%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%                           Новосибирск
%%%%           01.11.2010 19:18:36
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%% поиск вопросов и добавок по !!!
%
%
\documentclass[12pt,oneside]{amsproc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\textheight=22cm \textwidth=15cm \oddsidemargin=5mm
\topmargin=-5mm





\pagestyle{plain}


\title{Аппроксимация операторов в сопряженных пространствах\\
сопряженными операторами}
\author{О.~И.~Рейнов}


  \thanks{${ }^*$The research was supported by the Higher
 Education Commission of Pakistan.}

\begin{document}
\vphantom{} \maketitle



История рассматриваемых в заметке вопросов началась где-то в 1983 г. с одного
письменного вопроса Ю.\!~А. Брудного (Yu.\!~A. Brudny{\v \i} ) и, почти одновре\-ме\-нно,
с другого (также письменного) вопроса Стена Кайзера (S. Kaijser) .
Первый вопрос касался аппроксимации (в некоторой топологии)
линейных не\-п\-рерывных операторов,
действующих в сопряженных банаховых пространствах, сопря\-женными операторами.
Во втором речь шла, в частности, о существовании ненулевого линейного
непрерывного функционала
на пространстве $\operatorname{L}(X,Y^{**})$ всех ог\-рани\-ченных линейных
отображений из банахова пространства $X$
во вто\-рое сопряженное к банахову пространству $Y,$ который обращается
 в тождествен\-ный нуль
на подпространстве $\operatorname{L}(X,Y)$ всех операторов из $X$ в $Y$
и который по\-ро\-ж\-дается проективным
тензорным элементом (из $Y^*\widehat\otimes X).$
Из нестрогого описания указанных вопросов более менее ясно,
что они тесно связаны между собой,
и поэтому не является неожиданным, что и ответы на эти вопросы
были получены одновременно
автором данной заметки (см., например, \cite{Rei93}; \cite{BrKr}, pp. 282–286);
другие, более тонкие, либо более общие,
 варианты ответов можно
найти в \cite{Rei96}, \cite{Rei85} или
arXiv:1002.3902v1 [math.FA]), или в \cite{Rei09}.

Перед тем как объяснить, почему мы начали заметку ссылками на 1980-е годы,
приведем несколько вопросов  Ю. А. Брудного и С. Кайзера.
                      \smallskip

$(i)$\, (Yu.\!~A. Brudny{\v \i}). \ Верно ли, что единичный шар
пространства $\operatorname{L}(X,Y)$
плотен в единичном шаре пространства $\operatorname{L}(Y^*,X^*)$
в топологии поточечной
$Y^*\times X$-сходимости? [Здесь, как обычно, $\operatorname{L}$ --- банахов идеал
всех (ограниченных линейных)
операторов с обычной операторной нормой.]
          %   \smallskip

$(ii)$\, (Yu.\!~A. Brudny{\v \i}; см. также \cite{ABru}). \ Обозначим через
$ W(Y^*,X^*)$ множество тех операторов $ T$ из $ Y^*$ в $ X^*,$ для
которых существует число $ \gamma=\gamma(T)>0$ такое, что
$$%\align
   | \langle Ty',x\rangle| \leqslant \gamma\,\sup \{ | \langle y', Sx\rangle|: \
     S\in \operatorname{L}(X,Y), \,\|S\|\leqslant1\}   \quad \
  \forall\, x,y';\ \|x\|,\,\|y'\|\leqslant1,
 %\endalign
$$
и положим $ \|T\|_{W}= \inf \gamma.$ Верно ли, что
$ W(Y^*,X^*)=\operatorname{L}(Y^*,X^*)?$
           %   \smallskip

$(iii)$\, (S. Kaijser). \ Существуют ли банахово пространство $Z,$
элемент  $ z\in Z^*\widehat\otimes Z$ проективного тензорного произведения
А. Гротендика и оператор  $\Psi\in \operatorname{L}(Z,Z^{**})$ такие, что
$\operatorname{trace}\, \Psi\circ z=1,$ но $\operatorname{trace}\, \Phi\circ z=0$
для любого $\Phi\in \operatorname{L}(Z,Z)?$
  \smallskip

  Как говорилось несколькими строками ранее, ответы (отрицательный
  на первый вопрос, положительный ---
  на второй и положительный --- на третий) были получены
   автором в работах   \cite{Rei93},
 \cite{Rei85}, \cite{Rei09}, \cite{Rei96}; см. также arXiv:1002.3902v1 [math.FA].
Подробное обсуждение вопросов $(i)-(ii)$  можно найти и
в моногра\-фии \cite{BrKr}, pp. 282--286.
В тех же работах  \cite{Rei85} и \cite{Rei09},  arXiv:1002.3902v1 [math.FA]
рас\-смо\-трены более общие чем $(i)$ и $(iii)$ вопросы, в которых идеал $L$
заменен на идеалы $\Pi_p$ и $\Pi_p^{dual}$  (p-абсолютно суммирующих и
дуально p-абсолютно
суммиру\-ющих операторов).
Мы здесь, однако, ограничимся рассмотрением лишь случая идеала $\operatorname{L},$ ---
по причинам продолжения истории с проблемами $(i)-(iii)$ в 2000-х годах, а именно,
в апреле 2010-го года.

В апреле 2010-го года (точнее, 28-го апреля) на сайте
Math Overflow %(http://mathoverflow.net/questions/22799)
матема\-тик Ady задал важный для него вопрос:
  \smallskip

        $(A)$\ "Is any continuous linear operator from a dual Banach space
         to a separable Hilbert space
        the strong-operator limit of a net of adjoint operators of less or equal norm?"
        (http://mathoverflow.net/questions/22799)

[Подробнее: "Пусть  $E$ --- произвольнок банахово пространство и пусть $T: E^*\to l^2$ ---
линейный непрерывный оператор. Верно ли, что $T$ должен
быть SO-пределом (т.е. пределом
в сильной операторной топологии) некоторой сети $(S_d^*)$\ $(d\in D)$
сопряженных операторов,
для которых $S_d: l^2\to E$ и $||S_d||\le ||T||$\ $(d\in D)?$"]
     \smallskip

Первый ответ на вопрос Ady появился на сайте   Math Overflow в тот же день. Именно,
Mattew Davis показал, что
                     \smallskip

$(M)$\ ответ на вопрос $(A)$ положителен даже в случае, когда
гильбер\-то\-во пространство $l^2$
заменено (в условии "$T: E^*\to l^2$") на произвольное со\-пря\-жен\-ное банахово пространство
$X^*,$ которое обладает свойством метрической аппро\-к\-симации А. Гротендика.
           \smallskip

Наконец, несколько позже, но также 28-го апреля, там же появился
допол\-ня\-ю\-щий утверждение
$(M)$ факт,  установленный и приведенный W.B. Johnson'ом:
              \smallskip

  $(B)$\ Для положительного ответа на вопрос $(A),$ в котором оператор $T: E^*\to l^2$
  заменен на оператор $T: E^*\to X^*$ (как в утверждении $(M)$) необходимо, чтобы
  банахово пространство $X$ обладало MAP [= свойством метрической ап\-п\-ро\-ксимации].
       \smallskip

