%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%           14.07.01 15:07:06 Sat
%%%% Проблемы МА Уральцевой Н.Н. 22 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
%
%%%%  This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b]
%%%%   (preloaded format=ramstex 97.6.10)  25 JUN 2001 05:50
%%%%
%%%%  AmS-TeX- Version 2.1
%%%%  COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
    %AMSPPT.STY - Version 2.1
\magnification=\magstep1
\parindent=1em
     \baselineskip=18pt

\hsize=16 true cm
\vsize=22 true cm

\CenteredTagsOnSplits
\NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\pageno=1

        \topmatter
        \title {Аппроксимационные свойства
   и некоторые классы операторов}
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов}  \endauthor
\address{\newline
\rm Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
математико--механический факультет\newline}
\endaddress

\email
orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\abstract%\nofrills
Among others, we consider in detail some questions
around the properties of operators with $p$-nuclear adjoints.
For $p=1,\infty,$ we give also new examples of operators,
which can not be factored through $L_p$-spaces, but
whose adjoints factor compactly through $l_{p'}$-spaces.
We show that, for any $p\in[1,\infty],$
all Banach spaces have the (new) so called approximation
property $AP(l_p),$ connected with the compact factorizatons
of operators through $l_p,$ if and only if
every operator, whose adjoint factors compacly through $l_{p'},$
can be factored (compactly) through the space $l_p.$
\newline\noindent
Bibliography: 32 titles.
\endabstract

    \endtopmatter
\footnotetext""{Работа выполнена при частичной поддержке
Федеральной целевой программой ``Интеграция''
(грант \No~326.53) и Шведской Королевской Академии наук.}

\footnotetext""{$\copyright$\;\;~О.~И.~Рейнов, 2000}


\document

\head {\bf Введение}
\endhead

В теории аппроксимации операторов в квазинормированных операторных идеалах
важную роль играют как различные так называемые аппроксимационные свойства
нормированных пространств, так и квазинормированные тензорные произведения,
рассматриваемые наряду с порождаемыми ими (либо порождающими их)
квазинормированными операторными идеалами.
Пусть, к примеру, $ \alpha$ --- некоторая тензорная норма
на классе всех тензорных произведений банаховых пространств, так что
сопряженное к любому тензорному произведению вида $ X^*\otimes_{\alpha} Y,$
где $ X,Y$ --- банаховы пространства, есть некоторое пространство
операторов $ A(Y,X^{**})$ (двойственность задается стандартным способом
при помощи следа суперпозиции тензорного элемента и оператора,
порождающего соответствующий функционал).
Пусть, далее, $ A_0(Y,X)$ --- замыкание в $ A(Y,X^{**})$
множества всех конечномерных линейных непрерывных отображений (операторов)
из $ Y$ в $ X.$
Предположим, что существует ненулевой тензорный элемент $ z$
из пополнения $ X^*\widehat\otimes_{\alpha} Y$
тензорного произведения $ X^*\otimes_{\alpha} Y,$
который порождает нулевой оператор $ \widetilde z.$
Тогда мы получаем, что след
$ \operatorname{ tr} R\circ z$ суперпозиции любого одномерного
(а, значит, и конечномерного) оператора $ R$
с тензором $ z$ равен нулю, тогда как, в силу нетривиальности $ z,$
для некоторого оператора $ T\in A(Y,X^{**})$
мы должны иметь: $ \operatorname{ tr} T\circ z=1.$
Упростив ситуацию (например, предположив, что пространство $ X$
рефлексивно), мы находим оператор $ T\in A(Y,X),$
не лежащий в замыкании множества $ A_0(Y,X)$ всех конечномерных операторов
в топологии $ \sigma(A(Y,X), X^*\widehat\otimes_{\alpha} Y).$
Тем самым, мы получаем и оператор $ T\in A(Y,X),$
не аппроксимируемый конечномерными по норме пространства $ A(Y,X).$
Можно пройтись и в обратную сторону.

 Конечно, в каждом конкретном случае весьма неочевидно,
что существует тензорный элемент $ z$
с описанными выше свойствами.
Впервые существование подобного рода тензоров установил
в 1972 г. шведский математик П.Энфло [6], решив отрицательно
знаменитые проблемы базиса С.Банаха и аппроксимации А.Гротендика:
он показал, что тензоры указанного характера существуют,
если в качестве $ \alpha$ взять проективную норму
А.Гротендика [9] (определение см. ниже в \S1, $ \otimes_p$
при $ p=1$).
В этом случае соответствующая ${}^*$-слабая топология
на сопряженном к проективному тензорному произведению
$ X^*\widehat\otimes Y$ пространстве $ \operatorname{ L}(Y,X^{**})$ ---
пространстве всех операторов из $ Y$ в $ X^{**}$ ---
тесно связана с топологией компактной сходимости,
и П.Энфло установил существование сепарабельного рефлексивного
банахова пространства, для которого тождественный оператор
$ \operatorname{ id}_X$ в $ X$ не аппроксимируется в топологии компактной
сходимости конечномерными, --- по определению из [9] это означает, что
пространство $ X$ не обладает так называемым свойством аппроксимации
$ \operatorname{ AP}.$ В [9], по существу, введено и понятие условия
ограниченной аппроксимации: банахово пространство $ X$
удовлетворяет условию ограниченной аппроксимации $ \operatorname{ BAP},$
если тождественное отображение $ \operatorname{ id}_X$
лежит в замыкании, в топологии компактной сходимости,
шара радиуса $ C$ пространства $ \operatorname{ L}_0(X,X)$
всех конечномерных отображений (с обычной операторной нормой) для
некоторой постоянной $ C>0.$
Весьма не очевидно, что свойства $ \operatorname{ AP}$
и $ \operatorname{ BAP}$ различаются между собой,
и соответствующая проблема А.Гротендика [9] была отрицательно решена в
работе [7]: $ \operatorname{ BAP}\neq \operatorname{ AP}.$

Конструкция П.Энфло экстремальна в том смысле, что в ней указан пример
ненулевого тензорного элемента, порождающего нулевой оператор и
являющегося $ s$-ядерным при любом $ s>2/3;$ отметим, что при
$ s=2/3$ подобная конструкция невозможна, и это еще в 1955 г.
установил А.Гротендик [9]. Мы, не объясняя подробно только что сказанное,
сформулируем одно утверждение, в котором содержатся и упомянутые факты.

\proclaim {\bf Предложение}\it
1) Если $ X,Y$ --- банаховы пространства и $ z$ ---
элемент проективного тензорного произведения $ X^*\widehat\otimes Y,$
представимый в виде
$$ z=\sum_{k=1}^{\infty} \mu_k x'_k\otimes y_k,
\text{ где }\
 \mu_k\searrow0,\,\mu_k=o\big(\frac1{k^{3/2}}\big),\, \|x'_k\|\,\|y_k\|=1,
$$
то оператор $ \widetilde z,$
ассоциированный с $ z,$ нулевой тогда и только тогда, когда
сам элемент $ z$ равен нулю.

2) Существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство
$ X$ и ненулевой тензорный элемент
$ z\in X^*\widehat\otimes X,$ порождающий нулевой оператор и
допускающий разложение в ряд
$$ z= \sum_{k=1}^{\infty} \mu_k x'_k\otimes x_k,
$$
где $ (x'_k)\subset X^*,$ $ (x_k)\subset X$ --- ограниченные
последовательности, а числовая последовательность
$ (\mu_k)$ такова, что
$ \mu_k=
O\big(\dsize{\frac{\sqrt {\operatorname{ ln}\,k}}{k^{3/2}}}\big).$
\endproclaim\rm

Первая часть предложения --- это обобщение соответствующей
теоремы А. Гротендика, полученное автором в [31],
вторая --- пример П.Энфло (см. [18], [19], [13]),
и эту конструкцию мы интенсивно используем ниже.

Примеры Энфло и Фигеля-Джонсона привели к многочисленным
вопросам, связанным как с аппроксимацией операторов в некоторых
конкретных операторных идеалах конечномерными, так и с так
называемой регулярностью ставших теперь классических
операторных идеалов, таких как идеалы $ p$-ядерных операторов,
$ p>0.$ Вот только два вопроса, взятых из монографии А.Пича [18], [19]
(первый из них мы приводим в терминах настоящей работы, определение
см. в \S1; относительно второго мы отсылаем читателя к первоисточнику).

1) [18, п. 19.2.6]
Верно ли, что для $ p\neq2$ существует квази-$p$-ядерный оператор,
не аппроксимируемый по квази-$p$-ядерной норме конечномерными
отображениями?

2) [18, п. 18.1.7] Описать все показатели $ p,r,q,$
для которых идеал $ (p,r,q)$-ядерных операторов регулярен.

Первый вопрос имеет положительный ответ [28], [25].
Второй, весьма красивый, вопрос поставлен в очень общей форме и
до нынешнего времени далек от своего окончательного решения
(часть положительных результатов можно найти в монографии А.Пича).
Поэтому мы приведем переформулировку второго вопроса для трех частных
случаев, в которых между показателями $ p,r,q$
имеются определенные соотношения (за деталями и определениями мы,
однако, отсылаем читателя к книге [18] и к параграфам 1, 4, 5 и 7
настоящей статьи). Пусть $ p\neq2,$ $ p'$ --- сопряженный показатель
и $ T:X\to Y$ ---
ограниченный оператор в банаховых пространствах.

(i) Верно ли, что если второй сопряженный $ T^{**}$ является
$ p$-ядерным, то таким же свойством обладает и сам оператор $ T?$

(ii) Верно ли, что если сопряженный к $ T$ оператор $ T^*$
является $ p$-ядерным, что сам оператор $ T$ является
дуально $ p$-ядерным, т.е. допускает факторизацию
через некоторый диагональный оператор $ l_{p'}\to l_1?$

(iii) Верно ли, что если сопряженный к $ T$ оператор $ T^*$
факторизуется компактно через пространство $ l_p,$
то сам оператор $ T$ допускает (строгую) факторизацию
через пространство $ l_{p'}?$

Ответы на вопросы (i)-(ii) отрицательны при любом
$ p\in[1,\infty]\setminus\{2\}$
(см. [7], [25], [26], [28], [29], [31] и \S\S 4-5 настоящей работы).
Ответ на вопрос (iii) --- отрицателен, если $ p=1$ или $ p=\infty$
(см. [25], [28], [30] и \S\S 4-5, 7 настоящей работы).
Ответ на вопрос (iii) до сих пор неизвестен при других значениях
показателя $ p,$ т.е. при $ 1<p\neq2<\infty.$

Остановимся немного на ситуации, поясняющей (если принять во внимание
результаты \S7 данной статьи, и, особенно, самую последнюю
теорему в нашей работе) сложности при решении задачи (iii).
Определения и детали, связанные с приводимыми ниже рассуждениями, можно найти
в \S7.

Рассмотрим банахово тензорное произведение
$ X^*\widetilde{\widetilde{\otimes}}_p Y,$ ассоциированное с идеалом
$ \operatorname{ K}_p$
компактно $ l_p$-факторизуемых операторов в банаховых пространствах
(в частности, всякий тензор в рассматриваемой ситуации порождает
оператор, факторизуемый через пространство $ l_p$ компактным образом).
Каждый тензор $ z\in X^*\widetilde{\widetilde{\otimes}}_p Y,$
как и всякий оператор $ S\in \operatorname{ K}_p(X,Y),$
допускает представление вида
$$ \sum_{j=1}^{\infty} a_j\,x'_j\otimes y_j,\qquad
     \alpha_j\to 0,  \tag0.1
$$
причем для заранее заданного числа
$ \varepsilon>0$ это представление для $ z$ может быть выбрано так, что
$$ \sup_{j}  |a_j|\,
  \sup_{\|x\|\le 1}
\left(\sum_j \, |\langle x'_j,\,x\rangle |^p\right)^{1/p}\
  \sup_{\|y'\|\le 1}
\left(\sum_j \, |\langle y_j,\,y'\rangle |^{p'}\right)^{1/p'}
                                    \le k_p^0(z)+\varepsilon,
	 \tag{0.2}
$$
где $ k_p^0(z)$ --- норма элемента $ z$ в его тензорном произведении.
Каждый оператор $ S,$ как говорилось только что, также
допускает подобного рода разложение в ряд одномерных операторов,
но с оценкой справа через его $ \operatorname{ K}_p$-норму:
$ \dots\le k_p(S)+\varepsilon.$
При этом нормы $ k_p^0$ и $ k_p$ на конечномерных операторах вида
$$ S=\sum_{j=1}^n a_j\,x'_j\otimes y_j.  \tag{0.3}
$$
определяются весьма схожим способом (см. начало \S7).

На первый взгляд, различия между тензором
$ z\in  X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y$
и соответствующим ему оператором $ S=\widetilde z$ не видно,
особенно, если посмотреть на их разложения в ряды вида (0.1).
Однако, существенная разница в их определении прослеживается
при рассмотрении конечномерных операторов (или тензоров):
для конечномерного оператора $ S$ из (0.3)
(пусть ему соответствует тензор $ z$)
его норма в пространстве $ \operatorname{K}_p(X,Y)$ вычисляется
как инфимум левой части соотношения (0.2)
{\it по всем}\,
соответствующим представлениям вида (0.1) оператора $ S,$
тогда как норма ассоциированного тензорного элемента $ z$ ---
как инфимум левой части соотношения (0.2)
по всем разложениям оператора $ S$
{\it в конечную сумму одномерных отображений.}
Эта разница оказывается весьма существенной,
и нам известно, что, по-крайней мере для $ p=1, p=\infty,$
рассматриваемые две нормы, вообще говоря, не совпадают между
собой даже на конечномерных операторах
(относительно случая $ p=\infty$ см. [25, следствие 3.4 и
предшествующие этому следствию доказательства];
случай $ p=1$ рассмотрен в настоящей работе (следствие 4.25),
но без подробного доказательства соответствующее утверждение
появилось уже в статье [25, следствие 4.2]).

В этой работе мы как раз и будем иметь дело с ситуацией,
связанной с кругом вопросов, возникающих в связи с проблемами
(i)-(iii), и, естественно, затронем некоторые области как их приложений,
так и близких по тематике проблем.
Мы не станем описывать основные результаты, получаемые в процессе
нашего дальнейшего изложения, ---
круг рассматриваемых вопросов очерчен как в названиях соответствующих
параграфов, так и в необходимых комментариях, которые появляются
по мере прохождения нами цепочек новых фактов, устанавливаемых
в настоящей статье.

Автор искренне признателен Макарову Б.М. за внимание к работе
и за ряд весьма полезных замечаний после, видимо, нелегкого прочтения
этой статьи.



\head {\bf \S 1. Обозначения и определения. Предварительные сведения.}
\endhead

Рассматриваемые пространства $X,\,Y,\,Z,\,E,\dotso$ --- банаховы.
Элементы этих пространств мы обычно обозначаем соответствующими строчными
буквами: $x\in X,\,y\in Y,\dotsc,\, x'\in X^*,\,y''\in Y^{**},\dotso$.
Функционалы будут также обозначаться и через $ f$ и т.п., а значения их,
например, функционала $ x'$ или $ f,$ на элементе $ x$ --- либо
через $\langle x',x\rangle,$ $ \langle x,x'\rangle,$ либо через  $ x'(x),$ $f(x).$
Если надо указать пространство, в котором рассматривается
норма $ \|\cdot\|$ элемента $ x\in X,$ то мы обычно пишем $ \|x\|_X.$
Обозначения для последовательности элементов некоторого множества:
$(f_k), (f_k)_k$ и т.д., для замкнутой линейной оболочки $B$ --- $[B];$
значение отображения на некотором элементе --- $Ax, A(x);$
для образа отображения используем как обозначение типа $\varphi^*X^*,$
так и типа $\varphi(E).$ Единичный (замкнутый) шар банахова пространства
$ X$ обычно обозначается через $ B_X.$
Через $ W(K)$ мы обозначаем множество всех вероятностных мер Радона
на топологическом пространстве $ K;$ если $ K$ --- единичный шар
$ B_{X^*},$ снабженный ${}^*$-слабой топологией, то для вероятности
Радона $ \mu$ на нем пишем $ \mu\in W(B_{X^*}, w^*).$

Обозначения $l_p, c_0 $ стандартны; квазинормы в этих пространствах
(как и пространствах типа $ L_p(\mu)$)
мы также обозначаем через
$ \|\alpha\|_p=\|\alpha\|_{l_p}$ для $ \alpha=(\alpha_k)\in l_p,$
$ p\in[18],\infty],$ и
$ \|\alpha\|_\infty=\|\alpha\|_{c_0}$ в случае пространства $ c_0$;
$ l_p^{N}$ --- конечномерные аналоги $ l_p$-пространств;
$ r'$ - сопряженный с $ r\in [1,\infty]$ показатель.
Следует заметить, что в некоторых случаях (например, при рассмотрении
ряда норм на тензорных произведениях банаховых пространств)
символом типа $ \|\cdot\|_p$ мы будем обозначать и нормы в других
пространствах, отличных от пространств $ L_p,$
но это ни в коем случае не приведет к недоразумению.

Если $ X$ --- банахово пространство и $ \mu$ --- некоторая мера,
то через $ L_p(\mu; X),$ $ 0< p\leqslant \infty$ обозначается
$ L_p$-пространство всех (классов эквивалентности)
сильно $ \mu$-измеримых интегрируемых в $ p$-й степени
(по Бохнеру) функций. В случае дискретных мер мы также используем
обозначения типа $ l_p(X),$ $ l_p(\Gamma; X),$ $ c_0(X),$ и т.п..
Для квазинормы последовательности $ (x_k)_k,$
лежащей в пространстве $ l_p(X),$ мы будем использовать обозначение
$ \alpha_p(x_k):= \left(\sum_k \|x_k\|^p\right)^{1/p}$
(при $p=\infty$ необходима соответствующая модификация).
Напомним, что для конечных $ p\geqslant 1$ \,
$ l_p(\Gamma;X)^*=l_{p'}(\Gamma;X^*)$ и $ c_0(\Gamma;X)^*=l_1(\Gamma;X).$
Семейство $(x_k)_{k=1}^\infty\subset X,$
для которого конечна величина $ \alpha_p(x_k),$
называется {\it абсолютно $ p$-суммируемым}.
Семейство $ ( x_k)_{k=1}^\infty,$
называется {\it слабо $ p$-суммируемым,}
если $ ( \langle x_k, x' \rangle)\in l_p$ для всех $ x'\in X^*.$
Полагаем
$$ \varepsilon_p(x_j):=
  \sup_{\|x'\|\le 1} \left(\sum_j \, |\langle x_j,\,x'\rangle |^p\right)^{1/p}
$$
Это квазинорма (норма при $ p\geqslant 1$) в пространстве
$ l_p \{ X\}$ всех слабо $ p$-суммируемых последовательностей
элементов из $ X.$

 Мы говорим, что банахово пространство {\it вполне сепарабельно},\,
если как оно само, так и все его сопряженные пространства сепарабельны.

 Через $ \pi_Y$
обозначается каноническое изометрическое вложение пространства $ Y$
в его второе сопряженное $ Y^{**};$ часто мы будем опускать индекс,
указывающий на то, какое пространство вкладывается в свое второе
сопряженное, --- из контекста будет понятно, где действует оператор
$ \pi$ (иногда в одном и том же доказательстве символ
$\pi$ будет использоваться
для обозначений вложений разных пространств в их вторые сопряженные).
Кроме того, если это не приводит к недоразумению,
мы часто будем считать, что рассматриваемое банахово пространство
является подпространством своего второго сопряженного, ---
это удобно, в частности, для упрощений некоторых формул.

Напомним, что каждое банахово пространство $ X$
изометрично факторпространству
некоторого пространства $ l_1(\Gamma)$ (в качестве $ \Gamma$
можно взять $ B_X;$ тогда оператор, определяемый соотношением
$ Q(\alpha_x):=\sum_{x\in B_X} \alpha_x x,$ будет факторотображением
из $ l_1(B_X)$ на $ X$). Каждое банахово пространство изометрично
подпространству некоторого $ l_{\infty}(\Gamma),$
например, пространства $ l_{\infty}(B_{X^*}).$

Через $\operatorname{L}(X,Y )$ обозначается пространство всех
(линейных непрерывных) операторов из $X$ в $Y$ со стандартной нормой,
$ \operatorname{ App}(X,Y)$ --- замыкание множества всех конечномерных
операторов (операторов конечного ранга) в пространстве $ \operatorname{L}(X,Y).$

Оператор $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$ называется {\it оператором типа}\, $ \operatorname{RN}$
({\it оператором Радона-Никодима, $ \operatorname{RN}$-оператором})
[27, 20, 21, 18], если $ T$ переводит
векторные меры $ m$ ограниченной вариации в меры, представимые интегралом
Бохнера по вариации меры $m.$

Банахово пространство $ X$ {\it обладает свойством Радона--Никодима}\,
(см., например,[18, п. 24.2.6, 24.2.9; 4]), $ X\in \operatorname{RN},$
если тождественное отображение в $ X$ есть оператор типа $ \operatorname{RN}.$
Каждое рефлексивное пространство, а также сепарабельное сопряженное
пространство обладает свойством $ \operatorname{RN}$
(см. [9, 5, 4, 21]).
В частности, вполне сепарабельное банахово пространство,
как и все его сопряженные, имеет свойство Радона-Никодима.
Пространство со свойством $ \operatorname{RN}$
не может содержать изоморфную копию
пространства $ c_0,$ или копию пространства $ L_1[0,1].$

Оператор $ T: X\to Y$ называется {\it условно слабо компактным}, если
из всякой ограниченной последовательности $ ( x_n)\subset X$
можно извлечь такую подпоследовательность $ ( x_{n_k}),$
что $ \{ Tx_{n_k}\}$ --- последовательность Коши в
$ \left( Y, \sigma(Y,Y^*)\right).$
$ T$ является условно слабо компактным оператором тогда и только тогда,
когда не существует такого
изоморфного пространству $ l_1$ подпространства
$ Z$ в $ X,$ что сужение $ T|_Z$ является изоморфизмом
(см., например, [22]). Если $ T^*\in \operatorname{RN},$ то оператор $ T$
условно слабо компактен.

Напомним, что оператор $ T\in\operatorname{L}(X,Y)$ является
слабо компактным тогда и только тогда, когда
$ T(X^{**})\subset \pi_YY.$
Для слабо компактного оператора $ T: X\to Y$ через $ T^{\pi}$
обозначается его сильно бидуальный оператор [18, п. 1.5.5], т.е.
оператор из $ X^{**}$ в $ Y$, определяемый соотношением
$ T^{\pi}x'':= (\pi_Y|_{\pi_YY})^{-1}(T^{**}x'').$

\proclaim {\bf Лемма 1.1
     {\rm(см. [15],[32],[4, теорема VI.2.15])}}\it
Если оператор $ T: C(K)\to Z$ не является слабо компактным, то
в $ C(K)$ найдется изометричная копия пространства $ c_0,$
на которой оператор $ T$ действует как изоморфизм.
\endproclaim\rm

Следующие два утверждения взяты из статьи [12]
(второе приводится в удобной для нас формулировке,
существование базиса в пространстве $ Z^{**}$
в лемме 1.3 вытекает из определения пространства $ Z$
в доказательстве следствия 1 в [12]). Подробные сведения
о базисах Шаудера в банаховых пространствах
можно найти в монографии [13, раздел 1.b]).

\proclaim {\bf Лемма 1.2 {\rm ([12], теорема 1)}}\it
Для всякого сепарабельного банахова пространства $ E$
существуют сепарабельное банахово пространство $ W$
с монотонным натягивающим базисом
и факторотображение $ \Psi: W^*\to E$ такие, что
$ W^*$ имеет базис и $ W^{**}=\Psi^*E^*\oplus \pi_WW.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Лемма 1.3 {\rm ([12], следствие 1)}}\it
Для всякого сепарабельного банахова пространства $ E$
существуют сепарабельное банахово пространство $ Z$ с базисом
и линейный гомоморфизм $ \Phi: Z^{**}\to E$ такие, что
$ Z^{**}$ имеет базис $($и, следовательно, сепарабельно$),$
подпространство $ \Phi^*E^*$ дополняемо в $ Z^{***}$
и ядро гомоморфизма $ \Phi$  есть $ \pi_ZZ.$
\endproclaim\rm

Модифицируя определение пространства $ Y$ из доказательства
основной теоремы 1 из [12], нам удалось получить некоторое обобщение
этой теоремы Линденштраусса, --- доказательство соответствующего
утверждения готовится к печати в Записках научных семинаров ПОМИ, 2001.
Приведем необходимые нам следствия из этого обобщения.
Ниже в леммах 1.4 и 1.5 под $ l_{\infty}$
понимается пространство $ c_0.$

\proclaim {\bf Лемма 1.4}\it
В условиях леммы {\rm 1.2}, банахово пространство $ W$
и факторотображение $ \Psi: W^*\to E,$ помимо прочего,
могут быть выбраны еще и так, чтобы выполнялось условие

$\varepsilon_r^{(1)} $\,
для всякого $ \varepsilon>0,$ любого $ r\in[1,\infty)$ и для каждой
слабо $ r$-суммируемой последовательности $ (x_k)$ в $ E$
существует такая слабо $ r$-суммируемая последовательность
$ (w^*_k)$ в $ W^*,$ что $ \Psi w^*_n=x_n,$\, $ n=1,2,\dots,$ и
$ \varepsilon_r(w^*_n)\leqslant \varepsilon_r(x_n)+\varepsilon,$

или, что то же самое, условие

$l_r^{(1)} $\,
для всякого $ \varepsilon>0$ и любого $ r\in[1,+\infty]$ каждый оператор
$ T: l_r\to E$ может быть поднят (относительно факторотображения
$ \Psi$) до непрерывного линейного оператора $ \widetilde T: l_r\to W^*$
так, что $ \|\widetilde T\|\leqslant \|T\|+\varepsilon.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Лемма 1.5}\it
В условиях леммы 1.3, банахово пространство $ Z$
и факторотображение $ \Phi: Z^{**}\to E,$ помимо прочего,
могут быть выбраны еще и так, чтобы выполнялось условие

$\varepsilon_r^{(2)} $\,
для всякого $ \varepsilon>0,$ любого $ r\in[1,\infty)$ и для каждой
слабо $ r$-суммируемой последовательности $ (x_k)$ в $ E$
существует такая слабо $ r$-суммируемая последовательность
$ (z^{**}_k)$ в $ Z^{**},$
что $ \Phi z^{**}_k=x_k,$\, $ k=1,2,\dots,$ и
$ \varepsilon_r(z^{**}_k)\leqslant (2+\varepsilon)\,\varepsilon_r (x_k).$

или, что то же самое, условие

$l_r^{(2)} $\,
для всякого $ \varepsilon>0$ и любого $ r\in[1,+\infty]$ каждый оператор
$ T: l_r\to E$ может быть поднят (относительно факторотображения
$ \Psi$) до непрерывного линейного оператора $ \widetilde T: l_r\to Z^{**}$
так, что $ \|\widetilde T\|\leqslant (1+\varepsilon)\|T\|.$
\endproclaim\rm


Мы используем следующие обозначения для классических
операторных идеалов (основную информацию из теории операторных идеалов
можно найти в [18], но мы придерживаемся несколько других обозначений
и терминологии; см. [17, 16, 8]):

$[\operatorname{\Pi}_p,\pi_p]$ ---
идеал абсолютно $ p$-суммирующих операторов;

$[\operatorname{N}_p, \nu_p]$ ---
идеал $p$-ядерных операторов;

$[\operatorname{ I}_p,i_p]$ ---
идеал (строго) $ p$-интегральных операторов;

$[\operatorname{ I}^{\operatorname{Gr}}_p,i^{\operatorname{Gr}}_p]$ ---
идеал $ p$-интегральных  по Гротендику операторов;

$[\operatorname{QN}_p,\pi_p]$ ---
идеал квази-$p$-ядерных операторов.

Напомним определения (нужные нам в дальнейшем переформулировки,
которыми мы также будем пользоваться, можно найти, например,
в [18, 17, 16, 8]).
Пусть $ T\in \operatorname{L}(X,Y).$

Для $ 0< p\leqslant \infty$
оператор $T$ называется
{\it абсолютно $p$-суммирующим,}\ если существуют такая
постоянная $C>0,$ что для любого конечного набора
$\{x_n\}^M_{n=1} \subset X$  выполняется соотношение
$ \alpha_p(Tx_n) \le C\, \varepsilon_p(x_n);$ соответствующая (квази)норма
( $ \inf C$) обозначается через $ \pi_p(T).$
Отметим, что $ [\Pi_{\infty}, \pi_{\infty}]$
есть не что иное, как  $ [\operatorname{L},\|\cdot\|].$

Для $p\in[1,\infty]$  оператор $T$ называется
{\it $p$-ядерным}, если его можно представить в следующем виде:
$$
  Tx= \sum_{k=1}^\infty \langle x'_k,x\rangle \,y_k
    \qquad\text{ для $x\in X$}, \tag1.1
$$
где последовательности
$\,(x'_n)^{\infty}_{n=1}\subset X^* \,$ и $\,(y_n)^{\infty}_{n=1}\subset
Y \,$ таковы, что конечна величина
$$ \nu_p:= \alpha_p(x'_n)\,\varepsilon(y_n);
$$
соответствующая норма ($\inf \nu_p$)
обозначается через $ \nu_p(T).$
Для $ 0<p\leqslant1$ оператор $ T$ $ p$-ядерен, если он допускает представление
вида $ (1.1),$ в котором
$ \nu_p:=\left(\sum \left( \|x'_n\|\,\|y_n\|\right)^p\right)^{1/p}<\infty;$
соответствующая квазинорма ($\inf \nu_p$)
обозначается также через $ \nu_p(T).$ Во всех случаях мы будем называть
разложения оператора $ T$ в ряд вида $ (1.1)$
{\it подходящим разложением}.

Для $p\in[1,\infty]$  оператор $T:X\to Y$ называется ({\it строго})
{\it $ p$-интегральным},
если он допускает факторизацию вида
$$
\CD
X         @>A>>  C(K)  @>j>>   L_p(K,\mu)  @>B>>   Y \\
\endCD,
$$
где $ K$ --- некоторый компакт, $ \mu$ --- вероятностная мера Радона на нем,
$ j$ --- оператор "тождественного вложения" и $ A,B$ ---
непрерывные операторы. Норма в пространстве
$\operatorname{I}_p\left(X,Y \right)$  вводится следующим образом:
$ i_p(T)=\inf \,\|A\|\,\|B\|.$

Если $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$ и
$ \pi_YT\in \operatorname{I}_p(X,Y^{**}),$
то мы говорим, что оператор
$ T$ является {\it $ p$-интегральным по Гротендику};
норма $ i_p^{\operatorname{Gr}}(T)$ индуцируется
из $\operatorname{I}_p(X,Y^{**}).$

Для $ 0< p\leqslant \infty$
оператор $ T:X\to Y$ является {\it квази-$p$-ядерным},
$ T\in \operatorname{ QN}_p(X,Y),$ если для некоторого
изометрического вложения $ i:Y\to L_\infty(\mu)$ суперпозиция
$iT$ принадлежит пространству $ \operatorname{N}_p(X, L_\infty(\nu)).$
Квазинорма (норма при $ p\ge1$) в $\operatorname{ QN}{_p}(X,Y)$
индуцируется из пространства
$ \operatorname{\Pi}_p(X, L_\infty(\nu)).$

В монографии [18] идеал квази-$p$-ядерных операторов явно не упоминается,
--- о нем лишь немного говорится в разделе 19.2.6 из [18],
как об инъективной
оболочке идеала $ p$-ядерных операторов. Приведем две соответствующие
фразы из [18], поскольку мы хотим их прокомментировать (мы сохраним
полностью обозначения монографии [18]:
$ \frak I_r, \frak N_r, \frak G$ --- соответственно идеалы
$ r$-интегральных (по Гротендику), $ r$-ядерных и аппроксимируемых
операторов):
"... Ясно, что $ [\frak I_r, \Bbb I_r]^{ \operatorname{ inj}}$
служит максимальной оболочкой для
$ [\frak N_r, \Bbb N_r]^{ \operatorname{ inj}}.$
Но представляется весьма маловероятным, чтобы
$ [\frak N_r, \Bbb N_r]^{ \operatorname{ inj}}$
совпадало с минимальным ядром идеала
$ [\frak I_r, \Bbb I_r]^{ \operatorname{ inj}},$
иными словами, мы не знаем, справедливо ли равенство
$ [\frak N_r, \Bbb N_r]^{ \operatorname{ inj}} =$
$[\frak G,\|\cdot\|]\circ [\frak I_r,\Bbb I_r]^{ \operatorname{ inj}}
 \circ [\frak G,\|\cdot\|]$."
Действительно, инъективная оболочка идеала $ r$-ядерных операторов
(т.е. идеал всех квази-$r$-ядерных операторов) не совпадает с
минимальным ядром идеала $ r$-интегральных операторов ни при каком
$ r\in[1,\infty];$ это, например, следует из
теоремы 4.2,3) и следствия 4.12  ниже; см. также [25].


