\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{array}
\oddsidemargin=1cm
\topmargin=0cm\textwidth=14cm\textheight=20cm

\makeatletter \@addtoreset{equation}{section} \makeatother



\begin{document}


\theoremstyle{plain}
\newtheorem{Th}{Теорема}[section]
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{lemma}[Th]{Лемма}
\newtheorem{Def}[Th]{Определение}
\newtheorem{corollary}[Th]{Следствие}
\newtheorem{remark}{Замечание}

\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}.}
\renewcommand{\theTh}{\thesection\arabic{Th}}
\renewcommand{\theequation}{\thesection\arabic{equation}}

\sloppy
\tolerance=300
\binoppenalty=10000
\relpenalty=10000

\title{Критерий Сильвестра для $m$-положительных матриц}
\author{Н. В. Филимоненкова}
\date{}
\maketitle


\begin{abstract}
Работа посвящена новым алгебраическим понятиям, которые появились в последние десятилетия в результате развития современной теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Отмечена самостоятельная ценность понятий ``след порядка $m$'' и ``$m$-положительная матрица'', их естественная связь с такими общепринятыми терминами, как след матрицы, определитель матрицы, элементарная симметрическая функция порядка $m$, положительно определенная матрица. Целью работы является доказательство критерия Сильвестра для $m$-положительных матриц.
\end{abstract}

\thanks{Работа рекомендована к публикации членом СПбМО Н. М. Ивочкиной.}

\section{Введение}
Работа посвящена двум сравнительно новым понятиям в алгебре числовых матриц: след порядка $m$ и $m$-положительная матрица. Они появились в последние десятилетия в результате развития современной теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (FNPDE -- fully nonlinear partial differential equations). Как известно, классическим представителем FNPDE является уравнение Монжа -- Ампера:
\begin{equation}det(u_{xx})=f,\quad u\in C^2(\Omega),\quad\Omega\subset R^n.\label{mong}\end{equation}
В 80-х годах 20 века его стали рассматривать как частный случай в классе $m$-гессиановских уравнений (в зарубежной литературе $k$-Hessian equation, см. Wikipedia) при $m=n$:
\begin{equation}F_m(u_{xx})=f,\quad 1\leqslant m \leqslant n.\label{hes}\end{equation}
Изначально $F_m$ определяли как элементарную симметрическую функцию порядка $m$ от собственных чисел матрицы Гессе $u_{xx}$. Этой традиции придерживаются зарубежные авторы L. Caffarelly, L. Nirenberg, J. Spruck \cite{CNS85}, N. S. Trudinger \cite{ITW04},  X.-J. Wang \cite{W09}, заложившие базу в теории FNPDE, а также их последователи. Представители Санкт-Петербургской математической школы определяют функцию $F_m$ как сумму главных миноров порядка $m$ матрицы $u_{xx}$ и считают такой подход более естественным, чем обращение к собственным числам. Систематическое исследование суммы главных миноров в рамках FNPDE впервые предпринято в работах 80-х годов Н. М. Ивочкиной \cite{I80}, \cite{I83}. В 90-е годы эта матричная операция приобрела название ``след порядка $m$'' \cite{I97}, \cite{I99}, и, начиная с 2006 года, этот термин регулярно используется для исследования $m$-гессиановских уравнений и родственных задач (см., например, \cite{I06}, \cite{F11}, \cite{IYP12}, \cite{I12}, \cite{IF13}). Гораздо реже его можно встретить в зарубежной математической литературе по FNPDE (например, $k$-trace в \cite{W09}), где по-прежнему сохраняется преданность исторически сложившейся методологии, основанной на центральном значении собственных чисел и симметрических функций.

Изучение уравнений (\ref{hes}) поначалу развивалось по образцу уравнения Монжа -- Ампера (\ref{mong}).  Известно, что для разрешимости (\ref{mong}) требуется положительная определенность матрицы $u_{xx}$. Исследование уравнений (\ref{hes}) при $m<n$ было направлено на выявление аналогичных требований для матрицы $u_{xx}$. В результате были построены специальные матричные конусы, более широкие, чем конус положительно определенных матриц. Эти конусы впервые конструктивно описаны в статье \cite{I83} 1983 года, но многообразие их алгебро-геометрических свойств не исчерпано до сих пор. Совсем недавно Н. М. Ивочкина предложила название для матриц из этих конусов -- так появилось понятие $m$-положительной матрицы (см. \cite{IYP12}, \cite{I12}), которое еще не успело распространиться в математической литературе. 

В целом, усилиями разных авторов теория FNPDE породила целую систему новых понятий в алгебре симметричных матриц и в геометрии поверхностей: например, $m$-выпуклая функция, $m$-выпуклая поверхность, матрица кривизны, $m$-кривизна.

Несмотря на существенное значение этих новых алгебраических и геометрических понятий для становления теории FNPDE, их целенаправленное изучение случается редко. Обычно фрагментарные наблюдения разбросаны в технических подразделах различных публикаций, описаны неоднородно, доказаны частично. Исключением является статья \cite{LT94} 1994 года, где предпринято исследование элементарных симметрических функций и порожденных ими конусов в контексте уравнений кривизны, а также современные работы \cite{IYP12}, \cite{I12}, \cite{IF13}. В них делается попытка выстроить единую алгебро-геометрическую базу для теории FNPDE, в том числе согласовать ключевые понятия и собрать воедино известные свойства.

