). Для отображения $ f$ из $ M$ в любое метризуемое топологическое векторное пространство $ R$ равносильны утверждения: $ 1)$ $ f$ принадлежит I классу Бэра; $ 2)$ для любого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ сужение $ f|_K$ непрерывно везде на $ K$ за исключением быть может множества точек I категории в $ K;$ $ 3)$ для любого замкнутого подмножества $ K$ в $ M$ сужение $ f|_K$ имеет на $ K$ хотя бы одну точку непрерывности; $ 4)$ $ f$ удовлетворяет условию $ (d). \hfill\hfill\qed$ \endproclaim\rm \medpagebreak {\bf \S 1. Классы $ \Cal D_c$ и $ \Cal D_{cl}$ отображений.}\ В этом параграфе мы определим основные объекты изучения в работе и приведем некоторые их свойства. Несмотря на элементарность результатов (все они есть непосредственные следствия определений), уже в этом разделе мы сможем вывести из них ряд любопытных фактов о топологических свойствах подмножеств пространств Фреше (метризуемых локально выпуклых векторных пространств). В частности, мы покажем, что одно из интереснейших свойств компактов Эберлейна, установленное в [6] с использованием топологической характеризации этих компактов, найденной Розенталем, на самом деле есть совсем простой факт, получающийся почти "голыми руками". Везде далее через $ S$ мы обозначаем произвольное отделимое топологическое пространство, а через $ R$ -- метрическое пространство с метрикой $ \rho$ (если на $ S$ или $ R$ будут накладываться какие--либо ограничения, то мы особо отметим это). Следующее определение является основным в работе. \definition {\bf Определение 1.1} Отображение $ f$ из $ S$ в $ R$ принадлежит классу $ \Cal D_c$ (классу $ \Cal D_{cl}$), если для любого компакта (замкнутого множества) $ K$ в $ S$ и всякого числа $ \varepsilon>0$ существует открытое в $ K$ подмножество $ V\subset K,$ обладающее следующим свойством: каковы бы ни были открытые в $ K$ множества $ V_1$ и $ V_2,$ содержащиеся в $ V,$ \, $ \rho(f(V_1), f(V_2))\leqslant\varepsilon.$ \enddefinition Соответствующие множества отображений мы будем обозначать через $ \Cal D_c(S,R)$ и $ \Cal D_{cl}.$ Ясно, что $ \Cal D(S,R)\subset \Cal D_c(S,R)$ и $ \widetilde{\Cal D}\subset \Cal D_{cl}(S,R).$ Основная цель нашей работы --- показать, что класс $ \Cal M$ универсально измеримых отображений является промежуточным для классов $ \Cal D$ и $ \Cal D_c$ (см. \S 2; то, что $ \Cal D\subset \Cal M$ установлено в [1]). Интересен (и важен) вопрос, при каких условиях отображение $ f$ из $ \Cal D_c$ (из $ \Cal D_{cl}$) лежит в классе $ \Cal D$\, (в $ \widetilde{\Cal D}).$ Для частичного ответа на этот вопрос нам удобно ввести \definition {\bf Определение 1.2} Пусть $ g$ --- вещественная функция на подмножествах множества $ S\times S.$ Функция $ g$ называется $ c$-полунепрерывной сверху \,($cl$-полунепрерывной сверху), если для любого компакта (замкнутого множества) $ K\subset S$ и всякого числа $ a$ множества $ \{ s\in S:\, g( \{ s\}\times K)\leqslant a\}$ и $ \{ s\in S:\, g( K\times \{ s\})\leqslant a\}$ замкнуты в $ S.$ \enddefinition \definition {\bf Пример 1.1} Пусть $ E$ --- $ (\Cal D\Cal F)$-пространство (см. [7]), $ r$ --- метрика на $ E',$ превращающая $ E'$ в сопряженное к $ E$ пространство Фреше. Если $ f$ --- непрерывное отображение из $ S$ в $ (E', \sigma(E',E)),$ то функция $ g(A,B)=r(f(A), f(B))$ \, $ c$-полунепрерывна сверху. \enddefinition {\it Доказательство.}\, Достаточно ограничиться рассмотрением случая, когда $ S=(E', \sigma(E',E))$ и $ f=\operatorname{id}.$ Пусть $ a\geqslant0$ и $ K$ --- компактное множество в $ (E', \sigma(E',E)).