\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\textheight=230mm
\textwidth=165mm
%\columnsep=5mm
\hoffset=-10mm
\voffset=-15mm
%%% Работа с русским языком
%\usepackage{cmap}					% поиск в PDF
\usepackage{mathtext} 				% русские буквы в формулах
\usepackage[T2A]{fontenc}			% кодировка
\usepackage[koi8-r]{inputenc}			% кодировка исходного текста
\usepackage[english,russian]{babel}	% локализация и переносы
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb,amsthm,mathtools} % AMS
\theoremstyle{plain} % Это стиль по умолчанию, его можно не переопределять.
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}[section]
\newtheorem{statement}[theorem]{Утверждение}
\newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{remark}{Замечание}
 
\theoremstyle{plain}
\newtheorem*{theorem*}{Теорема}
\newtheorem*{lemma*}{Лемма}
 
 


\author{Е.Д. Гальковский\footnote{Лаборатория им. П.Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственный университет, 14 линия В.О., 29Б, СПб, 199178, Россия. 
E-mail: egor\_maths@list.ru.}\,, 
А.И. Назаров\footnote{Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН; Санкт-Петербургский госуниверситет. E-mail: al.il.nazarov@gmail.com. }}

\title{Общая формула следов для дифференциального оператора на отрезке при возмущении младшего коэффициента конечным зарядом}

\date{}

\begin{document}

\maketitle

\hfill {\it Памяти Михаила Захаровича Соломяка}
\bigskip

\begin{abstract}
	В работе получена формула следа первого порядка для дифференциального оператора на отрезке, возмущенного оператором умножения на заряд. 
\end{abstract}

%\tableofcontents
%\newpage

\section{Введение}

Рассмотрим оператор $\mathbb L$ на отрезке $[a,b]$, порождаемый дифференциальным выражением порядка $n \geqslant 2$
\begin{align}\label{Diff_Equation_P}
	\ell=(-i)^nD^n+\sum \limits_{k=0}^{n-2}{p_k(x)D^k},
\end{align}
(здесь $p_k\in L_1(a,b)$ -- комплекснозначные функции) и граничными условиями
\begin{align}\label{Boundary_Conditions}
	(P_j(D)y)(a)+(Q_j(D)y)(b) = 0,\qquad j=0, \dots, n-1,
\end{align}
(здесь $P_j$ и $Q_j$ -- полиномы степени меньше $n$ с комплексными коэффициентами). Обозначим $d_j$ наибольшую из степеней $P_j$ и $Q_j$, $a_j$ и $b_j$ -- коэффициенты 
при степени $d_j$ у полиномов $P_j$ и $Q_j$ соответственно (таким образом, $a_j$ и $b_j$ не могут одновременно обращаться в нуль). 

Будем считать систему граничных условий (\ref{Boundary_Conditions}) нормированной (это означает, что $\sum\limits_{j=0}^{n-1}d_j$ является минимальной среди всех систем 
граничных условий, которые могут быть получены из (\ref{Boundary_Conditions}) невырожденными линейными преобразованиями; см. \cite[гл. II, $\mathsection 4$]{Neimark}, а 
также \cite{Shk} в случае более общей постановки).

Предположим, далее, что система (\ref{Boundary_Conditions}) регулярна по Биркгофу (см. \cite[гл. II, $\mathsection 4$]{Neimark}). Тогда оператор  $\mathbb{L}$ имеет 
дискретный спектр\footnote{Заметим, что мы не предполагаем самосопряженности $\mathbb{L}$.}, который мы будем обозначать $\{\lambda_N\}_{_{N=1}}^{^\infty}$. В дальнейшем 
мы всегда будем нумеровать собственные числа в порядке возрастания модулей с учетом кратности (т.е. $|\lambda_N| \leqslant |\lambda_{N+1}|$). 

Обозначим $\mathbb{Q}$ оператор умножения на конечный (комплексный) заряд ${\mathfrak q}$ (пространство таких зарядов будем обозначать $\mathfrak M[a,b]$). Тогда оператор 
$\mathbb{L}_{\mathfrak q}=\mathbb{L}+\mathbb{Q}$ также имеет дискретный спектр, который мы будем обозначать $\{\lambda_N({\mathfrak q})\}_{_{N=1}}^{^\infty}$.
    
    Нас будет интересовать регуляризованный след 
\begin{align*}
	\mathcal{S}({\mathfrak q}) := \sum_{N=1}^{\infty} \bigg[\lambda_N({\mathfrak q})-\lambda_N-\frac{1}{b-a}\int\limits_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)\,\bigg].
\end{align*}
Не умаляя общности, в дальнейшем будем считать, что $\int\limits_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)=0$.

    Впервые формула регуляризованного следа была получена в 1953 году И.~М. Гельфандом и Б.~М. Левитаном для задачи
\begin{equation}\label{SL-GL}
	-y''+{\mathfrak q}(x)y=\lambda y; \qquad y(0) = y(\pi) = 0.
\end{equation}
Именно, в работе \cite{GL} было показано, что при вещественной ${\mathfrak q}(x)\in {\cal C}^1[0,\pi]$ справедливо соотношение
$$
	\mathcal{S}({\mathfrak q})= -\frac{{\mathfrak q}(0)+{\mathfrak q}(\pi)}{4}.
$$
Статья \cite{GL} породила многочисленные усиления и обобщения. Обзор результатов в задаче о вычислении регуляризированного следа можно найти в статье В.~А. Садовничего и 
В.~Е. Подольского \cite{SPSurvey}.

В недавней работе А.~И. Назарова, Д.~М. Столярова и П.~Б. Затицкого \cite{SZN} для произвольного $n \geqslant 2$ и регулярных граничных условий была получена формула
\begin{equation}\label{traceNSZ}
	\mathcal{S}({\mathfrak q}) = \frac{\psi_a(a+)}{2n}\cdot\textbf{tr}\,(\mathbb A)+\frac{\psi_b(b-)}{2n}\cdot\textbf{tr}\,(\mathbb B),
\end{equation}
в предположениях, являющихся сейчас стандартными\footnote{Для оператора $\mathbb{L}$ без младших членов и гладкой функции ${\mathfrak q}$ формула (\ref{traceNSZ}) была 
установлена ранее Р.~Ф. Шевченко \cite{Shv}.}: ${\mathfrak q} \in L_1(a,b)$, и функции 
$$
\psi_a(x)=\frac{1}{x-a}\int\limits_a^x {\mathfrak q}(t)dt,\qquad 
\psi_b(x)=\frac{1}{b-x}\int\limits_x^b {\mathfrak q}(t)dt
$$ 
имеют ограниченную вариацию в точках $a$ и $b$ соответственно. В формуле (\ref{traceNSZ}) $\mathbb A$ и $\mathbb B$ -- матрицы, элементы которых выражаются через 
коэффициенты $a_j$ и $b_j$, $j=0,\dots,n-1$. Более того, в \cite{SZN} было показано, что в важном частном случае {\bf почти разделенных} граничных условий множители 
$\textbf{tr}\,(\mathbb A)$ и $\textbf{tr}\,(\mathbb B)$ в (\ref{traceNSZ}) упрощаются и выражаются через суммы степеней полиномов $P_j$ и $Q_j$.

Принципиально новый эффект был обнаружен уже в нашем веке А.~М. Савчуком и А.~А. Шкаликовым \cite{S2000, SSh}. Именно, оказалось, что если в задаче (\ref{SL-GL}) 
${\mathfrak q}\in \mathfrak M[0,\pi]$ -- заряд, локально непрерывный в точках $0$ и $\pi$, то 
\begin{equation}\label{SL-SSh}
	\mathcal{S}({\mathfrak q}) = -\frac{{\mathfrak q}(0)+{\mathfrak q}(\pi)}{4}-\frac{1}{8}\sum_j h_j^2,
\end{equation}
где $h_j$ -- скачки функции распределения заряда ${\mathfrak q}$ (ряд $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ в этом случае суммируется методом средних). Таким образом, при 
${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ регуляризованный след перестает быть линейным функционалом от ${\mathfrak q}$.

В настоящей статье мы обобщаем формулу (\ref{SL-SSh}) на случай оператора $\mathbb{L}$ с произвольными регулярными граничными условиями.\medskip

Статья организована следующим образом. В $\mathsection 2$ сформулированы основной результат и несколько промежуточных утверждений. Эти утверждения доказываются в 
$\mathsection\mathsection 3-5$. В Приложение вынесены асимптотики собственных чисел и собственных функций операторов Штурма--Лиувилля, необходимые для доказательства 
Теоремы 2.5.

Введем некоторые обозначения. Любой заряд ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ можно разбить на непрерывную и дискретную составляющие, которые мы обозначим $\mathfrak c$ 
и $\mathfrak d$ соответственно, так что 
\begin{equation*}\label{c+d}
\mathfrak q=\mathfrak c+\mathfrak d=\mathfrak c+\sum\limits_j h_j\delta(x-x_j), \qquad \sum\limits_j |h_j|<\infty.
\end{equation*}
Полную вариацию заряда $\mathfrak q$ обозначим $\|\mathfrak q\|$. Определим также функцию распределения
$$
{\cal Q}(x)=\int\limits_{[a,x]} {\mathfrak q}(dt).
$$ 
Таким образом, $h_j$ -- скачок функции ${\cal Q}$ в точке $x_j$.

Оператор, порожденный дифференциальным выражением $\ell_0=(-i)^nD^n$ и регулярными условиями (\ref{Boundary_Conditions}), обозначим $\mathbb{L}_0$, а его собственные числа 
-- $\{\lambda_N^0\}_{_{N=1}}^{^{\infty}}$.
    
