\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[OT1]{fontenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{condition}[theorem]{Условие}
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}

\providecommand{\keywords}[1]{\textbf{{Ключевые слова:}} #1}
\setcounter{tocdepth}{1}

\usepackage[paperwidth=20.5cm,paperheight=29.7cm,width=16.5cm,height=25.5cm,top=24mm,headsep=11mm]{geometry}

\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{Об операторных оценках при усреднении гиперболических систем с периодическими коэффициентами\footnote{Представлено Т.~А. Суслиной}\;\,\footnote{Исследование выполнено при поддержке Российского научного фонда, грант №~17-11-01069.}}
\author{Ю. М. Мешкова \footnote{Лаборатория им. П.~Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственный университет, 14 линия В.~О., дом 29Б, Санкт-Петербург 199178 Россия.  E-mail: {\tt{y.meshkova@spbu.ru}, \tt{juliavmeshke@yandex.ru}}. }}

\maketitle

\begin{abstract}
Изучаются самосопряженные матричные сильно эллиптические дифференциальные операторы $\mathcal{A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, действующие в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Коэффициенты оператора $\mathcal{A}_\varepsilon$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Нас интересует поведение оператора $\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})$, $\tau\in\mathbb{R}$, в пределе малого периода. Для этого оператора найден старший член аппроксимации по $(H^1\rightarrow L_2)$-операторной норме, а также аппроксимация при учете корректора по $(H^2\rightarrow H^1)$-операторной норме. Результаты применяются к усреднению решений неоднородного гиперболического уравнения $\partial ^2_\tau \mathbf{u}_\varepsilon =-\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon +\mathbf{F}$.
\end{abstract}

\keywords{периодические дифференциальные операторы, гиперболические системы, усреднение, операторные оценки погрешности.}

\tableofcontents

\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
\section*{Введение}
Работа относится к теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО). Теории усреднения посвящена обширная литература; см., например, книги \cite{BaPa,BeLP,ZhKO,Sa}. Мы используем спектральный подход к задачам усреднения, основанный на теории Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений.


\subsection{Класс операторов} Изучаются самосопряженные эллиптические матричные ДО в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, допускающие факторизацию:
\begin{equation*}
\mathcal{A}_\varepsilon=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x}/\varepsilon)b(\mathbf{D}),\quad\varepsilon >0.
\end{equation*}
Здесь $b(\mathbf{D})=\sum _{j=1}^d b_jD_j$ --- $(m\times n)$-матричный ДО первого порядка с постоянными коэффициентами. Предполагается, что $m\geqslant n$ и что символ $b(\boldsymbol{\xi})$ имеет максимальный ранг. Считаем, что периодическая $(m\times m)$-матрица-функция $g(\mathbf{x})$ такова, что
\begin{equation*}
g(\mathbf{x})>0;\quad g, g^{-1}\in L_\infty.
\end{equation*}
Коэффициенты оператора $\mathcal{A}_\varepsilon$ быстро осциллируют при $\varepsilon \rightarrow 0$.


\subsection{Операторные оценки погрешности для эллиптических и параболических задач}

В серии работ \cite{BSu,BSu05-1,BSu05,BSu06} М.~Ш.~Бирмана и Т.~А.~Суслиной был развит абстрактный теоретико-операторный (спектральный) подход к эллиптическим задачам усреднения в $\mathbb{R}^d$. Этот подход основан на использовании масштабного преобразования, теории Флоке-Блоха и аналитической теории возмущений.

Типичная эллиптическая задача усреднения состоит в изучении поведения решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ уравнения $\mathcal{A}_\varepsilon \mathbf{u}_\varepsilon +\mathbf{u}_\varepsilon=\mathbf{F}$, где $\mathbf{F}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, при $\varepsilon\rightarrow 0$. Оказывается, что решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ в некотором смысле сходятся к решению $\mathbf{u}_0$ усредненного уравнения $\mathcal{A}^0\mathbf{u}_0+\mathbf{u}_0=\mathbf{F}$. Здесь
\begin{equation*}
\mathcal{A}^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})
\end{equation*}
--- \textit{эффективный оператор}, а $g^0$ --- постоянная \textit{эффективная матрица}. Правило нахождения $g^0$ хорошо известно в теории усреднения.

В \cite{BSu} установлено, что 
\begin{equation}
\label{eq/ 0}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon -\mathbf{u}_0\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon \Vert\mathbf{F}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}
Эта оценка имеет точный порядок, зависимость постоянной $C$ от данных задачи явно прослежена. Неравенство \eqref{eq/ 0} означает, что при $\varepsilon\rightarrow 0$ резольвента $(\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}$ сходится к резольвенте эффективного оператора по операторной норме в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, причем
\begin{equation*}
\Vert (\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}-(\mathcal{A}^0 +I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon .
\end{equation*}
Результаты такого типа называют \textit{операторными оценками погрешности} в теории усреднения.

В \cite{BSu06} получена аппроксимация резольвенты $(\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}$ по $(L_2\rightarrow H^1)$-операторной норме:
\begin{equation*}
\Vert (\mathcal{A}_\varepsilon +I)^{-1}-(\mathcal{A}^0 +I)^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon .
\end{equation*}
В этой аппроксимации учтен \textit{корректор} $K(\varepsilon)$. Он содержит быстро осциллирующий множитель, а потому зависит от $\varepsilon$. При этом $\Vert \varepsilon K(\varepsilon)\Vert _{L_2\rightarrow H^1}=O(1)$. В отличие от традиционного корректора в теории усреднения, оператор $K(\varepsilon)$ содержит сглаживающий оператор $\Pi _\varepsilon $ (см. \eqref{Pi eps} ниже).

К параболическим задачам усреднения спектральный метод применялся в работах \cite{Su04,Su07,Su_MMNP}. Старший член аппроксимации найден в \cite{Su04,Su07}:
\begin{equation*}
\Vert e^{-\tau \mathcal{A}_\varepsilon}-e^{-\tau\mathcal{A}^0}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon \tau  ^{-1/2},\quad \tau >0.
\end{equation*}
Аппроксимация при учете корректора получена в \cite{Su_MMNP}:
\begin{equation*}
\Vert e^{-\tau \mathcal{A}_\varepsilon}-e^{-\tau\mathcal{A}^0}-\varepsilon\mathcal{K}(\varepsilon ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon (\tau ^{-1}+\tau ^{-1/2}),\quad 0<\varepsilon\leqslant\tau ^{1/2}.
\end{equation*}

Другой подход (так называемый \textit{модифицированный метод первого приближения} или \textit{метод сдвига}) к получению операторных оценок погрешности был предложен В.~В.~Жиковым \cite{Zh1,Zh2} и разработан им совместно с С.~Е.~Пастуховой \cite{ZhPas}. В этих работах изучались эллиптические задачи для операторов акустики и теории упругости. К параболическим задачам метод сдвига применялся в статье \cite{ZhPAs_parabol}. Изложение дальнейших результатов В.~В.~Жикова и С.~Е.~Пастуховой можно найти в недавнем обзоре \cite{ZhPasUMN}.

\subsection{Операторные оценки при усреднении гиперболических задач и нестационарного уравнения Шрёдингера} 

Для эллиптических и параболических систем операторные оценки погрешности хорошо изучены. Для нестационарного уравнения Шрёдингера и гиперболического уравнения ситуация иная. Старший член аппроксимации был найден в работе \cite{BSu08}:
\begin{align}
\label{Schreg intr}
&\Vert e^{-i\tau \mathcal{A}_\varepsilon }-e^{-i\tau\mathcal{A}^0}\Vert _{H^3(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon(1+\vert \tau\vert ),
\\
\label{cos intr}
&\Vert \cos (\tau\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-\cos (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon (1+\vert\tau\vert) .
\end{align}
Впоследствии  Т.~А.~Суслина \cite{Su17} методами аналитической теории возмущений установила 
неулучшаемость оценки \eqref{Schreg intr} относительно типа операторной нормы. Развивая построения \cite{Su17}, М.~А.~Дородный и Т.~А.~Суслина \cite{DSu,DSu2} показали, что оценка \eqref{cos intr} точна относительно типа операторной нормы. В работах \cite{DSu,DSu2,Su17} также выделены специальные случаи, когда оценки \eqref{Schreg intr}, \eqref{cos intr} допускают усиление относительно типа операторной нормы. В статьях \cite{BSu,DSu2} с помощью тождества $\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})=\int _0^\tau \cos(\widetilde{\tau} \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\,d\widetilde{\tau}$ и аналогичного равенства для эффективного оператора из \eqref{cos intr} в качестве (грубого) следствия выводится оценка
\begin{equation}
\label{Th BSu}
\begin{split}
\Vert  \mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}^{1/2}_\varepsilon)-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert_{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (1+\vert \tau\vert )^2,
\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}
Точность оценки \eqref{Th BSu} относительно типа операторной нормы не обсуждается. Результаты \eqref{cos intr} и \eqref{Th BSu} применяются к усреднению решений гиперболических систем вида
\begin{equation}
\label{hyperbolic problem in introduction}
\begin{cases}
\partial ^2_\tau \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau)=-\mathcal{A}_\varepsilon\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau )+\mathbf{F}(\mathbf{x},\tau ),\\
\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\quad\partial _\tau \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}).
\end{cases}
\end{equation}


\subsection{Аппроксимации с корректором для гиперболических систем}

Операторных оценок при учете корректора для нестационарных уравнений типа Шрёдингера и гиперболического типа ранее установлено не было. Поэтому остановимся на известных \glqq классических\grqq\, результатах усреднения (не допускающих записи в операторных терминах). Эти результаты относятся к случаю операторов, действующих в ограниченной области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$. Аппроксимация решения гиперболической задачи с нулевыми начальными данными и ненулевой правой частью при учете корректора получена в \cite[глава 2, п. 3.6]{BeLP}. В \cite{BeLP} установлена сильная сходимость к нулю разности решения и первого приближения по норме в $L_2((0,T);H^1_0(\mathcal{O}))$. Оценка погрешности не приводится. Случай нулевых начальных данных и ненулевой правой части рассматривался также в \cite[глава 4, \S 5]{BaPa}. В \cite{BaPa} построено полное асимптотическое разложение и получена оценка порядка $O(\varepsilon ^{1/2})$ для разности решения задачи с быстро осциллирующими коэффициентами и первого приближения к нему по $H^1$-норме в пространственно-временном цилиндре $\mathcal{O}\times(0,T)$. При этом правая часть предполагалась $C^\infty$-гладкой.

Естественно интересоваться аппроксимацией при учете корректора и для решений гиперболических систем с ненулевыми начальными данными, т. е. аппроксимацией операторного косинуса в подходящем смысле. Хочется ожидать, что в этом случае корректор будет иметь ту же структуру, что и для эллиптических и параболических систем. Однако в работе \cite{BrOFMu} установлено, что это имеет место только при специальном выборе начальных данных. В общем случае аппроксимация с корректором найдена в работах \cite{BraLe,CaDCoCaMaMarG1}. Однако из-за дисперсии волн в неоднородной среде корректор нелокален. 
Гомогенизация волнового уравнения при учете дисперсионных эффектов изучалась в работах \cite{ABriV,ConOrV,ConSaMaBalV} методом, основанным на разложении Флоке-Блоха и использовании теории возмущений. Однако операторные оценки погрешности в этих статьях не обсуждались.


\subsection{Основные результаты работы}

\textit{Цель работы} --- без дополнительных предположений усилить результат \eqref{Th BSu} относительно типа операторной нормы и получить аппроксимацию при учете корректора для решения гиперболической задачи \eqref{hyperbolic problem in introduction} с $\boldsymbol{\varphi}=0$ и ненулевыми $\mathbf{F}$ и $\boldsymbol{\psi}$.

Наш результат --- оценка
\begin{equation}
\label{main result 1}
\begin{split}
\Vert \mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}^{1/2}_\varepsilon)-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert_{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (1+\vert \tau\vert ),\\
\varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}
Также установлена аппроксимация при учете корректора:
\begin{equation}
\label{main result 2}
\begin{split}
\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})-\varepsilon\mathrm{K}(\varepsilon ,\tau)\right\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C \varepsilon(1+\vert\tau\vert),\\ \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}
Корректор в общем случае содержит сглаживающий оператор. Мы выделяем случаи, когда можно использовать более простой корректор без сглаживателя, а также показываем, что можно заменить сглаживатель, естественно возникающий из нашей техники, оператором сглаживания по Стеклову. При усреднении задач в ограниченной области такой сглаживатель удобнее. Использование сглаживания по Стеклову заимствовано из работы \cite{ZhPas}.

\subsection{Метод исследования} Мы используем метод работ \cite{BSu08,DSu2}, последовательно проводя все построения применительно к операторному синусу. Для получения результата с корректором мы заимствуем также некоторые приемы из \cite{Su_MMNP}. Обсудим доказательство оценки \eqref{main result 1}.   \textit{Масштабное преобразование} позволяет вывести \eqref{main result 1} из неравенства
\begin{equation}
\label{est no eps intr}
\begin{split}
&\left\Vert \left(\mathcal{A}^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau\mathcal{A}^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)\varepsilon (-\Delta +\varepsilon ^2 I)^{-1/2}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C(1+\vert\tau\vert),\quad \tau\in\mathbb{R},\quad \varepsilon >0.
\end{split}
\end{equation}
Здесь $\mathcal{A}=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})$. Для получения оценки \eqref{est no eps intr} с помощью унитарного \textit{преобразования Гельфанда} (см. п.~\ref{Subsec Gelfand} ниже) оператор $\mathcal{A}$ раскладывается в прямой интеграл по операторам $\mathcal{A}(\mathbf{k})$, действующим в пространстве $L_2$ на ячейке решетки периодов и зависящим от параметра $\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d$ (\textit{квазиимпульса}). Мы выделяем одномерный параметр $\vert \mathbf{k}\vert$ и изучаем семейство $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ методами аналитической теории возмущений. При этом приходится следить за равномерностью построений по дополнительному параметру $\boldsymbol{\theta}:=\mathbf{k}/\vert \mathbf{k}\vert$. Большую часть рассмотрений удается провести в рамках абстрактной теоретико-операторной схемы. 

\subsection{Структура работы} Работа состоит из трех глав. В главе ~\hyperref[Section Abstract sheme]{I} (\S\ref{Section Preliminaries}, \ref{Subsection abstract approximations for sin}) содержится необходимый абстрактный теоретико-операторный материал. Глава~\hyperref[Section Chapter 2]{II} посвящена периодическим ДО. В \S\ref{Section Factorized families}--\ref{Sec eff op} введен рассматриваемый класс операторов, описано разложение в прямой интеграл и нахождение эффективных характеристик.  В \S\ref{Section Threshold appr. for DO}, \ref{Sec smoothed A} получены пороговые аппроксимации для сглаженной операторной функции $\mathcal{A} ^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau\mathcal{A}^{1/2})$, установлена оценка \eqref{est no eps intr}. В главе \hyperref[Chapter 3]{III} (\S\ref{section A-eps op err est}, \ref{Section Hyperbolic}) рассматриваются задачи усреднения для гиперболических систем. В \S\ref{section A-eps op err est} получены основные результаты работы в операторных терминах --- оценки \eqref{main result 1} и \eqref{main result 2}. Затем в \S\ref{Section Hyperbolic} эти результаты применяются к усреднению решений неоднородных гиперболических систем. 

\subsection{Благодарность} Автор выражает благодарность Т.~А.~Суслиной за внимание к работе и многочисленные замечания, способствовавшие улучшению качества изложения.

\subsection{Обозначения} 
Пусть $\mathfrak{H}$ и $\mathfrak{H}_*$ --- сепарабельные гильбертовы пространства. Символы $(\cdot ,\cdot )_\mathfrak{H}$ и $\Vert \cdot \Vert _\mathfrak{H}$ означают соответственно скалярное произведение и норму в $\mathfrak{H}$; символ $\Vert \cdot\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*}$ означает норму линейного непрерывного оператора из $\mathfrak{H}$ в $\mathfrak{H}_*$. Иногда мы опускаем индексы, если это не ведет к смешениям. Через $I=I_\mathfrak{H}$ обозначается тождественный оператор в $\mathfrak{H}$. Если $A:\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*$ --- линейный оператор, что через $\mathrm{Dom}\,A$ обозначается область определения $A$. Если $\mathfrak{N}$ --- подпространство в $\mathfrak{H}$, то $\mathfrak{N}^\perp:=\mathfrak{H}\ominus\mathfrak{N}$.
  
Символ $\langle\cdot,\cdot\rangle$ означает стандартное скалярное произведение в $\mathbb{C}^n$, $\vert \cdot\vert$ --- норма вектора в $\mathbb{C}^n$; $\mathbf{1}_n$ --- единичная матрица размера $n\times n$. Для $(m\times n)$-матрицы $a$ символ $\vert a\vert$ означает норму матрицы как линейного оператора из $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C}^m$; $a^*$ означает эрмитово сопряженную $(n\times m)$-матрицу.

Классы $L_p$ вектор-функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ со значениями в $\mathbb{C}^n$ обозначаем через $L_p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$. Классы Соболева $\mathbb{C}^n$-значных функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ порядка $s$ и степени суммирования $2$ обозначаются через $H^s(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Через $\mathcal{S}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ обозначается класс Шварца $\mathbb{C}^n$-значных функций в $\mathbb{R}^d$.  При $n=1$ обычно пишем просто $L_p(\mathcal{O})$, $H^s(\mathcal{O})$ и т. д., но, если это не ведет к смешениям, мы иногда применяем такие упрощенные обозначения и для пространств вектор-функций или матриц-функций. Символ $L_p((0,T);\mathfrak{H})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, означает $L_p$-пространство $\mathfrak{H}$-значных функций на интервале $(0,T)$.

