\documentclass[12pt]{report}
\usepackage{amssymb,amscd,amsmath}
\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[T1,T2A]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[dvips]{graphics}

%\renewcommand{\refname}{}

%\pagestyle{empty}
\topmargin -1.0cm \setlength{\textheight}{23,7cm}
\setlength{\textwidth}{15cm} \hoffset=-10mm \voffset=-0mm

\input cyracc.def
\font\ttt=wncyr10 at 12 pt
\def\cyr{\ttt\cyracc}
\def\No{{\cyr \symbol{125}}}

\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}

\sloppy
\begin{document}

\bigskip

\centerline{\bf  Mekler A.A.}

\bigskip

\centerline{\bf  REGULAR FUNCTIONS}
\centerline{\bf  AND CONDITIONAL EXPECTATION OPERATORS}
\centerline{\bf  ON ORDERED IDEALS OF $L^1(0,1)$-SPACE.}

\hangindent=3,5ex
\hangafter=-1 \noindent

\bigskip

The article treats the role of action of conditional expectation operators in the real interpolation between $L^1(0,1)$ and $L^\infty(0,1)$. The main results are the following: 1). If all the above mentioned operators translate into itself \Big(one says \emph{average}\Big) an real vector ordeded ideal $X$ which lies between $L^1(0,1)$ and $L^\infty(0,1)$, then $X$ is interpolated. 2). There exist a class of  of sub-$\sigma$-algebras \Big(which are called \emph{verifying}\Big) such that averaging of $X$ by an arbitrary verifying $\sigma$-subalgebras guarantees for $X$ to be being interpolated where $X$ is every \emph{symmetrical} \Big(=rearrangement invariant\Big) ideal. 3). The full classification of verifying sub-$\sigma$-algebras in the class of independently complemented sub-$\sigma$-algebras is given. 4). For a \emph{principal} symmetrical ideal $X$ \Big(=generated by a function $f\in L^1(0,1)$\Big) an  efficiently criterion is given in order to $X$ were averaged by an arbitrary independently complemented sub-$\sigma$-algebra.\\

Spaces of measurable functions, 46E30\\





\centerline{} \centerline{Меклер Александр Александрович.}
\bigskip

\centerline{\bf РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ И ОПЕРАТОРЫ}
\centerline{\bf УСЛОВНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ}
\centerline{\textbf{НА ПОРЯДКОВЫХ ИДЕАЛАХ ПРОСТРАНСТВА $L^1(0,1)$}}
%[5pt]
\hangindent=3,5ex
\hangafter=-1 \noindent

\bigskip




\centerline{\textbf{Введение}}



\bigskip

\emph{Симметричные (=перестановочно инвариантные)} банаховы порядково идеальные пространства измеримых функций были введены в функциональный анализ в начале 2-й  половины прошлого века. Отталкиваясь от известных неравенств Харди-Литтлвуда и работ по полиномам Бернштейна, их ввёл в рассмотрение G.G. Lorentz и продолжил изучение T. Shimogaki. Первые относящиеся к этому направлению монографии были опубликованы W.A.J Luxemburg, 1967, K-M Chong and N.M.Rice, 1971, J. Lindenstrauss and L.Tzafriri, 1973. Подход этих авторов кроме векторной, идеальной и симметричной структуры пространств предполагал также их банаховость.\\

Новый и мощный импульс в изучение этих объектов дала работа А.П. Кальдерона (A.P. Calderon, 1966), где доказана знаменательная теорема о вещественной интерполяции линейных операторов на векторных многообразиях промежуточных между $L^1$ и $L^\infty$. Напомним, что такое многообразие $V$ называется $(L^1,L^\infty)$-интерполяционным, если \textbf{каждый} \emph{допустимый} линейный оператор, т.е. переводящий крайние пространства этой пары в самих себя переводит в себя и $V$, удовлетворяя в случае банахова $V$ неравенству логарифмического типа между нормами оператора в пространствах $L^1,L^\infty$ и $V$. Ограничиваясь векторным случаем, теорему Кальдерона можно сформулировать так: интеполяционность $V$ для пары $(L^1,L^\infty)$ равносильна некоему свойству этого многообразия, называемому \emph{свойством мажорантности} (в смысле Харди-Литтлвуда). В дальнейшем  теорию интерполяции линейных операторов успешно развивали многие математики, в том числе J. Peetre, D.W. Boyd, R.Sharply, C.Bennet, а также С.Г. Крейн, Б.С. Митягин, Е.М. Семёнов, В.И. Овчинников, А.А. Седаев, В.А. Шестаков и другие, см. библиографию в \cite{20}.\\

В 1965г. Дж. Рифф (J.V.Ryff) рассматривал бистохастические операторы и их орбиты; теорема Кальдерона при этом подходе сводится к тому, что $(L^1,L^\infty)$-интерполяционность промежуточного векторного многообразия не обязательно проверять на множестве всех допустимых операторов, можно ограничить проверку только на существенно более узком подклассе всех \emph{бистохастических операторов}. Последний включает в себя операторы, порождённые сохраняющими меру преобразованиями измеримого носителя, так что интерполяционные многообразия необходимо должны быть симметричными. Но симметричности недостаточно, $(L^1,L^\infty)$-интерполяционные многообразия должны ещё вместе с каждой своей функцией целиком содержать её \emph{орбиту}, которая есть совокупность образов \textbf{всех бистохастических операторов} на этой функции. В этом как раз и состоит свойство мажорантности, которое по теореме Кальдерона равносильно $(L^1,L^\infty)$-интерполяционности вещественного векторного многообразия $V$, лежащего между $L^1$ и $L^\infty$.\\

Идея сужения класса проверочных операторов за счёт ограничений на проверяемые многообразия $V$ объединяет часть приводимых ниже результатов. В §3 показано, что, если подчинить $V$ условию быть\emph{ векторным порядковым идеалом} (называемым здесь просто \emph{идеалом}) в $L^1$, содержащим $L^\infty$, то класс проверочных операторов сужается до множества \textbf{всех бистохастичнских проекторов.} Подчеркнём, что в качестве измеримого носителя функций из $L^1(I):=L^1(I,\Lambda,\lambda)$ мы рассмаириваем в этой работе промежуток $I:=(0,1]$, на котором лебегова мера $\lambda$ задана на лебеговой $\sigma$-алгебре измеримых множеств $\Lambda$. В этом случае каждый бистохастический проектор есть оператор \emph{условного математического ожидания }(мы называем его \emph{усреднением}) по подходящей $\sigma$-\emph{подалгебре} $\mathcal{A}$ в $\Lambda$.  Мы говорим, что $\mathcal{A}$ \emph{усредняет} векторный идеал $V$ (или, что $V$ \emph{усредняется} $\sigma$-подалгеброй $\mathcal{A}$), если образ усреднения идеала $V$ содержится в $V$.\\

Далее мы налагаем на векторный идеал новое ограничение, требуя, чтобы он был \emph{симметричным}, т.е.  инвариантным относительно всех операторов \emph{перестановок}. Под последними понимаются операторы, порождённые \emph{метрическими эндоморфизмами (т.е. сохраняющими меру преобразованиями)} лебегова промежутка $I$. Как показано в \cite{11}, существуют банаховы симметричные идеалы, не являющиеся мажорантными. Иными словами, неверно, что всякий симметричный идеал усредняется любой $\sigma$-подалгеброй,   - вопреки приведенному без доказательства утверждению \cite{38} и приведенному с неверным доказательством утверждению \cite{39}.\\

Изучение операторов усреднения в зазоре между симметричной и мажорантной областью задания составляет основное содержание настоящей работы. Чисто дискретные $\sigma$-подалгебры в $\Lambda$, порождённые конечным или счётным числом атомов, мы называем \emph{разбиением } соответствующей мощности. Ввиду перестановочной инвариантности наших объектов мы можем ограничиться среди разбиений рассмотрением таких, атомы которых представлют собой наборы попарно дизъюнктных промежутков в $I$; мы называем их \emph{интервальными разбиениями}. Особую роль среди интервальных разбиений играют \emph{монотонные}, в которых длины составляющих их промежутков не возрастают при прохождении вдоль $I$ от 1 к 0. Доказано, что каждое интервальное разбиение эквивалентно подпоследовательности того единственного монотонного разбиения,  которое получается перестоновкой промежутков исходного разбиения в невозрастающем порядке длин. При этом наименьшая константа эквивалентности оказывается "золотым сечением".\\

В §6 вводятся два непересекающихся класса $\sigma$-подалгебр - проверочные и универсальные. По определению универсальная $\sigma$-подалгебра усредняет любой симметричный идеал, между тем как проверочная $\sigma$-подалгебра из всех симметричных идеалов усредняет только мажорантные. Таким образом, если на многообразие $V$ наложить условие быть симметричным идеалом, то вопрос о его интерполяционности между $L^1$ и $L^\infty$ решается проверкой на единственном бистохастическом проекторе - операторе усреднения по любой из проверочных $\sigma$-подалгебр.\\

В §7 для класса всех независимо дополняемых $\sigma$-подалгебр доказан следующий общий факт: \emph{счётное разбиение усредняет некоторый симметричный идеал, если его усредняет независимое дополнение к этому разбиению. Более того, если симметричный идеал $X$ содержится в пространстве $L\log^+L$, то верно и обратное утверждение.} Последний результат позволяет ответить на некоторые вопросы, сформулированные автором в конце статьи \cite{35}. В частности, благодаря ему, в §6 и §8 устанавливается полная классификация проверочных/универсальных $\sigma$-подалгебр в классе независимо дополняемых $\sigma$-подалгебр, к каковому относятся, в частности, все счётные разбиения. Универсальными оказываются конечные разбиения и независимые дополнения к ним. Проверочными же являются 1) $\sigma$-подалгебры, такие, что они содержат непустую непрерывную часть; 2) интервальные разбиения, эквивалентные бесконечной геометрической  прогрессии или любые более мелкие, чем таковые; 3) независимые дополнения к интервальным разбиениям из п.2).\\


Мы вводим понятие \emph{главного симметричного идеала} $\mathcal{N}_f$, т.е. симметричного идеала, порождённого  функцией $f\in L^1(I)$ и являющегося "симметричным атомом" любого симметричного идеала.  \Big(Это понятие можно рассматривать как функционально-аналитическое обобщение понятия случайной величины.\Big) Среди порождающих функций $f$ мы выделяем \emph{регулярные}, т.е. такие, что главный симметричный идеал $\mathcal{N}_f$ является мажорантным. Заметим что для регулярных функций $\mathcal{N}_f$ по составу своих элементов совпадает с известным \emph{пространством Марцинкевича} $\mathcal{M}_\psi$, где производная от неубывающей непрерывной в нуле вогнутой функции $\psi,\ \psi(0)=0,$ есть невозрастающая перестановка на $I$ функции $|f|$. §1 посвящён вопросу о возможности банахова нормирования главного с.и., а также изучению поведения регулярных функций под действием операторов сжатия/растяжения на $I$; в этом же параграфе доказано, что регулярные функции мажорируются степенными и в терминах регулярных и слабо регулярных функций характеризуется свойство BMO.\\

В §4 даётся решение следующей задачи: сформулировать в терминах функции $f\in L^1(I)$ и счётного разбиения $\mathcal{F}$ необходимые и достаточные условия, при выполнении которых $\mathcal{F}$ усредняет главный симметричный идеал $\mathcal{N}_f$; в этом случае мы говорим, что функция $f$ является $\mathcal{F}$-\textit{регулярной}.  В §5 изучаются свойства $\mathcal{F}$-регулярных функций, в частности, те из этих свойств, которые аналогичны свойствам регулярных функций. Приведены условия, равносильные тому, что симметричный идеал, порождённый образом усреднения некоторого главного симметричного идеала, и сам будет главным.\\

Кроме ещё неопубликованных результатов §7 и §8 все остальные были получены автором в предыдущие годы, начиная с 1974, а статью \cite{35} можно считать предварительной для настоящей работы. Собственно говоря, цель автора - собрать и единообразно изложить все его результаты на обозначенную в заглавии тему.\\

В конце работы имеется библиография, а в начале - §0, содержащий терминологию и предварительные сведения. В каждом параграфе от 1-го до 8-го после заголовка даётся краткая аннотация, а также ссылки на относящуюся сюда литературу.\\

Отсутствие ссылок и пояснений при утверждениях означает, что последние либо просты, либо хорошо известны.\\
\newpage


\centerline{\bf {§0. Определения, обозначения и предварительные сведения.}}

\bigskip

Через $(I,\Lambda,\lambda)$ обозначается единичный промежуток $I:=(0,1]$ с лебеговой $\sigma$-алгеброй $\Lambda$ и лебеговой мерой на ней $\lambda.$ Множества из $\Lambda$ называются \emph{измеримыми}. Отображение $\pi:I\rightarrow I$ мы называем \emph{(метрическим) эндоморфизмом}, если в $\Lambda$ найдётся подмножество меры нуль, вне которого $\pi$ осуществляет измеримое сохраняющее меру отображение: $\lambda\Big(\pi^{-1}(A)\Big)=\lambda(A), A\in \Lambda.$ П.в. взаимно однозначный эндоморфизм $\pi$ называются \emph{автоморфизмом} и в этом случае $\pi^{-1}$ также сохраняет меру.\\

Как обычно, через $L^0(I,\Lambda,\lambda):=L^0(I)$ обозначается пространство всех (классов эквивалентности совпадающих п.в.) вещественных $\Lambda$-измеримых конечнозначных функций, в котором под частичным порядком  понимается упорядочение $\lambda$-п.в. Характеристическая (т.е. индикаторная) функция измеримого множества A обозначается $1_A;\ \textbf{1}:= 1_I.$ Две функции $0\leq f,g\in L^0(I,\Lambda,\lambda)$ называются \emph{эквивалентными} (обозначение: $f\simeq g$), если найдётся константа $C>0$, такая что $C^{-1}f \leq  g\leq Cf$.
\emph{Равноизмеримость} функций $f,g\in L^0(I,\Lambda,\lambda)$, которую мы обозначаем $f\sim g$, означает, что для любого $\alpha>0$ выполняется равенство $\lambda(\{t:f(t)>\alpha\})=\lambda(\{t:g(t)>\alpha\})$. Очевидно, что функции, переводимые одна в другую эндоморфизмами, равноизмеримы. В \cite{12} показано, что для всякой функции $f\in L^0(I)$ найдётся единственная непрерывная справа невозрастающая функция на $I,$ равноизмеримая с $|f|;$ она обозначается $f^*:\ f^*\sim |f|,$ и называется \emph{невозрастающей перестановкой} функции $f$. Там же доказано, что для всякой функции $f\in L^0(I)$ найдётся эндоморфизм $\pi$, такой что $|f|=f^*\circ\pi.$\\

Через $L^1(I,\Lambda,\lambda):=L^1(I)$ (через $L^\infty(I,\Lambda,\lambda):=L^\infty(I)$) обозначаются векторные многообразия в $L^0(I)$, состоящие из всех суммируемых по абсолютной величине (соответственно, существенно ограниченных) вещественых функций на $(I,\Lambda,\lambda)$.\\

Для $f\in L^1(I)$ через $f^{**}(t)$ обозначается невозрастающая на $I$ функция $t^{-1}\int_0^t f^*d\lambda,\ t\in I$. Очевидно, что $ f^*\leq f^{**}.$  Множество $\Omega_f:=\{g\in L^1(I): g^{**}\leq f^{**}\}$ называется \emph{орбитой} функции $f.$ Иногда принадлежность $g\in \Omega_f$ обозначается $g\prec f.$ \\

Пусть $s$ любое положительное число, $f\in L^0(I)$. \emph{ Оператор сжатия-растяжения}
$\rho_s:L^0(I)\rightarrow L^0(I)$, действующий по формуле
$$\begin{cases}(\rho_s f)(t)=f(s\cdot t ),\ \mbox{если}\  0< s\cdot t\leq 1;\\
0,\ \mbox{если}\  s\cdot t> 1,\end{cases}\eqno(_0.1)$$
мы называем $c/d$-\emph{оператором}. Очевидно, что каждый $c/d$-оператор действует из $L^1(I)$ в $L^1(I)$.\\


\textbf{Лемма 0.1.} Справедливость следующих соотношений для любых $f\geq 0,g\in L^0(I)$ легко проверяется.
$$\begin{cases}\rho_sf\leq s^{-1}\rho_sf^*,\ s\in I;\\
(\rho_2f^*)(t)\leq f^*(t)\leq(\rho_{\frac{1}{2}}f^*)(t)\leq \Big(f^*(t)+f^*(1-t)\Big)^*,\ t\in I;\\
0\leq f^*(t)\leq f^{**}(t)=(f{^{**}})^*(t)\geq t^{-1}\int_0^tfd\lambda,\ t\in I;\\
f^*\leq \rho_s f^*,\ \rho_s f^{**}\leq s^{-1}f^{**},\ s\in I;\\
(f+g)^*\leq \rho_sf^*+\rho_{1-s}g^*,\ 0<s<1.
\end{cases}\eqno(_0.2)$$
$\Box$\\

\textbf{Лемма 0.2.} Для всякого $c/d$-оператора $\rho_s,\ s\in I,$ и всякой функции $f,\ f\in L^0(I)$ справедливо равенство
$$(\rho_sf)^*\leq\rho_sf^*.\eqno(_0.3)$$
\emph{Доказательство.} Для любого $f,\ f\in L^0(I),$ и любого $\alpha>0$ положим
$A_f(\alpha):=\{t\in I:f(t)>\alpha\}$. Тогда для любого $u\in I$ выполняется
$$A_{\rho_u f}(\alpha)= u^{-1}A_f(\alpha).$$
Действительно, справедливы равносильности
$$s\in u^{-1}A_f(\alpha)\Leftrightarrow us\in A_f(\alpha)\Leftrightarrow f(us)>\alpha\Leftrightarrow\rho_uf(s)>\alpha\Leftrightarrow s\in A_{\rho_uf}(\alpha),$$
которые применительно к $(\rho_uf)^*$ в силу $(_0.2)$ и свойств лебеговой меры влекут
$$\lambda\{\rho_uf>\alpha\}=\lambda\{ A_{\rho_uf}(\alpha)\}=\lambda\{ u^{-1}A_f(\alpha)\}\leq u^{-1}\lambda \{A_{f^*}(\alpha)\}=\lambda\{\rho_uf^*>\alpha\}.$$
$\Box$\\

Измеримую на $I$ функцию $f,$ множество значений которой не более чем счётно и не имеет конечных точек сгущения, мы называем \emph{ элементарной}. Легко видеть, что любая измеримая функция на $I$ равномерно и с любой степенью точности аппроксимируется на $I$ подходящей элементарной функцией. Две равноизмеримые элементарной функции переводятся одна в другую автоморфизмами. В частности, для элементарной функции $f$ найдётся автоморфизм $\pi$, такой что $f^*=|f|\circ\pi.$\\

Под $\sigma$-подалгеброй понимается система подмножеств $\Lambda$, замкнутая относительно счётных объединений и пересечений своих элементов, взятия к ним множественных дополнений в $I$ и содержащая все множества из $\Lambda$ меры нуль. Для $\sigma$-подалгебры $\mathcal{A}$ подмножество $a\in\mathcal{A},\ \lambda(a)>0$, называется \emph{атомом} в $\mathcal{A}$, если $\mathcal{A}\ni b\subseteq a$ влечёт либо $\lambda(a\backslash b)=0$, либо $\lambda(b)=0.$ $\sigma$-подалгебра называется \emph{непрерывной}, если она не содержит собственных атомов. Она называется \emph{дискретной}, если множественное дополнение в $\mathcal{A}$ к совокупности всех её атомов имеет $\lambda$-меру нуль. Говорят, что $\sigma$-подалгебры $\mathcal{A}$ имеет \emph{смешанный тип}, если она содержит нетривиальные дискретные и непрерывные части.\\

Наименьшая $\sigma$-подалгебра в $\Lambda,$ содержащая некоторую совокупность $\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in \Gamma}$ подмножеств $\Lambda$, называется \emph{порождённой} этой совокупностью и обозначается $\mathcal{G}:=\sigma\Big(\{G_{\gamma}\}_{\gamma\in \Gamma}\Big)$. Две $\sigma$-подалгебры $\mathcal{H}$ и $\mathcal{G}$ мы называем \emph{равноизмеримыми}, (обозначение: $\mathcal{H}\sim\mathcal{G}$), если одна из них переводится в другую некоторым эндоморфизмом. Если для двух $\sigma$-подалгебр $\mathcal{H}$ и $\mathcal{G}$ в $\Lambda$ справедливо множественное включение $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{G},$ то говорят, что  $\mathcal{G}$ \emph{мельче} $\mathcal{H}$, а $\mathcal{H}$ \emph{крупнее} $\mathcal{G}$. Мы называем $\sigma-$подалгебру $\mathcal{A}^\bot$ \emph{независимым дополнением} к $\sigma-$подалгебре $\mathcal{A}$ в $\Lambda$, если множественное объединение $\mathcal{A}\cup\mathcal{A}^\bot $ порождает $\Lambda$ и при этом равенство $\lambda (D\cap E)=\lambda(D)\times\lambda(E) $ выполняется для любых $D\in \mathcal{A},\ E\in \mathcal{A}^\bot.$\\

Дискретную $\sigma-$подалгебру $\mathcal{F}=\sigma\Big(F_n,\ n\geq 1\Big)$ в $\Lambda$ со счётным (или с конечным) множеством атомов положительной меры $\{F_n,\ n\geq 1\}$ мы называем \emph{счётным} (соответственно, \emph{конечным) разбиением} и говорим, что это разбиение принадлежит \emph{стохастическому вектору} (с.в.) $\vec{\phi}=[\phi_n]$, где $\phi_n:=\lambda(F_n)>0,\ n\geq 1, \ \sum_{n\geq 1}\phi_n=1.$ Два с.в считаются один \emph{крупнее} другого, если существуют соответственные принадлежащие им дискретные $\sigma-$подалгебры такого же смысла.\\

Таким образом каждая элементарная функция измерима по отношению к некоторому не более, чем счётному разбиению. Равноизмеримые не более, чем счётные разбиения принадлежат стохастическим векторам, координаты которых являются перестановками координат одного и того же стохастического вектора. Эти разбиения переводятся одно в другое автоморфизмами $\sigma-$алгебры $\Lambda$, \cite{1}.\\

Счётное разбиение $\mathcal{B}=\sigma\Big(\ B_n:=(b_n,b_{n-1}],\ n\geq 1\Big),\textrm{где}\ 1=b_0>b_1>...> b_n\downarrow 0,$ будем называть \emph{интервальным разбиением (и.р), принадлежащим} с.в. $\vec{\beta}=[\beta_n];\ \beta_n=b_{n-1}-b_n>0,\ n\geq 1,$ и обозначать $\mathcal{B}=(b_n)$. Понятно, что и.р. $\mathcal{T}=(t_n)$ мельче, чем и.р. $\mathcal{S}=(s_n)$, тогда и только тогда, когда $\{s_n\}\subseteq\{t_n\}$. Мы называем и.р. $\mathcal{T}=(t_n)$ и $\mathcal{S}=(s_n)$ \emph{эквивалентными} (обозначение $\mathcal{T}\simeq\mathcal{S}$), если при подходящей константе $C>0$ выполняются неравенства $C^{-1}t_n\leq s_n\leq Ct_n,\ n\geq 1.$ Мы называем и.р. $\mathcal{S}=(s_n)$ \emph{кратным} и.разбиению $\mathcal{T}=(t_n)$, если найдутся натуральное число $n_0$ и положительное число $p$, такие что $s_n=p\cdot t_n,\ n\geq n_0.$\\

И.р. $\mathcal{B}$ называется \emph{монотонным}, если координаты его с.в. $\vec{\beta}=[\beta_n]$ образуют  монотонно невозрастающую последовательность: $\beta_n\geq \beta_{n+1},\ n\geq 1.$ Невозрастающая перестановка координат с.в. $\vec{\beta}$ составляет координаты с.в. $\vec{\beta}^*=[\beta^*_n].$ Всякое счётное разбиение $\mathcal{F}$, с.в. которого есть $\vec{\beta}$, равноизмеримо с некоторым и.р. $\mathcal{B}^*$, с.в. которого есть $\vec{\beta}^*.$ При этом и.р. $\mathcal{B}^*$ называется \emph{монотонной перестановкой} счётного разбиения $\mathcal{F}.$\\

Точки вида $2^{-n},\ n\geq 0,$ мы называем \emph{двоичными}, как \emph{двоичным} мы называем  и.р. $\sigma\Big((2^{-m_n},2^{-m_{n-1}}],\Big):=(2^{-m_n}),$ где $\{m_n\}$ - целые числа: $0=m_0<m_1<m_2<...< m_n<...$. Мы обозначаем $\mathcal{D}:=(2^{-n})$ , а двоичный промежуток $(2^{-n},2^{-n+1}]$ - через $D_n,\ n\geq 1.$  Легко видеть, что для любой функции $f=f^*\in L^1(I)$ найдётся $\mathcal{D}$-измеримая функция $g:\ g=g^*=\sum_{n\geq 1}a_n{1_{D_n}}$, такая что $$\rho_2g(t)\leq f(t)\leq \rho_{\frac{1}{2}}g(t),\ t\in I.\eqno(_0.4)$$
Каждому и.р. $\mathcal{T}=(t_n)$ мы ставим в соответствие его \emph{(правую) двоичную проекцию} - двоичное и.р. $\mathcal{T}_{(2)}$, образованное всеми различными точками вида $2^{-[-\log_2t_n]+1}$, где через $[r]$ обозначается целая часть положительного числа $r:\ [r]\leq r<[r+1]$. Отметим, что и.р.  $\mathcal{T}_{(2)}$ всегда монотонно. Для счётного разбиения $\mathcal{F}$ и.р. $(\mathcal{F}^*)_{(2)}$ обозначается просто $\mathcal{F}_{(2)}^*$\\

\emph{Выборкой} из счётного разбиения $\mathcal{F}=\sigma(F_n,\ n\geq 1,)$ называется разбиение $$\mathcal{F}_{(n_m)}:=\sigma(F_{n_m},\ m\geq 0),\ \textrm{где}\ F_{n_0}:= I\setminus\bigcup_{m\geq 1}F_{n_m}.$$

Для и.р. $\mathcal{T}=(t_n)$ определим следующие две функции от $k,\ k\geq 1$:\\

$\omega_{\mathcal{T}}(k):=\sup_{n\geq 0}\frac{t_{n+k}}{t_n};$\\

$q_{\mathcal{T}}(k)=$ \emph{количество точек последовательности} $\{t_n\}_{n=0}^\infty$ \emph{на промежутке} $D_k.$ \\

\textbf{Лемма 0.3.} Следующие условия равносильны.\\

1. Найдётся натуральное число $k$, такое что $\omega_{\mathcal{T}}(k)<1;$\\

2. Последовательность $\{q_{\mathcal{T}}(k)\}_{k=1}^\infty$ ограничена.\\
$\Box$\\

Для непрерывной в точке нуль неубывающей функции $\psi$ на $[0,1],\ \psi(0)=0,\ \psi(1)>0$, и и.р. $\mathcal{T}$  образуем и.р., состоящее из всех попарно различных точек последовательности $\{\min[1,\psi(t_n)]\}_{n=0}^\infty$ (добавляя, если нужно, точку $1$) и обозначим его $\psi(\mathcal{T})$. При этом обозначения $\omega_{\psi(\mathcal{T})}$ и $q_{\psi(\mathcal{T})}$ соответствуют вышеприведённым..\\

\textbf{Предложение 0.4}. 1-й принцип непрерывности Ляпунова. \\

Пусть $A,B\in \Lambda,\ \lambda(A)=\lambda(B)>0,\ \lambda(A\cap B)=0,$ и пусть $\{A_n\}_{n\geq 1}$ - разбиение множества $A$ на попарно дизъюнктные подмножества положительной меры. Тогда найдётся разбиение $\{B_n\}_{n\geq 1}$ множества $B$ на попарно дизъюнктные подмножества положительной меры, такое что $\lambda(B_n)=\lambda(A_n),\ n\geq 1.$\\

 2-й принцип непрерывности Ляпунова.\\

Пусть $A\in \Lambda,\ \lambda(A)>0$ и пусть $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ разбиение $A$ на попарно дизъюнктные подмножества положительной меры. Для каждой функции $f\in L^1(I)$ найдётся функция $\tilde{f},\ \tilde{f}\sim f$, такая что $$\int_{A_n}\tilde{f}d\lambda=\int_Afd\lambda,\ n\geq 1.$$
$\Box$\\

Для всякой $\sigma-$подалгебры $\mathcal{A}$ в $\Lambda$ \emph{оператор условного математического ожидания} (по другому -\emph{=усреднения) по $\mathcal{A}$} $$E(\cdot|\mathcal{A}):L^1(I)\rightarrow L^1(I,\mathcal{A},\lambda)$$действует как производная Радона-Никодима: $$E(f|\mathcal{A}):=\frac{\lambda_f(A)}{\lambda(A)},\ f\in L^1(I),$$ где мера $\lambda_f$ на $\mathcal{A}$ определена формулой  $\lambda_f(A):=\int_Afd\lambda, A\in \mathcal{A}.$\\
$\Box$\\

\textbf{Предложение 0.5.}\\

1). \emph{Проекционное свойство}.\\
Если $\sigma-$подалгебра $\mathcal{A}$ мельче $\sigma-$подалгебры $\mathcal{C}$, то $$E\Big(E(\cdot|\mathcal{A})|\mathcal{C})\Big)=E(\cdot|\mathcal{C}).$$

2). \emph{Правило замены переменной.}
Пусть $\pi$ эндоморфизм на $\Lambda$. Для любой функции $f\in L^1$ справедлива формула
$$E(f\circ\pi|\mathcal{A}\circ\pi)=E(f|\mathcal{A})\circ\pi.$$
3). Для не более, чем счётного разбиения $\mathcal{F}=\sigma\Big(F_n,\ n\geq 1\Big)$ оператор усреднения по $\mathcal{F}$ действует по формуле
$$E(f|\mathcal{F})(t)=\sum_{n\geq 1}\Big(\frac{1}{\lambda(F_n)}\int_{F_n}fd\lambda \Big)\cdot 1_{F_n} (t),\ t\in I.\eqno(_0.5)$$
$\Box$\\

Из принципов Ляпунова и формулы замены переменной вытекает\\

\textbf{Предложение 0.6}. 1). Для любого счётного разбиения $\mathcal{F}$ и любой функции $f\in L^1(I)$ справедливо равенство $E(f|\mathcal{F})^*=E(\bar{f}|\mathcal{B}),$ где и.р. $\mathcal{B}\sim \mathcal{F},\ \bar{f}\sim f.$

 2). Если счётное разбиение $\mathcal{F}$ мельче, чем счётное разбиение $\mathcal{G}$, то для любой функции $f\in L^1(I)$ найдётся такая равноизмеримая ей функция $\tilde{f}\sim f,$ что $$E(\tilde{f}|\mathcal{F})=E(f|\mathcal{G}).\eqno(_0.6)$$

3). Если счётные разбиения $\mathcal{F}$ и $\mathcal{G}$ равноизмеримы, то для любой функции $f\in L^1(I)$ найдётся такая функция $g\in L^1(I),\ g\sim f$, что $E(g|\mathcal{G})\sim E(f|\mathcal{F}).$\\
$\Box$\\

В дальнейшем нам понадобятся некоторые понятия теории интерполяции линейных операторов на пространстве $L^1(I).$\\

Назовём линейный непрерывный оператор $T:L^1(I)\rightarrow L^1(I)$ \emph{допустимым}, если $T|_{L^\infty(I)}\subseteq L^\infty(I).$ Положительный допустимый оператор $\mathcal{U}:L^1(I)\rightarrow L^1(I)$ называется \emph{бистохастическим}, если $\mathcal{U}(\textbf{1})=\mathcal{U}^*(\textbf{1})=\textbf{1},$ где через $\mathcal{U}^*$ обозначается сопряжённый к $\mathcal{U}$ оператор на $L^\infty(I).$\\

Примерами бистохастических операторов могут служить операторы, порождаемые автоморфизмами на $I$, а также операторы усреднения по $\sigma-$подалгебрам.\\

Векторное многообразие $X$ между $L^1(I)$ и $L^\infty(I)\ \Big($банахово пространство $(X,||\cdot ||_X)$, непрерывно вложенное между $L^1(I)$ и $L^\infty(I)\ \Big),$ называется \emph{интерполяционным}\emph{\Big(строго интерполяционным}\Big) между $L^1(I)$ и $L^\infty(I)$, если сужение на $X$ всякого допустимого оператора $T$ отображает $X$ в себя (соответственно,  $||T||_{X\rightarrow X}\leq \max[||T||_{L^1(I)\rightarrow L^1(I)}, ||T||_{L^\infty(I)\rightarrow L^\infty(I)}]$). Интерполяционная теорема Кальдерона, \cite{9}, состоит в том, что для проверки интерполяционности $X\Big($строгой интерполяционности $(X,||\cdot ||_X)\Big)$ достаточно установить, что вместе с каждой своей функцией $x$ многообразие $X$ содержит её орбиту: $x\in X\Rightarrow\Omega_x\subset X\ \Big($соответственно, что норма любого элемента орбиты функции $x\in X$ не превосходит нормы $x\ \Big)$. В свою очередь Рифф показал, \cite{8}, что орбита $\Omega_f$ каждой функции $f\in L^1(I)$ есть $\{U(f):\ U \in \mathfrak{U}\}$, где через $\mathfrak{U}$ обозначается множество всех бистохастических операторов. Тем самым для проверки интерполяционности (соответственно, строгой интерполяционности) можно брать не все допустимые операторы, а ограничиться лишь операторами класса $\mathfrak{U}.$\\

Операторы условного математического ожидания, - усреднения по всевозможным $\sigma$-подалгебрам, - представляют собой бистохастические \emph{проекторы}, то есть образуют подкласс $\mathfrak{P}$ класса $\mathfrak{U}$.\\

Векторное многообразие $X,\ X\subseteq L^1(I)$, содержащее функцию $\textbf{1}\Big($банахово пространство $(X,||\cdot ||_X)$, непрерывно вложенное между $L^1(I)$ и $L^\infty(I)\ \Big)$, мы называем \emph{порядковым \emph{идеалом}} в $L^1(I)\Big($ \emph{банаховым идеалом}$\Big)$, если для $y,x\in L^1(I)$ выполняется импликация $|y|\leq |x|,\ x\in X\Rightarrow y\in X\Big($ и при этом банахова норма $||\cdot ||_X$ \emph{монотонна}, т.е. $||x ||_X\leq ||y ||_X$, если $|x|\leq |y|$\Big). Мы опускаем слово ''порядковый'', ибо других идеалов в дальнейшем не встретится. Интерполяционные между $L^1(I)$ и $L^\infty(I)$ идеалы мы называем \emph{мажорантными идеалами} (м.и.), а банаховы строго интерполяционные идеалы - \emph{строго мажорантными пространствами}; по теореме Кальдерона каждый из последних вместе с любой своей функцией $f$ содержит её орбиту $\Omega_f$, причём  норма любого элемента  $\Omega_f$ не превосходит нормы $f$. Идеалы, не являющиеся мажорантными, будем называть \emph{немажорантными}.\\

Идеал $X$ называется \emph{симметричным (с.и.)}, если выполняется импликация $y^*\leq x^*,\ x\in X\Rightarrow y\in X.$
Понятно, что всякий мажорантный идеал симметричен.\\

Симметричный идеал $X$ называется \emph{симметричным пространством} (с.п) $(X,\|\cdot \|_X )$, если заданная на $X$ банахова норма $\|\cdot \|_X$ монотонна и симметрична, т.е. принимает одинаковые значения на равноизмеримых функциях.\\
Строго интерполяционные между $L^1(I))$ и $L^\infty(I)$ банаховы банаховы идеалы, снабжённые  монотонной нормой, будем называть \emph{строго мажорантными с.п.}.\\

Из лемм 0.1 и 0.2 вытекают неравенства
 $$(\rho_2f^*)(t)\leq f^*(t)\leq(\rho_{\frac{1}{2}}f^*)(t)\leq \Big(f^*(t)+f^*(1-t)\Big)^*,\ t\in I,\ f\in L^1(I),\ \eqno(_0.7),$$
 из которых следует, что всякий $c/d$-оператор переводит любой с.и. в себя. Отсюда же видно, что каждый м.и. являяется также с.и.\\

