\documentclass[12pt,russian]{article}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\textwidth=158mm
\textheight=232mm
\voffset=-24mm
%\pagestyle{empty}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,amsfonts}
\usepackage{multirow}
\newcommand{\Real}{\mathbb R}
\newcommand{\Nat}{\mathbb N}
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\bignorm}[1]{\bigl\Vert#1\bigr\Vert}
\newcommand{\bigabs}[1]{\bigl\vert#1\bigr\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\liminf}{\underline{\lim}}
\newcommand{\grad}{\triangledown}
\newcommand{\card}{{\rm card}}
\newtheorem{thm}{�������}
\newtheorem{prop}{�����������}
\newtheorem{lm}{�����}
\newtheorem{rem}{���������}
\newtheorem{cor}{���������}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\Wf}{\stackrel{o\ }{W_1^1}}
\newcommand{\W}{W_1^1}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\newcounter{pictureCounter}
\begin{document}

\title{� ������������ ��������� ������������ ��� �������������}
\author{
�.~�.~��������
\footnote{��� "����������� ����"{}, ������; Sergey.Bankevich@gmail.com}
\and
�.~�.~�������
\footnote{���� ��� � �����-������������� ��������������; al.il.nazarov@gmail.com}
}

\maketitle

\section{��������}
��������, ��� ��� ��������� ������� $u: [-1, 1] \to \Real_+$
(����� � ����� $\Real_+ = [0, \infty)$)
����� ������� ���������� �������������.
������, ������� $\mathcal{A}_t := \{ x \in [-1,1] :\ u( x ) > t \}$.
����� ����� ����� ��������� $u(x) = \int_0^\infty \chi_{\mathcal{A}_t} dt$.

��������� ���������� ������������ ���������� ��������� $E \subset [-1, 1]$ �
���������� ������������ ��������������� ������� $u \in \W(-1, 1)$:
\begin{eqnarray*}
E^* := [1 - \abs{E}, 1] \qquad
u^*(x) := \int_0^\infty \chi_{\mathcal{A}_t^*} dt
\end{eqnarray*}

� ��� �� �������� ����� ���������� ������������ ������������ (��� �������������) ��������� � �������:
\begin{eqnarray*}
\overline{E} := [-\frac{\abs{E}}{2}, \frac{\abs{E}}{2}] \qquad
\overline{u}(x) := \int_0^\infty \chi_{\overline{\mathcal{A}_t}} dt
\end{eqnarray*}

��������� ��������� $\mathfrak{F}$ ����������� ������� $F: \Real_+ \times \Real_+ \to \Real_+$,
�������� � ������������ �� ������� ���������.

���������� ����������:
\begin{equation}
\label{functional}
I( a, u ) = \int_{-1}^1 F( u(x), a( x, u( x ) ) \abs{ u'( x ) } ) dx,
\end{equation}
��� $a: [-1, 1] \times \Real_+ \to \Real_+$ --- ����������� �������, $F \in \mathfrak{F}$.

������ ��������, ��� ��� $a \equiv const$ ����������� �����������
\begin{eqnarray}
\label{toprove}
I(a, u^*) &\le& I(a, u), \qquad \qquad u \in \W(-1, 1); \\
\label{toproveSymm}
I(a, \overline{u}) &\le& I(a, u), \qquad \qquad u \in \Wf(-1, 1)
\end{eqnarray}
(��., ��������, \cite{Kawohl} � ������������ ��� ����������).

� ������ \cite{Br} ������������ ����������� (\ref{toproveSymm}) � ��� ����������� ������
��� �������, ��� ������� $a$ ����� � ������� �� $x$.
������, �������������� �������� ������,
� ���������� ��� ����������� �������� ���� ��� ���������� ������� $u$.

������, ��������� ����������� (\ref{toproveSymm}) ��� ������������� ������ �������,
����� \cite{Br} �������������� ������� $u \in \Wf$ � �������� ���������� (\ref{functional})
������� ��������� ��������� $u_k$ � ����������, ��� $I(a, u_k) \to I(a, u)$.
������, ��� ����������� �� ���������� � � ����� ������ ���� �������.
�.~�.~���������� � 1926 ���� �������� ������ ������ ������������� �����������,
��� �������� ������� �� ������� ����������� ������ ������ �������� �� ��������� ���������� �������.
������������ ����� � ������� ������� ``����������'' ������������,
��� ������� ����� ����� ������ �����������, ����� �����, ��������, � ���������� \cite{BGH}.
�������, ��� �������� ������������ ������� ����������� ��� ��������� ������� ����������� ������������
���� ��������� �.~�.~������� (��., ����., \cite{Zh1}, \cite{Zh2}).

� ������ \cite{ASC} �������� ���������� ������� ����������� ��� ������������ ����
$I(a, u) = \int_{-1}^1 F(u, u')$
�, ����� ����, ��������, ��� ��� ����� $u \in \W(-1, 1)$ ���������� ������������������
���������� ������� $u_k$, �����, ���
\begin{equation}
\label{convergence}
u_k \to u \text{ � } \W(-1, 1) \quad \text{ � } \quad I(a, u_k) \to I(a, u).
\end{equation}

�� ������������ �������������� �� \cite{ASC} � ���������� ���������� ������� �����������
��� ������������ ���� (\ref{functional}).
��� ���� ����������� ���������� ������ � �������������� �� \cite{Br} ��� ����������� ������.
����� ����, �� ������������� ������������� �������� � ���������� ���� ��� ����������
����������� (\ref{toproveSymm}).

�������� ����� ����� ������ ��������� ����������� (\ref{toprove}).
�� ������� ����������� � ����������� ������� �� ��� $a$ ��� ���������� ����������� (\ref{toprove})%
\footnote{� ���������, ����������� ���������, ���� ������� ������� $a$ ����� � ������� �� $x$.}.
��� ��������� �������������� �������� ���� ��������� ��� ����������� � \cite{DAN}.

������� ���, ��� ����������� (\ref{toprove}) ��� ������������, ����������� (\ref{functional}),
��������������� � ������ \cite{Lan} ��� �������������� ����������� $u(-1) = 0$.
��� ���� ����������� �� ����� �������� ����������� � ����������� ������� ���������� (\ref{toprove}).
(� \cite{Lan} ��������������, ��� ������� ������� ������� �� $x$.)

������ ��������� �� ������ ����������.
� \S2 ��������� ����������� ������� �� ������� ������� $a$ ��� ���������� ����������� (\ref{toprove}).
� \S3 ���������������� ��������������� ����������� ��� �����, ��������������� ����������� ��������.
� \S4 ����������� (\ref{toprove}) �������� ��� ������� �������� ������� $u$.
� \S5 �� �������� ����� ��� ��������������� ����������� (\ref{toprove}) �� ����� ������� ������ ������� $u$.
� \S6 �� ���������� ����������� (\ref{toprove}) ��� �������, ��� ��� $a$ ������� ����������, ����� �������.
\S7 �������� �������������� ����������� (\ref{toprove}) � ����� ����.
�������, � \S8 �� ������������� ������ ������������ ������������.
����� �� �������� ����������� ������� �� ���, � ����� ��������� �������������� ����������� (\ref{toproveSymm}).

\section{�������, ����������� ��� ���������� ����������� (\ref{toprove})}

\begin{thm}
{\bf 1} ���� ����������� $(\ref{toprove})$ ����������� ��� ��������� $F \in \mathfrak{F}$
� ������������ ������� �������� $u$, �� ��� $a$ ����� �� ������� ���������,
�� ���� $a(x, v) \equiv a(-x, v)$.

{\bf 2} ���� ����������� $(\ref{toprove})$ ����������� ��� ������������ $F \in \mathfrak{F}$
� ������������ ������� �������� $u$, �� ��� $a$ ������������� �����������
\begin{equation}
\label{almostConcave}
a( s, v ) + a( t, v ) \ge a( 1 - t + s, v ), \qquad -1 \le s \le t \le 1, v \in \Real_+.
\end{equation}
\end{thm}

\begin{proof}
{\bf 1.} �����������, ��� $a(x, v) \not\equiv a(-x, v)$.
����� �������� ����� $\bar{x} \in (-1, 1)$ � $\bar{v} \in \Real_+$, ���
$$a(\bar{x}, \bar{v}) < a(-\bar{x}, \bar{v}).$$
������� ���������� $\eps > 0$, �����, ���
$$\bar{x} - \eps \le x \le \bar{x}, \bar{v} \le v \le \bar{v} + \eps \Rightarrow a(x, v) < a(-x, v),$$
� ����� ����� ��������� �������:
$$
\left\{     
\begin{aligned}
u(x) &= \bar{v} + \eps, & x \in [-1,\bar{x}-\eps]\\
u(x) &= \bar{v} + \bar{x} - x, & x \in (\bar{x} - \eps, \bar{x})\\
u(x) &= \bar{v}, & x \in [\bar{x}, 1]
\end{aligned}
\right.
$$
����� $u^*(x, v) = u(-x, v)$ �
\begin{multline*}
I(a, u)-I(a, u^*) = \int_{\bar{x}-\eps}^{\bar{x}} F( \bar{v} + \bar{x} - x, a(x, \bar{v} + \bar{x} - x) ) dx -
\int_{-\bar{x}}^{-\bar{x}+\eps} F( \bar{v} + \bar{x} + x, a(x, \bar{v} + \bar{x} + x) ) dx \\ =
\int_{\bar{x}-\eps}^{\bar{x}} ( F( \bar{v} + \bar{x} - x, a(x, \bar{v} + \bar{x} - x) ) -
F( \bar{v} + \bar{x} - x, a(-x, \bar{v} + \bar{x} - x) ) ) dx < 0,
\end{multline*}
��� ������������ �������. ����������� {\bf 1} ��������.

