\documentclass[a4paper,12pt,oneside]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsthm,amsmath}
\pagestyle{plain}
\oddsidemargin=-5,4mm
\textwidth=18cm
\sloppy
\begin{document}

\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\theoremstyle{remark}
\newtheorem{rem}{Замечание}
\def\U{\mathaccent'27U}

\noindent
А.И. Назаров, Р.С.Пусев

\section*{Точная асимптотика малых уклонений в $L_2$-норме с весом\\
для некоторых гауссовских процессов}


\section{Введение}


Теория малых уклонений для норм гауссовских процессов интенсивно развивается
в послед\-ние годы (см., например, обзоры \cite{LiShao}-\cite{Lifts}).
Наиболее разработанным здесь является случай $L_2$-нормы.
Пусть $X(t)$, $a \leqslant t \leqslant b$, центрированный гауссовский процесс
с ковариацией $G(t,s)=\mathsf EX(t)X(s)$, $t,s\in[a,b]$,
и пусть $\psi$ --- неотрицательная функция на $[a,b]$. Положим
$$
\|X\|_\psi=\left(\int_a^bX^2(t)\psi(t)\,dt\right)^{1/2}.
$$
Нас интересует точная асимптотика при $\varepsilon\to0$ величины
$\Prob\left\{\|X\|_\psi\leqslant\varepsilon\right\}$.
Неявное реше\-ние задачи было получено в \cite{Syt}.
Затем многие авторы, начиная с \cite{Zol}--\cite{Ibr}, занимались
упрощением выражения для вероятности малых уклонений
при различных предположениях.

В силу разложения Карунена-Лоэва имеет место равенство по распределению
\begin{equation}
\label{KarLo}
\|X\|_\psi^2=\int_a^bX^2(t)\psi(t)\,dt=\sum_{n=1}^\infty\lambda_n\xi_n^2,
\end{equation}
где $\xi_n$, $n\in\mathbb N$, независимые стандартные гауссовские
с.в., а $\lambda_n>0$, $n\in\mathbb N$, $\sum\limits_n\lambda_n<\infty$,
являются собственными значениями интегрального уравнения
\begin{equation}
\label{maineq}
\lambda f(t)=\int_a^b G(t,s)\sqrt{\psi(t)\psi(s)}f(s)\,ds,\quad t\in[a,b].
\end{equation}

Таким образом, исходная задача сводится к описанию поведения
при $\varepsilon\to0$ вероят\-ности
$\Prob\left\{\sum_{n=1}^\infty\lambda_n\xi_n^2\leqslant\varepsilon^2\right\}$.
Основная трудность заключается в том, что явные формулы для собственных значений
известны лишь для немногих процессов (см.\ \cite{Li}--\cite{Pycke}).
Если же известна достаточно точная асимптотика $\lambda_n$, то асимптотика
вероятности малых уклонений с точностью до константы
может быть получена с помощью теорем сравнения, полученных в \cite{Li}.

В работах \cite{NaNi}-\cite{Na} был разработан новый подход, позволяющий
получать асимптотику малых уклонений в $L_2$-норме для гауссовских процессов,
ковариация которых является функцией Грина самосопряженного
дифференциального оператора из довольно широкого класса.
Настоящая работа обобщает этот результат на случай взвешенных процессов.

Напомним некоторые обозначения. Функция $G(t,s)$ называется функцией Грина
краевой задачи для дифференциального оператора $L$, если она удовлетворяет
граничным условиям и уравнению $LG=\delta(t-s)$.

Пространство $W_p^m(0,1)$ --- это банахово пространство
$(m-1)$ раз непрерывно дифференцируемых функций $y$,
у которых $y^{(m-1)}$ абсолютно непрерывна на отрезке $[0,1]$
и $y^{(m)}\in L_p(0,1)$.


\section{Асимптотика с точностью до константы\\ для взвешенных процессов}


Рассмотрим самосопряженный дифференциальный оператор $L$ порядка $2\ell$,
определен\-ный на пространстве $\mathcal D(L)$ функций,
% $u\in W_2^{2\ell}(0,1)$
удовлетворяющих $2\ell$ граничным усло\-ви\-ям.

\begin{lemma}
\label{mainlemma}
Пусть функция $\psi\in W_\infty^\ell(0,1)$ и $\psi>0$ на $(0,1)$.
Пусть $G(t,s)$ --- функция Грина краевой задачи
$$
Lv=\mu v \quad \text{на} \quad [0,1],\qquad v\in\mathcal D(L).
$$
Тогда функция
\begin{equation}\label{Gxy}
\mathcal G(t,s)=\sqrt{\psi(t)\psi(s)}G(t,s)
\end{equation}
является функцией Грина краевой задачи
\begin{equation}\label{Lu}
\mathcal Lv\equiv\psi^{-1/2}L(\psi^{-1/2}v)=\mu v
\quad \text{на} \quad [0,1],\qquad v\in\mathcal D(\mathcal L),
\end{equation}
где пространство $\mathcal D(\mathcal L)$ состоит из функций v,
% $u\in W_2^{2\ell}(0,1)$
удовлетворяющих условию
\begin{equation}\label{bc}
\psi^{-1/2}v\in\mathcal D(L).
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
Согласно равенству (\ref{Gxy})
$$
\frac{1}{\sqrt{\psi(t)}}\mathcal G(t,s)=\sqrt{\psi(s)}G(t,s),
$$
значит,
$$
\frac{1}{\sqrt\psi}\mathcal G(\cdot,s)\in \mathcal D(L).
$$
Из определения оператора $\mathcal L$ следует
$$
\mathcal L\mathcal G(t,s)=\frac{\sqrt{\psi(s)}}{\sqrt{\psi(t)}}LG(t,s).
$$
Вспоминая, что $LG(t,s)=\delta(t-s)$, получаем
$$
\mathcal L\mathcal G(t,s)=\delta(t-s).
$$
Лемма доказана.
\end{proof}

\begin{rem}
Задача (\ref{Lu})--(\ref{bc}) с помощью замены $y=\psi^{-1/2}v$ переписывается так:
$$
Ly=\mu\psi y \quad \text{на} \quad [0,1],\qquad y\in\mathcal D(L).
$$
\end{rem}

