\documentclass{article}


\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[tbtags]{amsmath}
\usepackage{amsfonts,amssymb}

\hoffset -10mm
\voffset -7mm


\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[short]{mz2ewin}
\usepackage{graphicx}
\let\rom=\textup

\theoremstyle{plain}

\newtheorem{condition}{Условие}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{example}{Пример}
\newtheorem{cor}{Следствие}
\newtheorem{rem}{Замечание}


\newcommand\leftt{\operatorname{left}}
\newcommand\rightt{\operatorname{right}}
\newcommand\as{\operatorname{as}}
\newcommand\Ind{\operatorname{Ind}}
\newcommand\eg{\operatorname{eg}}
\newcommand\Ree{\operatorname{Re}}


\overfullrule5pt
\mag1300
\begin{document}

\udk{517.98}

%\date{\\
%Исправленный вариант\\ }

\author{О.\,И.~Рейнов}
\address{Санкт-Петербургский Государственный Университет,
г.~Санкт Петербург}
\email{orein51@mail.ru}

\title{О симметрии спектров ядерных операторов}



\maketitle
\begin{fulltext}

%\begin{abstract}

%\end{abstract}


%\footnotetext{Данная работа была проделана при частичной
%поддержке гранта INTAS No. 4297F и гранта CGEPI
%IPN Мексика.}


{\bf 1.\, Введение}.\
М.\,И.~Зеликин в работе [1]
установил, что  спектр ядерного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве
является цен\-траль\-но-сим\-ме\-трич\-ным тогда и только тогда, когда спектральные следы всех нечетных
степеней этого оператора равны нулю. Напомним, что спектр любого ядерного оператора в
гильбертовом пространстве представляет собой
последовательность,
ненулевые элементы которой являются собственными числами оператора конечной алгебраической кратности.
Эта система собственных чисел (взятая с учетом их кратностей) абсолютно суммируема,
и спектральный след этого оператора есть, по определению, сумма всех элементов
последовательности его собственных чисел (взятых с учетом их кратностей).

Пространство ядерных операторов в гильбертовом пространстве может быть определено как
пространство всех операторов со следом (см. [2, с. 77], [3, Теорема 8.1];
в этом случае мы говорим о "ядерном следе" оператора).
Операторы со следом интерпретируются также как элементы пополнения тензорного
произведения гильбертова пространства  и его банахова сопряженного пространства по
наибольшей кросснорме на этом тензорном произведении [2, с. 119].
Хорошо известная теорема Лидского [4] (см. также [3, Теорема 8.4])
утверждает, что ядерный след любого ядерного оператора в гильбертовом пространстве
(или, что тоже, соответствующего тензорного элемента) совпадает с его спектральным следом.
Таким образом, теорема М.\,И.~Зеликина [1]
может быть переформулирована следующим образом:
спектр ядерного оператора в сепарабельном гильбертовом пространстве
является центрально-симметричным тогда и только тогда, когда ядерные следы всех нечетных
степеней тензорного элемента, соответствующего этому оператору, равны нулю.

Цель настоящей заметки --- привести обобщение этого результата для случая тензорных
элементов так называемых $s$-проективных тензорных произведений подпространств
факторпространств $L_p(\mu)$-пространств. В частности, при $p=2,$ как следствие получается
теорема М.\,И.~Зеликина.
\medskip

      %%%%%
      {\bf 2.\, Предварительные сведения}.\
Везде далее через $X, Y, \dots$ обозначаются банаховы пространства,
$L(X, Y)$ --- банахово пространство всех
линейных непрерывных операторов из $X$  в $Y;$ $L(X):= L(X, X).$
Для банахова сопряженного к пространству $X$ используется обозначение $X^*.$
  Если $x\in X$ и $x'\in X^*,$ то используем обозначение $\langle x',x\rangle$ для $x'(x).$


  Через   $X^*\widehat\otimes X$
   обозначается проективное тензорное произведение пространств $X^*$ и  $X$ [5] (см. также [6]).
   Это есть пополнение алгебраического тензорного произведения
   $X^*\otimes X$  (рассматриваемого как линейное пространство всех конечномерных
   непрерывных операторов $w$ в $X)$  относительно проективной нормы
  $
  ||w||_{\land}:= \inf \left(\sum_{k=1}^N ||x'_k||\, ||x_k||\right),$
    где инфимум берется по всем (конечным) представениям  $w$ в виде $w=\sum_{k=1}^N x'_k\otimes x_k.$
   Каждый элемент
   $u$ проективного тензорного произведения $X^*\widehat\otimes X$
     может быть представлен в виде
    $
    u=\sum_i \mu_i\, x'_i\otimes x_i,
    $
где $(\mu_i)\in l_1$ и $||x'_i||\le1,$ $||x_i||\le1$ [5].

