% Template article for preprint document class `elsart' % SP 2001/01/05 % Modifié CG (ESME) pour Modele 3, une colonne, 2 titres, abstract/resume, % % Version francaise pour Mathematiques (CRAS série 1) % Modifié (CG, le 17 aout 2004) - rubrique(s), ps et presentateur % Le resume avant l'abstract comme dans le journal %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%% poisk voprosov po !!! %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentclass{elsart3-1} % Utiliser l'option doublespacing ou reviewcopy pour avoir une % inter-ligne double % \documentclass[doublespacing]{elsart} % Si vous avez des figures PostScript, utilisez l'extension 'graphics' % pour des commandes simples % \usepackage{graphics} % ou l'extension 'graphicx' pour des commandes plus compliquees % \usepackage{graphicx} % ou utilisez l'extension 'epsfig' si vous preferez les 'vielles' commandes % \usepackage{epsfig} % Pour des symboles mathematiques : \usepackage{amssymb} \usepackage[english,francais]{babel} %ENVIRONNEMENTS, THEOREMES, etc... % Ils sont predefines, et ils suivent le format de la revue ! %English \newtheorem{theorem}{Theorem}[section] \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{e-proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{e-definition}[theorem]{Definition\rm} \newtheorem{remark}{\it Remark\/} \newtheorem{example}{\it Example\/} %Français \newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}%[section] \newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme} \newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition} \newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire} \newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition\rm} \newtheorem{remarque}{\it Remarque} \newtheorem{exemple}{\it Exemple\/} \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} \setcounter{equation}{0} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% GUILLEMETS (FRENCH QUOTES) %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle$~}} \def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{~$\!\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$}} %\journal{the Acad\'emie des sciences} \begin{document} % Vous pouvez mettre dans la prochain ligne la rubrique choisie % (si vous la connaissez) - meme deux, format : Rubrique1/Rubrique2 \centerline{Analyse fonctionnelle} \begin{frontmatter} % Titre, auteurs et adresses % utiliser la commande \thanksref dans \title, \author ou \address % pour les notes en bas de page ; % utiliser la commande \ead pour l'adresse e-mail de chaque auteur % (après la commande \auteur) ; % \title{Title\thanksref{label1}} % \thanks[label1]{La recherche est soutenue %par la Commission de l'Enseignement Superieur du Pakistan et par des Subventions de RFBR 12-01-00216.} % \author{Name\thanksref{label2}} % \ead{email address} % % \thanks[label2]{} % \address{Address\thanksref{label3}} % \thanks[label3]{} \selectlanguage{francais} \title{Sur valeurs propres des op\'erateurs $(r,p)$-nucl\'eaires et conditions d'approximation d'ordre $(r,p)$} \thanks[1,2]{La recherche est soutenue par la Commission de l'Enseignement Sup\'erieur du Pakistan et par des Subventions de RFBR 12-01-00216.