\documentclass[12pt, notitlepage]{article}
%\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[affil-it]{authblk}
\usepackage{times}
\usepackage{amsfonts, amsthm}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage[english, russian]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T2A, T1]{fontenc}
%\usepackage{mathptmx}
%\usepackage{newtxtext,newtxmath}
%\usepackage[noae]{Sweave}
\pagestyle{empty}

\DeclareRobustCommand{\cyrins}[1]{%
 \begingroup\fontfamily{erewhon-TLF}%
 \foreignlanguage{russian}{#1}%
 \endgroup
}





\title{ФОРМУЛА МОНОТОННОСТИ \\ ДЛЯ ЗАДАЧИ С ГИСТЕРЕЗИСОМ}
\author{Д.Е. Апушкинская,
\thanks{Electronic address: darya@math.uni-sb.de} \qquad Н.Н. Уральцева
\thanks{Electronic address: uraltsev@pdmi.ras.ru}}
%\affil{Университет земли Саар, Германия}
%\address{Department of Mathematics\\
%Saarland University\\
%P. O. Box 151150\\
%D-66041 Saarbr\"ucken, GERMANY\\
%e-mail: darya@math.uni-sb.de
%}
\date{}
\begin{document}

\maketitle

\section{ВВЕДЕНИЕ}

%\cyrins{\textit{Неприкосновенный} запас},
%\cyrins{\textbf{Неприкосновенный} запас},

Формула монотонности - это необходимый инструмент исследования задач с разрывными нелинейностями, позволяющий обосновывать предельные переходы. Наша заметка посвящена локальной версии формулы монотонности
типа формулы Вейсса для задачи, описывающей процессы с \flqq эффектом памяти\frqq.

Пусть $\mathcal{U}$ - область в $\mathbb{R}^n$. Рассматривается параболическая задача
\begin{equation} \label{hysteresis-problem}
\begin{gathered}
H[u]:=\Delta u -\partial_tu=h[u] \quad \text{в}\quad Q=\mathcal{U}\times (0,T], \\
u\big|_{t=0}=\varphi (x), \qquad x\in \mathcal{U}.
\end{gathered}
\end{equation}
Предполагается также, что $u$ удовлетворяет либо условию Дирихле, либо условию Неймана на боковой поверхности цилиндра $Q$. Поскольку нас интересует локальный вариант формулы монотонности, который выполняется для  внутренних точек $Q$, то мы не обращаем внимание на граничные условия.

Здесь $h[u]:C(\mathcal{U}~\times~[0,T]) \mapsto \left\lbrace \pm 1\right\rbrace$ обозначает оператор релейного вида, который однозначно определяется следующим образом. Зафиксируем два пороговых значения $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha < \beta$), обозначим через $E$ множество 
$$
E:=\left\lbrace z=(x,t)\in Q : u(z)\leqslant \alpha\right\rbrace \cup \left\lbrace z\in Q : u(z) \geqslant \beta\right\rbrace
\cup \left\lbrace \mathcal{U} \times \left\lbrace 0\right\rbrace \right\rbrace ,
$$ 
и рассмотрим многозначную функцию $f: \mathbb{R} \mapsto\left\lbrace \pm 1\right\rbrace$ такую, что $f(s) =-1$ при $s \leqslant \alpha$, $f(s)=1$ при $x \geqslant \beta$, а при $\alpha < s<\beta$ функция $f(s)$ может принимать оба значения $+1$ и $-1$, соответственно. Полагая $
\varphi \in C^{1,1}(\mathcal{U})
$, мы будем считать, что значения $h_0(x):=f(\varphi (x))$ изначально определены. Далее, положим
\begin{equation}\label{initial-hysteresis}
h[u](x,0)=h_0(x), \qquad  x\in \mathcal{U}.
\end{equation}
Если $z\in E$, то $h[u](z)=f(u(z))$. В противном случае, для $z=(x,t)\in Q$ таких, что $\alpha <u(z)<\beta$ считаем 
$h[u](x,t)=h[u](x, \hat{t} (x))$, где $\hat{t} (x)=\max\left\lbrace s : (x,s)\in E;\ s \leqslant t\right\rbrace$.

Задачи вида (\ref{hysteresis-problem})-(\ref{initial-hysteresis}) возникают при описании различных биологических, технологических и химических процессов (см., например, [1-2] и приведенную в них библиографию).

Рассматриваются так называемые \flqq сильные решения\frqq\  задачи (\ref{hysteresis-problem})-(\ref{initial-hysteresis}), т.е. мы считаем, что $u\in W^{2,1}_q(Q)$, $q>n+2$ и оператор $h[u]$ генерируется функцией $u$ с учетом 
соотношения (\ref{initial-hysteresis}) согласно описанной выше процедуре, а также $u$ удовлетворяет первому из уравнений  (\ref{hysteresis-problem}) п.в. в $Q$.