  Если $  \operatorname{ A}$ --- операторный идеал, то оператор,
лежащий в $ \operatorname{ A},$ мы часто будем называть
{\it $ \operatorname{ A}$-оператором}.

  Если $ [\operatorname{ A},a]$ --- некоторый квазинормированный
операторный идеал, то
$ \operatorname{ A}^{ \operatorname{ reg}}(X, Y)$ есть
пространство всех операторов $ T: X\to Y,$ для которых
$ \pi_Y\,T\in \operatorname{ A}(X, Y^{**}).$
С квазинормой $ a^{ \operatorname{ reg}}(T):=a(\pi_Y\,T)$ идеал
$ \operatorname{ A}^{ \operatorname{ reg}}$
становится квазинормированным операторным идеалом.
Так, например,
$ \operatorname{ I}_p^{ \operatorname{ reg}}$ --- нормированный
идеал таких операторов $ T,$ что второй сопряженный к $ T$
оператор лежит в $ \operatorname{ I}_p,$
или, другими словами, не что иное, как идеал
$ \operatorname{ I}^{\operatorname{Gr}}_p.$

Через $ \operatorname{ A}^{\operatorname{dual}}$ мы обозначаем дуальный
к $ \operatorname{ A}$ идеал:\,
$ T\in \operatorname{ A}^{\operatorname{dual}} $
тогда и только тогда, когда
$T^*\in \operatorname{ A}.$
Идеал $ \operatorname{ A}^{\operatorname{dual}}$
превращается в квазинормированный операторный идеал,
если на нем ввести квазинорму
$ a^{\operatorname{dual}}(T):=a(T^*).$

И еще обозначение:
$ a^*$ --- норма в сопряженном операторном идеале
$ [\operatorname{ A},a]^*=[ \operatorname{ A}^*,a^*]$
[18, п. 9.1, с. 135]

Приведем наиболее важные для нас примеры.

Пусть $ p\in[1,\infty].$

Мы говорим, что оператор $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$ {\it принадлежит идеалу}
$ \operatorname{N}^p,$ если он представим в виде
$$ T:= \sum_{n=1}^{\infty} x'_n\otimes y_n,
$$
где последовательности $ (x'_n)$ и $ (y_n)$ таковы, что
$ \varepsilon_{p'}(x'_n)<\infty,$ $ \alpha_p(y_n)<\infty.$
С нормой $ \nu^p(T):= \inf \varepsilon_{p'}(x'_n)\alpha_p(y_n)$
класс $ \operatorname{N}^p$ становится нормированным операторным идеалом.
Это --- почти дуальный к $ \operatorname{N}_p$ идеал;
дуальный к $ \operatorname{N}_p$ операторный идеал
есть на самом деле идеал $ (\operatorname{N}^{p})^{ \operatorname{ reg}},$
и оператор $ T\in \operatorname{N}_p^{\operatorname{dual}}(X,Y)$ тогда и только тогда, когда
$ \pi_Y T\in \operatorname{N}^p(X,Y^{**}).$
Вот иная характеристика операторов
$ T,$ лежащих в $ \operatorname{N}^p(X,Y).$
Оператор $ T$ является $ \operatorname{N}^p$-оператором в том и только том случае,
если он факторизуется следующим образом:
$$ X @>A>> l_{p'} @>{\Delta}>> l_1  @>B>> Y,
$$
где $ \Delta$ --- диагональный оператор с диагональю из $ l_{p},$
$ A,B$ --- операторы единичной нормы; при этом
$ \nu^p(T)$ есть норма диагонали в $ l_p.$

Далее, мы говорим, что оператор $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$ принадлежит идеалу
$ \operatorname{I}^p,$ если он допускает факторизацию вида
$$ X @>A>> L_{p'}(\mu) \overset{j}\to\hookrightarrow L_1(\mu)
   @>B>> Y,
$$
где $ \mu$ --- вероятностная мера, $ j$ --- тождественное вложение,
$ A$ и $ B$ --- непрерывные операторы;
при этом полагаем :
$ i^p(T)= \inf \|A\|\,\|B\|,$
где $ \inf$ берется по всевозможным факторизациям оператора $ T$
указанным образом.
В этом месте нам удобно ввести еще одно определение:
будем говорить, что оператор $ T\in\operatorname{L}(X,Y)$
{\it лежит в идеале} $ \operatorname{I}^p_{\operatorname{Gr}},$ если $ \pi_YT\in \operatorname{I}^p(X,Y^{**});$
при этом мы полагаем $ i^p_{\operatorname{Gr}}(T):= i^p(\pi_YT).$
Класс $ [\operatorname{I}^p_{\operatorname{Gr}}, i^p_{\operatorname{Gr}}]$
действительно является нормированным операторным идеалом.
Имеют место равенства
$$ [\operatorname{I}^p_{\operatorname{Gr}},i^p_{\operatorname{Gr}}]= [\operatorname{I}_p^{\operatorname{dual}}, i_p^{\operatorname{dual}}],\quad
    [\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}},i_p^{\operatorname{Gr}}]= [(\operatorname{I}^p)^{\operatorname{dual}}, (i^p)^{\operatorname{dual}}].
$$

В монографии А.Пича [18] некоторые из рассмотренных только что идеалов
являются частными случаями идеалов так называемых
$ (r,p,q)$-ядерных и $ (r,p,q)$-ин\-те\-г\-ральных операторов.

Другие примеры (такие, как $ p$-компактные операторы)
будут рассмотрены позже.


Для банаховых пространств $ X,Y$ алгебраическое тензорное произведение
$ X^*\otimes Y^*$ их банаховых сопряженных пространств определяет
естественным образом линейное подпространство в алгебраически сопряженном
к тензорному произведению $ X\otimes Y$ пространстве:
если $ (x'_k)_{k=1}^n\subset X^*,$ $ (y')_{k=1}^n\subset Y^*,$
то значение тензорного элемента  $ f:=\sum_{k=1}^n x'_k\otimes y'_k$
на элементарном тензоре $ x\otimes y$\, $(x\in X, y\in Y)$
есть $ f(x\otimes y):=\sum_{k=1}^n \langle x'_k, x\rangle  \langle y'_k,y\rangle $
(на все пространство $ X\otimes Y$\, $ f$ продолжается по линейности).
Более общо, для операторов $ A\in\operatorname{L}(X,E)$ и
$ B\in \operatorname{L}(Y,F),$
действующих в банаховых пространствах, их алгебраическое тензорное
произведение $ A\otimes B$ определяется на элементарных тензорах
вида $ x\otimes y$ соотношением $ (A\otimes B)(x\otimes y):= Ax\otimes By$ и
далее продолжается на все тензорное произведение $ X\otimes Y$
по линейности.

Пусть $ \frak T$ обозначает класс всех алгебраических тензорных
произведений произвольных банаховых пространств.
Отображение $ \alpha: \frak T\to [0,\infty)$
называется {\it тензорной нормой,}\, если для любых
банаховых пространств $ X,Y$ \, $ \alpha$ есть норма на $ X\otimes Y$ и
выполняются следующие условия:

$T_1)$ $\alpha(x\otimes y)= \|x\|\,\|y\|$ для всех $ x\in X,$ $ y\in Y,$ и

$T_2)$ если $ z\in X\otimes Y,$ то для любых банаховых пространств
$ E,F$ и операторов $ A:X\to E,$ $ B:Y\to F$ имеет место
неравенство $ \alpha((A\otimes B)z)\leqslant \|A\|\,\|B\|\alpha(z).$

Каждая тензорная норма является допустимой кросснормой в смысле
определения 1 в [4, стр. 221], в котором выполнение условия $T_2)$
требуется только для случая скалярнозначных операторов, т.е.
функционалов на $ X$ и $ Y$ соответственно.
Для тензорной нормы $ \alpha$ нормированное пространство
$ (X\otimes Y,\alpha)$ обычно обозначается через $ X\otimes_{\alpha} Y,$
а его пополнение --- через $ X\widehat\otimes_{\alpha} Y$ (мы, однако,
в большинстве случаев не будем придерживаться этой традиции).

\remark {\bf Замечание 1.6 }
На самом деле, для выполнения условия $T_1)$ (при выполнении $T_2)$)
достаточно требовать, чтобы норма
$ \alpha$ удовлетворяла формально более слабому условию,
а именно, условию, которое получается из $T_1)$ заменой равенства
норм рассматриваемых там тензорных элементов на неравенство $ \leqslant$
(см. [4, с. 222, предложение 2]).
\endremark\medpagebreak

В этой работе мы будем рассматривать, в основном,
тензорные нормы на тензорных произведениях вида
$ X^*\otimes Y;$ в этом случае тензорное произведение $ X^*\otimes Y$
естественным образом отождествляется с линейным пространством всех
конечномерных операторов из $ X$ в $ Y.$
В общем случае тензорное произведение $ X\otimes Y$
можно представлять себе как линейное пространство всех
$ weak^*$-$to$-$weak$ непрерывных конечномерных
линейных отображений из $ X^*$
в $ Y.$

На классе $ \frak T$ имеются наибольшая (сильнейшая)
и наименьшая (слабейшая)
тензорные нормы [9] (см. также [4, с. 222 и далее]).
Сильнейшая тензорная норма $ \nu_1^0$ на $ X^*\otimes Y$
порождает (после пополнения по этой норме){\it проективное тензорное
произведение}\ Гротендика $ X^*\widehat\otimes Y$ [9],
а слабейшая $ \|\cdot\|$ --- {\it инъективное тензорное произведение}
$ X^*\widehat{\widehat\otimes} Y$,
которое можно отождествить с пополнением линейного пространства всех
конечномерных непрерывных отображений из $ X$ в $ Y,$
снабженного обычной операторной нормой $ \|\cdot\|,$
так что $ X^*\widehat{\widehat\otimes} Y$ можно рассматривать как
замкнутое линейное подпространство
в $ \operatorname{L}(X,Y),$ что мы и будем
делать ниже. Из только что сказанного вытекает, что для всякой
тензорной нормы $ \alpha$ естественное отображение
$ X^*\otimes_{\alpha} Y\to \operatorname{L}(X,Y)$
продолжается по непрерывности
до {\it канонического отображения}\ из
$ X^*\widehat\otimes_{\alpha} Y$ в $\operatorname{L}(X,Y).$
Аналогично, в общем случае произведений вида $ X\otimes Y$
естественное отображение
$ X\otimes_{\alpha} Y\to \operatorname{L}(X,Y)$
продолжается по непрерывности
до канонического отображения из
$ X\widehat\otimes_{\alpha} Y$ в $\operatorname{L}(X^*,Y),$
причем образ этого отображения лежит в подпространстве всех
$ weak^*$-$to$-$weak$-непрерывных операторов из $ X^*$
в $ Y.$

Если $ X^*\widehat\otimes_\alpha Y,$ ---
пополнение тензорного произведения по тензорной норме  $ \alpha$
и $ z\in X^*\widehat\otimes_\alpha Y,$ то ассоциированный с этим тензорным элементом
оператор мы будем обозначать через $ \widetilde z$ (аналогичное обозначение будем
использовать и в случае $ z\in X\widehat\otimes_{\alpha} Y$).
Кроме того, в случае произвольной тензорной нормы $ \alpha$
договоримся обозначать через
$ \operatorname{N}_{[\alpha]}(X,Y)$ образ (банахова) тензорного
произведения $ X^*\widehat\otimes_{\alpha} Y$ при каноническом отображении
$ j_{\alpha}: X^*\widehat\otimes_{\alpha} Y \to \operatorname{L}(X,Y),$
так что изометрически
$$ \operatorname{N}_{[\alpha]}(X,Y)=
    X^*\widehat\otimes_{\alpha} Y/ \operatorname{ Ker}j_{\alpha};
$$
норму на $ \operatorname{N}_{[\alpha]}(X,Y),$
индуцированную соответствующим факторотображением,
мы обозначим через $ \nu_{[\alpha]}$
(в конкретных ситуациях обозначения будут отличаться от введенных
выше; это же замечание можно сделать и по поводу
обозначений для различных аппроксимационных
свойств, определения которых в общем виде
приводятся ниже).

Пусть $ \operatorname{ B}, \operatorname{L}$
обозначают, соответственно, классы всех банаховых
пространств и всех (линейных непрерывных) операторов в банаховых
пространствах,
и пусть $ \alpha$ --- некоторая тензорная норма на $ \frak T.$
Рассмотрим подкласс $ \operatorname{N}_{[\alpha]}$ в $ \operatorname{L},$
компонентами которого являются банаховы операторные пространства
$ \operatorname{N}_{[\alpha]}(X,Y).$
Нетрудно видеть, что условия $ T_1)$ и $ T_2)$
гарантируют выполнение аксиом из определения нормированного идеала
в [18, определения 1.1.1., 6.1.1, 6.2.2.],
и поэтому пара $ \left[\operatorname{N}_{[\alpha]},\alpha\right]$ представляет собой
(полный) нормированный операторный идеал.

Определим теперь {\it тензорную норму, дуальную к заданной тензорной
норме}\, $\alpha.$
Мы полагаем, для $ x\in X$ и $ y\in Y,$
$ \alpha^{\operatorname{dual}}(x\otimes y):= \alpha (y\otimes x),$
или, более общо,
$ \alpha^{\operatorname{dual}}(\sum_{n=1}^N x_n\otimes y_n):=
\alpha (\sum_{n=1}^N y_n\otimes x_n).$
Появляется естественная изометрия из
$ X\otimes_\alpha Y$ на $ Y\otimes_{\alpha^{\operatorname{dual}}} X,$
которая продолжается до изометрического оператора
из $ X\widehat\otimes_\alpha Y$ на $ Y\widehat\otimes_{\alpha^{\operatorname{dual}}} X.$
Ясно, что $ (\alpha^{\operatorname{dual}})^{\operatorname{dual}}=\alpha.$

И еще обозначение: если $ [\operatorname{ A},a]$ ---
квазинормированный операторный идеал, то
$Z^*\widehat{\widehat\otimes}_{a} W$ замыкание множества конечномерных
операторов в пространстве $ \operatorname{ A}(Z,W).$

Приведем основные примеры тензорных норм и произведений,
с которыми мы будем иметь дело в данной работе (некоторые тензорные нормы
будут также определены в других параграфах).

{\it Конечная $p$-ядерная тензорная норма}\, $||\cdot||_p$ для
$p\in [1,+\infty]$ определяется на произведении  $X\otimes Y$ следующим
образом:
если $z\in X\otimes Y \,$, то
$$
 ||z||_p :=\ \inf\quad\left(\sum_{k=1}^N\,\|x_k\|^p\right)^{1/p}\!
    \sup_{\|y'\|\le 1}
     \left\{ \left(\sum_{k=1}^N\,|<y_k,y'>|^{p'}\right)^{1/p'}\right\},
\tag1.2
$$
где  $\ 1/p+1/p'=1\ $ и \, infimum \,берется по всевозможным представлениям
тензорного элемента $z$ в пространстве  $X\otimes Y$ в виде
$\,z= \sum_{k=1}^Nx_k\otimes y_k$ \ (формально, формула (1.2) имеет смысл
лишь при конечном показателе $p>1;$ в случаях $p=1\,$ и $\,p=+\infty\,$
в этом определении нужно произвести соответствующие тривиальные изменения,
на которых мы не останавливаемся).
Для $ 0<p\leqslant 1$ мы определяем $ p$-проективную квазинорму  $||\cdot||_p$
на произведении  $X\otimes Y$ так:
если $z\in X\otimes Y \,$, то
$$
 ||z||_p :=\ \inf\quad\left(\sum_{k=1}^N\,(\|x_k\|\|y_k\|)^p\right)^{1/p},
$$
где infimum берется по представлениям тензорного элемента $z$
в виде $\,z= \sum_{k=1}^Nx_k\otimes y_k.$
Пополнение тензорного произведение $ X\otimes Y$
по квазинорме $ \|\cdot\|_p,$
$ 0<p\leqslant \infty,$  обозначается через $ X\widehat\otimes_p Y.$
В случае, когда $ p\in[1,\infty],$ пополнение тензорного
произведения $ X\otimes Y$ по дуальной к $ \|\cdot\|_p$ норме
обозначается через $ X\widehat\otimes^p Y.$

Если $ p\in[1,\infty],$
то сопряженное к тензорному произведению $ X\widehat\otimes_p Y$
пространство есть $ \Pi_{p'}(Y,X^{**}),$
а
сопряженное к тензорному произведению $ X\widehat\otimes^p Y$
пространство отождествляется с
$ \Pi_{p'}^{ \operatorname{ dual}}(Y,X^{**})$
(двойственность задается стандартным образом при помощи следа
суперпозиции тензорного элемента и оператора, порождающего функционал).

\remark {\bf Замечание 1.7}
Выбранный нами термин "$ p$-проективная" обусловлен тем,
что если $ p\in (0,1),$ то, как и в случае $ p=1$
(см. [4, с. 229, предложение 12]),
для подпространства $ Z$ некоторого банахова пространства $ X$
тензорное произведение $ (X/Z)\widehat\otimes_p Y$
есть факторпространство пространства
$ X\widehat\otimes_p Y$ и $ Y\widehat\otimes_p (X/Z)$ --- факторпространство пространства
$ Y\widehat\otimes_p X,$ каково бы не было $Y.$
При $ p>1$ соответствующий факт для тензорных произведений $ \widehat\otimes_p,$
вообще говоря, не верен (но есть так называемая
"$ p$-проективность слева"; подробности автор предполагает привести
в одной из последующих работ).
\endremark\medpagebreak

Для любого $ p\in (0,\infty]$ дуальная норма к
тензорной норме $ \|\cdot\|_p$ порождает новое банахово
тензорное произведение, которое мы обозначим через $ \widehat\otimes^p.$
Рассмотренные тензорные произведения, очевидно, тесно связаны
с соответствующими операторными идеалами.
Так, для любых банаховых пространств $ X,Y$ пространство
$ \operatorname{N}_p(X,Y)$ есть факторпространство тензорного произведения
$ X^*\widehat\otimes_p Y,$ каково бы ни было $ p>0;$
$ \operatorname{N}^p(X,Y)$ --- факторпространство тензорного произведения
$ X^*\widehat\otimes^p Y.$

Примеры других тензорных норм и произведений будут появляться
ниже по мере необходимости.

\definition {\bf Определение 1.8}
Пусть $ \alpha$ --- тензорная норма на $ \frak T.$
Мы говорим, что банахово пространство $ Y$ {\it обладает свойством
аппроксимации относительно нормы}\, $\alpha,$
или {\it удовлетворяет условию $ \alpha$-аппроксимации,}\,
если для любого банахова пространства $ X$ каноническое отображение
$ X^*\widehat\otimes_{\alpha} Y\to \operatorname{L}(X,Y)$ взаимно однозначно.
\enddefinition

Тот факт, что банахово пространство $ Y$ обладает свойством
$ \alpha$-аппроксимации коротко будет записываться так:
$ Y\in \operatorname{AP}[\alpha].$
Очевидно, банахово пространство $ Y$ удовлетворяет условию
$ \alpha$-аппроксимации тогда и только тогда, когда
для всякого $X$ каноническое отображение из
$ Y\widehat\otimes_{\alpha^{\operatorname{dual}}} X$ в $ \operatorname{L}(Y^*,X)$ взаимно однозначно.
Нетрудно показать, что если банахово пространство обладает
свойством аппроксимации Гротендика
(т.е. свойством $ \operatorname{AP}[\nu_1^0]$),
то оно обладает и любым аппроксимационным свойством $ \operatorname{AP}[\alpha].$
Ясно также, что если $ Y^{**}\in \operatorname{AP}[\alpha],$ то и $ Y\in\operatorname{AP}[\alpha],$
и если $ Y^*\in \operatorname{AP}[\alpha^{\operatorname{dual}}],$
то каноническое отображение $ Y^*\widehat\otimes_{\alpha} X\to \operatorname{L}(Y,X)$
взаимно однозначно для любого банахова пространства $ X.$

\remark {\bf Замечание 1.9 }
Наши определения не покрывают такие важные случаи, как случай
квазинормированных тензорных произведений и соответствующих
им квазинормированных пространств операторов (например, гротендиковские
$ p$-проек\-тивные тензорные произведения при $ 0<p<1$ вместе с
соответствующими аппроксимационными свойствами [31]
в наши рассмотрения сейчас не входят.) Когда нам понадобятся
определения, связанные с этими случаями,
мы приведем их в соответствующем месте.
\endremark\medpagebreak

\remark {\bf Замечание 1.10}
Можно определить понятие свойства ограниченной и свойства
метрической аппроксимации для произвольной тензорной
нормы на классе тензорных произведений банаховых пространств.
В этой статье мы предпочитаем вводить соответствующие определения
в тех местах и для тех тензорных норм, для которых
это потребуется по существу изложения. Видимо, общая ситуация
будет рассмотрена автором в другой работе.
\endremark\medpagebreak

\head{\bf \S 2. Аппроксимация операторов и свойство Радона-Никодима}
\endhead

Будем говорить, что оператор $ T\in \operatorname{L}(X,Y)$
факторизуется через оператор
$ V\in \operatorname{L}(Z,W),$
если $ T=U_1VU_2,$ где $ U_1\in \operatorname{L}(W,Y),$
$ U_2\in\operatorname{L}(X,Z).$

Пусть $ X$ банахово пространство, $ E$ --- некоторая банахова решетка.
Обозначим через $ S(E,X)$ линейное пространство всех таких операторов
$ U:E\to X,$ что существует положительный функционал $ e'=e'(U)\in E^*,$
для которого $ \|Ue\|\leqslant \langle  e',|e|\rangle $ при всех $ e\in E;$
с нормой $ s(U):=\inf \{ \|e'\|:\ \|Ue\|\leqslant \langle  e',|e|\rangle \}$
пространство $ S(E,X)$ превращается в банахово пространство.
Простейшими {\it примерами $ S$-операторов являются тождественные
вложения $J_{p1}: L_p(\mu)\to L_1(\mu),$  где мера $ \mu$ конечна и}\,
$ p\in[1,\infty].$

Напомним, что оператор, действующий между двумя банаховыми решетками,
называется {\it регулярным,}\, если он представим в виде разности
двух положительных операторов. Всякий оператор, действующий в пространствах
типа $ L_1(\mu),$ является регулярным [9, с. 66, предложение 10].


\proclaim {\bf Лемма 2.1 {\rm [23, теорема 1 и следствие 1]}}\it
Оператор $ T\in\operatorname{L}(X,Y)$ является оператором Радона-Никодима
тогда и только тогда, когда для всякой банаховой решетки $E$
и любого отображения $ U\in S(E,X)$ оператор $ TU$
факторизуется через некоторое отображение $ V\in S(E,l_1(\Gamma)).$
\endproclaim\rm

Напомним, что банахова решетка $ F$ называется\,
{\it решеткой минимального типа,}\ если всякий порядковый интервал
$ [-f,f]\subset F$ слабо компактен. Примерами таких решеток
могут служить пространства $ L_p(\mu),$ $ 1\leqslant p<\infty.$

\proclaim {\bf Лемма 2.2}\it
Пусть $ E$ --- банахова решетка, для которой $ E^*$ --- решетка
минимального типа, $ X,Y$ --- банаховы пространства
и $ T\in \operatorname{RN}(X,Y).$
Для всякого отображения $ U\in S(E,X)$ оператор $ TU$
допускает представление вида
$$  \sum_{k=1}^{\infty} e'_k\otimes y_k,\quad
  \left\| \sum_{k=1}^{\infty} \|y_k\|\,|e'_k|\right\|< \infty, \tag{2.1}
$$
где $ (e'_k)_k\subset E^*,$ $ (y_k)_k\subset Y.$
При этом, если
$$ s_0(TU):= \inf \left\| \sum_{k=1}^{\infty} \|y_k\|\,|e'_k|\right\|,
$$
инфимум берется по всем представлениям (2.1),
то $ s_0(TU)\leqslant s(U)\|T\|.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
По лемме 2.1, оператор $ TU$
факторизуется через некоторое отображение $ V\in S(E,l_1(\Gamma)).$
Пусть $ e_0'>0$ --- такой линейный функционал на $ E,$
что $ \|Ve\|\leqslant \langle  e_0',|e|\rangle $ для всех $ e\in E$
Если $ e'\in E^*,$ $ e\in E_+,$ то
$ \langle |e'|,e\rangle = \sup \{ | \langle  e',\widetilde e\rangle |:\ |\widetilde e|\leqslant e\}.$
Поэтому для $ \alpha\in l_{\infty}(\Gamma)$ и $ e\in E_+$
$$ \langle  |V^*\alpha|,e\rangle   = \sup \{ | \langle  \alpha,V\widetilde e\rangle |:\ |\widetilde e|\leqslant e\}
 \leqslant \|\alpha\|\, \|Ve\|\leqslant \|\alpha\|\, \langle  e_0', e\rangle ,
$$
т.е. $ |V^*\alpha|\leqslant \|\alpha\|\,e'_0$ для всех $ \alpha$
и, следовательно, оператор $ V^*,$ а, значит, и $ V$,
слабо компактен.
Далее, если определить полунорму $ p$ на $ E$ следующим соотношением:
$ p(e):= \langle  e'_0,|e|\rangle ,$ то ассоциированное с парой $ (E,p)$
банахово пространство $ \widehat E_p$ будет $ AL$-пространством
(т.е. банаховой решеткой с нормой, аддитивной на конусе
положительных элементов). Это пространство изоморфно
некоторому пространству $ L_1(\mu)$ [11],
и оператор $ V$ факторизуется через него
каноническим образом: $ V:E\to \widehat E_p\to l_1(\Gamma)$
Поскольку всякий оператор в $ L_1$-пространствах регулярен,
то $ V$ --- регулярный слабо компактный оператор,
а так как $ l_1(\Gamma)$ обладает свойством Шура, то,
с одной стороны, этот оператор компактен, и, с другой стороны,
можно считать, что $ \Gamma=\Bbb N.$
Ниже для $ \alpha\in\l_1$ через $ \alpha(k)$ мы обозначаем $ k$-ю
координату элемента $ \alpha,$ через $ h_k$ --- $k$-й "орт" как
в $ l_1,$ так и в $ l_{\infty}.$
Рассмотрим формальный ряд
$$ \sum_{k=1}^{\infty} V^*h_k\otimes h_k.   \tag2.2
$$
Для $ e\in E_+$ имеем:
$$ \sum_{k=m}^{n} \langle |V^*h_k|,e\rangle  \leqslant
   \sum_{k=m}^{n} \langle |V|^*h_k,e\rangle =
   \sum_{k=m}^{n} \langle h_k,|V|e\rangle = \langle \sum_{k=m}^{n} h_k, |V|e\rangle =
   \sum_{k=m}^{n} (|V|e)(k).
$$
Если $ \varepsilon>0,$ то, в силу компактности оператора $ V,$
правая часть последних соотношений будет меньше, чем $ \varepsilon$
при всех $ m,n>N(\varepsilon)$ для всех нормированных векторов $e\in E.$
Таким образом, наш формальный ряд (2.2) сходится в
$ \operatorname{L}(E,l_1)$
и, более того, в $ E^*$
сходится ряд $ \sum_{k=1}^{\infty} |V^*h_k| \|h_k\|.$
Так как $ (Ve)(k)= \langle  Ve,h_k\rangle = \langle  V^*h_k,e\rangle ,$ то
ряд (2.2) сходится также и по норме $ s_0,$
причем к оператору $ V.$
Ясно, что отсюда вытекает утверждение нашей леммы.
$\quad\qed$\enddemo

Следующее утверждение, возможно, известно (по крайней мере,
в математическом фольклоре). Мы не нашли его в литературе,
поэтому приводим доказательство.

