\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm} 
\usepackage{mathtext}
\usepackage{amsfonts}

\setlength{\topmargin}{-.5in}
\setlength{\textheight}{9in}
\setlength{\oddsidemargin}{.125in}
\setlength{\textwidth}{6.25in}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\newcommand{\lda}{\lambda}

\frenchspacing

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
%\newtheorem{proposition}{Proposition}
%\newtheorem{corollary}{Corollary}
\newtheorem{rustheorem}{Теорема}
\newtheorem{ruslemma}{Лемма}
\newtheorem*{mainlemma}{Основная лемма}
\newtheorem{rusproposition}{Предложение}
\newtheorem{ruscorollary}{Следствие}

\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{remark}{Remark}
%\newtheorem{example}{Example}
\newtheorem{rusdefinition}{Определение}
\newtheorem{rusremark}{Замечание}
\newtheorem{rusexample}{Пример}

\newenvironment{rusbibliography}{\renewcommand{\refname}{{\large\sc Литература}}\vspace{-0.5cm}\begin{thebibliography}}{\end{thebibliography}}

\begin{document} 

\title{Об асимптотике интегралов, связанных с обобщенной канторовой лестницей}
\author{А.И.~Назаров, Н.В.~Растегаев\footnote{Работа поддержана грантом РФФИ 10-01-00154а.}}
\renewcommand{\today}{5 декабря 2011}
\maketitle{Канторова лестница естественным образом включается
в различные семейства самоподобных функций. В рамках
этих семейств можно следить за асимптотикой некоторых
определенных интегралов с параметром.}


\section{Введение}
%\begin{rusdefinition}
Пусть $\{I_k = [a_k,b_k]\}_{k=1}^m$ -- подотрезки $[0,1]$, не пересекающиеся по внутренности.
%В дальнейшем мы будем считать, что $a_1 = 0$, $b_m = 1$, и будем обозначать через $\Delta_{2k+1} = b_k - a_k$ 
%и через $\Delta_{2k} = a_{k+1} - b_k$, однако в рамках данного определения это не важно.
Обозначим $S_k$ аффинные сжатия $[0,1]$ на $I_k$, не меняющие ориентации. Введем также набор положительных чисел
 $\{\rho_k\}_{k=1}^m$, таких, что $\sum\limits_{k=1}^m\rho_k = 1$. 

Определим оператор $\mathcal{S}$, действующий на функциях из $L_{\infty}(0,1)$ следующим образом:
\[\mathcal{S}(f) = \sum_{k=1}^m\left(\chi_{I_k}(f\circ S_k^{-1})+\chi_{\{x>b_k\}}\right)\rho_k. \]
Легко проверить (см., напр., \cite{Sh}), что $\mathcal{S}$ -- сжимающее отображение на $L_{\infty}(0,1)$.
Поэтому существует функция $C\in L_{\infty}(0,1)$, такая, что $\mathcal{S}(C)=C$.

Такую функцию $C(t)$ будем называть \textit{обобщенной канторовой лестницей} с $m$ ступеньками. 
Ее можно искать как равномерный предел последовательности $\mathcal{S}^k(f)$ для $f(t)\equiv t$, 
что позволяет считать $C(t)$ непрерывной и монотонной, причем $C(0)=0$, $C(1)=1$. 
Производная функции $C(t)$ в смысле обобщенных функций -- мера $\mu$, самоподобная по Хатчинсону (см. \cite{H}), 
т.е. удовлетворяющая соотношению
\[\mu(E) = \sum_{k=0}^m \rho_k \mu(S_k^{-1}(E\cap I_k)).\]
Более общие способы построения самоподобных функций описаны в \cite{Sh}.
%\end{rusdefinition}

Для обобщенной канторовой лестницы $C(t)$ мы будем изучать асимптотику при $\lda\to\infty$ интеграла
\[ E(\lda) = \int\limits_0^1e^{\lda C(t)} \; dt.\]


\begin{rusremark}
Легко видеть, что поиск асимптотики на отрицательной бесконечности сводится к аналогичной задаче 
на положительной бесконечности.

Более подробно, если лестница $C(t)$ задана
отрезками $\{I_k\}_{k=1}^m$, где $I_k = \left[a_k, b_k\right]$, и высотами $\{\rho_k\}_{k=1}^m$,
можно рассмотреть $C_1(t)$, задаваемую отрезками $\{J_k\}_{k=1}^m$, где $J_{m-k+1} = \left[1-b_k, 1-a_k\right]$,
и высотами $\{\sigma_k\}_{k=1}^m$, $\sigma_k = 1-\rho_{m-k+1}$. Заметим теперь, что для интегралов $E(\lda)$, 
связанных с этими лестницами, выполняется соотношение
\[ E_C(-\lda) = e^{-\lda} E_{C_1}(\lda). \]
Таким образом, вопрос об асимтотике на отрицательной бесконечности для одной лестницы сводится к вопросу об
асимптотике на положительной бесконечности для другой. Далее мы будем считать $\lambda>0$.
\end{rusremark}

\begin{rusdefinition}
Будем называть обобщенную канторову лестницу \textit{ровной}, если 
\[ \forall k=2,\dots, m \qquad \rho_k =\rho_1 = \frac{1}{m}, \quad 
b_k - a_k=b_1 - a_1, \quad a_k - b_{k-1}=a_2 - b_1. \]
При $a_2 = b_1$ такая лестница вырождается в $C(t)\equiv t$, и мы имеем $E(\lda) = \frac{e^\lda-1}{\lda}$.
\end{rusdefinition}

Случай ровной лестницы при $m=2$ рассматривается в работе \cite{GK},
в которой среди других результатов получен первый член асимптотического ряда. Отметим еще статью \cite{G}, в которой
получено представление функции $E(\lda)$ и других интегралов (в случае классической канторовой лестницы) через ряды из элементарных функций.

\section{Рекуррентное соотношение и основная лемма}

Не умаляя общности, мы можем полагать, что $a_1 = 0$, $b_m = 1$ (остальные случаи сводятся к этому
растяжением). Через $\Delta_i$, $i = 1\ldots 2m-1$, мы обозначим длины отрезков, на которые разбит отрезок $[0,1]$, 
т.е. $\Delta_{2k-1} = b_k - a_k >0$, $\Delta_{2k} = a_{k+1} - b_k\ge0$. Заведем также обозначения 
$h_k = \sum\limits_{i=1}^k \rho_i$, $g_k = 1 - h_k$.
%\begin{rusdefinition}
%Часть дальнейших результатов мы переформулируем и уточним для лестниц, для которых $\rho_k = \frac{1}{m}$. Такие лестницы мы %будем называть \textit{ровными}.
%\end{rusdefinition}

\begin{rusremark}
Соотношение $\mathcal{S}(C)=C$ можно иначе переписать в следующем виде:
\begin{equation*}
C(t) =
\left\{
\begin{array}{ll}
h_{k-1} + \rho_k C\left(\frac{t-a_k}{\Delta_{2k-1}}\right), & t \in [a_k, b_k]\\
h_k, & t \in [b_k, a_{k+1}]\\
\end{array} 
\right.
\end{equation*} 
\end{rusremark}

