\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amssymb,amscd,amsmath}
%\usepackage{cyrcm1}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[dvips]{graphics}

\renewcommand{\refname}{Литература}

%\pagestyle{empty}
\topmargin -1.0cm \setlength{\textheight}{23,7cm}
\setlength{\textwidth}{15cm} \hoffset=-10mm \voffset=-0mm

\input cyracc.def
\font\ttt=wncyr10 at 12 pt
\def\cyr{\ttt\cyracc}
\def\No{{\cyr \symbol{125}}}

\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}

\sloppy
\begin{document}
\centerline{} \centerline{Меклер А. А.}
\bigskip
\centerline{\bf \textsf{Об одно-и двухполюсных модулярах
Марцинкевича}}
 %\centerline{\bf }
 %\centerline{}
%\\[5pt]
\hangindent=3,5ex
\hangafter=-1 \noindent%
\bigskip
%\centerline{} \centerline{\textsf{Введение}} \centerline{}
\bigskip

\centerline{\bf \textsf{§1. Введение}}
\bigskip
В литературе, посвящённой изучению банаховых пространств измеримых
функций, в частности, \emph{пространств Лоренца, Марцинкевича и
Орлича}, последние  определяются с помощью вещественной
\emph{нормирующей функции}, которая иногда задана на отрезке
$[0,1],$ где имеет один полюс в $0$, а иногда - на $[0,\infty)$ и
имеет два полюса - в $0$ и в $\infty$, ср., например, [3] и [1] .
Под действием оператора сжатия/растяжения, т.е. оператора умножения
аргумента функций из пространства на положительный скаляр, в
пространстве может измениться геометрия единичной сферы, но
неизменным остаётся состав элементов и тем самым - топология этого
пространства. Динамика этой инвариантности в зависимости от
задающего сжатие/растяжение скаляра является критичной для ряда
важных свойств изучаемого пространства, например, определяемых его
индексами Бойда, [2], а также и других. При её изучении
целесообразно факторизовать нормирующие функции, считая
\emph{мультипликативно} (коротко -
\emph{$\stackrel{m}{\sim}$)эквивалентными} такие две функции,
подходящие сжатия/растяжения которых вдоль каждой из осей взаимно
мажорируют друг друга. Классы эквивалентности мы называем
\emph{модулярами}; в частности,
индексы Бойда внутри модуляры не меняются.\\

В [9]-[10] показано, что при таком подходе к изучению указанных выше
трёх видов пространств  достаточно ограничиться пространствами
Марцинкевича и, стало быть, \emph{модулярами Марцинкевича}, -
\emph{$M$-модулярами}. Под ними мы понимаем модуляры, содержащие в
своём составе хотя бы одну \emph{$M$-функцию}, т.е.  заданную на
$[0,\infty)$ вогнутую нормирурующую функцию; при этом функции из
$M$-модуляр мы называем \emph{эквивогнутыми}. Нас интересует прежде
всего вопрос о том, как разнятся инварианты в одно- и двухполюсном
случаях. Оказывается возможным (см. §4) первый случай "погрузить" во
второй, выделив в двухполюсном случае сводящийся  к однополюсному
подслучай \emph{симметрических}, т.е. полностью определённых своими
значениями на отрезке $[0,1]$ эквивогнутых функций. При этом любая
двухполюсная эквивогнутая функция может быть представлена как пара
симметрических, которые мы называем её \emph{симметрическими
скобками}; и наоборот, всякая пара симметрических функций задаёт
двухполюсную.\\

Второй интересующий нас вопрос связан с проблематикой
\emph{$p$-выпуклости}, см. [2]. Пусть $\psi$ - однополюсная, т.е.
симметрическая нормирующая функция, $\delta_{\psi}$ её верхний
индекс сжатия/растяжения. Известно, [3], что для $ 1< p\neq
1/\delta_{\psi}$ пространство Марцинкевича $M_{\psi}([0,1])$
является $p$-выпуклым (и, стало быть, пространство Лоренца
$\Lambda_{\psi_*}([0,1])$ является $q$-вогнутым, $1/p+1/q=1$), тогда
и только тогда, когда $p< 1/\delta_{\psi}.$ Это равосильно
утверждению (см. лемму 5.1), что для эквивогнутой функции $\psi$ и
для $1< p\neq 1/\delta_{\psi}$ степень $\psi^p$ является
эквивогнутой, тогда и только тогда, когда $ p<1/\delta_{{\psi}}.$ В
доказанных ниже теоремах 5.4 и 5.7 характеризуется экстремальная
ситуация, когда предельная степень $1/\delta_{{\psi}}$ тоже
оставляет $\psi$ эквивогнутой. Оказывается (следствие 5.8), что этот
инвариант для хотя бы одной из симметрических скобок функции $\psi$
связан с введенным в математической физике (см., например,
монографию [4]) свойством \emph{регулярной варьируемости}, изучаемым
также и в прежних работах автора [6] и [9]-[11].\\
В них, в частности, была использована весьма прозрачная
интерпретация  параллелизма, существующего между инвариантами
функциональных пространств двух различных типов: Орлича и
Марцинкевича (а с последним и Лоренца), в терминах так называемых
\emph{натуральных баз}. Она оказалась удобной и в настоящей работе,
как в общей схеме задания эквивогнутых функций на полуоси и на
отрезке, так и для формулировки прозрачных критериев регулярной
варьируемости этих функций.\\

Работа состоит из пяти параграфов, включая введение. В §2 и §3
изложены основная терминология и простейшие свойства объектов. Для
удобства чтения мы здесь приводим введённые в [6] и развитые в
работах [7] -[10] основные понятия, относящиеся к теории натуральных
баз. В последних двух параграфах содержатся главные результаты
настоящей работы, при доказательстве которых мы во многом опираемся
на монографию [1].\\

Отсутствие у некоторых утверждений доказательств означает, что
последние просты.

\bigskip
\centerline{\bf \textsf{§2. Натуральные базы}}
\bigskip

\textbf{ Определение 2.1.} 1. Подмножество $\mathbb{K}$ натурального
ряда $\mathbb{N}$ будем называть \textit{биинфинитным}, если и оно
само, и его дополнение $\mathbb{N}\setminus\mathbb{K}$
суть бесконечные подмножества $\mathbb{N}$. \\

2. Любую строго возрастающую последовательность целых
неотрицательных чисел вида $b=\{b_k\}_{0\leq k< \infty},$ где
$b_0=0,$ будем называть \textit{(натуральной) базой}, если
$\{b_k\}_{1\leq k<
\infty}$ биинфинитное подмножество в $\mathbb{N}$.\\

 Обозначим через $\mathfrak{b}$ множество всех баз.
Для базы $b=\{b_k\}_{k\geq 0}$ подмножество
$\mathbb{N}\setminus\{b_k\}_{k\geq 1}:=\{{b_*}_i\}_{i\geq 1}$
натурального ряда, занумерованное  в строго возрастающую
последовательность и дополненное начальным нулём, мы называем
\textit{двойственной с} $b$ базой и обозначаем $b_*,\
b_*=\{{b_*}_i\}_{0\leq i<\infty}.$ Очевидно, что двойственность есть
инволюция в классе $\mathfrak{b}$. \\

3. По заданной базе $b$ определим два отображения
$\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$: \textit{количественную
последовательность}
$$q_b(n):=(b_n-b_{n-1})> 0,\ n\in \mathbb{N},\ \eqno(2.1)$$
и \textit{плейс-последовательность}
$$p_b(n)=\sum_{i=0}^{n-1}\chi_b(i),\ n\in \mathbb{N},\eqno(2.2)$$
Ясно, что
$$ p_b(1)=1,\ p_b(n)\leq p_b(n+1)\leq p_b(n)+1,\ n\geq 1.\ \eqno(2.3)$$


\textbf{Замечание 2.1.} Каждый из трёх объектов - база, её
количественная  и её плейс-последовательность, - очевидным образом
определён любым из них, в том смысле, что, исходя из него,
формулами (2.1) - (2.3) однозначно восстанавливаются остальные два. \\


\textbf{Определение 2.2.}  1. Для двух последовательностей
вещественных чисел $q^{(1)}=\{q^{(1)}_n\}_{n\geq 1}$ и
$q^{(2)}=\{q^{(2)}_n\}_{n\geq 1}$ будем писать $q^{(1)}
 \stackrel{a}{\sim}q^{(2)}$) и называть их $\stackrel{a}{\sim}$\textit{эквивалентными} (т.е. аддитивно
эквивалентными), если найдётся такое натуральное $d$, что
$\sum_{i=1}^nq^{(1)}_i\leq\sum_{i=1}^{n+d}q^{(2)}_i\leq\sum_{i=1}^{n+2d}q^{(1)}_i,\ n\geq 1.$\\

2. Базу $b^{(1)}$ будем называть $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентной
базе $b^{(2)}$ (пишем $b^1 \stackrel{a}{\sim} b^2$), если найдётся
натуральное $d,$ такое что $b^{(1)}_k\leq b^{(2)}_{k+d}\leq
b^{(1)}_{k+2d},\ k\geq 1.$\\

3. Пусть каждая из двух натуральных последовательностей
$p^{(1)}=\{p^{(1)}_n\}_{n\geq 1}$ и $p^{(2)}=\{p^{(2)}_n\}_{n\geq
1}$ удовлетворяют условиям (2.3). Последовательности $p^{(1)}$ и
$p^{(2)}$ называются $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентными
(обозначение: $p^{(1)} \stackrel{a}{\sim}p^{(2)}$), если найдётся
натуральное $d$, такое что $p^{(1)}_n\leq p^{(2)}_n+d\leq
p^{(1)}_n+2d,\ n\geq 1.$ \\