   Более общо, если $0<s\le 1,$ то
   $X^*\widehat\otimes_s X$ --- подпространство этого проективного тензорного произведения,
   состоящее из тех тензорных элементов $u, u\in X^*\widehat\otimes X,$
   которые допускают представление вида
   $u=\sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes x_k,$
   где $(x'_k)\subset X^*, (x_k)\subset X,$ причем
   $\sum_{k=1}^\infty ||x'_k||^s\, ||x_k||^s <\infty$ [5], [6].
   Таким образом,  $X^*\widehat\otimes X = X^*\widehat\otimes_1 X.$

На линейном пространстве $X^*\otimes X$ естественным образом определен линейный
функционал "след" \, --- $\operatorname{trace}.$ Он непрерывен на нормированном
пространстве $(X^*\otimes X, ||\cdot||_{\land})$ и имеет единственное непрерывное продолжение
   на пространство $X^*\widehat\otimes X,$ которое мы снова обозначаем через $\operatorname{trace}.$


   Каждый тензорный элемент $u, u\in X^*\widehat\otimes X,$ вида
    $u=\sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes x_k$
    естественным образом порождает (ассоциированный с этим элементом) оператор
    $\widetilde u: X\to X,$ $\widetilde u(x):= \sum_{k=1}^\infty \langle x'_k, x\rangle\,  x_k$ для
    $x\in X.$
    Возникает естественное отображение $j_1: X^*\widehat\otimes X \to L(X).$ Операторы,
    лежащие в образе этого отображения называются ядерными [5],  [7].
    Более общо, если $0<s\le1,$  $u=\sum_{k=1}^\infty x'_k\otimes x_k$ и
    $\sum_{k=1}^\infty ||x'_k||^s\, ||x_k||^s <\infty,$ то соответствующий оператор $\widetilde u$
    называется $s$-ядерным [6]. Через $j_s$ обозначим возникающее естественное отображение из
    $X^*\widehat\otimes_s X$ в $L(X).$
    Говорят, что пространство $X$ обладает свойством аппроксимации порядка
    $s, 0<s\le1$ (свойством $AP_s),$ если каноническое
    отображение $j_s$ взаимно однозначно [6]. Отметим, что свойство $AP_1$ есть в точности
    свойство аппроксимации $AP$ А. Гротендика [5], [7].
    Классические пространства, такие как  $L_p(\mu)$  и $C(K)$ обладают свойством аппроксимации.
    Если пространство $X$ обладает свойством $AP_s,$ то можно отождествить
    тензорное произведение $X^*\widehat\otimes_s X$  с пространством $N_s(X)$  всех
    $s$-ядерных операторов в $X$
   (т.е. с образом этого тензорного произведения при отображении $j_s).$ В этом случае
   для любого оператора $T\in N_s(X)= X^*\widehat\otimes_s X$  след $\operatorname{trace}\, T$
   вполне определен, и мы называем  его  {\it ядерным следом}\, оператора $T.$

  Ясно, что если банахово пространство обладает свойством аппроксимации,
  то оно обладает и всеми свойствами $AP_s,$ $s\in (0,1].$
    Каждое банахово пространство обладает свойством $AP_{2/3}$ [5], [8].
    Так как всякое банахово пространство есть подпространство некоторого $L_\infty(\mu)$-пространства,
    то следующий факт (используемый ниже) является обобщением указанного результата А. Гротендика:

 \begin{lemma}
 \label{lem1}  {\rm[9, Corollary 10]}
  Пусть $s\in (0,1],$ $p\in [1,\infty]$ и $1/s=1+|1/p-1/2|.$
Если банахово пространство $Y$ изоморфно подпространству факторпространства
{\rm(}или  факторпространству подпространства{\rm)} некоторого
$L_p(\mu)$-пространства, то оно обладает свойством $AP_s.$
\end{lemma}

 Таким образом, для таких пространств $Y^*\widehat\otimes_s Y= N_s(Y)$ и
  ядерный след любого оператора $T\in N_s(Y)$
  вполне определен.

