\documentclass[12pt]{article} \usepackage{amssymb,amscd,amsmath} %\usepackage{cyrcm1} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[dvips]{graphics} \renewcommand{\refname}{Литература} %\pagestyle{empty} \topmargin -1.0cm \setlength{\textheight}{23,7cm} \setlength{\textwidth}{15cm} \hoffset=-10mm \voffset=-0mm \input cyracc.def \font\ttt=wncyr10 at 12 pt \def\cyr{\ttt\cyracc} \def\No{{\cyr \symbol{125}}} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} \sloppy \begin{document} \centerline{} \centerline{Меклер А. А.} \bigskip \centerline{\bf \textsf{Об одно-и двухполюсных модулярах Марцинкевича}} %\centerline{\bf } %\centerline{} %\\[5pt] \hangindent=3,5ex \hangafter=-1 \noindent% \bigskip %\centerline{} \centerline{\textsf{Введение}} \centerline{} \bigskip \centerline{\bf \textsf{§1. Введение}} \bigskip В литературе, посвящённой изучению банаховых пространств измеримых функций, в частности, \emph{пространств Лоренца, Марцинкевича и Орлича}, последние определяются с помощью вещественной \emph{нормирующей функции}, которая иногда задана на отрезке $[0,1],$ где имеет один полюс в $0$, а иногда - на $[0,\infty)$ и имеет два полюса - в $0$ и в $\infty$, ср., например, [3] и [1] . Под действием оператора сжатия/растяжения, т.е. оператора умножения аргумента функций из пространства на положительный скаляр, в пространстве может измениться геометрия единичной сферы, но неизменным остаётся состав элементов и тем самым - топология этого пространства. Динамика этой инвариантности в зависимости от задающего сжатие/растяжение скаляра является критичной для ряда важных свойств изучаемого пространства, например, определяемых его индексами Бойда, [2], а также и других. При её изучении целесообразно факторизовать нормирующие функции, считая \emph{мультипликативно} (коротко - \emph{$\stackrel{m}{\sim}$)эквивалентными} такие две функции, подходящие сжатия/растяжения которых вдоль каждой из осей взаимно мажорируют друг друга. Классы эквивалентности мы называем \emph{модулярами}; в частности, индексы Бойда внутри модуляры не меняются.\\ В [9]-[10] показано, что при таком подходе к изучению указанных выше трёх видов пространств достаточно ограничиться пространствами Марцинкевича и, стало быть, \emph{модулярами Марцинкевича}, - \emph{$M$-модулярами}. Под ними мы понимаем модуляры, содержащие в своём составе хотя бы одну \emph{$M$-функцию}, т.е. заданную на $[0,\infty)$ вогнутую нормирурующую функцию; при этом функции из $M$-модуляр мы называем \emph{эквивогнутыми}. Нас интересует прежде всего вопрос о том, как разнятся инварианты в одно- и двухполюсном случаях. Оказывается возможным (см. §4) первый случай "погрузить" во второй, выделив в двухполюсном случае сводящийся к однополюсному подслучай \emph{симметрических}, т.е. полностью определённых своими значениями на отрезке $[0,1]$ эквивогнутых функций. При этом любая двухполюсная эквивогнутая функция может быть представлена как пара симметрических, которые мы называем её \emph{симметрическими скобками}; и наоборот, всякая пара симметрических функций задаёт двухполюсную.\\ Второй интересующий нас вопрос связан с проблематикой \emph{$p$-выпуклости}, см. [2]. Пусть $\psi$ - однополюсная, т.е. симметрическая нормирующая функция, $\delta_{\psi}$ её верхний индекс сжатия/растяжения. Известно, [3], что для $ 1< p\neq 1/\delta_{\psi}$ пространство Марцинкевича $M_{\psi}([0,1])$ является $p$-выпуклым (и, стало быть, пространство Лоренца $\Lambda_{\psi_*}([0,1])$ является $q$-вогнутым, $1/p+1/q=1$), тогда и только тогда, когда $p< 1/\delta_{\psi}.$ Это равосильно утверждению (см. лемму 5.1), что для эквивогнутой функции $\psi$ и для $1< p\neq 1/\delta_{\psi}$ степень $\psi^p$ является эквивогнутой, тогда и только тогда, когда $ p<1/\delta_{{\psi}}.$ В доказанных ниже теоремах 5.4 и 5.7 характеризуется экстремальная ситуация, когда предельная степень $1/\delta_{{\psi}}$ тоже оставляет $\psi$ эквивогнутой. Оказывается (следствие 5.8), что этот инвариант для хотя бы одной из симметрических скобок функции $\psi$ связан с введенным в математической физике (см., например, монографию [4]) свойством \emph{регулярной варьируемости}, изучаемым также и в прежних работах автора [6] и [9]-[11].