\documentclass[12pt,russian]{article}
\renewcommand{\baselinestretch}{1}
%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\textwidth=158mm
\textheight=232mm
\voffset=-24mm
%\pagestyle{empty}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,amsfonts}
\usepackage{multirow}
\newcommand{\Real}{\mathbb R}
\newcommand{\Nat}{\mathbb N}
\newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert}
\newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert}
\newcommand{\bignorm}[1]{\bigl\Vert#1\bigr\Vert}
\newcommand{\bigabs}[1]{\bigl\vert#1\bigr\vert}
\newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\liminf}{\underline{\lim}}
\newcommand{\grad}{\triangledown}
\newcommand{\card}{{\rm card}}
\newtheorem{thm}{Теорема}
\newtheorem{prop}{Предложение}
\newtheorem{lm}{Лемма}
\newtheorem{rem}{Замечание}
\newtheorem{cor}{Следствие}
\newcommand{\To}{\longrightarrow}
\newcommand{\Wf}{\stackrel{o\ }{W_1^1}}
\newcommand{\W}{W_1^1}
\newcommand{\sign}{\mathop{\rm sign}\nolimits}
\newcommand{\dist}{\mathop{\rm dist}\nolimits}
\newcounter{pictureCounter}
\begin{document}

\title{О монотонности некоторых функционалов при перестановках}
\author{
С.~В.~Банкевич
\footnote{ООО "ИнтеллиДжей Лабс"{}, Россия; Sergey.Bankevich@gmail.com}
\and
А.~И.~Назаров
\footnote{ПОМИ РАН и Санкт-Петербургский госуниверситет; al.il.nazarov@gmail.com}
}

\maketitle

\section{Введение}
Напомним, что для измеримой функции $u: [-1, 1] \to \Real_+$
(здесь и далее $\Real_+ = [0, \infty)$)
верна формула послойного представления.
Именно, положим $\mathcal{A}_t := \{ x \in [-1,1] :\ u( x ) > t \}$.
Тогда имеет место равенство $u(x) = \int_0^\infty \chi_{\mathcal{A}_t} dt$.

Определим монотонную перестановку измеримого множества $E \subset [-1, 1]$ и
монотонную перестановку неотрицательной функции $u \in \W(-1, 1)$:
\begin{eqnarray*}
E^* := [1 - \abs{E}, 1] \qquad
u^*(x) := \int_0^\infty \chi_{\mathcal{A}_t^*} dt
\end{eqnarray*}

В тех же условиях можно определить симметричную перестановку (или симметризацию) множества и функции:
\begin{eqnarray*}
\overline{E} := [-\frac{\abs{E}}{2}, \frac{\abs{E}}{2}] \qquad
\overline{u}(x) := \int_0^\infty \chi_{\overline{\mathcal{A}_t}} dt
\end{eqnarray*}

Определим множество $\mathfrak{F}$ непрерывных функций $F: \Real_+ \times \Real_+ \to \Real_+$,
выпуклых и возрастающих по второму аргументу.

Рассмотрим функционал:
\begin{equation}
\label{functional}
I( a, u ) = \int_{-1}^1 F( u(x), a( x, u( x ) ) \abs{ u'( x ) } ) dx,
\end{equation}
где $a: [-1, 1] \times \Real_+ \to \Real_+$ --- непрерывная функция, $F \in \mathfrak{F}$.

Хорошо известно, что при $a \equiv const$ справедливы неравенства
\begin{eqnarray}
\label{toprove}
I(a, u^*) &\le& I(a, u), \qquad \qquad u \in \W(-1, 1); \\
\label{toproveSymm}
I(a, \overline{u}) &\le& I(a, u), \qquad \qquad u \in \Wf(-1, 1)
\end{eqnarray}
(см., например, \cite{Kawohl} и цитированную там литературу).

В работе \cite{Br} доказывается неравенство (\ref{toproveSymm}) и его многомерный аналог
при условии, что функция $a$ четна и выпукла по $x$.
Однако, доказательство содержит пробел,
и фактически это неравенство доказано лишь для липшицевых функций $u$.

Именно, доказывая неравенство (\ref{toproveSymm}) для естественного класса функций,
автор \cite{Br} аппроксимирует функцию $u \in \Wf$ с конечным интегралом (\ref{functional})
кусочно линейными функциями $u_k$ и утверждает, что $I(a, u_k) \to I(a, u)$.
Однако, это утверждение не обосновано и в общем случае даже неверно.
М.~А.~Лаврентьев в 1926 году построил первый пример интегрального функционала,
для которого инфимум по области определения строго меньше инфимума по множеству липшицевых функций.
Исторический обзор и простые примеры ``одномерных'' функционалов,
для которых имеет место эффект Лаврентьева, можно найти, например, в монографии \cite{BGH}.
Отметим, что глубокое исследование эффекта Лаврентьева для некоторых классов многомерных функционалов
было проведено В.~В.~Жиковым (см., напр., \cite{Zh1}, \cite{Zh2}).

В работе \cite{ASC} доказано отсутствие эффекта Лаврентьева для функционалов вида
$I(a, u) = \int_{-1}^1 F(u, u')$
и, более того, показано, что для любой $u \in \W(-1, 1)$ существует последовательность
липшицевых функций $u_k$, такая, что
\begin{equation}
\label{convergence}
u_k \to u \text{ в } \W(-1, 1) \quad \text{ и } \quad I(a, u_k) \to I(a, u).
\end{equation}

Мы модифицируем доказательство из \cite{ASC} и доказываем отсутствие эффекта Лаврентьева
для функционалов вида (\ref{functional}).
Это дает возможность восполнить пробел в доказательстве из \cite{Br} для одномерного случая.
Кроме того, мы устанавливаем необходимость четности и выпуклости веса для выполнения
неравенства (\ref{toproveSymm}).

Основная часть нашей работы посвящена неравенству (\ref{toprove}).
Мы находим необходимое и достаточное условие на вес $a$ для выполнения неравенства (\ref{toprove})%
\footnote{В частности, неравенство выполнено, если весовая функция $a$ четна и вогнута по $x$.}.
При некоторых дополнительных условиях этот результат был анонсирован в \cite{DAN}.

Отметим еще, что неравенство (\ref{toprove}) для функционалов, аналогичных (\ref{functional}),
рассматривалось в работе \cite{Lan} при дополнительном ограничении $u(-1) = 0$.
При этом ограничении мы также получаем необходимые и достаточные условия выполнения (\ref{toprove}).
(В \cite{Lan} предполагалось, что весовая функция убывает по $x$.)

Статья разделена на восемь параграфов.
В \S2 выводятся необходимые условия на весовую функцию $a$ для выполнения неравенства (\ref{toprove}).
В \S3 сконцентрированы вспомогательные утверждения для весов, удовлетворяющих необходимым условиям.
В \S4 неравенство (\ref{toprove}) доказано для кусочно линейных функций $u$.
В \S5 мы намечаем схему для распространения неравенства (\ref{toprove}) на более широкие классы функций $u$.
В \S6 мы доказываем неравенство (\ref{toprove}) при условии, что вес $a$ сначала возрастает, затем убывает.
\S7 посвящен доказательству неравенства (\ref{toprove}) в общем виде.
Наконец, в \S8 мы рассматриваем случай симметричной перестановки.
Здесь мы получаем необходимые условия на вес, а также завершаем доказательство неравенства (\ref{toproveSymm}).

\section{Условия, необходимые для выполнения неравенства (\ref{toprove})}

\begin{thm}
{\bf 1} Если неравенство $(\ref{toprove})$ выполняется для некоторой $F \in \mathfrak{F}$
и произвольной кусочно линейной $u$, то вес $a$ четен по первому аргументу,
то есть $a(x, v) \equiv a(-x, v)$.

{\bf 2} Если неравенство $(\ref{toprove})$ выполняется для произвольной $F \in \mathfrak{F}$
и произвольной кусочно линейной $u$, то вес $a$ удовлетворяет неравенству
\begin{equation}
\label{almostConcave}
a( s, v ) + a( t, v ) \ge a( 1 - t + s, v ), \qquad -1 \le s \le t \le 1, v \in \Real_+.
\end{equation}
\end{thm}

\begin{proof}
{\bf 1.} Предположим, что $a(x, v) \not\equiv a(-x, v)$.
Тогда найдутся такие $\bar{x} \in (-1, 1)$ и $\bar{v} \in \Real_+$, что
$$a(\bar{x}, \bar{v}) < a(-\bar{x}, \bar{v}).$$
Поэтому существует $\eps > 0$, такое, что
$$\bar{x} - \eps \le x \le \bar{x}, \bar{v} \le v \le \bar{v} + \eps \Rightarrow a(x, v) < a(-x, v),$$
и можно взять следующую функцию:
$$
\left\{     
\begin{aligned}
u(x) &= \bar{v} + \eps, & x \in [-1,\bar{x}-\eps]\\
u(x) &= \bar{v} + \bar{x} - x, & x \in (\bar{x} - \eps, \bar{x})\\
u(x) &= \bar{v}, & x \in [\bar{x}, 1]
\end{aligned}
\right.
$$
Тогда $u^*(x, v) = u(-x, v)$ и
\begin{multline*}
I(a, u)-I(a, u^*) = \int_{\bar{x}-\eps}^{\bar{x}} F( \bar{v} + \bar{x} - x, a(x, \bar{v} + \bar{x} - x) ) dx -
\int_{-\bar{x}}^{-\bar{x}+\eps} F( \bar{v} + \bar{x} + x, a(x, \bar{v} + \bar{x} + x) ) dx \\ =
\int_{\bar{x}-\eps}^{\bar{x}} ( F( \bar{v} + \bar{x} - x, a(x, \bar{v} + \bar{x} - x) ) -
F( \bar{v} + \bar{x} - x, a(-x, \bar{v} + \bar{x} - x) ) ) dx < 0,
\end{multline*}
что противоречит условию. Утверждение {\bf 1} доказано.

