\documentclass[11pt,reqno]{article}%{amsart}
\usepackage{amsmath,amsfonts,amssymb}
%\usepackage{mathtools}
%\mathtoolsset
\tolerance 10000
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{hyperref}


\newcommand{\esssup}{\mathop{\mathrm{ess}\:\mathrm{sup}}\limits} % существенный супремум функции. Определила сама.

\def\wh{\widehat}
\def\wt{\widetilde}
\def\R{\mathbb R}
\def\C{\mathbb C}
\def\Z{\mathbb Z}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\N{\mathbb N}
\def\A{\mathcal A}
\def\B{\mathcal B}
\def\O{\mathcal O}

\def\u{\mathbf u}
\def\e{\mathbf e}
\def\f{\mathbf f}
\def\x{\mathbf x}
\def\v{\mathbf v}
\def\a{\mathbf a}
\def\s{\mathbf s}
\def\p{\mathbf p}
\def\r{\mathbf r}
\def\b{\mathbf b}
\def\c{\mathbf c}
\def\k{\mathbf k}
\def\w{\mathbf w}
\def\z{\mathbf z}
\def\h{\mathbf h}
\def\VV{\mathbf V}
\def\t{\boldsymbol\theta}
\def\D{\mathbf D}
\def\FF{\mathbf F}
\def\1{\mathbf 1}
\def\K{\mathcal K}
\def\M{\mathcal M}
\def\H{\mathfrak H}
\def\CC{\mathcal C}
\def\X{\mathcal X}
\def\V{\mathcal V}
\def\O{\mathcal O}
\def\NN{\mathfrak N}
\def\bxi{\boldsymbol \xi}
\def\bnu{\boldsymbol \nu}
\def\bt{\boldsymbol \theta}
\def\eeta{\boldsymbol \eta}
\def\bphi{\boldsymbol \phi}
\def\bpsi{\boldsymbol \psi}
\def\brho{\boldsymbol \rho}

\def\bPhi{\boldsymbol \Phi}
\def\bvarphi{\boldsymbol \varphi}
\def\1{\bold 1}
\def\rot{\mathrm{rot}\,}
\def\div{\mathrm{div}\,}
\def\Ran{\mathrm{Ran}\,}
\def\rank{\mathrm{rank}\,}
\def\Im{\mathrm{Im}\,}
\def\eps{\varepsilon}
\def\Dom{\mathrm{Dom}\,}
\def\Ker{\mathrm{Ker}\,}
\def\mes{\mathrm{mes}\,}
\def\clos{\mathrm{clos}\,}
\DeclareMathOperator{\sep}{\mathrm{sep}}
\DeclareMathOperator*{\slim}{s-lim}
\DeclareMathOperator*{\wlim}{w-lim}

\def\leq{\leqslant}
\def\le{\leqslant}
\def\geq{\geqslant}
\def\ge{\geqslant}



\sloppy
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{condition}[theorem]{Условие}
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}

\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\thispagestyle{empty}


\bigskip


\centerline{\textbf{УСРЕДНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ}}
\centerline{\textbf{ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ:}}
\centerline{\textbf{ДВУХПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ}}



\bigskip
\def\supind#1{${}^\mathrm{#1}$}
\centerline{\textbf{Ю.~М.~Мешкова\supind{1,2}, Т.~А.~Суслина\supind{2}}}



\bigskip


\centerline{\supind{1}Санкт-Петербургский государственный университет,}
\centerline{Лаборатория им. П. Л. Чебышева,}
\centerline{14 линия ВО, д. 29Б}
\centerline{Санкт-Петербург, 199178, Россия}

\bigskip
\centerline{\supind{2}Санкт-Петербургский государственный университет,}
\centerline{Физический факультет,}
\centerline{Ульяновская ул., д. 3, Петродворец,}
\centerline{Санкт-Петербург, 198504, Россия}
\bigskip
\centerline{e-mail: y.meshkova@spbu.ru, t.suslina@spbu.ru}


\bigskip
\centerline{\today}

\bigskip
\centerline{АННОТАЦИЯ}
\medskip
Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный эллиптический дифференциальный оператор $B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant1$, второго порядка при условии Дирихле на границе. Старшая часть оператора задана в факторизованной форме. Оператор включает члены первого и нулевого порядков с неограниченными коэффициентами. Коэффициенты оператора $B_{D,\varepsilon}$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Изучается обобщенная резольвента $\left(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0(\cdot/\varepsilon)\right)^{-1}$, где $Q_0$ --- периодическая ограниченная и положительно определенная матрица-функция, а $\zeta$ --- комплексный параметр. Получены аппроксимации обобщенной резольвенты по операторной норме в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности.


\bigskip
\noindent\textbf{Ключевые слова}: периодические дифференциальные операторы, эллиптические системы, усреднение, операторные оценки погрешности.



\bigskip

\noindent
Исследование выполнено при поддержке РФФИ (проект 16-01-00087). 
Работа первого автора выполнена при поддержке программы социальных инвестиций \glqq Родные города\grqq\, ПАО \glqq Газпром нефть\grqq ,\, фонда Дмитрия Зимина \glqq Династия\grqq\, и стипендии имени В.~А.~Рохлина.




\newpage

\tableofcontents 



\section*{Введение}
\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
\setcounter{section}{0}
\setcounter{equation}{0}
\def\sectionname{\S}
 
Работа относится к теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО). Теории усреднения посвящена обширная литература. Укажем в первую очередь книги \cite{BeLP,BaPa,OISh,ZhKO}.

\subsection{Постановка задачи} 
Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Мы изучаем самосопряженный матричный сильно эллиптический ДО второго порядка $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, действующий в пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ при условии Дирихле на границе. Пусть $\Gamma$ --- решетка в $\mathbb{R}^d$, $\Omega$ --- ячейка решетки $\Gamma$. Для $\Gamma$-периодических функций в $\mathbb{R}^d$ используем обозначения $\psi ^\varepsilon (\mathbf{x}):=\psi (\mathbf{x}/\varepsilon)$, $\overline{\psi}:=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \psi (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$.

Старшая часть оператора $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$ задается в факторизованной форме
\begin{equation*}
A_{D,\varepsilon}=b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D}),
\end{equation*}
где $b(\mathbf{D})$ --- матричный однородный ДО первого порядка, $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая матрица-функция в $\mathbb{R}^d$, ограниченная и положительно определенная. (Точные условия на $b(\mathbf{D})$ и $g(\mathbf{x})$ приведены ниже в п.~\ref{Subsection Operator A_eps}.) Задача усреднения для оператора $A_{D,\varepsilon}$ изучалась в работах \cite{PSu,Su13,Su15}. Сейчас мы рассматриваем более общий класс самосопряженных ДО $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$, включающих младшие члены:
\begin{equation}
\label{B_D,eps in introduction}
\mathcal{B}_{D,\varepsilon}=b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon b(\mathbf{D})
+\sum_{j=1}^d\bigl(a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j+D_ja_j^\varepsilon(\mathbf{x})^*\bigr)
+Q^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation}
Здесь $a_j(\mathbf{x})$, $j=1,\dots,d$, и $Q(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические матрицы-функции, вообще говоря, неограниченные. (Точные условия на коэффициенты см. ниже в п.~\ref{Subsection lower order terms}. Строгое определение оператора $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$ дается через соответствующую квадратичную форму на классе Соболева $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$.

Коэффициенты оператора \eqref{B_D,eps in introduction} быстро осциллируют при малом $\varepsilon$. Типичная задача теории усреднения применительно к оператору $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$ состоит в нахождении аппроксимации при $\varepsilon\rightarrow 0$ для резольвенты $(\mathcal{B}_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$ либо обобщенной резольвенты $(\mathcal{B}_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}$. Здесь $Q_0(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая матрица-функция, положительно определенная, ограниченная и ограниченно обратимая.
\subsection{Обзор результатов по операторным оценкам погрешности} 
В серии работ [BSu1--3] М.~Ш.~Бирман и Т.~А.~Суслина разработали теоретико-операторный (спектральный) подход к задачам теории усреднения. Изучались операторы 
\begin{equation}
\label{A_eps = in introduction}
A_\varepsilon =b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D}),
\end{equation}
действующие в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. В \cite{BSu} было показано, что при $\varepsilon\rightarrow 0$ резольвента $(A_\varepsilon +I)^{-1}$ сходится по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ к резольвенте эффективного оператора $A^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$. Здесь $g^0$ --- постоянная положительная эффективная матрица. Была установлена оценка
\begin{equation}
\label{A_e res ots in introduction}
\Vert (A_\varepsilon +I)^{-1}-(A^0 +I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon.
\end{equation}
В \cite{BSu06} была получена аппроксимация резольвенты $(A_\varepsilon +I)^{-1}$ по норме операторов, действующих из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$:
\begin{equation}
\label{appr res A_eps with corrector inintroduction}
\Vert (A_\varepsilon +I)^{-1}-(A^0+I)^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon.
\end{equation}
В этой аппроксимации учтен корректор $K(\varepsilon)$. Оператор $K(\varepsilon )$ содержит быстро осциллирующие множители, а потому зависит от $\varepsilon$. При этом $\Vert \varepsilon K(\varepsilon )\Vert _{L_2\rightarrow H^1}=O(1)$.

Оценки \eqref{A_e res ots in introduction}, \eqref{appr res A_eps with corrector inintroduction} точны по порядку. Постоянные в оценках контролируются явно в терминах данных задачи. Подобные результаты получили название \textit{операторных оценок погрешности} в теории усреднения. Метод работ [BSu1--3] основан на применении масштабного преобразования, теории Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений.

Впоследствии спектральный метод был распространен Т.~А.~Суслиной \cite{SuAA,SuAA14} на случай оператора
\begin{equation}
\label{B_eps in introduction}
\mathcal{B}_\varepsilon =A_\varepsilon +\sum _{j=1}^d \left( a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j +D_j (a_j^\varepsilon (\mathbf{x}))^*\right) +Q^\varepsilon(\mathbf{x}),
\end{equation}
действующего в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. В \cite{SuAA} установлены аналоги оценок \eqref{A_e res ots in introduction}, \eqref{appr res A_eps with corrector inintroduction}:
\begin{align}
\label{B__eps appr res in introduction}
\Vert &(\mathcal{B}_\varepsilon +\lambda Q_0^\varepsilon )^{-1}-(\mathcal{B}^0+\lambda \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon,\\
\label{B__eps appr res with corrector in introduction}
\Vert &(\mathcal{B}_\varepsilon +\lambda Q_0^\varepsilon )^{-1}-(\mathcal{B}^0+\lambda \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon \mathcal{K}(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon.
\end{align}
Здесь вещественная постоянная $\lambda$ выбрана так, чтобы оператор\break $\mathcal{B}_\varepsilon+\lambda Q_0^\varepsilon$ был положительно определен; $\mathcal{B}^0$ --- соответствующий эффективный оператор с постоянными коэффициентами. 

Другой подход к получению операторных оценок погрешности в теории усреднения был предложен В.~В.~Жиковым. В работах \cite{Zh1,Zh2,ZhPas} были получены оценки вида \eqref{A_e res ots in introduction}, \eqref{appr res A_eps with corrector inintroduction} для операторов акустики и теории упругости. Метод, названный авторами \glqq модифицированным методом первого приближения\grqq\, или \glqq методом сдвига\grqq , основан на анализе первого приближения к решению и введении в задачу дополнительного параметра. Помимо задач в $\mathbb{R}^d$ в работах \cite{Zh1,Zh2,ZhPas} изучались задачи усреднения в ограниченной области $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ при условии Дирихле либо Неймана на границе. Дальнейшие результаты В.~В.~Жикова, С.~Е.~Пастуховой и их учеников отражены в недавнем обзоре \cite{ZhPasUMN}.

Операторные оценки погрешности для задач Дирихле и Неймана для эллиптического уравнения второго порядка (без младших членов) в ограниченной области изучались многими авторами. Первыми, по-видимому, были Ш.~Москоу и М.~Вогелиус, установившие оценку (см. \cite[следствие 2.2]{MoV}), допускающую запись в операторных терминах:
\begin{equation}
\label{A_D,eps L2 ots in introduction}
\Vert (A_{D,\varepsilon})^{-1}-(A_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C\varepsilon .
\end{equation}
Здесь оператор $A_{D,\varepsilon}$ в $L_2(\mathcal{O})$, $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^2$, задан выражением $-\div g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$ при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$, а матрица-функция $g(\mathbf{x})$ предполагается $C^\infty$-гладкой. В случае условия Неймана аналогичная оценка, а также аппроксимация при учете корректора по норме операторов, действующих из $L_2(\mathcal{O})$ в класс Соболева $H^1(\mathcal{O})$, с оценкой погрешности порядка $O(\sqrt{\varepsilon})$ получена в \cite[следствие 1]{MoV2}. Ухудшение порядка по сравнению с аналогичным результатом в $\mathbb{R}^d$ объясняется влиянием границы области. В случае произвольной размерности задачи в ограниченной области изучались в работах \cite{Zh1,Zh2} и \cite{ZhPas}. Гладкость коэффициентов не предполагалась. Для операторов акустики и упругости при условии Дирихле либо Неймана на границе была получена $(L_2\rightarrow H^1)$-аппроксимация при учете корректора с оценкой погрешности порядка $O(\sqrt{\varepsilon})$. В качестве грубого следствия была установлена оценка вида \eqref{A_D,eps L2 ots in introduction} с оценкой погрешности порядка $O(\sqrt{\varepsilon})$. (В случае задачи Дирихле для оператора акустики $(L_2\rightarrow L_2)$-оценка была улучшена в \cite{ZhPas}, но ее порядок все равно не был точным.) Близкие результаты для оператора, заданного выражением $-\div g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$ в ограниченной области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ при условии Дирихле либо Неймана на $\partial\mathcal{O}$, были установлены в работах Ж.~Гризо \cite{Gr1,Gr2} с помощью \glqq unfolding\grqq -метода. В \cite{Gr2} для того же оператора впервые была получена точная по порядку оценка \eqref{A_D,eps L2 ots in introduction}. 
Для эллиптических систем сходные результаты независимо получены в \cite{KeLiS} и \cite{PSu,Su13}. Дальнейшие продвижения и подробный обзор можно найти в работах \cite{Su_SIAM,Su15}.

В присутствии младших членов первого и нулевого порядков задача усреднения для оператора \eqref{B_eps in introduction} в $\mathbb{R}^d$ изучалась в статье Д.~И.~Борисова \cite{Bo}. Было найдено выражение для эффективного оператора $\mathcal{B}^0$ и получены оценки погрешности вида \eqref{B__eps appr res in introduction}, \eqref{B__eps appr res with corrector in introduction}. При этом предполагалось, что коэффициенты оператора зависят не только от быстрой, но и от медленной переменной. Однако в \cite{Bo} коэффициенты оператора $\mathcal{B}_\varepsilon$ предполагались достаточно гладкими.

Для матричного оператора вида \eqref{B_D,eps in introduction}, действующего в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ при условии Дирихле и включающего младшие члены, задача усреднения изучалась К.~Ху \cite{Xu}. Случаю краевого условия Неймана посвящена работа \cite{Xu2}. Однако в \cite{Xu,Xu2} на оператор наложено весьма жесткое условие равномерной эллиптичности. Кроме этого, в \cite{Xu} коэффициенты оператора подчинены некоторым условиям регулярности, что неудобно для приложений.

До сих пор речь шла об аппроксимации резольвент в фиксированной регулярной точке. Аппроксимация резольвенты $(A_\varepsilon -\zeta I)^{-1}$ оператора \eqref{A_eps = in introduction} в зависимости от $\varepsilon$ и спектрального параметра $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ найдена в недавней работе \cite{Su15}. В этой работе также получены двухпараметрические (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценки погрешности при усреднении резольвент операторов $A_{D,\varepsilon}$ и $A_{N,\varepsilon}$ вида \eqref{A_eps = in introduction}, действующих в ограниченной области при условии Дирихле либо Неймана на границе.

Для оператора \eqref{B_eps in introduction} двухпараметрические оценки получены в \cite{MSu15}:
\begin{align}
\label{B_eps with zeta in introduction}
&\Vert (\mathcal{B}_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(\mathcal{B}^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C(\phi)\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2},\\
\label{B_eps with zeta and corrector in introduction}
&\Vert (\mathcal{B}_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(\mathcal{B}^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon;\zeta)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C(\phi)\varepsilon .
\end{align}
Здесь $\phi =\mathrm{arg}\,\zeta\in (0,2\pi)$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$. Зависимость констант в оценках от угла $\phi$ прослежена. Оценки \eqref{B_eps with zeta in introduction}, \eqref{B_eps with zeta and corrector in introduction} равномерны по углу $\phi$ в любой области вида
\begin{equation}
\label{sector in introduction}
\lbrace\zeta=\vert\zeta\vert e^{i\phi}\in\mathbb{C}: \vert\zeta\vert\geqslant 1, \phi _0\leqslant \phi\leqslant 2\pi-\phi _0\rbrace
\end{equation}
при сколь угодно малом $\phi _0 >0$.

Стимулом к получению двухпараметрических оценок послужило изучение усреднения параболических систем, основанное на представлении операторной экспоненты в виде
\begin{equation*}
e^{-A_{D,\varepsilon}t}=-\frac{1}{2\pi i}\int _\gamma e^{-\zeta t}(A_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\,d\zeta,
\end{equation*}
где $\gamma\subset\mathbb{C}$ --- контур, обходящий спектр оператора $A_{D,\varepsilon}$ в положительном направлении. Подробнее см. \cite{MSu16}.
\subsection{Основные результаты} Прежде чем формулировать результаты, удобно перейти к положительно определенному оператору $B_{D,\varepsilon}=\mathcal{B}_{D,\varepsilon}+\lambda Q_0^\varepsilon $, выбирая подходящую постоянную $\lambda$. Пусть $B_D^0$ --- соответствующий эффективный оператор. \textit{Цель работы} --- получение аппроксимаций обобщенной резольвенты $(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ в зависимости от $\varepsilon$ и спектрального параметра $\zeta$.

Основные результаты работы --- оценки
\begin{align}
\label{main result 1}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C(\phi)\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/2},
\\
\label{main result 2}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant C(\phi)\bigl(\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+\varepsilon\bigr),
\end{split}
\end{align}
справедливые при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$, и достаточно малом $\varepsilon$. Величины $C(\phi)$ контролируются явно в терминах данных задачи и угла $\phi$. Оценки \eqref{main result 1}, \eqref{main result 2} равномерны по $\phi$ в любой области вида \eqref{sector in introduction} при сколь угодно малом $\phi _0 >0$.

При фиксированном $\zeta$ оценка \eqref{main result 1} имеет точный порядок $O(\varepsilon)$. Порядок оценки \eqref{main result 2} хуже, чем в $\mathbb{R}^d$ (см. \eqref{B__eps appr res with corrector in introduction}), из-за влияния границы области. Порядок $(L_2\rightarrow H^1)$-оценки можно улучшить до точного $O(\varepsilon )$, переходя к строго внутренней подобласти или вводя поправку типа пограничного слоя. (См. теоремы \ref{Theorem with Diriclet corrector} и \ref{Theorem O'} ниже.)

Корректор в \eqref{main result 2} в общем случае содержит сглаживающий оператор. Мы выделяем случаи, когда можно использовать более простой корректор.

Помимо оценок для обобщенной резольвенты мы находим также аппроксимации по $(L_2\rightarrow L_2)$-норме для операторов $g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$, отвечающих потокам.

Для полноты изложения мы находим аппроксимации оператора $(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$, справедливые в более широкой области изменения спектрального параметра $\zeta$, с оценками погрешности, имеющими другое поведение относительно $\zeta$. (Подробнее см. \S\ref{Section Another approximation} ниже.)
\subsection{Метод доказательства} Для доказательства используется метод из работ \cite{PSu,Su13,Su15}. Он основан на рассмотрении ассоциированной задачи в $\mathbb{R}^d$, использовании результатов работы \cite{MSu15} об усреднении во всем пространстве, введении поправки типа пограничного слоя и ее тщательном анализе. Существенную техническую роль играет использование сглаживания по Стеклову (заимствованное из работы \cite{ZhPas}) и оценок в $\varepsilon$-окрестности границы. Зависимость оценок от спектрального параметра тщательно отслеживается. Присутствие младших членов с неограниченными коэффициентами вносит дополнительные технические трудности (по сравнению с \cite{Su15}). Сначала мы доказываем оценку \eqref{main result 2}, а затем оценку \eqref{main result 1}, опираясь на уже доказанное неравенство \eqref{main result 2} и соображения двойственности.

Аппроксимации в более широкой области изменения параметра $\zeta$ выводятся из уже доказанных оценок в точке $\zeta =-1$ и подходящих резольвентных тождеств.
\subsection{Структура работы} Работа состоит из десяти параграфов. В \S\ref{Section problem in R^d} вводится класс операторов $B_\varepsilon$, действующих в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, и формулируются результаты усреднения обобщенной резольвенты $(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$, полученные в \cite{MSu15}. В \S\ref{Chapter 2 Dirichlet} описывается класс операторов $B_{D,\varepsilon}$, определяется эффективный оператор $B_D^0$ и формулируются основные результаты работы. В \S\ref{Section Lemmas} содержится вспомогательный материал. В \S\ref{Section Proof Dirischlet corrector} приведено доказательство $(L_2\rightarrow H^1)$-оценки с поправкой типа пограничного слоя. В \S\ref{Section proof of L_2->H^1 theorem} установлена аппроксимация \eqref{main result 2} при учете корректора и аппроксимация потоков. В \S\ref{Section proof of L_2 rightarrow L_2 theorem} для обобщенной резольвенты получена $(L_2\rightarrow L_2)$-оценка \eqref{main result 1}. В \S\ref{Chapter Special cases} выделены случаи, когда сглаживающий оператор можно устранить. В \S\ref{Chapter Interior subdomain} найдена аппроксимация в строго внутренней подобласти. Оценки, справедливые в более широкой области изменения спектрального параметра, установлены в \S\ref{Section Another approximation}. Примеры применения общих результатов можно найти в \S\ref{Section Examples}. Там рассмотрен скалярный эллиптический оператор вида
\begin{equation*}
\mathcal{B}_{D,\varepsilon}=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))^*g^\varepsilon (\mathbf{x})(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))
+\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon (\mathbf{x})+\mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x}),
\end{equation*}
который можно трактовать как периодический оператор Шрёдингера с быстро осциллирующими метрикой $g^\varepsilon$, магнитным потенциалом $\mathbf{A}^\varepsilon$ и электрическим потенциалом $\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon (\mathbf{x})+\mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x})$, содержащим сингулярное первое слагаемое. Также рассмотрен периодический оператор Шрёдингера, содержащий сильно сингулярный потенциал $\varepsilon ^{-2}\check{v}^\varepsilon (\mathbf{x})$.


\subsection{Обозначения} Пусть $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ --- комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Символы $(\cdot ,\cdot)_\mathfrak{H}$ и $\Vert \cdot\Vert _\mathfrak{H}$ означают скалярное произведение и норму в $\mathfrak{H}$; символ $\Vert \cdot\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*}$ означает норму линейного непрерывного оператора из $\mathfrak{H}$ в $\mathfrak{H}_*$.

Символы $\langle \cdot ,\cdot\rangle$ и $\vert \cdot\vert$ означают соответственно скалярное произведение и норму в $\mathbb{C}^n$, $\mathbf{1}_n$ -- единичная $(n\times n)$-матрица. Если $a$ --- $(n\times n)$-матрица, то символ $\vert a\vert$ означает норму матрицы $a$ как оператора в $\mathbb{C}^n$. 
Для $z\in\mathbb{C}$ через $z^*$ обозначается комплексно сопряженное число. (Мы используем такое нестандартное обозначение, так как верхняя черта означает среднее значение периодической функции по ячейке периодов.) 
Используем обозначения $\mathbf{x}=(x_1,\dots , x_d)\in\mathbb{R}^d$, $iD_j=\partial _j =\partial /\partial x_j$, $j=1,\dots,d$, $\mathbf{D}=-i\nabla=(D_1,\dots ,D_d)$. Классы $L_p$ вектор-функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ со значениями в $\mathbb{C}^n$ обозначаем через $L_p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$. Классы Соболева $\mathbb{C}^n$-значных функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ обозначаются через $H^s(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Через $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ обозначается замыкание класса $C_0^\infty (\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в пространстве $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. При $n=1$ пишем просто $L_p(\mathcal{O})$, $H^s(\mathcal{O})$ и т. д., но, если это не ведет к недоразумениям, мы применяем такие упрощенные обозначения и для пространств вектор-функций или матричнозначных функций.

Используем обозначение $\mathbb{R}_+=[0,\infty)$.

\section{Задача усреднения для эллиптического оператора, действующего в~$L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$}
\label{Section problem in R^d}

В этом параграфе формулируются результаты усреднения для эллиптических систем в $\mathbb{R}^d$, полученные в \cite{MSu15}.

\subsection{Решетки в $\mathbb{R}^d$} Пусть $\Gamma \subset \mathbb{R}^d$ --- решетка, порожденная базисом $\mathbf{a}_1,\dots ,\mathbf{a}_d \in \mathbb{R}^d$:
$$\Gamma =\left\lbrace
\mathbf{a}\in \mathbb{R}^d : \mathbf{a}=\sum _{j=1}^d \nu _j \mathbf{a}_j, \nu _j\in \mathbb{Z}
\right\rbrace ,$$
и пусть $\Omega$ --- элементарная ячейка решетки $\Gamma$:
$$\Omega =
\left \lbrace
\mathbf{x}\in \mathbb{R}^d :\mathbf{x}=\sum _{j=1}^d \tau _j \mathbf{a}_j , -\frac{1}{2}<\tau _j<\frac{1}{2}
\right\rbrace .$$
Через $\vert \Omega \vert $ обозначим меру Лебега ячейки $\Omega$: $\vert \Omega \vert =\mathrm{mes}\,\Omega$.

Базис $\mathbf{b}_1,\dots ,\mathbf{b}_d$ в $\mathbb{R}^d$, двойственный к $\mathbf{a}_1,\dots ,\mathbf{a}_d$, определяется из соотношений $\langle \mathbf{b}_i ,\mathbf{a}_j \rangle =2\pi \delta _{ij}$. Двойственной к $\Gamma $ называется решетка $\widetilde{\Gamma}$, порожденная двойственным базисом. В качестве фундаментальной области двойственной решетки $\widetilde{\Gamma}$ возьмем первую зону Бриллюена: $\widetilde{\Omega}=\lbrace \mathbf{k}\in \mathbb{R}^d : \vert \mathbf{k}\vert < \vert \mathbf{k}-\mathbf{b}\vert , 0\neq \mathbf{b}\in \widetilde{\Gamma} \rbrace$.

Пусть $r_0$ --- радиус шара, вписанного в $\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}$, и пусть $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$.

Через $\widetilde{H}^1(\Omega)$ обозначается подпространство тех функций из $H^1(\Omega)$, $\Gamma$-периодическое продолжение которых на $\mathbb{R}^d$ принадлежит $H^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. Если $f (\mathbf{x})$~---~$\Gamma$-периодическая матрица-функция в $\mathbb{R}^d$, положим $f ^\varepsilon (\mathbf{x}):=f (\mathbf{x}/\varepsilon)$, $\varepsilon >0$; $\overline{f}:=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega f(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$, $\underline{f}:=\left(\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega f(\mathbf{x})^{-1}\,d\mathbf{x}\right)^{-1}$. Здесь при определении $\overline{f}$ предполагается, что $f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$, а при определении $\underline{f}$ считается, что матрица $f$ квадратная и неособая, причем $f^{-1}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. Через $[f^\varepsilon ]$ обозначается оператор умножения на матрицу-функцию $f^\varepsilon (\mathbf{x})$.

\subsection{Сглаживание по Стеклову} Рассмотрим оператор сглаживания по Стеклову $S_\varepsilon^{(k)}$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ (где $k\in\mathbb{N}$) по правилу
\begin{equation}
\label{S_eps}
\begin{split}
(S_\varepsilon^{(k)} \mathbf{u})(\mathbf{x})=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _\Omega \mathbf{u}(\mathbf{x}-\varepsilon \mathbf{z})\,d\mathbf{z},\quad \mathbf{u}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)
.
\end{split}
\end{equation}
Зависимость $S_\varepsilon ^{(k)}$ от $k$ мы будем опускать в обозначениях, и писать просто $S_\varepsilon$. 
Очевидно, $S_\varepsilon \mathbf{D}^\alpha \mathbf{u}=\mathbf{D}^\alpha S_\varepsilon \mathbf{u}$ при $\mathbf{u}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ 
для любого мультииндекса $\alpha$ такого, что $\vert \alpha\vert \leqslant s$. 
Отметим неравенство
\begin{equation}
\label{S_eps <= 1}
\Vert S_\varepsilon \Vert _{H^l(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^l(\mathbb{R}^d)}\leqslant 1,\quad l\in \mathbb{Z}_+.
\end{equation}
Нам потребуются следующие свойства оператора $S_\varepsilon$
(см. \cite[леммы 1.1 и 1.2]{ZhPas} или \cite[предложения 3.1 и 3.2]{PSu}).

\begin{proposition}
\label{Proposition S__eps - I}
Для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ 
выполнена оценка
\begin{equation*}
\Vert S_\varepsilon \mathbf{u}-\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \varepsilon r_1\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)},
\end{equation*}
где $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$.
\end{proposition}

\begin{proposition}
\label{Proposition f^eps S_eps}
Пусть $f$ --- $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что $f\in L_2(\Omega)$. %Через $[f^\varepsilon]$ обозначим оператор умножения на матрицу-функцию $f^\varepsilon (\mathbf{x})$. 
Тогда оператор $[f^\varepsilon ]S_\varepsilon $ непрерывен в $L_2(\mathbb{R}^d)$ и справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert [f^\varepsilon]S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{-1/2}\Vert f\Vert _{L_2(\Omega)}.
\end{equation*}
\end{proposition}



\subsection{Класс операторов $A_\varepsilon$} 
\label{Subsection Operator A_eps} 
В $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор $A_\varepsilon$, формально заданный дифференциальным выражением $A_\varepsilon =b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$. Здесь $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая эрмитова $(m\times m)$-матрица-функция (вообще говоря, с комплексными элементами). Считаем, что $g(\mathbf{x})>0$ и что $g,g^{-1}\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$. Дифференциальный оператор $b(\mathbf{D})$ имеет вид $b(\mathbf{D})=\sum _{j=1}^d b_jD_j$, где $b_j$, $j=1,\dots ,d$, --- постоянные матрицы размера $m\times n$ (вообще говоря, с комплексными элементами). Считаем, что $m\geqslant n$ и что символ $b(\boldsymbol{\xi})=\sum _{j=1}^d b_j\xi_j$ оператора $b(\mathbf{D})$ имеет максимальный ранг:
$$\mathrm{rank}\,b(\boldsymbol{\xi})=n,\quad 0\neq \boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d.$$
Это условие равносильно существованию таких постоянных $\alpha _0$ и $\alpha _1$, что
\begin{equation}
\label{<b^*b<}
\alpha _0\mathbf{1}_n \leqslant b(\boldsymbol{\theta})^*b(\boldsymbol{\theta}) 
\leqslant \alpha _1\mathbf{1}_n,\quad 
\boldsymbol{\theta}\in \mathbb{S}^{d-1},\quad 
0<\alpha _0\leqslant \alpha _1<\infty.
\end{equation}
Отметим сразу оценки, вытекающие из \eqref{<b^*b<}:
\begin{equation}
\label{b_l <=}
\vert b_j\vert \leqslant \alpha _1^{1/2},\quad j=1,\dots ,d.
\end{equation}

Точное определение оператора $A_\varepsilon$ дается через квадратичную форму
\begin{equation*}
\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int _{\mathbb{R}^d}\langle g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u}\rangle \,d\mathbf{x},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation*}
При сделанных предположениях эта форма замкнута и неотрицательна. С помощью преобразования Фурье и условия \eqref{<b^*b<} можно показать, что
\begin{equation}
\label{<a_eps<}
\begin{split}
\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant \alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\
 \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Положим $c_1:=\alpha _0 ^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}$. Тогда нижнюю оценку \eqref{<a_eps<} можно записать так:
\begin{equation}
\label{Du <= c_1^2a}
\Vert\mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant c_1^2 \mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}],\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation} 

\subsection{Оператор $B_\varepsilon$} 
\label{Subsection lower order terms}
Мы изучаем самосопряженный оператор $B_\varepsilon$, старшая часть которого совпадает с $A_\varepsilon$.  
Чтобы определить младшие члены оператора, введем $\Gamma$-периодические $(n\times n)$-матрицы-функции (вообще говоря, с комплексными элементами) $a_j$, $j=1,\dots ,d$, такие, что
\begin{align}
\label{a_j cond}
a_j \in L_\rho (\Omega ), \quad\rho =2 \;\mbox{при}\;d=1,\quad\rho >d\;\mbox{при}\;d\geqslant 2,\; j=1,\dots ,d.
\end{align}
Далее, пусть $Q$ и $Q_0$ --- такие $\Gamma$-периодические эрмитовы $(n\times n)$-матрицы-функции (с комплексными элементами), что
\begin{align}
\label{Q condition}
&Q\in L_s(\Omega ),\quad s=1 \;\mbox{при}\;d=1,\quad s >d/2\;\mbox{при}\;d\geqslant 2;\\
& Q_0(\mathbf{x})>0;\quad Q_0,Q_0^{-1}\in L_\infty (\mathbb{R}^d).\nonumber
\end{align}
(При нашем выборе условий на матрицу-функцию $Q$ реализуется пример 2.4 из \cite{MSu15}.) 
Для удобства дальнейших ссылок назовем ,,исходными данными'' следующие величины
\begin{equation}
\label{problem data}
\begin{split}
&d,\,m,\,n,\,\rho ,\,s ;\,\alpha _0,\, \alpha _1 ,\,\Vert g\Vert _{L_\infty},\, \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},\, \Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)},\, j=1,\dots ,d;\\
&\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)};\, \Vert Q_0\Vert _{L_\infty},\,\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty};\;\text{параметры решетки }\Gamma .
\end{split}
\end{equation}

Рассмотрим квадратичную форму
\begin{equation}
\label{b_eps =}
\begin{split}
\mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]&=\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]+2\mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d(a_j^\varepsilon D_j \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\\
&+(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}+\lambda (Q_0^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad
 \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Здесь постоянная $\lambda$ выбирается так (см. \eqref{lambda =} ниже), чтобы форма $\mathfrak{b}_\varepsilon$ была неотрицательна. Проверим замкнутость формы $\mathfrak{b}_\varepsilon$. Применяя неравенство Гёльдера и теорему вложения Соболева, можно показать (см.  \cite[(5.11)--(5.14)]{SuAA}), что для любого $\nu>0$ найдутся такие постоянные $C_j(\nu)>0$, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert a_j^*\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_j(\nu )\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)},\\ \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\;j=1,\dots ,d.
\end{split}
\end{equation*}
Делая замену переменной $\mathbf{y}:=\varepsilon ^{-1}\mathbf{x}$ и обозначая $\mathbf{u}(\mathbf{x})=:\mathbf{v}(\mathbf{y})$, отсюда получаем
\begin{equation*}
%\label{a_j^eps u<=}
\begin{split}
\Vert &  (a_j^\varepsilon )^*\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}=\int _{\mathbb{R}^d}\vert a_j(\varepsilon ^{-1}\mathbf{x})^*\mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
=\varepsilon ^d\int _{\mathbb{R}^d}\vert a_j(\mathbf{y})^*\mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y}\\
&\leqslant \varepsilon ^d\nu \int _{\mathbb{R}^d}\vert \mathbf{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y}
+\varepsilon ^d C_j(\nu)\int _{\mathbb{R}^d}\vert \mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y}\\
&\leqslant \nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_j(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation*}
Тогда с учетом \eqref{<a_eps<} для любого $\nu >0$ найдется такая постоянная \break $C(\nu)>0$, что
\begin{equation}
\label{sum a-j u}
\begin{split}
\sum _{j=1}^d \Vert (a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \nu
\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]
+C(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\\0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation}
Если $\nu$ фиксировано, то $C(\nu)$ зависит лишь от $d$, $\rho$, $\alpha _0$,  от норм $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots ,d$, и от параметров решетки $\Gamma$.

С учетом \eqref{Du <= c_1^2a} из \eqref{sum a-j u} вытекает, что
\begin{equation}
\label{2Re sum j <=}
\begin{split}
2\left\vert \mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d (D_j\mathbf{u},(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\right\vert 
\leqslant\frac{1}{4}\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]+c_2\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\
\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1,
\end{split}
\end{equation}
где $c_2=8c_1^2C(\nu _0)$ при $\nu _0=2^{-6}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}$.

Далее, в силу условия \eqref{Q condition} на $Q$ для любого $\nu >0$ найдется постоянная $C_Q(\nu)>0$ такая, что
\begin{equation}
\label{(Qu,u)<=}
\begin{split}
\vert (Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\vert \leqslant\nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_Q(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\
\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1 .
\end{split}
\end{equation}
При фиксированном $\nu$ величина $C_Q(\nu)$ контролируется через $d$, $s$, $\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}$ и параметры решетки $\Gamma$.

