%%%%%%%%%% % %%%%% 01_(p_2)s - W\in(p;2) - det tr - applic to L_p i bolee %%%%%%%%%%%%%% %%%% %%%% CRAP_rusEXs - 3 примера к ... %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% poisk voprosov po !!! % %\def\ove#1{\overline{#1}} % %\def\ovs#1#2{\overset{#1}\to{#2}} % \def\({\left(} %\def\al{\alpha} \def\lee{\leqslant} % \def\){\right)} % \def\e{\varepsilon} %\def\gee{\geqslant} % \def\[{\left[} %\def\la{\lambda} %\def\]{\right]} %\def\ffi{\varphi} % \def\be{\beta} %\def\{{\left\{} %\def\ot{\otimes} % \def\<{\langle } % \def\wh{\widehat} % \def\>{\rangle} % \def\wt{\widetilde} %\def\sbs{\subset} %\def\tr{\operatorname{trace}\,} % \def\det{\operatorname{det}\,} %%%%%%%%%%%%% after 30.01.00 02:44:40 Sat: %\def\Gr{\operatorname{Gr}} %\def\AP{\operatorname{AP}} %\def\BAP{\operatorname{BAP}} %\def\N{\operatorname{N}} %\%def\I{\operatorname{I}} %\def\id{\operatorname{id}} %\def\L{\operatorname{L}} %\def\QN{\operatorname{QN}} %\def\J{\operatorname{J}} %\def\R{\operatorname{R}} %\def\dim{\operatorname{dim}} %\def\dual{\operatorname{dual}} % \def\sbs{\subset} % \def\co{\operatorname{co}\,} %\def\span{\operatorname{span}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \def\{\quad\blacksquare} %\def\med{\medpagebreak} %\def\QQ{$\quad\square$} \def\small{\smallpagebreak} %\def\Q{\quad\blacksquare} \def\bigp{\bigpagebreak} %\def\exp{\operatorname{exp}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% poisk voprosov po !!! %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[12pt,oneside]{amsproc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} %\usepackage[english]{babel} %\usepackage[russian]{babel} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \textheight=22cm \textwidth=15cm \oddsidemargin=5mm \topmargin=-5mm %\title{On a theorem of A. Pelczynski} \title{О-фреймы для операторов в банаховых пространсвах} %{} \author{Олег Рейнов} \address{ St. Petersburg State University, Saint Petersburg, RUSSIA.} \email{orein51@mail.ru} %\author{Асфанд Фахад %Asfand Fahad %} %\address{Qaisar Latif:\ %Abdus Salam School of Mathematical Sciences, 68-B, New Muslim Town, Lahore 54600, PAKISTAN.} %\thanks{%${ }^\maltese$ %The research was supported by the Higher Education Commission of Pakistan.} \thanks{%${ }^\maltese$ AMS Subject Classification 2010: 46B28 Spaces of operators; tensor products; approximation properties. } \thanks{${ }$ Key words: 46B28 Approximation of operators; bounded approximation property.} \begin{document} $$ {} $$ %\vphantom{} \maketitle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\begin{abstract} В работе введено новое понятие О-фрема для оператора в банаховых прост\-ранствах. Исследованы ограниченно полные и натягивающие О-фреймы. Показано, что оператор имеет О-фрейм тогда и только тогда, когда 1)\, он факторизуется через пространство с базисом, и, если он действует из сепарабельного пространства, то тогда и только тогда, когда 2)\, он обладает свойством ограниченной ап\-про\-кси\-мации. Среди прочего, аналогичный факт установлен для введенных здесь же БО-фреймов (безусловных операторных фреймов). Также, например, установлено, что всякий оператор имеющий ограниченно полный и натягивающий О-фрейм, слабо компактен. Приведены и другие применения. Одно из них: дан отрицательный ответ на вопрос Марии Скопиной о существовании в $L_1(0,1)$ безусловной системы представления. % \end{abstract} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BEGIM.TEX \vskip 0.3cm \centerline{\bf \S1. О-фреймы} \vskip 0.23cm Мы используем стандартные обозначения и терминолргию теории операторов в банаховых пространствах (см., например, [2]). %!!! \smallskip {\bf Определение 1.1.