Поскольку правая часть первого из уравнений (\ref{hysteresis-problem}) является разрывной функцией зависящей от $u$, то положение границы раздела фаз, где $h[u]$ принимает значения $+1$ и $-1$, априори неизвестно.  Поэтому границу раздела фаз можно считать свободной границей. В работе [3] сильные решения  (\ref{hysteresis-problem})-(\ref{initial-hysteresis}) изучались с точки зрения теории задач со свободными границами, что позволило выяснить структуру свободной границы и установить локальную оптимальную регулярность решений. Поясним результаты [3] немного подробнее. 

Положим $\Omega_{\pm}(u):=\left\lbrace z=(x,t) \in Q, \ \text{где} \ h[u](z)=\pm 1\right\rbrace$ и обозначим через $\Gamma (u):=\partial\Omega_+ \cap \partial\Omega_-$ свободную границу, т.е. множество, на котором $h[u](z)$ имеет скачок. В [3] установлено, что
$$
\Gamma (u)=\Gamma_{\alpha}(u) \cup \Gamma_{\beta}(u)\cup \Gamma_v (u),
$$
где $\Gamma_{\alpha}(u):=\Gamma (u) \cap \left\lbrace u=\alpha\right\rbrace$, $\Gamma_{\beta}(u):=\Gamma (u) \cap \left\lbrace u=\beta\right\rbrace$, а $\Gamma_v(u)$ представляет собой объединение цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны оси $t$. Заметим, что $\Gamma_v(u)$ является \flqq паталогической\frqq\  частью свободной границы, поскольку мы ничего не можем сказать о значениях $u$ на $\Gamma_v(u)$. Также в [3] получена оценка для старших производных $u$ в точках $z\in Q\setminus\Gamma (u)$:
\begin{equation} \label{optimal_regularity}
|\partial_t u(z)|+|D^2u(z)|\leqslant C(n, \rho_0, \varepsilon, \sup\limits_Q|u|, \beta-\alpha).
\end{equation}
Здесь $\rho_0:=\text{dist}_p\{z, \Gamma_v\}$, $\varepsilon:=\text{dist}_p\{z, \partial'Q\}$, $\partial'Q$ - параболическая граница цилиндра $Q$, а $\text{dist}_p$ обозначает параболическое расстояние от точки $z$ до соотвествующего множества. Подчеркнем, что константа $C$ в (\ref{optimal_regularity}) не зависит от параболического расстояния от $z$ до $\Gamma_{\alpha}(u) \cup \Gamma_{\beta}(u)$. К сожалению, избавится от зависимости $C$ от $\rho_0$ пока не удалось.

Наличие оценки (\ref{optimal_regularity}) гарантирует равномерную ограниченность масштабированных функций
\begin{equation} \label{scaling}
u_r(x,t)=\frac{u(rx+x^0, r^2t+t^0)-\alpha}{r^2}
\end{equation}
в случае когда точка $z^0=(x^0,t^0)$ отделена от $\Gamma_v$. Это
 дает  возможность получить вариант формулы монотонности типа Вейсса  для сильных решений задачи (1). 

\section{Формула монотонности}

Положим $\Gamma^0_{\alpha}(u):=\Gamma_{\alpha}(u) \cap \{|\nabla u|=0\}$, возьмем точку $z^0=(x^0,t^0)$ на $\Gamma_{\alpha}^0$ удовлетворяющую условию $\text{dist}_p\{z^0, \Gamma_v\}>0$, и зададим функционал Вейсса формулой
\begin{align*}
W_R(r,x^0,t^0,u, \alpha):=\mathcal{W}_R(r,x^0,t^0,u, \alpha)
%&:=\frac{1}{r^4}\int\limits_{t^0-4r^2}^{t^0-r^2}\int\limits_{B_R(x^0)}\left( |Du|^2+\frac{u^2}{t-t^0} \right) G\left( x-x^0, t^0-t\right) dxdt\\ 
+\mathcal{I}_R(r,x^0,t^0,u, \alpha),
\end{align*}
где
$$
\mathcal{W}_R(r,x^0,t^0,u, \alpha)=\frac{1}{r^4}\int\limits_{t^0-4r^2}^{t^0-r^2}\int\limits_{B_R(x^0)}\left( |Du|^2+\frac{(u-\alpha)^2}{t-t^0} \right) G\left( x-x^0, t^0-t\right) dxdt
$$
и
$$
\mathcal{I}_R(r,x^0,t^0,u, \alpha)=\frac{2}{r^4}\int\limits_{t^0-4r^2}^{t^0-r^2}\int\limits_{B_R(x^0)}\left( u^{[+]}_{\alpha}-u^{[-]}_{\alpha}\right)G(x-x^0,t^0-t)dxdt.
$$
Здесь $r$ и $R$ - положительные константы такие, что $B_R(x^0)\times (t^0-4r^2, t^0-r^2) \subset \mathcal{U}$, тепловое ядро $G(x,t)=\frac{\exp{(-|x|^2/4t)}}{(4\pi t)^{n/2}}$ при $t>0$ и $G(x,t)=0$ при $t \leqslant 0$, а функции $u^{[\pm]}_{\alpha}$ определяются формулами
$$
u^{[+]}_{\alpha}:=\left\lbrace 
\begin{aligned}
&u-\alpha \quad \text{в}\quad \Omega_{+}(u)\\
&\quad 0 \qquad \text{в}\quad \Omega_{-}(u)
\end{aligned}
\right.,
\qquad \qquad
u^{[-]}_{\alpha}:=\left\lbrace 
\begin{aligned}
&\quad 0 \qquad \text{в}\quad \Omega_{+}(u)\\
&u-\alpha \quad \text{в}\quad \Omega_{-}(u)\\
\end{aligned}
\right..
$$