{\bf 2.} Предположим, что условие (\ref{almostConcave}) не выполняется.
Тогда в силу непрерывности функции $a$ найдутся такие $-1 \le s \le t \le 1$, $\eps, \delta > 0$ и $\bar{v} \in \Real_+$, что
для любых $0 \le y \le \eps$ и $\bar{v} \le v \le \bar{v} + \eps$ справедливо неравенство
$$a( s + y, v ) + a( t - y, v ) + \delta < a( 1 - t + s + 2y, v ).$$

Рассмотрим функцию $u$ (см. рис. \ref{uGraph})	:
\begin{equation}
\label{parLinU}
\left\{     
\begin{aligned}
u(x) &= \bar{v}, & x \in [-1, s] \cup [t, 1]\\
u(x) &= \bar{v} + x - s, & x \in [s, s + \eps]\\
u(x) &= \bar{v} + \eps, & x \in [s + \eps, t - \eps]\\
u(x) &= \bar{v} + t - x, & x \in [t - \eps, t]
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

\begin{center}
\begin{picture}(200,90)
\refstepcounter{pictureCounter}
\label{uGraph}
\put(10,65){\line(1,0){50}}
\put(60,65){\line(1,1){10}}
\put(70,75){\line(1,0){40}}
\put(110,75){\line(1,-1){10}}
\put(120,65){\line(1,0){70}}
\put(0,25){\vector(1,0){200}}
\put(100,15){\vector(0,1){80}}
\put(99,65){\line(1,0){2}}
\put(92,62){$\bar{v}$}
\put(60,24){\line(0,1){2}}
\put(58,14){$s$}
\put(120,24){\line(0,1){2}}
\put(119,14){$t$}
\put(10,24){\line(0,1){2}}
\put(6,14){$-1$}
\put(190,24){\line(0,1){2}}
\put(188,14){$1$}
\put(20,70){$u(x)$}
\put(85,1){рис. \arabic{pictureCounter}}
\end{picture}
\end{center}
Тогда
$$
\left\{     
\begin{aligned}
u^*(x) &= \bar{v}, & x \in [-1, 1 - t + s]\\
u^*(x) &= \bar{v} + x - s, & x \in [s, s + \eps]\\
u^*(x) &= \bar{v} + \frac{ x - ( 1 - t + s ) }{2}, & x \in [1 - t + s, 1 - t + s + 2\eps]
\end{aligned}
\right.
$$
(см. рис. \ref{uStarGraph}).

\begin{center}
\begin{picture}(200,90)
\refstepcounter{pictureCounter}
\label{uStarGraph}
\put(10,65){\line(1,0){120}}
\put(130,64){\line(2,1){20}}
\put(150,75){\line(1,0){40}}
\put(0,25){\vector(1,0){200}}
\put(100,15){\vector(0,1){80}}
\put(99,65){\line(1,0){2}}
\put(92,67){$\bar{v}$}
\put(130,24){\line(0,1){2}}
\put(110,14){$1 - t + s$}
\put(10,24){\line(0,1){2}}
\put(6,14){$-1$}
\put(190,24){\line(0,1){2}}
\put(188,14){$1$}
\put(20,70){$u^*(x)$}
\put(85,1){рис. \arabic{pictureCounter}}
\end{picture}
\end{center}

Имеем
\begin{multline*}
I(a, u^*) = \int_0^{2\eps} F(u(1 - t + s + z), \frac{a(1 - t + s + z, u(1 - t + s + z))}{2}) dz\\
= \int_0^\eps 2 F(\bar{v} + y, \frac{a(1 - t + s + 2y, \bar{v} + y)}{2}) dy\\
0 \le I( a, u ) - I( a, u^* ) =
\int_0^\eps ( F(\bar{v} + y, a(s + y, \bar{v} + y)) + F(\bar{v} + y, a( t - y, \bar{v} + y))\\
- 2 F(\bar{v} + y, \frac{ a(1 - t + s + 2y, \bar{v} + y) }{2})) dy\\
< \int_0^\eps ( F(\bar{v} + y, a(s + y, \bar{v} + y)) + F(\bar{v} + y, a(t - y, \bar{v} + y))\\
- 2 F(\bar{v} + y, \frac{ a(s + y, \bar{v} + y) + a(t - y, \bar{v} + y) + \delta }{2})) dy =: J.
\end{multline*}

Рассмотрим теперь функцию $F(v, p) = p^\alpha$.
Очевидно, что при $\alpha = 1$ выполнено неравенство
\begin{equation}
\label{anticonvex}
\frac{F(v, p) + F(v, q)}{2} - F(v, \frac{p + q}{2} + \frac{\delta}{2}) < 0.
\end{equation}
Нас интересуют $p, q$, лежащие на компакте $[0, \max\limits_{(x, v)} a]$,
где $(x, v) \in [-1, 1] \times u([-1, 1])$.
Значит найдется такое $\alpha > 1$, что неравенство (\ref{anticonvex})
будет продолжать выполняться.
Например, подходит любое $1 < \alpha < ( \log_2 \frac{2 A}{A + \delta} )^{-1}$.

Тем самым, мы подобрали строго выпуклую по второму аргументу функцию $F$,
для которой $J \le 0$.
Это противоречие доказывает утверждение {\bf 2}.
\end{proof}

\begin{rem}
\label{landesNecessary}
Видно, что в доказательстве второго пункта теоремы
функцию $u$ на отрезке $[-1, s]$ можно заменить на любую возрастающую функцию.
Тем самым, условие $(\ref{almostConcave})$ является необходимым и для выполнения неравенства $(\ref{toprove})$
в случае закрепленных на левом конце функций: $u( -1 ) = 0$.
\end{rem}

\begin{rem}
Если функция $a$ неотрицательна, а также четна и вогнута по первому параметру, то она удовлетворяет условию $(\ref{almostConcave})$.
Действительно: для любых $s$, $t$ и $u$ выполнено $a( 1, u ) - a( s, u ) \le a( t, u ) - a( -1 + t - s, u )$.
А так как $a( 1, u ) \ge 0$, то
получаем $a( s, u ) + a( t, u ) \ge a( -1 + t - s, u ) = a( 1 - t + s, u )$.
Обратное вообще говоря неверно, то есть не всякая четная
неотрицательная функция, удовлетворяющая $(\ref{almostConcave})$, вогнута.
\end{rem}

\section{Свойства весовой функции}

Для краткости в этом параграфе будем опускать второй аргумент у функции $a$.

\begin{lm}
\label{weightSum}
Рассмотрим непрерывную функцию $a \ge 0$, заданную на $[-1,1]$,
и удовлетворяющую условию (\ref{almostConcave}).
Тогда для любых $-1 \le t_1 \le t_2 \le \ldots \le t_n \le 1$ верно
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n a(t_k) & \ge a( 1 - \sum_{k = 1}^n (-1)^k t_k ), & \text{ для четных $n$},&\\
\sum_{k=1}^n a(t_k) & \ge a( -\sum_{k = 1}^n (-1)^k t_k ),    & \text{ для нечетных $n$}.&
\end{align*}
\end{lm}

\begin{proof}
Будем доказывать по индукции. Для $n = 1$ утверждение тривиально.
Пусть теперь $n$ четное. Тогда, по предположению индукции,
$\sum_{k=1}^{n - 1} a(t_k) \ge a( -\sum_{k = 1}^{n - 1} (-1)^k t_k )$. Значит
$$\sum_{k = 1}^{n - 1} a( t_k ) + a( t_n ) \ge a( -\sum_{k = 1}^{n - 1} (-1)^k t_k ) + a( t_n ) \ge
a( 1 - \sum_{k = 1}^{n} (-1)^k t_k ).$$
В случае нечетного $n$ воспользуемся предположением индукции в следующем виде:
$\sum_{k=2}^n a(t_k) \ge a( 1 + \sum_{k = 2}^n (-1)^k t_k )$. Тогда
$$a( t_1 ) + \sum_{k = 2}^n a( t_k ) \ge a( t_1 ) + a( 1 + \sum_{k = 2}^{n} (-1)^k t_k ) \ge
a( -\sum_{k = 2}^{n} (-1)^k t_k + t_1 ) = a( -\sum_{k = 1}^{n} (-1)^k t_k ).$$
\end{proof}

\begin{rem}
Если вдобавок к условию леммы предположить, что функция $a$ четна, то выполняются также следующие неравенства:
\label{almostConcaveMultRem}
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n a(t_k) & \ge a( -1 + \sum_{k = 1}^n (-1)^k t_k ), & \text{ для четных $n$},&\\
\sum_{k=1}^n a(t_k) & \ge a( \sum_{k = 1}^n (-1)^k t_k ),    & \text{ для нечетных $n$}.&
\end{align*}
\end{rem}

\begin{lm}
\label{periodicity}
{\bf 1.} Пусть функция $a$ удовлетворяет условию $(\ref{almostConcave})$.
Если найдется такое $x_0 \in [-1, 1]$, что $a(x_0) = 0$,
то либо $a\Big |_{[x_0, 1]} \equiv 0$,
либо множество нулей функции $a$ периодично на $[x_0, 1]$,
причем период нацело делит $1 - x_0$.

{\bf 2.} Пусть функция $a$ удовлетворяет условию $(\ref{almostConcave})$ и четна.
Если найдется такое $x_0 \in [-1, 1]$, что $a(x_0) = 0$,
то либо $a \equiv 0$,
либо функция $a$ периодична на отрезке $[-1, 1]$,
причем период нацело делит $1 - x_0$.
\end{lm}

\begin{proof}
Прежде всего, заметим, что если для некоторых $s \le t$
выполнено $a(s) = a(t) = 0$,
то неравенство (\ref{almostConcave}) влечет
$$0 = a(s) + a(t) \ge a(1 - (t - s)) \ge 0,$$
то есть $a(1 - (t - s)) = 0$.

Точно так же, если $s \le 1 - t$ и $a(s) = a(1 - t) = 0$, то $a(s + t) = 0$.

Из этих двух фактов следует, что если $a(s) = a(t) = 0$,
то $a(s + k(t - s)) = 0$ для всех натуральных $k$, для которых $s + k(t - s) \le 1$.

{\bf 1.}
Полагая $s = t = x_0$, получим $a(1) = 0$.

Далее, пусть $x_1 > x_0$ - ближайший к $x_0$ корень функции $a$.
Если такого нет, то, в силу сказанного выше,
$a = 0$ на плотном в $[x_0, 1]$ множестве,
и по непрерывности $a\Big |_{[x_0, 1]} = 0$.
В противном случае должно найтись такое натуральное $K$, что $x_0 + K(x_1 - x_0) = 1$,
иначе мы сможем получить периодичность нулей с меньшим периодом.

Предположим теперь, что найдется корень $x_2 > x_0$, не совпадающий ни с одним из построенных ранее корней.
Тогда, в силу сказанного выше, найдется корень $x_3 \in (1 - (x_1 - x_0), 1)$,
а поэтому и корень $x_4 \in (x_0, x_1)$, что приводит к противоречию.

{\bf 2.} Из предыдущего пункта и четности следует периодичность множества нулей на всем отрезке $[-1, 1]$.
Обозначим расстояние между соседними нулями $\Delta$.

