\documentclass[12pt]{article} \usepackage[russian]{babel} \usepackage[cp1251]{inputenc} \usepackage[T2A]{fontenc} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsthm} \usepackage{mathtext} \usepackage{amsfonts} \usepackage{perpage} %the perpage package \MakePerPage{footnote} %the perpage package command \setlength{\topmargin}{-.5in} \setlength{\textheight}{9in} \setlength{\oddsidemargin}{.125in} \setlength{\textwidth}{6.25in} \renewcommand{\le}{\leqslant} \renewcommand{\ge}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}} \newcommand{\lda}{\lambda} \newcommand{\Wo}{{\raisebox{0.2ex}{\(\stackrel{\circ}{W}\)}}{}} \frenchspacing %\newtheorem{theorem}{Theorem} %\newtheorem{lemma}{Lemma} %\newtheorem{proposition}{Proposition} %\newtheorem{corollary}{Corollary} \newtheorem{rustheorem}{Теорема} \newtheorem{ruslemma}{Лемма} \newtheorem{rusproposition}{Предложение} \newtheorem{ruscorollary}{Следствие} \newtheorem{rusconjecture}{Гипотеза} \theoremstyle{definition} %\newtheorem{definition}{Definition} %\newtheorem{remark}{Remark} %\newtheorem{example}{Example} \newtheorem{rusdefinition}{Определение} \newtheorem{rusremark}{Замечание} \newtheorem{rusexample}{Пример} \newenvironment{rusbibliography}{\renewcommand{\refname}{{\large\sc Литература}}\vspace{-0.5cm}\begin{thebibliography}}{\end{thebibliography}} \begin{document} \title{О спектре задачи Штурма-Лиувилля с арифметически самоподобным весом\footnote{Представлено А.~И.~Назаровым}} \author{Растегаев~Н.~В. \\ \small{СПбГУ, Лаборатория им. П.Л.Чебышева} %\\ \small{199178, 14 линия В.О., дом 29Б} \\ \small{Россия, Санкт-Петербург, 199178, 14 линия В.О., 29Б} \\ \small{rastmusician@gmail.com}} \renewcommand{\today}{}%{11 декабря 2013 г.} \maketitle \abstract{ Изучается спектральная асимптотика задачи Штурма-Лиувилля с сингулярной арифметически самоподобной весовой мерой. Полученные ранее результаты А.~А.~Владимирова и И.~А.~Шейпака, а также автора, опирающиеся на свойство спектральной периодичности, накладывают значительные ограничения на параметры самоподобия. В данной работе предлагается новый метод оценки считающей функции собственных значений. Это позволяет рассмотреть существенно более широкий класс самоподобных мер. } %\tableofcontents %\pagebreak \section{Введение} В настоящей работе обобщаются результаты %работ \cite{SV}, \cite{VSh3}, \cite{Rast1} об асимптотике спектра задачи \begin{gather} \left\{ \begin{split}\label{eq:1.1} &-y'' = \lambda\rho y,\\ %\label{eq:1.2} &y'(0)-\gamma_0 y(0)=y'(1)+\gamma_1 y(1)=0.%y'(0)=y'(1)=0, \end{split} \right. \end{gather} где $\rho$ --- вероятностная мера, первообразная которой представляет собой самоподобную функцию обобщенного канторовского типа (в частности, $\rho$ сингулярна относительно меры Лебега). \begin{rusremark} Хорошо известно, что изменение граничных условий задачи влечет возмущение квадратичной формы ранга два. Из общей вариационной теории (см. \cite[\S10.3]{BS2}) следует, что считающие функции собственных значений граничных задач, отвечающих одному и тому же уравнению, но разным граничным условиям, не могут различаться более, чем на 2. Поэтому главный член асимптотики спектра от граничных условий не зависит. \end{rusremark} \begin{rusremark} Вопрос об асимптотике спектра задачи \eqref{eq:1.1}, кроме самостоятельного интереса, возникает в задаче о малых уклонениях гриновских гауссовских процессов в $L_2(\rho)$ (см.