Как в \cite[п. 2.8]{MSu15}, фиксируем
постоянную $\lambda$ в \eqref{b_eps =} следующим образом:
\begin{equation}
\label{lambda =}
\lambda = (C_Q(\nu _*)+c_2)\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}\quad\text{при}\;\nu _* =2^{-1}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}.
\end{equation}

Теперь из \eqref{2Re sum j <=}, \eqref{(Qu,u)<=} при $\nu=\nu_*$ и \eqref{lambda =} с учетом \eqref{Du <= c_1^2a} получаем оценку снизу для формы \eqref{b_eps =}:
\begin{align}
\label{b_eps >=}
\mathfrak{b}_\varepsilon[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant \frac{1}{4}\mathfrak{a}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n);\\
\label{c_*=}
c_*=\frac{1}{4}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}.
\end{align}
В силу \eqref{<a_eps<}, \eqref{2Re sum j <=} и \eqref{(Qu,u)<=} при $\nu=1$ выполнено
\begin{equation}
\label{b_eps <=}
\begin{split}
&\mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant C_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+c_3\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad 
\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\\
&C_*=\frac{5}{4}\alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}+1,\quad c_3=C_Q(1)+\lambda\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}+c_2.
\end{split}
\end{equation}


Таким образом, форма $\mathfrak{b}_\varepsilon$ замкнута и неотрицательна. Отвечающий ей самосопряженный в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ оператор обозначим через $B_\varepsilon$. Формально можно написать
\begin{equation}
\label{B_eps}
B_\varepsilon = b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})+\sum _{j=1}^d \left(
a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j +D_j a_j^\varepsilon (\mathbf{x})^*
\right)
+Q^\varepsilon (\mathbf{x}) +\lambda Q_0^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation}
 Отметим, что 
из 
\eqref{b_eps <=} следует неравенство
\begin{equation}
\label{b_eps<= H1-norm}
\mathfrak{b}_\varepsilon [\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant c_4\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{H^1(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n);\quad c_4:=\max 
\lbrace C_*;c_3\rbrace .
\end{equation}

\subsection{Эффективная матрица}  Эффективный оператор для $A_\varepsilon =b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$ задается дифференциальным выражением $A^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$. Здесь $g^0$ --- постоянная эффективная матрица размера $m\times m$. Матрица $g^0$ выражается через решение вспомогательной задачи на ячейке. Пусть $\Gamma$-периодическая $(n\times m)$-матрица-функция $\Lambda (\mathbf{x})$ --- (слабое) решение задачи
\begin{equation}
\label{Lambda problem}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m)=0,\quad \int _{\Omega }\Lambda (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
Тогда эффективная матрица задана выражением
\begin{equation}
\label{g^0}
g^0=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega} \widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},
\end{equation}
где
\begin{equation}
\label{tilde g}
\widetilde{g}(\mathbf{x})=g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m).
\end{equation}
Можно показать, что $g^0$ положительно определена.

На основании \eqref{Lambda problem} несложно установить, что
\begin{equation}
\label{b(D)Lambda<=}
\Vert b(\mathbf{D})\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}
\leqslant \vert \Omega\vert ^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}.
\end{equation}
Нам также потребуются оценки для решения задачи \eqref{Lambda problem}, полученные в \cite[(6.28) и п. 7.3]{BSu05}:
\begin{align}
\label{Lambda <=}
&\Vert \Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{1/2}M_1,\quad M_1=m^{1/2}(2r_0)^{-1}\alpha _0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty},\\
\label{DLambda<=}
&\Vert \mathbf{D}\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{1/2}M_2,\quad M_2=m^{1/2}\alpha _0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{align}

Отметим оценки для эффективной матрицы, известные в теории усреднения как вилка Фойгта--Рейсса 
(см., например, \cite[гл. 3, теорема 1.5]{BSu}).

\begin{proposition}
Пусть $g^0$ --- эффективная матрица \eqref{g^0}. Тогда
\begin{equation}
\label{Foigt-Reiss}
\underline{g}\leqslant g^0\leqslant \overline{g}.
\end{equation}
В случае $m=n$ справедливо тождество $g^0=\underline{g}$.
\end{proposition}

Из \eqref{Foigt-Reiss} вытекают неравенства
\begin{equation}
\label{|g^0|<=}
\vert g^0\vert \leqslant \Vert g\Vert _{L_\infty},\quad \vert (g^0)^{-1}\vert \leqslant \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{equation}

Выделим случаи, когда в \eqref{Foigt-Reiss} реализуется верхняя или нижняя грань, см. \cite[гл. 3, предложения 1.6 и 1.7]{BSu}. 

\begin{proposition}
Равенство $g^0=\overline{g}$ равносильно соотношениям
\begin{equation}
\label{overline-g}
b(\D)^* {\mathbf g}_k(\x) =0,\ \ k=1,\dots,m,
\end{equation}
где ${\mathbf g}_k(\x)$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\x)$.
\end{proposition}

\begin{proposition} Равенство $g^0 =\underline{g}$ равносильно представлениям
\begin{equation}
\label{underline-g}
{\mathbf l}_k(\x) = {\mathbf l}_k^0 + b(\D) {\mathbf w}_k,\ \ {\mathbf l}_k^0\in \C^m,\ \
{\mathbf w}_k \in \widetilde{H}^1(\Omega;\C^m),\ \ k=1,\dots,m,
\end{equation}
где ${\mathbf l}_k(\x)$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\x)^{-1}$.
\end{proposition}


\subsection{Эффективный оператор} 
\label{Subsection Effective operator}
Чтобы описать усреднение младших членов оператора $B_\varepsilon$, рассмотрим 
 $\Gamma$-периодическую $(n\times n)$-матрицу-функцию $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$, являющуюся решением задачи
\begin{equation}
\label{tildeLambda_problem}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})+\sum \limits _{j=1}^dD_ja_j(\mathbf{x})^*=0,\quad \int _{\Omega }\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
(Уравнение понимается в слабом смысле.) 
Отметим сразу оценки, установленные в \cite[(7.49)--(7.52)]{SuAA}:
\begin{align}
\label{b(D) tilde Lambda <=}
&\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}
\leqslant C_a n^{1/2}\alpha_0 ^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},\\
\label{tilde Lambda<=}
&\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant (2r_0)^{-1}C_an^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},
\\
\label{D tilde Lambda}
&\Vert \mathbf{D}\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant C_a n^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},
\end{align}
где $C_a^2=\sum _{j=1}^d \int _\Omega \vert a_j(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}$. 

Определим постоянные матрицы $V$ и $W$ равенствами
\begin{align}
\label{V}
&V=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega}(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x}))^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x},\\
\label{W}
&W=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega} (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x}.
\end{align}
Тогда эффективный оператор для оператора \eqref{B_eps} задан выражением
\begin{equation}
\label{B^0}
B^0 =b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})-b(\mathbf{D})^*V-V^*b(\mathbf{D})
+\sum \limits _{j=1}^d (\overline{a_j+a_j^*})D_j-W+\overline{Q}+\lambda \overline{Q_0}.
\end{equation}
Оператор $B^0$ --- эллиптический оператор второго порядка с постоянными коэффициентами с символом
\begin{equation}
\label{L(xi)}
L(\boldsymbol{\xi})=b(\boldsymbol{\xi})^*g^0 b(\boldsymbol{\xi})-b(\boldsymbol{\xi})^*V-V^*b(\boldsymbol{\xi})+\sum\limits _{j=1}^d (\overline{a_j+a_j^*})\xi _j+\overline{Q}-W+\lambda \overline{Q_0}.
\end{equation}

\begin{lemma}
Символ \eqref{L(xi)} оператора \eqref{B^0} подчинен оценкам
\begin{equation}
\label{L(xi)<=}
c_*\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 \mathbf{1}_n\leqslant
L(\boldsymbol{\xi})\leqslant C_L(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2+1)\mathbf{1}_n ,\quad\boldsymbol{\xi}\in \mathbb{R}^d.
\end{equation}
Здесь $c_*$ --- постоянная \eqref{c_*=}. 
Постоянная $C_L$ определена ниже в \eqref{C_L} и зависит только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{lemma}

\begin{proof} Нижняя оценка \eqref{L(xi)<=} установлена в \cite[(2.30)]{MSu15}. Проверим верхнюю оценку. 
В силу \eqref{<b^*b<},  \eqref{|g^0|<=} и \eqref{L(xi)} 
\begin{equation}
\label{lemma L(xi) proof 1}
\begin{split}
L(\boldsymbol{\xi})&\leqslant \alpha _1 \Vert g\Vert _{L_\infty}\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 \mathbf{1}_n
+2\vert V\vert \alpha _1^{1/2}\vert \boldsymbol{\xi}\vert \mathbf{1}_n
+2\Bigl(\sum _{j=1}^d \vert \overline{a_j}\vert ^2\Bigr)^{1/2}\vert \boldsymbol{\xi}\vert \mathbf{1}_n
\\
&+\left(\vert \overline{Q}\vert +\lambda \vert \overline{Q_0}\vert \right)\mathbf{1}_n.
\end{split}
\end{equation}
Мы учли, что матрица \eqref{W} очевидно неотрицательна. Согласно \eqref{b(D)Lambda<=}, \eqref{b(D) tilde Lambda <=} и \eqref{V} выполнено
\begin{align}
\label{lemma L(xi) proof 2}
&\vert V\vert \leqslant 
\vert\Omega\vert ^{-1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert b(\mathbf{D})\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant C_V
,\\
&C_V=\vert \Omega \vert ^{-1/2}\alpha _0^{-1/2} C_a n^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}^{3/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{3/2}_{L_\infty}.
\nonumber
%\label{tilde M2 =}
%&\widetilde{M}_2:=\vert \Omega\vert ^{-1/2}C_an^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{align}
Ясно, что
\begin{equation}
\label{lemma L(xi) proof 3}
\sum _{j=1}^d\vert \overline{a_j}\vert ^2\leqslant \vert \Omega \vert ^{-1}C_a^2,\quad \vert \overline{Q}\vert \leqslant\vert \Omega \vert ^{-1/s}\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)},\quad \vert \overline{Q_0}\vert \leqslant \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}.
\end{equation}
Теперь из \eqref{lemma L(xi) proof 1}--\eqref{lemma L(xi) proof 3} вытекает оценка \eqref{L(xi)<=} с постоянной
\begin{equation}
\label{C_L}
\begin{split}
C_L=\max \lbrace \alpha _1 \Vert g\Vert _{L_\infty};\vert \Omega \vert ^{-1/s}\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}+\lambda \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\rbrace 
+\alpha _1^{1/2}C_V+\vert \Omega \vert ^{-1/2}C_a.
\end{split}
\end{equation}
\end{proof}

\begin{corollary}
Квадратичная форма $\mathfrak{b}^0$ оператора \eqref{B^0} удовлетворяет оценкам
\begin{equation}
\label{b0 estimates from corollary}
c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{b}^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant C_L\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^1(\mathbb{R}^d)},\quad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation}
\end{corollary}

\subsection{Результаты усреднения обобщенной резольвенты} В настоящем пункте мы приводим аппроксимации обобщенной резольвенты $(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$, установленные в \cite[теоремы 5.1 и 5.2]{MSu15}.

\begin{theorem}[\cite{MSu15}] 
\label{Th L2 Rd}
Пусть выполнены условия п. \textnormal{\ref{Subsection Operator A_eps}--\ref{Subsection Effective operator}}. 
Пусть $\zeta \in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\zeta =\vert \zeta \vert e^{i\phi}$, $\phi \in (0,2\pi)$, причем $\vert \zeta \vert \geqslant 1$. 
Положим
\begin{equation}
\label{c(phi)}
c(\phi)=\begin{cases}
\vert \sin \phi \vert ^{-1}, &\phi\in (0,\pi /2)\cup (3\pi /2 ,2\pi),\\
1, &\phi\in [\pi /2,3\pi /2].
\end{cases}
\end{equation}
Тогда при $0<\varepsilon \leqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation*}
%\label{Th L2 principal part}
\Vert(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_1\varepsilon c(\phi)^2\vert \zeta \vert ^{-1/2}.
\end{equation*}
Постоянная $C_1$ контролируется через исходные данные \eqref{problem data}.
\end{theorem}

Чтобы сформулировать результат об аппроксимации обобщенной резольвенты $(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ по норме операторов, действующих из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в класс Соболева $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, введем корректор
\begin{equation}
\label{K(eps;zeta)}
K(\varepsilon ;\zeta)=\left([\Lambda ^\varepsilon] b(\mathbf{D})+[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon] \right)S _\varepsilon (B^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}.
\end{equation} 
Корректор \eqref{K(eps;zeta)} ограничен как оператор, действующий из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Это нетрудно установить с помощью предложения \ref{Proposition f^eps S_eps} и включений $\Lambda ,\widetilde{\Lambda}\in \widetilde{H}^1(\Omega)$. Отметим, что $\Vert \varepsilon K(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}=O(1)$ при малом $\varepsilon$ и фиксированном $\zeta$.

\begin{theorem}[\cite{MSu15}]
\label{Theorem H1 Rd}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Th L2 Rd}}. Пусть $K(\varepsilon ;\zeta)$ --- оператор \eqref{K(eps;zeta)}. Тогда при $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $\vert \zeta \vert \geqslant 1$  
справедливы оценки
\begin{align*}
%\label{theorem H1 Rd 1}
\begin{split}
\Vert (B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
\leqslant C_2 c(\phi )^2\varepsilon \vert \zeta \vert ^{-1/2},
\end{split}
\\
%\label{theorem H1 Rd 2}
\begin{split}
\Vert \mathbf{D}\left(
(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon ;\zeta )
\right)
\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
\leqslant C_3 c(\phi )^2\varepsilon .
\end{split}
\end{align*}
Постоянные $C_2$ и $C_3$ контролируются явно через исходные данные \eqref{problem data}.
\end{theorem}

Нам также потребуются оценки, справедливые в более широкой области изменения параметра $\zeta$. Следующий результат представляет собой частный случай теоремы 9.1 из \cite{MSu15}.

\begin{theorem}[\cite{MSu15}]
\label{Theorem Dr appr Rd}
Пусть выполнены условия п. \textnormal{\ref{Subsection Operator A_eps}--\ref{Subsection Effective operator}}. Пусть $K(\varepsilon;\zeta)$ --- оператор \eqref{K(eps;zeta)}.  При $\zeta\in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$ положим $\zeta  =\vert \zeta \vert e^{i\phi}$, $\phi\in (0,2\pi)$, и обозначим 
\begin{equation*}
{\varrho}(\zeta)=\begin{cases}
c(\phi)^2\vert \zeta  \vert ^{-2}, &\vert \zeta  \vert <1,\\
c(\phi)^2, &\vert \zeta  \vert \geqslant 1.
\end{cases}
\end{equation*}
Тогда при $\zeta \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ и $0<\varepsilon\leqslant 1$ верны оценки
\begin{align}
\label{Dr appr in Rd}
\Vert & (B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \widehat{C}_1{\varrho} (\zeta)\varepsilon 
,
\\
\Vert &(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \widehat{C}_2 {\varrho} (\zeta )\varepsilon ,\nonumber
\\
\label{Th Dr appr R^d 3}
\begin{split}
\Vert&\mathbf{D} \bigl( (B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon ;\zeta)\bigr)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant 
\bigl(\widehat{C}_3'+\vert \zeta +1\vert^{1/2}\widehat{C}_3''\bigr){\varrho} (\zeta)\varepsilon
.
\end{split}
\end{align}
Постоянные $\widehat{C}_1$, $\widehat{C}_2$, $\widehat{C}_3'$ и $\widehat{C}_3''$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}

\begin{remark}
\label{Remark R^d Dr appr Q_0=const}
Если в условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem Dr appr Rd}} матрица-функция $Q_0$ постоянна, то оценка~\eqref{Th Dr appr R^d 3} справедлива при $\widehat{C}_3''=0$. Т. е. член, содержащий $\vert \zeta +1\vert ^{1/2}$, в оценке \eqref{Th Dr appr R^d 3} отсутствует.
\end{remark}

\begin{remark}
\textnormal{1) }В \textnormal{\cite{MSu15}} установлены также аппроксимации операторов $g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$, отвечающих \glqq потокам\grqq , по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d)$. 
\textnormal{2) }Разумеется, при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant1$, теоремы \textnormal{\ref{Th L2 Rd}, \ref{Theorem H1 Rd}} и \textnormal{\ref{Theorem Dr appr Rd}} применимы одновременно. При $\phi$, отделенном от точек $0$ и $2\pi$, и большом $\vert\zeta\vert$ выгоднее применять теоремы \textnormal{\ref{Th L2 Rd}} и \textnormal{\ref{Theorem H1 Rd}}. А при ограниченных значениях $\vert\zeta\vert$, а также при малом $\phi$ или $2\pi-\phi$ оценки из теоремы~\textnormal{\ref{Theorem Dr appr Rd}} могут быть предпочтительнее. 
\end{remark}


\section{Постановка задачи. Основные результаты} 
\label{Chapter 2 Dirichlet}

\subsection{Постановка задачи} Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор $B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, формально заданный дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{B_D,eps = formally}
b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})+\sum _{j=1}^d \left(
a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j +D_j a_j^\varepsilon (\mathbf{x})^*
\right)
+Q^\varepsilon (\mathbf{x})+\lambda Q_0^\varepsilon (\mathbf{x})
\end{equation}
при условии Дирихле на границе. Точное определение оператора $B_{D,\varepsilon}$ дается через квадратичную форму
\begin{equation}
\label{b_D,eps}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon }[\mathbf{u},\mathbf{u}]&=(g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+2\mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d ( D_j \mathbf{u},(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\\
&+(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+\lambda (Q_0^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Продолжим $\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ нулем на $\mathbb{R}^d\setminus \mathcal{O}$. Тогда $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, и на основании  \eqref{b_eps >=} и \eqref{b_eps<= H1-norm} выполнены оценки
\begin{equation}
\label{b_D,eps ots}
c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant c_4\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1 _0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
С помощью неравенства Фридрихса отсюда получаем
\begin{equation}
\label{b D,eps >= H1-norm}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2}\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
Таким образом, форма $\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}$ замкнута и положительно определена. Отвечающий ей самосопряженный в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ оператор мы обозначаем через $B_{D,\varepsilon}$. 
Отметим оценку, вытекающую из \eqref{b_D,eps ots} и \eqref{b D,eps >= H1-norm}:
\begin{equation}
\label{H^1-norm <= BDeps^1/2}
\begin{split}
\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant c_5\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),\\
c_5=c_*^{-1/2}\left(1+(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{2}\right)^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}

Также нам потребуется вспомогательный оператор $\widetilde{B}_{D,\varepsilon}$. Факторизуем
\begin{equation}
\label{Q_0=}
Q_0(\mathbf{x})^{-1}=f(\mathbf{x})f(\mathbf{x})^*.
\end{equation}
Пусть $\widetilde{B}_{D,\varepsilon}$ --- самосопряженный оператор в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, порожденный квадратичной формой
\begin{equation}
\label{tilde b D,eps=}
\widetilde{\mathfrak{b}}_{D,\varepsilon }[\mathbf{u},\mathbf{u}]:=\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[f^\varepsilon \mathbf{u},f^\varepsilon \mathbf{u}]
\end{equation}
на области определения
\begin{equation*}
\mathrm{Dom}\,\widetilde{\mathfrak{b}}_{D,\varepsilon}=\lbrace \mathbf{u}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n) : f^\varepsilon \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\rbrace .
\end{equation*}
Формально, $\widetilde{B}_{D,\varepsilon}=(f^\varepsilon )^*B_{D,\varepsilon}f^\varepsilon $.  Отметим равенство
\begin{align}
\label{B deps and tilde B D,eps tozd resolvent}
(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}=f^\varepsilon (\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}(f^\varepsilon)^* .
\end{align}

{\it Наша цель} --- найти аппроксимацию обобщенной резольвенты \break$(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ с двухпараметрическими (по $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности. Считаем, что $\zeta \in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$. Иначе говоря, нас интересует поведение при малом $\varepsilon$ обобщенного решения $\mathbf{u}_\varepsilon \in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ 
задачи
\begin{equation}
\label{Dirichlet problem}
\begin{split}
&b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}) +\sum _{j=1}^d \left(
a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}) +D_j (a_j^\varepsilon (\mathbf{x})^*\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}))
\right)\\
&+Q^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}) +\lambda Q_0^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}) -\zeta Q_0^\varepsilon (\mathbf{x}) \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x}) =\mathbf{F}(\mathbf{x}),\;\mathbf{x}\in \mathcal{O},\quad \mathbf{u}_\varepsilon \vert _{\partial \mathcal{O}}=0,
\end{split}
\end{equation}
где $\mathbf{F}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Имеем 
\begin{equation}
\label{2.8a}
\mathbf{u}_\varepsilon =(B_{D,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\mathbf{F}.
\end{equation}

\begin{lemma}
\label{Lemma estimates u_D,eps}
Пусть $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- обобщенное решение задачи \eqref{Dirichlet problem}. Тогда при 
$0<\varepsilon \leqslant 1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{lemma u_eps 1}
&\Vert \mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\\
\label{lemma u_eps 2}
&\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_1 c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{align}
В операторных терминах,
\begin{align*}
&\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} \Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty},\\
&\Vert \mathbf{D}(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1} \Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_1 c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1/2}.
\end{align*}
Здесь $c(\phi)$ --- величина \eqref{c(phi)}. Постоянная $\mathcal{C}_1$ определена равенством
\begin{equation}
\label{mathcal C_1=}
 \mathcal{C}_1=
2\alpha _0 ^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}
\Vert Q_0^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\left(1+\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}\right)^{1/2}.
\end{equation}
\end{lemma}

\begin{proof}
В силу \eqref{Q_0=}, \eqref{B deps and tilde B D,eps tozd resolvent} и неравенства $\widetilde{B}_{D,\varepsilon}\geqslant 0$ выполнено
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant \Vert f\Vert^2_{L_\infty}\Vert (\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \mathrm{dist}\,\lbrace \zeta ;\mathbb{R}_+\rbrace \Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
=c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation*}
что доказывает \eqref{lemma u_eps 1}.

Чтобы проверить \eqref{lemma u_eps 2}, выпишем интегральное тождество для $\mathbf{u}_\varepsilon$:
\begin{equation*}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}=(\mathbf{F},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})},\quad \boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation*}
Подставим $\boldsymbol{\eta}= \mathbf{u}_\varepsilon $ и воспользуемся нижней оценкой \eqref{b_D,eps ots} и уже доказанным результатом \eqref{lemma u_eps 1}. Получим
\begin{equation*}
\begin{split}
c_*&\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}_\varepsilon \Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \left( c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}+c(\phi)^2\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert Q_0^{-1}\Vert ^2_{L_\infty}\right)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}^2.
\end{split}
\end{equation*}
С учетом \eqref{c_*=} отсюда вытекает неравенство \eqref{lemma u_eps 2} с постоянной \eqref{mathcal C_1=}.
\end{proof}

\subsection{Форма $\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}$} Кроме формы \eqref{b_D,eps} нам потребуется квадратичная форма $\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}$, заданная тем же дифференциальным выражением, но на классе $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$:
\begin{equation}
\label{b mathfrak eps =}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]&=(g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+2\mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d ( D_j \mathbf{u},(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\\
&+(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+\lambda (Q_0^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Эта форма отвечает задаче Неймана. Соответствующий ей самосопряженный оператор в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ обозначим через $B_{N,\varepsilon}$.

Оценим форму $\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}$ сверху, учитывая \eqref{b_l <=}:
\begin{equation}
\label{b mathfrak eps <= start}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]
&\leqslant 
d\alpha_1\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
+\sum _{j=1}^d \int _\mathcal{O}\vert a_j^\varepsilon (\mathbf{x})\vert ^2\vert \mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
+\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}\\
&+\int _{\mathcal{O}}\vert Q^\varepsilon (\mathbf{x})\vert \vert \mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
+\lambda\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Воспользуемся неравенством Гёльдера:
\begin{equation}
\label{int o aj Holder}
\int _\mathcal{O}\vert a_j^\varepsilon (\mathbf{x})\vert ^2\vert \mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant
\left(\int _\mathcal{O}\vert a_j^\varepsilon(\mathbf{x})\vert ^\rho\,d\mathbf{x}\right)^{2/\rho}
\Vert \mathbf{u}\Vert _{L_q(\mathcal{O})}^2.
%\left(\int _\mathcal{O}\vert \mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^{2\rho/(\rho -2 )}\,d\mathbf{x}\right) ^{(\rho -2)/\rho} .
\end{equation}
Здесь $\rho$ --- показатель из условия \eqref{a_j cond}, $q=\infty$ при $d=1$, $q=2\rho/(\rho -2 )$ при $d\geqslant 2$. Покроем область $\mathcal{O}$ объединением ячеек решетки $\varepsilon\Gamma$, \break $0<\varepsilon\leqslant 1$, имеющих непустое пересечение с $\mathcal{O}$. Через $N_\varepsilon$ обозначим количество ячеек в этом покрытии. Ясно, что это объединение ячеек содержится в области $\widetilde{\mathcal{O}}$, представляющей собой $2r_1$-окрестность области $\mathcal{O}$, где $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$. Поэтому количество ячеек $N_\varepsilon$ можно оценить сверху: $N_\varepsilon\leqslant \mathfrak{c}_1\varepsilon ^{-d}$, где величина $\mathfrak{c}_1$ зависит только от области $\mathcal{O}$ и от параметров решетки $\Gamma$. Имеем 
\begin{equation}
\label{int O aj <= c1}
\int _\mathcal{O}\vert a_j^\varepsilon (\mathbf{x})\vert ^\rho \,d\mathbf{x}\leqslant \mathfrak{c}_1\varepsilon ^{-d}\int _{\varepsilon\Omega}\vert a_j^\varepsilon (\mathbf{x})\vert ^\rho \,d\mathbf{x}
=\mathfrak{c}_1\Vert a_j\Vert ^\rho _{L_\rho (\Omega)}.
\end{equation}
Теперь из \eqref{int o aj Holder} и \eqref{int O aj <= c1} получаем
\begin{equation}
\label{int O a_j <= ... p=}
\int _\mathcal{O}\vert a_j^\varepsilon (\mathbf{x})\vert ^2\vert \mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant \mathfrak{c}_1 ^{2/\rho}\Vert a_j\Vert ^2 _{L_\rho (\Omega)}\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{L_q(\mathcal{O})},\quad q:=2\rho /(\rho -2).
\end{equation}
В силу непрерывности вложения $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\hookrightarrow L_q(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$  выполнено
\begin{equation}
\label{2.17 new}
\Vert \mathbf{u}\Vert _{L_q(\mathcal{O})}
\leqslant C(q,\mathcal{O})\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathcal{O})},
\end{equation}
где $C(q,\mathcal{O})$ --- норма соответствующего оператора вложения. Из \eqref{int O a_j <= ... p=} и \eqref{2.17 new} следует, что
\begin{equation}
\label{2.18 new}
\sum _{j=1}^d \int _\mathcal{O}\vert a_j^\varepsilon (\mathbf{x})\vert ^2\vert \mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant \mathfrak{c}_1^{2/\rho}C(q,\mathcal{O})^2\widehat{C}_a^2\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{H^1(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
Здесь
\begin{equation*}
\widehat{C}_a^2:=\sum _{j=1}^d\Vert a_j\Vert ^2 _{L_\rho (\Omega)}.
\end{equation*}

Аналогично \eqref{int o aj Holder}--\eqref{2.18 new} с учетом \eqref{Q condition} получаем
\begin{equation}
\label{2.19 new}
\int _\mathcal{O}\vert Q^\varepsilon (\mathbf{x})\vert \vert \mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant \mathfrak{c}_1^{1/s}\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}C(\check{q},\mathcal{O})^2\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{H^1(\mathcal{O})},\quad\check{q}:=2s/(s-1).
\end{equation}

Из \eqref{b mathfrak eps <= start}, \eqref{2.18 new} и \eqref{2.19 new} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{b mathfrak eps <= c2}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]
\leqslant \mathfrak{c}_2\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{H^1(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{split}
\end{equation}
где $\mathfrak{c}_2:=1+d\alpha _1 \Vert g\Vert _{L_\infty}
+\mathfrak{c}_1^{2/\rho}C(q,\mathcal{O})^2\widehat{C}_a^2
+\mathfrak{c}_1^{1/s}\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}C(\check{q},\mathcal{O})^2
+\lambda\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}$.

\subsection{Усредненная задача} В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим квадратичную форму
\begin{equation}
\label{b_D^0}
\begin{split}
\mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]&=(g^0b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}
+2\mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d (\overline{a_j}D_j\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\\
&-2\mathrm{Re}\,(V\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}
-(W\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}
+(\overline{Q}\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\\
&+\lambda (\overline{Q_0}\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})},
\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
С помощью \eqref{b0 estimates from corollary}, продолжения функции $\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ нулем на $\mathbb{R}^d\setminus\mathcal{O}$ и неравенства Фридрихса несложно убедиться, что форма \eqref{b_D^0} удовлетворяет оценкам
\begin{align}
\label{b_D^0 ots }
&c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant C_L\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\\
\label{b_D^0 ots 2}
&\mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2}\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{align}
Отвечающий форме $\mathfrak{b}_D^0$ самосопряженный в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ оператор обозначим через $B_D^0$. Из \eqref{b_D^0 ots } и \eqref{b_D^0 ots 2} вытекает, что
\begin{equation}
\label{H^1-norm <= BD0^1/2}
\begin{split}
&\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant c_5\Vert (B_D^0)^{1/2}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Здесь постоянная $c_5$ --- та же, что и в \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}.

В силу условия $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$  оператор $B_D^0$ задается дифференциальным выражением 
\begin{equation*}
b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})-b(\mathbf{D})^*V-V^*b(\mathbf{D})
+\sum _{j=1}^d(\overline{a_j+a_j^*})D_j-W+\overline{Q}+\lambda\overline{Q_0}
\end{equation*}
на области определения $H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\cap H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. При этом
\begin{equation}
\label{BD0 ^-1 L2->H2}
\Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}\leqslant \widehat{c}.
\end{equation}
Здесь постоянная $\widehat{c}$ зависит лишь от исходных данных \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$. Для оправдания этого факта сошлемся на теоремы о повышении гладкости для сильно эллиптических систем (см. \cite[глава 4]{McL}).

\begin{remark}
Вместо условия $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$ можно было бы наложить неявное требование: ограниченная область $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ с липшицевой границей такова, что справедлива оценка \eqref{BD0 ^-1 L2->H2}. Для такой области результаты работы остаются в силе. В случае скалярных эллиптических операторов широкие достаточные условия на $\partial \mathcal{O}$, обеспечивающие справедливость оценки \eqref{BD0 ^-1 L2->H2}, можно найти в \textnormal{\cite{KoE}} и \textnormal{\cite[гл. 7]{MaSh} (}в частности, достаточно, чтобы $\partial\mathcal{O}\in C^\alpha$, $\alpha >3/2${\rm)}.
\end{remark}


Факторизуем 
$\overline{Q_0}=f_0^{-2}$. Отметим, что 
\begin{equation}
\label{f_0<=}
\vert f_0\vert \leqslant \Vert f\Vert _{L_\infty}=\Vert Q_0^{-1}\Vert^{1/2}_{L_\infty},\quad \vert f_0^{-1}\vert \leqslant \Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}=\Vert Q_0\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{equation} 
 В ходе дальнейшего изложения нам потребуется оператор 
 $\widetilde{B}_D^0=f_0B_D^0 f_0$. Отметим равенство
 \begin{equation}
 \label{B_D0 and tilde B_D0 resolvents}
 (B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}=f_0(\widetilde{B}_D^0-\zeta I)^{-1}f_0.
 \end{equation}
 
 ,,Усредненная задача'' для задачи \eqref{Dirichlet problem} имеет вид
 \begin{equation}
 \label{Dirichlet homogenized problem}
 \begin{split}
 &b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0-b(\mathbf{D})^*V \mathbf{u}_0-V^*b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0+\sum _{j=1}^d (\overline{a_j +a_j^*})D_j\mathbf{u}_0\\
 &-W\mathbf{u}_0+\overline{Q}\mathbf{u}_0+\lambda \overline{Q_0}\mathbf{u}_0-\zeta\overline{Q_0}\mathbf{u}_0 =\mathbf{F},\;\mathbf{x}\in \mathcal{O},\quad \mathbf{u}_0\vert _{\partial \mathcal{O}}=0.
 \end{split}
 \end{equation}
 Тогда $\mathbf{u}_0=(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\mathbf{F}$.
 
 \begin{lemma}
 \label{Lemma hom problem estimates}
 Для решения $\mathbf{u}_0$ задачи \eqref{Dirichlet homogenized problem} при $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$ справедливы оценки
 \begin{align}
 % \label{lemma hom probl solutions L2}
 &\Vert \mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert Q_0 ^{-1}\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\nonumber 
 \\
 &\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_1c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
 \nonumber
 \\
  %\label{lemma hom probl solutions H2}
 &\Vert \mathbf{u}_0\Vert _{H^2(\mathcal{O})}\leqslant\mathcal{C}_2c(\phi)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
 \nonumber
 \end{align}
 Здесь постоянная $\mathcal{C}_1$ --- та же, что в лемме \textnormal{\ref{Lemma estimates u_D,eps}}, $\mathcal{C}_2=\widehat{c}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}$. В операторных терминах,
 \begin{align}
  \label{lemma hom probl 1}
 &\Vert (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty},\\
 \label{lemma hom probl 2}
 &\Vert \mathbf{D}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_1 c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1/2},\\
   \label{lemma hom probl 3}
 &\Vert (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_2 c(\phi).
 \end{align}
 \end{lemma}
 
 \begin{proof}
 Оценки  \eqref{lemma hom probl 1},  \eqref{lemma hom probl 2} устанавливаются аналогично оценкам из леммы \ref{Lemma estimates u_D,eps}. Проверим  \eqref{lemma hom probl 3}. Очевидно,
 \begin{equation}
 \label{d-vo lm 2.2 1}
 \begin{split}
 \Vert & (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}\\
 &\leqslant \Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}\Vert B_D^0(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
 \end{split}
 \end{equation}
В силу \eqref{B_D0 and tilde B_D0 resolvents} имеем $B_D^0(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}=B_D^0f_0(\widetilde{B}_D^0-\zeta I)^{-1}f_0=f_0^{-1}\widetilde{B}_D^0 (\widetilde{B}_{D}^0-\zeta I)^{-1}f_0$. Тогда 
 \begin{equation}
 \label{d-vo lm 2.2 2}
 \begin{split}
 \Vert B_D^0(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}&\leqslant \vert f_0^{-1}\vert \vert f_0\vert \sup\limits _{x\geqslant 0}\frac{x}{\vert x-\zeta\vert}\\
 &\leqslant \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}c(\phi).
 \end{split}
 \end{equation}
Мы учли \eqref{f_0<=}. Теперь из \eqref{BD0 ^-1 L2->H2}, \eqref{d-vo lm 2.2 1} и \eqref{d-vo lm 2.2 2} вытекает оценка \eqref{lemma hom probl 3}.
 \end{proof}
 

 
 

\subsection{Формулировка результатов} 

Выберем числа $\varepsilon _0$, $\varepsilon _1\in (0,1]$ согласно следующему условию.

\begin{condition}
\label{condition varepsilon} 
Пусть число $\varepsilon _0\in (0,1]$ таково, что полоску $(\partial\mathcal{O})_{\varepsilon} =\left\lbrace \mathbf{x}\in \mathbb{R}^d : \mathrm{dist}\,\lbrace \mathbf{x};\partial\mathcal{O}\rbrace <\varepsilon \right\rbrace $ можно покрыть конечным набором окрестностей, допускающих диффеоморфизмы класса $C^{0,1}$, распрямляющие границу $\partial\mathcal{O}$. Обозначим $\varepsilon _1=\varepsilon _0 (1+r_1)^{-1}$, где $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$.
\end{condition}

Ясно, что $\varepsilon _1$  зависит только от области $\mathcal{O}$ и от параметров решетки $\Gamma$. Отметим, что для справедливости условия \ref{condition varepsilon} достаточно, чтобы $\partial\mathcal{O}$ была липшицевой. Мы наложили более ограничительное условие $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$, чтобы гарантировать справедливость оценки \eqref{BD0 ^-1 L2->H2}.

Сформулируем основные результаты работы.

\begin{theorem}
\label{Theorem Dirichlet L2}
Пусть $\mathcal{O}\subset
\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{Dirichlet problem} при $\mathbf{F}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и $\zeta =\vert \zeta \vert e^{i\phi}\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta \vert \geqslant 1$. Пусть $\mathbf{u}_0$ --- решение ,,усредненной'' задачи \eqref{Dirichlet homogenized problem}. Пусть число $\varepsilon _1$ выбрано из условия \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_4 c(\phi)^5 \varepsilon \vert \zeta \vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Здесь $c(\phi)$ --- величина \eqref{c(phi)}{\rm ;} постоянная $C_4$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$. В операторных терминах,
\begin{equation}
\label{Th L2}
\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_4 c(\phi)^5 \varepsilon \vert \zeta \vert ^{-1/2}.
\end{equation}
\end{theorem}

Чтобы аппроксимировать решение в классе Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, введем корректор. Для этого фиксируем линейный непрерывный оператор продолжения 
\begin{equation}
\label{P_O H^1, H^2}
\begin{split}
P_\mathcal{O}: H^l(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\rightarrow H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad l \in \mathbb{Z}_+.
\end{split}
\end{equation}
Такой ,,универсальный'' оператор продолжения существует для любой ограниченной области с липшицевой границей (см. \cite{St} или \cite{R}).
При этом 
\begin{equation}
\label{PO}
\| P_{\mathcal O} \|_{H^l({\mathcal O}) \to H^l({\mathbb R}^d)} \leqslant C_{\mathcal O}^{(l)},
\end{equation}
где постоянная $C_{\mathcal O}^{(l)}$ зависит лишь от $l$ и от области ${\mathcal O}$.
Через $R_\mathcal{O}$ обозначим оператор сужения функций в $\mathbb{R}^d$ на область $\mathcal{O}$. 
Положим 
\begin{equation}
\label{K_D(eps,zeta)}
K_D(\varepsilon ;\zeta )=R_{\mathcal{O}}[\Lambda ^\varepsilon ]S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_{\mathcal{O}}(B^0_D-\zeta \overline{Q_0})^{-1}
+R_{\mathcal{O}}[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]S_\varepsilon P_{\mathcal{O}}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}.
\end{equation}
Непрерывность оператора $K_D(\varepsilon ;\zeta ) : L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\rightarrow H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ проверяется аналогично непрерывности оператора \eqref{K(eps;zeta)}.

