\documentclass[11pt,russian]{article}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amsthm, amssymb, floatflt}
\tolerance 1000
\topmargin -0cm
\textheight=24cm
\textwidth=18cm
\hoffset=-22mm
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}\large

\begin{document}
\large
%\nopagenumbers

\centerline {\LARGE\bf ▌ ё╗╞╝Б╔╖╔ ▒.▀.~▓═║═Г╜╗╙╝╒═}
  \medskip

  \centerline {─.┬.~█═╖═Ю╝╒, ■.┌.~▐╔БЮ╝╒}
  \bigskip

%  \def\frac#1#2{{#1\over #2}}
%  \font\eightrm=cvjournr scaled 850  


  {\small
%  \eightrm
%  █═╖╝╒╔╛ Б═║═Г╜╗═╜╝╛ ╖═╛╙╜ЦБ╝╘ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$ ╜═ ╞╚╝А╙╝АБ╗
%  АЮ╔╓╜╔╔ ═Ю╗Д╛╔Б╗Г╔А╙╝╔ ╛╝╓Ц╚О ╙Ю╗╒╗╖╜К $\Gamma$.
  └╝╙═╖═╜═ ё╗╞╝Б╔╖═ ▒.▀.~▓═║═Г╜╗╙╝╒═ ╝ Б╝╛, ГБ╝ АЮ╔╓╜ОО ═║А╝╚НБ╜═О
  ╙Ю╗╒╗╖╜═ $T(\Gamma)$ ╖═╛╙╜ЦБ╝╘ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$, ╚╔╕═И╔╘ ╒╜ЦБЮ╗
  ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╖═╛╙╜ЦБ╝╘ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma_1$, ║╝╚ЛХ╔ $T(\Gamma_1)$, ╔А╚╗
  $\Gamma\ne k\Gamma_1$.}
 % \bigskip

%  {\centerline 
\section*{1. ▐╝АБ═╜╝╒╙═ ╖═╓═Г╗. ▐╚═╜ ╓╔╘АБ╒╗╘}
%\medskip

  ░═АА╛╝БЮ╗╛ ╜═ ╞╚╝А╙╝АБ╗ ╜═БЦЮ═╚Л╜╝ ╞═Ю═╛╔БЮ╗╖╝╒═╜╜ЦН
  ╖═╛╙╜ЦБЦН ╙Ю╗╒ЦН $\Gamma(s), s\in[0,L(\Gamma)]$. │Ц╓╔╛ ё╝╒╝Ю╗БЛ, ГБ╝
  $\Gamma(s)$ ╞Ю╗╜═╓╚╔╕╗Б ╙╚═ААЦ $BV^1$, ╔А╚╗ А╙╝Ю╝АБЛ $\Gamma'(s)$
  АЦИ╔АБ╒Ц╔Б, ╜╔╞Ю╔ЮК╒╜═ ╒АН╓Ц ╜═ $[0,L(\Gamma)]$, ╖═ ╗А╙╚НГ╔╜╗╔╛
  АГ╔Б╜╝ё╝ Г╗А╚═ Б╝Г╔╙, ╒ ╙╝Б╝ЮКЕ ╗╛╔╔Б ╝╓╜╝АБ╝Ю╝╜╜╗╔ ╞Ю╔╓╔╚К,
  ╗ ╗╛╔╔Б ╙╝╜╔Г╜ЦН ╒═Ю╗═Ф╗Н\footnote%{$^1$}
  {┌═Ю╗═Ф╗О ДЦ╜╙Ф╗╗ $f$, ╓╔╘АБ╒ЦНИ╔╘ ╒ ╔╓╗╜╗Г╜ЦН ╝╙ЮЦ╕╜╝АБЛ, ╝╞Ю╔╓╔╚О╔БАО
  ╙═╙ Б╝Г╜═О ╒╔ЮЕ╜ОО ёЮ═╜Л АЦ╛╛ 
  $\sum_{i=1}^n \rho(f(t_i),f(t_{i-1}))+\rho(f(t_n),f(t_0))$, 
  ╒╖ОБ╝╘ ╞╝ ╒А╔╛ Ю═╖║╗╔╜╗О╛ $t_0<t_1<\dots<t_n$ ╝БЮ╔╖╙═ ╖═╓═╜╗О ДЦ╜╙Ф╗╗ $f$, 
  ╓╚О ╙╝Б╝ЮКЕ $f$ ╝╞Ю╔╓╔╚╔╜═ ╒ Ц╖╚═Е Ю═╖║╗╔╜╗О $t_i$;
  $\rho$ -- ╒╜ЦБЮ╔╜╜ОО ╛╔БЮ╗╙═ ╝╙ЮЦ╕╜╝АБ╗.}. 
  ▐╝╚╜ЦН ╒═Ю╗═Ф╗Н $\Gamma'$ ╜═╖╝╒╔╛ {\it ╞╝╚╜К╛ ╞╝╒╝Ю╝Б╝╛} ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$ ╗ 
  ║Ц╓╔╛ ╝║╝╖╜═Г═БЛ $V(\Gamma)$.

  ▌Б╛╔Б╗╛ А╚╔╓ЦНИ╗╔ А╒╝╘АБ╒═ ╞╝╚╜╝ё╝ ╞╝╒╝Ю╝Б═:

  $1^{\circ}$. └╚О $C^2$-ё╚═╓╙╗Е ╙Ю╗╒КЕ ╞╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б
  Ю═╒╔╜ ╗╜Б╔ёЮ═╚Ц ╝Б ╛╝╓Ц╚О ╙Ю╗╒╗╖╜К ╞╝ ╓╚╗╜╔ ╓Цё╗.

  $2^{\circ}$. ▐╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б ╖═╛╙╜ЦБ╝╘ ╚╝╛═╜╝╘ Ю═╒╔╜
  АЦ╛╛╔ ╒╜╔Х╜╗Е Цё╚╝╒ ╒╝ ╒А╔Е ╒╔ЮХ╗╜═Е ╚╝╛═╜╝╘.

  $3^{\circ}$. ▐╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б ╖═╛╙╜ЦБ╝╘ ╒К╞Ц╙╚╝╘
  ╙Ю╗╒╝╘ АЦИ╔АБ╒Ц╔Б ╗ Ю═╒╔╜ $2\pi$.

  ▌╞Ю╔╓╔╚╗╛ {\it АЮ╔╓╜НН ═║А╝╚НБ╜ЦН ╙Ю╗╒╗╖╜Ц} ╙Ю╗╒╝╘
  $\Gamma\in BV^1$ ╙═╙ ╔╔ ╞╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б, ╓╔╚╔╜╜К╘ ╜═ ╓╚╗╜Ц.

▒.▀.~▓═║═Г╜╗╙╝╒ [1] АД╝Ю╛Ц╚╗Ю╝╒═╚ А╚╔╓ЦНИЦН ё╗╞╝Б╔╖Ц, ╜═╖╒═╜╜ЦН ╗╛
{\it ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝╛ └█┼}:\medskip


{\bf ▓╔╝Ю╔╛═ $\cal P$}. 1. ▒Ю╔╓╜ОО ═║А╝╚НБ╜═О ╙Ю╗╒╗╖╜═ $T(\Gamma)$
  ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma\in BV^1$ ("└█┼", ╚╔╕═И╔╘ ╒╜ЦБЮ╗ ╒К╞Ц╙╚╝╘
  ╖═╛╙╜ЦБ╝╘ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma_1$ ("╙╚╔Б╙╗", ╜╔ ╛╔╜ЛХ╔ $T(\Gamma_1)$.

  {2.} ┘А╚╗ $T(\Gamma)=T(\Gamma_1)$, Б╝ ╙Ю╗╒═О $\Gamma$ ╔АБЛ ╙Ю═Б╜К╘
  ╝║Е╝╓ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma_1$.\medskip

▌║╖╝Ю Ю╔╖Ц╚ЛБ═Б╝╒, А╒О╖═╜╜КЕ А МБ╝╘ ё╗╞╝Б╔╖╝╘ ╗ ╔╔ 
╝║╝║И╔╜╗О╛╗, ╞Ю╗╒╔╓╔╜ ╒ [1]. ▐╔Ю╒═О 
Г═АБЛ Б╔╝Ю╔╛К $\cal P$ ╓╝╙═╖═╜═ ╒ [2].

▄К ╓╝╙═╕╔╛ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ └█┼ ╞╝╚╜╝АБЛН. └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝ 
╞╔Ю╒╝╘ Г═АБ╗ Б╔╝Ю╔╛К $\cal P$ Г═АБ╗Г╜╝ А╚╔╓Ц╔Б [2], ╜╝ О╒╚О╔БАО ║╝╚╔╔ 
╞Ю╝╖Ю═Г╜К╛ ╗ ╙Ю═Б╙╗╛ ╗ ╗А╞╝╚Л╖Ц╔БАО ╞Ю╗ ╓╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╔
╒Б╝Ю╝╘ Г═АБ╗ Б╔╝Ю╔╛К. └╚О ╞╝╚╜╝БК
╗╖╚╝╕╔╜╗О ╛К ╞Ю╗╒╝╓╗╛ 
(╒╝ ╛╜╝ё╝╛ Ц╞Ю╝И╔╜╜К╔) ╓╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒═
╒А╔Е ╗А╞╝╚Л╖Ц╔╛КЕ ╚╔╛╛ ╗╖ [2].
%  \bigskip

%  {\centerline {\bf \S 2. ▐╚═╜ ╓╔╘АБ╒╗╘.}}
\medskip

% ▄К ║Ц╓╔╛ ╞═Ю═╚╚╔╚Л╜╝ ╓╝╙═╖К╒═БЛ Б╔╝Ю╔╛К 1 ╗ 1$^*$.
█╔ Ц╛═╚ОО ╝║И╜╝АБ╗, ╛╝╕╜╝ АГ╗Б═БЛ, ГБ╝ $\Gamma_1$ А╝╒╞═╓═╔Б А ёЮ═╜╗Ф╔╘ ╒К╞Ц╙╚╝╘ 
╝║╝╚╝Г╙╗ $\Gamma$. 

│Ц╓╔╛ ё╝╒╝Ю╗БЛ, ГБ╝ ╙Ю╗╒═О $\widetilde\Gamma$ {\it ╚ЦГХ╔} ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$, 
╔А╚╗ $T(\Gamma)\ge T(\widetilde\Gamma)$, ╗ {\it АБЮ╝ё╝ ╚ЦГХ╔}, ╔А╚╗ 
$T(\Gamma)>T(\widetilde\Gamma)$. ┤═╛╔╜Ц ╙Ю╗╒╝╘ ╜═ ╚ЦГХЦН (А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝ ╜═ 
АБЮ╝ё╝ ╚ЦГХЦН) ╙Ю╗╒ЦН А ╜╔ ║╝╚ЛХ╔╘ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╝╘ ║Ц╓╔╛ ╜═╖К╒═БЛ 
Ц╚ЦГХ╔╜╗╔╛ (А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝ АБЮ╝ё╗╛ Ц╚ЦГХ╔╜╗╔╛) ╙Ю╗╒╝╘. ┤═╛╔Б╗╛, ГБ╝ ╔А╚╗ ╒ 
Ю╔╖Ц╚ЛБ═Б╔ ╞╝А╚╔╓╝╒═Б╔╚Л╜╝АБ╗ Ц╚ЦГХ╔╜╗╘ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$ ╞╝╚ЦГ╔╜ ╙Ю═Б╜К╘ ╝║Е╝╓ 
╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma_1$, ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 1 Б╔╝Ю╔╛К $\cal P$ ╓╚О ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$ 
╓╝╙═╖═╜╝, ═ ╔А╚╗ Е╝БО ║К ╝╓╜╝ ╗╖ Ц╚ЦГХ╔╜╗╘ ║К╚╝ АБЮ╝ё╗╛, ╓╝╙═╖═╜╝ АБЮ╝ё╝╔ 
╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ $T(\Gamma)>T(\Gamma_1)$.

  ▐╔Ю╒К╛ ╓╔╚╝╛ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 1 А╒╝╓╗БАО ╙ А╚ЦГ═Н ╚╝╛═╜КЕ.
  ┤═Б╔╛ ╒╔ЮХ╗╜К ╚╝╛═╜╝╘ "╖═ё╝╜ОНБАО"\ ╜═ ёЮ═╜╗ФЦ (╖╓╔АЛ ╗ ╓═╚╔╔:
  ёЮ═╜╗ФЦ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗). ▐╝А╚╔ МБ╝ё╝
  ╙═╕╓═О А╛╔╜═ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О ╞╝╒╝Ю╝Б═ ╚╝╛═╜╝╘ ╞╝╖╒╝╚О╔Б ╔╔ Ц╚ЦГХ╗БЛ.
  ┼╝╜╔Г╜╝╔ Г╗А╚╝ Б═╙╗Е Ц╚ЦГХ╔╜╗╘ ╞Ю╗╒╝╓╗Б ╙ 
  ╚╝╛═╜╝╘, ╞╝╒╝Ю═Г╗╒═НИ╔╘ Б╝╚Л╙╝
  ╒ ╝╓╜╝╛ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗, ╓╚О ╙╝Б╝Ю╝╘ 
  ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 1 ╞Ю═╙Б╗Г╔А╙╗
  ╝Г╔╒╗╓╜╝. └═╚╔╔ ╛К ╓╝╙═╕╔╛, ГБ╝ 
  ╙═╕╓ЦН ╙Ю╗╒ЦН, ╝Б╚╗Г╜ЦН ╝Б ╜╔А╙╝╚Л╙╝ Ю═╖
  ╝║╝╘╓╔╜╜╝╘ ёЮ═╜╗ФК, ╛╝╕╜╝ АБЮ╝ё╝ Ц╚ЦГХ╗БЛ. ┬╖ МБ╝ё╝ ║Ц╓╔Б А╚╔╓╝╒═БЛ
  ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 2.
%  \bigskip

%  {\centerline 
\section*{2. ▒╒╔╓╔╜╗╔ ╙ ╚╝╛═╜╝╘}
%\medskip

  ┤═╛╔Б╗╛, ГБ╝ ╔А╚╗ ╒ Б╝Г╙╔ Ю═╖ЮК╒═ (А╙═Г╙═) ДЦ╜╙Ф╗╗
  $\Gamma'$ ╓╝╝╞Ю╔╓╔╚╗БЛ $\Gamma'$ ╙═╙ ╞Ю╝╗╖╒╝╚Л╜К╘ ╒╔╙Б╝Ю
  ╜═ ╔╓╗╜╗Г╜╝╘ ╝╙ЮЦ╕╜╝АБ╗, ╚╔╕═И╗╘ ╛╔╕╓Ц\footnote%{$^2$}
{ Б.╔. ╜═ ╛╔╜ЛХ╔╘ ╗╖ ╓╒ЦЕ ╓Цё ╔╓╗╜╗Г╜╝╘ ╝╙ЮЦ╕╜╝АБ╗.} 
  ╚╔╒К╛ ╗ ╞Ю═╒К╛ ╝╓╜╝АБ╝Ю╝╜╜╗╛╗ ╞Ю╔╓╔╚═╛╗ $\Gamma'$, ╒═Ю╗═Ф╗О $\Gamma'$ ╜╔
╗╖╛╔╜╗БАО. └═╚╔╔, ё╝╒╝ЮО ╝ ╛╜╝╕╔АБ╒╔ ╖╜═Г╔╜╗╘ А╙╝Ю╝АБ╗ ╜═ ╜╔╙╝Б╝Ю╝╛
╞╝╓К╜Б╔Ю╒═╚╔ ╖═╓═╜╗О $\Gamma'$, ╛К ║Ц╓╔╛ ╗╛╔БЛ 
╒ ╒╗╓Ц, ГБ╝ ╙ ╛╜╝╕╔АБ╒Ц ╖╜═Г╔╜╗╘
$\Gamma'$ ╒ Б╝Г╙═Е ╜╔╞Ю╔ЮК╒╜╝АБ╗ ╓╝║═╒╚╔╜К ╗╛╔╜╜╝ МБ╗ ╛╜╝╕╔АБ╒═ ╓╝╞ЦАБ╗╛КЕ
╖╜═Г╔╜╗╘ ╒╝ ╒А╔Е Б╝Г╙═Е Ю═╖ЮК╒═. ▀╔ё╙╝ 
╒╗╓╔БЛ, ГБ╝ ╞Ю╗ Б═╙╝╛
╞╝╓Е╝╓╔ ╛╜╝╕╔АБ╒╝ ╖╜═Г╔╜╗╘ А╙╝Ю╝АБ╗ ╜═ ╚Н║╝╛ ╗╜Б╔Ю╒═╚╔ 
╔АБЛ ╓Цё═ ╝╙ЮЦ╕╜╝АБ╗.