Тогда для произвольного $-1 \le x \le 1 - \Delta$ выполнено $$a(x) = a(x) + a(1 - \Delta) \ge a(x + \Delta).$$

С другой стороны, $-1 \le -(x + \Delta) \le 1 - \Delta$, и выполнено
$$a(x + \Delta) = a(-(x + \Delta)) + a(1 - \Delta) \ge a(-x) = a(x).$$

Тем самым, $a(x) = a(x + \Delta)$.
\end{proof}

\begin{lm}
\label{maxSumConcave}
Пусть функции $a_1$ и $a_2$ удовлетворяют неравенству $(\ref{almostConcave})$.
Тогда функции $a(x) = \max (a_1(x), a_2(x))$ и $a_1(x) + a_2(x)$ тоже ему удовлетворяет.
\end{lm}
\begin{proof}
\begin{multline*}
a(1 + s + t ) = \max( a_1(1 + s + t), a_2(1 + s + t) ) \le
\max( a_1( s ) + a_1( t ), a_2( s ) + a_2( t ) ) \\
\le \max( a_1( s ), a_2( s ) ) + \max( a_1( t ), a_2( t ) ) =
a( s ) + a( t ).
\end{multline*}

Утверждение для второй функции очевидно.
\end{proof}

\begin{lm}
\label{piecewiseLinearConcave}
Пусть функция $a$ удовлетворяет неравенству $(\ref{almostConcave})$, $k \in \Nat$.
Тогда кусочно линейная функция $a_k$, интерполирующая функцию $a$ по узлам
$(-1 + \frac{2i}{k})$, $i = 0, 1, \dots, k$, тоже
удовлетворяет неравенству $(\ref{almostConcave})$.
\end{lm}
\begin{proof}
Пусть $s = -1 + \frac{2i}{k}$, $t = -1 + \frac{2j}{k}$.
Тогда неравенство выполняется для $a_k$, потому что оно выполняется для $a$,
а в этих точках они совпадают.

Пусть теперь $s = -1 + \frac{2i}{k}$, и $t \in [-1 + \frac{2j}{k}, -1 + \frac{2(j + 1)}{k}]$.

Рассмотрим линейную функцию $h_1(t) = a_k( 1 - t + s ) - a_k(t) - a_k(s)$.
Из уже доказанного следует, что $h_1(-1 + \frac{2j}{k}) \le 0$ и $h_1(-1 + \frac{2(j + 1)}{k}) \le 0$.
Значит, поскольку $h_1$ линейна, $h_1(t) \le 0$.
Тем самым, неравенство выполняется для любого $s \in -1 + \frac{2i}{k}$ и $t \in [-1, 1]$.

Рассмотрим функцию $h_2(y) = a_k(\frac{2j}{k}) - a_k(s - y) - a_k(t + y)$, где $1 - t + s = \frac{2j}{k}$.
Предположим, $s + y_0$ --- один из узлов интерполяции, тогда $t + y_0$ тоже будет узлом интерполяции.
Тем самым, $h_2(y_0) = a(\frac{2j}{k}) - a(s - y) - a(t + y) \le 0$.
В промежутках между такими $y_0$ функция $h_2$ линейна, границы области определения $h_2$ приходятся на узлы интерполяции,
значит $h_2(y) \le 0$ на всей области определения.

Рассмотрим функцию $h_3(s) = a_k( 1 - t + s ) - a_k(t) - a_k(s)$ для произвольного фиксированного $t \in [-1, 1]$.
Эта функция кусочно линейна, изломы на ней встречаются каждый раз, когда либо $s$, либо $1 - t + s$
приходится на узел интерполяции. Однако, мы уже доказали, что в этих точках $h_3(s) \le 0$.
Границы области определения $h_3$ приходятся на узлы интерполяции, тем самым, $h_3(s) \le 0$ всюду.
\end{proof}

\section{Результат на кусочно линейных функциях}

\rm
В этом параграфе мы докажем неравенство (\ref{toprove}) для кусочно линейных функций.
Не умаляя общности, будем считать, что $F(\cdot, 0) \equiv 0$.

\begin{thm}
\label{linth}
Пусть функция $a$ четна и удовлетворяет условию $(\ref{almostConcave})$.
Тогда, если $u$ --- неотрицательная кусочно линейная функция, то $I(a, u) \ge I(a, u^*)$.
\end{thm}                    

\begin{proof}
Положим $-1 = x_1 < x_2 < \dots < x_K = 1$ --- множество точек перелома функции $u$.
Рассмотрим множество $U$ значений функции $u$, не являющихся образами конечных точек
линейных участков: $U := u( [-1, 1] ) \setminus \{ u(x_1), \dots, u(x_K) \}$.
Множество $U$ представляет собой объединение конечного числа интервалов $U = \cup_{j = 1}^N G_j$.

Обозначим $m_j$ число прообразов значения $u_0 \in G_j$,
то есть число решений уравнения $u(y) = u_0$ 
(очевидно, это число постоянно для $u_0 \in G_j$).
Легко видеть, что эти прообразы являются линейными функциями $u_0$:
$y = y_k^j(u_0)$, $k = 1, \dots, m_j$,
и $y_k^j{}'(u(y)) = \frac{1}{u'(u)}$.
Мы будем считать, что $y_1^j(u_0) < y_2^j(u_0) < \dots < y_{m_j}^j(u_0)$.

Решение уравнения $u^*(y^*)=u_0$ ($u_0 \in U$) можно выразить через $y_k^j$:

\begin{center}
\begin{tabular}{l|l|l} 
\multirow{2}{*}{$u(-1)<u_0$ \rule[-34pt]{0pt}{65pt}} & $m_j$ четно   & $y^*=1-\sum\limits_{k=1}^{m_j} (-1)^k y_k^j$ \rule[-17pt]{0pt}{40pt} \\
                                                     & $m_j$ нечетно & $y^*=-\sum\limits_{k=1}^{m_j} (-1)^k y_k^j$ \rule[-17pt]{0pt}{40pt} \\ \hline
\multirow{2}{*}{$u(-1)>u_0$ \rule[-34pt]{0pt}{65pt}} & $m_j$ четно   & $y^*=-1+\sum\limits_{k=1}^{m_j} (-1)^k y_k^j$ \rule[-17pt]{0pt}{40pt} \\
                                                     & $m_j$ нечетно & $y^*=\sum\limits_{k=1}^{m_j} (-1)^k y_k^j$ \rule[-17pt]{0pt}{40pt} \\ 
\end{tabular}
\end{center}

Положим $y^*(v) = (u^*)^{-1}(v)$.
Тогда $y^*{}'(v) = \sum_{k=1}^{m_j} \abs{y_k^j{}'(v)}$ при $u \in G_j$, поскольку знаки в выражении для
$y^*$ и знаки $y_k^j$ чередуются, и $y^*{}'(v)\ge 0$.

Множества нулей $u'(x)$ и $u^*{}'(x)$ могут иметь ненулевую меру.
Однако, они не вносят вклада в интеграл, поскольку $F(u(x), 0) = 0$.

Рассмотрим оставшиеся части интегралов:
\begin{multline*}
I(a, u) = \sum_{j=1}^N \int_{u^{-1}(G_j)} F(u(x), a(x, u(x)) \abs{u'(x)}) dx
\\ = \sum_{j=1}^N \int_{G_j} \sum_{k=1}^{m_j} F\Big(v, \frac{a(y_k^j(v), v)}{\bigabs{y_k^j{}'(v)}}\Big) \bigabs{y_k^j{}'(v)} dv,
\end{multline*}
\begin{multline*}
I(a, u^*) = \sum_{j=1}^N \int_{(u^*)^{-1}(G_j)} F(u^*(x), \bigabs{a(x, u(x)) u^*{}'(x)}) dx
\\ = \sum_{j=1}^N \int_{G_j} F\Big(v, \frac{a(y^*(v), v)}{\sum_{k=1}^{m_j} \bigabs{y_k^j{}'(v)}}\Big)
\sum_{k=1}^{m_j} \bigabs{ y_k^j{}'(v) } dv.
\end{multline*}

Зафиксируем $j$ и $v$ в правых частях и докажем неравенство для подынтегральных выражений.
Обозначим $b_k := |y_k^j{}'(v)|$, $y_k := y_k^j(v)$, $y^* := y^*(v)$, $m := m_j$. Тогда
требуемое утверждение имеет вид:
$$T:=\sum_{k=1}^m b_k F\Big( v, \frac{ a(y_k, v) }{b_k} \Big) \ge F\Big( v, \frac{ a(y^*, v) }{ \sum_{k=1}^m b_k  } \Big) \sum_{k=1}^m b_k$$
С помощью неравенства Йенсена для функции $F(v, \cdot)$ получаем
$$T \ge F\Big( v, \frac{ \sum_{k=1}^m a(y_k, v) }{ \sum_{k=1}^m b_k } \Big) \sum_{k=1}^m b_k.$$
Тогда нам достаточно установить $\sum_{k=1}^m a(y_k, v) \ge a(y^*, v)$, что верно с учетом леммы \ref{weightSum} и замечания
\ref{almostConcaveMultRem}.
\end{proof}

\begin{rem}
\label{landesLinear}
В работе $\cite{Lan}$ неравенство $(\ref{toprove})$ доказывается при дополнительном условии $u(-1) = 0$
для весовых функций $a$, убывающих по $x$.
Несложно видеть, что при этом условии доказательство теоремы $\ref{linth}$ проходит для весов, удовлетворяющих условию
$(\ref{almostConcave})$ без условия четности,
поскольку в этом случае $u(-1) < u_0$, и нам требуются только два неравенства из четырех,
которые и дает лемма $\ref{weightSum}$.
Очевидно также, что условие $(\ref{almostConcave})$ слабее, чем условие убывания $a$ по $x$.
\end{rem}

\section{О расширении класса функций, для которых выполняется $I(a, u^*) \le I(a, u)$}
\begin{lm}
Пусть функция $a$ непрерывна. Тогда функционал $I(a, u)$ слабо полунепрерывен снизу в $\W(-1, 1)$.
\label{lowersemi}
\end{lm}

\begin{proof}
Пусть $u_m \rightharpoondown u$ в $\W(-1, 1)$. Обозначим $A = \varliminf I( a, u_m ) \ge 0$. Наша задача --- доказать
$I(a, u) \le A$. Если $A = \infty$, то утверждение тривиально, так что можно считать $A < \infty$.
Переходя к подпоследовательности, добиваемся $A = \lim I( a, u_m )$. Из слабой сходимости заключаем, что найдется
$R_0$ такое, что $\norm{ u_m }_{\W(-1, 1)} \le R_0$.

Известно, что $\W(-1, 1)$ компактно вкладывается в $L_1(-1, 1)$.
Переходя к подпоследовательности, можно считать, что	 $u_m \to u$ в $L_1(-1, 1)$
и $u_m(x) \to u(x)$ почти всюду.
Тогда по теореме Егорова для любого $\eps$ найдется множество
$G_\eps^1$ такое, что $\abs{ G_\eps^1 } < \eps$ и $u_m \rightrightarrows u$ в $[-1, 1] \setminus G_\eps^1$.

