%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
\magnification=\magstep1
\parindent=1em
     \baselineskip=18pt

\hsize=16 true cm
\vsize=22 true cm
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\CenteredTagsOnSplits                        \NoBlackBoxes

\NoRunningHeads
        \topmatter
        \title {Насколько плохим может быть
  банахово пространство со свойством аппроксимации? II.
}
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов.}  \endauthor

\address
\endaddress
\email
  orein\@orein.usr.pu.ru
\endemail

\abstract\nofrills
\endabstract
    \endtopmatter

\footnotetext""{Работа выполнена при частичной поддержке
Федеральной целевой программой ``Интеграция''
(грант \No~326.53), программой "Поддержка научных школ"
(грант  00-15-96-022)
и Шведской Королевской Академии наук.}


\document

В этой работе мы предлагаем некоторое продолжение предыдущих наших
(и не только наших) исследований на тему "Насколько плохим может быть
банахово пространство со свойством аппроксимации?" (см. [1]).
Ниже приводятся обобщения ряда результатов из [1] и [2].
Поскольку обсуждение проблем, связанных с указанным вопросом,
подробно дано в статье [1], то мы сразу приступим
к изложению основного материала.

{\bf \S 1. Предварительные сведения.}
Все рассматриваемые пространства банаховы. Норма в пространстве $ X$
обозначается через $ \|\cdot\|_X$ или просто $ \|\cdot\|,$ когда не
возникает недоразумений; $ \operatorname{id}_X$ --- тождественный оператор
в $ X;$
$ \operatorname{L}(X,Y)$ --- банахово пространство всех линейных
непрерывных отображений
из $ X$ в $ Y;$ $ X^*\widehat\otimes Y$ --- проективное тензорное
произведение
пространств $ X^*$ и $ Y.$ Элементы, лежащие в образе канонического
отображения $  X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{L}(X,Y),$ называются
ядерными операторами.
Пространство $ \operatorname{N}(X,Y)$ всех ядерных операторов из $ X$ в $ Y$
с нормой, индуцированной фактор--отображением
$  X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{N}(X,Y),$
является банаховым.
Для обозначения элементов рассматриваемых пространств мы обычно используем
соответствующие маленькие буквы (с индексами или другими атрибутами, если
необходимо): $ x,x_j\in X,$\, $ y'\in Y^*$ и т. д.
Каждое банахово пространство $ X$ обычно будет рассматриваться как
(каноническое) подпространство в своем втором сопряженном, но если
возникнет необходимость отдельно сказать о естественном вложении
пространства $ X$ в $ X^{**},$ то мы используем обозначение $ \pi_X$
для этого канонического вложения.

Каждый тензорный элемент $ t\in X^*\widehat\otimes Y$
допускает (не единственное) проективное тензорное представление вида
$ t=\sum_{j=1}^{\infty} x'_j\otimes y_j,$ которое для заранее фиксированного
числа $ \varepsilon,$ $ \varepsilon>0,$ всегда может быть выбрано
таким образом, что
$ \|t\|_{X^*\widehat\otimes Y} \geqslant \sum \|x'_j\|\,\|y_j\|-\varepsilon;$
этот тензорный элемент естественным образом порождает
линейный непрерывный функционал на пространстве $ \operatorname{L}(Y,X):$
если $ U\in \operatorname{L}(Y,X),$ то
$ \langle t,U\rangle:=\operatorname{trace} U\circ t =
\operatorname{trace} t\circ U$
(в последнем равенстве следовало бы писать более точно:
$ =\operatorname{trace} t\circ U^t;$ мы будем придерживать приведенных
выше обозначений,
имея в виду, для какого--либо проективного тензорного разложения
$ t=\sum_{j=1}^{\infty} x'_j\otimes y_j$,
формулы
$ \langle t,U\rangle =\sum \langle x'_j,Uy_j\rangle=
\sum \langle U^*x'_j, y_j\rangle$;
по сказанному выше,
$ | \langle t,U\rangle|\leqslant \|U\|\,\|t\|_{X^*\widehat\otimes Y},$
причем {\it равенство, хотя бы на одном $ U,$ выполняться не обязано}\,).

Множество $ \operatorname{F}(X,Y)$
всех конечномерных операторов из $ X$ в $ Y$ мы отождествляем
с алгебраическим тензорным произведением $ X^*{\otimes}Y$
и снабжаем в этой работе нормой, индуцированной из банахова пространства
$ \operatorname{L}(X,Y);$ пополнение $ X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y$
по этой норме тензорного произведения
$ X^*{\otimes}Y$ совпадает, таким образом, с замыканием
в $ \operatorname{L}(X,Y)$ линейного подпространства всех
конечномерных операторов,
и каждый оператор из этого замыкания принято называть
аппроксимируемым.
Обозначим через $ \operatorname{K}(X,Y)$ пространство всех компактных
(в старой
терминологии, "вполне непрерывных") операторов из $ X$ в $ Y.$
Как известно, $ X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y\subset K(X,Y),$
причем обратное включение,
вообще говоря, не верно:
для фиксированного пространства $ Y$
равенство $ X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y= K(X,Y)$
(для любого банахова пространства
$ X$) имеет место тогда и только тогда, когда пространство $ Y$
обладает свойством аппроксимации Гротендика
(см. [3]; там же доказано и сформулированное только что утверждение;
более простое доказательство можно найти, например, в [4], либо [5]),
т.е. свойством $\operatorname{AP}(\operatorname{F}),$ ---
свойством аппроксимации относительно идеала всех конечномерных операторов.
Приведем используемые нами определения этого и более общих
аппроксимационных свойств (отметим, что понятие свойства компактной
аппроксимации впервые, видимо, появилось в работе [6]; тогда как
общее определение свойств $ \operatorname{AP}(\operatorname{J}),$\,
$ \operatorname{MAP}(J),\dots$
и первые нетривиальные результаты, связанные с ним, приведены  впервые
в работе автора [1]; через 10 лет после статьи автора появилась работа
[7], в которой, в частности, рассматривалось свойство аппроксимации
относительно идеала слабо компактных операторов; затем подобные свойства
исследовались, например, в [8]).