█═╛ ╞╝БЮ╔║Ц╔БАО А╚╔╓ЦНИ═О\medskip

{\bf ▀╔╛╛═ 1.} ░═АА╛╝БЮ╗╛ ╓╒╔ Б╝Г╙╗ $A$ ╗ $B$ ╜═ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$.
▐╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$ ╛╔╕╓Ц $A$ ╗ $B$ (Б═╙╝╘ ЦГ═АБ╝╙
║Ц╓╔╛ ╝║╝╖╜═Г═БЛ $\Gamma_{AB}$) ╜╔ ╛╔╜ЛХ╔ $\rho(\Gamma'(A),e)+\rho(\Gamma'(B),e)$,
ё╓╔ $e$ -- ╔╓╗╜╗Г╜К╘ ╒╔╙Б╝Ю, ╜═╞Ю═╒╚╔╜╜К╘ ╒╓╝╚Л ╝БЮ╔╖╙═ $AB$.\medskip
  %▒БЮ╝ё╝ ё╝╒╝ЮО, ╒╛╔АБ╝ $\Gamma'(A)$ ╓╔╚╕╜╝ ║КБЛ $\Gamma'(\Gamma^{-1}(A))$

{\bf └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝.} ┘А╚╗ ╒╔╙Б╝Ю $e$ ╚╔╕╗Б ╒ ╛╜╝╕╔АБ╒╔ ╖╜═Г╔╜╗╘ $\Gamma'$ ╜═
ЦГ═АБ╙╔ ╝Б $A$ ╓╝ $B$, ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ ╝Г╔╒╗╓╜╝ (╓╝АБ═Б╝Г╜╝ Ю═АА╛╝БЮ╔БЛ
Ю═╖║╗╔╜╗╔ $\Gamma_{AB}$, ╒ ╙╝Б╝Ю╝╛ Ц╖╚═╛╗ ║Ц╓ЦБ $A,\,B$ ╗ Б╝Г╙═ $C$,
╓╚О ╙╝Б╝Ю╝╘ $\Gamma'(C)=e$).
  %▓╔╝Ю╔╛═ ░╝╚╚О ╜╔ ЦБ╒╔Ю╕╓═╔Б, ГБ╝ МБ╝Б А╚ЦГ═╘ ╒А╔ё╓═ ╗╛╔╔Б ╛╔АБ╝.
┌ ╞Ю╝Б╗╒╜╝╛ А╚ЦГ═╔ ╛╜╝╕╔АБ╒╝ ╖╜═Г╔╜╗╘ $\Gamma'$ ╝Б $A$ ╓╝ $B$ -- ╓Цё═, ╜╔
╛╔╜ЛХ═О ╞╝╚Ц╝╙ЮЦ╕╜╝АБ╗ (╗╜═Г╔ ╛╝╕╜╝ ║К╚╝ ║К ╞╝АБЮ╝╗БЛ ╞╝╚Ц╞╚╝А╙╝АБЛ,
А╝╓╔Ю╕═ИЦН МБ╝ ╛╜╝╕╔АБ╒╝ ╖╜═Г╔╜╗╘ ╗ ╜╔ А╝╓╔Ю╕═ИЦН ╒╔╙Б╝Ю
$\overline{AB}$). ░═АА╛╝БЮ╔╒ Ю═╖║╗╔╜╗╔ $\Gamma_{AB}$, ╒ ╙╝Б╝Ю╝╛
╒ ╙═Г╔АБ╒╔ Ц╖╚╝╒ ╒АБЮ╔Г═НБАО Б╝Г╙╗ А ╙Ю═╘╜╗╛╗ ╞╝╚╝╕╔╜╗О╛╗
А╙╝Ю╝АБ╗, ╞╝╚ЦГ╗╛, ГБ╝ ╞╝╒╝Ю╝Б $\Gamma'$ ╝Б $A$ ╓╝ $B$ ╜╔ ╛╔╜ЛХ╔
║╝╚ЛХ╔╘ ╓Цё╗ ╛╔╕╓Ц $\Gamma'(A)$ ╗ $\Gamma'(B)$, ГБ╝ ╓╝╙═╖К╒═╔Б ╚╔╛╛Ц ╗ ╒ МБ╝╛
А╚ЦГ═╔.\hfill$\square$\medskip

{\bf ▀╔╛╛═ 2.} ▐ЦАБЛ ╓╚О ╜╔╙╝Б╝Ю╝╘ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 1 Б╔╝Ю╔╛К 
$\cal P$ ╜╔ ╒К╞╝╚╜╔╜╝. ▓╝ё╓═ АЦИ╔АБ╒Ц╔Б ╚╝╛═╜═О, ╓╚О ╙╝Б╝Ю╝╘ ╝╜╝ Б═╙╕╔ ╜╔ 
╒К╞╝╚╜╔╜╝.\medskip

{\bf └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝.} ▐╝ ЦА╚╝╒╗Н $T(\Gamma)<T(\Gamma_1)$. ┌╞╗Х╔╛ ╒ $\Gamma$ ╚╝╛═╜ЦН
$\Delta$, ╓╚╗╜═ ╙╝Б╝Ю╝╘ ╓╝АБ═Б╝Г╜╝ ║╚╗╖╙═ ╙ ╓╚╗╜╔ $\Gamma$ (╗╛╔╜╜╝,
$L(\Delta)> L(\Gamma)\cdot \frac {T(\Gamma)}{ T(\Gamma_1)}$). ▌Г╔╒╗╓╜╝, ╒К╞Ц╙╚═О ╝║╝╚╝Г╙═ 
$\Delta$ (╝║╝╖╜═Г╗╛ ╔╔ ёЮ═╜╗ФЦ $\Delta_1$) ╚╔╕╗Б ╒ $\Gamma_1$.

└╝╙═╕╔╛, ГБ╝ $V(\Delta)\le V(\Gamma)$. └╚О МБ╝ё╝ ╓╝АБ═Б╝Г╜╝ А╚╝╕╗БЛ
╜╔Ю═╒╔╜АБ╒═ ╚╔╛╛К 1 ╞╝ ╒А╔╛ ╖╒╔╜ЛО╛ $\Delta$ ╗ ╖═Б╔╛ 
╞Ю╗╛╔╜╗БЛ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙═.

▌БАН╓═
$$T(\Delta)=\frac {V(\Delta)}{ L(\Delta)}
<\frac {V(\Gamma)}{L(\Gamma)}\cdot \frac 
{T(\Gamma_1)}{ T(\Gamma)}=T(\Gamma_1)\le T(\Delta_1),$$

\noindent ╗ ╚╔╛╛═ ╓╝╙═╖═╜═. \hfill$\square$\medskip

└╚О ╖═╛╙╜ЦБ╝╘ ╚╝╛═╜╝╘ $A_1A_2\dots A_nA_1$ ╝║╝╖╜═Г╗╛ $L$ ╔╔ ╓╚╗╜Ц, $P$ --
╞╔Ю╗╛╔БЮ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗ ╗ $V:=\sum_{i=1}^n(\pi-\angle A_{i-1}A_iA_{i+1})$
-- ╞╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б (╜Ц╛╔Ю═Ф╗О ╗╜╓╔╙А╝╒ Ф╗╙╚╗Г╔А╙═О ╞╝ ╛╝╓Ц╚Н $n$).
│Ц╓╔╛ ╞Ю╔╓╞╝╚═ё═БЛ, ГБ╝ ╜╗ ╝╓╜═ ╗╖ ╒╔ЮХ╗╜ $A_i$ ╚╝╛═╜╝╘ %$A_1A_2\dots A_n$
╜╔ ╚╔╕╗Б ╜═ ╝БЮ╔╖╙╔ $[A_{i-1}A_{i+1}]$. ┘А╚╗ Ц ╝╓╜╝╘ ╗╖ ╞╝╚ЦГ═╔╛КЕ ╒
╞Ю╝Ф╔АА╔ Ц╚ЦГХ╔╜╗О ╚╝╛═╜КЕ ╞╝О╒ОБАО Б═╙╗╔ ╒╔ЮХ╗╜К, АЮ═╖Ц ║Ц╓╔╛ ╗Е Ц╓═╚ОБЛ.

▒ ЦГ╔Б╝╛ ╒╒╔╓╔╜╜КЕ ╝║╝╖╜═Г╔╜╗╘ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 1 Б╔╝Ю╔╛К $\cal P$ 
╞╔Ю╔Д╝Ю╛Ц╚╗ЮЦ╔БАО ╓╚О ╚╝╛═╜КЕ Б═╙:\medskip

{\bf ▀╔╛╛═ 3.} $\displaystyle{\frac {L}{ V}\le \frac {P}{ 2\pi}}$.\medskip

┤═╛╔Б╗╛, ГБ╝ ╗╖ ╚╔╛╛ 2 ╗ 3 А╚╔╓Ц╔Б ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 1 ╒ ╝║И╔╛ А╚ЦГ═╔.
%  \bigskip

%  {\centerline 
\section*{3. ≈╔БКЮ╔Е╖╒╔╜╜К╔ ╚╝╛═╜К╔}
%\medskip

└╝╙═╕╔╛ ╓╒╔ ╚╔╛╛К, ╙╝Б╝ЮК╔ А╝АБ═╒╚ОНБ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ ╚╔╛╛К 3 ╓╚О Г╔БКЮ╔Е╖╒╔╜╜КЕ 
╚╝╛═╜КЕ ╗, ╙Ю╝╛╔ Б╝ё╝, ╒ ╓═╚Л╜╔╘Х╔╛ ║Ц╓ЦБ ╗А╞╝╚Л╖╝╒═БЛАО ╓╚О Ц╚ЦГХ╔╜╗О 
╞Ю╝╗╖╒╝╚Л╜╝╘ ╚╝╛═╜╝╘.

{\bf ▀╔╛╛═ 4.} ┌ БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙╔ $ABC$ ╒К╞╝╚╜╔╜╝ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ 
$$\frac {AB+BC}{ 2\pi-\beta}< \frac {AB+BC+AC}{ 2 \pi},\eqno(1)$$

\noindent  ё╓╔ $\beta=\angle ABC$.\medskip

{\bf └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝.} ▐╝ Б╔╝Ю╔╛╔ А╗╜ЦА╝╒ ╗╛╔╔╛ 
%\begin{multline*}
$$\frac {AB+BC}{ AC}=
  \frac {\sin \angle A+\sin \angle C}{ \sin \beta}=
  \frac {2\sin(\frac {\angle A+\angle C}{ 2})
  \cos(\frac {\angle A-\angle C}{ 2})}{ 2\sin \frac {\beta}{ 2}
  \cos\frac{\beta}{2}}%=\\
 =\frac {\cos(\frac {\angle A-\angle C}{ 2})}{ \sin\frac {\beta}{ 2}}\le
\frac {1}{\sin\frac {\beta}{ 2}}.$$
%\end{multline*}

 ┬╖ ╒К╞Ц╙╚╝АБ╗ А╗╜ЦА═ ╜═ $]0,\pi/2[$ ╗╛╔╔╛ $\sin \frac {\beta }{ 2}>
  \frac {\beta}{ \pi}$. ▐╝МБ╝╛Ц
$$\frac {AB+BC}{ AC}<  \frac {\pi}{ \beta}< \frac {2\pi-\beta}{ \beta},$$

\noindent ГБ╝ Ю═╒╜╝А╗╚Л╜╝ (1). \hfill$\square$\medskip

  {\bf ▀╔╛╛═ 5.} ▐ЦАБЛ $ABCD$ -- ╒К╞Ц╙╚К╘ Г╔БКЮ╔ЕЦё╝╚Л╜╗╙, ╓╗═ё╝╜═╚╗ ╙╝Б╝Ю╝ё╝ 
  ╞╔Ю╔А╔╙═НБАО ╒ Б╝Г╙╔ $O$. ▐╝╚╝╕╗╛ $\varphi=\angle AOB$. ▓╝ё╓═
$$\frac {AB+BD+DC+CA}{ 2(\pi+\varphi)}< 
\frac {AB+BC+CD+DA}{ 2\pi}.\eqno(2)$$

{\bf └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝.} ▐╝ ╚╔╛╛╔ 4 ╗╛╔╔╛ $AB> \frac {\varphi}{\pi}(AO+OB)$,
$CD> \frac {\varphi}{\pi}(CO+OD)$. ▒╙╚═╓К╒═О, ╞╝╚ЦГ═╔╛ 
$AB+CD> \frac {\varphi}{\pi}(AC+BD)$. 