}\, Пусть $T\in L(X,W),$ $(x'_k)_{k=1}^\infty\subset X^*, (w_k)_{k=1}^\infty\subset W.$ Мы говорим, что $\mathcal F:=((x'_k)_{k=1}^\infty, (w_k)_{k=1}^\infty)$ есть О-фрейм для $T,$ если для каждого $x\in X$ ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k$ сходится в $W$ и $$ Tx= \sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k, \ \ x\in X. $$ Если существует О-фрейм для $T,$ то мы говорим, что $T$ имеет О-фрейм. \smallskip {\bf Примеры,}\ 1)\, Пусть $\Delta: l_\infty\to l_1$ --- диагональный оператор с диагональю $(\delta_k)\in l_1.$ Тогда $\Delta x=\sum \langle e_k, x\rangle e_k,$ где $(e_k)$ --- последовательность единичных векторов в $l_p$ (в нашем случае, в $l_1$), $x=(x_k)\in l_\infty.$ 2)\, Если в $X$ есть базис Шаудера $(f_k)_{k=1}^\infty,$ то для любого $x\in X$ имеем: $x=\sum_{k=1}^\infty \langle f'_k, x\rangle f_k,$ где $(f'_k)$ --- биортогональная к $(f_k)$ система. Следовательно, для любого банахова пространства $W$ и каждого оператора $T:X\to W$ $$ Tx= \sum_{k=1}^\infty \langle f'_k, x\rangle Tf_k,\ \ x\in X. $$ 3)\, Если $W$ имеет базис Шаудера, например, $(w_k)$ с биортогональной системой $(w'_k),$ то всякий элемент $w\in W$ разлагается в ряд $w=\sum_{k=1}^\infty \langle w'_k, w\rangle w_k$ и для $x\in X$ и $T: X\to W$ получаем: $\langle Tx, w'_k\rangle= \langle x, T^*w'_k\rangle$ и, следовательно, $Tx=\sum_{k=1}^\infty \langle T^*w'_k, x\rangle w_k.$ Отметим, что в этом примере пространство $W$ сепарабельно, а пространство $X$ не обязано быть сепарабельным. 4)\, Если пространство $X$ сепарабельно и обладает свойством ограниченной аппроксмации, то оно дополняемо вкладывается в некоторое банахово пространство $X_0$ с базисом [3]. %!!! Ref Пусть $P: X_0\to X$ --- непрерывный проектоор и $((x'_k), (x_k))$ --- базис для $X_0$ (т.е., соответствующая биортогональная систеьа). Тогда для $x_0\in X_0$ мы имеем разложение $x_0=\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x_0\rangle x_k$ и, если $x\in X$ и $x=Px_0,$ то $x=\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x_0\rangle Px_k.$ Но $x\in X\subset X_0;$ следовательно, $x=Px$ и $$ x=\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle x_k= P(x) =\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle Px_k. $$ Теперь, любой оператор $T\in L(X,W)$ имеет О-фрейм с разложением вида $$ Tx= \sum_{k=1}^\infty \langle x'_k|_X, x\rangle TPx_k. $$ Аналогичный пример можно рассмотреть и для случая, когда $W$ сепарабельно и обладает свойством ограниченной аппроксимации. \smallskip {\bf Лемма 1.1.}\, {\it Пусть $X, V, Z, W$ --- банаховы пространства, $T\in L(X,W),$ $A\in L(W,V), B\in L(Z,X).$ Если оператор $T$ имеет О-фрейм, то и оператор $ATB: Z\to V$ имеет О-фрейм. } \smallskip {\it Доказательство}.\, Пусть $((x'_k), (w_k))$ --- О-фрейм для $T.$ Зафиксируем $z\in Z,$ и пусть $x=Bz.$ Тогда $Tx=\sum \langle x'_k, x\rangle w_k,$ $ATx=\sum \langle x'_k, x\rangle Aw_k$ и $ATBz=ATx=\sum \langle x'_k, Bz\rangle Aw_k= \sum \langle B^* x'_k,z\rangle Aw_k.$ Таким образом, $((B^*x'_k), (Aw_k))$ есть О-фрейм для оператора $ATB.$ \smallskip {\bf Следствие 1.1.}\, {\it Если оператор $T\in L(X,W)$ факторизуется через банахово пространство с базисом Шаудера, то он имеет О-фрейм. } \smallskip {\it Доказательство}.\, Применяем лемму 1.1 и примеры 2--3. \smallskip {\bf Следствие 1.2.}\, {\it Если оператор $T\in L(X,W)$ факторизуется через банахово пространство со свойством ограниченной аппроксимации, то он имеет О-фрейм. } \smallskip И еще одно свойство О-фреймов: \smallskip {\bf Предложение 1.1.}\, Пусть $\mathcal F:=((x'_k), (w_k))$ есть О-фрейм для $T\in L(X.W).