\begin{ruslemma}\label{lemma_main_eq}
Для лестницы с $m$ ступеньками имеет место соотношение
\begin{equation}\label{main_eq}
E(\lda) = \Delta_1 E(\rho_1\lda) + \Delta_2 e^{h_1\lda} + \Delta_3 e^{h_1\lda}E(\rho_2\lda) + \Delta_4 e^{h_2\lda} + \ldots + 
\Delta_{2m-1}e^{h_{m-1}\lda}E(\rho_m\lda).
\end{equation}
\end{ruslemma}
\begin{proof}
\begin{align*}
E(\lda) &= \int\limits_0^1e^{\lda C(t)} \; dt =
\sum\limits_{k=1}^m \int\limits_{a_k}^{b_k} e^{\lda C(t)} \; dt +
\sum\limits_{k=1}^{m-1} \int\limits_{b_k}^{a_{k+1}} e^{\lda C(t)} \; dt =\\
&= \sum\limits_{k=1}^m e^{h_{k-1}\lda}\int\limits_{a_k}^{b_k} e^{\rho_k\lda C\left(\frac{t-a_k}{\Delta_{2k-1}}\right)} \; dt +
\sum\limits_{k=1}^{m-1} \Delta_{2k} e^{h_k\lda} = \\
&= \sum\limits_{k=1}^m \Delta_{2k-1} e^{h_{k-1}\lda} E(\rho_k\lda) +
\sum\limits_{k=1}^{m-1} \Delta_{2k} e^{h_k\lda},
\end{align*}
что совпадает с \eqref{main_eq}.
\end{proof}


Для анализа этого соотношения нам понадобится
\begin{mainlemma}\label{main_lemma}
Пусть для всех $\lda \geq 0$ функция $F(\lda)$ удовлетворяет следующим условиям:
\begin{enumerate}
\item $1\leqslant F(\lda) \leq e^\lda$;
\item $F(\eta\lda) = d \, e^{(\eta-1)\lda} F(\lda) + f(\lda), \quad 0 < d < 1, \; \eta > 1$;
\item $f(\lda) = O(e^{(\eta-\varepsilon)\lda})$ при $\lda \to \infty$ для некоторого $\varepsilon > 0$.
\end{enumerate}
Тогда при $\lda \to \infty$ имеем
\[ F(\lda) = \Phi(\log_\eta(\lda)) \lda^\alpha e^\lda + O(e^{(1-\varepsilon)\lda}),\]
где $\alpha = \log_\eta(d)<0$, $\Phi$ -- $1$-периодическая.
\end{mainlemma}
\begin{rusremark}
В частном случае это утверждение было доказано в \cite{GK}.
\end{rusremark}
\begin{proof}
Заведем обозначения 
\[ F_1(\lda) = \dfrac{F(\lda)}{\lda^{\alpha}e^{\lda}},\quad f_1(\lda) = \dfrac{f(\lda)}{d\lda^{\alpha}e^{\eta\lda}}. \]
В этих обозначениях условие 2 переписывается так:
\[ F_1(\eta\lda) = F_1(\lda) + f_1(\lda), \]
откуда получаем по индукции
\[ F_1(\lda) = F_1\left( \dfrac{\lda}{\eta^{N}} \right) + \sum\limits_{k=1}^N f_1\left(\dfrac{\lda}{\eta^k}\right). \]
Отметим, что $F_1(\lda) \leq \lda^{-\alpha} \to 0$ при $\lda \to 0$. Значит, мы вправе записать
\[ F_1(\lda) = \sum\limits_{k=1}^{\infty} f_1\left(\dfrac{\lda}{\eta^k}\right). \]
Кроме того, введем еще две функции:
\[ G(\lda) = \sum\limits_{k=0}^{\infty} f_1(\eta^k\lda),\quad H(\lda) = F_1(\lda) + G(\lda). \]
Из оценки $f_1(\lda) = O(\lda^{-\alpha}e^{-\varepsilon\lambda})$ следует, что
$G(\lda)$ определена, и $G(\lda) = O(\lda^{-\alpha}e^{-\varepsilon\lambda})$. Далее, по построению
$H(\eta\lda) = H(\lda)$, т.е. $H(\lda)$ -- $1$-периодическая функция от $\log_\eta(\lda)$.

Вводя обозначение $\Phi(x) = H(\eta^x)$, заключаем, что $F_1(\lda) = \Phi(\log_\eta(\lda)) + 
O(\lda^{-\alpha}e^{-\varepsilon\lambda})$. Переходя обратно к функции $F(\lda)$, получим утверждение леммы.
\end{proof}



\section{Асимптотика $E(\lda)$}
\subsection{Первое слагаемое}
Нетрудно видеть, что для любой обобщенной канторовой лестницы функция $E(\lda)$ удовлетворяет условиям основной леммы. Действительно, $0 \leq C(t) \leq 1$, значит  
$1 \leq E(\lda) \leq e^\lda$ для всех неотрицательных $\lda$.
Далее, вводя обозначение $\eta = \dfrac{1}{\rho_m} > 1$, можем переписать соотношение \eqref{main_eq} следующим образом:
\[ E(\eta\lda) = \Delta_{2m-1} e^{(\eta-1)\lda} E(\lda) + f(\lda), \]
где $f(\lda) = \Delta_1 E\left(\rho_1 \eta\lda\right) + 
\Delta_2 e^{h_1 \eta\lda} + \ldots + \Delta_{2m-2} e^{(\eta-1)\lda} = O(e^{(\eta-1)\lda}). $

Применяя основную лемму, получаем
\begin{equation}\label{eq_E_Phi} 
E(\lambda) = \Phi(\log_\eta(\lambda))\lambda^\alpha e^\lambda + O(1),
\end{equation}
где $\alpha = \log_\eta(\Delta_{2m-1})<0$, $\Phi(x)$ --  $1$-периодическая функция.

Функция $\Phi(\log_\eta(\lambda))$ представляет собой сумму ряда, равномерно сходящегося на любом компакте,
лежащем в полуплоскости $Re(\lambda) > 0$. Поэтому аналитичность $f(\lambda)$ влечет аналитичность $\Phi(x)$ 
в полосе $\lvert Im(x) \rvert < \frac{\pi}{2\ln(\eta)}$. 
В общем случае трудно утверждать что-либо большее, ведь
$f(\lambda)$, вообще говоря, выражается через $E(\lambda)$. 
Например, в вырожденном случае $\rho_k = \Delta_{2k-1}$, $\Delta_{2k}=0$ мы получаем $C(t)\equiv t$,
$E(\lda) = \frac{e^\lda-1}{\lda}$, и, таким образом, функция $\Phi(x)$ вырождается в константу.
В общем случае вопрос о постоянстве $\Phi(x)$ остается открытым. Однако для случая ровных
лестниц зависимость $f(\lambda)$
от $E(\lambda)$ может быть устранена. $\Phi(x)$ тогда принимает более явный вид, что позволяет получить о ней
дополнительную информацию.