Пусть $\{X_\gamma\}_{\gamma\in\Gamma}$ семейство идеалов в $L^1(I)$. Сумма этого семейства определяется формулой $$\sum_{\gamma\in\Gamma}X_\gamma:=\{\sum_{i=1}^nx_{\gamma_i}:x_{\gamma_i}\in X_{\gamma_i},\ i=1,...,n;\ (\gamma_1,...,\gamma_n)\in \Gamma^n,\ n\geq 1\}.\eqno(_0.8)$$
\textbf{Лемма 0.7.} Сумма $\sum_{\gamma\in\Gamma}X_\gamma$ идеалов является идеалом,в $L^1(I)$, причём симметричным или  мажорантным, если таковыми являются слагаемые идеалы.\\


$\Box$\\

\textbf{Лемма 0.8.} Для любого идеала $X,\ X\subseteq L^1(I),$ и любой $\sigma$-подалгебры $\mathcal{A}$ образ $E\Big(X|\mathcal{A}\Big)$ есть идеал в пространстве $L^1(I,\mathcal{A},\lambda)$.\\
$\Box$\\

\textbf{Лемма 0.9.} Для любого множества $\mathfrak{X}=\{X_\gamma\}_{\gamma\in \Gamma}$ идеалов $X_\gamma\subseteq L^1(I)$ и любой $\sigma$-подалгебры $\mathcal{A}$  справедлива формула
$$E\Big(\sum_{\gamma\in \Gamma}X_\gamma|\mathcal{A}\Big)=\sum_{\gamma\in \Gamma}E\Big(X_\gamma|\mathcal{A}\Big),\eqno(_0.9)$$
где в правой части подразумевается сумма идеалов в пространстве $L^1(I,\mathcal{A},\lambda)$.\\
$\Box$\\

\textbf{ОПРЕДЕЛЕНИЕ.} 1. Если для векторного идеала $X$ и оператора $E(\cdot|\mathcal{A})$ усреднения по $\sigma$-подалгебре $\mathcal{A}$ выполняется включение $E(X|\mathcal{A})\subseteq X$, то мы говорим, что $\mathcal{A}$ \emph{усредняет} $X$ или, что $X$ \emph{усредняется} $\mathcal{A}$.\\

2. Говорят, что $\textit{с.п.}\ (X,||\cdot ||_X)$ \emph{строго усредняется $\sigma$-подалгеброй $\mathcal{A}$} \Big(или, что  $\mathcal{A}\ \textit{строго\ усредняет\ с.п.}\ (X,||\cdot ||_X)$\Big), если $\mathcal{A}$ усредняет с.и. $X$ и при этом $||E(\cdot|\mathcal{A})||_{X\rightarrow X}\leq 1$.\\


 \textbf{Замечание 0.10.} Пусть $(\Omega,\Sigma,\mu)$ - непрерывное вероятностное пространство, т.е. измеримое пространство с полной безатомной мерой, $\mu(\Omega)=1.$ Определения $\sigma$-подалгебры в $\Sigma$ и дополняемой $\sigma$-подалгебры в $\Sigma$ в точности такие же как выше. В точности так же как выше можно ввести понятие равноизмеримости для двух функций $f\in L^1(I)$ и $\tilde{f}\in L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$. Множества $A\subseteq L^1(I)$ и $\tilde{A}\subseteq L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$ мы называем $\stackrel{e}{\sim}$\emph{эквивалентными}, если для любой функции $f\in A$ найдётся функция $\tilde{f}\in \tilde{A},$ равноизмеримая с $f$, и наоборот, для любой функции $\tilde{f}\in \tilde{A}$ найдётся равноизмеримая с ней функция $f\in A$ (обозначение: $A\stackrel{e}{\sim}\tilde{A}$). Для функции $\tilde{f}\in L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$ под её невозрастающей перестановкой мы понимаем функцию $f^*$, где $f\in L^1(I)$ и равноизмерима с $\tilde{f}$. В пространстве $L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$ определения орбиты функции, симметричных и мажорантных идеалов, а также идеалов, усредняемых $\sigma$-подалгеброй $\tilde{\mathcal{B}}\subseteq\Sigma,$ ничем не отличается от вышеприведённых. Для любого с и. в $L^1(I)$ найдётся единственный $\stackrel{e}{\sim}$эквивалентный  ему с.и. в $L^1(\Omega,\Sigma,\mu),$ и наоборот, \cite{15},\ \cite{35}. Две $\sigma$-подалгебры  $\mathcal{A}\subseteq\Lambda$ и $\tilde{\mathcal{A}}\subseteq\Sigma$ будем называть $\stackrel{e}{\sim}$\emph{эквивалентными}, если $\stackrel{e}{\sim}$эквивалентны совокупности индикаторных функций всех элементов $\sigma$-подалгебр  $\mathcal{A}$ и $\tilde{\mathcal{A}},$ соответственно.\\
$\Box$\\

\textbf{Замечание 0.11.}\\

1). $\stackrel{e}{\sim}$эквивалентные с.и. $X\ \textrm{и}\ \tilde{X}$ лишь одновременно могут быть мажорантными. $\sigma$-подалгебра  $\mathcal{A}\subseteq\Lambda$ и $\stackrel{e}{\sim}$эквивалентная ей $\sigma$-подалгебра $\tilde{\mathcal{A}}\subseteq\Sigma$ могут лишь одновременно усреднять или не усреднять $\stackrel{e}{\sim}$эквивалентные с.и. $X\ \textrm{и}\ \tilde{X}$.\\

2). В силу предложения 0.5 все $\sigma$-подалгебры, равноизмеримые с некоторой $\sigma$-подалгеброй, одновременно с ней усредняют или не усредняют любой с.и. $X\subseteq L^1(I)$. В частности, счётные разбиения, имеющие один и тот же монотонный с.в., одновременно   усредняют или не усредняют любой с.и. $X\subseteq L^1(I)$. В силу инвариантности при действии c/d-операторов вместе с и.р. $\mathcal{B}$ все и.р., эквивалентные с $\mathcal{B}$ усредняет или нет любой с.и. $X\subseteq L^1(I)$. \\

3) Если и.р. $\mathcal{S}$ кратно и.разбиению $\mathcal{T}$, то $\mathcal{S}$ и $\mathcal{T}$ одновременно усредняют или не усредняют любой с.и. $X\subseteq L^1(I)$.\\

4). Двоичная проекция $\mathcal{T}_{(2)}$ интервального разбиения $\mathcal{B}$ одновременно с $\mathcal{B}$ усредняет или нет любой с.и. $X\subseteq L^1(I)$, \cite{25}.\\

5). Из предложения 0.6 и п. 2) настоящего замечения следует, что, если счётное разбиение $\mathcal{H}$ не усредняет некоторый идеал, то и более мелкое чем $\mathcal{H}$ разбиение $\mathcal{F}$, а также все равноизмеримые с $\mathcal{F}$ счётные разбиения не усредняют $X$. Если счётное разбиение $\mathcal{H}$ усредняет идеал $X$, то и  любая его выборка $\mathcal{H'}$ тоже усредняет $X$.\\
$\Box$\\

Так как всё пространство $L^1(I)$ есть мажорантный (а, значит, и симметричный) идеал, то для каждого множества $Z\subseteq L^1(I)$ существует наименьший с.и. (наименьший м.и.), содержащий $Z$, который мы обозначаем $\mathcal{N}_Z$ (соответственно, $\mathcal{M}_Z$) и говорим, что $Z$ \emph{порождает} с.и $\mathcal{N}_Z$, (соответственно, м.и. $\mathcal{M}_Z$). Для одноточечного множества $Z=\{f\},\ f\in L^1(I),$ мы пишем $\mathcal{N}_f$ вместо $\mathcal{N}_{\{f\}}$ (соответственно, $\mathcal{M}_f$ вместо $\mathcal{M}_{\{f\}}$) и говорим о \emph{главном симметричном} (соответственно, \emph{главном мажорантном}) идеале, \emph{порождённом} $f.$ Если $\mathcal{A}$ -непрерывная $\sigma$-подалгебра $\sigma$-алгебры $\Lambda$, то, избегая недоразумений, мы используем символ $(\mathcal{A})\mathcal{N}_X\ \Big(\textrm{соответственно},\ (\mathcal{A})\mathcal{M}_X\Big)$ для обозначения симметричного $\Big($соответственно, мажорантного $\Big)$ идеала в $L^1(\Omega,\mathcal{A},\mu)$, порождённого множеством $X\subseteq L^1(\Omega,\mathcal{A},\mu)$.\\

\textbf{Лемма 0.12.} Пусть $(\Omega,\Sigma,\mu)$ - непрерывное вероятностное пространство. Для любого множества $\mathfrak{X}=\{X_\gamma\}_{\gamma\in \Gamma}$ идеалов $X\subseteq L^1((\Omega,\Sigma,\mu))$ и для любой функции $f\in L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$ справедливы соотношения
$$\begin{cases}\mathcal{N}_{\sum_{\gamma\in \Gamma}X_\gamma}=\sum_{\gamma\in \Gamma}\mathcal{N}_{X_\gamma};\\
 \mathcal{N}_f=\sum_{\bar{f}\sim f}\mathcal{N}_{\bar{f}}.\end{cases}\eqno(_0.10_{\mathcal{N}})$$
$$\begin{cases}\mathcal{M}_{\sum_{\gamma\in \Gamma}X_\gamma}=\sum_{\gamma\in \Gamma}\mathcal{M}_{X_\gamma};\\
 \mathcal{M}_f=\sum_{\bar{f}\sim f}\mathcal{M}_{\bar{f}}.\end{cases}\eqno(_0.10_{\mathcal{M}})$$
$\Box$\\

Леммы 0.1 и 0.2 позволяют дать для главного с.и. $\mathcal{N}_f$ (соответственно, главного м. и. $\mathcal{M}_{\{f\}}$) следующее однотипное описание:\\

\textbf{Лемма 0.13.} Для любой функции $g\in L^1(I)$ справедливы равенства
$$\begin{cases}\mathcal{N}_g=
\mathcal{N}_f=\{z\in L^1(I):\ \textrm{существует}\ q=q(z)>1,\ \textrm{такое что}\ z^*\leq q\rho_{q^{-1}}f^*\}\\

\mathcal{M}_f=\{z\in L^1(I):\ \textrm{существует}\ q=q(z)>1,\ \textrm{такое что}\ z^{**}\leq q\rho_{q^{-1}}f^{**}\}\\

\mathcal{M}_f=\{z\in L^1(I):\ \textrm{существует}\ q=q(z)>1,\ \textrm{такое что}\ z^{**}\leq qf^{**}\}.\\
\end{cases}\eqno(_0.11)$$

Именно в смысле первого равенства мы употребляем впредь обозначение $\mathcal{N}_f$ (причём даже и тогда, когда
измеримая функция $f\in L^0(I)$ суммируемой не является).\\

\textbf{Лемма 0.14.} Для любого счётного разбиения $\mathcal{F}$ и любой функции $f\in L^1(I)$ справедливы равенства
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\sum_{\hat{f}\sim f,\ \mathcal{\hat{F}}\sim \mathcal{F}}\mathcal{N}_{E(\hat{f}|\mathcal{\hat{F}})},
\ \mathcal{M}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\sum_{\hat{f}\sim f,\ \mathcal{\hat{F}}\sim \mathcal{F}}\mathcal{M}_{E(\hat{f}|\mathcal{\hat{F}})}. \eqno(_0.12)$$
$\Box$\\

\textbf{Замечание 0.15.} Из лемм 0.12 и 0.13 вытекает, что всякий с..и. $X$ (всякий м.и. $Y$), $\stackrel{e}{\sim}$\emph{эквивалентный} главному с.и. $\mathcal{N}_f$ (соответственно, главному м.и. $\mathcal{M}_g$), сам является главным с.и. $\mathcal{N}_{\bar{f}}$ (соответственно, главным м.и. $\mathcal{M}_{\bar{g}}),$ где $\bar{f}\sim f,\ \bar{g}\sim g.$ При этом из леммы 0.14 следует, что, если $\mathcal{N}_f$ усредняется счётным разбиением $\mathcal{F}$, то $\mathcal{N}_{\bar{f}}$ усредняется счётным разбиением $\mathcal{\check{F}}$, равноизмеримым с $\mathcal{F}$.\\
$\Box$\\


Последнее равенство в $(_0.11)$ показывает, что порождённый $f$ главный м.и. $\mathcal{M}_f$ по составу элементов совпадает с с.п., называемым \emph{пространством Марцинкевича} $\textsl{M}_f$, \cite{4}. По заданной $f\in L^1(I)$ с.п.  $\textsl{M}_f$ определяется как
$$\textsl{M}_f:=\{x\in L^1(I):\ \|x\|_{\textsl{M}_f}:=\sup_{t\in I}\frac{x^{**}(t)}{f^{**}(t)}<\infty\}.\eqno(_0.13)$$
(Отсюда видно, что всякое пространство Марцинкевича есть строго мажорантное с.п.).\\

\textbf{Лемма 0.16.} (\cite{4}). Для любых функций $x,y\in\textsl{M}_f$ справедливо неравенство
$$\|x^*-y^*\|_{\textsl{M}_f}\leq \|x-y\|_{\textsl{M}_f}.$$
$\Box$\\

Замыкание с.и. $\mathcal{N}_f$ в $\textsl{M}_f$ по норме $\|\cdot\|_{\textsl{M}_f}$ обозначается $\textsl{M}_f^1$, \cite{16}.\\



\newpage


\centerline{\textbf{§1. Главные симметричные и мажорантные идеалы,}}
\centerline{\textbf{порождённые слабо регулярными и регулярными функциями}}.
\centerline{\bf {\cite{23},\ \cite{26},\ \cite{31},\ \cite{34},\ \cite{36}}}
\bigskip

\emph{В этом параграфе рассматриваются свойства регулярности и слабой регулярности функций, порождающих главные симметричные и мажорантные идеалы. \\
}

\bigskip

Для $s>0$ обозначим $\hat{s}:=\max[s,s^{-1}]$ \Big(так что  $\hat{s}^{-1}=\min[s,s^{-1}]$\Big).\\

\textbf{Лемма 1.1.} Для произвольной функции $f,\ f\in L^1(I),$ порождённый ею главный с.и. может быть определён формулой
 $$\mathcal{N}_f=\{x\in L^1:n_f(x)<\infty\},\ \textrm{где}\   n_f(x):=\inf_{s>0}\{x^*(t)\leq \hat{s}\cdot f^*(\hat{s}^{-1})\cdot t),\ t\in I\}.$$

Перечислим очевидные свойства модуляры $n_f$. Для любых $x,y\in L^1(I)$ и любого вещественного $r,\ r\neq 0,$ справедливо
$$1).\ n_f(x)\geq 0;\ n_f(x)=0\Leftrightarrow x=0;\ 2).\ n_f(r\cdot x)\leq \hat{|r|}n_f(x);$$
$$3).\ n_f(x+y)\leq 2\cdot [n_f(x)+ n_f(y)];$$
$$4).\ n_f(y)\leq n_f(x),\ \textrm{если}\ |y|\leq |x|;\ 5).\ n_f(x)=n_f(y),\ \textrm{если}\ x\sim y.$$
Тем самым модуляра $n_f$ монотонна и симметрична на $\mathcal{N}_f$, и имеет счётный базис окрестностей нуля
$U_k=\{x:\ x^*(t)\leq \max[ 2^k,2^{-k}]\cdot f^*(\min[ 2^k,2^{-k}]\cdot t),\ t\in I\},\ k=0,\pm 1,\pm 2, ...\ .$\\

\textbf{Лемма} 1.2. Модуляра $n_f$ обладает свойством Леви-Фату. Иными словами, \\

$6).$ \emph{Если неубывающая последовательность неотрицательных функций $\{x_k\},\ \{x_k\}\subseteq\mathcal{N}_f,$ такова что $C:=\sup_{k\geq 0}n_f(x_k)<\infty,$ то} $\sup_{k\geq 0}x_k\in \mathcal{N}_f.$\\

$7).$ Модуляра $n_f$ полна на $\mathcal{N}_f$.\\

\emph{Доказательство.} Обозначим $\sup_{k\geq 0}x_k:=x,\ \sup_{k\geq 0}x^*_k:=\bar{x}.$ Очевидно, $\bar{x}$ есть измеримая невозрастающая функция, удовлетворяющая неравенству $\bar{x}(t)\leq C\cdot f^*(C^{-1}\cdot t),\ t\in I.$ Тем самым $\bar{x}\in\mathcal{N}_f\ \textrm{и}\ n_f(\bar{x})\leq C.$ Но $\bar{x}\sim x$, \cite{12}, откуда $x\in\mathcal{N}_f\ \textrm{и}\ n_f(x)\leq C.$ На основании \cite{5} из $6)$ следует $7).$ \\
$\Box$\\

\textbf{Определение 1.1.} 1. Функция $f,\ f\in L^1(I),$ называется \emph{слабо регулярной}, если найдётся константа $C=C(f)>0$, такая что $$f^*(\frac{t}{2})\leq C\cdot f^*(t),\ t\in I.$$
2. Функция $f,\ f\in L^1(I),$ называется \emph{регулярной}, если найдётся константа $K=K(f)>0$, такая что $f^{**}(t)\leq K\cdot f^*(t),\ t\in I.$\\
$\Box$\\

Очевидно, что условие слабой регулярности функции $f$ равносильно тому, что для любой константы $0<c<1$ найдётся константа $C>0$, такая что $\rho_cf^*(t)\leq C\cdot f^*(t),\ t\in I.$ Поэтому для  слабо регулярной функции $f$ справедливо равенство $$\mathcal{N}_f=\{z\in L^1(I,\Lambda,\lambda):\ z^*\leq q\cdot f^*\ \textrm{для подходящего}\ q=q(z),\ q>0\},\eqno (_1.1)$$
и равенство $$n_f(x)=\inf\{s>0:x^*(t)\leq s\cdot f^*(t)\}.\eqno(_1.2)$$

Пусть $f=f^*\in L^1(I),\ \psi(t)=\int_0^tfd\lambda,\ t\in I,\ \textsl{M}_\psi$ - пространство Марцинкевича со своей нормой $\|\cdot\|_{\textsl{M}_\psi},$ см.$(_0.12)$. Рассмотрим функцию от $s,\ s\in I,$ \\

$\|\rho_s\|_{\textsl{M}_\psi\rightarrow \textsl{M}_\psi}=\sup\{\|\rho_sx\|_{\textsl{M}_\psi\rightarrow \textsl{M}_\psi} :\ \|x\|_{\textsl{M}_\psi,}=1\}$.\\

\textbf{Лемма} 1.3. Для $s\in I$ справедливо равенство $\|\rho_s\|_{\textsl{M}_\psi\rightarrow \textsl{M}_\psi}=\|\rho_sf\|_{\textsl{M}_\psi}$.\\
%$\Omega_f(s)=n_f(\rho_sf),$


\emph{Доказательство}. Для любого $x\in \textsl{M}_\psi,\  \|x\|_{\textsl{M}_\psi}=1,$ в силу леммы 0.2 имеем $\int_0^t(\rho_sx)^*d\lambda=\int_0^t\rho_sx^*d\lambda\leq \int_0^t\rho_sfd\lambda$. Лемма следует  из того, что $\|f\|_{\textsl{M}_\psi}=1$ .\\
$\Box$\\


\textbf{Теорема} 1.4. Для любого $f\in L^1(I)$ следующие условия равносильны.\\

$\imath)$. На $\mathcal{N}_f$ можно задать норму $||\cdot||$, эквивалентную квазинорме  $n_f$;\\

$\imath\imath).$ Главный симметричный идеал $\mathcal{N}_f$ совпадает с главным мажорантным идеалом $\mathcal{M}_f$;\\

$\imath\imath\imath)$.\  Любая $\sigma$-подалгебра в $\Lambda$ усредняет главный симметричный идеал $\mathcal{N}_f$;\\

$\imath v)$. $\textrm{Функция}\ f \ \textrm{регулярна},$ иными словами $f^{**}\in \mathcal{N}_f.$\\

$v).\ \textrm{Найдутся константы}\ k>0\ \textrm{и}\ p\in (0,1),\ \textrm{такие что}\ \|\rho_s \|_{M_\psi\rightarrow M_\psi}\leq k\cdot s^{-p},\ 0<s\leq 1.$\\

$v\imath).\ \liminf_{t\rightarrow 0}\frac{\psi(2t)}{\psi(t)}>1.$\\

\emph{Доказательство.} $\imath)\Rightarrow\imath\imath).$ Пусть $||\cdot||\simeq n_f$ на $\mathcal{N}_f$ и пусть $G$ обозначает выпуклую и ограниченную окрестность нуля в топологии квазинормы $n_f$, такую что $G$ есть единичный шар в смысле нормы $||\cdot||$. Тогда $\sup\{n_f(g):\ g\in G\}:=C<\infty.$ Положим $H=\{h\in \mathcal{N}_f:\ |h|\leq |g|\ \textrm{для подходящего}\   g\in G \}$ и обозначим через $F$ выпуклую оболочку $H$. Имеем: $\sup\{n_f(x):\ x\in F\}\leq 2\cdot C, \textrm{поскольку} \sup\{n_f(x):\ x\in H\}\leq C.$ Тем самым множество $F$ - выпуклая и ограниченная окрестность нуля в топологии квазинормы $n_f$. Стандартные рассуждения показывают, что $F$ порядково идеальное множество. Поэтому функционал Минковского множества $F$,
\cite{10}, порождает на $\mathcal{N}_f$ монотонную норму $||\cdot ||'$, эквивалентную квазинорме $n_f$. Эта норма полна и обладает свойством Леви-Фату, а такое симметричное пространство всегда мажорантно (см., например, \cite{12}). Таким образом $\mathcal{N}_f$ - мажорантный идеал, тем самым по определению $\mathcal{N}_f=\mathcal{M}_f$. Импликация доказана.\\

Обратная импликация $\imath\imath)\Rightarrow\imath)$ следует из полноты и монотонности как нормы $||\cdot||_{\textsl{M}_\psi}$ на $\mathcal{M}_f$, так и квазинормы $n_f$ на $\mathcal{N}_f$.\\

Равносильность $\imath\imath)\Leftrightarrow\imath v)$ в одну сторону тривиальна, а в другую доказана ниже при доказательстве импликации $\imath\imath\imath)\Rightarrow\imath v).$ .\\

$\imath\imath)\Rightarrow \imath\imath\imath).$ Если $\mathcal{N}_f=\mathcal{M}_f$, то $\mathcal{N}_f$ как м.и. усредняется любой $\sigma$-подалгеброй в $\Lambda$, ибо усреднение функции содержится в её орбите.\\

Доказываем импликацию $iii)\Rightarrow iv).$\\

Допустим, что для $f=f^*\in L^1(I)$  включение $f^{**}\in\mathcal{N}_f$ не выполняется. Мы построим такое и.р. $\mathcal{W}$, что $E(f|\mathcal{W})\notin \mathcal{N}_f$ и тем самым придём к противоречию.\\

По определению главного с.и. $\mathcal{N}_f$ из того, что $f^{**}\notin\mathcal{N}_f$, вытекает, что найдётся последовательность $\{t_n\}\subseteq I,\ t_{n+1}<t_n,\ n\geq 1,\ t_1=1,$ такая, что для любого $m\geq 1$
$$\sup_n\frac{f^{**}(t_n)}{f(\frac{t_n}{m})}=\infty.$$
Отсюда следует, что для подходящей последовательности $\{n_m\},\ n_1=1,$ натуральных чисел справедливо
$$1<c_m:=\frac{f^{**}(s_m)}{f(\frac{s_m}{m})}\uparrow\infty,$$
где $s_m=t_{n_m},\ m\geq 1,\ s_1=t_{n_1}=1.$\\

Зафиксируем $\varepsilon,\ 0<\varepsilon<c_1.$ На интервале $(0,s_1)$ рассмотрим непрерывную неубывающую функцию
$$c_1-\varepsilon<J_1(u):=\frac{(s_1-u)^{-1}\int_u^{s_1}fd\lambda}{f(\frac{s_1}{1})}.$$
Найдётся точка $s_{m_2},\ s_{m_2}<\frac{s_1}{2}$, такая что
$$\frac{(s_1-s_{m_2})^{-1}\int_{s_{m_2}}^{s_1}fd\lambda}{f(\frac{s_1}{1})}>c_1-\varepsilon.$$
Полагая, что последовательность точек $\{s_{m_j}\},\ s_{m_j}<\frac{s_{m_{j-1}}}{2},\ j=2...,k,$ построена таким образом, что $$\frac{(s_{m_j}-s_{m_{j-1}})^{-1}\int_{s_{m_{j-1}}}^{s_{m_j}}fd\lambda}{f(\frac{s_{m_j}}{m_j})}>c_{m_j}-\varepsilon,$$
введём на интервале $(0,s_{m_k})$ непрерывную неубывающую функцию
$$J_{k+1}(u):=\frac{(s_{m_k}-u)^{-1}\int_u^{s_{m_k}}fd\lambda}{f(\frac{s_{m_k}}{m_k})}$$
и выберем точку $s_{m_{k+1}}<\frac{s_{m_k}}{2}$, такую что
$$\frac{(s_{m_k}-s_{m_{k+1}})^{-1}\int_{s_{m_{k+1}}}^{s_{m_k}}fd\lambda}{f(\frac{s_{m_k}}{m_k})}>c_{m_k}-\varepsilon.$$
Поскольку для определённой по индукции последовательности $\{s_{m_k}\}_k$ справедливо $s_{m_k}\downarrow 0,$ то, полагая $w_k:=s_{m_k},\ k\geq 1,$ получим, что и.р. $\mathcal{W}=(w_k)$ не усредняет $\mathcal{N}_f$.\\

Равносильность $\imath v)\Leftrightarrow v)$ доказана в \cite{2}.\\

$\imath v)\Rightarrow v\imath)$. Допустим, что найдётся константа $C\geq 1$, такая что $f^{**}\leq Cf$. Тогда для функции $\psi(t):=\int_0^tfd\lambda,\ t\in I,$ можно записать:
$$\frac{\psi(t)}{\psi(t/2)}=\frac{\int_0^tfd\lambda}{\int_0^{t/2}fd\lambda}=1+\frac{\int_{t/2}^t fd\lambda}{\int_0^{t/2}fd\lambda}\geq 1+\frac{f(t)}{f^{**}(t/2)}\geq 1+\frac{f(t)}{2f^{**}(t)}\geq 1+\frac{f(t)}{2Cf(t)}=1+\frac{1}{2C},$$
что и доказывает импликацию. \\
Докажем обратную импликацию: $v\imath)\Rightarrow\imath v).$ Поскольку $f^*(t)\geq \ 1/t \int_t^{2t}f^*d\lambda,\ t\in (0,2^{-1}],$ импликация вытекает из соотношений $$\liminf_{t\rightarrow 0}\frac{_{\int_t^{2t}f^*d\lambda}}{\psi(t)}>0\Leftrightarrow \limsup_{t\rightarrow 0}\frac{\psi(t)}{\int_t^{2t}f^*d\lambda}<\infty\Leftrightarrow\limsup_{t\rightarrow 0}\frac{f^{**}(t)}{1/t\int_t^{2t}f^*d\lambda}<\infty\Rightarrow$$
$$\Rightarrow\limsup_{t\rightarrow 0}\frac{f^{**}(t)}{f^*(t)}<\infty,$$
что и означает выполнение условия $\imath v)$.\\

Равносильность $v\imath)\Leftrightarrow\imath)$ следует из того, что $\imath v)\Leftrightarrow v\imath),\ \imath\imath)\Leftrightarrow\imath v)$ и $\imath\imath)\Leftrightarrow\imath)$.\\
$\Box $\\

\textbf{Следствие} 1.5. Функция $f=f^*\in L^1(I)$ является регулярной, тогда и только тогда, когда регулярной является функция $f^{**}.$\\

\emph{Доказательство.} То, что регулярна $f^{**},$ если регулярна $f$, очевидно. Докажем обратное. Обозначим $\psi^{**}(t):=\int_0^tf^{**}d\lambda,\ t\in I$, и отметим, что по теореме 1.4 $\imath v)\ f^{**}\in \textsl{M}_\psi$, поэтому найдётся $c>0,$ такое что $c^{-1}\|x\|_{\textsl{M}_\psi}\leq\|x \|_{\textsl{M}_{\psi^{**}}}\leq c\|x\|_{\textsl{M}_\psi}$ для всякого $x\in \textsl{M}_\psi$. Далее по монотонности нормы $\|\cdot\|_{\textsl{M }_\psi}$, поскольку $f=f^*\leq f^{**}$ и в силу леммы 1.3 и теоремы 1.4.v) для подходящих $k>0$ и $p\in (0,1)$ получаем:
$$\|\rho_s \|_{M_\psi\rightarrow M_\psi}=\|\rho_sf\|_{M_\psi}\leq \|\rho_sf^{**}\|_{M_\psi}\leq c\|\rho_sf^{**} \|_{\textsl{M}_{\psi^{**}}}=c\|\rho_s\|_{\textsl{M}_{\psi^{**}}\rightarrow\textsl{M}_{\psi^{**}}}\leq c\cdot ks^{-p},\ s\in I.$$
Теперь вновь применима теорема 1.4.v), согласно которой $f$ регулярна.\\
$\Box$\\

В  \cite{26},\cite{34} рассматривался вопрос о связи свойств слабой регулярности и регулярности суммируемых функций на $I$.\\

\textbf{Теорема} 1.6.\\

1). Для любой функции $f\in L^1(I)$ и любого $\varepsilon>0$ существует слабо регулярная функция $g\in L^1(I)$,  такая что $\mathcal{M}_f=\mathcal{M}_g$ и при этом
$$g^*(t/2)\leq (2+\varepsilon)\cdot g^*(t),\ t\in I.$$
2). Для функции $f=f^*\in L^1(I)$ существует эквивалентная ей функция $g=g^*$, такая что
$$g^*(t/2)\leq 2\cdot g^*(t),\ t\in I,$$
тогда и только тогда, когда $f\simeq h^{**}$ для некоторой функции  $h=h^*\in L^1(I)$.\\

3). Для функции $f\in L^1(I)$ существуют функция $g\in L^1(I)$ и $\varepsilon,\ 0<\varepsilon<2$ ,  такие что $\mathcal{M}_f=\mathcal{M}_g$ и при этом
$$g^*(t/2)\leq (2-\varepsilon)\cdot g^*(t),\ t\in I,$$
тогда и только тогда, когда $f^*\simeq f^{**}$, то есть когда $f$ - регулярная функция.\\

\emph{Доказательство.} Доказывем утверждение 1). Не умаляя общности, можно считать функцию $f^*\ \mathcal{D}$-измеримой: $f^*(t)=\sum_{n\geq 1}a_n\cdot \textbf{1}_{D_n}.$\\

Запишем $f^*$ в виде $f^*=\sum_{n\geq 0}b_n\cdot f_n$, где $f_n=\textbf{1}_{(0,2^{-n}]},\ n\geq 0,$ зафиксируем $\varepsilon>0$ и положим $c=2+\varepsilon.$ Определим множество $\Phi(c):=\{g=g^*\in L^1(I):\ g^*(t/2)\leq c\cdot g^*(t),\ t\in I\}$ и отметим его следующие очевидные свойства:\\

a). $g_1,g_2\in\Phi(c),\ \alpha_1,\alpha_2>0\Rightarrow \alpha_1\cdot g_1+\alpha_2\cdot g_2\in\Phi(c);$\\

b). Если последовательность $\{g_n\}\subset\Phi(c)\ \textrm{и }\ g_n\uparrow x\in L^1(I),\ \textrm{то}\ x\in\Phi(c).$\\

Положим теперь $g_0=1$ и далее\\
$$g_n(t):=\begin{cases}1, &\mbox{если}\ 0<t\leq 2^{-n};\\
c^{k-n},& \mbox{если}\ 2^{-k-1}<t\leq 2^{-k}: k=0,1,...,n-1, \end{cases}t\in (0,1],$$

$n=1,2,...$ и определим $g:=\sum_{n\geq 0}b_n\cdot g_n.$ По построению $g_n\in\Phi(c), $ значит, согласно a) и b), $g\in\Phi(c).$ Кроме того, очевидные неравенства $f_n\leq g_n,\ n\geq 1,$ влекут, что $f^*\leq g$, откуда следует включение $\mathcal{M}_f\subseteq \mathcal{M}_g.$ Если теперь мы установим, что
$$\int_0^tgd\lambda\leq\frac{c-1}{c-2}\int_0^tfd\lambda,\ t\in I,\eqno(_1.3)$$
то будет доказано обратное включение и тем самым п.1) теоремы 1.6.\\

Поскольку для любого $ t\in I$ выполняются равенства
$$\int_0^tgd\lambda=\sum_{n\geq 0}b_n\int_0^tg_nd\lambda;\ \int_0^tfd\lambda=\sum_{n\geq 0}b_n\int_0^tf_nd\lambda,$$
то (1.3) следует из неравенств
$$\int_0^tg_nd\lambda\leq \frac{c-1}{c-2}\int_0^tf_nd\lambda,\ n\geq 0,$$
к доказательству которых мы переходим. \\

По определению имеем
$$\int_0^tf_nd\lambda=\begin{cases} t, &\mbox{при}\ 0<t\leq 2^{-n};\\
2^{-n},& \mbox{при}\ 2^{-n}<t\leq 1. \end{cases}. $$

$$\int_0^tg_nd\lambda=\begin{cases} t &\mbox{при}\ 0<t\leq 2^{-n};\\
2^{-n}+c^{-1}(t-2^{-n})& \mbox{при}\ 2^{-n}<t\leq 2^{-n+1};\\
2^{-n}+c^{-1}2^{-n}+c^{-2}(t-2^{-n+1})& \mbox{при}\ 2^{-n+1}<t\leq 2^{-n+2};\\
........................................\\
2^{-n}+c^{-1}2^{-n}+c^{-2}(t-2^{-n+1})+...+c^{-n}(t-2^{-1})& \mbox{при}\ 2^{-1}<t\leq 1.
\end{cases}. $$

Таким образом. $\int_0^tg_nd\lambda=\int_0^tf_nd\lambda$, если $0<t\leq 2^{-n},$ и
$$\int_0^tg_nd\lambda=2^{-n}[1+c^{-1}(1+2/c+2^2/c^2+...)]=2^{-n}\frac{c-1}{c-2}=\frac{c-1}{c-2}\int_0^tf_nd\lambda,$$
где $2^{-n}<t\leq 1.$  Утверждение 1) теоремы 1.6 доказано.\\

2). По лемме 0.1 для всякой функции $h\in L^1(I)$
выполняется неравенство $h^{**}(t/2)\leq 2 h^{**}(t),\ t\in I,$ откуда утверждение 2) следует в одну сторону. Обратно, пусть $f^*\simeq g^*$, где функция $g^*\in L^1(I)$ такая, что $g^*(t/2)\leq 2\cdot g^*(t),\ t\in I.$  Не умаляя общности, можно считать, что $g^*\ \mathcal{D}$-измеримая функция: $g^*(t)=\sum_{n\geq 1}a_n\cdot \textbf{1}_{D_n}:\ D_n=(2^{-n},2^{-n+1}],\ 0<a_0\leq a_1\leq...\leq a_n\uparrow \infty,\ \sum_{n\geq 1}2^{-n}a_n<\infty.$ Неравенства $a_{m+n}\leq 2^ma_n,$ справедливые для функции $g^*$ при любых $m,n\geq 1$, гарантируют выполнение условия $t_0g^*(t_0)\leq 4t_1g^*(t_1)$ при любых $0<t_0\leq t_1\leq 1.$\\

Положим $\varphi(0)=0,\ \varphi(t)=tg^*(t)$ при $0<t\leq 1$ и  $\varphi(t)=tg^*(1)$ при $t>1.$ В силу предидущих неравенств для $g^*$ функция $\varphi$ квазивогнута на полуоси $[0,\infty)$ и эквивалентна там своей наименьшей вогнутой мажоранте
$$\tilde{\varphi}:\ 2^{-1}\tilde{\varphi}\leq\varphi\leq\tilde{\varphi},\eqno(_1.4)$$
\cite{20}. Так как $\lim_{t\rightarrow 0}\tilde{\varphi}(t)=\lim_{n\rightarrow \infty}2^{-n}a_n=0,$ то и $\lim_{t\rightarrow 0}\varphi(t)=0.$ Тогда вогнутая функция $\tilde{\varphi}$ на промежутке $[0,1]$ записывается в виде $\tilde{\varphi}(t)=\int_0^thd\lambda,$ где $h=h^*\in L^1(I,\Lambda,\lambda).$. Теперь из $(_1.4)$ выводим, что $f^*(t)\simeq g^*(t)\simeq\frac{\varphi(t)}{t}\simeq \frac{\tilde{\varphi}(t)}{t}=h^{**},\ t\in I.$ Утверждение 2) теоремы 1.6 доказано.\\

3). Если обозначить $\psi(t)=tf^{**}(t),\ t\in I,$ то по теореме 1.4 получим, что эквивалентность $f^*\simeq f^{**}$ равносильна выполнению условия $\liminf_{t\rightarrow 0}\frac{\psi(t)}{\psi(t/2)}>1,$ или, по другому, $\liminf_{t\rightarrow 0}\frac{f^{**}(t) t}{f^{**}(t/2) t/2 }>1,\ t\in I.$ Заменяя при надобности $f$ эквивалентной ей функцией и подбирая подходящее $0<\delta<1,$ можно переписать последнее неравенство как $\frac{f^{**}(t)t}{f^{**}(t/2)t/2 }>1+\delta,\ t\in I,$ т.е. $f^{**}(t/2)\leq \frac{2}{1+\delta}f^{**}(t),\ t\in I.$ Переобозначая константы, получаем: $f^{**}(t/2)\leq 2(1-\varepsilon)f^{**}(t),\ t\in I,\ 0<\varepsilon<1.$ Теорема 1.6 доказана полностью.\\
$\Box$\\

\textbf{Следствие} 1.7. Пусть $f$ любая функция из $L^1(I)$. Для всякого $\gamma,\ 0<\gamma<1,$ найдётся функция $g\in L^1(I)$, такая что $\mathcal{M}_g=\mathcal{M}_f$ и при этом функция $h:=g^\gamma$ регулярна.\\

\emph{Доказательство.} В соответствие с теоремой 1.6.1) подберём $\varepsilon$, такое что при некотором $\delta,\ 0<\delta<1,$ справедливо неравенство  $(2+\varepsilon)^\gamma< 2-\delta.$ Тогда, если слабо регулярная функцию $g=g^*\in L^1(I)$ такова, что $\mathcal{M}_g=\mathcal{M}_f$ и $g(t/2)\leq (2+\varepsilon)g(t),\ t\in I,$ то, полагая $h=g^\gamma,$ получим
$$h(t/2)=[g(t/2)]^\gamma\leq (2+\varepsilon)^\gamma[g(t)]^\gamma< (2-\delta)h(t),\ t\in I,$$
и остаётся воспользоваться критерием 3) теоремы 1.6.\\

\textbf{Теорема} 1.8. Функция $f\in L^1(I)$ регулярна, тогда и только тогда, когда любая такая функция $g$, что $\mathcal{M}_g=\mathcal{M}_f$ слабо регулярна.\\

\emph{Доказательство.} Пусть $f$ регулярна. По теореме 1.4 равенство $\mathcal{M}_g=\mathcal{M}_f$ влечёт, что неравенства  $\liminf_{t\rightarrow 0}\frac{\psi_g(2t)}{\psi_g(t)}>1$ и $\liminf_{t\rightarrow 0}\frac{\psi_f(2t)}{\psi_f(t)}>1$ могут выполняться лишь одновременно. Значит и $g$ регулярна, а значит и слабо регулярна.\\

Для доказательства теоремы в обратную сторону рассмотрим дополнительную конструкцию.

