\documentclass[12pt]{article} \usepackage{amssymb,url, amsthm, amsmath, verbatim} \usepackage[koi8-r]{inputenc} %\documentclass{amsbook} \usepackage[russian]{babel} %\usepackage{amssymb} \textheight=24.2cm \textwidth=16cm \hoffset=-15mm \voffset=-15mm \newtheorem{theorem}{Теорема} \newtheorem{lem}{Лемма} \newtheorem{prop}{Предложение} \newcommand{\eps}{\varepsilon} %\newcommand{\K}{\mathbb{K}} %\newcommand{\ph}{\varphi} \author{П.Б.~Затицкий, А.И.~Назаров, Д.М.~Столяров} \title{О формуле для регуляризованных следов} \begin{document} \maketitle %\selectlanguage{russian} %\section{Введение} Рассмотрим оператор $\mathbb L$, порождаемый дифференциальным выражением порядка $2m$ \begin{equation}\label{operator} ly\equiv(-1)^m D^{2m}y + \sum\limits_{k = 0}^{2m-2} p_k(x) D^ky \end{equation} (здесь $p_k\in L_{1,loc}(\mathbb R_+)$~-- вещественные функции) и граничными условиями \begin{equation}\label{cond} P_j(D)y(0)=0,\qquad j=1,\dots,m \end{equation} (здесь $P_j$ -- полином степени $k_j$, причем граничные условия считаются {\it приведенными}, т.е. $0\leq k_1 < k_2 < ... < k_m \leq 2m-1$). Допустим, что этот оператор самосопряжен в пространстве $L_2(\mathbb R_+)$, полуограничен снизу и имеет чисто %конкретный дискретный спектр $\{\lambda_n\}_{n=1}^{+\infty}$, занумерованный по возрастанию с учетом кратности. Пусть $\mathbb Q$ -- оператор умножения на вещественную функцию $q\in L_{\infty}(\mathbb R_+)$. Тогда оператор $\mathbb L+\mathbb Q$ также имеет чисто дискретный спектр $\{\mu_n\}_{n=1}^{+\infty}$.\medskip Вычислению спектральных функций и регуляризованных следов для дифференциальных операторов посвящена обширная литература, начиная с классической работы \cite{L}. Целью нашей заметки является доказательство следующего утверждения. \begin{theorem}\label{main} Пусть функция $q$ имеет ограниченный носитель\footnote{Это условие используется только при применении предложения \ref{Kost1} для вывода формулы (\ref{Green}). По-видимому, его можно ослабить, для чего необходимо получить глобальную оценку разности спектральных функций операторов $\mathbb L$ и $\widetilde{\mathbb L}$. В настоящее время такая оценка нам неизвестна.}, а функция $\psi(x)=\frac 1x\int\limits_0^x q(t)dt$ имеет ограниченную вариацию в нуле. Тогда справедливо равенство \begin{equation}\label{prosto} {\cal S}_1 \equiv \sum\limits_{n=1}^{\infty}\Big[\mu_n-\lambda_n-\frac{c_n}{\pi} \int\limits_{0}^{\infty}q(t) dt\Big]=-\psi(0+)\cdot\Big(\frac{m}{2}-\frac{1}{4}-\frac{\varkappa}{2m}\Big), \end{equation} {\it где } $$c_1 = \lambda_{1}^{\frac{1}{2m}};\qquad c_n = \lambda_{n}^{\frac{1}{2m}}-\lambda_{n-1}^{\frac{1}{2m}}, \quad n>1;\qquad \varkappa=\sum_{j=1}^{m} k_j.$$ \end{theorem} {\bf Замечание}. Формула (\ref{prosto}) была высказана А.И. Назаровым как гипотеза на конференции в Москве в 2007 году во время доклада А.С. Печенцова. Для одночленных краевых условий $P_j(D)=D^{k_j}$ она была доказана в препринте \cite{ZNS}\footnote{Три частных случая: 1) $k_j=2j-2$; 2) $k_j=2j-1$; 3) $k_j=j-1$ были ранее рассмотрены в работах \cite{KP1}, \cite{SKP}, \cite{KP3}.