Для базы $b_*$, двойственной с $b,$ обозначим через $\{q_{b_*}\}$ и
$\{p_{b_*}\}$, соответственно, количественную и
плейс-последовательности для $b_*.$ Отметим очевидную
формулу$${p_b}_*(n)=n-p_b(n)+1,\ n\geq 1. \ \eqno(2.4)$$Столь же
очевидной являтся и\\

\textbf{Лемма 2.2.} Для любых двух баз $b^{(1)}$ и
$b^{(2)}$ все приведенные ниже $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентности попарно равносильны:\\

$b^{(1)}\stackrel{a}{\sim}b^{(2)};\
b^{(1)}_*\stackrel{a}{\sim}b^{(2)}_*;\
q_{b^{(1)}}\stackrel{a}{\sim}q_{b^{(2)}};\
q_{b^{(1)}_*}\stackrel{a}{\sim}q_{b^{(2)}_*};\
p_{b^{(1)}}\stackrel{a}{\sim}p_{b^{(2)}};\ p_{b^{(1)}_*}\stackrel{a}{\sim}p_{b^{(2)}_*}.$\\
$\Box$\\


\textbf{Определение 2.3.} Подмножество $\mathbf{P}\subset
\mathfrak{b}$, состоящее из всех $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентных
между собой баз мы называем $\stackrel{a}{\sim}$модулярой.
Построенную по базе $\mathfrak{b}$ функцию $\Omega_b,\ \Omega_b:
\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N},$ будем называть
\emph{$\stackrel{a}{\sim}$-инвариантной}, если её значения на
$\stackrel{a}{\sim}$эквивалентных базах $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентны.\\

\textbf{Определение 2. 4.} Пусть $b=\{b_k\}_{0\leq k< \infty}$ -
база, введём для неё  функцию $\mathbb{S}_b(m):=\sup_{0\leq n <
\infty} \sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_b (j),\ m\geq 1,$ которую
назовём \emph{ верхней гранью} базы $b,$ и функцию
  $\mathbb{L}_b(m):=\limsup_{n
\rightarrow\infty} \sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_b (j),\ m\geq
1,$ -называемую \emph{ верхним пределом} этой базы. Здесь $\chi_b$
обозначает индикаторную функцию базы $b$ как подмножества
$\mathbb{N}\cup \{0\}$. Ясно, что

$$\mathbb{L}_b(m)\leq \mathbb{S}_b(m)\leq m,\ m\geq 1.$$

\textbf{Замечание 2.2.} Нетрудно видеть, что верхняя грань и верхний
предел суть $\stackrel{a}{\sim}$инвариантные функции. Между собой
они
$\stackrel{a}{\sim}$эквивалентны не всегда:\\

\textbf{Лемма 2.3.} Если $\lim_{n\rightarrow\infty}q_b(n)=\infty,$
то последовательности $\mathbb{S}_b(m)$ и $\mathbb{L}_b(m)$ не
являются $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентными. \\

\textbf{Доказательство.} По условию для любого $m\geq 1$ существует
$N_m,$ такое что $q_b(n)>m$ при $n\geq N_m.$ Иными словами, для
любого натурального $j$ существует $K_j,$ такое что при $i\geq K_j$
разность $p_{\psi}(i+j)-p_{\psi}(i)=0$ или
$p_{\psi}(i+j)-p_{\psi}(i)=1.$ Значит для любого натурального $j$
справедливо неравенство
$\limsup_{i\rightarrow\infty} p_{\psi}(i+j)-p_{\psi}(i)\leq 1.$ \\

С другой стороны, поскольку для любого натурального $i$ всегда
$\lim_{j\rightarrow\infty }p_{\psi}(i+j)-p_{\psi}(i)=\infty,$ то для
любых натуральных $i$ и $k$  найдётся $j(i),$ такое что
$p_{\psi}(i+j(i))-p_{\psi}(i)\geq k.$ Значит $\sup_{i\geq
1}\Big(p_{\psi}(i+j(i))-p_{\psi}(i)\Big) \geq k.$ Отсюда и из
предыдущего следует, что $\mathbb{S}_b(j(i))$ и
$\mathbb{L}_b(j(i)),$ а значит и
$\mathbb{S}_b(m)$ и $\mathbb{L}_b(m),$ не являются аддитивно эквивалентными.\\
$\Box$ \\

\textbf{Замечание 2.3.}   Условие $\lim_{n\rightarrow
\infty}q_{\psi}(n)=\infty$ влечёт одновременно \textbf{отсутствие}
$\stackrel{a}{\sim}$эквивалентности между $\mathbb{S}_b$ и
$\mathbb{L}_b$ и \textbf{наличие}
$\stackrel{a}{\sim}$эквивалентности между
$\mathbb{S}_{b_*}$ и $\mathbb{L}_{b_*}$ - см. лемму 4.6.\\

\textbf{Определение 2.5.} \emph{Нижним} (соответственно,
\emph{верхним}) \emph{индексом} базы $b=\{b_k\}_{k\geq 0}$ будем
называть числа$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\gamma_b := \lim_{m \rightarrow \infty} \inf \limits_{0 \leq n <
\infty} \frac{\sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_b
(j)}{m};\\
\delta_b:=\lim_{m \rightarrow \infty} \sup \limits_{0 \leq n <
\infty} \frac{\sum \limits_{j = n+1}^{n+m}
\chi_b (j)}{m}.\\
\end{array} \right. $$ Ясно,  что эти числа существуют, что
$0\leq\gamma_b\leq\delta_b\leq 1$ и что для двух
$\stackrel{a}{\sim}$эквивалентных баз их соответственные индексы
попарно совпадают. Легко видеть также, что справедливы равенства
$\delta_b= 1-\gamma_{b_*};\ \gamma_b=1-\delta_{b_*}.$ \\
%\newpage
\bigskip

\centerline{\textbf{\textsf{§3. Нормирующие функции,
$\stackrel{m}{\sim}$инвариантность. Функции и модуляры
Марцинкевича}}}
\bigskip

В дальнейшем приняты обычные обозначения $\frac{0}{0}:=0\cdot\infty:=0;\ \frac{1}{0}:=\infty.$\\

\textbf{Определение 3.1.} Две вещественные функции $f_1$ и $f_2$,
определённые на неотрицательной вещественной полуоси $[0,\infty)$
называются \textit{мультипликативно эквивалентными} (обозначение:
$f_1\stackrel{m}{\sim}f_2$), если для подходящей константы $C\geq 1$
одновременно выполняются соотношения
$$C^{-1}F_2(C\cdot t)\leq F_1(t) \leq C\cdot F_2(C^{-1}\cdot t),\ t\in[0,\infty),\eqno (3.1)$$
%всюду, где оба эти неравенства имеют смысл. В случае $\Omega_0=,1]$
%мы добавляем: "$f_1$ и $f_2$ мультипликативно эквивалентны в нуле,"
%а в случае $\Omega_{\infty}=(1,\infty)$ -
%добавляем:  "на бесконечности".\\

\textbf{Определение 3.2.} 1. Вещественную функцию, заданную на
$[0,\infty)$, непрерывную и равную нулю (или доопределённую нулём) в
нуле, а вне нуля - положительную, неубывающую и стремящуюся к
бесконечности на бесконечности, мы
называем \emph{нормирующей}.\\
2. Класс $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентности нормирующих функций мы
называем $\stackrel{m}{\sim}$\textit{модулярой};
$\stackrel{m}{\sim}$модуляру $\mathcal{E}$  функции $E(t)= t,\ 0\leq
t<\infty$ мы выделяем как \textit{несобственную}, прочие же назыаем
\emph{собственными}. Впредь мы лишь с ними и имеем дело.\\
3. Собственную модуляру, содержащую какую-либо \emph{вогнутую}
нормирующую функцию $\psi,$ удовлетворяющую равенству $\psi(1)=1,$
мы называем \emph{модулярой Марцинкевича} или \emph{$M$-модулярой},
а саму $\psi$ -\emph{$M$-функцией}; функции из $M$-модуляры
называются \emph{эквивогнутыми}. Если $\psi$ $M$-функция, то функция
$\psi_*(t):=\frac{t}{\psi(t)},\ 0\leq t<\infty,$  является
нормирующей функцией, вообще говоря, не вогнутой, но эквивогнутой.
Её наименьшую вогнутую мажоранту мы, не опасаясь путаницы,
обозначаем также через $\psi_*$ и называем функцию $\psi_*$ и её
модуляру \emph{двойственными} к $\psi$ и её модуляре,
соответственно.\\
Ясно, что двойственность есть инволюция в классе $M$-модуляр.
Очевидно также, что, если $\varphi$ есть эквивогнутая функция, то
эквивогнутой будет и функция $\frac{1}{\varphi(\frac{1}{t})},\ t\in
[0,\infty).$\\

Предположим, что $\xi_1$ и $\xi_2$ две эквивогнутые функции, причём
$\xi_1(1)=\xi_2(1)= 1.$ Рассмотрим на $[0,\infty)$ их \emph{склейку}
(слева направо), т.е. такую функцию $\varphi,\
\varphi:=\xi_1|_{[0,1]}\oplus\xi_2|_{[1,\infty)},$ сужения которой
на $[0,1]$ и на $[1,\infty)$ совпадают там с $\xi_1$ и
$\xi_2,$ соответственно. Из критерия Теоремы 1.1, стр.69, [1], вытекает\\
%обозначим $\xi_1|_[0,1]$ а
%$\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ обозначают  сужение $\xi_1$ на
%$[0,1]$ и сужение $\xi_2$ на $[1,\infty),$ соответственно.

