\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb,url, amsthm, amsmath, verbatim}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
%\documentclass{amsbook}

\usepackage[russian]{babel}
%\usepackage{amssymb}
\textheight=24.2cm
\textwidth=16cm
\hoffset=-15mm
\voffset=-15mm


\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lem}{Лемма}
\newtheorem{prop}{Предложение}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
%\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
%\newcommand{\ph}{\varphi}
\author{П.Б.~Затицкий, А.И.~Назаров, Д.М.~Столяров}
\title{О формуле для регуляризованных следов}

\begin{document}
\maketitle
%\selectlanguage{russian}
%\section{Введение}

Рассмотрим оператор $\mathbb L$, порождаемый дифференциальным выражением порядка $2m$
\begin{equation}\label{operator}
ly\equiv(-1)^m D^{2m}y + \sum\limits_{k = 0}^{2m-2} p_k(x) D^ky
\end{equation}
(здесь $p_k\in L_{1,loc}(\mathbb R_+)$~-- вещественные функции) и граничными условиями
\begin{equation}\label{cond}
P_j(D)y(0)=0,\qquad j=1,\dots,m
\end{equation}
(здесь $P_j$ -- полином степени $k_j$, причем граничные условия
считаются {\it приведенными}, т.е. $0\leq k_1 < k_2 < ... < k_m \leq 2m-1$).

Допустим, что этот оператор самосопряжен в пространстве $L_2(\mathbb R_+)$, полуограничен снизу и имеет чисто %конкретный
дискретный спектр $\{\lambda_n\}_{n=1}^{+\infty}$, занумерованный по возрастанию с учетом кратности.

Пусть $\mathbb Q$ -- оператор умножения на вещественную функцию $q\in L_{\infty}(\mathbb R_+)$. Тогда
оператор $\mathbb L+\mathbb Q$ также имеет чисто дискретный спектр $\{\mu_n\}_{n=1}^{+\infty}$.\medskip

Вычислению спектральных функций и регуляризованных следов для дифференциальных операторов посвящена
обширная литература, начиная с классической работы \cite{L}. Целью нашей заметки является доказательство следующего утверждения.

\begin{theorem}\label{main}
Пусть функция $q$ имеет ограниченный носитель\footnote{Это условие используется только при применении
предложения \ref{Kost1} для вывода формулы (\ref{Green}). По-видимому, его можно ослабить, для чего необходимо
получить глобальную оценку разности спектральных функций операторов $\mathbb L$ и $\widetilde{\mathbb L}$.
В настоящее время такая оценка нам неизвестна.}, а функция $\psi(x)=\frac 1x\int\limits_0^x q(t)dt$ имеет
ограниченную вариацию в нуле. Тогда справедливо равенство
\begin{equation}\label{prosto}
{\cal S}_1
\equiv \sum\limits_{n=1}^{\infty}\Big[\mu_n-\lambda_n-\frac{c_n}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty}q(t) dt\Big]=-\psi(0+)\cdot\Big(\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-\frac{\varkappa}{2m}\Big),
\end{equation}
{\it где }
$$c_1 = \lambda_{1}^{\frac{1}{2m}};\qquad c_n = \lambda_{n}^{\frac{1}{2m}}-\lambda_{n-1}^{\frac{1}{2m}},
\quad n>1;\qquad \varkappa=\sum_{j=1}^{m} k_j.$$
\end{theorem}

{\bf Замечание}. Формула (\ref{prosto}) была высказана А.И. Назаровым как гипотеза на конференции в Москве в 2007 году
во время доклада А.С. Печенцова. Для одночленных краевых условий $P_j(D)=D^{k_j}$ она была доказана в препринте
\cite{ZNS}\footnote{Три частных случая: 1) $k_j=2j-2$; 2) $k_j=2j-1$; 3) $k_j=j-1$ были ранее рассмотрены в
работах \cite{KP1}, \cite{SKP}, \cite{KP3}.}.\medskip

