\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{epsfig,latexsym,amsfonts, amscd}
\usepackage{euscript}
\usepackage{multirow}
\usepackage[matrix, arrow, curve]{xy}
\usepackage{color}
%\usepackage[dvipdfm]{hyperref}
%\usepackage{comment}
\pagestyle{plain}

\unitlength=1mm

\emergencystretch=10pt
\clubpenalty=10000
\widowpenalty=10000
\binoppenalty=10000
\relpenalty=10000

%\textwidth=17cm \textheight=25cm \voffset=-1cm
\textheight=23cm

\oddsidemargin = 28pt
%\evensidemargin = 28pt%32pt
%\topmargin = 16pt
\headheight = 0pt
\headsep = 0pt
\textheight = 230mm
\textwidth = 165mm
\hoffset=-10mm
\voffset=-10mm

\def\beginproof{{\bf Доказательство. }}
%\def\endproof{\hfill$\square$\medskip}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem*{proposition_musina}{Предложение \cite[Теор. 3]{Musina}}
\newtheorem*{proposition_capella}{Предложение (\cite[Лемма 2.6]{Capella}, \cite[Теор. 2.5]{Iannizzotto}) }
\newtheorem{proposition}{Предложение}
\newtheorem{applemma}{Лемма}[section]
\newtheorem{corollary}{Следствие}
\newtheorem{remark}{Замечание}
\DeclareMathOperator{\noi}{HOK}

\begin{document}
\title{Множественность решений краевых задач с дробными лапласианами Дирихле и Навье\footnote{Представлено А.И. Назаровым}}
\author{Н.С. Устинов \footnote{Санкт-Петербургский Государственный Университет, Университетский пр. 28, Санкт-Петербург, 198504, Россия.  E-mail: {ustinns@yandex.ru}. 
}}

\maketitle
\section{Введение}
В данной работе исследуется множественность положительных решений для уравнения с дробным лапласианом:
\begin{equation}
 (-\Delta)^s u= |u|^{q-2} u\quad\mbox{в }\quad\Omega_R, \quad
 u\in \widetilde{H}^s(\Omega_R) 
\label{eq_frac}
\end{equation}
в кольце $\Omega_R=B_{R+1} \backslash B_{R}  \in \mathbb{R}^n$ при $s \in (0,1)$, $2<q<2_n^*\equiv\frac{2n}{(n-2s)_+}$. Дробный лапласиан $(-\Delta)^s$ в левой части уравнения (\ref{eq_frac}) может пониматься в смысле Дирихле или в смысле Навье, см. §2.

Эффект множественности был впервые открыт Ч. Коффманом \cite{Coffman}, который показал, что при $n=2$ задача
\begin{equation}
 -\Delta u= |u|^{q-2} u\quad\mbox{в}\quad\Omega_R,\qquad
 \left.u\right|_{\partial\Omega_R}=0
 \label{semilin}
\end{equation}
имеет любое наперед заданное число различных (не получающихся друг из друга поворотом) положительных решений при $q>2$ и достаточно больших $R$.

В статье \cite{Li} былa доказана множественность решений задачи (\ref{semilin}) в случае $n\geq 4$, $2<q<2^*\equiv\frac{2n}{(n-2)_+}$, а также рассматривался вопрос существования нерадиальных решений при $q\geq 2^*$.

Множественность решений в случае $n = 3$  была получена в работе \cite{By}.

В дальнейшем в статьях \cite{AN2} и  \cite{Kol} похожие результаты были получены для уравнения с $p$-лапласианом $\Delta_p\,u={\rm div}\left(|\nabla u|^{p-2}\nabla u\right)$: задача
\begin{equation*}
 -\Delta_p\,u = |u|^{q-2} u\quad\mbox{в}\quad\Omega_R,\qquad
 \left.u\right|_{\partial\Omega_R}=0
\end{equation*}
имеет любое наперед заданное число различных положительных решений при $1<p<\infty$, $p<q<p^* \equiv \frac{np}{(n-p)_+}$ и достаточно больших $R$.

Мы получим аналогичные результаты для задачи (\ref{eq_frac}) в случае $n \neq 3$. Отметим, что оператор дробного лапласиана является нелокальным, что не позволяет использовать технику, представленную в работах выше.

Статья имеет следующую структуру: в §2 даются основные определения, используемые в данной работе. В §3 приведены леммы, помогающие построить оценки энергии радиальных функций в пространстве $\widetilde{H}^s(\omega_R).$ В §4 описано поведение энергии при $R \to +\infty.$ Наконец, в §5 доказан основной результат --- Теорема \ref{mult}. Большинство технических деталей помещено в Приложение.

Различные абсолютные константы мы будем обозначать через $C$. В случае зависимости константы от параметра, этот параметр указывается в скобках.  Запись $a \asymp b$ означает, что верна двухсторонняя оценка $C_1b \leq a \leq C_2b$ с константами, не зависящими от $R$. Шар радиуса $r$ с центром в точке $x$ обозначим $B_r(x)$. Если $x=0$, то, для краткости, обозначим его $B_r$.  На протяжении всей работы нулевой вектор размерности $m$ мы будем обозначать $\mathbb{O}_{m}$.  
\section{Определения и основные понятия}
Обозначим $\omega_{R}$ кольцо в $\mathbb{R}^1$:   $\omega_{R} = [-R-1, -R] \cup [R, R+1].$ Функцию с носителем в $\omega_{R}$ или в $\Omega_{R}$ мы будем обозначать $u_{R}$, подчеркивая зависимость от радиуса $R$.
%Фактически, формулой  $u_{0}(y) = u_{R}(y+\frac{Ry}{|y|})$ можно задать целое семейство функций, проиндексированных радиусами $R$ с носителями $\omega_{R}$ или $\Omega_{R}$. 
%Ее ``пересадку'' по формуле  $u_{0}(y) = u_{R}(y+\frac{Ry}{|y|})$ на шар с центром в нуле мы обозначим за $u_{0}$. 

Преобразование Фурье в пространстве $\mathbb{R}^n$ задается формулой
\begin{equation*}
\mathcal{F}u(\xi) := \frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\mathbb{R}^n} e^{-i\xi\cdot x}u(x)dx.
\end{equation*}

Напомним определение пространств $H^s(\mathbb{R}^n)$ и $\widetilde{H}^s(\Omega_R)$ (см., напр., \cite[§2.3.3, 4.3.2]{Triebel}): 
\begin{gather*}
H^s(\mathbb{R}^n) = \left\{ u\in L_2(\mathbb{R}^n) \mid  \int\limits_{\mathbb{R}^n} (1+|\xi|^{2s})|\mathcal{F}u(\xi)|^2d\xi  < +\infty \right\};\\
\widetilde{H}^s(\Omega_R) = \left\{ u\in H^s(\mathbb{R}^n) \mid supp(u) \subset \overline{\Omega}_R \right\}.
\end{gather*} 
Дробный лапласиан  $(-\Delta)^s u$ на классе Шварца
\begin{equation*}
\mathcal{S} = \left\{ u\in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n) \mid \sup_{x \in \mathbb{R}^n}|x^\alpha D^\beta u(x)| < +\infty \quad  \forall \alpha,\beta \right\}
\end{equation*}
задается формулой
\begin{equation*}
(-\Delta)^s u = \mathcal{F}^{-1}(|\xi|^{2s}\mathcal{F}u(\xi)).
\end{equation*}
Квадратичная форма этого оператора  имеет вид
\begin{equation}
\label{seminorm_D}
((-\Delta)^s u,u)= \int\limits_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2s}|\mathcal{F}u(\xi)|^2d\xi.
\end{equation}
Дробный лапласиан Дирихле $(-\Delta)_D^s$ в области $\Omega_R$, называемый также суженным (restricted) дробным лапласианом --- самосопряженный оператор, восстановленный по квадратичной форме ($\ref{seminorm_D}$) с областью определения $\widetilde{H}^s(\Omega_R)$.
%При $s\in (0,1)$ для дробного лапласиана Дирихле верно интегральное представление (см. монографии \cite{stein}, \cite{landkof}):
%\begin{equation*}
%(-\Delta)_D^s u(y) = C_{n,s} \cdot P.V.\int\limits_{\mathbb{R}^n} \frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{n+2s}} dy,
%\end{equation*}
%где $C_{n,s} = \frac{2^{2s}s\Gamma(\frac{n+2s}{2})}{\pi^{\frac{N}{2}} \Gamma(1-s)}$.
%Квадратичную форму (\ref{seminorm_D}) можно записать в следующем виде:
%\begin{equation}
%\label{seminorm_D1}
%((-\Delta)_D^s u,u)= \frac{C_{n,s}}{2} \cdot \int\limits_{\mathbb{R}^n} \int\limits_{\mathbb{R}^n} \frac{(u(x)-u(y))^2}{|x-y|^{n+2s}} dydx.
%\end{equation}

Дробный лапласиан Навье $(-\Delta)_N^s$ --- это $s$-тая степень оператора Лапласа в смысле спектральной теории, то есть самосопряженный оператор, восстановленный по квадратичной форме
\begin{equation}
\label{seminorm_N}
((-\Delta)_N^s u,u) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda_j^s (u,\phi_j)^2, 
\end{equation}
где $\lambda_j$ и $\phi_j$ --- собственные числа и ортонормированные собственные функции оператора Лапласа с условием Дирихле в области $\Omega_R$. Дробный лапласиан Навье $(-\Delta)_N^s u$ также называется спектральным (spectral) дробным лапласианом. Хорошо известно (см., напр., \cite[Лемма 1]{Musina2}), что при $s \in [0, 1]$ область определения квадратичной формы (\ref{seminorm_N})  совпадает с $\widetilde{H}^s(\Omega_R).$ Подчеркнем, что оба оператора при $s \notin \mathbb{Z}$ являются нелокальными.

