\documentclass[10pt,twoside]{article}
\usepackage[active]{srcltx}
\usepackage[cp1251]{inputenc}   % __а_и<Ё -  ЄR¤ЁаRўЄг Windows!!!
\usepackage[english, russian]{babel}    % __а_-Rбл з_а_ Babel (RЎп в_<м-R!)
%\usepackage{imm14}              % 'вЁ<_ўRc Ї Є_в "'аг¤Rў ___" вRї  14 (2008 _R¤)

\usepackage{amsmath}            % :б<Ё ЁбЇR<мговбп ўRїRі-RбвЁ Ї Є_в 
\usepackage{amsfonts,amssymb}   % :б<Ё _бвм -_RЎеR¤ЁїRбвм ўлЎRа 
                                % ї в_ї вЁз_бЄЁе  <д ўЁвRў
                                % \mathbb{} - amsfonts.sty
                                % \mathfrak{} - eufrak.sty, amsfonts.sty
                                % бЁїўR<л иаЁдв  Euler - amssymb.sty
%\usepackage{latexsym}          % _R¤Є<оз_-Ё_ иаЁдвRў LaTeX2.09
                                % (_б<Ё _бвм -_RЎеR¤Арбам)
\usepackage{graphicx}           % ¤<п ўЄ<оз_-Ёп _а дЁз_бЄЁе ЁRЎа і_-Ёc
\usepackage{cite}


\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\be}{\begin{equation}}
\newcommand{\ee}{\end{equation}}
\newcommand{\ba}{\begin{eqnarray}}
\newcommand{\ea}{\end{eqnarray}}
\newcommand{\ban}{\begin{eqnarray*}}
\newcommand{\ean}{\end{eqnarray*}}
\newcommand{\too}{\mathop{\longrightarrow}}
\newcommand{\nul}{{\bf0}} \newcommand{\odin}{{\bf1}}
\newcommand{\cupm}{\mathop{\cup}}
\newcommand{\capm}{\mathop{\cap}} \renewcommand{\t}{{\Bbb T}}
\newcommand{\td}{{\Bbb T}^d} \newcommand{\rd}{{\Bbb R}^d}
\newcommand{\zdd}{{\Bbb Z}^{d-1}} \newcommand{\zddp}{{\Bbb
Z}^{d-1}_+} \newcommand{\rdd}{{\Bbb R}^{d-1}}
\newcommand{\zd}{{\Bbb Z}^{d}} \newcommand{\tdd}{{\Bbb T}^{d-1}}
\newcommand{\ld}{L(\td)} \renewcommand{\r}{{\Bbb R}}
\newcommand{\z} {{\Bbb Z}} \newcommand{\n} {{\Bbb N}}
\newcommand{\calt}{{\cal T}} \newcommand{\call}{{\cal L}}
\newcommand{\cons}{{C\,}} \newcommand{\ddd}{,\dots,}
\renewcommand{\lll}{\left(} \newcommand{\rrr}{\right)}
\newcommand{\ex}[1]{e^{2\pi i{#1}}} \newcommand{\exm}[1]{e^{-2\pi
i{#1}}} \newcommand{\sml}[3]{\sum\limits_{{#1}={#2}}^{#3}}
\newcommand{\Ldvad}{L_2(\rd)} \newcommand{\h}{\widehat}
\newcommand{\smzd}[1]{\sum\limits_{#1\in\zd}}
\renewcommand{\span}{\mbox{span}\,}
\newcommand{\supp}{\mbox{supp}\,}
\newcommand{\smi}[1]{\sum\limits_{#1=1}^\infty}
\newcommand{\cA}{{\mathcal A}}
\newcommand{\cB}{{\mathcal B}}
\newcommand{\cD}{{\mathcal D}}
\newcommand{\cE}{{\mathcal E}}
%\newcommand{\cL}{{\mathcal L}}
\newcommand{\cS}{{\mathcal S}}
\newcommand{\bN}{{\mathbb N}}
\newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\bR}{{\mathbb R}}
\newcommand{\bC}{{\mathbb C}}



\newtheorem{theo}{Tеорема}
%\newtheorem{lem}[theo]{Tемма}
%\newtheorem {prop} [theo] {іредложение}
\newtheorem {coro} [theo]{Следствие}
%\newtheorem {defi} [theo] {+ п р е д е л е н и е}
\newtheorem {remark} [theo] {Замечание}
\newtheorem {example} [theo] {Пример}

%\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}}

%\numberwithin{equation}{section}
\newcommand{\Leftclt}{, М.~А.~Скопина}     % Tевvй колонтитул - L+L автора статьи
\newcommand{\Rightclt}{2-aдические базисv всплесков}% іравvй колонтитул - іраткое название

