\documentclass[10pt,twoside]{article} \usepackage[active]{srcltx} \usepackage[cp1251]{inputenc} % __а_и<Ё -  ЄR¤ЁаRўЄг Windows!!! \usepackage[english, russian]{babel} % __а_-Rбл з_а_ Babel (RЎп в_<м-R!) %\usepackage{imm14} % 'вЁ<_ўRc Ї Є_в "'аг¤Rў ___" вRї  14 (2008 _R¤) \usepackage{amsmath} % :б<Ё ЁбЇR<мговбп ўRїRі-RбвЁ Ї Є_в  \usepackage{amsfonts,amssymb} % :б<Ё _бвм -_RЎеR¤ЁїRбвм ўлЎRа  % ї в_ї вЁз_бЄЁе  <д ўЁвRў % \mathbb{} - amsfonts.sty % \mathfrak{} - eufrak.sty, amsfonts.sty % бЁїўR<л иаЁдв  Euler - amssymb.sty %\usepackage{latexsym} % _R¤Є<оз_-Ё_ иаЁдвRў LaTeX2.09 % (_б<Ё _бвм -_RЎеR¤Арбам) \usepackage{graphicx} % ¤<п ўЄ<оз_-Ёп _а дЁз_бЄЁе ЁRЎа і_-Ёc \usepackage{cite} \renewcommand{\phi}{\varphi} \newcommand{\be}{\begin{equation}} \newcommand{\ee}{\end{equation}} \newcommand{\ba}{\begin{eqnarray}} \newcommand{\ea}{\end{eqnarray}} \newcommand{\ban}{\begin{eqnarray*}} \newcommand{\ean}{\end{eqnarray*}} \newcommand{\too}{\mathop{\longrightarrow}} \newcommand{\nul}{{\bf0}} \newcommand{\odin}{{\bf1}} \newcommand{\cupm}{\mathop{\cup}} \newcommand{\capm}{\mathop{\cap}} \renewcommand{\t}{{\Bbb T}} \newcommand{\td}{{\Bbb T}^d} \newcommand{\rd}{{\Bbb R}^d} \newcommand{\zdd}{{\Bbb Z}^{d-1}} \newcommand{\zddp}{{\Bbb Z}^{d-1}_+} \newcommand{\rdd}{{\Bbb R}^{d-1}} \newcommand{\zd}{{\Bbb Z}^{d}} \newcommand{\tdd}{{\Bbb T}^{d-1}} \newcommand{\ld}{L(\td)} \renewcommand{\r}{{\Bbb R}} \newcommand{\z} {{\Bbb Z}} \newcommand{\n} {{\Bbb N}} \newcommand{\calt}{{\cal T}} \newcommand{\call}{{\cal L}} \newcommand{\cons}{{C\,}} \newcommand{\ddd}{,\dots,} \renewcommand{\lll}{\left(} \newcommand{\rrr}{\right)} \newcommand{\ex}[1]{e^{2\pi i{#1}}} \newcommand{\exm}[1]{e^{-2\pi i{#1}}} \newcommand{\sml}[3]{\sum\limits_{{#1}={#2}}^{#3}} \newcommand{\Ldvad}{L_2(\rd)} \newcommand{\h}{\widehat} \newcommand{\smzd}[1]{\sum\limits_{#1\in\zd}} \renewcommand{\span}{\mbox{span}\,} \newcommand{\supp}{\mbox{supp}\,} \newcommand{\smi}[1]{\sum\limits_{#1=1}^\infty} \newcommand{\cA}{{\mathcal A}} \newcommand{\cB}{{\mathcal B}} \newcommand{\cD}{{\mathcal D}} \newcommand{\cE}{{\mathcal E}} %\newcommand{\cL}{{\mathcal L}} \newcommand{\cS}{{\mathcal S}} \newcommand{\bN}{{\mathbb N}} \newcommand{\bZ}{{\mathbb Z}} \newcommand{\bQ}{{\mathbb Q}} \newcommand{\bR}{{\mathbb R}} \newcommand{\bC}{{\mathbb C}} \newtheorem{theo}{Tеорема} %\newtheorem{lem}[theo]{Tемма} %\newtheorem {prop} [theo] {іредложение} \newtheorem {coro} [theo]{Следствие} %\newtheorem {defi} [theo] {+ п р е д е л е н и е} \newtheorem {remark} [theo] {Замечание} \newtheorem {example} [theo] {Пример} %\renewcommand{\theequation}{\arabic{section}.\arabic{equation}} %\numberwithin{equation}{section} \newcommand{\Leftclt}{, М.~А.~Скопина} % Tевvй колонтитул - L+L автора статьи \newcommand{\Rightclt}{2-aдические базисv всплесков}% іравvй колонтитул - іраткое название \newcommand{\UDK}{517.5} \begin{document} \centerline {\bf\Large Почему в разных структурах } \centerline {\bf\Large базисы Хаара одинаковые?} \vspace{.5 cm} \centerline {И.Я.~Новиков \footnote{поддержан грантом РФФИ 11-01-00614}, М.А.~Скопина\footnote{ поддержана грантом РФФИ 09-01-00162.