%%%%%%%%%%
%
%%%%%               01_(p_2)s    - W\in(p;2) - det tr - applic to L_p i bolee
%%%%%%%%%%%%%%
%%%%
%%%%           CRAP_rusEXs  -  3 примера к ...
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%% poisk voprosov po !!!
   %
\def\ove#1{\overline{#1}}    %
\def\ovs#1#2{\overset{#1}\to{#2}}
     \def\({\left(}       \def\al{\alpha}           \def\lee{\leqslant}
     \def\){\right)}      \def\e{\varepsilon}    \def\gee{\geqslant}
     \def\[{\left[}       \def\la{\lambda}
     \def\]{\right]}      \def\ffi{\varphi}
                          \def\be{\beta}
     %\def\{{\left\{}
                                      \def\ot{\otimes}
     \def\<{\langle}                 \def\wh{\widehat}
     \def\>{\rangle}                 \def\wt{\widetilde}
                 \def\sbs{\subset}
\def\tr{\operatorname{trace}\,}

                   \def\det{\operatorname{det}\,}

  %%%%%%%%%%%%% after 30.01.00 02:44:40 Sat:
\def\Gr{\operatorname{Gr}}
\def\AP{\operatorname{AP}}
\def\BAP{\operatorname{BAP}}
\def\N{\operatorname{N}}
\def\I{\operatorname{I}}
\def\id{\operatorname{id}}
\def\L{\operatorname{L}}
\def\QN{\operatorname{QN}}
\def\J{\operatorname{J}}
\def\R{\operatorname{R}}
\def\dim{\operatorname{dim}}
\def\dual{\operatorname{dual}}
                     \def\sbs{\subset}

            \def\co{\operatorname{co}\,}
\def\span{\operatorname{span}}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


 %       \def\{\quad\blacksquare}
\def\med{\medpagebreak}
    \def\QQ{$\quad\square$}      \def\small{\smallpagebreak}
    \def\Q{\quad\blacksquare}         \def\bigp{\bigpagebreak}

 \def\exp{\operatorname{exp}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% poisk voprosov po !!!


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[12pt,oneside]{amsproc}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
%\usepackage[english]{babel}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsthm}

\textheight=22cm \textwidth=15cm \oddsidemargin=5mm
\topmargin=-5mm



%\title{On a theorem of  A. Pelczynski}
\title{Свойство Шура и дифференцируемость}
%{}
\author{Олег Рейнов}
\address{Санкт-Петербургский Государственный Университет,  
Санкт-Петербург, РОССИЯ.}
\email{orein51@mail.ru}


\thanks{%${ }^\maltese$
AMS Subject Classification 2010: 46G05 Derivatives.
}
\thanks{${ }$Key words:  Свойство Шура; слабо секвенциально полное пространство; слабая
дифференцируемость.}




\begin{document}

                          $$ {} $$
%\vphantom{}
\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{abstract}
Приводится обсуждение двух следующих результатов:\,
1) Банахово пространство $X$ обладает свойством Шура тогда и только тогда, когда
всякая слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X$ 
является сильно дифференцируемой.\,
2) Банахово пространство $X$ слабо секвенциально полно  тогда и только тогда, когда
всякая слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X$ имеет
слабую производную.
 \end{abstract}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%   BEGIM.TEX
\vskip 0.3cm

{\bf 1.}\
Любопытные (и даже иногда новые) теоремы возникают вследствие,
как я их называю, "brain misprints" в формулировках задач (если они действительно таковые,
а не ошибки постановщиков проблем, например, студентам).
Об одной из подобного рода опечаток и о том результате, к которому она привела,
хочется поделиться в этой короткой заметке.

