%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep1
\parindent=1em
     \baselineskip=18pt

\hsize=16 true cm
\vsize=22 true cm
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\CenteredTagsOnSplits                        \NoBlackBoxes

\NoRunningHeads
        \topmatter
        \title {��᪮�쪮 ���娬 ����� ����
  ����客� ����࠭�⢮ � ᢮��⢮� ���பᨬ�樨? II.
}
        \endtitle
          \author { �.�.������.}  \endauthor

\address
\endaddress
\email
  orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\abstract\nofrills
\endabstract
    \endtopmatter

\footnotetext""{����� �믮����� �� ���筮� �����প�
����ࠫ쭮� 楫���� �ணࠬ��� ``��⥣���''
(�࠭� \No~326.53), �ணࠬ��� "�����প� ������ 誮�"
(�࠭�  00-15-96-022)
� ����᪮� ��஫��᪮� �������� ���.}


\document

� �⮩ ࠡ�� �� �।������ �����஥ �த������� �।���� ����
(� �� ⮫쪮 ����) ��᫥������� �� ⥬� "��᪮�쪮 ���娬 ����� ����
����客� ����࠭�⢮ � ᢮��⢮� ���பᨬ�樨?" (�. [1]).
���� �ਢ������ ����饭�� �鸞 १���⮢ �� [1] � [2].
��᪮��� ���㦤���� �஡���, �易���� � 㪠����� ����ᮬ,
���஡�� ���� � ���� [1], � �� �ࠧ� ����㯨�
� ��������� �᭮����� ���ਠ��.

{\bf \S 1. �।���⥫�� ᢥ�����.}
�� ��ᬠ�ਢ���� ����࠭�⢠ ����客�. ��ଠ � ����࠭�⢥ $ X$
������砥��� �१ $ \|\cdot\|_X$ ��� ���� $ \|\cdot\|,$ ����� ��
��������� ����ࠧ㬥���; $ \operatorname{id}_X$ --- ⮦���⢥��� ������
� $ X;$
$ \operatorname{L}(X,Y)$ --- ����客� ����࠭�⢮ ��� ��������
�����뢭�� �⮡ࠦ����
�� $ X$ � $ Y;$ $ X^*\widehat\otimes Y$ --- �஥�⨢��� ⥭��୮�
�ந��������
����࠭�� $ X^*$ � $ Y.$ ��������, ����騥 � ��ࠧ� �������᪮��
�⮡ࠦ���� $  X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{L}(X,Y),$ ���뢠����
拉�묨 �����ࠬ�.
����࠭�⢮ $ \operatorname{N}(X,Y)$ ��� 拉��� �����஢ �� $ X$ � $ Y$
� ��ମ�, �����஢����� 䠪��--�⮡ࠦ�����
$  X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{N}(X,Y),$
���� ����客�.
��� ������祭�� ������⮢ ��ᬠ�ਢ����� ����࠭�� �� ���筮 �ᯮ��㥬
ᮮ⢥�����騥 �����쪨� �㪢� (� �����ᠬ� ��� ��㣨�� ��ਡ�⠬�, �᫨
����室���): $ x,x_j\in X,$\, $ y'\in Y^*$ � �. �.
������ ����客� ����࠭�⢮ $ X$ ���筮 �㤥� ��ᬠ�ਢ����� ���
(�������᪮�) �������࠭�⢮ � ᢮�� ��஬ ᮯ�殮����, �� �᫨
��������� ����室������ �⤥�쭮 ᪠���� � ����⢥���� ��������
����࠭�⢠ $ X$ � $ X^{**},$ � �� �ᯮ��㥬 ������祭�� $ \pi_X$
��� �⮣� �������᪮�� ��������.

����� ⥭���� ������� $ t\in X^*\widehat\otimes Y$
����᪠�� (�� �����⢥����) �஥�⨢��� ⥭��୮� �।�⠢����� ����
$ t=\sum_{j=1}^{\infty} x'_j\otimes y_j,$ ���஥ ��� ��࠭�� 䨪�஢������
�᫠ $ \varepsilon,$ $ \varepsilon>0,$ �ᥣ�� ����� ���� ��࠭�
⠪�� ��ࠧ��, ��
$ \|t\|_{X^*\widehat\otimes Y} \geqslant \sum \|x'_j\|\,\|y_j\|-\varepsilon;$
��� ⥭���� ������� ����⢥��� ��ࠧ�� ��஦����
������� �����뢭� �㭪樮��� �� ����࠭�⢥ $ \operatorname{L}(Y,X):$
�᫨ $ U\in \operatorname{L}(Y,X),$ �
$ \langle t,U\rangle:=\operatorname{trace} U\circ t =
\operatorname{trace} t\circ U$
(� ��᫥���� ࠢ���⢥ ᫥������ �� ����� ����� �筮:
$ =\operatorname{trace} t\circ U^t;$ �� �㤥� �ਤ�ন���� �ਢ�������
��� ������祭��,
���� � ����, ��� ������--���� �஥�⨢���� ⥭��୮�� ࠧ�������
$ t=\sum_{j=1}^{\infty} x'_j\otimes y_j$,
����
$ \langle t,U\rangle =\sum \langle x'_j,Uy_j\rangle=
\sum \langle U^*x'_j, y_j\rangle$;
�� ᪠������� ���,
$ | \langle t,U\rangle|\leqslant \|U\|\,\|t\|_{X^*\widehat\otimes Y},$
��祬 {\it ࠢ���⢮, ��� �� �� ����� $ U,$ �믮������� �� ��易��}\,).

������⢮ $ \operatorname{F}(X,Y)$
��� ����筮����� �����஢ �� $ X$ � $ Y$ �� �⮦���⢫塞
� �����ࠨ�᪨� ⥭���� �ந��������� $ X^*{\otimes}Y$
� ᭠����� � �⮩ ࠡ�� ��ମ�, �����஢����� �� ����客� ����࠭�⢠
$ \operatorname{L}(X,Y);$ ���������� $ X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y$
�� �⮩ ��ଥ ⥭��୮�� �ந��������
$ X^*{\otimes}Y$ ᮢ������, ⠪�� ��ࠧ��, � ���몠����
� $ \operatorname{L}(X,Y)$ ��������� �������࠭�⢠ ���
����筮����� �����஢,
� ����� ������ �� �⮣� ���몠��� �ਭ�� ���뢠��
���பᨬ��㥬�.
������稬 �१ $ \operatorname{K}(X,Y)$ ����࠭�⢮ ��� ���������
(� ��ன
�ନ�������, "������ �����뢭��") �����஢ �� $ X$ � $ Y.$
��� �����⭮, $ X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y\subset K(X,Y),$
��祬 ���⭮� ����祭��,
����� ������, �� ��୮:
��� 䨪�஢������ ����࠭�⢠ $ Y$
ࠢ���⢮ $ X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y= K(X,Y)$
(��� ��� ����客� ����࠭�⢠
$ X$) ����� ���� ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ����࠭�⢮ $ Y$
�������� ᢮��⢮� ���பᨬ�樨 ��⥭����
(�. [3]; ⠬ �� �������� � ���㫨஢����� ⮫쪮 �� �⢥ত����;
����� ���⮥ ������⥫��⢮ ����� ����, ���ਬ��, � [4], ���� [5]),
�.�. ᢮��⢮� $\operatorname{AP}(\operatorname{F}),$ ---
᢮��⢮� ���பᨬ�樨 �⭮�⥫쭮 ������ ��� ����筮����� �����஢.
�ਢ���� �ᯮ��㥬� ���� ��।������ �⮣� � ����� ����
���பᨬ�樮���� ᢮��� (�⬥⨬, �� ����⨥ ᢮��⢠ ������⭮�
���பᨬ�樨 �����, ������, ������ � ࠡ�� [6]; ⮣�� ���
��饥 ��।������ ᢮��� $ \operatorname{AP}(\operatorname{J}),$\,
$ \operatorname{MAP}(J),\dots$
� ���� ���ਢ����� १�����, �易��� � ���, �ਢ�����  �����
� ࠡ�� ���� [1]; �१ 10 ��� ��᫥ ���� ���� ������ ࠡ��
[7], � ���ன, � ��⭮��, ��ᬠ�ਢ����� ᢮��⢮ ���பᨬ�樨
�⭮�⥫쭮 ������ ᫠�� ��������� �����஢; ��⥬ ������� ᢮��⢠
��᫥��������, ���ਬ��, � [8]).