\begin{theorem}
\label{mainthm}
Пусть ковариационная функция~$G_X(t,s)$ центрированного гауссовского про\-цес\-са~$X(t)$,
$0\leqslant t\leqslant1$, является функцией Грина самосопряженного оператора~$L$
порядка~$2\ell$
\begin{equation}
\label{L_X}
Lv\equiv
(-1)^\ell v^{(2\ell)}+\left(p_{\ell-1}v^{(\ell-1)}\right)^{(\ell-1)}+\ldots+p_0v;
\end{equation}
$$p_m\in L_1(0,1),\quad m=0,\ldots,\ell-2;\qquad p_{\ell-1}\in L_\infty(0,1);$$
с граничными условиями
\begin{equation}
\label{BC}
\left.
\begin{aligned}
U_j^0(v)\equiv v^{(k_j)}(0)+\sum_{k<k_j}\alpha_{jk}^0v^{(k)}(0)=0,\\
U_j^1(v)\equiv v^{(k'_j)}(1)+\sum_{k<k'_j}\alpha_{jk}^1v^{(k)}(1)=0,
\end{aligned}
\right\}
j=1,\ldots,\ell,
\end{equation}
где $\alpha_{jk}^i$ --- некоторые постоянные,
$$0\leqslant k_1<\ldots<k_\ell\leqslant2\ell-1,\quad
0\leqslant k'_1<\ldots<k'_\ell\leqslant2\ell-1.$$
Предположим, что
$$\varkappa\equiv\sum\limits_{j=1}^\ell(k_j+k'_j)<2\ell^2.$$
Пусть функция $\psi\in W_\infty^\ell(0,1)$ и $\psi(x)>0$, $x\in[0,1]$.
Тогда при $\varepsilon\to0$ имеет место соотноше\-ние
\begin{equation}
\label{mainformula}
\Prob(\|X\|_\psi\leqslant\varepsilon)\sim
\mathcal C\, \varepsilon^\gamma
\exp\left(-\frac{2\ell-1}2 \left(\frac{\vartheta_\ell}{2\ell\sin\frac\pi{2\ell}}\right)
^{\frac{2\ell}{2\ell-1}}
\varepsilon^{-\frac2{2\ell-1}}\right),
\end{equation}
где
$$
\gamma=-\ell+\frac{\varkappa+1}{2\ell-1},\quad
\vartheta_\ell=\int_0^1\psi^{1/{(2\ell)}}(x)\,dx,$$
\begin{equation}
\mathcal C=C_{\rm dist}\,
\frac{(2\pi)^{\ell/2}(\pi/\vartheta_\ell)^{\ell\gamma}(\sin\frac\pi{2\ell})^{\frac{1+\gamma}2}}
{(2\ell-1)^{1/2}(\frac\pi{2\ell})^{1+\frac\gamma2}\Gamma^\ell(\ell-\frac\varkappa{2\ell})}.
\label{C(X)}
\end{equation}

В (\ref{C(X)}) константа {\it ``расхождения''} $C_{\rm dist}$ задается формулой
$$C_{\rm dist}=\prod_{n=1}^\infty\frac{\mu_n^{1/2}}
{\left(\pi/\vartheta_\ell\cdot\left[n+\ell-1-\frac\varkappa{2\ell}\right]\right)^\ell},$$
где $\mu_n$ --- собственные значения краевой задачи
$$Ly=\mu\psi y,\quad
U_j^0(y)=0,\quad U_j^1(y)=0,\quad j=1,\ldots,\ell.$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно Лемме~\ref{mainlemma}, числа $\lambda_n$ в разложении (\ref{KarLo})
рав\-ны $\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где  $\mu_n$~--- собственные числа краевой задачи
$$\mathcal Lv\equiv \psi^{-1/2}L(\psi^{-1/2}v)=\mu v,\quad
U_j^0(\psi^{-1/2}v)=0,\quad U_j^1(\psi^{-1/2}v)=0,\quad j=1,\ldots,\ell.$$

Выражение для $\mathcal Lv$ можно переписать так:
$$\mathcal Lv=(-1)^\ell\left(\psi^{-1}v^{(\ell)}\right)^{(\ell)}
+\left(q_{\ell-1}v^{(\ell-1)}\right)^{(\ell-1)}+\ldots+q_0v,$$
причем $q_k\in L_1(0,1)$, $k=0,\ldots,\ell-2$, $q_{\ell-1}\in L_\infty(0,1)$,
$\psi^{-1}\in W_\infty^\ell(0,1)$, $\psi^{-1}>0$
в силу условий на функцию $\psi$ и функции $p_k$, $k=0,\ldots,\ell-1$.
Значит, мы вправе применить Предложение~7.2 из \cite{NaNi},
которое дает~(\ref{mainformula}).
\end{proof}

Хотя мы написали ``явное'' выражение для $C_{\rm dist}$,
в общем случае вычисление этой константы представляет собой непростую задачу.
Однако, если собственные функции ковариации случайного процесса
могут быть выражены через элементарные или специальные функции,
явные формулы для константы ``расхождения'' могут быть получены методом,
разработанным в \cite{Na} (см. так\-же~\cite{GHLT}).
В следующих разделах приводятся примеры таких процессов.
В разделе~3 мы рассмотрим процессы, для которых
собственные функции выражаются через тригонометрические функции.
В разделах~4 и~5 исследуются процессы, собственные функции ковариации которых
выражаются через функции Бесселя.

\section{Процессы, связанные с тригонометрическими\\функ\-ция\-ми}

Пусть $u\leqslant1$. Рассмотрим процесс $W_{(u)}(t)\equiv W(t)-utW(1)$
при $0\leqslant t\leqslant1$.
Это центрированный гауссовский процесс с ковариационной функцией
$G_{W_{(u)}}(t,s)=s\land t-(2u-u^2)st$,
то есть при $u\in(0,1]$ процесс $W_{(u)}$ представляет собой
рассматриваемый на отрезке $[0,1]$ броуновский мост из нуля в нуль длины $(2u-u^2)^{-1}$
(см., например,~\cite{BS}, 4.4.20).
При $u=1$ этот процесс совпадает со стандартным броуновским мостом,
а при $u=0$ --- со стандартным винеровским процессом.