\newcommand{\UDK}{517.5}



\begin{document}




\centerline
{\bf\Large Почему в разных структурах }
\centerline
{\bf\Large
базисы Хаара одинаковые?}

\vspace{.5 cm}

\centerline
{И.Я.~Новиков \footnote{поддержан грантом РФФИ 11-01-00614}, М.А.~Скопина\footnote{
поддержана грантом РФФИ 09-01-00162.}}

\vspace{.5 cm}

\centerline{\bf Аннотация}
Последние годы в литературе  все чаще стали появляться базисы Хаара
в разных структурах, причем в некоторых работах построение
системы Хаара является единственным содержанием. В настоящей заметке
дано простое описание построения системы Хаара в любом
 пространстве с мерой при наличии  подходящей топологии.
 Эта конструкция охватывает базисы Хаара, построенные
в работах~\cite{Lang}, \cite{F}, \cite{Koz0}, \cite{Koz1}, \cite{Gol}, \cite{L1}, \cite{L2}, \cite{L3}, \cite{L4}, \cite{Ki-S}.

\vspace{.5 cm}
Система Хаара, появившаяся сто лет назад~\cite{Haar}, является
модельным примером базиса всплесков.
 Активно изучаться всплески начали  в конце прошлого века
в связи с созданием теории кратномасштабного анализа (КМА)
в работах С.~Малла~\cite{Mallat-1}
и Й.~Мейера~\cite{Meyer-1}. Наряду с изучением всплесков на прямой,
возник интерес к базисам всплесков в других структурах. 
\newline В.С.Лэнг~\cite{Lang}
разработал теорию  КМА на группе Кантора. Им, а также В.Ю.Протасовым и
Ю.А.Фарковым~\cite{P-F},  были найдены различные КМА, порождающие ортого\-нальные базисы
всплесков, существенно отличающи\-еся от базиса Хаара. Группа $p$-адических чисел
при $p=2$ имеет много сходства с группой Кантора: элементы имеют одинаковые
канонические представле\-ния, топология опреде\-ляется одной и той же неархимедовой
мет\-рикой. Различаются группы только действием ''+'', но это  приводит
к прин\-ципиально разным теориям всплесков и КМА. В частности, в~\cite{A-E-S} доказано,
что, в отличие от группы Кантора, не существует
$p$-адического КМА, порож\-денного ортогональной масштабирую\-щей
функцией, отличного от КМА Хаара. В то же время, $p$-адический базис Хаара
(впервые выписан\-ный С.В.Козыревым в~\cite{Koz0}) имеет точно такой же вид,
что и базис Хаара на группе Кантора при $p=2$ или Виленкина при $p>2$.
Почти те же формулы дают базисы Хаара на единичных шарах (аналоги периодического базиса
Хаара на прямой). Б.~И.~Голубов\cite{Gol} изучал обобщенные
базисы Хаара на отрезке $[0,1]$, взяв на каждом уровне $j$ свой коэффициент
сжатия $p_j$, при этом формулы практически сохранили свой вид с заменой лишь
$p$ на $p_j$. В работах~\cite{L1}-\cite{L4} С.Ф.Лукомский
приходит к тем же формулам в разных
ситуациях: на кольцах целых  $p$-адических чисел и  проективных пределах
конечных циклических групп 
в одномерном и многомерном случае, при этом он опира\-ется на
теорию нульмерных групп, в
результате чего доказа\-тельство базисности очередной системы Хаара
приобретает весьма значи\-тельный объем.
 В~\cite{L3} и в пленарном докладе на ВЗМШ в 2011 г. им высказано
мнение, что причина сходства базисов Хаара в разных структурах
объясняется тем, что все эти структуры являются нульмерными группами.
В настоящей заметке мы хотим дать гораздо более
простое объяснение этого сходства. Будет описана достаточно общая схема
построения базисов Хаара, при этом не требуется даже наличие
 группового действия ''+'' (его использование только создает
 неко\-торое удобство для  записи функций Хаара, но можно обойтись и без этого).
Нужно только наличие  ''не слишком плохой`` топологии в пространстве с мерой,
обеспечивающей некоторые естественные свойства измеримых множеств,
и подходящая последовательность разбиений пространства.
При этом процесс построения
системы Хаара и доказательство ее базисности точно такие же, как для
классического базиса Хаара.