Недавно ко мне обратился  студент с просьбой  о помощи ("идейной"; я в принципе
не предоставляю студентам решение задач в подобных случаях, хотя бывают и малозначительные исключения)
в доказательстве одного утверждения, которое (доказательство) было нужно ему для получения
чего-то вроде допуска к экзамену. Вот так было сформулировано это утверждение:

$(*)$\ Пусть $X$ --- банахово (вещественное) пространство и $f$ ---
$X$-значная функция, заданная на всей вещественной прямой $\Bbb R.$
 Предположим, что для каждого линейного непрерывного функционала $l$ на $X$
 вещественная функция $l(f(\cdot))$ дифференцируема в каждой точке прямой.
 Показать, что для любого $t\in \Bbb R$ существует предел $\lim_{\tau\to0} ||\dfrac{f(t+\tau)-f(t)}{\tau}||.$

Конечно, для аналитических функций комплексного переменного в подобного рода утверждениях
не возникает сомнений: всякая слабо аналитическая (в некоторой области из $\Bbb C)$
функция является сильно аналитической
(см., например,  [3 или 4, Theorem 3.10.1], [5 или 6,  Теорема VI.4], а также         %!!!Ref
Замечание 1 ниже).
Но в вещественном случае с дифференцируемостью надо быть поосторожней.
примером чему служит (кстати, используемая ниже) следующая известная функция:
\[ \ffi(t)= \left\{ \begin{array}{ll}
          e^{-\dfrac{1}{1-t^2}}, & \mbox{если $|t|< 1$} \\
         0, & \mbox{если $|t|\ge1.$}
          \end{array}
          \right. \]
%чье тейлоровские разложения в точках $\pm1$ тривиальны (т.е., все ее производные там
%равны нулю).  %; см., например, []).                                                                                                                                     %!!!
В вещественном случае "теорема" $(*)$ очень похожа на утверждение об эквивалентности
понятий слабой дифференцируемости и сильной дифференцируемости $X$-значных
функций, заданных на $\Bbb R.$
Последнее сходство навело нас на соображения, что факт $(*)$ есть сомнительный факт,
а также, что хорошо бы было посмотреть внимательней и понять (если, конечно, $(*)$ неверно),
какие банаховы пространства обладают соответствующими свойствами.

То, что $(*)$ неверно, получилось достаточно быстро и просто.
Действительно, рассмотрим последовательность $\{-1, -1/2, -1/3, \dots, -1/n, \dots\}$
точек вещественной прямой и в малой окрестности $U_n$ каждой точки вида $-1/n$
построим бесконечно дифференцируемую функцию $\ffi_n,$
аналогичную функции $\ffi,$ рассмотренной выше, но несколько сжатую
(и с тем свойством, что в точке $-1/n$ она принимает значение 1).
В точке 0, справа от нее и слева от носителей всех функций $\ffi_n,$
также как и между носителями функций $\ffi_n$ и $\ffi_{n+1},$
определим значения новой функции $\Phi$ (она появится буквально через пару строк)
как значения, равные нулю. Наконец, склеим все "попарно дизъюнктные"\, функции $\{\ffi_n\}$
и "нулевые куски"\!, получив, таким образом, некоторую бесконечно дифференцируемую функцию $\Phi,$
 заданную на всей прямой.
 Функция $f,$ для которой утверждение $(*)$ неверно (при $t=0)$ теперь строится так:
 пусть $X=c_0,$ $(e_n)_{n=1}^\infty$ --- семейство единичных векторов в $c_0$ и
 $(\chi_{U_n})_{n=1}^\infty$ --- характеристические функции окрестностей $U_n,$
 в которых (в окрестностях) лежат носители соответствующих функций. Функция $f,$
 $f: \Bbb R\to c_0,$  определяется для $t\in\Bbb R$ как
 $$
  f(t)=    \sum_{n=1}^\infty  2^{(-1)^n+1}\, t\Phi(t)\, \chi_n(t)\, e_n.
 $$

\smallskip

{\bf 2.}\
Пусть $t_0\in \Bbb R,$ $U:=U(t_0)$ --- некоторая окрестность точки $t_0$
и $f: U\to X$ --- функция со значениями в банаховом пространстве $X.$

Говорят, что функция $f$  слабо дифференцируема в точке $t_0,$ если
для любого функционала $x'\in X^*$ вещественная функция $x'\circ f$
дифференцируема в этой точке. Если функция $f$ слабо дифференцируема в $t_0$
и существует такой элемент $x_0\in X,$ что для всякого $x'\in X^*$ имеет место
равенство $(x'\circ f)'(t_0)=\<x',x_0\>,$ то мы называем этот элемент $x_0$
слабой производной функции $f$ в точке $t_0$ (обозначение: $w$-$f'(t_0)$).

