\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[T1, T2A]{fontenc}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm} 
\usepackage{mathtext}
\usepackage{amsfonts}

\setlength{\topmargin}{-.5in}
\setlength{\textheight}{9in}
\setlength{\oddsidemargin}{.125in}
\setlength{\textwidth}{6.25in}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}
\renewcommand{\thepart}{}



\renewcommand{\labelenumii}{\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.}
\renewcommand{\labelenumiii}{\arabic{enumi}.\arabic{enumii}.\arabic{enumiii}.}


\newcommand{\lda}{\lambda}
\newcommand{\Wo}{{\raisebox{0.2ex}{\(\stackrel{\circ}{W}\)}}{}}
\newcommand{\Cspec}{\mathfrak{C}}

\frenchspacing

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
%\newtheorem{proposition}{Proposition}
%\newtheorem{corollary}{Corollary}
\newtheorem{rustheorem}{Теорема}
\newtheorem{ruslemma}{Лемма}
\newtheorem{rusproposition}{Предложение}
%\newtheorem*{rusproposition*}{Предложение}
\newtheorem{ruscorollary}{Следствие}
\newtheorem{rushypothesis}{Гипотеза}

\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{remark}{Remark}
%\newtheorem{example}{Example}
\newtheorem{rusdefinition}{Определение}
\newtheorem{rusremark}{Замечание}
%\newtheorem*{rusremark*}{Замечание}
\newtheorem{rusexample}{Пример}

\newenvironment{rusbibliography}{\renewcommand{\refname}{{\large\sc Литература}}\vspace{-0.5cm}\begin{thebibliography}}{\end{thebibliography}}

\begin{document} 
%\renewcommand{\thefootnote}{}
\title{Об асимптотике спектра тензорного произведения операторов
с почти регулярными маргинальными асимптотиками\footnote{Представлено А.~И.~Назаровым}}
\author{Растегаев~Н.~В. \\ \small{СПбГУ, Лаборатория им. П.Л.Чебышева, 199178, 14 линия В.О., 29Б} %\\ \small{ПОМИ РАН, 191023, наб. р. Фонтанки 27}
\\ \small{Россия, Санкт-Петербург}
\\ \small{rastmusician@gmail.com}}
\renewcommand{\today}{}
\maketitle

\abstract{
Изучается асимптотика спектра компактного оператора в гильбертовом пространстве, являющегося тензорным произведением операторов с известными маргинальными асимптотиками.
Методы работы А.~Кароля, А.~Назарова и Я.~Никитина (Trans.~AMS, 2008)  обобщаются на операторы с почти регулярными маргинальными 
%спектральной 
асимптотиками. Во многих (но не во всех) случаях удается показать, что тензорное произведение снова имеет почти регулярную спектральную асимптотику.
Полученные результаты применяются к теории малых уклонений гауссовских случайных полей.
}


\section{Введение}

%Мы изучаем асимптотику спектра компактного оператора в гильбертовом пространстве, являющегося тензорным произведением операторов с известными маргинальными асимптотиками.

%В общем случае р
Рассматриваются компактные неотрицательные самосопряженные
операторы $\mathcal{T} = \mathcal{T}^*\geqslant 0$ в гильбертовом пространстве $\mathcal H$ и $\widetilde{\mathcal{T}}$ в гильбертовом пространстве $\widetilde{\mathcal H}$.
%и аналогичный оператор $\widetilde{\mathcal{T}}$ в пространстве $\widetilde H$. 
Через $\lda_n = \lda_n(\mathcal{T})$ 
%и $\widetilde{\lda}_n = \lda_n(\widetilde{\mathcal{T}})$ 
обозначены собственные числа оператора $\mathcal{T}$, упорядоченные по убыванию
и повторяемые согласно кратностям. Для него рассматривается считающая функция
\[
\mathcal{N}(t) = \mathcal{N}(t, \mathcal{T}) = \#\{n: \lda_n(\mathcal{T}) > t\}.
\]
Аналогично определяются $\widetilde{\lda}_n$ и $\widetilde{N}(t)$ для $\widetilde{T}$.

Имея заданные при $t\to 0$ асимптотики $\mathcal{N}(t, \mathcal{T})$ и $\mathcal{N}(t, \widetilde{\mathcal{T}})$, мы хотим установить асимптотику $\mathcal{N}(t, \mathcal{T}\otimes\widetilde{\mathcal{T}})$. Полученные результаты легко обобщаются на случай тензорных произведений нескольких сомножителей.

Известные приложения подобных результатов встречаются в задачах, касающихся асимптотик квантования случайных величин и векторов (см. например \cite{GrLuPa}, \cite{LuPa}), сложности в среднем линейных задач, то есть задач приближения непрерывного линейного оператора (см. например \cite{PaWa}), а также в рамках интенсивно развивающейся теории малых уклонения случайных процессов, а именно, для малых уклонений гауссовских случайных процессов в $L_2$-норме (см. например \cite{NazNikKar}, \cite{NazKar}).

%Рассмотрим гауссовский процесс $X(x)$, $x \in \Omega \subset \mathbb{R}^d$, имеющий нулевое среднее и ковариационную функцию $G_X(x, y) = EX(x)X(y)$ при $x, y \in \Omega$. 
%Пусть $\mu$  --- конечная мера на $\Omega$. Положим
%\[
%\|X\|_\mu = \Big( \int_\Omega X^2(x) d\mu(x)\Big)^{1/2}
%\]
%и рассмотрим
%\[
%Q(X, \mu; \varepsilon) = P\{\|X\|_\mu \leq \varepsilon\}.
%\]
%Задача заключается в определении асимптотики $Q(X, \mu; \varepsilon)$ при $\varepsilon\to %0$. 
%Заметим, что случай абсолютно непрерывной меры $\mu(dx) = \psi(x)dx$, $\psi \in %L_1(\Omega)$, легко сводится к случаю меры Лебега заменой $X$ на гауссовский процесс $X%\sqrt{\psi}$. В общем случае можно предполагать $\mu(\Omega) = 1$.

%Согласно хорошо известному разложению Кархунена-Лоева выполняется равенство по %распределению
%\[
%\|X(t)\|^2_\mu \stackrel{d}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n\xi^2_n,
%\]
%где $\xi_n$, $n \in \mathbb{N}$, --- независимые стандартные гауссовские случайные %величины, а  $\lambda_n > 0$, $n \in \mathbb{N}$, $\sum_n \lambda_n < \infty$ --- %собственные числа интегрального уравнения
%\begin{equation}\label{int_eq}
%\lambda f(x) = \int_\Omega G_X(x, y)f(y)d\mu(y), \qquad x \in \Omega.
%\end{equation}%

%Таким образом, задача сводится к изучению асимптотического поведения при $\varepsilon\to %0$ вероятности ${\bf P} \{\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n\xi^2_n \leq \varepsilon^2 \}$. %Ответ существенно зависит от имеющейся информации о последовательности $\lda_n$.%



%В данной работе мы продолжаем изучение широкого класса гауссовских процессов, имеющих
%ковариционную функцию типа ``тензорного произведения''. Это означает, что ковариация %может быть разложена в произведение ``промежуточных'' ковариаций, зависящих от разных %переменных. Классическими примерами подобных процессов являются броуновский лист и %броуновская подушка. Напомним кратко определение таких процессов.

%Пусть есть два гауссовских процесса $X(x)$, $x \in \mathbb{R}^m$, и $Y(y)$, $y \in %\mathbb{R}^n$, с нулевыми средними и ковариационными функциями $G_X(x, u)$, $x, u \in% \mathbb{R}^m$, и $G_Y(y, v)$, $y, v \in \mathbb{R}^n$, соответственно. Рассмотрим
%новую гауссовскую функцию $Z(x, y)$, $x \in \mathbb{R}^m$, $y \in \mathbb{R}^n$, с %нулевым средним и ковариацией $G_Z((x, y),(u, v)) = G_X(x, u)G_Y(y, v)$. Такая %гауссовская функция очевидно существует, а интегральный оператор с ядром $G_Z$ является %тензорным произведением ``промежуточных'' операторов с ядрами $G_X$ и $G_Y$. Потому, мы %используем
%обозначение $Z = X \otimes Y$ и называем процесс $Z$ тензоным произведением процессов $X$ %и $Y$. Обобщение на большее число множителей с получением $\bigotimes_{j=1}^d X_j$ %достаточно ясно.%

Абстрактные методы анализа асимптотики спектра тензорного произведения операторов, обобщаемые в данной работе, были разработаны в \cite{NazNikKar} и \cite{NazKar}.
%основывается на абстрактных теоремах,
%описывающих спектральные асимптотики тензорных произведений самосопряженных операторов в %гильбертовом пространстве. Этот подход дает возможность рассматривать достаточно общий
%класс тензорных произведений, 
В \cite{NazNikKar} рассматривается случай, в котором собственные числа %$\lda^{(j)}_n$ 
операторов-множителей имеют так называемое \textit{регулярное} асимптотическое поведение:
\[
\lda_n \sim \dfrac{\psi(n)}{n^{p}}, \quad n\to\infty,
\]
где $p > 1$, а $\psi$ --- \textit{медленно меняющаяся} функция (в зарубежной литературе --- SVF).
В работе \cite{NazKar} данный подход переносится на случай, когда считающая функция 
собственных чисел имеет асимптотику медленно меняющейся функции.

В данной работе %мы обобщаем методы работы \cite{NazNikKar} на 
рассматриваются операторы с почти регулярной 
%спектральной 
асимптотикой%, содержащей периодическую функцию:

\begin{equation}\label{asymplda}
\lda_n(\mathcal{T}) \sim \dfrac{\psi(n)\cdot \mathfrak{s}(\ln(n))}{n^p}, \quad n\to+\infty,
\end{equation}
где $p > 1$, $\psi$ --- медленно меняющаяся, а $\mathfrak{s}$ --- непрерывная периодическая функция. Примерами таких операторов являются гриновские интегральные операторы
%дифференциальные операторы 
с сингулярной арифметически самоподобной весовой мерой (см. \cite{KL}, \cite{SV}, \cite{Naz}).

Для асимптотики \eqref{asymplda} имеет место следующий факт, являющийся аналогом Леммы 3.1 из \cite{NazNikKar}, который мы приведем без доказательства.

\begin{rusproposition}\label{proposEIGEN}
При любом $p>0$ спектральная асимптотика \eqref{asymplda} для оператора $\mathcal{T}$ эквивалентна асимптотике
\begin{equation}\label{Tasymp}
\mathcal{N}(t, \mathcal{T}) \sim \mathcal{N}_{as}(t) := 
\dfrac{\varphi(1/t)\cdot s(\ln (1/t))}{t^{1/p}}, \qquad t\to+0,
\end{equation}
где $\varphi$ --- медленно меняющаяся функция, $s$ --- периодическая функция (периоду $T$ функции $s$ соответствует период $T/p$ функции $\mathfrak{s}$).
Более того, сходимость интеграла $\int_1^\infty \varphi(\tau)\frac{d\tau}{\tau}$ равносильна сходимости ряда $\sum_n\lda_n^{1/p}(\mathcal{T})$.
\end{rusproposition}

\noindent Применение полученных результатов демонстрируется на примере задачи $L_2$-малых уклонений гауссовских случайных полей. %В общем случае спектральная асимптотика для них получена в \cite{Naz}. 
%Исследованию непостоянства периодической составляющей посвящены работы \cite{VladSheip}, \cite{Vlad}, \cite{Rast}.
%Во многих (но не во всех) случаях удается показать, что тензорное произведение снова имеет почти регулярную асимптотику. В частности, это верно, когда все маргинальные асимптотики с минимальным показателем $p$ удовлетворяют условию 
%операторов выполняется соотношение 
%$$\int\limits_1^\infty \varphi(\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} = \infty.$$


Изучение задачи малых уклонений было инициировано в работе \cite{Sytaya} и продолжено
множеством других исследователей. Истории задачи и основным результатам посвящены 
обзоры \cite{Lifsh} и \cite{LiShao}. Сcылки на недавние результаты в области малых
уклонений случайных процессов
%в $L_2$-норме 
можно найти на сайте \cite{Site}.

Изучение малых уклонений гауссовских полей типа тензорного произведения было начато в классической работе \cite{Csaki}, где асимптотика логарифма $L_2$-малых уклонений была получена для
броуновского листа 
\[
\mathbb{W}_d(x_1, \ldots, x_d) = W_1(x_1) \otimes W_2(x_2) \otimes \ldots \otimes
W_d(x_d)
\]
в единичном кубе (здесь $W_k$ --- независимые винеровские процессы).
Этот результат был позже обобщен в работе \cite{Li} на некоторые другие маргинальные процессы. В работах \cite{NazNikKar} и \cite{NazKar} результаты о малых уклонениях широких классов гауссовских полей типа тензорного произведения были получены как следствие результатов о спектральной асимптотике соответствующих операторов.

Работа имеет следующую структуру. Мы приводим необходимую информацию о медленно меняющихся функциях в \S 2. В \S 3 мы устанавливаем предварительные факты, связанные с асимптотиками сверток почти меллиновского типа. 

Спектральной асимптотике тензорных произведений операторов с маргинальными асимптотиками вида \eqref{Tasymp} посвящен \S 4. Основные результаты заключаются в том, что мы получаем главный член спектральной асимптотики тензорного произведения почти для всех возможных комбинаций параметров маргинальных асимптотик, налагая лишь незначительные технические ограничения  в некоторых случаях. Результаты разделены на несколько случаев в зависимости от соотношений между параметрами спектральных асимптотик операторов $\mathcal{T}$ и $\widetilde{\mathcal{T}}$:
\begin{enumerate}
\item $\widetilde p > p$.
\item $\widetilde p = p$.
\begin{enumerate}
\item $\int\limits_1^\infty \varphi(\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} = \int\limits_1^\infty \widetilde\varphi(\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} = \infty$.
\begin{enumerate}
\item Функции $s$ и $\widetilde s$ имеют общий период ($T=\widetilde T$).
\item Периоды $T$ и $\widetilde T$ функций $s$ и $\widetilde s$ несоизмеримы.
\end{enumerate}
\item $\int\limits_1^\infty \varphi(\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} < \infty,\quad \int\limits_1^\infty \widetilde\varphi(\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} = \infty$.
\item $\int\limits_1^\infty \varphi(\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} <\infty,\quad \int\limits_1^\infty \widetilde\varphi(\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} < \infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
В случаях 1, 2.1.1 асимптотика тензорного произведения оказывается почти регулярной, в случае 2.1.2 -- регулярной. В случаях 2.2 и 2.3 получается асимптотика более сложного вида.

В \S 5 мы 
%применяем полученные результаты и 
связываем почти регулярную спектральную асимптотику с логарифмической асимптотикой малых уклонений гауссовских случайных полей.

Различные константы, значения которых нам не важны, мы обозначим $C$. Зависимость этих констант от параметров указывается в скобках.

