\documentclass[12pt, reqno]{amsart}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb, amsthm, amsmath, amsfonts}
\usepackage{array, texdraw}
\setlength{\oddsidemargin}{-0.0in} \setlength{\textwidth}{6.5in}
\setlength{\topmargin}{-0.0in} \setlength{\textheight}{8.4in}
\evensidemargin \oddsidemargin
\parindent=8mm

\begin{document}

\renewcommand{\proofname}{\bf Доказательство}
\newtheorem*{rem*}{Замечание}
\newtheorem*{cor*}{Следствие}
\newtheorem{pred}{Предложение}
\newtheorem{lem}{Лемма}
\newtheorem{theo}{Теорема}

\def\R{\mathbb{R}}
\def\N{\mathbb{N}}
\def\E{\mathbb{E}}
\def\P{\mathbb{P}}
\def\D{\mathbb{D}}
\def\I{\mathbf{1}}

\title[Предельная теорема для положения частицы в модели Лоренца]
{Предельная теорема для \\положения частицы в модели Лоренца}

\author{В.В. Высоцкий}
\begin{center}
Представлено М.А. Лифшицем
\end{center}

\begin{abstract}
Рассматривается частица, движущаяся в веществе под действием
постоянного внешнего поля. Вещество состоит из неподвижных шаров
одинакового радиуса, случайно распределенных в пространстве
$\R^3$. При столкновениях с ними движущаяся частица отражается с
коэффициентом упругости $\alpha \in (0,1)$. Мы изучаем асимптотику
положения частицы $X(t)$ при времени $t \to \infty$. Для $X(t)$
получена предельная теорема. Ее доказательство основывается на
ФЦПТ для цепей Маркова.

{\it Ключевые слова и фразы:} модель Лоренца, случайная среда,
положение частицы, ФЦПТ для цепей Маркова, предельные теоремы.
\end{abstract}
\maketitle

\section{Описание модели Лоренца и постановка задачи}
\subsection{Описание модели}
Рассмотрим частицу сферической формы, движущуюся в некоем веществе
под действием внешнего поля. Поле сообщает движущейся частице
постоянное ускорение $a$. Вещество состоит из неподвижных частиц
(шаров одинакового радиуса), случайно распределенных в
пространстве $\R^3$. В дальнейшем движущуюся частицу условимся
называть "частицей", а частицы среды -- "препятствиями". При
столкновении с препятствием скорость $v$ частицы меняется на
$$v - (1+\alpha)(v, \nu) \nu,$$ где $0 \le \alpha \le 1$ --
коэффициент упругости, а $\nu$ -- единичный вектор, идущий вдоль
прямой, проведенной в момент столкновения через центры
столкнувшихся частиц.
\begin{center}
\begin{texdraw}
\drawdim cm \move(1.2 1.2) \linewd 0.01 \fcir f:0.75 r:1
\move(3.257 2.229) \fcir f:0.5 r:1.3 \linewd 0.01 \move(1.2 1.2)
\lcir r:0.99 \move(3.257 2.229) \lcir r:1.299 \move(1.2 1.2)
\move(1.2 1.2) \lpatt(0.2 0.2) \lvec(3.257 2.229) \lpatt( )

\move(1.2 1.2) \linewd 0.035 \arrowheadsize l:0.2 w:0.1
\arrowheadtype t:V \avec (1.2 3) \move(1.2 1.2) \avec(1.9 1.55)
\move(1.2 1.2) \avec (0.16 2.48)

\move(1.02 2.6) \textref h:R v:C \htext{$v$} \move(2.05 1.3)
\textref h:R v:C \htext{$\nu$} \move(0.2 2.1) \textref h:R v:C
\htext{$v - (1+\alpha)(v, \nu) \nu$}

\setgray 1 \move(6 2.2) \lvec(6 2.7) \lvec(6.7 2.7) \lvec(6.7 2.2)
\lvec(6.7 2.2) \lfill f:0.5 \move(6.9 2.4) \textref h:L v:C
\htext{препятствие}

\move(6 1.5) \lvec(6 2) \lvec(6.7 2) \lvec(6.7 1.5) \lvec(6.5 1.5)
\lfill f:0.75 \move(6.9 1.7) \textref h:L v:C \htext{движущаяся
частица}
\end{texdraw}
\end{center}
При описанном преобразовании меняется только нормальная компонента
вектора $v$, то есть $(v, \nu) \nu$, которая умножается на
$(-\alpha)$.

Теперь зададим распределение препятствий. Вещество, в котором
движется частица, считается изотропным. Поэтому естественно
полагать, что центры препятствий образуют пуассоновское случайное
поле. Единственный недостаток такого предположения состоит в том,
что препятствия могут пересекаться.

\subsection{История вопроса}
Согласно \cite{MP}, данная модель была предложена Х.А. Лоренцем
для описания проводимости в металлах. Лоренц рассматривал случай
$\alpha=1$, когда столкновения частицы с препятствиями абсолютно
упругие. Обобщение ситуации на неупругие столкновения (т.е.
$\alpha < 1$) взято нами из \cite{MP}.

В физике модель Лоренца используют для описания движения частицы,
масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массами частиц
вещества (в этом случае препятствиям можно приписать бесконечные
массы, что соответствует их неподвижности). Например, данная
модель хорошо описывает движение электронов в гелии (см.
\cite{Helium}).

Физическая литература, посвященная модели Лоренца, весьма обширна.
В ней основным объектом изучения (см., например, \cite{MP},
\cite{BCLM} и \cite{BFS}) является уравнение Больцмана. Этому
уравнению должна удовлетворять плотность $p(x, v, t)$, которая
соответствует вероятности нахождения частицы, обладающей скоростью
$v$, в точке $x$, в момент времени $t$. Напомним, что уравнение
Больцмана получается как следствие закона сохранения вещества.
Работа \cite{MP}, например, посвящена доказательству существования
стационарного (т.е. не зависящего от $t$) решения уравнения
Больцмана для случая $\alpha < 1$. Характерно то, что вопрос
сходимости $p(x, v, t)$ к стационарному решению оставлен там без
внимания.

Стоит обратить внимание на одну из модификаций модели, которую
называют периодическим газом Лоренца. В этом случае препятствия
распределены в пространстве периодически (то есть не случайно), но
зато случайными являются начальное положение частицы и ее
скорость; все столкновения считаются абсолютно упругими. Такие
модели называются бильярдами. Довольно подробный обзор методов и
задач теории бильярдов содержится в \cite{San}.

Описанная модель движения частицы допускает еще одну интересную
трактовку, см. \cite{WE}: под действием гравитации (которую
естественно считать постоянной) частица просачивается сквозь
неподвижное вещество. Поэтому модель Лоренца может изучаться в
рамках теории перколяции. Если рассмотреть большое количество
просачивающихся частиц, пренебрегая их взаимодействиями между
собой, мы получим модель перемешивания двух сыпучих веществ
(порошков).

\subsection{Постановка задачи и формулировка результата}
Нашей целью является изучение асимптотики положения частицы $X(t)$
при времени $t$, стремящемся к бесконечности. Случай $\alpha = 1$
был полностью исследован в работе \cite{R-Triolo}, согласно
которой положение частицы (после должной нормировки) слабо
сходится к некоторому диффузионному процессу; здесь имеется в виду
слабая сходимость траекторий в пространстве непрерывных функций.

При $\alpha = 1$ довольно интересен и одномерный случай, в котором
частица при столкновении просто меняет скорость на
противоположную. Несложно показать, что если внешнее поле
отсутствует, то $X(t)$ есть телеграфный процесс. Эта ситуация
подробно разобрана в \cite{Kac}, где также устанавливается связь
положения частицы с телеграфным уравнением.

В данной работе рассмотрен случай движения в $\R^3$, с наличием
внешнего поля и условием на коэффициент упругости $ \alpha \in (0,
1)$. Таким образом, наши результаты существенно дополняют
\cite{R-Triolo}.

\bigskip
Не умаляя общности, мы считаем, что $X(0)=0$. Пусть также
неслучайна и начальная скорость $v_0 \in \R^3$. Для удобства
выберем такой ортонормированный базис $\R^3$, в котором ускорение
имеет вид $a = (0,0,|a|)^{\top}$.

Основным результатом статьи является следующая
\begin{theo}
\label{Main}
Пусть $0 < \alpha < 1$, и $|a| \neq 0$. Существуют константа $c_1
> 0$ и трехмерная корреляционная матрица $K$ такие, что
при любой начальной скорости $v_0 \in \R^3$ для положения частицы
$X(t)$ справедливо
\begin{equation}
\label{X(t)CLT}
\frac{X(t) - c_1 a t}{\sqrt{t}} \stackrel{d}{\longrightarrow}
\mathcal{N}(0, K), \qquad t \to \infty.
\end{equation}
При этом
$$K = \left(
\begin{array}{ccc}
c_2 & 0 & 0\\
0 & c_2 & 0\\
0 & 0 & c_3\\
\end{array} \right),$$
где $c_2, c_3 \ge 0.$
\end{theo}
\begin{rem*}
Явное выражение констант $c_1, c_2, c_3$, зависящих от параметров
модели $a, \alpha, \lambda$, не представляется возможным (параметр
$\lambda $, означающий среднюю длину свободного пробега, вводится
в разделе~\ref{lambda ref}).
\end{rem*}

Доказательство будет получено сведением задачи к исследованию
цепей Маркова. Нам потребуется изучить условия, при выполнении
которых к цепи Маркова можно применить функциональную центральную
предельную теорему (ФЦПТ). Основная сложность состоит в том, что
рассматриваемая цепь задана на несчетном и некомпактном
пространстве состояний. Кроме того, для нее не выполнено условие
Дёблина, поэтому классические методы (см., например, \cite{Doob})
не применимы. Задачу удается решить, используя сравнительно новый
подход (см. \cite{MT}), основанный на стохастических аналогах
функций Ляпунова.

Методы нашего доказательства существенно отличаются от методов,
использованных в \cite{R-Triolo}. Их схожесть можно обнаружить
лишь на достаточно глубоком уровне. Доказательства из
\cite{R-Triolo} основаны на теории мартингалов, а наши -- на ФЦПТ
для цепей Маркова, которая получается при помощи результатов той
же теории.

