\documentclass[12pt]{article} \usepackage{amssymb,url, amsthm, amsmath, verbatim} \usepackage[koi8-r]{inputenc} %\documentclass{amsbook} \usepackage[russian]{babel} %\usepackage{amssymb} \textheight=24cm \textwidth=16cm \hoffset=-15mm \voffset=-15mm \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{lem}{Лемма} \newtheorem{prop}{Предложение} %\newcommand{\eps}{\varepsilon} %\newcommand{\K}{\mathbb{K}} %\newcommand{\ph}{\varphi} \author{П.Б.Затицкий, А.И.Назаров\footnote{Работа второго автора частично поддержана грантом НШ4210.2010.1.}, Д.М.Столяров} \title{По следам В.А. Садовничего} \begin{document} \maketitle \selectlanguage{russian} %\section{Введение} Рассмотрим оператор $\mathbb L$, порождаемый дифференциальным выражением $$ly\equiv(-1)^m D^{2m}y + \sum\limits_{k = 0}^{2m-2} p_k(x) D^ky$$ (здесь $p_k\in L_{1,loc}(\mathbb R_+)$~-- вещественные функции) и граничными условиями $$P_j(D)y(0)=0,\qquad j=1,\dots,m$$ (здесь $P_j$ -- полином степени $k_j$ с вещественными коэффициентами, причем граничные условия считаются {\it приведенными}, т.е. $0\leq k_1 < k_2 < ... < k_m \leq 2m-1$). Допустим, что этот оператор самосопряжен в пространстве $L_2([0,\infty))$, полуограничен снизу и имеет чисто %конкретный дискретный спектр $\{\lambda_n\}_{n=1}^{+\infty}$, занумерованный по возрастанию с учетом кратности. Пусть $\mathbb Q$ -- оператор умножения на вещественную функцию $q\in L_{\infty}(\mathbb R_+)$. Тогда оператор $\mathbb L+\mathbb Q$ также имеет чисто дискретный спектр $\{\mu_n\}_{n=1}^{+\infty}$.\medskip Вычислению спектральных функций и регуляризованных следов для дифференциальных операторов посвящена обширная литература, начиная с классической работы \cite{L}. В частности, в работе \cite{SKP} на основании результатов \cite{KP2} была получена следующая теорема (приводится с некоторыми переобозначениями):\medskip {\it Пусть функция $q$ имеет ограниченный носитель\footnote{Это условие в \cite{SKP} отсутствует, по-видимому, в результате опечатки. Для того, чтобы воспользоваться формулой А.Г. Костюченко \cite{Ko} без этого условия, необходима глобальная оценка разности спектральных функций оператора $\mathbb L$ и оператора без младших членов. В общем случае такая оценка нам неизвестна.}, и функция $\psi(x)=\frac 1x\int_0^x q(t)dt$ имеет ограниченную вариацию. Пусть, кроме того,} \begin{equation}\label{Delta} \Delta(r)\equiv\det\big[P_j(iz^{\ell-1}r)\big]_{\ell,j=1}^m\ne0,\qquad r\in\mathbb R\setminus\{0\} \end{equation} {\it (здесь и далее $z=\exp(i\pi/m)$). Тогда справедливо равенство} \begin{equation}\label{slozhno} {\cal S}_1\equiv\sum\limits_{n=1}^{\infty}\Big[\mu_n-\lambda_n-\frac{c_n}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty}q(t) dt\Big] =-\frac {1}{\pi}\lim\limits_{s\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot\int\limits_0^s Re\Big(\frac {\widehat\Delta(x,r)}{\Delta(r)}\Big)\,drdx, \end{equation} {\it где } $$c_1 = \lambda_{1}^{\frac{1}{2m}};\qquad c_n = \lambda_{n}^{\frac{1}{2m}}-\lambda_{n-1}^{\frac{1}{2m}}, \quad n>1,$$ $$\widehat\Delta(x,r)=\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m z^{\alpha-1} \exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,xr)\cdot\Delta_{\alpha\beta}(r), $$ {\it а определитель $\Delta_{\alpha\beta}(r)$ получается из $\Delta(r)$ заменой в $\beta$-ой строке $P_j(iz^{\beta-1}r)$ на $P_j(-iz^{\alpha-1}r)$.