\documentclass{article}[14pt]
\usepackage[LCY]{fontenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{delarray}
\fontencoding{LCY}\selectfont
\DeclareMathOperator{\minim}{inf}
\DeclareMathOperator{\mini}{min}
\DeclareMathOperator{\maxi}{sup}
\DeclareMathOperator{\maxim}{max}
\renewcommand{\contentsname}{����ঠ���}
\renewcommand{\tablename}{���.}
\unitlength=1mm
\textwidth=14.5cm
\textheight=25cm
\topmargin=-5.5mm
\hoffset=-17mm
\voffset=-2cm
\binoppenalty=10000
\relpenalty=10000
%\documentstyle{amsppt}
%\document
%\tenpoint
%\input nologo.sty
%\hsize=10.5cm
%\vsize=16.5cm
%\parindent=1cm
%\pageno=1
%\TagsOnRight
\begin{document}



\leftline{\it �.\,�.\,��㣠���, �.\,�.\,���루��}
\bigskip


\noindent {\bf �������� ���������� ������ 

\noindent ������������  � ����������� 

\noindent $\Sigma$-�������������\footnote{����� �믮����� �� 
䨭��ᮢ�� �����প� ���� (�஥�� N 01-0100231).} }


\bigskip



{\bf 1.} ��� $\Sigma$-���பᨬ�樥� ����������
���பᨬ��� ��\-�樨 ���� ��६����� $f(u,v)$ �㬬�� �㭪権
����� ��६����� $\,x(u)+y(v).$
� ������ ���� ��ᬠ�ਢ�����
������ ��ਠ�� ⠪�� ���பᨬ�樨, �����
����뢠���� ᫥���騬 ��ࠧ��.
����� $F[M,N]$ �ਡ�������� �����
     (⠡��� �㭪樨 �� ���� ��६�����), ���
     $M=\{1,2,\dots,m\},$ $N=\{1,2,\dots,n\},$
� $x[M]$ � $y[N]$ �᪮�� ������
(⠡���� �㭪権 ����� ��६�����).
�������ୠ� ����⭠� ����� $\Sigma$-���ப�\-��樨
����� ���
$$\varphi(x,y):=\max_{i\in M,j\in N}
\bigm |F[i,j]-x[i]-y[j] \bigm | \to
        \inf_{x[M],y[N]}.\eqno (1)$$
�� ����� ᢮����� � ����� ��������� �ணࠬ��஢����,
 �� �ਬ������ �ࠤ�樮����� ᨬ�����-��⮤� ��� �� �襭��
     �� ��䥪⨢��. ��� �⮩ ����� ���筮 �ᯮ������ ���⨢�� ��⮤
     {\it ��ࠢ�������} (�. $[1,2]$).
� ������  ࠡ�� ��ᬠ�ਢ����� ����� � ������ �室����� ��⮤�
��ࠢ�������. �������� ��।������ ����ୠ�� ��� ������
     $F$ �  �����뢠����,  �� ��⮤ ��ࠢ������� �室���� � �����⮩
��������᪮� �ண��ᨨ � �������⥫��,  ������騬 �� �����
����ୠ��.


\bigskip

{\bf 2.} �ਢ���� ����室��� �
������� �ਧ���� �襭��  ���
 ����� (1).\\
������稬 ${\cal P}:=\{[i,j]\,\Big |\,i\in M,\, j\in N\}.$

{\bf ��।������ 1.}
{\it ��㯥���� 横���} $C_q$   ���뢠���� ������⢮
$2q$ ࠧ����� ��� �����ᮢ �� ${\cal P}$ ᫥���饣� ����
 $$C_q=\bigl\{[i_1,j_1],[i_1,j_2],[i_2,j_2],[i_2,j_3],
\dots,[i_q,j_q],[i_q,j_1]\bigr\},$$
���   $ q\in [2, \min\{m,n\}].$
��᫮ $q$ ���뢠���� ������ ��㯥��⮣� 横��.