\proclaim {\bf Лемма 2.3}\it
Всякий оператор $ S: L_p(\mu)\to Y$ вида {\rm (2.1)},
где $1< p< \infty,$ а $ Y$ --- банахово пространство,
является $ \operatorname{N}^{p'}$-оператором.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Пусть  (2.1) --- некоторое представление оператора $ S,$
в котором $ (e'_k)_k\subset L_{p'}(\mu),$ $ (y_k)_k\subset Y.$
Функция $\overline f(\cdot):=\sum_{k=1}^{\infty} e'_k(\cdot) y_k,$
принадлежит
пространству $ L_{p'}(\mu; Y),$ причем $ Sf=\int f\overline f\,d\mu$
для $ f\in L_p(\mu)$ и $\|\overline f\|_{L_{p'}}\leqslant s_0(S).$
Нетрудно понять, что оператор $ S,$ каково бы ни было его
представление в виде (2.1), определяет функцию $ \overline f$
(п.в.) однозначно
(другое подобное представление $ S$ порождает ту же функцию).
Таким образом, нормированное пространство всех операторов вида
(2.1) непрерывно отображается на некоторое подмножество
$ \widetilde S$ пространства $ L_{p'}(\mu; Y),$ и норма этого отображения
не превосходит 1. Очевидно, что $ \widetilde S$ содержит все простые функции,
при этом, если $ \overline {\varphi}=\sum_{k=1}^n \chi_{A_k}\,y_k^0$ ---
простая функция (множества $ A_k$ попарно не пересекаются),
то
$$ \|\overline {\varphi}\|_{L_{p'}(\mu; Y)}=
\left( \int \left\| \sum_{k=1}^n \chi_{A_k}\,y_k^0\right\|^{p'}\right)^{1/{p'}}=
  \left\| \sum_{k=1}^n \chi_{A_k}\,\|y_k^0\| \right\|_{L_{p'}}.
$$
Поэтому на множестве простых функций операторная норма $ s_0$
индуцирует  в точности оригинальную норму $ \|\cdot\|_{L_{p'}(\mu; Y)},$
и, следовательно, описанное выше отображение $ S \mapsto\overline f$
является изометрическим изоморфизмом "на".
Вернемся к нашему оператору $ S$ из  (2.1).
Если этому оператору при указанном изоморфизме соответствует
функция $ \overline f\in L_{p'}(\mu; Y),$
то сопряженный оператор действует по формуле
$ S^*y'= \langle  y', \overline f(\cdot)\rangle ,$ что гарантирует его принадлежность
пространству $ p'$-ядерных отображений
$ \operatorname{N}_{p'}(Y^*,L_{p'}(\mu))$
[69Pers, теорема 1]. Так как все пространства вида $ L_r(\mu)$
обладают свойством метрической аппроксимации, то из
$ p'$-ядерности оператора $ S^*$ вытекает принадлежность оператора
$ S$ пространству $ N^{p'}(L_p(\mu),Y)$ [29, теорема 1].
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 2.4}\it Для любого $ q\in [1,\infty)$
суперпозиция $ TS: Z @>S>> X @>T>>~Y$
$ \operatorname{I}^q$-оператора $ S$ и оператора $T$ типа $ RN$
принадлежит идеалу $ \operatorname{N}^q;$ при этом,
$ \nu^q(TS)\leqslant \|T\|i^q(S). $
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Если $ 1<q<\infty,$
то применимы леммы 2.3 и 2.2, так как тождественное вложение
$J_{p1}: L_p(\mu)\to L_1(\mu),$  где мера $ \mu$ конечна,
является $ S$-оператором для любого $ p\in(1,\infty)$.
Справедливость утверждения при $ q=1$
вытекает из [27, теорема 4] или [21, теорема 1].
$\quad\qed$\enddemo

\remark {\bf Замечание 2.5 }
Случай $ q=\infty$ рассмотрен в следствии 2.13.
Здесь мы отметим лишь, что тождественное отображение
$ l_1\to l_1$ является $ \operatorname{I}^{\infty}$-оператором, но не
принадлежит идеалу $ \operatorname{N}^{\infty},$ хотя $ l_1$ ---
сопряженное пространство со свойством Радона-Никодима.
Это же замечание можно отнести и следствию 2.6 ниже.
\endremark\medpagebreak

\proclaim {\bf Следствие 2.6}\it
Для любого $ q\in [1,\infty)$
суперпозиция $ TS: Z @>S>> X @>T>>~Y$
$ \Pi_q^{\operatorname{dual}}$-оператора $ S$ и оператора $T$ типа $ RN$
принадлежит идеалу $ \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Пусть $ \Phi: l_1(\Gamma)\to Z$ --- какое-нибудь факторотображение.
Сопряженный оператор $ \Phi^*$ является изометрическим вложением
пространства $ Z^*$ в $ l_{\infty}(\Gamma)$ и поэтому
$ \Phi^*S^*\in \operatorname{I}_q(X^*,l_{\infty}(\Gamma)).$
По следствию 2.4,
$ \Phi^*S^*T^*\in \operatorname{N}_q(Y^*,l_{\infty}(\Gamma))$
и, значит, оператор $ S^*T^*$
--- $ q$-квазиядерный, т.е.
$ TS\in \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}.$
$\quad\qed$\enddemo

Перед тем, как пойти дальше, введем ряд определений и обозначений.
Свойства
$ \operatorname{AP}_p,$ $ C$-$\operatorname{MAP}_p$ и $ \operatorname{BAP}_p$ определены,
например, в [28, 25, 26, 31],
а свойства
$ \operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}},$
$ C$-$\operatorname{MAP}_p^{\operatorname{dual}}$
и $ \operatorname{BAP}_p^{\operatorname{dual}}$
появляются впервые в данной работе.
Пусть $\,C\ge 1,\,p\in[1,+\infty].$

Говорят, что банахово пространство
$\,Y\,$ {\it обладает свойством $\,\operatorname{AP}_p\,$}
(коротко --- $\,Y\in\operatorname{AP}_p$),
если для любого банахова пространства $\,X\,$ каноническое отображение
$\,X^*\widehat \otimes_p \,Y \,\to \,\operatorname{L}\left(X,Y \right)\ $
\, взаимно однозначно (и, следовательно, $X^*\widehat \otimes_p \,Y =
\operatorname{ N}_p(X,Y)$). Пространство $\,Y\,$ {\it обладает
свойством} $C$-$\operatorname{MAP}_p\,$, $\,Y\in $
$C$-$\operatorname{MAP}_p$, если для любого $\,X\,$ естественное
отображение $\,X^*\widehat \otimes_p \,Y \,\to \,
\operatorname{I}_p^{\operatorname{Gr}}
\left(X,Y \right)\ $
есть $C$-изометрическое вложение (в данном случае это
означает, что существует непрерывное обратное с нормой не больше $\,C$.
Наконец, $\,Y\,$ {\it имеет свойство}
$\,\operatorname{BAP}_p\,$
(соответственно, {\it свойство} $\,\operatorname{MAP}_p\,$),
если оно
обладает свойством $\,C$-$\operatorname{MAP}_p\,$  для некоторого
числа $\,C\ge 1\,$ (соответственно, свойством
$\,1$-$\operatorname{MAP}_p$).

Говорят, что банахово пространство
$\,Y\,$ {\it обладает свойством $\,\operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}}\,$}
(коротко --- $\,Y\in\operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}}$),
если для любого банахова пространства $\,X\,$ каноническое отображение
$\,X^*\widehat \otimes^p \,Y \,\to \,\operatorname{L}\left(X,Y \right)\ $
\, взаимно однозначно (и, следовательно, $X^*\widehat \otimes^p \,Y =
\operatorname{ N}^p(X,Y)$). Пространство $\,Y\,$ {\it обладает
свойством} $C$-$\operatorname{MAP}_p^{\operatorname{dual}}\,$, $\,Y\in $
$C$-$\operatorname{MAP}_p^{\operatorname{dual}}$, если для любого $\,X\,$ естественное
отображение $\,X^*\widehat \otimes^p \,Y \,\to \,
\operatorname{I}^p_{\operatorname{Gr}}
\left(X,Y \right)\ $
есть $C$-изометрическое вложение (в данном случае это
означает, что существует непрерывное обратное с нормой не больше $\,C$.
Наконец, $\,Y\,$ {\it имеет свойство} $\,\operatorname{BAP}_p^{\operatorname{dual}}\,$
(соответственно, {\it свойство} $\,\operatorname{MAP}_p^{\operatorname{dual}}\,$),
если оно
обладает свойством $\,C$-$\operatorname{MAP}^{\operatorname{dual}}_p\,$  для некоторого
числа $\,C\ge 1\,$ (соответственно, свойством
$\,1$-$\operatorname{MAP}_p^{\operatorname{dual}}$).

Если $\,p=1,\,$ то $ \operatorname{ AP}_1=
 \operatorname{ AP}_1^{ \operatorname{ dual}},$ и
мы используем общепринятые в этом случае аббревиатуры
$\operatorname{AP},\,$ $C$-$\operatorname{MAP},\,$
$\operatorname{BAP},\,$
$\operatorname{MAP};\,$ --- это обычные аппроксимационные условия
Гротендика.


Следующая теорема имеет "страшнейшую" формулировку, в которой появляется
четвертое сопряженное пространство. Но упростить предположения,
появляющиеся в этой теореме, используя только рассмотренные выше
аппроксимационные свойства, нельзя.
По поводу альтернативной формулировки этой теоремы, более простой,
чем предлагаемая ниже, и в которой появляются {\it новые аппроксимационные
условия}, см. замечание сразу после доказательства теоремы.

\proclaim {\bf Теорема 2.7}\it
Пусть $\, p\in [1,\infty]$ и $ T\in \operatorname{L}(X,Y).$
Если
$ T\in \operatorname{N}^p(X, Y^{**})$ и
либо $\, X^*\in \,\operatorname{AP}_p,$
либо $\, Y^{****}\in \,\operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}},$
либо $ Y^{***}\in \operatorname{AP},$
то $T\in \operatorname{N}^p(X,Y).$ Иначе говоря, в этих условиях
из $ p$-ядерности сопряженного оператора $ T^*$ вытекает
принадлежность оператора $ T$ пространству $ \operatorname{N}^p(X, Y).$
При этом
$ \|T\|_{\operatorname{N}^p(X, Y)}=\|T\|_{\operatorname{N}^p(X, Y^{**})}$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
  Предположим, что существует такой оператор
$ T\in \operatorname{L}(X,Y),$
что $ T\notin \operatorname{N}^p(X,Y),$
но $ \pi_Y\,T\in \operatorname{N}^p(X,Y^{**}).$
Так как либо $ X^*\in\operatorname{AP}_p,$
либо $ Y^{**}\in \operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}}$
(последнее верно, если
$ Y^{****}\in \operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}}$)
то $ \operatorname{N}^p(X,Y^{**})=X^*\widehat\otimes^p Y^{**}$
(стоит отметить, что из последнего равенства вытекает, в частности,
изометричность естественного вложения пространства
$\operatorname{N}^p(X,Y)$ в $ \operatorname{N}^p(X,Y^{**})$).
Следовательно, оператор $ \pi_Y\,T$ можно отождествить
с тензорным элементом
$ t\in X^*\widehat\otimes^p Y^{**};$ при этом\,
$  t\notin X^*\widehat\otimes^p Y$ \, (пространство
$  X^*\widehat\otimes^p Y$
рассматривается как подпространство пространства
$  X^*\widehat\otimes^p Y^{**}$\!).
Следовательно, существует такой оператор
$ U\in \Pi^{ \operatorname{ dual}}_{p'}(Y^{**},X^{**})
=\left( X^*\widehat\otimes^p Y^{**}\right)^*,$ что
$ \operatorname{trace}\, U\circ t=\operatorname{trace}\, \left(T^*\circ \left( U^*|_{X^*}\right) \right)=1$ и
$ \operatorname{trace}\, U\circ \pi_Y\circ z=0$ для любого $ z\in X^*\widehat\otimes^p Y.$
Из последнего вытекает, в частности, что $ U\pi_Y=0$ и
$ \pi_Y^*\,U^*|_{X^*}=0.$
Действительно, если $ x'\in X^*$ и $ y\in Y,$ то
$$ \langle U\pi_Y\,y,x'\rangle  = \langle y, \pi_Y^*\,U^*|_{X^*}x'\rangle
       = \,\operatorname{trace}\, \,U\circ (x'\otimes \pi_Y(y))=0.
$$
Очевидно, что тензорный элемент $ U\circ t$  порождает оператор
$ U\pi_Y T,$ который тождественно равен нулю.

Если $ X^*\in \operatorname{AP}_p,$ то
 $ X^*\widehat\otimes^p Y^{**}= N^p(X,Y^{**})$
и, значит, этот тензорный элемент нулевой, что противоречит равенству
$ \operatorname{trace}\,\, U\circ t=1.$

Случай, когда $ Y^{***}\in \operatorname{AP},$ рассмотрен в работе [29].
Пусть теперь $ Y^{****}\in \operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}}.$
В этом случае оператор
$$ V:= T^*\circ \pi_Y^*: \
       Y^{***}\to Y^* \to X^*
$$
однозначно определяет некоторый тензорный элемент
$ t_0$ из тензорного произведения
$ Y^{****}\widehat{\otimes}_p X^{*}.$
Возьмем какое-либо представление $ t=\sum x'_n\otimes y''_n$ для $ t$
как элемента пространства $ X^*\widehat{\otimes}^p Y^{**}.$
$$\align
   Vy'''= T^*\pi_Y^*\,y''' =
     (T^*\pi_Y^*\pi_{Y^*})\,\pi_Y^*\, y''' =
     (\pi_Y T)^*\,\pi_{Y^*}\,\pi_Y^*\, y''' &= \\ =
     \left(\sum y''_n\otimes x'_n\right)\,\pi_{Y^*}\,\pi_Y^*\, y'''
    = \sum \langle y''_n, \pi_Y^*\, y'''\rangle  \,x'_n  &= \\ =
      \sum \langle \pi_Y^{**}y''_n,  y'''\rangle  \, x'_n&.
  \endalign
$$

Итак, оператор $ V$ имеет в пространстве
$ Y^{****}\widehat\otimes_p \,X^{*}$ представление
$$ V= \sum \pi_Y^{**}(y''_n)\otimes x'_n,
$$
т.е. $ t_0=\pi_Y^{**}\circ t.$

Обозначив для краткости оператор $ U^*|_{X^*}$ через $ U_*,$
получаем:
$$
   U_*Vy'''
      \sum \langle \pi_Y^{**}y''_n,  y'''\rangle  \,U_* x'_n.
$$

Следовательно (определение тензорного элемента
$ t_0\in Y^{****}\widehat\otimes_p X^*$ см. выше),
$$  \operatorname{trace}\, U_*\circ t_0
  =\operatorname{trace}\, U_*\circ V= \sum \langle \pi_Y^{**}(y''_n), U_* x'_n\rangle  =
  \sum \langle y''_n, \pi_Y^*\,U_* x'_n\rangle  =  \sum 0=0.
$$
С другой стороны,
$$  Vy'''=  \left( \pi_Y T\right)^* y'''= t^* (y''')=
      \sum \langle y''_n, y'''\rangle  \, x'_n,
$$
откуда  $ V=\sum y''_n\otimes x'_n.$   Поэтому
$$ \operatorname{trace}\, U_*t_0=\operatorname{trace}\, U_*V=
  \sum \langle y''_n, U_* x'_n\rangle  = \sum \langle Uy''_n, x'_n\rangle
= \operatorname{trace}\, U\circ t=1.
$$
Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
$\quad\qed$\enddemo

\remark {\bf Замечание 2.8} Пусть $ p\in[1,\infty].$
Будем говорить, что пространство $ Z$ обладает свойством
$ \operatorname{AP}_{p,d},$
если для всякого банахова пространства $ W$
каноническое отображение
$ j: Z\widehat\otimes_p W\to \operatorname{L}(Z^*,W)$
взаимно однозначно. Из доказательства теоремы видно, что
в ее формулировке можно заменить условие
$ Y^{****}\in \operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}}$
на более простое условие
$ Y^{***}\in \operatorname{AP}_{p,d}.$
От каких-либо аппроксимационных условий типа
$ Y^{***}\in\operatorname{AP}$ из теоремы,
отказаться, вообще говоря, нельзя.
Недостаточно, например, предполагать лишь, что либо
$ x\in \operatorname{ AP},$ либо $ Y^{**}\in \operatorname{ AP},$
что покажут ниже соответствующие примеры
(см., в частности, следствие 5.2).
\endremark\medpagebreak

\remark {\bf Замечание 2.9} На самом деле, как видно из доказательства
теоремы 2.7, для справедливости заключения в утверждении этой теоремы
достаточно предполагать, что каноническое отображение
$ Y^{****}\widehat\otimes_p X^*\to \operatorname{L}(Y^{***}, X^*)$ (или, что то же,
каноническое отображение
$ X^*\widehat\otimes^p Y^{****}\to \operatorname{L}(X,Y^{****})$)
взаимно однозначно.
\endremark\medpagebreak


\proclaim {\bf Следствие 2.10}\it
Пусть $ p\in[1, \infty),$ и пусть $ X, Y$ --- такие банаховы пространства,
что $ Y$ \, $ C$-дополняемо в своем втором сопряженном,
обладает свойством Радона --Никодима и одно из пространств
$ X^*$ или $ Y^{***}$ удовлетворяет условию аппроксимации Гротендика.
Тогда
$\operatorname{ N}^p(X,Y)$
$= \operatorname{ I}^p(X,Y)$ $\overset{C}\to=
   \operatorname{ I}^p_{\operatorname{Gr}}(X,Y).$
 Более общо, если $U: Y\to Z$ --- оператор
Радона--Никодима из $ Y$ в некоторое банахово пространство $ Z,$
дополняемое в своем втором сопряженном,
и либо
$ X^*\in \operatorname{ AP},$ либо $ Z^{***}\in \operatorname{ AP},$
то для любых $ p\in[1, \infty)$
и $ T\in \operatorname{ I}^p_{\operatorname{Gr}}(X,Y)$
имеет место включение $ UT\in \operatorname{ N}^p(X,Z).$
$\quad\qed$\endproclaim\rm


\remark {\bf Замечание 2.11} Аппроксимационные условия
(так же как и дополняемость пространств в своих вторых сопряженных)
, накладываемые
на рассматриваемые в последних двух утверждениях пространства
существенны и не могут быть заменены на аналогичные условия для
пространств $ X,$ либо $ Y^{**}$ (см. ниже пример 2.14).
\endremark\medpagebreak

\proclaim {\bf Следствие 2.12}\it
Если пространство $ X$ не содержит изоморфно $ l_1,$
то всякий оператор из $ X$ в $ l_1(\Gamma)$ является
$ N^{\infty}$-оператором, т.е. компактно факторизуется через
пространство $ l_1.$ Более общо, любой условно слабо компактный
оператор со значениями в пространстве $ l_1(\Gamma)$
является $ N^{\infty}$-оператором, причем
$ N^{\infty}$-норма такого оператора совпадает с его обычной нормой.
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Так как $ l_1(\Gamma)$ обладает свойством Шура, так же как
и свойством аппроксимации,
то любой условно слабо компактный оператор со значениями
в этом пространстве аппроксимируется по обычной операторной норме
конечномерными операторами. Сопряженный к нему оператор задан на
пространстве $ l_{\infty}(\Gamma)$ и является аппроксимируемым,
а всякий такой оператор из $ l_{\infty}(\Gamma)$ в любое банахово
пространство есть $ \infty$-ядерный оператор с равенством
соответствующих норм (см., например, [17]).
Остается применить теорему 2.7 при $ p=\infty.
\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 2.13}\it
Произведение $ UT$ условно слабо компактного оператора
$ T: X\to L_1(\mu)$ и оператора Радона-Никодима $ U: L_1(\mu)\to Y$
компактно факторизуется через пространство $ l_1,$
т.е. лежит в пространстве $ N^{\infty}(X,Y);$ при этом,
$ \nu^{\infty}(UT)\leqslant \|U\|\,\|T\|.$
В частности, если
банахово пространство $ Y$ обладает свойством Радона-Никодима,
а пространство $ X$ не содержит изоморфную копию пространства $ l_1,$
то имеет место равенство (вместе с совпадением
соответствующих норм)
$ \operatorname{I}^{\infty}(X,Y)=\operatorname{N}^{\infty}(X,Y).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Если $ U\in \operatorname{RN}(L_1(\mu),Y),$
то (см., например, [24 , теорема 1])
он факторизуется и через некоторое пространство
$ l_1(\Gamma),$ причем $ \gamma_1(U)=\|U\|.$
Остается применить следствие 2.12.
$\quad\qed$\enddemo

\definition {\bf Пример 2.14}
Следующий результат из работы [29] показывает, что следствие 2.13
перестает быть верным, если в его заключении заменить
строго интегральные операторы на интегральные по Гротендику:
для каждого $ r\in [1,\infty],$\, $ r\neq 2,$
существуют такие вполне сепарабельное
пространство $ W$ и оператор $ T\in L(W^{**}, W),$ что
$ W^{**}$ имеет базис, $ T\in N^r(W^{**}, W^{**}),$ но
$ T\notin N^r(W^{**}, W).$
\enddefinition

\proclaim {\bf Следствие 2.15}\it
Пусть $ T\in\operatorname{RN}^{\operatorname{dual}}(X,C(K))$
и $ S\in \operatorname{L}(C(K),Y).$
Если оператор $S$ не является изоморфизмом ни на каком
подпространстве в $ C(K),$ изометричном пространству $ c_0,$
то суперпозиция $ ST$ компактно факторизуется через $ c_0,$
т.е. $ ST\in \operatorname{ N}_\infty(X,Y);$
при этом $ \nu_{\infty}(ST)\leqslant \|S\|\,\|T\|.$
В частности {\rm (ср. [14, теорема 1.2])},
если $ X^*$ обладает свойством Радона--Никодима
и $ Y\not\supset c_0,$
то $\operatorname{ I}_\infty(X,Y)=\operatorname{ N}_\infty(X,Y).$
\endproclaim\rm

	\demo{\it Доказательство}
	По лемме 1.1, оператор $ S$ слабо компактен;
	следовательно, слабо компактен и $S^*.$
	Как и при доказательстве предыдущего следствия, получаем, что
	оператор $ T^*$ допускает факторизацию вида $ T^*=\alpha \beta:$
	$$ \CD
  	X^* @<<\alpha< l_1(\Gamma) @<<\beta< C^*(K) @<<S^*< Y^* \\
 	X^{**} @>>\alpha^*> l_{\infty}(\Gamma)
    	@>>\beta^*>  C^{**}(K) @>>S^{\pi}> Y\subset Y^{**},
	\endCD
	$$
	\nopagebreak \smallpagebreak

	\centerline{Диагр. 2.1}
	\bigpagebreak

	\nopagebreak
	где $ S*{\pi}$ --- сильно бидуальный к $ S$ оператор.
Напомним, что в нашей ситуации
$ \|T^*\|=\gamma_1(T^*)=\inf \|\alpha\|\,\|\beta\|,$
где инфимум берется по всем указанным факторизациям оператора $ T^*.$
Оператор $ \beta S^*,$ а, значит, и $ S^{\pi}\beta^*: l_{\infty}\to Y,$
компактен. Следовательно,
$ S^{\pi}\beta^*\in \operatorname{N}_{\infty}(l_{\infty},Y)$
и $ \|S^{\pi}\beta^*\|=\nu_{\infty}(S^{\pi}\beta^*)$
(см. доказательство следствия 2.12).
Таким образом,
$ (ST)^{\pi}=S^{\pi}T^{**}\in \operatorname{N}_{\infty}(X^{**},Y).$
Далее, для $ x\in X$ и $ y'\in Y^*$ имеем:
$$ \multline
  \langle y', (ST)^{\pi}\pi_Xx\rangle  = \langle \pi_Y(ST)^{\pi}\pi_Xx,y' \rangle = \\ =
 \langle  S^{**}T^{**}\pi_Xx,y'\rangle  = \langle  T^*S^*y',\pi_Xx\rangle  =
  \langle T^*S^*y', x\rangle   = \langle y', STx\rangle ,
  \endmultline
$$
т.е. $ (ST)^{\pi}\pi_X=ST $ и,
следовательно, $ ST\in \operatorname{N}_{\infty}(X,Y);$
при этом,
$$  \multline
\nu_{\infty}(ST)=\nu_{\infty}((ST)^{\pi}\pi_X)=
\nu_{\infty}(S^{\pi}T^{**}\pi_X)=
  \nu_{\infty}(S^{\pi}\beta^*\alpha^*\pi_X)\leqslant \\ \leqslant
  \nu_{\infty}(S^{\pi}\beta^*)\|\alpha^*\|=\|S^*\beta^*\|\,\|\alpha^*\|\leqslant
  \|S\|\,\|\alpha\|\,\|\beta\|.
  \endmultline
$$
Так как у нас $ \|T^*\|=\gamma_1(T^*),$
то окончательно получаем:
$ \nu_{\infty}(ST)\leqslant \|S\|\,\|T\|.
\quad\qed$
\enddemo

Для операторов, $ \infty$-интегральных по Гротендику,
мы получаем из предыдущего утверждения такой (точный, ---
см. пример 2.17 ниже) результат. Это небольшое обобщение
теоремы 1.2 из [14].

\proclaim {\bf Следствие 2.16}\it
Пусть $ V\in\operatorname{RN}^{\operatorname{dual}}(X,C(K)),$
$ S\in \operatorname{L}(C(K),Y^{**})$
и $ SV\in \operatorname{L}(X,Y).$
Предположим, что пространство $ Y$ \ $ c$-дополняемо
в своем втором сопряженном $ Y^{**},$ где $ c\geqslant 1.$
Если оператор $S$ не является изоморфизмом ни на каком
подпространстве в $ C(K),$ изометричном пространству $ c_0,$
то суперпозиция $ SV$ компактно факторизуется через $ c_0,$
т.е. $ SV\in \operatorname{ N}_\infty(X,Y);$
при этом $ \nu_{\infty}(SV)\leqslant с\,\|S\|\,\|V\|.$
В частности {\rm (ср. [14, теорема 1.2])},
если $ X^*$ обладает свойством Радона--Никодима,
$ Y\not\supset c_0$ и $ Y$ \ $ c$-дополняемо в $ Y^{**},$
то $\operatorname{ I}_\infty^{\operatorname{Gr}}(X,Y)\overset{c}\to=
\operatorname{ N}_\infty(X,Y).\quad\qed$
\endproclaim\rm

\definition {\bf Пример 2.17}
Следующий результат [25, MNach, следствие 3.4]
показывает, что следствие 2.15
перестает быть верным, если в его заключении заменить
строго интегральные операторы на интегральные по Гротендику:
существует оператор, не факторизуемый ни через какое пространство
$ C(K),$ второй сопряженный к которому компактно факторизуется
через пространство $ c_0.$ В этом утверждении в [25] не указаны явно
свойства пространства, в котором действует оператор,
но из доказательства соответствующих фактов в [25]
видно, что в качестве указанного оператора можно взять
оператор, действующий во вполне сепарабельном пространстве.
Этот же пример показывает, что в следствии 2.16 отказаться от
дополняемости пространства $ Y$ в его втором сопряженном,
вообще говоря, нельзя.
\enddefinition


Нам пригодится одна факторизационная лемма для операторов из
$ \Pi_q^{\operatorname{dual}}.$
Напомним, что $ \Pi_{\infty}^{\operatorname{dual}}=\operatorname{L}.$

\proclaim {\bf Лемма 2.18}\it Пусть $ q\in [1,\infty).$
Оператор $ S:E\to F$ является
$ \Pi_q^{\operatorname{dual}}$-оператором в том и
только в том случае, если для всякого $ \varepsilon>0$ оператор $ \pi_FS$
допускает факторизацию следующего вида:
$$ \pi_FS:\ E @>A>> E_{q'} @>j>> E_1  @>B>> F^{**},
$$
где $ E_{q'}$ и $ E_1$  --- факторпространства некоторых пространств
$ L_{q'}(\mu)$ и $ L_{1}(\nu)$ соответственно,
$ \|A\|=1,$ $ \|B\|=1$ и
$ \pi_q^{\operatorname{dual}}(j)\leqslant (1+\varepsilon)\pi_q^{\operatorname{dual}}(S).$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Если $ \pi_FS$ факторизуется указанным образом, то сопряженный
к нему оператор $ S^*(\pi_F)^*: F^{***}\to F^*\to E^*$ является
абсолютно $ q$-суммирующим, причем
$ \pi_q(S^*\pi_F^*)\leqslant (1+\varepsilon)\pi_q^{\operatorname{dual}}(S).$
Следовательно, таков и оператор $ S^*=S^*\pi_F^*\pi_{F^*}.$

Обратно, предположим, что $ S\in \Pi_q^{\operatorname{dual}}(E,F).$
В этом случае сопряженный к нему оператор $ S^*$ допускает
факторизацию Пича через часть оператора тождественного
вложения $ i: L_{\infty}(\mu)\to L_q(\mu),$ где $ \mu$ ---
конечная мера:
$$ S^*:\ F^* @>B_0>> F^*_\infty @>i_0>> F^*_q @>A_0>> E^*.
$$
Здесь $ F^*_\infty$ и $ F^*_q$ --- подпространства
в $L_{\infty}(\mu)$ и $ L_q(\mu)$ соответственно,
$ \|A_0\|=1,$ $ \|B_0\|=1$  и $ i_0$ --- оператор,
индуцированный вложением $ i.$
Переходя к сопряженной диаграмме и вспоминая теорему
Какутани о реализации абстрактных $ L$-пространств в виде
пространств типа $ L_1(\nu),$ мы получаем желаемый результат.
$\quad\qed$\enddemo


\proclaim {\bf Предложение 2.19}\it
Предположим, что банахово пространство $\,Y\,$ таково, что существует
непрерывный проектор $\,P: Y^{**} \to Y.\,$ Тогда для всякого
$\,p\in (1,\infty)\,$ из соотношения
$Y\in \operatorname{AP}^{\operatorname{dual}}_{p}\,$ вытекает условие
$\,Y\in \|P\|$-$\operatorname{MAP}^{\operatorname{dual}}_{p}\,$.
В частности, если пространство $\,Y\,$ сопряжено, то условия
$\,Y\in \operatorname{AP}^{\operatorname{dual}}_{p}\,$ и
$\,Y\in \operatorname{MAP}^{\operatorname{dual}}_{p}\,$
эквивалентны между собой.
\endproclaim \rm

\demo {\it Доказательство}\rm
Предположим, что $\,Y\in \operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}}\,$,
и рассмотрим элемент $\,z=\tilde z\in X^*\widehat\otimes^p Y=
\operatorname{N}^p(X,Y)\,$.
Мы зафиксируем некоторое число $\,\varepsilon >0\,$ и покажем, что
$$\nu^p(z)\le \|P\|\,i^p_{\operatorname{Gr}}(z)+\varepsilon \tag2.3$$
(ясно, что из соотношения (2.3) вытекает утверждение нашей леммы).

Пусть $\,U\,$ --- такой
$\Pi_{p'}^{\operatorname{dual}}$-оператор из $\,Y\,$
в $\,X^{**}\,$, что $\,\pi_{p'}^{\operatorname{dual}}(U)< 1\,$
и $\,\operatorname{trace} Uz\ge
\nu^p(z)-\varepsilon\,$. Если $\,z=\sum x'_n\otimes y_n\,$ --- какое-либо
$\operatorname{N}^p$-представление оператора $\,z\,$,
то последнее неравенство
означает, что $\,\operatorname{trace} U\circ z = \sum \left\langle
x'_n,Uy_n \right\rangle  \ge\nu^p(z)-\varepsilon$.

По лемме 2.18,
суперпозиция операторов $\,U\,$ и $\,z\,$
допускает следующую факторизацию:
$$
\CD
X         @>z>>  Y  @>A>>   Y_{p}  @>j>>   Y_1  @>B>>   X^{**} \\
\endCD \tag2.4
$$
где все операторы непрерывны, причем
$\,\|A\|\le 1,\,\|B\|\le 1,\, \pi^{\operatorname{dual}}_{p'}(j)\le 1 \,$ и
$\,Y_{p}\,$ --- фактор-пространство некоторого {\it рефлексивного}
пространства $\,\operatorname{L}_{p}(\mu)\,$. Имеем:
$$ \align
\operatorname{trace} U\circ z
 &=\sum\left\langle  x'_n\,,BjAy_n \right\rangle =\\
&= \sum\left\langle  j^*B^*x'_n,Ay_n \right\rangle  \qquad
 \foldedtext{(мы отождествляем $x'_n$ с
 элементами из $X^{***}$~)}         \\
&= \operatorname{trace} (Bj)\circ w,
\endalign $$
где $\,w=A\circ z,\,$ т.е. $\,w=\sum x'_n\otimes Ay_n\,\in
X^*\widehat \otimes^p Y_{p}$.

Так как пространство $\,Y_{p}\,$ рефлексивно, то
$\,\operatorname{I}^p\left(X,Y_{p}\right)
=\operatorname{N}^p\left(X,Y_{p}\right)\,$
(вместе с равенством норм; см. следствие 2.4). Поэтому
$$\multline
\nu^p(z)-\varepsilon\,\le\,\operatorname{trace}\, U\circ z\,
=\, \operatorname{trace}\,(Bj)\circ w\,
\leqslant \,\nu^p(w)\, \pi_{p'}^{\operatorname{dual}}(Bj)\,\leqslant \\  \le
\, i^p(w)\,=\, i^p(AP\pi_Y\circ z)\,\leqslant \|A\|\,\|P\|\,
i_{\operatorname{Gr}}^p(z)\,\le
\,\|P\|\,i_{\operatorname{Gr}}^p(z),
\endmultline \tag2.5$$
что и дает нам неравенство (2.3).
 $  \quad\qed $ \enddemo \rm

\remark {\bf Замечание 2.20} \rm
Вопрос о том, справедливо ли утверждение леммы
в случае $\,p=1\,$,
открыт.
Неясно также, что будет в случае $\,p=\infty$.
\endremark


\head {\bf \S 3. Дополняемые операторы, операторы $ \operatorname{RN}$ и
операторы с аппроксимационными свойствами.}
\endhead

\definition {\bf Определения 3.1}
1) Оператор $ U\in \operatorname{L}(Z,W)$ {\it обладает свойством аппроксимации,}\,
$ U\in \operatorname{ AP}(Z,W),$
если равномерно на каждом компакте из $ Z$ он приближается
конечномерными отображениями; если существует такая константа
$ C\geqslant 1,$ что равномерно на каждом компакте оператор $ U$
приближается конечномерными, нормы которых не превосходят $ C,$
то мы говорим, что $ U$ обладает свойством $ C$-метрической
аппроксимации, $ U\in C$-$\operatorname{MAP}(Z,W).$ Гротендиковские свойства
аппроксимации ---
частный случай (при $ Z=W,$ $ U= \operatorname{ id}_Z$).

