\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsthm,amssymb, amsmath, amsfonts, amscd}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{euscript}
%\usepackage[matrix, arrow, curve]{xy}
\usepackage{xcolor}

\pagestyle{plain}

\unitlength=1mm

\emergencystretch=10pt
\clubpenalty=10000
\widowpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\relpenalty=10000

\newtheorem{thm}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem*{defin}{Определение}
\newtheorem{utver}{Утверждение}
\newtheorem{zam}{Замечание}
\newtheorem{predl}{Предложение}

\newcommand{\frc}[2]{\raisebox{.5em}{#1}\big/\raisebox{-.5em}{#2}}

%\newenvironment{myalign}
%{\vspace{-7pt}\align}{
%\endalign\vspace{-7pt}}

%\newenvironment{mysecalign}
%{\vspace{-7pt}\align*}{
%\endalign*\vspace{-7pt}}

\def\beginproofdot{{\noindent\bf Доказательство. }}
\def\beginproof{{\noindent\bf Доказательство }}
\def\endproof{\hfill$\blacksquare$\medskip}


\oddsidemargin = 20pt
%\evensidemargin = 28pt%32pt
\topmargin = 3mm
\headheight = 0pt
\headsep = 0pt
\textheight = 250mm
\textwidth = 165mm
%\hoffset=-10mm
\voffset=-10mm

\newcommand{\D}{\mathcal{D}}
\newcommand{\F}{\mathcal{F}}
\newcommand{\si}{{\rm Si}}
\newcommand{\ci}{{\rm Ci}}
\newcommand{\e}{\varepsilon}
\newcommand{\om}{\omega}

\flushbottom

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                                ВВЕДЕНИЕ                                 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\title{Асимптотика малых уклонений в гильбертовой норме для процессов Каца-Кифера-Вольфовица}
\author{А.И. Назаров\footnote{ПОМИ РАН и Санкт-Петербургский государственный университет; 
e-mail: al.il.nazarov@gmail.com.  
Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00172 и грантом СПбГУ 6.38.64.2012}, 
Ю.П. Петрова\footnote{Санкт-Петербургский государственный университет; 
e-mail: delafer21@gmail.com}}
\maketitle

\section{Введение}

Теория малых уклонений для норм гауссовских процессов интенсивно развивается в последние 
десятилетия (см., например, обзоры~\cite{lishao,lif}; более поздние ссылки можно найти на 
сайте~\cite{biblio}). Наиболее разработанным здесь является случай $L_2$-нормы. 
Пусть $X(t)$, $0\le t\le 1$, --- гауссовский процесс с нулевым средним и ковариацией 
$\mathcal{G}(t,s)=\mathbb{E} X(t)X(s)$, $t,s\in[0,1]$. Положим
$$
\bigl\| X\bigr\|=\left( \int\limits_0^1 X^2(t)\,dt \right)^{1/2}.
$$
Нас интересует точная асимптотика при $\varepsilon\to 0$ величины 
$\mathbb{P}\{\|X\|<\varepsilon\}$. Неявное решение задачи было получено в~\cite{sytaya}. 
Затем многие авторы, начиная с~\cite{zolotarev1979,hoffmann1979,ibragimov1979}, занимались 
упрощением выражения для вероятности малых уклонений при различных предположениях.

В силу разложения Кархунена"--~Лоэва имеет место равенство по распределению
$$
\bigl\| X\bigr\|^2\stackrel{d}{=}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k^2,
$$
где $\xi_k$, $k\in\mathbb{N}$, --- независимые стандартные гауссовские с.в., а $\lambda_k>0$, 
$k\in\mathbb{N}$, $\sum\lambda_k<\infty$, являются собственными значениями интегрального 
оператора с ядром $\mathcal{G}(s,t)$. Таким образом, исходная задача сводится к описанию 
поведения при $\varepsilon\to 0$ вероятности 
$\mathbb{P}\{\sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k^2\le\varepsilon^2\}$. 
Основная трудность заключается в том, что явные формулы для собственных значений известны лишь 
для немногих процессов (см.~\cite{Li1992,DLL}). Если же известна достаточно точная асимптотика 
$\lambda_n$, то асимптотика вероятности малых уклонений с точностью до константы может быть 
получена с помощью принципа сравнения Венбо Ли: 
\begin{predl}{\rm(\cite{Li1992,gao})} Пусть $\xi_k$ --- последовательность независимых стандартных 
гауссовских с.в. , а $\lambda_k$ и $\tilde{\lambda}_k$ --- две положительные невозрастающие 
суммируемые последовательности такие, что $\prod\tilde{\lambda}_k/\lambda_k<\infty$. Тогда
\begin{align}\label{Li0}
\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}\sim 
\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \tilde{\lambda}_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}
\cdot \left( \prod\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\tilde{\lambda}_k }{\lambda_k} \right)^{1/2},
\qquad \varepsilon\to0.
\end{align}	
\end{predl} 

В работах~\cite{naznik1}, \cite{nazarov2009} был выделен класс {\it гриновских} гауссовских 
процессов, для которых $\mathcal{G}(s,t)$ есть функция Грина обыкновенного дифференциального 
оператора. Это позволяет применить для нахождения асимптотики $\lambda_k$ методы спектральной 
теории ОДО, восходящие к классическим работам Дж. Биркгофа~\cite{birkhoff1}, \cite{birkhoff2} и 
Я. Тамаркина~\cite{tamarkin1912}, \cite{tamarkin1928} (дальнейшее развитие этой теории можно 
найти в~\cite{shkalikov1983}).

Подход, развитый в~\cite{naznik1}, \cite{nazarov2009}, позволил получить в~\cite{nazsharpcon}, 
\cite{pusevnazarov2009} и~\cite{nazpus2012arXiv} точные асимптотики малых уклонений для большого 
количества конкретных процессов в $L_2$-норме с различными весами 
(см. также~\cite{nikitinxarinsky2004},~\cite{deheuvelsmartynov2003},~\cite{gao2003laplace}).

В работе~\cite{onedimpert} рассматривалась задача о возмущении спектра ковариационного оператора 
при конечномерном возмущении гауссовского процесса. Было показано, что если возмущение не является 
``критическим'', то собственные числа $\tilde{\lambda}_k$ возмущенного оператора асимптотически 
прижимаются к невозмущенным собственным числам, причем $\prod\tilde{\lambda}_k/\lambda_k<\infty$. 
Для более узкого класса операторов аналогичный результат был получен в~\cite{vladimirov2013}.

Мы будем рассматривать задачу об асимптотиках собственных чисел для интегральных операторов с 
ядрами
\begin{align}
G_1(s,t)&=G(s,t)-h_1(s)h_1(t),\label{G_1}\\
G_2(s,t)&=G(s,t)-h_2(s)h_2(t),\label{G_2}\\
G_3(s,t)&=G(s,t)-h_1(s)h_1(t)-h_2(s)h_2(t),\label{G_3}
\end{align}
где $G(s,t)=\min(s,t)-st$ есть функция Грина краевой задачи 
$$
\mathcal{L}u:=-u''=\lambda u,\quad u(0)=u(1)=0,
$$
и 
$$
h_1(t)=\varphi(\Phi^{-1}(t)),\qquad h_2(t)=\varphi(\Phi^{-1}(t))\frac{\Phi^{-1}(t)}{\sqrt{2}},
$$ 
где 
$$
\varphi(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{s^2}{2}\Bigr),\quad 
\Phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{t}\varphi(s)\,ds
$$
--- плотность и функция нормального распределения соответственно.

Как известно, cобственные функции и собственные числа интегрального оператора с ядром $ G(s,t)$  
имеют вид
\begin{align*}
y_k(t)= \sin\left(\pi kt\right),\quad \lambda_k=(\pi k)^{-2}.
\end{align*}
Пусть $\lambda_k^{(i)}$ --- собственные числа интегральных операторов с ядрами $G_i(s,t)$, 
$i=1,2,3$; $ k\in\mathbb{N}$. В случаях~\eqref{G_1} и~\eqref{G_2}  имеется одномерное возмущение 
оператора с ядром $G(s,t)$, поэтому, согласно минимаксимальному принципу~\cite[\S 9.2]{birmansolom}, 
собственные числа возмущенного и невозмущенного операторов перемежаются. Заметим, что оба 
возмущения $h_1$ и $h_2$ являются ``критическими'' (в терминах нашей задачи это означает, что 
$\int h_i(t) \left(\mathcal{L} h_i\right)(t)\, dt =1$,  $i=1,2$). Поэтому соотношение 
$\prod\lambda_k^{(i)}/\lambda_k<\infty$ не имеет места. Более того, поскольку 
$\mathcal{L}h_i\not\in L_2[0,1]$, результат теоремы $2$ из статьи~\cite{onedimpert} также 
не применим. Мы построим асимптотику собственных чисел возмущенных 
операторов~\eqref{G_1}--\eqref{G_3}, используя явные формулы для определителей Фредгольма, 
полученные в~\cite{KKW} и~\cite{onedimpert}. Таким образом можно построить разложение 
$\lambda_k^{(i)}$ в асимптотический ряд, но мы ограничимся построением такого приближения 
$\tilde{\lambda}_k^{(i)}$, для которого $\prod\tilde{\lambda}_k^{(i)}/\lambda_k^{(i)}<\infty$. 
 
