% Template article for preprint document class `elsart'
% SP 2001/01/05
% Modifié CG (ESME) pour Modele 3, une colonne, 2 titres, abstract/resume,
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%  Version francaise pour Mathematiques (CRAS série 1)
% Modifié (CG, le 17 aout 2004) - rubrique(s), ps et presentateur
%    Le resume avant l'abstract comme dans le journal
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%% poisk voprosov po !!!


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\documentclass{elsart3-1}

% Utiliser l'option doublespacing ou reviewcopy pour avoir une
% inter-ligne double
% \documentclass[doublespacing]{elsart}

% Si vous avez des figures PostScript, utilisez l'extension 'graphics'
% pour des commandes simples
% \usepackage{graphics}

% ou l'extension 'graphicx' pour des commandes plus compliquees
% \usepackage{graphicx}

% ou utilisez l'extension 'epsfig' si vous preferez les 'vielles' commandes
% \usepackage{epsfig}

% Pour des symboles mathematiques :
\usepackage{amssymb}

\usepackage[english,francais]{babel}

%ENVIRONNEMENTS, THEOREMES, etc...
% Ils sont predefines, et ils suivent le format de la revue !
%English
\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma}
\newtheorem{e-proposition}[theorem]{Proposition}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary}
\newtheorem{e-definition}[theorem]{Definition\rm}
\newtheorem{remark}{\it Remark\/}
\newtheorem{example}{\it Example\/}
%Français
\newtheorem{theoreme}{Th\'eor\`eme}%[section]
\newtheorem{lemme}[theoreme]{Lemme}
\newtheorem{proposition}[theoreme]{Proposition}
\newtheorem{corollaire}[theoreme]{Corollaire}
\newtheorem{definition}[theoreme]{D\'efinition\rm}
\newtheorem{remarque}{\it Remarque}
\newtheorem{exemple}{\it Exemple\/}
\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
\setcounter{equation}{0}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% GUILLEMETS (FRENCH QUOTES) %%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\og{\leavevmode\raise.3ex\hbox{$\scriptscriptstyle\langle\!\langle$~}}
\def\fg{\leavevmode\raise.3ex\hbox{~$\!\scriptscriptstyle\,\rangle\!\rangle$}}


%\journal{the Acad\'emie des sciences}
\begin{document}
% Vous pouvez mettre dans la prochain ligne la rubrique choisie
% (si vous la connaissez) - meme deux, format : Rubrique1/Rubrique2
\centerline{Analyse fonctionnelle}
\begin{frontmatter}

% Titre, auteurs et adresses

% utiliser la commande \thanksref dans \title, \author ou \address
%     pour les notes en bas de page ;

% utiliser la commande \ead pour l'adresse e-mail de chaque auteur
%    (après la commande \auteur) ;

% \title{Title\thanksref{label1}}
% \thanks[label1]{La recherche est soutenue 
%par la Commission de l'Enseignement Superieur du Pakistan et par des Subventions de RFBR 12-01-00216.}
% \author{Name\thanksref{label2}}
% \ead{email address}
%
% \thanks[label2]{}
% \address{Address\thanksref{label3}}
% \thanks[label3]{}
\selectlanguage{francais}
\title{Sur valeurs propres des op\'erateurs $(r,p)$-nucl\'eaires et 
conditions d'approximation d'ordre $(r,p)$}
\thanks[1,2]{La recherche est soutenue 
par la Commission de l'Enseignement Sup\'erieur du Pakistan et par des Subventions de RFBR 12-01-00216.}
% utiliser les étiquettes pour indiquer l'adresse de chaque auteur,
%     s'il y a plusieurs adresses

% \author[1,2]{}
 %\address[1]{}
 %\address[2]{}

\author[1]{Oleg Reinov},
\ead{orein51@mail.ru}
\author[2]{Qaisar Latif}
%\ead{orein51@mail.ru}

\address[1]{Department of Mathematics and Mechanics, St. Petersburg State University,
Saint Petersburg, RUSSIA}
\address[2]{Abdus Salam School of Mathematical Sciences, 68-B, New Muslim Town, Lahore 54600, PAKISTAN}
% etc, etc