Введем два вспомогательных оператора:

$\widetilde{\mathbb L}$ -- самосопряженный в $L_2(\mathbb R_+)$ оператор порядка $2m$ с граничными условиями
(\ref{cond}), младшие коэффициенты которого финитны и совпадают с младшими коэффициентами в (\ref{operator}) на
отрезке $[0,R]\supset{\rm supp}(q)$;

${\mathbb L}_0$ -- оператор $(-1)^m D^{2m}$ с граничными условиями (\ref{cond})\footnote{Этот оператор уже не
обязательно самосопряженный!}.\medskip

При $\lambda\in\mathbb R$ обозначим $\theta(x,y,\lambda)$ спектральную функцию оператора $\mathbb L$, т.е. ядро его спектрального проектора $E_{\lambda}$ (см. \cite{Go}). Аналогично, $\widetilde \theta(x,y,\lambda)$ -- спектральная функция
оператора $\widetilde{\mathbb L}$. Далее, обозначим $H_0(x,y,\tau)$ функцию Грина оператора ${\mathbb L}_0-\tau$
(при $\tau\not\in\overline{\mathbb R}_+$).\medskip

Пусть $\zeta$ -- значение $\tau^{\frac 1{2m}}$, аргумент которого лежит в $[0,\frac {\pi}m[$, а
$z=\exp(\frac {i\pi}m)$. Введем матрицу ${\cal B}(\zeta)=\big[P_j(iz^{\ell-1}\zeta)\big]_{\ell,j=1}^m$ и обозначим
$\Delta(\zeta)=\det({\cal B}(\zeta))$.\medskip

В работе \cite{Ko1} (см. также \cite{Ko2}) были доказаны следующие утверждения (приводятся с некоторыми
переобозначениями):

\begin{prop}\label{Kost1}
{\bf А} (\cite[гл. 1, \S 2]{Ko1}). Пусть выполнено следующее условие:\medskip

${\cal A}$. Матрица ${\cal B}(\zeta)$ не вырождена, и элементы обратной матрицы удовлетворяют оценке
$\big[{\cal B}^{-1}(\zeta)\big]_{\ell j}= O(|\zeta|^{-k_j})$ при $|\zeta|\to\infty$.\medskip

Тогда при $\lambda\to+\infty$ имеет место соотношение
$$\widetilde \theta(x,y,\lambda)=-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\tau|=\lambda}H_0(x,y,\tau)\,d\tau +
O(\lambda^{-\frac 1{2m}})
$$
равномерно на $\overline{\mathbb R}_+^2$.\medskip

{\bf Б} (\cite[гл. 1, \S 4]{Ko1}). Пусть выполнено условие ${\cal A}$.
Тогда при $\lambda\to+\infty$ имеет место соотношение
$$\theta(x,y,\lambda)=\widetilde \theta(x,y,\lambda)+o(1)
$$
равномерно на $[0, R]^2$.
\end{prop}

Прежде всего мы несколько усилим утверждения предложения \ref{Kost1}.

\begin{lem}\label{nocond}
При больших $|\zeta|$ условие $\cal A$ выполняется всегда, и потому это условие в предложении \ref{Kost1} может
быть опущено.
\end{lem}

\begin{proof}
Для начала отметим, что $\Delta(\zeta)$ есть полином от $\zeta$ степени $\varkappa$.
Действительно, его столбцы -- полиномы степени $k_j$, а старшая степень не сокращается, так как определитель
коэффициентов при старших степенях есть определитель Вандермонда $\det({\mathbb W}(z^{k_1},\dots,z^{k_m}))\ne0$.
Поэтому $\Delta(\zeta)\ne0$ при достаточно больших $|\zeta|$.