Норма в пространстве $\widetilde{H}^s(\Omega_R)$ индуцируется нормой в пространстве $H^s(\mathbb{R}^n)$
\begin{equation}
\label{norm_Rn}
\|u\|^2_{\widetilde{H}^s(\Omega_R)} =  \|u\|^2_{L_{2}(\Omega_R)} + ((-\Delta)_D^s u,u),
\end{equation}
однако, в силу неравенств Фридрихса (см. Приложение, Лемма \ref{fri}) в пространстве $\widetilde{H}^s(\Omega_R)$  квадратичными формами (\ref{seminorm_D}) и (\ref{seminorm_N}) задаются эквивалентные норме (\ref{norm_Rn}) нормы 
\begin{equation*}
[u]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)} := ((-\Delta)_D^s u,u) \asymp  \|u\|^2_{\widetilde{H}^s(\Omega_R)} \asymp   ((-\Delta)_N^s u,u) =: [u]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)} .
\end{equation*}
Отметим  следующее неравенство для квадратичных форм (\ref{seminorm_D})  и  (\ref{seminorm_N}) (см. \cite[Теор. 1]{Musina2}): при $s \in  (0, 1)$ для $u \not\equiv 0$ 
\begin{equation}
\label{seminorm_ineq}
((-\Delta)_N^s u,u) >  ((-\Delta)_D^s u,u).
\end{equation}

Напомним, что квадратичная форма для дробного лапласиана Дирихле может быть получена с помощью продолжения Каффарелли--Сильвестра \cite{Caffarelli}. Именно, при $u \in \widetilde{H}^s(\Omega_R)$ минимум функционала  
\begin{equation*}
\mathcal{E}^D_s(w) = \int\limits_0^{+\infty} \int\limits_{\mathbb{R}^n}t^{1-2s}|\nabla{w(x,t)}|^2dxdt
\end{equation*}
по подпространству функций 
\begin{equation*}
\mathfrak{W}^D = \left\{ w(x,t) \mid \mathcal{E}^D_s(w)<+\infty, \left.w\right|_{t=0} = u \right\}
\end{equation*}
достигается на единственной функции $\widetilde{w}_D$ и дает значение квадрата нормы Дирихле в $\widetilde{H}^s(\Omega)$ с точностью до константы $C(s) = \frac{4^s\Gamma(1+s)}{2s \cdot \Gamma(1-s)}$:
\begin{equation*}
[u]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega)}=C(s)\mathcal{E}^D_s(\widetilde{w}_D).
\end{equation*}
Аналогично, для дробного лапласиана Навье квадратичная форма получается продолжением Стинга---Торреа \cite{Stinga}: минимум функционала
\begin{equation*}
\mathcal{E}^N_s(w) = \int\limits_0^{+\infty} \int\limits_{\Omega}t^{1-2s}|\nabla{w(x,t)}|^2dxdt
\end{equation*}
по подпространству функций 
\begin{equation*}
\mathfrak{W}^N = \left\{ w(x,t) \mid \mathcal{E}^N_s(w)<+\infty, \left.w\right|_{t=0} = u, \left.w\right|_{x \in \partial\Omega} = 0 \right\}
\end{equation*}
достигается на единственной функции $\widetilde{w}_N$, и верна формула (см., напр., \cite[(2.6)]{Musina3})
\begin{equation*}
[u]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega)}=C(s)\mathcal{E}^N_s(\widetilde{w}_N).
\end{equation*}

Для пространств $\widetilde{H}^s(\Omega)$ верны неравенства Соболева (см., напр., \cite[2.8.1/15]{Triebel}): при $u \in \widetilde{H}^s(\Omega)$ и $s < \tfrac{n}{2}$ имеем
\begin{equation}
\label{sobolev}
[u]^2_{D, \widetilde{H}^s(\Omega)}  \geq C_s \|u\|_{L_{2^*_n}(\Omega)}^2 \quad\mbox{и }\quad [u]^2_{N, \widetilde{H}^s(\Omega)}  \geq C_s \|u\|_{L_{2^*_n}(\Omega)}^2,
\end{equation}
(напомним, что через $2^*_n \equiv \frac{2n}{(n-2s)_+}$ обозначен предельный показатель вложения). Точная константа $C_s$ в неравенстве для нормы Дирихле не зависит от области, ее значение было найдено в \cite{Tav}. Равенство точных констант для норм Навье и Дирихле было получено при $s = 2$ в \cite{Vorst} и \cite{Ge}, при $s \in \mathbb{N}$ в \cite{Gaz} и для произвольного $s$ в \cite{Musina}. 

Из неравенств (\ref{sobolev}) следует непрерывность вложения $\widetilde{H}^s(\Omega)$ в $L_{q}(\Omega)$ для предельного показателя $q = 2^*_n$, которая, в свою очередь, обеспечивает компактность вложения при $q < 2^*_n$.  

Пусть $G$ --- замкнутая подгруппа группы  $O(n)$. Обозначим $\mathfrak{L}^s_{G}$ подпространство функций из $\widetilde{H}^s(\Omega_R)$, инвариантных относительно $G$, то есть 
\begin{equation*}
\mathfrak{L}^s_{G} = \left\{ u\in \widetilde{H}^s(\Omega_R) \mid  u(x) = u(gx), \forall g \in G \right\}.
\end{equation*}
Аналогично определяется подпространство функций $L_{q, G}(\Omega_R)$:
\begin{equation*}
L_{q, G}(\Omega_R) = \left\{ u \in L_{q}(\Omega_R) \mid  u(x) = u(gx), \forall g \in G \right\}.
\end{equation*}
Мы будем придерживаться обозначений, введенных в работе \cite{AN2}: \textbf{допустимым $(m,k)$-разложением} пространства $\mathbb{R}^n$ мы будем называть разложение $\mathbb{R}^n = (\mathbb{R}^m)^l \oplus \mathbb{R}^k$, где $l, m \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{Z}_+$ и выполнены условия
\begin{equation*}
ml+k = n; \quad m \geq 2; \quad k = 0 \quad\mbox{или}\quad k \geq m.
\end{equation*}
Например, для  $\mathbb{R}^7$ допустимыми разложениями  будут 
\begin{equation*}
\mathbb{R}^7 = (\mathbb{R}^2)^2 \oplus \mathbb{R}^3,  \quad \mathbb{R}^7 = (\mathbb{R}^2)^1 \oplus \mathbb{R}^5, \quad \mathbb{R}^7 = (\mathbb{R}^3)^1 \oplus \mathbb{R}^4,  \quad \mathbb{R}^7 = (\mathbb{R}^7)^1.
\end{equation*}
В оценках, содержащих допустимые $(m,k)$-разложения, точки пространства $\mathbb{R}^n$ мы будем обозначать $x$, точки пространства $\mathbb{R}^m$ --- $y$, точки пространства $\mathbb{R}^k$  --- $z$.  Таким образом\footnote{здесь и ниже, если $k=0$, то координата $z$ отсутствует}, $x = (y_1, \dots , y_l, z).$ В сферических координатах точки записываются как $x = (r_x, \theta_x),$ $y = (r_y, \theta_y),$ $z = (r_z, \theta_z),$ таким образом, $ x = (r_{y_1}, \dots,  r_{y_l}, r_{z}, \theta_{y_1}, \dots, \theta_{y_l}, \theta_{z}).$ Функция \textbf{$m$-радиальна}, если она зависит только от  $r_{y_1}, \dots,  r_{y_l}, r_z$. Функция \textbf{$(m, k)$-радиальна}, если она $m$-радиальна и инвариантна относительно всех перестановок векторов $y_1, \dots, y_l.$ Группу, порождающую пространство $(m,k)$-радиальных функций, обозначим через $G_{m,k}$. 
\section{Вспомогательные утверждения}
Под \textbf{решением уравнения ($\ref{eq_frac}$)}  мы будем понимать обобщенное решение $u^* \in \widetilde{H}^s(\Omega_R)$, то есть 
\begin{equation}
\label{sol_dir}
((-\Delta)_D^s u^*, h)  \equiv  \int\limits_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2s} Re(\mathcal{F}u^* \overline{\mathcal{F}h}) d\xi = \int\limits_{\Omega_R} |u^*|^{q-2}u^*h dx  \quad \forall h \in \widetilde{H}^s(\Omega_R)
\end{equation}
для дробного лапласиана Дирихле и
\begin{equation}
\label{sol_nav}
((-\Delta)_N^s u^*, h) = \int\limits_{\Omega_R} |u^*|^{q-2}u^*h dx  \quad \forall h \in \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)
\end{equation}
для дробного лапласиана Навье.