$ Тогда дуальная система $\mathcal F^d:=((w_k), (x'_k))$ есть $w^*$-слабый О-фрейм для $T^*,$ то есть $$ T^*w'= w^*\text{-}\lim_N \sum_{k=1}^N \langle w', w_k\rangle x'_k,\ \ w'\in W^*. $$ \smallskip {\it Доказательство}.\, Для $w'\in W^*$ и $x\in X$ имеем: $$ \langle Tx,w'\rangle = \langle \sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k, w'\rangle =\langle \sum_{k=1}^\infty \langle w', w_k\rangle x'_k, x\rangle, $$ откуда $T^*w' = w^*\text{-}\lim_N \sum_{k=1}^N x'_k \langle w', w_k\rangle $ (предел в топологии $\sigma(X^*,X)$). \smallskip Пока мы рассмотрели лишь простейшие свойства О-фреймов. Намного более серьезные результаты появятся ниже. В теории базисов и фреймов в банаховых пространствах часто возникают термины "натягивающий", "ограниченно полный" (см., например, [1], [2]). %!!! Ref Мы вводим соответствующие понятия для операторных фреймов. \smallskip {\bf Определение 1.2.}\, О-фрейм $((x'_k), (w_k))$ для $T$ называется ограниченно полным, если для любого $x''\in X^{**}$ ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'', x'_k\rangle w_k$ сходится в пространстве $W.$ \smallskip {\bf Определение 1.3.}\, О-фрейм $((x'_k), (w_k))$ для $T$ называется натягивающим, если для любого $w'\in W^{*}$ норма $||\sum_{k=n+1}^\infty x'_k \langle w', w_k\rangle||\to 0$ при $n\to \infty.$ \smallskip {\bf Предложение 1.2.}\, Пусть $\mathcal F:=((x'_k), (w_k))$ есть О-фрейм для $T\in L(X.W).$ Дуальная система $\mathcal F^d:=((w_k), (x'_k))$ есть О-фрейм для $T^*$ тогда и только тогда, когда О-фрейм $\mathcal F$ натягивающий. \smallskip {\it Доказательство}.\, Если О-фрейм $\mathcal F$ является натягивающим, то, во-первых (предложение 1.1), для $w'\in W^*$ $$ T^*w'= w^*\text{-}\lim_N \sum_{k=1}^N \langle w', w_k\rangle x'_k $$ и, во-вторых, $$||\sum_{k=n+1}^\infty x'_k \langle w', w_k\rangle||\to 0, \ \ \text{ при\ }\ n\to\infty.$$ Следовательно, ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle w',w_k\rangle x'_k$ сходится в $X^*,$ причем к $T^*w'.$ Обратно, если ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle w',w_k\rangle x'_k$ сходится к $x_0$ в $X^*,$ то, по тому же предложению 1.1, он сходится к $T^*w'.$ Следовательно, остаток этого ряда стремится к нулю в $X^*,$ то есть, О-фрейм $\mathcal F$ натягивающий. \smallskip {\bf Предложение 1.3.}\, Пусть $\mathcal F:=((x'_k), (w_k))$ есть О-фрейм для $T\in L(X.W).$ Следующие утверждения равносильны: $1)$\, О-фрейм $\mathcal F$ ограниченно полный; $2)$\, для каждого $x''\in X^{**}$ из ограниченности последовательности частичных сумм $(\sum_{k=1}^N \langle x'', x'_k\rangle w_k)_{N=1}^\infty$ вытекает сходимость ряда $\sum_{k=1}^\infty \langle x'', x'_k\rangle w_k$ в пространстве $W.$ \smallskip {\it Доказательство}.\, Импликация $1)\Rightarrow 2)$ очевидна. $2)\Rightarrow 1).$\, Пусть $x''\in X^{**}.$ Надо показать, что ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'', x'_k\rangle w_k$ сходится в $W.$ Для любых $w'\in W^*$ и $x\in X$ имеем: $$ \lim_{N\to\infty} \langle \sum_{k=1}^N \langle w', w_k\rangle x'_k, x\rangle = \lim_{N\to\infty} \langle w', \sum_{k=1}^N w_k\langle x'_k, x\rangle\rangle= \langle w', Tx\rangle. $$ В частности, последовательность $(\sum_{k=1}^N \langle w', w_k\rangle x'_k)_{N=1}^\infty$ ограничена в $X^*.$ Поэтому, для $w'\in W^*$ и $x''\in X^{**}$ числовая последовательность $$(\sum_{k=1}^N \langle w', w_k\rangle \langle x'', x'_k\rangle)_{N=1}^\infty$$ ограничена, то есть последовательность $(\sum_{k=1}^N w_k \langle x'', x'_k\rangle)_{N=1}^\infty$ является $\sigma(W,W^*)$-ограниченной. Следовательно, она сильно ограничена в $W.$ По условию 2), ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'', x'_k\rangle w_k$ сходится в пространстве $W,$ т.