%Author: О.И. Рейнов

%Title: О непрерывности шкал некоторых операторных идеалов. I.

%Filename: ReiCnucl.tex
%TeX: AMSTeX
%Length: 63843 bytes
%Received Date:
%SubjectClass: 47B10. Hilbert--Schmidt operators, trace class operators,
%nuclear operators, p-summing operators, etc.
%Abstract: Исследуется вопрос о непрерывности p-абсолютно суммирующих
%и p-ядерных норм в соответствующих шкалах банаховых операторных идеалов.

%Citation: ************ сб. ``Проблемы математического анализа"
%          ************  под ред Н.Н.Уральцевой,  Выпуск 19, с. ___
%          ************ sb. ``Problemy matematicheskogo analiza"
%          ************  pod red N.N.Ural'tsevoj, Vypusk 19, s. ___
%                       Oct 1999

%Inserting TeX file starting here.

 %%This is emTeX (tex386), Version 3.14159 [4b] (preloaded format=ramstex
 %%                                                               97.6.10)
 %%AmS-TeX- Version 2.1
 %%COPYRIGHT 1985, 1990, 1991 - AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%           AMSTeX
%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
       %First Modified   06.03.99 19:58:57 Sat
       %Last  Modified   01.09.99 10:05:11 Wed
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
   \input amstex
\documentstyle{amsppt} %\input nologo.sty
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
 %\Monograph
\magnification=\magstep1
\parindent=1em %%%% размер двойного тире; "9" имеет половину em
         %\vsize=7.4in   %%%% 1in = 2.54
 %\NoPageNumbers
     \baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками

       \def\({\left(}
       \def\){\right)}
       \def\[{\left[}
       \def\]{\right]}
       \def\sp#1#2{\(#1,#2\)}
       \def\la{\lambda}
       \def\ffi{\varphi}
\define\e{\varepsilon}
\define\al{\alpha}
\define\be{\beta}
\def\Q{\quad{\qed}}
\def\med{\medpagebreak}
\def\small{\smallpagebreak}
        \def\Gr{ \operatorname{ Gr}}

\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}

  \CenteredTagsOnSplits
\NoBlackBoxes                           % ВАЖНО !!!!!!!!!!
\nopagenumbers %на этой странице не будет номера строки (до \newline)
	     % \nopagenumbers есть аббревиатура для \footline={\hfil}

\NoRunningHeads
%\pageno=1  %номер текущей страницы - для следующей команды:
\footline={\hss\tenrm\folio\hss} % центрировать, шрифт, \folio есть
    %аббревиатура для
    % \ifnum\pageno<0 \romannumeral-\pageno \else\number\pageno \fi

        \topmatter
        \title {Измеримые пространственные фреймы \,I.}
        \endtitle
          \author { О.И.Рейнов.}  \endauthor
\address\newline
                          \tenrm
198904, Санкт--Петербург,\newline
Санкт--Петербургский государственный университет,\newline
математико--механический факультет,\newline
\endaddress

\email
                          \tenrm
orein\@or1146.spb.edu
\endemail

\thanks
              %            \tenrm
${{ }^\dag}$ Работа выполнена при  частичной поддержке  фонда
РФФИ грант 03-01-00373, а также
грантов ВНП Минобразования 3.1 \No 4733 и
"Научные школы" \No 00-15-96-022.
\endthanks

\abstract\nofrills       %%%% \nofrills уничтожает "Abstract."
               %           \tenrm
Вводится новое понятие "Измеримого пространственного фрейма"
и приводятся простейшие начальные свойства, связанные с ним.
Более серьезное изучение этого понятия, так же как и существенные
приложения, в частности к теории "Wavelets", в самое ближайшее
время появятся в последующих частях работы.
\endabstract
    \endtopmatter
   %==========================================

\document
\baselineskip=18pt      %%%%% расстояние между строками
%
  %==========================================
%\footnote""{${ }^\ddag$
                         % \tenrm
%AMS Subject Classification:  47B10. Hilbert--Schmidt operators,
%trace class operators, nuclear operators, p-summing operators, etc.