Функция $f$  (сильно) дифференцируема в точке $t_0,$ если в $X$
существует предел
$$
  \lim_{\tau\to 0} \frac{f(t_0+\tau)- f(t_0)}{\tau},
$$
и, в случае его существования, этот предел называется (сильной) производной
функции $f$ в точке $t_0$ (обозначение: $f'(t_0)$). Ясно, что

(1)\,
Всякая дифференцируемая в точке $t_0$ функция является слабо дифференцируемой,
и производная $f'(t_0)$  функции $f$ является одновременно ее слабой производной. 

{\it Пример} 1:\,
Пусть $e_0\in X, \ffi\in C^{1}(\Bbb R)$ и 
$f: \Bbb R\to X, f(t):=\ffi(t)e_0.$ В этом случае $f'(t)=\ffi'(t)e_0.$
\smallskip

Пусть $f: U\to X$ слабо дифференцируема в точке $t_0.$
Для каждого функционала $x'\in X^*$ существует производная
$\al_{x'}:= (x'\circ f)'(t_0)\in \Bbb R.$ Таким образом, имеем отображение
$l:X^*\to \Bbb R,$ $l: x' \mapsto \al_{x'}.$
Для вещественных $a,b$ и для $x'_1, x'_2\in X^*$ выполняются соотношения
$[(ax'_1+bx'_2)\circ f]'(t_0)=a(x'_1\circ f)'(t_0)+b(x'_2\circ f)'(t_0)=a\al_{x'_1}+b\al_{x'_2},$ 
т. е. отображение $l$ линейно. Обозначим через $x_\tau$
дробь $\dfrac{f(t_0+\tau)-f(t_0)}{\tau}$ (считая величину $\tau$ достаточно маленькой).
Тогда $l(x')= \lim_{\tau\to0} \<x', x_\tau\>\in \Bbb R.$ Рассмотрим какую-нибудь последовательность
$(\tau_n),$ стремящуюся к нулю при $n\to\infty.$
Для любого функционала $x'\in X^*$ последовательность $(\<x', x_{\tau_n}\>)$ является последовательностью Коши,
и, следовательно, последовательность $(x_{\tau_n})$ ограничена по норме, скажем, константой $C>0.$
\smallskip

(2)\,
Если $f: U\to X$ слабо дифференцируема в точке $t_0,$
$\tau_n\to 0$ и $t_0+\tau_n\in U,$ то последовательность $(x_{\tau_n}),$ где
$x_{\tau_n}:= \dfrac{f(t_0+\tau_n)-f(t_0)}{\tau_n},$ ограничена по норме
константой $C,$ зависящей только от $f, t_0, (\tau_n).$  
\smallskip

Отсюда: $|\al_{x'}|=\lim_n |\<x',x_{\tau_n}\>|\le C\, ||x'||,$
т. е. $|l(x')|\le C\, ||x'||.$
Поэтому $l\in X^{**}.$
\smallskip

(3)\,
Если функция $f: U\to X$ слабо дифференцируема в точке $t_0,$
то существует такой функционал $x''_0\in X^{**},$ что
для всякого $x'\in X^*$ имеет место равенство
$\<x''_0, x'\> = (x'\circ f)'(t_0).$
\smallskip

{\it Вопрос}:\,
Когда $x''_0=l\in X?$
\smallskip

Ответ --- ниже (см. Теорему 2).
%\medskip

\smallskip

{\it Пример} 2 \, (Слабо дифференцируемая функция $F:[0,1]\to c_0,$ для которой не существует $w$-$f'(0)$ в $c_0):$
Рассмотрим семейство отрезков $\{[-\frac1n, -\frac1{n+1}]\}_{n=1}^\infty.$
Пусть $e_1, e_2, \dots,$ --- последовательность единичных векторов (стандартный базис) в $c_0.$
Определим функцию $f: [-1,0)\to c_0$ следующим образом.
%$$
 %\text{для }\ t\in [-1,-1/2] \ \ \text{положим }\ f(t):=e_1;
%$$


\[ f(t)= 
   \left\{ \begin{array}{ll}
 \mbox{для $t\in [-1,-\frac12]$} & \mbox{положим  $f(t):=e_1;$} \\
   \mbox{для $t\in [-\frac12,-\frac13]$} & \mbox{положим  $f(t):=e_1+ \frac{t+1/2}{-1/3+1/2}e_2;$} \\
   \text{  вообще, } & { } \\
    \mbox{для $t\in [-\frac1n,-\frac1{n+1}]$} & \mbox{положим  $f(t):=\sum_{k=1}^{n-1} e_k + \frac{t+1/n}{-1/(n+1)+1/n}e_n.$}
       \end{array}
  \right. \]