Определим функционалы  $J_D(u)$ и $J_N(u)$ равенствами 
\begin{equation*}
J_D(u) = \frac{[u]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)}}{\|u\|^2_{L_{q}(\Omega_R)}} \quad\mbox{и }\quad J_N(u) = \frac{[u]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)}}{\|u\|^2_{L_{q}(\Omega_R)}}.
\end{equation*}
В Лемме \ref{symm_crit} (см. Приложение) показано, что минимайзеры этих функционалов по подпространствам $\mathfrak{L}^s_{G}$ при различных замкнутых подгруппах $G \subset O(n)$ являются положительными решениями уравнения $(\ref{eq_frac})$.

Cледующие леммы посвящены изучению свойств нормы Дирихле $[v_R]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_R)}$ для функций одной переменной. В первой из них выводится оценка нормы Дирихле семейства функций $v_{R}(x),$ заданных на прямой и ``убегающих по $R$'' при $R\to +\infty$: 
\begin{lemma}
\label{lemma_fourier_line}
Пусть функция $g_{+}(x) \in \widetilde{H}^{s}[0, 1]$ и $g_{-}(x) = g_{+}(-x)$. Зададим семейство ``убегающих по $R$'' функций:
\begin{equation}
\label{set_of_functions}
v_{R}(x) =  g_{+}(x - R) + g_{-}(x + R).
\end{equation}
Тогда при $R\to +\infty$ имеет место соотношение
\begin{equation*}
[v_{R}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_R)} = 2 [g_{+}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}[0, 1]} + o(1).
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}  Справедлива цепочка равенств:
\begin{multline*}
[v_{R}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_R)} =
\int\limits_{\mathbb{R}} |\xi|^{2s} |\mathcal{F}v_{R}|^2 d\xi 
=
\int\limits_{\mathbb{R}} |\xi|^{2s} \left|\mathcal{F}g_{+}\cdot e^{-i\xi R}+\mathcal{F}g_{-}\cdot e^{i\xi R}\right|^2 d\xi 
=\\=
\int\limits_{\mathbb{R}} |\xi|^{2s} |\mathcal{F}g_{+}|^2  d\xi  + \int\limits_{\mathbb{R}} |\xi|^{2s} |\mathcal{F}g_{-}|^2 d\xi 
+  
\int\limits_{\mathbb{R}} |\xi|^{2s} (\mathcal{F}g_{+} \overline{\mathcal{F}g_{-}} e^{-2i\xi R} + \overline{\mathcal{F}g_{+}} \mathcal{F}g_{-} e^{2i\xi R})  d\xi
 \stackrel{*}{=} \\ \stackrel{*}{=}
[g_{+}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}[0, 1]} +  [g_{-}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}[-1, 0]}+ o(1) =  2 [g_{+}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}[0, 1]} + o(1)
\end{multline*}
(равенство * следует из леммы Римана---Лебега).
\end{proof}
\begin{lemma}
\label{int_lemma}
Пусть $v_{R}(x)$ --- семейство из Леммы \ref{lemma_fourier_line}. Тогда при $a>0$ и $R \to + \infty$
\begin{equation*}
[v_{R}r^{a} ]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_{R})} \asymp R^{a} [v_{R}]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_{R})}.
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Требуется показать, что существуют константы $C_0$ и $C_1$, не зависящие от $R$, такие, что 
\begin{equation}
C_0 R^{a} [v_{R}]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_{R})} \geq [v_{R}r^{a}]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_{R})} \geq C_1 R^{a} [v_{R}]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_{R})}.
\label{two_side}
\end{equation}
Неравенство (\ref{multiplicator}) (см. Приложение) c $v = r^a$ дает левую часть неравенства (\ref{two_side}).
Далее, применим неравенство (\ref{multiplicator}) к функциям $v=r^{-a}$,  $u = v_{R}r^{a}$. Получаем требуемое:
\begin{equation*}
[v_{R}r^{a}]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_R)} \geq \frac{[v_{R}]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_R)}}{C \|r^{-a}\|_{C^{m}(\omega_R)}}\geq  C_1 [v_{R}]_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_R)} R^a. \qedhere
\end{equation*}
\end{proof}

\section{\Large{Оценка энергии по подпространству $(m,k)$-радиальных функций}}
Оценим функционал $J_D$ на подпространстве радиальных функций. Любая радиальная функция может быть отождествлена с функцией на прямой, которая, в свою очередь, порождает семейство ``убегающих по $R$'' функций по формуле (\ref{set_of_functions}). 
\begin{theorem}
\label{th1}
Пусть $v_{R} \in \widetilde{H}^{s}(\omega_R)$ --- семейство ``убегающих по $R$'' функций на прямой из Леммы \ref{lemma_fourier_line}. Восстановим радиальную функцию $u_{R}(x) \in \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})$ из функции $v_{R} \in \widetilde{H}^{s}(\omega_R)$ по формуле $u_{R}(x) = v_{R}(|x|).$  Тогда
\begin{equation}
\label{est_th1}
J_D(u_{R}) = \frac{[u_{R}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})}}{\|u_{R}\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})}} \asymp \frac{R^{n-1} [v_{0}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}[0,1]}}{R^{(n-1)\tfrac{2}{q}}\|v_{0}\|^2_{L_{q}[0,1]}}
\end{equation}
при $R \to +\infty$ и $q  \in [2, 2^{*}_{1}]$.
\end{theorem}
\begin{proof}
Образ Фурье радиальной функции радиален. Запишем норму Дирихле функции $u_{R}$:
\begin{equation*}
[u_{R}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} = \int\limits_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2s} |\mathcal{F}u_{R}|^2 d\xi =  
C\int\limits_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2s} \left( \int\limits_{R}^{R+1}  v_{R}(r)  \int_{S^{n-1}}e^{-ir|\xi|(\sigma, \theta_{\xi})} d\sigma dr \right)^2 d\xi.
\end{equation*}
Благодаря свойству функции Бесселя (см. \cite[Теор. IV.1.6]{Weiss})
\begin{equation*}
\int\limits_{S^{n-1}} e^{-i|y|(\sigma, \theta)} d\sigma 
=
\frac{(2\pi)^{\tfrac{n}{2}}}{|y|^{\tfrac{n-2}{2}}} \mathcal{J}_{\tfrac{n-2}{2}}(|y|), \quad \theta \in S^{n-1}
\end{equation*}
норму можно преобразовать к следующему виду:
\begin{equation*}
[u_{R}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})}  = C \int\limits_{\mathbb{R}_+} t^{1+2s} \left( \int\limits_{R}^{R+1}
r^{\tfrac{n}{2}} v_{R}(r) \mathcal{J}_{\tfrac{n-2}{2}}(rt) dr\right)^2 dt.
\end{equation*}
Для оценки правой части разобьем ее на два интеграла. Пусть $\varepsilon(R) = \tfrac{1}{\sqrt{R}}.$ Тогда
\begin{equation*}
[u_{R}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})}  = C \left(\int\limits_{0}^{\varepsilon(R)} + \int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} \right) t^{1+2s} \left( \int\limits_{R}^{R+1}
r^{\tfrac{n}{2}} v_{R}(r) \mathcal{J}_{\tfrac{n-2}{2}}(rt) dr\right)^2 dt =: I_{1} + I_{2}.
\end{equation*}
Покажем, что $I_{1}$ оценивается как $o(R^{n-1})$ :
\begin{multline*}
\int_{0}^{\varepsilon(R)} t^{1+2s} \left( \int_R^{R+1} r^{\tfrac{n}{2}} v_{R}(r) \mathcal{J}_{\tfrac{n-2}{2}}(rt) dr \right)^{2} dt  \leq C \varepsilon(R)^{2+2s} \left( \int_R^{R+1} v_{R}(r) r^{\tfrac{n}{2}} dr \right)^{2} \leq \\ \leq C R^{n-1-s} \|v_{R}\|^2_{L_{2}(\omega_R)} \leq C R^{n-1-s} \|v_{0}\|^2_{L_{2}[0,1]} = o(R^{n-1}).
\end{multline*}
Оценим теперь интеграл $I_2$. Функция Бесселя допускает разложение в асимптотический ряд (при $t \to+\infty$) c  остатком  $|R_N(t)|\leq\frac{C}{t^{2N+\tfrac{1}{2}}}$  (см. \cite[c. 199]{watson}):
\begin{equation}
\mathcal{J}_{\tfrac{n-2}{2}}(t) = \sum_{k=0}^{N} \left(A_k(t) + B_k(t)\right) + R_N(t)
\label{asymp_bessel}
\end{equation}
при $A_k(t) = \sqrt{\frac{2}{\pi t}} \frac{\cos(t-\tfrac{n-1}{4}\pi)}{t^{2k}}$ и $B_k(t) = \sqrt{\frac{2}{\pi t}} \frac{\sin(t-\tfrac{n-1}{4}\pi)}{t^{2k+1}}.$  