Далее, алгебраическое дополнение элемента $b_{\ell j}$, очевидно, есть полином от $\zeta$ степени не более
$\varkappa-k_j$. Утверждение леммы следует теперь из формулы Крамера.
\end{proof}


\begin{proof}[Доказательство теоремы \ref{main}] Заметим, что левая часть (\ref{prosto}) преобразуется к виду
(см.~\cite{KP3}, доказательство теоремы 1)
$${\cal S}_1=\lim\limits_{\lambda\to+\infty}
\int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot\Big(\theta(x,x,\lambda)-\frac {\lambda^{\frac 1{2m}}}{\pi}\Big)\,dx.
$$
Ввиду леммы \ref{nocond} эту формулу можно переписать так:
\begin{equation}\label{Green}
{\cal S}_1=\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot
\Big(-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\tau|=\lambda}H_0(x,x,\tau)\,d\tau-\frac {\lambda^{\frac 1{2m}}}{\pi}\Big)\,dx.
\end{equation}


Теперь воспользуемся явным видом для функции $H_0$, полученным в \cite[Лемма 1]{KP1} (приводится с некоторыми
переобозначениями):
$$H_0(x,x,\tau)=\frac{i}{2m \zeta^{2m-1}}\cdot\sum\limits_{\alpha=1}^m z^{\alpha-1}\cdot
\Big(1-\frac 1{\Delta(\zeta)}\cdot {\sum\limits_{\beta=1}^m
\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x\zeta)\cdot\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}\Big),
$$
где определитель $\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)$ получается из $\Delta(\zeta)$ заменой в $\beta$-ой строке
$P_j(iz^{\beta-1}\zeta)$ на $P_j(-iz^{\alpha-1}\zeta)$.
Конечно, для справедливости этой формулы требуется, чтобы $\Delta(\zeta)\ne 0$, что выполнено при достаточно
больших $|\tau|$.

Сделаем во внутреннем интеграле в (\ref{Green}) замену переменной $\tau=\zeta^{2m}$. Легко видеть, что
$$-\frac 1{2\pi i}\int\limits_{|\tau|=\lambda}\frac{i\,d\tau}{2m\zeta^{2m-1}}\sum\limits_{\alpha=1}^m z^{\alpha-1}
=-\int\limits_{\Gamma_\lambda}\frac {d\zeta}{\pi(1-z)}=\frac {\lambda^{\frac{1}{2m}}}{\pi}$$
(здесь $\Gamma_\lambda$ -- дуга окружности $\{\zeta=\lambda^{\frac{1}{2m}}e^{i\phi}:\phi \in ]0,\frac{\pi}{m}[ \}$).
Поэтому (\ref{Green}) перепишется так\footnote{В \cite[Теорема 2]{SKP} при дополнительном условии: $\Delta(\zeta)\ne0$
при $\tau\in\mathbb R\setminus\{0\}$ получена формула, аналогичная (\ref{nado}), но вместо интеграла по
$\Gamma_\lambda$ в ней стоит вещественная часть интеграла по отрезку $[0,\lambda^{\frac{1}{2m}}]$.
На самом деле эта формула верна лишь при более сильном условии: $\Delta(\zeta)\ne0$ при $\tau\ne0$.
В этом случае формула \cite[(0.5)]{SKP} сводится к (\ref{nado}) по теореме Коши.}:
\begin{equation}\label{nado}
{\cal S}_1=\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{\lambda\to +\infty} \int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot\!\!
\int\limits_{\Gamma_\lambda}\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m
z^{\alpha-1}\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x\zeta)\cdot
\frac {\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}{\Delta(\zeta)}\ d\zeta\,dx.
\end{equation}