Из равномерной сходимости $\exists K: \forall m>K \ \abs{u_m} \le \abs{u} + \eps$ в $[-1, 1] \setminus G_\eps^1$.
Возьмем $G_\eps^2 = \{ x \in [-1, 1] \setminus G_\eps^1: \abs{u(x)} \ge \frac{R_0 + \eps}{\eps}\}$.
Тогда $$R_0 \ge \int_{-1}^1 \abs{ u(x) } dx \ge \int_{G_\eps^2} \abs{ u(x) } dx \ge
\int_{G_\eps^2} \frac{R_0 + \eps}{\eps} dx = \abs{G_\eps^2} \frac{R_0 + \eps}{\eps}$$
То есть $\abs{G_\eps^2} \le \eps \frac{R_0}{R_0 + \eps} < \eps$.
Вне множества $G_\eps := G_\eps^1 \cup G_\eps^2$ функции $u_m$, $m > K$,
равномерно сходятся и равномерно ограничены.

Из непрерывности $F$ и $a$
следует, что для произвольных $\eps$ и $R$ найдется такое
$N( \eps, R )$, что если $x \in [-1, 1] \setminus G_\eps$, $\abs{ M } \le R$ и $m > N( \eps, R )$, то
$$| F( u_m( x ), a( x, u_m( x ) ) M ) - F( u( x ), a( x, u( x ) ) M ) | < \eps.$$

Рассмотрим множества $E_{m,\eps} := \{ x \in [-1, 1]: \abs{ u_m'( x ) } \ge \frac{ R_0 }{ \eps } \}$.
Имеем
$$R_0 \ge \int_{-1}^1 \abs{ u_m'( x ) } dx \ge \int_{ E_{m,\eps} } \abs{ u_m'( x ) } dx \ge
\int_{ E_{m,\eps} } \frac{ R_0 }{ \eps } dx = \frac{ R_0 }{ \eps } \abs{ E_{m,\eps} }.$$
Поэтому $\abs{ E_{m,\eps} } \le \eps$.

Теперь можно ввести $L_{m,\eps} := [-1, 1] \setminus ( E_{m,\eps} \cup G_\eps )$.
Тогда $\abs{ L_{m,\eps} } \ge 2 - 3 \eps$.

Зафиксируем $R := \frac{ R_0 }{ \eps }$, $N( \eps ) := N( \eps, \frac{ R_0 }{ \eps } )$.
Для любых $\eps > 0$, $x \in L_{m,\eps}$ и $m > N( \eps )$ получим
$$\Big | F( u_m( x ), a( x, u_m( x ) ) \abs{u_m'( x )} ) - F( u( x ), a( x, u( x ) ) \abs{u_m'( x )} ) \Big | < \eps,$$
откуда
$$\int_{L_{m,\eps}} \Big | F( u_m( x ), a( x, u_m( x ) ) \abs{u_m'( x )} ) - F( u( x ), a( x, u( x ) ) \abs{u_m'( x )} ) \Big | dx < 2 \eps.$$

Возьмем $\eps_j = \frac{ \eps }{ 2^j }$ ($j \ge 1$), $m_j = N( \eps_j ) + j \to \infty$ и $L_\eps = \bigcap L_{m_j,\eps_j}$.
Тогда $\sum \eps_j = \eps$ и $\abs{ [-1, 1] \setminus L_\eps } < 3 \eps$.
Теперь можно заключить, что
$$\int_{L_\eps} \Big | F( u_{m_j}( x ), a( x, u_{m_j}( x ) ) |u_{m_j}'( x )| ) - F( u( x ), a( x, u( x ) ) |u_{m_j}'( x )| ) \Big | dx < 2 \eps_j.$$

Имеем
\begin{multline*}
A = \lim I( a, u_{m_j} ) = \lim \int_{-1}^1 F( u_{m_j}( x ), a( x, u_{m_j}( x ) ) |u_{m_j}'( x )| ) dx\\
\ge \varliminf \int_{-1}^1 \chi_{L_\eps} ( x ) F( u( x ), a( x, u( x ) ) |u_{m_j}'( x )| ) dx
=: \varliminf J_\eps( u_{m_j}' ).
\end{multline*}
Наш новый функционал
$$J_\eps( v ) = \int_{-1}^1 \chi_{L_\eps} ( x ) F( u( x ), a( x, u( x ) ) |v( x )| ) dx$$
выпуклый.
Вновь переходя к подпоследовательности (будем обозначать ее $u_k$), можно считать, что
$\varliminf J_\eps( u_{m_j}' ) = \lim J_\eps( u_k' )$. Так как $u_k' \rightharpoondown u'$ в $L_1$,
то можно подобрать последовательность
выпуклых комбинаций $u_k'$, которые будут сходиться к $u'$ сильно (см. \cite[Теорема 3.13]{Rudin}).
А именно: найдутся $\alpha_{k,l} \ge 0$ для
$k \in \Nat$, $l \le k$ такие, что $\sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} = 1$ для каждого $k$ и 
$w_k = \sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} u_{l}' \to u'$ в $L_1$.
Кроме того, очевидно, можно потребовать, чтобы минимальный индекс $l$ ненулевого коэффициента $\alpha_{k,l}$
стремился к бесконечности по $k$.
Тогда
$$\lim J_\eps( u_k' ) = \lim \sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} J_\eps( u_{l}' ).$$

В силу выпуклости $J_\eps$, имеем
$$\sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} J_\eps( u_{l}' ) \ge J_\eps( w_k ).$$

Наконец, поскольку $w_k \to u'$ в $L_1(-1, 1)$, переходя к подпоследовательности, можем считать, что $w_k(x) \to u'(x)$ п.в.
Кроме того, так как в $L_\eps$ выполнено $\abs{ u_j'( x ) } < \frac{ R_0 }{\eps}$, то и $\abs{ w_k( x ) } < \frac{ R_0 }{\eps}$.
Значит,
$$F( u( x ), a( x, u( x ) ) w_k( x ) ) \le \max\limits_{(x, M)} F( u( x ), a( x, u( x ) ) M ) < \infty,$$
где максимум берется по компактному множеству
$(x,M) \in [-1, 1] \times [-\frac{ R_0 }{\eps},\frac{ R_0 }{\eps}]$.
Поэтому применима теорема Лебега, и мы получаем $\lim J_\eps(w_k) = J_\eps(u')$.
Таким образом,
$$A \ge \lim J_\eps( u_k' ) = \lim \sum_{l = 1}^k \alpha_{k,l} J_\eps( u_{l}' ) \ge
\varliminf J_\eps( w_k ) = J_\eps( u' ).$$

Ввиду произвольности $\eps > 0$ имеем $A \ge I(a, u)$.
\end{proof}

\begin{lm}
\label{uplift}
Пусть $A \subset \W(-1,1)$. И пусть $B \subset A$ таково, что
$\forall v \in B$ выполнено $I(a, v^*) \le I(a, v)$. Предположим, что для каждого $u \in A$
найдется последовательность $u_k \in B$ такая, что $u_k \to u$ в $\W(-1, 1)$ и
$I(a, u_k) \to I(a, u)$. Тогда $\forall u \in A$ будет выполнено $I(a, u^*) \le I(a, u)$.
\end{lm}
\begin{proof}
Возьмем некоторую $u \in A$ и для нее найдем соответствующие $u_k \in B$.
По условию $I(a, u_k^*) \le I(a, u_k) \to I(a, u)$.
В \cite[Теорема 1]{Br} показано, что из $u_k \to u$ в $\W(-1,1)$ следует
$\overline{u_k} \rightharpoondown \overline{u}$ в $\W(-1,1)$. Но
$u_k^*( x ) = \overline{u_k}( \frac{x - 1}{2} )$ и
$u^*( x ) = \overline{u}( \frac{x - 1}{2} )$. Значит, и
$u_k^* \rightharpoondown u^*$. Тогда из слабой полунепрерывности снизу
функционала $I$ заключаем $I(a, u^*) \le \liminf I(a, u_k^*)$. Тем самым,
$I(a, u^*) \le I(a, u)$.
\end{proof}

\begin{cor}
Пусть вес $a$ непрерывен, и неравенство $(\ref{toprove})$ верно для неотрицательных кусочно линейных функций $u$.
Тогда оно верно для всех неотрицательных липшицевых функций.
\end{cor}
\begin{proof}
Ввиду теоремы 1 из \S6.6 \cite{Gariepy} липшицеву функцию можно почти всюду вместе с производной приблизить непрерывно дифференцируемыми.
Поскольку производные приближающих функций будут равномерно ограничены,
по теореме Лебега последовательность будет сходиться в $\W(-1, 1)$,
а также будет сходиться функционал $I$.
В свою очередь, непрерывно дифференцируемые функции можно равномерно вместе с производной приблизить кусочно линейными.
Такая сходимость обеспечивает сходимость в $\W(-1, 1)$ и сходимость функционала $I$.
Применив лемму \ref{uplift}, получаем требуемое.
\end{proof}

\section{Переход к $\W$-функциям при дополнительном ограничении на вес}
\label{ASC}

В этом параграфе мы получим неравенство (\ref{toprove}) при дополнительном условии
монотонности весовой функции при $x \in [-1, 0]$ и при $x \in [0, 1]$.

\begin{lm}
\label{Wapprox}
Пусть $a$ --- непрерывная функция, $a(\cdot, u)$ возрастает на $[-1, 0]$ и убывает на $[0, 1]$ для всех $u \ge 0$.
Тогда любая функция $u \in \W(-1, 1)$, $u \ge 0$,
приближается липшицевыми функциями по функционалу $I$,
то есть существует последовательность $u_k \in Lip[-1, 1]$, такая, что выполнено соотношение $(\ref{convergence})$.
\end{lm}

\begin{proof}
Можно считать, что $I( a, u ) < \infty$.

Вес $a$ возрастает по $x$ при $x \in [-1, 0]$
и убывает при $x \in [0, 1]$.
Докажем утверждение для функционала
$$I_2( u ) = \int_0^1 F( u(x), a(x, u(x)) |u'(x)| ) dx,$$
а случай $[-1, 0]$ сведем к первому: $$I_1( u ) = \int_{-1}^0 F( u( x ), a( x, u(x) ) |u'(x)| ) dx =
\int_0^1 F( u( -z ), a( -z, u(-z) ) |u'( -z )| ) dz.$$

Для доказательства мы модифицируем схему из \cite[Теорема 2.4]{ASC}.
Доказательство	 частично совпадает с \cite{ASC}, но для удобства читателя мы приводим здесь его полностью.

Нам потребуется следующее вспомогательное утверждение.

\begin{prop}
\label{convToOne}
$\cite[Lemma 2.7]{ASC}$.
Пусть $\phi_h: [-1, 1] \to \Real$ --- последовательность липшицевых функций, удовлетворяющих условиям:
$\phi_h' \ge 1$ для почти всех $x$ и всех $h$, $\phi_h( x ) \to x$ для почти каждого $x$.
Тогда для любой $f \in L_1(\Real)$ $f(\phi_h) \to f$ в $L_1(\Real)$.
\end{prop}

Для $h \in \Nat$ покроем множество $\{ x \in [0, 1]: |u'(x)| > h \}$
открытым множеством $A_h$.
Не умаляя общности, можно считать, что
$A_{h + 1} \subset A_{h}$ и $\abs{A_h} \to 0$ при $h \to \infty$.
В качестве $v_h$ возьмем функцию, совпадающую с $u$ вне множества $A_h$.
На связных участках $A_h$ сделаем $v_h$ линейной.
Тогда $v_h \to u$ в $\W$.
Изменим немного $v_h$, чтобы сделать аппроксимацию липшицевой.