\textbf{Лемма 3.1.} Склейка является эквивогнутой функцией на $[0,\infty)$.\\
$\Box$ \\

На полуоси для заданной  нормирующей функции $\xi$ определяется
\emph{верхняя грань сжатия/растяжения} и с её помощью  -
\emph{нижний }$\gamma$ и \emph{верхний} $\delta$ \emph{индексы}
сжатия/растяжения:
$$ \left\{
\begin{array}{l}
\mathfrak{S}_{\xi}(s):=\sup_{ t \in[0,\infty)}\frac{\xi(s\cdot t)}{\xi(t)},\ 0\leq s<\infty;\ \gamma_{\xi}:= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{\log_2 \mathfrak{S}_{\psi}(s)}{\log_2 s};\ \delta_{\xi}:= \lim_{s\rightarrow \infty}\frac{\log_2 \mathfrak{S}_{\xi}(s)}{\log_2 s},\\
\mathfrak{S}^0_{\xi}(s):=\sup_{t\in[0,1]: s\cdot t \in[0,1]}\frac{\xi(s\cdot t)}{\xi(t)},\ 0\leq s<\infty;\ \gamma_{\xi}^0:= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{\log_2 \mathfrak{S}^0_{\xi}(s)}{\log_2 s};\delta^0_{\xi} := \lim_{s\rightarrow \infty}\frac{\log_2 \mathfrak{S}^0_{\xi}(s)}{\log_2 s};\\
\mathfrak{S}^{\infty}_{\xi}(s):=\sup_{t\geq 1,\ s\cdot t\geq
1}\frac{\xi^{\infty}(s\cdot t)}{\xi^{\infty}(t)},\ \ 0\leq
s<\infty;\ \gamma^{\infty}_{\xi} := \lim_{s\rightarrow
0}\frac{\log_2 \mathfrak{S}^{\infty}_{\xi}(s)}{\log_2 s};\
\delta^{\infty}_{\xi} := \lim_{s\rightarrow \infty}\frac{\log_2
\mathfrak{S}^{\infty}_{\xi}(s)}{\log_2 s},
\end{array}\right. \eqno (3.2)$$
Для $\xi$ определены также две верхнепредельные функции
$$\mathfrak{L}^0_{\xi}(s):=\limsup_{t\rightarrow 0}\frac{\xi(s\cdot
t)} {\xi(t)},\ 0\leq s<\infty\ \ \textrm{и }\
\mathfrak{L}^{\infty}_{\xi}(s) :=\limsup_{t\rightarrow
\infty}\frac{\xi(s\cdot t)}{\xi(t)},\ 0\leq s<\infty.\eqno(3.3)$$

\textbf{Лемма 3.2.} (см. также [1]).  Для $M$-функции $\psi$
справедливы равенства
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\mathfrak{S}_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{S}_{\psi}(\frac{1}{s}),\ 0<
s<\infty,\ \mathfrak{S}_{\psi_*}(0)=0;\\
\mathfrak{S}^0_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{S}^0_{\psi}(\frac{1}{s}),\ 0<
s<\infty,\ \mathfrak{S}^0_{\psi_*}(0)=0;\\
\mathfrak{S}^{\infty}_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{S}^{\infty}_{\psi}(\frac{1}{s}),\
0< s<\infty,\ \mathfrak{S}^{\infty}_{\psi_*}(0)=0;\\
\mathfrak{L}^0_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{L}^0_{\psi}(\frac{1}{s}),\ \
0\leq s<\infty,\ \mathfrak{L}_{\psi_*}(0)=0;\\
\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}(\frac{1}{s}),\ 0\leq s<\infty,
\ \mathfrak{L}_{\psi_*}(0)=0.\\
\end{array} \right.\eqno (3.4) $$
$\Box$\\
%\textbf{Доказательство.} При всех $0<s<\infty$ имеем:\\
%$\mathfrak{S}_{\psi_*}(s):=\sup_{0<t<\infty}\frac{\psi_*(s\cdot
%t)}{\psi_*(t)}=\sup_{0<t<\infty}\frac{\frac{s\cdot t}{\psi(s\cdot
%t)}}{\frac{t}{\psi(t)}}=s\cdot
%\sup_{0<t<\infty}\frac{\psi(t)}{\psi(s\cdot t)}=[ s\cdot t:=u,\
%0<u<\infty;\ t=\frac{u}{s}]=
%s\cdot \sup_{0<u<\infty}\frac{\psi(\frac{u}{s})}{\psi(u)}=s\cdot \mathfrak{S}_{\psi}(\frac{1}{s}).$\\
%$\mathfrak{S}^0_{\psi_*}(s)=\sup_{t\in[0,1]: s\cdot t
%\in[0,1]}\frac{\psi^0_*(s\cdot t)}{\psi^0_*(t)}=\sup_{t\in[0,1]:
%s\cdot t \in[0,1]}\frac{\frac{s\cdot t}{\psi^0(s\cdot
%t)}}{\frac{t}{\psi^0(t)}}=s\cdot \sup_{t\in[0,1]: s\cdot t
%\in[0,1]}\frac{\psi^0(t)}{\psi^0(s\cdot t)}=[0<s\cdot t:=u\leq 1,\
%0<t=u\cdot\frac{1}{s}\leq 1)]=s\cdot \sup_{0<u\leq
%1,u\cdot\frac{1}{s}\in[0,1]}\frac{\psi^0(u\cdot\frac{1}{s})}{\psi^0(u)}=s\cdot
%\mathfrak{S}^0_{\psi}(\frac{1}{s}).$ \\
%
%$\mathfrak{S}^{\infty}_{\psi_*}(s)=\sup_{t\geq 1,\ s\cdot t\geq
%1}\frac{\psi^{\infty}_*(s\cdot t)}{\psi^{\infty}_*(t)}=\sup_{t\geq
%1,\ s\cdot t\geq 1}\frac{\frac{s\cdot t}{\psi^{\infty}(s\cdot
%t)}}{\frac{t}{\psi^{\infty}(t)}}=s\cdot \sup_{t\geq 1,\ s\cdot t\geq
%1}\frac{\psi^{\infty}(t)}{\psi^{\infty}(s\cdot t)}=[0<s\cdot
%t:=u\geq 1,\ 0<u\cdot\frac{1}{s}=t\geq 1)]=s\cdot \sup_{u\geq 1,\
%u\cdot\frac{1}{s}\geq
%1}\frac{\psi^{\infty}(u\cdot\frac{1}{s})}{\psi^{\infty}(u)}=s\cdot
%\mathfrak{S}^{\infty}_{\psi}(\frac{1}{s}).$\\
%
%$\mathfrak{L}^0_{\psi_*}(s)=\limsup_{t\rightarrow
%0}\frac{\frac{s\cdot t}{\psi(s\cdot t)}}{\frac{t}{\psi(t)}}=s\cdot
%\limsup_{t\rightarrow 0}\frac{\psi(t)}{\psi(s\cdot t)}=[ s\cdot
%t:=u,\ u\rightarrow 0 ;\ t=\frac{u}{s}]= s\cdot
%\limsup_{u\rightarrow
%0}\frac{\psi(\frac{u}{s})}{\psi(u)}=s\cdot \mathfrak{L}^0_{\psi}(\frac{1}{s}).$\\
%
%$\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi_*}(s)=\limsup_{t\rightarrow
%\infty}\frac{\frac{s\cdot t}{\psi(s\cdot
%t)}}{\frac{t}{\psi(t)}}=s\cdot \limsup_{t\rightarrow
%\infty}\frac{\psi(t)}{\psi(s\cdot t)}=[ s\cdot t:=u,\ u\rightarrow
%\infty;\ t=\frac{u}{s}]= s\cdot \limsup_{u\rightarrow
%\infty}\frac{\psi(\frac{u}{s})}{\psi(u)}=s\cdot \mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}(\frac{1}{s}).$\

\textbf{Следствие 3.3.}  1. Для эквивогнутой функции $\xi$ функции в
левых частях равенств (3.2)-(3.4) также эквивогнуты. Действительно,
из того, что они неубывают и к тому же $\lim_{s\rightarrow \infty}
\mathfrak{S}_{\psi}(s)=\lim_{s\rightarrow \infty}
\mathfrak{S}^0_{\psi}(s)=\lim_{s\rightarrow
\infty}\mathfrak{S}^{\infty}_{\psi}(s)=\mathfrak{L}^0_{\psi}(s)=\lim_{s\rightarrow
\infty}\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}(s)=\infty,$ а также из того, что
 функции $\frac{\mathfrak{S}_{\psi}(s)}{s},$
$\frac{\mathfrak{S}^0_{\psi_*}(s)}{s}$ и
$\frac{\mathfrak{S}^{\infty}_{\psi_*}(s)}{s}$ не возрастают и
неограничены в нуле по теореме 1.1, стр.69 $[1],$ вытекает, что для
любой $M$-функции $\psi$ все приведенные выше функции, также как и
двойственные к ним, эквивогнуты на полуоси $[0,\infty).$ Более того,
эти функции, как легко видеть, $M$-инвариантны, то есть, будучи
вычисленными для каждой из $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентных
$M$-функций $\xi_1$ и $\xi_2,$ они оказываются попарно
$\stackrel{m}{\sim}$эквивалентными (а их индексы сжатия/растяжения -
попарно равными).\\
2. Справедливы формулы (см. также [1])
$\delta_{\psi}=1-\gamma_{\psi_*},\ \gamma_{\psi}=1-\delta_{\psi_*};\
\gamma^0_{\psi}=1-\delta^0_{\psi_*},\
\delta^0_{\psi}=1-\gamma^0_{\psi_*};\
\gamma^{\infty}_{\psi}=1-\delta^{\infty}_{\psi_*},\
\delta^{\infty}_{\psi}=1-\gamma^{\infty}_{\psi_*}$.\\
$\Box$\\