В данной работе обращаем внимание на самостоятельную ценность понятий ``след порядка $m$'' и ``$m$-положительная матрица'', на их естественную связь с общепринятыми алгебраическими терминами. Целью работы является популяризация этих понятий и обнародование недавно полученных новых свойств.

Во второй части статьи описано понятие следа порядка $m$ для квадратной матрицы, обобщающее классический термин ``след матрицы''. Указана тесная взаимосвязь этого понятия с элементарными симметрическими функциями на множестве собственных чисел симметричной матрицы. Для следа порядка $m$ доказано соотношение, известное ранее только для элементарных симметрических функций.

В третьей части статьи сформулировано понятие $m$-положительной матрицы, обобщающее термин ``положительно определенная матрица''. Усилены ранее известные факты о структуре конуса $m$-положительных матриц. Доказан новый результат: критерий Сильвестра для $m$-положительных матриц.

Все результаты этой работы не только обоснованы теоретически, но и проверены численно с использованием математического пакета Maple на примере достаточно широкого семейства матриц .

\section{След порядка $m$}
Далее считаем, что $n$ и $m$ – натуральные числа. Используем символ $|A|$ для обозначения определителя матрицы $A$, запись $A=(a_{ij})$ -- для обозначения элементов матрицы $A$.

\begin{Def} \label{tr}
Пусть $A$  –- квадратная матрица размера $n\times n$ и пусть $1\leqslant m \leqslant n$. Главный минор порядка $m$ матрицы $A$ – это определитель матрицы, которая составлена из элементов матрицы $A$, стоящих на пересечении каких-либо $m$ строк и $m$ столбцов (с одинаковыми номерами). Следом порядка $m$ называем сумму всех главных миноров порядка $m$ матрицы $A$. Обозначаем $tr_mA$.
\end{Def}

Положим $tr_0A=1$. Термин ``след порядка $m$'' впервые встречается в работах \cite{I97}, \cite{I99}. Это понятие включает два крайних случая. При $m=1$ это просто след матрицы, сумма элементов на главной диагонали: $tr_1A=trA$. При $m=n$ это определитель матрицы: $tr_nA=|A|$. Приведем примеры вычисления следов разного порядка для матрицы размера $3\times3$:
$$A=\left(\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr a_{31}&a_{32}&a_{33}\cr }\right),$$
$$tr_1A=a_{11}+a_{22}+a_{33},$$
$$tr_2A=\left|\matrix{a_{11}&a_{12}\cr a_{21}&a_{22}\cr}\right|+\left|\matrix{a_{11}&a_{13}\cr a_{31}&a_{33}\cr}\right|+\left|\matrix{a_{22}&a_{23}\cr a_{32}&a_{33}\cr}\right|=$$
$$=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}+a_{11}a_{33}-a_{13}a_{31}+a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32},$$
$$tr_3A=\left|\matrix{a_{11}&a_{12}&a_{13}\cr a_{21}&a_{22}&a_{23}\cr a_{31}&a_{32}&a_{33}\cr }\right|=$$
$$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{13}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.$$

Операцию $tr_mA$ можно воспринимать как числовую функцию $n^2$ вещественных переменных. Используем дифференцирование функции $tr_mA$ по одному из элементов матрицы $A$. Нетрудно доказать, что следы порядка $m$ и $m-1$ связаны соотношением
\begin{equation}tr_{m-1}A=\frac{1}{n-m+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial tr_mA}{\partial a_{ii}}\label{1}.\end{equation}

\begin{Th}\label{ort}
Пусть $A$, $B$ -- квадратные матрицы размера $n\times n$, матрица $B$ обратима, $1\leqslant m \leqslant n$. След порядка $m$ принимает одинаковые значения для подобных матриц:
\begin{equation}tr_m(A)=tr_m(B^{-1}AB).\label{com}\end{equation}
\end{Th}
\begin{proof}
Обозначим $\hat{A}=B^{-1}AB$, cчитаем матрицу $B$ постоянной, значение $tr_m\hat{A}$ рассматриваем как функцию от элементов матрицы $A$. Пусть $A=(a_{ij})$, $\hat{A}=(\hat{a}_{ij})$, $B=(b_{ij})$, $B^{-1}=(b^{-1}_{ij})$.

Для доказательства используем метод математической индукции.
При $m=n$ равенство (\ref{com}) -- это известное свойство определителя. Покажем, что если след порядка $m$ обладает свойством (\ref{com}), то этим же свойством обладает и след порядка $m-1$.