����� $ \operatorname{J}(X,Y)$ --- �������� �������࠭�⢮ �
$ \operatorname{L}(X,Y),$\,
$ 1\leqslant \lambda\leqslant +\infty.$

�������� [1], �� ����客� ����࠭�⢮ $ Y$ �������� ᢮��⢮�
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),$
($ \lambda$-�����᪮� ���பᨬ�樨 �⭮�⥫쭮 $ \operatorname{J}$),
�᫨ ��� ��类�� ������� $ K\subset Y$ � ��� $ \varepsilon>0$
������� ������
$ R\in\operatorname{J}(Y,Y)$ ⠪��, �� $ \|R\|\leqslant \lambda$ �
$ \sup_K \|Ry-y\|<\varepsilon.$
�� �᫮����� ����� $ Y\in\lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),$
�᫨ $ Y$ �������� ᢮��⢮�
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}).$ �᫨ $ \lambda<+\infty$
� $ Y\in\lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),$ �
$ Y$ �������� ᢮��⢮� $ \operatorname{BAP}(\operatorname{J}).$
�᫨ $ Y\in+\infty$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),$
� $ Y$ �������� ᢮��⢮� $ \operatorname{AP}(\operatorname{J}).$

���� ��, � �᭮����, � ����⢥ $ \operatorname{J}$\,
�㤥� ��ᬠ�ਢ��� ��������
������� ������ � ����客�� ����࠭�⢠� (��������, �� �������
����� $\operatorname{J}$ ���뢠���� ��������, �᫨ ��� �� ���� ����客��
����࠭�� $ X,Y$ �������� ����࠭�⢮ $ \operatorname{J}(X,Y)$
���� ��������
�������࠭�⢮� ����࠭�⢠ $ \operatorname{L}(X,Y);$
��ଠ � ������⮬ ������
���������� ���筮 �� $\operatorname{L},$ � ⠪ �㤥� ���� � �⮩ ࠡ��).

� ��砥 $ \operatorname{J}=\operatorname{K}$ �� ����砥� ࠧ����
᢮��⢠ ������⭮� ���பᨬ�樨
$ \operatorname{CAP},$\, $ C$-$ \operatorname{ MCAP},\dots$\, [5], [6], [1];
��� $ \operatorname{J}=\operatorname{F}$ ---
ᮮ⢥�����騥 ��⥭�����᪨� ���பᨬ�樮���
�᫮��� [3].

����� �� 䠪�, �� ᢮��⢠ $ \operatorname{AP}(\operatorname{F})$
� $ \operatorname{BAP}(\operatorname{F})$
�� ࠢ��ᨫ�� ����� ᮡ��, ��⠭����� �. ������ � �. �. ����ᮭ [9];
��ࠢ��ᨫ쭮��� ᢮��� $ \operatorname{AP}(\operatorname{J})$
� $ \operatorname{BAP}(\operatorname{J})$
��� �鸞 ��㣨� �������� ������� $ \operatorname{J},$
⠪�� ���, ���ਬ��, ������ ��������� � ᫠�� ��������� �����஢,
����� ����祭� � ࠡ�� ���� [1] (�����, � 1996 �.,
������ ����� [10], � ���ன �� �����, �� ���� � १�����
ࠡ��� [1], ��।������� ᮮ⢥�������� ⥮६� �� [1]
�� ������ ��������� �����஢, ����稢 ��᪮�쪮 ����� ᨫ�� १����,
� 祬 �㤥� �� ᪠���� ����).

������ �ࠪ���⨪� ��ᬠ�ਢ����� ���பᨬ�樮���� ᢮���
� �ନ��� �㭪樮����� �� �������� �������� ����࠭�⢠� ����

\proclaim {\bf ����� 1 [1]}\it
����� $ 1\leqslant \lambda<\infty$ �
$ j:\, Y^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{J}(Y,Y)^*$ ---
����⢥���� �⮡ࠦ����
{\rm (����࠭�⢮ $ \operatorname{J}(Y,Y)$
᭠����� ���筮� �����୮� ��ମ�)}.
�᫨ $ \operatorname{J}$ --- ������� �����, �
����࠭�⢮ $ Y$ �������� ᢮��⢮�
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J})$ ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��,
����� $ \|j^{-1}\|\leqslant\lambda.$
����� ��ࠧ��,
$$ Y\in\lambda\text{-}\operatorname{MAP}(\operatorname{J})\
  \iff \ \lambda^{-1}\|z\|_{Y^*\widehat\otimes Y}
\leqslant \|j(z)\|_{\operatorname{J}(Y,Y)^*} \leqslant
  \|z\|_{Y^*\widehat\otimes Y} \quad \forall\,z\in
Y^*\widehat\otimes Y
$$
�.�. $ j$ ���� $ \lambda$-��������᪨� ���������.
�� ࠢ��ᨫ쭮 ⠪�� ⮬�, �� ��� ������� ����客� ����࠭�⢠ $X$
����⢥���� �⮡ࠦ���� $ X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{J}(X,Y)^*$
���� $ \lambda$-��������᪮� ��������.
 \endproclaim\rm

� ��砥 $ \lambda=+\infty$ ����� ����

\proclaim {\bf ����� 2 [1]}\it
����������� �⢥ত����:

$ 1)$ $ Y\notin \operatorname{AP}(\operatorname{J});$

$ 2)$ $ \exists\, z\in Y^*\widehat\otimes Y:\ \operatorname{trace} z=1,\,
\operatorname{trace} z\circ \Phi=0\
\forall\, \Phi\in\operatorname{J}(Y,Y);
$

$ 3)$ ����⢥���� �⮡ࠦ����
$ j: Y^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{J}(Y,Y)^*$
�� ������� �������筮.

�� �� ࠢ��ᨫ쭮 ⠪�� ⮬�, �� ��� ������� ����客� ����࠭�⢠ $X$
����⢥���� �⮡ࠦ���� $ X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{J}(X,Y)^*$
��ꥪ⨢��.

\endproclaim\rm

��� ���� 楫�� ����� ����� ᮯ�殮���� ����࠭�⢮ � ����࠭�⢠�
���� $ \operatorname{J}(X,Y)$ � ����� ��⭮� ��砥,
����� �� ᥩ�� � ��ᬮ�ਬ.
������, �. ��⥭��� [3] ���� � ��ᬮ�७�� ⠪ ���뢠���
��⥣ࠫ�� ������� � ��ନ஢����� ����࠭�⢠�
(�� �㤥� � ��� �������, ��� �� ��⥣ࠫ���
�� ��⥭���� �������) � �易� � ����࠭�⢠�� ᢮�� ��⥣ࠫ���
�����஢ ᮯ�殮��� ����࠭�⢠ � ����࠭�⢠� ����筮�����
�����뢭�� �������� �⮡ࠦ����.
������ $ T:X\to Y$ ���� ��⥣ࠫ�� ������
(� ��᫥ �. ��⥭����), �᫨ �㯥௮���� $ \pi_YT:X\to Y\to Y^{**}$
����᪠�� 䠪�ਧ��� ����
$$
\CD
X         @>A>>  C(K)  @>j>>   L_1(K,\mu)  @>B>>   Y^{**} \\
\endCD,
$$
��� $ K$ --- ������� �������, $ \mu$ --- ����⭮�⭠� ��� ������ �� ���,
$ j$ --- ������ "⮦���⢥����� ��������" � $ A, B$ ---
�����뢭� �������. ��ଠ � ����࠭�⢥
$\operatorname{I}(X,Y)$  �������� ᫥���騬 ��ࠧ��:
$$ i(T)=\inf \,\|A\|\,\|B\|.
$$
����� 拉�� ������ $T:X\to Y$ ���� ��⥣ࠫ��, ��祬
$ \|T\|_{\operatorname{I}(X,Y	)}\leqslant \|T\|_{\operatorname{N}(X,Y)}.$

