\documentclass[12pt,russian]{article}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
\textwidth=158mm
\textheight=232mm
\voffset=-24mm

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,amsfonts}
\newcommand{\Real}{\mathbb R}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\newtheorem{thm}{Теорема}
\newtheorem{prop}{Утверждение}
\newtheorem{lm}{Лемма}
\newtheorem{defin}{Определение}
\newcommand{\rem}{{\it\bf Замечание. }}
\newcommand{\Wf}{\stackrel{o\ }{W_1^1}}
\newcommand{\W}{W_1^1}

\begin{document}
\selectlanguage{russian}

%\large

\title{Об обобщении неравенства Пойа-Сеге \\ для одномерных функционалов
\footnote{Работа поддержана грантом РФФИ 09-01-00729 и ФЦП 
\glqq Научные и научно-педагогические кадры инновационной России\grqq.}}

\author{С.~В.~Банкевич \and А.~И.~Назаров
\footnote{Санкт-Петербургский государственный университет} \and \\
\small (Sergey.Bankevich@gmail.com) \qquad (al.il.nazarov@gmail.com)}

\maketitle

\section{Введение}
Хорошо известно, что для неотрицательной измеримой функции $u$, заданной на
$\Omega = [-1, 1]$, справедливо так называемое послойное представление (см.,
например, \cite[гл. 1]{LL}):
$$u( x ) = \int_0^\infty \chi_{\{ x \in \Omega :\ u( x ) > t \}}\, dt.$$
Для измеримого множества $E \subset \Omega$ введем множества
$$E^* = [1 - \abs{ E }, 1], \qquad
E^\circ = (-\frac{\abs{E}}{2}, \frac{\abs{E}}{2}).$$
Определим монотонную и симметричную перестановки функции $u$ следующим образом
(см. \cite[гл. 10]{HLP}):
$$u^*(x) = \int_0^\infty \chi_{\{ x \in \Omega :\ u( x ) > t \}^*}\, dt; \qquad
u^\circ =
\int_0^\infty \chi_{ \{ x \in \Omega :\ u( x ) > t \}^\circ }\, dt.$$
Легко видеть, что
\begin{equation}
\label{relation}
u^*(x) = u^\circ(\frac{x + 1}{2}).
\end{equation}

Пусть $F: \Real \times \Real \to \bar{\Real}_+$ --- непрерывная
функция, четная и выпуклая по второму аргументу,
$a: \Omega \times \Real \to \bar{\Real}_+$ --- непрерывная функция.
Введем функционал
\begin{equation}
\label{functional}
\int_\Omega F( u(x), \abs{ a( x, u( x ) ) u'( x ) } ) dx,
\end{equation}
определенный на множестве ${\cal M}$ тех функций $u \in \W(\Omega)$, для которых
интеграл в (\ref{functional}) сходится.

Свойства монотонности функционалов при перестановках изучались многими авторами
(см., например, \cite{Kawohl} и цитированную там литературу). В частности,
хорошо известно, что если $a \equiv const$, то
\begin{subequations}
\begin{equation}
\label{toprovemon}
I(u^*) \le I(u)
\end{equation}
Если же вдобавок $u(\pm 1) = 0$, то
\begin{equation}
\label{toprovesymm}
I(u^\circ) \le I(u).
\end{equation}
\end{subequations}

%$$I(u^*) \le I(u) \label{toprovea}; \eqno (3a)$$
%Если же вдобавок $u(\pm 1) = 0$, то
%$$I(u^\circ) \le I(u) \label{toproveb}. \eqno (3b)\addtocounter{equation}{1}$$

В работе \cite{Br} изучалось поведение функционала (\ref{functional}) и его
многомерного аналога при симметричной перестановке. Именно, было показано, что
если $a$ --- четная и выпуклая по $x$ функция, то неравенство
(\ref{toprovesymm}) выполнено
для любой кусочно линейной функции $u$. Далее, в \cite{Br} утверждалось, что
для функций $u \in {\cal M}$ это неравенство получается простой аппроксимацией.
Однако при этом не была учтена и исключена возможность возникновения эффекта
Лаврентьева (см., например, \cite[гл. 4]{BGG}) для функционала
(\ref{functional}). Таким образом, доказательство неравенства
(\ref{toprovesymm}) для общего случая в \cite{Br} содержит пробел.

