\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amsthm,amssymb, amsmath, amsfonts, amscd} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \usepackage{euscript} %\usepackage[matrix, arrow, curve]{xy} \usepackage{xcolor} \pagestyle{plain} \unitlength=1mm \emergencystretch=10pt \clubpenalty=10000 \widowpenalty=10000 \binoppenalty=10000 \relpenalty=10000 \newtheorem{thm}{Теорема} \newtheorem{lemma}{Лемма} \newtheorem{corollary}{Следствие} \newtheorem*{defin}{Определение} \newtheorem{utver}{Утверждение} \newtheorem{zam}{Замечание} \newtheorem{predl}{Предложение} \newcommand{\frc}[2]{\raisebox{.5em}{#1}\big/\raisebox{-.5em}{#2}} %\newenvironment{myalign} %{\vspace{-7pt}\align}{ %\endalign\vspace{-7pt}} %\newenvironment{mysecalign} %{\vspace{-7pt}\align*}{ %\endalign*\vspace{-7pt}} \def\beginproofdot{{\noindent\bf Доказательство. }} \def\beginproof{{\noindent\bf Доказательство }} \def\endproof{\hfill$\blacksquare$\medskip} \oddsidemargin = 20pt %\evensidemargin = 28pt%32pt \topmargin = 3mm \headheight = 0pt \headsep = 0pt \textheight = 250mm \textwidth = 165mm %\hoffset=-10mm \voffset=-10mm \newcommand{\D}{\mathcal{D}} \newcommand{\F}{\mathcal{F}} \newcommand{\si}{{\rm Si}} \newcommand{\ci}{{\rm Ci}} \newcommand{\e}{\varepsilon} \newcommand{\om}{\omega} \flushbottom \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ВВЕДЕНИЕ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \title{Асимптотика малых уклонений в гильбертовой норме для процессов Каца-Кифера-Вольфовица} \author{А.И. Назаров\footnote{ПОМИ РАН и Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: al.il.nazarov@gmail.com. Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00172 и грантом СПбГУ 6.38.64.2012}, Ю.П. Петрова\footnote{Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: delafer21@gmail.com}} \maketitle \section{Введение} Теория малых уклонений для норм гауссовских процессов интенсивно развивается в последние десятилетия (см., например, обзоры~\cite{lishao,lif}; более поздние ссылки можно найти на сайте~\cite{biblio}). Наиболее разработанным здесь является случай $L_2$-нормы. Пусть $X(t)$, $0\le t\le 1$, --- гауссовский процесс с нулевым средним и ковариацией $\mathcal{G}(t,s)=\mathbb{E} X(t)X(s)$, $t,s\in[0,1]$. Положим $$ \bigl\| X\bigr\|=\left( \int\limits_0^1 X^2(t)\,dt \right)^{1/2}. $$ Нас интересует точная асимптотика при $\varepsilon\to 0$ величины $\mathbb{P}\{\|X\|<\varepsilon\}$. Неявное решение задачи было получено в~\cite{sytaya}. Затем многие авторы, начиная с~\cite{zolotarev1979,hoffmann1979,ibragimov1979}, занимались упрощением выражения для вероятности малых уклонений при различных предположениях. В силу разложения Кархунена"--~Лоэва имеет место равенство по распределению $$ \bigl\| X\bigr\|^2\stackrel{d}{=}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k^2, $$ где $\xi_k$, $k\in\mathbb{N}$, --- независимые стандартные гауссовские с.в., а $\lambda_k>0$, $k\in\mathbb{N}$, $\sum\lambda_k<\infty$, являются собственными значениями интегрального оператора с ядром $\mathcal{G}(s,t)$. Таким образом, исходная задача сводится к описанию поведения при $\varepsilon\to 0$ вероятности $\mathbb{P}\{\sum_{k=1}^{\infty}\lambda_k \xi_k^2\le\varepsilon^2\}$. Основная трудность заключается в том, что явные формулы для собственных значений известны лишь для немногих процессов (см.~\cite{Li1992,DLL}). Если же известна достаточно точная асимптотика $\lambda_n$, то асимптотика вероятности малых уклонений с точностью до константы может быть получена с помощью принципа сравнения Венбо Ли: \begin{predl}{\rm(\cite{Li1992,gao})} Пусть $\xi_k$ --- последовательность независимых стандартных гауссовских с.в. , а $\lambda_k$ и $\tilde{\lambda}_k$ --- две положительные невозрастающие суммируемые последовательности такие, что $\prod\tilde{\lambda}_k/\lambda_k<\infty$. Тогда \begin{align}\label{Li0} \mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}\sim \mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \tilde{\lambda}_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\} \cdot \left( \prod\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\tilde{\lambda}_k }{\lambda_k} \right)^{1/2}, \qquad \varepsilon\to0. \end{align} \end{predl} В работах~\cite{naznik1}, \cite{nazarov2009} был выделен класс {\it гриновских} гауссовских процессов, для которых $\mathcal{G}(s,t)$ есть функция Грина обыкновенного дифференциального оператора. Это позволяет применить для нахождения асимптотики $\lambda_k$ методы спектральной теории ОДО, восходящие к классическим работам Дж. Биркгофа~\cite{birkhoff1}, \cite{birkhoff2} и Я. Тамаркина~\cite{tamarkin1912}, \cite{tamarkin1928} (дальнейшее развитие этой теории можно найти в~\cite{shkalikov1983}). Подход, развитый в~\cite{naznik1}, \cite{nazarov2009}, позволил получить в~\cite{nazsharpcon}, \cite{pusevnazarov2009} и~\cite{nazpus2012arXiv} точные асимптотики малых уклонений для большого количества конкретных процессов в $L_2$-норме с различными весами (см. также~\cite{nikitinxarinsky2004},~\cite{deheuvelsmartynov2003},~\cite{gao2003laplace}). В работе~\cite{onedimpert} рассматривалась задача о возмущении спектра ковариационного оператора при конечномерном возмущении гауссовского процесса. Было показано, что если возмущение не является ``критическим'', то собственные числа $\tilde{\lambda}_k$ возмущенного оператора асимптотически прижимаются к невозмущенным собственным числам, причем $\prod\tilde{\lambda}_k/\lambda_k<\infty$. Для более узкого класса операторов аналогичный результат был получен в~\cite{vladimirov2013}. Мы будем рассматривать задачу об асимптотиках собственных чисел для интегральных операторов с ядрами \begin{align} G_1(s,t)&=G(s,t)-h_1(s)h_1(t),\label{G_1}\\ G_2(s,t)&=G(s,t)-h_2(s)h_2(t),\label{G_2}\\ G_3(s,t)&=G(s,t)-h_1(s)h_1(t)-h_2(s)h_2(t),\label{G_3} \end{align} где $G(s,t)=\min(s,t)-st$ есть функция Грина краевой задачи $$ \mathcal{L}u:=-u''=\lambda u,\quad u(0)=u(1)=0, $$ и $$ h_1(t)=\varphi(\Phi^{-1}(t)),\qquad h_2(t)=\varphi(\Phi^{-1}(t))\frac{\Phi^{-1}(t)}{\sqrt{2}}, $$ где $$ \varphi(s)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp\Bigl(-\frac{s^2}{2}\Bigr),\quad \Phi(t)=\int\limits_{-\infty}^{t}\varphi(s)\,ds $$ --- плотность и функция нормального распределения соответственно. Как известно, cобственные функции и собственные числа интегрального оператора с ядром $ G(s,t)$ имеют вид \begin{align*} y_k(t)= \sin\left(\pi kt\right),\quad \lambda_k=(\pi k)^{-2}. \end{align*} Пусть $\lambda_k^{(i)}$ --- собственные числа интегральных операторов с ядрами $G_i(s,t)$, $i=1,2,3$; $ k\in\mathbb{N}$. В случаях~\eqref{G_1} и~\eqref{G_2} имеется одномерное возмущение оператора с ядром $G(s,t)$, поэтому, согласно минимаксимальному принципу~\cite[\S 9.2]{birmansolom}, собственные числа возмущенного и невозмущенного операторов перемежаются. Заметим, что оба возмущения $h_1$ и $h_2$ являются ``критическими'' (в терминах нашей задачи это означает, что $\int h_i(t) \left(\mathcal{L} h_i\right)(t)\, dt =1$, $i=1,2$). Поэтому соотношение $\prod\lambda_k^{(i)}/\lambda_k<\infty$ не имеет места. Более того, поскольку $\mathcal{L}h_i\not\in L_2[0,1]$, результат теоремы $2$ из статьи~\cite{onedimpert} также не применим. Мы построим асимптотику собственных чисел возмущенных операторов~\eqref{G_1}--\eqref{G_3}, используя явные формулы для определителей Фредгольма, полученные в~\cite{KKW} и~\cite{onedimpert}. Таким образом можно построить разложение $\lambda_k^{(i)}$ в асимптотический ряд, но мы ограничимся построением такого приближения $\tilde{\lambda}_k^{(i)}$, для которого $\prod\tilde{\lambda}_k^{(i)}/\lambda_k^{(i)}<\infty$. Полученные результаты применяются к задаче о малых уклонениях в $L_2[0,1]$ для гауссовских процессов $X^{(1)}$--$X^{(3)}$ с нулевым средним, ковариационные функции которых имеют вид~\eqref{G_1}--\eqref{G_3} соответственно. Эти процессы возникают как предельные в задаче о построении критериев согласия типа $\omega^2$ для проверки выборки на нормальность в случае, когда математическое ожидание и/или дисперсия оцениваются по выборке. В работе М. Каца, Дж. Кифера и Дж. Вольфовица~\cite{KKW} доказана сходимость эмпирических процессов с оцененными параметрами к предельным в смысле конечномерных распределений. Аналогичные результаты были независимо получены И.И. Гихманом ~\cite{gihman1953}, \cite{gihman1954}. Впоследствии в статье Дж. Дурбина~\cite{durbin1973} была строго доказана слабая сходимость к предельному процессу, а также описаны предельные процессы для значительно более широкого класса эмпирических процессов. Заметим, что функция $h_1(t)$ четная (здесь и в дальнейшем четность понимается относительно середины отрезка $[0,1]$). Поэтому при возмущении~\eqref{G_1} нечетные собственные функции и соответствующие им собственные числа не меняются. Для простоты мы будем обозначать их $\lambda_{2k}^{(1)}=\lambda_{2k}$, $k\in\mathbb{N}$, несмотря на то, что при этом нумерация в порядке убывания может быть нарушена. Аналогично, в силу нечетности функции $h_2(t)$ при возмущении~\eqref{G_2} четные собственные функции и соответствующие им собственные числа не меняются, будем обозначать их $\lambda_{2k-1}^{(2)}=\lambda_{2k-1}$, $k\in\mathbb{N}$. Кроме того, легко видеть, что $\lambda_{2k}^{(3)}=\lambda_{2k}^{(1)}$ и $\lambda_{2k-1}^{(3)}=\lambda_{2k-1}^{(2)}$. Отметим ещё, что квадратичная форма возмущенных операторов~\eqref{G_1}--\eqref{G_3} не превосходит квадратичной формы исходного оператора. Поэтому в силу минимаксимального принципа $\lambda_{2k-1}^{(1)}\le \lambda_{2k-1}$ и $\lambda_{2k}^{(2)}\le \lambda_{2k}$. В статье~\cite{KKW} выписаны уравнения для собственных чисел интегрального оператора с ядром $G_3(s,t)$ (см. также~\cite[пример 5]{onedimpert}). После некоторых преобразований этих уравнений получаем, что $$ \omega_{2k-1}^{(1)}:=\left(\lambda_{2k-1}^{(1)}\right)^{-1/2},\qquad \omega_{2k}^{(2)}:=\left(\lambda_{2k}^{(2)}\right)^{-1/2} $$ являются корнями уравнений \begin{align} D_1(\omega):&=\frac{2\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\cdot \mathcal{C}_1^2+\frac{\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega^2}- \frac{4\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\cdot \mathcal{I}_1=0,\label{D1}\\ D_2(\omega):&=-\frac{\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\cdot \mathcal{C}_2^2+\frac{3\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{2\omega^2}- \frac{2\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)}{\omega}\cdot \mathcal{I}_2=0,\label{D2} \end{align} соответственно, где \begin{align*} \mathcal{C}_1&=\int\limits_0^{\frac12}\Phi^{-1}(t)\cos(\omega t)\,dt,\quad \mathcal{C}_2=\int\limits_0^{\frac12}\left(\Phi^{-1}(t)\right)^2\cos(\omega t)\,dt,\\ \mathcal{I}_1&=\int\limits_0^{\frac12}\int\limits_0^t\Phi^{-1}(t)\Phi^{-1}(s) \sin(\omega t)\cos(\omega s)\,ds\, dt,\\ \mathcal{I}_2&=\int\limits_0^{\frac12}\int\limits_0^t\left(\Phi^{-1}(t)\right)^2 \left(\Phi^{-1}(s)\right)^2\sin(\omega t)\cos(\omega s)\,ds\, dt. \end{align*} Статья организована следующим образом. В \S 2 вычисляются асимптотики интегралов с медленно меняющимися функциями (см. определение в Приложении), частным случаем которых являются интегралы $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{I}_1$ и $\mathcal{I}_2$. Для этих интегралов строится полное асимптотическое разложение с оценкой остатка. В \S 3 получены асимптотические уравнения для корней $\omega_{2k-1}^{(1)}$ и $\omega_{2k}^{(2)}$ и найдена их асимптотика (формулы~\eqref{asymptotics1} и~\eqref{asymptotics2}). В \S\S 4 и 5 полученные результаты применяются к задаче о малых уклонениях для процессов $X^{(1)}$--$X^{(3)}$ (формулы~\eqref{smalldevasymp1},~\eqref{smalldevasymp2} и~\eqref{smalldevasymp3}). В Приложение вынесено доказательство вспомогательной леммы об определителях Фредгольма, а также некоторых свойств $\Phi^{-1}(t)$. Все положительные константы, значения которых нам не важны, обозначаются буквой $C$, а величины, от которых эти константы зависят, указываются в скобках. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Асимптотика интеграла с косинусом %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Асимптотика интегралов} Пусть функция $F(t)$ задана на полуинтервале $\left(0,\frac12\right]$, $F\left(\frac12\right)=0$, и функции $F_0(t)=F(t)$, $F_{n+1}(t)=t F_n'(t)$, являются медленно меняющимися в нуле. Введём обозначение: \begin{align*} \int\limits_{S_N(x)}\!\!\!\!F_M\, d\mu_N:=\int\limits_1^{x}\ldots\int\limits_1^{x_N} F_M\Big(\frac{x_{N+1}}{\omega}\Big)\frac{dx_{N+1}}{x_{N+1}}\ldots\frac{dx_{2}}{x_{2}}. \end{align*} \begin{thm}\label{thmcos} При $\omega\to\infty$ имеет место формула: \begin{align} \mathcal{C}:=&\int\limits_0^{\frac12}F(t)\cos(\omega t)\,dt= \sum\limits_{k=1}^{N}c_k^{cos}\frac{F_k(\frac{1}{\omega})}{\omega}+R_N^{cos},\label{asymptcos} \end{align} где \begin{align} & c_k^{cos}=-\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\ln^{k-1}(x)}{(k-1)!}\,dx,\quad k\ge1,\notag\\ & R_N^{cos}=-\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin (x_1)}{x_1} \int\limits_{S_N(x_1)}\!\!\!\!F_{N+1}\, d\mu_N\,\frac{dx_1}{\omega} +O\left(\frac{L_N(\omega)}{\omega^2}\right),\label{thmcosrest} \end{align} а $L_N(\omega)$ --- некоторая медленно меняющаяся функция при $\omega\to\infty$. Более того, верна оценка: \begin{align}\label{esttotalcos} &|R_N^{cos}|\le C(F,N)\cdot\frac{\left|F_{N+1}(\frac{1}{\omega})\right|}{\omega}. \end{align} \end{thm} \beginproofdot Интегрируя по частям, получим \begin{align*} \int\limits_0^{\frac12} F(t)\cos(\omega t)\,dt &=-\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}F_1 \left(\frac{x}{\omega}\right)\frac{\sin (x)}{x}\,\frac{dx}{\omega}. \end{align*} В дальнейшем нам понадобится следующая формула представления функции $F_M$: \begin{align}\label{formulapredstav} F_M\left(\frac{x}{\omega}\right)=F_M\left(\frac{1}{\omega}\right)+ \int\limits_1^{x}F_{M+1}\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y},\quad \forall M\ge0. \end{align} Воспользуемся формулой~\eqref{formulapredstav} при $M=1$, получим \begin{align*} \mathcal{C}&=-\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin (x)}{x}\,dx\cdot \frac{F_1(\frac{1}{\omega})}{\omega}-\frac 1{\omega}\underbrace{\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}} \int\limits_1^x F_2\Bigl(\frac{y}{\omega}\Bigr)\,\frac{dy}{y}\,\frac{\sin (x)}{x}\,dx}_{=R_1} +O\left(\frac{1}{\omega^2}\right), \end{align*} что даёт~\eqref{asymptcos} для $N=1$. Интегрируя по частям $R_1$, получим \begin{align} R_1=\frac{1-\cos(x)}{x}\cdot\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y}\biggr \rvert_{x=0}^{x=\frac{\omega}{2}} &-\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos (x)}{x^2}F_2\left(\frac{x}{\omega}\right)dx +\label{r1}\\ &+\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos (x)}{x^2} \int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\,\frac{dy}{y}\,dx.