%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%% Новосибирск %%%% 01.11.2010 19:18:36 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% поиск вопросов и добавок по !!! % % \documentclass[12pt,oneside]{amsproc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \textheight=22cm \textwidth=15cm \oddsidemargin=5mm \topmargin=-5mm \pagestyle{plain} \title{Аппроксимация операторов в сопряженных пространствах\\ сопряженными операторами} \author{О.~И.~Рейнов} \thanks{${ }^*$The research was supported by the Higher Education Commission of Pakistan.} \begin{document} \vphantom{} \maketitle История рассматриваемых в заметке вопросов началась где-то в 1983 г. с одного письменного вопроса Ю.\!~А. Брудного (Yu.\!~A. Brudny{\v \i} ) и, почти одновре\-ме\-нно, с другого (также письменного) вопроса Стена Кайзера (S. Kaijser) . Первый вопрос касался аппроксимации (в некоторой топологии) линейных не\-п\-рерывных операторов, действующих в сопряженных банаховых пространствах, сопря\-женными операторами. Во втором речь шла, в частности, о существовании ненулевого линейного непрерывного функционала на пространстве $\operatorname{L}(X,Y^{**})$ всех ог\-рани\-ченных линейных отображений из банахова пространства $X$ во вто\-рое сопряженное к банахову пространству $Y,$ который обращается в тождествен\-ный нуль на подпространстве $\operatorname{L}(X,Y)$ всех операторов из $X$ в $Y$ и который по\-ро\-ж\-дается проективным тензорным элементом (из $Y^*\widehat\otimes X).$ Из нестрогого описания указанных вопросов более менее ясно, что они тесно связаны между собой, и поэтому не является неожиданным, что и ответы на эти вопросы были получены одновременно автором данной заметки (см., например, \cite{Rei93}; \cite{BrKr}, pp. 282–286); другие, более тонкие, либо более общие, варианты ответов можно найти в \cite{Rei96}, \cite{Rei85} или arXiv:1002.3902v1 [math.FA]), или в \cite{Rei09}. Перед тем как объяснить, почему мы начали заметку ссылками на 1980-е годы, приведем несколько вопросов Ю. А. Брудного и С. Кайзера. \smallskip $(i)$\, (Yu.\!~A. Brudny{\v \i}). \ Верно ли, что единичный шар пространства $\operatorname{L}(X,Y)$ плотен в единичном шаре пространства $\operatorname{L}(Y^*,X^*)$ в топологии поточечной $Y^*\times X$-сходимости? [Здесь, как обычно, $\operatorname{L}$ --- банахов идеал всех (ограниченных линейных) операторов с обычной операторной нормой.] % \smallskip $(ii)$\, (Yu.\!~A. Brudny{\v \i}; см. также \cite{ABru}). \ Обозначим через $ W(Y^*,X^*)$ множество тех операторов $ T$ из $ Y^*$ в $ X^*,$ для которых существует число $ \gamma=\gamma(T)>0$ такое, что $$%\align | \langle Ty',x\rangle| \leqslant \gamma\,\sup \{ | \langle y', Sx\rangle|: \ S\in \operatorname{L}(X,Y), \,\|S\|\leqslant1\} \quad \ \forall\, x,y';\ \|x\|,\,\|y'\|\leqslant1, %\endalign $$ и положим $ \|T\|_{W}= \inf \gamma.$ Верно ли, что $ W(Y^*,X^*)=\operatorname{L}(Y^*,X^*)?$ % \smallskip $(iii)$\, (S. Kaijser). \ Существуют ли банахово пространство $Z,$ элемент $ z\in Z^*\widehat\otimes Z$ проективного тензорного произведения А. Гротендика и оператор $\Psi\in \operatorname{L}(Z,Z^{**})$ такие, что $\operatorname{trace}\, \Psi\circ z=1,$ но $\operatorname{trace}\, \Phi\circ z=0$ для любого $\Phi\in \operatorname{L}(Z,Z)?$ \smallskip Как говорилось несколькими строками ранее, ответы (отрицательный на первый вопрос, положительный --- на второй и положительный --- на третий) были получены автором в работах \cite{Rei93}, \cite{Rei85}, \cite{Rei09}, \cite{Rei96}; см. также arXiv:1002.3902v1 [math.FA]. Подробное обсуждение вопросов $(i)-(ii)$ можно найти и в моногра\-фии \cite{BrKr}, pp. 282--286. В тех же работах \cite{Rei85} и \cite{Rei09}, arXiv:1002.3902v1 [math.FA] рас\-смо\-трены более общие чем $(i)$ и $(iii)$ вопросы, в которых идеал $L$ заменен на идеалы $\Pi_p$ и $\Pi_p^{dual}$ (p-абсолютно суммирующих и дуально p-абсолютно суммиру\-ющих операторов). Мы здесь, однако, ограничимся рассмотрением лишь случая идеала $\operatorname{L},$ --- по причинам продолжения истории с проблемами $(i)-(iii)$ в 2000-х годах, а именно, в апреле 2010-го года. В апреле 2010-го года (точнее, 28-го апреля) на сайте Math Overflow %(http://mathoverflow.net/questions/22799) матема\-тик Ady задал важный для него вопрос: \smallskip $(A)$\ "Is any continuous linear operator from a dual Banach space to a separable Hilbert space the strong-operator limit of a net of adjoint operators of less or equal norm?" (http://mathoverflow.net/questions/22799) [Подробнее: "Пусть $E$ --- произвольнок банахово пространство и пусть $T: E^*\to l^2$ --- линейный непрерывный оператор. Верно ли, что $T$ должен быть SO-пределом (т.е. пределом в сильной операторной топологии) некоторой сети $(S_d^*)$\ $(d\in D)$ сопряженных операторов, для которых $S_d: l^2\to E$ и $||S_d||\le ||T||$\ $(d\in D)?