\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb,url, amsthm, amsmath, verbatim}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
%\documentclass{amsbook}

\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage{amssymb}
\textheight=24cm
\textwidth=16cm
\hoffset=-15mm
\voffset=-15mm


\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lem}{Лемма}
\newtheorem{prop}{Предложение}
%\newcommand{\eps}{\varepsilon}
%\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
%\newcommand{\ph}{\varphi}
\author{П.Б.Затицкий, А.И.Назаров\footnote{Работа второго автора частично поддержана грантом НШ4210.2010.1.}, Д.М.Столяров}
\title{По следам В.А. Садовничего}

\begin{document}
\maketitle
\selectlanguage{russian}
%\section{Введение}

Рассмотрим оператор $\mathbb L$, порождаемый дифференциальным выражением
$$ly\equiv(-1)^m D^{2m}y + \sum\limits_{k = 0}^{2m-2} p_k(x) D^ky$$
(здесь $p_k\in L_{1,loc}(\mathbb R_+)$~-- вещественные функции) и граничными условиями
$$P_j(D)y(0)=0,\qquad j=1,\dots,m$$
(здесь $P_j$ -- полином степени $k_j$ с вещественными коэффициентами, причем граничные условия 
считаются {\it приведенными}, т.е. $0\leq k_1 < k_2 < ... < k_m \leq 2m-1$). 

Допустим, что этот оператор самосопряжен в пространстве $L_2([0,\infty))$, полуограничен снизу и
имеет чисто %конкретный 
дискретный спектр $\{\lambda_n\}_{n=1}^{+\infty}$, занумерованный по возрастанию с учетом кратности.

Пусть $\mathbb Q$ -- оператор умножения на вещественную функцию $q\in L_{\infty}(\mathbb R_+)$. Тогда 
оператор $\mathbb L+\mathbb Q$ также имеет чисто дискретный спектр $\{\mu_n\}_{n=1}^{+\infty}$.\medskip

Вычислению спектральных функций и регуляризованных следов для дифференциальных операторов посвящена
обширная литература, начиная с классической работы \cite{L}. В частности, в работе \cite{SKP} на основании результатов \cite{KP2} была получена следующая теорема (приводится с некоторыми переобозначениями):\medskip

{\it Пусть функция $q$ имеет ограниченный носитель\footnote{Это условие в \cite{SKP} отсутствует,
по-видимому, в результате опечатки. Для того, чтобы воспользоваться формулой А.Г. Костюченко \cite{Ko} без
этого условия, необходима глобальная оценка разности спектральных функций оператора $\mathbb L$ и оператора
без младших членов. В общем случае такая оценка нам неизвестна.}, и 
функция $\psi(x)=\frac 1x\int_0^x q(t)dt$ имеет ограниченную вариацию. Пусть, кроме того,}
\begin{equation}\label{Delta}
\Delta(r)\equiv\det\big[P_j(iz^{\ell-1}r)\big]_{\ell,j=1}^m\ne0,\qquad r\in\mathbb R\setminus\{0\}
\end{equation}
{\it (здесь и далее $z=\exp(i\pi/m)$). Тогда справедливо равенство}
\begin{equation}\label{slozhno}
{\cal S}_1\equiv\sum\limits_{n=1}^{\infty}\Big[\mu_n-\lambda_n-\frac{c_n}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty}q(t) dt\Big]
=-\frac {1}{\pi}\lim\limits_{s\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot\int\limits_0^s
Re\Big(\frac {\widehat\Delta(x,r)}{\Delta(r)}\Big)\,drdx,
\end{equation}
{\it где }
$$c_1 = \lambda_{1}^{\frac{1}{2m}};\qquad c_n = \lambda_{n}^{\frac{1}{2m}}-\lambda_{n-1}^{\frac{1}{2m}},
\quad n>1,$$ 
$$\widehat\Delta(x,r)=\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m z^{\alpha-1}
\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,xr)\cdot\Delta_{\alpha\beta}(r),
$$
{\it а определитель $\Delta_{\alpha\beta}(r)$ получается из $\Delta(r)$ заменой в $\beta$-ой строке
$P_j(iz^{\beta-1}r)$ на $P_j(-iz^{\alpha-1}r)$.}\medskip


Целью настоящей заметки является доказательство следующего утверждения.