}.\medskip Введем два вспомогательных оператора: $\widetilde{\mathbb L}$ -- самосопряженный в $L_2(\mathbb R_+)$ оператор порядка $2m$ с граничными условиями (\ref{cond}), младшие коэффициенты которого финитны и совпадают с младшими коэффициентами в (\ref{operator}) на отрезке $[0,R]\supset{\rm supp}(q)$; ${\mathbb L}_0$ -- оператор $(-1)^m D^{2m}$ с граничными условиями (\ref{cond})\footnote{Этот оператор уже не обязательно самосопряженный!}.\medskip При $\lambda\in\mathbb R$ обозначим $\theta(x,y,\lambda)$ спектральную функцию оператора $\mathbb L$, т.е. ядро его спектрального проектора $E_{\lambda}$ (см. \cite{Go}). Аналогично, $\widetilde \theta(x,y,\lambda)$ -- спектральная функция оператора $\widetilde{\mathbb L}$. Далее, обозначим $H_0(x,y,\tau)$ функцию Грина оператора ${\mathbb L}_0-\tau$ (при $\tau\not\in\overline{\mathbb R}_+$).\medskip Пусть $\zeta$ -- значение $\tau^{\frac 1{2m}}$, аргумент которого лежит в $[0,\frac {\pi}m[$, а $z=\exp(\frac {i\pi}m)$. Введем матрицу ${\cal B}(\zeta)=\big[P_j(iz^{\ell-1}\zeta)\big]_{\ell,j=1}^m$ и обозначим $\Delta(\zeta)=\det({\cal B}(\zeta))$.\medskip В работе \cite{Ko1} (см. также \cite{Ko2}) были доказаны следующие утверждения (приводятся с некоторыми переобозначениями): \begin{prop}\label{Kost1} {\bf А} (\cite[гл. 1, \S 2]{Ko1}). Пусть выполнено следующее условие:\medskip ${\cal A}$. Матрица ${\cal B}(\zeta)$ не вырождена, и элементы обратной матрицы удовлетворяют оценке $\big[{\cal B}^{-1}(\zeta)\big]_{\ell j}= O(|\zeta|^{-k_j})$ при $|\zeta|\to\infty$.\medskip Тогда при $\lambda\to+\infty$ имеет место соотношение $$\widetilde \theta(x,y,\lambda)=-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\tau|=\lambda}H_0(x,y,\tau)\,d\tau + O(\lambda^{-\frac 1{2m}}) $$ равномерно на $\overline{\mathbb R}_+^2$.\medskip {\bf Б} (\cite[гл. 1, \S 4]{Ko1}). Пусть выполнено условие ${\cal A}$. Тогда при $\lambda\to+\infty$ имеет место соотношение $$\theta(x,y,\lambda)=\widetilde \theta(x,y,\lambda)+o(1) $$ равномерно на $[0, R]^2$. \end{prop} Прежде всего мы несколько усилим утверждения предложения \ref{Kost1}. \begin{lem}\label{nocond} При больших $|\zeta|$ условие $\cal A$ выполняется всегда, и потому это условие в предложении \ref{Kost1} может быть опущено. \end{lem} \begin{proof} Для начала отметим, что $\Delta(\zeta)$ есть полином от $\zeta$ степени $\varkappa$. Действительно, его столбцы -- полиномы степени $k_j$, а старшая степень не сокращается, так как определитель коэффициентов при старших степенях есть определитель Вандермонда $\det({\mathbb W}(z^{k_1},\dots,z^{k_m}))\ne0$. Поэтому $\Delta(\zeta)\ne0$ при достаточно больших $|\zeta|$. Далее, алгебраическое дополнение элемента $b_{\ell j}$, очевидно, есть полином от $\zeta$ степени не более $\varkappa-k_j$. Утверждение леммы следует теперь из формулы Крамера. \end{proof} \begin{proof}[Доказательство теоремы \ref{main}] Заметим, что левая часть (\ref{prosto}) преобразуется к виду (см.