─╜═╚╝ё╗Г╜╝, $BC+AD>(1-\frac {\varphi}{\pi})(AC+BD)$. ▐╝МБ╝╛Ц
$$\frac {\varphi}{\pi}\cdot \frac {AB+CD}{AC+BD}+
(1+\frac {\varphi}{\pi})\cdot
\frac {BC+DA}{AC+BD}>\frac {\varphi}{\pi}\cdot\frac {\varphi}{\pi}+
(1+\frac {\varphi}{\pi})\cdot(1-\frac {\varphi}{\pi})=1.%\eqno(2) 
$$

\noindent ▌БАН╓═
$$
\frac {AB+CD} {AC+BD}+1< (1+\frac {\varphi}{\pi})
(\frac {AB+CD}{AC+BD}+\frac {BC+DA}{AC+BD}),
$$

\noindent ГБ╝ Ю═╒╜╝А╗╚Л╜╝ (2). \hfill$\square$\medskip

┼ ╚╔╛╛═╛ 4 ╗ 5 А╒╝╓ОБАО Г═АБ╜К╔ А╚ЦГ═╗ ╚╔╛╛К 3 ╓╚О А╚ЦГ═О
╒╝ё╜ЦБ╝ё╝ ╗ А═╛╝╞╔Ю╔А╔╙═НИ╔ё╝cО Г╔БКЮ╔ЕЦё╝╚Л╜╗╙═ А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝.
  \medskip

{\it ┤═╛╔Г═╜╗╔ 1.} █╔Ю═╒╔╜АБ╒═ (1) ╗ (2) (А╝ ╖╜═╙╝╛ $\le$) ╒К╞╝╚╜╔╜К ╗ ╓╚О 
╒КЮ╝╕╓╔╜╜КЕ БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙═ $ABC$ ╗ Г╔БКЮ╔ЕЦё╝╚Л╜╗╙═ $ABCD$ А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝.
%\bigskip

%  {\centerline 
\section*{4. ▐╔Ю╔╛╔И╔╜╗╔ ╒╔ЮХ╗╜ ╜═ ёЮ═╜╗ФЦ}
%\medskip

  ┌ МБ╝╛ ╞Ц╜╙Б╔ ╛К А╒╔╓╔╛ ╚╔╛╛Ц 3 ╙ А╚ЦГ═Н, ╙╝ё╓═ ╒А╔ ╒╔ЮХ╗╜К
╚╝╛═╜╝╘ ╚╔╕═Б ╜═ ёЮ═╜╗Ф╔ ╔╔ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗. \smallskip

▐ЦАБЛ ╒╔ЮХ╗╜═ $A_i$ ╚╔╕╗Б АБЮ╝ё╝ ╒╜ЦБЮ╗ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗.
░═╖║╔Ю╔╛ БЮ╗ А╚ЦГ═О.
   
▒╚ЦГ═╘ {\bf a)}.  ┘А╚╗ Б╝Г╙╗ $A_{i-1}$ ╗ $A_{i+2}$
  ╚╔╕═Б ╞╝ ╝╓╜Ц АБ╝Ю╝╜Ц ╝Б ╞ЮО╛╝╘ $A_iA_{i+1}$, ╚╝╛═╜ЦН
  ╛╝╕╜╝ АБЮ╝ё╝ Ц╚ЦГХ╗БЛ, Ц╒╔╚╗Г╗╒ ╓╚╗╜Ц ╗ ╜╔ ╗╖╛╔╜╗╒ ╞╝╒╝Ю╝Б═,
  ╞╝╓╒╗╜Ц╒ ╒╔ЮХ╗╜Ц $A_i$ ╖═ ╝БЮ╔╖╝╙ $A_{i-1}A_i$,
  ╞╝╙═ ╝╜═ ╜╔ ╜═Б╙╜╔БАО ╚╗║╝ ╜═ ёЮ═╜╗ФЦ, ╚╗║╝ ╜═ ╞Ю╝╓╝╚╕╔╜╗╔
  ╝БЮ╔╖╙═ $A_{i+1}A_{i+2}$. ▓╔╛ А═╛К╛ ╛К ╞╝╚ЦГ╗╛ ╚ЦГХЦН ╚╝╛═╜ЦН 
  А ╛╔╜ЛХ╗╛ ╙╝╚╗Г╔АБ╒╝╛ ╒╔ЮХ╗╜ ╒╜ЦБЮ╗ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗ (╒╝╖╛╝╕╜╝,
  Ц╛╔╜ЛХ╗БАО ╗ ╝║И╔╔ ╙╝╚╗Г╔АБ╒╝ ╒╔ЮХ╗╜). ─╜═╚╝ё╗Г╜К╛ ╝║Ю═╖╝╛ ╞╝АБЦ╞╗╛,
  ╔А╚╗ $A_{i+1}$ ╗ $A_{i-2}$ ╚╔╕═Б ╞╝ ╝╓╜Ц
  АБ╝Ю╝╜Ц ╝Б $A_iA_{i-1}$.
  
▒╚ЦГ═╘ {\bf b)}.  ▐Ю╔╓╞╝╚╝╕╗╛ Б╔╞╔ЮЛ, ГБ╝ Б╝Г╙╗ $A_{i-1}$ ╗ $A_{i+2}$
  ╚╔╕═Б ╞╝ Ю═╖╜К╔ АБ╝Ю╝╜К ╝Б ╞ЮО╛╝╘ $A_iA_{i+1}$;
  ═ Б╝Г╙╗ $A_{i+1}$ ╗ $A_{i-2}$ -- ╞╝ Ю═╖╜К╔ АБ╝Ю╝╜К ╝Б
  ╞ЮО╛╝╘ $A_iA_{i-1}$.

  %▐Ю╝╒╔╓╔╛ Г╔Ю╔╖ $A_{i+1}$ ╗ $A_{i-1}$ ╚ЦГ╗
  %$L$ ╗ $k$ ╒ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗ОЕ $\overline{A_{i-1}A_i}$
  %╗ $\overline{A_{i+1}A_i}$ А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝.
  %┘А╚╗ $A_{i+2}$ ╜╔ ╚╔╕╗Б ╒ Цё╚╔ $A_iA_{i+1}L$ (═ ╚╔╕╗Б ╒
  %╓╝╞╝╚╜╗Б╔╚Л╜╝╛ Цё╚╔), 

  ▐ЦАБЛ Б╝Г╙╗ $A_{i-2}$ ╗
  $A_{i+2}$ ╚╔╕═Б ╒ Цё╚═Е, ╓╝╞╝╚╜╗Б╔╚Л╜КЕ
  (╞╝ АБ╝Ю╝╜╔, А╝╓╔Ю╕═И╔╘ Б╝Г╙Ц $A_i$) 
  ╙ $\angle A_{i+1}A_{i-1}A_i$ ╗ 
  $\angle A_{i-1}A_{i+1}A_i$ А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝.
  ░═АА╛╝БЮ╗╛ ╚╝╛═╜ЦН, ╞╝╚ЦГ═НИЦНАО ╗╖ $A_1A_2\dots A_n$
  ╖═╛╔╜╝╘ ╖╒╔╜Л╔╒ $A_{i-1}A_i$ ╗ $A_iA_{i+1}$ ╜═ ╝╓╜╝
  ╖╒╔╜╝ $A_{i-1}A_{i+1}$. ▐Ю╔╓╞╝╚╝╕╗╛, ГБ╝ ╗АЕ╝╓╜═О ╚╝╛═╜═О ╜╔ 
  Ц╓╝╒╚╔Б╒╝ЮО╔Б ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒Ц ╚╔╛╛К 3, ═ ╜╝╒═О -- Ц╓╝╒╚╔Б╒╝ЮО╔Б,
  Б╝ ╔АБЛ ╗╛╔╔Б ╛╔АБ╝ ╓╒╝╘╜╝╔ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝
  $$\frac {L}{ V}> \frac {P}{ 2\pi}\ge
  \frac {L-(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1})}{
  V-2(\pi-\beta)},\eqno(3)$$
  ё╓╔ $\beta:=\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$.
  ▓╝ё╓═
  $$P\cdot V-2(\pi-\beta)\cdot P+
  2\pi(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1})\ge
  2\pi L> P\cdot V,$$
  ╝Б╙Ц╓═ 
  \begin{multline*}
  2\pi(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1})
  > 2(\pi-\beta) P\ge\\
  \ge2(\pi-\beta)(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}+A_{i-1}A_{i+1}),
  \end{multline*}
  ГБ╝ ╞Ю╝Б╗╒╝Ю╔Г╗Б ╚╔╛╛╔ 4. ▐╝МБ╝╛Ц ╜╝╒═О ╚╝╛═╜═О 
  Б═╙╕╔ О╒╚О╔БАО ╙╝╜БЮ╞Ю╗╛╔Ю╝╛ ╙ ╚╔╛╛╔ 3 ╗ ╗╛╔╔Б
  ╛╔╜ЛХ╔╔ ╙╝╚╗Г╔АБ╒╝ ╒╜ЦБЮ╔╜╜╗Е ╒╔ЮХ╗╜. 
                                                          
▌АБ═╚╝АЛ Ю═АА╛╝БЮ╔БЛ А╚ЦГ═╘ {\bf c)}, ╙╝ё╓═, А╙═╕╔╛, $A_{i+2}$ ╗ $A_i$ 
╚╔╕═Б ╞╝ Ю═╖╜К╔ АБ╝Ю╝╜К ╝Б 
╞ЮО╛╝╘ $A_{i-1}A_{i+1}$ (╒ МБ╝╛ А╚ЦГ═╔ ╒╔ЮХ╗╜═ $A_{i+1}$ Б═╙╕╔ ╚╔╕╗Б 
АБЮ╝ё╝ ╒╜ЦБЮ╗ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗). █╔ Ц╛═╚ОО ╝║И╜╝АБ╗, 
Цё╝╚ $A_{i-1}A_{i+1}A_i$ --- 
╜═╗╛╔╜ЛХ╗╘ ╓╚О ╒А╔Е ╜╝╛╔Ю╝╒ $i$, ╝║╚═╓═НИ╗Е
Б═╙╗╛ А╒╝╘АБ╒╝╛. ┤═╛╔╜╗╛ $i$ ╜═ $i+1$ ╗ 
Ю═╖║╔Ю╔╛ ═╜═╚╝ё╗Г╜К╔ А╚ЦГ═╗. ▓╝Г╙═ $A_{i-1}$
╚╔╕╗Б ╒ Цё╚╔, ╓╝╞╝╚╜╗Б╔╚Л╜╝╛ ╙ $A_iA_{i+2}A_{i+1}$
╞╝ АБ╝Ю╝╜╔ $A_iA_{i+1}$. ┘А╚╗ Б╝Г╙═ $A_{i+3}$ 
╜╔ ╚╔╕╗Б ╒ Цё╚╔, ╒╔ЮБ╗╙═╚Л╜╝╛ ╙ Цё╚Ц 
$A_{i+1}A_{i+2}A_i$, ╚╝╛═╜═О Ц╚ЦГХ═╔БАО Б═╙, ╙═╙ Ц╕╔ ╞╝╙═╖═╜╝
(А ╖═╛╔╜╝╘ $i$ ╜═ $i+1$). ┘А╚╗ ╕╔ Б╝Г╙═ $A_{i+3}$
╚╔╕╗Б ╒ МБ╝╛ Цё╚╔, ╞╝╚ЦГ═╔╛ ╞Ю╝Б╗╒╝Ю╔Г╗╔ А ╒К║╝Ю╝╛
$i$: Цё╝╚ $\angle A_iA_{i+2}A_{i+1}$ ╛╔╜ЛХ╔, 
Г╔╛ $\angle A_iA_{i+1}A_{i-1}$ (Б═╙ ╙═╙ 
$\angle A_iA_{i+1}A_{i_1}+
\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}
>\angle A_iA_{i+2}A_{i+1}+
\angle A_iA_{i+1}A_{i+2}$).


  ┬Б═╙, ╖═ ╙╝╜╔Г╜╝╔ Г╗А╚╝ Х═ё╝╒ ╓╔╚╝ А╒╝╓╗БАО ╙ А╚ЦГ═Н, ╙╝ё╓═
  ╒А╔ ╒╔ЮХ╗╜К $A_i$ ╚╝╛═╜╝╘ $A_1A_2\dots A_n$ ╚╔╕═Б ╜═ ёЮ═╜╗Ф╔
  ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗.
%  \bigskip

%  {\centerline
\section*{5. ⌠╛╔╜ЛХ╔╜╗╔ ╙╝╚╗Г╔АБ╒═ ╞╔Ю╔╛╔╜ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О}
%\medskip

  ┌╒╔╓╔╛ ╜═ ╞╚╝А╙╝АБ╗ ╝Ю╗╔╜Б═Ф╗Н. │Ц╓╔╛ ё╝╒╝Ю╗БЛ,
  ГБ╝ ╚╝╛═╜═О $A_1A_2\dots A_n$ ╒ ╒╔ЮХ╗╜╔ $A_i$ ╞╝╒╝Ю═Г╗╒═╔Б
  ╒╞Ю═╒╝, ╔А╚╗ ║═╖╗А
  $\overline{A_{i-1}A_i},\, \overline{A_iA_{i+1}}$
  ╝БЮ╗Ф═Б╔╚Л╜╝ ╝Ю╗╔╜Б╗Ю╝╒═╜. ┌ ╞Ю╝Б╗╒╜╝╛ А╚ЦГ═╔
  (╒ Г═АБ╜╝АБ╗, ╔А╚╗ ╒╔╙Б╝ЮК $\overline{A_iA_{i-1}}$ ╗ 
$\overline{A_iA_{i+1}}$ А╝╜═╞Ю═╒╚╔╜К)
  ║Ц╓╔╛ ё╝╒╝Ю╗БЛ, ГБ╝ ╚╝╛═╜═О ╒ ╒╔ЮХ╗╜╔ $A_i$
  ╞╝╒╝Ю═Г╗╒═╔Б ╒╚╔╒╝. 
   
%  ┌ МБ╝╛ ╞Ц╜╙Б╔ ╛К ╒╔╓╔╛ ╗╜╓Ц╙Ф╗Н ╞╝ ╙╝╚╗Г╔АБ╒Ц
%  ╞╔Ю╔╛╔╜ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О ╞╝╒╝Ю╝Б╝╒ ╚╝╛═╜╝╘.

