%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% MAIN FILE - Generalizations of frame notion %%%% First modified - 28.05.07 02:01:43 Fri %%%% Last modified - 31.05.07 2:09:03 Mon %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% \input amstex \documentstyle{amsppt} \expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{% \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space} \catcode`\@=11 \def\nologo{\let\logo@\empty} \csname aaaaa \endcsname \nologo \magnification=\magstep1 \parindent=1em \baselineskip=18pt \hsize=16 true cm \vsize=22 true cm \CenteredTagsOnSplits \NoBlackBoxes \NoRunningHeads \footline={\hss\tenrm\folio\hss} \topmatter \title { Об одном обобщении понятия фрейма} \endtitle \author {Олег И. Рейнов} \endauthor \thanks{Работа выполнена при частичной поддержке Фонда РФФИ: Грант 06-01-00457} \endthanks \endtopmatter \document \baselineskip=18pt Пусть $H$ --- сепарабельное гильбертово пространство. Пусть $\{e_j\}_{j=1}^{N},$ где $N\in \Bbb N\cup \{+\infty\},$ --- последовательность ортонормированных элементов в $H.$ Тогда для любого вектора $e\in H$ имеем: $$ \sum_{j=1}^{N} |\langle e, e_j\rangle|^2\le ||e||^2. \eqno{(1)} $$ Это --- неравенство Бесселя. Для {\it полной}\ ортонормированной последовательности $\{e_j\}_{j=1}^{N}$ (то есть, для ортонормированного базиса в $H)$ имеется более сильное свойство системы: $$ \sum_{j=1}^{N} |\langle e, e_j\rangle|^2= ||e||^2\quad \text{ for every } \ e\in H. \eqno{(2)} $$ Это --- равенство Парсеваля. Соотношения (1) и (2), несомненно, являются одними из самых важных в классической теории гильбертовых пространств. Мы можем, однако, пойти да\-ль\-ше, рассматривая счетные или несчетные бесконечные (ортогональные или нет) семейства в гильбертовых пространствах, даже не обязательно сепарабельных, и стараясь определить семейства, которые обладают свойствами, похожими на (1) и (2). Если говорить коротко, мы на этом пути естественным образом можем придти к "переполненным" семействам, свойства которых очень похожи на свойства гильбертовых базисов в сепарабельных (или несепарабельных) пространствах --- в том смысле, что основные их свойства выглядят почти как свойства последовательностей в (1) и (2). Если такие "переполненные" несчетные семейства рассматриваются в сепарабельных $ H,$ то, конечно, их элементы не дают нам обычный гильбертов базис, поскольку семейство несчетно и, таким образом, линейно зависимо. Снова будем кратки и скажем лишь, что мы --- на пути к получению нового класса семейств, не базисных, но ведущих себя очень похоже на базисы, со свойствами, которые могут быть очень полезны в теории гильбертовых пространств. Это {\it фреймы.}\ Точнее, пусть $ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ есть некоторое семейство в $ H$ (мы предполагаем, обычно, что все рассматриваемые множества не пусты, каково сейчас и $ \Bbb A).$ Говорят, что семейство $ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ есть {\it фрейм,}\ если существуют такие постоянные $ A$ и $ B,$ где $ 0< A\le B<\infty,$ что для любого $ e\in H$ выполняются следующие соотношения: $$ A\,||e||^2\le \sum_{\alpha\in\Bbb A} |\langle e, e_\alpha\rangle |^2 \le B\,||e||^2 \eqno{(3)} $$ (см. [1, 3] для прекрасного введения в теорию фреймов). В этом случае $A$ --- {\it нижняя $($frame--$)$граница}\ и $B$ --- {\it верхняя $($frame--$)$граница}\ для этого фрейма. Если семейство $E:= \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ удовлетворяет условиям, аналогичным (1), то говорят о {\it бесселевом семействе.}\ Если семейство $ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ удовлетворяет условиям, аналогичным (2), то говорят о {\it парсевалевом семействе}\ и в этом случае $ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ --- по необходимости фрейм, так что мы получаем {\it парсевалев фрейм.} Более точно, $ E$ называется {\it бесселевым семейством,} (соответственно, {\it бесселевой последовательностью}), если существует константа $ B>0$ такая, что для всякого $ e\in H$ $$ \sum_{\alpha\in\Bbb A} |\langle e,e_\alpha\rangle |^2 \le B\,||e||^2 $$ (соответственно, и множество индексов $ \Bbb A$ счетно). Если $ E$ --- фрейм со свойством из (3), то говорят, что это --- {\it парсевалев фрейм,} когда в (3) $ A=B=1.