Пусть $\mu$ -- мера в $\Omega$, $\Sigma$ -- $\sigma$-алгебра измеримых множеств,
$\mathbf{p}=\{p_j\}_{j=-\infty}^\infty$ -- последовательность
целых чисел, $p_j>1$. Предположим, что существуют
 наборы  множеств
 $\Omega_{jn}$, $n\in\z_+$, попарно дизъюнктных при каждом  $j\in\z$, такие что
 $\mu\Omega_{0n}=1$ для любого  $n\in\z_+$,
 $\Omega=\cup_n\Omega_{jn}$ для любого  $j\in\z$,
каждое $\Omega_{j-1,n}$ разбивается на $p_j$ равновеликих
под\-множеств $\Omega_{j,n_k}$, $n_k=n_k(n,j)\in\z.$
Совокупность всех пар $(j,n)$, нумерующих множества  $\Omega_{jn}$,
обозначим через $I$ и  совокупность $\{\Omega_{jn}\}_{(jn)\in I}$
назовем $(H,\mathbf{p})$-разбиением, а ее элементы -- ячейками.


Обозначим через $\phi_{jn}$ характеристическую функцию множества $\Omega_{jn}$,
нор\-мированную множителем
$$
C_j=\left\{
\begin{array}{ll}
(p_1p_2\dots p_j)^{1/2}, & \mbox{если} j>0,
\\
1, & \mbox{если} j=0,
\\
(p_0p_{-1}\dots p_{j+1})^{-1/2},& \mbox{если} j< 0.
\end{array}
\right.
$$
Положим $V_j:=\overline{\mbox{span}\,\{\phi_{jn}, n\in \z_0\}}$.

{\bf Лемма.}\ \ {\em
Пусть $\{\Omega_{jn}\}_{(jn)\in I}$ --
$(H,\mathbf{p})$-разбиение. Если  для любого мно\-жест\-ва $A\in \Sigma$ конечной меры и для любого $\varepsilon>0$ существует конечное $I_1\subset I$, такое что
$$
\mu(A\Delta\bigcup_{(j,k)\in I_1}\Omega_{j k})<\varepsilon.\quad (1),
$$
то объединение всех пространств  $V_j$, плотно в $L_2(\Omega, \Sigma,\mu)$.
}

{\bf Доказательство.}
 Нам нужно аппроксимировать произвольную функ\-цию $f\in L_2(\Omega, \Sigma,  \mu)$ c произвольной точностью $\varepsilon>0$ функцией из $\cup_{j\in\z}V_j.$ Это осуществляется по следующей схеме:
 1) приближаем функцию $f$ с точностью $\varepsilon/3$ функцией $f_1$ с $\supp f_1\subset \bigcup_{k\in I_1}\Omega_{ok},$ где $I_1$ -- конечное подмно\-жество $I;$
2) рассматриваем функции $f_1\cdot\chi_{\Omega_{0k}}$ для произвольного целого $k,$ где $\chi_e$ --характеристическая функция множества $e;$  в силу 1) отличных от нуля среди них будет конечное число, которое мы обозначим через $n;$ для каждого целого $k$ находим стандартным образом счётно-ступенчатую функцию $f_{1k}:$
$$
\|f_1\cdot\chi_{\Omega_{0k}}-f_{1k}\|_{L_2(\Omega,\mu)}<\varepsilon/(3n);
$$
3) наконец, пользуясь условием (1), аппроксимируем функции $f_{1k}$ функциями $f_{2k}$ c точностью $\varepsilon/(3n),$
где функции $f_{2k}$ -- счётно-ступенчатые с множествами постоянства, являющимися конечными объединениями ячеек из $(H,\mathbf{p})-$разби\-ения.  $\Box$


 Замечание. Отметим, что свойство (1) необходимо для  полноты
 множества ${\cup_{j\in\z}V_j}$ в  $L_2(\Omega,\Sigma, \mu)$.



{\bf Tеорема.}\ \ {\em
Пусть  пространство c  мерой  $(\Omega,\Sigma,\mu)$  снабжено топологией $\tau$,
такой, что  $\Sigma$  содержит все открытые множества и мера $\mu$ регулярна,
$\Omega=\{\Omega_{jn}\}_{(j,n)\in I}$ -- $(H,\mathbf{p})$-разбиение. Если  для любого $x\in\Omega$ и любого элемента $U$ базы окрестностей точки $x$ существует ячейка $\Omega_{jn}$, содержа\-щая $x$ и содержащаяся в $U$, то пространства $V_j$,
$j\in\z$, образуют КМА в $L_2(\Omega,\Sigma,\mu)$,
т.е. удовлетворяют следующим условиям:
(i)~$V_{j-1}\subset V_{j}$; (ii)~$\cap_{j\in\z}V_j=\{0\}$;
(iii)~$\overline{\cup_{j\in\z}V_j}=L_2(\Omega,\Sigma, \mu)$; (iv) функции
$\phi_{jn}$ образуют ортонормированный базис
пространства $V_j$.}