~\cite{Naz}). \end{rusremark} Вопрос об асимптотическом поведении собственных значений задачи \eqref{eq:1.1} восходит к работам М.~Г.~Крейна (см., например, \cite{K}). Из работы \cite{BS1} следует, что если мера $\rho$ содержит абсолютно непрерывную компоненту, то ее сингулярная составляющая не влияет на главный член асимптотики спектра. В случае чисто сингулярной меры $\rho$ из работы \cite{B} видно, что считающая функция $$N(\lda) = \#\{n: \lda_n<\lda\}$$ собственных чисел краевой задачи для оператора $(-1)^ly^{(2l)}$ допускает оценку $o(\lda^{\frac{1}{2l}})$ вместо обычной асимптотики $N(\lda)\sim C\lda^{\frac{1}{2l}}$ в случае меры, содержащей регулярную составляющую. Для некоторых специальных классов мер в \cite{B} были получены лучшие оценки снизу для собственных чисел. Точный степенной порядок $D$ роста считающей функции $N(\lda)$ в случае самоподобной меры $\rho$ был установлен в \cite{F} (см. также более ранние работы \cite{HU} и \cite{MR}, где получены частные результаты, касающиеся классической канторовой лестницы). В работах \cite{SV} и \cite{KL} показано, что считающая функция собственных значений задачи \eqref{eq:1.1} имеет при $\lambda\to+\infty$ асимптотику \begin{equation}\label{eq:mes_asymp} N(\lambda)=\lambda^D\cdot\bigl(s(\ln\lambda)+o(1)\bigr), \end{equation} где $s$ "--- некоторая непрерывная $T$-периодическая функция, показатель $D\in(0,\frac{1}{2})$. В случае неарифметичности типа самоподобия (см. Определение \ref{arithm} ниже) первообразной меры $\rho$, функция $s$ вырождается в константу. В работе \cite{Naz} этот результат обобщается на случай дифференциального оператора высшего четного порядка, и, кроме того, сформулирована следующая гипотеза. \begin{rusconjecture}\label{Conj1} Функция $s$ является непостоянной для произвольного веса с арифметически самоподобной первообразной, не совпадающего с мерой Лебега. \end{rusconjecture} В работе \cite{VSh1} при помощи компьютерных вычислений доказано, что функция $s$ действительно не может являться постоянной в том простейшем случае, когда обобщённая первообразная веса $\rho$ представляет собой классическую канторову лестницу. В работе \cite{VSh3} Гипотеза \ref{Conj1} была подтверждена для ``ровных'' лестниц (см. \eqref{even_ladder} ниже). Для таких лестниц была доказана следующая теорема. \begin{rustheorem}\label{Th1} Коэффициент $s$ из асимптотики \eqref{eq:mes_asymp} допускает представление \begin{equation}\label{Th1eqn} \forall t\in [0,\nu]\quad s(t)=e^{-Dt}\,\sigma(t), \end{equation} где $\sigma$ "--- некоторая чисто сингулярная неубывающая функция. \end{rustheorem} Отсюда утверждение о непостоянстве функции $s(t)$ следует немедленно. Этот результат позднее обобщен в работе \cite{V3} на случай уравнения четвертого порядка. В работе \cite{Rast1} результат