\\ В них, в частности, была использована весьма прозрачная интерпретация параллелизма, существующего между инвариантами функциональных пространств двух различных типов: Орлича и Марцинкевича (а с последним и Лоренца), в терминах так называемых \emph{натуральных баз}. Она оказалась удобной и в настоящей работе, как в общей схеме задания эквивогнутых функций на полуоси и на отрезке, так и для формулировки прозрачных критериев регулярной варьируемости этих функций.\\ Работа состоит из пяти параграфов, включая введение. В §2 и §3 изложены основная терминология и простейшие свойства объектов. Для удобства чтения мы здесь приводим введённые в [6] и развитые в работах [7] -[10] основные понятия, относящиеся к теории натуральных баз. В последних двух параграфах содержатся главные результаты настоящей работы, при доказательстве которых мы во многом опираемся на монографию [1].\\ Отсутствие у некоторых утверждений доказательств означает, что последние просты. \bigskip \centerline{\bf \textsf{§2. Натуральные базы}} \bigskip \textbf{ Определение 2.1.} 1. Подмножество $\mathbb{K}$ натурального ряда $\mathbb{N}$ будем называть \textit{биинфинитным}, если и оно само, и его дополнение $\mathbb{N}\setminus\mathbb{K}$ суть бесконечные подмножества $\mathbb{N}$. \\ 2. Любую строго возрастающую последовательность целых неотрицательных чисел вида $b=\{b_k\}_{0\leq k< \infty},$ где $b_0=0,$ будем называть \textit{(натуральной) базой}, если $\{b_k\}_{1\leq k< \infty}$ биинфинитное подмножество в $\mathbb{N}$.\\ Обозначим через $\mathfrak{b}$ множество всех баз. Для базы $b=\{b_k\}_{k\geq 0}$ подмножество $\mathbb{N}\setminus\{b_k\}_{k\geq 1}:=\{{b_*}_i\}_{i\geq 1}$ натурального ряда, занумерованное в строго возрастающую последовательность и дополненное начальным нулём, мы называем \textit{двойственной с} $b$ базой и обозначаем $b_*,\ b_*=\{{b_*}_i\}_{0\leq i<\infty}.$ Очевидно, что двойственность есть инволюция в классе $\mathfrak{b}$. \\ 3. По заданной базе $b$ определим два отображения $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$: \textit{количественную последовательность} $$q_b(n):=(b_n-b_{n-1})> 0,\ n\in \mathbb{N},\ \eqno(2.1)$$ и \textit{плейс-последовательность} $$p_b(n)=\sum_{i=0}^{n-1}\chi_b(i),\ n\in \mathbb{N},\eqno(2.2)$$ Ясно, что $$ p_b(1)=1,\ p_b(n)\leq p_b(n+1)\leq p_b(n)+1,\ n\geq 1.\ \eqno(2.3)$$ \textbf{Замечание 2.1.} Каждый из трёх объектов - база, её количественная и её плейс-последовательность, - очевидным образом определён любым из них, в том смысле, что, исходя из него, формулами (2.1) - (2.3) однозначно восстанавливаются остальные два. \\ \textbf{Определение 2.2.} 1. Для двух последовательностей вещественных чисел $q^{(1)}=\{q^{(1)}_n\}_{n\geq 1}$ и $q^{(2)}=\{q^{(2)}_n\}_{n\geq 1}$ будем писать $q^{(1)} \stackrel{a}{\sim}q^{(2)}$) и называть их $\stackrel{a}{\sim}$\textit{эквивалентными} (т.е. аддитивно эквивалентными), если найдётся такое натуральное $d$, что $\sum_{i=1}^nq^{(1)}_i\leq\sum_{i=1}^{n+d}q^{(2)}_i\leq\sum_{i=1}^{n+2d}q^{(1)}_i,\ n\geq 1.$\\ 2. Базу $b^{(1)}$ будем называть $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентной базе $b^{(2)}$ (пишем $b^1 \stackrel{a}{\sim} b^2$), если найдётся натуральное $d,$ такое что $b^{(1)}_k\leq b^{(2)}_{k+d}\leq b^{(1)}_{k+2d},\ k\geq 1.$\\ 3. Пусть каждая из двух натуральных последовательностей $p^{(1)}=\{p^{(1)}_n\}_{n\geq 1}$ и $p^{(2)}=\{p^{(2)}_n\}_{n\geq 1}$ удовлетворяют условиям (2.3). Последовательности $p^{(1)}$ и $p^{(2)}$ называются $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентными (обозначение: $p^{(1)} \stackrel{a}{\sim}p^{(2)}$), если найдётся натуральное $d$, такое что $p^{(1)}_n\leq p^{(2)}_n+d\leq p^{(1)}_n+2d,\ n\geq 1.$ \\ Для базы $b_*$, двойственной с $b,$ обозначим через $\{q_{b_*}\}$ и $\{p_{b_*}\}$, соответственно, количественную и плейс-последовательности для $b_*.