В параграфе \ref{symmSection} данной работы мы устанавливаем отсутствие эффекта
Лаврентьева для функционалов
вида (\ref{functional}) с четным, выпуклым по $x$ весом $a$ и, таким образом,
доказываем неравенство (\ref{toprovesymm}) в полном объеме. Отметим, что для
многомерного случая вопрос остается открытым.

Основная часть нашей работы посвящена более трудному неравенству
(\ref{toprovemon}). Для липшицевых функций $u$ мы доказываем его только при
необходимых условиях на весовую функцию. Перенести (\ref{toprovemon}) на
произвольные функции $u \in {\cal M}$ пока что
удалось лишь при некоторых дополнительных ограничениях.

В доказательстве мы модифицируем конструкцию из работы \cite{ASC}, в которой
отсутствие эффекта Лаврентьева было доказано для функционалов (\ref{functional})
с $a \equiv const$ и функцией $F$ общего вида.

Отметим, что в работе \cite{Lan} рассматривалось неравенство (\ref{toprovemon})
при дополнительном условии $u(-1) = \min\limits_\Omega u$. Однако, как класс
функций $F$, так и класс допустимых весов в этой работе далек от оптимального, и
наши результаты для этого случая, сформулированные в параграфе
\ref{restSection}, сильнее, чем в \cite{Lan}.

\section{Необходимые условия на вес}

Напомним, что функция $a$ предполагается неотрицательной.

\begin{prop}
Для того, чтобы неравенство (\ref{toprovemon}) выполнялось для любой строго
выпуклой $F$ и любой кусочно линейной функции $u$, вес $a$ должен быть четным по
$x$ и удовлетворять условию
\begin{equation}
\label{almostConcave}
\forall s \le t \in [-1, 1],\quad \forall u \in \Real
\qquad a( s, u ) + a( t, u ) \ge a( 1 - t + s, u ).
\end{equation}
\end{prop}

\rem Если $a$ вогнута и четна по $x$, то она удовлетворяет условию
(\ref{almostConcave}).

\begin{prop}
\label{period}
Если для функции $a$, удовлетворяющей условию
(\ref{almostConcave}), найдутся такие $x_0 \in [-1, 1]$, $u_0 \in \Real$, что
$a(x_0, u_0) = 0$, то $a(1, u_0) = 0$ и функция $a(\cdot, u_0)$ периодична
на $[x_0, 1]$.
\end{prop}

\rem Если, вдобавок к условиям предложения \ref{period}, функция $a(\cdot, u_0)$
четна, то она периодична на всем отрезке $[-1, 1]$ с периодом, делящим $x_0+1$
нацело.

\section{Результат на кусочно липшицевых функциях}

\begin{defin}
Пусть $a$ --- непрерывная функция на $[-1, 1] \times \Real$, причем для любого
$u$ функция $a(\cdot, u)$ имеет конечное число нулей. Определим ${\cal W}(a)$
как множество кусочно абсолютно непрерывных на $[-1, 1]$ функций $u$, таких, что
если $\hat{x}$ --- какая-нибудь точка разрыва, то $a(\hat{x}, \cdot) \equiv 0$
на отрезке $[u(\hat{x}-), u(\hat{x}+)]$. Будем говорить, что последовательность
$u_n \in {\cal W}(a)$ сходится к $u \in {\cal W}(a)$, если $u_n$ абсолютно
непрерывны на всех участках $\Omega_k$ абсолютной непрерывности $u$ и для
каждого $k$ выполняется $u_n \to u$ в $\W(\Omega_k)$.
\end{defin}

Для функций $u \in {\cal W}(a)$ определим интеграл в (\ref{functional}) как
сумму интегралов, взятых по промежуткам абсолютной непрерывности функции $u$.
Определим также множество $\widetilde{{\cal M}}(a)$ функций
$u \in {\cal W}(a)$, для которых такой интеграл сходится.

