\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[OT1]{fontenc} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage{hyperref} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{theorem} \newtheorem{theorem}{Теорема}[section] \newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение} \newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма} \newtheorem{condition}[theorem]{Условие} \newtheorem{remark}[theorem]{Замечание} \newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие} \providecommand{\keywords}[1]{\textbf{{Ключевые слова:}} #1} \setcounter{tocdepth}{1} \usepackage[paperwidth=20.5cm,paperheight=29.7cm,width=16.5cm,height=25.5cm,top=24mm,headsep=11mm]{geometry} \numberwithin{equation}{section} \begin{document} \title{Об операторных оценках при усреднении гиперболических систем с периодическими коэффициентами\footnote{Представлено Т.~А. Суслиной}\;\,\footnote{Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда, грант №~17-11-01069.}} \author{Ю. М. Мешкова \footnote{Лаборатория им. П.~Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственный университет, 14 линия В.~О., дом 29Б, Санкт-Петербург 199178 Россия. E-mail: {\tt{y.meshkova@spbu.ru}, \tt{juliavmeshke@yandex.ru}}. }} \maketitle \begin{abstract} Изучаются самосопряженные матричные сильно эллиптические дифференциальные операторы $\mathcal{A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, действующие в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Коэффициенты оператора $\mathcal{A}_\varepsilon$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Нас интересует поведение оператора $\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})$, $\tau\in\mathbb{R}$, в пределе малого периода. Для этого оператора найден старший член аппроксимации по $(H^1\rightarrow L_2)$-операторной норме, а также аппроксимация при учете корректора по $(H^2\rightarrow H^1)$-операторной норме. Результаты применяются к усреднению решений неоднородного гиперболического уравнения $\partial ^2_\tau \mathbf{u}_\varepsilon =-\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon +\mathbf{F}$. \end{abstract} \keywords{периодические дифференциальные операторы, гиперболические системы, усреднение, операторные оценки погрешности.} \tableofcontents \addcontentsline{toc}{section}{Введение} \section*{Введение} Работа относится к теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО). Теории усреднения посвящена обширная литература; см., например, книги \cite{BaPa,BeLP,ZhKO,Sa}. Мы используем спектральный подход к задачам усреднения, основанный на теории Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений. \subsection{Класс операторов} Изучаются самосопряженные эллиптические матричные ДО в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, допускающие факторизацию: \begin{equation*} \mathcal{A}_\varepsilon=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x}/\varepsilon)b(\mathbf{D}),\quad\varepsilon >0. \end{equation*} Здесь $b(\mathbf{D})=\sum _{j=1}^d b_jD_j$ --- $(m\times n)$-матричный ДО первого порядка с постоянными коэффициентами. Предполагается, что $m\geqslant n$ и что символ $b(\boldsymbol{\xi})$ имеет максимальный ранг. Считаем, что периодическая $(m\times m)$-матрица-функция $g(\mathbf{x})$ такова, что \begin{equation*} g(\mathbf{x})>0;\quad g, g^{-1}\in L_\infty. \end{equation*} Коэффициенты оператора $\mathcal{A}_\varepsilon$ быстро осциллируют при $\varepsilon \rightarrow 0$. \subsection{Операторные оценки погрешности для эллиптических и параболических задач} В серии работ \cite{BSu,BSu05-1,BSu05,BSu06} М.~Ш.~Бирмана и Т.~А.~Суслиной был развит абстрактный теоретико-операторный (спектральный) подход к эллиптическим задачам усреднения в $\mathbb{R}^d$. Этот подход основан на использовании масштабного преобразования, теории Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений. Типичная эллиптическая задача усреднения состоит в изучении поведения решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ уравнения $\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon +\mathbf{u}_\varepsilon=\mathbf{F}$, где $\mathbf{F}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, при $\varepsilon\rightarrow 0$. Оказывается, что решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ в некотором смысле сходятся к решению $\mathbf{u}_0$ усредненного уравнения $\mathcal{A}^0\mathbf{u}_0+\mathbf{u}_0=\mathbf{F}$. Здесь \begin{equation*} \mathcal{A}^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D}) \end{equation*} --- \textit{эффективный оператор}, а $g^0$ --- постоянная \textit{эффективная матрица}. Правило нахождения $g^0$ хорошо известно в теории усреднения. В \cite{BSu} установлено, что \begin{equation} \label{eq/ 0} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon \Vert\mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{equation} Эта оценка имеет точный порядок, зависимость постоянной $C$ от данных задачи явно прослежена. Неравенство \eqref{eq/ 0} означает, что при $\varepsilon\rightarrow 0$ резольвента $(\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}$ сходится к резольвенте эффективного оператора по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, причем \begin{equation*} \Vert (\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}-(\mathcal{A}^0 +I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon . \end{equation*} Результаты такого типа называют \textit{операторными оценками погрешности} в теории усреднения. В \cite{BSu06} получена аппроксимация резольвенты $(\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}$ по $(L_2\rightarrow H^1)$-операторной норме: \begin{equation*} \Vert (\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}-(\mathcal{A}^0 +I)^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon . \end{equation*} В этой аппроксимации учтен \textit{корректор} $K(\varepsilon)$. Он содержит быстро осциллирующий множитель, а потому зависит от $\varepsilon$. При этом $\Vert \varepsilon K(\varepsilon)\Vert _{L_2\rightarrow H^1}=O(1)$. В отличие от традиционного корректора в теории усреднения, оператор $K(\varepsilon)$ содержит сглаживающий оператор $\Pi _\varepsilon $ (см. \eqref{Pi eps} ниже). К параболическим задачам усреднения спектральный метод применялся в работах \cite{Su04,Su07,Su_MMNP}. Старший член аппроксимации найден в \cite{Su04,Su07}: \begin{equation*} \Vert e^{-\tau \mathcal{A}_\varepsilon}-e^{-\tau\mathcal{A}^0}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon \tau ^{-1/2},\quad \tau >0. \end{equation*} Аппроксимация при учете корректора получена в \cite{Su_MMNP}: \begin{equation*} \Vert e^{-\tau \mathcal{A}_\varepsilon}-e^{-\tau\mathcal{A}^0}-\varepsilon\mathcal{K}(\varepsilon ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon (\tau ^{-1}+\tau ^{-1/2}),\quad 0<\varepsilon\leqslant\tau ^{1/2}. \end{equation*} Другой подход (так называемый \textit{модифицированный метод первого приближения} или \textit{метод сдвига}) к получению операторных оценок погрешности был предложен В.~В.~Жиковым \cite{Zh1,Zh2} и разработан им совместно с С.~Е.~Пастуховой \cite{ZhPas}. В этих работах изучались эллиптические задачи для операторов акустики и теории упругости. К параболическим задачам метод сдвига применялся в статье \cite{ZhPAs_parabol}. Изложение дальнейших результатов В.~В.~Жикова и С.~Е.~Пастуховой можно найти в недавнем обзоре \cite{ZhPasUMN}. \subsection{Операторные оценки при усреднении гиперболических задач и нестационарного уравнения Шрёдингера} Для эллиптических и параболических систем операторные оценки погрешности хорошо изучены. Для нестационарного уравнения Шрёдингера и гиперболического уравнения ситуация иная. Старший член аппроксимации был найден в работе \cite{BSu08}: \begin{align} \label{Schreg intr} &\Vert e^{-i\tau \mathcal{A}_\varepsilon }-e^{-i\tau\mathcal{A}^0}\Vert _{H^3(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon(1+\vert \tau\vert ), \\ \label{cos intr} &\Vert \cos (\tau\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-\cos (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon (1+\vert\tau\vert) . \end{align} Впоследствии Т.~А.~Суслина \cite{Su17} методами аналитической теории возмущений установила неулучшаемость оценки \eqref{Schreg intr} относительно типа операторной нормы. Развивая построения \cite{Su17}, М.~А.~Дородный и Т.~А.~Суслина \cite{DSu,DSu2} показали, что оценка \eqref{cos intr} точна относительно типа операторной нормы. В работах \cite{DSu,DSu2,Su17} также выделены специальные случаи, когда оценки \eqref{Schreg intr}, \eqref{cos intr} допускают усиление относительно типа операторной нормы. В статьях \cite{BSu,DSu2} с помощью тождества $\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})=\int _0^\tau \cos(\widetilde{\tau} \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\,d\widetilde{\tau}$ и аналогичного равенства для эффективного оператора из \eqref{cos intr} в качестве (грубого) следствия выводится оценка \begin{equation} \label{Th BSu} \begin{split} \Vert \mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}^{1/2}_\varepsilon)-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert_{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (1+\vert \tau\vert )^2, \quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Точность оценки \eqref{Th BSu} относительно типа операторной нормы не обсуждается. Результаты \eqref{cos intr} и \eqref{Th BSu} применяются к усреднению решений гиперболических систем вида \begin{equation} \label{hyperbolic problem in introduction} \begin{cases} \partial ^2_\tau \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau)=-\mathcal{A}_\varepsilon\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau )+\mathbf{F}(\mathbf{x},\tau ),\\ \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\quad\partial _\tau \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}). \end{cases} \end{equation} \subsection{Аппроксимации с корректором для гиперболических систем} Операторных оценок при учете корректора для нестационарных уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типа ранее установлено не было. Поэтому остановимся на известных \glqq классических\grqq\, результатах усреднения (не допускающих записи в операторных терминах). Эти результаты относятся к случаю операторов, действующих в ограниченной области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$. Аппроксимация решения гиперболической задачи с нулевыми начальными данными и ненулевой правой частью при учете корректора получена в \cite[глава 2, п. 3.6]{BeLP}. В \cite{BeLP} установлена сильная сходимость к нулю разности решения и первого приближения по норме в $L_2((0,T);H^1_0(\mathcal{O}))$. Оценка погрешности не приводится. Случай нулевых начальных данных и ненулевой правой части рассматривался также в \cite[глава 4, \S 5]{BaPa}. В \cite{BaPa} построено полное асимптотическое разложение и получена оценка порядка $O(\varepsilon ^{1/2})$ для разности решения задачи с быстро осциллирующими коэффициентами и первого приближения к нему по $H^1$-норме в пространственно-временном цилиндре $\mathcal{O}\times(0,T)$. При этом правая часть предполагалась $C^\infty$-гладкой. Естественно интересоваться аппроксимацией при учете корректора и для решений гиперболических систем с ненулевыми начальными данными, т. е. аппроксимацией операторного косинуса в подходящем смысле. Хочется ожидать, что в этом случае корректор будет иметь ту же структуру, что и для эллиптических и параболических систем. Однако в работе \cite{BrOFMu} установлено, что это имеет место только при специальном выборе начальных данных. В общем случае аппроксимация с корректором найдена в работах \cite{BraLe,CaDCoCaMaMarG1}. Однако из-за дисперсии волн в неоднородной среде корректор нелокален. Гомогенизация волнового уравнения при учете дисперсионных эффектов изучалась в работах \cite{ABriV,ConOrV,ConSaMaBalV} методом, основанным на разложении Флоке-Блоха и использовании теории возмущений. Однако операторные оценки погрешности в этих статьях не обсуждались. \subsection{Основные результаты работы} \textit{Цель работы} --- без дополнительных предположений усилить результат \eqref{Th BSu} относительно типа операторной нормы и получить аппроксимацию при учете корректора для решения гиперболической задачи \eqref{hyperbolic problem in introduction} с $\boldsymbol{\varphi}=0$ и ненулевыми $\mathbf{F}$ и $\boldsymbol{\psi}$. Наш результат --- оценка \begin{equation} \label{main result 1} \begin{split} \Vert \mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}^{1/2}_\varepsilon)-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert_{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (1+\vert \tau\vert ),\\ \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Также установлена аппроксимация при учете корректора: \begin{equation} \label{main result 2} \begin{split} \left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})-\varepsilon\mathrm{K}(\varepsilon ,\tau)\right\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C \varepsilon(1+\vert\tau\vert),\\ \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Корректор в общем случае содержит сглаживающий оператор. Мы выделяем случаи, когда можно использовать более простой корректор без сглаживателя, а также показываем, что можно заменить сглаживатель, естественно возникающий из нашей техники, оператором сглаживания по Стеклову. При усреднении задач в ограниченной области такой сглаживатель удобнее. Использование сглаживания по Стеклову заимствовано из работы \cite{ZhPas}. \subsection{Метод исследования} Мы используем метод работ \cite{BSu08,DSu2}, последовательно проводя все построения применительно к операторному синусу. Для получения результата с корректором мы заимствуем также некоторые приемы из \cite{Su_MMNP}. Обсудим доказательство оценки \eqref{main result 1}. \textit{Масштабное преобразование} позволяет вывести \eqref{main result 1} из неравенства \begin{equation} \label{est no eps intr} \begin{split} &\left\Vert \left(\mathcal{A}^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau\mathcal{A}^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)\varepsilon (-\Delta +\varepsilon ^2 I)^{-1/2}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C(1+\vert\tau\vert),\quad \tau\in\mathbb{R},\quad \varepsilon >0. \end{split} \end{equation} Здесь $\mathcal{A}=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})$. Для получения оценки \eqref{est no eps intr} с помощью унитарного \textit{преобразования Гельфанда} (см. п.