����客� ����࠭�⢮, ᮯ�殮���� � ����࠭���
$ X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y,$
�������᪨ �⮦���⢫���� � ����࠭�⢮� $ \operatorname{I}(Y,X^{**}):$
��� ���� �����஢ $ U\in X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y$
� $ T\in\operatorname{I}(Y,X^{**})$
������ ���४⭮ ��।���� ᫥� $ \operatorname{trace} TU$
(�㯥௮���� $ TU$ �������筮
��।���� ⥭��� �� ����࠭�⢠ $ X^*\widehat\otimes X^{**}$), ��祬
$ |\operatorname{trace} UT|\leqslant
 \|U\|\, \|T\|_{\operatorname{I}(Y,X^{**})}.$
�᫨ $ \operatorname{J}$ --- �����-���� �������� ����� �����஢,
� ����室���
$ \operatorname{F}\subset \operatorname{J}$ �, ᫥����⥫쭮,
$ \|\cdot\|_{\operatorname{I}}\leqslant \|\cdot\|_{\operatorname{J}^*}.$

����� $ T\in\operatorname{L}(X,Y).$ ��������, ��
$ T$ --- ��ண� ᨭ�����
������, �᫨ �� �� ����� ��᪮��筮��୮� �������࠭�⢥ � $ X$
�� �� ������� ��� ������䨧�;
$ T$ --- ������ �����뢭� ������, �᫨ ᫠�� �室�騥��
��᫥����⥫쭮�� �� ��ॢ���� � ᨫ쭮 �室�騥��, ���, ��
ࠢ��ᨫ쭮 (�. [11]), �᫨ �� ��ॢ���� ᫠�� �㭤����⠫��
��᫥����⥫쭮�� � �室�騥�� �� ��ଥ;
$ T$ --- �᫮��� ᫠�� ��������, �᫨ ��� ������ ��࠭�祭���
��᫥����⥫쭮�� $ \{ x_n\}\subset X$ �� $ \{ Tx_n\}$ ����� �������
᫠�� �㭤����⠫��� �����᫥����⥫쭮���;
$ T\in \operatorname{RN}^{\operatorname{dual}},$
�᫨ $ T^*\in \operatorname{RN},$ �.�. $ T^*$ ��ॢ����
������ ���� $ m$ ��࠭�祭��� ��ਠ樨 � ����, �।�⠢��� ��⥣ࠫ��
��孥� �� $ \operatorname{Var}(m)$.
��।������ ��ꥪ⨢��� � ���ꥪ⨢��� �������� ������� �. � [11]
(�⬥⨬ ����, �� �ਬ�ࠬ� �����६���� ��ꥪ⨢��� �
���ꥪ⨢��� �������� ������� ����� �㦨�� ������
��������� � ᫠�� ��������� �����஢).
�� ����ਬ, �� ����客� ����࠭�⢮ $ X$ ������ ᥯�ࠡ��쭮, �᫨
��� ���, ⠪ � �� ��� ᮯ�殮��� ����࠭�⢠ ᥯�ࠡ����.

�ਬ���� �ᯮ�짮����� ���� ��⮤� �� ��⥩ [1] � [2]
(���⨭�� � ��७�ନ஢��) � ��᫥������� ᢮��⢠ ������⭮�
���பᨬ�樨 �, ����� ⮣�, � ��᫥������� ᢮���
���பᨬ�樨 �⭮�⥫쭮 �ந����쭮�� �����୮�� ������
� ����客�� ����࠭�⢠� [1],
� ⠪�� ��� ������⥫��⢠ �������� १���⮢,
�����஢����� �
[12] --- ⥮६� 1.3 � ⥮६� 1.4
(������⥫��⢠ ��� ⥮६ ⠪ � �� �뫨 ��㡫������� ࠭��;
�⬥⨬, �� � � �६� �� ����ॢ����� �ਢ��� ᮢ��襭��
��㣨� ������⥫��⢠ ��� 䠪⮢).



�������� ���� �� 業�ࠫ��� �⢥ত���� �� [13]:

\proclaim {\bf ����� 3 {\rm ([13], ᫥��⢨� 1)}}\it
��� ��类�� ᥯�ࠡ��쭮�� ����客� ����࠭�⢠ $ G$
�������� ᥯�ࠡ��쭮� ����客� ����࠭�⢮ $ Z$ � ����ᮬ
� ������� �������䨧� $ \varphi: Z^{**}\to G$ ⠪��, ��
$ Z^{**}$ ����� ����� $($�, ᫥����⥫쭮, �\-��\-�\-����\-��$),$
�������࠭�⢮ $ \varphi^*G^*$ ������塞� � $ Z^{***}$
� �� �������䨧�� $ \varphi$  ���� $ \pi_ZZ.$
\endproclaim\rm


{\bf \S 2. �᭮���� ⥮६� � ᫥��⢨�}

��� ��� 業�ࠫ�� १����.

\proclaim {\bf ���६� 1}\it
����� $ \operatorname{J}$ ---
�����-���� �������� ��ꥪ⨢�� � ���ꥪ⨢�� ����� �����஢,
ᮤ�ঠ騩�� � ������ ᫠�� ��������� �����஢.
�����, �����, ᥯�ࠡ��쭮� ����客� ����࠭�⢮ $ G$
�� �������� ᢮��⢮�
$ \operatorname{AP}(\operatorname{J})$ � $ Z,\varphi$ --- �� ����� 3,
⠪ ��, � ��⭮��,

$ 1)$\, $ Z^{**}$ ����� �����;
$ Z^{**}/Z\cong G$ �
$ Z^{***}\cong \varphi^*G	^*\oplus \pi_ZZ$ (᫥����⥫쭮,
����࠭�⢮ $Z$ ������ ᥯�ࠡ��쭮, �᫨ $ G$ ⠪���).

��� ��类�� $\varepsilon>0$ �������
������ $ t_1\in\operatorname{L}(Z^{**}/Z, Z)$ ⠪��, ��

$ 2.0)$\, ������ $ t_1: Z^{**}/Z\to Z^{**}$ --- 拉��;

$ 2.1)$\, $ t_1(Z^{**}/Z)\subset Z$ � ������ $ t_1$,
��ᬠ�ਢ���� ��� �⮡ࠦ����
�� $ Z^{**}/Z$ � $ Z(=\pi_ZZ),$ �� ���� 拉��;

$ 3)$\, $ \operatorname{trace} \varphi\circ t_1=1;$

$ 4)$\, ��� ��� $ \alpha\geqslant 1$ ������� ���������⭠� ��ଠ
$ |||\cdot|||_{\alpha}$ �� $ Z^{**}$
(�� �������� �� $ \varepsilon$),
� ���ன ����࠭�⢮
$ W_\alpha:=(Z^{**}, |||\cdot|||_\alpha)$
�������� ᢮��⢠��:
\newline\phantom{444} {\rm a)}\,
$ W_\alpha\in \alpha$-$\operatorname{MAP};$\
$\,W_\alpha\notin\beta\,$-$\,\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),\
 \forall \beta < \alpha\,$;
\newline\phantom{444} {\rm b)}\,
 $\|\varphi\|_{\operatorname{L}(W_{\alpha},Z^{**}/Z)}\leqslant 1/\alpha;$
\newline\phantom{444} {\rm c)}\,
 $ \|t_1\|_{\operatorname{N} \left( Z^{**}/Z,W_\alpha\right)}
  \geqslant\alpha;$
\newline\phantom{444} {\rm d)}\,
 $ |\operatorname{trace} U\circ t_1|\leqslant \|U\|(1+\varepsilon)$
��� �������
 $ U\in\operatorname{J}(W_\alpha,Z^{**}/Z);$ ⠪�� ��ࠧ��,
$ t_1\in\operatorname{J}(W_\alpha,Z^{**}/Z)^*,$
��祬 � �⮬ ᮯ�殮���� ����࠭�⢥ $ \|t_1\|\leqslant1+\varepsilon;$
⥬  �����
 $ \|t_1\|_{\operatorname{I}  \left( Z^{**}/Z,W_\alpha\right)}\leqslant
 1+\varepsilon;$

