\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amsthm, amssymb}
%\magnification\magstep3

\textheight=24.2cm
\textwidth=16cm
\hoffset=-15mm
\voffset=-15mm

\parindent=1pc
%\parskip\smallskipamount
%\nopagenumbers
%\newcounter{equation1}[section]
%\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation1}}

\def\blackbox{\nobreak\hfill\vrule height 1.5ex width 0.3em depth 0pt\smallskip}
\def\bb{\blackbox}
\def\bbb{\vrule height 1.5ex width 0.3em depth 0pt}
%\font\lrm = cmr9 scaled \magstep2
%\font\brm = cmr10 scaled \magstep3
%\font\hrm = cmr10 scaled \magstep4
%\font\Hrm = cmr10 scaled \magstep5
%\font\srm = cmr8
%\font\hup = cmr8 scaled \magstep2
%\font\hit=cmti10 scaled\magstephalf
\font\fiverm cmr5  
\def\Ro{{\mathbb R}^1}
\def\Rt{{\mathbb R}^2}
\def\Rm{{\mathbb R}^{n-1}}
\def\Rn{{\mathbb R}^n}
\def\Rs{{\mathbb R}^s}
\def\Rns{{\mathbb R}^{n+s}}
\def\Zn{{\mathbb Z}^n}
\def\Zs{{\mathbb Z}^s}
\def\Sn{{\mathbb S}^{n-1}}
\def\imb{\hookrightarrow}
%\def\cp{\,\hbox{cap}\,}
\def\cp{\,{\rm cap}\,}
\def\ve{\varepsilon}
\def\vr{\varrho}
\def\vp{\varphi}
\def\om{\omega}
\def\Om{\Omega}
\def\pt{\partial}
\def\al{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\na{\nabla}
\def\la{\lambda}
\def\vk{\kappa}
\def\Ga{\Gamma}
\def\ga{\gamma}
\def\Del{\Delta}
\def\Dmt{\Del^m(t)}
\def\Dt{\Del(t)}
\def\del{\delta}
\def\sig{\sigma}
\def\ms{{\rm mes}_n}
\def\msm{{\rm mes}_{n-1}}
\def\sumk{\sum\nolimits_{k\ge 1}}
\def\nt{\noindent}
\def\md{\medskip}
\def\sm{\smallskip}
\def\Lm{\sth {\bf Лемма}}
\def\Lmo{\sth {\bf Лемма 1.\ }}
\def\Lmt{\sth {\bf Лемма 2.\ }}
\def\Tho{\sth {\bf Теорема 1.\ }}
\def\Tht{\sth {\bf Теорема 2.\ }}
\def\Th{\sth {\bf Теорема}}
\def\LpG{L_p(G)}
\def\LsG{L_s(G)}
\def\LqG{L_q(G)}
\def\LrG{L_r(G)}
\def\Wp{W_p^1(\Om)}
\def\Wql{W_{2,q}^l(\Om)}
\def\Vp{V_p^1(\Om)}
\def\Lpp{{\mathbb L}_{p,l}(\Om)}
\def\Lp{L_p(\Om)}
\def\Lq{L_q(\Om)}
\def\Lr{L_r(\Om)}
\def\Lqm{L_q(\Om,\mu)}
\def\Lpo{L_p^1(\Om)}
\def\Lpl{L_p^l}
\def\Wpl{W_p^l}
\def\Vpl{V_p^l}
\def\wpl{w_p^l}
\def\Hpl{H_p^l}
\def\hpl{h_p^l}
\def\Wqs{W_q^s}
\def\wqs{w_q^s}
\def\Hqs{H_q^s}
\def\hqs{h_q^s}
\def\Wpso{\tc{W}_p^s(G)}
\def\Wso{\tc{W}_2^s(G)}
\def\Wps{W_p^s}
\def\Wo{\tc{W}_2^s(0,1)}
\def\Trh{T_r^h}
\def\Bo{\pt\Om}
\def\8{\infty}
\def\nor{|\!|\!|}
\def\proof{\sth {\bf Доказательство.}\ }
\def\anf{\langle f \rangle}
\def\pf{\nt\S\kern-6pt\S\ }
\def\iint{\mathop{\int\!\!\!\int}}
\def\dint{\mathop{\int\!\!\!\int}\limits}
\def\intar#1{\mathop{{\int\kern-5pt\int}}\limits_{#1\hskip5pt}}
\def\iin#1{\mathop{{\int\kern-5.5pt\int}}\nolimits_{\kern-4pt#1}}
\def\tc{\mathaccent"7017}