Так как $\al_n(t):= \dfrac{t+\frac1n}{-\frac1{n+1}+\frac1n}$ есть непрерывная возрастающая функция на промежутке
$[-\frac1n,-\frac1{n+1}]$ и $\al_n(-\frac1n)=0,$ $\al_n(-\frac1{n+1})=1,$ то 
$f(-\frac1n)=e_1+e_2+\dots+e_{n-1},$
$f(-\frac1{n+1})=e_1+e_2+\dots+e_{n-1}+e_n$ и 
$$
  f(t)=e_1+e_2+\dots+e_{n-1}+\al_n(t)e_n\  \text{ для }\  t\in \left[-\frac1n, -\frac1{n+1}\right].
$$
Отсюда следует, что функция $f$ непрерывна на $[-1,0).$ Если $\beta\in l_1,$ то
для $t\in [-\frac1n, -\frac1{n+1}]$ имеем
$$
 \<f(t), \beta\> = \beta_1+\beta_2+\dots+ \beta_{n-1}+ \al_n(t) \beta_n.
$$

Пусть $e:=(1,1,\dots, 1, \dots)\in l_\infty,$ $\beta\in l_1.$
Зафиксируем $\e>0,$ и пусть $N:=N(\e)$ таково, что $\sum_{k=N}^\infty |\beta_k|<\e.$
Рассматривая пространство $c_0$ как подпространство пространства $l_\infty,$
получаем:\, если $t\in [-\frac1{N+1},0),$ то для некоторого $n, n\ge N,$ 
$$
 |\<f(t)-e, \beta\>|=|0+0+\dots +0 +(\al_n(t)-1)\beta_n| \le
  \sum_{k=n}^\infty |\beta_k|<\e.
$$
Отсюда вытекает, что $f(t)-e$ \, $w^*$-слабо стремится к нулю при $t,$ 
стремящемся к нулю слева, т. е.
$f(t)\underset{t\to0-}\to e=(1,1,\dots)\in l_\infty$ в топологии $\sigma(l_\infty, l_1).$

Положим 

\[ F(t)= 
  \left\{ \begin{array}{ll}
tf(t), & \mbox{если  $t\in [-1,0),$} \\
 0, & \mbox{если  $t=0.$} 
      \end{array}
 \right. \]

Функция $F,$ отображающая промежуток $[0,1]$ в банахово пространство $c_0,$
непрерывна и
$$
 w^*\text{-}\lim_{t\to0-} \frac{F(t)}{t}= w^*\text{-}\lim_{t\to0-} f(t)= e\in l_\infty\setminus c_0.
$$
Таким образом, $F$ есть слабо дифференцируемая $c_0$-значная функция,
"слабая производная" которой не лежит в $c_0.$
\smallskip




%{\bf 3.}
%По-прежнему, $t_0\in \Bbb R,$ $U:=U(t_0)$ --- некоторая окрестность точки $t_0$
%и $f: U\to X$ --- функция со значениями в банаховом пространстве $X.$
%Функция $f$ слабого класса $C^1$ в точке $t_0,$ если существует такая окрестность      %!!! Qu: C^1 дает суш. сл. пр-ной в X? Ср. Пример c_0-l_\infty Кк там?
%$V=V(t_0)$ точки $t_0,$ что $\ove{V}\subset U$ и на $V$ функция $f$
%слабо непрерывно дифференцируема, т. е. для любого функционала $x'\in X^*$
%композиция $x'\circ f$ имеет непрерывную производную на $V.$
\smallskip

{\bf 3.}
Ясно, что всякая слабо дифференцируемая функция слабо непрерывна Мы имеем, однако:
\smallskip

(4)\,
Если $f: U\to X$ слабо дифференцируема в точке $t_0,$ то она сильно непрерывна в этой точке.