{\bf ��।������ 2.}    ��� ����஢ $\{x,y\}$
 ��\-������  {\it ����ୠ�ᮬ} �⭮�⥫쭮 ������ $F[M,N],$ �᫨
� ${\cal P}$ �������  ��㯥���� 横� $C_q,$
 �� ���஬  �� ��� $k\in 1:q$ �믮������� ࠢ���⢠:
$$\begin{matrix} F[i_k,j_k]-x[i_k]-y[j_k]&= \mu,\\
F[i_k,j_{k+1}]-x[i_k]-y[j_{k+1}]  &=- \mu, \\
 j_{q+1}=j_1, \ \ |\mu|=\varphi(x,y).&\end{matrix}$$
�� ��. 1 �ਢ����� �奬� �ᯮ������� ����ୠ���� �祪 �� $q=4.$
$$\begin{matrix}
    &j_1&j_2& j_3 & j_4\\
---&---&---&---&---\\
 i_1& \ \ \mu  &-\mu  &  &    \\
 i_2&   & \ \ \mu  & -\mu  &   \\
 i_3&   &  &\ \ \mu  & -\mu  \\
 i_4&-\mu  &   &  & \ \ \mu  \end{matrix}$$
\centerline{��. 1.}

������� �ਧ��� ��⨬��쭮�� ��� �����뢭�� �����
$\Sigma$-���பᨬ�樨 (�. $[3]$) � ����⭮�
��砥 ��㫨����� ᫥���騬 ��ࠧ��.

\smallskip

{\bf ���६� 1.} {\it ��� ����஢ $\{x_*,y_*\}$ ����
�襭��� �����} (1) {\it ⮣�� � ⮫쪮 ⮣��, ����� ���
 ��������  ����ୠ�ᮬ.}

����⨬, �� � ����⭮� ��砥 ������⥫��⢮ �⮩ ⥮६�
�⠭������ �祭� �����. ����⢨⥫쭮,
����� (1) ᢮����� � ����� ��������� �ணࠬ��஢����, �
१����� ⥮६� ����� ��⥪��� �� �������� ⥮६
�����⢥�����.

\bigskip

{\bf 3.}
��� �������� ������ $F[M,N]$ ���쬥� �ந������ ��㯥���� 横�\\
 $C_q=\bigl\{ [i_1,j_1],[i_1,j_2],\dots,[i_q,j_q],[i_q,j_1]\bigr\}$
� ������稬
$$\rho(C_q):={1\over 2q}\sum_{k\in 1:q}
(F[i_k,j_k]-F[i_k,j_{k+1}]).$$
��訬 ������ ���பᨬ�樨 ⮫쪮 �� �⮬ ��㯥��⮬ 横��.
�������
$$\varphi_c(u,v):=\max_{k\in 1:q}\bigl\{\bigm |F[i_k,j_k]-u[k]-v[k]
\bigm |,\bigm |F[i_k,j_{k+1}]-u[k]-v[k+1] \bigm |
\bigr\},$$ ���
 $j_{q+1}=j_1,$  $v[q+1]=v[1],$ �
��ᬮ�ਬ ������
     $$\varphi_c(u,v)\to \min_{u,v\in \Bbb R^q}.$$
��� ᢮����� � ᫥���饩 ����� ���������
�ணࠬ��஢����
$$g\to \min,$$
$$ \begin{matrix}
g+u[k]+v[k]& \ge F[i_k,j_k],\\
g-u[k]-v[k]& \ge -F[i_k,j_k],\\
g+u[k]+v[k+1]& \ge F[i_k,j_{k+1}],\\
g-u[k]-v[k+1]& \ge -F[i_k,j_{k+1}]\\
& \forall\ k\in 1:q. \end{matrix} \eqno(2)$$
�������, ��
$$\min_{u,v}\varphi_c(u,v)=|\rho(C_q)|.\eqno(3)$$
����⢨⥫쭮,
᫮��� ��ࢮ� ��ࠢ���⢮ � ��᫥���� � ���㬬�஢�� ��
$k\in 1:q,$  ����稬 ��ࠢ���⢮
$g\geq\rho(C_q).$
��������� ��ࠧ�� �� ��ண� � ���쥣� ��ࠢ���⢠
����砥� $g\geq -\rho(C_q).$ �����,
$g\geq |\rho(C_q)|.$
�����६ ⥯���  $u,v$, �� ������ �� �業�� ॠ�������.
���쬥� �ந����쭮� �᫮ $\gamma$ �
������� $v[1]=\gamma.$  ��⠫�� ���������� $v$ � $u$ ������
�� ᫥����� ४��७��� ᮮ⭮襭�� ��� $k=1,2,...,q$:
$$ u[k]=F[i_k,j_k]-v[k]-\rho(C_q),\ \
 v[k+1]=F[i_k,j_{k+1}]-u[k]+\rho(C_q).$$
����� ������, �� ����祭��� ��� ����஢ $u,v \in \Bbb R^q$
 ���� ������ ����� (2) � ���祭�� 楫���� �㭪樨 ��
�⮬ ����� ࠢ�� $|\rho(C_q)|.$
�����, ࠢ���⢮ (3) ��������.
\smallskip

