\documentclass[11pt,russian]{article} \usepackage[koi8-r]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amsmath,amsthm, amssymb, floatflt} \tolerance 1000 \topmargin -0cm \textheight=24cm \textwidth=18cm \hoffset=-22mm %\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}\large \begin{document} \large %\nopagenumbers \centerline {\LARGE\bf О гипотезе С.Л.~Табачникова} \medskip \centerline {А.И.~Назаров, Ф.В.~Петров} \bigskip % \def\frac#1#2{{#1\over #2}} % \font\eightrm=cvjournr scaled 850 {\small % \eightrm % Назовем табачнианом замкнутой кривой $\Gamma$ на плоскости % среднее арифметическое модуля кривизны $\Gamma$. Доказана гипотеза С.Л.~Табачникова о том, что средняя абсолютная кривизна $T(\Gamma)$ замкнутой кривой $\Gamma$, лежащей внутри выпуклой замкнутой кривой $\Gamma_1$, больше $T(\Gamma_1)$, если $\Gamma\ne k\Gamma_1$.} % \bigskip % {\centerline \section*{1. Постановка задачи. План действий} %\medskip Рассмотрим на плоскости натурально параметризованную замкнутую кривую $\Gamma(s), s\in[0,L(\Gamma)]$. Будем говорить, что $\Gamma(s)$ принадлежит классу $BV^1$, если скорость $\Gamma'(s)$ существует, непрерывна всюду на $[0,L(\Gamma)]$, за исключением счетного числа точек, в которых имеет односторонние пределы, и имеет конечную вариацию\footnote%{$^1$} {Вариация функции $f$, действующей в единичную окружность, определяется как точная верхняя грань сумм $\sum_{i=1}^n \rho(f(t_i),f(t_{i-1}))+\rho(f(t_n),f(t_0))$, взятой по всем разбиениям $t_0T(\widetilde\Gamma)$. Замену кривой на лучшую (соответственно на строго лучшую) кривую с не большей выпуклой оболочкой будем называть улучшением (соответственно строгим улучшением) кривой. Заметим, что если в результате последовательности улучшений кривой $\Gamma$ получен кратный обход кривой $\Gamma_1$, утверждение 1 теоремы $\cal P$ для кривой $\Gamma$ доказано, а если хотя бы одно из улучшений было строгим, доказано строгое неравенство $T(\Gamma)>T(\Gamma_1)$. Первым делом утверждение 1 сводится к случаю ломаных. Затем вершины ломаной "загоняются"\ на границу (здесь и далее: границу выпуклой оболочки). После этого каждая смена направления поворота ломаной позволяет ее улучшить. Конечное число таких улучшений приводит к ломаной, поворачивающей только в одном направлении, для которой утверждение 1 практически очевидно. Далее мы докажем, что каждую кривую, отличную от несколько раз обойденной границы, можно строго улучшить. Из этого будет следовать утверждение 2. % \bigskip % {\centerline \section*{2. Сведение к ломаной} %\medskip Заметим, что если в точке разрыва (скачка) функции $\Gamma'$ доопределить $\Gamma'$ как произвольный вектор на единичной окружности, лежащий между\footnote%{$^2$} { т.е. на меньшей из двух дуг единичной окружности.} левым и правым односторонними пределами $\Gamma'$, вариация $\Gamma'$ не изменится. Далее, говоря о множестве значений скорости на некотором подынтервале задания $\Gamma'$, мы будем иметь в виду, что к множеству значений $\Gamma'$ в точках непрерывности добавлены именно эти множества допустимых значений во всех точках разрыва. Легко видеть, что при таком подходе множество значений скорости на любом интервале есть дуга окружности. Нам потребуется следующая\medskip {\bf Лемма 1.} Рассмотрим две точки $A$ и $B$ на кривой $\Gamma$. Полный поворот кривой $\Gamma$ между $A$ и $B$ (такой участок будем обозначать $\Gamma_{AB}$) не меньше $\rho(\Gamma'(A),e)+\rho(\Gamma'(B),e)$, где $e$ -- единичный вектор, направленный вдоль отрезка $AB$.\medskip %Строго говоря, вместо $\Gamma'(A)$ делжно быть $\Gamma'(\Gamma^{-1}(A))$ {\bf Доказательство.} Если вектор $e$ лежит в множестве значений $\Gamma'$ на участке от $A$ до $B$, утверждение очевидно (достаточно рассмотреть разбиение $\Gamma_{AB}$, в котором узлами будут $A,\,B$ и точка $C$, для которой $\Gamma'(C)=e$). %Теорема Ролля не утверждает, что этот случай всегда имеет место. В противном случае множество значений $\Gamma'$ от $A$ до $B$ -- дуга, не меньшая полуокружности (иначе можно было бы построить полуплоскость, содержащую это множество значений и не содержащую вектор $\overline{AB}$). Рассмотрев разбиение $\Gamma_{AB}$, в котором в качестве узлов встречаются точки с крайними положениями скорости, получим, что поворот $\Gamma'$ от $A$ до $B$ не меньше большей дуги между $\Gamma'(A)$ и $\Gamma'(B)$, что доказывает лемму и в этом случае.