$ Тогда $ G:= \{ x'\in E':\, g( \{ x'\},K)\leqslant a\} = \{ x'\in E':\, g( K,\{ x'\})\leqslant a\} = \{ x'\in E':\, r(x',K)\leqslant a\} \supset K+D_a(0)$\, (через $ D_a(z)$ мы обозначаем замкнутый шар\footnote{ Так как замыкание выпуклого множества является одним и тем же для всех (локально выпуклых) топологий на $ E',$ согласованных с двойственностью $ (E',E),$ то этот шар будет и ${}^*$-слабо замкнутым; см. [7], с. 166, предложение 3.1. } радиусом $ a$ с центром в точке $ z).$ Так как множество $ K+D_a(0)$ \, ${}^*$-слабо замкнуто в $ E',$ то достаточно установить, что $ G\subset K+D_a(0).$ Пусть $ x'\in G.$ Тогда для любого натурального $ n$ найдется такой элемент $ z_n\in K, $ что $ r(x',z_n)\leqslant a + 1/n,$ т.е. $ K_n:=K\cap D_{a+1/n}(x')\neq \emptyset$ для всякого $ n.$ Так как $ K\supset K_1\supset K_2\supset\dots $\, и $ K_n$ --- компакты в $ (E', \sigma(E',E)),$ то $ \cap_n K_n\neq \emptyset.$ Если теперь $ z\in \cap_n K_n,$ то $ r(z,x')\leqslant a$ и, следовательно, $ x'\in D_a(z)\subset K+D_a(0). \hfill\hfill\qed$ Введение в рассмотрение определения 1.2 оправдывается следующим фактом. \proclaim {\bf Предложение 1.1}\it\ $1)$\, Если $ f\in \Cal D_c$ и функция $ \rho(f\times f)$ \, $ c$-полунепрерывна сверху, то $ f\in \Cal D(S,R).$ $2)$\, Если $ f\in \Cal D_{cl}$ и функция $ \rho(f\times f)$ \, $ cl$-полунепрерывна сверху, то $ f\in \widetilde{\Cal D}(S,R).$ \endproclaim\rm {\it Доказательства}\ обоих утверждений совершенно аналогичны, поэтому мы докажем лишь одно из них, например, первое. Пусть $ K$ --- компакт в $ S$ и $ \varepsilon>0.$ По условию найдется такое открытое в $ K$ множество $ V,$\, $ V\subset K,$ что $ \rho (f(V_1),f(V_2))<\varepsilon/4$ для любых открытых подмножеств $ V_1$ и $ V_2$ в $ V.$ Зафиксируем точки $ x,y\in V.$ Пусть $ \{ U_\alpha\}$ --- стягивающаяся к точке $ x$ система окрестностей этой точки в $ V,$ \, $ V_2$ --- компактная окрестность точки $ y.$ Возьмем в каждом множестве $ U_\alpha$ точку $ z_\alpha,$ для которой $ \rho(f(z_al),f(V_2) )\leqslant \rho(f(U_\alpha),f(V_2))+\varepsilon/4.$ Так как $ z_\alpha\to x,$\, $ \rho(f(U_\alpha),f(V_2))<\varepsilon/4$ и функция $ \rho(f\times f)$ \, $ c$-полунепрерывна сверху, то $ \rho(f(x), f(V_2))\leqslant \varepsilon/2.$ Теперь пусть $ \{W_\alpha\}$ --- система компактных окрестностей в $ V$ точки $ y,$ стягивающаяся к $ y,$ и $ w_\alpha\in W_\alpha$ --- такие элементы, что $ \rho(f(x), f(w_\alpha))\leqslant \rho(f(x), f(W_\alpha))+\varepsilon/2.$ Так как $ w_\alpha\to y,$\, $ \rho(f(x), f(W_\alpha))\leqslant \varepsilon/2$ и функция $\rho(f\times f)$ \, $ с$-полунепрерывна сверху, то $ \rho(f(x), f(y))\leqslant \varepsilon.$ \hfill\hfill\qed Для дальнейшего нам удобно обозначить через $ \Cal G_\delta$ совокупность всех топологических пространств $ T,$ обладающих следующим свойством: \smallpagebreak $(*)$\ в $ T$ содержится плотное $ G_\delta$-множество, состоящее из $ G_\delta$-точек (т.е. точек, которые являются пересечениями счетного числа открытых множеств). \proclaim {\bf Предложение 1.2}\it Пусть $ (K,\tau)$ --- бэровское топологическое пространство. Предположим, что на множестве $ K$ можно задать метрику $ r$ со следующим свойством: $ (s)$\ если $ s,t\in K$ и $ t\neq s,$ то найдутся окрестности $ V_1$ и $ V_2$ в $ (K,\tau)$ точек $ t$ и $ s,$ для которых $ r(V_1,V_2)>0.$ Если тождественное отображение $ j: (K,\tau)\to (K,r)$ принадлежит классу $ \Cal D_c,$ то для любого компакта $ M$ в $ (K,\tau)$ выполняется включение $ (M, \tau)\in \Cal G_\delta.$ Если $ j\in \Cal D_{cl},$ то $ (K,\tau)\in \Cal G_\delta.