Пусть $ \operatorname{J}(X,Y)$ --- линейное подпространство в
$ \operatorname{L}(X,Y),$\,
$ 1\leqslant \lambda\leqslant +\infty.$

Напомним [1], что банахово пространство $ Y$ обладает свойством
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),$
($ \lambda$-метрической аппроксимации относительно $ \operatorname{J}$),
если для всякого компакта $ K\subset Y$ и любого $ \varepsilon>0$
существует оператор
$ R\in\operatorname{J}(Y,Y)$ такой, что $ \|R\|\leqslant \lambda$ и
$ \sup_K \|Ry-y\|<\varepsilon.$
Мы условимся писать $ Y\in\lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),$
если $ Y$ обладает свойством
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}).$ Если $ \lambda<+\infty$
и $ Y\in\lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),$ то
$ Y$ обладает свойством $ \operatorname{BAP}(\operatorname{J}).$
Если $ Y\in+\infty$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),$
то $ Y$ обладает свойством $ \operatorname{AP}(\operatorname{J}).$

Ниже мы, в основном, в качестве $ \operatorname{J}$\,
будем рассматривать замкнутые
операторные идеалы в банаховых пространствах (напомним, что операторный
идеал $\operatorname{J}$ называется замкнутым, если для любой пары банаховых
пространств $ X,Y$ линейное пространство $ \operatorname{J}(X,Y)$
является замкнутым
подпространством пространства $ \operatorname{L}(X,Y);$
норма в замкнутом идеале
индуцируется обычно из $\operatorname{L},$ и так будет всюду в этой работе).

В случае $ \operatorname{J}=\operatorname{K}$ мы получаем различные
свойства компактной аппроксимации
$ \operatorname{CAP},$\, $ C$-$ \operatorname{ MCAP},\dots$\, [5], [6], [1];
для $ \operatorname{J}=\operatorname{F}$ ---
соответствующие гротендиковские аппроксимационные
условия [3].

Впервые тот факт, что свойства $ \operatorname{AP}(\operatorname{F})$
и $ \operatorname{BAP}(\operatorname{F})$
не равносильны между собой, установили Т. Фигель и У. Б. Джонсон [9];
неравносильность свойств $ \operatorname{AP}(\operatorname{J})$
и $ \operatorname{BAP}(\operatorname{J})$
для ряда других операторных идеалов $ \operatorname{J},$
таких как, например, идеалы компактных и слабо компактных операторов,
впервые получена в работе автора [1] (позже, в 1996 г.,
появилась статья [10], в которой ее авторы, не зная о результатах
работы [1], передоказали соответствующую теорему из [1]
об идеале компактных операторов, получив несколько более сильный результат,
о чем будет еще сказано ниже).

Удобные характеристики рассматриваемых аппроксимационных свойств
в терминах функционалов на некоторых операторных пространствах дает

\proclaim {\bf Лемма 1 [1]}\it
Пусть $ 1\leqslant \lambda<\infty$ и
$ j:\, Y^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{J}(Y,Y)^*$ ---
естественное отображение
{\rm (пространство $ \operatorname{J}(Y,Y)$
снабжено обычной операторной нормой)}.
Если $ \operatorname{J}$ --- операторный идеал, то
пространство $ Y$ обладает свойством
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J})$ тогда и только тогда,
когда $ \|j^{-1}\|\leqslant\lambda.$
Таким образом,
$$ Y\in\lambda\text{-}\operatorname{MAP}(\operatorname{J})\
  \iff \ \lambda^{-1}\|z\|_{Y^*\widehat\otimes Y}
\leqslant \|j(z)\|_{\operatorname{J}(Y,Y)^*} \leqslant
  \|z\|_{Y^*\widehat\otimes Y} \quad \forall\,z\in
Y^*\widehat\otimes Y
$$
т.е. $ j$ является $ \lambda$-изометрическим вложением.
Это равносильно также тому, что для каждого банахова пространства $X$
естественное отображение $ X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{J}(X,Y)^*$
есть $ \lambda$-изометрическое вложение.
 \endproclaim\rm

В случае $ \lambda=+\infty$ имеет место

\proclaim {\bf Лемма 2 [1]}\it
Эквивалентны утверждения:

$ 1)$ $ Y\notin \operatorname{AP}(\operatorname{J});$

$ 2)$ $ \exists\, z\in Y^*\widehat\otimes Y:\ \operatorname{trace} z=1,\,
\operatorname{trace} z\circ \Phi=0\
\forall\, \Phi\in\operatorname{J}(Y,Y);
$

$ 3)$ естественное отображение
$ j: Y^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{J}(Y,Y)^*$
не взаимно однозначно.

Все это равносильно также тому, что для каждого банахова пространства $X$
естественное отображение $ X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{J}(X,Y)^*$
инъективно.

\endproclaim\rm

Для наших целей важно знать сопряженное пространство к пространствам
вида $ \operatorname{J}(X,Y)$ в одном частном случае,
который мы сейчас и рассмотрим.
Именно, А. Гротендик [3] ввел в рассмотрение так называемые
интегральные операторы в нормированных пространствах
(мы будем о них говорить, как об интегральных
по Гротендику операторах) и связал с пространствами своих интегральных
операторов сопряженные пространства к пространствах конечномерных
непрерывных линейных отображений.
Оператор $ T:X\to Y$ есть интегральный оператор
(в смысле А. Гротендика), если суперпозиция $ \pi_YT:X\to Y\to Y^{**}$
допускает факторизацию вида
$$
\CD
X         @>A>>  C(K)  @>j>>   L_1(K,\mu)  @>B>>   Y^{**} \\
\endCD,
$$
где $ K$ --- некоторый компакт, $ \mu$ --- вероятностная мера Радона на нем,
$ j$ --- оператор "тождественного вложения" и $ A, B$ ---
непрерывные операторы. Норма в пространстве
$\operatorname{I}(X,Y)$  вводится следующим образом:
$$ i(T)=\inf \,\|A\|\,\|B\|.
$$
Каждый ядерный оператор $T:X\to Y$ является интегральным, причем
$ \|T\|_{\operatorname{I}(X,Y	)}\leqslant \|T\|_{\operatorname{N}(X,Y)}.$

Банахово пространство, сопряженное к пространству
$ X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y,$
канонически отождествляется с пространством $ \operatorname{I}(Y,X^{**}):$
для любых операторов $ U\in X^*\widehat{\widehat{\otimes}}Y$
и $ T\in\operatorname{I}(Y,X^{**})$
вполне корректно определен след $ \operatorname{trace} TU$
(суперпозиция $ TU$ однозначно
определяет тензор из пространства $ X^*\widehat\otimes X^{**}$), причем
$ |\operatorname{trace} UT|\leqslant
 \|U\|\, \|T\|_{\operatorname{I}(Y,X^{**})}.$
Если $ \operatorname{J}$ --- какой-либо замкнутый идеал операторов,
то необходимо
$ \operatorname{F}\subset \operatorname{J}$ и, следовательно,
$ \|\cdot\|_{\operatorname{I}}\leqslant \|\cdot\|_{\operatorname{J}^*}.$