{\bf ����砭��.}
���쬥� �ந������ ������ $x[M]$ � $y[N]$ �
��ᬮ�ਬ ������ $H[i,j]=F[i,j]-x[i]-y[j].$
��� ��� ��㯥��⮣� 横�� $C_q$
   �ࠢ������ ࠢ���⢮
$$\frac1{2q}\sum_{k\in 1:q}(H[i_k,j_k]-H[i_k,j_{k+1}])=\rho(C_q).
\eqno(4)$$
����⢨⥫쭮, �� ���᫥���
����� �㬬� �� $x[i_k]$ � $y[j_k]$ ᮪������ � ��⠭���� ⮫쪮
$\rho(C_q).$
\smallskip

 ��୥��� � ����� (1).
� ᨫ� (3) ��� ��� ��㯥��⮣� 横�� $C_q$ � �� ����
����஢ $\{x[M],y[N]\}$ �ࠢ������ ��ࠢ���⢮
$ \varphi(x,y)\geq |\rho(C_q)|.$
�����, $\mu_*:=\inf\limits_{x,y}\varphi(x,y)\geq$ $\geq |\rho(C_q)|.$
��� ��� ��⨬��쭠� ��� ����஢ ����� (1) �������� ����ୠ�ᮬ,
�
$$\mu_*=\max_{C_q} {1\over 2q}
\Bigg | \sum_{k=1}^q\left( F[i_k,j_k]-F[i_k,j_{k+1}]\right)\Bigg | .$$
     �������� (4) ����� ��������, ��
�᫨ $|\rho(C_q)|=\mu_*,$ �
 ��㯥���� 横� $C_q$ ���� ����ୠ�ᮬ ���
��� �襭��
 $\{x,y\}$ ����� (1), ���⮬� ����� �㤥�
���뢠�� ��� ���� {\it ����ୠ�ᮬ } ������ $F.$
����㤭� ����ந�� ������ $F,$ � ������
��᪮�쪮 ����ୠ�ᮢ, �� �⮬ ��� ����� � ���ᥪ�����.
��� �� �����, �ࠪ��᪨
�c�  ��������� ������ $F,$ ����� ����� �����⢥���
����ୠ�� � $q=2.$




\bigskip

{\bf 4.} ��⮤ ��ࠢ������� � ����⭮�
ࠢ����୮� $\Sigma$-��\-�பᨬ�樨
 �����砥��� � ᫥���饬.

 �롥६ $x_0[M]$ � ��⥬ �� ������ $p$-� 蠣�
($p=1,2,\dots $) �ந������ ᫥���騥 ����樨.
��䨪�஢�� ����� $x_{p-1}[M]$, ����ந� \lq\lq ������訩\rq\rq
��� ���� ����� $y_p[N]$,
 �訢 ������
$$ \varphi(x_{p-1},y):=
\max_{[i,j]\in {\cal P}}|F[i,j]-x_{p-1}[i]-y[j]|\to
\inf_{y[N]}.\eqno(5)$$
��⥬, ��䨪�஢��
����� $y_p$, ����ந� \lq\lq ������訩\rq\rq ��� ���� �����
$x_p[M],$ �訢 ������
$$\varphi(x,y_p)=
\max_{[i,j]\in {\cal P}}|F[i,j]-x[i]-y_p[j]|\to
\inf_{x[M]}.\eqno (6) $$
����� ���������, ����� $x_p$ ᮢ����� � $x_{p-1}.$