$ Отметим очевидную формулу$${p_b}_*(n)=n-p_b(n)+1,\ n\geq 1. \ \eqno(2.4)$$Столь же очевидной являтся и\\ \textbf{Лемма 2.2.} Для любых двух баз $b^{(1)}$ и $b^{(2)}$ все приведенные ниже $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентности попарно равносильны:\\ $b^{(1)}\stackrel{a}{\sim}b^{(2)};\ b^{(1)}_*\stackrel{a}{\sim}b^{(2)}_*;\ q_{b^{(1)}}\stackrel{a}{\sim}q_{b^{(2)}};\ q_{b^{(1)}_*}\stackrel{a}{\sim}q_{b^{(2)}_*};\ p_{b^{(1)}}\stackrel{a}{\sim}p_{b^{(2)}};\ p_{b^{(1)}_*}\stackrel{a}{\sim}p_{b^{(2)}_*}.$\\ $\Box$\\ \textbf{Определение 2.3.} Подмножество $\mathbf{P}\subset \mathfrak{b}$, состоящее из всех $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентных между собой баз мы называем $\stackrel{a}{\sim}$модулярой. Построенную по базе $\mathfrak{b}$ функцию $\Omega_b,\ \Omega_b: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N},$ будем называть \emph{$\stackrel{a}{\sim}$-инвариантной}, если её значения на $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентных базах $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентны.\\ \textbf{Определение 2. 4.} Пусть $b=\{b_k\}_{0\leq k< \infty}$ - база, введём для неё функцию $\mathbb{S}_b(m):=\sup_{0\leq n < \infty} \sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_b (j),\ m\geq 1,$ которую назовём \emph{ верхней гранью} базы $b,$ и функцию $\mathbb{L}_b(m):=\limsup_{n \rightarrow\infty} \sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_b (j),\ m\geq 1,$ -называемую \emph{ верхним пределом} этой базы. Здесь $\chi_b$ обозначает индикаторную функцию базы $b$ как подмножества $\mathbb{N}\cup \{0\}$. Ясно, что $$\mathbb{L}_b(m)\leq \mathbb{S}_b(m)\leq m,\ m\geq 1.$$ \textbf{Замечание 2.2.} Нетрудно видеть, что верхняя грань и верхний предел суть $\stackrel{a}{\sim}$инвариантные функции. Между собой они $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентны не всегда:\\ \textbf{Лемма 2.3.} Если $\lim_{n\rightarrow\infty}q_b(n)=\infty,$ то последовательности $\mathbb{S}_b(m)$ и $\mathbb{L}_b(m)$ не являются $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентными. \\ \textbf{Доказательство.} По условию для любого $m\geq 1$ существует $N_m,$ такое что $q_b(n)>m$ при $n\geq N_m.$ Иными словами, для любого натурального $j$ существует $K_j,$ такое что при $i\geq K_j$ разность $p_{\psi}(i+j)-p_{\psi}(i)=0$ или $p_{\psi}(i+j)-p_{\psi}(i)=1.$ Значит для любого натурального $j$ справедливо неравенство $\limsup_{i\rightarrow\infty} p_{\psi}(i+j)-p_{\psi}(i)\leq 1.$ \\ С другой стороны, поскольку для любого натурального $i$ всегда $\lim_{j\rightarrow\infty }p_{\psi}(i+j)-p_{\psi}(i)=\infty,$ то для любых натуральных $i$ и $k$ найдётся $j(i),$ такое что $p_{\psi}(i+j(i))-p_{\psi}(i)\geq k.$ Значит $\sup_{i\geq 1}\Big(p_{\psi}(i+j(i))-p_{\psi}(i)\Big) \geq k.$ Отсюда и из предыдущего следует, что $\mathbb{S}_b(j(i))$ и $\mathbb{L}_b(j(i)),$ а значит и $\mathbb{S}_b(m)$ и $\mathbb{L}_b(m),$ не являются аддитивно эквивалентными.\\ $\Box$ \\ \textbf{Замечание 2.3.} Условие $\lim_{n\rightarrow \infty}q_{\psi}(n)=\infty$ влечёт одновременно \textbf{отсутствие} $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентности между $\mathbb{S}_b$ и $\mathbb{L}_b$ и \textbf{наличие} $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентности между $\mathbb{S}_{b_*}$ и $\mathbb{L}_{b_*}$ - см. лемму 4.6.\\ \textbf{Определение 2.5.} \emph{Нижним} (соответственно, \emph{верхним}) \emph{индексом} базы $b=\{b_k\}_{k\geq 0}$ будем называть числа$$\left\{ \begin{array}{rcl} \gamma_b := \lim_{m \rightarrow \infty} \inf \limits_{0 \leq n < \infty} \frac{\sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_b (j)}{m};\\ \delta_b:=\lim_{m \rightarrow \infty} \sup \limits_{0 \leq n < \infty} \frac{\sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_b (j)}{m}.\\ \end{array} \right. $$ Ясно, что эти числа существуют, что $0\leq\gamma_b\leq\delta_b\leq 1$ и что для двух $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентных баз их соответственные индексы попарно совпадают. Легко видеть также, что справедливы равенства $\delta_b= 1-\gamma_{b_*};\ \gamma_b=1-\delta_{b_*}.