Для ровной лестницы, очевидно, $\eta=m$, а соотношение \eqref{main_eq} может быть переписано следующим образом:
\[
E(m\lambda) = \Delta_1 \dfrac{e^{m\lambda}-1}{e^{\lambda}-1}\,E(\lambda) + 
\Delta_2 \dfrac{e^{(m-1)\lambda}-1}{e^{\lambda}-1}\, e^{\lambda}.
\]
Обозначая
\[
\tilde{F_1}(\lambda) = \dfrac{E(\lambda)}{\lambda^\alpha \left( e^{\lambda} - 1\right)}, \qquad
\tilde{f_1}(\lambda) = \dfrac{\Delta_2\left(e^{(m-1)\lambda}-1\right)e^{\lambda}}
{\Delta_1 (e^{\lambda}-1)(e^{m\lambda}-1) \lambda^\alpha},
\]
запишем
\[
\tilde{F_1}(m\lambda) = \tilde{F_1}(\lambda) + \tilde{f_1}(\lambda).
\]
Повторяя доказательство леммы, получим
\begin{equation}\label{eq_E_Phi_tilde}
E(\lambda) = \tilde{\Phi}(\log_m(\lambda))\lambda^\alpha (e^\lambda - 1) + O(1) = 
\tilde{\Phi}(\log_m(\lambda))\lambda^\alpha e^\lambda + O(1),
\end{equation}
где $\tilde{\Phi}(x) = \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}} \tilde{f_1}(m^{k+x})$ -- $1$-периодическая функция. Из соотношений \eqref{eq_E_Phi} 
и \eqref{eq_E_Phi_tilde} видно, что $\Phi(\log_m(\lambda))-\tilde{\Phi}(\log_m(\lambda)) = O(\lambda^{-\alpha}e^{-\lambda})$, т.е. 
$\Phi(x) \equiv \tilde{\Phi}(x)$.

Таким образом, нам удалось получить явный вид функции $\Phi(x)$. Теперь можно заняться исследованием коэффициентов ряда Фурье
\[
\Phi(x) = \sum_{n\in \mathbb{Z}} c_n e^{2\pi i n x} .
\]
Для этого нам понадобится формула Римана (см., напр., \cite{BE}):
\[
\zeta(\lambda) = \dfrac{1}{\Gamma(\lambda)}\int_0^\infty \dfrac{t^{\lambda-1}}{e^t-1}\, dt.
\]

\begin{rustheorem}
В случае ровной лестницы коэффициенты Фурье функции $\Phi(x)$ могут быть посчитаны по формуле
\begin{equation}\label{eq_Phi_Fourier} 
c_n = \dfrac{\Delta_2(1-\Delta_1)}{\Delta_1 \ln(m)} \Gamma(\alpha_n) \zeta(\alpha_n),
\end{equation}
где $\alpha_n = -\alpha-\dfrac{2\pi i n}{\ln(m)}$. 
\end{rustheorem}

\begin{rusremark}
Поскольку $Re\,\alpha_n > 1$, отсюда следует,
что для невырожденной ровной лестницы ($\Delta_2 \neq 0$) $c_n\neq 0$, 
и, в частности, $\Phi(x) \neq const$.
Для случая $m=2$ формула \eqref{eq_Phi_Fourier} была получена в \cite{GK}.
\end{rusremark}

%\begin{proof} 
\noindent {\it Доказательство}. Имеем
\begin{align*}
c_n &= \int\limits_0^1 \Phi(s) e^{-2\pi i n s} \, ds =
\sum_{j\in \mathbb{Z}}\int_0^1\tilde{f_1}(m^{s+j})e^{-2\pi i n s}\,ds = \\
    &= \dfrac{1}{\ln(m)} \sum_{j\in \mathbb{Z}}\int_{m^j}^{m^{j+1}}\tilde{f_1}(t)e^{-2\pi i n \log_m(t)}\,\frac{dt}{t} =
      \dfrac{1}{\ln(m)} \int_0^\infty t^\alpha \tilde{f_1}(t)t^{\alpha_n-1}\,dt = \\
    &= \dfrac{\Delta_2}{\Delta_1 \ln(m)} \int_0^\infty \dfrac{\left(e^{(m-1)t}-1\right)e^{t}}
 {(e^{t}-1)(e^{m t}-1)} \; t^{\alpha_n-1}\,dt = \\
&= \dfrac{\Delta_2}{\Delta_1 \ln(m)} \left( \int_0^\infty \dfrac{t^{\alpha_n-1}}{e^{t}-1} \, dt - 
\int_0^\infty \dfrac{t^{\alpha_n-1}}{e^{m t}-1} \, dt \right) = \\
&= \dfrac{\Delta_2}{\Delta_1 \ln(m)} \Gamma(\alpha_n) \zeta(\alpha_n) \left( 1 - m^{-\alpha_n} \right) =
  \dfrac{\Delta_2(1-\Delta_1)}{\Delta_1 \ln(m)} \Gamma(\alpha_n) \zeta(\alpha_n).\tag*{$\square$}
\end{align*}
%\end{proof}

\subsection{Дальнейшие слагаемые в простейшем случае}
Перейдем к получению дальнейших слагаемых асимптотики. 
Перед общим случаем рассмотрим простой пример.

\begin{rustheorem}
Пусть $m=2$, $\rho_1 = \rho_2=\frac{1}{2}$. Тогда функция $E(\lda)$ представима в виде
\begin{equation}\label{E_as_row}
E(\lda) = H(\lda)\lda^\alpha e^\lda + \sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-k\lda}\left(C_{k} + D_{k} H(\lda)\lda^\alpha\right),
\end{equation}
где ряд сходится равномерно при достаточно больших $\lda$.

Здесь $C_k$, $D_k$ -- числовые коэффициенты, удовлетворяющие следующим рекуррентным соотношениям:
\begin{equation}\label{rekur_2}
\begin{split}
&C_0 = -\frac{\Delta_2}{\Delta_3},\qquad D_0 = -\frac{\Delta_1}{\Delta_3},\\
C_{k+1} =&
\left\{
\begin{array}{ll}
-\dfrac{\Delta_1}{\Delta_3}C_{k}, & k \equiv 1 \pmod{2} \\
\dfrac{1}{\Delta_3}C_{k/2}-\dfrac{\Delta_1}{\Delta_3}C_{k},  & k \equiv 0 \pmod{2} \\
\end{array} 
\right.\\
D_{k+1} =&
\left\{
\begin{array}{ll}
-\dfrac{\Delta_1}{\Delta_3}D_{k}, & k \equiv 1 \pmod{2} \\
D_{k/2}-\dfrac{\Delta_1}{\Delta_3}D_{k},   & k \equiv 0 \pmod{2}. \\
\end{array} 
\right.\\
\end{split}
\end{equation}
\end{rustheorem} 