$ \endproclaim\rm \definition {\bf Пример 1.2} Пусть $ E$ --- пространство Фреше, $ F$ --- подпространство в $ E',$ разделяющее точки $ E,$ \, $ K$ --- подмножество в $ E,$ \, $ \tau=\sigma(E,F).$ Тогда метрика $ r$ на $ K,$ порожденная метрикой пространства $ E,$ обладает свойством $ (s).$ \enddefinition \demo{\it Доказательство предложения 1.2} Мы покажем, что если $ j\in \Cal D_{cl},$ то $ (K,\tau)\in \Cal G_\delta$ (ясно, что тогда все будет доказано). Итак, пусть $ j\in \Cal D_{cl}.$ Для любого $ \varepsilon>0$ существует такое открытое множество $ V$ в $ (K,\tau),$ что $ r(U_1,U_2)<\varepsilon,$ если $ U_1$ и $U_2$ --- открытые подмножества в $ V.$ Пусть $ A_\varepsilon$ --- объединение всех таких открытых множеств $ V.$ Положим $ A=\cap_n A_{1/n}.$ Множество $ A$ --- это совокупность всех точек $ s$ из $ K,$ обладающих следующим свойством: для всякого $ \varepsilon>0$ существует открытая окрестность $ V_\varepsilon=V_\varepsilon(s)$ точки $ s$ такая, что $ r(U_1,U_2)<\varepsilon,$ если $ U_1$ и $ U_2$ --- открытые подмножества $ V_\varepsilon.$ Зафиксируем точку $ s\in A$ и для каждого $ \varepsilon>0$ возьмем в $ K$ открытое подмножество $ V_\varepsilon=V_\varepsilon(s),$ обладающее указанным свойством. Положим $ B=\cap_n V_{1/n}.$ Покажем, что $ B=\{s\}.$ Если $ t\in B,$ то $ t,s\in V_{1/n}$ для любого $ n.$ Предположим, что $ t\neq s.$ Тогда, по условию, в $ K$ найдутся такие окрестности $ W_1$ и $ W_2$ точек $ t$ и $ s$ соответственно, что $ r(W_1,W_2)>0.$ С другой стороны, для любого $ n$ по определению множества $ V_{1/n}$ мы имеем: $$ \frac1n > r(W_1\cap V_{1/n}, W_2\cap V_{2/1} )= \inf_{\underset{\ssize {z\in W_1\cap V_{1/n}}}\to{y\in W_2\cap V_{1/n}}} r(z,y) \geqslant \inf_{\underset{\ssize {z\in W_1}}\to{y\in W_2}} r(z,y) = r(W_1,W_2). $$ Полученное противоречие показывает, что $ \cap_n V_{1/n}= \{ s\}$ и, следовательно, всякая точка из $ A$ есть $ G_\delta$-точка в $ (K,\tau).$ Нам осталось лишь установить, что каждое из открытых множеств $ A_\varepsilon$ плотно в $ K.$ Если это не так и $ A_\varepsilon$ не плотно в $ K$ для некоторого $ \varepsilon>0,$ то в дополнении замыкания множества $ A_\varepsilon$ в $ (K,\tau)$ найдется открытое подмножество $ V$ такое, что $ r(U_1,U_2)<\varepsilon,$ если $ U_1$ и $ U_2$ --- открыты и лежат в $ V.$ Это противоречит определению множества $ A_\varepsilon.$ \hfill\hfill\qed\enddemo \remark {\bf Замечание 1.1} Если тождественное отображение $ (K, r)\to (K,\tau)$ непрерывно, то в вышеприведенном доказательстве каждое из множеств $ V_\varepsilon$ представляет собой открытое множество в топологии $ \widetilde r$ , порожденной метрикой $ r,$ причем, как видно из доказательства, диаметр $ \operatorname{ diam} V_\varepsilon$ открытого в обеих топологиях множества $ V_\varepsilon$ не больше $ \varepsilon.$ Поэтому в каждой точке $ s$ множества $ A$ (из доказательства предложения) базы окрестностей в топологиях $ \tau$ и $ \widetilde r$ совпадают и, следовательно, тождественное отображение $ (K,\tau)\to (K,\widetilde r)$ непрерывно в каждой точке множества $ A.$ Таким образом, как {\it следствие из доказательства}\, предложение 1.2 мы получаем такой любопытный факт: \endremark\medpagebreak \proclaim {\bf Предложение 1.2a}\it Пусть $ (K,\tau)$ --- бэровское топологическое пространство. Предположим, что на множестве $ K$ можно задать метрику $ r,$ порождающую топологию $ \widetilde r,$ которая не слабее топологии $ \tau,$ и которая обладает следующим свойством: $ (s)$\ если $ s,t\in K$ и $ t\neq s,$ то найдутся окрестности $ V_1$ и $ V_2$ в $ (K,\tau)$ точек $ t$ и $ s,$ для которых $ r(V_1,V_2)>0.