\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm} 
\usepackage{mathtext}
\usepackage{amsfonts}

\setlength{\topmargin}{-.5in}
\setlength{\textheight}{9in}
\setlength{\oddsidemargin}{.125in}
\setlength{\textwidth}{6.25in}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\newcommand{\lda}{\lambda}
\newcommand{\Wo}{{\raisebox{0.2ex}{\(\stackrel{\circ}{W}\)}}{}}

\frenchspacing

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
%\newtheorem{proposition}{Proposition}
%\newtheorem{corollary}{Corollary}
\newtheorem{rustheorem}{Теорема}
\newtheorem{ruslemma}{Лемма}
\newtheorem{rusproposition}{Предложение}
\newtheorem{ruscorollary}{Следствие}
\newtheorem{rushypothesis}{Гипотеза}

\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{remark}{Remark}
%\newtheorem{example}{Example}
\newtheorem{rusdefinition}{Определение}
\newtheorem{rusremark}{Замечание}
\newtheorem{rusexample}{Пример}

\newenvironment{rusbibliography}{\renewcommand{\refname}{{\large\sc Литература}}\vspace{-0.5cm}\begin{thebibliography}}{\end{thebibliography}}

\begin{document} 
\renewcommand{\thefootnote}{}
\footnotetext{Представлено А.~И.~Назаровым.
}
\title{Об асимптотике спектра задачи Неймана для уравнения Штурма-Лиувилля с самоподобным весом обобщенного канторовского типа}
\author{Растегаев~Н.~В. \\ \small{СПбГУ, Лаборатория им. П.Л.Чебышева}
%\\ \small{199178, 14 линия В.О., дом 29Б} 
\\ \small{Россия, Санкт-Петербург}
\\ \small{rastmusician@gmail.com}}
\renewcommand{\today}{11 декабря 2013 г.}
\maketitle

%\tableofcontents

%\pagebreak

\section{Введение}

В настоящей работе обобщаются некоторые результаты работ \cite{SV} и 
\cite{VSh3}, касающиеся асимптотик спектра задачи
\begin{gather}\label{eq:1.1}
    -y''-\lambda\rho y=0,\\ \label{eq:1.2}
    y'(0)=y'(1)=0,
\end{gather}
где весовая мера $\rho$ представляет собой обобщенную 
производную самоподобной функции обобщенного канторовского типа 
(в частности, $\rho$ сингулярна относительно меры Лебега). 
\begin{rusremark}
Хорошо известно, что изменение граничных условий задачи влечет
возмущение квадратичной формы ранга два. Из общей вариационной теории 
(см. \cite[\S10.3]{BS2}) потому следует, 
что считающие функции собственных значений граничных задач, отвечающих 
одному и тому же уравнению, но разным граничным условиям, не могут различаться более, чем на 2.
\end{rusremark}
Вопрос об асимптотическом
поведении собственных значений этой задачи восходит к работам 
М.~Г.~Крейна (см., например, \cite{K}).

В работе \cite{BS1} установлено, что если мера $\rho$ содержит абсолютно 
непрерывную компоненту, то ее сингулярная составляющая не влияет на 
главный член асимптотики спектра.

В случае чисто сингулярной меры $\rho$ в работе \cite{B} показано, что
считающая функция $N:(0,+\infty)\to\mathbb N$ собственных чисел 
краевой задачи для оператора 
$(-1)^ly^{(2l)}$ допускает оценку $o(\lda^{\frac{1}{2l}})$ вместо
обычной асимптотики $N(\lda)\sim C\lda^{\frac{1}{2l}}$ в случае меры,
содержащей регулярную составляющую. 
Для некоторых специальных классов мер
в \cite{B} были получены лучшие оценки снизу для собственных чисел.

Точный степенной порядок $D$ роста считающей функции $N(\lda)$ в
случае самоподобной меры $\rho$ был установлен в \cite{F} (см. также
более ранние работы \cite{HU} и \cite{MR}, где получены частные результаты, 
касающиеся классической канторовой лестницы).