$"] \smallskip Первый ответ на вопрос Ady появился на сайте Math Overflow в тот же день. Именно, Mattew Davis показал, что \smallskip $(M)$\ ответ на вопрос $(A)$ положителен даже в случае, когда гильбер\-то\-во пространство $l^2$ заменено (в условии "$T: E^*\to l^2$") на произвольное со\-пря\-жен\-ное банахово пространство $X^*,$ которое обладает свойством метрической аппро\-к\-симации А. Гротендика. \smallskip Наконец, несколько позже, но также 28-го апреля, там же появился допол\-ня\-ю\-щий утверждение $(M)$ факт, установленный и приведенный W.B. Johnson'ом: \smallskip $(B)$\ Для положительного ответа на вопрос $(A),$ в котором оператор $T: E^*\to l^2$ заменен на оператор $T: E^*\to X^*$ (как в утверждении $(M)$) необходимо, чтобы банахово пространство $X$ обладало MAP [= свойством метрической ап\-п\-ро\-ксимации]. \smallskip Bill Johnson заключил свои пояснения пожеланием узнать, что будет в случае, когда $X$ имеет MAP, а $X^*$ --- не имеет: \smallskip $(B')$\ "I don't know what can happen when $X$ has the MAP but $X^*$ fails the MAP." [Я не знаю, что может произойти, когда $X$ имеет MAP, но $X^*$ не обладает MAP.] \smallskip Нам представляется, что теперь, после результатов Mattew Davis'а и Bill'а Johnson'а, ситуация видится в несколько другом свете и является несколько интригующей. Тем более, что, например, один из возможных ответов автора настоящей заметки на вопрос $(i)$\ Ю.А. Брудного звучит так (см., например, \cite{BrKr}, pp. 282-286): \smallskip {\bf Теорема \rm (Reinov, \cite{BrKr}, p. 283; Prop. 2).}\ {\it Существуют сепарабельные банаховы пространства $X$ и $Y,$ первое из которых рефлексивно, в то время как второе имеет свойство метрической аппроксимации, и компактный оператор $K\in \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ такие, что $K$ не принадлежит $\tau$-замыканию никакого множества $$ B_r:= \{T^*\, :\ T\in L_r(X,Y)\},\ r>0. $$ } Здесь авторы монографии \cite{BrKr} обозначают через $L_r(X,Y)$ шар (радиусом $r$ с центром в нуле) пространства $\operatorname{L}(X,Y).$ Под топологией $\tau$ в \cite{BrKr} (стр. 279) понимается топология в $\operatorname{L}(Y^*,X^*),$ порождаемая системой полунорм $$ P_{x,y'}(T) := |\langle Ty',x\rangle|,\quad x\in X,\ y'\in Y^*. $$ В связи с результатами Mathew Davis'а, Bill'а Johnson'а и Олега Рейнова возникают, в частности, четыре проблемы:\ (a)\, {%\it возможность аппроксимации $($в некоторых топологиях$)$ всех операторов из $\operatorname{L}(Y^*,X^*)$ сопряженными $($с возмож\-но некоторыми ограничениями на нормы операторов$)$ при фиксации прос\-т\-ранства $X$ и такая же возможность аппроксимации при фиксации пространства}\, $Y;$\ (b)\, {%\it возможность аппроксимации $($в некоторых топологиях$)$ всех операторов из $\operatorname{L}(X,Y^{**})$ операторами из $\operatorname{L}(X,Y)$ $($с возможно некоторыми ограничениями на нормы операторов$)$ при фиксации пространства $X$ и такая же возможность аппроксимации при фиксации пространства $Y.$ } \vskip 0.1cm Предварительно обсудим связи между пространствами $\operatorname{L}(X,Y)$\, $\operatorname{L}(X,Y^{**})$ и $\operatorname{L}(Y^*,X^*.)$ \smallskip Для пары банаховых пространств $ X,Y$ мы будем рассматривать пространст\-во $ \operatorname{L}(X,Y)$ как подпространство пространства $ \operatorname{L}(Y^*,X^*),$ имея в виду, что суще\-с\-твует естественное каноническое изометрическое вложение первого во второе, причем второе пространство естественным образом отождествляется с банахо\-вым прос\-т\-ранством $ \operatorname{L}(X,Y^{**}).$ Именно: при помощи канонического отображения $ \pi_Y:Y\to Y^{**}$ вложим пространство $ \operatorname{L}(X,Y)$ изометрично в $ \operatorname{L}(X,Y^{**}):$\ $ T\mapsto \pi_YT.$ Рассмотрим, для $ U\in\operatorname{L}(X,Y^{**}),$ оператор $ U^*: Y^{***}\to X^*$ и его сужение $ V:=U^*|_{Y^*}: Y^*\to X^*.$ Оператор $ U^*$\, ${}^*$-слабо непрерывен как всякий сопряжен\-ный оператор, и единичный шар пространства $ Y^*$\, ${}^*$-слабо плотен в единичном шаре пространства $ Y^{***};$ поэтому $ \|V\|=\|U^*\|,$ и мы получаем изометрическое вло\-жение, обозначим его на время через $ j,$ банахова пространства $ \operatorname{L}(X,Y^{**})$ в банахово пространство $ \operatorname{L}(Y^*,X^*).$ Обратно, пусть $ V\in \operatorname{L}(Y^*,X^*).$ Рассмотрим сопря\-жен\-ный оператор $ V^*:X^{**}\to Y^{**}$ и его сужение $ U:=V^*|_{X}:X\to Y^{**}.$ Снова, единичный шар пространства $ X$\, ${}^*$-слабо плотен в соответствующем шаре пространства $ X^{**},$ и оператор $ V^*$\, ${}^*$-слабо непрерывен; поэтому $ \|V^*\|=\|U\|.$ Наконец, для $ y'\in Y^*$ и $ x\in X$ имеем $$ \langle U^*|_{Y^*}y',x\rangle \equiv \langle U^*\pi_{Y^*}y',x\rangle= \langle \pi_{Y^*}y',Ux\rangle =$$ $$ \langle \pi_{Y^*}y',V^*\pi_X x\rangle = \langle y',V^*\pi_Xx\rangle = \langle Vy',\pi_Xx\rangle = \langle Vy',x\rangle, $$ и, таким образом, $ U^*|_{Y^*}=V.$ Это показывает, что рассмотренное выше естест\-вен\-ное отображение $ j: \operatorname{L}(X,Y^{**})\to \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ есть изометрия первого простра\-н\-ства на второе. Итак, мы можем писать $ \operatorname{L}(X,Y^{**})= \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ и рассматривать пространство $ \operatorname{L}(X,Y)$ как подпространство любого из этих двух. Ниже мы обычно не будем явно указывать возникающие при описанных изометрических отображениях ни отображения отождествления $ j,j^{-1},$ ни связанные с ними канонические операторы $ \pi,$ и будем свободно, рассматривая некоторый оператор, принадлежащий одному из этих операторных пространств, переходить из одного пространство в другое. \smallskip Теперь, перед тем как приступить к формулировкам наших результатов, рассмотрим подробнее вопрос Ady $(A),$ изучая сейчас произвольные операторы, действующие в произвольных сопряженных пространствах. \vskip 0.1cm {\bf Лемма 1.