Положим $\widetilde{\mathbf{u}}_0=P_\mathcal{O}\mathbf{u}_0$.  Через $\mathbf{v}_\varepsilon$ обозначим первое приближение к решению $\mathbf{u}_\varepsilon$ задачи \eqref{Dirichlet problem}: 
\begin{align}
\label{v_eps}
&\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon : =\widetilde{\mathbf{u}}_0+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0,\\
\label{v_eps=} 
&\mathbf{v}_\varepsilon :=\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon \vert _{\mathcal{O}}.
\end{align} 
Т. е. $\mathbf{v}_\varepsilon = (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\mathbf{F}+\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\mathbf{F}$, где  $K_D(\varepsilon ;\zeta)$ --- оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}.

\begin{theorem}
\label{Theorem Dirichlet H1}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dirichlet L2}}. Пусть матрицы-функции $\Lambda (\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические решения задач \eqref{Lambda problem} и \eqref{tildeLambda_problem} соответственно, $S_\varepsilon $ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}, и пусть $P_\mathcal{O}$ --- оператор продолжения \eqref{P_O H^1, H^2}. Положим $\widetilde{\mathbf{u}}_0=P_\mathcal{O}\mathbf{u}_0$. Пусть функция $\mathbf{v}_\varepsilon$ определена в \eqref{v_eps}, \eqref{v_eps=}. 
 Тогда при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert\geqslant 1$, и $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ выполнена оценка
\begin{equation}
\label{Th L2->H1 solutions}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant  \bigl( C_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta \vert ^{-1/4}+C_6 c(\phi)^4\varepsilon\bigr)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation} 
 В операторных терминах,
\begin{align}
\label{Th L2->H1}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant C_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta \vert ^{-1/4}+C_6 c(\phi)^4\varepsilon ,
\end{split}
\end{align}
где $K_D(\varepsilon;\zeta)$ --- оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}. 
Пусть матрица-функция $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ определена в \eqref{tilde g}. 
Для потока $\mathbf{p}_\varepsilon:=g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_\varepsilon$ при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert\geqslant 1$, $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$  справедлива аппроксимация
\begin{equation}
\label{Th fluxes}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon-\widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0-g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \bigl(\widetilde{C}_5c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta \vert ^{-1/4}+\widetilde{C}_6c(\phi)^4\varepsilon \bigr)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
В операторных терминах,
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-G(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant\widetilde{C}_5c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta \vert ^{-1/4}+\widetilde{C}_6c(\phi)^4\varepsilon .
\end{split}
\end{equation*}
Здесь
\begin{equation*}
G(\varepsilon ;\zeta) := \widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}+g^\varepsilon\bigl( b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}.
\end{equation*}
Постоянные $C_5$, $C_6$, $\widetilde{C}_5$ и $\widetilde{C}_6$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$.
\end{theorem}

Первое приближение $\mathbf{v}_\varepsilon$ к решению $\mathbf{u}_\varepsilon$ не удовлетворяет условию Дирихле на $\partial\mathcal{O}$: $\mathbf{v}_\varepsilon \vert _{\partial \mathcal{O}}=\varepsilon \bigl( \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0 +\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\bigr)\vert _{\partial \mathcal{O}}$. Рассмотрим ,,поправку'' $\mathbf{w}_\varepsilon$ --- решение задачи
\begin{equation}
\label{w_eps problem}
B_\varepsilon \mathbf{w}_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon \mathbf{w}_\varepsilon =0\;\mbox{в}\,\mathcal{O},\quad 
\mathbf{w}_\varepsilon \vert _{\partial \mathcal{O}}=\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\bigr)\vert _{\partial \mathcal{O}}.
\end{equation}
Уравнение понимается в слабом смысле --- как интегральное тождество для функции $\mathbf{w}_\varepsilon\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$:
\begin{equation}
\label{w_eps int tozd}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{w}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon \mathbf{w}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}=0,\quad \boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
Поправку $\mathbf{w}_\varepsilon$ часто называют ,,корректором типа пограничного слоя''. Допуская некоторую вольность, наряду с $\mathbf{w}_\varepsilon$ будем пользоваться обозначением $\mathbf{w}_\varepsilon(\cdot ;\zeta)$ для решения задачи \eqref{w_eps problem}. Введем оператор, переводящий $\mathbf{F}$ в $\mathbf{w}_\varepsilon$:
\begin{equation}
\label{2.46A}
\varepsilon W_D(\varepsilon ;\zeta) : L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\ni\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{w}_\varepsilon (\cdot ;\zeta)\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
Найдем более явное выражение для оператора $W_D(\varepsilon ;\zeta)$. Ясно, что функция
\begin{equation}
\label{**.2}
\mathbf{r}_\varepsilon (\mathbf{x};\zeta):=\mathbf{w}_\varepsilon (\mathbf{x};\zeta)-\varepsilon \bigl(K_D(\varepsilon ;\zeta)\mathbf{F}\bigr)(\mathbf{x})
\end{equation}
лежит в $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и удовлетворяет тождеству
\begin{equation}
\label{**.3}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{r}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]-\zeta(Q_0^\varepsilon\mathbf{r}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}
=\varepsilon \mathcal{I}(\varepsilon ;\zeta)[\mathbf{F},\boldsymbol{\eta}],\quad\boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation}
где
\begin{equation}
\label{**.4}
\mathcal{I}(\varepsilon;\zeta)[\mathbf{F},\boldsymbol{\eta}]:=-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[K_D(\varepsilon ;\zeta)\mathbf{F},\boldsymbol{\eta}]
+\zeta (Q_0^\varepsilon K_D(\varepsilon;\zeta)\mathbf{F},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
При фиксированном $\mathbf{F}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ равенство \eqref{**.4} задает антилинейный непрерывный функционал над $\boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Этот функционал можно отождествить с элементом из  $H^{-1}(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Этот элемент зависит от $\mathbf{F}$ линейно, обозначим его $T(\varepsilon;\zeta)\mathbf{F}$. Таким образом, равенство 
\begin{equation}
\label{**.5}
\mathcal{I}(\varepsilon;\zeta)[\mathbf{F},\boldsymbol{\eta}]=(T(\varepsilon ;\zeta)\mathbf{F},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})},\quad\boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{equation}
(справа подразумевается распространение скалярного произведения в $L_2$ 
на пары из $H^{-1}\times H^1_0$) корректно определяет линейный непрерывный оператор $T(\varepsilon;\zeta) : L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\rightarrow H^{-1}(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$.

Теперь согласно \eqref{**.3} и \eqref{**.5} можно записать
\begin{equation}
\label{**.6}
\mathbf{r}_\varepsilon =\varepsilon (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}T(\varepsilon ;\zeta)\mathbf{F},
\end{equation}
где обобщенная резольвента распространена до непрерывного оператора, действующего из $H^{-1}(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$.

В силу \eqref{**.2} и \eqref{**.6} выполнено
\begin{equation*}
\mathbf{w}_\varepsilon (\cdot;\zeta)=\varepsilon \bigl( K_D(\varepsilon ;\zeta)+(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}T(\varepsilon;\zeta)\bigr)\mathbf{F},
\end{equation*}
а тогда (см. \eqref{2.46A})
\begin{equation}
\label{W_D(eps;zeta)}
W_D(\varepsilon;\zeta)=K_D(\varepsilon;\zeta)+(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}T(\varepsilon ;\zeta).
\end{equation}

Следующая теорема показывает, что при учете поправки $\mathbf{w}_\varepsilon$ погрешность приближения решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ имеет точный порядок $O(\varepsilon)$.

\begin{theorem}
\label{Theorem with Diriclet corrector}
Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem Dirichlet H1}}. Пусть $\mathbf{w}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{w_eps problem}. Пусть $W_D(\varepsilon;\zeta)$ --- оператор \eqref{W_D(eps;zeta)}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta \vert \geqslant 1$, справедлива оценка
\begin{equation}
\label{u_eps - V_eps +W-eps in H1}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon +\mathbf{w}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant C_7 c(\phi)^4\varepsilon \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
В операторных терминах,
\begin{equation}
\label{u_eps - V_eps +W-eps in H1 in operator terms}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta)+\varepsilon W_D(\varepsilon;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1 (\mathcal{O})}\\
&\leqslant C_7 c(\phi)^4\varepsilon .
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_7$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$.
\end{theorem}

\section{Вспомогательные утверждения}
\label{Section Lemmas}

\subsection{Оценки в окрестности границы}

В настоящем пункте приводятся вспомогательные утверждения, связанные с оценками интегралов по узкой окрестности $\partial \mathcal{O}$.


\begin{lemma}
\label{lemma ots int O_eps B_eps}
Пусть справедливо условие \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. Обозначим $B_\varepsilon =(\partial\mathcal{O})_\varepsilon\cap \mathcal{O}$. Тогда имеют место следующие утверждения:

\noindent
$1^\circ$. Для любой функции $u\in H^1(\mathcal{O})$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\int _{B_\varepsilon}\vert u\vert ^2\,d\mathbf{x}\leqslant \beta \varepsilon \Vert u\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert u\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad 0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _0.
\end{equation*}

\noindent
$2^\circ$. Для любой функции $u\in H^1(\mathbb{R}^d)$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\int _{(\partial \mathcal{O})_\varepsilon }\vert u\vert ^2 \,d\mathbf{x}\leqslant \beta\varepsilon \Vert u\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert u\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _0.
\end{equation*}
Постоянная $\beta$ зависит только от области $\mathcal{O}$.
\end{lemma}

\begin{lemma}
\label{Lemma 3.6 from Su15}
Пусть выполнено условие \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. Пусть $f(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что $f\in L_2(\Omega)$. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор \eqref{S_eps}. Обозначим $\beta _*=\beta (1+r_1)$, где $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon}\vert f^\varepsilon (\mathbf{x})\vert ^2 \vert (S_\varepsilon \mathbf{u})(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}\leqslant \beta _*\varepsilon\vert \Omega\vert ^{-1}\Vert f\Vert ^2_{L_2(\Omega)}\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert \mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\end{lemma}

Для области $\mathcal{O}$ класса $C^{1}$ утверждения лемм \ref{lemma ots int O_eps B_eps} и \ref{Lemma 3.6 from Su15} установлены в \cite[\S5]{PSu}.
Справедливость этих результатов в случае, когда область $\mathcal{O}$ удовлетворяет менее ограничительному условию \ref{condition varepsilon}, отмечена в \cite[леммы 3.5 и 3.6]{Su15}.

\subsection{Свойства матриц-функций $\Lambda$ и $\widetilde{\Lambda}$}

Следующий результат установлен в \cite[следствие 2.4]{PSu}.

\begin{lemma}
\label{Lemma Lambda in L infty}
Пусть $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} ограничено: $\Lambda\in L_\infty$. Тогда для любой функции $u\in H^1(\mathbb{R}^d)$ при $\varepsilon >0$ выполнена оценка
\begin{equation*}
\int _{\mathbb{R}^d}\vert (\mathbf{D}\Lambda )^\varepsilon (\mathbf{x})\vert ^2\vert u(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant \beta _1 \Vert u\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+\beta _2 \varepsilon ^2\Vert \Lambda \Vert ^2_{L_\infty}\Vert \mathbf{D}u\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
Постоянные $\beta _1$ и $\beta _2$ зависят от $m$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$.
\end{lemma}

Следующее утверждение можно получить с помощью неравенства Гёльдера и теоремы вложения; ср. \cite[лемма 3.5]{MSu15}.

\begin{lemma}
\label{Lemma Lambda in Lp H1->L2}
\label{Lemma a embedding thm}
Пусть $f(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что 
\begin{equation}
\label{f condition lemma MSu}
f\in L_p(\Omega),\quad p=2\;\mbox{при}\;d=1,\quad p>2\;\mbox{при}\; d= 2,\quad p\geqslant d\;\mbox{при}\; d\geqslant 3.
\end{equation}
Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ оператор $[f^\varepsilon ]$ непрерывно отображает $H^1(\mathbb{R}^d)$ в $L_2(\mathbb{R}^d)$ и $\Vert [f^\varepsilon ]\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \Vert f\Vert _{L_p(\Omega)}C(\widehat{q},\Omega)$, где $C(\widehat{q},\Omega)$ --- норма оператора вложения $H^1(\Omega)\hookrightarrow L_{\widehat{q}}(\Omega)$. Здесь $\widehat{q}=\infty$ при $d=1$ и $\widehat{q}=2p(p-2)^{-1}$ при $d\geqslant 2$.
\end{lemma}

Следующий результат получен в \cite[следствие 3.6]{MSu15}.

\begin{lemma}
\label{Lemma DLambda, Lambda in Lp}
Пусть $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ задачи \eqref{tildeLambda_problem} удовлетворяет условию~\eqref{f condition lemma MSu}. 
Тогда при любом $u\in H^2(\mathbb{R}^d)$ и $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\int _{\mathbb{R}^d}\vert (\mathbf{D}\widetilde{\Lambda})^\varepsilon(\mathbf{x})\vert ^2 \vert u(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant
\widetilde{\beta}_1\Vert u\Vert ^2 _{H^1(\mathbb{R}^d)}
+\widetilde{\beta}_2\varepsilon ^2 \Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}^2 C(\widehat{q},\Omega)^2\Vert \mathbf{D}u\Vert ^2 _{H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
Постоянные $\widetilde{\beta}_1$ и $\widetilde{\beta}_2$ зависят только от $n$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\rho$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от норм $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots,d$, а также от параметров решетки $\Gamma$.
\end{lemma}

\subsection{Лемма о $Q_0^\varepsilon - \overline{Q_0}$} 

Доказательство следующего утверждения совершенно аналогично доказательству леммы 3.7 из \cite{MSu15}.

\begin{lemma}
\label{Lemma Q0-overline Q0}
Пусть $Q_0(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая $(n\times n)$-матрица-функция, причем $Q_0 \in L_\infty$, и пусть $\overline{Q_0}=\vert \Omega \vert ^{-1} \int _\Omega Q_0(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$. Тогда оператор $[Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}]$ умножения на матрицу-функцию $Q_0^\varepsilon (\mathbf{x})-\overline{Q_0}$ непрерывен из $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^{-1}(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и справедлива оценка
\begin{equation}
\label{lemma Q_eps -overline Q}
\Vert [Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}]\Vert _{H^1(\mathcal{O})\rightarrow H^{-1}(\mathcal{O})}\leqslant C_{Q_0}\varepsilon .
\end{equation}
Постоянная $C_{Q_0}$ зависит от $d$, $\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$.
\end{lemma}

\begin{proof}
%Доказательство аналогично доказательству леммы 3.7 из \cite{MSu15}. 
Так как $Q_0-\overline{Q_0}$ --- это ограниченная периодическая матрица-функция с нулевым средним значением, справедливо представление
\begin{equation}
\label{Q0eps -overline Q =}
Q_0^\varepsilon (\mathbf{x})-\overline{Q_0}=-\varepsilon \sum \limits _{j=1}^d D_jh_j^\varepsilon (\mathbf{x}),
\end{equation}
где $h_j(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические матрицы-функции размера $n\times n$, 
причем $\Vert h_j\Vert _{L_\infty}\leqslant \widehat{\mathfrak{c}}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}$. Здесь постоянная $\widehat{\mathfrak{c}}$ зависит лишь от $d$ и от параметров решетки $\Gamma$. (Подробнее см. \cite{MSu15}.)

Пусть $\mathbf{F}\in H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. В силу \eqref{Q0eps -overline Q =} имеем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\mathbf{F}\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}
&=\sup \limits _{0\neq \mathbf{v}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)}\frac{\left\vert \left((Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\mathbf{F},\mathbf{v}\right)_{L_2(\mathcal{O})} \right\vert}{\Vert \mathbf{v}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}}\\
&\leqslant \varepsilon \sup \limits _{0\neq \mathbf{v}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)}\frac{\sum \limits_{j=1}^d\left\vert\left((D_jh_j^\varepsilon)\mathbf{F},\mathbf{v}\right)_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert}{\Vert \mathbf{v}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}}.
\end{split}
\end{equation*}
С помощью интегрирования по частям отсюда получаем
\begin{equation}
\label{lemma Qeps 1}
\begin{split}
\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\mathbf{F}\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}
&\leqslant \varepsilon \sup \limits _{0\neq \mathbf{v}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)}
\frac{\sum \limits_{j=1}^d\left\vert\left(h_j^\varepsilon\mathbf{F},D_j\mathbf{v}\right)_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert}{\Vert \mathbf{v}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}}\\
&+\varepsilon \sup \limits _{0\neq \mathbf{v}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)}
\frac{\sum \limits_{j=1}^d\left\vert\left(h_j^\varepsilon D_j\mathbf{F},\mathbf{v}\right)_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert}{\Vert \mathbf{v}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}} .
\end{split}
\end{equation}
Справедливы оценки
\begin{align}
\label{lemma Qeps 2}
&\sum \limits _{j=1}^d\left\vert (h_j^\varepsilon \mathbf{F},D_j\mathbf{v})_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert\leqslant C_h\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{D}\mathbf{v}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\\
\label{lemma Qeps 3}
&\sum _{j=1}^d\left\vert (h_j^\varepsilon D_j\mathbf{F},\mathbf{v})_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert \leqslant C_h\Vert \mathbf{D}\mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{v}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{align}
где $C_h^2=\esssup _{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d}\sum _{j=1}^d \vert h_j(\mathbf{x})\vert ^2$. Отметим неравенство $C_h\leqslant \widetilde{\mathfrak{c}}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}$ с~постоянной $\widetilde{\mathfrak{c}}$, зависящей лишь от $d$ и от параметров решетки $\Gamma$.

Теперь из \eqref{lemma Qeps 1}--\eqref{lemma Qeps 3} вытекает оценка \eqref{lemma Q_eps -overline Q} с постоянной $C_{Q_0}=2C_h$. 
\end{proof}

\section{Доказательство теоремы \ref{Theorem with Diriclet corrector}. Начало доказательства теорем \ref{Theorem Dirichlet L2} и \ref{Theorem Dirichlet H1}}
\label{Section Proof Dirischlet corrector}

При доказательстве теорем \ref{Theorem Dirichlet L2} и \ref{Theorem Dirichlet H1} мы следуем схеме из \cite{Su15}. Метод основан на использовании результатов для задачи в $\mathbb{R}^d$  и выделении поправки $\mathbf{w}_\varepsilon$ типа пограничного слоя. В этом параграфе мы установим теорему \ref{Theorem with Diriclet corrector} и редуцируем доказательство теорем  \ref{Theorem Dirichlet L2} и \ref{Theorem Dirichlet H1} к оценке поправки $\mathbf{w}_\varepsilon$.

\subsection{Первый этап доказательства. Ассоциированная задача в $\mathbb{R}^d$} 

В силу леммы \ref{Lemma hom problem estimates} и \eqref{PO} с учетом $\vert \zeta\vert \geqslant 1$ имеем
\begin{align}
\label{tilde u_0 in L2}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}&\leqslant C_\mathcal{O}^{(0)}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
=:k _1c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
\label{tilde u_0 in H1}
\begin{split}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}&\leqslant C_\mathcal{O}^{(1)}\left(\mathcal{C}_1+\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}\right)c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&=:k_2 c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
,
\end{split}
\\
\label{tilde u_0 in H2}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}&\leqslant C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2c(\phi)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
=:
k _3c(\phi)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{align}

Положим
\begin{equation}
\label{tilde F =}
\widetilde{\mathbf{F}}:=(B^0-\zeta \overline{Q_0})\widetilde{\mathbf{u}}_0.
\end{equation}
Тогда $\widetilde{\mathbf{F}}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\widetilde{\mathbf{F}}\vert _{\mathcal{O}}=\mathbf{F}$. Из \eqref{L(xi)<=}, \eqref{tilde u_0 in L2} и \eqref{tilde u_0 in H2} вытекает, что
\begin{align}
\label{tilde F<=}
&\Vert \widetilde{\mathbf{F}}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_L \Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\vert \zeta \vert \vert \overline{Q_0}\vert \Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{\widetilde{F}}c(\phi)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
&C_{\widetilde{F}}:=k _3 C_L+k_1 \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}.\nonumber
\end{align}

Пусть $\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ --- решение уравнения в $\mathbb{R}^d$:
\begin{equation}
\label{tilde u_eps problem}
B_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon =\widetilde{\mathbf{F}},
\end{equation}
т. е. $\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon =(B_\varepsilon -\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\widetilde{\mathbf{F}}$. Объединяя \eqref{tilde F =}--\eqref{tilde u_eps problem} и применяя теоремы \ref{Th L2 Rd} и \ref{Theorem H1 Rd}, находим, что при $0<\varepsilon \leqslant 1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert \zeta \vert \geqslant 1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{tilde U eps -tilde u 0}
&\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_1 C_{\widetilde{F}}\varepsilon c(\phi)^3\vert \zeta \vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
\label{tilde u_eps -v_eps <=}
&\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_2C_{\widetilde{F}}c(\phi)^3\varepsilon \vert \zeta \vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\\
\label{D tilde u_eps -v_eps <=}
&\Vert \mathbf{D}(\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon )\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_3C_{\widetilde{F}}c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{align}
Теперь из \eqref{tilde u_eps -v_eps <=} и \eqref{D tilde u_eps -v_eps <=} с учетом $\vert \zeta \vert\geqslant 1$ следует, что
\begin{equation}
\label{tilde u_eps -v_eps <= in H1}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant (C_2+C_3)C_{\widetilde{F}}c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}

\subsection{Доказательство теоремы \ref{Theorem with Diriclet corrector}} 

Обозначим $\mathbf{V}_\varepsilon :=\mathbf{u}_\varepsilon-\mathbf{v}_\varepsilon+\mathbf{w}_\varepsilon$. С учетом \eqref{Dirichlet problem} и \eqref{w_eps problem}, \eqref{w_eps int tozd} функция $\mathbf{V}_\varepsilon\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ удовлетворяет тождеству
\begin{equation}
\label{tozd for V_eps}
\begin{split}
&\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{V}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}\\
&=\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon\mathbf{u}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}- \mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{v}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]+\zeta (Q_0^\varepsilon\mathbf{v}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}\\
&=(\mathbf{F},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\mathbf{v}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]+\zeta (Q_0^\varepsilon\mathbf{v}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})},
\quad \boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Продолжим функцию $\boldsymbol{\eta}$ нулем на $\mathbb{R}^d\setminus\mathcal{O}$, сохраняя то же обозначение. Тогда $\boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Вспоминая, что функция $\widetilde{\mathbf{F}}$ является продолжением функции $\mathbf{F}$, и применяя \eqref{tilde u_eps problem}, находим
\begin{equation*}
(\mathbf{F},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}=(\widetilde{\mathbf{F}},\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathbb{R}^d)}=\mathfrak{b}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]
-\zeta (Q_0^\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
Далее, так как функция $\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon$ --- продолжение функции $\mathbf{v}_\varepsilon$, то
\begin{equation*}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\mathbf{v}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon\mathbf{v}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}=\mathfrak{b}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon \widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
Обозначим 
\begin{equation}
\label{I_eps[eta]}
\begin{split}
I_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}]:=\mathfrak{b}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathbb{R}^d)}-\mathfrak{b}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]+\zeta (Q_0^\varepsilon\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\
0<\varepsilon\leqslant1,\quad \boldsymbol{\eta}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Тогда тождество \eqref{tozd for V_eps} принимает вид
\begin{equation}
\label{tozd for V_eps var 2}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{V}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}=I_\varepsilon[\boldsymbol{\eta}],\quad \boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
Оценим величину \eqref{I_eps[eta]} по модулю, учитывая \eqref{b_eps<= H1-norm}:
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert I_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}]\vert &\leqslant \vert \mathfrak{b}_\varepsilon[\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon-\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]\vert +\vert \zeta\vert \vert (Q_0^\varepsilon (\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon),\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\vert
\\
&\leqslant c_4\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert \boldsymbol{\eta}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\\
&+\vert \zeta\vert \Vert Q_0\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert ( Q_0^\varepsilon)^{1/2}\boldsymbol{\eta}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Применим \eqref{tilde u_eps -v_eps <=} и \eqref{tilde u_eps -v_eps <= in H1}:
\begin{equation}
\label{|Ieps|<=}
\begin{split}
\vert I_\varepsilon [\boldsymbol{\eta}]\vert &\leqslant C_{8}c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\eta}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\\
&+C_{9}c(\phi)^3\varepsilon\vert \zeta\vert ^{1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\boldsymbol{\eta}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation}
где $C_{8}:=c_4(C_2+C_3)C_{\widetilde{F}}$, $C_{9}:=\Vert Q_0\Vert ^{1/2}_{L_\infty}C_2C_{\widetilde{F}}$. 

Подставим $\boldsymbol{\eta}=\mathbf{V}_\varepsilon$ в \eqref{tozd for V_eps var 2}, возьмем мнимую часть и воспользуемся оценкой \eqref{|Ieps|<=}:
\begin{equation}
\label{Im zeta (Q0eps V,V)<=}
\begin{split}
\vert \mathrm{Im}\,\zeta\vert (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}&=\vert \mathrm{Im}\,I_\varepsilon [\mathbf{V}_\varepsilon ]\vert 
\leqslant C_{8}c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&+C_{9}\vert \zeta\vert ^{1/2}c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
При $\mathrm{Re}\,\zeta\geqslant 0$ (а тогда $\mathrm{Im}\,\zeta \neq 0$) отсюда выводим
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert &\mathrm{Im}\,\zeta\vert (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{8}c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{V}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&+\frac{1}{2}\vert \mathrm{Im}\,\zeta\vert (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}+\frac{1}{2}C_{9}^2\frac{\vert \zeta\vert}{\vert \mathrm{Im}\,\zeta\vert}c(\phi)^6\varepsilon ^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно, при $\mathrm{Re}\,\zeta\geqslant 0$ выполнено
\begin{equation}
\label{Q0Veps Re zeta >0}
\begin{split}
(Q_0^\varepsilon \mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant 2 C_{8}c(\phi)^4\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1}\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&+C_{9}^2c(\phi)^8\vert \zeta\vert ^{-1}\varepsilon ^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad\mathrm{Re}\,\zeta\geqslant 0.
\end{split}
\end{equation}
Если $\mathrm{Re}\,\zeta <0$, то в равенстве \eqref{tozd for V_eps var 2} при $\boldsymbol{\eta}=\mathbf{V}_\varepsilon$ возьмем вещественную часть. При рассматриваемых значениях $\zeta$ имеем $c(\phi)=1$ и с учетом \eqref{|Ieps|<=} получаем
\begin{equation}
\label{Re zeta (Q0eps V,V)<=}
\begin{split}
\vert &\mathrm{Re}\,\zeta\vert (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon ]-\mathrm{Re}\,\zeta(Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant C_{8}\varepsilon\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+C_{9}\vert \zeta\vert ^{1/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon )^{1/2}\mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Складывая \eqref{Im zeta (Q0eps V,V)<=} и \eqref{Re zeta (Q0eps V,V)<=}, приходим к неравенству
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert \zeta\vert (Q_0^\varepsilon \mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}&\leqslant 2C_{8}\varepsilon\Vert \mathbf{V}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&+2C_{9}\vert \zeta\vert ^{1/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad\mathrm{Re}\,\zeta <0.
\end{split}
\end{equation*}
Тогда
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert \zeta\vert (Q_0^\varepsilon \mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}&\leqslant 2C_{8}\varepsilon\Vert \mathbf{V}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&+\frac{1}{2}\vert \zeta\vert (Q_0^\varepsilon \mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}
+2C_{9}^2\varepsilon ^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathrm{Re}\,\zeta <0.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно, при $\mathrm{Re}\,\zeta <0$ справедлива оценка
\begin{equation*}
(Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
4C_{8}\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1}\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+4C_{9}^2\varepsilon ^2\vert \zeta\vert ^{-1}\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
В итоге отсюда и из \eqref{Q0Veps Re zeta >0} следует, что при всех рассматриваемых значениях $\zeta$ выполнено
\begin{equation}
\label{(Q0Eps V,V )<=}
\begin{split}
(Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant 4C_{8}c(\phi)^4\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1}\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&+4C_{9}^2 c(\phi)^8\varepsilon ^2\vert \zeta\vert ^{-1}\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Теперь из \eqref{tozd for V_eps var 2} при $\boldsymbol{\eta}=\mathbf{V}_\varepsilon$, \eqref{|Ieps|<=} и \eqref{(Q0Eps V,V )<=} получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}&[\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon ]\leqslant \vert I_\varepsilon [\mathbf{V}_\varepsilon ]\vert +\vert \zeta\vert (Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant C_{8}c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert_{H^1(\mathcal{O})}\\
&+C_{9}\vert \zeta\vert ^{1/2}c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\vert \zeta\vert (Q_0^\varepsilon \mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant 7C_{8}c(\phi)^4\varepsilon\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\frac{13}{2} C_{9}^2c(\phi)^8\varepsilon ^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
С учетом \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2} отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert & \mathbf{V}_\varepsilon\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})}\leqslant 7c_5^2C_{8}c(\phi)^4\varepsilon\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\frac{13}{2} c_5^2C_{9}^2c(\phi)^8\varepsilon ^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant\frac{1}{2}\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})}
+\frac{49}{2}c_5^4C_{8}^2c(\phi)^8\varepsilon ^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
+\frac{13}{2} c_5^2C_{9}^2c(\phi)^8\varepsilon ^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{V}_\varepsilon\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})}\leqslant C_7^2 c(\phi)^8\varepsilon ^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad C_7^2:=49c_5^4C_{8}^2+13c_5^2C_{9}^2,
\end{equation*}
что влечет \eqref{u_eps - V_eps +W-eps in H1}.
\qed

Кроме оценки \eqref{u_eps - V_eps +W-eps in H1} для $H^1$-нормы функции $\mathbf{V}_\varepsilon$ нам потребуется также оценка $L_2$-нормы этой функции.

\begin{lemma}
В условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem with Diriclet corrector}} при $0<\varepsilon\leqslant 1$, $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ и $\vert \zeta\vert \geqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{u_eps - V_eps +W-eps in L_2}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon +\mathbf{w}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{10} c(\phi)^4\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Постоянная $C_{10}$ зависит только от исходных данных~\textnormal{\eqref{problem data}} и от области $\mathcal{O}$.
\end{lemma}
\begin{proof}
Из \eqref{u_eps - V_eps +W-eps in H1} и \eqref{(Q0Eps V,V )<=} получаем
\begin{equation*}
(Q_0^\varepsilon\mathbf{V}_\varepsilon ,\mathbf{V}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant 4 (C_7C_{8}+C_{9}^2)c(\phi)^8\varepsilon ^2\vert \zeta\vert ^{-1}\Vert \mathbf{F}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Отсюда вытекает \eqref{u_eps - V_eps +W-eps in L_2} с постоянной $C_{10}=2\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}(C_7C_{8}+C_{9}^2)^{1/2}$.
\end{proof}

\subsection{Выводы} 1) Из \eqref{u_eps - V_eps +W-eps in H1} следует, что
\begin{equation}
\label{2.34 from draft}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant C_7 c(\phi)^4\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert  _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{w}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Поэтому для доказательства оценки \eqref{Th L2->H1 solutions} (главного результата теоремы~\ref{Theorem Dirichlet H1}) достаточно оценить $\Vert \mathbf{w}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}$ подходящим образом.

\noindent
2) Из \eqref{u_eps - V_eps +W-eps in L_2} следует, что
\begin{equation}
\label{||u eps -u eps||L2<=}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{10} c(\phi)^4\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{v}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{w}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Имеем
\begin{equation}
\label{||v eps -u eps||L2<=}
\Vert \mathbf{v}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant\varepsilon\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+\varepsilon\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
Из предложения~\ref{Proposition f^eps S_eps} и \eqref{Lambda <=}, \eqref{tilde Lambda<=} вытекают оценки
\begin{align}
\label{Lambda S_eps <=}
&\Vert [\Lambda ^\varepsilon]S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant M_1,\\
\label{tilde Lambda S_eps <=}
&\Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon]S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \widetilde{M}_1,
\\
\label{tilde M_1 =}
&\widetilde{M}_1:=\vert \Omega\vert ^{-1/2}(2r_0)^{-1}C_a n^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{align}
С учетом \eqref{<b^*b<} из \eqref{||v eps -u eps||L2<=}--\eqref{tilde Lambda S_eps <=} получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathbf{v}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}&\leqslant\varepsilon M_1\alpha _1^{1/2}\Vert \mathbf{D}\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+\varepsilon \widetilde{M}_1\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\\
&\leqslant\varepsilon (M_1^2\alpha _1+\widetilde{M}_1^2)^{1/2}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert  _{H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
В силу \eqref{tilde u_0 in H1} отсюда следует, что
\begin{equation}
\label{||v eps - u 0||L2(O)}
\Vert \mathbf{v}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
\varepsilon (M_1^2\alpha _1+\widetilde{M}_1^2)^{1/2}k _2 c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Теперь неравенства \eqref{||u eps -u eps||L2<=} и \eqref{||v eps - u 0||L2(O)} влекут
\begin{align}
\label{2.35 from draft}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{11}\varepsilon c(\phi)^4\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{w}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\\
C_{11}:=C_{10}+(M_1^2\alpha _1+\widetilde{M}_1^2)^{1/2}k _2.
\nonumber
\end{align}
Таким образом, доказательство теоремы~\ref{Theorem Dirichlet L2} сводится к подходящей оценке для $\Vert \mathbf{w}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}$.


\section{Доказательство $L_2\rightarrow H^1$-теоремы}
\label{Section proof of L_2->H^1 theorem} 
\subsection{Локализация вблизи границы} Напомним обозначение
\begin{equation*}
(\partial\mathcal{O})_\varepsilon =\lbrace \mathbf{x}\in \mathbb{R}^d :\mathrm{dist}\,\lbrace \mathbf{x};\partial \mathcal{O}\rbrace <\varepsilon \rbrace .
\end{equation*}
Фиксируем такую гладкую срезку $\theta _\varepsilon (\mathbf{x})$ в $\mathbb{R}^d$, что
\begin{equation}
\label{theta_eps conditions}
\begin{split}
&\theta _\varepsilon \in C_0^\infty (\mathbb{R}^d),\;\mathrm{supp}\,\theta _\varepsilon \subset (\partial \mathcal{O})_\varepsilon ,\; 0\leqslant \theta _\varepsilon (\mathbf{x})\leqslant 1,\\
&\theta _\varepsilon (\mathbf{x})=1\;\mbox{при}\;\mathbf{x}\in \partial \mathcal{O};\;\varepsilon\vert \nabla \theta _\varepsilon (\mathbf{x})\vert \leqslant \mu =\mathrm{Const}.
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $\mu$ зависит только от $d$ и от области $\mathcal{O}$. Рассмотрим в $\mathbb{R}^d$ функцию
\begin{equation}
\label{phi eps}
\boldsymbol{\varphi }_\varepsilon (\mathbf{x})=\varepsilon \theta _\varepsilon (\mathbf{x})
\left(
\Lambda ^\varepsilon (\mathbf{x})(S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0)(\mathbf{x})
+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon (\mathbf{x})(S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0)(\mathbf{x})
\right).
\end{equation}

\begin{lemma}\label{lemma w eps}
Пусть $\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon $ --- функция \eqref{phi eps}. Тогда при $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta \vert \geqslant 1$, справедливa оценкa
\begin{equation}
\label{3.3 from draft}
\Vert \mathbf{w}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant c(\phi)\left(C_{12}\vert \zeta \vert ^{1/2}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}+C_{13}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\right).
\end{equation}
Постоянные $C_{12}$ и $C_{13}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Имеем $\mathbf{w}_\varepsilon \vert _{\partial\mathcal{O}}=\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \vert _{\partial\mathcal{O}}$. Поэтому $\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon :=\mathbf{w}_\varepsilon -\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. С учетом \eqref{w_eps int tozd} справедливо тождество
\begin{equation}
\label{tozd b_d,eps rho eta}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}
=-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]+\zeta(Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})},\\\boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Подставим $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon$ в равенство~\eqref{tozd b_d,eps rho eta} и возьмем мнимую часть:
\begin{equation}
\label{3.5 in draft}
\begin{split}
&\vert \mathrm{Im}\,\zeta\vert (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \vert \mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho }_\varepsilon]\vert
+\vert \zeta\vert \vert (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}\vert 
\\
&\leqslant \mathfrak{c}_2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}+\vert \zeta \vert \Vert Q_0\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon )^{1/2}\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Мы учли \eqref{b mathfrak eps <= c2}. При $\mathrm{Re}\,\zeta \geqslant 0$ (тогда $\mathrm{Im}\,\zeta\neq 0$) отсюда следует неравенство
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert \mathrm{Im}\,\zeta\vert (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon, \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant \mathfrak{c}_2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}+\frac{1}{2}\frac{\vert \zeta\vert ^2}{\vert \mathrm{Im}\,\zeta\vert}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+\frac{1}{2}\vert\mathrm{Im}\,\zeta\vert\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{split}
(Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}&\leqslant 2 \mathfrak{c}_2 \vert \zeta \vert ^{-1} c(\phi)\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\\
&+\Vert Q_0\Vert _{L_\infty} c(\phi )^2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathrm{Re}\,\zeta\geqslant 0.
\end{split}
\end{equation*}
Если $\mathrm{Re}\,\zeta <0$, то возьмем вещественную часть равенства и получим
\begin{equation}
\label{3.7 in draft}
\begin{split}
\vert \mathrm{Re}\,\zeta\vert (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon, \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant \mathfrak{c}_2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\\
&+\vert \zeta \vert \Vert Q_0 \Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon )^{1/2}\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Сложим \eqref{3.5 in draft} и \eqref{3.7 in draft}:
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert \zeta\vert (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant 2 \mathfrak{c}_2 \Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\\
&+2\vert \zeta\vert \Vert Q_0\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon )^{1/2}\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant 2\mathfrak{c}_2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\\
&+\frac{1}{2}\vert \zeta\vert (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}+2\vert \zeta \vert \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation*}
(Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}\leqslant 4 \mathfrak{c}_2 \vert \zeta\vert ^{-1}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}+4\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})},\quad\mathrm{Re}\,\zeta <0.
\end{equation*}
В итоге при всех рассматриваемых значениях $\zeta$ получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
(Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}&\leqslant 4 \mathfrak{c}_2\vert \zeta\vert ^{-1} c(\phi)\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\\
&+4\Vert Q_0\Vert _{L_\infty} c(\phi)^2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Теперь из \eqref{tozd b_d,eps rho eta} при $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon$ с учетом \eqref{b mathfrak eps <= c2} вытекает оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
&\mathfrak{b}_{D,\varepsilon }[\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ]\leqslant \mathfrak{c}_2 \Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\\
&+\vert \zeta\vert \Vert Q_0\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert (Q_0^\varepsilon )^{1/2}\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\vert \zeta \vert (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon , \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \mathfrak{c}_2 \Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}+2\vert \zeta\vert (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon)_{L_2(\mathcal{O})}
+\vert \zeta\vert \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant 9 \mathfrak{c}_2 c(\phi)\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
+9\vert \zeta\vert \Vert Q_0\Vert _{L_\infty} c(\phi)^2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
С учетом \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2} получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert & \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert ^2 _{H^1(\mathcal{O})}
\leqslant c_5^2 \mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ]\\
&\leqslant 9 \mathfrak{c}_2 c_5 ^2 c(\phi)\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
+9\vert \zeta\vert c_5 ^2 \Vert Q_0\Vert _{L_\infty} c(\phi)^2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant
\frac{1}{2}\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})}
+\frac{81}{2}\mathfrak{c}_2^2c_5^4c(\phi)^2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert ^2 _{H^1(\mathcal{O})}
+9 c_5^2 \Vert Q_0\Vert _{L_\infty} \vert \zeta\vert  c(\phi)^2 \Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation*}
\Vert \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant 9 \mathfrak{c}_2 c_5^2 c(\phi)\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
+3\sqrt{2}c_5\Vert Q_0\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\vert \zeta\vert ^{1/2} c(\phi)\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Вспоминая, что $\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon =\mathbf{w}_\varepsilon -\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon$, получаем \eqref{3.3 from draft} с постоянными 
$C_{13}=9\mathfrak{c}_2c_5^2+1$, $C_{12}=3\sqrt{2}c_5\Vert Q_0\Vert ^{1/2}_{L_\infty}$.
\end{proof}

\subsection{Оценки функции $\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon $}
%
\begin{lemma}\label{lemma phi eps}
Пусть $\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon $ --- функция \eqref{phi eps}. Тогда при $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta \vert \geqslant 1$, справедливы оценки
\begin{align}
\label{3.11 from draft}
&\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_{14}\varepsilon c(\phi)\vert \zeta \vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
\label{3.12 from draft}
&\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant c(\phi)\left(C_{15}\vert \zeta \vert ^{-1/4}\varepsilon ^{1/2}+C_{16}\varepsilon \right)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{align}
Постоянные $C_{14}$, $C_{15}$ и $C_{16}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Начнем с проверки оценки \eqref{3.11 from draft}. Учитывая \eqref{<b^*b<}, \eqref{Lambda S_eps <=}, \eqref{tilde Lambda S_eps <=}, \eqref{theta_eps conditions}, \eqref{phi eps}, находим:
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}&\leqslant \varepsilon\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+\varepsilon \Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \varepsilon M_1 \alpha _1 ^{1/2}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}+\varepsilon \widetilde{M}_1\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{tilde u_0 in L2}, \eqref{tilde u_0 in H1} получаем оценку \eqref{3.11 from draft} с постоянной $C_{14}= M_1\alpha _1 ^{1/2}k _2+\widetilde{M}_1 k _1$.

