\documentclass[A4paper,12pt]{article}
\usepackage{mathtext}
\usepackage{verbatim}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T2A]{fontenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,amscd,amsfonts}
\usepackage{misccorr}
\usepackage{graphics}
\usepackage{color}
\usepackage[usenames,dvipsnames,svgnames,table]{xcolor}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage[text = 175 mm,centering]{geometry}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{setspace}

\onehalfspacing
\hypersetup{colorlinks = true, citecolor = blue, linkcolor = black, }



\makeatletter
\renewcommand{\l@section}{\@dottedtocline{1}{1.5em}{1.6em}}
\renewcommand{\l@subsection}{\@dottedtocline{2}{3.1em}{2.3em}}
\renewcommand{\l@subsubsection}{\@dottedtocline{3}{5.4em}{3.1em}}
\makeatother


\geometry{top=2cm}
\geometry{bottom=2cm}
\geometry{left=3cm}
\geometry{right =1.5cm}
\theoremstyle{plain}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section] 
\newtheorem{lemma}{Лемма}[section] 
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{remark}{Замечание}

\begin{document}

\begin{center}
\bf
ПУСЕВ~Р.~С., ТОЛСТОГАНОВ~И.~Н.

\medskip

ТОЧНАЯ АСИМПТОТИКА МАЛЫХ УКЛОНЕНИЙ В КВАДРАТИЧНОЙ НОРМЕ С ВЫРОЖДАЮЩИМСЯ ВЕСОМ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ГАУССОВСКИХ ПРОЦЕССОВ\footnote{Работа первого автора была поддержана грантом РФФИ № 16-01-00258.}
\end{center}

\begin{abstract}
В работе получена точная асимптотика малых уклонений для винеровского процесса, броуновского моста и процесса Орнштейна--Уленбека в квадратичной норме с вырожденным на одном конце весом.
\end{abstract}

{\bf {\Large \section{Введение}}}

Теория малых уклонений гауссовских процессов в последние десятилетия получила интенсивное развитие (см., к примеру, обзоры \cite{Li:Shao:2001} и \cite{Lifs:1999}). 
Этому способствовала возможность применения теории к решению таких важных математических задач, как оценка точности дискретной аппроксимации случайных процессов, вычисление метрической энтропии функциональных множеств и  закон повторного логарифма в форме Чжуна. Теория малых уклонений связана также с функциональным анализом данных \cite{Ferr:Vieu:2006} и непараметрическим байесовским оцениванием \cite{Aurz:Ibra:Lifs:Zant:2009}. \\

Пусть $X(t)$, $a \leq t \leq b$ --- гауссовский процесс с нулевым средним и ковариацией $G(t,s)$, а $\psi(t)$ --- неотрицательная функция на $[a,b]$. Возьмем
$$\|X\|_{\psi} = \left( \int\limits_a^b X^2(t)\psi(t)dt\right )^{1/2}.$$

Задача о малых уклонениях случайного процесса $X$ в $L_2$-норме состоит в описании поведения вероятности $\mathbb{P}\{\|X\|_{\psi} \leq \varepsilon\}$ при $\varepsilon \to 0$. Точной асимптотикой малых уклонений называется соотношение вида
$$\mathsf{P}\{\|X\|_{\psi} \leq \varepsilon\} \sim C \varepsilon^{\beta} \exp(-d\varepsilon^{-\alpha}),\text{     } \varepsilon \to 0.$$

В силу разложения Кархунена-Лоэва \cite{Adle:1990} имеет место следующее равенство по распределению: 
$$\|X\|^2_{\psi} = \int \limits_a ^ b X^2(t) \psi(t)dt = \sum \limits _{k = 1} ^ {\infty} \lambda_k \xi^2_k,$$
где $\xi_k$ --- независимые стандартные гауссовские с.в., а $\lambda_k > 0$, $\sum \limits_k \lambda_k < \infty$ представляют собой собственные значения интегрального уравнения 
$$\lambda f(t) = \int \limits_a^b G(t,s) \sqrt{\psi(t)\psi(s)}f(s) ds.$$
Таким образом, исходная задача сводится к нахождению при $\varepsilon \to 0$ точной асимптотики вероятности $\mathsf{P}\{\sum  _{k = 1} ^ {\infty} \lambda_k \xi^2_k < \varepsilon^2\}.$ \\

В статьях $\cite{Naza:2007}$ и $\cite{Naza:Niki:2004}$ был разработан подход, позволяющий получить с точностью до константы асимптотику малых уклонений в $L_2$-норме для процессов Грина --- гауссовских процессов, ковариация которых является функцией Грина самосопряженного дифференциального оператора из некоторого довольно широкого класса. В работе $\cite{Naza:Puse:2009}$ Назаровым и Пусевым была найдена асимптотика малых уклонений взвешенных процессов Грина с точностью до константы "расхождения" для достаточно гладких весов. Эта константа выражается через собственные числа ковариационной функции. В статье $\cite{Niki:Puse:2013}$ показан метод нахождения константы расхождения некоторых для гауссовских процессов, обладающих невырожденными весами, не использующий собственные числа ковариционной функции.

Целью настоящей работы является получение точных асимптотик и асимптотик с точностью до константы вероятности малых уклонений некоторых случайных процессов с вырожденными весами вида $t^{\alpha}\psi(t)$, где $\psi(t)$ ---  дважды дифференцируемая на $[0,1]$ положительная функция.

{\bf {\Large \section{Вспомогательные утверждения}}}
\noindent Пусть $L$ --- самосопряженный дифференциальный оператор порядка $2l$, определенный на пространстве $\mathcal{D}(L)$ функций, удовлетворяющих $2l$ граничным условиям. Пространство \\
$(m-1)$ раз непрерывно дифференцируемых функций $y$, у которых $y^{(m-1)}$ абсолютно непрерывна на отрезке [0,1] и $y^{(m)} \in L_p(0,1)$, как обычно, обозначим за $W^m_p(0,1)$. В статье $\cite{Naza:Puse:2009}$ была доказана следующая лемма. \\

\begin{lemma}
 \label{lem 1}
Пусть функция $\psi \in W^l_{\infty}(0,1)$ и $\psi > 0$ на $(0,1)$. Пусть $G(t,s)$ --- функция Грина краевой задачи

\begin{equation}
\label{eq 2.1}
Lv = \mu v \hspace{1 em}
 \mbox{на} \hspace{1 em} 
[0,1], \hspace{1 em} 
v \in \mathcal{D}(L).
\end{equation}
 Тогда функция 
$$\mathcal{G}(t,s) = \sqrt{\psi(t)\psi(s)}G(t,s)$$
является функцией Грина краевой задачи

\begin{equation}
\label{eq 2.2}
\mathcal{L}v \equiv \psi^{-1/2}L(\psi^{-1/2}v) = \mu v \hspace{1 em}
 \mbox{на} \hspace{1 em} 
[0,1], \hspace{1 em} 
v \in \mathcal{D}(L),
\end{equation}