Bill Johnson заключил свои пояснения пожеланием узнать, что будет в случае, когда
$X$ имеет MAP, а $X^*$ --- не имеет:
                 \smallskip

   $(B')$\ "I don't know what can happen when $X$   has the MAP but $X^*$ fails the MAP."
     [Я не знаю, что может произойти, когда $X$ имеет MAP, но $X^*$ не обладает MAP.]
        \smallskip

Нам представляется, что теперь, после результатов Mattew Davis'а и Bill'а Johnson'а,
ситуация видится в несколько другом свете и является несколько интригующей.
Тем более, что, например, один из возможных ответов автора настоящей заметки на вопрос
$(i)$\ Ю.А. Брудного звучит так (см., например, \cite{BrKr}, pp. 282-286):
   \smallskip

{\bf Теорема \rm (Reinov, \cite{BrKr}, p. 283; Prop. 2).}\  {\it Существуют
сепарабельные банаховы пространства
$X$ и $Y,$ первое из которых рефлексивно,  в то время как второе имеет свойство метрической
аппроксимации, и компактный оператор $K\in \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ такие, что
$K$ не принадлежит $\tau$-замыканию никакого множества
$$
 B_r:= \{T^*\, :\  T\in L_r(X,Y)\},\ r>0.
$$               }

Здесь авторы монографии \cite{BrKr} обозначают через $L_r(X,Y)$
шар (радиусом $r$ с центром в нуле)
пространства $\operatorname{L}(X,Y).$
Под топологией $\tau$ в \cite{BrKr} (стр. 279) понимается
топология в $\operatorname{L}(Y^*,X^*),$ порождаемая
системой полунорм
$$
 P_{x,y'}(T) := |\langle Ty',x\rangle|,\quad x\in X,\ y'\in Y^*.
$$

В связи с результатами Mathew Davis'а, Bill'а Johnson'а и Олега Рейнова возникают,
в частности, четыре проблемы:\
(a)\, {%\it
возможность аппроксимации $($в некоторых топологиях$)$ всех операторов
из $\operatorname{L}(Y^*,X^*)$ сопряженными $($с возмож\-но некоторыми
ограничениями на нормы операторов$)$
при фиксации прос\-т\-ранства $X$ и такая же возможность аппроксимации при фиксации
пространства}\, $Y;$\ (b)\,  {%\it
возможность аппроксимации $($в некоторых топологиях$)$ всех операторов
из $\operatorname{L}(X,Y^{**})$ операторами
из $\operatorname{L}(X,Y)$ $($с возможно некоторыми ограничениями
 на нормы операторов$)$
при фиксации пространства $X$ и такая же возможность аппроксимации при фиксации
пространства $Y.$   }
             \vskip 0.1cm

Предварительно обсудим связи между
 пространствами $\operatorname{L}(X,Y)$\, $\operatorname{L}(X,Y^{**})$ и
$\operatorname{L}(Y^*,X^*.)$
  \smallskip

Для пары банаховых пространств $ X,Y$ мы будем рассматривать
пространст\-во $ \operatorname{L}(X,Y)$ как подпространство
пространства $ \operatorname{L}(Y^*,X^*),$
имея в виду, что суще\-с\-твует естественное каноническое изометрическое
вложение первого во второе, причем второе пространство естественным
образом отождествляется с банахо\-вым прос\-т\-ранством $ \operatorname{L}(X,Y^{**}).$
Именно: при помощи канонического отображения $ \pi_Y:Y\to Y^{**}$
вложим пространство $ \operatorname{L}(X,Y)$ изометрично в $ \operatorname{L}(X,Y^{**}):$\
$ T\mapsto \pi_YT.$ Рассмотрим, для $ U\in\operatorname{L}(X,Y^{**}),$ оператор
$ U^*: Y^{***}\to X^*$ и его сужение $ V:=U^*|_{Y^*}: Y^*\to X^*.$
Оператор $ U^*$\, ${}^*$-слабо непрерывен как всякий сопряжен\-ный оператор,
и единичный шар пространства $ Y^*$\, ${}^*$-слабо плотен в единичном
шаре пространства $ Y^{***};$ поэтому $ \|V\|=\|U^*\|,$ и мы получаем
изометрическое вло\-жение, обозначим его на время через $ j,$
банахова пространства $ \operatorname{L}(X,Y^{**})$ в банахово пространство
$ \operatorname{L}(Y^*,X^*).$ Обратно, пусть $ V\in \operatorname{L}(Y^*,X^*).$ Рассмотрим
сопря\-жен\-ный оператор $ V^*:X^{**}\to Y^{**}$ и его сужение
$ U:=V^*|_{X}:X\to Y^{**}.$ Снова, единичный шар пространства $ X$\,
${}^*$-слабо плотен в соответствующем шаре пространства $ X^{**},$
и оператор $ V^*$\, ${}^*$-слабо непрерывен; поэтому $ \|V^*\|=\|U\|.$
Наконец, для $ y'\in Y^*$ и $ x\in X$ имеем
$$ \langle  U^*|_{Y^*}y',x\rangle \equiv
\langle  U^*\pi_{Y^*}y',x\rangle= \langle \pi_{Y^*}y',Ux\rangle =$$
$$ \langle  \pi_{Y^*}y',V^*\pi_X x\rangle
   = \langle  y',V^*\pi_Xx\rangle = \langle  Vy',\pi_Xx\rangle = \langle  Vy',x\rangle,
$$
и, таким образом, $ U^*|_{Y^*}=V.$
Это показывает, что рассмотренное выше естест\-вен\-ное отображение
$ j: \operatorname{L}(X,Y^{**})\to \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ есть
изометрия первого простра\-н\-ства
на второе.
Итак, мы можем писать $ \operatorname{L}(X,Y^{**})= \operatorname{L}(Y^*,X^*)$
и рассматривать
пространство $ \operatorname{L}(X,Y)$ как подпространство любого из этих двух.
Ниже мы обычно не будем явно указывать возникающие при описанных
изометрических отображениях ни отображения отождествления $ j,j^{-1},$
ни связанные с ними канонические операторы $ \pi,$
и будем свободно, рассматривая некоторый оператор, принадлежащий
одному из этих операторных пространств, переходить из одного пространство
в другое.
       \smallskip

Теперь, перед тем как приступить к формулировкам наших результатов,
рассмотрим подробнее вопрос Ady $(A),$ изучая сейчас произвольные
операторы, действующие в произвольных сопряженных пространствах.
       \vskip 0.1cm

{\bf Лемма 1.}\     \it
 {Пусть $D\ge1,$ $Z$ и $W$ --- банаховы пространства,
 $\{B_\alpha\}_{\alpha\in \mathcal A}$ --- сеть операторов в $\operatorname{L}(W^*,Z^*)
 и $\, $A\in \operatorname{L}(W^*,Z^*).$
Эквивалентны утверждения:

1)\, $||B_\alpha||\le D||A||$ для каждого $\alpha\in \mathcal A$ и
 сеть $\{B_\alpha\}$ SO-сходится к $A,$
т.е. для любой точки $w'\in W^*$ \ $B_\alpha w'\underset{\alpha}\to Aw'$ в $Z^*;$