В работе \cite{SV} 
показано, что считающая функция  собственных 
значений задачи \eqref{eq:1.1}, 
\eqref{eq:1.2} имеет при $\lambda\to+\infty$ асимптотику
\begin{equation}\label{eq:mes_asymp}
	N(\lambda)=\lambda^D\cdot\bigl(s(\ln\lambda)+o(1)\bigr),
\end{equation}
где $s$ "--- некоторая зависящая от выбора веса $\rho$ непрерывная
периодическая функция, показатель $D\in(0,\frac{1}{2})$. 
В случае неарифметичности типа самоподобия 
(см. Определение \ref{arithm} ниже) 
канторовой лестницы, производной которой является $\rho$,
функция $s$ вырождается в константу. В случае арифметического 
самоподобия
она имеет период $\nu$, зависящий от параметров лестницы.

В работе \cite{Naz} этот результат обобщается на случай 
дифференциального оператора высшего четного порядка, и, кроме того,
сформулирована гипотеза о том, что функция $s$ 
является непостоянной для произвольного неравномерного веса с 
арифметически самоподобной первообразной. 

В работе \cite{VSh1} при помощи компьютерных вычислений доказано, 
что функция 
$s$ действительно не может являться постоянной в том
простейшем случае, когда обобщённая первообразная веса $\rho$ 
представляет собой классическую канторову лестницу.

В работе \cite{VSh3} гипотеза была подтверждена для ``ровных'' лестниц. Для таких лестниц была доказана следующая теорема.
\begin{rustheorem}\label{Th1}
Коэффициент $s$ из асимптотики \eqref{eq:mes_asymp} допускает 
представление
\[
	\forall t\in [0,\nu]\quad s(t)=e^{-Dt}\,\sigma(t),
\]
где $\sigma$ "--- некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.
\end{rustheorem}
Отсюда утверждение о непостоянстве функции $s(t)$ следует немедленно. 
Этот
результат позднее обобщен в работе \cite{V3} на случай уравнения 
четвертого порядка.

Целью настоящей работы является обобщение этого результата
на более широкий класс лестниц.


Работа имеет следующую структуру. \ref{par:2}
носит обзорный характер, в нем приводятся 
необходимые определения
самоподобных функций обобщенного канторовского типа, выводятся их
свойства и определяются исследуемые классы функций. В \ref{par:3}
 устанавливается факт спектральной периодичности
для задачи Неймана, аналогичный \cite{VSh3}, 
а также
более слабый вариант спектральной ``квазипериодичности'' для некоторых
других краевых задач. Наконец, в \ref{par:4} доказывается Теорема \ref{Th1} для выделенного класса лестниц.

\section{Самоподобные функции обобщенного канторовского типа}\label{par:2}
\noindent
Пусть $m\geq 2$, и 
$\{I_k = [a_k,b_k]\}_{k=1}^m$ ~--- подотрезки $[0,1]$, не
пересекающиеся по внутренности. Обозначим через
$S_k(t) = a_k + (b_k-a_k)\,t$ аффинные сжатия $[0,1]$ на
$I_k$, не меняющие ориентации. Введем также набор положительных чисел
$\{\rho_k\}_{k=1}^m$ таких, что
$\sum\limits_{k=1}^m\rho_k = 1$.

Определим оператор
$\mathcal{S}$, действующий на пространстве $L_{\infty}(0,1)$ следующим 
образом:
\begin{equation*}
\mathcal{S}(f) = \sum\limits_{k=1}^m
\left(\chi_{I_k}(f\circ S_k^{-1})+\chi_{\{x>b_k\}} \right)\rho_k.
\end{equation*}
%Легко проверить (см., например, \cite{Sh}), что
\begin{rusproposition}
\textbf{\textsc{(см., напр., \cite[Лемма 2.1]{Sh})}}
$\mathcal{S}$~--- сжимающее отображение на $L_{\infty}(0,1)$.
\end{rusproposition}
Отсюда по теореме Банаха о неподвижной точке существует (единственная) функция $C\in L_{\infty}(0,1)$
такая, что $\mathcal{S}(C)=C$.
\begin{rusdefinition}
Такую функцию $C(t)$ будем называть
\textit{обобщенной канторовой лестницей} с $m$ ступеньками.
\end{rusdefinition}
Функцию $C(t)$ можно искать как равномерный предел последовательности
$\mathcal{S}^k(f)$ для \mbox{$f(t)\equiv t$},
что позволяет считать ее непрерывной и монотонной, причем
$C(0)=0$, $C(1)=1$.
Производная функции $C(t)$ в смысле обобщенных функций~--- сингулярная 
мера $\rho$ без атомов, самоподобная по Хатчинсону (см. \cite{H}),
т.е. удовлетворяющая соотношению 
\begin{equation*}
\rho(E) = \sum\limits_{k=1}^m \rho_k \cdot \rho(S_k^{-1}(E\cap I_k)).
\end{equation*}
Более общие способы построения самоподобных функций описаны в
\cite{Sh}.

