\documentclass[a4paper,12pt]{article} \textheight=230mm \textwidth=165mm %\columnsep=5mm \hoffset=-10mm \voffset=-15mm %%% Работа с русским языком %\usepackage{cmap} % поиск в PDF \usepackage{mathtext} % русские буквы в формулах \usepackage[T2A]{fontenc} % кодировка \usepackage[koi8-r]{inputenc} % кодировка исходного текста \usepackage[english,russian]{babel} % локализация и переносы \usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS \theoremstyle{plain} % Это стиль по умолчанию, его можно не переопределять. \newtheorem{theorem}{Теорема}[section] \newtheorem{lemma}{Лемма}[section] \newtheorem{corollary}{Следствие}[section] \newtheorem{statement}[theorem]{Утверждение} \newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение} \newtheorem{remark}{Замечание} \theoremstyle{plain} \newtheorem*{theorem*}{Теорема} \newtheorem*{lemma*}{Лемма} \author{Е.Д. Гальковский\footnote{Лаборатория им. П.Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственный университет, 14 линия В.О., 29Б, СПб, 199178, Россия. E-mail: egor\_maths@list.ru.}\,, А.И. Назаров\footnote{Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН; Санкт-Петербургский госуниверситет. E-mail: al.il.nazarov@gmail.com. }} \title{Общая формула следов для дифференциального оператора на отрезке при возмущении младшего коэффициента конечным зарядом} \date{} \begin{document} \maketitle \hfill {\it Памяти Михаила Захаровича Соломяка} \bigskip \begin{abstract} В работе получена формула следа первого порядка для дифференциального оператора на отрезке, возмущенного оператором умножения на заряд. \end{abstract} %\tableofcontents %\newpage \section{Введение} Рассмотрим оператор $\mathbb L$ на отрезке $[a,b]$, порождаемый дифференциальным выражением порядка $n \geqslant 2$ \begin{align}\label{Diff_Equation_P} \ell=(-i)^nD^n+\sum \limits_{k=0}^{n-2}{p_k(x)D^k}, \end{align} (здесь $p_k\in L_1(a,b)$ -- комплекснозначные функции) и граничными условиями \begin{align}\label{Boundary_Conditions} (P_j(D)y)(a)+(Q_j(D)y)(b) = 0,\qquad j=0, \dots, n-1, \end{align} (здесь $P_j$ и $Q_j$ -- полиномы степени меньше $n$ с комплексными коэффициентами). Обозначим $d_j$ наибольшую из степеней $P_j$ и $Q_j$, $a_j$ и $b_j$ -- коэффициенты при степени $d_j$ у полиномов $P_j$ и $Q_j$ соответственно (таким образом, $a_j$ и $b_j$ не могут одновременно обращаться в нуль). Будем считать систему граничных условий (\ref{Boundary_Conditions}) нормированной (это означает, что $\sum\limits_{j=0}^{n-1}d_j$ является минимальной среди всех систем граничных условий, которые могут быть получены из (\ref{Boundary_Conditions}) невырожденными линейными преобразованиями; см. \cite[гл. II, $\mathsection 4$]{Neimark}, а также \cite{Shk} в случае более общей постановки). Предположим, далее, что система (\ref{Boundary_Conditions}) регулярна по Биркгофу (см. \cite[гл. II, $\mathsection 4$]{Neimark}). Тогда оператор $\mathbb{L}$ имеет дискретный спектр\footnote{Заметим, что мы не предполагаем самосопряженности $\mathbb{L}$.}, который мы будем обозначать $\{\lambda_N\}_{_{N=1}}^{^\infty}$. В дальнейшем мы всегда будем нумеровать собственные числа в порядке возрастания модулей с учетом кратности (т.е. $|\lambda_N| \leqslant |\lambda_{N+1}|$). Обозначим $\mathbb{Q}$ оператор умножения на конечный (комплексный) заряд ${\mathfrak q}$ (пространство таких зарядов будем обозначать $\mathfrak M[a,b]$). Тогда оператор $\mathbb{L}_{\mathfrak q}=\mathbb{L}+\mathbb{Q}$ также имеет дискретный спектр, который мы будем обозначать $\{\lambda_N({\mathfrak q})\}_{_{N=1}}^{^\infty}$. Нас будет интересовать регуляризованный след \begin{align*} \mathcal{S}({\mathfrak q}) := \sum_{N=1}^{\infty} \bigg[\lambda_N({\mathfrak q})-\lambda_N-\frac{1}{b-a}\int\limits_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)\,\bigg]. \end{align*} Не умаляя общности, в дальнейшем будем считать, что $\int\limits_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)=0$. Впервые формула регуляризованного следа была получена в 1953 году И.~М. Гельфандом и Б.~М. Левитаном для задачи \begin{equation}\label{SL-GL} -y''+{\mathfrak q}(x)y=\lambda y; \qquad y(0) = y(\pi) = 0. \end{equation} Именно, в работе \cite{GL} было показано, что при вещественной ${\mathfrak q}(x)\in {\cal C}^1[0,\pi]$ справедливо соотношение $$ \mathcal{S}({\mathfrak q})= -\frac{{\mathfrak q}(0)+{\mathfrak q}(\pi)}{4}. $$ Статья \cite{GL} породила многочисленные усиления и обобщения. Обзор результатов в задаче о вычислении регуляризированного следа можно найти в статье В.~А. Садовничего и В.~Е. Подольского \cite{SPSurvey}. В недавней работе А.~И. Назарова, Д.~М. Столярова и П.~Б. Затицкого \cite{SZN} для произвольного $n \geqslant 2$ и регулярных граничных условий была получена формула \begin{equation}\label{traceNSZ} \mathcal{S}({\mathfrak q}) = \frac{\psi_a(a+)}{2n}\cdot\textbf{tr}\,(\mathbb A)+\frac{\psi_b(b-)}{2n}\cdot\textbf{tr}\,(\mathbb B), \end{equation} в предположениях, являющихся сейчас стандартными\footnote{Для оператора $\mathbb{L}$ без младших членов и гладкой функции ${\mathfrak q}$ формула (\ref{traceNSZ}) была установлена ранее Р.~Ф. Шевченко \cite{Shv}.}: ${\mathfrak q} \in L_1(a,b)$, и функции $$ \psi_a(x)=\frac{1}{x-a}\int\limits_a^x {\mathfrak q}(t)dt,\qquad \psi_b(x)=\frac{1}{b-x}\int\limits_x^b {\mathfrak q}(t)dt $$ имеют ограниченную вариацию в точках $a$ и $b$ соответственно. В формуле (\ref{traceNSZ}) $\mathbb A$ и $\mathbb B$ -- матрицы, элементы которых выражаются через коэффициенты $a_j$ и $b_j$, $j=0,\dots,n-1$. Более того, в \cite{SZN} было показано, что в важном частном случае {\bf почти разделенных} граничных условий множители $\textbf{tr}\,(\mathbb A)$ и $\textbf{tr}\,(\mathbb B)$ в (\ref{traceNSZ}) упрощаются и выражаются через суммы степеней полиномов $P_j$ и $Q_j$. Принципиально новый эффект был обнаружен уже в нашем веке А.~М. Савчуком и А.