%%%%%%%%%% % 20.03.2010 21:08:56 \def\ove#1{\overline{#1}} \def\ovs#1#2{\overset{#1}{#2}} \def\({\left(} \def\al{\alpha} \def\lee{\leqslant} \def\){\right)} \def\e{\varepsilon} \def\gee{\geqslant} \def\[{\left[} \def\la{\lambda} \def\]{\right]} \def\ffi{\varphi} \def\ot{\otimes} \def\<{\langle} \def\wh{\widehat} \def\>{\rangle} \def\wt{\widetilde} \def\sbs{\subset} \def\tr{\operatorname{trace}\,} \def\N{\operatorname{N}} \def\I{\operatorname{I}} \def\QN{\operatorname{QN}} \def\R{\operatorname{R}} \def\sbs{\subset} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[12pt,oneside]{amsproc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} %\usepackage[english]{babel} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \textheight=22cm \textwidth=15cm \oddsidemargin=5mm \topmargin=-5mm \thanks{${ }^\maltese$The research was supported by the Higher Education Commition of Pakistan.} \thanks{%${ }^\maltese$ AMS Subject Classification 2000: 46B28. Spaces of operators; tensor products; approximation properties } \thanks{${ }$ Key words: $p$-nuclear operators, approximation properties, compact approximation, nuclear tensor norms, tensor products. } \begin{document} {УДК 517.98\hfill\hfill{} \title{Банаховы пространства без свойств аппроксимации типа $p$} \author{Олег Рейнов${ }^\maltese$\, и Кейзар Латиф} \address{Олег Рейнов:\newline Математико-механический факультет, СПб государственный университет, Санкт-Петербург, Россия.\newline Abdus Salam School of Mathematical Sciences, 68-B, New Muslim Town, Lahore 54600, PAKISTAN.} \email{orein51@mail.ru} \address{Qaisar Latif:\newline Abdus Salam School of Mathematical Sciences, 68-B, New Muslim Town, Lahore 54600, PAKISTAN.} \vphantom{} \maketitle Основная цель этой заметки - показать, что вопрос, поставленный в [1] (см. самый конец той статьи) имеет отрицательный ответ, и что ответ на него был известен, по-существу, в 1985 г. после появления статей [2], [3] в 1982 и в 1985 годах соответственно. Для полноты изложения (и поскольку работа [3] сейчас труднодоступна даже на русском языке) мы воспроизведем некоторые из необходимых фактов из [3], возможно, с несущественными изменениями (перевод %статьи [3] с некоторыми замечаниями может быть найден в arXiv:1002.3902v1 [math.FA]). Все обозначения и терминология, которые мы используем, --- из [2], [4] или [5], и более менее стандартны. Основные сведения об общей теории абсолютно $p$-суммирующих, $p$-ядерных и других операторных идеалов можно найти в [6]. Мы, в частности, будем придерживаться следующих стандартных обозначений. Если $ A$ --- ограниченное подмножество банахова пространства $ X,$ то $ \ove{\Gamma(A)}$ --- замкнутая абсолютно выпуклая оболочка $ A;$ $ X_A$ --- банахово пространство с "единичным шаром" $ \ove{ \Gamma(A)}$; $ \Phi_A: X_A\to X$ --- каноническое вложение. Для $ B\sbs X$ через $ \overline{B}^{\,\tau}$ и $ \ove{B}^{\,\|\cdot\|}$ обозначаются соответственно замыкания множества $ B$ в топологии $ \tau$ и по норме $ \|\cdot\|.$ Когда необходимо, мы обозначаем норму в $ X$ через $ \|\cdot\|_X.$ Другие обозначения: $ \Pi_p,$ $ \QN_p,$ $ \N_p,$ $ \I_p$ --- соответственно идеалы абсолютно $ p$-суммирующих, квази-$p$-ядерных, $ p$-ядерных, строго $ p$-интегральных операто\-ров; $ X^*\wh\ot_p Y$ --- полное тензорное произведение, ассоциированное в $ \N_p(X,Y);$ $ X^*\wh{\wh\ot}_p Y= \ove{X^* \ot Y}^{\,\pi_p}$ \, (т.