}\ \it {Пусть $D\ge1,$ $Z$ и $W$ --- банаховы пространства, $\{B_\alpha\}_{\alpha\in \mathcal A}$ --- сеть операторов в $\operatorname{L}(W^*,Z^*) и $\, $A\in \operatorname{L}(W^*,Z^*).$ Эквивалентны утверждения: 1)\, $||B_\alpha||\le D||A||$ для каждого $\alpha\in \mathcal A$ и сеть $\{B_\alpha\}$ SO-сходится к $A,$ т.е. для любой точки $w'\in W^*$ \ $B_\alpha w'\underset{\alpha}\to Aw'$ в $Z^*;$ 2)\, $||B_\alpha||\le D||A||$ для каждого $\alpha\in \mathcal A$ и для любого $\varepsilon>0$ и всякого компакта $K\subset W^*$ существует такой индекс $\alpha_\varepsilon,$ что $$ \forall \, \alpha>\alpha_\varepsilon,\ \ \forall \, k\in K \quad \ ||B_\alpha k-Ak||\le \varepsilon. $$ } \rm {\it Доказательство}.\, Если $\{B_\alpha\}$ SO-сходится к $A,$ то для всякого конечного набора $\{w'_n\}_{n=1}^N$ точек из $W^*$ имеем: $B_\alpha w'_n\underset{\alpha}\to Aw'_n,$\, $n=1,2,\dots, N.$ Пусть $\varepsilon>0,$ $K$ --- компакт в $W^*$ и $\{w'_n\}_{n=1}^N$ --- $\frac{\varepsilon}{3D(||A||+1)}$-сеть для $K.$ Пусть, далее, $\alpha_0$ таково, что $||B_\alpha w'_n-Aw'_n||<\varepsilon/3$ для всех $n\le N$ при всех $\alpha>\alpha_0.$ Возьмем произвольную точку $k\in K$ и выберем такой индекс $n_0,$ что $||k-w'_{n_0}||<\frac{\varepsilon}{3D(||A||+1)}.$ Для $\alpha>\alpha_0$ имеем: $$ ||B_\alpha k-Ak||\le ||B_\alpha k-B_\alpha w'_{n_0}||+ ||B_\alpha w'_{n_0}-Aw'_{n_0}||+||Aw'_{n_0}-Ak||\le $$ $$ D||A||\, \dfrac{\varepsilon}{3}\dfrac1{D(||A||+1)} + \varepsilon/3 + ||A||\dfrac{\varepsilon}{3D(||A||+1)}\le \varepsilon. $$ \vskip 0.1cm {\bf Следствие 1.}\ \it {Пусть $D\ge1,$ $Z$ и $W$ --- банаховы пространства, $A\in \operatorname{L}(W^*,Z^*),$ причем $||A||\le1.$ Эквивалентны утверждения: 1)\, $A$ принадлежит замыканию шара $B_D$ $($радиуса $D$ с центром в нуле$)$ пространства $\operatorname{L}(Z,W)$ в топологии компактной сходимости в пространстве $\operatorname{L}(W^*,Z^*);$ 2)\, $A$ принадлежит замыканию шара $B_D$ % %$($радиуса $D$ % с центром в нуле$)$ пространства $\operatorname{L}(Z,W)$ в сильной операторной топологии пространства $\operatorname{L}(W^*,Z^*);$ 3)\, существует сеть $\{\tilde{B}_\alpha\}_{\alpha\in \mathcal A}$ операторов из $\operatorname{L}(Z,W)$ с нормами, не пре\-во\-с\-ходящими $D,$ для которой сеть $\{B_\alpha :=\tilde{B}_\alpha^*\}$ SO-сходится к $A$ в пространстве $\operatorname{L}(W^*,Z^*).$ } \rm \vskip 0.1cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Stop for a while - for 2 lemmas: Нам понадобятся ниже две следующие важные леммы. \vskip 0.1cm {\bf Лемма 2 \rm(\cite{Pie80}, E.3.1).}\, {\it Пусть $E,F$ --- банаховы пространства, $\operatorname{dim} E<\infty,$ $S\in \operatorname{L}(E,F^{**}),$ $M\subset F^*$ --- конечномерное подпространство. Тогда для любо\-го $\varepsilon>0$ найдется оператор $R\in \operatorname{L}(E,F)$ такой, что $$ ||R||\le (1+\varepsilon)||S||,$$ $$ \langle Rx,b\rangle = \langle Sx,b\rangle\ \forall \, x\in E, b\in M,$$ $$K_FRx=Sx\ \text{если }\, Sx\in K_F(F)\subset F^{**}, $$ где $K_F: F\to F^{**}$ --- естественное изометрическое вложение. } \vskip 0.1cm {\bf Лемма 3 \rm(\cite{Cas01}, Lemma 3.2).}\, {\it Пусть $X$ --- банахово пространство, $E\subset X,$ $\operatorname{dim} E=n;$ $T:X\to E$ линейное непрерывное отображение "на". Пусть, далее, $k\le n,$ $F\subset X,$ $\operatorname{dim} F=k.$ Предположим, что $||T|_F-I_F||<\varepsilon<1,$ где $\frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon}<1.$ Тогда существует $n$-мерный оператор $S:X\to X$ со свойствами: $$ S|_F=I_F, $$ $$ ||S-T||<\frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon} ||T||, $$ $$ S^*(X^*)=T^*(X^*). $$ Более того, если $T$ --- проектор, то и $S$ может быть выбран проектором. } \vskip 0.1cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Конец 2х лемм !!! \rm {\bf Определение 1.}\, Пусть $X$ --- банахово пространство, $k\in \Bbb N,$ $C\ge1.$ Будем говорить, что $X$ {\it обладает свойством $(C,k)$-метрической аппроксимации}, $X\in (C,k)$-MAP, если для всякого $\varepsilon>0,$ для любого $k$-мерного подпространства $F\subset X$ существует такой конечномерный непрерывный оператор $T: X\to X,$ что $||T|_F-I_F||<\varepsilon$ и $||T||\le C.$ \vskip 0.1cm По аналогии с определением класса $W$ операторов, действующих в сопря\-же\-н\-ных пространствах (см. начало нашей заметки, вопрос $(ii)$), мы, следуя \cite{Rei93}, введем в рассмотрение классы $W_n.$ Если $ n\in\Bbb N\cup\{+\infty\},$ то обозначим через $ W_n(Y^*,X^*)$ множество всех операторов $ T:Y^*\to X^*,$ для которых существует число $ \gamma_n(T)$ такое, что $$ \bigg |\sum_{j=1}^n \langle Ty'_j, x_j\rangle\,\lambda_j \bigg|\leqslant \gamma_n(T) \sup \bigg \{\bigg |\sum_{j=1}^n \langle y'_j, Sx_j\rangle\, \lambda_j\bigg|:\ S\in\operatorname{L}(X,Y),\,\|S\|\leqslant1 \bigg\} $$ для всех $ x_j\in X, y'_j\in Y^*; \|x_j\|\leqslant1, \|y'_j\|\leqslant1,$ и всех $ \lambda_j\geqslant 0,\ \sum_1^n \lambda_j=1.$ Положим $ \|T\|_{W_n}=\inf \gamma_n(T).