Воспользуемся формулой связи (\ref{1}) между следом порядка $m$ и $m-1$:
$$tr_{m-1}A=\frac{1}{n-m+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial tr_mA}{\partial a_{ii}}.$$
По индукционному предположению $tr_mA=tr_m\hat{A}$, поэтому
$$\frac{\partial tr_m A}{\partial a_{ii}}=\frac{\partial tr_m \hat{A}}{\partial a_{ii}}.$$
Элементы матриц $A$ и $\hat{A}$ связаны соотношением
$$\hat{a}_{kl}=\sum_{p,t=1}^{n}b^{-1}_{kp}a_{pt}b_{tl}.$$
Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:
$$\frac{\partial tr_m \hat{A}}{\partial a_{ii}}=\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial tr_m \hat{A}}{\partial \hat{a}_{kl}}\frac{\partial \hat{a}_{kl}}{\partial a_{ii}}=\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial tr_m \hat{A}}{\partial \hat{a}_{kl}}b^{-1}_{ki}b_{il}.$$
По определению обратной матрицы
$$\sum_{i=1}^nb^{-1}_{ki}b_{il}=\cases{1,\quad k=l,\cr 0,\quad k\ne l.\cr}$$
Тогда
$$tr_{m-1}A=\frac{1}{n-m+1}\sum_{i=1}^{n}\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial tr_m \hat{A}}{\partial \hat{a}_{kl}}b^{-1}_{ki}b_{il}=$$
$$=\frac{1}{n-m+1}\sum_{k,l=1}^{n}\frac{\partial tr_m \hat{A}}{\partial \hat{a}_{kl}}\sum_{i=1}^{n}b^{-1}_{ki}b_{il}=\frac{1}{n-m+1}\sum_{k=1}^{n}\frac{\partial tr_m \hat{A}}{\partial \hat{a}_{kk}}=tr_{m-1}\hat{A}.$$
\end{proof}

Заметим, что скорее всего имеет место более сильное свойство $tr_m(AB)=tr_m(BA)$ для любых квадратных матриц $A$, $B$. Справедливость этого свойства установлена численно (прошла проверку на достаточно широком наборе матриц в математическом пакете Maple), однако пока не доказана аналитически. В дальнейшем нам понадобится частный случай свойства (\ref{com}) с ортогональной матрицей.

\begin{Def}
Квадратная матрица $B$ называется ортогональной, если $B^{-1}=B^T$. Операцию на множестве квадратных матриц называем ортогональной, если она принимает одинаковое значение для матриц $A$ и $B^TAB$, где $B$ -- ортогональная матрица.
\end{Def}

\begin{corollary}
След порядка $m$ обладает ортогональной инвариантностью:
$$tr_mA=tr_m(B^TAB),\quad B^{-1}=B^T.$$
\end{corollary}

В математической литературе можно встретить родственный термин -- ``ортогональные инварианты'' матрицы (или квадратичной формы, многочлена второй степени): к ним причисляют собственные числа матрицы, след, определитель и т.д. Получается, что к ним относится также и след порядка $m$. Этот факт нельзя назвать новым. Во-первых, существует способ классификации линий и поверхностей второго порядка, основанный на ортогональных инвариантах для матрицы коэффициентов, которые по сути являются ее следами порядка $m$. Во-вторых, ортогональная инвариантность суммы главных миноров давно отмечена в публикациях по FNPDE, посвященных уравнениям типа (\ref{hes}).

Таким образом, ортогонально инвариантную операцию $tr_m$ можно определить на множестве квадратных матриц, однако далее рассматриваем ее в приложении к симметричным матрицам, поскольку именно в этом случае ортогональная инвариантность приносит наибольшую пользу. Обозначим символом $Sym(n)$ пространство всех симметричных матриц размера $n\times n$. Известно, что для любой симметричной матрицы $S$ существует такая ортогональная матрица $B$, которая приводит ее к диагональному виду:
$$B^TSB=\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n),$$
$$\lambda_k\hbox{ -- собственные числа матрицы }S.$$

Ортогональная инвариантность следа порядка $m$ позволяет в случае необходимости обращаться к диагональной форме матрицы:
$$tr_mS=tr_m\Lambda.$$

Продемонстрируем вычисление следов для диагонализованной матрицы размера $3\times3$:
$$\Lambda=\left(\matrix{\lambda_1&0&0\cr 0&\lambda_2&0\cr 0&0&\lambda_3\cr }\right),$$
$$tr_1\Lambda=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,$$
$$tr_2\Lambda=\lambda_1\lambda_2+\lambda_2\lambda_3+\lambda_1\lambda_3,$$
$$tr_3\Lambda=\lambda_1\lambda_2\lambda_3.$$

Теперь очевидно, что в пространстве $Sym(n)$ операцию $tr_m$ можно трактовать как элементарную симметрическую функцию порядка $m$ от собственных чисел матрицы $S$. Иногда именно так и определяют след порядка $m$ (см. \cite{W09}), хотя при этом он отчасти теряет свою содержательность и становится не применим к несимметричным квадратным матрицам (см. определение \ref{tr}). Однако, несмотря на эти издержки, в математической литературе в силу традиции или, возможно, инерции принято избегать действий с суммой главных миноров матрицы, но сразу обращаться к элементарным симметрическим функциям от ее собственных чисел. В этих случаях вместо $tr_m$ используют обозначения типа $S_m(\Lambda)$, $\sigma_m(\Lambda)$. Действительно, в некоторых ситуациях бывает проще работать с диагонализованной матрицей $S$, однако, на наш взгляд, значение собственных чисел, их простота и удобство в использовании, преувеличены. В этой работе показано, как некоторые ключевые свойства элементарных симметрических функций можно перенести без осложнений и на следы порядка $m$.

Введем специальные обозначения для укороченных матриц:

$S^{\langle i\rangle}$ -- матрица, полученная из матрицы $S$ вычеркиванием $i$-той строки и $i$-того столбца;

$S^{\langle i_1,i_2,...,i_k\rangle}$ -- матрица, полученная из матрицы $S$ вычеркиванием $k$ строк и $k$ столбцов с номерами $i_1,i_2,...,i_k$.

