%Rt

 % Filename:      norr4mod.tex (LaTeX)
 % Чистов Александр Леонидович

 % УДК 518.5+513.6

 % 2000 Math. Subject Class. 14Q15




% \begin{abstract}
% Consider a polynomial ring $A$ in $n+1$ variables over an
% arbitrary infinite field $k$.
% We prove that for all sufficiently big $n$ and $d$
% there is a homogeneous prime ideal
% ${\mathfrak p}\subset A$ satisfying the following
% conditions.
% The ideal ${\mathfrak p}$ corresponds to a defined over $k$ and
% irreducible over $\overline{k}$
% component of a projective algebraic variety given
% by a system of homogeneous
% polynomial equations with polynomials from $A$ of
% degrees less than $d$.
% Any system of generators of ${\mathfrak p}$
% contains a polynomial of degree at least $d^{2^{cn}}$ for an absolute
% constant $c>0$ which can be computed efficiently.
% This solves an important old problem
% in effective algebraic geometry.
% For the case of finite fields we obtain a slightly less strong result.
% \end{abstract}


% Title: Double-Exponential Lower Bound for the Degree of
%    Any System of Generators of a Polynomial Prime Ideal
% Type:                Paper
% Main Style:        article
% Input Files:        -
% Remarks:        A.L.Chistov (author)



\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{amssymb,amscd}

%\documentclass{article}
\usepackage[cp866]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}

%\usepackage{amsfonts}
%\usepackage{amscd}


\renewcommand{\abstractname}{Аннотация}
\renewcommand{\refname}{Список литературы}

%\documentstyle[a4,amssymb]{article}

%\renewcommand{\baselinestretch}{1.2}
%\parskip 2ex plus 1ex minus 1ex












































\begin{document}


\newtheorem{thms}{THEOREM}
\newtheorem{lems}{LEMMA}
\newtheorem{rems}{REMARK}
\newtheorem{defns}{DEFINITION}
\newtheorem{props}{PROPOSITION}
\newtheorem{coros}{COROLLARY}
%\newtheorem{тео}{ТЕОРЕМА}
%\newtheorem{лем}{ЛЕММА}
%\newtheorem{зам}{ЗАМЕЧАНИЕ}
%\newtheorem{опр}{ОПРЕДЕЛЕНИЕ}
%\newtheorem{прд}{ПРЕДЛОЖЕНИЕ}
%\newtheorem{сле}{СЛЕДСТВИЕ}



\title{Дважды экспоненциальная нижняя оценка на степень
системы образующих полиномиального простого идеала}
\author{А. Л. Чистов
\\[2ex]
Санкт-Петербургское отделение\\
Математического института им. В.А. Стеклова\\
Российской академии наук, \\
191023 Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки 27\\
e-mail: alch@pdmi.ras.ru }



\date{\Large 2008}


\maketitle

\begin{abstract}
Рассмотрим полиномиальное кольцо $A$ от $n+1$ переменных над произвольным
бесконечным полем $k$.
Мы доказываем, что для всех достаточно больших $n$ и $d$
существует однородный простой идеал
${\mathfrak p}\subset A$, удовлетворяющий следующим
условиям. Идеал ${\mathfrak p}$ соответствует определ\"енной над $k$ и
неприводимой над $\overline{k}$ компоненте проективного алгебраического
многообразия, заданного системой однородных полиномиальных
уравнений с многочленами из $A$ степеней меньше чем $d$.
Любая система образующих идеала ${\mathfrak p}$
содержит многочлен степени не меньше чем $d^{2^{cn}}$ для абсолютной
константы $c>0$, которая может быть вычислена эффективно.
Это решает важную старую проблему в эффективной
алгебраической геометрии.
Для случая конечных полей мы получаем
слегка менее сильный результат.
\end{abstract}

\newpage
\section*{Введение}

В классической статье \cite{7} Д. Гильберт доказал, что произвольный
полиномиальный идеал порождается конечным множеством многочленов.
Следовательно,
это справедливо для простого идеала ${\mathfrak p}$ неприводимой компоненты
алгебраического многообразия, заданного системой
полиномиальных уравнений от $n$ неизвестных степеней меньше чем $d$.
Возникла задача дать верхнюю и нижнюю оценки
на степени образующих идеала ${\mathfrak p}$ как функцию от $d$ и $n$.
Отметим, что степень самого идеала ${\mathfrak p}$ (см. определение степени
идеала ниже) ограничена сверху $d^n$
согласно теореме Безу.
Известно, что существует система образующих ${\mathfrak p}$ со степенями
$d^{2^{O(n)}}$, см. замечание~2 ниже (случай неоднородного простого идеала
легко
сводится к случаю однородного простого идеала).
Одной из самых важных открытых проблем эффективной алгебраической
геометрии было получить аналогичную нижнюю оценку
для степеней произвольной системы
образующих некоторого идеала ${\mathfrak p}$.
В настоящей статье мы решаем эту старую проблему над произвольным
бесконечным полем, см. теорему~1 ниже.
Отсюда вытекает та же самая нижняя
оценка для стабилизации характеристической функции однородного идеала
${\mathfrak p}$, см. теорему~1 и замечание~1.

До сих пор дважды экспоненциальные нижние
оценки были известны для биномиальных идеалов, подробности см. в разделе~1.
Эти идеалы далеки от простых: они имеют много примарных компонент.
Все попытки, свести случай простого идеала к известному случаю
биномиальных идеалов, оканчивались неудачей.
Наша конструкция -- простая, однако весьма остроумная в этом смысле.
Нам удалось осуществить требуемую редукцию!
Ключ ко всему -- лемма~2.
Однако каким образом мы сделали это открытие? Не случайно.
Мы исследовали проблему эффективной нормализации алгебраических многообразий.
Оказывается, что построение нормализации алгебраического многообразия
сводится к решению
линейного уравнения $aX+bY+cZ=0$ над кольцом многочленов.
Одновременно как одно из следствий наших результатов мы получили лемму~2.
Мы надеемся вернуться к нормализации алгебраического многообразия с
алгоритмической точки зрения в одной из следующих
статей. Заметим, что вопрос о решении уравнения
$aX+bY+cZ=0$ над кольцом многочленов близок к проблеме, сформулированной в
конце введения.

Пусть $k$ -- поле с алгебраическим замыканием
$\overline{k}$. Пусть $n\geqslant 0$ и $X_0,\ldots , X_n$ -- переменные.
Пусть ${\mathfrak a}\subset k[X_0,\ldots , X_n]=A$ -- однородный идеал.
Обозначим через $h({\mathfrak a},m)=\dim_k(A/{\mathfrak a})_m$
характеристическую функцию идеала
${\mathfrak a}$,
где $(A/{\mathfrak a})_m$ -- векторное пространство однородных элементов
степени
$m\geqslant 0$ кольца
$A/{\mathfrak a}$.
Напомним, что существует многочлен $P=
\sum_{0\leqslant i\leqslant n-s}p_iZ^i$, все $p_i\in{\Bbb Q}$,
степени $\deg P=n-s$ такой, что
$h({\mathfrak a},m)=P(m)$ для всех достаточно больших $m>0$.
По определению $P$ -- многочлен Гильберта кольца $A/{\mathfrak a}$.
Степень идеала ${\mathfrak a}$
можно определить по формуле $\deg{\mathfrak a}=(n-s)!p_{n-s}$.
Обозначим через ${\cal Z}({\mathfrak a})\subset{\Bbb
P}^n(\overline{k})$
множество всех общих нулей многочленов из ${\mathfrak a}$
в ${\Bbb P}^n(\overline{k})$ (аналогичные обозначения будут
использоваться ниже с
другими идеалами или семействами многочленов и другими проективными или
аффинными пространствами).

Ниже в формулировках теоремы, предложения, лемм и следствия
утверждается существование
констант $c,n_0,d_0$,  $c_0$,  $c_1$
и т. д. Все эти константы могут быть вычислены эффективно.
Мы докажем следующий результат.

\par\medskip\noindent{\bf ТЕОРЕМА~1}\hspace{0.1em} {\it  Существуют
константы $c>0$, $n_0>0$, $d_0>0$ такие, что для всякого
бесконечного поля $k$
для всех целых чисел
$n>n_0$ и $d>d_0$ существуют однородные многочлены $f_1,\ldots ,f_\nu\in
A$,  $\nu\leqslant n$, со всеми степенями $\deg f_i<d$,
$1\leqslant i\leqslant \nu$, и однородный простой идеал ${\mathfrak p}\subset
A$, удовлетворяющие
следующим условиям.
\begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\item Множество нулей ${\cal Z}({\mathfrak p})\subset{\Bbb
P}^n(\overline{k})$ идеала ${\mathfrak p}$
совпадает с определ\"енной над $k$ и
неприводимой над $\overline{k}$ компонентой проективного алгебраического
многообразия
${\cal Z}(f_1,\ldots ,f_\nu)\subset{\Bbb
P}^n(\overline{k})$
всех общих нулей многочленов $f_1,\ldots ,f_\nu$.
Следовательно, идеал $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
p}\subset\overline{k}\otimes_kA$ является простым. Более того, ${\mathfrak
p}$ является примарной компонентой идеала $(f_1,\ldots ,f_\nu)\subset A$,
высота $\mbox{\rm ht}({\mathfrak p})=\nu$, и
проективное алгебраическое многообразие
${\cal Z}(f_1,\ldots , f_\nu)$ имеет ровно две неприводимые над
$\overline{k}$ компоненты: ${\cal Z}({\mathfrak p})$ и некоторое
линейное подпространство
${\cal L}\subset{\Bbb P}^n(\overline{k})$, определ\"енное над $k$.
\item  Предположим, что характеристическая функция $h({\mathfrak p},m)$
стабильна для
$m\geqslant m_0$, т.е., совпадает с многочленом Гильберта кольца
$A/{\mathfrak p}$
для этих $m$. Тогда $m_0\geqslant
d^{2^{cn}}$.
\item Пусть  $a_1,\ldots , a_m$ --
произвольная система
образующих идеала ${\mathfrak p}$. Тогда
максимальная степень
$\max_{1\leqslant
i\leqslant
m}\deg_{X_0,\ldots , X_n}a_i\geqslant d^{2^{cn}}$.
\end{enumerate}
}\par\medskip



\medskip Вполне вероятно, что можно удалить слово
``бесконечного'' в формулировке теоремы и получить результат для
произвольного поля, см. замечание~5 в конце раздела~4.
Также здесь может быть полезным замечание~4 в начале раздела~3.
Однако в этой статье мы докажем только следующий результат.

\par\medskip\noindent{\bf ПРЕДЛОЖЕНИЕ~1}\hspace{0.1em} {\it  Заменим в
формулировке теоремы~1 слова ``бесконечного поля'' на
``конечного поля'' и $d^{2^{cn}}$
на $d^{2^{c\sqrt{n}}}$ в условиях (b) и (c).
Тогда справедлива эта новая формулировка теоремы для случая конечных полей.
}\par\medskip



\par\medskip\noindent{\bf ЗАМЕЧАНИЕ~1}\hspace{0.1em} {\it  Известно, см.
\cite{5} разделы~6~и~7,
что для любого однородного идеала
${\mathfrak a}\subset A$ выполняется следующее утверждение. Если
характеристическая функция $h({\mathfrak a},m)$ стабильна для
$m\geqslant m_0$, где $m_0\geqslant 0$,
то для всякого допустимого упорядочивания
мономов редуцированный базис Гр\"ебнера идеала ${\mathfrak a}$ относительно
этого упорядочивания мономов
состоит из однородных многочленов степеней самое большее $m_0+1$.
Следовательно, существует система образующих идеала ${\mathfrak a}$ со
степенями не больше чем $m_0+1$.
}\par\medskip


Здесь вероятно надо привести некоторые подробности, относящиеся к
последнему замечанию. Мы будем использовать обозначения из \cite{5}
(но заменим $n$ на $n+1$).
В \cite{5}
рассматриваются константы $b_0\geqslant b_1\geqslant\ldots\geqslant
b_{n+2}=0$, соответствующие
идеалу $I={\mathfrak a}$.
Пусть целое число $m_0\geqslant 0$ -- минимально возможное такое, что
характеристическая функция
$h({\mathfrak a},m)$ стабильна для $m\geqslant m_0$.
Тогда либо $m_0=b_0$,
или $m_0=b_1-1$. Более точно, если $m_0=b_1-1$, то $b_0=b_1$
и не существует пары $\langle h,u\rangle$ в $0$-стандартном точном коническом
разложении $N_I$ с
$|u|=0$ и $\deg h=b _1-1$. С другой стороны, по лемме~7.2 \cite{5}
степени многочленов рассматриваемого редуцированного базиса Гр\"ебнера
ограничены сверху $b_0$. Отсюда и вытекает утверждение замечания~1.

Заметим также, что перед леммой~7.2 \cite{5}
имеется следующая формула:
$b_0=\min\{d\geqslant b_1 :\forall_{z\geqslant
d}\,\overline{\varphi}(z)=\varphi(z)\}$.
Здесь мы исправили опечатку (которая сейчас
может ввести в заблуждение читателя)
и заменили $z>d$ на $z\geqslant d$
Иначе, эта формула противоречит определению констант $b_i$ на стр.765 из
\cite{5}.


\par\medskip\noindent{\bf ЗАМЕЧАНИЕ~2}\hspace{0.1em} {\it  Пусть ${\mathfrak
P}\subset A$ -- произвольный однородный простой
идеал
высоты $\mbox{\rm
ht}({\mathfrak P})=s$, $0\leqslant s\leqslant n$, и степени $d$.
Мы будем предполагать дополнительно, что идеал
$\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
P}\subset\overline{k}\otimes_kA$ является радикальным. Тогда согласно
лемме~9 и следствию~1
характеристическая функция $h({\mathfrak P},m)$
этого идеала стабильна для
$m\geqslant\min\{(sd)^{O(n-s+1)^{n-s}},d^{2^{O(n)}}\}$
и, следовательно, ${\mathfrak P}$
имеет систему образующих со степенями самое большее
$\min\{(sd)^{O(n-s+1)^{n-s}},d^{2^{O(n)}}\}$.
}\par\medskip



\medskip\noindent{\bf ПРОБЛЕМА}\quad {\it Существуют ли константы $c>0$,
$n_0>0$, $d_0>0$, удовлетворяющие следующему свойству? Для всех целых чисел
$n>n_0$, $d>d_0$
для всякого поля $k$
существует однородный простой
идеал ${\mathfrak p}\subset k[X_0,\ldots ,$ $X_n]$
со степенью $\deg{\mathfrak p}=d$ и высотой $\mbox{\rm
ht}({\mathfrak p})=2$ такой, что для этого идеала
${\mathfrak p}$ выполняется утверждение
(c) теоремы~1.}


\section{Нижние оценки для стабилизации характеристической функции
биномиального идеала в произвольной характеристике}\label{s1}

Произведение степеней переменных
кольца
$k[X_1,\ldots ,$ $X_{n-1}]$
-- это моном $X_1^{i_1}\cdot\ldots\cdot X_{n-1}^{i_{n-1}}$ для некоторых
целых чисел
$i_j\geqslant 0$.
По определению бином из $k[X_1,\ldots , X_{n-1}]$
есть разность двух различных произведений степеней переменных.
Полиномиальный идеал ${\mathfrak g}\subset k[X_1,\ldots ,X_{n-1}]$
называется
биномиальным
в том и только в том случае, когда у него есть система образующих, состоящая
из биномов. Аналогичным образом определяются биномы и биномиальные идеалы
для кольца $A^{(0)}=k[X_0,\ldots , X_{n-1}]$ и других полиномиальных колец.