$ Ясно, что в определении $ W_n$ можно ограничи\-ть\-ся элементами $ x_j$ и $ y'_j$ единичной нормы; при этом $ \|\cdot\|_{W}=\|\cdot\|_{W_1}$ и $ \|\cdot\|_{W_n}\leqslant \|\cdot\|_{W_{n+1}}.$ \vskip 0.1cm {\bf Теорема 1.}\, {\it Пусть $k\in \Bbb N, C\ge1.$ Если $X\in (C,k)$-MAP, то для всяко\-го банахова пространства $Y$ и любого оператора $U\in \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ $$ ||U||\le ||U||_{W_k(Y^*,X^*)}\le C\,||U||. $$ } {\it Доказательство}.\, \rm Фиксируем $\varepsilon_0, \varepsilon_0\in(0,1),$ $k\in\Bbb N,$ и возьмем $\varepsilon\in(0,1),$ для которого $\varepsilon_0> \frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon}.$ Пусть $(x_j)_{j-1}^k\subset X,$ $(y'_j)_{j=1}^k\subset Y^*,$ $\sum_{j=1}^k \lambda_j=1,$ $||x_j||\le1,$ $||y'_j||\le1$ и $F:= [x_j]_{j=1}^k.$ Пусть, далее, $T: X\to X$ --- такой конечномерный оператор, что $$ ||T|_F-I_F||<\varepsilon,\quad ||T||\le C. $$ Положим $E:= T(X), n:= \operatorname{dim} E.$ Мы находимся в условиях леммы 3. Поэтому существует такой $n$-мерный оператор $S: X\to X,$ что $$ S|_F=I_F, $$ $$ ||S-T||<\frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon} ||T||, $$ $$ S^*(X^*)=T^*(X^*). $$ Положим $\tilde E:= S(X),$ $\tilde F:= Y,$ $M:= [y'_j]_1^k. $ Тогда $\operatorname{dim} \tilde E=n,$ $M\subset \tilde F^*=Y^*,$ $F\subset \tilde E$ (в частности, $(x_j)_1^k\subset \tilde E).$ Определим оператор $\tilde S:\tilde E\to \tilde F^{**}(=Y^{ **})$ как сужение оператора $U^*$ на подпространство $\tilde E (= S(X)\subset X\subset X^{**}).$ К четверке $(\tilde E, \tilde F, \tilde S, M)$ применим принцип локальной рефлексивности, --- лемму 2. Для выбранного заранее числа $\varepsilon_0>0$ найдется такой оператор $R\in \operatorname{L}(\tilde E, \tilde F),$ что $||R||\le (1+\varepsilon_0)||\tilde S||$ и $\langle Rx,b\rangle=\langle \tilde S x,b\rangle$ для всех $x\in \tilde E$ (и, значит, для всех $x\in F)$ и $b\in M.$ Отсюда: $$ \forall\, j=1,2,\dots, k\ \ \langle Rx_j,y'_j\rangle= \langle \tilde S x_j ,y'_j\rangle,\ ||R||\le (1+\varepsilon_0)||\tilde S||, $$ или, возращаясь к старым обозначениям, имеем: $$ \forall\, j=1,2,\dots, k\ \ \langle Rx_j,y'_j\rangle= \langle U^*|_{X} x_j ,y'_j\rangle,\ ||R||\le (1+\varepsilon_0)||U^*||. $$ Теперь, $$ \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle Uy'_j, x_j\rangle \big| = \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,U^*|_X x_j\rangle \big| = \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,R x_j\rangle \big|, $$ а поскольку $x_j\in F\subset \tilde E=S(X),$ $R:\tilde E\to Y$ и $Sx_j=x_j,$ то последняя величина есть $$ \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,RS x_j\rangle \big|= \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,S_1 x_j\rangle \big|, $$ где $S_1:= RS: X\to \tilde E=S(X)\to Y.$ Так как $||R||\le (1+\varepsilon_0)||U||,$ то $||S_1||\le (1+\varepsilon_0)||U||\, ||S||.$ Теперь оценка для нормы $S:$\ $$ ||S||< ||T|| + \frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon}= ||T||\, [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon)] $$ (использовали неравенство из леммы 3). Поэтому $$ ||S_1|| \le (1+\varepsilon_0)\, [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon) ]\, ||T||\, ||U||\le C (1+\varepsilon_0)\, [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon) ]\, ||U||. $$ Окончательно, для оценки сверху первоначальной суммы получаем: $$ \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle Uy'_j, x_j\rangle \big|= ||S_1||\, \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,(S_1/||S_1||) x_j\rangle \big|\le $$ $$ C (1+\varepsilon_0)\, [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon) ]\, ||U||\, \sup \{ \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,S_0 x_j\rangle \big|:\ S_0\in \operatorname{L}(X,Y),\, ||S_0||\le1 \}< $$ $$ C (1+\varepsilon_0)^2\, % [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon) ]\, ||U||\, \sup \{ \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,S_0 x_j\rangle \big|:\ S_0\in \operatorname{L}(X,Y),\, ||S_0||\le1 \}. $$ \rm \vskip 0.1cm Так как всякое банахово пространство обладает свойством $(1, \sqrt n)$ (поскольку в любом банаховом пространстве каждое $n$-мерное подпространство $\sqrt n$-допол\-ня\-емо), то из доказанной теоремы моментально вытекает следующий (один из основных в \cite{Rei93}) результат: \vskip 0.1cm {\bf Следствие 2}\, \it Если $ T\in\operatorname{L}(Y^*,X^*),$ то $ \|T\|\leqslant \|T\|_{W_n}\leqslant \sqrt n\,\|T\|$ \, $($при $ n\in\Bbb N).$ В частности, $ W_n(Y^*,X^*)=\operatorname{L}(Y^*,X^*)$ (при $ n\in\Bbb N$) как множества, и $ \|T\|_{W_1}=\|T\|.$ \rm \vskip 0.1cm Аналогичные следствия могут быть сформулированы и получены из теоремы, например, для банаховых пространств с нетривиальными типами и котипами, в частности для лебеговых пространств $L_p(\mu).$ Более общим образом, мы имеем: \vskip 0.1cm {\bf Следствие 3 \cite{Rei93}.}\, \it Пусть $ n\in \Bbb N.$ Если всякое $ n$-мерное подпространство в $ X$ является $ Cn^{\alpha}$-дополняемым, где $ 0\leqslant\alpha\leqslant1/2,$ то $ \|T\|_{W_n(Y^*,X^*)}\leqslant Cn^{\alpha}\,\|T\|$ для любых банахова пространства $ Y$ и оператора $ T\in\operatorname{L}(Y^*,X^*).