%ПЕРВЫЙ МОСТ

\begin{theorem}
\label{br1}
Пусть $a>0$.
\begin{enumerate}
\item
Для стандартного броуновского моста $W_{(1)}=B$ при $\varepsilon\to0$ имеем
$$\Prob\left\{\int_0^1\frac{B^2(t)}{(a^2+t^2)^2}\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{2^{3/2}}
{\pi^{1/2}(1+a^2)^{1/4}(\arcctg a)^{1/2}}
\exp\left(-\frac{(\arcctg{a})^2}{8a^2}\,\varepsilon^{-2}\right).$$
\item
Пусть $u<1$. Тогда для ``удлиненного'' броуновского моста $W_{(u)}$ при $\varepsilon\to0$ имеем
$$\Prob\left\{\int_0^1\frac{W_{(u)}^2(t)}{(a^2+t^2)^2}\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{4a^{1/2}(1+a^2)^{1/4}}{(1-u)\pi^{1/2}\arcctg a}
\cdot \varepsilon \cdot
\exp\left(-\frac{(\arcctg{a})^2}{8a^2}\,\varepsilon^{-2}\right).$$
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно Предложению 1.9 из \cite{Na} и Лемме~\ref{mainlemma},
числа $\lambda_n$ в разложении (\ref{KarLo})
рав\-ны $\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где  $\mu_n$~--- собственные числа краевой задачи
$$
\left\{
\begin{aligned}
&-y''=\frac{\mu y}{(a^2+t^2)^2}&& \text{на} \quad [0,1],\\
&y(0)=y(1)=0,&&\text{если\ }u=1,\\
&y(0)=(y'+\alpha y)(1)=0,&&\text{если\ }u<1,
\end{aligned}
\right.
$$
где $\alpha=(1-u)^{-2}-1$.
Из \cite{Ka}, 2.377, учитывая условие $y(0)=0$, получаем
$$y(t)=c\sqrt{t^2+a^2}\sin\left(\frac{\sqrt{\mu+a^2}}{a}\arctg\frac ta\right).$$
Второе граничное условие дает уравнение на собственные значения, из которого следует, что
$$
\mu_n=
\left\{
\begin{aligned}
&\left(\frac{an\pi}{\arcctg a}\right)^2-a^2,&&\text{если\ }u=1,\\
&\left(\frac{az_n}{\arcctg a}\right)^2-a^2,&&\text{если\ }u<1,
\end{aligned}
\right.
$$
где $z_1<z_2<\ldots$ --- положительные корни уравнения
$$\zeta\cos(\zeta)+\left[1+\alpha(1+a^2)\right]\frac{\arcctg a}{a}\sin(\zeta)=0.$$

Пользуясь Теоремой~1 из \cite{HX}, получаем утверждение теоремы при $u=1$.
В случае $u<1$, с учетом Теоремы \ref{mainthm}, достаточно показать, что
\begin{equation}
C_{\rm dist}^2\equiv\prod_{n=1}^\infty\frac{\left(
\frac{az_n}{\arcctg a}\right)^2-a^2}
{\left(\frac{a\pi}{\arcctg a}\left(n-\frac12\right)\right)^2}=
\frac{\sqrt{1+a^2}}{(1-u)^2a}.
\label{C1}
\end{equation}
Положим
$$F(\zeta)=\cos(\zeta)+\frac{\arcctg a}{a}\left[1+\alpha(1+a^2)\right]
\frac{\sin(\zeta)}{\zeta}.$$
По теореме Адамара о разложении на множители (см.~\cite{Ti}, \S8.2.4)
$$F(\zeta)\equiv F(0)\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{\zeta^2}{z_n^2}\right).$$
Значит,
\begin{equation}
\label{Ad}
\prod_{n=1}^\infty\frac{z_n^2-(\arcctg a)^2}{z_n^2}=
\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{(\arcctg a)^2}{z_n^2}\right)
=\frac{F(\arcctg a)}{F(0)}
=\frac{\sqrt{1+a^2}}{a(1-u)^2F(0)}.
\end{equation}
Для вычисления бесконечного произведения
$\prod_{n=1}^\infty\frac{z_n^2}{\left(\pi\left(n-\frac12\right)\right)^2}$
применим к функциям $F(\zeta)$ и $\Psi(\zeta)=\cos(\zeta)$
теорему Иенсена (см. \cite{Ti}, \S3.6.1).
При $|\zeta|=\pi k$ и $k\to\infty$
\begin{equation}
\label{rra}
\frac{|F(\zeta)|}{|\Psi(\zeta)|}\rightrightarrows1.
\end{equation}
При больших $k$ в круге $|\zeta|<\pi k$ существует ровно $2k$ корней
$\pm\frac\pi2$, $\pm\frac{3\pi}2,\ldots,\pm\frac{(2k-1)\pi}{2}$ функции $\Psi(\zeta)$
и ровно $2k$ корней $\pm z_j$, $j=1\ldots,k$, функции $F(\zeta)$. Значит, с учетом (\ref{rra}),
\begin{equation}
\label{Je}
\prod_{n=1}^\infty\frac{z_n^2}{\left(\pi\left(n-\frac12\right)\right)^2}
=\frac{|F(0)|}{|\Psi(0)|}=|F(0)|.
\end{equation}
Из формул (\ref{Ad}) и (\ref{Je}) получаем (\ref{C1}).
\end{proof}

Доказательство двух следующих теорем аналогично доказательству теоремы \ref{br1}.

%ВТОРОЙ МОСТ

\begin{theorem}
\label{br2}
Пусть $a>1$.
\begin{enumerate}
\item
Для стандартного броуновского моста $W_{(1)}=B$ при $\varepsilon\to0$ имеем
$$\Prob\left\{\int_0^1\frac{B^2(t)}{(a^2-t^2)^2}\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{4}{\pi^{1/2}(a^2-1)^{1/4}\left(\ln\frac{a+1}{a-1}\right)^{1/2}}
\exp\left(-\frac{\left(\ln\frac{a+1}{a-1}\right)^2}{32a^2}\,\varepsilon^{-2}\right).$$
\item
Пусть $u<1$. Тогда для ``удлиненного'' броуновского моста $W_{(u)}$ при $\varepsilon\to0$ имеем
$$\Prob\left\{\int_0^1\frac{W_{(u)}^2(t)}{(a^2-t^2)^2}\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{8(a^2-1)^{1/4}a^{1/2}}{(1-u)\pi^{1/2}\ln\frac{a+1}{a-1}}
\cdot\varepsilon\cdot
\exp\left(-\frac{\left(\ln\frac{a+1}{a-1}\right)^2}{32a^2}\,\varepsilon^{-2}\right).$$
\end{enumerate}
\end{theorem}

%ТРЕТИЙ МОСТ

\begin{theorem}
\label{br3}
Пусть $a>0$.
\begin{enumerate}
\item
Для стандартного броуновского моста $W_{(1)}=B$ при $\varepsilon\to0$ имеем
$$\Prob\left\{\int_0^1\frac{B^2(t)}{(t+a)^2}\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{2\sqrt2}{(a+1)^{1/4}a^{1/4}\pi^{1/2}\left(\ln\frac{a+1}{a}\right)^{1/2}}
\exp\left(-\frac{\left(\ln\frac{a+1}{a}\right)^2}{8}\,
\varepsilon^{-2}\right).$$
\item
Пусть $u<1$. Тогда для ``удлиненного'' броуновского моста $W_{(u)}$ при $\varepsilon\to0$ имеем
$$\Prob\left\{\int_0^1\frac{W_{(u)}^2}{(t+a)^2}\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{4(a+1)^{1/4}}{(1-u)a^{1/4}\pi^{1/2}\ln\frac{a+1}{a}}
\cdot\varepsilon\cdot
\exp\left(-\frac{\left(\ln\frac{a+1}{a}\right)^2}{8}\,
\varepsilon^{-2}\right).$$
\end{enumerate}
\end{theorem}


