%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%  MAIN FILE -  Generalizations of frame notion
%%%%           First modified   -  28.05.07 02:01:43 Fri
%%%%           Last  modified   -  31.05.07 2:09:03 Mon
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%

   \input amstex
\documentstyle{amsppt}
\expandafter\edef\csname aaaaa \endcsname{%
  \catcode`\noexpand\@=\the\catcode`\@\space}
\catcode`\@=11
\def\nologo{\let\logo@\empty}
\csname aaaaa \endcsname

\nologo
\magnification=\magstep1
\parindent=1em
     \baselineskip=18pt

\hsize=16 true cm
\vsize=22 true cm

\CenteredTagsOnSplits
	 \NoBlackBoxes
\NoRunningHeads
\footline={\hss\tenrm\folio\hss}

        \topmatter
        \title {
         Об одном обобщении понятия фрейма}
        \endtitle
          \author {Олег И. Рейнов}
        \endauthor

\thanks{Работа выполнена при частичной поддержке
Фонда РФФИ: Грант 06-01-00457}
        \endthanks

       \endtopmatter

\document
  \baselineskip=18pt

Пусть $H$ --- сепарабельное гильбертово пространство.
Пусть $\{e_j\}_{j=1}^{N},$ где $N\in \Bbb N\cup \{+\infty\},$ ---
последовательность ортонормированных элементов в
$H.$
Тогда для любого вектора $e\in H$ имеем:
$$
   \sum_{j=1}^{N} |\langle e, e_j\rangle|^2\le ||e||^2. \eqno{(1)}
$$

Это --- неравенство Бесселя.
Для {\it полной}\ ортонормированной последовательности
$\{e_j\}_{j=1}^{N}$ (то есть, для ортонормированного базиса в $H)$
имеется более сильное свойство системы:
$$
\sum_{j=1}^{N} |\langle e, e_j\rangle|^2= ||e||^2\quad
\text{ for every } \ e\in H.                         \eqno{(2)}
$$

Это --- равенство Парсеваля.

Соотношения (1) и (2), несомненно, являются одними из самых важных
в классической теории гильбертовых пространств. Мы  можем, однако,
пойти да\-ль\-ше, рассматривая счетные или несчетные бесконечные
(ортогональные или нет) семейства в гильбертовых пространствах,
даже не обязательно сепарабельных, и стараясь определить семейства,
которые обладают свойствами, похожими на
(1) и (2). Если говорить коротко, мы на этом пути естественным образом можем придти
к "переполненным" семействам, свойства которых очень похожи на свойства
гильбертовых базисов в сепарабельных (или несепарабельных) пространствах
--- в том смысле, что основные их свойства выглядят почти как
свойства последовательностей в
(1) и (2). Если такие "переполненные" несчетные семейства
рассматриваются в сепарабельных
$ H,$ то, конечно, их элементы не дают нам обычный гильбертов базис,
поскольку семейство несчетно и, таким образом, линейно зависимо.

Снова будем кратки и скажем лишь, что мы --- на пути к получению
нового класса семейств, не базисных, но ведущих себя очень похоже
на базисы, со свойствами, которые могут быть очень полезны
в теории гильбертовых пространств. Это {\it фреймы.}\

Точнее, пусть
$ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ есть некоторое семейство в
$ H$ (мы предполагаем, обычно, что все рассматриваемые множества не пусты,
каково сейчас и $ \Bbb A).$
Говорят, что семейство
$ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ есть {\it фрейм,}\
если существуют такие постоянные
$ A$ и $ B,$ где
$ 0< A\le B<\infty,$ что для любого
$ e\in H$ выполняются следующие соотношения:
$$
A\,||e||^2\le \sum_{\alpha\in\Bbb A} |\langle e,
  e_\alpha\rangle |^2 \le B\,||e||^2  \eqno{(3)}
$$
(см. [1, 3] для прекрасного введения в теорию фреймов).
В этом случае
$A$ --- {\it нижняя $($frame--$)$граница}\ и
$B$ --- {\it верхняя $($frame--$)$граница}\ для этого фрейма.
Если семейство $E:= \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$
удовлетворяет условиям, аналогичным
(1), то говорят о
{\it бесселевом семействе.}\
Если семейство $ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$
удовлетворяет условиям, аналогичным (2), то говорят о
{\it парсевалевом семействе}\ и в этом случае
$ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$ --- по необходимости фрейм,
так что мы получаем
{\it парсевалев фрейм.}
Более точно, $ E$ называется {\it бесселевым семейством,}
(соответственно, {\it бесселевой последовательностью}),
если существует константа $ B>0$ такая, что
для всякого $ e\in H$
$$ \sum_{\alpha\in\Bbb A} |\langle e,e_\alpha\rangle |^2 \le B\,||e||^2
$$
(соответственно, и множество индексов
$ \Bbb A$ счетно).
Если $ E$ --- фрейм со свойством из (3), то говорят, что это ---
 {\it парсевалев фрейм,} когда в  (3) $ A=B=1.$
Более общо, если $ A=B>0$ в (3) то фрейм $E $ называется
{\it жестким фреймом.} Еще пара определений:\,
 фрейм $ E$ является {\it равномерным,}\ если
 $ ||e_\alpha||=||e_\beta||$ для всех
 $\alpha, \beta\in \Bbb A;$\, фрейм $ E$ {\it точен,}\
 если семейство $ E\setminus \{ e_\gamma\}$ уже не фрейм
каково бы ни было $ \gamma\in\Bbb A.$