Зафиксируем функцию $h=h^*\in L^1,\ \int_0^1hd\lambda=1,$ положим $\psi_h(t)=\int_0^thd\lambda,\ t\in I,$ и для всякого $n\geq 1$ обозначим\\

$q_h(n):=$ \emph{количество точек последовательности }$\{\psi_h(2^{-k})\}_{k\geq 1}$, \emph{содержащихся в двоичном промежутке}  $D_n=(2^{-n},2^{-n+1}].$\\

Из вогнутости функции $\psi_h$ следует, что $q_h(n)\geq 1,\ n\geq 1.$ Очевидно, что из равенств $q_g(n)=q_h(n),\ n\geq 1,$  для функций $g=g^*\in L^1(I)$ и $h=h^*\in L^1(I)$ следует, что $\mathcal{M}_g=\mathcal{M}_h.$\\

\textbf{Лемма} 1.9. Для любой последовательности $\{q_n\}_{n\geq 1}$ положительных целых чисел найдётся функция $g=g^*\in L^1(I,\Lambda,\lambda)$, такая что $q_n=q_g(n),\ n\geq 1.$\\

\emph{Доказательство. } Допустим, что на каждом $D_n$ построена система точек $\{u_i^n:\ 2^{-n}<u^n_{q_n}<...<u^n_1\leq 2^{-n+1};\ n\geq 1\}$ таким образом, что при их линейной  нумерации в порядке следования на $I$ от точки $1$ к точке $0$ получается строго убывающая к нулю последовательность $\{v_k\}_{k\geq 0},$ причём
$$v_0=1,\ v_k-v_{k+1}\geq \frac{v_{k-1}-v_k}{2},\ k\geq 1.\eqno(_1.5) $$
Из $(_1.5) $ следует, что $\mathcal{D}$-измеримая функция $g$, определённая равенством
$$g(t):=\sum_{k\geq 1}2^k(v_{k-1}-v_k)1_{D_k}(t),\ t\in I,\eqno(_1.6)$$
содержится в $L^1(I)$, неотрицательна и невозрастает на $I$.  Кроме того, справедливы равенства
$$\int_0^{2^{-k}}gd\lambda =\sum_{i\geq k+1}2^i2^{-i}(v_{i-1}-v_i)=v_k,\ k\geq 1,\eqno(_1.7)$$
так что, если определить $\psi_g(0)=0$, $\psi_g(t)=\int_0^tgd\lambda,\ t\in I,$ и в качестве последовательности $\{q_n\}$ взять последовательность $\{q_{\psi_g}(n)\}$, то придём к равенству $\mathcal{M}_g=\mathcal{M}_f.$ \\

Для построения по последовательности $\{q_n\}=\{q_f(n)\}$ системы точек $\{u_i^n\}$ введём следующую терминологию. Назовём двоичный полусегмент $D_n$ \emph{одноточечным}, если $q_n=1$ и \emph{многоточечным} в противном случае. Максимальный по включению элемент в множестве всех последовательностей вида $\{(D_n,D_{n+1},...,D_{n+l-1}):\ q_n=q_{n+1}=q_{n+l-1}=1,\ l\geq 1\}$ \emph{назовём одноточечным блоком длины} $l$. Полусегмент $D_{n-1}$ назовём \emph{начальным} для этого блока. Рассмотрим теперь расстановку точек $\{u_i^n\}$ для следующих четырёх случаев.\\

$\mathcal{U}_1$. Для одноточечного блока $(D_1,D_2,...,D_l)$ длины $l,\ 1\leq l\leq\infty$ (если такой имеется) положим $u_i^n=2^{-i+1},\ 1\leq i\leq l.$\\

$\mathcal{U}_2$. Построим точки $\{u_i^n\}$ для многоточечного полусегмента $D_n$, не являющегося начальным. Положим $u_i^n=2^{-n}(1+2^{-i+1}),\ 1\leq i\leq q_n.$\\

$\mathcal{U}_3$. Если многоточечный полусегмент $D_n$ является начальным для одноточечного блока $\{D_{n+1},...,D_{n+l-1},...\}$ бесконечной длины, то положим $u_i^n=2^{-n}(1+2^{-i+1}),\ 1\leq i\leq q_n,$ и далее $u_i^{n+i}=u_{q_n}^n\cdot 2^{-i},\ i\geq 1.$\\

$\mathcal{U}_4$. Рассмотрим теперь полусегмент $D_n$, являющийся начальным для одноточечного блока конечной длины $l$. Расставим сперва единственные точки на каждом из полусегментов этого блока: $u_1^{n+i}=2^{-n-i}(1+2^{-l+i-1}),\ i=1,...,l$. Укажем теперь расстановку точек на $D_n$ в зависимости от соотношения между $l$ и $q_n$.

$$u_i^n=\begin{cases} \textrm{если}\ q_n< l+3,\ \textrm{то}\ 2^{-n}(1+2^{-i+1})\ \textrm{при}\ i=1,2,...,q_n-1\ \textrm{и}\       2^{-n}(1+2^{-l-1})\ \textrm{при}\ i=q_n;$$\\
\\     \textrm{если }\ q_n\geq l+3,\ \textrm{то}\ 2^{-n}(1+2^{-i+1}),\ \textrm{при}\ i=1,2,...,q_n.\end{cases}. $$

Очевидно, что множество $\mathcal{U}=\bigcup \{u_i^n\}$ полностью определено правилами расстановки $\mathcal{U}_1 -         \mathcal{U}_4.$ Последовательность точек $\{v_n\}$, полученная как было показано выше из точек $\mathcal{U}$ путём их линейной перенумерации, очевидно, строго убывает к нулю, $v_0=1$. Выполнение неравенств $(_1.5)$ легко проверяется.\\
$\Box$\\

\textbf{Лемма} 1.10 Для того чтобы $\mathcal{D}$-измеримая функция $f=f^*$ была регулярной, необходимо и достаточно, чтобы последовательность $\{q_{\psi_f}(n)\}$ была ограниченной.\\

\emph{Доказательство.} Достаточность. Предположим, что найдётся целое $d$, такое что $\{q_{\psi_f}(n)\}\leq d,\ n\geq 1.$ Для произвольного $t\in (0,2^{-1}]$ выберем $k\geq 1$, такое что $2^{-k-1}<t\leq 2^{-k}$. Пусть  $v_{k-1}\in D_n$. По построению $v_{k-1}-v_k\geq 2^{-n-q_{\psi_f}(n)}$. С другой стороны по $(_1.6)\ f(2t)=f(2^{-k+1})=2^k(v_{k-1}-v_k)$, откуда по $(_1.7)$
$$\psi(t)\leq \psi(2^{-k})=v_k<v_{k-1}\leq 2^{-n+1}\leq 2^{q_{\psi_f}(n)+1}(v_{k-1}-v_k)=2^{q_{\psi_f}(n)+1}2^{-k}f(2t)\leq 2^{d+2}tf(2t);$$
$$\frac{\psi(2t)}{\psi(t)}=1+\frac{\int_t^{2t}fd\lambda}{\psi(t)}\geq 1+\frac{tf(2t)}{\psi(t)}\geq 2^{-d-2},$$
то есть $\liminf\frac{\psi(2t)}{\psi(t)}>1,$ и тем самым $f$ регулярна.\\

Докажем необходимость. Допустим, что $\lim_{k\rightarrow\infty} q_{\psi_f}(n_k)=\infty.$ По построению имеем:
$$u^{n_k}_{q_{\psi_f}(n_k)-1}-u^{n_k}_{q_{\psi_f}(n_k)}\leq 2^{-n_k}2^{-q_{\psi_f}(n_k)+2};\ u^{n_k}_{q_{\psi_f}
(n_ k)}>2^{-n_k};\ u^{n_k}_{q_{\psi_f}(n_k)}-u^{n_k+1}_1\geq 2^{-n_k+3}.\eqno(_1.8)$$
Обозначим $u^{n_k}_{q_{\psi_f}(n_k)}=v_{m_k};\ u^{n_k}_{q_{\psi_f}(n_k)-1}=v_{m_k-1}.$ Из $(_1.8)$ получаем:
$$\frac{\psi(2\cdot 2^{-m_k})}{\psi(2^{-m_k})}=\frac{v_{m_k-1}}{v_{m_k}}=1+\frac{v_{m_k-1}-v_{m_k}}{v_{m_k}}\leq 1+2^{-q_{\psi_f}(n_k)+2},$$
откуда $\liminf\frac{\psi(2t)}{\psi(t)}=1,$ то есть по теореме 1.4 $f$ регулярной быть не может.\\
$\Box$\\

\textbf{Следствие} 1.11. Ввиду $(_0.4)$ условие $\mathcal{D}$-измеримости в лемме 1.10 может быть опущено.\\

Закончим доказательство теоремы 1.8. Напомним, что в предположении $\lim\frac{\psi(2t)}{\psi(t)}=1$ нужно найти функцию $h=h^*\in L^1(I,\Lambda,\lambda)$, не являющуюся слабо регулярной и такую что $\mathcal{M}_h=\mathcal{M}_f,$ где $\psi(t)$  вогнутая функция из доказательства предыдущей леммы, $f(t)=\frac{d\psi}{dt}.$ Покажем, что в качестве такой функции может быть взята сама функция $f$.\\

В обозначениях доказательства необходимости в предыдущей лемме из неравенств $(_1.8)$ для функции $f=f^*$ получаем:
$$\frac{f(2^{-m_k})2^{-m_k-1}}{f(2^{-m_k}+1)2^{-m_k}}=\frac{v_{m_k}-v_{m_k+1}}{v_{m_k-1}-v_{m_k}}\geq \frac{2^{-n_k-3}}{2^{-n_k}2^{-q_{\psi_f}(n_k)+2}}.$$
Тем самым $\frac{f(2^{-m_k})}{f(2^{-m_k+1})}\geq 2^{q_{\psi_f}(n_k)-5}$ и, поскольку в силу леммы 1.11 $\limsup_{k\rightarrow\infty} q_{\psi_f}(n_k)=\infty$, то $f$ не может быть слабо регулярной. Теорема 1.8 доказана полностью.\\
$\Box$\\

\textbf{Замечание 1.12.} 1). Регулярность функции $f$ есть топологический инвариант банахова пространства Марцинкевича $\textsl{M}_f$. Иными словами, если для двух функций $f$ и $g$ справедливо равенство $\mathcal{M}_f=\mathcal{M}_g$ и при этом $f$ регулярна, то и $g$ регулярна.\\
2). Поскольку равенство $\mathcal{N}_f=\mathcal{N}_g$ влечёт равенство $\mathcal{M}_f=\mathcal{M}_g$, то, применив теорему 1.6.3), получим, что если для двух функций $f$ и $g$ порождаемые ими с.и. совпадают и при этом одна из них регулярна, то регулярна и другая.\\

Следующий результат о регулярности сформулирован в терминах операторов усреднения по интервальным разбиениям.\\

\textbf{Теорема 1.13} (ср. с теоремой 5.12). Пусть $f=f^*\in L^1,\ \mathcal{B}=(b_n)$ - некоторое и.р. Следующие условия равносильны.\\

1). $f$ регулярна и $\mathcal{N}_f=\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B})}$;\\

2). Функция $E(f|\mathcal{B})$ регулярна.\\

\emph{Доказательство.}  $1)\Rightarrow 2)$ прямо вытекает из замечания 1.12.2).\\

Доказываем $2)\Rightarrow 1).$ Обозначим $g:=E(f|\mathcal{B})\subseteq \mathcal{M}_f$. Предположим сначала, что $f^{**}\in\mathcal{N}_g$. Тогда $f^{**}\in\mathcal{M}_g\subseteq \mathcal{M}_f,$ откуда по теореме 1.4 следует регулярность $f$. \\

Допустим теперь, что $f^{**}\notin\mathcal{N}_g$. Запишем $g$ в виде $g=\sum_{n\geq 1}\alpha_n1_{(b_n,b_{n-1}]},$ где $\alpha_n=\frac{\int_{b_n}^{b_{n-1}}fd\lambda}{b_{n-1}-b_n},\ n\geq 1.$ Согласно допущению, найдётся последовательность $\{n_k\}_{k\geq 0},\ n_0=0,$ такая что $b_{n_k}\downarrow 0$ и
$$\frac{f^{**}(b_{n_k})}{g(b_{n_k})}\geq 2^k,\ \textrm{или}\ \frac{f^{**}(s_k)}{g(s_k)}\geq 2^k,\ k\geq 0.\eqno (_1.9)$$
где мы, упрощая обозначения, положили $b_{n_k}:=s_k,\ k\geq 0.$ Будем считать, не умаляя общности, что $s_1<2^{-1}.$ Пользуясь неравенствами $(_1.9)$, построим по индукции последовательность $\{k_m\}$ натуральных чисел, такую что для и.р. $\mathcal{U},\ \mathcal{U}=(u_m),$ где $u_0=1,\ u_m=s_{k_m},\ m\geq 1,$ справедливо соотношение $E(f|\mathcal{U})\notin\mathcal{N}_g.$ Так как по определению $\mathcal{U}$ крупнее $\mathcal{B}$, то получаем $E(f|\mathcal{U})=E(g|\mathcal{U})\in\mathcal{M}_g$,
и, поскольку $g$ регулярна, то $\mathcal{M}_g=\mathcal{N}_g$, - противоречие.\\

Положим $k_1=1$ и пусть для $m\geq 1$ натуральное число $k_m$ уже построено. На промежутке $[0,u_m)$ рассмотрим функцию $\Phi,\ \Phi(u):=\frac{(u_m-u)^{-1}\int_u^{u_m}fd\lambda}{g(u_m)}.$ Очевидно, что $\Phi$ невозрастает и непрерывна на $[0,u_m)$, а по $(_1.9)$  $\Phi(0)\geq 2^{k_m}.$ Выберем число $k_{m+1}$ настолько большим, чтобы выполнялись неравенства $k_{m+1}>k_m,\ \Phi(s_{k_{m+1}})>2^{k_m}-1.$\\

Теперь, когда последовательность $\{k_m\}_{m\geq 1}$ построена, положим $v_m=\min[2u_m,\tau_m]$, где $\tau_m$ - ближайшая справа от $u_m$ точка разбиения $\mathcal{B},\ m\geq 1.$\\
Пусть $h=h^*=E(g|\mathcal{U})$. Для монотонных функций $g$ и $h$ по построению выполняются неравенства
$$\frac{h(v_m/2)}{g(v_m)}\geq  2^{k_m}-1,\ m\geq 1.$$
Следовательно, $h(\frac{t}{2})\notin\mathcal{N}_g,$ значит и $h\notin\mathcal{N}_g,$ вопреки теореме 1.4.\\

Значит $f^{**}\in\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B})},$ что, как показано выше, влечёт регулярность $f$. Теперь, поскольку $f^{**}\simeq f,$ получаем равенство $\mathcal{N}_f=\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B})}$.\\
%Итак,  $\mathcal{M}_g=\mathcal{M}_f.$ Но тогда по следствию 1.12 в силу регулярности регулярной является и $f$.\\
$\Box$\\

\textbf{Замечание 1.14.} 1. Отметим, что для любой неограниченной функции $f=f^*\in L^1(I)$ найдётся разбиение $\mathcal{B}$, такое что функция  $E(f|\mathcal{B})$ не является не только регулярной, но даже слабо регулярной.\\
2. Из замечания 1.12.2) видно, что аналогичное теореме 1.13 утверждение верно не только для главных с.и., но и для главных м.и. А именно справедлива\\

\textbf{Теорема 1.13.}$^\prime$ Пусть $f=f^*\in L^1,\ \mathcal{B}=(b_n)$ - некоторое и.р. Следующие условия равносильны.\\

1). $f$ регулярна и $\mathcal{M}_f=\mathcal{M}_{E(f|\mathcal{B})}$;\\

2). Функция $E(f|\mathcal{B})$ регулярна.\\

Функция $f,\ f\in L^1(I),$ называется\emph{ функцией ограниченной вариации на $I$} $\Big(\textrm{обозначение}: f\in BMO(I)\Big)$, если
%найдётся константа $K>0$, такая что для любого промежутка $[a,b]\subseteq I$ выполняется неравенство
$$||f||_{BMO(I)}:=\sup_{[a,b]\subseteq I}|\frac{1}{b-a}\int_a^bf(s)-\frac{1}{b-a}\int_a^bf(u)du|ds< \infty.$$
%Нижняя грань таких констант называется BMO-нормой $||f||_{BMO}$ функции $f$.\\

\textbf{Теорема} 1.15. Для функции $g=g^*\in L^1(I)$ следующие условия равносильны.\\

$(\imath)\ g\in BMO(I);$\\

$(\imath\imath)\ g^{**}(t) - g(t)\leq C,\ t\in I,$ где $0<C$ - константа ;\\

$(\imath\imath\imath)\ g(\frac{t}{2}) - g(t)\leq K,\ t\in I,$ где $0<K$ - константа ;\\

$(\imath v)\ g(t)=\log_2 f(t),\ t\in I,$ где $f=f^*\in L^1(I)$ слабо регулярная функция.\\

\emph{Доказательство.} Равносильность $(\imath)$ и $(\imath\imath)$ доказана в \cite{19}. Для доказательства импликации $(\imath\imath)\Rightarrow(\imath\imath\imath)$ нам понадобится следующее утверждение, являющееся вариантом \emph{закона медиан}, хорошо известного в математической статистике. Его доказательство, которое мы опускаем, легко усматривается из сравнения площадей соответствующих подграфиков.\\

\textbf{Лемма} 1.16. Пусть $g=g^*\in L^1(I).$ Для каждого $t\in I$ выполняется неравенство
$$\min_a\int_0^t|g(s)-a|ds=\int_0^t |g(s)-g(\frac{t}{2})|ds.$$
Пусть выполнено утверждение  $(\imath\imath).$ Тогда $\|g(t)\|_{BMO}<\infty$ в силу $\imath)$, так что, пользуясь определением класса $BMO(I)$ и леммой 1.16, для любого $t\in I$ имеем
$$|g^{**}(t)-g(\frac{t}{2})|=|\frac{1}{t}\int_0^t[g(s)-g(\frac{t}{2})]ds|\leq\frac{1}{t}\int_0^t|g(s)-g(\frac{t}{2})|ds\leq$$
$$\frac{1}{t}\int_0^t|g(s)-\frac{1}{t}\int_0^tg(u)du|ds\leq \|g(t)\|_{BMO}.$$

Отсюда, применяя неравенство треугольника, получаем импликацию $(\imath\imath)\Rightarrow(\imath\imath\imath)$. Далее, если положить $f=\exp_2g$, то с учётом уже доказанных импликаций получим импликацию $(\imath\imath\imath)\Rightarrow(\imath v).$ Остаётся доказать, что из $(\imath v)$ следует $(\imath\imath).$ В силу $(_0.4)$ можно считать, что $f:=\sum_{n\geq 1}\alpha_n\cdot 1_{D_n}$, где $D_n=[2^{-n},2^{-n+1})$ и $1\leq \alpha_1\leq ...\leq \alpha_n\leq \alpha_{n+1}\leq Q\cdot \alpha_n,\ n\geq 1,\ Q>1.$\\

Положим $\beta_n=\log_2\ \alpha_n,\ n\geq 1;\ g=\sum_{n\geq 1}\beta_n\cdot 1_{D_n}.$ Для каждого $n\geq 1$ имеет место неравенство $\beta_{n+1}\leq \tilde{Q}+ \beta_n$, где $\tilde{Q}=\log_2\ Q>0$, откуда получаем
$$g^{**}(2^{-n})=\sum_{k\geq n+1}\beta_k\cdot 2^{-k}\leq\sum_{k\geq 1}
\beta_n\cdot 2^{-k}+\tilde{Q}\cdot\sum_{k\geq 1}k\cdot 2^{-k}=\beta_n+C=g(2^{-n})+C,\ n\geq 1$$
где $C=\tilde{Q}\cdot\sum_{k\geq 1}k\cdot 2^{-k}<\infty.$

Теперь для каждого $t\in D_n$ имеем: $g^{**}(t)\leq g^{**}(2^{-n})\leq g(2^{-n})+C=g(t)+C$.\\
$\Box$\\

\textbf{Следствие} 1.17. Для каждого $g=g^*\in BMO(I)$ при подходящих положительных константах $C_1$ и $C_2$ выполняется неравенство
$$g(t)\leq C_1- C_2\cdot \ \ln\ t,\ t\in I.$$
\emph{Доказательство.} Пусть $g(t)=\log_2\ f(t)$, где $f=f^*\in L^1,\ f(\frac{t}{2})\leq Q\cdot f(t),\ t\in I.$ Не умаляя общности, можно предполагать, что $f(1)=1,$ т.е. $g(1)=0.$ Выберем число $\gamma,\ 0<\gamma<1,$ такое что $Q^\gamma<2$ и положим $h=f^\gamma.$ Так как $h(\frac{t}{2})\leq Q^\gamma\cdot h(t),\ t\in I,$ то по теореме 1.6 мы получаем, что $h$ регулярная функция. Значит для подходящей константы $K>1$ выполняется неравенство $$\frac{h(t)}{\int_0^thd\lambda}\geq \frac{1}{K\cdot t},\ t\in I.$$
Интегрируя это неравенство по $t$ от $s$ до $1$, где $s$ произвольное число, $s\in I,$ получим
$$\ln\ s^{-\frac{1}{K}}\leq \ln\ \frac{\int_0^1hdt}{\int_0^shdt}\ ,$$
откуда $s\cdot h^{**}(s)=\int_0^shd\lambda\leq (\int_0^1hd\lambda)\cdot s^{\frac{1}{K}}.$ Тем самым $f^\gamma(s)=h(s)\leq h^{**}(s)\leq (\int_0^1hd\lambda)\cdot s^{(\frac{1}{K}-1)}$. Остаётся прологарифмировать полученное неравенство и переобозначить константы.\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема} 1.18. Для любой регулярной функции $f=f^*\in L^1(I)$ найдётся показатель $\delta=\delta(f),\ 0<\delta<1$, такой что при подходящей константе $C>0$ справедливы неравенства $f^{**}(t)\leq Ct^{-\delta},\ t\in I.$\\

\emph{Доказательство.} Пусть $f^{**}\leq Kf^*,\ K\geq 1.$ Не умаляя общности, будем считать, что $f$ не равна константе, т.е., что $K>1$. Имеем:
$$f^*(t)[\int_0^tfd\lambda]^{-1}\geq [Kt]^{-1},\ t\in I.$$
Интегрируя это неравенство по промежутку $[r,1]$, где $r$ - любое число из $I$, получим
$$\int_r^1\frac{f^*(t)}{\int_0^tf^*d\lambda}d\lambda \geq K^{-1}\int_r^1\frac{dt}{t}=\ln [(\frac{1}{r})^{\frac{1}{K}}].$$
Записывая левую часть в виде
$$\int_r^1\frac{d\int_0^tf^* d\lambda}{\int_0^tf^* d\lambda}=\ln\frac{\int_0^1f^* d\lambda}{\int_0^rf^* d\lambda},$$
получим, что
$$\frac{\int_0^1f^* d\lambda}{\int_0^rf^* d\lambda}\geq (\frac{1}{r})^{\frac{1}{K}}.$$
Отсюда $f^{**}(r)\leq Cr^{-\delta}$, где $C=\int_0^1f^* d\lambda,\ \delta=1-\frac{1}{K}.$\\
$\Box$\\

\bigskip

\newpage



\bigskip

\centerline{\bf {§2. Две абсолютные константы для перекладывания отрезков.}}
\centerline{\bf {\cite{30}}}

\bigskip

\emph{Вычислены две абсолютные константы для перекладывания на I счётного семейства отрезков в порядке невозрастания их длин от 1 к 0.}\\

Пусть $\vec{a}$ - любой с.в. и пусть и.р. $\mathcal{B}=(b_n)$ и его монотонная перестановка $\mathcal{B}^*=(b^*_n)$ принадлежат стохастическим векторам $\vec{a}$ и $\vec{a}^*,$ соответственно.\\

\textbf{Теорема 2.1.}. "Золотое сечение" $\alpha:=\frac{5^{1/2}+1}{2}$ является наименьшей из всех констант $\delta>1$, удовлетворяющих следующему условию.
$$\begin{cases}\textrm{Для\ любого\ целого}\ n\geq 1\ \textrm{найдётся}\ \textrm{целое}\ m\geq 0,\ \textrm{такое}\ \textrm{что}\\
\delta^{-1}\cdot b^*_m<b_n<\delta\cdot b^*_m.\\
\end{cases}\eqno (_2.1)$$
\emph{Доказательство.} Прежде всего отметим, что для $\alpha$ выполнено равенство
$$\alpha-\alpha^{-1}=1. \eqno (_2.2)$$
Предположим теперь, что "золотое сечение" $\alpha$ не удовлетворяет условию $(_2.1)$ и пусть $\vec{a}=(a_n)$ - тот стохастический вектор, на котором при $\delta=\alpha$ это условие нарушается. Из этого предположения, поскольку неравенства в ($_2.1)$ можно записать как $|\log_{\alpha} b_n - \log_{\alpha} b^*_m|<1$, следует, что найдётся такое целое $N>0$, что для любого целого $m\geq 0$ справедливо неравенство $$|\log_{\alpha}b_N - \log_{\alpha} b^*_m|\geq 1. \eqno (_2.3)$$
Зафиксируем целое $m\geq 0$, такое что
$$b^*_{m+1}<b_N\leq b^*_m. \eqno (_2.4)$$
В силу ($_2.3$) $\alpha b_{m+1}^*\leq b_N\leq \alpha^{-1}b_m^*,$ что вместе с ($_2.2$) даёт $a^*_{m+1}=b^*_m-b^*_{m+1}\geq \alpha b_N-\alpha^{-1}b_N=b_N.$ Отсюда, а также из монотонности стохастического вектора $\vec{\alpha}$ и из расположения точек и.р. $\mathcal{B}$ на $I$ получаем неравенства
$$a_1^*\geq a_2^*\geq...\geq a^*_{m+1}\geq  b_N> a_{N+j},\ j\geq 1. \eqno (_2.5)$$
Обозначим через $\gamma$ такую биекцию натурального ряда, что
$$a_n^*=a_{\gamma(n)},\ n\geq 1. \eqno (_2.6)$$
Из ($_2.5$) и ($_2.6$) следует, что при любых $i=1,...,m+1$, и любых целых $j\geq 1$ справедливо: $a_{\gamma(i)}=a_i^*\neq a_{N+j}.$ Иными словами
$$\gamma(i)\neq N+j,\ i=1,...,m+1;\ j\geq 1. \eqno (_2.7)$$
Наконец, из ($_2.7$) выводим, что $\gamma(i)\leq N,\ i=1,...,m+1.$ Отсюда сразу получаем противоречие с ($_2.4$): $1-b_{m+1}^*=1-b^*_1+b^*_1-b^*_2...+b_m^*-b^*_{m+1}=a_1^*+...+a^*_{m+1}=a_{\gamma(1)}+...+a_{\gamma(m+1)}\leq a_1+...+a_N=1-b_1+b_1-b_2+...+b_{N-1}-b_N=1-b_N.$\\

Итак, $\alpha$ удовлетворяет условию ($_2.1$). Покажем, что для любого $\delta:\ 1\leq\delta<\alpha,$ найдётся стохастический вектор $\vec{a}$, для которого это условие не выполняется.\\

Зафиксируем $\varepsilon,\ 0<\varepsilon<\min [\frac{\alpha-1}{\delta}+\alpha-2,10^{-1}],$ и рассмотрим стохастический вектор с координатами $a_1=2-\alpha, a_2=\alpha-1-\varepsilon,a_n=\varepsilon\cdot 2^{-n+2},\ n\geq 3.$ Простым подсчётом легко убедиться в том, что $a_2>a_1>a_3>a_4>...$; отсюда $a_1^*=\alpha-1-\varepsilon,a_2^*=2-\alpha,a_n^*=a_n,\ n\geq 3.$ Теперь в силу ($_2.2$) имеем: $\delta^{-1}b_0^*=\delta^{-1}>\alpha^{-1}=\alpha-1=b_1=\delta\cdot (\frac{\alpha-1}{\delta}+\alpha-2+2-\alpha)>\delta\cdot(2-\alpha+\varepsilon)=\delta\cdot b_1^*.$\\

Таким образом $\delta^{-1}b_0^*>b_1>\delta b_1^*>\delta b_2^*>...>\delta b_n^*>...,$ и ни для какого целого $m\geq 0$ двойное неравенство $\delta^{-1}b_m^*<b_1<\delta b_m^*$ не выполняется.\\
$\Box$\\

Пусть $\vec{a},\ \vec{a}^*,\ \mathcal{B}=(b_n),\ \mathcal{B}^*=(b^*_n)$ обозначают то же, что и выше. Для функции $f=f^*\in L^1(I)$  введём в рассмотрение три  M-функции: $\psi(t)=\int_0^tfd\lambda;\ \psi_{\mathcal{B}}(t)=\int_0^tE(f|\mathcal{B})d\lambda,\ \psi_{\mathcal{B}^*}(t)=\int_0^tE(f|\mathcal{B}^*)d\lambda,\ t\in I.$\\

Отметим, что если $\delta\geq \alpha,$ то из теоремы 2.1 легко вытекает справедливость неравенства
$$\psi_{\mathcal{B}}(t)\leq \delta\cdot\psi_{\mathcal{B}^*}(t),\ t\in I.\eqno (_2.8)$$
Поэтому, если задаться вопросом о наименьшей константе в ($_2.8$), то естественно предположить, что она равна $\alpha$. Тем любопытнее следующая\\

\textbf{Теорема 2.2}. Наименьшей из всех констант $\delta>1$, удовлетворяющих ($_2.8$), является число $\beta:=4/3<\alpha$.\\

\emph{Доказательство.} Покажем, что константа $\beta$ удовлетворяет условию ($_2.8$). Сначала докажем, что если для числа $4/3$ выполняются неравенства
$$\psi_{\mathcal{B}}(b_n)\leq 4/3\cdot\psi_{\mathcal{B}^*}(b_n),\ n\geq 0, \eqno (_2.9)$$
то выполняется условие ($_2.8$) с $\beta$ вместо $\delta$.\\

 Обозначим $\varphi(t):=4/3\cdot\psi_{\mathcal{B}^*}(b_n),\ b_n<t\leq b_{n-1},\ n\geq 1.$ Из того, что $\varphi(b_n)= 4/3\cdot\psi_{\mathcal{B}^*}(b_n),\ n\geq 0,$ следует, что график вогнутой функции $4/3\cdot\psi_{\mathcal{B}^*}(t)$, соединяющий точки $(b_n,\varphi(b_n))$, должен лежать не ниже графика неубывающей функции $\varphi(t)$, являющегося ломаной, соединяющей те же точки. Иными словами. $\varphi(t)\leq 4/3\cdot\psi_{\mathcal{B}^*}(t),\ t\in I.$ Поэтому, если выполняется ($_2.9$), то для всякого $t\in (b_{n+1},b_n],\ n\geq 0,$ имеем
$$\psi_{\mathcal{B}}(t)=\frac{t-b_{n+1}}{b_n-b_{n+1}}\psi(b_n)+\frac{b_n-t}{b_n-b_{n+1}}\psi(b_{n+1})\leq 4/3\frac{t-b_{n+1}}{b_n-b_{n+1}}\psi_{\mathcal{B}^*}(b_n)+$$
$$+4/3\frac{b_n-t}{b_n-b_{n+1}}\psi_{\mathcal{B}^*}(b_{n+1})=\frac{t-b_{n+1}}{b_n-b_{n+1}}\varphi(b_n)+\frac{b_n-t}{b_n-b_{n+1}}\varphi(b_{n+1})=\varphi(t)\leq 4/3\cdot\psi_{\mathcal{B}^*}(t).$$
Итак, доказываем ($_2.9$). Зафиксируем целое $N\geq 0$. Если $b_N=b^*_m$ при некотором $m\geq 0$, то
$$\psi_{\mathcal{B}}(b_N)=\psi(b_N)=\psi(b^*_m)=\psi_{\mathcal{B}^*}(b^*_{m})\leq 4/3\psi_{\mathcal{B}^*}(b^*_{m})=4/3\psi_{\mathcal{B}^*}(b_N).$$
Пусть теперь $b_N\neq b^*_m$ ни при каком целом $m\geq 0$. Зафиксируем такое $m\geq 0$, что $b^*_{m+1}<b_N<b^*_m,$
и переобозначим: $d=b^*_{m+1},\ b=b^*_m,\ w=b_N.$\\

Нам понадобятся следующие три леммы.\\

\textbf{Лемма 2.3.} Если числа $u>0$ и $v>0$ таковы, что $u^{-1}+v^{-1}<4$, то $u+v>1$.\\

\emph{Доказаельство.} Допустим, что $u+v\leq 1.$ Тогда $(u+v)(u^{-1}+v^{-1})=1+uv^{-1}+vu^{-1}+1<4\Leftrightarrow uv^{-1}+vu^{-1}<2$. Если обозначить $a:=uv^{-1},$ то $vu^{-1}=a^{-1}$, и мы получили бы $a+a^{-1}<2\Leftrightarrow a^2-2a+1<0\Leftrightarrow (a-1)^2<0,$ что невозможно.\\
$\Box$\\

