%%%%%%%%%%
%  20.03.2010 21:08:56
 \def\ove#1{\overline{#1}}
\def\ovs#1#2{\overset{#1}{#2}}
     \def\({\left(}       \def\al{\alpha}           \def\lee{\leqslant}
     \def\){\right)}      \def\e{\varepsilon}    \def\gee{\geqslant}
     \def\[{\left[}       \def\la{\lambda}
     \def\]{\right]}      \def\ffi{\varphi}
                                        \def\ot{\otimes}
     \def\<{\langle}                 \def\wh{\widehat}
     \def\>{\rangle}                 \def\wt{\widetilde}
                 \def\sbs{\subset}
\def\tr{\operatorname{trace}\,}
    \def\N{\operatorname{N}}
\def\I{\operatorname{I}}
\def\QN{\operatorname{QN}}
\def\R{\operatorname{R}}
                     \def\sbs{\subset}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[12pt,oneside]{amsproc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
%\usepackage[english]{babel}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\textheight=22cm \textwidth=15cm \oddsidemargin=5mm
\topmargin=-5mm

\thanks{${ }^\maltese$The research was supported by the Higher  Education Commition of Pakistan.}

\thanks{%${ }^\maltese$
AMS Subject Classification 2000: 46B28.
Spaces of operators; tensor products; approximation properties }
\thanks{${ }$ Key words: $p$-nuclear operators, approximation
properties, compact approximation, nuclear tensor norms, tensor
products. }




                   \begin{document}

                     {УДК 517.98\hfill\hfill{}

  \title{Банаховы пространства без свойств аппроксимации типа $p$}
\author{Олег Рейнов${ }^\maltese$\, и Кейзар Латиф}
\address{Олег Рейнов:\newline Математико-механический факультет, СПб государственный университет,
Санкт-Петербург, Россия.\newline
Abdus Salam School of Mathematical Sciences, 68-B, New Muslim Town, Lahore 54600, PAKISTAN.}
\email{orein51@mail.ru}
\address{Qaisar Latif:\newline Abdus Salam School of Mathematical Sciences, 68-B, New Muslim Town, Lahore 54600, PAKISTAN.}

\vphantom{} \maketitle

Основная цель этой заметки - показать, что вопрос, поставленный в [1]
(см. самый конец той статьи) имеет отрицательный ответ, и что ответ
на него был известен, по-существу, в 1985 г. после появления статей [2], [3]
в 1982 и в 1985 годах соответственно.  Для полноты изложения (и поскольку
работа [3] сейчас труднодоступна даже на русском языке) мы воспроизведем
некоторые из необходимых фактов из [3], возможно, с несущественными
изменениями (перевод %статьи
[3] с некоторыми
замечаниями может быть найден в arXiv:1002.3902v1 [math.FA]).

Все обозначения и терминология, которые мы используем, --- из [2], [4] или [5],
и более менее стандартны. Основные сведения об общей теории абсолютно
$p$-суммирующих,  $p$-ядерных и других операторных идеалов можно найти
в  [6].  Мы, в частности,  будем придерживаться следующих стандартных обозначений.
Если $ A$ --- ограниченное подмножество банахова пространства $ X,$
то $ \ove{\Gamma(A)}$ --- замкнутая абсолютно выпуклая оболочка $ A;$
$ X_A$ --- банахово пространство с "единичным шаром" $ \ove{ \Gamma(A)}$;
$ \Phi_A: X_A\to X$ --- каноническое вложение. Для $ B\sbs X$ через
$ \overline{B}^{\,\tau}$ и $ \ove{B}^{\,\|\cdot\|}$ обозначаются
соответственно замыкания множества $ B$ в топологии $ \tau$ и по норме $ \|\cdot\|.$
Когда необходимо, мы обозначаем норму в $ X$ через $ \|\cdot\|_X.$
Другие обозначения:   $ \Pi_p,$ $ \QN_p,$ $ \N_p,$ $ \I_p$ --- соответственно идеалы
абсолютно $ p$-суммирующих, квази-$p$-ядерных, $ p$-ядерных, строго
$ p$-интегральных операто\-ров; $ X^*\wh\ot_p Y$ ---
полное тензорное произведение, ассоциированное в $ \N_p(X,Y);$
$ X^*\wh{\wh\ot}_p Y= \ove{X^* \ot Y}^{\,\pi_p}$ \, (т.е. замыкание
множества конечномерных операторов в $ \Pi_p(X,Y)).$
Наконец, если $ p\in[1,+\infty],$ то $ p'$ --- сопряженный показатель.

