\documentclass[12pt,oneside]{amsproc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\textheight=22cm \textwidth=15cm \oddsidemargin=5mm
\topmargin=-5mm

\title{Неэквивалентные банаховы нормы на одном линейном пространстве}
%{Неизоморфные банаховы пространства с одним линейным носителем}
\author{О.~И.~Рейнов}

%\thanks{Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант
%№~06-01-00457 .}

\begin{document}
\vphantom{} \maketitle

Эта заметка возникла благодаря одному вопросу, заданному мне в декабре 2008-го года математиком из Германии
Rein Zeinstra. Несколько лет назад Rein присутствовал на некоей лекции то ли по функциональному анализу, то ли
по какой-то специальной части теории операторов в банаховых пространствах. Речь там зашла о применении теоремы Банаха
об открытом отображении, и ситуация у лектора сложилась следующая.

В процессе доказательства одной теоремы возникли два банаховых про\-стра\-н\-с\-т\-ва с одним линейным носителем,
то есть преподаватель (лектор) пришел в процессе своих рассуждений к ситуации, когда на одном и том же линейном пространстве $X$ появились две нормы $||\cdot||_1$ и $||\cdot||_2,$ по каждой из которых это линейное пространство
$X$ становилось банаховым: как $X_1:=(X,||\cdot||_1), $ так и $X_2:=(X,||\cdot||_2)$ ---
полные нормированные пространства. Из этого лектор сделал вывод, что пространства $X_1$ и $X_2$
изоморфны мужду собой как банаховы пространства (точнее, что нормы $||\cdot||_1$ и $||\cdot||_2$
эквивалентны). Rein Zeinstra, естественно, поинтересовался, почему, поскольку непрерывности тождественных отображений
$X_1\to X_2$ или $X_2\to X_1$ не предполагалось и теорема Банаха была не применима. Лектор объяснил, что это очевидно и что все следует из "процессов пополнений" (этой туманной фразой все и закончилось).
Rein Zeinstra, однако, остался недоволен таким объяснением и несколько лет в разных странах задавал свой естественнный вопрос математикам, имеющим дело с функциональным анализом: может ли быть так, что одно и то же линейное пространство $X$ имеет две неэквивалентные между собой нормы, с каждой из которых оно оказывается банаховым?

Когда в декабре прошлого года, в Lahore'е он обратился с этим вопросом ко мне, мне дейтвительно стало интересно,
поскольку и в голову мне ранее подобные рода вопросы не приходили, хотя я много раз в своих лекциях имел дело с теоремой Банаха об открытом отображении. Там же, в Lahore'е, я по\-ин\-те\-ре\-со\-вался мнениями двух профессоров,
занимающихся функциональным анализом, каждый в своей области, и ответы были примерно те же, что и у незадачливого лектора: "это, вроде, очевидно, поскольку пополнение одно ..." и т.д.
Думаю, что на этот вопрос Rein'a на достаточно приличной кафедре математического анализа (например, в Петербурге,
Москве или в Воронеже) ответят сразу (надеюсь). Но поскольку для Rein Zeinstra такого ответа в течение нескольких лет не было (хотя он интересовался этим, например, в Германии), то я решил опубликовать решение этой задачи,
придуманное мной через полчаса после вопроса, заданного им мне. Вот оно.

\vskip 0.2cm
{\bf Теорема.}\ {\it
На линейном пространстве $C[0,1]$ всех непрерывных на отрезке $[0,1]$ вещественно-значных функций
можно задать две неэквивалентные меж\-ду собой нормы, с каждой из которых это пространство будет полным нор\-ми\-ро\-ван\-ным линейным пространством.
  }
\vskip 0.1cm

Таким образом, Стефан Банах сформулировал свою теорему об изоморфизме очень точно, как и полагается гениальному математику.

Доказательство теоремы, приводмое ниже, элементарно. Поэтому читателю, заинтересовавшемуся этим вопросом,
хотел бы предложить остановиться на этом месте и самому придумать свое доказательство. Ниже следует мое.
\vskip 0.1cm

{\it Доказательство теоремы}.\
Обозначим через $X$ {\it линейное пространство}\ всех непрерывных на отрезке $[0,1]$ вещественнных функций
(то есть, пространство $C[0,1],$ рассматриваемое сейчас без какой-либо нормы).

Банахово пространство $Y_1:=C[0,1]$ с его естественной $\sup$-нормой инъекти\-в\-но линейно вкладывается в гильбертово пространство $Y_2:=L_2[0,1],$ постро\-ен\-ное на мере Лебега. Поэтому линейная размерность (мощность базиса Hamel'я)
линейного пространства $Y_1$ не больше чем линейная размерность линейного пространства $Y_2.$

 Пространство $C[0,1],$ как банахово пространство, универсально в классе всех сепарабельных банаховых пространств,
 поэтому %гильбертово
 банахово пространство $L_2[0,1]$ изометрически вкладывается в $C[0,1]$ и, следовательно,
 линейная размерность линейного постранства $Y_2$ не больше чем линейная размерность пространства $Y_1.$

 Из всего сказанного можно сделать вывод: существуют базисы Hamel'я $\mathcal{H}_1$ в линейном пространстве $C[0,1]$
 и $\mathcal{H}_2$ в линейном пространстве $L_2[0,1]$ такие, что естественное взаимнооднозначное отображение
 "базис в базис": $\mathcal{H}_2\to\mathcal{H}_1$ порождает линейный изоморфизм $\Phi$ этих двух линейных пространств $Y_1$
 и $Y_2,$ а отсюда уже, перенося норму ("перенося единичный шар" банахова пространства $L_2[0,1])$
 из $Y_2$ в $Y_1$ при помощи этого линейного изоморфзма $\Phi,$ мы получаем две нормы на $Y_1$
 ("два единичных шара в $Y_1$"), которые порождают два полных нормированных линейных пространства
 $(Y_1,||\cdot||_1)$ и $(Y_1,||\cdot||_2).$
 Одно из них --- прежнее $(Y_1, ||\cdot||_\infty),$ то есть $C[0,1].$
 Второе --- это же линейное пространство $C[0,1],$ но с нормой, порожденной образом замкнутого единичного шара про\-с\-тра\-н\-с\-т\-ва $L_2[0,1]$ при отображении $\Phi.$
 \vskip 0.1cm

 {\it Замечание}.\,
 Естественно, неявно мы как минимум два раза использовали аксиому выбора.
 Дальнейшие обобщения, обсуждения различных вариантов, рас\-смо\-т\-ре\-ние комплексных случаев и т.п.,
 представляются любителям обоб\-ще\-ний. Думаю, имеется простор для полета мыслей.
\vskip 0.2cm

Автор благодарит профессора Rein Zeinstra за поставленный им интересный вопрос.


\end{document}