\noindent где пространство $\mathcal{D}(\mathcal{L})$ состоит из функций $v$, удовлетворяющих условию 

\begin{equation}
\label{eq 2.3}
\psi^{-1/2}v \in \mathcal{D}(L).
\end{equation}

\end{lemma}

\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{rem 1}{Замечание}

\begin{rem 1}
Задача \eqref{eq 2.2} -- \eqref{eq 2.3} с помощью замены $y = \psi^{-1/2}v$ переписывается так: 
$$Ly = \mu \psi y \hspace{1 em}
 \mbox{на} \hspace{1 em} 
[0,1], \hspace{1 em} 
v \in \mathcal{D}(L).$$

\end{rem 1}
В статье \cite[Теорема 6.2]{Naza:Niki:2004} была доказана теорема 
\theoremstyle{plain}

\begin{theorem} \label{th 2}
Пусть

$$\Lambda_j = (\vartheta(j + \delta))^{-d},$$
где $\vartheta > 0$, $\delta > -1$ и $d > 1$ --- некоторые константы. Тогда при $\varepsilon \to 0$

$$\mathsf P\{\sum \limits _{j = 1} ^ {\infty} \Lambda_j \xi_j^2 \leq \varepsilon^2\} \sim \mathcal{C}(\vartheta, d, \delta) \cdot \varepsilon^{\gamma}\exp\left( -\frac{d - 1}{2}\left( \frac{\pi/d}{\vartheta \sin(\pi/d)} \right)^{\frac{d}{d -1}} \varepsilon^{-\frac{2}{d-1}}\right),$$
где
$$\gamma = \frac{2-d-2\delta d}{2(d-1)},$$
а $\mathcal{C}(\vartheta, d, \delta)$ представляет собой

$$\mathcal{C}(\vartheta, d, \delta) = \frac{(2 \pi)^{d/4}\vartheta^{d\gamma/2}(\sin(\pi/d))^{\frac{1+\gamma}{2}}}{(d-1)^{1/2}(\pi/d)^{1+\frac{\gamma}{2}}\Gamma^{d/2}(1 + \delta)}.$$

\end{theorem}

{\bf {\Large \section{Асимптотика с точностью до константы для процессов с весом $\psi(t)t^\alpha$}}}
\begin{theorem}
\label{Th 3.1}
Для броуновского моста $B$ при $\varepsilon\to 0$ имеет место соотношение
$$
\mathsf{P}\left\{ \|B\|_{\psi t^{\alpha}} \leq \varepsilon \right\} \sim C
\frac{2^{(\gamma+3)/2}\pi^{(\gamma-1)/2}}{\Gamma(1+\delta)}
\left(\frac{\varepsilon}{\vartheta}\right)^\gamma
\exp\left(-\frac{\vartheta^2}{8\varepsilon^2}\right),
$$
где
$$
C=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n-\frac{\alpha}{4(\alpha+2)})/\vartheta)^{-1}}{\lambda_n^{1/2}},\quad
\vartheta=\int_0^1\sqrt{\psi(t)t^\alpha}dt,
$$
$$
\gamma=\frac{\alpha}{2(\alpha+2)},\quad \delta=-\frac{\alpha}{4(\alpha+2)}.
$$
\end{theorem}

\begin{proof}
Собственные числа $\lambda_n$ в разложении Кархунена--Лоэва равны $\lambda_n=\mu_n^{-1}$, где  $\mu_n$~--- собственные числа краевой задачи
$$
\left\{
\begin{aligned}
&-y''=\mu\psi t^\alpha y&& \text{на} \quad [0,1],\\
&y(0)=y(1)=0.\\
\end{aligned}
\right.
$$

Согласно \cite[\S 6]{Doro:1952}, числа $\mu_n$ имеют следующую асимптотику
$$
\mu_n=\left(\frac{\pi(n+\delta+O(n^{-c}))}{\vartheta}\right)^2.
$$
Используя теорему сравнения Ли $\cite{Li:1992}$ и теорему $\ref{th 2}$,  непосредственным вычислением получаем утверждение теоремы.
\end{proof}
\noindent Следующие утверждения доказываются аналогично.
\begin{theorem}
\label{Th 3.2}
Пусть $W_{(u)}(t) = W(t) -utW(1)$, $u < 1$. Тогда при $\varepsilon\to 0$ имеет место соотношение
$$
\mathsf{P}\left\{ \|W_{(u)}\|_{\psi t^{\alpha}} \leq \varepsilon \right\} \sim C
\frac{2^{(\gamma+3)/2}\pi^{(\gamma-1)/2}}{\Gamma(1+\delta)}
\left(\frac{\varepsilon}{\vartheta}\right)^\gamma
\exp\left(-\frac{\vartheta^2}{8\varepsilon^2}\right),
$$
где
$$
C=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n-\frac{1}{2}-\frac{\alpha}{4(\alpha+2)})/\vartheta)^{-1}}{\lambda_n^{1/2}},\quad
\vartheta=\int_0^1\sqrt{\psi(t)t^\alpha}dt,
$$
$$
\gamma=\frac{3\alpha + 4}{2(\alpha+2)},\quad \delta=-\frac{3\alpha + 4}{4(\alpha+2)}.
$$
\end{theorem}

\begin{remark}
То же соотношение верно и для процесса Орнштейна--Уленбека с началом в нуле, то есть гауссовского процесса с нулевым средним и ковариационной функцией $(e^{-\beta|t-s|}-e^{-\beta(t+s)})/(2\beta)$.
\end{remark}

Обозначим $U_{(\beta)}(t)$ стационарный процесс Орнштейна--Уленбека,
то есть гауссовский процесс с нулевым средним и ковариационной функцией
$e^{-\beta|t-s|}/(2\beta)$.

\begin{theorem}
\label{Th 3.3}
При $\varepsilon\to 0$ имеет место соотношение
$$
\mathsf{P}\left\{ \|U_{(\beta)}\|_{\psi t^{\alpha}} \leq \varepsilon \right\} \sim C
\frac{2^{(\gamma+3)/2}\pi^{(\gamma-1)/2}}{\Gamma(1+\delta)}
\left(\frac{\varepsilon}{\vartheta}\right)^\gamma
\exp\left(-\frac{\vartheta^2}{8\varepsilon^2}\right),
$$
где
$$
C=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n-1+\frac{\alpha}{4(\alpha+2)})/\vartheta)^{-1}}{\lambda_n^{1/2}},\quad
\vartheta=\int_0^1\sqrt{\psi(t)t^\alpha}dt,
$$
$$
\gamma=\frac{3\alpha + 8}{2(\alpha+2)},\quad \delta=-\frac{3\alpha + 8}{4(\alpha+2)}.
$$
\end{theorem}

{\bf {\Large \section{Точная асимптотика для процессов с весом $\psi(t)t^\alpha$}}}

