\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{hyperref}
\textwidth=14cm
\textheight=20cm
\pagestyle{myheadings}
\newcommand{\range}{{,\dots\!,}}
\newcommand{\dd}[2]{\frac{\textstyle\partial#1}{\textstyle\partial#2}}
\newcommand{\textfrac}[2]{\frac{\textstyle#1}{\textstyle#2}}
\emergencystretch=1em
\begin{document}
\begin{center}
\textbf{������: ��� ����� ����������, ��� �������� ������ �������-�������� ����� �������� ���}
\\
\textit{�.�. ����\footnote{������ ����������� ����, e-mail: vkrym12@rambler.ru}}\\
\vspace{1cm}
\end{center}
\begin{abstract}
� ����� ������ ��������������� ������ �������-�������� --- ��� ������������ ����������� ���������� ����������� �� ����������� ������������ �������, � ��� ���� ���� �������. �� � ���������� ������ 
�������-�������� ����������� ��������, � �� �� ���� �������. ��������� ������: ��� ����� ����������, ��� �������� ������ �������-�������� ����� �������� ���.

�������� �����: ������ ���������������, ����������, ������ �������-��������, ���������������� ��������� � ������� �����������.
\end{abstract}

� ������ ����� ���������� ������ �������-�������� $T_{ij}$. ��� ���������� --- ��� ��������� �����, 
�������� � ������ (������������) ���������� � �������. ������������ �� ��� \cite[�.~351]{Landau}
\begin{equation}\label{T_def}
\frac{1}{2}\sqrt{-\det g}\, T_{ik}=
\dd{\sqrt{-\det g}\, L}{g^{ik}}-\sum_{l=0}^3 \dd{}{x^l}\dd{\sqrt{-\det g}\, L}{\dd{g^{ik}}{x^l}}.
\end{equation}
����� $\delta S$ ��������� ��� (�� ������������� ������� � ������ �������� -- ������������)
\begin{equation}\label{deltaS}
\delta S=\frac{1}{2c}\int T_{ik} \delta g^{ik}\sqrt{-\det g}\, d\Omega=
-\frac{1}{2c}\int T^{ik} \delta g_{ik}\sqrt{-\det g}\, d\Omega.
\end{equation}
�.�. ������ �������-�������� --- ��� ������������ ����������� �����������
\begin{equation}\label{S}
S=\frac{1}{c}\int L \sqrt{-\det g}\, d\Omega
\end{equation}
�� ����������� ������������ �������.

�� � ������ ������ �������-�������� ����������� ��������, � �� �� ���� �������. � ���������� ������
\begin{equation}
(T^i_k)=\text{Diag}(\rho c^2,-P,-P,-P)
\end{equation}
(������������ �������), ��� $\rho$ -- ��������� �������,
$P$ -- ��������.
��������� ������: ��� ����� ���������� \eqref{S}, ��� �������� ������ �������-�������� ����� ����� ���.

������� �������� � ���������� �����������
\begin{equation}\label{FRW_metric}
ds^2 = 
c^2 (dt)^2 - a(t)^2 \left(
(dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2+
\frac{\kappa (r dr)^2}{1-\kappa r^2} \right),
\end{equation}
�.�. $g_{00}=c^2$ �
$g_{ij}=-a^2\bigl(\kappa\textfrac{x^i x^j}{1-\kappa r^2}+\delta_{ij}\bigr)$ 
��� ���������������� ����������� ($i,j=1,2,3$). ��� ��� ��� ������� �� �����������, ����� ������������ ������������ �� �����. 

������� �������� � �������� ����������� ����� ���
\begin{equation}\label{FRW_polar}
ds^2=c^2 (dt)^2 -
a(t)^2 \left( \frac{dr^2}{1-\kappa r^2} + r^2 \bigl(d\theta^2+\sin^2\theta \,d\varphi^2\bigr) \right),
\end{equation}
\begin{equation}\label{FRW_polar_tensor}
(g_{ij})=\begin{pmatrix}
c^2 & 0 & 0 & 0\\
0 & -\frac{a(t)^2}{1-\kappa r^2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -a(t)^2 r^2 & 0\\
0 & 0 & 0 & -a(t)^2 r^2 \sin^2\theta
\end{pmatrix}.
\end{equation}
������������ $\det g= -\textfrac{c^2 a(t)^6 r^4 \sin^2\theta}{1-\kappa r^2}$.
�������� �������
\begin{equation}\label{FRW_inv}
(g^{ij})=\begin{pmatrix}
c^{-2} & 0 & 0 & 0\\
0 & -\frac{1-\kappa r^2}{a(t)^2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & -\frac{1}{a(t)^2 r^2} & 0\\
0 & 0 & 0 & -\frac{1}{a(t)^2 r^2 \sin^2\theta}
\end{pmatrix}.
\end{equation}
������ �������-�������� � ������� ��������� $T_{ij}=T_i^k g_{kj}$:
\begin{equation}\label{T}
(T_{ij})=\begin{pmatrix}
c^4 \rho & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{a(t)^2}{1-\kappa r^2} P & 0 & 0 \\
0 & 0 & a(t)^2 r^2 P & 0\\
0 & 0 & 0 & a(t)^2 r^2 (\sin^2 \theta) P
\end{pmatrix}.
\end{equation}
����������, ��� ����� ����� ��������� \eqref{T_def} �� �����. 

\textbf{������. ��� ����� ������� $L$, ��������� �� ��������� ������������ ������� � �� �����������, ���������� �������� ��������� \eqref{T_def} � ����� ������ \eqref{T}? �.�. ��� ����� ���������� \eqref{S}, ��� �������� ������ �������-�������� ����� \eqref{T}?}

\vspace{1cm}
����� ��������� �������, ��������� �� ��������� ������������ ������� � �� ����������� --- ���
������ �������� $R^j_{ilk}$, ������ ����� $R_{ik}=R^l_{ilk}$ � ��������� �������� $R=R_{ik} g^{ik}$.
��� ������� ��� � �� ������ ����������� �� ��������� ������������ �������, �� ��� �������, 
������ ��� ��� ���������� �������� ��������������� ��������� ������������� � �������� �� ����������������, �������� �� ��� ����������� �������������� ������ ���� � ��������������� �������� ����� ���� \cite[�.~356]{Landau}. 
���� � ����������� \eqref{S} ������� $L=R$, �� � �������� ������� �������-�������� ��������� 
$R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R$ (��� ����� ����� ��������� ��������). � ���� �������� ������ �������-�������� $T_{ik}$ \eqref{T}. ����� ��� ���� ���-�� �������, � ������ ���� ������ � �������� ���������, $T^{ij}=T_k^i g^{kj}$:
\begin{equation}\label{T_up}
(T^{ij})=\begin{pmatrix}
\rho & 0 & 0 & 0\\
0 & \frac{1-\kappa r^2}{a(t)^2} P & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{a(t)^2 r^2} P & 0\\
0 & 0 & 0 & \frac{1}{a(t)^2 r^2 \sin^2 \theta} P
\end{pmatrix}.
\end{equation}

\begin{thebibliography}{1}
\bibitem{Landau}
{\it ������ �.�., ������ �.�.}
������������� ������, �. 2.
������ ����. �.: �����, 1988.
\end{thebibliography}
\end{document}