$ Более общо, если $ A=B>0$ в (3) то фрейм $E $ называется {\it жестким фреймом.} Еще пара определений:\, фрейм $ E$ является {\it равномерным,}\ если $ ||e_\alpha||=||e_\beta||$ для всех $\alpha, \beta\in \Bbb A;$\, фрейм $ E$ {\it точен,}\ если семейство $ E\setminus \{ e_\gamma\}$ уже не фрейм каково бы ни было $ \gamma\in\Bbb A.$ Теория фреймов (см. [1, 3]) замечательно развивалась (и продолжает развиваться) в течение последних примерно 30 лет. Мы не собираемся здесь упоминать даже начальные (но довольно интересные и иногда нетривиальные) результаты теории. Буквально сейчас, несколькими строками ниже, мы наметим некоторые пути возможных обобщений понятия фрейма (и затем рассмотрим один из них). Более общая ситуация рассмотрена в работе автора [5], где впервые было введено понятие пространственного измеримого фрейма. В данной работе ниже мы интересуемся частным случаем этой ситуации --- пространственный измеримый фрейм с одномерными компонентами. Отметим, что, как показывает теорема 1 из [5], изучение измеримых пространственных фреймов сводится, по существу, к исследованию "измеримых одномерных пространственных фреймов" (таких, как в нашей работе). Итак, в каких направлениях возможно обобщения понятия "фрейм"? \smallskip $\Bbb A)$\ Один из путей --- заменить каждый вектор $ e_\alpha$ в (3) набором векторов $ \{ e_{\alpha,j}\}_j.$ Как это проделать? Скалярные произведения в (3) представляют собой, грубо говоря, (орто)проекторы из $ H$ на соответствующие одномерные подпространства. Таким образом, если мы хотим изменить ситуацию в желаемом направлении, то естественным является рассмотрение, для каждого $ \alpha,$ подпространства $ E_\alpha$ вместо одномерного подпространства $ \operatorname{ span}\, \{ e_\alpha\};$ при этом, вместо "проекции" $ \langle \cdot,e_\alpha\rangle$ надо взять ортогональную проекцию $ \pi_{E_\alpha}$ (из $ H$ на $E_\alpha).$ Описанный путь --- это направление, в котором пошли P.~G. Casazza и G. Kutyniok [2]. Вот их соответствующее определение. Пусть $I$ --- некоторое множество индексов и пусть $\{v_i\}_{i\in I}$ есть семейство "весов", т. е. $v_i > 0$ для всех $i\in I.$ Семейство замкнутых подпространств $\{W_i\}_{i\in I}$ гильбертова пространства $H$ есть {\it frame of subspaces}\ по отношению к $\{v_i\}_{i\in I}$ для $H,$ если существуют константы $0 < C \le D <\infty$ такие, что $$C\,||f||^2 \le \sum_{i\in I} v_i^2 ||\pi_{W_i}(f)||^2\le D\,||f||^2 \ \text{ for all }\ f\in H.$$ Понятия границ, верхней и нижней границ, жестких, парсевалевых и т. п. "фреймов подпространств" определяются естественным образом. Дальнейшие обобщения в этом направлении на случай "измеримых фреймов подпространств" предложено автором в [5]. \smallskip $\Bbb B)$\ Другой путь для обобщений. Просто изменим сумму в (3) на интеграл, что означает изменение множества индексов $ \Bbb A$ на пространство с положительной мерой, например, $(\Omega, \Sigma, \mu).$ В данный момент подробности опускаем, поскольку ниже это будет проделано в формальном определении. \medskip Перед тем, как перейти к изложению основного материала, приведем некоторые используемые обозначения. Для простоты изложения в этой работе мы рассматриваем только пространства над полем вещественных чисел. Все изложенное ниже, однако, справедливо и в комплексном случае. Всюду далее через $H$ обозначается гильбертово пространство. Мы отождествляем пространство $ H$ с его сопряженным. Скалярное произведение векторов $ h,f\in H,$ один из которых рассматривается как линейный непрерывный функционал на $H,$ записывается как в виде $ \langle f,h\rangle,$ так и в виде $ \langle h,f\rangle.$ Под подпространством гильбертова пространства понимается замкнутое линейное подпространство. Если $E$ --- подпространство в $H,$ то $\pi_E$ --- ортогональный проектор из $H$ на $E.$ Всякий ортогональный проектор самосопряжен. Напомним, что оператор $U$ из гильбертова пространства $H$ в гильбертово пространство $H_0$ частично изометричен, если на некотором подпространстве $H_1\subset H$ он изометричен, а на его ортогональном дополнении обращается в нуль. Частично изометрический оператор $U: H\to H_0$ --- факторотображение из $H$ на образ $U(H);$ если $U(H)=H_0,$ то сопряженный оператор вкладывает изометрически пространство $H_0$ в $H.