\notag \end{align} Для оценки возникающих интегралов нам понадобится следующее утверждение: \begin{predl}\label{risefall}\rm{(см.~\cite[гл.1, с.18]{seneta})} \it{ Пусть $\mathbb{F}(t)>0$ --- медленно меняющаяся функция в нуле, Тогда для любого $\alpha>0$ существует $\e>0$ такое, что $\mathbb{F}(t)t^{\alpha}$--- возрастающая функция, а $\mathbb{F}(t)t^{-\alpha}$--- убывающая функция в $\e$-окрестности нуля.} \par \end{predl} Пусть $\alpha>0$, и $\varepsilon$ таково, что верно предложение~\ref{risefall}. Тогда при больших $\omega$ ($ 1/\omega<\varepsilon$) имеем оценку \begin{align} \left|\mathbb{F}\left(\frac{y}{\omega}\right)\right| \left(\frac{y}{\omega}\right)^{\alpha}&\le \left|\mathbb{F} \Big(\frac{1}{\omega}\Big)\right|\omega^{-\alpha}& &\text{ при } y\in(0,1] ,&& \label{rise01}\\ \left|\mathbb{F}\Big(\frac{y}{\omega}\Big)\right|\Big(\frac{\omega}{y}\Big)^{\alpha}& \le \left|\mathbb{F}\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\right|\omega^{\alpha}&&\text{ при } y\in\left(1,\varepsilon\omega\right].&&\label{fall1inf} \end{align} Наконец, ввиду~\eqref{fall1inf} и непрерывности $\mathbb{F}$ получаем \begin{align}\label{epsomega} \Big|\mathbb{F}\left(\frac{y}{\omega}\right)\Big|\Big(\frac{\omega}{y}\Big)^{\alpha} &\le C(\alpha, F)\left|\mathbb{F}\left(\frac{\varepsilon\omega}{\omega}\right)\right| \left(\frac{\omega}{\varepsilon\omega}\right)^{\alpha}\le\notag\\ &\le C(\alpha,F)\Big|\mathbb{F}\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\Big| \omega^{\alpha}\qquad \text{при } y\in\left[\varepsilon\omega,\frac{\omega}{2}\right]. \end{align} Оценим $\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y}$. При $x\in(0,1]$, используя оценку~\eqref{rise01} для $\mathbb{F}=F_2$, получаем \begin{align}\label{estintF2.1} \Bigg|\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y}\Bigg|\le \omega^{\alpha}\int\limits_1^{x}\left|F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\right| \left(\frac{y}{\omega}\right)^{\alpha}\frac{dy}{y^{1+\alpha}}\le \Big|F_2\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\Big| \frac{\left| x^{-\alpha}-1\right|}{\alpha}. \end{align} При $x\in\left[1,\frac{\omega}{2}\right]$, используя оценки~\eqref{fall1inf} и~\eqref{epsomega}, имеем \begin{align}\label{estintF2.2} \Bigg|\int\limits_1^{x}F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{dy}{y}\Bigg|\le \omega^{-\alpha}\int\limits_1^{x}\left|F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)\right| \Big(\frac{\omega}{y}\Big)^{\alpha}\frac{dy}{y^{1-\alpha}}\le C(\alpha,F)\left|F_2\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\right| \frac{\left| x^{\alpha}-1\right|}{\alpha}. \end{align} Подставляя оценки~\eqref{estintF2.1} и~\eqref{estintF2.2} при $\alpha=1/2$ в выражение~\eqref{r1} для $R_1$, получим оценку~\eqref{esttotalcos} при $N=1$. При $N>1$ действуем по индукции: подставляем~\eqref{formulapredstav} с $M=N$ в~\eqref{thmcosrest} и оцениваем остаток с помощью предложения~\ref{risefall}. \endproof \begin{thm} \label{thmsin} При $\omega\to\infty$ имеет место формула: \begin{align*} &\mathcal{S}:=\int\limits_0^{\frac12} F(t)\sin(\omega t)\,dt=\frac{F(\frac{1}{\omega})}{\omega} +\sum\limits_{k=1}^N c_k^{sin} \frac{F_k(\frac{1}{\omega})}{\omega}+R_N^{sin}, \end{align*} где \begin{align*} c_k^{sin}&=-\int\limits_0^1\frac{1-\cos (x)}{x}\frac{\ln^{k-1} (x)}{(k-1)!}\,dx +\int\limits_1^{\infty}\frac{\cos (x)}{x}\frac{\ln^{k-1} (x)}{(k-1)!}\,dx,\quad k\ge1,\\ R_N^{sin}&=-\int\limits_0^1\frac{1-\cos (x_1)}{x_1}\int\limits_{S_{N}(x_1)}\!\!\!\! F_{N+1} \,d\mu_{N}\,\frac{dx_1}{\omega} +\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos (x_1)}{x_1}\int\limits_{S_{N}(x_1)}\!\!\!\! F_{N+1} \,d\mu_{N}\,\frac{dx_1}{\omega}+O\left(\frac{L_N(\omega)}{\omega^2}\right), \end{align*} а $L_N(\omega)$ --- некоторая медленно меняющаяся функция при $\omega\to\infty$. Более того, справедлива оценка: \begin{align*}%\label{estsin} &|R_N^{sin}|\le C(F,N)\cdot\frac{|F_{N+1}(\frac{1}{\omega})|}{\omega}. \end{align*} \end{thm} \textbf{Доказательство} аналогично теореме~\ref{thmcos}. \endproof \begin{zam}К интегралам $\mathcal{C}$ и $\mathcal{S}$ сводятся также интегралы \begin{align*} \int\limits_0^{\frac12}\!\!\int\limits_0^{\tau}F(t)F(\tau)\sin(\omega t)\sin(\omega\tau)\,dt\,d\tau =\frac{\mathcal{S}^2}{2},\quad \int\limits_0^{\frac12}\!\!\int\limits_0^{\tau}F(t)F(\tau)\cos(\omega t)\cos(\omega\tau)\,dt\,d\tau =\frac{\mathcal{C}^2}{2}. \end{align*} \end{zam} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Асимптотика двойного интеграла %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{thm}\label{thmsincos} \begin{multline} \mathcal{I}:=\int\limits_0^{\frac12}\!\!\int\limits_0^{\tau} F(t)F(\tau) \sin(\omega \tau) \cos(\omega t)\,dt\, d\tau=\\ =\frac{1}{2\omega}\int\limits_0^{\frac12}F^2(t)\,dt +\sum\limits_{n=2}^{N}\sum\limits_{\substack{k+m=n\\k,m\ge1}}a_{k,m} \frac{F_k(\frac{1}{\omega})F_m(\frac{1}{\omega})}{\omega^2}+R_N^{sc},\label{formulasincos} \end{multline} где $$ a_{k,m}=-\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin (x)}{x}\frac{\ln^{k-1}(x)}{(k-1)!} \int\limits_x^{\infty}\frac{\cos (y)}{y}\frac{\ln^{m-1}(y)}{(m-1)!}\,dy\, dx $$ и справедлива оценка: \begin{align} |R_N^{sc}|\le C(F,N)\!\!\sum\limits_{\substack{ i+j=N+1\\i,j\ge1}}\!\! \frac{|F_i(\frac{1}{\omega})F_j(\frac{1}{\omega})|}{\omega^2}.\label{estsincos} \end{align} \end{thm} \textbf{Доказательство.