Теория фреймов (см. [1, 3]) замечательно
развивалась (и продолжает развиваться)
в течение последних примерно 30 лет. Мы не собираемся здесь упоминать
даже начальные (но довольно интересные и иногда нетривиальные)
результаты теории. Буквально сейчас, несколькими строками ниже,
мы наметим некоторые пути возможных обобщений понятия фрейма
(и затем рассмотрим один из них). Более общая ситуация
рассмотрена в работе автора [5], где впервые было введено
понятие пространственного измеримого фрейма. В данной работе ниже
мы интересуемся частным случаем этой ситуации --- пространственный
измеримый фрейм с одномерными компонентами. Отметим, что, как показывает
теорема 1 из [5], изучение измеримых пространственных фреймов сводится,
по существу, к исследованию "измеримых одномерных пространственных
фреймов" (таких, как в нашей работе).

Итак, в каких направлениях возможно обобщения понятия "фрейм"?
\smallskip

$\Bbb A)$\
Один из путей --- заменить каждый вектор
$ e_\alpha$ в (3) набором векторов
$ \{ e_{\alpha,j}\}_j.$ Как это проделать?
Скалярные произведения в (3) представляют собой, грубо говоря,
(орто)проекторы из $ H$ на соответствующие одномерные подпространства.
Таким образом, если мы хотим изменить ситуацию в желаемом направлении,
то естественным является рассмотрение,
для каждого $ \alpha,$ подпространства
$ E_\alpha$ вместо одномерного подпространства
$ \operatorname{ span}\, \{ e_\alpha\};$
при этом, вместо "проекции"
$ \langle  \cdot,e_\alpha\rangle$
надо взять ортогональную проекцию
$ \pi_{E_\alpha}$ (из $ H$ на  $E_\alpha).$
Описанный путь --- это направление, в котором пошли
P.~G. Casazza и G. Kutyniok [2].
Вот их соответствующее определение.

Пусть $I$ --- некоторое множество индексов и пусть
$\{v_i\}_{i\in I}$ есть семейство "весов", т. е.
$v_i > 0$ для всех $i\in I.$ Семейство замкнутых подпространств
$\{W_i\}_{i\in I}$ гильбертова пространства
$H$ есть {\it frame of subspaces}\
по отношению к $\{v_i\}_{i\in I}$ для $H,$
если существуют константы
$0 < C \le D <\infty$ такие, что
$$C\,||f||^2 \le \sum_{i\in I} v_i^2
 ||\pi_{W_i}(f)||^2\le   D\,||f||^2 \ \text{ for all }\ f\in  H.$$
Понятия границ, верхней и нижней границ, жестких, парсевалевых
и т. п. "фреймов подпространств" определяются естественным образом.
Дальнейшие обобщения в этом направлении на случай
"измеримых фреймов подпространств" предложено автором в [5].
      \smallskip

$\Bbb B)$\
Другой путь для обобщений. Просто изменим сумму в
(3) на интеграл, что означает изменение множества индексов
$ \Bbb A$ на пространство с положительной мерой, например,
$(\Omega, \Sigma, \mu).$ В данный момент подробности опускаем,
поскольку ниже это будет проделано в формальном определении.
       \medskip


Перед тем, как перейти к изложению основного материала,
приведем некоторые используемые обозначения.

Для простоты изложения в этой работе мы рассматриваем только
пространства над полем вещественных чисел. Все изложенное ниже, однако,
справедливо и в комплексном случае.

Всюду далее через $H$  обозначается гильбертово пространство.
Мы отождествляем пространство $ H$ с его сопряженным.
Скалярное  произведение векторов $ h,f\in H,$
один из которых рассматривается как линейный непрерывный
функционал на $H,$ записывается как в виде $ \langle f,h\rangle,$
так и в виде $ \langle h,f\rangle.$
Под подпространством гильбертова пространства понимается
замкнутое линейное подпространство.

Если $E$ --- подпространство в $H,$ то $\pi_E$ --- ортогональный
проектор из $H$ на $E.$ Всякий ортогональный проектор самосопряжен.
Напомним, что оператор $U$ из гильбертова пространства $H$ в гильбертово
пространство $H_0$ частично изометричен, если на некотором
подпространстве $H_1\subset H$  он изометричен, а на его ортогональном
дополнении обращается в нуль. Частично изометрический оператор $U: H\to H_0$
--- факторотображение из $H$ на образ $U(H);$ если $U(H)=H_0,$
то сопряженный оператор вкладывает изометрически пространство $H_0$
в $H.$

Для произвольного гильбертова пространства $ H$ через
$ Id_H$ обозначается тождественное отображение в $ H.$