\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~1}\hspace{0.1em} {\it
Существуют константы $c_1>0$, $n_0>0$ и $d_0>0$ такие, что для всякого поля
$k$
(произвольной характеристики и необязательно бесконечного) для всяких целых
чисел
$n>n_0$, $d>d_0$ существует однородный идеал
${\mathfrak b}\subset k[X_0,\ldots , X_{n-1}]=A^{(0)}$, удовлетворяющий
следующему условию. Идеал ${\mathfrak b}$ порожд\"ен системой однородных
биномов
$b_1,\ldots , b_\mu$ степеней $\deg b_i=m_i<d$
и $\mu=O(n)$.
Предположим, что характеристическая функция $h({\mathfrak b},m)$ стабильна
для $m\geqslant m_0$,
т.е., совпадает с многочленом Гильберта кольца $A^{(0)}/{\mathfrak b}$ для
этих $m$.
Тогда $m_0\geqslant
d^{2^{c_1n}}$.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em} Покажем, ср. \cite{11},
что редуцированный базис Гр\"е\-бнера любого биномиального идеала
относительно любого допустимого упорядочивания
мономов состоит из биномов. Действительно, можно построить базис Гр\"ебнера
согласно алгоритму
Бухбергера. Каждый новый полином в алгоритме Бухбергера получается либо при
помощи
(i) редукции бинома другим биномом, либо (ii) как $S$-полином
двух биномов. В обоих случаях (i) и (ii) результатом снова будет бином.
Это доказывает требуемое утверждение.

Кроме того, если $e_1,\ldots , e_\alpha$ -- редуцированный базис Гр\"ебнера
биномиального идеала
$(q_1,\ldots , q_v)\subset k[X_1,\ldots , X_{n-1}]$
относительно некоторого допустимого упорядочивания мономов
для произвольного фиксированного поля $k$ нулевой характеристики (скажем для
поля рациональных чисел $k={\Bbb Q}$), то по той же причине
$e_1\bmod p,\ldots , e_\alpha\bmod p$ является редуцированным базисом
Гр\"ебнера
идеала
$(q_1\bmod p,\ldots , q_v\bmod p)\subset k_p[X_1,\ldots , X_{n-1}]$
относительно того же самого упорядочивания мономов для произвольного поля
$k_p$
характеристики $p$ для всякого простого числа $p$.
Следовательно, число элементов $\alpha$ и максимальная степень
$\max_{1\leqslant i\leqslant\alpha}e_i$ редуцированного
базиса Гр\"ебнера идеала $(q_1,\ldots , q_v)\subset k[X_1,\ldots , X_{n-1}]$
не зависит от выбора поля $k$,
в частности, от характеристики поля
$k$.

В \cite{11} доказано следующее утверждение
(фактически для ${\Bbb Q}[X_1,\ldots ,X_n]$
вместо ${\Bbb Q}[X_1,\ldots ,X_{n-1}]$, но для нас удобно
сформулировать его для ${\Bbb Q}[X_1,$ $\ldots ,X_{n-1}]$).
Существуют константы $c_0>0$, $n_0>0$ и $d_0>0$ такие, что
для всех целых чисел
$n>n_0$, $d>d_0$ существуют целое число $\mu=O(n)$ и
биномы $g_1,\ldots , g_\mu\in {\Bbb Q}[X_1,\ldots ,X_{n-1}]$
(они строятся явно) степеней $\deg g_i<d$, $1\leqslant
i\leqslant\mu$, удовлетворяющие следующему условию.
Пусть идеал ${\mathfrak g}=(g_1,\ldots , g_\mu)\subset{\Bbb Q}[X_1,\ldots
,X_{n-1}]$.
Пусть $e_1,\ldots , e_\alpha$ -- редуцированный базис Гр\"ебнера
идеала ${\mathfrak g}$ относительно некоторого допустимого упорядочивания
$<$ мономов (это упорядочивание может быть выбрано произвольным).
Тогда $\max_{1\leqslant i\leqslant\alpha}\deg e_i\geqslant d^{2^{c_0n}}$.
Согласно предыдущим аргументам это же утверждение справедливо
над произвольным полем
$k$ вместо ${\Bbb Q}$.
В дальнейшем мы будем обозначать через $e_1,\ldots, e_\alpha$ редуцированный
базис Гр\"ебнера
идеала $(g_1,\ldots, g_\mu)\subset k[X_1,\ldots,X_{n-1}]$ относительно
упорядочивания мономов $<$.

Для всякого $1\leqslant i\leqslant\mu$ положим $b_i=X_0^{\deg
g_i}g_i(X_1/X_0,\ldots , X_{n-1}/X_0)\in A^{(0)}$
равным гомогенизации многочлена $g_i$. Следовательно, $b_i$ является
однородным биномом из $k[X_0,\ldots, X_{n-1}]$. По определению
однородный идеал
${\mathfrak b}=(b_1,\ldots , b_\mu)\subset k[X_0,\ldots , X_{n-1}]$.
Мы будем предполагать без ограничения общности, что упорядочивание мономов
$<$ является согласованным со степенью, т.е., для всех мономов
$v_1,v_2\in A$ условие $\deg v_1<\deg v_2$
влеч\"ет $v_1<v_2$. Далее, рассмотрим допустимое упорядочивание мономов из
$A^{(0)}$, которое
продолжает упорядочивание $<$ на
$k[X_1,\ldots ,X_{n-1}]$ и такое, что $X_0^i<X_j$ для всех $1\leqslant
j\leqslant n$ и $i\geqslant 0$. Пусть $e'_1,\ldots , e'_\lambda$
-- редуцированный базис Гр\"ебнера идеала ${\mathfrak b}$
относительно рассматриваемого упорядочивания мономов.
Тогда из определения базиса Гр\"ебнера мы
получаем
немедленно, что $e'_1(1,X_1,\ldots ,X_{n-1}),\ldots ,
e'_\lambda(1,$ $X_1,\ldots ,X_{n-1})$ является базисом Гр\"ебнера
относительно
упорядочивания
$<$ идеала $(g_1,\ldots , g_\mu)$.
Поскольку упорядочивание $<$ мономов из $k[X_1,\ldots ,X_{n-1}]$
является согласованным со степенью, то мы имеем
$$
\max_{1\leqslant i\leqslant\lambda}\deg e'_i(1,X_1,\ldots
,X_{n-1})\geqslant\max\deg_{1\leqslant i\leqslant \alpha} e_i\geqslant
d^{2^{c_0n}}.
$$
Следовательно, $\max_{1\leqslant i\leqslant\lambda}\deg e'_i\geqslant
d^{2^{c_0n}}$.
Теперь по замечанию~1 справедливо утверждение леммы. Лемма
доказана.


\medskip В \cite{11} можно найти также обзор
результатов на эту тему.
Все работы
здесь основываются на первоначальных идеях из
\cite{9}, где рассматриваются поля характеристики нуль (или, более точно,
поле рациональных чисел).
Доказательство леммы~2 \cite{9} обо всех возможных биномах
из биномиального идеала приводится над полем нулевой характеристики.
Д.~Ю.~Григорьев (сообщение при личном общении)
заметил, что имеется другое простое доказательство этой
леммы в произвольной характеристике.
Кажется, что нет других препятствий для того, чтобы распространить
эти результаты на случай ненулевой характеристики. Следовательно, все нижние
оценки для биномиальных идеалов справедливы в произвольной характеристике.
В нашем доказательстве леммы~1 мы даже не используем лемму~2 из \cite{9}
в ненулевой характеристике.





\section{Доказательство теоремы~1: условия (a) и (b)}\label{s2}


Кольцо многочленов $A=k[X_0,\ldots , X_n]$ является градуированным
относительно степени по всем переменным $X_0,\ldots , X_n$.
Для градуированного $A$-модуля $M$ и целого числа $\nu$ обозначим через
$M(\nu)$ градуированный $A$-модуль со
сдвинутой градуировкой. Именно, можно отождествить однородные компоненты
$M(\nu)_m=M_{\nu+m}$
для всякого
$m$, и это отождествление индуцирует изоморфизм $A$-модулей
$M(\nu)\simeq M$.
Последний изоморфизм является изоморфизмом степени $\nu$ градуированных
$A$-модулей $M(\nu)$ и $M$.

Пусть $X_{n+1}$, $Z_1,\ldots , Z_\mu$ -- новые
переменные.
Пусть
$$
\Phi=X_0X_nX_{n+1}+X_n^3+X_{n+1}^3.
$$
Положим кольца
$A^{(1)}=A[X_{n+1}]$. Положим кольцо
$
B_\Phi=A^{(1)}/(\Phi)
$.
Теперь $A$, $A^{(1)}$, $A^{(1)}[Z_1,\ldots , Z_\mu]$ являются
градуированными кольцами
относительно полной степени по всем переменным
$X_0,\ldots,X_{n+1}$, $Z_1,\ldots, Z_\mu$,
т.е., однородные элементы степени $m$ этих колец являются однородными
многочленами степени $m$
относительно всех этих переменных. Многочлен $\Phi$ однороден.
Следовательно, $B_\Phi$
и $B_\Phi[Z_1,\ldots , Z_\mu]$ являются также градуированными кольцами.

Обозначим через $K^{(1)}$ и $K'$ поля частных колец
$A^{(1)}$ и $B_\Phi$ соответственно. Для произвольной
рациональной функции
$P/Q\in K^{(1)}$ такой, что $P,Q\in A^{(1)}$ и
$\Phi$ не делит $Q$, мы будем обозначать через $(P/Q)\bmod\Phi$ образ этой
рациональной функции в $K'$.

\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~2}\hspace{0.1em} {\it  Пусть $k$ --
произвольное поле. Пусть ${\mathfrak a}\subset A$
--
однородный идеал такой, что $X_n\in{\mathfrak a}$, или ${\mathfrak
a}=A$.
Положим
$$
B_{\mathfrak
a}=\left\{\left(z_0+z_1X_{n+1}+z_2\frac{X_{n+1}^2}{X_n}\right)\bmod\Phi\, :\,
z_0,z_1\in A\,\&\,z_2\in{\mathfrak a}\right\}\subset K'.
$$
Тогда $B_{\mathfrak a}$ является градуированным
кольцом и конечно порожд\"енным
$A$-модулем. Далее, $A$-модуль $B_{\mathfrak a}\simeq A\oplus
A(-1)\oplus
{\mathfrak a}(-1)$.
 Кольцо $\overline{k}\otimes_kB_{\mathfrak a}$ является
целостным.
Поле частных кольца $B_{\mathfrak a}$ есть $K'$, тензорное произведение
$\overline{k}\otimes_kK'$ является полем, и расширение
полей
$\overline{k}\otimes_kK'\supset
\overline{k}(X_0,\ldots , X_n)$ является конечным сепарабельным.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em} Элемент $X_{n+1}^2\bmod\Phi\in
B_{\mathfrak
a}$, поскольку $X_n\in{\mathfrak a}$. Для всех $x_1,x_2\in{\mathfrak a}$ мы
имеем
\begin{eqnarray*}
&&x_1X_{n+1}^3/X_n\bmod\Phi=(-x_1X_n^2-x_1X_0X_{n+1})\bmod\Phi\in
B_{\mathfrak
a}, \\
&&x_1x_2X_{n+1}^4/X_n^2\bmod\Phi=
(-x_1x_2X_nX_{n+1}-x_1x_2X_0X_{n+1}^2/X_n)\bmod\Phi\in B_{\mathfrak a}
\end{eqnarray*}
и
$B_{\mathfrak a}$ является $A$-модулем.
Поэтому $B_{\mathfrak a}$ является
кольцом.
Другие утверждения также устанавливаются непосредственно. Лемма доказана.

\medskip
Пусть ${\mathfrak b}\subset A^{(0)}$ -- идеал из леммы~1.
Мы будем предполагать без ограничения общности, что $n_0>1$ в лемме~1 и,
следовательно, $n\geqslant 2$.
Положим ${\mathfrak b}'={\mathfrak b}A+(X_n)$
равным однородному идеалу кольца $A$.
Положим ${\mathfrak a}={\mathfrak b}'$ в лемме~2 и $B'=B_{{\mathfrak
b}'}$.
Мы имеем $A/{\mathfrak b}'=A^{(0)}/{\mathfrak b}$.
Следовательно, если $\dim (B')_m$ стабильна для
$m\geqslant m_0$ (т.е., совпадает с многочленом Гильберта кольца
$A^{(0)}/{\mathfrak b}$
для этих $m$), то $m_0\geqslant
d^{2^{c_1 n}}+1$ согласно лемме~1.


\medskip Мы построим рекурсивно градуированные кольца
$B^{(0)}=B'$,
$B^{(1)},\ldots ,$ $B^{(\mu)}$, удовлетворяющие для всякого $i$ следующим
свойствам.
\begin{enumerate}\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Кольцо $\overline{k}\otimes_kB^{(i)}$ целостно.
\item Расширение колец $B^{(i)}\supset A$ -- целое.
\item Обозначим через $K^{(i)}$ поле частных кольца $B^{(i)}$. Тогда
расширение полей
$\overline{k}\otimes_kK^{(i)}\supset\overline{k}(X_0,\ldots , X_n)$ конечно
сепарабельно.
\item Для $i\geqslant 1$ существуют ненулевые
$\lambda_{i,1},\lambda_{i,2},\lambda_{i,3},\lambda_{i,4}\in k$ такие,
что многочлен
\begin{eqnarray*}
&&\varphi_i=Z_i^{m_i+1}+\lambda_{i,1}X_0^{m_i}Z_i+\lambda_{i,2}X_0^{m_i}X_1+
\lambda_{i,3}X_0^{m_i}X_2+ \\
&&\lambda_{i,4}(b_iX_{n+1}^2/X_n)\bmod\Phi\in B^{(i-1)}[Z_i]
\end{eqnarray*}
является неприводимым элементом кольца
$\overline{k}\otimes_kK^{(i)}[Z_i]$. {\it Положим по определению кольцо}
$$
B^{(i)}=B^{(i-1)}[Z_i]/(\varphi_i).
$$
\end{enumerate}


Для $i=0$ эти свойства следуют из определения
кольца $B'$.
Пусть $1\leqslant i\leqslant\mu$ и
$B^{(i-1)}$ построено. Построим $B^{(i)}$.
Очевидно (i)--(iii) следуют из (iv).
Так что достаточно построить многочлен $\varphi_i$ из (iv).

Обозначим через $E^{(i-1)}$ целое замыкание кольца
$\overline{k}\otimes_kB^{(i-1)}$ в его поле частных
$\overline{k}\otimes_kK^{(i-1)}$.
Заметим, что $E^{(i-1)}[Z_i]\supset\overline{k}\otimes_kB^{(i-1)}[Z_i]$.
Обозначим через $V^{(i-1)}$ нормальное аффинное алгебраическое многообразие
с кольцом
регулярных функций $E^{(i-1)}[Z_i]$.