2)\, $||B_\alpha||\le D||A||$ для каждого $\alpha\in \mathcal A$ и
для любого $\varepsilon>0$ и всякого компакта $K\subset W^*$ существует такой индекс
$\alpha_\varepsilon,$ что
$$
 \forall \, \alpha>\alpha_\varepsilon,\ \ \forall \, k\in K \quad \ ||B_\alpha k-Ak||\le \varepsilon.
$$                      }      \rm

{\it Доказательство}.\,
      Если   $\{B_\alpha\}$ SO-сходится к $A,$
      то для всякого конечного набора $\{w'_n\}_{n=1}^N$ точек из $W^*$
      имеем: $B_\alpha w'_n\underset{\alpha}\to Aw'_n,$\, $n=1,2,\dots, N.$
      Пусть $\varepsilon>0,$ $K$ ---
      компакт в $W^*$ и $\{w'_n\}_{n=1}^N$  --- $\frac{\varepsilon}{3D(||A||+1)}$-сеть
      для $K.$
      Пусть, далее, $\alpha_0$ таково, что $||B_\alpha w'_n-Aw'_n||<\varepsilon/3$
      для всех $n\le N$ при всех $\alpha>\alpha_0.$
      Возьмем произвольную точку $k\in K$ и выберем такой индекс $n_0,$ что
      $||k-w'_{n_0}||<\frac{\varepsilon}{3D(||A||+1)}.$
      Для $\alpha>\alpha_0$ имеем:
      $$
     ||B_\alpha k-Ak||\le ||B_\alpha k-B_\alpha w'_{n_0}||+
      ||B_\alpha w'_{n_0}-Aw'_{n_0}||+||Aw'_{n_0}-Ak||\le   $$
    $$  D||A||\, \dfrac{\varepsilon}{3}\dfrac1{D(||A||+1)}  +
    \varepsilon/3 + ||A||\dfrac{\varepsilon}{3D(||A||+1)}\le \varepsilon.
      $$
      \vskip 0.1cm

{\bf Следствие 1.}\       \it
  {Пусть $D\ge1,$ $Z$ и $W$ --- банаховы пространства,
 $A\in \operatorname{L}(W^*,Z^*),$ причем $||A||\le1.$
 Эквивалентны утверждения:

   1)\, $A$ принадлежит замыканию шара $B_D$ $($радиуса $D$
   с центром в нуле$)$ пространства $\operatorname{L}(Z,W)$
   в топологии компактной сходимости в пространстве $\operatorname{L}(W^*,Z^*);$

   2)\, $A$ принадлежит замыканию шара $B_D$ %
   %$($радиуса $D$
  % с центром в нуле$)$ пространства $\operatorname{L}(Z,W)$
   в сильной операторной топологии  пространства $\operatorname{L}(W^*,Z^*);$

   3)\, существует сеть   $\{\tilde{B}_\alpha\}_{\alpha\in \mathcal A}$
   операторов из $\operatorname{L}(Z,W)$
   с нормами, не пре\-во\-с\-ходящими $D,$ для которой
   сеть $\{B_\alpha :=\tilde{B}_\alpha^*\}$ SO-сходится к $A$
   в пространстве $\operatorname{L}(W^*,Z^*).$
         }                                \rm
     \vskip 0.1cm



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Stop for a while - for 2 lemmas:

Нам понадобятся ниже две следующие важные леммы.
         \vskip 0.1cm

{\bf Лемма 2 \rm(\cite{Pie80}, E.3.1).}\,
{\it Пусть $E,F$ --- банаховы пространства, $\operatorname{dim} E<\infty,$
$S\in \operatorname{L}(E,F^{**}),$ $M\subset F^*$ ---
 конечномерное подпространство.
 Тогда для любо\-го $\varepsilon>0$ найдется оператор $R\in \operatorname{L}(E,F)$ такой, что
 $$
  ||R||\le (1+\varepsilon)||S||,$$
  $$ \langle Rx,b\rangle = \langle Sx,b\rangle\ \forall \, x\in E, b\in M,$$
  $$K_FRx=Sx\ \text{если }\, Sx\in K_F(F)\subset F^{**},
 $$
где $K_F: F\to F^{**}$ --- естественное изометрическое вложение.                 }
\vskip 0.1cm

{\bf Лемма 3 \rm(\cite{Cas01}, Lemma 3.2).}\,
 {\it  Пусть $X$ --- банахово пространство, $E\subset X,$ $\operatorname{dim} E=n;$ $T:X\to E$
 линейное непрерывное
  отображение "на".
  Пусть, далее, $k\le n,$ $F\subset X,$ $\operatorname{dim} F=k.$
  Предположим, что
  $||T|_F-I_F||<\varepsilon<1,$ где $\frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon}<1.$
  Тогда существует $n$-мерный оператор $S:X\to X$ со свойствами:
  $$
  S|_F=I_F,
  $$
  $$
  ||S-T||<\frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon} ||T||,
  $$
   $$
   S^*(X^*)=T^*(X^*).
   $$
Более того, если $T$ --- проектор, то и $S$ может быть выбран проектором.       }
              \vskip 0.1cm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   Конец 2х лемм !!!

            \rm
{\bf Определение 1.}\,
Пусть $X$ --- банахово пространство, $k\in \Bbb N,$ $C\ge1.$
Будем говорить, что $X$ {\it обладает свойством $(C,k)$-метрической аппроксимации},
$X\in (C,k)$-MAP, если для всякого $\varepsilon>0,$
для любого $k$-мерного подпространства
$F\subset X$ существует такой конечномерный непрерывный оператор
$T: X\to X,$ что $||T|_F-I_F||<\varepsilon$ и $||T||\le C.$
       \vskip 0.1cm

По аналогии с определением класса $W$ операторов, действующих в
сопря\-же\-н\-ных пространствах (см. начало нашей заметки, вопрос $(ii)$), мы,
следуя \cite{Rei93}, введем в рассмотрение классы
$W_n.$
 Если $ n\in\Bbb N\cup\{+\infty\},$ то обозначим через $ W_n(Y^*,X^*)$
множество всех операторов $ T:Y^*\to X^*,$ для которых существует число
$ \gamma_n(T)$ такое, что
$$ \bigg |\sum_{j=1}^n \langle  Ty'_j, x_j\rangle\,\lambda_j \bigg|\leqslant
\gamma_n(T) \sup \bigg \{\bigg |\sum_{j=1}^n \langle  y'_j, Sx_j\rangle\, \lambda_j\bigg|:\
  S\in\operatorname{L}(X,Y),\,\|S\|\leqslant1 \bigg\}
$$
для всех $ x_j\in X, y'_j\in Y^*; \|x_j\|\leqslant1, \|y'_j\|\leqslant1,$ и всех
$ \lambda_j\geqslant 0,\ \sum_1^n \lambda_j=1.$

Положим
$ \|T\|_{W_n}=\inf \gamma_n(T).$
Ясно, что в определении $ W_n$ можно ограничи\-ть\-ся элементами $ x_j$ и
$ y'_j$ единичной нормы; при этом $ \|\cdot\|_{W}=\|\cdot\|_{W_1}$ и
$ \|\cdot\|_{W_n}\leqslant \|\cdot\|_{W_{n+1}}.$