из \cite{VSh3} обобщен на более широкий класс лестниц, удовлетворяющих условиям \eqref{wider_case}. Целью настоящей работы является обобщение Теоремы \ref{Th1} на произвольные лестницы, обладающие арифметическим самоподобием и ненулевыми промежуточными интервалами. Работа имеет следующую структуру. В \ref{par:2} приводятся необходимые определения самоподобных функций обобщенного канторовского типа, выводятся их свойства, определяется исследуемый класс функций и формулируется основной результат. В \ref{par:3} устанавливаются вспомогательные факты, касающиеся свойств спектра. Наконец, в \ref{par:4} доказывается вариант Теоремы \ref{Th1} для выделенного класса лестниц. \section{Самоподобные функции. Формулировка \\ основного результата}\label{par:2} \noindent Пусть $m\geq 2$, $\{I_i = [a_i,b_i]\}_{i=1}^m$ ~--- подотрезки $[0,1]$, не пересекающиеся по внутренности, $b_j \leqslant a_{j+1}$, $\{\rho_i\}_{i=1}^m$ --- набор положительных чисел, таких что $\sum\limits_{i=1}^m\rho_i = 1$, $\{e_i\}_{i=1}^m$ --- булевские величины. Определим семейство аффинных преобразований \begin{equation*} S_i(t) = \left\{ \begin{split} &a_i + (b_i-a_i)\,t, \quad e_i = 0, \\ &b_i - (b_i-a_i)\,t, \quad e_i = 1, \end{split} \right. \end{equation*} сжимающих $[0,1]$ на $I_i$ и меняющих ориентацию, если $e_i = 1$. Определим оператор $\mathcal{S}$, действующий в пространстве $L_{\infty}[0,1]$ следующим образом: \begin{equation*} \mathcal{S}(f) = \sum\limits_{i=1}^m \left(\chi_{I_i}(e_i + (-1)^{e_i}f\circ S_i^{-1})+\chi_{\{x>b_i\}} \right)\rho_i. \end{equation*} График функции $\mathcal{S}(f)$ на каждом из отрезков $I_i$ подобен графику $f$, а на промежуточных интервалах она постоянна. %Легко проверить (см., например, \cite{Sh}), что \begin{rusproposition} \textbf{\textsc{(см., напр., \cite[Лемма 2.1]{Sh})}} $\mathcal{S}$~--- сжимающее отображение в $L_{\infty}[0,1]$. \end{rusproposition} Отсюда по теореме Банаха о неподвижной точке существует (единственная) функция $C\in L_{\infty}[0,1]$ такая, что $\mathcal{S}(C)=C$. %\begin{rusdefinition} Такую функцию $C(t)$ будем называть \textit{обобщенной канторовой лестницей} с $m$ ступеньками. %\end{rusdefinition} Функцию $C(t)$ можно искать как равномерный предел последовательности $\mathcal{S}^k(f)$ для \mbox{$f(t)\equiv t$}, что позволяет считать ее непрерывной и монотонной, причем $C(0)=0$, $C(1)=1$. Производная функции $C(t)$ в смысле обобщенных функций~--- сингулярная мера $\rho$ без атомов, самоподобная по Хатчинсону (см. \cite{H}), т.е. для любого измеримого множества $E$ удовлетворяющая соотношению \begin{equation*} \rho(E) = \sum\limits_{i=1}^m \rho_i \cdot \rho(S_i^{-1}(E\cap I_i)). \end{equation*} Более общие способы построения самоподобных функций описаны в \cite{Sh}. \begin{rusremark} Не умаляя общности, можно считать, что $a_1 = 0$, $b_m = 1$, в противном случае меру можно растянуть, что приведет к домножению спектра на константу. \end{rusremark} \begin{rusdefinition}\label{arithm} Самоподобие будем называть \textit{арифметическим}, если логарифмы величин $\rho_i(b_i-a_i)$ соизмеримы. Иначе