Далее, $G(x,y,\lambda)$, $G_{\mathfrak q}(x,y,\lambda)$, и $G_0(x,y,\lambda)$ -- функции Грина операторов $\mathbb{L}-\lambda$, $\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda$ и 
$\mathbb{L}_0-\lambda$ соответственно (см. \cite{Neimark}, гл. I, $\mathsection 3$)).
    
Для произвольной функции $\Phi(\lambda)$, определенной на комплексной плоскости $\mathbb{C}$, введем функцию $\tilde{\Phi}(z)$ следующим образом:
\begin{equation*}
	\tilde{\Phi}(z) = \Phi(\lambda), \text{ где } z = \lambda^{\frac{1}{n}}, \; Arg(z) \in [0,\frac{2\pi}{n}).
\end{equation*}

Заметим, что резольвента $\frac 1{\mathbb{L}-\lambda}$ -- интегральный оператор с ядром $G(x,y,\lambda)$, и определим его след
$$
\mathbf{Sp}\,\frac{1}{{\mathbb L} - \lambda} = \int\limits_{a}^b G(x,x,\lambda)\, dx.
$$ 

   Напомним определение суммирования ряда методом средних (методом Чезаро порядка $1$). Пусть $I_{\ell}$ -- последовательность частных сумм ряда $\sum\limits_{j}a_j$. 
   Ряд называется суммируемым методом средних, если существует предел
\begin{equation*}
({\cal C},1)\,\text{-}\lim_{\ell\to \infty} I_{\ell}:=({\cal C},1)\,\text{-}\sum \limits_{j=1}^{\infty} a_j := \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{\ell=1}^k I_{\ell}.
\end{equation*}


Все положительные константы, значения которых нам не важны, обозначаются буквой $C$.

\section{Формулировка результатов}

Наш основной результат для операторов второго порядка выглядит так:

\begin{theorem}\label{basic-1}
Пусть $n=2$, и функция распределения заряда ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ дифференцируема в точках $a$ и $b$. Тогда для любых регулярных граничных условий 
(\ref{Boundary_Conditions}) справедлива формула
\begin{equation}\label{SL-SSh-general}
	\mathcal{S}({\mathfrak q}) = {\cal A}{\cal Q}'(a)+{\cal B}{\cal Q}'(b)-\frac{1}{8}\sum_j h_j^2.
\end{equation}
где ряд $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ суммируется методом средних, и
\begin{eqnarray*}
{\cal A}={\cal B}=-\frac 14 & \text{при} & d_0=d_1=0;\\
{\cal A}={\cal B}=\frac 14 & \text{при} & d_0=d_1=1;\\
{\cal A}=-{\cal B}=\frac 14\,\frac {a_1b_0-a_0b_1}{a_1b_0+a_0b_1} & \text{при} & d_0=0,\ d_1=1.
\end{eqnarray*}
\end{theorem}
Таким образом, нелинейное слагаемое в (\ref{SL-SSh-general}) {\bf не зависит} от граничных условий, в то время как коэффициенты линейной части полностью определяются 
граничными условиями.\medskip

Для операторов высокого порядка рассматриваемое возмущение является слишком слабым, и зависимость следа от ${\mathfrak q}$ остается линейной.

\begin{statement}
Пусть $n\ge3$, ${\mathfrak q}\in \mathfrak M[a,b]$ -- заряд, удовлетворяющий условиям теоремы \ref{basic-1}. Тогда для любых регулярных граничных условий 
(\ref{Boundary_Conditions}) справедлива формула
\begin{equation*}
	\mathcal{S}({\mathfrak q}) =\frac{{\cal Q}'(a)}{2n}\cdot\textbf{tr}\,(\mathbb A)+\frac{{\cal Q}'(b)}{2n}\cdot\textbf{tr}\,(\mathbb B),
\end{equation*}
где ряд $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ суммируется методом средних, а матрицы $\mathbb A$ и $\mathbb B$ такие же, как в (\ref{traceNSZ}) (см. \cite[Theorem 2]{SZN}).
\end{statement}
В полном объеме это утверждение будет доказано в другой статье. Здесь мы докажем теорему  \ref{basic-1} и несколько вспомогательных утверждений.

\begin{theorem}\label{th1}
	Для любой последовательности $R = R_{\ell} \to \infty$, отделенной от $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{n}}$, справедливы следующие соотношения:
    \begin{enumerate}
\item при $n \geqslant 3$ 
	\begin{equation*}
\sum_{\lambda_N({\mathfrak q}),\lambda_N<R} \Big[\lambda_N({\mathfrak q})-\lambda_N\Big]
 = -\frac{1}{2 \pi i}\int\limits_{|\lambda|=R^n}\int\limits_{[a,b]} G_0(x,x,\lambda)\,{\mathfrak q}(dx)\,d\lambda + o(1);
	\end{equation*}
\item при $n = 2$ 
    \begin{eqnarray}\label{Splitting}
\sum_{\lambda_N({\mathfrak q}),\lambda_N<R} \Big[\lambda_N({\mathfrak q})-\lambda_N\Big]&=&
-\frac{1}{2 \pi i}\int\limits_{|\lambda|=R^2}\int\limits_{[a,b]} G_0(x,x,\lambda)\,{\mathfrak q}(dx)\,d\lambda 
\nonumber \\ 
&+& \frac{1}{4 \pi i}\sum_j h_j^2\int\limits_{|\lambda|=R^2}\! G_0(x_j,x_j,\lambda)^2\,d\lambda + o(1).
	\end{eqnarray}
\end{enumerate}
\end{theorem}


\begin{theorem}\label{th2}
Пусть $n=2$, и ${\mathfrak q} \in \mathfrak M[a,b]$ -- заряд, удовлетворяющий условиям теоремы \ref{basic-1}. Пусть последовательность $R = R_{\ell} \to \infty$, 
отделенная от $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$, обладает следующим свойством:
\begin{enumerate}
\item если граничные условия (\ref{Boundary_Conditions}) сильно регулярны (см., напр., \cite{Shk}), то при достаточно больших $\ell$ между $R_{\ell}$ и $R_{\ell+1}$ 
находится ровно одно число $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$;
\item если же условия (\ref{Boundary_Conditions}) регулярны, но не сильно регулярны, то при достаточно больших $\ell$ между $R_{\ell}$ и $R_{\ell+1}$ находится ровно 
одна пара чисел $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$.
\end{enumerate}
 Тогда
\begin{equation}\label{C-lim}
-\frac{1}{2 \pi i}\cdot({\cal C},1)\text{-}\lim \int\limits_{|\lambda|=R^n}\int\limits_{[a,b]}G_0(x,x,\lambda)\,{\mathfrak q}(dx)\,d\lambda = 
{\cal A}{\cal Q}'(a)+{\cal B}{\cal Q}'(b),
\end{equation}
где ${\cal A}$ и ${\cal B}$ такие же, как в Теореме \ref{basic-1}.
\end{theorem}


\begin{theorem}\label{th3}
   Пусть $n=2$. Тогда для любой последовательности $R = R_{\ell} \to \infty$, отделенной от $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$, при $x\ne a,b$ имеем
\begin{equation*}
	\lim_{R\to \infty}\int\limits_{|\lambda|=R^2}G_0(x,x,\lambda)^2\,d\lambda = -\frac{\pi i}{2}.
\end{equation*}
\end{theorem}


\section{Доказательство Теоремы \ref{th1}}

Нам понадобятся некоторые утверждения из \cite{SZN}. Первое из них обобщает теорему Я.~Д. Тамаркина \cite{T} о равносходимости, второе дает оценки функций Грина.

\begin{proposition}\label{Equiconv_G_G0} (\cite[Theorem 1]{SZN}) Для любой последовательности $R = R_{\ell} \to \infty$, отделенной от $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{n}}$, имеем
\begin{equation*}
	\int \limits _{|\lambda| = R^n}{\left|(G_0 - G)(x,y,\lambda)\right||d\lambda|}\to 0
\end{equation*}
равномерно по $x, y \in [a,b]$.
\end{proposition}

\begin{proposition}\label{Estimates_G_0} (\cite[Lemma 1 и (22)]{SZN})
Положим 
$$
\Gamma_1=\Big\{w=e^{i\phi}:\phi\in\Big(0,\,\frac{\pi}{n}\Big)\Big\}; \qquad 
\Gamma_2=\Big\{w=e^{i\phi}:\phi\in\Big(\frac{\pi}{n},\,\frac{2\pi}{n}\Big)\Big\}.
$$
Тогда для любого $x \in [a,b]$ 
\begin{equation}\label{G0to0}
R^{n-1}\cdot|\tilde{G_0}(x,y,Rw)| \to 0
\end{equation}
для почти всех $y\in[a,b]$ и почти всех $w\in\Gamma_1\cup\Gamma_2$. Более того, сходимость равномерная на ${\cal K}\times {\cal J}$ для любого компактного множества 
${\cal K} \subset [a,b]^2$, отделенного от углов и диагонали $\{x=y\}$ и любого компактного множества ${\cal J}\subset\Gamma_1\cup\Gamma_2$.