\begin{theorem}
Пусть, в условиях предыдущей теоремы, $P_j(D)=D^{k_j}$. Тогда
\begin{equation}\label{prosto}
{\cal S}_1
= -\psi(0+)\Big(\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2m}\cdot\sum_{j=1}^{m} k_j\Big).
\end{equation}
\end{theorem}

{\bf Замечание}. Формула (\ref{prosto}) была доказана в работах \cite{KP1} и \cite{SKP} в трех частных случаях: 1) $k_j=2j-2$; 2) $k_j=2j-1$; 3) $k_j=j-1$. Общая формула была высказана А.И. Назаровым как
гипотеза на конференции в Москве во время доклада А.С. Печенцова.

\begin{proof}%[Доказательство теоремы 1]
Как указано в \cite{SKP}, граничные условия $D^{k_j}y(0)=0$, $j=1,\dots,m$, удовлетворяют ограничению
(\ref{Delta}). Несложно проверить также, что в этом случае величины
$B_{\alpha\beta}=\frac {\Delta_{\alpha\beta}(r)}{\Delta(r)}$ не зависят от $r$. Взяв 
внутренний интеграл в (\ref{slozhno}), получим
$$
{\cal S}_1=-\frac {1}{\pi}\lim\limits_{s\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot Re
\Big(\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m z^{\alpha-1}B_{\alpha\beta}\ \frac{\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,xs)-1}{i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x}\Big)\,dx,
$$

Положим $w_j=z^{k_j}$ и определим матрицы $V$ и $W$ порядка $m$ так:
$$W_{\ell j}=w_j^{\ell-1}; \qquad V_{\ell j}=(-1)^{k_j}W_{\ell j}.
$$ 
Тогда по формуле Крамера имеем 
$$B_{\ell j}=(VW^{-1})_{\ell j}=
(W\cdot{\rm diag}[(-1)^{k_1},\dots,(-1)^{k_m}]\cdot W^{-1})_{\ell j}.$$
Отсюда видно, что если $e^{(j)}=[1,w_j,\dots,w_j^{m-1}]^T$ -- $j$-й столбец матрицы $W$, то 
$Be^{(j)}=(-1)^{k_j}e^{(j)}$, т.е. векторы $e^{(j)}$ образуют собственный базис матрицы $B$.

\begin{lem} $\Pi B\Pi =\overline{B}$, где $\Pi $ -- матрица перестановок 
$\Pi _{\ell j}=\delta^{\ell}_{m+1-j}$.
\end{lem}

\begin{proof} Для любого $j=1,\dots,m$ имеем
$$\Pi \overline{e^{(j)}}=\Pi [1, w_j^{-1}, w_j^{-2}, ..., w_j^{-(m-1)}]^T=
[w_j^{-(m-1)}, w_j^{-(m-2)},..., w_j^{-1}, 1]^T=w_j^{-(m-1)}e^{(j)}.$$
Поэтому 
$$\Pi B\Pi \overline{e^{(j)}}=w_j^{-(m-1)}\Pi Be^{(j)}=(-1)^{k_j}w_j^{-(m-1)}\Pi e^{(j)}=
(-1)^{k_j}\Pi ^2\overline{e^{(j)}}=(-1)^{k_j}\overline{e^{(j)}},$$
что равносильно утверждению леммы.
\end{proof}

Определим матрицу $P$ следующим образом:
$$P_{j\ell}= \frac{z^{\ell-1}}{z^{\ell-1} + z^{j-1}}=\frac{1}{1+z^{j-\ell}}.$$

\begin{lem} Для любых $\ell,j=1,\dots,m$ имеем
\begin{equation}\label{symm}
\overline{P_{j\ell}B_{\ell j}}=P_{m+1-j,m+1-\ell}B_{m+1-\ell,m+1-j}.
\end{equation}
В частности, $Im\,({\bf Sp}(PB))=0$.
\end{lem}

\begin{proof} Последнее равенство очевидно следует из формулы (\ref{symm}), которая равносильна 
$\Pi PB\Pi =\overline{PB}$, что, в свою очередь, следует из
леммы 1 и тривиального $\Pi P\Pi =\overline{P}$.\end{proof}

Продолжим доказательство теоремы. Перепишем формулу для ${\cal S}_1$ так:
\begin{equation}\label{g}
{\cal S}_1=-\frac 1{\pi}\lim_{s\rightarrow \infty} \int\limits_{0}^{\infty} q(x) g(sx) s\,dx,
\end{equation}
где
\begin{multline*}
g(y)=Im\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ 
\frac{\exp(i(z^{\ell-1}+z^{ j-1})\,y)-1}{y}\Big)=\\
=Im\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ \frac{\exp(i(z^{\ell-1}+z^{ j-1})\,y)}{y}\Big)
\end{multline*}
(последнее равенство следует из леммы 2).

