\documentclass[12pt, notitlepage]{article} %\usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[affil-it]{authblk} \usepackage{times} \usepackage{amsfonts, amsthm} \usepackage{amsmath, amssymb} \usepackage[english, russian]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T2A, T1]{fontenc} %\usepackage{mathptmx} %\usepackage{newtxtext,newtxmath} %\usepackage[noae]{Sweave} \pagestyle{empty} \DeclareRobustCommand{\cyrins}[1]{% \begingroup\fontfamily{erewhon-TLF}% \foreignlanguage{russian}{#1}% \endgroup } \title{ФОРМУЛА МОНОТОННОСТИ \\ ДЛЯ ЗАДАЧИ С ГИСТЕРЕЗИСОМ} \author{Д.Е. Апушкинская, \thanks{Electronic address: darya@math.uni-sb.de} \qquad Н.Н. Уральцева \thanks{Electronic address: uraltsev@pdmi.ras.ru}} %\affil{Университет земли Саар, Германия} %\address{Department of Mathematics\\ %Saarland University\\ %P. O. Box 151150\\ %D-66041 Saarbr\"ucken, GERMANY\\ %e-mail: darya@math.uni-sb.de %} \date{} \begin{document} \maketitle \section{ВВЕДЕНИЕ} %\cyrins{\textit{Неприкосновенный} запас}, %\cyrins{\textbf{Неприкосновенный} запас}, Формула монотонности - это необходимый инструмент исследования задач с разрывными нелинейностями, позволяющий обосновывать предельные переходы. Наша заметка посвящена локальной версии формулы монотонности типа формулы Вейсса для задачи, описывающей процессы с \flqq эффектом памяти\frqq. Пусть $\mathcal{U}$ - область в $\mathbb{R}^n$. Рассматривается параболическая задача \begin{equation} \label{hysteresis-problem} \begin{gathered} H[u]:=\Delta u -\partial_tu=h[u] \quad \text{в}\quad Q=\mathcal{U}\times (0,T], \\ u\big|_{t=0}=\varphi (x), \qquad x\in \mathcal{U}. \end{gathered} \end{equation} Предполагается также, что $u$ удовлетворяет либо условию Дирихле, либо условию Неймана на боковой поверхности цилиндра $Q$. Поскольку нас интересует локальный вариант формулы монотонности, который выполняется для внутренних точек $Q$, то мы не обращаем внимание на граничные условия. Здесь $h[u]:C(\mathcal{U}~\times~[0,T]) \mapsto \left\lbrace \pm 1\right\rbrace$ обозначает оператор релейного вида, который однозначно определяется следующим образом. Зафиксируем два пороговых значения $\alpha$ и $\beta$ ($\alpha < \beta$), обозначим через $E$ множество $$ E:=\left\lbrace z=(x,t)\in Q : u(z)\leqslant \alpha\right\rbrace \cup \left\lbrace z\in Q : u(z) \geqslant \beta\right\rbrace \cup \left\lbrace \mathcal{U} \times \left\lbrace 0\right\rbrace \right\rbrace , $$ и рассмотрим многозначную функцию $f: \mathbb{R} \mapsto\left\lbrace \pm 1\right\rbrace$ такую, что $f(s) =-1$ при $s \leqslant \alpha$, $f(s)=1$ при $x \geqslant \beta$, а при $\alpha < s<\beta$ функция $f(s)$ может принимать оба значения $+1$ и $-1$, соответственно. Полагая $ \varphi \in C^{1,1}(\mathcal{U}) $, мы будем считать, что значения $h_0(x):=f(\varphi (x))$ изначально определены. Далее, положим \begin{equation}\label{initial-hysteresis} h[u](x,0)=h_0(x), \qquad x\in \mathcal{U}. \end{equation} Если $z\in E$, то $h[u](z)=f(u(z))$. В противном случае, для $z=(x,t)\in Q$ таких, что $\alpha n+2$ и оператор $h[u]$ генерируется функцией $u$ с учетом соотношения (\ref{initial-hysteresis}) согласно описанной выше процедуре, а также $u$ удовлетворяет первому из уравнений (\ref{hysteresis-problem}) п.