Пусть $ T\in\operatorname{L}(X,Y).$ Напомним, что
$ T$ --- строго сингулярный
оператор, если ни на каком бесконечномерном подпространстве в $ X$
он не действует как изоморфизм;
$ T$ --- вполне непрерывный оператор, если слабо сходящиеся
последовательности он переводит в сильно сходящиеся, или, что
равносильно (см. [11]), если он переводит слабо фундаментальные
последовательности в сходящиеся по норме;
$ T$ --- условно слабо компактный, если для каждой ограниченной
последовательности $ \{ x_n\}\subset X$ из $ \{ Tx_n\}$ можно извлечь
слабо фундаментальную подпоследовательность;
$ T\in \operatorname{RN}^{\operatorname{dual}},$
если $ T^*\in \operatorname{RN},$ т.е. $ T^*$ переводит
векторные меры $ m$ ограниченной вариации в меры, представимые интегралом
Бохнера по $ \operatorname{Var}(m)$.
Определения инъективных и сюръективных операторных идеалов см. в [11]
(отметим лишь, что примерами одновременно инъективных и
сюръективных операторных идеалов могут служить идеалы
компактных и слабо компактных операторов).
Мы говорим, что банахово пространство $ X$ вполне сепарабельно, если
как оно, так и все его сопряженные пространства сепарабельны.

Применим использованные нами методы из статей [1] и [2]
(лифтинга и перенормировок) к исследованию свойства компактной
аппроксимации и, более того, к исследованию свойств
аппроксимации относительно произвольного операторного идеала
в банаховых пространствах [1],
а также для доказательства некоторых результатов,
анонсированных в
[12] --- теорема 1.3 и теорема 1.4
(доказательства этих теорем так и не были опубликованы ранее;
отметим, что в то время мы намеревались привести совершенно
другие доказательства этих фактов).



Напомним одно из центральных утверждений из [13]:

\proclaim {\bf Лемма 3 {\rm ([13], следствие 1)}}\it
Для всякого сепарабельного банахова пространства $ G$
существуют сепарабельное банахово пространство $ Z$ с базисом
и линейный гомоморфизм $ \varphi: Z^{**}\to G$ такие, что
$ Z^{**}$ имеет базис $($и, следовательно, се\-па\-ра\-бель\-но$),$
подпространство $ \varphi^*G^*$ дополняемо в $ Z^{***}$
и ядро гомоморфизма $ \varphi$  есть $ \pi_ZZ.$
\endproclaim\rm


{\bf \S 2. Основная теорема и следствия}

Вот наш центральный результат.

\proclaim {\bf Теорема 1}\it
Пусть $ \operatorname{J}$ ---
какой-либо замкнутый инъективный и сюръективный идеал операторов,
содержащийся в идеале слабо компактных операторов.
Пусть, далее, сепарабельное банахово пространство $ G$
не обладает свойством
$ \operatorname{AP}(\operatorname{J})$ и $ Z,\varphi$ --- из леммы 3,
так что, в частности,

$ 1)$\, $ Z^{**}$ имеет базис;
$ Z^{**}/Z\cong G$ и
$ Z^{***}\cong \varphi^*G	^*\oplus \pi_ZZ$ (следовательно,
пространство $Z$ вполне сепарабельно, если $ G$ таково).

Для всякого $\varepsilon>0$ существует
оператор $ t_1\in\operatorname{L}(Z^{**}/Z, Z)$ такой, что

$ 2.0)$\, оператор $ t_1: Z^{**}/Z\to Z^{**}$ --- ядерный;

$ 2.1)$\, $ t_1(Z^{**}/Z)\subset Z$ и оператор $ t_1$,
рассматриваемый как отображение
из $ Z^{**}/Z$ в $ Z(=\pi_ZZ),$ не является ядерным;

$ 3)$\, $ \operatorname{trace} \varphi\circ t_1=1;$

$ 4)$\, для любого $ \alpha\geqslant 1$ существует эквивалентная норма
$ |||\cdot|||_{\alpha}$ на $ Z^{**}$
(не зависящая от $ \varepsilon$),
с которой пространство
$ W_\alpha:=(Z^{**}, |||\cdot|||_\alpha)$
обладает свойствами:
\newline\phantom{444} {\rm a)}\,
$ W_\alpha\in \alpha$-$\operatorname{MAP};$\
$\,W_\alpha\notin\beta\,$-$\,\operatorname{MAP}(\operatorname{J}),\
 \forall \beta < \alpha\,$;
\newline\phantom{444} {\rm b)}\,
 $\|\varphi\|_{\operatorname{L}(W_{\alpha},Z^{**}/Z)}\leqslant 1/\alpha;$
\newline\phantom{444} {\rm c)}\,
 $ \|t_1\|_{\operatorname{N} \left( Z^{**}/Z,W_\alpha\right)}
  \geqslant\alpha;$
\newline\phantom{444} {\rm d)}\,
 $ |\operatorname{trace} U\circ t_1|\leqslant \|U\|(1+\varepsilon)$
для каждого
 $ U\in\operatorname{J}(W_\alpha,Z^{**}/Z);$ таким образом,
$ t_1\in\operatorname{J}(W_\alpha,Z^{**}/Z)^*,$
причем в этом сопряженном пространстве $ \|t_1\|\leqslant1+\varepsilon;$
тем  более
 $ \|t_1\|_{\operatorname{I}  \left( Z^{**}/Z,W_\alpha\right)}\leqslant
 1+\varepsilon;$

$ 5)$\, если $ t:=t_1\circ \varphi\in Z^{***}\widehat\otimes Z^{**},$
$ W:=Z^{**}$
и $ W_\alpha$ --- пространство их $4)$, то
\newline\phantom{444} {\rm a)}
$ \operatorname{trace}\, t=1\,$,
\newline\phantom{444} {\rm b)}
$ 1/ \alpha \leqslant \|\,t\,\|_{\operatorname{I}
 \left(W_\alpha,W_\alpha \right)}
 \leqslant   \|\,t\,\|_{\operatorname{J}^*\left(W_\alpha,W_\alpha \right)}
  \leqslant (1+\varepsilon)\, 1/ \alpha, $
\newline\phantom{444} {\rm c)}
$\,1 \,\leqslant\, \|\,t\,\|_{\,\operatorname{N}
 \left(W_\alpha,W_\alpha \right)}
\,\leqslant \,(1+\varepsilon),\ $
\newline\phantom{444} {\rm d)}
$\,\|\,t\,\|_{\,\operatorname{I}\left(W,W_\alpha \right)}
  \leqslant  \|\,t\,\|_{\,\operatorname{J}^*\left(W,W_\alpha \right)}
\,\leqslant \,1+\varepsilon, $
\newline\phantom{444} {\rm e)}~
$ \|\,t\,\|_{\operatorname{N}\left(W,W_\alpha \right)}
\ge c\,\alpha \ \,
$ для некоторой абсолютной постоянной $\,c>0.\,$
\endproclaim\rm

\demo{Доказательство}
Оно будет представлять из себя некоторую комбинацию методов,
примененных в работах [9], [1], [14] ("метод перенормировок") и
в [15], [14] ("метод лифтинга").