\section{Первоначальное исследование модели}
В этой части осуществляется формулировка задачи на языке цепей
Маркова.

\subsection{Время между столкновениями} \label{lambda ref}
Предположим, что частица в момент времени $t_0$ обладает скоростью
$u_0$. Пусть $\tau$ означает случайное время, через которое
произойдет ближайшее столкновение частицы и препятствия. Найдем
распределение $\tau$. Заметим, что распределение $\tau$ не зависит
от $t_0$, поэтому будем считать, что $t_0=0$.

Сперва мы введем несколько обозначений. Пусть $r$ есть сумма
радиусов частицы и препятствия. Для произвольного $v \in \R^3$
определим единичную полусферу
$$\mathcal{S}_v:=\bigl\{u \in \R^3: |u|=1, (u, v) \ge 0 \bigr
\}.$$ Скорость частицы в момент времени $t$ будем стандартно
записывать как $v(t)$. Для произвольного множества $A \in
\mathcal{B}(\R^3)$ через $N(A)$ обозначим количество центров
препятствий, попавших в $A$. Далее, $\lambda_3$ будет означать
меру Лебега в $\R^3$. Наконец, пусть пуассоновское поле, задающее
распределение препятствий, имеет интенсивность $(\pi \lambda
r^2)^{-1}$, где $\lambda > 0$ -- некий параметр.

В этом и следующем разделах мы будем предполагать, что для
начальной скорости $u_0$ выполнено условие
\begin{equation}
\label{in cond} |u_0^\bot|^2 > r|a|,
\end{equation}
где через $u_0^\bot$ обозначена проекция $u_0$ на ортогональное
дополнение вектора $a$.

Сосчитаем вероятность того, что на произвольном временном
интервале $[t, t+dt)$ частица не испытает столкновений. Очевидно,
это есть вероятность того, что множество
$$\mathcal{A}_{t, dt}:=\left\{ X(t) + v(t)s + \frac{as^2}{2} + r \mathcal{S}_{v(t) +
as}, \, s \in [0, dt)\right\}$$ не содержит ни одного центра
препятствий. Теперь (здесь и далее $o(dt)$ при $dt \to 0$)
\begin{eqnarray}
\lambda_3 \bigl\{ \mathcal{A}_{t, dt} \bigr\} &=& \lambda_3
\bigl\{ v(t)s + r \mathcal{S}_{v(t) + as}, \, s \in
[0, dt)\bigr\} + o(dt) \notag\\
&=& \lambda_3 \bigl\{ v(t)s + r \mathcal{S}_{v(t)}, \, s \in [0,
dt)\bigr\} + o(dt) \label{l_3 A}\\
&=& \pi r^2 |v(t)| dt + o(dt). \notag\\\notag
\end{eqnarray}
По определению пуассоновского поля, $\P \bigl\{N(\mathcal{A}_{t,
dt}) = 0 \bigr\} = \exp \bigl\{ - (\pi \lambda r^2)^{-1}\lambda_3
\{ \mathcal{A}_{t, dt} \} \bigr \}$. Значит, вероятность того, что
на малом временном интервале $[t, t+dt)$ частица не испытает
столкновений, равна $1 - \lambda^{-1}|v(t)| dt + o(dt)$. Отсюда
видно, что параметр $\lambda$ имеет смысл средней длины свободного
пробега.

Пусть $0=t_0 < t_1 < \dots < t_k=t$ -- разбиение отрезка $[0,t]$.
Отсутствие столкновений на этом временном интервале равносильно
отсутствию центров препятствий во множествах
$\mathcal{A}_{t_{i-1}, t_i}$. Из условия \eqref{in cond}
достаточно громоздкими выкладками можно получить дизъюнктность
указанных множеств. Поэтому, из определения пуассоновского поля,
\begin{eqnarray*}
\P \bigl \{ \tau > t \bigr \} &=& \P \bigl\{N(\mathcal{A}_{t_0,
t_1})=0, \dots, N(\mathcal{A}_{t_{k-1}, t_k}) = 0 \bigr\} \\
&=& \prod_{i=1}^k \P \bigl\{N(\mathcal{A}_{t_{i-1}, t_i})=0
\bigr\} \\
&=& \exp \Bigl \{ - (\pi \lambda r^2)^{-1} \sum_{i=1}^k \lambda_3
\{ \mathcal{A}_{t_{i-1}, t_i} \} \Bigr \}.\\
\end{eqnarray*}
Отсюда, с учетом \eqref{l_3 A} (в котором, можно показать,
$o(dt)=o_t(dt)$ равномерно по $t$ на любом отрезке), находим
распределение $\tau$:
\begin{equation}
\label{tau def} \P \bigl \{ \tau > t \bigr \} =
e^{-\lambda^{-1}\int_0^ t |u_0 + as|ds}.
\end{equation}

\medskip
Для $\tau$ существует очень удобное представление. Пусть $\eta$ --
экспоненциально распределенная величина со средним $\lambda$.
Определим функцию $F: \R^3 \times \R \to \R$ как решение
функционального уравнения $$\int_0^{F(v, t)} |v + as|ds = t.$$
Тогда, поскольку $F(v, \cdot)$ монотонна и $$F \left(v, \int_0^t
|v + as|ds \right) = t,$$ справедливо представление
$$\tau \stackrel{d}{=} F(u_0, \eta).$$

\subsection{Вектор нормали}
При столкновении с препятствием скорость частицы $u_1=u_0+a\tau$
меняется на $u_1 - (1+\alpha)(u_1 \cdot \nu) \nu$. Напомним, что
$\nu$ -- это случайный вектор внутренней нормали к препятствию в
точке столкновения. Распределение этого вектора, сосредоточенного
на полусфере $\mathcal{S}_{u_1}$, нам и предстоит найти.

Обозначим за $u_\bot$ единичный вектор, перпендикулярный множеству
$\{u_0 + at, \, t \ge 0\}$; очевидно, что $u_1 \bot u_\bot$.
Вектор $\nu \in \mathcal{S}_{u_1}$ может быть задан своими
сферическими координатами $(\varphi_{\nu}^{u_\bot},
\theta_{\nu}^{u_1})$ относительно векторов $u_\bot$ и $u_1$. Под
этим подразумевается то, что его долгота $\varphi_{\nu}^{u_\bot}
\in [0, 2\pi)$ отмеряется от $u_\bot$, а его широта
$\theta_{\nu}^{u_1} \in [0, \pi/2]$ отмеряется от $u_1$. Заметим,
что и для любого $v \in \{u_0 + at, \, t \ge 0\}$ числа
$(\varphi_u^{u_\bot}, \theta_u^v)$ имеют смысл сферических
координат произвольного вектора $u \in \mathcal{S}_v$, поскольку
$v \bot u_\bot$. А так как сферические координаты однозначно
задают единичный вектор, то для любых $v \in \{u_0 + at, \, t \ge
0\}$, $\varphi \in [0, 2\pi]$ и $\theta \in [0, \pi/2]$ корректно
определено множество
$$\mathcal{S}_{v, \varphi, \theta}:= \bigl\{ u \in \R^3: |u|=1,
\varphi_u^{u_\bot} <\varphi, \theta_u^v <\theta \bigr\} \subset
\mathcal{S}_v.$$

Если произошло событие $\bigl\{ \varphi_{\nu}^{u_\bot} <\varphi,
\theta_{\nu}^{u_1} <\theta, \tau \in [t, t+dt) \bigr\}$, то центр
препятствия, с которым произошло первое столкновение, принадлежит
множеству $$\mathcal{A}_{t, dt, \varphi, \theta } :=\left\{ X(t) +
v(t)s + \frac{as^2}{2} + r \mathcal{S}_{v(t) + as, \varphi,
\theta}, \, s \in [0, dt) \right\} \subset \mathcal{A}_{t, dt}.$$
На временном интервале $[0, t)$ столкновений не было. Учитывая эти
соображения, а также свойство ординарности пуассоновского поля,
$$\P \bigl\{ \varphi_{\nu}^{u_\bot} <\varphi, \theta_{\nu}^{u_1} <\theta,
\tau \in [t, t+dt) \bigr \} = \P \bigl \{ N(\mathcal{A}_{0, t})=0,
N(\mathcal{A}_{t, dt, \varphi, \theta }) = 1 \bigr\} + o(dt)$$
(слагаемое $o(dt)$ соответствует попаданию более одного центра
препятствия в "маленькое"\, множество $\mathcal{A}_{t, dt,
\varphi, \theta }$, для объема которого уже известно, что
$\lambda_3 \{ \mathcal{A}_{t, dt, \varphi, \theta }\} \le
\lambda_3 \{ \mathcal{A}_{t, dt}\} = O(dt)$).

Как уже говорилось, из \eqref{in cond} следует, что множества
$\mathcal{A}_{0, t}$ и $\mathcal{A}_{t, dt, \varphi, \theta }
\subset \mathcal{A}_{t, dt}$ не пересекаются. Значит,
$$\P \bigl\{ \varphi_{\nu}^{u_\bot} <\varphi, \theta_{\nu}^{u_1}
<\theta, \tau \in [t, t+dt) \bigr \} = \P \bigl \{
N(\mathcal{A}_{0, t})=0 \bigr\} \; \P \bigl \{ N(\mathcal{A}_{t,
dt, \varphi, \theta }) = 1 \bigr\} + o(dt).$$ Подставив $\varphi:=
2 \pi$, $\theta:= \pi/2$, выразим $\P \bigl\{ \tau \in [t, t+dt)
\bigr \}$. Теперь, после несложных преобразований, для условной
вероятности
$$\P \Bigl \{ \varphi_{\nu}^{u_\bot} <\varphi, \theta_{\nu} ^{u_1} <
\theta \, \Bigl. \Bigr | \, \tau \in [t, t+dt) \Bigr \} = \frac{\P
\bigl \{ N(\mathcal{A}_{t, dt, \varphi, \theta }) = 1 \bigr\}} {\P
\bigl \{ N(\mathcal{A}_ {t, dt, 2 \pi, \pi/2 }) = 1 \bigr\}} +
o(dt).$$

Для вычисления последнего требуется найти $\lambda_3 \bigl\{
\mathcal{A}_{t, dt, \varphi, \theta } \bigr\}$. Применим те же
рассуждения, которые были использованы в \eqref{l_3 A} при
подсчете $\lambda_3 \bigl\{ \mathcal{A}_{t, dt} \bigr\}$. В
конечном счете там вычислялся объем цилиндрического множества,
являющегося прямым произведением отрезка и полусферы. Здесь же
вместо полусферы будет сегмент сферы, и $\lambda_3 \bigl\{
\mathcal{A}_{t, dt, \varphi, \theta } \bigr\} = \pi (r \sin
\theta)^2 \varphi /(2\pi) |v(t)|dt + o(dt) = (r \sin \theta)^2
\varphi |v(t)| dt/2 + o(dt)$.