\begin{proof}
Соотношение \eqref{main_eq} в рассматриваемом случае перепишется так:
\begin{equation}\label{eq_E1_m1} 
E(2\lda) = E(\lda)(\Delta_1 + \Delta_3 e^\lda) + \Delta_2 e^\lda.
\end{equation}
Результат применения к нему основной леммы мы запишем следующим образом:
\[ E(\lda) = H(\lda)\lda^\alpha e^\lda(1+E_1(\lda)),\quad E_1(\lda) = O(\lda^{-\alpha}e^{-\lda}). \]
Подставляя в \eqref{eq_E1_m1}, получаем
\begin{equation}\label{eq_E1_m2} 
E_1(2\lda) = E_1(\lda)\left(1 + \frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda}\right) + 
\left(\frac{\Delta_2}{\Delta_3}\frac{\lda^{-\alpha}}{H(\lda)} e^{-\lda} + \frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda}\right),
\end{equation}
откуда можно видеть, что
\[ E_1(\lda) + \frac{\Delta_2}{\Delta_3}\frac{\lda^{-\alpha}}{H(\lda)} e^{-\lda} = 
E_1(2\lda) - E_1(\lda)\frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda} - 
\frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda} = O(e^{-\lda}).\]
Обозначая через $E_2(\lambda)$ правую часть равенства, можно заключить, что
\[ E_1(\lda) = -\frac{\Delta_2}{\Delta_3}\frac{\lda^{-\alpha}}{H(\lda)} e^{-\lda} + E_2(\lda),\quad E_2(\lda) = O(e^{-\lda}). \]
Это дает нам второе слагаемое асимптотики:
\[ E(\lda) = H(\lda)\lda^\alpha e^\lda - \frac{\Delta_2}{\Delta_3} + O(\lda^{\alpha}). \]
Его можно снова подставить в соотношение \eqref{eq_E1_m1}, получая для $E_2(\lda)$ выражение, аналогичное
\eqref{eq_E1_m2}:
\[ E_2(2\lda) = E_2(\lda)\left(1 + \frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda}\right) + 
\left(\frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda} + \frac{\Delta_2(1 - \Delta_1)}{\Delta_3^2}\frac{\lda^{-\alpha}}{H(\lda)} e^{-2\lda}\right).\]
Повторяя эту операцию, получаем формулы \eqref{rekur_2} и равенство \eqref{E_as_row} как асимптотическое.
%Покажем сходимость ряда \eqref{E_as_row}.
Далее, из \eqref{rekur_2} можно заключить, что коэффициенты $C_k$, $D_k$ имеют не более чем 
экспоненциальный рост по номеру:
\[ \lvert C_k \rvert \leq \lvert C_0 \rvert \left(\dfrac{2}{\Delta_3}\right)^k, \quad
\lvert D_k \rvert \leq \lvert D_0 \rvert \left(\dfrac{2}{\Delta_3}\right)^k, \]
что позволяет утверждать, что ряд в правой части \eqref{E_as_row} сходится равномерно при достаточно больших $\lambda$.

Осталось показать, что правая часть равенства \eqref{E_as_row} исчерпывает $E(\lda)$.
Для этого рассмотрим остаток
\[ {\mathfrak E}(\lda) = E(\lda) - H(\lda)\lda^\alpha e^{\lda} - 
\sum\limits_{k=0}^{\infty}e^{-k\lda}\left(C_{k} + D_{k} H(\lda)\lda^\alpha\right). \]
Заметим, что последовательность функций $E_k(\lda)$ сходится
к ${\mathfrak E}_1(\lda):=\frac{e^{-\lda}}{\lda^{\alpha}H(\lda)}{\mathfrak E}(\lda)$ в $L_\infty(\Lambda,+\infty)$ при достаточно большом $\Lambda$. 
Далее,
\[ \left\lvert E_k(2\lda)-E_k(\lda)\left(1 + \frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda}\right)\right\rvert \leq
 \sum\limits_{j=k}^{\infty} \left( \lvert C_0 \rvert \left(\dfrac{2}{\Delta_3}\right)^{j-1}\frac{1}{\lda^\alpha H(\lda)} + 
\lvert D_0 \rvert \left(\dfrac{2}{\Delta_3}\right)^{j-1}\right) e^{-j\lda},\]
стремится к нулю в $L_\infty(\Lambda,+\infty)$. Отсюда видно, что ${\mathfrak E}_1(\lda)$ удовлетворяет однородному
уравнению 
\begin{equation}\label{F1_homogen}
{\mathfrak E}_1(2\lda) = {\mathfrak E}_1(\lda)\left(1 + \frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda}\right), \quad \lda>\Lambda.
\end{equation}
Мы знаем, что для любого $\varsigma\geq 1$ имеет место оценка ${\mathfrak E}_1(\lda) = O(e^{-\varsigma\lda})$. 
%Зафиксируем $C$ для которых
%\[ \lvert F_1(\lda) \rvert \leq C e^{-\lda} \quad \mbox{при} \; \lda > \Lambda. \]
Поэтому для некоторых $c>0$, $\varsigma \geq 1$ имеем
\begin{equation}\label{F1_estim}
\lvert {\mathfrak E}_1(\lda) \rvert \leq c\, e^{-\varsigma\lda} \quad \mbox{при} \; \lda > \Lambda.
\end{equation}
Из \eqref{F1_homogen} с учетом \eqref{F1_estim} получаем
\begin{multline*} 
\lvert {\mathfrak E}_1(\lda) \rvert = 
\lvert {\mathfrak E}_1(2\lda) - \frac{\Delta_1}{\Delta_3} e^{-\lda}{\mathfrak E}_1(\lda) \rvert \leq {} \\
{} \leq c\, e^{-2\varsigma\lda} + \frac{\Delta_1}{\Delta_3}\, c\, e^{-(\varsigma+1)\lda} \leq  
 \frac{1}{\Delta_3}\, c\, e^{-(\varsigma+1)\lda} \leq  c\, e^{-(\varsigma+1+\frac{\ln(\Delta_3)}{\Lambda})\lda}. 
\end{multline*}
 Не умаляя общности, можно считать, что $\Lambda > -2\ln(\Delta_3)$. Тогда
 \[ \lvert {\mathfrak E}_1(\lda) \rvert \leq c\, e^{-(\varsigma+\frac{1}{2})\lda} \quad \mbox{при} \; \lda > \Lambda. \]
 Повторяя это рассуждение, получим, что соотношение \eqref{F1_estim} выполнено с той же константой $c$ и произвольным $\varsigma \geq 1$. 
Таким образом, ${\mathfrak E}_1(\lda)\equiv 0$ при всех $\lda > \Lambda$, что и доказывает теорему.
\end{proof}


\begin{rusremark}
При $\Delta_1 = \Delta_3$, т.е. для ровной лестницы, из \eqref{rekur_2} следует, что $D_k = 0$ при всех $k \geq 1$. Этот факт верен и в общем случае,
см. далее теорему 4.
\end{rusremark}