Напомним основное определение из [3] топологии $\tau_p$\ $\pi_p$-компактной сходимо\-сти,
которая в точности совпадает с $\lambda_p$-топологией в статье [1]\footnote{
 Определение 4.3 из [1]:\,
 "Given a compact subset $K\sbs X$ we define a seminorm $||\cdot||$
on $\Pi_p(X,Y)$ given by $||T||_K=\inf\{\kappa_p^d(Ti_Z):\, i_Z:Z\to X \text{ as above}\}.$
The family of seminorms $\{||\cdot||_K:\, K\sbs X \text{ is compact}\}$\,
determines a locally convex topology $\lambda_p$ on $\Pi(X,Y).$"; ---
о деталях, определении отображений $i_Z,$ и др.  см. [1], Lemma 4.2.},
где доказано, по-существу, что $T\in K_p^d(X,Y)$ тогда и только тогда,
когда $T\in QN_p(X,Y).$
 Для банаховых пространств $X, Y,$  {\it топология $ \tau_p$\
$ \pi_p$\!-компактной сходимости}\  в пространстве $ \Pi_p(Y,X)$ есть топология,
 базу окрестностей нуля в которой определяют множества вида
$$ \omega_{K,\e}= \left\{ U\in \Pi_p(Y,X):\ \pi_p(U\Phi_K)<\e\right\},$$
где $ \e>0,$\, $ K=\ove{\Gamma(K)}$ --- компактное подмножество в $ Y.$

\vskip 0.2cm
{\bf Предложение 1} [3].\ {\it
Пусть $ \R$ --- линейное подпространство в $ \Pi_p(Y,X),$  содержащее
$ Y^*\ot X.$ Тогда $ (\R,\tau_p)'$ изоморфно факторпространству
пространс\-т\-ва $ X^*\wh\ot Y.$ Точнее, если $ \ffi\in (\R, \tau_p)',$
то существует элемент $ z=\sum_1^\infty x'_n\ot y_n\in X^*\wh\ot Y$
такой, что $$ \ffi(U)= \tr\, U\circ z,\ \, U\in \R. \eqno(*)  $$
Обратно, для любого $ z\in X^*\wh\ot Y$ формула $ (*)$ определяет
линейный непрерывный функционал на $ (\R,\tau_p).$  }
 \vskip 0.1cm