е. наш О-фрейм $\mathcal F$ --- ограниченно полный. \smallskip Применяя оба предложения, получаем один из основных фактов данного раздела: \smallskip {\bf Теорема 1.1.}\, Пусть $\mathcal F:=((x'_k), (w_k))$ есть О-фрейм для $T\in L(X.W).$ Если этот О-фрейм $\mathcal F$ ограниченно полный и натягивающий, то оператор $T$ слабо компактен. \smallskip {\it Доказательство}.\, Так как $\mathcal F$ натягивающий, то по предложению 1.2 $\mathcal F^d$ есть О-фрейм для $T^*,$ т.е. для любого $w'\in W^*$ $$ T^*w' =\sum_{k=1}^\infty \langle w', w_k\rangle x'_k. $$ Поэтому, для $x''\in X^{**}$ $$ \langle T^*w', x''\rangle = \sum_{k=1}^\infty \langle w', w_k\rangle \langle x'', x'_k\rangle= \lim_N \langle w', \sum_{k=1}^N \langle x'', x'_k\rangle w_k\rangle, $$ или $$ \langle w', T^{**}x''\rangle = \lim_N \langle w', \sum_{k=1}^N \langle x'', x'_k\rangle w_k\rangle. $$ Так как $\mathcal F$ есть ограниченно полный О-фрейм, то ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'', x'_k\rangle w_k$ сходится в $W,$ пусть, например, к элементу $w_0\in W.$ Следовательно, $$ \langle w', T^{**}x''\rangle = \langle w', \sum_{k=1}^\infty \langle x'', x'_k\rangle w_k\rangle. \ \ w'\in W^*. $$ Или: $\langle T^{**}x'', w'\rangle = \langle w', w_0\rangle$ для всякого $w'\in W^*.$ Таким образом, $T^{**}x''=w_0$ и, в частности, $T^{**}x''\in W,$ то есть, если $x''\in X^{**},$ то $T^{**}x''\in W$ и, следовательно, оператор $T$ слабо компактен. \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Кусок на %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Конец КУСКА на ВЫРЕЗ Следующая теорема --- первая из теорем, которые связывают введенное нами понятие О-фрейма и понятие свойства BAP (ограниченной аппроксимации) для операторов (подробней о BAP см. ниже). \smallskip {\bf Теорема 1.2.}\, {\it Пусть $T\in L(X,W).$ Следующие утверждения равносильны: $1)$\, $T$ имеет О-фрейм; $2)$\, оператор $T$ факторизуется через банахово пространство с базисом Ша\-удера; $3)$\, оператор $T$ факторизуется через банахово пространство последова\-тель\-ностей с базисом Шаудера; } \smallskip {\it Доказательство}.\, Сначала мы покажем, что из 1) вытекает 3). Пусть оператор $T$ имеет О-фрейм $\mathcal F:=((x'_k), (w_k)).$ Мы можем (и будем) считать, что $w_k\neq0$ для каждого $k.$ Так как ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k$ сходится (к $Tx)$ для каждого $x\in X,$ то нормы операторов $\sum_{k=1}^N x'_k\otimes w_k$ (равномерно) ограничены (например, константой $K>0).$ Рассмотрим пространство числовых последовательностей $$ t:=\{a=(a_k)_{k=1}^\infty:\ \text{ряд}\ \ \sum_{k=1}^\infty a_kw_k\ \ \text{сходится\ в}\ W\}, %!!! русский не идет! $$ и пусть $e_k$ --- $k$-й единичный вектор в $t$ (т.е., $(e_k)_s=0$ при $k\neq s$ и $(e_k)_k=1).$ Положим $$ |||a|||_t:= \sup_N ||\sum_{k=1}^N a_kw_k||\ \, (\ge \lim_N ||\sum_{k=1}^N a_kw_k||). $$ Так как для финитной последовательности $a=(a_1, a_2,\dots, a_{N+s}, 0, 0,\dots)$ $$ |||\sum_{k=1}^N a_ke_k||| \le |||\sum_{k=1}^{N+s} a_ke_k||| $$ и линейная оболочка векторов $(e_k)_{k=1}^\infty$ плотна в $t,$ то $(e_k)$ --- монотонный базис (см. [2]) в %!!! Ref банаховом пространстве $t.$ %(ср. [Sing, Prop. 3.1]). При этом, если $j: t\to W$ --- естественное отображение $a\mapsto \sum_{k=1}^\infty a_kw_k,$ то $||j||\le1$ (по определению нормы $|||\cdot|||$ в $t).$ Положим $Ax:= (\langle x'_k,x\rangle)_{k=1}^\infty;$ так как ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k$ сходится, то $Ax\in t.$ Далее, $$ |||Ax|||_t=\sup_N ||\sum_{k=1}^N \langle x'_k, x\rangle w_k||\le K\, ||x||,\ \ \forall\, x\in X. $$ Таким образом, линейное отображение $A$ непрерывно из $X$ в $t,$ и $T=jA: X\to t\to W.