        \vskip 0.1cm

{\bf Теорема 1.}\,
{\it Пусть $k\in \Bbb N, C\ge1.$
 Если $X\in (C,k)$-MAP, то для всяко\-го банахова пространства $Y$ и любого оператора
 $U\in \operatorname{L}(Y^*,X^*)$
 $$
 ||U||\le ||U||_{W_k(Y^*,X^*)}\le C\,||U||.
 $$                              }

{\it Доказательство}.\,      \rm
Фиксируем $\varepsilon_0, \varepsilon_0\in(0,1),$ $k\in\Bbb N,$ и возьмем $\varepsilon\in(0,1),$
для которого $\varepsilon_0> \frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon}.$
Пусть
$(x_j)_{j-1}^k\subset X,$ $(y'_j)_{j=1}^k\subset Y^*,$ $\sum_{j=1}^k \lambda_j=1,$ $||x_j||\le1,$
$||y'_j||\le1$ и $F:= [x_j]_{j=1}^k.$

Пусть, далее, $T: X\to X$ --- такой конечномерный оператор, что
$$
||T|_F-I_F||<\varepsilon,\quad ||T||\le C.
$$
Положим $E:= T(X), n:= \operatorname{dim} E.$ Мы находимся в условиях леммы 3. Поэтому
существует такой $n$-мерный оператор $S: X\to X,$ что
  $$
  S|_F=I_F,
  $$
  $$
  ||S-T||<\frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon} ||T||,
  $$
   $$
   S^*(X^*)=T^*(X^*).
   $$
Положим $\tilde E:= S(X),$ $\tilde F:= Y,$ $M:= [y'_j]_1^k. $
Тогда $\operatorname{dim} \tilde E=n,$ $M\subset \tilde F^*=Y^*,$ $F\subset \tilde E$
(в  частности, $(x_j)_1^k\subset \tilde E).$

Определим оператор $\tilde S:\tilde E\to \tilde F^{**}(=Y^{ **})$
как сужение оператора $U^*$ на подпространство $\tilde E (= S(X)\subset X\subset X^{**}).$
К четверке $(\tilde E, \tilde F, \tilde S, M)$ применим принцип локальной рефлексивности, ---
лемму 2.

Для выбранного заранее числа $\varepsilon_0>0$ найдется такой оператор
$R\in \operatorname{L}(\tilde E, \tilde F),$ что
$||R||\le (1+\varepsilon_0)||\tilde S||$ и
$\langle Rx,b\rangle=\langle \tilde S x,b\rangle$ для всех $x\in \tilde E$
(и, значит, для всех $x\in F)$
и $b\in M.$

Отсюда:
$$
 \forall\, j=1,2,\dots, k\ \  \langle Rx_j,y'_j\rangle=
 \langle \tilde S x_j ,y'_j\rangle,\ ||R||\le (1+\varepsilon_0)||\tilde S||,
$$
или, возращаясь к старым обозначениям, имеем:
$$
 \forall\, j=1,2,\dots, k\ \  \langle Rx_j,y'_j\rangle=
 \langle U^*|_{X} x_j ,y'_j\rangle,\  ||R||\le (1+\varepsilon_0)||U^*||.
$$

Теперь,
$$
 \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle Uy'_j, x_j\rangle \big| =
 \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,U^*|_X x_j\rangle \big| =
  \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,R x_j\rangle \big|,
$$
а поскольку $x_j\in F\subset \tilde E=S(X),$ $R:\tilde E\to Y$
 и $Sx_j=x_j,$ то  последняя величина есть
$$
   \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,RS x_j\rangle \big|=
   \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,S_1 x_j\rangle \big|,
$$
где $S_1:= RS: X\to \tilde E=S(X)\to Y.$

Так как  $||R||\le (1+\varepsilon_0)||U||,$ то  $||S_1||\le (1+\varepsilon_0)||U||\, ||S||.$
Теперь оценка для нормы $S:$\
$$
 ||S||< ||T|| + \frac{\varepsilon k}{1-\varepsilon}= ||T||\, [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon)]
$$
(использовали неравенство из леммы 3).
Поэтому
$$
 ||S_1|| \le (1+\varepsilon_0)\, [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon) ]\, ||T||\, ||U||\le
    C (1+\varepsilon_0)\,  [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon) ]\, ||U||.
    $$

    Окончательно, для оценки сверху первоначальной суммы получаем:
    $$
    \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle Uy'_j, x_j\rangle \big|=
   ||S_1||\,  \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,(S_1/||S_1||) x_j\rangle \big|\le  $$
    $$  C (1+\varepsilon_0)\,  [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon) ]\, ||U||\,
    \sup \{  \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,S_0 x_j\rangle \big|:\
       S_0\in \operatorname{L}(X,Y),\, ||S_0||\le1 \}<
    $$
   $$  C (1+\varepsilon_0)^2\, % [1+ (\varepsilon k)/(1-\varepsilon) ]\,
    ||U||\,
    \sup \{  \big| \sum_{j=1}^k \lambda_j \langle y'_j,S_0 x_j\rangle \big|:\
       S_0\in \operatorname{L}(X,Y),\, ||S_0||\le1 \}.
    $$
                      \rm

      \vskip 0.1cm

Так как всякое банахово пространство обладает свойством $(1, \sqrt n)$ (поскольку
в любом банаховом пространстве каждое $n$-мерное подпространство
$\sqrt n$-допол\-ня\-емо), то  из доказанной теоремы моментально вытекает
следующий (один  из основных в \cite{Rei93})  результат:
         \vskip 0.1cm

{\bf Следствие 2}\,        \it
Если $ T\in\operatorname{L}(Y^*,X^*),$ то  $ \|T\|\leqslant \|T\|_{W_n}\leqslant \sqrt n\,\|T\|$
\, $($при $ n\in\Bbb N).$ В частности, $ W_n(Y^*,X^*)=\operatorname{L}(Y^*,X^*)$
(при $ n\in\Bbb N$) как множества, и $ \|T\|_{W_1}=\|T\|.$          \rm
           \vskip 0.1cm

Аналогичные следствия могут быть сформулированы и получены из теоремы,
например, для банаховых пространств с нетривиальными типами и котипами,
в частности для лебеговых пространств $L_p(\mu).$
Более общим образом, мы имеем:
           \vskip 0.1cm

{\bf Следствие 3 \cite{Rei93}.}\,
\it Пусть $ n\in \Bbb N.$
Если всякое $ n$-мерное подпространство в $ X$ является
$ Cn^{\alpha}$-дополняемым, где $ 0\leqslant\alpha\leqslant1/2,$
то $ \|T\|_{W_n(Y^*,X^*)}\leqslant Cn^{\alpha}\,\|T\|$ для любых
банахова пространства $ Y$ и оператора $ T\in\operatorname{L}(Y^*,X^*).$
Более общо, если $ C_0>0$ и всякое $ n$-мерное подпространство
пространства $ X$\, $C_0$-дополняемо, то
$ \|T\|_{W_n(Y^*,X^*)}\leqslant C_0\,\|T\|$ для любых $ Y,$\,
$ T\in\operatorname{L}(Y^*,X^*).$
\rm