Далее, предположим, что в дифференциальном выражении (\ref{Diff_Equation_P}) все коэффициенты $p_k\in\mathfrak M[a,b]$, $k=0,\dots,n-2$. Тогда для любой последовательности 
$R = R_{\ell} \to \infty$, отделенной от $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{n}}$, и для всех $j=0,\dots,n-1$ функции 
$$
R^{n-1-j}\cdot|(\tilde{G})_x^{(j)}(x,y,Rw)|
$$
равномерно ограничены на $[a,b]^2\times(\Gamma_1\cup\Gamma_2)$. 
\end{proposition}
\begin{remark}
В \cite{SZN} вторая часть этого утверждения доказана для $p_k\in L_1(a,b)$. Однако доказательство без изменений проходит при $p_k\in\mathfrak M[a,b]$. 
\end{remark}



\begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{th1}]
Мы начнем с соотношения (см. \cite[(24), (25)]{SZN}):
\begin{eqnarray*}
&&4 \pi i\sum_{\lambda_N({\mathfrak q}),\lambda_N<R} \Big[\lambda_N({\mathfrak q})-\lambda_N\Big] \\
&& = -\int\limits_{|\lambda|=R^n}\lambda\,\mathbf{Sp}\left(\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\right)\mathbb{Q}
\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q} -\lambda}\right)\right)d\lambda \\
&& + \int\limits_{|\lambda|=R^n}\lambda\,\mathbf{Sp}\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}+\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}
\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\right)d\lambda =: -I_1(R)+I_2(R).
\end{eqnarray*}
      
\begin{lemma}\label{I1}
В условиях Теоремы \ref{th1} $I_1(R)=o(1)$ при $R\to\infty$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Запишем $I_1(R)$ через функции Грина:
\begin{multline*}
	I_1(R)= \int\limits_{|\lambda|=R^n} \int\limits_{\vphantom{[}a}^b \int\limits_{[a,b]}\lambda\, G(x,y,\lambda)\\
\times\int\limits_{[a,b]}\int\limits_{[a,b]} G_{\mathfrak q}(y,s,\lambda)\,G(s,t,\lambda)\,G_{\mathfrak q}(t,x,\lambda){\mathfrak q}(dt){\mathfrak q}(ds){\mathfrak q}(dy)
\,dx\,d\lambda.
\end{multline*}

При $n \geqslant 3$, воспользовавшись оценкой из Предложения \ref{Estimates_G_0}, получим
$$
|I_1(R)|\leqslant R^{2n}\|{\mathfrak q}\|^3\,\frac{C}{R^{4(n-1)}} = o(1).
$$
При $n = 2$ доказательство усложняется. Из той же оценки получаем при $x,y\in[a,b]$
\begin{equation*}\label{ThreeFour}
\bigg|\lambda\int\limits_{[a,b]}\int\limits_{[a,b]}G_{\mathfrak q}(y,s,\lambda)\,G(s,t,\lambda)\,G_{\mathfrak q}(t,x,\lambda){\mathfrak q}(dt){\mathfrak q}(ds) \bigg| 
\leqslant \|{\mathfrak q}\|^2\,\frac{C}{R},
\end{equation*}
откуда
\begin{eqnarray*}
|I_1(R)|&\leqslant& \|{\mathfrak q}\|^2\,\frac{C}{R}\int\limits_{|\lambda|=R^2}\int\limits_{\vphantom{[}a}^b \int\limits_{[a,b]}|G(x,y,\lambda)|\,|{\mathfrak q}|(dy)
\,dx\,|d\lambda| \\
&\stackrel{*}{=}&\|{\mathfrak q}\|^2\,\frac{C}{R}\int\limits_{|\lambda|=R^2}\int\limits_{\vphantom{[}a}^b \int\limits_{[a,b]}|G_0(x,y,\lambda)|\,|{\mathfrak q}|(dy)
\,dx\,|d\lambda| +o(1) \\
&\leqslant& \|{\mathfrak q}\|^2\, C\int\limits_{\Gamma_1\cup\Gamma_2}\int\limits_{\vphantom{[}a}^b\int\limits_{[a,b]}R\cdot|\tilde{G}_0(x,y,Rw)|\,|{\mathfrak c}|(dy)
\,dx\,|dw| \\
&+&\sum_j\|{\mathfrak q}\|^2\,C\,|h_j| \int\limits_{\Gamma_1\cup\Gamma_2}\int \limits_a^b 
R\cdot|\tilde{G}_0(x,x_j,Rw)|\,dx\,|dw|+o(1) \\
&=:&I_{11}(R)+I_{12}(R)+o(1)
\end{eqnarray*}
(равенство $*$ следует из Предложения \ref{Equiconv_G_G0}). 
%, а $J$ будет выбрано позднее.

В силу оценки из Предложения \ref{Estimates_G_0} подынтегральное выражение в $I_{12}(R)$ ограничено равномерно по $j$. Кроме того, в условиях Теоремы 2.3 заряд 
${\mathfrak q}$ не имеет атомов на концах отрезка, т.е. все $x_j\in(a,b)$. Поэтому соотношение (\ref{G0to0}) и теорема Лебега дают $I_{12}(R)=o(1)$. 

Оценим теперь $I_{11}(R)$. В силу непрерывности заряда ${\mathfrak c}$ для любого $\varepsilon > 0$ найдется $\delta > 0$ такое, что для любого отрезка длины не более 
$\delta$ полная вариация ${\mathfrak c}$ на этом отрезке не превосходит $\varepsilon$. Выберем компактное множество ${\cal K} \subset [a,b]^2$, отделенное от углов и 
диагонали $\{x=y\}$, так, что при всех $x\in[a,b]$ множество ${\cal K}_x = \{y\in[a,b]:(x,y) \notin {\cal K}\}$ состоит не более чем из трех интервалов длины не более 
$\delta$ каждый. Также выберем компакт ${\cal J} \subset \Gamma_1\cup\Gamma_2$, так, что мера множества $(\Gamma_1\cup\Gamma_2) \setminus {\cal J}$ не превосходит 
$\varepsilon$.

Интеграл по множеству ${\cal K}\times {\cal J}$ стремится к нулю при $R\to \infty$ в силу Предложения \ref{Estimates_G_0}. Интеграл по оставшемуся множеству 
оценивается через $C\varepsilon$. 

Таким образом, $|I_1(R)|\leqslant C\varepsilon + o(1)$. Ввиду произвольности $\varepsilon$ лемма доказана.
\end{proof}

Продолжим доказательство теоремы. В интеграле $I_2(R)$ воспользуемся тождеством $\mathbf{Sp}(ABC)=\mathbf{Sp}(BCA)$ и проинтегрируем по частям:
\begin{eqnarray*}
I_2(R) &=& \int\limits_{|\lambda|=R^n}\lambda\,\mathbf{Sp}\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}+\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q} 
-\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\right)d\lambda \\
&=& \int\limits_{|\lambda|=R^n}\mathbf{Sp}\left(\left(\frac{\lambda}{(\mathbb{L}-\lambda)^2}+\frac{\lambda}{(\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda)^2}\right)\mathbb{Q}\right)
d\lambda \\
&=& -\int\limits_{|\lambda|=R^n}\mathbf{Sp}\left(\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}+\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\right)\mathbb{Q}\right)d\lambda.
\end{eqnarray*}

Ко второму слагаемому применим тождество Гильберта. Это дает
\begin{equation}\label{I2}
I_2(R) = -2\int\limits_{|\lambda|=R^n}\mathbf{Sp}\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)d\lambda+\int\limits_{|\lambda|=R^n}
\mathbf{Sp}\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\,\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)d\lambda.
\end{equation}
При $n \geqslant 3$ второе слагаемое в (\ref{I2}) ограничено величиной $CR^{2-n}=o(1)$ ввиду оценки из Предложения \ref{Estimates_G_0}. Выражая первое слагаемое через 
функцию Грина, получим
\begin{equation*}
I_2(R) = -2 \int\limits_{|\lambda|=R^n} \int\limits_{[a,b]} G(x,x,\lambda){\mathfrak q}(dx)\,d\lambda+o(1)= -2 \int\limits_{|\lambda|=R^n} \int\limits_{[a,b]} 
G_0(x,x,\lambda){\mathfrak q}(dx)\,d\lambda+o(1)
\end{equation*}
(последнее равенство следует из Предложения \ref{Equiconv_G_G0}). Объединяя это равенство с Леммой \ref{I1}, получим первое утверждение теоремы.\medskip

При $n=2$ ко второму слагаемому в (\ref{I2}) еще раз применим тождество Гильберта. Это дает
\begin{equation*}
I_2(R) = \int\limits_{|\lambda|=R^2}\mathbf{Sp}\left(\frac{-2}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}+\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)^2-
\left(\frac{1}{\mathbb{L}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)^2\frac{1}{\mathbb{L}_{\mathfrak q}-\lambda}\,\mathbb{Q}\right)d\lambda.
\end{equation*}
Последнее слагаемое здесь допускает оценку $CR^{-\frac 12}=o(1)$ ввиду оценки из Предложения \ref{Estimates_G_0}. Оставшиеся слагаемые мы выразим через функцию Грина и 
заменим $G$ на $G_0$ аналогично случаю $n \geqslant 3$. Получим
\begin{eqnarray}\label{I3}
	I_2(R) &=& -2 \int\limits_{|\lambda|=R^2} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,x,\lambda){\mathfrak q}(dx)\,d\lambda
    \nonumber\\
&+& \int\limits_{|\lambda| = R^2} \int\limits_{[a,b]} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,y,\lambda)\,G_0(y,x,\lambda){\mathfrak q}(dy){\mathfrak q}(dx)\,d\lambda
+o(1).
\end{eqnarray}

Осталось преобразовать второе слагаемое в (\ref{I3}). Обозначим его $I_3(R)$ и перепишем в виде
\begin{eqnarray*}\label{I31}
I_3(R) &=& \int\limits_{|\lambda| = R^2} \int\limits_{[a,b]} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,y,\lambda)\,G_0(y,x,\lambda){\mathfrak c}(dy)({\mathfrak c}(dx) 
+2{\mathfrak d}(dx))\,d\lambda     \nonumber\\
&+& \int\limits_{|\lambda| = R^2} \int\limits_{[a,b]} \int\limits_{[a,b]} G_0(x,y,\lambda)\,G_0(y,x,\lambda){\mathfrak d}(dy){\mathfrak d}(dx)\,d\lambda =:
I_{31}(R)+I_{32}(R). 
\end{eqnarray*}

Интеграл $I_{31}(R)$ оценивается аналогично $I_{11}(R)$, что дает $|I_{31}(R)|\leqslant C\varepsilon + o(1)$ для любого $\varepsilon>0$.