$ 3) влечет 2) --- очевидно, а утверждение 1) вытекает из утверждения 2) по следствию 1.1. \smallskip Наряду с понятием О-фрейма, мы можем рассмотреть (и кратко рассмотрим) понятие безусловного О-фрейма. \smallskip {\bf Определение 1.4.}\, Пусть $T\in L(X,W),$ $(x'_k)_{k=1}^\infty\subset X^*, (w_k)_{k=1}^\infty\subset W.$ Мы говорим, что $\mathcal F:=((x'_k)_{k=1}^\infty, (w_k)_{k=1}^\infty)$ есть БО-фрейм для $T,$ если для каждого $x\in X$ ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k$ сходится безусловно в $W$ и $$ Tx= \sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k, \ \ x\in X. $$ Если существует БО-фрейм для $T,$ то мы говорим, что $T$ имеет БО-фрейм. \smallskip {\bf Теорема 1.3.}\, {\it Пусть $T\in L(X,W).$ Следующие утверждения равносильны: $1)$\, $T$ имеет БО-фрейм; $2)$\, оператор $T$ факторизуется через банахово пространство с безусловным базисом; $3)$\, оператор $T$ факторизуется через банахово пространство последовате\-ль\-ностей с безусловным базисом. } \smallskip {\it Доказательство}.\, Сначала мы покажем, что из 1) вытекает 3). Пусть оператор $T$ имеет БО-фрейм $\mathcal F:=((x'_k), (w_k)).$ Мы можем (и будем) считать, что $w_k\neq0$ для каждого $k.$ Так как ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k$ безусловно сходится (к $Tx)$ для каждого $x\in X,$ то билинейная форма $B(\cdot,\cdot): X\times l_\infty \to X,$ определенная для $x\in X$ и $a\in l_\infty$ формулой $B(x,a):= \sum_{k=1}^\infty a_k\langle x'_k, x\rangle w_k,$ ограничена. Рассмотрим пространство числовых последовательностей $$ u:=\{a=(a_k)_{k=1}^\infty:\ \text{ряд}\ \ \sum_{k=1}^\infty a_kw_k\ \ \text{безусловно\ сходится\ в}\ W\}, %!!! русский не идет! $$ и пусть $e_k$ --- $k$-й единичный вектор в $t$ (т.е., $(e_k)_s=0$ при $k\neq s$ и $(e_k)_k=1).$ Положим $$ |||a|||_u:= \sup_{||(b_k)||_{l_\infty}\le1} ||\sum_{k=1}^\infty b_ka_kw_k||. $$ Тогда $(e_k)$ --- безусловный базис в %!!! Ref банаховом пространстве $u.$ При этом, если $j: u\to W$ --- естественное отображение $a\mapsto \sum_{k=1}^\infty a_kw_k,$ то $||j||\le1$ (по определению нормы $|||\cdot|||$ в $u).$ Положим $Ax:= (\langle x'_k,x\rangle)_{k=1}^\infty;$ так как ряд $\sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle w_k$ безусловно сходится, то $Ax\in t.$ Далее, $$ |||Ax|||_t=\sup_{||(b_k)||_{l_\infty}\le1} ||\sum_{k=1}^\infty b_k \langle x'_k, x\rangle w_k||\le ||B||\, ||x|| \ \ \forall\, x\in X. $$ Таким образом, линейное отображение $A$ непрерывно из $X$ в $u,$ и $T=jA: X\to u\to W.$ То, что 3) влечет 2) и 2) влечет 1) --- очевидно. \smallskip В качестве одного из следствий последнего факта, приведем ответ на вопрос Марии Скопиной (примерно трех-летней давности; тогда я ответил на вопрос о существовании в $L_1$ безусловной системы представления, используя совершенно другие соображения): {\bf Следствие 1.3.}\, Пространство $L_1(0,1)$ не имеет счетной безусловной системы представления, то есть, тождественный оператор в этом пространстве не обладает безусловным фреймом. Для доказательства достаточно вспомнить теорему А. Пелчинского (см. [2, p.24; 1.d.1]): пространство $L_1(0,1)$ не является подпространством банахова пространства с безусловным базисом. \smallskip Наша следующая цель --- связать понятие О-фрейма со свойством ограниченной аппроксимации операторов. \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BEGIM.TEX \vskip 0.3cm \centerline{\bf \S2. Об операторах со свойством ограниченной аппроксимации} \vskip 0.23cm {\bf Определение 2.1.}\, Пусть $T\in L(X,W),$ $C\ge1.$ Мы говорим, что $T$ имеет свойство C-BAP (свойство C-ограниченной аппроксимации), если для всякого компактного подмножества $K$ из $X,$ для каждого $\varepsilon>0$ существует такой конечномерный оператор $R: X\to W,$ что $||R||\le C\, ||T||$ и $\sup_{x\in K} ||Rx-Tx||\le \varepsilon.