Пусть $ \left( \Omega, \mu\right)$ --- пространство с мерой.
Функция $ \overline g: \Omega\to H$ называется {\it скалярно измеримой,}\
если для всякого вектора $ h\in H$ измерима скалярнозначная функция
$ \langle h, \overline g(\cdot)\rangle: \Omega\to H.$
Мы будем рассматривать интегралы от подобных векторно-значных функций.
Множество очень полезной информации о векторном интегрировании
или о нескалярно-значных измеримых функциях можно найти
в прекрасно написанной монографии
J. Diestel'а и J.~J. Uhl'а [4].
\medskip

%\bf I.\ "Интегральное" определение фрейма}\,

{\bf \ Интегральные фреймы.}\
Мы рассматриваем один частный случай понятия "измеримый пространственный фрейм",
введенного автором в работе [5], и начинаем изучение "интегральных"
фреймов с их определения, простейших свойств и их связи с теорией операторов
в гильбертовых пространствах.

Посмотрим на условие
(3) в определении классического фрейма с иной точки зрения.
Положим $ \Omega:=\Bbb A$ и пусть $ \mu_c$ есть "считающая" мера
на $ \Bbb A,$ т. е.
$ \mu_c$ --- мера на $ \sigma$-алгебре всех подмножеств
множества $ \Bbb A$ с тем свойством, что для каждой точки
$ \alpha\in\Bbb A$ имеет место равенство
$ \mu_c(\{\alpha\})=1.$ Отметим, что для любой неотрицательной	функции
$ \varphi$ на $ \Bbb A$ выполняется следующее соотношение:
$$ \sum_{\alpha\in\Bbb A} \varphi(\alpha) =\int_{\Bbb A}
    \varphi(\alpha)\,d\mu_c(\alpha)
\equiv \int_{\Omega} \varphi\, d\mu_c.
$$
Таким образом, соотношения
(3) могут переписаны в "интегральной" форме, и мы получаем, что
семейство
$ \{ e_\alpha\}_{\alpha\in \Bbb A}$
есть фрейм тогда и только тогда, когда существуют две постоянные
$ A$ и $ B,$ где
$ 0< A\le B<\infty$ такие, что для любого
$ e\in H$ выполняются соотношения
$$
A\,||e||^2\le \int_{\Bbb A} |\langle e,\cdot\rangle |^2\,d\mu_c \le
B\,||e||^2.
 \eqno{(3a)}
$$

Наша цель в настоящей работе --- заменить дискретную меру на произвольную
и посмотреть, что получится.
\medskip


\definition {\bf Определение 1}
Семейство $\{ f_\omega \}_{\omega\in\Omega}$ называется
{\it интегральным фреймом,}\
если для любого $ h\in H$ функция $ \varphi,$\,
$ \varphi(\omega):= \langle h,f_\omega\rangle,$ измерима и
существуют такие постоянные $ C, D>0,$
что для всякого вектора $ f\in H$ выполняются неравенства
$$
C\, ||f||^2\leqslant
\int_\Omega | \langle f,f_\omega \rangle|^2\, d\mu(\omega)\leqslant
 D\,||f||^2. \tag4
$$
\enddefinition

Постоянные $ C$ и $ D$ называются, соответственно,
{\it нижней}\, и {\it верхней}\, границами (для) интегрального фрейма
$ \{ f_\omega\}_\Omega.$
Семейство $\{ f_\omega \}_{\omega\in\Omega}$ называется
$C$-жестким интегральным фреймом, если константы
$ C,D$ в (4) могут быть выбраны так, что
$ C=D;$ оно называется {\it парсевалевым}\ (интегральный
Parseval's frame), если  $C=D=1;$
если для $F_\Omega:=\operatorname{span} \{f_\omega\}, \omega\in\Omega,$\
$ H=\oplus\int_\Omega F_\omega,$ то этот парсевалевым
интегральный фрейм есть
{\it ортонормированный интегральный базис}\ для $ H,$
Парсевалевы фреймы мы называем также
{\it нормализованными жесткими интегральными фреймами.}\
Если в (4) имеет место только правое неравенство, то говорят
о {\it бесселевом интегральном семействе
с {\it бесселевой верхней границей $ D.$}


\remark {\bf Замечание 1}
Пусть $ \{ f_\omega\}_\Omega$ --- некоторый интегральный фрейм в $ H.$
Для каждой точки $ \omega\in\Omega$ положим $ \overline g(\omega)
:= f_\omega,$
определяя, таким образом, $ H$-значную функцию $ \overline g$ на $ \Omega.$
По определению интегрального фрейма, эта функция скалярно измерима.
Обратно, для любой скалярно измеримой гильбертовозначной функции
$ \overline g: \Omega\to H$ формула $ f_\omega=\overline g(\omega)$
определяет интегральный фрейм в $ H,$ если только для некоторых положительных
констант $ C_0, D_0$ при всех $ h\in H$
$$
C_0\, ||h||^2\leqslant \int_\Omega |
\langle h,\overline g(\omega) \rangle|^2\, d\mu(\omega)\leqslant
 D_0\,||h||^2. \tag5
$$
Таким образом, {\it интегральные фреймы --- это просто скалярно
измеримые гильбертовозначные функции, удовлетворяющие соотношениям}\
(5). При этом, очевидно, границы данного интегрального фрейма
совпадают с соответствующими границами (скалярно измеримой)
$ H$-значной функции. Мы говорим, что {\it функция $ \overline g$
ассоциирована с нашим фреймом $ \{ f_\omega\}_\Omega.$}
\endremark\medpagebreak