Легко видеть, что при  $t > \varepsilon(R)$ на носителе $v_R(r)$ выражение $rt\to+\infty$  при $R\to+\infty$, поэтому применима асимптотика (\ref{asymp_bessel}). Определим $\mathfrak{A}_k,$ $\mathfrak{B}_k$ и $\mathfrak{R}_N(t)$ формулами 
\begin{gather*}
\mathfrak{A}_k(t) = \int\limits_{R}^{R+1} r^{\tfrac{n}{2}} v_R(r) A_k(rt) dr, \quad \mathfrak{B}_k(t) = \int\limits_{R}^{R+1} r^{\tfrac{n}{2}} v_R(r) B_k(rt) dr \\
\mbox{и} \quad \mathfrak{R}_N(t) = \int\limits_{R}^{R+1} r^{\tfrac{n}{2}} v_R(r) R_N(rt) dr.
\end{gather*}
Таким образом, 
\begin{equation*}
I_2 =  \int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} t^{1+2s} \left(\sum_{k=0}^{N} \left(\mathfrak{A}_k(t) + \mathfrak{B}_k(t)\right) + \mathfrak{R}_N(t) \right)^2 dt.
\end{equation*}
В качестве первого приближения к $I_2$ используем энергию, получающуюся из $\mathfrak{A}_0(t)$: 
\begin{multline*}
\int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} \mathfrak{A}^2_0(t)  t^{1+2s} dt = C \int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} t^{1+2s} \left( \int\limits_{R}^{R+1}
r^{\tfrac{n}{2}} v_R(r) \sqrt{\tfrac{2}{\pi rt}} \cos(rt - \tfrac{n-1}{4}\pi) dr\right)^2 dt 
=\\=
C \int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} t^{2s} \left( \int\limits_{R}^{R+1}
r^{\tfrac{n-1}{2}} v_R(r) \cos(rt - \tfrac{n-1}{4}\pi) dr\right)^2 dt.
\end{multline*}
Сделаем замену переменной $t_1 = t + \tfrac{(n-1)\pi}{4r}$. Поскольку $t_1 \asymp t$ при $t > \varepsilon(R)$, имеем:
\begin{multline}
\int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} \mathfrak{A}^2_0(t)  t^{1+2s} dt  \asymp C \int\limits_{\varepsilon(R)-\tfrac{n-1}{4R}\pi}^{+\infty} t_1^{2s} \left( \int\limits_{R}^{R+1}
r^{\tfrac{n-1}{2}} v_R(r) \cos(rt_1) dr\right)^2 dt_1 \asymp \\ \asymp \int\limits_{-\infty}^{+\infty} |t_1|^{2s} \left( \int\limits_{R}^{R+1} r^{\tfrac{n-1}{2}} v_R(r) \cos(rt_1) dr\right)^2 dt_1 + o(R^{n-1}).
\label{as_eq}
\end{multline}
Из эквивалентности (\ref{as_eq}) и Лемм \ref{lemma_fourier_line} и \ref{int_lemma} получаем, что
\begin{equation*}
\int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} \mathfrak{A}^2_0(t)  t^{1+2s} dt \asymp [r^{\tfrac{n-1}{2}}v_R]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_{R})}  \asymp R^{n-1} [v_R]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\omega_{R})} \asymp R^{n-1} [v_0]^2_{D, \widetilde{H}^{s}[0,1]}.
\end{equation*}
Аналогичным образом\footnote{По формуле приведения $\sin(r\rho-\tfrac{n-1}{4}\pi) = \cos(r\rho-\tfrac{n+1}{4}\pi)$.} можно оценить энергию, связанную  с $\mathfrak{A}_k$ и $\mathfrak{B}_k$ при  $k \leq N = \lceil s+1\rceil$.  Асимптотики этих членов будут степенями $R$ с меньшими показателями, то есть $o(R^{n-1})$. Наконец, оценка
$R_{N}(t)$ позволяет оценить член с $\mathfrak{R}_N:$
\begin{multline*}
\int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} \mathfrak{R}^2_N(t)  t^{1+2s} dt  \leq C \int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty } t^{-2} \left( \int\limits_{R}^{R+1}
r^{\tfrac{n-1}{2}-\lceil s+1\rceil}  |v_R(r)| dr\right)^2 dt 
\leq \\ \leq
C R^{n-1-2s-2+\tfrac{1}{2}} \left( \int\limits_{0}^{1} |v_0(r)|dr\right)^2 =  o(R^{n-1}) \|v_0\|^2_{L_{2}[0,1]}.
\end{multline*}
Эквивалентность $I_2 \asymp R^{n-1} [v_0]^2_{D, \widetilde{H}^{s}[0,1]}$ следует из эквивалентности
\begin{equation*}
I_2 \asymp \int\limits_{\varepsilon(R)}^{+\infty} t^{1+2s} \left(\sum_{k=0}^{N} \left(\mathfrak{A}^2_k(t) + \mathfrak{B}^2_k(t)\right) + \mathfrak{R}^2_N(t) \right) dt.
\end{equation*}  
\end{proof}
\begin{corollary}
Mинимум функционала $J_D$ по подпространству радиальных функций эквивалентен $R^{(n-1)(1 - \tfrac{2}{q})}$:
\begin{equation}
\label{est_1}
\min_{u_{R} \in \mathfrak{L}^s_{O(n)}}J_D(u_{R}) \asymp R^{(n-1)(1 - \tfrac{2}{q})}
\end{equation}
при $R \to +\infty$ и $q  \in [2, 2^{*}_{1}]$.
\end{corollary}
\begin{proof}
Оценка сверху в (\ref{est_1}) очевидно следует из эквивалентности (\ref{est_th1}). 
Оценка снизу следует из (\ref{est_th1}) и ограниченности оператора вложения $\widetilde{H}^{s}[0,1]  \hookrightarrow L_{q}[0,1]$.
\end{proof}
Для исследования поведения энергии на подпространствах $\mathfrak{L}^s_{G}$ требуется ее двухсторонняя оценка. Следующая теорема дает оценку снизу для  $(m,k)$-радиальных функций:
\begin{theorem}
\label{th2}
Пусть  $u_{R}(x) \in \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})$ ---  $(m,k)$-радиальная функция c $m \neq n$. Тогда при $q  \in [2, 2^{*}_{n-m+1}]$ выполнены неравенства
\begin{equation}
\label{eq_inte}
[u_{R}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \geq C R^{(m-1)(1 - \tfrac{2}{q})}  \|u_{R}\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})} \quad \mbox{и} \quad [u_{R}]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \geq C R^{(m-1)(1 - \tfrac{2}{q})}  \|u_{R}\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})}.
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
Пусть $T_0$  --- тождественный оператор на пространстве $L_{2, G}$:
\begin{equation*}
T_0 : L_{2, G_{m,k}}(\Omega_{R}) \to L_{2, G_{m,k}}(\Omega_{R}).
\end{equation*}
Его норма равна единице. Пусть $T_1$  --- оператор вложения пространства  $\mathfrak{L}^1_{G_{m,k}}$ в пространство $L_{p, G_{m,k}}(\Omega_{R})$ при  $p \in [2, \tfrac{2(n-m+1)}{(n-m-1)_{+}}]$
\begin{equation*}
T_1 : \mathfrak{L}^1_{G_{m,k}} \to L_{p , G_{m,k}}(\Omega_{R}).
\end{equation*}
Согласно работам $\cite{Li}$ при $m=2, k=n-2$ и $\cite{AN2}$ для произвольных $(m, k)$-разложений существует такое $C_0$, что для любого $v \in \mathfrak{L}^1_{G_{m,k}}$ выполнено неравенство 
\begin{equation*}
[v]^2_{\widetilde{H}^{1}(\Omega_{R})} \geq  C_0 R^{(m-1)(1-\tfrac{2}{p})}{\|v\|^2_{L_{p}(\Omega_{R})}}.
\end{equation*}
Таким образом, оператор $T_1$ непрерывен и имеет оценку для нормы
\begin{equation*}
\|T_1\| = \sup_{v \in \mathfrak{L}^1_{G_{m,k}}} \frac{\|T_1v\|_{L_{p}(\Omega_{R})}}{\|v\|_{\mathfrak{L}^1_{G_{m,k}}}}  \leq C^{-\frac{1}{2}}_0 R^{(m-1)(\tfrac{1}{p}-\tfrac{1}{2})}.
\end{equation*}
Равенство (\ref{interp}) из Леммы \ref{mult_lemma}  описывает пространства $\widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})$ как интерполяционную шкалу:
\begin{equation*}
[\widetilde{H}^{k}(\Omega_{R}),\widetilde{H}^{k+1}(\Omega_{R})]_{\delta} = \widetilde{H}^{k+\delta}(\Omega_{R}).
\end{equation*}
Как хорошо известно, пространства Лебега $L_{p}(\Omega_{R})$ также образуют интерполяционную шкалу: при $\frac{1}{p} = \frac{1 - \delta}{p_0} + \frac{\delta}{p_1}$ 
\begin{equation*}
[L_{p_0}(\Omega_{R}),L_{p_1}(\Omega_{R})]_{\delta} = L_{p}(\Omega_{R}).
\end{equation*}
Усреднение по группе при помощи меры Хаара позволяет определить непрерывный проектор $P$ в пространстве $L_{p_0}(\Omega_{R})$, проецирующий это пространство в подпространство функций $L_{p_0, G_{m,k}}(\Omega_{R})$ (также его можно воспринимать как непрерывный проектор из $L_{p_1}(\Omega_{R})$ в $L_{p_1, G_{m,k}}(\Omega_{R})$). Пространство $L_{p_0, G_{m,k}}(\Omega_{R})$ является  дополняемым, поэтому в силу \cite[Теор. 1.17.1.1]{Triebel}  верно
\begin{equation*}
[L_{p_0, G_{m,k}}(\Omega_{R}),L_{p_1, G_{m,k}}(\Omega_{R})]_{\delta} = L_{p, G_{m,k}}(\Omega_{R}).
\end{equation*}
%$h_1$ и  $h_2$ (орбиту точки $x$ под действием группы $G$  на ней мы обозначим $\mathfrak{G}(x)$, на ней есть мера Хаара $\mu_{x}$, инвариантная относительно действия группы):
%\begin{equation}
%h_1(x) = \frac{1}{\mu_{x}(\mathfrak{G}(x))}\int\limits_{\mathfrak{G}(x)}hd\mu_{x},  \quad \int\limits_{\mathfrak{G}(x)}h_2d\mu_{x} = 0, \quad
%h_2(x) = h(x) - h_1(x).
%\end{equation}