\section{Процессы второго порядка, связанные с функциями\\ Бесселя}


%ЧЕТВЕРТЫЙ МОСТ

\begin{theorem}
\label{br4}
Пусть $a>0$ и $\beta\neq0$.
\begin{enumerate}
\item
Для стандартного броуновского моста $W_{(1)}=B$ при $\varepsilon\to0$ имеем
\begin{multline}
\label{th4.1.1}
\Prob\left\{\int_0^1(t+a)^{2\beta-2} B^2(t)\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim\\
\sim
\left(
a(a+1)
\right)^{(\beta-1)/4}
\left(
\frac{\beta}
{(a+1)^\beta-a^\beta}
\right)^{1/2}
\frac
{2\sqrt2}
{\sqrt\pi}
\exp\left(-\frac{\left((a+1)^{\beta}-a^{\beta}\right)^2}{8\beta^2}\,
\varepsilon^{-2}\right).
\end{multline}
\item
Пусть $u<1$. Тогда для ``удлиненного'' броуновского моста $W_{(u)}$ при $\varepsilon\to0$ имеем
\begin{multline}
\label{th4.1.2}
\Prob\left\{\int_0^1(t+a)^{2\beta-2}W_{(u)}^2(t)\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim\\
\sim
\left(
\frac{a}{a+1}
\right)^{(\beta-1)/4}
\frac{\beta}
{(1-u)\left((a+1)^{\beta}-a^{\beta}\right)}
\cdot
\frac{4\varepsilon}{\sqrt\pi}
\cdot
\exp\left(-\frac{\left((a+1)^{\beta}-a^{\beta}\right)^2}{8\beta^2}\,
\varepsilon^{-2}\right).
\end{multline}
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно Лемме~\ref{mainlemma}, числа $\lambda_n$ в разложении (\ref{KarLo})
рав\-ны $\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где  $\mu_n$~--- собственные числа краевой задачи
$$
\left\{
\begin{aligned}
&-y''=\mu(t+a)^{2\beta-2}y&& \text{на} \quad [0,1],\\
&y(0)=y(1)=0,&&\text{если\ }u=1,\\
&y(0)=(y'+\alpha y)(1)=0,&&\text{если\ }u<1,
\end{aligned}
\right.
$$
где $\alpha=(1-u)^{-2}-1$.
Общим решением уравнения (см.~\cite{GR}, 8.491.11) является
$$
y(t)=c_1\sqrt{t+a}J_{\frac{1}{2|\beta|}}\left(\frac{\sqrt\mu}{\beta}(t+a)^\beta\right)
+c_2\sqrt{t+a}N_{\frac{1}{2|\beta|}}\left(\frac{\sqrt\mu}{\beta}(t+a)^\beta\right),
$$
где $J_\nu$ и $N_\nu$ --- функции Бесселя порядка~$\nu$
первого и второго рода соответственно.

Далее доказательство будет проведено для случая $u<1$, случай $u=1$ рассматривает\-ся
аналогично и проще.
Подставляя $y(t)$ в граничные условия, получаем уравнение на собст\-вен\-ные значения,
из которого следует, что $\mu_n=z_n^2$, где $z_1<z_2<\ldots$~---
положительные кор\-ни функции
$$
F(\zeta)=
\det
\begin{bmatrix}
J_{\nu}
\left(\frac{a^\beta\zeta}{\beta}\right)
&
N_{\nu}
\left(\frac{a^\beta\zeta}{\beta}\right)
\\
\zeta
J'_{\nu}
\left(\frac{(a+1)^\beta\zeta}{\beta}\right)
+\frac
{\alpha(a+1)+\frac12}
{(a+1)^\beta}
J_{\nu}
\left(\frac{(a+1)^\beta\zeta}{\beta}\right)
&
\zeta
N'_{\nu}
\left(\frac{(a+1)^\beta\zeta}{\beta}\right)
+\frac
{\alpha(a+1)+\frac12}
{(a+1)^\beta}
N_{\nu}
\left(\frac{(a+1)^\beta\zeta}{\beta}\right)
\end{bmatrix},
$$
где $\nu=\frac{1}{2|\beta|}$.
Введем обозначение $\vartheta=\frac{(a+1)^\beta-a^\beta}{\beta}$.
C учетом Теоремы \ref{mainthm}, нам достаточно показать, что
\begin{equation}
\label{C4}
C_{\rm dist}^2\equiv\prod_{n=1}^\infty
\frac{z_n^2\vartheta^2}{\left(\pi\left(n-\frac12\right)\right)^2}=
(1+\alpha)\left(\frac{a}{a+1}\right)^{(\beta-1)/2}.
\end{equation}
Положим $\Psi(\zeta)=\cos\left(\vartheta\zeta\right)$.
Тогда, учитывая, что при $\nu>0$ и $\zeta\to0$
$$
J_\nu(\zeta)\sim\frac{1}{\Gamma(1+\nu)}\left(\frac\zeta2\right)^\nu,
\qquad
N_\nu(\zeta)\sim-\frac{\Gamma(\nu)}{\pi}\left(\frac\zeta2\right)^{-\nu},
$$
получаем
$$
\frac{|F(0)|}{|\Psi(0)|}=\frac{2\beta(1+\alpha)(a+1)^{1/2}}{\pi a^{1/2}(a+1)^\beta}.
$$
Заметим, что $F(-\zeta)=F(\zeta)$. Поскольку при $\Re(\zeta)\geqslant0$ и $|\zeta|\to\infty$ справедливы соотношения
\begin{equation}
\label{Bessel}
\begin{aligned}
J_\nu(\zeta)
&=\sqrt\frac{2}{\pi\zeta}\cos\left(\zeta-\frac\pi2\nu-\frac\pi4\right)(1+O(|\zeta|^{-1})),
\\
N_\nu(\zeta)
&=\sqrt\frac{2}{\pi\zeta}\sin\left(\zeta-\frac\pi2\nu-\frac\pi4\right)(1+O(|\zeta|^{-1})),
\\
\end{aligned}
\end{equation}
при $|\zeta|=\pi k/\vartheta$ и $k\to\infty$ прямым вычислением получаем
$$
\frac{|F(\zeta)|}{|\Psi(\zeta)|}\rightrightarrows\frac{2\beta}{a^{\beta/2}(a+1)^{\beta/2}\pi}.
$$
Применяя теорему Иенсена к функциям $F(\zeta)$ и $\Psi(\zeta)$, получаем (\ref{C4}).
\end{proof}

\begin{rem}
Переходя в соотношениях (\ref{th4.1.1})-(\ref{th4.1.2}) к пределу при $\beta\to0$,
получаем утверждение Теоремы~\ref{br3}.
А вот получить асимптотику малых уклонений в $L_2$-норме
для процессов $t^\theta W_{(u)}(t)$ (см.~\cite{Na}, Теорема~3.3)
формальным переходом к пределу при $a\to0$ не удается.
\end{rem}

Обозначим $\U_{(\alpha)}(t)$ процесс Орнштейна-Уленбека, выходящий из нуля,
то есть центри\-ро\-ван\-ный гауссовский процесс с ковариацией
$G_{\U_{(\alpha)}}(t,s)=(e^{-\alpha|t-s|}-e^{-\alpha(t+s)})/(2\alpha)$.