\section{Вспомогательные сведения о медленно \\ меняющихся функциях}
Напомним, что положительная функция $\varphi(\tau)$, $\tau > 0$, называется {\it медленно меняющейся} (на бесконечности), если для любой постоянной $c>0$
\begin{equation}\label{SVFrel}
\varphi(c\tau)/\varphi(\tau)\to 1, \qquad \text{ при } \tau\to +\infty.
\end{equation} 
Известны следующие простые свойства медленно меняющихся функций (доказательства можно найти,
к примеру, в \cite{Seneta}).
\begin{rusproposition}\label{propSVF1}
Пусть $\varphi$ --- медленно меняющаяся функция. Тогда выполняются следующие свойства:
\begin{enumerate}
\item Сходимость в \eqref{SVFrel} равномерна по $c\in[a,b]$ при любых $0<a<b<+\infty$.
\item Функция $\tau\mapsto\tau^p\varphi(\tau)$, $p\neq 0$, монотонна при больших значениях $\tau$.
\item Существует эквивалентная медленно меняющаяся функция $\psi\in C^2(\mathbb{R})$ (то есть  $\varphi(\tau)/\psi(\tau)\to 1$ при $\tau\to\infty$), такая что
\[
\tau\cdot (\ln(\psi))'(\tau)\to 0, \quad \tau^2\cdot (\ln(\psi))''(\tau)\to 0, 
\qquad \tau\to\infty.
\]
\item Если $\int_1^\infty \varphi(\tau)\frac{d\tau}{\tau}<\infty$, то $\varphi(\tau)\to 0$
при $\tau\to\infty$.
\end{enumerate}
\end{rusproposition}

\noindent Следуя \cite{NazNikKar}, мы определяем {\it свертку Меллина} двух медленно меняющихся функций $\varphi$ и $\psi$\,:
\[
(\varphi\ast\psi)(\tau) = \int\limits_1^\tau\varphi(\sigma)\psi(\tau/\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma}
= h_{\varphi,\psi}(\tau)+h_{\psi, \varphi}(\tau),
\]
где
\[
h_{\varphi, \psi}(\tau) = \int\limits_1^{\sqrt{\tau}}\varphi(\sigma)\psi(\tau/\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma}.
\]
\begin{rusproposition}[\cite{NazNikKar}, Теорема 2.2]\label{propSVF2} Выполняются следующие свойства:
\begin{enumerate}
\item Если $\int_1^\infty \varphi(\tau)\frac{d\tau}{\tau}=\infty$, то 
$\psi(\tau) = o(h_{\varphi, \psi}(\tau))$ при $\tau\to\infty$.
\item Если $\psi(\tau) = \psi_1(\tau)(1+o(1))$ при $\tau\to\infty$, то 
\[
h_{\varphi, \psi}(\tau) = h_{\varphi, \psi_1}(\tau)(1+o(1)), \quad\tau\to\infty.
\]
Если вдобавок $\int_1^\infty\psi(\tau)\frac{d\tau}{\tau} = \infty$, то
\[
h_{\psi, \varphi}(\tau) = h_{\psi_1, \varphi}(\tau)(1+o(1)), \quad\tau\to\infty.
\]
\item $h_{\varphi, \psi}$ --- медленно меняющаяся функция.
\item Пусть $\int_1^\infty \varphi(\tau)\frac{d\tau}{\tau}<\infty$, и, кроме того,
\[
	\int_1^\infty \varphi(\sigma)m_\psi(\sigma)\frac{d\sigma}{\sigma}<\infty,
\]
где 
\[
m_\psi(\sigma) = \sup_{\tau>\sigma^2}\dfrac{\psi(\tau/\sigma)}{\psi(\tau)}.
\]
Тогда
\begin{equation}\label{SVFestim1}
h_{\varphi, \psi}(\tau) = \psi(\tau)\int\limits_1^\infty\varphi(\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma}
\cdot (1+o(1)), \qquad \tau\to\infty.
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{rusproposition}

%\section{Ограниченность вариации}

%В обозначениях [Naz2004],
%\[
%\mathcal{N}_{\mathfrak{L}_\mu}(\lda) = \sum_{j=1}^k \mathcal{N}_{\mathfrak{L}_\mu}(\lda/c_j)%+g(\lda),
%\]
%где $g(\lda)$ --- кусочно постоянная функция с целыми значениями, и $0 \leqslant g(\lda) %\leqslant 2kl$.
%\[
%\mathcal{G}(\sigma) = \exp(-\sigma/p)\cdot g(\exp(-\sigma)).
%\]
%Периодическая компонента асимптотики находится из уравнения восстановления по формуле
%\[
%\psi(\sigma) = T\left(\sum_{j=1}^k c_j^{1/p}|\ln(c_j)|\right)^{-1} \sum_{j\in \mathbb{Z}} %\mathcal{G}(\sigma-Tj).
%\]
%Разложим ее в разность монотонных. Заметим, что в разность монотонных легко раскладывается
%функция $g(\lda)$:
%\[
%g(\lda) = g_+(\lda) - g_-(\lda), \qquad \text{ где } \quad
%g_+(\lda) = \mathcal{N}_{\mathfrak{L}_\mu}(\lda), \quad 
%g_-(\lda) = \sum_{j=1}^k \mathcal{N}_{\mathfrak{L}_\mu}(\lda/c_j).
%\]
%Очевидна оценка $g_{\pm}(\lda) = O(\lda^{-1/p})$ при $\lda\to+0$, а кроме того, следует %отметить, что $g_\pm(\lda) = 0$ при $\lda>\lda_0/\min\{c_j\}$(? 0 или 1).
%\[
%\mathcal{G}(\sigma) = \mathcal{G}_+(\sigma)-\mathcal{G}_-(\sigma), \qquad \text{ где }
%\mathcal{G}_\pm(\sigma) = \exp(-\sigma/p)\cdot g_\pm(\exp(-\sigma)).
%\]
%В силу этих оценок, можем определить
%\[
%\psi_\pm(\sigma) = -T\left(\sum_{j=1}^k c_j^{1/p}|\ln(c_j)|\right)^{-1} \sum_{j\in %\mathbb{Z}} \exp(Tj/p)g_\mp(\exp(-\sigma+Tj)),%\mathcal{G}_\pm(\sigma-Tj),
%\]
%поскольку имеет место равномерная сходимость суммы.(брыхня) Остается заметить, что $\psi_\pm%$ очевидно монотонны по построению, а значит из представления
%\[
%\psi(\sigma) = \exp(-\sigma/p) \cdot (\psi_+(\sigma) - \psi_-(\sigma))
%\]
%следует ограниченность вариации $\psi$ на отрезке $[0, T]$.

\section{Предварительные факты об асимптотике почти меллиновских сверток}

% а согласно \S 3, все периодические функции непрерывны и имеют ограниченную вариацию.




%Нам потребуется несколько дополнительных лемм, касающихся асимптотики свертки Меллина функций, содержащих периодические компоненты.

В этом параграфе $\varphi$ и $\widetilde\varphi$ --- медленно меняющиеся функции, $s$ и $\widetilde s$ --- непрерывные, ограниченные, отделенные от нуля функции, имеющие периоды $T$ и $\widetilde T$ соответственно, и представимые в виде
\[
s(\tau) = e^{-\tau/p}\varrho(\tau), \qquad \widetilde s(\tau) = e^{-\tau/p}\widetilde\varrho(\tau),
\]
где $p>0$, $\varrho$ и $\widetilde\varrho$ монотонны. Отсюда, в частности, следует, что $s$ и $\widetilde s$ --- функции ограниченной вариации.

Определим {\it почти меллиновскую свертку}
\begin{align*}
(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau)  & = 
\int\limits_{1}^{\tau}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = {}\\
& {} = H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) + H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau), \\
H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) & = \int\limits_{1}^{\sqrt{\tau}}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)}, \\
H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) & = \int\limits_{\sqrt{\tau}}^{\tau}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)}.
\end{align*}
Здесь интеграл понимается как интеграл Лебега-Стилтьеса.

%Вполне очевиден следующий факт.

%\begin{rusproposition}\label{simpleasymp}
%\[
%\int\limits_{1}^{\tau}
%\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
%\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} \asymp (\varphi\ast\widetilde\varphi)(\tau), \quad \tau\to\infty.
%\]
%\end{rusproposition}

%Мы докажем его чуть менее очевидный вариант.

\begin{ruslemma}\label{MellinConv1}
\[
(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) \asymp (\varphi\ast\widetilde\varphi)(\tau), \quad \tau\to\infty,
\]
\[
H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) \asymp h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau), \quad \tau\to\infty,
\]
\[
H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) \asymp h_{\varphi, \widetilde\varphi}(\tau), \quad \tau\to\infty.
\]
%\widetilde{s}(\ln\sigma)\sigma^{1/p}
\end{ruslemma}
\begin{proof}
Докажем оценку сверху для первого соотношения,  остальные оценки получаются аналогично.
Введем оператор
\begin{equation}\label{defF}
F_{\sigma}[\varphi](\xi) = \varphi(e^{j\widetilde T}\sigma)\text{ для } \xi\in[e^{j\widetilde T}, e^{(j+1)\widetilde T}),
\end{equation}
делающий функцию $\varphi$ ступенчатой.

\noindent Отметим, что
\begin{equation}\label{asympF}
F_{\sigma}[\varphi](\tau) = \varphi(\tau)(1+o(1)), \quad \tau\to\infty
\end{equation}
равномерно по 
$\sigma\in[1, e^{\widetilde T}]$.
Пусть $k\in\mathbb{N}$ такое, что $e^{(k-1)\widetilde T} < \tau \leqslant e^{k\widetilde T}$. Тогда
%\begin{align*}
\[
(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) \leqslant C \int\limits_{1}^{e^{k\widetilde{T}}}
F_{e^{k\widetilde T}/\tau}[\varphi]\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)F_1[\widetilde\varphi](\sigma) \dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)}.
\]
Заметим, что функция $F_{e^{k\widetilde T}/\tau}[\varphi](\dfrac{\tau}{\sigma})F_1[\widetilde\varphi](\sigma)$ постоянна по $\sigma$ на каждом промежутке $(e^{j\widetilde T}, e^{(j+1)\widetilde T})$, $j=0\ldots k-1$. Мера $\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = d \ln( \widetilde{s}(\ln \sigma) \sigma^{1/p} )$ периодична по логарифму, что позволяет нам заменить интеграл суммой. Получим
\begin{align*}
(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) & \leqslant C\int_1^{e^{\widetilde T}}\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} \sum_{j=0}^{k-1} F_{e^{k\widetilde T}/\tau}[\varphi](\frac{\tau}{e^{j\widetilde T}})F_1[\widetilde\varphi](e^{j\widetilde T}) \leqslant {}\\
&{}\leqslant C \int_1^{e^{\widetilde T}} \dfrac{d\sigma}{\sigma} \sum_{j=0}^{k-1} F_{e^{k\widetilde T}/\tau}[\varphi](\frac{\tau}{e^{j\widetilde T}})F_1[\widetilde\varphi](e^{j\widetilde T}) = {}\\
&{} = C \int\limits_{1}^{e^{k\widetilde{T}}}
F_{e^{k\widetilde T}/\tau}[\varphi]\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)F_1[\widetilde\varphi](\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} \leqslant C \int\limits_{1}^{\tau}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma}.
\end{align*}
\end{proof}

\noindent Доказательство следующего предложения аналогично Теореме 2.2 из \cite{NazNikKar}, и мы его опускаем.

\begin{rusproposition}\label{SVFasymp}
Пусть $\widetilde\varphi(\tau) = \psi_1(\tau)(1+o(1))$ при $\tau\to\infty$, тогда
\begin{align*}
H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) =  H[\varphi s, \psi_1 \widetilde s](\tau)(1+o(1)).
\end{align*}
Если, кроме того, $\int\limits_1^\infty\widetilde\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty$, то
\begin{align*}
H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) =  H_1[\varphi s, \psi_1 \widetilde s](\tau)(1+o(1)).
\end{align*}
\end{rusproposition}


\begin{ruslemma}\label{MellinConv2}
Пусть $\int\limits_1^\infty\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty$, $\int\limits_1^\infty\widetilde\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty$. Тогда
\[
H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) = H[\widetilde \varphi \widetilde s, \varphi s](\tau)(1+o(1)), \quad \tau\to\infty,
\]
%\[
%(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) =
%(1+o(1)) \big( H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) +
% H[\widetilde \varphi \widetilde s, \varphi s](\tau)\big),
%\]
а почти меллиновская свертка асимптотически симметрична, т.е.
\[
(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) =  (\widetilde \varphi \widetilde s \ast \varphi s )(\tau)(1+o(1)), \quad \tau\to\infty.
\]
\end{ruslemma}
\begin{proof}
Второе соотношения напрямую следует из первого. Чтобы разобраться в первом, напишем
\[
H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) =
\tau^{-1/p}\int\limits_{\sqrt{\tau}}^\tau
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) \rho\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
d(\widetilde \rho(\ln\sigma)).
\]
Проведем замену $\sigma$ на $\tau/\sigma$ и проинтегрируем по частям.
\[
H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) =
-\tau^{-1/p}\int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \rho(\ln\sigma)
d\left(\widetilde \rho\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)\right) = {}
\]
\[
{} = \tau^{-1/p}\int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \rho\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right) d(\rho(\ln\sigma)) +
\left. \varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma)
\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)\right|_1^{\sqrt{\tau}} + {}
\]
\[
{}+\int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
\Big(
\dfrac{\sigma\varphi'(\sigma)}{\varphi(\sigma)}-
\dfrac{(\tau/\sigma)\widetilde\varphi'(\tau/\sigma)}{\widetilde\varphi(\tau/\sigma)}
\Big)
\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma}.
\]
%\[
%H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) =
%\int\limits_{\sqrt{\tau}}^\tau
%\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
%d(\widetilde s(\ln\sigma)) + \dfrac{1}{p}\int\limits_{\sqrt{\tau}}^\tau
%\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
%\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma}.
%\]
%Во втором слагаемом проводится замена $\sigma$ на $\tau/\sigma$.
%\[
%\int\limits_{\sqrt{\tau}}^\tau
%\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
%\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} =
%\int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
%\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma)
%\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)\dfrac{d\sigma}{\sigma}.
%\]
%В первом проводится аналогичная замена и интегрирование по частям.
%\[
%\int\limits_{\sqrt{\tau}}^\tau
%\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
%d(\widetilde s(\ln\sigma)) =
%-\int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
%\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma)
%d(\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)) = {}
%\]
%\[
%{} = \int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
%\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)
%\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right) d(s(\ln\sigma)) +
%\left. \varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma)
%\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)\right|_1^{\sqrt{\tau}} + {}
%\]
%\[
%{}+\int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
%\Big(
%\dfrac{\sigma\varphi'(\sigma)}{\varphi(\sigma)}-
%\dfrac{(\tau/\sigma)\widetilde\varphi'(\tau/\sigma)}{\widetilde\varphi(\tau/\sigma)}
%\Big)
%\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)
%\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma}.
%\]
Первое слагаемое равно $H[\widetilde \varphi \widetilde s, \varphi s](\tau)$.
Остается убедиться, что второе и третье слагаемые удовлетворяют оценке
$o(H[\widetilde \varphi \widetilde s, \varphi s](\tau))$. 
%Это верно по п.1 Предложения \ref{propSVF2} с учетом Леммы \ref{MellinConv1} для подстановки, и по п.2 Предложения \ref{propSVF2} с учетом Леммы \ref{MellinConv1} и Предложения \ref{SVFasymp} для интеграла.
Разберемся с подстановкой.
\begin{align*}
\left. \varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma)
\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)\right|_1^{\sqrt{\tau}} =
\varphi(\sqrt{\tau})&\widetilde\varphi(\sqrt{\tau}) s(\ln\sqrt{\tau})
\widetilde s(\ln\sqrt{\tau}) - \\
&- \varphi(1)\widetilde\varphi(\tau) s(0)
\widetilde s(\ln\tau).
\end{align*}
Все периодические составляющие ограничены.
\[
\widetilde\varphi(\tau) = o(h_{\varphi, \widetilde\varphi}(\tau)) = o(H[\widetilde \varphi \widetilde s, \varphi s](\tau)), \quad \tau\to\infty
\]
по п.1 Предложения \ref{propSVF2} с учетом Леммы \ref{MellinConv1}. Остается оценить
\[
\varphi(\sqrt{\tau})\widetilde \varphi(\sqrt{\tau}) = 
\varphi(1)\widetilde\varphi(\tau) + \int\limits_1^{\sqrt{\tau}} 
\Big( \varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \Big)'_\sigma d\sigma
= {}
\]
\[
{} = \varphi(1)\widetilde\varphi(\tau) + \int\limits_1^{\sqrt{\tau}}\Big(
\dfrac{\sigma\varphi'(\sigma)}{\varphi(\sigma)}-
\dfrac{(\tau/\sigma)\widetilde\varphi'(\tau/\sigma)}{\widetilde\varphi(\tau/\sigma)}
\Big)
\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)
 \dfrac{d\sigma}{\sigma} =
\]
\[
{} = \varphi(1)\widetilde\varphi(\tau) + \int\limits_1^{\sqrt{\tau}}\Big(
1 + \dfrac{\sigma\varphi'(\sigma)}{\varphi(\sigma)}
\Big)
\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)
 \dfrac{d\sigma}{\sigma} - {}
\]
\[
{} - \int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
\varphi(\sigma)\Big( 1 +
\dfrac{(\tau/\sigma)\widetilde\varphi'(\tau/\sigma)}{\widetilde\varphi(\tau/\sigma)}
\Big)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)
 \dfrac{d\sigma}{\sigma} = {}
\]
\[
 = o(h_{\varphi, \widetilde\varphi}(\tau)) +  h_{\varphi, \widetilde\varphi}(\tau)(1+o(1)) -  h_{\varphi, \widetilde\varphi}(\tau)(1+o(1)) = {}
\]
\[ {} = o(h_{\varphi, \widetilde\varphi}(\tau)) = o(H[\widetilde \varphi \widetilde s, \varphi s](\tau)), \quad \tau\to\infty.
\]
При оценке интегралов мы воспользовались п.2 Предложения \ref{propSVF2} с учетом п.3 Предложения \ref{propSVF1}.