~А. Шкаликовым \cite{S2000, SSh}. Именно, оказалось, что если в задаче (\ref{SL-GL}) ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[0,\pi]$ -- заряд, локально непрерывный в точках $0$ и $\pi$, то \begin{equation}\label{SL-SSh} \mathcal{S}({\mathfrak q}) = -\frac{{\mathfrak q}(0)+{\mathfrak q}(\pi)}{4}-\frac{1}{8}\sum_j h_j^2, \end{equation} где $h_j$ -- скачки функции распределения заряда ${\mathfrak q}$ (ряд $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ в этом случае суммируется методом средних). Таким образом, при ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ регуляризованный след перестает быть линейным функционалом от ${\mathfrak q}$. В настоящей статье мы обобщаем формулу (\ref{SL-SSh}) на случай оператора $\mathbb{L}$ с произвольными регулярными граничными условиями.\medskip Статья организована следующим образом. В $\mathsection 2$ сформулированы основной результат и несколько промежуточных утверждений. Эти утверждения доказываются в $\mathsection\mathsection 3-5$. В Приложение вынесены асимптотики собственных чисел и собственных функций операторов Штурма--Лиувилля, необходимые для доказательства Теоремы 2.5. Введем некоторые обозначения. Любой заряд ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ можно разбить на непрерывную и дискретную составляющие, которые мы обозначим $\mathfrak c$ и $\mathfrak d$ соответственно, так что \begin{equation*}\label{c+d} \mathfrak q=\mathfrak c+\mathfrak d=\mathfrak c+\sum\limits_j h_j\delta(x-x_j), \qquad \sum\limits_j |h_j|<\infty. \end{equation*} Полную вариацию заряда $\mathfrak q$ обозначим $\|\mathfrak q\|$. Определим также функцию распределения $$ {\cal Q}(x)=\int\limits_{[a,x]} {\mathfrak q}(dt). $$ Таким образом, $h_j$ -- скачок функции ${\cal Q}$ в точке $x_j$. Оператор, порожденный дифференциальным выражением $\ell_0=(-i)^nD^n$ и регулярными условиями (\ref{Boundary_Conditions}), обозначим $\mathbb{L}_0$, а его собственные числа -- $\{\lambda_N^0\}_{_{N=1}}^{^{\infty}}$. Далее, $G(x,y,\lambda)$, $G_{\mathfrak q}(x,y,\lambda)$, и $G_0(x,y,\lambda)$ -- функции Грина операторов $\mathbb{L}-\lambda$, $\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda$ и $\mathbb{L}_0-\lambda$ соответственно (см. \cite{Neimark}, гл. I, $\mathsection 3$)). Для произвольной функции $\Phi(\lambda)$, определенной на комплексной плоскости $\mathbb{C}$, введем функцию $\tilde{\Phi}(z)$ следующим образом: \begin{equation*} \tilde{\Phi}(z) = \Phi(\lambda), \text{ где } z = \lambda^{\frac{1}{n}}, \; Arg(z) \in [0,\frac{2\pi}{n}). \end{equation*} Заметим, что резольвента $\frac 1{\mathbb{L}-\lambda}$ -- интегральный оператор с ядром $G(x,y,\lambda)$, и определим его след $$ \mathbf{Sp}\,\frac{1}{{\mathbb L} - \lambda} = \int\limits_{a}^b G(x,x,\lambda)\, dx. $$ Напомним определение суммирования ряда методом средних (методом Чезаро порядка $1$). Пусть $I_{\ell}$ -- последовательность частных сумм ряда $\sum\limits_{j}a_j$. Ряд называется суммируемым методом средних, если существует предел \begin{equation*} ({\cal C},1)\,\text{-}\lim_{\ell\to \infty} I_{\ell}:=({\cal C},1)\,\text{-}\sum \limits_{j=1}^{\infty} a_j := \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{\ell=1}^k I_{\ell}. \end{equation*} Все положительные константы, значения которых нам не важны, обозначаются буквой $C$. \section{Формулировка результатов} Наш основной результат для операторов второго порядка выглядит так: \begin{theorem}\label{basic-1} Пусть $n=2$, и функция распределения заряда ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ дифференцируема в точках $a$ и $b$. Тогда для любых регулярных граничных условий (\ref{Boundary_Conditions}) справедлива формула \begin{equation}\label{SL-SSh-general} \mathcal{S}({\mathfrak q}) = {\cal A}{\cal Q}'(a)+{\cal B}{\cal Q}'(b)-\frac{1}{8}\sum_j h_j^2. \end{equation} где ряд $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ суммируется методом средних, и \begin{eqnarray*} {\cal A}={\cal B}=-\frac 14 & \text{при} & d_0=d_1=0;\\ {\cal A}={\cal B}=\frac 14 & \text{при} & d_0=d_1=1;\\ {\cal A}=-{\cal B}=\frac 14\,\frac {a_1b_0-a_0b_1}{a_1b_0+a_0b_1} & \text{при} & d_0=0,\ d_1=1. \end{eqnarray*} \end{theorem} Таким образом, нелинейное слагаемое в (\ref{SL-SSh-general}) {\bf не зависит} от граничных условий, в то время как коэффициенты линейной части полностью определяются граничными условиями.\medskip Для операторов высокого порядка рассматриваемое возмущение является слишком слабым, и зависимость следа от ${\mathfrak q}$ остается линейной. \begin{statement} Пусть $n\ge3$, ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ -- заряд, удовлетворяющий условиям теоремы \ref{basic-1}. Тогда для любых регулярных граничных условий (\ref{Boundary_Conditions}) справедлива формула \begin{equation*} \mathcal{S}({\mathfrak q}) =\frac{{\cal Q}'(a)}{2n}\cdot\textbf{tr}\,(\mathbb A)+\frac{{\cal Q}'(b)}{2n}\cdot\textbf{tr}\,(\mathbb B), \end{equation*} где ряд $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ суммируется методом средних, а матрицы $\mathbb A$ и $\mathbb B$ такие же, как в (\ref{traceNSZ}) (см. \cite[Theorem 2]{SZN}). \end{statement} В полном объеме это утверждение будет доказано в другой статье. Здесь мы докажем теорему \ref{basic-1} и несколько вспомогательных утверждений. \begin{theorem}\label{th1} Для любой последовательности $R = R_{\ell} \to \infty$, отделенной от $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{n}}$, справедливы следующие соотношения: \begin{enumerate} \item при $n \geqslant 3$ \begin{equation*} \sum_{\lambda_N({\mathfrak q}),\lambda_N 0$ найдется $\delta > 0$ такое, что для любого отрезка длины не более $\delta$ полная вариация ${\mathfrak c}$ на этом отрезке не превосходит $\varepsilon$. Выберем компактное множество ${\cal K} \subset [a,b]^2$, отделенное от углов и диагонали $\{x=y\}$, так, что при всех $x\in[a,b]$ множество ${\cal K}_x = \{y\in[a,b]:(x,y) \notin {\cal K}\}$ состоит не более чем из трех интервалов длины не более $\delta$ каждый. Также выберем компакт ${\cal J} \subset \Gamma_1\cup\Gamma_2$, так, что мера множества $(\Gamma_1\cup\Gamma_2) \setminus {\cal J}$ не превосходит $\varepsilon$. Интеграл по множеству ${\cal