  ┘А╚╗ ╚╝╛═╜═О ╓╒═╕╓К ╞╝╓ЮО╓ ╞╝╒╝Ю═Г╗╒═╔Б ╒ ╝╓╜╝╛
  ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗, Б╝ ╖╒╔╜╝ ╛╔╕╓Ц МБ╗╛╗ ╞╝╒╝Ю╝Б═╛╗
  ╛╝╕╜╝ ╖═╛╔╜╗БЛ ╜═ ЦГ═АБ╝╙ ёЮ═╜╗ФК ╒ Б╝╛ ╕╔ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗ --
  ╚╝╛═╜═О Ц╚ЦГХ╗БАО. █═╖╝╒╔╛ МБЦ ╝╞╔Ю═Ф╗Н ╒КБОё╗╒═╜╗╔╛
  ╚╝╛═╜╝╘.\medskip

  {\bf ▀╔╛╛═ 6.} ▐Ю╔╓╞╝╚╝╕╗╛, ГБ╝ ╜╔А╙╝╚Л╙╝
  ╞╝А╚╔╓╝╒═Б╔╚Л╜КЕ ╖╒╔╜Л╔╒ ╜═Х╔╘ ╚╝╛═╜╝╘ ╝║Ю═╖ЦНБ
  ╞╝╚╜К╘ ╝║Е╝╓ ёЮ═╜╗ФК, ╞Ю╗Г╔╛ ╞╔Ю╒╝╔ ╗ ╞╝А╚╔╓╜╔╔ Ю╔║Ю╝
  ЦГ═АБ╙═ А╝╒╞═╓═НБ (Б╝ ╔АБЛ ёЮ═╜╗Ф═ -- ╛╜╝ё╝Цё╝╚Л╜╗╙
  $C_1C_2\dots C_m$, ═ ╒ ╚╝╛═╜╝╘ ╔АБЛ ЦГ═АБ╝╙
  $XC_1C_2\dots C_mC_1C_2Y$).
  ▓╝ё╓═ ╗АБ╗╜╜╝АБЛ ╚╔╛╛К 3
  ╓╚О Б═╙╝╘ ╚╝╛═╜╝╘ Ю═╒╜╝А╗╚Л╜╝ ╔╔ ╗АБ╗╜╜╝АБ╗
  ╓╚О ╚╝╛═╜╝╘, ╒ ╙╝Б╝Ю╝╘ ╝║Е╝╓ ╗А╙╚НГ╔╜
  (Б╝ ╔АБЛ ╓╚О ╚╝╛═╜╝╘, ╒ ╙╝Б╝Ю╝╘ Ц╙═╖═╜╜К╘ ЦГ═АБ╝╙ ╖═╛╔╜╔╜ ╜═ 
  $XC_1C_2Y$). \medskip

  {\bf └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝.} ▀╔ё╙╝ ╒╗╓╔БЛ, ГБ╝ ╞╔Ю╗╛╔БЮ
  ╚╝╛═╜╝╘, ╞╝╚ЦГ╔╜╜╝╘ ╞╝А╚╔ Ц╓═╚╔╜╗О 
  ╝║Е╝╓═, Ю═╒╔╜ $L-P$, ═ ╞╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б --
  $V-2\pi$% (╞╝╒╝Ю╝Б Ц╛╔╜ЛХ╗БАО
%  ╜═ АЦ╛╛Ц ╒╜╔Х╜╗Е Цё╚╝╒ ╒К╞Ц╙╚╝ё╝ ╛╜╝ё╝Цё╝╚Л╜╗╙═
%  $C_1C_2\dots C_n$; ╒╜╔Х╜╗╔ Цё╚К ╞Ю╗ ╝АБ═╒╚╔╜╜КЕ Ю╔║Ю═Е 
%  ╜╔ ╗╖╛╔╜ОБАО, Б═╙ ГБ╝ ╞Ю╗╛╔╜ОБЛ ╙ ╜╝╒╝╘
%  ╚╝╛═╜╝╘ ╝╞╔Ю═Ф╗Н ╒КБОё╗╒═╜╗О ╜╔ ╞╝БЮ╔║Ц╔БАО)
. ⌠Б╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ ╚╔╛╛К 3 ╓╚О ╜╝╒╝╘ ╚╝╛═╜╝╘ ╖═╞╗АК╒═╔БАО ╒ ╒╗╓╔
  ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒═ $\frac{L-P}{V-2\pi}\le \frac{P}{2\pi}$, 
  Ю═╒╜╝А╗╚Л╜╝ё╝ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗Н ╚╔╛╛К 3 ╓╚О ╗АЕ╝╓╜╝╘ 
  ╚╝╛═╜╝╘.\hfill$\square$\medskip 

  │Ц╓╔╛ ╞╝╒Б╝ЮОБЛ ╝╞╔Ю═Ф╗Н ╚╔╛╛К 6 ╓╝ Б╔Е ╞╝Ю,
  ╞╝╙═ МБ╝ ╒╝╖╛╝╕╜╝. ²Б╝Б ╞Ю╝Ф╔АА ╙╝ё╓═-╜╗║Ц╓Л
  ╞Ю╔╙Ю═Б╗БАО: ╗╖ ╚╝╛═╜╝╘ ╜═ ╙═╕╓╝╛ Х═ё╔ Ц║╗Ю═НБАО 
  ╜╔╙╝Б╝ЮК╔ ╖╒╔╜ЛО ╗ ╜╔ ╓╝║═╒╚О╔БАО ╜╝╒КЕ.
  ┤═╛╔Б╗╛, ГБ╝ ╙╝╚╗Г╔АБ╒╝ ╞╔Ю╔╛╔╜ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О ╜╔ ║Ц╓╔Б
  ╗╖╛╔╜ОБЛАО. 
   
  ▓╔╞╔ЮЛ ╚╝╛═╜═О Ю═╖║╗╒═╔БАО ╜═ ЦГ═АБ╙╗ А ╞╝╒╝Ю╝Б═╛╗ ╒ ╝╓╜Ц АБ╝Ю╝╜Ц, ╞Ю╗Г╔╛ 
  ╜═ ╙═╕╓╝╛ ЦГ═АБ╙╔ ╒А╔ Ю╔║Ю═, ╙Ю╝╛╔ -- ╒╝╖╛╝╕╜╝ -- ╞╔Ю╒╝ё╝ ╗ ╞╝А╚╔╓╜╔ё╝,
  ╗╓ЦБ ╞╝ ёЮ═╜╗Ф╔ (╜╝, ║╚═ё╝╓═ЮО ╚╔╛╛╔ 6, ╜╔ ╞╝╒Б╝ЮОНБАО).

  │Ц╓╔╛ ╞Ю╝╒╝╓╗БЛ Б═╙ЦН ╝╞╔Ю═Ф╗Н: ╒╝╖Л╛╔╛ ЦГ═АБ╝╙ 
$A_iA_{i+1}\dots A_k$, А╝АБ╝ОИ╗╘, ╓╚О ╝╞Ю╔╓╔╚╔╜╜╝АБ╗, ╗╖ ╞╝╒╝Ю╝Б╝╒ ╒╚╔╒╝; 
╗╛╔╜╜╝, ╞╝╒╝Ю╝БК ╒ ╒╔ЮХ╗╜═Е $A_{i+1}$, $A_{i+2},\dots$, $A_{k-1}$
╜═╞Ю═╒╚╔╜К ╒╚╔╒╝, ═ ╒ $A_i$ ╗ $A_k$ ╒╞Ю═╒╝. %┌╔╚╗╙ ╛╝ёЦГ╗╛ ЮЦАА╙╗╘ О╖К╙═
┤═╛╔╜╗╛ $A_iA_{i+1}\dots A_k$ ╜═ ЦГ═АБ╝╙ ёЮ═╜╗ФК $A_i..A_k$, ╝║Е╝╓ОИ╗╘ 
ёЮ═╜╗ФЦ ╒ ╞Ю╝Б╗╒╝╞╝╚╝╕╜╝╛ (╒ ╓═╜╜╝╛ А╚ЦГ═╔ ╝БЮ╗Ф═Б╔╚Л╜╝╛) ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗. 
┼╝╚╗Г╔АБ╒╝ ╞╔Ю╔╛╔╜ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О ╞╝╒╝Ю╝Б═ ╞Ю╗ МБ╝╘ ╝╞╔Ю═Ф╗╗ Ц╛╔╜ЛХ═╔БАО. 

▐Ю╔╓╞╝╚╝╕╗╛, ГБ╝ ╗АЕ╝╓╜═О ╚╝╛═╜═О ╜╔ Ц╓╝╒╚╔Б╒╝ЮО╔Б ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒Ц ╚╔╛╛К 3. 
▐╝╙═╕╔╛, ГБ╝ Б╝ё╓═ ╗ ╜╝╒═О ╚╝╛═╜═О ╜╔ Ц╓╝╒╚╔Б╒╝ЮО╔Б МБ╝╛Ц ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒Ц. 
█╔╝║Е╝╓╗╛╝ ╞Ю╝╒╔Ю╗БЛ 6 Ю═╖╜КЕ А╚ЦГ═╔╒, ╝╞Ю╔╓╔╚О╔╛КЕ ╞╝ЮО╓╙╝╛ А╚╔╓╝╒═╜╗О 
╒╔ЮХ╗╜ $A_i$, $A_{i+1}$, $A_{k-1}$, $A_k$ ╞Ю╗ ╝║Е╝╓╔ ёЮ═╜╗ФК ╒ ╞╝╚╝╕╗Б╔╚Л╜╝╛ 
╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗: %(А╛. Ю╗АЦ╜╙╗). 

  $1^{\circ}$. $A_iA_{i+1}A_{k-1}A_k$;

$2^{\circ}$. $A_iA_kA_{i+1}A_{k-1}$;

$3^{\circ}$. $A_iA_{i+1}A_kA_{k-1}$;

$4^{\circ}$. $A_iA_{k-1}A_kA_{i+1}$;

$5^{\circ}$. $A_iA_{k-1}A_{i+1}A_k$;

$6^{\circ}$. $A_iA_{k-1}A_kA_{i+1}$.

▒╚ЦГ═╗ 3 ╗ 4 ╞╔Ю╔╒╝╓ОБАО ╓ЮЦё ╒ ╓ЮЦё═ ╞╔Ю╔╝║╝╖╜═Г╔╜╗О╛╗ ╗ А╗╛╛╔БЮ╗╔╘. 
▌║╝╖╜═Г╗╛ $s$ ╓╚╗╜Ц ╚╝╛═╜╝╘ $A_iA_{i+1}\dots A_k$, ═ $s'$ -- ╓╚╗╜Ц ╜╝╒╝ё╝ 
ЦГ═АБ╙═.\medskip

\begin{floatingfigure}{240pt}

\begin{picture}(220,170)(0,70)

\put(15,195){$A_i$}
\put(20,130){$A_{i+1}$}
\put(180,145){$A_{k-1}$}
\put(190,170){$A_k$}

\put(10,200){\line(-1,-3){10}}
\put(10,200){\vector(1,1){10}}
\put(20,210){\vector(2,1){20}}
\put(40,220){\vector(4,1){40}}
\put(80,230){\vector(1,0){40}}
\put(120,230){\vector(3,-1){30}}
\put(150,220){\vector(2,-1){40}}
\put(190,200){\vector(1,-1){20}}
%\put(150,250){\vector(3,-1){30}}

\put(210,180){\line(1,-2){10}}

\thicklines

\put(10,200){\vector(1,-2){30}}
\put(40,140){\vector(1,-1){40}}
\put(80,100){\vector(2,-1){30}}
\put(110,85){\vector(3,-1){30}}
\put(140,75){\vector(1,0){20}}
\put(160,75){\vector(2,1){30}}
\put(190,90){\vector(1,3){20}}
\put(210,150){\vector(0,1){30}}


\end{picture}

\caption{}

\end{floatingfigure}
$1^{\circ}$ (А╛. Ю╗А.1). ▌║╝╖╜═Г╗╛ $\angle A_{i+1}A_iA_k=\alpha$,
$\angle A_{k-1}A_kA_i=\beta$. ▐Ю╗ ╖═╛╔╜╔ ╚╝╛═╜╝╘
  ╔╔ ╞╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б Ц╛╔╜ЛХ╗╚АО ╜═ $2(\alpha+\beta)$,
  ═ ╓╚╗╜═ -- ╜═ $s-s'$.

  ┘А╚╗ ╜╝╒═О ╚╝╛═╜═О Ц╓╝╒╚╔Б╒╝ЮО╔Б ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒Ц ╚╔╛╛К 3, Б╝ А╞Ю═╒╔╓╚╗╒╝ 
  ╓╒╝╘╜╝╔ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝
  $$\frac {L}{ V}>\frac {P}{ 2\pi}\ge \frac {L+s'-s}{ 
V-2(\alpha+\beta)},\eqno(4)$$
╗╚╗
$$P\cdot V -2P(\alpha+\beta)+2\pi (s-s'\ge 2\pi L>P\cdot V,$$
╝Б╙Ц╓═ $2\pi (s-s'>2(\alpha+\beta)P\ge 2(\alpha+\beta)(s+s'$ ╗
  $2(\pi-\alpha-\beta)s>2(\pi+\alpha+\beta)s'$. 
  
  ▐╝А╚╔╓╜╔╔ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝
  ╛╝╕╔Б ╒К╞╝╚╜ОБЛАО Б╝╚Л╙╝ ╔А╚╗ $\alpha+\beta<\pi$. ┌ МБ╝╛ А╚ЦГ═╔
  ╚ЦГ╗ $A_iA_{i+1}$ ╗ $A_kA_{k-1}$ ╞╔Ю╔А╔╙═НБАО ╒ Б╝Г╙╔
  $C$, ╞Ю╗Г╔╛ $CA_i+CA_k\ge s$, $A_iA_k\le s'$.
  ▐╝МБ╝╛Ц $$(\pi-\alpha-\beta)(CA_i+CA_k)>(\pi+\alpha+\beta) A_iA_k,$$ ГБ╝
  ╞Ю╝Б╗╒╝Ю╔Г╗Б ╚╔╛╛╔ 4.\smallskip

\begin{floatingfigure}{240pt}
\begin{picture}(220,170)(0,70)

\put(130,235){$A_i$}
\put(20,130){$A_{i+1}$}
\put(180,145){$A_{k-1}$}
\put(10,215){$A_k$}

\put(30,210){\line(2,1){20}}
\put(130,230){\vector(2,-1){50}}
\put(180,205){\vector(1,-1){20}}
\put(200,185){\vector(1,-2){10}}
\put(210,165){\vector(0,-1){15}}
\put(40,140){\vector(-1,2){20}}
\put(20,180){\vector(0,1){20}}
\put(20,200){\vector(1,1){10}}
%\put(150,250){\vector(3,-1){30}}

\put(130,230){\line(-4,1){20}}

\thicklines

\put(130,230){\vector(-1,-1){90}}
\put(40,140){\vector(1,-1){40}}
\put(80,100){\vector(2,-1){30}}
\put(110,85){\vector(3,-1){30}}
\put(140,75){\vector(1,0){20}}
\put(160,75){\vector(2,1){30}}
\put(190,90){\vector(1,3){20}}
\put(210,150){\vector(-3,1){180}}

\end{picture}

\caption{}

\end{floatingfigure}

  $2^{\circ}$ (А╛. Ю╗А.2).  ▌║╝╖╜═Г╗╛ $O$ Б╝Г╙Ц ╞╔Ю╔А╔Г╔╜╗О
  ╝БЮ╔╖╙╝╒ $A_iA_{i+1}$ ╗ $A_kA_{k-1}$,
  $\angle A_iOA_k=\varphi$. ▐Ю╗ ╖═╛╔╜╔ ╚╝╛═╜╝╘
  ╔╔ ╞╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б Ц╛╔╜ЛХ╗╚АО ╜═ $2\varphi$,
  ═ ╓╚╗╜═ -- ╜═ $s-s'$.