}} \vspace{.5 cm} \centerline{\bf Аннотация} Последние годы в литературе все чаще стали появляться базисы Хаара в разных структурах, причем в некоторых работах построение системы Хаара является единственным содержанием. В настоящей заметке дано простое описание построения системы Хаара в любом пространстве с мерой при наличии подходящей топологии. Эта конструкция охватывает базисы Хаара, построенные в работах~\cite{Lang}, \cite{F}, \cite{Koz0}, \cite{Koz1}, \cite{Gol}, \cite{L1}, \cite{L2}, \cite{L3}, \cite{L4}, \cite{Ki-S}. \vspace{.5 cm} Система Хаара, появившаяся сто лет назад~\cite{Haar}, является модельным примером базиса всплесков. Активно изучаться всплески начали в конце прошлого века в связи с созданием теории кратномасштабного анализа (КМА) в работах С.~Малла~\cite{Mallat-1} и Й.~Мейера~\cite{Meyer-1}. Наряду с изучением всплесков на прямой, возник интерес к базисам всплесков в других структурах. \newline В.С.Лэнг~\cite{Lang} разработал теорию КМА на группе Кантора. Им, а также В.Ю.Протасовым и Ю.А.Фарковым~\cite{P-F}, были найдены различные КМА, порождающие ортого\-нальные базисы всплесков, существенно отличающи\-еся от базиса Хаара. Группа $p$-адических чисел при $p=2$ имеет много сходства с группой Кантора: элементы имеют одинаковые канонические представле\-ния, топология опреде\-ляется одной и той же неархимедовой мет\-рикой. Различаются группы только действием ''+'', но это приводит к прин\-ципиально разным теориям всплесков и КМА. В частности, в~\cite{A-E-S} доказано, что, в отличие от группы Кантора, не существует $p$-адического КМА, порож\-денного ортогональной масштабирую\-щей функцией, отличного от КМА Хаара. В то же время, $p$-адический базис Хаара (впервые выписан\-ный С.В.Козыревым в~\cite{Koz0}) имеет точно такой же вид, что и базис Хаара на группе Кантора при $p=2$ или Виленкина при $p>2$. Почти те же формулы дают базисы Хаара на единичных шарах (аналоги периодического базиса Хаара на прямой). Б.~И.~Голубов\cite{Gol} изучал обобщенные базисы Хаара на отрезке $[0,1]$, взяв на каждом уровне $j$ свой коэффициент сжатия $p_j$, при этом формулы практически сохранили свой вид с заменой лишь $p$ на $p_j$. В работах~\cite{L1}-\cite{L4} С.Ф.Лукомский приходит к тем же формулам в разных ситуациях: на кольцах целых $p$-адических чисел и проективных пределах конечных циклических групп в одномерном и многомерном случае, при этом он опира\-ется на теорию нульмерных групп, в результате чего доказа\-тельство базисности очередной системы Хаара приобретает весьма значи\-тельный объем. В~\cite{L3} и в пленарном докладе на ВЗМШ в 2011 г. им высказано мнение, что причина сходства базисов Хаара в разных структурах объясняется тем, что все эти структуры являются нульмерными группами. В настоящей заметке мы хотим дать гораздо более простое объяснение этого сходства. Будет описана достаточно общая схема построения базисов Хаара, при этом не требуется даже наличие группового действия ''+'' (его использование только создает неко\-торое удобство для записи функций Хаара, но можно обойтись и без этого). Нужно только наличие ''не слишком плохой`` топологии в пространстве с мерой, обеспечивающей некоторые естественные