\textbf{Лемма 3.4.} Для эквивогнутой функции $\psi$ следующие
равенства равносильны:
$$\gamma_{\psi}=0\ \Leftrightarrow\ \mathfrak{S}_{\psi}(s)=1,
\ 0< s\leq 1;\ \delta_{\psi}=1\ \Leftrightarrow\
\mathfrak{S}_{\psi}(s)=s,\ s\geq 1.\eqno (3.5)$$
\textbf{Доказательство.} Пусть $\gamma_{\psi}=0.$ По формуле (1.19),
[1], имеем $\mathfrak{S}_{\psi}(s)\geq 1,\ s\in (0,1].$ С другой
стороны для всех $s\in (0,1]$ по монотонности $\psi$ имеем: $
\mathfrak{S}_{\psi}(s)\leq 1,$ значит $ \mathfrak{S}_{\psi}(s)=1,\
s\in (0,1].$
Обратное следует из (3.2): $\gamma_{\psi}:= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{\ln \mathfrak{S}_{\psi}(s)}{\ln s}.$\\

Пусть $\delta_{\psi}=1.$ Тогда $\gamma_{\psi_*}=0,$ что по первому
утверждению равносильно $\mathfrak{S}_{\psi_*}(s)=1,\ 0<s\leq 1.$
Но, согласно первой из формул (3.4)
$\mathfrak{S}_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{S}_{\psi}(\frac{1}{s}),\ 0\leq
s<\infty,$ что влечёт: $\mathfrak{S}_{\psi_*}(s)=1,\ 0< s\leq
1\Leftrightarrow \mathfrak{S}_{\psi}(\frac{1}{s})=\frac{1}{s},\
0<s\leq 1\Leftrightarrow \mathfrak{S}_{\psi}(s)=s,\ s\geq 1.$\\
$\Box$\\


\textbf{Определение 3.3.} $M$-модуляру мы называем
\emph{симметрической}, если хотя бы одна (тем самым и любая),
содержащаяся в ней эквивогнутая функция $\varphi,$ удовлетворяет
требованию$$\varphi(t)\stackrel{m}{\sim}\frac{1}{\varphi(\frac{1}{t})},\
t\in [0,\infty). \eqno (3.6)$$Функции из симметрической модуляры
тоже называются \emph{симметрическими}.\\

Для  эквивогнутой функции  $\xi$ положим
$$\left\{\begin{array}{l}
\xi^0(t)=\xi(t),\ \textrm{если}\ t\in[0,1] ,\
\xi^0(t)=\frac{1}{\xi(\frac{1}{t})},\ \textrm{если}\ t\in
[1,\infty);\\
\xi^{\infty}(t)=\frac{1}{\xi(\frac{1}{t})},\ \textrm{если}\
t\in(0,1] ,\ \xi^{\infty}(t)=\xi(t),\ \textrm{если}\ t\in[1,\infty).\\
\end{array}\right. \eqno (3.7)$$
По лемме 3.1 обе эти функции эквивогнутые; по определению они
являются симметрическими. Мы называем $\xi^0$ \emph{левой}, а
$\xi^{\infty}$ \emph{правой} \emph{симметрическими скобками} для эквивогнутой функции $\xi.$\\

\bigskip
\centerline{\bf\textsf{§4. Базы и эквивогнутые функции}}
\bigskip

\textbf{Определение 4.1.} Зафиксируем две произвольные натуральные
базы $b^0=\{n^{0}_k\}_{k=0,1,...}$ и
$b^{\infty}=\{n^{\infty}_k\}_{k=0,1,...},$ где
$n^{0}_0=n^{\infty}_0=0.$ Возьмём любое целое неотрицательное число
$j$ и найдём два числа $k_{0}(j)$ и $k_{\infty}(j)$ такие что
$n^{0}_{k_0(j)}\leq j<n^{0}_{k_0(j)}+1,\
n^{\infty}_{k_{\infty}(j)}\leq
j<n^{\infty}_{k_{\infty}(j)}+1.$\\

Построим две функции - $\varphi^0$ на $[0,1)$ и $\varphi^{\infty}$
на $[1,\infty),$ - как двоично-измеримые функции, т.е. измеримые
относительно разбиения промежутка $[0,1)$ точками вида $2^{-\nu}$ и,
соответственно, разбиения промежутка $[1,\infty)$ точками вида
$2^{\nu}$, где $\nu=0,1,2,... .$. Если $2^{-j}\leq t <2^{-j+1},\
j\geq 1,$ то полагаем $\varphi^0(t)=2^{-n^0_{k_{0}(j)}},$ а если
$2^{j}\leq t< 2^{j+1},\ j\geq 0$, то полагаем
$\varphi^{\infty}(t)=2^{n^{\infty}_{k_{\infty}(j)}}.$ \\

Каждую из функций $\varphi^0$ и $\varphi^{\infty},$ построенных по
базам на промежутках $[0,1)$ и $[1,\infty)$ по базам
$b^0=\{n^{0}_k\}_{k=0,1,...}$ и
$b^{\infty}=\{n^{\infty}_k\}_{k=0,1,...},$ будем называть
\emph{порождённой} соответствующей базой.\\

Легко проверить, что для склейки
$\varphi:=\varphi^0\oplus\varphi^{\infty}$ двоично-измеримых функций
$\varphi^0$ и $\varphi^{\infty},$ построенных  такой процедурой,
выполняются все условия Леммы 3.1, согласно которой $\varphi$
является эквивогнутой функцией; мы  называем её \emph{порождённой
парой натуральных баз} ($b^0,b^{\infty}$), причём $b^0$
($b^{\infty}$) называем \emph{левой} (соответственно,
\emph{правой}) базой для $\varphi.$\\

Покажем, что верно и обратное: любая $M$-функция $\psi$ (и,
следователоно, любая эквивогнутая функция) однозначно с точностью до
$\stackrel{m}{\sim}$эквивалентности порождается парой натуральных
баз с помощью описанной выше конструкции.\\

\textbf{Определение 4.2.} 1. Пусть $M$-функция $\psi,$ задана на
полуоси $[0, \infty)$. Для натуральных $n$ обозначим через $D^-_n$
диадический полусегмент $[2^{-n},2^{-n+1}),$ через $D^+_n$
диадический полусегмент $[2^{n},2^{n+1}),$ а для всех целых $j$
точки вида $\psi(2^{j})$ будем называть $\psi-$точками. Введём две
функции $p^0_{\psi}$ и $p^{\infty}_{\psi},$ называемые
\emph{плейс-последовательностями $M$-функции $\psi$ в нуле и на
бесконечности,} соответственно, сопоставляя каждой $\psi$-точке
номер диадического полусегмента $ D$, её
содержащего:$$p^0_{\psi}(j)=[-\log_2\psi(2^{-j})],\
p^{\infty}_{\psi}(j)=[\log_2\psi(2^{j})],\ j\geq 1,\eqno(4.1)$$где
$[r]$ обозначает целую часть вещественного числа $r.$ Ясно, что для
$M$-функции $\psi$ обе функции $p^0_{\psi}:\mathbb{N}\mapsto
\mathbb{N}$ и $p^{\infty}_{\psi}:\mathbb{N}\mapsto \mathbb{N}$ суть
сюръективные отображения, каждое из которых удовлетворяет
соотношениям (2.3); тем самым, будучи плейс-последовательностями,
они определяют базы $b^0_{\psi}$ и $b^{\infty}_{\psi}$ (см.
Замечание 2.1), соответствующие, как легко убедиться, левой и правой
базам эквивогнутой функции $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентной $\psi$.
Количественные последовательности этих баз мы обозначаем,
соответственно, $q^0_{\psi}(n)$ и
$q^{\infty}_{\psi}(n).$\\

\textbf{Замечание 4.1.} Очевидно, что соответственные базы двух
$M$-функций попарно $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентны, тогда и только
тогда, когда сами эти функции $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентны.
Поэтому мы можем определить левую и правую базы эквивогнутой функции
с точностью до $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентности, как
соответственные базы любой содержащейся в её $M$-модуляре
$M$-функции. Иными словами можно считать, что
$\stackrel{m}{\sim}$модуляры эквивогнутых функций и пары
$\stackrel{a}{\sim}$модуляр баз поставлены во взаимно-однозначное
соответствие, которое (понимая под $b$ пару баз) можно записать как
$b_{\varphi_{b}}\stackrel{a}{\sim}b,\
\varphi_{b_{\varphi}}\stackrel{m}{\sim}\varphi.$ Ясно, что  это
соответствие сохраняет двойственность в классах
$\stackrel{m}{\sim}$-модуляр эквивогнутых функций и
$\stackrel{a}{\sim}$модуляр баз.\\

\textbf{Лемма 4.1.} Эквивогнутая функция $\varphi$ симметрическая,
тогда и только тогда, когда её левая и правая базы
$\stackrel{a}{\sim}$эквивалентны:
$b^{\infty}_{\varphi}\stackrel{a}{\sim}b^0_{\varphi}$\\
$\Box$ \\

\textbf{Замечание 4.2.} 1. Любую из этих двух
$\stackrel{a}{\sim}$эквивалентных баз (которые в совокупности с
точностью до $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентности порождают $\varphi$
на полуоси) мы называем \emph{базой симметрической функции}
$\varphi$
и обозначаем $b_{\varphi}.$\\
2. Для симметрической  эквивогнутой функции $\varphi$
двойственная ей эквивогнутая функция $\varphi_*$ тоже симметрическая.\\