  ┘А╚╗ ╜╝╒═О ╚╝╛═╜═О Ц╓╝╒╚╔Б╒╝ЮО╔Б ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒Ц ╚╔╛╛К 3, Б╝ А╞Ю═╒╔╓╚╗╒╝ 
  ╓╒╝╘╜╝╔ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝
  $$\frac {L}{V}>\frac {P}{2\pi}\ge \frac {L+s'-s}{V-2\varphi}.$$
  ▌БАН╓═ ═╜═╚╝ё╗Г╜╝ ╞Ц╜╙БЦ 1 ╞╝╚ЦГ═╔╛ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝
  $2\pi (s-s'>2\varphi P$, ╗╖ ╙╝Б╝Ю╝ё╝ А╚╔╓Ц╔Б, ГБ╝
  $$\frac {A_iA_{i+1}+A_kA_{k-1}-(A_iA_{k-1}+A_kA_{i+1})}
  {A_iA_k+A_kA_{i+1}+A_{i+1}A_{k-1}+A_iA_{k-1}}>\frac {\varphi}{\pi}.$$
  ²Б╝ ╞Ю╝Б╗╒╝Ю╔Г╗Б ╚╔╛╛╔ 5 (╓╚О
  Г╔БКЮ╔ЕЦё╝╚Л╜╗╙═ $A_iA_{k-1}A_{i+1}A_k$).

  ▌АБ═╚Л╜К╔ А╚ЦГ═╗ Ю═╖║╗Ю═НБАО ═╜═╚╝ё╗Г╜╝, А ╞Ю╗╛╔╜╔╜╗╔╛
  ╚╔╛╛К 4 (╒ А╚ЦГ═ОЕ 3 ╗ 6) ╗╚╗ ╚╔╛╛К 5 (╒ А╚ЦГ═╔ 5).

▓═╙╗╛ ╝║Ю═╖╝╛ ╖═ ╙╝╜╔Г╜╝╔ Г╗А╚╝ Х═ё╝╒ ╛К ╞Ю╗╓╔╛ ╙ ╚╝╛═╜╝╘, ╞╝╒╝Ю═Г╗╒═НИ╔╘ ╒А╔ 
╒Ю╔╛О ╒ ╝╓╜╝╛ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗. █╝ ╗╖ Б═╙╝╘ ╚╝╛═╜╝╘ А ╞╝╛╝ИЛН ╒КБОё╗╒═╜╗О 
╞╝╚ЦГ═╔БАО ╙Ю═Б╜К╘ ╝║Е╝╓ ёЮ═╜╗ФК, ╞╝МБ╝╛Ц ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ ╚╔╛╛К 3 ╓╚О ╜╔╔ 
╒К╞╝╚╜╔╜╝. ▒╚╔╓╝╒═Б╔╚Л╜╝, ╗АЕ╝╓╜╝╔ ╞Ю╔╓╞╝╚╝╕╔╜╗╔ ╜╔╒╔Ю╜╝, ╗ ╚╔╛╛═ 3 ╓╝╙═╖═╜═. 
└╝╙═╖═╜╝ ╗ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 1 Б╔╝Ю╔╛К $\cal P$.
%\bigskip

%  {\centerline 
\section*{6. └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗О 2}
%  \medskip

▐ЦАБЛ ╙Ю╗╒═О $\Gamma$ ╜╔ ╔АБЛ (╙Ю═Б╜К╘) ╝║Е╝╓ ёЮ═╜╗ФК, ╜╝ 
$T(\Gamma)=T(\Gamma_1)$. ┌К╓╔╚╗╛ ╜═ $\Gamma$ ╙╝╜╔Г╜╝╔ Г╗А╚╝ Б╝Г╔╙ Б═╙, ГБ╝║К 
АЦ╛╛═ А╙═Г╙╝╒ А╙╝Ю╝АБ╗ ╒ ╝АБ═╒Х╗ЕАО Б╝Г╙═Е ║К╚═ ╓╝АБ═Б╝Г╜╝ ╛═╚═ (╙ ╞Ю╗╛╔ЮЦ, 
╛╔╜ЛХ╔ ╝╓╜╝ё╝ ёЮ═╓ЦА═). ▌║Й╔╓╗╜╔╜╗╔ МБ╝ё╝ ╛╜╝╕╔АБ╒═ А ╛╜╝╕╔АБ╒╝╛ 
$\Gamma\cap\Gamma_1$ ╖═╛╙╜ЦБ╝. ▐Ю╝╝║Ю═╖ ╔ё╝ ╓╝╞╝╚╜╔╜╗О -- ╝║Й╔╓╗╜╔╜╗╔ 
АГ╔Б╜╝ё╝ Г╗А╚═ ╗╜Б╔Ю╒═╚╝╒. ░═АА╛╝БЮ╗╛ ╝╓╗╜ ╗╖ Б═╙╗Е ╗╜Б╔Ю╒═╚╝╒, ╞ЦАБЛ ╝╜ 
А╝╝Б╒╔БАБ╒Ц╔Б ЦГ═АБ╙Ц $\Gamma$ ╛╔╕╓Ц Б╝Г╙═╛╗ $A$ ╗ $B$. 

│Ц╓╔╛ ё╝╒╝Ю╗БЛ, ГБ╝ ЦГ═АБ╝╙ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma_{CD}$ {\it ╛═╚╔╜Л╙╗╘}, ╔А╚╗ 
╛╜╝╕╔АБ╒╝ ╖╜═Г╔╜╗╘ А╙╝Ю╝АБ╗ ╜═ МБ╝╛ ЦГ═АБ╙╔ О╒╚О╔БАО ╓Цё╝╘ ╜╔ ║╝╚╔╔ $\pi/4$, ╗ 
╝╙ЮЦ╕╜╝АБЛ А ╓╗═╛╔БЮ╝╛ $CD$ ╚╔╕╗Б АБЮ╝ё╝ ╒╜ЦБЮ╗ $\Gamma_1$. ▀╔ё╙╝ ╒╗╓╔БЛ, ГБ╝ 
╓╚О ╙═╕╓╝╘ ╒╜ЦБЮ╔╜╜╔╘ Б╝Г╙╗ ЦГ═АБ╙═ $\Gamma_{AB}$ ╔АБЛ А╝╓╔Ю╕═И╗╘ ╔╔ ╛═╚╔╜Л╙╗╘ 
╞╝╓ЦГ═АБ╝╙.

░═АА╛╝БЮ╗╛ ╛═╚╔╜Л╙╗╘ ЦГ═АБ╝╙ $\Gamma_{CD}$. ▌╞Ю╔╓╔╚╗╛, ╔А╚╗ МБ╝ ╜╔╝║Е╝╓╗╛╝, 
А╙╝Ю╝АБ╗ $\Gamma'(C)$ ╗ $\Gamma'(D)$ ╙═╙ ╗Е ╞Ю═╒К╔ ╞Ю╔╓╔╚К. ▐╝АБЮ╝╗╛
╞═Ю═╚╚╔╚╝ёЮ═╛╛ $CPDQ$, ╒ ╙╝Б╝Ю╝╛ $\overline{CP}$ ╗ $\overline{CQ}$ ╜═╞Ю═╒╚╔╜К 
╞╝ ╙Ю═╘╜╗╛ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О╛ А╙╝Ю╝АБ╗ ╙Ю╗╒╝╘  $\Gamma$ ╜═ ЦГ═АБ╙╔ $\Gamma_{CD}$. ▌╜ 
╞╝╚╜╝АБЛН ╚╔╕╗Б ╒╜ЦБЮ╗ $\Gamma_1$ (╞╝А╙╝╚Л╙Ц ╙Ю═╘╜╗╔ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О
А╙╝Ю╝АБ╗ ╓╝АБ═Б╝Г╜╝ ║╚╗╖╙╗ ╙ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗Н ╒╔╙Б╝Ю═ $\overline{CD}$).

│Ц╓╔╛ АГ╗Б═БЛ ╓╚О ╝╞Ю╔╓╔╚╔╜╜╝АБ╗, ГБ╝ ╜═ ╞ЦБ╗ ╝Б $C$ ╓╝ $D$ ╜═ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$ 
А╜═Г═╚═ ╒АБЮ╔Г═╔БАО Б╝Г╙═ $X$, ╒ ╙╝Б╝Ю╝╘ ╙═А═Б╔╚Л╜═О ╞═Ю═╚╚╔╚Л╜═ $CP$, ═ 
╞╝Б╝╛ -- Б╝Г╙═ $Y$, ╒ ╙╝Б╝Ю╝╘ ╙═А═Б╔╚Л╜═О ╞═Ю═╚╚╔╚Л╜═ $CQ$.
┤═╛╔╜╗╛ ЦГ═АБ╝╙ $\Gamma_{CD}$ ╜═ ╓╒Ц╖╒╔╜╜ЦН ╚╝╛═╜ЦН $CPD$.

┤═╛╔Б╗╛, ГБ╝ ╞╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma_{CD}$  ╜╔ ╛╔╜ЛХ╔ 
$$v:=\rho(\Gamma'(C),\Gamma'(X))+\rho(\Gamma'(X),\Gamma'(Y))+\rho(\Gamma'(Y),
\Gamma'(D)),$$ 
╒ Б╝ ╒Ю╔╛О ╙═╙ ╞╝╚╜К╘ ╞╝╒╝Ю╝Б ЦГ═АБ╙═ ╜╝╒╝╘ ╙Ю╗╒╝╘ Ю═╒╔╜ $v$. ░═╒╔╜АБ╒╝
╓╝АБ╗ё═╔БАО ╚╗ХЛ ╒ А╚ЦГ═╔, ╙╝ё╓═ $\Gamma$ ╒К╞Ц╙╚═ ╝Б $C$ ╓╝ $X$, ╝Б $X$ ╓╝ $Y$ 
╗ ╝Б $Y$ ╓╝ $D$.

└═╚╔╔, ╓╚╗╜═ ЦГ═АБ╙═ $\Gamma_{CD}$ ╜╔ ╞Ю╔╒╝АЕ╝╓╗Б $CP+PD$. ≈Б╝║К МБ╝ ╓╝╙═╖═БЛ, 
Ю═АА╛╝БЮ╗╛ ╞Ю╝╗╖╒╝╚Л╜ЦН ╒╞╗А═╜╜ЦН ╒ $\Gamma_{CD}$ ╚╝╛═╜ЦН. █═╞Ю═╒╚╔╜╗О ╔╔ ╛╝ёЦБ 
╛╔╜ОБЛАО ╛╔╕╓Ц ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О╛╗ ╒╔╙Б╝Ю╝╒ $\overline{CP}$ ╗ $\overline{CQ}$. 
▐╝МБ╝╛Ц ╞╝А╚╔ ╗Е ╞╔Ю╔АБ═╜╝╒╙╗ ╒ ╛╝╜╝Б╝╜╜╝╛ ╞╝ЮО╓╙╔ ╝Б А═╛╝ё╝ ║╚╗╖╙╝ё╝
(╒ А╛КА╚╔ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О) ╙ $\overline{CP}$ ╓╝ А═╛╝ё╝ ║╚╗╖╙╝ё╝ ╙ $\overline{CQ}$ 
╞╝╚ЦГ╗БАО ╒К╞Ц╙╚═О ╚╝╛═╜═О $C\dots D$, ╚╔╕═И═О ╒╜ЦБЮ╗ БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙═ $CPD$, 
╓╚╗╜═ ╙╝Б╝Ю╝╘, ╝Г╔╒╗╓╜╝, ╜╔ ╞Ю╔╒╝АЕ╝╓╗Б $CP+PD$.

┬Б═╙, ╞Ю╗ ╖═╛╔╜╔ ЦГ═АБ╙═ $\Gamma_{CD}$ ╜═ ╚╝╛═╜ЦН
$CPD$ ╜╔ Ц╛╔╜ЛХ═╔БАО ╞╝╒╝Ю╝Б ╗ ╜╔ Ц╒╔╚╗Г╗╒═╔БАО ╓╚╗╜═, Б.╔. ╙Ю╗╒═О $\Gamma$ 
Ц╚ЦГХ═╔БАО. █╝ ╞╝ Ц╕╔ ╓╝╙═╖═╜╜╝╛Ц ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗Н 1 $\Gamma$ ╜╔╚Л╖О АБЮ╝ё╝ Ц╚ЦГХ╗БЛ. 
▐╝МБ╝╛Ц ╞Ю╗ Б═╙╝╘ ╖═╛╔╜╔ ╝АБ═НБАО ╜╔╗╖╛╔╜╜К╛╗ ╗ ╞╝╒╝Ю╝Б, ╗ ╓╚╗╜═. ▐╔Ю╒╝╔ 
╒╝╖╛╝╕╜╝, Б╝╚Л╙╝ ╔А╚╗ $\Gamma_{CD}$ Ю═╖║╗╒═╔БАО ╜═ ╜╔ ║╝╚╔╔ Г╔╛ БЮ╗ ╒К╞Ц╙╚КЕ 
ЦГ═АБ╙═ ($C-X,\,X-Y,\,Y-D$). ┌Б╝Ю╝╔ ╕╔ ╒╝╖╛╝╕╜╝, ╚╗ХЛ ╔А╚╗ ╙═╕╓К╘ ╗╖ МБ╗Е 
ЦГ═АБ╙╝╒ ╔АБЛ ╚╝╛═╜═О А ╜╔ ║╝╚╔╔ Г╔╛ ╓╒Ц╛О ╖╒╔╜ЛО╛╗. ▓═╙╗╛ ╝║Ю═╖╝╛, 
$\Gamma_{CD}$ -- ╚╝╛═╜═О c ╜╔ ║╝╚╔╔ Г╔╛ Х╔АБЛН ╖╒╔╜ЛО╛╗ (╙╝╚╗Г╔АБ╒╝ ╖╒╔╜Л╔╒ 
╛╝╕╜╝ ╔И╔ Ц╛╔╜ЛХ╗БЛ, ╜╝ ╜═╛ МБ╝ А╔╘Г═А ╜╔ БЮ╔║Ц╔БАО).\smallskip

┤═Д╗╙А╗ЮЦ╔╛ Б╔╞╔ЮЛ Б╝Г╙╗ $A'$ ╗ $B'$ ╜═ ╝Б╙ЮКБ╝╘ ╓Цё╔ $\Gamma_{AB}$ ╗ ╞╝╙Ю╝╔╛ 
$\Gamma_{A'B'}$ ╙╝╜╔Г╜К╛ Г╗А╚╝╛ ╛═╚╔╜Л╙╗Е ЦГ═АБ╙╝╒. █═ ╙═╕╓╝╛ ╗╖ ╜╗Е $\Gamma$ 
О╒╚О╔БАО ╚╝╛═╜╝╘, Б═╙ ГБ╝ ╗ $\Gamma_{A'B'}$ -- ╚╝╛═╜═О. 