\theoremstyle{plain}

\begin{theorem}
\label{Th 4.1}
Пусть $W_{(u)}(t) = W(t) - utW(1)$, где $W(t)$ --- винеровский процесс, $u < 1$. Тогда при $\varepsilon \to 0$ имеет место следующее асимптотическое соотношение

$$\mathsf{P}\left\{ \|W_{(u)}\|_{\psi t^{\alpha}} \leq \varepsilon \right\} \sim
\frac{2^{2+\frac{\alpha}{4\alpha+8}}(\vartheta(\alpha+2))^{\frac{\alpha}{4\alpha+8}}}
{(1-u)\pi^{1/4}\Gamma^{1/2}(\frac{1}{\alpha+2})}
\frac{\psi^{\frac{1}{4\alpha+8}}(0)}{\psi^{\frac{1}{8}}(1)}
\left( \frac{\varepsilon}{\vartheta} \right)^{\frac{3\alpha+4}{2\alpha+4}}
\exp \left (\frac{-\vartheta^2}{8\varepsilon^2}\right) ,$$
где 
\begin{equation}
\vartheta = \int_0^1\sqrt{\psi(t)t^\alpha}dt.
\end{equation}


\end{theorem}


\begin{proof}

По лемме $\ref{lem 1}$ собственные числа  в разложении Кархунена-Лоэва $\lambda_k = \mu_k^{-1}$, где $\mu_k$ --- собственные числа краевой задачи

\begin{equation}
\label{eq 3.2}
\left \{
\begin{aligned} 
&-y'' = \mu \psi(t) t^\alpha y \text{   на } \left [ 0,1 \right ] \\
&y(0) = 0 \\
&(y'+\tau y)(1) = 0, 
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
где $\tau = (1 - u)^{-2} - 1$

Пусть $\varphi_1(t,\zeta)$, $\varphi_2(t,\zeta)$ --- решения уравнения $-y'' =\zeta^2 \psi(t) t^\alpha  y$, удовлетворяющие начальным условиям
\begin{align} 
\varphi_1(0,\zeta) &= 1 & \varphi'_1(0,\zeta) & = 0 \\
\varphi_2(0,\zeta) &= 0 & \varphi'_2(0,\zeta) & = 1.
\end{align}

\noindent Подставив общее решение $y(t) = c_1\varphi_1(t,\zeta) + c_2\varphi_2(t,\zeta)$ в граничные условия \eqref{eq 3.4}, получаем, что собственные числа $\mu_k$ краевой задачи \eqref{eq 3.2} равны $x_k^2$, где $x_k$ --- положительные корни функции

\noindent  $$F(\zeta) =\left |\begin{array} {cc}   \varphi_1(0,\zeta) & \varphi_2(0,\zeta)  \\ \varphi_1'(1, \zeta) + \tau \varphi_1(1,\zeta) & \varphi_2'(1, \zeta) + \tau \varphi_2(1,\zeta) \end{array} \right| = \varphi_2'(1, \zeta) + \tau \varphi_2(1,\zeta) $$



\noindent Найдем асимптотику $F(\zeta)$ при $|\zeta| \to \infty$. Для этого воспользуемся асимптотическими формулами, выведенными А. Дородницыным.

\noindent В соответствии с обозначениями из $\cite[\S 5]{Doro:1952}$
\begin{equation}
\omega(x) = \left(\frac{\alpha + 2}{2}\int \limits_{0}^x \sqrt{\psi(t)t^{\alpha}}dt \right)^{\frac{2}{\alpha + 2}}
\end{equation}
\begin{equation}
U_1(t) = \left( \alpha + 2 \right)^{-\frac{1}{\alpha + 2}} \Gamma\left (\frac{\alpha + 1}{\alpha + 2}\right ) \sqrt{t} J_{-\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha + 2} t^{\frac{\alpha + 2}{2}}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
U_2(t) = \left( \alpha + 2 \right)^{\frac{1}{\alpha + 2}} \Gamma\left (\frac{\alpha + 3}{\alpha + 2}\right ) \sqrt{t} J_{\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha + 2} t^{\frac{\alpha + 2}{2}}\right)
\end{equation}
\begin{equation}
 Y_i(x)  = \frac{1}{\sqrt{\omega'(x)}}U_i\left( \zeta^{\frac{2}{\alpha + 2}}\omega(x)\right)
\end{equation}
Как видно из $\cite[\text{c.37}]{Doro:1952}$,
\begin{align}
&\omega'(x) = x^{\frac{\alpha}{2}} \cdot \sqrt{\psi(x)} \cdot \omega^{-\frac{\alpha}{2}}(x) \\
&\omega(x) = \psi(0)^{\frac{1}{\alpha + 2}} \cdot x(1 + o(1)),\quad x \to 0\\
&\omega'(x) = \psi(0)^{\frac{1}{\alpha + 2}} \cdot (1 + o(1)),\quad x \to 0
\end{align}
В $\cite[\S 5]{Doro:1952}$ показано, что можно найти линейно независимые решения уравнения $-y'' =\mu \psi(t) t^\alpha  y$ в виде
\begin{equation}
Y_1(t)\cdot(1 + u_1(t))) = Y_1(t)\cdot(1 +O(t))), \quad t \to 0.
\end{equation}
\begin{equation}
Y_2(t)\cdot(1 + u_2(t))) = Y_2(t)\cdot(1 +O(t))), \quad t \to 0.
\end{equation}
С помощью асимптотических приближений функций Бесселя первого рода в нуле $\cite{Abra:Steg:1972}$
\begin{equation}
J_{\nu}(z) \sim \left( \frac{1}{2}z \right)^{\nu} \Gamma^{-1}(\nu + 1),
\end{equation}
Найдем пределы $U_2(t)$, $U'_2(t)$ при $t \to 0$ 
\begin{equation}
\lim \limits_{t \to 0} U_2(t) = \left( \alpha + 2 \right)^{\frac{1}{\alpha + 2}} \Gamma\left (\frac{\alpha + 3}{\alpha + 2}\right ) \sqrt{t} J_{\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha + 2} t^{\frac{\alpha + 2}{2}}\right) =\lim \limits_{t \to 0}   t = 0
\end{equation}