Представим $A_h = \cup_k \Omega_{h,k}$, где $\Omega_{h,k} = ( b_{h,k}^-, b_{h,k}^+ )$.
Обозначим
$$\alpha_{h,k} := \abs{\Omega_{h,k}},\quad
\beta_{h,k} := v_h(b_{h,k}^+) - v_h(b_{h,k}^-) = u(b_{h,k}^+) - u(b_{h,k}^-).$$
Тогда $v'_h = \frac{ \beta_{h,k} }{ \alpha_{h,k} }$ в $\Omega_{h,k}$.
Заметим, что
$$\sum_k \abs{\beta_{h,k}} \le \int_{A_h} \abs{u'} dx \le \norm{u'}_{L_1(-1, 1)}< \infty,$$
а значит,
$\sum_k \abs{\beta_{h,k}} \to 0$ при $h \to 0$ по теореме Лебега.

Определим функцию $\phi_h \in \W(0, 1)$ так:
$$
\begin{aligned}
\phi_h( 0 ) &= 0 & & \\
\phi_h' &=  1 & \text{ в } & [0, 1] \setminus A_h,\\
\phi_h' &=  \max \Big( \frac{ \abs{\beta_{h,k}} }{ \alpha_{h,k} }, 1 \Big) & \text{ в } & \Omega_{h,k}.
\end{aligned}
$$	

Заметим, что $\int_0^1 \abs{\phi_h'} dx \le 1 + \sum_k \abs{ \beta_{h,k} } < \infty$.

\medskip

Покажем, что $\phi_h' \to 1$ в $L_1(0, 1)$:
$$\int \abs{ \phi_h' - 1 } dx = \sum \Big( \max \Big( \frac{ \abs{ \beta_{h,k} } }{ \alpha_{h,k} }, 1 \Big) - 1 \Big) \alpha_{h,k} \le
\sum \abs{ \beta_{h,k} } \to 0.$$
Отсюда следует, что $\phi_h$ удовлетворяет условиям предложения \ref{convToOne}.

Рассмотрим теперь $\phi_h^{-1}: [0, 1] \to [0, 1]$ --- ограничение обратной к $\phi_h$ функции на $[0, 1]$.
Для нее верно $0 \le ( \phi_h^{-1} )' \le 1$ и

$$
\begin{aligned}
\phi_h^{-1} ( 0 ) &= 0 & & \\
( \phi_h^{-1} )' &=  1 & \text{ в } & [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ),\\
( \phi_h^{-1} )' &=  \min \Big( \frac{ \alpha_{h,k} }{ \abs{ \beta_{h,k} } }, 1 \Big) & \text{ в } & [0, 1] \cap \phi_h( \Omega_{h,k} ).
\end{aligned}
$$

Возьмем $u_h = v_h( \phi_h^{-1} )$.
Заметим, что $u_h(0) = u(0)$, и
\begin{align*}
u_h' &=  v_h'( \phi_h^{-1} ) \cdot ( \phi_h^{-1} )' = u'( \phi_h^{-1} ) & \text{ в } & [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ),\\
u_h' &=  v_h'( \phi_h^{-1} ) \cdot ( \phi_h^{-1} )' = 
\sign{ \beta_{h,k} } \cdot \min \Big( 1, \frac{ \abs{ \beta_{h,k} } }{ \alpha_{h,k} } \Big) & \text{ в } & [0, 1] \cap \phi_h( \Omega_{h,k} ).
\end{align*}

Тем самым, $u_h$ липшицева, поскольку $u$ имеет вне $A_h$ ограниченную производную.

Покажем, что $u_h \to u$ в $\W(0, 1)$.
Для этого достаточно оценить

$$\norm{ u_h' - u' }_{L_1} \le \int_{ [0, 1] \setminus \phi_h(A_h) } \abs{ u_h' - u' } + 
\int_{ [0, 1] \cap \phi_h(A_h) } \abs{ u_h'} + \int_{ [0, 1] \cap \phi_h(A_h) } \abs{ u'} =: P_h^1 + P_h^2 + P_h^3.$$
$$P_h^1 = \int_{ [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ) } \abs{ u'( \phi_h^{-1} ) - u' } dx =
\int_{ \phi_h^{-1} ( [0, 1] ) \setminus A_h } \abs{ u' - u'( \phi_h ) } dz \le
\int_{[0, 1]} \abs{ u' - u'( \phi_h ) } dz.$$
В силу предложения \ref{convToOne}, $P_h^1 \to 0$.

Далее,
$$P_h^2 \le \abs{ \phi_h( A_h ) } = \sum \abs{ \phi_h( \Omega_{h,k} ) } = \sum \max (\abs{\beta_{h,k}}, \alpha_{h,k})
\le \sum \alpha_{h,k} + \sum \abs{ \beta_{h,k} } \to 0.$$
Наконец, $P_h^3 \to 0$ по абсолютной непрерывности интеграла, и утверждение доказано.

Осталось показать, что $I_2( u_h ) \to I_2( u )$.

$$I_2( u_h ) = \!\!\!\!\int\limits_{ [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ) }\!\!\!\! F( u_h( x ), a( x, u_h(x) ) |u_h'( x )| ) dx +\
\!\!\!\!\int\limits_{ [0, 1] \cap \phi_h( A_h ) }\!\!\!\! F( u_h( x ), a( x, u_h(x) ) |u_h'( x )| ) dx.$$
Обозначим эти слагаемые $\hat{P_h^1}$ и $\hat{P_h^2}$.
Так как $u \in \W(0, 1)$, то $u \in L_\infty( [0, 1] )$. Обозначим $\norm{ u }_\infty = r$,
тогда $\norm{ u_h }_\infty < 2r$ при достаточно больших $h$. Кроме того, $\abs{ u_h' } \le 1$
почти всюду в $\phi_h( A_h )$. Тогда $\hat{P_h^2} \le M_F \abs{ \phi_h( A_h ) } \to 0$, где
$$M_F = \max\limits_{[-2r, 2r] \times [-M_a, M_a]} F;\quad M_a = \max\limits_{[0, 1] \times [-2r, 2r]} a.$$

Далее,
\begin{multline*}
\hat{P_h^1} = \int\limits_{ [0, 1] \setminus \phi_h( A_h ) }
	F( u( \phi_h^{-1}( x ) ), a( x, u( \phi_h^{-1}( x ) ) |u'( \phi_h^{-1}( x ) ) ( \phi_h^{-1} )'| ) dx
\\ =\int\limits_{ \phi_h^{-1}( [0, 1] ) \setminus A_h } F( u( z ), a( \phi_h( z ), u( z ) ) |u'( z )| ) dz
\\ = \int\limits_{ [0, 1] } F( u( z ), a( \phi_h( z ), u( z ) ) |u'( z )| ) \chi_{ \phi_h^{-1}( [0, 1] ) \setminus A_h }dz.
\end{multline*}
Последнее равенство, вообще говоря, не имеет смысла, так как $\phi_h( z )$ может принимать значения вне $[0, 1]$.
Определим $a( z, u ) = a( 1, u )$ при $z > 1$. Теперь выражение корректно.
Заметим, что $\chi_{\phi_h^{-1}( [0, 1] ) \setminus A_h}$ возрастают, так как множества
$\phi_h^{-1}( [0, 1] )$ возрастают и $A_h$ убывают, то есть
$\phi_{h_1}^{-1}( [0, 1] ) \subset \phi_{h_2}^{-1}( [0, 1] )$ и $A_{h_1} \supset A_{h_2}$ при $h_1 \le h_2$.
На отрезке $[0, 1]$ (и даже $\phi_h( [0, 1] )$) $a$ убывает, значит $a( \phi_h( z ) )$ будет расти по $h$,
так как $\phi_h( z )$ убывает по $h$. В таком случае можно применить теорему
о монотонной сходимости и получить
$$\hat{P_h^1} \to \int_{[0, 1]} F( u( z ), a( z, u( z ) ) |u'( z )| ) dz.$$

\end{proof}

\begin{rem}
Очевидно, что те же рассуждения с закреплением функции $u$ на левом конце можно провести на любом интервале $[x_0, x_1]$, где
вес $a$ убывает по $x$. То есть получить на этом интервале последовательность
\begin{gather*}
u_h \to u \text{ в } \W(x_0, x_1);\\
\int_{x_0}^{x_1} F( u_h(x), a(x, u_h(x)) \abs{u_h'(x)} ) \to \int_{x_0}^{x_1} F( u(x), a(x, u(x)) \abs{u'(x)} ).
\end{gather*}
Аналогично, если $a$ возрастает по $x$, можно аппроксимировать $u$ с закреплением на правом конце.
\end{rem}

\begin{cor}
Пусть функция $a$ непрерывна, четна, удовлетворяет неравенству $(\ref{almostConcave})$
и убывает на $[0, 1]$. Тогда для любой $u \in \W(-1, 1)$ выполнено $I( a, u^* ) \le I( a, u )$.
\end{cor}

\begin{proof}
Неравенство немедленно следует из лемм \ref{uplift} и \ref{Wapprox}.
\end{proof}

\section{Получение результата в общем случае}

Теперь мы хотим избавиться от условия монотонности веса по $x$.
Мы будем это делать в несколько этапов.

Для начала отметим, что все свойства функции $a$ интересуют нас
лишь в окрестности графиков функций $u$, $u^*$.

Введем следующие ограничения на весовую функцию:

\bigskip

\smallskip
\noindent
$(H1)$ $a(x, v)$ четна по $x$ и удовлетворяет неравенству (\ref{almostConcave}),
а также $I(a, u) < \infty$.
\smallskip

\bigskip
\noindent
$(H2)$ На множестве $v \in [\min u(x), \max u(x)]$,
для которых $a(\cdot, v) \not\equiv 0$,
количество нулей функций $a(\cdot, v)$ ограничено константой,
не зависящей от $v$.

\bigskip
\noindent
$(H3)$ Если $a(x_0, u(x_0)) = 0$ для некоторого $x_0$, то $a(\cdot, u(x_0)) \equiv 0$.
Кроме того, выполнено $\lim_{k \to \infty} D_k(a, U(a)) = 0$, где
$$U(a) := \{ v \in [\min u(x), \max u(x)]: a(\cdot, v) \not \equiv 0 \},$$
\begin{equation}
\label{bigD}
D_k(a, U) := \sup\limits_{v \in U}
\frac{\max\limits_{ \abs{x_1 - x_2} \le \frac{2}{k} } \abs{a(x_1, v) - a(x_2, v)} }
{\min\limits_{\dist(x, u^{-1}(v)) \le \frac{2}{k}} a(x, v)}.
\end{equation}

\bigskip
\noindent
$(H4)$ Найдется такое четное $k$, что $a(\cdot, v)$ линейны для каждого $v$ на участках
$[-1 + \frac{2i}{k}, -1 + \frac{2(i + 1)}{k}]$.