   \vskip 0.1cm

{\bf Следствие 4.}\,
{\it Пусть $C\ge1.$
 Если $X\in C$-MAP, то для  каждого $k\in \Bbb N,$ для всякого банахова пространства $Y$ и
 для любого оператора
 $U\in \operatorname{L}(Y^*,X^*)$
 $$
 ||U||\le ||U||_{W_k(Y^*,X^*)}\le C\,||U||.
 $$                              }
 В частности, если банахово пространство $X$ обладает свойством метрической
 аппроксимации, то
 $$
 ||U||= ||U||_{W_k(Y^*,X^*)}
 $$
 для всех $Y,$ $U\in \operatorname{L}(Y^*,X^*)$ и  $k\in \Bbb N.$
              \vskip 0.1cm

Известно (и понятно; см.  \cite{Rei93}), что
 $ r=\|U\|_{W_n}$ есть наименьшее число $ r,$ для которого,
грубо говоря, на всяком $ n$-мерном тензоре элемент $U$
может быть сколь угодно хорошо приближен операторами из шара радиуса $ r$
пространства $ \operatorname{L}(X,Y).$ Точнее, для $ n\in\Bbb N$ %$\cup \{ +\infty\}$
$$ %\multline
\|U\|_{W_n}=
  \inf \{ r>0:\\  \forall\, t\in Y^*\otimes X, \operatorname{dim} t\leqslant n,\, $$
 $$  \exists \, S\in\operatorname{L}(X,Y), \|S\|\leqslant r,
 \operatorname{trace}\, S\circ t= \operatorname{trace}\, T^*\circ t \} \le \sqrt n\, ||U||.
%\endmultline
$$
В \cite{Rei93}, Следствие 3, показано что этот факт точен (а именно,  точным
является следствие 2 выше).
Ниже будут установлена и точность нашей теоремы 1 (см. предложение 2).




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%55555555          Точность теоремы о (C,k)-MAP
            \vskip 0.1cm

Мы будем использовать следующий результат, нетрудно выводимый  из
\cite{Rei96} (см. там теорему 2 и следствие 4 из нее), представляющий
и самостоятельный интерес:
             \vskip 0.1cm

%\proclaim
 {\bf Предложение 1.} \, \it
Существует постоянная $\,c\in (0,1)\,$ со следующим свой\-с\-т\-вом.
Для каждого $\,n=1,2,\dotso\,$ можно найти сепарабельное сопряженное
банахово пространство $\,E\,$ с базисом, сепарабельное банахово пространство
$\,E_n\,$ со свойством ограниченной аппроксимации
(точнее, со свойством  $\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP}), $
$\,n\,$-мерный оператор $\,t:E\to E_n\,$ такие, что
$\,E_n\notin\,c\,\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP} $    и

$(*)$ \
существуют $\,\varepsilon>0\,$ и оператор $\,V\in \operatorname{L}
\left(E_n,E^{**} \right), \,$ для которого $\, \|V\| = 1,\,$
такие , что
 $\operatorname{trace}\, V\circ t\ge c\sqrt n$   и
если
$\,G_n=t(E),\, F_n=t^*(E^*_n),\, R\in \operatorname{L}(E_n,E)\,$ и
$$ \forall \,g\in G_n,\ \forall \, f\in F_n \qquad
|\left\langle  Rg-Vg,f \right\rangle| \le\varepsilon\,\|g\|\,\|f\|
 %\tag*
    $$
то $\,\|R\|>c\,\sqrt n.\,$  При этом, для всякого $U\in \operatorname{L}(E_n,E)$  имеем:
$|\operatorname{trace}\, U\circ t|\le ||U||.$             \rm
   \vskip 0.1cm

{\bf Замечание.}\,
Пространство $E$ (как, впрочем, и $E_n)$ может быть выбрвно {\it вполне сепарабельным},
т.е. таким, что {\it все его сопряженные пространства сепа\-рабельны}\ (таково пространство
из доказательства теоремы 2 в \cite{Rei96}). То же отно\-сит\-ся и к следующим утверждениям.



     %%%%  применение его:

{\bf Предложение 2.}\,      \it
Существует постоянная $\,c\in (0,1)\,$ со следующим свой\-с\-т\-вом.
Для каждого $\,n=1,2,\dotso\,$ можно найти сепарабельное сопряженное
банахово пространство $\,E\,$ с базисом, сепарабельное банахово пространство
$\,E_n\,$ со свойством  $\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP} $  и
$\,n\,$-мерный оператор $\,t:E\to E_n\,$ такие, что

$(**)$ \   $\,E_n\notin\,c\,\sqrt n\,$-$\,\operatorname{MAP} $ и
  существует оператор $\,T\in \operatorname{L}
\left(E^*,E_n^{*} \right), \,$ для которого $\, \|T\| = 1\,$   и
 $\sqrt n \ge ||T||_{W_n}> c\,\sqrt n.$
 Таким образом, $E_n\in (\sqrt n,n)$-MAP, но $E_n\notin (c\sqrt n,n)$-MAP.
   \rm
              \vskip 0.1cm

{\it Доказательство}.\,  Константу $c,$ пространства $E,$ $E_n$ и  $\,n\,$-мерный тензор
(опе\-ра\-тор) $\,t:E\to E_n\,$
мы возьмем  из предыдущего утверждения.
Пусть, далее, $T:= V^*|_{E^*}.$ Нам надо установить лишь справедливость
второго утверждения в $(**).$    Это нетрудно (когда доказана теорема 2 в \cite{Rei96}).
%Пусть $\varepsilon>0$ --- из $(*).$
%Пусть, далее, $t_0:E\to t(E)$ --- приведение оператора $t,$
%$j:t(E)\to E_n$ --- оператор тождественного вложения,
%$\{\psi_k\}_{k=1}^n$ --- базис в $t(E),$
%$\{\psi'_k\}_{k=1}^n$  --- соответствующий ему базис в $t(E)^*,$
%$t_1: t(E)^*\to t^*(E_n^*)$ --- естественный оператор, ассоциированный
%с $j^*$ и $t^*,$ $i: t^*(E_n^*)\to E^*$ --- оператор тождественного вложения.
%
%
%Нетрудно видеть, что
%$$
% t=\sum_{k=1}^n t_0^*\psi'_k \otimes j\psi_k.
%$$
%
%Теперь,
Если оператор $R\in \operatorname{L}(E_n,E)\,$
таков, что $\operatorname{trace}\, R^*\circ t^t= \operatorname{trace}\, T\circ t^t,$
то (см. $(*)$)
$$
c\sqrt n< \operatorname{trace}\, R^*\circ t^t= \operatorname{trace}\, R\circ t\le  ||R||
$$
и, следовательно, $||R||> c\sqrt n.$
В силу сказанного перед формулировкой пред\-ло\-жения 1,
$||T||_{W_n}> c\sqrt n.$
              \vskip 0.1cm

{\bf Замечание.}\, Более подробное рассмотрение примеров пространств
$X$ с $X\in (C_1, m)$-MAP и $X\notin (C_2, m)$-MAP, как и
других положительных результатов, предполагается провести в следующей работе
автора.