свойства измеримых множеств, и подходящая последовательность разбиений пространства. При этом процесс построения системы Хаара и доказательство ее базисности точно такие же, как для классического базиса Хаара. Пусть $\mu$ -- мера в $\Omega$, $\Sigma$ -- $\sigma$-алгебра измеримых множеств, $\mathbf{p}=\{p_j\}_{j=-\infty}^\infty$ -- последовательность целых чисел, $p_j>1$. Предположим, что существуют наборы множеств $\Omega_{jn}$, $n\in\z_+$, попарно дизъюнктных при каждом $j\in\z$, такие что $\mu\Omega_{0n}=1$ для любого $n\in\z_+$, $\Omega=\cup_n\Omega_{jn}$ для любого $j\in\z$, каждое $\Omega_{j-1,n}$ разбивается на $p_j$ равновеликих под\-множеств $\Omega_{j,n_k}$, $n_k=n_k(n,j)\in\z.$ Совокупность всех пар $(j,n)$, нумерующих множества $\Omega_{jn}$, обозначим через $I$ и совокупность $\{\Omega_{jn}\}_{(jn)\in I}$ назовем $(H,\mathbf{p})$-разбиением, а ее элементы -- ячейками. Обозначим через $\phi_{jn}$ характеристическую функцию множества $\Omega_{jn}$, нор\-мированную множителем $$ C_j=\left\{ \begin{array}{ll} (p_1p_2\dots p_j)^{1/2}, & \mbox{если} j>0, \\ 1, & \mbox{если} j=0, \\ (p_0p_{-1}\dots p_{j+1})^{-1/2},& \mbox{если} j< 0. \end{array} \right. $$ Положим $V_j:=\overline{\mbox{span}\,\{\phi_{jn}, n\in \z_0\}}$. {\bf Лемма.}\ \ {\em Пусть $\{\Omega_{jn}\}_{(jn)\in I}$ -- $(H,\mathbf{p})$-разбиение. Если для любого мно\-жест\-ва $A\in \Sigma$ конечной меры и для любого $\varepsilon>0$ существует конечное $I_1\subset I$, такое что $$ \mu(A\Delta\bigcup_{(j,k)\in I_1}\Omega_{j k})<\varepsilon.\quad (1), $$ то объединение всех пространств $V_j$, плотно в $L_2(\Omega, \Sigma,\mu)$. } {\bf Доказательство.} Нам нужно аппроксимировать произвольную функ\-цию $f\in L_2(\Omega, \Sigma, \mu)$ c произвольной точностью $\varepsilon>0$ функцией из $\cup_{j\in\z}V_j.$ Это осуществляется по следующей схеме: 1) приближаем функцию $f$ с точностью $\varepsilon/3$ функцией $f_1$ с $\supp f_1\subset \bigcup_{k\in I_1}\Omega_{ok},$ где $I_1$ -- конечное подмно\-жество $I;$ 2) рассматриваем функции $f_1\cdot\chi_{\Omega_{0k}}$ для произвольного целого $k,$ где $\chi_e$ --характеристическая функция множества $e;$ в силу 1) отличных от нуля среди них будет конечное число, которое мы обозначим через $n;$ для каждого целого $k$ находим стандартным образом счётно-ступенчатую функцию $f_{1k}:$ $$ \|f_1\cdot\chi_{\Omega_{0k}}-f_{1k}\|_{L_2(\Omega,\mu)}<\varepsilon/(3n); $$ 3) наконец, пользуясь условием (1), аппроксимируем функции $f_{1k}$ функциями $f_{2k}$ c точностью $\varepsilon/(3n),$ где функции $f_{2k}$ -- счётно-ступенчатые с множествами постоянства, являющимися конечными объединениями ячеек из $(H,\mathbf{p})-$разби\-ения. $\Box$ Замечание. Отметим, что свойство (1) необходимо для полноты множества ${\cup_{j\in\z}V_j}$ в $L_2(\Omega,\Sigma, \mu)$. {\bf Tеорема.}\ \ {\em Пусть пространство c мерой $(\Omega,\Sigma,\mu)$ снабжено топологией $\tau$, такой, что $\Sigma$ содержит все открытые множества и мера $\mu$ регулярна, $\Omega=\{\Omega_{jn}\}_{(j,n)\in I}$ -- $(H,\mathbf{p})$-разбиение. Если для любого $x\in\Omega$ и любого элемента $U$ базы окрестностей точки $x$ существует ячейка $\Omega_{jn}$, содержа\-щая $x$ и содержащаяся в $U$, то пространства $V_j$, $j\in\z$, образуют КМА в $L_2(\Omega,\Sigma,\mu)$, т.