Далее, $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_d)\in\mathbb{R}^d$, $iD_j=\partial _j=\partial /\partial x_j$, $j=1,\dots,d$, $\mathbf{D}=-i\nabla=(D_1,\dots,D_d)$. Для оператора Лапласа используем обозначение $\Delta =\partial ^2/\partial x_1^2+\dots +\partial ^2/\partial x_d^2$.

Через $C$, $\mathcal{C}$, $\mathrm{C}$, $\mathfrak{C}$, $c$, $\mathfrak{c}$ (возможно, с индексами и значками) обозначаются различные оценочные постоянные. Через $\beta$ с различными индексами ниже обозначаются абсолютные постоянные.


\section*{Глава I. Абстрактная схема}
\addcontentsline{toc}{section}{Глава I. Абстрактная схема}
\label{Section Abstract sheme}

\section{Предварительные сведения}
\label{Section Preliminaries}

\subsection{Квадратичные операторные пучки} 
\label{Subsubsection operator pencils}
Пусть $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ --- комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Пусть $X_0 :\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}_*$ --- плотно определенный замкнутый оператор, и пусть оператор $X_1 :\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*$ ограничен. На области определения $\mathrm{Dom}\,X(t)=\mathrm{Dom}\,X_0$ введем оператор $X(t):=X_0+tX_1$, $t\in\mathbb{R}$. \textit{Наш основной объект ---} семейство самосопряженных в $\mathfrak{H}$ положительных операторов
\begin{equation}
\label{A(t)=}
A(t):=X(t)^*X(t),\quad t\in\mathbb{R}.
\end{equation}
Семейство $A(t)$ порождено замкнутой в $\mathfrak{H}$ квадратичной формой $\Vert X(t)u\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}$, $u\in\mathrm{Dom}\,X_0$. 
Обозначим $A(0)=X_0^*X_0=:A_0$. Положим
\begin{equation*}
\mathfrak{N}:=\mathrm{Ker}\,A_0=\mathrm{Ker}\,X_0,\quad \mathfrak{N}_*:=\mathrm{Ker}\,X_0^*.
\end{equation*}
Предполагается, что точка $\lambda _0=0$ изолирована в спектре оператора $A_0$, причем
\begin{equation*}
0<n:=\mathrm{dim}\,\mathfrak{N}<\infty,\quad n\leqslant n_*:=\mathrm{dim}\,\mathfrak{N}_*\leqslant\infty .
\end{equation*}
Через $d_0$ обозначим расстояние от точки нуль до остального спектра оператора $A_0$, через $F(t,s)$ --- спектральный проектор оператора $A(t)$ для промежутка $[0,s]$. Фиксируем число $\delta >0$ такое, что $8\delta <d_0$. Положим
\begin{equation}
\label{t_0(delta) abstact scheme}
t_0:=\delta ^{1/2}\Vert X_1\Vert ^{-1} _{\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}_*}.
\end{equation}
Тогда (см. \cite[(1.1.3)]{BSu}) $F(t,\delta )=F(t,3\delta)$ и $\mathrm{rank}\,F(t,\delta)=n$ при $\vert t\vert\leqslant t_0$. Мы часто будем писать $F(t)$ вместо $F(t,\delta )$. Через $P$ и $P_*$ обозначим соответственно ортопроекторы в $\mathfrak{H}$ на $\mathfrak{N}$ и в $\mathfrak{H}_*$ на $\mathfrak{N}_*$. 

\subsection{Операторы $Z$ и $R$}
Пусть $\mathcal{D}:=\mathrm{Dom}\,X_0\cap \mathfrak{N}^\perp$, и пусть $u\in\mathfrak{H}_*$. Рассмотрим уравнение на элемент $\psi\in\mathcal{D}$ (ср. \cite[глава I, (1.7)]{BSu}):
\begin{equation}
\label{first eq. for Z}
X_0^*(X_0\psi - u)=0,
\end{equation}
которое понимается в слабом смысле. Иными словами, $\psi\in\mathcal{D}$ удовлетворяет тождеству
\begin{equation*}
(X_0\psi ,X_0\zeta )_{\mathfrak{H}_*}=(u,X_0\zeta)_{\mathfrak{H}_*},\quad \forall \zeta\in\mathcal{D}.
\end{equation*}
Уравнение \eqref{first eq. for Z} имеет единственное решение $\psi$, и $\Vert X_0\psi\Vert_{\mathfrak{H}_*}\leqslant\Vert u\Vert _{\mathfrak{H}_*}$. Пусть теперь $\omega\in\mathfrak{N}$ и $u=-X_1\omega$. Соответствующее решение уравнения \eqref{first eq. for Z} обозначим через $\psi(\omega)$. Определим ограниченный оператор $Z:\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}$ равенствами
\begin{equation*}
Z\omega =\psi (\omega),\quad\omega\in\mathfrak{N};\quad Zx=0,\quad x\in\mathfrak{N}^\perp .
\end{equation*}
Заметим, что
\begin{equation}
\label{ZP=Z, PZ=0}
ZP=Z,\quad PZ=0.
\end{equation}

Определим теперь оператор $R$ (см. \cite[глава I, п. 1.2]{BSu}) следующим образом:
\begin{equation*}
R :\mathfrak{N}\rightarrow \mathfrak{N}_*,\quad R\omega =X_0\psi(\omega)+X_1\omega\in\mathfrak{N}_*.
\end{equation*}
Другое описание оператора $R$ дается формулой
\begin{equation*}
R=P_*X_1\vert _\mathfrak{N}.
\end{equation*}

\subsection{Спектральный росток}

\textit{Спектральным ростком} операторного семейства \eqref{A(t)=} при $t=0$ называется (см. \cite[глава I, п. 1.3]{BSu}) самосопряженный оператор 
\begin{equation*}
S:=R^*R :\mathfrak{N}\rightarrow \mathfrak{N},
\end{equation*}
для которого также справедливо представление $S=PX_1^*P_*X_1\vert _\mathfrak{N}$. Отсюда следует оценка
\begin{equation}
\label{vert S vert =}
\Vert S\Vert \leqslant \Vert X_1\Vert ^2.
\end{equation}
Спектральный росток $S$ \textit{невырожден,} если $\mathrm{Ker}\,S=\lbrace 0\rbrace$ или, эквивалентно, $\mathrm{rank}\,R=n$.

В соответствии с аналитической теорией возмущений (см. \cite{K}), при $\vert t\vert\leqslant t_0$ найдутся такие вещественно-аналитические функции $\lambda _l(t)$ и вещественно-аналитические $\mathfrak{H}$-значные функции $\phi _l(t)$, что
\begin{equation*}
A(t)\phi _l(t)=\lambda _l(t)\phi _l(t),\quad l=1,\dots,n,\quad\vert t\vert \leqslant t_0,
\end{equation*}
причем $\phi _l(t)$, $l=1,\dots,n$, образуют ортонормированный базис в собственном продпространстве $F(t)\mathfrak{H}$. При достаточно малом $t_*$ ($\leqslant t_0$) и $\vert t\vert \leqslant t_*$ справедливы сходящиеся степенные разложения
\begin{align}
\label{lambda_l(t)= series}
&\lambda _l(t)=\gamma _l t^2 +\mu _l t^3+\dots ,\quad \gamma _l\geqslant 0,\quad\mu _l\in\mathbb{R},\quad l=1,\dots,n;\\
&\phi _l(t)=\omega _l +t\phi _l^{(1)}+t^2\phi _l^{(2)}+\dots,\quad l=1,\dots,n.
\nonumber
\end{align}
Элементы $\omega _l=\phi_l(0)$, $l=1,\dots ,n$, образуют ортонормированный базис в $\mathfrak{N}$.

В \cite[глава I, п. 1.6]{BSu} установлено, что числа $\gamma _l$ и элементы $\omega _l$, $l=1,\dots,n$, являются собственными для оператора $S$:
\begin{equation}
\label{S omega _l=}
S\omega_l=\gamma_l\omega_l,\quad l=1,\dots, n.
\end{equation}
Величины $\gamma _l$ и $\omega _l$, $l=1,\dots ,n$, называют \textit{пороговыми характеристиками на краю спектра} для операторного семейства $A(t)$.

\subsection{Пороговые аппроксимации}
Будем предполагать, что при некотором $c_*>0$ выполнено соотношение
\begin{equation}
\label{A(t)>=}
A(t)\geqslant c_*t^2 I,\quad \vert t\vert\leqslant t_0.
\end{equation}
Это эквивалентно тому, что собственные числа $\lambda _l(t)$ оператора $A(t)$ подчинены оценкам
\begin{equation*}
\lambda_l(t)\geqslant c_* t^2,\quad\vert t\vert\leqslant t_0, \quad l=1,\dots,n.
\end{equation*}
Учитывая \eqref{lambda_l(t)= series}, заключаем, что $\gamma _l\geqslant c_*$, $l=1,\dots,n$,  а тогда в силу \eqref{S omega _l=} росток $S$ невырожден:
\begin{equation}
\label{S>=}
S\geqslant c_* I_\mathfrak{N} .
\end{equation}

Как показано в \cite[глава I, теорема 4.1]{BSu},
\begin{equation}
\label{F-P}
\Vert F(t)-P\Vert \leqslant C_1 \vert t\vert,\quad \vert t\vert\leqslant t_0;\quad C_1:=\beta_1 \delta ^{-1/2}\Vert X_1\Vert .
\end{equation}
Кроме \eqref{F-P}, нам потребуется также более точная аппроксимация спектрального проектора, полученная в \cite[(2.10)]{BSu05-1}:
\begin{equation}
\label{F(t)=P+tF_1+F_2(t)}
F(t)=P+tF_1+F_2(t),\quad \Vert F_2(t)\Vert\leqslant C_2 t^2,\quad \vert t\vert\leqslant t_0;\quad C_2:= \beta _2 \delta ^{-1}\Vert X_1\Vert ^2.
\end{equation}
Согласно \cite[(2.15)]{BSu05-1} оператор $F_1$ имеет вид 
\begin{equation}
\label{F_1=}
F_1=ZP+PZ^*.
\end{equation}
Из \eqref{ZP=Z, PZ=0} и \eqref{F_1=} следует, что
\begin{equation}
\label{F1P=ZP}
F_1P=ZP.
\end{equation}

В \cite[глава I, теорема 5.2]{BSu} установлена следующая оценка:
\begin{align}
\label{Th res BSu-108}
&\Vert (A(t)+sI)^{-1}F(t)-(t^2SP+sI)^{-1}P\Vert \leqslant C_3\vert t\vert (c_* t^2 +s)^{-1},\quad s>0,\quad\vert t\vert \leqslant t_0;
\\
\label{C_3 abstract}
&C_3:=\beta _3\delta ^{-1/2}\Vert X_1\Vert(1 +c_*^{-1} \Vert X_1\Vert ^2).
\end{align}


В \cite[теорема 2.4]{BSu08} доказана аппроксимация:
\begin{align}
\label{Th A(t)+1/2}
&\Vert A(t)^{1/2}F(t)-(t^2 S)^{1/2}P\Vert \leqslant C_4t^2,\quad \vert t\vert \leqslant t_0;
\\
\label{C_4 abstract}
&C_4:=\beta _4 \delta ^{-1/2}\Vert X_1\Vert ^2(1+c_*^{-1/2}\Vert X_1\Vert ) .
\end{align}
Отсюда и из \eqref{vert S vert =} следует, что
\begin{equation}
\label{A(t)^1/2F<=}
\Vert A(t)^{1/2}F(t)\Vert \leqslant \vert t\vert \Vert S\Vert ^{1/2}+C_4 t^2\leqslant (\Vert X_1\Vert +C_4 t_0)\vert t\vert ,\quad \vert t\vert \leqslant t_0.
\end{equation}

Также нам потребуется оценка для оператора $A(t)^{1/2}F_2(t)$, полученная в \cite[(2.23)]{BSu06}:
\begin{equation}
\label{A^1/2F_2}
\Vert A(t)^{1/2}F_2(t)\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}}\leqslant C_5t^2,\quad\vert t\vert \leqslant t_0;\quad C_5:=\beta _5\delta ^{-1/2}\Vert X_1\Vert ^2.
\end{equation}

\subsection{Аппроксимация оператора $A(t)^{-1/2}F(t)$ при $t\neq 0$}

\begin{lemma}
При $\vert t\vert \leqslant t_0$ и $t\neq 0$ выполнено
\begin{equation}
\label{Lm A-1/2}
\Vert A(t)^{-1/2}F(t)-(t^2 S)^{-1/2} P\Vert \leqslant C_6.
\end{equation}
Постоянная $C_6$ определена ниже в \eqref{C_6 abstract} и зависит лишь от $\delta$, $\Vert X_1\Vert $ и $c_*$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Справедливо тождество
\begin{equation}
\label{A-1/2 tozd}
A(t)^{-1/2}F(t)=\frac{1}{\pi}\int _0^\infty \zeta ^{-1/2}(A(t)+\zeta I)^{-1}F(t)\,d\zeta ,\quad t\neq 0.
\end{equation}
(См., например, \cite[глава III, \S 3, п. 4]{ViGKo}). Аналогично,
\begin{equation}
\label{germ -1/2 tozd}
(t^2 S)^{-1/2}P=\frac{1}{\pi}\int _0^\infty \zeta ^{-1/2}(t^2 S+\zeta I_\mathfrak{N} )^{-1}P\,d\zeta
=\frac{1}{\pi}\int _0^\infty \zeta ^{-1/2}(t^2 SP+\zeta I )^{-1}P\,d\zeta .
\end{equation}
Вычитая \eqref{germ -1/2 tozd} из \eqref{A-1/2 tozd} и учитывая \eqref{Th res BSu-108}, получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert A(t)^{-1/2}F(t)-(t^2 S)^{-1/2}P\Vert &\leqslant \frac{C_3}{\pi}\int _0^\infty \zeta ^{-1/2}\vert t\vert (c_* t^2 +\zeta )^{-1}\,d\zeta
\\
&\leqslant
\frac{C_3}{\pi}c_*^{-1}\vert t\vert ^{-1}\int _0^{t^2} \zeta ^{-1/2}\,d\zeta
+\frac{C_3}{\pi}\vert t\vert \int _{t^2}^\infty \zeta ^{-3/2}\,d\zeta .
\end{split}
\end{equation*}
Вычисляя полученные интегралы, приходим к оценке \eqref{Lm A-1/2} с постоянной 
\begin{equation}
\label{C_6 abstract}
C_6:=2C_3\pi^{-1}(c_*^{-1}+1).
\end{equation}
\end{proof}

\section{Аппроксимация оператора $A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})$}
\label{Subsection abstract approximations for sin}

\subsection{Старший член аппроксимации}

\begin{proposition}
При $\vert t\vert \leqslant t_0$ и $\tau\in\mathbb{R}$ выполнено
\begin{equation}
\label{A-1/2sin F}
\begin{split}
&\left\Vert \left( A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)P\right \Vert 
\leqslant C_7(1+\vert\tau\vert\vert t\vert )
.
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_7$ зависит лишь от $\delta$, $\Vert X_1\Vert $ и $c_*$.
\end{proposition}

\begin{proof}
При $t=0$ оператор под знаком нормы в \eqref{A-1/2sin F} понимается как предел при $t\rightarrow 0$. Раскладывая синус в ряд Тейлора, легко видеть, что этот предел равен нулю.