\bigskip
\noindent
$(H5)$ Множество $v \in \Real$, для которых $a(\cdot, v)$ имеет участки постоянства,
отличается от множества $v \in \Real$ таких, что $a(\cdot, v) \equiv 0$,
лишь на множество меры $0$.

\bigskip
\noindent
$(H6)$ Отрезок $[-1, 1]$ можно разбить на конечное число промежутков,
на каждом из которых в $v$-окрестности графика $u(x)$ вес $a$ не меняет монотонности по $x$.

\bigskip
\noindent
$(H7)$ Пусть $x_1 < x_2 < x_3$,
и на $[x_1, x_2]$ вес $a(\cdot, v)$ в $v$-окрестности графика функции $u$ убывает,
а на $[x_2, x_3]$ возрастает.
Тогда в некоторой окрестности точки $u(x_2)$ имеем $a(\cdot, v) \equiv 0$.

\bigskip

Вес, удовлетворяющий условию $(H1)$, мы будем называть допустимым для заданной функции $u(x)$.

Теперь мы можем сформулировать основное утверждение нашей работы.
\begin{thm}
\label{mainThm}
Пусть $F \in \mathfrak{F}$, функция $u \in \W(-1, 1)$ неотрицательна,
и весовая функция $a: [-1, 1] \times \Real_+ \to \Real_+$ непрерывна
и допустима для $u$.
Тогда справедливо неравенство $(\ref{toprove})$.
\end{thm}

Мы докажем неравенство (\ref{toprove}) при условиях $(H1)-(H7)$,
а затем будем избавляться от лишних условий.

Для доказательства нам потребуются следующие факты.

\begin{prop}
\label{levelDerivative}
$\cite[теорема 6.19]{LL}$
Для любой $u \in \W(-1, 1)$ и произвольного множества $A \subset \Real$ нулевой меры выполнено
$u'(x) = 0$ для почти всех $x \in u^{-1}(A)$.
\end{prop}

\begin{lm}
\label{zeroApprox}
Пусть $u \in \W(-1, 1)$ и вес $a$ является допустимым для $u$.
Пусть замкнутое множество
$W \subset \Real$ таково, что множество $v \in W$, для которых $a(\cdot, v) \not\equiv 0$,
имеет меру ноль.
Тогда найдется возрастающая последовательность допустимых для $u$ весов $b_k$ такая, что

1) $b_k(\cdot, v) \rightrightarrows a(\cdot, v)$ для почти всех $v$;

2) $b_k(\cdot, v) \equiv 0$ для любого $v$ в некоторой (зависящей от $k$) окрестности $W$;

3) $I(b_k, u) \to I(a, u)$.
\end{lm}

\begin{proof}
Возьмем $\rho(d) := \min(1, \max(0, d))$,
$$b_k(x, v) := a(x, v) \cdot \rho(k \dist(v, W) - 1) \le a(x, v).$$
Этот вес равен нулю в $\left(\frac{1}{k}\right)$-окрестности $W$.
Кроме того, $b_k \equiv a$ вне $\left(\frac{2}{k}\right)$-окрестности $W$ и
$b_k(x, v)$ возрастают при увеличении $k$.
Тем самым, $b_k(\cdot, v) \rightrightarrows a(\cdot, v)$ для почти всех $v$.
По теореме о монотонной сходимости интеграла
$I(u^{-1}(\Real \setminus W), b_k, u) \nearrow I(u^{-1}(\Real \setminus W), a, u)$.

Разобьем множество $W$ на два: $W_1 := \{v \in W: a(\cdot, v) \equiv 0\}$ и $W_2 = W \setminus W_1$.
$$I(u^{-1}(W_1), b_k, u) = I(u^{-1}(W_1), a, u).$$
$$I(u^{-1}(W_2), b_k, u) = \int\limits_{x \in u^{-1}(W_2)} F(u(x), b_k(x, u(x)) u'(x)) dx.$$
При этом, по предложению \ref{levelDerivative}, почти всюду на $u^{-1}(W_2)$
выполнено $u'(x) = 0$.
То есть
$$I(u^{-1}(W_2), b_k, u) = \int\limits_{x \in u^{-1}(W_2)} F(u(x), 0) dx = 0.$$
Аналогично, $I(u^{-1}(W_2), a, u) = 0$, откуда $I(b_k, u) \to I(a, u)$.
\end{proof}

Перейдем к доказательству теоремы.

\bigskip
{\bf Шаг 1.} Пусть $u \in \W(-1, 1)$, и вес $a$ удовлетворяет условиям $(H1)-(H7)$.
Тогда выполняется неравенство (\ref{toprove}).

Разобьем отрезок $[-1, 1]$ на отрезки $\Delta_k$, состоящие из двух частей.
В левой части каждого отрезка вес $a$ будет возрастать по $x$ в окрестности
графика $u(x)$. В правой же будет убывать.
На каждом таком отрезке можно повторить схему из предыдущего параграфа,
приближая функцию $u$ липшицевыми функциями $u_n$.
Это дает $I(\Delta_k, a, u_n) \to I(\Delta_k, a, u)$.

Однако при такой аппроксимации функции $u_n$ имеют разрывы на границах отрезков $\Delta_k$
(обозначим их $\hat{x}_k$).

Заметим теперь, что согласно условию $(H7)$ можно выбрать точки $\hat{x}_k$ так,
что $a \equiv 0$ в $(x, v)$-окрестности точек $(\hat{x}_k, u(\hat{x}_k))$.

Изменим теперь функции $u_n$ в окрестности точек $\hat{x}_k$ на линейные,
сделав $u_n$ непрерывными на $[-1, 1]$.
В силу вышесказанного, интегралов $I(\Delta_k, a, u_n)$ это не изменит,
и мы получаем $I(a, u_n) \to I(a, u)$.

По лемме \ref{uplift} получаем (\ref{toprove}).

\bigskip

{\bf Шаг 2.} Пусть вес $a$ удовлетворяет условиям $(H1)-(H6)$.
Тогда выполняется неравенство (\ref{toprove}).

Применим лемму \ref{zeroApprox}. В качестве множества $W$ возьмем множество
всех $v$, при которых происходит переход графика $u(x)$ из прямоугольника,
в котором вес убывает по $x$, в прямоугольник, в котором вес возрастает.
Очевидно, получившиеся функции $b_k$ удовлетворяют $(H1)-(H7)$.
Поэтому $I(b_k, u^*) \le I(b_k, u)$.
Переходя к пределу, получаем (\ref{toprove}).

\bigskip

{\bf Шаг 3.} Пусть вес $a$ удовлетворяет условиям $(H1)-(H5)$.
Тогда выполняется неравенство (\ref{toprove}).

Прямоугольник $[-1, 1] \times [\min u(x), \max u(x)]$ естественным образом
делится абсциссами излома веса $a$ и участками постоянства $a$ по $x$ на прямоугольники,
в которых вес $a$ имеет постоянную монотонность по $x$.
Однако количество таких прямоугольников может оказаться бесконечным.
Кроме того, если функция пересекает горизонтальную границу прямоугольника,
монотонность в $v$-окрестности точки пересечения может меняться.

Возьмем множество $v$, для которых вес имеет участки постоянства по $x$,
в качестве $W$.
В соответствии с $(H5)$ множество $v \in W$, для которых $a(\cdot, v) \not\equiv 0$,
имеет нулевую меру.

Применив лемму \ref{zeroApprox}, построим последовательность весов $b_k$.
У каждого из них количество участков монотонности конечно,
поскольку между соседними по $v$ участками строгой монотонности
присутствует полоса нулевых значений веса шириной по крайней мере $\frac{2}{k}$.

Отметим теперь на каждом участке монотонности точку на графике функции $u$.
Множество этих точек не может иметь точек скопления,
поскольку между точками, в которых разная монотонность,
расстояние по $v$ по крайней мере $\frac{2}{k}$.

Тем самым, $b_k$ удовлетворяют $(H1)-(H6)$. Поэтому $I(b_k, u^*) \le I(b_k, u)$.
Переходя к пределу, получаем (\ref{toprove}).

\bigskip
{\bf Шаг 4.} Пусть вес $a$ удовлетворяет условиям $(H1)-(H3)$.
Тогда выполняется неравенство (\ref{toprove}).

Предположим, функция $a$ удовлетворяет $(H1)-(H3)$, в том числе $I(a, u) < \infty$.

Зафиксируем произвольное четное $k$.
По точкам $a(-1 + \frac{2i}{k}, v)$ для каждого $v$ построим кусочно линейную по $x$ интерполяцию.
Получившаяся функция $a_k(x, v)$ непрерывна, четна и,
по лемме \ref{piecewiseLinearConcave}, удовлетворяет неравенству
(\ref{almostConcave}).
Кроме того, $a_k \to a$ при $k \to \infty$,
причем сходимость равномерная на компактах.
Однако неравенство $a_k(x, u(x)) \le a(x, u(x))$ не обязано выполняться,
и потому веса $a_k$ могут не быть допустимыми для $u$.

Возьмем $c_k := (1 - D_k(a_k, U(a_k))) a_k$, где $D_k$ определены в (\ref{bigD}).
Числа $D_k(a_k, U(a_k))$ положительны и стремятся к нулю, поэтому $c_k \to a$ при $k \to \infty$.
Покажем, что $c_k(x, u(x)) \le a(x, u(x))$.
Возьмем некоторое
$x \in [-1 + \frac{2i}{k}, -1 + \frac{2(i + 1)}{k}] =: [x_i, x_{i + 1}]$.
Тогда $c_k(x, u(x)) \le \max( c_k(x_i, u(x)), c_k(x_{i + 1}, u(x)) )$, поскольку
$c_k$ кусочно линейны по $x$. Далее,
\begin{multline*}
c_k(x_i, u(x)) = (1 - D_k(a_k, U(a_k))) \cdot a(x_i, u(x)) \\
\le a(x_i, u(x)) - \frac{a(x_i, u(x)) - a(x, u(x))}{a(x_i, u(x))} \cdot a(x_i, u(x)) = a(x, u(x)).
\end{multline*}
Аналогично $c_k(x_{i + 1}, u(x)) \le a(x, u(x))$.
Тем самым, $c_k(x, u(x)) \le a(x, u(x))$ для любого $x$, и $c_k$ являются допустимыми для $u$.

Функции $c_k$ удовлетворяют $(H1)-(H4)$.

При заданном $k \in \Nat$, будем приближать функцию $c_k =: c$ весами, удовлетворяющими $(H1)-(H5)$.
Рассмотрим вспомогательную функцию $\Lambda(x) = 1 - \abs{x}$,
удовлетворяющую условию (\ref{almostConcave}).