~\ref{Subsec Gelfand} ниже) оператор $\mathcal{A}$ раскладывается в прямой интеграл по операторам $\mathcal{A}(\mathbf{k})$, действующим в пространстве $L_2$ на ячейке решетки периодов и зависящим от параметра $\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d$ (\textit{квазиимпульса}). Мы выделяем одномерный параметр $\vert \mathbf{k}\vert$ и изучаем семейство $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ методами аналитической теории возмущений. При этом приходится следить за равномерностью построений по дополнительному параметру $\boldsymbol{\theta}:=\mathbf{k}/\vert \mathbf{k}\vert$. Большую часть рассмотрений удается провести в рамках абстрактной теоретико-операторной схемы. \subsection{Структура работы} Работа состоит из трех глав. В главе ~\hyperref[Section Abstract sheme]{I} (\S\ref{Section Preliminaries}, \ref{Subsection abstract approximations for sin}) содержится необходимый абстрактный теоретико-операторный материал. Глава~\hyperref[Section Chapter 2]{II} посвящена периодическим ДО. В \S\ref{Section Factorized families}--\ref{Sec eff op} введен рассматриваемый класс операторов, описано разложение в прямой интеграл и нахождение эффективных характеристик. В \S\ref{Section Threshold appr. for DO}, \ref{Sec smoothed A} получены пороговые аппроксимации для сглаженной операторной функции $\mathcal{A} ^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau\mathcal{A}^{1/2})$, установлена оценка \eqref{est no eps intr}. В главе \hyperref[Chapter 3]{III} (\S\ref{section A-eps op err est}, \ref{Section Hyperbolic}) рассматриваются задачи усреднения для гиперболических систем. В \S\ref{section A-eps op err est} получены основные результаты работы в операторных терминах --- оценки \eqref{main result 1} и \eqref{main result 2}. Затем в \S\ref{Section Hyperbolic} эти результаты применяются к усреднению решений неоднородных гиперболических систем. \subsection{Благодарность} Автор выражает благодарность Т.~А.~Суслиной за внимание к работе и многочисленные замечания, способствовавшие улучшению качества изложения. \subsection{Обозначения} Пусть $\mathfrak{H}$ и $\mathfrak{H}_*$ --- сепарабельные гильбертовы пространства. Символы $(\cdot ,\cdot )_\mathfrak{H}$ и $\Vert \cdot \Vert _\mathfrak{H}$ означают соответственно скалярное произведение и норму в $\mathfrak{H}$; символ $\Vert \cdot\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*}$ означает норму линейного непрерывного оператора из $\mathfrak{H}$ в $\mathfrak{H}_*$. Иногда мы опускаем индексы, если это не ведет к смешениям. Через $I=I_\mathfrak{H}$ обозначается тождественный оператор в $\mathfrak{H}$. Если $A:\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*$ --- линейный оператор, что через $\mathrm{Dom}\,A$ обозначается область определения $A$. Если $\mathfrak{N}$ --- подпространство в $\mathfrak{H}$, то $\mathfrak{N}^\perp:=\mathfrak{H}\ominus\mathfrak{N}$. Символ $\langle\cdot,\cdot\rangle$ означает стандартное скалярное произведение в $\mathbb{C}^n$, $\vert \cdot\vert$ --- норма вектора в $\mathbb{C}^n$; $\mathbf{1}_n$ --- единичная матрица размера $n\times n$. Для $(m\times n)$-матрицы $a$ символ $\vert a\vert$ означает норму матрицы как линейного оператора из $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C}^m$; $a^*$ означает эрмитово сопряженную $(n\times m)$-матрицу. Классы $L_p$ вектор-функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ со значениями в $\mathbb{C}^n$ обозначаем через $L_p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$. Классы Соболева $\mathbb{C}^n$-значных функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ порядка $s$ и степени суммирования $2$ обозначаются через $H^s(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Через $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ обозначается класс Шварца $\mathbb{C}^n$-значных функций в $\mathbb{R}^d$. При $n=1$ обычно пишем просто $L_p(\mathcal{O})$, $H^s(\mathcal{O})$ и т. д., но, если это не ведет к смешениям, мы иногда применяем такие упрощенные обозначения и для пространств вектор-функций или матриц-функций. Символ $L_p((0,T);\mathfrak{H})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, означает $L_p$-пространство $\mathfrak{H}$-значных функций на интервале $(0,T)$. Далее, $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_d)\in\mathbb{R}^d$, $iD_j=\partial _j=\partial /\partial x_j$, $j=1,\dots,d$, $\mathbf{D}=-i\nabla=(D_1,\dots,D_d)$. Для оператора Лапласа используем обозначение $\Delta =\partial ^2/\partial x_1^2+\dots +\partial ^2/\partial x_d^2$. Через $C$, $\mathcal{C}$, $\mathrm{C}$, $\mathfrak{C}$, $c$, $\mathfrak{c}$ (возможно, с индексами и значками) обозначаются различные оценочные постоянные. Через $\beta$ с различными индексами ниже обозначаются абсолютные постоянные. \section*{Глава I. Абстрактная схема} \addcontentsline{toc}{section}{Глава I. Абстрактная схема} \label{Section Abstract sheme} \section{Предварительные сведения} \label{Section Preliminaries} \subsection{Квадратичные операторные пучки} \label{Subsubsection operator pencils} Пусть $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ --- комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Пусть $X_0 :\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}_*$ --- плотно определенный замкнутый оператор, и пусть оператор $X_1 :\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*$ ограничен. На области определения $\mathrm{Dom}\,X(t)=\mathrm{Dom}\,X_0$ введем оператор $X(t):=X_0+tX_1$, $t\in\mathbb{R}$. \textit{Наш основной объект ---} семейство самосопряженных в $\mathfrak{H}$ положительных операторов \begin{equation} \label{A(t)=} A(t):=X(t)^*X(t),\quad t\in\mathbb{R}. \end{equation} Семейство $A(t)$ порождено замкнутой в $\mathfrak{H}$ квадратичной формой $\Vert X(t)u\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}$, $u\in\mathrm{Dom}\,X_0$. Обозначим $A(0)=X_0^*X_0=:A_0$. Положим \begin{equation*} \mathfrak{N}:=\mathrm{Ker}\,A_0=\mathrm{Ker}\,X_0,\quad \mathfrak{N}_*:=\mathrm{Ker}\,X_0^*. \end{equation*} Предполагается, что точка $\lambda _0=0$ изолирована в спектре оператора $A_0$, причем \begin{equation*} 00$ такое, что $8\delta 0$ выполнено соотношение \begin{equation} \label{A(t)>=} A(t)\geqslant c_*t^2 I,\quad \vert t\vert\leqslant t_0. \end{equation} Это эквивалентно тому, что собственные числа $\lambda _l(t)$ оператора $A(t)$ подчинены оценкам \begin{equation*} \lambda_l(t)\geqslant c_* t^2,\quad\vert t\vert\leqslant t_0, \quad l=1,\dots,n. \end{equation*} Учитывая \eqref{lambda_l(t)= series}, заключаем, что $\gamma _l\geqslant c_*$, $l=1,\dots,n$, а тогда в силу \eqref{S omega _l=} росток $S$ невырожден: \begin{equation} \label{S>=} S\geqslant c_* I_\mathfrak{N} . \end{equation} Как показано в \cite[глава I, теорема 4.1]{BSu}, \begin{equation} \label{F-P} \Vert F(t)-P\Vert \leqslant C_1 \vert t\vert,\quad \vert t\vert\leqslant t_0;\quad C_1:=\beta_1 \delta ^{-1/2}\Vert X_1\Vert . \end{equation} Кроме \eqref{F-P}, нам потребуется также более точная аппроксимация спектрального проектора, полученная в \cite[(2.10)]{BSu05-1}: \begin{equation} \label{F(t)=P+tF_1+F_2(t)} F(t)=P+tF_1+F_2(t),\quad \Vert F_2(t)\Vert\leqslant C_2 t^2,\quad \vert t\vert\leqslant t_0;\quad C_2:= \beta _2 \delta ^{-1}\Vert X_1\Vert ^2. \end{equation} Согласно \cite[(2.15)]{BSu05-1} оператор $F_1$ имеет вид \begin{equation} \label{F_1=} F_1=ZP+PZ^*. \end{equation} Из \eqref{ZP=Z, PZ=0} и \eqref{F_1=} следует, что \begin{equation} \label{F1P=ZP} F_1P=ZP. \end{equation} В \cite[глава I, теорема 5.2]{BSu} установлена следующая оценка: \begin{align} \label{Th res BSu-108} &\Vert (A(t)+sI)^{-1}F(t)-(t^2SP+sI)^{-1}P\Vert \leqslant C_3\vert t\vert (c_* t^2 +s)^{-1},\quad s>0,\quad\vert t\vert \leqslant t_0; \\ \label{C_3 abstract} &C_3:=\beta _3\delta ^{-1/2}\Vert X_1\Vert(1 +c_*^{-1} \Vert X_1\Vert ^2). \end{align} В \cite[теорема 2.4]{BSu08} доказана аппроксимация: \begin{align} \label{Th A(t)+1/2} &\Vert A(t)^{1/2}F(t)-(t^2 S)^{1/2}P\Vert \leqslant C_4t^2,\quad \vert t\vert \leqslant t_0; \\ \label{C_4 abstract} &C_4:=\beta _4 \delta ^{-1/2}\Vert X_1\Vert ^2(1+c_*^{-1/2}\Vert X_1\Vert ) . \end{align} Отсюда и из \eqref{vert S vert =} следует, что \begin{equation} \label{A(t)^1/2F<=} \Vert A(t)^{1/2}F(t)\Vert \leqslant \vert t\vert \Vert S\Vert ^{1/2}+C_4 t^2\leqslant (\Vert X_1\Vert +C_4 t_0)\vert t\vert ,\quad \vert t\vert \leqslant t_0. \end{equation} Также нам потребуется оценка для оператора $A(t)^{1/2}F_2(t)$, полученная в \cite[(2.23)]{BSu06}: \begin{equation} \label{A^1/2F_2} \Vert A(t)^{1/2}F_2(t)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}}\leqslant C_5t^2,\quad\vert t\vert \leqslant t_0;\quad C_5:=\beta _5\delta ^{-1/2}\Vert X_1\Vert ^2. \end{equation} \subsection{Аппроксимация оператора $A(t)^{-1/2}F(t)$ при $t\neq 0$} \begin{lemma} При $\vert t\vert \leqslant t_0$ и $t\neq 0$ выполнено \begin{equation} \label{Lm A-1/2} \Vert A(t)^{-1/2}F(t)-(t^2 S)^{-1/2} P\Vert \leqslant C_6. \end{equation} Постоянная $C_6$ определена ниже в \eqref{C_6 abstract} и зависит лишь от $\delta$, $\Vert X_1\Vert $ и $c_*$. \end{lemma} \begin{proof} Справедливо тождество \begin{equation} \label{A-1/2 tozd} A(t)^{-1/2}F(t)=\frac{1}{\pi}\int _0^\infty \zeta ^{-1/2}(A(t)+\zeta I)^{-1}F(t)\,d\zeta ,\quad t\neq 0. \end{equation} (См., например, \cite[глава III, \S 3, п. 4]{ViGKo}). Аналогично, \begin{equation} \label{germ -1/2 tozd} (t^2 S)^{-1/2}P=\frac{1}{\pi}\int _0^\infty \zeta ^{-1/2}(t^2 S+\zeta I_\mathfrak{N} )^{-1}P\,d\zeta =\frac{1}{\pi}\int _0^\infty \zeta ^{-1/2}(t^2 SP+\zeta I )^{-1}P\,d\zeta . \end{equation} Вычитая \eqref{germ -1/2 tozd} из \eqref{A-1/2 tozd} и учитывая \eqref{Th res BSu-108}, получаем \begin{equation*} \begin{split} \Vert A(t)^{-1/2}F(t)-(t^2 S)^{-1/2}P\Vert &\leqslant \frac{C_3}{\pi}\int _0^\infty \zeta ^{-1/2}\vert t\vert (c_* t^2 +\zeta )^{-1}\,d\zeta \\ &\leqslant \frac{C_3}{\pi}c_*^{-1}\vert t\vert ^{-1}\int _0^{t^2} \zeta ^{-1/2}\,d\zeta +\frac{C_3}{\pi}\vert t\vert \int _{t^2}^\infty \zeta ^{-3/2}\,d\zeta . \end{split} \end{equation*} Вычисляя полученные интегралы, приходим к оценке \eqref{Lm A-1/2} с постоянной \begin{equation} \label{C_6 abstract} C_6:=2C_3\pi^{-1}(c_*^{-1}+1). \end{equation} \end{proof} \section{Аппроксимация оператора $A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})$} \label{Subsection abstract approximations for sin} \subsection{Старший член аппроксимации} \begin{proposition} При $\vert t\vert \leqslant t_0$ и $\tau\in\mathbb{R}$ выполнено \begin{equation} \label{A-1/2sin F} \begin{split} &\left\Vert \left( A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)P\right \Vert \leqslant C_7(1+\vert\tau\vert\vert t\vert ) . \end{split} \end{equation} Постоянная $C_7$ зависит лишь от $\delta$, $\Vert X_1\Vert $ и $c_*$. \end{proposition} \begin{proof} При $t=0$ оператор под знаком нормы в \eqref{A-1/2sin F} понимается как предел при $t\rightarrow 0$. Раскладывая синус в ряд Тейлора, легко видеть, что этот предел равен нулю. Пусть теперь $t\neq 0$. Положим \begin{align} \label{E(tau)} &E(\tau):=e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)-e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P; \\ \label{Sigma(tau)} &\Sigma (\tau):=e^{i\tau (t^2 S)^{1/2}P}E(\tau)=e^{i\tau (t^2 S)^{1/2}P}e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)-(t^2S)^{-1/2}P. \end{align} Тогда \begin{equation*} \Sigma (0)=A(t)^{-1/2}F(t)-(t^2 S)^{-1/2}P \end{equation*} и \begin{equation} \label{d Sigma /d tau} \frac{d\Sigma (\tau)}{d\tau}=ie^{i\tau (t^2 S)^{1/2}P}\left( (t^2S)^{1/2}P-A(t)^{1/2}F(t)\right)e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t). \end{equation} В силу \eqref{A(t)>=} и \eqref{Th A(t)+1/2} для оператор-функции \eqref{d Sigma /d tau} выполнена оценка \begin{equation*} \left\Vert \frac{d\Sigma (\tau)}{d\tau}\right\Vert \leqslant C_4 t^2\Vert A(t)^{-1/2}\Vert \leqslant C_4 c_*^{-1/2}\vert t\vert,\quad \vert t\vert \leqslant t_0,\quad t\neq 0. \end{equation*} Тогда с учетом \eqref{Lm A-1/2} и \eqref{Sigma(tau)} имеем \begin{align} \label{E(tau) estimate} &\Vert E(\tau)\Vert =\Vert \Sigma(\tau)\Vert \leqslant C_4 c_*^{-1/2}\vert t\vert \vert\tau\vert +\Vert \Sigma(0)\Vert \leqslant C_8(1+\vert\tau\vert\vert t\vert),\quad \vert t\vert \leqslant t_0,\quad t\neq 0; \\ \label{C_7 abstract} &C_8:=\max\lbrace C_4 c_*^{-1/2};C_6\rbrace . \end{align} (Ср. с доказательством теоремы 2.5 из \cite{BSu08}.) Отсюда \begin{equation} \label{A-1/2sin F 8} \Vert A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})F(t)-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\tau (t^2S)^{1/2}P)P\Vert \leqslant C_8(1+\vert\tau\vert \vert t\vert ). \end{equation} С помощью \eqref{A(t)>=} и \eqref{F-P} из \eqref{A-1/2sin F 8} выводим неравенство \begin{equation} \label{A-1/2sin F 2} \begin{split} &\left\Vert \left( A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)P\right \Vert \\ & \leqslant C_8(1+\vert\tau\vert\vert t\vert )+\Vert A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})(F(t)-P)\Vert \\ &\leqslant C_7(1+\vert\tau\vert\vert t\vert ),\quad \vert t\vert \leqslant t_0;\quad C_7:=C_8+c_*^{-1/2}C_1 . \end{split} \end{equation} \end{proof} \subsection{Аппроксимация по \glqq энергетической\grqq\, норме} Здесь мы устанавливаем другую аппроксимацию для оператора $A(t)^{-1/2}\sin(\tau A(t)^{1/2})$ (по \glqq энергетической\grqq\, норме). \begin{proposition} При $\tau\in\mathbb{R}$ и $\vert t\vert \leqslant t_0$ справедлива оценка \begin{equation} \label{Th corr abstr} \left\Vert A(t)^{1/2}\left( A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})-(I+tZ)(t^2 S)^{-1/2}\sin (\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)P\right\Vert \leqslant C_9 (\vert t\vert + \vert \tau\vert t^2 ). \end{equation} Постоянная $C_9$ зависит лишь от $\delta$, $\Vert X_1\Vert $ и $c_*$. \end{proposition} \begin{proof} Заметим, что \begin{equation} \label{corr abstr start} \begin{split} A(t)^{1/2}e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}P =A(t)^{1/2}e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)P +e^{-i\tau A(t)^{1/2}}(P-F(t))P. \end{split} \end{equation} В силу \eqref{F-P} \begin{equation} \Vert e^{-i\tau A(t)^{1/2}}(P-F(t))P\Vert \leqslant C_1\vert t\vert ,\quad\tau\in\mathbb{R}, \quad \vert t\vert \leqslant t_0. \end{equation} Далее, \begin{equation} \begin{split} &A(t)^{1/2}e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)P\\ &=A(t)^{1/2}F(t)\left(e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)-e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P\right)P\\ &+A(t)^{1/2}F(t)e^{-i\tau (t^2S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P. \end{split} \end{equation} В силу \eqref{A(t)^1/2F<=}, \eqref{E(tau)} и \eqref{E(tau) estimate} при $t\neq 0$ выполнено \begin{equation} \label{corr using principal term t neq 0} \begin{split} &\left\Vert A(t)^{1/2}F(t)\left(e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)-e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P\right)P\right\Vert \\ &\leqslant C_8(\Vert X_1\Vert +C_4t_0)(\vert t\vert +\vert \tau\vert t^2), \quad \tau\in\mathbb{R}, \quad \vert t\vert \leqslant t_0,\quad t\neq 0. \end{split} \end{equation} При $t=0$ оператор под знаком нормы в \eqref{corr using principal term t neq 0} будем понимать как предел при $t\rightarrow 0$. Имеем $e^{-i\tau A(t)^{1/2}}F(t)\rightarrow P$ при $t\rightarrow 0$. Далее, в силу \eqref{S>=} и \eqref{Th A(t)+1/2} справедлива оценка \begin{equation*} \begin{split} \Vert &A(t)^{1/2}F(t)e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P -e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}P\Vert \\ &=\Vert A(t)^{1/2}F(t)(t^2 S)^{-1/2}P -P\Vert \leqslant c_*^{-1/2}C_4\vert t\vert ,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \vert t\vert \leqslant t_0. \end{split} \end{equation*} С учетом этих соображений предел левой части \eqref{corr using principal term t neq 0} при $t\rightarrow 0$ равен нулю. Далее, согласно \eqref{F(t)=P+tF_1+F_2(t)} и \eqref{F1P=ZP} \begin{equation} \begin{split} A&(t)^{1/2}F(t)e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P -A(t)^{1/2}(I+tZ)e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P \\ &=A(t)^{1/2}F_2(t)e^{-i\tau (t^2S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P. \end{split} \end{equation} На основании \eqref{S>=} и \eqref{A^1/2F_2} получаем \begin{equation} \label{est corr finish} \Vert A(t)^{1/2}F_2(t)e^{-i\tau (t^2S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P\Vert \leqslant c_*^{-1/2}C_5\vert t\vert,\quad \tau\in\mathbb{R},\quad \vert t\vert\leqslant t_0. \end{equation} Объединяя \eqref{corr abstr start}--\eqref{est corr finish}, находим \begin{equation} \label{Th corr exp} \begin{split} \left\Vert A(t)^{1/2}\left(e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}-(I+tZ)e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2S)^{-1/2}P\right)P\right\Vert \leqslant C_9(\vert t\vert +\vert \tau\vert t^2),\\ \tau\in\mathbb{R},\quad\vert t\vert \leqslant t_0;\quad C_9:=C_1+c_*^{-1/2}C_5+C_8(\Vert X_1\Vert +C_6t_0). \end{split} \end{equation} (Ср. с доказательством теоремы 3.1 из \cite{Su_MMNP}.) \end{proof} \subsection{Аппроксимация оператора $A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau A(t)^{1/2})P$} Введем теперь параметр $\varepsilon>0$. Нам потребуется исследовать поведение оператора $$A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1 }\tau A(t)^{1/2})P$$ при малом $\varepsilon$. Заменим $\tau$ на $\varepsilon ^{-1}\tau$ в \eqref{A-1/2sin F}: \begin{equation*} \begin{split} \left\Vert \left( A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau A(t)^{1/2})-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)P\right\Vert \leqslant C_7(1+\varepsilon ^{-1}\vert\tau\vert\vert t\vert ),\\ \vert t\vert \leqslant t_0,\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation*} Домножая левую часть на \glqq сглаживающий\grqq\, множитель $\varepsilon (t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}$ и учитывая неравенства \begin{align*} &\varepsilon (t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}\leqslant 1, \\ &\vert\tau\vert \vert t\vert (t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}\leqslant \vert\tau\vert , \end{align*} приходим к следующему результату. \begin{theorem} \label{Theorem sin A(t) smoothed} При $\tau\in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$, $\vert t\vert\leqslant t_0$ выполнена оценка \begin{equation*} \left\Vert \left( A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau A(t)^{1/2})-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (t^2S)^{1/2}P)\right) \varepsilon (t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}P\right\Vert \leqslant C_7(1+\vert\tau\vert ). \end{equation*} \end{theorem} Заменив в \eqref{Th corr abstr} $\tau$ на $\varepsilon ^{-1}\tau$ и умножив получившийся оператор на $\varepsilon ^2 (t^2+\varepsilon ^2)^{-1}$, получаем следующее утверждение. \begin{theorem} \label{Theorem sin A(t) smoothed corrector} При $\tau\in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$, $\vert t\vert\leqslant t_0$ выполнена оценка \begin{equation*} \begin{split} &\left\Vert A(t)^{1/2}\left( A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau A(t)^{1/2})-(I+tZ)(t^2 S)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)\varepsilon ^2(t^2+\varepsilon ^2)^{-1} P\right\Vert\\ &\leqslant C_9\varepsilon (1+\vert\tau\vert ). \end{split} \end{equation*} \end{theorem} \section*{Глава II. Периодические дифференциальные операторы в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$} \addcontentsline{toc}{section}{Глава II. Периодические дифференциальные операторы в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$} \label{Section Chapter 2} В настоящей главе мы описываем класс матричных ДО второго порядка, допускающих факторизацию вида $\mathcal{A}=\mathcal{X}^*\mathcal{X}$, где $\mathcal{X}$ --- однородный ДО первого порядка. Этот класс был выделен и изучен в \cite{BSu}. Там же можно найти более подробное изложение (см. главу II). \section{Факторизованные периодические дифференциальные операторы второго порядка} \label{Section Factorized families} \subsection{Решетки $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$} Пусть $\Gamma$ --- решетка в $\mathbb{R}^d$, порожденная базисом $\mathbf{a}_1,\dots, \mathbf{a}_d$: \begin{equation*} \Gamma:=\left\lbrace\mathbf{a}\in\mathbb{R}^d : \mathbf{a}=\sum _{j=1}^d \nu _j\mathbf{a}_j,\quad \nu _j\in\mathbb{Z}\right\rbrace , \end{equation*} и пусть $\Omega$ --- элементарная ячейка решетки $\Gamma$: \begin{equation*} \Omega :=\left\lbrace \mathbf{x}\in\mathbb{R}^d :\mathbf{x}=\sum_{j=1}^d \zeta _j\mathbf{a}_j,\quad -\frac{1}{2}<\zeta _j <\frac{1}{2}\right\rbrace . \end{equation*} Базис $\mathbf{b}_1,\dots ,\mathbf{b}_d$, двойственный к $\mathbf{a}_1,\dots ,\mathbf{a}_d$, определяется из соотношений $\langle \mathbf{b}_l,\mathbf{a}_j\rangle =2\pi\delta _{lj}$. Этот базис порождает решетку $\widetilde{\Gamma}$, двойственную к $\Gamma$: \begin{equation*} \widetilde{\Gamma}:=\left\lbrace \mathbf{b}\in\mathbb{R}^d : \mathbf{b}=\sum _{j=1}^d\mu_j\mathbf{b}_j,\quad \mu_j\in\mathbb{Z}\right\rbrace . \end{equation*} Через $\widetilde{\Omega}$ обозначим первую зону Бриллюена решетки $\widetilde{\Gamma}$: \begin{equation} \label{Omega-tilda} \widetilde{\Omega}:=\left\lbrace\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d : \vert \mathbf{k}\vert <\vert \mathbf{k}-\mathbf{b}\vert,\quad 0\neq\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}\right\rbrace . \end{equation} Пусть $\vert \Omega\vert$ --- мера Лебега ячейки $\Omega$: $\vert \Omega\vert =\mathrm{mes}\,\Omega$, и пусть $\vert \widetilde{\Omega}\vert =\mathrm{mes}\,\widetilde{\Omega}$. Положим $2r_1:=\mathrm{diam}\,\Omega$. Через $r_0$ обозначим радиус шара, вписанного в $\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}$. Отметим, что \begin{equation} \label{2r0=} 2r_0=\min _{0\neq\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}} \vert \mathbf{b}\vert. \end{equation} С решеткой $\Gamma$ связано дискретное преобразование Фурье \begin{equation} \label{discr Fourier} v(\mathbf{x})=\vert \Omega\vert ^{-1/2}\sum _{\mathbf{b}\in \widetilde{\Gamma}}\widehat{v}_\mathbf{b} e^{i\langle \mathbf{b},\mathbf{x}\rangle },\quad\mathbf{x}\in\Omega , \end{equation} которое унитарно отображает $l_2(\widetilde{\Gamma})$ на $L_2(\Omega)$: \begin{equation} \label{Fourier unit} \int _\Omega \vert v(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}=\sum _{\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\vert \widehat{v}_\mathbf{b}\vert ^2 . \end{equation} \textit{Ниже через $\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$ обозначается подпространство тех функций из $H^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$, $\Gamma$-пе\-рио\-ди\-чес\-кое продолжение которых на $\mathbb{R}^d$ принадлежит $H^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$.} Имеем \begin{equation} \label{6.5 from DSu} \Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)} =\sum _{\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\vert \mathbf{b}+\mathbf{k}\vert ^2\vert \widehat{\mathbf{u}}_\mathbf{b}\vert ^2,\quad \mathbf{u}\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),\quad\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d, \end{equation} причем сходимость ряда в правой части \eqref{6.5 from DSu} равносильна включению $\mathbf{u}\in\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$. Из \eqref{Omega-tilda}, \eqref{Fourier unit} и \eqref{6.5 from DSu} следует, что \begin{equation} \label{D+k >=} \Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)} \geqslant \sum _{\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\vert \mathbf{k}\vert ^2\vert \widehat{\mathbf{u}}_\mathbf{b}\vert ^2 =\vert \mathbf{k}\vert ^2 \Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)} ,\quad \mathbf{u}\in\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),\quad\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}. \end{equation} \subsection{Преобразование Гельфанда} \label{Subsec Gelfand} Первоначально преобразование Гельфанда $\mathcal{U}$ определяется на функциях из класса Шварца формулой \begin{equation*} \begin{split} \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})=(\mathcal{U}\mathbf{v})(\mathbf{k},\mathbf{x})=\vert \widetilde{\Omega}\vert ^{-1/2}\sum _{\mathbf{a}\in\Gamma}e^{-i\langle\mathbf{k},\mathbf{x}+\mathbf{a}\rangle }\mathbf{v}(\mathbf{x}+\mathbf{a}),\quad \mathbf{v}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad \mathbf{x}\in\Omega ,\quad \mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}. \end{split} \end{equation*} При этом \begin{equation*} \int _{\widetilde{\Omega}}\int _\Omega \vert \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{k}=\int _{\mathbb{R}^d}\vert\mathbf{v}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}, \end{equation*} и $\mathcal{U}$ продолжается по непрерывности до унитарного оператора \begin{equation*} \mathcal{U}: L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rightarrow \int _{\widetilde{\Omega}}\oplus L_2(\Omega ;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}. \end{equation*} Включение $\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ равносильно тому, что $\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot)\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$ при п.