} Меняя порядок интегрирования и интегрируя по частям, получаем \begin{align*} \mathcal{I}&=\frac{1}{2\omega}\int\limits_0^{\frac12}F^2(t)\,dt -\frac{1}{\omega^2}\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{x}{\omega}\right) \frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{y}{\omega}\right) \frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx. \end{align*} Воспользуемся представлением~\eqref{formulapredstav} при $M=1$: \begin{align} &\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{x}{\omega}\right)\frac{\sin(x)}{x} \int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx =F_1^2\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x} \int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx+\notag\\ &+F_1\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\underbrace{\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x} \int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right) \frac{dz}{z} \,dy\, dx}_{=R_{11}}+\notag\\ &+\underbrace{\int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x} \int\limits_1^x F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}F_1\left(\frac{y}{\omega}\right)\frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx} _{=R_{12}}\label{thmsincosip}. \end{align} Несложно понять, что \begin{align*} \int\limits_0^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}} \frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx=\int\limits_0^{\infty}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{\infty} \frac{\cos(y)}{y}\,dy\, dx+O\Big(\frac{1}{\omega}\Big). \end{align*} Таким образом, получена формула~\eqref{formulasincos} при $N=2$. Для оценки интеграла $R_{11}$ разобъем его на три слагаемых \begin{align*} R_{11}&=\int\limits_0^{1}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{1}\frac{\cos(y)}{y} \int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy \,dx +\int\limits_0^{1}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y} \int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\, dy\, dx+\\ &+\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\sin(x)}{x}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}} \frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy\, dx =:R_{111}+R_{112}+R_{113}. \end{align*} Заметим, что подынтегральное выражение в $R_{111}$ знакопостоянно. Используя соотношение~\eqref{estintF2.1}, а также неравенства \begin{align*} \frac{\sin(x)}{x}\le1,\qquad \cos(y)\le1, \end{align*} получим оценку \begin{align*} |R_{111}|\le\Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|\int\limits_0^1\int\limits_x^1 \frac{y^{-\alpha}-1}{\alpha y}\,dy\,dx= C(\alpha)\cdot \Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|. \end{align*} Далее, \begin{align*} |R_{112}|\le \Bigg| \int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\, dy\, dx \Bigg|. \end{align*} Интегрируя по частям, получим \begin{align*} |R_{112}|\le \Bigg| \frac{1+\sin(y)}{y} \int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right) \frac{dz}{z}\biggr\rvert_{y=1}^{y=\frac{\omega}{2}} - \int\limits_1^{\frac{\omega}{2}} \frac{1+\sin(y)}{y^2}\bigg(F_2\left(\frac{y}{\omega}\right)-\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\bigg)\,dy\Bigg|. \end{align*} Подстановка $y=1$ обнуляется, подстановка $y=\frac{\omega}{2}$ с учетом~\eqref{estintF2.2} есть $O(|F_2\big(\frac{1}{\omega}\big)|\cdot\omega^{\alpha-1})$, а полученный интеграл, используя неравенства~\eqref{estintF2.2},~\eqref{fall1inf} и~\eqref{epsomega} для $\mathbb{F}=F_2$, оценим так: \begin{align*} \Bigg|\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{1+\sin(y)}{y^2}\bigg(F_2\left(\frac{y}{\omega}\right) -\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \bigg)\,dy\Bigg|& \le C(\alpha,F)\Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|\cdot\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}} \frac{1+\sin(y)}{y^{2-\alpha}}\,dy\le\\ &\le C(\alpha,F)\Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|. \end{align*} Рассмотрим $R_{113}$. После интегрирования по частям получаем \begin{align*} R_{113}&=\frac{1-\cos(x)}{x}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}\frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy\biggr\rvert_{x=1}^{x=\frac{\omega}{2}}+\\ &+\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}} \frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy\,dx +\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{\bigl(1-\cos(x)\bigr)\cos(x)}{x^2}\int\limits_1^x F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\,dx. \end{align*} Подстановка $x=\frac{\omega}{2}$ обнуляется, подстановка $x=1$ оценивается через $R_{112}$. Последний интеграл с помощью~\eqref{estintF2.2} оценивается через $C(\alpha,F) \cdot\bigl|F_2\left(\frac{1}{\omega}\right)\bigr|$. Во втором слагаемом, интегрируя по частям по переменной $y$, получим \begin{multline*} \int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}} \frac{\cos(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z} \,dy\,dx=\\ =\int\limits_1^{\frac{\omega}{2}}\frac{1-\cos(x)}{x^2}\Bigg[ \frac{1+\sin(y)}{y}\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}\biggr\rvert_{y=x}^{y=\frac{\omega}{2}} +\\ +\int\limits_x^{\frac{\omega}{2}}\frac{1+\sin(y)}{y^2}\bigg(\int\limits_1^y F_2\left(\frac{z}{\omega}\right)\frac{dz}{z}-F_2\left(\frac{y}{\omega}\right) \bigg)\,dy\Bigg]\,dx. \end{multline*} Оценивая аналогично интегралу $R_{112}$, получаем окончательно \begin{align*} |R_{11}|\le C(\alpha,F)\Bigl|F_2\Bigl(\frac{1}{\omega}\Bigr)\Bigr|. \end{align*} Аналогично оценим $R_{12}$. Полагая $\alpha=1/2$, получаем оценку~\eqref{estsincos} для $N=2$. При $N>2$ действуем по индукции: подставляем~\eqref{formulapredstav} при $M=N$ в~\eqref{thmsincosip} и оцениваем остатки аналогичным образом с помощью предложения~\ref{risefall}. \endproof %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Асимптотика собственных чисел %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Асимптотика собственных чисел} Обозначим для удобства $\F_0(x):=\Phi^{-1}(x)$, $\F_i(x):=x \F'_{i-1}(x)$, и заметим, что, согласно теореме~\ref{Fmedlennomen} функции $F=\F_0$ и $F=\F_0^2$ удовлетворяют условиям, сформулированным в начале \S2. Запишем асимптотики интегралов $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$, $\mathcal{I}_1$, $\mathcal{I}_2$, используя формулы~\eqref{asymptcos} и~\eqref{formulasincos} при $N=2$ (как будет ясно из следующего параграфа, такая точность будет достаточна для наших целей): \begin{align} \mathcal{C}_1&=-\frac{\pi}{2}\frac{\F_1}{\omega}+\frac{\gamma\pi}{2}\frac{\F_2}{\omega} +O\left(\frac{|\F_3|}{\omega}\right),\notag\\ \mathcal{C}_2&= -\pi\frac{\F_0 \F_1}{\omega}+\gamma \pi \frac{\F_0\F_2+\F_1^2}{\omega} +O\left(\frac{|\F_0\F_3|+|\F_1 \F_2|}{\omega}\right),\label{C1C2I1I2}\\ \mathcal{I}_1&=\frac{1}{4\omega}+\frac{\pi^3}{8}\frac{\F_1 \F_2}{\omega^2} +O\left(\frac{|\F_1 \F_3|+\F_2^2}{\omega^2}\right),\notag\\ \mathcal{I}_2&=\frac{3}{4\omega}+\frac{\pi^3}{2}\frac{\F_0^2\F_1 \F_2+\F_0\F_1^3}{\omega^2} +O\left(\frac{|\F_0^2\F_1 \F_3|+|\F_0\F_1^2 \F_2|}{\omega^2}\right).\notag \end{align} Здесь $\gamma$ --- константа Эйлера, и у всех $\F_i$ аргумент равен $\frac{1}{\omega}$. Подставляя~\eqref{C1C2I1I2} в формулы~\eqref{D1} и~\eqref{D2} для $D_1(\omega)$ и $D_2(\omega)$, получаем \begin{align} D_1(\omega)&=\frac{\pi^2}{2\omega^3}\F_1^2\left[\sin\left(\frac{\omega}{2}\right) -2\gamma\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)\frac{\F_2}{\F_1} -\pi\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)\frac{\F_2}{\F_1} +O\left(\frac{|\F_3 \F_1|+\F_2^2}{\F_1^2}\right) \right];\notag\\ D_2(\omega)&=\frac{\pi^2}{\omega^3}\left(\F_0 \F_1\right)^2\left[-\cos\left(\frac{\omega}{2}\right) +2\gamma\cos\left(\frac{\omega}{2}\right)\frac{\F_0 \F_2+\F_1^2}{\F_0 \F_1} -\pi\sin\left(\frac{\omega}{2}\right)\frac{\F_0 \F_2+\F_1^2}{\F_0\F_1}+\right.