Возьмем
$$t(v):=D_k(c, U(c)) \cdot \max\{\tau \ge 0: \forall x \in u^{-1}(v) \quad \tau \Lambda(x) \le c(x, u(x))\}.$$
Функция $t$ зависит от $k$, но мы будем опускать это в записи.

Ясно, что максимальное $\tau$ равно нулю только если $c(\cdot, v) \equiv 0$, иначе нарушается условие
$(H3)$.
Функция $t$ может не быть непрерывной. Однако, несложно видеть, что она полунепрерывна снизу.
Возьмем теперь
$$\tilde{t}(v) := \inf_{w \in u([-1, 1])} \{t(w) + |v - w|\}.$$
Очевидно, что $\tilde{t} \le t$, и множества нулей функций $t$ и $\tilde{t}$ совпадают.

Покажем, что $\tilde{t}$ непрерывна (и даже липшицева).
Зафиксируем некоторое $v_1$.
Тогда найдутся сколь угодно малое $\eps > 0$ и $w_1 \in u([-1, 1])$,
удовлетворяющие $\tilde{t}(v_1) = t(w_1) + |v_1 - w_1| - \eps$.
Для любого $v_2$ имеем $\tilde{t}(v_2) \le t(w_1) + |v_2 - w_1|$.
И, тем самым, $\tilde{t}(v_2) - \tilde{t}(v_1) \le |v_1 - v_2| + \eps$.
В силу произвольности $v_1$, $v_2$ и $\eps$, получаем, что $\tilde{t}$ непрерывна.

При $\alpha \in [0, 1]$ функция $d_\alpha(x, v) := c(x, v) + \alpha \Lambda(x) \tilde{t}(v)$
четна по $x$, удовлетворяет неравенству (\ref{almostConcave}) согласно лемме \ref{maxSumConcave}
и не превосходит $a(x, v)$ по построению функции $\tilde{t}$.
Таким образом, $d_\alpha$ --- допустимый вес.
Далее, очевидно, что $d_\alpha$ удовлетворяет условиям $(H1)-(H4)$.

Покажем, что найдется последовательность $\alpha_j \searrow 0$,
что $d_{\alpha_j}$ не имеет горизонтальных участков, кроме
сплошных нулей и множества меры $0$.
Обозначим множество $\alpha$, ``плохих'' на участке $[x_i, x_{i + 1}]$:
\begin{multline*}
A_i := \big\{ \alpha \in [0, 1]: \\
meas\{ v \in [\min u, \max u]: \frac{c(x_{i + 1}, v) - c(x_i, v))}{\frac{2}{k}} + \alpha \chi_i \tilde{t}(v) = 0 \} > 0 \big\},
\end{multline*}
где $\chi_i = 1$, если $[x_i, x_{i + 1}] \subset [0, 1]$, и $\chi_i = -1$, если $[x_i, x_{i + 1}] \subset [-1, 0]$.

Рассмотрим функцию
$$
\begin{aligned}
h(v) = &\frac{c(x_{i + 1}, v) - c(x_i, v)}{\tilde{t}(v)} &\text{ при } \tilde{t}(v) \neq 0&\\
h(v) = &0 &\text{ при } \tilde{t}(v) = 0&.
\end{aligned}
$$
Тогда $\card(A_i) = \card(\{ \alpha \in [0, 1]: meas \{ v \in [\min u, \max u]: h(v) \pm \frac{2}{k}\ \alpha = 0 \} > 0 \}).$
Значит, $\card(A_i) \le \aleph_0$, а также $\card(\cup_i A_i) \le \aleph_0$.
Тем самым, найдется последовательность весов $d_{\alpha_j} \searrow c$, удовлетворяющих $(H1)-(H5)$.
Поэтому $I(d_{\alpha_j}, u^*) \le I(d_{\alpha_j}, u)$.
Переходя к пределу, получим $I(c, u^*) \le I(c, u)$.

Далее, при $x \in [-1, 1]$ и $k \to \infty$ имеем
$$F(u(x), c_k(x, u(x)) |u'(x)|) \to F(u(x), a(x, u(x)) |u'(x)|).$$
Кроме того, $F(u(x), a(x, u(x)) |u'(x)|)$ является суммируемой мажорантой.
По теореме Лебега о мажорируемой сходимости, получаем $I(c_k, u) \to I(a, u)$.
Поскольку $I(c_k, u^*) \le I(c_k, u)$, лемма \ref{uplift} дает (\ref{toprove}).

\bigskip
{\bf Шаг 5.} Пусть вес $a$ удовлетворяет лишь условию $(H1)$.
Тогда выполняется неравенство (\ref{toprove}).

Будем строить приближение для $a$ весами, удовлетворяющими $(H1)-(H2)$.
Воспользуемся леммой \ref{zeroApprox}.
В качестве множества $W$ возьмем $\{ v \in \Real: a(\cdot, v) \equiv 0 \}$.
Введем обозначение $$Z_a(v) := \{ x \in [-1, 1]: a(x, v) = 0 \}.$$
Заметим, что множества $Z_{b_k}(v)$ совпадают либо с $Z_a(v)$, либо с $[-1, 1]$.

Покажем, что $b_k$ удовлетворяет $(H2)$.
Действительно, в противном случае найдется последовательность $v_l$, для которой
$l < \card(Z_{b_k})(v_l) < \infty$.
После перехода к подпоследовательности имеем $v_l \to v_0$.
Покажем, что $Z_a(v_0) = [-1, 1]$. Из леммы \ref{periodicity} следует, что
множества $Z_{b_k}(v_l) = Z_a(v_l)$ периодические с периодом не более $\frac{2}{l - 1}$.
Возьмем некоторый $x \in [-1, 1]$. Для каждого $l$ найдется $x_l$ такой, что
$\abs{x - x_l} \le \frac{1}{l - 1}$ и $a(x_l, v_l) = 0$.
Но $a(x_l, v_l) \to a(x, v_0)$.
Тем самым, $a(x, v_0) = 0$ и $Z_a(v_0) = [-1, 1]$.
Но это означает, что для каждого $v$ такого,
что $\abs{v - v_0} \le \frac{1}{k}$, выполнено $b_k(\cdot, v) \equiv 0$,
что противоречит $\card(Z_{b_k})(v_l) < \infty$.


Зафиксируем теперь $k \in \Nat$, обозначим $b_k =: b$
и приблизим функцию $b$ весами, удовлетворяющими $(H1)-(H3)$.
Из $(H2)$ и леммы \ref{periodicity}, часть 2, следует, что найдется множество $T \subset [-1, 1]$,
состоящее из конечного числа элементов, такое, что
если $x \not \in T$ и $a(x, v) = 0$ для некоторого $v$, то $b(\cdot, v) \equiv 0$.
Вновь воспользуемся леммой \ref{zeroApprox} с множеством
$W = u(T) \cup u^*(T)$.

Полученные при помощи леммы веса $c_j$ удовлетворяют $(H1)-(H2)$, поскольку отличаются от $b$ лишь
домножением на непрерывный множитель, меньший единицы и зависящий только от $v$.
Очевидно, $\min\limits_{dist(x, u^{-1}(v)) \le \frac{2}{j}} c_j(x, v)$ не равен нулю при
$v \in U(c_j)$, начиная с некоторого $j$.
Более того, при $v \in U(c_j)$
$$
\frac{\max\limits_{ \abs{x_i - x_{i + 1}} \le \frac{2}{j} } \abs{c_j(x_i, v) - c_j(x_{i + 1}, v)} }
{\min\limits_{\dist(x, u^{-1}(v)) \le \frac{2}{j}} c_j(x, v)}
=\frac{\max\limits_{ \abs{x_i - x_{i + 1}} \le \frac{2}{j} } \abs{b(x_i, v) - b(x_{i + 1}, v)} }
{\min\limits_{\dist(x, u^{-1}(v)) \le \frac{2}{j}} b(x, v)}.
$$
При этом, знаменатель второй дроби при $v \in U(c_j)$ отделен от нуля.
Тем самым, $D_j(c_j, U(c_j))$ ограничена.

Поскольку $D_j$ не меняется при домножении первого аргумента на коэффициент, не зависящий от $x$,
и $U(c_j) \nearrow U(b)$, имеем при $j \to \infty$
$$D_j(c_j, U(c_j)) = D_j(b, U(c_j)) \le D_j(b, U(b)) \to 0.$$

Таким образом, веса $c_j$ удовлетворяют $(H1)-(H3)$.
Тем самым, $I(c_j, u^*) \le I(c_j, u)$.
Переходя к пределу, получим $I(b_k, u^*) \le I(b_k, u)$, а затем и неравенство (\ref{toprove}).

Тем самым, теорема \ref{mainThm} доказана.
\hfill$\square$

\medskip

Рассмотрим теперь случай, когда функция $u$ удовлетворяет дополнительному условию $u(-1) = 0$.
\begin{thm}
Пусть $F \in \mathfrak{F}$, функция $u \in \W(-1, 1)$ неотрицательна, $u(-1) = 0$,
весовая функция $a: [-1, 1] \times \Real_+ \to \Real_+$ непрерывна
и удовлетворяет неравенству $(\ref{almostConcave})$.
Тогда справедливо неравенство $(\ref{toprove})$.
\end{thm}

\begin{proof}
Мы следуем схеме доказательства теоремы \ref{mainThm},
но вместо $(H1)$ и $(H7)$ накладываем следующие условия на вес:

\bigskip
\noindent
$(H1')$ $a(x, v)$ удовлетворяет неравенству (\ref{almostConcave}), а также $I(a, u) < \infty$.

\bigskip
\noindent
$(H7')$ Выполнено условие $(H7)$, и $a(\cdot, v) \equiv 0$ в некоторой $v$-окрестности нуля.

\bigskip
{\bf Шаг 1.} Пусть $u \in \W(-1, 1)$, выполнено $u(-1) = 0$, и вес $a$ удовлетворяет условиям $(H1'), (H2)-(H6), (H7')$.
Тогда выполняется неравенство (\ref{toprove}).

Для доказательства будем приближать функцию $u$ так же, как и в первом шаге доказательства теоремы \ref{mainThm},
с заменой $u$ в некоторой окрестности точки $x = -1$ на линейную так, чтобы $u_n(-1) = 0$.

\bigskip
{\bf Шаг 2.} Пусть вес $a$ удовлетворяет условиям $(H1'), (H2)-(H6)$.
Тогда выполняется неравенство (\ref{toprove}).

Для доказательства добавим в множество $W$ из второго шага доказательства теоремы \ref{mainThm} точку $0$
и повторим рассуждение.