}\medskip Целью настоящей заметки является доказательство следующего утверждения. \begin{theorem} Пусть, в условиях предыдущей теоремы, $P_j(D)=D^{k_j}$. Тогда \begin{equation}\label{prosto} {\cal S}_1 = -\psi(0+)\Big(\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2m}\cdot\sum_{j=1}^{m} k_j\Big). \end{equation} \end{theorem} {\bf Замечание}. Формула (\ref{prosto}) была доказана в работах \cite{KP1} и \cite{SKP} в трех частных случаях: 1) $k_j=2j-2$; 2) $k_j=2j-1$; 3) $k_j=j-1$. Общая формула была высказана А.И. Назаровым как гипотеза на конференции в Москве во время доклада А.С. Печенцова. \begin{proof}%[Доказательство теоремы 1] Как указано в \cite{SKP}, граничные условия $D^{k_j}y(0)=0$, $j=1,\dots,m$, удовлетворяют ограничению (\ref{Delta}). Несложно проверить также, что в этом случае величины $B_{\alpha\beta}=\frac {\Delta_{\alpha\beta}(r)}{\Delta(r)}$ не зависят от $r$. Взяв внутренний интеграл в (\ref{slozhno}), получим $$ {\cal S}_1=-\frac {1}{\pi}\lim\limits_{s\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot Re \Big(\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m z^{\alpha-1}B_{\alpha\beta}\ \frac{\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,xs)-1}{i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x}\Big)\,dx, $$ Положим $w_j=z^{k_j}$ и определим матрицы $V$ и $W$ порядка $m$ так: $$W_{\ell j}=w_j^{\ell-1}; \qquad V_{\ell j}=(-1)^{k_j}W_{\ell j}. $$ Тогда по формуле Крамера имеем $$B_{\ell j}=(VW^{-1})_{\ell j}= (W\cdot{\rm diag}[(-1)^{k_1},\dots,(-1)^{k_m}]\cdot W^{-1})_{\ell j}.$$ Отсюда видно, что если $e^{(j)}=[1,w_j,\dots,w_j^{m-1}]^T$ -- $j$-й столбец матрицы $W$, то $Be^{(j)}=(-1)^{k_j}e^{(j)}$, т.е. векторы $e^{(j)}$ образуют собственный базис матрицы $B$. \begin{lem} $\Pi B\Pi =\overline{B}$, где $\Pi $ -- матрица перестановок $\Pi _{\ell j}=\delta^{\ell}_{m+1-j}$. \end{lem} \begin{proof} Для любого $j=1,\dots,m$ имеем $$\Pi \overline{e^{(j)}}=\Pi [1, w_j^{-1}, w_j^{-2}, ..., w_j^{-(m-1)}]^T= [w_j^{-(m-1)}, w_j^{-(m-2)},..., w_j^{-1}, 1]^T=w_j^{-(m-1)}e^{(j)}.$$ Поэтому $$\Pi B\Pi \overline{e^{(j)}}=w_j^{-(m-1)}\Pi Be^{(j)}=(-1)^{k_j}w_j^{-(m-1)}\Pi e^{(j)}= (-1)^{k_j}\Pi ^2\overline{e^{(j)}}=(-1)^{k_j}\overline{e^{(j)}},$$ что равносильно утверждению леммы. \end{proof} Определим матрицу $P$ следующим образом: $$P_{j\ell}= \frac{z^{\ell-1}}{z^{\ell-1} + z^{j-1}}=\frac{1}{1+z^{j-\ell}}.$$ \begin{lem} Для любых $\ell,j=1,\dots,m$ имеем \begin{equation}\label{symm} \overline{P_{j\ell}B_{\ell j}}=P_{m+1-j,m+1-\ell}B_{m+1-\ell,m+1-j}. \end{equation} В частности, $Im\,({\bf Sp}(PB))=0$. \end{lem} \begin{proof} Последнее равенство очевидно следует из формулы (\ref{symm}), которая равносильна $\Pi PB\Pi =\overline{PB}$, что, в свою очередь, следует из леммы 1 и тривиального $\Pi P\Pi =\overline{P}$.