е. замыкание множества конечномерных операторов в $ \Pi_p(X,Y)).$ Наконец, если $ p\in[1,+\infty],$ то $ p'$ --- сопряженный показатель. Напомним основное определение из [3] топологии $\tau_p$\ $\pi_p$-компактной сходимо\-сти, которая в точности совпадает с $\lambda_p$-топологией в статье [1]\footnote{ Определение 4.3 из [1]:\, "Given a compact subset $K\sbs X$ we define a seminorm $||\cdot||$ on $\Pi_p(X,Y)$ given by $||T||_K=\inf\{\kappa_p^d(Ti_Z):\, i_Z:Z\to X \text{ as above}\}.$ The family of seminorms $\{||\cdot||_K:\, K\sbs X \text{ is compact}\}$\, determines a locally convex topology $\lambda_p$ on $\Pi(X,Y).$"; --- о деталях, определении отображений $i_Z,$ и др. см. [1], Lemma 4.2.}, где доказано, по-существу, что $T\in K_p^d(X,Y)$ тогда и только тогда, когда $T\in QN_p(X,Y).$ Для банаховых пространств $X, Y,$ {\it топология $ \tau_p$\ $ \pi_p$\!-компактной сходимости}\ в пространстве $ \Pi_p(Y,X)$ есть топология, базу окрестностей нуля в которой определяют множества вида $$ \omega_{K,\e}= \left\{ U\in \Pi_p(Y,X):\ \pi_p(U\Phi_K)<\e\right\},$$ где $ \e>0,$\, $ K=\ove{\Gamma(K)}$ --- компактное подмножество в $ Y.$ \vskip 0.2cm {\bf Предложение 1} [3].\ {\it Пусть $ \R$ --- линейное подпространство в $ \Pi_p(Y,X),$ содержащее $ Y^*\ot X.$ Тогда $ (\R,\tau_p)'$ изоморфно факторпространству пространс\-т\-ва $ X^*\wh\ot Y.$ Точнее, если $ \ffi\in (\R, \tau_p)',$ то существует элемент $ z=\sum_1^\infty x'_n\ot y_n\in X^*\wh\ot Y$ такой, что $$ \ffi(U)= \tr\, U\circ z,\ \, U\in \R. \eqno(*) $$ Обратно, для любого $ z\in X^*\wh\ot Y$ формула $ (*)$ определяет линейный непрерывный функционал на $ (\R,\tau_p).$ } \vskip 0.1cm {\it Доказательство.}\ Пусть $ \ffi$ --- непрерывный линейный функционал на $ (\R,\tau_p).$ Тогда найдется окрестность нуля $ \omega_{K}=\omega_{K,\e},$ на которой $ \ffi$ ограничен: $ \forall\, U\in\omega_K, \ |\ffi(U)|\lee 1.$ Будем считать, что $ \e=1.$ Рассмотрим оператор $ U\Phi_K:\,Y_K\ovs{\Phi_K}\longrightarrow Y \ovs{U}\longrightarrow X.$ Так как отображение $ \Phi_K$ компактно, то $ U\Phi_K\in \QN_p(Y_K,X).$ Положим $ \ffi_k(U\Phi_K)=\ffi(U)$ для $ U\in \R.$ На линейном подпространстве $ \R_K= \{ V\in \QN_p(Y_K,$ $X):\ V=U\Phi_K\}$ в $ \QN_p(Y_K,X)$ линейный функционал $ \ffi_K$ ограничен: если $ V=U\Phi_K\in \R_K$ и $ \pi_p(V)\lee 1,$ то $ |\ffi_K(V)|=\ffi(U)|\lee 1.$ Поэтому $ \ffi_K$ можно продолжить до линейного непрерывного функционала $ \wt\ffi$ на всем $ \QN_p(Y_K,X);$ более того (в силу инъективности идеала $ \QN_p)$ вложив $ X$ в подходящее простра\-н\-ство $ C(K),$ можно считать, что $ \wt\ffi\in\QN_p(Y_K, C(K))^*.$ Отметим особо, что $$ \wt\ffi(jU\Phi_K)=\ffi_K(U\Phi_K)=\ffi(U) \eqno(1) $$ ($ j$ --- изометрическое вложение $ X$ в $ C(K)$). Далее, так как $ \QN_p(Y_K, C(K))^*= \I_{p'}(C(K), (Y_K)^{**}),$ то найдется оператор $ \Psi: C(K)\to (Y_K)^{**},$ для которого\ $ \wt\ffi(A)= \tr \Psi A,\ \, A\in (Y_K)^*\ot C(K).$ Пусть $ A_n\in (Y_K)^*\ot C(K),\, $ $ \pi_p(A_n-jU\Phi_K)\to 0.$ Тогда $$ \wt\ffi(jU\Phi_K)= \lim\, \tr \Psi A_n. \eqno(2) $$ Рассмотрим оператор $ \Phi_K^{**}\Psi: C(K)\ovs{\Psi}\longrightarrow (Y_K)^{**} \ovs{\Phi_K^{**}}\longrightarrow Y.$ Так как $ \Psi\in \I_{p'},$ а $ \Phi_K$ компактен, то $ \Phi_K^{**}\Psi \in \N_{p'}(C(K), Y)= C(K)^*\wh\ot_{p'} Y.