%ОРНШТЕЙН-УЛЕНБЕК ИЗ НУЛЯ С ЭКСПОНЕНТОЙ

\begin{theorem}
\label{OU1}
Пусть $\alpha\in\mathbb R$ и $q\neq0$. Тогда при $\varepsilon\to0$ имеем
\begin{equation}
\label{th5}
\Prob\left\{\int_0^1e^{2qt}\U^2_{(\alpha)}(t)\,dt
\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{e^{\alpha/2}}
{e^{q/4}}\,
\frac{4q}
{\sqrt\pi(e^q-1)}
\cdot\varepsilon\cdot
\exp\left(-\frac{(e^q-1)^2}{8q^2}\,\varepsilon^{-2}\right).
\end{equation}
\end{theorem}
Теорема \ref{OU1} доказывается аналогично теореме \ref{br4}.

\begin{rem}
Полагая в соотношении (\ref{th5}) $\alpha=0$, получаем уже известную асимптотику
малых уклонений в $L_2$-норме с экспоненциальным весом для винеровского процесса
(см.~\cite{Na}, Теоре\-ма~3.5), а переходя к пределу при $q\to0$, получаем асимптотику
малых уклонений в $L_2$-норме для процесса $\U_{(\alpha)}(t)$ (см.~\cite{GHLT},~Следствие~3).
\end{rem}

Обозначим $U_{(\alpha)}(t)$ стационарный процесс Орнштейна-Уленбека,
то есть центри\-ро\-ван\-ный гауссовский процесс с ковариацией
$G_{U_{(\alpha)}}(t,s)=e^{-\alpha|t-s|}/(2\alpha)$.

%ОРНШТЕЙН-УЛЕНБЕК С ЭКСПОНЕНтой

\begin{theorem}
\label{OU2}
Пусть $\alpha>0$ и $q\neq0$. Тогда при $\varepsilon\to0$ имеем
\begin{equation}
\label{th6}
\Prob\left\{\int_0^1e^{2qt}U_{(\alpha)}^2(t)\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
8
\sqrt\frac{\alpha}{\pi}
\frac{e^{\alpha/2}}{e^{q/4}}
\left(
\frac{q}{e^q-1}
\right)^{3/2}
\cdot\varepsilon^2\cdot
\exp\left(-\frac{(e^q-1)^2}{8q^2}\,\varepsilon^{-2}\right).
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно Лемме~\ref{mainlemma}, числа $\lambda_n$ в разложении (\ref{KarLo})
рав\-ны $\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где  $\mu_n$~--- собственные числа краевой задачи
\begin{equation}
\label{OUeq}
\left\{
\begin{aligned}
&y''-(\alpha^2-\mu e^{2qt})y=0 \quad \text{на} \quad [0,1],\\
&(y'-\alpha y)(0)=(y'+\alpha y)(1)=0.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

Поскольку в этом случае $\varkappa=2\ell^2$, общая формула~(\ref{mainformula})
не применима. Поступим следую\-щим образом, аналогично \cite{NaNi}.
Положим $\vartheta=(e^q-1)/q$ и рассмотрим приближенную последовательность
собст\-вен\-ных значений краевой задачи $\tilde\mu_1=\vartheta^{-2}$, $\tilde\mu_n=
\vartheta^{-2}(\pi(n-1))^2$, $n\geqslant2$.
Тогда по теореме сравнения Ли \cite{Li}
\begin{equation}
\label{OU}
\Prob\left\{\sum_{j=1}^\infty\mu_j^{-1}\xi_j^2\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\vartheta\mu_1^{1/2}\prod_{n=2}^\infty\frac{\vartheta\mu_n^{1/2}}{\pi(n-1)}
\,\Prob\left\{\xi_0^2+\sum_{j=1}^\infty\frac{\xi_j^2}{\pi^2j^2}\leqslant
\left(\frac{\varepsilon}{\vartheta}\right)^2\right\},
\end{equation}
где $\xi_0$ --- стандартная нормальная случайная величина, не зависящая
от $\{\xi_n\}$, $n\in\mathbb N$.
%Бесконечное произведение в правой части сходится,
%так как согласно Теореме~7.1 из \cite{NaNi} собственные значения имеют вид
%$\mu_n=\vartheta^{-2}(\pi(n-1)+O(n^{-1}))^2$.

В \cite{NaNi} было получено, что при $\varepsilon\to0$
$$
\Prob\left\{\xi_0^2+\sum_{j=1}^\infty\frac{\xi_j^2}{\pi^2j^2}\leqslant
\left(\frac{\varepsilon}{\vartheta}\right)^2\right\}\sim
\frac{4\sqrt2}{\sqrt\pi}
\cdot\left(\frac{\varepsilon}{\vartheta}\right)^2\cdot
\exp\left(-\frac1{8}\left(\frac{\varepsilon}{\vartheta}\right)^{-2}\right).
$$

Остается вычислить константу ``расхождения''
$$
\widetilde C_{\rm dist}\equiv
\prod_{n=1}^\infty\frac{\mu_n^{1/2}}{\tilde\mu_n^{1/2}}=
\vartheta\mu_1^{1/2}\prod_{n=2}^\infty\frac{\vartheta\mu_n^{1/2}}{\pi(n-1)}.
$$
Общим решением уравнения (\ref{OUeq}) является (см.~\cite{Ka}, 2.162 (12а))
$$
y(t)=c_1J_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac{\sqrt\mu}{q}e^{qt}\right)
+c_2N_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac{\sqrt\mu}{q}e^{qt}\right).
$$
Используя граничные условия, получаем, что $\sqrt{\mu_n}$ --- положительные корни функции
$$
F(\zeta)=
\det
\begin{bmatrix}
\zeta
J'_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac1q\zeta\right)
-\alpha
J_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac1q\zeta\right)
&
\zeta
N'_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac1q\zeta\right)
-\alpha
N_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac1q\zeta\right)
\\
e^q\zeta
J'_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac{e^q}q\zeta\right)
+\alpha
J_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac{e^q}q\zeta\right)
&
e^q\zeta
N'_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac{e^q}q\zeta\right)
+\alpha
N_{\left|\frac{\alpha}{q}\right|}
\left(\frac{e^q}q\zeta\right)
\end{bmatrix}.
$$
В свою очередь, числа $\sqrt{\tilde\mu_n}$ являются положительными корнями функции
$$
\Psi(\zeta)=\left((\vartheta\zeta)^2-1\right)\frac{\sin(\vartheta\zeta)}{\zeta}.
$$
Из соотношений (\ref{Bessel}) следует, что при $|\zeta|=\pi(k-\frac12)$ и $k\to\infty$
$$
\frac{|F(\zeta)|}{|\Psi(\zeta)|}\rightrightarrows\frac{2|q|e^{q/2}}{\pi\vartheta^2}.
$$
Кроме того,
$$
\frac{|F(0)|}{|\Psi(0)|}=\frac{4\alpha e^\alpha|q|}{\pi\vartheta}.
$$
Применяя теорему Иенсена к функциям $F(\zeta)$ и $\Psi(\zeta)$, с учетом двух
последних соотношений, получаем
$$
\widetilde C_{\rm dist}=\frac
{\sqrt{2\alpha\vartheta}e^{\alpha/2}}
{e^{q/4}}.
$$
Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{rem}
Соотношение (\ref{th6}) обобщает оценку вероятностей малых уклонений для процес\-са
Орнштейна-Уленбека в \cite{Na} и \cite{GHLT}, которая получается из него предельным
переходом при $q\to0$.
\end{rem}