Аналогичным рассуждением с использованием Предложения \ref{SVFasymp} получаем оценку
\[
\int\limits_1^{\sqrt{\tau}}
\Big(
\dfrac{\sigma\varphi'(\sigma)}{\varphi(\sigma)}-
\dfrac{(\tau/\sigma)\widetilde\varphi'(\tau/\sigma)}{\widetilde\varphi(\tau/\sigma)}
\Big)
\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma) \dfrac{d\sigma}{\sigma} =
o(H[\widetilde \varphi \widetilde s, \varphi s](\tau))
\]
при $\tau\to\infty$, и лемма доказана.
\end{proof}


\paragraph{Случай совпадающих периодов.} 
Рассмотрим случай, когда функции $s$ и $\widetilde s$ имеют совпадающие периоды ($T = \widetilde{T}$). Обозначим
\[
(s \star \widetilde{s})(\eta) := \dfrac{1}{T}\int\limits_0^T s(\eta - \lda)\widetilde s(\lda)d\lda.
\]
Заметим, что 
%\[
%(s \star \widetilde{s})(\eta) = e^{-\eta/p}\dfrac{1}{T}\int\limits_0^T \varrho(\eta - %\lda)\widetilde{\varrho}(\lda)d\lda,
%\] 
%а значит 
 определена и непрерывна производная
\begin{equation}\label{sotimes}
(s \star \widetilde{s})'(\eta) =
\dfrac{1}{T}\int\limits_0^T s(\eta - \lda) d(\widetilde s(\lda))
= -\dfrac{1}{p}(s \star \widetilde{s})(\eta) + e^{-\eta/p}\dfrac{1}{T}\int\limits_0^T \varrho(\eta - \lda)d\widetilde{\varrho}(\lda).
\end{equation}
Непрерывность следует из непрерывности $\varrho$ и $\widetilde\varrho$.

\begin{ruslemma} 
Пусть $\int\limits_1^{\infty}\widetilde\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty$,  $s$ и $\widetilde s$ имеют общий период $T$. 
Тогда
\[
\int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde\varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} \sim h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau)
(s \star \widetilde{s})(\ln\tau), \quad \tau\to\infty.
\]
Если, кроме того, $\int\limits_1^{\infty}\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty$, то
\[
\int\limits_1^{\tau} \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde\varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} \sim (\varphi\ast \widetilde\varphi)(\tau)
(s \star \widetilde{s})(\ln\tau), \quad \tau\to\infty.
\]
\end{ruslemma}
\begin{proof}
Для $e^{2(k-1)T} < \tau \leqslant e^{2kT}$ можно записать
\[
\int\limits_1^{\sqrt\tau} \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} \sim
\int\limits_1^{e^{kT}} \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} = {}
\]
\[
{}=\sum_{j=0}^{k-1}\int\limits_1^{e^T} \varphi(e^{-jT}\cdot\frac{\tau}{\sigma}) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(e^{jT}\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} = {}
\]
\[ {} =
\int\limits_1^{e^T} s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde s(\ln\sigma)\sum_{j=0}^{k-1}\varphi(e^{-jT}\cdot\frac{\tau}{\sigma})\widetilde \varphi(e^{jT}\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} = {}\]
\[ {}=
\int\limits_1^{e^T} s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde s(\ln\sigma)T^{-1}\int\limits_1^{e^{kT}}
F_{e^{-(k-1)T}\cdot\frac{\tau}{\sigma}}[\varphi](e^{kT}/\xi)F_{\sigma}[\widetilde\varphi](\xi)\dfrac{d\xi}{\xi}\dfrac{d\sigma}{\sigma},
\]
%\[ {}=
%\int\limits_1^{e^T} s(\ln \tau/\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)T^{-1}\int\limits_1^{e^{kT}}
%\varphi_{pw}^{\sigma, \tau}(e^{kT}/\xi)\widetilde\varphi_{pw}^{\sigma}(\xi)\dfrac{d\xi}{\xi}%\dfrac{d\sigma}{\sigma} = (*).
%\]
%Здесь кусочно-постоянные функции $\varphi_{pw}^{\sigma, \tau}$, $\widetilde\varphi_{pw}^{\sigma}$ определяются соотношениями
%\[
%\varphi_{pw}^{\sigma, \tau}(\xi) = \varphi(e^{jT}(e^{-(k-1)T}\tau/\sigma)) \text{ для } \xi%\in[e^{jT}, e^{(j+1)T}),
%\]
%\[
%\widetilde\varphi_{pw}^{\sigma}(\xi) = \widetilde \varphi(e^{jT}\sigma)\text{ для } \xi%\in[e^{jT}, e^{(j+1)T}).
%\]
%Остается заметить, что равномерно по $\sigma$
%\[
%\varphi_{pw}^{\sigma, \tau}(\tau) = \varphi(\tau)(1+o(1)), \quad 
%\widetilde\varphi_{pw}^{\sigma}(\tau) = \widetilde\varphi(\tau)(1+o(1)), \qquad \tau\to%\infty.
%\]
где оператор $F$ введен в \eqref{defF}. Учитывая асимптотику \eqref{asympF} и п.2 Предложения \ref{propSVF2}, получаем
\[
\int\limits_1^{\sqrt\tau} \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} \sim h_{\widetilde\varphi, \varphi}(e^{kT})(s \star \widetilde{s})(\ln\tau)\sim h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau)(s \star \widetilde{s})(\ln\tau).
\]
Второе утверждение леммы получается аналогично, с учетом $\int\limits_1^{\infty}\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty$.
\end{proof}

\begin{ruslemma}\label{raznos} Пусть $\int\limits_1^{\infty}\widetilde\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty$,  $s$ и $\widetilde s$ имеют общий период $T$. 
Тогда
\[
H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) \sim h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau)
\Big(
\dfrac{1}{p}(s \star \widetilde{s})+(s \star \widetilde{s})'
\Big)(\ln\tau), \quad \tau\to\infty.
\]
Если, кроме того, $\int\limits_1^{\infty}\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty$, то
\[
(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) \sim (\varphi\ast \widetilde\varphi)(\tau)
\Big(
\dfrac{1}{p}(s \star \widetilde{s})+(s \star \widetilde{s})'
\Big)(\ln\tau), \quad \tau\to\infty.
\]
\end{ruslemma}

\begin{proof}
Доказательство в точности такое же, как и в предыдущей лемме. Нужно только убедиться, что
\[
\int\limits_1^{e^T} s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} =
\tau^{-1/p}\int\limits_0^T \varrho(\ln\tau - \lda)d\widetilde{\varrho}(\lda),
\]
что очевидно, если в левом интеграле провести замену $\lda = \ln\sigma$.
\end{proof}

\paragraph{Случай несоизмеримых периодов.} Пусть теперь функции $s$ и $\widetilde s$ не имеют общего периода. 

\begin{ruslemma}\label{MellinConv3}
Если периоды $T$ и $\widetilde{T}$ несоизмеримы, то 
\[
\int\limits_1^\tau s(\ln(\omega/\sigma)) \widetilde{s}(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = 
(\Cspec+o(1))\ln\tau, \qquad \tau\to+\infty
\]
равномерно по $\omega\in \mathbb{R}$, где 
\begin{equation}\label{Cdef}
\Cspec = \dfrac{1}{p}\cdot\dfrac{1}{T}
\int\limits_0^{T} s(t)dt \cdot \dfrac{1}{\widetilde{T}}
\int\limits_0^{\widetilde{T}} \widetilde{s}(t)dt.
\end{equation}
\end{ruslemma}

\begin{proof}
\emph{Шаг 1.} Докажем оценку
\begin{equation}\label{Step1}
\int\limits_1^\tau s(\ln(\tau/\sigma)) \widetilde{s}(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = 
(\Cspec+o(1))\ln\tau, \qquad \tau\to+\infty.
\end{equation}
Проведем замену $t=\ln\tau$, $r=\ln\sigma$.
\[
\int\limits_1^\tau s(\ln(\tau/\sigma)) \widetilde{s}(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = \int\limits_0^t s(t-r)e^{-r/p}d\widetilde{\varrho}(r) =: Q(t).
\]
Определим $\widetilde T$-периодическую функцию 
\[
q(t) := \int\limits_0^{T} s(r)\widetilde{s}(t+T-r)dr = \int\limits_{t}^{t+T} s(t-r)\widetilde s(r) dr.
\]
Заметим, что определена и непрерывна ее производная
\[
q'(t) = \int\limits_0^{T} s(r)d\widetilde{s}(t+T-r) = \int\limits_{t}^{t+T} s(t-r)d\widetilde s(r) = -\dfrac{1}{p} \cdot q(t) + \int\limits_t^{t+T} s(t-r)e^{-r/p}d\widetilde{\varrho}(r).
\]
Поэтому
\begin{equation*}
Q(t+T) - Q(t) = \int\limits_t^{t+T} s(t-r)e^{-r/p}d\widetilde{\varrho}(r) = q'(t) + \dfrac{1}{p} \cdot q(t) =: q_1(t),
\end{equation*}
где $q_1(t)$ --- непрерывная $\widetilde{T}$-периодическая функция. Отсюда
\begin{equation}\label{Qsum}
Q(t+n T) = Q(t) + \sum\limits_{k=0}^{n-1} q_1(t+k T).
\end{equation}
По эргодической теореме Окстоби (см. \cite{Oxtoby}) имеем
\begin{equation}\label{Oxt}
\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n-1} q_1(t+k T) = \dfrac{1}{\widetilde{T}}
\int\limits_0^{\widetilde{T}} q_1(t)dt
\end{equation}
равномерно по $t$. Из \eqref{Qsum} и \eqref{Oxt}
получаем оценку
\[
Q(t) = (\Cspec+o(1))t, \qquad t\to+\infty,
\]
где
\[
\Cspec = \dfrac{1}{T\widetilde{T}}
\int\limits_0^{\widetilde{T}} q_1(t)dt = \dfrac{1}{p}\cdot\dfrac{1}{T}
\int\limits_0^{T} s(t)dt \cdot \dfrac{1}{\widetilde{T}}
\int\limits_0^{\widetilde{T}} \widetilde{s}(t)dt.
\]
Подставляем $t=\ln\tau$, и формула \eqref{Step1} доказана.
\vskip+0.5cm

\noindent \emph{Шаг 2.} Для любого значения $\tau$ можно подобрать $k(\tau)\in \mathbb{Z}$, такое что $$0 \leqslant \tau - \omega - Tk(\tau) < T.$$
Тогда
\begin{align*}
\int\limits_1^\tau s(\ln(\omega/\sigma)) \widetilde{s}(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} &=
\int\limits_{\omega+Tk(\tau)}^\tau s(\ln(\omega/\sigma)) \widetilde{s}(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} + {}\\
{} &+ \int\limits_1^{\omega+Tk(\tau)} s(\ln((\omega+Tk(\tau))/\sigma)) \widetilde{s}(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)}.
\end{align*}
Первое слагаемое равномерно ограничено, а второе допускает оценку $$(\Cspec+o(1))\ln(\omega+Tk(\tau)) = (\Cspec+o(1))\ln\tau, \qquad \tau\to+\infty.$$
\end{proof}
\section{Спектральная асимптотика тензорных \\ произведений}
\begin{ruslemma}\label{ogrVar}
В формуле \eqref{Tasymp} функция $s$ имеет вид
 \[
s(\tau) = e^{-\tau/p} \varrho(\tau),
\]
где $\rho$ --- монотонная функция, и значит $s$ --- функция ограниченной вариации.
\end{ruslemma}
\begin{proof}
Асимптотика может быть переписана следующим образом:
\[
\dfrac{s(\ln(1/t))}{t^{1/p}} = \dfrac{\mathcal{N}(t)}{\varphi(1/t)}(1+\varepsilon(t)), \quad 
\varepsilon(t) \to 0 \text{ при } t\to +0.
\]
Сделав замену $t$ на $e^{-kT}t$, получаем
\[
\dfrac{s(\ln(1/t))}{(e^{-kT}t)^{1/p}} = \dfrac{\mathcal{N}(e^{-kT}t)}{\varphi(e^{kT}/t)}(1+\varepsilon(e^{-kT}t)).
\]
Отсюда
\[
\dfrac{s(\ln(1/t))}{t^{1/p}} = \lim_{k\to+\infty} e^{-\frac{kT}{p}}\dfrac{\mathcal{N}(e^{-kT}t)}{\varphi(e^{kT}/t)},
\]
причем сходимость равномерна на отрезке $[1, e^T]$. Таким образом, для фиксированного $\varepsilon > 0$ мы получаем выражение
\[
s(\ln(1/t)) = t^{\frac{1}{p}+\varepsilon} \cdot
\lim_{k\to+\infty} \dfrac{e^{-\frac{kT}{p}-kT\varepsilon} \mathcal{N}(e^{-kT}t)}
{(e^{kT}/t)^{-\varepsilon}\varphi(e^{kT}/t)}.
\]
Заметим, что числитель дроби монотонно убывает по $t$, а функция в знаменателе монотонно растет по $t$ при достаточно больших значениях $k$ по п.2 Предложения \ref{propSVF1}. Введем обозначение
\[
\varrho_\varepsilon(\ln(1/t)) := \lim_{k\to+\infty} 
\dfrac{e^{-\frac{kT}{p}-kT\varepsilon} \mathcal{N}(e^{-kT}t)}
{(e^{kT}/t)^{-\varepsilon}\varphi(e^{kT}/t)}.
\]
Как равномерный предел монотонных функций, $\varrho_\varepsilon$ монотонна. Функция $s$ имеет вид
\[
s(\tau) = e^{-(\frac{1}{p}+\varepsilon) \tau}\varrho_\varepsilon(\tau).
\]
%имеет ограниченную вариацию на отрезке $[0, T]$, как произведение функций ограниченной %вариации.
Перейдя к пределу по $\varepsilon\to 0$ и обозначив $\varrho(\tau) := \lim\limits_{\varepsilon\to 0}\varrho_\varepsilon(\tau)$, получаем выражение
\[
s(\tau) = e^{-\tau/p} \varrho(\tau),
\]
где $\rho$ --- тоже монотонная функция.
\end{proof}

\begin{rusremark}\label{singmonot}
Для некоторых гриновских интегральных операторов
с сингулярной арифметически самоподобной весовой мерой 
%дифференциальных уравнений четной степени с сингулярным самоподобным весом 
(см. \cite{VladSheip}, \cite{Vlad}, \cite{Rast}), удается показать, что $\varrho(\tau)$ --- непрерывная чисто сингулярная функция, то есть ее обобщенная производная есть мера, сингулярная относительно меры Лебега.