$ Пусть $ \sum_1^\infty \mu_n\ot y_n\in C(K)^*\wh\ot_{p'} Y$ --- представление оператора $ \Phi_K\Psi.$ Положим $ z=\sum j^*(\mu_n)\ot y_n.$ Элемент $ z$ порождает оператор $ \Phi_K^{**}\Psi j$ из $ X$ в $ Y.$ Мы покажем сейчас, что $ \tr U\circ z=\wt\ffi(jU\Phi_K)$ (отметим, что $ U\circ z$ есть элемент пространства $ X^*\wh\ot X,$ поэтому след вполне определен). Имеем: \begin{multline*} \tr U\circ z= \tr \( \sum j^*(\mu_n)\ot Uy_n\)= \sum \< j^*(\mu_n), Uy_n\> =\\ = \sum \< \mu_n, jUy_n\>= \tr jU\Phi_K^{**}\Psi=\tr (jU\Phi_K)^{**}\Psi, \end{multline*} где $ (jU\Phi_K)^{**}\Psi: C(K)\ovs{\Psi}\longrightarrow (Y_K)^{**} \ovs{\Phi_K^{**}}\longrightarrow Y \ovs{U}\longrightarrow X\ovs{j}\longrightarrow C(K).$ Так как $ \pi_p(A_n- jU\Phi_K)\to 0,$ то $ \pi_p\(A^{**}_n - (jU\Phi_K)^{**}\)\to 0.$ Кроме того, если $A:= A_n=\sum_1^N w_m\ot f_m\in (Y_K)^*\ot C(K),$ то $$ \tr A_n^{**}\Psi= \sum_m \< \Psi^*w_m, f_m\> = \sum_m \< w_m, \Psi f_m\>= \tr \Psi A. $$ Следовательно, $ \tr (jU\Phi_K)^{**}\Psi = \lim\,\tr A^{**}_n\Psi= \lim\,\tr \Psi A_n.$ Теперь из %(3) и (2) вытекает, что $ \wt\ffi(jU\Phi_K)=\tr U\circ z.$ Наконец, из (1) получаем: $ \ffi(U)= \tr U\circ z.$ Таким образом, функционал $ \ffi$ определяется некоторым элементом из $ X^*\wh\ot_{p'} Y.$ Обратно, если $ z\in X^*\wh\ot_{p'} Y,$ то положим $ \ffi(U)=\tr U\circ z$ для $ U\in \R$ (след определен, так как $ U\circ z\in X^*\wh\ot X).$ Нам надо установить, что линейный функционал $ \ffi$ ограничен на некоторой окрестности $ \omega_{K,\e}$ нуля в $ \tau_p.$ Для этого нам понадобится следующий факт, доказательство которого стандартно (см. [3], лемма 1.2): {\it Если $ z\in X^*\wh\ot_q Y,$ то $ z\in X^*\wh\ot_q Y_K,$ где $ K=\ove{\Gamma(K)}$ --- некоторый компакт в $ Y.$} Пусть $ K$ --- компакт в $ Y,$ для которого $ z\in X^*\ot Y_K.$ Если $ U\in \omega_{K,1},$ то $ \pi_p(U\Phi_K)<1$ и $ |\tr U\Phi_K\circ z|\lee \|z\|_{X^*\ot Y_K}\,\pi_p(U\Phi_K)\lee C.$ \vskip 0.1cm {\bf Следствие 1.}\it \, $ (\R,\tau_p)'=(\R,\sigma)',$ где $ \sigma=\sigma(\R, X^*\wh\ot_{p'} Y).$ Таким образом, замыкания в $ \tau_p$ и в $ \sigma$ выпуклых подмножеств в $ \Pi_p(Y, X)$ совпадают. \rm \vskip 0.1cm {\bf Предложение 2} [3]. \it Если каноническое отображение $ j: X^*\wh\ot_{p'} Y\!\to\! \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно, то $ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$ \vskip 0.1cm \rm {\it Доказательство} Если отображение $ j$ взаимно однозначно, то аннулятор $ j^{-1}(0)^\perp$ его ядра в сопряженном к $ X^*\wh\ot_{p'}Y$ пространстве совпадает с $ \Pi_p(Y, X^{**}).$ С другой стороны, в любом случае $ j^{-1}(0)^\perp= \ove{Y^*\ot X}^{\,*}$ (замыкание в $ {}^*$\!-слабой топологии пространства $ \Pi_p(Y, X^{**}));$ по следствию 1.3, $ \Pi_p(Y,X)\cap \ove{Y^*\ot X}^{\,*}= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$ Поэтому $ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$ \vskip 0.1cm Для рефлексивного пространства $ X$ сопряженное к $ X^*\wh\ot_{p'} Y$ пространство совпадает с $ \Pi_p(Y,X).$ Поэтому из последних двух утверждений вытекает \vskip 0.1cm {\bf Следствие 2.