\subsection{Дальнейшие слагаемые, случай $\rho_m =\min\{\rho_i\}$}

Займемся переносом этой схемы на общий случай. Сделать это
можно, к сожалению, не всегда, поэтому мы введем дополнительное предположение: 
$\rho_m =\min\{\rho_i\}$.
Результат применения леммы мы на этот раз запишем так:
\[
E(\lambda) = e^{\lambda} \left( H_1(\lambda) + E_1(\lambda) \right), \qquad\qquad
H_1(\lambda) =  H(\lambda)\lambda^\alpha, \quad E_1(\lambda) = O(e^{-\lambda}).
\]
Подставим это в соотношение \eqref{lemma_main_eq}, а получившееся уравнение запишем следующим образом:
\begin{equation}\label{main_eq_E_1}
\frac 1{\Delta_{2m-1}} E_1(\eta\lda) = E_1(\lda)+
\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,e^{-g_i\eta\lda}E_1(\rho_i\eta \lda) - \mathfrak{P}_1(\lda),
\end{equation}
\begin{equation*}
\mathfrak{P}_1(\lda) = \sum\limits_{\varsigma \in \mathfrak{I}_1} c_\varsigma^1(\lda)e^{-\varsigma\lda}.
\end{equation*}
Здесь 
\[ 
\mathfrak{I}_1 = \left\{\eta g_k\right\}_{k=1}^{m-1}, \quad 
c_{\eta g_k}^1(\lambda) = -\frac{\Delta_{2k-1} H_1(\eta\rho_k\lambda)+\Delta_{2k}}{\Delta_{2m-1}}. 
\]
Отметим, что минимальный элемент $\mathfrak{I}_1$ -- это $\eta g_{m-1} = 1$. Преобразуем \eqref{main_eq_E_1} так:
\begin{multline}\label{eq_E1a}
E_2(\lda) := E_1(\lda) - c_{1}^1(\lda)e^{-\lda}=\\
=\frac 1{\Delta_{2m-1}}\,E_1(\eta\lda)-\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,e^{-g_i\eta\lda}E_1(\rho_i\eta \lda)+\mathfrak{P}_1(\eta\lda)-
c_{1}^1(\lda)e^{-\lda}.
\end{multline}
Мы знаем, что $E_1(\lambda) = O(e^{-\lambda})$. Поэтому все слагаемые в правой части \eqref{eq_E1a} есть 
$O(e^{-\varsigma'\lda})$,  $\varsigma' > 1$, откуда $E_2(\lda) =O(e^{-\varsigma'\lda})$, и потому
\[E_1(\lda)=-\left(\frac{\Delta_{2m-2}}{\Delta_{2m-1}}+\frac{\Delta_{2m-3}}{\Delta_{2m-1}}H_1(\eta\rho_{m-1}\lda)\right)e^{-\lda}+O(e^{-\varsigma'\lda}).
\]
Теперь \eqref{main_eq_E_1} можно переписать так:
\begin{equation*}
\frac 1{\Delta_{2m-1}} E_2(\eta\lda) = E_2(\lda)+
\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,e^{-g_i\eta\lda}E_2(\rho_i\eta \lda) - \mathfrak{P}_2(\lda),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mathfrak{P}_2(\lda) = \sum\limits_{\varsigma \in \mathfrak{I}_2} c_\varsigma^2(\lda)e^{-\varsigma\lda},\qquad
%\end{equation*}
%\begin{equation*}
\mathfrak{I}_2 \subseteq (\mathfrak{I}_1 \setminus \{1\}) \cup \{\eta, \eta (\rho_i +g_i) \}.
\end{equation*}
Здесь $c_\varsigma^2(\lda)$ отличаются от $c_\varsigma^1(\lda)$ в $\mathfrak{P}_1(\lda)$, часть могла измениться, часть занулиться, 
добавились новые слагаемые. И все же это соотношение вполне аналогично соотношению \eqref{main_eq_E_1}, а значит есть надежда на то, 
что представленная операция итерируема. 

Запишем общий вид итерации. У нас есть функция  $E_k(\lda)$, удовлетворяющая следующим соотношениям:
\begin{equation}\label{main_eq_E_k}
\frac 1{\Delta_{2m-1}} E_k(\eta\lda) = E_k(\lda)+
\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,e^{-g_i\eta\lda}E_k(\rho_i\eta \lda) - \mathfrak{P}_k(\lda),
\end{equation}
\begin{equation*}
\mathfrak{P}_k(\lda) = \sum\limits_{\varsigma \in \mathfrak{I}_k} c_\varsigma^k(\lda)e^{-\varsigma\lda}.
\end{equation*}
\begin{equation*}
E_k(\lda) = O(e^{-\varsigma_k \lda}), \quad 
\varsigma_k \leq \varsigma_k': = \min\limits_{\varsigma \in \mathfrak{I}_k}\varsigma.
\end{equation*}
Перепишем \eqref{main_eq_E_k} так:
\begin{multline*}
E_k(\lda)-c_{\varsigma_k'}(\lda)e^{-\varsigma_k'\lda}=\\
=\frac 1{\Delta_{2m-1}}E_k(\eta\lda)-\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,e^{-g_i\eta\lda}E_k(\rho_i\eta \lda)+
\mathfrak{P}_k(\lda)-c_{\varsigma_k'}(\lda)e^{-\varsigma_k'\lda}.
\end{multline*}
Заметим следующее:
\[
E_k(\eta\lda) = O(e^{-\eta\varsigma_k\lda}), \quad \mbox{причем}\quad \eta\varsigma_k > \varsigma_k;
\]
\[
e^{-g_i\eta\lda}E_k(\rho_i\eta\lda) = O(e^{-\eta(g_i+\rho_i\varsigma_k)\lda}), \quad \mbox{причем} \quad
\eta(g_i+\rho_i\varsigma_k) > \eta\varsigma_k \rho_i \geq \varsigma_k,
\]
в последнем неравенстве использовано предположение $\rho_m =\min\{\rho_i\}$;
\[
\mathfrak{P}_k(\lda) - c_{\varsigma_k'}(\lda)e^{-\varsigma_k'\lda} = 
O(e^{-\varsigma_k''\lda}), \quad \mbox{причем} \quad
\varsigma_k'': = \min\limits_{\varsigma \in \mathfrak{I}_k \setminus \{\varsigma_k'\}}\varsigma 
> \varsigma_k' \geq \varsigma_k.
\]
Отсюда вытекает, что
\[
E_{k+1}(\lda) := E_k(\lda)-c_{\varsigma_k'}(\lda)e^{-\varsigma_k'\lda} 
= O(e^{-\varsigma_{k+1}\lda}), \quad \varsigma_{k+1} > \varsigma_k.
\]
При подстановке получаем для $E_{k+1}(\lda)$ соотношение, аналогичное \eqref{main_eq_E_k}.
Остается лишь убедиться, что $\varsigma_{k+1} \leq \varsigma_{k+1}'$:
\[
\mathfrak{I}_{k+1} \subseteq (\mathfrak{I}_k \setminus \{\varsigma_k'\}) \cup 
\{\eta\varsigma_k', \eta(\rho_i\varsigma_k' + g_i) \};
\]
\begin{multline*}
\varsigma_{k+1} = \min\{\eta\varsigma_k, \eta(g_i+\rho_i\varsigma_k), \varsigma_k''\} \leq\\
\leq\min\left(\{\eta\varsigma_k', \eta(g_i+\rho_i\varsigma_k')\} \cup 
(\mathfrak{I}_k \setminus \{\varsigma_k'\})\right) \leq
\min\limits_{\varsigma \in \mathfrak{I}_{k+1}}\varsigma = \varsigma_{k+1}'.
\end{multline*}
Таким образом, процесс выделения новых слагаемых можно продолжать неограниченно.

\begin{rustheorem}
Пусть $\rho_m =\min\{\rho_i\}$. Тогда функция $E(\lda)$ представима в виде суммы ряда
\begin{equation}\label{E_as_row_2}
 E(\lda) = H(\lda)\lda^\alpha e^\lambda-
\left(\frac{\Delta_{2m-2}}{\Delta_{2m-1}}+\Delta_{2m-3}H\Big(\frac{\rho_{m-1}}{\rho_m}\lda\Big)
\left(\rho_{m-1}\lda\right)^{\alpha}\right)+\sum_{\varsigma\in \mathfrak{I}} c_\varsigma(\lda)e^{(1-\varsigma)\lda}
\end{equation}
(все показатели экспонент в последней сумме отрицательны), сходящегося равномерно при достаточно больших $\lda$.
\end{rustheorem}

\begin{proof}

Для $c_\varsigma(\lda)$, как и в простейшем случае, существует рекуррентное соотношение:
\[ c_\varsigma(\lda) = c_\varsigma^1(\lda)+\frac 1{\Delta_{2m-1}}c_{\varsigma/\eta}(\eta\lda)-
\sum_{i=1}^{m-1} \frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,c_{(-g_i+\varsigma/\eta)/\rho_i}(\rho_i\eta\lda). \]
Для доказательства сходимости ряда \eqref{E_as_row_2} мы должны убедиться, что
показатели $\varsigma$ растут достаточно быстро, а коэффициенты $c_\varsigma(\lda)$ -- достаточно медленно.