Обозначим ${\mathbb B}_{\alpha\beta}=\lim\limits_{\zeta\to\infty}\frac {\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}{\Delta(\zeta)}$
и покажем, что
\begin{equation}\label{nado1}
{\cal S}_1=\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{\lambda\to +\infty} \int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot\!\!
\int\limits_{\Gamma_\lambda}\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m
z^{\alpha-1}\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x\zeta)\cdot{\mathbb B}_{\alpha\beta}\ d\zeta\,dx.
\end{equation}
Действительно, поскольку $\Delta_{\alpha\beta}$ -- многочлен от $\zeta$ степени не больше $\varkappa$,
при $|\zeta|\to\infty$ справедливо соотношение
\begin{equation}\label{BBB}
\frac {\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}{\Delta(\zeta)}={\mathbb B}_{\alpha\beta}+O(\zeta^{-1}).
\end{equation}
Далее, при всех $1\le\alpha,\beta \le m$ выполнено неравенство
$0\le \arg(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\le \frac{m-1}{m}\pi$, Следовательно, интегралы
$${\cal I}_{\alpha\beta}(x)=\int\limits_{\Gamma_\lambda}z^{\alpha-1}\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x\zeta)\cdot
\Big(\frac {\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}{\Delta(\zeta)}-{\mathbb B}_{\alpha\beta}\Big)\ d\zeta
$$
ограничены (ввиду (\ref{BBB})) равномерно по $x\ge0$ и стремятся к нулю (по лемме Жордана)
при $x>0$, $\lambda\to\infty$. По теореме Лебега имеем $\lim\limits_{\lambda\to +\infty}
\int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot{\cal I}_{\alpha\beta}(x)\,dx=0$, что доказывает (\ref{nado1}).

Взяв внутренний интеграл в (\ref{nado1}), перепишем формулу для ${\cal S}_1$ так:
\begin{equation}\label{g}
{\cal S}_1=\frac 1{2\pi i}\cdot\lim_{s\rightarrow \infty} \int\limits_{0}^{\infty} q(x) g(sx) s\,dx,
\end{equation}
где
%\begin{equation*}
$$g(y)=\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m {\mathbb P}_{\beta\alpha}{\mathbb B}_{\alpha\beta}\
\frac{\exp(i(z^{\alpha}+z^{\beta})\,y)-\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,y)}{y},
$$%\end{equation*}
а
$${\mathbb P}_{\beta\alpha}= \frac{z^{\alpha-1}}{z^{\alpha-1} + z^{\beta-1}}=\frac{1}{1+z^{\beta-\alpha}}.$$

Для перехода к пределу в (\ref{g}) в слагаемых с $\alpha=\beta=1$ и $\alpha=\beta=m$ следует воспользоваться
принципом локализации Римана (см., напр., \cite[гл.I, \S33]{B}) и признаком сходимости Валле-Пуссена
(\cite[гл.III, \S3]{B}), в остальных слагаемых после однократного интегрирования по частям работает теорема
Лебега, поскольку показатели экспонент имеют отрицательные вещественные части. В результате получаем\footnote{Заметим,
что переход от (\ref{g}) к (\ref{int}) следует также из \cite[Лемма 2]{KP3}.}
\begin{equation}\label{int}
{\cal S}_1=\frac 1 {2\pi i}\cdot\psi(0+)\int\limits_{0}^{\infty}g(y)\,dy=
-\frac{\psi(0+)}{2m}\cdot {\bf Sp}({\mathbb P}{\mathbb B})
\end{equation}
(последнее равенство следует из \cite[3.434.2]{GR}).\medskip

Заметим, что элементы матрицы $\mathbb B$ есть отношения определителей, составленных из старших коэффициентов
полиномов, входящих в определители $\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)$ и $\Delta(\zeta)$. Прямой подсчет с использованием
формулы Крамера дает
\begin{equation}\label{bb}
{\mathbb B}={\mathbb W}\cdot{\rm diag}[(-1)^{k_1},\dots,(-1)^{k_m}]\cdot {\mathbb W}^{-1}
\end{equation}
(напомним, что ${\mathbb W}=({\mathbb W}_{\ell j})$ -- матрица Вандермонда, порождаемая числами $w_j=z^{k_j}$,
$j=1,\dots, m$).