е. удовлетворяют следующим условиям: (i)~$V_{j-1}\subset V_{j}$; (ii)~$\cap_{j\in\z}V_j=\{0\}$; (iii)~$\overline{\cup_{j\in\z}V_j}=L_2(\Omega,\Sigma, \mu)$; (iv) функции $\phi_{jn}$ образуют ортонормированный базис пространства $V_j$.} {\bf Доказательство.} Свойство (iv), очевидно, выполнено, поскольку для любого $j\in\z$ носители функций $\phi_{jn}$ попарно дизъюнктны и $\|\phi_{jn}\|=1$. По построению каждое $\Omega_{j-1,n}$ разбивается на $p_j$ частей $\Omega_{j,n_k}$, $ n_k=n_k(n,j)$, что влечет $ \phi_{j-1,n}=p_j^{-1/2}\sum_{k=1}^{p_j}\phi_{j, n_k}. $ Отсюда, учитывая (iv), получаем (i). Для доказательства (ii) заметим, что функция $f\in \cap_{j\in\z}V_j$ должна быть константой на любой ячейке $\Omega_{jn}$. Пусть $f=c$ на $\Omega_{j,n_0}$ для некоторого $n_0$. Тогда $f= c$ на любой ячейке, содержащей $\Omega_{j,n_0}$, а значит и на их объединении, которое имеет бесконечную меру. Откуда, учитывая. что $f\in L_2(\Omega, \Sigma,\mu)$,, получаем $c=0$, что влечет $f=0$ ввиду произвольности $n_0$. В силу леммы для доказательства (iii) достаточно проверить выполнение свойства (1). Пусть $A\in \Sigma$, $\mu A<\infty$, $\varepsilon>0$. Из регулярности меры следует существование открытого множества $G$, такого что $A\subset G$, $\mu(G\setminus A)<\epsilon/2$. Покажем, что $G$ представимо в виде не более чем счетного объединения попарно дизъюнктных ячеек. Обозначим через $\Delta_0$ объединение всех ячеек $\Omega_{0n}$ содержащихся в $G$, через $\Delta_1$ -- объединение всех ячеек $\Omega_{1n}$ содержащихся в $G$ и не содержащихся в $\Delta_0$. Продолжая аналогично, получим последо\-вательность попарно дизъюнктных множеств $\Delta_j$, $j=0,1,\dots$, содержащихся в $G$, причем каждое $\Delta_j$ есть объединение конечного числа попарно дизъюнкт\-ных ячеек. Положив $\Delta=\cup_{j=0}^\infty \Delta_j$, имеем $\Delta\subset G$. Для поверки противополож\-ного включения возьмем произвольное $x\in G$. Поскольку $G$ открыто, сущест\-вует элемент $U$ базы окрестностей точки $x$, содержащийся в $G$, а значит и ячейка $\Omega_{jn}$, содержащая $x$ и содержащаяся в $G$. Но тогда существует такое $j_1\le j$, что $\Omega_{jn}\subset \Delta_{j_1}$, что влечет $x\in\Delta$. Мы установили равенство $G=\Delta$. Осталось заметить, что $\mu(\Delta\setminus \cup_{j=0}^N\Delta_j)<\epsilon/2$ при достаточно больших $N$. $\Box$ Замечание 1. Теорема останется верной, если обобщить определение $(H,\mathbf{p})$-разбиения следующим образом: заменить последовательность $\mathbf{p}=\{p_j\}_{j=-\infty}^\infty$ на $\widetilde{\mathbf{p}}=\{p_{jn}\}_{j,n=-\infty}^\infty$ и каждое $\Omega_{j-1,n}$ разбивать на $p_{jn}$ равновеликих под\-множеств $\Omega_{j,n_k}$, $n_k=n_k(n,j)\in\z$. Замечание 2. Отметим, что если в условиях теоремы топология $\tau$ опреде\-ляется метрикой, то мера $\mu$ регулярна (см., например, \cite[теорема III.2]{MP} ). В этом случае дополнительное предположение о ячейках будет выполнено, если для каждого $x\in\Omega$ диаметры вложенных ячеек, содержащих $x,$ стремят\-ся к нулю. Замечание 3. В случае, когда $\Omega$ -- метрическое пространство и последовательность $\{p_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$ ограниченна, теорема доказана в \cite[теорема 5.1]{aimar} Под системой Хаара, порожденной КМА Хаара, мы будем понимать следующую ортонормированную систему в $L_2(\Omega,\Sigma,\mu).