Далее считаем, что все возникающие в асимптотиках периодические функции непрерывны (таким образом выполняются все предварительные требования \S 3), а согласно п.3 Предложения \ref{propSVF1}, все медленно меняющиеся функции можно считать $C^2$-гладкими.
\end{rusremark}

\begin{rustheorem}\label{Th1}
Пусть оператор $\mathcal{T}$ в пространстве $\mathcal H$ имеет спектральную асимптотику \eqref{Tasymp}, а оператор $\widetilde{\mathcal{T}}$ в пространстве $\widetilde{\mathcal H}$ имеет асимптотику
\[
\widetilde{\mathcal{N}}(t) := \widetilde{\mathcal{N}}(t, \widetilde{\mathcal{T}}) = O(t^{-1/\widetilde{p}}), \quad t \to 0+,
\qquad \widetilde{p}>p.
\]
Тогда оператор $\mathcal{T}\otimes\widetilde{\mathcal{T}}$ в пространстве $\mathcal{H}\otimes\widetilde{\mathcal{H}}$ имеет асимптотику
\begin{equation}\label{Tasymp1}
\mathcal{N}_\otimes(t) := \mathcal{N}(t, \mathcal{T}\otimes\widetilde{\mathcal{T}}) \sim
\dfrac{\varphi(1/t)\cdot s^*(\ln(1/t))}{t^{1/p}}, \quad t\to+0, 
\end{equation}
где 
\begin{equation}\label{s_ast}
s^*(\tau) := \sum_{k} s(\tau + \ln(\widetilde{\lda}_k))\cdot\widetilde\lda_k^{1/p}
\end{equation}
--- периодическая функция с периодом $T$ (ряд сходится, поскольку $\widetilde{p}>p$).
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Поскольку собственные числа тензорного произведения операторов равны произведениям их собственных чисел, имеем
\[
\mathcal{N}_\otimes(t) = \#\{k, j: \lda_k \widetilde\lda_j > t\} =
\sum_k\#\{j: \lda_j > t/\widetilde\lda_k \} = \sum_k \mathcal{N}(t/\widetilde\lda_k).
\]
Таким образом,
\[
\dfrac{t^{1/p}}{\varphi(1/t)}\sum_k \mathcal{N}(t/\widetilde{\lda}_k) =
\sum_k \left( 
\dfrac{(t/\widetilde{\lda}_k)^{1/p} \mathcal{N}(t/\widetilde{\lda}_k)}
{\varphi(\widetilde{\lda}_k/t) s(\ln(\widetilde{\lda}_k/t))} %s(\ln(1/t) + \ln(\widetilde{\lda}_k))} 
\right)
\left(
\dfrac{\varphi(\widetilde{\lda}_k/t)}{\varphi(1/t)}
\right)
s(\ln(\widetilde{\lda}_k/t)) %s(\ln(1/t) + \ln(\widetilde{\lda}_k)) 
\widetilde{\lda}_k^{1/p}.
\]
Первый множитель равномерно ограничен и стремится к единице при $t\to 0+$ ввиду
\eqref{Tasymp}.
Второй множитель также стремится к единице, кроме того, поскольку для любого $\varepsilon$
функция $\tau^\varepsilon\varphi(\tau)$ возрастает при $\tau > \tau_0(\varepsilon)$ по п.2 Предложения \ref{propSVF1}, 
имеет место оценка
\[
\dfrac{\lda^\varepsilon\varphi(\lda\tau)}{\varphi(\tau)} =
\dfrac{(\lda\tau)^\varepsilon\varphi(\lda\tau)}{\tau^\varepsilon\varphi(\tau)}
\leqslant 1 \quad \text{ при } \lda\tau > \tau_0(\varepsilon), \lda < 1.
\]
Таким образом, для любого $\varepsilon > 0$ равномерно по $t < 1$ выполняется оценка
\[
\dfrac{\varphi(\widetilde\lda_k/t)}{\varphi(1/t)}\leqslant C(\varepsilon)\widetilde\lda_k^{-\varepsilon},
\]
откуда
\[
\dfrac{\varphi(\widetilde\lda_k/t)}{\varphi(1/t)}\widetilde\lda_k^{1/p} \leqslant
C(\varepsilon)\cdot k^{-\widetilde p (1/p - \varepsilon)},
\]
что при выборе достаточно малого $\varepsilon$ (т.ч. $\widetilde p (1/p - \varepsilon) > 1$) дает нам оценку, необходимую для применения теоремы Лебега о мажорированной сходимости. Переходя к пределу, получаем \eqref{Tasymp1}.
\end{proof}
\begin{rusremark}
При произвольном выборе функции $s$ и оператора $\widetilde{\mathcal{T}}$ функция 
$s^\ast(\tau)$, вообще говоря, может вырождаться в константу. Мы можем, например, потребовать $s(\tau)+s(\tau+T/2)=1$, $T = 2p\ln2$, а оператор $\widetilde{\mathcal{T}}$ взять конечномерным с тремя собственными числами $2^{p}$, $2^{p}$ и $2^{2p}$. Тогда
\begin{align*}
s^\ast(\tau) = 
s(\tau+p\ln 2)\cdot 2 + s(\tau+p\ln 2)\cdot 2 + 
 &s(\tau + 2p\ln 2) \cdot 2^2  = \\
 &= 4(s(\tau)+s(\tau+T/2)) = const.
\end{align*}

Однако, если $s(\tau) = \exp(-\tau/p)\varrho(\tau)$, где $\varrho(\tau)$ --- неубывающая чисто сингулярная функция (как в Замечании \ref{singmonot}), то никакая линейная комбинация сдвигов не будет постоянной. Более того, можно отметить, что в этом случае функция $s^\ast(\tau)$ тоже имеет
вид $$s^\ast(\tau) = \exp(-\tau/p)\varrho^\ast(\tau), \quad \varrho^\ast(\tau) = \sum_k\varrho(\tau+\ln\widetilde\lda_k),$$ и $\varrho^\ast(\tau)$ является чисто сингулярной функцией в силу монотонности $\varrho(\tau)$.
\end{rusremark}

Рассмотрим теперь случай, когда операторы имеют совпадающие степенные показатели спектральной асимптотики.

\begin{rustheorem}\label{ThNEstim}
Пусть оператор $\mathcal{T}$ имеет спектральную асимптотику \eqref{Tasymp}, а оператор $\widetilde{\mathcal{T}}$ --- асимптотику
\begin{equation}\label{Tasymp2}
\mathcal{N}(t, \widetilde{\mathcal{T}}) \sim \widetilde{\mathcal{N}}_{as}(t) := 
\dfrac{\widetilde{\varphi}(1/t)\cdot \widetilde{s}(\ln(1/t))}{t^{1/p}}, \qquad t\to+0.
\end{equation}
Здесь $\widetilde\varphi$ --- медленно меняющаяся функция, $\widetilde s$ имеет период $\widetilde T$.
Тогда для любого $\varepsilon > 0$ выполняются оценки
\begin{equation*}\label{NEstim}
\mathcal{N}_\otimes(t) \lessgtr \dfrac{\alpha_\pm(\varepsilon)}{t^{1/p}}\cdot \left[
S(t,\varepsilon)+\widetilde S(t, \varepsilon) +
\int\limits_{\alpha_\mp(\varepsilon)/\varepsilon}^{\varepsilon\tau}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)}
\right]
\end{equation*}
равномерно по $t>0$. Здесь интеграл понимается как интеграл Лебега-Стил\-тье\-са, $\tau = \alpha_\pm(\varepsilon)/t$. При $\varepsilon\tau < a_\mp(\varepsilon)/\varepsilon$ интеграл считаем равным нулю. Коэффициенты $\alpha_\pm(\varepsilon)\to 1$ при $\varepsilon\to 0$, а функции $S(t, \varepsilon)$, $\widetilde S(t, \varepsilon)$ имеют следующие асимптотики при $t\to+0$:
\[
S(t, \varepsilon) \sim \varphi(1/t)\cdot\sum_{\widetilde\lda_k\geqslant\varepsilon}s(\ln(1/t) + \ln(\widetilde\lda_k))\widetilde\lda_k^{1/p},
\]
\begin{equation}\label{asymptildeS}
\widetilde S(t, \varepsilon) \sim \widetilde\varphi(1/t)\cdot \Big(
\sum_{\lda_k \geqslant \varepsilon} \widetilde s(\ln(\tau)+\ln(\lda_k))\lda_k^{1/p}+
\varphi(1/\varepsilon)s(\ln(1/\varepsilon))\widetilde s(\ln(\tau\varepsilon))
\Big).
\end{equation}
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Доказательство следует схеме Теоремы 3.3 в \cite{NazNikKar}.
Докажем оценку сверху, оценка снизу может быть получена аналогично.
\[
t^{1/p}\mathcal{N}_\otimes(t) = t^{1/p}\sum_{\widetilde\lda_k < \varepsilon}
\mathcal{N}(t/\widetilde\lda_k) + S(t, \varepsilon),
\]
где
\[
S(t, \varepsilon) = t^{1/p}\sum_{\widetilde\lda_k\geqslant \varepsilon}\mathcal{N}(t/\widetilde\lda_k).
\]
Асимтотика $S(t, \varepsilon)$ получается из Теоремы \ref{Th1} для конечномерного
оператора $\widetilde{\mathcal{T}}$.

Обозначим за $\widetilde \mu$ обратную функцию к $\widetilde{\mathcal{N}}_{as}$. Тогда $\widetilde\lda_k/\widetilde\mu(k)\to 1$ при $k\to\infty$, а значит
\[
\alpha_-(\varepsilon)\widetilde\mu(k) \leqslant \widetilde\lda_k \leqslant
\alpha_+(\varepsilon)\widetilde\mu(k) \quad\text{ при } \widetilde\lda_k < \varepsilon
\]
для некоторых $\alpha_\pm(\varepsilon)$, причем $\alpha_\pm(\varepsilon)\to 1$ при $\varepsilon\to 0$.

Пользуясь монотонностью $\mathcal{N}$, получаем
\[
\sum_{\widetilde\lda_k < \varepsilon}
\mathcal{N}(t/\widetilde\lda_k) \leqslant
\sum_{\widetilde\mu(k) < \alpha_-^{-1}(\varepsilon)\varepsilon}
\mathcal{N}\Big(\frac{t}{\alpha_+(\varepsilon)\widetilde\mu(k)}\Big),
\]
а из монотонности функции $k\mapsto \mathcal{N}\big(\frac{t}{\alpha_+(\varepsilon)\widetilde\mu(k)}\big)$ получается
\begin{equation}\label{sumintest}
t^{1/p}\sum_{\widetilde\lda_k < \varepsilon}
\mathcal{N}(t/\widetilde\lda_k) \leqslant 
t^{1/p}\mathcal{N}\Big(\dfrac{\alpha_-(\varepsilon)t}{\alpha_+(\varepsilon)\varepsilon}\Big)
+t^{1/p}\int\limits_0^{\varepsilon\alpha_-^{-1}(\varepsilon)}
\mathcal{N}\Big(\frac{t}{\alpha_+(\varepsilon)\mu}\Big)
(-d\widetilde{\mathcal{N}}_{as}(\mu)).
\end{equation}
Первое слагаемое оценивается как $O(\varepsilon^{1/p}\varphi(1/t))$, а потому, добавляя его
к слагаемому $S(t, \varepsilon)$, получаем $\alpha_+(\varepsilon)S(t, \varepsilon)$. Далее, рассматриваем $-d\widetilde{\mathcal{N}}_{as}(\mu)$ как меру Лебега-Стилтьеса, и записываем
%\[
%-d\widetilde{\mathcal{N}}_{as}(\mu) = \dfrac{\widetilde\varphi(1/\mu)}{\mu^{1+1/p}}\cdot
%\Big(\dfrac{\widetilde s(\ln(1/\mu))}{p} + \widetilde s\,'(\ln(1/\mu)) +
%\widetilde s(\ln(1/\mu)) \cdot \dfrac{\widetilde\varphi\,'(1/\mu)}{\mu\widetilde%\varphi(1/\mu)}%
%\Big)d\mu.
%\]
\begin{equation}\label{Nas_measure}
-d\widetilde{\mathcal{N}}_{as}(\mu) = \dfrac{1}{\mu}\widetilde{\varphi}(1/\mu)\widetilde{\varrho}(\ln(1/\mu))
\Big(
\dfrac{-\mu d(\widetilde{\varrho}(\ln(1/\mu)))}{\widetilde{\varrho}(\ln(1/\mu))} +
\dfrac{\widetilde\varphi\,'(1/\mu)}{\mu\widetilde\varphi(1/\mu)} d\mu
\Big).
\end{equation}
Плотность второго слагаемого стремится к нулю при $\mu\to 0$, тогда как первое слагаемое 
\[
\dfrac{-\mu d(\widetilde{\varrho}(\ln(1/\mu)))}{\widetilde{\varrho}(\ln(1/\mu))} = \dfrac{d\widetilde{\varrho}(\ln(1/\mu))}{\widetilde{\varrho}(\ln(1/\mu))} = d(\ln(\widetilde{\varrho}(\lda))),
\] 
где $\lda = \ln(1/\mu)$,
является положительной периодической мерой, так как
\[
\ln(\varrho(\tau+T)) = \ln(\varrho(\tau)) + \dfrac{T}{p}.
\] 
Значит, при малых значениях $\varepsilon$ вклад второго слагаемого в \eqref{Nas_measure} в интеграл из \eqref{sumintest} пренебрежимо мал, и этот интеграл 
можно оценить через
%\[
%\alpha_+(\varepsilon)t^{1/p}\int\limits_0^{\varepsilon\alpha_-^{-1}(\varepsilon)}
%\mathcal{N}\Big(\frac{t}{\alpha_+(\varepsilon)\widetilde\mu(k)}\Big)
% \dfrac{\widetilde\varphi(1/\mu)}{\mu^{1+1/p}}\cdot
%\Big(\dfrac{\widetilde s(\ln(1/\mu))}{p} + \widetilde s\,'(\ln(1/\mu))\Big) d\mu.
%\]
\[
\alpha_+(\varepsilon)t^{1/p}\int\limits_0^{\varepsilon\alpha_-^{-1}(\varepsilon)}
\mathcal{N}\Big(\frac{t}{\alpha_+(\varepsilon)\mu}\Big)
 \widetilde\varphi(1/\mu)(-d(\widetilde{\varrho}(\ln(1/\mu)))).
\]
Разбивая на два интеграла и заменяя переменные, получаем оценку
\[
\alpha_+(\varepsilon)t^{1/p}\int\limits_\varepsilon^{+\infty}
\mathcal{N}(s)\widetilde\varphi(\tau s)d(\widetilde{\varrho}(\ln(\tau s))) +\alpha_+(\varepsilon)t^{1/p}\int\limits_{\alpha_-(\varepsilon)/\varepsilon}^{\varepsilon\tau}
\mathcal{N}(\sigma/\tau)\widetilde\varphi(\sigma)d(\widetilde{\varrho}(\ln\sigma)).
\]
Замена во втором интеграле $\mathcal{N}$ на $\alpha_+(\varepsilon)\mathcal{N}_{as}$ дает в точности третье слагаемое желаемой оценки. Первый же интеграл дает слагаемое $\widetilde S(t, \varepsilon)$. Кроме того,
\[
\dfrac{\widetilde\varphi(\alpha_+(\varepsilon)s/t)}{\widetilde\varphi(1/t)} \to 1 \quad
\text{ при } t\to 0
\]
раномерно по $s\in[\varepsilon, \lda_1(\mathcal{T})]$. Таким образом,
\[
\widetilde S(t, \varepsilon) \sim \widetilde\varphi(1/t)\int\limits_\varepsilon^{+\infty}
\mathcal{N}(s)d(\widetilde s(\ln(\tau s)) s^{1/p}).
\]
Ясно, что $\mathcal{N}(s) = 0$ при $s>\lda_1(\mathcal{T})$. Интегрируя по частям, получаем асимптотику \eqref{asymptildeS}.
\end{proof}