Пусть у нас есть интегральный фрейм $ \{ f_\omega\}$  в $ H$
и пусть $ \overline g$ --- ассоциированная с ним скалярно измеримая
$ H$-значная функция. Рассмотрим формальную формулу
$$
T\varphi = \int_\Omega \varphi\, \overline g\,d\mu \ \text{ для }\ \varphi\in L_2(\Omega,\mu).
\tag6
$$
Ее надо понимать так (функция $ \overline g$ всего лишь скалярно измерима,
поэтому интеграл в (6) не обязан являться интегралом Бохнера).
Интеграл в (6) есть линейный функционал на $ H,$
который на векторе $ h$ из $ H$ принимает значение
$$
(T\varphi)(h) =
\int_\Omega \varphi\, \langle \overline g,h\rangle\,  d\mu. \tag7
$$
Чтобы интеграл в (7) всегда (при любой функции $ \varphi$ из
$ L_2(\Omega,\mu))$ был определен и конечен необходимо и достаточно, чтобы
скалярная функция $ \langle\overline g,h\rangle$ лежала
в пространстве $ L_2(\Omega\mu).$
И это должно быть при любом векторе $ h.$

Последние два соотношения можно, разумеется, рассматривать и для
произвольного скалярно измеримого
семейства $ \{ f_\omega\}_\Omega$ векторов гильбертова пространства
$ H$ (а не только для интегральных фреймов), и с этим семейством, конечно,
можно аналогичным образом ассоциировать скалярно измеримую функцию
$ \overline g:\Omega\to H.$
Когда, в этом случае,
 соотношение (6) определяет отображение из $ L_2(\Omega,\mu)$
в $ H?$ И если определяет, то когда соответствующий линейный оператор
будет ограниченным?

Перед тем как формулировать и доказывать соответствующий факт, посмотрим,
как будет выглядеть сопряженный к $ T$ оператор в случае, когда $ T$
определен и ограничен.

Итак, $ T\varphi=\int_\Omega \varphi\,\overline g\, d\mu.$
Для $ h\in H$ имеем (первое скалярное произведение --- в $ L_2(\Omega,\mu)$):
$$ \langle  T^*h,\varphi\rangle=
\langle  T\varphi, h\rangle=
\int_\Omega \varphi\, \langle \overline g,h\rangle\,  d\mu=
\langle \langle\overline g,h\rangle, \varphi\rangle
$$
(в конце цепочки внешнее скалярное произведение --- в $ L_2(\Omega,\mu),$
а внутренне --- из $ H!).$
Таким образом, если $ T ограничен,$ то
$$ T^*h= \langle h, \overline g\rangle \ \text{ для всех }\ h\in H. \tag8
$$
Обратно, если соотношение (8) определяет ограниченный оператор,
то в силу рефлексивности гильбертова пространства $ H$
определен и ограничен наш оператор $ T$ с той же формулой (4).

\proclaim {\bf Предложение 1}\it
Пусть $ \{f_\omega\}_\Omega $ --- некоторое скалярно измеримое
семейство в $ H.$ Следующие
два утверждения равносильны.

$ 1)$\ Соотношение $(6)$ определяет отображение $ Е$
из $ L_2(\Omega,\mu,)$ которое представляет собой линейный ограниченный
оператор.

$ 2)$\ Семейство $ \{ f_\omega\}_\Omega$ имеет конечную верхнюю границу
в том смысле, что оно удовлетворяет правому неравенству в $(4)$
с некоторой константой $ D.$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
$ 1)\implies 2).$\
Если $ T$ ограничен, то $ T^*$ также ограничен, причем для $ h\in H$
$$
\left\| T^*h\right\|^2=
   \int_\Omega | \langle h,\overline g\rangle|^2\, d\mu=
  \int_\Omega | \langle h, f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega). \tag9
$$
Поэтому в качестве верхней границы для семейства $ \{ f_\omega\}$
можно взять число $ ||T^*||=||T||.$

$ 2)\implies 1).$\
Пусть $ D>0$ --- верхняя граница для $ \{ f_\omega\}.$
Соотношение (8) формально определяет отображение $ T^*,$
которое, в силу условий и рассуждений перед формулировкой предложения,
является линейным оператором из $ H$ в $ L_2(\Omega,\mu).$
Как уже упоминалось выше, в силу рефлексивности $ H$
отображение $ T$ (формула (6)\,) вполне определено и представляет собой
ограниченный оператор.
 \enddemo

В случае, когда семейство $ \{ f_\omega\}_\Omega$ имеет конечную верхнюю
границу, мы говорим об операторе $ T,$
$$
T\varphi =
\int_\Omega \varphi\, f_\omega\,d\mu \
   \text{ для }\ \varphi\in L_2(\Omega,\mu),
      \tag10
$$
как о {\it предфреймовском}\ операторе.