$ Для произвольного гильбертова пространства $ H$ через $ Id_H$ обозначается тождественное отображение в $ H.$ Пусть $ \left( \Omega, \mu\right)$ --- пространство с мерой. Функция $ \overline g: \Omega\to H$ называется {\it скалярно измеримой,}\ если для всякого вектора $ h\in H$ измерима скалярнозначная функция $ \langle h, \overline g(\cdot)\rangle: \Omega\to H.$ Мы будем рассматривать интегралы от подобных векторно-значных функций. Множество очень полезной информации о векторном интегрировании или о нескалярно-значных измеримых функциях можно найти в прекрасно написанной монографии J. Diestel'а и J.~J. Uhl'а [4]. \medskip %\bf I.\ "Интегральное" определение фрейма}\, {\bf \ Интегральные фреймы.}\ Мы рассматриваем один частный случай понятия "измеримый пространственный фрейм", введенного автором в работе [5], и начинаем изучение "интегральных" фреймов с их определения, простейших свойств и их связи с теорией операторов в гильбертовых пространствах. Посмотрим на условие (3) в определении классического фрейма с иной точки зрения. Положим $ \Omega:=\Bbb A$ и пусть $ \mu_c$ есть "считающая" мера на $ \Bbb A,$ т. е. $ \mu_c$ --- мера на $ \sigma$-алгебре всех подмножеств множества $ \Bbb A$ с тем свойством, что для каждой точки $ \alpha\in\Bbb A$ имеет место равенство $ \mu_c(\{\alpha\})=1.$ Отметим, что для любой неотрицательной функции $ \varphi$ на $ \Bbb A$ выполняется следующее соотношение: $$ \sum_{\alpha\in\Bbb A} \varphi(\alpha) =\int_{\Bbb A} \varphi(\alpha)\,d\mu_c(\alpha) \equiv \int_{\Omega} \varphi\, d\mu_c. $$ Таким образом, соотношения (3) могут переписаны в "интегральной" форме, и мы получаем, что семейство $ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ есть фрейм тогда и только тогда, когда существуют две постоянные $ A$ и $ B,$ где $ 0< A\le B<\infty$ такие, что для любого $ e\in H$ выполняются соотношения $$ A\,||e||^2\le \int_{\Bbb A} |\langle e,\cdot\rangle |^2\,d\mu_c \le B\,||e||^2. \eqno{(3a)} $$ Наша цель в настоящей работе --- заменить дискретную меру на произвольную и посмотреть, что получится. \medskip \definition {\bf Определение 1} Семейство $\{ f_\omega \}_{\omega\in\Omega}$ называется {\it интегральным фреймом,}\ если для любого $ h\in H$ функция $ \varphi,$\, $ \varphi(\omega):= \langle h,f_\omega\rangle,$ измерима и существуют такие постоянные $ C, D>0,$ что для всякого вектора $ f\in H$ выполняются неравенства $$ C\, ||f||^2\leqslant \int_\Omega | \langle f,f_\omega \rangle|^2\, d\mu(\omega)\leqslant D\,||f||^2. \tag4 $$ \enddefinition Постоянные $ C$ и $ D$ называются, соответственно, {\it нижней}\, и {\it верхней}\, границами (для) интегрального фрейма $ \{ f_\omega\}_\Omega.$ Семейство $\{ f_\omega \}_{\omega\in\Omega}$ называется $C$-жестким интегральным фреймом, если константы $ C,D$ в (4) могут быть выбраны так, что $ C=D;$ оно называется {\it парсевалевым}\ (интегральный Parseval's frame), если $C=D=1;$ если для $F_\Omega:=\operatorname{span} \{f_\omega\}, \omega\in\Omega,$\ $ H=\oplus\int_\Omega F_\omega,$ то этот парсевалевым интегральный фрейм есть {\it ортонормированный интегральный базис}\ для $ H,$ Парсевалевы фреймы мы называем также {\it нормализованными жесткими интегральными фреймами.}\ Если в (4) имеет место только правое неравенство, то говорят о {\it бесселевом интегральном семействе с {\it бесселевой верхней границей $ D.$} \remark {\bf Замечание 1} Пусть $ \{ f_\omega\}_\Omega$ --- некоторый интегральный фрейм в $ H.$ Для каждой точки $ \omega\in\Omega$ положим $ \overline g(\omega) := f_\omega,$ определяя, таким образом, $ H$-значную функцию $ \overline g$ на $ \Omega.$ По определению интегрального фрейма, эта функция скалярно измерима. Обратно, для любой скалярно измеримой гильбертовозначной функции $ \overline g: \Omega\to H$ формула $ f_\omega=\overline g(\omega)$ определяет интегральный фрейм в $ H,$ если только для некоторых положительных констант $ C_0, D_0$ при всех $ h\in H$ $$ C_0\, ||h||^2\leqslant \int_\Omega | \langle h,\overline g(\omega) \rangle|^2\, d\mu(\omega)\leqslant D_0\,||h||^2. \tag5 $$ Таким образом, {\it интегральные фреймы --- это просто скалярно измеримые гильбертовозначные функции, удовлетворяющие соотношениям}\ (5). При этом, очевидно, границы данного интегрального фрейма совпадают с соответствующими границами (скалярно измеримой) $ H$-значной функции. Мы говорим, что {\it функция $ \overline g$ ассоциирована с нашим фреймом $ \{ f_\omega\}_\Omega.$} \endremark\medpagebreak Пусть у нас есть интегральный фрейм $ \{ f_\omega\}$ в $ H$ и пусть $ \overline g$ --- ассоциированная с ним скалярно измеримая $ H$-значная функция. Рассмотрим формальную формулу $$ T\varphi = \int_\Omega \varphi\, \overline g\,d\mu \ \text{ для }\ \varphi\in L_2(\Omega,\mu). \tag6 $$ Ее надо понимать так (функция $ \overline g$ всего лишь скалярно измерима, поэтому интеграл в (6) не обязан являться интегралом Бохнера). Интеграл в (6) есть линейный функционал на $ H,$ который на векторе $ h$ из $ H$ принимает значение $$ (T\varphi)(h) = \int_\Omega \varphi\, \langle \overline g,h\rangle\, d\mu. \tag7 $$ Чтобы интеграл в (7) всегда (при любой функции $ \varphi$ из $ L_2(\Omega,\mu))$ был определен и конечен необходимо и достаточно, чтобы скалярная функция $ \langle\overline g,h\rangle$ лежала в пространстве $ L_2(\Omega\mu).$ И это должно быть при любом векторе $ h.$ Последние два соотношения можно, разумеется, рассматривать и для произвольного скалярно измеримого семейства $ \{ f_\omega\}_\Omega$ векторов гильбертова пространства $ H$ (а не только для интегральных фреймов), и с этим семейством, конечно, можно аналогичным образом ассоциировать скалярно измеримую функцию $ \overline g:\Omega\to H.$ Когда, в этом случае, соотношение (6) определяет отображение из $ L_2(\Omega,\mu)$ в $ H?$ И если определяет, то когда соответствующий линейный оператор будет ограниченным? Перед тем как формулировать и доказывать соответствующий факт, посмотрим, как будет выглядеть сопряженный к $ T$ оператор в случае, когда $ T$ определен и ограничен. Итак, $ T\varphi=\int_\Omega \varphi\,\overline g\, d\mu.$ Для $ h\in H$ имеем (первое скалярное произведение --- в $ L_2(\Omega,\mu)$): $$ \langle T^*h,\varphi\rangle= \langle T\varphi, h\rangle= \int_\Omega \varphi\, \langle \overline g,h\rangle\, d\mu= \langle \langle\overline g,h\rangle, \varphi\rangle $$ (в конце цепочки внешнее скалярное произведение --- в $ L_2(\Omega,\mu),$ а внутренне --- из $ H!).$ Таким образом, если $ T ограничен,$ то $$ T^*h= \langle h, \overline g\rangle \ \text{ для всех }\ h\in H. \tag8 $$ Обратно, если соотношение (8) определяет ограниченный оператор, то в силу рефлексивности гильбертова пространства $ H$ определен и ограничен наш оператор $ T$ с той же формулой (4). \proclaim {\bf Предложение 1}\it Пусть $ \{f_\omega\}_\Omega $ --- некоторое скалярно измеримое семейство в $ H.$ Следующие два утверждения равносильны. $ 1)$\ Соотношение $(6)$ определяет отображение $ Е$ из $ L_2(\Omega,\mu,)$ которое представляет собой линейный ограниченный оператор. $ 2)$\ Семейство $ \{ f_\omega\}_\Omega$ имеет конечную верхнюю границу в том смысле, что оно удовлетворяет правому неравенству в $(4)$ с некоторой константой $ D.$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} $ 1)\implies 2).$\ Если $ T$ ограничен, то $ T^*$ также ограничен, причем для $ h\in H$ $$ \left\| T^*h\right\|^2= \int_\Omega | \langle h,\overline g\rangle|^2\, d\mu= \int_\Omega | \langle h, f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega). \tag9 $$ Поэтому в качестве верхней границы для семейства $ \{ f_\omega\}$ можно взять число $ ||T^*||=||T||.$ $ 2)\implies 1).$\ Пусть $ D>0$ --- верхняя граница для $ \{ f_\omega\}.$ Соотношение (8) формально определяет отображение $ T^*,$ которое, в силу условий и рассуждений перед формулировкой предложения, является линейным оператором из $ H$ в $ L_2(\Omega,\mu).$ Как уже упоминалось выше, в силу рефлексивности $ H$ отображение $ T$ (формула (6)\,) вполне определено и представляет собой ограниченный оператор. \enddemo В случае, когда семейство $ \{ f_\omega\}_\Omega$ имеет конечную верхнюю границу, мы говорим об операторе $ T,$ $$ T\varphi = \int_\Omega \varphi\, f_\omega\,d\mu \ \text{ для }\ \varphi\in L_2(\Omega,\mu), \tag10 $$ как о {\it предфреймовском}\ операторе. Одним из основных понятий в аналитических теориях (математический анализ, функциональный анализ, операторные идеалы, операторные алгебры и т. д.) является понятие полноты. Напомним, что семейство подпространств $ \left\{ F_\omega\right\}$ полно в гильбертовом пространстве $H,$ если $$ \overline{\operatorname{span}}_{\omega\in\Omega} \left\{ F_\omega\right\}=H. $$ Соответственно, семейство $ \{ f_\omega\}$ полно в $ H,$ если семейство одномерных подпространств $ \{ \operatorname{span} f_\omega\}_{\omega\in\Omega}$ полно. Имеет место следующий полезный факт. \proclaim {\bf Предложение 2}\it Пусть $ \left\{ f_\omega\right\}_\Omega$ --- интегральный фрейм в $ H.