Заметим, что дифференцирование следа порядка $m$ по диагональному элементу матрицы $S$ равносильно вычислению следа порядка $m-1$ для укороченной матрицы:
$$\frac{\partial tr_mS}{\partial s_{ii}}=tr_{m-1}S^{\langle i\rangle},$$
$$\frac{\partial^k tr_mS}{\partial s_{i_1i_1}\partial s_{i_2i_2}...\partial s_{i_ki_k}}=tr_{m-k}S^{\langle i_1,i_2,...,i_k\rangle}.$$

Следы укороченных матриц, разумеется, не обладают ортогональной инвариантностью относительно матрицы $S$. Тем не менее есть формула связи.

\begin{lemma}\label{sv}
Пусть $S\in Sym(n)$, $1\leqslant m\leqslant n$, $1\leqslant i\leqslant n$. Пусть $\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$ -- диагональная форма матрицы $S$, $\Lambda=B^TSB$, где $B$ -- ортогональная матрица с элементами $b_{ij}$. Справедлива формула
$$tr_{m-1}S^{\langle i\rangle}=\sum_{j=1}^{n}tr_{m-1}\Lambda^{\langle j\rangle}b_{ij}^2.$$
\end{lemma}
\begin{proof}
Считаем матрицу $B$ постоянной, значение $tr_m\Lambda$ рассматриваем как функцию от элементов матрицы $S$. Элементы матриц $S$ и $\Lambda$ связаны соотношением
$$\lambda_{j}=\sum_{k,l=1}^{n}s_{kl}b_{kj}b_{lj},\quad j=1,2,...,n.$$
Используем ортогональную инвариантность следа порядка $m$ и правило дифференцирования сложной функции:
$$tr_{m-1}S^{\langle i\rangle}=\frac{\partial tr_mS}{\partial s_{ii}}=\frac{\partial tr_m\Lambda}{\partial s_{ii}}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial tr_m\Lambda}{\partial \lambda_{j}}\frac{\partial \lambda_{j}}{\partial s_{ii}}=\sum_{j=1}^{n}\frac{\partial tr_m\Lambda}{\partial \lambda_{j}}b_{ij}^2=\sum_{j=1}^{n}tr_{m-1}\Lambda^{\langle j\rangle}b_{ij}^2.$$
\end{proof}

Подходим к доказательству ключевого неравенства, на котором основаны главные результаты этой работы.

\begin{Th}\label{th1}
Для произвольной матрицы $S\in Sym(n)$ и произвольных номеров $2\leqslant m\leqslant n$, $1\leqslant i\leqslant n$ справедливо неравенство
\begin{equation}tr_mS\cdot tr_{m-2}S^{\langle i\rangle}\leqslant tr_{m-1}S\cdot tr_{m-1}S^{\langle i\rangle}.\label{2}\end{equation}
\end{Th}
\begin{proof}
Сначала докажем неравенство (\ref{2}) для диагональных матриц $\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$, поскольку именно в этом случае можно использовать два удобных соотношения:
\begin{equation}tr_k\Lambda=\lambda_itr_{k-1}\Lambda^{\langle i\rangle}+tr_k\Lambda^{\langle i\rangle},\label{3}\end{equation}
\begin{equation}\frac{tr_{k-1}\Lambda}{C_n^{k-1}}\cdot\frac{tr_{k+1}\Lambda}{C_n^{k+1}}\leqslant \left(\frac{tr_{k}\Lambda}{C_n^{k}}\right)^2.\label{4}\end{equation}
Тождество (\ref{3}) очевидно. Неравенство (\ref{4}) есть не что иное, как известное неравенство Ньютона для элементарных симметрических функций, описанное и доказанное в книге \cite{H48}.

