%%%%%%%%%% % %%%%% 01_(p_2)s - W\in(p;2) - det tr - applic to L_p i bolee %%%%%%%%%%%%%% %%%% %%%% CRAP_rusEXs - 3 примера к ... %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% poisk voprosov po !!! % \def\ove#1{\overline{#1}} % \def\ovs#1#2{\overset{#1}\to{#2}} \def\({\left(} \def\al{\alpha} \def\lee{\leqslant} \def\){\right)} \def\e{\varepsilon} \def\gee{\geqslant} \def\[{\left[} \def\la{\lambda} \def\]{\right]} \def\ffi{\varphi} \def\be{\beta} %\def\{{\left\{} \def\ot{\otimes} \def\<{\langle} \def\wh{\widehat} \def\>{\rangle} \def\wt{\widetilde} \def\sbs{\subset} \def\tr{\operatorname{trace}\,} \def\det{\operatorname{det}\,} %%%%%%%%%%%%% after 30.01.00 02:44:40 Sat: \def\Gr{\operatorname{Gr}} \def\AP{\operatorname{AP}} \def\BAP{\operatorname{BAP}} \def\N{\operatorname{N}} \def\I{\operatorname{I}} \def\id{\operatorname{id}} \def\L{\operatorname{L}} \def\QN{\operatorname{QN}} \def\J{\operatorname{J}} \def\R{\operatorname{R}} \def\dim{\operatorname{dim}} \def\dual{\operatorname{dual}} \def\sbs{\subset} \def\co{\operatorname{co}\,} \def\span{\operatorname{span}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \def\{\quad\blacksquare} \def\med{\medpagebreak} \def\QQ{$\quad\square$} \def\small{\smallpagebreak} \def\Q{\quad\blacksquare} \def\bigp{\bigpagebreak} \def\exp{\operatorname{exp}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% poisk voprosov po !!! %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass[12pt,oneside]{amsproc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage[cp1251]{inputenc} %\usepackage[english]{babel} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsthm} \textheight=22cm \textwidth=15cm \oddsidemargin=5mm \topmargin=-5mm %\title{On a theorem of A. Pelczynski} \title{Свойство Шура и дифференцируемость} %{} \author{Олег Рейнов} \address{Санкт-Петербургский Государственный Университет, Санкт-Петербург, РОССИЯ.} \email{orein51@mail.ru} \thanks{%${ }^\maltese$ AMS Subject Classification 2010: 46G05 Derivatives. } \thanks{${ }$Key words: Свойство Шура; слабо секвенциально полное пространство; слабая дифференцируемость.} \begin{document} $$ {} $$ %\vphantom{} \maketitle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{abstract} Приводится обсуждение двух следующих результатов:\, 1) Банахово пространство $X$ обладает свойством Шура тогда и только тогда, когда всякая слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X$ является сильно дифференцируемой.\, 2) Банахово пространство $X$ слабо секвенциально полно тогда и только тогда, когда всякая слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X$ имеет слабую производную. \end{abstract} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% BEGIM.TEX \vskip 0.3cm {\bf 1.}\ Любопытные (и даже иногда новые) теоремы возникают вследствие, как я их называю, "brain misprints" в формулировках задач (если они действительно таковые, а не ошибки постановщиков проблем, например, студентам). Об одной из подобного рода опечаток и о том результате, к которому она привела, хочется поделиться в этой короткой заметке. Недавно ко мне обратился студент с просьбой о помощи ("идейной"; я в принципе не предоставляю студентам решение задач в подобных случаях, хотя бывают и малозначительные исключения) в доказательстве одного утверждения, которое (доказательство) было нужно ему для получения чего-то вроде допуска к экзамену. Вот так было сформулировано это утверждение: $(*)$\ Пусть $X$ --- банахово (вещественное) пространство и $f$ --- $X$-значная функция, заданная на всей вещественной прямой $\Bbb R.