%Ключевые слова и фразы: $ p$-абсолютно суммирующие, $ p$-ядерные операторы,
%свойства аппроксимации, тензорные произведения.}

%\footnotetext""{{\copyright} Кафедра математического анализа СПГУ }
%\bigpagebreak
%

Общая постановка задач,
%
\definition {\bf Определение 1}
Пусть $(\Omega, \Sigma, \mu)$ --- пространство с мерой, $ L_2=L_2(\mu),$
%и пусть $\left\{ \ffi_\omega\right\}$ --- некоторое семейство положительных
и пусть $\ffi$ --- некоторая положительная
функция из $ L_2.$ Семейство $ \( F_\omega\)_{\omega\in|omega}$
  замкнутых подпространств некоторого гильбертова пространства $ H$
называется {\it измеримым пространственным фреймом, ИПФ}\ для $ H$
%относительно $\left\{ \ffi_\omega\right\},$
относительно $ \ffi,$
если существуют постоянные $ 0<C\le D<\infty$ для которых
%$$ C\|f\|^2\le \int_\Omega \ffi_\omega^2(t) \|\pi_{F_\omega}(f)\|^2\, d\mu\le
%   D\|f\|^2\ \ \forall\, f\in H. \tag1
%$$
$$ C\|f\|^2\le \int_\Omega \ffi^2 \|\pi_{F_\omega}(f)\|^2\, d\mu\le
   D\|f\|^2\ \ \forall\, f\in H. \tag1
$$
\enddefinition

Константы $ C,D$ называются frame--границами для ИПФ.
Семейство $ \( F_\omega\)$ называется $ С$-точным ИПФ
относительно $ \ffi,$
если в (1) постоянные $ C,D$ могут быть выбраны так, что
$ C=D;$ называется ИПФ Парсеваля, если $ C=D=1;$
если $ H=\oplus\int_\Omega F_\omega,$
то этот ИПФ --- ортонормальный базис из ИПФ.
Далее, этот ИПФ является $ \ffi$ равномерным, если
$ \ffi=const.$
Если в (1) имеется только верхняя граница, то мы говорим о
бесселевом измеримом семействе подпространств относительно $ \ffi$
с бесселевой верхней  границей $ D.$


\proclaim {\bf Теорема 1}\it
Пусть для каждого $ \omega\in\Omega$ \
$ \ffi(\omega)>0$ и пусть $ \left\{ f_{\omega\,j}\right\}_{j\in J_\omega}$
есть фрейм в $ H$ с границами $ B_\omega$ и $ A_\omega.$
Положим $ F_\omega=\overline \to {span}_{j\in J_\omega} \left\{ f_{\omega\,j}\right\}$
для всех $ \omega\in\Omega.$
Выберем в каждом из пространств $ F_\omega$ ортонормированный базис
$ \{e_{\omega\,j}\}_{j\in J_\omega}.$
предположим, что $ 0<A=\inf_{\omega\in\Omega} A_\omega \le
B=\sup_{\omega\in\Omega} B_\omega<\infty.$
Следующие условия эквивалентны:

(1)\ $ \left\{ \ffi(\omega)\,f_{\omega\,j}\right\}_
{\omega\in\Omega\,j\in 	J_\om}$
есть фрейм для $ H;$

(2)\ $ \left\{ \ffi(\omega)\,e_{\omega\,j}\right\}_{\omega\in\Omega\,j\in J_\om}$
есть фрейм для $ H;$

(3)\ $ \left\{ F_\omega\right\}_{\omega\in\Omega}$
ест ИПФ относительно $ \ffi$ для $ H.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Так ка для каждого $ \om\in\Om,$ $ \left\{ f_{\om\,j}\right\}_{j\in J_\om}$
есть фрейм для $ H,$ с границами $ A_\om, A_\om,$
то получаем
$$ \multline
   A\int_{\Om} \ffi^2 \|\pi_{F_\om}(f)\|^2 \le
   \int_{\Om} A_\om \ffi^2 \|\pi_{F_\om}(f)\|^2 \le
\int_\Om \sum_{j\in J_\om} |\pi_{F_\om}(f), \ffi\,f_{\om j}|^2\le \\
   \int_{\Om} B_\om \ffi^2 \|\pi_{F_\om}(f)\|^2 \le
   B\int_{\Om} \ffi^2 \|\pi_{F_\om}(f)\|^2.
\endmultline
$$