2) Мы говорим, что оператор $ T\in \operatorname{L}(Y,E)$
{\it дополняем в своем втором сопряженном},\,
если существует такой оператор $ S\in \operatorname{L}(Y^{**}, E),$
что $ T=S\pi_Y.$ Для удобства мы будем называть
в этом случае $ S$ {\it проекцией оператора $ T^{**}$
на подпространство}\, $ \operatorname{L}(Y^{**},E)$ пространства
$ \operatorname{L}(Y^{**}, E^{**})$ (точнее было бы говорить
о проекции на подпространство $ \operatorname{L}(Y^{**},\pi_EE)$).
\enddefinition

Очевидно, что проекция, если существует, определяется, вообще говоря,
не единственным образом,
но по проекции своего второго сопряженного
оператор восстанавливается однозначно.
Совокупность всех дополняемых в своих вторых сопряженных операторов
образует линейное пространство, совокупность же всех проекций
для таких операторов является даже замкнутым линейным
подпространством в $ \operatorname{L}(Y^{**},E).$
Ясно также, что если оператор $ T$ дополняем в $ T^{**}$ и $ S$ ---
одна из возможных его проекций, то $ (S\pi_Y)^{**}=T^{**}$
и $ \|T\|\leqslant \|S\|.$

\definition {\bf Примеры 3.2}\,
1) Если $ Y$ или $ E$ дополняемо соответственно
в $ Y^{**}$ или $ E^{**}$ (например, если одно из пространств $ Y$ или
$ E$ сопряжено),
то всякий оператор $ T\in \operatorname{L}(Y,E)$
дополняем в своем втором сопряженном.

2) Всякий слабо компактный оператор $ T$
дополняем в своем втором сопряженном. Его проекцией может служить
оператор $ T^{\pi}.$

2') Если оператор $ T$ факторизуется через пространство,
дополняемое в своем втором сопряженном (например, через сопряженное
пространство, --- всякий слабо компактный таков),
то $ T$ дополняем в своем втором сопряженном.

2'') Наконец, если некоторый оператор факторизуется через дополняемый
во втором сопряженном оператор, то он сам является дополняемым
в своем втором сопряженном.

Таким образом, класс $ \operatorname{ Dpl}$
всех дополняемых в своих вторых сопряженных
операторов образует операторный идеал, содержащий идеал всех
слабо компактных линейных отображений.
Для $ T\in \operatorname{ Dpl}$ обозначим через
$ \|T\|_{ \operatorname{ Dpl}}$ величину
$$ \|T\|_{ \operatorname{ Dpl}}:=
  \inf \{ \|S\|:\ S  \text{ --- проекция } T^{**}\}.
$$
\enddefinition

\remark {\bf Замечание 3.3}
Можно ввести общее понятие дополняемости одного оператора $T$
в другом операторе $ U.$
Вот одно из подобных определений, относящееся к специфической
ситуации, когда рассматриваемые операторы весьма тесно связаны
между собой.
Пусть наши операторы таковы, что следующая диаграмма
коммутативна:
$$ \gather
   T:\ X_0 \longrightarrow   Y_0  \\
     \, \quad\ \ \cap \hphantom {\longrightarrow}\, \ \ \ \cap  \\
   U:\ X\ \longrightarrow \, Y
\endgather
$$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 3.1}
\bigpagebreak

Здесь $ X_0, Y_0$ подпространства в $ X,Y$ соответственно
и отображение $ U$ таково, что $ U|_{X_0}=T.$
Будем говорить, что оператор $ T$ дополняем в $ U,$
если найдется такой оператор $ U_0: X\to Y_0,$
что $ U_0|_{X_0}=T.$
Например, в обозначениях этого определения,
всякий конечномерный $ T$ \,
$ \sqrt { \operatorname{ dim}T}$-дополняем
в любом операторе $ U$
(мы не станем обсуждать сейчас, что означает последняя фраза,
думается, что это должно быть понятно).
Рассмотрение различных фактов и свойств, связанных с понятием дополняемости
операторов увело бы нас далеко от тематики настоящей работы,
поэтому мы отложим это рассмотрение до лучших времен.
\endremark\medpagebreak




Ниже, как обычно, когда мы говорим о сопряженных к тензорным
произведениям пространствах, мы всегда имеем в виду двойственность,
определяемую с помощью следа суперпозиции соответствующих
тензорных элементов и операторов. Напомним также, что мы часто
отождествляем банахово пространство с его каноническим образом
во втором сопряженном пространстве (в тех случаях, когда это
не приводит к недоразумению).

\proclaim {\bf Теорема 3.4}\it
Если $ X,Y,Z,W$ --- банаховы пространства,
$ S\in \operatorname{ Dpl}(X,Y),$ $ T\in \operatorname{ RN}(Y,Z)$ и
$ U\in \operatorname{ AP}(Z,W),$ то
$ UTS\in C$-$\operatorname{MAP},$ где
$ C=\|U\|\,\|T\|\,\|S\|_{ \operatorname{ Dpl}}.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Вот диаграмма, которую надо иметь в виду в приводимом ниже
доказательстве:
$$
\gather
W  \overset{\widetilde v}\to\longrightarrow
        X\
     \overset{S}\to\longrightarrow \
       Y
     \overset{T}\to\longrightarrow
               Z
     \overset{U}\to\longrightarrow  W. \\
      \searrow \!  \overset {\pi_X}\to{ }   \nearrow \!
                     \overset {S_0}\to{ } \qquad
               \\        X^{**} \qquad \
\endgather  $$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 3.2}
\bigpagebreak

Сопряженное к $ W^*\widehat\otimes_1 Z$ пространство есть
$ \operatorname{L}(Z,W^{**}).$
Если $ \Phi:\, W^*\widehat\otimes_1 Z\to \operatorname{N}_1(W,Z)$ ---
каноническое
факторотображение, то его ядро $ \operatorname{ Ker}\Phi$
состоит из тех тензоров в $ W^* \widehat\otimes_1 Z,$ которые обращаются в нуль
на конечномерных операторах из $ \operatorname{L}(Z,W^{**}).$
Сопряженное к $ \operatorname{N}_1(W,Z)$ пространство поэтому
есть подпространство
$ \operatorname{L}_0(W,Z^{**})$ в $ \operatorname{L}(W,Z^{**}),$
состоящее из операторов,
приближающихся в ${}^*$-слабой топологии конечномерными
(оператор $ U$ как раз таков, так как каждый элемент
$ u\in W^*\widehat\otimes_1 Z$ представим в виде ряда
$ \sum w'_k\otimes z_k,$ где $ (w'_k)\in l_1(W^*)$
и $ (z_k)\in c_0(Z)$).
Поскольку $ U$ аннулируется на $ \operatorname{ Ker\Phi},$
то след $ \operatorname{trace}\, U\circ \widetilde u$ корректно определен для любого
$ \widetilde u\in \operatorname{N}_1(W,Z),$
порожденного тензором $ u\in W^*\widehat\otimes_1 Z,$
причем $ |\operatorname{trace}\, U\circ u|\leqslant \|U\|\,\nu_1(\widetilde u).$
В частности, если $ v\in W^*\widehat\otimes_1 X,$
то $ (1\!\!1\otimes TS)v\in W^*\widehat\otimes_1 Z$ и имеет смысл
след $ \operatorname{trace}\, U\circ \widetilde{(1\!\!1\otimes TS)v}=
\operatorname{trace}\, U\circ { \left( (TS)\circ v\right)}.$
Если $ S_0$ --- дополнение оператора $ S$ в его втором сопряженном
$ S^{**},$ то
$ \operatorname{trace}\, U\circ { \left( (TS)\circ v\right)}=
  \operatorname{trace}\, U\circ { \left( (TS_0\pi_X)\circ v\right)}.$

Пусть $ v= \sum w'_k\otimes x_k$ --- какое-либо представление $ v$
в пространстве $ W^*\widehat\otimes_1 X.$ Тогда
$$ \multline
  |\operatorname{trace}\, U\circ { \left( (TS)\circ v\right)}|=
  \left| \sum \langle w'_k,UTS x_k\rangle  \right| \leqslant \\
   \|U\|\, \nu_1 \left( \sum w'_k\otimes TS x_k\right)=
   \|U\|\, \nu_1 \left( (TS)\widetilde v\right)=
     \|U\|\, \nu_1 \left( T(S_0\pi_X\widetilde v)\right).
\endmultline  $$
Теперь пора использовать принадлежность оператора $ T$
идеалу $ \operatorname{RN}.$ Произведение $ AB$
оператора $ A$ типа $ \operatorname{RN}$
и (строго) 1-интегрального оператора $ B$
является ядерным оператором, причем норма произведения
не превосходит произведения соответствующих норм:
$ \nu_1(AB)\leqslant \|A\|i_1(B)$ [27, теорема 4; 21, теорема 1].
Поэтому мы можем продолжить цепочку наших соотношений,
получая следующее:
$$ \multline
 \operatorname{trace}\, U\circ \widetilde{(1\!\!1\otimes TS)v}\leqslant
    \|U\|\,\|T\|\,i_1(S_0\pi_X\widetilde v)\leqslant    \\
    \|U\|\,\|T\|\,\|S_0\|\,i_1(\pi_X\widetilde v)=
    \|U\|\,\|T\|\,\|S_0\|\,i_1^{\operatorname{Gr}}(\widetilde v).
 \endmultline  $$
Из приведенных выкладок видно, что отображение $ 1\!\!1\otimes TS$
индуцирует оператор $ R$ из
$ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X)$
в $ \operatorname{N}_1(W,Z),$
норма которого не превосходит $ \|T\|\,\|S_0\|$ и такое, что
для $ \widetilde v\in \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X)$
$$ |\langle< R^*U, \widetilde v\rangle | =
    | \langle  U, R\widetilde v\rangle | = |\operatorname{trace}\, U\circ (TS_0\pi_X\widetilde v)|\leqslant
    \|U\|\,\|T\|\,\|S_0\|\,i_1^{\operatorname{Gr}}(\widetilde v).
$$
Оператор $ U$ лежит в шаре радиуса $ \|U\|$ пространства
$ \operatorname{L}_0(Z,W^{**})\subset \operatorname{L}(Z,W^{**}).$
Следовательно, отображение $ R^*$ переносит $ U$
в шар радиуса $ \|U\|\,\|T\|\,\|S_0\|$ пространства
$ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X)^*.$
Так как $ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X)$
канонически изометрично
подпространству $ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,\pi_XX)$
пространства $ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X^{**}),$
то $ R^*U$ продолжается до функционала $ U_0$ на
$ \operatorname{I}_1(W,X^{**})$ без увеличения нормы.
Пространство $ \operatorname{I}_1(W,X^{**})$ сопряжено к инъективному
тензорному произведению $ X^*\widehat{\widehat\otimes}_{\infty} W,$
и, следовательно, $ U_0$  лежит в ${}^*$-слабом замыкании
шара радиуса $ \|T\|\,\|S_0\|\,\|U\|$ пространства
$ X^*\otimes_{\infty} W,$ что гарантирует равномерную на каждом компакте
аппроксимацию оператора $ UTS = UTS_0\pi_X$ конечномерными операторами,
нормы которых не превосходят
$ \|T\|\,\|S_0\|\,\|U\|.\quad\qed$
\enddemo


\proclaim {\bf Теорема 3.5}\it
Если $ X,Y,Z,W$ --- банаховы пространства,
$ S\in \operatorname{ Dpl}(X,Y),$
$ T\in \operatorname{ RN}^{\operatorname{dual}}(Z,W)$ и
$ U\in \operatorname{ AP}(Y,Z),$ то
$ TUS\in C$-$\operatorname{MAP},$ где
$ C=\|T\|\,\|U\|\,\|S\|_{ \operatorname{ Dpl}}.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Вот диаграмма, которая соответствует приводимому ниже
доказательству:
$$
\gather
       Y
     \overset{U}\to\longrightarrow
Z
     \overset{T}\to\longrightarrow  W
  \overset{\widetilde v}\to\longrightarrow
        X\
     \overset{S}\to\longrightarrow \ \,Y         \\
    \hphantom{\qquad\overset{S}\to\longrightarrow \ Y
           \qquad   \qquad\overset{S}\to\longrightarrow \ Y}
   \searrow \!  \overset {\pi_X}\to{ }   \nearrow \!
                     \overset {S_0}\to{ } \qquad \ \\
    \hphantom{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\ }
        X^{**} \qquad \
\endgather  $$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 3.3}
\bigpagebreak

Мы будем следовать схеме доказательства предыдущей теоремы.
Сейчас у нас $ U\in \operatorname{ AP}$ и, следовательно,
$ U$ принадлежит подпространству
$ \operatorname{L}_0(Y,Z)\subset \operatorname{L}(Y,Z^{**})$
(мы сейчас отождествляем $ Z$ с $ \pi_ZZ$),
состоящему из операторов, приближающихся в топологии
$ \sigma \left( \operatorname{L}(Y,Z^{**}), Z^*\widehat\otimes_1 Y\right)$
конечномерными отображениями. Как и в доказательстве теоремы 3.4,
мы получаем, что след $ \operatorname{trace}\, U\circ \widetilde u$ корректно определен
для всякого оператора $ \widetilde u\in \operatorname{N}_1(Z,Y),$
порожденного элементом $ u\in Z^*\widehat\otimes_1 Y,$
и при этом $ |\operatorname{trace}\, U\circ \widetilde u|\leqslant \|U\|\nu_1(\widetilde u).$
В частности, если $ v\in W^*\widehat\otimes_1 X,$
то $ T^*\otimes S)v\in Z^*\widehat\otimes_1 Y$ и имеет смысл
след $ \operatorname{trace}\, U\circ \widetilde{(T^*\otimes S)v}=
\operatorname{trace}\, U\circ \left( T^*\otimes (S_0\pi_X)\circ v\right),$
где $ S_0$ --- дополнение оператора $ S$ в его втором сопряженном
$ S^{**}.$

Пусть $ v= \sum w'_k\otimes x_k$ --- представление $ v$
в пространстве $ W^*\widehat\otimes_1 X.$ Тогда
$$ \multline    \operatorname{trace}\, U\circ \widetilde{(T^*\otimes S)v}=
  \left| \sum \langle T^*w'_k,US_0\pi_Xx_k\rangle  \right| \leqslant \\
   \|U\|\, \nu_1 \left( \sum T^*w'_k\otimes S_0\pi_X x_k\right)=
   \|U\|\, \nu_1 \left( S_0\pi_X\widetilde vT\right)=
     \|U\|\, \nu_1 \left( (S_0\pi_X\widetilde v)T\right).
\endmultline  $$
Произведение $ BA$ оператора $ A$ типа
$ \operatorname{RN}^{\operatorname{dual}}$
и (строго) 1-интегрального оператора $ B$
является ядерным оператором, причем норма произведения
не превосходит произведения соответствующих норм:
$ \nu_1(BA)\leqslant \|A\|i_1(B)$ [27, теорема 5; 21, теорема 2].
Поэтому
$$ \multline  \operatorname{trace}\, U\circ \widetilde{(T^*\otimes S)v}\leqslant
    \|U\|\,\|T\|\,i_1(S_0\pi_X\widetilde v)\leqslant    \\
    \|U\|\,\|T\|\,\|S_0\|\,i_1(\pi_X\widetilde v)=
    \|U\|\,\|T\|\,\|S_0\|\,i_1^{\operatorname{Gr}}(\widetilde v).
 \endmultline  $$
Таким образом, отображение $ T^*\otimes S$
индуцирует оператор $ R$ из
$ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X)$
в $ \operatorname{N}_1(Z,Y),$
норма которого не превосходит $ \|T\|\,\|S_0\|$ и такое, что
для $ \widetilde v\in \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X)$
$$ |\langle  R^*U, \widetilde v\rangle | =
    | \langle  U, R\widetilde v\rangle | = |\operatorname{trace}\, U\circ (S_0\pi_X\widetilde vT)|\leqslant
    \|U\|\,\|T\|\,\|S_0\|\,i_1^{\operatorname{Gr}}(\widetilde v).
$$
Оператор $ U$ лежит в шаре радиуса $ \|U\|$ пространства
$ \operatorname{L}_0(Y,Z^{**})\subset \operatorname{L}(Y,Z^{**}).$
Следовательно, образ $ U$ при отображении $ R^*$ лежит
в шаре радиуса $ \|U\|\,\|T\|\,\|S_0\|$ пространства
$ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X)^*.$
Так как $ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,X)$
канонически изометрично
подпространству $ \operatorname{I}_1^{\operatorname{Gr}}(W,\pi_XX)$
пространства $ \operatorname{I}_1(W,X^{**}),$
то $ R^*U$ продолжается до функционала $ U_0$ на
$ \operatorname{I}_1(W,X^{**})$ без увеличения нормы.
Пространство $ \operatorname{I}_1(W,X^{**})$ сопряжено к инъективному
тензорному произведению $ X^*\widehat{\widehat\otimes}_{\infty} W,$
и, следовательно, $ U_0$  лежит в ${}^*$-слабом замыкании
шара радиуса $ \|T\|\,\|S_0\|\,\|U\|$ пространства
$ X^*\otimes_{\infty} W,$ что гарантирует равномерную на каждом компакте
аппроксимацию оператора $ TUS = TUS_0\pi_X$ конечномерными операторами,
нормы которых не превосходят
$ \|T\|\,\|U\|\,\|S_0\|.\quad\qed$
\enddemo



\head{\bf \S 4. Неизоморфные инъективные вложения
 $ \operatorname{N}^p(Y,X)$ в
$ (\operatorname{N}^p)^{ \operatorname{ reg}}(Y,X)$}
\endhead

Перед тем как сформулировать одну из важных теорем настоящего параграфа,
введем еще одно обозначение, а именно, для пары банаховых пространств $ X,Y$
договоримся обозначать через $s$-$\bigcap_{r\in \Cal R}X\widehat\otimes_r Y$
множество всех тензорных элементов, допускающих представления
$ \sum_{k=1}^{\infty} x'_k\otimes y_k,$ для которых ряд сходится
в каждом из тензорных произведений $ X\widehat\otimes_r Y,$ $ r\in \Cal R$
(т.е. это представление является подходящим разложением рассматриваемого
элемента в каждом из указанных тензорных произведений).
Аналогичный смысл ниже будет иметь и обозначение
$s$-$\bigcap_{r\in \Cal R}X\widehat\otimes^r Y.$
Напомним также, что идеал $ \operatorname{QN}_{\infty}$ состоит из всех компактно
факторизуемых через рефлексивные пространства операторов в банаховых
пространствах и совпадает (по теореме У.Б. Джонсона [10])
с идеалом всех компактных отображений.

\remark {\bf Замечание 4.1}
Можно определить пересечение указанных тензорных произведений,
как совокупность тензоров, лежащих в каждом из произведений
$ X\widehat\otimes_r Y,$ $ r\in \Cal R.$ Но в этом, наиболее естественном
определении, естественно, будет требоваться лишь,
чтобы соответствующий тензор допускал нужное разложение
в каждом из тензорных произведений
$ X\widehat\otimes_r Y,$ $ r\in \Cal R,$ но не обязательно одно
разложение, сходящееся  одновременно во всех этих тензорных произведениях.
Это --- одна из причин, почему мы используем в обозначениях
символ $ s$-$\cap.$
\endremark\medpagebreak

Теперь обратимся к формулировке и доказательству нашей следующей теоремы.
Утверждения 1) и 4) этой теоремы, по существу, новые;
относительно 3) см. замечание 4.3 ниже.
Что касается утверждения 2), мы приводим его не только (и не столько)
для полноты изложения; стоит отметить, что пространство $ G_v^*,$
сопряженное к $ G_v$ из этого утверждения, имеет нетривиальный
радемахеровский тип.
В доказательстве теоремы идейно мы следуем схеме рассуждений из
$ [25],$ однако в деталях есть существенные отличия.

\proclaim {\bf Теорема 4.2}\it\,
 Существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство
$ E,$ обладающее следующими свойствами.

$1)$ Существуют такие рефлексивное сепарабельное банахово пространство
$ F,$ оператор $ U\in \operatorname{QN}_{\infty}(F,E)$ и тензорные элементы
$ z_0\in s$-$\bigcap_{v>2} E^*\widehat\otimes_v c_0$
и $z_1\in c^*_0\widehat\otimes_1 F,$ что если $ w:=z_1\circ z_0,$ то
$ \operatorname{trace}\, U\circ w=1$ и $ \widetilde w=0$ (т.е. $ w$ порождает нулевой оператор).
При этом, если $ r>2$ и $ 1/r+1/s\leqslant 1,$ то
$$ w =z_1\circ z_0\in (c^*_0\widehat\otimes_s F)\circ(E^*\widehat\otimes_r c_{0}).
$$

$2)$ Для каждого $ v\in(2,\infty)$
существуют такие подпространство $G_v$ пространства $ l_v,$
оператор $ {U_v}\in \operatorname{QN}_{v}(E,G_v)$ и элемент
$ w_v\in G_v^*\widehat\otimes_1 E,$ что
$ \operatorname{trace}\, U_v\circ w_v=1$ и $ \widetilde w_v=0.$

$3)$ Существуют такие рефлексивное сепарабельное банахово пространство
$G,$ оператор $ {U_0}\in \bigcap_{v>2}\operatorname{QN}_{v}(E,G)$ и элемент
$ w_0\in G^*\widehat\otimes_1 E,$ что
$ \operatorname{trace}\, U_0\circ w_0=1$ и $ \widetilde w_0=0.$

$4)$ Пусть $ 2<v<s<\infty$ и $ 1/\alpha=3/2-1/v=1/2+1/{v'}.$
Существуют такие подпространство $F_s$ пространства $ l_s,$
оператор $ {V_v}\in \operatorname{QN}_{s}(E,F_s)$ и элемент
$ z_v\in F_s^*\widehat\otimes_{\alpha} E,$ что
$ \operatorname{trace}\, V_v\circ z_v=1$ и $ \widetilde z_v=0.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Пусть $ X$ --- такое сепарабельное банахово пространство, что существует
элемент $ z\in X^*\widehat\otimes_1 X$ с единичным следом, порождающий
нулевой оператор $ \widetilde z$ и представимый в виде
$$ z=\sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N}N^{1/2}2^{-3N/2}
  x'_{nN}\otimes x_{nN}, \quad
 z\in \text{s-}\bigcap_{p>2/3} X^*\widehat\otimes_p X\setminus
   (X^*\widehat\otimes_{2/3} X),
   \tag4.1
$$
где последовательности $(x'_{nN})$ и $ (x_{nN})$ ограничены
(см. [18, п. 10.4.5]).
Далее в этом доказательстве через $ (e_{nN}),$
также как и через $ (e'_{nN}),$ обозначается
последовательность единичных ортов в любом из пространств
$ l_{(v)}:=\left( \sum_{N=1}^{\infty} l_v^{3\cdot 2^N}\right)_{l_v}$ или
$ c_{(0)}:=\left( \sum_{N=1}^{\infty} l_{\infty}^{3\cdot 2^N}\right)_{c_0}$
(недоразумения возникнуть не должно, --- в каждом случае будет ясно,
о каком конкретно пространстве идет речь).
Положим

$$ \align
 A&:=\sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{-1/2}
       x'_{nN}\otimes e_{nN}:\ X @>>> c_{(0)},     \\
 B&:=\sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{-1/2}
        e'_{nN}\otimes x_{nN}:\ l_{(1)} @>>>  X, \\
 \Delta_0&:=\sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{7/2}2^{-N/2}
       e'_{nN}\otimes e_{nN}:\ c_{(0)} @>>>  c_{(0)},    \\
 \Delta_1&:=\sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{-2}2^{-N}
       e'_{nN}\otimes e_{nN}:\ c_{(0)} @>>>  l_{(1)}.
  \endalign
$$
Эти операторы действуют непрерывно согласно следующей диаграмме,
показывающей также, какую факторизацию, связанную с указанным выше
представлением тензора $ z,$ допускает нулевой оператор $\widetilde z.$
$$ \CD
   \widetilde z:\
   X @>A>> c_{(0)} @>\Delta_0>>  c_{(0)} @>\Delta_1>> l_{(1)} @>B>> X;
\endCD
$$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 4.1 }
\bigpagebreak

\noindent
операторы $ A,B$ компактны (и даже лежат в идеале $ \operatorname{ App}$),
	$ \Delta_1$ --- $1$-ядерный оператор,
$ \Delta_0$ --- $v$-ядерный оператор для любого $ v\in(2,\infty].$

Пусть
$$ \align
A&=jA_1A_2: X @>A_2>> E @>A_1>> \overline{A(X)}\overset{j}
       \to\hookrightarrow c_{(0)},              \\
B&=B_1B_2:
  l_{(1)} @>B_2>> F  @>B_1>> 	        X
\endalign
$$
--- компактные факторизации
отображений $A$ и $ B$
через рефлексивные пространства $ E$ и $ F$
соответственно [10, 2] (важно отметить, что из построений
в указанных работах вытекает равенство $ \overline{A(X)}=
 \overline{A_1(E)};$
кроме того, мы будем считать, что отображение $ A_2: X\to E$ действует на
плотное множество, а отображение $ B_1: F\to X$ взаимно однозначно,
поскольку всегда можно перейти в указанных факторизациях
к образу оператора $ A_2$ и к факторпространству
$ F/ \operatorname{ Ker} B_1,$ сохранив рефлексивность получаемых
пространств).
Положим
$$     \align
 z_0&:=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{7/2}2^{-N/2}
    A_1^* j^*e'_{nN}\otimes e_{nN}, \
        z_0\in E^*\widehat\otimes_v c_{(0)} \quad (\forall \,v>2), \tag{$z_0$}
                                 \\
 z_1&:=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{-2}2^{-N}
       e'_{nN}\otimes B_2e_{nN}, \
                z_1\in c^*_{(0)}\widehat\otimes_1 F.   \tag{$z_1$}
\endalign
$$
Тензорный элемент $ z_0$ можно также рассматривать как
элемент тензорного произведения
$ E^*\widehat\otimes_v l_{(v)},$ $ v\in(2,\infty],$
точнее, как суперпозицию $ i_v\circ z'_v,$
где $ i_v: l_{(v)}\hookrightarrow c_{(0)}$ ---
тождественное вложение, а
$ z'_v\in E^*\widehat\otimes l_{(v)}$
индуцируется тензором $ z_0$ (соотношение, определяющее
$ z_v,$ то же, что и в $ (z_0)$ для $ z_0$).

1). Если положить $ w:= z_1\circ z_0,$ $ U:= A_2\circ B_1,$
то $ w\in E^*\widehat\otimes_1 F,$ $ U\in \operatorname{QN}_{\infty}(F,E),$
причем
$$
 w=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{3/2}2^{-3N/2}
    A_1^* j^*e'_{nN}\otimes B_2e_{nN}
$$
  и
$$  \align
\operatorname{ trace}\, U\circ w&=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{3/2}2^{-3N/2}
    \langle A_1^* j^*e'_{nN}, A_2B_1B_2e_{nN}\rangle  = \\
      &=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{3/2}2^{-3N/2}
    \langle A^*e'_{nN}, Be_{nN}\rangle  = \\
      &=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{1/2}2^{-3N/2}
    \langle x'_{nN}, x_{nN}\rangle  =
       \operatorname{trace}\, z \neq 0.
\endalign
$$
Ясно, что $ z_0\in E^*\widehat\otimes_r c_{(0)}$
для всякого $ r> 2,$
а $ z_1\in c^*_{(0)}\widehat\otimes_1 F\subset c^*_{(0)}\widehat\otimes_s F$
для любого $ s\geqslant 1.$
Поэтому, если $ r>2$ и $ 1/r+1/s\leqslant 1,$
то
$$ w =z_1\circ z_0\in (c^*_{(0)}\widehat\otimes_s F)\circ(E^*\widehat\otimes_r c_{(0)}).
$$
То, что тензор $ w$
порождает нулевой оператор, вытекает из наших
предположениях об операторах $ A_2$ и $ B_1$ и того, что $ \widetilde z=0.$

2) Пусть для $ v>2, v\neq \infty,$
$ \Delta_v: c_{(0)}\to l_{(v)}$ --- $ v$-ядерный оператор,
ассоциированный с диагональным оператором $ \Delta_0,$
так что $ \Delta_0=i_v\Delta_v.$
Положим $ G_v:=\overline{\Delta_vjA_1(E)},$
$ \widetilde\Delta_v=\Delta_v|_{jA_1(E)}j|_{\overline{A_1(E)}},$
и пусть
$ j_v: G_v\hookrightarrow l_{(v)}$ --- тождественное вложение.
$$ X @>A_2>> E @>A_1>> \overline{A(X)}= \overline{A_1(E)}
  @> \widetilde\Delta_v>> G_v
   \overset{j_v}\to\hookrightarrow l_{(v)}
   \overset{i_v}\to\hookrightarrow c_{(0)}
   @>\widetilde z_1>> F @>B_1>> X @>A_2>> E.
$$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 4.2}
\bigpagebreak

Тогда (см. диагр. 4.2)
$$ \align
 w_v&:= (i_vj_v)^*\otimes (A_2B_1)(z_1)\in G_v^*\widehat\otimes_1 E\quad
\text{  и  }\, \\
U_v&:=\widetilde\Delta_v A_1\in\operatorname{QN}_v(E,G_v)
\endalign
$$
(мы определяем $U_v$ как оператор, чей образ лежит в
подпространстве $ G_v\subset l_{(v)},$ так что
$ j_vU_vA_2=\Delta_vA$).