\begin{document}

\author{А.И.~Назаров\footnote{Работа первого автора частично поддержана грантом 
РФФИ N12--01--00439.} , С.В.~Поборчий}
\title{О необходимых условиях справедливости неравенства Пуанкаре}
\date{29 октября 2012 г.}
\maketitle


Пусть $G$ -- область в $\Rn$. Определим $\Lpl(G)$ как пространство функций 
$u\in L_{p,loc}(G)$, имеющих обобщенные соболевские производные $D^{\al}u\in\LpG$, $|\al|=l$.
Напомним, что при $p\ge1$ и $l\in\mathbb{N}$ это пространство является банаховым с нормой
$$
\|u\|_{L_p(g)}+\||\na_l u|\|_{\LpG},
$$
где $g\Subset G$ -- внутренняя подобласть $G$ (т.е. замыкание $g$ -- компакт в $G$), а 
$$
\left|\na_l u\right|=\Big(\sum_{|\al|=l} (D^\al u)^2\Big)^{\frac 12}.
$$
Различные внутренние подобласти $g\Subset G$ индуцируют эквивалентные нормы.\medskip


Хорошо известно (см., напр. \cite{Ma}, 1.1.10, \cite{S}, \S 9), что если пространство Соболева $\Lpl(G)$ 
непрерывно вложено в $\LqG$, то в области $G$ выполнено обобщенное неравенство Пуанкаре
$$
\inf\{\|u-P\|_{\LqG}: P\in{\cal P}_l\}
\le {\rm const}\,\||\na_l u|\|_{\LpG},\qquad u\in \Lpl(G)                 \eqno(1)
$$
(здесь и далее ${\cal P}_l$ означает множество полиномов в $\Rn$ степени меньше $l$).

Очевидно, что вложение $\Lpl(G)\subset \LqG$ влечет ${\cal P}_l\subset \LqG$ и, следовательно, 
${\rm mes}_n(G)<\8$. Мы покажем, что эти условия необходимы для справедливости 
неравенства (1) в случае $q\not=q^*$, где $q^*=np(n-lp)^{-1}$ -- предельный 
показатель в теореме вложения Соболева при $lp<n$. Именно,
справедливо следующее утверждение.

\md\nt
{\bf Теорема.} %(i) {\it Если пространство $\Lpl(G)$ непрерывно вложено в
%$\LqG$ при $p,q\ge1$, то выполнено неравенство} $(1)$.
%(ii) 
{\it Пусть в области $G\subset \Rn$ имеет место неравенство $(1)$. При $lp<n$
предположим дополнительно, что $q<q^*$. Тогда пространство $\Lpl(G)$ непрерывно 
вложено в $\LqG$. В частности, ${\rm mes}_n(G)<\8$ и ${\cal P}_l\subset\LqG$.}

\md 
Отметим, что при $lp<n$ и $q=q^*$ неравенство (1) может быть выполнено и для 
областей бесконечного объема. Например, для $G=\Rn$ имеет место

\md\nt
{\bf Предложение} (\cite{S1}).  {\it Пусть $lp<n$. Тогда для каждой функции
$u\in\Lpl(\Rn)$ найдется такой полином $P\in {\cal P}_l$, что}
$$
\|u-P\|_{L_{q^*}(\Rn)}\le {\rm const}\,\||\na_l u|\|_{L_p(\Rn)}.
$$