Перейдем к доказательству оценки \eqref{3.12 from draft}. Рассмотрим производные:
\begin{equation*}
\begin{split}
\partial _j \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon &= \varepsilon (\partial _j \theta _\varepsilon )(\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0)
\\
&+\theta _\varepsilon \left(
(\partial _j \Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0+(\partial _j \widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0
\right)
\\
&+\varepsilon \theta _\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\partial _j\widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \partial _j \widetilde{\mathbf{u}}_0).
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation}
\label{3.13 from draft}
\begin{split}
\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon  \Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant 3\varepsilon ^2 \Vert (\nabla \theta _\varepsilon )(\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0)\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+3\bigl\Vert \theta _\varepsilon 
\bigl(
(\mathbf{D}\Lambda)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0+(\mathbf{D}\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0
\bigr)\bigr\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+3\varepsilon ^2 \sum _{j=1}^d \Vert \theta _\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\partial _j \widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \partial _j \widetilde{\mathbf{u}}_0)\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Обозначим последовательные слагаемые в правой части \eqref{3.13 from draft} через $J_1(\varepsilon)$, $J_2(\varepsilon )$, $J_3(\varepsilon)$. Для оценки $J_1(\varepsilon)$ воспользуемся \eqref{theta_eps conditions} и леммой~\ref{Lemma 3.6 from Su15}:
\begin{equation}
\label{J_1 leqslant part 1}
\begin{split}
J_1(\varepsilon )
&\leqslant 3\mu ^2 \int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon}\vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}
\\
&\leqslant 
6\mu ^2 \left(
\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon}\vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}
+\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon }\vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}
\right)
\\
&\leqslant 6\mu ^2 
\beta _*\varepsilon \vert \Omega\vert ^{-1}\Vert \Lambda \Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+ 6\mu ^2 \beta _*\varepsilon\vert \Omega\vert ^{-1}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
,
\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1.
\end{split}
\end{equation}
Согласно \eqref{tilde Lambda<=} и \eqref{tilde M_1 =} выполнено $\vert \Omega\vert ^{-1/2}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega )}\leqslant \widetilde{M_1}$. Отсюда и из \eqref{<b^*b<}, \eqref{Lambda <=}, \eqref{J_1 leqslant part 1} получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
J_1(\varepsilon)\leqslant 6\mu ^2 \beta _* \varepsilon \left( M_1^2 \alpha _1 \Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)} + \widetilde{M}_1^2\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\right),\\ 0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1.
\end{split}
\end{equation*}
Применяя \eqref{tilde u_0 in L2}--\eqref{tilde u_0 in H2} и учитывая, что $\vert \zeta\vert \geqslant 1$, находим
\begin{equation}
\label{J1<=}
J_1(\varepsilon)\leqslant \kappa _1 c(\phi)^2\vert \zeta\vert ^{-1/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1.
\end{equation}
Здесь
$\kappa _1=6\mu ^2 \beta _* k_2(M_1^2\alpha _1 k_3+\widetilde{M}_1^2k_1)$.

В силу \eqref{D tilde Lambda} справедлива оценка $\vert\Omega\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{D}\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant\widetilde{M}_2$,
\begin{equation}
\label{tilde M2 =}
\widetilde{M}_2:=\vert \Omega\vert ^{-1/2}C_an^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{equation}
Теперь член $J_2(\varepsilon )$ оценивается аналогично на основании леммы~\ref{Lemma 3.6 from Su15} и \eqref{<b^*b<}, \eqref{DLambda<=},  \eqref{tilde u_0 in L2}--\eqref{tilde u_0 in H2}, \eqref{theta_eps conditions}. В результате получаем
\begin{equation}
\label{J2<=}
J_2(\varepsilon)\leqslant \kappa _2c(\phi)^2\vert \zeta\vert ^{-1/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1,
\end{equation}
где $\kappa _2 = 6\beta _* k_2(M_2^2k_3\alpha _1 +\widetilde{M}_2^2k_1)$.

Наконец, член $J_3(\varepsilon)$ оценим на основании \eqref{<b^*b<}, \eqref{Lambda S_eps <=}, \eqref{tilde Lambda S_eps <=} и \eqref{theta_eps conditions}:
\begin{equation*}
\begin{split}
J_3(\varepsilon)
&\leqslant 6\varepsilon ^2 \sum _{j=1}^d 
\left(
\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\partial _j \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \partial _j \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\right)
\\
&\leqslant
6\varepsilon ^2
\left(
M_1^2\alpha _1 \Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert ^2 _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\widetilde{M}_1^2\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert ^2 _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\right).
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{tilde u_0 in H1}, \eqref{tilde u_0 in H2} с учетом $\vert \zeta\vert \geqslant 1$ получаем
\begin{equation}
\label{J3<=}
J_3(\varepsilon)\leqslant \kappa _3 \varepsilon ^2 c(\phi)^2\Vert \mathbf{F}\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})},\quad 0<\varepsilon\leqslant 1,
\end{equation}
где 
$\kappa _3=6 M_1^2 \alpha _1 k_3^2+6\widetilde{M}_1^2k_2^2$. 
Теперь из \eqref{3.13 from draft}, \eqref{J1<=}, \eqref{J2<=}, \eqref{J3<=} вытекает оценка \eqref{3.12 from draft} с постоянными $C_{15}=(\kappa _1+\kappa _2)^{1/2}$, $C_{16}=\kappa _3^{1/2}$.
\end{proof}

\subsection{Завершение доказательства теоремы \ref{Theorem Dirichlet H1}}

Из лемм \ref{lemma w eps} и \ref{lemma phi eps} вытекает оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
&\Vert \mathbf{w}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant
c (\phi)^2 
\left(
C_{13}C_{15}\vert \zeta\vert ^{-1/4}\varepsilon ^{1/2}+(C_{12}C_{14}+C_{13}C_{14}+C_{13}C_{16})\varepsilon
\right)
\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation*}
справедливая при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$, $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert \geqslant 1$. 
Вместе с \eqref{2.34 from draft} это влечет \eqref{Th L2->H1 solutions} с постоянными $C_5=C_{13}C_{15}$, $C_6=C_7+C_{12}C_{14}+C_{13}C_{14}+C_{13}C_{16}$.

Остается проверить \eqref{Th fluxes}. Из \eqref{Th L2->H1 solutions} с учетом \eqref{b_l <=} следует, что
\begin{equation}
\label{3.19 from draft}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon -g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{v}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \Vert g\Vert _{L_\infty}(d\alpha _1 )^{1/2}(C_5c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}+C_6 c(\phi)^4\varepsilon )\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Имеем
\begin{equation}
\label{3.20 from draft}
\begin{split}
g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{v}_\varepsilon
&=
g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0
+g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0
+g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\mathbf{u}}_0\\
&+\varepsilon\sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l (\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l\widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\widetilde{\mathbf{u}}_0).
\end{split}
\end{equation}
Четвертый член в \eqref{3.20 from draft} оценим на основании \eqref{b_l <=}, \eqref{Lambda S_eps <=}, \eqref{tilde Lambda S_eps <=}:
\begin{equation}
\label{5.18a}
\begin{split}
\Bigl\Vert &\varepsilon\sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l (\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l\widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\widetilde{\mathbf{u}}_0)\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
\varepsilon \Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha_1 ^{1/2}
\left(
M_1\sum _{l=1}^d \Vert b(\mathbf{D})D_l\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}+\widetilde{M}_1\sum _{l=1}^d\Vert D_l\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\right).
\end{split}
\end{equation}
С учетом \eqref{<b^*b<}, \eqref{tilde u_0 in H1}, \eqref{tilde u_0 in H2} и условия $\vert\zeta\vert\geqslant 1$ отсюда получаем оценку
\begin{equation}
\label{4-th chlen in tozd for fluxes}
\begin{split}
\Bigl\Vert \varepsilon\sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l (\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l\widetilde{\mathbf{u}}_0+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\widetilde{\mathbf{u}}_0)\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant 
C_{17}c(\phi)\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\end{split}
\end{equation}
с постоянной 
$$
C_{17}=\Vert g\Vert _{L_\infty} (d\alpha _1)^{1/2}
\bigl(
M_1\alpha _1^{1/2} k_3+\widetilde{M}_1k_2
\bigr).
$$

Далее, в силу предложения \ref{Proposition S__eps - I} выполнено
\begin{equation}
\label{5.19a}
\begin{split}
\Vert g^\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0-g^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
\varepsilon r_1\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
С учетом \eqref{<b^*b<} и \eqref{tilde u_0 in H2} отсюда следует, что
\begin{equation}
\label{3.22 from draft}
\Vert g^\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0-g^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 
C_{18}\varepsilon c(\phi)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где 
$C_{18}=r_1\alpha_1^{1/2}k_3\Vert g\Vert _{L_\infty}$. Теперь из \eqref{tilde g}, \eqref{3.19 from draft}, \eqref{3.20 from draft}, \eqref{4-th chlen in tozd for fluxes} и \eqref{3.22 from draft} вытекает неравенство \eqref{Th fluxes} с постоянными $\widetilde{C}_5=(d\alpha_1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_5$, $\widetilde{C}_6=(d\alpha_1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_6+C_{17}+C_{18}$. 

Теорема~\ref{Theorem Dirichlet H1} полностью доказана.
%
\section{Доказательство $L_2\rightarrow L_2$-теоремы} 
\label{Section proof of L_2 rightarrow L_2 theorem}
\subsection{Оценка поправки $\mathbf{w}_\varepsilon$ по $L_2$-норме}

\begin{lemma}
Пусть $\mathbf{w}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{w_eps problem}. Пусть число $\varepsilon _1$ выбрано согласно условию \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in \mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert\geqslant 1$, справедлива оценка
\begin{equation}
\label{3.23 from draft}
\Vert \mathbf{w}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant c(\phi)^5(C_{19}\varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}+C_{20}\varepsilon ^2)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Постоянные $C_{19}$ и $C_{20}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Подставим в тождество \eqref{tozd b_d,eps rho eta} для функции $\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon =\mathbf{w}_\varepsilon -\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon$ в качестве $\boldsymbol{\eta}$ функцию  $\boldsymbol{\eta}_\varepsilon =(B_{D,\varepsilon}-\zeta ^*Q_0^\varepsilon)^{-1}\boldsymbol{\Phi}$, где $\boldsymbol{\Phi}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Тогда левая часть \eqref{tozd b_d,eps rho eta} запишется в виде
\begin{equation*}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon,\boldsymbol{\eta}_\varepsilon]-\zeta(Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varrho}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})} =(\boldsymbol{\varrho}_\varepsilon,\boldsymbol{\Phi})_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation}
\label{3.24 from draft}
(\mathbf{w}_\varepsilon-\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\Phi})_{L_2(\mathcal{O})}=-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}_\varepsilon ]+\zeta (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}

Для аппроксимации $\boldsymbol{\eta}_\varepsilon$ по норме в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ воспользуемся уже доказанной теоремой \ref{Theorem Dirichlet H1}. Положим $\boldsymbol{\eta}_0=(B_D^0-\zeta ^*\overline{Q_0})^{-1}\boldsymbol{\Phi}$, $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0=P_\mathcal{O}\boldsymbol{\eta}_0$. Первое приближение к $\boldsymbol{\eta}_\varepsilon$ --- это функция $\boldsymbol{\eta}_0+\varepsilon\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$. 

Перепишем тождество \eqref{3.24 from draft} в следующем виде:
\begin{equation}
\label{3.25 from draft}
\begin{split}
&(\mathbf{w}_\varepsilon-\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\Phi})_{L_2(\mathcal{O})}=-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}_\varepsilon -\boldsymbol{\eta} _0 -\varepsilon\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0-\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0]\\
&-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi }_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}_0]
-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\boldsymbol{\varphi }_\varepsilon ,\varepsilon\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0]
+\zeta (Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Обозначим последовательные слагаемые в правой части этого равенства через $\mathcal{I}_j(\varepsilon)$, $j=1,2,3,4$.

Член $\mathcal{I}_4(\varepsilon)$ оценивается на основании лемм \ref{Lemma estimates u_D,eps} и \ref{lemma phi eps}:
\begin{equation}
\label{3.26 from draft}
\vert \mathcal{I}_4(\varepsilon)\vert \leqslant C_{21}c(\phi)^2\vert \zeta\vert ^{-1/2}\varepsilon\Vert\mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad C_{21}:=C_{14}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{equation}

Оценим $\mathcal{I}_1(\varepsilon)$ с помощью \eqref{b mathfrak eps <= c2}:
\begin{equation*}
\vert \mathcal{I}_1(\varepsilon)\vert\leqslant \mathfrak{c}_2\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\eta}_\varepsilon -\boldsymbol{\eta} _0 -\varepsilon\Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0-\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Отсюда на основании теоремы \ref{Theorem Dirichlet H1} и леммы \ref{lemma phi eps} получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert \mathcal{I}_1(\varepsilon )\vert
&\leqslant \mathfrak{c}_2 c(\phi)\left( C_{15}\vert \zeta\vert ^{-1/4}\varepsilon ^{1/2}+(C_{14}+C_{16})\varepsilon\right)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\times
\left(C_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+C_6 c(\phi)^4\varepsilon\right)\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation}
\label{3.27 from draft}
\vert \mathcal{I}_1(\varepsilon)\vert 
\leqslant
c(\phi)^5\left({\gamma}_1\vert\zeta\vert ^{-1/2}\varepsilon+{\gamma}_2\varepsilon ^2\right)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где ${\gamma}_1=\mathfrak{c}_2(C_5(C_{14}+C_{15}+C_{16})+C_6C_{15})$, ${\gamma}_2=\mathfrak{c}_2\left(C_5(C_{14}+C_{16})+C_6(C_{14}+C_{15}+C_{16})\right)$.

Далее, имеем
\begin{equation}
\label{*.1}
\mathcal{I}_2(\varepsilon)=-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon}[\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}_0]
=-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0]
-\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon , \boldsymbol{\eta}_0-S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 ].
\end{equation}
В силу предложения \ref{Proposition S__eps - I} и оценки \eqref{tilde u_0 in H2} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ выполнено
\begin{equation*}
\Vert \boldsymbol{\eta}_0-S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\leqslant \Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 - S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 
\varepsilon r_1\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \varepsilon r_1 k_3 c(\phi)\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Отсюда с помощью \eqref{b mathfrak eps <= c2} и леммы \ref{lemma phi eps} выводим неравенство
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert &\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon , \boldsymbol{\eta}_0-S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 ]\vert
\\
&\leqslant
\varepsilon c(\phi)^2 \mathfrak{c}_2 r_1 k_3
\left( C_{15}\vert \zeta\vert ^{-1/4}\varepsilon ^{1/2}+(C_{14}+C_{16})\varepsilon \right)
\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation}
\label{*.1a}
\vert \mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon , \boldsymbol{\eta}_0-S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0 ]\vert
\leqslant
c(\phi)^2\left(\gamma _3\vert \zeta\vert ^{-1/2}\varepsilon +\gamma _4\varepsilon ^2\right)
\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где $\gamma _3=\mathfrak{c}_2 r_1k_3C_{15}$, $\gamma _4 =\mathfrak{c}_2 r_1 k_3(C_{14}+C_{15}+C_{16})$.

Оценим первое слагаемое в правой части \eqref{*.1}. Согласно \eqref{b mathfrak eps =},
\begin{equation}
\label{I2(eps),=sum I2j}
\begin{split}
\vert \mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0]\vert 
&
\leqslant
\left\vert \int _\mathcal{O}\langle g^\varepsilon b(\mathbf{D})\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,b(\mathbf{D})S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\rangle\,d\mathbf{x}\right\vert
\\
&+\sum _{j=1}^d \int _\mathcal{O}\left(\vert \langle a_j^\varepsilon D_j\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\rangle\vert +\vert\langle (a_j^\varepsilon)^*\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,D_jS_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\rangle\vert \right)\,d\mathbf{x}
\\
&+\left\vert \int _\mathcal{O}\langle Q^\varepsilon \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\rangle\,d\mathbf{x}\right\vert
+\lambda \left\vert \int _{\mathcal{O}}\langle Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,S_\varepsilon\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\rangle\,d\mathbf{x}\right\vert \\
&=:\sum _{k=1}^4 \mathcal{I}_2^{(k)}(\varepsilon).
\end{split}
\end{equation}
Так как функция $\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon$ сосредоточена в $(\partial\mathcal{O})_\varepsilon$, в \eqref{I2(eps),=sum I2j} все интегралы реально берутся по $B_\varepsilon =(\partial\mathcal{O})_\varepsilon \cap \mathcal{O}\subset (\partial\mathcal{O})_\varepsilon$. Член $\mathcal{I}_2^{(1)}(\varepsilon)$ оценим с помощью леммы \ref{lemma ots int O_eps B_eps}, учитывая \eqref{S_eps <= 1} и \eqref{<b^*b<}:
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathcal{I}_2^{(1)}(\varepsilon )
&\leqslant 
\Vert g\Vert _{L_\infty} \alpha _1^{1/2}\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\left(\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon}\vert b(\mathbf{D})S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2 \,d\mathbf{x}\right) ^{1/2}
\\
&\leqslant 
\Vert g\Vert _{L_\infty} \alpha _1^{1/2}\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
(\beta \varepsilon )^{1/2}\left( \Vert b(\mathbf{D}) \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\right)^{1/2}.
\end{split}
\end{equation*}
Применяя \eqref{<b^*b<}, \eqref{tilde u_0 in H1} и \eqref{tilde u_0 in H2} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$, а также \eqref{3.12 from draft}, находим
\begin{equation}
\label{I_2^1<=}
\mathcal{I}_2^{(1)}(\varepsilon )
\leqslant
c(\phi)^2 (\gamma _5 \varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}+\gamma _6\varepsilon ^2)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где 
\begin{align*}
&\gamma _5 =\beta^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty} \alpha _1 (k_2k_3)^{1/2}(C_{15}+C_{16}),
\\
&\gamma _6 =\beta^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1(k_2k_3)^{1/2}C_{16}.
\end{align*}

Оценим член $\mathcal{I}_2^{(2)}(\varepsilon)$:
\begin{equation}
\label{*.2}
\begin{split}
\mathcal{I}_2^{(2)}(\varepsilon)
&\leqslant
\sum _{j=1}^d \Vert D_j\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\left(\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon }\vert (a_j^\varepsilon )^*S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}\right) ^{1/2}
\\
&+\sum _{j=1}^d \Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert a_j^\varepsilon S_\varepsilon D_j \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
В силу леммы \ref{Lemma 3.6 from Su15} выполнено
\begin{equation*}
\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon }\vert (a_j^\varepsilon )^*S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant 
\beta _*\varepsilon \vert \Omega \vert ^{-1}
\Vert a_j\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}
\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
Отсюда, из \eqref{tilde u_0 in L2}, \eqref{tilde u_0 in H1} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ и \eqref{3.12 from draft} вытекает оценка для первого слагаемого в правой части \eqref{*.2}:
\begin{equation}
\label{*.2a}
\begin{split}
&\sum _{j=1}^d \Vert D_j\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\left(\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon }\vert (a_j^\varepsilon )^*S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}\right) ^{1/2}
\\
&\leqslant
c(\phi)^2 \gamma _7\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation}
где
\begin{align*}
&\gamma _7 = C_a \left( \beta _*\vert \Omega \vert ^{-1} k_1k_2\right)^{1/2}
(C_{15}+C_{16}).
\end{align*}

Второе слагаемое в правой части \eqref{*.2} оценивается на основании предложения \ref{Proposition f^eps S_eps}, \eqref{tilde u_0 in H1} для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ и \eqref{3.11 from draft}:
\begin{equation*}
\begin{split}
\sum _{j=1}^d \Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert a_j^\varepsilon S_\varepsilon D_j \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant
\vert \Omega\vert ^{-1/2}\sum _{j=1}^d \Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert a_j\Vert _{L_2(\Omega)}\Vert D_j\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\gamma _8
c(\phi)^2 \varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
&\gamma _8 := \vert \Omega \vert ^{-1/2} C_a C_{14} k_2.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{*.2}, \eqref{*.2a} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{I_2^2<=}
\mathcal{I}_2^{(2)}(\varepsilon)
\leqslant
c(\phi)^2 (\gamma _7+\gamma _8)\varepsilon \vert \zeta \vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}

Рассмотрим теперь член $\mathcal{I}_2^{(3)}(\varepsilon)$:
\begin{equation}
\label{*.star}
\mathcal{I}_2^{(3)}(\varepsilon)
\leqslant
\Vert \vert Q^\varepsilon \vert ^{1/2}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\left( \int _{(\partial \mathcal{O})_\varepsilon }\vert Q^\varepsilon \vert \vert S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}\right) ^{1/2}.
\end{equation}
Первый сомножитель в правой части \eqref{*.star} оценим с помощью леммы~\ref{Lemma a embedding thm} и условия \eqref{Q condition}:
\begin{equation}
\label{*.star star}
\Vert \vert Q^\varepsilon \vert ^{1/2} \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
C(\check{q},\Omega)\Vert Q\Vert ^{1/2}_{L_s(\Omega)}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)},\quad\check{q}=2s/(s-1).
\end{equation}
Второй сомножитель в правой части \eqref{*.star} оценим с помощью леммы~\ref{Lemma 3.6 from Su15}:
\begin{equation}
\label{*.star star star}
\int _{(\partial \mathcal{O})_\varepsilon }\vert Q^\varepsilon \vert \vert S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant
\beta _*\varepsilon\vert \Omega\vert ^{-1}\Vert Q\Vert _{L_1(\Omega)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
Объединяя \eqref{*.star}--\eqref{*.star star star}, учитывая \eqref{tilde u_0 in L2}, \eqref{tilde u_0 in H1} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ и используя лемму \ref{lemma phi eps}, находим
\begin{equation}
\label{I_2^3<=}
\mathcal{I}_2^{(3)}(\varepsilon)
\leqslant 
c(\phi)^2\gamma _{9}\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где 
\begin{align*}
\gamma_{9}&=C(\check{q},\Omega)\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}^{1/2}
\Vert Q\Vert _{L_1(\Omega)}^{1/2}
\left(\beta _*\vert \Omega \vert ^{-1}k_1k_2\right)^{1/2}(C_{14}+C_{15}+C_{16}).
\end{align*}

Теперь оценим член $\mathcal{I}_2^{(4)}(\varepsilon)$, используя \eqref{tilde u_0 in L2} для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ и \eqref{3.11 from draft}:
\begin{equation}
\label{I_2^4<=}
\begin{split}
\mathcal{I}_2^{(4)}(\varepsilon)
&\leqslant
\lambda \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\gamma _{10}c(\phi)^2\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation}
где $\gamma _{10}=\lambda \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}C_{14}k_1$.

Таким образом, на основании \eqref{*.1}--\eqref{I_2^1<=}, \eqref{I_2^2<=}, \eqref{I_2^3<=}, \eqref{I_2^4<=} имеем
\begin{equation}
\label{I_2(eps)<=}
\begin{split}
\mathcal{I}_2(\varepsilon)
&\leqslant  
\left( (\gamma _3 +\gamma _5 +\gamma _7 +\gamma _8 +\gamma _{9}+\gamma _{10})\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}
+(\gamma _4 +\gamma _6 )\varepsilon ^2\right)\\
&\times
c(\phi)^2\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}


Остается оценить член $\mathcal{I}_3(\varepsilon)$:
\begin{equation}
\label{3.40 from draft}
\begin{split}
\vert \mathcal{I}_3(\varepsilon )\vert
&=\vert \mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\varepsilon \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon 
S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0]\vert
\\
&\leqslant
\left\vert \left(g^\varepsilon b(\mathbf{D})\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,
(b(\mathbf{D})\Lambda)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right)_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\\
&+
\left\vert \left(g^\varepsilon b(\mathbf{D})\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,
(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right)_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\\
&+
\left\vert \left(g^\varepsilon b(\mathbf{D})\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\varepsilon \sum _{l=1}^d b_l \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right) _{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\\
&+
\left\vert \left(g^\varepsilon b(\mathbf{D})\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\varepsilon \sum _{l=1}^d b_l \widetilde{\Lambda} ^\varepsilon S_\varepsilon D_l\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right) _{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\\
&+
\sum _{j=1}^d\left\vert \left( a_j^\varepsilon D_j\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,
\varepsilon \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon
S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right)_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\\
&+
\sum _{j=1}^d\left\vert \left( (a_j^\varepsilon)^*\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon,
(D_j\Lambda)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0
+(D_j\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right)_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\\
&+
\sum _{j=1}^d \left\vert\left( (a_j^\varepsilon )^*\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,
\varepsilon\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_j\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0
+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_j\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right) _{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\\
&+
\left\vert \left(Q^\varepsilon\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,
\varepsilon \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0
+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right) _{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\\
&+
\lambda\left\vert \left(Q_0^\varepsilon \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon,
\varepsilon\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0
+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\right)_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert .
\end{split}
\end{equation}
Обозначим последовательные слагаемые в правой части \eqref{3.40 from draft} через $\mathcal{I}_3^{(j)}(\varepsilon)$, $j=1,\dots,9$. 

Первый член оценим с помощью \eqref{<b^*b<} и леммы \ref{Lemma 3.6 from Su15}, учитывая, что функция $\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon$ сосредоточена в $(\partial\mathcal{O})_\varepsilon$:
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathcal{I}_3^{(1)}(\varepsilon)
&\leqslant \Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1^{1/2}\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\left(
\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon}\vert (b(\mathbf{D})\Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}\right) ^{1/2}
\\
&\leqslant
\Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1^{1/2}\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\times
(\beta _*\varepsilon )^{1/2}\vert \Omega\vert ^{-1/2}\Vert b(\mathbf{D})\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert ^{1/2}_{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert ^{1/2}_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
Теперь воспользуемся леммой \ref{lemma phi eps} и оценками \eqref{tilde u_0 in H1}, \eqref{tilde u_0 in H2} применительно к $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$. Учитывая \eqref{<b^*b<} и \eqref{b(D)Lambda<=}, приходим к оценке
\begin{equation}
\label{3.41 from draft}
\mathcal{I}_3^{(1)}(\varepsilon)
\leqslant c(\phi)^2({\gamma}_{11}\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}+{\gamma}_{12}\varepsilon ^2)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где
\begin{align*}
{\gamma}_{11}&=\Vert g\Vert _{L_\infty}^{3/2}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2} \alpha _1 \beta _*^{1/2}(
k_2k_3)^{1/2}(C_{15}+C_{16}),\\
{\gamma}_{12}&=\Vert g\Vert _{L_\infty}^{3/2}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2} \alpha _1 \beta _*^{1/2}(
k_2k_3)^{1/2}C_{16}.
\end{align*}
Аналогично, с учетом \eqref{b(D) tilde Lambda <=} получаем
\begin{equation}
\label{3.42 from draft}
\mathcal{I}_3^{(2)}(\varepsilon)
\leqslant c(\phi)^2 {\gamma}_{13}\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Здесь 
\begin{align*}
{\gamma}_{13}&=\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}(\alpha _1 \beta _* n k_1 k_2)^{1/2}\vert\Omega\vert ^{-1/2}\alpha _0 ^{-1/2}C_a(C_{15}+C_{16}).
\end{align*}
Чтобы оценить $\mathcal{I}_3^{(3)}(\varepsilon)$, воспользуемся \eqref{<b^*b<}, \eqref{b_l <=} и \eqref{Lambda S_eps <=}:
\begin{equation*}
\mathcal{I}^{(3)}_3(\varepsilon)
\leqslant \varepsilon \Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1 ^{3/2}d^{1/2}  M_1\Vert 
\mathbf{D}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
Отсюда с помощью \eqref{tilde u_0 in H2} для $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ и леммы \ref{lemma phi eps} выводим оценку
\begin{equation}
\label{3.43 from draft}
\mathcal{I}_3^{(3)}(\varepsilon)\leqslant
c(\phi)^2 \left({\gamma}_{14}\varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}+{\gamma}_{15}\varepsilon ^2\right)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где ${\gamma}_{14}=\Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1 ^{3/2} d^{1/2} M_1k_3C_{15}$, ${\gamma}_{15}=\Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1 ^{3/2} d^{1/2} M_1 k_3(C_{15}+C_{16})$.

Аналогично, с учетом \eqref{tilde Lambda S_eps <=} получаем 
\begin{equation}
\label{3.44 from draft}
\mathcal{I}_3^{(4)}(\varepsilon)
\leqslant
c(\phi)^2 {\gamma}_{16}\varepsilon\vert\zeta\vert^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}, \quad \vert \zeta\vert \geqslant 1,
\end{equation}
с постоянной
\begin{align*}
{\gamma}_{16}&=\Vert g\Vert _{L_\infty}d^{1/2}\alpha _1 \widetilde{M}_1 k_2(C_{15}+C_{16}).
\end{align*}

Оценим член $\mathcal{I}_3^{(5)}(\varepsilon)$:
\begin{equation}
\label{*.3}
\begin{split}
\mathcal{I}_3^{(5)}(\varepsilon )
&\leqslant \varepsilon \sum _{j=1}^d \Vert D_j \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\Vert (a_j^\varepsilon )^* \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+
\varepsilon \sum _{j=1}^d \Vert D_j\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert (a_j^\varepsilon)^*\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
В силу предложения \ref{Proposition f^eps S_eps} выполнено
\begin{equation}
\label{*.3aa}
\Vert (a_j^\varepsilon )^* \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
\vert \Omega\vert ^{-1/2}\Vert a_j^*\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
Применяя неравенство Гёльдера и теорему вложения Соболева, получаем
\begin{equation}
\label{*.3a}
\Vert a_j^*\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}
\leqslant C(q,\Omega)\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}\Vert \Lambda\Vert _{H^1(\Omega)},
%\quad q=2\rho /(\rho -2).
\end{equation}
$q=\infty$ при $d=1$, $q=2\rho /(\rho -2)$ при $d\geqslant 2$. 
Аналогично,
\begin{equation}
\label{*.3aaa}
\begin{split}
\Vert (a_j^\varepsilon)^*\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant
\vert \Omega\vert ^{-1/2}\Vert a_j^*\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\vert \Omega \vert ^{-1/2}C(q,\Omega)\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{H^1(\Omega)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Из \eqref{*.3}--\eqref{*.3aaa} вытекает, что
\begin{equation}
\label{*.3b}
\begin{split}
\mathcal{I}_3^{(5)}(\varepsilon)&\leqslant \varepsilon \widehat{C}_a C(q,\Omega) \vert \Omega \vert ^{-1/2}
\Vert \mathbf{D} \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\times
\left(
\Vert \Lambda \Vert _{H^1(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{H^1(\Omega)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\right).
\end{split}
\end{equation}
В силу \eqref{Lambda <=} и \eqref{DLambda<=} имеем
\begin{equation}
\label{Lambda in H1 <=}
\vert \Omega \vert ^{-1/2}\Vert \Lambda \Vert _{H^1(\Omega)}\leqslant M_1+M_2.
\end{equation}
Согласно \eqref{tilde Lambda<=}, \eqref{D tilde Lambda}, \eqref{tilde M2 =}, \eqref{tilde M_1 =} выполнено
\begin{equation}
\label{tilde Lambda in H1 <=}
\vert \Omega \vert ^{-1/2}\Vert \widetilde{\Lambda} \Vert _{H^1(\Omega)}\leqslant \widetilde{M}_1+\widetilde{M}_2.
\end{equation}
Из \eqref{<b^*b<}, \eqref{3.12 from draft}, \eqref{*.3b} и неравенств \eqref{tilde u_0 in L2}, \eqref{tilde u_0 in H1} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ получаем, что
\begin{equation}
\label{I_3^5<=}
\mathcal{I}_3^{(5)}(\varepsilon)
\leqslant
c(\phi)^2 \gamma _{17}\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}
\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Здесь
\begin{align*}
\gamma_{17}&=\widehat{C}_aC(q,\Omega)(C_{15}+C_{16})
\left(
(M_1+M_2)\alpha _1^{1/2}k_2+(\widetilde{M}_1+\widetilde{M}_2)k_1\right).
\end{align*}

Перейдем к оценке члена $\mathcal{I}_3^{(6)}(\varepsilon)$:
\begin{equation}
\label{*.4}
\begin{split}
\mathcal{I}_3^{(6)}(\varepsilon)
&\leqslant
\sum _{j=1}^d \Vert (a_j^\varepsilon )^*\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\left(
\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon }\vert (D_j \Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}\right) ^{1/2}
\\
&+
\sum _{j=1}^d \Vert (a_j^\varepsilon )^*\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\left(
\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon }\vert (D_j \widetilde{\Lambda} )^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}\right) ^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}
Применяя лемму \ref{Lemma a embedding thm}, имеем
\begin{equation}
\label{*.5}
\Vert (a_j^\varepsilon )^*\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C(q,\Omega)\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega )}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)},\quad q=2\rho/(\rho -2).
\end{equation}
В силу леммы \ref{Lemma 3.6 from Su15} выполнено
\begin{equation}
\label{*.5a}
\begin{split}
&\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon }\vert (D_j \Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}
\\
&\leqslant
\beta _*\varepsilon\vert \Omega\vert ^{-1}\Vert D_j\Lambda \Vert ^2_{L_2(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Аналогично,
\begin{equation}
\label{*.5aa}
\int _{(\partial\mathcal{O})_\varepsilon }\vert (D_j \widetilde{\Lambda} )^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant
\beta _*\varepsilon\vert \Omega\vert ^{-1}\Vert D_j\widetilde{\Lambda }\Vert ^2_{L_2(\Omega)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
Теперь из \eqref{*.4}--\eqref{*.5aa} вытекает оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
&\mathcal{I}_3^{(6)}(\varepsilon )
\leqslant
C(q,\Omega)\widehat{C}_a
\left(\beta _*\vert\Omega \vert ^{-1}\varepsilon\right)^{1/2}
\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\times
\Bigl(
\Vert \mathbf{D}\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}^{1/2}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^{1/2}
\\
&+\Vert \mathbf{D}\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}^{1/2}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^{1/2}
\Bigr).
\end{split}
\end{equation*}
Учитывая \eqref{<b^*b<}, \eqref{DLambda<=}, \eqref{D tilde Lambda}, \eqref{tilde M2 =}, неравенства \eqref{tilde u_0 in L2}--\eqref{tilde u_0 in H2} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ и лемму \ref{lemma phi eps}, отсюда получаем
\begin{equation}
\label{I_3^6<=}
\mathcal{I}_3^{(6)}(\varepsilon)
\leqslant 
c(\phi)^2(\gamma _{18}\varepsilon \vert \zeta \vert ^{-1/2}+\gamma _{19}\varepsilon ^2)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где
\begin{align*}
\gamma _{18}&=(C_{14}+C_{15}+C_{16})C(q,\Omega)\widehat{C}_a\beta _*^{1/2}k_2^{1/2}
\bigl(M_2\alpha _1^{1/2}k_3^{1/2}
+\widetilde{M}_2k_1^{1/2}\bigr)
,
\\
\gamma _{19}&=C_{16}C(q,\Omega)\widehat{C}_a\beta _*^{1/2}k_2^{1/2}
M_2\alpha _1^{1/2}k_3^{1/2}.
\end{align*}

Член $\mathcal{I}_3^{(7)}(\varepsilon)$ оценим с помощью \eqref{*.5}, \eqref{Lambda S_eps <=} и \eqref{tilde Lambda S_eps <=}:
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathcal{I}_3^{(7)}(\varepsilon)
&\leqslant
\varepsilon\sum _{j=1}^d\Vert (a_j^\varepsilon)^*\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\left(
\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_j\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_j \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\right)
\\
&\leqslant
\varepsilon C(q,\Omega)\sum _{j=1}^d \Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\times
\left(
M_1\Vert b(\mathbf{D})D_j\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+\widetilde{M}_1\Vert D_j\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\right).
\end{split}
\end{equation*}
Воспользуемся теперь леммой \ref{lemma phi eps} и неравенствами \eqref{<b^*b<} и \eqref{tilde u_0 in H1}, \eqref{tilde u_0 in H2} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$. Получим
\begin{equation}
\label{I_3^7<=}
\mathcal{I}_3^{(7)}(\varepsilon)
\leqslant
c(\phi)^2(\gamma _{20}\varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}+\gamma _{21}\varepsilon ^2)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где
\begin{align*}
\gamma _{20}&=
\widehat{C}_aC(q,\Omega)\left(
C_{15}M_1\alpha_1^{1/2}k_3+(C_{14}+C_{15}+C_{16})\widetilde{M}_1k_2
\right),
\\
\gamma _{21}&=
\widehat{C}_aC(q,\Omega)(C_{14}+C_{15}+C_{16})M_1\alpha _1 ^{1/2}k_3
.
\end{align*}
Оценим теперь член $\mathcal{I}_3^{(8)}(\varepsilon)$:
\begin{equation}
\label{*.7}
\begin{split}
\mathcal{I}_3^{(8)}(\varepsilon)
&\leqslant
\varepsilon \Vert \vert Q^\varepsilon \vert ^{1/2}\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\times
\left(
\Vert \vert Q^\varepsilon \vert ^{1/2}\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+
\Vert \vert Q^\varepsilon \vert ^{1/2}\widetilde{\Lambda} ^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\right).
\end{split}
\end{equation}
На основании предложения \ref{Proposition f^eps S_eps} и \eqref{<b^*b<} имеем
\begin{equation}
\label{*.7a}
\Vert \vert Q^\varepsilon \vert ^{1/2}\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
\alpha _1^{1/2}\vert \Omega\vert ^{-1/2}\Vert \vert Q\vert ^{1/2}\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
В силу неравенства Гёльдера и теоремы вложения
\begin{equation}
\label{*.7b}
\Vert \vert Q\vert ^{1/2}\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}
\leqslant C(\check{q},\Omega)\Vert Q\Vert ^{1/2}_{L_s(\Omega)}\Vert \Lambda\Vert _{H^1(\Omega)},\quad\check{q}=2s/(s-1).
\end{equation}
Аналогично,
\begin{equation}
\label{*.7c}
\Vert \vert Q^\varepsilon \vert ^{1/2}\widetilde{\Lambda} ^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \vert\Omega\vert ^{-1/2} C(\check{q},\Omega)\Vert Q\Vert ^{1/2}_{L_s(\Omega)}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{H^1(\Omega)}\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
Из оценок \eqref{*.7}--\eqref{*.7c} с учетом \eqref{*.star star}, \eqref{Lambda in H1 <=}, \eqref{tilde Lambda in H1 <=} следует, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathcal{I}_3^{(8)}(\varepsilon)
&\leqslant 
\varepsilon C(\check{q},\Omega)^2\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}\Vert \boldsymbol{\varphi}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}\\
&\times
\left(
\alpha _1^{1/2}(M_1+M_2)\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}+(\widetilde{M}_1+\widetilde{M}_2)\Vert \widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\right).
\end{split}
\end{equation*}
В силу неравенств \eqref{tilde u_0 in L2}, \eqref{tilde u_0 in H1} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ и леммы \ref{lemma phi eps} это влечет
\begin{equation}
\label{I_3^8<=}
\mathcal{I}_3^{(8)}(\varepsilon)
\leqslant
c(\phi)^2\gamma _{22}\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где
\begin{align*}
\gamma _{22}&=
C(\check{q},\Omega)^2\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}
(C_{14}+C_{15}+C_{16})
\bigl((M_1+M_2)\alpha _1^{1/2}k_2+(\widetilde{M}_1+\widetilde{M}_2)k_1\bigr).
\end{align*}

Оценим, наконец, член $\mathcal{I}_3^{(9)}(\varepsilon)$ с помощью \eqref{<b^*b<}, \eqref{Lambda S_eps <=}, \eqref{tilde Lambda S_eps <=}, неравенств \eqref{tilde u_0 in L2}, \eqref{tilde u_0 in H1} для функции $\widetilde{\boldsymbol{\eta}}_0$ и леммы \ref{lemma phi eps}. В результате получаем
\begin{equation}
\label{3.49 from draft}
\mathcal{I}_3^{(9)}(\varepsilon)
\leqslant
c(\phi)^2 {\gamma}_{23}\varepsilon\vert\zeta\vert^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где ${\gamma}_{23}=\lambda \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}C_{14}
\left(M_1\alpha _1^{1/2}k_2+\widetilde{M}_1k_1\right)$.