{\bf 2.} �����������, ��� ������� (\ref{almostConcave}) �� �����������.
����� � ���� ������������� ������� $a$ �������� ����� $-1 \le s \le t \le 1$, $\eps, \delta > 0$ � $\bar{v} \in \Real_+$, ���
��� ����� $0 \le y \le \eps$ � $\bar{v} \le v \le \bar{v} + \eps$ ����������� �����������
$$a( s + y, v ) + a( t - y, v ) + \delta < a( 1 - t + s + 2y, v ).$$

���������� ������� $u$ (��. ���. \ref{uGraph})	:
\begin{equation}
\label{parLinU}
\left\{     
\begin{aligned}
u(x) &= \bar{v}, & x \in [-1, s] \cup [t, 1]\\
u(x) &= \bar{v} + x - s, & x \in [s, s + \eps]\\
u(x) &= \bar{v} + \eps, & x \in [s + \eps, t - \eps]\\
u(x) &= \bar{v} + t - x, & x \in [t - \eps, t]
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

\begin{center}
\begin{picture}(200,90)
\refstepcounter{pictureCounter}
\label{uGraph}
\put(10,65){\line(1,0){50}}
\put(60,65){\line(1,1){10}}
\put(70,75){\line(1,0){40}}
\put(110,75){\line(1,-1){10}}
\put(120,65){\line(1,0){70}}
\put(0,25){\vector(1,0){200}}
\put(100,15){\vector(0,1){80}}
\put(99,65){\line(1,0){2}}
\put(92,62){$\bar{v}$}
\put(60,24){\line(0,1){2}}
\put(58,14){$s$}
\put(120,24){\line(0,1){2}}
\put(119,14){$t$}
\put(10,24){\line(0,1){2}}
\put(6,14){$-1$}
\put(190,24){\line(0,1){2}}
\put(188,14){$1$}
\put(20,70){$u(x)$}
\put(85,1){���. \arabic{pictureCounter}}
\end{picture}
\end{center}
�����
$$
\left\{     
\begin{aligned}
u^*(x) &= \bar{v}, & x \in [-1, 1 - t + s]\\
u^*(x) &= \bar{v} + x - s, & x \in [s, s + \eps]\\
u^*(x) &= \bar{v} + \frac{ x - ( 1 - t + s ) }{2}, & x \in [1 - t + s, 1 - t + s + 2\eps]
\end{aligned}
\right.
$$
(��. ���. \ref{uStarGraph}).

\begin{center}
\begin{picture}(200,90)
\refstepcounter{pictureCounter}
\label{uStarGraph}
\put(10,65){\line(1,0){120}}
\put(130,64){\line(2,1){20}}
\put(150,75){\line(1,0){40}}
\put(0,25){\vector(1,0){200}}
\put(100,15){\vector(0,1){80}}
\put(99,65){\line(1,0){2}}
\put(92,67){$\bar{v}$}
\put(130,24){\line(0,1){2}}
\put(110,14){$1 - t + s$}
\put(10,24){\line(0,1){2}}
\put(6,14){$-1$}
\put(190,24){\line(0,1){2}}
\put(188,14){$1$}
\put(20,70){$u^*(x)$}
\put(85,1){���. \arabic{pictureCounter}}
\end{picture}
\end{center}

�����
\begin{multline*}
I(a, u^*) = \int_0^{2\eps} F(u(1 - t + s + z), \frac{a(1 - t + s + z, u(1 - t + s + z))}{2}) dz\\
= \int_0^\eps 2 F(\bar{v} + y, \frac{a(1 - t + s + 2y, \bar{v} + y)}{2}) dy\\
0 \le I( a, u ) - I( a, u^* ) =
\int_0^\eps ( F(\bar{v} + y, a(s + y, \bar{v} + y)) + F(\bar{v} + y, a( t - y, \bar{v} + y))\\
- 2 F(\bar{v} + y, \frac{ a(1 - t + s + 2y, \bar{v} + y) }{2})) dy\\
< \int_0^\eps ( F(\bar{v} + y, a(s + y, \bar{v} + y)) + F(\bar{v} + y, a(t - y, \bar{v} + y))\\
- 2 F(\bar{v} + y, \frac{ a(s + y, \bar{v} + y) + a(t - y, \bar{v} + y) + \delta }{2})) dy =: J.
\end{multline*}

���������� ������ ������� $F(v, p) = p^\alpha$.
��������, ��� ��� $\alpha = 1$ ��������� �����������
\begin{equation}
\label{anticonvex}
\frac{F(v, p) + F(v, q)}{2} - F(v, \frac{p + q}{2} + \frac{\delta}{2}) < 0.
\end{equation}
��� ���������� $p, q$, ������� �� �������� $[0, \max\limits_{(x, v)} a]$,
��� $(x, v) \in [-1, 1] \times u([-1, 1])$.
������ �������� ����� $\alpha > 1$, ��� ����������� (\ref{anticonvex})
����� ���������� �����������.
��������, �������� ����� $1 < \alpha < ( \log_2 \frac{2 A}{A + \delta} )^{-1}$.

��� �����, �� ��������� ������ �������� �� ������� ��������� ������� $F$,
��� ������� $J \le 0$.
��� ������������ ���������� ����������� {\bf 2}.
\end{proof}

\begin{rem}
\label{landesNecessary}
�����, ��� � �������������� ������� ������ �������
������� $u$ �� ������� $[-1, s]$ ����� �������� �� ����� ������������ �������.
��� �����, ������� $(\ref{almostConcave})$ �������� ����������� � ��� ���������� ����������� $(\ref{toprove})$
� ������ ������������ �� ����� ����� �������: $u( -1 ) = 0$.
\end{rem}

\begin{rem}
���� ������� $a$ ��������������, � ����� ����� � ������� �� ������� ���������, �� ��� ������������� ������� $(\ref{almostConcave})$.
�������������: ��� ����� $s$, $t$ � $u$ ��������� $a( 1, u ) - a( s, u ) \le a( t, u ) - a( -1 + t - s, u )$.
� ��� ��� $a( 1, u ) \ge 0$, ��
�������� $a( s, u ) + a( t, u ) \ge a( -1 + t - s, u ) = a( 1 - t + s, u )$.
�������� ������ ������ �������, �� ���� �� ������ ������
��������������� �������, ��������������� $(\ref{almostConcave})$, �������.
\end{rem}

\section{�������� ������� �������}

��� ��������� � ���� ��������� ����� �������� ������ �������� � ������� $a$.

\begin{lm}
\label{weightSum}
���������� ����������� ������� $a \ge 0$, �������� �� $[-1,1]$,
� ��������������� ������� (\ref{almostConcave}).
����� ��� ����� $-1 \le t_1 \le t_2 \le \ldots \le t_n \le 1$ �����
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n a(t_k) & \ge a( 1 - \sum_{k = 1}^n (-1)^k t_k ), & \text{ ��� ������ $n$},&\\
\sum_{k=1}^n a(t_k) & \ge a( -\sum_{k = 1}^n (-1)^k t_k ),    & \text{ ��� �������� $n$}.&
\end{align*}
\end{lm}

\begin{proof}
����� ���������� �� ��������. ��� $n = 1$ ����������� ����������.
����� ������ $n$ ������. �����, �� ������������� ��������,
$\sum_{k=1}^{n - 1} a(t_k) \ge a( -\sum_{k = 1}^{n - 1} (-1)^k t_k )$. ������
$$\sum_{k = 1}^{n - 1} a( t_k ) + a( t_n ) \ge a( -\sum_{k = 1}^{n - 1} (-1)^k t_k ) + a( t_n ) \ge
a( 1 - \sum_{k = 1}^{n} (-1)^k t_k ).$$
� ������ ��������� $n$ ������������� �������������� �������� � ��������� ����:
$\sum_{k=2}^n a(t_k) \ge a( 1 + \sum_{k = 2}^n (-1)^k t_k )$. �����
$$a( t_1 ) + \sum_{k = 2}^n a( t_k ) \ge a( t_1 ) + a( 1 + \sum_{k = 2}^{n} (-1)^k t_k ) \ge
a( -\sum_{k = 2}^{n} (-1)^k t_k + t_1 ) = a( -\sum_{k = 1}^{n} (-1)^k t_k ).$$
\end{proof}

\begin{rem}
���� �������� � ������� ����� ������������, ��� ������� $a$ �����, �� ����������� ����� ��������� �����������:
\label{almostConcaveMultRem}
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n a(t_k) & \ge a( -1 + \sum_{k = 1}^n (-1)^k t_k ), & \text{ ��� ������ $n$},&\\
\sum_{k=1}^n a(t_k) & \ge a( \sum_{k = 1}^n (-1)^k t_k ),    & \text{ ��� �������� $n$}.&
\end{align*}
\end{rem}

\begin{lm}
\label{periodicity}
{\bf 1.} ����� ������� $a$ ������������� ������� $(\ref{almostConcave})$.
���� �������� ����� $x_0 \in [-1, 1]$, ��� $a(x_0) = 0$,
�� ���� $a\Big |_{[x_0, 1]} \equiv 0$,
���� ��������� ����� ������� $a$ ���������� �� $[x_0, 1]$,
������ ������ ������ ����� $1 - x_0$.

{\bf 2.} ����� ������� $a$ ������������� ������� $(\ref{almostConcave})$ � �����.
���� �������� ����� $x_0 \in [-1, 1]$, ��� $a(x_0) = 0$,
�� ���� $a \equiv 0$,
���� ������� $a$ ���������� �� ������� $[-1, 1]$,
������ ������ ������ ����� $1 - x_0$.
\end{lm}

\begin{proof}
������ �����, �������, ��� ���� ��� ��������� $s \le t$
��������� $a(s) = a(t) = 0$,
�� ����������� (\ref{almostConcave}) ������
$$0 = a(s) + a(t) \ge a(1 - (t - s)) \ge 0,$$
�� ���� $a(1 - (t - s)) = 0$.

����� ��� ��, ���� $s \le 1 - t$ � $a(s) = a(1 - t) = 0$, �� $a(s + t) = 0$.

�� ���� ���� ������ �������, ��� ���� $a(s) = a(t) = 0$,
�� $a(s + k(t - s)) = 0$ ��� ���� ����������� $k$, ��� ������� $s + k(t - s) \le 1$.

{\bf 1.}
������� $s = t = x_0$, ������� $a(1) = 0$.

�����, ����� $x_1 > x_0$ - ��������� � $x_0$ ������ ������� $a$.
���� ������ ���, ��, � ���� ���������� ����,
$a = 0$ �� ������� � $[x_0, 1]$ ���������,
� �� ������������� $a\Big |_{[x_0, 1]} = 0$.
� ��������� ������ ������ ������� ����� ����������� $K$, ��� $x_0 + K(x_1 - x_0) = 1$,
����� �� ������ �������� ������������� ����� � ������� ��������.

����������� ������, ��� �������� ������ $x_2 > x_0$, �� ����������� �� � ����� �� ����������� ����� ������.
�����, � ���� ���������� ����, �������� ������ $x_3 \in (1 - (x_1 - x_0), 1)$,
� ������� � ������ $x_4 \in (x_0, x_1)$, ��� �������� � ������������.

{\bf 2.} �� ����������� ������ � �������� ������� ������������� ��������� ����� �� ���� ������� $[-1, 1]$.
��������� ���������� ����� ��������� ������ $\Delta$.