  Нам понадобится также следующее вспомогательное утверждение
  (первая часть которого вытекает из предыдущей леммы).

   \begin{lemma}
 \label{lem2}   {\rm[9, Theorem 1]}
 Пусть $Y$ есть подпространство факторпространства
{\rm(}или  факторпространство подпространства{\rm)} некоторого
$L_p(\mu)$-пространства, $1\le p\le\infty.$
Если  $T\in N_s(Y),$  где  $1/s=1+|1/2-1/p|,$
то ядерный след оператора $T$ волне определен,
$\sum_{n=1}^\infty |\lambda_n(T)|<\infty,$ где
$\{\lambda_n(T)\}$--- система всех собственных чисел оператора $T$
{\rm(}взятых с учетом их алгебраических кратностей{\rm)} и
$\operatorname{trace}\, T= \sum_{n=1}^\infty \lambda_n(T).$
\end{lemma}

Следуя работе М.\,И.~Зеликина [1], говорим, что
спектр компактного оператора в банаховом пространстве является
центрально-симметричным, если вместе с каждым собственным числом
$\lambda$ он содержит и число $-\lambda,$ причем той же алгебраической кратности.
   \medskip

                {\bf 3.\, Основные результаты}.\
Отметим сначала, что теорема М.\,И.~Зеликина в том виде, в каком она сформулирована в [1],
не переносится на случай произвольных банаховых пространств, даже обладающих
свойством аппроксимации А. Гротендика.

\begin{example}
\label{ex1}
Пусть $U$ --- ядерный оператор в пространстве $l_1$, построенный в {\rm[7, Предложение 10.4.8]}.
Этот оператор обладает тем свойством, что $\operatorname{trace}\, U=1$ и
$U^2=0.$ Очевидно, что спектр этого оператора есть  $\{0\}.$ Отметим, что данный оператор
является не просто ядерным, но и принадлежит пространству  $N_s(l_1)$ при всех $s\in (2/3, 1].$
Подобный пример невозможен, если рассматриваются в точности $2/3$-ядерные операторы
{\rm(см. следствие 3 ниже)}. Заметим также, что, однако,
следы всех операторов  $U^m, m=2, 3, \dots$ {\rm(}в частности, $U^{2n+1})$ равны нулю.
\end{example}

\begin{rem}
\label{rem1}
Для любого ядерного оператора $T: X\to X$  и для всякого натурального числа $n>1$ ядерный след
$\operatorname{trace}\, T^n$ вполне определен {\rm(см. [5, Chap II, \S 1, $n^{\circ} 4,$ Corollaire 2])} и
равен сумме всех его собственных чисел {\rm(}с учетом их алгебраических кратностей{\rm)}
{\rm[5, Chap II, \S 1, $n^{\circ} 4$, Corollaire 1]}. Поэтому, если спектр ядерного оператора $T: X\to X$
центрально симметричен, то для любого нечетного $m=3, 5, 7, \dots$
ядерный след  оператора $T^m$ равен нулю.
\end{rem}

Приведем центральный результат заметки.

  \begin{theorem}
\label{th1}
Пусть  $Y$ --- подпространство факторпространства {\rm(}или
факторпространство подпространства{\rm)} некоторого $L_p$-пространства, $1\le p\le\infty$
и $u\in Y^*\widehat\otimes_s Y,$  где $1/s=1+|1/2-1/p|,$
Спектр оператора $\widetilde u$
центрально-симметричен тогда и только тогда, когда
$\operatorname{trace}\, u^{2n - 1} = 0, n =1,2,\dots.$
\end{theorem}

  Необходимость указанного условия вытекает из леммы 2 и того факта, что полный набор
  собственных чисел оператора $\widetilde u^{2n-1}$\, $(n=1, 2, \dots)$
   вместе с собственный числом $\lambda$
   включает в себя и число $-\lambda,$ причем той же алгебраической кратности.
  Доказательство достаточности существенно использует теорию Фредгольма, развитую
  А.~Гротендиком в [10].