{\bf Доказательство.} Свойство (iv), очевидно, выполнено,
поскольку для любого $j\in\z$
носители функций $\phi_{jn}$ попарно дизъюнктны и $\|\phi_{jn}\|=1$.
По построению каждое $\Omega_{j-1,n}$
 разбивается на $p_j$  частей $\Omega_{j,n_k}$,
 $ n_k=n_k(n,j)$, что влечет
 $
\phi_{j-1,n}=p_j^{-1/2}\sum_{k=1}^{p_j}\phi_{j, n_k}.
 $
 Отсюда, учитывая (iv), получаем (i).

  Для доказательства (ii) заметим, что функция $f\in \cap_{j\in\z}V_j$ должна быть константой на любой ячейке  $\Omega_{jn}$. Пусть  $f=c$  на
  $\Omega_{j,n_0}$ для некоторого $n_0$. Тогда  $f= c$ на любой ячейке,
    содержащей  $\Omega_{j,n_0}$, а значит и на их объединении,
   которое имеет бесконечную меру.     Откуда, учитывая. что $f\in L_2(\Omega, \Sigma,\mu)$,, получаем  $c=0$, что влечет $f=0$ ввиду произвольности $n_0$.

 В силу леммы для доказательства  (iii) достаточно проверить
 выполнение свойства (1).  Пусть $A\in \Sigma$, $\mu A<\infty$,  $\varepsilon>0$.
 Из регулярности меры следует существование открытого множества $G$,
  такого что $A\subset G$, $\mu(G\setminus A)<\epsilon/2$.
 Покажем, что $G$ представимо в виде не более чем счетного объединения
 попарно дизъюнктных ячеек. Обозначим через $\Delta_0$ объединение всех ячеек
 $\Omega_{0n}$  содержащихся в $G$, через $\Delta_1$ -- объединение всех ячеек
 $\Omega_{1n}$  содержащихся в $G$ и не содержащихся в  $\Delta_0$.
 Продолжая аналогично, получим последо\-вательность попарно дизъюнктных
 множеств $\Delta_j$, $j=0,1,\dots$,  содержащихся в $G$, причем каждое  $\Delta_j$
 есть объединение конечного числа попарно дизъюнкт\-ных ячеек.
 Положив $\Delta=\cup_{j=0}^\infty \Delta_j$, имеем $\Delta\subset G$.
 Для поверки противополож\-ного включения возьмем произвольное $x\in G$.
 Поскольку $G$ открыто, сущест\-вует элемент $U$ базы окрестностей точки $x$,
 содержащийся в $G$, а значит и
 ячейка $\Omega_{jn}$, содержащая $x$ и содержащаяся в $G$.
 Но тогда существует такое  $j_1\le j$,  что $\Omega_{jn}\subset \Delta_{j_1}$,
 что влечет $x\in\Delta$.
 Мы установили равенство $G=\Delta$. Осталось заметить, что
$\mu(\Delta\setminus \cup_{j=0}^N\Delta_j)<\epsilon/2$
при достаточно больших $N$.  $\Box$

Замечание 1. Теорема останется верной, если обобщить определение
$(H,\mathbf{p})$-разбиения следующим образом: заменить последовательность
$\mathbf{p}=\{p_j\}_{j=-\infty}^\infty$ на $\widetilde{\mathbf{p}}=\{p_{jn}\}_{j,n=-\infty}^\infty$
и каждое $\Omega_{j-1,n}$ разбивать на $p_{jn}$ равновеликих
под\-множеств $\Omega_{j,n_k}$, $n_k=n_k(n,j)\in\z$.





Замечание 2. Отметим, что если в условиях теоремы топология $\tau$ опреде\-ляется метрикой,
то мера $\mu$ регулярна (см., например, \cite[теорема III.2]{MP} ).
В этом случае дополнительное предположение о ячейках будет выполнено, если
для каждого $x\in\Omega$ диаметры вложенных ячеек, содержащих $x,$ стремят\-ся к нулю.