$ \\ %\newpage \bigskip \centerline{\textbf{\textsf{§3. Нормирующие функции, $\stackrel{m}{\sim}$инвариантность. Функции и модуляры Марцинкевича}}} \bigskip В дальнейшем приняты обычные обозначения $\frac{0}{0}:=0\cdot\infty:=0;\ \frac{1}{0}:=\infty.$\\ \textbf{Определение 3.1.} Две вещественные функции $f_1$ и $f_2$, определённые на неотрицательной вещественной полуоси $[0,\infty)$ называются \textit{мультипликативно эквивалентными} (обозначение: $f_1\stackrel{m}{\sim}f_2$), если для подходящей константы $C\geq 1$ одновременно выполняются соотношения $$C^{-1}F_2(C\cdot t)\leq F_1(t) \leq C\cdot F_2(C^{-1}\cdot t),\ t\in[0,\infty),\eqno (3.1)$$ %всюду, где оба эти неравенства имеют смысл. В случае $\Omega_0=,1]$ %мы добавляем: "$f_1$ и $f_2$ мультипликативно эквивалентны в нуле," %а в случае $\Omega_{\infty}=(1,\infty)$ - %добавляем: "на бесконечности".\\ \textbf{Определение 3.2.} 1. Вещественную функцию, заданную на $[0,\infty)$, непрерывную и равную нулю (или доопределённую нулём) в нуле, а вне нуля - положительную, неубывающую и стремящуюся к бесконечности на бесконечности, мы называем \emph{нормирующей}.\\ 2. Класс $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентности нормирующих функций мы называем $\stackrel{m}{\sim}$\textit{модулярой}; $\stackrel{m}{\sim}$модуляру $\mathcal{E}$ функции $E(t)= t,\ 0\leq t<\infty$ мы выделяем как \textit{несобственную}, прочие же назыаем \emph{собственными}. Впредь мы лишь с ними и имеем дело.\\ 3. Собственную модуляру, содержащую какую-либо \emph{вогнутую} нормирующую функцию $\psi,$ удовлетворяющую равенству $\psi(1)=1,$ мы называем \emph{модулярой Марцинкевича} или \emph{$M$-модулярой}, а саму $\psi$ -\emph{$M$-функцией}; функции из $M$-модуляры называются \emph{эквивогнутыми}. Если $\psi$ $M$-функция, то функция $\psi_*(t):=\frac{t}{\psi(t)},\ 0\leq t<\infty,$ является нормирующей функцией, вообще говоря, не вогнутой, но эквивогнутой. Её наименьшую вогнутую мажоранту мы, не опасаясь путаницы, обозначаем также через $\psi_*$ и называем функцию $\psi_*$ и её модуляру \emph{двойственными} к $\psi$ и её модуляре, соответственно.\\ Ясно, что двойственность есть инволюция в классе $M$-модуляр. Очевидно также, что, если $\varphi$ есть эквивогнутая функция, то эквивогнутой будет и функция $\frac{1}{\varphi(\frac{1}{t})},\ t\in [0,\infty).$\\ Предположим, что $\xi_1$ и $\xi_2$ две эквивогнутые функции, причём $\xi_1(1)=\xi_2(1)= 1.$ Рассмотрим на $[0,\infty)$ их \emph{склейку} (слева направо), т.е. такую функцию $\varphi,\ \varphi:=\xi_1|_{[0,1]}\oplus\xi_2|_{[1,\infty)},$ сужения которой на $[0,1]$ и на $[1,\infty)$ совпадают там с $\xi_1$ и $\xi_2,$ соответственно. Из критерия Теоремы 1.1, стр.69, [1], вытекает\\ %обозначим $\xi_1|_[0,1]$ а %$\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ обозначают сужение $\xi_1$ на %$[0,1]$ и сужение $\xi_2$ на $[1,\infty),$ соответственно. \textbf{Лемма 3.1.} Склейка является эквивогнутой функцией на $[0,\infty)$.\\ $\Box$ \\ На полуоси для заданной нормирующей функции $\xi$ определяется \emph{верхняя грань сжатия/растяжения} и с её помощью - \emph{нижний }$\gamma$ и \emph{верхний} $\delta$ \emph{индексы} сжатия/растяжения: $$ \left\{ \begin{array}{l} \mathfrak{S}_{\xi}(s):=\sup_{ t \in[0,\infty)}\frac{\xi(s\cdot t)}{\xi(t)},\ 0\leq s<\infty;\ \gamma_{\xi}:= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{\log_2 \mathfrak{S}_{\psi}(s)}{\log_2 s};\ \delta_{\xi}:= \lim_{s\rightarrow \infty}\frac{\log_2 \mathfrak{S}_{\xi}(s)}{\log_2 s},\\ \mathfrak{S}^0_{\xi}(s):=\sup_{t\in[0,1]: s\cdot t \in[0,1]}\frac{\xi(s\cdot t)}{\xi(t)},\ 0\leq s<\infty;\ \gamma_{\xi}^0:= \lim_{s\rightarrow 0}\frac{\log_2 \mathfrak{S}^0_{\xi}(s)}{\log_2 s};\delta^0_{\xi} := \lim_{s\rightarrow \infty}\frac{\log_2 \mathfrak{S}^0_{\xi}(s)}{\log_2 s};\\ \mathfrak{S}^{\infty}_{\xi}(s):=\sup_{t\geq 1,\ s\cdot t\geq 1}\frac{\xi^{\infty}(s\cdot t)}{\xi^{\infty}(t)},\ \ 0\leq s<\infty;\ \gamma^{\infty}_{\xi} := \lim_{s\rightarrow 0}\frac{\log_2 \mathfrak{S}^{\infty}_{\xi}(s)}{\log_2 s};\ \delta^{\infty}_{\xi} := \lim_{s\rightarrow \infty}\frac{\log_2 \mathfrak{S}^{\infty}_{\xi}(s)}{\log_2 s}, \end{array}\right. \eqno (3.2)$$ Для $\xi$ определены также две верхнепредельные функции $$\mathfrak{L}^0_{\xi}(s):=\limsup_{t\rightarrow 0}\frac{\xi(s\cdot t)} {\xi(t)},\ 0\leq s<\infty\ \ \textrm{и }\ \mathfrak{L}^{\infty}_{\xi}(s) :=\limsup_{t\rightarrow \infty}\frac{\xi(s\cdot t)}{\xi(t)},\ 0\leq s<\infty.