\hfill$\square$\medskip {\bf Лемма 2.} Пусть для некоторой кривой $\Gamma$ утверждение 1 теоремы $\cal P$ не выполнено. Тогда существует ломаная, для которой оно также не выполнено.\medskip {\bf Доказательство.} По условию $T(\Gamma) L(\Gamma)\cdot \frac {T(\Gamma)}{ T(\Gamma_1)}$). Очевидно, выпуклая оболочка $\Delta$ (обозначим ее границу $\Delta_1$) лежит в $\Gamma_1$. Докажем, что $V(\Delta)\le V(\Gamma)$. Для этого достаточно сложить неравенства леммы 1 по всем звеньям $\Delta$ и затем применить неравенство треугольника. Отсюда $$T(\Delta)=\frac {V(\Delta)}{ L(\Delta)} <\frac {V(\Gamma)}{L(\Gamma)}\cdot \frac {T(\Gamma_1)}{ T(\Gamma)}=T(\Gamma_1)\le T(\Delta_1),$$ \noindent и лемма доказана. \hfill$\square$\medskip Для замкнутой ломаной $A_1A_2\dots A_nA_1$ обозначим $L$ ее длину, $P$ -- периметр выпуклой оболочки и $V:=\sum_{i=1}^n(\pi-\angle A_{i-1}A_iA_{i+1})$ -- полный поворот (нумерация индексов циклическая по модулю $n$). Будем предполагать, что ни одна из вершин $A_i$ ломаной %$A_1A_2\dots A_n$ не лежит на отрезке $[A_{i-1}A_{i+1}]$. Если у одной из получаемых в процессе улучшения ломаных появятся такие вершины, сразу будем их удалять. С учетом введенных обозначений утверждение 1 теоремы $\cal P$ переформулируется для ломаных так:\medskip {\bf Лемма 3.} $\displaystyle{\frac {L}{ V}\le \frac {P}{ 2\pi}}$.\medskip Заметим, что из лемм 2 и 3 следует утверждение 1 в общем случае. % \bigskip % {\centerline \section*{3. Четырехзвенные ломаные} %\medskip Докажем две леммы, которые составляют утверждение леммы 3 для четырехзвенных ломаных и, кроме того, в дальнейшем будут использоваться для улучшения произвольной ломаной. {\bf Лемма 4.} В треугольнике $ABC$ выполнено неравенство $$\frac {AB+BC}{ 2\pi-\beta}< \frac {AB+BC+AC}{ 2 \pi},\eqno(1)$$ \noindent где $\beta=\angle ABC$.\medskip {\bf Доказательство.} По теореме синусов имеем %\begin{multline*} $$\frac {AB+BC}{ AC}= \frac {\sin \angle A+\sin \angle C}{ \sin \beta}= \frac {2\sin(\frac {\angle A+\angle C}{ 2}) \cos(\frac {\angle A-\angle C}{ 2})}{ 2\sin \frac {\beta}{ 2} \cos\frac{\beta}{2}}%=\\ =\frac {\cos(\frac {\angle A-\angle C}{ 2})}{ \sin\frac {\beta}{ 2}}\le \frac {1}{\sin\frac {\beta}{ 2}}.$$ %\end{multline*} Из выпуклости синуса на $]0,\pi/2[$ имеем $\sin \frac {\beta }{ 2}> \frac {\beta}{ \pi}$. Поэтому $$\frac {AB+BC}{ AC}< \frac {\pi}{ \beta}< \frac {2\pi-\beta}{ \beta},$$ \noindent что равносильно (1). \hfill$\square$\medskip {\bf Лемма 5.} Пусть $ABCD$ -- выпуклый четырехугольник, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Положим $\varphi=\angle AOB$. Тогда $$\frac {AB+BD+DC+CA}{ 2(\pi+\varphi)}< \frac {AB+BC+CD+DA}{ 2\pi}.\eqno(2)$$ {\bf Доказательство.} По лемме 4 имеем $AB> \frac {\varphi}{\pi}(AO+OB)$, $CD> \frac {\varphi}{\pi}(CO+OD)$. Складывая, получаем $AB+CD> \frac {\varphi}{\pi}(AC+BD)$. Аналогично, $BC+AD>(1-\frac {\varphi}{\pi})(AC+BD)$. Поэтому $$\frac {\varphi}{\pi}\cdot \frac {AB+CD}{AC+BD}+ (1+\frac {\varphi}{\pi})\cdot \frac {BC+DA}{AC+BD}>\frac {\varphi}{\pi}\cdot\frac {\varphi}{\pi}+ (1+\frac {\varphi}{\pi})\cdot(1-\frac {\varphi}{\pi})=1.%\eqno(2) $$ \noindent Отсюда $$ \frac {AB+CD} {AC+BD}+1< (1+\frac {\varphi}{\pi}) (\frac {AB+CD}{AC+BD}+\frac {BC+DA}{AC+BD}), $$ \noindent что равносильно (2). \hfill$\square$\medskip К леммам 4 и 5 сводятся частные случаи леммы 3 для случая вогнутого и самопересекающегоcя четырехугольника соответственно. \medskip {\it Замечание 1.