В итоге соотношения \eqref{3.40 from draft}--\eqref{3.44 from draft}, \eqref{I_3^5<=}, \eqref{I_3^6<=}, \eqref{I_3^7<=}, \eqref{I_3^8<=}, \eqref{3.49 from draft} влекут
\begin{equation}
\label{3.50 from draft}
\begin{split}
\mathcal{I}_3(\varepsilon)
&\leqslant
c(\phi)^2
\Bigl(
\bigl(
\gamma_{11}+\gamma_{13}+\gamma_{14}+\gamma_{16}+\gamma_{17}+\gamma_{18}+\gamma _{20}+\gamma _{22}+\gamma _{23}
\bigr)
\varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}
\\
&+
\bigl(
\gamma _{12}+\gamma _{15}+\gamma _{19}+\gamma _{21}
\bigr)
\varepsilon ^2
\Bigr)
\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}

Итак, мы оценили все члены в правой части \eqref{3.25 from draft}. Из \eqref{3.25 from draft}--\eqref{3.27 from draft}, \eqref{I_2(eps)<=}, \eqref{3.50 from draft} следует неравенство
\begin{equation*}
%\label{3.51 from draft}
\left\vert (\mathbf{w}_\varepsilon -\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon ,\boldsymbol{\Phi})_{L_2(\mathcal{O})}\right\vert
\leqslant c(\phi)^5(\gamma _*\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/2}+\gamma _{**}\varepsilon ^2 )\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Здесь $\gamma _*=C_{21}
+\gamma _1+\gamma _3+\gamma _5+\gamma _7+\gamma _8+\gamma _{9}+\gamma _{10}+\gamma_{11}+\gamma _{13}+\gamma_{14}+\gamma_{16}+\gamma_{17}+\gamma_{18}+\gamma_{20}+\gamma_{22}+\gamma _{23}$,
 $\gamma_{**}=\gamma _2+\gamma _4+\gamma_6+\gamma_{12}+\gamma_{15}+\gamma _{19}+\gamma _{21}$.
  Следовательно,
  \begin{equation*}
  %\label{3.52 from draft}
  \Vert \mathbf{w}_\varepsilon -\boldsymbol{\varphi}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
  \leqslant
  c(\phi)^5(\gamma _*\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/2}+\gamma _{**}\varepsilon ^2 )\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
  \end{equation*}
Вместе с \eqref{3.11 from draft} это влечет \eqref{3.23 from draft} с постоянными $C_{19}=\gamma _*+C_{14}$, $C_{20}=\gamma _{**}$.
\end{proof}

\subsection{Завершение доказательства теоремы \ref{Theorem Dirichlet L2}} Из \eqref{2.35 from draft} и \eqref{3.23 from draft} вытекает неравенство
\begin{equation}
\label{raznost res with eps ^2}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_{22}c(\phi)^5(\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/2}+\varepsilon ^2)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\end{equation}
с постоянной $C_{22}=\max\lbrace C_{11}+C_{19};C_{20}\rbrace$. Чтобы получить отсюда \eqref{Th L2}, заметим, что в силу \eqref{Q_0=}, \eqref{B deps and tilde B D,eps tozd resolvent}, \eqref{f_0<=} и \eqref{B_D0 and tilde B_D0 resolvents} при всех $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ и $0<\varepsilon\leqslant 1$ верна грубая оценка
\begin{equation}
\label{raznost res grubo}
\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant 2\Vert Q_0 ^{-1}\Vert _{L_\infty} c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1}.
\end{equation}
При $\vert\zeta\vert \leqslant \varepsilon ^{-2}$ используем \eqref{raznost res with eps ^2} и заметим, что $\varepsilon ^2\leqslant \varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}$. При\break $\vert \zeta \vert >\varepsilon ^{-2}$ применим \eqref{raznost res grubo} и учтем, что $\vert \zeta\vert ^{-1}<\varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}$. Отсюда вытекает \eqref{Th L2} с постоянной $C_4=\max\lbrace 2\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty} ;2C_{22}\rbrace $. 
Теорема \ref{Theorem Dirichlet L2} доказана.

\section{Специальные случаи} 
\label{Chapter Special cases}

\subsection{Устранение сглаживателя $S_\varepsilon$ в корректоре} Оказывается, что сглаживающий оператор $S_\varepsilon$ в корректоре может быть устранен, если наложить на матрицы-функции $\Lambda(\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ дополнительные условия.

\begin{condition}
\label{Condition Lambda in L infty}
Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} ограничено, т. е. $\Lambda\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$.
\end{condition}

Случаи, когда условие~\ref{Condition Lambda in L infty} выполнено автоматически, выделены в \cite[лемма 8.7]{BSu06}:

\begin{proposition}[\cite{BSu06}]
\label{Proposition Lambda in L infty <=}
Условие~\textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений:

\noindent
$1^\circ )$ $d\leqslant 2${\rm ;}

\noindent
$2^\circ )$ размерность $d\geqslant 1$ произвольна, а оператор $A_\varepsilon$ имеет вид $A_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами{\rm ;}

\noindent
$3^\circ )$ размерность $d$ произвольна, и $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{underline-g}.
\end{proposition}

Для того, чтобы устранить $S_\varepsilon$ в члене корректора, содержащем $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon$, достаточно наложить следующее условие.

\begin{condition}
\label{Condition tilde Lambda in Lp}
Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ задачи \eqref{tildeLambda_problem} таково, что
\begin{equation*}
\widetilde{\Lambda}\in L_p(\Omega),\quad p=2 \;\mbox{при}\;d=1,\quad p>2\;\mbox{при}\;d=2, \quad p=d \;\mbox{при}\;d\geqslant 3.
\end{equation*}
\end{condition}

Следующий результат установлен в \cite[предложение 8.11]{SuAA}.

\begin{proposition}[\cite{SuAA}]
Условие \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений:

\noindent
$1^\circ )$ $d\leqslant 4${\rm ;}

\noindent
$2^\circ )$ размерность $d$ произвольна, а оператор $A_\varepsilon$ имеет вид $A_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами. 
\end{proposition}

\begin{remark}
\label{Remark scalar problem}
Если $A_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами, то из  \textnormal{\cite[глава {\rm III}, теорема {\rm 13.1}]{LaU}} следует, что норма $\Vert\Lambda\Vert _{L_\infty}$ не превосходит величины, зависящей от $d$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и $\Omega$, а норма $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$ оценивается в терминах $d$, $\rho$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots ,d$, и $\Omega$. В этом случае выполнены условия \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} и \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}.
\end{remark}

Наша цель в этом пункте --- доказать следующую теорему.

\begin{theorem}
\label{Theorem no S-eps}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dirichlet H1}}.

\noindent
$1^\circ$. Пусть матрица-функция $\Lambda(\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Положим 
\begin{equation}
\label{G1(eps,zeta)}
G_1(\varepsilon ;\zeta )= \widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}
+g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}.
\end{equation}
Тогда при $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert\geqslant 1$, и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{Th no S-eps 1}
\begin{split}
\Vert & (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta \vert ^{-1/4}+C_{23}'c(\phi)^4\varepsilon ,
\end{split}
\\
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}- G_1(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widetilde{C}_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+\widetilde{C}_{23}'c(\phi)^4\varepsilon .
\end{split}
\nonumber
\end{align}
Здесь постоянные $C_5$ и $\widetilde{C}_5$ --- те же, что и в \eqref{Th L2->H1} и \eqref{Th fluxes} соответственно. Постоянные $C_{23}'$ и $\widetilde{C}_{23}'$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$ и $\Vert \Lambda \Vert _{L_\infty}$.

\noindent
$2^\circ$. Пусть матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Обозначим
\begin{equation}
\label{G2(eps;zeta)}
G_2(\varepsilon ;\zeta )= \widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}
+g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon (B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}.
\end{equation}
Тогда при $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert\geqslant 1$, и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ выполнено
\begin{align}
\label{Th no S-eps 2}
\begin{split}
\Vert & (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon  )(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta \vert ^{-1/4}+C_{23}''c(\phi)^4\varepsilon ,
\end{split}
\\
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}- G_2(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widetilde{C}_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+\widetilde{C}_{23}''c(\phi)^4\varepsilon .
\end{split}
\nonumber
\end{align}
Постоянные $C_{23}''$ и $\widetilde{C}_{23}''$ зависят лишь от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, от $p$ и $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.

\noindent
$3^\circ$. Предположим, что условия \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} и \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} выполнены одновременно. Положим
\begin{equation}
\label{G3(eps;zeta)}
G_3(\varepsilon ;\zeta )= \widetilde{g}^\varepsilon  b(\mathbf{D})(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}
+g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon (B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}.
\end{equation}
Тогда при $\zeta \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert\geqslant 1$, и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ справедливы аппроксимации
\begin{align}
\label{Th no S-eps 3}
\begin{split}
\Vert & (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon  b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon  )(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta \vert ^{-1/4}+C_{23}c(\phi)^4\varepsilon ,
\end{split}
\\
\label{Th no S-eps fluxes 3}
\begin{split}
\Vert& g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}- G_3(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widetilde{C}_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+\widetilde{C}_{23}c(\phi)^4\varepsilon .
\end{split}
\end{align}
Постоянные $C_{23}$ и $\widetilde{C}_{23}$ зависят лишь от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, от $p$ и от норм $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.
\end{theorem}

При соответствующих условиях непрерывность операторов под знаком нормы в оценках из теоремы \ref{Theorem no S-eps} вытекает из лемм \ref{Lemma Lambda in L infty}, \ref{Lemma Lambda in Lp H1->L2}, \ref{Lemma DLambda, Lambda in Lp}.

Для доказательства теоремы \ref{Theorem no S-eps} нам потребуются следующие леммы. Их доказательства сходны с доказательствами лемм 8.7 и 8.8 из \cite{MSu15}.

\begin{lemma}
\label{Lemma Lambda (S-I)}
Пусть $\Gamma$-периодическое матричнозначное решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} удовлетворяет условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ выполнено
\begin{equation}
\label{lemma Lambda (S-I)}
\Vert [\Lambda ^\varepsilon ]b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant\mathfrak{C}_\Lambda .
\end{equation}
Постоянная $\mathfrak{C}_\Lambda$ зависит только от $m$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от параметров решетки $\Gamma$ и нормы $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Пусть $\boldsymbol{\Phi}\in H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. В силу \eqref{<b^*b<} и условия \ref{Condition Lambda in L infty}
\begin{equation}
\label{1 lemma Lambda (S-I)}
\Vert \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 2\alpha _1^{1/2}\Vert \Lambda \Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}

Рассмотрим производные:
\begin{equation*}
\partial _j\left( \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\right)
=\varepsilon ^{-1}(\partial _j \Lambda )^\varepsilon (S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})\boldsymbol{\Phi}
+\Lambda ^\varepsilon (S_\varepsilon -I) b(\mathbf{D})\partial _j \boldsymbol{\Phi}.
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathbf{D}\left(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\right)\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant
2\varepsilon ^{-2}\Vert (\mathbf{D}\Lambda )^\varepsilon (S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})\boldsymbol{\Phi}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+2\Vert \Lambda \Vert ^2_{L_\infty}\Vert (S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})\mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
В силу леммы \ref{Lemma Lambda in L infty} отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathbf{D}\left(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\right)\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant 
2\beta _1 \varepsilon ^{-2}\Vert (S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})\boldsymbol{\Phi}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+ 2\Vert \Lambda \Vert ^2_{L_\infty}(\beta _2+1)\Vert (S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})\mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
Применяя \eqref{<b^*b<} и предложение \ref{Proposition S__eps - I}, находим
\begin{equation}
\label{2 lemma Lambda (S-I)}
\begin{split}
\Vert \mathbf{D}\left(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\right)\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant \alpha _1 \left(2\beta _1 r_1^2+8\Vert \Lambda \Vert ^2_{L_\infty}(\beta _2+1)\right)\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}^2.
\end{split}
\end{equation}
Теперь из \eqref{1 lemma Lambda (S-I)} и \eqref{2 lemma Lambda (S-I)} получаем оценку
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 
\mathfrak{C}_\Lambda \Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \mathfrak{C}_\Lambda \Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)},\\
 \boldsymbol{\Phi}\in H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),
\end{split}
\end{equation*}
с постоянной 
$\mathfrak{C}_\Lambda ^2
=\alpha _1\left(2\beta _1 r_1^2 +8\Vert \Lambda \Vert ^2 _{L_\infty}(\beta _2+1)\right)$.
Это равносильно оценке \eqref{lemma Lambda (S-I)}.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{Lemma tilde Lambda(S-I)}
Пусть матричнозначное $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})$ задачи \eqref{tildeLambda_problem} удовлетворяет условию \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ](S_\varepsilon -I)\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}.
\end{equation*}
Постоянная $\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}$ зависит только от $n$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\rho$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от норм $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots,d$, от $p$, $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$ и от параметров решетки $\Gamma$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Пусть $\boldsymbol{\Phi}\in H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Из леммы \ref{Lemma Lambda in Lp H1->L2} и условия \ref{Condition tilde Lambda in Lp} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{1 lemma tilde Lambda (S-I)}
\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 2 C(\widehat{q},\Omega)\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}

Рассмотрим производные:
\begin{equation*}
\partial _j \bigl(\widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\bigr)
=\varepsilon ^{-1}(\partial _j \widetilde{\Lambda})^\varepsilon (S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}
+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I)\partial _j \boldsymbol{\Phi}.
\end{equation*}
С учетом лемм \ref{Lemma Lambda in Lp H1->L2} и \ref{Lemma DLambda, Lambda in Lp} отсюда  получаем 
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathbf{D}\bigl(\widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\bigr)\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant 2\widetilde{\beta}_1\varepsilon ^{-2}\Vert (S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi} \Vert ^2 _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&+2(\widetilde{\beta}_2+1)\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert ^2_{L_p(\Omega)}C(\widehat{q},\Omega)^2\Vert \mathbf{D}(S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\Vert ^2_{H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
Для оценки первого члена справа применим предложение \ref{Proposition S__eps - I}. Тогда 
\begin{equation}
\label{2 lemma tilde Lambda (S-I)}
\begin{split}
\Vert& \mathbf{D}\bigl(\widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\bigr)\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\bigl(
2\widetilde{\beta}_1r_1^2+8(\widetilde{\beta}_2+1)\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert ^2 _{L_p(\Omega)}C(\widehat{q},\Omega)^2\bigr)
\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert ^2 _{H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Теперь из \eqref{1 lemma tilde Lambda (S-I)} и \eqref{2 lemma tilde Lambda (S-I)} следует неравенство
\begin{equation*}
\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I)\boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)},
\end{equation*}
справедливое при любом $\boldsymbol{\Phi}\in H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Здесь
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}^2
=2\widetilde{\beta}_1r_1^2+(8\widetilde{\beta}_2+{12})C(\widehat{q},\Omega)^2\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert ^2_{L_p(\Omega)}.
\end{split}
\end{equation*}
\end{proof}

\subsection{Доказательство теоремы \ref{Theorem no S-eps}}
\begin{proof}
Установим сначала аппроксимации обобщенной резольвенты при учете корректора. 
Из \eqref{lemma hom probl 3}, \eqref{PO} и леммы \ref{Lemma Lambda (S-I)} вытекает, что при условии \ref{Condition Lambda in L infty} справедлива оценка
\begin{equation}
\label{d-vo Th 7/6 1}
\begin{split}
\varepsilon & \Vert [\Lambda ^\varepsilon ](S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
\varepsilon \Vert [\Lambda ^\varepsilon ](S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\\
&\leqslant 
\varepsilon \mathfrak{C}_\Lambda C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2 c(\phi).
\end{split}
\end{equation}
Отсюда и из \eqref{Th L2->H1} получаем оценку \eqref{Th no S-eps 1} с постоянной $C_{23}'=C_6+\mathfrak{C}_\Lambda C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2$.

Аналогично, с помощью \eqref{lemma hom probl 3}, \eqref{PO} и леммы \ref{Lemma tilde Lambda(S-I)} находим, что при условии \ref{Condition tilde Lambda in Lp} выполнено
\begin{equation}
\label{d-vo Th 7/6 2}
\varepsilon\Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon](S_\varepsilon -I)P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant \varepsilon\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2c(\phi).
\end{equation}
Отсюда и из \eqref{Th L2->H1} вытекает оценка \eqref{Th no S-eps 2} с постоянной $C_{23}''=C_6+\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2$.

Наконец, если выполнены условия \ref{Condition Lambda in L infty} и \ref{Condition tilde Lambda in Lp} одновременно, из \eqref{Th L2->H1}, \eqref{d-vo Th 7/6 1} и \eqref{d-vo Th 7/6 2} следует неравенство \eqref{Th no S-eps 3}, где $C_{23}=C_6+(\mathfrak{C}_\Lambda+\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}})C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2$.

Результаты теоремы \ref{Theorem no S-eps}, относящиеся к аппроксимации потоков, выводятся из соответствующих оценок для обобщенной резольвенты. Доказательство во многом похоже на доказательство оценки \eqref{Th fluxes}. Для примера докажем \eqref{Th no S-eps fluxes 3} в условиях пункта $3^\circ$ теоремы. Аналогично \eqref{3.19 from draft} из \eqref{Th no S-eps 3} вытекает, что
\begin{equation}
\label{d-vo Th 7/6 3}
\begin{split}
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-g^\varepsilon b(\mathbf{D})
\bigl(I+\varepsilon ([\Lambda ^\varepsilon]b(\mathbf{D})+[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ])
\bigr)
(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2\rightarrow L_2}
\\
&\leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}
\bigl(
C_5 c(\phi )^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+C_{23}c(\phi)^4\varepsilon
\bigr).
\end{split}
\end{equation}
Далее, аналогично \eqref{3.20 from draft}
\begin{equation}
\label{d-vo Th 7/6 4}
\begin{split}
\varepsilon & g^\varepsilon b(\mathbf{D})
\bigl([\Lambda ^\varepsilon ]b(\mathbf{D})+[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\bigr)(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}
\\
&=
g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\Lambda\bigr)^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}
+
g^\varepsilon \bigl( b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon (B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}
\\
&+
\varepsilon\sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl([\Lambda ^\varepsilon ]b(\mathbf{D})D_l+[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]D_l\bigr)
(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}.
\end{split}
\end{equation}
Отличие от доказательства неравенства \eqref{Th fluxes} возникает при оценке третьего слагаемого в правой части тождества \eqref{d-vo Th 7/6 4}. Используя условие \ref{Condition Lambda in L infty}, а также \eqref{b_l <=} и \eqref{lemma hom probl 3}, получаем
\begin{equation}
\label{d-vo Th 7/6 5}
\begin{split}
\varepsilon & \sum _{l=1}^d \Vert g^\varepsilon b_l [\Lambda ^\varepsilon ]b(\mathbf{D})D_l(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\varepsilon\alpha _1 d\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}^2(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\varepsilon\alpha _1 d \Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}\mathcal{C}_2 c(\phi).
\end{split}
\end{equation} 
Далее, в силу \eqref{b_l <=}, \eqref{lemma hom probl 3}, \eqref{PO}, условия \ref{Condition tilde Lambda in Lp} и леммы \ref{Lemma Lambda in Lp H1->L2} выполнено
\begin{equation}
\begin{split}
\label{d-vo Th 7/6 5a}
\varepsilon&\sum _{l=1}^d \Vert g^\varepsilon b_l [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ] D_l (B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\varepsilon (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\mathbf{D}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \varepsilon (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]P_\mathcal{O}\mathbf{D}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \varepsilon (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}C(\widehat{q},\Omega)C_\mathcal{O}^{(1)}\Vert \mathbf{D}(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \varepsilon (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}C(\widehat{q},\Omega)C_\mathcal{O}^{(1)}\mathcal{C}_2 c(\phi).
\end{split}
\end{equation}
Отсюда и из \eqref{d-vo Th 7/6 5} вытекает, что третье слагаемое в правой части \eqref{d-vo Th 7/6 4} оценивается через $\widehat{C}_{23}\varepsilon c(\phi)$, где 
\begin{equation*}
\widehat{C}_{23}=(d\alpha _1)^{1/2}\mathcal{C}_2\Vert g\Vert _{L_\infty}\bigl( (d\alpha _1)^{1/2}\Vert \Lambda \Vert _{L_\infty}+C(\widehat{q},\Omega)C_{\mathcal{O}}^{(1)}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)} \bigr). 
\end{equation*}
Вместе с \eqref{d-vo Th 7/6 3} и \eqref{d-vo Th 7/6 4} это влечет оценку \eqref{Th no S-eps fluxes 3} с постоянной $\widetilde{C}_{23}=(d\alpha_1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{23}+\widehat{C}_{23}$.
\end{proof}

\subsection{Случай, когда корректор обращается в нуль} Предположим, что $g^0=\overline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{overline-g}. Тогда $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{Lambda problem} обращается в нуль: $\Lambda (\mathbf{x})=0$. Пусть кроме этого выполнено равенство
\begin{equation}
\label{sum Dj aj =0}
\sum _{j=1}^d D_j a_j(\mathbf{x})^* =0.
\end{equation}
Тогда $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{tildeLambda_problem} также равно нулю:\break $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$. Поэтому в рассматриваемом случае оператор \eqref{K_D(eps,zeta)} обращается в нуль, формула \eqref{Th L2->H1} упрощается и из теоремы \ref{Theorem Dirichlet H1} вытекает следующий результат.

\begin{proposition}
\label{Proposition K=0}
Пусть справедливы равенства \eqref{overline-g} и \eqref{sum Dj aj =0}. Тогда в условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dirichlet H1}} при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$, верна оценка
\begin{equation*}
\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant C_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}
+C_6 c(\phi)^4\varepsilon .
\end{equation*}
\end{proposition}

\subsection{Специальный случай} Предположим теперь, что $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы представления \eqref{underline-g}. Тогда в силу предложения \ref{Proposition Lambda in L infty <=}($3^\circ$) выполнено условие \ref{Condition Lambda in L infty}. При этом согласно \cite[замечание 3.5]{BSu05} матрица-функция \eqref{tilde g} постоянна и совпадает с $g^0$, т. е. $\widetilde{g}(\mathbf{x})=g^0=\underline{g}$. Таким образом, $\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}=g^0b(\mathbf{D})(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}$.

Предположим дополнительно, что справедливо равенство \eqref{sum Dj aj =0}. Тогда $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$ и из теоремы \ref{Theorem no S-eps}($3^\circ$) вытекает следующий результат.

\begin{proposition}
\label{Proposition tilde Lambda =0 in Sec. 7}
Пусть имеют место соотношения \eqref{underline-g} и \eqref{sum Dj aj =0}. Тогда в условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dirichlet L2}} при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$, верна оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-g^0b(\mathbf{D})(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widetilde{C}_5 c(\phi)^2\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/4}+\widetilde{C}_{23}c(\phi)^4\varepsilon .
\end{split}
\end{equation*}
\end{proposition}

%
\section{Оценки в строго внутренней подобласти} 
\label{Chapter Interior subdomain}

\subsection{Общий случай}
Используя теорему \ref{Theorem Dirichlet L2} и результаты для задачи усреднения в $\mathbb{R}^d$, можно улучшить $H^1$-оценки погрешности в строго внутренней подобласти $\mathcal{O}'$ области $\mathcal{O}$.

Следующий результат устанавливается тем же методом, что и теорема 7.1 из \cite{Su15}.

\begin{theorem}
\label{Theorem O'}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dirichlet H1}}. Пусть $\mathcal{O}'$ --- строго внутренняя подобласть области $\mathcal{O}$. Введем обозначение $\delta :=\mathrm{dist}\,\lbrace \mathcal{O}';\partial \mathcal{O}\rbrace$. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{Th O'}
\Vert &\mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O}')}
\leqslant (C_{24}'\delta ^{-1}+C_{24}'')c(\phi)^6\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
\label{Th O' fluxes}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon -\widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0- g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant \bigl(\widetilde{C}_{24}'\delta ^{-1}+\widetilde{C}_{24}''\bigr) c(\phi)^6\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{align}
Постоянные $C_{24}'$, $C_{24}''$, $\widetilde{C}_{24}'$ и $\widetilde{C}_{24}''$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Фиксируем гладкую срезку $\chi (\mathbf{x})$ со следующими свойствами:
\begin{equation}
\label{hi properties}
\chi\in C_0^\infty (\mathcal{O});\quad 0\leqslant \chi (\mathbf{x})\leqslant 1;\quad \chi (\mathbf{x})=1 \;\mbox{при}\;\mathbf{x}\in \mathcal{O}';\quad \vert \nabla \chi (\mathbf{x})\vert \leqslant \kappa \delta ^{-1}.
\end{equation}
Постоянная $\kappa$ зависит только от размерности $d$ и области $\mathcal{O}$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{Dirichlet problem}, и пусть $\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon $ --- решение уравнения \eqref{tilde u_eps problem}. Тогда
\begin{equation}
\label{tozd u eps - tilde u eps with eta}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]-\zeta (Q_0^\varepsilon (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon ),\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}=0\quad \forall \boldsymbol{\eta}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
Подставим $\boldsymbol{\eta}=\chi ^2 (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )$ в \eqref{tozd u eps - tilde u eps with eta} и обозначим 
\begin{equation}
\label{U(eps)=}
\mathfrak{U}(\varepsilon ):=\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon ),\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )]=\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon ),\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )].
\end{equation}
Полученное равенство можно привести к виду
\begin{equation}
\label{tozd u eps - tilde u eps}
\begin{split}
\mathfrak{U}(\varepsilon)&-\zeta \left( Q_0^\varepsilon \chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon),\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\right)_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&=
2i\mathrm{Im}\,\left(g^\varepsilon \mathbf{z}_\varepsilon , b(\mathbf{D})\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\right)_{L_2(\mathcal{O})}
+(g^\varepsilon\mathbf{z}_\varepsilon ,\mathbf{z}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+2i\mathrm{Im}\,\sum _{j=1}^d\left( (D_j\chi)(\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon ), (a_j^\varepsilon)^*\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\right)_{L_2(\mathcal{O})}
,
\end{split}
\end{equation}
где введено обозначение $\mathbf{z}_\varepsilon :=\sum _{l=1}^d b_l (D_l \chi)(\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)$. Обозначим последовательные слагаемые в правой части \eqref{tozd u eps - tilde u eps} через $i\mathfrak{I}_1(\varepsilon)$, $\mathfrak{I}_2(\varepsilon)$ и $i\mathfrak{I}_3(\varepsilon)$. 
Оценим эти слагаемые. В силу \eqref{<b^*b<}, \eqref{b_D,eps ots} и \eqref{U(eps)=} выполнено
\begin{equation}
\label{frak I 1<=}
\begin{split}
\vert \mathfrak{I}_1(\varepsilon )\vert &\leqslant 2\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{z}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\alpha _1^{1/2}
\Vert \mathbf{D}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert  _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
2c_*^{-1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{z}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\alpha _1^{1/2}\mathfrak{U}(\varepsilon)^{1/2}
.
\end{split}
\end{equation}
Очевидно,
\begin{equation}
\label{frak I 2 <=}
\mathfrak{I}_2(\varepsilon)\leqslant \Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{z}_\varepsilon\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Норма $\mathbf{z}_\varepsilon$ оценивается на основании \eqref{b_l <=}, \eqref{hi properties}:
\begin{equation}
\label{z eps <=}
\Vert \mathbf{z}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\kappa \delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Тогда 
\begin{equation}
\label{**8.10A}
\mathfrak{I}_2(\varepsilon)
\leqslant \gamma _{24}\delta^{-2}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
,\quad\gamma _{24}:=d\alpha _1\kappa^2\Vert g\Vert _{L_\infty}.
\end{equation}
Член $\mathfrak{I}_3(\varepsilon)$ оценим с помощью леммы~\ref{Lemma a embedding thm}, \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}, \eqref{hi properties} и \eqref{U(eps)=}:
\begin{equation}
\label{I_3 star <=}
\begin{split}
\vert \mathfrak{I}_3(\varepsilon)\vert & \leqslant 2\Vert (\mathbf{D}\chi )(\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert _{L_2(\mathcal{O})} \left( \sum _{j=1}^d \Vert (a_j^\varepsilon )^*\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}\right)^{1/2}
\\
&\leqslant\gamma _{25}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\mathfrak{U}(\varepsilon)^{1/2},\quad \gamma _{25}:=2c_5 C(q,\mathcal{O})\widehat{C}_a\kappa ,
\end{split}
\end{equation}
где $q=\infty$ при $d=1$ и $q=2\rho(\rho -2)^{-1}$ при $d\geqslant 2$.


В тождестве \eqref{tozd u eps - tilde u eps} возьмем мнимую часть. Тогда
\begin{equation*}
\mathrm{Im}\,\zeta\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}=-\mathfrak{I}_1(\varepsilon)-\mathfrak{I}_3(\varepsilon).
\end{equation*}
Поэтому из \eqref{frak I 1<=}, \eqref{z eps <=} и \eqref{I_3 star <=} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{Im zeta || ||}
\vert \mathrm{Im}\,\zeta\vert \Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
\gamma _{26}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\mathfrak{U}(\varepsilon)^{1/2},
\end{equation}
где $\gamma_{26}:= 2 c_*^{-1/2}d^{1/2}\alpha _1 \kappa \Vert g\Vert _{L_\infty}+\gamma_{24}$. 
Если $\mathrm{Re}\,\zeta\geqslant 0$ (а тогда $\mathrm{Im}\,\zeta\neq 0$) отсюда получаем
\begin{equation}
\label{ || || Re zeta >=0}
\begin{split}
 \Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c(\phi)\vert \zeta\vert^{-1}\gamma_{25}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\mathfrak{U}(\varepsilon)^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}
Если $\mathrm{Re}\,\zeta <0$, то возьмем вещественную часть в \eqref{tozd u eps - tilde u eps}. Тогда в силу \eqref{**8.10A} имеем
\begin{equation}
\label{Re || ||}
\begin{split}
\vert\mathrm{Re}\,\zeta\vert\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant
\mathfrak{I}_2(\varepsilon)
\leqslant \gamma _{24}\delta ^{-2}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation} 
Складывая \eqref{Im zeta || ||} и \eqref{Re || ||}, получаем
\begin{equation}
\label{|| || Re <0}
\begin{split}
\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant
\vert \zeta\vert ^{-1}\gamma_{26}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\mathfrak{U}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+\vert \zeta\vert ^{-1}\gamma _{24} \delta ^{-2}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathrm{Re}\,\zeta <0.
\end{split}
\end{equation}
В итоге из \eqref{ || || Re zeta >=0} и \eqref{|| || Re <0} следует, что при всех рассматриваемых значениях $\zeta$ выполнено
\begin{equation}
\label{|| || all zeta}
\begin{split}
\Vert (Q_0^\varepsilon )^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1}\gamma_{26}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\mathfrak{U}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+\vert \zeta\vert ^{-1}\gamma _{24}\delta ^{-2}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Возьмем в \eqref{tozd u eps - tilde u eps} вещественную часть. Тогда
\begin{equation*}
\mathfrak{U}(\varepsilon)
\leqslant \vert \zeta\vert \Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
+\mathfrak{J}_2(\varepsilon).
\end{equation*}
На основании  
\eqref{frak I 2 <=}, \eqref{z eps <=} и \eqref{|| || all zeta} отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathfrak{U}(\varepsilon)
\leqslant
c(\phi)\gamma_{26}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\mathfrak{U}(\varepsilon)^{1/2}
+2\gamma_{24}\delta ^{-2}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
.
\end{split}
\end{equation*}
Следовательно,
\begin{equation*}
\mathfrak{U}(\varepsilon)\leqslant c(\phi)^2\gamma _{27}^2 \delta ^{-2}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation*}
где 
$\gamma _{27}^2=\gamma _{26}^2+4\gamma _{24}$. 
С помощью \eqref{b_D,eps ots} и \eqref{U(eps)=} отсюда выводим
\begin{equation}
\label{D chi u-eps -}
\Vert \mathbf{D}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c(\phi) c_*^{-1/2}\gamma _{27}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}

В силу \eqref{Th L2} и \eqref{tilde U eps -tilde u 0} выполнена оценка
\begin{equation}
\label{u-eps -tilde u eps L2}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \gamma _{28}c(\phi)^5\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad 0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1,
\end{equation}
с постоянной $\gamma _{28}=C_4+C_1C_{\widetilde{F}}$. Из \eqref{D chi u-eps -} и \eqref{u-eps -tilde u eps L2} вытекает, что
\begin{equation*}
\Vert\mathbf{D} \chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c(\phi)^6 \varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2}\gamma _{29}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Здесь $\gamma _{29}=c_*^{-1/2}\gamma _{27}\gamma _{28}$. Следовательно,
\begin{equation}
\label{u-eps - tilde u-eps H1}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O}')}
\leqslant c(\phi)^6\varepsilon \vert \zeta\vert ^{-1/2}(\gamma _{29}\delta ^{-1}+\gamma _{28})\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Комбинируя \eqref{v_eps=} и \eqref{tilde u_eps -v_eps <= in H1}, находим
\begin{equation}
\label{tilde u-eps - v-eps}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O}')}
\leqslant \Vert \widetilde{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \gamma _{30} c(\phi)^3\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{equation}
где $\gamma_{30}:=(C_2+C_3)C_{\widetilde{F}}$. 
Теперь из \eqref{u-eps - tilde u-eps H1}, \eqref{tilde u-eps - v-eps} вытекает оценка \eqref{Th O'} с постоянными $C_{24}'=\gamma_{29}$, $C_{24}''=\gamma _{28}+\gamma _{30}$.

Установим теперь оценку \eqref{Th O' fluxes}. Из \eqref{Th O'} с учетом \eqref{b_l <=} получаем
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{p}_\varepsilon -g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{v}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O}')}
\leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}
(C_{24}'\delta ^{-1}+C_{24}'')c(\phi )^6\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{3.20 from draft}, \eqref{4-th chlen in tozd for fluxes} и \eqref{3.22 from draft} вытекает оценка \eqref{Th O' fluxes} с постоянными
\begin{align*}
&\widetilde{C}_{24}'=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{24}',
\\
&\widetilde{C}_{24}''=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{24}''+C_{17}+C_{18}.
\end{align*}
\end{proof}

\subsection{Устранение сглаживателя в корректоре}
В случае, когда матрицы-функции $\Lambda (\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ удовлетворяют дополнительно условиям \ref{Condition Lambda in L infty}, \ref{Condition tilde Lambda in Lp}, сглаживатель $S_\varepsilon$ в соответствующих членах корректора удается устранить.

\begin{theorem} Пусть выполнены условия теоремы 
\textnormal{\ref{Theorem O'}}.