Воспользуемся тождеством (\ref{3}) для следов порядка $m$ и $m-1$:
$$tr_m\Lambda=\lambda_itr_{m-1}\Lambda^{\langle i\rangle}+tr_m\Lambda^{\langle i\rangle},$$
$$tr_{m-1}\Lambda=\lambda_itr_{m-2}\Lambda^{\langle i\rangle}+tr_{m-1}\Lambda^{\langle i\rangle}.$$
Умножим обе части первого равенства на $tr_{m-2}\Lambda^{\langle i\rangle}$, второго -- на $tr_{m-1}\Lambda^{\langle i\rangle}$, результаты вычитаем:
$$tr_m\Lambda tr_{m-2}\Lambda^{\langle i\rangle}-tr_{m-1}\Lambda tr_{m-1}\Lambda^{\langle i\rangle}=tr_m\Lambda^{\langle i\rangle} tr_{m-2}\Lambda^{\langle i\rangle}-\left(tr_{m-1}\Lambda^{\langle i\rangle}\right)^2.$$
Оценим слагаемое $tr_m\Lambda^{\langle i\rangle} tr_{m-2}\Lambda^{\langle i\rangle}$ с помощью неравенства Ньютона (\ref{4}):
$$tr_m\Lambda^{\langle i\rangle} tr_{m-2}\Lambda^{\langle i\rangle}\leqslant \frac{m-1}{m}\frac{n-m+1}{n-m+2}\left(tr_{m-1}\Lambda^{\langle i\rangle}\right)^2.$$
Приходим к выводу
$$tr_m\Lambda tr_{m-2}\Lambda^{\langle i\rangle}-tr_{m-1}\Lambda tr_{m-1}\Lambda^{\langle i\rangle}\geqslant \left(tr_{m-1}\Lambda^{\langle i\rangle}\right)^2\left(1-\frac{m-1}{m}\frac{n-m+1}{n-m+2}\right)\geqslant 0.$$
Таким образом, соотношение (\ref{2}) доказано для диагональной матрицы. Теперь докажем для произвольной матрицы $S\in Sym(n)$. Пусть $\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$ -- диагональная форма матрицы $S$, $\Lambda=B^TSB$, где $B$ -- ортогональная матрица с элементами $b_{ij}$. Выше доказано, что для матрицы $\Lambda$ справедлива серия неравенств (\ref{2}):
\begin{equation}tr_m\Lambda\cdot tr_{m-2}\Lambda^{\langle j\rangle}\leqslant tr_{m-1}\Lambda\cdot tr_{m-1}\Lambda^{\langle j\rangle},\quad j=1,2,...,n.\label{5}\end{equation}
При каждом $j$ умножаем неравенство (\ref{5}) на $b_{ij}^2$ и складываем. Ортогональная инвариантность следа и лемма \ref{sv} приводят к соотношению (\ref{2}) для матрицы $S$:
$$\underbrace{tr_m\Lambda}_{tr_mS}\cdot \underbrace{\sum_{j=1}^ntr_{m-2}\Lambda^{\langle j\rangle}b_{ij}^2}_{tr_{m-2}S^{\langle i\rangle}}\leqslant\underbrace{tr_{m-1}\Lambda}_{tr_{m-1}S}\cdot \underbrace{\sum_{j=1}^ntr_{m-1}\Lambda^{\langle j\rangle}b_{ij}^2}_{tr_{m-1}S^{\langle i\rangle}}.$$
\end{proof}

Неравенство (\ref{2}) доказано в работе \cite{I83}, но только для элементарных симметрических функций.

\begin{corollary}\label{sl}
Пусть $S\in Sym(n)$, $2\leqslant m\leqslant n$, $1\leqslant i\leqslant n$. Если $tr_mS>0$ и $tr_{m-2}S^{\langle i\rangle}>0$, то
$$tr_{m-1}S>0\quad\Leftrightarrow\quad tr_{m-1}S^{\langle i\rangle}>0.$$
\end{corollary}

Отметим, что при доказательстве соотношения (\ref{2}) ортогональная инвариантность операции $tr_m$ использовалась только ради перехода к диагональной форме матрицы $S$ и обращения к свойствам элементарных симметрических функций.  Однако в теории FNPDE ее роль гораздо существеннее: ортогональная инвариантность матричной операции лежит в основе специальных методик, разработанных для построения априорных оценок решения уравнений типа (\ref{hes}) (см. \cite{I80}, \cite{ITW04}, \cite{F11}).

\section{Симметричная $m$-положительная матрица}

В этой части статьи рассматриваем понятие, которое может служить обобщением для симметричной положительно определенной матрицы.

\begin{Def} \label{mpol}
Симметричная матрица $S$ называется $m$-положительной, если $tr_kS>0$ для всех $k=1,2,...,m$.
\end{Def}

Приведем схематичный пример реализации определения \ref{mpol} в случае $n=4$, $m=3$. Рассмотрим симметричную матрицу размера $4\times4$:
$$S=\left(\matrix{s_{11}&s_{12}&s_{13}&s_{14}\cr s_{12}&s_{22}&s_{23}&s_{24}\cr s_{13}&s_{23}&s_{33}&s_{34}\cr s_{14}&s_{24}&s_{34}&s_{44}\cr}\right).$$
Согласно определению \ref{mpol} матрица $S$ называется $3$-положительной, если
$$tr_1S=s_{11}+s_{22}+s_{33}+s_{44}>0,$$
$$tr_2S=\left|\matrix{s_{11}&s_{12}\cr s_{12}&s_{22}\cr}\right|+\left|\matrix{s_{11}&s_{13}\cr s_{13}&s_{33}\cr}\right|+\left|\matrix{s_{11}&s_{14}\cr s_{14}&s_{44}\cr}\right|+\left|\matrix{s_{22}&s_{23}\cr s_{23}&s_{33}\cr}\right|+\left|\matrix{s_{22}&s_{24}\cr s_{24}&s_{44}\cr}\right|+\left|\matrix{s_{33}&s_{34}\cr s_{34}&s_{44}\cr}\right|>0,$$
$$tr_3S=\left|\matrix{s_{11}&s_{12}&s_{13}\cr s_{12}&s_{22}&s_{23}\cr s_{13}&s_{23}&s_{33}\cr }\right|
+\left|\matrix{s_{11}&s_{12}&s_{14}\cr s_{12}&s_{22}&s_{24}\cr s_{14}&s_{24}&s_{44}\cr }\right|+
\left|\matrix{s_{11}&s_{13}&s_{14}\cr s_{13}&s_{33}&s_{34}\cr s_{14}&s_{34}&s_{44}\cr }\right|
+\left|\matrix{s_{22}&s_{23}&s_{24}\cr s_{23}&s_{33}&s_{34}\cr s_{24}&s_{34}&s_{44}\cr }\right|>0.$$