Имеем:
$$ \align
\operatorname{trace}\, U_v\circ w_v &=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{-2}2^{-N}
       \langle (i_vj_v)^*e'_{nN}, UA_2B_1B_2e_{nN}\rangle  = \\ &=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{-2}2^{-N}
       \langle i_v^*e'_{nN}, \Delta_vABe_{nN}\rangle  =  \\ &=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{3/2}2^{-N}
       \langle e'_{nN}, ABe_{nN}\rangle  = \operatorname{trace}\, z \neq 0.
 \endalign
$$

3). Разложим диагональный оператор $ \Delta_0$ (см.
его определение выше) в произведение
$$ \Delta_0= \Delta_{02}\Delta_{01}:
     c_{(0)} @>\Delta_{01}>> c_{(0)} @>\Delta_{02}>> c_{(0)}
$$
двух диагональных операторов, --- операторов умножения
$$ \text{на }\
\delta_{01}=\left((N^42^{-N/2})_{n=1}^{3\cdot 2^N}\right)_{N=1}^{\infty}\
\text{ и на }\
 \delta_{02}=\left((N^{-1/2})_{n=1}^{3\cdot 2^N}\right)_{N=1}^{\infty}
$$
соответственно.
Пусть $ G_0$ --- рефлексивное сепарабельное пространство,
через которое компактно факторизуется компактный оператор
$ \Delta_{02},$\,
$$ \Delta_{02}: c_{(0)} @>A_3>> G_0 @>A_4>> c_{(0)}.
$$
Если положить
$ G:= \overline{A_3\Delta_{01}A_1(E)}\subset G_{0}$ и

$$ \align
w_0&:= A^*_4 \otimes (A_2B_1)(z_1)\in G^*\widehat\otimes_1 E\quad
\text{  и  }\, \\
U_0&:=\widetilde\Delta_{01} A_1\in\operatorname{QN}_v(E,G) \ (\forall\, v>2),
\endalign
$$
где $ \widetilde \Delta_{01}$ --- отображение из $ \overline{A_1(E)}$
в $ G,$ индуцированное оператором $ A_3\Delta_{01},$
то
$$ \align
\operatorname{ trace}\, U_0\circ w_0&=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{-2}2^{-N}
       \langle e'_{nN}, \Delta_0ABe_{nN}\rangle  =  \\ &=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{3/2}2^{-N}
       \langle A^*e'_{nN}, Be_{nN}\rangle  = \operatorname{trace}\, z \neq 0.
 \endalign
$$

4). Фиксируем $ s,v>2,$ $ v<s.$
Ясно, что $ \alpha:=2v/(3v-2)>1/2.$
Рассмотрим оператор $ \Delta_{0v},$
"отщепленный" от диагонального оператора $ \Delta_0$
(другой "множитель" из $ \Delta_0$ сейчас войдет в $ \Delta_1$):
$$ \Delta_{0v}:=
        \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{7/2}2^{-N/v}
       e'_{nN}\otimes e_{nN}:\ c_{(0)} @>>>  l_{(s)}.
$$
Этот оператор является $ s$-ядерным.
Пусть
$$ \Delta_{1v}:=
    \sum_{N=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{3\cdot 2^N} N^{-2}2^{-N[3/2-1/v]}
       e'_{nN}\otimes e_{nN}:\ c_{(0)} @>>>  l_{(1)}.
$$
Так как $ 3/2-1/v=1/\alpha$ и $ 2\alpha>1,$
то $ \Delta_{1v}\in \operatorname{N}_{\alpha}(c_{(0)},l_{(1)}).$
Обозначим через $ \widetilde\Delta_{0v}$ оператор из $ \overline{A_1(E)}$
в $ F_s:=\overline{\Delta_{0v}A_1(E)},$ индуцированный оператором
$ \Delta_0v,$ и через $ k_s$ --- естественное вложение $ F_s$
в пространство $ c_{(0)}$
(см. диагр. 4.3).

$$ X @>A_2>> E @>A_1>> \overline{A(X)}= \overline{A_1(E)}
  @> \widetilde\Delta_{0v}>> F_s
   \overset{k_s}
        \to\hookrightarrow c_{(0)}
   @>\Delta_{1v}>> l_{(1)} @>B>> X @>A_2>> E.
$$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 4.3}
\bigpagebreak

Положив $ z_v:= (k^*_s\otimes A_2B) (\Delta_{1v})$ и
$ V_v:= \widetilde\Delta_{0v} A_1,$
мы получим искомые тензор
$ z_v\in F_s^*\widehat\otimes_{\alpha} E$
и оператор
$ {V_v}\in \operatorname{QN}_{s}(E,F_s).\quad\qed$
\enddemo

\remark {\bf Замечание 4.3}
1) Утверждение 3) теоремы 4.2 --- это утверждение из замечания 1.1
в работе [25], приведенное там без какого-либо эскиза доказательства.
Мы выше, в доказательстве теоремы 4.2, использовали один из наиболее
сильных контрпримеров к проблеме аппроксимации, и только это позволило
нам получить утверждение 3). Непосредственный перенос рассуждений
из [25, доказательство леммы 1.1,1)] затруднителен, так как
в этих рассуждениях пример Энфло использовался в его достаточно
грубой форме. Заметим также, что одновременно мы наконец привели
(учитывая результаты работы [25])и доказательство утверждений,
сформулированных в замечаниях 1.2.1) и 3.1 из [25].

2) Утверждение 4) (так же как и 3)) точно и не может быть улучшено:
если $ v>2$ и $\alpha:=2v/(3v-2),$ и
$\varphi_{\alpha,v'}:\,F^*\widehat\otimes_{\alpha} E\to F^*\widehat\otimes_{v'} E$ ---
естественное отображение (оно вполне может не быть инъективным),
то {\it сужение канонического отображения
$ F^*\widehat\otimes_{v'} E\to \operatorname{L}(F,E)$ на линейное подпространство
$ \varphi_{\alpha,v'} \left( F^*\widehat\otimes_{\alpha} E\right)$
взаимно однозначно} каковы бы не были банаховы пространства $ E$ и $ F$
(см. [26, теорема 2.1,А)]). Вместе с 3) утверждение 4) дает
полную картину совместного поведения тензорных элементов
из $ \widehat\otimes_{\alpha},$ $ \alpha\in(2/3,1]),$
и из $ \widehat\otimes_{v'},$ $ 2< v\leqslant \infty.$ Отметим, что такая же картина
возникает и при исследовании вопроса о том,
при каких значениях параметров $ \alpha, v$ из $\alpha$-ядерности
сопряженного (соответственно, второго сопряженного)
оператора следует принадлежность
классу $ \operatorname{N}^v$ (соответственно, классу $ \operatorname{N}_v$)
самого оператора (см. [26] и теорему 5.1 в настоящей статье).
\endremark\medpagebreak

\proclaim {\bf Следствие 4.4}\it
Для каждого $ v>2$
существуют такие сепарабельные рефлексивные банаховы пространства
$ E,F$ и $ W,$ что
естественное отображение
$$(W^*\widehat\otimes_1 F)\circ(E^*\widehat\otimes_v W) @>>> \operatorname{L}(E,F)
$$
не взаимно однозначно.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Изменим немного диаграмму 4.1,
поместив в центре ее компактный оператор в $ c_0,$
не испортив основных свойств операторов слева и справа
(так, чтобы доказательство утверждения 1) прошло и с
этим новым оператором).
После этого профакторизуем его через сепарабельное
рефлексивное пространство; последнее обозначим через
$ W. \quad\qed$
\enddemo

Перед тем как перейти к рассмотрению дуальных утверждений
относительно $ \operatorname{N}^p$-операторов, приведем еще два следствия
из предыдущей теоремы, уточняющие и дополняющие один результат из
[31], а также некоторые факты из [26].

Напомним, определение тензорных произведений $ \widehat\otimes_{s,\infty}$
и свойств $ \operatorname{AP}_{s,\infty},$ впервые введенных и исследованных в [31].

Для банаховых пространств $ X,Y$  и числа $ s\in(0,1)$
обозначим через   $Y^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X $
линейное подпространство в проективном тензорном произведении
$Y^*\widehat\otimes_1 X,$ состоящее из тензоров, допускающих представления
вида
$$ z=\sum_{k=1}^\infty \lambda_k \,y'_k\otimes x_k,  \
\text{ где }\
 \lambda_k\searrow0,\,\lambda_k^s=o(1/k),\, \|y'_k\|\,\|x_k\|=1,
$$
а через $ \operatorname{N}_{s,\infty}$ --- соответствующее
операторное (фактор)пространство.
Банахово пространство $ X$ {\it обладает свойством}\,
$\operatornamewithlimits{AP_{s,\infty}}\,$, где $s\in (0,1),\,$
если для любого банахова пространства $ Y$ каноническое отображение
$Y^*\widehat \otimes _{s,\infty} \,X  \to
\operatorname{L} \left(Y,X \right)$
взаимно однозначно.
Каждое банахово пространство обладает свойством
$ \operatorname{AP}_{2/3,\infty}$ [31].

\proclaim {\bf Следствие 4.5}\it
Пусть $2<v<s<\infty,$ $1/\alpha=1/2+1/v'$ и $1/\alpha_0=1/2+1/s'.$
Существуют такие вполне сепарабельные банаховы
пространства $Z,$ $W$ и операторы $T\in \operatorname{N}_{v'}(W,Z)$ и
$ U\in \operatorname{QN}_s(Z^{**},W),$ что

{\rm (1)} $W$ и $Z^{**}$ имеют базисы;

{\rm (2)} как $W,$ так и все сопряженные к нему пространства
$ W^*,W^{**},\dots\,$ обладают свойством $\operatorname{AP}_{\alpha_0,\infty}$;

{\rm (3)} $W^*$ не обладает свойством $\operatorname{AP}_{\beta}$ ни при каком
$\beta \in [\alpha,1]$;

{\rm (4)} $ T\in \operatorname{N}^{ \operatorname{ reg}}_{\alpha}(W,Z),$
но $ T\notin \operatorname{N}_{q}(W,Z)$ ни при каком $ q<s'.$
\endproclaim\rm

{\rm (5)} $ U|_Z=0$ и $ \operatorname{trace}\, U\circ \pi_ZT=1.$

\demo{\it Доказательство}
Пусть $E,F_s\subset l_s,$
$ {V_v}\in \operatorname{QN}_{s}(E,F_s)$ и
$ z_v\in F_s^*\widehat\otimes_{\alpha} E$ --- из теоремы 4.2,4)),
так что $ \operatorname{trace}\, V_v\circ z_v=1$ и $ \widetilde z_v=0.$
Пусть, далее,
$$ z_v=\sum \lambda_j f'_j\otimes e_j,\quad (\lambda_j)\in l_{\alpha},\
    (f'_j)\in l_{\infty}(F^*_s),\, (e_j)\in l_{\infty}(E)
$$
--- некоторое представление $ z_v$ в тензорном произведении
$ F^*\widehat\otimes_{\alpha}E.$
Воспользуемся леммой 1.3 и найдем такие вполне сепарабельное банахово
пространство $ Z$ и ограниченную последовательность
$ (z''_j)\subset Z^{**},$ что для гомоморфизма $ \Phi:Z^{**}\to E$
из леммы 1.3 $ \Phi z''_j=e_j, j=1,2,\dots.$
Положим
$$ T_v:=
  \sum \lambda_j f'_j\otimes z''_j\in F^*_s\widehat\otimes_{\alpha}Z^{**},\quad
   U_v:= V_v\Phi\in \operatorname{QN}_s(Z^{**},F_s). \tag{4.2}
$$
Так как $ \operatorname{ Ker}\Phi=Z$ и $ \Phi T_v=\widetilde z=0,$
то $ T_v(F_s)\subset Z,$ поэтому из (4.2) вытекает, что
$ T_v\in \operatorname{N}_v(F_s,Z)$\, [26, теорема 3.1,А)].
$$
\gather
F_s  \overset{\widetilde z_v}\to\longrightarrow
        \ \, E
     \overset{V_v}\to\longrightarrow \
       F_s            \\
      \searrow \!  \overset {T_v}\to{ }   \nearrow \!
                     \overset {\Phi}\to{ } \qquad
               \\        Z^{**} \qquad \
\endgather  $$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 4.4}
\bigpagebreak

Заметим также, что, так как $ F_s\subset l_s$ и $ 1/\alpha_0=3/2-1/s,$
то $ F_s\in \operatorname{AP}_{\alpha_0,\infty}$
(всякое конечномерное подпространство $ G$
в $ F_s$\, является $ C\operatorname{ dim}G^{1/2-1/s}$-дополняемым
подпространством, поэтому применимо предложение 1) из [31],
которое говорит о том, что каждое такое пространство обладает
свойством $ \operatorname{AP}_{(1+(\frac12-\frac1s))^{-1},\infty}$).

Далее, если $ \beta\in[\alpha,1]$
то
$z_v\in F^*_s\widehat\otimes_{\beta} E,$ $V_v\in \operatorname{L}(F_s,E),$
$ \operatorname{trace}\, V_v\circ z_v=1$ и $ \widetilde z=0;$
поэтому как $ E,$ так и $ F^*_v$ не обладают свойством $ \operatorname{AP}_{\beta}.$

Пусть теперь $ W=Y^*$ и $ \Psi:W\to F_s$ ---
вполне сепарабельное пространство и факторотображение
из леммы 1.2, построенные для пространства $ F_s,$
так что $ W^*=\pi_YY\oplus \Psi^*F^*_s.$
Пара пространств $ W,Z^{**}$ удовлетворяет условиям 1)--3).
Нам осталось определить операторы $ U$ и $ T$ и проверить выполнения
условия 4).

Если $ w'_j= \Psi^*f'_j\in W^*,$ $ j=1,2,\dots,$ и
$ T:= \sum \lambda_j w'_j\otimes z''_j,$ то
$ T\in \operatorname{N}^{ \operatorname{ reg}}_{\alpha}(W,Z):$ для $ w\in W$
$$ Tw= \sum \lambda_j\langle  \Psi^* f'_j, w\rangle  z''_j=
     \sum \lambda_j\langle  f_j, \Psi w\rangle  z''_j= T_v \Psi w\in Z,
$$
и $ (\lambda_j)\in l_{\alpha}.$

Обозначим через $ P$ проектор из пространства $ W^*$
на $ \Psi^*F^*_s$ и через $ \Psi^*_0:F^*_s\to \Psi^*F^*_s$ ---
приведение оператора $ \Psi^*.$
Наконец, положим $ U:= [(\Psi^*_0)^{-1}P]^*V_v\Phi:$

$$ \gather
W  \overset{T}\to\longrightarrow
        \ \, Z^{**}
     \overset{\Phi}\to\longrightarrow \
       E     @>V_v>> F_s @>[(\Psi^*_0)^{-1}P]^*>> W^{**}
      \phantom{AAAAAA} \\
      \qquad
      \overset
    {\dsize\searrow \!  \overset {\!T_v\Psi}\to{ }   \nearrow \!
                     \overset {\pi_Z}\to{ }
     }        \to { }
                    \qquad \phantom{A}
   F^*_s @<(\Psi^*_0)^{-1}<< \Psi^*F^*_s @<P<< W^*=\Psi^*F^*_s\oplus Y\
	       \\       Z \qquad \ \phantom{AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA}
\endgather
$$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 4.5}
\bigpagebreak

С одной стороны, мы имеем:
$$ \multline
  \operatorname{trace}\, U\circ T= \sum \langle  w'_j, Uz''_j\rangle =
  \sum \langle  w'_j,[(\Psi^*_0)^{-1}P]^*V_v\Phi z''_j \rangle = \\ =
  \sum \langle (\Psi^*_0)^{-1}P w'_j, V_v\Phi z''_j \rangle  =
  \sum \langle  f_j, V_v e_j\rangle =\operatorname{trace}\, V_v\circ z=1.  \endmultline
$$

С другой стороны, если разложение $ T$ в ряд вида
$ T=\sum \overline w'_j\otimes \overline z_j $
было бы представлением
этого оператора в $ \operatorname{N}_q(W,Z),$ $ q<s',$
то, так как $ Z= \operatorname{ Ker \Phi},$
мы имели бы:
$$ \operatorname{trace}\, U\circ T= \sum \langle  \overline w'_j, U\overline z_j\rangle .
$$
Но $ V_v\Phi|_Z=0,$ а, значит,
и сужение $ U$ на $ Z$ равно нулю. Отсюда, $ \operatorname{trace}\, U\circ T=0.$
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 4.6}\it
Пусть $2<v<s<\infty,$ $1/\alpha=1/2+1/v'$ и $1/\alpha_0=1/2+1/s'.$
Существуют такие вполне сепарабельные банаховы
пространства $Z$ и $W$ , что

{\rm (1)} $W$ и $Z^{**}$ имеют базисы;

{\rm (2)} как $W,$ так и все сопряженные
к нему пространства обладают свойством $\operatorname{AP}_{\alpha_0,\infty}$;

{\rm (3)} $W^*$ не обладает свойством $\operatorname{AP}_{\beta}$
ни при каком  $\beta \in [\alpha,1]$;

{\rm (4)} для любого банахова пространства $\ E$ \quad
$\operatorname{N}^{ \operatorname{ reg}}_{\alpha_0,\infty}(W,E)\subset \operatorname{N}_1(W,E)$;

{\rm (5)} $\operatorname{N}^{ \operatorname{ reg}}_{\alpha}\left(W,Z\right)\not\subset \operatorname{N}_q (W,Z),$
каково бы не было $q<v'$.
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Утверждения (1)--(3) и (5) вытекают непосредственно из
предыдущего следствия. Что касается (4), то оно получается так.
В доказательстве следствия 4.5
рефлексивное пространство $ F_s$
есть подпространство $ l_s$ и, следовательно, как оно, так и $ F^*$
обладает свойством $ \operatorname{AP}_{\alpha_0,\infty}$ [31, предложение 1];
пространства $Y$ и $ W=Y^*$ удовлетворяют
условию метрической аппроксимации. Таким образом, пространство
$ W^*=F^*\oplus Y,$ также как и
все остальные сопряженные к $ W$ пространства $ W^{**},\dots,$
имеют свойство $ \operatorname{AP}_{\alpha_0,\infty}.$
Поэтому утверждение (4) вытекает из [31, теорема 2,1)].
$\quad\qed$\enddemo
\medpagebreak

Двойственная теорема, получающаяся из теореме 4.2 переходом к
дуальной ситуации, выглядит так (при ее формулировке мы не следуем
обозначениям из теоремы 4.2; напомним, что $ \operatorname{N}_1=\operatorname{N}^1$ и
$\widehat\otimes_1=\widehat\otimes^1$ и что тензорное произведение вида $ Z\widehat\otimes_{\alpha} W$
можно интерпретировать, в хороших случаях, как пространство
соответствующих ${}^*$-слабо непрерывных операторов из $ Z^*$ в $ W$).

\proclaim {\bf Теорема 4.7}\it\,
Существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство
$ F,$ обладающее следующими свойствами.

$1)$ Существуют такие рефлексивное сепарабельное банахово пространство
$ H,$ оператор $ U\in \operatorname{QN}^{\infty}(F,H)$ и тензорные элементы
$ z_0\in s$-$\bigcap_{v>2} c_0\widehat \otimes^v F$
и $z_1\in H^*\widehat\otimes_1 l_1,$ что если $ w:=z_0\circ z_1,$ то
$ \operatorname{trace}\, U\circ w=1$ и $ \widetilde w=0$ (т.е. $ w$ порождает нулевой оператор).
При этом, если $ q<2,$\, $ r>2$ и $ 1/r+1/s=1/q\leqslant 1,$ то
$$ w =z_0\circ z_1\in (c_0\widehat\otimes^r F)\circ(H\widehat\otimes^s l_1).
$$

$2)$ Для каждого $ v\in(2,\infty)$
существуют такие факторпространство $E_{v'}$ пространства $ l_{v'},$
оператор $ {U_v}\in \operatorname{QN}^{\operatorname{dual}}_{v}(E_{v'},F)$ и элемент
$ w_v\in F^*\widehat\otimes_1 E_{v'},$ что\linebreak
$ \operatorname{trace}\, U_v\circ w_v=1$ и $ \widetilde w_v=0.$

$3)$ Существуют такие рефлексивное сепарабельное банахово пространство
$G,$ оператор $ {U_0}\in \bigcap_{v>2}\operatorname{QN}_{v}^{\operatorname{dual}}(G,F)$
и элемент $ w_0\in F^*\widehat\otimes_1 G,$ что
$ \operatorname{trace}\, U_0\circ w_0=1$ и $ \widetilde w_0=0.$
\endproclaim\rm

$4)$ Пусть $ 1<p<2$ и $ 1/\alpha=1/2+1/{p}=3/2-1/{p'}.$
Существуют такие факторпространство $E$ пространства $ l_{p},$
оператор
$ {\overline V}\in \bigcap_{s>{p'}}\operatorname{QN}^{\operatorname{dual}}_{s}(E,F)$
и элемент
$ z\in F^*\widehat\otimes_{\alpha} E,$ что
$ \operatorname{trace}\, {\overline V}\circ z=1$ и $ \widetilde z=0. \quad\qed$

Из утверждения 1), используя факторизационную теорему для компактных
операторов [10, 2], получаем:

\proclaim {\bf Следствие 4.8}\it
Для каждого $ v>2$
существуют такие сепарабельные рефлексивные банаховы пространства
$ F,H$ и $ W,$ что
естественное отображение
$$(W^*\widehat\otimes^v F)\circ(H^*\widehat\otimes_1 W) @>>> \operatorname{L}(E,F)
$$
не взаимно однозначно.    $\quad\qed$
\endproclaim\rm


Ниже нам понадобится также дуальный вариант леммы 1.1.2) из [25]
с некоторыми уточнениями.
Сформулируем предварительно такой вспомогательный факт.

\proclaim {\bf Лемма 4.9}\it
Пусть $ p>0.$ Если $ S\in \bigcap_{v>p}\operatorname{N}_v(X,Y),$
то существует разложение оператора $ S$
в ряд
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=N_n+1}^{N_{n+1}} x'_k\otimes y_k,$$
которое является подходящим разложением для любого $ v>p.$
Таким образом, если одно из пространств $ X^*$ или $ Y$
удовлетворяют условию аппроксимации Гротендика, то
$$ \bigcap_{v>p} X^*\widehat\otimes_v Y=
\text{s\,-}\bigcap_{v>p} X^*\widehat\otimes_v Y.
$$
Аналогичное утверждение справедливо для идеалов
$ \operatorname{N}^q$-операторов.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Лемма сформулирована таким образом, что ее доказательство почти
очевидно, надо лишь вспомнить, что  для $ v>1$
как нормы $ \nu_v,$
так и нормы $ \nu^v$ с ростом показателя $ v$ убывают
(случай $ p<1$ еще проще),
и рассмотреть последовательность $ v_n\searrow p.$
Далее надо хорошо аппроксимировать $ S$ конечномерными операторами
по каждой из $ \nu_{v_n}$-норм и сложить получившиеся пачки.
Переход к тензорным произведениям возможен в силу того, что
при выполнении условий, наложенных на пару $ X^*,Y,$ соответствующие
тензорные произведения и операторные пространства совпадают между собой.
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Лемма 4.10}\it
Для любого  $ q\in (2,\infty)$ существуют такие сепарабельное
рефлексивное банахово пространство $F,$ факторпространство $ E$
пространства $ l_q,$
оператор $ \overline{U}\in\operatorname{QN}_{1}(E,F)$
и элемент $ z\in \text{s\,-}\bigcap_{v>q}F^*\widehat\otimes_v E$ такие,
что $ \operatorname{trace}\, z\circ \overline{U}=1$ и $ \operatorname{trace}\, z\circ \varphi=0$ для каждого
$ \varphi\in E^*\otimes F.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Вот в точности то, что было получено в процессе доказательства
леммы 1.1,2) в [25]: если $ v>2,$ $ 2<q<v$ и $ E^*$ ---
подпространство пространства $ l_{p'},$
которое не имеет свойства аппроксимации Гротендика, то
найдутся такие сепарабельное рефлексивное банахово пространство
$ F,$ оператор $ \overline U\in \operatorname{QN}_1(E,F)$ и тензорный элемент
$ z\in F^*\widehat\otimes_v E,$ что
что $ \operatorname{trace}\, z\circ \overline{U}=1$ и $ \operatorname{trace}\, z\circ \varphi=0$ для каждого
$ \varphi\in E^*\otimes F.$
Тензорный элемент $ z$ строился {\it независимо от параметра $ v$}\,
как суперпозиция $ R\varphi\Delta_0$
строго $ l_q$-факторизуемого оператора $ R: C(K)\to E,$
некоторого компактного оператора $ \varphi\Delta_0: l_1\to C(K)$ и
некоторого взаимно однозначного оператора из $ F$ в $ l_1.$
Так как $ \operatorname{L}(C(K), l_q)=  \operatorname{I}_r(C(K), l_q)$ \,
{\it для любого}\,
$ r>q,$ то оператор
$ R\varphi\Delta_0\in \bigcap_{r>q}l_{\infty}\widehat\otimes_r E.$
Остается применить лемму 4.9 к $ S:=R\varphi\Delta_0,$
перейдя затем в тензорные произведения $ F^*\widehat\otimes_r E.$
$\quad\qed$\enddemo

Переходя к двойственной ситуации, из леммы 4.10 получаем

\proclaim {\bf Следствие 4.11}\it
 Для любого  $ q\in (2,\infty)$ существуют такие сепарабельное
рефлексивное банахово пространство $E,$ подпространство $ F$
пространства $ l_{q'},$
оператор
$ \overline{V}\in\operatorname{QN}_{1}^{\operatorname{dual}}(E,F)$
и элемент
$ z\in \text{s\,-}\bigcap_{v>q}F^*\widehat\otimes^{v} E$
такие,
что $ \operatorname{trace}\, z\circ \overline{V}=1$ и $ \operatorname{trace}\, z\circ \Phi=0$ для каждого
$ \Phi\in E^*\otimes F.$
$\quad\qed$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 4.12}\it
Для каждого $ r\neq2$ существует $\operatorname{QN}_r^{\operatorname{dual}}$-оператор,
не принадлежащий
замыканию конечномерных отображений по
$ \pi_r^{\operatorname{dual}}$-норме. Более того,

$ 1)$ существует оператор из $\bigcap_{r>2}\operatorname{QN}_r^{\operatorname{dual}}$,
не принадлежащий замыканию конечномерных относительно обычной операторной
нормы $($и даже в топологии компактной сходимости!$);$

$ 2)$ существует оператор из
$ \operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}}$ $($и, таким образом, из
$ \operatorname{QN}_r^{\operatorname{dual}}, 1\leqslant r<2),$
который не лежит в замыкании множества конечномерных
операторов по норме $ \pi_a^{\operatorname{dual}},$
каково бы ни было $ a\in[1,2).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
1) есть непосредственное следствие теоремы 4.7,3).

2). По следствию 4.11, для каждого $ a<2$ существуют такие сепарабельные
рефлексивные пространства $ E,F$
и оператор
$ \overline V\in \operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}}(E,F),$
что $ \overline V\notin \overline{E^*\otimes F}^{\pi_a^{\operatorname{dual}}}.$
Пусть $ a_n\nearrow 2$ и $ E_n, F_n, \overline V_n$ таковы, что
$ \overline V_n\in \operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}}(E_n,F_n),$
$ \overline V_n\notin
 \overline{E_n^*\otimes F_n}^{\pi^{\operatorname{dual}}_{a_n}}$ и
$ \pi_1^{\operatorname{dual}}(\overline V_n)\leqslant 1/2^n.$
Положим $ X=\left(\sum E_n\right)_{l_2},$ \, $ Y= \left( \sum F_n\right)_{l_2},$ \,
$ T= \oplus \overline {V}_n.$
Тогда $T\in \operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}},$ но
$ T\notin \overline{X^*\otimes Y}^{\pi_a^{\operatorname{dual}}},$
каково бы ни было $ a<2.$
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 4.13}\it
Существует сепарабельное рефлексивное банахово пространство $ Z$
такое, что для каждого $ r\neq2,$ $ 1\leqslant r\leqslant \infty$
естественное отображение
$ Z^*\widehat\otimes^r Z\to \operatorname{N}^r(Z,Z)$ не взаимно однозначно.
В частности, для каждого $ r\neq2$ пространство $Z$ не обладает
свойством $ \operatorname{AP}_r^{\operatorname{dual}}.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Для $ v'_n\nearrow 2,$ $ E^1_n$ и $ F^1_n$ из теоремы 4.7,2) и
для $ q_n\searrow 2,$ $ E^2_n$ и $ F_n^2$ из следствия 4.11
положим
$ Z= \left( \left( \sum E^1_n\right)_{l_2}+
\left( \sum F^1_n\right)_{l_2}+
\left( \sum E^2_n\right)_{l_2}+
\left( \sum F^2_n\right)_{l_2}\right)_{l_2}.$
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Лемма 4.14}\it
Пусть для $ p<2$ $($соответственно, для $ v>2)$ пространства
$ E,F$ и оператор
$\overline V\in \operatorname{QN}_{p'}^{\operatorname{dual}}(E,F)$
(соответственно,
$ \overline V\in \operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}}(E,F))$ ---
из теоремы {\rm 4.7,4)} (соответственно,
из следствия {\rm 4.11}).

$ 1)$ Если $ p<2,$ то
существует вполне сепарабельное банахово пространство
$ W$ и тензорный элемент $ u\in F^*\widehat\otimes^{1} W^{***}$
такие, что $ W^*$ имеет базис, $W^{**}=\Psi^*E^*\oplus \pi_WW,$
где $ \Psi: W^*\to E$ --- некоторое факторотображение,
$ \operatorname{trace}\, u\circ \varphi=0$ для любого $ \varphi\in W^{**}\otimes F$
и $ \operatorname{trace}\, u\circ (\overline V\Psi)=1.$

$ 2)$ Если $ v>2,$ то
существует вполне сепарабельное банахово пространство
$ W$ и тензорный элемент $ u\in F^*\widehat\otimes^{v} W^{***}$
такие, что $ W^*$ имеет базис, $W^{**}=\Psi^*E^*\oplus \pi_WW,$
где $ \Psi: W^*\to E$ --- некоторое факторотображение,
$ \operatorname{trace}\, u\circ \varphi=0$ для любого $ \varphi\in W^{**}\otimes F$
и $ \operatorname{trace}\, u\circ (\overline V\Psi)=1.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Пусть $ z\in F^*\widehat\otimes^a E$ (где $ a=1$ в утверждении 1) и
$ a=v$ в утверждении 2))
--- тензорный элемент, соответствующий в
теореме 4.7,4) (соответственно, в следствии 4.11)
тройке $ E,F,$ $\overline V.$
Пусть, далее, $ W$ --- пространство из леммы 1.2, примененной к нашему
пространству $ E,$ и $ P$ --- естественный проектор из
$ W^{**}=\Psi^*E^*\oplus \pi_WW$ на $ \Psi^*E^*.$
Положим $ j=[(\Psi^*)^{-1}P]^*,$ $ j: E\to W^{***}$
и $ u=j\circ z\in F^*\widehat\otimes^a W^{***}.$
Мы должны лишь проверить, что $ \operatorname{trace}\, u\circ (\overline V\Psi)=1.$
Пусть $ z=\sum f'_n\otimes e_n$ --- некоторое тензорное представление
для $ z$ в $ F^*\widehat\otimes^a E$\ $(f'_n\in F^*, e_n\in E).$
Имеем:
$$\multline
 \operatorname{trace}\, u\circ (\overline V\Psi)=
\operatorname{trace}\, (j\circ z)\circ (\overline V\Psi)=
\sum \langle \Psi^*\overline V^*f'_n,je_n\rangle = \\ =
\sum \langle (\Psi^*)^{-1}P\Psi^*\overline V^*f'_n,e_n\rangle =
\sum \langle (\Psi^*)^{-1}\Psi^*\overline V^*f'_n,e_n\rangle = \\ =
\sum \langle  \overline V^*f'_n,e_n\rangle =\operatorname{trace}\, z\circ \overline V=1.
\quad\qed
\endmultline
$$
\enddemo

\remark {\bf Замечание 4.15}
В лемме 4.14 $ W^*$ обладает свойством $ \operatorname{MAP},$
а $ W^{***}$ не обладает свойством $ \operatorname{AP}_{p}^{\operatorname{dual}}$
в случае 1) и свойством
$ \operatorname{AP}_{v}^{\operatorname{dual}}$ в случае 2).
\endremark\medpagebreak
     \medpagebreak


Теперь мы готовы привести дуальный вариант основной теоремы из
работы [25]. В доказательстве предлагаемой теоремы мы следуем
схеме рассуждений из [25], однако непосредственно (без каких-либо
существенных изменений) доказательство теоремы 2.1 [25] на случай
$ \operatorname{N}^p$-операторов не переносится, и, скорее всего, некорректно
было бы предлагать читателю доказать теорему 4.16 (а с нею и все
анонсированные  в \S4 работы [25] результаты) в качестве нетрудного
упражнения.