\textbf{Лемма 2.4.} Справедливы неравенства
$$w[(w-d)^{-1}+(b-w)^{-1}]\geq 4. \eqno (_2.10)$$
\emph{Доказательство.} Допустим противное: $[\frac{w-d}{w}]^{-1}+[\frac{b-w}{w}]^{-1}<4$. Тогда по лемме 2.3 имеем
$\frac{b-d}{w}=\frac{b-w}{w}+\frac{w-d}{w}>1.$ Отсюда получаем
$$a_1^*\geq a_2^*\geq ...\geq a_{m+1}^*=b-d>w=b_N>a_{N+j},\ j\geq 1,$$
т.е. справедливы неравенства ($_2.5$). Из них, как и при доказательстве теоремы 2.1, выводим противоречие с неравенством
$b_N>b^*_{m+1}.$ \\
$\Box$\\

\textbf{Лемма 2.5.} Неравенство $(_2.10)$ влечёт неравенство
$$w[\frac{w-d}{b-d}w+\frac{b-w}{b-d}d]^{-1}\leq\frac{4}{3} \eqno (_2.11)$$
\emph{Доказательство.} Преобразуем $(_2.10)$ равносильно:
$$w[(w-d)^{-1}+(b-w)^{-1}]\geq 4\Leftrightarrow \frac{w}{w-d}+\frac{w}{b-w}\geq 4\Leftrightarrow w(w-d+b-w)\geq 4(w-d)(b-w)\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow w(b-d)\geq 4(w-d)(b-w)\Leftrightarrow 3(w-d)(b-w)\leq \frac{3}{4}w(b-d).$$
Преобразуем равносильно $(_2.11)$:
$$w[\frac{w-d}{b-d}w+\frac{b-w}{b-d}d]^{-1}\leq\frac{4}{3}\Leftrightarrow \frac{3}{4}w(b-d)\leq (w-d)w+(b-w)d.$$
Таким образом $(_2.10)$ влечёт $(_2.11)$, если
$$3(w-d)(b-w)\leq (w-d)w+(b-w)d\Leftrightarrow \frac{w}{b-w}+\frac{d}{w-d}\geq 3\Leftrightarrow \frac{w}{b-w}+\frac{d}{w-d}+\frac{w-d}{w-d}\geq 4\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow \frac{w}{b-w}+\frac{w}{w-d}\geq 4.$$
Последнее как раз и означает выполнение неравенства $(_2.10)$.\\
$\Box$\\

Вместе с соотношениями $\psi(b)\geq \psi(w),\ \frac{\psi(d)}{d}\geq\frac{\psi(w)}{w}$, выполняющимся для функции $\psi(t),\ t\in (0,1],$ неравенство $(_2.11)$ даёт
$$\frac{\psi_{\mathcal{B}}(w)}{\psi_{\mathcal{B}^*}(w)}=\frac{\psi(w)}{\frac{w-d}{b-d}\psi(b)-\frac{b-w}{b-d}\psi(d)}\leq \frac{\psi(w)}{\frac{w-d}{b-d}\psi(w)-\frac{b-w}{b-d}\frac{d}{w}\psi(w)}=$$$$=w[\frac{w-d}{b-d}w+\frac{b-w}{b-d}d]^{-1}
\leq\frac{4}{3}.$$
Итак, показано, что условие ($_2.8$) выполняется, если заменить в нём $\delta$ на $\beta$. Покажем, что для любого $\gamma,\ 1\leq \gamma<\beta,$ найдутся и.р. $\mathcal{B}=(b_n)$ и $M-$функция $\psi$, для которых при некоторых $t\in (0,1]$ и $\delta=\gamma$ неравенство ($_2.8$) не выполняется.\\

Определим функцию $\varphi(t),\ \varphi(t)=t\cdot 1_{[0,2/3]}(t)+2/3\cdot 1_{[2/3,1]}(t),\ t\in (0,1].$ Зафиксируем $\varepsilon,\ 0<\varepsilon<\min[1/3,(8-6\gamma)(6-3\gamma)]$, и положим $b_0=1,\ b_1=2/3,\ b_n=\varepsilon\cdot 2^{-n},\ n\geq 2.$ Тогда $\varphi_{\mathcal{B}}=\varphi,$ причём простым подсчётом устанавливаем, что $b_0^*=1,\ b_1^*=\varepsilon/2+1/3,\ b_n^*=b_n,\ n\geq 2;\ \frac{\varphi_{\mathcal{B}}(2/3)}{\varphi_{\mathcal{B}^*}(2/3)}=\frac{(8-6\varepsilon)}{(6-3\varepsilon)}>\gamma.$\\

Полагая $\psi=3/2\cdot\varphi,$ получим искомые и.р. $\mathcal{B}=(b_n),\ M-$функцию $\psi$ и точку $t=2/3.$\\
$\Box$\\



\newpage

\bigskip

\bigskip

\centerline{\bf {§3. Бистохастические проекторы и интерполяция идеалов между $L^1$ и $L^\infty$}}
\centerline{\bf {\cite{13},\ \cite{14},\ \cite{17}}}
%\centerline{\textbf{}}

\bigskip



\emph{Доказано, что усредняемость векторного идеала по счётным разбиениям гарантирует его мажорантность.}\\

\textbf{Предложение 3.1}. Если векторный идеал $X,\ X\subseteq L^1(I),$ усредняется любым не более, чем счётным разбиением, то идеал $X$ симметричный.\\

\emph{Доказательство.} 1). Нужно доказать импликацию
$$x\in X,\ y\ \textrm{равноизмерима с}\ x\Rightarrow y\in X.\eqno(_3.1)$$
Не умаляя общности, можно считать, что $x,y\geq \textbf{0}.$ Более того, обе функции $x$ и $y$ можно считать элементарными. Действительно, для любых $x$ и $y$ найдутся такие элементарные функции $x_1$ и $y_1$, что
$$\textbf{0}\leq x_1\leq x\leq x_1+\textbf{1},\ \textbf{0}\leq y_1\leq y\leq y_1+\textbf{1},\eqno(_3.2)$$
так что, если для элементарных функций импликация $(_3.1)$ справедлива, то из $(_3.2)$ следует, что она справедлмва и для любых функций $x$ и $y$.\\

2). Если элементарная функция $x\in X$ измерима относительно конечного разбиения: $x=\sum_{i=1}^nr_i\cdot 1_{B_i},\ y=\sum_{i=1}^nr_i\cdot 1_{C_i};\ C_i,B_i\in \Lambda,\ \lambda(C_i)=\lambda(B_i);\ i=1,...,n$, то $x,y\leq \bar{r}\cdot\textbf{1}\in X$, где $\bar{r}:=\max_{i=1}^nr_i$, и тем самым $y\in X.$\\

3). Пусть $x=\sum_{i=1}^\infty r_i\cdot 1_{B_i}$, где $\sigma(B_i,\ i\geq 1)$ счётное бесконечное разбиение отрезка $I,$ и пусть $y$ - равноизмеримая с $x$ функция из $L^1(I),\ y=\sum_{i=1}^\infty r_i\cdot 1_{C_i},$ где $0<\lambda(C_i)=\lambda(B_i),\ 1\leq i<\infty.$\\

Предположим сначала, что далёкие множества $B_i$ и $C_j$ не пересекаются, т.е. найдётся номер $n_0$, такой что $\lambda(B_i\cap C_j)=0$ при $i,j\geq n_0.$ По п.2) достаточно показать, что функция
$$\bar{y}(t):=\begin{cases} \sum_{i\geq n_0}r_i\cdot 1_{C_i}(t), &\mbox{если } t\in\bigcup_{i\geq n_0} C_i;\\
0,& \mbox{в остальных случаях}. \end{cases}. $$
содержится в $X$, причём известно, что в $X$ содержится функция
$$\bar{x}(t):=\begin{cases} \sum_{i\geq n_0}r_i\cdot 1_{B_i}(t), &\mbox{если } t\in\bigcup_{i\geq n_0} B_i;\\
0,& \mbox{в остальных случаях}. \end{cases}. $$
Заметим, что $\bar{x}(t)=0$ при $t\in C_i,\ i\geq n_0$.\\

Рассмотрим разбиение $\mathcal{F}:=\sigma \Big(F_0,F_i;\ i\geq n_0\Big),$ где $F_i:=B_i\cup C_i,\ i\geq n_0,\ F_0:=I\setminus\bigcup_{i\geq n_0}F_i$. По условию $E(\bar{x}|\mathcal{F})\in X;$ с другой стороны для всякого $t\in F_i,\ i\geq n_0,$ справедливо равенство
$$E(\bar{x}|\mathcal{F})(t)=\frac{1}{\lambda(F_i)}\int_{F_i}\bar{x}d\lambda= \frac{1}{2\lambda(B_i)}\int_{B_i\cup C_i}\bar{x}d\lambda=\frac{1}{2\lambda(B_i)}\int_{B_i}\bar{x}d\lambda=\frac{r_i}{2}.$$
Если же $t\in F_0$, то $E(\bar{x}|\mathcal{F})(t)=0$. Итак, $\textbf{0}\leq\bar{y}\leq 2E(\bar{x}|\mathcal{F})$, откуда $\bar{y}\in X.$\\

4). Рассмотрим общий случай. Обозначим опять $F_i:=B_i\cup C_i,\ i\geq 1$. Так как $\lambda(\bigcup_{i\geq j}F_i)\leq \sum_{i\geq j}[\lambda(B_i)+\lambda(C_i)]=2\sum_{i\geq j}\lambda(B_i)\downarrow_{j\rightarrow\infty}0,$ то найдётся номер $n_0$ такой, что $\lambda(\bigcup_{i\geq n_0}F_i)<\frac{1}{2}.$\\
По 1-му принципу непрерывности Ляпунова в множестве $I\setminus\bigcup_{i\geq n_0}F_i$ найдутся попарно дизъюнктные подмножества $B_i',\ i\geq n_0,$ такие что $\lambda(B'_i)=\lambda(B_i),\ i\geq n_0.$ Но тогда функции $y'$ и $x'$ равноизмеримы, где
$$y'(t):=\begin{cases} r_i, &\mbox{если }\ t\in B'_i,\ i\geq n_0;\\
0,& \mbox{если}\ t\notin \bigcup_{i\geq n_0}B'_i. \end{cases}; $$
$$x'(t):=\begin{cases} r_i, &\mbox{если }\ t\in B_i,\ i\geq n_0;\\
0,& \mbox{если}\ t\notin \bigcup_{i\geq n_0}B_i. \end{cases}. $$

Поскольку $x\in X$, то в силу 3) $y'\in X$. С другой стороны  $y'$ равноизмерима с функцией
$$\tilde{y}(t):=\begin{cases} r_i, &\mbox{если}\ t\in C_i,\ i\geq n_0;\\
0,& \mbox{если}\  t\notin \bigcup_{i\geq n_0}C_i. \end{cases}. $$
Опять же в силу 3) $\tilde{y}\in X.$ Отсюда и из 2) следует, что $y\in X.$ \\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 3.2.} Пусть  $X$ векторный идеал в $L^1(I)\ \Big($банахов идеал$\Big)$ усредняемый любым не более, чем счётным разбиением. Тогда \\

I. Вместе с каждой своей функцией идеал $X$ содержит её орбиту и, тем самым, по теореме Кальдерона $X$ является мажорантным идеалом.\\

II. $\Big($Соответственно,  если $||E(\cdot|\mathcal{F})||_{X\rightarrow X}\leq 1$ для каждого не более, чем счётного разбиения $\mathcal{F}$, то $(X,||\cdot ||_X)$ - строго мажорантный идеал$\Big)$.\\

\textbf{Доказательство}. Доказываем для часть I. По теореме 3.1. $X$ - симметричный идеал; нужно доказать, что он мажорантный.\\

Докажем сначала импликацию $y^*\prec x^*\in X\Rightarrow y\in X $ для элементарных функций $y^*\in L^1(I).$\\

\textbf{Лемма 3.3.} Пусть $[a,b]$ произвольный конечный отрезок вещественной оси, $f$ и $g$ - положительные функции на $[a,b]$, удовлетворяющие следующим условиям.\\

1. $f,g \in L^1(a,b);$\\
2. Для некоторого натурального $n$
$$\left\{\begin{array}{rcl}
g=\sum_{j=1}^n\alpha_j\cdot 1_{\triangle_j},\ \textrm{где}\ \alpha_1\geq \alpha_2\geq ...\geq\alpha_n\geq 0;\  \triangle_j:=     [t_{j-1},t_j],\ j=1,...,n;\\ a=t_0<t_1<...<t_n=b;\ t_j\leq\frac{t_{j-1}+t_{j+1}}{2},\ j=1,2,...,n.\\
\end{array}
\right. (_3.3)$$
3. $$
\left\{\begin{array}{rcl}
\int_{\triangle_j}fd\lambda\geq\int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=1,...,n-1;\\
\int_a^b fd\lambda>\int_a^b gd\lambda;\ \int_{t_1}^b fd\lambda<\int_{t_1}^b gd\lambda.\\
\end{array}
\right.
$$
Тогда на $[a,b]$ найдётся функция $\bar{f}$, равноизмеримая с $f$ и такая, что $$\int_{\triangle_j}\bar{f}d\lambda\geq\int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=1,...,n.$$
\emph{Доказательство} разобьём на две части.\\

I. Докажем, что в условиях леммы 3.3 найдётся функция $f'\sim f$, такая что\\

$\int_{\triangle_j}f'd\lambda\geq\int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=1,...,n-1,\ \int_{t_1}^b f'd\lambda\geq\int_{t_1}^b gd\lambda.$\\

Прежде всего заметим, что из условий леммы 3.3 вытекает неравенство $\int_{\triangle_n}fd\lambda<\int_{\triangle_n}gd\lambda.$
Кроме того можно считать, что на отрезке $\triangle_n$ функция $f$ невозрастает, ибо всегда можно монотонно переставить $f$ на
$\triangle_n$, не меняя её на $[a,t_{n-1}];$ полученная при этом функция будет равноизмерима с $f$.\\

Из неравенств $(_3.3)$ вытекает, что $t_1-a\leq b-t_{n-1}\leq b-t_1.$ Определим следующие две функции от $r$:\\

 $$
\left\{\begin{array}{rcl}
u(r):=\int_{b-r}^{b}fd\lambda+\int_{a+r}^{t_1}fd\lambda -\int_{a}^{t_1}gd\lambda;\\
v(r):=\int_a^{a+r} fd\lambda+\int_{t_1}^{b-r}fd\lambda-\int^{b}_{t_1}gd\lambda,\\
\end{array}
\right.
r\in [0,t_1-a].$$
Отметим следующие очевидные свойства этих функций.\\

а). Обе непрерывны на $[0,t_1-a];$\\

б). $u(0)=\int_{\triangle_1}fd\lambda-\int_{\triangle_1}gd\lambda\geq 0;$\\
$v(0)=\int_{t_1}^bfd\lambda-\int_{t_1}^bgd\lambda<0;$\\

в). На $[0,t_1-a]$ справедливо тождественное равенство$$u(r)+v(r)=\int_a^bfd\lambda-\int_a^bgd\lambda\equiv\ const>0.$$
Предположим, что нашлась точка $r_0\in [0,t_1-a],$ такая что $u(r_0)\geq 0,\ v(r_0)\geq 0.$ Тогда перестановка функции $f$ на отрезках равной длины $[a,a+r_0]$ и $[b-r_0,b]$ даёт искомую функцию $f'.$\\
Докажем, что такая точка $r_0$ всегда найдётся. Если это не так, то из свойств а) - в) функций $u$ и $v$ следует, что $u(r)>0$ для любого $r\in [0,t_1-a].$ В частности $u(t_1-a)>0,$ т.е.
$$\int_{b-t_1+a}^bfd\lambda-\int_a^{t_1}g\lambda>0.$$
Поскольку $g$ невозрастает на $[a,b]$, то тем более
$$\int_{b-t_1+a}^bfd\lambda-\int_{b-t_1+a}^bgd\lambda>0.\eqno(_3.4)$$
Так как $[b-t_1+a,b]\subset\triangle_n,$ то из предыдущего неравенства и из неравенства $\int_{\triangle_n}fd\lambda<\int_{\triangle_n}gd\lambda$ следует, что
$$\int_{t_{n-1}}^{b-t_1+a}fd\lambda<\int^{b-t_1+a}_{t_{n-1}}gd\lambda.\eqno(_3.5)$$
Предположение, что $f(r)\leq g(r)$ для любого $r\in[b-t_1+a,b]$ противоречило бы неравенству $(_3.4)$.
Значит найдётся точка $r'\in[b-t_1+a,b]$, для которой $f(r')> g(r')=\alpha_n.$ Но тогда, поскольку $f$ невозрастает на $\triangle_n$, то неравенство $f(r)> g(r)$ выполняется на всём промежутке $[t_{n-1}, r']$, содержащем промежуток $[t_{n-1},b-t_1+a]$. Это противоречит неравенству ($_3.5$). Часть I доказана.\\

II. Докажем лемму 3.3 индукцией по $n$. Для $n=2$ она вытекает из части I. Пусть лемма 3.3 справедлива для любого конечного промежутка при 3,...,$n-1$. Докажем её для $n$. Согласно части I построим на отрезке $[a,b]$ такую функцию $\tilde{f}$, равноизмеримую с $f$, что $$\int_{t_1}^b\tilde{f}d\lambda\geq \int_{t_1}^bg d\lambda,\ \int_{\triangle_j}\tilde{f}d\lambda\geq \int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=1,...,n-1.$$
Пусть $k$ первое натуральное число из промежутка $[2,n-1]$, такое что $$\int_{t_k}^b\tilde{f}d\lambda<\int_{t_k}^bgd\lambda.$$
(Если такого $k$ не найдётся, то функция $\tilde{f}$ является искомой). Имеем: на отрезке $[t_{k-1},b]$ для функций $\tilde{f}$ и $g$ выполнены все условия леммы 3.3. По индукционному предположению найдётся такая функция $\hat{f}$, заданная на отрезке $[t_{k-1},b]$ и равноизмеримая с сужением функции $\tilde{f}$ этот отрезок, что $$\int_{\triangle_j}\hat{f}d\lambda\geq \int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=k,k+1,...,n.$$
Но тогда заданная на $[a,b]$ функция
$$\bar{f}(w):=\begin{cases}\tilde{f}(w),\ &\mbox{если }\ w\in [a,t_{k-1}];\\
\hat{f}(w),& \mbox{если}\ w\in [t_{k-1}, b] \end{cases} $$
является искомой.\\
$\Box$

\textbf{Лемма 3.4.} Пусть $f$ и $g$ заданы на промежутке $[a,b]$ вещественной оси, удовлетворяют условиям 1 и 2 леммы 3.3 и условию
$$4.\ \int_a^{t_j}fd\lambda>\int_a^{t_j}gd\lambda,\ j=1,...,n.$$
Тогда найдётся функция $\bar{f}$, заданная на $[a,b]$ и равноизмеримая там с $f$, такая что $$\int_{\triangle_j}\bar{f}d\lambda\geq \int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=1,...,n.$$
\emph{Доказательство} (индукция по $n$). Пусть  $n=2$. Если $\int_{\triangle_2}fd\lambda\geq \int_{\triangle_2}gd\lambda,$ то полагаем $\bar{f}=f$. В противном случае существование искомой функции $\bar{f}$ вытекает непосредственно из Леммы 3.3.\\

Пусть лемма 3.4 справедлива для любого конечного промежутка при $3,..., n-1.$ Докажем, что она выполняется и при $n$.\\

Докажем сначала, что неравенство $$\int_{\triangle}fd\lambda<\int_{\triangle}gd\lambda$$
можно считать выполняющимся лишь на последнем отрезке $\triangle_n.$ (Если оно не выполняется ни на одном отрезке $\triangle_j,\ j=1,...,n$, то полагаем $\bar{f}=f.$) Действительно, пусть $j_0$ есть наибольшее натуральное число, меньшее $n$, такое что
$\int_{\triangle_{j_0}}fd\lambda<\int_{\triangle_{j_0}}gd\lambda$. Рассмотрим функции $f$ и $g$ на отрезке $[a,t_{j_0}].$ Поскольку все условия леммы 3.3 для них на этом отрезке выполнены, то, согласно индукционному предположению, найдётся функция $f_{j_0}$, заданная на $[a,t_{j_0}]$ и равноизмеримая с сужением $f$ на этот отрезок, такая что $$\int_{\triangle_i}f_{j_0}\geq \int_{\triangle_i}gd\lambda,\ i=1,...,j_0.$$
Положим теперь
$$\bar{f}_{j_0}(s):=\begin{cases}f_{j_0}(s), &\mbox{если }\ s\in[a,t_{j_0}];\\
f(s),\ &\mbox{если}\ s\in[t_{j_0}, b].\end{cases}$$
Тогда $\bar{f}_{j_0}$ равноизмерима с $f$ на $[a,b]$, причём $\bar{f}_{j_0}$ удовлетворяет всем условиям леммы 3.4, и неравенство $$\int_{\triangle}\bar{f}_{j_0}d\lambda<\int_{\triangle}gd\lambda$$
может выполняться лишь на отрезке $\triangle_n.$\\

Итак, мы считаем, что для функций $f$ и $g$ выполнены неравенства
$$\int_{\triangle_j}fd\lambda\geq\int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=1,...,n-1.\eqno(_3.6)$$
Поэтому можно считать, что $$\int_{t_1}^b fd\lambda<\int_{t_1}^bgd\lambda\eqno(_3.7).$$
Действительно, если $\int_{t_1}^b fd\lambda\geq\int_{t_1}^bgd\lambda,$ то для функций $f$ и $g$, рассматриваемых на отрезке $[t_1,b]$, выполняются (с учётом неравенств $(_3.6)$) все условия доказываемой леммы. По индукционному предположению существует функция $f_1$, заданная на $[t_1,b]$, равноизмеримая там с $f$ и такая, что
$$\int_{\triangle_i}f_1d\lambda\geq\int_{\triangle_i}gd\lambda,\ j=2,...,n.$$
Но тогда функция
$$\bar{f}(s):=\begin{cases}f(s), &\mbox{если }\ s\in[a,t_1];\\
f_1(s),&\mbox{если}\ s\in[t_1, b] \end{cases} $$
является искомой.\\

Итак мы считаем, что для функций $f$ и $g$ выполнены неравенства ($_3.6$) и $(_3.7)$. Но тем самым мы оказываемся в условиях леммы 3.3, согласно которой искомая функция $\bar{f}$ существует.\\
$\Box$\\

\textbf{Лемма 3.5.} Пусть $[a,b]$ произвольный конечный промежуток вещественной оси, и пусть неотрицательные и суммируемые на нём функции $f$ и $g$ удовлетворяют условиям
$$g=\sum_{j=1}^n\alpha_j\cdot 1_{\triangle_j},\ \textrm{где}\ \alpha_1\geq \alpha_2\geq...\geq \alpha_n>0.$$
$$\triangle_j=[t_{j-1},t_j],\ j=1,2,...,n; a=t_0<t_1<...<t_n=b,$$
и для всякого $t\in [a,b]$
$$\int_a^tfd\lambda>\int_a^tgd\lambda.$$
Тогда найдётся  функция $\bar{f}$, заданная на $[a,b]$ и равноизмеримая там с $f$, такая что
$$\int_{\triangle_j}\bar{f}d\lambda\geq \int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=1,...,n.$$
\emph{Доказательство.} В случае, когда система $\{\triangle_j\}_{j=1}^n$ разбиения отрезка $[a,b]$ на промежутки постоянства функции $g$ удовлетворяет условию $(_3.3)$ леммы 3.3, справедливость леммы 3.5 вытекает непосредственно из леммы 3.4.\\

В случае произвольной системы $\{\triangle_j\}_{j=1}^n$ разбиения отрезка $[a,b]$ мы всегда можем построить новое, более мелкое разбиение $\{\triangle'_j:=[t'_{j-1},t'_j]\}_{j=1}^m,$ для которого неравенства
$$t'_j\leq \frac{t'_{j-1}+t'_{j+1}}{2},\ j=1,...,m$$
выполняются. Функция $g$ постоянна и на элементах нового разбиения, и все условия леммы 3.4 выполнены. Поэтому найдётся функция $\bar{f}$,заданная на $[a,b]$, равноизмеримая там с $f$ и, такая что
$$\int_{\triangle'_j}\bar{f}d\lambda\geq \int_{\triangle'_j}gd\lambda,\ j=1,...,m.$$
Но, поскольку новое разбиение мельче исходного, то неравенства
$$\int_{\triangle_j}\bar{f}d\lambda\geq \int_{\triangle_j}gd\lambda,\ j=1,...,n$$
также выполняются.\\
$\Box$\\

\textbf{Лемма 3.6.} Пусть $0\leq x, y\in L^(I)1$ и пусть для любого $t\in I$ выполняется неравенство
$$\int_0^txd\lambda>\int_0^tyd\lambda.$$
Тогда найдётся последовательность $\{r_n\}^\infty_{n=1}\subseteq I,\ 1=r_1>r_2>...,\ \lim_{n\rightarrow\infty} r_n=0,$ такая что для любого $n=1,2,...$ и для любого $t\in(r_n,1]$ выполняется неравенство
$$\int_{r_n}^txd\lambda>\int_{r_n}^tyd\lambda.$$
\emph{Доказательство}. Предположим, что требуемой последовательности не существует. Возьмём на $I$ произвольную последовательность $1=r'_1>r'_2>...,\ \lim_{n\rightarrow\infty} r'_n=0.$ Согласно предположению найдётся номер $N$, такой что при $n\geq N$ множества
$$\mathcal{D}_n=\{t\in (r'_n, 1]: \int_{r'_n}^txd\lambda\leq\int_{r'_n}^tyd\lambda$$
не пусты.\\

Обозначим $\delta_n:=\sup\mathcal{D}_n;$ очевидно, что $\delta_n\in\mathcal{D}_n,\ n\geq N.$ Докажем, что
$$\delta:=\liminf\delta_n>0.$$
Если это не так, то найдётся монотонно убывающая к нулю подпоследовательность $\delta_{n_k}.$ Согласно нашему предположению, она не удовлетворяет свойству, требуемому в лемме. Поэтому найдутся натуральное $i$ и точка $\gamma\in(\delta_{n_i}, 1]$, такие что $$\int_{\delta_{n_i}}^\gamma xd\lambda\leq\int_{\delta_{n_i}}^\gamma yd\lambda.$$
Тогда получаем
$$\int_{r'_{n_i}}^\gamma x d\lambda=\int_{r'_{n_i}}^{\delta_{n_i}}x d\lambda+\int_{\delta_{n_i}}^\gamma x d\lambda\leq \int_{r'_{n_i}}^{\delta_{n_i}}y d\lambda+\int_{\delta_{n_i}}^\gamma y d\lambda=\int_{r'_{n_i}}^\gamma y d\lambda,$$
что противоречит определению $\delta_{n_i}$.\\

Итак, $\delta>0;$ пусть $\delta_{m_k}\rightarrow\delta.$ Переходя к пределу в неравенстве
$$\int_{r'_{n_k}}^{\delta_{m_k}}x d\lambda\leq\int_{r'_{n_k}}^{\delta_{m_k}}y d\lambda,$$
получим, вопреки условиям леммы, что
$$\int_0^\delta x d\lambda\leq\int_0^\delta y d\lambda.$$
$\Box$\\

\textbf{Лемма 3.7.} Пусть $x=x^*,y=y^*\in L^1(I)$ и при этом $y$ - счётнозначная функция, измеримая относительно и.р. $\mathcal{F}$. Предположим, что для всякого $t\in I$ справедливо неравенство
$$\int_0^txd\lambda\geq\int_0^tyd\lambda.$$
Тогда найдётся заданная на $I$ и равноизмеримая там с $x$ функция $\bar{x}$, такая что
$$y\leq E(\bar{x}|\mathcal{F}).$$
\emph{Доказательство.} Прибавляя к $x$ сколь угодно малую положительную константу, мы можем считать, что в условии леммы выполняется строгое неравенство. Согласно лемме 3.6, на промежутке $(0,1]$  найдётся строго монотонно убывающая к нулю последовательность точек $\{r_n\}_{n=0}^\infty,\ r_0=1$, такая что для сужений $x_n$ и $y_n$ функций $x$ и $y$, соответственно, на промежутки $\triangle_n=[r_n,r_{n-1}]$ неравенство
$$\int_{r_n}^tx_nd\lambda>\int_{r_n}^ty_n d\lambda$$
справедливо для любого $t\in [r_n,r_{n-1}],\ n\geq 1.$ Обозначим через $\mathcal{F}_n$ разбиение отрезка $\triangle_n$ на промежутки постоянства функции $y_n$, а через $x_n$ сужение функции $x$ на $\triangle_n,\ n=1,2,... .$ Мы оказываемся в условиях леммы 3.5, согласно которой для всякого $ n=1,2,...$ найдётся заданная на $\triangle_n$ и равноизмеримая там с $x_n$ функция $\bar{x}_n$, такая что
$$y_n\leq E(\bar{x}_n|\mathcal{F}_n).\eqno(_3.8)$$
Определим теперь на $[0,1]$ функцию $\bar{x}$, полагая $\bar{x}(0)=\bar{x}(1)=0,\ \bar{x}(s)=\bar{x}_n(s),\ \textrm{если}\ s\in \triangle_n,\ n=1,2,... .$ Положим
$$\mathcal{\bar{F}}=\{F: F\in \mathcal{F}_n\ \textrm{для}\ \textrm{некоторого}\ n=1,2,...\} .$$
Очевидно, что разбиение $\mathcal{\bar{F}}$  отрезка $[0,1]$ мельче, чем разбиение $\mathcal{F}$. Поскольку из ($_3.8$) следует, что $y\leq E(\bar{x}|\mathcal{\bar{F}}),$ то тем самым $y\leq E(\bar{x}|\mathcal{F}).$ Так как $\bar{x}$ и $x$ равноизеримы на $I$, то лемма доказана.\\
$\Box$\\

Переходим непосредственно  к доказательству теоремы 3.2. Как и в предыдущей лемме, не умаляя общности, мы считаем, что $x=x^*,\ y=y^*$ и для всякого $t\in I$ справедливо неравенство
$$\int_0^txd\lambda<\int_0^tyd\lambda.$$
Зафиксируем $\varepsilon>0$.
Найдётся счётнозначная функция $y_{\varepsilon} = y^*_{\varepsilon}$, такая, что
$$\textbf{0}\leq y_{\varepsilon} \leq y\leq y_{\varepsilon} +\varepsilon\cdot \textbf{1}.\eqno(_3.9)$$
Очевидно, что для функций $y_{\varepsilon}$ и $x$ выполнены все условия леммы 3.7, согласно которой найдётся такая функция $x_{\varepsilon}$, равноизмеримая с $x$, что
$$y_{\varepsilon}\leq E(x_{\varepsilon}|\mathcal{F}_{\varepsilon}),\eqno(_3.10)$$
где $\mathcal{F}_{\varepsilon}$ разбиение $I$, порождённое всеми промежутками постоянства функции $y_{\varepsilon}.$\\

Из неравенств $(_3.9)$ и $(_3.10)$ вытекает неравенства
$$0\leq y\leq E(x_{\varepsilon}|\mathcal{F}_{\varepsilon})+\varepsilon\cdot \textbf{1}.\eqno(_3.11)$$
Поскольку по теореме 3.1 $X$ есть симметричный идеал, то $x_{\varepsilon}\in X$, и так как по предположению $E(x_{\varepsilon}|\mathcal{F}_{\varepsilon})\in X,$ то $y\in X.$ Часть 1 теоремы 3.2 доказана.\\
$\Box$\\

2. Доказываем часть 2. Если  $(X,|| \cdot ||_X)$ банахово идеальное векторное подпространство в $L^1(I)$, такое что $|| E(\cdot |\mathcal{F}||_X\leq 1$ для любого счётного разбиения $\mathcal{F},$ то из соотношения $y\prec x$ в силу $(_3.9) - (_3.11)$  выводим
$$||y||_X\leq ||E(x_{\varepsilon}|\mathcal{F}_{\varepsilon})+\varepsilon\cdot \textbf{1}||_X\leq ||E(x_{\varepsilon}|\mathcal{F}_{\varepsilon})||_X\cdot||x_{\varepsilon}||_X+ ||\varepsilon\cdot\textbf{1}||_X\leq ||x_{\varepsilon}||_X+\varepsilon\cdot||\textbf{1}||_X.$$
Поскольку $\varepsilon$ произвольно мало, часть 2 теоремы 3.2 доказана.\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 3.8.} Пусть $(X,\|\cdot \|_X)$ банахов идеал, такой что $\|E(\cdot |\mathcal{F})\|_X\leq 1$ для любого не более чем счётного разбиения $\mathcal{F}$. Тогда на $X$ можно задать эквивалентную симметричную норму $||\cdot||^1,$ превращающую  $(X,||\cdot||^1)$ в строго мажорантный идеал.\\

\emph{Доказательство.} Докажем сначала существование такой константы $K>0$, для которой верна импликация
$$x,\ y\in X,\ y\prec x\Rightarrow || y||_X\leq K\cdot|| x||_X.$$
Допустим, что такой константы не существует. Так как для любого $r>0$ соотношение $y\prec x$ влечёт соотношение $r\cdot y\prec r\cdot x$, то найдутся две такие последовательности $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ и $\{y_n\}_{n=1}^\infty$ элементов из $X$, что $$y_n=y^*_n\prec x_n=x^*_n,\ || x||_X\leq 2^{-n},\ || y_n||_X\geq n,\ n=1,2,... .$$
Положим $x_0:=\sum_{n=1}^\infty x_n,$ где сходимость ряда понимается почти всюду.  Из банаховости пространства $(X,|| \cdot ||)$ следует, что $x_0\in X$, откуда по теореме о мажорированной сходимости следует, что $y_0:=\sum_{n=1}^\infty y_n\in L^1$ и $y_0\prec x_0$. Тогда по теореме 3.2 $y_0\in X.$\\

С другой стороны $\textbf{0}\leq y_n\leq y_0,\ n\geq 1,$ откуда $||y_0||_X\geq ||y_n||_X\geq n,\ n\geq 1,$ -  противоречие.\\

Продолжим доказательство теоремы 3.8. Для всякого $x\in X$ положим
$$||x||^1:=\sup\{||y||_X:\  y\prec x.\}$$
Как только что показано, $||x||^1\leq K\cdot ||x||_X$ для некоторого $K>0$. Докажем, что для $||\cdot||^1$ выполнено неравенство треугольника. Пусть $x_1,\ x_2\in X,\ \varepsilon>0$. По определению существует элемент $y\in X$, такой что $y\prec x_1 +x_2$ и
$||x_1 + x_2||^1\leq ||y||_X + \varepsilon$. Согласно \cite{20}, найдутся $y_1,\ y_2\in L^1$, такие что $y_i\prec x_i,\ i=1,2$ и $y=y_1+y_2$. Отсюда и из теоремы 3.2 следует, что $y_i\in X,\ i=1,2$. Теперь имеем
$$||x_1+x_2||^1\leq ||y||_X + \varepsilon\leq ||y_1||_X+||y_2||_X + \varepsilon \leq ||x_1||^1 +||x_2||^1+\varepsilon,$$
где $\varepsilon$ произвольно мало. Тем самым неравенство треугольника для $||\cdot ||^1$ доказано.\\

Остальные аксиомы монотонной симметричной строго мажорантной нормы для $||\cdot ||^1$ проверяются тривиальным образом. Поскольку для всякого $x\in X$ справедливо $x\prec x$, то $||x||_X\leq ||x ||^1,$ и тем самым обе нормы эквивалентны.\\
$\Box$\\

\textbf{Замечание 3.9.} Строгая усредняемость банахова идеала $(X, ||\cdot||_X)$ по любой  $\sigma$-подалгебре в $\Lambda$ влечёт, что $X$ - симметричный по составу элементов идеал, хотя, вообще говоря, исходная норма $||\cdot||_X$ может не быть симметрична. Действительно, пусть $(X, ||\cdot||_X)$ любое строго интерполяционное пространство. Для каждого $x\in X$ положим
$$||x||^*:=||x||_X+\sup\{\int_I|x|\textbf{P}_{i=1}^nE(1_{(0,\frac{1}{2}]}|\mathcal{A}_i)d\lambda\},$$
где супремум берётся по всем $\sigma$-подалгебрам $\mathcal{A}_i$ в $\Lambda,\ i=1,2,...,n;\ n=1,2,...$, а через $\textbf{P}_{i=1}^nE(f|\mathcal{A}_i)$ обозначается $E(E(...E(f|\mathcal{A}_n))$. Нетрудно проверить, что $||\cdot||^*$ - монотонная банахова норма на $X$, эквивалентная $||\cdot||_X$, причём из свойств усреднений вытекает, что $||E(\cdot|\mathcal{A}||^*=1$ для любой $\sigma$-подалгебры  $\mathcal{A}$ в $\Lambda.$ Между тем ясно, что $||1_{(0,\frac{1}{2}]}||^*>||1_{(\frac{1}{2},1]}||^*.$\\
$\Box$\\
\newpage