     %%%% конец данного примен

Из предложения 1, используя метод "суммирования" из доказательства сле\-д\-с\-твия 1
в \cite{Rei96}, мы получаем
              \vskip 0.1cm

{\bf Предложение {\rm 3.}}
Существуют вполне сепарабельные банаховы простран\-с\-т\-ва $\,W\,$ и $\,X\,$
со следующими свойствами:
%\roster
%\item

%{\phantom{vv}
$(i)$ \
$W\,$ сопряжено и  имеет базис (так что
$\,W\in \operatorname{MAP}$),\,$ X\in \operatorname{AP}\,$ и $X\notin \operatorname{BAP};$

$(ii)$ \
существует оператор $\,V:X\to W^{**},\,$ обладающий тем свойством, что
$\,V\,$ не лежит в замыкании в пространстве $\,\operatorname{L}(X,W^{**})\,$
в топологии поточечной $\,X\times W^*\,$-сходимости какого--либо шара
конечного радиуса пространства
$\,\operatorname{L}(X,W);\,$

$(iii)$\
этот оператор $V$ лежит в замыкании пространства $X^*\otimes W^{**}$
в топологии $\tau_c$ компактной сходимости в $\operatorname{L}(X,W^{**});$

$(iv)$\
никакой шар пространства $\operatorname{L}(X,W)$  не плотен в никаком шаре
(в $\tau_c)$ пространства $\operatorname{L}(W^*,X^*).$
              \vskip 0.1cm


{\it Доказательство. {\rm }}\,
Все, кроме утверждения $(iv),$  следует из вышесказанного;
утверждение $(iii)$ очевидно (так как $X\in \operatorname{AP}).$
$(iv)$ вытекает из теоремы (B) Bill'а Johnson'а.
     \vskip 0.1cm

%\proclaim
{\bf Следствие {\rm 5}}.\
Существуют (вполне) сепарабельное банахово пространство $\,Z,\,$ $\,Z\in
\operatorname{AP},\,$ $Z\notin \operatorname{BAP},$ и оператор
$\,S\in \operatorname{L}(Z^*,Z^{*})\,$ такие, что
если  $\,\left\{R_\alpha\right\}\subset \operatorname{L}(Z,Z) \,$
и $\,R^*_\alpha \underset \alpha \to%\longrightarrow
S\ $
$\,Z\times Z^*\,$-поточечно, то
$\,\|R_\alpha\| \underset \alpha \to%\longrightarrow
 +\infty.\,$
С другой стороны, ясно, что множество $\,Z^*\otimes Z\,$
конечномерных операторов плотно в
$\,\operatorname{L}(Z,Z^{**})\,$
(но не в $\,\operatorname{L}(Z^*,Z^{*})$!)
 в топологии компактной сходимости.
%\endproclaim
        \vskip 0.1cm

%\demo
{\it Доказательство}.\,
Достаточно взять $\,Z=W\oplus X,\,$ где $\,W\,$ и $\,X\,$ --- пространства
из предложения 3 и определить оператор
$\,S :Z^*\to Z^{*}\,$ соотношением
$\,S (w',x')=(V^*|_{X^*}x',0),\,$ где $\,V\,$ --- из утверждения
(ii) предложения 3.
То, что множество $Z^*\otimes Z$ не плотно в $\tau_c$
в $\operatorname{L}(Z^*,Z^*),$
следует из результата Bill'а Johnson'a $(B),$ с которого мы начали заметку.
          \vskip 0.1cm


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   контр для Брудн с хорошими и с одни пр=вом
 Напомним, что существует сепарабельное рефлексивное банахово
простран\-с\-тво, не обладающее свойством $ \operatorname{AP}.$ Более того, существуют сепарабельное
 ре\-ф\-ле\-к\-сивное банахово пространство $ E,$ оператор
$ R\in \operatorname{K}(E,E)$ и тензорный элемент $ t\in E^*\widehat\otimes E$ такие,
что $ \operatorname{trace}\, t\circ R=1$ и $ \operatorname{trace}\, t\circ A=0$ для любого конечномерного
оператора $ A\in E^*\otimes E$ (см.. например, \cite{Cas01}).


Далее мы используем следующий классический факт (см. \cite{Lind}):
                 \vskip 0.1cm

 {\bf  Лемма 4.}\, \it                                                                                                                                                                   % Lind!!!
Для всякого сепарабельного банахова пространства $ E$  сущест\-ву\-ют
сепарабельное сопряженное банахово пространство $ H=Y^*$ с базисом
и опе\-ра\-торы $ Q: H\to E$ и $ U: H^*\to E^*$ такие, что $ Q(H)=E,$
$ U(H^*)=E^*,$ $ \|U\|\leqslant 1,$ $ \|Q\|\leqslant 1,$ $ UQ^*=\operatorname{id}_{E^*}$ и
   %%% действительно ли обе нормы не больше 1?  !!!
пространство $ \left( \operatorname{id}_{E^*}- Q^*U\right)(H^*)$ изоморфно пространству $ Y.$
%\endproclaim
\rm
  \vskip 0.1cm

Теперь мы готовы к построению других примеров.

\vskip 0.1cm

 {\bf  Предложение 4.}\ \it
Существуют сепарабельное рефлексивное
пространство $ E,$ сепарабельное сопряженное пространство $ H$ с базисом
такие, что канониче\-ское отображение $ j: H^*\widehat\otimes E\to \operatorname{N}(H,E)$
не взаимно однозначно. С другой стороны, так как пространство $ H$ обладает
свойством аппроксимации, то $ \operatorname{K}(E,H)=\overline{E^*\otimes H}^{\,||\cdot||}$ и
$ \operatorname{L}(E,H)= \overline{E^*\otimes H}^{\,\tau_c}.$
%\endproclaim
\rm

%\demo
{\it Доказательство}
Пусть $ E,$ $ t\in E^*\widehat\otimes E$ и $ R\in \operatorname{K}(E,E)$ ---
упомянутые перед леммой  4 тензорный элемент и оператор,
так что $\operatorname{trace}\, t\circ R=1$ и $ t=0$ как оператор.
Положим $ g=t\circ Q\in H^*\widehat\otimes E$ и $ V=U^*R\in \operatorname{L}(E, H^{**}).$
Тогда $ \operatorname{trace}\, V\circ g=1$ (следовательно, тензорный элемент $ g$ не равен
нулю) и $ g=0$ как оператор.
%$\quad\blacksquare$\enddemo

 {\bf Замечание.}\,
 Отметим (и это хорошо известно со времен А. Гротендика), что
 если каноническое отображение   $ j: X^*\widehat\otimes Y\to \operatorname{N}(X,Y)$
взаимно однозначно, то $ \operatorname{L}(Y,X)= \overline{Y^*\otimes X}^{\,\tau_c}.$
Доказанное только что предложение показывает, что обращение
этого утверждения неверно.