$ Предположим, что для каждого линейного непрерывного функционала $l$ на $X$ вещественная функция $l(f(\cdot))$ дифференцируема в каждой точке прямой. Показать, что для любого $t\in \Bbb R$ существует предел $\lim_{\tau\to0} ||\dfrac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau}||.$ Конечно, для аналитических функций комплексного переменного в подобного рода утверждениях не возникает сомнений: всякая слабо аналитическая (в некоторой области из $\Bbb C)$ функция является сильно аналитической (см., например, [3 или 4, Theorem 3.10.1], [5 или 6, Теорема VI.4], а также %!!!Ref Замечание 1 ниже). Но в вещественном случае с дифференцируемостью надо быть поосторожней. примером чему служит (кстати, используемая ниже) следующая известная функция: \[ \ffi(t)= \left\{ \begin{array}{ll} e^{-\dfrac{1}{1-t^2}}, & \mbox{если $|t|< 1$} \\ 0, & \mbox{если $|t|\ge1.$} \end{array} \right. \] %чье тейлоровские разложения в точках $\pm1$ тривиальны (т.е., все ее производные там %равны нулю). %; см., например, []). %!!! В вещественном случае "теорема" $(*)$ очень похожа на утверждение об эквивалентности понятий слабой дифференцируемости и сильной дифференцируемости $X$-значных функций, заданных на $\Bbb R.$ Последнее сходство навело нас на соображения, что факт $(*)$ есть сомнительный факт, а также, что хорошо бы было посмотреть внимательней и понять (если, конечно, $(*)$ неверно), какие банаховы пространства обладают соответствующими свойствами. То, что $(*)$ неверно, получилось достаточно быстро и просто. Действительно, рассмотрим последовательность $\{-1, -1/2, -1/3, \dots, -1/n, \dots\}$ точек вещественной прямой и в малой окрестности $U_n$ каждой точки вида $-1/n$ построим бесконечно дифференцируемую функцию $\ffi_n,$ аналогичную функции $\ffi,$ рассмотренной выше, но несколько сжатую (и с тем свойством, что в точке $-1/n$ она принимает значение 1). В точке 0, справа от нее и слева от носителей всех функций $\ffi_n,$ также как и между носителями функций $\ffi_n$ и $\ffi_{n+1},$ определим значения новой функции $\Phi$ (она появится буквально через пару строк) как значения, равные нулю. Наконец, склеим все "попарно дизъюнктные"\, функции $\{\ffi_n\}$ и "нулевые куски"\!, получив, таким образом, некоторую бесконечно дифференцируемую функцию $\Phi,$ заданную на всей прямой. Функция $f,$ для которой утверждение $(*)$ неверно (при $t=0)$ теперь строится так: пусть $X=c_0,$ $(e_n)_{n=1}^\infty$ --- семейство единичных векторов в $c_0$ и $(\chi_{U_n})_{n=1}^\infty$ --- характеристические функции окрестностей $U_n,$ в которых (в окрестностях) лежат носители соответствующих функций. Функция $f,$ $f: \Bbb R\to c_0,$ определяется для $t\in\Bbb R$ как $$ f(t)= \sum_{n=1}^\infty 2^{(-1)^n+1}\, t\Phi(t)\, \chi_n(t)\, e_n. $$ \smallskip {\bf 2.}\ Пусть $t_0\in \Bbb R,$ $U:=U(t_0)$ --- некоторая окрестность точки $t_0$ и $f: U\to X$ --- функция со значениями в банаховом пространстве $X.