Полученные результаты применяются к задаче о малых уклонениях в $L_2[0,1]$ для гауссовских 
процессов $X^{(1)}$--$X^{(3)}$ с нулевым средним, ковариационные функции которых имеют 
вид~\eqref{G_1}--\eqref{G_3} соответственно. Эти процессы возникают как предельные в задаче 
о построении критериев согласия типа $\omega^2$ для проверки выборки на нормальность в случае, 
когда математическое ожидание и/или дисперсия оцениваются по выборке. В работе М. Каца, Дж. Кифера
и Дж. Вольфовица~\cite{KKW} доказана сходимость эмпирических процессов с оцененными параметрами к 
предельным в смысле конечномерных распределений. Аналогичные результаты были независимо получены 
И.И. Гихманом ~\cite{gihman1953}, \cite{gihman1954}. Впоследствии в статье 
Дж. Дурбина~\cite{durbin1973} была строго доказана слабая сходимость к предельному 
процессу, а также описаны предельные процессы для значительно более широкого класса 
эмпирических процессов.

Заметим, что функция $h_1(t)$ четная (здесь и в дальнейшем четность понимается относительно 
середины отрезка $[0,1]$). Поэтому при возмущении~\eqref{G_1} нечетные собственные функции и 
соответствующие им собственные числа не меняются. Для простоты мы будем обозначать их 
$\lambda_{2k}^{(1)}=\lambda_{2k}$, $k\in\mathbb{N}$, несмотря на то, что при этом нумерация в 
порядке убывания может быть нарушена. Аналогично, в силу нечетности функции $h_2(t)$ при 
возмущении~\eqref{G_2} четные собственные функции и соответствующие им собственные числа не 
меняются, будем обозначать их $\lambda_{2k-1}^{(2)}=\lambda_{2k-1}$, $k\in\mathbb{N}$. 
 Кроме того, легко видеть, что $\lambda_{2k}^{(3)}=\lambda_{2k}^{(1)}$ и 
 $\lambda_{2k-1}^{(3)}=\lambda_{2k-1}^{(2)}$.  Отметим ещё, что квадратичная форма возмущенных 
 операторов~\eqref{G_1}--\eqref{G_3} не превосходит квадратичной формы исходного оператора. 
 Поэтому в силу минимаксимального принципа $\lambda_{2k-1}^{(1)}\le \lambda_{2k-1}$ и 
 $\lambda_{2k}^{(2)}\le \lambda_{2k}$.

В статье~\cite{KKW} выписаны уравнения для собственных чисел интегрального оператора с ядром 
$G_3(s,t)$ (см. также~\cite[пример 5]{onedimpert}). После некоторых преобразований этих уравнений 
получаем, что 
$$
\omega_{2k-1}^{(1)}:=\left(\lambda_{2k-1}^{(1)}\right)^{-1/2},\qquad
\omega_{2k}^{(2)}:=\left(\lambda_{2k}^{(2)}\right)^{-1/2}
$$ 
являются корнями уравнений 
\begin{align}
D_1(\omega):&=\frac{2\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\cdot 
\mathcal{C}_1^2+\frac{\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega^2}-
\frac{4\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\cdot \mathcal{I}_1=0,\label{D1}\\
D_2(\omega):&=-\frac{\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\cdot 
\mathcal{C}_2^2+\frac{3\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{2\omega^2}-
\frac{2\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\cdot \mathcal{I}_2=0,\label{D2}
\end{align}
соответственно, где
\begin{align*}
\mathcal{C}_1&=\int\limits_0^{\frac12}\Phi^{-1}(t)\cos(\omega t)\,dt,\quad 
\mathcal{C}_2=\int\limits_0^{\frac12}\left(\Phi^{-1}(t)\right)^2\cos(\omega t)\,dt,\\
\mathcal{I}_1&=\int\limits_0^{\frac12}\int\limits_0^t\Phi^{-1}(t)\Phi^{-1}(s)
\sin(\omega t)\cos(\omega s)\,ds\, dt,\\
\mathcal{I}_2&=\int\limits_0^{\frac12}\int\limits_0^t\left(\Phi^{-1}(t)\right)^2
\left(\Phi^{-1}(s)\right)^2\sin(\omega t)\cos(\omega s)\,ds\, dt.
\end{align*}

Статья организована следующим образом. В \S 2 вычисляются асимптотики интегралов с медленно 
меняющимися функциями (см. определение в Приложении), частным случаем которых являются интегралы 
$\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{I}_1$ и $\mathcal{I}_2$. Для этих интегралов строится 
полное асимптотическое разложение с оценкой остатка.  В \S 3 получены асимптотические уравнения 
для корней $\omega_{2k-1}^{(1)}$ и  $\omega_{2k}^{(2)}$  и найдена их асимптотика 
(формулы~\eqref{asymptotics1} и~\eqref{asymptotics2}). В \S\S 4 и 5 полученные результаты 
применяются к задаче о малых уклонениях для процессов $X^{(1)}$--$X^{(3)}$ 
(формулы~\eqref{smalldevasymp1},~\eqref{smalldevasymp2} и~\eqref{smalldevasymp3}). 
В Приложение вынесено доказательство вспомогательной леммы об определителях Фредгольма, 
а также некоторых свойств $\Phi^{-1}(t)$.

Все положительные константы, значения которых нам не важны, обозначаются буквой $C$, а величины, 
от которых эти константы зависят, указываются в скобках.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                        Асимптотика интеграла с косинусом                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Асимптотика интегралов}
Пусть функция $F(t)$ задана на полуинтервале $\left(0,\frac12\right]$, $F\left(\frac12\right)=0$, 
и функции $F_0(t)=F(t)$, $F_{n+1}(t)=t F_n'(t)$, являются медленно меняющимися в нуле. 
Введём обозначение:
\begin{align*}
\int\limits_{S_N(x)}\!\!\!\!F_M\, d\mu_N:=\int\limits_1^{x}\ldots\int\limits_1^{x_N}
F_M\Big(\frac{x_{N+1}}{\omega}\Big)\frac{dx_{N+1}}{x_{N+1}}\ldots\frac{dx_{2}}{x_{2}}.
\end{align*}
\begin{thm}\label{thmcos}
При $\omega\to\infty$ имеет место формула:
\begin{align}
\mathcal{C}:=&\int\limits_0^{\frac12}F(t)\cos(\omega t)\,dt=
\sum\limits_{k=1}^{N}c_k^{cos}\frac{F_k(\frac{1}{\omega})}{\omega}+R_N^{cos},\label{asymptcos}
\end{align}
где
\begin{align}
& c_k^{cos}=-\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\ln^{k-1}(x)}{(k-1)!}\,dx,\quad 
k\ge1,\notag\\
& R_N^{cos}=-\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin (x_1)}{x_1}
\int\limits_{S_N(x_1)}\!\!\!\!F_{N+1}\, d\mu_N\,\frac{dx_1}{\omega}
+O\left(\frac{L_N(\omega)}{\omega^2}\right),\label{thmcosrest}
\end{align}
а $L_N(\omega)$ --- некоторая медленно меняющаяся функция при $\omega\to\infty$.
Более того, верна оценка: 
\begin{align}\label{esttotalcos}
&|R_N^{cos}|\le C(F,N)\cdot\frac{\left|F_{N+1}(\frac{1}{\omega})\right|}{\omega}.
\end{align}
\end{thm}
\beginproofdot Интегрируя по частям, получим
\begin{align*}
\int\limits_0^{\frac12} F(t)\cos(\omega t)\,dt &=-\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}F_1
\left(\frac{x}{\omega}\right)\frac{\sin (x)}{x}\,\frac{dx}{\omega}.
\end{align*}
В дальнейшем нам понадобится следующая формула представления функции $F_M$:
\begin{align}\label{formulapredstav}
F_M\left(\frac{x}{\omega}\right)=F_M\left(\frac{1}{\omega}\right)+
\int\limits_1^{x}F_{M+1}\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y},\quad \forall M\ge0.
\end{align}
Воспользуемся формулой~\eqref{formulapredstav} при $M=1$, получим
\begin{align*}
\mathcal{C}&=-\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin (x)}{x}\,dx\cdot 
\frac{F_1(\frac{1}{\omega})}{\omega}-\frac 1{\omega}\underbrace{\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}
\int\limits_1^x F_2\Bigl(\frac{y}{\omega}\Bigr)\,\frac{dy}{y}\,\frac{\sin (x)}{x}\,dx}_{=R_1}
+O\left(\frac{1}{\omega^2}\right),
\end{align*}
что даёт~\eqref{asymptcos} для $N=1$.
Интегрируя по частям $R_1$, получим
\begin{align}
R_1=\frac{1-\cos(x)}{x}\cdot\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y}\biggr
\rvert_{x=0}^{x=\frac{\omega}{2}}
&-\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos (x)}{x^2}F_2\left(\frac{x}{\omega}\right)dx
+\label{r1}\\
&+\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos (x)}{x^2}
\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\,\frac{dy}{y}\,dx.\notag
\end{align}
Для оценки возникающих интегралов нам понадобится следующее утверждение:
\begin{predl}\label{risefall}\rm{(см.~\cite[гл.1, с.18]{seneta})}
\it{
Пусть $\mathbb{F}(t)>0$ --- медленно меняющаяся функция в нуле, Тогда для любого $\alpha>0$ 
существует $\e>0$ такое, что $\mathbb{F}(t)t^{\alpha}$--- возрастающая функция, а 
$\mathbb{F}(t)t^{-\alpha}$--- убывающая функция  в $\e$-окрестности нуля.}
\par
\end{predl}
Пусть $\alpha>0$, и $\varepsilon$ таково, что верно предложение~\ref{risefall}. Тогда при 
больших $\omega$ ($ 1/\omega<\varepsilon$) имеем оценку 
\begin{align}
\left|\mathbb{F}\left(\frac{y}{\omega}\right)\right|
\left(\frac{y}{\omega}\right)^{\alpha}&\le \left|\mathbb{F}
\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\right|\omega^{-\alpha}& 
&\text{ при } y\in(0,1] ,&& \label{rise01}\\
\left|\mathbb{F}\Big(\frac{y}{\omega}\Big)\right|\Big(\frac{\omega}{y}\Big)^{\alpha}&
\le \left|\mathbb{F}\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\right|\omega^{\alpha}&&\text{ при } 
y\in\left(1,\varepsilon\omega\right].&&\label{fall1inf}
\end{align}
Наконец, ввиду~\eqref{fall1inf} и непрерывности $\mathbb{F}$ получаем 
\begin{align}\label{epsomega}
\Big|\mathbb{F}\left(\frac{y}{\omega}\right)\Big|\Big(\frac{\omega}{y}\Big)^{\alpha}
&\le C(\alpha, F)\left|\mathbb{F}\left(\frac{\varepsilon\omega}{\omega}\right)\right|
\left(\frac{\omega}{\varepsilon\omega}\right)^{\alpha}\le\notag\\
&\le C(\alpha,F)\Big|\mathbb{F}\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\Big|
\omega^{\alpha}\qquad 
\text{при } y\in\left[\varepsilon\omega,\frac{\omega}{2}\right].
\end{align}
Оценим $\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y}$. При $x\in(0,1]$, 
используя оценку~\eqref{rise01} для $\mathbb{F}=F_2$, получаем
\begin{align}\label{estintF2.1}
\Bigg|\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y}\Bigg|\le 
\omega^{\alpha}\int\limits_1^{x}\left|F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\right|
\left(\frac{y}{\omega}\right)^{\alpha}\frac{dy}{y^{1+\alpha}}\le 
\Big|F_2\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\Big| \frac{\left| x^{-\alpha}-1\right|}{\alpha}.
\end{align}
При $x\in\left[1,\frac{\omega}{2}\right]$, используя оценки~\eqref{fall1inf} и~\eqref{epsomega}, 
имеем
\begin{align}\label{estintF2.2}
\Bigg|\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y}\Bigg|\le 
\omega^{-\alpha}\int\limits_1^{x}\left|F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\right|
\Big(\frac{\omega}{y}\Big)^{\alpha}\frac{dy}{y^{1-\alpha}}\le 
C(\alpha,F)\left|F_2\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\right| \frac{\left| x^{\alpha}-1\right|}{\alpha}.
\end{align}
Подставляя оценки~\eqref{estintF2.1} и~\eqref{estintF2.2} при $\alpha=1/2$ в выражение~\eqref{r1} 
для $R_1$, получим оценку~\eqref{esttotalcos} при $N=1$. При $N>1$ действуем по индукции: 
подставляем~\eqref{formulapredstav} с $M=N$ в~\eqref{thmcosrest} и оцениваем остаток с помощью 
предложения~\ref{risefall}.
\endproof