$ Более общо, если $ C_0>0$ и всякое $ n$-мерное подпространство пространства $ X$\, $C_0$-дополняемо, то $ \|T\|_{W_n(Y^*,X^*)}\leqslant C_0\,\|T\|$ для любых $ Y,$\, $ T\in\operatorname{L}(Y^*,X^*).$ \rm \vskip 0.1cm {\bf Следствие 4.}\, {\it Пусть $C\ge1.$ Если $X\in C$-MAP, то для каждого $k\in \Bbb N,$ для всякого банахова пространства $Y$ и для любого оператора $U\in \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ $$ ||U||\le ||U||_{W_k(Y^*,X^*)}\le C\,||U||. $$ } В частности, если банахово пространство $X$ обладает свойством метрической аппроксимации, то $$ ||U||= ||U||_{W_k(Y^*,X^*)} $$ для всех $Y,$ $U\in \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ и $k\in \Bbb N.$ \vskip 0.1cm Известно (и понятно; см. \cite{Rei93}), что $ r=\|U\|_{W_n}$ есть наименьшее число $ r,$ для которого, грубо говоря, на всяком $ n$-мерном тензоре элемент $U$ может быть сколь угодно хорошо приближен операторами из шара радиуса $ r$ пространства $ \operatorname{L}(X,Y).$ Точнее, для $ n\in\Bbb N$ %$\cup \{ +\infty\}$ $$ %\multline \|U\|_{W_n}= \inf \{ r>0:\\ \forall\, t\in Y^*\otimes X, \operatorname{dim} t\leqslant n,\, $$ $$ \exists \, S\in\operatorname{L}(X,Y), \|S\|\leqslant r, \operatorname{trace}\, S\circ t= \operatorname{trace}\, T^*\circ t \} \le \sqrt n\, ||U||. %\endmultline $$ В \cite{Rei93}, Следствие 3, показано что этот факт точен (а именно, точным является следствие 2 выше). Ниже будут установлена и точность нашей теоремы 1 (см. предложение 2). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%55555555 Точность теоремы о (C,k)-MAP \vskip 0.1cm Мы будем использовать следующий результат, нетрудно выводимый из \cite{Rei96} (см. там теорему 2 и следствие 4 из нее), представляющий и самостоятельный интерес: \vskip 0.1cm %\proclaim {\bf Предложение 1.} \, \it Существует постоянная $\,c\in (0,1)\,$ со следующим свой\-с\-т\-вом. Для каждого $\,n=1,2,\dotso\,$ можно найти сепарабельное сопряженное банахово пространство $\,E\,$ с базисом, сепарабельное банахово пространство $\,E_n\,$ со свойством ограниченной аппроксимации (точнее, со свойством $\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP}), $ $\,n\,$-мерный оператор $\,t:E\to E_n\,$ такие, что $\,E_n\notin\,c\,\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP} $ и $(*)$ \ существуют $\,\varepsilon>0\,$ и оператор $\,V\in \operatorname{L} \left(E_n,E^{**} \right), \,$ для которого $\, \|V\| = 1,\,$ такие , что $\operatorname{trace}\, V\circ t\ge c\sqrt n$ и если $\,G_n=t(E),\, F_n=t^*(E^*_n),\, R\in \operatorname{L}(E_n,E)\,$ и $$ \forall \,g\in G_n,\ \forall \, f\in F_n \qquad |\left\langle Rg-Vg,f \right\rangle| \le\varepsilon\,\|g\|\,\|f\| %\tag* $$ то $\,\|R\|>c\,\sqrt n.\,$ При этом, для всякого $U\in \operatorname{L}(E_n,E)$ имеем: $|\operatorname{trace}\, U\circ t|\le ||U||.$ \rm \vskip 0.1cm {\bf Замечание.}\, Пространство $E$ (как, впрочем, и $E_n)$ может быть выбрвно {\it вполне сепарабельным}, т.е. таким, что {\it все его сопряженные пространства сепа\-рабельны}\ (таково пространство из доказательства теоремы 2 в \cite{Rei96}). То же отно\-сит\-ся и к следующим утверждениям. %%%% применение его: {\bf Предложение 2.}\, \it Существует постоянная $\,c\in (0,1)\,$ со следующим свой\-с\-т\-вом. Для каждого $\,n=1,2,\dotso\,$ можно найти сепарабельное сопряженное банахово пространство $\,E\,$ с базисом, сепарабельное банахово пространство $\,E_n\,$ со свойством $\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP} $ и $\,n\,$-мерный оператор $\,t:E\to E_n\,$ такие, что $(**)$ \ $\,E_n\notin\,c\,\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP} $ и существует оператор $\,T\in \operatorname{L} \left(E^*,E_n^{*} \right), \,$ для которого $\, \|T\| = 1\,$ и $\sqrt n \ge ||T||_{W_n}> c\,\sqrt n.$ Таким образом, $E_n\in (\sqrt n,n)$-MAP, но $E_n\notin (c\sqrt n,n)$-MAP. \rm \vskip 0.1cm {\it Доказательство}.\, Константу $c,$ пространства $E,$ $E_n$ и $\,n\,$-мерный тензор (опе\-ра\-тор) $\,t:E\to E_n\,$ мы возьмем из предыдущего утверждения. Пусть, далее, $T:= V^*|_{E^*}.$ Нам надо установить лишь справедливость второго утверждения в $(**).$ Это нетрудно (когда доказана теорема 2 в \cite{Rei96}). %Пусть $\varepsilon>0$ --- из $(*).$ %Пусть, далее, $t_0:E\to t(E)$ --- приведение оператора $t,$ %$j:t(E)\to E_n$ --- оператор тождественного вложения, %$\{\psi_k\}_{k=1}^n$ --- базис в $t(E),$ %$\{\psi'_k\}_{k=1}^n$ --- соответствующий ему базис в $t(E)^*,$ %$t_1: t(E)^*\to t^*(E_n^*)$ --- естественный оператор, ассоциированный %с $j^*$ и $t^*,$ $i: t^*(E_n^*)\to E^*$ --- оператор тождественного вложения. % % %Нетрудно видеть, что %$$ % t=\sum_{k=1}^n t_0^*\psi'_k \otimes j\psi_k. %$$ % %Теперь, Если оператор $R\in \operatorname{L}(E_n,E)\,$ таков, что $\operatorname{trace}\, R^*\circ t^t= \operatorname{trace}\, T\circ t^t,$ то (см. $(*)$) $$ c\sqrt n< \operatorname{trace}\, R^*\circ t^t= \operatorname{trace}\, R\circ t\le ||R|| $$ и, следовательно, $||R||> c\sqrt n.$ В силу сказанного перед формулировкой пред\-ло\-жения 1, $||T||_{W_n}> c\sqrt n.$ \vskip 0.1cm {\bf Замечание.