$ Говорят, что функция $f$ слабо дифференцируема в точке $t_0,$ если для любого функционала $x'\in X^*$ вещественная функция $x'\circ f$ дифференцируема в этой точке. Если функция $f$ слабо дифференцируема в $t_0$ и существует такой элемент $x_0\in X,$ что для всякого $x'\in X^*$ имеет место равенство $(x'\circ f)'(t_0)=\,$ то мы называем этот элемент $x_0$ слабой производной функции $f$ в точке $t_0$ (обозначение: $w$-$f'(t_0)$). Функция $f$ (сильно) дифференцируема в точке $t_0,$ если в $X$ существует предел $$ \lim_{\tau\to 0} \frac{f(t_0+\tau)- f(t_0)}{\tau}, $$ и, в случае его существования, этот предел называется (сильной) производной функции $f$ в точке $t_0$ (обозначение: $f'(t_0)$). Ясно, что (1)\, Всякая дифференцируемая в точке $t_0$ функция является слабо дифференцируемой, и производная $f'(t_0)$ функции $f$ является одновременно ее слабой производной. {\it Пример} 1:\, Пусть $e_0\in X, \ffi\in C^{1}(\Bbb R)$ и $f: \Bbb R\to X, f(t):=\ffi(t)e_0.$ В этом случае $f'(t)=\ffi'(t)e_0.$ \smallskip Пусть $f: U\to X$ слабо дифференцируема в точке $t_0.$ Для каждого функционала $x'\in X^*$ существует производная $\al_{x'}:= (x'\circ f)'(t_0)\in \Bbb R.$ Таким образом, имеем отображение $l:X^*\to \Bbb R,$ $l: x' \mapsto \al_{x'}.$ Для вещественных $a,b$ и для $x'_1, x'_2\in X^*$ выполняются соотношения $[(ax'_1+bx'_2)\circ f]'(t_0)=a(x'_1\circ f)'(t_0)+b(x'_2\circ f)'(t_0)=a\al_{x'_1}+b\al_{x'_2},$ т. е. отображение $l$ линейно. Обозначим через $x_\tau$ дробь $\dfrac{f(t_0+\tau)-f(t_0)}{\tau}$ (считая величину $\tau$ достаточно маленькой). Тогда $l(x')= \lim_{\tau\to0} \\in \Bbb R.$ Рассмотрим какую-нибудь последовательность $(\tau_n),$ стремящуюся к нулю при $n\to\infty.$ Для любого функционала $x'\in X^*$ последовательность $(\)$ является последовательностью Коши, и, следовательно, последовательность $(x_{\tau_n})$ ограничена по норме, скажем, константой $C>0.$ \smallskip (2)\, Если $f: U\to X$ слабо дифференцируема в точке $t_0,$ $\tau_n\to 0$ и $t_0+\tau_n\in U,$ то последовательность $(x_{\tau_n}),$ где $x_{\tau_n}:= \dfrac{f(t_0+\tau_n)-f(t_0)}{\tau_n},$ ограничена по норме константой $C,$ зависящей только от $f, t_0, (\tau_n).$ \smallskip Отсюда: $|\al_{x'}|=\lim_n |\|\le C\, ||x'||,$ т. е. $|l(x')|\le C\, ||x'||.$ Поэтому $l\in X^{**}.$ \smallskip (3)\, Если функция $f: U\to X$ слабо дифференцируема в точке $t_0,$ то существует такой функционал $x''_0\in X^{**},$ что для всякого $x'\in X^*$ имеет место равенство $\ = (x'\circ f)'(t_0).$ \smallskip {\it Вопрос}:\, Когда $x''_0=l\in X?$ \smallskip Ответ --- ниже (см. Теорему 2). %\medskip \smallskip {\it Пример} 2 \, (Слабо дифференцируемая функция $F:[0,1]\to c_0,$ для которой не существует $w$-$f'(0)$ в $c_0):$ Рассмотрим семейство отрезков $\{[-\frac1n, -\frac1{n+1}]\}_{n=1}^\infty.$ Пусть $e_1, e_2, \dots,$ --- последовательность единичных векторов (стандартный базис) в $c_0.$ Определим функцию $f: [-1,0)\to c_0$ следующим образом. %$$ %\text{для }\ t\in [-1,-1/2] \ \ \text{положим }\ f(t):=e_1; %$$ \[ f(t)= \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{для $t\in [-1,-\frac12]$} & \mbox{положим $f(t):=e_1;$} \\ \mbox{для $t\in [-\frac12,-\frac13]$} & \mbox{положим $f(t):=e_1+ \frac{t+1/2}{-1/3+1/2}e_2;$} \\ \text{ вообще, } & { } \\ \mbox{для $t\in [-\frac1n,-\frac1{n+1}]$} & \mbox{положим $f(t):=\sum_{k=1}^{n-1} e_k + \frac{t+1/n}{-1/(n+1)+1/n}e_n.