Пусть теперь $t\neq 0$. Положим
\begin{align}
\label{E(tau)}
&E(\tau):=e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)-e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P;
\\
\label{Sigma(tau)}
&\Sigma (\tau):=e^{i\tau (t^2 S)^{1/2}P}E(\tau)=e^{i\tau (t^2 S)^{1/2}P}e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)-(t^2S)^{-1/2}P.
\end{align}
Тогда
\begin{equation*}
\Sigma (0)=A(t)^{-1/2}F(t)-(t^2 S)^{-1/2}P
\end{equation*}
и
\begin{equation}
\label{d Sigma /d tau}
\frac{d\Sigma (\tau)}{d\tau}=ie^{i\tau (t^2 S)^{1/2}P}\left( (t^2S)^{1/2}P-A(t)^{1/2}F(t)\right)e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t).
\end{equation}
В силу \eqref{A(t)>=} и \eqref{Th A(t)+1/2} для оператор-функции \eqref{d Sigma /d tau} выполнена оценка
\begin{equation*}
\left\Vert \frac{d\Sigma (\tau)}{d\tau}\right\Vert \leqslant C_4 t^2\Vert A(t)^{-1/2}\Vert \leqslant C_4 c_*^{-1/2}\vert t\vert,\quad \vert t\vert \leqslant t_0,\quad t\neq 0.
\end{equation*}
Тогда с учетом \eqref{Lm A-1/2} и \eqref{Sigma(tau)} имеем
\begin{align}
\label{E(tau) estimate}
&\Vert E(\tau)\Vert =\Vert \Sigma(\tau)\Vert \leqslant C_4 c_*^{-1/2}\vert t\vert  \vert\tau\vert  +\Vert \Sigma(0)\Vert 
\leqslant C_8(1+\vert\tau\vert\vert t\vert),\quad \vert t\vert \leqslant t_0,\quad t\neq 0;
\\
\label{C_7 abstract}
&C_8:=\max\lbrace C_4 c_*^{-1/2};C_6\rbrace .
\end{align} 
(Ср. с доказательством теоремы 2.5 из \cite{BSu08}.) Отсюда
\begin{equation}
\label{A-1/2sin F 8}
\Vert A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})F(t)-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\tau (t^2S)^{1/2}P)P\Vert \leqslant C_8(1+\vert\tau\vert \vert t\vert ).
\end{equation}
С помощью \eqref{A(t)>=} и \eqref{F-P} из \eqref{A-1/2sin F 8} выводим неравенство
\begin{equation}
\label{A-1/2sin F 2}
\begin{split}
&\left\Vert \left( A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)P\right \Vert 
\\
& \leqslant C_8(1+\vert\tau\vert\vert t\vert )+\Vert A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})(F(t)-P)\Vert 
\\
&\leqslant C_7(1+\vert\tau\vert\vert t\vert ),\quad \vert t\vert \leqslant t_0;\quad C_7:=C_8+c_*^{-1/2}C_1
.
\end{split}
\end{equation}
\end{proof}

\subsection{Аппроксимация по \glqq энергетической\grqq\, норме}

Здесь мы устанавливаем другую аппроксимацию для оператора $A(t)^{-1/2}\sin(\tau A(t)^{1/2})$ (по \glqq энергетической\grqq\, норме).

\begin{proposition}
При $\tau\in\mathbb{R}$ и $\vert t\vert \leqslant t_0$ справедлива оценка 
\begin{equation}
\label{Th corr abstr}
\left\Vert A(t)^{1/2}\left(
A(t)^{-1/2}\sin (\tau A(t)^{1/2})-(I+tZ)(t^2 S)^{-1/2}\sin (\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)P\right\Vert
\leqslant C_9 (\vert t\vert + \vert \tau\vert t^2 ).
\end{equation}
Постоянная $C_9$ зависит лишь от $\delta$, $\Vert X_1\Vert $ и $c_*$.
\end{proposition}

\begin{proof}
Заметим, что
\begin{equation}
\label{corr abstr start}
\begin{split}
A(t)^{1/2}e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}P
=A(t)^{1/2}e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)P
+e^{-i\tau A(t)^{1/2}}(P-F(t))P.
\end{split}
\end{equation}
В силу \eqref{F-P}
\begin{equation}
\Vert e^{-i\tau A(t)^{1/2}}(P-F(t))P\Vert \leqslant C_1\vert t\vert ,\quad\tau\in\mathbb{R},
\quad \vert t\vert \leqslant t_0.
\end{equation}
Далее,
\begin{equation}
\begin{split}
&A(t)^{1/2}e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)P\\
&=A(t)^{1/2}F(t)\left(e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)-e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P\right)P\\
&+A(t)^{1/2}F(t)e^{-i\tau (t^2S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P.
\end{split}
\end{equation}
В силу \eqref{A(t)^1/2F<=}, \eqref{E(tau)} и \eqref{E(tau) estimate} при $t\neq 0$ выполнено
\begin{equation}
\label{corr using principal term t neq 0}
\begin{split}
&\left\Vert A(t)^{1/2}F(t)\left(e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}F(t)-e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P\right)P\right\Vert \\
&\leqslant C_8(\Vert X_1\Vert +C_4t_0)(\vert t\vert +\vert \tau\vert t^2),
\quad
\tau\in\mathbb{R}, \quad \vert t\vert \leqslant t_0,\quad
 t\neq 0.
\end{split}
\end{equation}
При $t=0$ оператор под знаком нормы в \eqref{corr using principal term t neq 0} будем понимать как предел при $t\rightarrow 0$. Имеем $e^{-i\tau A(t)^{1/2}}F(t)\rightarrow P$ при $t\rightarrow 0$. Далее, в силу \eqref{S>=} и \eqref{Th A(t)+1/2} справедлива оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &A(t)^{1/2}F(t)e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P -e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}P\Vert 
\\
&=\Vert  A(t)^{1/2}F(t)(t^2 S)^{-1/2}P -P\Vert \leqslant c_*^{-1/2}C_4\vert t\vert ,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad
 \vert t\vert \leqslant t_0.
\end{split}
\end{equation*}
С учетом этих соображений предел
левой части \eqref{corr using principal term t neq 0} при $t\rightarrow 0$ равен нулю. 

Далее, согласно \eqref{F(t)=P+tF_1+F_2(t)} и \eqref{F1P=ZP}
\begin{equation}
\begin{split}
A&(t)^{1/2}F(t)e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P
-A(t)^{1/2}(I+tZ)e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P
\\
&=A(t)^{1/2}F_2(t)e^{-i\tau (t^2S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P.
\end{split}
\end{equation}
На основании \eqref{S>=} и \eqref{A^1/2F_2} получаем
\begin{equation}
\label{est corr finish}
\Vert A(t)^{1/2}F_2(t)e^{-i\tau (t^2S)^{1/2}P}(t^2 S)^{-1/2}P\Vert \leqslant c_*^{-1/2}C_5\vert t\vert,\quad \tau\in\mathbb{R},\quad \vert t\vert\leqslant t_0.
\end{equation}
Объединяя \eqref{corr abstr start}--\eqref{est corr finish}, находим
\begin{equation}
\label{Th corr exp}
\begin{split}
\left\Vert A(t)^{1/2}\left(e^{-i\tau A(t)^{1/2}}A(t)^{-1/2}-(I+tZ)e^{-i\tau (t^2 S)^{1/2}P}(t^2S)^{-1/2}P\right)P\right\Vert
\leqslant C_9(\vert t\vert +\vert \tau\vert t^2),\\
\tau\in\mathbb{R},\quad\vert t\vert \leqslant t_0;\quad C_9:=C_1+c_*^{-1/2}C_5+C_8(\Vert X_1\Vert +C_6t_0).
\end{split}
\end{equation}

(Ср. с доказательством теоремы 3.1 из \cite{Su_MMNP}.)
\end{proof}

\subsection{Аппроксимация  оператора $A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau A(t)^{1/2})P$} 
Введем теперь параметр $\varepsilon>0$. Нам потребуется исследовать поведение оператора $$A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1
}\tau A(t)^{1/2})P$$ при малом $\varepsilon$. Заменим $\tau$ на $\varepsilon ^{-1}\tau$ в \eqref{A-1/2sin F}:
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\Vert \left( A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau A(t)^{1/2})-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)P\right\Vert 
\leqslant  C_7(1+\varepsilon ^{-1}\vert\tau\vert\vert t\vert ),\\
 \vert t\vert \leqslant t_0,\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation*}
Домножая левую часть на \glqq сглаживающий\grqq\, множитель $\varepsilon (t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}$  и учитывая неравенства
\begin{align*}
&\varepsilon (t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}\leqslant 1,
\\
&\vert\tau\vert \vert t\vert (t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}\leqslant \vert\tau\vert ,
\end{align*}
приходим к следующему результату.

\begin{theorem}
\label{Theorem sin A(t) smoothed}
При $\tau\in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$, $\vert t\vert\leqslant t_0$ выполнена оценка
\begin{equation*}
\left\Vert \left( A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau A(t)^{1/2})-(t^2 S)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (t^2S)^{1/2}P)\right) \varepsilon (t^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}P\right\Vert \leqslant C_7(1+\vert\tau\vert ).
\end{equation*}
\end{theorem}

Заменив в \eqref{Th corr abstr} $\tau$ на $\varepsilon ^{-1}\tau$ и умножив получившийся оператор  на $\varepsilon ^2 (t^2+\varepsilon ^2)^{-1}$, получаем следующее утверждение.

\begin{theorem}
\label{Theorem sin A(t) smoothed corrector}
При $\tau\in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$, $\vert t\vert\leqslant t_0$ выполнена оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
&\left\Vert A(t)^{1/2}\left(
A(t)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau A(t)^{1/2})-(I+tZ)(t^2 S)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (t^2S)^{1/2}P)\right)\varepsilon ^2(t^2+\varepsilon ^2)^{-1} P\right\Vert\\
&\leqslant C_9\varepsilon (1+\vert\tau\vert ).
\end{split}
\end{equation*}
\end{theorem}



\section*{Глава II. Периодические дифференциальные операторы в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$}
\addcontentsline{toc}{section}{Глава II. Периодические дифференциальные операторы в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$}
\label{Section Chapter 2}

В настоящей главе мы описываем класс матричных ДО второго порядка, допускающих факторизацию вида $\mathcal{A}=\mathcal{X}^*\mathcal{X}$, где $\mathcal{X}$ --- однородный ДО первого порядка. Этот класс был выделен и изучен в \cite{BSu}. Там же можно найти более подробное изложение (см. главу II).

\section{Факторизованные периодические дифференциальные операторы второго порядка}
\label{Section Factorized families}

\subsection{Решетки $\Gamma$ и $\widetilde{\Gamma}$} Пусть $\Gamma$ --- решетка в $\mathbb{R}^d$, порожденная базисом $\mathbf{a}_1,\dots, \mathbf{a}_d$:
\begin{equation*}
\Gamma:=\left\lbrace\mathbf{a}\in\mathbb{R}^d : \mathbf{a}=\sum _{j=1}^d \nu _j\mathbf{a}_j,\quad \nu _j\in\mathbb{Z}\right\rbrace ,
\end{equation*}
и пусть $\Omega$ --- элементарная ячейка решетки $\Gamma$:
\begin{equation*}
\Omega :=\left\lbrace \mathbf{x}\in\mathbb{R}^d :\mathbf{x}=\sum_{j=1}^d \zeta _j\mathbf{a}_j,\quad -\frac{1}{2}<\zeta _j <\frac{1}{2}\right\rbrace .
\end{equation*}


Базис $\mathbf{b}_1,\dots ,\mathbf{b}_d$, двойственный к $\mathbf{a}_1,\dots ,\mathbf{a}_d$, определяется из соотношений $\langle \mathbf{b}_l,\mathbf{a}_j\rangle =2\pi\delta _{lj}$. Этот базис порождает решетку $\widetilde{\Gamma}$, двойственную к $\Gamma$:
\begin{equation*}
\widetilde{\Gamma}:=\left\lbrace \mathbf{b}\in\mathbb{R}^d : \mathbf{b}=\sum _{j=1}^d\mu_j\mathbf{b}_j,\quad \mu_j\in\mathbb{Z}\right\rbrace .
\end{equation*}
Через $\widetilde{\Omega}$ обозначим первую зону Бриллюена решетки $\widetilde{\Gamma}$:
\begin{equation}
\label{Omega-tilda}
\widetilde{\Omega}:=\left\lbrace\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d : \vert \mathbf{k}\vert <\vert \mathbf{k}-\mathbf{b}\vert,\quad 0\neq\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}\right\rbrace .
\end{equation}
Пусть $\vert \Omega\vert$ --- мера Лебега ячейки $\Omega$: $\vert \Omega\vert =\mathrm{mes}\,\Omega$, и пусть $\vert \widetilde{\Omega}\vert =\mathrm{mes}\,\widetilde{\Omega}$.  Положим $2r_1:=\mathrm{diam}\,\Omega$. 
Через $r_0$ обозначим радиус шара, вписанного в $\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}$.  Отметим, что
\begin{equation}
\label{2r0=}
2r_0=\min _{0\neq\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}} \vert \mathbf{b}\vert.
\end{equation}

С решеткой $\Gamma$ связано дискретное преобразование Фурье
\begin{equation}
\label{discr Fourier}
v(\mathbf{x})=\vert \Omega\vert ^{-1/2}\sum _{\mathbf{b}\in \widetilde{\Gamma}}\widehat{v}_\mathbf{b} e^{i\langle \mathbf{b},\mathbf{x}\rangle },\quad\mathbf{x}\in\Omega ,
\end{equation}
которое унитарно отображает $l_2(\widetilde{\Gamma})$ на $L_2(\Omega)$:
\begin{equation}
\label{Fourier unit}
\int _\Omega \vert v(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}=\sum _{\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\vert \widehat{v}_\mathbf{b}\vert ^2 .
\end{equation}

\textit{Ниже через $\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$ обозначается подпространство тех функций из $H^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$, $\Gamma$-пе\-рио\-ди\-чес\-кое продолжение которых на $\mathbb{R}^d$ принадлежит $H^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$.} Имеем
\begin{equation}
\label{6.5 from DSu}
\Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)}  =\sum _{\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\vert \mathbf{b}+\mathbf{k}\vert ^2\vert \widehat{\mathbf{u}}_\mathbf{b}\vert ^2,\quad \mathbf{u}\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),\quad\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d,
\end{equation}
причем сходимость ряда в правой части \eqref{6.5 from DSu} равносильна включению $\mathbf{u}\in\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$. Из \eqref{Omega-tilda}, \eqref{Fourier unit} и \eqref{6.5 from DSu} следует, что
\begin{equation}
\label{D+k >=}
 \Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}
\geqslant \sum _{\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\vert \mathbf{k}\vert ^2\vert \widehat{\mathbf{u}}_\mathbf{b}\vert ^2
=\vert \mathbf{k}\vert ^2 \Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)} 
 ,\quad \mathbf{u}\in\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),\quad\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}.
\end{equation}


\subsection{Преобразование Гельфанда} 
\label{Subsec Gelfand}
Первоначально преобразование Гельфанда $\mathcal{U}$ определяется на функциях из класса Шварца формулой
\begin{equation*}
\begin{split}
\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})=(\mathcal{U}\mathbf{v})(\mathbf{k},\mathbf{x})=\vert \widetilde{\Omega}\vert ^{-1/2}\sum _{\mathbf{a}\in\Gamma}e^{-i\langle\mathbf{k},\mathbf{x}+\mathbf{a}\rangle }\mathbf{v}(\mathbf{x}+\mathbf{a}),\quad
\mathbf{v}\in\mathcal{S}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad \mathbf{x}\in\Omega ,\quad \mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}.
\end{split}
\end{equation*}
При этом
\begin{equation*}
\int _{\widetilde{\Omega}}\int _\Omega \vert \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{k}=\int _{\mathbb{R}^d}\vert\mathbf{v}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x},
\end{equation*}
и $\mathcal{U}$ продолжается по непрерывности до унитарного оператора
\begin{equation*}
\mathcal{U}: L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rightarrow \int _{\widetilde{\Omega}}\oplus L_2(\Omega ;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}.
\end{equation*}
Включение $\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ равносильно тому, что $\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot)\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$ при п.~в. $\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}$ и
\begin{equation*}
\int _{\widetilde{\Omega}}\int _\Omega \left(\vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert ^2 +\vert \widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\mathbf{x})\vert ^2\right)\,d\mathbf{x}\,d\mathbf{k}<\infty .
\end{equation*}
Под действием преобразования Гельфанда оператор умножения на ограниченную периодическую функцию в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ переходит в оператор умножения на ту же функцию в слоях прямого интеграла. Действие оператора $\mathbf{D}$ на $\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ переходит в послойное действие оператора $\mathbf{D}+\mathbf{k}$ на $\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot )\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)$.

\subsection{Факторизованные операторы второго порядка}

\label{Subsubsection factorized famalies}

Пусть $b(\mathbf{D})$ --- матричный ДО первого порядка, имеющий вид $\sum _{j=1}^d b_j D_j$, где $b_j$, $j=1,\dots ,d$, --- постоянные матрицы размера $m\times n$ (вообще говоря, с комплексными элементами). \textit{Всегда считаем, что} $m\geqslant n$. Предположим, что символ $b(\boldsymbol{\xi})=\sum _{j=1}^d b_j \xi _j$, $\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d$, оператора  $b(\mathbf{D})$ имеет максимальный ранг: $\mathrm{rank}\,b(\boldsymbol{\xi})=n$ при $0\neq\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d$. Это условие равносильно существованию таких постоянных $\alpha _0$, $\alpha _1>0$, что 
\begin{equation}
\label{<b^*b<}
\alpha _0\mathbf{1}_n\leqslant b(\boldsymbol{\theta})^*b(\boldsymbol{\theta})\leqslant \alpha _1\mathbf{1}_n,\quad\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{S}^{d-1},\quad 0<\alpha _0\leqslant \alpha _1 <\infty .
\end{equation}
Отметим оценку, вытекающую из \eqref{<b^*b<}:
\begin{equation}
\label{b_j <=}
\vert b_j\vert \leqslant \alpha _1^{1/2},\quad j=1,\dots ,d.
\end{equation}

Пусть $\Gamma$-периодическая $(m\times m)$-матрица-функция $g(\mathbf{x})$ эрмитова, положительно определена, ограничена и ограниченно обратима:
\begin{equation}
\label{g in}
g(\mathbf{x})>0;\quad g, g^{-1}\in L_\infty (\mathbb{R}^d).
\end{equation}
Рассмотрим действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ ДО $\mathcal{A}$, формально заданный дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{A=}
\mathcal{A}=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D}).
\end{equation} 
Строгое определение оператора $\mathcal{A}$ дается через квадратичную форму 
\begin{equation*}\mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}]:=(gb(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}, \quad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation*} 
Используя преобразование Фурье и \eqref{<b^*b<}, \eqref{g in}, легко проверить, что
\begin{equation*}
\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{-1}\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant\mathfrak{a}[\mathbf{u},\mathbf{u}] 
\leqslant \alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty} \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation*}
Таким образом, форма $\mathfrak{a}[\cdot,\cdot]$ замкнута и неотрицательна.

Оператор $\mathcal{A}$ допускает факторизацию вида $\mathcal{A}=\mathcal{X}^*\mathcal{X}$, где 
\begin{equation*}\mathcal{X}:=g(\mathbf{x})^{1/2}b(\mathbf{D}) : L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m),\quad\mathrm{Dom}\,\mathcal{X}=H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n).
\end{equation*}
Оператор $\mathcal{X}$ замкнут.