Введем обозначение для множества $m$-положительных матриц:
\begin{equation} K_m=\{S\in Sym(n):\; tr_kS>0,\; k=1,2,...,m\}.\label{km}\end{equation}

Положим $K_0=Sym(n)$. В пространстве симметричных матриц множество $K_m$ является конусом, поскольку если $S\in K_m$, то $\alpha S\in K_m$ для любого $\alpha>0$. Для конусов справедлива цепочка вложений
$$K_1\supset K_2\supset...\supset K_n.$$

Матричные конусы $K_m$ привлекают внимание специалистов по FNPDE с конца прошлого века: на базе $K_m$ строится теория разрешимости уравнений типа (\ref{hes}). Есть разные способы задания этих конусов. Описание (\ref{km}) является наиболее компактным и конструктивным. Оно было впервые представлено в работе 1983 года Н. М. Ивочкиной \cite{I83} и с тех пор преобладает в отечественной и в зарубежной математической литературе. Однако термин  ``$m$-положительная матрица'' для наименования элементов из $K_m$ введен совсем недавно в работах \cite{IYP12}, \cite{I12} того же автора. В статье \cite{IF13} представлена систематизация альтернативных описаний конусов $K_m$, известных и новых свойств, востребованных теорией FNPDE. Данная работа дополняет эти исследования еще одним новым результатом.

На основе неравенства (\ref{2}) докажем несложную теорему, из которой следует сразу несколько выразительных фактов для $m$-положительных матриц.

\begin{Th}\label{th}
Для произвольной матрицы $S\in Sym(n)$ и произвольных номеров $1\leqslant m\leqslant n$, $1\leqslant i\leqslant n$ верно следующее:
$$S\in K_m\quad\Leftrightarrow\quad S^{\langle i\rangle}\in K_{m-1},\;tr_{m}S>0.$$
В левой части данного утверждения $K_m$ -- это конус в пространстве $Sym(n)$, а в правой части $K_{m-1}$ -- конус в пространстве $Sym(n-1)$.
\end{Th}
\begin{proof}
Используем метод математической индукции. При $m=1$ утверждение теоремы очевидно:
$$S\in K_1\quad\Leftrightarrow\quad S^{\langle i\rangle}\in K_{0},\;tr_{1}S>0.$$
Предположим, что
$$S\in K_{m-1}\quad\Leftrightarrow\quad S^{\langle i\rangle}\in K_{m-2},\;tr_{m-1}S>0.$$
Проведем цепочку равносильных переходов:
$$S\in K_{m}\;\Leftrightarrow\;\cases{S\in K_{m-1},\cr tr_mS>0.\cr}\;\Leftrightarrow\;\cases{S^{\langle i\rangle}\in K_{m-2},\cr tr_{m-1}S>0,\cr tr_mS>0.\cr}\;\Leftrightarrow\;\cases{S^{\langle i\rangle}\in K_{m-2},\cr tr_{m-1}S^{\langle i\rangle}>0,\cr tr_mS>0.\cr}\;\Leftrightarrow\;\cases{S^{\langle i\rangle}\in K_{m-1},\cr tr_{m}S>0.\cr}$$
Первый и последний равносильные переходы в этой цепочке вытекают из определения \ref{mpol}, второй -- из индукционного предположения, а третий -- из следствия \ref{sl}.
\end{proof}

\begin{corollary}\label{mon}
Пусть $S\in K_m$, $1\leqslant m\leqslant n$. Тогда $$\frac{\partial tr_mS}{\partial s_{ii}}=tr_{m-1}S^{\langle i\rangle}>0$$ для любого номера $1\leqslant i\leqslant n$. Более того, $$\frac{\partial^k tr_lS}{\partial s_{i_1i_1}\partial s_{i_2i_2}...\partial s_{i_ki_k}}=tr_{l-k}S^{\langle i_1,i_2,...,i_k\rangle}>0$$ для любых $1\leqslant k\leqslant l\leqslant m$ и любого набора различных номеров $1\leqslant i_1,i_2,...,i_k\leqslant n$.
\end{corollary}

Таким образом, получается, что след порядка $m$ обладает монотонностью по диагональным элементам $m$-положительной матрицы $S$. Для диагональных матриц малого размера монотонность следа порядка $m$ можно вывести непосредственно из определения \ref{mpol} (несложное учебное упражнение). Для диагональных матриц (точнее, для элементарных симметрических функций) произвольного размера монотонность впервые установлена в статье \cite{I83}. Затем доказана альтернативным способом в работе \cite{IYP12} для произвольных $m$-положительных матриц. Доказательство, предложенное в теореме \ref{th}, синтезирует и усиливает предыдущие подходы: ключевую роль в нем играет неравенство (\ref{2}).

Следствие \ref{mon} к тому же показывает, что в конусе $K_m$ неравенство (\ref{2}) строгое.

Укажем еще один, ранее известный факт о конусе $K_m$, который можно вывести из теоремы \ref{th}.

\begin{corollary}\label{sob}
Пусть $S\in Sym(n)$, $1\leqslant m\leqslant n$. Если матрица $S$ является $m$-положительной, то она имеет по крайней мере $m$ положительных элементов на главной диагонали.