$ Оператор $T$ имеет (свойство) BAP, если он имеет свойство C-BAP для некоторой постоянной $C\in[1,\infty).$ %\end{document} \medskip {\bf Лемма 2.1.}\, $T$ имеет C-BAP тогда и только тогда, когда для любого конечного семейства $(x_k)_{k=1}^N\subset X,$ для всякого $\varepsilon>0$ существует такой конечно\-мерный оператор $R: X\to W,$ что $||R||\le C||T||$ и $\sup_{1\le k\le N} ||Rx_k-Tx_k||\le \varepsilon.$ {\it Доказательство}.\, Мы можем (и будем) считать, что $||T||=1.$ Зафиксируем компактное подмножество $K\subset X$ и $\varepsilon>0.$ Пусть $\varepsilon_0:= \varepsilon/(2+C),$ $(x_k)_{k=1}^M$ --- $\varepsilon_0$-сеть для $K$ в $X,$ $R\in X^*\otimes W,$ $||R||\le C$ и $\sup_{1\le k\le M} ||Rx_k-Tx_k||\le \varepsilon_0.$ Возьмем произвольный $x\in K,$ и пусть $x_k$ таков, что $||x-x_k||\le \varepsilon_0.$ Тогда $||Tx-Rx||\le ||x-x_k||+ ||Tx_k-Rx_k|| +||Rx_k-Rx||\le \varepsilon_0+\varepsilon_0+C\varepsilon_0=\varepsilon.$ \smallskip {\bf Лемма 2.2.}\, Пусть $X, W$ --- банаховы пространства, причем пространство $X$ сепарабельно, и $T\in L(X, W).$ $T$ имеет C-BAP тогда и только тогда, когда существует последовательность $(Q_l)_{l=1}^\infty$ конечномерных операторов из $X$ в $W,$ для которой $1)$\, при любом $x\in X$ ряд $\sum_{l=1}^\infty Q_lx$ сходится и $$ Tx=\sum_{l=1}^\infty Q_lx,\ x\in X; $$ $2)$\, $\sup_N ||\sum_{l=1}^N Q_l||\le C\, ||T||.$ \smallskip {\it Доказательство}.\, Так как $X$ сепарабельно, то существует последователь\-ность $(x_k)_1^\infty,$ которая плотна в замкнутом единичном шаре $\bar B_1(0)$ пространства $X.$ Предположим, как и выше, что $||T||=1$ и $T$ имеет C-BAP, то есть для каждого конечного множества $F\subset X,$ для любого $\varepsilon>0$ существует такой конечномерный оператор $R:X\to W,$ что $||R||\le C$ и $\sup_{f\in F} ||Rf-Tf||\le \varepsilon.$ Для каждого $N,$ пусть $R_N$ есть конечнмерный оператор из $X$ в $W$ со следующими свойствами: (i)\, $||R_N||\le C$ и (ii)\, $\sup_{1\le n\le N} ||R_Nx_n-Tx_n||\le 1/2^{N+1}.$ %Consider, for $N>1,$ $S_N:= R_1+(R_2-R_1)+\dots + (R_{N-1}-R_{N-2}) +(R_N-R_{N-1}).$ %We have: $S_N=R_N$ and $||S_Nx_n - Tx_n||\le 1/2^{N+1}$ for every $n\le N,$ by (ii). Если $n\in \Bbb N,$ то для всякого $N\ge n$ имеем: $$ (iii)\ \ ||R_Nx_n-Tx_n||\le \frac1{2^{N+1}} $$ и, следовательно, для фиксированного $x_n$ $$ R_Nx_n \rightarrow Tx_n $$ при $N$ стремящемся к $\infty.$ Теперь, зафиксируем $\varepsilon>0$ и пусть $\delta>0$ таково, что $C\delta+\delta<\varepsilon.$ Для $x\in \bar B_1(0),$ возьмем такой $x_n,$ что $||x_n-x||<\delta.$ Тогда найдется такой номер $N_0,$ что при $N\ge N_0$ $$ ||R_Nx-Tx||\le ||R_N||\, ||x_n-x|| +||R_Nx_n-Tx_n||+ ||Tx_n-Tx||\le C\delta +||T||\delta<\varepsilon. $$ Таким образом, если $x\in X,$ то $R_Nx \to Tx$ при $N\to +\infty.$ %%%%%%%% Для завершения доказательства в части "только тогда" мы применим лемму: \smallskip {\bf Лемма 2.3.}\, Пусть $X, W$ --- произвольные банаховы пространства, $C\ge1$ и $T\in L(X, W).$ Предположим, что (*)\, существует такая последовательность $(S_N)_{N=1}^\infty$ конечномерных операторов из $X$ в $W,$ что если $x\in X,$ то $S_Nx \to Tx$ при $N\to +\infty$ и $||S_N||\le C||T||$ для каждого $N.$ Тогда существует такая последовательность $(Q_l)_{l=1}^\infty$ конечномерных операторов из $X$ в $W,$ что $1)$\, для любого $x\in X$ ряд $\sum_{l=1}^\infty Q_lx$ сходится и $$ Tx=\sum_{l=1}^\infty Q_lx,\ x\in X; $$ $2)$\, $\sup_N ||\sum_{l=1}^N Q_l||\le C\, ||T||.$ \smallskip {\it Доказательство}.\, Мы снова предполагаем, что $||T||=1.