   Поскольку, в условиях теоремы 1, пространство $Y$ обладает свойством $AP_s,$
   то тензорное произведение $Y^*\widehat\otimes_s Y$ естественным образом
   отождествимо с пространством всех $s$-ядерных операторов в $X.$ Поэтому
утверждение теоремы 1 можно переформулировать следующим образом:

\begin{cor}
\label{cor1}
  Пусть $s\in [2/3,1], p\in[2,\infty], 1/s=1+|1/2-1/p|,$
$Y$ --- подпространство факторпространства {\rm(}или
факторпространство подпространства{\rm)} некоторого $L_p(\mu)$-пространства,
$T$ --- $s$-ядерный оператор, действующий на $Y.$
Спектр  $T$ является центрально-симметричным тогда и только тогда, когда
$\operatorname{trace}\,  T^{2n - 1} = 0, \, n \in \mathbf N.$
   \end{cor}

   \begin{cor}
\label{cor2}\, {\rm[1]}
Спектр ядерного оператора $T$ в гильбертовом пространстве
является центрально-симметричным тогда и только тогда, когда
$\operatorname{trace}\,  T^{2n - 1} = 0, \, n \in \mathbf N.$
   \end{cor}

   Для доказательства применяем теорему 1 при $p=2.$

   \begin{cor}
\label{cor3}
Спектр $2/3$-ядерного оператора $T,$ действующего на произвольном банаховом  пространстве
является центрально-симметричным тогда и только тогда, когда
$\operatorname{trace}\,  T^{2n - 1} = 0, \, n \in \mathbf N.$
   \end{cor}

   Для доказательства применяем теорему 1 при $p=\infty,$  принимая во внимание тот факт, что
   всякое банахово пространство изометрично некоторому подпространству в $L_\infty(\mu)$-пространстве.

   В связи со следствием 3, обратим еще раз внимание на  оператор из примера 1.
   \medskip

     {\bf 4.\,  Точность полученных результатов}.\
Покажем, что утверждение теоремы точно и показатель $s$ нельзя увеличить
при фиксированном $p$   (если, разумеется, $p\neq2,$ т. е. $s\neq1).$

Рассмотрим случай  $2< p\le\infty.$ В этом случае $1/s=1+|1/2-1/p|= 3/2-1/p.$
В работе автора   [6, Example 2] получен следующий результат (см. доказательство в [6]):
 \smallskip

 ${(\star)}$\,
 {\it
Пусть $r\in [2/3,1), p\in(2,\infty], 1/r=3/2-1/p.$
Существуют подпространство $Y$ пространства $l_p$ и тензорный элемент
$w\in Y^*\widehat\otimes_1 Y$ такие, что
$w\in Y^*\widehat\otimes_s Y$ для каждого $s>r,$
$\operatorname{trace}\, w=1, \tilde w=0$  и пространство $Y$ {\rm(}также как и $Y^*)$
обладает свойством $AP_r.$
Более того, этот элемент допускает ядерное представление вида
$w=\sum_{k=1}^\infty \mu_k\, x'_k \otimes x_k,$  где $||x'_k||=||x_k||=1,\,
  \sum_{k=1}^\infty |\mu_k|^s<\infty\ \forall \, s>r.$
}
\smallskip

Для тензорного элемента из утверждения  ${(\star)},$
очевидно, имеем: $\operatorname{trace}\, w=1$ и спектр оператора $\widetilde w$ равен $\{0\}.$

Случай  $1\le  p <2$ рассматривается аналогично (с применением утверждения ${(\star)}$
к "транспонированному"\,  тензорному элементу
$w^t\in Y \widehat\otimes_1 Y^*.)$

Как уже отмечалось выше (пример 1), в $l_1$ существует ядерный оператор $U$ такой, что
$U^2=0$ и  $\operatorname{trace}\, U=1.$ Следующая теорема представляет собой
существенное обобщение этого результата и приводит к доказательству точности
утверждения из следствия 1 (даже в случае, когда $Y=l_p).$

            \begin{theorem}
            \label{th2}
Пусть  $p\in [1,\infty],  p \neq2,$ $1/r= 1+|1/2-1/p|.$
Существует такой ядерный оператор $V$ в $l_p,$ что
{\rm1)}\,
$V \in N_s(l_p)$ для любого  $s\in (r, 1];$\,
{\rm2)}\,
$V\notin N_r(l_p);$\,
{\rm3)}\,
$\operatorname{trace}\, V=1$ и $V^2=0.$
 \end{theorem}