Аналогичным образом определяется непрерывный проектор из пространствa $L_{2}(\Omega_{R})$ в  $L_{2, G_{m,k}}(\Omega_{R})$ (также непрерывный как проектор из $\widetilde{H}^{1}(\Omega_{R})$ в $ \mathfrak{L}^1_{G_{m,k}}$), пространство дополняемо и 
\begin{equation*}
[L_{2, G_{m,k}}(\Omega_{R}), \mathfrak{L}^1_{G_{m,k}}]_{\delta} = \mathfrak{L}^{\delta}_{G_{m,k}}.
\end{equation*}
Таким образом, мы можем интерполировать оператор вложения между операторами $T_0$ и $T_1$, полученный оператор мы обозначим  $T_s$:
\begin{equation}
\label{T_s}
T_s : \mathfrak{L}^s_{G_{m,k}} \to L_{q , G_{m,k}}(\Omega_{R}) \quad\mbox{при}\quad  \frac{1}{q} = \frac{s}{p} + \frac{1-s}{2}, 
\end{equation}
его норма оценивается посредством интерполяционного неравенства:
\begin{equation}
\label{oper_norm}
\|T_s\| \leq \|T_0\|^{1-s}\|T_1\|^{s} \leq C^{-\tfrac{s}{2}}_0 R^{(m-1)(\tfrac{s}{p}-\tfrac{s}{2})} = C^{-\tfrac{s}{2}}_0 R^{(m-1)(\tfrac{1}{q}-\tfrac{1}{2})}.
\end{equation}
При $p \in [2, \tfrac{2(n-m+1)}{(n-m-1)_{+}}]$ показатель $q$ пробегает отрезок $[2, 2^{*}_{n-m+1}]$, неравенство (\ref{oper_norm}) дает оценку на интерполяционную норму (совпадающей со стандартной нормой в $H^s(\mathbb{R}^n)$):
\begin{equation*}
\|v\|^2_{\widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \geq  C^s_0 R^{(m-1)(1-\tfrac{2}{q})}\|v\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})},
\end{equation*}
из неравенства Фридрихса (см. Лемму \ref{fri}, Приложение)  получаем неравенство (\ref{eq_inte}) для нормы Дирихле:
\begin{equation*}
 2[v]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \geq  \|v\|^2_{\widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})}  \geq  C R^{(m-1)(1-\tfrac{2}{q})}{\|v\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})}},
\end{equation*}
неравенство (\ref{eq_inte}) для нормы Навье следует из оценки (\ref{seminorm_ineq}):
\begin{equation*}
[v]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \geq [v]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \geq  C R^{(m-1)(1-\tfrac{2}{q})}{\|v\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})}}. \qedhere
\end{equation*}
\end{proof}
\begin{remark}
Условие $m \neq n$ существенно используется в доказательстве: при $m=n$ предельный показатель $q$ равен $2^*_1 = \tfrac{2}{1-2s},$ и даже в случае $s<\tfrac{1}{2}$ его не получить из интерполяции в пространствах Лебега $L_{p}(\Omega_{R})$ --- равенство (\ref{T_s}) обеспечивает показатели $q \leq \frac{2}{1-s},$ что меньше  $2^*_1$. Однако утверждение теоремы верно и в этом случае, как показывает Теорема \ref{th1}.
\end{remark}
Оценка из Теоремы \ref{th2} является точной, как показывает следующая теорема:
\begin{theorem}
\label{m_k_radial}
Для любого $R$ и $q  \in [2, 2^{*}_{n-m+1}]$ cуществует такая  $(m,k)$-радиальная функция $\tilde{u}_R$, что 
\begin{equation}
[\tilde{u}_{R}]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \leq C R^{(m-1)(1 - \tfrac{2}{q})}  \|\tilde{u}_{R}\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})} \quad \mbox{и} \quad [\tilde{u}_{R}]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \leq C R^{(m-1)(1 - \tfrac{2}{q})}  \|\tilde{u}_{R}\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})}.
\label{leq_equiv}
\end{equation}
\end{theorem}
\begin{proof}
Согласно работам $\cite{Li}$ (при $m=2, k=n-2$ и при $m=n$) и $\cite{AN2}$ (для произвольных $(m, k)$-разложений) существует такая $ \tilde{u}_R \in \mathfrak{L}^1_{G_{m,k}},$ для которой при $q  \in [2, \tfrac{2(n-m+1)}{(n-m-1)_{+}}]$ выполнено неравенство
\begin{equation*}
[\tilde{u}_{R}]^2_{\widetilde{H}^{1}(\Omega_{R})} \leq C R^{(m-1)(1 - \tfrac{2}{q})}  \|\tilde{u}_{R}\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})}.
\end{equation*}
Заметим, что $[2, 2^{*}_{n-m+1}] \subset [2, \tfrac{2(n-m+1)}{(n-m-1)_{+}}]$, поэтому Лемма \ref{h_s_norm} (см. Приложение) дает требуемую оценку для норм Навье и Дирихле:
\begin{equation*}
[\tilde{u}_{R}]^2_{\widetilde{H}^{s}(\Omega_{R})} \leq [\tilde{u}_{R}]^2_{\widetilde{H}^{1}(\Omega_{R})} \leq C R^{(m-1)(1 - \tfrac{2}{q})}  \|\tilde{u}_{R}\|^2_{L_{q}(\Omega_{R})}.
\end{equation*}
\end{proof}
Для доказательства множественности решений требуется оценить энергию в пространствах $\mathfrak{L}^s_{O(n-2) \times O(2)}.$
\begin{corollary}
Пусть $n \geq 4$, тогда минимумы $J_D$ и $J_N$ по подпространствам $\mathfrak{L}^s_{O(n-2) \times O(2)}$  эквивалентны $R^{1-\tfrac{2}{q}}$:
\begin{equation}
\label{est_2}
\min_{u_{R} \in \mathfrak{L}^s_{O(n-2) \times O(2)}}J_D(u_{R}) \asymp R^{1-\tfrac{2}{q}} \quad \mbox{и} \quad \min_{u_{R} \in \mathfrak{L}^s_{O(n-2) \times O(2)}}J_N(u_{R}) \asymp R^{1-\tfrac{2}{q}}.
\end{equation}
\end{corollary}
\begin{proof}
При $n \geq 4$ функции из пространств $\mathfrak{L}^s_{O(n-2) \times O(2)}$  являются $(2,n-2)$-радиальными, оценки следуют из неравенств (\ref{eq_inte}) и (\ref{leq_equiv}).
\end{proof}
\section{Теоремы существования и множественности}
%Асимптотика, посчитанная в теореме \ref{th1}, позволяет доказать теорему существования нерадиального решения задачи (\ref{eq_frac}):
%\begin{theorem}[\textbf{Существование нерадиального решения}]
%\label{exist}
%При  $2<q<2^*_n$ существует такой радиус $R_0$, что для $R \geq R_0$  существует нерадиальное решение задачи $(\ref{eq_frac})$. 
%\end{theorem}
%\begin{proof}
%Возьмем в качестве группы $G$ тривиальную группу, подпространство $\mathfrak{L}^s_{G}$ совпадает со всем пространством $\widetilde{H}^s(\Omega)$. Минимайзер по $\widetilde{H}^s(\Omega)$ является обобщенным решением задачи (\ref{eq_frac}).  Докажем, что минимум функционала $J(u)$ ограничен сверху константой.  Для этого рассмотрим положительную финитную функцию с носителем в шаре $B_{\tfrac{1}{4}}(R+\tfrac{1}{2}, 0, \dots ,0)$. Очевидно, что при различных радиусах $R$ функционал $J(u)$ постоянен, т.к. функции $u_R(x)$ отличаются параллельным переносом и их нормы одинаковы. Таким образом, уровни энергии при больших радиусах $R$ различны, и мы нашли нерадиальное решение.
%\end{proof}
Теорема \ref{th1} дает двухстороннюю оценку на норму Дирихле радиальной функции в $\widetilde{H}^{s}(\Omega_R)$ через норму сужения в пространстве $\widetilde{H}^{s}(\omega_R)$. Это означает, что для подпространства $\mathfrak{L}^s_{O(n)}$ с нормой Дирихле компактность вложения имеет место при $q  \in [1, 2^{*}_{1})$. Также, ввиду того, что нормы Дирихле и Навье эквивалентны, компактность вложения при $q  \in [1, 2^{*}_{1})$ справедлива и для подпространства $\mathfrak{L}^s_{O(n)}$ с нормой Навье. Используя Лемму \ref{symm_crit} (см. Приложение), получаем теорему:
\begin{theorem}[\textbf{Cуществование радиального решения}]
\label{exist_rad}
При $q  \in [1, 2^{*}_{1}), q\ne2$ существует положительное радиальное решение задачи $(\ref{eq_frac})$ для дробных лапласианов Дирихле и Навье. 
\end{theorem}
Пусть $n \geq 4$, рассмотрим допустимое $(m,k)$-разложение. Теорема \ref{th2} обеспечивает вложение $\mathfrak{L}^s_{G_{m,k}}(\Omega_R) \hookrightarrow L_{q}(\Omega_R)$ для нормы Дирихле при $q = 2^*_{n-m+1}$. Это означает, что оно имеет место и компактно при $q  \in [1, 2^{*}_{n-m+1})$. Для нормы Навье вложение справедливо в силу эквивалентности норм. Лемма \ref{symm_crit} дает существование обобщеного решения $u_{R} \in \mathfrak{L}^s_{G_{m,k}}$. При $q > 2$ и больших $R$ минимумы функционала $J_D$ по подпространствам $\mathfrak{L}^s_{O(n)}$ и $\mathfrak{L}^s_{G_{m,k}}$ различны в силу оценок (\ref{est_1}), (\ref{eq_inte}) и (\ref{leq_equiv}); аналогичное утверждение для функицонала $J_N$ получается при помощи неравенства (\ref{seminorm_ineq}). Таким образом, решение не является радиальным, и доказана теорема:
\begin{theorem}[\textbf{Cуществование нерадиального решения при показателях $q \geq 2^*_{n}$}]
\label{exist_nonrad}
При $n \geq 4$ и $q  \in (2, 2^{*}_{n-m+1})$ существует такой радиус $R_0$, что при  $R>R_0$ в $\Omega_R$ существует  положительное $(m,k)$-радиальное решение (при различных  $m$ решения различны) задачи $(\ref{eq_frac})$ для дробных лапласианов Дирихле и Навье. 
\end{theorem}
\begin{remark}
Максимальный показатель получается при наибольшем допустимом $m$, то есть $m=\lfloor\frac{n}{2}\rfloor.$
\end{remark}
\begin{theorem}[\textbf{Множественность при $n \neq 3$}]
\label{mult}
Пусть $n \neq 3$, $s \in (0,1)$, $q  \in (2, 2^{*}_{n})$ и $N$ --- некоторое натуральное число. Тогда существует такое $R_1(N)$, что при любом $R \geq R_1$ существует не менее $N$ не совмещающихся поворотом положительных решений задач $(\ref{eq_frac})$ с дробными лапласианами Дирихле и Навье. 
\end{theorem}
\begin{proof}
Рассмотрим семейство групп $T_{\ell} \times O(n-2)$, $\ell = 1, 2, 3\dots, N$, где $T_{\ell}$ --- группа поворотов на углы, кратные $\frac{2\pi}{\ell}$. Минимайзеры по инвариантным подпространствам $\mathfrak{L}^s_{T_{\ell} \times O(n-2)}$ являются обобщенными решениями задачи $(\ref{eq_frac})$ при $q<2^*_{n}$.