\notag\\ &\left.+O\left(\frac{(\F_0 \F_2)^2+\F_1^4+|\F_0^2 \F_1 \F_3| +|\F_0\F_1^2 \F_2|}{\F_0^2 \F_1^2}\right)\right].\label{asympD1D2} \end{align} Рассмотрим уравнение на $\omega_{2k-1}^{(1)}$. После преобразований оно примет вид \begin{align} &\tg\left(\frac{\omega}{2}\right)=\pi\frac{\F_2}{\F_1} +O\left(\frac{|\F_3\F_1|+\F_2^2}{\F_1^2}\right),\label{equationeigenvalue1} \end{align} где аргумент всех $\F_i$ равен $\frac{1}{\omega}$. Поскольку правая часть стремится к нулю при $\omega\to\infty$, в окрестности точки $2\pi k$ при достаточно больших $k$ находится ровно один корень данного уравнения. Как указано во введении, $\lambda_{2k}^{(1)}= \lambda_{2k}$ и $\lambda_{2k-1}^{(1)}\le \lambda_{2k-1}$. Поэтому $\omega_{2k}^{(1)}=2\pi k$ и $\omega_{2k-1}^{(1)}\ge \pi (2k-1)$. Из этих фактов и перемежаемости собственных чисел следует, что на промежутке $[(2k-1)\pi,(2k+1)\pi)$ располагаются $ \omega_{2k-1}^{(1)}$ и $ \omega_{2k}^{(1)}$. Значит, в окрестности $2\pi k$ лежит корень $ \omega_{2k-1}^{(1)}$ уравнения~\eqref{equationeigenvalue1}. Стандартными методами получаем асимптотику $\omega_{2k-1}^{(1)}$ при $k\to\infty$: \begin{align*} \omega_{2k-1}^{(1)}&=2\pi k+2\pi\frac{\F_2}{\F_1}+O\left(\frac{|\F_3\F_1|+\F_2^2}{\F_1^2}\right). \end{align*} где аргумент всех $\F_i$ равен $\cfrac{1}{2\pi k}$. В силу соотношений~\eqref{F}, \eqref{e'}--\eqref{FNshtrih} имеем \begin{align}\label{F_1F_2F_3} &\F_1=\frac{1}{\F_0}+O\left(\frac{1}{|\F_0|^3}\right),\quad \F_2=-\frac{1}{\F_0^3} +O\left(\frac{1}{|\F_0|^5}\right),\quad \F_3=O\left(\frac{1}{|\F_0|^5}\right),\quad \omega\to\infty \end{align} (аргумент всех $\F_i$ равен $\frac{1}{\omega}$). Отсюда \begin{align*} \omega_{2k-1}^{(1)}&=2\pi k+\frac{2\pi}{\F_0^2(\frac{1}{2\pi k})} +O\left(\frac{1}{\F_0^4(\frac{1}{2\pi k})}\right). \end{align*} Известно, что (см., например,~\cite{inverseerrorfunc1976}) \begin{align*} &\F(x)=\Phi^{-1}(x)=-\sqrt{-2\ln(x)}\cdot\left[1+O\left(\frac{\ln(-\ln (x))}{\ln (x)}\right)\right], \qquad x\to0. \end{align*} Поэтому \begin{align}\label{asymptotics1} \omega_{2k-1}^{(1)}&=2\pi k+\frac{\pi}{\ln (k)}+O\left(\frac{\ln( \ln (k))}{\ln^2 (k)}\right). \end{align} Рассмотрим уравнение на $\omega_{2k}^{(2)}$. После преобразований, оно примет вид \begin{align*} \ctg\left(\frac{\omega}{2}\right)=-\pi\frac{\F_0 \F_2+\F_1^2}{\F_0 \F_1} + O\left(\frac{(\F_0 \F_2)^2+\F_1^4+\F_0^2 |\F_1 \F_3|+|\F_0 \F_1^2 \F_2|}{\F_0^2 \F_1^2}\right), \end{align*} где аргумент всех $\F_i$ равен $\frac{1}{\omega}$. Рассуждая аналогичным образом, получаем, что в окрестности $2\pi k+\pi$ при достаточно больших $k$ находится ровно один корень данного уравнения с номером $\omega_{2k}^{(2)}$. Его асимптотика: \begin{align*} \omega_{2k}^{(2)}=\pi+2\pi k-\pi\frac{\F_0 \F_2+\F_1^2}{\F_0 \F_1} +O\left(\frac{(\F_0 \F_2)^2+\F_1^4+\F_0^2 |\F_1 \F_3|+|\F_0 \F_1^2 \F_2|}{\F_0^2 \F_1^2}\right), \end{align*} где аргумент всех $\F_i$ равен $\cfrac{1}{\pi(2k+1)}$. В силу~\eqref{F_1F_2F_3} имеем \begin{align}\label{asymptotics2} \omega_{2k}^{(2)}= \pi+2\pi k+O\left(\frac{1}{\F_0^4(\frac{1}{\pi (2k+1)})}\right)= \pi(2 k+1)+O\left(\frac{1}{\ln^2 (k)}\right). \end{align} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Асимптотика малых уклонений для процесса X^2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Асимптотика малых уклонений для процесса $X^{(2)}$} Применим полученные результаты к задаче об асимптотике вероятностей малых уклонений в $L^2$-норме для гауссовских процессов $X^{(1)}$--$X^{(3)}$ с нулевым средним и функциями ковариации, определенными в~\eqref{G_1}--\eqref{G_3}. Наиболее простой является задача для $X^{(2)}$. Применим принцип сравнения Ли (предложение~\ref{Li0}). В качестве аппроксимации возьмём процесс с собственными числами $\gamma_k$ соответствующего интегрального оператора \begin{align*} \gamma_k=\Big[(2k+1)\pi/2\Big]^{-2}, \quad k\in\mathbb{N}. \end{align*} Известно, что (\cite[теорема 3.4]{Li1992}, см. также~\cite[теорема 6.2]{naznik1}) \begin{align}\label{asympgammak} \mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \gamma_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\} \sim \frac{4}{\pi^{3/2}}\varepsilon^{-1}\exp\Bigl(-\frac{1}{8\varepsilon^2}\Bigr). \end{align} Для того, чтобы найти константу из~\eqref{Li0}, дополнительно введём \begin{align*}%\label{mu_k} \mu_1:=\pi^{-2},\quad \mu_{2k}=\mu_{2k+1}:=\Big[(2k+1)\pi\Big]^{-2}. \end{align*} Тогда \begin{align*} \prod\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\gamma_k }{\lambda_k^{(2)}} =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\gamma_k}{\mu_k}\cdot\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\mu_k} {\lambda_k^{(2)}} =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\gamma_k}{\mu_k} \cdot\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\mu_{2k}} {\lambda_{2k}^{(2)}}. \end{align*} Первое бесконечное произведение легко считается по формуле Стирлинга: \begin{align}\label{C1} &\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\gamma_k}{\mu_k}=\lim_{k\to\infty}\frac{\pi\cdot (3\pi)^2 \cdot (5\pi)^2\cdot\ldots\cdot((2k+1)\pi)^2}{\frac{3\pi}{2}\cdot\frac{5\pi}{2}\cdot\ldots \cdot\frac{(4k+3)\pi}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}. \end{align} Заметим, что $\mu_{2k}^{-\frac12}$ и $\Big(\lambda_{2k}^{(2)}\Big)^{-\frac12}=\omega_{2k}^{(2)}$ есть корни целых функций \begin{align*} M(\omega):=\cfrac{\cos(\frac{\omega}{2})}{1-\big(\frac{\omega}{\pi}\big)^2}\quad \text{ и } \quad\mathcal{D}(\omega):=\omega D_2(\omega),\quad \omega\in\mathbb{C}, \end{align*} причем эти корни достаточно близки. Заметим также, что $M(0)=\mathcal{D}(0)=1$. Воспользуемся леммой~\ref{nazlemma} (см. Приложение). Получаем \begin{align*} \prod_{k=1}^{\infty}\frac{\mu_{2k}} {\lambda_{2k}^{(2)}}= \lim\limits_{\substack{|\omega|=2\pi k\\k\to\infty}}\frac{M(\omega)}{\mathcal{D}(\omega)}, \end{align*} причём предел можно брать только по вещественной оси. Тогда, пользуясь формулами~\eqref{asympD1D2} и~\eqref{F_1F_2F_3}, имеем \begin{align}\label{C2} \prod_{k=1}^{\infty}\frac{\mu_{2k}} {\lambda_{2k}^{(2)}} =\lim\limits_{\substack{\omega=2\pi k\\k\to\infty}}\frac{M(\omega)}{\omega D_2(\omega)} =\lim\limits_{\substack{\omega=2\pi k\\k\to\infty}} \Big(\F_0\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\F_1\Big(\frac{1}{\omega}\Big)\Big)^2=1. \end{align} В итоге из формул ~\eqref{Li0},~\eqref{asympgammak}--\eqref{C2} получаем \begin{align}\label{smalldevasymp1} \mathbb{P}\Big\{ \| X^{(2)}\|<\varepsilon\Big\} =\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k^{(2)} \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}& \sim \frac{2\sqrt{2}}{\pi^{3/2}}\varepsilon^{-1}\exp\Bigl(-\frac{1}{8\varepsilon^2}\Bigr), \quad \varepsilon\to 0. \end{align} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Асимптотика для процессов X^1 и X^3 