% Vous pouvez mettre a la prochaine ligne les dates
% (de reception et d'acceptation), et le nom du presentateur de votre Note

\medskip
\selectlanguage{francais}
%\begin{center}
%{\small Re\c{c}u le *****~; accept\'e apr\`es r\'evision le +++++\\
%Pr\'esent\'e par £££££}
%\end{center}

\begin{abstract}
% resume en francais, et apres l'abstract en anglais, qui
%    commence avec le titre en gras.
\selectlanguage{francais}
% Texte du résumé en français
Nous \'etudions la distribution des valeurs propres   des op\'erateurs $ (r, p) $-nucl\'eaires, 
en pr\'esentant une petite partie de th\'eorie de Fredholm  de l'id\'eal correspondant, $ N_{r, p}. $
Par l'introduction d'une nouvelle notion de la propri\'et\'e d'approximation, 
$ AP_{r, p}, $ d'ordre $ (r, p),$ nous donne diff\'erents exemples, montrant que les r\'esultats obtenus sur les valeurs propres sont exactes.
Pour cela, nous utilisons, en particulier, des exemples d'espaces sans les propri\'et\'es $ AP_{r, p}. $
Comme sous-produit de nos consid\'eration, nous obtenons quelques exemples d'op\'erateurs non $s$-nucl\'eaire $(s<1)$
avec $s$-nucl\'eaires   duals, r\'epondant \`a une question %(probl\'eme 10.1 dans [2]) 
de A.  Hinrichs et A. Pietsch .
%{\it Pour citer cet article~: Oleg Reinov, Qaisar Latif, C. R.
%Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).}
\vskip 0.5\baselineskip                                          

\selectlanguage{english}     
\noindent{\bf Abstract} 
\vskip 0.5\baselineskip
\noindent
{\bf On eigenvalues of $(r,p)$-nclear operators and approximation properties of order  $(r,p)$}
We investigate the distribution of eigenvalues of  $(r,p)$-nuclear operators, presenting a small part of Fredholm Theory for the corresponding ideal $N_{r,p}.$
Introducing a new notion of the approximation property, $AP_{r,p}.$ of order $(r,p),$ we give different examples, showing that obtained eigenvalues results are sharp. 
For this we use, in particular, examples of spaces without the properties $AP_{r,p}.$ 
As a by-product of our considerations, we obtain some examples of non $s$-nuclear operators $(s<1)$ 
with $s$-niclear adjoints, answering a question %(Problem 10.1 in [2]) 
of A.  Hinrichs and A. Pietsch.
%{\it To cite this article: Oleg Reinov, Qaisar Latif, C. R.
%Acad. Sci. Paris, Ser. I 340 (2005).}

\end{abstract}
\end{frontmatter}

% Maintenant la version abrégée en anglais, si présente
%\selectlanguage{english}
%\section*{Abridged English version}
% Texte de la version abrégée en anglais

\selectlanguage{francais}
% texte principale
%\section{Introduction}
%\label{}
% etc, etc
           %%%%%%%%%%%


 Cette note est inspir\'ee  par le r\'esultat suivant qui a \'et\'e prouv\'e dans [7]:\, 
  $(*)$\, Soit $X$ un espace de Banach, soient $r\in(0,1],$ $1\le p\le2,$ $u\in X^*\widehat\otimes X,$
 o\`u $u$ est de la form $u=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i x'_i\otimes x_i,$ o\`u $(\lambda_i)\in l_r,$
 $(x'_i)$ est une suite born\'ee dans $X^*$ et $(x_i)\in l^w_{p'}(X).$
 Si $1/r-1/p=1/2,$ alors la suite des valeures propres de l'op\'erateur d\'efini par $u$
 (r\'ep\'et\'ees chacun celon son ordre de multiplicit\'e) est sommable, et a pour somme $\operatorname{trace}\, u.$
 