}\, Более подробное рассмотрение примеров пространств $X$ с $X\in (C_1, m)$-MAP и $X\notin (C_2, m)$-MAP, как и других положительных результатов, предполагается провести в следующей работе автора. %%%% конец данного примен Из предложения 1, используя метод "суммирования" из доказательства сле\-д\-с\-твия 1 в \cite{Rei96}, мы получаем \vskip 0.1cm {\bf Предложение {\rm 3.}} Существуют вполне сепарабельные банаховы простран\-с\-т\-ва $\,W\,$ и $\,X\,$ со следующими свойствами: %\roster %\item %{\phantom{vv} $(i)$ \ $W\,$ сопряжено и имеет базис (так что $\,W\in \operatorname{MAP}$),\,$ X\in \operatorname{AP}\,$ и $X\notin \operatorname{BAP};$ $(ii)$ \ существует оператор $\,V:X\to W^{**},\,$ обладающий тем свойством, что $\,V\,$ не лежит в замыкании в пространстве $\,\operatorname{L}(X,W^{**})\,$ в топологии поточечной $\,X\times W^*\,$-сходимости какого--либо шара конечного радиуса пространства $\,\operatorname{L}(X,W);\,$ $(iii)$\ этот оператор $V$ лежит в замыкании пространства $X^*\otimes W^{**}$ в топологии $\tau_c$ компактной сходимости в $\operatorname{L}(X,W^{**});$ $(iv)$\ никакой шар пространства $\operatorname{L}(X,W)$ не плотен в никаком шаре (в $\tau_c)$ пространства $\operatorname{L}(W^*,X^*).$ \vskip 0.1cm {\it Доказательство. {\rm }}\, Все, кроме утверждения $(iv),$ следует из вышесказанного; утверждение $(iii)$ очевидно (так как $X\in \operatorname{AP}).$ $(iv)$ вытекает из теоремы (B) Bill'а Johnson'а. \vskip 0.1cm %\proclaim {\bf Следствие {\rm 5}}.\ Существуют (вполне) сепарабельное банахово пространство $\,Z,\,$ $\,Z\in \operatorname{AP},\,$ $Z\notin \operatorname{BAP},$ и оператор $\,S\in \operatorname{L}(Z^*,Z^{*})\,$ такие, что если $\,\left\{R_\alpha\right\}\subset \operatorname{L}(Z,Z) \,$ и $\,R^*_\alpha \underset \alpha \to%\longrightarrow S\ $ $\,Z\times Z^*\,$-поточечно, то $\,\|R_\alpha\| \underset \alpha \to%\longrightarrow +\infty.\,$ С другой стороны, ясно, что множество $\,Z^*\otimes Z\,$ конечномерных операторов плотно в $\,\operatorname{L}(Z,Z^{**})\,$ (но не в $\,\operatorname{L}(Z^*,Z^{*})$!) в топологии компактной сходимости. %\endproclaim \vskip 0.1cm %\demo {\it Доказательство}.\, Достаточно взять $\,Z=W\oplus X,\,$ где $\,W\,$ и $\,X\,$ --- пространства из предложения 3 и определить оператор $\,S :Z^*\to Z^{*}\,$ соотношением $\,S (w',x')=(V^*|_{X^*}x',0),\,$ где $\,V\,$ --- из утверждения (ii) предложения 3. То, что множество $Z^*\otimes Z$ не плотно в $\tau_c$ в $\operatorname{L}(Z^*,Z^*),$ следует из результата Bill'а Johnson'a $(B),$ с которого мы начали заметку. \vskip 0.1cm %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% контр для Брудн с хорошими и с одни пр=вом Напомним, что существует сепарабельное рефлексивное банахово простран\-с\-тво, не обладающее свойством $ \operatorname{AP}.$ Более того, существуют сепарабельное ре\-ф\-ле\-к\-сивное банахово пространство $ E,$ оператор $ R\in \operatorname{K}(E,E)$ и тензорный элемент $ t\in E^*\widehat\otimes E$ такие, что $ \operatorname{trace}\, t\circ R=1$ и $ \operatorname{trace}\, t\circ A=0$ для любого конечномерного оператора $ A\in E^*\otimes E$ (см.. например, \cite{Cas01}). Далее мы используем следующий классический факт (см. \cite{Lind}): \vskip 0.1cm {\bf Лемма 4.}\, \it % Lind!!! Для всякого сепарабельного банахова пространства $ E$ сущест\-ву\-ют сепарабельное сопряженное банахово пространство $ H=Y^*$ с базисом и опе\-ра\-торы $ Q: H\to E$ и $ U: H^*\to E^*$ такие, что $ Q(H)=E,$ $ U(H^*)=E^*,$ $ \|U\|\leqslant 1,$ $ \|Q\|\leqslant 1,$ $ UQ^*=\operatorname{id}_{E^*}$ и %%% действительно ли обе нормы не больше 1? !!! пространство $ \left( \operatorname{id}_{E^*}- Q^*U\right)(H^*)$ изоморфно пространству $ Y.$ %\endproclaim \rm \vskip 0.1cm Теперь мы готовы к построению других примеров. \vskip 0.1cm {\bf Предложение 4.}\ \it Существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ E,$ сепарабельное сопряженное пространство $ H$ с базисом такие, что канониче\-ское отображение $ j: H^*\widehat\otimes E\to \operatorname{N}(H,E)$ не взаимно однозначно. С другой стороны, так как пространство $ H$ обладает свойством аппроксимации, то $ \operatorname{K}(E,H)=\overline{E^*\otimes H}^{\,||\cdot||}$ и $ \operatorname{L}(E,H)= \overline{E^*\otimes H}^{\,\tau_c}.$ %\endproclaim \rm %\demo {\it Доказательство} Пусть $ E,$ $ t\in E^*\widehat\otimes E$ и $ R\in \operatorname{K}(E,E)$ --- упомянутые перед леммой 4 тензорный элемент и оператор, так что $\operatorname{trace}\, t\circ R=1$ и $ t=0$ как оператор. Положим $ g=t\circ Q\in H^*\widehat\otimes E$ и $ V=U^*R\in \operatorname{L}(E, H^{**}).$ Тогда $ \operatorname{trace}\, V\circ g=1$ (следовательно, тензорный элемент $ g$ не равен нулю) и $ g=0$ как оператор. %$\quad\blacksquare$\enddemo {\bf Замечание.}\, Отметим (и это хорошо известно со времен А. Гротендика), что если каноническое отображение $ j: X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{N}(X,Y)$ взаимно однозначно, то $ \operatorname{L}(Y,X)= \overline{Y^*\otimes X}^{\,\tau_c}.$ Доказанное только что предложение показывает, что обращение этого утверждения неверно. {\bf Следствие 6.}\it Существуют сепарабельное рефлексивное пространство $ E$ без свойства $\operatorname{AP},$ сепарабельное сопряженное пространство $ H$ с базисом (и, следовательно, обладающее свойством MAP) и оператор $T\in \operatorname{K}(H^*,E^*),$ кото\-рый не аппро\-кси\-мируется в топологии $E\times H^*$-сходимости в $\operatorname{L}(H^*,E^*)$ опера\-то\-рами из $\operatorname{L}(E,H).