Сперва покажем (по индукции), что существуют $C_1 > 0$, $C_2 > 1$, такие, что
\begin{equation}\label{c_bounded}
 \lvert c_\varsigma(\lda) \rvert \leq C_1 C_2^\varsigma.
\end{equation}
Заметим, что для каждого $C_2 > 1$ можно найти такое $C_1^{(0)}$, чтобы оценка \eqref{c_bounded} выполнялась 
для $c_\varsigma^1(\lda)$. Далее, считая, что \eqref{c_bounded} выполнено для нескольких первых слагаемых ряда 
\eqref{E_as_row_2}, покажем, что оно выполнено и для следующего слагаемого:
\[ \lvert c_\varsigma(\lda) \rvert \leq C_1^{(0)}C_2^\varsigma +\frac {C_1}{\Delta_{2m-1}}\,C_2^{\varsigma/\eta} + 
\sum_{i=1}^{m-1}C_1\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}C_2^{\varsigma-\frac{g_i}{\rho_i}} \leq
C_1 C_2^\varsigma \left(\frac{C_1^{(0)}}{C_1} + \frac 2{\Delta_{2m-1}}\,C_2^{-\varepsilon}\right). \]
Здесь $\varepsilon = \min\{ (1-\frac 1{\eta})\min\limits_{\varsigma\in\mathfrak{I}}\varsigma, 
\min\limits_{i < m}\frac{g_i}{\rho_i}\}$. Положив
$C_2 = \left(\frac{1}{4}\Delta_{2m-1}\right)^{-\frac 1{\varepsilon}}$ и $C_1 = 2C_1^{(0)}$, получим \eqref{c_bounded}.

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{picture}(300,200)
\put(0,10){\vector(1,0){300}}%
\put(10,0){\vector(0,1){200}}%
\put(10,10){\line(1,1){188}}%
\put(123,135){$l_2$}%
\put(10,10){\line(2,1){288}}%
\put(115,70){$l_0$}%
\put(10,55){\line(2,1){288}}%
\put(54,85){$l_1$}%
\put(100,9){\line(0,1){2}}%
\put(97.5,0){$\varsigma_1$}%
\put(190,9){\line(0,1){2}}%
\put(187.5,0){$\varsigma_2$}%
\put(280,9){\line(0,1){2}}%
\put(277.5,0){$\varsigma_3$}%
%\put(9,55){\line(1,0){2}}%
%\put(0,53){$\varsigma_1$}%
%
\put(9,100){\line(1,0){2}}%
\put(2,96){$1$}%
%\put(9,145){\line(1,0){2}}%
%\put(0,143){$\varsigma_3$}%
%\put(9,190){\line(1,0){2}}%
%\put(2,185){$2$}%
%
%\multiput(10,55)(3,0){30}{\line(1,0){2}}%
\multiput(100,10)(0,3){30}{\line(0,1){2}}%
\multiput(100,100)(3,0){30}{\line(1,0){2}}%
\multiput(190,100)(0,3){30}{\line(0,1){2}}%
\multiput(190,145)(3,0){30}{\line(1,0){2}}%
\multiput(190,190)(3,0){36}{\line(1,0){2}}%
\end{picture}
\caption{Изменение показателей $\varsigma_k$ для ровной лестницы}
\label{img1}
\end{center}
\end{figure}

Теперь посмотрим, как изменяются показатели экспонент, входящих в $\mathfrak{P}_k$. Введем линейные функции
\[ l_0(\varsigma) = \rho_m\varsigma, \quad l_i(\varsigma) = g_i + \rho_i\varsigma, \; i=1,\ldots, m-1,
\quad l_m(\varsigma)=\varsigma. \]
На каждом шаге мы убираем из $\mathfrak{P}_k$ слагаемое с минимальным показателем $\varsigma$,
оно попадает в ряд \eqref{E_as_row_2}, а в $\mathfrak{P}_{k+1}$ добавляются или изменяются слагаемые с показателями 
$l_0^{-1}(l_i(\varsigma))$, $i=1,\ldots, m$. Условие $\rho_m =\min\{\rho_i\}$ означает, что график $l_0(\varsigma)$ 
не имеет пересечений с графиками других $l_i$ при $\varsigma > 0$. Поэтому линейные преобразования 
$l_0^{-1}(l_i(\varsigma))$, $i=1,\ldots, m$, не имеют положительных неподвижных точек, и, таким образом, 
последовательность показателей не имеет точек сгущения. Это иллюстрирует Рис.~\ref{img1}, на котором показаны 
графики $l_i(\varsigma)$ для случая ровной лестницы и $m=2$. 

Таким образом, взамен одного показателя $\varsigma$ на каждом шаге в $\mathfrak{P}_k$ добавляется $m$ других, больших $\varsigma$
по крайней мере на некоторую фиксированную величину, которую мы обозначим через $\delta$. Для оценки ряда в \eqref{E_as_row_2}
заменим все новые показатели минимальным среди них (при этом все показатели, полученные впоследствии из измененных, тоже
станут меньше). С учетом \eqref{c_bounded} это дает при $\lda > \ln (C_2)$
\begin{align}\label{estim_row}
\sum_{\varsigma\in \mathfrak{I}} |c_\varsigma(\lda)|e^{(1-\varsigma)\lda} &\leq 
\sum_{\varsigma\in \mathfrak{I}} C_1 C_2^\varsigma\ e^{(1-\varsigma)\lda} =
C_1 C_2\sum_{\varsigma\in \mathfrak{I}}e^{(1-\varsigma)(\lda-\ln C_2)} \leq\nonumber\\
&\leq C_1 C_2\sum_{\varsigma\in \mathfrak{I}_0} \sum_{k=0}^{\infty} m^k e^{(1-(\varsigma+k\delta))(\lda-\ln C_2)} =\nonumber\\
&= C_1 C_2\sum_{\varsigma\in \mathfrak{I}_0} 
\left(e^{(1-\varsigma)(\lda-\ln C_2)}\sum_{k=0}^{\infty} e^{-k\delta(\lda-\ln C_2-\frac{\ln(m)}{\delta})}\right).
\end{align}
Последний ряд сходится равномерно при %$\lda > \Lambda$ для 
достаточно больших $\lambda$.