говоря, \begin{equation*} \rho_i(b_i-a_i) = \tau^{k_i}, \quad i=1...m, \end{equation*} для некоторой постоянной $\tau$ и $k_i \in \mathbb{N}$, таких, что $\text{НОД}(k_i, i=1\ldots m) = 1$. \end{rusdefinition} %\begin{rusdefinition}\label{even_ladder} \noindent Будем называть обобщенную канторову лестницу \textit{ровной}, если \begin{equation}\label{even_ladder} \forall i=2,\dots, m\quad \rho_i=\rho_1=\frac{1}{m}, \quad b_i - a_i=b_1 - a_1,\quad a_i - b_{i-1}=a_2 - b_1 > 0. \end{equation} Именно такой класс лестниц рассмотрен в работе \cite{VSh3}. %\end{rusdefinition} В работе \cite{Rast1} формула \eqref{Th1eqn} доказана для арифметически самоподобных лестниц со следующими условиями: \begin{equation}\label{wider_case} \forall i = 2,\dots, m \quad a_{i}-b_{i-1} > 0, \;\; k_i = k_1 = 1. \end{equation} Сформулируем основной результат нашей работы. \begin{rustheorem}\label{main_theo} Пусть лестница арифметически самоподобна, и $a_{i}-b_{i-1} > 0$ для всех $i=2,\ldots, m$. Тогда имеет место формула \eqref{Th1eqn}. %\[ % \forall t\in [0,\nu]\quad s(t)=e^{-Dt}\,\sigma(t), %\] %где $\sigma$ "--- некоторая чисто сингулярная неубывающая функция. \end{rustheorem} \begin{rusremark} Для описанного класса лестниц показатель $D$ и период функции $s(t)$ определяются следующими соотношениями, полученными в \cite{SV}: \begin{equation}\label{period} \sum\limits_{i=1}^m \tau^{k_iD} = 1, \quad T = -\ln\tau. \end{equation} \end{rusremark} \section{Вспомогательные свойства спектра}\label{par:3} Будем рассматривать формальную граничную задачу \begin{equation} \left\{ \begin{split}\label{eq:3.1} &-y''=\lambda\rho y,\\ %\label{eq:3.2} &y'(a)-\gamma_0 y(a)=y'(b)+\gamma_1 y(b)=0. \end{split} \right. \end{equation} Ее обобщенным решением называется функция $y \in W_2^1[a,b]$, удовлетворяющая интегральному тождеству $$ \int\limits_a^b y'\eta'\, dx + \gamma_0y(a)\eta(a)+\gamma_1y(b)\eta(b) = \lda\int\limits_a^b y\eta \;\rho(dx) $$ для любой функции $\eta \in W_2^1[a,b]$. Подставляя в интегральное тождество функции \mbox{$\eta \in \Wo_2^1[a,b]$}, устанавливаем, что производная $y'$ является первообразной сингулярной меры без атомов $\lda\rho y$, откуда следует, что $y \in C^1[a,b]$. Нам требуется следующий частный случай Утверждения~11 из \cite{V2}. \begin{rusproposition}\label{oscil} %\textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~11]{V2})}} Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность занумерованных в порядке возрастания собственных значений граничной задачи \eqref{eq:3.1} с произвольной мерой $\rho$. Тогда независимо от выбора индекса $n\in\mathbb N_0$ собственное значение $\lambda_n$ является простым, причём отвечающая ему собственная функция не обращается в нуль на границе отрезка \([0,1]\) и имеет внутри этого отрезка в точности \(n\) различных нулей. \end{rusproposition} В частности, Предложение \ref{oscil} выполняется для произвольных определенных выше самоподобных мер, а также для их нетривиальных сужений на подотрезки $[0,1]$. Обозначим через $\lda_n([a,b])$, $n\geqslant 0$, собственные числа задачи \begin{gather*} \left\{ \begin{split} &-y'' = \lda\rho y, \\ &y'(a) = y'(b) = 0, \end{split} \right. \end{gather*} а через \begin{equation*}%\label{Ndef} N(\lda, [a,b]) = \#\{ n: \lda_n([a,b])<\lda \} \end{equation*} их считающую функцию. Заметим, что во всех случаях $\lda_0([a,b]) = 0$. Из самоподобия меры $\rho$ следует такое утверждение. \begin{ruslemma}\label{lemma1} $$\lda_n(I_i) = \tau^{-k_i}\lda_n([0,1]),$$ $$N(\lda, I_i) = N(\tau^{k_i}\lda, [0,1]).