$ %\endproclaim \rm {\it Доказательство}.\, В обозначениях предыдущего доказательства, положим $T:= V^*|_{H^*}.$ Тогда $\operatorname{trace}\, g^t\circ T=1$ и оператор $\tilde g,$ ассоциированный с $g,$ а значит и $\tilde g^t,$ --- тождественно нулевые. С другой стороны, для всякого оператора $A:E\to H$\ $\operatorname{trace}\, A\circ g=0,$ так как пространство $H$ имеет свойство MAP. %\proclaim {\bf Следствие 7.}\it Существуют банахово пространство $ Z$ без свойства $\operatorname{AP},$ элемент $ z\in Z^*\widehat\otimes Z$ и оператор $S\in\operatorname{K}(Z^*,Z^{*})$ такие, что $ \operatorname{trace}\, z^t\circ S=1,$ но $ \operatorname{trace}\, \Phi\circ z=0$ для всех $ \Phi\in \operatorname{L}(Z,Z).$ %\endproclaim \rm %\demo {\it Доказательство}.\, Будем использовать обозначения, введенные при доказа\-те\-льстве предложения 4. Пусть $ \sum y'_n\otimes y_n$ --- какое--либо представление тензорного элемента $ g\in H^*\widehat\otimes E.$ Заметим, что $ \operatorname{trace}\, A\circ g=0$ для всякого оператора $ A\in \operatorname{L}(E,H)$ (так как пространство $ H$ обладает свойством аппроксимации). Положим $ Z=H\oplus E,$ $ z=\sum (y'_n, 0)\otimes (0,y_n)$ и определим оператор $S\in\operatorname{L}(Z^*,Z^{*})$ по формуле $ S(h',y')=(V^*y',0).$ Имеем: $$ \operatorname{trace}\, z^t\circ S=\sum \langle (y_n,0), (V^*y'_n, 0)\rangle= \sum \langle y_n, V^*y'_n\rangle =\operatorname{trace}\, V\circ g=1. $$ С другой стороны, обозначая через $ P_H$ и $ P_E$ естественные проекторы из $ Z$ на $ H$ и $ E$ соответственно, мы для произвольного оператора $ \Phi\in \Pi_p(Z,Z)$ имеем: $$ \Phi(h,y)=\Phi|_H(h)+\Phi|_E(y)= \left( P_H\Phi|_H(h)+P|_E\Phi|_H(h)\right)+ \left( P_H\Phi|_E(y)+P|_E\Phi|_E(y)\right), $$ откуда $$ \operatorname{trace}\, \Phi\circ z= \sum \langle (y'_n, 0), \left[ P_H\Phi(0, y_n)\right]\rangle= \sum \langle (y'_n,0), P_H\Phi|_E(y_n)\rangle. $$ Обозначая через $ A$ оператор $ P_H\Phi|_E,$ получаем: $$ A\in \operatorname{L}(E,H);\ \ \operatorname{trace}\, \Phi\circ z=\operatorname{trace}\, A\circ g=0. %\Q $$ %\enddemo \rm %%%%%%%%%%%%%%%%%%% конец контра Другие (контр)примеры типа приведенных выше можно найти, например, в работе \cite{Rei96}. Ответ на вопрос $B'$ W.B. Johnson'а (для которого все подготовлено в настоящей заметке) предполагается привести в следующей статье автора. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5 \frenchspacing \begin{thebibliography}{3} %% CUT REFERENCES BELOW AND PUT YOURS %% \bibitem{ABru}Айзенштейн М.Х., Брудный Ю.А., \emph{ Вычислимые интерполяционные функторы,} Исследования по теории функций многих вещественных переменных, Ярославль: ЯГУ (1986), 3--35. \bibitem{BrKr} Yu.A. Brudnyi and N. Ya. Krugljak, Interpolation Functors and Interpolation Spaces, Volume I, North-Holland Publishing Company, (1991). \bibitem{Cas01} Peter G. Casazza, \emph{Approximation Properties,} Handbook of the Geometry of Banach Spaces, \textbf{v. 1}, Elsevier Science B.V. (2001), 271-316. \bibitem{Lind} Lindenstrauss J., \emph{On James' paper "Separable Conjugate Spaces"}, Israel J. Math. \textbf{9} (1971), 279--284. \bibitem{Pie80} A. Pietsch, Operator Ideals, North-Holland Publishing Company, (1980). \bibitem{Rei85} Рейнов О.И., \emph{Аппроксимация операторов в банаховых пространствах,} Применение функционального анализа в теории приближений, КГУ, Калинин, (1985), 128-142. \bibitem{Rei93} Рейнов О.И., \emph{Аппроксимация операторов в топологии поточечной сходимости}, Вестник СПбГУ \textbf{16}, вып.3 (1993), 33-35. \bibitem{Rei96} Oleg Reinov, \emph{On non--nuclear operators with nuclear adjoints}, Proc. Estonian Acad. Sci. Phis. Math \textbf{45} (1996), 226-233. \bibitem{Rei09} Reinov Oleg, \emph{Appoximation propeties: topological aspect (with application to a Grothendieck conjecture),} Proceedings 4th World Conference on 21st Century Math. 2009, Lahore-Pakistan, 2009), 269-284. \end{thebibliography} \end{document} %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% +Reinov Oleg, Appoximation propeties: topological aspect (with application to a Grothendieck conjecture), Proceedings 4th World Conference on 21st Century Math. 2009, Lahore-Pakistan, 269-284 \bibitem{Rei82}O.I. Reinov, \emph{Approximation properties of order p and the existence of non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints}, Math. Nachr. \textbf{109} (1982), 125--134. + Oleg Reinov, On non--nuclear operators with nuclear adjoints// Proc. Estonian Acad. Sci. Phis. Math. - 1996 - v. 45, 2/3 - p. 226-233.} +Рейнов О.И. Аппроксимация операторов в топологии поточечной сходимости // Вестник СПбГУ. Сер.1б, 1993, вып. 3 (N°15) - С. 33-35.} +\ref \no 6 \by Lindenstrauss J.\pages 279--284 \paper On James' paper "Separable Conjugate Spaces" \yr 1971\vol 9 \jour Israel J. Math. \endref +\by Айзенштейн М.Х., Брудный Ю.А. \paper Вычислимые интерполяционные функторы \inbook Исследования по теории функций многих вещественных переменных \bookinfo %Edited by \publaddr Ярославль: ЯГУ%Providence \publ \vol \nofrills % Наука и т.