$ Если тождественное отображение $ j: (K,\tau)\to (K,r)$ принадлежит классу $ \Cal D_c,$ то для любого компакта $ M$ в $ (K,\tau)$ в $ M$ содержится плотное метризуемое в $ \tau$ \, $ G_\delta$-множество $ A,$ состоящее из $ G_\delta$-точек, такое, что тождественное отображение $ (K,\tau)\to (K,\widetilde r)$ непрерывно в каждой точке множества $ A.$ Аналогичное заключение можно сделать в случае, когда $ j\in\Cal D_{cl}$ (только вместо компактов $ M$ рассматривается все пространство $ K.) \hfill\hfill\qed$ \endproclaim\rm {\bf \S 2. Основная теорема и следствия.\ \definition {\bf Определение 2.1} Пусть $ \Delta$ --- канторов дисконтинуум, $Q$ --- отделимый компакт. Мы говорим, что $ Q$ есть {\it компакт канторовского типа со слоями} $ \{ A_\delta\}_{\delta\in\Delta},$ если $ A_\delta\subset Q$ при $ \delta\in\Delta$ и существует такое непрерывное отображение $ \varphi: Q\to\Delta,$ что\ $ (i)$\, $\varphi(Q)=\Delta,$\ и \ \, $ (ii)$\, $ A_\delta=\varphi^{-1}(\delta)$\, для всех $ \delta\in\Delta.$ \enddefinition \proclaim {\bf Теорема 2.1}\it Пусть $ f$ --- отображение из отделимого топологического пространства $ S$ в метрическое пространство $ R=(R, \rho).$ Если $ f\notin \Cal D_c(S,R),$ то существуют такие число $ \varepsilon>0$ и компакт канторовского типа $ Q\subset S$ со слоями $ \{ A_\delta\}_{\delta\in\Delta},$ что $ \rho\left( f(A_{\delta_1}), f(A_{\delta_2})\right)>\varepsilon$ для любых $ \delta_1,\delta_2,\, \delta_1\neq\delta_2.$ Обратно, если существуют число $ \varepsilon>0$ и компакт $ Q\subset S,$ обладающие указанными свойствами, и если ни один из слоев $ A_\delta,$ $ \delta\in\Delta,$ не является открытым в $ Q$ множеством, то $ f\notin\Cal D_c.$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Пусть $ f\notin\Cal D_c.$ По определению это означает,что найдутся такие компакт $ K$ в $ S$ и число $ \varepsilon>0,$ что каково-бы ни было относительно открытое множество $ V$ в $ K,$ в $ V$ содержатся два (относительно) открытых множества $ V_1$ и $ V_2,$ расстояние между образами которых больше $ \varepsilon.$ Используя это обстоятельство, построим по индукции (аналогично тому как строится канторово множество) последовательность открытых в компакте $ K$ его подмножеств $ \{ V_j\}_{j=1}^\infty$ со следующими свойствами: \smallpagebreak (1)\, $ V_1=K;$ (2)\, если $ k=0,1,2,\dots,\, j=2^k, 2^k+1,\dots, 2^{k+1}-1,$ то\, $ \overline V_{2j}\cup \overline V_{2j+1}\subset V_j;$ (3)\, $ \rho\left( f(\overline V_{2j}), f(\overline V_{2j+1})\right)>\varepsilon,$ если $ j\geqslant 1.$ \smallpagebreak Из (2) и (3) вытекает, что если $ 1\leqslant i\leqslant j$ и $ V_i\not\supset V_j,$ то $ \rho \left( f(\overline V_j), f(\overline V_j)\right)>\varepsilon.$ Положим $$ Q:= \bigcap_{k=0}^\infty\,\bigcup _{j=2^k}^{2^{k+1}-1} V_j= \bigcup_{\{n_i\}}\, \left\{ \bigcap_{l=1}^\infty \, \overline V_{n_l}: 0n_{l_0}$\quad $ \rho \left( f(\overline V_{n_l}), f(V_{n'_{l_0}})\right)>\varepsilon;$ в частности, $ \overline V_{n_l}\cap V_{n'_{l_0}}=\emptyset.$ Рассмотрим теперь систему $ \{ \Delta_j\}_{j=1}^\infty$ отрезков, лежащих в $ [0,1],$ получающуюся в процессе стандартного построения канторова дисконтинуума (т.е. $ \Delta_1=[0,1],$ $\Delta_2=[0,1/3], \Delta_3=[1/3,1]$ и т.д.). Для любой последовательности натуральных чисел положим $ \varphi(z):= \cap_l \Delta_{n_l},$ если $ z\in \cap_l \Delta_{n_l}\neq\emptyset.$ Из приведенных рассуждений и построения семейства $ \{ V_j\}$ следует, что эта формула определяет отображение $ \varphi$ из компакта $ Q$ на все канторово множество $ \Delta,$ причем для каждой точки $ \delta\in\Delta$\quad $ \varphi^{-1}(\{\delta\})$ есть множество вида $ \cap_l V_{n_l}.