Пусть $\alpha\in k$ -- ненулевой элемент. Определим элементы кольца
$\overline{k}\otimes_kB^{(i-1)}[Z_i]$
$$
\begin{array}{lll}
\psi_1=X_0^{m_i}X_2, &
\psi_2=X_0^{m_i}Z_i, &
\psi_3=X_0^{m_i}X_1,\\
\widetilde{\psi}_1=\alpha Z_i^{m_i+1}+X_0^{m_i}X_2, &
\widetilde{\psi}_2=X_0^{m_i}Z_i, \\
\widetilde{\psi}_3=X_0^{m_i}X_1+
\alpha(b_iX_{n+1}^2/X_n)\bmod\Phi.
\end{array}
$$
Тогда
$$
V^{(i-1)}\cap{\cal
Z}(\widetilde{\psi}_1,\widetilde{\psi}_2,\widetilde{\psi}_3)\subset
V^{(i-1)}\cap{\cal Z}(Z_i,X_0X_2).
$$
Следовательно, по (ii) для $i-1$
$$
\dim (V^{(i-1)}\cap
{\cal
Z}(\widetilde{\psi}_1,\widetilde{\psi}_2,\widetilde{\psi}_3))\leqslant
\dim(V^{(i-1)})-2.
\eqno (1)
$$
Далее, по (iii) для $i-1$ семейство
$X_0,X_0^{m_i}X_1,X_0^{m_i}X_2,X_3,X_4,\ldots , X_n,X_0^{m_i}Z_i$
является сепарабельным базисом трансцендентности поля
$\overline{k}\otimes_kK^{(i-1)}(Z_i)$ над $\overline{k}$.
Поэтому морфизм
$$
V^{(i-1)}\rightarrow{\Bbb A}^3(\overline{k}),\quad
z\mapsto(\psi_1(z),\psi_2(z),\psi_3(z))
\eqno (2)
$$
сепарабелен доминантен, или, что эквивалентно, дифференциал этого морфизма в
некоторой
гладкой точке $\xi$ является эпиморфизмом.

Покажем, что существует непустое открытое в топологии Зарисского
подмножество
${\cal U}''\subset\overline{k}$
(очевидно число элементов $\#(\overline{k}\setminus{\cal
U}'')<+\infty$) такое, что для всех $\alpha\in {\cal U}''\cap k$
рациональный морфизм
$$
V^{(i-1)}\rightarrow{\Bbb P}^2(\overline{k}), \quad
z\mapsto(\widetilde{\psi}_1(z):\widetilde{\psi}_2(z):\widetilde{\psi}_3(z))
\eqno (3)
$$
сепарабелен доминантен. Действительно, рассмотрим морфизм
$$
\widetilde{\psi}\, :\,
V^{(i-1)}\rightarrow{\Bbb A}^3(\overline{k}), \quad
z\mapsto(\widetilde{\psi}_1(z),\widetilde{\psi}_2(z),\widetilde{\psi}_3(z)).
$$
Пусть $V^{(i-1)}\subset{\Bbb A}^{n_1+2}(\overline{k})$, $n_1\geqslant
n+1$, и
${\Bbb A}^{n_1+2}(\overline{k})$
имеет координатные функции $Z_i,X_0,\ldots ,X_{n_1}$.
Пусть $h_1,\ldots ,
h_s\in\overline{k}[Z_i,X_0,\ldots
,X_{n_1}]$ -- система локальных параметров алгебраического многообразия
$V^{(i-1)}$ в точке $\xi$.
Тогда дифференциал морфизма (2) в точке $\xi$ является эпиморфизмом в
том и только в том случае, если дифференциалы
$d_{\xi}h_1,\ldots , d_{\xi}h_s,d_{\xi}\psi_1,$ $d_{\xi}\psi_2,d_{\xi}\psi_3$
линейно независимы над $\overline{k}$. Следовательно,
дифференциалы
$d_{\xi}h_1,\ldots , d_{\xi}h_s$,
$d_{\xi}\widetilde{\psi}_1,d_{\xi}\widetilde{\psi}_2,
d_{\xi}\widetilde{\psi}_3$ являются линейно независимыми над $\overline{k}$
для всех $\alpha$ из
непустого открытого в топологии Зарисского подмножества ${\cal
U}''\subset\overline{k}$.
Поэтому морфизм $\widetilde{\psi}$ доминантен и
сепарабелен для всех $\alpha\in{\cal
U}''$.
Естественный морфизм $\pi\, :\,{\Bbb
A}^3(\overline{k})\setminus\{0\}\rightarrow{\Bbb P}^2(\overline{k})$
является доминантным сепарабельным. Морфизм (3) равен
$\pi\circ\widetilde{\psi}$.
Поэтому последний морфизм также является доминантным сепарабельным для всех
$\alpha\in{\cal U}''$.
Этим требуемое утверждение доказано.

Пусть $V',V''\subset{\Bbb A}^n(\overline{k})$ -- произвольные аффинные
алгебраические многообразия. Напомним, что по определению пересечение
алгебраических многообразий $V'$ и $V''$ трансверсально тогда и только
тогда, когда для всякой неприводимой над
$\overline{k}$
компоненты $W$ пересечения $V'\cap V''$ существует гладкая точка $z\in W$
такая, что $z$ является гладкой точкой
$V'$ и $V''$ одновременно, и пересечение касательных пространств
алгебраических многообразий
$V'$ и $V''$ в точке $z$ трансверсально, где касательные пространства
рассматриваются как подпространства в ${\Bbb
A}^n(\overline{k})$.

{\it В дальнейшем, если не оговорено противное,
мы будем предполагать, что поле $k$ бесконечно.}
Выберем и зафиксируем $\alpha\in{\cal U}''\cap k$
(оно зависит от $i$).
Напомним, что $V^{(i-1)}\subset{\Bbb A}^{n_1+2}(\overline{k})$.
Морфизм (3) является сепарабельным доминантным, справедливо (1)
и $n\geqslant 2$.
Поэтому можно применить первую теорему Бертини, см. \cite{12},  \cite{1}, ср.
 \cite{4}, к морфизму (3).
Согласно этой теореме существует многочлен $\varphi$,
который является линейной
комбинацией
$\widetilde{\psi}_1,\widetilde{\psi}_2,\widetilde{\psi}_3$
с коэффициентами из $k$
в общем положении такой, что пересечение $\widetilde{V}^{(i-1)}$ и
${\cal Z}(\varphi)$
трансверсально в ${\Bbb A}^{n_1+2}(\overline{k})$ и неприводимо над
$\overline{k}$.

Поскольку $E^{(i-1)}[Z_i]$ целозамкнуто, то для любого ненулевого
элемента $\varphi'\in E^{(i-1)}[Z_i]$ идеал $(\varphi')\subset
E^{(i-1)}[Z]$ является несмешанным, т.е. все ассоциированные простые
идеалы идеала $(\varphi')$ имеют одну и ту же высоту~$1$.

В нашей ситуации
отсюда следует, что идеал $(\varphi)\subset E^{(i-1)}[Z_i]$ является
простым. Следовательно, многочлен
$\varphi\in\overline{k}\otimes_kK^{(i-1)}[Z_i]$ неприводим,
поскольку $E^{(i-1)}$ является целозамкнутым.
Умножая $\varphi$ на ненулевой множитель из $k$, мы будем предполагать без
ограничения общности, что старший коэффициент относительно $Z_i$
многочлена $\varphi$ равен $1$.
Теперь положим $\varphi_i=\varphi$.
Следовательно, выполняется условие (iv).
Мы получаем также $\lambda_{i,3}=\alpha^{-1}$,
$\lambda_{i,4}=\alpha\lambda_{i,2}$, и,
поэтому $\lambda_{i,2}=\lambda_{i,3}\lambda_{i,4}$.


Положим $B=B^{(\mu)}$. Обозначим через $K$
поле частных кольца $B$. Следовательно, $\overline{k}\otimes_kK$
является полем частных кольца
$\overline{k}\otimes_kB$. Согласно (iii) расширение полей
$\overline{k}\otimes_kK\supset\overline{k}(X_0,\ldots , X_n)$
конечно сепарабельно.

Согласно (iv) имеет место изоморфизм градуированных
$A$-моду\-лей $B\simeq \oplus_{i\in I}B'(-\alpha_i)$, где число
элементов $\#I=(m_1+1)\cdot\ldots\cdot
(m_\mu+1)\leqslant d^\mu=d^{O(n)}$
и
$0\leqslant\alpha_i\leqslant
(m_1+\ldots + m_\mu)\leqslant(d-1)\mu=O(nd)$.


Согласно (iv) кольцо $B$ порождено над $k$ своей однородной компонентой
$B_1$ и $\dim_k B_1\leqslant N+1$, где $N=n+1+\mu=O(n)$.
Положим $X_{n+1+i}=Z_i$, $1\leqslant i\leqslant\mu$.
Пусть ${\Bbb P}^N(\overline{k})$ имеет однородные координатные функции
$X_0,\ldots , X_N$. Тогда по нашей конструкции
$\overline{k}\otimes_kB$ является однородным кольцом проективного
алгебраического многообразия
$V'\subset{\Bbb P}^N(\overline{k})$, определ\"енного над $k$ и
неприводимого над
$\overline{k}$.
Положим ${\mathfrak P}'$
равным однородному идеалу проективного алгебраического многообразия $V'$.
Положим $f_1=\Phi$ и
\begin{eqnarray*}
&&f_{i+1}=X_nX_{n+1+i}^{m_i+1}+\lambda_{i,1}X_0^{m_i}X_nX_{n+1+i}+
\lambda_{i,2}X_0^{m_i}X_1X_n+\\
&&\lambda_{i,3}X_0^{m_i}X_2X_n+
\lambda_{i,4}b_iX_{n+1}^2\in k[X_0,\ldots , X_N],\quad
1\leqslant i\leqslant\mu,
\end{eqnarray*}
ср. с формулами для $\varphi_i$ выше.
Теперь $B=k[X_0,\ldots, X_N]/{\mathfrak P}'$,
$$
f_1,\ldots , f_{\mu+1}\in k[X_0,\ldots , X_N],\quad
\deg f_i<d'=O(d),\,1\leqslant
i\leqslant \mu+1,\quad
N=O(n).
\eqno (4)
$$
Далее, ${\cal Z}({\mathfrak P}')$ является определ\"енной над $k$
и неприводимой над $\overline{k}$ компонентой многообразия ${\cal
Z}(f_1,\ldots ,
f_{\mu+1})$.  Более точно, мы имеем разложение в объединение
неприводимых над $\overline{k}$
компонент ${\cal Z}(f_1,\ldots ,$
$f_{\mu+1})={\cal Z}({\mathfrak P}')\cup{\cal Z}(X_n,X_{n+1})$.
Наконец, согласно нашей конструкции ${\mathfrak P}'$ является примарной
компонентой идеала
$(f_1,\ldots ,f_{\mu+1})\subset k[X_0,\ldots , X_N]$,
высота $\mbox{\rm ht}({\mathfrak P}')=\mu+1$ и
размерность $\dim{\cal Z}({\mathfrak P}')=n$.
Следовательно, утверждение (a) теоремы справедливо для
$N$, $(f_1,\ldots , f_{\mu+1})$, ${\mathfrak P}'$ (вместо $n$, $(f_1,\ldots
,
f_\nu)$,
${\mathfrak p}$).

Пусть $\alpha=\max_{i\in I}\alpha_i$.
Тогда $\dim_k B_m$ стабильна для
$m\geqslant m_0$ в том и только в том случае, если $\dim_k B'(-\alpha)_m$
стабильна для
$m\geqslant m_0$.
Мы имеем $B'\simeq A\oplus A(-1)\oplus {\mathfrak b}'(-1)$ и ${\mathfrak
b}'=A{\mathfrak b}+(X_n)$, где
${\mathfrak b}$ -- идеал из леммы~1.
Следовательно, если $\dim_k B_m$ стабильна для
$m\geqslant m_0$, то $\dim_k((A^{(0)}/{\mathfrak b})(-\alpha-1))_m$
стабильна для
$m\geqslant m_0$.
Поэтому $m_0\geqslant d^{2^{c_1n}}+\alpha+$ по лемме~1.



\par\medskip\noindent{\bf ЗАМЕЧАНИЕ~3}\hspace{0.1em} {\it  Пусть ${\mathfrak
P}\subset A$ -- однородный простой идеал.
$A'=A[X_{n+1},$ $\ldots ,$ $X_{n'}]$ для
$n'\geqslant n$.
Рассмотрим однородный простой идеал ${\mathfrak P}'={\mathfrak
P}A'+(X_{n+1},\ldots
,$ $X_{n'})\subset A'$.
Тогда функция Гильберта кольца $A/{\mathfrak P}$ стабильна для $m\geqslant
m_0$ в том и только в том случае,
если функция Гильберта кольца $A'/{\mathfrak P}'$
стабильна для $m\geqslant m_0$.
Далее, идеал ${\mathfrak P}$ имеет систему образующих $b_1,\ldots ,
b_w$ со всеми степенями
$\deg b_i\leqslant v$ тогда и только тогда, когда ${\mathfrak P}'$
имеет систему образующих
$b'_1,\ldots , b'_{w'}$ со всеми степенями
$\deg b'_i\leqslant v$.

Теперь можно рассмотреть простой идеал ${\mathfrak
P}''={\mathfrak P}A'$.
Функция Гильберта кольца $A'/{\mathfrak P}''$ стабильна для $m\geqslant
m_0$ тогда и только тогда, когда функция Гильберта кольца $A'/{\mathfrak P}'$
стабильна
для $m\geqslant m_0+n'-n$ (это доказывается при помощи индукции по $n'-n$;
здесь $m_0$ или $m_0+n'-n$ может быть отрицательным).
}\par\medskip


Целые числа $n$, $d$ -- произвольные достаточно большие. Следовательно,
из нашей конструкции и (4), используя замечание~3
и изменяя обозначения ($N$, ${\mathfrak P}'$,
$d'$ на $n$, ${\mathfrak P}^{(0)}$,  $d$
соответственно; подробности оставляем читателю), мы
получаем следующее утверждение.
\begin{itemize}
\item[(*)]
{\it  существуют константы $c_2>0$, $n_0>0$, $d_0>0$
(они могут быть отличны от констант из условия леммы~1) такие, что для всех
целых чисел $n>n_0$, $d>d_0$ для всякого бесконечного поля $k$
существуют однородные многочлены $f_1,\ldots , f_{\mu+1}\in k[X_0,\ldots ,
X_n]$, $\mu<n$, со всеми степенями $\deg f_i<d$,
и однородный простой идеал ${\mathfrak
P}^{(0)}\subset k[X_0,\ldots , X_n]$, удовлетворяющие условиям (a) и (b)
теоремы~1
(вместо $f_1,\ldots , f_\nu$ и простого идеала
${\mathfrak p}$)
с $c_2$ вместо $c$.
Кроме того, согласно нашей конструкции высота $\mbox{\rm
ht}({\mathfrak P}^{(0)})=\mu+1\leqslant n-1$.
Многочлены $f_1,\ldots , f_{\mu+1}$ зависят от выбора семейства
элементов $\lambda_{i,j}$,
$1\leqslant i\leqslant\mu$, $1\leqslant j\leqslant 3$, см. выше.
Наконец, ${\mathfrak P}^{(0)}$
является примарной компонентой идеала $(f_1,\ldots ,f_{\mu+1})\subset
k[X_0,$ $\ldots , X_n]$,
и проективное алгебраическое многообразие
${\cal Z}(f_1,\ldots , f_{\mu+1})$ имеет ровно две неприводимые над
$\overline{k}$ компоненты: ${\cal Z}({\mathfrak P}^{(0)})$ и некоторое
линейное подпространство
${\cal L}^{(0)}\subset{\Bbb P}^n(\overline{k})$,
определ\"енное над $k$.}
\end{itemize}


\section{Доказательство теоремы~1: условие (c)}\label{s3}

Теперь наша цель - рассмотреть (a), (b) и (c) вместе.
\par\medskip\noindent{\bf ЗАМЕЧАНИЕ~4}\hspace{0.1em} {\it
Было бы интересно установить, что ${\mathfrak P}^{(0)}$ также удовлетворяет
(c) с константой $c_3>0$
вместо $c$, и после этого взять $c=\min\{c_2,c_3\}$ (фактически
$c_2\geqslant c_3$).
Поскольку $3\mu=O(n)$, отсюда можно было бы вывести аналогично
доказательству предложения~1,
см. ниже в конце раздела, что теорема~1 верна также для любого
конечного поля $k$, т.е., без всяких ограничений на поле $k$.
}\par\medskip

Однако мы получим другой результат
достаточный для того, чтобы доказать теорему.