\eqno(3.3)$$ \textbf{Лемма 3.2.} (см. также [1]). Для $M$-функции $\psi$ справедливы равенства $$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathfrak{S}_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{S}_{\psi}(\frac{1}{s}),\ 0< s<\infty,\ \mathfrak{S}_{\psi_*}(0)=0;\\ \mathfrak{S}^0_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{S}^0_{\psi}(\frac{1}{s}),\ 0< s<\infty,\ \mathfrak{S}^0_{\psi_*}(0)=0;\\ \mathfrak{S}^{\infty}_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{S}^{\infty}_{\psi}(\frac{1}{s}),\ 0< s<\infty,\ \mathfrak{S}^{\infty}_{\psi_*}(0)=0;\\ \mathfrak{L}^0_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{L}^0_{\psi}(\frac{1}{s}),\ \ 0\leq s<\infty,\ \mathfrak{L}_{\psi_*}(0)=0;\\ \mathfrak{L}^{\infty}_{\psi_*}(s)=s\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}(\frac{1}{s}),\ 0\leq s<\infty, \ \mathfrak{L}_{\psi_*}(0)=0.\\ \end{array} \right.\eqno (3.4) $$ $\Box$\\ %\textbf{Доказательство.} При всех $00,\\ \end{array} \right. \eqno(4.3)$$ а для её левой плейс-последовательности, вычисленной по формулам (4.1), влечёт $$p^0_{\mathfrak{S}^0_{\psi}}(m)\stackrel{a}{\sim}\left\{ \begin{array}{rcl} 0\ \textrm{при}\ m\geq 0;\\ \inf_{k\geq 0}\Big(p^0_{\psi}(k)-p^0_{\psi}(k+m)\Big)\ \textrm{при}\ m<0.\\ \end{array} \right. \eqno (4.4)$$Здесь при $m<0,\ k\geq 0,\ k+m\geq 0,$ возвращаясь к обозначениям $n=k+m\geq 0,$ получим $k=n-m=n+i\geq 0,\ \textrm{где}\ i:=-m>0.$ Это и есть (4.2).\\ $\Box$ \\ Аналогично доказывается\\ %\textbf{Лемма 4.3.} Пусть $\psi$ обозначает такую $M$-функцию, для %количественной последовательности $q_{b^{\infty}_{\psi}}$ правой %базы $b^{\infty}_{\psi}$ которой выполняется условие %$\lim_{n\rightarrow\infty}q_{b^{\infty}_{\psi}}(n)\neq\infty.$ % Пусть функция ${\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}$ определена на полуоси второй из %формул (3.3). Тогда существует её правая база %$b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}},$ %и при этом %$b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}\stackrel{a}{\sim}b^{\infty}_{\psi}.$ %для чьей плейс-последовательности %$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}(m)= %[\log_2\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\psi(2^{m+n})}{\psi(2^{n})}],\ %m\geq 0,$ выполняется $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентность %$$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}\stackrel{a}{\sim}\mathbb{L}_{b^{\infty}_{\psi}} %.\eqno(4.5)$$ %\textbf{Доказательство.} Для любых $m\geq 0$ имеем %$$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}(m)= %[\limsup_{n\rightarrow\infty}(\log_2\frac{\psi(2^{m+n})}{\psi(2^{n})})]= %[\limsup_{n\rightarrow\infty}\log_2\psi(2^{m+n})-\log_2\psi(2^{n})]\stackrel{a}{\sim}$$ %$\Big(\textrm{ибо}\ %[\log_2\psi(2^{m+n})]\stackrel{a}{\sim}\log_2\psi(2^{m+n})$ и %$[\log_2\psi(2^{n})]\stackrel{a}{\sim}\log_2\psi(2^{n})\Big)$ %$$\stackrel{a}{\sim} %\limsup_{n\rightarrow\infty}([\log_2(\psi(2^{m+n})]-[\log_2\psi(2^{n})])= %\limsup_{n\rightarrow\infty}(p^{\infty}_{\psi}(m+n)-p^{\infty}_{\psi}(n))=$$ %$$=\limsup_{n \rightarrow\infty} \sum \limits_{j = n+1}^{n+m} %\chi_{b^{\infty}_{\psi}} (j)=\mathbb{L}_{b^{\infty}_{\psi}}(m).\ \Box$$\\ \textbf{Лемма 4.3.} Пусть $\psi$ обозначает $M$-функцию, пусть ${\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}$ определена на полуоси второй из формул (3.3), а $p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}$ - плейс-последовательность её правой базы $b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}$. Тогда (см. Определение 2.5) $$\mathbb{L}_{b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}}\stackrel{a}{\sim} p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}.