���襬 ��� ����� ���஡���.
�᭮, �� ����� (5)  �ᯠ������ �� $n$ ᠬ����⥫��� ����� �� ������
$j\in N$:
$$\max_{i\in M}|F[i,j]-x_{p-1}[i]-t|\to
\inf_t.$$
�祢����, �� �襭�� $j$-� �����, ���஥ ������稬  $y_p[j],$ ��室����
�� ��㫥
$$y_p[j]={1\over 2}\left( \max_{i\in M}(F[i,j]-x_{p-1}[i])+
     \min_{i\in M}(F[i,j]-x_{p-1}[i])\right).
\eqno(7)$$
������ � ��ᬮ�७�� ������ ���燐� $H_{p-1,p-1}[M,N]$ � ��������⠬�\\
     $H_{p-1,p-1}[i,j]=F[i,j]-x_{p-1}[i]-y_{p-1}[j]$
� ����� $\Delta\,y_p$ � ��������⠬�
$\Delta\,y_p[j]:=y_p[j]-y_{p-1}[j].$
����� �� (7) ᫥���, ��
 $$\Delta\,y_p[j]={1\over 2}\Big (\max_{i\in M}H_{p-1,p-1}[i,j]+\min_{i\in
M}H_{p-1,p-1}[i,j]\Big ),$$
� ����� ����� $H_{p-1,p}$ ����砥���  ��  $H_{p-1,p-1}$
���⠭��� ��  ������� ������� $j$-��  �⮫�� ������ � ⮣� ��
�᫠ $\Delta\,y_p[j].$

�������筮 �蠥��� ����� (6), �.~�. ��室���� �����
     $\Delta x_p:=x_p-x_{p-1},$
� ��ந��� ����� �����
$H_{p,p}.$
����� ��ࠧ��, $p$-� 蠣 ��⮤� ��ࠢ������� (����஥���
$x_p$ �� �����⭮�� $x_{p-1}$)
�����砥��� � ����஥��� ᫥����� ����஢ � �����:
$$\begin{matrix}
\Delta\,y_p[j]={1\over 2}\Big (\max\limits_{i\in M}H_{p-1,p-1}[i,j]+
\min\limits_{i\in M} H_{p-1,p-1}[i,j]\Big ),\ j\in N;\\
H_{p-1,p}[i,j]=H_{p-1,p-1}[i,j]-\Delta\,y_p[j],
\ \ \ i\in M,\ \ j\in N;\end{matrix}$$
$$ \begin{matrix}
\Delta\,x_{p}[i]
={1\over 2}\Big (\max\limits_{j\in N}H_{p-1,p}[i,j]+
\min\limits_{j\in  N}H_{p-1,p}[i,j] \Big ),\ i\in M;\\
 H_{p,p}[i,j]=H_{p-1,p}[i,j]- \Delta\,x_{p}[i], \ i\in M,\
j\in N.\end{matrix}$$
���᫥��� �����稢�����,  �����  �����  $ \Delta\,x_{p}[M]$ �⠭��
�㫥��.

�᭮, �� $ \varphi(x_p,y_p)\leq \varphi(x_{p-1},y_p)\leq
\varphi(x_{p-1},y_{p-1}),$ ���⮬� �� $p\to \infty\ $
����� $\varphi(x_p,y_p) \to \mu_*.$
� ࠡ��� $[1,2]$ ��������, ��
         $$\mu_*=\min_{x,y}\varphi(x,y).$$
�����, ��猪� �।��쭠� ��� ��᫥����⥫쭮��
$\{x_p,y_p\}$ �\-����� �襭��� ����� (1).

��३��� � �᭮����� १����� ������ ࠡ��� ---
��⠭������� ������� �室����� ��⮤�
��ࠢ�������. �।���⥫쭮 ������� �������
�ᯮ����⥫�� �⢥ত����.




\bigskip

{\bf 5.}
�᫨ ����� ��ࠢ������� �室����, � ᮣ��᭮ ������� � �।���
      ����稬
 ������ ���燐� $H_*$ � ��������⠬�
     $H_*[i,j]=F[i,j]-x_*[i]-y_*[j],$
����� �������� ᢮��⢮�
$$\begin{matrix}
\max\limits_{j\in N}H_*[i,j]=-\min\limits_{j\in N}H_*[i,j],\ \ i\in M;\\
  \max\limits_{i\in M}H_*[i,j]=-\min\limits_{i\in M}H_*[i,j],\ \ j\in N.
\end{matrix}  $$
 ������ ���燐� $H_*$ � ⠪�� ᢮��⢮� ������� {\it
��ࠢ������.}

\bigskip

      {\bf ���६�~2.} {\it ����� ��室��� ����� $F$ ����� ����\-��\-���\-��
����ୠ�� �  �襭�� �����} (1) $\{x_*,y_*\}$ {\it ⠪���, �� �����
     $H_*[i,j]=F[i,j]-x_*[i]-y_*[j]$ ��ࠢ����.
      ����� ������ ��� �����ᮢ $[i,j],$ �� ���ன
$|H_*[i,j]|=\varphi(x_*,y_*),$ �ਭ������� ����ୠ���.}