$} \end{array} \right. \] Так как $\al_n(t):= \dfrac{t+\frac1n}{-\frac1{n+1}+\frac1n}$ есть непрерывная возрастающая функция на промежутке $[-\frac1n,-\frac1{n+1}]$ и $\al_n(-\frac1n)=0,$ $\al_n(-\frac1{n+1})=1,$ то $f(-\frac1n)=e_1+e_2+\dots+e_{n-1},$ $f(-\frac1{n+1})=e_1+e_2+\dots+e_{n-1}+e_n$ и $$ f(t)=e_1+e_2+\dots+e_{n-1}+\al_n(t)e_n\ \text{ для }\ t\in \left[-\frac1n, -\frac1{n+1}\right]. $$ Отсюда следует, что функция $f$ непрерывна на $[-1,0).$ Если $\beta\in l_1,$ то для $t\in [-\frac1n, -\frac1{n+1}]$ имеем $$ \ = \beta_1+\beta_2+\dots+ \beta_{n-1}+ \al_n(t) \beta_n. $$ Пусть $e:=(1,1,\dots, 1, \dots)\in l_\infty,$ $\beta\in l_1.$ Зафиксируем $\e>0,$ и пусть $N:=N(\e)$ таково, что $\sum_{k=N}^\infty |\beta_k|<\e.$ Рассматривая пространство $c_0$ как подпространство пространства $l_\infty,$ получаем:\, если $t\in [-\frac1{N+1},0),$ то для некоторого $n, n\ge N,$ $$ |\|=|0+0+\dots +0 +(\al_n(t)-1)\beta_n| \le \sum_{k=n}^\infty |\beta_k|<\e. $$ Отсюда вытекает, что $f(t)-e$ \, $w^*$-слабо стремится к нулю при $t,$ стремящемся к нулю слева, т. е. $f(t)\underset{t\to0-}\to e=(1,1,\dots)\in l_\infty$ в топологии $\sigma(l_\infty, l_1).$ Положим \[ F(t)= \left\{ \begin{array}{ll} tf(t), & \mbox{если $t\in [-1,0),$} \\ 0, & \mbox{если $t=0.$} \end{array} \right. \] Функция $F,$ отображающая промежуток $[0,1]$ в банахово пространство $c_0,$ непрерывна и $$ w^*\text{-}\lim_{t\to0-} \frac{F(t)}{t}= w^*\text{-}\lim_{t\to0-} f(t)= e\in l_\infty\setminus c_0. $$ Таким образом, $F$ есть слабо дифференцируемая $c_0$-значная функция, "слабая производная" которой не лежит в $c_0.$ \smallskip %{\bf 3.} %По-прежнему, $t_0\in \Bbb R,$ $U:=U(t_0)$ --- некоторая окрестность точки $t_0$ %и $f: U\to X$ --- функция со значениями в банаховом пространстве $X.$ %Функция $f$ слабого класса $C^1$ в точке $t_0,$ если существует такая окрестность %!!! Qu: C^1 дает суш. сл. пр-ной в X? Ср. Пример c_0-l_\infty Кк там? %$V=V(t_0)$ точки $t_0,$ что $\ove{V}\subset U$ и на $V$ функция $f$ %слабо непрерывно дифференцируема, т. е. для любого функционала $x'\in X^*$ %композиция $x'\circ f$ имеет непрерывную производную на $V.$ \smallskip {\bf 3.} Ясно, что всякая слабо дифференцируемая функция слабо непрерывна Мы имеем, однако: \smallskip (4)\, Если $f: U\to X$ слабо дифференцируема в точке $t_0,$ то она сильно непрерывна в этой точке. {\it Действительно}, %пусть $V$ --- указанная выше окрестность с компактным замыканием. %Для $x'\in X^*$ и $t=t_0+\tau\in V$ имеем: %$$ %x'\circ f(t)= x'\circ f(t_0)+x'\circ f(t_0+\theta\tau)\tau, %$$ %где $0<\theta<1.$ Поэтому, для $x'\in X^*,$ $||x'||\le1,$ имеем %$$ %|x'\circ f(t)- x'\circ f(t_0)|=|x'\circ f(t_0+\theta\tau)\tau|\le %$$ пусть $x'\in X^*$ и $t_n=t_0+\tau_n\in U,$ причем $\tau_n\to0.$ Рассмотрим последовательность $(x_{\tau_n})$ из утверждения (2). Имеем: $$ |x'\circ f(t_n)-x'\circ f(t_0)|= |x'(\dfrac{f(t_0+\tau_n)-f(t_0)}{\tau_n})|\, |\tau_n|= |x'(x_{\tau_n})|\, |\tau_n|\le C\, ||x'||\, |\tau_n|, $$ откуда следут, что $$ ||f(t_n)-f(t_0)||\le C\,|\tau_n| \underset{n\to\infty}\to 0. $$ \smallskip {\it Замечание} 1: Пусть, по-прежнему, $t_0\in \Bbb R,$ $U:=U(t_0)$ --- некоторая окрестность точки $t_0$ и $f: U\to X$ --- функция со значениями в банаховом пространстве $X.$ Функция $f$ слабого класса $C^1$ в $U,$ если на $U$ функция $f$ слабо непрерывно дифференцируема, т. е. для любого функционала $x'\in X^*$ композиция $x'\circ f$ имеет непрерывную производную на $U.