~в. $\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}$ и \begin{equation*} \int _{\widetilde{\Omega}}\int _\Omega \left(\vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert ^2 +\vert \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert ^2\right)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{k}<\infty . \end{equation*} Под действием преобразования Гельфанда оператор умножения на ограниченную периодическую функцию в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ переходит в оператор умножения на ту же функцию в слоях прямого интеграла. Действие оператора $\mathbf{D}$ на $\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ переходит в послойное действие оператора $\mathbf{D}+\mathbf{k}$ на $\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot )\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$. \subsection{Факторизованные операторы второго порядка} \label{Subsubsection factorized famalies} Пусть $b(\mathbf{D})$ --- матричный ДО первого порядка, имеющий вид $\sum _{j=1}^d b_j D_j$, где $b_j$, $j=1,\dots ,d$, --- постоянные матрицы размера $m\times n$ (вообще говоря, с комплексными элементами). \textit{Всегда считаем, что} $m\geqslant n$. Предположим, что символ $b(\boldsymbol{\xi})=\sum _{j=1}^d b_j \xi _j$, $\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d$, оператора $b(\mathbf{D})$ имеет максимальный ранг: $\mathrm{rank}\,b(\boldsymbol{\xi})=n$ при $0\neq\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d$. Это условие равносильно существованию таких постоянных $\alpha _0$, $\alpha _1>0$, что \begin{equation} \label{0;\quad g, g^{-1}\in L_\infty (\mathbb{R}^d). \end{equation} Рассмотрим действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ ДО $\mathcal{A}$, формально заданный дифференциальным выражением \begin{equation} \label{A=} \mathcal{A}=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D}). \end{equation} Строгое определение оператора $\mathcal{A}$ дается через квадратичную форму \begin{equation*}\mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]:=(gb(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \quad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n). \end{equation*} Используя преобразование Фурье и \eqref{=} и нижней оценки \eqref{a(k) estimates} выполнено \begin{equation} \label{A(k)>=} \mathcal{A}(\mathbf{k})\geqslant c_*\vert \mathbf{k}\vert ^2 I,\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega};\quad c_*:=\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty} . \end{equation} Положим \begin{equation} \label{N in L2} \mathfrak{N}:=\mathrm{Ker}\,\mathcal{A}(0)=\mathrm{Ker}\,\mathcal{X}(0). \end{equation} Тогда \begin{equation} \label{N= in L2} \mathfrak{N}=\lbrace\mathbf{u}=\mathbf{c}\in L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) : \mathbf{c}\in\mathbb{C}^n\rbrace. \end{equation} Через $P$ обозначим ортогональный проектор пространства $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ на подпространство \eqref{N= in L2}: \begin{equation} \label{P L2} P\mathbf{u}=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \mathbf{u}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}. \end{equation} Из \eqref{2r0=} и \eqref{D+k >=} при $\mathbf{k}=0$ следует, что \begin{equation*} \Vert \mathbf{D}\mathbf{v}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\geqslant 4 r_0^2\Vert \mathbf{v}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)},\quad\mathbf{v}\in\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),\quad \int _\Omega \mathbf{v}\,d\mathbf{x}=0. \end{equation*} Отсюда и из нижней оценки \eqref{a(k) estimates} при $\mathbf{k}=0$ вытекает, что расстояние $d_0$ от точки нуль до остального спектра оператора $\mathcal{A}(0)$ удовлетворяет неравенству \begin{equation} \label{d^0<= in L2} d_0\geqslant 4c_*r_0^2. \end{equation} \subsection{Прямой интеграл для оператора $\mathcal{A}$} С помощью преобразования Гельфанда оператор $\mathcal{A}$ раскладывается в прямой интеграл по операторам $\mathcal{A}(\mathbf{k})$: \begin{equation*} \mathcal{U}\mathcal{A}\mathcal{U}^{-1}=\int _{\widetilde{\Omega}} \oplus \mathcal{A}(\mathbf{k})\,d\mathbf{k}. \end{equation*} Это означает следующее. Если $\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, то \begin{align} \label{v in dom a e k} &\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot)=(\mathcal{U}\mathbf{v})(\mathbf{k},\cdot)\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)\quad \mbox{при п. в.}\;\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega},\\ \label{a(k)=oplus int} &\mathfrak{a}[\mathbf{v},\mathbf{v}]=\int _{\widetilde{\Omega}}\mathfrak{a}(\mathbf{k})[\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot),\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot)]\,d\mathbf{k}. \end{align} Обратно, если $\widetilde{\mathbf{v}}\in \int _{\widetilde{\Omega}}\oplus L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}$ удовлетворяет \eqref{v in dom a e k} и интеграл в \eqref{a(k)=oplus int} конечен, то $\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и выполнено \eqref{a(k)=oplus int}. \subsection{Включение операторов $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ в абстрактную схему} При $d>1$ операторы $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ зависят от многомерного параметра $\mathbf{k}$. Следуя \cite[глава II]{BSu}, мы выделяем одномерный параметр $t=\vert\mathbf{k}\vert$. Мы будем применять схему главы~\hyperref[Section Abstract sheme]{I}. При этом все построения станут зависеть от дополнительного параметра $\boldsymbol{\theta}=\mathbf{k}/\vert\mathbf{k}\vert\in\mathbb{S}^{d-1}$, и необходимо следить за равномерностью оценок по параметру $\boldsymbol{\theta}$. Пространства $\mathfrak{H}$ и $\mathfrak{H}_*$ определены в \eqref{frak H for L2}. Положим $X(t)=X(t,\boldsymbol{\theta}):=\mathcal{X}(t\boldsymbol{\theta})$. Тогда $X(t,\boldsymbol{\theta})=X_0+tX_1(\boldsymbol{\theta})$, где $X_0=g(\mathbf{x})^{1/2}b(\mathbf{D})$, $\mathrm{Dom}\,X_0=\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$, и $X_1(\boldsymbol{\theta})$ --- ограниченный оператор умножения на матрицу-функцию $g(\mathbf{x})^{1/2}b(\boldsymbol{\theta})$. Положим $A(t)=A(t,\boldsymbol{\theta}):=\mathcal{A}(t\boldsymbol{\theta})$. Тогда $A(t,\boldsymbol{\theta})=X(t,\boldsymbol{\theta})^*X(t,\boldsymbol{\theta})$. Согласно \eqref{N in L2} и \eqref{N= in L2} $\mathfrak{N}=\mathrm{Ker}\,X_0=\mathrm{Ker}\,\mathcal{A}(0)$, $\mathrm{dim}\,\mathfrak{N}=n$. Число $d_0$ подчинено оценке \eqref{d^0<= in L2}. Как показано в \cite[глава II, \S3]{BSu}, условие $n\leqslant n_*=\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}\,X_0^*$ также справедливо. Таким образом, все условия абстрактной схемы выполнены. В п. \ref{Subsubsection operator pencils} требовалось выбрать число $\delta =} и \eqref{d^0<= in L2}, примем \begin{equation} \label{delta L2} \delta :=c_*r_0^2/4=(r_0/2)^2\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}. \end{equation} Далее, в силу \eqref{=}, \eqref{delta L2}, \eqref{t0 L2}) не зависят от параметра $\boldsymbol{\theta}$. Из \eqref{A(k)>=} следует невырожденность ростка $S(\boldsymbol{\theta})$ оператора $A(t,\boldsymbol{\theta})$ (который сейчас зависит от $\boldsymbol{\theta}$): \begin{equation} \label{S(theta)>=} S(\boldsymbol{\theta})\geqslant c_* I_\mathfrak{N}. \end{equation} Важно, что росток невырожден равномерно по $\boldsymbol{\theta}$. \section{Эффективная матрица. Эффективный оператор} \label{Sec eff op} \subsection{Эффективная матрица} В соответствии с \cite[глава III, \S1]{BSu} спектральный росток $S(\boldsymbol{\theta})$ операторного семейства $A(t,\boldsymbol{\theta})$, действующий в $\mathfrak{N}$, представим в виде \begin{equation} \label{S(theta)=} S(\boldsymbol{\theta})=b(\boldsymbol{\theta})^*g^0b(\boldsymbol{\theta}),\quad\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{S}^{d-1}, \end{equation} где $b(\boldsymbol{\theta})$ --- символ оператора $b(\mathbf{D})$, и $g^0$ --- так называемая \textit{эффективная матрица}. Постоянная положительная $(m\times m)$-матрица $g^0$ определяется следующим образом. Предположим, что $\Gamma$-периодическая $(n\times m)$-матрица-функция $\Lambda\in\widetilde{H}^1(\Omega)$ является слабым решением задачи \begin{equation} \label{Lambda problem} b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m)=0,\quad \int _\Omega \Lambda (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0. \end{equation} Эффективная матрица $g^0$ определена равенством \begin{equation*} g^0=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}, \end{equation*} где \begin{equation} \label{tilde g} \widetilde{g}(\mathbf{x}):=g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m). \end{equation} Оказывается, что матрица $g^0$ автоматически положительно определена. Из \eqref{Lambda problem} несложно вывести, что \begin{equation} \label{b(D)Lambda <=} \Vert b(\mathbf{D})\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega\vert ^{1/2}m^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}. \end{equation} Нам также потребуются следующие оценки, установленные в \cite[(6.28) и п. 7.3]{BSu05}: \begin{align} \label{Lambda<=} &\Vert \Lambda\Vert _{L_2(\Omega)} \leqslant \vert \Omega\vert ^{1/2}M_1;\quad M_1:=m^{1/2}(2r_0)^{-1}\alpha_0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}, \\ \label{D Lambda <=} &\Vert \mathbf{D}\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)} \leqslant \vert\Omega\vert ^{1/2}M_2;\quad M_2:=m^{1/2}\alpha_0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}. \end{align} \subsection{Эффективный оператор} В силу \eqref{S(theta)=} и однородности символа $b(\mathbf{k})$ имеем \begin{equation} \label{S(k)=} S(\mathbf{k}):=t^2 S(\boldsymbol{\theta})=b(\mathbf{k})^*g^0b(\mathbf{k}),\quad\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d,\quad t=\vert\mathbf{k}\vert,\quad\boldsymbol{\theta}=\mathbf{k}/\vert\mathbf{k}\vert. \end{equation} Выражение $S(\mathbf{k})$ является символом ДО \begin{equation} \label{A0=} \mathcal{A}^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D}), \end{equation} действующего в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ на области определения $H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и называемого \textit{эффективным оператором} для оператора $\mathcal{A}$. Пусть $\mathcal{A}^0(\mathbf{k})$ --- операторное семейство в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$, отвечающее эффективному оператору $\mathcal{A}^0$. Тогда $\mathcal{A}^0(\mathbf{k})=b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*g^0b(\mathbf{D}+\mathbf{k})$ при периодических граничных условиях: $\mathrm{Dom}\,\mathcal{A}^0(\mathbf{k})=\widetilde{H}^2(\Omega;\mathbb{C}^n)$. Отсюда с учетом \eqref{P L2} и \eqref{S(k)=} вытекает равенство \begin{equation} \label{SP=A0P} S(\mathbf{k})P=\mathcal{A}^0(\mathbf{k})P. \end{equation} Оценивая квадратичную форму оператора $\mathcal{A}^0(\mathbf{k})$, можно показать, что \begin{equation} \label{A^0(k)>=} \mathcal{A}^0(\mathbf{k})\geqslant c_* \vert \mathbf{k}\vert ^2 I,\quad\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}. \end{equation} \subsection{Свойства эффективной матрицы} Эффективная матрица $g^0$ подчинена оценкам, известным в теории усреднения как вилка Фойгта-Рейсса (см., например, \cite[глава III, теорема 1.5]{BSu}). \begin{proposition} Пусть $g^0$ --- эффективная матрица. Тогда \begin{equation} \label{Voigt-Reuss} \underline{g} \leqslant g^0\leqslant\overline{g} , \end{equation} где $\underline{g}:=\left(\vert\Omega\vert ^{-1}\int _\Omega g(\mathbf{x})^{-1}\,d\mathbf{x}\right)^{-1} $ и $\overline{g}:=\vert\Omega\vert ^{-1}\int_\Omega g(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$. Если $m=n$, то $g^0=\underline{g}$. \end{proposition} Из неравенства \eqref{Voigt-Reuss} следует, что \begin{equation} \label{g^0<=} \vert g^0\vert \leqslant\Vert g\Vert _{L_\infty},\quad \vert (g^0)^{-1}\vert\leqslant\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}. \end{equation} Выделим случаи, когда в \eqref{Voigt-Reuss} реализуется верхняя или нижняя грань, см. \cite[гл. 3, предложения 1.6 и 1.7]{BSu}. \begin{proposition} Равенство $g^0=\overline{g}$ равносильно соотношениям \begin{equation} \label{overline-g} b(\mathbf{D})^* {\mathbf g}_k(\mathbf{x}) =0,\ \ k=1,\dots,m, \end{equation} где ${\mathbf g}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})$. \end{proposition} \begin{proposition} Равенство $g^0 =\underline{g}$ равносильно представлениям \begin{equation} \label{underline-g} {\mathbf l}_k(\mathbf{x}) = {\mathbf l}_k^0 + b(\mathbf{D}) {\mathbf w}_k,\ \ {\mathbf l}_k^0\in \mathbb{C}^m,\ \ {\mathbf w}_k \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^m),\ \ k=1,\dots,m, \end{equation} где ${\mathbf l}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})^{-1}$. \end{proposition} \section{Пороговые аппроксимации для оператора\newline $\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})$} \label{Section Threshold appr. for DO} \subsection{Аппроксимация оператора $\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})$ \\при $\vert \mathbf{k}\vert \leqslant t_0$} Рассмотрим оператор $\mathcal{H}_0=-\Delta $ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. При разложении в прямой интеграл этому оператору отвечает операторное семейство $\mathcal{H}_0(\mathbf{k})$, заданное в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ дифференциальным выражением $\vert \mathbf{D}+\mathbf{k}\vert ^2$ при периодических граничных условиях. Обозначим \begin{equation} \label{R(k,eps)} \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon):=\varepsilon ^2 (\mathcal{H}_0(\mathbf{k})+\varepsilon ^2 I)^{-1}. \end{equation} Очевидно, \begin{equation} \label{R(k)P} \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P=\varepsilon ^2 (t^2+\varepsilon ^2 )^{-1}P,\quad\vert \mathbf{k}\vert =t . \end{equation} Мы будем применять результаты главы~\hyperref[Section Abstract sheme]{I} к семейству операторов $A(t,\boldsymbol{\theta})=\mathcal{A}(\mathbf{k})$. Осталось только реализовать значения постоянных. Учитывая \eqref{X_1(theta)<=}, выберем завышенные значения постоянных из \eqref{F-P}, \eqref{F(t)=P+tF_1+F_2(t)} и \eqref{C_3 abstract}, не зависящие от $\boldsymbol{\theta}$: \begin{align*} &C_1:=\beta _1\delta ^{-1/2}\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty},\\ &C_2:=\beta _2\delta ^{-1}\alpha_1\Vert g\Vert _{L_\infty}, \\ &C_3:=\beta _3\delta ^{-1/2}\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}(1+c_*^{-1/2}\alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}) . \end{align*} Здесь постоянные $c_*$ и $\delta$ определены в \eqref{A(k)>=} и \eqref{delta L2} соответственно. Далее, учитывая \eqref{X_1(theta)<=}, согласно \eqref{C_4 abstract}, \eqref{A^1/2F_2} и \eqref{C_6 abstract} положим \begin{align*} &C_4:=\beta _4\delta ^{-1/2}\alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}(1+c_*^{-1/2}\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}), \\ &C_5:=\beta _5\delta ^{-1/2}\alpha_1\Vert g\Vert _{L_\infty},\\ &C_6:=2C_3\pi ^{-1}(c_*^{-1}+1). \end{align*} Наконец, по уже реализованным постоянным $C_1$, $C_4$, $C_5$ и $C_6$ согласно \eqref{C_7 abstract}, \eqref{A-1/2sin F 2} и \eqref{Th corr exp} определим \begin{align*} &C_8:=\max\lbrace C_4c_*^{-1/2};C_6\rbrace , \\ &C_7:=C_8+c_*^{-1/2}C_1, \\ &C_9:=C_1+c_*^{-1/2}C_5+C_8(\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+C_6t_0). \end{align*} Мы учли \eqref{X_1(theta)<=}. Здесь $t_0$ --- постоянная \eqref{t0 L2}. Применяя теорему \ref{Theorem sin A(t) smoothed}, с учетом \eqref{SP=A0P} и \eqref{R(k)P} получаем \begin{equation} \label{sin k small} \begin{split} &\left\Vert\left( \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}P\right\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &\leqslant C_7 (1+\vert \tau\vert ),\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \vert \mathbf{k}\vert \leqslant t_0. \end{split} \end{equation} В соответствии с \cite[(4.2)]{BSu05} роль оператора $Z$ играет оператор $Z(\boldsymbol{\theta})=[\Lambda] b(\boldsymbol{\theta})P$. Здесь $[\Lambda]$ --- оператор умножения на матрицу-функцию $\Lambda (\mathbf{x})$. Имеем \begin{equation*} tZ(\boldsymbol{\theta})P=\Lambda b(\mathbf{k})P=\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})P. \end{equation*} Применяя теорему \ref{Theorem sin A(t) smoothed corrector}, заключаем, что \begin{equation} \label{Th corr k<=t0} \begin{split} \Bigl\Vert &\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\bigl(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2} \sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})\\ &-(I+\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k}))\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\bigr)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon) P\Bigr\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}\\ &\leqslant C_9\varepsilon (1+\vert\tau\vert ),\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \vert \mathbf{k}\vert \leqslant t_0. \end{split} \end{equation} \subsection{Аппроксимация при $\vert\mathbf{k}\vert >t_0$} При $\vert\mathbf{k}\vert >t_0$ оценки тривиальны. В силу \eqref{A(k)>=} и \eqref{A^0(k)>=} выполнено \begin{equation} \label{A-1/2 rough} \begin{split} \Vert \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant c_*^{-1/2} t_0^{-1},\quad \Vert \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\Vert_{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}\leqslant c_*^{-1/2}t_0^{-1},\\ \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0. \end{split} \end{equation} Согласно \eqref{R(k)P}, \begin{equation} \label{A0-1/2 rough} \Vert \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant 1,\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}. \end{equation} Объединяя \eqref{A-1/2 rough} и \eqref{A0-1/2 rough}, оценим левую часть \eqref{sin k small} при $\vert \mathbf{k}\vert >t_0$: \begin{equation} \label{sin k big} \begin{split} &\left\Vert\left( \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}P\right\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &\leqslant 2c_*^{-1/2}t_0^{-1},\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0. \end{split} \end{equation} Собирая вместе \eqref{sin k small} и \eqref{sin k big}, находим \begin{equation} \label{sin (k) with P} \begin{split} \left\Vert\left( \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}P\right\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ \leqslant C_7 (1+\vert \tau\vert )+2c_*^{-1/2}t_0^{-1},\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}. \end{split} \end{equation} Оценим теперь оператор, стоящий под знаком нормы в \eqref{Th corr k<=t0}. В силу \eqref{R(k)P} и элементарного неравенства $t^2+\varepsilon ^2 \geqslant 2\varepsilon t_0$, $t >t_0$, выполнено \begin{equation} \label{RP<=} \Vert \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant (2t_0)^{-1}\varepsilon ,\quad \varepsilon >0,\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad \vert \mathbf{k}\vert >t_0, \end{equation} поэтому \begin{equation} \label{sin corr grubo start} \begin{split} \Vert \sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant (2t_0)^{-1}\varepsilon ,\\ \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0. \end{split} \end{equation} Согласно \eqref{A(k)=}, \eqref{g^0<=} и \eqref{RP<=} \begin{equation} \label{corr grubo 2} \begin{split} \Vert& \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &\leqslant (2t_0)^{-1}\varepsilon \Vert g^{1/2}b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &\leqslant (2t_0)^{-1}\varepsilon \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &=(2t_0)^{-1}\varepsilon \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty},\quad\varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0. \end{split} \end{equation} Чтобы оценить оператор \begin{equation*} \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P, \end{equation*} представим его в виде \begin{equation*} \left(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\Lambda P_m\right)b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P, \end{equation*} где $P_m$ --- ортогональный проектор пространства $\mathfrak{H}_*=L_2(\Omega;\mathbb{C}^m)$ на подпространство констант. Согласно \cite[(6.22)]{BSu06}, выполнено \begin{equation*} \Vert \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\Lambda P_m\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}\leqslant C_\Lambda ,\quad\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}, \end{equation*} где постоянная $C_\Lambda$ зависит только от $m$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. Таким образом, с учетом \eqref{g^0<=} и \eqref{RP<=} имеем \begin{equation} \label{corr grubo 3} \begin{split} \Vert &\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &\leqslant (2t_0)^{-1}C_\Lambda \varepsilon \Vert b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &\leqslant (2t_0)^{-1}C_\Lambda \varepsilon \Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2}\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &=(2t_0)^{-1}C_\Lambda \Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\varepsilon ,\quad\varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0. \end{split} \end{equation} Объединяя \eqref{sin corr grubo start}--\eqref{corr grubo 3}, находим, что при $\vert\mathbf{k}\vert >t_0$ левая часть \eqref{Th corr k<=t0} оценивается через $\check{C}_9\varepsilon$, где $\check{C}_9:=(2t_0)^{-1}(1+\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+C_\Lambda\Vert g ^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty})$. Отсюда и из \eqref{Th corr k<=t0} следует, что \begin{equation} \label{Th corr all k} \begin{split} \bigl\Vert & \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\bigl(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2} \sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}) \\ &-(I+\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k}))\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\bigr)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon) P\bigr\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}\\ &\leqslant C_9\varepsilon (1+\vert\tau\vert )+\check{C}_9\varepsilon ,\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}. \end{split} \end{equation} \subsection{Устранение оператора $P$} Покажем теперь, что в операторе под знаком нормы в \eqref{sin (k) with P} можно заменить проектор $P$ тождественным оператором так, что изменится только постоянная в оценке. Для этого оценим норму оператора $\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}(I-P)$ с помощью дискретного преобразования Фурье: \begin{equation} \label{R(I-P)} \Vert \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} =\max _{0\neq \mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\varepsilon (\vert\mathbf{b}+\mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}\leqslant \varepsilon r_0^{-1},\quad \varepsilon >0,\quad\mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}. \end{equation} Применяя спектральную теорему и элементарное неравенство $\vert \sin x\vert/\vert x\vert \leqslant 1$, $x\in\mathbb{R}$, заключаем, что \begin{equation} \label{A^-1-2sin <= grubo} \Vert \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} \leqslant \varepsilon ^{-1}\vert\tau\vert . \end{equation} Аналогично, \begin{equation} \label{sin eff grubo} \Vert \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} \leqslant \varepsilon ^{-1}\vert\tau\vert . \end{equation} Объединяя \eqref{R(I-P)}--\eqref{sin eff grubo}, находим \begin{equation*} \begin{split} \Vert \left(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} \\ \leqslant 2r_0^{-1}\vert \tau\vert. \end{split} \end{equation*} Отсюда и из \eqref{sin (k) with P} выводим, что \begin{equation} \label{sin (k) no P} \begin{split} \Vert &\left( \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}\\ & \leqslant C_{10} (1+\vert \tau\vert ),\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega};\quad C_{10}:=2r_0^{-1} +C_7+2c_*^{-1/2}t_0^{-1}. \end{split} \end{equation} Покажем теперь, что в старшем члене в оценке \eqref{Th corr all k} оператор $P$ может быть устранен. Для этого оценим оператор $\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)(I-P)$. Из \eqref{R(I-P)} следует неравенство \begin{equation} \label{R(I-P) for corr} \Vert \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} =\max _{0\neq\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\varepsilon ^2 (\vert \mathbf{b}+\mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{-1}\leqslant \varepsilon r_0^{-1},\quad \varepsilon >0,\quad\mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}. \end{equation} Тогда \begin{equation} \label{rem P corr 1} \Vert \sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon )(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant \varepsilon r_0^{-1}. \end{equation} Далее, согласно \eqref{A(k)=}, \eqref{g^0<=} и \eqref{R(I-P) for corr} \begin{equation} \label{rem P corr 2} \Vert \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant \varepsilon r_0^{-1}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2} _{L_\infty}. \end{equation} Объединяя \eqref{Th corr all k}, \eqref{rem P corr 1} и \eqref{rem P corr 2}, получаем \begin{equation} \label{Th corr all k no P in principal term} \begin{split} \Bigl\Vert &\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\bigl(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}) \\ &-(I+\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})P)\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\bigr)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)\Bigr\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\ &\leqslant C_{11}\varepsilon (1+\vert \tau\vert ),\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad\mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}. \end{split} \end{equation} Здесь $C_{11}:=C_9+\check{C}_9+r_0^{-1}(1+\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty})$. \section{Аппроксимация оператора $\mathcal{A}^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^{1/2})$} \label{Sec smoothed A} Пусть $\mathcal{A}=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})$ --- оператор, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, и $\mathcal{A}^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$ --- эффективный оператор. Напомним обозначение $\mathcal{H}_0=-\Delta$ и положим \begin{equation*} \mathcal{R}(\varepsilon):=\varepsilon ^2(\mathcal{H}_0+\varepsilon ^2 I)^{-1}. \end{equation*} С помощью преобразования Гельфанда этот оператор раскладывается в прямой интеграл по операторам \eqref{R(k,eps)}: \begin{equation*} \mathcal{R}(\varepsilon)=\mathcal{U}^{-1}\left(\int _{\widetilde{\Omega}}\oplus \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)\,d\mathbf{k}\right)\mathcal{U}. \end{equation*} Применяя преобразование Гельфанда, из \eqref{sin (k) no P} выводим \begin{equation} \label{sin A} \begin{split} \Vert \left( \mathcal{A}^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)\mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}\Vert_{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{10} (1+\vert \tau\vert ),\\ \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Чтобы получить аппроксимацию по энергетической норме, нам потребуется оператор $\Pi =\mathcal{U}^{-1}[P]\mathcal{U}$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Здесь $[P]$ --- проектор в $\int _{\widetilde{\Omega}}\oplus L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}$, действующий послойно как оператор $P$ усреднения по ячейке $\Omega$ (см. \eqref{P L2}). Как показано в \cite[(6.8)]{BSu05}, $\Pi$ --- псевдодифференциальный оператор в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с символом $\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi})$, где $\chi _{\widetilde{\Omega}}$ --- характеристическая функция множества $\widetilde{\Omega}$. То есть \begin{equation*} (\Pi \mathbf{u})(\mathbf{x})=(2\pi )^{-d/2}\int _{\widetilde{\Omega}}e^{i\langle\mathbf{x},\boldsymbol{\xi}\rangle}\widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})\,d\boldsymbol{\xi}. \end{equation*} Здесь $\widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})$ --- Фурье-образ функции $\mathbf{u}(\mathbf{x})$. Из \eqref{Th corr all k no P in principal term} с помощью преобразования Гельфанда получаем, что \begin{equation} \label{Th corr no eps} \begin{split} &\left\Vert \mathcal{A}^{1/2}\left(\mathcal{A}^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^{1/2})-(I+\Lambda b(\mathbf{D})\Pi)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)\mathcal{R}(\varepsilon)\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{11}\varepsilon (1+\vert \tau\vert ),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} \section*{Глава III. Задача усреднения для гиперболических систем} \addcontentsline{toc}{section}{Глава III. Задача усреднения для гиперболических систем} \label{Chapter 3} \section{Аппроксимация оператора $\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2})$} \label{section A-eps op err est} Если $\psi(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая измеримая функция в $\mathbb{R}^d$, обозначим $\psi^\varepsilon (\mathbf{x}):=\psi (\varepsilon ^{-1}\mathbf{x})$, $\varepsilon >0$. Через $[\psi^\varepsilon]$ будем обозначать оператор умножения на функцию $\psi^\varepsilon (\mathbf{x})$. \textit{Наш основной объект} --- действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ оператор $\mathcal{A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, формально заданный дифференциальным выражением \begin{equation} \label{A_eps} \mathcal{A}_\varepsilon =b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D}). \end{equation} Строгое определение