\begin{thm} \label{thmsin}
При $\omega\to\infty$ имеет место формула:
\begin{align*}
&\mathcal{S}:=\int\limits_0^{\frac12} F(t)\sin(\omega t)\,dt=\frac{F(\frac{1}{\omega})}{\omega}
+\sum\limits_{k=1}^N c_k^{sin} \frac{F_k(\frac{1}{\omega})}{\omega}+R_N^{sin},
\end{align*}
где  
\begin{align*}
c_k^{sin}&=-\int\limits_0^1\frac{1-\cos (x)}{x}\frac{\ln^{k-1} (x)}{(k-1)!}\,dx
+\int\limits_1^{\infty}\frac{\cos (x)}{x}\frac{\ln^{k-1} (x)}{(k-1)!}\,dx,\quad k\ge1,\\
R_N^{sin}&=-\int\limits_0^1\frac{1-\cos (x_1)}{x_1}\int\limits_{S_{N}(x_1)}\!\!\!\! 
F_{N+1} \,d\mu_{N}\,\frac{dx_1}{\omega}
+\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos (x_1)}{x_1}\int\limits_{S_{N}(x_1)}\!\!\!\! 
F_{N+1} \,d\mu_{N}\,\frac{dx_1}{\omega}+O\left(\frac{L_N(\omega)}{\omega^2}\right),
\end{align*}
а $L_N(\omega)$ --- некоторая медленно меняющаяся функция при $\omega\to\infty$.

Более того, справедлива оценка:
\begin{align*}%\label{estsin}
&|R_N^{sin}|\le C(F,N)\cdot\frac{|F_{N+1}(\frac{1}{\omega})|}{\omega}.
\end{align*}
\end{thm}
\textbf{Доказательство} аналогично теореме~\ref{thmcos}.
\endproof

\begin{zam}К интегралам $\mathcal{C}$ и $\mathcal{S}$ сводятся также интегралы
\begin{align*}
\int\limits_0^{\frac12}\!\!\int\limits_0^{\tau}F(t)F(\tau)\sin(\omega t)\sin(\omega\tau)\,dt\,d\tau
=\frac{\mathcal{S}^2}{2},\quad
\int\limits_0^{\frac12}\!\!\int\limits_0^{\tau}F(t)F(\tau)\cos(\omega t)\cos(\omega\tau)\,dt\,d\tau
=\frac{\mathcal{C}^2}{2}.
\end{align*}
\end{zam}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                        Асимптотика двойного интеграла                       %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{thm}\label{thmsincos}
\begin{multline}
\mathcal{I}:=\int\limits_0^{\frac12}\!\!\int\limits_0^{\tau} F(t)F(\tau) 
\sin(\omega \tau) \cos(\omega t)\,dt\, d\tau=\\
=\frac{1}{2\omega}\int\limits_0^{\frac12}F^2(t)\,dt
+\sum\limits_{n=2}^{N}\sum\limits_{\substack{k+m=n\\k,m\ge1}}a_{k,m}
\frac{F_k(\frac{1}{\omega})F_m(\frac{1}{\omega})}{\omega^2}+R_N^{sc},\label{formulasincos}
\end{multline}
где 
$$ 
a_{k,m}=-\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\ln^{k-1}(x)}{(k-1)!}
\int\limits_x^{\infty}\frac{\cos (y)}{y}\frac{\ln^{m-1}(y)}{(m-1)!}\,dy\, dx
$$
и справедлива оценка: 
\begin{align}
|R_N^{sc}|\le C(F,N)\!\!\sum\limits_{\substack{ i+j=N+1\\i,j\ge1}}\!\!
\frac{|F_i(\frac{1}{\omega})F_j(\frac{1}{\omega})|}{\omega^2}.\label{estsincos}
\end{align}
\end{thm}
\textbf{Доказательство.} Меняя порядок интегрирования и интегрируя по частям, получаем
\begin{align*}
\mathcal{I}&=\frac{1}{2\omega}\int\limits_0^{\frac12}F^2(t)\,dt
-\frac{1}{\omega^2}\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{x}{\omega}\right)
\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{y}{\omega}\right)
\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx.
\end{align*}
Воспользуемся представлением~\eqref{formulapredstav} при $M=1$:
\begin{align}
&\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{x}{\omega}\right)\frac{\sin(x)}{x}
\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx
=F_1^2\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x}
\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx+\notag\\
&+F_1\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\underbrace{\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x}
\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)
\frac{dz}{z} \,dy\, dx}_{=R_{11}}+\notag\\
&+\underbrace{\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x}
\int\limits_1^x F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}
\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx}
_{=R_{12}}\label{thmsincosip}.
\end{align}
Несложно понять, что
\begin{align*}
\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}
\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx=\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{\infty}
\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx+O\Big(\frac{1}{\omega}\Big).
\end{align*}
Таким образом, получена формула~\eqref{formulasincos} при $N=2$. 

Для оценки интеграла $R_{11}$ разобъем его на три слагаемых
\begin{align*}
R_{11}&=\int\limits_0^{1}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{1}\frac{\cos(y)}{y}
\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy \,dx
+\int\limits_0^{1}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}
\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\, dy\, dx+\\
&+\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}
\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy\, dx
=:R_{111}+R_{112}+R_{113}.
\end{align*}

Заметим, что подынтегральное выражение в $R_{111}$ знакопостоянно. Используя 
соотношение~\eqref{estintF2.1}, а также неравенства
\begin{align*}
\frac{\sin(x)}{x}\le1,\qquad \cos(y)\le1,
\end{align*}
получим оценку
\begin{align*}
|R_{111}|\le\Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|\int\limits_0^1\int\limits_x^1 
\frac{y^{-\alpha}-1}{\alpha y}\,dy\,dx= C(\alpha)\cdot \Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|.
\end{align*}
Далее,
\begin{align*}
|R_{112}|\le \Bigg| \int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y 
F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\, dy\, dx \Bigg|.
\end{align*}
Интегрируя по частям, получим
\begin{align*}
|R_{112}|\le \Bigg| \frac{1+\sin(y)}{y} \int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)
\frac{dz}{z}\biggr\rvert_{y=1}^{y=\frac{\omega}{2}}   - \int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}
\frac{1+\sin(y)}{y^2}\bigg(F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)-\int\limits_1^y 
F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\bigg)\,dy\Bigg|.
\end{align*}
Подстановка $y=1$ обнуляется, подстановка $y=\frac{\omega}{2}$ с учетом~\eqref{estintF2.2} есть 
$O(|F_2\big(\frac{1}{\omega}\big)|\cdot\omega^{\alpha-1})$, а полученный интеграл, используя 
неравенства~\eqref{estintF2.2},~\eqref{fall1inf} и~\eqref{epsomega} для $\mathbb{F}=F_2$, 
оценим так:
\begin{align*}
\Bigg|\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{1+\sin(y)}{y^2}\bigg(F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)
-\int\limits_1^y   F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \bigg)\,dy\Bigg|&
\le C(\alpha,F)\Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|\cdot\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}
\frac{1+\sin(y)}{y^{2-\alpha}}\,dy\le\\
&\le C(\alpha,F)\Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|.
\end{align*}