$ Функция $f$ (сильного) класса $C^1$ в $U,$ если на $U$ функция $f$ (сильно) непрерывно дифференцируема, т. е. $f$ имеет непрерывную производную на $U.$ %слабого класса $C^1$ в точке $t_0,$ если существует такая окрестность %!!! Qu: C^1 дает суш. сл. пр-ной в X? Ср. Пример c_0-l_\infty Кк там? %;V=V(t_0)$ точки $t_0,$ что $\ove{V}\subset U$ и на $V$ функция $f$ %слабо непрерывно дифференцируема, т. е. для любого функционала $x'\in X^*$ %композиция $x'\circ f$ имеет непрерывную производную на $V.$ Аналогично определяется понятия функции слабого или сильного класса $C^n$ для $n>1.$ Лемма 2.1 из [2] (с достаточно простым доказательством) утверждает, что если $n\ge1$ и $\Omega$ --- область в $\Bbb R$ или в $\Bbb C.$ то всякая $X$-значная функция слабого класса $C^{n+1}$ есть функция сильного класса $C^n.$ Отсюда, кстати, следует соответствующее утверждение о слабо аналитических функциях (см. начало нашей заметки). %\[ x = \left\{ \begin{array}{ll} %y & \mbox{if $y>0$} \\ %z+y & \mbox{otherwise} %\end{array} %\right. \] % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\bf 4.} В этом последнем разделе мы приводим два главных наблюдения, сделанные нами при рассмотрении вопроса, с которого началась эта заметка. Напомним, что банахово пространство обладает свойством Шура, если всякая слабо сходящаяся к нулю последовательность его элементов сходится сильно (т. е. по норме и, естественно, к нулю; см., например, [1], стр. 37). \smallskip {\bf Теорема 1.}\, Пусть $X$ --- (вещественное) банахово пространство и $U$ --- некоторая окрестность нуля в $\Bbb R.$ Следующие утверждения равносильны: 1)\, Всякая слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X$ является сильно дифференцируемой на всей прямой. 2)\, Если $f:U\to X$ --- функция, слабо дифференцируемая в нуле, то $f$ сильно дифференцируема в нуле. 3)\, Если $t_0\in \Bbb R$ и $X$-значная функция $f$ определена в некоторой окрестности точки $t_0$ и слабо дифференцируема в этой точке, то она сильно дифференцируема в точке $t_0.$ 4)\, Если $f$ --- слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X,$ то для любой точки $t\in\Bbb R$ существует предел $$ \lim_{h\to 0} ||\frac{f(t+h)-f(t)}{h}||. $$ 5)\, Банахово пространство $X$ обладает свойством Шура. \smallskip {\it Доказательство}.\, Импликации $5) \Rightarrow 3)\Rightarrow 2) \Rightarrow 1) \Rightarrow 4)$ очевидны. Докажем, что 4) влечет 5). Предположим, что пространство $X$ не обладает свойством Шура, и пусть $(x_n)$ --- последовательность векторов из $X,$ которая слабо сходится к нулю, но нормы которых не меньше единицы и ограничены сверху некоторой постоянной $C:$\, $C>||x_n||\ge1$ для всех $n\in \Bbb N.$ Разобьем интервал $(0,1]$ на счетное число интервалов вида $(\frac1{n+1}, \frac1n],$ $n=1,2,\dots.$ Для каждого $n=1,2,\dots$ построим на интервале $I_n:= (\frac1{n+1}, \frac1n]$ бесконечно дифференцируемую функцию $\ffi_n$ (используя приведенный выше пример функции $\ffi),$ которая равна единице в центре $t_n:= \frac{2n+1}{n(n+1)}$ интервала $I_n$ и равна нулю на левой и правой трети этого интервала $I_n.