В Теоремах 3-5 мы предполагаем, что
\begin{equation}\label{phiinfinf}
\int\limits_1^{\infty}\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = 
\int\limits_1^{\infty}\widetilde\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty.
\end{equation}

\begin{rustheorem}\label{Thinfinf}
Пусть операторы $\mathcal{T}$ и $\widetilde{\mathcal{T}}$ удовлетворяют условиям Теоремы \ref{ThNEstim}.
Пусть, кроме того, выполняется соотношение \eqref{phiinfinf}, а периоды $s$ и $\widetilde s$ совпадают и равны $T$.
Тогда
\[
\mathcal{N}_\otimes(t) \sim \dfrac{\phi(1/t)\cdot s_\otimes(\ln(1/t))}{t^{1/p}}, \quad t\to +0,
\]
где $\phi(s) := (\varphi \ast \widetilde\varphi)(s)$ --- медленно меняющаяся функция, 
\begin{equation}\label{sotimesdef}
s_\otimes(\eta) = \dfrac{(s \star \widetilde{s})(\eta)}{p} + (s \star \widetilde{s})'(\eta) = e^{-\eta/p}\dfrac{1}{T}\int\limits_0^T \varrho(\eta - \sigma)d\widetilde{\varrho}(\sigma)
\end{equation} --- непрерывная положительная $T$-периодическая функция.
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Фиксируем $\varepsilon>0$ и рассматриваем полученную в Теореме \ref{ThNEstim} оценку. Согласно
п.1 Предложения \ref{propSVF2} имеем
\[
S(t, \varepsilon) = o(\phi(1/t)), \quad
\widetilde S(t, \varepsilon) = o(\phi(1/t)), \qquad t\to +0.
\]
Далее, можем расширить промежуток интегрирования, поскольку, учитывая $\tau = \alpha_{\pm}(\varepsilon)/t$ и пользуясь п.1 Предложения \ref{propSVF2}, имеем
\begin{align*}
\int\limits_{\varepsilon\tau}^{\tau}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)&\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} \sim {} \\
&{}\sim \widetilde \varphi(\tau)\int\limits_1^{1/\varepsilon}\varphi(\sigma)
 s(\ln\sigma)
\widetilde s(\ln(\tau/\sigma))\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln (\tau/\sigma)))}{\widetilde{\varrho}(\ln (\tau/\sigma))} = o(\phi(1/t)), \quad t\to+0,
\end{align*}
\begin{align*}
\int\limits_{1}^{\alpha_\mp(\varepsilon)/\varepsilon}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)&\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} \sim {} \\
&{}\sim \varphi(\tau)\int\limits_1^{\alpha_\mp(\varepsilon)/\varepsilon}\widetilde\varphi(\sigma)
 s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = o(\phi(1/t)), \quad t\to+0.
\end{align*}
Таким образом
\begin{equation}\label{NisMellin}
\mathcal{N}_\otimes(t) \lessgtr \dfrac{\alpha_\pm(\varepsilon)}{t^{1/p}} (\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau)(1+o(1)).
\end{equation}
Применяя теперь Лемму \ref{raznos}, получаем 
\[
\mathcal{N}_\otimes(t) \lessgtr \alpha_\pm(\varepsilon) \dfrac{\phi(\tau)}{t^{1/p}}\Big( 
\dfrac{(s \star \widetilde{s})}{p} + (s \star \widetilde{s})'
\Big)(\ln(\tau))(1+o(1)), \quad t\to+0.
\]
Заметим, кроме того, что $\phi(\tau) = \phi(1/t)(1+o(1))$ при $t\to+0$.
Отсюда
\begin{align}
\begin{split}\label{limsupliminf}
\limsup_{t\to+0}\mathcal{N}_\otimes(t) \left( \dfrac{\phi(1/t)\cdot s_\otimes(\ln(1/t))}{t^{1/p}}\right)^{-1} &\leqslant \alpha_+(\varepsilon) \cdot
\sup\limits_{t\in[1, e^T]}\dfrac{s_\otimes(\ln(\alpha_+(\varepsilon))+\ln(1/t))}{s_\otimes(\ln(1/t))}, \\
\liminf_{t\to+0}\mathcal{N}_\otimes(t) \left( \dfrac{\phi(1/t)\cdot s_\otimes(\ln(1/t))}{t^{1/p}}\right)^{-1} &\geqslant \alpha_-(\varepsilon)\cdot
\inf\limits_{t\in[1, e^T]}\dfrac{s_\otimes(\ln(\alpha_-(\varepsilon))+\ln(1/t))}{s_\otimes(\ln(1/t))}.
\end{split}
\end{align}
Функция $s_\otimes$ равномерно непрерывна на отрезке, значит, супремум и инфимум в правых частях \eqref{limsupliminf} стремятся к единице с уменьшением $\varepsilon$. Переходим к пределу по $\varepsilon\to+0$, и теорема доказана.
\end{proof}
\begin{rusremark}
Вопрос о непостоянстве $s_\otimes$ остается открытым. Даже если 
предположить, что $s(\tau) = \exp(-\tau/p)\varrho(\tau)$, $\widetilde s(\tau) =
\exp(-\tau/p)\widetilde\varrho(\tau)$, а функции $\varrho$ и $\widetilde\varrho$ чисто сингулярны, мы имеем $s_\otimes(\tau) = \exp(-\tau/p)\varrho_\otimes(\tau)$, где
\[
\varrho_\otimes(\tau) = \dfrac{1}{T}\int\limits_0^T \varrho(\tau-\lda)d\widetilde\varrho(\lda).
\]
Ясно, что $\varrho_\otimes'=\varrho'\star\widetilde\varrho\,'$ --- свертка сингулярных мер. Однако свертка сингулярных мер часто оказывается абсолютно непрерывной относительно меры Лебега (см., например, \cite{DamanikGorodetskiSolomyak}).
\end{rusremark}

\begin{rustheorem}\label{noncommes}
Пусть операторы $\mathcal{T}$ и $\widetilde{\mathcal{T}}$ удовлетворяют условиям Теоремы \ref{ThNEstim}.
Пусть, кроме того, выполняется соотношение \eqref{phiinfinf}, а у функций $s$ и $\widetilde s$ нет общего периода, то есть их периоды $T$ и $\widetilde T$ несоизмеримы. Тогда
\[
\mathcal{N}_\otimes(t) \sim \dfrac{\psi(1/t)\phi(1/t)}{t^{1/p}}, \quad t\to +0,
\]
где $\phi(s) = (\varphi \ast \widetilde\varphi)(s)$, $\psi(t)$ --- некоторая
ограниченная и отделенная от нуля медленно меняющаяся функция.
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Повторим доказательство Теоремы \ref{Thinfinf} до выражения \eqref{NisMellin}. Далее, получим оценку, которую можно применить вместо Леммы \ref{raznos}.

Введем функцию $r(\tau)$ согласно следующему равенству:
\[
(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) = 
\phi(\tau) r(\ln\tau).
\]
Функция $r$ ограничена и отделена от нуля по Лемме \ref{MellinConv1}. Убедимся в том, что она равномерно непрерывна. Имеем 

\[
r(\ln\tau + \delta) - r(\ln\tau) = r(\ln\tau+\delta) \Big(\dfrac{\phi(\tau e^\delta)}{\phi(\tau)}  - 1\Big) + {}
\]
\[ 
{} + \dfrac{1}{\phi(\tau)}\cdot \int\limits_1^\tau \left(\dfrac{\varphi(\frac{\tau e^\delta}{\sigma}) s(\ln \frac{\tau e^\delta}{\sigma})}{\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)} - 1\right) \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} + {}
\]
\[ 
{} + \dfrac{1}{\phi(\tau)}\cdot \int\limits_\tau^{\tau e^\delta} \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)}.
\]
Покажем, что каждое слагаемое здесь стремится к нулю при $\delta\to 0$ равномерно по $\tau$. Не умаляя общности считаем, что $0<\delta\leqslant\delta_0$ для некоторого $\delta_0$. 
%Действительно, первое слагаемое стремится к нулю по п.3 Предложения \ref{propSVF1}, поскольку $\phi$ --- непрерывно дифференцируемая медленно меняющаяся функция. Чтобы убедиться в этом, напишем формулу Тейлора с остатком в форме Лагранжа:
Для первого слагаемого напишем формулу конечных приращений:
%\[
%\phi(\tau e^\delta) = \phi(\tau) + (\tau e^\delta-\tau) \phi'(\zeta),
%\]
% Отсюда
\[
\dfrac{\phi(\tau e^\delta) - \phi(\tau)}{\phi(\tau)} =
(\tau e^\delta-\tau) \dfrac{\phi'(\zeta)}{\phi(\tau)} = (e^\delta-1) \cdot \dfrac{\tau}{\zeta}\cdot\dfrac{\phi(\zeta)}{\phi(\tau)}\cdot\dfrac{\zeta\phi'(\zeta)}{\phi(\zeta)},
\]
где $\zeta \in [\tau, \tau e^\delta]$. Множитель $\dfrac{\tau}{\zeta}$ ограничен. 
%При ограниченных значениях $\tau$ и $\delta$ можно оценить
%\[
%\forall \tau_0 > 0 \;\; \exists C(\tau_0) > 0 : \forall \tau\in[0, \tau_0]\quad \left| %\dfrac{\tau \phi'(\zeta)}{\phi(\tau)} \right| \leqslant C(\tau_0).
%\]
%При больших же значениях $\tau$ можно переписать эту дробь следующим образом:
%\[
%\dfrac{\tau \phi'(\zeta)}{\phi(\tau)} = \dfrac{\tau}{\zeta}\cdot\dfrac{\phi(\zeta)}%{\phi(\tau)}\cdot\dfrac{\zeta\phi'(\zeta)}{\phi(\zeta)}.
%\]
Для последних двух множителей существуют пределы
\[
\dfrac{\phi(\zeta)}{\phi(\tau)} \to 1, \quad \dfrac{\zeta\phi'(\zeta)}{\phi(\zeta)} \to 0, \quad \tau\to\infty,
\]
%\[
%\dfrac{\zeta\phi'(\zeta)}{\phi(\zeta)} \to 0, \quad \tau\to\infty,
%\]
поэтому они тоже ограничены. %найдется такое значение $\tau_1$, что
%\[
%\forall \tau\geqslant\tau_1\quad \left| \dfrac{\tau \phi'(\zeta)}{\phi(\tau)} \right| %\leqslant C.
%\]
Таким образом,
\[
\left| \dfrac{\phi(\tau e^\delta)}{\phi(\tau)}  - 1 \right| \leqslant
C (e^\delta - 1) \to 0, \quad \delta\to 0
\]
равномерно по $\tau \in \mathbb{R}_+$.
 
Аналогично показывается, что во втором слагаемом равномерно стремится к нулю выражение
\[
\dfrac{\varphi(\frac{\tau e^\delta}{\sigma}) s(\ln \frac{\tau e^\delta}{\sigma})}{ \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)} - 1,
\]
так как $\varphi$ --- медленно меняющаяся, $s$ --- непрерывная, периодическая, ограниченная и отделенная от нуля. Остальные сомножители во втором слагаемом дают ограниченную поправку согласно Лемме \ref{MellinConv1}.

В третьем слагаемом аналогично Лемме \ref{MellinConv1} получаем оценку
\[
\int\limits_\tau^{\tau e^\delta} \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = O(\phi(\tau e^\delta) - \phi(\tau)),
\quad \tau\to\infty,
\]
и потому оно стремится к нулю так же, как первое. Таким образом, равномерная непрерывность доказана.

Докажем теперь, что $r(\ln\tau)$ --- медленно меняющаяся функция. Из определения имеем
\begin{align}
\begin{split}\label{restim0}
r(\ln\tau+T)\phi(\tau e^T) &- r(\ln\tau)\phi(\tau) = 
\int\limits_\tau^{\tau e^T}\varphi\left(e^T\cdot \frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} + {}\\
&{}+\int\limits_1^{\tau}\left(\varphi\left(e^T\cdot \frac{\tau}{\sigma}\right)-\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)}.
\end{split}
\end{align}
Левая часть \eqref{restim0} с учетом соотношения $\phi(\tau e^T) = \phi(\tau)(1+o(1))$ переписывается
\begin{equation}\label{restim1}
r(\ln\tau+T)\phi(\tau e^T) - r(\ln\tau)\phi(\tau) = \big(r(\ln\tau + T) - r(\ln\tau)\big)\phi(\tau) + o(\phi(\tau)),\quad\tau\to\infty.
\end{equation}
В правой части \eqref{restim0} при $\tau\to\infty$ первый интеграл допускает оценку
\begin{align}
\begin{split}\label{restim2}
\int\limits_\tau^{\tau e^T}\varphi&\left(e^T\cdot \frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} \sim {} \\
{} &\sim \widetilde\varphi(\tau)\int\limits_1^{e^T}\varphi(\frac{e^T}{\sigma}) s\left(\ln \frac{1}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln(\tau\sigma))\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln (\tau\sigma)))}{\widetilde{\varrho}(\ln (\tau\sigma))} = o(\phi(\tau)).
\end{split}
\end{align}
Для оценки второго интеграла используется Предложение \ref{SVFasymp}. Поскольку \\
$\varphi(\tau e^T) = \varphi(\tau)(1+o(1))$ при $\tau\to\infty$, имеем
\begin{align*}
\begin{split}
\int\limits_1^{\tau}\varphi\left(e^T\cdot \frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma)& \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = {} \\
 {} & = \int\limits_1^{\tau}\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)}(1+o(1)).
\end{split}
\end{align*}
По Лемме \ref{MellinConv1} интеграл в правой части можно оценить как $O(\phi(\tau))$, а значит
\begin{equation}\label{restim3}
\int\limits_1^{\tau}(\varphi\left(e^T\cdot \frac{\tau}{\sigma}\right)-\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde \varphi(\sigma) \widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = o(\phi(\tau)),
\quad \tau\to\infty.
\end{equation}
Из \eqref{restim1}, \eqref{restim2}, \eqref{restim3} следует, что
\[
r(\ln\tau + T) - r(\ln\tau) = o(1), \quad \tau\to\infty.
\]
Совершенно аналогично получается, что
\[
r(\ln\tau + \widetilde T) - r(\ln\tau) = o(1), \quad \tau\to\infty.
\]
Значит для произвольных $z_1, z_2 \in \mathbb{Z}$ выполняется
\[
r(\ln\tau +z_1 T + z_2\widetilde T) - r(\ln\tau) = o(1), \quad \tau\to\infty.
\]
Поскольку периоды несоизмеримы, множество $\{z_1T+z_2\widetilde T | z_1, z_2 \in \mathbb{Z}\}$ плотно в $\mathbb{R}$, а значит, из равномерной непрерывности $r$ для любого $c\in\mathbb{R}$ имеем
\[
r(\ln\tau + c) - r(\ln\tau) = o(1), \quad \tau\to\infty.
\]
Отсюда, учитывая, что $r$ ограничена и отделена от нуля, получаем, что функция $\psi(\tau) := r(\ln(\tau))$ является медленно меняющейся.
%Взяв полусумму этих двух оценок, представим $r(\tau)$ при больших $\tau$, как решение уравнения восстановления
%\[
%r(\tau) = g(\tau) + \int\limits_0^\tau r(\tau - s) \nu(ds),
%\]
%где $\nu(s) = \dfrac{\delta(s+T)+\delta(s+\widetilde T)}{2}$, $g(\tau)$ --- некоторая стремящаяся к нулю на бесконечности функция. 
%Заметим, что при $b-a>T$ в силу ограниченности $r$ имеем
%\[
%\Big| \int\limits_0^a r(\tau + T) - r(\tau) d\tau \Big| \leqslant \int\limits_a^{a+T} %r(\tau) d\tau + 
%\int\limits_{0}^{T} r(\tau) d\tau \leqslant C,
%\]
%а значит функция $g$ априори суммируемая на полуоси, что позволяет говорить о %разрешимости уравнения.
%Как известно, уравнение восстановления имеет
%единственное решение с носителем в $\mathbb{R}_+$, а согласно \cite{LevitinVassiliev} в
%неарифметическом случае (при несоизмеримых периодах) мы имеем
%\[
%r(\tau) = C + o(1), \quad \tau\to\infty,
%\]
%где $C$ --- некоторая константа.
\end{proof}