\begin{theorem}
Пусть $q>0$.
\begin{enumerate}
\item
Пусть $\alpha\in\mathbb R$. Тогда при $\varepsilon\to0$ имеем
\begin{equation}
\label{th}
\Prob\left\{\int_0^\infty\U^2_{(\alpha)}(t)e^{-2qt}\,dt
\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac
{2}
{\pi^\frac14\Gamma^\frac12\left(1+\frac{|\alpha|}{q}\right)}
\cdot(2q\varepsilon)^{\frac12-\frac{|\alpha|}{q}}\cdot
\exp\left(-\frac18(q\varepsilon)^{-2}\right).
\end{equation}
\item
Пусть $\alpha>0$. Тогда при $\varepsilon\to0$ имеем
$$
\Prob\left\{\int_0^\infty U^2_{(\alpha)}(t)e^{-2qt}\,dt
\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac
{2\left(\frac{\alpha}{q}\right)^{\frac12}}
{\pi^\frac14\Gamma^\frac12\left(1+\frac{\alpha}{q}\right)}
\cdot(2q\varepsilon)^{\frac32-\frac{\alpha}q}\cdot
\exp\left(-\frac18(q\varepsilon)^{-2}\right).
$$
\end{enumerate}
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно Лемме~\ref{mainlemma}, числа $\lambda_n$ в разложении (\ref{KarLo})
рав\-ны $\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где  $\mu_n$~--- собственные числа краевой задачи
$$
\left\{
\begin{aligned}
&y''-(\alpha^2-\mu e^{-2qt})y=0 &&\text{на} \quad [0,\infty),\\
&y(0)=0, \quad |y(+\infty)|<\infty && \text{для} \quad \U_{(\alpha)},\\
&(y'-\alpha y)(0)=0, \quad |y(+\infty)|<\infty && \text{для} \quad U_{(\alpha)}.
\end{aligned}
\right.
$$

Учитывая условие $|y(+\infty)|<\infty$, из \cite{Ka}, 2.162 (12а) получаем
$$
y(t)=cJ_{\frac{|\alpha|}{q}}
\left(\frac{\sqrt\mu}{q}e^{-qt}\right).
$$

Из условия $y(0)=0$ следует, что $\mu_n=\left(qx_n\right)^2$, где $x_n$ обозначает
$n$-й положительный корень функции Бесселя $J_{\frac{|\alpha|}{q}}(\zeta)$.

Из условия $(y'-\alpha y)(0)=0$ следует, что $\mu_n=\left(qz_n\right)^2$,
где $z_n$ обозначает $n$-й положи\-тель\-ный корень уравнения
$$
\zeta J'_{\frac{\alpha}{q}}(\zeta)
+\frac{\alpha}{q} J_{\frac{\alpha}{q}}(\zeta)=0.
$$
Применяя Лемму 3.2 из \cite{Na}, получаем утверждение теоремы.
\end{proof}

\begin{rem}
Полагая в соотношении (\ref{th}) $\alpha=0$, получаем уже известную асимптотику
малых уклонений в $L_2$-норме с экспоненциальным весом для винеровского процесса
на полуоси (см.~\cite{Na}, Теоре\-ма~3.4).
\end{rem}

Рассмотрим процесс $\widehat W(t)\equiv W(t)-t^{-1}\int_0^tW(s)\,ds$.
Это центрированный гауссовский процесс, в \cite{KLB} было получено, что его
ковариационная функция $G_{\widehat W}(t,s)=s^2/(3t)\land t^2/(3s)$.

%ON-LINE CENTERED ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС СО СТЕПЕНЬЮ

\begin{theorem}
\label{th7}
Пусть $\beta>0$. Тогда при $\varepsilon\to0$ имеем
$$
\Prob\left\{\int_0^1t^{2\beta-2}\widehat W^2(t)\,dt\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\left(\frac{\sqrt\pi}{\Gamma\bigl(\frac3{2\beta}\bigl)}\right)^{1/2}
\cdot\frac2\pi
\cdot\left(2\beta\varepsilon\right)^{3(\beta-1)/(2\beta)}\cdot
\exp\left(-\frac{1}{8\beta^2}\varepsilon^{-2}\right).
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно Предложению~5.3 из \cite{KNN} и Лемме~\ref{mainlemma},
числа $\lambda_n$ в разложении (\ref{KarLo})
рав\-ны $\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где  $\mu_n$~--- собственные числа краевой задачи
$$
\left\{
\begin{aligned}
&-y''+\frac{2y}{t^2}=\mu t^{2\beta-2}y \quad \text{на} \quad [0,1],\\
&y(0)=(y'+y)(1)=0.
\end{aligned}
\right.
$$
Из \cite{GR}, 8.491.12, с учетом условия $y(0)=0$, следует
$$
y(t)=c\sqrt tJ_{\frac{3}{2\beta}}\left(\frac{\sqrt\mu}{\beta}t^\beta\right).
$$
Используя второе граничное условие, получаем, что $\mu_n=\beta^2 z_n^2$,
где $z_1<z_2<\ldots$ --- положи\-тель\-ные корни уравнения
$$
\zeta J'_{\frac{3}{2\beta}}(\zeta)+\frac{3}{2\beta}J_{\frac{3}{2\beta}}(\zeta)=0.
$$
Применяя Лемму 3.2 из \cite{Na}, получаем утверждение теоремы.
\end{proof}

\begin{rem}
Согласно Теореме \ref{mainthm}, в случае, когда вес
отделен от нуля, и его производ\-ные до некоторого порядка ограничены,
показатель $\gamma$ в асимпто\-тике малых уклонений, имеющей вид
\begin{equation}
\label{rem}
\mathcal C\varepsilon^\gamma\exp(-D\varepsilon^{-d}),
\end{equation}
зависит только от порядка соответствующего дифференциального
оператора и порядка гранич\-ных условий. В случае же, когда вес на концах отрезка
может обращаться в ноль либо неограничен\-но возрастать, это, вообще говоря, не так.
В работе \cite{Na} была вычислена асимптотика малых уклонений в $L_2$-норме
для процессов $t^\theta B(t)$ и $t^\theta W(t)$ (частичные результаты были получены
также в \cite{De}).
Как следует из \cite{Na}, \cite{De} и Теоремы~\ref{th7}, асимптотика малых уклонений
в $L_2$-норме с весом $t^\theta$ для процессов $B(t)$, $W(t)$ и $\widehat W(t)$
имеет вид (\ref{rem}), однако, в отличие от случая регулярного поведения веса,
показатель $\gamma$ в ней зависит от параметра $\theta$ веса.
\end{rem}