\bigskip

\centerline{\textbf{§4. Усреднения главных симметричных идеалов по счётным разбиениям.}}
\centerline{\bf {\cite{21},\ \cite{16}}}
\bigskip

\emph{В этом параграфе выясняются условия, при выполнении которых счётное разбиение усредняет главный с.и. $\mathcal{N}_f$ и с.п. $\mathcal{M}_f^1$}.\\

В силу замечания 0.11.2) счётное разбиение можно считать интервальным.\\


Итак, пусть даны и.р. $\mathcal{B}=(b_n)$, принадлежащее с.в. $\vec{\beta} =(\beta_n),$ и главный с.и. $\mathcal{N}_f$, порождённый функцией $f,\ f=f^*\in L^1(I)$.\\


\textbf{Теорема 4.1.} Для того чтобы и.р. $\mathcal{B}$ усредняло $\mathcal{N}_f$, необходимо, а если $\mathcal{B}$ монотонное, то и достаточно, чтобы для подходящей константы $Q>1$ выполнялись неравенства
$$f^{**}(b_n)\leq Q\cdot f(Q^{-1}\cdot b_n),\ n\geq 1.\eqno(_4.1)$$
\emph{Доказательство} достаточности мы начнём со следующего утверждения. \\

\textbf{ Предложение 4.2.} Если и.р. $\mathcal{B}$ монотонно и для подходящей константы $Q>1$ выполняются неравенства
$$f^{**}(b_n)\leq Qf(b_n),\ n\geq 1,\eqno(_4.2)$$
то разбиение $\mathcal{B}$ усредняет главный с.и. $\mathcal{N}_f$.\\

\emph{Доказательству} предпошлём ряд лемм, в которых функция $f$ фиксирована.\\

\textbf{Лемма 4.3.} $E(f|\mathcal{B})\in \mathcal{N}_f.$\\

Доказательство. При фиксированном $n,\  n\geq 1,$ для всех $t,\ t\in (b_n,b_{n-1}],$ имеем
$$E(f|\mathcal{B})(t)=\frac{1}{b_{n-1}-b_n}\int_{b_n}^{b_{n-1}}fd\lambda=\frac{1}{b_{n-1}-b_n}[b_{n-1}f^{**}(b_{n-1})-b_nf^{**}(b_n)].\eqno (_4.3)$$
Если $\frac{b_{n-1}}{b_{n-1}-b_n}\leq 2,$ то, продолжая $(_4.3)$, получим
$$...\leq \frac{b_{n-1}}{b_{n-1}-b_n}f^{**}(b_{n-1})\leq 2 f^{**}(b_{n-1})\leq 2Qf(b_{n-1})\leq 2Qf(t).$$
Если же $\frac{b_{n-1}}{b_{n-1}-b_n}> 2,$ то $(_4.3)$ по лемме 0.1 продолжим так
$$...\leq\frac{1}{b_{n-1}-b_n}[b_{n-1}f^{**}(b_n)-b_nf^{**}(b_n)]=f^{**}(b_n)\leq f^{**}(2^{-1}\cdot b_{n-1})\leq 2 f^{**}(b_{n-1})\leq 2Q f(b_{n-1})\leq$$
$$\leq 2Q f(t).$$
Итак, $E(f|\mathcal{B})(t)\leq 2Q f(t),\ t\in I.$\\
$\Box$\\

\textbf{Замечание 4.4.} Лемма 4.3 верна без предположения о монотонности $\mathcal{B}$.\\

Всюду далее при доказательстве части I мы будем считать функцию $f\ \mathcal{D}_2-$измеримой. Соотношения $(_0.4)$ показывают, что это предположение не умаляет общности.\\

\textbf{Лемма 4.5.} Для любой подпоследовательности $\bar{\beta}=\{\beta_{k_i}\}_{i\geq 1}$ координат с.в. $\vec{\beta}=(\beta_n)$ найдётся натуральное $N_{\bar{\beta}}$, такое что при $n\geq N_{\bar{\beta}}$ выполняются неравенства
$$f^{**}(\sum_{i\geq n}\beta_{k_i})\leq 4\cdot Q\cdot f(\sum_{i\geq n}\beta_{k_i}),\ n\geq N_{\bar{\beta}}. \eqno(_4.4)$$
\emph{Доказательство.} Пусть $\vec{\beta}^* =(\beta_m^*)$ обозначает с.в. монотонного и.р. $\mathcal{B}^*:=(b_m^*).$ Для и.р. $\mathcal{B}_1$, принадлежащего с.в. $\tilde{\beta}=(\beta_{k_i}, 1-\sum_{n\neq k_i,\ i\geq 1}\beta_n)$ и являющегося выборкой $\bar{\beta}$, найдётся и.р. $\mathcal{B}:=(b_n)\sim \mathcal{B}^*$, такое что точки и.р. $\mathcal{B}_1=(\sum_{i\geq n}\beta_{k_i})$ совпадают с точками $b_n$ при  $n\geq N_{\bar{\beta}},$ где число $N_{\bar{\beta}}$ определено выборкой. Но монотонная перестановка и.р. $\mathcal{B}$ есть и.р. $\mathcal{B}^*$, поэтому применима теорема 2.1. Так как $2>\frac{5^{1/2}+1}{2}$, полагая в $(_2.1)\ \delta=2,$ в силу неравенств $(_0.2)$ и  $(_4.2)$ выводим:
$$f^{**}(\sum_{i\geq n}\beta_{k_i})=f^{**}(b_n)\leq f^{**}(2^{-1}\cdot b^*_m)\leq 2\cdot f^{**}( b^*_m)\leq 2\cdot Q\cdot f(b^*_m)\leq$$
$$\leq 4\cdot Q\cdot f(b_n)=4\cdot Q\cdot f(\sum_{i\geq n}\beta_{k_i}),\ n\geq N_{\bar{\beta}}.$$
$\Box$\\

\textbf{Следствие 4.6.} Предположим, что и.р. $\mathcal{S},\ \mathcal{S}=\sigma(s_n,\ n\geq 0),$
принадлежит с.в. $\vec{\mathfrak{b}},$ который крупнее, чем $\vec{\beta}=(\beta_n)$. Тогда при подходящей константе $Q\geq 1$ выполняется:
$$f^{**}(s_n)\leq 4Qf(s_n),\ n\geq 0.\eqno(_4.5)$$
\emph{Доказательство} прямо вытекает из предыдущей леммы, ибо каждая точка $s_n$ разбиения $\mathcal{S}$ равна $\sum_{k\geq 1}\beta_{n_k}$ для подходящей последовательности $\{\beta_{n_k}\}$ координат с.в. $\vec{\beta}$.\\
$\Box$\\

Продолжаем доказательство предложения 4.2.\\

\textbf{Лемма 4.7.} Пусть $\mathcal{F}=\sigma(F_n,\ n\geq 1)$ разбиение промежутка $I$, принадлежащее перестановке $\vec{\gamma}$ стохастического вектора $\vec{\beta}$. Тогда $E(f|\mathcal{F})\in \mathcal{N}_f.$\\

\emph{Доказательство.} Достаточно доказать, что $h:=[E(f|\mathcal{F})]^*\in \mathcal{N}_f.$ Пусть $\mathcal{S}=(s_n)$ и.р., относительно которого измерима элементарная функция $h=h^*$. Если $\mathcal{S}\in \vec{\alpha}$, то с.в. $\vec{\alpha}$ крупнее, чем с.в. $\vec{\gamma}$ и, стало быть с.в. $\vec{\alpha}$ крупнее, чем с.в. $\vec{\beta}$. Значит применимо предыдущие следствие, в силу которого выполняется неравенство $(_4.5)$. Но тогда по лемме 4.3 и по замечанию 4.4 функция $H:=E(f|\mathcal{S})$ лежит в $\mathcal{N}_f.$\\

С другой стороны, согласно предложению 0.4 $h=E(\tilde{f}|\mathcal{S})$, где $\tilde{f}=f\circ\pi$ - равноизмеримая с $f$ функция, а $\pi$ - автоморфизм промежутка $I$, такой что $\mathcal{S}=\mathcal{F}\circ\pi$ (такой автоморфизм найдётся, \cite{1}). Теперь из свойств оператора усреднения, из максимального неравенства леммы 0.1 для $f^{**}$, из монотонности $f$ и из неравенств $(_4.5)$ выводим, что для любого $n,\ n\geq 1,$ при $t\in(s_n,s_{n-1}]$ справедливы соотношения
$$\frac{h(t)}{H(t)}=\frac{h(s_{n-1})}{H(s_{n-1})}\leq \frac{h^{**}(s_{n-1})}{H(s_{n-1})}=\frac{s^{-1}_{n-1}\int_0^{s_n^{-1}}E(\tilde{f}|\mathcal{S})d\lambda}{H(s_{n-1})}=
\frac{s^{-1}_{n-1}\int_0^{s_n^{-1}}\tilde{f}d\lambda}{H(s_{n-1})}\leq$$
$$\leq\frac{f^{**}(s_n^{-1})}{H(s_{n-1})}\leq\frac{f^{**}(s_{n^-1})}{f(s_{n^-1})}\leq 4Q,$$
откуда $h\in \mathcal{N}_f.$\\
$\Box$\\

Пользуясь этой леммой и вновь применяя автоморфизм полусегмента $I$, легко получить, что
$$E(g|\mathcal{B})\in \mathcal{N}_f\eqno(_4.6)$$
для любой такой элементарной функции $g$, что
$$g^*\leq Cf,\ C>0.\eqno(_4.7)$$
Теперь уже, используя равномерную аппроксимацию элементарными функциями и положительность оператора усреднения, включение $(_4.6)$ можно перенести на все функции $g$, удовлетворяющие неравенству $(_4.7)$ с подходящей положительной константой $C$. Предложение  доказано.\\

Для окончания доказательства достаточности в теореме 4.1 определим при каждом $m,\ m\geq 1,\ \mathcal{D}$-измеримую невозрастающую функцию $f_{(m)},\ f_{(m)}(t)=f(2^{-m}t),\ t\in I.$ Для каждой из функций $f_{(m)}$ условие $(_4.1)$ предложения 4.2 выполнено с константой $Q_m,\  Q_m\leq 2^mQ,$ и потому к каждой из них применимы все предыдущие рассуждения. Остаётся заметить, что $\mathcal{N}_f=\mathcal{N}_{f_{(m)}},\ m\geq 1.$ Достаточность в теореме доказана.\\

Необходимость прямо вытекает из леммы 0.6 и следующего предложения.\\

\textbf{Предложение 4.8.} Предположим, что для функции $f,\ f=f^*\in L^1(I)$ и и.р. $\mathcal{B},\ \mathcal{B}=(b_n)$ (здесь оно не обязано быть монотонным) при любом $m\geq 1$ справедливо
$$\sup_{n\geq 0}\frac{f^{**}(b_n)}{f(\frac{b_n}{m})}=\infty.\eqno(_4.8)$$
Тогда существует и.р. $\mathcal{V},\ \mathcal{V}=(v_k),$ крупнее чем $\mathcal{B}$ и такое, что $E(f|\mathcal{V})\notin\mathcal{N}_f$.\\

\emph{Доказательство.} Очевидно, что если выполнено условие $(_4.8)$, то найдётся подпоследовательность $\{u_m:=b_{n_m},\ n_0=0\}$ последовательности $\{b_n\}$, такая что
$$\lim_{m\rightarrow\infty}\frac{f^{**}(u_m)}{f(\frac{u_m}{m})}=\infty.\eqno(_4.9)$$
Определим подпоследовательность $\{v_k\}$  последовательности $\{u_m\}$ по индукции. Положим $v_0=b_{n_0}=u_{m_0}=1,$ и пусть точка $v_k=u_{m_k},\ k\geq 0$, уже построена. Так как функция $f^{**}(t),\ t\in I,$ монотонна и непрерывна в окрестности точки $0$, то в силу $(_4.9)$ можно выбрать точку $u_{m_{k+1}}$ столь близкую к нулю, что $$0<u_{m_{k+1}}<\frac{v_k}{k}\ \textrm{ и } \frac{\frac{\int_{u_{m_{k+1}}}^{v_k}}{v_k-u_{m_{k+1}}}}{f(\frac{v_k}{k})}>\frac{f^{**}(v_k)}{f(\frac{v_k}{k})}-1.$$ Закончим индукцию, полагая $v_{k+1}:=u_{m_{k+1}}.$ Получаем, что $$\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{E(f|\mathcal{V})(v_k)}{f(\frac{v_k}{k})}=\infty$$, и тем самым $E(f|\mathcal{V})\notin\mathcal{N}_f.$ Предложение доказано.\\

Поскольку и.р. $\mathcal{V}$ крупнее, чем и.р. $\mathcal{B}$, то по лемме 0.11.4) и $E(f|\mathcal{B})\notin\mathcal{N}_f$, т.е. необходимость в теореме 4.1 доказана.\\
$\Box$\\

Пусть $\mathcal{F}$ - счётное разбиение. Функцию $f\in L^1(I)$ будем называть $\mathcal{F}$-\emph{регулярной}, если монотонное и.р. $\mathcal{F}^*$ усредняет главный с.и. $\mathcal{N}_f.$\\

Для и.р. $\mathcal{B}=(b_n)$ и функции $f,\ f=f^*\in L^1(I),$ положим
$$f_{\mathcal{B}}:=\sum_{n\geq 1}f(b_{n-1})\cdot 1_{(b_n,b_{n-1}]}.$$
Теорему 4.1 можно сформулировать так:\\

\textbf{Теорема 4.9.} Для и.р. $\mathcal{B}$ и функции $f,\ f=f^*\in L^1(I),$ следующие три условия равносильны:\\

1). Функция $f$ является $\mathcal{B}$-регулярной; \\

2). $f^{**}_{\mathcal{B}^*}\simeq f^*_{\mathcal{B}^*}$;\\

3). $f^{**}_{\mathcal{B}^*}\in\mathcal{N}_f.$\\

Из 0.11.3) следует, что сюда можно присоединить и четвёртое условие:\\

4). $f$ является $\mathcal{B}^*_{(2)}$-регулярной.\\

\textbf{Теорема 4.10.} Для и.р. $\mathcal{B}$ и функции $f,\ f=f^*\in L^1(I),$ следующие три условия равносильны:\\

1). Функция $f$ является $\mathcal{B}$-регулярной; \\

2). $f^{**}_{\mathcal{B}^*}\simeq f^*_{\mathcal{B}^*}$;\\

3). $f^{**}_{\mathcal{B}^*}\in\mathcal{N}_f.$\\

Из 0.11.3) следует, что сюда можно присоединить и четвёртое условие:\\

4). $f$ является $\mathcal{B}^*_{(2)}$-регулярной.\\

\textbf{Лемма 4.11.}  Пусть $f=f^*\in L^1(I)$ любая функция, а $\mathcal{F}$ любое счётное разбиение.
Для того, чтобы $f$ была $\mathcal{F}$-регулярна, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось включение $$E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F}^*)\subseteq \mathcal{N}_f.\eqno(_4.10)$$
\emph{Доказательство.} Из $(_4.10)$ очевидным образом следует $\mathcal{F}$-регулярность $f$. Если же $f$ является $\mathcal{F}$-регулярной, т.е., если $E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F}^*)\subseteq\mathcal{N}_f$, то по теореме 5.6.
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F}^*)}=\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F}^*)}\subseteq\mathcal{N}_{\mathcal{N}_f}=
\mathcal{N}_f.$$
$\Box$\\

Пусть функция $ f=f^*\in L^1(I),\ \textsl{M}_f$ её пространство Марцинкевича, $\textsl{M}_f^1$ замыкание по норме $\|\cdot \|_{\textsl{M}_f}$ с.и. $\mathcal{N}_f$ в с.п. $\textsl{M}_f$.\\

\textbf{Теорема 4.12.} Для любого и.р. $\mathcal{B}$, где $\mathcal{B}= \sigma(B_n),\ B_n=(b_n, b_{n-1}],\ n\geq 1,\ b_0=1,$ следующие условия равносильны.\\

$$1)\ \mathcal{B}\ \textrm{усредняет\ с.и.}\ \mathcal{N}_f;\ 2)\ \mathcal{B}\ \textrm{усредняет\ с.п.}\ \mathcal{M}^1_f.$$.

\emph{Доказательство}. Докажем 1)$\Rightarrow$2). Пусть $g\in \textsl{M}_f^1$, т.е. найдётся  последовательность $\{g_n\}_{n\geq 1}\subseteq \mathcal{N}_f,$ тавая что $\|g_n-g\|_{\textsl{M}_f}\rightarrow_{n\rightarrow\infty}0.$ В силу непрерывности по норме бистохастического проектора $E(\cdot|\mathcal{B})$ в пространстве $(\textsl{M}_f,\ \|\cdot\|_{\textsl{M}_f})$ справедливо предельное равенство
$$\lim_{n\rightarrow\infty}\textbf{|}\ \|E(g|\mathcal{B})- E(g_n|\mathcal{B})\|_{\textsl{M}_f}\ \textbf{|}=0.$$ Но по условию $E(g_n|\mathcal{B})\in \mathcal{N}_f,\ n\geq 1,$ тем самым $E(g|\mathcal{B})\in \textsl{M}_f^1$.\\

Импликацию 2)$\Rightarrow$1) будем доказывать в негативной форме, а именно докажем, что если $\mathcal{B}$ не усредняет с.и. $\mathcal{N}_f$, то $\mathcal{B}$ не усредгяет также и с.п. $M^1_f$. (Модификация доказательства теоремы 4.1, \cite{16}).\\

Пусть $\mathcal{B}$ не усредняет $\mathcal{N}_f$, т.е. вопреки равенству $(_4.1)$
$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{f^{**}(b_n)}{f(b_n)}=\infty.$$
Будем считать, не умаляя общности, что $b_0=1,\ b_1=\frac{1}{2}.$ Обозначим через $\{s_m\}_{m\geq 0}:=\{b_{n_m}\}$ такую подпоследовательность последовательности  $\{b_n\}$, что $1=s_0>\frac{1}{2}=s_1>s_2>...>s_m>...;\ s_m\downarrow 0$ и при этом
$$\frac{f^{**}(\frac{1}{2})}{f(1)}=:a_1<a_m:=\frac{f^{**}(s_m)}{f(\frac{s_m}{m})} \uparrow_{m\uparrow\infty}\infty.$$
Зафиксируем $\varepsilon>0$ и положим $m_1=1,t_1=2s_{m_1}.$ На промежутке $[0,\frac{1}{2}]$ определим функцию
$$\Phi_1(v)=[f(\frac{s_{m_1}}{m_1})(s_{m_1}-v)]^{-1}\int_v^{s_{m_1}}f(u)du.$$
Очевидно, что $\Phi_1(v)$ непрерывна, убывает и $\Phi_1(0)=a_{m_1}.$ Найдётся номер $m_2$, такой что
$$\ s_{m_2}\leq \frac{s_{m_1}}{4m_1},\  \Phi_1(2s_{m_2})\geq a_{m_1}-\varepsilon.$$
Обозначим $t_2=2s_{m_2}.$ Тогда
$$a_{m_1}-\varepsilon\leq \Phi_1(t_2)=[f(\frac{s_{m_1}}{m_1})(s_{m_1}-t_2)]^{-1}\int_{t_2}^{s_{m_1}}f(u)du\leq [f(\frac{s_{m_1}}{m_1})(s_{m_1}-t_2)]^{-1}\int_{t_2}^{t_1}f(u)du.$$
Продолжая и дальше таким образом, построим  номера $\{m_i\}_{i=1}^k:\ 1=t_1=2s_{m_1}>s_{m_1}>t_2=2 s_{m_2}>...>s_{m_k}.$\\
Если обозначить $\Phi_k:=[f(\frac{s_{m_k}}{m_k})(s_{m_k}-v)]^{-1}\int_v^{s_{m_k}}f(u)du,\ 0\leq v\leq s_{m_k},$ то заданная на $[0,s_{m_k}]$ функция $\Phi_k(v)$ непрерывна, убывает и $\Phi_k(0)=a_{m_k}.$ Положим $t_k:=2s_{m_k}$. Как и выше найдётся номер $m_{k+1}$, такой что выполняются условия
$$i)\ s_{m_{k+1}}\leq \frac{s_{m_k}}{4m_k};\ ii)\ s_{m_k}-t_{k+1}<t_k-s_{m_k}\Leftrightarrow s_{m_k}<\frac{t_k+t_{k+1}}{2},$$ где $t_{k+1}:=2s_{m_{k+1}};$
$$iii)\ a_{m_k}- \varepsilon\leq\Phi_k(s_{m_{k+1}})\leq [f(\frac{s_{m_k}}{m_k})(s_{m_k}-s_{m_{k+1}})]^{-1}\int_{s_{m_{k+1}}}^{s_{m_k}}f(u)du$$
$$\leq [f(\frac{s_{m_k}}{m_k})(s_{m_k}-t_{k+1})]^{-1}\int_{t_{k+1}}^{t_k}f(u)du.$$
Построение последовательности номеров $\{m_k\}$ завершено.\\

Из $i)$ вытекает, что $m_k^{-1}s_{m_k}>t_{k+1},$ откуда с учётом $iii)$ имеем: $m_k^{-1}s_{m_k}\in (t_{k+1},t_k),\ k\geq 1.$
Кроме того
$$(s_{m_k}-t_{k+1})^{-1}\leq 3(t_k-t_{k+1})^{-1},\ k\geq 1.\eqno(_4.11)$$
Действительно, $s_{m_k+1}\leq \frac{s_{m_k}}{4m_k}\leq \frac{s_{m_k}}{4},\ k\geq 1,$ откуда $2s_{m_k}-2s_{m_{k+1}}
\leq 3s_{m_k}-6s_{m_{k+1}},$ или $t_k-t_{k+1}\leq 3(s_{m_k}-t_{k+1}).$\\
Определим и.р. $\mathcal{T}=\sigma(T_k),$ где $T_k=(t_{k+1},t_k],\ k\geq 1,$ и усреднение
$$E(f|\mathcal{T})=\sum_{k\geq 1}\alpha_k 1_{(t_{k+1},t_k]},\ \textrm{где}\ \alpha_k=\frac{1}{t_k-t_{k+1}}\int_{t_{k+1}}^{t_k}fdu,\ k\geq 1.$$
Отметим, что по построению чисел $s_{m_k},\ k\geq 1,$ имеем:
$$c_k:=\frac{\alpha_k}{f(\frac{s_{m_k}}{m_k})}\rightarrow\infty.\eqno(_4.12)$$
Наша цель - показать, что $inf\{\|E(f|\mathcal{T})-y\|_{\mathcal{M}_f}:\ y\in \mathcal{N}_f\}>0.$ При этом в силу леммы 0.16 и того, что $E(f|\mathcal{T})=(E(f|\mathcal{T}))^*$, достаточно установить, что $inf\{\|E(f|\mathcal{T})-y\|_{\mathcal{M}_f}:\ y=y^*\in \mathcal{N}_f\}>0.$\\

Зафиксируем $y=y^*\in \mathcal{N}_f$ и обозначим через $k(y)$ наименьший из таких номеров $k$, что
$$vraisup_{t\in I}\frac{y(t)}{f(\frac{t}{m_k})}<\infty, $$
где $\{m_k\}$ - последовательность номеров, построенная выше. Положим
$$c:=vraisup_{t\in I}\frac{y(t)}{f(\frac{t}{m_{k(y)}})};$$
$$H(c)=\{t\in I:\ \frac{E(f|\mathcal{T})(t)}{f(\frac{t}{m_{k(y)}})}\geq 2c;$$
$$\tau_k=\lambda T_k,\ \eta_k=\lambda (T_k\cap H(c)),\ k\geq 1.$$
Покажем теперь, что найдётся такой номер $k_1$ что
$$\frac{\eta_k}{\tau_k}\geq\frac{1}{2}.\eqno(_4.13)$$
при $k>k_1$. Действительно, из $(_4.11)$ следует существование такого номера $k_0$, что при $k>k_0$
$$c_k=\frac{\alpha_k}{f(\frac{s_{m_k}}{m_k})}
=\frac{E(f|\mathcal{T})(s_{m_k})}{f(\frac{s_{m_k}}{m_k})}\geq 2c.$$
Значит при $k>k_1:=\max[k_0,k(y)]$
$$\frac{E(f|\mathcal{T})(s_{m_k})}{f(\frac{s_{m_k}}{m_{k(y)}})}\geq \frac{E(f|\mathcal{T})(s_{m_k})}{f(\frac{s_{m_k}}{m_k})}\geq 2c.$$
Иными словами, $s_{m_k}\in H(c).$ Но из монотонности $f$ отсюда вытекает включение $[s_{m_k},t_k]\subset H(c),$ которое влечёт
$$\frac{\eta_k}{\tau_k}\geq \frac{t_k-s_{m_k}}{t_k-t_{k+1}}\geq \frac{1}{2}$$
при $k>k_1$. Неравенство $(_4.13)$ доказано.\\

Продолжим доказательство теоремы. Для всех $t\in H(c)$ имеем:
$E(f|\mathcal{T})(t)-y(t)\geq E(f|\mathcal{T})(t)- cf(\frac{t}{n_{k(y)}})\geq E(f|\mathcal{T})(t)-\frac{E(f|\mathcal{T})(t)}{2}=\frac{E(f|\mathcal{T})(t)}{2}.$ Отсюда
$$\|E(f|\mathcal{T})-y\|_{M_f}=\sup_{0<t\leq 1}\frac{\int_0^t(E(f|\mathcal{T})-y)^*(u)du}{\int_0^tf(u)du}\geq\frac{1}{2}\sup_{0<t\leq 1}\frac{\int_{(0,t)\cap H(c)}E(f|\mathcal{T})d\lambda}{\int_0^tfd\lambda}.\eqno(_4.14)$$
Возьм1м номер $k_1$, обеспечивающий выполнение $(_4.13)$. Поскольку $\eta_k\geq\frac{\tau_k}{2}$ при $k\geq k_1,$ то
$$\int_{(0,t_{k_1})\cap H(c)}E(f|\mathcal{T})d\lambda=\sum_{k=k_1}^\infty\int_{T_k\cap H(c)}E(f|\mathcal{T})d\lambda=\sum_{k\geq k_1}\alpha_k\eta_k\geq$$
$$\geq \frac{1}{2}\sum_{k=k_1}^\infty\tau_k\frac{\int_{T_k}E(f|\mathcal{T})d\lambda}{\tau_k}=\frac{1}{2}\int_0^{t_{k_1}}f(u)du.$$
Продолжая неравенство $(_4.14)$, получим
$$\|E(f|\mathcal{T})-y\|_{M_f}\geq\frac{1}{2}\sup_{0<t\leq 1}\frac{\int_{(0,t)\cap H(c)}E(f|\mathcal{T})d\lambda}{\int_0^tfd\lambda}\geq\frac{1}{2}\frac{\int_{(0,t_{k_1})\cap H(c)}E(f|\mathcal{T})d\lambda}{\int_0^{t_{k_1}}f(u)du}\geq\frac{1}{4}.$$
Итак, $\inf\{\|E(f|\mathcal{T})-y\|_{M_f}:\ y=y^*\in \mathcal{N}_f\}\geq\frac{1}{4}.$\\
Значит и.р. $\mathcal{T}$ не усредняет с.п. $M_f^1.$ Но $\mathcal{T}$ кратно и.р. $\mathcal{S}:=\sigma(s_{m_k}),$ а последнее крупнее, чем $\mathcal{B}.$ По замечанию 0.11;3), 5) и.р. $\mathcal{B}$ также не усредняет с.п. $M_f^1.$\\
$\Box$





\bigskip

\newpage
\centerline{\textbf{§5. О симметричном идеале, порождённом усреднением по счётному разбиению}}
\centerline{\textbf{главного симметричного идеала.}}
\centerline{\bf {\cite{25},\ \cite{27},\ \cite{32},\ \cite{33},\ \cite{35}}}


\bigskip



\emph{В теоремах 5.10 - 5.12 указаны условия на и.р. $\mathcal{B}$ и функцию $f$, при выполнении которых  с.и. $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})},$ порождённый образом усреднения по $\mathcal{B}$  главного с.и. $\mathcal{N}_f$, сам является главным с.и.}\\

Пусть $\mathcal{F}_1$ и $\mathcal{F}_2$ обозначают  не более, чем счётные разбиения промежутка $I$, а $\mathcal{B}$, $\mathcal{B}_1$ и $\mathcal{B}_2$ - и.р. Для дальнейшего нам понадобятся следующая очевидная\\

\textbf{Лемма 5.1.} Для с.и. $X,\ X\subseteq L^1(I),$ справедливы следующие утверждения.\\

1). Если $\mathcal{F}_1\subseteq\mathcal{F}_2,$ то $\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F}_1)}\subseteq\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F}_1)}$ и $\mathcal{M}_{E(X|\mathcal{F}_1)}\subseteq\mathcal{M}_{E(X|\mathcal{F}_1)}$;\\

2). Если $\mathcal{F}_1\sim\mathcal{F}_2,$ то $\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F}_1)}=\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F}_1)}$ и $\mathcal{M}_{E(X|\mathcal{F}_1)}=\mathcal{M}_{E(X|\mathcal{F}_1)}$;\\

3). Если $\mathcal{B}_1\simeq\mathcal{B}_2,$ то $\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{B}_1)}=\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{B}_1)}$ и $\mathcal{M}_{E(X|\mathcal{B}_1)}=\mathcal{M}_{E(X|\mathcal{B}_1)}$;\\

4). $\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{B})}=\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{B}_{(2)})}$.\\

5). Если для с.и. $X\subseteq L^1(I)$ через $X^*$ обозначается $\{x^*:\ x\in X\}$, то для всякого  счётного разбиения $\mathcal{F}$ справедливо включение
$$\Big(\mathcal{N}_{E(X^*|\mathcal{F}^*)}\Big)^*\subset \Big(\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F})}\Big)^*.$$
$\Box$\\

Напомним обозначение §4: для и.р. $\mathcal{B}=(b_n)$ и монотонной функции $f=f^*$
$$f_{\mathcal{B}}:=\sum_{n\geq 1}f(b_{n-1})\cdot 1_{(b_n,b_{n-1}]}.$$
Ясно, что $f_{\mathcal{B}}=(f_{\mathcal{B}})^*.$ Также легко устанавливаются следующие соотношения.
$$(f^*)_{\mathcal{B}}\leq E(f^*|\mathcal{B})=\Big(E(f^*|\mathcal{B})\Big)^*=\Big(E(f^*|\mathcal{B})\Big)_{\mathcal{B}}\leq \Big(E(f^*|\mathcal{B})^{**}\Big)_{\mathcal{B}}\leq \Big(f^{**}\Big)_{\mathcal{B}}.\eqno(_5.1)$$
Так как в дальнейшем не будет повода для недоразумений, левая и правая части $(_5.1)$ обозначаются $f^*_{\mathcal{B}}$ и $f^{**}_{\mathcal{B}}$, соответственно.\\

\textbf{Замечание 5.2.} Теорема 2.2 переписывается как неравенство
$$f^{**}_{\mathcal{B}}\leq \frac{4}{3}\cdot f^{**}_{\mathcal{B}^*}, \eqno (_5.2)$$
имеющее место для любой функции $f\in L^1(I)$ и любого и.р $\mathcal{B}$, причём $\frac{4}{3}$ - абсолютная (наименьшая) константа в этом неравенстве.\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 5.3.} Пусть $f\in L^1(I),\ \ \mathcal{B}$ - и.р. Справедливо равенство
$$f^{**}_{\mathcal{B}}=\sup\{ E(f^*|\mathcal{S}):\ \textrm{и.р.}\ \mathcal{S}\subseteq \mathcal{B}\}. \eqno(_5.3)$$
\emph{Доказательство}. Возьмём любое число $u,\ u\in I,$ и и.р. $\mathcal{S}:=(s_n)\subset (b_n):=\mathcal{B}.$ Выберем такой номер $n$, что $s_{n+1}<u\leq s_n$. В силу $(_5.1)$
$$E(f^*|\mathcal{S})(u)=E(f^*|\mathcal{S})(s_n)\leq f^{**}(s_n)=f_{\mathcal{S}}^{**}(s_n)=f_{\mathcal{B}}^{**}(s_n)=f_{\mathcal{B}}^{**}(u),$$
так что левая часть здесь не превосходит правой. Докажем обратное неравенство, для чего зафиксируем $\varepsilon>0$ и выберем такое натуральное $k$, что $b_{k+1}<u\leq b_k.$ Возьмём теперь $m>k$, такое что
$$(b_k-b_m)^{-1}\int_{b_m}^{b_k}f^*d\lambda\geq f^{**}(b_k)-\varepsilon.$$
Значит, если и.р. $\mathcal{S}_{\varepsilon}=(s_n)$ любое из таких укрупнений и.р. $\mathcal{B},$ для которых $s_i=b_k,\ s_{i+1}=b_m$ при некотором $i\geq 0,$ то
$$E(f^*|\mathcal{S})(u)\geq f^{**}(b_k)-\varepsilon,$$
откуда в силу произвольности $\varepsilon$ следует доказываемое утверждение.\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема} 5.4. Пусть $\mathcal{F}$ счётное разбиение, $f\in L^1(I).$\\

 1). Справедливо неравенство $$E(f|\mathcal{F})^*\leq 4/3\cdot f^{**}_{\mathcal{F}^*}.\eqno(_5.4)$$
2). Константа $4/3$ в $(_5.4)$ не может быть уменьшена.\\

\emph{Доказательство.} По предложению 0.6.1) имеем: $E(f|\mathcal{F})^*=E(\bar{f}|\mathcal{B}),$ где и.р. $\mathcal{B}\sim \mathcal{F},\ \bar{f}\sim f.$ Таким образом, согласно формулам $(_0.2),\ (_5.1), (_5.2),$
$$E(f|\mathcal{F})^*=E(\bar{f}|\mathcal{B})\leq\Big(E(\bar{f}|\mathcal{B})\Big)^{**}_{\mathcal{B}}\leq\Big(E(f^*|\mathcal{B})\Big)_{\mathcal{B}}^{**}
=f^{**}_{\mathcal{B}}\leq 4/3\cdot f^{**}_{\mathcal{B}^*}=4/3\cdot f^{**}_{\mathcal{F}^*},$$
откуда следует первая часть теоремы 5.4. Докажем её вторую часть. Допустим, что для любого счётного разбиения $\mathcal{F}$ и любой функции $f\in L^1(I)$ справедливо неравенство
$$E(f|\mathcal{F})^*\leq b\cdot f^{**}_{\mathcal{F}^*},\eqno(*)$$
где $0<b<4/3.$ В силу 0.6.1) и 0.6.2) неравенство $(*)$ выполняется для любого укрупнения $\mathcal{S}$ и.р. $\mathcal{F}^*.$ Отсюда и из теоремы 5.3 вытекает справедливость неравенства $f^{**}_{\mathcal{B}}\leq b\cdot f^{**}_{\mathcal{F}^*}$ для любого и.р. $\mathcal{B}$, равноизмеримого с $\mathcal{F}^*.$ Однако, это противоречит замечанию 5.2.\\
$\Box$\\

Из доказанной теоремы и леммы 0.14 вытекает\\

\textbf{Следствие 5.5.} Для любого счётного разбиения $\mathcal{F}$ и любой функции $f\in L^1(I)$ справедливо включение
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}\subseteq\mathcal{N}_{f^{**}_{\mathcal{F}^*}}.$$

\textbf{Теорема 5.6.} Для любого счётного разбиения $\mathcal{F}$ и любой функции $f\in L^1(I)$ справедливо равенство
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\mathcal{N}_{E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F})}.$$
\emph{Доказательство.} Включение $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}\subseteq\mathcal{N}_{E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F})}$ вытекает из включения $\mathcal{N}_f\subseteq\mathcal{M}_f.$ Поскольку мажорантные идеалы усредняются любой $\sigma$-подалгеброй, то обратное включение выполняется в силу соотношения
$$E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F})\subseteq \mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})},\eqno (_5.5)$$
которое в свою очередь прямо следует из предложения 0.6.1), леммы 3.7 и замечания 0.11.1).\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 5.7.} Любое счётное разбиение $\mathcal{F}$ усредняет с.и. $\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F})}$ каков бы ни был с.и. $X$.\\

\emph{Доказательство.} Начнём со случая $X=\mathcal{N}_f$, для некоторой функции $ f\in L^1(I)$. Достаточно доказать включение
$E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}|\mathcal{F})\subseteq\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}$. Имеем: так как $\mathcal{N}_f\subseteq \mathcal{M}_f$, то $E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})\subseteq\mathcal{M}_f$. Остаётся воспользоваться $(_5.5)$.\\