Из (\ref{bb}) видно, что если $e^{(j)}=[1,w_j,\dots,w_j^{m-1}]^T$ -- $j$-й столбец матрицы ${\mathbb W}$, то
${\mathbb B}e^{(j)}=(-1)^{k_j}e^{(j)}$, т.е. векторы $e^{(j)}$ образуют собственный базис матрицы
${\mathbb B}$.\medskip

Далее, по формуле суммы геометрической прогрессии матрицу ${\mathbb P}$ можно переписать так:
\begin{equation}\label{progr}
{\mathbb P}=\lim\limits_{\rho \rightarrow 1-}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \rho^n\,\varphi_n\overline{\varphi}^T_n,
\end{equation}
где $\varphi_n=(1,z^n,\dots,..,z^{(m-1)n})^T$.\medskip

Введем множество
$\mathbb K=\{k_j+2mp\,|\ 1\leq j\leq m, \ \ p\in\mathbb Z_+ \}$.

\begin{lem}\label{evenodd}
 Если $n\in \mathbb K$, то ${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_n{\mathbb B})=(-1)^n m$.
Если $n \notin \mathbb K$, то ${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_n{\mathbb B})=(-1)^{n+1}m.$
\end{lem}

Для доказательства нам потребуется такое очевидное предложение.

\begin{prop}\label{hilb}
 Пусть $u,v$ -- векторы гильбертова пространства, $a,b\in\mathbb C$.
Тогда если $(au+bv,u)=0$, то $(au+bv,-au+bv)=|au+bv|^2$.
\end{prop}


\begin{proof}[Доказательство леммы \ref{evenodd}] Прежде всего,
$${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_n{\mathbb B})=
{\bf Sp}(\overline{\varphi}^T_n {\mathbb B}\varphi_n)=({\mathbb B}\varphi_n,\varphi_n).$$
Рассмотрим подпространства
$$U=Lin\{e^{(j)}\,|\ k_j \equiv 1 \pmod 2\};\qquad V=Lin\{e^{(j)}\,|\ k_j \equiv 0 \pmod 2\}.$$
%(векторы $e^{(j)}$ определены перед леммой 1).

Мы знаем, что на $U$ матрица ${\mathbb B}$ действует умножением на $-1$, а на $V$ тождественным образом.
Заметим, что $U\dotplus V=\mathbb C^m$, так как векторы $e^{(j)}$ образуют базис.
Таким образом, существует разложение вектора $\varphi_n=u+v$, где $u \in U$, $v \in V$, причем
${\mathbb B}\varphi_n=-u+v$.

{\bf 1}. Если $n \in \mathbb K$, то $\varphi$ есть собственный вектор матрицы ${\mathbb B}$ с собственным числом
$(-1)^n$. Поэтому $({\mathbb B}\varphi_n,\varphi_n)=(-1)^n (\varphi_n,\varphi_n)=(-1)^n m$.

{\bf 2}. Если $n \notin \mathbb K$ и $n \equiv 1 \pmod 2$, то прямой подсчет показывает, что
$\varphi \perp U$. Согласно предложению \ref{hilb}, $({\mathbb B}\varphi_n,\varphi_n)=|\varphi_n|^2=m$.

{\bf 3}. Аналогично, если $n \notin \mathbb K$ и $n \equiv 0 \pmod 2$, то $\varphi \perp V$ и,
согласно предложению \ref{hilb}, $-({\mathbb B}\varphi_n,\varphi_n)=|\varphi_n|^2=m$.
\end{proof}