Таким образом,
$$\P \Bigl \{ \varphi_{\nu}^{u_\bot} <\varphi, \theta_{\nu}^{u_1} <
\theta \, \Bigl. \Bigr | \, \tau \in [t, t+dt) \Bigr \} =
\frac{\varphi \sin^2 \theta}{2\pi} + o(dt).$$ Отсюда мы делаем
вывод, что $$ \P \bigl \{\varphi_{\nu}^{u_\bot} < \varphi \bigr
\}= \frac{\varphi}{2\pi}, \qquad \P \bigl \{ \theta_{\nu}^{u_1} <
\theta \bigr \} = \sin^2 \theta,$$ и $\varphi_{\nu}^{u_\bot}$
независима с $\theta_{\nu}^{u_1}$, а также независимы величины
$\nu$ и $\tau$.

\medskip
Значительное неудобство состоит в том, что распределение $\nu$
зависит скорости перед столкновением $u_1$. Чтобы от этого
избавиться, определим $\sigma$ как такой единичный вектор, что
$\nu$ идет вдоль биссектрисы угла между векторами $\sigma$ и
$u_1$. Тогда
$$(u_1, \nu) \nu = \frac{1}{2} \bigl (u_1 + |u_1| \sigma \bigr).$$

Покажем, что $\sigma$ равномерно распределен на единичной сфере
$S^2 \subset \R^3$ и независим с $u_1$. Действительно, поскольку
$\varphi_{\sigma}^{u_\bot}=\varphi_{\nu}^{u_\bot}$ и
$\theta_{\sigma}^{u_1}=2\theta_{\nu}^{u_1}$, то
$$\P \bigl \{\varphi_{\sigma}^{u_\bot} < \varphi \bigr \}=\frac{\varphi}{2\pi},
\qquad \P \bigl \{ \theta_{\sigma}^{u_1} < \theta \bigr \} =
\frac{1 - \cos \theta}{2}.$$ При любых фиксированных $u_1$ и
$u_\bot$ это соответствует равномерному распределению. Значит,
$\sigma$ распределен на $S^2$ равномерно. Следовательно, $\sigma$
независим с $u_1$ (а также с $u_\bot$ и, аналогично, с $u_0$).

Таким образом, столкновение с препятствием удобнее описывать при
помощи вектора $\sigma$: при столкновении скорость $v$ движущейся
частицы меняется на $$v - \frac{1+\alpha}{2} \bigl(v + |v| \sigma
\bigr),$$ где $\sigma \in S^2$ -- равномерно распределенный
вектор, независимый с $v$.

\subsection{Формулировка через цепь Маркова}
Обозначим за $V_n$ скорость частицы непосредственно перед $n$-м
столкновением (то есть до того, как она изменилась скачком). Пусть
$\{\sigma_n\}_{n \ge 1} \subset S^2$ -- равномерно распределенные
векторы, $\{ \eta_n \}_{n \ge 0}$ -- экспоненциально
распределенные величины со средним $\lambda$, причем
$\{\sigma_n\}_{n \ge 1}, \{ \eta_n \}_{n \ge 0}$ независимы в
совокупности. Тогда, на основании результатов двух предыдущих
разделов,
\begin{equation}
\label{V_n+1 long} V_{n+1} = V_n - \frac{1 + \alpha}{2} \bigl(V_n
+ |V_n| \sigma_n \bigr) + a \tau_n, \qquad n \in \N.
\end{equation}
Здесь
\begin{equation}
\label{tau_n def} \tau_n:=F \Bigl(V_n - \frac{1 + \alpha}{2}
\bigl(V_n + |V_n| \sigma_n \bigr), \eta_n \Bigr)
\end{equation}
-- случайное время, протекающее между столкновениями с номерами
$n$ и $n+1$; вектор $\sigma_n$ описывает $n$-е столкновение.

Величины $V_n$ образуют цепь Маркова. Осталось лишь задать
начальное условие $V_1$. Напомним, что при $t=0$ частица имеет
неслучайную скорость $v_0 \in \R^3$. Соответственно,
$$V_1 := v_0 + a F(v_0, \eta_0),$$ где $$\tau_0:=F (v_0,
\eta_0)$$ -- случайное время до первого столкновения.
\medskip

{\it Отождествим полученную цепь Маркова и исходную модель.}

\medskip
Стоит отметить, что при таком отождествлении мы получаем довольно
значительное несоответствие. Во-первых, в новой модели частица,
столкнувшись с препятствием в некоторой точке пространства, совсем
не обязательно снова испытает столкновение, оказавшись на том же
месте. Причиной этого является постулированная независимость всех
$\sigma_n$ и $\eta_n$. Получается, что при столкновениях вещество
"изменяется", и весьма специфическим образом. Во-вторых,
распределение случайных времени и нормали было получено нами при
некотором условии на начальную скорость. Разумеется, величины $V_n
- \frac{1 + \alpha}{2} (V_n + |V_n| \sigma_n )$ и $v_0$ этому
условию удовлетворять не обязаны. Если же мы хотим избавиться от
данного несоответствия, то нам придется либо положить $r=0$, либо
оправдать его дополнительной изменчивостью среды.

\section{Начало доказательства теоремы \ref{Main}}
Сперва мы изучим величины $X_n := X(t_n)$, описывающие положение
частицы в момент $n$-ого столкновения; здесь $t_n :=
\sum_{i=0}^{n-1} \tau_i$ -- время, прошедшее с начала движения.

Рассмотрим новую цепь Маркова
$$\Phi_n := \left( V_n \atop \sigma_n \right), \qquad n \in \N; \qquad
\Phi_0 := \left( v_0 \atop -v_0/|v_0| \right).$$ Чуть позже станет
ясно, что указанные начальные данные соответствуют частице,
имеющей начальную скорость $v_0$ (в нулевой момент времени
происходит фиктивное "столкновение", не меняющее $v_0$). Заметим,
что $V_n$ независимо с $\sigma_n$. Введя обозначение
$$\widehat{x} := v - \frac{1 + \alpha}{2} \bigl(v + |v| \sigma \bigr),
\qquad x = \left( v \atop \sigma \right) \in X := \R^3 \times
S^2,$$ перепишем \eqref{V_n+1 long} и \eqref{tau_n def} как
\begin{equation}
\label{V_n+1 short}
V_{n+1} = \widehat{\Phi_n} + a F (\widehat{\Phi_n}, \eta_n ).
\end{equation}
А для новой цепи $$\Phi_{n+1} = \left( \widehat{\Phi_n} + a F (
\widehat{\Phi_n}, \eta_n ) \atop \sigma_{n+1} \right), \qquad n
\ge 0.$$

Координаты векторов в $\R^3$ будем обозначать верхними индексами;
напоминаем, что $a^3 = |a|$. Так как
$V^1_{n+1}=\widehat{\Phi_n}^1$, $V^2_{n+1}=\widehat{\Phi_n}^2$, а
$V^3_{n+1}=\widehat{\Phi_n}^3 + |a| \tau_n$, то
$$ X_{n+1} = X_n + \left(
\begin{array}{c}
\widehat{\Phi_n}^1 \tau_n\\
\widehat{\Phi_n}^2 \tau_n\\
((V_{n+1}^3)^2 - (\widehat{\Phi_n}^3)^2 )/(2|a|)\\
\end{array}
\right) = X_n + \frac{1}{|a| } \left(
\begin{array}{c}
V_{n+1}^1 V_{n+1}^3 - \widehat{\Phi_n}^1 \widehat{\Phi_n}^3\\
V_{n+1}^2 V_{n+1}^3 - \widehat{\Phi_n}^2 \widehat{\Phi_n}^3\\
((V_{n+1}^3)^2 - (\widehat{\Phi_n}^3)^2 )/2\\
\end{array}
\right),
$$
и отсюда
\begin{equation}
\label{X_n=} X_{n+1} = \frac{1}{|a| } \left( \begin{array}{c}
\widehat{\Phi_{n+1}}^1 \widehat{\Phi_{n+1}}^3 - \widehat{\Phi_0}^1 \widehat{\Phi_0}^3\\
\widehat{\Phi_{n+1}}^2 \widehat{\Phi_{n+1}}^3 - \widehat{\Phi_0}^2 \widehat{\Phi_0}^3\\
((\widehat{\Phi_{n+1}}^3)^2 - (\widehat{\Phi_0}^3)^2 )/2\\
\end{array}
\right) + \frac{1}{|a| } \sum_{i=1}^{n+1} \left( \begin{array}{c}
V_i^1 V_{i}^3 - \widehat{\Phi_i}^1 \widehat{\Phi_i}^3\\
V_i^2 V_{i}^3 - \widehat{\Phi_i}^2 \widehat{\Phi_i}^3\\
((V_i^3)^2 - (\widehat{\Phi_i}^3)^2 )/2\\
\end{array}
\right).
\end{equation}
Кроме того,
\begin{equation}
\label{t_n=} t_{n+1} = \sum_{i=0}^n \tau_i = \frac{1}{|a|}
\sum_{i=0}^n V_{i+1}^3 - \widehat{\Phi_i}^3 = \frac{1}{|a|} \bigl
(\widehat{\Phi_{n+1}}^3 - \widehat{\Phi_0}^3 \bigr) +
\frac{1}{|a|} \sum_{i=1}^{n+1} V_i^3 - \widehat{\Phi_i}^3.
\end{equation}
Введя обозначения $$f(x):=\frac{1}{|a| } \left( \begin{array}{c}
v^1 v^3 - \widehat{x}^1 \widehat{x}^3\\
v^2 v^3 - \widehat{x}^2 \widehat{x}^3\\
((v^3)^2 - (\widehat{x}^3)^2 )/2\\
\end{array}
\right), \quad  h(x):= \left( \begin{array}{c}
0\\
0\\
v^3 - \widehat{x}^3\\
\end{array}
\right), \qquad x = \left( v \atop \sigma \right) \in X,$$ из
\eqref{X_n=} и \eqref{t_n=} получаем
$$X_n - c_1 a t_n = \frac{1}{|a| } \left(
\begin{array}{c}
\widehat{\Phi_n}^1 \widehat{\Phi_n}^3 - \widehat{\Phi_0}^1 \widehat{\Phi_0}^3\\
\widehat{\Phi_n}^2 \widehat{\Phi_n}^3 - \widehat{\Phi_0}^2 \widehat{\Phi_0}^3\\
((\widehat{\Phi_n}^3)^2 - (\widehat{\Phi_0}^3)^2 )/2\\
\end{array}
\right) - \frac{c_1}{|a|}a \bigl(\widehat{\Phi_n}^3 -
\widehat{\Phi_0}^3 \bigr) + \sum_{i=1}^n [f-c_1 h](\Phi_i).$$
Значит,
\begin{equation}
\label{X_n-cat_n}
\Bigl | X_n - c_1 a t_n - \sum_{i=1}^n [f-c_1 h](\Phi_i) \Bigr|
\le \frac{2.5}{|a|} \bigl(|\widehat{\Phi_n}|^2 +
|\widehat{\Phi_0}|^2 \bigr) + c_1 \bigl(|\widehat{\Phi_n}| +
|\widehat{\Phi_0}| \bigr).
\end{equation}