Рассмотрим $R_{113}$. После интегрирования по частям получаем
\begin{align*}
R_{113}&=\frac{1-\cos(x)}{x}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y 
F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy\biggr\rvert_{x=1}^{x=\frac{\omega}{2}}+\\
&+\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}
\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy\,dx
+\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\bigl(1-\cos(x)\bigr)\cos(x)}{x^2}\int\limits_1^x 
F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\,dx.
\end{align*}
Подстановка $x=\frac{\omega}{2}$ обнуляется, подстановка $x=1$ оценивается через $R_{112}$.
Последний интеграл с помощью~\eqref{estintF2.2} оценивается через 
$C(\alpha,F) \cdot\bigl|F_2\left(\frac{1}{\omega}\right)\bigr|$. Во втором слагаемом, интегрируя 
по частям по переменной $y$, получим
\begin{multline*}
\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}
\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy\,dx=\\
=\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\Bigg[ \frac{1+\sin(y)}{y}\int\limits_1^y 
F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\biggr\rvert_{y=x}^{y=\frac{\omega}{2}} +\\
+\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}\frac{1+\sin(y)}{y^2}\bigg(\int\limits_1^y 
F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}-F_2\left(\frac{y}{\omega}\right) \bigg)\,dy\Bigg]\,dx.
\end{multline*}
Оценивая аналогично интегралу $R_{112}$, получаем окончательно
\begin{align*}
|R_{11}|\le C(\alpha,F)\Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|.
\end{align*}
Аналогично оценим $R_{12}$. Полагая $\alpha=1/2$, получаем оценку~\eqref{estsincos} для $N=2$. 
При $N>2$ действуем по индукции: подставляем~\eqref{formulapredstav} при $M=N$ 
в~\eqref{thmsincosip} и оцениваем остатки аналогичным образом с помощью предложения~\ref{risefall}.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                        Асимптотика собственных чисел                        %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Асимптотика собственных чисел}

Обозначим для удобства $\F_0(x):=\Phi^{-1}(x)$, $\F_i(x):=x \F'_{i-1}(x)$, и заметим, что, 
согласно теореме~\ref{Fmedlennomen} функции $F=\F_0$ и $F=\F_0^2$ удовлетворяют условиям, 
сформулированным в начале \S2. Запишем асимптотики интегралов $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, 
$\mathcal{I}_1$, $\mathcal{I}_2$, используя формулы~\eqref{asymptcos} и~\eqref{formulasincos} 
при $N=2$ (как будет ясно из следующего параграфа, такая точность будет достаточна для наших 
целей):
\begin{align}
\mathcal{C}_1&=-\frac{\pi}{2}\frac{\F_1}{\omega}+\frac{\gamma\pi}{2}\frac{\F_2}{\omega}
+O\left(\frac{|\F_3|}{\omega}\right),\notag\\
\mathcal{C}_2&= -\pi\frac{\F_0 \F_1}{\omega}+\gamma \pi \frac{\F_0\F_2+\F_1^2}{\omega}
+O\left(\frac{|\F_0\F_3|+|\F_1 \F_2|}{\omega}\right),\label{C1C2I1I2}\\
\mathcal{I}_1&=\frac{1}{4\omega}+\frac{\pi^3}{8}\frac{\F_1 \F_2}{\omega^2}
+O\left(\frac{|\F_1 \F_3|+\F_2^2}{\omega^2}\right),\notag\\
\mathcal{I}_2&=\frac{3}{4\omega}+\frac{\pi^3}{2}\frac{\F_0^2\F_1 \F_2+\F_0\F_1^3}{\omega^2}
+O\left(\frac{|\F_0^2\F_1 \F_3|+|\F_0\F_1^2 \F_2|}{\omega^2}\right).\notag
\end{align}
Здесь $\gamma$ --- константа Эйлера, и у всех $\F_i$ аргумент равен $\frac{1}{\omega}$. 
Подставляя~\eqref{C1C2I1I2} в формулы~\eqref{D1} и~\eqref{D2} для $D_1(\omega)$ и $D_2(\omega)$, 
получаем
\begin{align}
D_1(\omega)&=\frac{\pi^2}{2\omega^3}\F_1^2\left[\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)
-2\gamma\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)\frac{\F_2}{\F_1}
-\pi\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)\frac{\F_2}{\F_1}
+O\left(\frac{|\F_3 \F_1|+\F_2^2}{\F_1^2}\right) \right];\notag\\
D_2(\omega)&=\frac{\pi^2}{\omega^3}\left(\F_0 \F_1\right)^2\left[-\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)
+2\gamma\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)\frac{\F_0 \F_2+\F_1^2}{\F_0 \F_1}
-\pi\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)\frac{\F_0 \F_2+\F_1^2}{\F_0\F_1}+\right.\notag\\
&\left.+O\left(\frac{(\F_0 \F_2)^2+\F_1^4+|\F_0^2 \F_1 \F_3|
+|\F_0\F_1^2 \F_2|}{\F_0^2 \F_1^2}\right)\right].\label{asympD1D2}
\end{align}

Рассмотрим уравнение на $\omega_{2k-1}^{(1)}$. После преобразований оно примет вид
\begin{align}
&\tg\left(\frac{\omega}{2}\right)=\pi\frac{\F_2}{\F_1}
+O\left(\frac{|\F_3\F_1|+\F_2^2}{\F_1^2}\right),\label{equationeigenvalue1}
\end{align}
где аргумент всех $\F_i$ равен $\frac{1}{\omega}$. Поскольку правая часть стремится к нулю при 
$\omega\to\infty$, в окрестности точки $2\pi k$ при достаточно больших $k$ находится ровно один 
корень данного уравнения. 

Как указано во введении, $\lambda_{2k}^{(1)}= \lambda_{2k}$ и 
$\lambda_{2k-1}^{(1)}\le \lambda_{2k-1}$. Поэтому $\omega_{2k}^{(1)}=2\pi k$ и 
$\omega_{2k-1}^{(1)}\ge \pi (2k-1)$. 
 Из этих фактов и перемежаемости собственных чисел следует, что на промежутке 
 $[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi)$ располагаются $ \omega_{2k-1}^{(1)}$ и $ \omega_{2k}^{(1)}$. Значит, 
 в окрестности $2\pi k$ лежит корень $ \omega_{2k-1}^{(1)}$ уравнения~\eqref{equationeigenvalue1}.
 
 Стандартными методами получаем асимптотику $\omega_{2k-1}^{(1)}$ при $k\to\infty$:
\begin{align*}
\omega_{2k-1}^{(1)}&=2\pi k+2\pi\frac{\F_2}{\F_1}+O\left(\frac{|\F_3\F_1|+\F_2^2}{\F_1^2}\right).
\end{align*}
где аргумент всех $\F_i$ равен $\cfrac{1}{2\pi k}$. В силу соотношений~\eqref{F}, 
\eqref{e'}--\eqref{FNshtrih} имеем
\begin{align}\label{F_1F_2F_3}
&\F_1=\frac{1}{\F_0}+O\left(\frac{1}{|\F_0|^3}\right),\quad \F_2=-\frac{1}{\F_0^3}
+O\left(\frac{1}{|\F_0|^5}\right),\quad \F_3=O\left(\frac{1}{|\F_0|^5}\right),\quad 
\omega\to\infty
\end{align}
(аргумент всех $\F_i$ равен $\frac{1}{\omega}$). Отсюда
\begin{align*}
\omega_{2k-1}^{(1)}&=2\pi k+\frac{2\pi}{\F_0^2(\frac{1}{2\pi k})}
+O\left(\frac{1}{\F_0^4(\frac{1}{2\pi k})}\right).
\end{align*}

Известно, что (см., например,~\cite{inverseerrorfunc1976})
\begin{align*}
&\F(x)=\Phi^{-1}(x)=-\sqrt{-2\ln(x)}\cdot\left[1+O\left(\frac{\ln(-\ln (x))}{\ln (x)}\right)\right],
\qquad x\to0.
\end{align*}
Поэтому
\begin{align}\label{asymptotics1}
\omega_{2k-1}^{(1)}&=2\pi k+\frac{\pi}{\ln (k)}+O\left(\frac{\ln( \ln (k))}{\ln^2 (k)}\right).
\end{align}

Рассмотрим уравнение на $\omega_{2k}^{(2)}$. После преобразований, оно примет вид
\begin{align*}
\ctg\left(\frac{\omega}{2}\right)=-\pi\frac{\F_0 \F_2+\F_1^2}{\F_0 \F_1}
+ O\left(\frac{(\F_0 \F_2)^2+\F_1^4+\F_0^2 |\F_1 \F_3|+|\F_0 \F_1^2 \F_2|}{\F_0^2 \F_1^2}\right),
\end{align*}
где аргумент всех $\F_i$ равен $\frac{1}{\omega}$. Рассуждая аналогичным образом, получаем, что в 
окрестности $2\pi k+\pi$ при достаточно больших $k$ находится ровно один корень данного уравнения 
с номером $\omega_{2k}^{(2)}$. Его асимптотика:
\begin{align*}
\omega_{2k}^{(2)}=\pi+2\pi k-\pi\frac{\F_0 \F_2+\F_1^2}{\F_0 \F_1}
+O\left(\frac{(\F_0 \F_2)^2+\F_1^4+\F_0^2 |\F_1 \F_3|+|\F_0 \F_1^2 \F_2|}{\F_0^2 \F_1^2}\right),
\end{align*}
где аргумент всех $\F_i$ равен $\cfrac{1}{\pi(2k+1)}$. В силу~\eqref{F_1F_2F_3} имеем
\begin{align}\label{asymptotics2}
\omega_{2k}^{(2)}=
\pi+2\pi k+O\left(\frac{1}{\F_0^4(\frac{1}{\pi (2k+1)})}\right)=
\pi(2 k+1)+O\left(\frac{1}{\ln^2 (k)}\right).
\end{align}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                         Асимптотика малых уклонений для процесса X^2                    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Асимптотика малых уклонений для процесса $X^{(2)}$}
Применим полученные результаты к задаче об асимптотике вероятностей малых уклонений в $L^2$-норме 
для гауссовских процессов $X^{(1)}$--$X^{(3)}$ с нулевым средним и функциями ковариации, 
определенными в~\eqref{G_1}--\eqref{G_3}. 