Переходим к общему случаю. Используя $(_0.9)$ и уже рассмотренный случай, получаем
$$E(\mathcal{N}_{\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F})}}|\mathcal{F})=E(\sum_{x\in X}\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_x|\mathcal{F})}|\mathcal{F})=\sum_{x\in X}E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_x|\mathcal{F})}|\mathcal{F})\subseteq$$
$$\subseteq \sum_{x\in X}\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_x|\mathcal{F})}=\mathcal{N}_{E(\sum_{x\in X}\mathcal{N}_x|\mathcal{F})}=
\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F})}.$$
$\Box$\\

\textbf{Следствие 5.8}, \cite{35}. Пусть $X$ - с.и., $\mathcal{F}$ - проверочное разбиение, см определение в §6. Тогда $\mathcal{M}_X=\mathcal{N}_{E(X|\mathcal{F})}.$ В частности, $\mathcal{M}_f=\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}.$\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 5.9.} Для любого счётного разбиения $\mathcal{F}$ и любой функции $f\in L^1(I)$ выполняются равенства
$$\mathcal{M}_{E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F})}=\mathcal{M}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\mathcal{M}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)}.$$
\emph{Доказательство.} Первое из равенств вытекает непосредсвенно из теоремы 5.6. Что касается второго, то в соответствии с предложением 0.6.1) и замечанием 5.2, а также формулами  $(_0.13)$, $(_0.2)$, имеем
$$\mathcal{M}_{E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F})}=\sum_{\tilde{f}\sim f,\ \mathcal{\tilde{F}}\sim \mathcal{F}}\mathcal{M}_{E(\mathcal{M}_{\tilde{f}}|\mathcal{\tilde{F}})}=$$
$$=\sum_{\tilde{f}\sim f,\ \textrm{и.р.}\ \mathcal{\tilde{B}}\sim \mathcal{F}}\mathcal{M}_{E(\mathcal{M}_{\tilde{f}}|\mathcal{\tilde{B}})}=\sum_{\textrm{и.р.}\ \mathcal{\tilde{B}}\sim \mathcal{F}}\mathcal{M}_{E(\mathcal{M}_{f^*}|\mathcal{\tilde{B}})}\subseteq\mathcal{M}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)}. $$
Обратное включение очевидно.\\
$\Box$\\

Симметричный идеал, порождённый множеством $E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})$, в отличие от мажорантного идеала, натянутого на это же множество, отнюдь не всегда порождается функцией $E(f^*|\mathcal{F}^*)$. Следующая теорема характеризует случай, когда он всё же порождается этой функцией (ср. с теоремой 1.13).\\

\textbf{Теорема 5.10} Для любого счётного разбиения $\mathcal{F}$ и любой функции $f\in L^1(I)$ равенство         $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)}$ выполняется, тогда и только тогда, когда функция $E(f^*|\mathcal{F}^*)$ является $\mathcal{F}$-регулярной (см. определение в §4 и теорему 4.10).\\

\emph{Доказательство.} Предположим, что выполняется равенство в условии теоремы. Тогда по определению и по теореме 5.7 функция
$E(f^*|\mathcal{F}^*)$ является $\mathcal{F}$-регулярной.\\

Обратно, пусть функция $E(f^*|\mathcal{F}^*)$ является $\mathcal{F}$-регулярной. Если для любых $\tilde{f}\sim f,\ \mathcal{\tilde{F}}\sim\mathcal{F}$ докажем, что $E(\tilde{f}|\mathcal{\tilde{F}})\in \mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)},$
то в силу леммы 0.14 получим включение $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}\subseteq\mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)},$
обратное к которому тривиально. Этим путём мы придём к доказываемому равенству.\\
Применяя предложение 0.6.1) и формулы $(_0.2),\ (_5.1)$ и $(_5.2),$ получаем, что при подходящих $\bar{f}\sim f,\ \textrm{и.р.}\ \mathcal{B}\sim \mathcal{F}$ выполняются соотношения
$$E(\tilde{f}|\mathcal{\tilde{F}})^*=E(\bar{f}|\mathcal{B})\leq E(\bar{f}|\mathcal{B})^{**}_{\mathcal{B}}\leq E(f^*|\mathcal{B})^{**}_{\mathcal{B}}=f^{**}_{\mathcal{B}}\leq 4/3\cdot f^{**}_{\mathcal{F}^*}=$$
$$=4/3\cdot E(f^*|\mathcal{F}^*)_{\mathcal{F}^*}^{**}\leq 4/3\cdot Q\cdot\rho_Q E(f^*|\mathcal{F}^*),$$
где $Q$ - константа из $(_4.1)$. Тем самым $E(\tilde{f}|\mathcal{\tilde{F}})\in \mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)}$.\\
$\Box$\\

Перейдём к основным теоремам этого параграфа. В первых двух из них характеризуется случай, когда с.и. $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}$ (или, что то же самое, $\mathcal{N}_{E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F})}$) является главным. В последних двух прослеживается аналогия между свойствами регулярности и $\mathcal{B}$-регулярности функций из $L^1(I).$\\

\textbf{Теорема 5.11.} Для любого счётного разбиения $\mathcal{F}$ и любой функции $f\in L^1(I)$ следующие условия равносильны.\\

1). Существует функция $g\in L^1(I)$, такая что $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\mathcal{N}_g;$\\

2). $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\mathcal{N}_{f^{**}_{\mathcal{F}^*}};$\\

3). $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)}.$\\

4). $f^{**}_{{\mathcal{F}}^*}$ - $\mathcal{F}$-регулярная функция;\\

5). $\mathcal{M}_{f^{**}_{{\mathcal{F}}^*}}=\mathcal{M}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)};$\\

6). $f^{**}_{\mathcal{F}^*}\in \mathcal{M}_f.$\\

\emph{Доказательство.} $1)\Rightarrow 2).$ Если $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}=\mathcal{N}_g,$ то по теореме 5.7 $g$ - $\mathcal{F}$-регулярная функция, значит по теореме 4.10 $g^{**}_{\mathcal{F}^*}\simeq g^*_{\mathcal{F}^*}.$ Кроме того по теореме 5.9 выполняется равенство $\mathcal{M}_g=\mathcal{M}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)},$ значит $g^{**}\simeq E(f^*|\mathcal{F}^*)^{**},$ откуда $g^{**}_{\mathcal{F}^*}\simeq f^{**}_{\mathcal{F}^*}.$ Тем самым $g^*\geq g^*_{\mathcal{F}^*}\simeq f^{**}_{\mathcal{F}^*},$ что доказывает включение $\mathcal{N}_{f^{**}_{\mathcal{F}^*}}\subseteq \mathcal{N}_g.$ Обратное включение обеспечено теоремой 5.4.\\

Импликация $2)\Rightarrow 1)$ тривиальна.\\

$2)\Rightarrow 3)$. По определению $f^*_{\mathcal{F}^*}\leq E(f^*|\mathcal{F}^*)$, так что
 $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}\subseteq \mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)}$. Обратное включение тривиально.\\

Импликация $3)\Rightarrow 4)$ следует из теоремы 5.10 и равносильности $\mathcal{F}$-регулярности для функций $E(f^*|\mathcal{F}^*)$ и $f^{**}_{{\mathcal{F}}^*}$.\\

$4)\Rightarrow 5).$ Функции $f^{**}_{\mathcal{F}^*}$ и $E(f^*|\mathcal{F}^*)^{**}_{\mathcal{F}^*}$ совпадают, значит по теореме 4.10 ${(f^{**}_{\mathcal{F}^*})}^{**}_{\mathcal{F}^*}\simeq E(f^*|\mathcal{F}^*)^{**}_{\mathcal{F}^*},$ что в силу $\mathcal{F}^*$-ступенчатости функций $E(f^*|\mathcal{F}^*)$ и $f^{**}_{\mathcal{F}^*}$ влечёт эквивалентность $(f^{**}_{\mathcal{F}^*})^{**}\simeq E(f^*|\mathcal{F}^*)^{**},$ т.е.
$\mathcal{M}_{f^{**}_{{\mathcal{F}}^*}}=\mathcal{M}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)}.$\\

$5)\Rightarrow 6).$ С учётом включения $\mathcal{M}_{E(f^*|\mathcal{F}^*)}\subseteq \mathcal{M}_f$ эта импликация тривиальна.\\

$6)\Rightarrow 2).$ Включение $f^{**}_{{\mathcal{F}}^*}\in \mathcal{M}_f$ можно записать в виде $f^{**}_{{\mathcal{F}}^*}\in E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F}^*).$ Из теоремы 5.6 и леммы 5.1.2) выводим
$$\mathcal{N}_{f^{**}_{{\mathcal{F}}^*}}\subseteq \mathcal{N}_{E(\mathcal{M}_f|\mathcal{F}^*)}=\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F}^*)}=\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{F})}.$$
Обратное включение вытекает из теоремы 5.4.\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 5.12} Пусть $f=f^*\in L^1,\ \mathcal{B}=\mathcal{B}^*=(b_n)$ - некоторое монотонное и.р. Следующие условия равносильны.\\

1. Функция $f \ \mathcal{B}$-регулярна;\\

2. Функция $E(f|\mathcal{B})\ \mathcal{B}$-регулярна.\\

3. Функция $f^{**}_{\mathcal{B}}\ \mathcal{B}$-регулярна.\\

4. $\mathcal{N}_{f_{\mathcal{B}}}=\mathcal{N}_{f^{**}_{\mathcal{B}}}=\mathcal{N}_{E(f_{\mathcal{B}}|\mathcal{B})}$;\\

5. $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}=\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B})}.$\\

6. Отметим, что если положить $f=f^*,\ \mathcal{F}=\mathcal{B}=\mathcal{B}^*$, то  из совпадения условия 3) теоремы 5.11 с условием 5) теоремы 5.12 вытекает, что все условия этих теорем равносильны между собой.\\.\\





\emph{Доказательство.}  $1.\Rightarrow 2.$ Для $\mathcal{B}$-регулярной функции $f$ по формулам $(_0.2)$ и $(_5.1)$ имеем:\\
 $$E(f|\mathcal{B})^{**}_{\mathcal{B}}=f^{**}_{\mathcal{B}}\simeq f_{\mathcal{B}}\leq E(f|\mathcal{B})=E(f|\mathcal{B})_{\mathcal{B}}\leq E(f|\mathcal{B})^{**}_{\mathcal{B}},$$
 так что функция $E(f|\mathcal{B})$ также $\mathcal{B}$-регулярна.\\

 $2.\Rightarrow 3.$ Если $E(f|\mathcal{B})\ \mathcal{B}$-регулярна, то по теореме 5.10 выполняется равенство $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}=\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B})}.$ Но тогда применима теорема 5.11, пп. 1),4), согласно которой функция $f^{**}_{\mathcal{B}}\ \mathcal{B}$-регулярна.\\

 $3.\Rightarrow 4.$ Оба равенства прямо следуют из теоремы 4.10. \\

 $4.\Rightarrow 1.$ Вытекает непосредственно из определения $\mathcal{B}$-регулярности, также см. 4.10.\\

 $1.\Rightarrow 5.$ По теореме 4.10 $f^{**}_{\mathcal{B}^*}\simeq f_{\mathcal{B}}$. Далее, применяя теорему 5.11 пп. 2) - 4), получим $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}\subseteq \mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B})}$. Обратное включение тривиально.\\

 $5.\Rightarrow 2.$ Вытекает, например, из теоремы 5.11.\\
$\Box$\\

Теорема 5.14, последняя в этом параграфе, показывает равносильность $\mathcal{B}$-регулярности функций $g:=f^{**}_{\mathcal{F}^*}$  и $g^{**}_{\mathcal{B}^*}$. В этом отношении ещё раз проявляется отмеченная выше аналогия между свойствами $\mathcal{B}$-регулярности и регулярности, ибо регулярность функций $f$ и $f^{**}$ равносильна, следствие 1.5. В следующей ниже теореме 5.13 показываются причины этой аналогии.\\

Напомним, что  с функцией  $f=f^*\in L^1(I)$ посредством  вогнутой функции $\psi(t):=\int_0^tfd\lambda,\ t\in I,$ связана последовательность натуральных чисел $q_{\psi(\mathcal{D})}(k)$:

$$q_{\psi(\mathcal{D})}(k)=\ \emph{\textrm{количество\ точек\ последовательности}}\ \{\psi(2^{-n})\}_{n=0}^\infty$$ $$\emph{\textrm{на\ промежутке}}\ D_k,\ k\geq 1.$$ \\

В лемме 1.10 было показано, что  $f$ регулярна, тогда и только тогда, когда последовательность натуральных чисел  $q_{\psi(\mathcal{D})}(k)$ ограничена. Выведем аналог этого утверждения для $\mathcal{B}$-регулярности. В силу 0.11.3) можно заменить $\mathcal{B}$ на двоичное и.р. ${\mathcal{B}}^*_{(2)}:=(2^{-m_n}).$\\

Определим последовательность
$$\{q_{\psi(\mathcal{B}^*_{(2)})}(k)\}_{k=1}^\infty = \ \textrm{количество\ точек\ последовательности}\ \{\psi(2^{-m_n})\}_{n=0}^\infty$$  $$\textrm{на\ промежутке}\ D_k,\ k\geq 1.$$
\textbf{ Теорема 5.13. }  Функция $f^{**}_{\mathcal{B}^*}$ является $\mathcal{B}^*$-регулярной, тогда и только тогда, когда ограничена последовательность натуральных чисел $\{q_{\psi(\mathcal{B}^*_{(2)})}(k)\}_{k=1}^\infty$.\\

\emph{Доказательство.} Поскольку $f^{**}_{\mathcal{B}_{(2)}^*}=\Big(E(f^*|\mathcal{B}_{(2)}^*)\Big)_{\mathcal{B}_{(2)}}^{**},$ можно взять в качестве $f$ функцию $E(f^*|\mathcal{B}_{(2)}^*)$. Принимая во внимание теорему 5.11, леммы 0.3 и 5.1, замечание 4.10.4), а также $\mathcal{B}^*_{(2)}$-ступенчатость функций $f^{**}_{\mathcal{B}_{(2)}^*}$ и $E(f^*|\mathcal{B}_{(2)}^*)$ достаточно доказать равносильность следующих двух условий.\\
1). Существует $C>1$, такое что
$$\int_0^{s_n}f^{**}_{\mathcal{S}}d\lambda\leq C\cdot \psi(s_n),\ n\geq 0;$$
2). Существуют натуральное $p$ и вещественное $\gamma,\ 0<\gamma<1,$ такие что
$$\psi(s_{n+p})\leq \gamma\cdot\psi(s_{n}),\ n\geq 0,\eqno (_5.6)$$
где через $\mathcal{S}:=(s_n)$ обозначается и.р. $\mathcal{B}_{(2)}.$\\

Докажем, что условие 2) влечёт условие 1). Неравенство $(_5.6)$ можно переписать в форме
$$\psi(s_{n+kp+i})\leq \gamma^k\cdot\psi(s_{n+i}),\ n\geq 0,\ k\geq 0,\ i=0,1,...,p-1.$$
Отсюда для любого $n\geq 0$ выводим:
$$\int_0^{s_n}f^{**}_{\mathcal{S}}d\lambda=\int_0^{s_n}\sum_{k=n}^\infty f^{**}(s_k)1_{(s_{k+1},s_k]}d\lambda
=\sum_{k=0}^\infty\sum_{i=0}^{p-1}f^{**}(s_{n+kp+i})(s_{n+kp+i}-s_{n+kp+i+1})\leq $$
$$\leq \sum_{k=0}^\infty\gamma^k\sum_{i=0}^{p-1}\psi(s_{n+i})\leq \frac{p}{1-\gamma}\cdot\psi(s_{n}),$$
и полагаем $C=\frac{p}{1-\gamma}$.\\

Докажем, что условие 1) влечёт условие 2). Из 1) для любого натурального $n$ получаем:
$$\frac{\int_0^{s_{n+1}}f^{**}_{\mathcal{S}}d\lambda}{\int_0^{s_n}f^{**}_{\mathcal{S}}d\lambda}=
1-\frac{\psi(s_n)}{\int_0^{s_n}f^{**}_{\mathcal{S}}d\lambda}
(1-\frac{s_{n+1}}{s_{n}})\leq 1-\frac{1}{2C}:=\gamma\in (0,1).$$
Таким образом при любом натуральном $p$ выполняются неравенства
$$\psi(s_{n+p})\leq \int_0^{s_{n+p}}f^{**}_{\mathcal{S}}d\lambda\leq \gamma\cdot\int_0^{s_{n+p-1}}f^{**}_{\mathcal{S}}d\lambda\leq...$$ $$\leq \gamma^p\cdot\int_0^{s_n}f^{**}_{\mathcal{S}}d\lambda\leq C\cdot\gamma^p\cdot\psi(s_{n}).$$
Остаётся лишь выбрать такое $p$, для которого $C\cdot\gamma^p<1.$\\
$\Box$\\

Кроме того, что теорема 5.13 может оказаться полезной при проверке условий теоремы 5.11, она представляет и самостоятельный интерес, позволяя легко строить главные с.и., усредняемые или не усредняемые любым наперёд заданным двоичным и.р. Это использовано при доказательстве теоремы 6.8. и доказательстве необходимости в теореме 6.4.\\

\textbf{Теорема 5.14.} Пусть $\mathcal{F}$ любое счётное разбиение, $f\in L^1(I)$ - любая функция. Функции $g:=f^{**}_{\mathcal{F}^*}$ и $g^{**}_{\mathcal{F}^*}$ одновременно либо являются, либо не являются $\mathcal{F}$-регулярными.\\

\emph{Доказательство.} То, что $\mathcal{F}$-регулярность $g$ влечёт $\mathcal{F}$-регулярность $g^{**}_{\mathcal{F}^*}$ прямо следует из  теоремы 4.10.2). Докажем обратное.\\

Не умаляя общности, можно считать, что $\mathcal{F}^*=\mathcal{F}_{(2)}^*:=(2^{-m_n}),$ см. замечание 0.11.3). Положим $\psi_1(t):=\int_0^t g^{**}_{\mathcal{F}^*}d\lambda;\ \psi_2(t):=\int_0^t g_{\mathcal{F}^*}d\lambda=\int_0^t f^{**}_{\mathcal{F}^*}d\lambda,\ t\in I.$ Согласно теореме 5.13, достаточно показать, что ограниченность последовательности $\{q_{\psi_1(\mathcal{F}^*_{(2)})}(k)\}_{n=0}^\infty$ влечёт ограниченность последовательности $\{q_{\psi_2(\mathcal{F}^*_{(2)})}(k)\}_{n=0}^\infty$.\\

Допустим противное:
$$\limsup_{k\rightarrow\infty}q_{\psi_2(\mathcal{F}^*_{(2)})}(k)=\infty,\  \textrm{тогда как}\  \limsup_{k\rightarrow\infty}q_{\psi_1(\mathcal{F}^*_{(2)})}(k)\leq K\eqno(_5.7)$$
для некоторого натурального $K$. Можно считать $K$ настолько большим, что
$$2K^2+1\leq 2^{K^2-1}.\eqno(_5.8)$$
При любом $n\geq 0$ выполняются равенства
$$\int_0^{2^{-m_n}}g^{**}_{\mathcal{F}^*}d\lambda=\int_0^{2^{-m_n}}\sum_{i\geq n}g^{**}(2^{-m_i})\cdot 1_{(2^{-m_{i+1}},2^{-m_i}]}=$$
$$=\sum_{i\geq n}g^{**}(2^{-m_i})(2^{-m_i}-2^{-m_{i+1}})=\sum_{i\geq n}(1-2^{m_i-m_{i+1}})\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda.$$
Так как  $m_{i+1}-m_i\geq 1$ для любого $i\geq 0$, то
$$2^{-1}\leq 1-2^{m_i-m_{i+1}}\leq 1,\ i\geq 0,$$
так что можно записать
$$2^{-1}\cdot\sum_{i\geq n} \int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda\leq\int_0^{2^{-m_n}}g^{**}_{\mathcal{F}^*}d\lambda\leq\sum_{i\geq n}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda,\ n\geq 0,\eqno(_5.9)$$
Вследствие $(_5.7)$ найдётся такой промежуток $D_j=(2^{-j},2^{-j+1}],\ j\geq 1$, на котором находится не менее $K^2+1$ точек последовательности $\{\int_0^{2^{-m_n}}gd\lambda\}_{n=0}^\infty.$ Возьмём такое натуральное $n$, что
$$2^{-j+1}\geq \int_0^{2^{-m_n}}gd\lambda\geq \int_0^{2^{-m_{n+1}}}gd\lambda\geq ...\geq \int_0^{2^{-m_{n+K^2}}}gd\lambda>2^{-j}.\eqno(_5.10)$$
По лемме 0.1 и в силу $(_5.9)$ и $(_5.10)$ имеем:
$$\frac{1}{2^{K^2}}\geq \frac{\int_0^{2^{-m_{n+K^2}}}g^{**}_{\mathcal{F}^*}d\lambda}{\int_0^{2^{-m_n}}g^{**}_{\mathcal{F}^*}d\lambda}\geq \frac{1}{2}\cdot\frac{\sum_{i\geq n+K^2}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda}{\sum_{i\geq n}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda}=$$
$$=\frac{1}{2}\cdot\Big(1-\frac{\sum_{i=n}^{n+K^2-1}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda}{\sum_{i\geq n}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda}\Big)=\frac{1}{2}\cdot[1-\Big(1+\frac{\sum_{i\geq n+K^2}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda}{\sum_{i= n}^{n+K^2-1}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda}\Big)^{-1}].\eqno(_5.11)$$
Но, согласно $(_5.9)$ и $(_5.10)$,
$$\sum_{i= n}^{n+K^2-1}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda\leq K^2\cdot 2^{-j+1};\ \sum_{i\geq n+K^2}\int_0^{2^{-m_i}}gd\lambda\geq \int_0^{2^{-m_{n+K^2}}}gd\lambda>2^{-j}.$$
Поэтому из $(_5.11)$ вытекает, что
$$\frac{1}{2^{K^2}}>\frac{1}{2}[1-\Big(1+\frac{2^{-j}}{K^2\cdot 2^{-j+1}}\Big)^{-1}]=\frac{1}{2}(1-\frac{2K^2}{2K^2+1})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2K^2+1},$$
т.е. $2K^2+1>2^{K^2-1}$, вопреки $(_5.8)$. Полученное противоречие доказывает теорему 5.14.\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 5.15.} Пусть  $f=f^*\in L^1(I),\ \mathcal{B}=\mathcal{B}^*$. Равенства
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}|\mathcal{B})}=
 \mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}=\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B})}\eqno(_5.11)$$
 справедливы, тогда и только тогда, когда $f\ \mathcal{B}$-регулярна.\\

\emph{Доказательство.} Пусть $f\ \mathcal{B}$-регулярна. Второе из равенств $(_5.11)$ выполнено по теореме 5.12.5); докажем первое. По теореме 5.7 для любой функции $f\in L^1(I)$ и.р. $\mathcal{B}$ усредняет с.и. $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}$: $$E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}|\mathcal{B})\subseteq\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})},$$
поэтому, заменяя в левой части $(_5.11)$ $E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}|\mathcal{B})$ на $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}$, получим
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}|\mathcal{B})} \subseteq \mathcal{N}_{\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}}
=\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}.$$
 С другой стороны, очевидным образом $E(E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})|\mathcal{B})\subseteq E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}|\mathcal{B}),$ так что
 $$E(f|\mathcal{B})\in E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})=E(E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})|\mathcal{B})\subseteq E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}|\mathcal{B})\subseteq
 \mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}|\mathcal{B})}.$$
Равенство $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}|\mathcal{B})}=
 \mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B})}$ доказано.\\

Обратно, если выполняются равенства  $(_5.11)$, то второе из них по теореме 5.12.5) влечёт $\mathcal{B}$-регулярность $f.$\\

\textbf{Замечание 5.16.} Обозначим через $\mathfrak{X}$ совокупность всех с.и. пространства $L^1(I)$, а через $\mathfrak{N}:=\{\mathcal{N}_g,\ g\in L^1(I)\}$ совокупность всех главных с.и. этого пространства. Рассмотрим отображение $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}:\mathfrak{N}\rightarrow \mathfrak{X}:$
$$\mathcal{T}_{\mathcal{B}}(\mathcal{N}_g):=\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_g|\mathcal{B})},\ g\in L^1(I).$$
Теорема 5.15 означает, что область идемпотентности отображения $\mathcal{T}_{\mathcal{B}}$ совпадает с множеством всех            $\mathcal{B}$-регулярных функций.\\
$\Box$\\

\newpage
\centerline{\textbf{§6. Проверочные и универсальные $\sigma$-подалгебры.}}
\centerline{\bf {\cite{18},\ \cite{29},\ \cite{35}}}
\bigskip

\emph{В этом параграфе изучается класс\textbf{ проверочных} $\sigma$-подалгебр, т.е. таких что мажорантность всякого с.и. можно проверять на единственном бистохастическом проекторе - операторе усреднения по любой из $\sigma$-подалгебр этого класса. Кроме того вводится класс \textbf{универсальных} $\sigma$-подалгебр, каждая из которых имеет свойство усреднять любой симметричный идеал.}

\bigskip

Из теоремы 3.2 следует, что, если некоторый идеал $X,\ X\subseteq L^1(I),$ усредняется любой $\sigma-$подалгеброй в $\Lambda$, то $X$ - мажорантный с.и. Но из того, что отдельно взятая $\sigma-$подалгебра усредняет некоторый с.и. мажорантность последнего отнюдь не следует.  Это даёт основания для следующего определения.\\

$\sigma$-подалгебра $\mathcal{A}$  называется \emph{проверочной}, если из того, что  $\mathcal{A}$ усредняет симметричный идеал $X$, следует, что $X$ мажорантный идеал.\\

Очевидно, что всякая $\sigma$-подалгебра, равноизмеримая с проверочной, сама является проверочной. Из замечания 0.11.3),4) следует, что счётное разбиение является проверочным, тогда и только тогда, когда проверочным является его двоичная проекция, и что любое счётное разбиение более мелкое, чем проверочное, или эквивалентное более мелкому, чем проверочное, тоже является проверочным.\\

\textbf{Теорема 6.1.} Пусть $(\Omega,\Sigma,\mu)$ - непрерывное вероятностное пространство. Всякая непрерывная $\sigma$-подалгебра $\mathcal{A}$ в $\Sigma$, имеющая в $\Sigma$ непрерывное независимое дополнение, является проверочной.\\

\emph{Доказательство. }  1. Докажем сначала, что $\mathcal{A}$ проверочная. Избегая громоздких обозначений, будем считать, что $(\Omega,\Sigma,\mu)=(I,\Lambda,\lambda)\times (I,\Lambda,\lambda)$ есть лебегов единичный квадрат, а $\sigma$-подалгебра $\mathcal{A}$ порождёна всеми лебеговыми "вертикальными полосами" квадрата, т.е. множествами  вида $A\times I,$ где $A\in \Lambda$. В случае общего вероятностного пространство доказательство дословно повторяет приведенные ниже рассуждения.\\

Отметим, что оператор усреднения по $\mathcal{A}$ действует как усреднение функции $f(t,s),\ f\in L^1(I^2)$ по второй переменной:
$$E(f|\mathcal{A})(u,v)=\int_0^1f(u,v)dv.\eqno(_6.1)$$
Допустим, что $\mathcal{A}$ усредняет с.и. $X\subseteq L^1(I^2)$, не являющийся мажорантным:
$$E(X|\mathcal{A})\subseteq X.\eqno(_6.2)$$
С.и. $\tilde{X}\subseteq L^1(I),\ \stackrel{e}{\sim}$ эквивалентный $X$, также не является мажорантным. По теореме 3.2 для $\tilde{X}$, найдутся и.р. $\mathcal{\tilde{P}}:=\sigma(\tilde{P}_n,\ n\geq 1),$ на $I$ и элемент  $\tilde{x},\ \tilde{x}\in\tilde{X}$, такие что
$$E(\tilde{x}|\mathcal{\tilde{P}})\notin \tilde{X}.\eqno(_6.3)$$
Не умаляя общности, можно считать функцию $\tilde{x}$ элементарной и полагать $\tilde{x}_n:=\tilde{x}\cdot 1_{\tilde{P}_n}=\sum_{i\geq 1}r_i^n\cdot 1_{\tilde{A}_i^n}$, где попарно дизъюнктные при $i\neq j$ подмножества $\tilde{A}_i^n\subseteq I$ положительной меры $\alpha_i^n$, такие что $\bigcup_{i\geq 1}\tilde{A}_i^n=\tilde{P}_n,\ n\geq 1.$ Пусть $\alpha_n:=\lambda(\tilde{P}_n),\ n\geq 1,$ а $\sigma(P_i^n,\ i\geq 1),$ обозначает существующее в силу предложения 0.4 счётное разбиение промежутка $I$ на попарно дизъюнктные промежутки $\tilde{P}_i^n$ длины $\frac{\alpha^n_i}{\alpha_n},\ i,n\geq 1.$\\

Положим $P_n:=\tilde{P}_n\times I;\ P_i^n:=\tilde{P}_n\times \tilde{P}_i^n,\ i,n\geq 1,$ Очевидно, что при любом $n\geq 1$ функции $x_n:=\Sigma_{i\geq 1}r_i^n1_{P_i^n}$ и $\tilde{x}_n$ равноизмеримы, откуда следует равноизмеримость функций $\tilde{x}$ и $x:=\Sigma_{n\geq 1}x_n$, и, значит, $x\in X$.
Обозначим через $\mathcal{P}$ разбиение $\sigma(P_n,\ n\geq 1)$ единичного квадрата. Применяя формулу $(_6.1)$, приходим к противоречию с $(_6.2)$: для $x\in X$
$$E(x|\mathcal{A})=E(x|\mathcal{P})\sim E(\tilde{x}|\tilde{\mathcal{P}})\notin \tilde{X},$$
$\Box$\\

Перейдём к рассмотрению проверочных разбиений.\\

\textbf{Лемма 6.3.} Для любого $p,\ 0<p<1$ и.р. $\mathcal{B}^{(p)}:=(p^{n})$ является проверочным.\\

\emph{Доказательство.} Нужно доказать, что, если $\mathcal{B}^{(p)}$ усредняет с.и $X,\ X\subseteq L^1(I,\Lambda,\lambda)$, то $X$ - мажорантный идеал.\\

Зафиксируем $\varepsilon>0$ и предположим, что $y\prec z\in X$. Не умаляя общности, функцию $y$ можно считать элементарной. По формуле $(_0.2)\ y^*\simeq E(\rho_py^*|\mathcal{B}^{(p)})$, так что достаточно показать, что  $E(\rho_py^*|\mathcal{B}^{(p)})\in X.$ Но $\rho_py^*\prec\rho_pz^*\in X$, откуда имеем: $\int_0^t\rho_py^*d\lambda<\int_0^tx^*,\ t\in I$, где $x^*:=\rho_pz^*+\varepsilon\cdot \textbf{1}\in X.$ Cогласно лемме 3.7, найдётся такая функция $\tilde{x}$, равноизмеримая с $x^*$ и, значит, содержащаяся в $X$, которая удовлетворяет неравенству $E(\rho_py^*|\mathcal{B}^{(p)})\leq E(\tilde{x}|\mathcal{B}^{(p)})\in X.$ \\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 6.4.} Пусть $\mathcal{T}=(t_n)$ и.р., принадлежащее с.в. $\vec{a}=(a_n)$. Для того, чтобы оно было проверочным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось записываемое равносильным образом  условие
$$\sup_{n\geq 1}\frac{a_n}{\sum_{k>n}a_k}\Big(=\sup_{n\geq 1}\frac{t_{n-1}-t_n}{t_n}\Big)<\infty,\textrm{ или,\ равносильно,}\  \sup_{n\geq 1}\frac{t_{n-1}}{t_n}<\infty. \eqno (_6.4)$$
\textbf{Лемма 6.5.} Выполнение условия $(_6.4)$ равносильно существованию такого вещественного числа $p,\ 0<p<1$, что всякий промежуток $B_n^{(p)}=(p^{n},p^{n-1}],\ n\geq 1,$ и.р. $\mathcal{B}^p$ является $\mathcal{T}-$\emph{занятым}, то есть содержит хотя бы одну точку последовательности $\{t_n\}.$\\

\emph{Доказательство.} Необходимость. Предположим, что для любого $p$ вида $\ p=2^{-\nu^2},\ \nu=1,2,...,$ существует $\mathcal{T}-$незанятый промежуток $B_m^{(2^{\nu^2})}.$ Обозначим через $t_{n-1}^\nu$ и $t_n^\nu$ ближайшие к этому промежутку справа и слева точки последовательности $\{t_n\}.$ Тогда $\limsup_{n\rightarrow \infty}\frac{t_{n-1}}{t_n} \geq \limsup_{\nu\rightarrow \infty}\frac {2^{-(\nu-1)^2}}{2^{-\nu^2}}=\limsup_{\nu\rightarrow \infty}2^{2\nu-1}=\infty$ в противоречие с $(_6.4)$.\\

Достаточность. Пусть найдётся вещественное $p,\ 0<p<1$, для которого всякий промежуток вида $B_n^{(p
)}=(p^{n},p^{n-1},],\ n\geq 1,\ \mathcal{T}-$занят. Для любой точки $t_k$ последовательности $\{t_n\},$
рассмотрим два случая: 1) $t_k,\ t_{k-1}\in B_n^{(p)}.$ Тогда $\frac{t_{k-1}}{t_k}\leq \frac{p^{n-1}}{p^{n}}=p<\infty.$
2). $t_k \in B_{n+1}^{(p)},\ t_{k-1}\in B_n^{(p)}.$ Тогда $\frac{t_{k-1}}{t_k}\leq \frac{p^{n-1}}{p^{n+1}}=p^{-2}.$ Тем самым в обоих случаях  $(_6.4)$ выполнено. \\
$\Box$\\

С помощью этой леммы докажем \emph{достаточность} в теореме 6.4. Обозначим через $C$ левую часть в $(_6.4)$ и положим $p=(C+1)^{-1}$. Разредим последовательность  $\{t_n\}$, удалив из неё точки, содержащиеся в промежутках вида $B_{2n-1}^{(p)},$ а в  промежутках вида $B_{2n}^{(p)}$ оставим лишь по одной её точке, $n\geq 1$. Оставшиеся точки перенумеруем заново в последовательность $\{t'_n\}$ в порядке убывания на $I$, считая что $t'_0=1.$\\

По предложению 0.6 достаточно показать проверочность интервального разбиения $\mathcal{T}':=(t'_n)$.  В силу леммы 6.3 всякое разбиение, принадлежащее с.в. $\vec{p}_2=(p^{2n})$ (нормированному коеффициентом $K:=p^{-2}-1$) является проверочным. Значит, если взять любой с.и. $X$, не являющийся мажорантным, то по замечанию 0.11.4)  найдётся такой его элемент $x$, что
$$x=x\cdot 1_{\bigcup_{n\geq 1}B_{2n-1}^{(p^2)}}\ \textrm{и}\ \sum_{n\geq 1} [\lambda(B_{2n-1}^{(p^2)})]^{-1}\int_{B_{2n-1}^{(p^2)}}x\cdot d\lambda 1_{B_{2n-1}^{(p^2)}}\notin X.$$
Теперь по выбору последовательности $\{t'_n\}$ и элемента $x$ имеем:
$$E(x|\mathcal{T}')=K\sum_{n\geq 0}\frac{1}{t'_n-t'_{n+1}}\int^{t'_n}_{t'_{n+1}}x\cdot d\lambda\cdot1_{(t'_{n+1},t'_n]}\geq$$
$$\geq K\rho_{p^{-2}}\Big(\sum_{n\geq 1} [\lambda(B_{2n-1}^{(p^2)})]^{-1}\int_{B_{2n-1}^{(p^2)}}x\cdot d\lambda 1_{B_{2n-1}^{(p^2)}}\Big)\notin X,$$
чем достаточность доказана.\\

\emph{Необходимость.} Предположим, что и.р. $\mathcal{T}=(t_n)$ принадлежащий монотонному с.в. $\vec{a}=(a_n)$, не удовлетворяющему условию $(_6.4)$. Наша цель - построить функцию $f=f^*\in L^1(I)$ таким образом, чтобы с. и. $\mathcal{N}_f$ не был мажорантным, но усреднялся бы $\mathcal{T}$.\\