\medskip
Отождествим множество всех $(n-s)$-наборов $(L_{s+1},$ $\ldots,L_n)$
линейных форм
$L_j\in\overline{k}[X_0,\ldots , X_n]$, $s\leqslant
j\leqslant n$, с ${\Bbb A}^{(n+1)(n-s)}(\overline{k})$.

Пусть ${\mathfrak P}\subset A$
-- произвольный однородный простой идеал высоты $s=\mbox{\rm
ht}({\mathfrak P})$, $0\leqslant s\leqslant n-1$, и степени
$\deg{\mathfrak P}=d$.
Пусть $V={\cal Z}({\mathfrak P})\subset{\Bbb P}^n(\overline{k})$ --
проективное алгебраическое многообразие всех общих нулей многочленов из
${\mathfrak P}$
в ${\Bbb P}^n(\overline{k})$. Следовательно,
$\dim V=n-s$.
Мы будем предполагать дополнительно, что идеал
$\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
P}\subset\overline{k}\otimes_kA$ -- радикальный
или, что эквивалентно,  многообразие ${\cal Z}({\mathfrak P})$
определено над $k$.
Обозначим через ${\mathfrak M}=(X_0,\ldots , X_n)$ максимальный однородный
простой идеал кольца $A$.
Следующая лемма известна в случае, когда
алгебраическое многообразие
${\cal Z}({\mathfrak P})\subset{\Bbb P}^n(\overline{k})$
является неприводимым над $\overline{k}$ (и фактически этот случай
 достаточен для наших целей).
Всё же мы хотели бы доказать е\"e в общем случае.

\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~3}\hspace{0.1em} {\it  Существует непустое
открытое в топологии Зарисского подмножество
${\cal
U}\subset{\Bbb A}^{(n+1)(n-s)}(\overline{k})$, удовлетворяющее следующим
свойст\-вам.
Пусть набор из $(n-s)$ линейных форм
$(L_{s+1},\ldots, L_n)\in{\cal U}$, и все $L_j\in A$. Тогда
\begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item для всякого целого числа $s\leqslant i\leqslant n$ пересечение $V$ и
${\cal Z}(L_{s+1},\ldots, L_i)$ трансверсально или, что эквивалентно в
рассматриваемом
случае, размерность
$\dim(V\cap{\cal
Z}(L_{s+1},\ldots, L_i))
=n-i$, и степень
$\deg V=\deg(V\cap{\cal Z}(L_{s+1},\ldots, L_i))$;
\item  для всякого целого числа $s\leqslant i<n$
число неприводимых над $\overline{k}$
компонент многообразия
$V_i=V\cap{\cal Z}(L_{s+1},\ldots ,L_i)$ равно числу неприводимых над
$\overline{k}$ компонент многообразия $V$;
\item для всякого целого числа $s\leqslant i\leqslant n$
алгебраическое многообразие $V_i$ определено над $k$;
\item для всякого целого числа $s\leqslant i<n$ проективное алгебраическое
многообразие $V_i$ является неприводимым над $k$ и
соответствует однородному простому идеалу ${\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots,
L_i}\subset k[X_0,\ldots , X_n]$ высоты
$i$;
\item для $i=n$ проективное алгебраическое многообразие $V_n$
является определ\"енным над $k$ конечным
множеством точек в
${\Bbb P}^n(\overline{k})$, соответствующим однородному радикальному
идеалу
${\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots, L_n}\subset
k[X_0,\ldots , X_n]$;
\item следовательно, идеал $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
P}_{L_{s+1},\ldots,
L_i}\subset\overline{k}\otimes_kA$
радикален для всех $s+1\leqslant i\leqslant n$;
\item для всякого $s+1\leqslant i\leqslant n$
$$
{\mathfrak P}+(L_{s+1},\ldots, L_i)={\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots, L_i}\cap
{\mathfrak Q}_{L_{s+1},\ldots, L_i},
$$
где ${\mathfrak Q}_{L_{s+1},\ldots, L_i}$ является ${\mathfrak M}$-примарным
идеалом или
${\mathfrak Q}_{L_{s+1},\ldots, L_i}=A$;
\item следовательно, $X_j^N{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots, L_i}$
$\subset{\mathfrak
P}+(L_{s+1},\ldots, L_i)$ для всех $0\leqslant j\leqslant n$ и всех
достаточно больших
$N\geqslant 0$.
\end{enumerate}
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em} Существует непустое
открытое в топологии Зарисского подмножество
${\cal U}^{(0)}\subset{\Bbb A}^{(n-s)(n+1)}(\overline{k})$ такое, что
для всякого
$(L_{s+1},$ $\ldots ,L_n)\in{\cal U}^{(0)}$ пересечение $V$
и ${\cal Z}(L_{s+1},\ldots ,L_n)$ является трансверсальным, т.е.
выполнено (i)
(здесь мы оставляем подробности читателю).
Пусть $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
P}=\bigcap_{j\in J}{\mathfrak p}_j$ -- редуцированное примарное разложение
идеала
$\overline{k}\otimes_k{\mathfrak P}$, где все ${\mathfrak
p}_j\subset\overline{k}\otimes_kA$, $j\in J$, являются простыми идеалами.
Тогда
известно (это является
следствием первой теоремы Бертини) см., например, приложение из \cite{4},
что, если заменить ${\cal U}$, $k$, $A$, ${\mathfrak P}$ на ${\cal
U}_j$, $\overline{k}$,
$\overline{k}[X_0,\ldots , X_n]$, ${\mathfrak p}_j$
(для произвольного но фиксированного $j\in J$) соответственно, то
справедливы утверждения (i)--(v),
(vii), (viii). Положим
${\cal U}={\cal U}^{(0)}\cap\bigcap_{j\in J}{\cal U}_j$.

Пусть $(L_{s+1},\ldots , L_n)\in{\cal U}$.
Теперь выполняются (i) и (ii). Однородный идеал алгебраического многообразия
$V_i$ равен $\bigcap_{j\in
J}{\mathfrak p}_{j,L_{s+1},\ldots , L_i}$.
Мы имеем $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak P}+(L_{s+1},\ldots
,L_n)\overline{k}\otimes_kA\subset\bigcap_{j\in J}({\mathfrak
p}_j+(L_{s+1},\ldots ,L_n)\overline{k}\otimes_kA)$.
Следовательно, по (vii) для ${\mathfrak p}_j$ справедливо равенство
$$
\overline{k}\otimes_k{\mathfrak P}+(L_{s+1},\ldots
,L_n)\overline{k}\otimes_kA=\bigcap_{j\in
J}{\mathfrak p}_j\cap{\mathfrak Q}',
\eqno (5)
$$
где ${\mathfrak Q}'$ является $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak M}$-примарным
идеалом
или ${\mathfrak Q}'=\overline{k}\otimes_kA$.

Докажем (iii). Существует ненулевая линейная форма $L_0\in A$ такая, что
$V_i\setminus{\cal Z}(L_0)$
является плотным в топологии Зарисского подмножеством многообразия $V_i$.
Согласно (5)
кольцо определ\"енных над $\overline{k}$ регулярных функций на
$V_i\setminus{\cal Z}(L_0)$ равно
$\overline{k}[V\setminus{\cal Z}(L_0)]/(L_{s+1}/L_0,\ldots, L_i/L_0)$.
Поэтому $V_i\setminus{\cal Z}(L_0)$ определено над
$k$.
Обозначим через $k_s$ сепарабельное замыкание поля $k$. Следовательно,
множество точек
$(V_i\setminus{\cal Z}(L_0))(k_s)$ является плотным
в топологии Зарисского и инвариантным
относительно действия группы Галуа
$\mbox{\rm
Gal}(\overline{k}/k)$ подмножеством многообразия $V_i$.
Следовательно, по известному критерию $V_i$ определено над $k$. Утверждение
(iii) доказано.
Теперь также выполняется (v).

Докажем (iv). Группа Галуа
$\mbox{\rm
Gal}(\overline{k}/k)$ действует транзитивно на
неприводимых над $\overline{k}$ компонентах ${\cal Z}({\mathfrak
p}_{j,L_{s+1},\ldots ,L_i})$ алгебраического многообразия $V_i$.
Поэтому $V_i$ неприводимо над $k$ и (iv) доказано. Теперь также доказано
(vi).

Докажем (viii). По (5) мы имеем
$$
X_j^N{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots,
L_i}\subset(\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
P}+(L_{s+1},\ldots, L_i)\overline{k}\otimes_kA)\cap A={\mathfrak
P}+(L_{s+1},\ldots, L_i)
$$
и (viii) доказано. Очевидно (viii) влеч\"ет (vii). Лемма доказана.

\medskip Пусть $u=\{u_{i,j}\}$, $i\in\{0,s+1,s+2,\ldots , n+1\}$, $0\leqslant
j\leqslant n$,
-- семейство алгебраически независимых элементов над полем $k$, т.е.,
степень трансцендентности этого семейства над
$k$ равна $(n-s+2)(n+1)$. Обозначим через $k_u=k(u)$ расширение поля $k$
элементами семейства $u$.
Пусть
$U_i=\sum_{0\leqslant j\leqslant n}u_{i,j}X_j\in k_u[X_0,\ldots , X_n]$,
$s+1\leqslant i\leqslant n$, -- семейство общих линейных форм над $k$.
Тогда $(n-s)$-набор $(U_{s+1},\ldots , U_n)$ является общей точкой
многообразия
${\cal U}$, см. лемма~3,
и $(U_{n+1},\ldots , U_n)\in{\cal U}(\overline{k_u})$.
Расширим основное поле $k$ до $k_u$.
Мы будем обозначать снова через ${\mathfrak P}$ идеал кольца
$k_u\otimes_k{\mathfrak P}\subset k_u\otimes_kA$ (это не приведёт в
двусмысленности).
Теперь идеалы ${\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots , U_i}$ определены для всех
$s\leqslant i\leqslant n$.

\medskip Обозначим через $k[u]$ полиномиальное
кольцо с коэффициентами из $k$ и переменными из семейства $u$.
Обозначим через $k[u,X_0,\ldots , X_n]$ полиномиальное кольцо с
коэффициентами из $k$ и переменными из семейств
$u$ и $X_0,\ldots , X_n$
(аналогичные обозначения будут использоваться с другими
переменными).
Пусть $s+1\leqslant i\leqslant n$ -- целое число. Обозначим для
краткости ${\mathfrak P}_{i-1}={\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots , U_{i-1}}$,
${\mathfrak P}_i={\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots , U_i}$.
Положим
$$
k''_u=\left\{\,P/Q\in k_u\,:\,P,Q\in k[u]\,\&\,\deg_{u_{i,n}}P\leqslant 0,\,
\deg_{u_{i,n}}Q=0\,\right\},
$$
т.е., $k''_u$ является подполем в $k_u$ всех элементов, которые не зависят
от
$u_{i,n}$.
Заметим, что идеал ${\mathfrak P}_{i-1}$ имеет систему образующих
$p_1,\ldots , p_\gamma\in k''_u[X_0,\ldots ,$ $X_n]$
(фактически можно выбрать все $p_j\in k[u,X_0,\ldots , X_n]$ со степенями
$\deg_{u_{i_1,j_1}}p_j=0$
для всех $i_1\in\{0,i,\ldots , n+1\}$, $0\leqslant j_1\leqslant n$).
Определим мультипликативно замкнутые множества
\begin{eqnarray*}
&&S_{{\mathfrak P}_{i-1}}=
k''_u[X_0,\ldots , X_n]\setminus(p_1,\ldots , p_\gamma)\subset
k''_u[X_0,\ldots , X_n], \\
&&S_{i,n}=k[u,X_0,\ldots , X_n]\setminus U_ik[u,X_0,\ldots , X_n]\subset
k[u,X_0,\ldots , X_n], \\
&&S=\{X_n^{i}\, :\, 0\leqslant i\in{\Bbb Z}\}\subset k[X_0,\ldots , X_n].
\end{eqnarray*}
Локализация $S_{i,n}^{-1} k[u,X_0,\ldots , X_n]\supset k_u[X_0,\ldots ,
X_n]$.
Если $z\in S_{i,n}^{-1} k[u,X_0,$ $\ldots ,X_n]$, то можно подставить
$u_{i,n}=(-\sum_{0\leqslant i\leqslant n-1}u_{i,j}X_j)/X_n$ в $z$.
Обозначим через $\pi(z)$ результат этой подстановки. Тогда очевидно
$\pi(z)\in k''_u(X_0,$ $\ldots , X_n)$,
и отображение
$z\mapsto\pi(z)$ является гомоморфизмом $k''_u$-алгебр $\pi:
S_{i,n}^{-1}
k[u,$ $X_0,\ldots ,X_n]\rightarrow k''_u(X_0,\ldots , X_n)$.
Если $z\in k''_u(X_0,\ldots, X_n)$, то $\pi(z)=z$.
Очевидно ядро $\mbox{\rm Ker}(\pi)=U_iS_{i,n}^{-1}
k[X_0,\ldots , X_n]$.