Для доказательства \eqref{E_as_row_2}, как и в простейшем случае, рассмотрим остаток
\[ {\mathfrak E}(\lda) = E(\lda) - H(\lda)\lda^\alpha e^\lambda +%\left(
\frac{\Delta_{2m-2}}{\Delta_{2m-1}}+\Delta_{2m-3}H\Big(\frac{\rho_{m-1}}{\rho_m}\lda\Big)
\left(\rho_{m-1}\lda\right)^{\alpha}%\right) 
- \sum_{\varsigma\in \mathfrak{I}} c_\varsigma(\lda)e^{(1-\varsigma)\lda} \]
и заметим, что последовательность $E_k(\lda)$ сходится к ${\mathfrak E}_1(\lda):=e^{-\lda}{\mathfrak E}(\lda)$ в 
$L_\infty(\Lambda,+\infty)$ при достаточно большом $\Lambda$. Далее, 
\[ \left\lvert\frac 1{\Delta_{2m-1}} E_k(\eta\lda) - E_k(\lda) -
\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,e^{-g_i\eta\lda}E_k(\rho_i\eta \lda)\right\rvert \leq
 e^{-\lda}\mathfrak{F}_k,\]
где $\mathfrak{F}_k$ -- хвосты ряда \eqref{estim_row}. Поскольку этот ряд сходится равномерно при $\lda > \Lambda$,
мы видим, что ${\mathfrak E}_1(\lda)$ удовлетворяет однородному уравнению 
\begin{equation}\label{F1_homogen_2}
\frac 1{\Delta_{2m-1}} \mathfrak{E}_1(\eta\lda) = \mathfrak{E}_1(\lda) +
\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,e^{-g_i\eta\lda}\mathfrak{E}_1(\rho_i\eta \lda), \quad \lda>\Lambda.
\end{equation}
%Зафиксируем $C$ для которых
%\[ \lvert F_1(\lda) \rvert \leq C e^{-\lda} \quad \mbox{при} \; \lda > \Lambda. \]
Как и раньше, для некоторых $c>0$, $\varsigma \geq 1$ имеем
\begin{equation}\label{F1_estim_2}
\lvert {\mathfrak E}_1(\lda) \rvert \leq c\, e^{-\varsigma\lda} \quad \mbox{при} \; \lda > \Lambda.
\end{equation}
Из \eqref{F1_homogen_2} с учетом \eqref{F1_estim_2} получаем
\begin{multline*} 
\lvert {\mathfrak E}_1(\lda) \rvert = 
\left\lvert \frac 1{\Delta_{2m-1}} \mathfrak{E}_1(\eta\lda) -
\sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\,e^{-g_i\eta\lda}\mathfrak{E}_1(\rho_i\eta \lda)\right\rvert\leq {} \\
{} \leq \frac 1{\Delta_{2m-1}}c\, e^{-\eta\varsigma\lda} + \sum\limits_{i=1}^{m-1}\frac{\Delta_{2i-1}}{\Delta_{2m-1}}\, 
c\, e^{-\eta(\rho_i\varsigma+g_i)\lda} \leq  
 \frac{2}{\Delta_{2m-1}}\, c\, e^{-(\varsigma+\delta)\lda} \leq  c\, e^{-\left(\varsigma+\delta-\frac{\ln(2/\Delta_{2m-1})}{\Lambda}\right)\lda}. 
\end{multline*}
 Не умаляя общности, можно считать, что $\Lambda > \frac 2{\delta}\ln (\frac 2 {\Delta_{2m-1}})$. Тогда
 \[ \lvert {\mathfrak E}_1(\lda) \rvert \leq c\, e^{-(\varsigma+\frac{\delta}{2})\lda} \quad \mbox{при} \; \lda > \Lambda, \]
что, как и в простейшем случае, дает ${\mathfrak E}_1(\lda)\equiv0$ при $\lda > \Lambda$. Теорема доказана.
\end{proof}

\begin{rusremark}
Несложно видеть, что, зная разложение \eqref{E_as_row_2}, можно восстановить параметры функции $C(t)$.
\end{rusremark}


Рассмотрим теперь частный случай ровной лестницы.

\begin{rustheorem}
Для ровной лестницы соотношение \eqref{E_as_row_2} упрощается и принимает следующий вид:
\[ E(\lda) = H(\lda)\lda^\alpha e^\lda - (\frac{\Delta_2}{\Delta_1} + H(\lda)\lda^\alpha) + \sum_{k=1}^{+\infty}C_k e^{-k\lda}. \]
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Мы немного изменим определение $E_1(\lda)$:
\[ E(\lda) = H_1(\lda)(e^\lda-1)+e^\lda E_1(\lda). \]
Соотношение \eqref{main_eq_E_1} теперь примет вид
\begin{equation*}
\frac 1{\Delta_1}E_1(m\lda) = E_1(\lda) + \sum\limits_{j=1}^{m-1}e^{-j\lda}E_1(\lda) - \mathfrak{P}_1(\lda),
\end{equation*}
\begin{equation*}
\mathfrak{P}_1(\lda) = \frac{\Delta_2}{\Delta_1}\sum\limits_{j=1}^{m-1} e^{-j\lda}.
\end{equation*}
Функция $H(\lda)$ не фигурирует в этом соотношении, а потому не будет возникать и в дальнейших слагаемых асимптотики.
\end{proof}

\subsection{Лестницы с критической точкой}

Если условие $\rho_m =\min\{\rho_i\}$ не выполнено, то мы, вообще говоря, можем построить для $E(\lda)$ лишь асимптотическое разложение.

Условие $\rho_m =\min\{\rho_i\}$ использовалось нами только при выводе соотношения
$\eta(g_i+\rho_i\varsigma_k) > \varsigma_k$. В общем же случае это соотношение превращается в неравенство
\[ \varsigma_k < \dfrac{g_i}{\rho_m-\rho_i} \]
для всех $i$, таких, что $\rho_i < \rho_m$. Будем называть число
$\varsigma^o=\min\limits_{i:\;\rho_i<\rho_m}\dfrac{g_i}{\rho_m-\rho_i}$ \textit{критической точкой} обобщенной канторовой лестницы. Отметим, что 
всегда $\varsigma^o>1$.

Ясно, что мы можем получать новые слагаемые до тех пор, пока $\varsigma_k < \varsigma^o$, и
не все $c_\varsigma(\lda)$ при $\varsigma_k < \varsigma < \varsigma^o$ равны нулю. Заметим, что первое из этих условий устойчиво: 
если $\varsigma_k < \varsigma^o$, то
\[ \varsigma_{k+1} = \min\{\eta\varsigma_k, \eta(g_i+\rho_i\varsigma_k), \varsigma_k''\} <
\eta\min\{g_i+\rho_i\varsigma^o\} \le \varsigma^o.
\]

К сожалению, обнуление всех $c_\varsigma(\lda)$ при $\varsigma_k < \varsigma < \varsigma^o$
вполне возможно, хоть и подразумевает некоторую ``вырожденность''. Так, например, можно рассмотреть
классическую канторову лестницу с двумя ступеньками ширины $\frac{1}{3}$, но задать ее по-другому: 
рассмотрим лестницу с тремя ступеньками, задаваемую отрезками $[0,\frac{1}{9}]$, $[\frac{2}{9},\frac{1}{3}]$, $[\frac{2}{3},1]$ и
высотами $\rho_1=\rho_2=\frac{1}{4}$, $\rho_3=\frac{1}{2}$. Это та же самая классическая лестница, ей
отвечает тот же интеграл и та же асимптотика. Но при таком задании лестница обладает критической точкой $\varsigma^o=2$, которая 
тем не менее не является точкой сгущения показателей, т.е. все $c_\varsigma(\lda)$ при $\varsigma_k < \varsigma < \varsigma^o$ 
в некоторый момент обнуляются.