\textbf{Лемма 4.2.} Пусть $p_{\psi}^{0}$ - плейс-последовательность
левой базы $b^0_{\psi}\ M$-функции $\psi$. Пусть
${\mathfrak{S}^0_{\psi}}$ определена на полуоси формулами (3.2) и
пусть $p^{0}_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}$ и
$p^{\infty}_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}$ - плейс-функции левой
$b^0_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}$ и $b^{\infty}_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}$
правой баз для $M$-функции ${\mathfrak{S}^0_{\psi}}$,
соответственно. Тогда

$$\left\{
\begin{array}{rcl}
p^{\infty}_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}(m)\stackrel{a}{\sim}\sup_{n\geq
0}\Big(p^0_{\psi}(n+m)-p^0_{\psi}(n)\Big)\stackrel{a}{\sim}\sup_{n\geq
0}\Big(\sum_{j=n+1}^{n+m}\chi_{b^0_{\psi}}(j)\Big)=\mathbb{S}_{b^0_{\psi}}(m);\\
p^{0}_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}(m)\stackrel{a}{\sim}\inf_{n\geq
0}\Big(p^0_{\psi}(n+m)-p^0_{\psi}(n)\Big)\stackrel{a}{\sim}\inf_{n\geq
0}\Big(\sum_{j=n+1}^{n+m}\chi_{b^0_{\psi}}(j)\Big).\\
\end{array} \right.\ m\geq 0. \eqno (4.2)$$
\textbf{Доказательство.}
$$\log_2\mathfrak{S}^0_{\psi}(2^m)\stackrel{m}{\sim}\log_2\sup_{n\geq
0,\ m-n\leq 0}\frac{\psi^0(2^{m-n})}{\psi^0(2^{-n})}=\sup_{n\geq 0,\
m-n\leq 0}\log_2\frac{\psi^0(2^{m-n})}{\psi^0(2^{-n})}=$$
$$=\sup_{n\geq 0,\ m-n\leq
0}\Big(\log_2\psi^0(2^{m-n})-\log_2\psi^0(2^{-n})\Big)=\sup_{n\geq
0,\ n-m\geq
0}\Big(-\log_2\psi^0(2^{-n})-(-\log_2\psi^0(2^{-(n-m)}))\Big)\stackrel{m}{\sim}$$
$$\sup_{n\geq 0,\ n\geq
m}\Big(p^0_{\psi}(n)-p^0_{\psi}(n-m)\Big) =\Big(\textrm{замена:}\
n-m=k\geq 0,\ n=k+m\Big)=$$ $$=\sup_{k+m\geq 0,\ k\geq
0}\Big(p^0_{\psi}(k+m)-p^0_{\psi}(k)\Big),$$ где $p^0_{\psi}$
обозначает плейс-последовательность базы $b_{\psi^0}$ функции
$\psi^0.$ Это влечёт для вычисленной по формулам (4.1) правой
плейс-последовательности $p^{\infty}_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}\
M$-функции $\mathfrak{S}^0_{\psi}$ соотношения
$$p^{\infty}_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}(m)\stackrel{a}{\sim}\left\{
\begin{array}{rcl}0\ \textrm{при}\ m\leq 0;\\
\sup_{ k\geq
0}\Big(p^0_{\psi}(k+m)-p^0_{\psi}(k)\Big)\ \textrm{при}\ m>0,\\
\end{array} \right. \eqno(4.3)$$ а для её левой
плейс-последовательности, вычисленной по формулам (4.1), влечёт
$$p^0_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}(m)\stackrel{a}{\sim}\left\{
\begin{array}{rcl}
0\ \textrm{при}\ m\geq 0;\\
\inf_{k\geq 0}\Big(p^0_{\psi}(k)-p^0_{\psi}(k+m)\Big)\
\textrm{при}\ m<0.\\
\end{array} \right. \eqno (4.4)$$Здесь при
$m<0,\ k\geq 0,\ k+m\geq 0,$ возвращаясь к обозначениям $n=k+m\geq
0,$ получим $k=n-m=n+i\geq 0,\ \textrm{где}\ i:=-m>0.$ Это и есть
(4.2).\\
$\Box$ \\

Аналогично доказывается\\
%\textbf{Лемма 4.3.} Пусть $\psi$ обозначает  такую $M$-функцию, для
%количественной последовательности $q_{b^{\infty}_{\psi}}$ правой
%базы $b^{\infty}_{\psi}$ которой выполняется условие
%$\lim_{n\rightarrow\infty}q_{b^{\infty}_{\psi}}(n)\neq\infty.$
% Пусть функция ${\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}$ определена на полуоси второй из
%формул (3.3). Тогда существует её правая база
%$b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}},$
%и при этом
%$b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}\stackrel{a}{\sim}b^{\infty}_{\psi}.$
%для чьей плейс-последовательности
%$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}(m)=
%[\log_2\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\psi(2^{m+n})}{\psi(2^{n})}],\
%m\geq 0,$ выполняется $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентность
%$$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}\stackrel{a}{\sim}\mathbb{L}_{b^{\infty}_{\psi}}
%.\eqno(4.5)$$
%\textbf{Доказательство.} Для любых $m\geq 0$ имеем
%$$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}(m)=
%[\limsup_{n\rightarrow\infty}(\log_2\frac{\psi(2^{m+n})}{\psi(2^{n})})]=
%[\limsup_{n\rightarrow\infty}\log_2\psi(2^{m+n})-\log_2\psi(2^{n})]\stackrel{a}{\sim}$$
%$\Big(\textrm{ибо}\
%[\log_2\psi(2^{m+n})]\stackrel{a}{\sim}\log_2\psi(2^{m+n})$ и
%$[\log_2\psi(2^{n})]\stackrel{a}{\sim}\log_2\psi(2^{n})\Big)$
%$$\stackrel{a}{\sim}
%\limsup_{n\rightarrow\infty}([\log_2(\psi(2^{m+n})]-[\log_2\psi(2^{n})])=
%\limsup_{n\rightarrow\infty}(p^{\infty}_{\psi}(m+n)-p^{\infty}_{\psi}(n))=$$
%$$=\limsup_{n \rightarrow\infty} \sum \limits_{j = n+1}^{n+m}
%\chi_{b^{\infty}_{\psi}} (j)=\mathbb{L}_{b^{\infty}_{\psi}}(m).\ \Box$$\\

\textbf{Лемма 4.3.} Пусть $\psi$ обозначает  $M$-функцию, пусть
 ${\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}$ определена на полуоси
второй из формул (3.3), а
$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}$ -
плейс-последовательность её правой базы
$b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}$. Тогда (см. Определение
2.5)
$$\mathbb{L}_{b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}}\stackrel{a}{\sim}
p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}.\eqno(4.5)$$
$\Box$\

%\textbf{Доказательство.} Для любых $m\geq 0$ имеем
%$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}(2^{m})=
%[\log_2\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\psi(2^{m+n})}{\psi(2^{n})}]=
%[\limsup_{n\rightarrow\infty}(\log_2\frac{\psi(2^{m+n})}{\psi(2^{n})})]=
%[\limsup_{n\rightarrow\infty}\log_2\psi(2^{m+n})-\log_2\psi(2^{n})]\
%\Big(\textrm{ибо}\
%[\log_2\psi(2^{m+n})]\stackrel{m}{\sim}\log_2\psi(2^{m+n})$ и
%$[\log_2\psi(2^{n})]\stackrel{m}{\sim}\log_2\psi(2^{n})\Big)\stackrel{m}{\sim}
%\limsup_{n\rightarrow\infty}([\log_2(\psi(2^{m+n})]-[\log_2\psi(2^{n})])=
%\limsup_{n\rightarrow\infty}(p^{\infty}_{\psi}(m+n)-p^{\infty}_{\psi}(n))=\limsup_{n
%\rightarrow\infty} \sum \limits_{j = n+1}^{n+m}
%\chi_{b^{\infty}_{\psi}} (j)=\mathbb{L}_{b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}}(m).\ \Box$\\

\textbf{Лемма 4.4.} Для симметрической $M$-функции $\varphi$ имеет
место $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентность

$$\mathfrak{S}_{\varphi}(s)\stackrel{m}{\sim}\mathfrak{S}^0_{\varphi}(s),\ s>0.\eqno (4.6)$$

\textbf{Доказательство.} Как всегда через $\varphi^0$ и
$\varphi^{\infty}$ обозначаем сужения $\varphi$ на $[0,1]$ и
$[1,\infty),$ соответственно. Вычислим
$\mathfrak{S}_{\varphi}(2^{-m}),\ m \geq 0.$ Для симметрической
$\varphi,$ согласно (1.2) и (3.2), имеем:
$$\mathfrak{S}_{\varphi}(2^{-m})\stackrel{m}{\sim}\sup_{\nu\in
\mathbb{Z}}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}=\sup_{\nu\leq
m}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}\vee\sup_{\nu>m}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}
{\varphi(2^{\nu})}=$$
$$=\sup_{\nu\leq
0}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}\vee\sup_{0<\nu\leq
m}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}\vee\sup_{\nu>m
}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}=$$
$$=\sup_{\nu\leq
0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^0(2^{\nu})}\vee\sup_{0\leq
\nu\leq
m}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^{\infty}(2^{\nu})}\vee\sup_{\nu>m
}\frac{\varphi^{\infty}(2^{\nu-m})}{\varphi^{\infty}(2^{\nu})}$$
$$=\sup_{\nu\leq
0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^0(2^{\nu})}\vee\sup_{0\leq
\nu\leq m}\varphi^0(2^{\nu-m})\varphi^0(2^{-\nu})\vee\sup_{\nu>m
}\frac{\varphi^0(2^{-\nu})}{\varphi^0(2^{m-\nu})} \eqno (4.7)$$

1. Пусть $\nu\leq 0$ и при этом  ${\nu-m}\in [-n_{k+1},-n_k),\
\nu\in [-n_{i+1},-n_i),\ k=k(\nu),\ i=i(\nu),\ k\geq i$ Тогда
$\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^0(2^{\nu})}=\frac{2^{-n_k}}{2^{-n_i}}
=2^{-(n_k-n_i)}.$\\