\section{Разложение оператора $\mathcal{A}$ в прямой интеграл}

\subsection{Форма $\mathfrak{a}(\mathbf{k})$ и оператор $\mathcal{A}(\mathbf{k})$}

Положим 
\begin{equation}
\label{frak H for L2}
\mathfrak{H}:=L_2(\Omega ;\mathbb{C}^n),\quad \mathfrak{H}_*:=L_2(\Omega;\mathbb{C}^m) 
\end{equation}
и рассмотрим замкнутый оператор $\mathcal{X}(\mathbf{k}): \mathfrak{H}\rightarrow \mathfrak{H}_*$, $\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d$, заданный на области определения $\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$ формулой $\mathcal{X}(\mathbf{k})=g(\mathbf{x})^{1/2}b(\mathbf{D}+\mathbf{k})$. 
Самосопряженный в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ оператор $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ формально задан дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{A(k)=}
\mathcal{A}(\mathbf{k})=b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D}+\mathbf{k})
\end{equation}
с периодическими граничными условиями. Строгое определение оператора  $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ дается через 
замкнутую квадратичную форму $\mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u},\mathbf{u}]:=\Vert \mathcal{X}(\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2_{\mathfrak{H}_*}$, $\mathbf{u}\in\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$. С помощью дискретного преобразования Фурье \eqref{discr Fourier} и \eqref{<b^*b<}, \eqref{g in} нетрудно проверить, что
\begin{equation}
\label{a(k) estimates}
\begin{split}
\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}\Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\leqslant
\mathfrak{a}(\mathbf{k})[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant \alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert (\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\Omega)},\quad\mathbf{u}\in\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Отсюда и из компактности вложения $\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)\hookrightarrow L_2(\Omega ;\mathbb{C}^n)$ следует, что спектр оператора $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ дискретен, а резольвента компактна. 

В силу \eqref{D+k >=} и нижней оценки \eqref{a(k) estimates} выполнено
\begin{equation}
\label{A(k)>=}
\mathcal{A}(\mathbf{k})\geqslant c_*\vert \mathbf{k}\vert  ^2 I,\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega};\quad 
c_*:=\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}
.
\end{equation}

Положим 
\begin{equation}
\label{N in L2}
\mathfrak{N}:=\mathrm{Ker}\,\mathcal{A}(0)=\mathrm{Ker}\,\mathcal{X}(0).
\end{equation} 
Тогда 
\begin{equation}
\label{N= in L2}
\mathfrak{N}=\lbrace\mathbf{u}=\mathbf{c}\in L_2(\Omega;\mathbb{C}^n) : \mathbf{c}\in\mathbb{C}^n\rbrace.
\end{equation}  
Через $P$ обозначим ортогональный проектор пространства $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ на подпространство \eqref{N= in L2}:
\begin{equation}
\label{P L2}
P\mathbf{u}=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \mathbf{u}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}.
\end{equation}

Из \eqref{2r0=} и \eqref{D+k >=} при $\mathbf{k}=0$ следует, что
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{D}\mathbf{v}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)}\geqslant 4 r_0^2\Vert \mathbf{v}\Vert ^2 _{L_2(\Omega)},\quad\mathbf{v}\in\widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n),\quad \int _\Omega \mathbf{v}\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation*}
Отсюда и из нижней оценки \eqref{a(k) estimates} при $\mathbf{k}=0$ вытекает, что расстояние $d_0$ от точки нуль до остального спектра оператора $\mathcal{A}(0)$ удовлетворяет неравенству
\begin{equation}
\label{d^0<= in L2}
d_0\geqslant 4c_*r_0^2.
\end{equation}


\subsection{Прямой интеграл для оператора $\mathcal{A}$}

С помощью преобразования Гельфанда оператор $\mathcal{A}$ раскладывается в прямой интеграл по операторам $\mathcal{A}(\mathbf{k})$:
\begin{equation*}
\mathcal{U}\mathcal{A}\mathcal{U}^{-1}=\int _{\widetilde{\Omega}} \oplus \mathcal{A}(\mathbf{k})\,d\mathbf{k}.
\end{equation*}
Это означает следующее. Если $\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, то
\begin{align}
\label{v in dom a e k}
&\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot)=(\mathcal{U}\mathbf{v})(\mathbf{k},\cdot)\in \widetilde{H}^1(\Omega ;\mathbb{C}^n)\quad \mbox{при п. в.}\;\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega},\\
\label{a(k)=oplus int}
&\mathfrak{a}[\mathbf{v},\mathbf{v}]=\int _{\widetilde{\Omega}}\mathfrak{a}(\mathbf{k})[\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot),\widetilde{\mathbf{v}}(\mathbf{k},\cdot)]\,d\mathbf{k}.
\end{align}
Обратно, если $\widetilde{\mathbf{v}}\in \int _{\widetilde{\Omega}}\oplus L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}$ удовлетворяет \eqref{v in dom a e k} и интеграл в \eqref{a(k)=oplus int} конечен, то $\mathbf{v}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и выполнено \eqref{a(k)=oplus int}.

\subsection{Включение операторов $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ в абстрактную схему}

При $d>1$ операторы $\mathcal{A}(\mathbf{k})$ зависят от многомерного параметра $\mathbf{k}$. Следуя \cite[глава II]{BSu}, мы выделяем одномерный параметр $t=\vert\mathbf{k}\vert$.  Мы будем применять схему главы~\hyperref[Section Abstract sheme]{I}. При этом все построения станут зависеть от дополнительного параметра $\boldsymbol{\theta}=\mathbf{k}/\vert\mathbf{k}\vert\in\mathbb{S}^{d-1}$, и необходимо следить за равномерностью оценок по параметру $\boldsymbol{\theta}$. 

Пространства $\mathfrak{H}$ и $\mathfrak{H}_*$ определены в \eqref{frak H for L2}. Положим $X(t)=X(t,\boldsymbol{\theta}):=\mathcal{X}(t\boldsymbol{\theta})$. Тогда $X(t,\boldsymbol{\theta})=X_0+tX_1(\boldsymbol{\theta})$, где $X_0=g(\mathbf{x})^{1/2}b(\mathbf{D})$, $\mathrm{Dom}\,X_0=\widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^n)$, и $X_1(\boldsymbol{\theta})$ --- ограниченный оператор умножения на матрицу-функцию $g(\mathbf{x})^{1/2}b(\boldsymbol{\theta})$. Положим $A(t)=A(t,\boldsymbol{\theta}):=\mathcal{A}(t\boldsymbol{\theta})$. Тогда $A(t,\boldsymbol{\theta})=X(t,\boldsymbol{\theta})^*X(t,\boldsymbol{\theta})$. Согласно \eqref{N in L2} и \eqref{N= in L2} $\mathfrak{N}=\mathrm{Ker}\,X_0=\mathrm{Ker}\,\mathcal{A}(0)$, $\mathrm{dim}\,\mathfrak{N}=n$. Число $d_0$ подчинено оценке \eqref{d^0<= in L2}. Как показано в \cite[глава II, \S3]{BSu}, условие $n\leqslant n_*=\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}\,X_0^*$ также справедливо.

Таким образом, все условия абстрактной схемы выполнены.

В п. \ref{Subsubsection operator pencils} требовалось выбрать число $\delta <d_0/8$. Учитывая \eqref{A(k)>=} и \eqref{d^0<= in L2}, примем
\begin{equation}
\label{delta L2}
\delta :=c_*r_0^2/4=(r_0/2)^2\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}.
\end{equation}
Далее, в силу \eqref{<b^*b<} для оператора $X_1(\boldsymbol{\theta})=g(\mathbf{x})^{1/2}b(\boldsymbol{\theta})$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{X_1(theta)<=}
\Vert X_1(\boldsymbol{\theta})\Vert \leqslant \alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{equation}
Это позволяет в качестве $t_0$ (см. \eqref{t_0(delta) abstact scheme}) выбрать число, не зависящее от $\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{S}^{d-1}$:
\begin{equation}
\label{t0 L2}
t_0:=\delta^{1/2}\alpha _1^{-1/2}\Vert g\Vert ^{-1/2}_{L_\infty}
=(r_0/2)\alpha _0^{1/2}\alpha _1^{-1/2}\Vert g\Vert ^{-1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{-1/2}_{L_\infty}.
\end{equation}
Очевидно, $t_0\leqslant r_0/2$, и шар $\vert\mathbf{k}\vert\leqslant t_0$ лежит внутри $\widetilde{\Omega}$. Существенно, что величины $c_*$, $\delta$ и $t_0$ (см. \eqref{A(k)>=}, \eqref{delta L2}, \eqref{t0 L2}) не зависят от параметра $\boldsymbol{\theta}$.

Из \eqref{A(k)>=} следует невырожденность ростка $S(\boldsymbol{\theta})$ оператора $A(t,\boldsymbol{\theta})$ (который сейчас зависит от $\boldsymbol{\theta}$):
\begin{equation}
\label{S(theta)>=}
S(\boldsymbol{\theta})\geqslant c_* I_\mathfrak{N}.
\end{equation}
Важно, что росток невырожден равномерно по $\boldsymbol{\theta}$.

\section{Эффективная матрица. Эффективный оператор}
\label{Sec eff op}

\subsection{Эффективная матрица}

В соответствии с \cite[глава III, \S1]{BSu} спектральный росток $S(\boldsymbol{\theta})$ операторного семейства $A(t,\boldsymbol{\theta})$, действующий в $\mathfrak{N}$, представим в виде
\begin{equation}
\label{S(theta)=}
S(\boldsymbol{\theta})=b(\boldsymbol{\theta})^*g^0b(\boldsymbol{\theta}),\quad\boldsymbol{\theta}\in\mathbb{S}^{d-1},
\end{equation}
где $b(\boldsymbol{\theta})$ --- символ оператора $b(\mathbf{D})$, и $g^0$ --- так называемая \textit{эффективная матрица}. Постоянная положительная $(m\times m)$-матрица $g^0$ определяется следующим образом. Предположим, что $\Gamma$-периодическая $(n\times m)$-матрица-функция $\Lambda\in\widetilde{H}^1(\Omega)$ является слабым решением задачи
\begin{equation}
\label{Lambda problem}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m)=0,\quad \int _\Omega \Lambda (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
Эффективная матрица $g^0$ определена равенством
\begin{equation*}
g^0=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},
\end{equation*}
где
\begin{equation}
\label{tilde g}
\widetilde{g}(\mathbf{x}):=g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m).
\end{equation}
Оказывается, что матрица $g^0$ автоматически положительно определена. 

Из \eqref{Lambda problem} несложно вывести, что
\begin{equation}
\label{b(D)Lambda <=}
\Vert b(\mathbf{D})\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega\vert ^{1/2}m^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}.
\end{equation}
Нам также потребуются следующие оценки, установленные в \cite[(6.28) и п. 7.3]{BSu05}:
\begin{align}
\label{Lambda<=}
&\Vert \Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}
\leqslant \vert \Omega\vert ^{1/2}M_1;\quad M_1:=m^{1/2}(2r_0)^{-1}\alpha_0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty},
\\
\label{D Lambda <=}
&\Vert \mathbf{D}\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}
\leqslant \vert\Omega\vert ^{1/2}M_2;\quad M_2:=m^{1/2}\alpha_0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{align}


\subsection{Эффективный оператор}

В силу \eqref{S(theta)=} и однородности символа $b(\mathbf{k})$ имеем
\begin{equation}
\label{S(k)=}
S(\mathbf{k}):=t^2 S(\boldsymbol{\theta})=b(\mathbf{k})^*g^0b(\mathbf{k}),\quad\mathbf{k}\in\mathbb{R}^d,\quad t=\vert\mathbf{k}\vert,\quad\boldsymbol{\theta}=\mathbf{k}/\vert\mathbf{k}\vert.
\end{equation}
Выражение $S(\mathbf{k})$ является символом ДО
\begin{equation}
\label{A0=}
\mathcal{A}^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D}),
\end{equation}
действующего в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ на области определения $H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и 
называемого \textit{эффективным оператором} для оператора $\mathcal{A}$.

Пусть $\mathcal{A}^0(\mathbf{k})$ --- операторное семейство в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$, отвечающее эффективному оператору $\mathcal{A}^0$. Тогда $\mathcal{A}^0(\mathbf{k})=b(\mathbf{D}+\mathbf{k})^*g^0b(\mathbf{D}+\mathbf{k})$ при периодических граничных условиях: $\mathrm{Dom}\,\mathcal{A}^0(\mathbf{k})=\widetilde{H}^2(\Omega;\mathbb{C}^n)$. Отсюда с учетом \eqref{P L2} и \eqref{S(k)=} вытекает равенство
\begin{equation}
\label{SP=A0P}
S(\mathbf{k})P=\mathcal{A}^0(\mathbf{k})P.
\end{equation}

Оценивая квадратичную форму оператора $\mathcal{A}^0(\mathbf{k})$, можно показать, что
\begin{equation}
\label{A^0(k)>=}
\mathcal{A}^0(\mathbf{k})\geqslant c_* \vert \mathbf{k}\vert ^2 I,\quad\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega}.
\end{equation}

\subsection{Свойства эффективной матрицы}
Эффективная матрица $g^0$ подчинена оценкам, известным в теории усреднения как вилка Фойгта-Рейсса (см., например, \cite[глава III, теорема 1.5]{BSu}).

\begin{proposition}
Пусть $g^0$ --- эффективная матрица. Тогда
\begin{equation}
\label{Voigt-Reuss}
\underline{g}
\leqslant g^0\leqslant\overline{g}
,
\end{equation}
где $\underline{g}:=\left(\vert\Omega\vert ^{-1}\int _\Omega g(\mathbf{x})^{-1}\,d\mathbf{x}\right)^{-1}
$ и $\overline{g}:=\vert\Omega\vert ^{-1}\int_\Omega g(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}$.
Если $m=n$, то $g^0=\underline{g}$.
\end{proposition}

Из неравенства \eqref{Voigt-Reuss} следует, что
\begin{equation}
\label{g^0<=}
\vert g^0\vert \leqslant\Vert g\Vert _{L_\infty},\quad \vert (g^0)^{-1}\vert\leqslant\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{equation}

Выделим случаи, когда в \eqref{Voigt-Reuss} реализуется верхняя или нижняя грань, см. \cite[гл. 3, предложения 1.6 и 1.7]{BSu}. 

\begin{proposition}
Равенство $g^0=\overline{g}$ равносильно соотношениям
\begin{equation}
\label{overline-g}
b(\mathbf{D})^* {\mathbf g}_k(\mathbf{x}) =0,\ \ k=1,\dots,m,
\end{equation}
где ${\mathbf g}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})$.
\end{proposition}

\begin{proposition} Равенство $g^0 =\underline{g}$ равносильно представлениям
\begin{equation}
\label{underline-g}
{\mathbf l}_k(\mathbf{x}) = {\mathbf l}_k^0 + b(\mathbf{D}) {\mathbf w}_k,\ \ {\mathbf l}_k^0\in \mathbb{C}^m,\ \
{\mathbf w}_k \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^m),\ \ k=1,\dots,m,
\end{equation}
где ${\mathbf l}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})^{-1}$.
\end{proposition}

\section{Пороговые аппроксимации для оператора\newline $\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})$}
\label{Section Threshold appr. for DO}

\subsection{Аппроксимация оператора $\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})$ \\при $\vert \mathbf{k}\vert \leqslant t_0$}

Рассмотрим оператор $\mathcal{H}_0=-\Delta $ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. При разложении в прямой интеграл этому оператору отвечает операторное семейство $\mathcal{H}_0(\mathbf{k})$, заданное в $L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)$ дифференциальным выражением $\vert \mathbf{D}+\mathbf{k}\vert ^2$ при периодических граничных условиях. Обозначим
\begin{equation}
\label{R(k,eps)}
\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon):=\varepsilon ^2 (\mathcal{H}_0(\mathbf{k})+\varepsilon ^2 I)^{-1}.
\end{equation}
Очевидно,
\begin{equation}
\label{R(k)P}
\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P=\varepsilon ^2 (t^2+\varepsilon ^2 )^{-1}P,\quad\vert \mathbf{k}\vert =t .
\end{equation}

Мы будем применять результаты главы~\hyperref[Section Abstract sheme]{I} к семейству операторов $A(t,\boldsymbol{\theta})=\mathcal{A}(\mathbf{k})$. Осталось только реализовать значения постоянных. Учитывая \eqref{X_1(theta)<=}, выберем завышенные значения постоянных из \eqref{F-P}, \eqref{F(t)=P+tF_1+F_2(t)} и \eqref{C_3 abstract}, не зависящие от $\boldsymbol{\theta}$:
\begin{align*}
&C_1:=\beta _1\delta ^{-1/2}\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty},\\
&C_2:=\beta _2\delta ^{-1}\alpha_1\Vert g\Vert _{L_\infty},
\\
&C_3:=\beta _3\delta ^{-1/2}\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}(1+c_*^{-1/2}\alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}) .
\end{align*}
Здесь постоянные $c_*$ и $\delta$ определены в \eqref{A(k)>=} и \eqref{delta L2} соответственно. Далее, учитывая \eqref{X_1(theta)<=}, согласно \eqref{C_4 abstract}, \eqref{A^1/2F_2} и \eqref{C_6 abstract} положим
\begin{align*}
&C_4:=\beta _4\delta ^{-1/2}\alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}(1+c_*^{-1/2}\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}),
\\
&C_5:=\beta _5\delta ^{-1/2}\alpha_1\Vert g\Vert _{L_\infty},\\
&C_6:=2C_3\pi ^{-1}(c_*^{-1}+1).
\end{align*}
Наконец, по уже реализованным постоянным $C_1$, $C_4$, $C_5$ и $C_6$ согласно \eqref{C_7 abstract}, \eqref{A-1/2sin F 2} и \eqref{Th corr exp} определим
\begin{align*}
&C_8:=\max\lbrace C_4c_*^{-1/2};C_6\rbrace ,
\\
&C_7:=C_8+c_*^{-1/2}C_1,
\\
&C_9:=C_1+c_*^{-1/2}C_5+C_8(\alpha _1^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+C_6t_0).
\end{align*}
Мы учли \eqref{X_1(theta)<=}. Здесь $t_0$ --- постоянная \eqref{t0 L2}.