$ Продолжив функцию $\ffi_n$ на всю прямую тождественным нулем, получим $C^\infty$-функцию $\ffi_n$ (сохраним обозначение) из $\Bbb R$ в $[0,1],$ носитель $J_n$ которой есть замкнутый центральный отрезок интервала $I_n,$ разбитого на три равных части: $$ J_n:= \left[ \frac{n+1/3}{n(n+1)}, \frac{n+2/3}{n(n+1)}\right]. $$ Определим, наконец, функцию $f$ как $X$-значную функцию, равную на каждом из интервалов $I_n$ функции $(2C)^{-1-(-1)^n}\, t\ffi_n(t)\, x_n$ и нулю на остальной части прямой. Тогда не существует предела величины $||\frac{f(t+h)-f(t)}{h}||$ в точке $t=0$ при $h,$ стремящемся к нулю, поскольку $\frac {f(0+t_n)-f(0)}{t_n}=(2C)^{-1-(-1)^n}\, x_n$ и $1\le ||x_n||1).$ Тогда $e_1+e_2+\dots + e_n=x_n$ и ряд $\sum_{n=1}^\infty e_n$ слабо${}^*$ сходится в $X^{**}$ к $e.$ Определим функцию $f:[-1,0)\to X$ по формулам, совершенно аналогичным формулам из Примера 2, полагая $f(t)=e_1$ для $t\in [-1, -1/2]$ и $f(t):=\sum_{k=1}^{n-1} e_k + \al_n(t) e_n$ для $t\in [-\frac1n,-\frac1{n+1}]$ \, $(n>1),$ где $\al_n(t):= \dfrac{t+\frac1n}{-\frac1{n+1}+\frac1n}.$ Зафиксируем $x'\in X^*$ и затем $\e>0.$ Пусть $N:=N(\e)$ таково, что при всех $n\ge N$ имеем $$ |\|<\frac{\e}{2} \ \text{ и }\ |\|<\frac{\e}{2}. $$ Если $t\in [-\frac1{N+1},0),$ то для некоторого $n, n\ge N,$ $$ |\|=|\<\sum_{k=1}^{n} e_k + \al_{n+1}(t) e_{n+1}-e, x'\>| $$ $$ = |\+ \<\al_{n+1}(t) (x_{n+1}-x_n), x'\>| \le \frac{\e}{2}+ \frac{\e}{2}\, \al_{n+1}(t)\le \e. $$ Отсюда вытекает, что $f(t)-e$ \, $w^*$-слабо стремится к нулю при $t,$ стремящемся к нулю слева, т. е. $f(t)\underset{t\to0-}\to e\in X^{**}$ в топологии $\sigma(X^{**}, X^*).$ Положим \[ F(t)= \left\{ \begin{array}{ll} tf(t), & \mbox{если $t\in [-1,0),$} \\ -tf(-t), & \mbox{если $t\in (0.1],$} \\ 0, & \mbox{если $t= 0.$} \end{array} \right. \] Функция $F,$ отображающая промежуток $[-1,1]$ в банахово пространство $X,$ непрерывна и $$ \sigma(X^{**}, X^*)\text{-}\lim_{t\to0} \frac{F(t)}{t}= \sigma(X^{**}, X^*)\text{-}\lim_{t\to0} f(t)= e\in X^{**}\setminus X. $$ Таким образом, $F$ есть слабо дифференцируемая в нуле $X$-значная функция, "слабая производная" которой не лежит в $X.$ \smallskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%% REFs2 Schur %\newpage \begin{thebibliography}{0} \bigskip \medskip \bibitem{1} Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: \textit{Topics in Banach Space Theory}, Graduate Texts in Mathematics 233, Springer (2006), p. 37. \bibitem{2} J. Bochnak, J. Siciak: \textit{Analytic functions in topological vector spaces}, Studia Math., \textbf{XXXIX} (1971), 77-112. \bibitem{3} Einar Hille ,Ralph S. Phillips : \textit{Functional analysis and semi-groups}, Providence (1957), p. 93. \bibitem{4} Э. Хилле, Р. Филлипс: \textit{Функциональный анализ и полугруппы}, ИЛ (1962), с. 197. \bibitem{5} Michael Reed, Barry Simon: \textit{Methods of modern mathematical physics I: Functional analysis }, Academic Press (1980), p. 189. \bibitem{6} М.Рид, Б. Саймон: \textit{Методы современной математической физики [том 1]}, Мир (1977), с. 212. %%%%%%%%%%%%%% \end{thebibliography} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{document} ----------------------- \bibitem{2} Einar Hille ,Ralph S. Phillips : \textit{Functional analysis and semi-groups}, Providence (1957), p. 93. \bibitem{2} Э. Хилле, Р. Филлипс: \textit{Функциональный анализ и полугруппы}, ИЛ (1962), с. 197. \bibitem{2} Michael Reed, Barry Simon: \textit{Methods of modern mathematical physics I: Functional analysis }, Academic Press (1980), p. 189. \bibitem{2} М.Рид, Б. Саймон: \textit{Методы современной математической физики [том 1]}, Мир (1977), с. 212. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%