$ 5)$\, �᫨ $ t:=t_1\circ \varphi\in Z^{***}\widehat\otimes Z^{**},$
$ W:=Z^{**}$
� $ W_\alpha$ --- ����࠭�⢮ �� $4)$, �
\newline\phantom{444} {\rm a)}
$ \operatorname{trace}\, t=1\,$,
\newline\phantom{444} {\rm b)}
$ 1/ \alpha \leqslant \|\,t\,\|_{\operatorname{I}
 \left(W_\alpha,W_\alpha \right)}
 \leqslant   \|\,t\,\|_{\operatorname{J}^*\left(W_\alpha,W_\alpha \right)}
  \leqslant (1+\varepsilon)\, 1/ \alpha, $
\newline\phantom{444} {\rm c)}
$\,1 \,\leqslant\, \|\,t\,\|_{\,\operatorname{N}
 \left(W_\alpha,W_\alpha \right)}
\,\leqslant \,(1+\varepsilon),\ $
\newline\phantom{444} {\rm d)}
$\,\|\,t\,\|_{\,\operatorname{I}\left(W,W_\alpha \right)}
  \leqslant  \|\,t\,\|_{\,\operatorname{J}^*\left(W,W_\alpha \right)}
\,\leqslant \,1+\varepsilon, $
\newline\phantom{444} {\rm e)}~
$ \|\,t\,\|_{\operatorname{N}\left(W,W_\alpha \right)}
\ge c\,\alpha \ \,
$ ��� �����ன ��᮫�⭮� ����ﭭ�� $\,c>0.\,$
\endproclaim\rm

\demo{������⥫��⢮}
��� �㤥� �।�⠢���� �� ᥡ� �������� ��������� ��⮤��,
�ਬ������� � ࠡ��� [9], [1], [14] ("��⮤ ��७�ନ஢��") �
� [15], [14] ("��⮤ ���⨭��").

�⠪, ����� $ Z$ --- ����客� ����࠭�⢮ ������������,
����஥���� ᮣ��᭮ ����� 3 �� ����࠭��� $ G,$
⠪ �� ����࠭�⢮ $ F:=Z^{**}/Z$ �� �������� ᢮��⢮�
$ \operatorname{AP}(\operatorname{J}).$
��� �ந����쭮�� 䨪�஢������ $ \varepsilon>0,$
�ᯮ���� ���⨭� �� $ F$ � $ Z^{**},$
�� ����� ���� ⥭���� ������� $ t_1\in F^*\widehat\otimes Z^{**}$
� ⥬ ᢮��⢮�, �� $ \operatorname{trace} (U\varphi)\circ t_1=0$
��� ��� $ J$-������ $ U:F\to F$ �
$$ (\star)\qquad t_1(F)\subset \pi_ZZ,\
       \operatorname{trace} \varphi\circ t_1=1\geqslant (
         1+\varepsilon)^{-1/3}
  \|\varphi\circ t_1\|_{F^*\widehat\otimes F}\geqslant
         (1+\varepsilon)^{-1}\,\|t_1\|_{F^*\widehat\otimes Z^{**}}
$$
(� ��⭮��, ⥭���� �������
$ \varphi\circ t_1,$ ��� $ \varphi: Z^{**}\to F$ ---
䠪�� �⮡ࠦ����, ��஦���� �㫥��� ������).

����� ���஡��: ����� $ t_0\in F^*\widehat\otimes F$ --- ⠪��
⥭���
$$ t_0=\sum_{j=1}^{\infty} f'_j\otimes f_j,
$$
�� $ \operatorname{trace} t_0=1\geqslant (1+\varepsilon)^{-1/3}
 \|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F},$\,
$ \sum_j \|f'_j\|\,\|f_j\|\leqslant (1+\varepsilon)^{1/3}\,
 \|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F} $
� $ \operatorname{trace} U\circ t_0=\sum_{j} \langle f'_j, Uf_j\rangle =0$
��� �������
$ J$-������ $ U\in\operatorname{L}(F,F)$ (����� 2).
��᪮��� $ \varphi$ ���� 䠪��⮡ࠦ���� �, � ��⭮��, ��ॢ����
������� �� �� $ Z^{**}$ �� ������� �� ����࠭�⢠ $ F,$
� �������� ��᫥����⥫쭮��� $ \{ z''_j\}\in Z^{**}$ ⠪��, ��
$ \|z''_j\|\leqslant(1+\varepsilon)^{1/3}\,\|f_j\|$
� $ \varphi(z''_j)=f_j$
��� ��� $ j=1,2,\dots.$
������� $ t_1:= \sum_j f'_j\otimes z''_j\in F^*\widehat\otimes Z^{**}.$
��� ��� � $ Z^{**}$ ������� ᢮��⢮ ���பᨬ�樨, � ᫥�
⥭��୮�� ������� $ t:=t_1\circ \varphi\in Z^{***}\widehat\otimes Z^{**}$
(�⮦���⢨���� � ������ ��砥 � ᮮ⢥�����騬
�����஬) ���४⭮ ��।���� � ࠢ��
$$  \multline
 \operatorname{trace} t_1\circ \varphi =
 \sum_{j=1}^{\infty}
   \langle\varphi^* f'_j, z''_j\rangle=
   \sum_{j=1}^{\infty}
   \langle f'_j, \varphi z''_j\rangle
 =  \sum_{j=1}^{\infty} \langle f'_j, f_j\rangle=
		  \operatorname{trace} t_0=1.
\endmultline
$$
���⮬� ⠪�� $\operatorname{trace} \varphi\circ t_1= 1.$
� ��㣮� ��஭�,
$ \widetilde{U\circ t_0}=0$ ��� ��� %������⭮��
$ U\in\operatorname{J}(F,F),$
⠪ ��� $ \operatorname{trace} (VU)\circ t_0=0$ ��� ��� %�����뢭���
$ V\in\operatorname{L}(F,F)$
�
$ U\in\operatorname{J}(F,F).$ �������⥫쭮, ��� ⠪�� $ U$
����� ���� ࠢ���⢮ $ \widetilde{(U\varphi)\circ t_1}=0,$
��, ����� � �।��騬,
���� ᮮ⭮襭�� �� $ (\star):$
$$ \multline
 \|t_1\|_{F^*\widehat\otimes Z^{**}} = \left\|
   \sum_{j=1}^{\infty} f'_j\otimes z''_j  \right\|\leqslant \\ \leqslant
   (1+\varepsilon)^{1/3} \sum_{j=1}^{\infty} \|f'_j\|\,\|f_j\| \leqslant
   (1+\varepsilon)^{2/3}\, \|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F} =
     (1+\varepsilon)^{2/3}\,  \|\varphi\circ t_1\|_{F^*\widehat\otimes F}
  \leqslant  1+\varepsilon.
\endmultline
$$

�� �������, �� ����࠭�⢮ $Z$ � ⥭���� ������� $ t_1$
㤮���⢮���� �ᥬ �᫮��� ⥮६�.

��� ��� $ 1=\operatorname{trace} \varphi\circ t_1=
 \operatorname{trace} t_1\circ \varphi\leqslant
\|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F}\leqslant 1+\varepsilon,$
� �� ����砥�, �� $ 1=\operatorname{trace} t_0\leqslant
 \|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F}\leqslant1+\varepsilon.$

��� �ந����쭮�� 䨪�஢������ �᫠ $ \alpha\geqslant1$
�� ��।���� ������������
���� �� $ Z^{**}$ ᫥���騬 ��ࠧ��:
$ |||z''|||=|||z''|||_\alpha=
  \max \left\{ \|z''\|;\, \alpha d(z'', \pi_ZZ)\right\},$
��� $ d(z'',\pi_ZZ)=\inf_{z\in Z}\|z''-\pi_Zz\|. $ �������
$ W_\alpha= \left( Z^{**}, |||\cdot|||\right)$
(���� �� ��� �㤥� �⮦���⢫��� $ W_{\alpha}$ � $ Z^{**}$
��� ������� ����࠭�⢠).

