\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{hyperref}
\textwidth=14cm
\textheight=20cm
\pagestyle{myheadings}
\newcommand{\range}{{,\dots\!,}}
\newcommand{\dd}[2]{\frac{\textstyle\partial#1}{\textstyle\partial#2}}
\newcommand{\textfrac}[2]{\frac{\textstyle#1}{\textstyle#2}}
\emergencystretch=1em
\begin{document}
\begin{center}
\textbf{Задача: как найти функционал, для которого тензор энергии-импульса имеет заданный вид}
\\
\textit{В.Р. Крым\footnote{Виктор Револьтович Крым, e-mail: vkrym12@rambler.ru}}\\
\vspace{1cm}
\end{center}
\begin{abstract}
В общей теории относительности тензор энергии-импульса --- это вариационная производная некоторого функционала по компонентам метрического тензора, и для него есть формула. Но в космологии тензор 
энергии-импульса вычисляется косвенно, а не по этой формуле. Возникает задача: как найти функционал, для которого тензор энергии-импульса имеет заданный вид.

Ключевые слова: теория относительности, космология, тензор энергии-импульса, дифференциальные уравнения в частных производных.
\end{abstract}

В физике часто используют тензор энергии-импульса $T_{ij}$. Его компоненты --- это плотность массы, 
давление и другие (механические) напряжения в системе. Определяется он как \cite[с.~351]{Landau}
\begin{equation}\label{T_def}
\frac{1}{2}\sqrt{-\det g}\, T_{ik}=
\dd{\sqrt{-\det g}\, L}{g^{ik}}-\sum_{l=0}^3 \dd{}{x^l}\dd{\sqrt{-\det g}\, L}{\dd{g^{ik}}{x^l}}.
\end{equation}
Тогда $\delta S$ принимает вид (по повторяющимся верхним и нижним индексам -- суммирование)
\begin{equation}\label{deltaS}
\delta S=\frac{1}{2c}\int T_{ik} \delta g^{ik}\sqrt{-\det g}\, d\Omega=
-\frac{1}{2c}\int T^{ik} \delta g_{ik}\sqrt{-\det g}\, d\Omega.
\end{equation}
Т.е. тензор энергии-импульса --- это вариационная производная функционала
\begin{equation}\label{S}
S=\frac{1}{c}\int L \sqrt{-\det g}\, d\Omega
\end{equation}
по компонентам метрического тензора.

Но в физике тензор энергии-импульса вычисляется косвенно, а не по этой формуле. В космологии всегда
\begin{equation}
(T^i_k)=\text{Diag}(\rho c^2,-P,-P,-P)
\end{equation}
(диагональная матрица), где $\rho$ -- плотность энергии,
$P$ -- давление.
Возникает задача: как найти функционал \eqref{S}, для которого тензор энергии-импульса имеет такой вид.

Метрика Фридмана в декартовых координатах
\begin{equation}\label{FRW_metric}
ds^2 = 
c^2 (dt)^2 - a(t)^2 \left(
(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2+
\frac{\kappa (r dr)^2}{1-\kappa r^2} \right),
\end{equation}
т.е. $g_{00}=c^2$ и
$g_{ij}=-a^2\bigl(\kappa\textfrac{x^i x^j}{1-\kappa r^2}+\delta_{ij}\bigr)$ 
для пространственных направлений ($i,j=1,2,3$). Так как эта матрица не диагональна, этими координатами пользоваться не будем. 

Метрика Фридмана в полярных координатах имеет вид
\begin{equation}\label{FRW_polar}
ds^2=c^2 (dt)^2 -
a(t)^2 \left( \frac{dr^2}{1-\kappa r^2} + r^2 \bigl(d\theta^2+\sin^2\theta \,d\varphi^2\bigr) \right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{FRW_polar_tensor}
(g_{ij})=\begin{pmatrix}
c^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & -\frac{a(t)^2}{1-\kappa r^2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -a(t)^2 r^2 & 0\\
0 & 0 & 0 & -a(t)^2 r^2 \sin^2\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Определитель $\det g= -\textfrac{c^2 a(t)^6 r^4 \sin^2\theta}{1-\kappa r^2}$.
Обратная матрица
\begin{equation}\label{FRW_inv}
(g^{ij})=\begin{pmatrix}
c^{-2} & 0 & 0 & 0\\
0 & -\frac{1-\kappa r^2}{a(t)^2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{a(t)^2 r^2} & 0\\
0 & 0 & 0 & -\frac{1}{a(t)^2 r^2 \sin^2\theta}
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Тензор энергии-импульса с нижними индексами $T_{ij}=T_i^k g_{kj}$:
\begin{equation}\label{T}
(T_{ij})=\begin{pmatrix}
c^4 \rho & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{a(t)^2}{1-\kappa r^2} P & 0 & 0 \\
0 & 0 & a(t)^2 r^2 P & 0\\
0 & 0 & 0 & a(t)^2 r^2 (\sin^2 \theta) P
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Получается, что левую часть уравнения \eqref{T_def} мы знаем. 

\textbf{Задача. Как найти функцию $L$, зависящую от компонент метрического тензора и их производных, являющуюся решением уравнения \eqref{T_def} с левой частью \eqref{T}? Т.е. как найти функционал \eqref{S}, для которого тензор энергии-импульса равен \eqref{T}?}

\vspace{1cm}
Самые изученные тензоры, зависящие от компонент метрического тензора и их производных --- это
тензор кривизны $R^j_{ilk}$, тензор Риччи $R_{ik}=R^l_{ilk}$ и скалярная кривизна $R=R_{ik} g^{ik}$.
Они зависят еще и от вторых производных от компонент метрического тензора, но это неважно, 
потому что при вычислении вариации соответствующее слагаемое преобразуется в интеграл по гиперповерхности, вариация на это поверхности предполагается равной нулю и соответствующий интеграл равен нулю \cite[с.~356]{Landau}. 
Если в функционале \eqref{S} выбрать $L=R$, то в качестве тензора энергии-импульса получится 
$R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R$ (это левая часть уравнений Фридмана). А надо получить тензор энергии-импульса $T_{ik}$ \eqref{T}. Чтобы еще быть чем-то полезен, я выпишу этот тензор с верхними индексами, $T^{ij}=T_k^i g^{kj}$:
\begin{equation}\label{T_up}
(T^{ij})=\begin{pmatrix}
\rho & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{1-\kappa r^2}{a(t)^2} P & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{a(t)^2 r^2} P & 0\\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{a(t)^2 r^2 \sin^2 \theta} P
\end{pmatrix}.
\end{equation}

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{Landau}
{\it Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.}
Теоретическая физика, т. 2.
Теория поля. М.: Наука, 1988.
\end{thebibliography}
\end{document}