в. в $Q$. Поскольку правая часть первого из уравнений (\ref{hysteresis-problem}) является разрывной функцией зависящей от $u$, то положение границы раздела фаз, где $h[u]$ принимает значения $+1$ и $-1$, априори неизвестно. Поэтому границу раздела фаз можно считать свободной границей. В работе [3] сильные решения (\ref{hysteresis-problem})-(\ref{initial-hysteresis}) изучались с точки зрения теории задач со свободными границами, что позволило выяснить структуру свободной границы и установить локальную оптимальную регулярность решений. Поясним результаты [3] немного подробнее. Положим $\Omega_{\pm}(u):=\left\lbrace z=(x,t) \in Q, \ \text{где} \ h[u](z)=\pm 1\right\rbrace$ и обозначим через $\Gamma (u):=\partial\Omega_+ \cap \partial\Omega_-$ свободную границу, т.е. множество, на котором $h[u](z)$ имеет скачок. В [3] установлено, что $$ \Gamma (u)=\Gamma_{\alpha}(u) \cup \Gamma_{\beta}(u)\cup \Gamma_v (u), $$ где $\Gamma_{\alpha}(u):=\Gamma (u) \cap \left\lbrace u=\alpha\right\rbrace$, $\Gamma_{\beta}(u):=\Gamma (u) \cap \left\lbrace u=\beta\right\rbrace$, а $\Gamma_v(u)$ представляет собой объединение цилиндрических поверхностей, образующие которых параллельны оси $t$. Заметим, что $\Gamma_v(u)$ является \flqq паталогической\frqq\ частью свободной границы, поскольку мы ничего не можем сказать о значениях $u$ на $\Gamma_v(u)$. Также в [3] получена оценка для старших производных $u$ в точках $z\in Q\setminus\Gamma (u)$: \begin{equation} \label{optimal_regularity} |\partial_t u(z)|+|D^2u(z)|\leqslant C(n, \rho_0, \varepsilon, \sup\limits_Q|u|, \beta-\alpha). \end{equation} Здесь $\rho_0:=\text{dist}_p\{z, \Gamma_v\}$, $\varepsilon:=\text{dist}_p\{z, \partial'Q\}$, $\partial'Q$ - параболическая граница цилиндра $Q$, а $\text{dist}_p$ обозначает параболическое расстояние от точки $z$ до соотвествующего множества. Подчеркнем, что константа $C$ в (\ref{optimal_regularity}) не зависит от параболического расстояния от $z$ до $\Gamma_{\alpha}(u) \cup \Gamma_{\beta}(u)$. К сожалению, избавится от зависимости $C$ от $\rho_0$ пока не удалось. Наличие оценки (\ref{optimal_regularity}) гарантирует равномерную ограниченность масштабированных функций \begin{equation} \label{scaling} u_r(x,t)=\frac{u(rx+x^0, r^2t+t^0)-\alpha}{r^2} \end{equation} в случае когда точка $z^0=(x^0,t^0)$ отделена от $\Gamma_v$. Это дает возможность получить вариант формулы монотонности типа Вейсса для сильных решений задачи (1). \section{Формула монотонности} Положим $\Gamma^0_{\alpha}(u):=\Gamma_{\alpha}(u) \cap \{|\nabla u|=0\}$, возьмем точку $z^0=(x^0,t^0)$ на $\Gamma_{\alpha}^0$ удовлетворяющую условию $\text{dist}_p\{z^0, \Gamma_v\}>0$, и зададим функционал Вейсса формулой \begin{align*} W_R(r,x^0,t^0,u, \alpha):=\mathcal{W}_R(r,x^0,t^0,u, \alpha) %&:=\frac{1}{r^4}\int\limits_{t^0-4r^2}^{t^0-r^2}\int\limits_{B_R(x^0)}\left( |Du|^2+\frac{u^2}{t-t^0} \right) G\left( x-x^0, t^0-t\right) dxdt\\ +\mathcal{I}_R(r,x^0,t^0,u, \alpha), \end{align*} где $$ \mathcal{W}_R(r,x^0,t^0,u, \alpha)=\frac{1}{r^4}\int\limits_{t^0-4r^2}^{t^0-r^2}\int\limits_{B_R(x^0)}\left( |Du|^2+\frac{(u-\alpha)^2}{t-t^0} \right) G\left( x-x^0, t^0-t\right) dxdt $$ и $$ \mathcal{I}_R(r,x^0,t^0,u, \alpha)=\frac{2}{r^4}\int\limits_{t^0-4r^2}^{t^0-r^2}\int\limits_{B_R(x^0)}\left( u^{[+]}_{\alpha}-u^{[-]}_{\alpha}\right)G(x-x^0,t^0-t)dxdt. $$ Здесь $r$ и $R$ - положительные константы такие, что $B_R(x^0)\times (t^0-4r^2, t^0-r^2) \subset \mathcal{U}$, тепловое