Итак, пусть $ Z$ --- банахово пространство Линденштраусса,
построенное согласно лемме 3 по пространству $ G,$
так что пространство $ F:=Z^{**}/Z$ не обладает свойством
$ \operatorname{AP}(\operatorname{J}).$
Для произвольного фиксированного $ \varepsilon>0,$
используя лифтинг из $ F$ в $ Z^{**},$
мы можем найти тензорный элемент $ t_1\in F^*\widehat\otimes Z^{**}$
с тем свойством, что $ \operatorname{trace} (U\varphi)\circ t_1=0$
для любого $ J$-оператора $ U:F\to F$ и
$$ (\star)\qquad t_1(F)\subset \pi_ZZ,\
       \operatorname{trace} \varphi\circ t_1=1\geqslant (
         1+\varepsilon)^{-1/3}
  \|\varphi\circ t_1\|_{F^*\widehat\otimes F}\geqslant
         (1+\varepsilon)^{-1}\,\|t_1\|_{F^*\widehat\otimes Z^{**}}
$$
(в частности, тензорный элемент
$ \varphi\circ t_1,$ где $ \varphi: Z^{**}\to F$ ---
фактор отображение, порождает нулевой оператор).

Более подробно: пусть $ t_0\in F^*\widehat\otimes F$ --- такой
тензор
$$ t_0=\sum_{j=1}^{\infty} f'_j\otimes f_j,
$$
что $ \operatorname{trace} t_0=1\geqslant (1+\varepsilon)^{-1/3}
 \|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F},$\,
$ \sum_j \|f'_j\|\,\|f_j\|\leqslant (1+\varepsilon)^{1/3}\,
 \|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F} $
и $ \operatorname{trace} U\circ t_0=\sum_{j} \langle f'_j, Uf_j\rangle =0$
для каждого
$ J$-оператора $ U\in\operatorname{L}(F,F)$ (лемма 2).
Поскольку $ \varphi$ есть факторотображение и, в частности, переводит
единичный шар из $ Z^{**}$ на единичный шар пространства $ F,$
то найдется последовательность $ \{ z''_j\}\in Z^{**}$ такая, что
$ \|z''_j\|\leqslant(1+\varepsilon)^{1/3}\,\|f_j\|$
и $ \varphi(z''_j)=f_j$
для всех $ j=1,2,\dots.$
Положим $ t_1:= \sum_j f'_j\otimes z''_j\in F^*\widehat\otimes Z^{**}.$
Так как в $ Z^{**}$ имеется свойство аппроксимации, то след
тензорного элемента $ t:=t_1\circ \varphi\in Z^{***}\widehat\otimes Z^{**}$
(отождествимого в данном случае с соответствующим
оператором) корректно определен и равен
$$  \multline
 \operatorname{trace} t_1\circ \varphi =
 \sum_{j=1}^{\infty}
   \langle\varphi^* f'_j, z''_j\rangle=
   \sum_{j=1}^{\infty}
   \langle f'_j, \varphi z''_j\rangle
 =  \sum_{j=1}^{\infty} \langle f'_j, f_j\rangle=
		  \operatorname{trace} t_0=1.
\endmultline
$$
Поэтому также $\operatorname{trace} \varphi\circ t_1= 1.$
С другой стороны,
$ \widetilde{U\circ t_0}=0$ для любого %компактного
$ U\in\operatorname{J}(F,F),$
так как $ \operatorname{trace} (VU)\circ t_0=0$ для всех %непрерывного
$ V\in\operatorname{L}(F,F)$
и
$ U\in\operatorname{J}(F,F).$ Следовательно, для таких $ U$
имеет место равенство $ \widetilde{(U\varphi)\circ t_1}=0,$
что, вместе с предыдущим,
дает соотношения из $ (\star):$
$$ \multline
 \|t_1\|_{F^*\widehat\otimes Z^{**}} = \left\|
   \sum_{j=1}^{\infty} f'_j\otimes z''_j  \right\|\leqslant \\ \leqslant
   (1+\varepsilon)^{1/3} \sum_{j=1}^{\infty} \|f'_j\|\,\|f_j\| \leqslant
   (1+\varepsilon)^{2/3}\, \|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F} =
     (1+\varepsilon)^{2/3}\,  \|\varphi\circ t_1\|_{F^*\widehat\otimes F}
  \leqslant  1+\varepsilon.
\endmultline
$$

Мы покажем, что пространство $Z$ и тензорный элемент $ t_1$
удовлетворяют всем условиям теоремы.

Так как $ 1=\operatorname{trace} \varphi\circ t_1=
 \operatorname{trace} t_1\circ \varphi\leqslant
\|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F}\leqslant 1+\varepsilon,$
то мы получаем, что $ 1=\operatorname{trace} t_0\leqslant
 \|t_0\|_{F^*\widehat\otimes F}\leqslant1+\varepsilon.$

Для произвольного фиксированного числа $ \alpha\geqslant1$
мы определим эквивалентную
норму на $ Z^{**}$ следующим образом:
$ |||z''|||=|||z''|||_\alpha=
  \max \left\{ \|z''\|;\, \alpha d(z'', \pi_ZZ)\right\},$
где $ d(z'',\pi_ZZ)=\inf_{z\in Z}\|z''-\pi_Zz\|. $ Положим
$ W_\alpha= \left( Z^{**}, |||\cdot|||\right)$
(ниже мы часто будем отождествлять $ W_{\alpha}$ и $ Z^{**}$
как линейные пространства).