\noindent
$1^\circ$. Пусть матрица-функция $\Lambda (\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Пусть $G_1(\varepsilon ;\zeta )$ --- оператор \eqref{G1(eps,zeta)}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$, $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert \geqslant 1$, справедливы оценки
\begin{align}
\label{Th 8/2 1}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant (C_{25}'\delta ^{-1}+C_{25}'')c(\phi )^6\varepsilon ,
\end{split}
\\
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-G_1(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O}')}
\leqslant (\widetilde{C}_{25}'\delta ^{-1}+\widetilde{C}_{25}'')c(\phi )^6\varepsilon .
\nonumber
\end{align}
Постоянные $C_{25}'$, $C_{25}''$ и $\widetilde{C}_{25}'$, $\widetilde{C}_{25}''$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$ и $\Vert \Lambda \Vert _{L_\infty}$.

\noindent
$2^\circ$. Пусть матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ удовлетворяет условию \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Пусть $G_2(\varepsilon ;\zeta )$ --- оператор \eqref{G2(eps;zeta)}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert \geqslant 1$, имеют место аппроксимации
\begin{align}
\label{Th 8/2 2}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant (C_{26}'\delta ^{-1}+C_{26}'')c(\phi )^6\varepsilon ,
\end{split}
\\
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-G_2(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O}')}
\leqslant (\widetilde{C}_{26}'\delta ^{-1}+\widetilde{C}_{26}'')c(\phi )^6\varepsilon .
\nonumber
\end{align}
Постоянные $C_{26}'$, $C_{26}''$ и $\widetilde{C}_{26}'$, $\widetilde{C}_{26}''$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, а также от $p$ и $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.

\noindent 
$3^\circ$. Пусть условия \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} и \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} справедливы одновременно. Пусть $G_3(\varepsilon ;\zeta)$ --- оператор \eqref{G3(eps;zeta)}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert \zeta\vert \geqslant 1$, выполнены неравенства
\begin{align}
\label{Th 8/2 3}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon  b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant (C_{27}'\delta ^{-1}+C_{27}'')c(\phi )^6\varepsilon ,
\end{split}
\\
\label{Th 8/2 3 fluxes}
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-G_3(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O}')}
\leqslant (\widetilde{C}_{27}'\delta ^{-1}+\widetilde{C}_{27}'')c(\phi )^6\varepsilon .
\end{align}
Постоянные $C_{27}'$, $C_{27}''$ и $\widetilde{C}_{27}'$, $\widetilde{C}_{27}''$ зависят от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, от $p$ и норм $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Сначала обсудим аппроксимации обобщенной резольвенты при учете корректора. В условиях пункта $1^\circ$ теоремы из \eqref{d-vo Th 7/6 1} и \eqref{Th O'} вытекает оценка \eqref{Th 8/2 1} с постоянными $C_{25}'=C_{24}'$, $C_{25}''=C_{24}''+\mathfrak{C}_\Lambda C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_2$. В условиях пункта $2^\circ$ теоремы оценка \eqref{Th 8/2 2} следует из \eqref{d-vo Th 7/6 2} и \eqref{Th O'}. Наконец, в условиях пункта $3^\circ$ теоремы неравенство \eqref{Th 8/2 3} получается на основании \eqref{d-vo Th 7/6 1}, \eqref{d-vo Th 7/6 2} и \eqref{Th O'}.

Аппроксимации потоков выводятся из соответствующих аппроксимаций обобщенной резольвенты. Доказательство похоже на доказательство оценки \eqref{Th fluxes}. Для примера проверим \eqref{Th 8/2 3 fluxes} в условиях пункта $3^\circ$. Аналогично \eqref{3.19 from draft} из \eqref{Th 8/2 3} вытекает, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-g^\varepsilon b(\mathbf{D})(I+\varepsilon\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon)(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant
(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}(C_{27}'\delta ^{-1}+C_{27}'')c(\phi)^6\varepsilon.
\end{split}
\end{equation*}
Вместе с \eqref{d-vo Th 7/6 4}--\eqref{d-vo Th 7/6 5a} это влечет оценку \eqref{Th 8/2 3 fluxes} с постоянными $\widetilde{C}_{27}'=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{27}'$, $\widetilde{C}_{27}''=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{27}''+\widehat{C}_{23}$.
\end{proof}

\section{,,Другая''\, аппроксимация обобщенной резольвенты}
\label{Section Another approximation} 

В теоремах из \S\ref{Chapter 2 Dirichlet}, \S\ref{Chapter Special cases} и \S\ref{Chapter Interior subdomain} предполагалось, что $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ и $\vert \zeta\vert \geqslant 1$. В настоящем параграфе устанавливаются результаты, справедливые в более широкой области изменения спектрального параметра. 



\subsection{Общий случай}

\begin{theorem}
\label{Theorem Dr appr}
Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. 
Пусть $c_\flat\geqslant 0$ --- общая нижняя грань операторов $\widetilde{B}_{D,\varepsilon}=(f^\varepsilon )^*B_{D,\varepsilon}f^\varepsilon $ и $\widetilde{B}_D^0=f_0B_D^0f_0$. Пусть $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat,\infty)$. Положим $\psi =\mathrm{arg}\,(\zeta -c_\flat)$, $0<\psi <2\pi$. Введем обозначение
\begin{equation}
\label{rho(zeta)}
\varrho _ \flat (\zeta)=\begin{cases}
c(\psi)^2\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-2}, &\vert \zeta -c_\flat\vert <1,\\
c(\psi)^2, &\vert \zeta -c_\flat\vert \geqslant 1.
\end{cases}
\end{equation}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{Dirichlet problem}, $\mathbf{u}_0$ --- решение ,,усредненной''\, задачи \eqref{Dirichlet homogenized problem}. Пусть число $\varepsilon_1$ выбрано из условия \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. 
Тогда при $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{Th dr appr 1 solutions}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
C_{28}\varrho _ \flat (\zeta )\varepsilon \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
В операторных терминах,
\begin{align}
\label{Th dr appr 1}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{28}\varrho _ \flat (\zeta )\varepsilon .
\end{align}
Пусть $K_D(\varepsilon ;\zeta)$ --- оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}. Пусть функция $\mathbf{v}_\varepsilon$ определена в \eqref{v_eps}, \eqref{v_eps=}. 
Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{Th dr appr 2 solutions}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon-\mathbf{v}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\leqslant
\bigl(C_{29}\varepsilon ^{1/2}+C_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon \bigr)\varrho _ \flat (\zeta )\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
В операторных терминах,
\begin{align}
\label{Th dr appr 2}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}
-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant C_{29}\varepsilon ^{1/2}\varrho _ \flat (\zeta )+C_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon \varrho _ \flat (\zeta ).
\end{split}
\end{align}Пусть $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ --- матрица-функция \eqref{tilde g}. 
Для потока $\mathbf{p}_\varepsilon =g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_\varepsilon$ при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ имеет место аппроксимация
\begin{equation}
\label{Th dr appr fluxes}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon -\widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0-g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\mathbf{u}}_0
\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant 
\bigl(\widetilde{C}_{29}\varepsilon ^{1/2}+\widetilde{C}_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon \bigr)\varrho _ \flat (\zeta )\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Постоянные $C_{28}$, $C_{29}$, $C_{30}$ и $\widetilde{C}_{29}$, $\widetilde{C}_{30}$ зависят от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$ и от выбора $c_\flat$.
\end{theorem}

\begin{remark}
\textnormal{1)} Выражение $c(\psi)^2\vert \zeta - c_\flat \vert ^{-2}$ в \eqref{rho(zeta)} --- это величина, обратная к квадрату расстояния от $\zeta$ до $[c_\flat ,\infty)$. \textnormal{2)} В силу \eqref{c_*=}, \eqref{b D,eps >= H1-norm}, \eqref{Q_0=} и \eqref{b_D^0 ots 2} в качестве $c_\flat$ можно выбрать постоянную $4^{-1}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}^{-1}$. \textnormal{3)} Разумеется, при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$, теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dirichlet L2}, \ref{Theorem Dirichlet H1}} и \textnormal{\ref{Theorem Dr appr}} применимы одновременно. При $\phi$, отделенном от точек $0$ и $2\pi$, и большом $\vert\zeta\vert$ выгоднее применять теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dirichlet L2}} и \textnormal{\ref{Theorem Dirichlet H1}}. Однако при ограниченных значениях $\vert\zeta\vert$, а также при малом $\phi$ или $2\pi -\phi$ оценки из теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dr appr}} могут быть предпочтительнее.
\end{remark}

\begin{proof}
Сначала установим оценку \eqref{Th dr appr 1}. 
Воспользовавшись \eqref{Th L2} при $\zeta =-1$, находим
\begin{equation}
\label{Th L2 in -1}
\Vert (B_{D,\varepsilon }+ Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0+ \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_4\varepsilon ,\quad 0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1.
\end{equation}
Справедливо тождество
\begin{equation}
\label{tozd gen res}
\begin{split}
(&B_{D,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\\
&= (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)\\
&\times
\left(
(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}
\right)
(B_D^0+\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\\
&+(1+\zeta)(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}.
\end{split}
\end{equation}
Обозначим слагаемые в правой части \eqref{tozd gen res}  через $T_1(\varepsilon ;\zeta)$ и $T_2(\varepsilon ;\zeta)$.  
С учетом \eqref{B deps and tilde B D,eps tozd resolvent} выполнено
\begin{equation}
\label{tozd lev}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}\Vert (\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}+I)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Очевидно,
\begin{equation}
\label{tilde tozd lev}
\Vert (\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}+I)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \sup\limits _{x\geqslant c_\flat}\frac{(x+1)}{\vert x-\zeta \vert}.
\end{equation}
Вычисление показывает, что
\begin{equation}
\label{sup (x+1)/|x-zeta|}
\sup \limits _{x\geqslant c_\flat}\frac{(x+1)^2}{\vert x-\zeta \vert ^2}\leqslant(c_\flat+2)^2\varrho _ \flat (\zeta),\quad \zeta \in \mathbb{C}\setminus [c_\flat,\infty) .
\end{equation}
Аналогично \eqref{tozd lev}, \eqref{tilde tozd lev} с учетом оценок \eqref{f_0<=} получаем
\begin{equation}
\label{tozd prav}
\Vert (B_D^0+\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}\sup\limits _{x\geqslant c_\flat}\frac{(x+1)}{\vert x-\zeta \vert}.
\end{equation}
Теперь из \eqref{Th L2 in -1}, \eqref{tozd lev}--\eqref{tozd prav} вытекает оценка первого члена в \eqref{tozd gen res}:
\begin{equation}
\label{9.11a}
\Vert T_1(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_4\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert ^2_{L_\infty}(c_\flat +2)^2\varepsilon \varrho _\flat (\zeta).
\end{equation}

Оценим второе слагаемое в правой части \eqref{tozd gen res}:
\begin{equation}
\label{9.12}
\begin{split}
\Vert & T_2(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \vert 1+\zeta \vert \Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\times\Vert [Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0}]\Vert _{H^1(\mathcal{O})\rightarrow H^{-1}(\mathcal{O})}
\Vert (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
По двойственности, поскольку образ оператора $(B_{D,\varepsilon}-\zeta ^*Q_0^\varepsilon )^{-1}$ лежит в $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, с учетом \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2} имеем
\begin{equation}
\label{dvoistvennost}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
=\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta ^*Q_0^\varepsilon )^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant c_5\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}(B_{D,\varepsilon}-\zeta ^*Q_0^\varepsilon )^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
В силу \eqref{tilde b D,eps=} и \eqref{B deps and tilde B D,eps tozd resolvent}  выполнено
\begin{equation}
\label{9.14}
\begin{split}
\Vert& B_{D,\varepsilon }^{1/2}(B_{D,\varepsilon}-\zeta ^*Q_0^\varepsilon )^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
=\Vert \widetilde{B}_{D,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta ^* I)^{-1}(f^\varepsilon )^*\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \Vert f\Vert _{L_\infty}\sup \limits _{x\geqslant c_\flat}\frac{x^{1/2}}{\vert x-\zeta^*\vert}
=\Vert f\Vert _{L_\infty}\sup \limits _{x\geqslant c_\flat}\frac{x^{1/2}}{\vert x-\zeta ^*\vert}.
\end{split}
\end{equation}
Справедлива оценка
\begin{equation}
\label{sup x/|x-zeta|^2}
\sup \limits _{x\geqslant c_\flat}\frac{x}{\vert x-\zeta \vert ^2}\leqslant
\begin{cases}
(c_\flat +1)c(\psi)^2\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-2}, &\vert \zeta -c_\flat\vert <1,\\
(c_\flat +1)c(\psi)^2\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}, &\vert \zeta -c_\flat\vert \geqslant 1.
\end{cases}
\end{equation}
Заметим, что
\begin{align}
\label{|zeta +1|^1/2}
&\vert \zeta +1\vert \leqslant 2+c_\flat \;\mbox{при}\;\vert \zeta -c_\flat\vert <1,\\
\label{|zeta +1|^1/2|zeta -c*|^-1}
&\vert \zeta +1\vert \vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}\leqslant 2+c_\flat \;\mbox{при}\;\vert \zeta -c_\flat\vert \geqslant 1.
\end{align}
Поэтому
\begin{equation}
\label{|zeta +1| BDeps 1/2}
\begin{split}
\vert \zeta +1\vert ^{1/2}\Vert B_{D,\varepsilon }^{1/2}(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
\leqslant \Vert f\Vert _{L_\infty}(c_\flat +1)^{1/2}(c_\flat +2)^{1/2}\varrho _ \flat (\zeta )^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}

Далее, так как $\mathrm{Ran}\,(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\subset H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, в силу \eqref{H^1-norm <= BD0^1/2}
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant c_5\Vert (B_D^0)^{1/2}(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда по аналогии с \eqref{9.14} получаем
\begin{equation}
\label{ots res B_D0 L2->H1}
\begin{split}
\Vert &(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant 
 c_5\Vert f\Vert _{L_\infty}\sup \limits _{x\geqslant c_\flat}\frac{x^{1/2}}{\vert x-\zeta \vert }.
\end{split}
\end{equation}
Используя \eqref{sup x/|x-zeta|^2}--\eqref{|zeta +1|^1/2|zeta -c*|^-1} и \eqref{ots res B_D0 L2->H1}, приходим к неравенству
\begin{equation}
\label{|zeta +1|1/2 BD0 L2->H1}
\vert \zeta +1\vert ^{1/2}\Vert (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant c_5\Vert f\Vert _{L_\infty} (c_\flat +1)^{1/2}(c_\flat +2)^{1/2}\varrho _ \flat (\zeta )^{1/2}.
\end{equation}

Теперь из \eqref{lemma Q_eps -overline Q}, \eqref{9.12}, \eqref{dvoistvennost}, \eqref{|zeta +1| BDeps 1/2} и \eqref{|zeta +1|1/2 BD0 L2->H1} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{9.20a}
\Vert T_2(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c_5^2 C_{Q_0}\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty}(c_\flat +1)(c_\flat +2)\varepsilon \varrho _\flat (\zeta).
\end{equation}
В итоге соотношения \eqref{tozd gen res}, \eqref{9.11a} и \eqref{9.20a} влекут 
\eqref{Th dr appr 1} с постоянной 
$$C_{28}=C_4\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert ^2_{L_\infty}(c_\flat +2)^2
+c_5^2C_{Q_0}\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}(c_\flat +1)(c_\flat +2).$$

Установим теперь оценку \eqref{Th dr appr 2}. Воспользуемся неравенством \eqref{Th L2->H1} при $\zeta =-1$:
\begin{equation}
\label{Th L2 H1 in -1}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;-1)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant (C_5+C_6)\varepsilon ^{1/2},\quad
 0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1.
\end{split}
\end{equation}
Заметим, что в силу леммы \ref{lemma phi eps} при $\zeta =-1$ выполнено
\begin{equation}
\label{Lm phi eps in -1}
\Vert \varepsilon \theta _\varepsilon  K_D(\varepsilon ;-1)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\leqslant (C_{14}+C_{15}+C_{16})\varepsilon ^{1/2}.
\end{equation}
Из \eqref{Th L2 H1 in -1} и \eqref{Lm phi eps in -1} следует, что при $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ имеет место оценка
\begin{equation}
\label{Th l2 H1 -1so srezkoy}
\Vert (B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon (1-\theta _\varepsilon )K_D(\varepsilon ;-1)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\leqslant \gamma _{31}\varepsilon ^{1/2},
\end{equation}
где $\gamma_{31}=C_5+C_6+C_{14}+C_{15}+C_{16}$.

Справедливо тождество
\begin{equation}
\label{tozd corr srezka}
\begin{split}
(&B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon (1-\theta _\varepsilon )K_D(\varepsilon ;\zeta)\\
&=(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(B_{D,\varepsilon }+Q_0^\varepsilon )\\
&\times
\left(
(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon (1-\theta _\varepsilon )K_D(\varepsilon ;-1)
\right)\\
&\times (B_D^0+\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\\
&+\varepsilon (\zeta +1)(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}Q_0^\varepsilon (1-\theta _\varepsilon )K_D(\varepsilon ;\zeta )\\
&+(1+\zeta )(B_{D,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}.
\end{split}
\end{equation}
Так как образ операторов в \eqref{tozd corr srezka} лежит в $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, можно подействовать оператором $B_{D,\varepsilon}^{1/2}$ на левую и правую части этого тождества. С учетом  \eqref{tilde b D,eps=} при всех $\mathbf{w}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ выполнено
\begin{equation}
\label{||B D, eps ^1/2 w||=}
\begin{split}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}\mathbf{w}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}^{2}&=b_{D,\varepsilon}[\mathbf{w},\mathbf{w}]=\widetilde{b}_{D,\varepsilon}[(f^\varepsilon )^{-1}\mathbf{w}, (f^\varepsilon )^{-1}\mathbf{w}]\\
&=\Vert \widetilde{B}_{D,\varepsilon}^{1/2} (f^\varepsilon )^{-1}\mathbf{w}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Очевидно,
\begin{equation}
\label{f eps (B D,eps +Q0)=}
(f^\varepsilon )^*(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon )=(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}+I)(f^\varepsilon )^{-1}.
\end{equation}
Используя \eqref{B deps and tilde B D,eps tozd resolvent}, \eqref{||B D, eps ^1/2 w||=} и \eqref{f eps (B D,eps +Q0)=}, заключаем, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &B_{D,\varepsilon}^{1/2}(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon )\mathbf{w}\Vert_{L_2(\mathcal{O})}\\
&=
\Vert \widetilde{B}_{D,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}+I ) (f^\varepsilon )^{-1}\mathbf{w}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \Vert (\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}+I)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \Vert \widetilde{B}_{D,\varepsilon }^{1/2}(f^\varepsilon )^{-1}\mathbf{w}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\\
&=\Vert (\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}+I)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}\mathbf{w}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\\
&\mathbf{w}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation*}
Пользуясь этими соображениями и учитывая \eqref{lemma Q_eps -overline Q}, \eqref{tilde tozd lev}--\eqref{tozd prav}, \eqref{|zeta +1| BDeps 1/2} и \eqref{|zeta +1|1/2 BD0 L2->H1}, на основании \eqref{tozd corr srezka} получаем
\begin{equation}
\label{ots tozd corr srezka}
\begin{split}
&\Vert  B_{D,\varepsilon}^{1/2}\left(
(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon (1-\theta _\varepsilon )K_D(\varepsilon ;\zeta )
\right)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant (c_\flat +2)^2\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}\varrho _ \flat (\zeta )\\
&\times
\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}
\left(
(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon (1-\theta _\varepsilon )K_D(\varepsilon ;-1)
\right)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&+\varepsilon \vert \zeta +1\vert ^{1/2}\Vert f\Vert _{L_\infty}(c_\flat +1)^{1/2}(c_\flat +2)^{1/2}\varrho _ \flat (\zeta )^{1/2}\Vert f^{-1}\Vert ^2_{L_\infty}\\
&\times
 \Vert (1-\theta _\varepsilon )K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&+\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\Vert B_{D,\varepsilon }^{1/2}(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\times 
C_{Q_0}c_5\Vert f\Vert _{L_\infty}(c_\flat +1)^{1/2}(c_\flat +2)^{1/2}\varrho _ \flat (\zeta )^{1/2}\varepsilon .
\end{split}
\end{equation}
Обозначим слагаемые в правой части \eqref{ots tozd corr srezka} через $\mathcal{L}_1(\varepsilon ;\zeta )$, $\mathcal{L}_2(\varepsilon ;\zeta )$ и $\mathcal{L}_3(\varepsilon ;\zeta )$. Оценка первого слагаемого вытекает из \eqref{b_D,eps ots} и \eqref{Th l2 H1 -1so srezkoy}:
\begin{equation}
\label{L1<=}
\mathcal{L}_1(\varepsilon ;\zeta )\leqslant c_4^{1/2}\gamma _{31} (c_\flat +2)^2\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}\varrho _ \flat (\zeta)\varepsilon ^{1/2}=:\gamma _{32}\varrho _ \flat (\zeta)\varepsilon ^{1/2}.
\end{equation}
Для оценки $\mathcal{L}_2(\varepsilon ;\zeta )$ заметим, что в силу \eqref{<b^*b<}, \eqref{PO}, \eqref{K_D(eps,zeta)}  и \eqref{Lambda S_eps <=}, \eqref{tilde Lambda S_eps <=} выполнено
\begin{equation*}
%\label{9.31 A}
\begin{split}
\Vert K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant \alpha _1^{1/2}M_1 C_{\mathcal{O}}^{(1)}\Vert (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&+\widetilde{M}_1 C_{\mathcal{O}}^{(0)}\Vert (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Поэтому из \eqref{|zeta +1|1/2 BD0 L2->H1} следует, что
\begin{equation}
\label{L_2<=}
\mathcal{L}_2(\varepsilon ;\zeta )\leqslant \gamma _{33}
\varrho _ \flat (\zeta )\varepsilon ,
\end{equation}
где $\gamma _{33}:=c_5(c_\flat +1)(c_\flat +2)\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert ^2_{L_\infty}
\Bigl(
\alpha _1^{1/2}M_1C_{\mathcal{O}}^{(1)}+\widetilde{M}_1C_{\mathcal{O}}^{(0)}
\Bigr)$.

Осталось оценить $\mathcal{L}_3(\varepsilon ;\zeta )$. Учитывая \eqref{tilde b D,eps=}, \eqref{B deps and tilde B D,eps tozd resolvent}, по двойственности получаем
\begin{equation}
\label{dv}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
=\Vert f^\varepsilon \widetilde{B}_{D,\varepsilon }^{1/2}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta ^* I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Используя \eqref{sup x/|x-zeta|^2}, находим
\begin{equation}
\label{dv1}
\begin{split}
\Vert f^\varepsilon \widetilde{B}_{D,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta ^* I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant \Vert f\Vert _{L_\infty}\sup \limits _{x\geqslant c_\flat}\frac{x^{1/2}}{\vert x-\zeta ^*\vert }\\
&\leqslant \Vert f\Vert _{L_\infty}(c_\flat +1)^{1/2}\varrho _ \flat (\zeta )^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}
Так как образ оператора, стоящего под знаком нормы в правой части \eqref{dv}, лежит в $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, в силу \eqref{b_D,eps ots} и \eqref{tilde b D,eps=} имеем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{D}[f^\varepsilon ]\widetilde{B}_{D,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta ^* I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant c_*^{-1/2}\Vert \widetilde{B}_{D,\varepsilon}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta ^* I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{sup (x+1)/|x-zeta|} (после загрубления) получаем
\begin{equation}
\label{dv2}
\Vert \mathbf{D}[f^\varepsilon ]\widetilde{B}_{D,\varepsilon}^{1/2}(\widetilde{B}_{D,\varepsilon}-\zeta ^* I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c_*^{-1/2}(c_\flat +2)\varrho _ \flat (\zeta )^{1/2}.
\end{equation}
Объединяя \eqref{dv}--\eqref{dv2}, находим
\begin{equation}
\label{L3<=}
\mathcal{L}_3(\varepsilon ;\zeta )\leqslant \vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\gamma_{34}\varrho _ \flat (\zeta )\varepsilon,
\end{equation}
где $\gamma_{34}=c_5C_{Q_0}(c_\flat +1)^{1/2}(c_\flat +2)^{1/2}\Vert f\Vert _{L_\infty}
\bigl(
\Vert f\Vert _{L_\infty}(c_\flat +1)^{1/2}+c_*^{-1/2}(c_\flat +2)
\bigr).$ Теперь из \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}, \eqref{ots tozd corr srezka}, \eqref{L1<=}, \eqref{L_2<=} и \eqref{L3<=} вытекает, что
\begin{equation}
\label{dr alppr so srezkoy}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon (1-\theta _\varepsilon )K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \gamma_{35}\varepsilon ^{1/2}\varrho _ \flat (\zeta )+C_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon \varrho _ \flat (\zeta ),
\end{split}
\end{equation}
где $\gamma _{35}:= c_5(\gamma _{32}+\gamma _{33})$, $C_{30}=c_5\gamma _{34}$.

Наконец, в силу \eqref{K_D(eps,zeta)}, \eqref{sup (x+1)/|x-zeta|}, \eqref{tozd prav} и \eqref{Lm phi eps in -1} выполнено
\begin{equation}
\label{eps theta K(eps;zeta)<=}
\begin{split}
\Vert &\varepsilon \theta _\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \Vert \varepsilon \theta _\varepsilon K_D(\varepsilon ;-1)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\Vert (B_D^0+\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \varepsilon ^{1/2}(C_{14}+C_{15}+C_{16})\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}(c_\flat +2)\varrho _ \flat (\zeta )^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}
В итоге из \eqref{dr alppr so srezkoy} и \eqref{eps theta K(eps;zeta)<=} вытекает оценка \eqref{Th dr appr 2} с постоянной 
$$C_{29}=\gamma_{35}+(c_\flat +2)(C_{14}+C_{15}+C_{16})\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}.$$

Остается проверить \eqref{Th dr appr fluxes}. Из \eqref{Th dr appr 2 solutions} с учетом \eqref{b_l <=} следует, что
\begin{equation}
\label{st.st}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon -g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{v}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\bigl(C_{29}\varepsilon ^{1/2}+C_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon \bigr)\varrho _ \flat (\zeta )\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Далее, рассуждая аналогично \eqref{3.20 from draft}, \eqref{5.18a} и \eqref{5.19a}, с учетом \eqref{<b^*b<} имеем
\begin{equation}
\label{st}
\begin{split}
\Vert  g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{v}_\varepsilon -\widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0-g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \gamma _{36}\varepsilon \Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Здесь $\gamma _{36}=\Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1^{1/2}\bigl( M_1(\alpha _1 d)^{1/2}+\widetilde{M}_1 d^{1/2}
+r_1\bigr)$. В силу \eqref{BD0 ^-1 L2->H2}--\eqref{B_D0 and tilde B_D0 resolvents} и \eqref{sup (x+1)/|x-zeta|} выполнено
\begin{equation}
\label{ex 9.38}
\begin{split}
\Vert &(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}\Vert B_D^0(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\widehat{c}\Vert f\Vert  _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}\sup\limits _{x\geqslant c_\flat}x\vert x-\zeta\vert ^{-1}
\leqslant\widehat{c}(c_\flat +2)\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}\rho _\flat (\zeta)^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}
Следовательно, с учетом \eqref{PO} справедливо неравенство
\begin{equation}
\label{9.48}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \gamma_{37}\rho _\flat (\zeta)^{1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad\gamma _{37}:=C_\mathcal{O}^{(2)}\widehat{c}(c_\flat +2)\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{equation}
Отсюда и из \eqref{st.st}, \eqref{st} вытекает оценка \eqref{Th dr appr fluxes} с постоянными $\widetilde{C}_{29}=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{29}+\gamma _{36}\gamma _{37}$ и 
$\widetilde{C}_{30}=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{30}$.
\end{proof}

\begin{remark}
Если в условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dr appr}} матрица-функция $Q_0(\mathbf{x})$ постоянна: $Q_0(\mathbf{x})=\overline{Q_0}$, то последнее слагаемое в правой части тождества \eqref{tozd corr srezka} обращается в нуль. В этом случае $C_{Q_0}=0$, а потому оценки \eqref{Th dr appr 2 solutions}--\eqref{Th dr appr fluxes} справедливы при $C_{30}=\widetilde{C}_{30}=0$.
\end{remark}

\subsection{Устранение $S_\varepsilon$}

\begin{theorem}
\label{Theorem Dr appr no S_eps}
Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem Dr appr}}.\\
\noindent
$1^\circ$. Пусть матрица-функция $\Lambda(\mathbf{x})$ удовлетворяет условию~\textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Пусть $G_1(\varepsilon ;\zeta)$ --- оператор \eqref{G1(eps,zeta)}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat ,\infty)$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{Th dr appr no S_eps 1}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O})(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant 
C_{31}'\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)
+C_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta),
\end{split}
\\
\begin{split}
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-G_1(\varepsilon;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\widetilde{C}_{31}'\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)
+\widetilde{C}_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta).
\end{split}
\nonumber
\end{align}
Постоянные $C_{31}'$ и $\widetilde{C}_{31}'$ зависят от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, выбора $c_\flat$ и от $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$. Постоянные $C_{30}$ и $\widetilde{C}_{30}$ те же, что и в \eqref{Th dr appr 2}, \eqref{Th dr appr fluxes}.

\noindent
$2^\circ$. Пусть матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ удовлетворяет условию~\textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Пусть $G_2(\varepsilon ;\zeta)$ --- оператор \eqref{G2(eps;zeta)}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat ,\infty)$ выполнено
\begin{align}
\begin{split}
\label{Th dr appr no S_eps 3}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon )(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
C_{31}''\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)
+C_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta),
\end{split}
\\
\begin{split}
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-G_2(\varepsilon;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\widetilde{C}_{31}''\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)
+\widetilde{C}_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta).
\end{split}
\nonumber
\end{align}
Постоянные $C_{31}''$ и $\widetilde{C}_{31}''$ зависят от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, выбора $c_\flat$, а также от $p$ и $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.

\noindent
$3^\circ$. Пусть условия~\textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} и \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} выполнены одновременно. Пусть оператор $G_3(\varepsilon ;\zeta)$ определен в~\eqref{G3(eps;zeta)}.
 Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat ,\infty)$ справедливы аппроксимации
\begin{align}
\label{Th dr appr no S_eps 5}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon  b(\mathbf{D})+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon )(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
C_{31}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)
+C_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta),
\end{split}
\\
\label{Th dr appr no S_eps 6}
\begin{split}
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-G_3(\varepsilon;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\widetilde{C}_{31}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)
+\widetilde{C}_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta).
\end{split}
\end{align}
Здесь постоянные $C_{31}$ и $\widetilde{C}_{31}$ зависят от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, выбора $c_\flat$, от $p$ и от норм $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Сначала установим аппроксимации обобщенной резольвенты при учете корректора. На основании \eqref{PO}, \eqref{K_D(eps,zeta)}, \eqref{Th dr appr 2}, \eqref{ex 9.38} и леммы \ref{Lemma Lambda (S-I)} заключаем, что при условии \ref{Condition Lambda in L infty} справедлива оценка \eqref{Th dr appr no S_eps 1}, где $C_{31}'=C_{29}+\mathfrak{C}_\Lambda C_\mathcal{O}^{(2)}\widehat{c}(c_\flat +2)\Vert f\Vert  _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert  _{L_\infty}$.

Аналогично, с помощью леммы \ref{Lemma tilde Lambda(S-I)} заключаем, что при условии \ref{Condition tilde Lambda in Lp} выполнена оценка \eqref{Th dr appr no S_eps 3} с постоянной $$C_{31}''=C_{29}+\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}C_\mathcal{O}^{(2)}\widehat{c}(c_\flat +2)\Vert f\Vert  _{L_\infty}\Vert f ^{-1}\Vert  _{L_\infty}.$$

Если условия \ref{Condition Lambda in L infty} и \ref{Condition tilde Lambda in Lp} справедливы одновременно, то в силу лемм \ref{Lemma Lambda (S-I)} и \ref{Lemma tilde Lambda(S-I)} верна оценка \eqref{Th dr appr no S_eps 5} с постоянной $$C_{31}=C_{29}+(\mathfrak{C}_\Lambda +\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}})C_\mathcal{O}^{(2)}\widehat{c}(c_\flat +2)\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert  _{L_\infty}.$$

Результаты, относящиеся к ,,потокам'' $g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$, выводятся из соответствующих аппроксимаций обобщенной резольвенты. Доказательство похоже на доказательство оценки \eqref{Th fluxes}. Для примера проверим справедливость оценки \eqref{Th dr appr no S_eps 6} при условиях \ref{Condition Lambda in L infty} и \ref{Condition tilde Lambda in Lp}. С учетом \eqref{b_l <=} из \eqref{Th dr appr no S_eps 5} следует, что
\begin{equation}
\label{ex 9.45}
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}- g^\varepsilon b(\mathbf{D})(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon)(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\left(C_{31}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)+C_{30}\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\varepsilon \varrho _\flat (\zeta)\right).
\end{split}
\end{equation}
Сохраняет силу соотношение \eqref{d-vo Th 7/6 4}. По аналогии с \eqref{d-vo Th 7/6 5} и \eqref{d-vo Th 7/6 5a} с учетом \eqref{ex 9.38} имеем
\begin{equation}
\label{9-star}
\begin{split}
\varepsilon&\Bigl\Vert \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l\bigl(\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})D_l+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon D_l\bigr)(B^0_D-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant\varepsilon\left(\alpha_1d\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}+(\alpha _1 d)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}C(\widehat{q},\Omega)C_\mathcal{O}^{(1)}\right)
\\
&\times \Vert (B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}
\leqslant \gamma _{38}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta )^{1/2},
\end{split}
\end{equation}
где 
\begin{equation*}
\begin{split}
\gamma _{38}&=\Vert g\Vert _{L_\infty}\left(\alpha_1 d \Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}+(\alpha _1 d)^{1/2}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}C(\widehat{q},\Omega)C_\mathcal{O}^{(1)}\right)
\\
&\times
\widehat{c}(c_\flat +2)\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{split}
\end{equation*}
Теперь из \eqref{d-vo Th 7/6 4},  \eqref{ex 9.45} и \eqref{9-star} вытекает \eqref{Th dr appr no S_eps 6} с постоянной $\widetilde{C}_{31}=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{31}+\gamma _{38}$.
\end{proof}
\subsection{Специальные случаи} Следующие утверждения получаются аналогично предложениям \ref{Proposition K=0} и \ref{Proposition tilde Lambda =0 in Sec. 7}.

\begin{proposition}
Пусть справедливы равенства \eqref{overline-g} и \eqref{sum Dj aj =0}. Тогда в условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dr appr}} при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat,\infty)$ выполнено
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_{29}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)+C_{30}\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta).
\end{split}
\end{equation*}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\label{Proposition tilde Lambda =0}
Пусть имеют место соотношения \eqref{underline-g} и \eqref{sum Dj aj =0}. Тогда $\widetilde{g}(\mathbf{x})=g^0=\underline{g}$, $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$, и в условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dr appr}} при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat ,\infty)$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-g^0b(\mathbf{D})(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widetilde{C}_{31}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)+\widetilde{C}_{30}\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta).
\end{split}
\end{equation*}
\end{proposition}

\subsection{Оценка с поправкой типа пограничного слоя}

Получим теперь ,,другую'' аппроксимацию с поправкой типа пограничного слоя на основании теоремы \ref{Theorem with Diriclet corrector}.

\begin{theorem}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dr appr}}. Пусть $\mathbf{w}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{w_eps problem}. Пусть оператор $W_D(\varepsilon;\zeta)$ определен в \eqref{W_D(eps;zeta)}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat ,\infty)$ выполнена оценка
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon +\mathbf{w}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\leqslant (C_{32}+C_{30}\vert 1+\zeta \vert ^{1/2})\varepsilon \varrho _\flat (\zeta)\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
В операторных терминах,
\begin{equation}
\label{dr appr with W_D(eps;zeta)}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta)+\varepsilon W_D(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1 (\mathcal{O})}
\\
&\leqslant (C_{32}+C_{30}\vert \zeta +1\vert ^{1/2} )\varepsilon \varrho _\flat (\zeta).
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_{30}$ --- та же, что и в теореме \textnormal{\ref{Theorem Dr appr}}. Постоянная $C_{32}$ зависит только от данных задачи \eqref{problem data}, от области $\mathcal{O}$ и от выбора $c_\flat$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Доказательство основано на применении оценки \eqref{u_eps - V_eps +W-eps in H1 in operator terms} (см. также \eqref{W_D(eps;zeta)}) в фиксированной точке $\zeta =-1$:
\begin{equation}
\label{th discrepancy in -1}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;-1)+\varepsilon W_D(\varepsilon ;-1)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1 (\mathcal{O})}
\\
&=\Vert (B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}+\varepsilon (B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1} T(\varepsilon ;-1)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1 (\mathcal{O})}\\
&\leqslant C_7\varepsilon 
\end{split}
\end{equation}
и использовании аналога резольвентного тождества.