Наиболее простой является задача для $X^{(2)}$. Применим принцип сравнения Ли 
(предложение~\ref{Li0}). В качестве аппроксимации возьмём процесс с собственными числами 
$\gamma_k$ соответствующего интегрального оператора
\begin{align*}
\gamma_k=\Big[(2k+1)\pi/2\Big]^{-2}, \quad k\in\mathbb{N}.
\end{align*}

Известно, что (\cite[теорема 3.4]{Li1992}, см. также~\cite[теорема 6.2]{naznik1})
\begin{align}\label{asympgammak}
\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \gamma_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}
\sim \frac{4}{\pi^{3/2}}\varepsilon^{-1}\exp\Bigl(-\frac{1}{8\varepsilon^2}\Bigr).
\end{align}
Для того, чтобы найти константу из~\eqref{Li0}, дополнительно введём 
\begin{align*}%\label{mu_k}
\mu_1:=\pi^{-2},\quad \mu_{2k}=\mu_{2k+1}:=\Big[(2k+1)\pi\Big]^{-2}.
\end{align*}
Тогда
\begin{align*}
\prod\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\gamma_k }{\lambda_k^{(2)}}
=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\gamma_k}{\mu_k}\cdot\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\mu_k} {\lambda_k^{(2)}}
=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\gamma_k}{\mu_k}
\cdot\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\mu_{2k}} {\lambda_{2k}^{(2)}}.
\end{align*}
Первое бесконечное произведение легко считается по формуле Стирлинга:
\begin{align}\label{C1}
&\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\gamma_k}{\mu_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{\pi\cdot (3\pi)^2
\cdot (5\pi)^2\cdot\ldots\cdot((2k+1)\pi)^2}{\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{5\pi}{2}\cdot\ldots
\cdot\frac{(4k+3)\pi}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
\end{align}
Заметим, что $\mu_{2k}^{-\frac12}$ и  $\Big(\lambda_{2k}^{(2)}\Big)^{-\frac12}=\omega_{2k}^{(2)}$ 
есть корни целых функций 
\begin{align*}
M(\omega):=\cfrac{\cos(\frac{\omega}{2})}{1-\big(\frac{\omega}{\pi}\big)^2}\quad \text{ и }
\quad\mathcal{D}(\omega):=\omega D_2(\omega),\quad \omega\in\mathbb{C},
\end{align*}
причем эти корни достаточно близки. Заметим также, что $M(0)=\mathcal{D}(0)=1$. Воспользуемся 
леммой~\ref{nazlemma} (см. Приложение). Получаем
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\mu_{2k}} {\lambda_{2k}^{(2)}}=
\lim\limits_{\substack{|\omega|=2\pi k\\k\to\infty}}\frac{M(\omega)}{\mathcal{D}(\omega)},
\end{align*}
причём предел можно брать только по вещественной оси. Тогда, пользуясь формулами~\eqref{asympD1D2} 
и~\eqref{F_1F_2F_3}, имеем
\begin{align}\label{C2}
\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\mu_{2k}} {\lambda_{2k}^{(2)}}
=\lim\limits_{\substack{\omega=2\pi k\\k\to\infty}}\frac{M(\omega)}{\omega D_2(\omega)}
=\lim\limits_{\substack{\omega=2\pi k\\k\to\infty}}
\Big(\F_0\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\F_1\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\Big)^2=1.
\end{align}
В итоге из формул ~\eqref{Li0},~\eqref{asympgammak}--\eqref{C2} получаем
\begin{align}\label{smalldevasymp1}
\mathbb{P}\Big\{ \| X^{(2)}\|<\varepsilon\Big\}
=\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k^{(2)} \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}&
\sim \frac{2\sqrt{2}}{\pi^{3/2}}\varepsilon^{-1}\exp\Bigl(-\frac{1}{8\varepsilon^2}\Bigr),
\quad \varepsilon\to 0.
\end{align}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                Асимптотика для процессов X^1 и X^3           %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Асимптотика малых уклонений для $X^{(1)}$ и $X^{(3)}$}
Для процессов $X^{(1)}$ и $X^{(3)}$ точную константу в асимптотике малых уклонений найти не 
удается. Для того, чтобы посчитать асимптотику малых уклонений с точностью до константы, 
воспользуемся следующим предложением, являющимся частным случаем ~\cite[теорема 3.1]{DLL}:
\begin{predl}\label{thmdll}
Пусть $\phi(t)$ --- определенная на $[1,\infty)$, положительная, логарифмически выпуклая, 
дважды дифференцируемая и интегрируемая функция, Тогда
\begin{align*}%\label{formulo}
\mathbb{P}\Big\{ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \phi(k)\xi_k^2 \leq r  \Big\}
\sim C \sqrt{\frac{f(u\phi(1))}{I_2(u)}}\exp(I_0(u)+ur),\qquad  r\to 0,
\end{align*}
где $f(t)=(1+2t)^{-1/2}$, а $u=u(r)$ --- функция, удовлетворяющая
\begin{align} \label{u}
&\lim_{r\to 0}\frac{I_1(u)+ur}{\sqrt{I_2(u)}}=0,\\
I_0(u)&=\int\limits_1^\infty \ln f (u \phi(t))\,dt,\notag\\
I_1(u)&=\int\limits_1^\infty u \phi(t) (\ln f (u \phi(t)))'\,dt,\notag\\
I_2(u)&=\int\limits_1^\infty (u \phi(t))^2 (\ln f (u \phi(t)))''\,dt.\notag
\end{align}
\end{predl}
В качестве функции $\phi(t)$ мы будем рассматривать 
\begin{align*}
\phi(t)=(t+\delta+F(t))^{-d},\quad d>-1,
\end{align*}
где $F(t)$ --- медленно меняющаяся функция при $t\to\infty$, монотонно стремящаяся к нулю 
при $t\to\infty$. Если $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{F(t)}{t}\,dt<\infty$, то произведение 
$\prod\frac{\phi(k)}{(k+\delta)^{-d}}$ сходится, и асимптотика с точностью до константы следует 
из~\cite[теорема 6.2]{naznik1}. Поэтому будем считать, что  
$\int\limits_{1}^{\infty}\frac{F(t)}{t}\,dt$ расходится.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                Асимптотика I_1(u) и I_2(u)           %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Преобразуем интеграл $I_1$ так:
\begin{align*}
I_{1}&=-u\int\limits_1^{\infty}\frac{dt}{2u+(t+\delta+F(t))^d}
=-\frac{1}{2}\int\limits_{1+\delta+F(1)}^{\infty}\frac{dx}{1+\Big(\frac{x}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}
+\frac12 \int\limits_1^{\infty} \frac{F'(t)\,dt}{1+\Big( \frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}} \Big)^d}
=\\
&=-\frac{\pi (2u)^{1/d}}{2d \sin \bigl(\frac {\pi}{d}\bigr)}
+\frac{1}{2}\int\limits_0^{1+\delta+F(1)}\frac{dx}{1+\Big(\frac{x}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}
+\frac12 \int\limits_1^{\infty} \frac{F'(t)\,dt}{1+\Big( \frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}} \Big)^d}.
\end{align*}

Оба интегранта здесь имеют суммируемые мажоранты, поэтому по теореме Лебега при $u\to\infty$ имеем
\begin{align*}
\frac12\int\limits_0^{1+\delta+F(1)}\frac{dx}{1+\Big(\frac{x}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}
+\frac12 \int\limits_1^{\infty} \frac{F'(t)\,dt}{1+\Big( \frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}} \Big)^d}
\to\frac{1+\delta}{2},
\end{align*}
и, таким образом, 
\begin{align*}
I_1(u)&= -\frac{\pi (2u)^{1/d}}{2d \sin\bigl( \frac {\pi}{d}\bigr)}+\frac{\delta+1}{2}+o(1),
\qquad u\to\infty.
\end{align*}
Проводя аналогичные рассуждения с интегралом $I_2(u)$, получаем при $u\to\infty$ 
\begin{align*}
I_2(u)&=2 u^2\int\limits_1^{\infty}\frac{dt}{(2u+(t+\delta+F(t))^d)^2}
= \frac{(d-1)\pi (2u)^{1/d}}{2d^2 \sin \bigl(\frac {\pi}{d}\bigr)}+O(1).%\label{I2}
\end{align*}
Заметим, что асимптотика интегралов $I_1(u)$ и $I_2(u)$ совпадает с асимптотикой соответствующих 
интегралов в~\cite{naznik1}, поэтому мы можем выбрать в качестве функции $u=u(r)$ 
\begin{align}\label{choseu}
u=\frac12 \Big( \frac{\pi r^{-1}}{d \sin(\frac{\pi}{d})} \Big)^{\frac{d}{d-1}}, 
\end{align}
которая удовлетворяет условию \eqref{u}.\par