{\it Доказательство.}\
Пусть $ \ffi$ --- непрерывный линейный функционал на $ (\R,\tau_p).$
Тогда найдется окрестность нуля $ \omega_{K}=\omega_{K,\e},$ на которой
$ \ffi$ ограничен: $ \forall\, U\in\omega_K, \ |\ffi(U)|\lee 1.$
Будем считать, что $ \e=1.$ Рассмотрим оператор
$ U\Phi_K:\,Y_K\ovs{\Phi_K}\longrightarrow  Y
               \ovs{U}\longrightarrow X.$
Так как отображение $ \Phi_K$ компактно, то $ U\Phi_K\in \QN_p(Y_K,X).$
Положим $ \ffi_k(U\Phi_K)=\ffi(U)$ для $ U\in \R.$ На линейном
подпространстве $ \R_K= \{ V\in \QN_p(Y_K,$ $X):\ V=U\Phi_K\}$
в $ \QN_p(Y_K,X)$ линейный функционал $ \ffi_K$ ограничен: если
$ V=U\Phi_K\in \R_K$ и $ \pi_p(V)\lee 1,$ то $ |\ffi_K(V)|=\ffi(U)|\lee 1.$
Поэтому $ \ffi_K$ можно продолжить до линейного непрерывного функционала
$ \wt\ffi$ на всем $ \QN_p(Y_K,X);$ более того (в силу инъективности
идеала $ \QN_p)$ вложив $ X$ в подходящее простра\-н\-ство $ C(K),$
можно считать, что $ \wt\ffi\in\QN_p(Y_K, C(K))^*.$ Отметим особо, что
$$ \wt\ffi(jU\Phi_K)=\ffi_K(U\Phi_K)=\ffi(U) \eqno(1)
$$
($ j$ --- изометрическое вложение $ X$ в $ C(K)$).
Далее, так как $ \QN_p(Y_K, C(K))^*= \I_{p'}(C(K), (Y_K)^{**}),$
то найдется оператор $ \Psi: C(K)\to (Y_K)^{**},$ для которого\
$ \wt\ffi(A)= \tr \Psi A,\ \, A\in (Y_K)^*\ot C(K).$
Пусть $ A_n\in (Y_K)^*\ot C(K),\, $ $ \pi_p(A_n-jU\Phi_K)\to 0.$
Тогда
$$ \wt\ffi(jU\Phi_K)= \lim\, \tr \Psi A_n. \eqno(2)
$$

Рассмотрим оператор
$ \Phi_K^{**}\Psi: C(K)\ovs{\Psi}\longrightarrow (Y_K)^{**}
   \ovs{\Phi_K^{**}}\longrightarrow Y.$
Так как $ \Psi\in \I_{p'},$ а $ \Phi_K$ компактен, то
$ \Phi_K^{**}\Psi \in \N_{p'}(C(K), Y)= C(K)^*\wh\ot_{p'} Y.$
Пусть $ \sum_1^\infty \mu_n\ot y_n\in C(K)^*\wh\ot_{p'} Y$ ---
представление оператора $ \Phi_K\Psi.$
Положим $ z=\sum j^*(\mu_n)\ot y_n.$ Элемент $ z$ порождает оператор
$ \Phi_K^{**}\Psi j$ из $ X$ в $ Y.$ Мы покажем сейчас, что
$ \tr U\circ z=\wt\ffi(jU\Phi_K)$ (отметим, что $ U\circ z$ есть
элемент пространства $ X^*\wh\ot X,$ поэтому след вполне определен).
Имеем:
\begin{multline*}
    \tr U\circ z= \tr \( \sum j^*(\mu_n)\ot Uy_n\)=
   \sum \< j^*(\mu_n), Uy_n\> =\\ =
\sum \< \mu_n, jUy_n\>=
\tr jU\Phi_K^{**}\Psi=\tr (jU\Phi_K)^{**}\Psi,
\end{multline*}
где
$ (jU\Phi_K)^{**}\Psi:
    C(K)\ovs{\Psi}\longrightarrow (Y_K)^{**}
         \ovs{\Phi_K^{**}}\longrightarrow Y
       \ovs{U}\longrightarrow X\ovs{j}\longrightarrow C(K).$
Так как $ \pi_p(A_n- jU\Phi_K)\to 0,$ то
$ \pi_p\(A^{**}_n - (jU\Phi_K)^{**}\)\to 0.$
Кроме того, если $A:= A_n=\sum_1^N w_m\ot f_m\in (Y_K)^*\ot C(K),$ то
$$ \tr A_n^{**}\Psi= \sum_m \< \Psi^*w_m, f_m\> =
   \sum_m \< w_m, \Psi f_m\>= \tr \Psi A.
$$
Следовательно, $ \tr (jU\Phi_K)^{**}\Psi = \lim\,\tr A^{**}_n\Psi=
\lim\,\tr \Psi A_n.$ Теперь из %(3) и
(2) вытекает, что
$ \wt\ffi(jU\Phi_K)=\tr U\circ z.$ Наконец, из (1) получаем:
$ \ffi(U)= \tr U\circ z.$ Таким образом, функционал $ \ffi$
определяется некоторым элементом из $ X^*\wh\ot_{p'} Y.$