\begin{rusdefinition}\label{arithm}
Самоподобие будем называть \textit{арифметическим}, если 
логарифмы величин $\rho_k(b_k-a_k)$ соизмеримы. 
\end{rusdefinition}

\begin{rusdefinition}
Будем называть обобщенную канторову лестницу
\textit{ровной}, если
\begin{equation*}
 \forall k=2,\dots, m\quad \rho_k=\rho_1=\frac{1}{m},
\quad b_k - a_k=b_1 - a_1,\quad a_k - b_{k-1}=a_2 - b_1.
\end{equation*}
Именно такой класс лестниц рассмотрен в работе \cite{VSh3}.
\end{rusdefinition}

В настоящей работе результаты \cite{VSh3} обобщаются 
на следующий класс функций. Мы полагаем, что $a_1=0$, $b_m=1$.
Мы требуем, чтобы промежуточные отрезки были непустыми 
($a_k-b_{k-1} \neq 0$), но не накладываем никаких других ограничений
на их величины. Кроме того, мы требуем, чтобы были равны между собой
величины $\rho_k(b_k-a_k)$, то есть
\begin{equation}\label{eq:2.1}
\forall k = 1,\dots, m \quad \rho_k(b_k-a_k) = \tau
\end{equation}
для некоторой постоянной $\tau$. В рамках этого условия 
величины $\rho_k$ и $b_k-a_k$ могут быть произвольными.

\begin{rusremark}
В работе \cite{SV} была получена формула для периода функции $s(t)$.
Для нашего класса лестниц его величина определяется соотношением
\[ \nu = -\ln\tau.\]
\end{rusremark}

\section{Спектральная периодичность}\label{par:3}
Будем рассматривать формальную граничную задачу
\begin{gather}\label{eq:3.1}
    -y''-\lambda\rho y=0,\\ \label{eq:3.2}
    y'(0)-\gamma_0 y(0)=y'(1)+\gamma_1 y(1)=0.
\end{gather}
Ее обобщенным решением называется функция $y \in W_2^1[0,1]$,
удовлетворяющая интегральному тождеству
$$ \int\limits_0^1 y'\eta'\, dx +
\gamma_0y(0)\eta(0)+\gamma_1y(1)\eta(1) = 
\lda\int_0^1 y\eta \;\rho(dx)  $$
для любой функции $\eta \in W_2^1[0,1]$. Подставляя в интегральное 
тождество 
функции \mbox{$\eta \in \Wo_2^1[0,1]$}, 
устанавливаем, что производная $y'$
является первообразной сингулярной меры без атомов $\lda\rho y$,
откуда следует, что $y \in C^1[0,1]$. Кроме того, нам потребуются
следующие осцилляционные свойства собственных функций.

\begin{rusproposition}\label{oscil} 
\textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~11]{V2})}}
Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность
занумерованных в порядке возрастания собственных значений граничной 
задачи \eqref{eq:3.1}, \eqref{eq:3.2}. Тогда независимо от выбора 
индекса $n\in\mathbb N$ собственное значение $\lambda_n$ является 
простым, причём любая отвечающая ему собственная
функция не обращается в нуль на границе отрезка \([0,1]\) и имеет 
внутри этого отрезка в точности \(n\) различных нулей.
\end{rusproposition}