\vspace{0.5cm}
\noindent
\cyrins{\textbf{Теорема.}} \cyrins{\textit{Пусть}} $u$ \cyrins{\textit{и}} $z^0$ \cyrins{\textit{такие, как описано ранее. Предположим также, что параметры }} $r$ \cyrins{\textit{и}} $R$ \cyrins{\textit{настолько малы, что выполнено условие}}
$$
\left\lbrace B_R(x^0) \times (t^0-4r^2,t^0-r^2)\right\rbrace \cap \Gamma_v=\emptyset.
$$
\cyrins{\textit{Тогда}}
\begin{equation} \label{Weiss-formula}
\frac{dW_R(r,x^0,t^0,u, \alpha)}{dr}
=\frac{1}{r}\int\limits_{-4}^{-1}
\int\limits_{B_{R/r}}\frac{|\mathcal{L}u_r|^2}{-t}G(x,-t)dxdt+\mathcal{J}_{R}(r,u),
\end{equation}
\cyrins{\textit{где}} $u_r$ \cyrins{\textit{- масштабированная функция из формулы }} (\ref{scaling}), 
$$
\mathcal{L}u_r(x,t):=x \cdot Du_r(x,t)+2t\partial_tu_r(x,t)-2u_r(x,t),
$$
\cyrins{\textit{а для остаточного члена} }  $\mathcal{J}_R(r,u)$ \cyrins{\textit{верна оценка}}
\begin{equation} \label{otsenka-xvosta}
|\mathcal{J}_R(r,u)|\leqslant N_0\left( 1+\frac{1}{r}\right) \left( \frac{R}{r}\right)^{n+4}\exp{\left( -\frac{R^2}{16r^2}\right) } 
 \end{equation}
\cyrins{\textit{с универсальной константой}} $N_0=N_0(n,M,\alpha)$.
\vspace{0.5cm}

Если параметр $r$ достаточно мал и выполнены условия теоремы, то функционал $W_R(r,x^0,t^0,u)$ равномерно ограничен. Более того, оценка (\ref{otsenka-xvosta}) гарантирует справедливость равенства
$$
\lim\limits_{r\rightarrow 0^+}|\mathcal{J}_R(r,u)|=0.
$$
\vspace{0.5cm}
\noindent
\cyrins{\textbf{Следствие.} } \cyrins{\textit{Предположим, что выполнены все условия теоремы. Тогда функционал}}
$W_R(r,x^0,t^0,u)$ \cyrins{\textit{имеет предел при}} $r\rightarrow 0^+$, \cyrins{\textit{и этот предел не зависит от значений параметра}} $R$.

\vspace{0.5cm}

Заметим, что для случая $z^0=(x^0,t^0) \in \Gamma_{\beta}^0(u)$ с $\textit{dist}_{p}\left\lbrace z^0, \Gamma_v\right\rbrace >0$ справедливо аналогичное утверждение. Отличие будет состоять лишь в том, что в этом случае необходимо определить масштабированную функцию как
$$
u_r(x,t)=\frac{u(x^0+rx,t^0+r^2t)-\beta}{r^2}
$$
и заменить в $N_0$ и в определениях функционалов $W_R$, $\mathcal{W}_R$ и $\mathcal{I}_R$ параметр $\alpha$ на $\beta$.

\vspace{0.5cm}

Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант № 14-01-00534.


\begin{thebibliography}{9}
\bibitem \ D.E. Apushkinskaya and N.N. Uraltseva. \textit{Free boundaries in problems with hysteresis}. // Phil. Trans. R. Soc. A, \cyrins{\textbf{373}} (2015), 20140271.
\bibitem \ M. Curran, P. Gurevich, and S. Tikhomirov. \textit{Recent advances in reaction-diffusion equations with non-ideal relay}. // Control of Self-Organizing Nonlinear Systems. 2016, p.211-234.
\bibitem \ D.E. Apushkinskaya and N.N. Uraltseva. \textit{On regularity properties of solutions to the hysteresis-type problem}. // Interfaces Free Boundaries, \cyrins{\textbf{17}} (2015), 93-115.
\end{thebibliography}




\end{document}