����� ��� ������������� $-1 \le x \le 1 - \Delta$ ��������� $$a(x) = a(x) + a(1 - \Delta) \ge a(x + \Delta).$$

� ������ �������, $-1 \le -(x + \Delta) \le 1 - \Delta$, � ���������
$$a(x + \Delta) = a(-(x + \Delta)) + a(1 - \Delta) \ge a(-x) = a(x).$$

��� �����, $a(x) = a(x + \Delta)$.
\end{proof}

\begin{lm}
\label{maxSumConcave}
����� ������� $a_1$ � $a_2$ ������������� ����������� $(\ref{almostConcave})$.
����� ������� $a(x) = \max (a_1(x), a_2(x))$ � $a_1(x) + a_2(x)$ ���� ��� �������������.
\end{lm}
\begin{proof}
\begin{multline*}
a(1 + s + t ) = \max( a_1(1 + s + t), a_2(1 + s + t) ) \le
\max( a_1( s ) + a_1( t ), a_2( s ) + a_2( t ) ) \\
\le \max( a_1( s ), a_2( s ) ) + \max( a_1( t ), a_2( t ) ) =
a( s ) + a( t ).
\end{multline*}

����������� ��� ������ ������� ��������.
\end{proof}

\begin{lm}
\label{piecewiseLinearConcave}
����� ������� $a$ ������������� ����������� $(\ref{almostConcave})$, $k \in \Nat$.
����� ������� �������� ������� $a_k$, ��������������� ������� $a$ �� �����
$(-1 + \frac{2i}{k})$, $i = 0, 1, \dots, k$, ����
������������� ����������� $(\ref{almostConcave})$.
\end{lm}
\begin{proof}
����� $s = -1 + \frac{2i}{k}$, $t = -1 + \frac{2j}{k}$.
����� ����������� ����������� ��� $a_k$, ������ ��� ��� ����������� ��� $a$,
� � ���� ������ ��� ���������.

����� ������ $s = -1 + \frac{2i}{k}$, � $t \in [-1 + \frac{2j}{k}, -1 + \frac{2(j + 1)}{k}]$.

���������� �������� ������� $h_1(t) = a_k( 1 - t + s ) - a_k(t) - a_k(s)$.
�� ��� ����������� �������, ��� $h_1(-1 + \frac{2j}{k}) \le 0$ � $h_1(-1 + \frac{2(j + 1)}{k}) \le 0$.
������, ��������� $h_1$ �������, $h_1(t) \le 0$.
��� �����, ����������� ����������� ��� ������ $s \in -1 + \frac{2i}{k}$ � $t \in [-1, 1]$.

���������� ������� $h_2(y) = a_k(\frac{2j}{k}) - a_k(s - y) - a_k(t + y)$, ��� $1 - t + s = \frac{2j}{k}$.
�����������, $s + y_0$ --- ���� �� ����� ������������, ����� $t + y_0$ ���� ����� ����� ������������.
��� �����, $h_2(y_0) = a(\frac{2j}{k}) - a(s - y) - a(t + y) \le 0$.
� ����������� ����� ������ $y_0$ ������� $h_2$ �������, ������� ������� ����������� $h_2$ ���������� �� ���� ������������,
������ $h_2(y) \le 0$ �� ���� ������� �����������.

���������� ������� $h_3(s) = a_k( 1 - t + s ) - a_k(t) - a_k(s)$ ��� ������������� �������������� $t \in [-1, 1]$.
��� ������� ������� �������, ������ �� ��� ����������� ������ ���, ����� ���� $s$, ���� $1 - t + s$
���������� �� ���� ������������. ������, �� ��� ��������, ��� � ���� ������ $h_3(s) \le 0$.
������� ������� ����������� $h_3$ ���������� �� ���� ������������, ��� �����, $h_3(s) \le 0$ �����.
\end{proof}

\section{��������� �� ������� �������� ��������}

\rm
� ���� ��������� �� ������� ����������� (\ref{toprove}) ��� ������� �������� �������.
�� ������ ��������, ����� �������, ��� $F(\cdot, 0) \equiv 0$.

\begin{thm}
\label{linth}
����� ������� $a$ ����� � ������������� ������� $(\ref{almostConcave})$.
�����, ���� $u$ --- ��������������� ������� �������� �������, �� $I(a, u) \ge I(a, u^*)$.
\end{thm}                    

\begin{proof}
������� $-1 = x_1 < x_2 < \dots < x_K = 1$ --- ��������� ����� �������� ������� $u$.
���������� ��������� $U$ �������� ������� $u$, �� ���������� �������� �������� �����
�������� ��������: $U := u( [-1, 1] ) \setminus \{ u(x_1), \dots, u(x_K) \}$.
��������� $U$ ������������ ����� ����������� ��������� ����� ���������� $U = \cup_{j = 1}^N G_j$.

��������� $m_j$ ����� ���������� �������� $u_0 \in G_j$,
�� ���� ����� ������� ��������� $u(y) = u_0$ 
(��������, ��� ����� ��������� ��� $u_0 \in G_j$).
����� ������, ��� ��� ��������� �������� ��������� ��������� $u_0$:
$y = y_k^j(u_0)$, $k = 1, \dots, m_j$,
� $y_k^j{}'(u(y)) = \frac{1}{u'(u)}$.
�� ����� �������, ��� $y_1^j(u_0) < y_2^j(u_0) < \dots < y_{m_j}^j(u_0)$.

������� ��������� $u^*(y^*)=u_0$ ($u_0 \in U$) ����� �������� ����� $y_k^j$:

\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l} 
\multirow{2}{*}{$u(-1)<u_0$ \rule[-34pt]{0pt}{65pt}} & $m_j$ �����   & $y^*=1-\sum\limits_{k=1}^{m_j} (-1)^k y_k^j$ \rule[-17pt]{0pt}{40pt} \\
                                                     & $m_j$ ������� & $y^*=-\sum\limits_{k=1}^{m_j} (-1)^k y_k^j$ \rule[-17pt]{0pt}{40pt} \\ \hline
\multirow{2}{*}{$u(-1)>u_0$ \rule[-34pt]{0pt}{65pt}} & $m_j$ �����   & $y^*=-1+\sum\limits_{k=1}^{m_j} (-1)^k y_k^j$ \rule[-17pt]{0pt}{40pt} \\
                                                     & $m_j$ ������� & $y^*=\sum\limits_{k=1}^{m_j} (-1)^k y_k^j$ \rule[-17pt]{0pt}{40pt} \\ 
\end{tabular}
\end{center}

������� $y^*(v) = (u^*)^{-1}(v)$.
����� $y^*{}'(v) = \sum_{k=1}^{m_j} \abs{y_k^j{}'(v)}$ ��� $u \in G_j$, ��������� ����� � ��������� ���
$y^*$ � ����� $y_k^j$ ����������, � $y^*{}'(v)\ge 0$.

��������� ����� $u'(x)$ � $u^*{}'(x)$ ����� ����� ��������� ����.
������, ��� �� ������ ������ � ��������, ��������� $F(u(x), 0) = 0$.

���������� ���������� ����� ����������:
\begin{multline*}
I(a, u) = \sum_{j=1}^N \int_{u^{-1}(G_j)} F(u(x), a(x, u(x)) \abs{u'(x)}) dx
\\ = \sum_{j=1}^N \int_{G_j} \sum_{k=1}^{m_j} F\Big(v, \frac{a(y_k^j(v), v)}{\bigabs{y_k^j{}'(v)}}\Big) \bigabs{y_k^j{}'(v)} dv,
\end{multline*}
\begin{multline*}
I(a, u^*) = \sum_{j=1}^N \int_{(u^*)^{-1}(G_j)} F(u^*(x), \bigabs{a(x, u(x)) u^*{}'(x)}) dx
\\ = \sum_{j=1}^N \int_{G_j} F\Big(v, \frac{a(y^*(v), v)}{\sum_{k=1}^{m_j} \bigabs{y_k^j{}'(v)}}\Big)
\sum_{k=1}^{m_j} \bigabs{ y_k^j{}'(v) } dv.
\end{multline*}

����������� $j$ � $v$ � ������ ������ � ������� ����������� ��� ��������������� ���������.
��������� $b_k := |y_k^j{}'(v)|$, $y_k := y_k^j(v)$, $y^* := y^*(v)$, $m := m_j$. �����
��������� ����������� ����� ���:
$$T:=\sum_{k=1}^m b_k F\Big( v, \frac{ a(y_k, v) }{b_k} \Big) \ge F\Big( v, \frac{ a(y^*, v) }{ \sum_{k=1}^m b_k  } \Big) \sum_{k=1}^m b_k$$
� ������� ����������� ������� ��� ������� $F(v, \cdot)$ ��������
$$T \ge F\Big( v, \frac{ \sum_{k=1}^m a(y_k, v) }{ \sum_{k=1}^m b_k } \Big) \sum_{k=1}^m b_k.$$
����� ��� ���������� ���������� $\sum_{k=1}^m a(y_k, v) \ge a(y^*, v)$, ��� ����� � ������ ����� \ref{weightSum} � ���������
\ref{almostConcaveMultRem}.
\end{proof}

\begin{rem}
\label{landesLinear}
� ������ $\cite{Lan}$ ����������� $(\ref{toprove})$ ������������ ��� �������������� ������� $u(-1) = 0$
��� ������� ������� $a$, ��������� �� $x$.
�������� ������, ��� ��� ���� ������� �������������� ������� $\ref{linth}$ �������� ��� �����, ��������������� �������
$(\ref{almostConcave})$ ��� ������� ��������,
��������� � ���� ������ $u(-1) < u_0$, � ��� ��������� ������ ��� ����������� �� �������,
������� � ���� ����� $\ref{weightSum}$.
�������� �����, ��� ������� $(\ref{almostConcave})$ ������, ��� ������� �������� $a$ �� $x$.
\end{rem}

\section{� ���������� ������ �������, ��� ������� ����������� $I(a, u^*) \le I(a, u)$}
\begin{lm}
����� ������� $a$ ����������. ����� ���������� $I(a, u)$ ����� �������������� ����� � $\W(-1, 1)$.
\label{lowersemi}
\end{lm}

\begin{proof}
����� $u_m \rightharpoondown u$ � $\W(-1, 1)$. ��������� $A = \varliminf I( a, u_m ) \ge 0$. ���� ������ --- ��������
$I(a, u) \le A$. ���� $A = \infty$, �� ����������� ����������, ��� ��� ����� ������� $A < \infty$.
�������� � ���������������������, ���������� $A = \lim I( a, u_m )$. �� ������ ���������� ���������, ��� ��������
$R_0$ �����, ��� $\norm{ u_m }_{\W(-1, 1)} \le R_0$.

��������, ��� $\W(-1, 1)$ ��������� ������������ � $L_1(-1, 1)$.
�������� � ���������������������, ����� �������, ���	 $u_m \to u$ � $L_1(-1, 1)$
� $u_m(x) \to u(x)$ ����� �����.
����� �� ������� ������� ��� ������ $\eps$ �������� ���������
$G_\eps^1$ �����, ��� $\abs{ G_\eps^1 } < \eps$ � $u_m \rightrightarrows u$ � $[-1, 1] \setminus G_\eps^1$.