Одним из основных понятий в аналитических теориях
(математический анализ, функциональный анализ,
операторные идеалы, операторные алгебры и т. д.)
является понятие полноты.

Напомним, что семейство подпространств
$ \left\{ F_\omega\right\}$ полно в гильбертовом пространстве
$H,$ если
$$ \overline{\operatorname{span}}_{\omega\in\Omega} \left\{ F_\omega\right\}=H.
$$
Соответственно, семейство $ \{ f_\omega\}$ полно в $ H,$
если семейство одномерных подпространств
$ \{ \operatorname{span} f_\omega\}_{\omega\in\Omega}$ полно.
Имеет место следующий полезный факт.

\proclaim {\bf Предложение 2}\it
Пусть $ \left\{ f_\omega\right\}_\Omega$ --- интегральный фрейм в
$ H.$ Соответствующее семейство одномерных
подпространств, $ F_\omega:=\operatorname{span} \{ f_\omega\},$
полно в $ H.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Предположим, что семейство
$ \left\{ F_\omega\right\}$ не полно.
Возьмем ненулевой элемент
$ f\in H$ таким образом, что
$ f\perp {\overline {\operatorname{span}}}_{\omega\in\Omega}
    \left\{ F_\omega\right\}.$
Тогда
$ \int_\Omega  | \langle f,f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega) =0$
(поскольку все скалярные произведения
$ \langle f,f_\omega\rangle$ нули).
Следовательно, наше семейство $ \{ f_\omega\}$ не есть интегральный фрейм.
 \enddemo


\proclaim {\bf Теорема 1}\it
Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- семейство векторов в $ H.$
Следующие утверждения равносильны между собой.

$ 1)$\
$ \{ f_\omega\}$ является интегральным фреймом;

$ 21)$\
предфреймовский оператор $ T: L_2(\Omega,\mu)\to H$
ограничен и действует "на";

$ 3)$\
сопряженный оператор $T^*$ является изоморфным
$($вообще говоря, вложением$).$

Более того, семейство $ \{ f_\omega\}$ представляет собой
нормализованный жесткий интегральный фрейм $(C=D=1)$
тогда и только тогда, когда $ T$ есть факторотображение,
что равносильно тому, что сопряженный оператор $ T^*$
является изометрическим $($вложением$).$
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
Эквивалентность утверждений 1)--3) установлена, по существу, выше.
Для доказательства остальной части теоремы достаточно вспомнить
определение интегрального фрейма и применить равенство (9).
 \enddemo

Мы будем говорить об операторе $ T^*$ как о
{\it фрейм-преобразовании.}\

Пусть
$ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм, $ \overline g$ ---
ассоциированная с ним скалярно измеримая функция.
Рассмотрим суперпозицию

$$ TT^*: H\overset{T^*}\to{\to}
L_2(\Omega,\mu)\overset{T}\to{\to} H.
$$
Для $ f\in H$
$$
TT^*f=
T \left( \langle f,\overline g\rangle\right)=
 \int_\Omega \langle f,\overline g\rangle\,\overline g\, d\mu=
  \int_\Omega \langle f,f_\omega\rangle\, f_\omega\, d\mu(\omega).
$$
Таким образом, обозначая оператор $ TT^*$ через $ S,$
мы получаем ограниченный оператор $ S$ в $ H,$ для которого при всех
$ f\in H$ справедливы соотношения
$$
 Sf=\int_\Omega \langle f,f_\omega\rangle\,f_\omega\, d\mu(\omega)  \tag11
$$
и
$$
\langle Sf,f\rangle=\int_\Omega |
\langle f,f_\omega\rangle|^2\, d\mu(\omega). \tag12
$$

Оператор $ S$ называется {\it фрейм-оператором}\
(для интегрального фрейма $ \{ f_\omega\}).$

\proclaim {\bf Теорема 2}\it
Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H.$

$ 1)$\
Фрейм-оператор $ S$ ограничен, положителен, самосопряжен и обратим.

$ 2)$\
$ \{ f_\omega\}$ есть интегральный фрейм с границами $ C,D>0$
тогда и только тогда, когда
$ C\,Id_H\leqslant S\leqslant D\, Id_H.$

$ 3).$\
$ \{ f_\omega\}$ является нормализованным жестким фреймом
тогда и только тогда когда $ S=Id_H.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
$ 1)$\ То, что $ S$ самосопряжен и положителен -- очевидно.
Обратимость самосопряженного оператора $ S$ вытекает
из соотношений (11) и (12.

$ 2).$\
Это  моментально получается из фрейм-неравенства (4) в определении
интегрального фрейма и из соотношений (12).