Так как $ \|z''\|\leqslant |||z''|||\leqslant \alpha||z''||,$
то для тождественного
отображения $ j=j_\alpha: W_\alpha\to Z^{**}$ имеем:
$ \|j\|\leqslant1$ и $ \|j^{-1}\|\leqslant\alpha.$ Пространство $ Z^{**}$
обладает свойством метрической аппроксимации $ \operatorname{MAP},$ поэтому
$ W_\alpha\in \alpha$-$\operatorname{MAP}.$ Для упрощения дальнейшего чтения,
удобно иметь
перед глазами следующую диаграмму:
$$
\gather
W_\alpha
   @>{\ \,}j\ >>  Z^{**} @>\ \,t\ \,>>
                        \pi_ZZ\subset Z^{**}   @>j^{-1}>>  W_\alpha
                                              @>\ R\ >>  W_\alpha \\
\searrow \!  \overset {\varphi}\to{ }  \,\  \nearrow \!\overset {t_1}\to{ }
       \phantom{vvvvvvvvvvvv}     \\
F \phantom{vvvvvvvvvvvvvv}
\endgather  $$
Если $\, z''\in Z^{**},\, $ то
$\,\|\varphi (z'')\|= d(z'',Z)\leqslant \alpha^{-1}\,
|||\,z''\,|||,$\ т.е. $ \, \|\varphi\|_{\operatorname{L}(W_\alpha,F)}$
$ \leqslant 1/\alpha,\,$ что доказывает $ 4b).$
Следовательно,
$$\multline
\|\,t\,\|_{\operatorname{N}(W_\alpha,W_\alpha)}=
 \|j^{-1}\circ t_1\circ \varphi\|
_{\operatorname{N}(W_\alpha,W_\alpha)} \leqslant \\
\|j^{-1}\|\,\|t_1\|_{\operatorname{N}(F,Z^{**})}\ \|\,\varphi\,\|_
  {\operatorname{L}(W_\alpha,F)}
\leqslant 1+\varepsilon.
\endmultline
$$
С другой стороны, $\,\|t\|_{\operatorname{N}(W_\alpha,W_\alpha)} \ge
\operatorname{trace}\,t=1.\,$
Это доказывает выполнение условия 5c).

Для доказательства утверждения 5b) рассмотрим
$ \operatorname{J}$-оператор
$ R\in \operatorname{J}(W_\alpha,W_\alpha),$\linebreak
$\,|||R||| \leqslant 1.\,$
Так как
$\,t_1(F)\subset \pi_ZZ\,$ и $\,|||\cdot|||=||\cdot||\,$ на $\,\pi_ZZ,\,$
то мы получаем
$$
\multline
 |\operatorname{trace}\,R\circ t|=
           |\operatorname{trace}\, R\circ t_1\circ \varphi|
 \leqslant ||R\pi_Z\|_{\operatorname{L}(Z,W_\alpha)}\
   \|t_1\circ\varphi\|_{ \operatorname{J}^*(\pi_ZZ,W_\alpha)} \\ \leqslant
 \alpha^{-1}\,\|t_1\|_{\operatorname{J}^*(\pi_ZZ,F)}\leqslant
 \alpha^{-1}\,\|t_1\|_{F^*\widehat \otimes Z^{**}}\leqslant
 \alpha^{-1}\,(1+\varepsilon).
\endmultline
$$
Следовательно,
$\,\|\,t\,\|_{\operatorname{J}^*(W_\alpha,W_\alpha)}\leqslant
 \alpha^{-1}(1+\varepsilon).\,$
Далее,
$$ \multline
1\leqslant \|\,t\,\|_{\operatorname{N}(Z^{**},Z^{**})}=\|\,t\,\|_
{\operatorname{I}(Z^{**},Z^{**})} \\ \leqslant
\|\,j\,\|_{\operatorname{L}(W_\alpha,Z^{**})}\
\|\,t\,\|_{\operatorname{I}(W_\alpha,W_\alpha)}\ \|j^{-1}\|_{
\operatorname{L}(Z^{**},W_\alpha)}\leqslant\alpha\,
  \|\,t\,\|_{\operatorname{I}(W_\alpha,W_\alpha)}
\endmultline $$
(первое равенство в этих соотношениях вытекает из того факта, что
$ Z^{**}\in \operatorname{ MAP}$).
Это доказывает 5b).

Для доказательства 5d)\, заметим, что если
$ R\in \operatorname{J}(W_{\alpha},Z^{**})$
--- произвольный оператор единичной нормы, то
так же, как и выше, мы получаем
$$
\multline
 |\operatorname{trace}\,R\circ t|
 \leqslant ||R\pi_Z\|_{\operatorname{J}(Z,Z^{**})}\ \|t_1\circ\varphi\|_{
 \operatorname{J}^*(\pi_ZZ, Z^{**})} \\ \leqslant
 \,\|t_1\|_{\operatorname{J}^*(\pi_ZZ,F)}\ \|\,
         \varphi\,\|_{\operatorname{L}(Z^{**},F)}
 \leqslant\|t_1\|_{F^*\widehat \otimes Z^{**}}\leqslant (1+\varepsilon).
\endmultline
$$
Теперь докажем 5e) и 4c).
Поскольку
$\,\|\,\varphi\,\|_{\operatorname{L}(W_\alpha,F)}\leqslant 1/\alpha\,$ то
	$$ \|t_1\|_{\operatorname{N}(F,W_\alpha)} \equiv
	\|j^{-1}t_1\|_{\operatorname{N}(F,W_\alpha)}\ge
	\alpha\,|\operatorname{trace}\, \varphi\circ j^{-1}\circ t_1|=
        \alpha\,|\operatorname{trace}\, \varphi\circ t_1|=\alpha.
	$$
Отметим, что так как подпространство
$\,\varphi^*(F^*)\,$ дополняемо в пространстве
$\,Z^{***},$ то естественное отображение
$\,F^*\widehat \otimes W_\alpha\to Z^{***}\widehat \otimes W_\alpha\,$
индуцированное оператором $\,\varphi^*\,$ есть изоморфное вложение; так что
$\,\|\,t\,\|_{\operatorname{N}(Z^{**},W_\alpha)}\ge c\alpha.\,$

Нам осталось лишь показать, что для полученных объектов
верно утверждение 4d) (в силу произвольности числа $ \varepsilon$
и соответствующего выбора элемента $ t_1,$
из 4d), 4c) и леммы 1 вытекает второе утверждение в 4a)).