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Асимптотика малых уклонений для $X^{(1)}$ и $X^{(3)}$} Для процессов $X^{(1)}$ и $X^{(3)}$ точную константу в асимптотике малых уклонений найти не удается. Для того, чтобы посчитать асимптотику малых уклонений с точностью до константы, воспользуемся следующим предложением, являющимся частным случаем ~\cite[теорема 3.1]{DLL}: \begin{predl}\label{thmdll} Пусть $\phi(t)$ --- определенная на $[1,\infty)$, положительная, логарифмически выпуклая, дважды дифференцируемая и интегрируемая функция, Тогда \begin{align*}%\label{formulo} \mathbb{P}\Big\{ \sum\limits_{k=1}^{\infty} \phi(k)\xi_k^2 \leq r \Big\} \sim C \sqrt{\frac{f(u\phi(1))}{I_2(u)}}\exp(I_0(u)+ur),\qquad r\to 0, \end{align*} где $f(t)=(1+2t)^{-1/2}$, а $u=u(r)$ --- функция, удовлетворяющая \begin{align} \label{u} &\lim_{r\to 0}\frac{I_1(u)+ur}{\sqrt{I_2(u)}}=0,\\ I_0(u)&=\int\limits_1^\infty \ln f (u \phi(t))\,dt,\notag\\ I_1(u)&=\int\limits_1^\infty u \phi(t) (\ln f (u \phi(t)))'\,dt,\notag\\ I_2(u)&=\int\limits_1^\infty (u \phi(t))^2 (\ln f (u \phi(t)))''\,dt.\notag \end{align} \end{predl} В качестве функции $\phi(t)$ мы будем рассматривать \begin{align*} \phi(t)=(t+\delta+F(t))^{-d},\quad d>-1, \end{align*} где $F(t)$ --- медленно меняющаяся функция при $t\to\infty$, монотонно стремящаяся к нулю при $t\to\infty$. Если $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{F(t)}{t}\,dt<\infty$, то произведение $\prod\frac{\phi(k)}{(k+\delta)^{-d}}$ сходится, и асимптотика с точностью до константы следует из~\cite[теорема 6.2]{naznik1}. Поэтому будем считать, что $\int\limits_{1}^{\infty}\frac{F(t)}{t}\,dt$ расходится. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Асимптотика I_1(u) и I_2(u) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Преобразуем интеграл $I_1$ так: \begin{align*} I_{1}&=-u\int\limits_1^{\infty}\frac{dt}{2u+(t+\delta+F(t))^d} =-\frac{1}{2}\int\limits_{1+\delta+F(1)}^{\infty}\frac{dx}{1+\Big(\frac{x}{(2u)^{1/d}}\Big)^d} +\frac12 \int\limits_1^{\infty} \frac{F'(t)\,dt}{1+\Big( \frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}} \Big)^d} =\\ &=-\frac{\pi (2u)^{1/d}}{2d \sin \bigl(\frac {\pi}{d}\bigr)} +\frac{1}{2}\int\limits_0^{1+\delta+F(1)}\frac{dx}{1+\Big(\frac{x}{(2u)^{1/d}}\Big)^d} +\frac12 \int\limits_1^{\infty} \frac{F'(t)\,dt}{1+\Big( \frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}} \Big)^d}. \end{align*} Оба интегранта здесь имеют суммируемые мажоранты, поэтому по теореме Лебега при $u\to\infty$ имеем \begin{align*} \frac12\int\limits_0^{1+\delta+F(1)}\frac{dx}{1+\Big(\frac{x}{(2u)^{1/d}}\Big)^d} +\frac12 \int\limits_1^{\infty} \frac{F'(t)\,dt}{1+\Big( \frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}} \Big)^d} \to\frac{1+\delta}{2}, \end{align*} и, таким образом, \begin{align*} I_1(u)&= -\frac{\pi (2u)^{1/d}}{2d \sin\bigl( \frac {\pi}{d}\bigr)}+\frac{\delta+1}{2}+o(1), \qquad u\to\infty. \end{align*} Проводя аналогичные рассуждения с интегралом $I_2(u)$, получаем при $u\to\infty$ \begin{align*} I_2(u)&=2 u^2\int\limits_1^{\infty}\frac{dt}{(2u+(t+\delta+F(t))^d)^2} = \frac{(d-1)\pi (2u)^{1/d}}{2d^2 \sin \bigl(\frac {\pi}{d}\bigr)}+O(1).%\label{I2} \end{align*} Заметим, что асимптотика интегралов $I_1(u)$ и $I_2(u)$ совпадает с асимптотикой соответствующих интегралов в~\cite{naznik1}, поэтому мы можем выбрать в качестве функции $u=u(r)$ \begin{align}\label{choseu} u=\frac12 \Big( \frac{\pi r^{-1}}{d \sin(\frac{\pi}{d})} \Big)^{\frac{d}{d-1}}, \end{align} которая удовлетворяет условию \eqref{u}.\par %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Асимптотика I_0(u) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Рассмотрим $I_0(u)$. Интегрируя по частям, получаем \begin{align*} I_0(u)&=-\frac12 \int\limits_1^{\infty}\ln \Big(1+\frac{2u}{(t+\delta+F(t))^d}\Big)\,dt=\\ &=\frac{(1+\delta)}{2}\ln\Big(1+\frac{2u}{(1+\delta+F(1))^d}\Big) -u d\int\limits_1^\infty \frac{(t+\delta)(1+F'(t))\,dt}{(2u+(t+\delta+F(t))^d)(t+\delta+F(t))}. \end{align*} Последний интеграл можно расписать на следующие четыре слагаемых: \begin{align*} &-ud \int\limits_1^\infty \frac{dt}{2u+(t+\delta+F(t))^d} -ud \int\limits_1^\infty \frac{F'(t)\,dt}{2u+(t+\delta+F(t))^d}+\\ &+u d \int\limits_1^\infty \frac{F(t)\,dt}{(2u+(t+\delta+F(t))^d)(t+\delta+F(t))}+\\ &+u d \int\limits_1^\infty \frac{F(t)F'(t)\,dt}{(2u+(t+\delta+F(t))^d)(t+\delta+F(t))} =:K_1+K_2+K_3+K_4. \end{align*} Интеграл $K_1=-d \cdot I_1$, поэтому \begin{align*} K_1=%ud \int\limits_1^\infty \frac{dt}{2u+(t+\delta+F(t))^d}= \frac{\pi (2u)^{1/d}}{2\sin(\frac{\pi}{d})} +const+o(1), \qquad u\to \infty. \end{align*} У интегрантов в $K_2$ и $K_4$ имеются суммируемые мажоранты, поэтому при $u\to \infty$ \begin{align*} K_2&=\frac{d}{2}\int\limits_1^{\infty}\frac{F'(t)\,dt}{1+\Big(\frac{t+\delta +F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}\to\frac{d}{2}\int\limits_1^{\infty}F'(t)\,dt =-\frac{d}{2}\cdot F(1)=const;\\ K_4&=\frac d2 \int\limits_1^\infty \frac{F(t)F'(t)\,dt}{\Big(1+\Big(\frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d\Big) \Big(t+\delta+F(t)\Big)}\to\frac{d}{2}\int\limits_1^{\infty}\frac{F(t)F'(t)\,dt}{(t+\delta+F(t))} =const.%\\ \end{align*} Интеграл $K_3$ представим в виде суммы четырех интегралов \begin{multline*} K_3= \frac d2 \int\limits_1^{(2u)^{1/d}} \frac{F(t)}{t}\,dt -\frac d2 \int\limits_1^{(2u)^{1/d}} \frac{F(t)(\delta+F(t))}{t(t+\delta+F(t))}\,dt-\\ -\frac{1}{2u}\cdot\frac d2 \int\limits_1^{(2u)^{1/d}} \frac{F(t)(t+\delta+F(t))^{d-1}}{1+\Big(\frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}\,dt +\frac d2 \int\limits_{(2u)^{1/d}}^{\infty} \frac{F(t)\,dt} {\Big(1+\Big(\frac{t+\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d\Big)\Big(t+\delta+F(t)\Big)}=:\\ =:\frac d2\cdot F_{-1}\left((2u)^{1/d}\right)-K_{31}-K_{32}+K_{33}, \end{multline*} где $F_{-1}(x)=\int\limits_1^{x} \frac{F(t)}{t}\,dt$. По теореме Лебега \begin{align*} &K_{31}\to \frac d2 \int\limits_1^{\infty} \frac{F(t)(\delta+F(t))}{t(t+\delta+F(t))}\,dt=const. \end{align*} Сделаем замену переменной $t=(2u)^{1/d} \cdot z$ в интегралах $K_{32}$ и $K_{33}$: \begin{align*} K_{32}&=\frac d2 \int\limits_{\frac{1}{(2u)^{1/d}}}^1 \frac{F((2u)^{1/d} z) \Big(z+\frac{\delta+F((2u)^{1/d} z)}{(2u)^{1/d}}\Big)^{d-1}}{1+\Big(z+\frac{\delta+F((2u)^{1/d} \cdot z)}{(2u)^{1/d}}\Big)^d}\,dz,\\ K_{33}&=\int\limits_1^{\infty}\frac{F((2u)^{1/d}z)\,dz} {\Big( 1+\Big( z+\frac{\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}} \Big)^d \Big) \Big(z+\frac{\delta+F(t)}{(2u)^{1/d}}\Big)}. \end{align*} Подынтегральные выражения здесь ограничены, поэтому по теореме Лебега $K_{32}\to0$ и $K_{33}\to0$ при $u\to\infty$. Таким образом, при $u\to\infty$ \begin{align*} K_3=\frac d2\cdot F_{-1}\left((2u)^{1/d}\right)+const+o(1), \end{align*} откуда \begin{align}%\label{I_0} I_0(u)&=\frac{(1+\delta)}{2}\ln\Big(1+\frac{2u}{(1+\delta+F(1))^d}\Big) -\frac{\pi (2u)^{1/d}}{2\sin(\frac{\pi}{d})}+\frac d2 \cdot F_{-1}\left((2u)^{1/d}\right) +const+o(1). \end{align} Заметим, что