Замечание 3. В  случае, когда  $\Omega$ -- метрическое пространство  и 
последовательность $\{p_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ ограниченна, 
 теорема доказана в \cite[теорема 5.1]{aimar}




Под системой Хаара, порожденной КМА Хаара,
мы будем понимать следующую ортонормированную
систему в $L_2(\Omega,\Sigma,\mu).$ Для произвольной пары $(j,n)\in I$ рассмотрим
конечномерное подпространство $W_{jn}$, порожденное характеристическими
функциями ячеек   $\Omega_{j+1,n_k},$  $k=1\ddd p_{j+1}$,
составляющих разбиение $\Omega_{jn},$ причём
дополнительно потребуем,  чтобы функции этого подпространства имели нулевое
среднее. Итак,
$$
W_{jn}:=\left\{f\in L_2(\Omega,\Sigma,\mu):\ \
f=\sum_{k=1}^{p_{j+1}}c_k\chi_{\Omega_{j+1,n_k}};
\int\limits_{\Omega_{jn}}f d\mu=0 \right\}.
$$
Ясно, что размерность $W_{jn}$ равна $p_{j+1}-1$ и члены любого
ортонормиро\-ванного базиса  в $W_{jn}$ имеют вид $\psi^\nu_{jn}=
C_{j+1}\sum_{k=1}^{p_{j+1}}h_{\nu, k}\chi_{\Omega_{j+1,n_k}}$,
где  $h_{\nu k}$, $\nu,k=1\ddd p_{j+1}$
-- элементы унитарной матрицы (вообще говоря, своей для каждого $(j,n)\in I$),
у которой первая строка состоит из одинаковых элементов. Чаще всего в качестве
таких унитарных матриц берут матрицу корней из единицы.
Пусть $\Psi_{j,n}:=\{\psi^\nu_{jn}\}_{\nu=2}^{p_{j+1}}$ --
произвольный ортонормиро\-ванный базис в $W_{j,n}.$
Систему Хаара, порожденную КМА Хаара, определим, как
$\Psi:=\cup_{(j,n)\in I}\Psi_{j,n}.$

Отметим, что если существует оператор  $D: \Omega\to\Omega$, такой что
$D\Omega_{jn}=\Omega_{j+1,n}$ для всех $n\in\z_+$, то задав базисы $\Psi_{(0,n)}$,
мы имеем систему Хаара традиционного вида
$\psi^\nu_{jk}(x)=C_j\psi^\nu_{0k}(D^jx)$,  $k\in\z_+$,  $j\in\z$,
 $\nu=1\ddd p_{j+1}-1$.



Рассмотрим несколько частных случаев описанной выше схемы построе\-ния системы Хаара.

Если $p_j=2$, $\Omega=\r$, $\mu$-- мера Лебега,
$D: \ x\to x/2$, разбиение $\{\Omega_{0,n}\}_{n=0}^\infty$
состоит из  интервалов $[k,k+1)$, $k\in\z$, занумерованных в произвольном порядке,
$\Omega_{jn}=D^{j}\Omega_{0n}$,
то мы получаем классический базис Хаара\cite{Haar}.

Пусть $p_j=p$, $p$ -- простое, $\Omega={\Bbb Q}_p$ -- поле $p$-адических чисел,
$\mu$-- мера Хаара в   ${\Bbb Q}_p$, $D: \ x\to px$,
$\Omega_{0n}=a_n+\z_p, a_n\in I$, где   $\z_p$ -- множество
$p$-адических целых,  $I=\{a_n\}_{n=0}^\infty$ -- множество $p$-адических чисел,
совпадающих со своей дробной частью, $\Omega_{jn}=D^{j}\Omega_{0n}$.
В этом случае мы получаем базис, построенный в работе\cite{Koz0}.
Простейший  много\-мерный базис Хаара можно построить, взяв $\Omega={\Bbb Q}_p^d$,
$\Omega_{0n}=a_n+\z_p^d, a_n\in I^d$.
$$
D=\left( \begin{array}{ccccc}
0&0 & \hdots&0&p\\
1 & 0&\hdots&0&0\\
\vdots& \vdots &\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&\hdots&1 &0
\end{array} \right).
$$
Каждое $\Omega_{0n}$ разбивается на $p$ равновеликих под\-множеств $\Omega^n_{k}$,
состоящих из векторов $x\in\Omega_{0n}$, таких что $x_1-(a_n)_1\equiv k\ ({\rm mod}\, p)$,
$k=0,1\ddd p-1$.
Нетрудно видеть, что $D^{-1}\Omega^n_{k}=\Omega_{0m}$, где
$m=m(n,k)\in\z_+$,  и  $D$  устанавлива\-ет взаимно однозначное
соответствие между наборами множеств  $\{\Omega_{0n}\}$ и  $\{\Omega^n_{k}\}$.
Положив $\Omega_{jn}=D^j\Omega_{0n}$, $j\in\z$,
получим $(H,\mathbf{p})$-разбиение $\{\Omega_{jn}\}_{n=0}^\infty$.
Соот\-ветствующие базисы Хаара строились в~\cite{Koz1}, а сужения
базисных функ\-ций на $\z_p$ (которые образуют базис в $L_2(\z_p)$,
поскольку носитель каждого элемента построенного базиса Хаара
либо содержится в $\z_p$, либо не пересека\-ется с $\z_p$ ),
строились в~\cite{L4} с использованием теории нульмерных групп. Чуть менее
тривиально проверить, что множества $\Omega_{jn}=D^j\Omega_{0n}$
образуют $(H,\mathbf{p})$-разбиение в случае $d=2$, $p_j=2$,
$D=\left( \begin{array}{rr} 1&-1 \\1 & 1 \end{array} \right)$.
Такие базисы Хаара построены в~\cite{Ki-S}.