2. Пусть $0<\nu\leq m$ и при этом $m-\nu\in [n_k,n_{k+1}),\ \nu\in
[n_i,n_{i+1}),\ k=k(\nu),\ i=i(\nu).$ Тогда
$\varphi^0(2^{\nu-m})\varphi^0(2^{-\nu})=2^{-n_k}2^{-n_i}=
2^{-(n_k+n_i)}.$\\

3. Пусть $\nu>m$ и при этом ${\nu-m}\in [n_k,n_{k+1}),\ \nu\in
[n_i,n_{i+1}),\ k=k(\nu),\ i=i(\nu),\ k\leq i.$ Тогда
$\frac{\varphi^0(2^{-\nu})}{\varphi^0(2^{m-\nu})}=\frac{2^{-n_k}}{2^{-n_i}}=2^{-(n_k-n_i)}$\\

Поскольку всюду здесь числа $n_k$ и $n_i$ могут быть произвольными
элементами базы $b_{\varphi^0}$ (подчиняющиеся указанным в пп. 1 - 3
соотношениям между ними), то из (4.5) и из соотношений $\sup_{0\leq
\nu\leq m}\varphi^0(2^{\nu-m})\varphi^0(2^{-\nu})\leq\sup_{\nu\leq
0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^0(2^{\nu})}=\sup_{\nu>m
}\frac{\varphi^0(2^{-\nu})}{\varphi^0(2^{m-\nu})}$ для
симметрической $M$-функции $\varphi$ вытекает, что

$$\mathfrak{S}_{\varphi}(2^{-m})\stackrel{m}{\sim}\sup_{\nu<0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}
{\varphi^0(2^{\nu})}\vee\sup_{\nu>m
}\frac{\varphi^0(2^{-\nu})}{\varphi^0(2^{m-\nu})}
=\sup_{\nu<0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}
{\varphi^0(2^{\nu})}=\mathfrak{S}^0_{\varphi}(2^{-m}),\ m\geq
0.\eqno (4.8)$$

 Для симметрической $M$-функции $\varphi$ из равенств (3.4)
вытекает, что с точностью до $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентности
соотношение (4.8) равносильно
$$\mathfrak{S}_{\varphi}(2^m)\stackrel{m}{\sim}2^m\mathfrak{S}_{\varphi_*}(2^{-m})=
2^m\mathfrak{S}^0_{\varphi_*}(2^{-m})=\mathfrak{S}^0_{\varphi}(2^m),\
m\geq 0,\eqno(4.9)$$ а выполнение (4.8) и (4.9) равносильно
$\stackrel{m}{\sim}$эквивалентности (4.6)$.\ \Box$ \\

Из (4.6) прямо следует\\

\textbf{Лемма 4.5.} Если $\varphi$ симметрическая $M$-функция, то
$$\gamma_{\varphi}=\gamma_{b^0_{\varphi}}=\gamma_{b^{\infty}_{\varphi}},\
\delta_{\varphi}=\delta_{b^0_{\varphi}}=\delta_{b^{\infty}_{\varphi}}
.\eqno (4.10)$$
%\textbf{Доказательство.}  Из (4.6)  выводим:
%$$\gamma_{\varphi}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\log_2
%\mathfrak{S}_{\varphi}(s)}{\log_2 s}=\lim_{s\rightarrow
%0}\frac{\log_2 \sup_{t \in[0,\infty)}\frac{\varphi(s\cdot
%t)}{\varphi(t)}}{\log_2 s}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\sup_{t
%\in[0,\infty)}\log_2 \frac{\varphi(s\cdot t)}{\varphi(t)}}{\log_2
%s}=$$
%$$=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{\sup_{\nu\in \mathbb{Z}}\log_2
%\frac{\varphi(2^{-m+\nu})}{\varphi(2^\nu)}}{\log_2
%2^{-m}}=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{\log_2\mathfrak{S}_{\varphi}(2^{-m})}{\log_2
%2^{-m}}=$$
%$$\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{\log_2\mathfrak{S}^0_{\varphi}(2^{-m})}{\log_2
%2^{-m}}=\lim_{m \rightarrow \infty} \inf \limits_{0 \leq n < \infty}
%\frac{\sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_{b^0_{\varphi}}
%(j)}{m}=\gamma_{b_{\varphi^0}},$$и в точности также выполняются
%равенства для верхних индексов, а также для индексов двойственной
%функции и соотношений между теми и другими, например
%$$\delta_{b^0_{\varphi}}=\delta_{\varphi}=1-\gamma_{b^0_{\varphi_*}}.\ \Box$$

\textbf{Лемма 4.6.}  Пусть $b_{\psi}$ обозначает базу симметрической
функции $\psi$. Следующие условия
равносильны.\\

1). $\delta_{\psi}=1;$

2). Выполняются равенства
$$\mathbb{S}_{b_{\psi}}(m)=\mathbb{L}_{b_{\psi}}(m)=m,\ m\geq 1.\eqno (4.11)$$

\textbf{Доказательство.} Поскольку $\psi$ симметрическая, её сужение
на $[0,1]$ также обозначаем $\psi.$  Как известно,
$\delta_{\psi}=1,$ тогда и только тогда, когда длины блоков идущих
подряд единичных значений $q_{b_{\psi}}(i)$ неограничены, [6]. Но
это в точности равносильно тому, что для любого $m\geq 1$
выполняются равенства (4.11). $\Box$\\

\centerline{\textbf{\textsf{§ 5. Экстремальность}}}
\bigskip

\textbf{Определение 5.1.} 1. Для любого $\alpha\in(0,1]$ базу
$b_{\alpha}:=b_{t^{\alpha}}$ симметрической функции $t^{\alpha},\
t\in[0,\infty),$ мы называем \emph{степенной базой с показателем $\alpha$}.\\
2. Базу $b=\{b_k\}_{0\leq k< \infty}$ будем называть
\emph{экстремальной}, если она $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентна
суперпозиции баз (см. []) вида $b_1\circ b_{\delta_{b}},$ где
$\delta_{b_1}=1,$ а через $b_{\delta_b}$ обозначается степенная база
показателя $\delta_b.$\\

\textbf{Лемма 5.1.} Предположим, что $\psi$ эквивогнутая функция,
$0<\delta_{\psi}<1$ и пусть $0< p\neq \frac{1}{\delta_{\psi}}.$
Функция $\psi^p$ является эквивогнутой, тогда и только тогда, когда
$p<\frac{1}{\delta_{\psi}}$.\\
%Если $p<\frac{1}{\delta_{\psi}},$ то
%функция $\psi^p$ является эквивогнутой; обратно, если  функция
%$\psi^p$ является эквивогнутой, то $p\leq\frac{1}{\delta_{\psi}}.$\\

\textbf{Доказательство.} Пусть $p<\frac{1}{\delta_{\psi}}.$ В силу
стр.79 [1], $\delta_{\psi^p}=p\cdot\delta_{\psi}<1.$ Значит найдётся
$\varepsilon>0,$ такое что $\delta_{\psi^p}+\varepsilon<1.$ В силу
(1.20), стр. 76, [1], при $s\geq s_{\varepsilon}>1$ справедливо:
$M_{\psi^p}(s)\leq s^{\delta_{\psi^p}+\varepsilon}\leq s.$\\
Тем самым мы оказываемся в условиях Следствия 1 стр.78 [1], согласно
которому функция ${\psi}^p$, будучи
$\stackrel{m}{\sim}$эквивалентной своей наименьшей вогнутой мажоранте
является эквивогнутой.\\
Обратно, пусть функция $\psi^p\ \stackrel{m}{\sim}\varphi$, где
$\varphi$ - $M$-функция. Предположим. что
$p>\frac{1}{\delta_{\psi}}.$ Как отмечалось,
$\delta_{\varphi}=\delta_{\psi^p},$ откуда по стр. 79, [1],
$\delta_{\varphi}=p\cdot \delta_{\psi}>1.$ Но по формуле (1.24) [1],
для $M$-функции $\varphi$ это неравенство невозможно. $\Box$\\

\textbf{Замечание 5.1.} Пусть $\psi^0$ обозначает след на $[0,1]\
M$-функции $\psi.$ Известно, [3], что при $p:\ 0< p\neq
\frac{1}{\delta_{\psi}}$ пространство Марцинкевича
$\textsf{M}_{\psi^0}[0,1]$ является $p$-выпуклым, см. [2] (и, стало
быть, пространство Лоренца $\Lambda_{\psi^0_*}[0,1]$ является
$q$-вогнутым, $1/p+1/q=1$), тогда и только тогда, когда $p<
\frac{1}{\delta_{\psi}}$. Это равносильно утверждению, что при таких
же $p$ симметрическая функция $\psi^p$ является эквивогнутой, тогда
и только тогда, когда $0<p<1/\delta_{{\psi}}.$\\

\textbf{Определение 5.2.} Будем говорить, что эквивогнутая функция
$\psi$ \emph{экстремальна}, если найдётся эквивогнутая функция
$\varphi,\ \delta_{\varphi}=1$, такая что $\psi\
\stackrel{m}{\sim}(\varphi)^{\delta_{\psi}}$. Будем называть $\psi$
\emph{экстремальной слева} (\emph{экстремальной справа}), если
экстремальна левая
(соответственно, правая) симметрическая скобка для $\psi$.\\


\textbf{Замечание 5.2.} Существуют как экстремальные $M$-функции,
так и $M$-функции не являющиеся таковыми.\\