Из определения $T(\varepsilon;\zeta)$ (см. \eqref{**.4}, \eqref{**.5}) ясно, что $$T(\varepsilon ;-1)(B_D^0+\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}=T(\varepsilon;\zeta).$$ Пользуясь этим соображением и учитывая \eqref{W_D(eps;zeta)}, несложно установить тождество
\begin{equation*}
\begin{split}
(&B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon;\zeta)+\varepsilon W_D(\varepsilon ;\zeta)
\\
&=(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}+\varepsilon (B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}T(\varepsilon;\zeta)
\\
&=(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}(B_{D,\varepsilon} +Q_0^\varepsilon)
\\
&\times
\left(
(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}+\varepsilon (B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1}T(\varepsilon ;-1)
\right)
\\
&\times
(B_D^0+\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}
\\
&+(\zeta +1)(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}(Q^\varepsilon _0 -\overline{Q_0})(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}.
\end{split}
\end{equation*}
Заметим, что образ операторов в левой и правой частях равенства лежит в $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, и мы можем подействовать оператором $B_{D,\varepsilon}^{1/2}$ на левую и правую части. 
По аналогии с \eqref{ots tozd corr srezka} получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &B_{D,\varepsilon}^{1/2}
\left(
(B_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(B_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon;\zeta)+\varepsilon W_D(\varepsilon ;\zeta)
\right)
\Vert _{L_2\rightarrow L_2}
\\
&\leqslant (c_\flat +2)^2\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}\varrho _\flat (\zeta)
\\
&\times
\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2} \left(
(B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B_D^0+\overline{Q_0})^{-1}+\varepsilon (B_{D,\varepsilon}+Q_0^\varepsilon)^{-1}T(\varepsilon ;-1)
\right)\Vert _{L_2\rightarrow L_2}
\\
 &+\mathcal{L}_3(\varepsilon ;\zeta).
\end{split}
\end{equation*}
Первое слагаемое в правой части оценим на основании \eqref{b_D,eps ots} и \eqref{th discrepancy in -1}. Пользуясь \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}, \eqref{L3<=} и этими соображениями, заключаем, что справедлива оценка \eqref{dr appr with W_D(eps;zeta)} с постоянной 
\begin{equation*}
\begin{split}
C_{32}=c_5c_4^{1/2}(c_\flat +2)^2 C_7\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{split}
\end{equation*}
\end{proof}
 
\subsection{Оценки в строго внутренней подобласти} Пусть $\mathcal{O}'$ --- строго внутренняя подобласть области $\mathcal{O}$. Используя теорему \ref{Theorem Dr appr} и результаты усреднения в $\mathbb{R}^d$, аналогично теореме \ref{Theorem O'} получим аппроксимацию точного порядка (относительно $\varepsilon$) для решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ в $H^1(\mathcal{O}')$.

\begin{theorem}
\label{Theorem Dr appr strictly interior subdomain}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dr appr}}. Пусть $\mathcal{O}'$ --- строго внутренняя подобласть области $\mathcal{O}$ и пусть $\delta :=\mathrm{dist}\,\lbrace\mathcal{O}';\partial\mathcal{O}\rbrace$.  Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{Th Dr appr strictly interior subdomain solutions}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O}')}
\leqslant
\bigl(C_{33}'\delta ^{-1}c(\psi) +C_{33}'' +\vert 1 +\zeta\vert ^{1/2}C_{33}''' 
\bigr)\varrho _\flat (\zeta )^{3/2}
\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\\
\label{Th Dr appr strictly interior subdomain fluxes}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon -\widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0-g^\varepsilon \left(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\right)^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant
\bigl(\widetilde{C}_{33}'\delta ^{-1}c(\psi)+\widetilde{C}_{33}''+\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\widetilde{C}_{33}'''
\bigr)\varrho _\flat (\zeta )^{3/2}
\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{align}
Постоянные $C_{33}'$, $C_{33}''$, $C_{33}'''$, $\widetilde{C}_{33}'$, $\widetilde{C}_{33}''$ и $\widetilde{C}_{33}'''$ зависят только от данных задачи \eqref{problem data} и от области $\mathcal{O}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Мы будем действовать по аналогии с доказательством теоремы \ref{Theorem O'}, опираясь на теорему \ref{Theorem Dr appr} и результаты усреднения во всем пространстве. Однако ассоциированную задачу в $\mathbb{R}^d$ приходится выбирать иначе. Положим
\begin{equation}
\label{9.47 a}
B^0\widetilde{\mathbf{u}}_0-(\zeta -c_\flat)\overline{Q_0}\widetilde{\mathbf{u}}_0=:\widehat{\mathbf{F}}.
\end{equation}
Заметим, что 
\begin{equation*}
%\label{hat F -F = in O}
\widehat{\mathbf{F}}\vert _\mathcal{O}-\mathbf{F}=c_\flat \overline{Q_0}\mathbf{u}_0.
\end{equation*}

В силу \eqref{f_0<=} и \eqref{B_D0 and tilde B_D0 resolvents} 
\begin{equation*}
\Vert (B_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c(\psi)\vert \zeta - c_\flat\vert ^{-1}\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}.
\end{equation*}
Вместе с \eqref{PO} это приводит к оценке
\begin{equation}
\label{9.47}
\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_\mathcal{O}^{(0)}c(\psi)\vert \zeta -c_\flat \vert ^{-1}\Vert f\Vert ^2_{L_\infty}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}

Аналогично \eqref{tilde F<=} на основании \eqref{f_0<=}, \eqref{9.47} и \eqref{9.48} получаем оценку для функции \eqref{9.47 a}:
\begin{equation}
\label{9.48 b}
\begin{split}
\Vert & \widehat{\mathbf{F}}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \Vert B^0\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+\vert \zeta - c_\flat\vert \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
C_L \Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+
\vert \zeta - c_\flat\vert \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
\widehat{C}_F \varrho _\flat (\zeta)^{1/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation}
где $\widehat{C}_F=C_L\gamma _{37}
+C_\mathcal{O}^{(0)}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}$.

По условию теоремы $\zeta \in \mathbb{C}\setminus [c_\flat ,\infty)$. Тогда точка $(\zeta -c_\flat)\in\mathbb{C}\setminus [0,\infty)$ является регулярной для оператора $\widetilde{B}_\varepsilon := (f^\varepsilon )^* B_\varepsilon f^\varepsilon$. Поэтому определен оператор $(B_\varepsilon -(\zeta -c_\flat)Q_0^\varepsilon)^{-1}=f^\varepsilon (\widetilde{B}_\varepsilon -(\zeta -c_\flat)I)^{-1}(f^\varepsilon)^*$, а значит разрешима задача
\begin{equation}
\label{9.48 c}
B_\varepsilon \widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon -(\zeta - c_\flat)Q_0^\varepsilon \widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon =\widehat{\mathbf{F}}
\end{equation}
в $\mathbb{R}^d$. Тогда функция $\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon$ удовлетворяет тождеству
\begin{equation}
\label{9.49}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{N,\varepsilon} [\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon ,\boldsymbol{\eta}]
-(\zeta - c_\flat)(Q_0^\varepsilon (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon),\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})}
=
c_\flat (Q_0^\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon -\overline{Q_0}\mathbf{u}_0 ,\boldsymbol{\eta})_{L_2(\mathcal{O})},\\
\boldsymbol{\eta}\in H_0^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Пусть $\chi$ --- срезка, удовлетворяющая условиям \eqref{hi properties}. В равенство \eqref{9.49} подставим $\boldsymbol{\eta}=\chi ^2 (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )$ и обозначим
\begin{equation}
\label{hat frak U =}
\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon ):=\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon),\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon)].
\end{equation}
Аналогично \eqref{tozd u eps - tilde u eps} преобразуем полученное тождество к виду
\begin{equation}
\label{9.51}
\begin{split}
&\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)
-(\zeta - c_\flat )(Q_0^\varepsilon \chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon ),\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon ))_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&=
2 i \mathrm{Im}\,(g^\varepsilon \widehat{\mathbf{z}}_\varepsilon, b(\mathbf{D})\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon ))_{L_2(\mathcal{O})}
+(g^\varepsilon \widehat{\mathbf{z}}_\varepsilon ,\widehat{\mathbf{z}}_\varepsilon )_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+2i\mathrm{Im}\,\sum _{j=1}^d \left(
(D_j\chi)(\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon ),(a_j^\varepsilon)^*\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon)\right)_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+c_\flat (Q_0^\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon -\overline{Q_0}\mathbf{u}_0,\chi ^2(\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon ))_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&=:i\widehat{\mathcal{J}}_1(\varepsilon)+\widehat{\mathcal{J}}_2(\varepsilon)+i\widehat{\mathcal{J}}_3(\varepsilon)+\widehat{\mathcal{J}}_4(\varepsilon).
\end{split}
\end{equation}
Здесь введено обозначение
\begin{equation*}
\widehat{\mathbf{z}}_\varepsilon :=\sum _{l=1}^d b_l(D_l\chi)(\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon ).
\end{equation*}

Оценим слагаемые в правой части \eqref{9.51}. Аналогично \eqref{frak I 1<=} получаем
\begin{equation}
\label{9.52}
\vert \widehat{\mathcal{J}}_1(\varepsilon )\vert \leqslant 2 c_*^{-1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \widehat{\mathbf{z}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\alpha _1^{1/2}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}.
\end{equation}
Далее,
\begin{equation}
\label{9.53}
\widehat{\mathcal{J}}_2(\varepsilon)\leqslant \Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \widehat{\mathbf{z}}_\varepsilon \Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
В силу \eqref{b_l <=} и \eqref{hi properties}
\begin{equation}
\label{9.54}
\Vert \widehat{\mathbf{z}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\kappa \delta ^{-1} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
Член $\widehat{\mathcal{J}}_3(\varepsilon)$ оценим аналогично \eqref{I_3 star <=}:
\begin{align}
\label{9.55}
\vert \widehat{\mathcal{J}}_3(\varepsilon)\vert 
\leqslant
\gamma _{24}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon )^{1/2}.
\end{align}
Рассмотрим теперь член $\widehat{\mathcal{J}}_4(\varepsilon)$. В силу \eqref{hi properties}
\begin{equation*}
%\label{9.57}
\begin{split}
\vert \widehat{\mathcal{J}}_4(\varepsilon)\vert 
&=c_\flat\left\vert 
\left(
(Q_0^\varepsilon-\overline{Q_0})\mathbf{u}_\varepsilon +\overline{Q_0}(\mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0),
\chi ^2 (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )
\right)
_{L_2(\mathcal{O})}
\right\vert
\\
&\leqslant c_\flat \Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi \mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}\Vert \chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\\
&+c_\flat \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\Vert  \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
.
\end{split}
\end{equation*}
Учитывая \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2} и \eqref{hat frak U =}, заключаем, что
\begin{equation}
\label{9.5 star star}
\begin{split}
\vert \widehat{\mathcal{J}}_4(\varepsilon)\vert 
&\leqslant c_\flat c_5 \Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi \mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+c_\flat \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}

Возьмем мнимую часть в тождестве \eqref{9.51}:
\begin{equation}
\label{9.72 a}
\mathrm{Im}\,\zeta\Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
=- \widehat{\mathcal{J}}_1(\varepsilon)- \widehat{\mathcal{J}}_3(\varepsilon)-\mathrm{Im}\,\widehat{\mathcal{J}}_4(\varepsilon ).
\end{equation}
Объединяя \eqref{9.52} и \eqref{9.54}--\eqref{9.72 a}, находим
\begin{equation}
\label{9.65}
\begin{split}
\vert & \mathrm{Im}\,\zeta\vert \Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
\gamma _{39}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon-\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+c_\flat c_5 \Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}\\
&+c_\flat \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert_{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation}
где $\gamma _{39}=2 c_*^{-1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}d^{1/2}\alpha _1\kappa +\gamma _{24}$. 
Если $\mathrm{Re}\,\zeta \geqslant c_\flat $ (а тогда $\mathrm{Im}\,\zeta\neq 0$), отсюда выводим неравенство
\begin{equation}
\label{9.66}
\begin{split}
\Vert &(Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert _{L_2(\mathcal{O})}^2
\\
&\leqslant 
 c(\psi)\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}\gamma _{39}\delta ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon-\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+c(\psi)\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}c_\flat c_5 \Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+c(\psi)\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}c_\flat \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert_{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad\mathrm{Re}\,\zeta\geqslant c_\flat.
\end{split}
\end{equation}
Если $\mathrm{Re}\,\zeta <c_\flat$, то возьмем вещественную часть в \eqref{9.51} и получим
\begin{equation}
\label{9.67}
\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)+\vert \mathrm{Re}\,\zeta -c_\flat\vert \Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon)\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
=\widehat{\mathcal{J}}_2(\varepsilon)+\mathrm{Re}\,\widehat{\mathcal{J}}_4(\varepsilon).
\end{equation}
В силу \eqref{9.53}, \eqref{9.54}  и \eqref{9.5 star star} из \eqref{9.67} следует, что
\begin{equation}
\label{9.68}
\begin{split}
\vert & \mathrm{Re}\,\zeta -c_\flat \vert \Vert (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
d\alpha _1\kappa ^2 \Vert g\Vert _{L_\infty}\delta^{-2}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+c_\flat c_5 \Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi \mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+c_\flat \Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Складывая \eqref{9.65} и \eqref{9.68}, имеем
\begin{equation}
\label{9.70}
\begin{split}
\Vert & (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon-\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
\gamma _{39}\delta^{-1}\vert\zeta - c_\flat\vert^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+d\alpha _1\kappa ^2\Vert g\Vert _{L_\infty}\delta ^{-2}\vert \zeta - c_\flat\vert ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+2c_\flat c_5\vert \zeta - c_\flat\vert ^{-1}\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+2c_\flat \vert \zeta - c_\flat\vert ^{-1}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
,\quad\mathrm{Re}\,\zeta <c_\flat
.
\end{split}
\end{equation}

Теперь из \eqref{9.66} и \eqref{9.70} следует, что при всех рассматриваемых значениях $\zeta$ выполнено
\begin{equation}
\label{9.71}
\begin{split}
\Vert& (Q_0^\varepsilon)^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon-\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
\gamma_{39}\delta ^{-1}c(\psi)\vert \zeta - c_\flat\vert ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon-\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert_{L_2(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+d\alpha _1 \kappa ^2\Vert g\Vert _{L_\infty}\delta ^{-2}\vert \zeta - c_\flat\vert ^{-1}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+2c_\flat c_5 c(\psi)\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi \mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+2c_\flat c(\psi)\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon-\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
.
\end{split}
\end{equation}

Взяв в \eqref{9.51} вещественную часть, получим
\begin{equation*}
\begin{split}
\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)
&\leqslant \vert \zeta -c_\flat\vert \Vert (Q_0^\varepsilon )^{1/2}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
+\widehat{\mathcal{J}}_2(\varepsilon) +\left\vert\widehat{\mathcal{J}}_4(\varepsilon)\right\vert
.
\end{split}
\end{equation*}
Используя \eqref{9.53}, \eqref{9.54}, \eqref{9.5 star star} и \eqref{9.71}, отсюда выводим
\begin{equation*}
\begin{split}
\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)
&\leqslant 
\gamma _{39}\delta ^{-1}c(\psi)\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+
2d\alpha_1\kappa^2\Vert g\Vert _{L_\infty}\delta ^{-2}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon-\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+3 c_\flat c_5 c(\psi)\Vert (Q_0^\varepsilon-\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)^{1/2}
\\
&+3c_\flat c(\psi)\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
.
\end{split}
\end{equation*}
Тогда
\begin{equation*}
\begin{split}
\widehat{\mathfrak{U}}(\varepsilon)&\leqslant
\gamma _{40}^2\delta ^{-2}c(\psi)^2\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}
+18c_\flat ^2 c_5^2c(\psi)^2\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert ^2 _{H^{-1}(\mathcal{O})}
\\
&+6 c_\flat c(\psi)\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation*}
где $\gamma _{40}^2:=2\gamma_{39}^2+4d\alpha _1 \kappa ^2\Vert g\Vert _{L_\infty}$. 
С помощью \eqref{b_D,eps ots} и \eqref{hat frak U =} это влечет
\begin{equation}
\label{9.81 novoe}
\begin{split}
\Vert  \mathbf{D}\chi (\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant c_*^{-1/2}\left(\gamma _{40}c(\psi)\delta^{-1}+1\right)\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+\sqrt{18}c_*^{-1/2}c_\flat c_5 c(\psi)\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}
\\
&+3c_*^{-1/2}c_\flat c(\psi)\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
.
\end{split}
\end{equation}
Чтобы оценить второе слагаемое в правой части \eqref{9.81 novoe}, воспользуемся леммой~\ref{Lemma Q0-overline Q0}:
\begin{equation}
\label{circled star}
\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}
\leqslant C_{Q_0}\varepsilon\Vert \chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O})}.
\end{equation}
В силу \eqref{B deps and tilde B D,eps tozd resolvent}, \eqref{2.8a} и \eqref{hi properties}
\begin{equation}
\label{9.58}
\begin{split}
\Vert \chi \mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}
&\leqslant(1+\kappa\delta ^{-1})\Vert \mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
(1+\kappa\delta ^{-1})c(\psi)\vert \zeta - c_\flat\vert^{-1}\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
На основании \eqref{b_D,eps ots} и \eqref{9.14} находим, что
\begin{equation}
\label{9.59}
\begin{split}
\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
c_*^{-1/2}\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}\mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c_*^{-1/2}\Vert f\Vert _{L_\infty}\sup _{x\geqslant c_\flat}x^{1/2}\vert x-\zeta\vert ^{-1}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Из \eqref{rho(zeta)} и \eqref{sup x/|x-zeta|^2} вытекает неравенство
\begin{equation*}
%\label{9.60}
\vert \zeta -c_\flat \vert ^{1/2}\sup _{x\geqslant c_\flat} x^{1/2}\vert x-\zeta\vert ^{-1}
\leqslant
(c_\flat +1)^{1/2} c(\psi)^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)^{1/4}.
\end{equation*}
Вместе с \eqref{9.59} это влечет
\begin{equation}
\label{9.61}
\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
c_*^{-1/2}(c_\flat + 1)^{1/2}\Vert f\Vert _{L_\infty} c(\psi)^{1/2}\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1/2}\varrho _\flat (\zeta)^{1/4}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}
А тогда из \eqref{9.58} и \eqref{9.61} следует неравенство
\begin{equation}
\label{9.62}
\begin{split}
\Vert \chi \mathbf{u}_\varepsilon \Vert _{H^1(\mathcal{O})}
&\leqslant (1+\kappa \delta ^{-1})c(\psi)\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+
 c_*^{-1/2}(c_\flat +1)^{1/2}\Vert f\Vert _{L_\infty} c(\psi)^{1/2}\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1/2}\varrho _\flat (\zeta )^{1/4}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Объединяя \eqref{circled star} и \eqref{9.62}, находим
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}
&\leqslant C_{Q_0}\varepsilon (1+\kappa \delta ^{-1})c(\psi)\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1}\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+
\varepsilon \gamma_{41} c(\psi)^{1/2}\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-1/2}\varrho _\flat (\zeta )^{1/4}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation*}
где $\gamma _{41}=c_*^{-1/2}(c_\flat +1)^{1/2}C_{Q_0}\Vert f\Vert _{L_\infty} $. С учетом \eqref{rho(zeta)} (после загрубления) это влечет
\begin{equation}
\label{circled star star}
\begin{split}
\Vert (Q_0^\varepsilon -\overline{Q_0})\chi\mathbf{u}_\varepsilon\Vert _{H^{-1}(\mathcal{O})}
\leqslant 
(\gamma _{42}\delta ^{-1}+\gamma _{43})\varepsilon\varrho _\flat (\zeta )^{1/2}
\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\end{split}
\end{equation}
где $\gamma _{42}=C_{Q_0}\kappa \Vert f\Vert ^2_{L_\infty}$, $\gamma _{43}=C_{Q_0}\Vert f\Vert ^2 _{L_\infty}+\gamma _{41}$.

Оценим теперь $\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathcal{O})}$. 
Для $\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2}$ выполнено \eqref{Th dr appr 1 solutions}. Используем аппроксимацию \eqref{Dr appr in Rd} в $\mathbb{R}^d$ (в точке $\zeta-c_\flat$):
\begin{equation*}
\Vert (B_\varepsilon -(\zeta -c_\flat)Q_0^\varepsilon)^{-1}-(B^0-(\zeta -c_\flat)\overline{Q_0})^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \widehat{C}_1\varrho _\flat (\zeta)\varepsilon.
\end{equation*}
Учитывая \eqref{9.47 a}, \eqref{9.48 b} и \eqref{9.48 c}, отсюда получаем
\begin{equation}
\label{9.82 new}
\Vert \widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon -\mathbf{u}_0 \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \Vert \widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \widehat{C}_1\widehat{C}_F\varepsilon \varrho _\flat(\zeta)^{3/2}\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation}

Комбинируя \eqref{rho(zeta)}, \eqref{Th dr appr 1 solutions} и \eqref{9.82 new}, находим
\begin{equation}
\label{9.83 new}
\begin{split}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant (C_{28}+\widehat{C}_1\widehat{C}_F)\varrho _\flat (\zeta)^{3/2}\varepsilon \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Теперь соотношения \eqref{Th dr appr 1 solutions}, \eqref{9.81 novoe}, \eqref{circled star star} и \eqref{9.83 new} приводят к оценке
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{D}\chi(\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon )\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
\left(C_{33}'\delta ^{-1}c(\psi)+C_{34}'
\right)\varrho _\flat (\zeta)^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Здесь
\begin{align*}
\begin{split}
C_{33}'&=c_*^{-1/2}\gamma _{40} (C_{28}+\widehat{C}_1\widehat{C}_F)+\sqrt{18}c_*^{-1/2}c_\flat c_5\gamma_{42},
\end{split}
\\
\begin{split}
C_{34}'&=c_*^{-1/2}(C_{28}+\widehat{C}_1\widehat{C}_F)+\sqrt{18}c_*^{-1/2}c_\flat c_5 \gamma _{43}
+3c_*^{-1/2}c_\flat\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}C_{28}.
\end{split}
\end{align*}
Отсюда и из \eqref{9.83 new} вытекает неравенство
\begin{equation}
\label{9.75}
\begin{split}
\Vert\mathbf{u}_\varepsilon -\widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon\Vert _{H^1(\mathcal{O}')}
\leqslant
\bigl(C_{33}'\delta ^{-1}c(\psi)
+C_{34}'+C_{28}+\widehat{C}_1\widehat{C}_F\bigr)\varrho _\flat (\zeta)^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
В силу теоремы~\ref{Theorem Dr appr Rd} и \eqref{9.47 a}, \eqref{9.48 b}, \eqref{9.48 c}
\begin{equation}
\label{9.76}
\begin{split}
\Vert & \widehat{\mathbf{u}}_\varepsilon -\widetilde{\mathbf{u}}_0-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr)S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \widehat{C}_F\bigl(\widehat{C}_2+\widehat{C}_3'+\vert 1+\zeta-c_\flat\vert ^{1/2}\widehat{C}_3'')
\varrho _\flat (\zeta)^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
В итоге оценки \eqref{9.75} и \eqref{9.76} влекут искомое неравенство \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain solutions} с постоянными  $C_{33}''=C_{34}'+C_{28}+\widehat{C}_F(\widehat{C}_1+\widehat{C}_2+\widehat{C}_3'+c_\flat ^{1/2}\widehat{C}_3'')$, 
\begin{equation}
\label{C_34'''}
C_{33}'''=\widehat{C}_F\widehat{C}_3''.
\end{equation}

Действуя по аналогии с \eqref{3.19 from draft}--\eqref{3.22 from draft} и используя \eqref{9.48} вместо \eqref{tilde u_0 in H1} и \eqref{tilde u_0 in H2}, на основании \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain solutions} получаем оценку \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain fluxes} с постоянными
\begin{align}
\widetilde{C}_{33}&=\Vert g\Vert _{L_\infty}(d\alpha _1)^{1/2}C_{33}',\nonumber
\\
\begin{split}
\widetilde{C}_{33}''&=\Vert g\Vert _{L_\infty}(d\alpha _1)^{1/2}C_{33}''
+\Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1^{1/2}\gamma_{37}\bigl(M_1 \alpha _1^{1/2}d^{1/2}+\widetilde{M}_1d^{1/2}+r_1\bigr)
,
\end{split}
\nonumber
\\
\label{C_34''' tilde}
\widetilde{C}_{33}'''&=\Vert g\Vert _{L_\infty}(d\alpha _1)^{1/2}C_{33}'''.
\end{align}
\end{proof}

В силу замечания \ref{Remark R^d Dr appr Q_0=const}, \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain solutions}, \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain fluxes}, \eqref{C_34'''}, \eqref{C_34''' tilde} имеет место следующее утверждение.

\begin{remark}
Если в условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem Dr appr strictly interior subdomain}} матрица-функция $Q_0$ постоянна, то оценки \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain solutions} и \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain fluxes} справедливы при $C_{33}'''=\widetilde{C}_{33}'''=0$, т. е. члены, содержащие $\vert \zeta +1\vert ^{1/2}$, в этих оценках отсутствуют.
\end{remark}

\subsection{Устранение $S_\varepsilon$ в аппроксимациях в строго внутренней подобласти}

\begin{theorem}
\label{Theorem Dr appr strictly interior subdomain no S_eps}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem Dr appr strictly interior subdomain}}.

\noindent
$1^\circ$. Пусть матрица-функция $\Lambda (\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Пусть $G_1(\varepsilon ;\zeta )$ --- оператор \eqref{G1(eps,zeta)}. Положим $\mathbf{v}_\varepsilon ^{(1)}
=\mathbf{u}_0+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0 +\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon\widetilde{\mathbf{u}}_0$. Тогда при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat ,\infty)$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки
\begin{align*}
\Vert &\mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon ^{(1)}\Vert _{H^1(\mathcal{O}')}
\leqslant \bigl( C _{33}'\delta ^{-1} c(\psi)+C_{34}'+\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}C_{33}'''\bigr)
\varrho _\flat (\zeta )^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon - G_1(\varepsilon ;\zeta )\mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant
\bigl( \widetilde{C}_{33}'\delta ^{-1} c(\psi)+\widetilde{C}_{34}'+\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\widetilde{C}_{33}'''\bigr)
\varrho _\flat (\zeta )^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{align*}
Здесь постоянные $C_{33}'$, $C_{33}'''$, $\widetilde{C}_{33}'$ и $\widetilde{C}_{33}'''$ --- те же, что и в \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain solutions}, \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain fluxes}. Постоянные $C_{34}'$ и $\widetilde{C}_{34}'$ зависят от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$ и $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$.

\noindent
$2^\circ$. Пусть матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Пусть $G_2(\varepsilon;\zeta)$ --- оператор \eqref{G2(eps;zeta)}. Положим $\mathbf{v}_\varepsilon ^{(2)}=\mathbf{u}_0+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \mathbf{u}_0$. Тогда при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat ,\infty)$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы неравенства
\begin{align*}
\Vert &\mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon ^{(2)}\Vert _{H^1(\mathcal{O}')}
\leqslant \bigl( C_{33}'\delta ^{-1} c(\psi)+C_{34}''+\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}C_{33}'''\bigr)
\varrho _\flat (\zeta )^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon - G_2(\varepsilon ;\zeta )\mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant
\bigl( \widetilde{C}_{33}'\delta ^{-1} c(\psi)+\widetilde{C}_{34}''+\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\widetilde{C}_{33}'''\bigr)
\varrho _\flat (\zeta )^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{align*}
Постоянные $C_{34}''$ и $\widetilde{C}_{34}''$ зависят лишь от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, от $p$ и $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.

\noindent
$3^\circ$. Предположим, что условия \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} и \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} выполнены одновременно. Пусть $G_3(\varepsilon;\zeta)$ --- оператор \eqref{G3(eps;zeta)}. Положим $\mathbf{v}_\varepsilon ^{(3)}=\mathbf{u}_0+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0 +\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\mathbf{u}_0$. Тогда при $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat ,\infty)$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ имеют место аппроксимации
\begin{align}
\label{Th Dr appr st int no S-eps sec. 3-1}
\Vert &\mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{v}_\varepsilon ^{(3)}\Vert _{H^1(\mathcal{O}')}
\leqslant \bigl( C_{33}'\delta ^{-1} c(\psi)+C_{34}+\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}C_{33}'''\bigr)
\varrho _\flat (\zeta )^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},
\\
\label{Th Dr appr st int no S-eps sec. 3-2}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon - G_3(\varepsilon ;\zeta )\mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O}')}
\\
&\leqslant
\bigl( \widetilde{C}_{33}'\delta ^{-1} c(\psi)+\widetilde{C}_{34}+\vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\widetilde{C}_{33}'''\bigr)
\varrho _\flat (\zeta )^{3/2}\varepsilon\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{align}
Постоянные $C_{34}$ и $\widetilde{C}_{34}$ зависят от исходных данных \eqref{problem data}, области $\mathcal{O}$, от $p$ и от норм $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Доказательство похоже на доказательство теоремы \ref{Theorem Dr appr no S_eps}. Для примера установим утверждения п. $3^\circ$ теоремы \ref{Theorem Dr appr strictly interior subdomain no S_eps}. Пусть выполнены условия \ref{Condition Lambda in L infty} и \ref{Condition tilde Lambda in Lp}. В силу лемм \ref{Lemma Lambda (S-I)}, \ref{Lemma tilde Lambda(S-I)} и \eqref{P_O H^1, H^2}, \eqref{K_D(eps,zeta)}, \eqref{ex 9.38}, \eqref{Th Dr appr strictly interior subdomain solutions} заключаем, что верна оценка \eqref{Th Dr appr st int no S-eps sec. 3-1} с постоянной
$$C_{34}=C_{33}''+(\mathfrak{C}_\Lambda +\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}})C_{\mathcal{O}}^{(2)}\widehat{c}(c_\flat+2)\Vert f\Vert _{L_\infty}\Vert f^{-1}\Vert _{L_\infty}.$$

Аппроксимация потоков \eqref{Th Dr appr st int no S-eps sec. 3-2} выводится из \eqref{Th Dr appr st int no S-eps sec. 3-1}. Действуя по аналогии с \eqref{ex 9.45} и учитывая \eqref{9-star}, приходим к оценке \eqref{Th Dr appr st int no S-eps sec. 3-2} с постоянной $\widetilde{C}_{34}=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{34}+\gamma _{38}$.
\end{proof}
%
\section{Примеры применения общих результатов}
\label{Section Examples}

В случае операторов, действующих во всем пространстве, рассматриваемые в этом параграфе примеры изучались в \cite{SuAA,SuAA14,MSu15}.

\subsection{Скалярный эллиптический оператор} 
\label{sec.scalar case}
Рассмотрим случай, когда $n=1$, $m=d$, $b(\mathbf{D})=\mathbf{D}$, а $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая симметричная $(d\times d)$-матрица-функция \textit{с вещественными элементами}, $g(\mathbf{x})>0$, $g,g^{-1}\in L_\infty$. Тогда очевидно (см. \eqref{<b^*b<}) $\alpha _0=\alpha _1 =1$ и $b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x}) b(\mathbf{D})=-\mathrm{div}\,g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$.

Далее, пусть $\mathbf{A}(\mathbf{x})=\mathrm{col}\lbrace A_1(\mathbf{x}),\dots ,A_d(\mathbf{x})\rbrace$, где $A_j(\mathbf{x})$, $j=1,\dots,d$, --- $\Gamma$-периодические вещественные функции, причем
\begin{equation}
\label{A_j in L rho}
A_j\in L_\rho (\Omega),\quad\rho=2\;\mbox{при}\;d=1,\quad \rho >d\;\mbox{при}\;d\geqslant 2;\quad j=1,\dots ,d.
\end{equation}
Пусть $v(\mathbf{x})$ и $\mathcal{V}(\mathbf{x})$ --- вещественные $\Gamma$-периодические функции такие, что
\begin{equation}
\label{v,V condition}
v,\mathcal{V}\in L_s(\Omega),\quad\int_\Omega v(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0,\quad s=1\;\mbox{при}\;d=1,\quad s>d/2\;\mbox{при}\;d\geqslant 2.
\end{equation}

В $L_2(\mathcal{O})$ рассмотрим оператор $\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}$, формально заданный дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{mathfrak B_D,eps}
\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon(\mathbf{x}))^*g^\varepsilon (\mathbf{x})(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))+\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon (\mathbf{x})+\mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x})
\end{equation}
при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$. Точное определение оператора $\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}$ дается через квадратичную форму
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[u,u]=\int _\mathcal{O}
\left(
\langle g^\varepsilon (\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon )u,(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon )u\rangle+(\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon+\mathcal{V}^\varepsilon)\vert u\vert ^2
\right)
\,d\mathbf{x},\\
u\in H^1_0(\mathcal{O}).
\end{split}
\end{equation*}
Оператор \eqref{mathfrak B_D,eps} можно понимать как периодический оператор Шрёдингера с метрикой $g^\varepsilon$, магнитным потенциалом $\mathbf{A}^\varepsilon$ и электрическим потенциалом $\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon +\mathcal{V}^\varepsilon$, содержащим сингулярное слагаемое $\varepsilon ^{-1}v^\varepsilon$.

Легко видеть (см. \cite[п. 13.1]{SuAA}), что оператор \eqref{mathfrak B_D,eps} можно переписать следующим образом: 
\begin{equation}
\label{mathfrak B_D,eps in other words}
\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}=\mathbf{D}^*g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}+\sum _{j=1}^d\left(a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j+D_j(a_j^\varepsilon (\mathbf{x}))^*\right) +Q^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation}
Здесь вещественная функция $Q(\mathbf{x})$ определена равенством
\begin{equation}
\label{Q(x)=V+<gA,A>}
Q(\mathbf{x})=\mathcal{V}(\mathbf{x})+\langle g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x}),\mathbf{A}(\mathbf{x})\rangle .
\end{equation}
Комплексные функции $a_j(\mathbf{x})$ заданы выражениями
\begin{equation}
\label{a_j sec. 10.1}
a_j(\mathbf{x})=-\eta _j(\mathbf{x})+i\xi _j(\mathbf{x}),\quad j=1,\dots, d,
\end{equation}
где $\eta _j(\mathbf{x})$ --- компоненты вектор-функции $\boldsymbol{\eta}(\mathbf{x})=g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x})$, а функции $\xi_j(\mathbf{x})$ определены через $\Gamma$-периодическое решение  $\Phi (\mathbf{x})$ задачи $\Delta \Phi(\mathbf{x})=v(\mathbf{x})$, $\int _\Omega \Phi(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0$, соотношением $\xi _j (\mathbf{x})=-\partial _j \Phi (\mathbf{x})$. При этом выполнено
\begin{equation}
\label{v(x)=sum}
v(\mathbf{x})=-\sum _{j=1}^d\partial _j \xi _j(\mathbf{x}).
\end{equation}
Можно проверить, что функции \eqref{a_j sec. 10.1} удовлетворяют условию \eqref{a_j cond} с подходящим показателем $\rho '$, зависящим от $\rho$ и $s$, причем нормы $\Vert a_j\Vert _{L_{\rho '}(\Omega)}$ контролируются через $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \mathbf{A}\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $\Vert v\Vert _{L_s(\Omega)}$ и параметры решетки $\Gamma$. (См. \cite[п. 13.1]{SuAA}.) Функция \eqref{Q(x)=V+<gA,A>} удовлетворяет условию \eqref{Q condition} с подходящим показателем $s'=\min \lbrace s;\rho/2\rbrace$.

Пусть $Q_0(\mathbf{x})$ --- положительно определенная и ограниченная $\Gamma$-периодическая функция. Следуя \eqref{B_D,eps = formally}, введем положительно определенный оператор $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}:=\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}+\lambda Q_0^\varepsilon$. 
Здесь постоянная $\lambda$ выбрана из условия \eqref{lambda =} для оператора, коэффициенты $g$, $a_j$, $j=1,\dots,d$, $Q$ и $Q_0$ которого определены выше. Оператор $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$ можно записать в виде
\begin{equation}
\label{B_D,eps scalar case}
\mathcal{B}_{D,\varepsilon}=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))^* g^\varepsilon (\mathbf{x})(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon (\mathbf{x}))
+\varepsilon ^{-1} v^\varepsilon (\mathbf{x})+\mathcal{V}^\varepsilon (\mathbf{x})+\lambda Q_0^\varepsilon (\mathbf{x}).
\end{equation}
Нас интересует поведение оператора $(\mathcal{B}_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}$, $\zeta \in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$. В рассматриваемом случае исходные данные \eqref{problem data} сводятся к набору
\begin{equation}
\label{problem data for the scalar operator}
\begin{split}
&d,\rho,s;\Vert g\Vert _{L_\infty}, \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}, \Vert \mathbf{A}\Vert _{L_\rho (\Omega)}, \Vert v\Vert _{L_s(\Omega)},\Vert \mathcal{V}\Vert _{L_s(\Omega)},\\
&\Vert Q_0\Vert _{L_\infty}, \Vert Q_0^{-1}\Vert _{L_\infty}; \mbox{параметры решетки }\Gamma.
\end{split}
\end{equation}

Выпишем эффективный оператор. В нашем случае $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{Lambda problem} является матрицей-строкой:
\begin{equation*}
\Lambda (\mathbf{x})=i\Psi (\mathbf{x}),\quad\Psi (\mathbf{x})=(\psi _1(\mathbf{x}),\dots ,\psi _d(\mathbf{x}),
\end{equation*}
где $\psi _j(\mathbf{x})\in\widetilde{H}^1(\Omega)$ --- решение задачи
\begin{equation*}
\mathrm{div}\,g(\mathbf{x})(\nabla \psi _j (\mathbf{x})+\mathbf{e}_j)=0,\quad \int _\Omega \psi_j(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation*}
Здесь $\mathbf{e}_j$, $j=1,\dots,d$, --- стандартные орты в $\mathbb{R}^d$. Ясно, что функции $\psi _j(\mathbf{x})$ вещественнозначные, а элементы матрицы-строки $\Lambda(\mathbf{x})$ чисто мнимые. Согласно \eqref{tilde g} столбцы $(d\times d)$-матрицы-функции $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ --- это $g(\mathbf{x})(\nabla \psi _j (\mathbf{x})+\mathbf{e}_j)$, $j=1,\dots,d$. Эффективная матрица определена в соответствии с \eqref{g^0}: $g^0=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega\widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$. Ясно, что $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ и $g^0$ имеют вещественные элементы.