 Soient $X$ et $Y$ deux espaces de Banach, et $X^*\widehat\otimes Y$ est le produit tensoriel projective (compl\'et\'e)
 de $X^*$ et $Y.$
 Soient $r\in(0,1]$ et $1\le p\le \infty.$ On  d\'esigne par $X^*\widehat\otimes_{r,p} Y$ un sous-espace vectoriel de $X^*\widehat\otimes Y:$
 $u\in X^*\widehat\otimes_{r,p} Y$ si et seulement si $u$ est de la form
 $%$
 u=\sum_{i=1}^\infty \lambda_i x'_i\otimes y_i,$%$
  o\`u $(\lambda_i)\in l_r,$
 $(x'_i)$ est une suite born\'ee dans $X^*$ et $(y_i)\in l^w_{p'}(X)$
 (c'est que une s\'equence faiblement $p'$-sommable).
 Si $p=1,$ on a le produit tensoriel $X^*\widehat\otimes_r Y$ de A. Grothendieck [1], et
 $X^*\widehat\otimes_1Y=X^*\widehat\otimes Y.$
 
 
 Il suit de $(*):$\ {\it
 Soit $X$ un espace de Banach, et soient $r\in(0,1],$ $1\le p\le2$ et $1/r-1/p=1/2.$
 Alors l'application lin\'eaire canonique de $X^*\widehat\otimes_{r,p} X$ dans $L(X,X)$ est biunivoque. }
 

 Cette cons\'equence conduit \`a la definition suivante naturelle:
 

 {\definition
 Soit $r\in(0,1],$ $1\le p\le\infty.$ On dit que un espace de Banach $X$ { satisfait \`a la condition d'approximation d'ordre}
 $(r,p)$ (\`a la condition $AP_{r,p})$ si, pour tout espace de Banach $Y,$
   l'application lin\'eaire canonique de $Y^*\widehat\otimes_{r,p} X$ dans $L(Y,X)$ est biunivoque.
     }
   
   
   Il n'est pas difficile \`a prouver:
   
  
{    \proposition
 Un espace de Banach $X$ satisfait \`a la condition $AP_{r,p}$ si et seulement si
 l'application lin\'eaire canonique de $X^*\widehat\otimes_{r,p} X$ dans $L(X,X)$ est biunivoque. %} 
En particulier,  tout espace de Banach satisfait \`a la condition $AP_{r,p},$ 
 o\`u $r\in(0,1],$ $1\le p\le2$ et $1/r-1/p=1/2.$ %}
 }
 
 On d\'esigne par $N_{r,p}(X,Y)$ un espace d'applications ("nucl\'eaires d'ordre $(r,p)$") associ\'ee
 \`a le produit tensoriel $X^*\widehat\otimes_{r,p} Y,$ muni de la quasi-norme naturelle.
 Maintenant, nous allons formuler les principaux r\'esultats de la note, et de montrer (exemples 1 - 3) que le th\'eor\`eme suivant est pr\'ecis.
 
{\theoreme
 Soit $X$ un espace de Banach, et soient $r\in(0,1],$ $1\le p\le2$ et $1/s=1/r-1/p+1/2.$
 Alors, pour tout $u\in X^*\widehat\otimes_{r,p} X,$ la suite de valeurs propres $(\mu_k(\tilde u))$ de l'application $\tilde u$
 d\'efini par $u$ (r\'ep\'et\'ees chacun celon son ordre de multiplicit\'e) est de puissance s'\`eme sommable, et on a
 $
 ||(\mu_k(\tilde u))||_{l_s}\le ||u||_{X^*\widehat\otimes_{r,p}X}.
 $   }

 {\remarque   \rm
 Sur les conditions de la th\'eor\`eme 3,
$\tilde u=u,$  c'est que l'application lin\'eaire canonique de $X^*\widehat\otimes_{r,p} X$ dans $L(X,X)$ est biunivoque.
Le cas o\`u $ p = 1 $ est due \`a A. Grothendieck [1] ; le cas o\`u  $p=2$ est due \`a A. Pietsch [5] .
  }

Pour la preuve du th\'eor\`eme 3, nous avons besoin des deux r\'esultats suivants, qui sont de leur propre int\'er\^et.
Pour appliquer ces propositions dans la preuve du th\'eor\`eme 3, nous utilisons \'egalement la deuxi\`eme partie de Proposition 2.