Для перехода к пределу в (\ref{g}) в слагаемом с $\ell= j=1$ следует воспользоваться принципом локализации Римана 
(см., напр., \cite[гл.I, \S33]{B}) и признаком сходимости Валле-Пуссена (\cite[гл.III, \S3]{B}), в 
остальных слагаемых после однократного интегрирования по частям работает теорема Лебега, поскольку $Re(i(z^{\ell-1}+z^{ j-1}))<0$. В результате получаем
\begin{equation}\label{int}
{\cal S}_1=-\frac 1 {\pi}\psi(0+)\int\limits_{0}^{\infty}g(y)\,dy.
\end{equation}


Вновь воспользовавшись леммой 2, получим
\begin{multline*}
\int\limits_{0}^{\infty}g(y)\,dy=
Im\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\
\int\limits_{0}^{\infty}\frac{\exp(i(z^{\ell-1}+z^{ j-1})\,y)-\exp(-y)}{y}\,dy\Big)=\\
=-Im\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ 
\ln(-i(z^{\ell-1}+z^{ j-1}))\Big)=\\
=-Re\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ 
\arg(-i(z^{\ell-1}+z^{ j-1}))\Big)
\end{multline*}
(последнее равенство следует из (\ref{symm})).

Поскольку $\arg(-i(z^{\ell-1}+z^{ j-1}))=\frac {\pi}2(\frac {\ell+ j-2}{m}-1)$, имеем
\begin{equation}\label{sum}
\int\limits_{0}^{\infty}g(y)\,dy =-\frac {\pi}2\,
Re\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ 
\big({\textstyle\mbox{\large $\frac {\ell+ j-2}{m}$}}-1\big)\Big)=
\frac{\pi}{2m} {\bf Sp}(PB)
\end{equation}
(последнее равенство вновь следует из (\ref{symm})).

%Теперь осталось заметить, что $$S=\sum \limits_{k=1,l=1}^m P_{k,l}G_{l,k}=tr(PG).$$

По формуле суммы геометрической прогрессии матрицу $P$ можно переписать так:
\begin{equation}\label{progr}
P=\lim\limits_{\rho \rightarrow 1-}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \rho^n\,\varphi_n\overline{\varphi}^T_n,
\end{equation}
где $\varphi=(1,z^n,\dots,..,z^{(m-1)n})^T$.\medskip



%$$S=\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-} \sum \limits_{n=0}^\infty (-1)^n \rho^n tr(P_nG).$$



Введем множество %$K=\{k_1, ..., k_m\}$ и 
$\mathbb K=\{k_j+2mp\,|\ 1\leq j\leq m, \ \ p\in\mathbb Z_+ \}$.

\begin{lem}
 Если $n\in \mathbb K$, то ${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_nB)=(-1)^n m$. 
Если $n \notin \mathbb K$, то ${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_nB)=(-1)^{n+1}m.$ 
\end{lem}

Для доказательства нам потребуется такое очевидное предложение.\medskip

\begin{prop}
 Пусть $u,v$ -- векторы гильбертова пространства, $a,b\in\mathbb C$. 
Тогда если $(au+bv,u)=0$, то $(au+bv,-au+bv)=|au+bv|^2$.
\end{prop}
%\begin{proof} Ясно, что $||w||^2-<w,s>=<w,w-s>=<w,2au>=0$.
%\end{proof}



\begin{proof}[Доказательство леммы 3] Прежде всего, 
$${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_nB)= 
{\bf Sp}(\overline{\varphi}^T_n B\varphi_n)=(B\varphi_n,\varphi_n).$$
Рассмотрим подпространства
$$U=Lin\{e^{(j)}\,|\ k_j \equiv 1 \pmod 2\};\qquad V=Lin\{e^{(j)}\,|\ k_j \equiv 0 \pmod 2\}$$ 
(векторы $e^{(j)}$ определены перед леммой 1).