��� ��� $ \|z''\|\leqslant |||z''|||\leqslant \alpha||z''||,$
� ��� ⮦���⢥�����
�⮡ࠦ���� $ j=j_\alpha: W_\alpha\to Z^{**}$ �����:
$ \|j\|\leqslant1$ � $ \|j^{-1}\|\leqslant\alpha.$ ����࠭�⢮ $ Z^{**}$
�������� ᢮��⢮� �����᪮� ���பᨬ�樨 $ \operatorname{MAP},$ ���⮬�
$ W_\alpha\in \alpha$-$\operatorname{MAP}.$ ��� ��饭�� ���쭥�襣� �⥭��,
㤮��� �����
��। ������� ᫥������ ����ࠬ��:
$$
\gather
W_\alpha
   @>{\ \,}j\ >>  Z^{**} @>\ \,t\ \,>>
                        \pi_ZZ\subset Z^{**}   @>j^{-1}>>  W_\alpha
                                              @>\ R\ >>  W_\alpha \\
\searrow \!  \overset {\varphi}\to{ }  \,\  \nearrow \!\overset {t_1}\to{ }
       \phantom{vvvvvvvvvvvv}     \\
F \phantom{vvvvvvvvvvvvvv}
\endgather  $$
�᫨ $\, z''\in Z^{**},\, $ �
$\,\|\varphi (z'')\|= d(z'',Z)\leqslant \alpha^{-1}\,
|||\,z''\,|||,$\ �.�. $ \, \|\varphi\|_{\operatorname{L}(W_\alpha,F)}$
$ \leqslant 1/\alpha,\,$ �� �����뢠�� $ 4b).$
�������⥫쭮,
$$\multline
\|\,t\,\|_{\operatorname{N}(W_\alpha,W_\alpha)}=
 \|j^{-1}\circ t_1\circ \varphi\|
_{\operatorname{N}(W_\alpha,W_\alpha)} \leqslant \\
\|j^{-1}\|\,\|t_1\|_{\operatorname{N}(F,Z^{**})}\ \|\,\varphi\,\|_
  {\operatorname{L}(W_\alpha,F)}
\leqslant 1+\varepsilon.
\endmultline
$$
� ��㣮� ��஭�, $\,\|t\|_{\operatorname{N}(W_\alpha,W_\alpha)} \ge
\operatorname{trace}\,t=1.\,$
�� �����뢠�� �믮������ �᫮��� 5c).

��� ������⥫��⢠ �⢥ত���� 5b) ��ᬮ�ਬ
$ \operatorname{J}$-������
$ R\in \operatorname{J}(W_\alpha,W_\alpha),$\linebreak
$\,|||R||| \leqslant 1.\,$
��� ���
$\,t_1(F)\subset \pi_ZZ\,$ � $\,|||\cdot|||=||\cdot||\,$ �� $\,\pi_ZZ,\,$
� �� ����砥�
$$
\multline
 |\operatorname{trace}\,R\circ t|=
           |\operatorname{trace}\, R\circ t_1\circ \varphi|
 \leqslant ||R\pi_Z\|_{\operatorname{L}(Z,W_\alpha)}\
   \|t_1\circ\varphi\|_{ \operatorname{J}^*(\pi_ZZ,W_\alpha)} \\ \leqslant
 \alpha^{-1}\,\|t_1\|_{\operatorname{J}^*(\pi_ZZ,F)}\leqslant
 \alpha^{-1}\,\|t_1\|_{F^*\widehat \otimes Z^{**}}\leqslant
 \alpha^{-1}\,(1+\varepsilon).
\endmultline
$$
�������⥫쭮,
$\,\|\,t\,\|_{\operatorname{J}^*(W_\alpha,W_\alpha)}\leqslant
 \alpha^{-1}(1+\varepsilon).\,$
�����,
$$ \multline
1\leqslant \|\,t\,\|_{\operatorname{N}(Z^{**},Z^{**})}=\|\,t\,\|_
{\operatorname{I}(Z^{**},Z^{**})} \\ \leqslant
\|\,j\,\|_{\operatorname{L}(W_\alpha,Z^{**})}\
\|\,t\,\|_{\operatorname{I}(W_\alpha,W_\alpha)}\ \|j^{-1}\|_{
\operatorname{L}(Z^{**},W_\alpha)}\leqslant\alpha\,
  \|\,t\,\|_{\operatorname{I}(W_\alpha,W_\alpha)}
\endmultline $$
(��ࢮ� ࠢ���⢮ � ��� ᮮ⭮襭��� ��⥪��� �� ⮣� 䠪�, ��
$ Z^{**}\in \operatorname{ MAP}$).
�� �����뢠�� 5b).

��� ������⥫��⢠ 5d)\, ����⨬, �� �᫨
$ R\in \operatorname{J}(W_{\alpha},Z^{**})$
--- �ந������ ������ �����筮� ����, �
⠪ ��, ��� � ���, �� ����砥�
$$
\multline
 |\operatorname{trace}\,R\circ t|
 \leqslant ||R\pi_Z\|_{\operatorname{J}(Z,Z^{**})}\ \|t_1\circ\varphi\|_{
 \operatorname{J}^*(\pi_ZZ, Z^{**})} \\ \leqslant
 \,\|t_1\|_{\operatorname{J}^*(\pi_ZZ,F)}\ \|\,
         \varphi\,\|_{\operatorname{L}(Z^{**},F)}
 \leqslant\|t_1\|_{F^*\widehat \otimes Z^{**}}\leqslant (1+\varepsilon).
\endmultline
$$
������ ������� 5e) � 4c).
��᪮���
$\,\|\,\varphi\,\|_{\operatorname{L}(W_\alpha,F)}\leqslant 1/\alpha\,$ �
	$$ \|t_1\|_{\operatorname{N}(F,W_\alpha)} \equiv
	\|j^{-1}t_1\|_{\operatorname{N}(F,W_\alpha)}\ge
	\alpha\,|\operatorname{trace}\, \varphi\circ j^{-1}\circ t_1|=
        \alpha\,|\operatorname{trace}\, \varphi\circ t_1|=\alpha.
	$$
�⬥⨬, �� ⠪ ��� �������࠭�⢮
$\,\varphi^*(F^*)\,$ ������塞� � ����࠭�⢥
$\,Z^{***},$ � ����⢥���� �⮡ࠦ����
$\,F^*\widehat \otimes W_\alpha\to Z^{***}\widehat \otimes W_\alpha\,$
�����஢����� �����஬ $\,\varphi^*\,$ ���� ������䭮� ��������; ⠪ ��
$\,\|\,t\,\|_{\operatorname{N}(Z^{**},W_\alpha)}\ge c\alpha.\,$

��� ��⠫��� ���� ��������, �� ��� ����祭��� ��ꥪ⮢
��୮ �⢥ত���� 4d) (� ᨫ� �ந����쭮�� �᫠ $ \varepsilon$
� ᮮ⢥�����饣� �롮� ������� $ t_1,$
�� 4d), 4c) � ����� 1 ��⥪��� ��஥ �⢥ত���� � 4a)).