\eqno(4.5)$$ $\Box$\ %\textbf{Доказательство.} Для любых $m\geq 0$ имеем %$p^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}(2^{m})= %[\log_2\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\psi(2^{m+n})}{\psi(2^{n})}]= %[\limsup_{n\rightarrow\infty}(\log_2\frac{\psi(2^{m+n})}{\psi(2^{n})})]= %[\limsup_{n\rightarrow\infty}\log_2\psi(2^{m+n})-\log_2\psi(2^{n})]\ %\Big(\textrm{ибо}\ %[\log_2\psi(2^{m+n})]\stackrel{m}{\sim}\log_2\psi(2^{m+n})$ и %$[\log_2\psi(2^{n})]\stackrel{m}{\sim}\log_2\psi(2^{n})\Big)\stackrel{m}{\sim} %\limsup_{n\rightarrow\infty}([\log_2(\psi(2^{m+n})]-[\log_2\psi(2^{n})])= %\limsup_{n\rightarrow\infty}(p^{\infty}_{\psi}(m+n)-p^{\infty}_{\psi}(n))=\limsup_{n %\rightarrow\infty} \sum \limits_{j = n+1}^{n+m} %\chi_{b^{\infty}_{\psi}} (j)=\mathbb{L}_{b^{\infty}_{\mathfrak{L}^{\infty}_{\psi}}}(m).\ \Box$\\ \textbf{Лемма 4.4.} Для симметрической $M$-функции $\varphi$ имеет место $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентность $$\mathfrak{S}_{\varphi}(s)\stackrel{m}{\sim}\mathfrak{S}^0_{\varphi}(s),\ s>0.\eqno (4.6)$$ \textbf{Доказательство.} Как всегда через $\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ обозначаем сужения $\varphi$ на $[0,1]$ и $[1,\infty),$ соответственно. Вычислим $\mathfrak{S}_{\varphi}(2^{-m}),\ m \geq 0.$ Для симметрической $\varphi,$ согласно (1.2) и (3.2), имеем: $$\mathfrak{S}_{\varphi}(2^{-m})\stackrel{m}{\sim}\sup_{\nu\in \mathbb{Z}}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}=\sup_{\nu\leq m}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}\vee\sup_{\nu>m}\frac{\varphi(2^{\nu-m})} {\varphi(2^{\nu})}=$$ $$=\sup_{\nu\leq 0}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}\vee\sup_{0<\nu\leq m}\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}\vee\sup_{\nu>m }\frac{\varphi(2^{\nu-m})}{\varphi(2^{\nu})}=$$ $$=\sup_{\nu\leq 0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^0(2^{\nu})}\vee\sup_{0\leq \nu\leq m}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^{\infty}(2^{\nu})}\vee\sup_{\nu>m }\frac{\varphi^{\infty}(2^{\nu-m})}{\varphi^{\infty}(2^{\nu})}$$ $$=\sup_{\nu\leq 0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^0(2^{\nu})}\vee\sup_{0\leq \nu\leq m}\varphi^0(2^{\nu-m})\varphi^0(2^{-\nu})\vee\sup_{\nu>m }\frac{\varphi^0(2^{-\nu})}{\varphi^0(2^{m-\nu})} \eqno (4.7)$$ 1. Пусть $\nu\leq 0$ и при этом ${\nu-m}\in [-n_{k+1},-n_k),\ \nu\in [-n_{i+1},-n_i),\ k=k(\nu),\ i=i(\nu),\ k\geq i$ Тогда $\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^0(2^{\nu})}=\frac{2^{-n_k}}{2^{-n_i}} =2^{-(n_k-n_i)}.$\\ 2. Пусть $0<\nu\leq m$ и при этом $m-\nu\in [n_k,n_{k+1}),\ \nu\in [n_i,n_{i+1}),\ k=k(\nu),\ i=i(\nu).$ Тогда $\varphi^0(2^{\nu-m})\varphi^0(2^{-\nu})=2^{-n_k}2^{-n_i}= 2^{-(n_k+n_i)}.$\\ 3. Пусть $\nu>m$ и при этом ${\nu-m}\in [n_k,n_{k+1}),\ \nu\in [n_i,n_{i+1}),\ k=k(\nu),\ i=i(\nu),\ k\leq i.$ Тогда $\frac{\varphi^0(2^{-\nu})}{\varphi^0(2^{m-\nu})}=\frac{2^{-n_k}}{2^{-n_i}}=2^{-(n_k-n_i)}$\\ Поскольку всюду здесь числа $n_k$ и $n_i$ могут быть произвольными элементами базы $b_{\varphi^0}$ (подчиняющиеся указанным в пп. 1 - 3 соотношениям между ними), то из (4.5) и из соотношений $\sup_{0\leq \nu\leq m}\varphi^0(2^{\nu-m})\varphi^0(2^{-\nu})\leq\sup_{\nu\leq 0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})}{\varphi^0(2^{\nu})}=\sup_{\nu>m }\frac{\varphi^0(2^{-\nu})}{\varphi^0(2^{m-\nu})}$ для симметрической $M$-функции $\varphi$ вытекает, что $$\mathfrak{S}_{\varphi}(2^{-m})\stackrel{m}{\sim}\sup_{\nu<0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})} {\varphi^0(2^{\nu})}\vee\sup_{\nu>m }\frac{\varphi^0(2^{-\nu})}{\varphi^0(2^{m-\nu})} =\sup_{\nu<0}\frac{\varphi^0(2^{\nu-m})} {\varphi^0(2^{\nu})}=\mathfrak{S}^0_{\varphi}(2^{-m}),\ m\geq 0.