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                Асимптотика I_0(u)            %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Рассмотрим $I_0(u)$. Интегрируя по частям, получаем
\begin{align*}
I_0(u)&=-\frac12 \int\limits_1^{\infty}\ln \Big(1+\frac{2u}{(t+\delta+F(t))^d}\Big)\,dt=\\
&=\frac{(1+\delta)}{2}\ln\Big(1+\frac{2u}{(1+\delta+F(1))^d}\Big)
-u d\int\limits_1^\infty \frac{(t+\delta)(1+F'(t))\,dt}{(2u+(t+\delta+F(t))^d)(t+\delta+F(t))}.
\end{align*}
Последний интеграл можно расписать на следующие четыре слагаемых:
\begin{align*}
&-ud \int\limits_1^\infty \frac{dt}{2u+(t+\delta+F(t))^d}
-ud \int\limits_1^\infty \frac{F'(t)\,dt}{2u+(t+\delta+F(t))^d}+\\
&+u d \int\limits_1^\infty \frac{F(t)\,dt}{(2u+(t+\delta+F(t))^d)(t+\delta+F(t))}+\\
&+u d \int\limits_1^\infty \frac{F(t)F'(t)\,dt}{(2u+(t+\delta+F(t))^d)(t+\delta+F(t))}
=:K_1+K_2+K_3+K_4.
\end{align*}
Интеграл $K_1=-d \cdot I_1$, поэтому
\begin{align*}
K_1=%ud \int\limits_1^\infty \frac{dt}{2u+(t+\delta+F(t))^d}=
\frac{\pi (2u)^{1/d}}{2\sin(\frac{\pi}{d})} +const+o(1), \qquad u\to \infty.
\end{align*}
У интегрантов в $K_2$ и $K_4$ имеются суммируемые мажоранты, поэтому при $u\to \infty$
\begin{align*}
K_2&=\frac{d}{2}\int\limits_1^{\infty}\frac{F'(t)\,dt}{1+\Big(\frac{t+\delta
+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}\to\frac{d}{2}\int\limits_1^{\infty}F'(t)\,dt
=-\frac{d}{2}\cdot F(1)=const;\\
K_4&=\frac d2 \int\limits_1^\infty 
\frac{F(t)F'(t)\,dt}{\Big(1+\Big(\frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d\Big)
\Big(t+\delta+F(t)\Big)}\to\frac{d}{2}\int\limits_1^{\infty}\frac{F(t)F'(t)\,dt}{(t+\delta+F(t))}
=const.%\\
\end{align*}
Интеграл $K_3$ представим в виде суммы четырех интегралов
\begin{multline*}
K_3=
\frac d2 \int\limits_1^{(2u)^{1/d}} \frac{F(t)}{t}\,dt
-\frac d2  \int\limits_1^{(2u)^{1/d}} \frac{F(t)(\delta+F(t))}{t(t+\delta+F(t))}\,dt-\\
-\frac{1}{2u}\cdot\frac d2 \int\limits_1^{(2u)^{1/d}} 
\frac{F(t)(t+\delta+F(t))^{d-1}}{1+\Big(\frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}\,dt
+\frac d2 \int\limits_{(2u)^{1/d}}^{\infty} \frac{F(t)\,dt}
{\Big(1+\Big(\frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d\Big)\Big(t+\delta+F(t)\Big)}=:\\
=:\frac d2\cdot F_{-1}\left((2u)^{1/d}\right)-K_{31}-K_{32}+K_{33},
\end{multline*}
где $F_{-1}(x)=\int\limits_1^{x} \frac{F(t)}{t}\,dt$. По теореме Лебега 
\begin{align*}
&K_{31}\to \frac d2 \int\limits_1^{\infty} \frac{F(t)(\delta+F(t))}{t(t+\delta+F(t))}\,dt=const.
\end{align*}
Сделаем замену переменной $t=(2u)^{1/d} \cdot z$ в интегралах $K_{32}$ и $K_{33}$:
\begin{align*}
K_{32}&=\frac d2 \int\limits_{\frac{1}{(2u)^{1/d}}}^1 \frac{F((2u)^{1/d} z)
\Big(z+\frac{\delta+F((2u)^{1/d} z)}{(2u)^{1/d}}\Big)^{d-1}}{1+\Big(z+\frac{\delta+F((2u)^{1/d}
\cdot z)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}\,dz,\\
K_{33}&=\int\limits_1^{\infty}\frac{F((2u)^{1/d}z)\,dz}
{\Big( 1+\Big( z+\frac{\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}} \Big)^d \Big)
\Big(z+\frac{\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)}.
\end{align*}
Подынтегральные выражения здесь ограничены, поэтому по теореме Лебега $K_{32}\to0$ и $K_{33}\to0$ 
при $u\to\infty$. Таким образом, при $u\to\infty$ 
\begin{align*}
K_3=\frac d2\cdot F_{-1}\left((2u)^{1/d}\right)+const+o(1),
\end{align*}
откуда
\begin{align}%\label{I_0}
I_0(u)&=\frac{(1+\delta)}{2}\ln\Big(1+\frac{2u}{(1+\delta+F(1))^d}\Big)
-\frac{\pi (2u)^{1/d}}{2\sin(\frac{\pi}{d})}+\frac d2 \cdot F_{-1}\left((2u)^{1/d}\right)
+const+o(1).
\end{align}
Заметим, что функция $\exp\left(F_{-1}(t)\right)$ --- медленно 
меняющаяся~\cite[теорема 1.2]{seneta}, поэтому с учетом~\eqref{choseu}
\begin{align}\label{exp}
\exp\left(F_{-1}\left((2u)^{1/d}\right)\right)=\exp\left(F_{-1}( r^{-\frac{1}{d-1}})+o(1)\right), 
\qquad r\to 0.
\end{align}
Применяя предложение~\ref{thmdll} с учетом формул~\eqref{choseu}--\eqref{exp} и перемасштабирования, 
приходим к следующему результату:
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%                Формулировка теоремы об асмптотике малых уклонений в ситуации с логарифмом           %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{thm}\label{thm1}
Рассмотрим форму $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\Lambda_k \xi_k^2$, где 
\begin{align*}%\label{thmlog}
\Lambda_k=( \vartheta (k+\delta+F(k)))^{-d},
\end{align*}
а $\vartheta>0$, $\delta>-1$ и $d>1$ --- некоторые константы. Тогда при $\varepsilon\to 0$
\begin{align*}
\mathbb{P}\Big\{ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\Lambda_k \xi_k^2<\varepsilon^2  \Big\}&
\sim C\cdot \varepsilon^{\gamma}\cdot 
\exp\Big( -\frac{d-1}{2}\Big( \frac{\pi}{d\vartheta\sin(\frac{\pi}{d})}  \Big)^{\frac{d}{d-1}}
\cdot \varepsilon^{-\frac{2}{d-1}} +\frac d2\cdot F_{-1}(\varepsilon^{-\frac{2}{d-1}})\Big),
\end{align*}
где
$$
\gamma=\frac{2-d-2d\delta}{2(d-1)},\quad C=C(\vartheta,\delta,d,F)=const.
$$

\end{thm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                     Асимптотика малых уклонений при возмущении функцией h_1                  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В случае процесса $X^{(1)}$ положим 
\begin{align*}
\Lambda_k:=\Big[\pi\Big(k+\frac12+\frac{1}{2\ln (k)}\Big)\Big]^{-2}.
\end{align*}

Убедимся, что $\prod \lambda_k^{(1)}/\Lambda_k$ сходится. Для этого определим 
\begin{align*}
\tau_{2k}:=\bigl(2\pi k\bigr)^{-2},\qquad \tau_{2k-1}:=\Bigl[\pi \Bigl(2k
+\frac{1}{\ln (k)}\Bigr)\Bigr]^{-2},\qquad k\in\mathbb{N}.
\end{align*}
Имеем
\begin{align}\label{prodeigenvalue}
\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_k^{(1)}}{\Lambda_k}
=\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_k^{(1)}}{\tau_k}
\cdot \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\tau_k}{\Lambda_k}
=\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_{2k-1}^{(1)}}{\tau_{2k-1}}
\cdot \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\tau_k}{\Lambda_k}.
\end{align}
Первое произведение в~\eqref{prodeigenvalue} сходится, поскольку в силу~\eqref{asymptotics1}
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_{2k-1}^{(1)}}{\tau_{2k-1}}
=\prod\limits_{k=1}^{\infty}\Bigl(1+O\Bigl( \frac{\ln\ln (k)}{k \ln^2 (k)}\Bigr)\Bigr) <\infty.
\end{align*}
Второе произведение представим в виде
\begin{align*}
&\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\tau_{2k}\tau_{2k-1}}{\Lambda_{2k}\Lambda_{2k-1}}
=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl(2k+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\ln (2k)}\bigr)
\bigl(2k-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\ln (2k-1)}\bigr)}{2k(2k+\frac{1}{\ln (k)})}=\\
=&\prod_{k=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{4k}\Bigl(\frac{1}{\ln(2k)}
+\frac{1}{\ln(2k-1)}-\frac{2}{\ln(k)}\Bigr) +O\Bigl(\frac{1}{k^2}\Bigr) \Bigr)=\\
=&\prod_{k=1}^{\infty}\Bigl(1+O\Bigl( \frac{1}{k\ln^2 (k)} \Bigr)\Bigr)<\infty.
\end{align*}
Применяя теорему сравнения Ли и теорему~\ref{thm1}, получаем 
\begin{multline}\label{smalldevasymp2}
\mathbb{P}\Big\{ \|X^{(1)}\|<\varepsilon \Big\}
=\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k^{(1)} \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}
\sim C\cdot\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \Lambda_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}\sim\\
\sim C\cdot \varepsilon^{-1}\cdot \ln^{\frac12}\Big(\frac{1}{\varepsilon}\Big)
\cdot \exp\Bigl(-\frac{1}{8\varepsilon^{2}}\Bigr),\qquad \varepsilon\to0.
\end{multline}