Далее,
\begin{equation*}
I_{32}(R) = \sum_{j,k} h_kh_j
\int\limits_{\Gamma_1\cup\Gamma_2}\! 2R^2\cdot \tilde{G}_0(x_j,x_k,Rw)
\,\tilde{G}_0(x_k,x_j,Rw)\,dw.
\end{equation*}
Все слагаемые с $j\ne k$ стремятся к нулю при $R\to\infty$ ввиду (\ref{G0to0}). По теореме Лебега 
\begin{equation*}
I_{32}(R) = \sum_{j} h_j^2
\int\limits_{\Gamma_1\cup\Gamma_2}\! 2R^2\cdot \tilde{G}_0(x_j,x_j,Rw)^2\,dw + o(1) =
\sum_{j} h_j^2 \int\limits_{|\lambda| = R^2} G_0(x_j,x_j,\lambda)^2\,d\lambda+ o(1),
\end{equation*}
что вместе с формулой (\ref{I3}) и оценками интегралов $I_1$ и $I_{31}$ дает (\ref{Splitting}).
\end{proof}



\section{Доказательство Теоремы \ref{th2}}

Сделав линейную замену переменной, можно считать, что $a=0$, $b=1$. Далее, поскольку для гладких функций ${\mathfrak q}$  формула (\ref{C-lim}) уже известна, 
достаточно доказать теорему в случае ${\cal Q}'(0)={\cal Q}'(1)=0$. Более того, можно дополнительно подчинить ${\mathfrak q}$ нескольким условиям ортогональности, 
что будет использовано ниже.


Нам понадобится следующее утверждение, являющееся частным случаем \cite[Лемма 1]{SSh}.

\begin{proposition}\label{cosinusy}
Пусть ${\mathfrak q} \in \mathfrak M[0,1]$ -- заряд, удовлетворяющий условиям теоремы \ref{basic-1}, причем ${\cal Q}'(0)={\cal Q}'(1)=0$. Тогда 
$$
({\cal C},1)\text{-}\sum \limits_{\ell=1}^{\infty}\, \int\limits_{[0,1]} \cos(2\pi\ell x)\,{\mathfrak q}(dx)=0. 
$$
\end{proposition}

\begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{th2}]
Используя разложение функции Грина в окрестности полюса \cite[гл. I, $\mathsection 3$]{Neimark} и теорему о вычетах, перепишем интеграл из (\ref{C-lim}) так:
\begin{equation}\label{summa}
-\frac{1}{2 \pi i}\int\limits_{|\lambda|=R^n}\int\limits_{[0,1]}G_0(x,x,\lambda)\,{\mathfrak q}(dx)\,d\lambda=\sum\limits_{|\lambda_N^0| < R^2}\, 
\int\limits_{[0,1]} y_N(x) \overline{z_N(x)}\,{\mathfrak q}(dx),
\end{equation}
где $y_N$ и $z_N$ -- собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$, отвечающие собственным числам $\lambda_N^0$ и $\overline{\lambda_N^0}$ 
соответственно и нормированные условием
$$
\langle y_N, z_N \rangle:=\int\limits_0^1 y_N(x)\overline{z_N(x)}\,dx = 1.
$$
Если собственному числу $\lambda_N^0=\lambda_{N+1}^0$ (а тогда и $\overline{\lambda_N^0}=\overline{\lambda_{N+1}^0}$) соответствует жорданова клетка размерности $2$, 
то в правой части (\ref{summa}) слагаемое $y_N(x) \overline{z_N(x)}$ нужно заменить на
$$
y_N(x) \overline{\widehat z_{N+1}(x)}+
\widehat y_{N+1}(x) \overline{z_N(x)},
$$
где $\widehat y_{N+1}$ и $\widehat z_{N+1}$ -- присоединенные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ из этих жордановых клеток, а условие нормировки имеет вид
\begin{equation}\label{prisoed}
\langle y_N, z_N \rangle = \langle \widehat y_{N+1}, \widehat z_{N+1} \rangle = 0; \qquad
\langle y_N, \widehat z_{N+1} \rangle = \langle \widehat y_{N+1}, z_N \rangle = 1.
\end{equation}
Таким образом, нам нужно обосновать переход к пределу в смысле средних в правой части (\ref{summa}). Рассмотрим различные случаи.


\subsection*{Случай $d_0=d_1=0$ (условия Дирихле)\footnote{Как указывалось во введении, этот случай рассмотрен в работе \cite{SSh}.}}
Этот случай технически наиболее прост. Система (\ref{Boundary_Conditions}) приводится к виду
$$  
y(0) = 0,\qquad y(1) = 0.
$$
Оператор $-D^2$ с этими граничными условиями самосопряжен, его собственные числа и собственные функции имеют вид
$$
\lambda_N^0 = (\pi N)^2,\qquad   y_N(x) = z_N(x) = C\sin(\pi N x),
\qquad N\in\mathbb{N}.
$$
С учетом условия нормировки имеем
$$
y_N(x)\overline{z_N(x)} = 1-\cos(2 \pi N x).
$$ 
Константа обнуляется при интегрировании ввиду условия $\int\limits_{[a,b]} {\mathfrak q}(dx)=0$, а косинус -- при переходе к пределу ввиду Предложения \ref{cosinusy}. 
Таким образом, формула (\ref{C-lim}) доказана.


\subsection*{Случай $d_0=d_1=1$}

В данном случае система (\ref{Boundary_Conditions}) приводится к виду
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{lr}
  y'(0) + c_0 y(0) + f_0 y(1) = 0,\\
  y'(1) + c_1 y(0) + f_1 y(1) = 0,
\end{array}
\right.
\end{equation*}
а граничные условия для сопряженного оператора -- к виду
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{lr}
  z'(0) + \overline{c}_0 z(0) - \overline{c}_1 z(1) = 0,\\
  z'(1) - \overline{f}_0 z(0) + \overline{f}_1 z(1) = 0.
\end{array}
\right.
\end{equation*}


Используя алгоритм из \cite[гл. II, $\mathsection 4$]{Neimark}, выпишем асимптотики собственных чисел и собственных функций с точностью до $O(N^{-2})$ (см. Приложение, п.1) 
и учтем условие нормировки. Получим
\begin{eqnarray}\label{Neumann}
	y_{N+1}(x)\overline{z_{N+1}(x)} &=& 1+\cos(2 \pi N x) -2\,\frac{\sin(2 \pi N x)}{\pi N}\,(c_0 (1-x)+ f_1 x) 
    \nonumber\\ 
    &+& (-1)^N\,\frac{\sin(2 \pi N x)}{\pi N}\,(c_1-f_0)(1-2 x) + O(N^{-2}).
\end{eqnarray}
Как и в задаче Дирихле, первые два члена в этом разложении обнуляются при интегрировании и переходе к пределу в (\ref{summa}). Остальные члены в (\ref{Neumann}) порождают 
ряд, сходящийся в каждой точке отрезка $[0,1]$, причем частные суммы этого ряда равномерно ограничены. Обозначим сумму этого ряда $g(x)$. По теореме Лебега имеем
$$
({\cal C},1)\,\text{-}\sum\limits_{N=1}^{\infty}\, \int\limits_{[0,1]} y_N(x) \overline{z_N(x)}\,{\mathfrak q}(dx)=
\int\limits_{[0,1]} g(x)\,{\mathfrak q}(dx).
$$
Но мы уже знаем, что для гладких функций ${\mathfrak q}$ левая часть этого равенства обращается в нуль. Поэтому $g(x)=0$ для п.в. $x\in[0,1]$.

Осталось заметить, что, согласно известным формулам 
\cite[5.4.2.9 и 5.4.2.10]{Prudnikov}, третий член в (\ref{Neumann}) дает при суммировании функцию, имеющую разрывы разве что на концах отрезка, четвертый член -- 
непрерывную функцию (за счет множителя $1-2x$, уничтожающего разрыв в точке $\frac 12$), и остаток -- непрерывную функцию. Поэтому $g$ может отличаться от нуля разве 
что в точках $0$ и $1$. Однако в силу условия на ${\mathfrak q}$ эти точки не дают вклада в интеграл, и формула (\ref{C-lim}) доказана.


\subsection*{Случай $d_0=0$, $d_1=1$}

Общий вид граничных условий в этом случае следующий:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
a_0y(0) + b_0y(1) = 0,\\
a_1y'(0) + b_1y'(1)+ c_1y(0) + f_1y(1) = 0.
\end{array}
\right.
\end{equation*}
Не умаляя общности, можно считать, что $a_1 \neq 0$. Тогда граничные условия для сопряженного оператора имеют вид
\begin{equation*}
\left\{
\begin{array}{r}
\displaystyle\overline{b}_0y'(0) + \overline{a}_0y'(1)+ \frac 1{\overline{a}_1}\,(\overline{c_1b}_0-\overline{f_1a}_0)y(0)= 0,\\
\overline{b}_1y(0) + \overline{a}_1y(1) = 0.
\end{array}
\right.
\end{equation*}

Для упрощения записи введем следующие обозначения:
\begin{equation*}
\mathfrak A = b_1 a_0 + a_1 b_0;\qquad \mathfrak B = f_1 a_0 - c_1 b_0;\qquad \mathfrak C = a_1 a_0 + b_1 b_0
\end{equation*}
(напомним, что $\mathfrak A\ne0$ ввиду регулярности граничных условий).