�� ����������� ���������� $\exists K: \forall m>K \ \abs{u_m} \le \abs{u} + \eps$ � $[-1, 1] \setminus G_\eps^1$.
������� $G_\eps^2 = \{ x \in [-1, 1] \setminus G_\eps^1: \abs{u(x)} \ge \frac{R_0 + \eps}{\eps}\}$.
����� $$R_0 \ge \int_{-1}^1 \abs{ u(x) } dx \ge \int_{G_\eps^2} \abs{ u(x) } dx \ge
\int_{G_\eps^2} \frac{R_0 + \eps}{\eps} dx = \abs{G_\eps^2} \frac{R_0 + \eps}{\eps}$$
�� ���� $\abs{G_\eps^2} \le \eps \frac{R_0}{R_0 + \eps} < \eps$.
��� ��������� $G_\eps := G_\eps^1 \cup G_\eps^2$ ������� $u_m$, $m > K$,
���������� �������� � ���������� ����������.

�� ������������� $F$ � $a$
�������, ��� ��� ������������ $\eps$ � $R$ �������� �����
$N( \eps, R )$, ��� ���� $x \in [-1, 1] \setminus G_\eps$, $\abs{ M } \le R$ � $m > N( \eps, R )$, ��
$$| F( u_m( x ), a( x, u_m( x ) ) M ) - F( u( x ), a( x, u( x ) ) M ) | < \eps.$$

���������� ��������� $E_{m,\eps} := \{ x \in [-1, 1]: \abs{ u_m'( x ) } \ge \frac{ R_0 }{ \eps } \}$.
�����
$$R_0 \ge \int_{-1}^1 \abs{ u_m'( x ) } dx \ge \int_{ E_{m,\eps} } \abs{ u_m'( x ) } dx \ge
\int_{ E_{m,\eps} } \frac{ R_0 }{ \eps } dx = \frac{ R_0 }{ \eps } \abs{ E_{m,\eps} }.$$
������� $\abs{ E_{m,\eps} } \le \eps$.

������ ����� ������ $L_{m,\eps} := [-1, 1] \setminus ( E_{m,\eps} \cup G_\eps )$.
����� $\abs{ L_{m,\eps} } \ge 2 - 3 \eps$.

����������� $R := \frac{ R_0 }{ \eps }$, $N( \eps ) := N( \eps, \frac{ R_0 }{ \eps } )$.
��� ����� $\eps > 0$, $x \in L_{m,\eps}$ � $m > N( \eps )$ �������
$$\Big | F( u_m( x ), a( x, u_m( x ) ) \abs{u_m'( x )} ) - F( u( x ), a( x, u( x ) ) \abs{u_m'( x )} ) \Big | < \eps,$$
������
$$\int_{L_{m,\eps}} \Big | F( u_m( x ), a( x, u_m( x ) ) \abs{u_m'( x )} ) - F( u( x ), a( x, u( x ) ) \abs{u_m'( x )} ) \Big | dx < 2 \eps.$$

������� $\eps_j = \frac{ \eps }{ 2^j }$ ($j \ge 1$), $m_j = N( \eps_j ) + j \to \infty$ � $L_\eps = \bigcap L_{m_j,\eps_j}$.
����� $\sum \eps_j = \eps$ � $\abs{ [-1, 1] \setminus L_\eps } < 3 \eps$.
������ ����� ���������, ���
$$\int_{L_\eps} \Big | F( u_{m_j}( x ), a( x, u_{m_j}( x ) ) |u_{m_j}'( x )| ) - F( u( x ), a( x, u( x ) ) |u_{m_j}'( x )| ) \Big | dx < 2 \eps_j.$$

�����
\begin{multline*}
A = \lim I( a, u_{m_j} ) = \lim \int_{-1}^1 F( u_{m_j}( x ), a( x, u_{m_j}( x ) ) |u_{m_j}'( x )| ) dx\\
\ge \varliminf \int_{-1}^1 \chi_{L_\eps} ( x ) F( u( x ), a( x, u( x ) ) |u_{m_j}'( x )| ) dx
=: \varliminf J_\eps( u_{m_j}' ).
\end{multline*}
��� ����� ����������
$$J_\eps( v ) = \int_{-1}^1 \chi_{L_\eps} ( x ) F( u( x ), a( x, u( x ) ) |v( x )| ) dx$$
��������.
����� �������� � ��������������������� (����� ���������� �� $u_k$), ����� �������, ���
$\varliminf J_\eps( u_{m_j}' ) = \lim J_\eps( u_k' )$. ��� ��� $u_k' \rightharpoondown u'$ � $L_1$,
�� ����� ��������� ������������������
�������� ���������� $u_k'$, ������� ����� ��������� � $u'$ ������ (��. \cite[������� 3.13]{Rudin}).
� ������: �������� $\alpha_{k,l} \ge 0$ ���
$k \in \Nat$, $l \le k$ �����, ��� $\sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} = 1$ ��� ������� $k$ � 
$w_k = \sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} u_{l}' \to u'$ � $L_1$.
����� ����, ��������, ����� �����������, ����� ����������� ������ $l$ ���������� ������������ $\alpha_{k,l}$
��������� � ������������� �� $k$.
�����
$$\lim J_\eps( u_k' ) = \lim \sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} J_\eps( u_{l}' ).$$

� ���� ���������� $J_\eps$, �����
$$\sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} J_\eps( u_{l}' ) \ge J_\eps( w_k ).$$

�������, ��������� $w_k \to u'$ � $L_1(-1, 1)$, �������� � ���������������������, ����� �������, ��� $w_k(x) \to u'(x)$ �.�.
����� ����, ��� ��� � $L_\eps$ ��������� $\abs{ u_j'( x ) } < \frac{ R_0 }{\eps}$, �� � $\abs{ w_k( x ) } < \frac{ R_0 }{\eps}$.
������,
$$F( u( x ), a( x, u( x ) ) w_k( x ) ) \le \max\limits_{(x, M)} F( u( x ), a( x, u( x ) ) M ) < \infty,$$
��� �������� ������� �� ����������� ���������
$(x,M) \in [-1, 1] \times [-\frac{ R_0 }{\eps},\frac{ R_0 }{\eps}]$.
������� ��������� ������� ������, � �� �������� $\lim J_\eps(w_k) = J_\eps(u')$.
����� �������,
$$A \ge \lim J_\eps( u_k' ) = \lim \sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} J_\eps( u_{l}' ) \ge
\varliminf J_\eps( w_k ) = J_\eps( u' ).$$

����� �������������� $\eps > 0$ ����� $A \ge I(a, u)$.
\end{proof}

\begin{lm}
\label{uplift}
����� $A \subset \W(-1,1)$. � ����� $B \subset A$ ������, ���
$\forall v \in B$ ��������� $I(a, v^*) \le I(a, v)$. �����������, ��� ��� ������� $u \in A$
�������� ������������������ $u_k \in B$ �����, ��� $u_k \to u$ � $\W(-1, 1)$ �
$I(a, u_k) \to I(a, u)$. ����� $\forall u \in A$ ����� ��������� $I(a, u^*) \le I(a, u)$.
\end{lm}
\begin{proof}
������� ��������� $u \in A$ � ��� ��� ������ ��������������� $u_k \in B$.
�� ������� $I(a, u_k^*) \le I(a, u_k) \to I(a, u)$.
� \cite[������� 1]{Br} ��������, ��� �� $u_k \to u$ � $\W(-1,1)$ �������
$\overline{u_k} \rightharpoondown \overline{u}$ � $\W(-1,1)$. ��
$u_k^*( x ) = \overline{u_k}( \frac{x - 1}{2} )$ �
$u^*( x ) = \overline{u}( \frac{x - 1}{2} )$. ������, �
$u_k^* \rightharpoondown u^*$. ����� �� ������ ����������������� �����
����������� $I$ ��������� $I(a, u^*) \le \liminf I(a, u_k^*)$. ��� �����,
$I(a, u^*) \le I(a, u)$.
\end{proof}

\begin{cor}
����� ��� $a$ ����������, � ����������� $(\ref{toprove})$ ����� ��� ��������������� ������� �������� ������� $u$.
����� ��� ����� ��� ���� ��������������� ���������� �������.
\end{cor}
\begin{proof}
����� ������� 1 �� \S6.6 \cite{Gariepy} ��������� ������� ����� ����� ����� ������ � ����������� ���������� ���������� �����������������.
��������� ����������� ������������ ������� ����� ���������� ����������,
�� ������� ������ ������������������ ����� ��������� � $\W(-1, 1)$,
� ����� ����� ��������� ���������� $I$.
� ���� �������, ���������� ���������������� ������� ����� ���������� ������ � ����������� ���������� ������� ���������.
����� ���������� ������������ ���������� � $\W(-1, 1)$ � ���������� ����������� $I$.
�������� ����� \ref{uplift}, �������� ���������.
\end{proof}

\section{������� � $\W$-�������� ��� �������������� ����������� �� ���}
\label{ASC}

� ���� ��������� �� ������� ����������� (\ref{toprove}) ��� �������������� �������
������������ ������� ������� ��� $x \in [-1, 0]$ � ��� $x \in [0, 1]$.

\begin{lm}
\label{Wapprox}
����� $a$ --- ����������� �������, $a(\cdot, u)$ ���������� �� $[-1, 0]$ � ������� �� $[0, 1]$ ��� ���� $u \ge 0$.
����� ����� ������� $u \in \W(-1, 1)$, $u \ge 0$,
������������ ����������� ��������� �� ����������� $I$,
�� ���� ���������� ������������������ $u_k \in Lip[-1, 1]$, �����, ��� ��������� ����������� $(\ref{convergence})$.
\end{lm}

\begin{proof}
����� �������, ��� $I( a, u ) < \infty$.

��� $a$ ���������� �� $x$ ��� $x \in [-1, 0]$
� ������� ��� $x \in [0, 1]$.
������� ����������� ��� �����������
$$I_2( u ) = \int_0^1 F( u(x), a(x, u(x)) |u'(x)| ) dx,$$
� ������ $[-1, 0]$ ������ � �������: $$I_1( u ) = \int_{-1}^0 F( u( x ), a( x, u(x) ) |u'(x)| ) dx =
\int_0^1 F( u( -z ), a( -z, u(-z) ) |u'( -z )| ) dz.$$

��� �������������� �� ������������ ����� �� \cite[������� 2.4]{ASC}.
��������������	 �������� ��������� � \cite{ASC}, �� ��� �������� �������� �� �������� ����� ��� ���������.

��� ����������� ��������� ��������������� �����������.

\begin{prop}
\label{convToOne}
$\cite[Lemma 2.7]{ASC}$.
����� $\phi_h: [-1, 1] \to \Real$ --- ������������������ ���������� �������, ��������������� ��������:
$\phi_h' \ge 1$ ��� ����� ���� $x$ � ���� $h$, $\phi_h( x ) \to x$ ��� ����� ������� $x$.
����� ��� ����� $f \in L_1(\Real)$ $f(\phi_h) \to f$ � $L_1(\Real)$.
\end{prop}

��� $h \in \Nat$ ������� ��������� $\{ x \in [0, 1]: |u'(x)| > h \}$
�������� ���������� $A_h$.
�� ������ ��������, ����� �������, ���
$A_{h + 1} \subset A_{h}$ � $\abs{A_h} \to 0$ ��� $h \to \infty$.
� �������� $v_h$ ������� �������, ����������� � $u$ ��� ��������� $A_h$.
�� ������� �������� $A_h$ ������� $v_h$ ��������.
����� $v_h \to u$ � $\W$.
������� ������� $v_h$, ����� ������� ������������� ����������.