      �\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�. ������
������祭��
 $$\begin{matrix}
C_q^*=\bigl\{ [i_1,j_1],[i_1,j_2],\dots,[i_q,j_q],[i_q,j_1]\bigr\}\ 
- \ \text{����ୠ��},\\
c_i^*=\bigl\{i_1,i_2,...,i_q\bigr\},\ \
c_j^*=\bigl\{j_1,j_2,...,j_q\bigr\}.\end{matrix}$$
����� ��� ��।�������� $H_*[i_k,j_k]=\varphi_*,$ $k=1:q,$
     �� ᮮ⢥����� ��. 1 � $\mu=\varphi_*.$
�����⨬, ��
$|H_*[r_1,s_1]|=\varphi_*$ � ��� $[r_1,s_1]$ �� �ਭ�������
$C_q^*.$ ���ᬮ�ਬ ���� ����.

�) $r_1=i_p\in c_i^*,\ s_1=j_l\in c_j^*.$ �᫨
 $H_*[r_1,s_1]=-\varphi_*,$ � 楯�窠
$$[i_p,j_l],[i_l,j_l],[i_l,j_{l+1}],...,[i_p,j_p]$$
��ࠧ�� ��㣮� ����ୠ��, ��
��⨢���� �।��������� ⥮६�.
��������� ��ࠧ�� ����� ����ந�� ��㣮� ����ୠ��,
 �᫨ $H_*[r_1,s_1]$ $=\varphi_*.$

�) $r_1=i_p\in c_i^*,\ s_1\notin c_j^*$ (���
   $r_1\notin c_i^*,$ $\ s_1=j_l\in c_j^*$).
�� 㬠��� ��魮�� ��⠥�, �� $H_*[r_1,s_1]=\varphi_*.$ ��� ��� �����
$H_*$ ��ࠢ����, � �������� $H_*[r_2,s_1]=-\varphi_*. $
�����, �᫨ $r_2\notin c_i^*,$ � ��室��
$H_*[r_2,s_2]=\varphi_*$ � �.�. ����� ��ࠧ�� ��ந� 楯��� �� �祪,
�� �ਭ�������� $C_q^*,$ ���� �� ��������. �᫨ 楯�窠
�����㫠��, � ����稫�� ���� ����ୠ��,
�� �������⨬�. �᫨ 楯�窠 ᠬ� �� �����㫠��, � ��諠
�� ��� �� $C_q^*,$ �, ��� � ��砥 �),
�� ����� ��������
�窠�� �� $C_q^*$ � ᭮�� ������� ��㣮� ����ୠ��.

�) $r_1\notin c_i^*,\ s_1\notin c_j^*$. ����� ᭠砫�
��ந� 楯��� �� �祪, �� �ਭ�������� $C_q^*,$ ����
�� ��������. ���� ��� ᠬ� ���������, ���� �멤�� ᢮���
���栬� � $C_q^*.$ � ����� ����� ��ࠧ����  ����
����ୠ��, �� ��⨢���� �।���������
⥮६�.
$\ \ \ \blacksquare$
\bigskip

{\bf 6.} ��᫥������ ᪮���� �室����� �㤥� ��� ������ $F,$
����� ����� {\bf �����⢥�\-��} ����ୠ��
 $$C_q=\bigl\{[i_1,j_1],[i_1,j_2],\dots,[i_q,j_q],[i_q,j_1]\bigr\},$$
 � ��� ���ன
$\inf\limits_{x,y}\varphi(x,y)=\mu_*>0.$
��� ��।�������� �㤥�
�����, ��  $H_*[i_k,j_k]=\mu_*$ �
$H_*[i_k,j_{k+1}]=-\mu_*$ �� ��� $k\in 1:q$
(�. ��. 1), ⠪ �� $\rho(C_q)=\mu_*.$

����� ��� ⠪�� ������ $F$ ��⮤ ��ࠢ������� �室���� � ���
 ����஢ $\{x_*,y_*\}$ � ������-���� ��砫쭮�� �����
$x_0.$ �����᭮ ������� �।��쭠� �����
  ���燐� $H_*$ ��ࠢ���� � ��
⥮६� 2 � ������ $H_*$
��� ��㣨� ��������� ���ᨬ��쭮��  㪫������,
�஬� ��, ����� �室�� � $C_q.$