$ Кроме того, по построению, для любых двух различных множеств $ \cap_l V_{n_l}$ и $ \cap_l V_{n'_l}$ имеет место равенство $ \rho \left( f(\cap_l V_{n_l}), f(\cap_l V_{n'_{l_0}})\right)>\varepsilon.$ Таким образом, нам осталось проверить лишь непрерывность отображения $ \varphi,$ а она вытекает из равенства $$ \varphi^{-1}(\Delta\cap \Delta_k)= \bigcup_{\{n_l\}}\, \left\{ \bigcap_l V_{n_l}:\ 0\varepsilon;$ отсюда вытекает, что $ \rho \left( f(v_1), f(V_2)\right)>\varepsilon,$ что и завершает доказательство. \hfill\hfill\qed \enddemo \proclaim {\bf Следствие 2.1}\it Предположим, что все сепарабельные подмножества в $ S$ метризуемы. Отображение $ f:S\to R$ не принадлежит классу $ \Cal D_c$ тогда и только тогда, когда существует гомеоморфное канторову дисконтинууму подмножество $ P$ в $ S$ и число $ \varepsilon>0,$ обладающие тем свойством, что $ \rho(f(s), f(t))>\varepsilon$ для любых двух различных точек $ s$ и $ t$ из $ P.$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Пусть $ f\notin \Cal D_c,$\, $ Q$ --- компакт канторовского типа в $ S,$ указанный в заключении теоремы, и $ \varphi$ --- непрерывное отображение из $ Q$ на $ \Delta,$ удовлетворяющее условиям $ (i)$ и $ (ii)$ определения 2.1. Так как компакт $ \Delta$ метризуем, то найдется такое сепарабельное компактное подмножество $ Q_1$ (которое по условию. метризуемо) компакта $ Q,$ что $ \varphi(Q_1)=\Delta.$ Хорошо известный топологический результат Куратовского утверждает, что в этом случае в $ Q_1$ содержится компактное подмножество $P,$ гомеоморфное канторову дисконтинууму, такое, что отображение $ \varphi|_P: P\to \varphi(P)$ взаимно однозначно. Ясно, что этот компакт $ P$ удовлетворяет заключению следствия 2.1. Обратно, пусть $ P$ --- компакт в $ S$ и $ \varepsilon>0,$ причем $ \rho\left(f(s), f(t)\right)>\varepsilon$ для $ s, t \in P,$ $ s\neq t.$ Если $ V$ --- открытое в $ P$ множество, то для любых непересекающихся множеств $ V_1$ и $ V_2$ в $ V$\ \, $ \rho\left(f(V_1), f(V_2)\right)>\varepsilon,$ т.е. Поэтому $ f$ не принадлежит классу $\Cal D_c.$ \hfill\hfill\qed \enddemo \proclaim {\bf Следствие 2.2}\it \, $ 1)$ Если метрическое пространство $ R$ сепарабельно, то всякое отображение из любого топологического пространства в $ R$ принадлежит классу $ \Cal D_c.$ $ 2)$ \, Если никакой компакт в $ S$ не есть компакт канторовского типа, то всякое отображение из $ S$ в любое метрическое пространство принадлежит классу $ \Cal D_c;$ в частности, это имеет место, когда мощность $ S$ меньше мощности континуума. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm Обозначим через $ \Cal M(S,R)$ совокупность всех универсально измеримых отображений из $S$ в $ R.$ Одним из основных следствий теоремы 2.1 является \proclaim {\bf Следствие 2.3}\it\, $ \Cal D(S,R)\subset \Cal M(S,R)\subset \Cal D_c(S,R).$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Левое включение доказано в работе [1]. Для доказательства второго включения рассмотрим отображение $ f$ из $ S$ в $ R,$ не принадлежащее классу $ \Cal D_c.$ Пусть $ Q$ --- компакт канторовского типа со слоями $ \{ A_\delta\}_{\delta\in\Delta}$ из теоремы 2.1 и $ \varphi:Q\to \Delta$ --- такое непрерывное отображение из $ Q$ на $ \Delta,$ что $ \varphi^{-1}(\{\delta\})=A_\delta.$ Пусть $ \widetilde \mu$ --- неатомическая вероятность на $\Delta.$ Существует вероятность $ \mu$ на $ Q,$ образ которой при отображении $ \varphi$ есть мера $ \widetilde\mu.