} % utiliser les étiquettes pour indiquer l'adresse de chaque auteur, % s'il y a plusieurs adresses % \author[1,2]{} %\address[1]{} %\address[2]{} \author[1]{Oleg Reinov}, \ead{orein51@mail.ru} \author[2]{Qaisar Latif} %\ead{orein51@mail.ru} \address[1]{Department of Mathematics and Mechanics, St. Petersburg State University, Saint Petersburg, RUSSIA} \address[2]{Abdus Salam School of Mathematical Sciences, 68-B, New Muslim Town, Lahore 54600, PAKISTAN} % etc, etc % Vous pouvez mettre a la prochaine ligne les dates % (de reception et d'acceptation), et le nom du presentateur de votre Note \medskip \selectlanguage{francais} %\begin{center} %{\small Re\c{c}u le *****~; accept\'e apr\`es r\'evision le +++++\\ %Pr\'esent\'e par £££££} %\end{center} \begin{abstract} % resume en francais, et apres l'abstract en anglais, qui % commence avec le titre en gras. \selectlanguage{francais} % Texte du résumé en français Nous \'etudions la distribution des valeurs propres des op\'erateurs $ (r, p) $-nucl\'eaires, en pr\'esentant une petite partie de th\'eorie de Fredholm de l'id\'eal correspondant, $ N_{r, p}. $ Par l'introduction d'une nouvelle notion de la propri\'et\'e d'approximation, $ AP_{r, p}, $ d'ordre $ (r, p),$ nous donne diff\'erents exemples, montrant que les r\'esultats obtenus sur les valeurs propres sont exactes. Pour cela, nous utilisons, en particulier, des exemples d'espaces sans les propri\'et\'es $ AP_{r, p}. $ Comme sous-produit de nos consid\'eration, nous obtenons quelques exemples d'op\'erateurs non $s$-nucl\'eaire $(s<1)$ avec $s$-nucl\'eaires duals, r\'epondant \`a une question %(probl\'eme 10.1 dans [2]) de A. Hinrichs et A. Pietsch . %{\it Pour citer cet article~: Oleg Reinov, Qaisar Latif, C. R. %Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).} \vskip 0.5\baselineskip \selectlanguage{english} \noindent{\bf Abstract} \vskip 0.5\baselineskip \noindent {\bf On eigenvalues of $(r,p)$-nclear operators and approximation properties of order $(r,p)$} We investigate the distribution of eigenvalues of $(r,p)$-nuclear operators, presenting a small part of Fredholm Theory for the corresponding ideal $N_{r,p}.$ Introducing a new notion of the approximation property, $AP_{r,p}.$ of order $(r,p),$ we give different examples, showing that obtained eigenvalues results are sharp. For this we use, in particular, examples of spaces without the properties $AP_{r,p}.$ As a by-product of our considerations, we obtain some examples of non $s$-nuclear operators $(s<1)$ with $s$-niclear adjoints, answering a question %(Problem 10.1 in [2]) of A. Hinrichs and A. Pietsch. %{\it To cite this article: Oleg Reinov, Qaisar Latif, C. R. %Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).} \end{abstract} \end{frontmatter} % Maintenant la version abrégée en anglais, si présente %\selectlanguage{english} %\section*{Abridged English version} % Texte de la version abrégée en anglais \selectlanguage{francais} % texte principale %\section{Introduction} %\label{} % etc, etc %%%%%%%%%%% Cette note est inspir\'ee par le r\'esultat suivant qui a \'et\'e prouv\'e dans [7]:\, $(*)$\, Soit $X$ un espace de Banach, soient $r\in(0,1],$ $1\le p\le2,$ $u\in X^*\widehat\otimes X,$ o\`u $u$ est de la form $u=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i x'_i\otimes x_i,$ o\`u $(\lambda_i)\in l_r,$ $(x'_i)$ est une suite born\'ee dans $X^*$ et $(x_i)\in l^w_{p'}(X).$ Si $1/r-1/p=1/2,$ alors la suite des valeures propres de l'op\'erateur d\'efini par $u$ (r\'ep\'et\'ees chacun celon son ordre de multiplicit\'e) est sommable, et a pour somme $\operatorname{trace}\, u.$ Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach, et $X^*\widehat\otimes Y$ est le produit tensoriel projective (compl\'et\'e) de $X^*$ et $Y.