функция $\exp\left(F_{-1}(t)\right)$ --- медленно меняющаяся~\cite[теорема 1.2]{seneta}, поэтому с учетом~\eqref{choseu} \begin{align}\label{exp} \exp\left(F_{-1}\left((2u)^{1/d}\right)\right)=\exp\left(F_{-1}( r^{-\frac{1}{d-1}})+o(1)\right), \qquad r\to 0. \end{align} Применяя предложение~\ref{thmdll} с учетом формул~\eqref{choseu}--\eqref{exp} и перемасштабирования, приходим к следующему результату: %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%% Формулировка теоремы об асмптотике малых уклонений в ситуации с логарифмом %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{thm}\label{thm1} Рассмотрим форму $\sum\limits_{k=0}^{\infty}\Lambda_k \xi_k^2$, где \begin{align*}%\label{thmlog} \Lambda_k=( \vartheta (k+\delta+F(k)))^{-d}, \end{align*} а $\vartheta>0$, $\delta>-1$ и $d>1$ --- некоторые константы. Тогда при $\varepsilon\to 0$ \begin{align*} \mathbb{P}\Big\{ \sum\limits_{k=0}^{\infty}\Lambda_k \xi_k^2<\varepsilon^2 \Big\}& \sim C\cdot \varepsilon^{\gamma}\cdot \exp\Big( -\frac{d-1}{2}\Big( \frac{\pi}{d\vartheta\sin(\frac{\pi}{d})} \Big)^{\frac{d}{d-1}} \cdot \varepsilon^{-\frac{2}{d-1}} +\frac d2\cdot F_{-1}(\varepsilon^{-\frac{2}{d-1}})\Big), \end{align*} где $$ \gamma=\frac{2-d-2d\delta}{2(d-1)},\quad C=C(\vartheta,\delta,d,F)=const. $$ \end{thm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Асимптотика малых уклонений при возмущении функцией h_1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В случае процесса $X^{(1)}$ положим \begin{align*} \Lambda_k:=\Big[\pi\Big(k+\frac12+\frac{1}{2\ln (k)}\Big)\Big]^{-2}. \end{align*} Убедимся, что $\prod \lambda_k^{(1)}/\Lambda_k$ сходится. Для этого определим \begin{align*} \tau_{2k}:=\bigl(2\pi k\bigr)^{-2},\qquad \tau_{2k-1}:=\Bigl[\pi \Bigl(2k +\frac{1}{\ln (k)}\Bigr)\Bigr]^{-2},\qquad k\in\mathbb{N}. \end{align*} Имеем \begin{align}\label{prodeigenvalue} \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_k^{(1)}}{\Lambda_k} =\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_k^{(1)}}{\tau_k} \cdot \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\tau_k}{\Lambda_k} =\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_{2k-1}^{(1)}}{\tau_{2k-1}} \cdot \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\tau_k}{\Lambda_k}. \end{align} Первое произведение в~\eqref{prodeigenvalue} сходится, поскольку в силу~\eqref{asymptotics1} \begin{align*} \prod_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda_{2k-1}^{(1)}}{\tau_{2k-1}} =\prod\limits_{k=1}^{\infty}\Bigl(1+O\Bigl( \frac{\ln\ln (k)}{k \ln^2 (k)}\Bigr)\Bigr) <\infty. \end{align*} Второе произведение представим в виде \begin{align*} &\prod_{k=1}^{\infty} \frac{\tau_{2k}\tau_{2k-1}}{\Lambda_{2k}\Lambda_{2k-1}} =\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\bigl(2k+\frac{1}{2}+\frac{1}{2\ln (2k)}\bigr) \bigl(2k-\frac{1}{2}+\frac{1}{2\ln (2k-1)}\bigr)}{2k(2k+\frac{1}{\ln (k)})}=\\ =&\prod_{k=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{4k}\Bigl(\frac{1}{\ln(2k)} +\frac{1}{\ln(2k-1)}-\frac{2}{\ln(k)}\Bigr) +O\Bigl(\frac{1}{k^2}\Bigr) \Bigr)=\\ =&\prod_{k=1}^{\infty}\Bigl(1+O\Bigl( \frac{1}{k\ln^2 (k)} \Bigr)\Bigr)<\infty. \end{align*} Применяя теорему сравнения Ли и теорему~\ref{thm1}, получаем \begin{multline}\label{smalldevasymp2} \mathbb{P}\Big\{ \|X^{(1)}\|<\varepsilon \Big\} =\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k^{(1)} \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\} \sim C\cdot\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \Lambda_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}\sim\\ \sim C\cdot \varepsilon^{-1}\cdot \ln^{\frac12}\Big(\frac{1}{\varepsilon}\Big) \cdot \exp\Bigl(-\frac{1}{8\varepsilon^{2}}\Bigr),\qquad \varepsilon\to0. \end{multline} В случае процесса $X^{(3)}$ положим \begin{align*} \tilde{\Lambda}_k=\Big[\pi\Big( k+1+\frac{1}{2\ln (k)} \Big)\Big]^{-2}. \end{align*} Аналогично~\eqref{smalldevasymp2}, получим \begin{multline}\label{smalldevasymp3} \mathbb{P}\Big\{ \|X^{(3)}\|<\varepsilon \Big\} =\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \lambda_k^{(3)} \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\} \sim C\cdot\mathbb{P}\Big\{\sum_{k=1}^{\infty} \tilde{\Lambda}_k \xi_k^2<\varepsilon^2\Big\}\sim\\ \sim C \cdot \varepsilon^{-2}\cdot \ln^{\frac12}\Big(\frac{1}{\varepsilon}\Big) \cdot \exp\Bigl(-\frac{1}{8\varepsilon^{2}}\Bigr),\qquad \varepsilon\to0. \end{multline} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Лемма: F_i медленно меняющиеся функции %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Приложение} \textbf{6.1} Следующая лемма усиливает утверждение леммы 1.2 из~\cite{nazsharpcon}. \begin{lemma}\label{nazlemma} Пусть последовательности чисел ${\omega_k}$ и ${\rho_k}$ имеют одинаковую двучленную асимптотику при $k\to\infty$ \begin{align*} &\omega_k \sim c(k+\delta)+a_k, \qquad\rho_k \sim c(k+\delta)+b_k, \end{align*} где $a_k$, $b_k\to 0$ и $ |a_k-b_k|$ монотонно убывает при $k\to\infty$, причем \begin{align} &\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{|a_k-b_k|}{k}<\infty.\label{a_k_b_k} \end{align} Тогда функции \begin{align*} f(\zeta)=\prod_{k=1}^{\infty}\Big( 1-\frac{\zeta^2}{\omega_k^2}\Big),\quad g(\zeta)=\prod_{k=1}^{\infty}\Big( 1-\frac{\zeta^2}{\rho_k^2}\Big) \end{align*} имеют одинаковое поведение на бесконечности с точностью до константы. А именно, при $|\zeta|=c(n+\delta+\frac12)$, $n\to\infty$ \begin{align}\label{resultlemma} \frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\rightrightarrows const=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\rho_k^2}{\omega_k^2}. \end{align} \end{lemma} \beginproofdot Имеем \begin{align}\label{prodlemma} \frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{\rho_k^2}{\omega_k^2} \cdot\prod_{k=1}^{\infty}\Big(1+\frac{\omega_k-\rho_k}{\rho_k+\zeta}\Big) \cdot\prod_{k=1}^{\infty}\Big(1+\frac{\omega_k-\rho_k}{\rho_k-\zeta}\Big). \end{align} Сходимость первого произведения в~\eqref{prodlemma} равносильна сходимости ряда \begin{align*} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|a_k-b_k|}{c(k+\delta)+b_k}, \end{align*} который сходится благодаря условию~\eqref{a_k_b_k}. Пусть $\Re(\zeta)\geq 0$. Тогда второе произведение в~\eqref{prodlemma} сходится равномерно. Третье произведение сходится равномерно, если сходится равномерно ряд \begin{align}\label{sumlemma} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|\omega_k-\rho_k|}{|\rho_k-R|},\quad\text{где} \quad R=c(n+\delta+1/2). \end{align} Заметим, что $|\rho_k-R|\ge c|n-k+\delta_1| $, где $\delta_1>0$. Поэтому \begin{align}\label{trisum} \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|\omega_k-\rho_k|}{|\rho_k-R|} \leq\Bigl(\sum\limits_{k\le \frac{2}{3}n}+\sum\limits_{\frac{2}{3}n\le k\le \frac{4}{3}n} +\sum\limits_{k\ge\frac{4}{3}n}\Bigr)\,\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}. \end{align} Третья сумма в~\eqref{trisum} стремится к нулю при $n\to\infty$: \begin{align*} &\sum\limits_{k\geq\frac{4}{3}n}^{\infty}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|} \leq