K}\times {\cal J}$ стремится к нулю при $R\to \infty$ в силу Предложения \ref{Estimates_G_0}. Интеграл по оставшемуся множеству оценивается через $C\varepsilon$. Таким образом, $|I_1(R)|\leqslant C\varepsilon + o(1)$. Ввиду произвольности $\varepsilon$ лемма доказана. \end{proof} Продолжим доказательство теоремы. В интеграле $I_2(R)$ воспользуемся тождеством $\mathbf{Sp}(ABC)=\mathbf{Sp}(BCA)$ и проинтегрируем по частям: \begin{eqnarray*} I_2(R) &=& \int\limits_{|\lambda|=R^n}\lambda\,\mathbf{Sp}\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}+\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q} -\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\right)d\lambda \\ &=& \int\limits_{|\lambda|=R^n}\mathbf{Sp}\left(\left(\frac{\lambda}{(\mathbb{L}-\lambda)^2}+\frac{\lambda}{(\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda)^2}\right)\mathbb{Q}\right) d\lambda \\ &=& -\int\limits_{|\lambda|=R^n}\mathbf{Sp}\left(\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}+\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\right)\mathbb{Q}\right)d\lambda. \end{eqnarray*} Ко второму слагаемому применим тождество Гильберта. Это дает \begin{equation}\label{I2} I_2(R) = -2\int\limits_{|\lambda|=R^n}\mathbf{Sp}\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)d\lambda+\int\limits_{|\lambda|=R^n} \mathbf{Sp}\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)d\lambda. \end{equation} При $n \geqslant 3$ второе слагаемое в (\ref{I2}) ограничено величиной $CR^{2-n}=o(1)$ ввиду оценки из Предложения \ref{Estimates_G_0}. Выражая первое слагаемое через функцию Грина, получим \begin{equation*} I_2(R) = -2 \int\limits_{|\lambda|=R^n} \int\limits_{[a,b]} G(x,x,\lambda){\mathfrak q}(dx)\,d\lambda+o(1)= -2 \int\limits_{|\lambda|=R^n} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,x,\lambda){\mathfrak q}(dx)\,d\lambda+o(1) \end{equation*} (последнее равенство следует из Предложения \ref{Equiconv_G_G0}). Объединяя это равенство с Леммой \ref{I1}, получим первое утверждение теоремы.\medskip При $n=2$ ко второму слагаемому в (\ref{I2}) еще раз применим тождество Гильберта. Это дает \begin{equation*} I_2(R) = \int\limits_{|\lambda|=R^2}\mathbf{Sp}\left(\frac{-2}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}+\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)^2- \left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)^2\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)d\lambda. \end{equation*} Последнее слагаемое здесь допускает оценку $CR^{-\frac 12}=o(1)$ ввиду оценки из Предложения \ref{Estimates_G_0}. Оставшиеся слагаемые мы выразим через функцию Грина и заменим $G$ на $G_0$ аналогично случаю $n \geqslant 3$. Получим \begin{eqnarray}\label{I3} I_2(R) &=& -2 \int\limits_{|\lambda|=R^2} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,x,\lambda){\mathfrak q}(dx)\,d\lambda \nonumber\\ &+& \int\limits_{|\lambda| = R^2} \int\limits_{[a,b]} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,y,\lambda)\,G_0(y,x,\lambda){\mathfrak q}(dy){\mathfrak q}(dx)\,d\lambda +o(1). \end{eqnarray} Осталось преобразовать второе слагаемое в (\ref{I3}). Обозначим его $I_3(R)$ и перепишем в виде \begin{eqnarray*}\label{I31} I_3(R) &=& \int\limits_{|\lambda| = R^2} \int\limits_{[a,b]} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,y,\lambda)\,G_0(y,x,\lambda){\mathfrak c}(dy)({\mathfrak c}(dx) +2{\mathfrak d}(dx))\,d\lambda \nonumber\\ &+& \int\limits_{|\lambda| = R^2} \int\limits_{[a,b]} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,y,\lambda)\,G_0(y,x,\lambda){\mathfrak d}(dy){\mathfrak d}(dx)\,d\lambda =: I_{31}(R)+I_{32}(R). \end{eqnarray*} Интеграл $I_{31}(R)$ оценивается аналогично $I_{11}(R)$, что дает $|I_{31}(R)|\leqslant C\varepsilon + o(1)$ для любого $\varepsilon>0$. Далее, \begin{equation*} I_{32}(R) = \sum_{j,k} h_kh_j \int\limits_{\Gamma_1\cup\Gamma_2}\! 2R^2\cdot \tilde{G}_0(x_j,x_k,Rw) \,\tilde{G}_0(x_k,x_j,Rw)\,dw. \end{equation*} Все слагаемые с $j\ne k$ стремятся к нулю при $R\to\infty$ ввиду (\ref{G0to0}). По теореме Лебега \begin{equation*} I_{32}(R) = \sum_{j} h_j^2 \int\limits_{\Gamma_1\cup\Gamma_2}\! 2R^2\cdot \tilde{G}_0(x_j,x_j,Rw)^2\,dw + o(1) = \sum_{j} h_j^2 \int\limits_{|\lambda| = R^2} G_0(x_j,x_j,\lambda)^2\,d\lambda+ o(1), \end{equation*} что вместе с формулой (\ref{I3}) и оценками интегралов $I_1$ и $I_{31}$ дает (\ref{Splitting}). \end{proof} \section{Доказательство Теоремы \ref{th2}} Сделав линейную замену переменной, можно считать, что $a=0$, $b=1$. Далее, поскольку для гладких функций ${\mathfrak q}$ формула (\ref{C-lim}) уже известна, достаточно доказать теорему в случае ${\cal Q}'(0)={\cal Q}'(1)=0$. Более того, можно дополнительно подчинить ${\mathfrak q}$ нескольким условиям ортогональности, что будет использовано ниже. Нам понадобится следующее утверждение, являющееся частным случаем \cite[Лемма 1]{SSh}. \begin{proposition}\label{cosinusy} Пусть ${\mathfrak q} \in \mathfrak M[0,1]$ -- заряд, удовлетворяющий условиям теоремы \ref{basic-1}, причем ${\cal Q}'(0)={\cal Q}'(1)=0$. Тогда $$ ({\cal C},1)\text{-}\sum \limits_{\ell=1}^{\infty}\, \int\limits_{[0,1]} \cos(2\pi\ell x)\,{\mathfrak q}(dx)=0. $$ \end{proposition} \begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{th2}] Используя разложение функции Грина в окрестности полюса \cite[гл. I, $\mathsection 3$]{Neimark} и теорему о вычетах, перепишем интеграл из (\ref{C-lim}) так: \begin{equation}\label{summa} -\frac{1}{2 \pi i}\int\limits_{|\lambda|=R^n}\int\limits_{[0,1]}G_0(x,x,\lambda)\,{\mathfrak q}(dx)\,d\lambda=\sum\limits_{|\lambda_N^0| < R^2}\, \int\limits_{[0,1]} y_N(x) \overline{z_N(x)}\,{\mathfrak q}(dx), \end{equation} где $y_N$ и $z_N$ -- собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$, отвечающие собственным числам $\lambda_N^0$ и $\overline{\lambda_N^0}$ соответственно и нормированные условием $$ \langle y_N, z_N \rangle:=\int\limits_0^1 y_N(x)\overline{z_N(x)}\,dx = 1. $$ Если собственному числу $\lambda_N^0=\lambda_{N+1}^0$ (а тогда