Применяя теорему \ref{Theorem sin A(t) smoothed}, с учетом \eqref{SP=A0P} и  \eqref{R(k)P} получаем
\begin{equation}
\label{sin k small}
\begin{split}
&\left\Vert\left( \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}P\right\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
\\ &\leqslant C_7 (1+\vert \tau\vert ),\quad
\varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \vert \mathbf{k}\vert \leqslant t_0.
\end{split}
\end{equation}

В соответствии с \cite[(4.2)]{BSu05} роль оператора $Z$ играет оператор $Z(\boldsymbol{\theta})=[\Lambda] b(\boldsymbol{\theta})P$. Здесь $[\Lambda]$ --- оператор умножения на матрицу-функцию $\Lambda (\mathbf{x})$. Имеем
\begin{equation*}
tZ(\boldsymbol{\theta})P=\Lambda b(\mathbf{k})P=\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})P.
\end{equation*}

Применяя теорему \ref{Theorem sin A(t) smoothed corrector}, заключаем, что
\begin{equation}
\label{Th corr k<=t0}
\begin{split}
\Bigl\Vert &\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\bigl(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}
\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})\\
&-(I+\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k}))\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\bigr)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon) P\Bigr\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}\\
&\leqslant C_9\varepsilon (1+\vert\tau\vert ),\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \vert \mathbf{k}\vert \leqslant t_0.
\end{split}
\end{equation}

\subsection{Аппроксимация при $\vert\mathbf{k}\vert >t_0$}
При $\vert\mathbf{k}\vert >t_0$ оценки тривиальны. 
В силу \eqref{A(k)>=} и \eqref{A^0(k)>=} выполнено
\begin{equation}
\label{A-1/2 rough}
\begin{split}
\Vert \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant c_*^{-1/2} t_0^{-1},\quad \Vert \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\Vert_{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}\leqslant c_*^{-1/2}t_0^{-1},\\ \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0.
\end{split}
\end{equation}
Согласно \eqref{R(k)P},
\begin{equation}
\label{A0-1/2 rough}
\Vert \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant 1,\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}.
\end{equation}
Объединяя \eqref{A-1/2 rough} и \eqref{A0-1/2 rough}, оценим левую часть \eqref{sin k small} при $\vert \mathbf{k}\vert >t_0$:
\begin{equation}
\label{sin k big}
\begin{split}
&\left\Vert\left( \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}P\right\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\
&\leqslant 2c_*^{-1/2}t_0^{-1},\quad
\varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0.
\end{split}
\end{equation}
Собирая вместе \eqref{sin k small} и \eqref{sin k big}, находим
\begin{equation}
\label{sin (k) with P}
\begin{split}
\left\Vert\left( \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}P\right\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} 
\\
 \leqslant C_7 (1+\vert \tau\vert )+2c_*^{-1/2}t_0^{-1},\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad 
 \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}.
\end{split}
\end{equation}

Оценим теперь оператор, стоящий под знаком нормы в \eqref{Th corr k<=t0}. В силу \eqref{R(k)P} и элементарного неравенства $t^2+\varepsilon ^2 \geqslant 2\varepsilon t_0$, $t >t_0$, выполнено
\begin{equation}
\label{RP<=}
\Vert \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant (2t_0)^{-1}\varepsilon ,\quad \varepsilon >0,\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad \vert \mathbf{k}\vert >t_0,
\end{equation}
поэтому
\begin{equation}
\label{sin corr grubo start}
\begin{split}
\Vert \sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant  (2t_0)^{-1}\varepsilon ,\\ \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad 
 \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0.
 \end{split}
\end{equation}

Согласно  \eqref{A(k)=}, \eqref{g^0<=} и \eqref{RP<=}
\begin{equation}
\label{corr grubo 2}
\begin{split}
\Vert& \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
\\
&\leqslant (2t_0)^{-1}\varepsilon \Vert g^{1/2}b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
\\
&\leqslant
(2t_0)^{-1}\varepsilon \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
\\
&=(2t_0)^{-1}\varepsilon \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty},\quad\varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad 
 \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0.
\end{split}
\end{equation}

Чтобы оценить оператор
\begin{equation*}
\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P,
\end{equation*}
представим его в виде
\begin{equation*}
\left(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\Lambda P_m\right)b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P,
\end{equation*}
где $P_m$ --- ортогональный проектор пространства $\mathfrak{H}_*=L_2(\Omega;\mathbb{C}^m)$ на подпространство констант. Согласно \cite[(6.22)]{BSu06}, выполнено
\begin{equation*}
\Vert \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\Lambda P_m\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}\leqslant C_\Lambda ,\quad\mathbf{k}\in\widetilde{\Omega},
\end{equation*}
где постоянная $C_\Lambda$ зависит только от $m$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. 
Таким образом, с учетом \eqref{g^0<=} и \eqref{RP<=} имеем
\begin{equation}
\label{corr grubo 3}
\begin{split}
\Vert &\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)P\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
\\
&\leqslant (2t_0)^{-1}C_\Lambda \varepsilon \Vert b(\mathbf{D}+\mathbf{k})\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
\\
&\leqslant (2t_0)^{-1}C_\Lambda \varepsilon \Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2}\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \\
&=(2t_0)^{-1}C_\Lambda \Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\varepsilon ,\quad\varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad 
 \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega},\quad\vert \mathbf{k}\vert >t_0.
\end{split}
\end{equation}

Объединяя \eqref{sin corr grubo start}--\eqref{corr grubo 3}, находим, что при $\vert\mathbf{k}\vert >t_0$ левая часть \eqref{Th corr k<=t0} оценивается через $\check{C}_9\varepsilon$, где $\check{C}_9:=(2t_0)^{-1}(1+\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+C_\Lambda\Vert g ^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty})$. Отсюда и из \eqref{Th corr k<=t0} следует, что
\begin{equation}
\label{Th corr all k}
\begin{split}
\bigl\Vert & \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\bigl(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}
\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})
\\
&-(I+\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k}))\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\bigr)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon) P\bigr\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}\\
&\leqslant C_9\varepsilon (1+\vert\tau\vert )+\check{C}_9\varepsilon ,\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}.
\end{split}
\end{equation}

\subsection{Устранение оператора $P$} Покажем теперь, что в операторе под знаком нормы в \eqref{sin (k) with P} можно заменить проектор $P$ тождественным оператором так, что изменится только постоянная в оценке. Для этого оценим норму оператора $\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}(I-P)$ с помощью дискретного преобразования Фурье:
\begin{equation}
\label{R(I-P)}
\Vert \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
=\max _{0\neq \mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\varepsilon (\vert\mathbf{b}+\mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}\leqslant \varepsilon r_0^{-1},\quad \varepsilon >0,\quad\mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}.
\end{equation}
Применяя спектральную теорему и элементарное неравенство $\vert \sin x\vert/\vert x\vert \leqslant 1$, $x\in\mathbb{R}$, заключаем, что
\begin{equation}
\label{A^-1-2sin <= grubo}
\Vert  \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}
\leqslant \varepsilon ^{-1}\vert\tau\vert .
\end{equation}
Аналогично,
\begin{equation}
\label{sin eff grubo}
\Vert  \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}
\leqslant \varepsilon ^{-1}\vert\tau\vert .
\end{equation}
Объединяя \eqref{R(I-P)}--\eqref{sin eff grubo}, находим
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert
\left(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}(I-P)\Vert  _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)} \\
\leqslant 2r_0^{-1}\vert \tau\vert.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{sin (k) with P} выводим, что
\begin{equation}
\label{sin (k) no P}
\begin{split}
\Vert &\left( \mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})-\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\right)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)^{1/2}\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}\\
& \leqslant C_{10} (1+\vert \tau\vert ),\quad
\varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad
 \mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega};\quad C_{10}:=2r_0^{-1} +C_7+2c_*^{-1/2}t_0^{-1}.
\end{split}
\end{equation}

Покажем теперь, что в старшем члене в оценке \eqref{Th corr all k} оператор $P$ может быть устранен. Для этого оценим оператор $\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)(I-P)$. Из \eqref{R(I-P)} следует неравенство
\begin{equation}
\label{R(I-P) for corr}
\Vert \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega)}
=\max _{0\neq\mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\varepsilon ^2 (\vert \mathbf{b}+\mathbf{k}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{-1}\leqslant \varepsilon r_0^{-1},\quad \varepsilon >0,\quad\mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}.
\end{equation}
Тогда
\begin{equation}
\label{rem P corr 1}
\Vert \sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon )(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )} \leqslant \varepsilon r_0^{-1}.
\end{equation}
Далее, согласно \eqref{A(k)=}, \eqref{g^0<=} и \eqref{R(I-P) for corr}
\begin{equation}
\label{rem P corr 2}
\Vert \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)(I-P)\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
\leqslant \varepsilon r_0^{-1}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2} _{L_\infty}.
\end{equation}
Объединяя \eqref{Th corr all k}, \eqref{rem P corr 1} и \eqref{rem P corr 2}, получаем
\begin{equation}
\label{Th corr all k no P in principal term}
\begin{split}
\Bigl\Vert &\mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2}\bigl(\mathcal{A}(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}(\mathbf{k})^{1/2})
\\
&-(I+\Lambda b(\mathbf{D}+\mathbf{k})P)\mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^0(\mathbf{k})^{1/2})\bigr)\mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)\Bigr\Vert _{L_2(\Omega)\rightarrow L_2(\Omega )}
\\
&\leqslant C_{11}\varepsilon (1+\vert \tau\vert ),\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R},\quad\mathbf{k}\in\mathrm{clos}\,\widetilde{\Omega}.
\end{split}
\end{equation}
Здесь $C_{11}:=C_9+\check{C}_9+r_0^{-1}(1+\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty})$.

\section{Аппроксимация оператора $\mathcal{A}^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^{1/2})$}
\label{Sec smoothed A}

Пусть $\mathcal{A}=b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})$ --- оператор, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, и $\mathcal{A}^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$ --- эффективный оператор. Напомним обозначение $\mathcal{H}_0=-\Delta$ и положим
\begin{equation*}
\mathcal{R}(\varepsilon):=\varepsilon ^2(\mathcal{H}_0+\varepsilon ^2 I)^{-1}.
\end{equation*}
С помощью преобразования Гельфанда этот оператор раскладывается в прямой интеграл по операторам \eqref{R(k,eps)}:
\begin{equation*}
\mathcal{R}(\varepsilon)=\mathcal{U}^{-1}\left(\int _{\widetilde{\Omega}}\oplus \mathcal{R}(\mathbf{k},\varepsilon)\,d\mathbf{k}\right)\mathcal{U}.
\end{equation*}
Применяя преобразование Гельфанда, из \eqref{sin (k) no P} выводим
\begin{equation}
\label{sin A}
\begin{split}
\Vert \left( \mathcal{A}^{-1/2}\sin(\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)\mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}\Vert_{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{10} (1+\vert \tau\vert ),\\
\varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}

Чтобы получить аппроксимацию по энергетической норме, нам потребуется оператор $\Pi =\mathcal{U}^{-1}[P]\mathcal{U}$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Здесь $[P]$ --- проектор в $\int _{\widetilde{\Omega}}\oplus L_2(\Omega;\mathbb{C}^n)\,d\mathbf{k}$, действующий послойно как оператор $P$ усреднения по ячейке $\Omega$ (см. \eqref{P L2}). Как показано в \cite[(6.8)]{BSu05}, $\Pi$ --- псевдодифференциальный оператор в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ с символом $\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi})$, где $\chi _{\widetilde{\Omega}}$ --- характеристическая функция множества $\widetilde{\Omega}$. То есть
\begin{equation*}
(\Pi \mathbf{u})(\mathbf{x})=(2\pi )^{-d/2}\int _{\widetilde{\Omega}}e^{i\langle\mathbf{x},\boldsymbol{\xi}\rangle}\widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})\,d\boldsymbol{\xi}.
\end{equation*}
Здесь $\widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})$ --- Фурье-образ функции $\mathbf{u}(\mathbf{x})$.


Из \eqref{Th corr all k no P in principal term} с помощью преобразования Гельфанда получаем, что
\begin{equation}
\label{Th corr no eps}
\begin{split}
&\left\Vert \mathcal{A}^{1/2}\left(\mathcal{A}^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^{1/2})-(I+\Lambda b(\mathbf{D})\Pi)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)\mathcal{R}(\varepsilon)\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{11}\varepsilon (1+\vert \tau\vert ),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}

\section*{Глава III. Задача усреднения для гиперболических систем} 
\addcontentsline{toc}{section}{Глава III. Задача усреднения для гиперболических систем}
\label{Chapter 3}

\section{Аппроксимация оператора $\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau\mathcal{A}_\varepsilon^{1/2})$}
\label{section A-eps op err est}

Если $\psi(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая измеримая функция в $\mathbb{R}^d$, обозначим $\psi^\varepsilon (\mathbf{x}):=\psi (\varepsilon ^{-1}\mathbf{x})$, $\varepsilon >0$. Через $[\psi^\varepsilon]$ будем обозначать оператор умножения на функцию $\psi^\varepsilon (\mathbf{x})$. 
\textit{Наш основной объект} --- действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ оператор $\mathcal{A}_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, формально заданный дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{A_eps}
\mathcal{A}_\varepsilon =b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D}).
\end{equation}
Строгое определение оператора $\mathcal{A}_\varepsilon$ дается через квадратичную форму. Коэффициенты оператора \eqref{A_eps} быстро осциллируют при $\varepsilon \rightarrow 0$.

\textit{Наша цель} --- аппроксимировать оператор $\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau  \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})$ и применить результаты к усреднению решений задачи Коши для гиперболических систем.

\subsection{Основные результаты. Старший член аппроксимации} Пусть $T_\varepsilon$ --- \textit{унитарный в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ оператор масштабного преобразования:} $(T_\varepsilon\mathbf{u})(\mathbf{x}):=\varepsilon ^{d/2}\mathbf{u}(\varepsilon \mathbf{x})$, $\varepsilon >0$. Тогда справедливо тождество $\mathcal{A}_\varepsilon =\varepsilon ^{-2}T_\varepsilon ^* \mathcal{A}T_\varepsilon $. Поэтому
\begin{equation*}
\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})=\varepsilon T_\varepsilon ^* \mathcal{A}^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau \mathcal{A}^{1/2})T_\varepsilon .
\end{equation*}
Для эффективного оператора имеет место аналогичное равенство. Далее,
\begin{equation*}
(\mathcal{H}_0+I)^{-1/2}=\varepsilon T_\varepsilon ^*(\mathcal{H}_0 +\varepsilon ^2I)^{-1/2}T_\varepsilon =T_\varepsilon ^*\mathcal{R}(\varepsilon)^{1/2}T_\varepsilon .
\end{equation*}
С учетом этих соображений из \eqref{sin A} выводим следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem L2->L2}
Пусть $\mathcal{A}_\varepsilon$ ---  оператор \eqref{A_eps}, и пусть $\mathcal{A}^0$ --- эффективный оператор \eqref{A0=}. Пусть $\mathcal{H}_0=-\Delta$. Тогда 
при $\varepsilon >0$ и $\tau\in\mathbb{R}$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{theorem L2}
\begin{split}
\Vert \left( \mathcal{A}_\varepsilon^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}^{1/2}_\varepsilon)-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1/2}\Vert_{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C_{10} \varepsilon (1+\vert \tau\vert ).
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_{10}$ контролируется через $r_0$, $\alpha_0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$.
\end{theorem}

В силу элементарного неравенства $\vert\sin x\vert/\vert x\vert \leqslant 1$ имеем
\begin{equation}
\label{big tau start}
\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant 2\vert\tau\vert\leqslant 2(1+\vert\tau\vert).
\end{equation}
Интерполируя между \eqref{theorem L2} и \eqref{big tau start}, при $0\leqslant s\leqslant 1$ получаем
\begin{equation}
\label{interpol principal}
\begin{split}
&\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-s/2}\right\Vert_{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
& \leqslant 2^{1-s}C_{10}^s \varepsilon ^s (1+\vert \tau\vert ),\quad\tau\in\mathbb{R},\quad\varepsilon >0.
\end{split}
\end{equation}
Оператор $(\mathcal{H}_0+I)^{s/2}$ осуществляет изометрический изоморфизм пространства Соболева $H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ на $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. Действительно, для $\mathbf{u}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ выполнено
\begin{equation}
\label{isometria}
\Vert (\mathcal{H}_0+I)^{s/2}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}
=\int _{\mathbb{R}^d}(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 +1)^s\vert \widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})\vert ^2\,d\boldsymbol{\xi}=\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^s (\mathbb{R}^d)},
\end{equation}
где $\widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})$ --- Фурье-образ функции $\mathbf{u}(\mathbf{x})$.

Из \eqref{interpol principal} и \eqref{isometria} вытекает оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 2^{1-s}C_{10}^s \varepsilon ^s (1+\vert \tau\vert ),\\
 0\leqslant s\leqslant 1,
\quad\tau\in\mathbb{R},\quad\varepsilon >0.
\end{split}
\end{equation*}
В частности, эта оценка позволяет считать параметр $\tau$ (время) большим, а именно, рассматривать значения $\vert\tau\vert =O(\varepsilon ^{-\alpha})$ при $0<\alpha <s$.