Пусть $n(t)$ означает (случайное) число столкновений, произошедших
к моменту времени $t$. Поскольку $$\frac{X(t) - c_1 a t}{\sqrt{t}}
= \frac{X(t_{n(t)}) - c_1 a t_{n(t)}}{\sqrt{t}} +
\frac{\bigl(X(t)-X(t_{n(t)})\bigr) - c_1 a \bigl(t - t_{n(t)}
\bigr)}{\sqrt{t}},$$ то для доказательства \eqref{X(t)CLT}
достаточно
\begin{equation}
\label{rest}
\left | \frac{\bigl(X(t)-X(t_{n(t)})\bigr) - c_1 a \bigl(t -
t_{n(t)} \bigr)}{\sqrt{t}} \right | \stackrel{d} {\longrightarrow}
0, \qquad t \to \infty
\end{equation}
и существования $c_1 > 0$ и матрицы $K$ таких, что
$$\frac{X(t_{n(t)}) - c_1 a t_{n(t)}}{\sqrt{t}}
\stackrel{d}{\longrightarrow} \mathcal{N}(0, K), \qquad t \to
\infty.$$ C учетом \eqref{X_n-cat_n}, последнее утверждение
вытекает из
\begin{equation}
\label{smth to 0}
\frac{|\widehat{\Phi_{n(t)}}|^2}{\sqrt{t}}
\stackrel{d}{\longrightarrow} 0, \qquad t \to \infty.
\end{equation}
и существования $c_1 > 0$ и $K$, для которых
\begin{equation}
\label{f_n CLT}
\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^{n(t)} [f - c_1 h](\Phi_i)
\stackrel{d}{\longrightarrow} \mathcal{N}(0, K), \qquad t \to
\infty.
\end{equation}

Нам, очевидно, потребуется подробно изучить цепь Маркова $\Phi_n$.
Необходимые общие сведения о цепях Маркова изложены в части
\ref{Svedeniya}. Часть \ref{Research} посвящена доказательству
того, что цепь $\Phi_n$ обладает нужными свойствами. Наконец, в
части \ref{Proof}, на основании полученных свойств $\Phi_n$,
доказываются \eqref{rest}, \eqref{smth to 0} и \eqref{f_n CLT}.
Утверждение \eqref{f_n CLT}, представляющее наибольшую сложность,
будет выведено при помощи ФЦПТ, примененной к последовательности
$[f - c_1 h](\Phi_i)$.

Таким образом, задача изучения положения частицы оказалась сведена
к изучению различных свойств цепи Маркова $\Phi_n$.

\section{Сведения о цепях Маркова} \label{Svedeniya}
Все формулировки и определения даются в соответствии с книгой
\cite{MT}; в этой части многочисленные указания на данный источник
опускаются. Основной задачей является описание условий, которые
достаточны для применения закона больших чисел (ЗБЧ) и ФЦПТ к цепи
Маркова. Также будет дано эффективное средство для проверки этих
условий.

Рассмотрим (произвольную!) цепь Маркова $\Phi_n$, принимающую
значения в произвольном пространстве $X$, снабженном
счетнопорожденной $\sigma$-алгеброй $\mathcal{F}$. Предположим,
что у цепи $\Phi_n$ существует переходная функция $P(x, \cdot)$.
Переходную функцию за $n$ шагов стандартно запишем как $P^n(x,
\cdot)$. Через $\pi$ будем обозначать инвариантную меру цепи
(которая в рассматриваемых нами ситуациях существует и
единственна). При вычислении вероятностей и ожиданий начальное
распределение $\mathcal{L}(\Phi_0)$ будем указывать при помощи
нижнего индекса. Например, запись $\P_x \bigl\{ \Phi_n \in A
\bigr\}$ подразумевает, что $\mathcal{L}(\Phi_0) = \delta_x$, а
$\E_\pi \Phi_n $ означает, что $\mathcal{L}(\Phi_0) = \pi$.
Наконец, через $P$ будем обозначать марковский переходный оператор
цепи. Все рассматриваемые далее функции считаются измеримыми.

\subsection{Определения}
Пусть $\varphi$ -- ненулевая мера на $\mathcal{F}$. Цепь Маркова
$\Phi_n$ называется {\it неприводимой относительно $\varphi$},
если $$\varphi(A) > 0 \quad \Longrightarrow \quad \P_x \bigl\{
\exists \, n \in \N : \Phi_n \in A \bigr\} > 0 , \qquad x \in X, A
\in \mathcal{F}.$$ Мера $\psi$ называется {\it максимальной
неприводимой} для цепи $\Phi_n$, если \\1) $\Phi_n$ неприводима
относительно $\psi$ \\2) $\Phi_n$ неприводима относительно
произвольной меры $\varphi$, если и только если $\varphi \prec
\psi$. \\Цепь Маркова, обладающую максимальной неприводимой мерой
$\psi$, называют {\it $\psi$-неприводимой}. Согласно предложению
4.2.2, если цепь неприводима относительно какой-то меры $\varphi$,
то у нее существует максимальная неприводимая мера. Заметим, что
все максимальные неприводимые меры эквивалентны.

$\psi$-неприводимая цепь называется {\it периодической с периодом}
$d$ (мы изменили определение из \cite{MT} при помощи теоремы
5.4.4), если $d$ есть минимум из чисел $d' \in \N$ таких, что
существуют множества $D_1, \dots, D_{d'} \in \mathcal{F}$,
обладающие свойствами \\1) для любого $x \in D_i$ выполняется
$P(x, D_{i+1})=1, \quad i=0, \dots, d'-1 \, \, ( \mbox{mod } d')$
\\2) множества $D_i$ не пересекаются, и $\psi \Bigl( X \, \Bigl.
\Bigr \backslash \, \bigcup \limits_{i=1}^{d'} D_i \Bigr) =0$.
\\Цепь называется {\it апериодической}, если $d=1$.

Пусть $X$ -- локально компактное, метризуемое, сепарабельное
топологическое пространство, а $\mathcal{F}=\mathcal{B}(X)$. Цепь
$\Phi_n$ называется {\it слабо феллеровской}, если функция
$P(\cdot, A)$ полунепрерывна снизу для любого открытого множества
$A$.

Множество $C \in \mathcal{F}$ называется {\it маленьким (small)},
если существуют $n \in \N$ и ненулевая мера $\mu$ на $\mathcal{F}$
такие, что $$P^n(x, A) \ge \mu(A), \qquad x \in C, A \in
\mathcal{F}.$$ Если $\psi$-неприводимая цепь $\Phi_n$ (на
обладающем соответствующими свойствами пространстве $X$) является
слабо феллеровской, а $\mbox{Int} \, (\mbox{supp} \, \psi) \neq
\varnothing$, то любое компактное множество является маленьким
(см. теорему 6.0.1, а также предложение 5.5.3).

Пусть $\mu$ -- заряд на $\mathcal{F}$, а функционал $f:X \to [0,
\infty)$. Определим {\it $f$-норму} заряда $\mu$ как $$\| \mu
\|_f:= \sup\limits_{g: |g| \le f} \int_X g d \mu = \int_X f d
|\mu|.$$ $1$-норму называют {\it нормой полной вариации}; в этом
случае пишут не $\| \mu \|_1$, а просто $\| \mu \|$. Пусть $P_1$ и
$P_2$ -- марковские переходные функции, а функционал $U: X \to [1,
\infty)$. Положим
$$|||P_1 - P_2|||_U := \sup\limits_{x \in X} \frac{\|P_1(x, \cdot)
- P_2(x, \cdot) \|_U } {U(x)}.$$

Цепь Маркова $\Phi_n$ называется {\it эргодической}, если
существует такая мера $\pi$, что для любого $x \in X$ выполняется
$\|P^n(x, \cdot) - \pi \| \to 0$ при $n \to \infty$. Отсюда
следует, что $\pi$ является единственной инвариантной мерой. Цепь
Маркова называется {\it U-равномерно эргодической}, если
существует такая мера $\pi$, что $|||P^n - \pi |||_U \to 0$ при $n
\to \infty$ (формально полагаем $\pi(x, \cdot):= \pi(\cdot)$ ).
Заметим, что из $U$-равномерной эргодичности следует
$cU$-равномерная эргодичность, где $c>1$. Для $\psi$-неприводимых
апериодических цепей условие $1$-равномерной эргодичности
эквивалентно выполнению хорошо известного условия Дёблина (см.
теорему 16.2.3).