и $\overline{\lambda_N^0}=\overline{\lambda_{N+1}^0}$) соответствует жорданова клетка размерности $2$, то в правой части (\ref{summa}) слагаемое $y_N(x) \overline{z_N(x)}$ нужно заменить на $$ y_N(x) \overline{\widehat z_{N+1}(x)}+ \widehat y_{N+1}(x) \overline{z_N(x)}, $$ где $\widehat y_{N+1}$ и $\widehat z_{N+1}$ -- присоединенные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ из этих жордановых клеток, а условие нормировки имеет вид \begin{equation}\label{prisoed} \langle y_N, z_N \rangle = \langle \widehat y_{N+1}, \widehat z_{N+1} \rangle = 0; \qquad \langle y_N, \widehat z_{N+1} \rangle = \langle \widehat y_{N+1}, z_N \rangle = 1. \end{equation} Таким образом, нам нужно обосновать переход к пределу в смысле средних в правой части (\ref{summa}). Рассмотрим различные случаи. \subsection*{Случай $d_0=d_1=0$ (условия Дирихле)\footnote{Как указывалось во введении, этот случай рассмотрен в работе \cite{SSh}.}} Этот случай технически наиболее прост. Система (\ref{Boundary_Conditions}) приводится к виду $$ y(0) = 0,\qquad y(1) = 0. $$ Оператор $-D^2$ с этими граничными условиями самосопряжен, его собственные числа и собственные функции имеют вид $$ \lambda_N^0 = (\pi N)^2,\qquad y_N(x) = z_N(x) = C\sin(\pi N x), \qquad N\in\mathbb{N}. $$ С учетом условия нормировки имеем $$ y_N(x)\overline{z_N(x)} = 1-\cos(2 \pi N x). $$ Константа обнуляется при интегрировании ввиду условия $\int\limits_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)=0$, а косинус -- при переходе к пределу ввиду Предложения \ref{cosinusy}. Таким образом, формула (\ref{C-lim}) доказана. \subsection*{Случай $d_0=d_1=1$} В данном случае система (\ref{Boundary_Conditions}) приводится к виду \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lr} y'(0) + c_0 y(0) + f_0 y(1) = 0,\\ y'(1) + c_1 y(0) + f_1 y(1) = 0, \end{array} \right. \end{equation*} а граничные условия для сопряженного оператора -- к виду \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{lr} z'(0) + \overline{c}_0 z(0) - \overline{c}_1 z(1) = 0,\\ z'(1) - \overline{f}_0 z(0) + \overline{f}_1 z(1) = 0. \end{array} \right. \end{equation*} Используя алгоритм из \cite[гл. II, $\mathsection 4$]{Neimark}, выпишем асимптотики собственных чисел и собственных функций с точностью до $O(N^{-2})$ (см. Приложение, п.1) и учтем условие нормировки. Получим \begin{eqnarray}\label{Neumann} y_{N+1}(x)\overline{z_{N+1}(x)} &=& 1+\cos(2 \pi N x) -2\,\frac{\sin(2 \pi N x)}{\pi N}\,(c_0 (1-x)+ f_1 x) \nonumber\\ &+& (-1)^N\,\frac{\sin(2 \pi N x)}{\pi N}\,(c_1-f_0)(1-2 x) + O(N^{-2}). \end{eqnarray} Как и в задаче Дирихле, первые два члена в этом разложении обнуляются при интегрировании и переходе к пределу в (\ref{summa}). Остальные члены в (\ref{Neumann}) порождают ряд, сходящийся в каждой точке отрезка $[0,1]$, причем частные суммы этого ряда равномерно ограничены. Обозначим сумму этого ряда $g(x)$. По теореме Лебега имеем $$ ({\cal C},1)\,\text{-}\sum\limits_{N=1}^{\infty}\, \int\limits_{[0,1]} y_N(x) \overline{z_N(x)}\,{\mathfrak q}(dx)= \int\limits_{[0,1]} g(x)\,{\mathfrak q}(dx). $$ Но мы уже знаем, что для гладких функций ${\mathfrak q}$ левая часть этого равенства обращается в нуль. Поэтому $g(x)=0$ для п.в. $x\in[0,1]$. Осталось заметить, что, согласно известным формулам \cite[5.4.2.9 и 5.4.2.10]{Prudnikov}, третий член в (\ref{Neumann}) дает при суммировании функцию, имеющую разрывы разве что на концах отрезка, четвертый член -- непрерывную функцию (за счет множителя $1-2x$, уничтожающего разрыв в точке $\frac 12$), и остаток -- непрерывную функцию. Поэтому $g$ может отличаться от нуля разве что в точках $0$ и $1$. Однако в силу условия на ${\mathfrak q}$ эти точки не дают вклада в интеграл, и формула (\ref{C-lim}) доказана. \subsection*{Случай $d_0=0$, $d_1=1$} Общий вид граничных условий в этом случае следующий: \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{r} a_0y(0) + b_0y(1) = 0,\\ a_1y'(0) + b_1y'(1)+ c_1y(0) + f_1y(1) = 0. \end{array} \right. \end{equation*} Не умаляя общности, можно считать, что $a_1 \neq 0$. Тогда граничные условия для сопряженного оператора имеют вид \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{r} \displaystyle\overline{b}_0y'(0) + \overline{a}_0y'(1)+ \frac 1{\overline{a}_1}\,(\overline{c_1b}_0-\overline{f_1a}_0)y(0)= 0,\\ \overline{b}_1y(0) + \overline{a}_1y(1) = 0. \end{array} \right. \end{equation*} Для упрощения записи введем следующие обозначения: \begin{equation*} \mathfrak A = b_1 a_0 + a_1 b_0;\qquad \mathfrak B = f_1 a_0 - c_1 b_0;\qquad \mathfrak C = a_1 a_0 + b_1 b_0 \end{equation*} (напомним, что $\mathfrak A\ne0$ ввиду регулярности граничных условий). \subsubsection*{Случай $\mathfrak C=\pm \mathfrak A$, $\mathfrak B = 0$: двукратные собственные числа} В этом случае систему граничных условий оператора $\mathbb{L}_0$ можно упростить: \begin{equation*} a_0y(0) + b_0y(1) = 0,\qquad a_1y'(0) + b_1y'(1) = 0. \end{equation*} Будем считать, что\footnote{В случае $\mathfrak C = \mathfrak A$ формулы вполне аналогичны, если выписать асимптотики по степеням $N-\frac 12$.} $\mathfrak C = -\mathfrak A$. Тогда имеется три варианта: \begin{itemize} \item[1.] $a_1+b_1=0$, $a_0+b_0=0$; \item[2.] $a_1+b_1=0$, $a_0+b_0\neq 0$; \item[3.] $a_1+b_1\neq 0$, $a_0+b_0=0$. \end{itemize} Легко видеть, что третий вариант получается из второго заменой $\mathbb{L}_0$ на $\mathbb{L}_0^*$. \paragraph{Вариант $a_1+b_1=0$, $a_0+b_0=0$: жордановых клеток нет.} Этот вариант наиболее прост. Граничные условия сводятся к периодическим: \begin{equation*} y'(0) - y'(1) = 0, \qquad y(0) - y(1) = 0. \end{equation*} Оператор $\mathbb{L}_0$ с этими граничными условиями самосопряжен, его собственные числа и собственные функции имеют вид \begin{eqnarray*} \lambda_1^0 = 0, && y_1(x)=z_1(x)\equiv 1;\\ \lambda_{2N}^0=\lambda_{2N+1}^0=(2\pi N)^2, && y_{2N}(x) = z_{2N}(x) = C\sin(2\pi N x),\\ && y_{2N+1}(x) = z_{2N+1}(x) = C\cos(2\pi N x),\qquad N\in\mathbb{N}. \end{eqnarray*} С учетом условия нормировки имеем $$ y_{2N}(x)\overline{z_{2N}(x)} = 1-\cos(4 \pi N x);\qquad y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)} = 1+\cos(4 \pi N x). $$ Попарное суммирование дает константу, исчезающую при интегрировании. Формула (\ref{C-lim}) очевидна. \paragraph{Вариант $a_1+b_1=0$, $a_0+b_0\neq0$: жордановы клетки.