\proclaim {\bf Теорема 4.16}\it
Пусть $ E,$ $ X:=W^*,$ $Y:=F,$ $\overline V,\Psi$ --- из леммы $4.14,$
и $ V:=\overline V\Psi.$\ Пусть, далее, $ 0<\gamma<1/5,$

$ 1)$ Для любого $ \delta>0$ и для каждого $ p<2$ существуют такие
конечномерный оператор $ T_0\in Y^*\otimes X$ и эквивалентная
норма на $ X,$ скажем $ |||\cdot|||,$  что если
$ X_\delta:= (X, |||\cdot|||),$ то

$ (i_1)$ $ X_\delta\in \operatorname{BAP};$

$ (ii_1)$ $ \|V\|_{\Pi^{\operatorname{dual}}_{p'}(X_\delta,Y)}\leqslant 1;$

$ (iii_1)$ $ V$ не лежит в замыкании шара радиуса $ 4/(5\delta)$
пространства $ X^*\otimes_{\pi^{\operatorname{dual}}_\infty} Y$
в пространстве $ \operatorname{L}(X_\delta, Y)$
в топологии компактной $($или поточечной$)$ сходимости;

$ (iv_1)$ $ \|T_0\|_{Y^*\widehat\otimes^{p} X_\delta}\geqslant 1-\gamma;$

$ (v_1)$ $ \|T_0\|_{\operatorname{I}^{1}(Y,X^{**})}< \delta.$

$ 2)$ Для любого $ \delta>0$ и для каждого $ v>2$ существуют такие
конечномерный оператор $ T_0\in Y^*\otimes X$ и эквивалентная
норма на $ X,$ скажем $ |||\cdot|||,$  что если
$ X_\delta:= (X, |||\cdot|||),$ то

$ (i_2)$ $ X_\delta\in \operatorname{BAP};$

$ (ii_2)$ $ \|V\|_{\Pi_1^{\operatorname{dual}}(X_\delta,Y)}\leqslant 1;$

$ (iii_2)$  $ V$ не лежит в замыкании шара радиуса $ 4/(5\delta)$
пространства $ X^*\otimes_{\pi^{\operatorname{dual}}_{v'}} Y$
в пространстве $ \Pi_{v'}^{\operatorname{dual}}(X_\delta, Y)$
в топологии компактной (или поточечной) сходимости;

$ (iv_2)$ $ \|T_0\|_{Y^*\widehat\otimes^{\infty}X_\delta)}\geqslant 1-\gamma;$

$ (v_2)$ $ \|T_0\|_{\operatorname{I}^{v}(Y,X^{**})}< \delta.$

Более того, как в случае $1)$, так и в случае $2)$ норма $ |||\cdot|||,$
дуальная к которой определяется соотношением
$ |||x'|||:=\max \{\|x'\|;A \operatorname{ dist}\, (x',\Psi^*E^*)\},$
удовлетворяет всем указанным выше условиям при подходящем выборе
числа $ A.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Удобно рассматривать оба случая, указанных в лемме 4.14,
одновременно, поэтому мы введем два символа $ a$ и $ b$ следующим образом:

$$ \alignat 3
 a&=p', &\qquad b &=\infty, &\qquad &\text{в случае 1);}  \\
 a&=1, &\qquad b &=v', &\qquad &\text{в случае 2).}
\endalignat
$$

Отметим, что в любом случае $ a\leqslant b$ и $ b'\leqslant a'.$

Итак, пусть $ E,$ $ X:=W^*,$ $Y:=F,$ $\overline V, \Psi,$ а также
$ u$ --- из леммы 4.14, и $V:=\overline V\Psi.$
$$ \CD \phantom{vvvvvvvvvvvvv}
  X=W^* @>\Psi>> E  @>\overline V>> Y=F @>\widetilde u>> X^{**}=W^{***}\\
  X^{*}=W^{**}=\Psi^*E^*\oplus \pi_WW @<\Psi^*<< E^*
      @<\overline V^*<<Y^*=F^*
 \endCD
$$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 4.6}
\bigpagebreak

Без ограничения общности, мы можем
считать, что $ \pi_a^{\operatorname{dual}}(V)<1.$ Пусть
$ u=\sum y'_n\otimes x''_n,$
где $ y'_n\in Y^*,$ $ x''_n\in X^{**}=W^{***},$
$ \alpha_{b'}(x''_n)\leqslant 1,$ $\varepsilon:= \varepsilon_{b}(y'_n)< \infty.$

Зафиксируем $ \delta>0$ и введем следующие обозначения.

$1)$ Пусть элементы $ y''_k\in Y^{**},$  $ k=1,2,\dots,$
таковы, что
$ \|V^*y'\|^a\leqslant \sum | \langle  y''_k,y'\rangle |^a$ для всех $ y'\in Y^*$
и $ \sum \|y_k\|^a\leqslant1.$

$2)$ Пусть $ A>1$ --- такое число, что
$$ \frac{3\varepsilon}A<\frac12\delta.
$$

$3)$ Пусть $ \nu$ --- такое число, что
$$ \nu A<\frac12 \delta.
$$

$4)$ Выберем такое натуральное $ N,$ что для
$$ T=\sum_{n=1}^N y'_n\otimes x''_n
$$
выполняются неравенства
$$ \operatorname{trace}\, T\circ V>1-\gamma;
 \qquad |\operatorname{trace}\, T\circ \varphi|<\nu \pi_b^{\operatorname{dual}}(\varphi),\
  \forall   \varphi\in X^*\otimes Y.
$$

$5)$ Пусть $ (x_n)_1^N$ --- такой набор векторов в $ X,$
что

$5a)$ $\alpha_{b'}(x_n)_1^N \leqslant 2$ и

$5b)$ $ x''_n|_{\Psi^*E^*}=x_n|_{\Psi^*E^*}.$

Такой набор существует по следующим причинам.
Пусть $ \lambda>0.$
Для $ x''\in X^{**}=W^{***}$ рассмотрим функционал $ e:=x''\circ\Psi^*$
на $ E^*:$
$$ \CD
 E^* @>>\Psi^*> X^*=W^{**}=\pi_WW\oplus \Psi^*E^*
  @>>x''>  \Bbb R.
\endCD
$$
Так как $ \|e\|\leqslant \|x''\|$ и $ \Psi:W^*\to E$
есть факторотображение, то найдется $ x\in X,$
для которого будут выполняться соотношения
$ \|x\|\leqslant (1+\lambda)\|e\|\leqslant (1+\lambda)\|x''\|$
и $ \Psi x=e=x''\circ \Psi^*.$
Далее, для $ e'\in E^*$
$$ \langle  \Psi^*e',x\rangle = \langle  e', \Psi x\rangle = \langle  e',e\rangle
  = (x''\circ \Psi^*)(e') = \langle  x'',\Psi^* e'\rangle .
$$
Таким образом, $ \|x\|\leqslant (1+\lambda)\|x''\|$
и $ x|_{\Psi^*E^*}=x''|_{\Psi^*E^*}.$


$6)$ Положим $ T_0=\sum_{n=1}^N y'_n\otimes x_n\in Y^*\otimes X.$

$7)$ Пусть, наконец, $ L_0=[x_n]_1^N.$

Определим новую (эквивалентную) норму $ |||\cdot|||$ на $ X^*=W^{**}$
следующим образом: для $ x'\in X^*$
$$ |||x'|||=\max \{\|x'\|, A\,d(x',\Psi^*E^*)\},
$$
где $ d(x',\Psi^*E^*)=\inf \{ \|x'-\Psi^*e'\|:\ e'\in E^*\}.$
Заметим, что для любого $ y'\in Y^*$ мы имеем:
$ |||V^*y'|||=|||\Psi^*\overline V^*y'|||=\|V^*y'\|.$
В силу ${}^*$-слабой замкнутости подпространства $ \Psi^*E^*$
в $ W^{**},$  это --- дуальная норма к некоторой норме на $ X,$
которую мы обозначим тем же символом $ |||\cdot|||.$
Полезно отметить, что $ \|\cdot\|\leqslant |||\cdot|||\leqslant A\|\cdot\|.$
Мы утверждаем, что пространство $ X_\delta=(X, |||\cdot|||)$
удовлетворяет всем условиям нашей теоремы.

$(i)$ В $ X$ есть базис, поэтому $ X$ обладает свойством ограниченной
аппроксимации.

$(ii)$ Оценка для квази-$a$-ядерной нормы оператора $ V^*$
получается из соотношений $|||V^*y'|||^a=
  \|V^*y'\|^a \leqslant \sum_{k=1}^\infty | \langle  y''_k,y'\rangle |^a$
и $\sum_k \|y''_k\|^a\leqslant1;$
так что $ \|V\|_{\Pi_a^{\operatorname{dual}}(X_\delta, Y)}\leqslant 1.$

$ (iv)$ Имеем:
$$ \operatorname{trace}\, T_0\circ V= \sum_{n=1}^N \langle  x_n, V^*y'_n\rangle  =
\sum_{n=1}^N \langle  x''_n, V^*y'_n\rangle  = \operatorname{trace}\, T\circ V>1-\gamma.
$$
Так как $ \|V\|_{\Pi_a^{\operatorname{dual}}(X_\delta, Y)}\leqslant 1,$
то $ \|T_0\|_{Y*\widehat\otimes^{a'} X}\geqslant
  1-\gamma.$

$ (v)$ Так как $ (X^*_\delta \otimes_{\pi_b^{\operatorname{dual}}} Y)^*=
 \operatorname{I}^{b'}(Y, X^{**}_\delta),$
то
$$ \|T_0\|_{\operatorname{I}^{b'}(Y, X^{**}_\delta)}=
 \sup \{ |\operatorname{trace}\, T_0\circ\varphi|:\ \varphi\in X^*_\delta\otimes Y,
   \pi_b^{\operatorname{dual}}(\varphi)\leqslant 1\}.
$$
Пусть $ \varphi\in X^*_\delta\otimes Y$ и
$ \|\varphi\|_{\Pi_b^{\operatorname{dual}}(X_\delta, Y)}\leqslant 1.$
Тогда
$$ \multline
 |\operatorname{trace}\, T_0\circ \varphi\|= \left| \sum_{n=1}^N \langle  x_n, \varphi^*y'_n\rangle \right|
\leqslant \left| \sum_{n=1}^N \langle  x_n-x''_n, \varphi^*y'_n\rangle \right|+
 \left| \sum_{n=1}^N \langle  x''_n, \varphi^*y'_n\rangle \right|\leqslant  \\ \leqslant
  \left( \sum_{n=1}^N |||x_n-x''_n|||^{b'}\right)^{1/b'}
  \left( \sum_{n=1}^N ||| \varphi^{*}y'_n|||^{b}\right)^{1/b}+
   |\operatorname{trace}\, T\circ \varphi|\leqslant \\ \leqslant
  \|\varphi\|_{\Pi_b^{\operatorname{dual}}(X_\delta, Y)}
  \varepsilon_{b}(y'_n)_1^\infty\widetilde{\alpha}_{b'}+
\nu\|\varphi\|_{\Pi_b^{\operatorname{dual}}(X,Y)},
 \endmultline
$$
где $ \widetilde{\alpha}_{b'}$ ---
$ \alpha_{b'}$-норма последовательности $ (x_n-x''_n)_1^N$
относительно нормы $ |||\cdot|||.$

Оценим сверху $ \widetilde\alpha_{b'},$ используя равенство
$l_r(Z)^*= l_{r'}(Z^*)$\ $(1<r<\infty).$
Если $ (x'_n)_1^N$ --- такой набор векторов из $ X^*,$
что $ \sum_{n=1}^N |||x'_n|||^{b}\leqslant 1,$ то для
$ (l_n)_1^N\subset \Psi^*E^*,$ $ \|l_n-x'_n\|=d(x'_n, \Psi^*E^*),$
имеем:
$$ \multline
  \sum_{n=1}^N | \langle  x''_n-x_n, x'_n\rangle |=
 \sum_{n=1}^N | \langle  x''_n-x_n, x'_n-l_n\rangle |\leqslant \\ \leqslant
 \left( \sum_{n=1}^N \|x'_n-l_n\|^{b}\right)^{1/b} \alpha_{b'}(x''_n-x_n)_1^N
   \leqslant
  3 \left( \sum_{n=1}^N d(x'_n, \Psi^*E^*)^{b}\right)^{1/b}\leqslant \\ \leqslant
  \frac3A \left(\sum_{n=1}^N |||x'_n|||^{b}\right)^{1/b}\leqslant \frac3A.
   \endmultline
$$
В этих соотношениях через $ \alpha_{b'}(x''_n-x_n)_1^N$
обозначается $ \alpha_{b'}$-норма последовательности $ (x''_n-x_n)_1^N$
относительно первоначальной нормы $ \|\cdot\|.$

Таким образом,
$$ |\operatorname{trace}\, T_0\circ \varphi\|\leqslant
  \varepsilon\frac3A+\nu A \|\varphi\|_{\Pi_b^{\operatorname{dual}}(X_\delta,Y)}
    \leqslant \frac12 \delta+ \frac12 \delta=\delta.
$$
Следовательно,
$ \|T_0\|_{\operatorname{I}^{b'}(Y, X^{**}_\delta)}\leqslant \delta.$

$ (iii)$ Если это утверждение неверно, то
найдется такой оператор $ \varphi\in X^*_\delta \otimes Y,$
что $ \|\varphi\|_{\Pi_b^{\operatorname{dual}}(X_\delta,Y)}\leqslant 4/(5\delta)$
и $ \varphi|_{L_0}= V|_{L_0}.$
Имеем:
$$
 |\operatorname{trace}\, T_0\circ \varphi|=
  \left| \sum_{n=1}^N \langle  \varphi x_n, y'_n\rangle \right|=
  \left| \sum_{n=1}^N \langle  Vx_n, y'_n\rangle \right|= %\\ =
    |\operatorname{trace}\, T_0\circ V|>1-\gamma>4/5
$$
(см. доказательство утверждений $ (iv)$).
С другой стороны,
$$ |\operatorname{trace}\, T_0\circ \varphi|\leqslant
 \|T_0\|_{\operatorname{I}_{b'}(Y, X^{**}_\delta)}
     \|\varphi\|_{\Pi_b^{\operatorname{dual}}(X_\delta,Y)}
\leqslant
 \delta[4/(5\delta)]= 4/5. \quad\qed$$
\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 4.17}\it
$ 1)$ Для каждого $ C>0$ и любого $ q>2$ существует вполне сепарабельное
пространство
$ X$ и сепарабельное рефлексивное пространство $ Y,$ оператор
$ U\in \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}(X,Y)$ такие,
что $ X $ обладает свойством $ \operatorname{BAP},$
\,$\pi_q^{dual}(U)=1$ и $ U$ не является пределом конечномерных операторов
$ \Phi,$ с нормами $\|\Phi\| \leqslant C, $ в топологии компактной сходимости.

$ 2)$ Для каждого $ C>0$ и любого $ q<2$
существует вполне сепарабельное пространство
$ X$ и сепарабельное рефлексивное пространство $ Y,$ оператор\linebreak
$ U\in \operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}}(X,Y)$ такие,
что $ X $ обладает свойством $ \operatorname{BAP},$
\,$\pi_1^{\operatorname{dual}}(U)=1$ и $ U$
не является пределом конечномерных операторов
$ \Phi,$ с нормами $\pi_q^{\operatorname{dual}}(\Phi) \leqslant C, $
в топологии компактной сходимости.
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 4.18}\it
$ 1)$ Для каждого $ \delta>0$ и любого $ p<2$ существует
вполне сепарабельное
пространство $ X,$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y $ и оператор
$ T\in Y^*\otimes X$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \operatorname{BAP},$
$ \|T\|_{\operatorname{N}^{p}(Y,X)}=1$ и
$ \|T\|_{\operatorname{I}^{1}(Y,X^{**})}<\delta.$

$ 2)$ Для каждого $ \delta>0$ и любого $ p>2$ существует
вполне сепарабельное
пространство $ X,$ сепарабельное рефлексивное пространство $ Y $ и оператор
$ T\in Y^*\otimes X$ такие, что $ X $ обладает свойством $ \operatorname{BAP},$
$\|T\|_{\operatorname{N}^{\infty}(Y,X)} =1$ и
$ \|T\|_{\operatorname{I}^{p}(Y,X^{**})}<\delta.$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 4.19}\it
Для каждого $ C>0$ и для любого $ p\geqslant 1, p\neq2$
существует вполне сепарабельное
банахово пространство $ X$ со свойством
$ C$-$\operatorname{MAP}_p^{\operatorname{dual}}$
такое, что $ X$ не обладает свойством
$ C_0$-$\operatorname{MAP}^{\operatorname{dual}},$
если $ C_0<C.$
\endproclaim\rm
 \medpagebreak


Применим теперь теорему 4.16 для доказательства некоторых
фактов из [25, \S4], а также для получения дополнительной информации
о возможности аппроксимации $ \Pi_r^{\operatorname{dual}}$-операторов
в некоторых топологиях.

\proclaim {\bf Теорема 4.20}\it
$ 1)$ Для каждого $ q>2$ существуют вполне
сепарабельное пространство $ X$
со свойством $\operatorname{AP},$
сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$
и оператор $ U\in\operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}(X,Y)$
такие, что

$ (i)$ $ U$ лежит в замыкании множества
$ X^*\otimes Y$ в $ \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}(X,Y)$
в топологии
$ \sigma \left( \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}(X,Y),
   Y^*\widehat\otimes^{q'} X\right)$
(следовательно, и в топологии компактной сходимости), но

$ (ii)$ для всякого $ C<\infty$ \, $ U$ не является пределом,
в топологии компактной сходимости, конечномерных операторов $ \Phi,$
нормы которых $ \|\Phi\|\leqslant C.$

$ 2)$ Существуют вполне сепарабельное пространство $ X$
со свойством $\operatorname{AP},$
сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$
и оператор $ U\in\operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}}(X,Y)$ такие, что

$ (i)$ $U\in X^*\widehat\otimes^2 Y$ (очевидно), но

$ (ii)$ если $q<2,$ то для всякого $ C>0$ \, $ U$ не является пределом,
в топологии компактной сходимости, конечномерных операторов $ \Phi,$
для которых $ \pi_q^{\operatorname{dual}}(\Phi)\leqslant C.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
1) Используя следствие 4.17,1),
построим для каждого $ n\in\Bbb N$
такие банаховы пространства $ X_n,$ $ Y_n$ и оператор
$ U_n\in \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}(X_n,Y_n),$
что $ X_n\in \operatorname{BAP},$
$ \pi_q^{\operatorname{dual}}(U_n)<2^{-n}$ и $ U$ не лежит в замыкании
множества конечномерных операторов $ \varphi$ с нормами $ \|\varphi\|\leqslant n$
в топологии компактной сходимости.
Положим $ X:= \left( \sum X_n\right)_{l_2},$
$ Y:= \left( \sum Y_n\right)_{l_2},$ $ U:=\oplus U_n.$
Ясно, что тройка $ (X,Y,U)$ удовлетворяет условию $ (ii)$
и $ X$ обладает свойством аппроксимации.
Из последнего вытекает, что каноническое отображение
$ Y^*\widehat\otimes^{q'} X\to \operatorname{N}^{q'}(Y,X)$ имеет тривиальное ядро.
Следовательно, множество $ X^*\otimes Y$ плотно в сопряженном к
$ Y^*\widehat\otimes^{q'} X$ пространстве\footnote{
Пространство $ Y$ рефлексивно,
поэтому $ \Pi_q(Y^*,X^*) = \operatorname{QN}_q(Y^*,X^*).$
 }
$ \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}(X,Y)$
в ${}^*$-слабой топологии (в противном случае, по теореме Хана-Банаха,
найдется ненулевой тензорный элемент из $ Y^*\widehat\otimes^{q'} X$,
порождающий нулевой оператор).

2) Аналогично, используя часть 2) следствия 4.17, найдем для
какой-либо последовательности $ q_n<2,$ $ q_n\nearrow 2,$
банаховы пространства $ X_n,Y_n$ и операторы
$ U_n\in\operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}}(X_n,Y_n),$
обладающие следующими свойствами:
$ X_n\in \operatorname{BAP},$ $ \pi_1^{\operatorname{dual}}(U_n)<2^{-n}$
и $ U_n$ лежит в замыкании множества конечномерных операторов
$ \varphi$ с нормами $ \pi_{q_n}^{\operatorname{dual}}(\varphi)\leqslant n$
в топологии компактной сходимости.
Полагая $ X:= \left( \sum X_n\right)_{l_2},$
$ Y:= \left( \sum Y_n\right)_{l_2}$ и $ U:=\oplus U_n,$
мы получаем нужную нам тройку $ (X,Y,U).$
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Теорема 4.21}\it
$ 1)$  Существуют вполне
сепарабельное пространство $ X$ со свойством $\operatorname{AP},$
сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$ и оператор $ T\in L(Y,X)$
такие, что для каждого $ p\in[1,2)$\ $T\notin \operatorname{N}^p(Y,X),$
но $ \pi_XT\in\operatorname{N}_1(Y,X^{**});$
более того, существует такая последовательность
$ \left(T_n\right)$ конечномерных операторов
в $ Y^*\otimes X,$  что $ T_n\to T$ по норме, индуцированной
из $ \operatorname{N}_1(Y,X^{**}).$

$ 2)$ Существуют вполне
сепарабельное пространство $ X$ со свойством $\operatorname{AP},$
сепарабельное рефлексивное пространство $ Y$
и оператор $ T\in\operatorname{L}(Y,X)$
такие, что $T$ не факторизуется ни через какое пространство $ L_1(\mu)$
(следовательно, не лежит в $ \operatorname{N}^r,$ если $ r\in[1, \infty]$),
но для каждого $ p\in(2,\infty]$\ $ \pi_XT\in\operatorname{N}^p(Y,X^{**});$
более того, существует такая последовательность
$ \{ T_n\}$ конечномерных операторов
в $ Y^*\otimes X,$  что $ T_n\to T$ по любой из норм
$ \nu^p,\, p>2,$ индуцированных из $ \operatorname{N}^p(Y,X^{**}).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
1) Пусть $ p_n<2,$ $ n=1,2,\dots,$ и $ p_n\nearrow 2.$
Используя следствие 4.18,1),
найдем такие банаховы пространства $ X_n,Y_n$
и конечномерный оператор $ T_n\in Y_n^*\otimes X_n,$ что
$ X_n\in \operatorname{BAP},$
$ \|T_n\|_{\operatorname{N}^{p_n}(Y_n,X_n)}\geqslant n$ и
$ \|T_n\|_{\operatorname{I}^{1}(Y_n,X_n^{**})}\leqslant 2^{-n}.$
Полагая $ X:= \left( \sum X_n\right)_{l_2},$
$ Y:= \left( \sum Y_n\right)_{l_2}$ и $ T:=\oplus T_n,$
мы получаем нужную нам тройку $ (X,Y,T).$

2) Пусть $ p_n>2,$ $ n=1,2,\dots,$ и $ p_n\searrow 2.$
Используя следствие 4.18,2),
найдем такие банаховы пространства $ X_n,Y_n$
и конечномерный оператор $ T_n\in Y_n^*\otimes X_n,$ что
$ X_n\in \operatorname{BAP},$
$ \|T_n\|_{\operatorname{N}^{\infty}(Y_n,X_n)}\geqslant n$ и
$ \|T_n\|_{\operatorname{I}^{p_n}(Y_n,X_n^{**})}\leqslant 2^{-n}.$
Если мы положим $ X:= \left( \sum X_n\right)_{l_2},$
$ Y:= \left( \sum Y_n\right)_{l_2}$ и $ T:=\oplus T_n,$
то получим оператор $ T,$ не факторизуемый ни через какое пространство
$ L_1(\mu),$ но второй сопряженный к которому лежит в
$ \operatorname{N}^{p}$ для каждого $ p>2,$ так как $p_n\to 2.
\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 4.22}\it
Существует банахово пространство со свойством $ \operatorname{AP}$
(следовательно, со свойством
$ \operatorname{AP}_p^{\operatorname{dual}}$
для каждого $ p\in[1,\infty]$),
не обладающее свойством
$ \operatorname{BAP}_p^{\operatorname{dual}}$ ни для какого
$ p, p\neq2. \quad\qed$
\endproclaim\rm

Так как $ \operatorname{I}^p(Y,Z)=\operatorname{N}^p(Y,Z),$
если пространство $ Z$
вполне сепарабельно (см. следствие 2.4),
то из теоремы 4.21 мы, в частности, получаем:

\proclaim {\bf Следствие 4.23}\it
Для каждого $ p\neq2$ существует
$ \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{dual}}$-оператор,
не лежащий в идеале $ \operatorname{I}^p.\quad\qed$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 4.24}\it
Для каждого $ p\neq2$ существует не $ \operatorname{N}^p$-оператор с
$ p$-ядерным сопряженным, аппроксимируемый конечномерными
по $ N_{p}^{\operatorname{dual}}$-норме. $\quad\qed$
\endproclaim\rm

\proclaim {\bf Следствие 4.25}\it
Существует оператор, не факторизуемый ни через какое пространство
$ L_1(\mu),$ второй сопряженный к которому компактно факторизуется
через пространство $ l_1$ и который аппроксимируется конечномерными
по $ \operatorname{N}_\infty^{\operatorname{dual}}$-норме. $ \quad\qed$
\endproclaim\rm




\head{\bf \S 5. Изометрические несюръективные вложения
 $ \operatorname{N}^p(X,Y)$
в $ (\operatorname{N}^p)^{ \operatorname{ reg}}(X,Y)$}
\endhead

В этом параграфе мы приведем, в некотором смысле, альтернативу
части результатов предыдущего раздела. Мы установим, в частности,
что существуют достаточно хорошие пространства $ X,Y$
(например, $ Y^{**}$ с базисом), для которых естественные
вложения
 $ \operatorname{N}^p(X,Y)$
в $ (\operatorname{N}^p)^{ \operatorname{ reg}}(X,Y)$
не являются отображениями "на" (эти вложения изометрические,
поскольку $ Y^{**}\in \operatorname{ MAP}$).

\proclaim {\bf Теорема 5.1}\it
$1)$ Существуют такие сепарабельное рефлексивное пространство $ F,$
вполне сепарабельное пространство
$ Z$  и операторы
$$ T\in \operatorname{L}(F,Z),\quad
 U\in \bigcap_{q>2} \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}(Z^{**}, F)$$
что
$ Z^{**}$ имеет базис, $ U|Z=0,$ $ \operatorname{trace}\, UT^{**}=1,$
$ T\in \operatorname{N}_1^{ \operatorname{ reg}}(F,Z)$
и $ T\notin \operatorname{N}^p(F,Z),$ если $ p<2.$

$2)$ Для каждого $ s>2$ существуют такие сепарабельное рефлексивное
пространство $ F,$ вполне сепарабельное пространство
$ Z,$ операторы $ T\in \operatorname{L}(F,Z)$ и
$ U\in  \operatorname{QN}_1^{\operatorname{dual}}(Z^{**}, F),$ что
$ Z^{**}$ имеет базис, $ U|Z=0,$ $ \operatorname{trace}\, UT^{**}=1,$
$ T\in \operatorname{N}_s^{\operatorname{dual}}(F,Z)$ и
$ T\notin \operatorname{N}^\infty(F,Z).$

$3)$ Пусть $1<p<2$ и $1/\alpha=1/2+1/p.$ Существуют
факторпространство $ E$ пространства $l_p,$ сепарабельное
рефлексивное пространство $ F,$ вполне сепарабельное пространство $ Z,$
операторы
$ T\in \operatorname{L}(F,Z),$ $ U\in \bigcap_{s>p'}\operatorname{QN}_s^{\operatorname{dual}}(Z^{**},F)$
и факторотображение $ \Phi: Z^{**}\to E,$ обладающие следующими
свойствами:

{\rm (i)} $Z^{**}$ имеет базис, подпространство $ \Phi^*(E^*)$
дополняемо в $ Z^{***},$ $ \operatorname{ Ker}\Phi=Z;$

{\rm (ii)} $ \operatorname{trace}\, UT^{**}=1,$ $ U|Z=0;$

{\rm (iii)} $ T\in \operatorname{N}_{\alpha}(F,Z^{**}),$ но $T\notin \operatorname{N}^{q}(F,Z),$
каково бы не было $ q<p;$ с другой стороны, $ T\in \operatorname{N}^p(F,Z).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство} 1). По теореме 4.7,3),
существуют два сепарабельных рефлексивных банаховых пространства
$ F,G,$ оператор
$ {U_0}\in \bigcap_{q>2} \operatorname{QN}_q^{\operatorname{dual}}(G,F)$
и элемент $ w_0\in F^*\widehat\otimes_1 G$ такие,
что $ \operatorname{trace} w_0\circ {U_0}=1$ и
$ \operatorname{trace} w_0\circ \varphi=0$ для каждого
$ \varphi\in E^*\otimes F$ (т.е. $\widetilde w_0=0).$
Пусть $ Z$ и $ \Phi:Z^{**}\to E$ --- из леммы 1.3, примененной
к пространству $ E=G.$
Положим $ U=U_0\Phi,$ и пусть $ T\in \operatorname{ N}_1(F,Z^{**})$
--- такой оператор, что $ \Phi\circ T=w_0$
(так как $ Z^{**}\in \operatorname{AP},$
то $ \operatorname{ N}_1(F,Z^{**})= F^*\widehat\otimes_1 Z^{**}).$
Ясно, что $ \operatorname{ trace}\,U\circ T=1$ (при доказательстве
утверждения 2) мы распишем это место подробнее).
Так как $ \operatorname{ Ker}\,\Phi=\pi Z,$
то $ T(F)\subset \operatorname{ Ker}\,\Phi=\pi Z,$
т.е. $ T\in \operatorname{ L}\,(F,Z).$
Наконец, если $ T\in \operatorname{ N}^p(F,Z)$ при $ p<2,$
то для произвольного $ \operatorname{N}^p$-представления $ T$ в виде
$ \sum f'_n\otimes z_n$ имеем:
$$ 1= \operatorname{ trace}\,U\circ T=\sum \langle  f'_n, Uz_n\rangle
 = \sum \langle  U^*f'_n, z_n\rangle =0.
$$
Поэтому $ T\notin \operatorname{ N}^p(F,Z).$
\smallpagebreak

2). Воспользовавшись следствием 4.11,
найдем такие сепарабельные рефлексивные банаховы пространства $ E,F,$
оператор $ {U_0}\in\operatorname{QN}_{1}^{\operatorname{dual}}(E,F)$
и элемент $ z\in F^*\widehat\otimes^s E,$
что $ \operatorname{trace} z\circ {U_0}=1$ и
$ \operatorname{trace} z\circ \varphi=0$ для каждого
$ \varphi\in E^*\otimes F.$ Пусть $ z=\sum f^*_n\otimes e_n$ ---
представление $ z$ в пространстве $ F^*\widehat\otimes^s E.$
Как и выше, рассмотрим пространство $ Z$ и гомоморфизм
$ \Phi:Z^{**}\to E$ из леммы 1.3 и положим
$ U=U_0\Phi.$
Определим оператор $ T\in \operatorname{ N}^s(F,Z^{**}),$
$ T:= \sum f'_n\otimes z''_n,$
таким образом, чтобы было верно равенство $ \Phi T=z.$
Очевидно, $ U|_Z=0$ и $ T(F)\subset \pi Z.$
Кроме того,
$$ \operatorname{ trace}\,U\circ T=\sum \langle  f'_n, Uz''_n\rangle =
  \sum \langle  f'_n, U_0e_n\rangle = \operatorname{ trace}\,z\circ U_0=1.
$$
Тот факт, что $ T\notin \operatorname{ N}^\infty(F,Z),$
проверяется так же, как и в случае 1) (используем то, что
$ U\in \operatorname{ QN}^1(Z^{**},F)).$