Пусть для $g: X \to \R$ выполнено условие $g \in L^1 (\pi) =
L^1(X, \mathcal{F}, \pi)$. Функциональное уравнение (относительно
$\bar{g}$)
\begin{equation}
\label{EqPuass} \bar{g} - P \bar{g} = g - \int_{X} g d \pi
\end{equation}
называется {\it уравнением Пуассона}.

\subsection{Теоремы}
\begin{theo}
\label{LLN} Пусть цепь Маркова $\Phi_n$ эргодична, а функционал $g
\in L^1( \pi)$. Тогда для любого начального условия $\Phi_0 = x
\in X$ справедливо
$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n g(\Phi_i)
= \int_{X} g d \pi , \qquad \P_x \mbox{{\it п.н.}}$$
\end{theo}
\begin{proof}
Вытекает из теоремы 17.0.1.
\end{proof}

\begin{theo}
\label{Erg criterium} Пусть цепь Маркова $\Phi_n$
$\psi$-неприводима и апериодична, а $U: X \to [1, \infty)$.
Следующие утверждения
эквивалентны:\\ 1) $\Phi_n$ U-равномерно эргодическая\\
2) Выполнено условие сдвига Ляпунова-Фостера: существуют маленькое
множество $C$ и константы $\beta > 0$ и $b$ такие, что
\begin{equation}
\label{drift} PU(x) - U(x) \le -\beta U(x) + b \I_C(x), \qquad x
\in X.
\end{equation}
Кроме того, если выполнено \eqref{drift}, то $U \in L^1 (\pi)$.
\end{theo}

\begin{proof}
С учетом предложения 5.5.3, эквивалентность условий {\it 1)} и
{\it 2)} следует из теорем 15.0.1 и 16.0.1. Существование ожидания
по инвариантной мере доказывается в теореме 14.0.1.
\end{proof}

\begin{theo}
\label{FCLT}
Пусть цепь Маркова $\Phi_n$ $U$-равномерно эргодична,
а для функционала $g: X \to \R$ выполняется $g^2 \le U$. Тогда у
уравнения Пуассона \eqref{EqPuass} существует решение $\bar{g} \in
L^2 (\pi)$, и корректно определена константа
\begin{equation}
\label{gamma}
\gamma_g^2 :=\int_X \left( \bar{g}^2 - (P \bar{g})^2 \right) d \pi
\ge 0.
\end{equation}
Если $\int_{X} g d \pi=0$, то для любого начального условия
$\Phi_0 = x \in X$ в пространстве $\mathcal{C}[0,1]$
\begin{equation}
\label{S_n(t) ->}
\frac{\sum_{i=1}^{[nt]} g(\Phi_i) + (nt - [nt]) g(\Phi_{[nt]+1})
}{\sqrt{n}} \stackrel{d}{\longrightarrow} \sqrt{\gamma_g^2} W(t),
\qquad n \to \infty,
\end{equation}
где $W(t)$ означает винеровский процесс.
\end{theo}
\begin{proof}
Существование решения уравнения Пуассона легко получается из
теоремы 17.4.2. Корректность определения $\gamma_g^2$ (то есть ее
независимость от выбора решения $\bar{g}$ уравнения Пуассона)
следует из предложения 17.4.1. Неотрицательность $\gamma_g^2$
следует из неравенства Коши-Буняковского:
\begin{equation}
\label{gamma >= 0} \int_X (P \bar{g})^2 d \pi  = \int_X \left(
\int_X \bar{g}(y) P(x, dy) \right)^2 d \pi (x) \le \int_X \int_X
\bar{g}^2(y) P(x, dy) d \pi (x) = \int_X \bar{g}^2 d \pi .
\end{equation}
Наконец, последнее утверждение теоремы есть объединение теорем
17.4.4 и 17.5.4.
\end{proof}

\section{Изучение свойств цепи $\Phi_n$} \label{Research}
Пусть $x =\left( v \atop \sigma \right) \in X$. Мы будем часто
использовать очевидные неравенства $$\alpha |v| \le |\widehat{x}|
\le |v|$$ (напомним, что рассматривается случай $0<\alpha <1$).

\subsection{$\psi$-неприводимость, апериодичность, маленькие множества}
Сперва покажем, что при любом начальном условии $\Phi_0 = x$
величина $V_2 = \widehat{\Phi_1} + a F ( \widehat{\Phi_1}, \eta_1
)$ принимает все значения из $\R^3$. Мы докажем, что
$\widehat{\Phi_1}$ принимает все значения из $\R^3 \setminus
B(0,|\widehat{x}|) = \bigl\{ u \in \R^3: |u| \ge |\widehat{x}|
\bigr\}$, и этого будет достаточно, поскольку при любом
фиксированном $\widehat{\Phi_1}$ величина $F ( \widehat{\Phi_1},
\eta_1 )$ заметает все $\R_+$. Конечно же, предполагается, что
$\eta_i$ и $\sigma_i$ заданы так, что они принимают все значения
из $\R_+$ и $S^2$ соответственно.

При столкновении скорость $v \in \R^3$ меняется на $\tilde{v}:= v
- (1+\alpha)(v, \nu) \nu$, где $\nu$ может принимать все значения
из $\mathcal{S}_v=\bigl\{ u \in \R^3: |u|=1, \, (v, u) \ge 0
\bigr\}$ (временно вернемся к старой форме записи). Несложно
видеть, что обратное преобразование имеет вид $v = \tilde{v} -
(1+\alpha^{-1})(\tilde{v}, \nu) \nu$, где $\nu$ -- то самое, что и
в прямом преобразовании. Легко видеть, здесь уже $(\tilde{v}, \nu)
\le 0$, то есть $\nu \in \mathcal{S}_{-\tilde{v}}$. Значит,
скорость после столкновения может оказаться равной $v \in \R^3$,
если скорость до столкновения принадлежала множеству $v^{-1}:=
\bigl\{ u \in \R^3: u = v - (1+\alpha^{-1})(v, \nu) \nu, \, \nu
\in \mathcal{S}_{-v} \bigr\}$. Как и ранее, пусть $\sigma$ --
такой единичный вектор, что $\nu$ идет вдоль биссектрисы угла
между $\sigma$ и $-v$. Тогда $\sigma$ заметает всю сферу $S^2$, и
$v^{-1}= \bigl\{ u \in \R^3: u = v +
\frac{1+\alpha^{-1}}{2}(\sigma |v| - v ), \, \sigma \in S^2
\bigr\}$.

Напомним, что $\Phi_1 = \left( \widehat{x} + a F(\widehat{x},
\eta_0) \atop \sigma_1 \right)$. Чтобы доказать, что
$\widehat{\Phi_1}$ может принять любое значение $v \in \R^3
\setminus B(0,|\widehat{x}|)$, требуется проверить, что $v^{-1}
\bigcap \bigl\{ \widehat{x} + as, \, s \ge 0 \bigr\} \neq
\varnothing$. Это равносильно существованию такого $s \ge 0$, что
$\bigl|\widehat{x} + as - \frac{1-\alpha^{-1}}{2}v \bigr| =
\frac{1+\alpha^{-1}}{2}|v|$. Но выражение в левой части непрерывно
зависит от $s$ и при достаточно больших $s$ возрастает. А в нуле
его значение не превосходит $\frac{1+\alpha^{-1}}{2}|v|$
(поскольку $|v| \ge |\widehat{x}|$). Таким образом, искомое $s$
существует.

Итак, мы показали, что $\widehat{\Phi_1}$ принимает любые значения
из $\R^3 \setminus B(0,|\widehat{x}|)$. Произведя громоздкие
вычисления, можно доказать, что распределение $\widehat{\Phi_1}$
имеет плотность, и эта плотность положительна на множестве $\R^3
\setminus B(0,|\widehat{x}|)$. Интуитивно это совершенно ясно,
ведь у $F(\widehat{x}, \eta_0)$ существует положительная плотность
на $\R_+$ (что видно из определения $F$), а у $\sigma_1$
существует (положительная) плотность на $S^2$.

Теперь легко видеть, что распределение $V_2 = \widehat{\Phi_1} + a
F ( \widehat{\Phi_1}, \eta_1 )$ имеет положительную плотность на
всем $\R^3$. Используя этот факт, несложно проверить
$\psi$-неприводимость: цепь $\Phi_n$ неприводима относительно
$\lambda_3 \otimes U_{S^2}$, где $\lambda_3$ -- мера Лебега в
$\R^3$, а $U_{S^2}$ -- равномерное распределение на $S^2$. Нужно
лишь вспомнить, что $\Phi_2 = \left( V_2 \atop \sigma_2 \right)$,
а $V_2$ и $\sigma_2$ независимы.

Отметим, что если $\alpha =0$, то цепь $\Phi_n$ не будет
$\psi$-неприводимой.

\medskip
Мы только что видели, что при любом начальном условии $\Phi_0 = x$
у величины $\Phi_2$ существует положительная плотность
относительно меры $\lambda_3 \otimes U_{S^2}$. Значит, для {\it
любого} $x \in X$ меры $P^2(x, \cdot)$ и $\lambda_3 \otimes
U_{S^2}$ эквивалентны. Поэтому, легко видеть, цепь $\Phi_n$
апериодическая.