} Неравенства (1) и (2) (со знаком $\le$) выполнены и для вырожденных треугольника $ABC$ и четырехугольника $ABCD$ соответственно. %\bigskip % {\centerline \section*{4. Перемещение вершин на границу} %\medskip В этом пункте мы сведем лемму 3 к случаю, когда все вершины ломаной лежат на границе ее выпуклой оболочки. \smallskip Пусть вершина $A_i$ лежит строго внутри выпуклой оболочки. Разберем три случая. Случай {\bf a)}. Если точки $A_{i-1}$ и $A_{i+2}$ лежат по одну сторону от прямой $A_iA_{i+1}$, ломаную можно строго улучшить, увеличив длину и не изменив поворота, подвинув вершину $A_i$ за отрезок $A_{i-1}A_i$, пока она не наткнется либо на границу, либо на продолжение отрезка $A_{i+1}A_{i+2}$. Тем самым мы получим лучшую ломаную с меньшим количеством вершин внутри выпуклой оболочки (возможно, уменьшится и общее количество вершин). Аналогичным образом поступим, если $A_{i+1}$ и $A_{i-2}$ лежат по одну сторону от $A_iA_{i-1}$. Случай {\bf b)}. Предположим теперь, что точки $A_{i-1}$ и $A_{i+2}$ лежат по разные стороны от прямой $A_iA_{i+1}$; а точки $A_{i+1}$ и $A_{i-2}$ -- по разные стороны от прямой $A_iA_{i-1}$. %Проведем через $A_{i+1}$ и $A_{i-1}$ лучи %$L$ и $k$ в направлениях $\overline{A_{i-1}A_i}$ %и $\overline{A_{i+1}A_i}$ соответственно. %Если $A_{i+2}$ не лежит в угле $A_iA_{i+1}L$ (а лежит в %дополнительном угле), Пусть точки $A_{i-2}$ и $A_{i+2}$ лежат в углах, дополнительных (по стороне, содержащей точку $A_i$) к $\angle A_{i+1}A_{i-1}A_i$ и $\angle A_{i-1}A_{i+1}A_i$ соответственно. Рассмотрим ломаную, получающуюся из $A_1A_2\dots A_n$ заменой звеньев $A_{i-1}A_i$ и $A_iA_{i+1}$ на одно звено $A_{i-1}A_{i+1}$. Предположим, что исходная ломаная не удовлетворяет неравенству леммы 3, а новая -- удовлетворяет, то есть имеет место двойное неравенство $$\frac {L}{ V}> \frac {P}{ 2\pi}\ge \frac {L-(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1})}{ V-2(\pi-\beta)},\eqno(3)$$ где $\beta:=\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$. Тогда $$P\cdot V-2(\pi-\beta)\cdot P+ 2\pi(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1})\ge 2\pi L> P\cdot V,$$ откуда \begin{multline*} 2\pi(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1}) > 2(\pi-\beta) P\ge\\ \ge2(\pi-\beta)(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}+A_{i-1}A_{i+1}), \end{multline*} что противоречит лемме 4. Поэтому новая ломаная также является контрпримером к лемме 3 и имеет меньшее количество внутренних вершин. Осталось рассмотреть случай {\bf c)}, когда, скажем, $A_{i+2}$ и $A_i$ лежат по разные стороны от прямой $A_{i-1}A_{i+1}$ (в этом случае вершина $A_{i+1}$ также лежит строго внутри выпуклой оболочки). Не умаляя общности, угол $A_{i-1}A_{i+1}A_i$ --- наименьший для всех номеров $i$, обладающих таким свойством. Заменим $i$ на $i+1$ и разберем аналогичные случаи. Точка $A_{i-1}$ лежит в угле, дополнительном к $A_iA_{i+2}A_{i+1}$ по стороне $A_iA_{i+1}$. Если точка $A_{i+3}$ не лежит в угле, вертикальном к углу $A_{i+1}A_{i+2}A_i$, ломаная улучшается так, как уже показано (с заменой $i$ на $i+1$). Если же точка $A_{i+3}$ лежит в этом угле, получаем противоречие с выбором $i$: угол $\angle A_iA_{i+2}A_{i+1}$ меньше, чем $\angle A_iA_{i+1}A_{i-1}$ (так как $\angle A_iA_{i+1}A_{i_1}+ \angle A_iA_{i+1}A_{i+2} >\angle A_iA_{i+2}A_{i+1}+ \angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$). Итак, за конечное число шагов дело сводится к случаю, когда все вершины $A_i$ ломаной $A_1A_2\dots A_n$ лежат на границе выпуклой оболочки. % \bigskip % {\centerline \section*{5. Уменьшение количества перемен направления} %\medskip Введем на плоскости ориентацию. Будем говорить, что ломаная $A_1A_2\dots A_n$ в вершине $A_i$ поворачивает вправо, если базис $\overline{A_{i-1}A_i},\, \overline{A_iA_{i+1}}$ отрицательно ориентирован. В противном случае (в частности, если векторы $\overline{A_iA_{i-1}}$ и $\overline{A_iA_{i+1}}$ сонаправлены) будем говорить, что ломаная в вершине $A_i$ поворачивает влево. % В этом пункте мы ведем индукцию по количеству % перемен направления поворотов ломаной. Если ломаная дважды подряд поворачивает в одном направлении, то звено между этими поворотами можно заменить на участок границы в том же направлении -- ломаная улучшится. Назовем эту операцию вытягиванием ломаной.