 ����� ��� $\{x_p,y_p\},$
����஥���� ��⮤�� ��ࠢ�������, ���\-⮫�\-�� ������ � �।��쭮� ���
$\{x_*,y_*\},$ �� ��� ��� � ��� ��� �� ��� ᫥�����
������ �믮����� ��ࠢ���⢮:
$$\begin{matrix}
\max\limits_{[i,j]\in {\cal  P}\setminus   C_q}|H_{p,p}[i,j]|<
\min\limits_{[i,j]\in C_q}|H_{p,p}[i,j]|,\\
H_{p,p}[i_k,j_k]>0,\ \ H_{p,p}[i_k,j_{k+1}]<0, \ k\in 1:q.\end{matrix}\eqno(8)$$
��⠭���� ᪮���� �室����� ���
$\{x_p,y_p\}$  � �।��쭮� ���  $\{x_*,y_*\}.$
��������, �� �� ������ ���樨 ��⮤� ����� ���燐� $H_{p,p}$ ��ࠢ����
�� ��ப��, ����� $H_{p,p+1}$ ��ࠢ���� �� �⮫�栬.
������ � ��ᬮ�७�� $q$-���� ������ $\Delta^{(p)}$ �
$\delta^{(p)}$  � ��������⠬�
$$ \begin{matrix}
\Delta^{(p)}[k]:=H_{p,p}[i_k,j_k]-\mu_*=-H_{p,p}[i_k,j_{k+1}]-\mu_*,\\
\delta^{(p)}[k]:=H_{p,p+1}[i_k,j_k]-\mu_*=-H_{p,p+1}[i_{k-1},j_k]-\mu_*,\\
\ \ k\in 1:q,\ \ i_0=i_q,\ j_{q+1}=j_1.\end{matrix}$$
������ �室����� ��ᬠ�ਢ������ ����� ������ �� $q$
--- ����� ����ୠ�� ($q\geq 2$), � ��।������ ᫥���饩 �業���.

\bigskip

 {\bf ���६� ~3.} {\it ��ࠢ������ ��ࠢ���⢠
$$ \|\Delta^{(p+1)}\|_\infty\leq \|\delta^{(p)}\|_\infty\leq
\|\Delta^{(p)}\|_\infty.$$ ����� ⮣�, �������
$\xi(q)=(1-\frac{q}{2^{q-1}}),$ �����}
$$\begin{matrix}
\|\Delta^{(p+r)}\|_{\infty} \leq \xi(q)
 \cdot \|\Delta^{(p)}\|_{\infty}&  \text{\it ��� ���⭮��}\  q=2r+1,\\
\|\Delta^{(p+r)}\|_{\infty} \leq \xi(q)
 \cdot \|\delta^{(p)}\|_{\infty}&  \text{\it ��� �⭮��}\ q=2r.
\end{matrix}  \eqno(9)$$

�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�.
�����᭮ �������
     $$H_{p,p+1}[i,j]=H_{p,p}[i,j]-
{1\over 2}\Big (\max\limits_{l\in M}H_{p,p}[l,j]+
\min\limits_{l\in M}H_{p,p}[l,j]\Big ).$$
� ᨫ� (8) �������쭮� � ���ᨬ��쭮� ���祭�� $H_{p,p}[i,j]$ � �⮫\-��
     $j_k$ �������. �������� ��ࠢ��������� ������
$H_{p,p}$ �� ��ப��, �����:
$$  \begin{matrix}
\min\limits_{l\in M}H_{p,p}[l,j_k]=H_{p,p}[i_{k-1},j_k]=
-H_{p,p}[i_{k-1},j_{k-1}],\\
  \max\limits_{l\in M}H_{p,p}[l,j_k]=H_{p,p}[i_{k},j_k]=-H_{p,p}
[i_k,j_{k+1}]. \end{matrix}$$
 �����, �� ����ୠ���� ������� ($k\in 1:q$)
$$ \begin{matrix}
H_{p,p+1}[i_k,j_k]={1\over 2}
\Big (H_{p,p}[i_k,j_k]+H_{p,p}[i_{k-1},j_{k-1}]\Big ),\\
-H_{p,p+1}[i_k,j_{k+1}]={1\over 2}
\Big (H_{p,p}[i_k,j_k]+H_{p,p}[i_{k+1},j_{k+1}]\Big )=\\
=H_{p,p+1}[i_{k+1},j_{k+1}].\end{matrix}$$
����� �� ����� ��⥩ ��ࢮ�� ࠢ���⢠ $\mu_*,$ ����稬
$$\delta^{(p)}[k]= {1\over 2}(\Delta^{(p)}[k-1]+\Delta^{(p)}[k]),\ \
k\in 1:q.\eqno(10)$$
����� $\Delta^{(p)}[0]=\Delta{(p)}[q].$
�����, �� �������
     $$H_{p+1,p+1}[i,j]=H_{p,p+1}[i,j]-
{1\over 2}\Big (\max\limits_{l\in N}H_{p,p+1}[i,l]+
\min\limits_{l\in N}H_{p,p+1}[i,l]\Big ).$$
����㯠� ��������� ��ࠧ�� � ��⮬, �� �����
$H_{p,p+1}$ ��ࠢ���� �� �⮫�栬, ����稬
$$\Delta^{(p+1)}[k]={1\over 2}(\delta^{(p)}[k+1]+\delta^{(p)}[k]),
\ \ k\in 1:q.\eqno(11)$$
����� $\delta^{(p)}[q+1]=\delta^{(p)}[1].$ �� (11) � (10) ⥯���
᫥��� ��ࢠ� �業�� ⥮६�:
$$\|\Delta^{(p+1)}\|_\infty\leq \|\delta^{(p)}\|_\infty\leq
\|\Delta^{(p)}\|_\infty.$$
�����, ����⠢��� (10) � (11), ����稬
$$\Delta^{(p+1)}[k]= {1\over 4} (\Delta^{(p)}[k-1]+2 \Delta^{(p)}[k]
+\Delta^{(p)}[k+1]),\ \ k\in 1:q.\eqno(12)$$
��������� ��ࠧ��, ������ ������ $H_{p+1,p+2},$  ����稬
$$\delta^{(p+1)}[k]= {1\over 4} (\delta^{(p)}[k-1]+2 \delta^{(p)}[k]
+\delta^{(p)}[k+1]), \ \ k\in 1:q. \eqno(13)$$

�������� (�. (4)), �� �� ��� ������
��� ����� $H_{p,p}$ � $H_{p,p+1}$ �믮����� ࠢ���⢮
$$\frac1{2q}\sum_{k\in
1:q}(H_{p,p}[i_k,j_k]-H_{p,p}[i_k,j_{k+1}])=\rho(C_q)=\mu_*,$$
��㤠  �� ���� $p$ �����
$$\sum_{k\in 1:q}\Delta^{(p)}[k]=0,\ \  \sum_{k\in 1:q}\delta^{(p)}[k]=
0.\eqno(14)$$
�⮡� ��ᯮ�짮������ �⨬� ࠢ���⢠��,
 ������ ��ࠦ���� $\Delta^{(p+r)}[k]$
�१ $\Delta^{(p)}[k],$ ������� $r$ ⠪��, �⮡� � ��ࠦ����
��� $\Delta^{(p+r)}[k]$ ᮤ�ঠ���� ஢�� $q$ ࠧ�����
��������� ����� $\Delta^{(p)}$ ���  $\delta^{(p)}.$
���ᬮ�ਬ ��� ����.

����� $q$ --- ���⭮�, $q=2r+1.$ �ਬ���� ����
(12) $r$ ࠧ � $\Delta^{(p+r)}[k]$. ������ $i$-� �ਬ������ ����
�������� ��� ࠧ���� ���� ����������  ����� $\Delta^{(p+r-i)}$ �
     㬥��蠥� ��騩 �����⥫� � ���� ࠧ�.
�����, �� $r$ 蠣�� ����稬
$$\Delta^{(p+r)}[k]={1\over 2^{2r}}\sum_{i=1}^q\,a_i^{(r)}
\Delta^{(p)}[i].$$
����㤭� �������, ��
$\sum_{i=1}^q\,a_i^{(r)}= 2^{2r}.$
�������� ��㫮� (14), ����稬
$$\Big|\Delta^{(p+r)}[k]\Big|={1\over 2^{2r}}\Big|\sum_{i=1}^q\,(a_i^{(r)}-1)
\Delta^{(p)}[i]\Big|\leq \xi(q)\|\Delta^{(p)}\|_\infty,
\ \ k\in 1:q,$$
��㤠 ᫥��� �ॡ㥬�� �業�� ��� ���⭮�� $q.$