\noindent При некоторых дополнительных условиях можно показать, что $\psi = const$.

\begin{rustheorem}\label{noncommes1}
Пусть операторы $\mathcal{T}$ и $\widetilde{\mathcal{T}}$ удовлетворяют условиям Теоремы \ref{noncommes}.
Потребуем дополнительно, чтобы для функций $\varphi$ и $\widetilde\varphi$ были  ограничены следующие величины:
\begin{equation}\label{addconstrict}
\left|\dfrac{\sigma\ln(\sigma) \varphi'(\sigma)}{\varphi(\sigma)}\right|\leqslant C, \quad
\left|\dfrac{\sigma\ln(\sigma) \widetilde\varphi'(\sigma)}{\widetilde\varphi(\sigma)}\right|\leqslant C, \qquad \sigma \geqslant 1.
\end{equation}
Тогда 
%для некоторой
%константы $C$ 
%верна 
%имеет место 
%асимптотика
\[
\mathcal{N}_\otimes(t) \sim \dfrac{\Cspec\phi(1/t)}{t^{1/p}}, \quad t\to +0,
\]
где $\phi(s) = (\varphi \ast \widetilde\varphi)(s)$, а константа $\Cspec$ определена в \eqref{Cdef}.
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Мы хотим получить оценку
\begin{equation}\label{Th5Asymp1}
(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) \sim 
\Cspec\phi(\tau), \quad \tau\to\infty.
\end{equation}
Оценим сперва $H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau)$. Для этого проинтегрируем по частям и применим Лемму \ref{MellinConv3}.
\[
H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) =
\int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde \varphi(\sigma) 
d\left(\int\limits_1^\sigma s(\ln \frac{\tau}{\xi})
 \widetilde s(\ln\xi)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \xi))}{\widetilde{\varrho}(\ln \xi)}\right) = {}
\]
\[
{} = \varphi(\sqrt{\tau}) \widetilde \varphi(\sqrt{\tau}) 
\int\limits_1^{\sqrt{\tau}} s(\ln \frac{\tau}{\xi})
 \widetilde s(\ln\xi)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \xi))}{\widetilde{\varrho}(\ln \xi)} - {}
\]
\[
{} - \int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \Big(\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde \varphi(\sigma)\Big)'_\sigma 
\int\limits_1^\sigma s(\ln \frac{\tau}{\xi})
 \widetilde s(\ln\xi)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \xi))}{\widetilde{\varrho}(\ln \xi)} d\sigma = {}
\]
\[
{} = \varphi(\sqrt{\tau}) \widetilde \varphi(\sqrt{\tau}) 
(\Cspec+o(1))\ln(\sqrt{\tau}) - \int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \Big(\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde \varphi(\sigma)\Big)'_\sigma 
(\Cspec+o(1))\ln\sigma d\sigma.
\]
%В последнем переходе используется Лемма \ref{MellinConv3}. 
Преобразуем главный член асимптотики обратным интегрированием по частям:
\[
\Cspec \Big(\varphi(\sqrt{\tau}) \widetilde \varphi(\sqrt{\tau}) 
\ln(\sqrt{\tau}) - \int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \Big(\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde \varphi(\sigma)\Big)'_\sigma 
\ln\sigma d\sigma\Big) = \Cspec h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau).
\]
Оценим теперь добавки, вносимые каждым из $o(1)$.
\[
\Cspec h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau) + \int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \Big(\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde \varphi(\sigma)\Big)'_\sigma \ln\sigma \cdot o(1) d\sigma =
\]

\[ = \Cspec\int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \Big[ 1 + \Big(\dfrac{\sigma\ln(\sigma) \widetilde\varphi'(\sigma)}{\widetilde
\varphi(\sigma)} + \dfrac{\ln(1/\sigma)}{\ln(\tau/\sigma)}\cdot\dfrac{(\tau/\sigma)\ln(\tau/\sigma) \varphi'(\tau/\sigma)}{\varphi(\tau/\sigma)}\Big) o(1)\Big] \cdot
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde \varphi(\sigma) 
\dfrac{d\sigma}{\sigma} = 
\]
\[
= (\Cspec+o(1))h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau).
\]
по п.2 Предложения \ref{propSVF2}, т.~к. выражение в круглых скобках ограничено благодаря дополнительным условиям \eqref{addconstrict}. 
%Таким образом
%\[
%\int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \Big(\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde %\varphi(\sigma)\Big)'_\sigma \ln\sigma \cdot o(1) d\sigma = o(h_{\widetilde\varphi,% \varphi}(\tau)).
%\] 
%Также видно, что
По той же причине имеем
\[
\varphi(\sqrt{\tau}) \widetilde \varphi(\sqrt{\tau}) 
\ln(\sqrt{\tau}) \cdot o(1) = o(1) \cdot \Big(h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau) + 
\int\limits_1^{\sqrt{\tau}} \Big(\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) \widetilde \varphi(\sigma)\Big)'_\sigma \ln\sigma d\sigma \Big) = o(h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau)).
\]

\noindent Получаем оценку 
\begin{equation}\label{Th5Asymp2}
H[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) =  (\Cspec+o(1)) h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau).
\end{equation}
Аналогично, учитывая Лемму \ref{MellinConv2}, получаем
\begin{equation}\label{Th5Asymp3}
H_1[\varphi s, \widetilde \varphi \widetilde s](\tau) = H[\widetilde \varphi \widetilde s, \varphi s](\tau)(1+o(1)) = (\Cspec+o(1))h_{\varphi, \widetilde\varphi}(\tau).
\end{equation}
Из асимптотик \eqref{Th5Asymp2} и \eqref{Th5Asymp3} получаем искомую асимптотику \eqref{Th5Asymp1}.
%В итоге имеем
%\[
%(\varphi s \ast \widetilde \varphi \widetilde s)(\tau) = (\Cspec+o(1)) \phi(\tau).
%\]
\end{proof}

\begin{rusremark}
Из дополнительных ограничений \eqref{addconstrict} следует, что для некоторой $C > 0$ выполняются оценки
\[
\varphi(e) (\ln\sigma)^{-C} \leqslant \varphi(\sigma) \leqslant \varphi(e) (\ln\sigma)^{C}, \quad \widetilde \varphi(e) (\ln\sigma)^{-C} \leqslant \widetilde\varphi(\sigma) \leqslant \widetilde \varphi(e) (\ln\sigma)^{C}
\]
при $\sigma \geqslant e$.
Дополнительные ограничения очевидно имеют место для
медленно меняющихся функций вида $(1+\ln(\tau))^{\varkappa}$. 
%Заметим, кроме того, что если $\varphi(\tau) = (1+\ln(\tau))^{\varkappa_1}$, $\widetilde\varphi(\tau) = (1+\ln(\tau))^{\varkappa_2}$, $\varkappa_{1,2}>-1$, то
%\[
%\phi(\tau) \sim \mathbf{B}(\varkappa_1+1, \varkappa_2+1)(1+\ln(\tau))^{\varkappa_1+\varkappa_2+1},
%\]
%где $\mathbf{B}$ --- бета-функция Эйлера.
В общем случае вопрос о постоянстве функции $\psi$ в Теореме \ref{noncommes} остается открытым.
\end{rusremark}

Рассмотрим теперь случаи, когда один или оба интеграла медленно меняющихся функций конечны.

\begin{rustheorem}\label{Thinfbound}
Пусть операторы $\mathcal{T}$ и $\widetilde{\mathcal{T}}$ удовлетворяют условиям Теоремы \ref{ThNEstim}, и
пусть
\[
\int\limits_1^{\infty}\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} < \infty, \quad 
\int\limits_1^{\infty}\widetilde\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} = \infty,
\]
а периоды $s$ и $\widetilde s$ совпадают и равны $T$.
Кроме того, пусть для $(\varphi, \widetilde\varphi)$ выполняется п.4 Предложения \ref{propSVF2}. Тогда
\[
\mathcal{N}_\otimes(t)\sim \dfrac{h_{\tilde\varphi, \varphi}(1/t)
\cdot s_\otimes(\ln(1/t))
 +\widetilde\varphi(1/t) \cdot \widetilde s^*(\ln(1/t))
}{t^{1/p}},
\]
где $s_\otimes$ определена в \eqref{sotimesdef}, а
\begin{equation}\label{s_ast_tilde}
\widetilde s^*(\tau) = \sum_n \widetilde s(\tau+\ln(\lda_n))\lda_n^{1/p}
\end{equation}
(ср. \eqref{s_ast}).
\end{rustheorem}
\begin{rusremark}
Сумма в \eqref{s_ast_tilde} сходится по Предложению \ref{proposEIGEN}.
\end{rusremark}
\begin{proof}

Фиксируем $\varepsilon>0$. По п.1 Предложения \ref{propSVF2} получаем
\[
S(t, \varepsilon) = o(h_{\widetilde\varphi, \varphi}(1/t)), \quad t\to+0.
\]
По п.4 Предложения \ref{propSVF1} имеем
\[
\widetilde S(t, \varepsilon) \sim \widetilde\varphi(1/t)\cdot \Big(
\sum_{n} \widetilde s(\ln\tau+\ln\lda_k)\lda_k^{1/p}+
\nu(\varepsilon)
\Big),
\]
где $\nu(\varepsilon)\to 0$ при $\varepsilon\to +0$. Остается оценить интегральное слагаемое.
\begin{align*}
&\int\limits_{\alpha_\mp(\varepsilon)/\varepsilon}^{\varepsilon\tau}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} = {}\\
&{} = \int\limits_{1}^{\sqrt{\tau}}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} -{}\\
&{}-\int\limits_1^{\alpha_\mp(\varepsilon)/\varepsilon}
\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right)\widetilde\varphi(\sigma) s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)
\widetilde s(\ln\sigma)\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln \sigma))}{\widetilde{\varrho}(\ln \sigma)} +{}\\
&{}+\int\limits_{1/\varepsilon}^{\sqrt{\tau}}%{\sqrt{\tau}}^{\varepsilon\tau}
\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma)
\widetilde s(\ln(\tau/\sigma))\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln (\tau/\sigma)))}{\widetilde{\varrho}(\ln (\tau/\sigma))}.
\end{align*}
Первое слагаемое оценивается по Лемме \ref{raznos}. Второе слагаемое можно оценить как $O(\varphi(\tau))=
o(h_{\widetilde\varphi, \varphi}(\tau))$ при $\tau\to\infty$. Остается лишь третье слагаемое,
которое оценивается аналогично  п.4 Предложения \ref{propSVF2}:
\begin{align*}
\int\limits_{1/\varepsilon}^{\sqrt{\tau}}
&\varphi(\sigma)\widetilde\varphi\left(\frac{\tau}{\sigma}\right) s(\ln\sigma)
\widetilde s(\ln(\tau/\sigma))\dfrac{d(\widetilde{\varrho}(\ln (\tau/\sigma)))}{\widetilde{\varrho}(\ln (\tau/\sigma))}% = 
%O(\widetilde{\varphi}(\tau)).
%&{}=
%\widetilde\varphi(\tau)\int\limits_{1/\varepsilon}^{\sqrt{\tau}}
%\varphi(\sigma) \dfrac{\widetilde\varphi(\tau/\sigma)}{\widetilde\varphi(\tau)}s(\ln
%\sigma)
%\Big(\frac{\widetilde s\left(\ln\frac{\tau}{\sigma}\right)}{p} + \widetilde s\,'(\ln\frac{\tau}
%{\sigma}) \Big)\dfrac{d\sigma}{\sigma} 
\leqslant C \widetilde\varphi(\tau)\int\limits_{1/\varepsilon}^{\infty}
\varphi(\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma}, \quad
\tau\to\infty.
\end{align*}
Здесь
\[
\int\limits_{1/\varepsilon}^{\infty}
\varphi(\sigma)\dfrac{d\sigma}{\sigma} \to 0, \quad \varepsilon\to 0,
\]
а значит, это слагаемое не вносит вклада в асимптотику.
%где $\nu_1(\varepsilon)\to 0$ при $\varepsilon\to +0$.
\end{proof}

\begin{rusremark}
Аналогично Теореме \ref{noncommes}, если периоды $T$ и $\widetilde T$ несоизмеримы,
вместо $s_\otimes(\ln(\tau))$ в асимптотике возникает ограниченная и отделенная от нуля медленно меняющаяся функция, равная константе в тех же частных случаях, что и в Теореме \ref{noncommes1}.
\end{rusremark}

\begin{rustheorem}\label{Thboundbound}
Пусть операторы $\mathcal{T}$ и $\widetilde{\mathcal{T}}$ удовлетворяют условиям Теоремы \ref{ThNEstim}, и пусть
\[
\int\limits_1^{\infty}\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} < \infty, \quad 
\int\limits_1^{\infty}\widetilde\varphi(\tau)\dfrac{d\tau}{\tau} < \infty,
\]
а для $(\varphi, \widetilde\varphi)$ и $(\widetilde\varphi, \varphi)$ выполняется п.4 Предложения \ref{propSVF2}. Тогда
\[
\mathcal{N}_\otimes(t)\sim \dfrac{ \varphi(1/t) \cdot s^*(\ln(1/t))+\widetilde\varphi(1/t)
 \cdot \widetilde s^*(\ln(1/t))
}{t^{1/p}},
\]
где $s^*$ определена в \eqref{s_ast}, $\widetilde s^*$ определена в \eqref{s_ast_tilde}.
\end{rustheorem}
\noindent Эта теорема доказывается аналогично предыдущей.

\begin{rusremark}
В отличие от предыдущих теорем, асимптотика в последних двух случаях содержит два слагаемых. Одно из них может подавляться другим, в этом случае получается снова почти регулярная асимптотика, однако в общем случае нельзя предсказать их поведение, и возможна ситуация, когда ни одно из слагаемых не превалирует. В этом случае асимптотика может не являться почти регулярной.
\end{rusremark}

\begin{rusexample}\label{LogExample}
%Разберем отдельно пример, когда $\varphi(\tau) = (1+\ln(\tau))^{\varkappa_1}$, $\widetilde\varphi(\tau) = (1+\ln(\tau))^{\varkappa_2}$. 
%Прямыми вычислениями можно убедиться, что 
%\[
%    \phi(\tau) \sim
%    \begin{cases}
%    \mathbf{B}(\varkappa_1+1, \varkappa_2+1) (1+\ln(\tau))^{\varkappa_1+\varkappa_2+1}, &  \varkappa_1 > -1, \varkappa_2 > -1, \\
%    \ln(\ln(\tau))\cdot (1+\ln(\tau))^{\varkappa_2}, &  \varkappa_1 = -1, \varkappa_2 > -1, \\
%    \frac{1}{|\varkappa_1+1|} (1+\ln(\tau))^{\varkappa_2}, &  \varkappa_1 < -1, \varkappa_1 < \varkappa_2, \\
%    2\ln(\ln(\tau))\cdot (1+\ln(\tau))^{-1}, &  \varkappa_1 = \varkappa_2 = -1, \\
%    \frac{2}{|\varkappa_1+1|} (1+\ln(\tau))^{\varkappa_1}, &  \varkappa_1 = \varkappa_2 < -1,
%    \end{cases}
%\]
%где $\mathbf{B}$ --- бета-функция Эйлера.
Пусть при $t\to+0$
\[
\mathcal{N}(t, {\mathcal{T}}) \sim  
\dfrac{\ln^{\varkappa_1}(1/t)\cdot s(\ln(1/t))}{t^{1/p}},\;\;
\mathcal{N}(t, \widetilde{\mathcal{T}}) \sim  
\dfrac{\ln^{\varkappa_2}(1/t)\cdot \widetilde{s}(\ln(1/t))}{t^{1/p}}.
\]
Не умаляя общности, можно считать, что $\varphi(\tau) = (1+\ln(\tau))^{\varkappa_1}$, $\widetilde\varphi(\tau) = (1+\ln(\tau))^{\varkappa_2}$. Асимптотика меллиновской свертки в этом случае посчитана в Примере 1 работы \cite{NazNikKar}.
%\noindent В зависимости от значений $\varkappa_{1,2}$ эти асимптотики удовлетворяют условиям различных доказанных выше теорем. 
Рассмотрим все возможные случаи.