Очевидно, что любая кусочно липшицева функция $u \in {\cal W}(a)$ лежит в
$\widetilde{\cal M}(a)$.

\begin{thm}
\label{linthm}
Пусть весовая функция $a$ четна по $x$ и удовлетворяет условию
(\ref{almostConcave}). Тогда, если функция $u \in {\cal W}(a)$
кусочно линейна между любыми двумя разрывами, то
$u^* \in {\cal W}(a)$, $u^*$ кусочно линейна между разрывами, и
выполнено неравенство (\ref{toprovemon}).
\end{thm}

Теорема \ref{linthm} доказывается непосредственным вычислением с использованием
предложения \ref{period}.

\begin{prop}
Функционал $I(u)$ слабо полунепрерывен снизу
в ${\cal W}(a)$.
\label{lowersemi}
\end{prop}

\begin{thm}
\label{lipthm}
Пусть весовая функция $a$ удовлетворяет условиям теоремы \ref{linthm}. Тогда для
любой кусочно липшицевой функции $u\in {\cal W}(a)$ справедливо неравенство
(\ref{toprovemon}).
\end{thm}

\begin{proof}
Для любой кусочно липшицевой функции $u$ найдется последовательность
кусочно линейных $u_n$, такая, что
\begin{equation}
\label{convergence}
u_n \to u\ \text{в}\ {\cal W}(a)\quad \text{и}\quad I(u_n) \to I(u).
\end{equation}
Но тогда
из результата \cite[Theorem 1, part 2]{Br}, формулы (\ref{relation}) и теоремы
\ref{linthm} следует, что $u_n^*\rightharpoondown u^*$. Применение предложения
\ref{lowersemi} заканчивает доказательство.
\end{proof}

\section{Переход к соболевским функциям}

\begin{thm}
\label{Wapprox}
Пусть весовая функция $a$ удовлетворяет условиям теоремы \ref{linthm} и убывает
по $x$ на $[0, 1]$. Тогда для любой функции $u \in \widetilde{\cal M}(a)$
справедливо неравенство (\ref{toprovemon}).
\end{thm}

Для доказательства мы распространяем конструкцию из \cite{ASC} на случай
монотонного веса. Это дает возможность построить последовательность липшицевых
функций $u_n$, удовлетворяющую условию (\ref{convergence}). Результат следует из
теоремы \ref{lipthm} и предложения \ref{lowersemi}.

\begin{thm}
\label{main}
Пусть $a(x, u) = \mathfrak{a}(x) \mathfrak{A}(u)$, причем $\mathfrak{a}$ четна
и удовлетворяет условию (\ref{almostConcave}). Тогда для любой функции
$u \in \widetilde{\cal M}(a)$ справедливо неравенство
(\ref{toprovemon}).
\end{thm}

Доказательство проводится в несколько этапов.

\begin{prop}
\label{flatmin}
Пусть выполнены условия теоремы \ref{main}. Пусть, кроме того, $\mathfrak{a}$
кусочно монотонна и постоянна в окрестностях ненулевых локальных минимумов.
Тогда для любой функции $u \in \widetilde{\cal M}(a)$ справедливо неравенство
(\ref{toprovemon}).
\end{prop}

\rem В силу предложения \ref{period} функция $\mathfrak{a}$ не может быть
постоянна в окрестности нулевого локального минимума, если только
$\mathfrak{a} \not \equiv 0$.

\medskip

Для доказательства мы применяем схему аппроксимации из \cite{ASC} на всех
промежутках монотонности $[x_k, x_{k + 1}]$ функции $\mathfrak{a}$. Это приводит
к возникновению разрывов у приближающих функций в точках $x_k$, в которых
$\mathfrak{a}$ имеет локальный минимум. Если $\mathfrak{a}(x_k) = 0$, то такой
разрыв не выводит функции из класса ${\cal W}(a)$. Если же
$\mathfrak{a}(x_k) > 0$, то $\mathfrak{a} \equiv \mathfrak{a}(x_k)$ в некоторой
окрестности $x_k$. Выберем в этой окрестности такую точку $\hat{x}$, что
$\lim\limits_{\varepsilon \to 0} \frac{u(\hat{x} + \varepsilon) - u(\hat{x} - \varepsilon)}{2 \varepsilon} =
u'(\hat{x})$.
Применим конструкцию
из \cite{ASC} на промежутках монотонности $[x_{k - 1}, \hat{x} - \varepsilon]$ и
$[\hat{x} + \varepsilon, x_{k + 1}]$, а на $[\hat{x} - \varepsilon, \hat{x} + \varepsilon]$
доопределим приближающие функции линейно. Это дает (\ref{convergence}).
Применение теоремы \ref{lipthm} и
предложения \ref{lowersemi} заканчивает доказательство.