\textbf{Пример.} 1. На $[0,1]$ и на $[1,\infty)$ рассмотрим функции
$\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ , соответственно:
$\varphi^0(0):=0;\ \varphi^0(t):=-t\cdot\log_2\frac{t}{2},\
t\in(0,1];\
\varphi^{\infty}(t):=\frac{1}{(\varphi^0)(\frac{1}{t})},\
t\in[1,\infty).$ Если их склейку $\varphi^0\oplus\varphi^{\infty}$
обозначить $\varphi$, то $\delta_{\varphi}=1$ и, следовательно,
симметрическая функция $\varphi^{\frac{1}{2}}$ экстремальна.\\
2. Определим функцию
 $\phi^{\infty}(t):=t\cdot\log_22t,\ t\in[1,\infty).$ Ясно, что $\phi^{\infty}$
есть выпуклая функция на $[1,\infty)$, между тем как
$(\phi^{\infty})^{\frac{1}{2}}$ вогнута на $[1,\infty)$ также как
функция
$\Phi^0(t):=\frac{1}{(\varphi^{\infty})^{\frac{1}{2}}(\frac{1}{t})}$
вогнута на $[0,1]$. Эквивогнутая склейка
$\Phi=(\phi^{\infty})^{\frac{1}{2}}\oplus\Phi^0$, как и правая
симметрическая скобка этой склейки по определению не
будет экстремальной функцией.\\


\textbf{Лемма 5.2.} Допустим, что $\psi^0,\ \psi^1$ - суть,
соответственно, левая и правая симметрические скобки эквивогнутой
функции $\psi$. Справедливо равенство
$$\delta_{\psi}=\delta_{\psi^0}\vee\delta_{\psi^1};\
\gamma_{\psi}=\gamma_{\psi^0}\wedge\gamma_{\psi^1}\eqno (5.1)$$
\textbf{Доказательство}. Достаточно доказать первое равенство, ибо тогда\\
$\gamma_{\psi}=1-\delta_{\psi_*}=1-\delta_{\psi^0_*}\vee\delta_{\psi^1_*}=
(1-\delta_{\psi^0_*})\wedge
(1-\delta_{\psi^1_*})=\gamma_{\psi^0}\wedge\gamma_{\psi^1}.$\\
Неравенство $\delta_{\psi}\geq\delta_{\psi^0}\vee\delta_{\psi^1}$
следует из формулы (3.2). Предположим, что для некоторой
эквивогнутой функции $\psi$ на полуоси справедливо строгое
неравенство $\delta_{\psi}>\delta_{\psi^0}\vee\delta_{\psi^1}.$
Выберем $\varepsilon > 0,$ так чтобы выполнялись неравенства
$\frac{1}{\delta_{\psi}}<a=
\frac{1}{\delta_{\psi^0}}\wedge\frac{1}{\delta_{\psi^1}}-\varepsilon.$
Имеем: $\psi^a=(\psi^0\oplus\psi^1)^a=(\psi^0)^a\oplus(\psi^1)^a,$ -
по леммам 3.1 и 5.1 правая часть есть эквивогнутая на полуоси
функция, что для левой части противоречит лемме 5.1. $\Box$\\


\textbf{Следствие 5.3.} Предположим для определённости, что для
эквивогнутой функции $\psi$ выполненяется равенство
$\gamma_{\psi^0}\wedge\gamma_{\psi^1}=\gamma_{\psi^0}=\gamma_{\psi},$
и пусть $\gamma_{\psi}=0.$ Тогда
$\delta_{\psi_*}=1-\gamma_{\psi^0}=1=\delta_{b^0_{\psi_*}},$ и по
лемме 4.6
$$\mathbb{S}_{b^0_{\psi_*}}(m)=\mathbb{L}_{b^0_{\psi_*}}(m)=m,\ m\geq 1.$$ $\Box$


\textbf{Теорема 5.4.} Пусть для эквивогнутой функции $\varphi$
симметрические функции $\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ суть её
левая и правая скобки. Тогда, если
$\delta_{\varphi^0}>\delta_{\varphi^{\infty}}$ и при этом
$\varphi^0$ экстремальна, то $\varphi$ экстремальна. Этот же вывод
можно сделать, если $\delta_{\varphi^0}=\delta_{\varphi^{\infty}}$ и
обе функции $\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ экстремальны. Обратно,
если $\varphi$ экстремальна, то из двух её симметрических скобок та
из них, чей верхний индекс сжатия/растяжения больше этого индекса
другой, является экстремальной. При равенстве верхних индексов
экстремальными являются обе скобки. \\

\textbf{Доказательство.} Так как по лемме 5.2
$\delta_{\varphi}=\delta_{\varphi^0}\vee\delta_{\varphi^{\infty}},$
то $\delta_{\varphi}=\delta_{\varphi^0}.$ В силу неравенства
$\delta_{\varphi^0}>\delta_{\varphi^{\infty}},$ а также леммы 5.1 и
предположенной экстремальности $\varphi^0$ обе функции
$(\varphi^0)^{\frac{1}{\delta_{\varphi^0}}}$ и
$(\varphi^{\infty})^{\frac{1}{\delta_{\varphi^0}}}$ являются
эквивогнутыми. Обозначим через $\phi^0$ и $\phi^{\infty}$ следы
функций $\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ на $[0,1]$ и $[1,\infty),$
соответственно, и пусть $\phi:=(\phi^0\oplus\phi^{\infty}).$ Тогда
$\phi^{\frac{1}{\delta_{\varphi}}}=(\phi^0\oplus\phi^{\infty})^{\frac{1}{\delta_{\varphi}}}=
(\phi^0)^{\frac{1}{\delta_{\varphi^0}}}\oplus(\phi^{\infty})^{\frac{1}{\delta_{\varphi^0}}},$
откуда по лемме 3.1 $\varphi^{\frac{1}{\delta_{\varphi}}}$
эквивогнута на $[0,\infty).$ Аналогично доказывается и второе утверждение.$ \ \Box$\\

\textbf{Следствие 5.5.} Для того, чтобы эквивогнутая функция была
экстремальна, необходимо и достаточно, чтобы в порождающей её паре
натуральных баз  база с наибольшим верхним индексом была
экстремальна (или, если верхние индексы баз равны, чтобы обе базы
были экстремальны). $\Box$\\

\textbf{Теорема 5.6.} Пусть $\varphi^{\alpha},\ 0<\alpha\leq 1,$
обозначает степень симметрической  функции $\varphi,$ такой что
$\delta_{\varphi}=1$, и пусть $b_{\varphi^{\alpha}}$ обозначает базу
 симметрической функции $\varphi^{\alpha}.$ Справедливы соотношения
$$\mathbb{L}_{b_{\varphi^{\alpha}}}(m)
\stackrel{a}{\sim}\mathbb{S}_{b_{\varphi^{\alpha}}}(m)\stackrel{a}{\sim}m\cdot\alpha.\eqno
(5.2)$$ \textbf{Доказательство.} Равенство $\alpha=1$ равносильно
(см. [6]) тому, что длины одноточечных блоков количественной
последовательности $q_{b_{\varphi}}$ базы $b_{\varphi}$
неограничены, чтопо лемме 4.6 обеспечивает выполнение соотношения
(5.2). Предположим, что $0<\alpha<1,$ и пусть $\alpha$ рациональное
число, т.е. для натуральных чисел $p,r,c,d$ справедливо
$\alpha=\frac{p}{r},\ p,r\in \mathbb{N},\ 1< p<r,\ r=c\cdot p+d,\
d<p,\ \textrm{причём}\ r$ и $p$ взаимно простые числа. Как известно,
для эквивогнутой функции $t^{\alpha},\ t\in [0,1],$  количественная
последовательность $q_{b_1}$  базы $b_1:=b_{\alpha}=(m_k)$ (с
точностью до $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентности) имеет вид идущей
подряд последовательности блоков $B_j$ длины $p,$ каждый из которых
составлен из $ p-1$ начальных чисел $c$ и последнего числа, равного
$c+d$. Таким образом в сумме в каждом блоке $B_j$ содержатся $r$
точек натурального ряда. Значит сама база $b_1$ есть
последовательность $(m_k)$ идущих через $c$ натуральных чисел со
скачком
через каждые $p-1$ шагов на число $c+d$.\\
Если же $p=1$, то количественная последовательность $q_{b_1}$ базы
$b_1:=b_{\alpha}$ состоит из числа $r,$ стоящего на всех местах.  В
этом случае база $b_1$ есть последовательность $(m_k)$ идущих
через $r$ натуральных чисел.\\
В обоих случаях на каждом из бесконечно многих дизъюнктных отрезков
натурального ряда длины $r,$ начиная с самого первого, расположены
$p$ элементов базы $b_1$ и, следовательно, равенство
$\sum_{j=n+1}^{n+m\cdot r}\chi_b(j)=m\cdot\frac{p}{r}=m\cdot\alpha$
выполняется для бесконечного числа целых пар $(m,n),\ m\geq 1,\ n\geq 0,$
начиная с пары $(1,0).$\\

С другой стороны, для базы $b_2:=b_{\varphi}=(n_k)$ длины единичных
блоков её количественной последовательности неограничены, [6]. По
[7] $$b_1\circ b_2 \stackrel{a}{\sim}(b_{n_{m_k}}),$$ и таким
образом на неограниченных по длине отрезках натурального ряда,
соответствующих единичным блокам базы $b_2,$ композиция $b_1\circ
b_2$ воспороизводит базу $b_1.$ Значит и в этом случае справедлив
тот же вывод: на каждом из бесконечно многих дизъюнктных отрезков
натурального ряда длины $r$, начиная с первого, расположены $p$
элементов базы $b_1$ и, следовательно, равенство
$\sum_{j=n+1}^{n+m\cdot r}\chi_b(j)=m\cdot\frac{p}{r}=m\cdot\alpha$
выполняется для бесконечного числа
целых пар $(m,n),\ m\geq 1,\ n\geq 0,$ начиная с пары $(1,0).$\\

Тем самым для рационального показателя  $\alpha$ Теорема 5.6
доказана. Как обычно, рутинное доказательство для иррационального
$\alpha$ основано на
аппроксимации рациональными показателями. $\Box$\\