\begin{multline*}
\lim \limits_{t \to 0} U'_2(t) = \lim \limits_{t \to 0}\left( \alpha + 2 \right)^{\frac{1}{\alpha + 2}} \Gamma\left (\frac{\alpha + 3}{\alpha + 2}\right ) \left(\frac{1}{2\sqrt{t}} J_{\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha + 2} t^{\frac{\alpha + 2}{2}}\right) - t^{\frac{\alpha}{2}}  J_{\frac{\alpha + 3}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha + 2} t^{\frac{\alpha + 2}{2}}\right)  \right) +  \\
+\frac{1}{2} \left( \alpha + 2 \right)^{\frac{1}{\alpha + 2}} \Gamma\left (\frac{\alpha + 3}{\alpha + 2}\right ) t^{\frac{\alpha}{2} + \frac{2}{\alpha + 2}}  J_{\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha + 2} t^{\frac{\alpha + 2}{2}}\right)= \frac{1}{2} + 0 + \frac{1}{2} = 1
\end{multline*} 
Теперь найдем пределы $Y_2(t), Y'_2(t)$ при $t \to 0$
\begin{equation}
\lim \limits_{t \to 0} Y_2(t) =\lim \limits_{t \to 0}\frac{1}{\sqrt{\omega'(t)}}U_2\left( \zeta^{\frac{2}{\alpha + 2}}\omega(t)\right) = \lim_{t \to 0} \psi^{ \frac{1}{2\alpha + 4}}(0) \zeta^{\frac{2}{\alpha + 2}} t = 0
\end{equation}
\begin{multline*}
\lim \limits_{t \to 0} Y'_2(t) = \lim \limits_{t \to 0} \left( \frac{\alpha}{4}t^{-\frac{\alpha}{4}}  \psi^{-\frac{1}{4}}(0) \omega^{\frac{\alpha - 4}{4}}(t) -\frac {\alpha}{4} t^{\frac{-\alpha - 4}{4}} \psi^{-\frac{1}{4}}(0) \omega^{\frac{\alpha}{4}}(t)\omega'(t) + o(t^{-1})\right  )U_2\left( \zeta^{\frac{2}{\alpha + 2}}\omega(t)\right) + \\
+\psi^{\frac{1}{2\alpha + 4}}(0) \zeta^{\frac{2}{\alpha + 2}} = \psi^{\frac{1}{2\alpha + 4}}(0) \zeta^{\frac{2}{\alpha + 2}}
\end{multline*} 
Аналогично
\begin{equation}
\lim \limits_{t \to 0} Y_1(t) = \psi^{-\frac{1}{2 \alpha + 4}}(0)
\end{equation}
\begin{equation}
\lim \limits_{t \to 0} Y'_1(t) = 0
\end{equation}
Таким образом, линейно независимые решения $\varphi_1$, $\varphi_2$ можно найти как

\begin{equation}
\varphi_2(t, \zeta) = (Y_1(t)+u_1(t))\cdot \psi^{\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)
\end{equation}
\begin{equation}
\varphi_2(t, \zeta) = (Y_2(t)+u_2(t))\cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\zeta^{-\frac{2}{\alpha + 2}}
\end{equation}


\noindent Введем обозначения 

$$B_1 = \left(  \alpha+ 2 \right)^{-\frac{1}{\alpha + 2}} \Gamma\left (\frac{\alpha + 1}{\alpha + 2}\right )$$
$$B_2 = \left(  \alpha+ 2 \right)^{\frac{1}{\alpha + 2}} \Gamma\left (\frac{\alpha + 3}{\alpha + 2}\right )$$

$$T(x) = \omega^{\frac{\alpha + 2}{4}}(x) x^{-\frac{\alpha}{4}} \psi^{-1/4}(x)$$

$$\vartheta = \frac{2}{\alpha + 2}\omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)$$
Тогда, согласно $\cite[\S 5.1,5.2]{Doro:1952}$ при $|\zeta| \to \infty $

$$Y_1(x)+ u_1(x) =B_1 \cdot T(x)\cdot \zeta^{\frac{1}{\alpha + 2}} J_{-\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(x)\zeta \right)\left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right )$$

$$Y_2(x)+ u_2(x) =B_2 \cdot T(x)\cdot \zeta^{\frac{1}{\alpha + 2}} J_{\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(x)\zeta \right)\left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right )$$

\begin{multline}
Y'_1(x) + u'_1(x)=  B_1\zeta^{\frac{1}{\alpha+2}} \left( T'(x)  J_{-\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(x)\zeta \right) + T(x)\cdot \left (J_{-\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(x)\zeta \right) \right )' \right )=  \\
= -B_1\zeta^{\frac{\alpha + 3}{\alpha+2}}\left (T(x)\psi^{1/2}(x) x^{\frac{\alpha}{2}} J_{\frac{\alpha + 1}{\alpha+2}}\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(x) \zeta \right )\right )(1 + O(|\zeta|^{-1})) 
\end{multline}

\begin{multline}
Y'_2(x) + u'_2(x)=  B_2\zeta^{\frac{1}{\alpha+2}} \left( T'(x)  J_{\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(x)\zeta \right) + T(x)\cdot \left (J_{\frac{1}{\alpha + 2}} \left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(x)\zeta \right) \right )' \right )=   \\
= B_2\zeta^{\frac{\alpha + 3}{\alpha+2}}\left (T(x)\psi^{1/2}(x) x^{\frac{\alpha}{2}} J_{\frac{\alpha + 3}{\alpha+2}}\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(x) \zeta \right )\right )(1 + O(|\zeta|^{-1}))
\end{multline}





\noindent Так как

$$J_{\nu}(\zeta) = \sqrt{\frac{2}{\pi \zeta}} \cos \left( \zeta - \frac{\pi \nu}{2} - \frac{\pi}{4} \right)(1 + O(|\zeta|^1))$$
при $|\zeta| \to \infty$, $\Re(\zeta) \geq 0$, получаем

\begin{align}
Y_1(1) &=B_1\cdot  \zeta^{-\frac{\alpha }{2\alpha + 4}} \left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{-1/4}(1) \cos\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)\zeta - \frac{ \alpha\pi}{4 \alpha + 8} \right) \right) \left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right )\\
Y'_1(1) &=  B_1 \cdot \zeta^{\frac{\alpha+4 }{2\alpha+4}}\left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}}\psi^{1/4}(1)  \cos\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)\zeta - \frac{(3 \alpha  + 4)\pi}{4 \alpha + 8} \right) \right )(1 + O(|\zeta|^{-1})).\\
Y_2(1) &= B_2\cdot  \zeta^{-\frac{\alpha}{2\alpha + 4}} \left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{-1/4}(1) \cos\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)\zeta - \frac{( \alpha + 4)\pi}{4 \alpha + 8} \right) \right) \left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right )\\
Y'_2(1) &=  -B_2 \cdot \zeta^{\frac{\alpha + 4}{2\alpha+4}}\left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}}\psi^{1/4}(1)  \cos\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)\zeta - \frac{(3 \alpha + 8)\pi}{4 \alpha + 8} \right) \right )(1 + O(|\zeta|^{-1})).
\end{align}
Соответственно
\begin{align}
\varphi_1(1,\zeta) &= B_1 \cdot \psi^{\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot  \zeta^{-\frac{\alpha}{2\alpha + 4}} \left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{-1/4}(1) \cos\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)\zeta - \frac{ \alpha\pi}{4 \alpha + 8} \right) \right) \left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right )\\
\varphi'_1(1,\zeta) &=B_1 \cdot \psi^{\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot  \zeta^{\frac{\alpha +4}{2\alpha + 4}} \left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{1/4}(1) \cos\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)\zeta - \frac{( 3 \alpha + 4)\pi}{4 \alpha + 8} \right) \right) \left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right )\\
\varphi_2(1,\zeta) &= B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot  \zeta^{-\frac{\alpha+4}{2\alpha + 4}} \left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{-1/4}(1) \cos\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)\zeta - \frac{( \alpha + 4)\pi}{4 \alpha + 8} \right) \right) \left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right )\\
\varphi'_2(1,\zeta) &=-B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot  \zeta^{\frac{\alpha}{2\alpha + 4}} \left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{-1/4}(1) \cos\left( \frac{2}{\alpha +2}  \omega^{\frac{\alpha + 2}{2}}(1)\zeta - \frac{(3 \alpha + 8)\pi}{4 \alpha + 8} \right) \right) \left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right ),
\end{align}
Обозначим 
$$\tilde\delta = -\frac{\alpha}{4 \alpha + 8} \in \left( -\frac{1}{4}, 0\right]$$
Таким образом,