\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~4}\hspace{0.1em} {\it  В предыдущих
обозначениях предположим, что $X_n\not\in{\mathfrak P}$.
Тогда для всякого $z\in k_u[X_0,\ldots , X_n]$ элемент $\pi(z)\in
S_{{\mathfrak P}_{i-1}}^{-1}
k''_u[X_0,\ldots , X_n]$.
Далее, если $z\in{\mathfrak P}_i$, то $\pi(z)\in S_{{\mathfrak
P}_{i-1}}^{-1}(k''_u[X_0,\ldots , X_n]\cap{\mathfrak P}_{i-1})$.
Наконец, если $z\in k[u,X_0,\ldots , X_n]\cap{\mathfrak P}_i$, то
$\pi(z)\in S^{-1} (k[u,X_0,\ldots , X_n]\cap {\mathfrak P}_{i-1})$.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em} Пусть $z\in k_u[X_0,\ldots ,
X_n]$.
Тогда $z=P/Q$, где $0\ne Q\in k[u]$, $P\in k[u,X_0,\ldots , X_n]$.
Мы имеем $\pi(P)\in S^{-1} k''_u[X_0,\ldots ,$ $X_n]\subset S_{{\mathfrak
P}_{i-1}}^{-1}
k''_u[X_0,$ $\ldots , X_n]$. Пусть $\deg_{u_{i,n}}Q=r$. Тогда
$X_n^r\pi(Q)\in k''_u[X_0,\ldots ,$ $X_n]$.
Следовательно, достаточно доказать, что
$X_n^r\pi(Q)\in
S_{{\mathfrak P}_{i-1}}$.
Определение гомоморфизма $\pi$
влеч\"ет
$\pi(Q)=q((-\sum_{0\leqslant j\leqslant
n-1}X_ju_{i,j})/X_n)$
для некоторого многочлена $0\ne q\in k''_u[Z]$.
Обозначим через $k_u({\cal Z}({\mathfrak P}_{i-1}))$ поле определ\"енных
над
$k_u$
рациональных функций на алгебраическом многообразии ${\cal Z}({\mathfrak
P}_{i-1})\subset{\Bbb P}^n(\overline{k_u})$.
Мы имеем $X_n\not\in{\mathfrak P}$ и $U_{s+1},\ldots , U_{i-1}$ -- являются
общими линейными формами. Следовательно, $X_n$ не обращается в нуль в общей
точке
алгебраического многообразия
${\cal Z}({\mathfrak P})\cap{\cal
Z}(U_{s+1},\ldots, U_{i-1})\subset{\Bbb P}^n(\overline{k_u})$.
Поэтому $X_n\not\in{\mathfrak P}_{i-1}$ и очевидно $i-1<n$.
Пусть
$$
k'''_u=\left\{\,P/Q\in k_u\,:\,P,Q\in k[u]\,\&\,\deg_{u_{i,j}}P\leqslant 0,\,
\deg_{u_{i,j}}Q=0,\,0\leqslant j\leqslant n \right\},
$$
т.е., $k'''_u$ является подполем поля $k_u$, состоящим из всех элементов,
которые не зависят от всех $u_{i,j}$, $0\leqslant j\leqslant n$.
Алгебраическое многообразие ${\cal Z}({\mathfrak P}_{i-1})$ определено
над $k'''_u$ согласно лемме~3 с основным полем $k'''_u$ вместо
$k$. Следовательно,
$$
-\sum_{0\leqslant
j\leqslant n-1}u_{i,j}(X_j/X_n)\in k_u({\cal Z}({\mathfrak P}_{i-1}))
$$
является
трансцендентным элементом над полем $k_u$.
Поэтому
$X_n^r\pi(Q)$ $\not\in{\mathfrak P}_{i-1}$.
Требуемое утверждение доказано.

Пусть $z\in{\mathfrak P}_i$. Тогда $z\in S^{-1}({\mathfrak P}_{i-1}+(U_i))$
по лемме~3 (viii) с основным полем $k_u$ вместо $k$.
Следовательно, можно представить $z=\sum_{1\leqslant j\leqslant
\gamma}p_j
q_j+U_iq$, где
$p_j$ были введены выше, все $q_j,q\in S^{-1} k_u[X_0,\ldots ,
X_n]$.
Поэтому
$$
\pi(z)=\sum_{1\leqslant j\leqslant\gamma}p_j\pi(q_j)\in
S_{{\mathfrak P}_{i-1}}^{-1}(k''_u[X_0,\ldots , X_n]\cap{\mathfrak P}_{i-1}).
$$

Пусть $z\in k[u,X_0,\ldots , X_n]\cap{\mathfrak P}_{i-1}$.
Тогда по доказанному
$$
\pi(z)\in S^{-1} k[u,X_0,\ldots , X_n]\cap
S_{{\mathfrak P}_{i-1}}^{-1}{\mathfrak P}_{i-1}=
S^{-1}(k[u,X_0,\ldots , X_n]\cap{\mathfrak P}_{i-1}).
$$
Последнее утверждение и вся лемма доказаны.




\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~5}\hspace{0.1em} {\it  В предыдущих
обозначениях предположим, что
для некоторого $s+1\leqslant
i\leqslant n-1$
идеал ${\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots , U_i}$ имеет систему образующих
со степенями относительно $X_0,\ldots , X_n$ самое большее $D$, где
$D\geqslant 2$.
Тогда
\begin{enumerate} \renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item Существует система образующих $q_1,\ldots , q_\beta\in k[u,X_0,\ldots ,
X_n]$
идеала ${\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots , U_i}$ такая, что
$\deg_{X_0,\ldots , X_n}q_j\leqslant D$ и
$\deg_{u_{v,w}}q_j=(Dd)^{O(n-i)}$ для всех $v$, $w$
(здесь и ниже $\deg_{u_{w,v}}$ -- степень относительно переменной
$u_{w,v}$) с универсальной константой в $O(n-i)$.
\item Существует непустое открытое в топологии Зарисского
подмножество
${\cal U}'_i\subset
{\cal U}$, удовлетворяющее следующим свойствам. Существует абсолютная
константа $c'_4>0$ такая, что для всякого
$(L_{s+1},\ldots ,L_n)\in{\cal U}'_i$ для всех $0\leqslant
j\leqslant n$
идеал
$$
X_j^N
{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_i}\subset{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots ,
L_{i-1}}+(L_i)
\eqno (6)
$$
для некоторого целого числа $N\leqslant(Dd)^{c'_4(n-i)}$.
Следовательно, существует абсолютная константа $c_4>0$
такая, что для всякого
$(L_{s+1},\ldots ,L_n)\in{\cal U}'_i$
для всех $m\geqslant(Dd)^{c_4(n-i)}$ однородные компоненты
$({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots, L_i})_m$
и $({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots,
L_{i-1}}+(L_i))_m$ (идеалов ${\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots, L_i}$
и ${\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots,
L_{i-1}}+(L_i)$) совпадают.
\end{enumerate}
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em} Докажем (i).
Рассмотрим морфизм $\pi_U\, :\,{\cal Z}({\mathfrak
P})\rightarrow{\Bbb P}^{n-s+1}(\overline{k_u})$, $(X_0:\ldots :
X_n)\mapsto(U_0:U_{s+1}:\ldots : U_{n+1})$
проективных алгебраических многообразий.
Тогда, ср. \cite{3}, образ $\pi_U({\cal
Z}({\mathfrak P}))$ замкнут
в ${\Bbb P}^{n-s+1}(\overline{k_u})$ и
определ\"ен над $k_u$, $\deg\pi_U({\cal Z}({\mathfrak P}))$ $=d$.
Далее,
$\pi_U({\cal Z}({\mathfrak P}))={\cal Z}(F_{\mathfrak P})$, где
$F_{\mathfrak P}\in
k[u,$ $Z_0,Z_{s+1},\ldots ,$
$Z_n]$ -- однородный многочлен относительно $Z_0,Z_{s+1},\ldots,$ $Z_n$
такой, что
$F_{\mathfrak P}(U_0,U_{s+1},\ldots , U_{n+1})$ обращается в нуль
тождественно на
${\cal Z}({\mathfrak P})$ в ${\Bbb P}^n(\overline{k_u})$, степень
$\deg F_{\mathfrak P}=d$ и старший коэффициент $0\ne\mbox{\rm
lc}_{Z_{n+1}}F_{\mathfrak P}\in k[u]$
(здесь мы обозначаем через $\mbox{\rm lc}_{Z_n}F_{\mathfrak P}$
старший коэффициент многочлена
$F_{\mathfrak P}$ относительно $Z_{n+1}$).
Поскольку $\pi_U({\cal Z}({\mathfrak P}))$ определено над $k_u$ и
неприводимо над $k_u$, то многочлен $F_{\mathfrak P}$ не имеет кратных
множителей над
$\overline{k_u}$ и неприводим над $k_u$.
Так как $0\ne\mbox{\rm
lc}_{Z_{n+1}}F_{\mathfrak P}\in k[u]$,
то полином $F_{\mathfrak P}$ сепарабелен относительно
$Z_{n+1}$, т.е., $\partial F_{\mathfrak P}/\partial Z_{n+1}\ne 0$.
Кроме того, ср. \cite{3}, морфизм ${\cal Z}({\mathfrak P})\rightarrow
\pi_U({\cal Z}({\mathfrak P}))$, индуцированный $\pi_U$,
является конечным
сепарабельным
и бирациональным изоморфизмом определ\"енных над $k_u$ проективных
алгебраических многообразий.


Многочлен $F_{\mathfrak P}$ однозначно определ\"ен с точностью до множителя
из $k[u]$.
В дальнейшем мы будем предполагать, не умаляя общности, что
$\mbox{\rm
G\,C\,D\,}$ всех коэффициентов из $k[u]$ при мономах от $X_0,\ldots
, X_n$ многочлена $F_{\mathfrak P}$ равен $1$.
Так что мы фиксируем
$F_{\mathfrak P}$ с точностью до ненулевого множителя из $k$.
Мы имеем $\deg_{u_{i,0},\ldots , u_{i,n}}F_{\mathfrak P}=d$ для всякого
$i\in\{0,s+1,s+2,\ldots , n+1\}$,
см. \cite{3} лемма~9.



Пусть $L_0,L_{s+1},\ldots , L_{n+1}\in k[u,X_0,\ldots , X_n]$
-- линейные формы относительно $X_0,\ldots , X_n$
в общем положении. Обозначим $L=(L_0,L_{s+1},\ldots,
L_{n+1})$.
Пусть $L_i=\sum_{0\leqslant j\leqslant n}l_{i,j}X_j$, где коэффициенты
$l_{i,j}\in k_u$
для всех $i,j$.
Подставим $u_{i,j}=l_{i,j}$ для всех $i,j$ в $F_{\mathfrak P}$.
Обозначим полученный многочлен через $F_{{\mathfrak P},L}\in k[u,X_0,\ldots ,
X_n]$.
Поскольку $L_0,L_{s+1},\ldots , L_{n+1}$ находятся в общем положении
многочлен $F_{{\mathfrak P},L}$ сепарабелен относительно $Z_{n+1}$,
$\deg F_{{\mathfrak P},L}=
\deg_{Z_{n+1}}F_{{\mathfrak P},L}=d$, $0\ne\mbox{\rm
lc}_{Z_{n+1}}F_{{\mathfrak P},L}$ $\in k[u]$, и
многочлен $F_{{\mathfrak P},L}(L_0,L_{s+1},\ldots, L_{n+1})$
обращается в нуль тождественно на
${\cal Z}({\mathfrak P})$. Далее, обозначим через $\pi_L\, :\,{\cal
Z}({\mathfrak
P})\rightarrow{\Bbb P}^{n-s+1}(\overline{k_u})$, $(X_0:\ldots :
X_n)\mapsto(L_0:L_{s+1}:\ldots : L_{n+1})$
морфизм проективных алгебраических многообразий. Тогда образ
$\pi_L({\cal Z}({\mathfrak P}))$ замкнут в
${\Bbb P}^{n-s+1}(\overline{k_u})$
и определ\"ен над $k_u$, $\deg\pi({\cal Z}({\mathfrak P}))=d$ и
$\pi_L({\cal Z}({\mathfrak P}))={\cal Z}(F_{{\mathfrak P},L})$.
Кроме того, морфизм ${\cal Z}({\mathfrak P})\rightarrow
\pi_L({\cal Z}({\mathfrak P}))$, индуцированный $\pi_L$,
является конечным
сепарабельным
и бирациональным изоморфизмом определ\"енных над $k_u$ проективных
алгебраических многообразий.
В частности, многочлен $F_{{\mathfrak P},L}$ неприводим над полем $k_u$.

Пусть $s\leqslant i\leqslant n-1$.
Положим $L'=(L_0,U_{s+1},\ldots , U_i,L_{i+1},\ldots , L_{n+1})$, где все
$L_i\in k[X_0,\ldots , X_n]$ являются линейными формами в общем положении.
Напомним обозначение ${\mathfrak P}_i={\mathfrak
P}_{U_{s+1},\ldots , U_i}$.
Так как $L_0$ -- линейная форма в общем положении, то мы будем предполагать
в дальнейшем без ограничения общности, что
$L_0$ не обращается в нуль тождественно ни на какой определ\"енной над
$\overline{k}$ компоненте многообразия ${\cal Z}({\mathfrak P}_i)$.
Многочлен $F'=F_{{\mathfrak P},L'}(Z_0,0,\ldots , 0,$ $Z_{i+1},\ldots
, Z_{n+1})\in k_u[Z_0,Z_{i+1},\ldots , Z_{n+1}]$ (здесь мы
подставляем $0$ вместо
$U_j$,
$s+1\leqslant j\leqslant i$)
-- ненулевой степени $d$, поскольку старший коэффициент многочлена $F'$
относительно
$Z_{n+1}$ является ненулевым полиномом из
$k[u]$. Очевидно многочлен $F'$ обращается в нуль тождественно на ${\cal
Z}({\mathfrak
P}_i)$.
Поскольку линейные формы $L_i$ находятся в общем положении, то многочлен
$F_{{\mathfrak P}_i,(L_0,L_{i+1},\ldots , L_{n+1})}$ определ\"ен и
удовлетворяет свойствам,
аналогичным тем, которым удовлетворяет полином
$F_{{\mathfrak P},L}$, см. выше.
Теперь $F_{{\mathfrak P}_i,(L_0,L_{i+1},\ldots , L_{n+1})}$
совпадает с $F'$ с точностью до множителя $f'\in k[u]$.
В частности, полином $F'$ неприводим над полем $k_u$.

Заменим $F'$ на $F'/f'$.
Обозначим через $k'_u$ подполе поля $k_u$, порожд\"енное над $k$ элементами
семейства $u'=\{u_{v,j}\}$,
$s+1\leqslant v\leqslant i$,
$0\leqslant j\leqslant n$.
Теперь все коэффициенты многочлена $F'$ принадлежат полю $k'_u$

Положим $t_j=L_j/L_0$, $i+1\leqslant j\leqslant n$,
и $\Psi=F'(1,t_{i+1},\ldots
,t_n,Z)\in
k[u,t_{i+1},\ldots ,$ $t_n,Z]$. Многочлен $\Psi\in k_u(t_{i+1},\ldots ,
t_n)[Z]$
неприводим и сепарабелен относительно $Z$, $\deg_Z\Psi=d$,
$0\ne\mbox{\rm lc}_Z\Psi\in k[u]$.
Следовательно, поле определ\"енных над $k_u$ рациональных функций
$k_u({\cal Z}({\mathfrak P}_i))\simeq k_u(t_{i+1},\ldots,$ $
t_n)[Z]/(\Psi)$ согласно описанной конструкции. Положим
$$
\theta=Z\bmod\Psi\in
k_u(t_{i+1},\ldots, t_n)[Z]/(\Psi)\simeq k_u({\cal Z}({\mathfrak P}_i)).
\eqno (7)
$$
Очевидно коэффициенты полинома $\Psi$ принадлежат полю $k'_u$.