\subsubsection*{Случай $\mathfrak C=\pm \mathfrak A$, $\mathfrak B = 0$: двукратные собственные числа}

В этом случае систему граничных условий оператора $\mathbb{L}_0$ можно упростить:
\begin{equation*}
a_0y(0) + b_0y(1) = 0,\qquad a_1y'(0) + b_1y'(1) = 0.
\end{equation*}
Будем считать, что\footnote{В случае $\mathfrak C = \mathfrak A$ формулы вполне аналогичны, если выписать асимптотики по степеням $N-\frac 12$.} $\mathfrak C = -\mathfrak A$. 
Тогда имеется три варианта: 
\begin{itemize}
	\item[1.] $a_1+b_1=0$, $a_0+b_0=0$;
    \item[2.] $a_1+b_1=0$, $a_0+b_0\neq 0$;
    \item[3.] $a_1+b_1\neq 0$, $a_0+b_0=0$.
\end{itemize}
Легко видеть, что третий вариант получается из второго заменой $\mathbb{L}_0$ на $\mathbb{L}_0^*$. 

\paragraph{Вариант $a_1+b_1=0$, $a_0+b_0=0$: жордановых клеток нет.}
Этот вариант наиболее прост. Граничные условия сводятся к периодическим:
\begin{equation*}
y'(0) - y'(1) = 0, \qquad y(0) - y(1) = 0.
\end{equation*}
Оператор $\mathbb{L}_0$ с этими граничными условиями самосопряжен, его собственные числа и собственные функции имеют вид
\begin{eqnarray*}
\lambda_1^0 = 0, &&   y_1(x)=z_1(x)\equiv 1;\\
\lambda_{2N}^0=\lambda_{2N+1}^0=(2\pi N)^2, &&
y_{2N}(x) = z_{2N}(x) = C\sin(2\pi N x),\\
&& y_{2N+1}(x) = z_{2N+1}(x) = C\cos(2\pi N x),\qquad N\in\mathbb{N}.
\end{eqnarray*}
С учетом условия нормировки имеем
$$
y_{2N}(x)\overline{z_{2N}(x)} = 1-\cos(4 \pi N x);\qquad
y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)} = 1+\cos(4 \pi N x).
$$ 
Попарное суммирование дает константу, исчезающую при интегрировании. Формула (\ref{C-lim}) очевидна.


\paragraph{Вариант $a_1+b_1=0$, $a_0+b_0\neq0$: жордановы клетки.}
Граничные условия имеют вид
\begin{eqnarray*}
\mathbb{L}_0: & a_0y(0) + b_0y(1) = 0, & y'(0) -y'(1) = 0;\\
\mathbb{L}_0^*: & \overline{b}_0z'(0) + \overline{a}_0z'(1) = 0, & z(0) - z(1) = 0.
\end{eqnarray*}

Выпишем собственные и присоединенные функции (см. Приложение, п.2) и учтем условие (\ref{prisoed}). Получим
\begin{equation}\label{cos4Nx}
y_{2N}(x)\overline{\widehat z_{2N+1}(x)}+\widehat y_{2N+1}(x) \overline{z_{2N}(x)} = 2+2\cos(4 \pi N x)\, \frac{(a_0 + b_0)(2x-1)} {a_0-b_0}. 
\end{equation}
Вычитая при необходимости подходящую гладкую функцию, подчиним ${\mathfrak q}$ дополнительным условиям 
\begin{equation}\label{2x-1}
\int\limits_{[0,\frac 12]} (2x-1)\,{\mathfrak q}(dx)=\int\limits_{[\frac 12,1]} (2x-1)\,{\mathfrak q}(dx)=0.
\end{equation}
Тогда заряд $\widetilde{\mathfrak q}(dx)=(2x-1)\,{\mathfrak q}(dx)$ удовлетворяет условиям Предложения \ref{cosinusy} на отрезках $[0,\frac 12]$ и $[\frac 12,1]$, и 
потому правая часть (\ref{cos4Nx}) обнуляется при интегрировании и переходе к пределу в (\ref{summa}). Поскольку 
(\ref{2x-1}) влечет $\int\limits_{[0,1]} y_1(x)\overline{z_1(x)}\,{\mathfrak q}(dx)=0$, формула (\ref{C-lim}) доказана.


\subsubsection*{Случай $\mathfrak C=\pm \mathfrak A$, $\mathfrak B \neq 0$: асимптотически близкие собственные числа}

Как и в предыдущем случае, будем считать, что $\mathfrak C = -\mathfrak A$ (случай $\mathfrak C = \mathfrak A$ разбирается аналогично). 
 Перепишем условия на $\mathfrak A$, $\mathfrak B$, $\mathfrak C$ в следующем виде: 
 $$
 (a_1 + b_1)(a_0 + b_0) = 0;\qquad f_1 a_0 - c_1 b_0 \neq 0.
 $$
Мы вновь имеем три варианта: 
\begin{itemize}
	\item $a_0 + b_0 = 0$, $a_1 + b_1 \neq 0$, при этом $c_1 + f_1 \neq 0$%, $a_1 - b_1 \neq 0$
;
	\item $a_0 + b_0 \neq 0$, $a_1 + b_1 = 0$%, при этом $a_0 - b_0 \neq 0$
;
	\item $a_0 + b_0 = 0$, $a_1 + b_1 = 0$, при этом $c_1 + f_1 \neq 0$.
\end{itemize}
Легко видеть, что второй вариант получается из первого заменой $\mathbb{L}_0$ на $\mathbb{L}_0^*$. 



\paragraph{Первый вариант}
Выпишем асимптотики собственных чисел и собственных функций с точностью до $O(N^{-4})$ (см. Приложение, п.3.1) и учтем условие нормировки. Складывая члены, 
соответствующие асимптотически близким собственным числам, попарно, получим
\begin{eqnarray*}
y_{2N}(x)\overline{z_{2N}(x)} &+& 
y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)} =
\eta_N^{+}(x)\overline{\zeta_N^{+}(x)} +\eta_N^{-}(x)\overline{\zeta_N^{-}(x)}\\
= 2 &+&  2\cos(4\pi N x)\,\frac{(a_1 + b_1)(1-2x)}{a_1-b_1} \\
&+& 2 \sin(4\pi N x)\,\frac{(c_1+f_1)(1-2x)(b_1x-a_1(1-x))}{(a_1-b_1)^2 \pi N} + O(N^{-2}).
\end{eqnarray*}
Первые два члена здесь суммируются, как в формуле (\ref{cos4Nx}), а последние -- как в (\ref{Neumann}). Формула (\ref{C-lim}) доказана.


\paragraph{Третий вариант}
В этом варианте систему граничных условий оператора $\mathbb{L}_0$ можно упростить:
\begin{equation*}
y(0) - y(1) = 0,\qquad y'(0) - y'(1) +c_1y(0) = 0.
\end{equation*}
Выпишем асимптотики собственных чисел и собственных функций с точностью до $O(N^{-6})$ (см. Приложение, п.3.2) и учтем условие нормировки. Складывая члены, 
соответствующие асимптотически близким собственным числам, попарно, получим
\begin{eqnarray*}
y_{2N}(x)\overline{z_{2N}(x)} + 
y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)} &=&
\eta_N^{+}(x)\overline{\zeta_N^{+}(x)} +\eta_N^{-}(x)\overline{\zeta_N^{-}(x)}\\
&=& 2 + \sin(4\pi N x)\, \frac{c_1(2x-1)}{2\pi N} + O(N^{-2}).
\end{eqnarray*}
Этот ряд суммируются, как в формуле (\ref{Neumann}). Формула (\ref{C-lim}) доказана.


\subsubsection*{Сильно регулярный случай $\mathfrak C\neq \pm \mathfrak A$}

Для упрощения рассуждений мы воспользуемся следующей очевидной леммой.

\begin{lemma}\label{pairwise}
Пусть $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{a_k}{k}=0$. Тогда
\begin{eqnarray}
({\cal C},1)\text{-}\sum\limits_{k=1}^{\infty} a_k &=& ({\cal C},1)\text{-}\sum\limits_{k=1}^\infty (a_{2k-1}+a_{2k})-\frac 12\cdot({\cal C},1)\text{-}
\lim\limits_{k\to \infty} a_{2k}
\nonumber\\
&=& ({\cal C},1)\text{-}\sum\limits_{k=1}^\infty (a_{2k}+a_{2k+1})+a_1-\frac 12\cdot({\cal C},1)\text{-}\lim_{k\to \infty} a_{2k+1},
\label{odd-even}
\end{eqnarray}
т.е. сумма в левой части (\ref{odd-even}) сходится, если сходится одно из выражений в правой части.
\end{lemma}

Выпишем асимптотики собственных чисел и собственных функций с точностью до $O(N^{-2})$ (см. Приложение, п.4). 
Очевидно, что $\lim\limits_{N\to \infty}\frac 1N\,y_N(x)\overline{z_N(x)}=0$, поэтому можно применить вторую часть формулы (\ref{odd-even}).
Рассмотрим сначала попарные суммы
\begin{eqnarray*}
%({\cal C},1)\,\text{-}\sum\limits_{N=1}^\infty \big(
y_{2N}(x)\overline{z_{2N}(x)} &+& 
y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)}
%\big) 
=
%({\cal C},1)\,\text{-}\sum\limits_{N=1}^\infty\big(
\eta_N^{+}(x)\overline{\zeta_N^{+}(x)} +\eta_N^{-}(x)\overline{\zeta_N^{-}(x)}%\big)
\\
= 2 &+& 2\cos(4\pi N x)V_0(x,\alpha)
+\frac{2}{N}\sin(4\pi N x)W_1(x,\alpha) + O(N^{-2}).
\end{eqnarray*}
Первые два члена здесь суммируются, как в формуле (\ref{cos4Nx}), а последние -- как в (\ref{Neumann}), с учетом соотношений (\ref{VW}).
%$V_0(\frac{1}{2},\alpha)=W_1(\frac{1}{2},\alpha) = 0$. 