Rapelons que, $E$ et $F$ \'etant deus espaces de Banach, on d\'esigne
par $E\widehat{\widehat\otimes} F$ le produit tensoriel injective compl\'et\'e de $E$ et $F$ 
(un sous-espace vectoriel de $L(E^*,F),$ muni de la norme induite par  $L(E^*,F)$).




{\proposition
Soient  $X_0, X, Y_0, Y$ des espaces de Banach, et soient $r\in(0,1], p\in[1,\infty].$
Si $T\in N_{r,p}(X_0,Y_0)$ et $U\in N_{r,p}(X,Y),$ alors
$T\widehat{\widehat\otimes} U\in N_{r,p}(X_0\widehat{\widehat\otimes}Y_0, X\widehat{\widehat\otimes}Y)$ et on a
$||T\widehat{\widehat\otimes} U||_{N_{r,p}}\le ||T||_{N_{r,p}}\,||U||_{N_{r,p}}.$
 }
 
 Soit $u\in X^*\widehat\otimes X,$ o\`u $X$ est un espace de Banach. Le d\'eterminant de Fredholm  $\operatorname{det}\,\,(1-zu)$
 de $u$ est une fonction enti\`er
 $\operatorname{det}\,\,(1-zu):= 1-\operatorname{trace}\, u+\dots +(-1)^nz^n\alpha_n(z)+\dots, $
 don't les z\'eros sont exactment, avec les ordres de multiplicit\'ee correspondants, les inverses des valeurs propres
 non nulles de l'op\'erateur $\tilde u$ d\'efini par $u$ (voir %[2, Chap. I, \S2, no. 6]; 
 [1, Chap.II, p.13]).
 
 {\proposition
  Sur les conditions de la th\'eor\`eme $3$,
 le d\'eterminant de Fredholm de $u,$ $u\in X^*\widehat\otimes_{r,p} X,$
 est une fonction enti\`ere
 d'ordre $\le s$ et de genre z\'ero. Il existe un $M>0$ tel que
 $%$
 |\operatorname{det}\,\, (1-zu)|\le e^{M\,|z|^s},\ z\in \mathbb C.
 $%$ 
 }
 

                       
  \^Apres les deux derni\`eres propositions sont obtenues, pour terminer la preuve du th\'eor\`eme 3, nous appliquons th\'eor\`emes 
  classiques de Hadamard, Jensen et Borel.% (voir [4]).
 
 
 
 
 En consequence de la preuve, nous obtenons
 
 

 { \corollaire
  Sur les conditions de la th\'eor\`eme $3$, 
  la trace  unique est bien d\'efini et continue sur  l'id\'eale $ N_{r, p} $ de les op\'erateurs $ (r, p)$-nucl\'eaire (qui correspond au produit tensoriel $\widehat\otimes_{r,p}).$ }
 

    { \corollaire
   Sur les conditions de la th\'eor\`eme $3$, 
 le determinant unique est bien d\'efini et continue sur  l'id\'eale $ N_{r, p} $ de les op\'erateurs $ (r, p)$-nucl\'eaire. }


 %%%%%%%%%%%%%%%%
 Pour montrer la pr\'ecision des r\'esultats ci-dessus, nous donnons quelques exemples (pas le plus simple):
nous aimerions  pr\'esenter ici aussi quelques contre-exemples a quelques questions naturelles
dans la th\'eorie d'op\'erateurs dans les espaces de Banach (voir Remarque 5 pour l'id\'ee des constructions).