C\sum\limits_{k\geq\frac{4}{3}n}\frac{|a_k-b_k|}{k}\to 0. \end{align*} Первая сумма мажорируется сходящимся рядом \begin{align*} &\sum\limits_{k\le \frac{2}{3}n}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|} \leq C\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|a_k-b_k|}{k}, \end{align*} поэтому она сходится равномерно, и при $n\to\infty$ \begin{align*} &\sum\limits_{k\le \frac{2}{3}n}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}\to 0. \end{align*} Поскольку $|a_k-b_k|$ монотонно убывает, имеем \begin{align*} \sum\limits_{\frac{2}{3}n\le k\leq \frac{4}{3}n}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|}& \leq 2\sum\limits_{\frac{2}{3}n\leq k\leq n}\frac{|a_k-b_k|}{c|n-k+\delta_1|} \leq\frac{2}{c}\sum\limits_{m\leq\frac13 n}\frac{|a_{m+\frac{n}{3}}-b_{m+\frac{n}{3}}|} {|m+\delta_1|}. %\leq\tilde{c}\sum\limits_{m=1}^{\infty}\frac{|a_{m}-b_{m}|}{m}<\infty, \end{align*} Последняя сумма мажорируется сходящимся рядом, поэтому она сходится равномерно. % по теореме Лебега она стремится к нулю при $n\to\infty$. Таким образом, ряд~\eqref{sumlemma} сходится равномерно. Значит, в~\eqref{prodlemma} можно перейти к пределу при $|\zeta|=c(n+\delta+\frac12)\to\infty$, что даёт~\eqref{resultlemma} для $\Re(\zeta)\geq 0$. Доказательство при $\Re(\zeta)\leq 0$ аналогично. \endproof\\ \textbf{6.2 Свойства $\Phi^{-1}(x)$}. Введём обозначения: \begin{align*} &x=\Phi(y), \qquad y=F_0(x):=\Phi^{-1}(x). \end{align*} Построим последовательность функций: \begin{align}\label{posledovatF_N} F_{N+1}(x):=x F_{N}'(x), \quad N\ge0. \end{align} Обозначим $ \tilde{F}_N(y):=F_N(x(y))$ и заметим, что \begin{align} &\tilde{F}_1(y)=x(y)\frac{dF(x(y))}{dx}=x(y)\frac{dy}{dx},\notag\\ &\tilde{F}_{N+1}(y)=x(y)\frac{dF_N(x)}{dx}=x(y)\frac{dy}{dx}\frac{d\tilde{F}_N(y)}{dy} =\tilde{F}_1(y)\tilde{F}_N'(y). \label{F} \end{align} Исследуем поведение функций $\tilde{F}_N(y)$. Рассмотрим функцию $\tilde{F}_1(y) $: \begin{align*} \tilde{F}_1(y)&=x(y)\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{x(y)}{\frac{dx}{dy}} =\frac{\int\limits_{-\infty}^{y}\exp(-\frac{t^2}{2})\,dt}{\exp(-\frac{y^2}{2})} =\exp\Big(\frac{y^2}{2}\Big)\int\limits_{-\infty}^{y}\exp\Bigl(-\frac{t^2}{2}\Big)\,dt=\\ &=\int\limits_0^{\infty}\exp\Big(yz-\frac{z^2}{2}\Big)\,dz =-\frac{1}{y}\int\limits_0^{\infty}\exp\Big(\negthickspace-u-\frac{u^2}{2y^2}\Big)\,du. \end{align*} Введем вспомогательные функции: \begin{align*} e_N(y):=\int\limits_0^{\infty}\exp\Big(\negthickspace-u-\frac{u^2}{2y^2}\Big)u^{2N-2}\,du. \end{align*} \begin{lemma} Справедливы следующие соотношения: \begin{align} &1.\quad e_N'(y)=\frac{e_{N+1}(y)}{y^3};\label{e'}\\ &2.\quad (2N-2)!\bigg(1-\frac{N(2N-1)}{y^2}\bigg)0.\label{znak} \end{align} \end{lemma} \beginproof проведем по индукции.\\ База: $N=1:$ $\tilde{F}_1(y)=c_{n_1}\tilde{F}_1^{n_1}$, $ n_1=1, c_{n_1}=1$. Свойства \eqref{slag}--\eqref{znak} очевидно выполняются. \\ Индукционный переход: Пусть утверждение верно для $\tilde{F}_N(y).$ Запишем~\eqref{shtrih} в виде: \begin{align*} 1\cdot n_1+\ldots+N\cdot n_{N}+(N+1)\cdot n_{N+1}=2N-1, \end{align*} где $n_{N+1}=0$. В силу~\eqref{F} и~\eqref{F_N(y)} \begin{align*} \tilde{F}_{N+1}(y)=\sum\limits_{\{n_1,\ldots,n_N\}}c_{n_1,\ldots,n_N}\tilde{F}_1(y) \cdot \frac{d}{dy}\Big[ \Bigl(\tilde{F}_1(y)\Bigr)^{n_1} \cdot \Bigl( \tilde{F}_1'(y) \Bigr)^{n_2}\ldots \Bigl( \tilde{F}_1^{(N-1)}(y) \Bigr)^{n_N} \Big], \end{align*} где коэффициенты $c_{n_1,\ldots,n_N}$ удовлетворяют условию~\eqref{znak}. Дифференцируя, получим \begin{align} %\tilde{F}_{N+1}(y)= \sum\limits_{k=0}^{N} c_{n_1,\ldots,n_N}\cdot n_k\cdot \Bigl(\tilde{F}_1\Bigr)^{n_1+1}\cdot\ldots \cdot \Bigl(\tilde{F}_1^{(k-1)}\Bigr)^{n_k-1}\cdot\Bigl(\tilde{F}_1^{(k)} \Bigr)^{n_{k+1}+1} \cdot\ldots\cdot \Bigl(\tilde{F}_1^{(N-1)} \Bigr)^{n_N}.\label{difslag} \end{align} Рассмотрим слагаемое с номером $k$ в сумме~\eqref{difslag}. Пусть $ n_1', n_2',\ldots,n_{N+1}'$ --- показатели степеней соответствующих производных $\tilde{F}_1$ в этом слагаемом. Если $k=1$, то $n_2'=n_2+1$ и $n_i'=n_i$ для остальных $i$. Если $k\geqslant2$, то $n_1'=n_1+1$, $n_k'=n_k-1$, $n_{k+1}'=n_{k+1}+1$ и $n_i'=n_i$ для остальных $i$. Отсюда видно, что свойство \eqref{shtrih} выполнено. Далее, все коэффициенты в~\eqref{difslag} очевидно неотрицательные, причем $$ \sum\limits_{\substack{k=1..N\\\{n_1,\ldots,n_N\}}}c_{n_1,\ldots,n_N}\cdot n_k>0 . $$ Таким образом, неравенства~\eqref{znak} выполнены, и лемма доказана. \endproof \begin{lemma} \label{lemma3} При $y\to-\infty$ имеем \begin{align} \tilde{F}_N(y)\sim -\frac{C}{y^{2N-1}},\label{asymp} \end{align} где $C=C(N)>0$ --- константа. \end{lemma} \beginproofdot Для каждого слагаемого вида \eqref{slag} с ненулевым коэффициентом $c_{n_1,\ldots,n_N} $ в силу~\eqref{FNequiv} и~\eqref{shtrih} получаем \begin{multline*} \Big(\tilde{F}_1(y)\Big)^{n_1}\cdot \Big( \tilde{F}_1'(y) \Big)^{n_2}\cdot\ldots \cdot \Big( \tilde{F}_1^{(N-1)}(y) \Big)^{n_N}\sim\\ \sim\Big( \frac{(-1)0!}{y^1}\Big)^{n_1}\cdot\Big( \frac{(-1)^{2}1!}{y^2}\Big)^{n_2}\cdots \Big( \frac{(-1)^N (N-1)!}{y^N}\Big)^{n_N}=\\ =\underbrace{0!^{n_1}1!^{n_2}\ldots (N-1)!^{n_N}}_{c_N}\frac{(-1)^{n_1+2n_2 +\ldots+N n_N}}{y^{n_1+2n_2+\ldots+N n_N}} =c_N\frac{(-1)^{2N-1}}{y^{2N-1}}=-\frac{c_N}{y^{2N-1}}. \end{multline*} Таким образом, соотношение~\eqref{asymp} выполнено для \begin{align*} C=c_N\sum\limits_{\{n_1,\ldots,n_N\}}c_{n_1,\cdots,n_N}. \end{align*} Лемма доказана.\endproof \par \begin{defin}\label{defmedlennomen}\rm{(см.~\cite[гл.1, с.1]{seneta})} \it Функция $L(x)$ называется медленно меняющейся на бесконечности, если она измерима и знакопостоянна на полуоси~$[A,\infty)$, $A>0$, и для произвольного $\lambda>0$ выполнено: \begin{equation*} \lim\limits_{x\to\infty}\frac{L(\lambda x)}{L(x)}=1. \end{equation*} Функция $L(x)$ называется медленно меняющейся в нуле, если $L(\frac{1}{x})$ медленно меняется на бесконечности. \end{defin} Медленно меняющимися на бесконечности являются, например, $\ln^{\alpha}(x)$, $\alpha\in\mathbb{R}$. \begin{thm}\label{Fmedlennomen} $F_N(x)$ --- медленно меняющиеся функции в нуле при всех $N\ge0$. \end{thm} \beginproofdot Достаточно доказать (см.~\cite[гл.1, с.15]{seneta}), что $F_N(x)$ --- знакопостоянны в окрестности $x=0$ (или, что тоже самое, $\tilde{F}_N(y)$ --- знакопостоянны в окрестности $y=-\infty$) и $$\lim\limits_{y\to-\infty}\frac{\tilde{F}_{N+1}(y)}{\tilde{F}_{N}(y)}=0.$$ Оба эти утверждения очевидно следуют из леммы~\ref{lemma3}. \endproof \begin{zam} Теорема остаётся справедливой, если последовательность~\eqref{posledovatF_N} построить по функции $F_0(x)=\left(\Phi^{-1}(x)\right)^n$, $n\in \mathbb{N}$. \end{zam} \bigskip\bigskip Мы весьма признательны Я.Ю. Никитину за ценные замечания и консультации по истории вопроса. \bibliographystyle{gost2008l} \bibliography{SVFpert} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% КОНЕЦ ДОКУМЕНТА %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%