Теперь рассмотрим последний предел в формуле (\ref{odd-even}). В зависимости от $\alpha$ он может быть переписан одним из двух способов:
\begin{multline*}
({\cal C},1)\,\text{-}\lim_{N\to \infty} y_{2N+1}(x)\overline{z_{2N+1}(x)}\\
=1+\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{N=1}^k 
\cos(4\pi N x)V_0(x,\pm\alpha)+\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{N=1}^k \sin(4\pi N x)V_1(x,\pm\alpha)\\
+\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{N=1}^k \frac{1}{N}\cos(4\pi N x)W_0(x,\pm\alpha)+\lim_{k \to \infty} \frac{1}{k}\sum \limits_{N=1}^k 
\frac{1}{N}\sin(4\pi N x)W_1(x,\pm\alpha).
\end{multline*}
Как и ранее, константа обнуляется при интегрировании. Второй и третий член равномерно ограничены и сходятся поточечно всюду, причем предел равен нулю всюду, 
кроме точек $0$ и $1$ (здесь мы вновь учли соотношения (\ref{VW})). Оставшиеся члены сходятся к нулю равномерно. По теореме Лебега можно перейти к пределу под 
знаком интеграла. В силу условия на ${\mathfrak q}$ концы промежутка не дают вклада в интеграл, и формула (\ref{C-lim}) доказана.
\end{proof}

   
\section{Доказательство основного результата}

\begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{th3}]

Мы начнем с формулы (12) из работы \cite{SZN}, которая при $n=2$ и $x=y$ дает (напомним, что $z=\lambda^{\frac 12}$)
\begin{equation*}\label{227}
G_0(x,x,\lambda)=\tilde{G_0}(x,x,z) = \frac{\Delta_{1,1}(z) + e^{-2izx}\Delta_{1,2}(z) - e^{2izx}\Delta_{2,1}(z) - \Delta_{2,2}(z)}{2iz\Delta(z)}.
\end{equation*}

Здесь $\Delta(z)$ и $\Delta_{\alpha,\beta}(z)$ -- определители матриц порядка $n$, определенных в \cite[Sec. 2.1]{SZN}. В нашем случае они имеют следующую 
асимптотику при $z\to\infty$:
\begin{multline*}
\Delta(z) = \hat{\Delta}(z)e^{iz(a-b)}(iz)^{d_0+d_1}\cdot(1+O(z^{-1})),\\
\hat{\Delta}(z)=
\begin{vmatrix}
	a_{0}+b_{0}e^{iz(b-a)} & (-1)^{d_0}(a_{0}e^{iz(b-a)}+b_{0}) \\
	a_{1}+b_{1}e^{iz(b-a)} & (-1)^{d_1}(a_{1}e^{iz(b-a)}+b_{1}) \\
\end{vmatrix} ; 
\end{multline*}
%
\begin{equation*}
\Delta_{1,1}(z) = \hat{\Delta}_{1,1}(z)(iz)^{d_0+d_1}\cdot(1+O(z^{-1})),\qquad
\hat{\Delta}_{1,1}(z)=
\begin{vmatrix}
b_{0} & (-1)^{d_0}(a_{0}e^{iz(b-a)}+b_{0}) \\
	b_{1} & (-1)^{d_1}(a_{1}e^{iz(b-a)}+b_{1}) \\
\end{vmatrix} ;
\end{equation*}
%
\begin{equation*} \Delta_{1,2}(z) = 
\hat{\Delta}_{1,2} e^{iz(a+b)}(iz)^{d_0+d_1} \cdot(1+O(z^{-1})),\qquad
\hat{\Delta}_{1,2}=
%\begin{vmatrix}
%	a_{0} + b_{0}e^{iz(b-a)} & b_{0} \\
%	a_{1} + b_{1}e^{iz(b-a)} & b_{1} \\
%\end{vmatrix} =
\begin{vmatrix}
	a_{0} & b_{0} \\
	a_{1} & b_{1} \\
\end{vmatrix} ;
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
\Delta_{2,1}(z) = 
\hat{\Delta}_{2,1}e^{-iz(a+b)}(iz)^{d_0+d_1}\cdot(1+O(z^{-1})),\qquad
\hat{\Delta}_{2,1}=(-1)^{d_0+d_1+1}\cdot \hat{\Delta}_{1,2};
%\begin{vmatrix}
%	(-1)^{d_0}b_{0} & (-1)^{d_0}(a_{0}e^{iz(b-a)}+b_{0}) \\
%	[(-1)^{d_1}b_{1}] & [(-1)^{d_1}a_{1}]e^{iz(b-a)}+[(-1)^{d_1}b_{1}] \\
%\end{vmatrix} e^{-2izb}(iz)^{d_0+d_1} \\
%	=
%\begin{vmatrix}
%	b_{0} & a_{0} \\
%	b_{1} & a_{1} \\
%\end{vmatrix} 
\end{equation*}
%
\begin{multline*} 
\Delta_{2,2}(z) = 
\hat{\Delta}_{2,2}(z)e^{iz(a-b)}(iz)^{d_0+d_1}\cdot(1+O(z^{-1})),\\
\hat{\Delta}_{2,2}(z)=
\begin{vmatrix}
	 a_{0}+b_{0}e^{iz(b-a)} & (-1)^{d_0}b_{0} \\
	 a_{0}+b_{0}e^{iz(b-a)} & (-1)^{d_1}b_{1} \\
\end{vmatrix} .
\end{multline*}
По условию, $|z|=R$ отделено от $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$, и вследствие регулярности граничных условий (\ref{Boundary_Conditions}) определитель $\hat{\Delta}(z)$ 
отделен от нуля. Таким образом,
\begin{equation*}
\tilde{G_0}(x,x,z)
= \frac{
\hat{\Delta}_{1,1}(z)e^{2iz(b-a)} + 
\hat{\Delta}_{1,2}e^{2iz(b-x)} -\hat{\Delta}_{2,1}e^{2iz(x-a)} -
\hat{\Delta}_{2,2}(z)
}{2iz\hat{\Delta}(z)}\cdot (1+O(z^{-1})).
\end{equation*}
 Поскольку $z=Rw\in R(\Gamma_1 \cup \Gamma_2)$ лежит в верхней полуплоскости, все экспоненты в этом выражении равномерно ограничены и стремятся к нулю при $R\to\infty$ 
 для каждого $x\in (a,b)$ и $w\in \Gamma_1 \cup \Gamma_2$. По теореме Лебега получаем
\begin{multline*}
	\lim_{R\to \infty}\int\limits_{|\lambda|=R^2} G_0(x,x,\lambda)^2\,d\lambda = 
    \lim_{R\to \infty}\int\limits_{z=R(\Gamma_1 \cup \Gamma_2)} \!\tilde{G_0}(x,x,z)^2\,2z\,dz \\
= -\lim_{R\to \infty}\int\limits_{z=R(\Gamma_1 \cup \Gamma_2)} \!\Big(\frac{\hat{\Delta}_{2,2}(z)} {\hat{\Delta}(z)}\Big)^2\, \frac{dz}{2z} = 
-\lim_{R\to \infty}\int\limits_{z=R(\Gamma_1 \cup \Gamma_2)}\frac{dz}{2z}= -\frac{\pi i}{2}.
\end{multline*}
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{basic-1}]
Рассмотрим формулу (\ref{Splitting}) и перейдем к пределу при $R\to\infty$ указанным в условии Теоремы \ref{th2} способом. 

Теорема \ref{th2} показывает, что первое слагаемое в (\ref{Splitting}) сходится к сумме первых двух слагаемых в (\ref{SL-SSh-general}). Далее, подынтегральное 
выражение во втором слагаемом из (\ref{Splitting}) имеет суммируемую мажоранту ввиду оценки из Предложения \ref{Estimates_G_0}. Теорема \ref{th3} и теорема Лебега 
дают последнее слагаемое в (\ref{SL-SSh-general}).

Как известно (см., напр., \cite{Shk}, а также доказательство Теоремы \ref{th2}), если граничные условия (\ref{Boundary_Conditions}) сильно регулярны, то числа 
$|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$ асимптотически разделены.
Таким образом, предельный переход в Теореме \ref{th2} соответствует суммированию ряда $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ методом средних, и утверждение теоремы в этом 
случае доказано.

Если условия (\ref{Boundary_Conditions}) регулярны, но не сильно регулярны, то числа $|\lambda_N^0|^{\frac{1}{2}}$ асимптотически либо попарно сближаются, либо 
попарно совпадают. Таким образом, предельный переход в Теореме \ref{th2} соответствует суммированию ряда $\mathcal{S}({\mathfrak q})$ в таком порядке: сначала члены ряда, 
отвечающие асимптотически близким или совпадающим собственным числам, складываются попарно, а затем полученный ряд суммируется методом средних.