3). Пусть $ E,F,$ $ z\in F^*\widehat\otimes_{\alpha} E,$
$ \overline V\in \bigcap_{s>p'}\operatorname{QN}_s^{\operatorname{dual}}$ ---
из теоремы 4.7,4),
так что $ \operatorname{trace}\, V\circ z=1$ и $ \widetilde z=0.$
Пусть, далее, $ Z$ и $ \Phi:Z^{**}\to E$ --- вполне сепарабельное
пространство и факторотображение, построенные для пространства $ E$
согласно лемме 1.3.
Положим $ U:=\overline V \Phi:Z^{**}\to E\to F.$
Если $ z=\sum \lambda_j f'_j\otimes e_j$ --- представление для $ z$
в пространстве $ F^*\widehat\otimes_{\alpha} E,$ где положительная
последовательность $ (\lambda_j)$ лежит в $ l_{\alpha},$
а последовательности $ (f'_j)$ и $ (e_j)$ ограничены, возьмем
такую ограниченную в $ Z^{**}$ последовательность $ (z''_j),$
что $ \Phi z''_j=e_j$ для каждого $ j.$
Поскольку $ \Phi T=\widetilde z=0,$ то $ T(F)\subset \pi_ZZ=Z.$
Кроме  того, так как $ \operatorname{ Ker}\Phi=Z,$ то
$ U|Z=0.$
Далее, $ \operatorname{trace}\, U\circ T=\sum \lambda_j \langle f'_j, Uz''_j \rangle =
\sum \lambda_j \langle  f'_j, \overline Ve_j\rangle = \operatorname{trace}\, \overline V\circ z=1.$
С другой стороны, если бы оператор $ T$ принадлежал пространству
$ \operatorname{N}^q(F,Z)$ для некоторого $ q<p,$
то, в силу равенства $ U|Z=0,$ след $ \operatorname{trace}\, U\circ T$ равнялся бы нулю.
Таким образом, очевидно, $ T^{**}\in \operatorname{N}_{\alpha} (F,Z^{**}),$
но $ T\notin \operatorname{N}^q(F,Z)$ ни для какого $ q<p.$
Тот факт, что оператор $ T: F\to Z$ лежит в идеале $ \operatorname{N}^p$
вытекает из общих соображений (надо надлежащим образом разложить
последовательность $(\lambda_j)$ на множители, используя соотношение
$ 1/\alpha=1/p+1/2$).
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 5.2}\it
$1)$ Существуют такие вполне сепарабельные пространства
$ W,$ $ Z$ и оператор $ T\in \operatorname{L}(W,Z),$ что
$ W$ и $ Z^{**}$ имеют базисы, $ T^*\in \operatorname{N}_1(Z^*, W^*),$ но
$ T\notin \operatorname{N}^p(W,Z),$ если $ p<2.$

$2)$ Для каждого $ s>2$ существуют такие вполне сепарабельные
пространства $ W$ и $ Z,$ и оператор
$ T\in \operatorname{L}(W,Z),$ что $ W$ и $ Z^{**}$ имеют базисы,
$ T^*\in \operatorname{N}_s(Z^*, W^*),$
но $ T$ не факторизуется ни через какое пространство
$ L^1(\mu).$
\endproclaim\rm

Для {\it доказательства}\, достаточно применить к пространству $ F$
из предыдущей теоремы лемму Линденштраусса $ 1.2$
и воспользоваться (для установления самого последнего утверждения
следствия) тем фактом, что пространство $ Z$ обладает свойством
Радона-Никодима: если оператор $ T$ представим в виде произведения
$ AB,$ где $ A\in\operatorname{L}(L_1(\mu), Z)$ и $ B\in\operatorname{L}(W,L_1(\mu)),$
то оператор $ A$ факторизуется через пространство $ l_1$ как
всякий оператор, действующий из $ L_1(\mu)$ в пространство
со свойством Радона-Никодима.
Наконец, оператор $ B$ будет слабо компактным в силу рефлексивности
пространства $ F$ и того, что в конструкции из леммы 1.2
сопряженное к соответствующему факторотображению дополняемо вкладывает
$ F^*$  в пространство $ W^*.$ Пространство $ l_1$ обладает
свойством Шура, и поэтому оператор $ AB$
будет $ \operatorname{N}^{\infty}$-оператором
вопреки утверждению 2) теоремы 5.1.
$\quad\qed$

\proclaim {\bf Следствие 5.3}\it
Существует сепарабельное пространство $ V,$ имеющее базис и такое, что
для каждого $ p\geqslant 1, p\neq 2,$ существует оператор
$ T\in\operatorname{L}(V,V),$
для которого $ T^*\in \operatorname{N}_p(V^*,V^*),$ но
$ T\notin \operatorname{N}^p(V,V).$
\endproclaim\rm

Для {\it доказательства}\, надо сложить по типу $ l_2$
последовательности подходящих пространств и операторов,
предоставляемых предыдущим  следствием. $ \quad\qed$
 \medpagebreak

Из следствия 5.2 мы также получаем:

\proclaim {\bf Следствие 5.4}\it
Идеал конечномерных операторов вкладывается в каждый из идеалов
$ (\operatorname{N}^r)^{ \operatorname{ reg}},$ $ 2/3<r\neq2\leqslant \infty$ не плотно.
Таким образом, ни один из идеалов
$ \operatorname{N}^r,$ $ 2/3<r\neq2\leqslant \infty$
не только не является регулярным, но и не минимален.
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Справедливость утверждения для $ r\in[1,\infty]\setminus\{ 2\}$ вытекает
непосредственно из теоремы 5.1, пп. 1) и 2) (все дело в том, что второе
сопряженное $ Z^{**}$ имеет свойство метрической аппроксимации).
Что касается случая, когда $ 2/3<r<1$ (в теореме 5.1, п. 3), этому
соответствует изменение параметра $\alpha $ от $ 2/3$ до $ 1$),
то здесь надо поступать так.

Пусть мы находимся в условиях утверждения 3) из теоремы 5.1 3.
Если оператор $ T,$ лежащий в идеале $ \operatorname{N}_{\alpha}^{ \operatorname{ reg}},$
приближался бы операторами из пространства $ F^*\otimes Z$ по
$ \nu_{\alpha}^{ \operatorname{ reg}}$-норме, то тем более он приближался
бы соответствующими конечномерными операторами по норме
$ \nu_1^{ \operatorname{ reg}}.$
Но естественное вложение пространства $ F^*\widehat\otimes_1 Z$
в пространство $ F^*\widehat\otimes_1 Z^{**}$ изометрично, а поскольку
в $ Z^{**}$ имеется свойство метрической аппроксимации, то
изометрично и естественное вложение пространства $ \operatorname{N}_1((F,Z)$
в операторное пространство $ \operatorname{N}_1(F,Z^{**}).$ Таким образом,
в рассматриваемой ситуации замыкание множества
$ F^*\otimes Z\subset \operatorname{N}_1(F,Z)$ содержало бы оператор $ T,$
и он был бы ядерным; но он не является даже $ (p-\varepsilon)$-ядерным,
если $ 1/\alpha=1/2+1/p$ и $ 1<p-\varepsilon<p.$
$\quad\qed$\enddemo

Из приведенных только что рассуждений, следует,
между прочим, что
{\it идеал конечномерных операторов
не плотен в $ \operatorname{N}_{\alpha}^{ \operatorname{ reg}},$
$ 2/3<\alpha<1,$ даже по $ \nu^q$- и $\nu_q$-нормам, если только
$ 1/\alpha<1/q+1/2.$ }

\remark {\bf Замечание 5.5}
Нерегулярность идеала $ \operatorname{N}_1$ впервые установлена в [7].
Нерегулярность идеала $ \operatorname{N}_r$ при $ 1\leqslant r\neq 2\leqslant \infty$ была
доказана в [28, 25]. В работе [26] этот факт был распространен на
все идеалы $ \operatorname{N}_r,$ $ 2/3<r\neq 2 \leqslant \infty.$
В [31] было показано, что все идеалы $ \operatorname{N}_p$ при $ 2/3<r\neq2\leqslant \infty$
не минимальны, и что конечномерные операторы не плотны в них.
В [29]
получена нерегулярность идеалов $ \operatorname{N}^p,$ $ 1\leqslant r\neq2\leqslant \infty.$
Данная работа ставит некоторую точку (или точку с запятой?)
в рассмотрении соответствующих вопросов в шкалах $ r$-ядерных
и дуально $ r$-ядерных операторов.
Однако, остается открытым еще вопрос (хотя бы) о регулярности идеалов
компактно $ p$-факторизуемых операторов, к рассмотрению которого
мы перейдем через несколько страниц (см. также [30]).
\endremark\medpagebreak


В монографии [18], среди большого числа так называемых теорем умножения
операторных идеалов можно найти ряд результатов, в которых участвует
регулярная оболочка того или иного нормированного идеала.
Это вполне естественно, поскольку не каждый, даже минимальный,
операторный идеал регулярен;
и потому не всегда удается показать,
что перемножая два оператора из классических
(даже взаимно сопряженных друг к другу) операторных идеалов, мы
получим оператор, который вроде бы должен лежать в
таком-то идеале, а не только в его регулярной оболочке.
Один из нетривиальных примеров ---
[18], теорема 24.6.4, соотношение (3), которая утверждает, например,
что для $ p\in (1,\infty)$ всегда имеет место включение
$ \operatorname{I}_{p}^{\operatorname{Gr}}\circ \Pi_{p'}
   \subset \operatorname{N}_{1}^{ \operatorname{ reg}}.$

В этой работе один из основных объектов исследования, ---
идеал дуально $ p$-ядерных операторов $ \operatorname{N}^p.$
Поэтому именно для него, мы приведем нетрудный аналог упомянутой теоремы
из [18].
Напомним, что включение
$ [\operatorname{ A}_1,a_1]\subset [\operatorname{ A}_2,a_2]$
для двух квазинормированных идеалов означает
теоретико-множественное включение с неравенством $ a_2\leqslant a_1$
для соответствующих квазинорм.

\proclaim {\bf Предложение 5.6}\it
Пусть $ 1<r,s<\infty$ и $ 1/r+1/s=1/p\leqslant 1.$
Тогда
$$ \align
 &[\Pi_r^{\operatorname{dual}},\pi_r^{\operatorname{dual}}]
 \circ [\Pi_s^{\operatorname{dual}},\pi_s^{\operatorname{dual}}]\subset
    [(\operatorname{N}^{p})^{ \operatorname{ sur}},(\nu^p)^{ \operatorname{ sur}}]
                      \tag1\\
 &[\operatorname{I}^{r}_{\operatorname{Gr}},i^r_{\operatorname{Gr}}]
 \circ [\Pi_{s}^{\operatorname{dual}},\pi_s^{\operatorname{dual}}]
  \subset [(\operatorname{N}^{p})^{ \operatorname{ reg}},(\nu^p)^{ \operatorname{ reg}}],
                                   \tag2 \\
 & [\Pi_{r}^{\operatorname{dual}},\pi_r^{\operatorname{dual}}]
 \circ [\operatorname{I}^{s}_{\operatorname{Gr}},i^s_{\operatorname{Gr}}] \subset
 [\operatorname{N}^{p}, \nu^p].                \tag3
 \endalign
$$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Идеалы $ \Pi_q$ инъективны, поэтому идеалы $ \Pi_q^{\operatorname{dual}}$ сюръективны.
Переходя к сюръективным оболочкам в (3), мы видим, что (1) есть
следствие (3).

Для доказательства (2) мы сначала приведем правильную формулу
для [18, теорема 24.6.4, (2)], ---
это одно из двух соотношений, указанных {\it в формулировке}\,
те\-о\-ре\-мы 24.6.4 в [18] с  опечаткой! Надо надеяться, что в оригинале [19]
этих двух опечаток (см. формулы (2) и (3) в теореме 24.6.4) нет.
Доказательства в [18] тех формул,
которые имелись в виду автором монографии, однако, совершенно точны.
Вот доказанное в [18] соотношение (2):
$$
  [\Pi_{r},\pi_r] \circ [\operatorname{I}_{s}^{\operatorname{Gr}},i_s^{\operatorname{Gr}}] \subset
 [\operatorname{N}_{p}, \nu_p].
$$
Из него вытекает включение
$$ [\operatorname{I}^{r}_{\operatorname{Gr}},i^r_{\operatorname{Gr}}]
  \circ [\Pi_{s}^{\operatorname{dual}},\pi_s^{\operatorname{dual}}]
  \subset [\operatorname{N}_p^{\operatorname{dual}}, \nu_p^{\operatorname{dual}}]\subset
  [(\operatorname{N}^p)^{ \operatorname{ reg}}, (\nu^p)^{ \operatorname{ reg}}].
$$

Теперь --- правильная формула для соотношения (3) из [18]:
$$
  [\operatorname{I}_{r}^{\operatorname{Gr}},i_r^{\operatorname{Gr}}] \circ [\Pi_{s},\pi_s] \subset
 [\operatorname{N}_{p}, \nu_p]^{ \operatorname{ reg}}.         \tag{ $ 3'$}
$$
Мы готовы доказать (3).

Пусть $ S\in \operatorname{I}^s_{\operatorname{Gr}}(Z,X),$ $ T\in \Pi_r^{\operatorname{dual}}(X,Y).$
Так как $ T^*\in \Pi_r(Y^*,X^*),$
то, по факторизационной теореме Пича для таких операторов,
для каждого $ \varepsilon>0$ оператор $ T^*$
представим как произведение $ A^*B^*$ операторов $ A^*$ и $ B^*,$
где, для некоторого рефлексивного пространства $ F,$ \,
$ A\in \operatorname{L}(X,F)$ с нормой $ \|A\|=1$ и $ B\in \Pi_r^{\operatorname{dual}}(F,Y)$
с нормой $ \pi_r^{\operatorname{dual}}(B)<(1+\varepsilon)\pi_r(T^*)=
  (1+\varepsilon)\pi_r^{\operatorname{dual}}(T)$
(сначала мы получаем оператор $ B_0\in \Pi_r^{\operatorname{dual}}(F,Y^{**})$,
а затем, сужая его на замыкание образа оператора $ A,$
и оператор $ B$). По следствию 2.4, оператор $ AS$ принадлежит идеалу
$ \operatorname{N}^s$ и, значит, допускает факторизацию вида $ B_1\Delta A_1$
(см. диаграмму 5.1), в которой $ \|B_1\|=1,$ $ \|A_1\|=1$ и
$ \nu^s(\Delta)<(1+\varepsilon)\nu^s(AS)\leqslant (1+\varepsilon)i^s_{\operatorname{Gr}}(S).$
$$ Z @>A_1>> l_{s'} @>\Delta>> l_1 @>B_1>> F @>B>> Y
$$
\smallpagebreak

\nopagebreak \centerline{Диагр. 5.1}
\bigpagebreak

Оператор $ B_1\Delta $ лежит в пространстве
$ \operatorname{N}^s(l_{s'},F),$ а оператор $ B$ --- в $ \Pi_r^{\operatorname{dual}}(F,Y),$
поэтому сопряженный к суперпозиции этих операторов попадает
в пространство $ \operatorname{N}_s\circ \Pi_r (Y^*, l_s)$ и, по формуле $ (3'),$
в пространство $ \operatorname{N}_p(Y^*, l_s).$
Отсюда следует, что
$ BB_1\Delta \in (\operatorname{N}^p)^{ \operatorname{ reg}}(l_{s'}, Y).$
Остается применить теорему 2.7, --- так как рефлексивное пространство
$ l_{s'}$ удовлетворяет условию метрической аппроксимации,
то согласно этой теореме оператор $ BB_1\Delta,$
а, значит, и $ TS$ является $ \operatorname{N}^p$-оператором.
$\quad\qed$\enddemo


\head {\bf \S 6. Одно применение в теории операторных идеалов:
   полунепрерывность операторных норм}
\endhead

Напомним, что {\it слабая операторная топология}\,
в $ \operatorname{L}(X,Y)$ ---
это топология, базис окрестностей которой составляют множества
$$ N(T;A,B,\varepsilon):= \{U:\ U\in\operatorname{L}(X,Y), |\langle y',(T-U)x\rangle | <\varepsilon,
       y'\in B, x\in A\},
$$
где $ A$ и $ B$ --- произвольные конечные подмножества соответственно
в $ X$ и $ Y^*,$ $ \varepsilon>0$ --- произвольно
[1, с. 512-513], [18, п. А.3.3].
Таким образом, в слабой операторной топологии сеть
$  (T_\nu)_{\nu}$ сходится к $ T$ тогда и только тогда, когда сеть\,
$ ( \langle y',T_{\nu}x\rangle )$  сходится к $ \langle y',Tx\rangle $
для всех $ x\in X$ и $ y'\in Y^*.$

Рассмотрим простейший пример, в котором естественным образом возникает
сходимость в слабой операторной топологии (он нам пригодится
ниже).
Пусть $ \alpha$ --- некоторая тензорная норма на классе $ \frak T$
всех тензорных произведений банаховых пространств.
Она не сильнее проективной и не слабее инъективной тензорных норм.
Следовательно,
для данной пары банаховых пространств $ X,Y$ сопряженное
к тензорному произведению $ Y^*\otimes_{\alpha} X$ пространство отождествляется
с некоторым пространством операторов $ \operatorname{ G}(X,Y^{**}),$
снабженным соответствующей нормой. Поэтому
{\it ${}^*$-слабая сходимость некоторой сети
в этом операторном пространстве влечет сходимость этой сети
в слабой операторной топологии.}

Пусть $ a$ --- квазинорма на операторном идеале $ \operatorname{ A}.$
Говорят, что $ a$ {\it слабо полунепрерывна снизу}\, [18, п. 8.6.16],
если для любых банаховых пространств $ X,Y$ и
для каждой сети $ (S_{\nu})_{\nu}$ операторов из пространства
$ \operatorname{ A}(X,Y),$ сходящейся к $ S\in \operatorname{ A}(X,Y)$
в слабой операторной топологии, выполняется неравенство
$$ a(S)\leqslant \underset\nu\to{\underline\lim}\, a(S_{\nu}).
$$
В качестве примера приведем предложение из [18, п. 8.7.17]:
если $ [\operatorname{ A},a]$ --- максимальный $ p$-нормированный
(для квазинормы выполняется $ p$-неравенство треугольника [18, 6.2.1])
операторный идеал, то квазинорма $ a$ слабо полунепрерывна снизу.
Таковы, например, идеалы
$ \Pi_p,$ $ \operatorname{I}_p^{\operatorname{ Gr}}$\,
[18, пп. 17.1.3, 19.2.2].

В [18, п. 8.7.18] отмечается, что
"используя контрпример Энфло, можно показать, что
ядерная норма $ \Bbb N$ не является слабо полунепрерывной снизу."
Кстати, в формулировке предложения из того же пункта в [18], приведенного
без доказательства,
содержится очевидная опечатка
({\it это перевод монографии А.Пича [19], а не ее оригинал}).
Поэтому формально, по крайней мере,
в русскоязычной литературе, соответствующий пример
с подробным рассмотрением не появлялся.
Сейчас мы дополним картину и обобщим приведенное утверждение А.Пича,
приведя большое количество примеров
не слабо полунепрерывных снизу идеальных норм.

\proclaim {\bf Теорема 6.1}\it
Никакая из норм $ \nu_p$ или $ \nu^p$ при $ p\in [1,\infty],$
$ p\neq 2,$
не является слабо полунепрерывной снизу.
\endproclaim\rm


\demo{\it Доказательство}
Пусть $ a$ обозначает одну из
норм на соответствующем идеале операторов:
$ \nu_p$ или $ \nu^p$\ $(p\in[1,\infty]),$
и $ [\operatorname{ A},a]$ --- соответствующий операторный идеал.

Сужая идеальную норму $ a$ на операторный идеал
всех конечномерных операторов, мы автоматически переносим ее на
класс всех тензорных произведений вида $ Z^*\otimes W,$
пополнения которых по этой норме мы будем обозначать {\it в этом
доказательстве}\, через $ Z^*\widetilde\otimes_{a} W$ (так нам удобнее, и это
обозначение согласуется со всеми аналогичными обозначениями в этой работе
для рассматриваемых ниже пространств $ X,Y$).

Рассмотрим следующие диаграммы:

$$ \CD
    Y^*\widetilde\otimes_{a} X @>J>1-1> \operatorname{ A}^{**}(Y,X^{**})
              \phantom{AAA^{**}(Y,X^{**}} \\
   \operatorname{ A^*}(X,Y) @<J^*<< \left( \operatorname{ A}^{**}(Y,X^{**})\right)^*
     \overset{\pi}\to\hookleftarrow X^*\widehat{\widehat{\otimes}}_{a^*} Y.
\endCD
$$
\smallpagebreak

\centerline{Диагр. 6.1}
\bigpagebreak

Здесь в качестве банаховых пространств $ X,Y$ мы берем
{\it рефлексивное}\, сепа\-ра\-бель\-ное пространство $ Y$ и
{\it вполне сепарабельное}\, пространство $ X,$ $ X\in \operatorname{AP},$
из [25, теорема 3.2], либо из [25, теорема 4.1] ---
в зависимости от того какую норму обозначает $ a;$
см. также теорему 4.21 выше для случая $ \nu^p$-норм
(то, что пространство $ X$ в [25,теорема 3.2] вполне сепарабельно,
вытекает из доказательства этой и предшествующих ей теорем).
Эти пространства обладают тем свойством, что
каноническое отображение вложения $ J,$ появившееся в диаграмме 6.1,
взаимно однозначно,
но не является изоморфным вложением.

Обозначим через $ B_{a}$ замкнутый единичный шар пространства
$ Y^*\widetilde\otimes_{a} X,$ а через $ w^*$ --- ${}^*$-слабую
топологию в пространстве $ \operatorname{ A}^{**}(Y,X^{**})$
(это пространство сопряжено к $ X^*\widehat{\widehat\otimes}_{a^*} Y$)

Пусть $ \varepsilon>0.$
Если $ U$ --- такой оператор из $ \operatorname{ A}(Y,X),$
что $ J(U)\notin \overline{J(B_{a})}^{\,w^*},$ то
найдется элемент $ \varphi\in X^*\widehat{\widehat\otimes}_{a^*} Y,$
для которого
$$ \sup_{z\in B_{a}}\,
      | \langle  \varphi, J(z)\rangle |\leqslant 1,\quad \langle  \varphi, J(U)\rangle  >1+\varepsilon.
$$
Отображение
$ J^*\pi:\, X^*\widehat{\widehat\otimes}_{a^*} Y \to \operatorname{ A^*}(X,Y)$
есть изометрическое вложение, поэтому норма $ \varphi$
как функционала на $ Y^*\widetilde\otimes_{a} X$ --- та же, что и его норма
как элемента пространства $ \left( \operatorname{ A}^{**}(Y,X^{**})\right)^*,$
т.е. равна 1.
Поэтому $ a^{**}(J(U))\geqslant \langle  \varphi, J(U)\rangle  >1+\varepsilon.$
Таким образом, если $ J(U)$ не лежит в
$\overline{J(B_{a})}^{\,w^*},$ то его $ a^{**}$-норма строго больше,
чем $ 1+\varepsilon.$

Предположим теперь, что никакой элемент
$ U$ из $ Y^*\widetilde\otimes_{a} X,$
не принадлежащий шару $ B_{a},$ не попадает при отображении $ J$
во множество $ \overline{J(B_{a})}^{\,w^*}.$
Тогда, как было только что установлено,
для любого такого элемента $ a^{**}(J(U))>1+\varepsilon,$
и это ведет к противоречию с тем фактом, что
вложение $ J$ не является изоморфным.

Итак, мы окончательно получили, что существует по крайней мере один
оператор $ U_0\in \operatorname{ A}(Y,X),$
для которого $ a(U_0)>1+\varepsilon,$ и образ $ J(U_0)$ которого
принадлежит ${}^*$-слабому замыканию множества $ J(B_{a}).$
Но ${}^*$-слабая сходимость в $\operatorname{ A}^{**}(Y,X^{**})$
влечет сходимость в слабой операторной топологии,
откуда вытекает, что найдется такая сеть
$ (U_{\nu})_{\nu}\subset Y^*\widetilde\otimes_{a} X,$
что $ a(U_{\nu})\leqslant 1,$ $ (U_{\nu})$ сходится к $ U_0$
в слабой операторной топологии, но $ a(U_0)>1+\varepsilon.$
В заключение доказательства отметим, что в качестве $ \varepsilon$
можно взять сколь угодно большое число.
$\quad\qed$\enddemo
\medpagebreak


\head {\bf \S 7  Свойства $ \operatorname{AP}(l_p)$ и $ l_p$-факторизация операторов}
\endhead

Если $ 1\le p\le\infty$ и
 $ S$ --- конечномерный оператор из $ X$ в $ Y,$
то его $ \operatorname{K}_p^0$-норма есть величина
$$   k_p^0(S):=
  \inf \left\{ (\sup_{1\leqslant i\leqslant} |a_i|)\,
        \varepsilon_p(x'_j)\,\varepsilon_{p'}(y_j)
       \right\}, \tag{7.1}
$$
где точная нижняя грань берется по всем {\it конечным} представлениям
оператора $ S$ в виде
$$ S=\sum_{j=1}^n a_j\,x'_j\otimes y_j.  \tag{7.2}
$$
Пополнение алгебраического тензорного произведения $ X^*\otimes Y$ (которое
рассматривается нами как линейное пространство всех конечномерных операторов)
по этой норме $ k_p^0$ мы будем обозначать через
$ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y,$ оставляя за нормой в этом пополнении
все то же обозначение $ k_p^0.$
Каждый тензорный элемент $ z\in  X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y$
представим в виде сходящегося ряда
$$ \sum_{j=1}^{\infty} a_j\,x'_j\otimes y_j,\qquad  \alpha_j\to 0, \tag{7.3}
$$
причем для заранее заданного числа
$ \varepsilon>0$ это представление может быть выбрано так, что
$$ (\sup_{1\leqslant i<\infty}  |a_i|)\,
\varepsilon_p(x'_j)\,\varepsilon_{p'}(y_j)
                                    \le k_p^0(z)+\varepsilon    \tag{7.4}
$$

Тензорное произведение $ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y$  естественным образом порождает
в $ \operatorname{L}(X,Y)$
линейное подпространство операторов $ \operatorname{K}_p(X,Y)$;
это есть факторпространство рассматриваемого тензорного произведения
по ядру естественного отображения\linebreak
$ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y\to \operatorname{L}(X,Y).$
соответствующая норма на этом пространстве операторов обозначается нами
через $ k_p.$ $ \left[\operatorname{K}_p, k_p\right] $ есть банахов
операторный идеал, и он является частным случаем так называемых
идеалов $ (r, p ,q)$-ядерных операторов ---
$ \left[\operatorname{N}_{(r,p,q)}, \nu_{(r,p,q)}\right]\!:$\ \,
$ \left[\operatorname{K}_p, k_p\right] =
\left[\operatorname{N}_{(\infty,p,p')}, \nu_{(\infty,p,p')}\right]$
(подробности можно найти в книге [18, с. 280-291]).
Каждый оператор $ S\in  \operatorname{K}_p(X,Y)$
представим в виде сходящегося в $ \operatorname{K}_p(X,Y)$ ряда (7.3),
и для заранее заданного числа $ \varepsilon>0$
это представление может быть выбрано так, что
$$  (\sup_{1\leqslant i<\infty} |a_i|)\,
\varepsilon_p(x'_j)\,\varepsilon_{p'}(y_j)
                          \le k_p(S)+\varepsilon. \tag{7.5}
$$

Теперь мы посмотрим на обсуждаемый сейчас операторный идеал
с другой стороны.
Будем говорить, что оператор
$ S: X\to Y$ {\it компактно факторизуется через
пространство $ l_p,$} \, (в терминологии А.Пича [18], является
{\it $ p$-компактным}\,),  если существуют два компактных оператора
$ A: X\to l_p$ и $ B: l_p\to Y,$ для которых $ S=BA.$
В качестве нормы такого
компактно $l_p$-факторизуемого оператора мы берем величину
$ \inf\,\|A\|\,\|B\|,$  где точная нижняя грань берется по всевозможным
факторизациям оператора $ S$ указанного вида.

Одна из основных теорем, относящаяся к теории компактно
$ l_p$-факторизуемых операторов, формулируется так:
$$ k_p(S) = \inf\,\{\|A\|\,\|B\|:\, S=BA: X\to l_p\to Y;\, A,B \,
\text{ --- компактны} \}
$$
и {\it идеал $ \operatorname{K}_p$
совпадает с идеалом всех операторов, компактно
факторизуемых через}\ $ l_p$; в случае $ p=\infty$
компактная факторизуемость через $ l_{\infty}$  ---
то же самое, что и компактная факторизуемость через $ c_0$
(см. [18], теоремы 18.3.2, 18.1.3).
Сопряженный к $ [\operatorname{K}_p,k_p]$ идеал
$ [\operatorname{D}_{p'},d_{p'}]$
описывается при помощи следующей теоремы.
[18, пп. 17.4.2, 17.4.3, 17.4.7]; в этих утверждениях $ q\in [1,\infty).$

{\it Оператор $ S\in \operatorname{L}(X,Y)$ принадлежит пространству
$ \operatorname{D}_{q}(Y,X)$ тогда и только тогда, когда
существует такая постоянная $ C>0$ и такие вероятностные меры
$ \mu\in W(B_{X^*}, w^*)$ и $ \nu\in W(B_{Y^{**}}, w^*),$
что
$$ | \langle  Sx, y'\rangle | \leqslant C\,
   \left(\int_{B_{X^*}} | \langle  x,x'\rangle |^q\,d\mu(x')\right)^{1/q}\,
   \left(\int_{B_{Y^{**}}} | \langle  y'',x'\rangle |^{q'}\,d\nu(y'')\right)^{1/q'}\,
$$
для всех $ X\in X$ и $ y'\in Y^*;$ при этом норма оператора $ S$
в $ \operatorname{D}_q$ есть $ d_q(S):=\inf C$ и с этой нормой}
$$ [\operatorname{D}_{q}, d_q]
  = [\Pi_{q'}^{\operatorname{dual}},\pi_{q'}^{\operatorname{dual}}].
        \circ
    [\Pi_q, \pi_q]
$$

Далее мы более подробно рассмотрим некоторые факты,
связанные с наличием, либо отсутствием у банаховых пространств
аппроксимационных свойств относительно тензорных норм $ k_p^0,$
$ 1\leqslant p\leqslant \infty.$
Договоримся коротко обозначать свойство аппроксимации
относительно $ k_p^0$ через $ \operatorname{AP}(l_p)$
(это расходится с обозначениями для аппроксимационных свойств
в общей абстрактной ситуации,
но о подобного рода расхождениях мы предупреждали ранее,
и кроме всего прочего, вводимое нами обозначение $ \operatorname{AP}(l_p)$
более компактно, чем $ \operatorname{AP}(k_p^0),$ и сразу напоминает
основную вещь, --- то, что эти свойства непосредственно связаны
с возможностью факторизации непрерывных линейных отображений
через банаховы пространства
типа $ l_p.$)
Мы пишем $ X\in \operatorname{AP}(l_p),$ если пространство $ X$ обладает свойством
$ \operatorname{AP}(l_p.)$
Стоит напомнить, что $ X\in\operatorname{AP}(l_p),$
{\it если для любого банахова пространства $ Y$
каноническое отображение из $ Y^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p X$
в $\operatorname{L}(Y,X)$ взаимно однозначно}.\, Это эквивалентно тому, что
для любого $ Y$ имеет место каноническая изометрия
$ Y^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p X= \operatorname{K}_p(Y,X)$
(как отмечалось выше, в подобного рода определениях можно
рассматривать, если несколько модифицировать
их, и произвольные тензорные произведения типа $ Y\widetilde{\widetilde\otimes}_p X$).