Докажем теперь основные утверждения этого параграфа.

\begin{rustheorem}\label{4.1}
Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$~--- последовательность
занумерованных в порядке возрастания собственных значений 
отвечающих задаче
\eqref{eq:1.1}, \eqref{eq:1.2}.
Тогда независимо от выбора индекса $n\in\mathbb N$ 
выполняется равенство
\begin{equation}\label{eq:4.1}
	\tau\lambda_{m n}=\lambda_n.
\end{equation}
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Схема доказательства повторяет \cite[п.3.1.1]{VSh3}.
Зафиксируем отвечающую собственному значению $\lambda_n$ 
собственную функцию $y_n$. Сопоставим ей функцию $z\in C[0,1]$, 
удовлетворяющую следующим условиям:
%\begin{equation*}
%z = \sum\limits_{k=1}^m
%c_k\chi_{I_k}(y_n\circ S_k^{-1}) + 
%\sum\limits_{k=1}^{m-1}d_k \chi_{\{b_k<x<a_{k+1}\}}.
%\end{equation*}
\begin{equation*}
z = c_k\cdot(y_n\circ S_k^{-1})\text{ на отрезках } I_k,
\end{equation*}
кроме того, продолжим ее константами на промежуточные отрезки.
Не равные нулю величины $c_k$ подбираются таким образом, чтобы 
функция $z$ была непрерывной. Нетрудно видеть, что получившаяся функция 
непрерывно дифференцируема и удовлетворяет равенству 
$$z'(0)=z'(1)=0.$$
Легко проверить, что функция $z$ представляет собой
собственную функцию краевой задачи \eqref{eq:1.1}, \eqref{eq:1.2}, 
отвечающую
собственному значению $\tau^{-1}\lda_n$. Кроме того, она имеет на 
отрезке $[0,1]$  в точности $mn$ корней, что и означает
(Предложение \ref{oscil}) выполнение равенства \eqref{eq:4.1}.
\end{proof}

В \cite[п.3.1.2]{VSh3} было получено также соотношение, связывающее 
собственные числа с номерами $n$ и $m(n+1)-1$ в определенных задачах со
смешанными граничными условиями вида \eqref{eq:3.1}, \eqref{eq:3.2}.
В точности аналогичное утверждение в более общем случае не может быть 
доказано,
поэтому мы выведем одностороннюю оценку, которую назовем 
{\it спектральной квазипериодичностью}.
Зафиксируем функцию $y_n$, отвечающую собственному значению $\lda_n$
 задачи с граничным условием
\[
	y'(0)-\gamma^{(1)}y(0)=y'(1)+\gamma^{(1)}y(1)=0.
\]
%Здесь $\gamma^{(1)}$ возьмем равным 
%$\max \big(\frac{2}{|a_{k+1}-b_k|}\big)$. 
Построим функцию $z$ следующим образом. Определим
\[
	z = c_k\cdot(y_n\circ S_k^{-1}) 
	\text{ на отрезках } I_k,
\]
кроме того, продолжим ее гладко линейными функциями на промежуточные 
отрезки до пересечения с осью абсцисс. Если положить
$\gamma^{(1)} = \max\limits_{k} \big(\frac{2}{|a_{k+1}-b_k|}\big)$, то пересечения окажутся близко к краям $I_k$, и
в серединах промежуточных отрезков функция останется не определена.
Мы определим ее нулем на всех оставшихся интервалах.
Знаки
ненулевых параметров $c_k$ определим таким образом, чтобы на каждом
промежуточном отрезке функция $z$ имела смену знака. Получившаяся
функция почти всюду удовлетворяет уравнению \eqref{eq:1.1} для
$\lda = \tau^{-1}\lda_n$, но, к сожалению, не является гладкой.
Мы проведем с ней некоторое непрерывное преобразование, не
увеличивающее значения $\lda$ и не меняющее числа перемен знака.
В результате мы получим гладкую функцию,
являющуюся собственной для некоторой краевой задачи, и сможем
написать оценку собственных значений этой краевой задачи через 
$\lda_n$.