В случае процесса $X^{(3)}$ положим
\begin{align*}
\tilde{\Lambda}_k=\Big[\pi\Big( k+1+\frac{1}{2\ln (k)} \Big)\Big]^{-2}.
\end{align*}
Аналогично~\eqref{smalldevasymp2}, получим
\begin{multline}\label{smalldevasymp3}
\mathbb{P}\Big\{ \|X^{(3)}\|<\varepsilon \Big\}
=\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k^{(3)} \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\} 
\sim C\cdot\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \tilde{\Lambda}_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}\sim\\
\sim C \cdot \varepsilon^{-2}\cdot \ln^{\frac12}\Big(\frac{1}{\varepsilon}\Big)
\cdot \exp\Bigl(-\frac{1}{8\varepsilon^{2}}\Bigr),\qquad \varepsilon\to0.
\end{multline}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                  Лемма: F_i медленно меняющиеся функции          %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Приложение}
\textbf{6.1} Следующая лемма усиливает утверждение леммы 1.2 из~\cite{nazsharpcon}.
\begin{lemma}\label{nazlemma}
Пусть последовательности чисел ${\omega_k}$ и ${\rho_k}$ имеют одинаковую двучленную асимптотику 
при $k\to\infty$
\begin{align*}
&\omega_k \sim c(k+\delta)+a_k, 
\qquad\rho_k \sim c(k+\delta)+b_k,
\end{align*}
где $a_k$, $b_k\to 0$ и $ |a_k-b_k|$  монотонно убывает при $k\to\infty$, причем
\begin{align}
 &\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{|a_k-b_k|}{k}<\infty.\label{a_k_b_k}
\end{align}
Тогда функции
\begin{align*}
f(\zeta)=\prod_{k=1}^{\infty}\Big( 1-\frac{\zeta^2}{\omega_k^2}\Big),\quad 
g(\zeta)=\prod_{k=1}^{\infty}\Big( 1-\frac{\zeta^2}{\rho_k^2}\Big)
\end{align*}
имеют одинаковое поведение на бесконечности с точностью до константы. А именно, 
при $|\zeta|=c(n+\delta+\frac12)$, $n\to\infty$ 
\begin{align}\label{resultlemma}
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\rightrightarrows const=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\rho_k^2}{\omega_k^2}.
\end{align}
\end{lemma}
\beginproofdot Имеем
\begin{align}\label{prodlemma}
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\rho_k^2}{\omega_k^2}
\cdot\prod_{k=1}^{\infty}\Big(1+\frac{\omega_k-\rho_k}{\rho_k+\zeta}\Big)
\cdot\prod_{k=1}^{\infty}\Big(1+\frac{\omega_k-\rho_k}{\rho_k-\zeta}\Big).
\end{align}
Сходимость первого произведения в~\eqref{prodlemma} равносильна сходимости ряда
\begin{align*}
\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|a_k-b_k|}{c(k+\delta)+b_k},
\end{align*}
который сходится благодаря условию~\eqref{a_k_b_k}. Пусть $\Re(\zeta)\geq 0$. Тогда второе 
произведение в~\eqref{prodlemma} сходится равномерно.
Третье произведение сходится равномерно, если сходится равномерно ряд
\begin{align}\label{sumlemma}
\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|\omega_k-\rho_k|}{|\rho_k-R|},\quad\text{где}
\quad R=c(n+\delta+1/2).
\end{align}
Заметим, что $|\rho_k-R|\ge c|n-k+\delta_1| $, где $\delta_1>0$. Поэтому
\begin{align}\label{trisum}
\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|\omega_k-\rho_k|}{|\rho_k-R|}
\leq\Bigl(\sum\limits_{k\le \frac{2}{3}n}+\sum\limits_{\frac{2}{3}n\le k\le \frac{4}{3}n}
+\sum\limits_{k\ge\frac{4}{3}n}\Bigr)\,\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}.
\end{align}
Третья сумма в~\eqref{trisum} стремится к нулю при $n\to\infty$:
\begin{align*}
&\sum\limits_{k\geq\frac{4}{3}n}^{\infty}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}
\leq C\sum\limits_{k\geq\frac{4}{3}n}\frac{|a_k-b_k|}{k}\to 0.
\end{align*}
Первая сумма мажорируется сходящимся рядом
\begin{align*}
&\sum\limits_{k\le \frac{2}{3}n}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}
\leq C\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|a_k-b_k|}{k},
\end{align*}
поэтому она сходится равномерно, и при $n\to\infty$
\begin{align*}
&\sum\limits_{k\le \frac{2}{3}n}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}\to 0.
\end{align*}
Поскольку $|a_k-b_k|$ монотонно убывает, имеем
\begin{align*}
\sum\limits_{\frac{2}{3}n\le k\leq \frac{4}{3}n}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}&
\leq 2\sum\limits_{\frac{2}{3}n\leq k\leq n}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}
\leq\frac{2}{c}\sum\limits_{m\leq\frac13 n}\frac{|a_{m+\frac{n}{3}}-b_{m+\frac{n}{3}}|}
{|m+\delta_1|}.
%\leq\tilde{c}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{|a_{m}-b_{m}|}{m}<\infty,
\end{align*}
Последняя сумма мажорируется сходящимся рядом, поэтому она сходится равномерно.
% по теореме Лебега она стремится к нулю при $n\to\infty$. 
Таким образом, ряд~\eqref{sumlemma} сходится равномерно. Значит, в~\eqref{prodlemma} можно 
перейти к пределу при $|\zeta|=c(n+\delta+\frac12)\to\infty$, что даёт~\eqref{resultlemma} 
для $\Re(\zeta)\geq 0$. Доказательство при $\Re(\zeta)\leq 0$ аналогично.
\endproof\\
\textbf{6.2 Свойства $\Phi^{-1}(x)$}. 
Введём обозначения:
\begin{align*}
&x=\Phi(y), \qquad y=F_0(x):=\Phi^{-1}(x).
\end{align*}
Построим последовательность функций: 
\begin{align}\label{posledovatF_N}
F_{N+1}(x):=x F_{N}'(x), \quad N\ge0.
\end{align}
Обозначим $ \tilde{F}_N(y):=F_N(x(y))$ и заметим, что
\begin{align}
&\tilde{F}_1(y)=x(y)\frac{dF(x(y))}{dx}=x(y)\frac{dy}{dx},\notag\\
&\tilde{F}_{N+1}(y)=x(y)\frac{dF_N(x)}{dx}=x(y)\frac{dy}{dx}\frac{d\tilde{F}_N(y)}{dy}
=\tilde{F}_1(y)\tilde{F}_N'(y). \label{F}
\end{align}
Исследуем поведение функций $\tilde{F}_N(y)$. Рассмотрим функцию $\tilde{F}_1(y) $:
\begin{align*}
\tilde{F}_1(y)&=x(y)\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{x(y)}{\frac{dx}{dy}}
=\frac{\int\limits_{-\infty}^{y}\exp(-\frac{t^2}{2})\,dt}{\exp(-\frac{y^2}{2})}
=\exp\Big(\frac{y^2}{2}\Big)\int\limits_{-\infty}^{y}\exp\Bigl(-\frac{t^2}{2}\Big)\,dt=\\
&=\int\limits_0^{\infty}\exp\Big(yz-\frac{z^2}{2}\Big)\,dz
=-\frac{1}{y}\int\limits_0^{\infty}\exp\Big(\negthickspace-u-\frac{u^2}{2y^2}\Big)\,du.
\end{align*}
Введем вспомогательные функции:
\begin{align*}
e_N(y):=\int\limits_0^{\infty}\exp\Big(\negthickspace-u-\frac{u^2}{2y^2}\Big)u^{2N-2}\,du.
\end{align*}
\begin{lemma} Справедливы следующие соотношения:
\begin{align}
&1.\quad e_N'(y)=\frac{e_{N+1}(y)}{y^3};\label{e'}\\
&2.\quad (2N-2)!\bigg(1-\frac{N(2N-1)}{y^2}\bigg)<e_N(y)<(2N-2)!.\label{eG}
 \end{align}
\end{lemma}
\beginproofdot 1. Проверяется непосредственным вычислением.\\
2. Учитывая, что $$ 1-\frac{u^2}{2y^2}<\exp\Bigl(-\frac{u^2}{2y^2}\Big)<1,$$ получаем
\begin{align*}
\int\limits_0^{\infty}\exp(-u)\Big(1-\frac{u^2}{2y^2}\Big)u^{2N-2}\,du&<e_N(y)
<\int\limits_0^{\infty}\exp(-u)u^{2N-2}\,du,\\
(2N-2)!-\frac{(2N)!}{2y^2}&<e_N(y)<(2N-2)!,
\end{align*}
что даёт~\eqref{eG}.\endproof
\begin{lemma}
\label{lemma1} Для $N$-ой производной функции $\tilde{F}_1(y)$ справедливо следующее тождество:
\begin{align}
&\tilde{F}_1^{(N)}(y)=\frac{(-1)^{N+1}N!e_1(y)}{y^{N+1}}+\frac{c_2 e_2(y)}{y^{N+3}}+\ldots
+\frac{c_{N+1}e_{N+1}(y)}{y^{3N+1}},\label{FNshtrih}
\end{align}
где
\begin{align}
c_2=c_2(N), c_3=c_3(N),\ldots,c_{N+1}=c_{N+1}(N)\text{ --- константы.}\notag
\end{align}
\end{lemma}
\beginproof проводится по индукции с помощью~\eqref{e'}. 
\endproof
\begin{corollary}
\begin{align}
\tilde{F}_1^{(N)}(y)\sim\frac{(-1)^{N+1}N!}{y^{N+1}} \qquad\text{  при  } y\to-\infty.
\label{FNequiv}
\end{align}
\end{corollary}
\beginproofdot
Следует из~\eqref{eG} и~\eqref{FNshtrih}.
\endproof
\begin{lemma}
$\tilde{F}_N(y) $ представимо в следующем виде 
\begin{align}\label{F_N(y)}
\tilde{F}_N(y)=\sum\limits_{\{n_1,\ldots,n_N\}}c_{n_1,\cdots,n_N}\tilde{F}_N^{n_1,\ldots,n_N}(y),
\end{align}
где 
\begin{align}
& \tilde{F}_{N}^{n_1,\ldots,n_N}(y):=\Big(\tilde{F}_1(y)\Big)^{n_1}
\cdot \Big( \tilde{F}_1'(y) \Big)^{n_2}\cdot\ldots
\cdot \Big( \tilde{F}_1^{(N-1)}(y) \Big)^{n_N}, \label{slag}
\end{align}
причем
\begin{align}
&n_1,\ldots,n_N\in\mathbb{N}_0=\{0,1,\ldots\};\notag \\
&1\cdot n_1 +2\cdot n_2 +\ldots+N\cdot n_N=2N-1; \label{shtrih}
\end{align}
а коэффициенты в~\eqref{F_N(y)} удовлетворяют следующим неравенствам
\begin{align}
c_{n_1,\cdots,n_N}\ge0, \qquad \sum\limits_{\{n_1,\ldots,n_N\}}c_{n_1,\cdots,n_N}>0.\label{znak}
\end{align} 
\end{lemma}
\beginproof проведем по индукции.\\
База: $N=1:$ $\tilde{F}_1(y)=c_{n_1}\tilde{F}_1^{n_1}$, $ n_1=1, c_{n_1}=1$. Свойства 
\eqref{slag}--\eqref{znak} очевидно выполняются.
\\
Индукционный переход: Пусть утверждение верно для $\tilde{F}_N(y).$ Запишем~\eqref{shtrih} в виде:
\begin{align*}
1\cdot n_1+\ldots+N\cdot n_{N}+(N+1)\cdot n_{N+1}=2N-1,
\end{align*}
где $n_{N+1}=0$. В силу~\eqref{F} и~\eqref{F_N(y)} 
\begin{align*}
\tilde{F}_{N+1}(y)=\sum\limits_{\{n_1,\ldots,n_N\}}c_{n_1,\ldots,n_N}\tilde{F}_1(y)
\cdot \frac{d}{dy}\Big[  \Bigl(\tilde{F}_1(y)\Bigr)^{n_1}
\cdot \Bigl( \tilde{F}_1'(y) \Bigr)^{n_2}\ldots \Bigl( \tilde{F}_1^{(N-1)}(y) \Bigr)^{n_N} \Big], 
\end{align*}
где коэффициенты $c_{n_1,\ldots,n_N}$ удовлетворяют условию~\eqref{znak}. Дифференцируя, получим
\begin{align}
%\tilde{F}_{N+1}(y)=
\sum\limits_{k=0}^{N} c_{n_1,\ldots,n_N}\cdot n_k\cdot \Bigl(\tilde{F}_1\Bigr)^{n_1+1}\cdot\ldots
\cdot \Bigl(\tilde{F}_1^{(k-1)}\Bigr)^{n_k-1}\cdot\Bigl(\tilde{F}_1^{(k)} \Bigr)^{n_{k+1}+1}
\cdot\ldots\cdot \Bigl(\tilde{F}_1^{(N-1)}  \Bigr)^{n_N}.\label{difslag} 
\end{align}