Для завершения доказательства теоремы обозначим $K=\{k_1, ..., k_m\}$. Тогда из формулы (\ref{progr})
и леммы \ref{evenodd} получим
\begin{multline*}
{\bf Sp}({\mathbb P}{\mathbb B})=\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-} \sum \limits_{n=0}^\infty (-1)^n \rho^n
{\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_n{\mathbb B})=\\
=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big( \sum \limits_{n\in \mathbb K} (-1)^n\rho^n(-1)^n +
\sum \limits_{0\leq n\notin \mathbb K} (-1)^n \rho^n (-1)^{n+1}\Big)\\
=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \sum\limits_{p=0}^\infty \rho^{j+2mp} -
\sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\sum\limits_{p=0}^\infty \rho^{j+2mp}\Big)\\
=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \frac{\rho^{j}}{1-\rho^{2m}} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{\rho^{j}}{1-\rho^{2m}}\Big).
\end{multline*}
Поскольку множество $K$ содержит ровно $m$ элементов, имеем
\begin{multline}\label{sled}
{\bf Sp}({\mathbb P}{\mathbb B})=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K}
\frac{\rho^{j}-1}{1-\rho^{2m}} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{\rho^{j}-1}{1-\rho^{2m}}\Big)=\\
=m\Big(\sum \limits_{j\in K}\frac{-j}{2m}-\sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{-j}{2m}\Big) =
\frac{1}{2}\sum \limits_{0\leq j<2m}j - \sum \limits_{j\in K} j=\\
=\frac{m(2m-1)}{2}-\sum \limits_{j=1}^m k_j.
\end{multline}

Утверждение теоремы непосредственно вытекает из (\ref{int}) и (\ref{sled}).
\end{proof}




Работа первого и третьего авторов поддержана грантом 11.G34.31.0026 Правительства РФ (лаборатория
имени П.Л. Чебышева при СПбГУ). Работа второго автора частично поддержана грантом НШ4210.2010.1.\medskip

Мы весьма признательны И.А. Шейпаку и А.А. Шкаликову, благодаря которым мы смогли ознакомиться с текстом диссертации
А.Г. Костюченко; В.А. Козлову и А.Н. Подкорытову за полезные обсуждения; А.С. Печенцову и А.И. Козко,
которые предоставили нам тексты статей \cite{KP3} и \cite{KP2}.


\begin{thebibliography}{AFT}

\bibitem{L}
Б.М. Левитан, {\em Об асимптотическом поведении спектральной функции и
разложении по собственным функциям самосапряжённого дифференциального уравнения второго порядка},
Изв. АН СССР, сер. матем. 1953. I. Т.17, 331--364; II. Т.19, 33--58.

\bibitem{ZNS}
П.Б. Затицкий, А.И. Назаров, Д.М. Столяров, {\em По следам В.А. Садовничего}, SPbMS El. Prepr. Archive. N~2010-04. 5с.

\bibitem{KP1}
А.И. Козко, А.С. Печенцов, {\em Спектральная функция и регуляризованные следы сингулярных
дифференциальных операторов высших порядков}, Мат. заметки. 2008. Т.83, N1, 39--49.

\bibitem{SKP}
В.А. Садовничий, А.С. Печенцов, А.И.Козко, {\em Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных
операторов}, Доклады РАН, 2009. Т.427, N4, 461--465.

\bibitem{KP3}
А.И. Козко, А.С. Печенцов, {\em Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов порядка $2m$},
Совр. пробл. матем. мех., 2009. Т.3, вып.3, Изд. МГУ, 45--57.

\bibitem{Go}
L. G\r{a}rding, {\em Eigenfunction expansions connected with elliptic differential operators}, C.R. 12
Congress Math. Scand., Lund, 1953. 44--55.

\bibitem{Ko1}
А.Г. Костюченко, {\em О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов}, Дисс. на соиск. уч. ст.
д.ф.-м.н. М.: МГУ, 1966.

\bibitem{Ko2}
А.Г. Костюченко, {\em Асимптотика спектральной функции сингулярного оператора порядка $2m$},
Доклады АН СССР, 1966. Т.168, N2, 276--279.

\bibitem{KP2}
А.И.Козко, А.С.Печенцов, {\em Спектральная функция сингулярного оператора порядка $2m$}, Изв. РАН.
Сер. матем., Т.74, N6 (2010), 107--126.

\bibitem{B}
Н.К. Бари, {\em Тригонометрические ряды}, М., Физматлит, 1961.

\bibitem{GR}
И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, {\em Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений},
изд. 5, М., Наука, 1971.


\end{thebibliography}

\end{document}