\medskip

Дальнейшие шаги проходят без изменений.
\end{proof}

\section{Дополнение. Случай симметричной перестановки}

\subsection{Необходимые условия на вес}

\begin{lm}
Если неравенство $(\ref{toproveSymm})$ выполняется для произвольной $F \in \mathfrak{F}$
и произвольной кусочно линейной $u$, то
вес $a$ удовлетворяет условию
\begin{equation}
\label{almostConvex}
\forall s, t \in [-1, 1], \forall v \in \Real_+ \quad
a( s, v ) + a( t, v ) \ge a\Big( \frac{ s - t }{2}, v \Big) + a\Big( \frac{ t - s }{2}, v \Big).
\end{equation}
\end{lm}

\begin{proof}
Предположим, что неравенство (\ref{almostConvex}) не выполнено.
Тогда найдутся $-1 \le s < t \le 1$, $\eps, \delta > 0$ ($2 \eps < t - s$) и $\bar{v} \in \Real_+$,
такие, что для любого $0 \le z \le \eps$ и любого $\bar{v} \le v \le \bar{v} + \eps$ выполнено
\begin{equation}
\label{notConvex}
a(s + z, v + z) + a(t - z, v + z) + 2 \delta < a\Big(\frac{s - t}{2} + z, v + z \Big) + a\Big(\frac{t - s}{2} - z, v + z \Big).
\end{equation}

Рассмотрим функцию $u$, введенную в (\ref{parLinU}). Тогда
$$
\left\{     
\begin{aligned}
\bar{u}(x) &= \bar{v}, & x \in &[-1, \frac{s - t}{2}] \cup [\frac{t - s}{2}, 1]\\
\bar{u}(x) &= \bar{v} + x - \frac{s - t}{2}, & x \in &[\frac{s - t}{2}, \frac{s - t}{2} + \eps]\\
\bar{u}(x) &= \bar{v} + \eps, & x \in &[\frac{s - t}{2} + \eps, \frac{t - s}{2} - \eps]\\
\bar{u}(x) &= \bar{v} + \frac{t - s}{2} - x, & x \in &[\frac{t - s}{2} - \eps, \frac{t - s}{2}].
\end{aligned}
\right.
$$

Отсюда получаем
\begin{multline*}
0 \le I(a, u) - I(a, \overline{u}) \\
=\int_0^{\eps} F( u(s + z), \frac{a( s + z, u(s + z) )}{\eps} ) dz + \int_0^{\eps} F( u(t - z), \frac{a(t - z, u(t - z))}{\eps} ) dz \\
-\int_0^{\eps} F( \bar{u}(\frac{s - t}{2} + z), \frac{a( \frac{s - t}{2} + z, \bar{u}(\frac{s - t}{2} + z) )}{\eps} ) dz \\
-\int_0^{\eps} F( \bar{u}(\frac{t - s}{2} - z), \frac{a( \frac{t - s}{2} - z, \bar{u}(\frac{t - s}{2} - z) )}{\eps} ) dz =: J.
\end{multline*}

Возьмем $F(v, p) := f(p) := p + \gamma p^2$, где $\gamma > 0$.
Тогда
\begin{multline*}
J = \int_0^{\eps} \big( f(\frac{a(s + z, \bar{v} + z)}{\eps}) + f(\frac{a(t - z, \bar{v} + z)}{\eps}) \\
- f(\frac{a(\frac{s - t}{2} + z, \bar{v} + z)}{\eps}) - f(\frac{a(\frac{t - s}{2} - z, \bar{v} + z)}{\eps}) \big) dz.
\end{multline*}

Обозначим $A := \max a(x, v)$, где максимум берется по всем $x \in [-1, 1]$ и $v \in [\bar{v}, \bar{v} + \eps]$.
Если взять $\gamma := \frac{\delta / \eps}{(A / \eps)^2} > 0$,
то для $p \le \frac{ A }{\eps}$ имеем $p \le f( p ) \le p + \frac{\delta}{\eps}$, и
\begin{equation*}
J \le \frac{1}{\eps} \int_0^{\eps} \big( a(s + z, \bar{v} + z) + a(t - z, \bar{v} + z) + 2 \delta
- a(\frac{s - t}{2} + z, \bar{v} + z) - a(\frac{t - s}{2} - z, \bar{v} + z) \big) dz < 0
\end{equation*}
(последнее неравенство следует из (\ref{notConvex})).

Тем самым, мы пришли к противоречию, что завершает доказательство.
\end{proof}

\begin{lm}
Если для функции $a \in C([-1, 1] \times \Real_+)$ выполнено соотношение $(\ref{almostConvex})$,
то она четна и выпукла по первому аргументу.
\end{lm}

\begin{proof}
Предположим для начала, что $a(\cdot, v) \in C^1([-1, 1])$ при каждом $v$.
Зафиксируем произвольные $s \in [-1, 1]$ и $v \in \Real_+$ и рассмотрим функцию
$$b(x) := a( s, v ) + a( x, v ) - a( \frac{ s - x }{2}, v ) - a( \frac{ x - s }{2}, v ) \ge 0.$$
$x = -s$ является точкой минимума функции $b$, поскольку $b(-s) = 0$.
Значит,
$$b'(-s) = a'_x( -s, v ) + \frac{1}{2} a'_x( s, v ) - \frac{1}{2} a'_x( -s, v ) = 0,$$
то есть $a'_x( s, v ) = -a'_x( -s, v )$. Тем самым, функция $a(\cdot, v)$ четна.

Рассмотрим теперь случай произвольной непрерывной $a$.

Продолжим $a( x, v ) := a( -1, v )$ при $x < -1$ и $a( x, v ) := a( 1, v )$ при $x > 1$.
Рассмотрим усреднение функции:
$$a_\rho( x, v ) = \int_\Real \omega_\rho ( z ) a( x - z, v ) dz = \int_\Real \omega_\rho ( z ) a( x + z, v ) dz,$$
где $\omega_\rho(z)$ --- усредняющее ядро с радиусом $\rho$.
Тогда 
\begin{multline*}
a_\rho( s, v ) + a_\rho( t, v ) - a_\rho( \frac{ s - t }{2}, v ) - a_\rho( \frac{ t - s }{2}, v ) =
\\ \int_\Real \omega_\rho ( z ) \big( a( s - z, v ) + a( t + z, v ) - a( \frac{ s - t }{2} - z, v ) - a( \frac{ t - s }{2} + z, v ) \big) dz \ge 0.
\end{multline*}
Значит $a_\rho(\cdot, v)$ --- четная.
Переходя к пределу при $\rho \to 0$, получаем, что $a(\cdot, v)$ --- четная.

Наконец, для любых $s$, $t$ и $v$ имеем
$$a( s, v ) + a( t, v ) = a( s, v ) + a( -t, v ) \ge 2 a\big( \frac{ s + t }{2}, v \big).$$
\end{proof}

\subsection{Доказательство неравенства (\ref{toproveSymm})}
\label{sobolevSymm}

\begin{thm}
\label{symmThm}
Пусть $F \in \mathfrak{F}$, функция $u \in \W(-1, 1)$ неотрицательна,
и непрерывная весовая функция $a: [-1, 1] \times \Real_+ \to \Real_+$
четна и выпукла по первому аргументу.
Тогда справедливо неравенство $(\ref{toproveSymm})$.
\end{thm}

\begin{proof}
Как указывалось во введении,
для липшицевых функций $u$ утверждение теоремы доказано в \cite{Br}.
Таким образом, необходимо лишь перейти к $\W$-функциям.

Структура выпуклого по $x$ веса гораздо проще структуры веса,
который мы рассматривали для случая монотонной перестановки.
Выпуклый вес убывает при $x < 0$ и возрастает при $x > 0$
независимо от $v$.
Тем самым, мы сразу входим в условия $(H6)$ из теоремы \ref{mainThm}.
Чтобы войти в условия $(H7)$, применим лемму \ref{zeroApprox}
с множеством $W = \{u(0)\}$.
Это дает нам возможность сразу воспользоваться шагом 1 доказательства,
получив неравенство (\ref{toproveSymm}) в общем виде.
Заметим, что шаг 1 использует лишь условия $(H1)$, $(H6)$, $(H7)$,
так что нет нужды проверять остальные.
\end{proof}

\vskip 40pt

Мы весьма признательны профессору В.~Г.~Осмоловскому за ценные замечания,
позволившие улучшить текст статьи.

\hyphenation{СПбГУ}
Работа второго автора поддержана грантом РФФИ 12-01-00439
и грантом СПбГУ 6.38.670.2013.

\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{ASC} G.~Alberti,~F.~Serra~Cassano: Non-occurrence of gap for one-dimentional autonomous functionals,
Proceedings of ``Calc. Var., Homogen. and Cont. Mech.'', G.~Bouchitt\'e, G.~Buttazzo, P.~Suquet, ed.: World Sci., Singapore, p.~1--17, 1994
\bibitem{Br} F.~Brock: Weighted Dirichlet-type inequalities for Steiner symmetrization,
Calc. Var. and PDEs~{\bf8}, p.~15--25, 1999
\bibitem{Kawohl} B.~Kawohl: Rearrangements and convexity of level sets in PDE,
Lecture notes in mathematics {\bf1150}. Berlin; Springer Verlag, 1985. 134~p.
\bibitem{Lan} R.~Landes: Some remarks on rearrangements and functionals with non-constant density,
Math.~Nachr.~{\bf280}, \No5--6, p.~560--570, 2007
\bibitem{DAN} С.~Банкевич, А.~Назаров: Об обобщении неравенства Пойа-Сеге для одномерных функционалов,
Доклады Академии Наук~{\bf438}, \No1, с.~11--13, 2011
\bibitem{BGH} Дж.~Буттаццо, М.~Джаквинта, С.~Гильдебрандт: Одномерные вариационные задачи. Введение,
Научная книга, Новосибирск, 2002. 246~с.
%G.~Buttazzo, M.~Giaquinta, S.~Hildebrandt: One-dimensional Variational Problems,
%Oxford Lecture Series in Mathematics and Its Applications {\bf15}, 1998. 272 p.
\bibitem{Zh1} В.~В.~Жиков: О весовых соболевских пространствах,
Матем. сб., {\bf189}, \No8, с.~27--58, 1998
\bibitem{Zh2} В.~В.~Жиков: К проблеме предельного перехода в дивергентных неравномерно эллиптических уравнениях,
Функц. анализ и его прил., {\bf35}, \No1, с.~23--39, 2001
\bibitem{LL} Э.~Либ, М.~Лосс: Анализ, Научная книга, Новосибирск, 1998. 276~с.
\bibitem{Rudin} У.~Рудин: Функциональный анализ, Мир, М., 1975. 444~с.
\bibitem{Fed} Г.~Федерер: Геометрическая теория меры, Наука, М., 1987. 760~с.
\bibitem{Gariepy} Л.~К.~Эванс, Р.~Ф.~Гариепи: Теория меры и тонкие свойства функций, Научная книга, Новосибирск, 2002. 216~с.
%\bibitem{Gariepy} L.~C.~Evans, R.~F.~Gariepy: 
%\bibitem{ET} И.~Экланд, Р.~Темам: Выпуклый анализ и вариационные проблемы, Мир, М., 1979. 400~с.

\end{thebibliography}

\end{document}