\begin{prop}
\label{parmon}
Пусть выполнены условия теоремы \ref{main}. Пусть, кроме того, $\mathfrak{a}$
кусочно монотонна. Тогда для любой функции $u \in \widetilde{\cal M}(a)$
справедливо неравенство (\ref{toprovemon}).
\end{prop}

Для доказательства рассмотрим функцию $(1 - \varepsilon) \mathfrak{a}(x)$ и в
окрестности каждой точки $x_k$ локального минимума заменим ее на
$\max\{(1 - \varepsilon) \mathfrak{a}(x), \mathfrak{a}(x_k)\}$. Обозначим полученную
функцию $a_\varepsilon(x)$, а соответствующий ей функционал в (\ref{functional})
$I_\varepsilon(u)$. Можно показать, что функции $a_\varepsilon$ удовлетворяют условию
(\ref{almostConcave}). Применяя к $I_\varepsilon$ предложение \ref{flatmin}, а затем
теорему о монотонной сходимости под знаком интеграла, получим требуемое
утверждение.

\medskip

Для доказательства теоремы \ref{main} мы интерполируем функцию
$(1 - \varepsilon) \mathfrak{a}$ кусочно линейными сплайнами $\mathfrak{a}_{\varepsilon k}$
по равномерной сетке с шагом $2^{-k} T$, где $T$ --- расстояние между соседними
нулями $\mathfrak{a}$ (если нулей нет, считаем $T = 2$). При этом
$k = k(\varepsilon, \delta)$
выбирается столь большим, что $\mathfrak{a}_{\varepsilon k} \le \mathfrak{a}$ вне
$\delta$-окрестностей нулей функции $\mathfrak{a}$. Можно показать, что функции
$\mathfrak{a}_{\varepsilon k}$ удовлетворяют условию (\ref{almostConcave}).
Теперь рассмотрим последовательность $\varepsilon_j = 2^{-j}$ и введем функцию
$\mathfrak{a}_n(x) =
\max\limits_{j \le n} \mathfrak{a}_{\varepsilon_j, k(\varepsilon_j)} (x)$. Тогда функция
$\mathfrak{a}_n$ кусочно линейна, и можно показать, что она удовлетворяет
условию (\ref{almostConcave}). Кроме того,
$a_n(x, u) \equiv \mathfrak{a}_n(x) \mathfrak{A}(u) \nearrow a(x, u)$ вне
$\delta$-окрестности нулей $\mathfrak{a}$.
Пусть $u$ --- функция из $\widetilde{\cal M}(a)$, такая, что $u' = 0$ в
проколотых $\delta$-окрестностях нулей $\mathfrak{a}$ (обозначим множество
таких функций $\widetilde{\cal M}_\delta(a)$). Тогда для любого $n$ выполнено
$u \in \widetilde{\cal M}(a_n)$, и, согласно предложению \ref{parmon}, для
соответствующих функционалов $I_n$ справедливо неравенство
$I_n(u^*) \le I_n(u)$. По теореме \ref{linthm} и теореме о монотонной
сходимости получаем (\ref{toprovemon}) для указанного класса функций $u$.
Для произвольной функции $u \in \widetilde{\cal M}(a)$ аппроксимируем ее в
${\cal W}(a)$ функциями $u_\delta \in \widetilde{\cal M}_\delta(a)$, полагая
$u_\delta \equiv u$ вне $\delta$-окрестностей нулей $\mathfrak{a}$. Легко
видеть, что $I(u_\delta) \to I(u)$, откуда по предложению \ref{lowersemi}
следует утверждение теоремы.

\section{Неравенство для функций, закрепленных на левом конце}
\label{restSection}

Рассмотрим теперь поведение функционала $I$ при монотонной перестановке, если
функция $u$ подчинена дополнительному условию
\begin{equation}
\label{restrictU}
u(-1) = \min\limits_{[-1, 1]} u \ge 0.
\end{equation}

\begin{prop}
Для того, чтобы неравенство (\ref{toprovemon}) выполнялось для любой кусочно
линейной функции $u$, подчиненной условию (\ref{restrictU}), и любой строго
выпуклой $F$, вес $a$ должен удовлетворять условию (\ref{almostConcave}).
\end{prop}

\rem Если $a(\cdot, u)$ --- невозрастающая функция, то она удовлетворяет
(\ref{almostConcave}).

\begin{thm}
\label{restthm}
Пусть выполнено одно из двух условий:
\begin{enumerate}
\item $a(\cdot, u)$ --- невозрастающая функция при всех $u$.
\item $a(x, u) = \mathfrak{a}(x) \mathfrak{A}(u)$, где $\mathfrak{a}$
удовлетворяет условию (\ref{almostConcave}).
\end{enumerate}
Тогда для любой функции $u \in \widetilde{\cal M}(a)$, подчиненной условию
(\ref{restrictU}), выполняется неравенство (\ref{toprovemon}).
\end{thm}

Теорема \ref{restthm} доказывается аналогично теореме \ref{main}.