 {\bf  Следствие 6.}\it
Существуют сепарабельное рефлексивное
пространство $ E$ без свойства $\operatorname{AP},$ сепарабельное сопряженное пространство $ H$ с базисом
(и, следовательно, обладающее свойством MAP) и оператор $T\in \operatorname{K}(H^*,E^*),$
кото\-рый не аппро\-кси\-мируется в топологии $E\times H^*$-сходимости в  $\operatorname{L}(H^*,E^*)$
опера\-то\-рами из $\operatorname{L}(E,H).$
%\endproclaim
\rm

{\it Доказательство}.\,
В обозначениях предыдущего доказательства,
положим $T:= V^*|_{H^*}.$ Тогда $\operatorname{trace}\, g^t\circ T=1$
и оператор $\tilde g,$ ассоциированный с $g,$
а значит и  $\tilde g^t,$ --- тождественно нулевые.
С другой стороны, для всякого оператора $A:E\to H$\
 $\operatorname{trace}\, A\circ g=0,$ так как пространство
$H$ имеет свойство MAP.

%\proclaim
 {\bf  Следствие 7.}\it
Существуют банахово пространство $ Z$ без свойства $\operatorname{AP},$
элемент $ z\in Z^*\widehat\otimes Z$ и оператор $S\in\operatorname{K}(Z^*,Z^{*})$
такие, что $ \operatorname{trace}\, z^t\circ S=1,$ но $ \operatorname{trace}\, \Phi\circ z=0$ для всех
$ \Phi\in \operatorname{L}(Z,Z).$
%\endproclaim
\rm
%\demo

{\it Доказательство}.\,
Будем использовать обозначения, введенные при доказа\-те\-льстве
предложения 4. Пусть $ \sum y'_n\otimes y_n$ --- какое--либо представление
тензорного элемента $ g\in H^*\widehat\otimes E.$ Заметим, что $ \operatorname{trace}\, A\circ g=0$
для всякого оператора $ A\in \operatorname{L}(E,H)$ (так как пространство $ H$
обладает свойством аппроксимации). Положим $ Z=H\oplus E,$
$ z=\sum (y'_n, 0)\otimes (0,y_n)$ и определим оператор
$S\in\operatorname{L}(Z^*,Z^{*})$ по формуле $ S(h',y')=(V^*y',0).$ Имеем:
$$ \operatorname{trace}\, z^t\circ S=\sum \langle  (y_n,0), (V^*y'_n, 0)\rangle=
     \sum \langle  y_n, V^*y'_n\rangle =\operatorname{trace}\, V\circ g=1.
$$

С другой стороны, обозначая через $ P_H$ и $ P_E$ естественные проекторы
из $ Z$ на $ H$ и $ E$ соответственно, мы для произвольного оператора
$ \Phi\in \Pi_p(Z,Z)$ имеем:
$$ \Phi(h,y)=\Phi|_H(h)+\Phi|_E(y)=
   \left( P_H\Phi|_H(h)+P|_E\Phi|_H(h)\right)+
   \left( P_H\Phi|_E(y)+P|_E\Phi|_E(y)\right),
$$
откуда
$$ \operatorname{trace}\, \Phi\circ z= \sum \langle  (y'_n, 0), \left[ P_H\Phi(0, y_n)\right]\rangle=
	\sum \langle  (y'_n,0), P_H\Phi|_E(y_n)\rangle.
$$
Обозначая через $ A$ оператор $ P_H\Phi|_E,$ получаем:
$$ A\in \operatorname{L}(E,H);\ \ \operatorname{trace}\, \Phi\circ z=\operatorname{trace}\, A\circ g=0. %\Q
$$
%\enddemo
\rm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%       конец контра

Другие (контр)примеры типа приведенных выше
можно найти, например, в работе  \cite{Rei96}.
Ответ на вопрос $B'$ W.B. Johnson'а (для которого
все подготовлено в настоящей заметке) предполагается
привести в следующей статье автора.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
    \frenchspacing
\begin{thebibliography}{3}  %% CUT REFERENCES BELOW AND PUT YOURS %%

\bibitem{ABru}Айзенштейн М.Х., Брудный Ю.А., \emph{ Вычислимые интерполяционные функторы,}
Исследования по теории функций многих вещественных переменных,  Ярославль:  ЯГУ (1986), 3--35.

    \bibitem{BrKr} Yu.A. Brudnyi and N. Ya. Krugljak,  Interpolation Functors
and Interpolation Spaces,    Volume I,
North-Holland Publishing Company,
 (1991).

\bibitem{Cas01} Peter G. Casazza,  \emph{Approximation Properties,}
Handbook of the Geometry of Banach Spaces,  \textbf{v. 1}, Elsevier Science B.V.
 (2001), 271-316.

\bibitem{Lind} Lindenstrauss J., \emph{On James' paper "Separable Conjugate Spaces"},
Israel J. Math. \textbf{9} (1971), 279--284.

\bibitem{Pie80} A. Pietsch,  Operator Ideals,  North-Holland Publishing Company,
 (1980).

\bibitem{Rei85} Рейнов О.И.,  \emph{Аппроксимация операторов в банаховых пространствах,}
Применение функционального анализа в теории приближений, КГУ, Калинин,
 (1985), 128-142.

\bibitem{Rei93} Рейнов О.И., \emph{Аппроксимация операторов в топологии поточечной
  сходимости},
Вестник СПбГУ \textbf{16}, вып.3 (1993), 33-35.

\bibitem{Rei96} Oleg Reinov, \emph{On non--nuclear operators with nuclear adjoints},
Proc. Estonian Acad. Sci. Phis. Math \textbf{45} (1996), 226-233.

\bibitem{Rei09} Reinov Oleg,  \emph{Appoximation propeties: topological aspect
(with application to a Grothendieck conjecture),}
Proceedings 4th World Conference on 21st Century Math. 2009,
Lahore-Pakistan,
 2009), 269-284.

\end{thebibliography}

\end{document}                              %%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

+Reinov Oleg, Appoximation propeties: topological aspect
(with application to a Grothendieck conjecture),
Proceedings 4th World Conference on 21st Century Math. 2009,
Lahore-Pakistan, 269-284

\bibitem{Rei82}O.I. Reinov, \emph{Approximation properties of order p and the existence of
 non-p-nuclear operators with p-nuclear second adjoints},
Math. Nachr. \textbf{109} (1982), 125--134.

+  Oleg Reinov, On non--nuclear operators with nuclear adjoints//
Proc. Estonian Acad. Sci. Phis. Math. - 1996 - v. 45, 2/3 - p. 226-233.}


+Рейнов О.И. Аппроксимация операторов в топологии поточечной
  сходимости // Вестник СПбГУ. Сер.1б, 1993, вып. 3 (N°15) -
  С. 33-35.}


+\ref \no 6 \by Lindenstrauss J.\pages  279--284
\paper  On James' paper "Separable Conjugate Spaces"
\yr 1971\vol 9
\jour Israel J. Math.
\endref


+\by    Айзенштейн М.Х., Брудный Ю.А.
\paper  Вычислимые интерполяционные функторы
\inbook  Исследования по теории функций многих вещественных переменных
\bookinfo %Edited by
\publaddr Ярославль: ЯГУ%Providence
\publ \vol \nofrills  % Наука и т.п.    % том или вып.
\yr  1986
\pages 3--35



%%
%%%%%%%%%%   ЛИТЕРАТУРА
\Refs\nofrills{ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА} % начало, \nofrills убирает
      % английский текст и получаем только то, что в скобках

     \bibitem{Rei85}O.I. Reinov,  \emph{Approximation of operators in Banach spaces,}
Application of functional analysis in the approximation theory, KGU, Kalinin,
 (1985), 128-142.