\end{proof} Продолжим доказательство теоремы. Перепишем формулу для ${\cal S}_1$ так: \begin{equation}\label{g} {\cal S}_1=-\frac 1{\pi}\lim_{s\rightarrow \infty} \int\limits_{0}^{\infty} q(x) g(sx) s\,dx, \end{equation} где \begin{multline*} g(y)=Im\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ \frac{\exp(i(z^{\ell-1}+z^{ j-1})\,y)-1}{y}\Big)=\\ =Im\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ \frac{\exp(i(z^{\ell-1}+z^{ j-1})\,y)}{y}\Big) \end{multline*} (последнее равенство следует из леммы 2). Для перехода к пределу в (\ref{g}) в слагаемом с $\ell= j=1$ следует воспользоваться принципом локализации Римана (см., напр., \cite[гл.I, \S33]{B}) и признаком сходимости Валле-Пуссена (\cite[гл.III, \S3]{B}), в остальных слагаемых после однократного интегрирования по частям работает теорема Лебега, поскольку $Re(i(z^{\ell-1}+z^{ j-1}))<0$. В результате получаем \begin{equation}\label{int} {\cal S}_1=-\frac 1 {\pi}\psi(0+)\int\limits_{0}^{\infty}g(y)\,dy. \end{equation} Вновь воспользовавшись леммой 2, получим \begin{multline*} \int\limits_{0}^{\infty}g(y)\,dy= Im\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\exp(i(z^{\ell-1}+z^{ j-1})\,y)-\exp(-y)}{y}\,dy\Big)=\\ =-Im\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ \ln(-i(z^{\ell-1}+z^{ j-1}))\Big)=\\ =-Re\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ \arg(-i(z^{\ell-1}+z^{ j-1}))\Big) \end{multline*} (последнее равенство следует из (\ref{symm})). Поскольку $\arg(-i(z^{\ell-1}+z^{ j-1}))=\frac {\pi}2(\frac {\ell+ j-2}{m}-1)$, имеем \begin{equation}\label{sum} \int\limits_{0}^{\infty}g(y)\,dy =-\frac {\pi}2\, Re\Big(\sum\limits_{\ell, j=1}^m P_{j\ell}B_{\ell j}\ \big({\textstyle\mbox{\large $\frac {\ell+ j-2}{m}$}}-1\big)\Big)= \frac{\pi}{2m} {\bf Sp}(PB) \end{equation} (последнее равенство вновь следует из (\ref{symm})). %Теперь осталось заметить, что $$S=\sum \limits_{k=1,l=1}^m P_{k,l}G_{l,k}=tr(PG).$$ По формуле суммы геометрической прогрессии матрицу $P$ можно переписать так: \begin{equation}\label{progr} P=\lim\limits_{\rho \rightarrow 1-}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \rho^n\,\varphi_n\overline{\varphi}^T_n, \end{equation} где $\varphi=(1,z^n,\dots,..,z^{(m-1)n})^T$.\medskip %$$S=\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-} \sum \limits_{n=0}^\infty (-1)^n \rho^n tr(P_nG).$$ Введем множество %$K=\{k_1, ..., k_m\}$ и $\mathbb K=\{k_j+2mp\,|\ 1\leq j\leq m, \ \ p\in\mathbb Z_+ \}$. \begin{lem} Если $n\in \mathbb K$, то ${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_nB)=(-1)^n m$. Если $n \notin \mathbb K$, то ${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_nB)=(-1)^{n+1}m.$ \end{lem} Для доказательства нам потребуется такое очевидное предложение.\medskip \begin{prop} Пусть $u,v$ -- векторы гильбертова пространства, $a,b\in\mathbb C$. Тогда если $(au+bv,u)=0$, то $(au+bv,-au+bv)=|au+bv|^2$. \end{prop} %\begin{proof} Ясно, что $||w||^2-===0$. %\end{proof} \begin{proof}[Доказательство леммы 3] Прежде всего, $${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_nB)= {\bf Sp}(\overline{\varphi}^T_n B\varphi_n)=(B\varphi_n,\varphi_n).