Пусть $ U$ ---
$ \operatorname{J}$-оператор из $ W_\alpha$ в $ F=Z^{**}/Z.$
Так как тождественное вложение $ i:Z\to W_\alpha=(Z^{**},|||\cdot|||_\alpha)$
изометрично, то $ \|Ui\|\leqslant\|U\|.$ Положим
$ S=U-(Ui)^{**}j,$ где $ j:W_\alpha\to Z^{**}$ --- тождественное отображение.
Так как оператор $ U$ слабо компактен, то $ (Ui)^{**}j\subset F.$
Поэтому (в силу инъективности идеала $ \operatorname{J}$)
$ S$ --- $ \operatorname{J}$-оператор из $ W_\alpha$ в $ F$
и $ S|_{i(Z)}\equiv0.$
Следовательно (в силу сюръективности идеала $ \operatorname{ J}$),
$ S$ индуцирует
$ \operatorname{J}$-оператор $ S_1:F\to F,$\,
$S=S_1\varphi j,$ причем
$ \operatorname{trace} S_1\circ (\varphi\circ t_1)=
 \operatorname{trace} S\circ t_1.$
Поскольку $ \varphi \circ t_1$ обращается в нуль на
$ \operatorname{J}$-операторах из $ F$ в $ F,$
то $ \operatorname{trace} S_1\circ (\varphi\circ t_1)=0$ и, следовательно,
$ \operatorname{trace} \left( (Ui)^{**}j\right)\circ t_1=
 \operatorname{trace} U\circ t_1.$
Далее,
$$ |\operatorname{trace} (Ui)^{**}j\circ t_1|\leqslant
\|(Ui)^{**}\|\,\|j\circ t_1\|_{ \operatorname{ N}(F,Z^{**})}
 \leqslant (1+\varepsilon)\, \|U\|.
$$
Следовательно,
$ |\operatorname{trace} U\circ t_1|\leqslant (1+\varepsilon)\,\|U\|.$
$\quad\blacksquare$\enddemo


Действуя также как в конце работы [1],
мы из теоремы 1 получаем следующие дополнения
к основным результатам работы [1] (см. теоремы 2.3 и 2.4 в [1]).
Отметим, что мы здесь впервые приводим обещанное в [12]
доказательство анонсированной там теоремы 1.4 (это часть нашего
следствия 2 ниже).

\proclaim {\bf Следствие 1}\it
Существуют сепарабельные банаховы пространства $E$ и $F$ и оператор
$U$ из $E$ в $F$ такие, что

$(i)$\, $ E^*$ сепарабельно и $F\subset c_0$
 $($таким образом, $U^*\in\operatorname{RN}(E,F))$;

$(ii)$\, $E$ имеет свойство аппроксимации;

$(iii)$\, каково бы не было положительное число $C,$ оператор $U$
не может быть аппроксимирован в топологии $\tau_c$ компактной сходимости
вполне непрерывными операторами с нормами не больше, чем $C.$
\endproclaim\rm
\demo{Доказательство}
Применим теорему 1 к случаю, когда $ G$ --- подпространство в $ c_0$
без $ \operatorname{CAP}.$ Пусть $ \{ U_\beta\}$ ---
ограниченная сеть компактных
операторов из $ W_\alpha$ в $ F=Z^{**}/Z,$ сходящаяся поточечно
к $ \Psi:=\alpha\,\varphi.$ Тогда
$ \operatorname{trace} U_\beta\circ t_1\to
 \operatorname{trace}\Psi\circ t_1=\alpha$ и
$ \alpha=\lim_\beta |\operatorname{trace} U_\beta\circ t_1|\leqslant
 \overline{\lim_\beta} \|U_\beta\|.$
Поэтому оператор $ \Psi$ не принадлежит замыканию в $ \tau_c$
множества компактных операторов, нормы которых $ <\alpha,$
тогда как $ \|\Psi\|\leqslant1.$ Остается заметить, что если $ U$ ---
вполне непрерывный оператор, то $ U$ компактен,
так как пространство $ F\cong G\subset с_0$ почти рефлексивно
(тождественный оператор в нем условно слабо компактен).
$\quad\blacksquare$\enddemo


\proclaim {\bf Следствие 2}\it
Существуют сепарабельные банаховы пространства $E$ и $F$ и оператор
$U$ из $E$ в $F$ такие, что

$(i)$\, $F\subset l^1$
 $($таким образом, $U\in\operatorname{RN}(E,F))$;

$(ii)$\, $E$ имеет свойство аппроксимации;

$(iii)$\, каково бы не было положительное число $C,$ оператор $U$
не может быть аппроксимирован в топологии $\tau_c$ компактной сходимости
операторами с нормами не больше, чем $C,$ и такими, что либо

a)\ они являются строго сингулярными, либо

b)\ они являются условно слабо компактными, либо

c)\ сопряженные к ним являются операторами Радона-Никодима.
\endproclaim\rm
\demo{Доказательство}
Применим теорему 1 к случаю, когда $ G$ --- подпространство в $ l^1$
без $ \operatorname{CAP}.$ Пусть $ \{ U_\beta\}$ ---
ограниченная сеть компактных
операторов из $ W_\alpha$ в $ F=Z^{**}/Z,$ сходящаяся поточечно
к $ \Psi:=\alpha\,\varphi.$ Тогда
$ \operatorname{trace} U_\beta\circ t_1\to
 \operatorname{trace}\Psi\circ t_1=\alpha$ и
$ \alpha=\lim_\beta |\operatorname{trace} U_\beta\circ t_1|\leqslant
 \overline{\lim_\beta} \|U_\beta\|.$
Поэтому оператор $ \Psi$ не принадлежит замыканию в $ \tau_c$
множества компактных операторов, нормы которых $ <\alpha,$
тогда как $ \|\Psi\|\leqslant1.$ Остается заметить, что если $ U$ ---
строго сингулярный (либо условно слабо компактный, либо
лежащий в $ \operatorname{RN}^{\operatorname{dual}}$) оператор,
то $ U$ компактен по теореме Розенталя,
так как $ F\cong G\subset l^1$ и обладает свойством Шура.
$\quad\blacksquare$\enddemo

Отметим также следующие утверждения, показывающее, что аппроксимационная
оценка в теореме 4 [16] точна даже в случае, если в этом утверждении
заменить аппроксимацию конечномерными операторами на аппроксимации
операторами из более широких классов
(эта теорема утверждает, что при некоторых
ограничениях на операторы $ U:X\to Y,$\, $ V:Y\to Z$
суперпозиция $ VU$ аппроксимируется в топологии $ \tau_c$
компактной сходимости конечномерными операторами
с нормами $ \leqslant \|VU\|\,\|P\|,$ где $P$ --- проектор из $ X^{**}$
на $X$; а именно, от операторов достаточно требовать, например,
чтобы выполнялись включения
$ U\in\operatorname{RN}$ и $ V\in \operatorname{AP}$).