���������� $A_h = \cup_k \Omega_{h,k}$, ��� $\Omega_{h,k} = ( b_{h,k}^-, b_{h,k}^+ )$.
���������
$$\alpha_{h,k} := \abs{\Omega_{h,k}},\quad
\beta_{h,k} := v_h(b_{h,k}^+) - v_h(b_{h,k}^-) = u(b_{h,k}^+) - u(b_{h,k}^-).$$
����� $v'_h = \frac{ \beta_{h,k} }{ \alpha_{h,k} }$ � $\Omega_{h,k}$.
�������, ���
$$\sum_k \abs{\beta_{h,k}} \le \int_{A_h} \abs{u'} dx \le \norm{u'}_{L_1(-1, 1)}< \infty,$$
� ������,
$\sum_k \abs{\beta_{h,k}} \to 0$ ��� $h \to 0$ �� ������� ������.

��������� ������� $\phi_h \in \W(0, 1)$ ���:
$$
\begin{aligned}
\phi_h( 0 ) &= 0 & & \\
\phi_h' &=  1 & \text{ � } & [0, 1] \setminus A_h,\\
\phi_h' &=  \max \Big( \frac{ \abs{\beta_{h,k}} }{ \alpha_{h,k} }, 1 \Big) & \text{ � } & \Omega_{h,k}.
\end{aligned}
$$	

�������, ��� $\int_0^1 \abs{\phi_h'} dx \le 1 + \sum_k \abs{ \beta_{h,k} } < \infty$.

\medskip

�������, ��� $\phi_h' \to 1$ � $L_1(0, 1)$:
$$\int \abs{ \phi_h' - 1 } dx = \sum \Big( \max \Big( \frac{ \abs{ \beta_{h,k} } }{ \alpha_{h,k} }, 1 \Big) - 1 \Big) \alpha_{h,k} \le
\sum \abs{ \beta_{h,k} } \to 0.$$
������ �������, ��� $\phi_h$ ������������� �������� ����������� \ref{convToOne}.

���������� ������ $\phi_h^{-1}: [0, 1] \to [0, 1]$ --- ����������� �������� � $\phi_h$ ������� �� $[0, 1]$.
��� ��� ����� $0 \le ( \phi_h^{-1} )' \le 1$ �

$$
\begin{aligned}
\phi_h^{-1} ( 0 ) &= 0 & & \\
( \phi_h^{-1} )' &=  1 & \text{ � } & [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ),\\
( \phi_h^{-1} )' &=  \min \Big( \frac{ \alpha_{h,k} }{ \abs{ \beta_{h,k} } }, 1 \Big) & \text{ � } & [0, 1] \cap \phi_h( \Omega_{h,k} ).
\end{aligned}
$$

������� $u_h = v_h( \phi_h^{-1} )$.
�������, ��� $u_h(0) = u(0)$, �
\begin{align*}
u_h' &=  v_h'( \phi_h^{-1} ) \cdot ( \phi_h^{-1} )' = u'( \phi_h^{-1} ) & \text{ � } & [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ),\\
u_h' &=  v_h'( \phi_h^{-1} ) \cdot ( \phi_h^{-1} )' = 
\sign{ \beta_{h,k} } \cdot \min \Big( 1, \frac{ \abs{ \beta_{h,k} } }{ \alpha_{h,k} } \Big) & \text{ � } & [0, 1] \cap \phi_h( \Omega_{h,k} ).
\end{align*}

��� �����, $u_h$ ���������, ��������� $u$ ����� ��� $A_h$ ������������ �����������.

�������, ��� $u_h \to u$ � $\W(0, 1)$.
��� ����� ���������� �������

$$\norm{ u_h' - u' }_{L_1} \le \int_{ [0, 1] \setminus \phi_h(A_h) } \abs{ u_h' - u' } + 
\int_{ [0, 1] \cap \phi_h(A_h) } \abs{ u_h'} + \int_{ [0, 1] \cap \phi_h(A_h) } \abs{ u'} =: P_h^1 + P_h^2 + P_h^3.$$
$$P_h^1 = \int_{ [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ) } \abs{ u'( \phi_h^{-1} ) - u' } dx =
\int_{ \phi_h^{-1} ( [0, 1] ) \setminus A_h } \abs{ u' - u'( \phi_h ) } dz \le
\int_{[0, 1]} \abs{ u' - u'( \phi_h ) } dz.$$
� ���� ����������� \ref{convToOne}, $P_h^1 \to 0$.

�����,
$$P_h^2 \le \abs{ \phi_h( A_h ) } = \sum \abs{ \phi_h( \Omega_{h,k} ) } = \sum \max (\abs{\beta_{h,k}}, \alpha_{h,k})
\le \sum \alpha_{h,k} + \sum \abs{ \beta_{h,k} } \to 0.$$
�������, $P_h^3 \to 0$ �� ���������� ������������� ���������, � ����������� ��������.

�������� ��������, ��� $I_2( u_h ) \to I_2( u )$.

$$I_2( u_h ) = \!\!\!\!\int\limits_{ [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ) }\!\!\!\! F( u_h( x ), a( x, u_h(x) ) |u_h'( x )| ) dx +\
\!\!\!\!\int\limits_{ [0, 1] \cap \phi_h( A_h ) }\!\!\!\! F( u_h( x ), a( x, u_h(x) ) |u_h'( x )| ) dx.$$
��������� ��� ��������� $\hat{P_h^1}$ � $\hat{P_h^2}$.
��� ��� $u \in \W(0, 1)$, �� $u \in L_\infty( [0, 1] )$. ��������� $\norm{ u }_\infty = r$,
����� $\norm{ u_h }_\infty < 2r$ ��� ���������� ������� $h$. ����� ����, $\abs{ u_h' } \le 1$
����� ����� � $\phi_h( A_h )$. ����� $\hat{P_h^2} \le M_F \abs{ \phi_h( A_h ) } \to 0$, ���
$$M_F = \max\limits_{[-2r, 2r] \times [-M_a, M_a]} F;\quad M_a = \max\limits_{[0, 1] \times [-2r, 2r]} a.$$

�����,
\begin{multline*}
\hat{P_h^1} = \int\limits_{ [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ) }
	F( u( \phi_h^{-1}( x ) ), a( x, u( \phi_h^{-1}( x ) ) |u'( \phi_h^{-1}( x ) ) ( \phi_h^{-1} )'| ) dx
\\ =\int\limits_{ \phi_h^{-1}( [0, 1] ) \setminus A_h } F( u( z ), a( \phi_h( z ), u( z ) ) |u'( z )| ) dz
\\ = \int\limits_{ [0, 1] } F( u( z ), a( \phi_h( z ), u( z ) ) |u'( z )| ) \chi_{ \phi_h^{-1}( [0, 1] ) \setminus A_h }dz.
\end{multline*}
��������� ���������, ������ ������, �� ����� ������, ��� ��� $\phi_h( z )$ ����� ��������� �������� ��� $[0, 1]$.
��������� $a( z, u ) = a( 1, u )$ ��� $z > 1$. ������ ��������� ���������.
�������, ��� $\chi_{\phi_h^{-1}( [0, 1] ) \setminus A_h}$ ����������, ��� ��� ���������
$\phi_h^{-1}( [0, 1] )$ ���������� � $A_h$ �������, �� ����
$\phi_{h_1}^{-1}( [0, 1] ) \subset \phi_{h_2}^{-1}( [0, 1] )$ � $A_{h_1} \supset A_{h_2}$ ��� $h_1 \le h_2$.
�� ������� $[0, 1]$ (� ���� $\phi_h( [0, 1] )$) $a$ �������, ������ $a( \phi_h( z ) )$ ����� ����� �� $h$,
��� ��� $\phi_h( z )$ ������� �� $h$. � ����� ������ ����� ��������� �������
� ���������� ���������� � ��������
$$\hat{P_h^1} \to \int_{[0, 1]} F( u( z ), a( z, u( z ) ) |u'( z )| ) dz.$$

\end{proof}

\begin{rem}
��������, ��� �� �� ����������� � ������������ ������� $u$ �� ����� ����� ����� �������� �� ����� ��������� $[x_0, x_1]$, ���
��� $a$ ������� �� $x$. �� ���� �������� �� ���� ��������� ������������������
\begin{gather*}
u_h \to u \text{ � } \W(x_0, x_1);\\
\int_{x_0}^{x_1} F( u_h(x), a(x, u_h(x)) \abs{u_h'(x)} ) \to \int_{x_0}^{x_1} F( u(x), a(x, u(x)) \abs{u'(x)} ).
\end{gather*}
����������, ���� $a$ ���������� �� $x$, ����� ���������������� $u$ � ������������ �� ������ �����.
\end{rem}

\begin{cor}
����� ������� $a$ ����������, �����, ������������� ����������� $(\ref{almostConcave})$
� ������� �� $[0, 1]$. ����� ��� ����� $u \in \W(-1, 1)$ ��������� $I( a, u^* ) \le I( a, u )$.
\end{cor}

\begin{proof}
����������� ���������� ������� �� ���� \ref{uplift} � \ref{Wapprox}.
\end{proof}

\section{��������� ���������� � ����� ������}

������ �� ����� ���������� �� ������� ������������ ���� �� $x$.
�� ����� ��� ������ � ��������� ������.

��� ������ �������, ��� ��� �������� ������� $a$ ���������� ���
���� � ����������� �������� ������� $u$, $u^*$.

������ ��������� ����������� �� ������� �������:

\bigskip

\smallskip
\noindent
$(H1)$ $a(x, v)$ ����� �� $x$ � ������������� ����������� (\ref{almostConcave}),
� ����� $I(a, u) < \infty$.
\smallskip

\bigskip
\noindent
$(H2)$ �� ��������� $v \in [\min u(x), \max u(x)]$,
��� ������� $a(\cdot, v) \not\equiv 0$,
���������� ����� ������� $a(\cdot, v)$ ���������� ����������,
�� ��������� �� $v$.

\bigskip
\noindent
$(H3)$ ���� $a(x_0, u(x_0)) = 0$ ��� ���������� $x_0$, �� $a(\cdot, u(x_0)) \equiv 0$.
����� ����, ��������� $\lim_{k \to \infty} D_k(a, U(a)) = 0$, ���
$$U(a) := \{ v \in [\min u(x), \max u(x)]: a(\cdot, v) \not \equiv 0 \},$$
\begin{equation}
\label{bigD}
D_k(a, U) := \sup\limits_{v \in U}
\frac{\max\limits_{ \abs{x_1 - x_2} \le \frac{2}{k} } \abs{a(x_1, v) - a(x_2, v)} }
{\min\limits_{\dist(x, u^{-1}(v)) \le \frac{2}{k}} a(x, v)}.
\end{equation}

\bigskip
\noindent
$(H4)$ �������� ����� ������ $k$, ��� $a(\cdot, v)$ ������� ��� ������� $v$ �� ��������
$[-1 + \frac{2i}{k}, -1 + \frac{2(i + 1)}{k}]$.