����� $ U$ ---
$ \operatorname{J}$-������ �� $ W_\alpha$ � $ F=Z^{**}/Z.$
��� ��� ⮦���⢥���� �������� $ i:Z\to W_\alpha=(Z^{**},|||\cdot|||_\alpha)$
�������筮, � $ \|Ui\|\leqslant\|U\|.$ �������
$ S=U-(Ui)^{**}j,$ ��� $ j:W_\alpha\to Z^{**}$ --- ⮦���⢥���� �⮡ࠦ����.
��� ��� ������ $ U$ ᫠�� ������⥭, � $ (Ui)^{**}j\subset F.$
���⮬� (� ᨫ� ��ꥪ⨢���� ������ $ \operatorname{J}$)
$ S$ --- $ \operatorname{J}$-������ �� $ W_\alpha$ � $ F$
� $ S|_{i(Z)}\equiv0.$
�������⥫쭮 (� ᨫ� ���ꥪ⨢���� ������ $ \operatorname{ J}$),
$ S$ ��������
$ \operatorname{J}$-������ $ S_1:F\to F,$\,
$S=S_1\varphi j,$ ��祬
$ \operatorname{trace} S_1\circ (\varphi\circ t_1)=
 \operatorname{trace} S\circ t_1.$
��᪮��� $ \varphi \circ t_1$ ���頥��� � ��� ��
$ \operatorname{J}$-������� �� $ F$ � $ F,$
� $ \operatorname{trace} S_1\circ (\varphi\circ t_1)=0$ �, ᫥����⥫쭮,
$ \operatorname{trace} \left( (Ui)^{**}j\right)\circ t_1=
 \operatorname{trace} U\circ t_1.$
�����,
$$ |\operatorname{trace} (Ui)^{**}j\circ t_1|\leqslant
\|(Ui)^{**}\|\,\|j\circ t_1\|_{ \operatorname{ N}(F,Z^{**})}
 \leqslant (1+\varepsilon)\, \|U\|.
$$
�������⥫쭮,
$ |\operatorname{trace} U\circ t_1|\leqslant (1+\varepsilon)\,\|U\|.$
$\quad\blacksquare$\enddemo


������� ⠪�� ��� � ���� ࠡ��� [1],
�� �� ⥮६� 1 ����砥� ᫥���騥 ����������
� �᭮��� १���⠬ ࠡ��� [1] (�. ⥮६� 2.3 � 2.4 � [1]).
�⬥⨬, �� �� ����� ����� �ਢ���� ���頭��� � [12]
������⥫��⢮ �����஢����� ⠬ ⥮६� 1.4 (�� ���� ��襣�
᫥��⢨� 2 ����).

\proclaim {\bf �����⢨� 1}\it
�������� ᥯�ࠡ���� ����客� ����࠭�⢠ $E$ � $F$ � ������
$U$ �� $E$ � $F$ ⠪��, ��

$(i)$\, $ E^*$ ᥯�ࠡ��쭮 � $F\subset c_0$
 $($⠪�� ��ࠧ��, $U^*\in\operatorname{RN}(E,F))$;

$(ii)$\, $E$ ����� ᢮��⢮ ���பᨬ�樨;

$(iii)$\, ������ �� �� �뫮 ������⥫쭮� �᫮ $C,$ ������ $U$
�� ����� ���� ���பᨬ�஢�� � ⮯������ $\tau_c$ ������⭮� �室�����
������ �����뢭묨 �����ࠬ� � ��ଠ�� �� �����, 祬 $C.$
\endproclaim\rm
\demo{������⥫��⢮}
�ਬ���� ⥮६� 1 � ����, ����� $ G$ --- �������࠭�⢮ � $ c_0$
��� $ \operatorname{CAP}.$ ����� $ \{ U_\beta\}$ ---
��࠭�祭��� ��� ���������
�����஢ �� $ W_\alpha$ � $ F=Z^{**}/Z,$ �室����� ����筮
� $ \Psi:=\alpha\,\varphi.$ �����
$ \operatorname{trace} U_\beta\circ t_1\to
 \operatorname{trace}\Psi\circ t_1=\alpha$ �
$ \alpha=\lim_\beta |\operatorname{trace} U_\beta\circ t_1|\leqslant
 \overline{\lim_\beta} \|U_\beta\|.$
���⮬� ������ $ \Psi$ �� �ਭ������� ���몠��� � $ \tau_c$
������⢠ ��������� �����஢, ���� ������ $ <\alpha,$
⮣�� ��� $ \|\Psi\|\leqslant1.$ ��⠥��� �������, �� �᫨ $ U$ ---
������ �����뢭� ������, � $ U$ ������⥭,
⠪ ��� ����࠭�⢮ $ F\cong G\subset �_0$ ���� �䫥�ᨢ��
(⮦���⢥��� ������ � ��� �᫮��� ᫠�� ������⥭).
$\quad\blacksquare$\enddemo


\proclaim {\bf �����⢨� 2}\it
�������� ᥯�ࠡ���� ����客� ����࠭�⢠ $E$ � $F$ � ������
$U$ �� $E$ � $F$ ⠪��, ��

$(i)$\, $F\subset l^1$
 $($⠪�� ��ࠧ��, $U\in\operatorname{RN}(E,F))$;

$(ii)$\, $E$ ����� ᢮��⢮ ���பᨬ�樨;

$(iii)$\, ������ �� �� �뫮 ������⥫쭮� �᫮ $C,$ ������ $U$
�� ����� ���� ���பᨬ�஢�� � ⮯������ $\tau_c$ ������⭮� �室�����
�����ࠬ� � ��ଠ�� �� �����, 祬 $C,$ � ⠪���, �� ����

a)\ ��� ����� ��ண� ᨭ����묨, ����

b)\ ��� ����� �᫮��� ᫠�� �������묨, ����

c)\ ᮯ�殮��� � ��� ����� �����ࠬ� ������-��������.
\endproclaim\rm
\demo{������⥫��⢮}
�ਬ���� ⥮६� 1 � ����, ����� $ G$ --- �������࠭�⢮ � $ l^1$
��� $ \operatorname{CAP}.$ ����� $ \{ U_\beta\}$ ---
��࠭�祭��� ��� ���������
�����஢ �� $ W_\alpha$ � $ F=Z^{**}/Z,$ �室����� ����筮
� $ \Psi:=\alpha\,\varphi.$ �����
$ \operatorname{trace} U_\beta\circ t_1\to
 \operatorname{trace}\Psi\circ t_1=\alpha$ �
$ \alpha=\lim_\beta |\operatorname{trace} U_\beta\circ t_1|\leqslant
 \overline{\lim_\beta} \|U_\beta\|.$
���⮬� ������ $ \Psi$ �� �ਭ������� ���몠��� � $ \tau_c$
������⢠ ��������� �����஢, ���� ������ $ <\alpha,$
⮣�� ��� $ \|\Psi\|\leqslant1.$ ��⠥��� �������, �� �᫨ $ U$ ---
��ண� ᨭ����� (���� �᫮��� ᫠�� ��������, ����
����騩 � $ \operatorname{RN}^{\operatorname{dual}}$) ������,
� $ U$ ������⥭ �� ⥮६� �����⠫�,
⠪ ��� $ F\cong G\subset l^1$ � �������� ᢮��⢮� ���.
$\quad\blacksquare$\enddemo

�⬥⨬ ⠪�� ᫥���騥 �⢥ত����, �����뢠�饥, �� ���பᨬ�樮����
�業�� � ⥮६� 4 [16] �筠 ���� � ��砥, �᫨ � �⮬ �⢥ত����
�������� ���பᨬ��� ����筮���묨 �����ࠬ� �� ���பᨬ�樨
�����ࠬ� �� ����� �ப�� ����ᮢ
(�� ⥮६� �⢥ত���, �� �� ��������
��࠭�祭��� �� ������� $ U:X\to Y,$\, $ V:Y\to Z$
�㯥௮���� $ VU$ ���பᨬ������ � ⮯������ $ \tau_c$
������⭮� �室����� ����筮���묨 �����ࠬ�
� ��ଠ�� $ \leqslant \|VU\|\,\|P\|,$ ��� $P$ --- �஥��� �� $ X^{**}$
�� $X$; � ������, �� �����஢ �����筮 �ॡ�����, ���ਬ��,
�⮡� �믮��﫨�� ����祭��
$ U\in\operatorname{RN}$ � $ V\in \operatorname{AP}$).