Подытожим результаты.

\begin{theorem}
\label{Theorem L2 interpolation}
Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem L2->L2}}. Тогда при $0\leqslant s\leqslant 1$ и $\tau\in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \mathcal{C}_s(1+\vert \tau\vert )\varepsilon ^s;\quad \mathcal{C}_s:=2^{1-s}C_{10}^s .
\end{equation*} 

В частности, при $0<s\leqslant 1$, $\vert \tau\vert =\varepsilon ^{-\alpha}$, $0<\alpha<s$, выполнено неравенство
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 2\mathcal{C}_s \varepsilon ^{s-\alpha },\\
\vert\tau\vert =\varepsilon ^{-\alpha},\quad 0<\varepsilon \leqslant 1.
\end{split}
\end{equation*}
\end{theorem}

\subsection{Основные результаты. Аппроксимация при учете корректора}

Установим теперь аппроксимацию при учете корректора. Положим $\Pi _\varepsilon :=T_\varepsilon ^*\Pi T_\varepsilon$. Тогда $\Pi _\varepsilon $ --- псевдодифференциальный оператор в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$  с символом $\chi _{\widetilde{\Omega}/\varepsilon }(\boldsymbol{\xi})$, т. е.
\begin{equation}
\label{Pi eps}
(\Pi _\varepsilon \mathbf{u})(\mathbf{x})=(2\pi )^{-d/2}\int _{\widetilde{\Omega}/\varepsilon}e^{i\langle\mathbf{x},\boldsymbol{\xi}\rangle}\widehat{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\xi})\,d\boldsymbol{\xi}.
\end{equation}
Очевидно, $\Pi_\varepsilon \mathbf{D}^\sigma\mathbf{u}=\mathbf{D}^\sigma \Pi _\varepsilon \mathbf{u}$ при $\mathbf{u}\in H^\kappa(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\vert\sigma\vert \leqslant \kappa$. Отметим, что 
\begin{equation*}
\Vert \Pi_\varepsilon\Vert _{H^\kappa(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^\kappa(\mathbb{R}^d)}\leqslant 1, \quad\kappa\in\mathbb{Z}_+.
\end{equation*}

Следующие результаты установлены в \cite[предложение 1.4]{PSu} и \cite[п. 10.2]{BSu06}.

\begin{proposition}
\label{Proposition Pi eps -I}
При $\varepsilon >0$ для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ верна оценка
\begin{equation*}
\Vert \Pi _\varepsilon \mathbf{u}-\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \varepsilon r_0^{-1}\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\label{Proposition Pi eps f eps}
Пусть $f(\mathbf{x})$  --- такая $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$, что $f\in L_2(\Omega)$. Тогда оператор $[f^\varepsilon]\Pi_\varepsilon$ непрерывен в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, причем
\begin{equation*}
\Vert [f^\varepsilon]\Pi_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \vert \Omega\vert ^{-1/2}\Vert f\Vert _{L_2(\Omega)},\quad\varepsilon >0.
\end{equation*}
\end{proposition}

\begin{theorem}
\label{Theorem corrector}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem L2->L2}}. Пусть $\Lambda (\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое $(n\times m)$-матричное решение задачи \eqref{Lambda problem}. Пусть $\Pi_\varepsilon$ --- оператор \eqref{Pi eps}. 
Тогда справедлива оценка
\begin{equation}
\label{theorem corr}
\begin{split}
&\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{12}\varepsilon(1+\vert\tau\vert),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_{12}$ зависит только от $m$, $\alpha_0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$.
\end{theorem}

\begin{proof}
С помощью преобразования Гельфанда из \eqref{Th corr no eps} получаем аппроксимацию по \glqq энергетической\grqq\, норме:
\begin{equation}
\label{Appr corr}
\begin{split}
&\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon^{1/2}\left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{11}\varepsilon(1+\vert\tau\vert),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}

Отметим, что в силу \eqref{<b^*b<}, \eqref{g in} и \eqref{A_eps}
\begin{equation}
\label{A_eps^1/2>=}
c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),
\end{equation}
где $c_*$ --- постоянная из \eqref{A(k)>=}.

Из \eqref{Appr corr} и \eqref{A_eps^1/2>=} вытекает, что
\begin{equation}
\label{Appr D corr}
\begin{split}
&\left\Vert \mathbf{D}\left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant c_*^{-1/2} C_{11}\varepsilon(1+\vert\tau\vert),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}

Оценим теперь $(L_2\rightarrow L_2)$-норму корректора. Пусть $\Pi _\varepsilon ^{(m)}$ --- псевдодифференциальный оператор в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$ с символом $\chi _{\widetilde{\Omega}/\varepsilon}(\boldsymbol{\xi})$. С помощью предложения \ref{Proposition Pi eps f eps} и \eqref{Lambda<=} получаем
\begin{equation}
\label{proof fluxes 6}
\Vert \Lambda ^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant M_1.
\end{equation}
Используя \eqref{g^0<=} и \eqref{proof fluxes 6}, находим
\begin{equation}
\label{ots corr L2 fin}
\begin{split}
\Vert &\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant\varepsilon\Vert \Lambda^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert b(\mathbf{D})(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \varepsilon M_1\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
 \leqslant \varepsilon M_1\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{split}
\end{equation}
Объединяя \eqref{theorem L2}, \eqref{Appr D corr} и \eqref{ots corr L2 fin}, получаем оценку \eqref{theorem corr} с постоянной $C_{12}:=C_{10}+c_*^{-1/2}C_{11}+M_1\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}$.
\end{proof}

С помощью интерполяции из теоремы \ref{Theorem corrector} выведем следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem corrector interpolation}
Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem corrector}}. Тогда при $0\leqslant s\leqslant 1$ и $\tau\in\mathbb{R}$, $\varepsilon >0$ имеет место оценка
\begin{equation}
\label{Th corr interpol}
\begin{split}
\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right\Vert _{H^{s+1}(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \mathfrak{C}_s(1+\vert \tau\vert )\varepsilon ^s .
\end{split}
\end{equation}
Здесь $\mathfrak{C}_s:=\widehat{C}_{12}^{1-s}C_{12}^{s}$, 
где постоянная $\widehat{C}_{12}$ определена ниже и зависит только от $m$, $\alpha_0$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$.

В частности, при $\vert\tau\vert =\varepsilon ^{-\alpha}$, $0<\alpha <s$, справедливо неравенство
\begin{equation}
\label{Th corr interpol big time}
\begin{split}
\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right\Vert _{H^{s+1}(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 2\mathfrak{C}_s \varepsilon ^{s-\alpha } ,
\\
\vert \tau\vert =\varepsilon ^{-\alpha},\quad 0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation}
\end{theorem}

\begin{proof}
Получим оценку левой части \eqref{Th corr interpol} при $s=0$. В силу \eqref{<b^*b<} и \eqref{A_eps} имеем
\begin{equation}
\label{proof th corr interpol start}
\begin{split}
\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant \vert\tau\vert +\Vert \mathbf{D}\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant  \vert\tau\vert +\alpha _0^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{split}
\end{equation}

Аналогично, согласно \eqref{<b^*b<}, \eqref{A0=} и \eqref{g^0<=} выполнено
\begin{equation}
\label{proof interpol corr 2}
\Vert (\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \vert\tau\vert +\alpha _0^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{equation}

Из \eqref{g^0<=} и \eqref{proof fluxes 6} вытекает, что
\begin{equation}
\label{proof interpol corr 3}
\begin{split}
\Vert &\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\\
&\leqslant \varepsilon M_1\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}
+\varepsilon\Vert \mathbf{D}\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \varepsilon M_1\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}
+\Vert (\mathbf{D}\Lambda)^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+\varepsilon\Vert \Lambda ^\varepsilon \mathbf{D}b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
В силу предложения \ref{Proposition Pi eps f eps}, \eqref{D Lambda <=} и \eqref{g^0<=} 
\begin{equation}
\label{proof interpol corr 8.18}
\Vert (\mathbf{D}\Lambda)^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant M_2\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{equation}
Далее, согласно \eqref{A0=}, \eqref{g^0<=}, \eqref{proof fluxes 6}
\begin{equation}
\label{proof interpol corr e1}
\begin{split}
\varepsilon\Vert& \Lambda ^\varepsilon \mathbf{D}b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \varepsilon M_1\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert \mathbf{D}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}.
%\leqslant\varepsilon M_1 \alpha _1^{1/2} \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}
Так как оператор $\mathcal{A}^0$ с постоянными коэффициентами коммутирует с дифференцированием $\mathbf{D}$, выполнено
\begin{equation}
\label{Dsin <=}
\Vert \mathbf{D}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant 1.
\end{equation}
Отсюда и из \eqref{proof interpol corr e1} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{proof interpol corr e}
\begin{split}
\varepsilon\Vert \Lambda ^\varepsilon \mathbf{D}b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant\varepsilon M_1  \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}

Объединяя \eqref{proof th corr interpol start}--\eqref{proof interpol corr 8.18} и \eqref{proof interpol corr e}, находим
\begin{equation}
\label{proof interpol corr d}
\begin{split}
\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right\Vert _{H^{1}(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \widehat{C}_{12}(1+\vert\tau\vert),\\\tau\in\mathbb{R},\quad\varepsilon >0.
\end{split}
\end{equation}
Здесь $\widehat{C}_{12}:=\max\lbrace 2;2\alpha _0^{-1/2}\Vert g ^{-1}\Vert^{1/2}_{L_\infty}+(2M_1+M_2)\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\rbrace$. Интерполируя между \eqref{theorem corr} и \eqref{proof interpol corr d}, приходим к оценке \eqref{Th corr interpol}.
\end{proof}

\subsection{Случай $\Lambda\in L_\infty$}

Оказывается, что сглаживающий оператор $\Pi_\varepsilon$ в корректоре может быть устранен, если наложить на матрицу-функцию $\Lambda(\mathbf{x})$ дополнительное условие.

\begin{condition}
\label{Condition Lambda in L infty}
Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} ограничено, т. е. $\Lambda\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$.
\end{condition}

Случаи, когда условие~\ref{Condition Lambda in L infty} выполнено автоматически, выделены в \cite[лемма 8.7]{BSu06}.

\begin{proposition}
\label{Proposition Lambda in L infty <=}
Условие~\textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений:

\noindent
$1^\circ )$ $d\leqslant 2${\rm ;}

\noindent
$2^\circ )$ размерность $d\geqslant 1$ произвольна, а оператор $\mathcal{A}_\varepsilon$ имеет вид $\mathcal{A}_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами{\rm ;}

\noindent
$3^\circ )$ размерность $d$ произвольна, и $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{underline-g}.
\end{proposition}

Через $[\Lambda ]$ обозначим оператор умножения на матрицу-функцию $\Lambda (\mathbf{x})$, действующий из $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. В \cite[лемма 8.3]{BSu06} было установлено следующее утверждение.

\begin{proposition}
\label{Prop Lambda in L infty}
Пусть выполнено условие \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Тогда оператор $g^{1/2}b(\mathbf{D})[\Lambda]$ непрерывно переводит $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^m)$, причем
\begin{equation*}
\Vert g^{1/2}b(\mathbf{D})[\Lambda]\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow
 L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_{13},
\end{equation*}
где постоянная $C_{13}$ зависит лишь от $d$, $m$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert\Lambda\Vert _{L_\infty}$.
\end{proposition}

С помощью предложения \ref{Prop Lambda in L infty} докажем следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem Lambda in L infty}
Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem corrector}}, и пусть матрица-функция $\Lambda(\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$ справедлива оценка 
\begin{equation}
\label{theorem corr Lambda in Linfty}
\begin{split}
&\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D}))(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{14}\varepsilon(1+\vert\tau\vert).
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_{14}$ зависит только от $d$, $m$, $\alpha_0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$.
\end{theorem}

Непрерывность оператора под знаком нормы в \eqref{theorem corr Lambda in Linfty} проверяется с помощью следующей леммы, установленной в \cite[следствие 2.4]{PSu}.

\begin{lemma}
\label{Lemma PSu Lambda in L-infty}
Пусть справедливо условие \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Тогда для любой функции $u\in H^1(\mathbb{R}^d)$ и $\varepsilon >0$ выполнено
\begin{equation*}
\int _{\mathbb{R}^d}\vert (\mathbf{D}\Lambda) ^\varepsilon(\mathbf{x})\vert ^2\vert u(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
\leqslant\mathfrak{c}_1\Vert u\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+\mathfrak{c}_2\varepsilon ^2\Vert \Lambda\Vert ^2_{L_\infty}\Vert \mathbf{D}u\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
Постоянные $\mathfrak{c}_1$ и $\mathfrak{c}_2$ зависят от $m$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$.
\end{lemma}

Перейдем к доказательству теоремы \ref{Theorem Lambda in L infty}.
В силу теоремы \ref{Theorem L2->L2}, условия \ref{Condition Lambda in L infty} и рассмотрений, аналогичных \eqref{ots corr L2 fin}, имеем
\begin{equation}
\label{theorem corr Lambda in Linfty L2 est}
\begin{split}
&\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D}))(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{10}\varepsilon(1+\vert\tau\vert)+\varepsilon \Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{split}
\end{equation}
Таким образом, с учетом \eqref{A_eps^1/2>=} для доказательства теоремы \ref{Theorem Lambda in L infty} достаточно оценить норму оператора
\begin{equation*}
\mathcal{E}(\varepsilon,\tau):=\varepsilon\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(\Pi _\varepsilon -I)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau(\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}.
\end{equation*}
Применяя масштабное преобразование, \eqref{A=} и предложение \ref{Prop Lambda in L infty}, находим
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathcal{E}(\varepsilon,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
&=\Vert \mathcal{A}^{1/2}\Lambda b(\mathbf{D})(\Pi -I)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\mathcal{R}(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
C_{13}\Vert  b(\mathbf{D})(\Pi -I)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\varepsilon ^{-1}\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\mathcal{R}(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
Учитывая, что $\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi})$ --- символ оператора $\Pi$, а $S(\boldsymbol{\xi})$ --- символ оператора $\mathcal{A}^0$, получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathcal{E}(\varepsilon,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{13}\sup _{\boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d}(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 +1)^{1/2}\vert b(\boldsymbol{\xi})\vert \vert S(\boldsymbol{\xi})\vert ^{-1/2}(1-\chi _{\widetilde{\Omega}}(\boldsymbol{\xi}))\varepsilon ^2 (\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2 +\varepsilon ^2)^{-1}.
\end{split}
\end{equation*}
Используя \eqref{<b^*b<}, \eqref{S(theta)>=}, \eqref{S(k)=} и оценку $\varepsilon ^2(\vert \boldsymbol{\xi}\vert ^2+\varepsilon ^2)^{-1}\leqslant\varepsilon\vert \boldsymbol{\xi}\vert^{-1}$, заключаем, что
\begin{equation}
\label{E(eps,tau)<=}
\Vert \mathcal{E}(\varepsilon,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant c_*^{-1/2}\alpha _1 ^{1/2}(1+r_0^{-2})^{1/2}C_{13}\varepsilon ,\quad \varepsilon >0,\quad\tau\in\mathbb{R}.
\end{equation}
Объединяя \eqref{A_eps^1/2>=}, \eqref{theorem corr Lambda in Linfty L2 est} и \eqref{E(eps,tau)<=}, приходим к оценке \eqref{theorem corr Lambda in Linfty} с постоянной $C_{14}:=C_{10}+\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert^{1/2}_{L_\infty}+c_*^{-1}\alpha _1^{1/2}(1+r_0^{-2})^{1/2}C_{13}$.
\qed





Проверим теперь, что при условии \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} результат теоремы \textnormal{\ref{Theorem corrector interpolation}} остается в силе, если заменить сглаживание $\Pi _\varepsilon$ тождественным оператором.