$ Соответствующее семейство одномерных подпространств, $ F_\omega:=\operatorname{span} \{ f_\omega\},$ полно в $ H.$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Предположим, что семейство $ \left\{ F_\omega\right\}$ не полно. Возьмем ненулевой элемент $ f\in H$ таким образом, что $ f\perp {\overline {\operatorname{span}}}_{\omega\in\Omega} \left\{ F_\omega\right\}.$ Тогда $ \int_\Omega | \langle f,f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega) =0$ (поскольку все скалярные произведения $ \langle f,f_\omega\rangle$ нули). Следовательно, наше семейство $ \{ f_\omega\}$ не есть интегральный фрейм. \enddemo \proclaim {\bf Теорема 1}\it Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- семейство векторов в $ H.$ Следующие утверждения равносильны между собой. $ 1)$\ $ \{ f_\omega\}$ является интегральным фреймом; $ 21)$\ предфреймовский оператор $ T: L_2(\Omega,\mu)\to H$ ограничен и действует "на"; $ 3)$\ сопряженный оператор $T^*$ является изоморфным $($вообще говоря, вложением$).$ Более того, семейство $ \{ f_\omega\}$ представляет собой нормализованный жесткий интегральный фрейм $(C=D=1)$ тогда и только тогда, когда $ T$ есть факторотображение, что равносильно тому, что сопряженный оператор $ T^*$ является изометрическим $($вложением$).$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Эквивалентность утверждений 1)--3) установлена, по существу, выше. Для доказательства остальной части теоремы достаточно вспомнить определение интегрального фрейма и применить равенство (9). \enddemo Мы будем говорить об операторе $ T^*$ как о {\it фрейм-преобразовании.}\ Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм, $ \overline g$ --- ассоциированная с ним скалярно измеримая функция. Рассмотрим суперпозицию $$ TT^*: H\overset{T^*}\to{\to} L_2(\Omega,\mu)\overset{T}\to{\to} H. $$ Для $ f\in H$ $$ TT^*f= T \left( \langle f,\overline g\rangle\right)= \int_\Omega \langle f,\overline g\rangle\,\overline g\, d\mu= \int_\Omega \langle f,f_\omega\rangle\, f_\omega\, d\mu(\omega). $$ Таким образом, обозначая оператор $ TT^*$ через $ S,$ мы получаем ограниченный оператор $ S$ в $ H,$ для которого при всех $ f\in H$ справедливы соотношения $$ Sf=\int_\Omega \langle f,f_\omega\rangle\,f_\omega\, d\mu(\omega) \tag11 $$ и $$ \langle Sf,f\rangle=\int_\Omega | \langle f,f_\omega\rangle|^2\, d\mu(\omega). \tag12 $$ Оператор $ S$ называется {\it фрейм-оператором}\ (для интегрального фрейма $ \{ f_\omega\}).$ \proclaim {\bf Теорема 2}\it Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H.$ $ 1)$\ Фрейм-оператор $ S$ ограничен, положителен, самосопряжен и обратим. $ 2)$\ $ \{ f_\omega\}$ есть интегральный фрейм с границами $ C,D>0$ тогда и только тогда, когда $ C\,Id_H\leqslant S\leqslant D\, Id_H.$ $ 3).$\ $ \{ f_\omega\}$ является нормализованным жестким фреймом тогда и только тогда когда $ S=Id_H.$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} $ 1)$\ То, что $ S$ самосопряжен и положителен -- очевидно. Обратимость самосопряженного оператора $ S$ вытекает из соотношений (11) и (12. $ 2).$\ Это моментально получается из фрейм-неравенства (4) в определении интегрального фрейма и из соотношений (12). $3).