Пусть $p_j=2$, $\Omega=C$ -- группа Кантора, состоящая из элементов
$x=\{x_k\}_{k=-\infty}^\infty$, где $x_k\in\{0,1\}$
причем $x_k\ne0$ лишь для конечного
числа отрица\-тельных $k$, $D$  -- оператор, сопоставляющий
каждому $x=\{x_k\}_{k=-\infty}^\infty$ элемент $x=\{x_{k+1}\}_{k=-\infty}^\infty$,
$\mu$ -- мера Хаара в $C$.  Топология в $C$ определяется нормой:
$\|x\|=2^m$, где $m$ -- наименьшее целое для которого   $x_m\ne0$.
Каждому неотрицательному целому числу
$n= 2^m y_m+\dots+2y_1+y_0$, $y_k\in\{0,1\}$,
сопоставим множество $\Omega_{0n}$, состоящее из элементов $x$,
таких что $x_{0}=y_0\ddd x_{-m}=y_m$, $x_k=0$ при $k<-m$.
Положив $\Omega_{jn}=D^j\Omega_{0n}$, имеем $(H,\mathbf{p})$-разбиение
и базис Хаара, построенный в~\cite{Lang}. Аналогично при $p_j=p$, где
$p$ -- любое целое число, большее 1, можно построить базис Хаара
 на группе Виленкина~\cite{F}.


Пусть $\{p_j\}_{j=-\infty}^\infty$ -- произвольная последовательность,
$\Omega=[0,+\infty)$, $\mu$-- мера Лебега,
$\Omega_{0n}=[n,n+1)$, $n\in\z_+$, $D_{p_j}:\ x\to x/p_j$.
Для любого $p=p_j$ каждое $\Omega_{0n}$ представимо в виде
объединения попарно дизъюнктных множеств $\Omega_k^{n,p}$,
$k=1\ddd p$, таких что $\Omega_{k}^{n,p}=D_{p}\Omega_{0,n_k}$, $n_k=n_k(n,p)\in\z_+$.
Ясно, что  отображение $D_{p}$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие
между семействами множеств $\Omega_{0n}$, $n\in\z_+$ и $\Omega_k^{n,p}$, $k=1\ddd p$,
 $n\in\z_+$, и каждое из семейств является разбиением $\Omega$.
 Переобозначим множества $\Omega_k^{n,p_1}$, положив
 $\Omega_{1n}=D_{p_1}\Omega_{0n}$, $n\in\z_+$. Для каждого $j>1$
 определим семейства множеств $\Omega_{jn}$, $n\in\z_+$,  рекурсивно.
 Пусть $\Omega_{j-1,n}=D_{p_1}\dots D_{p_{j-1}}\Omega_{0n}$. Поскольку каждое
$\Omega_{0n}$  разбивается на равновеликие части $D_{p_j}\Omega_{0,n_k}$,
$k=1\ddd p_j$, $n_k=n_k(n,j)\in\z_+$, множества $D_{p_1}\dots D_{p_j}\Omega_{0,n_k}$
разбивают $\Omega_{j-1,n}$ на $p_j$ частей равной меры. Положим
$\Omega_{jn}=D_{p_1}\dots D_{p_j}\Omega_{0n}$, $n\in\z_+$.
 Для $j<0$, положим
$\Omega_{j,n}=D^{-1}_{p_0}D^{-1}_{p_{-1}}\dots D^{-1}_{p_{j+1}}\Omega_{0n}$, $n\in\z_+$.
Нетрудно видеть, что
каждое $\Omega_{j-1,n}$ разбивается на $p_j$ под\-множеств $\Omega_{j,n_k}$,
 $n_k=n_k(n,j)\in\z_+$  равной меры. Мы получили $(H,\mathbf{p})$-разбиение
и соответст\-вующий базис Хаара. Сужения
базисных функций на $[0,1)$  образуют базис в $L_2[0,1)$,
пос\-кольку носитель каждый элемента построенного базиса Хаара
либо содер\-жится в $[0,1)$, либо не пересекается с $[0,1)$.
Этот базис изучался в~\cite{Gol}.