} Граничные условия имеют вид \begin{eqnarray*} \mathbb{L}_0: & a_0y(0) + b_0y(1) = 0, & y'(0) -y'(1) = 0;\\ \mathbb{L}_0^*: & \overline{b}_0z'(0) + \overline{a}_0z'(1) = 0, & z(0) - z(1) = 0. \end{eqnarray*} Выпишем собственные и присоединенные функции (см. Приложение, п.2) и учтем условие (\ref{prisoed}). Получим \begin{equation}\label{cos4Nx} y_{2N}(x)\overline{\widehat z_{2N+1}(x)}+\widehat y_{2N+1}(x) \overline{z_{2N}(x)} = 2+2\cos(4 \pi N x)\, \frac{(a_0 + b_0)(2x-1)} {a_0-b_0}. \end{equation} Вычитая при необходимости подходящую гладкую функцию, подчиним ${\mathfrak q}$ дополнительным условиям \begin{equation}\label{2x-1} \int\limits_{[0,\frac 12]} (2x-1)\,{\mathfrak q}(dx)=\int\limits_{[\frac 12,1]} (2x-1)\,{\mathfrak q}(dx)=0. \end{equation} Тогда заряд $\widetilde{\mathfrak q}(dx)=(2x-1)\,{\mathfrak q}(dx)$ удовлетворяет условиям Предложения \ref{cosinusy} на отрезках $[0,\frac 12]$ и $[\frac 12,1]$, и потому правая часть (\ref{cos4Nx}) обнуляется при интегрировании и переходе к пределу в (\ref{summa}). Поскольку (\ref{2x-1}) влечет $\int\limits_{[0,1]} y_1(x)\overline{z_1(x)}\,{\mathfrak q}(dx)=0$, формула (\ref{C-lim}) доказана. \subsubsection*{Случай $\mathfrak C=\pm \mathfrak A$, $\mathfrak B \neq 0$: асимптотически близкие собственные числа} Как и в предыдущем случае, будем считать, что $\mathfrak C = -\mathfrak A$ (случай $\mathfrak C = \mathfrak A$ разбирается аналогично). Перепишем условия на $\mathfrak A$, $\mathfrak B$, $\mathfrak C$ в следующем виде: $$ (a_1 + b_1)(a_0 + b_0) = 0;\qquad f_1 a_0 - c_1 b_0 \neq 0. $$ Мы вновь имеем три варианта: \begin{itemize} \item $a_0 + b_0 = 0$, $a_1 + b_1 \neq 0$, при этом $c_1 + f_1 \neq 0$%, $a_1 - b_1 \neq 0$ ; \item $a_0 + b_0 \neq 0$, $a_1 + b_1 = 0$%, при этом $a_0 - b_0 \neq 0$ ; \item $a_0 + b_0 = 0$, $a_1 + b_1 = 0$, при этом $c_1 + f_1 \neq 0$. \end{itemize} Легко видеть, что второй вариант получается из первого заменой $\mathbb{L}_0$ на $\mathbb{L}_0^*$. \paragraph{Первый вариант} Выпишем асимптотики собственных чисел и собственных функций с точностью до $O(N^{-4})$ (см. Приложение, п.3.1) и учтем условие нормировки. Складывая члены, соответствующие асимптотически близким собственным числам, попарно, получим \begin{eqnarray*} y_{2N}(x)\overline{z_{2N}(x)} &+& y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)} = \eta_N^{+}(x)\overline{\zeta_N^{+}(x)} +\eta_N^{-}(x)\overline{\zeta_N^{-}(x)}\\ = 2 &+& 2\cos(4\pi N x)\,\frac{(a_1 + b_1)(1-2x)}{a_1-b_1} \\ &+& 2 \sin(4\pi N x)\,\frac{(c_1+f_1)(1-2x)(b_1x-a_1(1-x))}{(a_1-b_1)^2 \pi N} + O(N^{-2}). \end{eqnarray*} Первые два члена здесь суммируются, как в формуле (\ref{cos4Nx}), а последние -- как в (\ref{Neumann}). Формула (\ref{C-lim}) доказана. \paragraph{Третий вариант} В этом варианте систему граничных условий оператора $\mathbb{L}_0$ можно упростить: \begin{equation*} y(0) - y(1) = 0,\qquad y'(0) - y'(1) +c_1y(0) = 0. \end{equation*} Выпишем асимптотики собственных чисел и собственных функций с точностью до $O(N^{-6})$ (см. Приложение, п.3.2) и учтем условие нормировки. Складывая члены, соответствующие асимптотически близким собственным числам, попарно, получим \begin{eqnarray*} y_{2N}(x)\overline{z_{2N}(x)} + y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)} &=& \eta_N^{+}(x)\overline{\zeta_N^{+}(x)} +\eta_N^{-}(x)\overline{\zeta_N^{-}(x)}\\ &=& 2 + \sin(4\pi N x)\, \frac{c_1(2x-1)}{2\pi N} + O(N^{-2}). \end{eqnarray*} Этот ряд суммируются, как в формуле (\ref{Neumann}). Формула (\ref{C-lim}) доказана. \subsubsection*{Сильно регулярный случай $\mathfrak C\neq \pm \mathfrak A$} Для упрощения рассуждений мы воспользуемся следующей очевидной леммой. \begin{lemma}\label{pairwise} Пусть $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{a_k}{k}=0$. Тогда \begin{eqnarray} ({\cal C},1)\text{-}\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k &=& ({\cal C},1)\text{-}\sum\limits_{k=1}^\infty (a_{2k-1}+a_{2k})-\frac 12\cdot({\cal C},1)\text{-} \lim\limits_{k\to \infty} a_{2k} \nonumber\\ &=& ({\cal C},1)\text{-}\sum\limits_{k=1}^\infty (a_{2k}+a_{2k+1})+a_1-\frac 12\cdot({\cal C},1)\text{-}\lim_{k\to \infty} a_{2k+1}, \label{odd-even} \end{eqnarray} т.е. сумма в левой части (\ref{odd-even}) сходится, если сходится одно из выражений в правой части. \end{lemma} Выпишем асимптотики собственных чисел и собственных функций с точностью до $O(N^{-2})$ (см. Приложение, п.4). Очевидно, что $\lim\limits_{N\to \infty}\frac 1N\,y_N(x)\overline{z_N(x)}=0$, поэтому можно применить вторую часть формулы (\ref{odd-even}). Рассмотрим сначала попарные суммы \begin{eqnarray*} %({\cal C},1)\,\text{-}\sum\limits_{N=1}^\infty \big( y_{2N}(x)\overline{z_{2N}(x)} &+& y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)} %\big) = %({\cal C},1)\,\text{-}\sum\limits_{N=1}^\infty\big( \eta_N^{+}(x)\overline{\zeta_N^{+}(x)} +\eta_N^{-}(x)\overline{\zeta_N^{-}(x)}%\big) \\ = 2 &+& 2\cos(4\pi N x)V_0(x,\alpha) +\frac{2}{N}\sin(4\pi N x)W_1(x,\alpha) + O(N^{-2}). \end{eqnarray*} Первые два члена здесь суммируются, как в формуле (\ref{cos4Nx}), а последние -- как в (\ref{Neumann}), с учетом соотношений (\ref{VW}). %$V_0(\frac{1}{2},\alpha)=W_1(\frac{1}{2},\alpha) = 0$. Теперь рассмотрим последний предел в формуле (\ref{odd-even}). В зависимости от $\alpha$ он может быть переписан одним из двух способов: \begin{multline*} ({\cal C},1)\,\text{-}\lim_{N\to \infty} y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)}\\ =1+\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{N=1}^k \cos(4\pi N x)V_0(x,\pm\alpha)+\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{N=1}^k \sin(4\pi N x)V_1(x,\pm\alpha)\\ +\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{N=1}^k \frac{1}{N}\cos(4\pi N