\bigskip
\noindent
$(H5)$ ��������� $v \in \Real$, ��� ������� $a(\cdot, v)$ ����� ������� �����������,
���������� �� ��������� $v \in \Real$ �����, ��� $a(\cdot, v) \equiv 0$,
���� �� ��������� ���� $0$.

\bigskip
\noindent
$(H6)$ ������� $[-1, 1]$ ����� ������� �� �������� ����� �����������,
�� ������ �� ������� � $v$-����������� ������� $u(x)$ ��� $a$ �� ������ ������������ �� $x$.

\bigskip
\noindent
$(H7)$ ����� $x_1 < x_2 < x_3$,
� �� $[x_1, x_2]$ ��� $a(\cdot, v)$ � $v$-����������� ������� ������� $u$ �������,
� �� $[x_2, x_3]$ ����������.
����� � ��������� ����������� ����� $u(x_2)$ ����� $a(\cdot, v) \equiv 0$.

\bigskip

���, ��������������� ������� $(H1)$, �� ����� �������� ���������� ��� �������� ������� $u(x)$.

������ �� ����� �������������� �������� ����������� ����� ������.
\begin{thm}
\label{mainThm}
����� $F \in \mathfrak{F}$, ������� $u \in \W(-1, 1)$ ��������������,
� ������� ������� $a: [-1, 1] \times \Real_+ \to \Real_+$ ����������
� ��������� ��� $u$.
����� ����������� ����������� $(\ref{toprove})$.
\end{thm}

�� ������� ����������� (\ref{toprove}) ��� �������� $(H1)-(H7)$,
� ����� ����� ����������� �� ������ �������.

��� �������������� ��� ����������� ��������� �����.

\begin{prop}
\label{levelDerivative}
$\cite[������� 6.19]{LL}$
��� ����� $u \in \W(-1, 1)$ � ������������� ��������� $A \subset \Real$ ������� ���� ���������
$u'(x) = 0$ ��� ����� ���� $x \in u^{-1}(A)$.
\end{prop}

\begin{lm}
\label{zeroApprox}
����� $u \in \W(-1, 1)$ � ��� $a$ �������� ���������� ��� $u$.
����� ��������� ���������
$W \subset \Real$ ������, ��� ��������� $v \in W$, ��� ������� $a(\cdot, v) \not\equiv 0$,
����� ���� ����.
����� �������� ������������ ������������������ ���������� ��� $u$ ����� $b_k$ �����, ���

1) $b_k(\cdot, v) \rightrightarrows a(\cdot, v)$ ��� ����� ���� $v$;

2) $b_k(\cdot, v) \equiv 0$ ��� ������ $v$ � ��������� (��������� �� $k$) ����������� $W$;

3) $I(b_k, u) \to I(a, u)$.
\end{lm}

\begin{proof}
������� $\rho(d) := \min(1, \max(0, d))$,
$$b_k(x, v) := a(x, v) \cdot \rho(k \dist(v, W) - 1) \le a(x, v).$$
���� ��� ����� ���� � $\left(\frac{1}{k}\right)$-����������� $W$.
����� ����, $b_k \equiv a$ ��� $\left(\frac{2}{k}\right)$-����������� $W$ �
$b_k(x, v)$ ���������� ��� ���������� $k$.
��� �����, $b_k(\cdot, v) \rightrightarrows a(\cdot, v)$ ��� ����� ���� $v$.
�� ������� � ���������� ���������� ���������
$I(u^{-1}(\Real \setminus W), b_k, u) \nearrow I(u^{-1}(\Real \setminus W), a, u)$.

�������� ��������� $W$ �� ���: $W_1 := \{v \in W: a(\cdot, v) \equiv 0\}$ � $W_2 = W \setminus W_1$.
$$I(u^{-1}(W_1), b_k, u) = I(u^{-1}(W_1), a, u).$$
$$I(u^{-1}(W_2), b_k, u) = \int\limits_{x \in u^{-1}(W_2)} F(u(x), b_k(x, u(x)) u'(x)) dx.$$
��� ����, �� ����������� \ref{levelDerivative}, ����� ����� �� $u^{-1}(W_2)$
��������� $u'(x) = 0$.
�� ����
$$I(u^{-1}(W_2), b_k, u) = \int\limits_{x \in u^{-1}(W_2)} F(u(x), 0) dx = 0.$$
����������, $I(u^{-1}(W_2), a, u) = 0$, ������ $I(b_k, u) \to I(a, u)$.
\end{proof}

�������� � �������������� �������.

\bigskip
{\bf ��� 1.} ����� $u \in \W(-1, 1)$, � ��� $a$ ������������� �������� $(H1)-(H7)$.
����� ����������� ����������� (\ref{toprove}).

�������� ������� $[-1, 1]$ �� ������� $\Delta_k$, ��������� �� ���� ������.
� ����� ����� ������� ������� ��� $a$ ����� ���������� �� $x$ � �����������
������� $u(x)$. � ������ �� ����� �������.
�� ������ ����� ������� ����� ��������� ����� �� ����������� ���������,
��������� ������� $u$ ����������� ��������� $u_n$.
��� ���� $I(\Delta_k, a, u_n) \to I(\Delta_k, a, u)$.

������ ��� ����� ������������� ������� $u_n$ ����� ������� �� �������� �������� $\Delta_k$
(��������� �� $\hat{x}_k$).

������� ������, ��� �������� ������� $(H7)$ ����� ������� ����� $\hat{x}_k$ ���,
��� $a \equiv 0$ � $(x, v)$-����������� ����� $(\hat{x}_k, u(\hat{x}_k))$.

������� ������ ������� $u_n$ � ����������� ����� $\hat{x}_k$ �� ��������,
������ $u_n$ ������������ �� $[-1, 1]$.
� ���� ��������������, ���������� $I(\Delta_k, a, u_n)$ ��� �� �������,
� �� �������� $I(a, u_n) \to I(a, u)$.

�� ����� \ref{uplift} �������� (\ref{toprove}).

\bigskip

{\bf ��� 2.} ����� ��� $a$ ������������� �������� $(H1)-(H6)$.
����� ����������� ����������� (\ref{toprove}).

�������� ����� \ref{zeroApprox}. � �������� ��������� $W$ ������� ���������
���� $v$, ��� ������� ���������� ������� ������� $u(x)$ �� ��������������,
� ������� ��� ������� �� $x$, � �������������, � ������� ��� ����������.
��������, ������������ ������� $b_k$ ������������� $(H1)-(H7)$.
������� $I(b_k, u^*) \le I(b_k, u)$.
�������� � �������, �������� (\ref{toprove}).

\bigskip

{\bf ��� 3.} ����� ��� $a$ ������������� �������� $(H1)-(H5)$.
����� ����������� ����������� (\ref{toprove}).

������������� $[-1, 1] \times [\min u(x), \max u(x)]$ ������������ �������
������� ���������� ������ ���� $a$ � ��������� ����������� $a$ �� $x$ �� ��������������,
� ������� ��� $a$ ����� ���������� ������������ �� $x$.
������ ���������� ����� ��������������� ����� ��������� �����������.
����� ����, ���� ������� ���������� �������������� ������� ��������������,
������������ � $v$-����������� ����� ����������� ����� ��������.

������� ��������� $v$, ��� ������� ��� ����� ������� ����������� �� $x$,
� �������� $W$.
� ������������ � $(H5)$ ��������� $v \in W$, ��� ������� $a(\cdot, v) \not\equiv 0$,
����� ������� ����.

�������� ����� \ref{zeroApprox}, �������� ������������������ ����� $b_k$.
� ������� �� ��� ���������� �������� ������������ �������,
��������� ����� ��������� �� $v$ ��������� ������� ������������
������������ ������ ������� �������� ���� ������� �� ������� ���� $\frac{2}{k}$.

������� ������ �� ������ ������� ������������ ����� �� ������� ������� $u$.
��������� ���� ����� �� ����� ����� ����� ���������,
��������� ����� �������, � ������� ������ ������������,
���������� �� $v$ �� ������� ���� $\frac{2}{k}$.

��� �����, $b_k$ ������������� $(H1)-(H6)$. ������� $I(b_k, u^*) \le I(b_k, u)$.
�������� � �������, �������� (\ref{toprove}).

\bigskip
{\bf ��� 4.} ����� ��� $a$ ������������� �������� $(H1)-(H3)$.
����� ����������� ����������� (\ref{toprove}).

�����������, ������� $a$ ������������� $(H1)-(H3)$, � ��� ����� $I(a, u) < \infty$.

����������� ������������ ������ $k$.
�� ������ $a(-1 + \frac{2i}{k}, v)$ ��� ������� $v$ �������� ������� �������� �� $x$ ������������.
������������ ������� $a_k(x, v)$ ����������, ����� �,
�� ����� \ref{piecewiseLinearConcave}, ������������� �����������
(\ref{almostConcave}).
����� ����, $a_k \to a$ ��� $k \to \infty$,
������ ���������� ����������� �� ���������.
������ ����������� $a_k(x, u(x)) \le a(x, u(x))$ �� ������� �����������,
� ������ ���� $a_k$ ����� �� ���� ����������� ��� $u$.

������� $c_k := (1 - D_k(a_k, U(a_k))) a_k$, ��� $D_k$ ���������� � (\ref{bigD}).
����� $D_k(a_k, U(a_k))$ ������������ � ��������� � ����, ������� $c_k \to a$ ��� $k \to \infty$.
�������, ��� $c_k(x, u(x)) \le a(x, u(x))$.
������� ���������
$x \in [-1 + \frac{2i}{k}, -1 + \frac{2(i + 1)}{k}] =: [x_i, x_{i + 1}]$.
����� $c_k(x, u(x)) \le \max( c_k(x_i, u(x)), c_k(x_{i + 1}, u(x)) )$, ���������
$c_k$ ������� ������� �� $x$. �����,
\begin{multline*}
c_k(x_i, u(x)) = (1 - D_k(a_k, U(a_k))) \cdot a(x_i, u(x)) \\
\le a(x_i, u(x)) - \frac{a(x_i, u(x)) - a(x, u(x))}{a(x_i, u(x))} \cdot a(x_i, u(x)) = a(x, u(x)).
\end{multline*}
���������� $c_k(x_{i + 1}, u(x)) \le a(x, u(x))$.
��� �����, $c_k(x, u(x)) \le a(x, u(x))$ ��� ������ $x$, � $c_k$ �������� ����������� ��� $u$.

������� $c_k$ ������������� $(H1)-(H4)$.