Согласно замечанию 0.11.3), не умаляя общности, можно заменить и.р. $\mathcal{T}$ его двоичной проекцией, - и.р. $\mathcal{T}_{(2)}:=(2^{-m_n}),$ где $0=m_0<m_1<...<m_n<...$ и по предположению $\limsup_{n\rightarrow\infty}(m_{n+1}-m_n)=\infty.$\\

Возьмём последовательность натуральных чисел  $\{q_n\},\ q_n=m_{n+1}-m_n,\ n \geq 1,$ и преобразуем её, полагая $q_{m_n}^\prime=1,\ q_{m_n+1}^\prime=q_{m_n+1}+q_{m_n}-1,\ q_k^\prime=q_k\ \textrm{при}\ k\neq m_n,\ k\neq m_{n}+1,\ n\geq 1.$\\

Подпоследовательность $\{q_{m_n}^\prime\}$ неограниченной натуральной последовательности $\{q_n^\prime\}$ по построению ограничена: $q_{m_n}^\prime=1.$  Исходя из натуральной последовательности $\{q_n^\prime\}$, построим невозрастающую функцию $f$ в соответствии с правилами $\mathcal{U}_1)\ -\ \mathcal{U}_4)$ леммы 1.9. В силу леммы 1.10 $f$ не регулярна и, значит,  с.и. $\mathcal{N}_f$  не является мажорантным, но в силу теоремы 5.13 $\mathcal{T}_{(2)}$ усредняет с.и. $\mathcal{N}_f$.\\
$\Box$\\

\textbf{Замечание 6.6.} 1. В части необходимости в теореме 6.4 нельзя опустить условие монотонности с.в. $\vec{a}.$ Это следует из того, что координаты любого с.в. можно переставить в таком порядке, что получившийся с.в. не будет удовлетворять условию $(_6.4).$\\

2. Из теоремы 6.4 и предложения 0.6 легко получить следующее утверждение.\\

Для того, чтобы разбиение $\mathcal{F}$ было проверочным, необходимо и достаточно, чтобы для любой функции $f\in L^1(I)$ выполнялась эквивалентность
$$E(f^*|\mathcal{F}^*)\simeq f^*.$$

\textbf{Следствие 6.7.} Для любого и.р. $\mathcal{B}=(b_n)$ найдётся более мелкое проверочное и.р.\\

\emph{Доказательство.}  Для положительного $v$ обозначим $[v]:=\textit{целая}\ \textit{часть}\ v + 1,\ 0<\frac{v}{[v]}<1.$  Пусть $\vec{\beta}=(\beta_n)$ обозначает с.в., которому принадлежит $\mathcal{B}$. Построим и.р  $\mathcal{A}=(a_n),$ с.в. которого есть $\vec{\alpha}=(\alpha_n)$, так что $\sum_{k>n}\alpha_k=a_n,\ n\geq 1,$ и затем  воспользуемся достаточным критерием проверочности $(_6.4)$.\\

Положим\\
$$a_0:=1,a_1:=1-\frac{\beta_1}{[\frac{\beta_1}{b_1}]},...,a_{[\frac{\beta_1}{b_1}]}:=1-[\frac{\beta_1}
{b_1}]\cdot \frac{\beta_1}{[\frac{\beta_1}{b_1}]}=1-\beta_1=b_1;\ $$
$$a_{[\frac{\beta_1}{b_1}]+1}:=b_1-\frac{\beta_2}{[\frac{\beta_2}{b_2}]},...,\ a_{[\frac{\beta_1}{b_1}]+[\frac{\beta_2}{b_2}]}:=b_1-[\frac{\beta_2}{b_2}]\cdot \frac{\beta_2}{[\frac{\beta_2}{b_2}]}:=b_1-\beta_2=b_2,...$$
$$a_{[\frac{\beta_1}{b_1}]+[\frac{\beta_2}{b_2}]+...+[\frac{\beta_{m-1}}{b_{m-1}}]+1}:=
b_{m-1}-\frac{\beta_m}{[\frac{\beta_m}{b_m}]},...,
a_{[\frac{\beta_1}{b_1}]+[\frac{\beta_2}{b_2}]+...+[\frac{\beta_{m-1}}{b_{m-1}}]+[\frac{\beta_m}{b_m}]}:=$$
$$b_{m-1}-[\frac{\beta_m}{b_m}]\cdot \frac{\beta_m}{[\frac{\beta_m}{b_m}]}=b_{m-1}-\beta_m=b_m,...$$
Поскольку интервальное разбиение $\mathcal{A}=(a_n)$  подразбивает своими точками $a_n,\ n\geq 1,$ каждый промежуток $B_k,\ k\geq 1,$ разбиения $\mathcal{B}$, то $\mathcal{A}$ мельче, чем $\mathcal{B}.$ Кроме того, $0<\sup_{m\geq 1}\frac{a_m}{\alpha_m}\leq \sup_{n\geq 1}\frac{\frac{\beta_n}{[\frac{\beta_n}{b_n}]}}{b_n}\leq 1.$  Тем самым выполняется условие $(_6.4)$, значит $\mathcal{A}$ - проверочное разбиение.\\
 $\Box$\\

В \cite{35}, теорема 3.1, приведено доказательство следующего результата.\\

\textbf{Теорема}. Для того чтобы $\sigma$-подалгебра $\mathcal{A},\ \mathcal{A}\subseteq\Lambda,$ усредняла любой идеал $X\subseteq L^1(I)$, необходимо и достаточно, чтобы она была конечным разбиением.\\

Характеризуя усредняющее свойство $\sigma$-подалгебр, ограничим класс идеалов.\\

\textbf{Определение 6.2.}\\

1. $\sigma$-подалгебра $\mathcal{A}$ в $\Lambda$ называется \emph{универсальной}, если она усредняет любой симметричный идеал $X\subseteq L^1(I).$\\

2. $\sigma$-подалгебра $\mathcal{A}$ в $\Lambda$ называется \emph{сильно универсальной}, если она универсальна и оператор усреднения $E(\cdot |\mathcal{A})$ действует в любом банаховом симметричном идеале $(X,\|\cdot \|_X)$ как контрактивный проектор: $\|E(\cdot |\mathcal{A})\|_X\leq 1.$\\

Равноизмеримые $\sigma$-подалгебры могут быть универсальными лишь одновременно, что позволяет универсальность не более, чем счётных разбиений проверять на и.р. По определению никакая проверочная $\sigma$-подалгебра универсальной быть не может, и наоборот. С помощью теорем 4.1 и 6.4 легко построить пример счётного разбиения, не являющегося ни универсальной, ни проверочной $\sigma$-подалгеброй.\\

Отметим, что если $\sigma$-подалгебра $\mathcal{A}$ крупнее, чем некоторая универсальная, то и $\mathcal{A}$ является универсальной.\\

Тривиальными примерами дискретных универсальных $\sigma$-подалгебр являются конечные разбиения. Их \emph{независимые дополнения}, как следует из формулы $(_7.5)$, дают примеры непрерывных универсальных $\sigma$-подалгебр.\\

\textbf{Теорема 6.8.} Никакое счётное разбиение $\mathcal{B}$ не является универсальным.\\

\emph{Доказательство.} Если  $\mathcal{B}$ проверочное и.р., то универсальным оно заведомо не может быть, ибо тогда оно не усредняет немажорантные с.и.  Допустим, что $\mathcal{B}$ проверочным не является. Чтобы построить функцию $f=f^*\in L^1(I)$, такую что $\mathcal{N}_f$ не усредняется $\mathcal{B}$, применим те же соображения, что и в доказательстве необходимости в теореме 6.4.\\

Как и при этом доказательстве можно считать $\mathcal{B}$ двоичным и.р.: $\mathcal{B}=(2^{-m_n})$, где по $(_6.4)\ 0=m_1<m_2<...<m_n<...,\ \limsup_{n\rightarrow\infty}m_{n+1}-m_n=\infty.$\\

Возьмём последовательность натуральных чисел  $\{q_n\},\ q_n=m_{n+1}-m_n,\ n \geq 1,$ и преобразуем её чуть иначе, чем раньше. Положим  $ q_{m_n}^\prime=q_{m_n}+q_{m_n+1},\ q_k^\prime=q_k\ \textrm{при}\ k\neq m_n,\ n\geq 1$, так что $\limsup_{n\rightarrow\infty}q^\prime_{m_n}=\infty.$

Исходя из новой натуральной последовательности $\{q^\prime_n\}$, построим невозрастающую функцию $f$ в соответствии с правилами $\mathcal{U}_1)\ -\ \mathcal{U}_4)$ леммы 1.9. Так как подпоследовательность $\{q_{m_n}^\prime\}$ не ограничена, то в силу теоремы 5.13 и.р. $\mathcal{B}$ не усредняет с.и. $\mathcal{N}_f$.\\
$\Box$
\newpage

\bigskip
\centerline{\textbf{§7. Независимые дополнения для интервальных разбиений.}}
\centerline{\bf {\cite{29},\ \cite{35}, \cite{37}, \cite{38}}}
\bigskip
\emph{Продолжается начатое в \cite{35} изучение независимого дополнение $\mathcal{B}^\bot$ к интервальному разбиению $\mathcal{B}$, а также операторов усреднения $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot).$ Результаты применимы к любым счётным разбиениям.}
\bigskip

Всюду в этом параграграфе через $\mathcal{B}=\sigma(B_n=(b_n,b_{n-1}],\ 1=b_0>b_1>...>b_n\downarrow_{n\uparrow\infty}0$ - обозначается интервальное разбиение лебегова промежутка $I$, стохастический вектор $\mathcal{B}$ обозначается $\vec{\beta}=(\beta_n),\ \beta_n=b_{n-1}-b_n,\ n\geq 1,$ а через $\mathcal{B}^\bot$ обозначается независимое дополнение к $\mathcal{B}$ (которое всегда существует, см. \cite{1}.) Для получения основных результатов этого параграфа здесь приведены конструкции аналогичные  §6, \cite{35}.\\


Для любого $n\geq 1$ определим возрастающую линейную функцию $\varphi_n(t):B_n\rightarrow I_n$ формулой
$$\varphi_n(t):=\frac{t-b_n}{\beta_n},\ t\in B_n,$$
тогда обратная к $\varphi$ линейная функция $\varphi^{-1}_n:I_n\rightarrow B_n$ определена формулой
$$\varphi^{-1}_n(s)=b_n+\beta_n\cdot s,\ s\in I_n.$$
С помощью нумерующего отображения $\nu: I\rightarrow \mathbb{N}$:
$$\nu(u):=\sum_{n\geq 1}n\cdot 1_{B_n}(u),\ u\in I,$$
определим функцию $\varphi(t):I\rightarrow I$ формулой
$$\varphi(t):=\varphi_{\nu(t)}(t).$$
Ясно, что обратная к $\varphi$ функция счётнозначна; её значения для любого $s\in I$ образуют множество                       $$\{ \varphi_n^{-1}(s)\}_{n\geq 1}=\{b_n+\beta_n\cdot s\}_{n\geq 1}.$$


Для любого $D\in \Lambda$ в силу линейной инвариантности меры Лебега справедливо
$$\lambda\varphi^{-1}(D)=\bigcup_{n\geq 1}\{\varphi_{\nu(s)=n}^{-1}(D\cap I_n)\}=\lambda\bigcup_{n\geq 1}(b_n+\beta_n\cdot D)=\sum_{n\geq 1}\lambda(b_n+\beta_n\cdot D)=$$
$$=\sum_{n\geq 1}\lambda(\beta_n\cdot D)=\sum_{n\geq 1}\beta_n\cdot \lambda D=\lambda D,\eqno(_7.1)$$
где под $b_n+\beta_nD$ понимаются попарно дизъюнктные множества $\{b_n+\beta_n\cdot d:\ d\in D\},\ n\geq 1.$\\
Тем самым $\varphi$ есть метрический эндоморфизм на $(I,\Lambda,\lambda).$ Отсюда следует\\

\textbf{Лемма 7.1.}Для любой функции $f\in L^1(I)$ функции $f$ и $f\circ\varphi$ равноизмеримы.\\

\textbf{Замечание 7.2.}. 1. \cite{35}. Образ $$\mathcal{B}^\bot:=\varphi^{-1}(\Lambda)\eqno(_7.2)$$
есть непрерывная  $\sigma$-подалгебра в $\Lambda$, являющаяся  независимым дополнением для  $\mathcal{B}$.\\

2. Пусть $\lambda_{\mathcal{B}^\bot}$ есть сужение меры $\lambda$ на $\mathcal{B}^\bot$. Эндоморфизм $\varphi$ устанавливает изоморфизм между пространствами Лебега (в смысле \cite{1}) $(I,\Lambda,\lambda)$ и $(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$, так что имеет место равенство
$$L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda_{\mathcal{B}^\bot})=\{x\in L^1(I):\ x=x\circ\varphi\}.$$
3. Пространство $L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$ является подпространством в смысле Накано пространства $L^1(I)$, то есть $L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$ вложено в $L^1(I)$ с сохранением граней), \cite{41}. При этом для любого с.и. $X,\ X\subseteq L^1(I),$ множество $X\cap L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$ есть с.и в $L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$.
Однако, вообще говоря, неверно, что с.и. в $L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$ есть с.и. в $L^1(I)$. Пример такого с.и. даёт само пространство $L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$.\\
$\Box$\\

Рассмотрим положительный линейный оператор оператор $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot):L^1(I,\Lambda,\lambda)\rightarrow L^1(I,\Lambda,\lambda),$ \cite{35}.
$$E(f|\mathcal{B}^\bot)(t):=\sum_{i\geq 1}\beta_i\cdot f\circ\varphi_i^{-1}(t)=\sum_{i\geq 1}\beta_i\cdot f(b_i+\beta_i\cdot t),\ t\in I.\eqno(_7.3)$$
\textbf{Замечания 7.3.} Отметим некоторые свойства оператора $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot)$, вытекающие непосредственно из его определенияя.\\

1. По замечанию 7.2.2, для любой функции $f\in L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$ справедливо
$$E(f|\mathcal{B}^\bot)(t)=\sum_{i\geq 1}\beta_i\cdot f(b_i+\beta_i\cdot t)=\sum_{i\geq 1}\beta_i\cdot (f\circ\varphi\circ \varphi_i^{-1})(t)=f(t),\ t\in I.$$

Следовательно, $E(L^1(I)|\mathcal{B}^\bot)=L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot}).$
(Надлежит различать $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot)$ как оператор из $L^1(I)$ "в" $L^1(I)$ и $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot)$ как оператор из $L^1(I)$ "на" $L^1(I,\mathcal{B}^\bot,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})$).\\

2. Для всякой функции $f\in L^1(I)$ из равносильных утверждений $ii)\Leftrightarrow iii)$ теоремы 6.3.(2) \cite{35} вытекает равенство
$$E(f\circ\varphi|\mathcal{B})=\int_0^1fd\lambda.$$
Аналогично имеют место равенства
$$E\Big(E(f|\mathcal{B}^\bot)|\mathcal{B}\Big)=E\Big(E(f|\mathcal{B})|\mathcal{B}^\bot\Big)=\int_0^1fd\lambda.$$

3. $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot)$ является бистохастическим проектором, а именно - оператором усреднения по $\sigma$-подалгебре $\mathcal{B}^\bot$, поэтому для любой функции $f\in L^1(I)$
$$E(f|\mathcal{B}^\bot)^{**}\leq f^{**}.$$
При этом справедливо равенство $$\Big(E(f^*|{\mathcal{B}}^\bot)\Big)^{**}=E(f^{**}|{\mathcal{B}}^\bot).\eqno(_7.4)$$
Действительно,
$$\Big(E(f^*|{\mathcal{B}}^\bot)\Big)^{**}(t)=\Big(\sum_{n\geq 1}\beta_nf^*(b_n+\beta_nt)\Big)^{**}(t)=\frac{1}{s}\int_0^s\sum_{n\geq 1}\beta_nf^*(b_n+\beta_nt)ds=$$
$$=\sum_{n\geq 1}\beta_n\frac{1}{s}\int_0^sf^*(b_n+\beta_nt)ds=\sum_{n\geq 1}\beta_nf^{**}(b_n+\beta_nt)   =E(f^{**}|{\mathcal{B}}^\bot)(t).$$
Отметим, что оператор усреднения задан на суммируемых функциях, поэтому правая часть равенства $(_7.4)$ не  имеет  смысла, если функция $f^{**}$ суммируемой не является. В этом случае мы придаём выражению $E(f^{**}|{\mathcal{B}}^\bot)$ смысл суммы $\sum_{n\geq 1}\beta_nf^{**}(b_n+\beta_nt).$\\
$\Box$\\

Всюду в дальнейшем для множества $\mathcal{W}\subseteq L^1(I)$ через $E(\mathcal{W}|\mathcal{B})$ обозначается множество $\{E(w|\mathcal{B}):\ w\in \mathcal{W}\}.$\\

\textbf{Лемма 7.4.} Для оператора $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot)$ при любых $f\in L^1(I)$ и $0<a\leq 1$ справедливо равенство
$$E(\rho_af|\mathcal{B}^\bot)(t)=\rho_aE(f|\mathcal{B}^\bot)(t),\ t,a\in I.\eqno(_7.5)$$
\emph{Доказательство.} По определению c/d-оператора имеем:
$$E(\rho_af|\mathcal{B}^\bot )(t) =\sum_{n\geq 1}\beta_n\cdot \rho_af(b_n+\beta_n\cdot t)
=\sum_{ n\geq 1}\beta_n\cdot f(b_n+\beta_n\cdot a\cdot t),\ t\in I.$$
$$\rho_aE(f|\mathcal{B}^\bot)(t)=E(f|\mathcal{B}^\bot)(a\cdot t)=\sum_{ n\geq 1}\beta_n\cdot f(b_n+\beta_n\cdot a\cdot t),\ t\in I.$$
$\Box$\\

\textbf{Теорема 7.5.} Пусть $f\in L^1(I),\ \mathcal{B}=\mathcal{B}^*.$ Тогда  $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}$ есть главный с.и.  в  $L^1(I)$:
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}=\mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{B}^\bot)}.\eqno(_7.6)$$
\emph{Доказательство.}  Фактически нужно доказать включение $E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)\subseteq\mathcal{N}_{E({f^*}|\mathcal{B}^\bot)}$, равносильное включению левой части $(_7.6)$ в правую, ибо включение правой части $(_7.6)$ в левую тривиально.\\

Допустим, что $g\in E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)$, т.е. $g=E(\tilde{f}|\mathcal{B}^\bot),\ \tilde{f}\in \mathcal{N}_f.$ Согласно $(_7.3)$,
$$g(t)=\sum_{ n\geq 1}\beta_n\cdot \tilde{f}(b_n+\beta_n\cdot t)\leq$$
по неравенству Харди (см, например, \cite{12}, (9.1)) с учётом того, что
последовательность $(\beta_n)$ и функция $\tilde{f}^*$ монотонно не возрастают
$$\leq\sum_{ n\geq 1}\beta_n\cdot \tilde{f}^*(b_n+\beta_n\cdot t),\ t\in I.$$
Так как найдутся $C>1,\ a:0<a<1,$ такие что $\tilde{f}^*\leq C\cdot \rho_af^*,$ то в силу равенства $(_7.5)$
$$g^*(t)\leq C\cdot\sum_{n\geq 1}\beta_n\cdot \rho_af^*(b_n+\beta_n\cdot t)=C\cdot E(\rho_a f^*|\mathcal{B}^\bot)=C\cdot\rho_aE(f^*|\mathcal{B}^\bot)(t),\ t\in I,$$
т.е. $\Big(E(\tilde{f}|\mathcal{B}^\bot)\Big)^*\in \mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{B}^\bot)}.$ Тем самым включение $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}\subseteq\mathcal{N}_{E({f^*}|\mathcal{B}^\bot)}$ доказано. \\
$\Box$\\

\textbf{Замечание 7.6.} По замечанию 7.2.4 $(\mathcal{B}^\bot)\mathcal{N}_{E({f^*}|\mathcal{B}^\bot)}=L^1(I,\Lambda,\lambda|_{\mathcal{B}^\bot})\cap \mathcal{N}_{E({f^*}|\mathcal{B}^\bot)}$, и такое же равенство справедливо и для левой части $({_7.6}).$ Поэтому из теоремы 7.5 вытекает равенство $$(\mathcal{B}^\bot)\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}=(\mathcal{B}^\bot)\mathcal{N}_{E({f^*}|\mathcal{B}^\bot)}.$$
$\Box$\\

Построим по индукции \textbf{$\mathcal{B}$-ичное представление точек промежутка $I$.} Исходное и.р. $\mathcal{B}$ единообразия ради обозначаем $\mathcal{B}^{(0)}=\sigma(B_n^{(0)}:=(b_n^{(0)},b^{(0)}_{n-1}])$ и называем разбиением нулевого ранга; его стохастический вектор обозначаем $\beta^{(0)}:=[\beta^{(0)}_n];\ \beta^{(0)}_n:=b^{(0)}_{n-1}-b_n^{(0)}>0,\ n\geq 1;\ \sum_{n\geq 1}\beta^{(0)}_n=1$.\\
Зафиксируем любую точку $u\in (0,1]$ и обозначим $B^{(0)}_{i_0}(u)$ промежуток и.р. $\mathcal{B}^{(0)}$, содержащий  $u$. Назовём $i_0$ \emph{нулевой цифрой $\mathcal{B}$-ичного представления точки $u.$}\\
Пусть $(k-1)$-я цифра $\mathcal{B}$-ичного представления точки $u$ определена, $k\geq 1$, т.е. счётное разбиение $(k-1)$-го ранга $\mathcal{B}^{(k-1)}$ построено. На $k$-м шаге строим счётное разбиение $k$-го ранга $\mathcal{B}^{(k)}=\varphi(\mathcal{B}^{(k-1)}):=\sigma(B^{(k)}_{i_0,...,i_k}:=(b_{i_0,...i_{k-1},i_k},b_{i_0,...,i_{k-1},i_k-1}])$, разбивая справа налево каждый промежуток предыдущего ранга $B_{i_0,...,i_{k-1}}^{( k-1)}=(b^{(k-1)}_{i_0,...,i_{k-1}},\ b^{(k-1)}_{i_0,...,i_{k-1}-1}]$ последовательностью его точек $b^{(k)}_{i_0,...,i_{k-1},i_k}:=b^{(k)}_{i_0,...,i_{k-1},i_{k-1}-1}-\prod_{\nu=0}^k\beta_{i_\nu}$ при  $i_k>1;\ b^{(k)}_{i_0,...,i_{k-1},0}:=b^{(k-1)}_{i_0,...,i_{k-1}-1}.$ Отметим, что с.в. счётного разбиения $\mathcal{B}^{(k)}$ есть $[\prod_{\nu=0}^k\beta_{i_\nu}]\in [\beta^{(0)}_n]^k$.\\
Если точка $u$ содержится в $B_{i_0,...,i_k}^{(k)}$, то, обозначая этот промежуток через $B_{i_0,...,i_k}^{(k)}(u),$ назовём число $i_k\ k$-\emph{й цифрой $\mathcal{B}$-ичного представления точки $u.$}
Тем самым каждой точке $u\in I$ взаимно-однозначно сопоставлена бесконечная последовательность: $u\leftrightarrow\{i_0(u),...,i_k(u),...\}$ натуральных цифр её $\mathcal{B}$-ичного представления.\\

\textbf{Лемма 7.7.} 1). Справедливы равенства $$\mathcal{B}^{(k)}=\mathcal{B}\circ \varphi^{(k)},\ k\geq 0, \eqno(_7.7)$$
где $\varphi^{(k)}:=\underbrace{\varphi\circ\varphi\circ\cdots\circ\varphi}_{\mbox{$k$}}.$\\

2). Для любых с.и. $X$ и $Y$ из $L^1(I)$ и любого $k\geq 1$ справедлива равносильность
$$E(X\circ\varphi^{(k-1)}|\mathcal{B}^{(k-1)})\subseteq Y\Leftrightarrow E(X|\mathcal{B}^{(k-1)})\subseteq Y,$$
влекущая равносильность
$$E(X|\mathcal{B})\subseteq Y\Leftrightarrow E(X|\mathcal{B}^{(k-1)})\subseteq Y,\eqno(_7.8)$$
3). $\sigma$-подалгебра $\mathbb{B}:=\sigma(\bigcup_{k\geq 0}\mathcal{B}^{(k)})\ \sigma$-алгебры $\Lambda$, порождённая всеми множествами счётных разбиений $\mathcal{B}^{(k)},\ k\geq 0,$ совпадает с $\Lambda.$\\

\emph{Доказательство.} 1). Прямо следует из определений .$\mathcal{B}^{(k)},\ k\geq 0,$ и $\varphi$.\\

 2) Поскольку $\varphi^{(k-1)}$ - эндоморфизм, то $X$ и $X\circ\varphi^{(k-1)}$ -  $\stackrel{e}{\sim}$эквивалентные с.и., $k\geq 1,$ и в силу симметричности идеала $Y$ равносильности 2)  следуют аналогично замечанию 0.11.1).\\

 3). Каждая точка  $u\in I$ является пересечением убывающей последовательности стягивающихся к ней промежутков $k$-го ранга, имеющих диаметр $\prod_{\nu=0}^k\beta_{i_\nu}$, т.е. $u=\bigcap_{k=0}^\infty B_{i_0,...,i_k}^{(k)}(u)$. Обозначим через $\mathbb{R}_I$ множество всех рациональных точек промежутка $I$ и зафиксируем любой открытый промежуток $(c,d)\subseteq I.$ Для каждой его рациональной точки $r_n:\ r_n\in \mathbb{R}_I:=\{r_j\}_{j\geq 1},$ через $K(r_n)$ обозначим наименьший ранг из промежутков последовательности $\{B_{i_0,...,i_k}^{(k)}(r_n)\}_{k\geq 1}$, целиком содержащихся в $(c,d)$. Пусть $u$ любая точка из $(c,d)$ и пусть $u=\lim_{n(u)\rightarrow\infty} r_{n(u)}$. Очевидно, что
$$(c,d)=\bigcup_{r_{n(u)}\in\mathbb{R}_I}B^{(K(r_{n(u)}))}_{i_0,...,i_{K(r_{n(u)})}}\in \mathbb{B}.$$
Остаётся применить стандартную схему перенесения лебеговой меры $\lambda$ с открытых интервалов на $I.$\\
$\Box$\\

Зафиксируем целое $k>0$. Любую функцию  $z=z(t)\in L^1(I,\mathcal{B}^{(k)},\lambda),\ k>0,$ можно записать в виде $\sum_{i_0,i_1,...,i_k\geq 1}r_{i_0,i_1,...,i_k}1_{B_{i_0,i_1,...,i_k}^{(k)}}(t)$. Переходя к исходному обозначению $\mathcal{B}=\sigma(B_j=(b_j,b_{j-1}],\ b_0=1,\ \beta_j=b_{j-1}-b_j,\ j\geq 1),$ для всякого $t\in I$ по определению $(_7.3)$
$$E(z|\mathcal{B}^\bot)(t)=\sum_{j\geq 1}\beta_j\cdot z(b_j+\beta_j\cdot t)=\sum_{j\geq 1}\beta_j\cdot\sum_{i_0,i_1,...,i_k\geq 1}r_{i_0,i_1,...,i_k}\cdot1_{B_{i_0,i_1,...,i_k}^{(k)}(t)}(b_j+\beta_j\cdot t).$$
Заметим, что если $j\neq i_0$, то $1_{B_{i_0,i_1,...,i_k}^{(k)}(t)}(b_j+\beta_j\cdot t)=0.$ Поэтому предыдущее равенство можно продолжить
$$=\sum_{i_0,i_1,...,i_k\geq 1}\beta_{i_0}\cdot r_{i_0, i_1,...,i_k}\cdot 1_{B_{i_0,i_1,...,i_k}^{(k)}(t)}(b_{i_0}+\beta_{i_0}\cdot t).\eqno(_7.9) $$
Поскольку $1_{B_{i_0,i_1,...,i_k}^{(k)}}(b_{i_0}+\beta_{i_0}\cdot t)=1\Leftrightarrow (b_{i_0}+\beta_{i_0}\cdot t)\in B_{i_0,i_1,...,i_k}^{(k)}$, причём $r_{i_0,i_1,...,i_k}=\frac{1}{\prod_{\nu=0}^k \beta_{i_{\nu}}}\cdot\int_{B^{(k)}_{i_0,i_1,...,i_k}(t)}zd\lambda,$ то сумма в $(_7.9)$ равна
$$=\sum_{i_0,i_1,...,i_k\geq 1}\frac{\beta_{i_0}}{\prod_{\nu=0}^k \beta_{i_{\nu}}}\cdot\int_{B^{(k)}_{i_0,i_1,...,i_k}(t)}zd\lambda\cdot 1_{B^{(k)}_{i_0,i_1,...,i_k}}(t)=$$
$$=\sum_{i_1,i_2,...,i_k\geq 1}\frac{1}{\prod_{\nu=1}^k \beta_{i_{\nu}}}\sum_{i_0\geq 1}\int_{B^{(k)}_{i_0,i_1,...,i_k}(t)}zd\lambda\cdot 1_{B^{(k)}_{i_0,i_1,...,i_k}(t)}(t)=$$
$$=\sum_{i_1,i_2,...,i_k\geq 1}\frac{1}{\prod_{\nu=1}^k \beta_{i_{\nu}}}\int_{_{\bigcup_{i_0\geq 1}}B^{(k)}_{i_0,i_1,...,i_k}(t)}zd\lambda\cdot 1_{B^{(k)}_{i_0,i_1,...,i_k}(t)}(t)=$$
$$=\sum_{i_1,...,i_k\geq 1}\frac{1}{\lambda(H_{i_1,...,i_k})}\int_{H_{i_1,...,i_k}}zd\lambda\cdot 1_{H_{i_1,...,i_k}}(t),$$
где множества $H_{i_1,...,i_k}:=\bigcup_{i_0\geq 1}B_{i_0,i_1,...,i_k}$ как и множества $B^{(k)}_{i_0,i_1,...,i_k}$ попарно дизъюнктны, причём $\lambda(H_{i_1,...,i_k})=\sum_{i_0\geq 1}\lambda(B_{i_0,i_1,...,i_k})=\sum_{i_0\geq 1}\prod_{\nu=0}^k \beta_{i_{\nu}}=\prod_{\nu=1}^k \beta_{i_{\nu}}.$ Теперь, поскольку $\sum_{i_1,...,i_k\geq 1}\prod_{\nu=1}^k \beta_{i_{\nu}}=\prod_{\nu=1}^k\sum_{i_\nu\geq 1}\beta_{i_\nu}=1,$ можно сделать вывод, что выполняется равенство
$$E\Big(E(z|\mathcal{B}^{(k)})|\mathcal{B}^\bot\Big)(t)= E(z|\mathcal{H}_{i_1,...,i_k})(t),\ t\in I,\eqno(_7.10)$$
где счётные разбиения $\mathcal{H}_{i_1,...,i_k}=\sigma(H_{i_1,...,i_k},\ i_1,...,i_k\geq 1)$ и $\mathcal{B}^{(k-1)},$ принадлежа одному и тому же с.в. $\beta^k=[\prod_{\nu=1}^k \beta_{i_{\nu}}]$, равноизмеримы: $\mathcal{H}_{i_1,...,i_k}\sim \mathcal{B}^{(k-1)}$. Значит по 0.6.3) для любой функции $x \in L^1(I)$ и для подходящей функции $y \in L^1(I),\ y\sim x,$ выполняется
$$E\Big(E(x|\mathcal{B}^{(k)})|\mathcal{B}^\bot\Big)= E(x|\mathcal{H}_{i_1,...,i_k})\sim E(y|\mathcal{B}^{(k-1)}).\eqno(_7.11)$$
Тем самым для любых с.и. $X, Y\subseteq L^1(I)$ справедлива формула
$$E\Big(E(X|\mathcal{B}^{(k)})|\mathcal{B}^\bot\Big)\subseteq Y\Leftrightarrow  E(X|\mathcal{H}_{i_1,...,i_k})\subseteq Y\Leftrightarrow E(X|\mathcal{B}^{(k-1)})\subseteq Y.\eqno(_7.12)$$
По теореме Поля Леви, VII,4.3, \cite{37}, и в силу леммы 7.9.3)  для всякого $x\in L^1(I)$ справедливо:
$$\textrm{п.в.}\ \lim_{k\rightarrow\infty}E(x|\mathcal{B}^{(k)})=E(x|\mathbb{B})=E(x|\Lambda)=x.\eqno(_7.13)$$
Отсюда и из II,7,2, \cite{37}, для всякого с.и. $X$ из $(_7.16)$ следует предельное равенство
$$\textrm{п.в.}\ \lim_{k\rightarrow\infty}E(X|\mathcal{B}^{(k)})=E(X|\mathbb{B}) =E(X|\Lambda)=X.\eqno(_7.14)$$
\textbf{\emph{Предположим, что для любого $x\in X$ найдётся элемент $y=y(x)\in L^1(I)$, такой что для последовательности счётных разбиений $\{\mathcal{B}^{(k)})\}_{k\geq 1}$ выполняются неравенства}}
$$E(x|\mathcal{B}^{(k)})\leq y,\ k\geq 1,\eqno(_7.15)$$
(что по теореме Поля Леви равносильно $(o)$-сходимости $E(x|\mathcal{B}^{(k)})\rightarrow x.$)\\

Тогда для любых с.и. $X$ и $Y$ можно воспользоваться теоремой о сходимости под знаком оператора усреднения, II,7,2, \cite{37}, Этим оправдан переход к пределу п.в. при $k\uparrow\infty$ в нижеследующей цепочке.
$$E(X|\mathcal{B})\subseteq Y\stackrel{0.5.2)}\Leftrightarrow E(X\circ\varphi^{(k-1)}|\mathcal{B}^{(k-1)})\subseteq Y\stackrel{(_7.8)}\Leftrightarrow E(X|\mathcal{B}^{(k-1)})\subseteq Y=$$
$$\stackrel{(_7.12)}=E\Big(E(X|\mathcal{B}^{(k-1)})|\mathcal{B}^\bot\Big)\subseteq Y\stackrel{\cite{37},II,7,2,;\
\cite{12},(1.1)}\Rightarrow  E\Big(\textrm{п.в.}\lim_{k\rightarrow\infty}E(X|\mathcal{B}^{(k-1)})|\mathcal{B}^\bot\Big)\subseteq Y\stackrel{(_7.15),(_7.14)}\Rightarrow $$
$$E\Big(X|\mathcal{B}^\bot\Big)\subseteq Y.$$
Тем самым доказана\\

\textbf{Теорема 7.8.} Пусть $\mathcal{B}$ любое и.р., $Y$ -  любой с.и. из $L^1(I),$ а $X$ - с.и. из $L^1(I)$, удовлетворяющий предположению  $(_7.15)$.  Справедлива импликация
$$E\Big(X|\mathcal{B}\Big)\subseteq Y\Rightarrow E\Big(X|\mathcal{B}^\bot\Big)\subseteq Y.$$
$\Box$\\

\textbf{Следствие 7.9.} Если и.р. $\mathcal{B}$ усредняет с.и.$X$, удовлетворяющий условию $(_7.15)$, то и независимое дополнение $\mathcal{B}^\bot$ усредняет с.и. $X$.\\
$\Box$\\

\textbf{Лемма 7.10.} Пусть и.р. $\mathcal{B}=(b_n)$ усредняет главный с.и. $\mathcal{N}_f$. Тогда для любой функции $0<g\in\mathcal{N}_f$ последовательность $\{E(g|\mathcal{B}^{(k)})\}_{k\geq 1}$ порядково ограничена некоторой функцией из $L^1(I),$ т.е. для $\mathcal{N}_f$ выполнено условие $(_7.15).$\\

\emph{Доказательство.} 1. Напомним, что для функции $f=f^*$ мы обозначаем $f_{\mathcal{B}}:=\sum_{n\geq 1}f(b_n)\cdot 1_{B_n}.$ Теорема 4.1  влечёт, что если и.р. $\mathcal{B}$ усредняет главный с.и. $\mathcal{N}_f$, то $f_{\mathcal{B}}\simeq f^{**}_{\mathcal{B}}.$ Отсюда и из того, что $f^*_{\mathcal{B}}\leq f^*$, следует, что $f^{**}_{\mathcal{B}}\in L^1(I)$.\\
По построению последовательности $\mathcal{B}^{(k)}$ для всякого $k\geq 1$ на любом промежутке $\mathcal{B}^{(k)}_{i_0,...,i_k},\ i_0,...,i_k\geq 1,$ выполняется неравенство $E(f|\mathcal{B}^{(k)})(t)\leq f^{**}(i_0),\ t\in \mathcal{B}^{(k)}_{i_0,...,i_k},$ из которго следует, что $E(f|\mathcal{B}^{(k)})\leq f^{**}_{\mathcal{B}},\ k\geq 1.$\\