��। ⥬ ��� ���㫨஢��� �������騥 ��� 䠪��, 㤮���
����� ������� ���� ��।������ � ������祭��.
����� $ \operatorname{I}(X,Y)$ ---
�������� �������࠭�⢮ � $ \operatorname{L}(X,Y),$\,
$ 1\leqslant \lambda\leqslant +\infty.$

\definition {\bf ��।������} ������ $ T\in\operatorname{L}(X,Y)$
�������� ᢮��⢮�
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}),$ ({\it
$ \lambda$-����\-��\-��� ���பᨬ�樨 �⭮�⥫쭮\/} $ \operatorname{I}$),
�᫨ ��� ��类�� ������� $ K\subset Y$ �
��� $ \varepsilon>0$ ������� ������
$ R\in\operatorname{I}(X,Y)$ ⠪��, �� $ \|R\|\leqslant \lambda$
� $ \sup_K \|Ry-y\|<\varepsilon.$
�� �᫮����� ����� $ T\in\lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}),$
�᫨ $ T$ �������� ᢮��⢮�
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}).$ �᫨ $ \lambda<+\infty$
� $ T\in\lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}),$ �
$ T$ �������� ᢮��⢮� $ \operatorname{BAP}(\operatorname{I}).$
�᫨ $ T\in+\infty$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}),$
� $ T$ �������� ᢮��⢮� $ \operatorname{AP}(\operatorname{I}).$
\enddefinition

\proclaim {\bf �����⢨� 3}\it
��� ��� $\alpha\geqslant1$ �������� ������ ᥯�ࠡ����
����客� ����࠭�⢠
$ E$ � $ F$ � ������ $ T:E\to F$ ⠪��, �� $ E$\, $ \alpha$-������塞�
� $ E^{**},$\, ��\-�\-�\-࠭\-�⢮ $ F$ �䫥�ᨢ��,
$ T\in \alpha$-$\operatorname{MAP},$ ��
$ T\notin \beta$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{K})$ ��
$ \beta<\alpha.$
\endproclaim\rm
\demo{������⥫��⢮}
�ਬ���� ⥮६� 1 � ����࠭��� $ G\subset l^3$
��� ᢮��⢠ $ \operatorname{CAP}$
[6], ������� $E=W_\alpha,$\, $ F=Z^{**}/Z,$\, $ T=\varphi.$
����� ��� � �� ������⥫��⢥ ᫥��⢨� 1 �� �����, ��
$ T\notin \beta$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{K})$ �� $ \beta<\alpha.$
� ��㣮� ��஭�, ����࠭�⢮ $ E=W_\alpha$ \,
$ \alpha$-�������筮 ᮯ�殮����� ����࠭��� $ Z^{**}$
� ����ᮬ; ���⮬� $ E,$ ��-�����, �������� ᢮��⢮�
$ \alpha$-$\operatorname{MAP}$
�, ��-�����, $ E$\, $ \alpha$-������塞� � ᢮�� ��஬ ᮯ�殮����
$ E^{**}$
(��᪮��� ��类� ᮯ�殮���� ����客� ����࠭�⢮ $ X^*$
1-������塞� � $ X^{**}$).
$\quad\blacksquare$\enddemo

�᫨ �ਬ����� ⥮६� 1 ��������� ��ࠧ�� � ����࠭���
$ G\subset l^1$ ��� ᢮��⢠ $ \operatorname{CAP}$\
(����� � �� ᠬ��, �� � ��� ᢮���
���பᨬ�樨 �⭮�⥫쭮 �᫮��� ᫠�� ��������� ��� ��ண� ᨭ������
�����஢), � �� ����稬

\proclaim {\bf �����⢨� 4}\it
��� ��� $\alpha\geqslant1$ �������� ᥯�ࠡ���� ����客� ����࠭�⢠
$ E$ � $ F$ � ������ $ T:E\to F$ ⠪��, �� $ E$\, $ \alpha$-������塞�
� $ E^{**},$\, $ T\in \alpha$-$\operatorname{MAP},$ ��
$ T\notin \beta$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J})$ ��
$ \beta<\alpha,$
��� $\operatorname{J}$ --- �� �� ������� ��ண� ᨭ������,
���� �᫮��� ᫠��
���������, ���� $ \operatorname{RN}^{\operatorname{dual}}$-�����஢.
\endproclaim\rm

�᫨ �� �ਬ����� ⥮६� 1 ��������� ��ࠧ�� � ����࠭���
$ G\subset c_0$ ��� ᢮��⢠ $ \operatorname{CAP}$\
(����� --- � �� ᠬ��, �� � ��� ᢮���
���பᨬ�樨 �⭮�⥫쭮 ������ ������ �����뢭�� �����஢),
� �� ����稬

\proclaim {\bf �����⢨� 5}\it
��� ��� $\alpha\geqslant1$ �������� ᥯�ࠡ���� ����客� ����࠭�⢠
$ E$ � $ F$ � ������ $ T:E\to F$ ⠪��, �� $ E$\, $ \alpha$-������塞�
� $ E^{**},$\, $ T\in \alpha$-$\operatorname{MAP},$ ��
$ T\notin \beta$-$\operatorname{MAP}( \operatorname{ C}_c)$ ��
$ \beta<\alpha,$
��� $ \operatorname{ C}_c$ --- ����� ������ �����뢭�� �����஢.
\endproclaim\rm

�������, �᫨ �� ���쬥� � ����⢥ ����࠭�⢠ $ G$
�䫥�ᨢ��� ����࠭�⢮ ��� ᢮��⢠ ���பᨬ�樨, �������饥
᢮��⢮� $ \operatorname{CAP}$ (�. [17]), � �� �������� � [10] ����稬
᫥���饥 �ᨫ���� ��襣� ᫥��⢨� 2
(���஥ ��㫨����� �⤥�쭮 � ᨫ� ⮣�, �� �� ��� ������⥫��⢥
�������⥫쭮 �ᯮ������ 䠪� ����⢮����� ����客� ����࠭�⢠
��� ᢮��⢠ $ \operatorname{AP},$ �� � ᢮��⢮� $ \operatorname{CAP};$
��������, �� � [10, ⥮६� 1] ����஥� �ਬ�� ������ ᥯�ࠡ��쭮��
����客� ����࠭�⢠ � ᢮��⢮� ���பᨬ�樨, ��� ᢮��⢠
$ \operatorname{BAP}(\operatorname{K}),$ �� ᮯ�殮��� � ���஬�,
������, �������� �����᪨�
᢮��⢮� $ \operatorname{MAP}(\operatorname{K})$).

\proclaim {\bf �����⢨� 6}\it
��� ��� $\alpha\geqslant1$
�������� ������ ᥯�ࠡ���� ����客� ����࠭�⢠
$ E$ � $ F$ � ������ $ T:E\to F$ ⠪��, �� $ E$\, $ \alpha$-������塞�
� $ E^{**},$\, ��\-�\-�\-࠭\-�⢮ $ F$ �䫥�ᨢ��,
$ T\in \alpha$-$\operatorname{MAP},$
�� $ T\notin \beta$-$\operatorname{CAP}$ ��
$ \beta<\alpha;$ �� �⮬, �� ᮯ�殮��� � $ E$ ����࠭�⢠
$ E^*, E^{**},...$ �������� ᢮��⢮�
$ \operatorname{MAP}(\operatorname{K}).$
\endproclaim\rm

\proclaim {�����⢨� {\rm 7}}\it
����� $ \operatorname{J}$ --- �������� ��ꥪ⨢��
� ���ꥪ⨢�� ����� �����஢,
ᮤ�ঠ騩�� � ������ ᫠�� ��������� �����஢.
�᫨ $\,Z\,$ --- ⠪�� ᥯�ࠡ��쭮� ����客� ����࠭�⢮, ��
$\,Z^{**}\in \operatorname{AP}\,$ �
$\,Z^{**}/\,Z\notin \operatorname{AP}(\operatorname{J}),$
� ����⢥���� �������� $\,\pi_Z: Z\to Z^{**}\,$ 䠪�ਧ���� �१
᥯�ࠡ��쭮� ����࠭�⢮ $\,X\,$ � ᢮��⢮� ���பᨬ�樨,
�� �������饥 ᢮��⢮� ��࠭�祭��� ���பᨬ�樨 �⭮�⥫쭮
$ \operatorname{J}$.
\endproclaim\rm