В частности, любая $m$-положительная матрица имеет хотя бы $m$ положительных собственных чисел. Обратное утверждение верно только для случая $n=m$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Предположим, что $m$-положительная матрица $S$ имеет не более, чем $m-1$ положительных элементов на главной диагонали. Тогда существует такой набор различных номеров $1\leqslant i_1,i_2,...,i_{m-1}\leqslant n$, что матрица $S^{\langle i_1,i_2,...,i_{m-1}\rangle}$ вообще не имеет положительных диагональных элементов. Отсюда, $tr_{1}S^{\langle i_1,i_2,...,i_{m-1}\rangle}\leqslant 0$, что противоречит следствию \ref{mon}.

Благодаря ортогональной инвариантности следов делаем вывод, что любая $m$-положительная матрица имеет хотя бы $m$ положительных собственных чисел.

Обратное утверждение верно только для случая $n=m$. Действительно, если симметричная матрица $S$ имеет $n$ положительных собственных чисел, то она положительно определенная, все ее главные миноры положительны, поэтому $tr_kS>0$, $k=1,2,...,n$, т.е. матрица $S$ является $n$-положительной. Если же матрица $S$ имеет $m$ положительных собственных чисел и $m<n$, то она не обязательно является $m$-положительной. Приведем пример:
$$S=\left(\matrix{1&0&0\cr 0&3&0\cr 0&0&-5\cr }\right),$$
$$tr_1S=1+3-5=-1,\quad tr_2S=1\cdot3+3\cdot(-5)+1\cdot(-5)=-17.$$
Получается, что данная матрица $S$ имеет два положительных собственных числа, однако она не является ни $2$-положительной, ни даже $1$-положительной.
\end{proof}

Следствие \ref{sob} показывает, что $n$-положительная матрица -- это то же самое, что симметричная положительно определенная матрица. Значит, $K_n$ -- это конус положительно определённых матриц.

Для положительно определенных матриц широко известен критерий Сильвестра: матрица положительно определена тогда и только тогда, когда все ее главные угловые миноры положительны. Основным результатом данной работы является получение аналога критерия Сильвестра для $m$-положительных матриц.

\begin{corollary} \label{sil}{\bf(Критерий Сильвестра)}
Пусть $S\in Sym(n)$, $1\leqslant m\leqslant n$, $1\leqslant i_1,i_2,...,i_{m-1}\leqslant n$ -- произвольный набор различных номеров. Справедлив следующий критерий:
$$S\in K_m\quad\Leftrightarrow\quad tr_{m}S>0,\;tr_{m-1}S^{\langle i_1\rangle}>0,\;tr_{m-1}S^{\langle i_1,i_2\rangle}>0,...,tr_{1}S^{\langle i_1,i_2,...,i_{m-1}\rangle}>0.$$
\end{corollary}
\begin{proof}
Достаточно несколько раз воспользоваться теоремой \ref{th}:
$$S\in K_{m}\;\Leftrightarrow\;\cases{S^{\langle i_1\rangle}\in K_{m-1},\cr tr_mS>0.\cr}\;\Leftrightarrow\;\cases{S^{\langle i_1,i_2\rangle}\in K_{m-2},\cr tr_{m-1}S^{\langle i_1\rangle}>0,\cr tr_mS>0.\cr}\quad\hbox{и так далее.}$$
\end{proof}

Приведем схематичный пример применения критерия Сильвестра в случае $n=4$, $m=3$, $i_1=4$, $i_2=3$. Рассмотрим симметричную матрицу размера $4\times4$:
$$S=\left(\matrix{s_{11}&s_{12}&s_{13}&s_{14}\cr s_{12}&s_{22}&s_{23}&s_{24}\cr s_{13}&s_{23}&s_{33}&s_{34}\cr s_{14}&s_{24}&s_{34}&s_{44}\cr}\right).$$
Согласно критерию Сильвестра матрица $S$ является $3$-положительной, если выполнены три условия:
$$tr_3S=\left|\matrix{s_{11}&s_{12}&s_{13}\cr s_{12}&s_{22}&s_{23}\cr s_{13}&s_{23}&s_{33}\cr }\right|
+\left|\matrix{s_{11}&s_{12}&s_{14}\cr s_{12}&s_{22}&s_{24}\cr s_{14}&s_{24}&s_{44}\cr }\right|+
\left|\matrix{s_{11}&s_{13}&s_{14}\cr s_{13}&s_{33}&s_{34}\cr s_{14}&s_{34}&s_{44}\cr }\right|
+\left|\matrix{s_{22}&s_{23}&s_{24}\cr s_{23}&s_{33}&s_{34}\cr s_{24}&s_{43}&s_{44}\cr }\right|>0,$$
$$tr_2S^{\langle 4\rangle}=\left|\matrix{s_{11}&s_{12}\cr s_{12}&s_{22}\cr}\right|+\left|\matrix{s_{11}&s_{13}\cr s_{13}&s_{33}\cr}\right|+\left|\matrix{s_{22}&s_{23}\cr s_{23}&s_{33}\cr}\right|>0,$$
$$tr_1S^{\langle 4,3\rangle}=s_{11}+s_{22}>0.$$

Если сравнить эти действия с примером после определения \ref{mpol}, то ясно, что критерий Сильвестра экономит время, затрачиваемое на технические выкладки или компьютерные вычисления при проверке $m$-положительности матрицы.