Для полноты картины приведем пример лестницы, для которой полного зануления не происходит никогда. Пусть 
$\lvert I_1 \rvert = \lvert I_2 \rvert = \Delta<\frac 12$, $\rho_1 < \rho_2 < \frac{1}{\sqrt{2}}$; например, 
$\rho_1 = \frac{1}{3}$, $\rho_2 = \frac{2}{3}$. Для такой лестницы соотношение \eqref{main_eq_E_1} 
принимает вид
\[ E_1(\lda) = \Delta e^{-\rho_2\lda}E_1(\rho_1\lda)+\Delta E_1(\rho_2\lda)+c_1(\lda)e^{-\rho_2\lda}, \]
\[ c_1(\lda) = \Delta H_1(\rho_1\lda)+(1-2\Delta). \]
С изъятием следующего слагаемого соотношение изменяется следующим образом:
\[ E_2(\lda) = \Delta e^{-\rho_2\lda}E_2(\rho_1\lda)+\Delta E_2(\rho_2\lda)+c_2(\lda)e^{-\lda}, \]
\[ c_2(\rho_2\lda) = \frac 1{\Delta} c_{1}(\lda) - c_{1}(\rho_1\lda).  \]

Если $c_{2}(\lda) = 0$, то $c_1(\lda)$ имеет вид
\begin{equation}\label{c1}
c_1(\lda) = \lda^{\alpha'}\Phi'(\log_{\rho_1}(\lda)),
\end{equation}
где $\alpha' = -\log_{\rho_1}(\Delta)$, $\Phi'$ -- $1$-периодическая функция. В то же время
\begin{equation}\label{c1'}
c_1(\lda) = \Delta(\rho_1\lda)^{\alpha}\Phi(-\log_{\rho_2}(\rho_1\lda))+(1-2\Delta),
\end{equation}
$\alpha = -\log_{\rho_2}(\Delta)$, $\Phi$ -- $1$-периодическая.

Ясно, что \eqref{c1} и \eqref{c1'} асимптотически несовместимы, поскольку $1-2\Delta\neq 0$.

На всех последующих шагах %слагаемые, прибывающие из левой части равенства, будут иметь показатель больше $\rho_m\varsigma^o$, 
слагаемое с показателем меньше $\rho_m\varsigma^o$ будет всегда ровно одно, и коэффициент при нем будет изменятся так:
\[c_{k+1}(\lda) = -c_k(\rho_1\lda).\]
Отсюда видно, что $c_\varsigma(\lda)$ никогда не занулятся, и слагаемые в асимптотическом разложении можно получать сколь угодно долго.


Графически изменение показателей для этого случая изображено на Рис.~\ref{img2}, здесь хорошо видна точка сгущения на пересечении графиков 
$l_0(\varsigma)$ и $l_1(\varsigma)$, последовательность показателей, стремящихся к этой точке, и один из показателей, больших $\varsigma^o$,
который никогда не будет получен в нашем ряду.

\begin{rustheorem}
В случае лестницы с критической точкой можно представить $E(\lda)$ в виде асимптотической суммы
\begin{multline*}
 E(\lda) = H(\lda)\lda^\alpha e^\lambda-\left(\frac{\Delta_{2m-2}}{\Delta_{2m-1}}
+\Delta_{2m-3}H\left(\frac{\rho_{m-1}}{\rho_m}\lda\right)\left(\rho_{m-1}\lda\right)^{\alpha}\right)+\\
+\sum_{\varsigma\in \mathfrak{I}'} c_\varsigma(\lda)e^{(1-\varsigma)\lda} + O(e^{(1-\varsigma')\lda}),
\end{multline*}
для любого наперед заданного $\varsigma'<\varsigma^o$. Все элементы $\mathfrak{I}'$ здесь удовлетворяют неравенству $1<\varsigma<\varsigma'$.

В случае, когда ни на каком шагу не происходит обнуления всех $c_\varsigma(\lda)$ при $\varsigma < \varsigma^o$, эта
сумма может иметь сколь угодно много слагаемых.
\end{rustheorem}

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\begin{picture}(240,200)
\put(0,10){\vector(1,0){240}}%
\put(10,0){\vector(0,1){200}}%
\put(10,10){\line(1,1){188}}%
\put(124,135){$l_2$}%
\put(10,10){\line(3,2){228}}%
\put(115,70){$l_0$}%
\put(10,70){\line(3,1){228}}%
\put(54,90){$l_1$}%
\put(100,9){\line(0,1){2}}%
\put(97.5,0){$\varsigma_1$}%
\put(145,9){\line(0,1){2}}%
\put(142.5,0){$\varsigma_2$}%
\put(168,9){\line(0,1){2}}%
\put(165.5,0){$\varsigma_3$}%
\put(180,9){\line(0,1){2}}%
\put(177.5,0){$\varsigma_4$}%
\put(190,9){\line(0,1){2}}%
\put(187.5,0){$\varsigma^o$}%
%\put(9,70){\line(1,0){2}}%
%\put(0,68){$\varsigma_1$}%
\put(9,100){\line(1,0){2}}%
\put(2,96){$1$}%
%\put(9,115){\line(1,0){2}}%
%\put(0,113){$\varsigma_3$}%
%\put(9,123){\line(1,0){2}}%
%\put(0,121){$\varsigma_4$}%
%\multiput(10,70)(3,0){30}{\line(1,0){2}}%
\multiput(100,10)(0,3){30}{\line(0,1){2}}%
\multiput(100,100)(3,0){15}{\line(1,0){2}}%
\multiput(145,100)(0,3){15}{\line(0,1){2}}%
\multiput(145,145)(3,0){30}{\line(1,0){2}}%
\multiput(145,115)(3,0){8}{\line(1,0){2}}%
\multiput(168,115)(0,3){3}{\line(0,1){2}}%
\multiput(168,123)(3,0){4}{\line(1,0){2}}%
\multiput(180,123)(0,3){1}{\line(0,1){2}}%
\multiput(180,126.5)(3,0){2}{\line(1,0){2}}%
\end{picture}
\caption{Изменение показателей $\varsigma_k$ для лестницы с критической точкой}
\label{img2}
\end{center}
\end{figure}

\begin{rusbibliography}{99}

\bibitem{BE}
  Бейтмен~Г., Эрдейи~А., {\em Высшие трансцендентные функции}, Т. I, Наука, М., 1973.
\bibitem{G}
  Gordon~R.A., {\em Some integrals involving the Cantor function}, Amer. Math. Monthly, {\bf 116} (2009), N3, 218--227. 
\bibitem{GK}
  Горин~Е.А., Кукушкин~Б.Н., {\em Интегралы, связанные с канторовой лестницей},
  Алгебра и анализ, {\bf 15} (2003), N3, 188--220.
\bibitem{H}
  Hutchinson~J.E., {\em Fractals and Self Similarity}, Indiana Univ. Math. Journ., {\bf 30} (1981), N5, 713--747.
\bibitem{Sh}
  Шейпак~И.А., {\em О конструкции и некоторых свойствах самоподобных функций в пространствах $L_p[0,1]$}, 
Матем. заметки, {\bf 81} (2007), N6, 924--938.

\end{rusbibliography}

\end{document}