����� $q$ --- �⭮�, $q=2r.$ ������ ��ࠦ���� $\Delta^{(p+r)}[k]$
�१ $\delta^{(p)}[k].$
��ᯮ��㥬�� ���� ࠧ
��㫮� (11), � ��⥬ $r-1$ ࠧ ��㫮� (13).
�����  ����稬
$$\Delta^{(p+r)}[k]={1\over 2^{2r-1}}\sum_{i=1}^q\,b_i^{(r)}
\delta^{(p)}[i].$$
��� ���
$\sum_{i=1}^q\,b_i^{(r)}= 2^{2r-1},$
� � ᨫ�  (14) ����稬
$$\Big|\Delta^{(p+r)}[k]\Big|={1\over 2^{2r-1}}\Big|\sum_{i=1}^q\,(b_i^{(r)}-1)
\delta^{(p)}[i]\Big|\leq \xi(q)\|\delta^{(p)}\|_\infty,\ \ k\in 1:q,$$
��㤠 ᫥��� �業�� ��� �⭮�� $q.$
$\ \ \ \blacksquare$

\bigskip

{\bf �����⢨�.} {\it   �� $q=2$  ��⮤ ��ࠢ������� ����祭.
  �� $q=3$  �業�� } (9) {\it �筠.
  �� $q=4$ �ࠢ������ ࠢ���⢮}
     $$\| \Delta^{(p+2)}\|_\infty = \frac{1}{2}\|\Delta^{(p+1)}\|_\infty.$$

�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�\,�.
�祢����, �� $\xi(q)=0$ �� $q=2,$ ⠪ �� $\Delta^{(p+1)}=\Bbb O.$

�� $q=3$ �����
 $\xi(3)=\frac{1}{4},$ � �� ���� (12)  ��� ��� $k\in 1:3$
     ᫥���
$$\Delta^{(p+1)}[k] =\frac{1}{4} \cdot \Delta^{(p)}[k]+ \frac{1}{4}
(\Delta^{(p)}[k-1] + \Delta^{(p)}[k] + \Delta^{(p)}[k+1]).$$
������ � ᨫ�  (14) ����砥�
$\Delta^{(p+1)}[k] = \frac{1}{4} \Delta^{(p)}[k].$
�������筠� ��㫠 �ࠢ������ � ��� $\delta^{(p+1)}[k]$.

�� $q=4$  �ਬ���� � $\Delta^{(p+2)}[k]$ ᭠砫� ���� (11),
      ��⮬ (13), � ��⥬ ��ᯮ��㥬�� (14). ����� ����稬
$$\Delta^{(p+2)}[k]=\frac{1}{4}(\delta^{(p)}[k+1]+\delta^{(p)}[k]).$$
������ �� (11)  ᫥��� ࠢ���⢮
      $\Delta^{(p+2)}[k] = \frac{1}{2} \Delta^{(p+1)}[k]$
     ��� ��� $k\in 1:q.$
$\ \ \ \blacksquare$

     ����� ��ࠧ��,  �᫨  �����  $F$ �������� �����⢥���
����ୠ�ᮬ, � ��⮤ ��\-ࠢ\-��\-��\-���,  ���ᠭ�� �  �.  4,  �室����  �
�����⮩ ��������᪮� �ண��ᨨ, �������⥫� ���ன ࠢ��
$\xi(q)=(1-\frac{q}{2^{q-1}}),$ ���  $q$ --- ����� ����ୠ�� ($q\geq
2$).

%\bigskip
%
%����� �믮����� �� 䨭��ᮢ�� �����প� ���� (�஥�� N 01-0100231).

\bigskip

\noindent {\bf �������}

1. {\it Diliberto S. P. and Straus E. G.} On the approximation
     of a function of several variables by the sum of functions
     of fewer variables // Pacif. J. Mathem. 1951, v.1, p.195-210.

2. {\it ������� �. �., �ਡ�� �. �.} �ਡ������� ������⮢ ������
     �㬬�� ᮮ⢥�����\-�� ��������� ���� ����஢// ��. ��᫥�������
     ����権 � ������᪮� ������஢�\-���. ���-�� ���, ��.1, 1972,
     �. 3 - 9.

3. {\it �����ᮭ �. �.} ����襢᪠� ⥮६� ��� �ਡ������� ��\-��樨
     ���� ��६����� �㬬���// ���. �� ����, ��. ���., �.33,
     N 3.1969 �. �. 650-666.
\end{document}