x)W_0(x,\pm\alpha)+\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{N=1}^k \frac{1}{N}\sin(4\pi N x)W_1(x,\pm\alpha). \end{multline*} Как и ранее, константа обнуляется при интегрировании. Второй и третий член равномерно ограничены и сходятся поточечно всюду, причем предел равен нулю всюду, кроме точек $0$ и $1$ (здесь мы вновь учли соотношения (\ref{VW})). Оставшиеся члены сходятся к нулю равномерно. По теореме Лебега можно перейти к пределу под знаком интеграла. В силу условия на ${\mathfrak q}$ концы промежутка не дают вклада в интеграл, и формула (\ref{C-lim}) доказана. \end{proof} \section{Доказательство основного результата} \begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{th3}] Мы начнем с формулы (12) из работы \cite{SZN}, которая при $n=2$ и $x=y$ дает (напомним, что $z=\lambda^{\frac 12}$) \begin{equation*}\label{227} G_0(x,x,\lambda)=\tilde{G_0}(x,x,z) = \frac{\Delta_{1,1}(z) + e^{-2izx}\Delta_{1,2}(z) - e^{2izx}\Delta_{2,1}(z) - \Delta_{2,2}(z)}{2iz\Delta(z)}. \end{equation*} Здесь $\Delta(z)$ и $\Delta_{\alpha,\beta}(z)$ -- определители матриц порядка $n$, определенных в \cite[Sec. 2.1]{SZN}. В нашем случае они имеют следующую асимптотику при $z\to\infty$: \begin{multline*} \Delta(z) = \hat{\Delta}(z)e^{iz(a-b)}(iz)^{d_0+d_1}\cdot(1+O(z^{-1})),\\ \hat{\Delta}(z)= \begin{vmatrix} a_{0}+b_{0}e^{iz(b-a)} & (-1)^{d_0}(a_{0}e^{iz(b-a)}+b_{0}) \\ a_{1}+b_{1}e^{iz(b-a)} & (-1)^{d_1}(a_{1}e^{iz(b-a)}+b_{1}) \\ \end{vmatrix} ; \end{multline*} % \begin{equation*} \Delta_{1,1}(z) = \hat{\Delta}_{1,1}(z)(iz)^{d_0+d_1}\cdot(1+O(z^{-1})),\qquad \hat{\Delta}_{1,1}(z)= \begin{vmatrix} b_{0} & (-1)^{d_0}(a_{0}e^{iz(b-a)}+b_{0}) \\ b_{1} & (-1)^{d_1}(a_{1}e^{iz(b-a)}+b_{1}) \\ \end{vmatrix} ; \end{equation*} % \begin{equation*} \Delta_{1,2}(z) = \hat{\Delta}_{1,2} e^{iz(a+b)}(iz)^{d_0+d_1} \cdot(1+O(z^{-1})),\qquad \hat{\Delta}_{1,2}= %\begin{vmatrix} % a_{0} + b_{0}e^{iz(b-a)} & b_{0} \\ % a_{1} + b_{1}e^{iz(b-a)} & b_{1} \\ %\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{0} & b_{0} \\ a_{1} & b_{1} \\ \end{vmatrix} ; \end{equation*} % \begin{equation*} \Delta_{2,1}(z) = \hat{\Delta}_{2,1}e^{-iz(a+b)}(iz)^{d_0+d_1}\cdot(1+O(z^{-1})),\qquad \hat{\Delta}_{2,1}=(-1)^{d_0+d_1+1}\cdot \hat{\Delta}_{1,2}; %\begin{vmatrix} % (-1)^{d_0}b_{0} & (-1)^{d_0}(a_{0}e^{iz(b-a)}+b_{0}) \\ % [(-1)^{d_1}b_{1}] & [(-1)^{d_1}a_{1}]e^{iz(b-a)}+[(-1)^{d_1}b_{1}] \\ %\end{vmatrix} e^{-2izb}(iz)^{d_0+d_1} \\ % = %\begin{vmatrix} % b_{0} & a_{0} \\ % b_{1} & a_{1} \\ %\end{vmatrix} \end{equation*} % \begin{multline*} \Delta_{2,2}(z) = \hat{\Delta}_{2,2}(z)e^{iz(a-b)}(iz)^{d_0+d_1}\cdot(1+O(z^{-1})),\\ \hat{\Delta}_{2,2}(z)= \begin{vmatrix} a_{0}+b_{0}e^{iz(b-a)} & (-1)^{d_0}b_{0} \\ a_{0}+b_{0}e^{iz(b-a)} & (-1)^{d_1}b_{1} \\ \end{vmatrix} . \end{multline*} По условию, $|z|=R$ отделено от $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$, и вследствие регулярности граничных условий (\ref{Boundary_Conditions}) определитель $\hat{\Delta}(z)$ отделен от нуля. Таким образом, \begin{equation*} \tilde{G_0}(x,x,z) = \frac{ \hat{\Delta}_{1,1}(z)e^{2iz(b-a)} + \hat{\Delta}_{1,2}e^{2iz(b-x)} -\hat{\Delta}_{2,1}e^{2iz(x-a)} - \hat{\Delta}_{2,2}(z) }{2iz\hat{\Delta}(z)}\cdot (1+O(z^{-1})). \end{equation*} Поскольку $z=Rw\in R(\Gamma_1 \cup \Gamma_2)$ лежит в верхней полуплоскости, все экспоненты в этом выражении равномерно ограничены и стремятся к нулю при $R\to\infty$ для каждого $x\in (a,b)$ и $w\in \Gamma_1 \cup \Gamma_2$. По теореме Лебега получаем \begin{multline*} \lim_{R\to \infty}\int\limits_{|\lambda|=R^2} G_0(x,x,\lambda)^2\,d\lambda = \lim_{R\to \infty}\int\limits_{z=R(\Gamma_1 \cup \Gamma_2)} \!\tilde{G_0}(x,x,z)^2\,2z\,dz \\ = -\lim_{R\to \infty}\int\limits_{z=R(\Gamma_1 \cup \Gamma_2)} \!\Big(\frac{\hat{\Delta}_{2,2}(z)} {\hat{\Delta}(z)}\Big)^2\, \frac{dz}{2z} = -\lim_{R\to \infty}\int\limits_{z=R(\Gamma_1 \cup \Gamma_2)}\frac{dz}{2z}= -\frac{\pi i}{2}. \end{multline*} \end{proof} \begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{basic-1}] Рассмотрим формулу (\ref{Splitting}) и перейдем к пределу при $R\to\infty$ указанным в условии Теоремы \ref{th2} способом. Теорема \ref{th2} показывает, что первое слагаемое в (\ref{Splitting}) сходится к сумме первых двух слагаемых в (\ref{SL-SSh-general}). Далее, подынтегральное выражение во втором слагаемом из (\ref{Splitting}) имеет суммируемую мажоранту ввиду оценки из Предложения \ref{Estimates_G_0}. Теорема \ref{th3} и теорема Лебега дают последнее слагаемое в (\ref{SL-SSh-general}). Как известно (см., напр., \cite{Shk}, а также доказательство Теоремы \ref{th2}), если граничные условия (\ref{Boundary_Conditions}) сильно регулярны, то числа $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$ асимптотически разделены. Таким образом, предельный переход в Теореме \ref{th2} соответствует суммированию ряда $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ методом средних, и утверждение теоремы в этом случае доказано. Если условия (\ref{Boundary_Conditions}) регулярны, но не сильно регулярны, то числа $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$ асимптотически либо попарно сближаются, либо попарно совпадают. Таким образом, предельный переход в Теореме \ref{th2} соответствует суммированию ряда $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ в таком порядке: сначала члены ряда, отвечающие асимптотически близким или совпадающим собственным числам, складываются попарно, а затем полученный ряд суммируется методом средних. Осталось заметить, что $\lambda_N({\mathfrak q}) - \lambda_N \to0$ при $N\to\infty$. Поэтому Лемма \ref{pairwise} дает утверждение теоремы и в этом случае. \end{proof} \section*{Приложение} \subsection*{1. Случай $d_0=d_1=1$} Корни из собственных чисел оператора $\mathbb{L}_0$ имеют следующую асимптотику: $$ \rho_{N+1}:=(\lambda_{N+1}^0)^{\frac 12} = \pi N + \frac{f_1-c_0}{\pi N} + (-1)^N\,\frac{c_1-f_0}{\pi N} + O(N^{-2}). $$ Собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ при $\rho_N\neq0$ имеют