$\ Вытекает из доказанного утверждения 2) и определения нормализованного жесткого фрейма. \enddemo \proclaim {\bf Теорема 3}\it Если $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H,$ то фрейм-оператор $ S$ удовлетворяет следующим соотношениям. Если $ f\in H,$ то $$ f= \int_\Omega \langle f,S^{-1}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega) \tag13 $$ и $$ f= \int_\Omega \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,S^{-1/2}f_\omega\,d\mu(\omega). \tag14 $$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Мы используем формулу (11). Имеем: $$ f=SS^{-1}f= \int_\Omega \langle S^{-1}f,f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)= \int_\Omega \langle f,S^{-1}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega). $$ Далее, $$ \multline S^{-1/2}f=S^{-1}SS^{-1/2}f= S^{-1}\, \left( \int_\Omega \langle S^{-1/2}f, f_\omega\rangle\,f_\omega \,d\mu(\omega)\right)= \\ = S^{-1}\, \left( \int_\Omega \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)\right)= \int_\Omega \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,f_\omega \,d\mu(\omega), \endmultline $$ откуда, после применения к левой и последней частям этой цепочки равенств оператора $ S^{1/2},$ окончательно получаем $$ f= S^{1/2}\, \int_\Omega \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)= \int_\Omega \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega). $$ \enddemo Формула (13) дает нам возможность "реконструировать" элемент $ f\in H$ по его {\it фрейм-коэффициентам}\ $ \{ \langle S^{-1}f,f_\omega\rangle\}.$ Надо только научиться вычислять эти коэффициенты. Заметим еще, что так как $ S$ есть изоморфизм на $ H,$ то $ \{ S^{-1}f_\omega\}$ является интегральным фреймом, эквивалентным интегральному фрейму $ \{ f_\omega\},$ и этот интегральный фрейм мы называем {\it каноническим дуальным интегральным фреймом.}\ \proclaim {\bf Теорема 4}\it Пусть $\{f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $H$ с фрейм-оператором $S.$ Тогда для любого вещественного числа $ a, a\neq1,$ семейство $\{S^{(a-1)/2}f_\omega\}$ также является интегральным фреймом для $ H,$ причем его фрейм-оператор есть $ S^a.$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Так как $ S$ --- положительный изоморфизм из $ H$ на $ H,$ то таковым является и $ S^b$ для любого ненулевого вещественного $ b.$ Полагая $ b=(a-1)/2,$ получаем для произвольного $ f\in H:$ $$ \multline \int_\Omega \langle f,S^bf_\omega\rangle\,S^bf_\omega\,d\mu(\omega)= S^b\, \left( \int_\Omega \langle f,S^bf_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)\right)=\\ S^b\, \left( \int_\Omega \langle S^bf,f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)\right)= S^bS\, \left( S^bf_\omega\right)=S^{1+2b}f=S^a. \endmultline $$ Это показывает, что $\{S^{(a-1)/2}f_\omega\}$ --- интегральный фрейм с фрейм-оператором $ S^a.$ \enddemo Формула (14) в совокупности с фрейм-соотношениями (4) из определения интегрального фрейма показывает, что если $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм в $ H$ с фрейм-оператором $ S,$ то семейство $ \{ S^{-1/2}f_\omega\}$ представляет собой {\it нормализованный жесткий интегральный фрейм.}\ То же самое получаем из последней теоремы, рассматривая $ (a-1)/2=-1/2,$ т. е. $ a=0.$ \proclaim {\bf Теорема 5}\it Всякий интегральный фрейм эквивалентен нормализованному жес\-ткому фрейму. Более точно, если $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм с фрейм-опера\-то\-ром $ S,$ то этот интегральный фрейм эквивалентен нормализованному жесткому фрейму $ \{ S^{-1/2}f_\omega\}.$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Два интегральных фрейма для гильбертова пространства $ H$ эквивалентны между собой, если существует изоморфизм из $ H$ на $ H,$ переводящий элементы одного интегрального фрейма в элементы второго и это отображение фреймов есть "отображение на". В нашем случае утверждение теоремы теперь очевидно. \enddemo Частным случаем (в классической теории фреймов, весьма важным) является понятие интегрального базиса типа Рисса. Приведем определение. \definition {\bf Определение 2} Мы говорим, что семейство $ \{ f_\omega\}_\Omega$ есть {\it интегральный базис типа Рисса,}\ если существуют такие постоянные $ A,B>0,$ что для любой функции $ \varphi\in L_2(\Omega,\mu)$ имеют место неравенства $$ A\,||\varphi||^2\leqslant ||\int_\Omega \varphi(\omega)\, f_\omega\,d\mu(\omega)||^2\leqslant B\,||\varphi||^2. \tag15 $$ \enddefinition В настоящей работе мы не собираемся изучать свойства введенного только что понятия. Исследование (достаточно тщательное) свойств этих базисов требует отдельного внимания, и мы предполагаем провести его в одной из наших ближайших работ. Интересен случай, когда $ A=B=1.