Рассмотрим положительную функцию $\phi(x)  \in \mathcal{C}_0^{\infty}(B_{\tfrac{1}{2}}(\mathbb{O}_{n}))$,  удовлетворяющую равенству 
\begin{equation*}
\phi(x) = \phi(y, z) =  \phi(|y|, |z|), \quad y \in \mathbb{R}^2, z \in \mathbb{R}^{n-2}, \quad |y| + |z| \leq \tfrac{1}{2}.
\end{equation*}
Обозначим через $y_i^0$ вершины правильного $\ell$-угольника на плоскости с центром в начале координат и $y_1^0= (R+\tfrac{1}{2}, 0)$. Определим функцию $u_{\ell}$ равенством 
\begin{equation*}
u_{\ell}(y, z) = \sum\limits_{k=1}^{\ell} \phi(y-y_i^0, z).  
\end{equation*}
Лемма \ref{eq_lemma} обеспечивает равномерную ограниченность константой значений $J_D(u_{\ell})$ и $J_N(u_{\ell})$ при больших $R$. Из оценок (\ref{est_2}) существует такой уровень $R_1$, что минимумы функционалов $J_D$ и $J_N$ по $\mathfrak{L}^s_{O(2) \times O(n-2)}$ при $R > R_1$ больше найденной выше константы. Остается показать, что минимайзеры по $\mathfrak{L}^s_{T_{\ell} \times O(n-2)},$ $\ell = 1, 2, 3\dots, N$ попарно различны. 

Cвойство инвариантности функции $u(x)$ под действием группы $T_{\ell} \times O(n-2)$ переносится на минимайзер: если $\widetilde{w}(x,t)$ --- продолжение Каффарелли---Сильвестра (Стинга---Торреа)\footnote{далее, для краткости, К-С и С-Т} для функции $u(x)$, то $\widetilde{w}(gx,t)$ --- продолжение К-С (С-Т) для функции $u(gx) = u(x), \forall g \in T_{\ell}$. Это продолжения одной и той же функции, в силу единственности они совпадают:
\begin{equation*}
\widetilde{w}(x,t) = \widetilde{w}(gx,t), \quad  \forall g \in T_{\ell} \times O(n-2).
\end{equation*}
Таким образом,  $\mathcal{E}(w)$ можно минимизировать по подпространству $T_{\ell} \times O(n-2)$-инвариантных функций в $\mathfrak{W}$. Пусть $\ell_1,\ell_2 \in [1:N], \ell_1>\ell_2,$ рассмотрим два случая:

\textit{Первый случай ($\ell_1$ делится на $\ell_2$).} 
Пусть $u_{\ell_1}$ и $u_{\ell_2}$ --- минимайзеры по $\mathfrak{L}^s_{T_{\ell_1} \times O(n-2)}$ и $\mathfrak{L}^s_{T_{\ell_2} \times O(n-2)}$ с единичной нормой в $L_{q}(\Omega)$, им соответствуют продолжения $w_{\ell_1}$ и $w_{\ell_2}$. Рассмотрим функцию $v = u_{\ell_1}(r_{y},\tfrac{\ell_2}{\ell_1}\theta_{y}, z)$. Очевидным образом, $v \in \mathfrak{L}^s_{T_{\ell_2} \times O(n-2)}$, $\|v\|_{L_{q}(\Omega)}=1$  и продолжение для $v$ удовлетворяет равенству $w = w_{\ell_1}(r_{y},\tfrac{\ell_2}{\ell_1}\theta_{y}, z,  t)$. Легко видеть, что 
\begin{multline*}
[u_{\ell_2}]^2_{\widetilde{H}^{s}(\Omega)}\leq [v]^2_{\widetilde{H}^{s}(\Omega)}=C(s)\mathcal{E}(w)
=\\= 
C(s)|S^{n-3}|\int\limits_0^{+\infty} \int\limits_0^{+\infty}  \int\limits^{2\pi}_{0}  \int\limits_0^{+\infty} t^{1-2s}{r_y}|z|^{n-3}(w_{r_y}^2 + \tfrac{1}{r_y^2}w_{\theta_{y}}^2 + w_{z}^2 + w_t^2) dz d\theta_y dr_ydt 
=\\=
C(s)|S^{n-3}|\int\limits_0^{+\infty} \int\limits_0^{+\infty}  \int\limits^{2\pi}_{0}  \int\limits_0^{+\infty} t^{1-2s}r_y|z|^{n-3}((w_{\ell_1})^2_{r_y} + \tfrac{1}{r_y^2}\tfrac{\ell_2^2}{\ell_1^2}(w_{\ell_1})^2_{\theta_y}+ (w_{\ell_1})^2_{z} + (w_{\ell_1})^2_t) dz d\theta_y dr_ydt 
<\\< 
C(s)|S^{n-3}|\int\limits_0^{+\infty} \int\limits_0^{+\infty}  \int\limits^{2\pi}_{0}  \int\limits_0^{+\infty} t^{1-2s}r_y|z|^{n-3}((w_{\ell_1})^2_{r_y} + \tfrac{1}{r_y^2}(w_{\ell_1})^2_{\theta_y} + (w_{\ell_1})^2_{z} + (w_{\ell_1})^2_t) dz d\theta_y dr_ydt =\\= C(s)\mathcal{E}(w_{\ell_1}) = [u_{\ell_1}]^2_{\widetilde{H}^{s}(\Omega)},
\end{multline*}
строгое неравенство следует из того, что при $R \geq R_1$ функция $u_{\ell_1}$ не принадлежит $\mathfrak{L}^s_{O(2) \times O(n-2)}$. Таким образом, значение энергии у $u_{\ell_1}$ строго больше, чем  у $u_{\ell_2}.$

\textit{Второй случай ($\ell_1$ не делится на $\ell_2$).} Если минимайзер по $\mathfrak{L}^s_{T_{\ell_1}\times O(n-2)}$ и $\mathfrak{L}^s_{T_{\ell_2}\times O(n-2)}$ один и тот же, то он принадлежит $\mathfrak{L}^s_{T_{\noi(\ell_1,\ell_2)}\times O(n-2)}$. Применяя первый случай к числам $\ell_1$ и $\noi(\ell_1,\ell_2)$, получаем требуемое.
\end{proof}

\begin{remark}
Для оператора Лапласа и $p$-лапласиана Теорема \ref{mult} верна в случае $n=3$, как указывалось во введении. Известные автору доказательства этих утверждений требуют более продвинутых методов концентрации решений. Поэтому для дробных лапласианов вопрос существования таких решений остается открытым.
\end{remark}