\md\nt
{\bf Доказательство теоремы.} 
%(i) Зафиксируем шар $B\Subset G$. Для любой функции $u\in\Lpl(B)$ существувет такой полином $P\in {\cal P}_l$, что
%$$
%\|u-P\|_{L_p(B)}\le c\,\||\na_l u|\|_{L_p(B)}
%$$
%с константой, не зависящей от $u$. Требуемый результат получается подстановкой $v=u-P$ в неравенство
%$$
%\|v\|_{\LqG}\le c\,\|v\|_{L_p(B)}+  c\,\|\na_l v\|_{L_p(G)}.
%$$
%
%\sm\nt
%(ii) 
Для начала отметим, что в силу ${\rm dim} ({\cal P}_l)<\8$ для любой $u\in\Lpl(G)$ инфимум в (1) 
достигается на некотором полиноме $Q$.


Предположим, что ${\rm mes}_n(G)=\8$. Введем срезающую функцию
$$
\eta\in {\cal C}^\infty(\Rn),\qquad 0\leq \eta\leq 1,\qquad
\eta(x)\equiv1\ \ \mbox{в}\ \ B_1,\qquad \eta(x)\equiv0\ \ \mbox{в}\ \ \Rn\setminus B_2         \eqno(2)
$$
и положим $u_r(x)=\eta(x/r)$.

Обозначим $G_r=G\cap B_r$. Тогда, очевидно, $u_r|_{G_r}\equiv1$, $u_r|_{G\setminus G_{2r}}\equiv0$.
Далее, $u_r\in \Lpl(G)$, поэтому в силу (1) существует полином $P_r\in {\cal P}_l$, для которого
$$
\|{\bf 1}-P_r\|_{L_q(G_r)} +\|P_r\|_{L_q(G\setminus G_{2r})}\le c\,\||\na_l u_r|\|_{\LpG}              \eqno(3)
$$
с константой, не зависящей от $u$. Отсюда $\|P_r\|_{L_q(G\setminus G_{2r})}<\8$, 
и значит, $\|P_r\|_{L_q(G)}<\8$.

Для оценки первого слагаемого в левой части (3) нам потребуется такая лемма.

\md\nt
{\bf Лемма.} 
{\it Пусть в конечномерном линейном пространстве ${\cal L}$ задана последовательность норм $\|\cdot\|_r$, причем 
$\|x\|_r$ -- неубывающая функция $r$ для всех $x\in {\cal L}$. Обозначим 
$$
{\cal L}_0=\{x\in{\cal L}:\lim\limits_r\|x\|_r<\8\}
$$
и предположим, что $x_0\notin{\cal L}_0$. Тогда 
$$
\inf\{\|x_0-P\|_r: P\in{\cal L}_0\}\ge \delta\|x_0\|_r,						\eqno(4)
$$
где $\delta$ -- константа, не зависящая от $r$.}


\md\nt
{\bf Доказательство леммы.} Обозначим $P_r$ элемент ${\cal L}_0$, на котором достигается инфимум в (4), и
заметим, что $\|P_r\|_r\le 2\|x_0\|_r$ (иначе нуль давал бы лучшее приближение для $x_0$). Обозначим 
$Q_r=\frac 1{\|x_0\|_r}\,P_r$. Ввиду определения подпространства ${\cal L}_0$ все нормы $\|\cdot\|_r$ равномерно
эквивалентны на нем. Поэтому последовательность $Q_r$ ограничена, и из нее можно извлечь сходящуюся 
подпоследовательность. Обозначим $Q=\lim\limits_r Q_r$.

Если $\lim\limits_r \|Q\|_r\le \frac 12$, то 
$$
\|x_0-P_r\|_r=\|x_0\|_r\cdot \Big\|\frac 1{\|x_0\|_r}\,x_0-Q_r\Big\|_r\ge \|x_0\|_r\cdot 
\big(1-\|Q\|_r-o(1)\big),\qquad r\to\8,
$$
что дает (4). Если же $\|Q\|_{r_0}> \frac 12$ для некоторого $r_0$, то 
$$
\|x_0-P_r\|_r%=\|x_0\|_r\cdot \Big\|\frac 1{\|x_0\|_r}\,x_0-Q_r\Big\|_r
\ge \|x_0\|_r\cdot \Big\|\frac 1{\|x_0\|_r}\,x_0-Q_r\Big\|_{r_0}\ge\|x_0\|_r\cdot
\Big(\|Q\|_{r_0}-o(1)-\frac {\|x_0\|_{r_0}}{\|x_0\|_r}\Big),\qquad r\to\8,
$$
что также приводит к (4). Таким образом, из любой последовательности $P_r$ можно извлечь подпоследовательность,
для которой выполнено (4), а потому этому условию удовлетворяет и вся последовательность.\hfill$\square$