\medskip {\bf Лемма 6.} Предположим, что несколько последовательных звеньев нашей ломаной образуют полный обход границы, причем первое и последнее ребро участка совпадают (то есть граница -- многоугольник $C_1C_2\dots C_m$, а в ломаной есть участок $XC_1C_2\dots C_mC_1C_2Y$). Тогда истинность леммы 3 для такой ломаной равносильно ее истинности для ломаной, в которой обход исключен (то есть для ломаной, в которой указанный участок заменен на $XC_1C_2Y$). \medskip {\bf Доказательство.} Легко видеть, что периметр ломаной, полученной после удаления обхода, равен $L-P$, а полный поворот -- $V-2\pi$% (поворот уменьшится % на сумму внешних углов выпуклого многоугольника % $C_1C_2\dots C_n$; внешние углы при оставленных ребрах % не изменятся, так что применять к новой % ломаной операцию вытягивания не потребуется) . Утверждение леммы 3 для новой ломаной записывается в виде неравенства $\frac{L-P}{V-2\pi}\le \frac{P}{2\pi}$, равносильного утверждению леммы 3 для исходной ломаной.\hfill$\square$\medskip Будем повторять операцию леммы 6 до тех пор, пока это возможно. Этот процесс когда-нибудь прекратится: из ломаной на каждом шаге убираются некоторые звенья и не добавляется новых. Заметим, что количество перемен направления не будет изменяться. Теперь ломаная разбивается на участки с поворотами в одну сторону, причем на каждом участке все ребра, кроме -- возможно -- первого и последнего, идут по границе (но, благодаря лемме 6, не повторяются). Будем проводить такую операцию: возьмем участок $A_iA_{i+1}\dots A_k$, состоящий, для определенности, из поворотов влево; именно, повороты в вершинах $A_{i+1}$, $A_{i+2},\dots$, $A_{k-1}$ направлены влево, а в $A_i$ и $A_k$ вправо. %Велик могучим русский языка Заменим $A_iA_{i+1}\dots A_k$ на участок границы $A_i..A_k$, обходящий границу в противоположном (в данном случае отрицательном) направлении. Количество перемен направления поворота при этой операции уменьшается. Предположим, что исходная ломаная не удовлетворяет неравенству леммы 3. Покажем, что тогда и новая ломаная не удовлетворяет этому неравенству. Необходимо проверить 6 разных случаев, определяемых порядком следования вершин $A_i$, $A_{i+1}$, $A_{k-1}$, $A_k$ при обходе границы в положительном направлении: %(см. рисунки). $1^{\circ}$. $A_iA_{i+1}A_{k-1}A_k$; $2^{\circ}$. $A_iA_kA_{i+1}A_{k-1}$; $3^{\circ}$. $A_iA_{i+1}A_kA_{k-1}$; $4^{\circ}$. $A_iA_{k-1}A_kA_{i+1}$; $5^{\circ}$. $A_iA_{k-1}A_{i+1}A_k$; $6^{\circ}$. $A_iA_{k-1}A_kA_{i+1}$. Случаи 3 и 4 переводятся друг в друга переобозначениями и симметрией. Обозначим $s$ длину ломаной $A_iA_{i+1}\dots A_k$, а $s'$ -- длину нового участка.\medskip \begin{floatingfigure}{240pt} \begin{picture}(220,170)(0,70) \put(15,195){$A_i$} \put(20,130){$A_{i+1}$} \put(180,145){$A_{k-1}$} \put(190,170){$A_k$} \put(10,200){\line(-1,-3){10}} \put(10,200){\vector(1,1){10}} \put(20,210){\vector(2,1){20}} \put(40,220){\vector(4,1){40}} \put(80,230){\vector(1,0){40}} \put(120,230){\vector(3,-1){30}} \put(150,220){\vector(2,-1){40}} \put(190,200){\vector(1,-1){20}} %\put(150,250){\vector(3,-1){30}} \put(210,180){\line(1,-2){10}} \thicklines \put(10,200){\vector(1,-2){30}} \put(40,140){\vector(1,-1){40}} \put(80,100){\vector(2,-1){30}} \put(110,85){\vector(3,-1){30}} \put(140,75){\vector(1,0){20}} \put(160,75){\vector(2,1){30}} \put(190,90){\vector(1,3){20}} \put(210,150){\vector(0,1){30}} \end{picture} \caption{} \end{floatingfigure} $1^{\circ}$ (см. рис.1). Обозначим $\angle A_{i+1}A_iA_k=\alpha$, $\angle A_{k-1}A_kA_i=\beta$. При замене ломаной ее полный поворот уменьшился на $2(\alpha+\beta)$, а длина -- на $s-s'$. Если новая ломаная удовлетворяет неравенству леммы 3, то справедливо двойное неравенство $$\frac {L}{ V}>\frac {P}{ 2\pi}\ge \frac {L+s'-s}{ V-2(\alpha+\beta)},\eqno(4)$$ или $$P\cdot V -2P(\alpha+\beta)+2\pi (s-s'\ge 2\pi L>P\cdot V,$$ откуда $2\pi (s-s'>2(\alpha+\beta)P\ge 2(\alpha+\beta)(s+s'$ и $2(\pi-\alpha-\beta)s>2(\pi+\alpha+\beta)s'$. Последнее неравенство может выполняться только если $\alpha+\beta<\pi$. В этом случае лучи $A_iA_{i+1}$ и $A_kA_{k-1}$ пересекаются в точке $C$, причем $CA_i+CA_k\ge s$, $A_iA_k\le s'$. Поэтому $$(\pi-\alpha-\beta)(CA_i+CA_k)>(\pi+\alpha+\beta) A_iA_k,$$ что противоречит лемме 4.