Положим $L''=(L_0,U_{s+1},\ldots , U_i,L_{i+1},\ldots , L_n,U_{n+1})$, где
линейные формы $L_{i+1},$ $\ldots, L_n$ -- такие же, как и выше. Положим
$F''=F_{{\mathfrak P},L''}(Z_0,0,$ $\ldots , 0,Z_{i+1},\ldots
, Z_{n+1})\in k_u[Z_0,$ $Z_{i+1},\ldots , L_n]$ (здесь мы подставляем
$0$ вместо
$U_j$, $s+1\leqslant j\leqslant i$).
Рациональная функция $F''(1,t_{i+1},\ldots , t_n,U_{n+1}/L_0)$ обращается в
нуль тождественно на
${\cal Z}({\mathfrak P}_i)\setminus{\cal Z}(L_0)$.
Поэтому существует корень $Z=\xi_U$ многочлена $F''(1,t_{i+1},\ldots,
t_n,Z)$ в поле $k_u(t_{i+1},\ldots,t_n)[\theta]$ вида
$$
\xi_U=\frac{1}{\xi^{(0)}}\sum_{0\leqslant v\leqslant
n}\left(\,\sum_{0\leqslant
j<\deg_Z\Psi}\xi_{v,j}\theta^j\,\right)u_{n+1,v},
$$
где все $\xi^{(0)},\xi_{v,j}\in k[u',t_{i+1},\ldots, t_n]$,
$0\leqslant j\leqslant n$, $\xi^{(0)}\ne 0$, и наибольший общий делитель
$\mbox{\rm G\,C\,D\,}_{v,j}\{\xi^{(0)},\xi_{v,j}\}=1$
в кольце $k[u',t_{i+1},\ldots, t_n]$.

Таким образом, существует общая точка алгебраического многообразия
${\cal Z}({\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots, U_i})\subset{\Bbb
P}^n(\overline{k_u})$ вида
$$
\frac{X_v}{L_0}=\xi_v=\frac{1}{\xi^{(0)}}\sum_{0\leqslant
j<\deg_Z\Psi}\xi_{v,j}\theta^j\in
k'_u(t_{i+1},\ldots , t_n)[\theta],\quad 0\leqslant
v\leqslant n,
\eqno (8)
$$
Согласно алгоритму для факторизации полиномов,
см. \cite{2}: $\deg_Z\!\Psi=d$, все степени
$$
\deg_{t_j}\Psi,\,
\deg_{u_{v,w}}\Psi,\,
\deg_{t_j}\xi^{(0)},\, \deg_{t_j}\xi_{v,j},\,
\deg_{u_{v,w}}\xi^{(0)},\, \deg_{u_{v,w}}\xi_{v,j}
$$
ограничены сверху
$(d+1)^{O(1)}$ с абсолютной константой в $O(1)$ для всех $j$ $v,w$.

Обозначим через $I_\delta$ множество всех $(i_0,\ldots , i_n)$ таких, что все
$i_w\geqslant 0$ -- целые числа и
$i_0+\ldots + i_n=\delta$.
Теперь пусть
$$
F=\sum_{(i_0,\ldots ,i_n)\in I_\delta}F_{i_0,\ldots ,
i_n}X_0^{i_0}\cdot\ldots\cdot
X_n^{i_n}
$$
-- однородный многочлен степени $\delta\leqslant D$
с произвольными коэффициентами $F_{i_0,\ldots,i_n}$ из поля $k_u$.
Тогда соотношение
$$
F(\xi_0,\ldots ,\xi_n)=0
\eqno (9)
$$
справедливо в том и только в том случае, если $F$
обращается в нуль тождественно на ${\cal Z}({\mathfrak
P}_{U_{s+1},\ldots , U_i})$.
Обозначим через $J_0$ множество всех
$j=(j_{i+1},\ldots ,$ $j_n,j_0)$ таких, что все
$j_w\geqslant 0$ являются целыми числами и $0\leqslant j_0<\deg\Psi$.
Тогда согласно (8), (7) равенство (9) эквивалентно
$$
\sum_{j\in J_0}\left(\,\sum_{(i_0,\ldots ,i_n)\in I_\delta}a_{j,i_0,\ldots,
i_n}F_{i_0,\ldots , i_n}\,\right)t_{i+1}^{j_{i+1}}\cdot\ldots\cdot
t_n^{j_n}\theta^{j_0}=0,
\eqno (10)
$$
где все $a_{j,i_0,\ldots, i_n}\in k[u]$
и наибольший общий делитель $\mbox{\rm
G\,C\,D\,}_{j,i_0,\ldots, i_n}\{a_{j,i_0,\ldots, i_n}\!\}$ $=1$
в $k[u]$. Далее, из
установленных оценок на степени $\xi_v$ и $\Psi$ вытекает, что
для всякого ненулевого $a_{j,i_0,\ldots, i_n}\in k[u]$ любой индекс
$j_\alpha=(Dd)^{O(1)}$, $i+1\leqslant\alpha\leqslant n$, и степени
$\deg_{u_{v,w}}a_{j,i_0,\ldots, i_n}=(Dd)^{O(1)}$ для всех $v,w$.
Поэтому существует подмножество $J_1\subset J_0$ такое, что число элементов
$\#J_1=(Dd)^{O(n-i)}$
и, если $a_{j,i_0,\ldots, i_n}\ne 0$, то $j\in J_1$.
Следовательно, рассматривая коэффициенты $F_{i_0,\ldots , i_n}$
как неизвестные, мы получаем из
(10) линейную систему
$\sum_{(i_0,\ldots ,i_n)\in I_\delta}a_{j,i_0,\ldots,
i_n}F_{i_0,\ldots , i_n}=0$, $j\in J_1$, относительно
$F_{i_0,\ldots ,i_n}$
с коэффициентами $a_{j,i_0,\ldots, i_n}\in k_u$.
Решая эту линейную систему, мы находим базис $y_1,\ldots , y_\gamma\in
k[u,X_0,\ldots , X_n]$
над полем $k_u$ однородной компоненты $({\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots ,
U_i})_\delta$ степени $\delta$ идеала
${\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots , U_i}$. Согласно алгоритму
для решения линейных систем мы получаем $\deg_{u_{v,w}}y_j=(Dd)^{O(n-i)}$
для всех $v$, $w$ и $1\leqslant j\leqslant\gamma$.
Утверждение (i) доказано.

Докажем (ii).
Пусть $y=y_j$ для некоторых $1\leqslant j\leqslant\gamma$, $\delta\leqslant
D$.
Мы будем предполагать без ограничения общности, осуществляя при
необходимости невырожденное
линейное преобразование координатных функций $X_0,\ldots ,X_n$ над $k$, что
$X_i\not\in{\mathfrak P}$
для всех
$0\leqslant i\leqslant n$ (после этой замены целое число $N$
для старых координатных функций будет $(n+1)N-n$).
Тогда, см. лемму~4, $\pi(y)\in S^{-1}({\mathfrak P}_{i-1}\cap
k[u,X_0,\ldots , X_n])$ и, следовательно, $y-\pi(y)\in U_iS^{-1}
k[u,X_0,\ldots , X_n]$.
Мы доказали, что $\deg_{u_{i,n}}y=(Dd)^{O(n-i)}$ с абсолютной
константой в
$O(n-i)$.
Отсюда вытекает, что
$X_n^N\pi(y)\in{\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots,
U_{i-1}}\cap k[u,X_0,\ldots, X_n]$ для целого числа
$N=(Dd)^{O(n-i)}$. Поэтому $X_n^N(y-\pi(y))\in
U_ik[u,X_0,\ldots, X_n]$.
Таким образом, $X_n^N{\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots ,
U_i}\subset
{\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots,
U_{i-1}}+(U_i)$.
Аналогично $X_j^N{\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots , U_i}\subset
{\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots,
U_{i-1}}+(U_i)$ для всякого $0\leqslant j\leqslant n$.





Пусть $\delta_1=\delta+N$.
Мы построили базис $y_1,\ldots , y_\gamma$ однородной компоненты
$({\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots , U_i})_\delta$
над полем $k_u$.
Аналогичным образом мы можем построить базис $y'_1,\ldots , y'_\sigma\in
k[u,X_0,\ldots , X_n]$ однородной компоненты $({\mathfrak P}_{U_{s+1},\ldots,
U_{i-1}})_{\delta_1}$.
Теперь для всех $\rho,j$ можно представить
$$
X_\rho^Ny_j=\sum_{1\leqslant\alpha\leqslant\sigma}
b_{\rho,j,\alpha}y'_\alpha,
\quad b_{\rho,j,\alpha}\in k_u.
\eqno (11)
$$

Для завершения доказательства мы используем  ``специализацию параметров''
$u_{v,j}$.
Мы оставляем читателю проверить, что описанная
явная конструкция допускает ``специализацию параметров'',
т.е., если $(l_{v,j})$ принадлежат непустому открытому в топологией
Зарисского подмножеству из ${\Bbb
A}^{(n-s+2)(n+1)}(\overline{k})$, то можно
подставить
$u_{v,j}=l_{v,j}\in k$
в (7), (8) и получить общую точку многообразия
${\cal Z}({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots ,
L_i})$ со всеми
$L_v=\sum_{0\leqslant j\leqslant n}l_{v,j}X_j$.
Здесь также используется лемма~3.
Далее, снова для непустого открытого в топологии Зарисского подмножества
можно подставить
$u_{v,j}=l_{v,j}$
в
$y_1,\ldots , y_\gamma$ и
получить базис над полем $k$ однородной компоненты
$({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_i})_\delta$ степени $\delta$ идеала
${\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_i}$. Это следует из алгоритма
для решения линейных систем. Аналогичное утверждение выполняется для базиса
$y'_1,\ldots , y'_\sigma$
однородной компоненты $({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots,
L_{i-1}})_{\delta_1}$ идеала
${\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_{i-1}}$.
Для всех $0\leqslant\delta\leqslant D$ формулы (11),
относящиеся к общей точке $(u_{v,i})$, также допускают
``специализацию параметров''.
Наконец, заметим, что мы имеем естественную линейную проекцию
\begin{eqnarray*}
&&\varepsilon\, :\,{\Bbb
A}^{(n-s+2)(n+1)}(\overline{k})\rightarrow{\Bbb
A}^{(n-s)(n+1)}(\overline{k}), \\
&&(L_0,L_{s+1},\ldots ,
L_{n+1})\mapsto(L_{s+1},\ldots , L_n),
\end{eqnarray*}
и для всякого открытого в топологии
Зарисского
подмножества
${\cal W}$ аффинного пространства ${\Bbb
A}^{(n-s+2)(n+1)}(\overline{k})$ его образ $\varepsilon({\cal W})$
является открытым относительно топологии Зарисского в ${\Bbb
A}^{(n-s)(n+1)}(\overline{k})$. Так что теперь при помощи проекции
$\varepsilon$ мы получаем требуемое подмножество ${\cal U}'_i$.
Таким образом, утверждение (ii) и вся лемма доказаны.

\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~6}\hspace{0.1em} {\it  В предыдущих
обозначениях пусть $s=\mbox{\rm
ht}({\mathfrak P})=n-1$.
Пусть ${\cal U}\subset{\Bbb A}^n(\overline{k})$
-- открытое в топологии Зарисского подмножество линейных форм,
соответствующее простому идеалу ${\mathfrak P}$, см. выше. Тогда для всякого
$L_n\in{\cal U}$
характеристическая функция $h({\mathfrak P}_{L_n},m)=\dim_k(A/{\mathfrak
P}_{L_n})_m$ стабильна для $m\geqslant(n-1)d-n+2$. Далее,
для всех $m\geqslant(n-1)d-n+2$  мы имеем равенство
$$
({\mathfrak P}_{L_n})_m=({\mathfrak P}+(L_n))_m
\eqno (12)
$$
однородных компонент степени $m$ идеалов ${\mathfrak
P}_{L_n}$ и ${\mathfrak P}+(L_n)$.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em} Существуют однородные многочлены
$F_1,\ldots
,F_m$ $\in k[X_0,\ldots , X_n]$ одной и той же степени $d$ такие, что
${\cal Z}({\mathfrak P})={\cal Z}(F_1,\ldots ,F_m)$ в ${\Bbb
P}^n(\overline{k})$ и ${\mathfrak P}$ является ${\mathfrak P}$-примарной
компонентой
идеала $(F_1,\ldots ,F_m)\subset k[X_0,\ldots , X_n]$,
ср.  \cite{2}, \cite{3}.
Тогда для линейной формы $L_n\in{\cal U}$ идеал ${\mathfrak
P}+(L_n)\supset(F_1,\ldots ,F_m,L_n)={\mathfrak
P}_{L_n}\cap{\mathfrak Q}$, где ${\mathfrak Q}$ является
${\mathfrak M}$-примарным идеалом или ${\mathfrak Q}=k[X_0,\ldots , X_n]$.
Поэтому, см. \cite{8}, однородные компоненты $(F_1,\ldots
,F_m,L_n)_m=({\mathfrak P}_{L_n})_m$
идеалов $(F_1,\ldots ,F_m,L_n)$ и ${\mathfrak P}_{L_n}$ совпадают для
$m\geqslant(n-1)d-n+2$, и выполняется (12).
Следовательно,
см. \cite{8}, характеристическая функция $h({\mathfrak P}_{L_n},m)$
стабильна для $m\geqslant(n-1)d-n+2$, ср. также лемма~8 ниже. Лемма
доказана.






\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~7}\hspace{0.1em} {\it  Предположим, что
условия леммы~5 выполняются для всех
$s+1\leqslant i\leqslant n-1$
с одним и тем же $D$. Положим
${\cal U}'=\bigcap_{s+1\leqslant
i\leqslant n-1}{\cal U}'_i$, см.
лемма~5 (ii) и
$$
D_1=\max\{(Dd)^{c_4(n-s-1)}, sd-s\}.
$$
Тогда для всякого $(L_{s+1},\ldots ,L_n)\in{\cal U}'$ для
всякого $s\leqslant i\leqslant n-1$ характеристическая функция
$$
 h({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots ,
L_i},m)=\dim_k(A/{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_i})_m
\eqno (13)
$$
 стабильна для
$m\geqslant D_1$.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em}  Пусть
$(L_{s+1},\ldots ,L_n)\in{\cal U}'$.
Заметим, что
$k[X_0,\ldots,$ $X_n]/(L_{s+1},\ldots,$ $L_{n-1})$
изоморфно кольцу многочленов над $k$ от $s+2$ переменных,
и ${\cal U}'\subset{\cal U}$, где ${\cal U}$
открытое множество из леммы~3. Применим лемму~6
к идеалу
$$
{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_{n-1}}/(L_{s+1},\ldots, L_{n-1})\subset
k[X_0,\ldots, X_n]/(L_{s+1},\ldots, L_{n-1})
$$
вместо ${\mathfrak P}\subset k[X_0,\ldots , X_n]$.
Мы получаем, что при $i=n$ характеристическая функция (13)  стабильна для
$m\geqslant sd-s+1$.
Теперь (12) и точная последовательность (14) с $i=n$,
см. ниже, влекут, что при $i=n-1$
характеристическая функция (13)
стабильна для $m\geqslant sd-s$.
Это доказывает требуемое утверждение при $i=n-1$.