Согласно \eqref{a_j sec. 10.1} и \eqref{v(x)=sum} периодическое решение задачи \eqref{tildeLambda_problem} представляется в виде $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})+i\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})$, где вещественные $\Gamma$-периодические функции $\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})$ являются решениями задач
\begin{align*}
&-\div g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})+v(\mathbf{x})=0,\quad\int _\Omega\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0,\\
&-\div g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})+\div g(\mathbf{x})\mathbf{A}(\mathbf{x})=0,\quad\int_\Omega\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{align*}
Матрица-столбец $V$ (см. \eqref{V}) имеет вид $V=V_1+iV_2$, где $V_1$, $V_2$ --- столбцы с вещественными элементами, определяемые равенствами
\begin{align}
\label{V_1}
&V_1=\vert\Omega\vert ^{-1}\int _\Omega(\nabla\Psi (\mathbf{x}))^tg(\mathbf{x})\nabla\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},
\\
&V_2=-\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega (\nabla \Psi(\mathbf{x}))^tg(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}.
\end{align}
Согласно \eqref{W} постоянная $W$ запишется в виде
\begin{equation}
\label{W for scalar case}
W=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \left(\langle g(\mathbf{x})\nabla \widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x}),\nabla\widetilde{\Lambda}_1(\mathbf{x})\rangle+\langle g(\mathbf{x})\nabla\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x}),\nabla\widetilde{\Lambda}_2(\mathbf{x})\rangle\right)\,d\mathbf{x}.
\end{equation}
Эффективный оператор для $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$ действует по правилу
\begin{equation*}
\mathcal{B}_D^0u=-\div g^0\nabla u +2i\langle\nabla u, V_1+\overline{\boldsymbol{\eta}}\rangle +(-W+\overline{Q}+\lambda \overline{Q_0})u,\quad u\in H^2(\mathcal{O})\cap H^1_0(\mathcal{O}).
\end{equation*}
Этот оператор допускает запись в виде
\begin{equation}
\label{B_D^0 for scalar case}
\mathcal{B}_D^0=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^0)^*g^0(\mathbf{D}-\mathbf{A}^0)+\mathcal{V}^0+\lambda \overline{Q_0},
\end{equation}
где
\begin{equation}
\label{A^0}
\mathbf{A}^0=(g^0)^{-1}(V_1+\overline{g\mathbf{A}}),\quad \mathcal{V}^0=\overline{\mathcal{V}}+\overline{\langle g\mathbf{A},\mathbf{A}\rangle}-\langle g^0\mathbf{A}^0,\mathbf{A}^0\rangle -W.
\end{equation}

Согласно замечанию \ref{Remark scalar problem} в рассматриваемом случае справедливы условия \ref{Condition Lambda in L infty} и \ref{Condition tilde Lambda in Lp}, причем нормы $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$ оцениваются в терминах данных задачи \eqref{problem data for the scalar operator}. Поэтому можно использовать корректор, не содержащий сглаживающего оператора:
\begin{equation}
\label{K_D for scalar case}
\mathcal{K}_D^0(\varepsilon ;\zeta):=\left([\Lambda ^\varepsilon ]\mathbf{D}+[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon]\right)(\mathcal{B}_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}
=\left([\Psi ^\varepsilon]\nabla +[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon]\right)(\mathcal{B}_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}.
\end{equation}
Оператор \eqref{G3(eps;zeta)} запишется в виде $G_3(\varepsilon;\zeta)=-i\mathcal{G}_3(\varepsilon;\zeta)$, где
\begin{equation}
\label{mathcal G_3}
\mathcal{G}_3(\varepsilon ;\zeta )=\widetilde{g}^\varepsilon \nabla(\mathcal{B}_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}
+g^\varepsilon (\nabla\widetilde{\Lambda})^\varepsilon (\mathcal{B}_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}.
\end{equation}
В соответствии с теоремами \ref{Theorem Dirichlet L2} и \ref{Theorem no S-eps}($3^\circ$) справедлив следующий результат.
\begin{proposition}
\label{Proposition 1 for scalar case}
Пусть $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$ --- оператор \eqref{B_D,eps scalar case}, коэффициенты которого удовлетворяют условиям, сформулированным выше в п.~\textnormal{\ref{sec.scalar case}}. Пусть $\mathcal{B}_D^0$ --- эффективный оператор \eqref{B_D^0 for scalar case}, коэффициенты которого определены согласно \eqref{V_1}--\eqref{W for scalar case} и \eqref{A^0}. Пусть $\mathcal{K}_D^0(\varepsilon ;\zeta)$ --- корректор \eqref{K_D for scalar case}. Пусть оператор $\mathcal{G}_3(\varepsilon;\zeta)$ определен в \eqref{mathcal G_3}. Пусть $\zeta\in\mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\zeta =\vert \zeta \vert e^{i\phi}$, $0<\phi<2\pi$, $\vert \zeta\vert \geqslant 1$. Число $\varepsilon _1$ выберем из условия \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{Pr. 10.1_1}
\Vert &(\mathcal{B}_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}-(\mathcal{B}_D^0-\zeta \overline{Q_0} )^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_4 c(\phi)^5\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2},
\\
\label{Pr. 10.1_2}
\begin{split}
\Vert &(\mathcal{B}_{D,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(\mathcal{B}_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon \mathcal{K}_D^0(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
C_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+C_{23} c(\phi)^4\varepsilon ,
\end{split}
\\
\label{Pr. 10.1_3}
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon \nabla (\mathcal{B}_{D,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}- \mathcal{G}_3(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\widetilde{C}_5 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+\widetilde{C}_{23} c(\phi)^4\varepsilon .
\end{split}
\end{align}
Здесь $c(\phi)$ --- величина \eqref{c(phi)}. Постоянные $C_4$, $C_5$, $C_{23}$, $\widetilde{C}_5$ и $\widetilde{C}_{23}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data for the scalar operator} и области $\mathcal{O}$.
\end{proposition}

\glqq Другая\grqq\, аппроксимация оператора $(\mathcal{B}_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}$ получается на основании теорем \ref{Theorem Dr appr} и \ref{Theorem Dr appr no S_eps}($3^\circ$).

\begin{proposition}
\label{Proposition anither appr scalar case}
Пусть коэффициенты операторов $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$ и $\mathcal{B}_D^0$ удовлетворяют условиям предложения~\textnormal{\ref{Proposition 1 for scalar case}}. Пусть $\mathcal{K}_D^0(\varepsilon;\zeta)$ и $\mathcal{G}_3(\varepsilon;\zeta)$ --- операторы \eqref{K_D for scalar case}, \eqref{mathcal G_3}. Положим $f(\mathbf{x}):=Q_0(\mathbf{x})^{-1/2}$, $f_0:=(\overline{Q_0})^{-1/2}$. Пусть $\zeta \in \mathbb{C}\setminus [c_\flat ,\infty)$, где $c_\flat \geqslant 0$ --- общая нижняя грань операторов $\widetilde{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}:=f^\varepsilon\mathcal{B}_{D,\varepsilon}f^\varepsilon$ и $\widetilde{\mathcal{B}}_D^0:=f_0\mathcal{B}_D^0f_0$. Пусть $\varrho _\flat (\zeta )$ --- величина \eqref{rho(zeta)}. Число $\varepsilon_1$ выберем из условия \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$ имеют место оценки
\begin{align}
\Vert &(\mathcal{B}_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon)^{-1}-(\mathcal{B}_D^0-\zeta \overline{Q_0} )^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_{28}\varrho _\flat (\zeta)\varepsilon ,
\nonumber
\\
\label{Prop 10.2.1}
\begin{split}
\Vert &(\mathcal{B}_{D,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}-(\mathcal{B}_D^0-\zeta \overline{Q_0})^{-1}-\varepsilon \mathcal{K}_D^0(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
C_{31}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)+C_{30}\vert \zeta +1\vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta) ,
\end{split}
\\
\label{Prop 10.2.2}
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon \nabla (\mathcal{B}_{D,\varepsilon }-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}- \mathcal{G}_3(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\widetilde{C}_{31}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)+\widetilde{C}_{30}\vert \zeta +1\vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta).
\end{split}
\end{align}
Постоянные $C_{28}$, $C_{30}$, $C_{31}$, $\widetilde{C}_{30}$ и $\widetilde{C}_{31}$ зависят от исходных данных \eqref{problem data for the scalar operator}, от области $\mathcal{O}$ и от выбора $c_\flat$. В случае, когда функция $Q_0(\mathbf{x})$ постоянна, оценки \eqref{Prop 10.2.1} и \eqref{Prop 10.2.2} выполнены при $C_{30}=\widetilde{C}_{30}=0$.
\end{proposition}

\subsection{Периодический оператор Шрёдингера} 
\label{sec. Periodic Schred. op.}
Пусть $\check{g}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая симметричная $(d\times d)$-матрица-функция в $\mathbb{R}^d$ с вещественными элементами: $\check{g}(\mathbf{x})>0$, $\check{g},\check{g}^{-1}\in L_\infty $; а $\check{v}(\mathbf{x})$ --- вещественная $\Gamma$-периодическая функция такая, что
\begin{equation*}
\check{v}\in L_s(\Omega),\quad s=1\;\mbox{при}\;d=1,\quad s>d/2\;\mbox{при}\;d\geqslant 2.
\end{equation*}
Через $\check{\mathcal{A}}$ обозначим оператор в $L_2(\mathbb{R}^d)$, отвечающий квадратичной форме $$\int _{\mathbb{R}^d}\left(\langle\check{g}(\mathbf{x})\mathbf{D}u,\mathbf{D}u\rangle+\check{v}(\mathbf{x})\vert u\vert ^2\right)\,d\mathbf{x},\quad u\in H^1(\mathbb{R}^d).$$ 
За счет добавления постоянной к потенциалу $\check{v}(\mathbf{x})$ будем считать, что оператор $\check{\mathcal{A}}$ имеет точку ноль краем спектра. При этом условии оператор $\check{\mathcal{A}}$ допускает факторизацию (см. \cite[гл. 6, п. 1.1]{BSu}).

В $L_2(\mathcal{O})$ рассмотрим оператор $\check{\mathcal{A}}_D=\mathbf{D}^*\check{g}(\mathbf{x})\mathbf{D}+\check{v}(\mathbf{x})$ при условии Дирихле. 
Строгое определение оператора $\check{\mathcal{A}}_D$ дается через квадратичную форму
\begin{equation}
\label{check a}
\check{\mathfrak{a}}[u,u]=\int _\mathcal{O}\left(\langle\check{g}(\mathbf{x})\mathbf{D}u,\mathbf{D}u\rangle+\check{v}(\mathbf{x})\vert u\vert ^2\right)\,d\mathbf{x},\quad u\in H^1_0(\mathcal{O}).
\end{equation}
Оператор $\check{\mathcal{A}}_D$ наследует факторизацию оператора $\check{\mathcal{A}}$. Чтобы ее описать, рассмотрим уравнение
\begin{equation}
\label{eq omega}
\mathbf{D}^*\check{g}(\mathbf{x})\mathbf{D}\omega (\mathbf{x})+\check{v}(\mathbf{x})\omega(\mathbf{x})=0.
\end{equation}
Это уравнение имеет $\Gamma$-периодическое решение $\omega\in \widetilde{H}^1(\Omega)$, определенное с точностью до постоянного множителя. Этот множитель можно фиксировать так, чтобы $\omega (\mathbf{x})>0$ и 
\begin{equation}
\label{omega condition}
\int _\Omega \omega ^2(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=\vert \Omega \vert .
\end{equation}
Более того, решение положительно определено и ограничено: $0<\omega _0\leqslant \omega (\mathbf{x})\leqslant\omega_1<\infty$. Нормы $\Vert \omega\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \omega ^{-1}\Vert _{L_\infty}$ контролируются через $\Vert \check{g}\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \check{g}^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert \check{v}\Vert _{L_s(\Omega)}$. Отметим, что $\omega$ и $\omega ^{-1}$ являются мультипликаторами в $H^1_0(\mathcal{O})$.

Подстановка $u=\omega z$ с учетом \eqref{eq omega} преобразует форму \eqref{check a} к виду
\begin{equation*}
\check{\mathfrak{a}}[u,u]=\int _\mathcal{O} \omega (\mathbf{x})^2\langle\check{g}(\mathbf{x})\mathbf{D}z,\mathbf{D}z\rangle\,d\mathbf{x},\quad u=\omega z,\quad z\in H^1_0(\mathcal{O}).
\end{equation*}
Поэтому оператор $\check{\mathcal{A}}_D$ допускает факторизацию
\begin{equation}
\label{check A_D}
\check{\mathcal{A}}_D=\omega ^{-1}\mathbf{D}^* g\mathbf{D}\omega ^{-1},\quad g=\omega^2\check{g}.
\end{equation}

Рассмотрим теперь оператор с осциллирующими коэффициентами
\begin{equation}
\label{check A_D,eps}
\check{\mathcal{A}}_{D,\varepsilon}=(\omega ^\varepsilon) ^{-1}\mathbf{D}^* g^\varepsilon\mathbf{D}(\omega ^\varepsilon) ^{-1},\quad g=\omega^2\check{g}.
\end{equation}
В исходных терминах выражение \eqref{check A_D,eps} запишется так:
\begin{equation}
\label{check A_D,eps in initial terms}
\check{\mathcal{A}}_{D,\varepsilon}=\mathbf{D}^*\check{g}^\varepsilon\mathbf{D}+\varepsilon ^{-2}\check{v}^\varepsilon.
\end{equation}
Этот оператор можно трактовать как оператор Шрёдингера с быстро осциллирующей метрикой $\check{g}^\varepsilon$ и сильно сингулярным потенциалом $\varepsilon ^{-2}\check{v}^\varepsilon$.

Далее, пусть $\mathbf{A}=\mathrm{col}\,\lbrace A_1(\mathbf{x}),\dots ,A_d(\mathbf{x})\rbrace $, где $A_j(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические вещественные функции, удовлетворяющие условию \eqref{A_j in L rho}. Пусть $\widehat{v}(\mathbf{x})$ и $\check{\mathcal{V}}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические вещественные функции, причем
\begin{equation}
\label{hat v, check V}
\widehat{v},\check{\mathcal{V}}\in L_s(\Omega), \quad s=1\;\mbox{при}\;d=1,\quad s>d/2\;\mbox{при}\;d\geqslant 2,\\
\int _\Omega \widehat{v}(\mathbf{x})\omega ^2 (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
В $L_2(\mathcal{O})$ рассмотрим оператор $\check{\mathfrak{B}}_{D,\varepsilon}$, формально заданный дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{check mathfrak B_D,eps}
\check{\mathfrak{B}}_{D,\varepsilon}
=(\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon )^* \check{g}^\varepsilon (\mathbf{D}-\mathbf{A}^\varepsilon)+\varepsilon ^{-2}\check{v}^\varepsilon +\varepsilon ^{-1}\widehat{v}^\varepsilon +\check{\mathcal{V}}^\varepsilon 
\end{equation}
при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$. Строгое определение дается через квадратичную форму. Оператор $\check{\mathfrak{B}}_{D,\varepsilon}$ можно трактовать как оператор Шрёдингера с метрикой $\check{g}^\varepsilon$, магнитным потенциалом $\mathbf{A}^\varepsilon$ и электрическим потенциалом $\varepsilon ^{-2}\check{v}^\varepsilon +\varepsilon ^{-1}\widehat{v}^\varepsilon +\check{\mathcal{V}}^\varepsilon$, содержащим сингулярные слагаемые $\varepsilon ^{-2}\check{v}^\varepsilon$ и $\varepsilon ^{-1}\widehat{v}^\varepsilon $.

Положим 
\begin{equation}
\label{v=, V=}
v(\mathbf{x}):=\widehat{v}(\mathbf{x})\omega ^2(\mathbf{x}),\quad \mathcal{V}(\mathbf{x}):=\check{\mathcal{V}}(\mathbf{x})\omega ^2(\mathbf{x}).
\end{equation}
С учетом \eqref{check A_D,eps}, \eqref{check A_D,eps in initial terms} справедливо тождество $\check{\mathfrak{B}}_{D,\varepsilon}=(\omega ^\varepsilon )^{-1}\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}(\omega ^\varepsilon )^{-1}$, где оператор $\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}$ задан выражением \eqref{mathfrak B_D,eps}, в котором $g$ определено в \eqref{check A_D}, а $v$ и $\mathcal{V}$ --- в \eqref{v=, V=}. В силу \eqref{hat v, check V} и свойств функции $\omega$ коэффициенты $v$ и $\mathcal{V}$ удовлетворяют условиям \eqref{v,V condition}. Тогда оператор $\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}$ можно представить в виде \eqref{mathfrak B_D,eps in other words}, где $a_j$, $j=1,\dots,d$, и $Q$ построены по $g$, $\mathbf{A}$ и вышеописанным функциям $v$ и $\mathcal{V}$ согласно \eqref{Q(x)=V+<gA,A>}, \eqref{a_j sec. 10.1}.

Пусть $\check{Q}_0(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая вещественная функция, положительно определенная и ограниченная. Положим $Q_0(\mathbf{x}):=\check{Q}_0(\mathbf{x})\omega ^2(\mathbf{x})$. Постоянную $\lambda$ выберем из условия \eqref{lambda =} для оператора с теми же коэффициентами $g$, $a_j$, $j=1,\dots ,d$, и $Q$, что и у $\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}$, и коэффициентом $Q_0(\mathbf{x}):=\check{Q}_0(\mathbf{x})\omega ^2(\mathbf{x})$. Тогда оператор $\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}:=\check{\mathfrak{B}}_{D,\varepsilon}+\lambda \check{Q}_0^\varepsilon$ связан с оператором $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}:=\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}+\lambda Q_0^\varepsilon$ соотношением $\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}=(\omega ^\varepsilon )^{-1}\mathcal{B}_{D,\varepsilon}(\omega ^\varepsilon )^{-1}$. Очевидно, 
\begin{equation}
\label{check Resolvent}
(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta\check{Q}_0^\varepsilon)^{-1}=\omega ^\varepsilon (\mathcal{B}_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\omega ^\varepsilon .
\end{equation}
Под исходными данными будем понимать набор 
\begin{equation}
\label{problem data for Schredinger}
\begin{split}
&d,\rho,s;\Vert \check{g}\Vert _{L_\infty}, \Vert \check{g}^{-1}\Vert _{L_\infty}, \Vert \mathbf{A}\Vert _{L_\rho (\Omega)}, \Vert \check{v}\Vert _{L_s(\Omega)}, \Vert \widehat{v}\Vert _{L_s(\Omega)},\Vert \check{\mathcal{V}}\Vert _{L_s(\Omega)},
\\
&\Vert \check{Q}_0\Vert _{L_\infty}, \Vert \check{Q}_0^{-1}\Vert _{L_\infty};\; \mbox{параметры решетки }\Gamma .
\end{split}
\end{equation}
На основании \eqref{check Resolvent} и предложений~\ref{Proposition 1 for scalar case}, \ref{Proposition anither appr scalar case} получим следующий результат.

\begin{proposition}
\label{Proposition Schredinger}
Пусть $\check{\mathfrak{B}}_{D,\varepsilon}$ --- оператор \eqref{check mathfrak B_D,eps}, коэффициенты которого удовлетворяют условиям, сформулированным выше в п.~\textnormal{\ref{sec. Periodic Schred. op.}}. Пусть $\omega (\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое положительное решение уравнения \eqref{eq omega}, удовлетворяющее условию \eqref{omega condition}. Пусть $\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}$ --- оператор \eqref{mathfrak B_D,eps}с коэффициентами $g^\varepsilon =\check{g}^\varepsilon(\omega ^\varepsilon )^2$, $\mathbf{A}^\varepsilon$, $v^\varepsilon =\widehat{v}^\varepsilon (\omega ^\varepsilon )^2$ и $\mathcal{V}^\varepsilon=\check{\mathcal{V}}^\varepsilon  (\omega ^\varepsilon )^2$. Пусть $\check{Q}_0(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая вещественная функция, положительно определенная и ограниченная, а $Q_0:=\check{Q}_0\omega^2$. Постоянную $\lambda$ выберем из условия \eqref{lambda =} для оператора $\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}$ и функции $Q_0$. 
Положим $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}:=\mathfrak{B}_{D,\varepsilon}+\lambda Q_0^\varepsilon$, $\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}:=\check{\mathfrak{B}}_{D,\varepsilon}+\lambda \check{Q}_0^\varepsilon$ . Пусть $\mathcal{B}_D^0$ --- эффективный оператор для $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$, определенный в \eqref{B_D^0 for scalar case}. Пусть $\mathcal{K}_D^0(\varepsilon ;\zeta)$, $\mathcal{G}_3(\varepsilon;\zeta)$ --- операторы \eqref{K_D for scalar case} и \eqref{mathcal G_3} для оператора $\mathcal{B}_{D,\varepsilon}$.  Пусть число $\varepsilon _1$ выбрано из условия \textnormal{\ref{condition varepsilon}}.

\noindent
$1^\circ$. 
Пусть $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\zeta =\vert \zeta\vert e^{i\phi}$, $0<\phi <2\pi$, $\vert \zeta \vert \geqslant 1$. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{Pr. 10.3_1}
\Vert &(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta\check{Q}_0^\varepsilon )^{-1}-\omega ^\varepsilon (\mathcal{B}_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\omega ^\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_4\Vert \omega \Vert ^2_{L_\infty}c(\phi)^5\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2},
\\
\label{Pr. 10.3_2}
\begin{split}
\Vert &(\omega ^\varepsilon )^{-1}(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta \check{Q}_0^\varepsilon )^{-1}-(\mathcal{B}_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\omega ^\varepsilon -\varepsilon \mathcal{K}_D^0(\varepsilon ;\zeta )\omega ^\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_5\Vert \omega \Vert _{L_\infty}c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}
+C_{23}\Vert \omega\Vert _{L_\infty} c(\phi)^4 \varepsilon ,
\end{split}
\\
\label{Pr. 10.3_3}
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon \nabla (\omega ^\varepsilon )^{-1}(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta \check{Q}_0^\varepsilon )^{-1}
-\mathcal{G}_3(\varepsilon;\zeta)\omega ^\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widetilde{C}_5\Vert \omega\Vert _{L_\infty} c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}
+\widetilde{C}_{23}\Vert \omega\Vert _{L_\infty} c(\phi)^4\varepsilon .
\end{split}
\end{align}
Здесь $c(\phi)$ --- величина \eqref{c(phi)}. 

\noindent
$2^\circ$.  Положим $f(\mathbf{x}):=Q_0(\mathbf{x})^{-1/2}$, $f_0:=(\overline{Q_0})^{-1/2}$. Пусть $\zeta\in\mathbb{C}\setminus [c_\flat ,\infty)$, где $c_\flat \geqslant 0$ --- общая нижняя грань операторов $\widetilde{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}:=f^\varepsilon \mathcal{B}_{D,\varepsilon}f^\varepsilon$ и $\widetilde{\mathcal{B}}_{D}^0:= f_0\mathcal{B}_D^0 f_0$. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки
\begin{align}
\Vert &(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta\check{Q}_0^\varepsilon )^{-1}-\omega ^\varepsilon (\mathcal{B}_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\omega ^\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_{28}\Vert \omega\Vert ^2_{L_\infty}\varrho _\flat (\zeta)\varepsilon ,
\nonumber
\\
\label{Pr. 10.4_2}
\begin{split}
\Vert &(\omega ^\varepsilon )^{-1}(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta\check{Q}_0^\varepsilon )^{-1}-(\mathcal{B}_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}\omega ^\varepsilon -\varepsilon\mathcal{K}_D^0(\varepsilon;\zeta)\omega ^\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_{31}\Vert \omega\Vert _{L_\infty}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat(\zeta)+C_{30}\Vert \omega\Vert _{L_\infty}\vert \zeta +1\vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta),
\end{split}
\\
\label{Pr. 10.4_3}
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon\nabla (\omega ^\varepsilon )^{-1}(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta\check{Q}_0^\varepsilon )^{-1}
-\mathcal{G}_3(\varepsilon;\zeta)\omega ^\varepsilon \Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widetilde{C}_{31}\Vert \omega\Vert _{L_\infty}\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)+\widetilde{C}_{30}\Vert \omega\Vert _{L_\infty}\vert \zeta +1\vert ^{1/2}\varepsilon\varrho _\flat (\zeta).
\end{split}
\end{align}
Здесь $\varrho _\flat (\zeta)$ --- величина \eqref{rho(zeta)}. 

Постоянные $C_4\Vert \omega \Vert ^2_{L_\infty}$, $C_5\Vert \omega\Vert _{L_\infty}$, $C_{23}\Vert \omega\Vert _{L_\infty}$, $\widetilde{C}_5\Vert \omega\Vert _{L_\infty}$ и $\widetilde{C}_{23}\Vert \omega\Vert _{L_\infty}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data for Schredinger} и от области $\mathcal{O}$.
Постоянные $C_{28}\Vert \omega \Vert _{L_\infty}^2$, $C_{30}\Vert \omega \Vert _{L_\infty}$, $C_{31}\Vert \omega\Vert _{L_\infty}$ и $\widetilde{C}_{30}\Vert \omega\Vert _{L_\infty}$, $\widetilde{C}_{31}\Vert \omega \Vert _{L_\infty}$ зависят от тех же параметров и от выбора $c_\flat$. В случае, когда функция $Q_0(\mathbf{x})$ постоянна, оценки \eqref{Pr. 10.4_2} и \eqref{Pr. 10.4_3} выполнены при $C_{30}=\widetilde{C}_{30}=0$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Домножая операторы под знаком нормы в \eqref{Pr. 10.1_1} с двух сторон на $\omega ^\varepsilon$ и используя \eqref{check Resolvent}, приходим к оценке \eqref{Pr. 10.3_1}.

В силу \eqref{check Resolvent} имеем $(\omega ^\varepsilon )^{-1}(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta\check{Q}_0^\varepsilon )^{-1}=(\mathcal{B}_{D,\varepsilon}-\zeta Q_0^\varepsilon )^{-1}\omega ^\varepsilon$. Домножая операторы под знаком нормы в \eqref{Pr. 10.1_2} справа на $\omega ^\varepsilon$, получаем \eqref{Pr. 10.3_2}. Аналогично из \eqref{Pr. 10.1_3} вытекает \eqref{Pr. 10.3_3}.

Результаты п.~$2^\circ$ получаются аналогично на основании предложения~\textnormal{\ref{Proposition anither appr scalar case}}. 
\end{proof}

\begin{remark}
Предложение \textnormal{\ref{Proposition Schredinger}}  демонстрирует, что для оператора \eqref{check mathfrak B_D,eps} характер усреднения меняется \textnormal{(}по сравнению с результатами для оператора \eqref{mathfrak B_D,eps}\textnormal{)}. Наличие сильно сингулярного потенциала $\varepsilon ^{-2}\check{v}^\varepsilon$ приводит к тому, что обобщенная резольвента $(\check{\mathcal{B}}_{D,\varepsilon}-\zeta\check{Q}_0^\varepsilon)^{-1}$ не имеет предела по операторной норме в $L_2(\mathcal{O})$. Она аппроксимируется через обобщенную резольвенту $(\mathcal{B}_D^0-\zeta\overline{Q_0})^{-1}$, окаймленную быстро осциллирующими множителями $\omega ^\varepsilon$.
\end{remark}


\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}
\begin{thebibliography}{XXXX}
%%\end{center}
\bibitem[BaPa]{BaPa} Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П., \textit{Осреднение процессов в периодических средах}, Наука, М., 1984.
\bibitem[BeLP]{BeLP} Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolau G., \textit{Asymptotic analysis for periodic structures}, Stud. Math. Appl., vol. 5, North-Holland Publishing Co., Amsterdam---New York, 1978.
%\bibitem[BSol]{BSol} Бирман М. Ш., Соломяк М. З., \textit{Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве}, Лань, СПб., 2010. 
\bibitem[BSu1]{BSu} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=817&option_lang=rus}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения}, Алгебра и анализ {\bf 15} (2003), №~5, 1--108.}
\bibitem[BSu2]{BSu05} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=714&option_lang=rus}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 17} (2005), №~6, 1–104.}
\bibitem[BSu3]{BSu06} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=95&option_lang=rus}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Алгебра и анализ {\bf 18} (2006), №~6, 1–130.}
\bibitem[Bo]{Bo} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=504&option_lang=rus}{Борисов Д. И., \textit{Асимптотики решений эллиптических систем с быстро осциллирующими коэффициентами}, Алгебра и анализ {\bf 20} (2008), №~2, 19–42. }
\bibitem[Gr1]{Gr1} \href{http://content.iospress.com/articles/asymptotic-analysis/asy655}{Griso~G., \textit{Error estimate and unfolding for periodic homogenization},
Asymptot. Anal. \textbf{40} (2004), no. 3/4, 269--286.}
\bibitem[Gr2]{Gr2} \href{http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S021953050600070X}{Griso~G., \textit{Interior error estimate for periodic homogenization},
Anal. Appl. \textbf{4} (2006), no. 1, 61--79.}
\bibitem[ZhKO]{ZhKO} Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., \textit{Усреднение дифференциальных операторов}, Физматлит, М., 1993.
\bibitem[Zh1]{Zh1} Жиков В. В., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, Докл. РАН {\bf 403} (2005), вып. 3, 305--308.
\bibitem[Zh2]{Zh2} \href{http://link.springer.com/article/10.1134/S1064562406010261}{Жиков В. В., \textit{О некоторых оценках из теории усреднения}, Докл. РАН {\bf 406} (2006), вып. 5, 597--601.}
\bibitem[ZhPas1]{ZhPas} Zhikov V. V., Pastukhova S. E., \textit{On operator estimates for some problems in homogenization theory}, Russ. J. Math. Phys. {\bf 12} (2005), no. 4, 515-524.
\bibitem[ZhPas2]{ZhPasUMN} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9710&option_lang=rus}{Жиков В. В., Пастухова С. Е., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, УМН {\bf 71 (429)} (2016), №~3, 27–122.}
%\bibitem[ZhPas2]{ZhPAs_parabol} Zhikov V. V., Pastukhova S. E., 
%\emph{Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic 
%coefficients}, Russ. J. Math. Phys. {\bf 13}:2 (2006), 224--237.
%\bibitem[HeCu1]{HeCu} \href{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X06006743}
%{He W.-M., Cui J.-Zh., \textit{A local error estimate of the method of multi-scale asymptotic expansions for elliptic problems with rapidly oscillatory coefficients}, Journal of Mathematical Analysis and Applications {\bf 329}:1 (2007), 547--556.}
%\bibitem[HeCu2]{HeCu2}\href{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X07001254}{He W.-M., Cui J.-Zh., \textit{A new approximate method for second order elliptic problems with rapidly oscillating coefficients based on the method of multiscale asymptotic expansions}, Journal of Mathematical Analysis and Applications {\bf 335}:1 (2007), 657--688.}
%\bibitem[K]{K} Като Т., \textit{Теория возмущений линейных операторов}, Мир, М., 1972.
\bibitem[KeLiS]{KeLiS} \href{http://link.springer.com/article/10.1007/s00205-011-0469-0}{Kenig C.~E., Lin F., Shen Z.,
\textit{Convergence rates in $L^2$ for elliptic homogenization problems},
Arch. Rat. Mech. Anal. \textbf{203} (2012), no. 3, 1009--1036.}
\bibitem[KoE]{KoE} Кондратьев В. А., Эйдельман С. Д., \textit{Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических граничных задач}, Докл. АН СССР {\bf 246} (1979), №~4, 812--815.
\bibitem[LaU]{LaU} Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., \textit{Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа}, Наука, М., 1964.
\bibitem[MaSh]{MaSh} Мазья В. Г., Шапошникова Т. О., \textit{Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций}, Изд. ЛГУ, Ленинград, 1986.
%\bibitem[Ma]{Ma} Marcinkiewicz J., \textit{Sur les multiplicateurs des series de Fourier}, Studia Math., {\bf 8} (1939), 78–91.
\bibitem[McL]{McL} McLean W., \textit{Strongly elliptic systems and boundary integral equations}, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000.
%\bibitem[MSu]{MSu} Мешкова Ю. М., Суслина Т. А., \textit{Усреднение решений начально-краевых задач для параболических систем}, Функц. анализ и его прил., {\bf 49}:1 (2015), в печати.
\bibitem[MSu1]{MSu15} \href
{http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00036811.2015.1122758}
{Meshkova Yu. M., Suslina T. A., \textit{Two-parametric error estimates in homogenization of second order elliptic systems in $\mathbb{R}^d$}, Appl. Anal. {\bf 95} (2016), no. 7, 1413--1448.}% published on-line, \url{http://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00036811.2015.1122758}.  %Мешкова Ю. М., Суслина Т. А., {\it Двухпараметрические оценки погрешности при усреднении эллиптических систем второго порядка в $\mathbb{R}^d$ с включением младших членов}, ПОМИ препринт 4/2015.
\bibitem[MSu2]{MSu16}\href{http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00036811.2015.1068300?journalCode=gapa20}
{Meshkova Yu. M., Suslina T. A., \textit{Homogenization of initial boundary value problems for parabolic systems with periodic coefficients}, Appl. Anal. {\bf 95} (2016), no. 8, 1736--1775.}
\bibitem[MoV1]{MoV} \href{https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-royal-society-of-edinburgh-section-a-mathematics/article/first-order-corrections-to-the-homogenised-eigenvalues-of-a-periodic-composite-medium-a-convergence-proof/9BB013E443A56324E6E275417607B332}
{Moskow Sh., Vogelius M., \textit{First-order corrections to the homogenised eigenvalues of a periodic composite medium. A convergence proof}, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A {\bf 127} (1997), no. 6, 1263--1299.}
\bibitem[MoV2]{MoV2}\href{http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=9245393D4869EEBB53A4798A5485FE85?doi=10.1.1.112.1971&rep=rep1&type=pdf}{Moskow S., Vogelius M., \textit{First order corrections to the homogenized eigenvalues of a periodic composite medium. The case of Neumann boundary conditions}, Preprint, Rutgers University, 1997.}
%\bibitem[Ne]{Ne} Necas J., \textit{Direct methods in the theory of elliptic equations}, Springer Monographs in Mathematics, 2011.
\bibitem[OISh]{OISh}
Олейник О. А., Иосифьян, Г. A., Шaмaев A. С., \textit{Мaтемaтические зaдaчи теоpии сильно неодноpодных упpугих сpед}, М., Моск. гос. ун-т, М., 1990.
%\bibitem[PSu1]{PSu1} Пахнин М. А., Суслина Т. А., \textit{Усреднение эллиптической задачи Дирихле: оценки погрешности в $(L_2\rightarrow H^1)$-норме}, Функц. анализ и его прил., {\bf 46}:2 (2012), 92--96. 
\bibitem[PSu]{PSu} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=1312&option_lang=rus}
{Пахнин М. А., Суслина Т. А., \textit{Операторные оценки погрешности при усреднении эллиптической задачи Дирихле в ограниченной области}, Алгебра и анализ {\bf 24} (2012),№~6, 139--177.}
\bibitem[R]{R} \href{http://jlms.oxfordjournals.org/content/60/1/237.short}
{Rychkov V. S., \textit{On restrictions and extensions of the Besov and Triebel--Lizorkin spaces with respect to Lipschitz domains}, J. London Math. Soc. {\bf 60} (1999), 237--257.}
%\bibitem[Sa]{Sa} Санчес-Паленсия Э., \textit{Неоднородные среды и теория колебаний}, Мир, М., 1984.
\bibitem[St]{St} Стейн И. М., \textit{Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций}, Мир, М., 1973.
%\bibitem[Su1]{Su04} Суслина Т. А., \textit{Об усреднении периодических параболических систем}, Функц. анализ и его прил., {\bf 38}:4 (2004), 86--90. 
%\bibitem[Su2]{Su07} Suslina T. A., \textit{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem}, Amer. Math. Soc. Transl. (2), vol. 220, 2007, 201--233.
%\bibitem[Su3]{Su10} Suslina T.~A., {\it Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the Sobolev space $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Math. Model. Nat. Phenom. {\bf 5}, N 4 (2010), 390--447.
\bibitem[Su1]{SuAA} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=1174&option_lang=rus}
{Суслина Т. А., 
\emph{Усреднение в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$ для периодических 
эллиптических дифференциальных операторов второго порядка при включении 
членов первого порядка}, Алгебра и анализ {\bf 22} (2010), №~1, 108--222.}
%\MR{2641084 (2011d:35041)}
%\bibitem[Su4]{Su12}  Суслина Т. А., \textit{Операторные оценки погрешности в $L_2$ при усреднении эллиптической задачи Дирихле}, Функц. анализ и его прил., {\bf 46}:3 (2012), 91–96.
\bibitem[Su2]{Su13}  \href{https://www.cambridge.org/core/journals/mathematika/article/div-classtitlehomogenization-of-the-dirichlet-problem-for-elliptic-systems-span-classinlineformulaspan-classalternativesimg-classmathjaxaltimg-data-mimesubtypegif-data-typesimple-srcstaticdomainresourceidurncambridgeorgidbinary20151127083051041-0852s0025579312001131inline1gifspan-classmathjaxtex-data-mathjax-typetexmathtexmathl2texmathspanspanspan-operator-error-estimatesdiv/75A3F0CD76CA48FCED568E522E099E1C}{Suslina T. A., \textit{Homogenization of the Dirichlet problem for elliptic systems: $L_2$-operator error estimates}, Mathematika {\bf 59}  (2013), no.~2, 463-476.}
\bibitem[Su3]{Su_SIAM} \href{http://epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/120901921?journalCode=sjmaah}{Suslina T. A., \textit{Homogenization of the Neumann problem for elliptic systems with periodic coefficients}, SIAM J. Math. Anal. {\bf 45} (2013), no. 6, 3453-3493.}
%\bibitem[Su7]{Su14} Суслина Т. А., \textit{Усреднение эллиптических задач в зависимости от спектрального параметра}, Функц. анализ и его прил., {\bf 48}:4 (2014), 88--94. 
\bibitem[Su4]{SuAA14} 
\href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=1395&option_lang=rus}
{Суслина Т. А., \textit{Усреднение эллиптических систем с периодическими коэффициентами: операторные оценки погрешности в $L_2(\mathbb{R}^d)$ с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 26} (2014), №~4, 195--263.} 
\bibitem[Su5]{Su15} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=1452&option_lang=rus}
{Суслина Т. А., \textit{Усреднение эллиптических операторов с периодическими коэффициентами в зависимости от спектрального параметра}, Алгебра и анализ {\bf 27} (2015), №~4, 87--166.}
\bibitem[Xu1]{Xu} \href{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X16001359}
{Xu Q., \textit{Uniform regularity estimates in homogenization theory of elliptic system with lower order terms}, J. Math. Anal. Appl. {\bf 438} (2016), no.~2, 1066--1107.}
%DOI: 10.1016/j.jmaa.2016.02.011
%  \href{http://de.arxiv.org/abs/1507.06050v2}{arXiv:1507.06050}.
\bibitem[Xu2]{Xu2} \href{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022039616301632}
{Xu Q., \textit{Uniform regularity estimates in homogenization theory of elliptic systems with lower order terms on the Neumann boundary problem}, J. Diff. Equ. {\bf 261} (2016), no.~8, 4368–-4423.}
\end{thebibliography}
\end{document}