$$ Рассмотрим подпространства $$U=Lin\{e^{(j)}\,|\ k_j \equiv 1 \pmod 2\};\qquad V=Lin\{e^{(j)}\,|\ k_j \equiv 0 \pmod 2\}$$ (векторы $e^{(j)}$ определены перед леммой 1). Мы знаем, что на $U$ матрица $B$ действует умножением на $-1$, а на $V$ тождественным образом. Заметим, что $U\dotplus V=\mathbb C^m$, так как векторы $e^{(j)}$ образуют базис. Таким образом, существует разложение вектора $\varphi_n=u+v$, где $u \in U$, $v \in V$. Тогда $B\varphi_n=-u+v$. {\bf 1}. Если $n \in \mathbb K$, то $\varphi$ есть собственный вектор матрицы $B$ с собственным числом $(-1)^n$. Поэтому $(B\varphi_n,\varphi_n)=(-1)^n (\varphi_n,\varphi_n)=(-1)^n m$. {\bf 2}. Если $n \notin \mathbb K$ и $n \equiv 1 \pmod 2$, то прямой подсчет показывает, что $\varphi \bot U$. Согласно предложению 1, $(B\varphi_n,\varphi_n)=|\varphi_n|^2=m$. {\bf 3}. Аналогично, если $n \notin \mathbb K$ и $n \equiv 0 \pmod 2$, то $\varphi \bot V$ и, согласно предложению 1, $-(B\varphi_n,\varphi_n)=|\varphi_n|^2=m$. \end{proof} Для завершения доказательства теоремы обозначим $K=\{k_1, ..., k_m\}$. Тогда из формулы (\ref{progr}) и леммы 3 получим \begin{multline*} {\bf Sp}(PB)=\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-} \sum \limits_{n=0}^\infty (-1)^n \rho^n {\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_nB)=\\ =m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big( \sum \limits_{n\in \mathbb K} (-1)^n\rho^n(-1)^n + \sum \limits_{0\leq n\notin \mathbb K} (-1)^n \rho^n (-1)^{n+1}\Big)\\ =m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \sum\limits_{p=0}^\infty \rho^{j+2mp} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\sum\limits_{p=0}^\infty \rho^{j+2mp}\Big)\\ =m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \frac{\rho^{j}}{1-\rho^{2m}} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{\rho^{j}}{1-\rho^{2m}}\Big). \end{multline*} Поскольку множество $K$ содержит ровно $m$ элементов, имеем \begin{multline}\label{sled} {\bf Sp}(BP)=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \frac{\rho^{j}-1}{1-\rho^{2m}} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{\rho^{j}-1}{1-\rho^{2m}}\Big)=\\ =m\Big(\sum \limits_{j\in K}\frac{-j}{2m}- \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{-j}{2m}\Big) =\frac{1}{2}\sum \limits_{0\leq j<2m}j - \sum \limits_{j\in K} j=\\ =\frac{m(2m-1)}{2}-\sum \limits_{j=1}^m k_j. \end{multline} Утверждение теоремы непосредственно вытекает из (\ref{int}), (\ref{sum}) и (\ref{sled}). \end{proof} \bigskip Мы признательны А.С. Печенцову и А.И. Козко, которые предоставили нам тексты статей \cite{SKP} и \cite{KP2}. \begin{thebibliography}{AFT} \bibitem{L} Б.М. Левитан, {\em Об асимптотическом поведении спектральной функции и разложении по собственным функциям самосапряжённого дифференциального уравнения второго порядка}, Изв. АН СССР, сер. матем. 1953. I. Т.17, 331--364; II. Т.19, 33--58. \bibitem{SKP} В.А. Садовничий, А.С. Печенцов, А.И.Козко, {\em Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов}, Доклады РАН, 2009. Т.427, N4, 461--465. \bibitem{KP2} А.И.Козко, А.С.Печенцов, {\em Спектральная функция сингулярного оператора порядка $2m$}, Изв. РАН, в печати. \bibitem{Ko} А.Г. Костюченко, {\em Асимптотика спектральной функции сингулярного оператора порядка $2m$}, Докл. АН СССР, Т.168, N2, 276--279. \bibitem{KP1} А.И. Козко, А.С. Печенцов, {\em Спектральная функция и регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов высших порядков}, Мат. заметки. 2008. Т.83, N1, 39--49. \bibitem{B} Н.К. Бари, {\em Тригонометрические ряды}, М., Физматлит, 1961. \end{thebibliography} \end{document}