Следствие \ref{sil} вместе с теоремами \ref{th}, \ref{th1}, на которые оно опирается, является новым фактом в алгебре симметричных матриц. Автор благодарит П. А. Бакусова за помощь в его обнаружении. В утверждении следствия \ref{sil} новизна обеспечена обратной импликацией $\Leftarrow$. Прямая импликация $\Rightarrow$ отмечена отдельно в следствии \ref{mon}, и это свойство конусов $K_m$ было ранее известно.

В результате доказательства следствия \ref{sil} получен, кроме прочего, и альтернативный путь обоснования классического критерия Сильвестра: частный случай при $m=n$, $i_1=n$, $i_2=n-1$, …, $i_{n-1}=2$.

Критерий Сильвестра для $m$-положительных матриц оказался полезен при исследовании эволюционных $m$-гессиановских уравнений.


\begin{thebibliography}{34}

\bibitem{CNS85}
Caffarelly L., Nirenberg L., Spruck J. The Dirichlet problem for nonlinear second order elliptic equations III. Functions of the eigenvalues of the Hessian // Acta Math. -- 1985. -- Vol. 155. -- P. 261--301.

\bibitem{I99}
Ivochkina N. M. On the dirichlet problem for fully nonlinear parabolic equations //
Journal of Mathematical Sciences. -- 1999. -- Vol. 93, Issue 5. -- P. 689--696.

\bibitem{ITW04}
Ivochkina N. M., Trudinger, N., Wang, X.-J. The Dirichlet problem for degenerate Hessian equations // Comm.Partial Differ. Equations. -- 2004. -- Vol. 29. -- \mbox{P. 219--235.}

\bibitem{I06}
Ivochkina N. M. Weakly first-order interior estimates and Hessian equations // Journal of Mathematical Sciences. -- 2007. -- Vol. 143, Issue 2. -- P. 2875--2882.

\bibitem{IF13}
Ivochkina N. M., Filimonenkova N.V. On the bakgrounds of the theory of m-Hessian equations // Communications on Pure and Applied Analysis. -– 2013. -– Vol. 12. -– №4. –- P. 1687--1703.

\bibitem{IYP12}
Ivochkina N. M., Yakunina G. V., Prokof’eva S. I. The Garding cones in the modern theory of fully nonlin-ear second order differential equations // Journal of Mathematical Sciences. -– 2012. -– Vol. 184, Issue 3. –-  P. 295-–315.

\bibitem{LT94}
Lin M., Trudinger N. S., On some inequalities for elementary symmetric functions. Bull. Austr. Math. Soc. – 1994. – Vol. 50. – P. 317 – 326.

\bibitem{W09}
Wang X.-J. The k-hessian equation // Lecture Notes in Mathematics. –- 2009. –- Vol. 1977. –- P. 177--252.

\bibitem{I80}
Ивочкина Н. М., Интегральный метод барьерных функций и задача Дирихле для уравнений с операторами типа Монжа–Ампера // Математический сборник. -- 1980. -- Т. 112(154). -- № 2(6) -- С. 193–-206.

\bibitem{I83}
Ивочкина Н. М., Описание конусов устойчивости, порождаемых дифференциальными операторами типа Монжа-Ампера // Математический сборник. -- 1983. -- Вып.22. -- С. 265--275.

\bibitem{I97}
Ивочкина Н. М., Мини-обзор основных понятий в теории полностью нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Зап. научн. сем. ПОМИ. -- 1997. -- Т. 249. -- С. 199–-211.

\bibitem{I12}
Ивочкина Н. М., От конусов Гординга к $p$-выпуклым гипербоповерхностям // Современная математика. Фундаментальные направления. -- 2012. -- Т. 45 -- С. 94--104.

\bibitem{F11}
Филимоненкова Н. В., О классической разрешимости задачи Дирихле для невырожденных m-гессиановских уравнений // Проблемы математического анализа. –- 2011. -– Вып. 60. –- C. 89–-111.

\bibitem{H48}
Харди Г. Г., Литтлвуд Дж. Е., Полиа Г., Неравенства. – М.: издательство «Государственное издательство иностранной литературы». -- 1948. –- 456 с.

\end{thebibliography}

\end{document}




% Environments of definition type are introduced below: \newtheorem{definition}{Definition}
\newtheorem{remark}{Remark} % etc., for any environment of definition type \numberwithin{equation}{section} %
You should give the corresponding command % for each environment introduced above:
\numberwithin{theorem}{section} \numberwithin{lemma}{section} \numberwithin{definition}{section}
\numberwithin{remark}{section}









% \begin{document} \begin{abstract} % Text of the abstract \end{abstract} \maketitle


% Text of the paper % \begin{thebibliography}{99} % Bibliography \end{thebibliography} % \end{document} %
Writing your paper, make the automatic enumeration of sections, formulas, theorems, the bibliography, etc.,
please. Besides, references to sections, formulas, theorems, bibliography items, etc., are also to be
automatic. Use the command \ref{...} for references to sections; it is better to use the command \eqref{...}
for references to formulas; use the command \cite{...} for references to bibliography items. You should type
proofs, using the environment proof: \begin{proof} % Text of the proof \end{proof} Figures are published in
black