\paragraph*{Случай 1. $\varkappa_1 \geqslant -1, \varkappa_2 \geqslant -1$.}
В этом случае применимы Теорема \ref{Thinfinf}, если у периодических функций есть общий период, и Теорема \ref{noncommes1} иначе.

Если у функций $s$ и $\widetilde s$ есть общий период $T$, то
\[
\mathcal{N}_\otimes(t) \sim \dfrac{\phi(1/t)\cdot s_\otimes(\ln(1/t))}{t^{1/p}}, \quad t\to +0,
\]
где функция $s_\otimes$ определена в \eqref{sotimesdef}, 
\[
    \phi(\tau) =
    \begin{cases}
    \mathbf{B}(\varkappa_1+1, \varkappa_2+1) (1+\ln(\tau))^{\varkappa_1+\varkappa_2+1}, &  \varkappa_1 > -1, \varkappa_2 > -1, \\
    \ln(\ln(\tau))\cdot (1+\ln(\tau))^{\varkappa_2}, &  \varkappa_1 = -1, \varkappa_2 > -1, \\
%    \frac{1}{|\varkappa_1+1|} (1+\ln(\tau))^{\varkappa_2}, &  \varkappa_1 < -1, \varkappa_1 < \varkappa_2, \\
    2\ln(\ln(\tau))\cdot (1+\ln(\tau))^{-1}, &  \varkappa_1 = \varkappa_2 = -1, \\
%    \frac{2}{|\varkappa_1+1|} (1+\ln(\tau))^{\varkappa_1}, &  \varkappa_1 = \varkappa_2 < -1,
    \end{cases}
\]
где $\mathbf{B}$ --- бета-функция Эйлера. Отметим, что получившаяся асимптотика также почти регулярна.

Если же периоды $T$ и $\widetilde T$ несоизмеримы, то
\[
\mathcal{N}_\otimes(t) \sim \dfrac{\Cspec\phi(1/t)}{t^{1/p}}, \quad t\to +0,
\]
где константа $\Cspec$ определена в \eqref{Cdef}, и получившаяся асимптотика регулярна.

\paragraph*{Случай 2. $\varkappa_1 < -1 \leqslant \varkappa_2$.} В этом случае применима Теорема \ref{Thinfbound}, причем прямым вычислением можно убедиться, что
\[
h_{\tilde\varphi, \varphi}(\tau) = o(\widetilde \varphi(\tau)), \quad \tau\to\infty,
\]
а значит,
\begin{equation}\label{Notimes1}
\mathcal{N}_\otimes(t)\sim \dfrac{\ln^{\varkappa_2}(1/t)
\cdot \widetilde s^*(\ln(1/t))}{t^{1/p}},
\end{equation}
где $\widetilde s^*$ определена в \eqref{s_ast_tilde},
и получившаяся асимптотика вновь почти регулярна.

\paragraph*{Случай 3. $\varkappa_1 < \varkappa_2 < -1$.} В этом случае применима Теорема \ref{Thboundbound}, причем 
%одно из слагаемых подавляет другое, а значит ... ... ...
\[
\varphi(\tau) = o(\widetilde \varphi(\tau)), \quad \tau\to\infty,
\]
значит, снова имеет место асимптотика \eqref{Notimes1}.
%\[
%\mathcal{N}_\otimes(t)\sim \dfrac{\widetilde\varphi(1/t)
%\sum_n \widetilde s(\ln(1/t)+\ln(\lda_n))\lda_n^{1/p}}{t^{1/p}}, \quad t\to+0,
%\]
%и получившаяся асимптотика вновь почти регулярна.

\paragraph*{Случай 4. $\varkappa_1 = \varkappa_2 < -1$.} В этом случае применима Теорема \ref{Thboundbound}, причем оба слагаемых имеют одинаковый порядок роста, а значит, 
\[
\mathcal{N}_\otimes(t)\sim \dfrac{\ln^{\varkappa_1}(1/t)\big(
 s^*(\ln(1/t)) +
\widetilde s^*(\ln(1/t))\big)}{t^{1/p}},
\]
где $s^*$ определена в \eqref{s_ast}, $\widetilde s^*$ определена в \eqref{s_ast_tilde}. В случае, когда у функций $s$ и $\widetilde s$ есть общий период, эта асимптотика оказывается почти регулярной, однако в случае, когда периоды несоизмеримы, получается почти регулярная асимптотика с квазипериодической компонентой.

\end{rusexample}

\section{Асимптотика малых уклонений}

Напомним некоторые факты из теории малых уклонений в $L_2$ гауссовских случайных функций.

%В этом параграфе мы связываем почти регулярную спектральную асимптотику с логарифмической асимптотикой малых уклонений гауссовских случайных полей. 

%Рассмотрим гауссовский процесс $X(x)$, $x \in \Omega \subset \mathbb{R}^d$, имеющий нулевое среднее и ковариационную функцию $G_X(x, y) = EX(x)X(y)$ при $x, y \in \Omega$. 

Пусть есть гауссовская случайная функция $X(x)$, $x \in \mathcal{O} \subseteq \mathbb{R}^m$, с нулевым средним и ковариационной функцией $G_X(x, u)$, $x, u \in\mathcal{O}$.
Пусть $\mu$  --- конечная мера на $\mathcal{O}$. Положим
\[
\|X\|_\mu = \Big( \int_{\mathcal{O}}  X^2(x) d\mu(x)\Big)^{1/2}
\]
%и рассмотрим
%\[
%Q(X, \mu; \varepsilon) = P\{\|X\|_\mu \leq \varepsilon\}.
%\]
Логарифмической асимптотикой малых уклонений в $L_2$ называется асимптотика \mbox{$\ln{\bf P}\{\|X\|_\mu \leq \varepsilon\}$} при $\varepsilon\to 0$. 
%Заметим, что случай абсолютно непрерывной меры $\mu(dx) = \psi(x)dx$, $\psi \in L_1(\Omega)$, легко сводится к случаю меры Лебега заменой $X$ на гауссовский процесс $X\sqrt{\psi}$. В общем случае можно предполагать $\mu(\Omega) = 1$.

Согласно хорошо известному разложению Кархунена-Лоева выполняется равенство по распределению
\[
\|X(x)\|^2_\mu \stackrel{d}{=} \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n\xi^2_n,
\]
где $\xi_n$, $n \in \mathbb{N}$, --- независимые стандартные гауссовские случайные величины, а  $\lambda_n > 0$, $n \in \mathbb{N}$, $\sum_n \lambda_n < \infty$ --- собственные числа интегрального уравнения
\begin{equation}\label{int_eq}
\lambda f(x) = \int_{\mathcal{O}} G_X(x, u)f(u)d\mu(u).%, \qquad x, y \in \Omega.
\end{equation}%
Таким образом, задача сводится к изучению асимптотического поведения при $\varepsilon\to 0$ величины $\ln{\bf P} \{\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n\xi^2_n \leq \varepsilon^2 \}$. Согласно \cite{NazLog} ответ зависит только от главного члена асимптотики последовательности $\lda_n$.%



%В данной работе мы продолжаем изучение широкого класса гауссовских процессов, имеющих
%ковариционную функцию типа ``тензорного произведения''. Это означает, что ковариация %может быть разложена в произведение ``промежуточных'' ковариаций, зависящих от разных %переменных. Классическими примерами подобных процессов являются броуновский лист и %броуновская подушка. Напомним кратко определение таких процессов.

Случай чисто степенной асимптотики $\lda_n \sim Cn^{-p}$, $p>1$, известен из работ \cite{Zol1}, \cite{Zol2}, \cite{DudHof}, \cite{Ibrag}. В работе \cite{NazNikKar} рассматривается
случай регулярного асимптотического поведения, а в работе \cite{Naz} --- почти степенной
случай с периодическим множителем.

Рассмотрим более общий случай, пусть
\begin{equation}\label{genldaasymp}
\lda_n(\mathcal{T}) = \phi(n) := \dfrac{\psi(n)\cdot \theta(\ln(n))}{n^p},
\end{equation}
%\[
%\phi(t) := t^{-p}\psi(t)\theta(\ln t),
%\]
где $p>1$, а функция $\theta$ равномерно непрерывна на $\mathbb{R}$, ограничена, отделена от нуля, причем функция $\phi(t)$ монотонна на $\mathbb{R}$.
 
%Мы используем следующий результат, являющийся частным случаем Теоремы 2 из статьи \cite{Lifsh1}.

Функция $\phi(n)$ удовлетворяет условиям Теоремы 2 из статьи \cite{Lifsh1}, которая для данного случая выглядит так:

\begin{rusproposition}
%Обозначим при $t, u \geq 0$ и $p>1$
%\[
%\phi(t) = t^{-p}\psi(t)\theta(\ln t), \quad f(t) = (1+2t)^{-1/2},
%\]
%\[
%I_0(u) = \int\limits_1^\infty \ln f(u\Phi(t))\,dt, \quad I_1(u) = uI'_0(u), \quad
%I_2(u) = u^2 I''_0(u).
%\]
\begin{equation}\label{asympP}
\mathbf{P}\left\{ \sum\limits_{n=1}^\infty \phi(n)\xi_n^2 \leq r \right\} \sim 
\dfrac{\exp (L(u)+ur)}{\sqrt{2\pi u^2 L''(u)}}, \quad r\to 0,
%C_\Phi \sqrt{\dfrac{f(u\Phi(1))}{I_2(u)}}\cdot \exp(I_0(u)+ru) 
\end{equation}
где
\[
L(u) = \sum_{n=1}^\infty \ln f(u\phi(n)), \quad f(t) := (1+2t)^{-1/2},
\] 
%постоянная $C_\Phi$ может быть выражена через $\Phi$, а 
$u=u(r)$ --- любая функция, удовлетворяющая
\[
\lim_{r\to 0} \dfrac{L'(u)+r}{\sqrt{L''(u)}} = 0.
\]
\end{rusproposition}

Начнем с анализа асимптотики $L'(u)$ при $u\to +\infty$. В нашем случае
\[
uL'(u) = -\sum_{n=1}^\infty \dfrac{u\psi(n)\theta(\ln(n))}{n^p+2u\psi(n)\theta(\ln(n))}\to -\infty, \quad u\to +\infty.
\]
Поскольку $\phi(t)$ --- убывающая функция, можно оценить
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty \dfrac{u\psi(n)\theta(\ln(n))}{n^p+2u\psi(n)\theta(\ln(n))} &\geqslant
\int\limits_1^\infty\dfrac{u\psi(t)\theta(\ln(t))\,dt}{t^p+2u\psi(t)\theta(\ln(t))} \geqslant {}\\
{} &\geqslant \sum_{n=2}^\infty \dfrac{u\psi(n)\theta(\ln(n))}{n^p+2u\psi(n)\theta(\ln(n))}
\sim -uL'(u),
\end{align*}
и потому
\[
uL'(u) \sim I_1(u) := -\int\limits_1^\infty\dfrac{u\psi(t)\theta(\ln(t))\,dt}{t^p+2u\psi(t)\theta(\ln(t))}.
\]
Заменив промежуток интегрирования на $(0, \infty)$ и выполнив подстановку 
\[
t =t(z) := z\phi^{-1}(1/u) = z\gamma(u),
\]
\[
\gamma(u) := \phi^{-1}(1/u) \sim u^{1/p}\varphi(u)\vartheta(\ln(u)), \quad u\to \infty,
\]
%\[
%\vartheta(u) := u^{-1/p}\phi^{-1}(1/u) \sim \varphi(u)s(\ln(u)), \quad u\to \infty,
%\]
где $\varphi$ --- медленно меняющаяся, а $\vartheta$ --- равномерно непрерывная, ограниченная, отделенная от нуля функция,
получим 
\[
I_1(u)=-\gamma(u)\cdot \int\limits_0^\infty \dfrac{dz}{2+z^p\cdot \dfrac{(\gamma(u))^p}{u\psi(t(z))\theta(\ln(t(z)))}} + O(1), \quad u\to\infty.
\]
Из выражения $1/u=\phi(\gamma(u))$ мы получаем формулу
\[
(\gamma(u))^p/u = \psi(t(z)/z)\theta(\ln(t(z)/z)).
\]
Подставляя ее в интеграл и учитывая определение $\gamma(u)$, получаем
\[
I_1(u)=-\gamma(u)\cdot \int\limits_0^\infty \dfrac{dz}{2+z^p\cdot \dfrac{\psi(\gamma(u))\theta(\ln(\gamma(u)))}{\psi(z\gamma(u))\theta(\ln(z\gamma(u)))}} + O(1), \quad u\to\infty.
\]
%Из $T/p$-периодичности $\theta$ и $T$-периодичности $s$ следует
%\[
%\theta(\ln(u^{1/p}\varphi(u)s(\ln(u)))) = \theta(\ln(  e^{T/p}u^{1/p}%\varphi(u)s(\ln(e^Tu))  )).
%\]
%Кроме того, $\ln(\varphi(e^Tu))-\ln(\varphi(u))\to 0$ при $u\to\infty$, что позволяет нам сказать, что
Легко видеть, что
\[
\theta(\ln( z\gamma(u) )) =  \theta\Big(\frac{\ln(u)}{p}+\ln(z)\Big)(1+o(1)), \quad u\to\infty.
\]
Заметим также, что согласно п.2 Предложения \ref{propSVF1}, для любого $\varepsilon>0$ отношение $\psi(t)/t^\varepsilon$ убывает при больших
$t$, а значит при $z>1$ 
\[
\dfrac{\psi(t)}{\psi(zt)} = \dfrac{1}{z^\varepsilon}\cdot \dfrac{\psi(t)}{t^\varepsilon} \cdot \dfrac{(zt)^\varepsilon}{\psi(zt)} \geqslant \dfrac{C(\varepsilon)}{z^\varepsilon}.
\]
Это дает нам мажоранту, позволяющую использовать теорему Лебега. В результате имеем
\begin{equation}\label{I1asymp}
I_1(u)=-u^{1/p}\vartheta(u)\cdot \int\limits_0^\infty \dfrac{dz}{2+z^p\cdot \dfrac{\theta(\ln(u)/p)}{\theta(\ln(u)/p+\ln(z))}} + O(1), \quad u\to\infty.
\end{equation}
%Поскольку $s$ --- $T$-периодическая, а $\mathfrak{s}$ --- $T/p$-периодическая,
Поскольку интеграл --- равномерно непрерывная, ограниченная и отделенная от нуля функция $\ln(u)$, получаем
\begin{equation}\label{Theta1asymp}
L'(u)\sim -u^{-\frac{p-1}{p}}\varphi(u)\vartheta_1(\ln(u)), \quad u\to\infty,
\end{equation}
где $\varphi$ --- медленно меняющаяся функция из асимптотики $\gamma$, а $\vartheta_1$ --- равномерно непрерывная, ограниченная и отделенная от нуля функция.

Аналогично получаем
\begin{equation}\label{Lderder}
u^2 L''(u) \sim 2\int\limits_1^\infty\dfrac{(u\psi(t)\theta(\ln(t)))^2\,dt}{(t^p+2u\psi(t)\theta(\ln(t)))^2} \asymp u^{1/p}\varphi(u),
\end{equation}
\[
L(u)\sim -\dfrac{1}{2}u^{1/p}\varphi(u)\vartheta(\ln(u))\cdot \int\limits_0^\infty 
\ln \left( 1+ \dfrac{2\theta(\ln(u)/p+\ln(z))}{z^p \theta(\ln(u)/p)} \right)\,dt
.
\]

\noindent Поскольку $L''(u)>0$, уравнение $L'(u)+r=0$ имеет для достаточно малых $r$ единственное решение $u(r)$, такое, что $u(r)\to\infty$ при $r\to 0$. Более того, соотношение \eqref{Theta1asymp} дает
\begin{equation}\label{asympu}
u(r)\sim r^{-\frac{p}{p-1}} \eta(1/r)\vartheta_2(\ln(1/r)), \quad r\to 0,
\end{equation}
где $\eta$ --- медленно меняющаяся, а $\vartheta_2$ --- равномерно непрерывная, ограниченная и отделенная от нуля функции.