\smallskip \begin{floatingfigure}{240pt} \begin{picture}(220,170)(0,70) \put(130,235){$A_i$} \put(20,130){$A_{i+1}$} \put(180,145){$A_{k-1}$} \put(10,215){$A_k$} \put(30,210){\line(2,1){20}} \put(130,230){\vector(2,-1){50}} \put(180,205){\vector(1,-1){20}} \put(200,185){\vector(1,-2){10}} \put(210,165){\vector(0,-1){15}} \put(40,140){\vector(-1,2){20}} \put(20,180){\vector(0,1){20}} \put(20,200){\vector(1,1){10}} %\put(150,250){\vector(3,-1){30}} \put(130,230){\line(-4,1){20}} \thicklines \put(130,230){\vector(-1,-1){90}} \put(40,140){\vector(1,-1){40}} \put(80,100){\vector(2,-1){30}} \put(110,85){\vector(3,-1){30}} \put(140,75){\vector(1,0){20}} \put(160,75){\vector(2,1){30}} \put(190,90){\vector(1,3){20}} \put(210,150){\vector(-3,1){180}} \end{picture} \caption{} \end{floatingfigure} $2^{\circ}$ (см. рис.2). Обозначим $O$ точку пересечения отрезков $A_iA_{i+1}$ и $A_kA_{k-1}$, $\angle A_iOA_k=\varphi$. При замене ломаной ее полный поворот уменьшился на $2\varphi$, а длина -- на $s-s'$. Если новая ломаная удовлетворяет неравенству леммы 3, то справедливо двойное неравенство $$\frac {L}{V}>\frac {P}{2\pi}\ge \frac {L+s'-s}{V-2\varphi}.$$ Отсюда аналогично пункту 1 получаем неравенство $2\pi (s-s'>2\varphi P$, из которого следует, что $$\frac {A_iA_{i+1}+A_kA_{k-1}-(A_iA_{k-1}+A_kA_{i+1})} {A_iA_k+A_kA_{i+1}+A_{i+1}A_{k-1}+A_iA_{k-1}}>\frac {\varphi}{\pi}.$$ Это противоречит лемме 5 (для четырехугольника $A_iA_{k-1}A_{i+1}A_k$). Остальные случаи разбираются аналогично, с применением леммы 4 (в случаях 3 и 6) или леммы 5 (в случае 5). Таким образом за конечное число шагов мы придем к ломаной, поворачивающей все время в одном направлении. Но из такой ломаной с помощью вытягивания получается кратный обход границы, поэтому утверждение леммы 3 для нее выполнено. Следовательно, исходное предположение неверно, и лемма 3 доказана. Доказано и утверждение 1 теоремы $\cal P$. %\bigskip % {\centerline \section*{6. Доказательство утверждения 2} % \medskip Пусть кривая $\Gamma$ не есть (кратный) обход границы, но $T(\Gamma)=T(\Gamma_1)$. Выделим на $\Gamma$ конечное число точек так, чтобы сумма скачков скорости в оставшихся точках была достаточно мала (к примеру, меньше одного градуса). Объединение этого множества с множеством $\Gamma\cap\Gamma_1$ замкнуто. Прообраз его дополнения -- объединение счетного числа интервалов. Рассмотрим один из таких интервалов, пусть он соответствует участку $\Gamma$ между точками $A$ и $B$. Будем говорить, что участок кривой $\Gamma_{CD}$ {\it маленький}, если множество значений скорости на этом участке является дугой не более $\pi/4$, и окружность с диаметром $CD$ лежит строго внутри $\Gamma_1$. Легко видеть, что для каждой внутренней точки участка $\Gamma_{AB}$ есть содержащий ее маленький подучасток. Рассмотрим маленький участок $\Gamma_{CD}$. Определим, если это необходимо, скорости $\Gamma'(C)$ и $\Gamma'(D)$ как их правые пределы. Построим параллелограмм $CPDQ$, в котором $\overline{CP}$ и $\overline{CQ}$ направлены по крайним направлениям скорости кривой $\Gamma$ на участке $\Gamma_{CD}$. Он полностью лежит внутри $\Gamma_1$ (поскольку крайние направления скорости достаточно близки к направлению вектора $\overline{CD}$). Будем считать для определенности, что на пути от $C$ до $D$ на кривой $\Gamma$ сначала встречается точка $X$, в которой касательная параллельна $CP$, а потом -- точка $Y$, в которой касательная параллельна $CQ$. Заменим участок $\Gamma_{CD}$ на двузвенную ломаную $CPD$. Заметим, что полный поворот кривой $\Gamma_{CD}$ не меньше $$v:=\rho(\Gamma'(C),\Gamma'(X))+\rho(\Gamma'(X),\Gamma'(Y))+\rho(\Gamma'(Y), \Gamma'(D)),$$ в то время как полный поворот участка новой кривой равен $v$. Равенство достигается лишь в случае, когда $\Gamma$ выпукла от $C$ до $X$, от $X$ до $Y$ и от $Y$ до $D$. Далее, длина участка $\Gamma_{CD}$ не превосходит $CP+PD$. Чтобы это доказать, рассмотрим произвольную вписанную в $\Gamma_{CD}$ ломаную. Направления ее могут меняться между направлениями векторов $\overline{CP}$ и $\overline{CQ}$. Поэтому после их перестановки в монотонном порядке от самого близкого (в смысле направления) к $\overline{CP}$ до самого близкого к $\overline{CQ}$ получится выпуклая ломаная $C\dots D$, лежащая внутри треугольника $CPD$, длина которой, очевидно, не превосходит $CP+PD$. Итак, при замене участка $\Gamma_{CD}$ на ломаную $CPD$ не уменьшается поворот и не увеличивается длина, т.е. кривая $\Gamma$ улучшается. Но по уже доказанному утверждению 1 $\Gamma$ нельзя строго улучшить. Поэтому при такой замене остаются неизменными и поворот, и длина. Первое возможно, только если $\Gamma_{CD}$ разбивается на не более чем три выпуклых участка ($C-X,\,X-Y,\,Y-D$). Второе же возможно, лишь если каждый из этих участков есть ломаная с не более чем двумя звеньями. Таким образом, $\Gamma_{CD}$ -- ломаная c не более чем шестью звеньями (количество звеньев можно еще уменьшить, но нам это сейчас не требуется).\smallskip Зафиксируем теперь точки $A'$ и $B'$ на открытой дуге $\Gamma_{AB}$ и покроем $\Gamma_{A'B'}$ конечным числом маленьких участков. На каждом из них $\Gamma$ является ломаной, так что и $\Gamma_{A'B'}$ -- ломаная. Покажем, что если в ней хотя бы 4 звена, то кривую $\Gamma$ можно строго улучшить. Рассмотрим случаи, фигурирующие в \S4. В случае {\bf a)} используется лишь локальная структура ломаной и он без изменений переносится в нашу ситуацию. В cлучае {\bf b)}, используя утверждение 1 для преобразованной кривой, мы получаем неравенство, аналогичное (3), $$\frac {L(\Gamma)}{V(\Gamma)}=\frac {L(\Gamma_1)}{2\pi}\ge \frac {L(\Gamma)-(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1})}{ V(\Gamma)-2(\pi-\beta)},$$ \noindent откуда $$2\pi(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1}) \ge 2(\pi-\beta)(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}+A_{i-1}A_{i+1}),$$ что противоречит лемме 4. В случае {\bf c)}, если $A_{i+2}$ и $A_i$ лежат по разные стороны от прямой $A_{i-1}A_{i+1}$ (в этом случае вершина $A_{i+1}$ также лежит строго внутри выпуклой оболочки), ломаную можно строго улучшить, заменив звено $A_iA_{i+1}$ на параллельное более длинное $A_i'A_{i+1}'\parallel A_iA_{i+1}$, где $A_i\in [A_{i-1}A_i'[,\, A_{i+1}'\in ]A_{i+1}A_{i+2}]$. Итак, $\Gamma_{A'B'}$ является ломаной не более чем с тремя звеньями. Значит, в силу произвольности выбора точек $A'$ и $B'$, и $\Gamma_{AB}$ является ломаной не более чем с тремя звеньями.\smallskip Присоединим теперь к рассмотренным интервалам точки "большого поворота", которые мы ранее исключили. Тогда вся внутренняя часть кривой $\Gamma$ разбивается на не более чем счетное число участков, каждый из которых -- ломаная с конечным числом звеньев. Если на одном из таких участков число звеньев ломаной больше одного, то она содержит внутренние вершины, и $\Gamma$ опять строго улучшаема с помощью приемов \S4.\smallskip Итак, все точки $\Gamma$ лежат на границе либо на одном из отрезков, соединяющих точки границы. Допустим, что отрезков бесконечно много. Тогда существует последовательность отрезков, длина которых стремится к нулю, а концы сходятся к некоторой точке $C\in\Gamma_1$. Зафиксируем достаточно малую окрестность точки $C$, в которой поворот $\Gamma_1$ равен $\varphi_0<\pi$. Рассмотрим один из отрезков ${\overline{AB}}$ ($A,\,B\in \Gamma_1$), лежащий в этой окрестности. Если векторы $\Gamma'(A-)$ и $\Gamma'(B+)$ направлены в разные полуплоскости относительно прямой $AB$, то кривая $\Gamma$ строго улучшаема (вытягиванием отрезка $AB$ на границу), что невозможно. Поэтому вариация $\Gamma'$ на отрезке $AB$ не меньше $\pi-\varphi_0$ и, таким образом, бесконечного числа отрезков быть не может.