~\cite{KP3}, доказательство теоремы 1) $${\cal S}_1=\lim\limits_{\lambda\to+\infty} \int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot\Big(\theta(x,x,\lambda)-\frac {\lambda^{\frac 1{2m}}}{\pi}\Big)\,dx. $$ Ввиду леммы \ref{nocond} эту формулу можно переписать так: \begin{equation}\label{Green} {\cal S}_1=\lim\limits_{\lambda\to+\infty}\int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot \Big(-\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{|\tau|=\lambda}H_0(x,x,\tau)\,d\tau-\frac {\lambda^{\frac 1{2m}}}{\pi}\Big)\,dx. \end{equation} Теперь воспользуемся явным видом для функции $H_0$, полученным в \cite[Лемма 1]{KP1} (приводится с некоторыми переобозначениями): $$H_0(x,x,\tau)=\frac{i}{2m \zeta^{2m-1}}\cdot\sum\limits_{\alpha=1}^m z^{\alpha-1}\cdot \Big(1-\frac 1{\Delta(\zeta)}\cdot {\sum\limits_{\beta=1}^m \exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x\zeta)\cdot\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}\Big), $$ где определитель $\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)$ получается из $\Delta(\zeta)$ заменой в $\beta$-ой строке $P_j(iz^{\beta-1}\zeta)$ на $P_j(-iz^{\alpha-1}\zeta)$. Конечно, для справедливости этой формулы требуется, чтобы $\Delta(\zeta)\ne 0$, что выполнено при достаточно больших $|\tau|$. Сделаем во внутреннем интеграле в (\ref{Green}) замену переменной $\tau=\zeta^{2m}$. Легко видеть, что $$-\frac 1{2\pi i}\int\limits_{|\tau|=\lambda}\frac{i\,d\tau}{2m\zeta^{2m-1}}\sum\limits_{\alpha=1}^m z^{\alpha-1} =-\int\limits_{\Gamma_\lambda}\frac {d\zeta}{\pi(1-z)}=\frac {\lambda^{\frac{1}{2m}}}{\pi}$$ (здесь $\Gamma_\lambda$ -- дуга окружности $\{\zeta=\lambda^{\frac{1}{2m}}e^{i\phi}:\phi \in ]0,\frac{\pi}{m}[ \}$). Поэтому (\ref{Green}) перепишется так\footnote{В \cite[Теорема 2]{SKP} при дополнительном условии: $\Delta(\zeta)\ne0$ при $\tau\in\mathbb R\setminus\{0\}$ получена формула, аналогичная (\ref{nado}), но вместо интеграла по $\Gamma_\lambda$ в ней стоит вещественная часть интеграла по отрезку $[0,\lambda^{\frac{1}{2m}}]$. На самом деле эта формула верна лишь при более сильном условии: $\Delta(\zeta)\ne0$ при $\tau\ne0$. В этом случае формула \cite[(0.5)]{SKP} сводится к (\ref{nado}) по теореме Коши.}: \begin{equation}\label{nado} {\cal S}_1=\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{\lambda\to +\infty} \int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot\!\! \int\limits_{\Gamma_\lambda}\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m z^{\alpha-1}\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x\zeta)\cdot \frac {\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}{\Delta(\zeta)}\ d\zeta\,dx. \end{equation} Обозначим ${\mathbb B}_{\alpha\beta}=\lim\limits_{\zeta\to\infty}\frac {\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}{\Delta(\zeta)}$ и покажем, что \begin{equation}\label{nado1} {\cal S}_1=\frac{1}{2\pi}\lim\limits_{\lambda\to +\infty} \int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot\!