\noindent Подставляя \eqref{Lderder} в \eqref{asympP}, заключаем, что
\begin{align}
\begin{split}\label{Logasymp}
\ln \mathbf{P}&\left\{ \sum\limits_{n=1}^\infty \phi(n)\xi_n^2 \leq r \right\} \sim
L(u)+ur = L(u) -uL'(u) \sim {} \\
{} &\sim -u^{1/p}\varphi(u)\vartheta(\ln(u))\cdot 
\int\limits_0^\infty \Bigg[ 
\frac{1}{2}\ln \left( 1+ \dfrac{2\theta(\ln(u)/p+\ln(z))}{z^p \theta(\ln(u)/p)} \right)- {}\\
{} & -\dfrac{1}{2+z^p\cdot \dfrac{\theta(\ln(u)/p)}{\theta(\ln(u)/p+\ln(z))}}
\Bigg] \, dz
.
\end{split}
\end{align}

\noindent Нам остается лишь заметить, что стоящее под интегралом выражение
\[
\dfrac{1}{2}\ln(1+2x)- \dfrac{x}{2x+1} 
\]
положительно, поэтому интеграл есть равномерно непрерывная положительная функция $\ln(u)$, ограниченная и отделенная от нуля.
Подставляя полученную выше асимптотику $u$ и заменяя $r$ на $\varepsilon^2$, можем сформулировать следующую теорему.

\begin{rustheorem}\label{smalldev}
Пусть собственные числа \eqref{int_eq} имеют вид \eqref{genldaasymp}. Тогда при $\varepsilon\to 0$
\begin{equation}\label{LogAsymp1}
\ln \mathbf{P}\left\{ \|X\|_\mu \leq \varepsilon \right\} \sim
-\varepsilon^{-\frac{2}{p-1}}\xi(1/\varepsilon)\zeta(\ln(1/\varepsilon)),
\end{equation}
где $\xi$ --- медленно меняющаяся функция, $\zeta$ --- равномерно непрерывная, ограниченная и отделенная от нуля функция.
Более того, если функция $\theta$ в \eqref{genldaasymp} асимптотически $\frac{T}{p}$-периодическая, то функция $\zeta$ может быть выбрана $\frac{T(p-1)}{2p}$-периодической.
\end{rustheorem}

\begin{proof}
Первое утверждение следует из \eqref{Logasymp} и \eqref{asympu}, если заменить $r$ на $\varepsilon^2$. Далее, если $\theta$ асимптотически $\frac{T}{p}$-периодическая, то функция $\vartheta$ асимптотически $T$-периодическая, а по теореме Лебега легко проверить, что асимптотически $T$-периодическими от $\ln(u)$ будут и интегралы в \eqref{I1asymp} и 
\eqref{Logasymp}. Таким образом, функция $\vartheta_1$ в \eqref{Theta1asymp} асимптотически $T$-периодическая, значит $\vartheta_2$ в \eqref{asympu} асимптотически $\frac{T(p-1)}{p}$-периодическая. %А поскольку интеграл в \eqref{Logasymp} --- асимптотически $T$-периодическая функция $\ln(u)$, то 
Остается лишь заметить, что из \eqref{asympu} следует $$\ln(u) = \frac{p}{p-1}\ln(1/r) (1+o(1)),\quad r\to 0,$$ 
а значит в \eqref{Logasymp} интеграл и функция $\vartheta(\ln(u))$ являются асимптотически $\frac{T(p-1)}{p}$-периодическими функциями $\ln(1/r)$, и второе утверждение теоремы также доказано.
\end{proof}

\noindent Пусть теперь есть два гауссовских процесса $X(x)$, $x \in \mathcal{O}_1 \subseteq \mathbb{R}^{m_1}$, и $Y(y)$, $y \in \mathcal{O}_2\subseteq \mathbb{R}^{m_2}$, с нулевыми средними и ковариационными функциями $G_X(x, u)$, $x, u \in\mathcal{O}_1$, и $G_Y(y, v)$, $y, v \in \mathcal{O}_2$, соответственно. Рассмотрим
новую гауссовскую функцию $Z(x, y)$, $x \in \mathcal{O}_1$, $y \in \mathcal{O}_2$, с нулевым средним и ковариацией $G_Z((x, y),(u, v)) = G_X(x, u)G_Y(y, v)$. Такая гауссовская функция очевидно существует, а интегральный оператор с ядром $G_Z$ является тензорным произведением операторов с ядрами $G_X$ и $G_Y$. Поэтому мы используем
обозначение $Z = X \otimes Y$ и называем процесс $Z$ тензорным произведением процессов $X$ и $Y$. Обобщение на большее число множителей с получением $\bigotimes_{j=1}^d X_j$ достаточно ясно.


\begin{rusexample}
Продемонстрируем применение теорем из \S 4 на примере броуновского листа 
\[
\mathbb{W}_d(x_1, \ldots, x_d) = W_1(x_1) \otimes W_2(x_2) \otimes \ldots \otimes
W_d(x_d)
\]
в единичном кубе с нормой $L_2(\mu)$, где $\mu = \bigotimes\limits_{j=1}^d \mu_j$, и каждая из мер $\mu_j$ является самоподобной мерой обобщенного канторовского типа. Спектральные асимптотики операторов-множителей в этом случае известны из \cite{KL} и \cite{SV}:
\[
\mathcal{N}_j(t) \sim \dfrac{s_j(\ln(1/t))}{t^{1/p_j}}, \quad t\to 0+,
\]
где $s_j$ --- непрерывны и $T_j$-периодичны, $p_j > 1$. Данные степенные асимптотики рассмотрены в Примере \ref{LogExample} и отвечают случаю нулевых степенных показателей у медленно меняющихся функций.

Для некоторых мер $\mu_j$ функции $s_j$ могут быть константами, но в работах \cite{VladSheip}, \cite{Rast} приведены широкие классы мер, для которых доказано непостоянство периодических функций.

Пусть $\mathfrak{p} := p_1 = \min p_j$. Первым шагом мы применяем Теорему \ref{Th1} для каждого оператора, для которого $p_j > \mathfrak{p}$, перемножая его с первым. В результате можно считать, не умаляя общности, что все оставшиеся операторы имеют одинаковую степень асимптотики.

Если среди оставшихся операторов хоть у одного вырождена периодическая компонента, у произведения она также будет вырождена. Если хотя бы два периода несоизмеримы, то у произведения соответствующих операторов периодическая компонента выродится в константу 
%по Теореме \ref{noncommes1}
согласно Примеру \ref{LogExample}, и в результате выродится в константу периодическая компонента всего произведения.

Если все степенные показатели совпадают, и все периоды соизмеримы, то в результате применения Примера \ref{LogExample} мы получим
\[
\mathcal{N}_\otimes(t) \sim \dfrac{C\ln^{\mathfrak{d}-1}(1/t)s^{(\mathfrak{d})}_\otimes(\ln(1/t))}{t^{1/\mathfrak{p}}}, \quad t\to 0+,
\] 
где $\mathfrak{d}$ --- число степенных показателей, равных $\mathfrak{p}$, $s^{(\mathfrak{d})}_\otimes$ получается итерированием формулы \eqref{sotimesdef} нужное количество раз.
Это позволяет применять для данного гауссовского поля Теорему \ref{smalldev}, более того, прямыми вычислениями можно убедиться, что в формулах \eqref{asympu} и \eqref{LogAsymp1}
\[
\eta(1/r)\sim \ln^{\frac{(\mathfrak{d}-1)\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}-1}}(1/r), \quad r\to 0,
\]
\[
\xi(1/r)\sim \ln^{\frac{(\mathfrak{d}-1)\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}-1}}(1/r), \quad r\to 0.
\]
Таким образом, при $\varepsilon\to 0$ имеем
\[
\ln \mathbf{P}\left\{ \|\mathbb{W}_d\|_\mu \leq \varepsilon \right\} \sim
-\varepsilon^{-\frac{2}{\mathfrak{p}-1}}\ln^{\frac{(\mathfrak{d}-1)\mathfrak{p}}{\mathfrak{p}-1}}(1/\varepsilon)\zeta(\ln(1/\varepsilon)),
\]
где $\zeta$ --- некоторая $\frac{T(\mathfrak{p}-1)}{2\mathfrak{p}}$-периодическая функция.

Разберем простейший случай, когда все меры одинаковые и канторовские. Для этого случая известны значения параметров
\[
p = \log_2 6, \quad T = \ln 6.
\]
Подставляя эти значения в асимптотику, при $\varepsilon\to 0$ получаем
\[
\ln \mathbf{P}\left\{ \|\mathbb{W}_d\|_\mu \leq \varepsilon \right\} \sim
-\varepsilon^{-2\log_3 2}\ln^{(d-1)\log_3 6}(1/\varepsilon)\zeta(\ln(1/\varepsilon)),
\]
где $\zeta$ --- некоторая $\frac{\ln 3}{2}$-периодическая функция.
\end{rusexample}
\begin{rusremark}
Аналогичные результаты имеют место, если вместо винеровских рассмотреть другие независимые гриновские гауссовские процессы. Примеры хорошо известных гриновских гауссовских процессов можно найти в \cite{Naz}.
\end{rusremark}

\bigskip
\bigskip

\subsection*{Благодарности}

Автор выражает благодарность А.~И.~Назарову за постановку задачи и внимание, проявленное к работе, а также Д.~Д.~Черкашину за ценные замечания. 

Основные результаты работы (Теоремы 1-7) получены при поддержке Российского научного фонда, грант  №14-21-00035. Результаты \S 5 (Теорема 8) получены при поддержке 
 гранта РФФИ (проект 16-01-00258a).
\bigskip

\begin{rusbibliography}{99}

\bibitem{GrLuPa} Graf S., Luschgy H., Pag\`{e}s G., Functional Quantization and Small Ball Probabilities for Gaussian Processes, Journal of Theoretical Probability, 2003, 16: 1047.

\bibitem{LuPa} Luschgy H., Pag\`{e}s G., Sharp asymptotics of the functional quantization problem for Gaussian processes, Ann. Probab., 32, No.2, 2004, 1574--1599.

\bibitem{PaWa} A. Papageorgiou, G.W. Wasilkowski, On the average complexity of multivariate problems, Journal of Complexity, 6, No.1, 1990, 1--23.

\bibitem{NazNikKar}  A. Karol’, A. Nazarov, Ya. Nikitin, Small ball probabilities for Gaussian random fields
and tensor products of compact operators, Trans. AMS, 360, 2008, No.3, 1443--1474.

\bibitem{NazKar} A. Karol’, A. Nazarov, Small ball probabilities for smooth Gaussian fields and tensor products of compact operators, Mathematische Nachrichten, 287, No.5-6,
2014, 595--609.

\bibitem{KL} J.~Kigami, M.~L.~Lapidus., Weyl’s problem for the spectral 
distributions of Laplacians on p.c.f. self-similar fractals, Comm. Math. Phys.,
1991, Т.~158, 93--125.

\bibitem{SV} M.~Solomyak, E.~Verbitsky, On a spectral problem related to
self-similar measures, Bull. London Math.~Soc., 1995, Т.~27, No.3, 242--248.

\bibitem{Naz} А. И. Назаров, Логарифмическая асимптотика малых уклонений для некоторых гауссовских случайных процессов в $L_2$-норме относительно самоподобной меры, Зап. научн. сем. ПОМИ, 311, 2004, 190--213.

\bibitem{Sytaya} Г. Н. Сытая, О некоторых асимптотических представлениях гауссовской меры в гильбертовом пространстве, Теория случайных процессов, 2, 1974, 93--104.

\bibitem{Lifsh} M. A. Lifshits, Asymptotic behavior of small ball probabilities, Prob. Theory and Math. Stat., 1999. B.Grigelionis et al. (Eds), Proc. VII International Vilnius Conference, 1998, VSP/TEV, 453--468.


\bibitem{LiShao} W. V. Li, Q. M. Shao, Gaussian processes: inequalities, small ball probabilities and
applications, Stochastic Processes: Theory and Methods. Handbook of Statistics, 19,
2001, C.R.Rao and D.Shanbhag (Eds), 533--597.


\bibitem{Site} Small Deviations for Stochastic Processes and Related Topics, Internet site,
http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/smalldev/


\bibitem{Csaki}  E. Cs\`{a}ki, On small values of the square integral of a multiparameter Wiener process,
Statistics and Probability. Proc. of the 3rd Pannonian Symp. on Math. Stat., 1982,
D.Reidel, Boston, 19–-26.

\bibitem{Li} W.V. Li, Comparison results for the lower tail of Gaussian seminorms, J. Theor. Probab., 5, No.1, 1992, 1--31.

\bibitem{Seneta} E. Seneta, Regularly Varying Functions, Lect. Notes Math., 508, 1976.

\bibitem{VladSheip} А. А. Владимиров, И. А. Шейпак, О задаче Неймана для уравнения Штурма–Лиувилля с самоподобным весом канторовского типа, Функц. анализ и его прил., 47:4, 2013, 18--29. 

\bibitem{Vlad} А. А. Владимиров, Осцилляционный метод в задаче о спектре дифференциального оператора четвертого порядка с самоподобным весом, Алгебра и анализ, 27:2, 2015, 83--95. 

\bibitem{Rast} Н. В. Растегаев, Об асимптотике спектра задачи Неймана для уравнения Штурма–Лиувилля с самоподобным весом обобщенного канторовского типа, Зап. научн. сем. ПОМИ, 425, 2014, 86--98.

\bibitem{DamanikGorodetskiSolomyak} D. Damanik, A. Gorodetski, B. Solomyak, Absolutely continuous convolutions of singular measures and an application to the square Fibonacci Hamiltonian, Duke Math. J., 164, No.8, 2015, 1603--1640.

\bibitem{Oxtoby} John C. Oxtoby, Ergodic sets, Bull. Amer. Math. Soc. V.58, No.2 , 1952, 116--136.

%\bibitem{LevitinVassiliev} M. Levitin, D. Vassiliev, Spectral asymptotics renewal theorem and the Berry conjecture for a class of fractals, Proc. London Math. Soc., 72, 1996, 188--214.

\bibitem{NazLog}  A. Nazarov, Log-level comparison principle for small ball probabilities, Statistics \& Probability Letters, 79, No.4, 2009, 481--486.

\bibitem{Zol1} V. M. Zolotarev, Gaussian measure asymptotic in $l_2$
on a set of centered spheres with radii tending to zero, 12th Europ. Meeting of Statisticians, Varna, 1979, p.254.

\bibitem{Zol2} В. М. Золотарев, Асимптотическое поведение гауссовской меры в $l_2$, Проблемы устойчивости стохастических моделей, Москва, 1984, 54--58.

\bibitem{DudHof} R. M. Dudley, J. Hoffmann-J{\o}rgensen, L. A. Shepp, On the lower tail of Gaussian seminorms, Ann. Prob., 7, 1979, 319--342.

\bibitem{Ibrag}  И. А. Ибрагимов, О вероятности попадания гауссова вектора со значениями в гильбертовом пространстве в сферу малого радиуса, Зап. научн. семин. ЛОМИ, 85, 1979, 75--93.

\bibitem{Lifsh1} M. A. Lifshits, On the lower tail probabilities of some random series, Ann.
Prob., 25, No.1, 1997, 424--442.

%\bibitem{DLL} T. Dunker, M.A. Lifshits, W. Linde, Small deviations of sums of independent variables,%
%In: Proc. Conf. High Dimensional Probab., Ser. Progress in Probability, Birkh\"{a}user, 43 (1998), 59–74. MR1652320 (2000h:60035)

\end{rusbibliography}
\end{document}