Наше преобразование будет состоять из нескольких шагов.
На шаге $j$ функция $z$ склеена из собственных функций краевых задач
на подотрезках $I_k$ с некоторыми граничными условиями
\[
	z'(a_k)-\alpha_j^{(k)}z(a_k)=z'(b_k)+\beta_j^{(k)}z(b_k)=0
\]
и продолжена линейно на промежуточные отрезки. На некоторых 
промежуточных отрезках $z$ уже гладкая, на остальных кусочно линейна.
Мы зафиксируем 
$\alpha_j^{(1)}$ и $\beta_j^{(m)}$ и будем непрерывно
изменять остальные значения $\alpha_j^{(k)}$ и $\beta_j^{(k)}$ 
таким образом,
чтобы собственные числа, которым отвечают функции на отрезках $I_k$
оставались одинаковыми, $z$ оставалась гладкой на промежутках, где
гладкость уже была достигнута, и $\beta_j^{(k)}$, $\alpha_j^{(k+1)}$ 
уменьшались на концах промежутков, где гладкости еще нет. Эта процедура
уменьшает значение $\lda$ в силу вариационного принципа и не меняет 
числа перемен знака согласно Предложению \ref{oscil}.

В некоторый
 момент хотя бы на одном из 
промежуточных отрезков пересечения продолжений с осью абсцисс
совпадут. Допустим,
это произошло между отрезками $I_l$ и $I_{l+1}$.  В этот момент
мы умножаем $c_{l+1}$ и все последующие на общий коэффициент
таким образом, чтобы $z$ была гладкой на отрезке $[a_l, b_{l+1}]$. 
%Теперь можно 
%рассматривать $z$ как решение краевой задачи с граничными условиями
%\[
%	z'(a_l)-\gamma_1^{(l)}z(a_l)=
%	z'(b_{l+1})+\gamma_2^{(l+1)}z(b_{l+1})=0
%\]
%на этом отрезке. Забудем про $\gamma_2^{(l)}$ и $\gamma_1^{(l+1)}$ и 
%продолжим непрерывно уменьшать остальные $\gamma_{1,2}^{(k)}$, 
%пока не сопадут нули на каком-то еще промежуточном отрезке. 

После $m-1$ шага $z$ станет полностью гладкой. После этого можно 
уменьшить один из параметров краевых
 условий на концах, чтобы выполнялось
\[
	\alpha_m^{(1)} = \beta_m^{(m)} = \gamma^{(2)} := \gamma^{(1)}\cdot\min \{|I_1|, |I_m|\}.
\]
Заметим, что получившаяся функция $z$
имеет в точности $m(n+1)-1$ корней, а значит, является собственной
функцией, отвечающей собственному числу $\mu_{m(n+1)-1}$ краевой
задачи
\[
	z'(0)-\gamma^{(2)}z(0)=z'(1)+\gamma^{(2)}z(1) = 0.
\]
Кроме того, по построению получившееся $\mu_{m(n+1)-1}$ не превышает 
исходного значения $\tau^{-1}\lda_n$. Таким оразом, доказано следующее 
утверждение.

\begin{rustheorem}\label{4.2}
Положим 
$\gamma^{(1)} = \max\limits_{k} \big(\frac{2}{|a_{k+1}-b_k|}\big)$,
$\gamma^{(2)} = \gamma^{(1)}\cdot\min \{|I_1|, |I_m|\}$.
Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность
занумерованных в порядке возрастания собственных значений отвечающей 
уравнению \eqref{eq:3.1} граничной задачи
\[
	y'(0)-\gamma^{(1)}y(0)=y'(1)+\gamma^{(1)}y(1)=0,
\]
а $\{\mu_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- аналогичная последовательность для 
отвечающей тому же уравнению граничной задачи
\[
	y'(0)-\gamma^{(2)}y(0)=y'(1)+\gamma^{(2)}y(1)=0.
\]
Тогда независимо от выбора 
индекса $n\in\mathbb N$ выполняется неравенство
\[
	\tau\mu_{m (n+1)-1}\leq\lda_n.
\]
\end{rustheorem}