$ Положим $Q_1:=S_1, Q_l:=S_l-S_{l-1}$ для $l>1,$ так что $$ S_N= S_1+(S_2-S_1)+\dots +(S_{N-1}-S_{N-2})+ (S_N-S_{N-1})= Q_1+Q_2+\dots+Q_N. $$ Отсюда следует, что $$(1)\ Tx=\sum_{l=1}^\infty Q_lx\ \ \forall\, x\in X$$ и $$(2)\ \sup_{N}||\sum_{l=1}^NQ_l||=\sup_N ||S_N||\le C.$$ \smallskip Часть "тогда, когда" доказательства леммы 2.2 вытекает из следующего утверждения. \smallskip {\bf Лемма 2.4.}\, Пусть $X, W$ --- произвольные банаховы пространства, $C\ge1$ и $T\in L(X,W).$ Если существует последовательность $(R_N)_1^\infty$ конечномерных операторов из $X$ в $W,$ сходящаяся поточечно к $T$ и такая. что $||R_N||\le C||T||$ для всех $N,$ то $T$ имеет C-BAP. \smallskip {\it Доказательство}.\, Действительно, пусть $R_Nx\to Tx$ для каждого $x\in X$ (и $||R_N||\le C||T||$). Зафиксируем $\varepsilon>0$ и компактное подмножество $K\subset X.$ Положим $\varepsilon_0:=\varepsilon (||T||+1+C||T||)^{-1}.$ Выберем конечную $\varepsilon_0$-сеть $F\subset X$ для $K$ и рассмотрим такой оператор $R_{N_0},$ что $\sup_{f\in F} ||R_{N_0}f- Tf||\le \varepsilon_0.$ Тогда, для любого $x\in K$ найдется такой элемент $f_0\in F,$ что $||f_0-x||\le\varepsilon_0,$ и мы получаем: $$ ||Tx-R_{N_0}x||\le ||T||\, \varepsilon_0+\varepsilon_0+||R_{N_0}||\varepsilon_0\le \varepsilon_0 (||T||+1+C||T||)=\varepsilon. $$ \smallskip {\bf Следствие 2.1.}\, Если $X$ сепарабельно и $T\in L(X,W),$ то $T$ имеет C-BAP тогда и только тогда, когда существует последовательность $(R_N)_1^\infty$ конечномерных операторов из $X$ в $W,$ которая поточечно сходится к оператору $T$ и для которой $||R_N||\le C||T||$ для всех $N.$ \smallskip {\bf Следствие 2.2.}\, Если $X$ сепарабельно и $T\in L(X,W),$ то $T$ имеет BAP тогда и только тогда, когда существует последовательность конечномерных операторов из $X$ в $W,$ сходящаяся к оператору $T$ поточечно. \bigskip \centerline{\bf \S3. Свойство ограниченной аппроксимации и О-фреймы.} \bigskip В этом разделе мы покажем, в частности, что каждый оператор в сепарабе\-льных банаховых пространствах, обладающий свойством ограниченной апро\-к\-си\-мации, имеет О-фрейм. \smallskip Мы будем использовать результаты предыдущего параграфа, но заменим некоторые обозначения, поскольку основная идея доказательства центральной теоремы 3.1 восходит к А. Пелчинскому и нам представляется, что наилучшим вариантом является вариант с использованием обозначений из его важной рабо\-ты [3]. %!!! Ref Пусть $X, W$ --- произвольные банаховы пространства, $T\in L(X,W)$ и $T$ обладает свойством (*) из Леммы 2.3. Рассмотрим последовательность $(Q_l)_{l=1}^\infty,$ полученную в утверждении Леммы 2.3, и положим $A_p:=Q_p$\, $(p=1,2,\dots)$ и $K:=C (\ge1),$ предполагая, что $||T||=1.$ Сейчас мы --- в обозначениях (частично) статьи [3]. %Ref!!! \smallskip {\bf Теорема 3.1.}\, Если $T:X\to W$ имеет свойство (*), то есть, если существует такая последовательность $(S_N)_{N=1}^\infty$ конечномерных операторов из $X$ в $W,$ что для любого $x\in X$ \ $S_Nx \to Tx$ при $N\to +\infty$ и $||S_N||\le C||T||$ для каждого $N,$ то оператор $T$ имеет О-фрейм. %then there exist a Banach space $Y$ %with a Schauder basis and two operators $\widetilde A: X\to Y$ and $j: Y\to W$ %so that $T=j\widetilde A.$ \smallskip {\it Доказательство}.\, В вышеприведенных обозначениях (предполагая, что $||T||=1$), имеем: $$ Tx=\sum_{p=1}^\infty A_px,\ \forall\, x\in X;\ \ A_p\in X^*\otimes W,\ \sup_{n\in\Bbb N} ||\sum_{p=1}^n A_p||\le K $$ (заметим, что для каждого $n$ \, $||A_n||\le ||\sum_{p=1}^n A_p- \sum_{p=1}^{n-1} A_p||\le 2K$). Пусть $E_p=A_p(X)\subset W,$ \, $m_p:=\operatorname{dim} E_p$ для $p\ge1$ и $m_0=0.