оператора $\mathcal{A}_\varepsilon$ дается через квадратичную форму. Коэффициенты оператора \eqref{A_eps} быстро осциллируют при $\varepsilon \rightarrow 0$. \textit{Наша цель} --- аппроксимировать оператор $\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})$ и применить результаты к усреднению решений задачи Коши для гиперболических систем. \subsection{Основные результаты. Старший член аппроксимации} Пусть $T_\varepsilon$ --- \textit{унитарный в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ оператор масштабного преобразования:} $(T_\varepsilon\mathbf{u})(\mathbf{x}):=\varepsilon ^{d/2}\mathbf{u}(\varepsilon \mathbf{x})$, $\varepsilon >0$. Тогда справедливо тождество $\mathcal{A}_\varepsilon =\varepsilon ^{-2}T_\varepsilon ^* \mathcal{A}T_\varepsilon $. Поэтому \begin{equation*} \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})=\varepsilon T_\varepsilon ^* \mathcal{A}^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^{1/2})T_\varepsilon . \end{equation*} Для эффективного оператора имеет место аналогичное равенство. Далее, \begin{equation*} (\mathcal{H}_0+I)^{-1/2}=\varepsilon T_\varepsilon ^*(\mathcal{H}_0 +\varepsilon ^2I)^{-1/2}T_\varepsilon =T_\varepsilon ^*\mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}T_\varepsilon . \end{equation*} С учетом этих соображений из \eqref{sin A} выводим следующий результат. \begin{theorem} \label{Theorem L2->L2} Пусть $\mathcal{A}_\varepsilon$ --- оператор \eqref{A_eps}, и пусть $\mathcal{A}^0$ --- эффективный оператор \eqref{A0=}. Пусть $\mathcal{H}_0=-\Delta$. Тогда при $\varepsilon >0$ и $\tau\in\mathbb{R}$ справедлива оценка \begin{equation} \label{theorem L2} \begin{split} \Vert \left( \mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}^{1/2}_\varepsilon)-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1/2}\Vert_{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{10} \varepsilon (1+\vert \tau\vert ). \end{split} \end{equation} Постоянная $C_{10}$ контролируется через $r_0$, $\alpha_0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$. \end{theorem} В силу элементарного неравенства $\vert\sin x\vert/\vert x\vert \leqslant 1$ имеем \begin{equation} \label{big tau start} \Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant 2\vert\tau\vert\leqslant 2(1+\vert\tau\vert). \end{equation} Интерполируя между \eqref{theorem L2} и \eqref{big tau start}, при $0\leqslant s\leqslant 1$ получаем \begin{equation} \label{interpol principal} \begin{split} &\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-s/2}\right\Vert_{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ & \leqslant 2^{1-s}C_{10}^s \varepsilon ^s (1+\vert \tau\vert ),\quad\tau\in\mathbb{R},\quad\varepsilon >0. \end{split} \end{equation} Оператор $(\mathcal{H}_0+I)^{s/2}$ осуществляет изометрический изоморфизм пространства Соболева $H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ на $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Действительно, для $\mathbf{u}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ выполнено \begin{equation} \label{isometria} \Vert (\mathcal{H}_0+I)^{s/2}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)} =\int _{\mathbb{R}^d}(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 +1)^s\vert \widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})\vert ^2\,d\boldsymbol{\xi}=\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^s (\mathbb{R}^d)}, \end{equation} где $\widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})$ --- Фурье-образ функции $\mathbf{u}(\mathbf{x})$. Из \eqref{interpol principal} и \eqref{isometria} вытекает оценка \begin{equation*} \begin{split} \Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant 2^{1-s}C_{10}^s \varepsilon ^s (1+\vert \tau\vert ),\\ 0\leqslant s\leqslant 1, \quad\tau\in\mathbb{R},\quad\varepsilon >0. \end{split} \end{equation*} В частности, эта оценка позволяет считать параметр $\tau$ (время) большим, а именно, рассматривать значения $\vert\tau\vert =O(\varepsilon ^{-\alpha})$ при $0<\alpha L2}}. Тогда при $0\leqslant s\leqslant 1$ и $\tau\in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$ справедлива оценка \begin{equation*} \Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}_s(1+\vert \tau\vert )\varepsilon ^s;\quad \mathcal{C}_s:=2^{1-s}C_{10}^s . \end{equation*} В частности, при $00$ для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ верна оценка \begin{equation*} \Vert \Pi _\varepsilon \mathbf{u}-\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \varepsilon r_0^{-1}\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{equation*} \end{proposition} \begin{proposition} \label{Proposition Pi eps f eps} Пусть $f(\mathbf{x})$ --- такая $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$, что $f\in L_2(\Omega)$. Тогда оператор $[f^\varepsilon]\Pi_\varepsilon$ непрерывен в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, причем \begin{equation*} \Vert [f^\varepsilon]\Pi_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \vert \Omega\vert ^{-1/2}\Vert f\Vert _{L_2(\Omega)},\quad\varepsilon >0. \end{equation*} \end{proposition} \begin{theorem} \label{Theorem corrector} Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem L2->L2}}. Пусть $\Lambda (\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое $(n\times m)$-матричное решение задачи \eqref{Lambda problem}. Пусть $\Pi_\varepsilon$ --- оператор \eqref{Pi eps}. Тогда справедлива оценка \begin{equation} \label{theorem corr} \begin{split} &\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{12}\varepsilon(1+\vert\tau\vert),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Постоянная $C_{12}$ зависит только от $m$, $\alpha_0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. \end{theorem} \begin{proof} С помощью преобразования Гельфанда из \eqref{Th corr no eps} получаем аппроксимацию по \glqq энергетической\grqq\, норме: \begin{equation} \label{Appr corr} \begin{split} &\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{11}\varepsilon(1+\vert\tau\vert),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Отметим, что в силу \eqref{=} c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), \end{equation} где $c_*$ --- постоянная из \eqref{A(k)>=}. Из \eqref{Appr corr} и \eqref{A_eps^1/2>=} вытекает, что \begin{equation} \label{Appr D corr} \begin{split} &\left\Vert \mathbf{D}\left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant c_*^{-1/2} C_{11}\varepsilon(1+\vert\tau\vert),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Оценим теперь $(L_2\rightarrow L_2)$-норму корректора. Пусть $\Pi _\varepsilon ^{(m)}$ --- псевдодифференциальный оператор в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$ с символом $\chi _{\widetilde{\Omega}/\varepsilon}(\boldsymbol{\xi})$. С помощью предложения \ref{Proposition Pi eps f eps} и \eqref{Lambda<=} получаем \begin{equation} \label{proof fluxes 6} \Vert \Lambda ^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant M_1. \end{equation} Используя \eqref{g^0<=} и \eqref{proof fluxes 6}, находим \begin{equation} \label{ots corr L2 fin} \begin{split} \Vert &\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant\varepsilon\Vert \Lambda^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert b(\mathbf{D})(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant \varepsilon M_1\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \varepsilon M_1\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}. \end{split} \end{equation} Объединяя \eqref{theorem L2}, \eqref{Appr D corr} и \eqref{ots corr L2 fin}, получаем оценку \eqref{theorem corr} с постоянной $C_{12}:=C_{10}+c_*^{-1/2}C_{11}+M_1\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}$. \end{proof} С помощью интерполяции из теоремы \ref{Theorem corrector} выведем следующий результат. \begin{theorem} \label{Theorem corrector interpolation} Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem corrector}}. Тогда при $0\leqslant s\leqslant 1$ и $\tau\in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$ имеет место оценка \begin{equation} \label{Th corr interpol} \begin{split} \left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right\Vert _{H^{s+1}(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathfrak{C}_s(1+\vert \tau\vert )\varepsilon ^s . \end{split} \end{equation} Здесь $\mathfrak{C}_s:=\widehat{C}_{12}^{1-s}C_{12}^{s}$, где постоянная $\widehat{C}_{12}$ определена ниже и зависит только от $m$, $\alpha_0$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. В частности, при $\vert\tau\vert =\varepsilon ^{-\alpha}$, $0<\alpha 0. \end{split} \end{equation} Здесь $\widehat{C}_{12}:=\max\lbrace 2;2\alpha _0^{-1/2}\Vert g ^{-1}\Vert^{1/2}_{L_\infty}+(2M_1+M_2)\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\rbrace$. Интерполируя между \eqref{theorem corr} и \eqref{proof interpol corr d}, приходим к оценке \eqref{Th corr interpol}. \end{proof} \subsection{Случай $\Lambda\in L_\infty$} Оказывается, что сглаживающий оператор $\Pi_\varepsilon$ в корректоре может быть устранен, если наложить на матрицу-функцию $\Lambda(\mathbf{x})$ дополнительное условие. \begin{condition} \label{Condition Lambda in L infty} Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} ограничено, т. е. $\Lambda\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$. \end{condition} Случаи, когда условие~\ref{Condition Lambda in L infty} выполнено автоматически, выделены в \cite[лемма 8.7]{BSu06}. \begin{proposition} \label{Proposition Lambda in L infty <=} Условие~\textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений: \noindent $1^\circ )$ $d\leqslant 2${\rm ;} \noindent $2^\circ )$ размерность $d\geqslant 1$ произвольна, а оператор $\mathcal{A}_\varepsilon$ имеет вид $\mathcal{A}_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами{\rm ;} \noindent $3^\circ )$ размерность $d$ произвольна, и $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{underline-g}. \end{proposition} Через $[\Lambda ]$ обозначим оператор умножения на матрицу-функцию $\Lambda (\mathbf{x})$, действующий из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. В \cite[лемма 8.3]{BSu06} было установлено следующее утверждение. \begin{proposition} \label{Prop Lambda in L infty} Пусть выполнено условие \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Тогда оператор $g^{1/2}b(\mathbf{D})[\Lambda]$ непрерывно переводит $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$, причем \begin{equation*} \Vert g^{1/2}b(\mathbf{D})[\Lambda]\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_{13}, \end{equation*} где постоянная $C_{13}$ зависит лишь от $d$, $m$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert\Lambda\Vert _{L_\infty}$. \end{proposition} С помощью предложения \ref{Prop Lambda in L infty} докажем следующий результат. \begin{theorem} \label{Theorem Lambda in L infty} Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem corrector}}, и пусть матрица-функция $\Lambda(\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$ справедлива оценка \begin{equation} \label{theorem corr Lambda in Linfty} \begin{split} &\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D}))(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{14}\varepsilon(1+\vert\tau\vert). \end{split} \end{equation} Постоянная $C_{14}$ зависит только от $d$, $m$, $\alpha_0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. \end{theorem} Непрерывность оператора под знаком нормы в \eqref{theorem corr Lambda in Linfty} проверяется с помощью следующей леммы, установленной в \cite[следствие 2.4]{PSu}. \begin{lemma} \label{Lemma PSu Lambda in L-infty} Пусть справедливо условие \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Тогда для любой функции $u\in H^1(\mathbb{R}^d)$ и $\varepsilon >0$ выполнено \begin{equation*} \int _{\mathbb{R}^d}\vert (\mathbf{D}\Lambda) ^\varepsilon(\mathbf{x})\vert ^2\vert u(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x} \leqslant\mathfrak{c}_1\Vert u\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+\mathfrak{c}_2\varepsilon ^2\Vert \Lambda\Vert ^2_{L_\infty}\Vert \mathbf{D}u\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{equation*} Постоянные $\mathfrak{c}_1$ и $\mathfrak{c}_2$ зависят от $m$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$. \end{lemma} Перейдем к доказательству теоремы \ref{Theorem Lambda in L infty}. В силу теоремы \ref{Theorem L2->L2}, условия \ref{Condition Lambda in L infty} и рассмотрений, аналогичных \eqref{ots corr L2 fin}, имеем \begin{equation} \label{theorem corr Lambda in Linfty L2 est} \begin{split} &\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D}))(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{10}\varepsilon(1+\vert\tau\vert)+\varepsilon \Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}. \end{split} \end{equation} Таким образом, с учетом \eqref{A_eps^1/2>=} для доказательства теоремы \ref{Theorem Lambda in L infty} достаточно оценить норму оператора \begin{equation*} \mathcal{E}(\varepsilon,\tau):=\varepsilon\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(\Pi _\varepsilon -I)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau(\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}. \end{equation*} Применяя масштабное преобразование, \eqref{A=} и предложение \ref{Prop Lambda in L infty}, находим \begin{equation*} \begin{split} \Vert \mathcal{E}(\varepsilon,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} &=\Vert \mathcal{A}^{1/2}\Lambda b(\mathbf{D})(\Pi -I)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\mathcal{R}(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{13}\Vert b(\mathbf{D})(\Pi -I)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\mathcal{R}(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}. \end{split} \end{equation*} Учитывая, что $\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi})$ --- символ оператора $\Pi$, а $S(\boldsymbol{\xi})$ --- символ оператора $\mathcal{A}^0$, получаем \begin{equation*} \begin{split} \Vert \mathcal{E}(\varepsilon,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{13}\sup _{\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d}(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 +1)^{1/2}\vert b(\boldsymbol{\xi})\vert \vert S(\boldsymbol{\xi})\vert ^{-1/2}(1-\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi}))\varepsilon ^2 (\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 +\varepsilon ^2)^{-1}. \end{split} \end{equation*} Используя \eqref{=}, \eqref{S(k)=} и оценку $\varepsilon ^2(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{-1}\leqslant\varepsilon\vert \boldsymbol{\xi}\vert^{-1}$, заключаем, что \begin{equation} \label{E(eps,tau)<=} \Vert \mathcal{E}(\varepsilon,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant c_*^{-1/2}\alpha _1 ^{1/2}(1+r_0^{-2})^{1/2}C_{13}\varepsilon ,\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R}. \end{equation} Объединяя \eqref{A_eps^1/2>=}, \eqref{theorem corr Lambda in Linfty L2 est} и \eqref{E(eps,tau)<=}, приходим к оценке \eqref{theorem corr Lambda in Linfty} с постоянной $C_{14}:=C_{10}+\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert^{1/2}_{L_\infty}+c_*^{-1}\alpha _1^{1/2}(1+r_0^{-2})^{1/2}C_{13}$. \qed Проверим теперь, что при условии \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} результат теоремы \textnormal{\ref{Theorem corrector interpolation}} остается в силе, если заменить сглаживание $\Pi _\varepsilon$ тождественным оператором. Оценим оператор под знаком нормы в \eqref{theorem corr Lambda in Linfty} по $(H^1\rightarrow H^1)$-норме. В силу \eqref{0$ справедлива оценка \begin{equation*} \begin{split} \left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{12}\varepsilon(1+\vert\tau\vert). \end{split} \end{equation*} \end{proposition} \subsection{Оператор сглаживания по Стеклову. Другая аппроксимация при учете корректора} Покажем, что результат теоремы \ref{Theorem corrector} остается в силе, если заменить $\Pi _\varepsilon$ другим сглаживающим оператором. Оператор $S_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и определенный равенством \begin{equation} \label{S_eps} (S_\varepsilon \mathbf{u})(\mathbf{x})=\vert\Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \mathbf{u}(\mathbf{x}-\varepsilon\mathbf{z})\,d\mathbf{z},\quad\mathbf{u}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n), \end{equation} называют оператором сглаживания по Стеклову. Следующие свойства оператора $S_\varepsilon$ установлены в \cite[леммы 1.1 и 1.2]{ZhPas} (см. также \cite[предложения 3.1 и 3.2]{PSu}). \begin{proposition} \label{Proposition S_eps -I} Для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ выполнено \begin{equation*} \Vert S_\varepsilon\mathbf{u}-\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \varepsilon r_1\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad\varepsilon >0. \end{equation*} \end{proposition} \begin{proposition} \label{Proposition S_eps f^eps} Пусть $f(\mathbf{x})$ --- такая $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$, что $f\in L_2(\Omega)$. Пусть $[f^\varepsilon]$ --- оператор умножения на функцию $f^\varepsilon (\mathbf{x})$. Тогда оператор $[f^\varepsilon]S_\varepsilon$ непрерывен в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и \begin{equation*} \Vert [f^\varepsilon]S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant\vert\Omega\vert ^{-1/2}\Vert f\Vert _{L_2(\Omega)},\quad\varepsilon >0. \end{equation*} \end{proposition} Также нам потребуется следующее утверждение, установленное в \cite[лемма 3.5]{PSu}. \begin{proposition} \label{Prop Pi -S} Пусть $\Pi _\varepsilon $ --- оператор \eqref{Pi eps}, и пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Пусть $\Lambda$ --- $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{Lambda problem}. Тогда \begin{equation} \label{S-Pi} \varepsilon\Vert [\Lambda ^\varepsilon ]b(\mathbf{D})(\Pi _\varepsilon -S_\varepsilon )\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_{15}\varepsilon,\quad\varepsilon >0, \end{equation} где постоянная $C_{15}$ зависит только от $d$, $m$, $r_0$, $r_1$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$. \end{proposition} С помощью предложения \ref{Prop Pi -S} получим следующий результат. \begin{theorem} \label{Theorem corr with S-eps} Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem L2->L2}}. Пусть $\Lambda (\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое $(n\times m)$-матричное решение задачи \eqref{Lambda problem}. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор \eqref{S_eps}. Тогда справедлива оценка \begin{equation} \label{theorem corr with S-eps} \begin{split} &\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})S _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{16}\varepsilon(1+\vert\tau\vert),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Постоянная $C_{16}$ зависит только от $d$, $m$, $r_0$, $r_1$, $\alpha_0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$. \end{theorem} \begin{proof} Чтобы вывести оценку \eqref{theorem corr with S-eps} из \eqref{theorem corr}, воспользуемся \eqref{S-Pi}: \begin{equation} \label{proof corr S eps 1} \begin{split} \varepsilon &\Vert \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(\Pi_\varepsilon - S _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{15}\varepsilon\Vert (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^2(\mathbb{R}^d)} \end{split} \end{equation} Переходя к символам ДО и учитывая элементарное неравенство $\vert\sin x\vert/\vert x\vert\leqslant 1$, $x\in\mathbb{R}$, оцениваем правую часть \eqref{proof corr S eps 1} через $C_{15}\varepsilon \vert\tau\vert$. Отсюда и из \eqref{theorem corr} вытекает оценка \eqref{theorem corr with S-eps} с постоянной $C_{16}:=C_{12}+C_{15}$. \end{proof} \begin{remark} \label{Remark S eps insert of Pi eps} Рассуждая по аналогии с доказательством теоремы \textnormal{\ref{Theorem corrector interpolation}} и используя свойства сглаживания по Стеклову, можно убедиться, что результаты вида \eqref{Th corr interpol} и \eqref{Th corr interpol big time} сохраняют силу, если $\Pi_\varepsilon$ заменить на $S_\varepsilon$. \end{remark} \section{Усреднение решений неоднородных гиперболических систем} \label{Section Hyperbolic} \subsection{Постановка задачи. Усреднение решений гиперболических систем} Применим результаты \S\ref{section A-eps op err est} к усреднению решений следующей задачи \begin{equation} \label{hyperbolic problem} \begin{cases} \frac{\partial ^2\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau ^2}=-b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau)+\mathbf{F}(\mathbf{x},\tau),\\ \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=0,\quad \frac{\partial\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)}{\partial\tau}=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}). \end{cases} \end{equation} Здесь $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$ --- заданные функции. Решение задачи \eqref{hyperbolic problem} дается формулой \begin{equation} \label{u eps tozd} \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,\tau) =\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\boldsymbol{\psi} +\int _0^\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin ((\tau -\widetilde{\tau})\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\mathbf{F} (\cdot,\widetilde{\tau})\,d\widetilde{\tau}. \end{equation} Пусть $\mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau)$ --- решение усредненной задачи \begin{equation} \label{eff hyperbolic problem} \begin{cases} \frac{\partial ^2\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau ^2}=-b(\mathbf{D})^*g^0 b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},\tau)+\mathbf{F}(\mathbf{x},\tau),\\ \mathbf{u}_0 (\mathbf{x},0)=0,\quad \frac{\partial\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},0)}{\partial\tau}=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}). \end{cases} \end{equation} Тогда \begin{equation} \label{u0 tozd} \mathbf{u}_0 (\cdot,\tau) =(\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\boldsymbol{\psi} +\int _0^\tau (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin ((\tau -\widetilde{\tau})(\mathcal{A}^0) ^{1/2})\mathbf{F} (\cdot,\widetilde{\tau})\,d\widetilde{\tau}. \end{equation} Применяя теоремы \ref{Theorem L2->L2}, \ref{Theorem corrector} и \ref{Theorem corr with S-eps}, учитывая \eqref{isometria} и используя тождества \eqref{u eps tozd}, \eqref{u0 tozd}, приходим к следующему результату. \begin{theorem} \label{Theorem homogenization solutions} Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{hyperbolic problem}, и пусть $\mathbf{u}_0$ --- решение эффективной задачи \eqref{eff hyperbolic problem}. \noindent $1^\circ$. Пусть $\boldsymbol{\psi}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ справедлива оценка \begin{equation*} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{10}\varepsilon (1+\vert \tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}+ \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^1(\mathbb{R}^d))}\right). \end{equation*} \noindent $2^\circ$. Пусть $\boldsymbol{\psi}\in H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$. Пусть $\Lambda (\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{Lambda problem}. Пусть $\Pi _\varepsilon$ --- сглаживающий оператор \eqref{Pi eps}. Через $\mathbf{v}_\varepsilon$ обозначим первое приближение к решению $\mathbf{u}_\varepsilon$\textnormal{:} \begin{equation} \label{v eps} \mathbf{v}_\varepsilon (\mathbf{x} ,\tau) :=\mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau)+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau). \end{equation} Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$ выполнено \begin{equation*} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon(\cdot ,\tau)-\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,\tau)\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{12}\varepsilon (1+\vert \tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right). \end{equation*} Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Положим \begin{equation} \label{check V_eps} \check{\mathbf{v}}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau) :=\mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau)+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})S_\varepsilon \mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau). \end{equation} Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ имеем \begin{equation*} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon(\cdot ,\tau)-\check{\mathbf{v}}_\varepsilon (\cdot ,\tau)\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{16}\varepsilon (1+\vert \tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right). \end{equation*} \end{theorem} Применяя теоремы \ref{Theorem L2 interpolation} и \ref{Theorem corrector interpolation}, получаем следующий результат. \begin{theorem} \label{Theorem solutions interpolation} Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{hyperbolic problem}, и пусть $\mathbf{u}_0$ --- решение эффективной задачи \eqref{eff hyperbolic problem}. \noindent $1^\circ$. Пусть $\boldsymbol{\psi}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, $0\leqslant s\leqslant 1$. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ справедлива оценка \begin{equation*} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathcal{C}_s(1+\vert\tau\vert)\varepsilon ^s\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)}+ \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^s(\mathbb{R}^d))}\right). \end{equation*} Если дополнительно известно, что $\mathbf{F}\in L_1(\mathbb{R}_\pm; H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, то при $00$ выполнено \begin{equation*} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon(\cdot ,\tau)-\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,\tau)\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \mathfrak{C}_s(1+\vert\tau\vert)\varepsilon ^s\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^{1+s}(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^{1+s}(\mathbb{R}^d))}\right). \end{equation*} Если, дополнительно, $\mathbf{F}\in L_1(\mathbb{R}_\pm; H^{1+s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, где $00$ выполнены оценки \begin{align} \label{flux with Pi_eps} &\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{17}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right), \\ \label{flux with S_eps} &\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})S _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{18}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right). \end{align} Постоянные $C_{17}$ и $C_{18}$ зависят только от $m$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. \end{theorem} \begin{proof} Согласно \eqref{Appr corr} и \eqref{u eps tozd}, \eqref{u0 tozd} в условиях теоремы выполнено \begin{equation} \label{proof fluxes 1} \begin{split} &\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}\left(\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon )\mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\right)\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant C_{11}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right). \end{split} \end{equation} Заметим, что в силу \eqref{0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{equation} В операторных терминах, \begin{equation} \label{Lm flux grubo in operator terms} \begin{split} \Vert g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_{19},\\ \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} Постоянная $C_{19}$ зависит только от $m$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. \end{lemma} \begin{proof} В силу \eqref{A_eps} и \eqref{u eps tozd} при $\mathbf{F}=0$ выполнено \begin{equation} \label{lm pr 1} \Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}=\Vert g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{equation} Далее, согласно \eqref{A0=}, \eqref{g^0<=} и \eqref{u0 tozd} при $\mathbf{F}=0$ \begin{equation} \begin{split} \Vert \widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} &=\Vert \widetilde{g}^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}(g^0)^{-1/2}(g^0)^{1/2}b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\\ &\leqslant \Vert \widetilde{g}^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{split} \end{equation} Используя предложение \ref{Proposition Pi eps f eps} и \eqref{b(D)Lambda <=}, находим \begin{equation} \label{lm pr 3} \Vert \widetilde{g}^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant\Vert g\Vert _{L_\infty}(\vert\Omega\vert ^{-1/2}\Vert b(\mathbf{D})\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}+1) \leqslant\Vert g\Vert _{L_\infty}(m^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+1). \end{equation} Объединяя \eqref{lm pr 1}--\eqref{lm pr 3}, приходим к оценке \eqref{Lm flux grubo} с постоянной $$C_{19}:=\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert_{L_\infty}^{1/2}(m^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+1).