$3).$\
Вытекает из доказанного утверждения 2) и определения нормализованного
жесткого фрейма.
 \enddemo

\proclaim {\bf Теорема 3}\it
Если $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H,$
то фрейм-оператор $ S$ удовлетворяет следующим соотношениям.
Если $ f\in H,$ то
$$
f=
\int_\Omega \langle f,S^{-1}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)  \tag13
$$
и
$$
f=
\int_\Omega \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,S^{-1/2}f_\omega\,d\mu(\omega).
  \tag14
$$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство} Мы используем формулу (11).
Имеем:
$$
f=SS^{-1}f=
\int_\Omega \langle S^{-1}f,f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)=
 \int_\Omega \langle f,S^{-1}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega).
$$
Далее,
$$
\multline
S^{-1/2}f=S^{-1}SS^{-1/2}f=
 S^{-1}\, \left( \int_\Omega
\langle S^{-1/2}f, f_\omega\rangle\,f_\omega \,d\mu(\omega)\right)= \\ =
 S^{-1}\, \left( \int_\Omega
   \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)\right)=
 \int_\Omega \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,f_\omega \,d\mu(\omega),
\endmultline
$$
откуда, после применения к левой и последней частям этой цепочки равенств
оператора $ S^{1/2},$ окончательно получаем
$$ f= S^{1/2}\, \int_\Omega
    \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)=
 \int_\Omega \langle f,S^{-1/2}f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega).
$$
 \enddemo

Формула (13) дает нам возможность "реконструировать"
элемент $ f\in H$  по его {\it фрейм-коэффициентам}\
$ \{ \langle S^{-1}f,f_\omega\rangle\}.$
Надо только научиться вычислять эти коэффициенты.
Заметим еще, что так как $ S$  есть изоморфизм на $ H,$
то $ \{ S^{-1}f_\omega\}$ является интегральным фреймом,
эквивалентным интегральному фрейму $ \{ f_\omega\},$
 и этот интегральный фрейм мы называем {\it каноническим
дуальным интегральным фреймом.}\

\proclaim {\bf Теорема 4}\it
Пусть $\{f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $H$ с фрейм-оператором $S.$
Тогда для любого вещественного числа $ a, a\neq1,$
семейство $\{S^{(a-1)/2}f_\omega\}$
также является интегральным фреймом для $ H,$ причем его фрейм-оператор
есть $ S^a.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Так как $ S$ --- положительный изоморфизм из $ H$ на $ H,$
то таковым является и $ S^b$ для любого ненулевого вещественного $ b.$
Полагая $ b=(a-1)/2,$ получаем для произвольного $ f\in H:$
$$
\multline
\int_\Omega \langle f,S^bf_\omega\rangle\,S^bf_\omega\,d\mu(\omega)=
   S^b\, \left( \int_\Omega
\langle f,S^bf_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)\right)=\\
   S^b\, \left( \int_\Omega
\langle S^bf,f_\omega\rangle\,f_\omega\,d\mu(\omega)\right)=
    S^bS\, \left( S^bf_\omega\right)=S^{1+2b}f=S^a.
\endmultline
$$
Это показывает, что $\{S^{(a-1)/2}f_\omega\}$ --- интегральный фрейм
с фрейм-оператором $ S^a.$
 \enddemo

Формула (14) в совокупности с фрейм-соотношениями (4)
из определения интегрального фрейма показывает, что
если $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм в $ H$ с фрейм-оператором
$ S,$ то семейство $ \{ S^{-1/2}f_\omega\}$ представляет собой
{\it нормализованный жесткий интегральный фрейм.}\
То же самое получаем из последней теоремы, рассматривая
$ (a-1)/2=-1/2,$ т. е. $ a=0.$

\proclaim {\bf Теорема 5}\it
Всякий интегральный фрейм эквивалентен нормализованному жес\-ткому фрейму.
Более точно, если $ \{ f_\omega\}$ ---
интегральный фрейм с фрейм-опера\-то\-ром
$ S,$ то этот интегральный фрейм эквивалентен нормализованному жесткому
фрейму $ \{ S^{-1/2}f_\omega\}.$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Два интегральных фрейма для гильбертова пространства $ H$
эквивалентны между собой, если существует изоморфизм из $ H$
на $ H,$ переводящий элементы одного интегрального фрейма в элементы
второго и это отображение фреймов есть "отображение на".
В нашем случае утверждение теоремы теперь очевидно.
 \enddemo

Частным случаем (в классической теории фреймов, весьма важным)
является понятие интегрального базиса типа Рисса.
Приведем определение.

\definition {\bf Определение 2}
Мы говорим,
что семейство $ \{ f_\omega\}_\Omega$ есть {\it интегральный базис
типа Рисса,}\ если существуют такие постоянные $ A,B>0,$
что для любой функции $ \varphi\in L_2(\Omega,\mu)$ имеют место неравенства
$$
A\,||\varphi||^2\leqslant
||\int_\Omega \varphi(\omega)\, f_\omega\,d\mu(\omega)||^2\leqslant
 B\,||\varphi||^2. \tag15
$$
\enddefinition

В настоящей работе мы не собираемся изучать свойства введенного только что
понятия. Исследование (достаточно тщательное) свойств этих базисов
требует отдельного внимания, и мы предполагаем провести его
в одной из наших ближайших работ. Интересен случай, когда $ A=B=1.$
Это --- случай так называемых ортонормированных интегральных базисов.