\section{Уточнение характеристик спектра}\label{par:4}
Целью настоящего параграфа является доказательство Теоремы \ref{Th1}.
%\begin{rustheorem}\label{5.1}
%Коэффициент $s$ из асимптотики \eqref{eq:mes_asymp} допускает 
%представление
%\[
%	\forall t\in [0,\nu]\quad s(t)=e^{-Dt}\,\sigma(t),
%\]
%где $\sigma$ "--- некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.
%\end{rustheorem}
%Отсюда утверждение о непостоянстве функции $s(t)$ следует немедленно.
При доказательстве этого утверждения нами будут использоваться следующие факты:

\begin{rusproposition}\label{sing}
\textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~4.1.3]{VSh3})}}
Пусть $f\in L_2[0,1]$ "--- ограниченная неубывающая функция,
$\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность неубывающих ступенчатых
функций, а $\{\mathfrak A_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность множеств
точек разрыва функций $f_n$. Пусть также при $n\to\infty$ выполняется
асимптотическое соотношение
\[
	(\#\mathfrak A_n+2)\cdot\|f-f_n\|_{L_2[0,1]}=o(1).
\]
Тогда монотонная функция $f$ является чисто сингулярной.
\end{rusproposition}

\begin{rusproposition}\label{5.2}
\textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~5.2.1]{VSh3})}}
Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность
занумерованных в порядке возрастания собственных значений граничной задачи
\begin{gather}\label{eq:5.1}
	-y''-\lambda\rho y=0,\\ \label{eq:5.2}
	y'(0)=y'(1)=0,
\end{gather}
а $\{\mu_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- аналогичная последовательность для 
отвечающей тому же уравнению граничной задачи
\[
	y'(0)-\gamma_0y(0)=y'(1)+\gamma_1y(1)=0,
\]
где $\gamma_0,\,\gamma_1\geq 0$. Тогда сходится числовой ряд
\[
	\sum\limits_{n=1}^{\infty} |\ln\mu_n-\ln\lambda_n|.
\]
\end{rusproposition}

\begin{rusremark}
Более общие результаты о регуляризованных произведениях собственных
значений рассматривались также в \cite{Naz2}.
\end{rusremark}

Перейдем к доказательству теоремы.

Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$~--- последовательность
занумерованных в порядке возрастания собственных значений 
граничной задачи \eqref{eq:1.1}, \eqref{eq:1.2}, а
$\{\mu^{(1)}_n\}_{n=0}^{\infty}$ и $\{\mu^{(2)}_n\}_{n=0}^{\infty}$, соответственно, отвечающих тому же уравнению граничных 
задач
\[
	y'(0)-\gamma^{(1)}y(0)=y'(1)+\gamma^{(1)}y(1)=0
\]
и
\[
	y'(0)-\gamma^{(2)}y(0)=y'(1)+\gamma^{(2)}y(1)=0,
\]
где параметры $\gamma^{(1)}$ и $\gamma^{(2)}$ введены в Теореме 
\ref{4.2}.