\medskip
Можно показать, что в любой фиксированной точке пространства $X$
плотность величины $\Phi_2$ является непрерывной функцией от
начального условия $\Phi_0 = x$. Отсюда по лемме Фату получаем,
что цепь $\Phi_{2n}$ будет слабо феллеровской. Мы уже доказали
неприводимость $\Phi_{2n}$ относительно $\lambda_3 \otimes
U_{S^2}$. Из определения максимальной неприводимой меры $\psi$
цепи $\Phi_{2n}$, $\lambda_3 \otimes U_{S^2} \prec \psi $. Поэтому
$X = \mbox{supp} \, \lambda_3 \otimes U_{S^2} \subset \mbox{supp}
\, \psi \subset X$, и в частности $\mbox{Int} \, (\mbox{supp} \,
\psi) \neq \varnothing$. Значит, все компактные множества будут
маленькими (относительно переходных операторов цепи $\Phi_{2n}$).
Из этого вытекает, что все компактные множества являются
маленькими и для исходной цепи $\Phi_{n}$.

\subsection{$U$-равномерная эргодичность}
\begin{lem}
\label{exp moment}
Пусть $\eta$ -- экспоненциально распределенная с.в. со средним
$\lambda$. Для любого $c \in \R$ $$\sup \limits_{v \in \R^3} \E
e^{c F(v, \eta)} < \infty.$$
\end{lem}

\begin{cor*}
Для любого начального условия $\Phi_0=x \in X$ величины $\tau_n$
имеют экспоненциальные моменты любого порядка. Более того,
\begin{equation}
\label{tau exp b}
\sup \limits_n \E_x e^{c \tau_n} < \infty.
\end{equation}
\end{cor*}
\begin{proof}[{\bf Доказательство следствия}]
Действительно, $\tau_n = F(\widehat{\Phi_n}, \eta_n)$, а
$\widehat{\Phi_n}$ независима с $\eta_n$.
\end{proof}
\begin{proof}[{\bf Доказательство леммы \ref{exp moment}}]
Будем считать, что $c > 0$, иначе утверждение леммы тривиально.
Пусть $s > 0$, а $v \in \R^3$. Поскольку $\bigl| -a|v|/|a| + as
\bigr| = \bigl| |a|s-|v|  \bigr| \le |v + as|$, то для любого
$t>0$ $$\int_0^t \bigl|-a|v|/|a| + as \bigr| ds \le \int_0^t |v +
as| ds. $$ Поэтому, учитывая определение $F$, получаем $F(v,
\cdot)  \le F(-a|v|/|a|, \cdot)$. Отсюда $\P \bigl\{ F(v, \eta) >
t \bigr\} \le \P \bigl\{ F(-a|v|/|a|, \eta) > t \bigr\}$;
последнее легко вычисляется. Теперь
\begin{eqnarray*}
\E e^{c F(v, \eta)} &=& -\int_0^{\infty} e^{ct} d \, \P \{ F(v,
\eta)
> t \} \\
&=& c \int_0^{\infty} e^{ct} \P \{ F(v, \eta) > t \} dt - 1 \\
&\le& c \int_0^{\infty} e^{ct} \P \{ F(-a|v|/|a|, \eta) > t \} dt
- 1\\
&=& c \int_0^{\infty} e^{ct} e^{- \lambda^{-1} \int_0^t \left|
|a|s-|v| \right| ds } dt - 1 \\
&=& c \int_0^{|v|/|a|} e^{ct - \lambda^{-1}(|v|t-|a|t^2/2)} dt + c
\int_{|v|/|a|}^{\infty} e^{ct - \lambda^{-1}
(|a|t^2/2 - |v|t + |v|^2/|a|)} dt - 1.\\
\end{eqnarray*}

Оценим каждый из получившихся интегралов. Для первого интеграла
используем такое соотношение: если $|v| \ge 4 \lambda c$, то $ct -
\lambda^{-1} (|v|t-|a|t^2/2) \le -ct$ при $t \in [0,|v|/|a|]$.
Поэтому если $|v| \ge 4 \lambda c$, то
$$\int_0^{|v|/|a|} e^{ct - \lambda^{-1}(|v|t-|a|t^2/2)} dt \le
\int_0^{|v|/|a|} e^{-ct} dt < \int_0^{\infty} e^{-ct} dt
<\infty,$$ и эта оценка не зависит от $v$. Если же $|v| <  4
\lambda c$, то $$\int_0^{|v|/|a|} e^{ct -
\lambda^{-1}(|v|t-|a|t^2/2)} dt < \int_0^{4\lambda c/|a|} e^{ct
+\lambda^{-1} |a|t^2/2} dt <\infty.$$

Оценивая второй интеграл, используем следующее неравенство: если
$|v| \ge 5 \lambda c$, то $ct - \lambda^{-1} (|a|t^2/2 - |v|t +
|v|^2/|a|) \le -ct$. Таким образом, если $|v| \ge 5\lambda c$, то
$$\int_{|v|/|a|}^{\infty} e^{ct - \lambda^{-1}
(|a|t^2/2 - |v|t + |v|^2/|a|)} dt \le \int_{|v|/|a|}^{\infty}
e^{-ct} dt < \int_0^{\infty} e^{-ct} dt < \infty.$$ Если же $|v| <
5\lambda c$, то $$\int_{|v|/|a|}^{\infty} e^{ct - \lambda^{-1}
(|a|t^2/2 - |v|t + |v|^2/|a|)} dt < \int_0^{\infty} e^{6ct -
\lambda^{-1} |a|t^2/2 } dt < \infty.$$
\end{proof}

Пусть $c > 0$ -- произвольная константа. Чтобы доказать
$U$-равномерную эргодичность цепи $\Phi_n$, воспользуемся
теоремой~\ref{Erg criterium}. Проверим, что условие
Ляпунова-Фостера \eqref{drift} выполняется для функции $U(x) :=
e^{c |\widehat{x}|}$. Для переходного оператора
$$PU(x) = \E_x U(\Phi_1) = \E_x e^{c | \widehat{\Phi_1}|} =
\E_x e^{c | V_1 - \frac{1 + \alpha}{2} (V_1 + |V_1| \sigma_1 )|
}.$$ Введем функцию $$\gamma(|v|):=\int_{S^2} e^{c \left| v -
\frac{1 + \alpha}{2} (v + |v|\zeta) \right| - c|v|} d
U_{S^2}(\zeta), \qquad v \in \R^3.$$ Эта функция монотонна, и
$\gamma (|v|) \to 0$ при $|v| \to \infty.$ Теперь, поскольку
$\sigma_1$ независима с $V_1$ и $\Phi_0$, то
\begin{eqnarray*}
PU(x) &=& \E_x \gamma (|V_1|) e^{c |V_1|} \\
&\le& \E_x \gamma (|V_1|) e^{c | \widehat{\Phi_0}| } e^{c
|a| \tau_0} \\
&\le& \E_x \left(\gamma (|\widehat{\Phi_0}/2|) \I_{ \{ |a| \tau_0
\le |\widehat{\Phi_0}|/2 \}}  + \gamma(0) \I_{ \{ |a| \tau_0 >
|\widehat{\Phi_0}|/2 \} } \right) e^{c |
\widehat{\Phi_0}| } e^{c |a| \tau_0} \\
&\le& \left( \gamma (| \widehat{x}/2|) \E e^{c |a| F(\widehat{x},
\eta_0)} + \E e^{c |a| F(\widehat{x}, \eta_0)} \I_{ \{ |a|
F(\widehat{x}, \eta_0) > |\widehat{x}|/2 \} }\right) e^{c
|\widehat{x}|}\\
&\le& \left(\gamma (\alpha |v|/2) \E e^{c |a| F(\widehat{x},
\eta_0)} + \E e^{c |a| F(\widehat{x}, \eta_0)} \I_{ \{ |a|
F(\widehat{x}, \eta_0) > \alpha |v|/2 \} }\right) U(x),
\end{eqnarray*}
где как обычно $x = \left( v \atop \sigma \right)$. Учитывая
результат леммы~\ref{exp moment}, множитель при $U(x)$ стремится к
нулю при $|v| \to \infty$. Поэтому для любого $\beta \in (0,1)$
существует такое $R>0$, что $$PU(x) - U(x) \le - \beta U(x),
\qquad x \notin C_R:=B(0,R) \times S^2.$$ Ясно, что для некоторого
$b$ $$PU(x) - U(x) \le - \beta U(x) + b \I_{C_R}(x), \qquad x \in
X.$$ Множество $C_R$ -- компакт, поэтому оно является маленьким.

Итак, условие \eqref{drift} проверено, поэтому для любого $c > 0$
цепь $\Phi_n$ является $e^{c |\widehat{x}|}$-равномерно
эргодической.

\subsection{Инвариантная мера} \label{inv mes}
Из определения $U$-равномерной эргодичности, у рассматриваемой
нами цепи Маркова существует инвариантная мера $\pi$.
Теорема~\ref{Erg criterium} гарантирует, что $e^{c |\widehat{x}|}
\in L^1(\pi)$ (при любом $c$).

Далее, для любого $n$, в силу независимости $V_n$ и $\sigma_n$,
мера $P^n(x, \cdot)$ есть произведение меры на $\mathcal{B}(\R^3)$
и равномерной меры $U_{S^2}$. Поэтому и для инвариантной меры
справедливо $$\pi = \pi_V \otimes U_{S^2},$$ где $\pi_V$ --
вероятностная мера на $\mathcal{B}(\R^3)$. Из соображений
симметрии, $\pi_V$ инвариантна относительно вращений вокруг
третьей координатной оси.