\! \int\limits_{\Gamma_\lambda}\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m z^{\alpha-1}\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x\zeta)\cdot{\mathbb B}_{\alpha\beta}\ d\zeta\,dx. \end{equation} Действительно, поскольку $\Delta_{\alpha\beta}$ -- многочлен от $\zeta$ степени не больше $\varkappa$, при $|\zeta|\to\infty$ справедливо соотношение \begin{equation}\label{BBB} \frac {\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}{\Delta(\zeta)}={\mathbb B}_{\alpha\beta}+O(\zeta^{-1}). \end{equation} Далее, при всех $1\le\alpha,\beta \le m$ выполнено неравенство $0\le \arg(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\le \frac{m-1}{m}\pi$, Следовательно, интегралы $${\cal I}_{\alpha\beta}(x)=\int\limits_{\Gamma_\lambda}z^{\alpha-1}\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,x\zeta)\cdot \Big(\frac {\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)}{\Delta(\zeta)}-{\mathbb B}_{\alpha\beta}\Big)\ d\zeta $$ ограничены (ввиду (\ref{BBB})) равномерно по $x\ge0$ и стремятся к нулю (по лемме Жордана) при $x>0$, $\lambda\to\infty$. По теореме Лебега имеем $\lim\limits_{\lambda\to +\infty} \int\limits_0^{+\infty}q(x)\cdot{\cal I}_{\alpha\beta}(x)\,dx=0$, что доказывает (\ref{nado1}). Взяв внутренний интеграл в (\ref{nado1}), перепишем формулу для ${\cal S}_1$ так: \begin{equation}\label{g} {\cal S}_1=\frac 1{2\pi i}\cdot\lim_{s\rightarrow \infty} \int\limits_{0}^{\infty} q(x) g(sx) s\,dx, \end{equation} где %\begin{equation*} $$g(y)=\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^m {\mathbb P}_{\beta\alpha}{\mathbb B}_{\alpha\beta}\ \frac{\exp(i(z^{\alpha}+z^{\beta})\,y)-\exp(i(z^{\alpha-1}+z^{\beta-1})\,y)}{y}, $$%\end{equation*} а $${\mathbb P}_{\beta\alpha}= \frac{z^{\alpha-1}}{z^{\alpha-1} + z^{\beta-1}}=\frac{1}{1+z^{\beta-\alpha}}.$$ Для перехода к пределу в (\ref{g}) в слагаемых с $\alpha=\beta=1$ и $\alpha=\beta=m$ следует воспользоваться принципом локализации Римана (см., напр., \cite[гл.I, \S33]{B}) и признаком сходимости Валле-Пуссена (\cite[гл.III, \S3]{B}), в остальных слагаемых после однократного интегрирования по частям работает теорема Лебега, поскольку показатели экспонент имеют отрицательные вещественные части. В результате получаем\footnote{Заметим, что переход от (\ref{g}) к (\ref{int}) следует также из \cite[Лемма 2]{KP3}.} \begin{equation}\label{int} {\cal S}_1=\frac 1 {2\pi i}\cdot\psi(0+)\int\limits_{0}^{\infty}g(y)\,dy= -\frac{\psi(0+)}{2m}\cdot {\bf Sp}({\mathbb P}{\mathbb B}) \end{equation} (последнее равенство следует из \cite[3.434.2]{GR}).\medskip Заметим, что элементы матрицы $\mathbb B$ есть отношения определителей, составленных из старших коэффициентов полиномов, входящих в определители $\Delta_{\alpha\beta}(\zeta)$ и $\Delta(\zeta)$. Прямой подсчет с использованием формулы Крамера дает \begin{equation}\label{bb} {\mathbb B}={\mathbb W}\cdot{\rm diag}[(-1)^{k_1},\dots,(-1)^{k_m}]\cdot {\mathbb W}^{-1} \end{equation} (напомним, что ${\mathbb W}=({\mathbb W}_{\ell j})$ -- матрица Вандермонда, порождаемая числами $w_j=z^{k_j}$, $j=1,\dots, m$). Из (\ref{bb}) видно, что если $e^{(j)}=[1,w_j,\dots,w_j^{m-1}]^T$ -- $j$-й столбец матрицы ${\mathbb W}$, то ${\mathbb B}e^{(j)}=(-1)^{k_j}e^{(j)}$, т.