\begin{equation}
F(\zeta) =  B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot\zeta^{\frac{\alpha }{2\alpha+4}}\left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}}\psi^{1/4}(1)  \cos\left( \vartheta\zeta - \tilde\delta \pi \right) \right )(1 + O(|\zeta|^{-1})). 
\end{equation}
при $|\zeta| \to \infty$.
\noindent Возьмем функцию
$$
\Psi(\zeta)=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{\zeta^2}{(\pi(n+\delta))^2}\right),\quad
\delta=-\frac{3\alpha+4}{4(\alpha+2)}.
$$
Согласно \cite[Лемма 1.3]{Naza:2003}, при $|\zeta|=\pi(N+\delta+1/2)$ и $N\to\infty$
$$
\Psi(\zeta)\sim\Gamma^2(1+\delta)\pi^{2\delta}\zeta^{-2\delta-1}\cos(\zeta-\pi(\delta+1/2))
$$
то есть
$$
\Psi(\zeta)\sim\Gamma^2\left(\frac{\alpha+4}{4(\alpha+2)}\right)\pi^{-\frac{3\alpha+4}{2\alpha+4}}
\zeta^{\frac{\alpha}{2\alpha+4}}\cos\left(\zeta+\frac{\pi\alpha}{4\alpha+8}\right).
$$


Заметим, что

$$\frac{|F(\zeta)|}{|\Psi(\vartheta\zeta)|} \rightrightarrows B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{1/4}(1)
\Gamma^{-2}\left(\frac{\alpha+4}{4(\alpha+2)}\right)\pi^{\frac{3\alpha+4}{2\alpha+4}}\vartheta^{-\frac{\alpha}{2\alpha+4}}$$




\noindent  По теореме Йенсена(\cite[\S 3.6.1]{Titc:1980}) для функции $F$ и $x_k < r < x_{k+1}$ верно соотношение

$$\ln\left(  \frac{r^k \left| F(0) \right|}{x_1 x_2 \dots x_k} \right) = \frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0 \ln \left | F(re^{i\theta}) \right | d\theta$$

\noindent Аналогичное равенство верно для функции $\Psi$. Следовательно

$$
\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n+\delta)/\vartheta)^{-2}}{\lambda_n}=
\left(\prod_{n = 1}^{\infty}\frac{x_n}{\pi (n+\delta)/\vartheta}\right)^2=
\frac{|F(0)|\Gamma^2\left(\frac{\alpha+4}{4(\alpha+2)}\right)\vartheta^{\frac{\alpha}{2\alpha+4}}}
{B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\sqrt{\alpha+2}\pi^{\frac{\alpha+1}{\alpha+2}}\psi^{1/4}(1)}
$$



Осталость вычислить $F(0)$. Заметим, что по теореме о непрерывной зависимости решения от параметра

$$\lim \limits_{\zeta \to 0} \varphi'_2(1,\zeta) + \tau \varphi_2(1,\zeta)= \lim \limits _{t \to 1} \varphi'_2(t,0) + \tau \varphi_2(t,0) = 1 + \tau t.$$
То есть 

$$F(0) = 1 + \tau = (1-u)^{-2}$$

Окончательно получаем
$$
\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n+\delta)/\vartheta)^{-2}}{\lambda_n}=
\frac{\Gamma^2\left(\frac{\alpha+4}{4(\alpha+2)}\right)\vartheta^{\frac{\alpha}{2\alpha+4}}\psi^{\frac{1}{2\alpha+4}}(0)}
{(1-u)^2(\alpha+2)^{\frac{\alpha+4}{2\alpha+4}}\Gamma\left(\frac{\alpha+3}{\alpha+2}\right) \pi^{\frac{\alpha+1}{\alpha+2}}\psi^{1/4}(1)}
$$

Осталось применить теорему $\ref{Th 3.2}$

\end{proof}


\theoremstyle{remark}

\begin{remark}

При $\alpha = 0$ асимптотическое выражение принимает вид, описанный в $\cite{Niki:Puse:2013}$ для $W_{(u)}$ с невырожденным весом

$$\mathsf{P}\left \{\| W_{(u)} \|_{\psi} \leq \varepsilon \right \}\sim \frac{4 \psi^{1/8}(0)}{(1-u)\sqrt{\pi}\vartheta\psi^{1/8}(1)}\varepsilon\exp\left( -\frac{\vartheta^2}{8} \varepsilon^{-2} \right).$$

При $\psi\equiv 1$ получаем результат \cite[Теорема 3.3, п. 2]{Naza:2003}
\end{remark}





\begin{theorem}
Пусть $\mathring{U}_{a}(t)$ --- процесс Орнштейна-Уленбека с началом в нуле. Тогда имеет место следующее асимптотическое соотношение

$$\mathsf{P}\left\{ \|\mathring{U}_{a}\|_{\psi t^{\alpha}} \leq \varepsilon \right\} \sim
\frac{2^{2+\frac{\alpha}{4\alpha+8}}(\vartheta(\alpha+2))^{\frac{\alpha}{4\alpha+8}} e^{a/2}}
{\pi^{1/4}\Gamma^{1/2}(\frac{1}{\alpha+2})}
\frac{\psi^{\frac{1}{4\alpha+8}}(0)}{\psi^{\frac{1}{8}}(1)}
\left( \frac{\varepsilon}{\vartheta} \right)^{\frac{3\alpha+4}{2\alpha+4}}
\exp \left (\frac{-\vartheta^2}{8\varepsilon^2}\right) ,$$
где 
\begin{equation}
\vartheta = \int_0^1\sqrt{\psi(t)t^\alpha}dt.
\end{equation}