Мы знаем, что на $U$ матрица $B$ действует умножением на $-1$, а на $V$ тождественным образом. 
Заметим, что $U\dotplus V=\mathbb C^m$, так как векторы $e^{(j)}$ образуют базис. 
Таким образом, существует разложение вектора $\varphi_n=u+v$, где $u \in U$, $v \in V$. 
Тогда $B\varphi_n=-u+v$.

{\bf 1}. Если $n \in \mathbb K$, то $\varphi$ есть собственный вектор матрицы $B$ с собственным числом
$(-1)^n$. Поэтому $(B\varphi_n,\varphi_n)=(-1)^n (\varphi_n,\varphi_n)=(-1)^n m$.

{\bf 2}. Если $n \notin \mathbb K$ и $n \equiv 1 \pmod 2$, то прямой подсчет показывает, что
$\varphi \bot U$. Согласно предложению 1, $(B\varphi_n,\varphi_n)=|\varphi_n|^2=m$.

{\bf 3}. Аналогично, если $n \notin \mathbb K$ и $n \equiv 0 \pmod 2$, то $\varphi \bot V$ и, 
согласно предложению 1, $-(B\varphi_n,\varphi_n)=|\varphi_n|^2=m$.
\end{proof}

Для завершения доказательства теоремы обозначим $K=\{k_1, ..., k_m\}$. Тогда из формулы (\ref{progr}) 
и леммы 3 получим
\begin{multline*}
{\bf Sp}(PB)=\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-} \sum \limits_{n=0}^\infty (-1)^n \rho^n 
{\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_nB)=\\
=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big( \sum \limits_{n\in \mathbb K} (-1)^n\rho^n(-1)^n + 
\sum \limits_{0\leq n\notin \mathbb K} (-1)^n \rho^n (-1)^{n+1}\Big)\\
=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \sum\limits_{p=0}^\infty \rho^{j+2mp} - 
\sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\sum\limits_{p=0}^\infty \rho^{j+2mp}\Big)\\
=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \frac{\rho^{j}}{1-\rho^{2m}} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{\rho^{j}}{1-\rho^{2m}}\Big).
\end{multline*}
Поскольку множество $K$ содержит ровно $m$ элементов, имеем
\begin{multline}\label{sled}
{\bf Sp}(BP)=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \frac{\rho^{j}-1}{1-\rho^{2m}} - 
\sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{\rho^{j}-1}{1-\rho^{2m}}\Big)=\\
=m\Big(\sum \limits_{j\in K}\frac{-j}{2m}-
\sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{-j}{2m}\Big) =\frac{1}{2}\sum \limits_{0\leq j<2m}j -
\sum \limits_{j\in K} j=\\
=\frac{m(2m-1)}{2}-\sum \limits_{j=1}^m k_j.
\end{multline}

Утверждение теоремы непосредственно вытекает из (\ref{int}), (\ref{sum}) и (\ref{sled}).
\end{proof}


\bigskip

Мы признательны А.С. Печенцову и А.И. Козко, которые предоставили нам тексты статей \cite{SKP} и \cite{KP2}.




\begin{thebibliography}{AFT}
 
\bibitem{L}
Б.М. Левитан, {\em Об асимптотическом поведении спектральной функции и
разложении по собственным функциям самосапряжённого дифференциального уравнения второго порядка},
Изв. АН СССР, сер. матем. 1953. I. Т.17, 331--364; II. Т.19, 33--58.

\bibitem{SKP}
В.А. Садовничий, А.С. Печенцов, А.И.Козко, {\em Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных
операторов}, Доклады РАН, 2009. Т.427, N4, 461--465.

\bibitem{KP2}
А.И.Козко, А.С.Печенцов, {\em Спектральная функция сингулярного оператора порядка $2m$}, Изв.
РАН, в печати.

\bibitem{Ko}
А.Г. Костюченко, {\em Асимптотика спектральной функции сингулярного оператора порядка $2m$}, 
Докл. АН СССР, Т.168, N2, 276--279.

\bibitem{KP1}
А.И. Козко, А.С. Печенцов, {\em Спектральная функция и регуляризованные следы сингулярных 
дифференциальных операторов высших порядков}, Мат. заметки. 2008. Т.83, N1, 39--49.

\bibitem{B}
Н.К. Бари, {\em Тригонометрические ряды}, М., Физматлит, 1961.



\end{thebibliography}


\end{document}