$ Для произвольной пары $(j,n)\in I$ рассмотрим конечномерное подпространство $W_{jn}$, порожденное характеристическими функциями ячеек $\Omega_{j+1,n_k},$ $k=1\ddd p_{j+1}$, составляющих разбиение $\Omega_{jn},$ причём дополнительно потребуем, чтобы функции этого подпространства имели нулевое среднее. Итак, $$ W_{jn}:=\left\{f\in L_2(\Omega,\Sigma,\mu):\ \ f=\sum_{k=1}^{p_{j+1}}c_k\chi_{\Omega_{j+1,n_k}}; \int\limits_{\Omega_{jn}}f d\mu=0 \right\}. $$ Ясно, что размерность $W_{jn}$ равна $p_{j+1}-1$ и члены любого ортонормиро\-ванного базиса в $W_{jn}$ имеют вид $\psi^\nu_{jn}= C_{j+1}\sum_{k=1}^{p_{j+1}}h_{\nu, k}\chi_{\Omega_{j+1,n_k}}$, где $h_{\nu k}$, $\nu,k=1\ddd p_{j+1}$ -- элементы унитарной матрицы (вообще говоря, своей для каждого $(j,n)\in I$), у которой первая строка состоит из одинаковых элементов. Чаще всего в качестве таких унитарных матриц берут матрицу корней из единицы. Пусть $\Psi_{j,n}:=\{\psi^\nu_{jn}\}_{\nu=2}^{p_{j+1}}$ -- произвольный ортонормиро\-ванный базис в $W_{j,n}.$ Систему Хаара, порожденную КМА Хаара, определим, как $\Psi:=\cup_{(j,n)\in I}\Psi_{j,n}.$ Отметим, что если существует оператор $D: \Omega\to\Omega$, такой что $D\Omega_{jn}=\Omega_{j+1,n}$ для всех $n\in\z_+$, то задав базисы $\Psi_{(0,n)}$, мы имеем систему Хаара традиционного вида $\psi^\nu_{jk}(x)=C_j\psi^\nu_{0k}(D^jx)$, $k\in\z_+$, $j\in\z$, $\nu=1\ddd p_{j+1}-1$. Рассмотрим несколько частных случаев описанной выше схемы построе\-ния системы Хаара. Если $p_j=2$, $\Omega=\r$, $\mu$-- мера Лебега, $D: \ x\to x/2$, разбиение $\{\Omega_{0,n}\}_{n=0}^\infty$ состоит из интервалов $[k,k+1)$, $k\in\z$, занумерованных в произвольном порядке, $\Omega_{jn}=D^{j}\Omega_{0n}$, то мы получаем классический базис Хаара\cite{Haar}. Пусть $p_j=p$, $p$ -- простое, $\Omega={\Bbb Q}_p$ -- поле $p$-адических чисел, $\mu$-- мера Хаара в ${\Bbb Q}_p$, $D: \ x\to px$, $\Omega_{0n}=a_n+\z_p, a_n\in I$, где $\z_p$ -- множество $p$-адических целых, $I=\{a_n\}_{n=0}^\infty$ -- множество $p$-адических чисел, совпадающих со своей дробной частью, $\Omega_{jn}=D^{j}\Omega_{0n}$. В этом случае мы получаем базис, построенный в работе\cite{Koz0}. Простейший много\-мерный базис Хаара можно построить, взяв $\Omega={\Bbb Q}_p^d$, $\Omega_{0n}=a_n+\z_p^d, a_n\in I^d$. $$ D=\left( \begin{array}{ccccc} 0&0 & \hdots&0&p\\ 1 & 0&\hdots&0&0\\ \vdots& \vdots &\ddots&\vdots&\vdots\\ 0&0&\hdots&1 &0 \end{array} \right). $$ Каждое $\Omega_{0n}$ разбивается на $p$ равновеликих под\-множеств $\Omega^n_{k}$, состоящих из векторов $x\in\Omega_{0n}$, таких что $x_1-(a_n)_1\equiv k\ ({\rm mod}\, p)$, $k=0,1\ddd p-1$. Нетрудно видеть, что $D^{-1}\Omega^n_{k}=\Omega_{0m}$, где $m=m(n,k)\in\z_+$, и $D$ устанавлива\-ет взаимно однозначное соответствие между наборами множеств $\{\Omega_{0n}\}$ и $\{\Omega^n_{k}\}$. Положив $\Omega_{jn}=D^j\Omega_{0n}$, $j\in\z$, получим $(H,\mathbf{p})$-разбиение $\{\Omega_{jn}\}_{n=0}^\infty$. Соот\-ветствующие базисы Хаара строились в~\cite{Koz1}, а сужения базисных функ\-ций на $\z_p$ (которые образуют базис в $L_2(\z_p)$, поскольку носитель каждого элемента построенного базиса Хаара либо содержится в $\z_p$, либо не пересека\-ется с $\z_p$ ), строились в~\cite{L4} с использованием теории нульмерных групп. Чуть менее тривиально проверить, что множества $\Omega_{jn}=D^j\Omega_{0n}$ образуют $(H,\mathbf{p})$-разбиение в случае $d=2$, $p_j=2$, $D=\left( \begin{array}{rr} 1&-1 \\1 & 1 \end{array} \right)$. Такие базисы Хаара построены в~\cite{Ki-S}. Пусть $p_j=2$, $\Omega=C$ -- группа Кантора, состоящая из элементов $x=\{x_k\}_{k=-\infty}^\infty$, где $x_k\in\{0,1\}$ причем $x_k\ne0$ лишь для конечного числа отрица\-тельных $k$, $D$ -- оператор, сопоставляющий каждому $x=\{x_k\}_{k=-\infty}^\infty$ элемент $x=\{x_{k+1}\}_{k=-\infty}^\infty$, $\mu$ -- мера Хаара в $C$. Топология в $C$ определяется нормой: $\|x\|=2^m$, где $m$ -- наименьшее целое для которого $x_m\ne0$. Каждому неотрицательному целому числу $n= 2^m y_m+\dots+2y_1+y_0$, $y_k\in\{0,1\}$, сопоставим множество $\Omega_{0n}$, состоящее из элементов $x$, таких что $x_{0}=y_0\ddd x_{-m}=y_m$, $x_k=0$ при $k<-m$. Положив $\Omega_{jn}=D^j\Omega_{0n}$, имеем $(H,\mathbf{p})$-разбиение и базис Хаара, построенный в~\cite{Lang}. Аналогично при $p_j=p$, где $p$ -- любое целое число, большее 1, можно построить базис Хаара на группе Виленкина~\cite{F}. Пусть $\{p_j\}_{j=-\infty}^\infty$ -- произвольная последовательность, $\Omega=[0,+\infty)$, $\mu$-- мера Лебега, $\Omega_{0n}=[n,n+1)$, $n\in\z_+$, $D_{p_j}:\ x\to x/p_j$. Для любого $p=p_j$ каждое $\Omega_{0n}$ представимо в виде объединения попарно дизъюнктных множеств $\Omega_k^{n,p}$, $k=1\ddd p$, таких что $\Omega_{k}^{n,p}=D_{p}\Omega_{0,n_k}$, $n_k=n_k(n,p)\in\z_+$. Ясно, что отображение $D_{p}$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между семействами множеств $\Omega_{0n}$, $n\in\z_+$ и $\Omega_k^{n,p}$, $k=1\ddd p$, $n\in\z_+$, и каждое из семейств является разбиением $\Omega$. Переобозначим множества $\Omega_k^{n,p_1}$, положив $\Omega_{1n}=D_{p_1}\Omega_{0n}$, $n\in\z_+$. Для каждого $j>1$ определим семейства множеств $\Omega_{jn}$, $n\in\z_+$, рекурсивно. Пусть $\Omega_{j-1,n}=D_{p_1}\dots D_{p_{j-1}}\Omega_{0n}$. Поскольку каждое $\Omega_{0n}$ разбивается на равновеликие части $D_{p_j}\Omega_{0,n_k}$, $k=1\ddd p_j$, $n_k=n_k(n,j)\in\z_+$, множества $D_{p_1}\dots D_{p_j}\Omega_{0,n_k}$ разбивают $\Omega_{j-1,n}$ на $p_j$ частей равной меры. Положим $\Omega_{jn}=D_{p_1}\dots D_{p_j}\Omega_{0n}$, $n\in\z_+$. Для $j<0$, положим $\Omega_{j,n}=D^{-1}_{p_0}D^{-1}_{p_{-1}}\dots D^{-1}_{p_{j+1}}\Omega_{0n}$, $n\in\z_+$. Нетрудно видеть, что каждое $\Omega_{j-1,n}$ разбивается на $p_j$ под\-множеств $\Omega_{j,n_k}$, $n_k=n_k(n,j)\in\z_+$ равной меры. Мы получили $(H,\mathbf{p})$-разбиение и соответст\-вующий базис Хаара. Сужения базисных функций на $[0,1)$ образуют базис в $L_2[0,1)$, пос\-кольку носитель каждый элемента построенного базиса Хаара либо содер\-жится в $[0,1)$, либо не