2. Возьмём теперь любую функцию $0<g\in\mathcal{N}_f,\ g^*(t)\leq [q(g)]^{-1}\cdot f^*[t\cdot q(g)],\ t\in I,$ где $q(g)<1.$ Выберем эндоморфизм $\pi$ на $I$, такой что $g=g^*\circ \pi.$ Поскольку $f^{**}([q(g)]^{-1}\cdot t)\leq q(g)\cdot f^{**}(t),\ t\in I,$ то по п.1 $E(g|\mathcal{B}^{(k)})=E(g^*\circ \pi|\mathcal{B}^{(k)})\leq q(g)\cdot f^{**}_{\mathcal{B}}\circ \pi\in L^1(I),\ k\geq 1.$\\
$\Box$\\

\textbf{Следствие 7.11.}  Если и.р. $\mathcal{B}$  усредняет главный с.и. $\mathcal{N}_f$, то и независимое дополнение $\mathcal{B}^\bot$ усредняет $\mathcal{N}_f$. Если при этом $\mathcal{B}$ монотонно: $\mathcal{B}=\mathcal{B}^*$, то по $(_7.6)$
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}=\mathcal{N}_{E(f^*|\mathcal{B}^\bot)}\subseteq \mathcal{N}_f.\eqno(_7.16),$$
$\Box$\\

\textbf{Теорема 7.12.} Пусть с.и. $X$ содержится в пространстве  $L\log^+L(I),$ а $Y$ - любой с.и. из $L^1(I).$ Если для  и.р. $\mathcal{B}$ выполняется включение $E(X|\mathcal{B})\subseteq Y$, то для независимого дополнения $\mathcal{B}^\bot$ справедливо включение $E(X|\mathcal{B}^\bot)\subseteq Y$.\\

\emph{Доказательство.} Хорошо известно (см., например,  \cite{19}, IV, 6), что $L\log^+L(I)=\{x\in L^1(I):x^{**}\in L^1(I)\}.$ Отсюда следует, что для любого $x\in X$ выполняется условие $(_7.17)$ с $y(x)=x^{**}$.\\
$\Box$\\

\textbf{Замечание 7.13.} Отметим, что $L\log^+L(I)\subseteq L^p(I)$ для всякого $p>1$.\\
$\Box$\\

\textbf{Лемма 7.14} Проекторы $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot)$ и $E(\cdot|\mathcal{B}^{(k)})$ коммутируют, т.е. для любого $x\in L^1(I)$ верны равенства
$$E(E(x|\mathcal{B}^\bot)|\mathcal{B}^{(k)})=E(E(x|\mathcal{B}^{(k)})|\mathcal{B}^\bot),\ k\geq 1,$$
и, тем самым, по  $(_7.11)$ справедлива формула
$$E(E(x|\mathcal{B}^\bot)|\mathcal{B}^{(k)})=E(E(x|\mathcal{B}^{(k)})|\mathcal{B}^\bot)\sim E(x|\mathcal{B}^{(k-1)}),\ k\geq 1.\eqno (_7.17)$$
\emph{Доказательство.} Первое равенство очевидно, из него и из $(_7.11)$   прямо следует $(_7.19)$.\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 7.15.} Пусть $X$ и $Y$ - любые с.и. из $L^1(I),\ \mathcal{B}$ - любое и.р. Если для независимого дополнения $\mathcal{B}^\bot$ выполняется включение $E(X|\mathcal{B}^\bot)\subseteq Y$, то справедливо включение $E(X|\mathcal{B})\subseteq Y$.\\

Доказательство. Имеем
$$E(X|\mathcal{B}^\bot)\subseteq Y\stackrel{7.9.3)}\Rightarrow E(E(X|\mathcal{B}^\bot)|\lim_{k\uparrow\infty}\mathcal{B}^{(k)})\subseteq Y\stackrel{VII,4.3, \cite{37},\ (_7.14)}\Rightarrow \lim_{k\uparrow\infty}E(E(X|\mathcal{B}^\bot)|\mathcal{B}^{(k)})\subseteq Y\Rightarrow$$ $$\stackrel{(_7.17)}\Rightarrow \lim_{k\uparrow\infty}E(E(X|\mathcal{B}^{(k)}))|\mathcal{B}^\bot)\subseteq Y\stackrel{(_7.12)}\Rightarrow \lim_{k\uparrow\infty}E(X|\mathcal{B}^{(k-1)})\subseteq Y$$
$$\stackrel{(_7.8)}\Leftrightarrow \lim_{k\uparrow\infty}E(X\circ\varphi^{(k-1)}|\mathcal{B}^{(k-1)})\subseteq Y\stackrel{7.9.1)}\Leftrightarrow\lim_{k\uparrow\infty}E(X\circ\varphi^{(k-1)}|\mathcal{B}\circ\varphi^{(k-1)})\subseteq Y$$
$$\stackrel{0.5.2)}\Leftrightarrow \lim_{k\uparrow\infty}E(X|\mathcal{B})\subseteq Y\Leftrightarrow E(X|\mathcal{B})\subseteq Y.$$
$\Box$\\

\textbf{Следствие 7.16.} Если независимое дополнение $\mathcal{B}^\bot$ к  и.р. $\mathcal{B}$ усредняет с.и. $X$, то и $\mathcal{B}$ усредняет $X$.\\
$\Box$\\

Вместе со следствием 7.11 выполняются\\

\textbf{Следствие 7.17.} И.р. $\mathcal{B}$ усредняет главный с.и. $\mathcal{N}_f$, тогда и только тогда, когда
независимое дополнение $\mathcal{B}^\bot$ усредняет $\mathcal{N}_f.$\\
$\Box$\\

\textbf{Следствие 7.18.} Пусть функция $f=f^*\in L^1(I)$, а $\mathcal{B}=\mathcal{B}^*$ - монотонное и.р. Соедующие условия равносильны.
$$i).\ f- \mathcal{B}-\textrm{регулярная функция};\ ii).\ E(f|\mathcal{B})\in \mathcal{N}_f;\ iii).\ E(f|\mathcal{B}^\bot)\in \mathcal{N}_f.$$
\emph{Доказательство.} Если выполняется $i)$, то по определению 4.1. $\mathcal{B}$ усредняет $\mathcal{N}_f$ т.е. $E(\mathcal{N}_f |\mathcal{B})\subseteq \mathcal{N}_f,$ откуда следует во первых, что $E(f|\mathcal{B})\in \mathcal{N}_f,$ а во вторых, - по Следствию 7.17, - что $E(\mathcal{N}_f |\mathcal{B}^\bot)\subseteq \mathcal{N}_f.$ Но по теореме 7.5 $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f |\mathcal{B}^\bot)}=\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B}^\bot)},$ значит выполнено условие  $iii):\ E(f|\mathcal{B}^\bot)\in \mathcal{N}_f.$\\

Обратным ходом выполняются импликации $iii)\stackrel{7.5}\Rightarrow E(\mathcal{N}_f |\mathcal{B}^\bot)\subseteq \mathcal{N}_f\stackrel{7.17}\Rightarrow E(\mathcal{N}_f |\mathcal{B})\subseteq \mathcal{N}_f, $ что по определению означает $\mathcal{B}$-регулярность функции $f$.\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 7.19.} Пусть $f=f^*\in L^1(I)$, а $\mathcal{B}=\mathcal{B}^*$. Если функция $f\ \mathcal{B}$-регулярна, то выполняется равенство
 $$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}|\mathcal{B}^\bot)}=
 \mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}.\eqno (_7.18)$$
 \emph{Доказательство.} Докажем вложение
 $$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}\subseteq \mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}|\mathcal{B}^\bot)},$$
Имеем: $E(f|\mathcal{B}^\bot)\in E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)$, поэтому, будучи $\mathcal{B}^\bot$-измеримой функцией, $E(f|\mathcal{B}^\bot)$ удовлетворяет включению $E(f|\mathcal{B}^\bot)\subseteq E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}|\mathcal{B}^\bot)$. Тем самым $$E(f|\mathcal{B}^\bot)\in\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}|\mathcal{B}^\bot)}.\eqno (_7.19)$$
Отсюда по теореме 7.5
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}=\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B}^\bot)}\subseteq \mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}|\mathcal{B}^\bot)}.$$
Отметим, что включение $(_7.19)$ справедливо без предположентя о $\mathcal{B}$-регулярности функции $f.$\\

Докажем обратное включение. Имеем:  по теореме 7.5. $\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}=\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B}^\bot)},$ так что для $\mathcal{B}$-регулярной функции $f$ по следствию 7.18
$$\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}|\mathcal{B}^\bot)}=
\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{E(f|\mathcal{B}^\bot)}|\mathcal{B}^\bot)}\subseteq \mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_{\mathcal{N}_f}|\mathcal{B}^\bot)}=\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_f|\mathcal{B}^\bot)}.$$
$\Box$\\

\textbf{Замечание 7.20.} Пусть $\mathfrak{X}$ и $\mathfrak{N}$ обозначают то же, что и в замечании 5.16. Рассмотрим отображение $\mathcal{S}_{\mathcal{B}^\bot}(g):\mathfrak{N}\rightarrow \mathfrak{X}:$  $$\mathcal{S}_{\mathcal{B}^\bot}(\mathcal{N}_g):=\mathcal{N}_{E(\mathcal{N}_g|\mathcal{B}^\bot)},\ g\in L^1(I).$$
Теорема 7.19 означает, что множество всех $\mathcal{B}$-регулярных функций содержится в области идемпотентности отображения $\mathcal{S}_{\mathcal{B}^\bot}.$\\
$\Box$\\

\textbf{Теорема 7.21.} Для любого и.р. $\mathcal{B}= \sigma(B_n),\ B_n=(b_n, b_{n-1}],\ n\geq 1,\ b_0=1,$ следующие условия равносильны.\\

1) $\mathcal{B}$ усредняет $\mathcal{M}^1_f$;\\

2) $\mathcal{B}^\bot$ усредняет $\mathcal{M}^1_f;$\\

3) $\mathcal{B}$ усредняет $\mathcal{N}_f$;\\

4) $\mathcal{B}^\bot$ усредняет $\mathcal{N}_f.$\\

\emph{Доказательство}. В теореме 4.12.доказано, что если  $\mathcal{B}$ усредняет $\mathcal{N}_f$, то $\mathcal{B}$ усредняет $\mathcal{M}^1_f$. В точности также можно доказать (заменой $E(\cdot|\mathcal{B})$ на $E(\cdot|\mathcal{B}^\bot)$)
импликацию 4)$\Rightarrow$2).\\

По следствию 7.17 (и с учётом теоремы 4.12) 1)$\Rightarrow$3)$\Rightarrow$4), значит 1)$\Rightarrow$3)$\Rightarrow$4)$\Rightarrow$2). Отсюда по следствию 7.16 выполняется вся цепочка импликаций 1)$\Rightarrow$3)$\Rightarrow$4)$\Rightarrow$2)$\Rightarrow$1).\\
$\Box$\\

\newpage
\bigskip

\centerline{\bf {§8. Проверочность и универсальность независимых дополнений.}}
\centerline{\bf {\centerline{\bf {\cite{29},\ \cite{35}}}}}
\bigskip

\emph{Дана полная классификация проверочных, универсальных и сильно универсальных $\sigma$-подалгебр в классе всех независимо дополняемых $\sigma$-подалгебр в $\Lambda$.}\\

\textbf{Теорема 8.1.} Независимое дополнение к проверочному разбиению есть проверочная $\sigma$-подалгебра.\\

\emph{Доказательство I.} Пусть  $\mathcal{B}$ проверочное и.р. По определению для всякого с.и. $X,\ X\subseteq L^1(I),$ не являющегося мажорантным, справедливо: $E(X|\mathcal{B})\nsubseteq X.$ Тогда по следствию 7.16 $E(X|\mathcal{B}^\bot)\nsubseteq X,$ и тем самым  $\mathcal{B}^\bot$ тоже проверочная $\sigma$-подалгебра.\\
$\Box$\\


\textbf{Теорема 8.2}. Если и.р. $\mathcal{B}=\mathcal{B}^*$ не является проверочным, то и его независимое дополнение $\mathcal{B}^\bot$ не является проверочной $\sigma$-подалгеброй.\\

\emph{Доказательство.} При доказательстве необходимости в теореме 6.4 в предположении, что монотонное и.р. $\mathcal{B}=(b_n)$ не удовлетворяет условию $(_6.4)$, была построена функция $f=f^*\in L^1(I)$, такая что с. и. $\mathcal{N}_f$ не является мажорантным, но усредняется $\mathcal{B}$. Тогда по следствию 7.11 с.и $\mathcal{N}_f$ усредняется также и $\mathcal{B}^\bot,$ тем самым $\mathcal{B}^\bot$ не является проверочной $\sigma$-подалгеброй.\\
$\Box$\\


Заметим теперь, что для любой $\sigma$-подалгебры смешанного типа независимое дополнение к ней всегда непрерывно и, следовательно, не может быть смешанного типа. Из теорем 6.1, 8.1 и 8.2 вытекает\\

\textbf{Следствие 8.3.} В классе независимо дополняемых $\sigma$-подалгебр проверочными являются только следующие.\\

1).Чисто непрерывные $\sigma$-подалгебры и $\sigma$-подалгебры смешанного типа.\\

2). Проверочные счётные разбиения, охарактеризованные в теореме 6.4,  и независимые дополнения к ним.\\
$\Box$\\


\textbf{Лемма 8.4.} Пусть $\mathcal{B}=(b_n)$ монотонное и.р., не являющееся проверочным. Найдётся такая $\mathcal{B}^{(1)}$-измеримая (см. §7), но не $\mathcal{B}$-измеримая функция $f=f^*\in L^1(I)$, что $E(f|\mathcal{B})\notin \mathcal{N}_f.$\\

\emph{Доказательство.} Воспользуемся тем, что по $(_6.4)$ для монотонного и.р. (то есть такого, что  $\beta_n\downarrow_{n\uparrow \infty}0$), не являющегося проверочным, выполняется равенство $$\sup_{n\geq 1}\frac{b_{n-1}}{b_n}=\infty,$$ и построим по индукции подпоследовательность $\{b_{n_k}\}$ следующим образом.  Положим $b_{n_0}=1$. Если точка $b_{n_{k-1}},\ k\geq 1,$ уже построена, то выберем точку $b_{n_k}$, удовлетворяющую условиям
$$\begin{cases}b_{n_k-1}\leq \frac{1}{2}\cdot b_{n_{k-1}};\\
\frac{b_{n_k-1}}{b_{n_k}}>b_{k+1}^{-2};\\
b_{n_k-1}\geq k\cdot s_k;\\
\end{cases}k\geq 1,\eqno(_8.1)$$
где $s_0=1;\ s_k=b_k^{(n_k-1)}=b_{n_k-1}-\beta_{n_k-1}\cdot \beta_k,\ k\geq 1$ (так что $s_k\downarrow_{k\uparrow \infty}0$), а счётное разбиение $\mathcal{B}^{(1)}=\sigma(B_k^{(n)}=(b_k^{(n)},b_{k-1}^{(n)}])$ построено так, как выше.\\

Определим последовательность $\{u_k\}$, полагая $u_1=1,\ u_{k+1}=(2^kb_{n_k-1})^{-1},\ k>1.$ В силу того, что по $(_8.1)$ $b_{n_k}<s_k<b_{n_k-1},\ k>1,$ имеем
$$\sum_{k=1}^\infty u_k(s_{k-1}-s_k)\leq 1-s_1+\sum_{k=1}^\infty u_{k+1}s_k\leq 1-s_1+\sum_{k=1}^\infty u_{k+1}b_{n_{k-1}-1}\leq 2-s_1<\infty.\eqno(_8.2)$$
Отметим, что в силу первого из неравенств $(_8.1)$ можно записать
$$u_{k+1}> (2^{k-1}b_{n_k-1})^{-1}\geq (2^{k-1}b_{n_k-1})^{-1}b_{n_{k-1}-1}=u_k,\ k\geq 1.\eqno(_8.3)$$
Положим при $k\geq 1$
$$\begin{cases}f(t)=u_2,\ \mbox{если}\  s_2<t\leq s_0;\\
f(t)=u_k,\ \mbox{если}\  s_k<t\leq s_{k-1}.\end{cases}$$
Из $(_8.2)$ следует, что $f=f^*\in L^1(I)\ - \mathcal{B}^{(1)}$-измеримая функция.\\

 По определению для последовательности $\{s_k\}$ выполняются неравенства  $s_k<b_{n_k-1}<\frac{1}{2}b_{n_{k-1}}<s_{k-1},\ k\geq 1.$ Снова пользуясь  определением $\{s_k\}$  и формулами $(_8.1)$, получаем
$$\frac{E(f|\mathcal{B})(b_{n_k-1})}{f(\frac{b_{n_k-1}}{k})}=\frac{E(f|\mathcal{B})(b_{n_k-1})}{f(b_{n_k-1})}=
\frac{1}{u_k}\cdot\frac{u_{k+1}(s_k-b_{n_k})+u_k(b_{n_k-1}-s_k)}{b_{n_k-1}-b_{n_k}}\geq $$
$$\geq \frac{u_{k+1}}{u_k}\cdot\frac{s_k-b_{n_k}}{b_{n_k-1}-b_{n_k}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{b_{n_{k-1}-1}}{b_{n_k-1}}\cdot b_k\geq\frac{b_{n_{k-1}-1}}{b_{n_{k-1}}}\cdot b_k\geq\frac{b_k}{b_k^2}\rightarrow_{k\rightarrow\infty}\infty,$$
значит в соответствии с леммой 0.13 $E(f|\mathcal{B})\notin \mathcal{N}_f.$\\
$\Box$\\

\textbf{Следствие 8.5.} Для любого и.р. $\mathcal{B}$ найдётся с.и., не усредняемый независимым дополнением $\mathcal{B}^\bot$.\\

\emph{Доказательство}. Если $\mathcal{B}$ проверочное и.р., то по теореме 8.1 искомым будет любой с.и., не являющийся мажорантным. Если же и.р. $\mathcal{B}$ проверочным не является, то по лемме 8.4 с.и. $\mathcal{N}_f$ не усредняется $\mathcal{B}$, где $f\ -\mathcal{B}^{(1)}$-измеримая функция, построенная в этой лемме .\\
$\Box$\\

\textbf{Следствие 8.6} В классе дополняемых $\sigma$-подалгебр универсальными являются только конечные разбиения и независимые дополнения к ним.\\

\emph{Доказательство.} Конечные разбиения и независимые дополнения к ним очевидным образом являются универсальными. По теореме 6.8 никакое счётное разбиение универсальным не является. Если $\sigma$-подалгебра содержит непустую непрерывную часть, то по следствию 8.3 она проверочная и, следовательно, универсальной быть не может. Если же речь идёт о непрерывных $\sigma-$подалгебрах, имеющих в качестве независимого дополнения счётное разбиение, то применимо следствие 8.5.\\
$\Box$\\

Напомним, что универсальная $\sigma$-подалгебра $\mathcal{A}$ называется \emph{сильно универсальнымой}, если для любого симметричного пространства $(X,\|\cdot\|_X)$ проектор $E(\cdot|\mathcal{A})$ на нём \emph{контрактивен}, т.е. $\|E(\cdot|\mathcal{A})\|_{X\rightarrow X}\leq 1.$\\

\textbf{Замечание 8.7.} Конечные разбиения являются не только универсальными, но и \emph{сильно универсальными} $\sigma$-подалгебрами в $\Lambda$, \cite{6}. Ниже будет показано, что это же верно и для $\sigma$-подалгебр, являющихся независимым дополнением к конечным разбиениям.\\
$\Box$\\

Для дальнейшего нам понадобится одно из метрически эквивалентных представлений непрерывной $\sigma$-подалгебры, являющейся независимым дополнением к не более чем счётному разбиению промежутка $I$.\\

Зафиксируем счётное разбиение $\mathcal{A}$ промежутка $I$, принадлежащее с.в. $\vec{\alpha}=(\alpha_n).$ Множество всех атомов в $\mathcal{A}$ обозначим через $\textsf{A}:=\{a_n\},$ множество всех подмножеств в $\textsf{A}$ обозначим $\mathfrak{A}$, наконец, зададим меру $\alpha$ на $\mathfrak{A}$, полагая $\alpha(a_n)=\alpha_n,\ n\geq 1.$ Прямое произведение пространств с мерой $(\Omega,\Sigma,\mu):=(\textsf{A},\mathfrak{A},\alpha)\times(I,\Lambda,\lambda)=(\textsf{A}\times I,\mathfrak{A}\times \Lambda,\alpha\times\lambda)$ будем называть \emph{совместной реализацией разбиения $\mathcal{A}$ и его независимого дополнения $\mathcal{A}^\bot.$} Каждую точку $a_n\in \textsf{A}$ будем отождествлять с множеством $A_{(n)}:=a_n\times I\in \Sigma,\ n\geq 1.$ Тем самым мы отождествляем не более чем счётное разбиение $\mathcal{A}$ (точнее - $\sigma$-алгебру $\mathfrak{A}$) с $\sigma-$подалгеброй в $\Sigma$, порождённой всеми множествами вида $A\times I,\ A\in \mathcal{A},$ а независимое дополнение к $\mathcal{A}$, - $\sigma-$подалгебру $\mathcal{A}^\bot$, - с $\sigma-$подалгеброй всех множеств из $\Sigma$ вида $\textsf{A}\times e,\ e\in \Lambda.$ При совместной реализации оператор усреднения $E(\cdot|\mathcal{A}^\bot):L^1(\Omega,\Sigma,\mu)\rightarrow L^1(I,\Lambda,\lambda)$ по $\mathcal{A}^\bot$ действует как интеграл по первой переменной: а именно по формуле
 $$E(f|\mathcal{A}^\bot)(a,t)=\sum_{n\geq 1}\alpha_n\cdot f(a_n,t);\ f\in L^1(\Omega,\Sigma,\mu),\ (a,t)\in \Omega.\eqno(_8.4),$$
 в которой функция $E(f|\mathcal{A}^\bot)$ от двух переменных не зависит от первой из них.\\

 Отметим, что описанная совместная реализация разбиения и его независимого дополнения единственна с точностью до изоморфизма пространств с мерой.\\

\textbf{Теорема 8.8.} Для любого конечного разбиения $\mathcal{B}$  его независимое дополнение $\mathcal{B}^\bot$ есть сильно универсальная $\sigma$-плдалгебра.\\

\textbf{Доказательство.} Пусть $m$ есть мощность разбиения $\mathcal{B}$. Обозначим через $\vec{\beta}=(\beta_k)$ с.в., которому принадлежит разбиение $\mathcal{B}$. Рассмотрим случай рациональных координат этого с.в.:
$$\beta_k=\frac{n_k}{n},\ n,n_k>0,\ k=1,...,m,\ \sum_{k=1}^mn_k=n.$$

Воспользуемся конструкцией совместной реализации разбиения и его дополнения. Введём n-мерный с.в. $\vec{\alpha}=(\frac{1}{n})$, введём принадлежащее ему конечное разбиение $\mathcal{A}$ и рассмотрим две совместные реализации, одну для $\mathcal{B}$ и $\mathcal{B}^\bot$, другую для $\mathcal{A}$ и $\mathcal{A}^\bot$:
$$(\Omega,\Sigma,\mu):=(\textsf{B},\mathfrak{B},\beta)\times(I,\Lambda,\lambda);\ (\bar{\Omega},\bar{\Sigma},\bar{\mu}):=(\textsf{A},\mathfrak{A},\alpha)\times(I,\Lambda,\lambda).$$
Здесь $\textsf{B}=\{b_k\}_{k=1}^m$ есть $m-$точечное множество атомов $\{b_1,b_2,...,b_m\}$, $\mathfrak{B}$ - $\sigma-$алгебра всех его подмножеств, а мера $\beta$ определена на $\mathfrak{B}$ равенствами $\beta(b_k)=\beta_k,\ k=1,2,...,m.$ Аналогичный смысл имеет тройка $(\textsf{A},\mathfrak{A},\alpha)$, где $\textsf{A}=\{a_k\}_{k=1}^n$ есть $n-$точечное множество атомов, $\mathfrak{A}$ - $\sigma-$алгебра всех его подмножеств, а мера $\alpha$ определена на $\mathfrak{A}$ равенствами $\alpha(a_k)=\alpha_k=\frac{1}{n},\ k=1,2,...,n.$\\

Положим $k_3:=n_1+n_2,\ k_4:=k_3+n_3,...,k_m=\sum_{i=1}^{m-1}n_i$ и разобьём $\textsf{A}$ на попарно дизёюнктные подмножества $\textsf{A}_1=\{a_1,...,a_{n_1}\},\ \textsf{A}_2=\{a_{n_1+1},...,a_{k_3}\},\textsf{A}_m=\{a_{k_3+1},...,a_{k_4}\}...,\ \{a_{k_m+1},...,a_n\}.$ Имеем: в $\textsf{A}_1$ содержится $n_1$ точек множества $\textsf{A}$, в $\textsf{A}_2$ содержится $n_2$ точек, ..., в $\textsf{A}_m$ содержится $n_m$ точек множества $\textsf{A}.$\\

Зададим на $\textsf{A}$ биекцию $\varphi:\ \varphi(a_n)=a_1,...,\varphi(a_k)=a_{k+1};\ k=1,2,...,n-1.$ Очевидно, что $\varphi$ есть автоморфизм пространства с мерой $(\textsf{A},\mathfrak{A},\alpha)$. Он порождает отображение $\bar{\varphi}:\bar{\Omega}\rightarrow\bar{\Omega}$, действующее по формуле $\bar{\varphi}(a,t):=(\varphi(a),t),\ (a,t)\in \bar{\Omega},$ которое в свою очередь является автоморфизмом пространства с мерой $(\bar{\Omega},\bar{\Sigma},\bar{\mu}).$
Линейная изометрия $\bar{\Phi}$ пространства $L^1(\bar{\Omega},\bar{\Sigma},\bar{\mu})$ порождается автоморфизмом $\bar{\varphi}$ по формуле
$$\bar{\Phi}\bar{f}(a,t)=\bar{f}(\bar{\varphi}(a,t),\ \bar{f}\in L^1(\bar{\Omega},\bar{\Sigma},\bar{\mu}),\ (a,t)\in \bar{\Omega}.$$
Таким образом функции $\bar{f}$ и $\bar{\Phi}\bar{f}$ равноизмеримы.\\

Пусть теперь $(X,\|\cdot\|_X)$ с.п. в $L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$ и пусть $(\bar{X},\|\cdot\|_{\bar{X}})\  \stackrel{e}{\sim}$эквивалентный ему с.п. в $L^1(\bar{\Omega},\bar{\Sigma},\bar{\mu})$ (см. 0.10). Зафиксируем любой элемент $x\in X,\ \|x\|_X\leq 1,$ и  определим по нему элемент $\bar{x}\in L^1(\bar{\Omega},\bar{\Sigma},\bar{\mu})$ формулой
$$\bar{x}(a,t)=x(b_i,t),\ \textrm{если}\ a\in\textsf{A}_i,\ i=1,...,m;\ t\in I.$$
Очевидно, что $\bar{x}\sim x,$ откуда $\bar{x}\in \bar{X},\ \|\bar{x}\|_{\bar{X}}\leq 1.$ Рассмотрим элемент
$$\bar{y}:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}\bar{\Phi}^i\bar{x}.$$
По предыдущему $\bar{y}\in \bar{X}$ и
$$\bar{y}(a,t)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}\bar{x}(a,t)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^m\sum_{a\in \mathcal{A}_i}\bar{x}(a,t)=\sum_{i=1}^m\frac{n_i}{n}x(b,t),\ (a,t)\in \bar{\Omega}.$$
Тем самым $\bar{y}\sim E(x|\mathcal{B}^\bot)$ и, значит, $\|\bar{y}\|_{\bar{X}}=\|E(x|\mathcal{B}^\bot)\|_X.$\\

С другой стороны,
$$\|\bar{y}\|_{\bar{X}}\leq \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}\|\bar{\Phi}^i\bar{x}\|_{\bar{X}}=
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n-1}\|\bar{x}\|_{\bar{X}}=\|\bar{x}\|_{\bar{X}}=\|x\|_X\leq 1.$$
Итак, $\|E(x|\mathcal{B}^\bot)\|_X\leq 1,$ чем исчерпан случай рациональных координат с.в. $\vec{\beta}.$ Стандартными аргументами аппроксимации к нему же сводится случай произвольных координат с.в. $\vec{\beta}.$\\
$\Box$\\

\textbf{Следствие 8.9.} В классе дополняемых $\sigma$-подалгебр сильно универсальными являются только конечные разбиения и независимые дополнения к ним.\\
$\Box$\\

\newpage

\bigskip

\begin{thebibliography}{99}
\bigskip
\bigskip
\centerline{\bf Литература}
\centerline{}
\centerline{}
\bibitem{1}
 Рохлин В.А.  Об основных понятиях теории меры. Матем. Сборн. 25(67), 108–150 (1949).
\bibitem{2}
Lorentz G.G. Majorants in spaces of integrable functions. Amer.J.Math. 77(1955), 484-492.
\bibitem{3}
Вулих Б.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М. Наука, 1959. In Russian
\bibitem{4}
Lorentz G.G. Relations between function spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 12 (1), 1961, 127-132.\\
\bibitem{5}
Amemiya J.. A generalization of Riesz-Fischer theorem, II. Journ.Mathem.Soc.Japan, no.3-4 (1963), 353-354.
\bibitem{6}
Митягин Б.С., Шварц А.С.Функторы в категориях банаховых пространств.Успехи Матем. Наук, 1964, т.19, 65-130. In Russion.
\bibitem{7}
Shimogaki T. Hardy-Littlwood majorants in function spaces. J.Math. Soc.Japan, 17(1965),  365 - 373.
\bibitem{8}
Ryff J.V. Orbits of $L^1$ functions under doubly stochastic transformations. Trans.Amer.Mathem.Soc. 117 (1963), 92 - 100.
\bibitem{9}
Calderon A.P. Spaces between $L^1$ and $L^\infty$ and the theorem of Marcinkiewicz. Studia Mathem. 28(1966), 273 296.
\bibitem{10}
Рудин, Функциональный анализ. "Мир", М. 1975.
\bibitem{11}
Russu G.I. Rearrangement invariant non-majorant function spaces. Math.Invest. 4,(1969), 82-93. In Russian.
\bibitem{12}
Chong K-M., Rice N.M. Equimeasurable rearrangements of functions. Queen`s papers in pure and appl. mathem., № 28 (1971).
\bibitem{13}
Mekler A.A. On majorizing of functions by rearrangements. Systems of Processing and Transferring of Information, Trudi LIAP,1974, no.87, 108-114. In Russian.
\bibitem{14}
Mekler A.A. Intermediate spaces and bistohastic projections. Math. Investigations (= Matem.Issledovanija), Kishinev, 1975, v.10, no 1, 270-275.In Russian.
\bibitem{15}
Mekler A.A. On an equivalence relation for rearrangement invariant ideals in the space $L_1.$ VI Symposium on excessiveness problem in information systems. Part 1, LIAP, 1974, 104-106. In Russian.
\bibitem{16}
Braverman M.S, Mekler A.A. On Hardy-Litlewood property in rearrangement invariant spaces. Sibirsk. Mat.Zhourn, v.17 (1977)№3, 522-540. In Russian.
\bibitem{17}
Mekler, A.A. Averaging operators over $\sigma$-subalgebras on ideals in $L_1(\mu)$. Ph.D. thesis, Leningrad, 1977.
\bibitem{18}
Mekler A.A. Averaged ideal spaces and interpolation between $L_1$ and $L_\infty$. Invest. in theory of functions of many real variables. Yaroslavl, 1980, 126-139. In Russian.
\bibitem{19}
Bennett C. Sharpley R., Interpolation of Operators. Pure and Applied Mathematics, v. 129, Academic Press,1988.
\bibitem{20}
Krein S.G., Petunin Y.I., Semenov E.M. Interpolation of Linear Operators. Translations of Mathematical Monographs, vol. 54, American Mathematical Sociaty, Providence. R.I., 1982.
\bibitem{21}
Mekler A.A. Averaging operator  for a countable partition on a principal r.i. ideal of space $L^1[0,1]$. Zapiski nauchn.seminarov LOMI, 1982.v.107,136-149. In Russian.
\bibitem{22}
Mekler A.A., Sokolovskaya N.F. On some properties of functions generating the Marcinkiewiecz spaces. Ordered Operators, Perm,
1982, 136-143. In Russian.
\bibitem{23}
Mekler A.A. On non-increasing functions of bounded mean oscillation, VIII Symposium of Excessiveness Problem in Informations Systems. LIAP,1983,v.1, 20-22. Russian.
\bibitem{24}
Mekler A.A. Averaging and interpolation by conditional mathtematical expectations. Ibidem, v.5, 107-108. In Russian.
\bibitem{25}
Mekler A.A. The binary normalization of the sequences which identificate rearrangement invariant ideals. Systems of Prjcessing and Transferring of Information. LIAP 172(1984), 88-93. In Russian.
\bibitem{26}
Mekler A.A. Invariant properties of functions that generate the Marcinkiewiecz spaces. Topics in Functional Analysis, Petrozavodsk, 1985, 33-39. In Russian.
\bibitem{27}
Mekler A.A. A supplement to the article "Averaging operator  for a countable partition on a principal r.i.ideal of space $L^1[0,1]$". Zapiski nauchn.seminarov LOMI, 1986.v.149, 137 - 141. In Russian
\bibitem{28}
Mekler A.A.\ Оn a Mackenhaupt`s condition for positive non-increasing functions. Operators and their Applications. LGPI, Leningrad, 1988, 65-71. In Russian.
\bibitem{29}
Mekler A.A. Averaged ideal spaces and interpolation between $L_1$ and $L_\infty$, II. Qualitative and Approximate Methods of Solutions of Operator Equations. Yaroslavl, 1984, 56-70. In Russian.
\bibitem{30}
Абакумов Е.В., Меклер А.А. Interval exchange transformations and problem of identificftion of rearrangement invariant spaces.
Izvestya VUZov, Matematika, 1988,no.2, 3-9. In Russian.
\bibitem{31}
Mekler А.А. On norming of prinzipal rearrangement invariant ideals. Systems of Processing and Transferring of Information, Trudi LIAP,1988, no.87, 107-110. In Russian.
\bibitem{32}
Mekler A.A. On rearrangement invariant and majorant Hulls of averages of rearrangement invariant and majorant ideals. J. Math. Anal., Applic. 171(2), 555–566 (1992).
\bibitem{33}
Mekler, A.A. On rearrangement invariant hull of average of an rearrangement invariant ideals. Proc. Sankt-Petersburg Math. Soc. 2, 285–299 (1993). In Russian
\bibitem{34}
Mekler A.A. On regularity and weak regularity of functions generating Marcinkiewiecz spaces.  Proc.Intern Conf. "Function Spaces", V Poznan, Poland, July 2000, ed. by Hudzik and Skrzypczak, Marcel Denker, Lect.Not.Pur.Appl.Math. Ser. 213, 379 - 387.
\bibitem{35}
Mekler А.А. On an averaging of rearrangement invariant ideals of the space $L^1(\Omega,\Sigma,\mu)$ by Non-Atomic $\sigma$-Subalgebras of $\Sigma.$ Positivity (2010)14, 191-214.
\bibitem{36}
Mekler  A.A. A unified approach to topological invariants of Lorentz–Orlicz–Marcinkiewicz spaces. Ordered Structures and
Applications: Positivity VII Trends in Mathematics, 307–327, 2016,  Springer International Publishing.
\bibitem{37}
Ширяев А.Н. Вероятность. "Наука", М. 1980.
\bibitem{38}
J. Lindenstrauss, L.Tzafriri. Classicfl Banach Spaces. Lect.Notes Math., № 338, Springer-Verlag, 1973
\bibitem{39}
Rao, M.M. Contractive projections and prediction operators. Bull. Am. Math. Soc. 15, 1369–1373 (1969).
\bibitem{40}
Mekler A.A. On bounds preserving embeddings of linear lattices. Gerzen.Chtenia, №24(1971), 54-56.
\end{thebibliography}

Mekler Alexander A.\\
Member of St.-Petersburg Mathematical Sociaty\\
Wilsdruffer Str.7, 01067 Dresden, BRD/Germany\\
Mail: alexandre.mekler@mail.ru








\end{document}