{\it Действительно},  %пусть $V$ --- указанная выше окрестность с компактным замыканием.
%Для $x'\in X^*$ и $t=t_0+\tau\in V$ имеем:
%$$
 %x'\circ f(t)= x'\circ f(t_0)+x'\circ f(t_0+\theta\tau)\tau,
%$$
%где $0<\theta<1.$ Поэтому, для $x'\in X^*,$ $||x'||\le1,$ имеем
%$$
 %|x'\circ f(t)- x'\circ f(t_0)|=|x'\circ f(t_0+\theta\tau)\tau|\le 
%$$
пусть $x'\in X^*$ и $t_n=t_0+\tau_n\in U,$ причем $\tau_n\to0.$
Рассмотрим последовательность $(x_{\tau_n})$ из утверждения (2).
Имеем:
$$
  |x'\circ f(t_n)-x'\circ f(t_0)|= |x'(\dfrac{f(t_0+\tau_n)-f(t_0)}{\tau_n})|\, |\tau_n|=
  |x'(x_{\tau_n})|\, |\tau_n|\le C\, ||x'||\, |\tau_n|,
$$
откуда следут, что 
$$
 ||f(t_n)-f(t_0)||\le C\,|\tau_n| \underset{n\to\infty}\to 0.
$$

\smallskip

{\it Замечание} 1:
Пусть, по-прежнему, $t_0\in \Bbb R,$ $U:=U(t_0)$ --- некоторая окрестность точки $t_0$
и $f: U\to X$ --- функция со значениями в банаховом пространстве $X.$
Функция $f$ слабого класса $C^1$ в $U,$ если на $U$ функция $f$
 слабо непрерывно дифференцируема, т. е. для любого функционала $x'\in X^*$
 композиция $x'\circ f$ имеет непрерывную производную на $U.$
 Функция $f$ (сильного) класса $C^1$ в $U,$ если на $U$ функция $f$
 (сильно) непрерывно дифференцируема, т. е. 
 $f$ имеет непрерывную производную на $U.$
%слабого класса $C^1$ в точке $t_0,$ если существует такая окрестность      %!!! Qu: C^1 дает суш. сл. пр-ной в X? Ср. Пример c_0-l_\infty Кк там?
%;V=V(t_0)$ точки $t_0,$ что $\ove{V}\subset U$ и на $V$ функция $f$
%слабо непрерывно дифференцируема, т. е. для любого функционала $x'\in X^*$
%композиция $x'\circ f$ имеет непрерывную производную на $V.$
Аналогично определяется понятия функции слабого или сильного  класса $C^n$ для $n>1.$
Лемма 2.1 из [2] (с достаточно простым доказательством) утверждает,
что если $n\ge1$ и $\Omega$ --- область в $\Bbb R$ или в $\Bbb C.$ то всякая
$X$-значная функция слабого класса $C^{n+1}$ есть функция сильного класса $C^n.$
Отсюда, кстати, следует соответствующее утверждение о слабо аналитических функциях
(см. начало нашей заметки). 



%\[ x = \left\{ \begin{array}{ll}
%y & \mbox{if $y>0$} \\
%z+y & \mbox{otherwise}
%\end{array}
%\right. \]
%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf 4.}
В этом последнем разделе мы приводим два главных наблюдения, сделанные
нами при рассмотрении вопроса, с которого началась эта заметка. Напомним,
что банахово пространство обладает свойством Шура, если всякая
слабо сходящаяся к нулю последовательность его элементов сходится сильно
(т. е. по норме и, естественно, к нулю; см., например, [1], стр. 37).
\smallskip

{\bf Теорема 1.}\,
Пусть $X$ --- (вещественное) банахово пространство и $U$ --- некоторая окрестность нуля в $\Bbb R.$
Следующие утверждения равносильны:

1)\,
Всякая слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X$ 
является сильно дифференцируемой на всей прямой.

2)\,
Если $f:U\to X$ --- функция, слабо дифференцируемая в нуле, то 
$f$ сильно дифференцируема в нуле.

3)\,
Если $t_0\in \Bbb R$ и $X$-значная функция $f$ определена в некоторой окрестности
точки $t_0$ и слабо дифференцируема в этой точке, то она 
сильно дифференцируема в точке $t_0.$

4)\,
Если $f$ --- слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X,$
то для любой точки $t\in\Bbb R$ существует предел
$$
 \lim_{h\to 0} ||\frac{f(t+h)-f(t)}{h}||.
$$

5)\,
Банахово пространство $X$ обладает свойством Шура.
\smallskip

{\it Доказательство}.\,
Импликации $5) \Rightarrow 3)\Rightarrow 2) \Rightarrow 1) \Rightarrow 4)$ очевидны.
Докажем, что 4) влечет 5).