пересекается с $[0,1)$. Этот базис изучался в~\cite{Gol}. Как уже дважды отмечалось, сужение базисных функций Хаара на одно из множеств $\Omega_{0n}$ дает базис в $L_2(\Omega_{0n})$ -- аналог периодического базиса Хаара. Такие базисы можно строить и непосредственно, немного изменив описанную выше схему. Пусть $\mu\Omega=1$, $\{p_j\}_{j=1}^\infty$ -- последовательность целых чисел, $p_j>1$. Предположим, что существуют наборы попарно дизъюнктных равновеликих множеств $\Omega_{jn}$, $j\in\n$, $n=0,1\ddd (p_1...p_j-1)$, такие что $\Omega=\cup_{n=1}^{p_1}\Omega_{1n}$, каждое $\Omega_{j,n}$, $j\in\n$, разбивается на $p_{j+1}$ равновеликих под\-множеств $\Omega_{j+1,n_k}$, $n_k=n_k(n,j)$. Добавим функцию $\phi_{00}\equiv1$ к набору функций $\phi_{jn}$, $j\in\n$, $n=1,2\ddd (p_1...p_j)$, определенным, как и ранее, тогда заменив в формулировке нашей теоремы $j\in\z$ на $j\in\z_+$ и условие (ii) на $\cap_{j\in\z_+}V_j=V_0$, получим аналогичное утверждение для ''периодических`` КМА. В таком КМА пространства $V_j$ конечномерны, $\dim V_j= p_1...p_j$, а соответствующий система Хаара имеет следующую структуру: $\psi_{00}^0=\phi_{00}\equiv1$, $\psi^\nu_{jn}$, $j\in\n$, $n=0\ddd {p_1...p_j-1}$, $\nu,k=1\ddd p_{j+1}$. Пусть $G$ -- компактная нульмерная группа, порожденная односторонней ценочкой вложенных подгрупп $G=G_0\supset G_1\supset G_2\supset\dots,$ определяющих топологию. Группа ассоциирована с некоторым набором простых чисел \newline $\{p_j\}_{j=1}^\infty$, элементы группы представимы в виде $x=\sum_{k=1}^\infty x_kg_k$, где $x_k\in\{0,1\ddd p_k-1\}$, а элементы $g_k\in G_{k-1}\setminus G_k$ удовлетворяют условию $p_jg_j=g_{j+1}$. Равенства $\mu G_0=1$, $\mu G_j=(p_1\dots p_j)^{-1}$, $j\in\n$, определяют меру, инвариантную относительно сдвига, на полукольце всевозможных сдвигов множеств $G_j$. Эта мера распространяется на $\sigma$-алгебру $\Sigma$ по схеме Каратео\-дори. Нетрудно проверить, что эта мера регулярна. Положим $\Omega=G$, разо\-бьем $\Omega$ на равнове\-ликие части $\Omega_{1k}$, $k=1\ddd p_1$, где $\Omega_{1k}$ состоит из элементов $x$, для которых $x_1=k-1$. Аналогично каждое $\Omega_{1k}$ разбивется на части $\Omega_{2k_l}$, $l=1\ddd p_2$, состоящие из элементов $x\in\Omega_{1k}$, для которых $x_2=l-1$. Перенумеровав множества $\Omega_{2k_l}$ должным образом, получим разбиение $\{\Omega_{2n}\}_{n=1}^{p_1p_2}$. Продолжая этот процесс, построим $(H,\mathbf{p})$-разбиение $\{\Omega_{jn}\}_{n=0}^{p_1...p_j-1}$, $j\in\n$. Соответствую\-щий базис Хаара строился в~\cite{L2}. Теперь покажем, как определить $(H,\mathbf{p})$-разбиение в $G^d$, порождающее систему Хаара, построению которой посвящена работа~\cite{L3}. Ограничимся случаем $d=2$. Положим $\Omega =G^2$, $\mathbf{p}=\{p_1, p_1, p_2, p_2, p_3, p_3,\dots\}$. Каждое $x\in \Omega$ представимо в виде $x=(a g_1, b g_1)+y$, где $y\in G_1^2$ $a, b\in \{0,1\ddd p_1-1\}$. Множество векторов $(a,b)$ образует группу относительно сложения по модулю $(p_1. p_1)$, которая распадается на $p_1$ циклических подгрупп $\gamma _k=\{ (la_k, lb_k), \ l= 0,1\ddd p_1-1\}$. Ячейку $\Omega_{1k}$ определим, включив в нее все $x$, у которых $(a,b)\in \gamma_k$. Далее фиксируя $l$, определим соответствующие ячейки $\Omega_{2,k_l}$, составляющие разбиение $\Omega_{1k}$. Аналогично каждое $\Omega_{2n}$ сначала разбиваем на $p_2$ ячеек $\Omega_{3,n_k}$, каждая из которых затем разбивается на $p_2$ ячеек $\Omega_{4,k_l}$. Отметим, что гораздо проще построить систему Хаара в $L_2(G^2)$, взяв $\mathbf{p}=\{p_1^2, p_2^2, p_3^2, \dots\}$ и определив $(H,\mathbf{p})$-разбиение точно так же, как в одномерном случае, т.