Мы приведем {\it доказательство теоремы}\,  2, поскольку оно достаточно коротко.
Рассмотрим тензорный элемент $w$ из утверждения $(\star)$ и его соответствующее
представление $  w=\sum_{k=1}^\infty \mu_k\, x'_k \otimes x_k,$ где
$||x'_k||=||x_k||=1$ и $\sum_{k=1}^\infty |\mu_k|^s<\infty$ для каждого $s, s>r.$
 Пусть $l: Y\to l_p$ --- тождественное вложение. Продолжим функционалы $x'_k$
 с подпространства $Y$ на все $l_p$ до функционалов $y'_k$ с сохранением нормы и положим
 $v:= \sum_{k=1}^\infty \mu_k\, y'_k \otimes l(x_k).$
 Тогда $v\in l_{p'} \widehat\otimes_s l_p$ \, $(1/p+1/p'=1)$\,  для любого $s\in (r, 1],$
 $\operatorname{trace}\, v= \sum \mu_k\, \langle y'_k, l(x_k)\rangle=1$ и
 $\widetilde v(l_p)\subset l(Y)\subset l_p.$
 С другой стороны, имеем диаграмму:
 $
  Y \overset{l}\to l_p \overset{\widetilde v_0}\to Y \overset{l}\to l_p \overset{\widetilde v_0}
  \to Y \overset{l}\to l_p,
 $
где $\widetilde v_0$ ---  приведение оператора  $\widetilde v;$ при этом $\widetilde v = l\widetilde v_0$  и
$\widetilde v_0 l= \widetilde w=0.$
Полжим теперь $V:= \widetilde v.$ Ясно, что $\operatorname{trace}\, V=1$ и спектр
$sp \,V^2=\{0\}.$ Отметим, что $V\notin N_r(l_p)$ по лемме 2.

Из доказанной теоремы следует, что утверждение следствия 1 является точным уже в случае
пространства $Y=l_p$ (которое, заметим, обладает даже свойством аппроксимации А.~Гротендика).

\begin{rem}
\label{rem2}
В работе Б.\,С.~Митягина {\rm[11]},
в частности, показано, что если для ядерного оператора $T$ на банаховом пространстве
ядерные следы операторов $T^3, T^5, \dots$ равны нулю, то спектр оператора $T$
является центрально симметричным. Обратное также верно {\rm(}см. выше замечание 1{\rm)}.
Что касается ядерного следа самого оператора  $T,$ то он может быть вообще не определен
{\rm(}случай пространства без свойства аппроксимации А.~Гротендика{\rm)}, либо, как в примере 1,
ядерный след оператора может быть отличен от нуля, даже если он не имеет ни одного ненулевого
собственного числа.
\end{rem}

В заключение, автор выражает признательность Б.\,С.~Митягину, который обратил внимание автора на
работу М.\,И.~Зеликина [1].


%===============Список литературы==================
\end{fulltext}
\begin{thebibliography}{99}

 \RBibitem{1} М.\,И.~Зеликин,
\textit{ДАН}, \textbf{418}:6 (2008), 737--740.
 \Bibitem{2} R.~Schatten,
 \textit{A theory of cross-spaces}, Princeton University Press, 1950.
 \RBibitem{3}
И.\,Ц.~Гохберг, М.\,Г.~Крейн,
\textit{Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом
пространстве}, Наука, М., 1965.
 \RBibitem{4}
 В.\,Б.~Лидский,
 \textit{ДАН СССР}, \textbf{125}:3 (1959), 485--487.
   \Bibitem{5} A.~Grothendieck, \textit{Produits tensoriels topologiques et espases nucl\'eaires},
  Mem. Amer. Math. Soc., {\bf 16}, 1955.
 \Bibitem{6} O.\,I.~Reinov,
  \textit{J. Math. Anal. Appl.}, {\bf415} (2014), 816--824.
  \RBibitem{10}  А.~Пич,
     {\it Операторные идеалы},
  Мир, М., 1982.
\RBibitem{8}
О.\,И.~Рейнов,
\textit{Вестник ЛГУ}, {\bf7} (1983), 115--116.
\Bibitem{9}
 O.~Reinov, Q.~Latif,
 \textit{Banach Center Publications},
  \textbf{102} (2014), 189--195.
 \RBibitem{10}
А.~Гротендик,
\textit{Математика}, {\bf2}:5 (1958), 51--103.
    \Bibitem{11} B.\,S.~Mityagin,
\textit{J. Operator Theory}, \textbf{76}:1 (2016), 57--65.

\end{thebibliography}


\end{document}