Положим $\sigma_k(t) := m^{-k}N(e^{k\nu+t})$, где 
$N$~--- считающая функция $\lambda_n$.
Заметим (по соотношению \eqref{eq:mes_asymp}), что при всех $t\in [0,\nu]$ выполняется равенство 
$\sigma(t)=\lim\limits_{k\to\infty}\sigma_k(t)$. Заметим также, 
что $\sigma_k$ и $\sigma_{k+1}$ для
всех $t\in [0,\nu]$ различаются не более чем на 
$m^{-k}$, а в силу равенства \eqref{eq:4.1} и соотношения 
$\nu = -\ln\tau$ независимо от выбора индекса $k\in\mathbb N$
для всех $t\in [0,\nu]$, удовлетворяющих при некотором 
$n\in\mathbb N$ неравенствам
\begin{equation}\label{eq:5.1}
	\lambda_{m (n+1)-1} < 
	e^{(k+1)\nu+t} < \lambda_{m (n+1)},
\end{equation}
значения функций $\sigma_k$ и $\sigma_{k+1}$ совпадают. 
Оценим мощность множества всех прочих $t$. Если для 
$t \in [0, \nu]$ не выполняется \eqref{eq:5.1}, то для него верно 
следующее:
\[
(k+1)\nu + t \in \Big( 
\bigcup\limits_{n=0}^\infty 
\left[\ln\lda_{mn}, \ln\lda_{m(n+1)-1}\right]
\Big) \cap [(k+1)\nu, (k+2)\nu].
\]
Оценим последовательность частичных сумм ряда
\[
	\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\lambda_{m (n+1)-1}-
		\ln\lambda_{m n}| \leq 
		\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\lambda_{m (n+1)-1}-
		\ln\mu^{(2)}_{m (n+1)-1}| +
		\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\mu^{(2)}_{m (n+1)-1}-
		\ln\lambda_{mn}|.
\]
Оценим отдельно каждое слагаемое.
\[
	\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\lambda_{m (n+1)-1}-
		\ln\mu^{(2)}_{m (n+1)-1}| \leq
		\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\lambda_{n}-
		\ln\mu^{(2)}_{n}| \leq C.
\]
Здесь первое неравенство получается расширением множества слагаемых, а
второе "--- применением Предложения \ref{5.2}.
\begin{align*}
	\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\mu^{(2)}_{m (n+1)-1}-
	\ln\lambda_{mn}| &=
	\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\mu^{(2)}_{m (n+1)-1}-
	\ln\lambda_{mn} \leq \\
	&\leq \sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\mu^{(1)}_{n}-
	\ln\lambda_{n} =
	\sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\mu^{(1)}_{n}-
	\ln\lambda_{n}| \leq C.
\end{align*}
Здесь первое неравенство следует из Теоремы \ref{4.2}, второе из Предложения 
\ref{5.2}, равенства верны в силу соотношений
\[
	\mu^{(2)}_{m(n+1)-1} > \mu^{(2)}_{mn} > \lda_{mn}, \quad
	\mu^{(1)}_n > \lda_n.
\]
Таким образом мы показали, что мера множества 
$\bigcup\limits_{n=0}^\infty 
\left[\ln\lda_{mn}, \ln\lda_{m(n+1)-1}\right]$
ограничена, а это значит, что после пересечения с уходящими на бесконечность отрезками \mbox{$[(k+1)\nu, (k+2)\nu]$} мы получим, что
\[
	\mathrm{meas}\,\{t\in [0,\nu]\::\:\sigma_{k+1}(t)\neq\sigma_k(t)\} =
	\mathrm{o}\,(1), \quad k\to\infty.
\]
Соответственно, справедливы оценки
\[\|\sigma_{k+1}-\sigma_k\|_{L_2[0,\nu]}=o(m^{-k}),\]
а тогда и вытекающая из них асимптотика
\[\|\sigma_k-\sigma\|_{L_2[0,\nu]}=o(m^{-k}).\]
Убедимся, что число точек разрыва функций $\sigma_k$ 
допускает при $k\to\infty$ оценку $O(m^k)$. Используя
соотношение \eqref{eq:4.1}, получим следующее неравенство:
\[
m^{k+c} + 1 = N(\lda_{m^{k+c}}) = N(\tau^{-{k+c}}\lda_1) >
N(e^{k\nu+t})
\]
при целом значении $c > \nu^{-1}(1-\ln \lda_1)$. Остается заметить, что число 
разывов функции $N(\lda)$ на отрезке не превосходит ее значения на
правом конце.

Таким образом, функция $\sigma$ вместе с последовательностью 
кусочно постоянных приближений $\sigma_k$ удовлетворяют всем условиям
Предложения \ref{sing}, что и доказывает утверждение теоремы.

\bigskip
\bigskip

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проект 13-01-00172А), грантом СПбГУ N6.38.64.2012, Лабораторией им. П.Л.Чебышева СПбГУ (грант Правительства РФ дог. 11.G34.31.0026), ОАО "Газпром нефть".