\section{Интегрированные процессы, связанные с функциями Бесселя}


Пусть $X(t)$, $t\in[0,1]$, --- центрированный гауссовский процесс.
Пусть $\beta_j$, $j=1,\ldots,m$, равны 0 или 1.
Обозначим через $X_m^{[\beta_1,\ldots,\beta_m]}(t)$ $m$ раз проинтегрированный процесс
$$
X_m^{[\beta_1,\ldots,\beta_m]}(t)=
(-1)^{\beta_1+\ldots+\beta_m}\int_{\beta_m}^t\!\!\ldots\int_{\beta_1}^{t_1}
X(s)\,ds\,dt_1\ldots dt_{m-1}.
$$

\begin{theorem}
При $\varepsilon\to0$ имеет место соотношение
$$
\Prob\left\{\int_0^1t^2\left(\widehat W{}_1^{[1]}(t)\right)^2dt
\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{4\cdot2^{\frac14}}{3^{\frac12}}
\exp\left(
-\frac{2^{\frac13}}{4\cdot3^{\frac13}}
\varepsilon^{-\frac23}
\right).
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно Теореме~2.1 из \cite{NaNi} и Лемме~\ref{mainlemma},
собственные значения ковариации равны
$\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где $\mu_n$ --- собственные значения краевой задачи
$$
\left\{
\begin{aligned}
&y^{IV}-\left(\frac{2y'}{t^2}\right)'
=\mu t^2y \quad \text{на} \quad [0,1],\\
&y(1)=0,\\
&y'(0)=0,\\
&(y''+y')(1)=0,\\
&\left(y'''-\frac{2y'}{t^2}\right)(0)=0.\\
\end{aligned}
\right.
$$

Общее решение уравнения (см. \cite{Ka}, 4.37)
\begin{equation}
\label{4ord}
y(t)=c_1J_0(u)+c_2N_0(u)+c_3J_0(iu)+c_4N_0(iu),
\end{equation}
где $u=\frac23\mu^{1/4}t^{3/2}$.
Граничные условия дают уравнение на собственные значения, из которого следует, что
$$
\mu_n=\left(\frac{3z_n}{2}\right)^4,
$$
где $z_1<z_2<\ldots$ --- положительные корни уравнения
$$
\det
\begin{bmatrix}
J_0(\zeta) & N_0(\zeta) & J_0(i\zeta) & N_0(i\zeta) \\
0 & 1 & 0 & 1\\
J_0(\zeta) & N_0(\zeta) &-J_0(i\zeta) &-N_0(i\zeta) \\
0 & 1 & 0 &-1
\end{bmatrix}
=0,
$$
которое при вещественных $\zeta$ равносильно уравнению $J_0(\zeta)=0$.
Применяя Лемму~3.2 из \cite{Na}, получаем утверждение теоремы.
\end{proof}

\begin{theorem}
При $\varepsilon\to0$ имеет место соотношение
$$
\Prob\left\{\int_0^1t^2\left(\widehat W{}_1^{[0]}(t)\right)^2dt
\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
\frac{2^{43/12}3^{1/6}}{\pi^{1/2}}
\cdot\varepsilon^{\frac13}\cdot
\exp\left(
-\frac{2^{\frac13}}{4\cdot3^{\frac13}}
\varepsilon^{-\frac23}
\right).
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно Теореме~2.1 из \cite{NaNi} и Лемме~\ref{mainlemma},
собственные значения ковариации равны
$\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где $\mu_n$ --- собственные значения краевой задачи
$$
\left\{
\begin{aligned}
&y^{IV}-\left(\frac{2y'}{t^2}\right)'=\mu t^2y \quad \text{на} \quad [0,1],\\
&y(0)=0,\\
&y'(0)=0,\\
&(y''+y')(1)=0,\\
&\left(y'''-2y'\right)(1)=0.\\
\end{aligned}
\right.
$$
Подставляя формулу (\ref{4ord}) в граничные условия, получаем
уравнение на собственные значения, из которого следует, что
$$
\mu_n=\left(\frac{3z_n}{2}\right)^4,
$$
где $z_1<z_2<\ldots$ --- положительные корни уравнения
\begin{equation}
\label{mdet}
\det
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1 & i\\
0 & 1 & 0 & 1\\
J_0(\zeta) & N_0(\zeta) & -J_0(i\zeta) & -N_0(i\zeta) \\
J_1(\zeta) & N_1(\zeta) &-iJ_1(i\zeta) &-iN_1(i\zeta) \\
\end{bmatrix}
=0.
\end{equation}
Уравнение (\ref{mdet}) равносильно уравнению
$$
F(\zeta)\equiv
\det
\begin{bmatrix}
J_0(\zeta)+J_0(i\zeta)
&
N_0(\zeta)+N_0(i\zeta)+iJ_0(\zeta)
\\
J_1(\zeta)+iJ_1(i\zeta)
&
N_1(\zeta)+iN_1(i\zeta)+iJ_1(\zeta)
\end{bmatrix}=0.
$$
Перепишем выражение для $F(\zeta)$:
\begin{multline*}
F(\zeta)=
\begin{vmatrix}
J_0(i\zeta)
&
N_0(\zeta)+iJ_0(\zeta)
\\
iJ_1(i\zeta)
&
N_1(\zeta)+iJ_1(\zeta)
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
J_0(\zeta)
&
N_0(i\zeta)
\\
J_1(\zeta)
&
iN_1(i\zeta)
\end{vmatrix}
+
\\
+
\begin{vmatrix}
J_0(i\zeta)
&
N_0(i\zeta)
\\
iJ_1(i\zeta)
&
iN_1(i\zeta)
\end{vmatrix}
+
\begin{vmatrix}
J_0(\zeta)
&
N_0(\zeta)+iJ_0(\zeta)
\\
J_1(\zeta)
&
N_1(\zeta)+iJ_1(\zeta)
\end{vmatrix}.
\end{multline*}
Положим $\Psi(\zeta)=\sqrt2\ch(\zeta)\cos(\zeta)$.
Из соотношений (\ref{Bessel}) следует, что при $|\zeta|=\pi k$ и $k\to\infty$
$$
\frac{|\pi\zeta F(\zeta)|}{|\Psi(\zeta)|}\rightrightarrows1.
$$
Применяя теорему Иенсена к функциям $\pi\zeta F(\zeta)$ и $\Psi(\zeta)$, получаем
$$
\prod_{n=1}^\infty\frac{z_n^4}{\left(\pi\left(n-\frac12\right)\right)^4}
=\left|\frac{(\pi\zeta F(\zeta))|_{\zeta=0}}{\Psi(0)}\right|=2^{5/2}.
$$
Значит,
\begin{multline*}
\Prob\left\{\sum_{n=1}^\infty\mu_n^{-1}\xi^2\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim
2^{5/4}\cdot\Prob\left\{\sum_{n=1}^\infty
\left(\frac{3\pi}{2}\left(n-\frac12\right)\right)^{-4}\xi^2\leqslant\varepsilon^2\right\}\sim\\
\sim
\frac{2^{5/4+7/3}3^{1/6}}{\pi^{1/2}}
\varepsilon^{\frac13}
\exp\left(
-\frac{2^{\frac13}}{4\cdot3^{\frac13}}
\varepsilon^{-\frac23}
\right).
\end{multline*}