Обратно, если $ z\in X^*\wh\ot_{p'} Y,$ то положим
$ \ffi(U)=\tr U\circ z$ для $ U\in \R$ (след определен, так как
$ U\circ z\in X^*\wh\ot X).$
Нам надо установить, что линейный функционал $ \ffi$ ограничен на некоторой
окрестности $ \omega_{K,\e}$ нуля в $ \tau_p.$ Для этого нам понадобится
следующий факт, доказательство которого стандартно (см. [3], лемма 1.2):
{\it    Если $ z\in X^*\wh\ot_q Y,$ то $ z\in X^*\wh\ot_q Y_K,$ где
$ K=\ove{\Gamma(K)}$ --- некоторый компакт в $ Y.$}
Пусть $ K$ --- компакт в $ Y,$
для которого $ z\in X^*\ot Y_K.$ Если $ U\in \omega_{K,1},$
то $ \pi_p(U\Phi_K)<1$ и $ |\tr U\Phi_K\circ z|\lee
\|z\|_{X^*\ot Y_K}\,\pi_p(U\Phi_K)\lee C.$
\vskip 0.1cm

{\bf Следствие 1.}\it \,
$ (\R,\tau_p)'=(\R,\sigma)',$ где $ \sigma=\sigma(\R, X^*\wh\ot_{p'} Y).$
Таким образом, замыкания в $ \tau_p$ и в $ \sigma$ выпуклых подмножеств
в $ \Pi_p(Y, X)$ совпадают.
\rm
    \vskip 0.1cm

{\bf Предложение 2} [3]. \it
      Если каноническое отображение $ j: X^*\wh\ot_{p'} Y\!\to\! \N_{p'}(X,Y)$
взаимно однозначно, то $ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$
\vskip 0.1cm

\rm
{\it Доказательство}
   Если отображение $ j$ взаимно однозначно, то аннулятор $ j^{-1}(0)^\perp$
его ядра в сопряженном к $ X^*\wh\ot_{p'}Y$ пространстве совпадает с
$ \Pi_p(Y, X^{**}).$ С другой стороны, в любом случае $ j^{-1}(0)^\perp=
\ove{Y^*\ot X}^{\,*}$ (замыкание в $ {}^*$\!-слабой топологии пространства
$ \Pi_p(Y, X^{**}));$ по следствию 1.3, $ \Pi_p(Y,X)\cap \ove{Y^*\ot X}^{\,*}= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$
Поэтому $ \Pi_p(Y,X)= \ove{Y^*\ot X}^{\,\tau_p}.$
\vskip 0.1cm

    Для рефлексивного пространства $ X$ сопряженное к $ X^*\wh\ot_{p'} Y$
пространство совпадает с $ \Pi_p(Y,X).$ Поэтому из последних двух утверждений вытекает
\vskip 0.1cm

{\bf Следствие 2.}\it \,
 Для рефлексивного пространства $ X$ каноническое отобра\-же\-ние
$ j: X^*\wh\ot_{p'} Y\to \N_{p'}(X,Y)$ взаимно однозначно тогда и только
тогда, когда множество конечномерных операторов плотно в пространстве
$ \Pi_p(Y,X)$ в топологии $ \tau_p$\ $ \pi_p$-компактной сходимости.
  \rm
 \vskip 0.1cm

   Напомним определение {\it свойства аппроксимации $AP_p$ порядка}\, $p, p\in (0,\infty]$
(см., например, [2] и [7]):
банахово пространство $X$ имеет свойство $AP_p$ если для каждого банахова пространства $Y$
(эквивалентно, для всякого рефлексивного банахова пространства $Y,$ см. [2] или [5])
имеет место равенство
 $Y^*\wh\ot_p X = \N_p(Y,X).$ Теперь из предложения 1 и следствия 2 вытекает:

\vskip 0.1cm
{\bf Следствие 3.}\it \,
Для  $p\in[1,\infty]$ и для каждого банахова пространства
$ X$   следующие утверждения эквивалентны:  \
$1)$\, $X$ имеет свойство $AP_p;$  \
$2)$\, для каждого банахова пространства $ Y$\
$ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\tau_{p'}}= \Pi_{p'}(X,Y);$ \
$3)$ \,  для каждого рефлексивного банахова пространства $ Y$\
$ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\tau_{p'}}= \Pi_{p'}(X,Y);$  \
$3')$ \, для каждого рефлексивного банахова пространства $ Y$\
$ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\lambda_{p'}}= \Pi_{p'}(X,Y).$
\rm
\vskip 0.1cm

   Как показано в  [2], [4] и [5] , для всякого $p, p\in [1,\infty], p\neq2,$
существует рефлексивное банахово пространство без свойства $AP_p.$
Таким образом, из после\-д\-него следствия мы получаем:
\vskip 0.1cm

{\bf Следствие 4.}\it \,
  Для  $1\lee p\lee \infty, p\neq2,$  существуют рефлексивные банаховы пространства
   $X,$ $Y$    такие, что естественное отображение  $Y^*\wh\ot_p X \to \N_p(Y,X)$ не взаимно
    однозначно и  $ \ove{X^*\ot_{p'} Y}^{\,\tau_{p'}}\neq \Pi_{p'}(X,Y).$
 \vskip 0.1cm

\rm
  Так как (мы уже говорили об этом)  топология $\tau_q$ совпадает с топологией $\lambda_q$ из [1],
  то, во-первых, мы получаем теорему 4.11   [1] (случай $q>2$ ниже)
  и, во-вторых, отвечаем отрицательно на вопрос в конце статьи [1]: существует ли пространство
  без свойства аппроксимации "типа" $q$ при $1\lee q < 2$? Более общо, имеем:

\vskip 0.1cm
 {\bf Теорема.}\it \, Пусть $1\lee q\neq2 \lee\infty.$ Тогда существует $($рефлексивное$)$
 банахо\-во пространст\-во,  не обладающее аппроксимационным свойством типа $q$ в смысле
  определения из работы  $[1].$
    \rm

%%%%%%%%%
\bigskip
\bigskip
\medskip

\begin{thebibliography}{0}

\bigskip
\medskip

\bibitem{1} Sinha D.P., Karn A.K.:
\textit{Compact operators which factor through subspaces of $l_p$},
Math. Nachr.  281 (2008), 412-423.

\bibitem{2} O.I. Reinov:
\textit{Approximation properties of order p and the existence of
 non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints},
Math. Nachr.  109 (1982), 125-134.

\bibitem{3} O.I. Reinov:
\textit{Аппроксимация операторов в банаховых пространствах},
Применения функционального анализа в теории приближений (Калинин, КГУ),
  (1985), 128-142.

\bibitem{4} O.I. Reinov:
\textit{Исчезновение тензорных элементов в шкале p-ядерных операторов},
Теория операторов и теория функций (Л.:ЛГУ), 1 (1983), 145-165.

\bibitem{5} O. Reinov: \textit{Свойства аппроксимации порядка  p  и существование
не  p-ядерных операторов с  p-ядерными вторыми сопряженными},
 ДАН СССР, 256 (1981), 43--47.

\bibitem{6} A. Pietsch:
Operator ideals, North-Holland, Deutscher Verlag der Wiss., Berlin,
1978.

\bibitem{7} P. Saphar:
\textit{Produits tensoriels d'espaces de Banach et classes
d'applications lineaires},
Studia Math. 38 (1970), 71--100.

\end{thebibliography}

%%%%%%
\end{document}

%%%%% 