\exemple    \rm
Soient $r\in(2/3,1], p\in(1,2], 1/r-1/p=1/2.$
Il existe des espaces de Banach $E$ et $V,$ $z_0\in E^*\widehat\otimes V, T\in L(V,E),$ 
telles que pour tout $p_0\in [1,p)$

1)\, $z_0\in E^*\widehat\otimes_{r,1} V;$

2)\, $V$ satisfait \`a la condition d'approximation m\'etrique de A. Grothendieck;

3)\, $V$ est de type $p_0$ et de cotype $2;$

4)\, $T\circ z_0\in E^*\widehat\otimes_{r,p_0} E;$

5)\, $\operatorname{trace}\, T\circ z_0=1;$

6)\, l'op\'erateur correspondant, $\widetilde{T\circ z_0},$  est identiquement nul, donc, n'a pas de valeur propre non nul.  


\remarque       \rm
Pour $r=1$ et $p=2,$ on obtient la exactitude d'une resultat correspondent de A. Pietsch [5].  
 

 \exemple     \rm
Soient $r\in[2/3,1), p\in[1,2), 1/r-1/p=1/2.$
Il existe des espaces de Banach $E$ et $V,$ $z_0\in E^*\widehat\otimes V, T\in L(V,E),$ 
telles que pour tout $\epsilon>0$

1)\, $z_0\in E^*\widehat\otimes_{r+\epsilon,1} V;$

2)\, $V$ satisfait \`a la condition d'approximation m\'etrique de A. Grothendieck;

3)\, $T\circ z_0\in E^*\widehat\otimes_{r+\epsilon,p} E;$

5)\, $\operatorname{trace}\, T\circ z_0=1;$

6)\, l'op\'erateur correspondant, $\widetilde{T\circ z_0},$  est identiquement nul, donc, n'a pas de valeur propre non nul.  

%{\bf Remarque 2.}\
\remarque    \rm
Pour $r=2/3$ et $p=1,$ on obtient la exactitude d'une resultat correspondent classique de A. Grothendieck [1].   


\remarque        \rm
Tous les r\'esultats ci-dessus peuvent \^etre formul\'es et se sont prouv\'e aussi pour le cas o\`u l'on consid\'er\'e la situation "dual", a savoir,
les produits tensoriel $\widehat\otimes^{r,p},$ o\`u dans la d\'efinition correspondante, la fonctionnelle sont faiblement $ p'$-sommable et la sequence $ (x_k) $ appartient \`a l'espace $ l_r. $



\remarque      \rm
  Constructions dans les exemples 1 et 2 utilisent l'existence d'un \'el\'ement tenseur $w\in X^*\widehat\otimes X$ avec une s\'eparables $ X,$ 
  tel que $w\neq0$ et $\tilde{w}=0,$
  et $w\in X^*\widehat\otimes_{q} X$ 
  pour tout $q>2/3$ (P. Enflo).
Comme une question de fait, d'une part, nous construisons une paire $v_1\in X^*\widehat\otimes_{r,1} Y$ et $S\in L(Y,X)$  avec r\'eflexif s\'eparable $ Y $ 
tel que $v:=S\circ v_1\in X^*\widehat\otimes X$
et admet une repr\'esentation d'une forme $v=\sum x'_k\otimes x_k,$  o\`u $ (x'_k) $ est faiblement $p'_0$-sommable pour tout $ p_0 \in [1,p) $ et $(x_k)\in l_r(Y).$
De plus, $ \operatorname{trace}\, v = 1 $, mais l'op\'erateur correspondant $ \tilde v = 0 $ (donc pas de non z\'ero valeurs propres).
Pour obtenir exemple suivant, nous utilisons cette construction (c'est-a-dire, $X, Y, v, v_1, S, r, p).$
 

Ainsi, nous allons donner une autre (simple) exemple, qui r\'epond  simultan\'ement en negatif question suivante pos\'ee dans  [2] par A. Hinrichs et A. Pietsch (Probl\`eme 10.1):
soit $T\in L(X,Y), T^*\in N_s(Y^*,X^*), s\in(0,1).$ 
Est-T $s$-nucl\'eaire? [Comparer le r\'esultat suivant des faits de papier de Reinov [6]]





\exemple     \rm
Soient $r\in(2/3,1]$, $p\in(1,2], 1/r-1/p=1/2.$
Il existe deux espaces s\'eparable de Banach $X$ et $Z$ tels que 

(i)\, $Z^{**}$ et s\'eparable et a un base;