Как уже дважды отмечалось, сужение базисных функций Хаара на одно из множеств
$\Omega_{0n}$ дает базис в $L_2(\Omega_{0n})$ -- аналог периодического базиса Хаара.
Такие базисы можно строить и непосредственно, немного изменив
описанную выше схему. Пусть $\mu\Omega=1$,
$\{p_j\}_{j=1}^\infty$ -- последовательность
целых чисел, $p_j>1$. Предположим, что существуют
 наборы попарно дизъюнктных  равновеликих множеств
 $\Omega_{jn}$, $j\in\n$, $n=0,1\ddd (p_1...p_j-1)$, такие что
 $\Omega=\cup_{n=1}^{p_1}\Omega_{1n}$,
каждое $\Omega_{j,n}$, $j\in\n$, разбивается на $p_{j+1}$ равновеликих
под\-множеств $\Omega_{j+1,n_k}$, $n_k=n_k(n,j)$. Добавим  функцию
$\phi_{00}\equiv1$ к набору
функций $\phi_{jn}$, $j\in\n$, $n=1,2\ddd (p_1...p_j)$, определенным, как и ранее,
тогда заменив в формулировке нашей теоремы
 $j\in\z$ на $j\in\z_+$ и условие (ii) на $\cap_{j\in\z_+}V_j=V_0$,
получим аналогичное утверждение для ''периодических``  КМА. В таком КМА
пространства $V_j$ конечномерны, $\dim V_j= p_1...p_j$, а соответствующий система Хаара
имеет следующую структуру: $\psi_{00}^0=\phi_{00}\equiv1$,
$\psi^\nu_{jn}$,  $j\in\n$, $n=0\ddd {p_1...p_j-1}$, $\nu,k=1\ddd p_{j+1}$.


Пусть $G$ -- компактная нульмерная группа,
порожденная односторонней ценочкой вложенных
подгрупп  $G=G_0\supset  G_1\supset G_2\supset\dots,$  определяющих топологию.
 Группа ассоциирована
с некоторым набором простых чисел \newline $\{p_j\}_{j=1}^\infty$,
элементы  группы представимы в виде
$x=\sum_{k=1}^\infty x_kg_k$, где $x_k\in\{0,1\ddd p_k-1\}$,
а элементы $g_k\in G_{k-1}\setminus G_k$ удовлетворяют условию
$p_jg_j=g_{j+1}$.
Равенства $\mu G_0=1$, $\mu G_j=(p_1\dots p_j)^{-1}$, $j\in\n$,
определяют меру, инвариантную относительно сдвига, на полукольце всевозможных
сдвигов множеств  $G_j$. Эта мера распространяется на $\sigma$-алгебру $\Sigma$
по схеме Каратео\-дори. Нетрудно проверить, что эта мера регулярна.
Положим $\Omega=G$, разо\-бьем $\Omega$ на равнове\-ликие части $\Omega_{1k}$,
$k=1\ddd p_1$, где $\Omega_{1k}$ состоит из элементов $x$, для которых
$x_1=k-1$. Аналогично каждое $\Omega_{1k}$ разбивется  на части
$\Omega_{2k_l}$, $l=1\ddd p_2$, состоящие из элементов $x\in\Omega_{1k}$,
для которых $x_2=l-1$. Перенумеровав множества $\Omega_{2k_l}$ должным образом,
получим разбиение $\{\Omega_{2n}\}_{n=1}^{p_1p_2}$.
Продолжая этот процесс, построим $(H,\mathbf{p})$-разбиение
$\{\Omega_{jn}\}_{n=0}^{p_1...p_j-1}$, $j\in\n$.
Соответствую\-щий базис Хаара строился в~\cite{L2}.
Теперь покажем, как определить $(H,\mathbf{p})$-разбиение в $G^d$,
порождающее систему Хаара, построению которой посвящена работа~\cite{L3}.
Ограничимся случаем  $d=2$.       Положим $\Omega =G^2$,
$\mathbf{p}=\{p_1, p_1, p_2, p_2, p_3, p_3,\dots\}$.
Каждое $x\in \Omega$   представимо в виде
$x=(a g_1, b g_1)+y$, где  $y\in G_1^2$ $a, b\in \{0,1\ddd p_1-1\}$.
Множество векторов  $(a,b)$  образует группу относительно сложения  по модулю
$(p_1. p_1)$, которая распадается на $p_1$ циклических подгрупп
$\gamma _k=\{ (la_k, lb_k), \ l= 0,1\ddd p_1-1\}$. Ячейку $\Omega_{1k}$
определим, включив в нее все $x$, у которых $(a,b)\in \gamma_k$. Далее
фиксируя $l$, определим соответствующие ячейки $\Omega_{2,k_l}$,
составляющие разбиение $\Omega_{1k}$. Аналогично
каждое $\Omega_{2n}$ сначала разбиваем на $p_2$ ячеек $\Omega_{3,n_k}$,
каждая из которых затем разбивается на $p_2$ ячеек $\Omega_{4,k_l}$.
Отметим, что гораздо проще построить систему Хаара в $L_2(G^2)$, взяв
$\mathbf{p}=\{p_1^2,  p_2^2,  p_3^2, \dots\}$ и определив
  $(H,\mathbf{p})$-разбиение точно так же, как в одномерном случае,
  т.е. для построения ячейки $\Omega_{jk}$ зафиксировать цифры в обеих
  координатах $j$-го слагаемого в групповом представления элемента $x\in\Omega_{j-1,n}$.
  Такие базисы Хаара называют сепарабельными.