$ Soient $r\in(0,1]$ et $1\le p\le \infty.$ On d\'esigne par $X^*\widehat\otimes_{r,p} Y$ un sous-espace vectoriel de $X^*\widehat\otimes Y:$ $u\in X^*\widehat\otimes_{r,p} Y$ si et seulement si $u$ est de la form $%$ u=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i x'_i\otimes y_i,$%$ o\`u $(\lambda_i)\in l_r,$ $(x'_i)$ est une suite born\'ee dans $X^*$ et $(y_i)\in l^w_{p'}(X)$ (c'est que une s\'equence faiblement $p'$-sommable). Si $p=1,$ on a le produit tensoriel $X^*\widehat\otimes_r Y$ de A. Grothendieck [1], et $X^*\widehat\otimes_1Y=X^*\widehat\otimes Y.$ Il suit de $(*):$\ {\it Soit $X$ un espace de Banach, et soient $r\in(0,1],$ $1\le p\le2$ et $1/r-1/p=1/2.$ Alors l'application lin\'eaire canonique de $X^*\widehat\otimes_{r,p} X$ dans $L(X,X)$ est biunivoque. } Cette cons\'equence conduit \`a la definition suivante naturelle: {\definition Soit $r\in(0,1],$ $1\le p\le\infty.$ On dit que un espace de Banach $X$ { satisfait \`a la condition d'approximation d'ordre} $(r,p)$ (\`a la condition $AP_{r,p})$ si, pour tout espace de Banach $Y,$ l'application lin\'eaire canonique de $Y^*\widehat\otimes_{r,p} X$ dans $L(Y,X)$ est biunivoque. } Il n'est pas difficile \`a prouver: { \proposition Un espace de Banach $X$ satisfait \`a la condition $AP_{r,p}$ si et seulement si l'application lin\'eaire canonique de $X^*\widehat\otimes_{r,p} X$ dans $L(X,X)$ est biunivoque. %} En particulier, tout espace de Banach satisfait \`a la condition $AP_{r,p},$ o\`u $r\in(0,1],$ $1\le p\le2$ et $1/r-1/p=1/2.$ %} } On d\'esigne par $N_{r,p}(X,Y)$ un espace d'applications ("nucl\'eaires d'ordre $(r,p)$") associ\'ee \`a le produit tensoriel $X^*\widehat\otimes_{r,p} Y,$ muni de la quasi-norme naturelle. Maintenant, nous allons formuler les principaux r\'esultats de la note, et de montrer (exemples 1 - 3) que le th\'eor\`eme suivant est pr\'ecis. {\theoreme Soit $X$ un espace de Banach, et soient $r\in(0,1],$ $1\le p\le2$ et $1/s=1/r-1/p+1/2.$ Alors, pour tout $u\in X^*\widehat\otimes_{r,p} X,$ la suite de valeurs propres $(\mu_k(\tilde u))$ de l'application $\tilde u$ d\'efini par $u$ (r\'ep\'et\'ees chacun celon son ordre de multiplicit\'e) est de puissance s'\`eme sommable, et on a $ ||(\mu_k(\tilde u))||_{l_s}\le ||u||_{X^*\widehat\otimes_{r,p}X}. $ } {\remarque \rm Sur les conditions de la th\'eor\`eme 3, $\tilde u=u,$ c'est que l'application lin\'eaire canonique de $X^*\widehat\otimes_{r,p} X$ dans $L(X,X)$ est biunivoque. Le cas o\`u $ p = 1 $ est due \`a A. Grothendieck [1] ; le cas o\`u $p=2$ est due \`a A. Pietsch [5] . } Pour la preuve du th\'eor\`eme 3, nous avons besoin des deux r\'esultats suivants, qui sont de leur propre int\'er\^et. Pour appliquer ces propositions dans la preuve du th\'eor\`eme 3, nous utilisons \'egalement la deuxi\`eme partie de Proposition 2. Rapelons que, $E$ et $F$ \'etant deus espaces de Banach, on d\'esigne par $E\widehat{\widehat\otimes} F$ le produit tensoriel injective compl\'et\'e de $E$ et $F$ (un sous-espace vectoriel de $L(E^*,F),$ muni de la norme induite par $L(E^*,F)$). {\proposition Soient $X_0, X, Y_0, Y$ des espaces de Banach, et soient $r\in(0,1], p\in[1,\infty].$ Si $T\in N_{r,p}(X_0,Y_0)$ et $U\in N_{r,p}(X,Y),$ alors $T\widehat{\widehat\otimes} U\in N_{r,p}(X_0\widehat{\widehat\otimes}Y_0, X\widehat{\widehat\otimes}Y)$ et on a $||T\widehat{\widehat\otimes} U||_{N_{r,p}}\le ||T||_{N_{r,p}}\,||U||_{N_{r,p}}.