Предположим, что пространство $X$ не обладает свойством Шура,
и пусть $(x_n)$ --- последовательность векторов из $X,$ которая слабо
сходится к нулю, но нормы которых не меньше единицы
и ограничены сверху некоторой постоянной $C:$\,
$C>||x_n||\ge1$ 
для всех $n\in \Bbb N.$
Разобьем интервал $(0,1]$ на счетное число интервалов вида $(\frac1{n+1}, \frac1n],$
$n=1,2,\dots.$
Для каждого $n=1,2,\dots$ построим на интервале $I_n:= (\frac1{n+1}, \frac1n]$
бесконечно дифференцируемую функцию $\ffi_n$ (используя приведенный 
выше пример функции $\ffi),$ которая равна единице в центре $t_n:= \frac{2n+1}{n(n+1)}$
интервала $I_n$ и равна нулю на левой и правой трети этого интервала $I_n.$
Продолжив функцию $\ffi_n$ на всю прямую тождественным нулем,
получим  $C^\infty$-функцию $\ffi_n$ (сохраним обозначение) из $\Bbb R$ в $[0,1],$
носитель $J_n$ которой есть замкнутый центральный отрезок интервала $I_n,$
разбитого на три равных части:
$$
 J_n:= \left[ \frac{n+1/3}{n(n+1)}, \frac{n+2/3}{n(n+1)}\right].
$$
Определим, наконец, функцию $f$ как $X$-значную функцию,
равную на каждом из интервалов $I_n$ функции $(2C)^{-1-(-1)^n}\, t\ffi_n(t)\, x_n$ 
 и нулю на остальной части прямой.
 Тогда не существует предела величины
 $||\frac{f(t+h)-f(t)}{h}||$ в точке $t=0$
при $h,$ стремящемся к нулю, поскольку
$\frac {f(0+t_n)-f(0)}{t_n}=(2C)^{-1-(-1)^n}\, x_n$ и $1\le ||x_n||<C.$
Осталось заметить, что функция $f$ является слабо дифференцируемой в каждой точке.
\smallskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\bf Теорема 2.}\,
Пусть $X$ --- (вещественное) банахово пространство и $U$ --- некоторая окрестность нуля в $\Bbb R.$
Следующие утверждения равносильны:

1)\,
Всякая слабо дифференцируемая функция из $\Bbb R$ в $X$ имеет
слабую производную в любой точке прямой.

2)\,
Если $f:U\to X$ --- функция, слабо дифференцируемая в нуле, то существует
слабая производная $w$-$f'(0)$ (как элемент пространства $X).$

3)\,
Если $t_0\in \Bbb R$ и $X$-значная функция $f$ определена в некоторой окрестности
точки $t_0$ и слабо дифференцируема в этой точке, то существует
слабая производная $w$-$f'(t_0)$ (как элемент пространства $X).$

4)\,
Банахово пространство $X$ слабо секвенциально полно.
\smallskip

{\it Доказательство}.\,
Ясно, что утвеждения 1) -- 3) равносильны между собой и утверждение 4) влечет, например, 2).
Предположим, что пространство $X$ не является слабо секвенциально полным,  и пусть
$(x_n)$ --- слабая последовательность Коши, которая сходится в топологии $\sigma (X^{**}, X^*)$
к элементу $x''$ из $X^{**}\setminus X.$ Можно считать, что все рассматриваемые элементы по
своим нормам не превосходят единицы.