\medskip
Конечность $\int_X e^{c |\widehat{x}|} d \pi$ при любом $c$
позволяет нам доказать такое
\begin{pred}
Для любого начального условия $\Phi_0=x$ величины $V_n$ имеют
экспоненциальные моменты любого порядка. Более того,
\begin{equation}
\label{V exp b} \sup \limits_n \E_x e^{c |V_n|} < \infty.
\end{equation}
\end{pred}
\begin{proof}
Оценим $|V_n|= |\widehat{\Phi_{n-1}} + a \tau_{n-1} | \le |V_{n-1}
| + |a| \tau_{n-1} \le \dots \le |\widehat{x}| +|a|
\sum_{i=0}^{n-1} \tau_i$. Отсюда, используя неравенство Гельдера и
лемму~\ref{exp moment},
$$\E_x e^{c |V_n|} \le e^{c |\widehat{x}|} \E_x \prod_{i=0}^{n-1}
e^{c |a| \tau_i} \le e^{c |\widehat{x}|} \prod_{i=0}^{n-1} (\E_x
e^{c |a| n \tau_i}) ^{1/n} \le e^{c |\widehat{x}|} \sup \limits_{v
\in \R^3} \E e^{c |a| n F(v, \eta)}< \infty.$$ Таким образом,
экспоненциальные моменты существуют, осталось лишь доказать
\eqref{V exp b}. Заметим, что $e^{c|u|} \le e^{c \alpha^{-1}
|\widehat{y}| }$, где $y = \left( u \atop \rho \right) \in X.$
Цепь $\Phi_n$ $e^{c \alpha^{-1} |\widehat{y}|}$-равномерно
эргодична, поэтому из определения
$$\lim \limits_{n \to \infty} \E_x e^{c |V_n|} = \lim \limits_{n
\to \infty} \int_X e^{c|u|} P^n(x, dy) = \int_X e^{c|u|} d \pi(y)
\le \int_X e^{c \alpha^{-1} |\widehat{y}|} d \pi(y) < \infty.$$
\end{proof}

\section{Окончание доказательства теоремы \ref{Main}} \label{Proof}
Напомним, что нам требуется доказать утверждения \eqref{rest},
\eqref{smth to 0} и \eqref{f_n CLT}. Сперва получим две
вспомогательные леммы.
\begin{lem}
\label{a.s. bounds}
Для любого начального условия $\Phi_0=x$ при $ n \to \infty$
$$\qquad \tau_n = O(\log n), \qquad | V_n| = O(\log n) , \qquad \P_x \mbox{{\it
п.н.}}$$
\end{lem}
\begin{proof}
Для доказательства первого соотношения напишем
$$\P_x\bigl\{ \tau_n > 2 \log n \bigr\} \le \frac{\E_x e^{\tau_n}}
{n^2}.$$ Числитель дроби, согласно \eqref{tau exp b}, оценивается
константой, и мы получаем член сходящегося ряда. Осталось
применить лемму Бореля-Кантелли.

Второе соотношение доказывается аналогично, при помощи оценки
\eqref{V exp b}.
\end{proof}

\begin{lem}
\label{t_n/n}
Существует константа $c_4>0$ такая, что для любого начального
условия $\Phi_0=x \in X$ верно $$\lim \limits_{n \to \infty}
\frac{t_n}{n} = c_4, \qquad \P_x \mbox{{\it п.н.}}$$
\end{lem}
\begin{proof}
Вспоминая про \eqref{t_n=} и введенные обозначения, достаточно
доказать $$\lim \limits_{n \to \infty}
\frac{\widehat{\Phi_n}^3}{n} = 0, \qquad \P_x \mbox{{\it п.н.}},$$
существование такой $c_4$, что
$$\lim \limits_{n \to \infty} \frac{1}{n |a|}\sum_{i=1}^n h^3(\Phi_i)
= c_4, \qquad \P_x \mbox{{\it п.н.}},$$ и положительность $c_4$.

Так как $|\widehat{\Phi_n}| \le |V_n|$, то первое утверждение
сразу следует из леммы~\ref{a.s. bounds}. Для доказательства
второго воспользуемся теоремой~\ref{LLN}. Все ее условия
выполнены, поскольку для функционала $h^3$ имеем $|h^3(x)| = |v^3
- \widehat{x}^3 |\le (1 + \alpha^{-1})|\widehat{x}| < (1 +
\alpha^{-1}) e^{|\widehat{x}|} \in L^1(\pi)$. Положим $c_4:=
|a|^{-1} \int_X h^3  d \pi$.

Осталось проверить, что $c_4 > 0$. Взяв в равенстве \eqref{V_n+1
short} ожидание $\E_x$ ($x \in X$ произвольное), для третьей
координаты имеем
$$\int_X u^3 P^{n+1}(x, dy) = \int_X \widehat{y}^3 P^n(x, dy)
+ |a| \E_x F(\widehat{\Phi_n}, \eta_n), \qquad y = \left( u \atop
\rho \right) \in X.$$ Но $|u^3| \le \alpha^{-1}e^{|\widehat{y}|}$,
$|\widehat{y}^3| \le \alpha^{-1} e^{|\widehat{y}|}$, а цепь
$\Phi_n$ является $\alpha^{-1} e^{|\widehat{y}|}$-равномерно
эргодической. Поэтому после предельного перехода по $n \to \infty$
$$\int_X u^3 d \pi (y) = \int_X \widehat{y}^3 d \pi (y) + |a|
\lim \limits_{n \to \infty} \E_x F(\widehat{\Phi_n}, \eta_n).$$
Отсюда по определению $c_4$ $$c_4 = \lim \limits_{n \to \infty}
\E_x F(\widehat{\Phi_n}, \eta_n) = \lim \limits_{n \to \infty}
\int_X \E F(\widehat{y}, \eta_0) P^n(x, dy)=\int_X \E
F(\widehat{y}, \eta_0) d \pi(y)>0.$$ В последнем переходе мы снова
использовали эргодические свойства цепи, ведь $\E F(\widehat{y},
\eta_0) < e^{\E F(\widehat{y}, \eta_0)} \le \E e^{ F(\widehat{y},
\eta_0)} \le \sup \limits_{v \in \R^3} \E e^{F(v, \eta_0)} <
\infty$, согласно лемме~\ref{exp moment}.
\end{proof}

\subsection{Доказательство утверждений \eqref{rest} и \eqref{smth to 0}}
Напомним, что случайная величина $n(t)$ означает число
столкновений, произошедших к моменту времени $t$. Заметим, что
\begin{equation}
\label{n(t)}
\lim\limits_{t \to \infty} n(t) = \infty, \qquad \P_x \mbox{{\it
п.н.}}
\end{equation}
В самом деле, предположив противоположное, получаем, что для
какого-то $k \ge 0$ с ненулевой вероятностью произойдет лишь $k$
столкновений. То есть $\tau_k = \infty$ на множестве ненулевой
меры.

Из леммы~\ref{t_n/n} и \eqref{n(t)} вытекает, что $$\lim
\limits_{t \to \infty} \frac{t_{n(t)}}{n(t)} = c_4, \qquad \P_x
\mbox{{\it п.н.}}$$ Но поскольку $t_{n(t)} \le t < t_{n(t)+1}=
t_{n(t)} + \tau_{n(t)}$, то по лемме~\ref{a.s. bounds}
\begin{equation}
\label{t/n(t)}
\lim \limits_{t \to \infty} \frac{t}{n(t)} = c_4, \qquad \P_x
\mbox{{\it п.н.}}
\end{equation}
Отсюда, с помощью той же леммы~\ref{a.s. bounds}, при $t \to
\infty$ $$\qquad \tau_{n(t)} = O(\log t), \qquad | V_{n(t)}| =
O(\log t) , \qquad \P_x \mbox{{\it п.н.}}$$ Поэтому \eqref{smth to
0}, очевидно, выполнено. Утверждение \eqref{rest} также следует из
этой оценки: ведь между моментами времени $t_{n(t)}$ и $t$
столкновений не было, а $t - t_{n(t)} < \tau_{n(t)}$, поэтому
\begin{eqnarray*}
&&\left | \frac{\bigl(X(t)-X(t_{n(t)})\bigr) - c_1 a \bigl(t -
t_{n(t)} \bigr)}{\sqrt{t}} \right | \\
&=& \left | \frac{\widehat{\Phi_{n(t)}} \bigl(t - t_{n(t)} \bigr)
+ a \bigl(t - t_{n(t)} \bigr)^2 /2 - c_1 a \bigl(t - t_{n(t)}
\bigr)}{\sqrt{t}} \right | \\
&<& \frac{|V_{n(t)}|\tau_{n(t)} + |a| \tau_{n(t)}^2 /2 + c_1
|a| \tau_{n(t)}}{\sqrt{t}} .\\
\end{eqnarray*}

\subsection{Определение константы $c_1$ и матрицы $K$}
Положим $$c_1:= c_4^{-1} |a|^{-1} \int_X f^3 d \pi.$$ Для проверки
положительности $c_1$ покажем, что $\int_X f^3 d \pi > 0$.
Несложные вычисления дают
\begin{eqnarray}
\int_X f^3 d \pi &=& \frac{1}{2|a|} \int_X (v^3)^2 -\Bigl( v^3 -
\frac{1 + \alpha}{2} \bigl(v^3 + |v| \sigma^3 \bigr)\Bigr)^2
d \pi_V(v) d U_{S^2} (\sigma) \notag\\
&=& \frac{1}{2|a|} \int_X (v^3)^2 - \Bigl( \frac{1 - \alpha}{2}
v^3 - \frac{1 + \alpha}{2} |v| \sigma^3 \Bigr)^2 d \pi_V(v) d
U_{S^2} (\sigma) \notag\\
&=& \frac{1}{2|a|} \int_X \Bigl(1 - \frac{(1 - \alpha)^2}{4}\Bigr)
(v^3)^2 - \frac{(1 + \alpha)^2}{4} |v|^2 (\sigma^3)^2 \, d
\pi_V(v) d U_{S^2} (\sigma) \label{f^3 count}\\
&=& \frac{1 + \alpha}{8|a|} \int_{\R^3} \bigl(3 - \alpha \bigr)
(v^3)^2 - \frac{1 + \alpha}{3} \bigl ( (v^1)^2 + (v^2)^2+
(v^3)^2 \bigr) \, d \pi_V(v) \notag \\
&=& \frac{1 + \alpha}{8|a|} \Bigl( \bigl(3 - \alpha \bigr) I_3 -
\frac{1 + \alpha}{3} \bigl (I_1 + I_2 + I_3 \bigr) \Bigr),
\notag\\ \notag
\end{eqnarray}
где $I_k:=\int_{\R^3} (v^k)^2 d \pi_V, \, k=1,2,3$.