\section*{Приложение}

\begin{lemma}[\textbf{Неравенства Фридрихса}]
\label{fri}
Для любой функции $u\in \widetilde{H}^s(\Omega_R)$ верны неравенства 
\begin{equation}
\label{fried}
((-\Delta)_D^s u,u)\geq \|u\|^2_{L_{2}(\Omega_R)} \quad \mbox{и} \quad ((-\Delta)_N^s u,u)\geq \|u\|^2_{L_{2}(\Omega_R)}.
\end{equation}
\end{lemma} 
\begin{proof}
Неравенство для нормы Навье можно получить напрямую из определения дробного лапласиана Навье: 
\begin{equation*}
((-\Delta)_N^s u,u) = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda_j^s (u,\phi_j)^2 \geq \lambda_1^s \|u\|^2_{L_{2}(\Omega_R)},
\end{equation*}
$\lambda_1 > 1$ в силу неравенства Фридрихса в области ширины 1  при $u \in \widetilde{H}^1(\Omega_R)$:
\begin{equation}
\|\nabla u\|^2_{L_{2}(\Omega_R)} \geq \|u\|^2_{L_{2}(\Omega_R)}.
\label{frid}
\end{equation} 
Неравенство для нормы Дирихле достаточно доказывать для  $u \in C_0^\infty(\Omega_R)$; исходное неравенство получится замыканием по норме пространства $H^s(\mathbb{R}^n)$.  Определим семейство норм в пространстве $\widetilde{H}^s(\Omega_R)$, проиндексированных параметром $\varepsilon$, эквивалентных норме в пространстве $H^s(\mathbb{R}^n)$ и заданных формулой 
\begin{equation*}
\|u\|^2_{\widetilde{H}^s(\Omega_R)} \equiv \int\limits_{\mathbb{R}^n} (\varepsilon + |\xi|)^{2s}|\mathcal{F}u(\xi)|^2d\xi.
\end{equation*}
Рассмотрим оператор вложения $$A : \widetilde{H}^s(\Omega_R) \hookrightarrow L_{2}(\Omega_R),$$ сопряженный ему оператор действует как $$A^* : L_{2}(\Omega_R) \to (\widetilde{H}^s(\Omega_R))',$$ их нормы одинаковы.
Индуцированная норма в сопряженном пространстве задается формулой  
\begin{equation*}
\|v\|^2_{(\widetilde{H}^s(\Omega_R))'} \equiv \int\limits_{\mathbb{R}^n} (\varepsilon + |\xi|)^{-2s}|\mathcal{F}v(\xi)|^2d\xi,
\end{equation*}
в силу неравенства Гельдера получаем 
\begin{multline}
\label{obv}
\|v\|^2_{(\widetilde{H}^s(\Omega_R))'} \equiv \int\limits_{\mathbb{R}^n} (\varepsilon + |\xi|)^{-2s}|\mathcal{F}v(\xi)|^2d\xi 
\leq\\\leq
\left(\int_{\mathbb{R}^n} (\varepsilon + |\xi|)^{-2}|\mathcal{F}v(\xi)|^2d\xi\right)^s\left(\int_{\mathbb{R}^n}|\mathcal{F}v(\xi)|^2d\xi\right)^{1-s} = \|v\|^{2s}_{(\widetilde{H}^1(\Omega_R))'} \|v\|^{2-2s}_{L_2(\Omega_R)}. 
\end{multline}
Пользуясь оценкой $(\ref{obv})$ и неравенством Фридрихса $(\ref{frid})$, получаем цепочку неравенств:
\begin{multline*}
\|A\| = \sup \frac{\|u\|_{L_2(\Omega_R)}}{\|u\|_{\widetilde{H}^s(\Omega_R)}} = \sup \frac{\|v\|_{(\widetilde{H}^s(\Omega_R))'}}{\|v\|_{L_2(\Omega_R)}} \leq \sup \frac{\|v\|^{s}_{(\widetilde{H}^1(\Omega_R))'} \|v\|^{1-s}_{L_2(\Omega_R)}}{\|v\|_{L_2(\Omega_R)}} 
\leq \\ \leq
\sup \left(\frac{\|v\|_{(\widetilde{H}^1(\Omega_R))'}}{\|v\|_{L_2(\Omega_R)}}\right)^{s} = \sup \left(\frac{\|u\|_{L_2(\Omega_R)}}{\|u\|_{\widetilde{H}^1(\Omega_R)}}\right)^{s} \leq 1
\end{multline*}
Поэтому для любого $\varepsilon > 0$ верно неравенство 
\begin{equation*}
\int\limits_{\mathbb{R}^n} (\varepsilon + |\xi|)^{2s}|\mathcal{F}u(\xi)|^2d\xi \geq \|u\|^2_{L_2(\Omega_R)}, 
\end{equation*}
неравенство $(\ref{fri})$ получается предельным переходом $\varepsilon \to 0$.
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{h_s_norm}
Для любой функции $u \in \widetilde{H}^1(\Omega_R)$ верны неравенства 
\begin{equation*}
[u]_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)} \leq [u]_{D, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)} \quad \mbox{и} \quad [u]_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)} \leq [u]_{N, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)}. 
\end{equation*}
\end{lemma}
\begin{proof}
Сначала докажем утверждение для нормы Дирихле. Ввиду неравенства Гельдера и неравенства Фридрихса (\ref{fried}) имеем
\begin{multline*}
[u]_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)} = \int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2s}|\mathcal{F}u(\xi)|^2d\xi  \leq \left( \int_{\mathbb{R}^n} |\mathcal{F}u(\xi)|^2d\xi \right)^{1-s} \left( \int_{\mathbb{R}^n} |\xi|^{2} |\mathcal{F}u(\xi)|^2d\xi \right)^{s}  =\\= [u]^{1-s}_{D, L_2(\Omega_R)} [u]^s_{D, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)} \leq 
[u]^{1-s}_{D, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)} [u]^s_{D, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)} = [u]_{D, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)}.
\end{multline*}
Утверждение для нормы Навье также получается из неравенства Гельдера и неравенства Фридрихса (\ref{fried}) 
\begin{multline*}
[u]_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)} =  \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda_j^s (u,\phi_j)^2 \leq \left( \sum\limits_{j=1}^{\infty} (u,\phi_j)^2 \right)^{1-s} \left(  \sum\limits_{j=1}^{\infty} \lambda_j (u,\phi_j)^2 \right)^{s}  =\\= [u]^{1-s}_{N, L_2(\Omega_R)} [u]^s_{N, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)} \leq 
[u]^{1-s}_{N, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)} [u]^s_{N, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)} = [u]_{N, \widetilde{H}^{1}(\Omega_R)}.
\end{multline*}
\end{proof}

\begin{lemma}
\label{symm_crit}
Пусть вложение $\mathfrak{L}^s_{G} \hookrightarrow L_{q}(\Omega_R)$ компактно. Тогда 
минимайзеры функционалов $J_D(u)$ и $J_N(u)$ по подпространству $\mathfrak{L}^s_{G}$ существуют и являются положительными решениями задачи $(\ref{eq_frac})$ с дробными лапласианами Навье и Дирихле.
\end{lemma}
\begin{proof}
В силу однородности функционалов $J_D(u)$ и $J_N(u)$ можно считать их знаменатели единичными. Задача свелась к минимизации норм $W_D(u) = [u]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)}$ и $W_N(u) = [u]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega_R)}$ по поверхности уровня $V(u) = \|u\|^q_{L_{q}(\Omega_R)} = 1$, которая ввиду компактности вложения слабо замкнута. Существование минимайзеров следует из теоремы существования минимайзера у слабо полунепрерывного снизу коэрцитивного функционала на слабо замкнутом множестве (см. \cite[Теор. 26.8]{Kufner}). Уравнения Эйлера после домножения на подходящие константы обращаются в тождества (\ref{sol_dir}) и (\ref{sol_nav}) для обобщенных решений на приращениях $h \in \mathfrak{L}^s_{G}$:
\begin{equation}
\exists \lambda_1, \lambda_2  : DV(u_D^*)h = \lambda_1 DW_D(u_D^*)h,   \quad DV(u_N^*)h = \lambda_2 DW_N(u_N^*)h \quad  \forall h \in \mathfrak{L}^s_{G}. 
\label{lagra}
\end{equation}
Воспользуемся  \textbf{принципом симметричной критичности}, см. \cite[Теор. 1.1]{Palais}: оба функционала $J_D(u)$ и $J_N(u)$ инвариантны под действием компакнтной замкнутой группы Ли $G$, и, благодаря этому, из равенств (\ref{lagra}) для приращений $h \in \mathfrak{L}^s_{G}$ следуют аналогичные (\ref{lagra}) равенства для всех приращений $h \in \widetilde{H}^s(\Omega_R)$. 