Введем некоторые обозначения, которые позволят нам упростить изложение доказательства теоремы.
Положим $e:= x'' (\in X^{**})$ и
$e_1:=x_1, e_2:= x_2-x_1, e_3:=x_3-x_2, \dots, e_n:=x_n-x_{n-1}, \dots;$\, $(n>1).$
Тогда $e_1+e_2+\dots + e_n=x_n$ и ряд $\sum_{n=1}^\infty e_n$ слабо${}^*$ сходится в $X^{**}$
к $e.$
Определим функцию $f:[-1,0)\to X$ по формулам, совершенно аналогичным формулам из Примера 2, 
полагая $f(t)=e_1$ для $t\in [-1, -1/2]$ и 
$f(t):=\sum_{k=1}^{n-1} e_k + \al_n(t) e_n$ 
для $t\in [-\frac1n,-\frac1{n+1}]$ \, $(n>1),$ где 
$\al_n(t):= \dfrac{t+\frac1n}{-\frac1{n+1}+\frac1n}.$
Зафиксируем $x'\in X^*$  и затем $\e>0.$
Пусть $N:=N(\e)$ таково, что при всех $n\ge N$ имеем
$$
 |\<x', x_{n+1}-x_n\>|<\frac{\e}{2} \ \text{   и }\  |\<x_n-e, x'\>|<\frac{\e}{2}.
$$
Если $t\in [-\frac1{N+1},0),$ то для некоторого $n, n\ge N,$ 
$$
 |\<f(t)-e, x'\>|=|\<\sum_{k=1}^{n} e_k + \al_{n+1}(t) e_{n+1}-e, x'\>| 
 $$
 $$ = |\<x_n-e,x'\>+
 \<\al_{n+1}(t) (x_{n+1}-x_n), x'\>|
 \le
 \frac{\e}{2}+ \frac{\e}{2}\, \al_{n+1}(t)\le \e.
 $$
Отсюда вытекает, что $f(t)-e$ \, $w^*$-слабо стремится к нулю при $t,$ 
стремящемся к нулю слева, т. е.
$f(t)\underset{t\to0-}\to e\in X^{**}$ в топологии $\sigma(X^{**}, X^*).$

Положим 

\[ F(t)= 
  \left\{ \begin{array}{ll}
tf(t), & \mbox{если  $t\in [-1,0),$} \\
 -tf(-t), & \mbox{если  $t\in (0.1],$} \\
 0, & \mbox{если  $t= 0.$} 
      \end{array}
 \right. \]

Функция $F,$ отображающая промежуток $[-1,1]$ в банахово пространство $X,$
непрерывна и
$$
 \sigma(X^{**}, X^*)\text{-}\lim_{t\to0} \frac{F(t)}{t}= \sigma(X^{**}, X^*)\text{-}\lim_{t\to0} f(t)= e\in X^{**}\setminus X.
$$
Таким образом, $F$ есть слабо дифференцируемая в нуле $X$-значная функция,
"слабая производная" которой не лежит в $X.$
\smallskip



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%   REFs2             Schur

%\newpage

\begin{thebibliography}{0}

\bigskip
\medskip


\bibitem{1} Fernando Albiac, Nigel J. Kalton:
\textit{Topics in Banach Space Theory},
Graduate Texts in Mathematics 233,
Springer  (2006), p. 37.


\bibitem{2} J. Bochnak, J. Siciak:
\textit{Analytic functions in topological vector spaces},
Studia Math., \textbf{XXXIX} (1971), 77-112.

\bibitem{3} Einar Hille ,Ralph S. Phillips :
\textit{Functional analysis and semi-groups},
Providence (1957), p. 93.


\bibitem{4} Э. Хилле, Р. Филлипс:
\textit{Функциональный анализ и полугруппы},
ИЛ (1962), с. 197.


\bibitem{5} Michael Reed, Barry Simon:
\textit{Methods of modern mathematical physics I: Functional analysis },
Academic Press (1980), p. 189.


\bibitem{6} М.Рид, Б. Саймон:
\textit{Методы современной математической физики [том 1]},
Мир (1977), с. 212.


%%%%%%%%%%%%%%

\end{thebibliography}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\end{document}

-----------------------

\bibitem{2} Einar Hille ,Ralph S. Phillips :
\textit{Functional analysis and semi-groups},
Providence (1957), p. 93.


\bibitem{2} Э. Хилле, Р. Филлипс:
\textit{Функциональный анализ и полугруппы},
ИЛ (1962), с. 197.




\bibitem{2} Michael Reed, Barry Simon:
\textit{Methods of modern mathematical physics I: Functional analysis },
Academic Press (1980), p. 189.


\bibitem{2} М.Рид, Б. Саймон:
\textit{Методы современной математической физики [том 1]},
Мир (1977), с. 212.






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