\textbf{Теорема 5.7.} Для любой симметрической
функции $\xi$ с базой $b_{\xi}$ следующие условия равносильны:\\

1). $\xi$ экстремальна;\\

2). $\mathfrak{S}_{\xi}(s)\stackrel{m}{\sim}s^{\delta_{b_{\xi}}},\
1\leq s<\infty;$\\

3).
$\mathfrak{S}_{\xi_*}(s)\stackrel{m}{\sim}s^{\gamma_{{b_{\xi_*}}}},\
0\leq s\leq 1;$
$$4)\
\mathbb{S}_{\mathfrak{S}_{\xi}}(k)\stackrel{a}{\sim}\mathbb{L}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\xi}}(k)\stackrel{a}{\sim}
k\cdot\delta_{\xi},\ k\geq 1;\eqno(5.3)$$

$$5)\
\mathfrak{S}_{\xi}(s)\stackrel{m}{\sim}\mathfrak{L}^{\infty}_{\xi}(s)\stackrel{m}{\sim}s^{\delta_{\xi}},\
1\leq s<\infty;\eqno(5.4)$$ 6). Для $b_{\xi}$ во-первых выполняется
$\stackrel{a}{\sim}$эквивалентность
$\mathbb{S}_{\mathfrak{S}_{\xi}}\stackrel{a}{\sim}\mathbb{L}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\xi}}$
и во-вторых существует повторный предел, удовлетворяющий равенству
(5.5):
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{m}{b_{\xi}(m+n)-b_{\xi}(n)}=\delta_{\xi}.\ \eqno (5.5)$$

\textbf{Доказательство.}  $1)\Rightarrow2).$ Поскольку $\xi(t)$
экстремальная функция, то
$\Big(\xi(t)\Big)^{\frac{1}{\delta_{\xi}}}$
$\stackrel{m}{\sim}$эквивалентна $M$-функции $\varphi(t)$, причём
$\delta_{\varphi}=1.$ Опять используя
$\stackrel{m}{\sim}$эквивалентность, леммы 3.5 и 4.5 и формулы стр.
79, [1], получаем:
$\mathfrak{S}_{\xi}(s)\stackrel{m}{\sim}\mathfrak{S}_{(\varphi)^{\delta_{\xi}}}(s)=
\Big(\mathfrak{S}_{\varphi}(s)\Big)^{\delta_{\xi}}\stackrel{m}{\sim}s^{\delta_{\xi}},\
s\geq 1.$ Покажем импликацию 2)$\Rightarrow$1). Предположим, что
$\mathfrak{S}_{\xi}(s)\stackrel{m}{\sim}s^{\delta_{\xi}},\ s\geq 1,$
и покажем, что $\xi$ - экстремальная функция. Положим
$\varphi(t)=\Big(\overline{\xi}(t)\Big)^{\frac{1}{\delta_{\overline{\xi}}}},$
где $M$-функция $\overline{\xi}$ эквивалентна $\xi,$ и покажем, что
$\varphi$ эквивогнута. Ясно, что $\varphi$ не убывает. Кроме того
$\mathfrak{S}_{\varphi}(s)=\Big(\mathfrak{S}_{\overline{\xi}}(s)\Big)^{\frac{1}{\delta_{\overline{\xi}}}}
\stackrel{m}{\sim}s,\ s\geq 1.$ Значит для подходящей константы
$C>0$ справедливо: $\sup_{t>0}\frac{\varphi(s\cdot
t)}{\varphi(t)}\leq C\cdot s,\ s\geq 1,$ откуда
$\frac{\varphi(s\cdot t)}{s\cdot t}\leq C\cdot\frac{\varphi(t)}{t},\
s\geq 1,\ t>0.$ С учётом неубывания $\varphi$ мы оказываемся в
условиях теоремы 1.1 стр. 69 [1], согласно которой $\varphi$
$\stackrel{m}{\sim}$эквивалентна положительной вогнутой функции,
т.е. эквивогнута. Но, поскольку
$\xi\stackrel{m}{\sim}\overline{\xi}$, то
$\varphi=\Big(\overline{\xi}\Big)^{\frac{1}{\delta_{\overline{\xi}}}}\stackrel{m}{\sim}
\Big(\xi\Big)^{\frac{1}{\delta_{\xi}}},$ значит $\xi$ экстремальная
функция. \\
Эквивалентность 2) и 3) следует из второй из формул (3.4). Покажем,
например, 2)$\Rightarrow $3). При $0<s\leq 1$ имеем:
$\mathfrak{S}^0_{\xi_*}(s)=s\cdot \mathfrak{S}^0_{\xi}(\frac{1}{s})=
s\cdot s^{-\delta_{\xi}}=s^{1-\delta_{\xi}}=s^{\gamma_{\xi_*}},$ и в
точности также показывается обратная импликация.\\
Далее, $1)\Rightarrow 5)$ по теореме 5.6, импликация
5)$\Rightarrow$2) тривиальна, равносильность 4) и 5) вытекает из
определений 4.1 и 4.2 и замечаний к ним, а равносильность между
второй эквивалентностью в 5) и (5.5) доказана в [8]. $\Box$\\

\textbf{Замечание.} Вместе со следствием 5.4 теорема 5.7 даёт
условия, равносильные экстремальности любой эквивогнутой функции.\\

\textbf{Следствие 5.8} (см. [5]).  Пусть $\xi$ симметрическая
функция, $\delta_{\xi}$ её верхний индекс сжатия/растяжения,
$p=\frac{1}{\delta_{\xi}}.$ Если пространство Марцинкевича
$M_{\xi}([0,1])$ является $p$-выпуклым, то найдётся функция
$\varphi\stackrel{m}{\sim}\xi,$ такая что
$$\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{\varphi(s\cdot
t)}{\varphi(t)}=s^{\delta_{\varphi}},\ 0\leq s\leq 1.$$\\  $\Box$

\textbf{Замечание.} Теоремы 3.1 и 3.5.4) работ [10] и [11],
соответственно, неверны; их следует заменить на теорему 5.7. настоящей работы.\\

\newpage

\bigskip
\centerline{\textsc{\textbf{ ЛИТЕРАТУРА}}}
\bigskip

\begin{thebibliography} {999}
\bibitem{KPS} Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семёнов Е.М. Интерполяция линейных
операторов. М., Наука, 1978. (in Russian)

\bibitem{LT} J. Lindenstrauss and L. Tzafriri, Classical Banach Spaces II, Springer, Berlin,
1979.

\bibitem{N} S.Y.Novikov, Cotyp and Typ of Functional Lorentz Spaces, Mat. Zamet.,
32(1982)2, p.213-221. (in Russian)

\bibitem{BGT} N. H. Bingham, C. M. Goldie and J. L. Teugels, Regular Variations. Cambridge
University Press, Cambridge, 1987.

\bibitem{AM} E. V. Abakumov, A.A. Mekler, Concave Regularly Varying Leader for Equiconcave
Functions, J. Math. Anal. Appl., 187(1994)3, pp. 943-951.

\bibitem{M2} A.A. Mekler, On Regularity and Weak Regularity of
Functions Generating Marcinkiewicz Spaces, Proc. Intern. Conf.
”FUNCTION SPACES, V.”- Poznan, Poland, August 1998, ed. by H. Hudzik
and L. Skrzypczak. Marcel Dekker, Lect. Not. Pur. Appl. Math. Ser.,
213, pp. 379-387.

\bibitem{M1} A.A. Mekler, Представление суперпозиции вогнутых
модуляр на двоичной логарифмической шкале. Герценовские Чтения-2007,
16-21 апреля 2007, LX с. 121 - 128, СГПУ им. Герцена, СПб, 2007. (in
Russian)

\bibitem{M3} A.A. Mekler, On Characterization by Positive Integers of Regular Varying
Modulars, Vestn. Univ. Syktyvkar, 1, 8(2008), pp.27-38. (in Russian)

\bibitem{M4} А.А. Меклер, Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств
Марцинкевича и Орлича. I Вестник Сыктывкарского университета, 1,
14(2011) с. 32-46, Сыктывкар: Изд-во СГУ. (in Russian)

\bibitem{M5} А.А. Меклер, Замечания о некоторых инвариантных свойствах пространств
Марцинкевича и Орлича. II Вестник Сыктывкарского университета, 1,
14(2011) с. 47-61, Сыктывкар: Изд-во СГУ. (in Russian)

\bibitem{M6} A.A. Mekler, A scale of invariants for Orlich and Marcinkiewicz
spaces. Dynamical Systems, Differential Equations and Applications.
Proceedings of 8th AIMS Conference at Dresden, Germany, Mai, 2010.

\newpage




УДК 513.88\\

\textsf{Меклер А.А.} \textbf{Об одно-и двухполюсных модулярах
Марцинкевича},\\
%Вестник Сыктывкарского Университета, Сер.1, вып. , 2011, с. . //

В работе показано, как можно случай пространств Марцинкевича
(Лоренца, Орлича) состоящих из функций, заданных на положительной
полуоси, и случай этих же пространств, состоящих из функций,
заданных на единичном промежутке, свести один к другому. В этой
связи рассмотрена предельная постановка задачи о p-выпуклости
указанных пространств.\\
Библиогр. 11 назв.\\

Меклер Александр Александрович\\

MSC-1991: 46E30\\

It is presented a reduction to one-another of two cases: the case of
Marcinkiewicz (Lorenz, Orlicz) functional spaces on the unit
interval and the case of those of spaces on the positive semiaxis.
In this connection p-convexity of these spaces is considered.\\

\textbf{A.A. Mekler}, Bremen University.\\

Address:\\

Wilsdruffer Str.7, 01067 Dresden, FRG. \\
ph ++49+351 2542547\\
e-mail: alexandre.mekler@o2online.de








\end{thebibliography}












\end{document}