Осталось заметить, что $\lambda_N({\mathfrak q}) - \lambda_N \to0$ при $N\to\infty$. Поэтому Лемма \ref{pairwise} дает утверждение теоремы и в этом случае.
\end{proof}


\section*{Приложение}
\subsection*{1. Случай $d_0=d_1=1$}

Корни из собственных чисел оператора $\mathbb{L}_0$ имеют следующую асимптотику:
$$
\rho_{N+1}:=(\lambda_{N+1}^0)^{\frac 12} = \pi N + \frac{f_1-c_0}{\pi N} + (-1)^N\,\frac{c_1-f_0}{\pi N} + O(N^{-2}).
$$
Собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ при $\rho_N\neq0$ имеют вид
\begin{eqnarray*}
y_N(x) &=& C_1\,\Big(\cos(\rho_N x) - c_0\,\frac  {\sin(\rho_N x)}{\rho_N} + f_0\,\frac {\sin(\rho_N (1-x))}{\rho_N}\Big); \\ 
\overline{z_N(x)} &=& C_2\,\Big(\cos(\rho_N x) - c_0 \,\frac {\sin(\rho_N x)}{\rho_N} - c_1 \,\frac  {\sin(\rho_N (1-x))}{\rho_N}\Big).
\end{eqnarray*}
Асимптотика собственных функций имеет вид
\begin{eqnarray*}
y_{N+1}(x) &=& C_1\,\Big( \cos(\pi N x) - \sin(\pi N x)\,\frac{c_0 (1-x) + f_1 x}{\pi N}\\
&&- (-1)^N\sin(\pi N x)\,\frac{f_0 (1-x)+c_1 x}{\pi N}\Big) + O(N^{-2});\\
%\end{eqnarray*}
%\begin{eqnarray*}
\overline{z_{N+1}(x)} &=& C_2\,\Big( \cos(\pi N x) - \sin(\pi N x)\, \frac{c_0 (1-x)+f_1 x}{\pi N}\\ 
&&+ (-1)^N \sin(\pi N x)\,\frac{c_1(1- x) + f_0 x}{\pi N}\Big)  + O(N^{-2}).
\end{eqnarray*}
Асимптотика скалярных произведений:
$$
\langle y_{N+1}, z_{N+1}\rangle = \frac{C_1C_2}{2} + O(N^{-2}).
$$



\subsection*{2. Случай $d_0=0$, $d_1=1$. Жордановы клетки}

Напомним, что мы рассматриваем случай $\mathfrak C=-\mathfrak A$. В этом случае у операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ имеется собственное число $\lambda_1^0=0$, 
которому соответствуют собственные функции $y_1(x)=x-\frac{a_0}{a_0+b_0}$ и $z_1(x)\equiv const$, где константа подбирается из условия нормировки. Остальные собственные 
числа имеют вид $\lambda_{2N}^0=\lambda_{2N+1}^0=(2\pi N)^2$, $N\in\mathbb{N}$.

Соответствующие собственные и присоединенные функции, удовлетворяющие первой паре условий (\ref{prisoed}):
\begin{eqnarray*}
y_{2N}(x) &=& C_1\sin(2\pi N x),\\
\widehat y_{2N+1}(x) &=& C_1\Big(\frac{x \cos(2 \pi N x)}{4 \pi N} + \frac{\sin(2 \pi N x)}{16 \pi^2 N^2} - \frac{b_0 \cos(2 \pi N x)}{4 \pi N (a_0 + b_0)}\Big); 
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\overline{z_{2N}(x)} &=& C_2\cos(2\pi N x),\\
\overline{\widehat z_{2N+1}(x)} &=& C_2\Big(-\frac{x \sin(2 \pi N x)}{4 \pi N} - \frac{\cos(2 \pi N x)}{16 \pi^2 N^2} + \frac{a_0 \sin(2 \pi N x)}{4 \pi N (a_0 + b_0)}\Big). 
\end{eqnarray*}
Скалярные произведения: 
\begin{equation*}
\langle y_{2N}, \widehat z_{2N+1}\rangle = \langle \widehat y_{2N+1}, z_{2N}\rangle = \frac{C_1C_2(a_0-b_0)}{16 \pi N(a_0 + b_0)}
\end{equation*}
(заметим, что $a_0 \neq b_0$, так как $\mathfrak A \neq 0$).

\subsection*{3. Случай $d_0=0$, $d_1 = 1$. Асимптотически близкие собственные числа}

Напомним, что мы вновь рассматриваем случай $\mathfrak C=-\mathfrak A$. 
В этом случае все собственные числа оператора $\mathbb{L}_0$, кроме $\lambda_1^0$, объединяются в пары $\lambda_{2N}$ и $\lambda_{2N+1}$, $N\in\mathbb{N}$, сближающиеся 
при $N\to\infty$.
Корни из собственных чисел этих пар обозначим $\rho_N^{\pm}$. При этом один из них (не умаляя общности, $\rho_N^{+}$) равен $2\pi N$. В связи с тем, что скалярные 
произведения соответствующих собственных функций
(будем обозначать их $\eta_N^{\pm}$ и $\zeta_N^{\pm}$) стремятся к нулю при $N\to\infty$, асимптотики собственных чисел $\rho_N^{-}$ и собственных функций 
$\eta_N^{-}$, $\zeta_N^{-}$ выпишем с точностью до $O(N^{-4})$ в варианте 3.1 и с точностью до $O(N^{-6})$ в варианте 3.2. 

\subsubsection*{3.1. Вариант $a_0 + b_0 = 0$, $a_1 + b_1 \neq 0$%, $c_1 + f_1 \neq 0$
}

В этом варианте получаем
\begin{equation*}
\rho_N^{-} = 2 \pi N + \frac{\mathfrak B}{\pi N \mathfrak A} - \frac{6\mathfrak A \mathfrak B^2+\mathfrak B^3}{12 \mathfrak A^3 N^3 \pi^3}+%\frac{3 \mathfrak A \mathfrak B^3 + \mathfrak B^4}{6 \mathfrak A^4 k^5 \pi^5} + 
O(N^{-4}). 
\end{equation*}
Собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ имеют вид
\begin{eqnarray*}
\eta_N^{+}(x) &=& C_1\Big((a_1+ b_1) \cos(2 \pi Nx) - (c_1+f_1)\,\frac{\sin(2 \pi N x)}{2 \pi N}\Big), \\
\overline{\zeta_N^{+}(x)} &=& C_2\sin(2 \pi N x);
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\eta_N^{-}(x) &=& C_1\Big(a_1 \cos(\rho_N^{-} x) + b_1 \cos( \rho_N^{-}(1-x))- c_1\,\frac{\sin(\rho_N^{-} x)} {\rho_N^{-}} + f_1\, \frac{\sin(\rho_N^{-}(1-x))} 
{\rho_N^{-}}\Big), \\
\overline{\zeta_N^{-}(x)} &=& C_2\Big(b_1 \sin(\rho_N^{-} x) -a_1 \sin(\rho_N^{-}(1-x))\Big).
\end{eqnarray*}
Асимптотика скалярных произведений:
\begin{eqnarray*}
\langle \eta_N^+,\zeta_N^+ \rangle &=& -\frac{C_1C_2(c_1+f_1)} {4 \pi N};\\
\langle \eta_N^-,\zeta_N^- \rangle &=& C_1C_2 \Big(\frac{(c_1 + f_1) (a_1 + b_1)}{4 \pi N} - \frac{(c_1+f_1)^2(a_1f_1+c_1b_1)}{8(a_1-b_1)^2\pi^3N^3}\Big) + O(N^{-4})
\end{eqnarray*}
(заметим, что $a_0 \neq b_0$, так как $\mathfrak A \neq 0$).



\subsubsection*{3.2. Вариант $a_0 + b_0 = 0$, $a_1 + b_1 = 0$}

В этом варианте получаем
\begin{equation*}
\rho_N^{-} = 2 \pi N - \frac{c_1}{2\pi N} + \frac{c_1^3-12c_1^2}{96\pi^3 N^3}+\frac{c_1^4-6c_1^3}{96\pi^5 N^5} + O(N^{-6}).
\end{equation*}
Собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ имеют вид
\begin{equation*}
\eta_N^+(x) = C_1 \sin(2\pi N x),\qquad \overline{\zeta_{N}^+(x)} = C_2 \sin(2\pi N x); 
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
\eta_N^-(x) &=& C_1\Big(\sin(\rho^-x) +\sin (\rho^-(1- x))\Big), \\
\overline{\zeta_{N}^-(x)} &=& C_2\Big(\sin(\rho^-x) + \sin (\rho^(1- x))\Big).
\end{eqnarray*}
Асимптотика скалярных произведений:
\begin{eqnarray*}
\langle \eta_N^+,\zeta_N^+ \rangle &=& \frac{C_1C_2}{2};\\
\langle \eta_N^-,\zeta_N^- \rangle &=& C_1C_2 \Big(\frac{c_1^2}{8\pi^2 N^2}-\frac{c_1^4-4c_1^3}{128\pi^4N^4}\Big) + O(N^{-6}).
\end{eqnarray*}


\subsection*{4. Случай $d_0=0$, $d_1=1$. Разделенные собственные числа}

В этом случае корни из собственных чисел $\lambda_{2N}$, $\lambda_{2N+1}$, $N\in\mathbb{N}$, оператора $\mathbb{L}_0$ образуют две последовательности, сходящиеся к 
двум различным арифметическим прогрессиям с разностью $2\pi$. Обозначим эти корни $\rho_N^{\pm}$. Тогда при $N\to\infty$ имеем
\begin{equation*}
\rho_N^\pm = 2 \pi N \pm \alpha + \frac{\mathfrak B}{2\pi N\mathfrak A} + O(N^{-2}),
\end{equation*}
где
\begin{equation*}
\alpha = i\log\left(-\frac{\mathfrak C}{\mathfrak A} - \sqrt{\left(\frac{\mathfrak C}{\mathfrak A}\right)^2-1}\right),
\end{equation*}
а ветвь логарифма выбирается так, что $|\Re(\alpha)|<\pi$
(выбор другой ветви логарифма приводит к перенумерации собственных чисел). Отметим, что из условия $\mathfrak C\ne \pm \mathfrak A$ вытекает $\sin(\alpha) \neq 0$.