Для завершения доказательства остается показать положительность минимайзеров. Их неотрицательность обеспечивается следующим предложением:
\begin{proposition_musina}
Пусть функция $u(x) \in \widetilde{H}^{s}(\Omega)$ при $s \in (0,1)$. Тогда функция $|u(x)|$ принадлежит пространству $\widetilde{H}^{s}(\Omega)$ и верны неравенства для норм:
\begin{equation*}
[u]_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega)} \geq [|u|]_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega)}  \quad\mbox{и }\quad [u]_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega)} \geq [|u|]_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega)}.
\end{equation*}
Кроме того, если положительная и отрицательная части функции $u(x)$ не вырождаются, то неравенства строгие.
\label{musina}
\end{proposition_musina}
Из неотрицательности минимайзеров следует их положительность в силу строгого принципа максимума: 
\begin{proposition_capella}
\label{capella}
Пусть функция $u(x) \in \widetilde{H}^{s}(\Omega) \setminus \{0\}$ удовлетворяет неравенству $(-\Delta)^s u \geq 0$  для дробного лапласиана Дирихле или Навье. Тогда $u > 0$ на любом компактном подмножестве $K \subset \Omega$.
\qedhere
\end{proposition_capella}
\end{proof}
\begin{remark}
При $q<2^*_n$ условия леммы $\ref{symm_crit}$ выполнены для любой замкнутой подгруппы $G \subset O(n)$  ввиду компактности вложения $\widetilde{H}^{s}(\Omega_R) \hookrightarrow L_{q}(\Omega_R).$
\end{remark}

\begin{lemma}
\label{mult_lemma}
Пусть $\Omega$ --- ограниченная область в $\mathbb{R}^{n}$, $m\in\mathbb{Z}_{+}$, $s = m+\delta\in[m,m+1].$ Тогда для функций $u\in\widetilde{H}^{s}(\Omega)$, $v \in C^{m+1}(\overline{\Omega})$ верно $uv\in\widetilde{H}^{s}(\Omega)$ и выполнено неравенство 
\begin{equation}
[uv]_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega)}\leq C [u]_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega)} \|v\|_{C^{m}(\overline{\Omega})}^{1-\delta} \|v\|_{C^{m+1}(\overline{\Omega})}^{\delta}.
\label{multiplicator}
\end{equation}
\end{lemma} 
\begin{proof}
Утверждение для целых $s = m$ следует из очевидного неравенства 
\begin{equation*}
\sum_{|\alpha| = m}\|D^{\alpha}(uv)\|_{L_{2}(\Omega)} \leq C\sum_{|\alpha| = m}\|D^{\alpha}u\|_{L_{2}(\Omega)} \|v\|_{C^{m}(\overline{\Omega})}.
\end{equation*}
Утверждение для  $\delta > 0$ получается интерполяцией: по доказанному выше имеем (в случае  $m=0$ пространство $\widetilde{H}^{0}(\Omega)$ следует понимать как $L_2(\Omega)$):
\begin{gather*}
[uv]_{D, \widetilde{H}^{m}(\Omega)} \leq C [u]_{D, \widetilde{H}^{m}(\Omega)} \|v\|_{C^{m}(\overline{\Omega})}\\
[uv]_{D, \widetilde{H}^{m+1}(\Omega)} \leq C [u]_{D, \widetilde{H}^{m+1}(\Omega)} \|v\|_{C^{m+1}(\overline{\Omega})},
\end{gather*}
стало быть, оператор домножения на функцию $v$ непрерывен в пространствах  $\widetilde{H}^{m}(\Omega)$  и $\widetilde{H}^{m+1}(\Omega)$.
Согласно \cite[Теор. 4.3.2/2]{Triebel}
\begin{equation}  
\label{interp}
[\widetilde{H}^{m}(\Omega),\widetilde{H}^{m+1}(\Omega)]_{\delta} = \widetilde{H}^{m+\delta}(\Omega),
\end{equation}
откуда следует непрерывность оператора домножения на $v$ в пространстве $\widetilde{H}^{m+\delta}(\Omega),$ интерполяционное неравенство совпадает с требуемой оценкой  (\ref{multiplicator}).
\end{proof} 
\begin{remark}
При $s \in [0,1]$ утверждение Леммы \ref{mult_lemma} верно и для норм Навье. 
\end{remark}

\begin{lemma}
\label{eq_lemma}
Пусть $u_i(x) \in \widetilde{H}^{s}(\Omega), i = 1, \dots, k$. Обозначим через $U(x)$ сумму $$U(x) = u_1(x) + \dots + u_k(x).$$ Тогда верны неравенства:
\begin{equation*}
[U]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega)} \leq k \sum_{i=1}^{k} [u_i]^2_{D, \widetilde{H}^{s}(\Omega)} \quad\mbox{и }\quad [U]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega)} \leq k \sum_{i=1}^{k} [u_i]^2_{N, \widetilde{H}^{s}(\Omega)} .
\end{equation*}
\end{lemma} 
\begin{proof}
Очевидное следствие неравенства о среднем арифметическом и среднем квадратическом.
\end{proof} 

\begin{thebibliography}{CS}
\small
\bibitem{By}
J. Byeon, {\it Existence of many nonequivalent nonradial positive solutions of semilinear elliptic equations on three-dimensional annuli}, J. Diff. Eqs., {\bf 136} (1997), no.~1, 136-165.

\bibitem{Caffarelli}
L. Caffarelli\ and\ L. Silvestre, {\it An extension problem related to the fractional Laplacian}, 
Comm. Part. Diff. Eqs. {\bf 32} (2007), no.~7-9, 1245-1260.

\bibitem{Capella}
A. Capella, J. D{\'a}vila, L. Dupaigne and Y. Sire, {\it Regularity of radial extremal solutions for some non-local semilinear equations}, Comm. Part. Diff. Eqs. {\bf 36} (2011), no.~8, 1353-1384.

\bibitem{Coffman}
C. V. Coffman, {\it A non-linear boundary value problem with many positive solutions}, J. Diff. Eqs., {\bf 54} (1984), no.~3, 429-437.

\bibitem{Tav}
A. Cotsiolis and N. K. Tavoularis, {\it Best constants for Sobolev inequalities for higher order fractional derivatives}, J. Math. Anal. Appl., {\bf 295} (2004), no.~1, 225-236.

\bibitem{Gaz}
F. Gazzola and H.-C. Grunau and G. Sweers, {\it Optimal Sobolev and Hardy--Rellich constants under Navier boundary conditions}, Ann. Mat. Pura ed Appl. (4), {\bf 189} (2010), no.~3, 475-486.

\bibitem{Ge}
Y. Ge, {\it Sharp Sobolev inequalities in critical dimensions}, Michigan Math. J., {\bf 51} (2003), no.~1, 27-45.

\bibitem{Iannizzotto}
A. Iannizzotto, S. Mosconi and M. Squassina, {\it $H^s$ versus $C^0$-weighted minimizers}, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., {\bf 22} (2015), no.~3, 477-497.

\bibitem{Li}
Y. Y. Li, {\it Existence of many positive solutions of semilinear elliptic equations on annulus},  J. Diff. Eqs., {\bf 83} (1990), no.~2, 348-367.

\bibitem{Musina2}
R. Musina and A.I.Nazarov, {\it On fractional Laplacians}, Comm. Part. Diff. Eqs., {\bf 39} (2014), no.~9, 1780-1790.

\bibitem{Musina3}
R. Musina and A.I.Nazarov, {\it On fractional Laplacians--3}, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations., {\bf 22} (2016), no.~3, 832-841.

\bibitem{Musina}
R. Musina and A.I.Nazarov, {\it On the Sobolev and Hardy constants for the fractional Navier Laplacian}, Nonlinear Analysis: Theory, Methods \& Applications., {\bf 121} (2015), 123-129.

\bibitem{MN}
R. Musina and A.I.Nazarov, {\it Variational inequalities for the spectral fractional Laplacian}, arXiv preprint arXiv:1603.05730.

\bibitem{Palais}
R. S. Palais, {\it The principle of symmetric criticality}, Comm. Math. Phys., {\bf 69} (1979), no.~1, 19-30.

\bibitem{Stinga}
P. R. Stinga and J. L. Torrea, {\it Extension problem and Harnack's inequality for some fractional operators}, Comm. Part. Diff. Eqs., {\bf 35} (2010), no.~11, 2092-2122.

\bibitem{Vorst}
R. C. A. M. Van der Vorst, {\it Best constant for the embedding of the space $H^2 \cap H^1_0(\Omega)$ into $L^{2N/(N-4)}$}, Differential Integral Equations, {\bf 6} (1993), no.~2, 259-276.

\bibitem{watson}
Дж. Н. Ватсон, {\it Теория бесселевых функций}, Издательство иностранной литературы., 1949.

\bibitem{Kol}
С. Б. Колоницкий, {\it Множественность решений задачи Дирихле для уравнения с $p$-лапласианом в трехмерном сферическом слое}, Алгебра и анализ., {\bf 22} (2010), no.~3, 206-221.

\bibitem{Kufner}
А. Куфнер, С. Фучик, {\it Нелинейные дифференциальные уравнения}, Наука., 1988.

\bibitem{AN2}
А. И. Назаров, {\it О решениях задачи Дирихле уравнения, содержащего $p$-лапласиан, в сферическом слое}, Труды СПбМО., {\bf 10} (2004), 33-62.

\bibitem{Weiss}
И. М. Стеин, Г. Вейс {\it Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах}, Мир., 1974.

\bibitem{Triebel}
Х. Трибель, {\it Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы}, Мир., 1980.

\end{thebibliography}
\end{document}