(ii)\, $\exists \, V\in X^*\widehat\otimes Z^{**}: \ V=\sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes z''_k; $\ $(x'_k)$  est faiblement
$p'_0$-sommable pour tout $p_0\in [1,p);$ $(z''_k)\in l_r(Z^{**})$ (c'est a dire, $V\in N^{r, p_0}(X,Z^{**});$

(iii)\, $V(X)\subset Z; $  $V$ n'est pas nucl\'eaire comme une application de $X$ dans $Z.$ 

De plus,
il existe un op\'erateur $U:Z^{**}\to Z$ tel que

$(\alpha)$\, $\pi_ZU\in N^{r,p_0}(Z^{**},Z^{**})=Z^{***}\widehat\otimes^{r,p_0} Z^{**},\ \forall \, p_0\in[1,p);$

$(\beta)$\, $U$ n'est pas nucl\'eaire comme une application de $Z^{**}$ dans $Z;$

$(\gamma)$\, $\operatorname{trace}\, \pi_ZU=1;$

$(\delta)$\, $\pi_ZU: Z^{**}\to Z^{**}$ n'a pas de  valeurs propres non nul.



 
 {\it Preuve}. \,
Prenant $X,$ $v\in X^*\widehat\otimes X$  comme ci-dessus avec $\operatorname{trace}\, v=1$ et $ \tilde v = 0, $ consid\'erer (voir [4]) un espace de Banach s\'eparable $ Z $ tel que $ Z^{**} $ est s\'eparable, 
dispose d'une base, 
 et il existe une application quotient $\varphi: Z^{**}\to X$ avec $\varphi^{-1}(0)=\pi_ZZ$ et $\varphi^*(X^*)$ \'etant compl\'ement\'e dans $Z^{***}.$
 L'\'el\'ement tenseur $ v $ peut \^etre lev\'e dans un \'el\'ement tenseur $V\in X^*\widehat\otimes Z^{**}$ 
 de sorte que $V=\sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes z''_k,$  ou $ (x'_k) $ est le  faible $p'_0 $-sommable pour chaque $ p_0 \in [1, p) $
  et $(z''_k)\in l_r(Z^{**}).$ Puisque $\varphi V=\tilde v=0,$ alors $V(X)\subset \pi_ZZ=Z;$ nous d\'esignons par $V_0 $ l'op\'erateur de $ X $ a $ Z $ d\'efinie par $ V. $
 Par cons\'equent, $\varphi \pi_Z V_0=\varphi V=0.$ Supposons que $V_0\in N_1(X,Z),$ et laissez $V_0=\sum f'_k\otimes z_k$ est une repr\'esentation nucl\'eaire de $ V_0. $
 Puis $V_0\neq0,$ $Z$ a l'AP et $\operatorname{trace}\, \varphi \pi_Z V_0=1.$
 Mais $\operatorname{trace}\, \varphi \pi_Z V_0=\sum \langle f'_k,\varphi \pi_Z z_k\rangle=\sum 0=0,$ car $\varphi|_{\pi_ZZ}=0.$
 Donc, $V_0 $ ne peut pas \^etre nucl\'eaire de $ X $ a $ Z.$ Soit dit en passant, $V_0^*$ est, \'evidemment, $ r $-nucl\'eaire.
  Pour la deuxi\`eme partie de l'affirmation, il suffit de mettre
 $U:= V_0\varphi: Z^{**}\to X\to Z.$
 


Nous terminons la note de donner une nouvelle preuve de la deuxi\`eme partie de Proposition 2, 
 et nous esp\'erons que cette d\'emonstration est de son propre int\'er\^et, en raison d'un caract\'ere inhabituel.
Pour cette raison:

Soit $X\notin AP_{r,p}$  ou $1/r-1/p=1/2.$ Soit $z\in X^*\widehat\otimes_{r,p} X$ est telle que
 $\operatorname{trace}\, z=1, \tilde z=0.$ 
Depuis $z=\sum x'_k\otimes x_k,$ ou $(x'_k)\in l_r(X^*) $ et $ (x_k) $ est faiblement $ p'$-sommable, alors $ \tilde z $ peut \^etre pris comme
  $$
 \tilde z=Vj\Delta A:\  X\to l_\infty \to l_1 \to l_p \to X,
 $$
 o\`u toutes les applications sont continues, $ j:  l_1\to l_p$ est l'injection, $ \Delta: l_\infty\to l_1$ 
 est un op\'erateur diagonal avec une diagonale de $ l_r. $
 Comme $\tilde z=0,$ on a que $V|_{j\Delta A(X)}=0.$ Consid\'erez $S:= j\Delta AV: l_p\to l_p.$
 De toute \'evidence, $S^2=0$ et $\operatorname{trace}\, S=\operatorname{trace}\, z=1.$ 
 Depuis $S\in N_r(l_p,l_p)$  \, $(r$-nucl\'eaire),  $\operatorname{trace}\, S $ est \'egal a la somme de toutes les valeurs propres de $ S $ (voir  [3, Theorem 2.b.13], [8]).
 Une contradiction avec $S^2=0.$ 

 

 \remarque             \rm
De la m\'em\'e mani\'er\'e (comme ci-dessus pour $AP_{r,p}$), on peut introduire 
la propri\'et\'e d'approximation $ AP^{r, p} $ d'ordre $ (r, p)^{dual} $ (en utilisant le produit tensoriel $ \widehat\otimes^{r, p}; $ voir ci-dessus).
 Ensuite, nous pouvons montrer que tout espace de Banach satisfait \`a la condition  
 d'approximation d'ordre $(r,p)^{dual},$ o\`u $1/r-1/p=1/2$ (la preuve est analogue).
 

{\remarque         \rm
Il y a une autre fa\c{c}on de prouver notre th\'eor\`eme principal 3: utiliser 
la derni\`ere assertion sur $AP_{r,p}$  pour tout espace de Banach, montrer que $N_{r,p}$ est 
de type spectral 1 et appliquer le th\'eor\`eme de White [9].
 Comparer avec [8]. La m\'em\'e chose peut \^etre dit a propos de la situation "dual"   avec $N^{r,p}$-id\'eal.
 
 

   \remarque         \rm
Et pour finir cette note, nous remarquons que le th\'eor\`eme 3 peut \^etre prouve 
aussi (la troisi\`eme voie) par la m\'ethode de Grothendieck [1] qui a \'et\'e utilise par le premier auteur dans [7].   
 Sachant que $ N_{r, p} = \widehat\otimes_{r, p} $ pour  valeurs correspondantes $(r, p) $ 
 (une assertion ci-dessus), on peut d\'eduire de la preuve dans [7] que dans $(r,p)$-cas, 
 le  d\'eterminant de Fredholm est d'ordre $ s $ et de genre  z\'ero. %(oui, obtainig plus de la proposition 5 ci-dessus).          %!!!
 De la, il est facile d'obtenir la conclusion du th\'eor\'eme 3. La m\'em\'e chose peut \^etre fait pour la $N^{r,p}$-situation.
 
 



         %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Les remerciements sont dans une section, sans numérotation


%\section*{Remerciements}
% Remerciements - texte ici


\begin{thebibliography}{00}
% Essayez à utiliser le systeme 'bibitem',
%    avec les references en ordre alphabetique.
% \bibitem{label1}
% Texte
             %%%%%%%%%%%%%%%%
\bibitem{1}
 A.~Grothendieck,
 {Produits tensoriels topologiques et \'espaces nucl\'eaires},
{Mem. Amer. Math. Soc.}, {16} (1955).


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{$p$-nuclear operators in the sense of Grothendieck},
Math. Nachr. {283} (2010), 232--261.

 \bibitem{3} H. K\"onig,
{Eigenvalue distribution of compact operators},
Birkh\"auser, Boston, 1986.


\bibitem{4} J. Lindenstrauss,
{On James' paper "Separable Conjugate Spaces"},
Israel J. Math.  {9} (1971), 279-284.

   \bibitem{8} A. Pietsch,
{Operator Ideals},
North Holland, 1980.


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