Собственные функции операторов $\mathbb{L}_0$ и $\mathbb{L}_0^*$ имеют вид
\begin{eqnarray*}
\eta_N^\pm(x) &=& a_0 \sin(\rho_N^\pm x) - b_0 \sin(\rho_N^\pm(1-x)), \\
\overline{\zeta_N^\pm(x)} &=& b_0 \cos(\rho_N^\pm x) + a_0 \cos(\rho_N^\pm (1-x)) + \mathfrak B\,\frac{ \sin(\rho_N^\pm x)}{a_1 \rho_N^\pm}.
\end{eqnarray*}
Асимптотика скалярных произведений:
\begin{equation*}
\langle \eta_N^\pm,\zeta_N^\pm \rangle = \pm\sin(\alpha)\frac{a_0^2 - b_0^2}{2} + \mathfrak B\frac{\mathfrak A a_0 + (\mathfrak A b_0 + a_1(a_0^2-b_0^2)) \cos(\alpha)}
{4\pi \mathfrak A a_1 N} + O(N^{-2})
\end{equation*}
(заметим, что $a_0 \neq \pm b_0$, так как $\mathfrak C \neq \pm\mathfrak A$).

Нормированные произведения имеют следующую асимптотику:
\begin{eqnarray*}
\eta_N^\pm(x)\overline{\zeta_N^\pm(x)} = 1 &+& \cos(4\pi N x)V_0(x,\pm\alpha)+\sin(4\pi N x)V_1(x,\pm\alpha)\\
&+& \frac{1}{N}\cos(4\pi N x)W_0(x,\pm\alpha)+\frac{1}{N}\sin(4\pi N x)W_1(x,\pm\alpha) + O(N^{-2}),
\end{eqnarray*}
где
\begin{equation*}
V_0(x,\alpha) = \frac{\sin(\alpha (2x - 1))}
{(a_0^2 - b_0^2)\sin(\alpha)}\,
(a_0^2 + b_0^2+2 a_0 b_0 \cos(\alpha));
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_1(x,\alpha) = \frac{\cos(\alpha (2x - 1))}
{(a_0^2 - b_0^2)\sin(\alpha)}\,
(a_0^2 + b_0^2+2 a_0 b_0 \cos(\alpha));
\end{equation*}
\begin{equation*}
W_0(x,\alpha) = \frac{\mathfrak B(2 {\cal R}_1 \sin(\alpha)\cos(2 \alpha x) - {\cal R}_2 \sin(2 \alpha x))}
{4 \mathfrak A a_1 (a_0^2 - b_0^2)^2 \pi\sin^2(\alpha)};
\end{equation*}
\begin{equation*}
W_1(x,\alpha) = -\frac{\mathfrak B(2 {\cal R}_1 \sin(\alpha)\sin(2 \alpha x) + {\cal R}_2 \cos(2 \alpha x))}
{4 \mathfrak A a_1 (a_0^2 - b_0^2)^2 \pi\sin^2(\alpha)};
\end{equation*}
\begin{eqnarray*}
{\cal R}_1 &=&  a_0 b_0 (3 \mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) (1 + 2 x)) + 2 (a_0^2 + b_0^2) (\mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) x) \cos(\alpha) \\  
&+& a_0 b_0 (\mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) (2x-1)) \cos(2 \alpha); 
\end{eqnarray*}
\begin{multline*}
{\cal R}_2 = 4 \mathfrak A a_0^2 b_0 + 2 a_1 (a_0^4 - b_0^4) (1-x) \\
+ a_0 (\mathfrak A(2 a_0^2 + 5 b_0^2)  
+ a_1 b_0 (a_0^2 - b_0^2) (5 - 2 x)) \cos(\alpha)\\ 
+ 2 (a_0^2 + b_0^2) (\mathfrak A b_0 + a_1 (a_0^2 - b_0^2) x) \cos(2 \alpha) \\ 
+ a_0 b_0(\mathfrak A b_0  + a_1 (a_0^2 - b_0^2) (2x-1)) \cos(3 \alpha).
\end{multline*}

\begin{lemma} Функции $V_0(x,\alpha)$, $V_1(x,\alpha)$, $W_0(x,\alpha)$ и $W_1(x,\alpha)$  непрерывны по обеим переменным при $\sin(\alpha) \neq 0$ и удовлетворяют 
следующим тождествам:
\begin{eqnarray}
V_0(x,\alpha) \equiv V_0(x,-\alpha),& \quad &
V_1(x,\alpha) \equiv -V_1(x,-\alpha);
\nonumber\\
W_1(x,\alpha) \equiv W_1(x,-\alpha),& \quad &
W_0(x,\alpha) \equiv -W_0(x,-\alpha);
\nonumber\\
V_0({\textstyle \frac{1}{2}},\alpha) \equiv 0, &&
W_1({\textstyle \frac{1}{2}},\alpha) \equiv 0.
\label{VW}
\end{eqnarray}
\end{lemma}

\begin{proof}
Поскольку ${\cal R}_1$ и ${\cal R}_2$ -- четные функции $\alpha$, все утверждения леммы очевидны, кроме последнего.
Но, учитывая соотношение $\mathfrak A\cos(\alpha)+\mathfrak C=0$, числитель в выражении для $W_1$ можно преобразовать к виду
\begin{eqnarray*}
2 {\cal R}_1 \sin(\alpha)\sin(2 \alpha x) &+& {\cal R}_2 \cos(2\alpha x) = %2 a_0 (\mathfrak C + \mathfrak A \cos(\alpha)) (2 a_0 b_0 + (a_0^2 + b_0^2) \cos(\alpha)) + 
 2 \sin(\alpha (x-{\textstyle\frac{1}{2}}))\\
 &\times&\Big( \big(a_0 a_1 b_0 (a_0^2-b_0^2)(2 x-1)+a_0b_0^2\mathfrak A\big) \sin(\alpha ({\textstyle\frac{5}{2}} - x))  \\
&+& \big(2a_1 (a_0^4 - b_0^4)x+2b_0(a_0^2 + b_0^2)\mathfrak A\big) \sin(\alpha ({\textstyle\frac{3}{2}} - x)) \\
&-& \big(5 a_0^3 a_1 b_0 + a_0 a_1 b_0^3 + a_0^4 b_1 + 5 a_0^2 b_0^2 b_1\big) \sin(\alpha (x- {\textstyle\frac{1}{2}})) \\
&-& \big(2 a_1(a_0^4- b_0^4)(1-x) + 4 a_0^2 b_0\mathfrak A\big) \sin(\alpha ({\textstyle\frac{1}{2}} + x)) \\
&+& \big(a_0 a_1 b_0(a_0^2- b_0^2)(2x-1)-a_0^3\mathfrak A\big) \sin(\alpha ({\textstyle \frac{3}{2}} + x))\Big),
\end{eqnarray*}
и последнее равенство в (\ref{VW}) доказано.
\end{proof}

\section*{Благодарности}

Основные результаты статьи, Теоремы 2.4 и 2.5, получены при поддержке Российского научного фонда, грант 14-21-00035. Теорема 2.3 получена при поддержке гранта РФФИ 
16-01-00258а.

\begin{thebibliography}{XX}

\bibitem{GL}
И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан, {\em Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка}, ДАН СССР, {\bf 88} (1953), N4, 593--596.

%\bibitem{L}
%В. Б. Лидский, {\em Несамосопряженные операторы, имеющие след}, ДАН СССР, {\bf 125} (1959), N3, 485--487.  

\bibitem{Neimark}
М. А. Наймарк, \emph{Линейные дифференциальные операторы}, 2-е изд., М., Наука, 1969.

\bibitem{SZN}
A. I. Nazarov, D. M. Stolyarov, P. B. Zatitskiy, {\em Tamarkin equiconvergence theorem and trace formula revisited}, J. Spectral Theory, {\bf 4} (2014), N2, 365--389.  

\bibitem{Prudnikov}
А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев, {\em Интегралы и ряды. Элементарные функции}, М., Наука, 1981.  

\bibitem{S2000}
А. М. Савчук, {\em Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма--Лиувилля с $\delta$-потенциалом}, УМН, {\bf 55} (2000), N6, 155--156.  

\bibitem{SSh}
А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, {\em Формула следа для операторов Штурма--Лиувилля с~сингулярными потенциалами}, Мат. заметки, {\bf 69} (2001), N3, 427--442.  

\bibitem{SPSurvey}
В. А. Садовничий, В. Е. Подольский, {\em Следы операторов}, УМН, {\bf 61} (2006), N5, 89--156.  

\bibitem{T}
Я.Д. Тамаркин, {\em О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды}, Петроград, 1917.  

\bibitem{Shk}
А. А. Шкаликов, {\em Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях}, Труды сем. им. И.Г. Петровского, {\bf 9} (1983), 140--179.  

\bibitem{Shv}
Р. Ф. Шевченко, {\em О следе дифференциального оператора}, ДАН СССР, {\bf 164} (1965), 62--65.  


\end{thebibliography}

\end{document} % конец документа