\md
Продолжим доказательство теоремы. Ввиду предположения ${\rm mes}_n(G)=\8$ имеем $\|{\bf 1}\|_{L_q(G_r)}\to\8$
при $r\to\8$. Согласно лемме, 
$$
\|{\bf 1}-P_r\|_{L_q(G_r)}\ge\delta\|{\bf 1}\|_{L_q(G_r)}=\delta\cdot{\rm mes}_n(G)^{\frac 1q},
$$
и потому (2) влечет
$$
{\rm mes}_n(G_r)^{\frac 1q} \le C\,r^{-l}{\rm mes}_n(G_{2r})^{\frac 1p}.
$$
Так как ${\rm mes}_n(G_{2r})\le c\,r^n$, отсюда следует, что 
$$
{\rm mes}_n(G_r)^{\frac 1q} \le C\,{\rm mes}_n(G_{2r})^{\frac 1p-\frac ln}=
o\big({\rm mes}_n(G_{2r})^{\frac 1q}\big),\qquad r\to\8						\eqno(5)
$$
(при $lp<n$ здесь использовано условие $q<q^*$).

Но соотношение (5) очевидно влечет сверхстепенной рост ${\rm mes}_n(G_r)$, что невозможно. Таким образом,
${\rm mes}_n(G)<\8$.

\md
Предположим теперь, что ${\cal P}_l\not\subset\LqG$. Рассмотрим
$u_r(x)=Q(x)\cdot \eta(|x|/r)$, где $Q\in{\cal P}_l\setminus\LqG$, а
$\eta$ -- срезающая функция из (2). Подставляя
функцию $u_r$ в (1), получим для некоторого $P_r\in {\cal P}_l$ оценку
$$
\|Q-P_r\|_{L_q(G_r)} +\|P_r\|_{L_q(G\setminus G_{2r})}\le c\,\||\na_l u_r|\|_{\LpG}.           \eqno(6)
$$
Отсюда следует, что $P_r\in \LqG$. Поэтому, согласно лемме,
$$
\|Q-P_r\|_{L_q(G_r)}\ge\delta\|Q\|_{L_q(G_r)}\to\8,\qquad r\to\8.
$$
Однако из определения $u_r$ легко видеть, что $|\na_l u_r|$ имеет мажоранту $c\,r^{-1}$. 
Поскольку ${\rm mes}_n(G)<\8$, такую же мажоранту имеет
и правая часть (6), что невозможно. Таким образом, ${\cal P}_l\subset\LqG$.

\md
Осталось заметить, что для каждой функции $u\in\Lpl(G)$ полином $Q\in {\cal P}_l$, дающий инфимум в (1), 
удовлетворяет условиям $Q\in\LqG$ и $u-Q\in\LqG$, т.е. верно по крайней мере теоретико-множественное 
включение $\Lpl(G)\subset\LqG$. Непрерывность оператора вложения $\Lpl(G)\to\LqG$ следует теперь из 
замкнутости этого оператора.

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{Ma} {\it Мазья В. Г.} \ Пространства С. Л. Соболева. -- Л., 1985. 415 с.

\bibitem{S} {\it Соболев С. Л.} \ Некоторые применения функционального ана\-лиза
в математической физике. -- Л., 1950. 255 с. 

\bibitem{S1} {\it Соболев С. Л.} \ Плотность финитных функций в 
пространстве $L_p^m$ // Сиб. мат. журнал. 1963. Т. 4. N 3. С. 673--682. 

\end{thebibliography}

\end{document}