п. % том или вып. \yr 1986 \pages 3--35 %% %%%%%%%%%% ЛИТЕРАТУРА \Refs\nofrills{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА} % начало, \nofrills убирает % английский текст и получаем только то, что в скобках \bibitem{Rei85}O.I. Reinov, \emph{Approximation of operators in Banach spaces,} Application of functional analysis in the approximation theory, KGU, Kalinin, (1985), 128-142. \ref\no 1%\key \by Рейнов О.И. \paper О двух вопросах в теории линейных операторов \inbook Применение функционального анализа в теории приближений \bookinfo %Edited by \publaddr Калинин: КГУ %Providence \publ \vol 9 \nofrills % Наука и т.п. % том или вып. \yr 1979 \pages 102-114%489--504 \endref \ref \no 2 \by Рейнов О.И. \pages 80-81 \paper $RN$--множества в банаховых пространствах \yr 1978 \vol 12 \issue 1 \jour Функц. анализ и его приложен. \endref \ref \no 3 \by Рейнов О.И. \pages 528-531 \paper Операторы типа RN в банаховых пространствах \yr 1975\vol 220 \issue 3 \jour ДАН СССР \endref \endRefs \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \ref \no 1 \by H.P.Rosenthal \pages 362--378 \paper Pointwise compact subset of the first Baire class \yr 1977 \vol \issue 2 \jour Amer. J. Math. \endref \ref \no 2 \by E.Odell, H.P.Rosenthal \pages 375-384 \paper A double dual characterization of separable Banach spaces containing $l_1,$ \yr 1975\vol 20 \issue 3-4 \jour Israel J. Math. \endref \ref \no 3\by Grothendieck A. \pages pp. 196 + 140 \paper Produits tensoriels topologiques et espaces nucl\'eaires \yr 1955\vol 16 \jour Mem. Amer. Math. Soc. \finalinfo \endref \ref \no 4 %одно из двух Rei или 10 \by Натансон И.П. \book Теория функций вещественной переменной \bookinfo %Edited by \publ М.: Наука \vol \nofrills % Наука ит.п. % том или вып. \publaddr %Москва ит.п. \yr 1974 %год. 000 с. напр., 1985. 543 с. \endref \ref \no 5 %одно из двух Rei или 10 \by Александров П.С., Урысон П.С. \book Мемуар о компактных топологических пространствах \bookinfo %Edited by \publ М.: Наука \vol \nofrills % Наука ит.п. % том или вып. \publaddr %Москва ит.п. \yr 1971 %год. 000 с. напр., 1985. 543 с. \endref \ref \no 6 \by C.Stegall \pages 213-223 \paper The Radon-Nikodym property in conjugate Banach spaces \yr 1975 \vol 206 \issue \jour Trans. Amer. Math. Soc. \finalinfo $MR 51 \# 10581.$ \endref \ref \no 7 %одно из двух Rei или 10 \by Бурбаки Н. \book Общая топология \bookinfo %Edited by \publ М.: Наука \vol вып. 3\nofrills % Наука ит.п. % том или вып. \publaddr %Москва ит.п. \yr 1975 %год. 000 с. напр., 1985. 543 с. \endref \ref \no 8 \by Haydon R. \pages 269--276 \paper Some more characterizations of Banach spaces containing $ l_1$ \yr 1976 \vol 80 \issue 2 \jour Math. Proc. Cambridge Phil. Soc. \finalinfo \endref \ref \no 9 \by W.J.Davis, T.Figiel, W.B.Johnson, A.Pelczynski \pages 311-327 \paper Factoring weakly compact operators \yr 1974 \vol 17 \issue \jour J. Functional Analysis \finalinfo $MR 50 \# 8010.$ \endref \ref \no 10 \by Рейнов О.И. \pages 528-531 \paper Операторы типа RN в банаховых пространствах \yr 1975\vol 220 \issue 3 \jour ДАН СССР \endref \ref\no 11%\key \by Рейнов О.И. \paper О двух вопросах в теории линейных операторов \inbook Применение функционального анализа в теории приближений \bookinfo %Edited by \publaddr Калинин: КГУ %Providence \publ \vol \nofrills % Наука и т.п. % том или вып. \yr 1979 \pages 102-114%489--504 \endref \ref \no 12 \by Рейнов О.И. \pages 80-81 \paper $RN$--множества в банаховых пространствах \yr 1978 \vol 12 \issue 1 \jour Функц. анализ и его приложен. \endref \endRefs %%%%%%% \enddocument %%%%%%%%%%%%%%%5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ДоПоЛнЕнИя % % %%\def\nor#1{||{#1}||} % норма - где-то были нужны трое этих %\def\md#1{|{#1}|} % модуль %\def\sp#1#2{\(#1,#2\)} % скалярное произведение %\def\ove#1{\overline{#1}} % нормальное компл. сопряжение и черта над %\def\ovs#1#2{\overset{#1}\to{#2}} % \def\({\left(} %\def\al{\alpha} %\def\lee{\leqslant} % \def\){\right)} % \def\e{\varepsilon} % \def\gee{\geqslant} % \def\[{\left[} %\def\la{\lambda} % \def\]{\right]} % \def\ffi{\varphi} % \def\be{\beta} %\def\{{\left\{} % \def\ot{\otimes} % \def\<{\langle} % \def\wh{\widehat} % \def\>{\rangle} % \def\wt{\widetilde} % \def\sbs{\subset} \def\sm{\setminus} %\def\tr{\operatorname{trace}\,} %%%%%%%%%%%%% after 30.01.00 02:44:40 Sat: %\def\clco{\overline{\operatorname{co}}} %\def\Gr{\operatorname{Gr}} %\def\AP{\operatorname{AP}} %\def\BAP{\operatorname{BAP}} %\def\MAP{\operatorname{MAP}} %\def\CAP{\operatorname{CAP}} %\def\N{\operatorname{N}} %\def\I{\operatorname{I}} %\def\K{\operatorname{K}} %\def\id{\operatorname{id}} %\def\L{\operatorname{L}} %\def\QN{\operatorname{QN}} %\def\RN{\operatorname{RN}} %\def\J{\operatorname{J}} %\def\R{\operatorname{R}} %\def\WK{\operatorname{WK}} %\def\Var{\operatorname{Var}} %\def\reg{\operatorname{reg}} %\def\dual{\operatorname{dual}} % \def\sbs{\subset} % \def\W{\operatorname{W}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \def\чтд{\quad\blacksquare} \def\med{\medpagebreak} % \def\QQ{$\quad\blacksquare$} \def\small{\smallpagebreak} % \def\Q{\quad\blacksquare} \def\bigp{\bigpagebreak} %\def\f{\vec} % % % % % % % % % % % % % % % % % %