 \ref\no 1%\key
 \by  Рейнов О.И.
 \paper   О двух вопросах в теории линейных операторов
 \inbook Применение функционального анализа в теории приближений
 \bookinfo %Edited by
 \publaddr Калинин: КГУ %Providence
 \publ \vol 9 \nofrills  % Наука и т.п.    % том или вып.
 \yr    1979
 \pages 102-114%489--504
 \endref

\ref \no 2  \by Рейнов О.И.  \pages 80-81
\paper     $RN$--множества в банаховых пространствах
\yr 1978 \vol 12 \issue 1
\jour   Функц. анализ и его приложен.
\endref

\ref \no 3  \by Рейнов О.И.  \pages 528-531
\paper   Операторы типа RN в банаховых пространствах
\yr  1975\vol 220 \issue 3
\jour    ДАН СССР
\endref

\endRefs

\end{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\ref \no 1  \by H.P.Rosenthal  \pages  362--378
\paper Pointwise compact subset of the first Baire class
\yr 1977 \vol  \issue  2
\jour   Amer. J. Math.
\endref

\ref \no 2  \by E.Odell, H.P.Rosenthal  \pages 375-384
\paper   A double dual characterization of separable Banach spaces
      containing $l_1,$
\yr  1975\vol 20 \issue  3-4
\jour    Israel J. Math.
\endref

\ref \no 3\by Grothendieck A. \pages pp. 196 + 140
\paper  Produits tensoriels topologiques et espaces nucl\'eaires
\yr 1955\vol  16
\jour  Mem. Amer. Math. Soc.
\finalinfo
\endref

\ref \no 4   %одно из двух  Rei или 10
\by   Натансон И.П.
\book Теория функций вещественной переменной
\bookinfo   %Edited by
\publ М.: Наука  \vol \nofrills  % Наука ит.п.    % том или вып.
\publaddr      %Москва ит.п.
\yr   1974  %год. 000 с. напр., 1985. 543 с.
\endref

\ref \no 5   %одно из двух  Rei или 10
\by Александров П.С., Урысон П.С.
\book Мемуар о компактных топологических пространствах
\bookinfo %Edited by
\publ М.: Наука   \vol \nofrills  % Наука ит.п.    % том или вып.
\publaddr      %Москва ит.п.
\yr  1971   %год. 000 с. напр., 1985. 543 с.
\endref

\ref \no 6  \by C.Stegall  \pages  213-223
\paper The Radon-Nikodym property in conjugate Banach spaces
\yr 1975 \vol 206 \issue
\jour  Trans. Amer. Math. Soc.
\finalinfo  $MR 51 \# 10581.$
\endref

\ref \no 7   %одно из двух  Rei или 10
\by   Бурбаки Н.
\book Общая топология
\bookinfo %Edited by
\publ М.: Наука \vol вып. 3\nofrills  % Наука ит.п.    % том или вып.
\publaddr      %Москва ит.п.
\yr    1975 %год. 000 с. напр., 1985. 543 с.
\endref

\ref \no 8  \by Haydon R.  \pages 269--276
\paper Some more characterizations of Banach spaces containing $ l_1$
\yr 1976 \vol 80 \issue  2
\jour Math. Proc. Cambridge Phil. Soc.
\finalinfo
\endref

\ref \no 9  \by  W.J.Davis, T.Figiel, W.B.Johnson, A.Pelczynski
                             \pages     311-327
\paper    Factoring weakly compact operators
\yr 1974 \vol 17 \issue
\jour J. Functional Analysis
\finalinfo     $MR 50 \# 8010.$
\endref


\ref \no 10  \by Рейнов О.И.  \pages 528-531
\paper   Операторы типа RN в банаховых пространствах
\yr  1975\vol 220 \issue 3
\jour    ДАН СССР
\endref

 \ref\no 11%\key
 \by  Рейнов О.И.
 \paper   О двух вопросах в теории линейных операторов
 \inbook Применение функционального анализа в теории приближений
 \bookinfo %Edited by
 \publaddr Калинин: КГУ %Providence
 \publ \vol \nofrills  % Наука и т.п.    % том или вып.
 \yr    1979
 \pages 102-114%489--504
 \endref

\ref \no 12  \by Рейнов О.И.  \pages 80-81
\paper     $RN$--множества в банаховых пространствах
\yr 1978 \vol 12 \issue 1
\jour   Функц. анализ и его приложен.
\endref



\endRefs

%%%%%%%


\enddocument


%%%%%%%%%%%%%%%5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                           ДоПоЛнЕнИя
%
%
%%\def\nor#1{||{#1}||} % норма         - где-то были нужны трое этих
%\def\md#1{|{#1}|}    % модуль
%\def\sp#1#2{\(#1,#2\)}           % скалярное произведение
%\def\ove#1{\overline{#1}}    % нормальное компл. сопряжение и черта над
%\def\ovs#1#2{\overset{#1}\to{#2}}
    % \def\({\left(}       %\def\al{\alpha}           %\def\lee{\leqslant}
    % \def\){\right)}     % \def\e{\varepsilon}  %  \def\gee{\geqslant}
    % \def\[{\left[}       %\def\la{\lambda}
    % \def\]{\right]}     % \def\ffi{\varphi}
                       %   \def\be{\beta}
     %\def\{{\left\{}
                                     % \def\ot{\otimes}
   %  \def\<{\langle}             %    \def\wh{\widehat}
  %   \def\>{\rangle}               %  \def\wt{\widetilde}
              % \def\sbs{\subset}      \def\sm{\setminus}
%\def\tr{\operatorname{trace}\,}

  %%%%%%%%%%%%% after 30.01.00 02:44:40 Sat:

%\def\clco{\overline{\operatorname{co}}}
%\def\Gr{\operatorname{Gr}}
%\def\AP{\operatorname{AP}}
%\def\BAP{\operatorname{BAP}}
%\def\MAP{\operatorname{MAP}}
%\def\CAP{\operatorname{CAP}}
%\def\N{\operatorname{N}}
%\def\I{\operatorname{I}}
%\def\K{\operatorname{K}}
%\def\id{\operatorname{id}}
%\def\L{\operatorname{L}}
%\def\QN{\operatorname{QN}}
%\def\RN{\operatorname{RN}}
%\def\J{\operatorname{J}}
%\def\R{\operatorname{R}}
%\def\WK{\operatorname{WK}}
%\def\Var{\operatorname{Var}}
%\def\reg{\operatorname{reg}}
%\def\dual{\operatorname{dual}}
       %    \def\sbs{\subset}
   %            \def\W{\operatorname{W}}
 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


 %       \def\чтд{\quad\blacksquare}       \def\med{\medpagebreak}
 % \def\QQ{$\quad\blacksquare$}      \def\small{\smallpagebreak}
 % \def\Q{\quad\blacksquare}         \def\bigp{\bigpagebreak}

 %\def\f{\vec}


%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
%