$ Это --- случай так называемых ортонормированных интегральных базисов. Введенное нами понятие интегрального базиса типа Рисса позволяет дать характеристику так называемых точных интегральных фреймов. Мы говорим, что интегральный фрейм $ \{ f_\omega\}$ является {\it точным,}\ если после удаления из этого семейства множества $ \{ f_\omega\}_{\omega\in\Omega_0},$ где $ \Omega_0\subset \Omega$ с $ \mu(\Omega_0)>0,$ оставшееся семейство не образует интегральный фрейм. \proclaim {\bf Теорема 6}\it Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H.$ Эквивалентны утверждения: $ 1)$\ интегральный фрейм $\{ f_\omega\}$ является точным; $ 2)$\ семейство $ f_\omega$ является интегральным базисом типа Рисса. \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Отметим, что интегральный фрейм $ f_\omega$ точен тогда и только тогда, когда предфреймовское факторотображение $T$ взаимно-однозначно. Поскольку $ T$ есть оператор "на", то это может быть в том и только том случае, когда оператор $ T$ обратим и обратный к нему ограничен (теорема Банаха). Обратимость этого оператора превращает семейство $ \{f_\omega\}$ в интегральный базис типа Рисса. \enddemo \proclaim {\bf Теорема 7}\it Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- нормализованный жесткий интегральный фрейм для $ H.$ $ 1)$\ Если $ \Omega_0\subset\Omega,$\, $ \mu \Omega_0>0,$ таково, что для всякого $ \omega_0\in\Omega_0$ выполняется неравенство $ ||f_{\omega_0}||\geqslant \dfrac1{\mu \Omega_0},$ то $$ f_{\omega_0} \perp \underset{\omega\notin\Omega_0}\to{\operatorname{span}} \{ f_\omega\}\quad \text{для почти всех }\ \omega_0\in\Omega_0. $$ $ 2)$\ Если $ \Omega_0\subset\Omega,$\, $ \mu \Omega_0>0,$ таково, что для всякого $ \omega_0\in\Omega_0$ выполняется неравенство $ ||f_{\omega_0}||< \dfrac1{\mu \Omega_0},$ то $$ f_{\omega_0} \in \overline{\underset{\omega\notin\Omega_0}\to{\operatorname{span}}} \{ f_\omega\} \quad \text{ для почти всех }\ \omega_0\in\Omega_0. $$ \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Наш интегральный фрейм нормализован и жесткий, что означает: $$ ||f||^2=\int_\Omega | \langle f,f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega)= ||f||^2\quad \text{ для всех }\ f\in H. \tag16 $$ Возьмем $ \omega_0\in\Omega_0$ и подставим $ f_{\omega_0}$ в (16) вместо $ f:$ $$ ||f_{\omega_0}||^2=\int_\Omega | \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega)=||f||^2. \tag17 $$ Проинтегрируем равенство (17) по $ \Omega_0:$ $$ \int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)= \int_{\Omega_0}\, \left( \int_{\Omega_0} | \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega) + \int_{\Omega\setminus\Omega_0} | \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega) \right)\,d\mu(\omega_0). \tag18 $$ После этих предварительных манипуляций приступим последовательно к доказательству наших утверждений. $ 1).$\ Так как $$ \int_{\Omega_0}\, \left( \int_{\Omega_0} | \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega) \right)\,d\mu(\omega_0)= \iint_{\Omega_0\times\Omega_0} | \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega) \,d\mu(\omega_0), $$ то из (18) получаем $$ \int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)\geqslant \mu(\Omega_0)\,\int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)\,\cdot\, \frac1{\mu(\Omega_0)}\, + \text { неотрицательное слагаемое,} $$ т. е. $$ \int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)\geqslant \int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0) + \text { неотрицательное слагаемое.} $$ Следовательно "неотрицательное слагаемое" равно нулю, что и доказывает утверждение 1). $ 2)$\ Положим $ E:= \overline{\underset{\omega\notin\Omega_0}\to{\operatorname{span}}} \{ f_\omega\}.$ Предположим, что найдется $ \Omega'_0\subset \Omega_0$ положительной меры, для которого все $ f_{\omega_0}$ с $ \omega_0\in\Omega'_0$ не лежат в $ E.$ Можно считать, что это $ \Omega_0.