$ } Soit $u\in X^*\widehat\otimes X,$ o\`u $X$ est un espace de Banach. Le d\'eterminant de Fredholm $\operatorname{det}\,\,(1-zu)$ de $u$ est une fonction enti\`er $\operatorname{det}\,\,(1-zu):= 1-\operatorname{trace}\, u+\dots +(-1)^nz^n\alpha_n(z)+\dots, $ don't les z\'eros sont exactment, avec les ordres de multiplicit\'ee correspondants, les inverses des valeurs propres non nulles de l'op\'erateur $\tilde u$ d\'efini par $u$ (voir %[2, Chap. I, \S2, no. 6]; [1, Chap.II, p.13]). {\proposition Sur les conditions de la th\'eor\`eme $3$, le d\'eterminant de Fredholm de $u,$ $u\in X^*\widehat\otimes_{r,p} X,$ est une fonction enti\`ere d'ordre $\le s$ et de genre z\'ero. Il existe un $M>0$ tel que $%$ |\operatorname{det}\,\, (1-zu)|\le e^{M\,|z|^s},\ z\in \mathbb C. $%$ } \^Apres les deux derni\`eres propositions sont obtenues, pour terminer la preuve du th\'eor\`eme 3, nous appliquons th\'eor\`emes classiques de Hadamard, Jensen et Borel.% (voir [4]). En consequence de la preuve, nous obtenons { \corollaire Sur les conditions de la th\'eor\`eme $3$, la trace unique est bien d\'efini et continue sur l'id\'eale $ N_{r, p} $ de les op\'erateurs $ (r, p)$-nucl\'eaire (qui correspond au produit tensoriel $\widehat\otimes_{r,p}).$ } { \corollaire Sur les conditions de la th\'eor\`eme $3$, le determinant unique est bien d\'efini et continue sur l'id\'eale $ N_{r, p} $ de les op\'erateurs $ (r, p)$-nucl\'eaire. } %%%%%%%%%%%%%%%% Pour montrer la pr\'ecision des r\'esultats ci-dessus, nous donnons quelques exemples (pas le plus simple): nous aimerions pr\'esenter ici aussi quelques contre-exemples a quelques questions naturelles dans la th\'eorie d'op\'erateurs dans les espaces de Banach (voir Remarque 5 pour l'id\'ee des constructions). \exemple \rm Soient $r\in(2/3,1], p\in(1,2], 1/r-1/p=1/2.$ Il existe des espaces de Banach $E$ et $V,$ $z_0\in E^*\widehat\otimes V, T\in L(V,E),$ telles que pour tout $p_0\in [1,p)$ 1)\, $z_0\in E^*\widehat\otimes_{r,1} V;$ 2)\, $V$ satisfait \`a la condition d'approximation m\'etrique de A. Grothendieck; 3)\, $V$ est de type $p_0$ et de cotype $2;$ 4)\, $T\circ z_0\in E^*\widehat\otimes_{r,p_0} E;$ 5)\, $\operatorname{trace}\, T\circ z_0=1;$ 6)\, l'op\'erateur correspondant, $\widetilde{T\circ z_0},$ est identiquement nul, donc, n'a pas de valeur propre non nul. \remarque \rm Pour $r=1$ et $p=2,$ on obtient la exactitude d'une resultat correspondent de A. Pietsch [5]. \exemple \rm Soient $r\in[2/3,1), p\in[1,2), 1/r-1/p=1/2.$ Il existe des espaces de Banach $E$ et $V,$ $z_0\in E^*\widehat\otimes V, T\in L(V,E),$ telles que pour tout $\epsilon>0$ 1)\, $z_0\in E^*\widehat\otimes_{r+\epsilon,1} V;$ 2)\, $V$ satisfait \`a la condition d'approximation m\'etrique de A. Grothendieck; 3)\, $T\circ z_0\in E^*\widehat\otimes_{r+\epsilon,p} E;$ 5)\, $\operatorname{trace}\, T\circ z_0=1;$ 6)\, l'op\'erateur correspondant, $\widetilde{T\circ z_0},$ est identiquement nul, donc, n'a pas de valeur propre non nul. %{\bf Remarque 2.}\ \remarque \rm Pour $r=2/3$ et $p=1,$ on obtient la exactitude d'une resultat correspondent classique de A. Grothendieck [1]. \remarque \rm Tous les r\'esultats ci-dessus peuvent \^etre formul\'es et se sont prouv\'e aussi pour le cas o\`u l'on consid\'er\'e la situation "dual", a savoir, les produits tensoriel $\widehat\otimes^{r,p},$ o\`u dans la d\'efinition correspondante, la fonctionnelle sont faiblement $ p'$-sommable et la sequence $ (x_k) $ appartient \`a l'espace $ l_r. $ \remarque \rm Constructions dans les exemples 1 et 2 utilisent