��� �������� $k \in \Nat$, ����� ���������� ������� $c_k =: c$ ������, ���������������� $(H1)-(H5)$.
���������� ��������������� ������� $\Lambda(x) = 1 - \abs{x}$,
��������������� ������� (\ref{almostConcave}).

�������
$$t(v):=D_k(c, U(c)) \cdot \max\{\tau \ge 0: \forall x \in u^{-1}(v) \quad \tau \Lambda(x) \le c(x, u(x))\}.$$
������� $t$ ������� �� $k$, �� �� ����� �������� ��� � ������.

����, ��� ������������ $\tau$ ����� ���� ������ ���� $c(\cdot, v) \equiv 0$, ����� ���������� �������
$(H3)$.
������� $t$ ����� �� ���� �����������. ������, �������� ������, ��� ��� �������������� �����.
������� ������
$$\tilde{t}(v) := \inf_{w \in u([-1, 1])} \{t(w) + |v - w|\}.$$
��������, ��� $\tilde{t} \le t$, � ��������� ����� ������� $t$ � $\tilde{t}$ ���������.

�������, ��� $\tilde{t}$ ���������� (� ���� ���������).
����������� ��������� $v_1$.
����� �������� ����� ������ ����� $\eps > 0$ � $w_1 \in u([-1, 1])$,
��������������� $\tilde{t}(v_1) = t(w_1) + |v_1 - w_1| - \eps$.
��� ������ $v_2$ ����� $\tilde{t}(v_2) \le t(w_1) + |v_2 - w_1|$.
�, ��� �����, $\tilde{t}(v_2) - \tilde{t}(v_1) \le |v_1 - v_2| + \eps$.
� ���� �������������� $v_1$, $v_2$ � $\eps$, ��������, ��� $\tilde{t}$ ����������.

��� $\alpha \in [0, 1]$ ������� $d_\alpha(x, v) := c(x, v) + \alpha \Lambda(x) \tilde{t}(v)$
����� �� $x$, ������������� ����������� (\ref{almostConcave}) �������� ����� \ref{maxSumConcave}
� �� ����������� $a(x, v)$ �� ���������� ������� $\tilde{t}$.
����� �������, $d_\alpha$ --- ���������� ���.
�����, ��������, ��� $d_\alpha$ ������������� �������� $(H1)-(H4)$.

�������, ��� �������� ������������������ $\alpha_j \searrow 0$,
��� $d_{\alpha_j}$ �� ����� �������������� ��������, �����
�������� ����� � ��������� ���� $0$.
��������� ��������� $\alpha$, ``������'' �� ������� $[x_i, x_{i + 1}]$:
\begin{multline*}
A_i := \big\{ \alpha \in [0, 1]: \\
meas\{ v \in [\min u, \max u]: \frac{c(x_{i + 1}, v) - c(x_i, v))}{\frac{2}{k}} + \alpha \chi_i \tilde{t}(v) = 0 \} > 0 \big\},
\end{multline*}
��� $\chi_i = 1$, ���� $[x_i, x_{i + 1}] \subset [0, 1]$, � $\chi_i = -1$, ���� $[x_i, x_{i + 1}] \subset [-1, 0]$.

���������� �������
$$
\begin{aligned}
h(v) = &\frac{c(x_{i + 1}, v) - c(x_i, v)}{\tilde{t}(v)} &\text{ ��� } \tilde{t}(v) \neq 0&\\
h(v) = &0 &\text{ ��� } \tilde{t}(v) = 0&.
\end{aligned}
$$
����� $\card(A_i) = \card(\{ \alpha \in [0, 1]: meas \{ v \in [\min u, \max u]: h(v) \pm \frac{2}{k}\ \alpha = 0 \} > 0 \}).$
������, $\card(A_i) \le \aleph_0$, � ����� $\card(\cup_i A_i) \le \aleph_0$.
��� �����, �������� ������������������ ����� $d_{\alpha_j} \searrow c$, ��������������� $(H1)-(H5)$.
������� $I(d_{\alpha_j}, u^*) \le I(d_{\alpha_j}, u)$.
�������� � �������, ������� $I(c, u^*) \le I(c, u)$.

�����, ��� $x \in [-1, 1]$ � $k \to \infty$ �����
$$F(u(x), c_k(x, u(x)) |u'(x)|) \to F(u(x), a(x, u(x)) |u'(x)|).$$
����� ����, $F(u(x), a(x, u(x)) |u'(x)|)$ �������� ����������� ����������.
�� ������� ������ � ������������ ����������, �������� $I(c_k, u) \to I(a, u)$.
��������� $I(c_k, u^*) \le I(c_k, u)$, ����� \ref{uplift} ���� (\ref{toprove}).

\bigskip
{\bf ��� 5.} ����� ��� $a$ ������������� ���� ������� $(H1)$.
����� ����������� ����������� (\ref{toprove}).

����� ������� ����������� ��� $a$ ������, ���������������� $(H1)-(H2)$.
������������� ������ \ref{zeroApprox}.
� �������� ��������� $W$ ������� $\{ v \in \Real: a(\cdot, v) \equiv 0 \}$.
������ ����������� $$Z_a(v) := \{ x \in [-1, 1]: a(x, v) = 0 \}.$$
�������, ��� ��������� $Z_{b_k}(v)$ ��������� ���� � $Z_a(v)$, ���� � $[-1, 1]$.

�������, ��� $b_k$ ������������� $(H2)$.
�������������, � ��������� ������ �������� ������������������ $v_l$, ��� �������
$l < \card(Z_{b_k})(v_l) < \infty$.
����� �������� � ��������������������� ����� $v_l \to v_0$.
�������, ��� $Z_a(v_0) = [-1, 1]$. �� ����� \ref{periodicity} �������, ���
��������� $Z_{b_k}(v_l) = Z_a(v_l)$ ������������� � �������� �� ����� $\frac{2}{l - 1}$.
������� ��������� $x \in [-1, 1]$. ��� ������� $l$ �������� $x_l$ �����, ���
$\abs{x - x_l} \le \frac{1}{l - 1}$ � $a(x_l, v_l) = 0$.
�� $a(x_l, v_l) \to a(x, v_0)$.
��� �����, $a(x, v_0) = 0$ � $Z_a(v_0) = [-1, 1]$.
�� ��� ��������, ��� ��� ������� $v$ ������,
��� $\abs{v - v_0} \le \frac{1}{k}$, ��������� $b_k(\cdot, v) \equiv 0$,
��� ������������ $\card(Z_{b_k})(v_l) < \infty$.


����������� ������ $k \in \Nat$, ��������� $b_k =: b$
� ��������� ������� $b$ ������, ���������������� $(H1)-(H3)$.
�� $(H2)$ � ����� \ref{periodicity}, ����� 2, �������, ��� �������� ��������� $T \subset [-1, 1]$,
��������� �� ��������� ����� ���������, �����, ���
���� $x \not \in T$ � $a(x, v) = 0$ ��� ���������� $v$, �� $b(\cdot, v) \equiv 0$.
����� ������������� ������ \ref{zeroApprox} � ����������
$W = u(T) \cup u^*(T)$.

���������� ��� ������ ����� ���� $c_j$ ������������� $(H1)-(H2)$, ��������� ���������� �� $b$ ����
����������� �� ����������� ���������, ������� ������� � ��������� ������ �� $v$.
��������, $\min\limits_{dist(x, u^{-1}(v)) \le \frac{2}{j}} c_j(x, v)$ �� ����� ���� ���
$v \in U(c_j)$, ������� � ���������� $j$.
����� ����, ��� $v \in U(c_j)$
$$
\frac{\max\limits_{ \abs{x_i - x_{i + 1}} \le \frac{2}{j} } \abs{c_j(x_i, v) - c_j(x_{i + 1}, v)} }
{\min\limits_{\dist(x, u^{-1}(v)) \le \frac{2}{j}} c_j(x, v)}
=\frac{\max\limits_{ \abs{x_i - x_{i + 1}} \le \frac{2}{j} } \abs{b(x_i, v) - b(x_{i + 1}, v)} }
{\min\limits_{\dist(x, u^{-1}(v)) \le \frac{2}{j}} b(x, v)}.
$$
��� ����, ����������� ������ ����� ��� $v \in U(c_j)$ ������� �� ����.
��� �����, $D_j(c_j, U(c_j))$ ����������.

��������� $D_j$ �� �������� ��� ���������� ������� ��������� �� �����������, �� ��������� �� $x$,
� $U(c_j) \nearrow U(b)$, ����� ��� $j \to \infty$
$$D_j(c_j, U(c_j)) = D_j(b, U(c_j)) \le D_j(b, U(b)) \to 0.$$

����� �������, ���� $c_j$ ������������� $(H1)-(H3)$.
��� �����, $I(c_j, u^*) \le I(c_j, u)$.
�������� � �������, ������� $I(b_k, u^*) \le I(b_k, u)$, � ����� � ����������� (\ref{toprove}).

��� �����, ������� \ref{mainThm} ��������.
\hfill$\square$

\medskip

���������� ������ ������, ����� ������� $u$ ������������� ��������������� ������� $u(-1) = 0$.
\begin{thm}
����� $F \in \mathfrak{F}$, ������� $u \in \W(-1, 1)$ ��������������, $u(-1) = 0$,
������� ������� $a: [-1, 1] \times \Real_+ \to \Real_+$ ����������
� ������������� ����������� $(\ref{almostConcave})$.
����� ����������� ����������� $(\ref{toprove})$.
\end{thm}

\begin{proof}
�� ������� ����� �������������� ������� \ref{mainThm},
�� ������ $(H1)$ � $(H7)$ ����������� ��������� ������� �� ���:

\bigskip
\noindent
$(H1')$ $a(x, v)$ ������������� ����������� (\ref{almostConcave}), � ����� $I(a, u) < \infty$.

\bigskip
\noindent
$(H7')$ ��������� ������� $(H7)$, � $a(\cdot, v) \equiv 0$ � ��������� $v$-����������� ����.

\bigskip
{\bf ��� 1.} ����� $u \in \W(-1, 1)$, ��������� $u(-1) = 0$, � ��� $a$ ������������� �������� $(H1'), (H2)-(H6), (H7')$.
����� ����������� ����������� (\ref{toprove}).

��� �������������� ����� ���������� ������� $u$ ��� ��, ��� � � ������ ���� �������������� ������� \ref{mainThm},
� ������� $u$ � ��������� ����������� ����� $x = -1$ �� �������� ���, ����� $u_n(-1) = 0$.

\bigskip
{\bf ��� 2.} ����� ��� $a$ ������������� �������� $(H1'), (H2)-(H6)$.
����� ����������� ����������� (\ref{toprove}).

��� �������������� ������� � ��������� $W$ �� ������� ���� �������������� ������� \ref{mainThm} ����� $0$
� �������� �����������.