\medskip

В работе \cite{Lan} рассматривалось неравенство (\ref{toprovemon}) при условии
(\ref{restrictU}) для функционалов с интегрантом вида $F(\abs{u'}) a(x)$.
При этом предполагалось, что $a$ --- неубывающая функция. Отметим, что для
$F(t) = t^p$
интегрант в \cite{Lan} приводится к виду (\ref{functional}), причем условия
на вес в теореме \ref{restthm} заметно слабее, чем в \cite{Lan}. Кроме того,
в \cite{Lan} накладывались дополнительные ограничения на рост функции $F$.

\section{Неравенство для симметричной перестановки}
\label{symmSection}

Напомним, что в работе \cite{Br} было доказано неравенство (\ref{toprovesymm})
для липшицевых функций $u$, удовлетворяющих условию $u(\pm 1) = 0$, если вес $a$
четный и выпуклый по $x$.

\begin{prop}
Четность и выпуклость по $x$ весовой функции $a(\cdot, u)$ --- необходимые
условия для того, чтобы неравенство (\ref{toprovesymm}) выполнялось для любой
кусочно линейной функции $u$ с $u(\pm 1) = 0$.
\end{prop}

\begin{thm}
\label{symm}
Пусть функция $a(\cdot, u)$ --- четная и выпуклая при всех $u \in \Real$.
Тогда для любой $u \in \Wf(-1, 1)$ справедливо неравенство (\ref{toprovesymm}).
\end{thm}

Аналогично теореме \ref{main}, доказательство проводится в два этапа.

\begin{prop}
\label{flatminsymm}
Пусть выполнены условия теоремы \ref{symm}. Пусть, кроме того, $a(\cdot, u)$
постоянна в некоторой окрестности $x = 0$.
Тогда для любой функции $u \in \Wf(-1, 1)$ справедливо неравенство
(\ref{toprovesymm}).
\end{prop}

Доказательство аналогично доказательству предложения \ref{flatmin}. А именно,
выбрав $\hat{x}$ как в предложении \ref{flatmin}, мы
приближаем функцию $u$ липшицевыми на промежутках $[-1, \hat{x} - \varepsilon]$ и
$[\hat{x} + \varepsilon, 1]$, а на $[\hat{x} - \varepsilon, \hat{x} + \varepsilon]$ заменяем на
линейную.

\medskip

Для доказательства теоремы \ref{symm} приблизим снизу функцию $a$ функциями
$a_t(x, u) \equiv (a(x, u) - a(t, u))_+ + a(0, u)$, удовлетворяющими условиям
предложения \ref{flatminsymm}.
По теореме о монотонной сходимости получим требуемое утверждение.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{LL} Э.~Либ, М.~Лосс. Анализ. Новосибирск; Научная книга, 1998. 276 с.
\bibitem{HLP} Г.~Г.~Харди, Дж.~Е.~Литтльвуд, Г.~Полиа. Неравенства. М.;
ИЛ, 1948. 456 с.
\bibitem{Kawohl} B.~Kawohl. Rearrangements and convexity of level sets in PDE,
Lecture notes in mathematics 1150. Berlin; Springer Verlag, 1985. 134 p.
\bibitem{Br} F.~Brock. // Calc. Var. 1999. V.~8. P.~15--25.
\bibitem{BGG} Дж.~Буттацо, М.~Джаквинта, С.~Гильдебрандт. Одномерные
вариационные задачи. Введение. Новосибирск; Научная книга, 2002. 248 с.
\bibitem{ASC} G.~Alberti,~F.~Serra~Cassano // Ser. Adv. Math. Appl. Sci. 1994.
V.~18. P.~1--17.
\bibitem{Lan} R.~Landes // Math.~Nachr., V.~280, Iss.~5--6. P.~560--570.

\end{thebibliography}

\end{document}