$$ \end{proof} \begin{theorem} \label{Theorem flux interpol} $1^\circ$. Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ и $\mathbf{u}_0$ --- решения задач \eqref{hyperbolic problem} и \eqref{eff hyperbolic problem} соответственно при $\boldsymbol{\psi}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $ \mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$ при $0\leqslant s\leqslant 2$. Пусть $\mathbf{p}_\varepsilon$ --- поток \eqref{flux=}, и пусть $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ --- матрица-функция \eqref{tilde g}. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ выполнено \begin{equation} \label{Th flux interpol} \begin{split} \Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant {C}_s(1+\vert\tau\vert)^{s/2}\varepsilon ^{s/2}\left(\Vert\boldsymbol{\psi}\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,\tau);H^s(\mathbb{R}^d))}\right). \end{split} \end{equation} Здесь ${C}_s:=C_{19}^{1-s/2}C_{17}^{s/2}$. Если, дополнительно, $\mathbf{F}\in L_1(\mathbb{R}_\pm; H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, где $0\leqslant s\leqslant 2$, то при $\vert\tau\vert =\varepsilon^{-\alpha}$, $0<\alpha<1$, справедлива оценка \begin{equation} \label{Th flux interpol 1.2} \begin{split} \Vert &\mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\pm\varepsilon^{-\alpha})-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\pm\varepsilon^{-\alpha})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant 2^{s/2}{C}_s\varepsilon ^{s(1-\alpha)/2}\left(\Vert\boldsymbol{\psi}\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1(\mathbb{R}_\pm ;H^s(\mathbb{R}^d))}\right),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1. \end{split} \end{equation} \noindent $2^\circ$. Если $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, то \begin{equation*} \lim \limits _{\varepsilon\rightarrow 0}\Vert \mathbf{p}_\varepsilon(\cdot,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}=0,\quad\tau\in\mathbb{R}. \end{equation*} \noindent $3^\circ$. Если $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1}(\mathbb{R}_\pm;L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, то \begin{equation*} \lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\pm \varepsilon ^{-\alpha})-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot,\pm\varepsilon ^{-\alpha} )\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}=0,\quad0<\alpha<1. \end{equation*} \end{theorem} \begin{proof} Переписывая в операторных терминах оценку \eqref{flux with Pi_eps} при $\mathbf{F}=0$ и интерполируя с \eqref{Lm flux grubo in operator terms}, заключаем, что \begin{equation*} \begin{split} \Vert& g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2} ) -\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin(\tau(\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\\ &\leqslant C_{19}^{1-s/2}C_{17}^{s/2}(1+\vert \tau\vert )^{s/2}\varepsilon ^{s/2}. \end{split} \end{equation*} Отсюда и из \eqref{u eps tozd}, \eqref{u0 tozd} вытекает оценка \eqref{Th flux interpol}. Утверждение $2^\circ$ получается на основании теоремы Банаха-Штейнгауза из \eqref{Th flux interpol}. Результат $3^\circ$ выводится из \eqref{Th flux interpol 1.2} с помощью теоремы Банаха-Штейнгауза. \end{proof} \begin{remark} Используя предложение \textnormal{\ref{Proposition S_eps f^eps}} и рассуждая по аналогии с \eqref{lm pr 1}--\eqref{lm pr 3}, легко видеть, что утверждение леммы~\textnormal{\ref{Lemma flux}} сохраняет силу, если $\Pi_\varepsilon$ заменить на сглаживание по Стеклову $S_\varepsilon$. Отсюда и из \eqref{flux with S_eps} с помощью интерполяции выводим, что теорема \textnormal{\ref{Theorem flux interpol}} останется верной, если $\Pi _\varepsilon$ заменить на $S_\varepsilon$. При этом изменится только постоянная в оценке. \end{remark} \subsection{Специальный случай} Предположим, что $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{underline-g}. Согласно \cite[замечание 3.5]{BSu05} в этом случае матрица-функция \eqref{tilde g} постоянна и совпадает с $g^0$, т. е. $\widetilde{g}(\mathbf{x})=g^0=\underline{g}$. Следовательно, \begin{equation*} \widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)=g^0b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau) . \end{equation*} Заметим, что оператор с постоянными коэффициентами $\mathcal{A}^0$ коммутирует со сглаживанием $\Pi _\varepsilon$, поэтому в силу \eqref{A0=}, \eqref{g^0<=} выполнено \begin{equation*} \begin{split} \Vert g^0b(\mathbf{D})(\Pi _\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} &\leqslant \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert (\mathcal{A}^0)^{1/2}(\Pi _\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &= \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert (\Pi _\varepsilon -I)(\mathcal{A}^0)^{1/2}\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{split} \end{equation*} Применяя предложение \ref{Proposition Pi eps -I}, учитывая \eqref{u0 tozd} и принимая во внимание, что оператор $\mathcal{A}^0$ коммутирует с дифференцированием, заключаем, что \begin{equation*} \Vert g^0b(\mathbf{D})(\Pi _\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant\varepsilon r_0^{-1}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty} \left(\Vert\mathbf{D}\boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{D} \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,\tau) ;L_2(\mathbb{R}^d))}\right). \end{equation*} Отсюда и из теоремы \ref{Theorem flux} вытекает следующий результат. \begin{proposition} Пусть справедливы соотношения \eqref{underline-g}. Тогда в условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem flux}} при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ имеем \begin{equation*} \Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-g^0b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{20}\varepsilon(1+\vert\tau\vert)\left(\Vert\boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,\tau) ;H^2(\mathbb{R}^d))}\right). \end{equation*} Здесь $C_{20}:=C_{17}+r_0^{-1}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}$. \end{proposition} \addcontentsline{toc}{section}{Список литературы} \begin{thebibliography}{XXXX} \bibitem[ABriV]{ABriV} \href{http://link.springer.com/article/10.1007/s40324-016-0067-z} {Allaire G., Briane M., Vanninathan M., \textit{A comparison between two-scale asymptotic expansions and Bloch wave expansions for the homogenization of periodic structures}, SeMA Journal {\bf 73} (2016), no.~3, 237--259.} \bibitem[BaPa]{BaPa} Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П., \textit{Осреднение процессов в периодических средах}, Наука, М., 1984. \bibitem[BeLPap]{BeLP} Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G., \textit{Asymptotic analysis for periodic structures}, corrected reprint of the 1978 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, 2011. \bibitem[BSu1]{BSu} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=817&option_lang=rus} {Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения}, Алгебра и анализ {\bf 15} (2003), №~5, 1--108.} \bibitem[BSu2]{BSu05-1} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=706&option_lang=rus} {Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряженного семейства с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 17} (2005), №~5, 69--90.} \bibitem[BSu3]{BSu05} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=714&option_lang=rus} {Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 17} (2005), №~6, 1–104.} \bibitem[BSu4]{BSu06} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=95&option_lang=rus} {Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Алгебра и анализ {\bf 18} (2006), №~6, 1–130.} \bibitem[BSu5]{BSu08} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=540&option_lang=rus} {Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Операторные оценки погрешности при усреднении нестационарных периодических уравнений}, Алгебра и анализ {\bf 20} (2008), №~6, 30--107.} \bibitem[BrOtFMu]{BrOFMu} \href{http://gillesfrancfort.com/Site/Publications_files/published.version.BFM92\%20copy.pdf} {Brahim-Otsmane S., Francfort G. A., Murat F., \textit{Correctors for the homogenization of the wave and heat equations}, J. Math. Pures Appl. {\bf 71} (1992), 197--231.} \bibitem[BraLe]{BraLe} \href{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021782410000103} { Brassart M., Lenczner M., \textit{A two scale model for the periodic homogenization of the wave equation}, J. Math. Pures Appl. {\bf 93} (2010), no. 5, 474--517.} \bibitem[CaDiCoCalMaMarG]{CaDCoCaMaMarG1} \href{http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218202514500031?journalCode=m3as} {Casado-Diaz J., Couce-Calvo J., Maestre F., Martin-Gomez J. D., \textit{Homogenization and correctors for the wave equation with periodic coefficients}, Math. Models Methods Appl. Sci. {\bf 24} (2014), 1343–-1388.} \bibitem[ConOrV]{ConOrV} \href{http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.2179048} {Conca C., Orive R., Vanninathan M., \textit{On Burnett coefficients in periodic media}, Journal of Mathematical Physics {\bf 47}, 032902 (2006), no. 3.} \bibitem[ConSaMaBalV]{ConSaMaBalV} \href{http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218202509003930?journalCode=m3as} {Conca C., SanMartin J., Balilescu L., Vanninathan M., \textit{Optimal bounds on dispersion coefficient in one-dimensional periodic media}, Math. Models Methods Appl. Sci. {\bf 19} (2009), 1743--1764.} \bibitem[DSu1]{DSu} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=3257&option_lang=rus} {Дородный М. А., Суслина Т. А., \textit{Усреднение гиперболических уравнений}, Функц. анализ и его прил. {\bf 50} (2016), №~4, 91--96.} \bibitem[DSu2]{DSu2} \href{https://arxiv.org/abs/1606.05868} {Dorodnyi M., Suslina T., \textit{Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients}, arXiv:1606.05868 (2016).} \bibitem[Ka]{K} Като Т., \textit{Теория возмущений линейных операторов}, Мир, М., 1972. \bibitem[PSu]{PSu} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=1312&option_lang=rus} {Пахнин М. А., Суслина Т. А., \textit{Операторные оценки погрешности при усреднении эллиптической задачи Дирихле в ограниченной области}, Алгебра и анализ {\bf 24} (2012), №~6, 139--177.} \bibitem[Sa]{Sa} Санчес-Паленсия Э., \textit{Неоднородные среды и теория колебаний}, Мир, М., 1984. \bibitem[Su1]{Su04} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=130&option_lang=rus} {Суслина Т. А., \textit{Об усреднении периодических параболических систем}, Функц. анализ и его прил. {\bf 38} (2004), №~4, 86--90.} \bibitem[Su2]{Su07} Suslina T. A., \textit{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem}, Amer. Math. Soc. Transl. (2), vol. 220, 2007, pp. 201--233. \bibitem[Su3]{Su_MMNP} \href{http://www.mmnp-journal.org/articles/mmnp/abs/2010/04/mmnp201054p390/mmnp201054p390.html} {Suslina T. A., \textit{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the Sobolev space $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Math. Model. Nat. Phenom. {\bf 5} (2010), no. 4, 390--447.} \bibitem[Su4]{Su17} \href{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X16305406} {Suslina T., \textit{Spectral approach to homogenization of nonstationary Schrödinger-type equations}, J. Math. Anal. Appl. {\bf 446} (2017), no. 2, 1466--1523.} \bibitem[ViGKo]{ViGKo} Виленкин Н. Я., Горин Е. А., Костюченко А. Г. и др., \textit{Функциональный анализ}. Серия \glqq Справочная математическая библиотека\grqq , Наука, М., 1964. \bibitem[ZhKO]{ZhKO} Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., \textit{Усреднение дифференциальных операторов}, Физматлит, М., 1993. \bibitem[Zh1]{Zh1} Жиков В. В., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, Докл. РАН {\bf 403} (2005), №~3, 305--308. \bibitem[Zh2]{Zh2} \href{http://link.springer.com/article/10.1134/S1064562406010261}{Жиков В. В., \textit{О некоторых оценках из теории усреднения}, Докл. РАН {\bf 406} (2006), №~5, 597--601.} \bibitem[ZhPas1]{ZhPas} Zhikov V. V., Pastukhova S. E., \textit{On operator estimates for some problems in homogenization theory}, Russ. J. Math. Phys. {\bf 12} (2005), no. 4, 515-524. \bibitem[ZhPas2]{ZhPAs_parabol} \href{http://link.springer.com/article/10.1134/S1061920806020087} {Zhikov V. V., Pastukhova S. E., \emph{Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic coefficients}, Russ. J. Math. Phys. {\bf 13} (2006), no. 2, 224--237.} \bibitem[ZhPas3]{ZhPasUMN} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9710&option_lang=rus}{Жиков В. В., Пастухова С. Е., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, УМН {\bf 71 (429)} (2016), №~3, 27–122.} \end{thebibliography} \end{document}