\eqno (4.8)$$ Для симметрической $M$-функции $\varphi$ из равенств (3.4) вытекает, что с точностью до $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентности соотношение (4.8) равносильно $$\mathfrak{S}_{\varphi}(2^m)\stackrel{m}{\sim}2^m\mathfrak{S}_{\varphi_*}(2^{-m})= 2^m\mathfrak{S}^0_{\varphi_*}(2^{-m})=\mathfrak{S}^0_{\varphi}(2^m),\ m\geq 0,\eqno(4.9)$$ а выполнение (4.8) и (4.9) равносильно $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентности (4.6)$.\ \Box$ \\ Из (4.6) прямо следует\\ \textbf{Лемма 4.5.} Если $\varphi$ симметрическая $M$-функция, то $$\gamma_{\varphi}=\gamma_{b^0_{\varphi}}=\gamma_{b^{\infty}_{\varphi}},\ \delta_{\varphi}=\delta_{b^0_{\varphi}}=\delta_{b^{\infty}_{\varphi}} .\eqno (4.10)$$ %\textbf{Доказательство.} Из (4.6) выводим: %$$\gamma_{\varphi}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\log_2 %\mathfrak{S}_{\varphi}(s)}{\log_2 s}=\lim_{s\rightarrow %0}\frac{\log_2 \sup_{t \in[0,\infty)}\frac{\varphi(s\cdot %t)}{\varphi(t)}}{\log_2 s}=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\sup_{t %\in[0,\infty)}\log_2 \frac{\varphi(s\cdot t)}{\varphi(t)}}{\log_2 %s}=$$ %$$=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{\sup_{\nu\in \mathbb{Z}}\log_2 %\frac{\varphi(2^{-m+\nu})}{\varphi(2^\nu)}}{\log_2 %2^{-m}}=\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{\log_2\mathfrak{S}_{\varphi}(2^{-m})}{\log_2 %2^{-m}}=$$ %$$\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{\log_2\mathfrak{S}^0_{\varphi}(2^{-m})}{\log_2 %2^{-m}}=\lim_{m \rightarrow \infty} \inf \limits_{0 \leq n < \infty} %\frac{\sum \limits_{j = n+1}^{n+m} \chi_{b^0_{\varphi}} %(j)}{m}=\gamma_{b_{\varphi^0}},$$и в точности также выполняются %равенства для верхних индексов, а также для индексов двойственной %функции и соотношений между теми и другими, например %$$\delta_{b^0_{\varphi}}=\delta_{\varphi}=1-\gamma_{b^0_{\varphi_*}}.\ \Box$$ \textbf{Лемма 4.6.} Пусть $b_{\psi}$ обозначает базу симметрической функции $\psi$. Следующие условия равносильны.\\ 1). $\delta_{\psi}=1;$ 2). Выполняются равенства $$\mathbb{S}_{b_{\psi}}(m)=\mathbb{L}_{b_{\psi}}(m)=m,\ m\geq 1.\eqno (4.11)$$ \textbf{Доказательство.} Поскольку $\psi$ симметрическая, её сужение на $[0,1]$ также обозначаем $\psi.$ Как известно, $\delta_{\psi}=1,$ тогда и только тогда, когда длины блоков идущих подряд единичных значений $q_{b_{\psi}}(i)$ неограничены, [6]. Но это в точности равносильно тому, что для любого $m\geq 1$ выполняются равенства (4.11). $\Box$\\ \centerline{\textbf{\textsf{§ 5. Экстремальность}}} \bigskip \textbf{Определение 5.1.} 1. Для любого $\alpha\in(0,1]$ базу $b_{\alpha}:=b_{t^{\alpha}}$ симметрической функции $t^{\alpha},\ t\in[0,\infty),$ мы называем \emph{степенной базой с показателем $\alpha$}.\\ 2. Базу $b=\{b_k\}_{0\leq k< \infty}$ будем называть \emph{экстремальной}, если она $\stackrel{a}{\sim}$эквивалентна суперпозиции баз (см. []) вида $b_1\circ b_{\delta_{b}},$ где $\delta_{b_1}=1,$ а через $b_{\delta_b}$ обозначается степенная база показателя $\delta_b.$\\ \textbf{Лемма 5.1.} Предположим, что $\psi$ эквивогнутая функция, $0<\delta_{\psi}<1$ и пусть $0< p\neq \frac{1}{\delta_{\psi}}.$ Функция $\psi^p$ является эквивогнутой, тогда и только тогда, когда $p<\frac{1}{\delta_{\psi}}$.\\ %Если $p<\frac{1}{\delta_{\psi}},$ то %функция $\psi^p$ является эквивогнутой; обратно, если функция %$\psi^p$ является эквивогнутой, то $p\leq\frac{1}{\delta_{\psi}}.$\\ \textbf{Доказательство.} Пусть $p<\frac{1}{\delta_{\psi}}.$ В силу стр.79 [1], $\delta_{\psi^p}=p\cdot\delta_{\psi}<1.$ Значит найдётся $\varepsilon>0,$ такое что $\delta_{\psi^p}+\varepsilon<1.$ В силу (1.20), стр. 76, [1], при $s\geq s_{\varepsilon}>1$ справедливо: $M_{\psi^p}(s)\leq s^{\delta_{\psi^p}+\varepsilon}\leq s.$\\ Тем самым мы оказываемся в условиях Следствия 1 стр.78 [1], согласно которому функция ${\psi}^p$, будучи $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентной своей наименьшей вогнутой мажоранте является эквивогнутой.\\ Обратно, пусть функция $\psi^p\ \stackrel{m}{\sim}\varphi$, где $\varphi$ - $M$-функция. Предположим. что $p>\frac{1}{\delta_{\psi}}.$ Как отмечалось, $\delta_{\varphi}=\delta_{\psi^p},$ откуда по стр. 79, [1], $\delta_{\varphi}=p\cdot \delta_{\psi}>1.