l'existence d'un \'el\'ement tenseur $w\in X^*\widehat\otimes X$ avec une s\'eparables $ X,$ tel que $w\neq0$ et $\tilde{w}=0,$ et $w\in X^*\widehat\otimes_{q} X$ pour tout $q>2/3$ (P. Enflo). Comme une question de fait, d'une part, nous construisons une paire $v_1\in X^*\widehat\otimes_{r,1} Y$ et $S\in L(Y,X)$ avec r\'eflexif s\'eparable $ Y $ tel que $v:=S\circ v_1\in X^*\widehat\otimes X$ et admet une repr\'esentation d'une forme $v=\sum x'_k\otimes x_k,$ o\`u $ (x'_k) $ est faiblement $p'_0$-sommable pour tout $ p_0 \in [1,p) $ et $(x_k)\in l_r(Y).$ De plus, $ \operatorname{trace}\, v = 1 $, mais l'op\'erateur correspondant $ \tilde v = 0 $ (donc pas de non z\'ero valeurs propres). Pour obtenir exemple suivant, nous utilisons cette construction (c'est-a-dire, $X, Y, v, v_1, S, r, p).$ Ainsi, nous allons donner une autre (simple) exemple, qui r\'epond simultan\'ement en negatif question suivante pos\'ee dans [2] par A. Hinrichs et A. Pietsch (Probl\`eme 10.1): soit $T\in L(X,Y), T^*\in N_s(Y^*,X^*), s\in(0,1).$ Est-T $s$-nucl\'eaire? [Comparer le r\'esultat suivant des faits de papier de Reinov [6]] \exemple \rm Soient $r\in(2/3,1]$, $p\in(1,2], 1/r-1/p=1/2.$ Il existe deux espaces s\'eparable de Banach $X$ et $Z$ tels que (i)\, $Z^{**}$ et s\'eparable et a un base; (ii)\, $\exists \, V\in X^*\widehat\otimes Z^{**}: \ V=\sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes z''_k; $\ $(x'_k)$ est faiblement $p'_0$-sommable pour tout $p_0\in [1,p);$ $(z''_k)\in l_r(Z^{**})$ (c'est a dire, $V\in N^{r, p_0}(X,Z^{**});$ (iii)\, $V(X)\subset Z; $ $V$ n'est pas nucl\'eaire comme une application de $X$ dans $Z.$ De plus, il existe un op\'erateur $U:Z^{**}\to Z$ tel que $(\alpha)$\, $\pi_ZU\in N^{r,p_0}(Z^{**},Z^{**})=Z^{***}\widehat\otimes^{r,p_0} Z^{**},\ \forall \, p_0\in[1,p);$ $(\beta)$\, $U$ n'est pas nucl\'eaire comme une application de $Z^{**}$ dans $Z;$ $(\gamma)$\, $\operatorname{trace}\, \pi_ZU=1;$ $(\delta)$\, $\pi_ZU: Z^{**}\to Z^{**}$ n'a pas de valeurs propres non nul. {\it Preuve}. \, Prenant $X,$ $v\in X^*\widehat\otimes X$ comme ci-dessus avec $\operatorname{trace}\, v=1$ et $ \tilde v = 0, $ consid\'erer (voir [4]) un espace de Banach s\'eparable $ Z $ tel que $ Z^{**} $ est s\'eparable, dispose d'une base, et il existe une application quotient $\varphi: Z^{**}\to X$ avec $\varphi^{-1}(0)=\pi_ZZ$ et $\varphi^*(X^*)$ \'etant compl\'ement\'e dans $Z^{***}.$ L'\'el\'ement tenseur $ v $ peut \^etre lev\'e dans un \'el\'ement tenseur $V\in X^*\widehat\otimes Z^{**}$ de sorte que $V=\sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes z''_k,$ ou $ (x'_k) $ est le faible $p'_0 $-sommable pour chaque $ p_0 \in [1, p) $ et $(z''_k)\in l_r(Z^{**}).$ Puisque $\varphi V=\tilde v=0,$ alors $V(X)\subset \pi_ZZ=Z;$ nous d\'esignons par $V_0 $ l'op\'erateur de $ X $ a $ Z $ d\'efinie par $ V. $ Par cons\'equent, $\varphi \pi_Z V_0=\varphi V=0.$ Supposons que $V_0\in N_1(X,Z),$ et laissez $V_0=\sum f'_k\otimes z_k$ est une repr\'esentation nucl\'eaire de $ V_0. $ Puis $V_0\neq0,$ $Z$ a l'AP et $\operatorname{trace}\, \varphi \pi_Z V_0=1.$ Mais $\operatorname{trace}\, \varphi \pi_Z V_0=\sum \langle f'_k,\varphi \pi_Z z_k\rangle=\sum 0=0,$ car $\varphi|_{\pi_ZZ}=0.$ Donc, $V_0 $ ne peut pas \^etre nucl\'eaire de $ X $ a $ Z.$ Soit dit en passant, $V_0^*$ est, \'evidemment, $ r $-nucl\'eaire. Pour la deuxi\`eme partie de l'affirmation, il suffit de mettre $U:= V_0\varphi: Z^{**}\to X\to Z.