▐╝╙═╕╔╛, ГБ╝ ╔А╚╗ ╒ ╜╔╘ Е╝БО ║К 4 ╖╒╔╜═, Б╝ ╙Ю╗╒ЦН $\Gamma$ ╛╝╕╜╝ АБЮ╝ё╝ 
Ц╚ЦГХ╗БЛ. ░═АА╛╝БЮ╗╛ А╚ЦГ═╗, Д╗ёЦЮ╗ЮЦНИ╗╔ ╒ 
\S4. ┌ А╚ЦГ═╔ {\bf a)} ╗А╞╝╚Л╖Ц╔БАО
╚╗ХЛ ╚╝╙═╚Л╜═О АБЮЦ╙БЦЮ═ ╚╝╛═╜╝╘
╗ ╝╜ ║╔╖ ╗╖╛╔╜╔╜╗╘ ╞╔Ю╔╜╝А╗БАО ╒ ╜═ХЦ А╗БЦ═Ф╗Н.

┌ c╚ЦГ═╔ {\bf b)}, ╗А╞╝╚Л╖ЦО ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 
1 ╓╚О ╞Ю╔╝║Ю═╖╝╒═╜╜╝╘ ╙Ю╗╒╝╘, ╛К ╞╝╚ЦГ═╔╛ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝, ═╜═╚╝ё╗Г╜╝╔ (3),
  $$\frac {L(\Gamma)}{V(\Gamma)}=\frac {L(\Gamma_1)}{2\pi}\ge
  \frac {L(\Gamma)-(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1})}{
  V(\Gamma)-2(\pi-\beta)},$$

\noindent ╝Б╙Ц╓═ 
$$2\pi(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}-A_{i-1}A_{i+1}) \ge
  2(\pi-\beta)(A_{i-1}A_i+A_iA_{i+1}+A_{i-1}A_{i+1}),$$
ГБ╝ ╞Ю╝Б╗╒╝Ю╔Г╗Б ╚╔╛╛╔ 4.

┌ А╚ЦГ═╔ {\bf c)}, ╔А╚╗ $A_{i+2}$ ╗ $A_i$ ╚╔╕═Б ╞╝ Ю═╖╜К╔ АБ╝Ю╝╜К ╝Б
 ╞ЮО╛╝╘ $A_{i-1}A_{i+1}$ (╒ МБ╝╛ А╚ЦГ═╔ ╒╔ЮХ╗╜═ $A_{i+1}$ Б═╙╕╔ ╚╔╕╗Б
 АБЮ╝ё╝ ╒╜ЦБЮ╗ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗),
 ╚╝╛═╜ЦН ╛╝╕╜╝ АБЮ╝ё╝ Ц╚ЦГХ╗БЛ, ╖═╛╔╜╗╒
 ╖╒╔╜╝ $A_iA_{i+1}$ ╜═ ╞═Ю═╚╚╔╚Л╜╝╔ ║╝╚╔╔ ╓╚╗╜╜╝╔
 $A_i'A_{i+1}'\parallel A_iA_{i+1}$, ё╓╔
 $A_i\in [A_{i-1}A_i'[,\, A_{i+1}'\in ]A_{i+1}A_{i+2}]$.
  
  
  ┬Б═╙, $\Gamma_{A'B'}$ О╒╚О╔БАО ╚╝╛═╜╝╘ ╜╔ ║╝╚╔╔
  Г╔╛ А БЮ╔╛О ╖╒╔╜ЛО╛╗. ┤╜═Г╗Б, ╒ А╗╚Ц ╞Ю╝╗╖╒╝╚Л╜╝АБ╗
  ╒К║╝Ю═ Б╝Г╔╙ $A'$ ╗ $B'$, ╗ $\Gamma_{AB}$ О╒╚О╔БАО
  ╚╝╛═╜╝╘ ╜╔ ║╝╚╔╔ Г╔╛ А БЮ╔╛О ╖╒╔╜ЛО╛╗.\smallskip

▐Ю╗А╝╔╓╗╜╗╛ Б╔╞╔ЮЛ ╙ Ю═АА╛╝БЮ╔╜╜К╛ ╗╜Б╔Ю╒═╚═╛ Б╝Г╙╗ "║╝╚ЛХ╝ё╝ ╞╝╒╝Ю╝Б═",
╙╝Б╝ЮК╔ ╛К Ю═╜╔╔ ╗А╙╚НГ╗╚╗. ▓╝ё╓═ ╒АО ╒╜ЦБЮ╔╜╜ОО Г═АБЛ ╙Ю╗╒╝╘ $\Gamma$ 
Ю═╖║╗╒═╔БАО ╜═ ╜╔ ║╝╚╔╔ Г╔╛ АГ╔Б╜╝╔ Г╗А╚╝ ЦГ═АБ╙╝╒, ╙═╕╓К╘ ╗╖ ╙╝Б╝ЮКЕ --
╚╝╛═╜═О А ╙╝╜╔Г╜К╛ Г╗А╚╝╛ ╖╒╔╜Л╔╒.

┘А╚╗ ╜═ ╝╓╜╝╛ ╗╖ Б═╙╗Е ЦГ═АБ╙╝╒ Г╗А╚╝ ╖╒╔╜Л╔╒ ╚╝╛═╜╝╘ ║╝╚ЛХ╔
╝╓╜╝ё╝, Б╝ ╝╜═ А╝╓╔Ю╕╗Б ╒╜ЦБЮ╔╜╜╗╔ ╒╔ЮХ╗╜К, ╗ $\Gamma$ ╝╞ОБЛ АБЮ╝ё╝ Ц╚ЦГХ═╔╛═ 
А ╞╝╛╝ИЛН ╞Ю╗╔╛╝╒ \S4.\smallskip

 ┬Б═╙, ╒А╔ Б╝Г╙╗ $\Gamma$ ╚╔╕═Б ╜═ ёЮ═╜╗Ф╔ ╚╗║╝ ╜═ ╝╓╜╝╛ ╗╖ ╝БЮ╔╖╙╝╒, 
 А╝╔╓╗╜ОНИ╗Е Б╝Г╙╗ ёЮ═╜╗ФК. 
 
 └╝╞ЦАБ╗╛, ГБ╝ ╝БЮ╔╖╙╝╒ ║╔А╙╝╜╔Г╜╝ ╛╜╝ё╝. ▓╝ё╓═ АЦИ╔АБ╒Ц╔Б ╞╝А╚╔╓╝╒═Б╔╚Л╜╝АБЛ 
 ╝БЮ╔╖╙╝╒, ╓╚╗╜═ ╙╝Б╝ЮКЕ АБЮ╔╛╗БАО ╙ ╜Ц╚Н, ═ ╙╝╜ФК АЕ╝╓ОБАО ╙ ╜╔╙╝Б╝Ю╝╘ Б╝Г╙╔ 
 $C\in\Gamma_1$. ┤═Д╗╙А╗ЮЦ╔╛ ╓╝АБ═Б╝Г╜╝ ╛═╚ЦН ╝╙Ю╔АБ╜╝АБЛ Б╝Г╙╗ $C$, ╒ ╙╝Б╝Ю╝╘ 
 ╞╝╒╝Ю╝Б $\Gamma_1$ Ю═╒╔╜ $\varphi_0<\pi$. ░═АА╛╝БЮ╗╛ ╝╓╗╜ ╗╖ ╝БЮ╔╖╙╝╒ 
 ${\overline{AB}}$ ($A,\,B\in \Gamma_1$), ╚╔╕═И╗╘ ╒ МБ╝╘ ╝╙Ю╔АБ╜╝АБ╗. ┘А╚╗ 
 ╒╔╙Б╝ЮК $\Gamma'(A-)$ ╗ $\Gamma'(B+)$ ╜═╞Ю═╒╚╔╜К ╒ Ю═╖╜К╔ ╞╝╚Ц╞╚╝А╙╝АБ╗ 
 ╝Б╜╝А╗Б╔╚Л╜╝ ╞ЮО╛╝╘ $AB$, Б╝ ╙Ю╗╒═О $\Gamma$ АБЮ╝ё╝ Ц╚ЦГХ═╔╛═ (╒КБОё╗╒═╜╗╔╛ 
 ╝БЮ╔╖╙═ $AB$ ╜═ ёЮ═╜╗ФЦ), ГБ╝ ╜╔╒╝╖╛╝╕╜╝. ▐╝МБ╝╛Ц ╒═Ю╗═Ф╗О $\Gamma'$ ╜═ 
 ╝БЮ╔╖╙╔ $AB$ ╜╔ ╛╔╜ЛХ╔ $\pi-\varphi_0$ ╗, Б═╙╗╛ ╝║Ю═╖╝╛, ║╔А╙╝╜╔Г╜╝ё╝ Г╗А╚═ 
 ╝БЮ╔╖╙╝╒ ║КБЛ ╜╔ ╛╝╕╔Б.\smallskip
  
▓═╙╗╛ ╝║Ю═╖╝╛, $\Gamma$ А╝АБ╝╗Б ╗╖ ╙╝╜╔Г╜╝ё╝ Г╗А╚═ ╙ЦА╙╝╒, ╗╓ЦИ╗Е ╞╝ ёЮ═╜╗Ф╔, 
╗ ╙╝╜╔Г╜╝ё╝ Г╗А╚═ ╒╜ЦБЮ╔╜╜╗Е ╝БЮ╔╖╙╝╒ ╛╔╕╓Ц ╜╗╛╗. ┘А╚╗ ╜═ 
ёЮ═╜╗Ф╔ ╗╛╔НБАО Б╝Г╙╗ ╒╝╖╒Ю═Б═, Б╝ ╒╒╗╓Ц $\Gamma\in BV^1$ Б═╙╗Е Б╝Г╔╙ ╚╗ХЛ 
╙╝╜╔Г╜╝╔ Г╗А╚╝, ╗ ╛К ║Ц╓╔╛ ╗╜Б╔Ю╞Ю╔Б╗Ю╝╒═БЛ ╗Е ╙═╙ "╒╜ЦБЮ╔╜╜╗╔ ╝БЮ╔╖╙╗ 
╜Ц╚╔╒╝╘ ╓╚╗╜К".

┘А╚╗ ╓╒═ ╞╝А╚╔╓╝╒═Б╔╚Л╜КЕ ╙ЦА╙═ ёЮ═╜╗ФК ╗╛╔НБ ╝╓╗╜═╙╝╒╝╔ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╔ ╝║Е╝╓═, 
Б╝ $\Gamma$ ╝╞ОБЛ АБЮ╝ё╝ Ц╚ЦГХ╗БАО, ╔А╚╗ ╛К ╒КБО╜╔╛ А╝╔╓╗╜ОНИ╗╘ ╗Е ╝БЮ╔╖╝╙ ╜═ 
ёЮ═╜╗ФЦ. └═╚╔╔, ╛╝╕╜╝ ╗А╙╚НГ╗БЛ ╒А╔ ╞╝╚╜К╔ ╝║Е╝╓К ёЮ═╜╗ФК ═╜═╚╝ё╗Г╜╝ 
╚╔╛╛╔ 6.

░═АА╛╝БЮ╗╛ Б╔╞╔ЮЛ ╓ЦёЦ $\Gamma_{AB}$, А╝АБ╝ОИЦН ╗╖ ╝БЮ╔╖╙═ $AA_1$, ЦГ═АБ╙═ 
ёЮ═╜╗ФК $\Gamma_{A_1B_1}$, ╞Ю╝Е╝╓╗╛╝ё╝, ╓╚О ╝╞Ю╔╓╔╚╔╜╜╝АБ╗, ╒ ╞╝╚╝╕╗Б╔╚Л╜╝╛ 
╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗, ╗ ╝БЮ╔╖╙═ $B_1B$. ─╜═╚╝ё╗Г╜╝ \S5, ╖═╛╔╜╗╛ $\Gamma_{AB}$ ╜═ 
ЦГ═АБ╝╙ ёЮ═╜╗ФК ╛╔╕╓Ц $A$ ╗ $B$, ╞Ю╝Е╝╓╗╛К╘ ╒ ╝БЮ╗Ф═Б╔╚Л╜╝╛ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗.
┤╓╔АЛ ╒╜╝╒Л ╜╔╝║Е╝╓╗╛╝ Ю═АА╛╝БЮ╔БЛ 6 А╚ЦГ═╔╒, Ю═╖╝║Ю═╜╜КЕ ╒ \S5, ╒ 
╖═╒╗А╗╛╝АБ╗ ╝Б ╞╝ЮО╓╙═ А╚╔╓╝╒═╜╗О Б╝Г╔╙ $A$, $A_1$, $B$, $B_1$ ╞Ю╗ ╝║Е╝╓╔ 
ёЮ═╜╗ФК ╒ ╞╝╚╝╕╗Б╔╚Л╜╝╛ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗╗. █═╞Ю╗╛╔Ю, ╒ А╚ЦГ═╔ $1^{\circ}$ (╞╝ЮО╓╝╙ 
$AA_1B_1B$), ╗А╞╝╚Л╖ЦО ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 1 ╓╚О ╞Ю╔╝║Ю═╖╝╒═╜╜╝╘ ╙Ю╗╒╝╘, ╛К 
╞╝╚ЦГ═╔╛ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝, ═╜═╚╝ё╗Г╜╝╔ (4),
  $$\frac {L(\Gamma)}{V(\Gamma)}=\frac {L(\Gamma_1)}{ 2\pi}\ge \frac 
{L(\Gamma)+s'-s}{V(\Gamma)-2(\angle A_1AB+\angle B_1BA)}.$$

┬╖ МБ╝ё╝ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒═, ╙═╙ ╗ ╒ \S5, ╒К╒╝╓╗╛, ГБ╝ ╚ЦГ╗ $AA_1$ ╗ $BB_1$ 
╞╔Ю╔А╔╙═НБАО ╒ Б╝Г╙╔ $C$, ╞Ю╗Г╔╛
$$(\pi-\angle A_1AB-\angle B_1BA)(CA+CB)\ge(\pi+\angle A_1AB+\angle B_1BA) 
AB,$$ 
ГБ╝ ╞Ю╝Б╗╒╝Ю╔Г╗Б ╚╔╛╛╔ 4.\smallskip

─╜═╚╝ё╗Г╜╝ ╙ ╞Ю╝Б╗╒╝Ю╔Г╗Н ╞Ю╗╒╝╓ОБ ╗ ╝АБ═╚Л╜К╔ А╚ЦГ═╗. ²Б╝ ╞╝╙═╖К╒═╔Б, ГБ╝ 
╙Ю╗╒═О $\Gamma$ ╜╔ ╛╝╕╔Б А╝╓╔Ю╕═БЛ ╒╜ЦБЮ╔╜╜╗Е ╝БЮ╔╖╙╝╒ ╗ ╞╝Б╝╛Ц ╞Ю╔╓АБ═╒╚О╔Б 
А╝║╝╘ ╝║Е╝╓ ёЮ═╜╗ФК, ═ А ЦГ╔Б╝╛ ╗А╙╚НГ╔╜╜КЕ Ю═╜╔╔ ╝║Е╝╓╝╒ -- ╙Ю═Б╜К╘ ╝║Е╝╓ 
ёЮ═╜╗ФК. ⌠Б╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 2 ╓╝╙═╖═╜╝.\hfill$\square$

\section*{7. ▌ ╞╝╒╔ЮЕ╜╝АБОЕ ╞╝АБ╝О╜╜╝╘ ╙Ю╗╒╗╖╜К}

\def\G{\Gamma}

┌ МБ╝╛ ╞Ц╜╙Б╔ ╛К ╓╝╙═╕╔╛ ═╜═╚╝ё ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒═ └█┼ ╜═ ╞╝╒╔ЮЕ╜╝АБ╗ АД╔ЮК.