\end{proof}


Мы признательны Я.Ю. Никитину за внимание к работе.

Работа поддержана грантом РФФИ 04-01-00716.


\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{LiShao}
Li,~W.~V. and Shao,~Q.~M.
{\sl Gaussian processes: Inequalities, Small Ball Probabilities and Applications.}
//Stochastic Processes: Theory and Methods.
(Handbook of Statistics. V.~19.)
/C.R.~Rao, D.~Shanbhag (eds.)~--- 2001.~--- P.~533-597.
\bibitem{Lifts}
Lifshits,~M.~A.
{\sl Asymptotic behavior of small ball probabilities.}
//Prob.\ Theory\ and\ Math.\ Stat.
/B.~Grigelionis et al. (eds.)~--- 1999.~--- P.~453-468.
\bibitem{Syt}
Сытая~Г.~Н.
{\sl О некоторых асимптотических представлениях гауссовской меры
в гильбертовом пространстве.}
//Теория случайных процессов.~--- Киев, 1974.~--- Т.~2.~--- С.~93--104.
\bibitem{Zol}
Zolotarev,~V.~M.
{\sl Gaussian measure asymptotics in $l_2$ on a set of centered spheres
with radii tending to zero.}
//12th\ Europ.\ Meeting\ of\ Statisticians.~--- Varna, 1979.~--- P.~254.
\bibitem{Dud}
Dudley,~R.~M., Hoffmann-J\o rgensen,~J., Shepp,~L.~A.
{\sl On the lower tail of Gaussian seminorms.}
//Ann.\ Probab.~--- 1979.~--- V.~7.~--- P.~319--342.
\bibitem{Ibr}
Ибрагимов~И.~А.
{\sl О вероятности попадания гауссова вектора со значениями
в гильбертовом пространстве в сферу малого радиуса.}
//Записки научн.\ семин.\ ЛОМИ.~--- Л., 1979.~--- Т.~85.~--- С.~75--93.
\bibitem{Li}
Li,~W.~V.
{\sl Comparison results for the lower tail of Gaussian seminorms.}
//J.~Theor.\ Probab.~--- 1992.~--- V.~5, №~1.~--- P.~1--31.
\bibitem{DLL}
Dunker,~T., Lifshits,~M.~A. and Linde,~W.
{\sl Small deviations of sums
of independent variables.}
//Progr.\ Probab.\ V.~43.~--- Birkh\"auser, 1998.~--- P.~59--74.
\bibitem{Pycke}
Pycke,~J.-R.
{\sl Un lien entre le d\'eveloppement de Karhunen-Lo\`eve
de certains processus gaussiens et le laplacien
dans des espaces de Riemann.}
Th\`ese de doctorat de l'Universit\'e Paris 6.~--- 2003.
\bibitem{NaNi}
Nazarov,~A.~I. and Nikitin,~Ya.~Yu.
{\sl Exact $L_2$-small ball behavior of integrated
Gaussian processes and spectral asymptotics of boundary value problems.}
//Probab.\ Theory\ Relat.\ Fields.~--- Springer-Verlag, 2004.~--- V.~129, №~4.~--- P.~469--494.
\bibitem{Na}
Назаров~А.~И.
{\sl О точной константе в асимптотике малых уклонений в $L_2$-норме
некоторых гауссовских процессов.}
//Нелинейные уравнения и математический анализ.
(Проблемы\ матем.\ анализа. Вып.~26.) /Под\ ред.\ Т.~Рожковской.~---
Новосибирск, 2003.~--- С.~179--214.
\bibitem{BS}
Бородин~А.~Н., Салминен~П.
{\sl Справочник по броуновскому движению. Факты и формулы.}~---
СПб.: Лань,~2000.
\bibitem{Ka}
Камке~Э.
{\sl Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.}~---
6-е изд.~--- СПб.: Лань,~2003.
\bibitem{HX}
Никитин~Я.~Ю., Харинский~П.~А.
{\sl Точная асимптотика малых уклонений в $L_2$-норме
для одного класса гауссовских процессов.}
//Записки научн.\ семин.\ ПОМИ.~--- СПб., 2004.~--- Т.~311.~--- С.~214--221.
\bibitem{Ti}
Титчмарш~Е.
{\sl Теория функций.}~---
2-е~изд.~--- М.: Наука,~1980.
\bibitem{GR}
Градштейн~И.~С., Рыжик~И.~М.
{\sl Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.}~---
5-е~изд.~--- М.: Наука,~1971.
\bibitem{GHLT}
Gao,~F., Hannig,~J., Lee~T.-Y. and Torcaso,~F.
{\sl Laplace transforms via Hadamard factorization with applications
to small ball probabilities.}
//Electronic J.\ Probab.~--- 2003.~--- V.~8, Paper №~13.~--- P.~1--20.
\bibitem{KLB}
Kleptsyna,~M.~L. and Le~Breton,~A.
{\sl A Cameron-Martin type formula for general Gaussian processes ---
a filtering approach.}
//Stochastics and Stoch.\ Rep.~--- 2002.~--- V.~72, №~3--4.~--- P.~229--250.
\bibitem{KNN}
Karol,~A.~I., Nazarov,~A.~I. and Nikitin,~Ya.~Yu.
{\sl Tensor products of compact operators and logarithmic $L_2$-small
ball asymptotics for Gaussian random fields.}
Universit\`a Bocconi. Studi Statistici. №~74.~--- Milan, 2003.
\bibitem{De}
Deheuvels,~P. and Martynov,~G.
{\sl Karhunen-Lo\`eve expansions for weighted Wiener
processes and Brownian bridges via Bessel functions.}
//Progr.\ Probab.\ V.~55.~--- Birkh\"auser, 2003.~--- P.~57--93.
\end{thebibliography}

\end{document}