Оценим оператор под знаком нормы в \eqref{theorem corr Lambda in Linfty} по $(H^1\rightarrow H^1)$-норме. В силу \eqref{<b^*b<}, \eqref{A0=} и \eqref{g^0<=} имеем
\begin{equation}
\label{Lambda in Linfty interpol 1}
\begin{split}
\Vert & \varepsilon \Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \varepsilon\Vert \Lambda \Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}(1+\Vert \mathbf{D}\sin (\tau(\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)})
\\
&
+\Vert (\mathbf{D}\Lambda)^\varepsilon b(\mathbf{D})(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Из леммы \ref{Lemma PSu Lambda in L-infty} и \eqref{Dsin <=} с учетом \eqref{A0=}, \eqref{g^0<=} следует, что при $0<\varepsilon\leqslant 1$ выполнено
\begin{equation}
\label{Lambda in Linfty interpol 3}
\begin{split}
\Vert  (\mathbf{D}\Lambda)^\varepsilon b(\mathbf{D})(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\left(\mathfrak{c}_1+\mathfrak{c}_2\Vert \Lambda\Vert^2_{L_\infty}\right)^{1/2}.
\end{split}
\end{equation}
Объединяя \eqref{proof th corr interpol start}, \eqref{proof interpol corr 2}, \eqref{Dsin <=}, \eqref{Lambda in Linfty interpol 1} и \eqref{Lambda in Linfty interpol 3}, находим
\begin{equation}
\label{Lambda in Linfty interpol 4}
\begin{split}
\Vert &\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}))(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin(\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \widehat{C}_{14}(1+\vert \tau\vert),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1,\quad \tau\in\mathbb{R},
\end{split}
\end{equation}
где
\begin{equation*}
\begin{split}
\widehat{C}_{14}:=\max\Bigl\lbrace2;\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\left(2\alpha _0^{-1/2}+2\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}
+\left(\mathfrak{c}_1+\mathfrak{c}_2\Vert \Lambda\Vert ^2_{L_\infty}\right)^{1/2}\right)\Bigr\rbrace .
\end{split}
\end{equation*}
Интерполируя между \eqref{theorem corr Lambda in Linfty} и \eqref{Lambda in Linfty interpol 4}, приходим к следующему результату.

\begin{theorem}
\label{Remark Lambda in Linfty interpolation}
В условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem Lambda in L infty}} при $0\leqslant s\leqslant 1$ и $\tau\in\mathbb{R}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}))(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin(\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^{s+1}(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant\mathrm{C}_s(1+\vert \tau\vert )\varepsilon ^s.
\end{equation*}
Здесь $\mathrm{C}_s:=\widehat{C}_{14}^{1-s}C_{14}^s$.  
В частности, при $\vert \tau\vert =\varepsilon ^{-\alpha}$, $0<\alpha<s$, имеет место неравенство
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D}))(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin(\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^{s+1}(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 2\mathrm{C}_s\varepsilon ^{s-\alpha},\\
\vert\tau\vert =\varepsilon ^{-\alpha},\quad 0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation*}
\end{theorem}

\subsection{Случай, когда корректор обращается в нуль} Предположим, что $g^0=\overline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{overline-g}. Тогда $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{Lambda problem} обращается в нуль: $\Lambda (\mathbf{x})=0$.

\begin{proposition}
Пусть справедливы соотношения \eqref{overline-g}. Тогда в условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem corrector}} при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ справедлива оценка 
\begin{equation*}
\begin{split}
\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{12}\varepsilon(1+\vert\tau\vert).
\end{split}
\end{equation*}
\end{proposition}

\subsection{Оператор сглаживания по Стеклову. Другая аппроксимация при учете корректора}

Покажем, что результат теоремы \ref{Theorem corrector} остается в силе, если заменить $\Pi _\varepsilon$ другим сглаживающим оператором.

Оператор $S_\varepsilon$, $\varepsilon >0$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и определенный равенством
\begin{equation}
\label{S_eps}
(S_\varepsilon \mathbf{u})(\mathbf{x})=\vert\Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \mathbf{u}(\mathbf{x}-\varepsilon\mathbf{z})\,d\mathbf{z},\quad\mathbf{u}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),
\end{equation}
называют оператором сглаживания по Стеклову.

Следующие свойства оператора $S_\varepsilon$ установлены в \cite[леммы 1.1 и 1.2]{ZhPas} (см. также \cite[предложения 3.1 и 3.2]{PSu}).

\begin{proposition}
\label{Proposition S_eps -I}
Для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ выполнено
\begin{equation*}
\Vert S_\varepsilon\mathbf{u}-\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \varepsilon r_1\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad\varepsilon >0.
\end{equation*}
\end{proposition}

\begin{proposition}
\label{Proposition S_eps f^eps}
Пусть $f(\mathbf{x})$ --- такая $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$, что $f\in L_2(\Omega)$. Пусть $[f^\varepsilon]$ --- оператор умножения на функцию $f^\varepsilon (\mathbf{x})$. Тогда оператор $[f^\varepsilon]S_\varepsilon$ непрерывен в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и
\begin{equation*}
\Vert [f^\varepsilon]S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant\vert\Omega\vert ^{-1/2}\Vert f\Vert _{L_2(\Omega)},\quad\varepsilon >0.
\end{equation*}
\end{proposition}

Также нам потребуется следующее утверждение, установленное в \cite[лемма 3.5]{PSu}.

\begin{proposition}
\label{Prop Pi -S}
Пусть $\Pi _\varepsilon $ --- оператор \eqref{Pi eps}, и пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Пусть $\Lambda$ --- $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{Lambda problem}. Тогда
\begin{equation}
\label{S-Pi}
\varepsilon\Vert [\Lambda ^\varepsilon ]b(\mathbf{D})(\Pi _\varepsilon -S_\varepsilon )\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_{15}\varepsilon,\quad\varepsilon >0,
\end{equation}
где постоянная $C_{15}$ зависит только от $d$, $m$, $r_0$, $r_1$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$.
\end{proposition}

С помощью предложения \ref{Prop Pi -S} получим следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem corr with S-eps}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem L2->L2}}. Пусть $\Lambda (\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое $(n\times m)$-матричное решение задачи \eqref{Lambda problem}. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор \eqref{S_eps}. 
Тогда справедлива оценка
\begin{equation}
\label{theorem corr with S-eps}
\begin{split}
&\left\Vert \left(\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})S _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\right)(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{16}\varepsilon(1+\vert\tau\vert),\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_{16}$ зависит только от $d$, $m$, $r_0$, $r_1$, $\alpha_0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$ и $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Чтобы вывести оценку \eqref{theorem corr with S-eps} из \eqref{theorem corr}, воспользуемся  \eqref{S-Pi}:
\begin{equation}
\label{proof corr S eps 1}
\begin{split}
\varepsilon &\Vert \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(\Pi_\varepsilon - S _\varepsilon)(\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{15}\varepsilon\Vert (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})(\mathcal{H}_0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^2(\mathbb{R}^d)}
\end{split}
\end{equation}
Переходя к символам ДО и учитывая элементарное неравенство $\vert\sin x\vert/\vert x\vert\leqslant 1$, $x\in\mathbb{R}$, оцениваем правую часть \eqref{proof corr S eps 1} через $C_{15}\varepsilon \vert\tau\vert$. Отсюда и из \eqref{theorem corr} вытекает оценка \eqref{theorem corr with S-eps} с постоянной $C_{16}:=C_{12}+C_{15}$.
\end{proof}

\begin{remark} 
\label{Remark S eps insert of Pi eps}
Рассуждая по аналогии с доказательством теоремы \textnormal{\ref{Theorem corrector interpolation}} и используя свойства сглаживания по Стеклову, можно убедиться, что результаты вида \eqref{Th corr interpol} и \eqref{Th corr interpol big time} сохраняют силу, если $\Pi_\varepsilon$ заменить на $S_\varepsilon$.
\end{remark}

\section{Усреднение решений неоднородных гиперболических систем}
\label{Section Hyperbolic}

\subsection{Постановка задачи. Усреднение решений гиперболических систем}

Применим результаты \S\ref{section A-eps op err est} к усреднению решений следующей задачи
\begin{equation}
\label{hyperbolic problem}
\begin{cases}
\frac{\partial ^2\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau ^2}=-b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau)+\mathbf{F}(\mathbf{x},\tau),\\
\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=0,\quad \frac{\partial\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)}{\partial\tau}=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}).
\end{cases}
\end{equation}
Здесь $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$ --- заданные функции. Решение задачи \eqref{hyperbolic problem} дается формулой
\begin{equation}
\label{u eps tozd}
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,\tau)
=\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\boldsymbol{\psi}
+\int _0^\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin ((\tau -\widetilde{\tau})\mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\mathbf{F}
(\cdot,\widetilde{\tau})\,d\widetilde{\tau}.
\end{equation}

Пусть $\mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau)$ --- решение усредненной задачи
\begin{equation}
\label{eff hyperbolic problem}
\begin{cases}
\frac{\partial ^2\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},\tau)}{\partial\tau ^2}=-b(\mathbf{D})^*g^0 b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},\tau)+\mathbf{F}(\mathbf{x},\tau),\\
\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},0)=0,\quad \frac{\partial\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},0)}{\partial\tau}=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}).
\end{cases}
\end{equation}
Тогда 
\begin{equation}
\label{u0 tozd}
\mathbf{u}_0 (\cdot,\tau)
=(\mathcal{A}^0) ^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0) ^{1/2})\boldsymbol{\psi}
+\int _0^\tau (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin ((\tau -\widetilde{\tau})(\mathcal{A}^0) ^{1/2})\mathbf{F}
(\cdot,\widetilde{\tau})\,d\widetilde{\tau}.
\end{equation}

Применяя теоремы \ref{Theorem L2->L2}, \ref{Theorem corrector} и \ref{Theorem corr with S-eps}, учитывая \eqref{isometria} и используя тождества \eqref{u eps tozd}, \eqref{u0 tozd}, приходим к следующему результату.

\begin{theorem}
\label{Theorem homogenization solutions}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{hyperbolic problem}, и пусть $\mathbf{u}_0$ --- решение эффективной задачи \eqref{eff hyperbolic problem}.

\noindent
$1^\circ$. 
Пусть $\boldsymbol{\psi}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{10}\varepsilon (1+\vert \tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}+ \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^1(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation*}

\noindent
$2^\circ$. 
Пусть $\boldsymbol{\psi}\in H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$.
Пусть $\Lambda (\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{Lambda problem}. Пусть $\Pi _\varepsilon$ --- сглаживающий оператор \eqref{Pi eps}. Через $\mathbf{v}_\varepsilon$ обозначим первое приближение к решению $\mathbf{u}_\varepsilon$\textnormal{:} 
\begin{equation}
\label{v eps}
\mathbf{v}_\varepsilon (\mathbf{x} ,\tau) :=\mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau)+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau). 
\end{equation}
Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$ выполнено
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon(\cdot ,\tau)-\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,\tau)\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{12}\varepsilon (1+\vert \tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation*}
Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Положим 
\begin{equation}
\label{check V_eps}
\check{\mathbf{v}}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau) :=\mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau)+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})S_\varepsilon \mathbf{u}_0(\mathbf{x},\tau).
\end{equation} 
Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ имеем
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon(\cdot ,\tau)-\check{\mathbf{v}}_\varepsilon (\cdot ,\tau)\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{16}\varepsilon (1+\vert \tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation*}
\end{theorem}

Применяя теоремы \ref{Theorem L2 interpolation} и \ref{Theorem corrector interpolation}, получаем следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem solutions interpolation}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{hyperbolic problem}, и пусть $\mathbf{u}_0$ --- решение эффективной задачи \eqref{eff hyperbolic problem}.

\noindent
$1^\circ$. 
Пусть $\boldsymbol{\psi}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, $0\leqslant s\leqslant 1$. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \mathcal{C}_s(1+\vert\tau\vert)\varepsilon ^s\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)}+ \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^s(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation*}
Если дополнительно известно, что $\mathbf{F}\in L_1(\mathbb{R}_\pm; H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, то при $0<s\leqslant 1$, $\vert \tau\vert =\varepsilon ^{-\alpha}$, $0<\alpha<s$, выполнено неравенство
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\pm \varepsilon ^{-\alpha})-\mathbf{u}_0(\cdot ,\pm \varepsilon ^{-\alpha})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant 2 \mathcal{C}_s\varepsilon ^{s-\alpha}\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)}+ \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}(\mathbb{R}_\pm ;H^s(\mathbb{R}^d))}\right),\\
\quad 0<\varepsilon \leqslant 1.
\end{split}
\end{equation*}

\noindent
$2^\circ$. 
Пусть $\boldsymbol{\psi}\in H^{1+s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^{1+s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, $0\leqslant s\leqslant 1$.
 Пусть $\mathbf{v}_\varepsilon$ --- первое приближение \eqref{v eps}. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon>0$ выполнено
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon(\cdot ,\tau)-\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,\tau)\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant  \mathfrak{C}_s(1+\vert\tau\vert)\varepsilon ^s\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^{1+s}(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^{1+s}(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation*}
Если, дополнительно, $\mathbf{F}\in L_1(\mathbb{R}_\pm; H^{1+s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, где $0<s\leqslant 1$, то при  $\tau=\pm\varepsilon^{-\alpha}$, $0<\alpha<s$, имеем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon(\cdot ,\pm\varepsilon^{-\alpha})-\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,\pm\varepsilon^{-\alpha})\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant  2\mathfrak{C}_s\varepsilon ^{s-\alpha }\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^{1+s}(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}(\mathbb{R}_\pm ;H^{1+s}(\mathbb{R}^d))}\right),\\
 0<\varepsilon \leqslant 1 .
 \end{split}
\end{equation*}
\end{theorem}

На основании теоремы Банаха-Штейнгауза выводим отсюда следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem solutions Banach}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ --- решение задачи \eqref{hyperbolic problem}, и пусть $\mathbf{u}_0$ --- решение эффективной задачи \eqref{eff hyperbolic problem}.

\noindent
$1^\circ$. 
Пусть $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$. Тогда 
\begin{equation*}
\lim _{\varepsilon\rightarrow 0 }\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
=0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{equation*}

\noindent
$2^\circ$. 
Пусть $\boldsymbol{\psi}\in H^{1}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^{1}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$.
 Пусть $\mathbf{v}_\varepsilon$ --- первое приближение \eqref{v eps}. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$  выполнено
\begin{equation*}
\lim _{\varepsilon\rightarrow 0}\Vert \mathbf{u}_\varepsilon(\cdot ,\tau)-\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,\tau)\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
=0.
\end{equation*} 
\end{theorem}

\begin{remark}
С учетом замечания \textnormal{\ref{Remark S eps insert of Pi eps}} результаты теорем \textnormal{\ref{Theorem solutions interpolation}($2^\circ$)} и \textnormal{\ref{Theorem solutions Banach}($2^\circ$)} остаются верными, если заменить оператор $\Pi _\varepsilon$ на сглаживание по Стеклову $S_\varepsilon$, т. е. использовать первое приближение \eqref{check V_eps}. При этом изменятся только постоянные в оценках.
\end{remark}

Применяя теорему \ref{Remark Lambda in Linfty interpolation}, с учетом замечания \ref{Remark S eps insert of Pi eps} делаем следующее наблюдение.

\begin{remark}
При условии \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} результаты теорем \textnormal{\ref{Theorem homogenization solutions}, \ref{Theorem solutions interpolation}} и \textnormal{\ref{Theorem solutions Banach}} остаются в силе, если заменить сглаживающие операторы $\Pi _\varepsilon$ и $S_\varepsilon$ на тождественные, считая, что $0<\varepsilon\leqslant 1$.
\end{remark}

\subsection{Аппроксимация потоков}

Получим теперь аппроксимацию \glqq потоков\grqq
\begin{equation}
\label{flux=}
\mathbf{p}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau):=g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},\tau).
\end{equation}

\begin{theorem}
\label{Theorem flux}
Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem homogenization solutions}($2^\circ$)}. Пусть $\mathbf{p}_\varepsilon$ --- \glqq поток\grqq \,\eqref{flux=}. Пусть $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ --- матрица-функция \eqref{tilde g}. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ выполнены оценки
\begin{align}
\label{flux with Pi_eps}
&\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{17}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right),
\\
\label{flux with S_eps}
&\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})S _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{18}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{align}
Постоянные $C_{17}$ и $C_{18}$ зависят только от $m$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$.
\end{theorem}

\begin{proof}
Согласно \eqref{Appr corr} и \eqref{u eps tozd}, \eqref{u0 tozd} в условиях теоремы выполнено
\begin{equation}
\label{proof fluxes 1}
\begin{split}
&\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}\left(\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon )\mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\right)\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{11}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{split}
\end{equation}
Заметим, что в силу \eqref{<b^*b<} и предложения~\ref{Proposition Pi eps -I} справедливо неравенство
\begin{equation}
\label{proof fluxes 2}
\begin{split}
\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}(\Pi _\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant
\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\alpha _1^{1/2}\Vert (\Pi _\varepsilon -I)\mathbf{D}\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant\varepsilon \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\alpha _1^{1/2}r_0^{-1}\Vert \mathbf{D}^2\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Так как операторы $\mathbf{D}$ и $\mathcal{A}^0$ коммутируют, учитывая \eqref{u0 tozd}, находим
\begin{equation}
\label{proof fluxes 3}
\Vert \mathbf{D}^2\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \vert\tau\vert \left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation}
Объединяя \eqref{flux=} и \eqref{proof fluxes 1}--\eqref{proof fluxes 3}, заключаем, что
\begin{equation}
\label{proof fluxes 4}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-g^\varepsilon b(\mathbf{D})(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D}))\Pi_\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\widehat{C}_{17}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{split}
\end{equation}
Здесь $\widehat{C}_{17}:=C_{11}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+\alpha _1^{1/2}r_0^{-1}\Vert g\Vert _{L_\infty}$.

Имеем
\begin{equation}
\label{proof fluxes 5}
\begin{split}
\varepsilon g^\varepsilon b(\mathbf{D})\Lambda^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)
=g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\Lambda)^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi_\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)
+\varepsilon g^\varepsilon \sum _{l=1}^d b_l \Lambda ^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}D_lb(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau).
\end{split}
\end{equation}
Используя \eqref{<b^*b<}, \eqref{b_j <=}, \eqref{proof fluxes 6} и \eqref{proof fluxes 3}, оценим второе слагаемое в правой части \eqref{proof fluxes 5}:
\begin{equation}
\label{proof fluxes 7}
\begin{split}
&\left\Vert \varepsilon g^\varepsilon \sum _{l=1}^d b_l \Lambda ^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}D_lb(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\\
&\leqslant \varepsilon \vert\tau\vert \alpha _1  d^{1/2}M_1\Vert g\Vert _{L_\infty}\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{split}
\end{equation}
Объединяя \eqref{tilde g} и \eqref{proof fluxes 4}--\eqref{proof fluxes 7}, приходим к оценке \eqref{flux with Pi_eps} с постоянной $C_{17}:=\widehat{C}_{17}+\alpha _1  d^{1/2}M_1\Vert g\Vert _{L_\infty}$.