\medskip

���������� ���� �������� ��� ���������.
\end{proof}

\section{����������. ������ ������������ ������������}

\subsection{����������� ������� �� ���}

\begin{lm}
���� ����������� $(\ref{toproveSymm})$ ����������� ��� ������������ $F \in \mathfrak{F}$
� ������������ ������� �������� $u$, ��
��� $a$ ������������� �������
\begin{equation}
\label{almostConvex}
\forall s, t \in [-1, 1], \forall v \in \Real_+ \quad
a( s, v ) + a( t, v ) \ge a\Big( \frac{ s - t }{2}, v \Big) + a\Big( \frac{ t - s }{2}, v \Big).
\end{equation}
\end{lm}

\begin{proof}
�����������, ��� ����������� (\ref{almostConvex}) �� ���������.
����� �������� $-1 \le s < t \le 1$, $\eps, \delta > 0$ ($2 \eps < t - s$) � $\bar{v} \in \Real_+$,
�����, ��� ��� ������ $0 \le z \le \eps$ � ������ $\bar{v} \le v \le \bar{v} + \eps$ ���������
\begin{equation}
\label{notConvex}
a(s + z, v + z) + a(t - z, v + z) + 2 \delta < a\Big(\frac{s - t}{2} + z, v + z \Big) + a\Big(\frac{t - s}{2} - z, v + z \Big).
\end{equation}

���������� ������� $u$, ��������� � (\ref{parLinU}). �����
$$
\left\{     
\begin{aligned}
\bar{u}(x) &= \bar{v}, & x \in &[-1, \frac{s - t}{2}] \cup [\frac{t - s}{2}, 1]\\
\bar{u}(x) &= \bar{v} + x - \frac{s - t}{2}, & x \in &[\frac{s - t}{2}, \frac{s - t}{2} + \eps]\\
\bar{u}(x) &= \bar{v} + \eps, & x \in &[\frac{s - t}{2} + \eps, \frac{t - s}{2} - \eps]\\
\bar{u}(x) &= \bar{v} + \frac{t - s}{2} - x, & x \in &[\frac{t - s}{2} - \eps, \frac{t - s}{2}].
\end{aligned}
\right.
$$

������ ��������
\begin{multline*}
0 \le I(a, u) - I(a, \overline{u}) \\
=\int_0^{\eps} F( u(s + z), \frac{a( s + z, u(s + z) )}{\eps} ) dz + \int_0^{\eps} F( u(t - z), \frac{a(t - z, u(t - z))}{\eps} ) dz \\
-\int_0^{\eps} F( \bar{u}(\frac{s - t}{2} + z), \frac{a( \frac{s - t}{2} + z, \bar{u}(\frac{s - t}{2} + z) )}{\eps} ) dz \\
-\int_0^{\eps} F( \bar{u}(\frac{t - s}{2} - z), \frac{a( \frac{t - s}{2} - z, \bar{u}(\frac{t - s}{2} - z) )}{\eps} ) dz =: J.
\end{multline*}

������� $F(v, p) := f(p) := p + \gamma p^2$, ��� $\gamma > 0$.
�����
\begin{multline*}
J = \int_0^{\eps} \big( f(\frac{a(s + z, \bar{v} + z)}{\eps}) + f(\frac{a(t - z, \bar{v} + z)}{\eps}) \\
- f(\frac{a(\frac{s - t}{2} + z, \bar{v} + z)}{\eps}) - f(\frac{a(\frac{t - s}{2} - z, \bar{v} + z)}{\eps}) \big) dz.
\end{multline*}

��������� $A := \max a(x, v)$, ��� �������� ������� �� ���� $x \in [-1, 1]$ � $v \in [\bar{v}, \bar{v} + \eps]$.
���� ����� $\gamma := \frac{\delta / \eps}{(A / \eps)^2} > 0$,
�� ��� $p \le \frac{ A }{\eps}$ ����� $p \le f( p ) \le p + \frac{\delta}{\eps}$, �
\begin{equation*}
J \le \frac{1}{\eps} \int_0^{\eps} \big( a(s + z, \bar{v} + z) + a(t - z, \bar{v} + z) + 2 \delta
- a(\frac{s - t}{2} + z, \bar{v} + z) - a(\frac{t - s}{2} - z, \bar{v} + z) \big) dz < 0
\end{equation*}
(��������� ����������� ������� �� (\ref{notConvex})).

��� �����, �� ������ � ������������, ��� ��������� ��������������.
\end{proof}

\begin{lm}
���� ��� ������� $a \in C([-1, 1] \times \Real_+)$ ��������� ����������� $(\ref{almostConvex})$,
�� ��� ����� � ������� �� ������� ���������.
\end{lm}

\begin{proof}
����������� ��� ������, ��� $a(\cdot, v) \in C^1([-1, 1])$ ��� ������ $v$.
����������� ������������ $s \in [-1, 1]$ � $v \in \Real_+$ � ���������� �������
$$b(x) := a( s, v ) + a( x, v ) - a( \frac{ s - x }{2}, v ) - a( \frac{ x - s }{2}, v ) \ge 0.$$
$x = -s$ �������� ������ �������� ������� $b$, ��������� $b(-s) = 0$.
������,
$$b'(-s) = a'_x( -s, v ) + \frac{1}{2} a'_x( s, v ) - \frac{1}{2} a'_x( -s, v ) = 0,$$
�� ���� $a'_x( s, v ) = -a'_x( -s, v )$. ��� �����, ������� $a(\cdot, v)$ �����.

���������� ������ ������ ������������ ����������� $a$.

��������� $a( x, v ) := a( -1, v )$ ��� $x < -1$ � $a( x, v ) := a( 1, v )$ ��� $x > 1$.
���������� ���������� �������:
$$a_\rho( x, v ) = \int_\Real \omega_\rho ( z ) a( x - z, v ) dz = \int_\Real \omega_\rho ( z ) a( x + z, v ) dz,$$
��� $\omega_\rho(z)$ --- ����������� ���� � �������� $\rho$.
����� 
\begin{multline*}
a_\rho( s, v ) + a_\rho( t, v ) - a_\rho( \frac{ s - t }{2}, v ) - a_\rho( \frac{ t - s }{2}, v ) =
\\ \int_\Real \omega_\rho ( z ) \big( a( s - z, v ) + a( t + z, v ) - a( \frac{ s - t }{2} - z, v ) - a( \frac{ t - s }{2} + z, v ) \big) dz \ge 0.
\end{multline*}
������ $a_\rho(\cdot, v)$ --- ������.
�������� � ������� ��� $\rho \to 0$, ��������, ��� $a(\cdot, v)$ --- ������.

�������, ��� ����� $s$, $t$ � $v$ �����
$$a( s, v ) + a( t, v ) = a( s, v ) + a( -t, v ) \ge 2 a\big( \frac{ s + t }{2}, v \big).$$
\end{proof}

\subsection{�������������� ����������� (\ref{toproveSymm})}
\label{sobolevSymm}

\begin{thm}
\label{symmThm}
����� $F \in \mathfrak{F}$, ������� $u \in \W(-1, 1)$ ��������������,
� ����������� ������� ������� $a: [-1, 1] \times \Real_+ \to \Real_+$
����� � ������� �� ������� ���������.
����� ����������� ����������� $(\ref{toproveSymm})$.
\end{thm}

\begin{proof}
��� ����������� �� ��������,
��� ���������� ������� $u$ ����������� ������� �������� � \cite{Br}.
����� �������, ���������� ���� ������� � $\W$-��������.

��������� ��������� �� $x$ ���� ������� ����� ��������� ����,
������� �� ������������� ��� ������ ���������� ������������.
�������� ��� ������� ��� $x < 0$ � ���������� ��� $x > 0$
���������� �� $v$.
��� �����, �� ����� ������ � ������� $(H6)$ �� ������� \ref{mainThm}.
����� ����� � ������� $(H7)$, �������� ����� \ref{zeroApprox}
� ���������� $W = \{u(0)\}$.
��� ���� ��� ����������� ����� ��������������� ����� 1 ��������������,
������� ����������� (\ref{toproveSymm}) � ����� ����.
�������, ��� ��� 1 ���������� ���� ������� $(H1)$, $(H6)$, $(H7)$,
��� ��� ��� ����� ��������� ���������.
\end{proof}

\vskip 40pt

�� ������ ������������ ���������� �.~�.~������������ �� ������ ���������,
����������� �������� ����� ������.

\hyphenation{�����}
������ ������� ������ ���������� ������� ���� 12-01-00439
� ������� ����� 6.38.670.2013.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ASC} G.~Alberti,~F.~Serra~Cassano: Non-occurrence of gap for one-dimentional autonomous functionals,
Proceedings of ``Calc. Var., Homogen. and Cont. Mech.'', G.~Bouchitt\'e, G.~Buttazzo, P.~Suquet, ed.: World Sci., Singapore, p.~1--17, 1994
\bibitem{Br} F.~Brock: Weighted Dirichlet-type inequalities for Steiner symmetrization,
Calc. Var. and PDEs~{\bf8}, p.~15--25, 1999
\bibitem{Kawohl} B.~Kawohl: Rearrangements and convexity of level sets in PDE,
Lecture notes in mathematics {\bf1150}. Berlin; Springer Verlag, 1985. 134~p.
\bibitem{Lan} R.~Landes: Some remarks on rearrangements and functionals with non-constant density,
Math.~Nachr.~{\bf280}, \No5--6, p.~560--570, 2007
\bibitem{DAN} �.~��������, �.~�������: �� ��������� ����������� ����-���� ��� ���������� ������������,
������� �������� ����~{\bf438}, \No1, �.~11--13, 2011
\bibitem{BGH} ��.~��������, �.~���������, �.~������������: ���������� ������������ ������. ��������,
������� �����, �����������, 2002. 246~�.
%G.~Buttazzo, M.~Giaquinta, S.~Hildebrandt: One-dimensional Variational Problems,
%Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications {\bf15}, 1998. 272 p.
\bibitem{Zh1} �.~�.~�����: � ������� ����������� �������������,
�����. ��., {\bf189}, \No8, �.~27--58, 1998
\bibitem{Zh2} �.~�.~�����: � �������� ����������� �������� � ������������ ������������ ������������� ����������,
�����. ������ � ��� ����., {\bf35}, \No1, �.~23--39, 2001
\bibitem{LL} �.~���, �.~����: ������, ������� �����, �����������, 1998. 276~�.
\bibitem{Rudin} �.~�����: �������������� ������, ���, �., 1975. 444~�.
\bibitem{Fed} �.~�������: �������������� ������ ����, �����, �., 1987. 760~�.
\bibitem{Gariepy} �.~�.~�����, �.~�.~�������: ������ ���� � ������ �������� �������, ������� �����, �����������, 2002. 216~�.
%\bibitem{Gariepy} L.~C.~Evans, R.~F.~Gariepy: 
%\bibitem{ET} �.~������, �.~�����: �������� ������ � ������������ ��������, ���, �., 1979. 400~�.

\end{thebibliography}

\end{document}