Мы используем убывающую индукцию по $i$. Предположим, что эта
характеристическая функция стабильна
для $m\geqslant D_1$ для некоторого
$s+1\leqslant i\leqslant n-1$. Докажем, что она стабильна
для $m\geqslant D_1$ также для $i-1$ (вместо $i$).
Мы имеем точную последовательность
$$
\begin{array}{l}
0\rightarrow (A/{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots ,
L_{i-1}})_{m-1}\rightarrow
(A/{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_{i-1}})_m\rightarrow \\
(A/({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_{i-1}}+(L_i)))_m
\rightarrow 0
\end{array}
\eqno (14)
$$
векторных пространств, и
$(A/({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots ,
L_{i-1}}+(L_i)))_m= (A/{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_i})_m$ для
$m\geqslant(Dd)^{c_4(n-s-1)}$ по лемме~5. Следовательно,
(13) стабильна для $m\geqslant D_1$ по индукционному предположению.
Лемма доказана.


\medskip\noindent{\bf ЗАВЕРШЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ТЕОРЕМЫ~1}\quad
Положим ${\mathfrak P}$ $={\mathfrak P}_0$, см. (*).
Следовательно,
сейчас согласно (*) высота $\mbox{\rm ht}({\mathfrak
P})=s=\mu+1$,
и по теореме Безу $\deg{\mathfrak P}=\deg{\mathfrak P}_0=d_1\leqslant
d^s$
вместо $\deg{\mathfrak P}=d$.
Мы имеем
$s\leqslant n-1$, поскольку $\mbox{\rm ht}({\mathfrak
P}^{(0)})\leqslant n-1$.
Пусть $D$ -- наименьшее целое число такое, что условия леммы~5 выполняются
для всех $s+1\leqslant i\leqslant n-1$ для ${\mathfrak P}={\mathfrak P}_0$
с $d_1$ вместо $d$.
Пусть ${\cal U}'_i$, $s+1\leqslant i\leqslant n-1$, -- множества
из леммы~5 (ii), и
${\cal U}'=\bigcap_{s+1\leqslant i\leqslant n-1}{\cal U}'_i$.
Применим лемму~7 с $d_1$ вместо $d$.
Так что сейчас $D_1=\max\{(Dd_1)^{c_4(n-s-1)},sd_1-s\}$.
Для $i=s$ согласно (*) мы получаем $D_1\geqslant d^{2^{c_2n}}$.
Поэтому для всех достаточно больших $n$
и $d$ число $D\geqslant d^{2^{c'n}}+1$ для абсолютной константы $c'>0$.
Следовательно, для любого $(L_{s+1},\ldots ,L_n)\in{\cal U}'$
существует $s+1\leqslant
i_0\leqslant n-1$ такое, что всякая система образующих простого идеала
${\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots,L_{i_0}}$ содержит многочлен степени по
крайней мере
$d^{2^{c'n}}+1$ (целое число $i_0$ может зависеть от  $(L_{s+1},\ldots
,L_n)$).
Выберем и зафиксируем $(L_{s+1},\ldots ,L_n)\in{\cal U}'$.
Теперь положим ${\mathfrak p}={\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots,L_{i_0}}$ и
$c=c'$.
Следовательно, ${\cal Z}({\mathfrak p})$ является определ\"енной над $k$
и неприводимой над
$\overline{k}$ компонентой алгебраического многообразия
${\cal Z}(f_1,\ldots , f_{\mu+1},L_{s+1},\ldots,L_{i_0})$ по лемме~3.
Положим $f_j=L_j$ для всех $\mu+2\leqslant j\leqslant i_0$, и $\nu=i_0$.
Теперь определены все многочлены $f_1,\ldots , f_\nu$,
и выполняется утверждение (a) теоремы.
Очевидно (c) выполнено. По замечанию~1 также справедливо
утверждение (b).
Теорема~1 доказана.


\medskip\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ~1}\quad
Пусть ${\mathfrak p}$ -- идеал, построенный в доказательстве
теоремы~1.
Напомним, что мы используем первую теорему Бертини
несколько раз
и получаем элементы из поля $k$ вместо трансцендентных элементов.
Теперь мы хотим избежать применения первой теоремы Бертини.
Именно, заменим семейство элементов $\lambda_{v,w}$, $1\leqslant
v\leqslant\mu$, $1\leqslant w\leqslant 3$
(напомним, что $\lambda_{v,4}=\lambda_{v,2}\lambda_{v,3}^{-1}$)
семейством $\lambda$ трансцендентных над $k$ элементов. Мы будем обозначать
их снова через $\lambda_{v,w}$.
Обозначим через $k_\lambda$ расширение поля $k$ при помощи всех элементов из
семейства $\lambda$.
Так что теперь степень трансцендентности поля
$k_\lambda$ над $k$ равна
$3\mu$. Далее, заменим семейство коэффициентов
$l_{i,j}\in k$,
$i\in\{0,s+1,\ldots , n+1\}$, $0\leqslant j\leqslant n$ линейных форм
$L_{s+1},\ldots , L_{n+1}$
семейством $u$ трансцендентных над
$k_\lambda$ элементов $u_{i,j}$ со степенью трансцендентности $(n-s+2)(n+1)$
над $k_\lambda$.
Обозначим через $k_{\lambda,u}$ расширение поля
$k_\lambda$ всеми элементами из
семейства $u_{i,j}$.
Так что степень трансцендентности поля
$k_{\lambda,u}$ над $k$ равна
$3\mu+(n-s+2)(n+1)=O(n^2)$.
Пусть $k$ -- конечное поле.
После этой замены согласно конструкции из доказательства теоремы~1 мы
получаем
семейство многочленов $f_1,\ldots , f_\nu\in k_{\lambda,u}[X_0,\ldots ,
X_n]$ (мы используем для них те же самые обозначения) и
простой идеал
${\mathfrak p}'\subset
k_{\lambda,u}[X_0,\ldots , X_n]$
вместо ${\mathfrak p}\subset k[X_0,\ldots , X_n]$.

Обозначим через $k[\lambda,u,X_0,\ldots , X_n]$ полиномиальное кольцо над
$k$ с переменными из семейств
$\lambda$, $u$, $X_0,\ldots , X_n$. Положим ${\mathfrak
p}''={\mathfrak p}'\cap k[\lambda,u,X_0,\ldots , X_n]$.
Согласно описанной конструкции все $f_1,\ldots, f_\nu\in
k[\lambda,u,X_0,\ldots, X_n]$ и все степени
$\deg_{\lambda,u,X_0,\ldots, X_n}f_i<d+1$.



Идеал ${\mathfrak p}''$ не является обязательно однородным
относительно всех переменных. Для упрощения обозначений обозначим все
переменные из семейств
$\lambda$, $u$, $X_0,\ldots , X_n$
через $Y_1,\ldots , Y_m$.
Обозначим через ${\Bbb A}^m(\overline{k})$ аффинное пространство с
координатными функциями $Y_1,\ldots ,
Y_m$.
Поле $k$ является совершенным, поскольку оно конечно. Поэтому
${\cal Z}({\mathfrak p}'')\subset{\Bbb A}^m(\overline{k})$ является
определ\"енной над $k$ компонентой алгебраического многообразия ${\cal
Z}(f_1,\ldots
, f_\nu)\subset{\Bbb A}^m(\overline{k})$.
Многообразие ${\cal Z}({\mathfrak p}'')\subset{\Bbb
A}^m(\overline{k})$
неприводимо над $\overline{k}$, так как многообразие ${\cal
Z}({\mathfrak p}')\subset{\Bbb P}^n(\overline{k_{\lambda,v}})$ является
неприводимым над $\overline{k_{\lambda,v}}$ согласно условию (a) теоремы.



Пусть $Y_0$ -- новая переменная. Гомогенизация многочлена $a\in
k[Y_1,\ldots ,$ $Y_m]$ есть многочлен
$\overline{a}=Y_0^{\deg a}a(Y_1/Y_0,\ldots ,$ $Y_m/Y_0)\in
k[Y_0,\ldots , Y_m]$.
Пусть ${\mathfrak p}'''\subset k[Y_0,\ldots , Y_m]$ -- однородный
простой идеал, порожд\"енный всеми элементами $\overline{a}$,
$a\in{\mathfrak p}''$.
Пусть ${\Bbb P}^m(\overline{k})$ -- проективное пространство с
однородными координатными функциями $Y_0,\ldots , Y_m$.
Проективные алгебраические многообразия ${\cal Z}({\mathfrak
p}''')\subset{\Bbb P}^m(\overline{k})$ и  ${\cal
Z}(\overline{f_1},\ldots ,\overline{f_\nu})\subset{\Bbb
P}^m(\overline{k})$
являются замыканиями относительно топологии Зарисского аффинных
алгебраических многообразий
${\cal Z}({\mathfrak p}'')$ и ${\cal Z}(f_1,\ldots , f_\nu)$
соответственно.
Следовательно, ${\cal Z}({\mathfrak p}''')$ является определ\"енной над
$k$
и неприводимой над $\overline{k}$
компонентой алгебраического многообразия ${\cal Z}(\overline{f_1},\ldots
,\overline{f_\nu})$.
Согласно (*) ${\mathfrak p}$ является примарной компонентой идеала
$f_1,\ldots , f_\nu$,
и высота $\mbox{\rm ht}({\mathfrak p})=\nu$.
Поэтому ${\mathfrak p}'''$ является примарной компонентой идеала
$(\overline{f_1},\ldots
,\overline{f_\nu})$, и высота $\mbox{\rm ht}({\mathfrak
p}''')=\nu$.
Таким образом, над конечным полем $k$ выполняется утверждение (a) теоремы~1
для $m$,
$\overline{f_1},\ldots,\overline{f_\nu}$ и ${\mathfrak p}'''$ вместо
$n$, $f_1,\ldots , f_\nu$ и ${\mathfrak p}$ соответственно.
Очевидно все степени $\deg_{Y_0,\ldots , Y_m}\overline{f_i}<d+1$.
Для доказательства новых версий утверждений (b) и (c),
см. формулировку предложения, мы будем также рассматривать
$\overline{f_1},\ldots,\overline{f_\nu}$ и ${\mathfrak p}'''$.


Утверждение (c) теоремы~1 выполняется для ${\mathfrak p}'$ над полем
$k_{\lambda,u}$ (вместо
${\mathfrak p}$ над $k$).
Любая система образующих идеала ${\mathfrak p}''$ является системой
образующих идеала ${\mathfrak p}'$.
Следовательно, для любой системы образующих $a_1,\ldots , a_m$ идеала
${\mathfrak p}''$
максимальная степень
$$
\max_{1\leqslant
i\leqslant
m}\deg_{Y_1,\ldots , Y_m}a_i\geqslant\max_{1\leqslant
i\leqslant
m}\deg_{X_0,\ldots , X_n}a_i\geqslant\deg d^{2^{cn}}
$$
Поэтому для всякой системы образующих $a'_1,\ldots , a'_{m'}$ идеала
${\mathfrak p}'''$
$$
\max_{1\leqslant
i\leqslant
m'}\deg_{Y_0,\ldots , Y_m}a'_i\geqslant d^{2^{cn}}.
$$
Отсюда вытекает утверждение (c) новой версии теоремы, см.
формулировку предложения, поскольку
$n>n_0$, $d>d_0$ -- произвольные, $m=O(n^2)$, все
$\deg\overline{f_i}<d+1$, см. замечание~3.
Более того, очевидно здесь в
(c) можно заменить $d^{2^{c\sqrt{n}}}$ на
$d^{2^{c\sqrt{n}}}+1$ (и получить слегка более сильное утверждение).
Тогда новая версия утверждения (b) следует из замечания~1.
Предложение доказано.



\par\medskip\noindent{\bf ЗАМЕЧАНИЕ~5}\hspace{0.1em} {\it  Пусть $k$ --
конечное поле и $t$ -- трансцендентный элемент над полем
$k$.
Пусть ${\mathfrak p}\subset k(t)[X_0,\ldots , X_n]$ -- идеал, построенный в
доказательстве
теоремы~1 над бесконечным полем $k(t)$.
Согласно доказательству предложения~1, чтобы доказать
теорему~1 для конечного поля $k$,
достаточно установить следующее.
Применяя первую теорему Бертини, можно выбрать
все коэффициенты $\lambda_{v,w}\in k[t]$ многочленов
$f_{v+1}$,
и коэффициенты $l_{i,j}\in k[t]$
линейных форм $L_i$ со степенями $\deg_t\lambda_{v,w}$, $\deg_tl_{i,j}$,
ограниченными сверху
$d^{n^{O(1)}}$.
}\par\medskip


\par\medskip\noindent{\bf ЗАМЕЧАНИЕ~6}\hspace{0.1em} {\it  Аналогичная
проблема имеется также для бесконечного поля $k$.
Пусть $\lambda_{v,w}\in k$ и
$l_{i,j}\in k$, см. доказательство теоремы~1, соответствуют идеалу
${\mathfrak p}$.
Требуется доказать, что длины записи элементов $\lambda_{v,w}\in k$ и
$l_{i,j}\in k$ ограничены сверху $d^{n^{O(1)}}$.
}\par\medskip


Одной из трудностей, относящихся к утверждениям из
замечания~5 и замечания~6, является оценка размера
нормализации алгебраического многообразия.
Я не смог найти явную оценку нормализации в литературе.
Однако мы видим, что её можно дать.
Мы надеемся вернуться к этому вопросу в одной из следующих
статей. Кажется, что других принципиальных
трудностей нет, ср. приложение из \cite{4}.


\section{Верхние оценки}\label{s4}

Мы можем дать также верхние оценки для стабилизации
характеристической функции однородного простого идеала и для системы
образующих этого идеала.
Пусть ${\mathfrak P}$  -- простой идеал из раздела~3,
но сейчас мы предполагаем, что высота $\mbox{\rm ht}({\mathfrak
P})=s$, $0\leqslant s\leqslant n$. Так что
степень $\deg{\mathfrak
P}=d$, и идеал
$\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
P}\subset\overline{k}\otimes_kA$ является радикальным.