Рассмотрим слагаемое с номером $k$ в сумме~\eqref{difslag}. Пусть $ n_1', n_2',\ldots,n_{N+1}'$ 
--- показатели степеней соответствующих производных $\tilde{F}_1$ в этом слагаемом. 

Если $k=1$, то $n_2'=n_2+1$ и  $n_i'=n_i$ для остальных $i$.

Если $k\geqslant2$, то $n_1'=n_1+1$, $n_k'=n_k-1$, $n_{k+1}'=n_{k+1}+1$ и $n_i'=n_i$ для 
остальных $i$.

Отсюда видно, что свойство \eqref{shtrih} выполнено. Далее, все коэффициенты в~\eqref{difslag} 
очевидно неотрицательные, причем 
$$
\sum\limits_{\substack{k=1..N\\\{n_1,\ldots,n_N\}}}c_{n_1,\ldots,n_N}\cdot n_k>0 .
$$

Таким образом, неравенства~\eqref{znak} выполнены, и лемма доказана.
\endproof
\begin{lemma}
\label{lemma3} При $y\to-\infty$ имеем
\begin{align} 
\tilde{F}_N(y)\sim -\frac{C}{y^{2N-1}},\label{asymp}
\end{align}
где $C=C(N)>0$ --- константа.
\end{lemma}
\beginproofdot
Для каждого слагаемого вида \eqref{slag} с ненулевым коэффициентом $c_{n_1,\ldots,n_N} $ в 
силу~\eqref{FNequiv} и~\eqref{shtrih} получаем
\begin{multline*}
\Big(\tilde{F}_1(y)\Big)^{n_1}\cdot \Big( \tilde{F}_1'(y) \Big)^{n_2}\cdot\ldots
\cdot \Big( \tilde{F}_1^{(N-1)}(y) \Big)^{n_N}\sim\\
\sim\Big( \frac{(-1)0!}{y^1}\Big)^{n_1}\cdot\Big( \frac{(-1)^{2}1!}{y^2}\Big)^{n_2}\cdots
\Big( \frac{(-1)^N (N-1)!}{y^N}\Big)^{n_N}=\\
=\underbrace{0!^{n_1}1!^{n_2}\ldots (N-1)!^{n_N}}_{c_N}\frac{(-1)^{n_1+2n_2
+\ldots+N n_N}}{y^{n_1+2n_2+\ldots+N n_N}}
=c_N\frac{(-1)^{2N-1}}{y^{2N-1}}=-\frac{c_N}{y^{2N-1}}.
\end{multline*}
Таким образом, соотношение~\eqref{asymp} выполнено для 
\begin{align*}
C=c_N\sum\limits_{\{n_1,\ldots,n_N\}}c_{n_1,\cdots,n_N}.
\end{align*}
Лемма доказана.\endproof
\par
\begin{defin}\label{defmedlennomen}\rm{(см.~\cite[гл.1, с.1]{seneta})} 
\it Функция $L(x)$ называется медленно меняющейся на бесконечности, если она измерима и 
знакопостоянна на полуоси~$[A,\infty)$, $A>0$, и для произвольного $\lambda>0$ выполнено:
\begin{equation*}
\lim\limits_{x\to\infty}\frac{L(\lambda x)}{L(x)}=1.
\end{equation*}
Функция $L(x)$ называется медленно меняющейся в нуле, если $L(\frac{1}{x})$ медленно меняется 
на бесконечности.
\end{defin}
Медленно меняющимися на бесконечности являются, например, $\ln^{\alpha}(x)$, $\alpha\in\mathbb{R}$.
\begin{thm}\label{Fmedlennomen}
$F_N(x)$ --- медленно меняющиеся функции в нуле при всех $N\ge0$.
\end{thm}
\beginproofdot
Достаточно доказать (см.~\cite[гл.1, с.15]{seneta}), что $F_N(x)$ --- знакопостоянны в окрестности 
$x=0$ (или, что тоже самое, $\tilde{F}_N(y)$ --- знакопостоянны в окрестности $y=-\infty$) и  
$$\lim\limits_{y\to-\infty}\frac{\tilde{F}_{N+1}(y)}{\tilde{F}_{N}(y)}=0.$$
Оба эти утверждения очевидно следуют из леммы~\ref{lemma3}.
\endproof
\begin{zam}
Теорема остаётся справедливой, если последовательность~\eqref{posledovatF_N} построить по функции 
$F_0(x)=\left(\Phi^{-1}(x)\right)^n$, $n\in \mathbb{N}$.
\end{zam}
\bigskip\bigskip 

Мы весьма признательны Я.Ю. Никитину за ценные замечания и консультации по истории вопроса.

\bibliographystyle{gost2008l}
\bibliography{SVFpert} 
\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%                             КОНЕЦ ДОКУМЕНТА                             %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