$ Покажем, что $ f$ не является $ \mu$-измеримым отображением. Действительно, в противном случае для любого натурального $n$ найдется такой компакт $ K_n\subset Q,$ что $ \mu(K_n)>1-1/n$ и сужение $ f$ на $ K_n$ непрерывно; следовательно $ f(K_n)$ --- компакт в $ R.$ Так как $ \widetilde\mu$ --- неатомическая мера и $ \mu(K_n)\leqslant \widetilde\mu(\varphi(K_n)),$ то при любом $ n>0$ компакт $ K_n$ пересекается с несчетным числом слоев $ A_\delta.$ Поэтому множество $ f(K_n)$ не может быть сепарабельным и, тем более, компактным в $ R$ (ввиду того, что $ \rho \left( f(A_{\delta_1}), f(A_{\delta_2})\right)>\varepsilon$ при $ \delta_1\neq\delta_2).$ \hfill\hfill\qed \enddemo Как показывают простейшие примеры, оба включения в следствии 2.3 могут быть строгими (так, в случае $ S=R=[0,1]$ пространство $ \Cal D(S,R)$ состоит из функций I-го класса Бэра, а $ \Cal D(S,R)=[0,1]^{[0,1]}$ по следствию 2.2). Однако, предложение 1.1,1) дает нам возможность выделить в пространстве $ R^S$ подмножество, состоящее из отображений, для которых вхождение в один из указанных классов $ \Cal D$ или $ \Cal D_c$ обеспечивает и их принадлежность двум другим классам. Обозначим через $ \Cal A(S,R)$ совокупность всех таких отображений из $ S$ в $ R,$ что функция $ \rho(f\times f)$\ $ c$-полунепрерывна сверху на $ S\times S.$ \proclaim {\bf Следствие 2.4}\it Для отображения $ f\in \Cal A(S,R)$ эквивалентны условия: $ 1)$\, $f\in \Cal D,$ $ 2)$\, $ f\in \Cal M,$ $ 3)$\, $ f\in\Cal D_c.$ \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 2.5}\it Для отображения $ f\in \Cal A(S,R)$ эквивалентны условия: $ 1)$\, $ f$ универсально измеримо, $ 2)$\, для всякого компакта $ K$ в $ S$ отображение $ f|_K$ непрерывно в каждой точке некоторого плотного в $ K$ подмножества $ G,$ которое является $ G_\delta$-множеством II категории в $ K.$ \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 2.6}\it Пусть $ K$ --- совершенно нормальный компакт (например, метрический), $ R$ --- метризуемое топологическое векторное пространство. Для отображения $ f\in\Cal A(K,R)$ эквивалентны условия: $ 1)$\, $ f$ универсально измеримо, $ 2)$\, $ f$ --- \, $ R$-значная функция I класса Бэра. \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Согласно замечаниям 1 и 2 %!!! утверждение 2) равносильно тому, что $ f$ принадлежит классу $ \Cal D;$ следовательно, $ 2)\iff 1)$ по следствию 2.4. \hfill\hfill\qed \enddemo Из следствия 2.6 мы немедленно получаем такой важный результат: \proclaim {\bf Следствие 2.7}\it Если $ K$ --- совершенно нормальный компакт и $ R$ --- метризуемое ТВП, то любое отображение $ f\in \Cal A(K,R)\cap \Cal M(K,R)$ имеет сепарабельный образ. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm Из следствий 2.2 и 2.4 вытекает \proclaim{\bf Следствие 2.8}\it Если либо $ R$ --- сепарабельное метрическое пространство, либо никакой компакт в $ S$ не есть компакт канторовского типа, то имеет место включение $ \Cal A(S,R)\subset \Cal D(S,R)$ и, следовательно, всякое отображение $ f\in \Cal A(S,R)$ универсально измеримо. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm Из следствий 2.1 и 2.4 вытекает \proclaim {\bf Следствие 2.9}\it Предположим, что сепарабельные компакты в $ S$ метризуемы и $ f\in \Cal A(S,R).$ Если $ f$ не является универсально измеримым, то в $ S$ найдется такой компакт $ Q,$ гомеоморфный канторову множеству, что $ \rho(f(s), f(t))>\varepsilon$ для всех $ s, t\in Q\,$ $ (s\neq t),$ где $ \varepsilon$ --- некоторое фиксированное положительное число. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 2.10}\it Пусть $ (K,\tau)$ --- отделимый компакт. Если на множестве $ K$ существует метрика $ r,$ обладающая свойством $ (s)$ из предложения 1.2, и такая, что тождественное отображение $ (K,\tau)\to (K,r)$ универсально измеримо, то множество $ G_\delta$-точек пространства $ (K,\tau)$ является множеством II категории. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm {\bf \S 3. Некоторые обобщения.}\ Сделаем ряд замечаний по поводу простых обобщений приведенных выше утверждений и их доказательств. В определении класса $\Cal D_c$ и далее в \S2 мы сознательно ограничивали себя рассмотрением тех свойств отображений, которые полностью определяются свойствами сужений этих отображений на компактные подмножества их области задания. Нетрудно видеть, что все основные доказательства из \S2 пройдут, если в определениях классов $ \Cal D$ и $ \Cal D_c$ вместо компактных подмножеств брать любые замкнутые подмножества (т.е. рассматривать классы $ \widetilde{\Cal D}$ и $ \Cal D_{cl};$ см. замечание 1 и определение 1.2) и дополнительно требовать выполнение следующих условий: а)\, замкнутые подпространства пространства $ S$ регулярны и в любом замкнутом подпространстве пространства $ S$ пересечение любой убывающей последовательности замкнутых окрестностей имеет непустое пересечение; б)\, для пары $(S,R)$ верна теорема Бэра (см. замечание 2). Условие а) необходимо при доказательстве теоремы 2.1; б) используется в следствии 2.6. Примером пространства $ S$ с условием а) может служить произвольное регулярное топологическое пространство, всякое замкнутое подмножество которого является непрерывным образом полного метрического пространства. Примеры пространств с условием б) --- польские пространства (а также совершенно нормальные компакты). Приведем ряд утверждений, которые легко получить, соответствующим образом модифицировав изложенные выше доказательства (отступая от принятых правил, мы будем нумеровать эти утверждения в соответствии с нумерацией их аналогов из \S2). \proclaim {\bf Следствие 3.1}\it Пусть $ S$ --- суслинское\footnote{ Пространство называется {\it суслинским,}\, если оно метризуемо и является непрерывным образом польского пространства. } пространство, удовлетворяющее условию а). Для отображения $ f$ из $ S$ в метрическое пространство $ R$ эквивалентны утверждения: $ 1)$\, существуют такие число $ \varepsilon>0$ и замкнутое подмножество $ K$ в $ S,$ что для любого (относительно) открытого множества $ V$ в $ K$ найдутся два относительно открытых множества $ V_1, V_2\subset V$ такие, что $ \rho \left( f(V_1), f(V_2)\right)>\varepsilon;$ $ 2)$\, существует гомеоморфное канторову дисконтинууму подмножество $ P$ в $ S$ число $ \varepsilon>0,$ обладающие тем свойством, что $ \rho(f(s), f(t))>\varepsilon$ для любых двух различных точек $ s$ и $ t$ из $ P.$ \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 3.3}\it Если $ S$ удовлетворяет условию а) и $f$ --- универсально измеримое отображение из $ S$ в $ R,$ то $f$ не может обладать свойством $1),$ сформулированным в предыдущем следствии. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm Заменяя в определении класса $ \Cal A$ \, $ c$-полунепрерывность на $ cl$-полунепрерывность (см. определение 1.2), мы рассмотрим совокупность $ \widetilde{\Cal A}(S,R)$ тех отображений $ f:S\to R,$ что функция $ \rho (f\times f)$ \, $ cl$-полунепрерывна сверху на $ S\times S.$ Отметим, что по предложению 1.1,2) $ \Cal D_{cl}\cap \widetilde{\Cal A}\subset \widetilde{\Cal D}.$ Следствие 3.1 показывает, что для пространств с условием а) $ \Cal D_{cl}(S,R)=\Cal D_c.