вид \begin{eqnarray*} y_N(x) &=& C_1\,\Big(\cos(\rho_N x) - c_0\,\frac {\sin(\rho_N x)}{\rho_N} + f_0\,\frac {\sin(\rho_N (1-x))}{\rho_N}\Big); \\ \overline{z_N(x)} &=& C_2\,\Big(\cos(\rho_N x) - c_0 \,\frac {\sin(\rho_N x)}{\rho_N} - c_1 \,\frac {\sin(\rho_N (1-x))}{\rho_N}\Big). \end{eqnarray*} Асимптотика собственных функций имеет вид \begin{eqnarray*} y_{N+1}(x) &=& C_1\,\Big( \cos(\pi N x) - \sin(\pi N x)\,\frac{c_0 (1-x) + f_1 x}{\pi N}\\ &&- (-1)^N\sin(\pi N x)\,\frac{f_0 (1-x)+c_1 x}{\pi N}\Big) + O(N^{-2});\\ %\end{eqnarray*} %\begin{eqnarray*} \overline{z_{N+1}(x)} &=& C_2\,\Big( \cos(\pi N x) - \sin(\pi N x)\, \frac{c_0 (1-x)+f_1 x}{\pi N}\\ &&+ (-1)^N \sin(\pi N x)\,\frac{c_1(1- x) + f_0 x}{\pi N}\Big) + O(N^{-2}). \end{eqnarray*} Асимптотика скалярных произведений: $$ \langle y_{N+1}, z_{N+1}\rangle = \frac{C_1C_2}{2} + O(N^{-2}). $$ \subsection*{2. Случай $d_0=0$, $d_1=1$. Жордановы клетки} Напомним, что мы рассматриваем случай $\mathfrak C=-\mathfrak A$. В этом случае у операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ имеется собственное число $\lambda_1^0=0$, которому соответствуют собственные функции $y_1(x)=x-\frac{a_0}{a_0+b_0}$ и $z_1(x)\equiv const$, где константа подбирается из условия нормировки. Остальные собственные числа имеют вид $\lambda_{2N}^0=\lambda_{2N+1}^0=(2\pi N)^2$, $N\in\mathbb{N}$. Соответствующие собственные и присоединенные функции, удовлетворяющие первой паре условий (\ref{prisoed}): \begin{eqnarray*} y_{2N}(x) &=& C_1\sin(2\pi N x),\\ \widehat y_{2N+1}(x) &=& C_1\Big(\frac{x \cos(2 \pi N x)}{4 \pi N} + \frac{\sin(2 \pi N x)}{16 \pi^2 N^2} - \frac{b_0 \cos(2 \pi N x)}{4 \pi N (a_0 + b_0)}\Big); \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \overline{z_{2N}(x)} &=& C_2\cos(2\pi N x),\\ \overline{\widehat z_{2N+1}(x)} &=& C_2\Big(-\frac{x \sin(2 \pi N x)}{4 \pi N} - \frac{\cos(2 \pi N x)}{16 \pi^2 N^2} + \frac{a_0 \sin(2 \pi N x)}{4 \pi N (a_0 + b_0)}\Big). \end{eqnarray*} Скалярные произведения: \begin{equation*} \langle y_{2N}, \widehat z_{2N+1}\rangle = \langle \widehat y_{2N+1}, z_{2N}\rangle = \frac{C_1C_2(a_0-b_0)}{16 \pi N(a_0 + b_0)} \end{equation*} (заметим, что $a_0 \neq b_0$, так как $\mathfrak A \neq 0$). \subsection*{3. Случай $d_0=0$, $d_1 = 1$. Асимптотически близкие собственные числа} Напомним, что мы вновь рассматриваем случай $\mathfrak C=-\mathfrak A$. В этом случае все собственные числа оператора $\mathbb{L}_0$, кроме $\lambda_1^0$, объединяются в пары $\lambda_{2N}$ и $\lambda_{2N+1}$, $N\in\mathbb{N}$, сближающиеся при $N\to\infty$. Корни из собственных чисел этих пар обозначим $\rho_N^{\pm}$. При этом один из них (не умаляя общности, $\rho_N^{+}$) равен $2\pi N$. В связи с тем, что скалярные произведения соответствующих собственных функций (будем обозначать их $\eta_N^{\pm}$ и $\zeta_N^{\pm}$) стремятся к нулю при $N\to\infty$, асимптотики собственных чисел $\rho_N^{-}$ и собственных функций $\eta_N^{-}$, $\zeta_N^{-}$ выпишем с точностью до $O(N^{-4})$ в варианте 3.1 и с точностью до $O(N^{-6})$ в варианте 3.2. \subsubsection*{3.1. Вариант $a_0 + b_0 = 0$, $a_1 + b_1 \neq 0$%, $c_1 + f_1 \neq 0$ } В этом варианте получаем \begin{equation*} \rho_N^{-} = 2 \pi N + \frac{\mathfrak B}{\pi N \mathfrak A} - \frac{6\mathfrak A \mathfrak B^2+\mathfrak B^3}{12 \mathfrak A^3 N^3 \pi^3}+%\frac{3 \mathfrak A \mathfrak B^3 + \mathfrak B^4}{6 \mathfrak A^4 k^5 \pi^5} + O(N^{-4}). \end{equation*} Собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ имеют вид \begin{eqnarray*} \eta_N^{+}(x) &=& C_1\Big((a_1+ b_1) \cos(2 \pi Nx) - (c_1+f_1)\,\frac{\sin(2 \pi N x)}{2 \pi N}\Big), \\ \overline{\zeta_N^{+}(x)} &=& C_2\sin(2 \pi N x); \end{eqnarray*} \begin{eqnarray*} \eta_N^{-}(x) &=& C_1\Big(a_1 \cos(\rho_N^{-} x) + b_1 \cos( \rho_N^{-}(1-x))- c_1\,\frac{\sin(\rho_N^{-} x)} {\rho_N^{-}} + f_1\, \frac{\sin(\rho_N^{-}(1-x))} {\rho_N^{-}}\Big), \\ \overline{\zeta_N^{-}(x)} &=& C_2\Big(b_1 \sin(\rho_N^{-} x) -a_1 \sin(\rho_N^{-}(1-x))\Big). \end{eqnarray*} Асимптотика скалярных произведений: \begin{eqnarray*} \langle \eta_N^+,\zeta_N^+ \rangle &=& -\frac{C_1C_2(c_1+f_1)} {4 \pi N};\\ \langle \eta_N^-,\zeta_N^- \rangle &=& C_1C_2 \Big(\frac{(c_1 + f_1) (a_1 + b_1)}{4 \pi N} - \frac{(c_1+f_1)^2(a_1f_1+c_1b_1)}{8(a_1-b_1)^2\pi^3N^3}\Big) + O(N^{-4}) \end{eqnarray*} (заметим, что $a_0 \neq b_0$, так как $\mathfrak A \neq 0$). \subsubsection*{3.2. Вариант $a_0 + b_0 = 0$, $a_1 + b_1 = 0$} В этом варианте получаем \begin{equation*} \rho_N^{-} = 2 \pi N - \frac{c_1}{2\pi N} + \frac{c_1^3-12c_1^2}{96\pi^3 N^3}+\frac{c_1^4-6c_1^3}{96\pi^5 N^5} + O(N^{-6}). \end{equation*} Собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ имеют вид \begin{equation*} \eta_N^+(x) = C_1 \sin(2\pi N x),\qquad \overline{\zeta_{N}^+(x)} = C_2 \sin(2\pi N x); \end{equation*} \begin{eqnarray*} \eta_N^-(x) &=& C_1\Big(\sin(\rho^-x) +\sin (\rho^-(1- x))\Big), \\ \overline{\zeta_{N}^-(x)} &=& C_2\Big(\sin(\rho^-x) + \sin (\rho^(1- x))\Big). \end{eqnarray*} Асимптотика скалярных произведений: \begin{eqnarray*} \langle \eta_N^+,\zeta_N^+ \rangle &=& \frac{C_1C_2}{2};\\ \langle \eta_N^-,\zeta_N^- \rangle &=& C_1C_2 \Big(\frac{c_1^2}{8\pi^2 N^2}-\frac{c_1^4-4c_1^3}{128\pi^4N^4}\Big) + O(N^{-6}). \end{eqnarray*} \subsection*{4. Случай $d_0=0$, $d_1=1$. Разделенные собственные числа} В этом случае корни из собственных чисел $\lambda_{2N}$, $\lambda_{2N+1}$, $N\in\mathbb{N}$, оператора $\mathbb{L}_0$ образуют две последовательности, сходящиеся к двум различным арифметическим прогрессиям с разностью $2\pi$. Обозначим эти корни $\rho_N^{\pm}$. Тогда при $N\to\infty$ имеем \begin{equation*} \rho_N^\pm = 2 \pi N \pm \alpha + \frac{\mathfrak B}{2\pi N\mathfrak A} + O(N^{-2}), \end{equation*} где \begin{equation*} \alpha = i\log\left(-\frac{\mathfrak C}{\mathfrak A} - \sqrt{\left(\frac{\mathfrak C}{\mathfrak A}\right)^2-1}\right), \end{equation*} а ветвь логарифма выбирается так, что $|\Re(\alpha)|<\pi$ (выбор другой ветви логарифма приводит к перенумерации собственных