\end{theorem}


\begin{proof}

По лемме $\ref{lem 1}$ собственные числа в разложении Кархунена-Лоэва $\lambda_k = \mu_k^{-1}$, где $\mu_k$ --- собственные числа краевой задачи

\begin{equation}
\label{eq 3.4}
\left \{
\begin{aligned} 
&-y'' = (\mu \psi(t) t^\alpha - a^2) y \text{   на } \left [ 0,1 \right ] \\
&y(0) = 0 \\
&(y'+a y)(1) = 0 
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Подставив общее решение $y(t) = c_1\varphi_1(t,\zeta) + c_2\varphi_2(t,\zeta)$ в граничные условия \eqref{eq 3.4}, получаем, что собственные числа $\mu_k$ связанной с процессом краевой задачи равны $x_k^2$, где $x_k$ --- положительные корни функции

 $$F(\zeta) =\left |\begin{array} {cc}   \varphi_1(0,\zeta) & \varphi_2(0,\zeta)  \\ \varphi_1'(1, \zeta) + \alpha \varphi_1(1,\zeta) & \varphi_2'(1, \zeta) + \alpha \varphi_2(1,\zeta) \end{array} \right| = \varphi_2'(1, \zeta) + \alpha \varphi_2(1,\zeta) $$
Заметим($\cite{Doro:1952}$), что слагаемое $-a^2y$ в уравнении $\ref{eq 3.4}$ не влияет на главный член $Y_i$, поэтому асимптотические выражения из прошлой теоремы верны и для решений данной задачи. Таким образом

\begin{equation}
F(\zeta) =  B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot\zeta^{\frac{\alpha }{2\alpha+4}}\left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}}\psi^{1/4}(1)  \cos\left( \vartheta\zeta - \tilde\delta \pi \right) \right )(1 + O(|\zeta|^{-1})). 
\end{equation}
при $|\zeta| \to \infty$. Здесь используются те же обозначения, что и в доказательстве предыдущей теоремы.\\
\noindent Как и в прошлый раз, возьмем функцию 
$$\Psi(\zeta)=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{\zeta^2}{(\pi(n+\delta))^2}\right),\quad
\delta=-\frac{3\alpha+4}{4(\alpha+2)}.
$$

Как мы выяснили в доказательстве предыдущей теоремы,

$$
\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n+\delta)/\vartheta)^{-2}}{\lambda_n}=
\left(\prod_{n = 1}^{\infty}\frac{x_n}{\pi (n+\delta)/\vartheta}\right)^2=
\frac{|F(0)|\Gamma^2\left(\frac{\alpha+4}{4(\alpha+2)}\right)\vartheta^{\frac{\alpha}{2\alpha+4}}}
{B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\sqrt{\alpha+2}\pi^{\frac{\alpha+1}{\alpha+2}}\psi^{1/4}(1)}
$$

Остается найти $F(0)$. По теореме о непрерывной зависимости решения от параметра

$$\lim \limits_{\zeta \to 0} \phi'_2(1,\zeta) + \tau \phi_2(1,\zeta)= \lim \limits _{t \to 1} \phi'_2(t,0) + \tau \phi_2(t,0)$$
где $\phi(t,0)$ --- решение уравнения

\begin{equation}
\left \{
\begin{aligned} 
&y'' =   a^2 y \text{   на } \left [ 0,1 \right ] \\
&y(0) = 0 \\
&(y'+a y)(1) = 0 
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Такая задача имеет решение $\phi(t, 0) = \frac{1}{a}\sh(at)$, то есть $F(0) = \ch(a) + \sh(a) = e^{a}$

Окончательно получаем
$$
\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n+\delta)/\vartheta)^{-2}}{\lambda_n} =
\frac{\Gamma^2\left(\frac{\alpha+4}{4(\alpha+2)}\right)\vartheta^{\frac{\alpha}{2\alpha+4}}\psi^{\frac{1}{2\alpha+4}}(0)e^a}
{(\alpha+2)^{\frac{\alpha+4}{2\alpha+4}}\Gamma\left(\frac{\alpha+3}{\alpha+2}\right) \pi^{\frac{\alpha+1}{\alpha+2}}\psi^{1/4}(1)}
$$

\end{proof}



\begin{remark}

При $\alpha = 0$ асимптотическое выражение принимает вид, описанный в $\cite{Niki:Puse:2013}$ для $\mathring{U}_{(a)}(t)$ с невырожденным весом

$$\mathsf{P}\left \{\| \mathring{U}_{a}\|_{\psi} \leq \varepsilon \right \}\sim \frac{4 \psi^{1/8}(0)e^{\alpha/2}}{\sqrt{\pi}\vartheta\psi^{1/8}(1)}\varepsilon\exp\left( -\frac{\vartheta^2}{8} \varepsilon^{-2} \right).$$

\end{remark}

\begin{theorem}
Пусть $B(t)$ --- броуновский мост. Тогда имеет место следующее асимптотическое соотношение

$$\mathsf{P}\left\{ \|B\|_{\psi t^{\alpha}} \leq \varepsilon \right\} \sim
\frac{2^{1+\frac{3\alpha + 4}{4\alpha+8}}(\vartheta(\alpha+2))^{-\frac{\alpha + 4}{4\alpha+8}}\cdot \psi^{\frac{1}{4\alpha+8}}(0) \psi^{\frac{1}{8}}(1)}
{\pi^{1/4}\Gamma^{1/2}(\frac{\alpha + 3}{\alpha+2}) }
\left( \frac{\varepsilon}{\vartheta} \right)^{\frac{\alpha}{2\alpha+4}}
\exp \left (\frac{-\vartheta^2}{8\varepsilon^2}\right) ,$$
где 
\begin{equation}
\vartheta = \int_0^1\sqrt{\psi(t)t^\alpha}dt.
\end{equation}



\end{theorem}


\begin{proof}

По лемме $\ref{lem 1}$ собственные числа в разложении Кархунена-Лоэва $\lambda_k = \mu_k^{-1}$, где $\mu_k$ --- собственные числа краевой задачи

\begin{equation}
\label{eq 3.5}
\left \{
\begin{aligned} 
&-y'' = \mu \psi(t) t^\alpha y \text{   на } \left [ 0,1 \right ] \\
&y(0) = 0 \\
&y(1) = 0 
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Подставив общее решение $y(t) = c_1\varphi_1(t,\zeta) + c_2\varphi_2(t,\zeta)$ в граничные условия \eqref{eq 3.5}, получаем, что собственные числа $\mu_k$ связанной с процессом краевой задачи равны $x_k^2$, где $x_k$ --- положительные корни функции

 $$F(\zeta) =\left |\begin{array} {cc}   \varphi_1(0,\zeta) & \varphi_2(0,\zeta)  \\  \varphi_1(1,\zeta) &  \varphi_2(1,\zeta) \end{array} \right| = \varphi_2(1, \zeta)  $$
Возьмем $\tilde\delta = -\frac{(\alpha+ 4)\pi}{4 \alpha + 8}$. Тогда, применяя полученные асимптотики решений, получаем

\begin{equation}
F(\zeta) =  B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot\zeta^{-\frac{\alpha+4 }{2\alpha+4}}\left (\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}}\psi^{-1/4}(1)  \cos\left( \vartheta\zeta - \tilde\delta \pi \right) \right )(1 + O(|\zeta|^{-1})),
\end{equation}
при $|\zeta| \to \infty$. \\
\noindent Возьмем функцию
$$\Psi(\zeta)=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{\zeta^2}{(\pi(n+\delta))^2}\right),\quad
\delta=-\frac{\alpha}{4(\alpha+2)}.
$$
Тогда по \cite[Лемма 1.3]{Naza:2003}, при $|\zeta|=\pi(N+\delta+1/2)$ и $N\to\infty$
$$
\Psi(\zeta)\sim\Gamma^2\left(\frac{3\alpha+8}{4(\alpha+2)}\right)\pi^{-\frac{\alpha}{2\alpha+4}}
\zeta^{-\frac{\alpha+4}{2\alpha+4}}\cos\left(\zeta-\frac{\pi(\alpha+ 4)}{4\alpha+8}\right).
$$