Поскольку мера $\pi_V$ симметрична относительно третьей
координатной оси, то $I_1=I_2$. Для нахождения этих интегралов
будем действовать аналогично доказательству положительности $c_4$
в лемме~\ref{t_n/n}. Из \eqref{V_n+1 short} выводим
$\bigl(V^1_{n+1}\bigr)^2 = \bigl(\widehat{\Phi_n}^1\bigr)^2$;
возьмем в этом равенстве ожидание и устремим $n \to \infty$. В
силу эргодических свойств цепи $\Phi_n$, мы получим $\int_X
(v^1)^2 d \pi = \int_X (\widehat{x}^1)^2 d \pi$. Аналогично
преобразованиям \eqref{f^3 count}, $(3 - \alpha) I_1 =\frac{1 +
\alpha}{3} (2 I_1 + I_3 )$ и $I_1= \frac{1 + \alpha}{7 - 5\alpha}
I_3$. Подставляя это выражение в \eqref{f^3 count}, $\int_X f^3 d
\pi = \frac{3(3-\alpha)(1-\alpha^2)} {4|a|(7-5\alpha)} I_3$. Но
$I_3>0$, так как $\frac{1+\alpha}{2} \sqrt{I_3} \ge
\frac{1+\alpha}{2} \int_{\R^3} v^3 d \pi_V = \int_X h^3 d \pi
=|a|c_4> 0$. Положительность $c_1$ доказана.

Отметим, что для $g:=f-c_1 h$ выполняется $\int_X g d \pi=0$. Для
первых двух координат это следует из простых вычислений, в которых
используется представление $\pi = \pi_V \otimes U_{S^2}$ и
симметрия меры $\pi_V$. А для третьей координаты -- из равенства
$c_4 = |a|^{-1}\int_X h^3 d \pi $.

Теперь определим матрицу $K$. Так как $|g(x)| \le 2,5 |a|^{-1} (1
+ \alpha^{-1}) |\widehat{x}|^2 + c_1 (1 + \alpha^{-1})
|\widehat{x}|$, то существует такое $c>1$, что $|g(x)|^2 \le c
e^{|\widehat{x}|}$. Поэтому (цепь $\Phi_n$ $c
e^{|\widehat{x}|}$-равномерно эргодическая) для функционалов
$g^1$, $g^2$ и $g^3$ выполнены условия теоремы~\ref{FCLT}, и
существуют решения уравнений Пуассона $\overline{g^1},
\overline{g^2}, \overline{g^3} \in L^2(\pi)$. Обозначив $\bar{g}:=
(\overline{g^1}, \overline{g^2},\overline{g^3})^\top$, положим
$$K:=c_4^{-1} \int_X \left( \bar{g} \, \bar{g}^{\top} - (P
\bar{g})  (P\bar{g})^{\top} \right) d \pi.$$

\subsection{Доказательство утверждения \eqref{f_n CLT}} \label{f_ CLT proof}
Достаточно, чтобы для любого $u \in \R^3$ $$\biggl(
\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^{n(t)} g(\Phi_i), u \biggr)=
\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^{n(t)} (g, u)(\Phi_i)
\stackrel{d}{\longrightarrow} \bigl( \mathcal{N}(0, K), u \bigr) =
\mathcal{N}\bigl(0, (Ku, u) \bigr), \qquad t \to \infty.$$ Далее,
$$(Ku, u) = c_4^{-1} \int_{X} \left( (\bar{g}, u)^2 -
(P \bar{g}, u)^2 \right) d \pi = c_4^{-1} \int_{X} \left(
(\bar{g}, u)^2 - (P (\bar{g}, u))^2 \right) d \pi = c_4^{-1}
\gamma^2_{(g, u)},$$ в последнем переходе мы использовали
\eqref{gamma} и очевидное равенство $(\bar{g}, u) = \overline{(g,
u)}$. Таким образом, для любого $u \in \R^3$ требуется получить
\begin{equation}
\label{CLT 1D}
\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^{n(t)} (g, u)(\Phi_i)
\stackrel{d}{\longrightarrow} \mathcal{N} \bigl(0, c_4^{-1}
\gamma^2_{(g, u)} \bigr), \qquad t \to \infty.
\end{equation}
Хотя это утверждение очень сильно напоминает ЦПТ для цепи Маркова,
здесь количество слагаемых $n(t)$ случайно и не является
независимым с этими слагаемыми.

Для произвольного $0 < \varepsilon < 1$ из \eqref{t/n(t)} вытекает
$$\lim \limits_{t \to \infty} \P_x  \Biggl \{ \min \limits_{ (1-
\varepsilon ) c_4^{-1} t < k < (1 + \varepsilon ) c_4^{-1} t}
\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^k (g, u)(\Phi_i) \le
\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^{n(t)} (g, u)(\Phi_i) \; \; \Biggr
\} = 1.$$ А для функционала $(g,u)$ выполнены все условия
теоремы~\ref{FCLT}. Поэтому, с учетом \eqref{S_n(t) ->}, для
любого $z \in \R$
\begin{eqnarray*}
\varlimsup \limits_{t \to \infty} \P_x  \Biggl \{
\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^{n(t)} (g, u)(\Phi_i) < z \Biggr \}
& \le & \lim \limits_{t \to \infty} \P_x  \Biggl \{ \min
\limits_{(1- \varepsilon ) c_4^{-1} t < k < (1 + \varepsilon )
c_4^{-1} t} \frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^k (g, u)(\Phi_i) < z
\Biggr \} \notag\\
&=& \P \Biggl \{ \min \limits_{(1- \varepsilon )c_4^{-1} < s < (1
+ \varepsilon ) c_4^{-1}} \sqrt{\gamma^2_{(g, u)}} W(s)
< z \Biggr \}. \\
\end{eqnarray*}
Устремляя $\varepsilon \to 0$, получаем, что для любого $z \in \R$
$$\varlimsup \limits_{t \to \infty} \P_x  \Biggl \{
\frac{1}{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^{n(t)} (g, u)(\Phi_i) < z \Biggr \}
\le \P \Biggl \{ \sqrt{\gamma^2_{(g, u)}} W \bigl(c_4^{-1} \bigr)
< z \Biggr \}.$$

Повторив те же рассуждения для $\max$, получаем $$\P \Biggl \{
\sqrt{\gamma^2_{(g, u)}} W \bigl(c_4^{-1} \bigr) < z \Biggr \} \le
\varliminf \limits_{t \to \infty} \P_x  \Biggl \{ \frac{1}
{\sqrt{t}} \sum_{i=1}^{n(t)} (g, u)(\Phi_i) < z \Biggr \}.$$ Таким
образом, \eqref{CLT 1D} доказано.

\subsection{Изучение матрицы $K$}
Из соображений симметрии, предельное распределение $\mathcal{N}
(0, K)$ должно быть инвариантно относительно вращений вокруг
третьей координатной оси. Это означает, что при любом $\varphi \in
[0, 2 \pi]$ для матрицы
$$\mathcal{O} = \left(
\begin{array}{ccc}
\cos \varphi & \sin \varphi & 0\\
-\sin \varphi & \cos \varphi & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{array} \right)$$
выполняется $\mathcal{N} (0, K) \stackrel{d}{=} \mathcal{O}
\mathcal{N} (0, K)$, откуда $K=\mathcal{O} K \mathcal{O}^\top$.
Так как $K$ -- симметричная, то, сосчитав $\mathcal{O} K
\mathcal{O}^\top$ для $\varphi :=\pi/2$, убеждаемся, что $K$ имеет
вид
$$K = \left(
\begin{array}{ccc}
c_2 & 0 & 0\\
0 & c_2 & 0\\
0 & 0 & c_3\\
\end{array} \right).$$
Из определения $K$ $$c_2 = c_4^{-1} \gamma_{g^2}^2, \qquad c_3 =
c_4^{-1} \gamma_{g^3}^2,$$ и эти константы, разумеется,
неотрицательны.

\bigskip
Автор глубоко благодарен своему руководителю М.А. Лифшицу за
многочисленные советы и замечания. Автор также признателен М.И.
Гордину за интерес к данной работе.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Doob} Дж. Дуб (1956) Вероятностные процессы. М., ИЛ.
\bibitem{Kac} М. Кац (1967) Несколько вероятностных задач физики и
математики. М., Наука, стр. 103--115.
\bibitem{BFS} J. Banasiak, G. Frosali, G. Spiga (2000)
Inelastic scattering models in transport theory and their small
mean free path analysis. Mathematical Methods in the Applied
Sciences, v. 23, pp. 121--145.
\bibitem{BCLM} C. Buet, S. Cordier, B. Lucquin-Desreux and S. Mancini
(2002) Diffusion limit of the Lorentz model: asymptotic preserving
schemes. Mathematical Modelling and Numerical Analysis, v. 36, №
4, pp. 631--655.
\bibitem{MP} Ph. A. Martin and J. Piasecki (1998) Lorentz's
model with dissipative collisions. Preprint, arXiv:
cond-mat/9810070.
\bibitem{MT} S.P. Meyn and R.L. Tweedie (1993) Markov Chains
and Stochastic Stability. Springer-Verlag, London.
\bibitem{R-Triolo} K. Ravishankar and L. Triolo (1999) Diffusive limit of
the Lorentz model with a uniform field starting from the Markov
approximation. Markov Processes and Related Fields, v. 5, № 4, pp.
385--421.
\bibitem{San} D.P. Sanders (2004) Fine structure of distributions and
central limit theorem in diffusive billiards. Preprint, arXiv:
nlin.CD/0411012.
\bibitem{WE} D.R. Wilkinson and S.F. Edwards (1982) Spontaneous
interparticle percolation. Proceedings of the Royal Society of
London, Series A, v. 381, pp. 33--51.
\bibitem{Helium} K.I. Wysokinski, W. Park, D. Belitz and
T.R. Kirkpatrick (1995) Density expansion for the mobility in a
quantum Lorentz model. Physical Review E, v. 52, № 1, pp.
612--622.
\end{thebibliography}

\bigskip

\begin{tabular}{>{\footnotesize} l}
Владислав Высоцкий \\
кафедра теории вероятностей и математической статистики \\
Математико-механический факультет \\
Санкт-Петербургский Государственный Университет \\
Библиотечная пл., 2 \\
198504, Старый Петергоф \\
Россия\\
E-mail: vysotsky@vv9034.spb.edu\\
\end{tabular}

\end{document}