Перед тем как сформулировать интересующие нас факты, удобно
ввести некоторые новые определения и обозначения.
Пусть $ \operatorname{I}(X,Y)$ ---
линейное подпространство в $ \operatorname{L}(X,Y),$\,
$ 1\leqslant \lambda\leqslant +\infty.$

\definition {\bf Определение} Оператор $ T\in\operatorname{L}(X,Y)$
обладает свойством
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}),$ ({\it
$ \lambda$-метри\-чес\-кой аппроксимации относительно\/} $ \operatorname{I}$),
если для всякого компакта $ K\subset Y$ и
любого $ \varepsilon>0$ существует оператор
$ R\in\operatorname{I}(X,Y)$ такой, что $ \|R\|\leqslant \lambda$
и $ \sup_K \|Ry-y\|<\varepsilon.$
Мы условимся писать $ T\in\lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}),$
если $ T$ обладает свойством
$ \lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}).$ Если $ \lambda<+\infty$
и $ T\in\lambda$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}),$ то
$ T$ обладает свойством $ \operatorname{BAP}(\operatorname{I}).$
Если $ T\in+\infty$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{I}),$
то $ T$ обладает свойством $ \operatorname{AP}(\operatorname{I}).$
\enddefinition

\proclaim {\bf Следствие 3}\it
Для любого $\alpha\geqslant1$ существуют вполне сепарабельные
банаховы пространства
$ E$ и $ F$ и оператор $ T:E\to F$ такие, что $ E$\, $ \alpha$-дополняемо
в $ E^{**},$\, про\-с\-т\-ран\-ство $ F$ рефлексивно,
$ T\in \alpha$-$\operatorname{MAP},$ но
$ T\notin \beta$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{K})$ при
$ \beta<\alpha.$
\endproclaim\rm
\demo{Доказательство}
Применив теорему 1 к пространству $ G\subset l^3$
без свойства $ \operatorname{CAP}$
[6], положим $E=W_\alpha,$\, $ F=Z^{**}/Z,$\, $ T=\varphi.$
Также как и при доказательстве следствия 1 мы видим, что
$ T\notin \beta$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{K})$ при $ \beta<\alpha.$
С другой стороны, пространство $ E=W_\alpha$ \,
$ \alpha$-изометрично сопряженному пространству $ Z^{**}$
с базисом; поэтому $ E,$ во-первых, обладает свойством
$ \alpha$-$\operatorname{MAP}$
и, во-вторых, $ E$\, $ \alpha$-дополняемо в своем втором сопряженном
$ E^{**}$
(поскольку всякое сопряженное банахово пространство $ X^*$
1-дополняемо в $ X^{**}$).
$\quad\blacksquare$\enddemo

Если применить теорему 1 аналогичным образом к пространству
$ G\subset l^1$ без свойства $ \operatorname{CAP}$\
(здесь то же самое, что и без свойств
аппроксимации относительно условно слабо компактных или строго сингулярных
операторов), то мы получим

\proclaim {\bf Следствие 4}\it
Для любого $\alpha\geqslant1$ существуют сепарабельные банаховы пространства
$ E$ и $ F$ и оператор $ T:E\to F$ такие, что $ E$\, $ \alpha$-дополняемо
в $ E^{**},$\, $ T\in \alpha$-$\operatorname{MAP},$ но
$ T\notin \beta$-$\operatorname{MAP}(\operatorname{J})$ при
$ \beta<\alpha,$
где $\operatorname{J}$ --- любой из идеалов строго сингулярных,
либо условно слабо
компактных, либо $ \operatorname{RN}^{\operatorname{dual}}$-операторов.
\endproclaim\rm

Если же применить теорему 1 аналогичным образом к пространству
$ G\subset c_0$ без свойства $ \operatorname{CAP}$\
(здесь --- то же самое, что и без свойств
аппроксимации относительно идеала вполне непрерывных операторов),
то мы получим

\proclaim {\bf Следствие 5}\it
Для любого $\alpha\geqslant1$ существуют сепарабельные банаховы пространства
$ E$ и $ F$ и оператор $ T:E\to F$ такие, что $ E$\, $ \alpha$-дополняемо
в $ E^{**},$\, $ T\in \alpha$-$\operatorname{MAP},$ но
$ T\notin \beta$-$\operatorname{MAP}( \operatorname{ C}_c)$ при
$ \beta<\alpha,$
где $ \operatorname{ C}_c$ --- идеал вполне непрерывных операторов.
\endproclaim\rm

Наконец, если мы возьмем в качестве пространства $ G$
рефлексивное пространство без свойства аппроксимации, обладающее
свойством $ \operatorname{CAP}$ (см. [17]), то по аналогии с [10] получим
следующее усиление нашего следствия 2
(которое формулируется отдельно в силу того, что при его доказательстве
дополнительно используется факт существования банахова пространства
без свойства $ \operatorname{AP},$ но со свойством $ \operatorname{CAP};$
напомним, что в [10, теорема 1] построен пример вполне сепарабельного
банахова пространства со свойством аппроксимации, без свойства
$ \operatorname{BAP}(\operatorname{K}),$ все сопряженные к которому,
однако, обладают метрическим
свойством $ \operatorname{MAP}(\operatorname{K})$).

\proclaim {\bf Следствие 6}\it
Для любого $\alpha\geqslant1$
существуют вполне сепарабельные банаховы пространства
$ E$ и $ F$ и оператор $ T:E\to F$ такие, что $ E$\, $ \alpha$-дополняемо
в $ E^{**},$\, про\-с\-т\-ран\-ство $ F$ рефлексивно,
$ T\in \alpha$-$\operatorname{MAP},$
но $ T\notin \beta$-$\operatorname{CAP}$ при
$ \beta<\alpha;$ при этом, все сопряженные к $ E$ пространства
$ E^*, E^{**},...$ обладают свойством
$ \operatorname{MAP}(\operatorname{K}).$
\endproclaim\rm

\proclaim {Следствие {\rm 7}}\it
Пусть $ \operatorname{J}$ --- замкнутый инъективный
и сюръективный идеал операторов,
содержащийся в идеале слабо компактных операторов.
Если $\,Z\,$ --- такое сепарабельное банахово пространство, что
$\,Z^{**}\in \operatorname{AP}\,$ и
$\,Z^{**}/\,Z\notin \operatorname{AP}(\operatorname{J}),$
то естественное вложение $\,\pi_Z: Z\to Z^{**}\,$ факторизуется через
сепарабельное пространство $\,X\,$ со свойством аппроксимации,
не обладающее свойством ограниченной аппроксимации относительно
$ \operatorname{J}$.
\endproclaim\rm

\demo{Доказательство}
При доказательстве теоремы 1 тот факт, что подпространство
$\,\varphi^*(F^*)\,$ дополняемо в пространстве
$\,Z^{***},$ использовался только в одном месте, а именно,
при установлении свойства 5e) (см. конец доказательства).
Далее, то, что в условиях теоремы 1 второе сопряженное к $ Z$
пространство имеет свойство метрической аппроксимации, было нужно лишь
для замечания того факта, что получаемое после перенормировки
пространство $ W_\alpha$ обладает соответствующим свойством аппроксимации.
Существенно наличие в пространстве $ Z^{**}$ свойства аппроксимации
Гротендика было использовано лишь в одном месте --- в начале
доказательства (где отмечалось, что следы операторов типа оператора
$ t$ из доказательства теоремы корректно определены).