$ Используя следствие 2.4 и то, что $ \widetilde{\Cal A}\subset \Cal A,$ мы получаем отсюда: \proclaim {\bf Следствие 3.4}\it Пусть $ S$ удовлетворяет условию а). Для $ f\in\widetilde{\Cal A}(S,R)$ эквивалентны утверждения: $ 1)$\, $ f\in \Cal D_{cl};$ $ 2)$\, $ f\in \widetilde{\Cal D};$ $ 3)$\, $ f\in \Cal D;$ $ 4)$\, $ f\in \Cal M;$ $ 5)$\, $ f\in \Cal D_c.$ \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm Из следствия 3.4 и замечания 1) вытекает \proclaim {\bf Следствие 3.5}\it Если $ S$ --- польское пространство и $ f\in \widetilde{\Cal A}(S,R),$ то эквивалентны утверждения: $ 1)$\, $ f$ универсально измеримо; $ 2)$, для всякого замкнутого подмножества $ K$ в $ S$ отображение $ f|_K$ непрерывно в каждой точке некоторого плотного в $ K$ подмножества $ G,$ которое является $ G_\delta$-множеством II категории в $ K.$ \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 3.6}\it Пусть $ S$ --- польское пространство, $ R$ --- метризуемое ТВП. Для отображения $ f\in\widetilde{\Cal A}(S,R)$ эквивалентны условия. $ 1)$\, $ f\in\Cal M;$ $ 2)$\, $ f$ ---\, $ R$-значная функция I класса Бэра. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 3.7}\it Если $ S$ --- суслинское пространство, и $ R$ --- метризуемое ТВП, то любое отображение $ f\in \widetilde{\Cal A}(S,R)\cap \Cal M(S,R)$ имеет сепарабельный образ. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm \proclaim {\bf Следствие 3.9}\it Предположим, что сепарабельные компакты в $ S$ метризуемы. Пусть $ S$ удовлетворяет условию а) и $ f\in \widetilde{\Cal A}(S,R).$ Если $ f\notin \Cal M,$ то в $ S$ найдется такой компакт $ Q,$ гомеоморфный канторову множеству, что $ \rho (f(s), f(t))>\varepsilon$ для всех $ s,t\in Q$\, $ (s\neq t)$, где $ \varepsilon$ --- некоторое фиксированное положительное число. \hfill\hfill\qed \endproclaim\rm Чтобы показать, в каких конкретных ситуациях могут быть применены последние результаты, приведем лишь один пример. Основные применения доказанных в данной работе утверждений (их приложения в геометрической теории линейных операторов) мы намерены изложить в последующей статье. \definition {\bf Пример 3.1} Пусть $ E$ --- $ (\Cal D\Cal F)$-пространство, $ r$ --- метрика на $ E',$ превращающая $ E'$ в сопряженное к $ E$ пространство Фреше. Если $ f$ --- непрерывное отображение из отделимого топологического пространства $ S$ в $ (E', \sigma(E',E)),$ то $ f$ принадлежит множеству $ \widetilde{\Cal A} \left( S, (E',r)\right).$ \enddefinition Это, по существу, установлено при рассмотрении примера 1.1. \hfill\hfill\qed \Refs\nofrills{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА} \ref \no 1 \by Рейнов О.И. \pages 949-954 \paper Об одном классе универсально измеримых отображений \yr 1979 \vol 26 \issue \nofrills вып. 6, \jour Матем. заметки \finalinfo \endref \ref \no 2 \by Рейнов О.И. \pages 135-149 \paper Функции I класса Бэра со значениями в метрических пространствах и их применения \yr 1984 \vol 135 \jour Записки научн. сем. ЛОМИ. \endref \ref \no 3 \by E.Odell, H.P.Rosenthal \pages 375-384 \paper A double dual characterization of separable Banach spaces containing $l_1,$ \yr 1975\vol 20 \issue 3-4 \jour Israel J. Math. \endref \ref \no 4 \by Александров П.С., Урысон П.С. \book Мемуар о компактных топологических пространствах \publ М.: Наука \yr 1971 \endref \ref \no 5 \by Бурбаки Н. \book Общая топология \publ М.: Наука \vol вып. 3\nofrills \yr 1975 \endref \ref \no 6 \by Y.Beniamini, M.E.Rudin, M.Wage \pages 309-324 \paper Continuous images of weakly compact subsets of Banach spaces \yr 1977 \vol 70 \issue 2 \jour Pacific J. Math. \finalinfo \endref \ref \no 7 \by Х.Шеффер\pages 360~с\!\, \paper Топологические векторные пространства \yr 1971\vol \jour Москва: Мир \endref \endRefs %%%%%%% \enddocument