$ Мы будем действовать как в [3]. %!!! По лемме Ауэрбаха, существуют такие одномерные операторы $B_j^{(p)}: E_p\to E_p,$ что $||B_j^{(p)}||=1$ для $j=1,2,\dots, m_p,$ и $$ \sum_{j=1}^{m_p} B_j^{(p)}(e)=e,\ e\in E_p. $$ Положим $C_i^{(p)}:= \dfrac1{m_p}\, B_j^{(p)}$ для $i=rm_p+j$ (где $r=0,1,\dots, m_p-1; j=1,2,\dots, m_p).$ Тогда, для $e\in E_p$ $$ \sum_{i=1}^{m_p^2} C_i^{(p)} (e)=m_p \cdot \sum_{j=1}^{m_p} \frac1{m_p} B_j^{(p)}e= \sum_{j=1}^{m_p} B_j^{(p)}e=e. $$ Кроме того, для любого $q\ge1, q\le m_p^2$ и некоторых $l< m_p$ и $k\le m_p$ имеем: $$ ||\sum_{i=1}^q C_i^{(p)}||= ||\sum_{i=1}^{lm_p} C_i^{(p)} +\sum_{lm_p+1}^{lm_p+k} C_i^{(p)}|| \le l\cdot \frac1{m_p} \, ||\sum_{j=1}^{m_p} B_j^{(p)}|| + \frac1{m_p}\cdot ||\sum_{j=1}^{k} B_j^{(p)}|| \le 1+1=2. $$ %Analogously, % $$ % ||\sum_{i=1}^q C_i^{(p)}A_p||= ||\sum_{i=1}^{lm_p} C_i^{(p)}A_p +\sum_{lm_p+1}^{lm_p+k} C_i^{(p)}A_p|| \le % l\cdot \frac1{m_p} \, ||\sum_{j=1}^{m_p} B_j^{(p)}A_p|| + \frac1{m_p}\cdot ||\sum_{j=1}^{k} B_j^{(p)}A_p|| \le ||A_p||. %$$ Теперь, пусть $$\widetilde A_s:= C_i^{(p)}A_p$$ для $p\in \Bbb N,$ $i=1,2,\dots, m_p^2$ и $s=m_0^2+m_1^2+\dots +m_{p-1}^2+i.$ Одномерный оператор $\widetilde A_s$ отображает $X$ в $E_p\subset W$ следующим образом: $$ \widetilde A_s: X\stackrel{A_p}{\rightarrow} E_p=A_p(X)\stackrel{C_i^{(p)}}{\rightarrow} E_p (\subset W). $$ Так как для каждого $n\in\Bbb N,$ для некоторых $k$ и $r\le m_k^2$ $$ \sum_{s=1}^n \widetilde A_s=\sum_{p=1}^{k-1} \sum_{i=1}^{m_p^2} C_i^{(p)}A_p + \sum_{i=1}^{r} C_i^{(k)}A_k, $$ то мы получаем, что $$ || \sum_{s=1}^n \widetilde A_s||\le ||\sum_{p=1}^{k-1} A_p|| + ||\sum_{i=1}^{r} C_i^{(k)}A_k||\le K+2||A_k||\le 5K. $$ % (To get an estimation "$4K$" as in [1], it it enough to consider simultaniousely, in the center, %the given sum and the sum like $||\sum_{p=1}^{k} A_p|| + ||\sum_{i=r}^{m_k^2} C_i^{(k)}A_k||$). Поскольку для каждого $x,\, x\in X,$\, $A_kx\to 0$ при $k\to\infty,$ то: $$ \lim_{n\to\infty} \sum_{s=1}^n \widetilde A_s x= \lim_{N\to\infty} \sum_{p=1}^{N} A_px =Tx. $$ Таким образом, $\sum_{s=1}^\infty \widetilde A_s(x)= Tx,$ где $\widetilde A_s\in X^*\otimes W$ --- одномерный оператор для любого $s,$ откуда и следует, что оператор $T$ имеет О-фрейм. \medskip Из доказанной теоремы и результатов предыдущих параграфов получаем важнейшие следствия. \smallskip {\bf Следствие 3.1.}\, Для любых банаховых пространств $X$ и $W$ и для любого оператора $T\in L(X,W)$ равносильны утверждения: $(1)$\, $T$ имеет О-фрейм; $(2)$\, оператор $T$ факторизуется через банахово пространство последователь\-но\-стей с базисом; $(3)$\, существует последовательность конечномерных операторов из $X$ в $W,$ сходящаяся к оператору $T$ поточечно. \smallskip {\bf Следствие 3.2.}\, Пусть $X$ --- сепарабельное банахово пространство, $W$ --- произвольное банахово пространство и $T\in L(X,W).$ Следующие утверждения эквивалентны: $(1)$\, $T$ имеет О-фрейм; $(2)$\, $T$ обладает свойством ограниченной аппроксимации; $(3)$\, оператор $T$ факторизуется через банахово пространство с базисом Шау\-де\-ра. \smallskip %%%%%%%%% REFs2 Pe{\l}czy{\'n}ski %\newpage \begin{thebibliography}{0} \bigskip \medskip \bibitem{1} P. Casazza, O. Christensen, D.T. Stoeva: \textit{Frame expansions in separable Banach spaces}, J.Math.Anal.Appl., \textbf{307}(2) (2005), 710-723. \bibitem{2} J. Lindenstrauss, L. Tzafriri: \textit{Classical Banach spaces I: Sequence spaces}, Berlin-Heidelberg-New York: Springer (1977). \bibitem{3} A. Pe{\l}czy{\'n}ski : \textit{Any separable Banach space with the bounded approximation property is a complemented subspace of a Banach space with a basis}, Studia Math., \textbf{XL} (1971), 239-243. %%%%%%%%%%%%%% \end{thebibliography} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%