}\it \, Для рефлексивного пространства $ X$ каноническое отобра\-же\-ние $ j: X^*\wh\ot_{p'} Y\to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно тогда и только тогда, когда множество конечномерных операторов плотно в пространстве $ \Pi_p(Y,X)$ в топологии $ \tau_p$\ $ \pi_p$-компактной сходимости. \rm \vskip 0.1cm Напомним определение {\it свойства аппроксимации $AP_p$ порядка}\, $p, p\in (0,\infty]$ (см., например, [2] и [7]): банахово пространство $X$ имеет свойство $AP_p$ если для каждого банахова пространства $Y$ (эквивалентно, для всякого рефлексивного банахова пространства $Y,$ см. [2] или [5]) имеет место равенство $Y^*\wh\ot_p X = \N_p(Y,X).$ Теперь из предложения 1 и следствия 2 вытекает: \vskip 0.1cm {\bf Следствие 3.}\it \, Для $p\in[1,\infty]$ и для каждого банахова пространства $ X$ следующие утверждения эквивалентны: \ $1)$\, $X$ имеет свойство $AP_p;$ \ $2)$\, для каждого банахова пространства $ Y$\ $ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\tau_{p'}}= \Pi_{p'}(X,Y);$ \ $3)$ \, для каждого рефлексивного банахова пространства $ Y$\ $ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\tau_{p'}}= \Pi_{p'}(X,Y);$ \ $3')$ \, для каждого рефлексивного банахова пространства $ Y$\ $ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\lambda_{p'}}= \Pi_{p'}(X,Y).$ \rm \vskip 0.1cm Как показано в [2], [4] и [5] , для всякого $p, p\in [1,\infty], p\neq2,$ существует рефлексивное банахово пространство без свойства $AP_p.$ Таким образом, из после\-д\-него следствия мы получаем: \vskip 0.1cm {\bf Следствие 4.}\it \, Для $1\lee p\lee \infty, p\neq2,$ существуют рефлексивные банаховы пространства $X,$ $Y$ такие, что естественное отображение $Y^*\wh\ot_p X \to \N_p(Y,X)$ не взаимно однозначно и $ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\tau_{p'}}\neq \Pi_{p'}(X,Y).$ \vskip 0.1cm \rm Так как (мы уже говорили об этом) топология $\tau_q$ совпадает с топологией $\lambda_q$ из [1], то, во-первых, мы получаем теорему 4.11 [1] (случай $q>2$ ниже) и, во-вторых, отвечаем отрицательно на вопрос в конце статьи [1]: существует ли пространство без свойства аппроксимации "типа" $q$ при $1\lee q < 2$? Более общо, имеем: \vskip 0.1cm {\bf Теорема.}\it \, Пусть $1\lee q\neq2 \lee\infty.$ Тогда существует $($рефлексивное$)$ банахо\-во пространст\-во, не обладающее аппроксимационным свойством типа $q$ в смысле определения из работы $[1].$ \rm %%%%%%%%% \bigskip \bigskip \medskip \begin{thebibliography}{0} \bigskip \medskip \bibitem{1} Sinha D.P., Karn A.K.: \textit{Compact operators which factor through subspaces of $l_p$}, Math. Nachr. 281 (2008), 412-423. \bibitem{2} O.I. Reinov: \textit{Approximation properties of order p and the existence of non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints}, Math. Nachr. 109 (1982), 125-134. \bibitem{3} O.I. Reinov: \textit{Аппроксимация операторов в банаховых пространствах}, Применения функционального анализа в теории приближений (Калинин, КГУ), (1985), 128-142. \bibitem{4} O.I. Reinov: \textit{Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов}, Теория операторов и теория функций (Л.:ЛГУ), 1 (1983), 145-165. \bibitem{5} O. Reinov: \textit{Свойства аппроксимации порядка p и существование не p-ядерных операторов с p-ядерными вторыми сопряженными}, ДАН СССР, 256 (1981), 43--47. \bibitem{6} A. Pietsch: Operator ideals, North-Holland, Deutscher Verlag der Wiss., Berlin, 1978. \bibitem{7} P. Saphar: \textit{Produits tensoriels d'espaces de Banach et classes d'applications lineaires}, Studia Math. 38 (1970), 71--100. \end{thebibliography} %%%%%% \end{document} %%%%%