\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{Haar}
Haar A., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math.
Ann., 1910, 69, 331-341

\bibitem{Mallat-1}
Mallat, S. (1988).
Multiresolution representation and wavelets,
Ph. D. Thesis, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA.


\bibitem{Meyer-1}
Meyer, Y. (D\'ecembre 1986).
Ondelettes et fonctions splines,
S\'eminaire EDP. Paris.

\bibitem{Gol}
Б.И.Голубов. Об одном классе полных ортонормированных систем,
Сиб. матем. журн., IX:2 (1968),  297-314

\bibitem{Lang}
Lang, W. C., Orthogonal wavelets on the Cantor dyadic group,
SIAM J. Math. Ana. 27 (1996), 305-312.

\bibitem{P-F}
В. Ю. Протасов, Ю. А. Фарков
Диадические вейвлеты и масштабирующие функции на полупрямой
Матем. сб., 197:10 (2006),  129–160

\bibitem{F}
Yury A. Farkov, Multiresolution Analysis and Wavelets
on Vilenkin Groups,
FACTA UNIVERSITATIS (NI?S)
SER.: ELEC. ENERG. vol. 21, no. 3, December 2008, 309-325


\bibitem{L1}
C. Ф. Лукомский,
Кратномасштабный анализ на нульмерных группах и всплесковые базисы
Матем. сб.  201  (2010),
no. 5, 41--64.

\bibitem{L2}
C. Ф. Лукомский, О рядах Хаара на компактных нуль-мерных группах,
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика,
 2009, 9:1, 14-19.

\bibitem{L3}
Lukomskii, Sergey F.,
Haar system on product of zero-dimensional compact groups.
Cent. Eur. J. Math., 9(3), 2011, 627-639.

\bibitem{L4}
С. Ф. Лукомский,
О системе Хаара на произведении групп целых p-адических чисел.
Матем. заметки, в печати.

\bibitem{Koz0}
Kozyrev, S.V.
Wavelet analysis as a $p$-adic spectral analysis//
Izvestia Akademii Nauk, Seria Math. 2002. V.~66,
 no.~2. P.~149--158.

\bibitem{Koz1}
 Albeverio, Sergio; Kozyrev, Sergei V. Multidimensional
 $p$p-adic wavelets for the deformed metric.
 P-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl.  2  (2010),  no. 4, 265–277

\bibitem{Ki-S}
 E.J. King and  M.A. Skopina, Quincunx multiresolution analysis for $L^2(Q^2_2)$,
 P-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl., 2 (2010), no. 3, 222--231.


\bibitem{A-E-S}
 S.Albeverio,  S.Evdokimov and   M.Skopina,
$p$-Adic multiresolution analysis and wavelet frames,
 J. Fourier Anal. Appl. 16, No. 5, 693-714 (2010).

\bibitem{MP} Б.М.Макаров, А.Н.Подкорытов,
Лекции по вещественному анализу. СПб: БХВ-Петербургб 2011, 688 с.

\bibitem{aimar} H.Aimar, A.Bernardis, B.Iaffei, Multiresolution approximations and unconditional bases on weighted Lebesgue spaces on spaces of homogeneous type. J. Approx. Theory 148 (2007), no. 1, 12–34.




\end{thebibliography}



\end{document}