Введенное нами понятие интегрального базиса типа Рисса позволяет дать
характеристику так называемых точных интегральных фреймов.
Мы говорим, что интегральный фрейм $ \{ f_\omega\}$ является
{\it точным,}\ если после удаления из этого семейства множества
$ \{ f_\omega\}_{\omega\in\Omega_0},$ где $ \Omega_0\subset \Omega$ с $ \mu(\Omega_0)>0,$
оставшееся семейство не образует интегральный фрейм.

\proclaim {\bf Теорема 6}\it
Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H.$
Эквивалентны утверждения:

$ 1)$\
интегральный фрейм $\{ f_\omega\}$ является точным;

$ 2)$\
семейство $ f_\omega$ является интегральным базисом типа Рисса.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Отметим, что интегральный фрейм $ f_\omega$ точен тогда и только тогда, когда
предфреймовское факторотображение $T$ взаимно-однозначно.
Поскольку $ T$ есть оператор "на", то это может быть в том
и только том случае, когда оператор $ T$ обратим и обратный к нему
ограничен (теорема Банаха).
Обратимость этого оператора превращает семейство $ \{f_\omega\}$
в интегральный базис типа Рисса.
 \enddemo

\proclaim {\bf Теорема 7}\it
Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- нормализованный жесткий интегральный фрейм
для $ H.$

$ 1)$\
Если $ \Omega_0\subset\Omega,$\, $ \mu \Omega_0>0,$ таково, что для всякого
$ \omega_0\in\Omega_0$ выполняется неравенство
$ ||f_{\omega_0}||\geqslant \dfrac1{\mu \Omega_0},$
то
$$
f_{\omega_0} \perp \underset{\omega\notin\Omega_0}\to{\operatorname{span}} \{ f_\omega\}\quad
 \text{для почти всех }\ \omega_0\in\Omega_0.
$$

$ 2)$\
Если $ \Omega_0\subset\Omega,$\, $ \mu \Omega_0>0,$ таково, что для всякого
$ \omega_0\in\Omega_0$ выполняется неравенство
$ ||f_{\omega_0}||< \dfrac1{\mu \Omega_0},$
то
$$
f_{\omega_0} \in
\overline{\underset{\omega\notin\Omega_0}\to{\operatorname{span}}}
\{ f_\omega\}
    \quad
 \text{ для почти всех }\ \omega_0\in\Omega_0.
$$
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Наш интегральный фрейм нормализован и жесткий, что означает:
$$
||f||^2=\int_\Omega | \langle f,f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega)=
  ||f||^2\quad
 \text{ для всех }\ f\in H. \tag16
$$

Возьмем $ \omega_0\in\Omega_0$ и подставим $ f_{\omega_0}$ в (16)
вместо $ f:$
$$ ||f_{\omega_0}||^2=\int_\Omega |
  \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega)=||f||^2.
     \tag17
$$

Проинтегрируем равенство (17) по $ \Omega_0:$
$$
\int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)=
  \int_{\Omega_0}\, \left(
 \int_{\Omega_0} | \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega) +
    \int_{\Omega\setminus\Omega_0} |
   \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega)
  \right)\,d\mu(\omega_0). \tag18
$$

После этих предварительных манипуляций приступим последовательно к
доказательству наших утверждений.

$ 1).$\
Так как
$$
   \int_{\Omega_0}\, \left(
   \int_{\Omega_0} | \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega)
      \right)\,d\mu(\omega_0)=
 \iint_{\Omega_0\times\Omega_0} |
       \langle f_{\omega_0},f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega)
      \,d\mu(\omega_0),
$$
то из (18) получаем
$$
 \int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)\geqslant
  \mu(\Omega_0)\,\int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)\,\cdot\,
\frac1{\mu(\Omega_0)}\, + \text { неотрицательное слагаемое,}
$$
т. е.
$$
 \int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)\geqslant
  \int_{\Omega_0} ||f_{\omega_0}||^2\,d\mu(\omega_0)
             + \text { неотрицательное слагаемое.}
 $$
Следовательно "неотрицательное слагаемое" равно нулю, что и доказывает
утверждение 1).

$ 2)$\
Положим $ E:=
\overline{\underset{\omega\notin\Omega_0}\to{\operatorname{span}}}
  \{ f_\omega\}.$
Предположим, что найдется $ \Omega'_0\subset \Omega_0$ положительной меры,
для которого все $ f_{\omega_0}$ с $ \omega_0\in\Omega'_0$
не лежат в $ E.$
Можно считать, что это $ \Omega_0.$
Подставим в соотношение (16) вектор $ \pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}$\
$(\omega_0\in\Omega_0):$
$$
0<||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2=
   \int_\Omega
  | \langle \pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}, f_\omega\rangle|^2\,d\mu(\omega).
   \tag19
$$
Используя (18) и проинтегрировав (19) по $ \Omega_0,$
получим:
$$\multline
0< \int_{\Omega_0}||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2\, d\mu(\omega_0)=
  \int_{\Omega_0}\,\int_{\Omega_0}
|\langle\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}, f_\omega \rangle|^2\,
    d\mu(\omega)\,d\mu(\omega_0)+ 0 \leqslant   \\ \leqslant
 \int_{\Omega_0}\,\int_{\Omega_0}  ||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2\, ||f_\omega||^2\,
    d\mu(\omega)\,d\mu(\omega_0).
\endmultline
$$