ядро $G(x,t)=\frac{\exp{(-|x|^2/4t)}}{(4\pi t)^{n/2}}$ при $t>0$ и $G(x,t)=0$ при $t \leqslant 0$, а функции $u^{[\pm]}_{\alpha}$ определяются формулами $$ u^{[+]}_{\alpha}:=\left\lbrace \begin{aligned} &u-\alpha \quad \text{в}\quad \Omega_{+}(u)\\ &\quad 0 \qquad \text{в}\quad \Omega_{-}(u) \end{aligned} \right., \qquad \qquad u^{[-]}_{\alpha}:=\left\lbrace \begin{aligned} &\quad 0 \qquad \text{в}\quad \Omega_{+}(u)\\ &u-\alpha \quad \text{в}\quad \Omega_{-}(u)\\ \end{aligned} \right.. $$ \vspace{0.5cm} \noindent \cyrins{\textbf{Теорема.}} \cyrins{\textit{Пусть}} $u$ \cyrins{\textit{и}} $z^0$ \cyrins{\textit{такие, как описано ранее. Предположим также, что параметры }} $r$ \cyrins{\textit{и}} $R$ \cyrins{\textit{настолько малы, что выполнено условие}} $$ \left\lbrace B_R(x^0) \times (t^0-4r^2,t^0-r^2)\right\rbrace \cap \Gamma_v=\emptyset. $$ \cyrins{\textit{Тогда}} \begin{equation} \label{Weiss-formula} \frac{dW_R(r,x^0,t^0,u, \alpha)}{dr} =\frac{1}{r}\int\limits_{-4}^{-1} \int\limits_{B_{R/r}}\frac{|\mathcal{L}u_r|^2}{-t}G(x,-t)dxdt+\mathcal{J}_{R}(r,u), \end{equation} \cyrins{\textit{где}} $u_r$ \cyrins{\textit{- масштабированная функция из формулы }} (\ref{scaling}), $$ \mathcal{L}u_r(x,t):=x \cdot Du_r(x,t)+2t\partial_tu_r(x,t)-2u_r(x,t), $$ \cyrins{\textit{а для остаточного члена} } $\mathcal{J}_R(r,u)$ \cyrins{\textit{верна оценка}} \begin{equation} \label{otsenka-xvosta} |\mathcal{J}_R(r,u)|\leqslant N_0\left( 1+\frac{1}{r}\right) \left( \frac{R}{r}\right)^{n+4}\exp{\left( -\frac{R^2}{16r^2}\right) } \end{equation} \cyrins{\textit{с универсальной константой}} $N_0=N_0(n,M,\alpha)$. \vspace{0.5cm} Если параметр $r$ достаточно мал и выполнены условия теоремы, то функционал $W_R(r,x^0,t^0,u)$ равномерно ограничен. Более того, оценка (\ref{otsenka-xvosta}) гарантирует справедливость равенства $$ \lim\limits_{r\rightarrow 0^+}|\mathcal{J}_R(r,u)|=0. $$ \vspace{0.5cm} \noindent \cyrins{\textbf{Следствие.} } \cyrins{\textit{Предположим, что выполнены все условия теоремы. Тогда функционал}} $W_R(r,x^0,t^0,u)$ \cyrins{\textit{имеет предел при}} $r\rightarrow 0^+$, \cyrins{\textit{и этот предел не зависит от значений параметра}} $R$. \vspace{0.5cm} Заметим, что для случая $z^0=(x^0,t^0) \in \Gamma_{\beta}^0(u)$ с $\textit{dist}_{p}\left\lbrace z^0, \Gamma_v\right\rbrace >0$ справедливо аналогичное утверждение. Отличие будет состоять лишь в том, что в этом случае необходимо определить масштабированную функцию как $$ u_r(x,t)=\frac{u(x^0+rx,t^0+r^2t)-\beta}{r^2} $$ и заменить в $N_0$ и в определениях функционалов $W_R$, $\mathcal{W}_R$ и $\mathcal{I}_R$ параметр $\alpha$ на $\beta$. \vspace{0.5cm} Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант № 14-01-00534. \begin{thebibliography}{9} \bibitem \ D.E. Apushkinskaya and N.N. Uraltseva. \textit{Free boundaries in problems with hysteresis}. // Phil. Trans. R. Soc. A, \cyrins{\textbf{373}} (2015), 20140271. \bibitem \ M. Curran, P. Gurevich, and S. Tikhomirov. \textit{Recent advances in reaction-diffusion equations with non-ideal relay}. // Control of Self-Organizing Nonlinear Systems. 2016, p.211-234. \bibitem \ D.E. Apushkinskaya and N.N. Uraltseva. \textit{On regularity properties of solutions to the hysteresis-type problem}. // Interfaces Free Boundaries, \cyrins{\textbf{17}} (2015), 93-115. \end{thebibliography} \end{document}