\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~8}\hspace{0.1em} {\it  Пусть ${\mathfrak
Q}\subset A$ -- однородный идеал такой, что
идеал
$\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
Q}\subset\overline{k}\otimes_kA$ радикален, размерность многообразия нулей
$\dim{\cal Z}({\mathfrak q})=0$ в
${\Bbb P}^n(\overline{k})$ и степень $\deg{\mathfrak Q}=d$.
Тогда характеристическая функция $h({\mathfrak Q},m)$ стабильна для всех
$m\geqslant d-1$. В частности, это верно для однородного простого идеала
${\mathfrak
P}\subset A$ (вместо ${\mathfrak Q}$)
с $s=\mbox{\rm ht}({\mathfrak P})=n$ такого, что
${\cal Z}({\mathfrak P})\subset{\Bbb P}^n(\overline{k})$ определено
над $k$.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em} Обозначим для краткости
$\overline{A}=\overline{k}\otimes_kA$.
Мы имеем
$h({\mathfrak Q},m)=h(\overline{k}\otimes_k{\mathfrak Q},m)$.
Пусть $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak Q}=\cap_{1\leqslant j\leqslant
d}{\mathfrak m}_j$ -- редуцированное примарное разложение идеала
$\overline{k}\otimes_k{\mathfrak Q}$. Следовательно, все ${\mathfrak
m}_j\subset\overline{A}$, $1\leqslant
j\leqslant d$, являются однородными простыми идеалами степени один и высоты
$n$.
Поэтому достаточно доказать, что характеристическая функция
$h(\cap_{1\leqslant j\leqslant\delta}{\mathfrak m}_j,m)$ стабильна
для
$m\geqslant\delta-1$.
Мы используем индукцию по $\delta$.
База $\delta=1$ очевидна. Имеем точную последовательность однородных
компонент степени $m$, индуцированную точной последовательностью
гомоморфизмов градуированных $\overline{A}$-модулей,
$$
\begin{array}{l}
0\rightarrow (\overline{A}/(\cap_{1\leqslant
j\leqslant\delta}{\mathfrak m}_j))_m\rightarrow
(\overline{A}/(\cap_{1\leqslant j\leqslant\delta-1}{\mathfrak
m}_j))_m\times
(\overline{A}/({\mathfrak m}_\delta))_m\rightarrow \\
(\overline{A}/({\mathfrak m}_\delta+\cap_{1\leqslant
j\leqslant\delta-1}{\mathfrak m}_j))_m\rightarrow 0.
\end{array}
\eqno (15)
$$
Существует однородный многочлен $\varphi\in\cap_{1\leqslant
j\leqslant\delta-1}{\mathfrak m}_j\setminus{\mathfrak m}_\delta$ такой, что
$\deg\varphi=\delta-1$. Следовательно,
$(\overline{A}/({\mathfrak
m}_\delta+\cap_{1\leqslant j\leqslant\delta-1}{\mathfrak m}_j))_m=\{0\}$
для $m\geqslant\delta-1$.
Поэтому согласно индукционному предположению и (15) характеристическая
функция $h(\cap_{1\leqslant j\leqslant\delta}{\mathfrak
m}_j,m)$ стабильна для $m\geqslant\delta-1$. Лемма доказана.





\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~9}\hspace{0.1em} {\it  В обозначениях из
начала раздела
предположим, что $1\leqslant s\leqslant
n-1$.
Тогда характеристическая функция $h({\mathfrak P},m)=\dim_k(A/{\mathfrak
P})_m$ стабильна для всех целых чисел $m\geqslant (sd)^{(c_5(n-s))^{n-s-1}}$
для абсолютной константы $c_5>0$.
Следовательно, по замечанию~1 идеал ${\mathfrak P}$ имеет систему образующих,
состоящую из однородных многочленов степеней самое большее
$1+(sd)^{(c_5(n-s))^{n-s-1}}$.
Наконец, лемма~8 теперь влеч\"ет, что для всех $0\leqslant s\leqslant n$
характеристическая функция
$h({\mathfrak P},m)$ стабильна для
$m\geqslant (sd)^{(c_5(n-s+1))^{n-s}}$, и идеал ${\mathfrak P}$ имеет систему
образующих, состоящую из однородных многочленов степени самое большее
$1+(sd)^{(c_5(n-s+1))^{n-s}}$.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em} Мы будем предполагать без
ограничения
общности, что $1<s<n$. Следовательно, $sd\geqslant 2$.
Покажем, что
для всех $(L_{s+1},\ldots ,L_n)$ из непустого открытого в топологии
Зарисского подмножества
в ${\Bbb A}^{(n-s)(n+1)}(\overline{k})$
для всякого $s\leqslant i\leqslant n-1$ характеристическая
функция (13)
стабильна для $m\geqslant (sd)^{(c_5(n-s))^{n-i-1}}$,
и, следовательно, по замечанию~1 идеал ${\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots, L_i}$
имеет систему однородных образующих степеней
самое большее
$1+(sd)^{(c_5(n-s))^{n-i-1}}$ для абсолютной константы $c_5>0$.
Действительно, это верно для $i=n-1$ согласно лемме~6.
Мы используем убывающую индукцию по $i$.
Предположим, что наше утверждение доказано
для некоторого $s+1\leqslant i\leqslant n-1$.
Докажем, что оно справедливо также для $i-1$ (вместо $i$).
Мы имеем точную последовательность
(14) векторных пространств. Поэтому по
индукционному предположению и лемме~5 с
$D=(sd)^{(c_5(n-s))^{n-i-1}}$ для всех
$(L_{s+1},\ldots,L_n)\in\bigcap_{i\leqslant
j\leqslant n-1}{\cal U}'_j$
(множество ${\cal U}'_i$ определено на этом индукционном шаге в
лемме~5 (ii), и
аналогично множества ${\cal U}'_j$, $i+1\leqslant j\leqslant n-1$,
определены на предыдущих шагах
индукции)
справедливо равенство
$(A/({\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots ,
L_{i-1}}+(L_i)))_m=
(A/{\mathfrak P}_{L_{s+1},\ldots , L_i})_m$
для
$$
m\geqslant(sd)^{(c_5(n-s))^{n-i}}\geqslant
((sd)^{(c_5(n-s))^{n-i-1}}d)^{c_4(n-i)}
$$
для подходящей константы $c_5$.
Следовательно, характеристическая
функция (13) с $i-1$ вместо $i$ стабильна для
$m\geqslant(sd)^{(c_5(n-s))^{n-i}}$
по индукционному предположению. Требуемое утверждение доказано. Лемма
доказана.


\par\medskip\noindent{\bf ЛЕММА~10}\hspace{0.1em} {\it  В обозначениях из
начала раздела существует абсолютная константа
$c_6>0$ такая, что простой идеал ${\mathfrak P}$
имеет систему образующих $q_1,\ldots , q_w\in
k[X_0,\ldots , X_n]$ со степенями $\deg q_i\leqslant d^{2^{c_6n}}$
для всех $1\leqslant i\leqslant w$.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em}
Мы можем предполагать без ограничения
общности, что $1<s<n$, см. лемму~8, и $d>1$.
Существуют однородные многочлены $F_1,\ldots
,F_m\in k[X_0,\ldots , X_n]$ одной и той же степени $d$ такие, что
${\cal Z}({\mathfrak P})={\cal Z}(F_1,\ldots ,F_m)$ в ${\Bbb
P}^n(\overline{k})$ и ${\mathfrak P}$ является ${\mathfrak P}$-примарной
компонентой
идеала $(F_1,\ldots ,F_m)\subset k[X_0,\ldots , X_n]$,
ср.  \cite{2}, \cite{3}. Пусть $\widetilde{F}_1,\ldots ,\widetilde{F}_s$ --
линейные комбинации многочленов $F_1,\ldots ,F_m$
с коэффициентами из $\overline{k}$ в общем положении. Тогда по первой теореме
Бертини, см. \cite{12},  \cite{1}, ср.
 \cite{4}, идеал кольца
$\overline{k}[X_0,\ldots ,$ $X_n]$
$$
(\widetilde{F}_1,\ldots,\widetilde{F}_s)=(\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
P})\cap\widetilde{{\mathfrak P}},
$$
где $\widetilde{{\mathfrak P}}$ является однородным простым идеалом
кольца $\overline{k}[X_0,\ldots , X_n]$
с высотой $\mbox{\rm ht}(\widetilde{{\mathfrak P}})=s$,
степенью $\deg(\widetilde{{\mathfrak P}})=d^s-d>0$
и такой, что $\widetilde{{\mathfrak P}}$ не является примарной компонентой
идеала $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak P}$.
Пусть $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak P}=\bigcap_{j\in J}{\mathfrak p}_j$ --
редуцированное
примарное разложение радикального идеала $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
P}$.
Существует многочлен $F\in\widetilde{{\mathfrak
P}}\setminus\bigcup_{j\in J}{\mathfrak p}_j$ такой, что $\deg F\leqslant
d^s-d$.
Теперь $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak P}=
\{z\in\overline{k}[X_0,\ldots , X_n]\,
:\,
zF\in(F_1,\ldots,F_m)\}$.
Рассмотрим линейное уравнение
$$
ZF=\sum_{1\leqslant i\leqslant s}Z_iF_i
\eqno (16)
$$
над кольцом полиномов $\overline{k}[X_0,\ldots , X_n]$.
Согласно \cite{6}, \cite{10}
подмодуль в $(\overline{k}\otimes_kA)^{s+1}$ решений
$(Z,Z_1,\ldots ,Z_s)$ уравнения (16) имеет систему образующих
$z_i,z_{i,1},\ldots ,$ $z_{i,s}$,
$i\in I$, состоящую из многочленов из $\overline{k}\otimes_kA$ степеней
$\deg z_i$, $\deg z_{i,j}$, ограниченных сверху $d^{2^{c_6n}}$
для подходящей универсальной константы
$c_6>0$.
Теперь $z_i\in\overline{k}\otimes_kA$, $i\in I$, является системой
образующих идеала
$\overline{k}\otimes_k{\mathfrak P}$ требуемых степеней. Поскольку
многообразие
${\cal Z}({\mathfrak P})$ определено над $k$, существует также система
образующих $q_1,\ldots , q_w\in
k[X_0,\ldots , X_n]$ идеала ${\mathfrak P}$
со степенями $\deg q_i\leqslant d^{2^{c_6n}}$
для всех $1\leqslant i\leqslant w$. Лемма доказана.


\par\medskip\noindent{\bf СЛЕДСТВИЕ~1}\hspace{0.1em} {\it  В обозначениях из
начала раздела
существует абсолютная константа $c_7>0$
такая, что характеристическая функция
$h({\mathfrak P},m)$ простого идеала ${\mathfrak P}$
стабильна для $m\geqslant d^{2^{c_7n}}$.
}\par\medskip

\noindent{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО}\hspace{0.1em}
Действительно,  согласно лемме~8 и \cite{8}
мы можем предполагать без ограничения общности, что
$\mbox{\rm
ht}({\mathfrak P})=s\leqslant n-1$.
Условия леммы~5 с основным полем $k_u$
(вместо $k$) выполнены для всех $s+1\leqslant i\leqslant n-1$ для
$D=d^{2^{c_6n}}+1$.
Пусть $(L_{s+1},\ldots , L_n)\in{\cal
U}'=\bigcap_{s+1\leqslant i\leqslant n-1}{\cal U}'_i$, см. лемма~5 (ii).
Теперь требуемое утверждение
вытекает из леммы~7. Следствие доказано.







\newpage

 \begin{thebibliography}{88}

\bibitem{1} {\bf Бальдассарри М.:} {\it ``Алгебраические
многообразия''},
 Издательство иностранной литературы, М., 1961.

\bibitem{2} {\bf Чистов А. Л.:} {\it ``Алгоритм полиномиальной сложности
для разложения  многочленов на
неприводимые множители и нахождение компонент
многообразия в субэкспоненциальное время''},
Зап. научн. семинаров ЛОМИ АН,
 т. 137 (1984), с. 124--188.


\bibitem{3} {\bf Чистов А. Л.:}  {\it ``Эффективная конструкция
локальных параметров
неприводимых компонент алгебраического многообразия''},
Труды Санкт--Петербургcкого
математического общества,  т. 7 (1999), c. 230--266.



\bibitem{4} {\bf  Chistov A. L.:} {\it
``A deterministic  polynomial--time algorithm for the first
 Bertini theorem''},
Preprint of St.Petersburg
Mathematical Society (2004), http://www.mathsoc.spb.ru/preprint/

\bibitem{5}
{\bf Dub\'e T. W.:}
{\it ``The structure of polynomial ideals and Gr\"obner bases''},
SIAM J. Comput. 19 (1990), 750--775.



\bibitem{6}
{\bf Hermann G.:} {\it Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie
der Polynomideale}, Math. Ann.  {\bf 95},
(1926), 736-788.

\bibitem{7}
{\bf Hilbert D.:}
{\it ``\"Uber die Teorie der algebraischen Formen''},
Math. Ann. 36 (1890), 473--534.

\bibitem{8} {\bf Lazard D.:} {\it ``Alg\`ebre lin\'eaire
sur $k[x_1, \ldots, x_n]$ et \'elimination''},
Bull. Soc. Math. France 105 (1977) p.\ 165--190.

\bibitem{9}  {\bf Mayr E.W., Meyer A.R.:}
{\it ``The complexity of the word problems for commutative semigroups
and polynomial ideals''}, Adv. Math. 46 (1982), 305-329.



\bibitem{10} {\bf Seidenberg A.:}
{\it ``Constructions in algebra''}, Trans. Amer. Math. Soc. 97
(1974), 273--313.


\bibitem{11}
{\bf Yap Chee K.:} {\it ``A new lower bound construction
for commutative Thue systems,
with applications''}, J. Symb. Comput., 12 (1991), 1--28.


\bibitem{12} {\bf Zariski O.:} {\it ``Pencils on an algebraic variety and
a new proof of a theorem of Bertini''}, Trans. Amer. Math. Soc., v. 50
(1941) p. 48--70.

\end{thebibliography}




\end{document}



\bibitem{13} {\bf Hartshorne R.:} {\it ``Algebraic geometry''},
 Springer--Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1977.

\bibitem{14}{\bf Bayer D., Stillman M.:}
{\it ``On the Complexity of Computing Syzygies''},
J. Symb. Comput.  6 (1988), 159-171.

\bibitem{15} {\bf M\"oller M., Mora T.:}
{\it ``Upper and lower bounds for the degree of Groebner bases''},
Lect. Notes Comput. Sci., 174 (1984), 172--183.

\bibitem{16}
{\bf Giusti M.:}
{\it ``Some effective problems in polynomial ideal theory''}, Lect. Notes
Comput. Sci, 174 (1984), 159--171.


\par\medskip\noindent{\bf ЗАМЕЧАНИЕ~7}\hspace{0.1em} {\it  При условиях
леммы~6 несложно доказать (и это известно),
что характеристическая функция $h({\mathfrak P}_{L_n},m)$ стабильна
для $m\geqslant d$. Более того, это справедливо для любого
радикального идеала ${\mathfrak Q}\subset A$ (вместо ${\mathfrak
P}$) такого, что $\overline{k}\otimes_k{\mathfrak
Q}\subset\overline{k}\otimes_kA$ остаётся радикальным, размерность
многообразия нулей $\dim{\cal Z}({\mathfrak q})=0$ в ${\Bbb
P}^n(\overline{k})$ и степень $\deg{\mathfrak Q}=d$. Доказательство
-- при помощи индукции по $d$. Мы оставляем его читателю. В
частности, это верно для однородного простого идеала ${\mathfrak
P}\subset A$ (вместо ${\mathfrak Q}$) с $s=\mbox{\rm
ht}({\mathfrak P})=n$. Мы используем это замечание только,
чтобы получить верхние оценки для $s=n$ в лемме~9, лемме~10 и
следствии~1.
}\par\medskip


%см., например, \cite{16},  \cite{15},  \cite{14},