$ Подставим в соотношение (16) вектор $ \pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}$\ $(\omega_0\in\Omega_0):$ $$ 0<||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2= \int_\Omega | \langle \pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}, f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega). \tag19 $$ Используя (18) и проинтегрировав (19) по $ \Omega_0,$ получим: $$\multline 0< \int_{\Omega_0}||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2\, d\mu(\omega_0)= \int_{\Omega_0}\,\int_{\Omega_0} |\langle\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}, f_\omega \rangle|^2\, d\mu(\omega)\,d\mu(\omega_0)+ 0 \leqslant \\ \leqslant \int_{\Omega_0}\,\int_{\Omega_0} ||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2\, ||f_\omega||^2\, d\mu(\omega)\,d\mu(\omega_0). \endmultline $$ Так как $ ||f_\omega||^2<\dfrac1{\mu(\Omega_0)}$ для почти всех $ \omega\in\Omega_0,$ то из последних неравенств следует: $$ 0< \int_{\Omega_0}||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2\, d\mu(\omega_0)< \int_{\Omega_0}||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2\, d\mu(\omega_0)\,\cdot\, \mu(\Omega_0)\,\cdot\, \frac1{\mu(\Omega_0)}. $$ Полученное противоречие доказывает утверждение 2). \enddemo \proclaim {\bf Следствие 1}\it Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H$ и $ \Omega_0\subset \Omega,$\, $ \mu(\Omega_0)>0.$ Тогда $ \{ f_\omega\}_{\omega\in{\Omega\setminus\Omega_0}}$ --- либо снова интегральный фрейм, либо неполная система. Иначе говоря, если выкинуть из интегрального фрейма существенную его часть, то останется либо снова интегральный фрейм, либо неполная в гильбертовом пространстве система. \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} По теореме 5, можно считать, что рассматриваемый интегральный фрейм является нормализованным жестким интегральным фреймом. В этом случае, по теореме 7, семейство $ \{ f_\omega\}_{\omega\in{\Omega_0}}$ либо содержит существенную часть $ \{ f_\omega\}_{\omega\in{\Omega'_0}}, \mu(\Omega'_0)>0,$ которая ортогональна остатку $ \{ f_\omega\}_{\omega\in{\Omega\setminus\Omega_0}},$ либо лежит в замкнутой линейной оболочке этого остатка. \enddemo Следующее утверждение показывает, что, как и в случае обычных фреймов, интегральные фреймы сохраняются при ортогональном проектировании. Стоит сравнить это достаточно простое предложение с формулируемой ниже теоремой, в котором приведена характеристика интегральных фреймов в терминах ортогональных проекций. \proclaim {\bf Предложение 3}\it Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H$ с границами $ C,D.$ Если $ E$ --- подпространство гильбертова пространства $ H,$ то $ \{ \pi_E(f_\omega) \}$ есть интегральный фрейм для $ E$ с теми же границами. \endproclaim\rm \demo{\it Доказательство} Для $ f\in E,$ имеем: $$ \int_\Omega |\langle f_\omega,f\rangle|^2\,d\mu(\omega) = \int_\Omega |\langle f_\omega,\pi_E(f)\rangle|^2\,d\mu(\omega)= \int_\Omega |\langle \pi_E(f_\omega),f\rangle\rangle|^2\,d\mu(\omega). $$ \enddemo В заключение приведем без доказательства довольно трудную теорему обобщающую соответствующий результат D. Han'а и D.R. Larson'а (см. [1], теорема 4.10). Автор намеревается привести доказательство в последующей своей работе. \proclaim {\bf Теорема 8}\it Семейство $ \{ f_\omega\}$ является нормализованным жестким интегральным фреймом для $ H$ тогда и только тогда, когда существует объемлющее гильбертово пространство $ \Cal H,$\, $ H\subset\Cal H,$ и интегральный ортонормированный базис $ \{ e_\omega\}$ для $ \Cal H$ такие, что естественный ортогональный проектор $ \Pi_H$ из $ \Cal H$ на $ H$ удовлетворяет условию $ \Pi_H e_\omega=f_\omega$ для почти всех $ \omega\in\Omega.$ \endproclaim\rm В случае обычных фреймов утверждение теоремы справедливо даже без предположения об ортогональности указанного проектора (P.G. Casazza, D. Han, D.R. Larson). \medpagebreak \Refs\nofrills{Литература} \ref \no 1 \by Casazza, P.~G. \pages 129-201 \paper The art of frame theory \yr 2000 \vol 4 \jour Taiwanese J. Math. \endref \ref \no 2 \by Casazza, P.~G. and Kutyniok, G. \pages 87-114 \paper Frames of subspaces \yr 2004 \vol 345 \jour Contemp. Math. \endref \ref \no 3 \by Christensen, O. \pages \paper An introduction to frames and Riesz bases \yr 2003 \vol \jour Birkh{\"a}user, Boston \endref \ref \no 4 \by Diestel, J, and Uhl, J.~J. \pages \paper Vector measures \yr 1977 \vol \jour Math. Survey 15, Amer. Math. Soc., Providence RI \endref \ref \no 5 \by Reinov O. I. \pages 22-27 \paper Measurable space frames \yr 2006 \vol 2 \jour Math Track, SMS, Lahore, \endref \endRefs \enddocument %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%