\demo{������⥫��⢮}
�� ������⥫��⢥ ⥮६� 1 �� 䠪�, �� �������࠭�⢮
$\,\varphi^*(F^*)\,$ ������塞� � ����࠭�⢥
$\,Z^{***},$ �ᯮ�짮����� ⮫쪮 � ����� ����, � ������,
�� ��⠭������� ᢮��⢠ 5e) (�. ����� ������⥫��⢠).
�����, �, �� � �᫮���� ⥮६� 1 ��஥ ᮯ�殮���� � $ Z$
����࠭�⢮ ����� ᢮��⢮ �����᪮� ���பᨬ�樨, �뫮 �㦭� ����
��� ����砭�� ⮣� 䠪�, �� ����砥��� ��᫥ ��७�ନ஢��
����࠭�⢮ $ W_\alpha$ �������� ᮮ⢥�����騬 ᢮��⢮� ���பᨬ�樨.
����⢥��� ����稥 � ����࠭�⢥ $ Z^{**}$ ᢮��⢠ ���பᨬ�樨
��⥭���� �뫮 �ᯮ�짮���� ���� � ����� ���� --- � ��砫�
������⥫��⢠ (��� �⬥砫���, �� ᫥�� �����஢ ⨯� ������
$ t$ �� ������⥫��⢠ ⥮६� ���४⭮ ��।�����).

���⮬� ��� ��⠫쭠� (� �᭮����) ���� ������⥫��⢠ ⥮६� ��室��
� ��ᬠ�ਢ����� ᥩ�� ���� ���樨, � ��� �⢥ত����,
�� ������, ����砥��� �� ������⥫��⢥ ⥮६� 1:
�᫨ $\,W_1, W_2, \dotso \,$ --- ����࠭�⢠, ����஥���
� �⮬ ������⥫��⢥ (��� $\,\alpha=1, 2, \dots\,$), �, �� ��।������
���� $\,|||\cdot |||_{\alpha},\,$ ��� ������� $\,\alpha=1, 2, \dotso\,$
⮦���⢥���� ����祭��
$\,i_\alpha : Z\to W_\alpha\,$ ���� ��������᪮� ��������, � ��ଠ
⮦���⢥����� �⮡ࠦ���� $\,j_\alpha: W_\alpha\to Z^{**}\,$
�� �ॢ��室�� 1.
�������
$\,X=\left(\sum_{n=1}^\infty W_n \right)_{l_1}\,$ � ��।���� �������
$\,A:Z\to X\,$ � $\,B:X\to Z^{**}\,$ ᮮ⭮襭�ﬨ
$$    \topsmash{
Az=\left\{\frac{1}{2^n}\, i_nz \right\}_{n=1}^\infty \qquad
\text{�} \qquad B\left\{w_n \right\}^\infty_{n=1} =
\sum_{n=1}^\infty j_nw_n.    }
 $$
�����
$\,\|Az\|=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\|z\|=\|z\|,$\,
$\,\|B\|\leqslant1,$\,
$\,BAz = B\left\{2^{-n}\, i_nz  \right\}$
$=\sum_{n=1}^\infty  2^{-n}j_ni_nz$ $=\pi_Zz.$
$\quad\blacksquare$ \enddemo








\medpagebreak




\Refs\nofrills{������������ ����������}

\ref \no 1  \by ������ �.�.  \pages  833-846
\paper ��᪮�쪮 ���娬 ����� ���� ����客� ����࠭�⢮
       � ᢮��⢮� ���பᨬ�樨?
\yr 1983 \vol 33  \issue ��. 6,\nofrills
\jour    ��⥬. ����⪨
\finalinfo
\endref

\ref \no 2  \by  Reinov Oleg \pages 226-233
\paper On non-nuclear operators with nuclear adjoints
\yr 1996 \vol  45\issue 2/3
\jour Estonian Acad. Sci. Phis. Math.
\finalinfo
\endref

\ref \no 3 \by Grothendieck A. \pages pp. 196 + 140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espaces nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\finalinfo
\endref

\ref  \no 4 \by Diestel J., Uhl J.J.\pages
 \paper   Vector measures
 \yr 1977\vol   15
 \jour   Math. Survey 15,   Amer. Math. Soc., Providence RI.
 \endref

\ref \no  5
\by  Lindenstrauss J., Tzafriri L.
\book Classical Banach spaces I: Sequence spaces
\bookinfo
\publ Springer-Verlag \vol \nofrills
\publaddr  Berlin -- Heldelberg -- New York
\yr   1977
\endref

\ref \no  6 \by Szankowski A.   \pages 123--130
\paper  Subspaces without approximation property
\yr 1978 \vol 30 \issue
\jour Israel J. Math.
\endref

\ref \no 7  \by  Gr{\o}nb{\ae}ck N., Willis G.A.
\pages 45--53
\paper Approximate identities in Banach algebras of
  compact operators
\yr 1993 \vol 36 \issue
\jour Canadian Math. Bul.
\finalinfo
\endref

\ref \no  8 \by Lima A., Nygaard O., Oja E.
\pages 325--348
\paper Isometric factorization of weakly compact operators
  and the approximation property
\yr 2000 \vol 119 \issue
\jour Israel J. Math.
\finalinfo
\endref

\ref \no 9 \by Figiel T., Johnson W.B.\pages 197--200
\paper  The approximation property does not imply  the bounded
   approximation property
\yr 1973\vol 41
\jour   Proc. Amer. Math. Soc.
 \finalinfo  %$MR 49 \# 5782.$
\endref

\ref \no 10  \by Casazza P.G., Jarchow H.
\pages 355--362
\paper Self-induced compactness in Banach spaces
\yr 1996 \vol 126 \issue
\jour Proceedings of the Edinburg Mathematical Society. Section A
\finalinfo
\endref

\ref \no 11 \by ��� �.
 \book ������� ������
 \yr 1982, 536 �\vol
 \publ     ��᪢�: ���
 \endref

\ref \no 12  \by Reinov O.I.  \pages 257-264
\paper A survey of some results in connection with
   Grothendieck approximation property
\yr 1984 \vol 119 \issue
\jour  Math. Nachr.
\finalinfo
\endref

 \ref \no 13 \by Lindenstrauss J.\pages  279--284
\paper  On James' paper "Separable Conjugate Spaces"
\yr 1971\vol 9
\jour Israel J. Math.
\endref

\ref  \no  14
\by  ������ �.�.
\paper ���பᨬ�樮��� ᢮��⢠ � ������� ������ �����஢
\pages 147-205
\inbook � ��. �஡����  ��⥬���᪮�� �������, ��. 23
\bookinfo
\publ  \vol
\publaddr ����ᨡ���: ���筠� �����
\yr  2001
\endref

\ref \no 15  \by �� �., ������ �.  \pages 14-17
\paper    �����ਬ�� �.��⥭����
\yr 1988 \vol 37 \issue
\jour  ������� �� ��⮭᪮� ���
\finalinfo
\endref

\ref \no 16  \by  ������ �.�. \pages   857-865
\paper   ������� ⨯� RN � ����客�� ����࠭�⢠�
\yr 1978 \vol  19\issue      4 \nofrills
\jour    ���. ��⥬. ���.
\finalinfo
\endref

\ref \no 17  \by Willis G.A. \pages  99-108
\paper The compact pproximation property does not imply
  the approximation property
\yr 1992 \vol 103 \issue
\jour Studia Math.
\finalinfo
\endref


\endRefs


\enddocument

%%%%%
%%%%%
%%%%%