Так как $ ||f_\omega||^2<\dfrac1{\mu(\Omega_0)}$ для почти всех
$ \omega\in\Omega_0,$
то из последних неравенств следует:
$$
0< \int_{\Omega_0}||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2\, d\mu(\omega_0)<
 \int_{\Omega_0}||\pi_{E^{\perp}}f_{\omega_0}||^2\, d\mu(\omega_0)\,\cdot\,
  \mu(\Omega_0)\,\cdot\, \frac1{\mu(\Omega_0)}.
$$

Полученное противоречие доказывает утверждение 2).
 \enddemo

\proclaim {\bf Следствие 1}\it
Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для $ H$
и $ \Omega_0\subset \Omega,$\, $ \mu(\Omega_0)>0.$
Тогда $ \{ f_\omega\}_{\omega\in{\Omega\setminus\Omega_0}}$ --- либо снова
интегральный фрейм, либо неполная система.
Иначе говоря, если выкинуть из интегрального фрейма существенную
его часть, то останется либо снова интегральный фрейм,
либо неполная в гильбертовом пространстве система.
\endproclaim\rm

\demo{\it Доказательство}
По теореме 5, можно считать, что рассматриваемый интегральный фрейм
является нормализованным жестким интегральным фреймом.
В этом случае, по теореме 7, семейство
$ \{ f_\omega\}_{\omega\in{\Omega_0}}$
либо содержит существенную часть
$ \{ f_\omega\}_{\omega\in{\Omega'_0}}, \mu(\Omega'_0)>0,$
которая ортогональна остатку
$ \{ f_\omega\}_{\omega\in{\Omega\setminus\Omega_0}},$
либо лежит в замкнутой линейной оболочке этого остатка.
 \enddemo

Следующее утверждение показывает, что, как и в случае обычных фреймов,
интегральные фреймы сохраняются при ортогональном проектировании.
Стоит сравнить это достаточно простое предложение с формулируемой ниже
теоремой, в котором приведена характеристика  интегральных фреймов
в терминах ортогональных проекций.

\proclaim {\bf Предложение 3}\it
Пусть $ \{ f_\omega\}$ --- интегральный фрейм для
$ H$ с границами $ C,D.$
Если $ E$ --- подпространство гильбертова пространства
$ H,$ то
$ \{ \pi_E(f_\omega) \}$ есть интегральный фрейм для $ E$
с теми же границами.
\endproclaim\rm
\demo{\it Доказательство}
Для $ f\in E,$ имеем:
$$ \int_\Omega  |\langle f_\omega,f\rangle|^2\,d\mu(\omega) =
 \int_\Omega |\langle f_\omega,\pi_E(f)\rangle|^2\,d\mu(\omega)=
 \int_\Omega |\langle \pi_E(f_\omega),f\rangle\rangle|^2\,d\mu(\omega).
$$
 \enddemo

В заключение приведем без доказательства довольно трудную теорему
обобщающую соответствующий результат D. Han'а и D.R. Larson'а (см. [1],
теорема 4.10).
Автор намеревается привести доказательство в последующей своей работе.

\proclaim {\bf Теорема 8}\it
Семейство $ \{ f_\omega\}$ является нормализованным жестким интегральным
фреймом для $ H$ тогда и только тогда, когда существует объемлющее
гильбертово пространство $ \Cal H,$\, $ H\subset\Cal H,$ и интегральный
ортонормированный базис $ \{ e_\omega\}$ для $ \Cal H$ такие, что
естественный ортогональный проектор $ \Pi_H$ из $ \Cal H$ на $ H$
удовлетворяет условию $ \Pi_H e_\omega=f_\omega$
для почти всех $ \omega\in\Omega.$
  \endproclaim\rm

В случае обычных фреймов утверждение теоремы справедливо даже без
предположения об ортогональности указанного проектора
(P.G. Casazza, D. Han, D.R. Larson).
\medpagebreak


\Refs\nofrills{Литература}


\ref \no 1
\by Casazza, P.~G.   \pages 129-201
\paper  The art of frame theory
\yr 2000 \vol 4
\jour  Taiwanese J. Math.
\endref

\ref \no 2
\by  Casazza, P.~G. and  Kutyniok, G.
\pages 87-114
\paper  Frames of subspaces
\yr 2004 \vol  345
\jour  Contemp. Math.
\endref


\ref \no 3
\by  Christensen, O.  \pages
\paper  An introduction to frames and Riesz bases
\yr  2003 \vol
\jour Birkh{\"a}user, Boston
\endref


\ref \no  4
\by Diestel, J, and   Uhl, J.~J. \pages
\paper  Vector measures
\yr 1977 \vol
\jour  Math. Survey 15, Amer. Math. Soc., Providence RI
\endref

 \ref \no 5
\by Reinov O. I.  \pages 22-27
\paper Measurable space frames
\yr  2006 \vol 2
\jour Math Track, SMS, Lahore,
\endref



\endRefs

 \enddocument


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