е. для построения ячейки $\Omega_{jk}$ зафиксировать цифры в обеих координатах $j$-го слагаемого в групповом представления элемента $x\in\Omega_{j-1,n}$. Такие базисы Хаара называют сепарабельными. \begin{thebibliography}{10} \bibitem{Haar} Haar A., Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann., 1910, 69, 331-341 \bibitem{Mallat-1} Mallat, S. (1988). Multiresolution representation and wavelets, Ph. D. Thesis, University of Pennsylvania, Philadelphia, PA. \bibitem{Meyer-1} Meyer, Y. (D\'ecembre 1986). Ondelettes et fonctions splines, S\'eminaire EDP. Paris. \bibitem{Gol} Б.И.Голубов. Об одном классе полных ортонормированных систем, Сиб. матем. журн., IX:2 (1968), 297-314 \bibitem{Lang} Lang, W. C., Orthogonal wavelets on the Cantor dyadic group, SIAM J. Math. Ana. 27 (1996), 305-312. \bibitem{P-F} В. Ю. Протасов, Ю. А. Фарков Диадические вейвлеты и масштабирующие функции на полупрямой Матем. сб., 197:10 (2006), 129–160 \bibitem{F} Yury A. Farkov, Multiresolution Analysis and Wavelets on Vilenkin Groups, FACTA UNIVERSITATIS (NI?S) SER.: ELEC. ENERG. vol. 21, no. 3, December 2008, 309-325 \bibitem{L1} C. Ф. Лукомский, Кратномасштабный анализ на нульмерных группах и всплесковые базисы Матем. сб. 201 (2010), no. 5, 41--64. \bibitem{L2} C. Ф. Лукомский, О рядах Хаара на компактных нуль-мерных группах, Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2009, 9:1, 14-19. \bibitem{L3} Lukomskii, Sergey F., Haar system on product of zero-dimensional compact groups. Cent. Eur. J. Math., 9(3), 2011, 627-639. \bibitem{L4} С. Ф. Лукомский, О системе Хаара на произведении групп целых p-адических чисел. Матем. заметки, в печати. \bibitem{Koz0} Kozyrev, S.V. Wavelet analysis as a $p$-adic spectral analysis// Izvestia Akademii Nauk, Seria Math. 2002. V.~66, no.~2. P.~149--158. \bibitem{Koz1} Albeverio, Sergio; Kozyrev, Sergei V. Multidimensional $p$p-adic wavelets for the deformed metric. P-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl. 2 (2010), no. 4, 265–277 \bibitem{Ki-S} E.J. King and M.A. Skopina, Quincunx multiresolution analysis for $L^2(Q^2_2)$, P-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl., 2 (2010), no. 3, 222--231. \bibitem{A-E-S} S.Albeverio, S.Evdokimov and M.Skopina, $p$-Adic multiresolution analysis and wavelet frames, J. Fourier Anal. Appl. 16, No. 5, 693-714 (2010). \bibitem{MP} Б.М.Макаров, А.Н.Подкорытов, Лекции по вещественному анализу. СПб: БХВ-Петербургб 2011, 688 с. \bibitem{aimar} H.Aimar, A.Bernardis, B.Iaffei, Multiresolution approximations and unconditional bases on weighted Lebesgue spaces on spaces of homogeneous type. J. Approx. Theory 148 (2007), no. 1, 12–34. \end{thebibliography} \end{document}