Отметим, что
$$
\int_\Om \sum_{j\in J_om} |\pi_{F_\om}(f), \ffi\,f_{\om j}|^2=
\sum_{\om\in\Om} \sum_{j\in J_\om} | < f, \ffi(\om)f_{\om j}>|^2.
$$

Поэтому, если
 $ \left\{ \ffi(\omega)\,f_{\omega\,j}\right\}_
{\omega\in\Omega\,j\in 	J_\om}$
есть фрейм для $ H$ с границами $ C,D,$
то $ \{F_\om\}$ есть ИПФ для $ H$
с границами $ C/B$ и $ D/A$.
Более того, если $ \left\{ F_\om\right\}$
есть ИПФ с границами
$ C,D,$
то вычисления выше показывают, что
 $ \left\{ \ffi(\omega)\,f_{\omega\,j}\right\}_
{\omega\in\Omega\,j\in 	J_\om}$
есть фрейм для $ H$ с границами $ AC, BD.$
Таким образом, $ 1\iff 3.$

Для доказательства эквивалентности $ 2\iff 3$
в выше приведенных вычислениях достаточно заметить, что
$$ \ffi^2(\om)\,\|\pi_{F_\om}(f)\|^2=
   \ffi^2(\om) \,\|\sum_{j\in J_\om} <f,e_{\om j}> e_{\om j}\|
  = \sum_{j\in J_\om} |<f, \ffi(\om) e_{\om j}>|^2.
$$
Это завершает доказательство.
$\quad\blacksquare$\enddemo


Одно из основных понятий в аналитических теориях --- понятие полоты.
Напомним, что семейство подпространств $ \left\{ F_\om\right\}$
полно в гильбертовом пространстве $H,$ если
$$ \overline \to {span}_{\om\in\Om} \left\{ F_\om\right\}=H.
$$

Имеется следующий простой факт.

\proclaim {\bf Лемма 2}\it
Пусть $ \left\{ F_\om\right\}$ --- семейство подпространств в $ H,$
$ \ffi\in L^2.$
Тогда соответствующий ИПФ является полным в $ H.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Предположим, что $ \left\{ F_\om\right\}$ не полно.
Возьмем ненулевой элемент $ f\in H,$ такой что
$ f\perp \overline \to {span}_{\om\in\Om} \left\{ F_\om\right\}.$
Тогда
$ \int_\Om \ffi^2 \|\pi_{F_\om}\|^2=0.$
Отсюда --- наше семейство не есть ИПФ.
$\quad\blacksquare$\enddemo

Простой критерий полноты:

\proclaim {\bf Лемма 3}\it
Пусть $ \left\{ F_\om\right\}$ семейство подпространств в $ H.$
Gecnm $ \left\{ e_{\om j}\right\}_{j\in J_\om}$ --- ортонормальный базис в
$ F_\om.$ Эквивалентны:

(1)\ $ \left\{ F_\om\right\}$ полно в $ H;$

(2)\ $ \left\{ e_{\om j}\right\}_{\om\in \Om, j\in J_\om}$
полно.
\endproclaim\rm

Приведем без доказательства (оно появится в части II работы) такой
любопытный факт, аналогичный одному результату Pete Cazzasa.

\proclaim {\bf Предложение 1}\it
Если выкинуть из ИПФ некоторое подпространство,
то получится либо ИПФ с той же функцией $ \ffi,$
либо неполное семейство подпространств.
\endproclaim\rm

Наконец, наследственное свойство ИПФ.

\proclaim {\bf Лемма 4}\it
Пусть $ \left\{ F_\om\right\}$ --- ИПФ для $ H$
с функцией $ \ffi$ и границами $ C,D.$
Если $ E$ --- подпространство в $ H,$
то $ \left\{ F_\om\cap E\right\}$ --- ИПФ для $ E$
с той же порождающей функцией и с теми же границами.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Для $ f\in E$ имеем:
$$ \int_\Om \ffi^2 \|\pi_{F_\om}(f0\| =
 \int_\Om \ffi^2 \|\pi_{F_\om\cap V}(f)\|^2.
$$
$\quad\blacksquare$\enddemo



%
\enddocument
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