\bigskip
\bigskip

\begin{rusbibliography}{99}
\addcontentsline{toc}{section}{Литература}

\bibitem{SV} M.~Solomyak, E.~Verbitsky. \emph{On a spectral problem related to
self-similar measures}// Bull. London Math.~Soc. "--- 1995. "--- V.~27, \No~3. "---
P.~242--248.

\bibitem{VSh3} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{О задаче Неймана для уравнения Штурма--Лиувилля с самоподобным весом
канторовского типа}// \texttt{arXiv:1102.4199}.

\bibitem{BS2} М.~С.~Бирман, М.~З.~Соломяк. \emph{Спектральная теория
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве} // 
Изд. ``Лань''. "--- 2010.

\bibitem{K} М.~Г.~Крейн. \emph{Определение плотности неоднородной 
симметричной струны по спектру}//
ДАН СССР. "--- 1951. "--- Т.76, \No~3. "--- С.~345–348.

\bibitem{BS1} М.~С.~Бирман, М.~З.~Соломяк. \emph{Асимптотика спектра
слабо полярных интегральных операторов}// Изв. АН СССР, матем.
"--- 1970. "--- Т.34 \No~6. "--- С.~1143-1158.

\bibitem{B} В.~В.~Борзов. \emph{О количественных характеристиках 
сингулярных мер}// Проблемы матем. физики. "--- 1970. "--- Т.4.
"--- С.42-47.

\bibitem{F} T.~Fujita. \emph{A fractional dimention, self-similarity
and a generalized diffusion operator} // Taniguchi Symp. PMMP. Katata.
"--- 1985. "--- С.83-90.

\bibitem{HU} I.~Hong, T.~Uno. \emph{Some consideration of asymptotic 
distribution of eigenvalues for
the equation $d^2u/dx^2 + \lda\rho(x)u = 0$}// Japanese Journ. of Math.
"--- 1959. "--- Т.29. "--- С.152-164.

\bibitem{MR} H.~P.~McKean, D.~B.~Ray. \emph{Spectral distribution of a differential operator}// Duke Math. Journ. "--- 1962. "---
Т.29. "--- С.281-292.

\bibitem{Naz} А.~И.~Назаров. \emph{Логарифмическая асимптотика малых уклонений
для некоторых гауссовских процессов в \(L_2\)-норме относительно самоподобной
меры}// Записки науч.~семинаров ПОМИ. "--- 2004. "--- Т.~311. "--- С.~190--213.

\bibitem{VSh1} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{Самоподобные функции
в пространстве \(L_2[0,1]\) и задача Штурма--Лиувилля с сингулярным индефинитным
весом}// Матем. сборник. "--- 2006. "--- Т.~197, \No~11. "--- С.~13--30.

\bibitem{V3} А.~А.~Владимиров. \emph{Осцилляционный метод в задаче о 
спектре дифференциального оператора четвёртого порядка с
самоподобным весом}// \texttt{arxiv:1107.4791}

\bibitem{Sh} И.~А.~Шейпак. \emph{О конструкции и некоторых свойствах
самоподобных функций в пространствах \(L_p[0,1]\)}// Матем. заметки. "--- 2007. "---
Т.~81, \No~6. "--- С.~924--938.

\bibitem{H} J.~E.~Hutchinson. \emph{Fractals and self similarity}//
Indiana Univ. Math. J."--- 1981. "--- Т. 30, \No~5. "--- С. 713--747.

\bibitem{V2} А.~А.~Владимиров. \emph{К осцилляционной теории задачи Штурма--Лиувилля
с сингулярными коэффициентами}// Журнал выч.~матем. и матем.~физ. "--- 2009. "---
Т.~49, \No~9. "--- С.~1609--1621.

%\bibitem{VSh2} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{Асимптотика собственных
%значений задачи высшего чётного порядка с дискретным самоподобным весом}//
%\texttt{arXiv:1009.5335}.

\bibitem{Naz2} А.~И.~Назаров. \emph{Об одном семействе преобразований
гауссовских случайных функций}// Теория вероятностей и ее применения. "--- 2009. "--- Т.~54. \No~2. "--- С.~209--225.

\end{rusbibliography}

\end{document}