Перейдем к доказательству неравенства \eqref{flux with S_eps}. Применяя \eqref{proof fluxes 1}, находим
\begin{equation}
\label{proof fluxes 9.14a}
\begin{split}
&\left\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}
\left(
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-\left(I+\varepsilon\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})\right)S_\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\right)\right\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant C_{11}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right)
\\
&+\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}(S_\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
+\varepsilon \Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(\Pi_\varepsilon -S_\varepsilon)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
В силу предложения \ref{Proposition S_eps -I} и \eqref{<b^*b<}, \eqref{A_eps}, \eqref{proof fluxes 3} имеем
\begin{equation}
\label{proof fluxes 8}
\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}(S_\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
\varepsilon \vert \tau\vert
\alpha_1 ^{1/2} r_1\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}
\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation}
Третье слагаемое в правой части \eqref{proof fluxes 9.14a} оценим с помощью \eqref{S-Pi}, учитывая \eqref{<b^*b<}, \eqref{A_eps} и \eqref{u0 tozd}:
\begin{equation}
\label{proof fluxes 9.15a}
\begin{split}
\varepsilon &\Vert \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2}\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(\Pi_\varepsilon -S_\varepsilon)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant
\varepsilon\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\alpha _1^{1/2}C_{15}\Vert \mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\varepsilon\vert\tau\vert \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\alpha _1^{1/2}C_{15}\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{split}
\end{equation}
Комбинируя \eqref{A_eps} и \eqref{proof fluxes 9.14a}--\eqref{proof fluxes 9.15a}, получаем
\begin{equation}
\label{proof fluxes 9}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-g^\varepsilon b(\mathbf{D})(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D}))S_\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\widehat{C}_{18}\varepsilon (1+\vert\tau\vert)\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_{1}((0,\tau);H^2(\mathbb{R}^d))}\right),
\end{split}
\end{equation}
где $\widehat{C}_{18}:=C_{11}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+\alpha _1^{1/2}r_1\Vert g\Vert _{L_\infty}+\alpha _1^{1/2}C_{15}\Vert g\Vert _{L_\infty}
$.

Отметим, что из предложения \ref{Proposition S_eps f^eps} и \eqref{Lambda<=} вытекает неравенство
\begin{equation*}
\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant M_1.
\end{equation*}
С учетом этого соображения, рассуждая по аналогии с \eqref{proof fluxes 5} и \eqref{proof fluxes 7}, из \eqref{proof fluxes 9} выводим оценку \eqref{flux with S_eps} с постоянной $C_{18}:=\widehat{C}_{18}+\alpha _1  d^{1/2}M_1\Vert g\Vert _{L_\infty}$.
\end{proof}

Чтобы получить аппроксимацию потоков в случае, когда $\boldsymbol{\psi}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $ \mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$ при $0\leqslant s\leqslant 2$, установим следующее простое утверждение.

\begin{lemma}
\label{Lemma flux}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$, $\mathbf{u}_0$ --- решения задач \eqref{hyperbolic problem}, \eqref{eff hyperbolic problem} соответственно при $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}=0$. Пусть $\mathbf{p}_\varepsilon$ --- поток \eqref{flux=}. Тогда 
\begin{equation}
\label{Lm flux grubo}
\Vert \mathbf{p}_\varepsilon(\cdot,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{19}\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{equation}
В операторных терминах,
\begin{equation}
\label{Lm flux grubo in operator terms} 
\begin{split}
\Vert g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin (\tau (\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C_{19},\\
 \varepsilon >0,\quad \tau\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_{19}$ зависит только от $m$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$.
\end{lemma}

\begin{proof}
В силу \eqref{A_eps} и \eqref{u eps tozd} при $\mathbf{F}=0$ выполнено
\begin{equation}
\label{lm pr 1}
\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}=\Vert g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin (\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2})\boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation}

Далее, согласно  \eqref{A0=}, \eqref{g^0<=} и \eqref{u0 tozd} при $\mathbf{F}=0$
\begin{equation}
\begin{split}
\Vert \widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&=\Vert \widetilde{g}^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}(g^0)^{-1/2}(g^0)^{1/2}b(\mathbf{D}) \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\\
&\leqslant \Vert \widetilde{g}^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Используя предложение \ref{Proposition Pi eps f eps} и  \eqref{b(D)Lambda <=}, находим
\begin{equation}
\label{lm pr 3}
\Vert \widetilde{g}^\varepsilon \Pi _\varepsilon ^{(m)}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant\Vert g\Vert _{L_\infty}(\vert\Omega\vert ^{-1/2}\Vert b(\mathbf{D})\Lambda\Vert _{L_2(\Omega)}+1)
\leqslant\Vert g\Vert _{L_\infty}(m^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+1).
\end{equation}

Объединяя \eqref{lm pr 1}--\eqref{lm pr 3}, приходим к оценке \eqref{Lm flux grubo} с постоянной $$C_{19}:=\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert_{L_\infty}^{1/2}(m^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}^{1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}+1).$$
\end{proof}

\begin{theorem}
\label{Theorem flux interpol}
$1^\circ$. 
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon$ и $\mathbf{u}_0$ --- решения задач \eqref{hyperbolic problem} и \eqref{eff hyperbolic problem} соответственно при $\boldsymbol{\psi}\in H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $ \mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};H^s(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$ при $0\leqslant s\leqslant 2$. Пусть $\mathbf{p}_\varepsilon$ --- поток \eqref{flux=}, и пусть $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ --- матрица-функция \eqref{tilde g}. Тогда при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ выполнено
\begin{equation}
\label{Th flux interpol}
\begin{split}
\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant {C}_s(1+\vert\tau\vert)^{s/2}\varepsilon ^{s/2}\left(\Vert\boldsymbol{\psi}\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,\tau);H^s(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{split}
\end{equation}
Здесь ${C}_s:=C_{19}^{1-s/2}C_{17}^{s/2}$. Если, дополнительно, $\mathbf{F}\in L_1(\mathbb{R}_\pm; H^{s}(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, где $0\leqslant s\leqslant 2$, то при $\vert\tau\vert =\varepsilon^{-\alpha}$, $0<\alpha<1$, справедлива оценка
\begin{equation}
\label{Th flux interpol 1.2}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\pm\varepsilon^{-\alpha})-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\pm\varepsilon^{-\alpha})\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant 2^{s/2}{C}_s\varepsilon ^{s(1-\alpha)/2}\left(\Vert\boldsymbol{\psi}\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1(\mathbb{R}_\pm ;H^s(\mathbb{R}^d))}\right),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation}

\noindent
$2^\circ$. Если $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, то
\begin{equation*}
\lim \limits _{\varepsilon\rightarrow 0}\Vert \mathbf{p}_\varepsilon(\cdot,\tau)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}=0,\quad\tau\in\mathbb{R}.
\end{equation*}

\noindent
$3^\circ$. Если $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1}(\mathbb{R}_\pm;L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n))$, то
\begin{equation*}
\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\pm \varepsilon ^{-\alpha})-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot,\pm\varepsilon ^{-\alpha} )\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}=0,\quad0<\alpha<1.
\end{equation*}
\end{theorem}

\begin{proof}
Переписывая в операторных терминах оценку \eqref{flux with Pi_eps} при $\mathbf{F}=0$ и интерполируя с \eqref{Lm flux grubo in operator terms}, заключаем, что 
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert& g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathcal{A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin(\tau \mathcal{A}_\varepsilon ^{1/2} ) -\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon (\mathcal{A}^0)^{-1/2}\sin(\tau(\mathcal{A}^0)^{1/2})\Vert _{H^s(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\\
&\leqslant C_{19}^{1-s/2}C_{17}^{s/2}(1+\vert \tau\vert )^{s/2}\varepsilon ^{s/2}.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{u eps tozd}, \eqref{u0 tozd} вытекает оценка \eqref{Th flux interpol}.

Утверждение $2^\circ$ получается на основании теоремы Банаха-Штейнгауза из \eqref{Th flux interpol}.

Результат $3^\circ$ выводится из \eqref{Th flux interpol 1.2} с помощью теоремы Банаха-Штейнгауза.
\end{proof}

\begin{remark}
Используя предложение \textnormal{\ref{Proposition S_eps f^eps}} и рассуждая по аналогии с \eqref{lm pr 1}--\eqref{lm pr 3}, легко видеть, что утверждение леммы~\textnormal{\ref{Lemma flux}} сохраняет силу, если $\Pi_\varepsilon$ заменить на сглаживание по Стеклову $S_\varepsilon$. Отсюда и из \eqref{flux with S_eps} с помощью интерполяции выводим, что теорема \textnormal{\ref{Theorem flux interpol}} останется верной, если $\Pi _\varepsilon$ заменить на $S_\varepsilon$. При этом изменится только постоянная в оценке.
\end{remark}

\subsection{Специальный случай} 
Предположим, что $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{underline-g}. Согласно \cite[замечание 3.5]{BSu05} в этом случае матрица-функция \eqref{tilde g} постоянна и совпадает с $g^0$, т. е. $\widetilde{g}(\mathbf{x})=g^0=\underline{g}$. Следовательно,
\begin{equation*}
\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\Pi_\varepsilon \mathbf{u}_0(\cdot,\tau)=g^0b(\mathbf{D})\Pi _\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau) .
\end{equation*}
Заметим, что оператор с постоянными коэффициентами $\mathcal{A}^0$ коммутирует со сглаживанием $\Pi _\varepsilon$, поэтому в силу \eqref{A0=}, \eqref{g^0<=} выполнено
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert g^0b(\mathbf{D})(\Pi _\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
&\leqslant
\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert (\mathcal{A}^0)^{1/2}(\Pi _\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&=
\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert (\Pi _\varepsilon -I)(\mathcal{A}^0)^{1/2}\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
Применяя предложение \ref{Proposition Pi eps -I}, учитывая \eqref{u0 tozd} и принимая во внимание, что оператор $\mathcal{A}^0$ коммутирует с дифференцированием, заключаем, что
\begin{equation*}
\Vert g^0b(\mathbf{D})(\Pi _\varepsilon -I)\mathbf{u}_0(\cdot ,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant\varepsilon
r_0^{-1}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}
\left(\Vert\mathbf{D}\boldsymbol{\psi}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{D} \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,\tau) ;L_2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation*}
Отсюда и из теоремы \ref{Theorem flux} вытекает следующий результат.

\begin{proposition}
Пусть справедливы соотношения \eqref{underline-g}. Тогда в условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem flux}} при $\tau\in\mathbb{R}$ и $\varepsilon >0$ имеем
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,\tau)-g^0b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot,\tau)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C_{20}\varepsilon(1+\vert\tau\vert)\left(\Vert\boldsymbol{\psi}\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,\tau) ;H^2(\mathbb{R}^d))}\right).
\end{equation*}
Здесь $C_{20}:=C_{17}+r_0^{-1}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}$.
\end{proposition}

\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}
\begin{thebibliography}{XXXX}
\bibitem[ABriV]{ABriV} \href{http://link.springer.com/article/10.1007/s40324-016-0067-z}
{Allaire G., Briane M., Vanninathan M., \textit{A comparison between two-scale asymptotic expansions and Bloch wave expansions for the homogenization of periodic structures}, SeMA Journal {\bf 73} (2016), no.~3,  237--259.}
\bibitem[BaPa]{BaPa} Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П., \textit{Осреднение процессов в периодических средах}, Наука, М., 1984.
\bibitem[BeLPap]{BeLP} Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G., \textit{Asymptotic analysis for periodic structures},  corrected reprint of the 1978 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, 2011. 
\bibitem[BSu1]{BSu} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=817&option_lang=rus}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения}, Алгебра и анализ {\bf 15} (2003), №~5, 1--108.}
\bibitem[BSu2]{BSu05-1} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=706&option_lang=rus}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Пороговые аппроксимации резольвенты факторизованного самосопряженного семейства с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 17} (2005), №~5, 69--90.}
\bibitem[BSu3]{BSu05} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=714&option_lang=rus}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 17} (2005), №~6, 1–104.}
\bibitem[BSu4]{BSu06} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=95&option_lang=rus}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Алгебра и анализ {\bf 18} (2006), №~6, 1–130.}
\bibitem[BSu5]{BSu08} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=540&option_lang=rus}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Операторные оценки погрешности при усреднении нестационарных периодических уравнений}, Алгебра и анализ {\bf 20} (2008), №~6, 30--107.}
\bibitem[BrOtFMu]{BrOFMu} \href{http://gillesfrancfort.com/Site/Publications_files/published.version.BFM92\%20copy.pdf}
{Brahim-Otsmane S., Francfort G. A., Murat F., \textit{Correctors for the homogenization of the wave and heat equations}, J. Math. Pures Appl. {\bf 71} (1992), 197--231.} 
\bibitem[BraLe]{BraLe} \href{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0021782410000103}
{ Brassart M., Lenczner M., \textit{A two scale model for the periodic homogenization of the wave equation}, J. Math. Pures Appl. 
{\bf 93} (2010), no. 5, 474--517.}
\bibitem[CaDiCoCalMaMarG]{CaDCoCaMaMarG1} \href{http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218202514500031?journalCode=m3as}
{Casado-Diaz J., Couce-Calvo J., Maestre F., Martin-Gomez J. D., \textit{Homogenization and correctors for the wave equation
with periodic coefficients}, Math. Models Methods Appl. Sci. {\bf 24} (2014), 1343–-1388.}
\bibitem[ConOrV]{ConOrV} \href{http://aip.scitation.org/doi/10.1063/1.2179048}
{Conca C., Orive R., Vanninathan M., \textit{On Burnett coefficients in periodic media}, Journal of Mathematical Physics {\bf 47}, 032902 (2006), no. 3.}
\bibitem[ConSaMaBalV]{ConSaMaBalV} \href{http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218202509003930?journalCode=m3as}
{Conca C., SanMartin J., Balilescu L., Vanninathan M., \textit{Optimal bounds on dispersion coefficient in one-dimensional periodic media}, Math. Models Methods Appl. Sci. {\bf 19} (2009), 1743--1764.}
\bibitem[DSu1]{DSu}  \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=3257&option_lang=rus}
{Дородный М. А., Суслина  Т. А., \textit{Усреднение гиперболических уравнений},  Функц. анализ и его прил. {\bf 50} (2016), №~4, 91--96.} 
\bibitem[DSu2]{DSu2} \href{https://arxiv.org/abs/1606.05868}
{Dorodnyi M., Suslina T., \textit{Homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients}, arXiv:1606.05868 (2016).}
\bibitem[Ka]{K} Като Т., \textit{Теория возмущений линейных операторов}, Мир, М., 1972.
\bibitem[PSu]{PSu} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=1312&option_lang=rus}
{Пахнин М. А., Суслина Т. А., \textit{Операторные оценки погрешности при усреднении эллиптической задачи Дирихле в ограниченной области}, Алгебра и анализ {\bf 24} (2012), №~6, 139--177.}
\bibitem[Sa]{Sa} Санчес-Паленсия Э., \textit{Неоднородные среды и теория колебаний}, Мир, М., 1984.
\bibitem[Su1]{Su04} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=130&option_lang=rus}
{Суслина Т. А., \textit{Об усреднении периодических параболических систем}, Функц. анализ и его прил. {\bf 38} (2004), №~4, 86--90.} 
\bibitem[Su2]{Su07} Suslina T. A., \textit{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem}, Amer. Math. Soc. Transl. (2), vol. 220, 2007, pp. 201--233.
\bibitem[Su3]{Su_MMNP} \href{http://www.mmnp-journal.org/articles/mmnp/abs/2010/04/mmnp201054p390/mmnp201054p390.html}
{Suslina T. A., \textit{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the
Sobolev space $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Math. Model. Nat. Phenom. {\bf 5} (2010), no. 4, 390--447.}
\bibitem[Su4]{Su17} \href{http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0022247X16305406}
{Suslina T., \textit{Spectral approach to homogenization of nonstationary Schrödinger-type equations}, J. Math. Anal. Appl. {\bf 446} (2017), no. 2, 1466--1523.}
\bibitem[ViGKo]{ViGKo} Виленкин Н. Я., Горин Е. А., Костюченко А. Г. и др., \textit{Функциональный анализ}. Серия \glqq Справочная математическая библиотека\grqq , Наука, М., 1964. 
\bibitem[ZhKO]{ZhKO} Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., \textit{Усреднение дифференциальных операторов}, Физматлит, М., 1993.
\bibitem[Zh1]{Zh1} Жиков В. В., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, Докл. РАН {\bf 403} (2005), №~3, 305--308.
\bibitem[Zh2]{Zh2} \href{http://link.springer.com/article/10.1134/S1064562406010261}{Жиков В. В., \textit{О некоторых оценках из теории усреднения}, Докл. РАН {\bf 406} (2006), №~5, 597--601.}
\bibitem[ZhPas1]{ZhPas} Zhikov V. V., Pastukhova S. E., \textit{On operator estimates for some problems in homogenization theory}, Russ. J. Math. Phys. {\bf 12} (2005), no. 4, 515-524.
\bibitem[ZhPas2]{ZhPAs_parabol} \href{http://link.springer.com/article/10.1134/S1061920806020087}
{Zhikov V. V., Pastukhova S. E., 
\emph{Estimates of homogenization for a parabolic equation with periodic 
coefficients}, Russ. J. Math. Phys. {\bf 13} (2006), no. 2, 224--237.}
\bibitem[ZhPas3]{ZhPasUMN} \href{http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=9710&option_lang=rus}{Жиков В. В., Пастухова С. Е., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, УМН {\bf 71 (429)} (2016), №~3, 27–122.}
\end{thebibliography}
\end{document}