Соответственно

$$\frac{|F(\zeta)|}{|\Psi(\vartheta\zeta)|} \rightrightarrows B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{-1/4}(1)
\left(\Gamma\left(\frac{3\alpha+8}{4(\alpha+2)}\right)\right)^{-2}  \pi^{\frac{\alpha}{2\alpha+4}}\vartheta^{\frac{\alpha+ 4}{2\alpha+4}}$$

Применяя теорему Йенсена, получаем

$$
\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n+\delta)/\vartheta)^{-2}}{\lambda_n}=
\left(\prod_{n = 1}^{\infty}\frac{x_n}{\pi (n+\delta)/\vartheta}\right)^2=
\frac{|F(0)|\Gamma^2\left(\frac{3\alpha+8}{4(\alpha+2)}\right)\vartheta^{-\frac{\alpha+4}{2\alpha+4}}\pi^{\frac{1}{\alpha+2}}}
{B_2 \cdot \psi^{-\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\sqrt{\alpha+2}\psi^{-1/4}(1)}
$$

Остается найти $F(0)$. По теореме о непрерывной зависимости решения от параметра

$$\lim \limits_{\zeta \to 0} \phi_2(1,\zeta) = \lim \limits _{t \to 1} \phi_2(t,0).$$

Ясно, что $\phi_2(t,0)  = t$, таким образом, $F(0) = 1.$
Окончательно получаем
$$
\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n+\delta)/\vartheta)^{-2}}{\lambda_n} =
\frac{\Gamma^2\left(\frac{3\alpha+8}{4(\alpha+2)}\right)\pi^{\frac{1}{\alpha+2}}\cdot \psi^{\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot \psi^{1/4}(1)}
{(\alpha + 2)^{\frac{\alpha + 4}{2\alpha + 4}}\Gamma\left( \frac{\alpha + 3}{\alpha + 2} \right) \cdot  \vartheta^{\frac{\alpha+4}{2\alpha+4}}}
$$
Осталось применить теорему $\ref{Th 3.1}$

\end{proof}



\begin{remark}

При $\alpha = 0$ асимптотическое выражение принимает вид, описанный в $\cite{Niki:Puse:2013}$ для $B(t)$ с невырожденным весом

$$\mathsf{P}\left \{\| B \|_{\psi} \leq \varepsilon \right \}\sim \frac{2 \sqrt{2} \psi^{1/8}(1) \psi^{1/8}(0)}{\sqrt{\pi \vartheta}}\exp\left( -\frac{\vartheta^2}{8} \varepsilon^{-2} \right).$$

При $\psi\equiv 1$ получаем результат \cite[Теорема 3.3, п. 1]{Naza:2003}

\end{remark}


\begin{theorem}
Пусть $U_{(a)}(t)$ --- стационарный процесс Орнштейна-Уленбека. Тогда имеет место следующее асимптотическое соотношение

$$\mathsf{P}\left\{ \|U_{(a)}\|_{\psi t^{\alpha}} \leq \varepsilon \right\} \sim
\frac{\sqrt{a} \cdot e^{a/2}\cdot 2^{2+\frac{3\alpha + 8}{4\alpha+8}} \cdot \vartheta^{\frac{\alpha + 4}{4 \alpha + 8}}}
{(\alpha+2)^{-\frac{\alpha }{4\alpha+8}}\pi^{1/4}\Gamma^{1/2}(\frac{\alpha + 1}{\alpha+2})  \cdot \psi^{\frac{1}{4\alpha+8}}(0) \psi^{\frac{1}{8}}(1) }
\left( \frac{\varepsilon}{\vartheta} \right)^{\frac{3\alpha + 8}{2\alpha+4}}
\exp \left (\frac{-\vartheta^2}{8\varepsilon^2}\right) ,$$
где 
\begin{equation}
\vartheta = \int_0^1\sqrt{\psi(t)t^\alpha}dt.
\end{equation}



\end{theorem}


\begin{proof}

По лемме $\ref{lem 1}$ собственные числа в разложении Кархунена-Лоэва $\lambda_k = \mu_k^{-1}$, где $\mu_k$ --- собственные числа краевой задачи

\begin{equation}
\label{eq 3.6}
\left \{
\begin{aligned} 
&-y'' = (\mu \psi(t) t^\alpha - a^2) y \text{   на } \left [ 0,1 \right ] \\
&(y' - ay)(0) = 0 \\
&(y' + ay)(1) = 0 
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
Подставив общее решение $y(t) = c_1\varphi_1(t,\zeta) + c_2\varphi_2(t,\zeta)$ в граничные условия \eqref{eq 3.6}, получаем, что собственные числа $\mu_k$ связанной с процессом краевой задачи равны $x_k^2$, где $x_k$ --- положительные корни функции

 $$F(\zeta) =\left |\begin{array} {cc}   \varphi'_1(0,\zeta) - a\varphi_1(0,\zeta) & \varphi'_2(0,\zeta) - a\varphi_2(0,\zeta)  \\ \varphi_1'(1, \zeta) + a \varphi_1(1,\zeta) & \varphi_2'(1, \zeta) + a \varphi_2(1,\zeta) \end{array} \right| = -a\varphi'_2(1, \zeta) - a^2\varphi(1,\zeta) - \varphi'_1(1,\zeta) - a\varphi_1(1,\zeta). $$
Заметим($\cite{Doro:1952}$), что слагаемое $-a^2y$ в уравнении $\ref{eq 3.6}$ не влияет на главный член $Y_i$, поэтому асимптотические выражения из теоремы $\ref{Th 4.1}$ верны и для решений данной задачи. Таким образом


\begin{equation}
F(\zeta) =  aB_1 \cdot \psi^{\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot  \zeta^{\frac{\alpha +4}{2\alpha + 4}} \sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{1/4}(1) \cos\left(\vartheta\zeta + \frac{(\alpha + 4)\pi}{4 \alpha + 8} \right)\left ( 1 + O(|\zeta^{-1}|) \right ),
\end{equation}
при $|\zeta| \to \infty$. .\\
\noindent Возьмем функцию
$$\Psi(\zeta)=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{\zeta^2}{(\pi(n+\delta))^2}\right),\quad
\delta=-\frac{3\alpha + 8}{4(\alpha+2)}.
$$
Тогда по \cite[Лемма 1.3]{Naza:2003}, при $|\zeta|=\pi(N+\delta+1/2)$ и $N\to\infty$
$$
\Psi(\zeta)\sim\Gamma^2\left(\frac{\alpha}{4(\alpha+2)}\right)\pi^{-\frac{3\alpha + 8}{2\alpha+4}}
\zeta^{\frac{\alpha+4}{2\alpha+4}}\cos\left(\zeta+ \frac{(\alpha + 4)\pi}{4 \alpha + 8}\right).
$$