Свойства
$ \operatorname{AP}(l_r)$ "сепарабельно определены", т.е. банахово пространство
удовлетворяет условию $ k^0_r$-аппроксимации в том и только том
случае, если все его сепарабельные подпространства удовлетворяют
этому условию.

Автору неизвестно, {\it существуют ли банаховы пространства без свойства
$ \operatorname{ AP}(l_p)$ для какого-нибудь $ p,$
отличного от единицы, двойки или бесконечности}.
Нетрудно показать, что каждое банахово пространство обладает
свойством $ \operatorname{ AP}(l_2).$
С другой стороны, автором показано, что {\it существуют
сепарабельные банаховы пространства без свойств
$ \operatorname{ AP}(l_1)$ и $ \operatorname{ AP}(l_{\infty})$}
(см. [30], [25], [28] и следствие 4.22 данной работы).


\proclaim {\bf Лемма 7.1}\it
Пусть $ 1\leqslant p\leqslant \infty.$
Если существует банахово пространство без свойства
$ \operatorname{AP}(l_p),$ то существует и сепарабельное рефлексивное пространство,
не обладающее свойством $ \operatorname{AP}(l_{p'}).$
Более того, если $  X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y\neq \operatorname{ K}_p(X,Y),$
то существуют такие сепарабельное рефлексивное банахово пространство
$ W_0$ и ненулевой тензор $ z_0\in W_0^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y,$
что оператор $ \widetilde z_0$ равен нулю.
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Пусть $ z:=\sum_{k=1}^\infty \mu_k x'_k\otimes y_k$ ---
такой ненулевой элемент некоторого тензорного произведения
$ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y,$ что $ \widetilde z=0;$
Здесь $ (\mu_k)$ --- положительная последовательность из
$ c_0,$ $ (x'_k)\in l_p \{ X^*\}$ и
$ (y_k)\in l_{p'}(Y).$
Факторизуем компактный диагональный оператор
$ \Delta:= (\mu_k): l_p\to l_p$
компактно через некоторое сепарабельное рефлексивное пространство $ W$
таким образом, чтобы имела место следующая диаграмма:
$ \Delta= A_3A_1A_2: l_p @>A_3>> l_p @>A_2>> W @>A_1>> l_p,$
в которой все операторы компактны и взаимно однозначны,
и положим
$$ z_1:= \sum_{k=1}^\infty A_1^*e_k\otimes y_k\in W^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y,
$$

$$ z_2:= \sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes A_3e_k\in X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p W,
$$
где через $ (e_k)$ обозначается последовательность ортов
в любом из пространств $ l_r.$
Отметим, что
$$ A_1A_2\widetilde z_2= \sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes A_1A_2A_3e_k
    =  \sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes \Delta e_k=
    =  \sum_{k=1}^\infty \mu_k x'_k\otimes e_k.
$$
Поэтому
$$ (A_1A_2\widetilde z_2)^* e_k= \mu_k x'_k. \tag{7.6} $$

Пусть $ U\in \operatorname{D}_{p'}(Y,X^{**})$ --- такой оператор из сопряженного
к $ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y$ пространства, что
$ \operatorname{trace}\, U\circ z=1.$
Так как оператор $ A_3,$ а следовательно, и оператор $ \widetilde z_2$
компактны, то имеет смысл рассматривать сильный
бидуальный оператор $ \widetilde z_2^{\pi}: X^{**}\to \widetilde z_2(X)\subset l_p.$
Пусть $ W_0:= \overline{A_2\widetilde z_2^{\pi}(X^{**})}=
   \overline{A_2\widetilde z_2^{\pi}(X)}\subset W$
и $ A_4: X^{**}\to A_2{-1}W_0$ ---
приведение оператора $ \widetilde z_2^{\pi}.$
В силу идеальных свойств класса $ \operatorname{D}_{p'},$
оператор $ A_2A_4U$ лежит в пространстве $ \operatorname{D}_{p'}(Y, W_0).$

Положим
$$ z_0:= \sum_{k=1}^\infty j^*A_1^*e_k\otimes y_k\in W_0^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y=
         j^*\otimes {1\!\!1} (z_1),
$$
где $ j:W_0\to W$ --- тождественное вложение, и пусть
$ U_0:=A_2|_{A_2^{-1}W}A_4U\in \operatorname{D}_{p'}(Y, W_0)$
(оператор $ A_2|_{A_2^{-1}W}$ рассматривается как оператор со значениями
в пространстве $ W_0$).
Ясно, что $ z_0\in W_0^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y,$
и при этом (см. $ (7.6)$)
$$ \align
 \operatorname{trace}\, U_0\circ z_0 &=
      \sum_{k=1}^\infty \langle j*A_1^*e_k, A_2|_{A_2^{-1}W}A_4Uy_k\rangle  = \\ &=
      \sum_{k=1}^\infty \langle A_1^*e_k, jA_2|_{A_2^{-1}W}A_4Uy_k\rangle =
      \sum_{k=1}^\infty \langle e_k, A_1A_2\widetilde z_2Uy_k\rangle  = \\  &=
      \sum_{k=1}^\infty \langle (A_1A_2\widetilde z_2)^*e_k, Uy_k\rangle =
      \sum_{k=1}^\infty \langle \mu_k x'_k, Uy_k\rangle =
               \operatorname{trace}\, U\circ z\neq 0.
\endalign
$$
С другой стороны, нетрудно видеть, что $ \widetilde z_0=0,$ так как
таков элемент $ z:$
$$0=\widetilde z= \widetilde z_1 \widetilde z_2=
  \widetilde z_1 jA_2|_{A_2^{-1}W}A_4 \pi_X,
$$
и так как $ \widetilde z_0=\widetilde z_1 j$ и множество
$ A_2|_{A_2^{-1}W}A_4 \pi_X$ плотно в $ W_0,$ то
$ \widetilde z_0=0$ на всем $ W_0.$

Поэтому рефлексивное сепарабельное
пространство $ W^*_0$  не имеет свойства аппроксимации
относительно тензорной нормы $ k^0_{p'}.$
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 7.2}\it
Пусть $ 1\leqslant p\leqslant \infty.$
Если существует банахово пространство без свойства
$ \operatorname{AP}(l_p),$ то существует и рефлексивное сепарабельное пространство,
не обладающее свойствами $ \operatorname{AP}(l_p)$ и $ \operatorname{AP}(l_{p'}).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
По лемме 7.1, существует рефлексивное сепарабельное $ W_1$ без свойства
$ \operatorname{AP}(l_{p'}).$ По той же лемме, примененной к двойственной ситуации
("существует $ X$ без свойства $ \operatorname{AP}(l_{p'})$"),
найдем рефлексивное сепарабельное банахово пространство $ W_2$
без свойства $ \operatorname{AP}(l_p).$
Пространство $ W:= W_1\oplus W_2$ рефлексивно, сепарабельно и
обладает как свойством $ \operatorname{AP}(l_p),$
так и свойством $ \operatorname{AP}(l_{p'}).$
$\quad\qed$\enddemo


\proclaim {\bf Следствие 7.3}\it
Если существует банахово пространство без свойства $ \operatorname{AP}(l_p),$
то существуют такие сепарабельное рефлексивное пространство $ E$
и ненулевой тензорный элемент $ z\in E^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p E,$
что $ \widetilde z=0.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Пусть, в условиях нашего утверждения, $ W_0^*$ ---
сепарабельное рефлексивное пространство без свойства $ \operatorname{AP}(l_{p'})$
из леммы 7.1. Применим снова ту же лемму (для показателя $ p'$),
взяв в качестве пространства $ Y$ в ней это
банахово пространство $ W_0^*.$
Мы получим, что для некоторого сепарабельного рефлексивного пространства
$ W_1$ найдется ненулевой тензорный элемент
$ v_0\in W_1^*\widetilde{\widetilde\otimes}_{p'} W^*_0,$ порождающий нелевой оператор.
Сепарабельное рефлексивное пространство
$ E:= W_1^*\oplus W_0$ удовлетворяет нашим требованиям,
так как $ W^*_0\widetilde{\widetilde\otimes}_p W_1^* \neq \operatorname{ K}_p(W_0, W_1^*).$
$\quad\qed$\enddemo


Сейчас мы собираемся привести теорему,
несколько обобщающую теорему 1 из [30].
Насколько важно для нас это обобщение будет видно
ниже (см., следствие 7.6, теорему 7.10).

Перед тем как сформулировать наш результат,
посмотрим, что мы на самом деле получили, доказывая
теорему 1 в [30]. В этой теореме (и ее доказательстве)
рассматривались фиксированные банаховы пространства
$ X$ и $ Y,$ и изучались свойства $ \operatorname{ K}_p$-операторов,
действующих из $ X$ в $ Y^{**}.$
В доказательстве (которое проходило методом от противного)
использовалось только два следующих предположения
(мы придерживаемся обозначений настоящей работы):

$1_{K_p})$ каноническое отображение
$X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Y^{**} \to \operatorname{K}_p(X,Y^{**})$
биективно, и

$2_{K_p})$ биективно либо
каноническое отображение
$X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p X^{**} \to \operatorname{K}_p(X,X^{**}),$
либо каноническое отображение
$Y^{****}\widetilde{\widetilde\otimes}_{p'} Y^{***} \to
  \operatorname{K}_{p'}(Y^{***},Y^{***}).$

Таким образом в заметке [30] была, по существу, доказана

\proclaim {\bf Теорема 7.4} \it
Пусть $\, p\in [1,\infty].$
Если пара банаховых пространств $ X,Y$ удовлетворяет условиям
$1_{K_p})$ и $2_{K_p}),$
то всякий оператор из $ X$  в $ Y,$
второй сопряженный к которому компактно факторизуется
через пространство $ l_p$ (эквивалентно, сопряженный к которому
компактно факторизуется через пространство $ l_{p'}$),
сам компактно факторизуется через \,$ l_p.$
Таким образом, в этом случае
$ \operatorname{K}^{ \operatorname{ reg}}_p (X, Y)
= \operatorname{K}_p (X, Y).$
\endproclaim \rm

\demo{\it Доказательство}
Как отмечалось, случай $ 1<p<\infty$ рассматривается
в точности так же, как и в [30]. Нам надо лишь пояснить,
почему возможность факторизации сопряженного оператора $ T^*$
через $l_{p'}$ равносильна возможности факторизации $ T^{**}$
через пространство $ l_p$ при $ p=1,\infty.$
Это следует из дополняемости пространств $ l_1$ и $ l_{\infty},$
как и произвольных сопряженных пространств,
в их вторых сопряженных. Что касается факторизации через $ c_0,$
то напомним, что идеал $ \operatorname{N}_{\infty}=K_{\infty}$
состоит из операторов, компактно факторизуемых через $ c_0.$
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 7.5}\it
Пусть $\, p\in [1,\infty]$ и $ T\in \operatorname{L}(X,Y).$
Если либо $\, X^*\in \,\operatorname{AP}(l_{p'}),$
либо $\, Y^{****}\in \,\operatorname{AP}(l_p),$
либо $ Y^{***}\in \operatorname{AP}(l_{p'}),$
то всякий оператор из $ X$  в $ Y,$
второй сопряженный к которому компактно факторизуется
через пространство $ l_p,$
сам компактно факторизуется через \,$ l_p.$
Таким образом, в этом случае
$ \operatorname{K}^{ \operatorname{ reg}}_p (X, Y)
= \operatorname{K}_p (X, Y).$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Вспомним, что для произвольной тензорной нормы $\alpha$
банахово пространство $ Z^*$ удовлетворяет условию
$ \alpha$-аппроксимации тогда и только тогда, когда
для всякого банахова пространства $W$ каноническое отображение из\linebreak
$ Z^*\widehat\otimes_{\alpha^{\operatorname{dual}}} W$ в $ \operatorname{L}(Z,W)$ взаимно однозначно,
и что если $ Z^{**}\in \operatorname{AP}[\alpha],$ то и $ Z\in\operatorname{AP}[\alpha].$
Осталось заметить, что при любом $ p\in[1,\infty]$
имеет место равенство $(k_p^0)^{\operatorname{dual}}=k^0_{p'}.$
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 7.6}\it Пусть $ 1\leqslant p\leqslant \infty.$
Если существует не $ \operatorname{ K}_p$-оператор,
второй сопряженный к которому компактно факторизуется
через пространство $ l_p,$ то существует
и сепарабельное рефлексивное банахово пространство,
не удовлетворяющее как условию $ k^0_p$-аппроксимации,
так и условию $ k^0_{p'}$-аппроксимации.
А тогда существует и вполне сепарабельное банахово пространство
с базисом, сопряженное к которому не имеет
как свойства $ \operatorname{AP}(l_p),$
так и свойства $ \operatorname{AP}(l_{p'}). $
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Первое утверждение непосредственно вытекает из предыдущей теоремы
и следствия 7.2.
Второе утверждение получается, если к сепарабельному рефлексивному
пространству $ E$ без свойств $ \operatorname{AP}(l_p)$ и  $ \operatorname{AP}(l_{p'})$
применить теорему Линденштраусса (лемма $ 1.2$).
Именно,
пользуясь леммой  $ 1.2,$
построим сепарабельное сопряженное пространство $ W^*$
с базисом, для которого $ W^{**}$ изоморфно прямой сумме
$E^*\oplus \pi_WW.$ Это и есть искомое вполне сепарабельное
пространство.
$\quad\qed$
\enddemo


\proclaim {\bf Теорема 7.7}\it Пусть $ P\in[1,\infty].$
Предположим, что существует банахово пространство,
не удовлетворяющее условию аппроксимации относительно
тензорной нормы $ k_p^0.$
Тогда существуют сепарабельное рефлексивное банахово пространство
$ X,$ вполне сепарабельное банахово пространство $ Z$ и операторы
$ V,w,$ удовлетворяющие следующим условиям:

1) $ X\notin \operatorname{AP}(l_p),$\, $ Z^{**}$ имеет базис;

2) $ V\in \operatorname{D}_{p'}(Z^{**},X),$\,
$ w\in \operatorname{ K}_p(X,Z^{**})=X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Z^{**};$

3) $ w(X)\subset \pi_ZZ,$\, $ w\notin \operatorname{ K}_p(X,\pi_ZZ);$

4) $ V|_{\pi_ZZ}=0,$\, $ \operatorname{trace}\, V\circ w=1.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Если существует банахово пространство, не обладающее
свойством $ \operatorname{AP}(l_p),$ то, по следствию 7.2,
существуют сепарабельное рефлексивное банахово пространство
без свойства $ \operatorname{AP}(l_p),$ и это пространство мы обозначим через $ X.$
По следствию 7.3, без ограничения общности, мы можем считать, что
найдется ненулевой тензорный элемент $ z\in X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p X,$
порождающий нулевой оператор.
Пусть $ U\in \operatorname{D}_{p'}(X,X)$ --- такой оператор, что $ \operatorname{trace}\, U\circ z=1,$
и $ z=\sum_{k=1}^{\infty} x_k\otimes x_k$ --- некоторое представление
элемента $ z$ в тензорном произведении $ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p X,$
так что $(x'_k)\in l_p\{X^*\}$ и $ (x_k)\in l_{p'} \{ X\}.$
Воспользуемся теперь леммой 2LR, согласно которой мы можем найти
такие вполне сепарабельное банахово пространство $ Z$ и факторотображение
$ \Phi: Z^{**}\to X,$ что $ Z^{**}$ имеет базис,
$ \operatorname{ Ker}\Phi=\pi_ZZ$ и слабо $ p'$-суммируемую
последовательность $ (x_k)$ можно поднять до снова слабо
$ p'$-суммируемой последовательности $ (z''_k)\subset Z^{**},$
так что $ \Phi z''_k=x_k,$\, $ k=1,2,\dots.$
Поскольку в $ Z^{**}$ есть базис, тензорное произведение
$ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Z^{**}$ можно канонически отождествить
с пространством $ \operatorname{ K}_p(X,Z^{**}).$
Определим оператор (или, что сейчас то же самое, тензорный элемент)
$ w\in X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Z^{**}$ равенством
$ w:=\sum x'_k\otimes z''_k$ и положим $ V:= U\Phi\in \operatorname{L}(Z^{**},X).$
Так как $ \pi_ZZ= \operatorname{ Ker}U,$ то $ V|_{\pi_ZZ}=0;$
далее,
$$ \operatorname{trace}\, V\circ w= \operatorname{trace}\, (U\Phi)\circ w=
      \sum \langle x'_k, U\Phi z''_k \rangle  =
      \sum \langle x'_k, Ux_k \rangle  = \operatorname{trace}\, U\circ z=1.
$$
Заметим, что $ z=\Phi\circ w,$ и поскольку оператор $ \widetilde z=0,$
то  $ w$ отображает пространство $ X$ в ядро оператора $ \Phi,$
которое, по построению, есть $ \pi_ZZ.$
Осталось показать, что $ w\notin \operatorname{ K}_p(X,\pi_ZZ).$

Предположим противное, т.е. что оператор $ w,$ как оператор из
$ X$ в $ \pi_ZZ,$ компактно факторизуется через пространство
$ l_p.$ Рассмотрим какое-либо его разложение в ряд в пространстве
$ \operatorname{ K}_p(X,\pi_ZZ),$ обозначив приведение оператора
$ w:X\to \pi_ZZ\subset Z^{**}$ через $ w_1,$\, $ w_1: X\to \pi_ZZ:$
$$ w= \sum \widetilde x'_k\otimes z_k,\ (\widetilde x'_k)\in l_p \{ X^*,\}\,
	  (z_k)\in l_{p'} \{ \pi_ZZ\}.
$$
С одной стороны, имеем:
$$ \operatorname{trace}\, V\circ w_1= \operatorname{trace}\, (U\Phi)\circ (\pi_ZZ\circ w_1) =
       \operatorname{trace}\, U\Phi\circ w =1.
$$
Мы воспользовались тем фактом, что тензорное произведение
$X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p \pi_ZZ$
канонически изометрично подпространству пространства
$ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p Z^{**}.$

С другой стороны,
$$ \operatorname{trace}\, V\circ w_1= \operatorname{trace}\, (U\Phi)\circ \sum_{k=1}^{\infty}
	\widetilde x'_k\otimes z_k = \sum_{k=1}^{\infty}
             \langle \widetilde x'_k, U(\Phi z_k) \rangle  =0,
$$
так как $ (z_k)\subset \pi_ZZ= \operatorname{ Ker}\Phi.$
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 7.8}\it
Если существует банахово пространство,
не обладающее свойством $ \operatorname{AP}(l_p),$ то
существуют такие сепарабельное рефлексивное банахово пространство
$ X,$ вполне сепарабельное банахово пространство $ Z$ и оператор
$ T\in \operatorname{L}(X,Z),$ что $ Z^{**}$ имеет базис, $ X\notin \operatorname{AP}(l_p),$
$T^{**}\in \operatorname{ K}_p(X,Z^{**}),$ но
$ T\notin \operatorname{ K}_p(X,Z).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Достаточно, отождествив пространство $ Z$ с его каноническим образом
$ \pi_ZZ$ в $ Z^{**},$
положить $ T:=w: X\to Z$ (в обозначениях предыдущего доказательства,
$ T= (\pi_Z)^{-1}w_1$, где $ (\pi_Z)^{-1}$ отображает $ \pi_ZZ$
в $ Z$).
$\quad\qed$\enddemo

\proclaim {\bf Следствие 7.9}\it
Если существует банахово пространство,
не обладающее свойством $ \operatorname{AP}(l_p),$ то существуют такие
вполне сепарабельное банахово пространство $ Z$ и оператор
$ V\in \operatorname{L}(Z^{**},Z),$ что $ Z^{**}$ имеет базис,
$\pi_ZV\in \operatorname{ K}_p(Z^{**},Z^{**}),$ но
$ V\notin \operatorname{ K}_p(Z^{**},Z).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
В обозначениях доказательства теоремы 7.7,
пусть $ P$ --- ограниченный проектор из пространства
$ Z^{***}$ на его подпространство $ \Phi^*X^*$
(вспомним, что одним из основных свойств пространства $ Z$ и
факторотображения $ \Phi$ в лемме 1.5 была дополняемость
подпространства $ \Phi^*X^*$ в третьем сопряженном к $ Z$ пространстве).
Положим $ V:= w_1\Phi: Z^{**}\to X\to Z,$ т.е.
возьмем в качестве $ V$ приведение оператора $w\Phi,$
отождествляя пространства $ Z$ и $ \pi_ZZ.$
Оператор $ \pi_zV,$ очевидно, лежит в пространстве
$ \operatorname{ K}_p(Z^{**}, Z^{**}).$
Если бы он, как оператор из $ Z^{**}$ в $ Z,$
допускал бы $ \operatorname{ K}_p$-разложение в ряд,
$ V=\sum z'''_k\otimes z_k,$  то мы имели бы для $ z'\in Z^{*}$:
$$ w_1^*z'= (\Phi^*)^{-1}P \Phi^*w_1^*z'= (\Phi^*)^{-1}P V^*z'=
       (\Phi^*)^{-1}P \sum \langle z',z_k \rangle  z'''_k=
    \sum \langle  z',z_k\rangle  x^*_k,   \tag{7.7}
$$
где $ x^*_k:= (\Phi^*)^{-1}Pz'''_k\in X^*.$
Соотношения (7.7) означают, что
$ w_1:X\to Z$ разлагается в $ \operatorname{ K}_p$-сходящийся ряд
$ \sum x^*_k\otimes z_k,$ что, как мы знаем, невозможно.
$\quad\qed$\enddemo

Соберем некоторые из полученных выше фактов о пространствах
со свойствами $ \operatorname{AP}(l_p)$ в одну самую общую теорему.

\proclaim {\bf Теорема 7.10}\it
Для любого $ p\in [1,\infty]$ следующие утверждения равносильны.

$ 1)$ Каждое банахово пространство обладает свойством $\operatorname{AP}(l_p);$

$1')$ Каждое сепарабельное рефлексивное банахово пространство
обладает свойством $\operatorname{AP}(l_p);$

$ 2)$ Каждое банахово пространство обладает свойством $\operatorname{AP}(l_{p'});$

$ 2')$ Каждое сепарабельное рефлексивное банахово пространство
обладает свойством $\operatorname{AP}(l_{p'});$

$ 3)$ Не существует оператора, действующего в банаховых пространствах,
который не был бы $ \operatorname{ K}_p$-оператором, но второй
сопряженный к которому лежал бы в идеале $ \operatorname{ K}_p;$

$ 3')$ Не существует оператора, действующего во
вполне сепарабельных банаховых пространствах с базисами,
который не был бы $ \operatorname{ K}_p$-оператором, но второй
сопряженный к которому лежал бы в идеале $ \operatorname{ K}_p;$

$ 4)$ идеал $ \operatorname{ K}_p$ является регулярным;

$ 5)$ идеал $ \operatorname{ K}_{p'}$ является регулярным;

$ 6)$ идеал $ \operatorname{ K}_p^{ \operatorname{ reg}}$
является минимальным;

$ 7)$ идеал $ \operatorname{ K}_{p'}^{ \operatorname{ reg}}$
является минимальным;

$ 8)$ идеал конечномерных операторов плотен в идеале
    $ \operatorname{ K}_{p}^{ \operatorname{ reg}};$

$ 9)$ идеал конечномерных операторов плотен в идеале
     $ \operatorname{ K}_{p'}^{ \operatorname{ reg}};$

$10)$ для каждого сепарабельного рефлексивного банахова пространства
$ X$ каноническое вложение $ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p X\to \operatorname{L}(X,X)$
взаимно однозначно;

$11)$ для каждого банахова пространства
$ X$ каноническое вложение
$ X^*\widetilde{\widetilde\otimes}_p X\to \operatorname{L}(X,X)$
взаимно однозначно.
$\quad\qed$
\endproclaim\rm


\newpage


\Refs\nofrills{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА}

\ref  \no 1
\by Н.Данфорд, Дж.Е.Шварц
\book   Линейные операторы (общая теория)
\publ  \vol {$I$}\nofrills
\publaddr  Москва: Иностранная литература
\yr 1962,  895~с
\endref

\ref  \no 2
\by  W.J.Davis, T.Figiel, W.B.Johnson, A.Pelczynski
                             \pages     311-327
\paper    Factoring weakly compact operators
\yr 1974 \vol 17 \issue
\jour J. Functional Analysis
\finalinfo
\endref

\ref \no 3
\by  J.Diestel
\book  Geometry of Banach spaces
\bookinfo  Lecture Notes in Math.
\publ  \vol 485\nofrills
\publaddr  Berlin-Hiedelberg-New York
\yr   1975. 282 pp.
\endref

\ref  \no 4
\by Diestel J. and Uhl J.J.\pages
 \paper   Vector measures
 \yr 1977\vol   15
 \jour   Math. Survey 15,   Amer. Math. Soc., Providence RI.
 \endref

\ref \no 5
\by  Dunford N., Pettis B.J. \pages  323--392
\paper Linear operations on summable functions
\yr 1940 \vol 47 \issue
\jour  Trans. Amer. Math. Soc.
\finalinfo
\endref

\ref \no 6
\by Enflo P.  \pages  309--317
\paper A counterexample to the approximation property in Banach spaces
\yr 1973 \vol 130 \issue
\jour  Acta Math.
\endref

\ref \no 7
\by Figiel T., Johnson W.B.\pages 197--200
\paper  The approximation property does not imply  the bounded
   approximation property
\yr 1973\vol 41
\jour   Proc. Amer. Math. Soc.
\endref

 \ref \no 8
\by Gordon Y., Lewis D. R., Retherford H. R. \pages 85-129
\paper   Banach ideals of operators with applications
\yr 1973 \vol 14 \issue 1
\jour      J. Funct. Anal.
\finalinfo
\endref

\ref \no 9
\by Grothendieck A. \pages pp. 196+140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espaces nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\endref

\ref \no 10
\by Johnson W.B. \pages 337-345
\paper  Factoring compact operators
\yr 1971 \vol 9 \issue
\jour         Israel J. Math.
\endref

\ref \no 11
\by Kakutani S.  \pages 523--537
\paper Concrete representation of abstract (L)-spaces and
  the mean ergodic theorem
\yr 1941 \vol 42 \issue 2
\jour Ann. of Math.
\endref

\ref \no 12
\by Lindenstrauss J.\pages  279--284
\paper  On James' paper "Separable Conjugate Spaces"
\yr 1971\vol 9
\jour Israel J. Math.
\endref

\ref
\no 13
\by  Lindenstrauss J., Tzafriri L.
\book Classical Banach spaces I: Sequence spaces
\bookinfo
\publ Springer-Verlag \vol \nofrills
\publaddr  Berlin -- Heldelberg -- New York
\yr   1977
\endref

\ref \no 14
\pages 122-144
\by Макаров Б. М., Самарский В. Г.
 \paper  Слабая секвенциальная полнота и близкие к ней свойства некоторых
   пространств операторов
 \yr 1983\vol
\jour в кн. ``Теория операторов и теория функций".  Л.: ЛГУ
 \endref

\ref \no 15
\by A.Pelczynski  \pages  641-648
\paper  Banach spaces on which every unconditionally converging
     operator is weakly compact
\yr 1962 \vol 10 \issue
\jour  Bull. Acad. Polon. Sci. Math. Astro. Phys.
\endref

\ref \no 16
\by Persson A. \pages 213--232
\paper  On some properties of $p$-nuclear and $p$-integral operators
\yr 1969\vol 33
\jour Studia Math.
\finalinfo
\endref

\ref \no 17
\by Persson A. and Pietsch A.\pages 19-62
\paper  p-nucleare und p-integrale Abbildungen in Banachr\"aumen
\yr 1969\vol33
\jour Studia Math.
\endref

\ref  \no 18
\by Пич А.
\book Операторные идеалы
\yr 1982, 536 с\vol
\publ     Москва: Мир
\endref

\ref \no 19
\by   Pietsch A.
\book  Operator ideals
\bookinfo North-Holland
\publ Deutscher Verlag der Wiss. \vol \nofrills
\publaddr  Berlin
\yr  1978. 451 p.
\endref

\ref \no 20
\by       Рейнов О.И.
\paper  Операторы типа RN и аналитические представления
  линейных операторов
\inbook    В кн. Теория операторов в функциональных пространствах
\publaddr Новосибирск
\publ Наука
\yr        1977
\pages  283--295 \nofrills
\endref

\ref \no 21
\by  Рейнов О.И. \pages   857-865
\paper   Операторы типа RN в банаховых пространствах
\yr 1978 \vol  19\issue      4 \nofrills
\jour    Сиб. матем. журн.
\finalinfo
\endref

\ref \no 22
\by Рейнов О.И.  \pages  285-286
\paper   О некоторых классах линейных непрерывных отображений
\yr 1978 \vol 23 \issue  2
\jour    Матем. заметки
\endref

\ref \no 23
\by Рейнов О.И.  \pages 607-620
\paper  О некоторых векторно-решеточных характеристиках
   операторов типа RN
\yr  1980\vol 27 \issue вып. 4\nofrills
\jour        Матем. заметки
\endref

\ref \no 24
\by  Рейнов О.И.  \pages 283-290
\paper  Об интегральных представлениях линейных
 операторов, действующих из пространства  $ L^1$
\yr 1980 \vol 27 \issue вып. 2  \nofrills
\jour Матем. заметки
\endref

\ref \no 25
\by Reinov O.I.\pages   125-134
\paper   Approximation properties of order p and the existence of
  non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints
\yr 1982 \vol  109
\jour    Math. Nachr.
\endref

\ref \no 26
\by Рейнов О. И.\pages 145-165
\paper   Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов
\yr 1983\vol
\jour в кн. ``Теория операторов и теория функций".  Л.: ЛГУ
\endref

\ref \no 27
\by Рейнов О.И.  \pages 528-531
\paper   Операторы типа RN в банаховых пространствах
\yr  1975\vol 220 \issue No~3 \nofrills
\jour    ДАН СССР
\endref

 \ref  \no 28
\by Рейнов О. И. \pages   43-47
 \paper  Свойства аппроксимации порядка  p  и существование не  p-ядерных
       операторов с  p-ядерными вторыми сопряженными
 \yr 1981\vol 256 \issue 1
 \jour    ДАН СССР
 \endref

\ref \no 29
\by Рейнов О. И. \pages
\paper О линейных операторах с p-ядерными сопряженными
\yr 2000 \vol  \issue   вып. 4  \nofrills
\jour   Вестник СПбГУ, Сер. 1
\endref

\ref \no 30
\by Рейнов О. И.  \pages 27-32
\paper О факторизации операторов через пространства $ l^p$
\yr  2000\vol 2 \issue \nofrills вып. 2 (No 8),
\jour Вестник СПб ГУ. Сер.1
\finalinfo
\endref

\ref \no 31
\by Рейнов О. И.  \pages  277-291
\paper Аппроксимационные свойства $ \operatorname{AP_s}$ и $p$-ядерные
    операторы (случай $ 0<s\leqslant 1$)
\yr 2000 \vol 270 \issue
\jour Записки научн. сем. ПОМИ
\endref

\ref \no 32
\by H.Rosenthal  \pages  13-36
\paper   On relatively disjoint families of measures, with some
  applications to Banach space theory
\yr 1971 \vol 37 \issue
\jour   Studia Math.
\endref

\endRefs


\enddocument





%
%
%
%
%
%
%
%