е. векторы $e^{(j)}$ образуют собственный базис матрицы ${\mathbb B}$.\medskip Далее, по формуле суммы геометрической прогрессии матрицу ${\mathbb P}$ можно переписать так: \begin{equation}\label{progr} {\mathbb P}=\lim\limits_{\rho \rightarrow 1-}\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \rho^n\,\varphi_n\overline{\varphi}^T_n, \end{equation} где $\varphi_n=(1,z^n,\dots,..,z^{(m-1)n})^T$.\medskip Введем множество $\mathbb K=\{k_j+2mp\,|\ 1\leq j\leq m, \ \ p\in\mathbb Z_+ \}$. \begin{lem}\label{evenodd} Если $n\in \mathbb K$, то ${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_n{\mathbb B})=(-1)^n m$. Если $n \notin \mathbb K$, то ${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_n{\mathbb B})=(-1)^{n+1}m.$ \end{lem} Для доказательства нам потребуется такое очевидное предложение. \begin{prop}\label{hilb} Пусть $u,v$ -- векторы гильбертова пространства, $a,b\in\mathbb C$. Тогда если $(au+bv,u)=0$, то $(au+bv,-au+bv)=|au+bv|^2$. \end{prop} \begin{proof}[Доказательство леммы \ref{evenodd}] Прежде всего, $${\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_n{\mathbb B})= {\bf Sp}(\overline{\varphi}^T_n {\mathbb B}\varphi_n)=({\mathbb B}\varphi_n,\varphi_n).$$ Рассмотрим подпространства $$U=Lin\{e^{(j)}\,|\ k_j \equiv 1 \pmod 2\};\qquad V=Lin\{e^{(j)}\,|\ k_j \equiv 0 \pmod 2\}.$$ %(векторы $e^{(j)}$ определены перед леммой 1). Мы знаем, что на $U$ матрица ${\mathbb B}$ действует умножением на $-1$, а на $V$ тождественным образом. Заметим, что $U\dotplus V=\mathbb C^m$, так как векторы $e^{(j)}$ образуют базис. Таким образом, существует разложение вектора $\varphi_n=u+v$, где $u \in U$, $v \in V$, причем ${\mathbb B}\varphi_n=-u+v$. {\bf 1}. Если $n \in \mathbb K$, то $\varphi$ есть собственный вектор матрицы ${\mathbb B}$ с собственным числом $(-1)^n$. Поэтому $({\mathbb B}\varphi_n,\varphi_n)=(-1)^n (\varphi_n,\varphi_n)=(-1)^n m$. {\bf 2}. Если $n \notin \mathbb K$ и $n \equiv 1 \pmod 2$, то прямой подсчет показывает, что $\varphi \perp U$. Согласно предложению \ref{hilb}, $({\mathbb B}\varphi_n,\varphi_n)=|\varphi_n|^2=m$. {\bf 3}. Аналогично, если $n \notin \mathbb K$ и $n \equiv 0 \pmod 2$, то $\varphi \perp V$ и, согласно предложению \ref{hilb}, $-({\mathbb B}\varphi_n,\varphi_n)=|\varphi_n|^2=m$. \end{proof} Для завершения доказательства теоремы обозначим $K=\{k_1, ..., k_m\}$. Тогда из формулы (\ref{progr}) и леммы \ref{evenodd} получим \begin{multline*} {\bf Sp}({\mathbb P}{\mathbb B})=\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-} \sum \limits_{n=0}^\infty (-1)^n \rho^n {\bf Sp}(\varphi_n\overline{\varphi}^T_n{\mathbb B})=\\ =m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big( \sum \limits_{n\in \mathbb K} (-1)^n\rho^n(-1)^n + \sum \limits_{0\leq n\notin \mathbb K} (-1)^n \rho^n (-1)^{n+1}\Big)\\ =m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \sum\limits_{p=0}^\infty \rho^{j+2mp} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\sum\limits_{p=0}^\infty \rho^{j+2mp}\Big)\\ =m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \frac{\rho^{j}}{1-\rho^{2m}} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{\rho^{j}}{1-\rho^{2m}}\Big). \end{multline*} Поскольку множество $K$ содержит ровно $m$ элементов, имеем \begin{multline}\label{sled} {\bf Sp}({\mathbb P}{\mathbb B})=m\lim\limits_{\rho\rightarrow 1-}\Big(\sum \limits_{j\in K} \frac{\rho^{j}-1}{1-\rho^{2m}} - \sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{\rho^{j}-1}{1-\rho^{2m}}\Big)=\\ =m\Big(\sum \limits_{j\in K}\frac{-j}{2m}-\sum \limits_{0\leq j<2m,j\notin K}\frac{-j}{2m}\Big) = \frac{1}{2}\sum \limits_{0\leq j<2m}j - \sum \limits_{j\in K} j=\\ =\frac{m(2m-1)}{2}-\sum \limits_{j=1}^m k_j. \end{multline} Утверждение теоремы непосредственно вытекает из (\ref{int}) и (\ref{sled}). \end{proof} Работа первого и третьего авторов поддержана грантом 11.G34.31.0026 Правительства РФ (лаборатория имени П.Л. Чебышева при СПбГУ). Работа второго автора частично поддержана грантом НШ4210.2010.1.\medskip Мы весьма признательны И.А. Шейпаку и А.А. Шкаликову, благодаря которым мы смогли ознакомиться с текстом диссертации А.Г. Костюченко; В.А. Козлову и А.Н. Подкорытову за полезные обсуждения; А.С. Печенцову и А.И. Козко, которые предоставили нам тексты статей \cite{KP3} и \cite{KP2}. \begin{thebibliography}{AFT} \bibitem{L} Б.М. Левитан, {\em Об асимптотическом поведении спектральной функции и разложении по собственным функциям самосапряжённого дифференциального уравнения второго порядка}, Изв. АН СССР, сер. матем. 1953. I. Т.17, 331--364; II. Т.19, 33--58. \bibitem{ZNS} П.Б. Затицкий, А.И. Назаров, Д.М. Столяров, {\em По следам В.А. Садовничего}, SPbMS El. Prepr. Archive. N~2010-04. 5с. \bibitem{KP1} А.И. Козко, А.С. Печенцов, {\em Спектральная функция и регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов высших порядков}, Мат. заметки. 2008. Т.83, N1, 39--49. \bibitem{SKP} В.А. Садовничий, А.С. Печенцов, А.И.Козко, {\em Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов}, Доклады РАН, 2009. Т.427, N4, 461--465. \bibitem{KP3} А.И. Козко, А.С. Печенцов, {\em Регуляризованные следы сингулярных дифференциальных операторов порядка $2m$}, Совр. пробл. матем. мех., 2009. Т.3, вып.3, Изд. МГУ, 45--57. \bibitem{Go} L. G\r{a}rding, {\em Eigenfunction expansions connected with elliptic differential operators}, C.R. 12 Congress Math. Scand., Lund, 1953. 44--55. \bibitem{Ko1} А.Г. Костюченко, {\em О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов}, Дисс. на соиск. уч. ст. д.ф.-м.н. М.: МГУ, 1966. \bibitem{Ko2} А.Г. Костюченко, {\em Асимптотика спектральной функции сингулярного оператора порядка $2m$}, Доклады АН СССР, 1966. Т.168, N2, 276--279. \bibitem{KP2} А.И.Козко, А.С.Печенцов, {\em Спектральная функция сингулярного оператора порядка $2m$}, Изв. РАН. Сер. матем., Т.74, N6 (2010), 107--126. \bibitem{B} Н.К. Бари, {\em Тригонометрические ряды}, М., Физматлит, 1961. \bibitem{GR} И.С. Градштейн, И.М. Рыжик, {\em Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений}, изд. 5, М., Наука, 1971. \end{thebibliography} \end{document}