\smallskip Таким образом, $\Gamma$ состоит из конечного числа кусков, идущих по границе, и конечного числа внутренних отрезков между ними. Если на границе имеются точки возврата, то ввиду $\Gamma\in BV^1$ таких точек лишь конечное число, и мы будем интерпретировать их как "внутренние отрезки нулевой длины". Если два последовательных куска границы имеют одинаковое направление обхода, то $\Gamma$ опять строго улучшится, если мы вытянем соединяющий их отрезок на границу. Далее, можно исключить все полные обходы границы аналогично лемме 6. Рассмотрим теперь дугу $\Gamma_{AB}$, состоящую из отрезка $AA_1$, участка границы $\Gamma_{A_1B_1}$, проходимого, для определенности, в положительном направлении, и отрезка $B_1B$. Аналогично \S5, заменим $\Gamma_{AB}$ на участок границы между $A$ и $B$, проходимый в отрицательном направлении. Здесь вновь необходимо рассмотреть 6 случаев, разобранных в \S5, в зависимости от порядка следования точек $A$, $A_1$, $B$, $B_1$ при обходе границы в положительном направлении. Например, в случае $1^{\circ}$ (порядок $AA_1B_1B$), используя утверждение 1 для преобразованной кривой, мы получаем неравенство, аналогичное (4), $$\frac {L(\Gamma)}{V(\Gamma)}=\frac {L(\Gamma_1)}{ 2\pi}\ge \frac {L(\Gamma)+s'-s}{V(\Gamma)-2(\angle A_1AB+\angle B_1BA)}.$$ Из этого неравенства, как и в \S5, выводим, что лучи $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются в точке $C$, причем $$(\pi-\angle A_1AB-\angle B_1BA)(CA+CB)\ge(\pi+\angle A_1AB+\angle B_1BA) AB,$$ что противоречит лемме 4.\smallskip Аналогично к противоречию приводят и остальные случаи. Это показывает, что кривая $\Gamma$ не может содержать внутренних отрезков и потому представляет собой обход границы, а с учетом исключенных ранее обходов -- кратный обход границы. Утверждение 2 доказано.\hfill$\square$ \section*{7. О поверхностях постоянной кривизны} \def\G{\Gamma} В этом пункте мы докажем аналог неравенства ДНК на поверхности сферы. Пусть $\G$ --- замкнутая кривая, лежащая в некоторой полусфере (здесь и далее: единичного радиуса) и имеющая конечную вариацию $V(\G)$ правого поворота (определения см. в [3]). Отметим, что если $\G:\ A_1A_2\dots A_nA_1$ --- замкнутая ломаная, то $V(\G)=\sum_{i=1}^n (\pi-\angle A_{i-1}A_iA_{i+1})$ (нумерация индексов, как обычно, циклическая). Если $\G$ --- замкнутая $C^2$-гладкая кривая, то $V(\G)$ есть интеграл (по натуральному параметру) от длины вектора геодезической кривизны. Определим {\it среднюю абсолютную геодезическую кривизну} $T(\G)$ замкнутой кривой: $T(\G):=V(\G)/L(\G)$.\medskip {\bf Теорема $\cal S$.} Пусть $\G$ --- замкнутая кривая на полусфере, имеющая конечную вариацию правого поворота; $\G_1$ --- граница ее выпуклой оболочки. Тогда $T(\G)\ge T(\G_1)=(2\pi-S)/L(\G_1)$, где $S$ --- площадь выпуклой оболочки.\medskip План доказательства теоремы $\cal S$ такой же, как и в плоском случае. Сформулируем сначала соответствующую теорему для ломаных.\medskip { \bf Теорема ${\cal S}'$}. Пусть $\G$ --- замкнутая ломаная на полусфере, $\G_1$ --- граница ее выпуклой оболочки, и $\G$ не есть кратный обход $\G_1$. Тогда $T(\G)> T(\G_1)$. \medskip Перед тем, как приступить к леммам о четырехзвенных ломаных, мы докажем следующее утверждение, уточняющее (в частном случае) теорему А.Д. Александрова о сравнении углов. \medskip {\bf Лемма $1s$.} Пусть $ABC$ --- невырожденный треугольник на сфере со сторонами $BC=a,\,CA=b,\,AB=c$ и углами $\alpha,\,\beta,\,\gamma$ соответственно. Обозначим через $\alpha',\,\beta',\,\gamma'$ углы трегольника со сторонами $a,\,b,\,c$ на плоскости. Тогда выполнено неравенство $$\alpha-\alpha'< (\beta-\beta'+(\gamma-\gamma'. \eqno(1_s)$$ {\bf Доказательство.} Обозначим $(a+b+c)=4S$, $S-a/2=X$, $S-b/2=Y$, $S-c/2=Z$, ${\cal E}=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ -- площадь треугольника $ABC$. Неравенство $(1_s)$ равносильно неравенству $\alpha'\ge \alpha-{\cal E}/2$ или, что то же самое, $$\tg \frac{\alpha'}2 > \tg(\alpha/2-{\cal E}/4).