чисел). Отметим, что из условия $\mathfrak C\ne \pm \mathfrak A$ вытекает $\sin(\alpha) \neq 0$. Собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ имеют вид \begin{eqnarray*} \eta_N^\pm(x) &=& a_0 \sin(\rho_N^\pm x) - b_0 \sin(\rho_N^\pm(1-x)), \\ \overline{\zeta_N^\pm(x)} &=& b_0 \cos(\rho_N^\pm x) + a_0 \cos(\rho_N^\pm (1-x)) + \mathfrak B\,\frac{ \sin(\rho_N^\pm x)}{a_1 \rho_N^\pm}. \end{eqnarray*} Асимптотика скалярных произведений: \begin{equation*} \langle \eta_N^\pm,\zeta_N^\pm \rangle = \pm\sin(\alpha)\frac{a_0^2 - b_0^2}{2} + \mathfrak B\frac{\mathfrak A a_0 + (\mathfrak A b_0 + a_1(a_0^2-b_0^2)) \cos(\alpha)} {4\pi \mathfrak A a_1 N} + O(N^{-2}) \end{equation*} (заметим, что $a_0 \neq \pm b_0$, так как $\mathfrak C \neq \pm\mathfrak A$). Нормированные произведения имеют следующую асимптотику: \begin{eqnarray*} \eta_N^\pm(x)\overline{\zeta_N^\pm(x)} = 1 &+& \cos(4\pi N x)V_0(x,\pm\alpha)+\sin(4\pi N x)V_1(x,\pm\alpha)\\ &+& \frac{1}{N}\cos(4\pi N x)W_0(x,\pm\alpha)+\frac{1}{N}\sin(4\pi N x)W_1(x,\pm\alpha) + O(N^{-2}), \end{eqnarray*} где \begin{equation*} V_0(x,\alpha) = \frac{\sin(\alpha (2x - 1))} {(a_0^2 - b_0^2)\sin(\alpha)}\, (a_0^2 + b_0^2+2 a_0 b_0 \cos(\alpha)); \end{equation*} \begin{equation*} V_1(x,\alpha) = \frac{\cos(\alpha (2x - 1))} {(a_0^2 - b_0^2)\sin(\alpha)}\, (a_0^2 + b_0^2+2 a_0 b_0 \cos(\alpha)); \end{equation*} \begin{equation*} W_0(x,\alpha) = \frac{\mathfrak B(2 {\cal R}_1 \sin(\alpha)\cos(2 \alpha x) - {\cal R}_2 \sin(2 \alpha x))} {4 \mathfrak A a_1 (a_0^2 - b_0^2)^2 \pi\sin^2(\alpha)}; \end{equation*} \begin{equation*} W_1(x,\alpha) = -\frac{\mathfrak B(2 {\cal R}_1 \sin(\alpha)\sin(2 \alpha x) + {\cal R}_2 \cos(2 \alpha x))} {4 \mathfrak A a_1 (a_0^2 - b_0^2)^2 \pi\sin^2(\alpha)}; \end{equation*} \begin{eqnarray*} {\cal R}_1 &=& a_0 b_0 (3 \mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) (1 + 2 x)) + 2 (a_0^2 + b_0^2) (\mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) x) \cos(\alpha) \\ &+& a_0 b_0 (\mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) (2x-1)) \cos(2 \alpha); \end{eqnarray*} \begin{multline*} {\cal R}_2 = 4 \mathfrak A a_0^2 b_0 + 2 a_1 (a_0^4 - b_0^4) (1-x) \\ + a_0 (\mathfrak A(2 a_0^2 + 5 b_0^2) + a_1 b_0 (a_0^2 - b_0^2) (5 - 2 x)) \cos(\alpha)\\ + 2 (a_0^2 + b_0^2) (\mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) x) \cos(2 \alpha) \\ + a_0 b_0(\mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) (2x-1)) \cos(3 \alpha). \end{multline*} \begin{lemma} Функции $V_0(x,\alpha)$, $V_1(x,\alpha)$, $W_0(x,\alpha)$ и $W_1(x,\alpha)$ непрерывны по обеим переменным при $\sin(\alpha) \neq 0$ и удовлетворяют следующим тождествам: \begin{eqnarray} V_0(x,\alpha) \equiv V_0(x,-\alpha),& \quad & V_1(x,\alpha) \equiv -V_1(x,-\alpha); \nonumber\\ W_1(x,\alpha) \equiv W_1(x,-\alpha),& \quad & W_0(x,\alpha) \equiv -W_0(x,-\alpha); \nonumber\\ V_0({\textstyle \frac{1}{2}},\alpha) \equiv 0, && W_1({\textstyle \frac{1}{2}},\alpha) \equiv 0. \label{VW} \end{eqnarray} \end{lemma} \begin{proof} Поскольку ${\cal R}_1$ и ${\cal R}_2$ -- четные функции $\alpha$, все утверждения леммы очевидны, кроме последнего. Но, учитывая соотношение $\mathfrak A\cos(\alpha)+\mathfrak C=0$, числитель в выражении для $W_1$ можно преобразовать к виду \begin{eqnarray*} 2 {\cal R}_1 \sin(\alpha)\sin(2 \alpha x) &+& {\cal R}_2 \cos(2\alpha x) = %2 a_0 (\mathfrak C + \mathfrak A \cos(\alpha)) (2 a_0 b_0 + (a_0^2 + b_0^2) \cos(\alpha)) + 2 \sin(\alpha (x-{\textstyle\frac{1}{2}}))\\ &\times&\Big( \big(a_0 a_1 b_0 (a_0^2-b_0^2)(2 x-1)+a_0b_0^2\mathfrak A\big) \sin(\alpha ({\textstyle\frac{5}{2}} - x)) \\ &+& \big(2a_1 (a_0^4 - b_0^4)x+2b_0(a_0^2 + b_0^2)\mathfrak A\big) \sin(\alpha ({\textstyle\frac{3}{2}} - x)) \\ &-& \big(5 a_0^3 a_1 b_0 + a_0 a_1 b_0^3 + a_0^4 b_1 + 5 a_0^2 b_0^2 b_1\big) \sin(\alpha (x- {\textstyle\frac{1}{2}})) \\ &-& \big(2 a_1(a_0^4- b_0^4)(1-x) + 4 a_0^2 b_0\mathfrak A\big) \sin(\alpha ({\textstyle\frac{1}{2}} + x)) \\ &+& \big(a_0 a_1 b_0(a_0^2- b_0^2)(2x-1)-a_0^3\mathfrak A\big) \sin(\alpha ({\textstyle \frac{3}{2}} + x))\Big), \end{eqnarray*} и последнее равенство в (\ref{VW}) доказано. \end{proof} \section*{Благодарности} Основные результаты статьи, Теоремы 2.4 и 2.5, получены при поддержке Российского научного фонда, грант 14-21-00035. Теорема 2.3 получена при поддержке гранта РФФИ 16-01-00258а. \begin{thebibliography}{XX} \bibitem{GL} И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан, {\em Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка}, ДАН СССР, {\bf 88} (1953), N4, 593--596. %\bibitem{L} %В. Б. Лидский, {\em Несамосопряженные операторы, имеющие след}, ДАН СССР, {\bf 125} (1959), N3, 485--487. \bibitem{Neimark} М. А. Наймарк, \emph{Линейные дифференциальные операторы}, 2-е изд., М., Наука, 1969. \bibitem{SZN} A. I. Nazarov, D. M. Stolyarov, P. B. Zatitskiy, {\em Tamarkin equiconvergence theorem and trace formula revisited}, J. Spectral Theory, {\bf 4} (2014), N2, 365--389. \bibitem{Prudnikov} А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, {\em Интегралы и ряды. Элементарные функции}, М., Наука, 1981. \bibitem{S2000} А. М. Савчук, {\em Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма--Лиувилля с $\delta$-потенциалом}, УМН, {\bf 55} (2000), N6, 155--156. \bibitem{SSh} А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, {\em Формула следа для операторов Штурма--Лиувилля с~сингулярными потенциалами}, Мат. заметки, {\bf 69} (2001), N3, 427--442. \bibitem{SPSurvey} В. А. Садовничий, В. Е. Подольский, {\em Следы операторов}, УМН, {\bf 61} (2006), N5, 89--156. \bibitem{T} Я.Д. Тамаркин, {\em О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды}, Петроград, 1917. \bibitem{Shk} А. А. Шкаликов, {\em Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях}, Труды сем. им. И.Г. Петровского, {\bf 9} (1983), 140--179. \bibitem{Shv} Р. Ф. Шевченко, {\em О следе дифференциального оператора}, ДАН СССР, {\bf 164} (1965), 62--65. \end{thebibliography} \end{document} % конец документа