$ Nous terminons la note de donner une nouvelle preuve de la deuxi\`eme partie de Proposition 2, et nous esp\'erons que cette d\'emonstration est de son propre int\'er\^et, en raison d'un caract\'ere inhabituel. Pour cette raison: Soit $X\notin AP_{r,p}$ ou $1/r-1/p=1/2.$ Soit $z\in X^*\widehat\otimes_{r,p} X$ est telle que $\operatorname{trace}\, z=1, \tilde z=0.$ Depuis $z=\sum x'_k\otimes x_k,$ ou $(x'_k)\in l_r(X^*) $ et $ (x_k) $ est faiblement $ p'$-sommable, alors $ \tilde z $ peut \^etre pris comme $$ \tilde z=Vj\Delta A:\ X\to l_\infty \to l_1 \to l_p \to X, $$ o\`u toutes les applications sont continues, $ j: l_1\to l_p$ est l'injection, $ \Delta: l_\infty\to l_1$ est un op\'erateur diagonal avec une diagonale de $ l_r. $ Comme $\tilde z=0,$ on a que $V|_{j\Delta A(X)}=0.$ Consid\'erez $S:= j\Delta AV: l_p\to l_p.$ De toute \'evidence, $S^2=0$ et $\operatorname{trace}\, S=\operatorname{trace}\, z=1.$ Depuis $S\in N_r(l_p,l_p)$ \, $(r$-nucl\'eaire), $\operatorname{trace}\, S $ est \'egal a la somme de toutes les valeurs propres de $ S $ (voir [3, Theorem 2.b.13], [8]). Une contradiction avec $S^2=0.$ \remarque \rm De la m\'em\'e mani\'er\'e (comme ci-dessus pour $AP_{r,p}$), on peut introduire la propri\'et\'e d'approximation $ AP^{r, p} $ d'ordre $ (r, p)^{dual} $ (en utilisant le produit tensoriel $ \widehat\otimes^{r, p}; $ voir ci-dessus). Ensuite, nous pouvons montrer que tout espace de Banach satisfait \`a la condition d'approximation d'ordre $(r,p)^{dual},$ o\`u $1/r-1/p=1/2$ (la preuve est analogue). {\remarque \rm Il y a une autre fa\c{c}on de prouver notre th\'eor\`eme principal 3: utiliser la derni\`ere assertion sur $AP_{r,p}$ pour tout espace de Banach, montrer que $N_{r,p}$ est de type spectral 1 et appliquer le th\'eor\`eme de White [9]. Comparer avec [8]. La m\'em\'e chose peut \^etre dit a propos de la situation "dual" avec $N^{r,p}$-id\'eal. \remarque \rm Et pour finir cette note, nous remarquons que le th\'eor\`eme 3 peut \^etre prouve aussi (la troisi\`eme voie) par la m\'ethode de Grothendieck [1] qui a \'et\'e utilise par le premier auteur dans [7]. Sachant que $ N_{r, p} = \widehat\otimes_{r, p} $ pour valeurs correspondantes $(r, p) $ (une assertion ci-dessus), on peut d\'eduire de la preuve dans [7] que dans $(r,p)$-cas, le d\'eterminant de Fredholm est d'ordre $ s $ et de genre z\'ero. %(oui, obtainig plus de la proposition 5 ci-dessus). %!!! De la, il est facile d'obtenir la conclusion du th\'eor\'eme 3. La m\'em\'e chose peut \^etre fait pour la $N^{r,p}$-situation. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Les remerciements sont dans une section, sans numérotation %\section*{Remerciements} % Remerciements - texte ici \begin{thebibliography}{00} % Essayez à utiliser le systeme 'bibitem', % avec les references en ordre alphabetique. % \bibitem{label1} % Texte %%%%%%%%%%%%%%%% \bibitem{1} A.~Grothendieck, {Produits tensoriels topologiques et \'espaces nucl\'eaires}, {Mem. Amer. Math. Soc.}, {16} (1955). \bibitem{2} A. Hinrichs, A. Pietsch, {$p$-nuclear operators in the sense of Grothendieck}, Math. Nachr. {283} (2010), 232--261. \bibitem{3} H. K\"onig, {Eigenvalue distribution of compact operators}, Birkh\"auser, Boston, 1986. \bibitem{4} J. Lindenstrauss, {On James' paper "Separable Conjugate Spaces"}, Israel J. Math. {9} (1971), 279-284. \bibitem{8} A. Pietsch, {Operator Ideals}, North Holland, 1980. \bibitem{6} O.I. Reinov, {Approximation properties $AP_s$ and p-nuclear operators (the case $0