▐ЦАБЛ $\G$ --- ╖═╛╙╜ЦБ═О ╙Ю╗╒═О, ╚╔╕═И═О ╒ ╜╔╙╝Б╝Ю╝╘ ╞╝╚ЦАД╔Ю╔ (╖╓╔АЛ 
╗ ╓═╚╔╔: ╔╓╗╜╗Г╜╝ё╝ Ю═╓╗ЦА═) ╗ ╗╛╔НИ═О ╙╝╜╔Г╜ЦН ╒═Ю╗═Ф╗Н $V(\G)$ ╞Ю═╒╝ё╝ 
╞╝╒╝Ю╝Б═ (╝╞Ю╔╓╔╚╔╜╗О А╛. ╒ [3]). ▌Б╛╔Б╗╛, ГБ╝ ╔А╚╗ 
$\G:\ A_1A_2\dots A_nA_1$ --- ╖═╛╙╜ЦБ═О ╚╝╛═╜═О, Б╝ 
$V(\G)=\sum_{i=1}^n (\pi-\angle A_{i-1}A_iA_{i+1})$
(╜Ц╛╔Ю═Ф╗О ╗╜╓╔╙А╝╒, ╙═╙ ╝║КГ╜╝, Ф╗╙╚╗Г╔А╙═О). ┘А╚╗ $\G$ --- ╖═╛╙╜ЦБ═О 
$C^2$-ё╚═╓╙═О ╙Ю╗╒═О, Б╝ $V(\G)$ ╔АБЛ ╗╜Б╔ёЮ═╚ (╞╝ ╜═БЦЮ═╚Л╜╝╛Ц ╞═Ю═╛╔БЮЦ)
╝Б ╓╚╗╜К ╒╔╙Б╝Ю═ ё╔╝╓╔╖╗Г╔А╙╝╘ ╙Ю╗╒╗╖╜К.

▌╞Ю╔╓╔╚╗╛ {\it АЮ╔╓╜НН ═║А╝╚НБ╜ЦН ё╔╝╓╔╖╗Г╔А╙ЦН ╙Ю╗╒╗╖╜Ц}
$T(\G)$ ╖═╛╙╜ЦБ╝╘ ╙Ю╗╒╝╘: $T(\G):=V(\G)/L(\G)$.\medskip
 
{\bf ▓╔╝Ю╔╛═ $\cal S$.}
▐ЦАБЛ $\G$ --- ╖═╛╙╜ЦБ═О ╙Ю╗╒═О ╜═ ╞╝╚ЦАД╔Ю╔, ╗╛╔НИ═О ╙╝╜╔Г╜ЦН ╒═Ю╗═Ф╗Н 
╞Ю═╒╝ё╝ ╞╝╒╝Ю╝Б═; $\G_1$ --- ёЮ═╜╗Ф═ ╔╔ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗.
▓╝ё╓═ $T(\G)\ge T(\G_1)=(2\pi-S)/L(\G_1)$, ё╓╔ $S$ --- ╞╚╝И═╓Л ╒К╞Ц╙╚╝╘ 
╝║╝╚╝Г╙╗.\medskip

▐╚═╜ ╓╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒═ Б╔╝Ю╔╛К $\cal S$ Б═╙╝╘ ╕╔,
╙═╙ ╗ ╒ ╞╚╝А╙╝╛ А╚ЦГ═╔. ▒Д╝Ю╛Ц╚╗ЮЦ╔╛ А╜═Г═╚═ А╝╝Б╒╔БАБ╒ЦНИЦН Б╔╝Ю╔╛Ц ╓╚О 
╚╝╛═╜КЕ.\medskip

{ \bf ▓╔╝Ю╔╛═ ${\cal S}'$}. 
▐ЦАБЛ $\G$ --- ╖═╛╙╜ЦБ═О ╚╝╛═╜═О ╜═ ╞╝╚ЦАД╔Ю╔, $\G_1$ --- ёЮ═╜╗Ф═
╔╔ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗, ╗ $\G$ ╜╔ ╔АБЛ ╙Ю═Б╜К╘ ╝║Е╝╓ $\G_1$.
▓╝ё╓═ $T(\G)> T(\G_1)$.
\medskip

▐╔Ю╔╓ Б╔╛, ╙═╙ ╞Ю╗АБЦ╞╗БЛ ╙ ╚╔╛╛═╛ ╝ Г╔БКЮ╔Е╖╒╔╜╜КЕ ╚╝╛═╜КЕ, ╛К ╓╝╙═╕╔╛ 
А╚╔╓ЦНИ╔╔ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔, ЦБ╝Г╜ОНИ╔╔ (╒ Г═АБ╜╝╛ А╚ЦГ═╔) Б╔╝Ю╔╛Ц ─.└. 
─╚╔╙А═╜╓Ю╝╒═ ╝ АЮ═╒╜╔╜╗╗ Цё╚╝╒.
\medskip

{\bf ▀╔╛╛═ $1s$.} ▐ЦАБЛ $ABC$ --- ╜╔╒КЮ╝╕╓╔╜╜К╘ БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙ ╜═ АД╔Ю╔
А╝ АБ╝Ю╝╜═╛╗ $BC=a,\,CA=b,\,AB=c$ ╗ Цё╚═╛╗
$\alpha,\,\beta,\,\gamma$ А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝. ▌║╝╖╜═Г╗╛ Г╔Ю╔╖ 
$\alpha',\,\beta',\,\gamma'$ Цё╚К БЮ╔ё╝╚Л╜╗╙═ А╝ АБ╝Ю╝╜═╛╗
$a,\,b,\,c$ ╜═ ╞╚╝А╙╝АБ╗. ▓╝ё╓═ ╒К╞╝╚╜╔╜╝ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝
$$\alpha-\alpha'< (\beta-\beta'+(\gamma-\gamma'. \eqno(1_s)$$

{\bf └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝.} ▌║╝╖╜═Г╗╛ $(a+b+c)=4S$, $S-a/2=X$, $S-b/2=Y$, $S-c/2=Z$, 
${\cal E}=\alpha+\beta+\gamma-\pi$ -- ╞╚╝И═╓Л БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙═ $ABC$. 
█╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ $(1_s)$ Ю═╒╜╝А╗╚Л╜╝ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒Ц  $\alpha'\ge \alpha-{\cal E}/2$
╗╚╗, ГБ╝ Б╝ ╕╔ А═╛╝╔, 
 $$\tg \frac{\alpha'}2 > \tg(\alpha/2-{\cal E}/4).\eqno(2_s)$$
▐╝╓АБ═╒╚ОО АН╓═ Д╝Ю╛Ц╚К
$$\gathered
\tg\frac {\alpha} 2=\sqrt\frac {\sin 2Y \sin 2Z} {\sin 2X \sin 2S},\quad
\tg\frac {\cal E}4=
\sqrt {\tg S\cdot \tg X\cdot\tg Y\cdot\tg Z },\\
\tg \frac {\alpha'}2= \sqrt {\frac{YZ}{X(X+Y+Z)}}
\endgathered$$
 (╞╔Ю╒═О Д╝Ю╛Ц╚═ -- МБ╝ [5, (28)], ╒Б╝Ю═О -- [6], БЮ╔БЛО -- [7, (20)]),
╞Ю╔╝║Ю═╖Ц╔╛ ($2_s$) ╙ ╒╗╓Ц
 $$
\frac {\sin Z\sin Y} {\sin X\sin S}\cdot
\frac {\cos Y\cos Z-\sin X\sin S}{\cos X\cos S+\sin Y\sin Z}<
 \sqrt{\frac {YZ} {X(X+Y+Z)}}\cdot\sqrt {\frac {\sin(2Z)\sin(2Y)}
 {\sin(2X)\sin(2S)}}.\eqno (3_s)
$$
 ▓═╙ ╙═╙ $S=X+Y+Z$, ╗╛╔╔╛ $\cos(S-X)=\cos(Y+Z)$, ═ ╖╜═Г╗Б ╒Б╝Ю╝╘ А╝╛╜╝╕╗Б╔╚Л
╒ ╚╔╒╝╘ Г═АБ╗ ($3_s$) Ю═╒╔╜ 1. ┘А╚╗ ╒╒╔АБ╗ ╝║╝╖╜═Г╔╜╗╔ $f(x)=x\ctg x$, Б╝ 
($3_s$) А╒╝╓╗БАО ╙ 
 $$f(Y)f(Z)> f(X)f(X+Y+Z). \eqno(4_s)$$
▐╝А╙╝╚Л╙Ц $f'(x)=\frac {\sin (2x)-2x}{2\sin^2 x}<0$  ╞Ю╗ $0<x<\frac{\pi}2$,
Б╝ $f$ АБЮ╝ё╝ Ц║К╒═╔Б ╜═ $[0,\frac{\pi}2]$. ▐╝А╙╝╚Л╙Ц ╒А╔ ═ЮёЦ╛╔╜БК ╒ ($4_s$) 
╚╔╕═Б ╒ $[0,\frac{\pi}2]$ (╜═╞╝╛╜╗╛, ГБ╝ $X+Y+Z=(a+b+c)/4\le \pi/2$), 
╓╝АБ═Б╝Г╜╝ АГ╗Б═БЛ, ГБ╝ $X=0$ ╗ ╓╝╙═╖К╒═БЛ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝
 $$f(Y)f(Z)> f(0)f(Y+Z).\eqno(5_s)$$  
 ┬╛╔╔╛  $(\ln (f))''(x)=
 \frac {4}{\sin^2(2x)}\left(\cos(2x)-\frac {\sin^2(2x)}{4x^2}\right)$. 
²╚╔╛╔╜Б═Ю╜К╛╗ ╛╔Б╝╓═╛╗ ╓╝╙═╖К╒═╔БАО, ГБ╝
 $\cos t< (\frac {\sin t}t)^2$ ╞Ю╗ $t=2x\in]0,\pi[$.
▐╝МБ╝╛Ц ДЦ╜╙Ф╗О $\ln (f)$ АБЮ╝ё╝ ╒╝ё╜ЦБ═ ╜═ $[0,\frac{\pi}2]$, ╝Б╙Ц╓═ А╚╔╓Ц╔Б 
($5_s$).\hfill$\square$\medskip

▓╔╞╔ЮЛ ╛К ё╝Б╝╒К ╓╝╙═╖═БЛ ═╜═╚╝ё╗ ╚╔╛╛ 4 ╗ 5 ╓╚О АД╔ЮК.\medskip

{\bf ▀╔╛╛═ $2s$}. ▐ЦАБЛ $ABC$ -- ╜╔╒КЮ╝╕╓╔╜╜К╘ БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙ ╜═ АД╔Ю╔. ▓╝ё╓═ 
╒ ╝║╝╖╜═Г╔╜╗ОЕ ╚╔╛╛К $1s$
$$
\frac {a+c}{2\pi-\beta}< \frac {a+b+c}{2\pi-{\cal E}}.
$$

{\bf └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝.} ⌠Б╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ А╚╔╓Ц╔Б ╗╖ Ф╔╞╝Г╙╗ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒
$$\frac {a+c}{a+b+c}<\frac {2\pi-\beta'}{2\pi}< 
\frac {2\pi-\beta+{\cal E}/2}{2\pi}\le \frac 
{2\pi-\beta}{2\pi-{\cal E}}$$
(╞╔Ю╒╝╔ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ -- МБ╝ ╚╔╛╛═ 4, ╒Б╝Ю╝╔ -- ╚╔╛╛═ 1s,
╞╝А╚╔╓╜╔╔ А╒╝╓╗БАО ╙ ╝Г╔╒╗╓╜╝╛Ц $\beta\le \pi+{\cal E}/2$).
\hfill$\square$\medskip

{\bf ▀╔╛╛═ $3s$}.
 \def\f{\varphi}
░═АА╛╝БЮ╗╛ ╜═ ╞╝╚ЦАД╔Ю╔
╒К╞Ц╙╚К╘ Г╔БКЮ╔ЕЦё╝╚Л╜╗╙ $ABCD$, ╓╗═ё╝╜═╚╗ ╙╝Б╝Ю╝ё╝ 
  ╞╔Ю╔А╔╙═НБАО ╒ Б╝Г╙╔ $O$. ▐╝╚╝╕╗╛ $\varphi=\angle AOB$.
▌║╝╖╜═Г╗╛ $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$, $DA=d$, $BD=m$, $AC=n$,
$\angle AOB=\f$.
▐╚╝И═╓╗ БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙╝╒ $OAB$, $OBC$, $OCD$, $ODA$ ╝║╝╖╜═Г╗╛
${\cal E}_1$, ${\cal E}_2$, ${\cal E}_3$, ${\cal E}_4$ А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝ ╗ 
╞╝╚╝╕╗╛ ${\cal E}={\cal E}_1+{\cal E}_2+{\cal E}_3+{\cal E}_4$.
▓╝ё╓═
$$
\frac {a+c+m+n}{2\pi-({\cal E}_1+{\cal E}_3)+2\f}< 
\frac {a+b+c+d}{2\pi-{\cal E}}.\eqno(6_s)
$$