\eqno(2_s)$$ Подставляя сюда формулы $$\gathered \tg\frac {\alpha} 2=\sqrt\frac {\sin 2Y \sin 2Z} {\sin 2X \sin 2S},\quad \tg\frac {\cal E}4= \sqrt {\tg S\cdot \tg X\cdot\tg Y\cdot\tg Z },\\ \tg \frac {\alpha'}2= \sqrt {\frac{YZ}{X(X+Y+Z)}} \endgathered$$ (первая формула -- это [5, (28)], вторая -- [6], третья -- [7, (20)]), преобразуем ($2_s$) к виду $$ \frac {\sin Z\sin Y} {\sin X\sin S}\cdot \frac {\cos Y\cos Z-\sin X\sin S}{\cos X\cos S+\sin Y\sin Z}< \sqrt{\frac {YZ} {X(X+Y+Z)}}\cdot\sqrt {\frac {\sin(2Z)\sin(2Y)} {\sin(2X)\sin(2S)}}.\eqno (3_s) $$ Так как $S=X+Y+Z$, имеем $\cos(S-X)=\cos(Y+Z)$, а значит второй сомножитель в левой части ($3_s$) равен 1. Если ввести обозначение $f(x)=x\ctg x$, то ($3_s$) сводится к $$f(Y)f(Z)> f(X)f(X+Y+Z). \eqno(4_s)$$ Поскольку $f'(x)=\frac {\sin (2x)-2x}{2\sin^2 x}<0$ при $0 f(0)f(Y+Z).\eqno(5_s)$$ Имеем $(\ln (f))''(x)= \frac {4}{\sin^2(2x)}\left(\cos(2x)-\frac {\sin^2(2x)}{4x^2}\right)$. Элементарными методами доказывается, что $\cos t< (\frac {\sin t}t)^2$ при $t=2x\in]0,\pi[$. Поэтому функция $\ln (f)$ строго вогнута на $[0,\frac{\pi}2]$, откуда следует ($5_s$).\hfill$\square$\medskip Теперь мы готовы доказать аналоги лемм 4 и 5 для сферы.\medskip {\bf Лемма $2s$}. Пусть $ABC$ -- невырожденный треугольник на сфере. Тогда в обозначениях леммы $1s$ $$ \frac {a+c}{2\pi-\beta}< \frac {a+b+c}{2\pi-{\cal E}}. $$ {\bf Доказательство.} Утверждение следует из цепочки неравенств $$\frac {a+c}{a+b+c}<\frac {2\pi-\beta'}{2\pi}< \frac {2\pi-\beta+{\cal E}/2}{2\pi}\le \frac {2\pi-\beta}{2\pi-{\cal E}}$$ (первое неравенство -- это лемма 4, второе -- лемма 1s, последнее сводится к очевидному $\beta\le \pi+{\cal E}/2$). \hfill$\square$\medskip {\bf Лемма $3s$}. \def\f{\varphi} Рассмотрим на полусфере выпуклый четырехугольник $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Положим $\varphi=\angle AOB$. Обозначим $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$, $BD=m$, $AC=n$, $\angle AOB=\f$. Площади треугольников $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ обозначим ${\cal E}_1$, ${\cal E}_2$, ${\cal E}_3$, ${\cal E}_4$ соответственно и положим ${\cal E}={\cal E}_1+{\cal E}_2+{\cal E}_3+{\cal E}_4$. Тогда $$ \frac {a+c+m+n}{2\pi-({\cal E}_1+{\cal E}_3)+2\f}< \frac {a+b+c+d}{2\pi-{\cal E}}.\eqno(6_s) $$ {\bf Доказательство.} Обозначим $\f'$ угол треугольника на плоскости со сторонами $a$, $AO$, $BO$ напротив стороны $a$. Тогда $$\frac a{AO+BO}>\frac {\f'}{\pi}> \frac {\f-{\cal E}_1/2}{\pi}>\frac {\f-({\cal E}_1+{\cal E}_3)/2}{\pi}, \eqno (7_s)$$ (первое неравенство следует из доказательства леммы 4, второе -- из леммы 1s). Аналогично, $$\frac c{CO+DO}>\frac {\f-({\cal E}_1+{\cal E}_3)/2}{\pi}. \eqno (8_s)$$ Из ($7_s$) и ($8_s$) немедленно следует, что $$x:=\frac {a+c}{m+n}>\frac {\f-({\cal E}_1+{\cal E}_3)/2}{\pi}. $$ Аналогично, $$ y:=\frac {b+d}{m+n}>\frac {\pi-\f-({\cal E}_2+{\cal E}_4)/2}{\pi}. $$ Подставляя в равенство $$ z:=\frac {a+c+m+n}{a+c+b+d}=\frac {x+1}{x+y}=1+\frac {1-y}{x+y} $$ полученные оценки снизу для $x$ и $y$, в силу $y<1$ получаем оценку сверху для $z$. Это дает неравенство $(6_s)$.\hfill$\square$\medskip Изложим вкратце план дальнейшего доказательства теоремы ${\cal S}'$. Рассуждения случаев {\bf a)} и {\bf c)} параграфа 4 переносятся на сферический случай почти без изменений (естественные изменения, связанные с появлением сферического дефекта $\cal E$, лишь улучшают соответствующие неравенства). В случае {\bf b)} следует выбирать номер $i$ таким, чтобы угол, вертикальный к углу $\angle A_{i-1}A_{i+1}A_i$ имел наименьшую площадь пересечения с с полусферой. Угол, вертикальный к $\angle A_iA_{i+2}A_{i+1}$, содержится в угле, вертикальном к $\angle A_{i-1}A_{i+1}A_i$ (в пересечении с полусферой) из-за отсутствия на полуфере сопряженных точек, и это опять же приводит к противоречию. Рассуждения параграфа 5 подвергаются тем же изменениям, что и в случае {\bf c)} параграфа 4.\medskip { \bf Вывод теоремы ${\cal S}$ из теоремы ${\cal S}'$.} Прежде всего заметим, что кривая $\G$ разбивается на конечное число кусков без кратных точек. Действительно, если кусок достаточно малой длины содержит кратные точки, то его поворот не меньше $\pi/2$, поэтому таких кусков не может быть бесконечно много. Пусть $0=t_1