Поэтому вся остальная (и основная) часть доказательства теоремы проходит
в рассматриваемой сейчас нами ситуации, и наше утверждение,
по существу, получается при доказательстве теоремы 1:
если $\,W_1, W_2, \dotso \,$ --- пространства, построенные
в этом доказательстве (для $\,\alpha=1, 2, \dots\,$), то, по определению
нормы $\,|||\cdot |||_{\alpha},\,$ для каждого $\,\alpha=1, 2, \dotso\,$
тождественное включение
$\,i_\alpha : Z\to W_\alpha\,$ есть изометрическое вложение, и норма
тождественного отображения $\,j_\alpha: W_\alpha\to Z^{**}\,$
не превосходит 1.
Положим
$\,X=\left(\sum_{n=1}^\infty W_n \right)_{l_1}\,$ и определим операторы
$\,A:Z\to X\,$ и $\,B:X\to Z^{**}\,$ соотношениями
$$    \topsmash{
Az=\left\{\frac{1}{2^n}\, i_nz \right\}_{n=1}^\infty \qquad
\text{и} \qquad B\left\{w_n \right\}^\infty_{n=1} =
\sum_{n=1}^\infty j_nw_n.    }
 $$
Тогда
$\,\|Az\|=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}\|z\|=\|z\|,$\,
$\,\|B\|\leqslant1,$\,
$\,BAz = B\left\{2^{-n}\, i_nz  \right\}$
$=\sum_{n=1}^\infty  2^{-n}j_ni_nz$ $=\pi_Zz.$
$\quad\blacksquare$ \enddemo








\medpagebreak




\Refs\nofrills{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА}

\ref \no 1  \by Рейнов О.И.  \pages  833-846
\paper Насколько плохим может быть банахово пространство
       со свойством аппроксимации?
\yr 1983 \vol 33  \issue вып. 6,\nofrills
\jour    Матем. заметки
\finalinfo
\endref

\ref \no 2  \by  Reinov Oleg \pages 226-233
\paper On non-nuclear operators with nuclear adjoints
\yr 1996 \vol  45\issue 2/3
\jour Estonian Acad. Sci. Phis. Math.
\finalinfo
\endref

\ref \no 3 \by Grothendieck A. \pages pp. 196 + 140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espaces nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\finalinfo
\endref

\ref  \no 4 \by Diestel J., Uhl J.J.\pages
 \paper   Vector measures
 \yr 1977\vol   15
 \jour   Math. Survey 15,   Amer. Math. Soc., Providence RI.
 \endref

\ref \no  5
\by  Lindenstrauss J., Tzafriri L.
\book Classical Banach spaces I: Sequence spaces
\bookinfo
\publ Springer-Verlag \vol \nofrills
\publaddr  Berlin -- Heldelberg -- New York
\yr   1977
\endref

\ref \no  6 \by Szankowski A.   \pages 123--130
\paper  Subspaces without approximation property
\yr 1978 \vol 30 \issue
\jour Israel J. Math.
\endref

\ref \no 7  \by  Gr{\o}nb{\ae}ck N., Willis G.A.
\pages 45--53
\paper Approximate identities in Banach algebras of
  compact operators
\yr 1993 \vol 36 \issue
\jour Canadian Math. Bul.
\finalinfo
\endref

\ref \no  8 \by Lima A., Nygaard O., Oja E.
\pages 325--348
\paper Isometric factorization of weakly compact operators
  and the approximation property
\yr 2000 \vol 119 \issue
\jour Israel J. Math.
\finalinfo
\endref

\ref \no 9 \by Figiel T., Johnson W.B.\pages 197--200
\paper  The approximation property does not imply  the bounded
   approximation property
\yr 1973\vol 41
\jour   Proc. Amer. Math. Soc.
 \finalinfo  %$MR 49 \# 5782.$
\endref

\ref \no 10  \by Casazza P.G., Jarchow H.
\pages 355--362
\paper Self-induced compactness in Banach spaces
\yr 1996 \vol 126 \issue
\jour Proceedings of the Edinburg Mathematical Society. Section A
\finalinfo
\endref

\ref \no 11 \by Пич А.
 \book Операторные идеалы
 \yr 1982, 536 с\vol
 \publ     Москва: Мир
 \endref

\ref \no 12  \by Reinov O.I.  \pages 257-264
\paper A survey of some results in connection with
   Grothendieck approximation property
\yr 1984 \vol 119 \issue
\jour  Math. Nachr.
\finalinfo
\endref

 \ref \no 13 \by Lindenstrauss J.\pages  279--284
\paper  On James' paper "Separable Conjugate Spaces"
\yr 1971\vol 9
\jour Israel J. Math.
\endref

\ref  \no  14
\by  Рейнов О.И.
\paper Аппроксимационные свойства и некоторые классы операторов
\pages 147-205
\inbook в кн. Проблемы  математического анализа, вып. 23
\bookinfo
\publ  \vol
\publaddr Новосибирск: Научная книга
\yr  2001
\endref

\ref \no 15  \by Оя Э., Рейнов О.  \pages 14-17
\paper    Контрпример А.Гротендику
\yr 1988 \vol 37 \issue
\jour  Известия АН Эстонской ССР
\finalinfo
\endref

\ref \no 16  \by  Рейнов О.И. \pages   857-865
\paper   Операторы типа RN в банаховых пространствах
\yr 1978 \vol  19\issue      4 \nofrills
\jour    Сиб. матем. журн.
\finalinfo
\endref

\ref \no 17  \by Willis G.A. \pages  99-108
\paper The compact pproximation property does not imply
  the approximation property
\yr 1992 \vol 103 \issue
\jour Studia Math.
\finalinfo
\endref


\endRefs


\enddocument

%%%%%
%%%%%
%%%%%