Соответственно

$$\frac{|F(\zeta)|}{|\Psi(\vartheta\zeta)|} \rightrightarrows aB_1\cdot \psi^{\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\sqrt{\frac{\alpha + 2}{\pi}} \psi^{1/4}(1)
\left(\Gamma\left(\frac{\alpha}{4(\alpha+2)}\right)\right)^{-2}  \pi^{\frac{3\alpha + 8}{2\alpha+4}}\vartheta^{-\frac{\alpha+ 4}{2\alpha+4}}$$

Применяя теорему Йенсена, получаем

$$
\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n+\delta)/\vartheta)^{-2}}{\lambda_n}=
\left(\prod_{n = 1}^{\infty}\frac{x_n}{\pi (n+\delta)/\vartheta}\right)^2=
\frac{|F(0)|\Gamma^2\left(\frac{\alpha}{4(\alpha+2)}\right)\vartheta^{\frac{\alpha+4}{2\alpha+4}}\pi^{-\frac{\alpha + 3}{\alpha+2}}}
{a B_1 \cdot \psi^{\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\sqrt{\alpha+2}\psi^{1/4}(1)}
$$

Остается найти $F(0)$. По теореме о непрерывной зависимости решения от параметра

$$F(0) = \lim \limits_{t \to 1} (-a\varphi'_2(t, 0) - a^2\varphi(t, 0) - \varphi'_1(t, 0) - a\varphi_1(t, 0)) $$

Легко заметить, что $\varphi_1(t,0) = \ch(a t)$,  $\varphi_2(t,0) = \frac{1}{a}\sh(a t)$. Таким образом, $|F(0)| = 2a e^{a}.$
Окончательно получаем
$$
\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(\pi (n+\delta)/\vartheta)^{-2}}{\lambda_n} =
\frac{2a e^{a} \cdot \Gamma^2\left(\frac{\alpha}{4(\alpha+2)}\right)\pi^{-\frac{\alpha + 3}{\alpha+2}}\vartheta^{\frac{\alpha+4}{2\alpha+4}}}
{(\alpha + 2)^{\frac{\alpha }{2\alpha + 4}}\Gamma\left( \frac{\alpha + 1}{\alpha + 2} \right)   \cdot \psi^{\frac{ 1}{2\alpha + 4}}(0)\cdot \psi^{1/4}(1)}
$$
Осталось применить теорему $\ref{Th 3.3}$

\end{proof}



\begin{remark}

При $\alpha = 0$ асимптотическое выражение принимает вид, описанный в $\cite{Niki:Puse:2013}$ для $U_{(a)}(t)$ с невырожденным весом

$$\mathsf{P}\left \{\| U_{(a)}\|_{\psi} \leq \varepsilon \right \}\sim \frac{8 a^{1/2} e^{a/2}}{\pi^{1/2} \vartheta^{3/2} \psi^{1/8}(1) \psi^{1/8}(0)} \varepsilon^2 \exp\left( -\frac{\vartheta^2}{8} \varepsilon^{-2} \right).$$

При $\psi\equiv 1$ получаем результат \cite[Теорема 3.3, п. 1]{Naza:2003}

\end{remark}


\begin {thebibliography}{10}
\bibitem{Aurz:Ibra:Lifs:Zant:2009}
Аурзада Ф., Ибрагимов И. А., Лифшиц М. А., ван Зантен Х.,
\emph{Малые уклонения случайных гауссовских процессов},
Теория вероятности и ее применения, 2009, {\bf 53}, вып. 4, 788-798.

\bibitem{Doro:1952}
Дородницын А. А.,
\emph{Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка}, Успехи математических наук, 1952, {\bf 7}, вып. 6.

\bibitem{Naza:2003}
Назаров~А.~И.,
\emph{О точной константе в асимптотике малых уклонений в $L_2$-норме некоторых гауссовских процессов},
Проблемы матем.\ анализа, 2003, {\bf 26}, 179--214.

\bibitem{Naza:Puse:2009}
Назаров~А.~И., Пусев~Р.~С.,
\emph{Точная асимптотика малых уклонений в $L_2$-норме с весом для некоторых гауссовских процессов},
Зап.\ научн.\ семин.\ ПОМИ, 2009, {\bf 364}, 166--199.

\bibitem{Niki:Puse:2013}
Никитин Я. Ю., Пусев Р. С.,
\emph{Точная асимптотика малых уклонений для ряда броуновских функционалов},
Теория вероятностей и ее применения, 2012, {\bf 57}, N 1, 98--123.

\bibitem{Titc:1980}
Титчмарш Е.,
\emph{Теория функций}, 2-е изд., М.: Наука, 1980.

\bibitem{Fedo:1993}
Федорюк~М.~В.,
\emph{Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений}, 2-е изд., М.: Либроком, 2009.

\bibitem{Ard:1962}
Эрдейи А.,
\emph{Асимптотические разложения}, 
М.:ФМ, 1962, 49--50.

\bibitem{Abra:Steg:1972}
Abramowitz M., Stegun I. A.,
\emph{Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing}, 
1972, New York: Dover, 360-361.

\bibitem{Adle:1990}
Adler R. J.,
\emph{An introduction to continuity, extrema, and related topics for
general Gaussian processes}, IMS Lecture Monogr. Ser. 1990, {\bf 12}, Hayward, CA: Inst.
Math. Statist.

\bibitem{Ferr:Vieu:2006}
Ferraty F., Vieu, Ph. ,
\emph{Nonparametric functional data analysis. Theory and practice}, 2006, New York: Springer.

\bibitem{Li:1992}
Li W. V.,
\emph{Comparison results for the lower tail of Gaussian seminormes}, 
J. Theor. Probab., {\bf 5(1)}, 1-31.

\bibitem{Li:Shao:2001}
Li W. V., Shao Q.-M.,
\emph {Gaussian processes: inequalities, small ball probabilities
and applications}, Stochastic Processes: Theory and Methods. Handbook of
Statist, 2001,  {\bf 19}, 533–597. Amsterdam: North-Holland.

\bibitem{Lifs:1999}
Lifshits M. A.,
\emph{Asymptotic behavior of small ball probabilities}, Probability Theory and Mathematical Statistics: Proceedings of The Seventh International Vilnuis Conference, 1999, 453–468. Vilnius: TEV.

\bibitem{Naza:2007}
Nazarov A. I.,
\emph{Exact small ball asymptotics of Gaussian processes and the spectrum of boundary value problems},
J. Theor. Probab., 2009, {\bf 22}, pp. 640--665.

\bibitem{Naza:Niki:2004}
Nazarov A. I., Nikitin Ya. Yu.,
\emph{Exact $L_2$-small ball behavior of integrated Gaussian processes and spectral asymptotics
of boundary value problems},
Probability Theory and Related Fields, 2004, {\bf 129}, N 4, 469--494.
\end{thebibliography}

\noindent
Пусев Руслан Сергеевич\\
Санкт-Петербургский государственный университет\\
199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9\\
r.pusev@spbu.ru

\medskip

\noindent
Толстоганов Иван Николаевич\\
Санкт-Петербургский национальный исследовательский Академический университет Российской академии наук\\
194021, Санкт-Петербург, ул. Хлопина, д. 8, корп. 3, лит. А\\

\end{document}