$ Но по формуле (1.24) [1], для $M$-функции $\varphi$ это неравенство невозможно. $\Box$\\ \textbf{Замечание 5.1.} Пусть $\psi^0$ обозначает след на $[0,1]\ M$-функции $\psi.$ Известно, [3], что при $p:\ 0< p\neq \frac{1}{\delta_{\psi}}$ пространство Марцинкевича $\textsf{M}_{\psi^0}[0,1]$ является $p$-выпуклым, см. [2] (и, стало быть, пространство Лоренца $\Lambda_{\psi^0_*}[0,1]$ является $q$-вогнутым, $1/p+1/q=1$), тогда и только тогда, когда $p< \frac{1}{\delta_{\psi}}$. Это равносильно утверждению, что при таких же $p$ симметрическая функция $\psi^p$ является эквивогнутой, тогда и только тогда, когда $0\delta_{\psi^0}\vee\delta_{\psi^1}.$ Выберем $\varepsilon > 0,$ так чтобы выполнялись неравенства $\frac{1}{\delta_{\psi}}\delta_{\varphi^{\infty}}$ и при этом $\varphi^0$ экстремальна, то $\varphi$ экстремальна. Этот же вывод можно сделать, если $\delta_{\varphi^0}=\delta_{\varphi^{\infty}}$ и обе функции $\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ экстремальны. Обратно, если $\varphi$ экстремальна, то из двух её симметрических скобок та из них, чей верхний индекс сжатия/растяжения больше этого индекса другой, является экстремальной. При равенстве верхних индексов экстремальными являются обе скобки. \\ \textbf{Доказательство.} Так как по лемме 5.2 $\delta_{\varphi}=\delta_{\varphi^0}\vee\delta_{\varphi^{\infty}},$ то $\delta_{\varphi}=\delta_{\varphi^0}.$ В силу неравенства $\delta_{\varphi^0}>\delta_{\varphi^{\infty}},$ а также леммы 5.1 и предположенной экстремальности $\varphi^0$ обе функции $(\varphi^0)^{\frac{1}{\delta_{\varphi^0}}}$ и $(\varphi^{\infty})^{\frac{1}{\delta_{\varphi^0}}}$ являются эквивогнутыми. Обозначим через $\phi^0$ и $\phi^{\infty}$ следы функций $\varphi^0$ и $\varphi^{\infty}$ на $[0,1]$ и $[1,\infty),$ соответственно, и пусть $\phi:=(\phi^0\oplus\phi^{\infty}).$ Тогда $\phi^{\frac{1}{\delta_{\varphi}}}=(\phi^0\oplus\phi^{\infty})^{\frac{1}{\delta_{\varphi}}}= (\phi^0)^{\frac{1}{\delta_{\varphi^0}}}\oplus(\phi^{\infty})^{\frac{1}{\delta_{\varphi^0}}},$ откуда по лемме 3.1 $\varphi^{\frac{1}{\delta_{\varphi}}}$ эквивогнута на $[0,\infty).$ Аналогично доказывается и второе утверждение.$ \ \Box$\\ \textbf{Следствие 5.5.} Для того, чтобы эквивогнутая функция была экстремальна, необходимо и достаточно, чтобы в порождающей её паре натуральных баз база с наибольшим верхним индексом была экстремальна (или, если верхние индексы баз равны, чтобы обе базы были экстремальны). $\Box$\\ \textbf{Теорема 5.6.} Пусть $\varphi^{\alpha},\ 0<\alpha\leq 1,$ обозначает степень симметрической функции $\varphi,$ такой что $\delta_{\varphi}=1$, и пусть $b_{\varphi^{\alpha}}$ обозначает базу симметрической функции $\varphi^{\alpha}.$ Справедливы соотношения $$\mathbb{L}_{b_{\varphi^{\alpha}}}(m) \stackrel{a}{\sim}\mathbb{S}_{b_{\varphi^{\alpha}}}(m)\stackrel{a}{\sim}m\cdot\alpha.\eqno (5.2)$$ \textbf{Доказательство.} Равенство $\alpha=1$ равносильно (см. [6]) тому, что длины одноточечных блоков количественной последовательности $q_{b_{\varphi}}$ базы $b_{\varphi}$ неограничены, чтопо лемме 4.6 обеспечивает выполнение соотношения (5.2). Предположим, что $0<\alpha<1,$ и пусть $\alpha$ рациональное число, т.е. для натуральных чисел $p,r,c,d$ справедливо $\alpha=\frac{p}{r},\ p,r\in \mathbb{N},\ 1< p0$ справедливо: $\sup_{t>0}\frac{\varphi(s\cdot t)}{\varphi(t)}\leq C\cdot s,\ s\geq 1,$ откуда $\frac{\varphi(s\cdot t)}{s\cdot t}\leq C\cdot\frac{\varphi(t)}{t},\ s\geq 1,\ t>0.$ С учётом неубывания $\varphi$ мы оказываемся в условиях теоремы 1.1 стр. 69 [1], согласно которой $\varphi$ $\stackrel{m}{\sim}$эквивалентна положительной вогнутой функции, т.е. эквивогнута. Но, поскольку $\xi\stackrel{m}{\sim}\overline{\xi}$, то $\varphi=\Big(\overline{\xi}\Big)^{\frac{1}{\delta_{\overline{\xi}}}}\stackrel{m}{\sim} \Big(\xi\Big)^{\frac{1}{\delta_{\xi}}},$ значит $\xi$ экстремальная функция. \\ Эквивалентность 2) и 3) следует из второй из формул (3.4). Покажем, например, 2)$\Rightarrow $3). При $0