{\bf └╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒╝.}  ▌║╝╖╜═Г╗╛ $\f'$ Цё╝╚ БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙═ ╜═ ╞╚╝А╙╝АБ╗ А╝ 
АБ╝Ю╝╜═╛╗ $a$, $AO$, $BO$ ╜═╞Ю╝Б╗╒ АБ╝Ю╝╜К $a$. ▓╝ё╓═
 $$\frac a{AO+BO}>\frac {\f'}{\pi}>
\frac {\f-{\cal E}_1/2}{\pi}>\frac {\f-({\cal E}_1+{\cal E}_3)/2}{\pi},
 \eqno (7_s)$$
(╞╔Ю╒╝╔ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ А╚╔╓Ц╔Б ╗╖ ╓╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒═ ╚╔╛╛К 4, ╒Б╝Ю╝╔ -- ╗╖ ╚╔╛╛К 
1s). ─╜═╚╝ё╗Г╜╝,
$$\frac c{CO+DO}>\frac {\f-({\cal E}_1+{\cal E}_3)/2}{\pi}. \eqno (8_s)$$
┬╖ ($7_s$) ╗ ($8_s$) ╜╔╛╔╓╚╔╜╜╝ А╚╔╓Ц╔Б, ГБ╝
$$x:=\frac {a+c}{m+n}>\frac {\f-({\cal E}_1+{\cal E}_3)/2}{\pi}.
$$
─╜═╚╝ё╗Г╜╝,
$$
y:=\frac {b+d}{m+n}>\frac {\pi-\f-({\cal E}_2+{\cal E}_4)/2}{\pi}.
$$

▐╝╓АБ═╒╚ОО ╒ Ю═╒╔╜АБ╒╝
$$
z:=\frac {a+c+m+n}{a+c+b+d}=\frac {x+1}{x+y}=1+\frac {1-y}{x+y}
$$
╞╝╚ЦГ╔╜╜К╔ ╝Ф╔╜╙╗ А╜╗╖Ц ╓╚О $x$ ╗ $y$, ╒ А╗╚Ц $y<1$ ╞╝╚ЦГ═╔╛ ╝Ф╔╜╙Ц А╒╔ЮЕЦ 
╓╚О $z$. ²Б╝ ╓═╔Б ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ $(6_s)$.\hfill$\square$\medskip

┬╖╚╝╕╗╛ ╒╙Ю═БФ╔ ╞╚═╜ ╓═╚Л╜╔╘Х╔ё╝ ╓╝╙═╖═Б╔╚ЛАБ╒═ Б╔╝Ю╔╛К ${\cal S}'$.

░═ААЦ╕╓╔╜╗О А╚ЦГ═╔╒ {\bf a)} ╗ {\bf c)} ╞═Ю═ёЮ═Д═ 4 ╞╔Ю╔╜╝АОБАО 
╜═ АД╔Ю╗Г╔А╙╗╘ А╚ЦГ═╘ ╞╝ГБ╗ ║╔╖ ╗╖╛╔╜╔╜╗╘
(╔АБ╔АБ╒╔╜╜К╔ ╗╖╛╔╜╔╜╗О, А╒О╖═╜╜К╔ А ╞╝О╒╚╔╜╗╔╛ АД╔Ю╗Г╔А╙╝ё╝ ╓╔Д╔╙Б═ 
$\cal E$, ╚╗ХЛ Ц╚ЦГХ═НБ А╝╝Б╒╔БАБ╒ЦНИ╗╔ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒═).

┌ А╚ЦГ═╔ {\bf b)} А╚╔╓Ц╔Б ╒К║╗Ю═БЛ ╜╝╛╔Ю $i$ Б═╙╗╛,
ГБ╝║К Цё╝╚, ╒╔ЮБ╗╙═╚Л╜К╘
╙ Цё╚Ц $\angle A_{i-1}A_{i+1}A_i$ ╗╛╔╚
╜═╗╛╔╜ЛХЦН ╞╚╝И═╓Л ╞╔Ю╔А╔Г╔╜╗О А
А ╞╝╚ЦАД╔Ю╝╘.
⌠ё╝╚, ╒╔ЮБ╗╙═╚Л╜К╘ ╙ $\angle A_iA_{i+2}A_{i+1}$,
А╝╓╔Ю╕╗БАО ╒ Цё╚╔, ╒╔ЮБ╗╙═╚Л╜╝╛ ╙
$\angle A_{i-1}A_{i+1}A_i$ (╒ ╞╔Ю╔А╔Г╔╜╗╗ А ╞╝╚ЦАД╔Ю╝╘)
╗╖-╖═ ╝БАЦБАБ╒╗О ╜═ ╞╝╚ЦД╔Ю╔ А╝╞ЮО╕╔╜╜КЕ Б╝Г╔╙,
╗ МБ╝ ╝╞ОБЛ ╕╔ ╞Ю╗╒╝╓╗Б ╙ ╞Ю╝Б╗╒╝Ю╔Г╗Н.

░═ААЦ╕╓╔╜╗О ╞═Ю═ёЮ═Д═ 5 ╞╝╓╒╔Юё═НБАО Б╔╛ ╕╔ ╗╖╛╔╜╔╜╗О╛,
ГБ╝ ╗ ╒ А╚ЦГ═╔ {\bf c)} ╞═Ю═ёЮ═Д═ 4.\medskip

{ \bf ┌К╒╝╓ Б╔╝Ю╔╛К ${\cal S}$ ╗╖  Б╔╝Ю╔╛К ${\cal S}'$.} ▐Ю╔╕╓╔ ╒А╔ё╝ 
╖═╛╔Б╗╛, ГБ╝ ╙Ю╗╒═О $\G$ Ю═╖║╗╒═╔БАО ╜═ ╙╝╜╔Г╜╝╔ Г╗А╚╝ ╙ЦА╙╝╒ ║╔╖ ╙Ю═Б╜КЕ 
Б╝Г╔╙. └╔╘АБ╒╗Б╔╚Л╜╝, ╔А╚╗ ╙ЦА╝╙ ╓╝АБ═Б╝Г╜╝ ╛═╚╝╘ ╓╚╗╜К А╝╓╔Ю╕╗Б ╙Ю═Б╜К╔ 
Б╝Г╙╗, Б╝ ╔ё╝ ╞╝╒╝Ю╝Б ╜╔ ╛╔╜ЛХ╔ $\pi/2$, ╞╝МБ╝╛Ц Б═╙╗Е ╙ЦА╙╝╒ ╜╔ ╛╝╕╔Б ║КБЛ 
║╔А╙╝╜╔Г╜╝ ╛╜╝ё╝.

▐ЦАБЛ $0=t_1<t_2<\dots<t_n<t_{n+1}=L(\G)$ --- Ц╖╚К Б═╙╝ё╝ Ю═╖║╗╔╜╗О
(╛К АГ╗Б═╔╛, ГБ╝ $\G$ ╞═Ю═╛╔БЮ╗╖╝╒═╜═ ╜═БЦЮ═╚Л╜╝, ╜═Г╗╜═О А ╝╓╜╝ё╝
╗╖ Ц╖╚╝╒). ▐╝╚╝╕╗╛ $A_i:=\G(t_i)$, $\G_i:=\G_{[t_i,t_{i+1}]}$.
▐╝ Б╔╝Ю╔╛╔ 1 [4], ╓╚О $i=1,\dots,n$ АЦИ╔АБ╒Ц╔Б ╞╝А╚╔╓╝╒═Б╔╚Л╜╝АБЛ 
╚╝╛═╜КЕ $g_k^i:\ [t_i,t_{i+1}]\rightarrow S^2$ $(k=1,\,2,\dots)$ 
Б═╙═О, ГБ╝ $g_k^i(t_i)=A_i$, $g_k^i(t_{i+1})=A_{i+1}$, 
╞╝А╚╔╓╝╒═Б╔╚Л╜╝АБЛ $g_k^i$ АЕ╝╓╗БАО ╙ $\G_i$ А╞Ю═╒═, ╗ 
$\limsup V(g_k^i)\le V(\G_i)$. ┼Ю╝╛╔ Б╝ё╝, ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О ╚╝╛═╜КЕ $g_k^i$ ╒ 
Б╝Г╙═Е $A_i$ ╗ $A_{i+1}$ АЕ╝╓ОБАО ╙ ╜═╞Ю═╒╚╔╜╗О╛ (А╝╝Б╒╔БАБ╒╔╜╜╝, ╞Ю═╒╝╛Ц 
╗ ╚╔╒╝╛Ц) ╙Ю╗╒╝╘ $\G$ ╒ МБ╗Е Б╝Г╙═Е. 

▌║╝╖╜═Г╗╛ $g_k$ ╝║Й╔╓╗╜╔╜╗╔ (╞╝ ╒А╔╛ $i=1,\dots,n$) ╚╝╛═╜КЕ $g_k^i$, ═ 
$G_k$ --- ёЮ═╜╗ФЦ ╒К╞Ц╙╚╝╘ ╝║╝╚╝Г╙╗ ╚╝╛═╜╝╘ $g_k$. ▓╝ё╓═ 
$\limsup V(g_k)\le V(\G)$. └═╚╔╔, $L(\G)\le \liminf L(g_k)$. █═╙╝╜╔Ф, 
╞╝А╙╝╚Л╙Ц $g_k\rightarrow \G$ Ю═╒╜╝╛╔Ю╜╝, Б╝ $G_k\rightarrow \G_1$, ╝Б╙Ц╓═
$L(G_k)\rightarrow L(\G_1)$ ╗ $T(G_k)\rightarrow T(\G_1)$ . ▒╚╔╓╝╒═Б╔╚Л╜╝, ╞╝ 
Б╔╝Ю╔╛╔ ${\cal S}'$
$$T(\G)\ge \limsup T(g_k)\ge \limsup T(G_k)= T(\G_1),$$
ГБ╝ ╗ БЮ╔║╝╒═╚╝АЛ.\hfill$\square$\medskip

┼ А╝╕═╚╔╜╗Н, ╞╔Ю╔╜╔АБ╗ ЦБ╒╔Ю╕╓╔╜╗╔ 2 Б╔╝Ю╔╛К $\cal P$ ╜═ АД╔Ю╗Г╔А╙╗╘ А╚ЦГ═╘ 
╞╝╙═ ╜╔ Ц╓═╚╝АЛ.\bigskip

▌Б╛╔Б╗╛, ГБ╝ ╜═ ╞╚╝А╙╝АБ╗ ▀╝║═Г╔╒А╙╝ё╝ ╜╔Ю═╒╔╜АБ╒╝ └█┼ ╜╔ ╗╛╔╔Б ╛╔АБ═. 
└╔╘АБ╒╗Б╔╚Л╜╝, ╒╝╖Л╛╔╛ ╜═ ╞╚╝А╙╝АБ╗ ▀╝║═Г╔╒А╙╝ё╝ (╙Ю╗╒╗╖╜К $-1$) БЮ╔Цё╝╚Л╜╗╙ 
$ABC$, ╒К║╔Ю╔╛ Б╝Г╙╗ $B_1\in AB$, $C_1\in AC$ ╗ Ю═АА╛╝БЮ╗╛ ╚╝╛═╜ЦН 
$\G=ABCC_1B_1BCA$. ▓╝ё╓═ $\G_1=ABCA$, ╗ 
$$\frac {V(\G)}{V(\G_1)}=2-\frac {S(A_1B_1C_1)}{V(\G_1)}<2-\frac 
{S(A_1B_1C_1)}{3\pi}.$$ 
┘А╚╗ ╝Б╝╓╒╗╜ЦБЛ ╒╔ЮХ╗╜Ц $B$ ╓╝АБ═Б╝Г╜╝ ╓═╚╔╙╝ ╞╝ ╚ЦГЦ $AB_1$, Б╝ 
╝Б╜╝Х╔╜╗╔ $L(\G)/L(G_1)$ ╛╝╕╜╝ А╓╔╚═БЛ А╙╝╚Л Цё╝╓╜╝ ║╚╗╖╙╗╛ ╙ $2$, ГБ╝ ╓═АБ 
$T(\G)<T(\G_1)$.\bigskip


▄К ║╚═ё╝╓═Ю╜К ┌. ─. ┤═╚ё═╚╚╔ЮЦ, ╝║Ю═Б╗╒Х╔╛Ц ╜═Х╔ ╒╜╗╛═╜╗╔ ╜═
ААК╚╙╗ [3], [4].

▄К Б═╙╕╔ ╞Ю╗╖╜═Б╔╚Л╜К ▒. ┌. └Ц╕╗╜Ц ╖═ ╒╜╗╛═╜╗╔ ╙ Ю═║╝Б╔. \medskip
  
░═║╝Б═ ╞╝╓╓╔Ю╕═╜═ ёЮ═╜Б═╛╗ ╓╚О ╞╝╓╓╔Ю╕╙╗ ╒╔╓ЦИ╗Е ╜═ЦГ╜КЕ Х╙╝╚ ░■ 
█≤-2261.2003.1 (╞╔Ю╒К╘ ═╒Б╝Ю) ╗ █≤-2251.2003.1 (╒Б╝Ю╝╘ ═╒Б╝Ю), ═ Б═╙╕╔ 
ёЮ═╜Б╝╛ ░■■┬ 02-01-00093 (╒Б╝Ю╝╘ ═╒Б╝Ю). \bigskip


  {\centerline {▒╞╗А╝╙ ╚╗Б╔Ю═БЦЮК} }
\medskip

  1. S. Tabachnikov. The tale of a geometric inequality // MASS colloquium
  lecture, 2001. 

  2. J. Lagarias, T. Richardson. Convexity and the average curvature of 
  the plane curves // Geom. Dedicata, 67 (1997). 1-38.

  3. ─╚╔╙А═╜╓Ю╝╒, ─. └.
┌╜ЦБЮ╔╜╜ОО ё╔╝╛╔БЮ╗О ╒К╞Ц╙╚КЕ ╞╝╒╔ЮЕ╜╝АБ╔╘.
▌┐┬┤, ▄.-▀., 1948
 
 
  4. ┤═╚ё═╚╚╔Ю, ┌. ─. ▌ ╙Ю╗╒КЕ А ╝ёЮ═╜╗Г╔╜╜╝╘ 
╒═Ю╗═Ф╗╔╘ ╙Ю╗╒╗╖╜К ╜═ ╒К╞Ц╙╚КЕ ╞╝╒╔ЮЕ╜╝АБОЕ.
▄═Б. ▒║╝Ю╜╗╙ 26(68), (1950). 205--214.     


%└╝╞╝╚╜╗Б╔╚Л╜═О ▀╗Б╔Ю═БЦЮ═.

 5. http:$\backslash\backslash$ mathworld.wolfram.com$\backslash$ 
  SphericalTrigonometry.html %[i1]

 6. http:$\backslash\backslash$ mathworld.wolfram.com$\backslash$
  SphericalExcess.html% [i2].

 7. http:$\backslash\backslash$ mathworld.wolfram.com$\backslash$ 
  Triangle.html % [i3].



\end{document}