$$ \end{ruslemma} \begin{proof} Второе утверждение напрямую следует из первого. Чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим отвечающую собственному числу $\lda_n(I_i)$ собственную функцию $y_n$ и построим функцию $z$ на $[0,1]$ по следующей формуле: \[ z = y_n \circ S_i, \] где $S_i$ --- определенное в \S 2 афинное сжатие. Ясно, что $z$ удовлетворяет граничным условиям Неймана на концах отрезка $[0,1]$, и для него выполняется следующее соотношение: \[ z'' = (y_n''\circ S_i) \cdot (b_i-a_i)^2 = \lda_n(I_i)(b_i-a_i)^2 \cdot (\rho\circ S_i)\cdot (y_n\circ S_i) . \] Заметим также, что \[ C\circ S_i = \mathcal{S}(C) \circ S_i = \rho_i \cdot (e_i + (-1)^{e_i}C) + \sum\limits_{j=1}^{i-1} \rho_j, \] откуда взятием производной получаем \[ \rho\circ S_i = \rho_i(b_i-a_i)^{-1}\rho, \] а значит, \[ z'' = \lda_n(I_i)\rho_i(b_i-a_i) \rho z = \lda_n(I_i)\tau^{k_i} \rho z. \] Таким образом, функция $z$ отвечает собственному числу $\lda_n(I_i)\tau^{k_i}$ задачи Неймана на отрезке $[0,1]$ и имеет на нем ровно $n$ корней, а значит, утверждение доказано. \end{proof} Докажем теперь основное утверждение этого параграфа. \begin{rustheorem}\label{4.1} Пусть $J_1 = [c_1, d_1]$, $J_2 = [c_2, d_2]$ --- %непересекающиеся по внутренности подотрезки $[0,1]$, и пусть $c_2-d_1 \geqslant 0$, а $\rho|_{[d_1, c_2]} \equiv 0$. Обозначим $J:=[c_1, d_2]$. Тогда функция \begin{equation}\label{Fdef} F(\lda) := N(\lda, J) - N(\lda, J_1)-N(\lda, J_2) \end{equation} имеет разрывы в точках $\lda_n(J)$, $\lda_n(J_1)$, $\lda_n(J_2)$. При этом элементы наборов $\{ \lda_n(J) \}_{n=0}^\infty$ и $\{\lda_n(J_1) \}_{n=0}^\infty \cup \{\lda_n(J_2) \}_{n=0}^\infty$ нестрого чередуются, и в точках $\{\lda_n(J_1) \}_{n=0}^\infty \cup \{\lda_n(J_2) \}_{n=0}^\infty$ функция $F$ меняет значение с $0$ на $-1$, а в точках $\{ \lda_n(J) \}_{n=0}^\infty$, не содержащихся в $\{\lda_n(J_1) \}_{n=0}^\infty \cup \{\lda_n(J_2) \}_{n=0}^\infty$, меняет значение с $-1$ на $0$. \end{rustheorem} \begin{proof} Зафиксируем отвечающую собственному значению $\lambda_n(J_1)$ \\ собственную функцию $y_n$. Построим функцию $z\in C(J)$ следующим образом: %\begin{equation*} %z = \sum\limits_{k=1}^m %c_k\chi_{I_k}(y_n\circ S_k^{-1}) + %\sum\limits_{k=1}^{m-1}d_k \chi_{\{b_k 0 \mbox{ или } \gamma = \infty, \\ \lda_{n_1+n_2-1}(J) < &\lda_n(J_1) \leqslant \lda_{n_1+n_2}(J) \quad &&\mbox{ при } \gamma \leqslant 0. \end{aligned} \end{equation} Заметим, что по определению считающей функции \[ N(\lda_{j}(J), J) = j, \quad N(\lda_{j}(J)+0, J) = j+1, \] для всех $j\geqslant 0$, что позволяет переписать оценки \eqref{ldanJ1} в виде следующей формулы: \begin{equation}\label{Neq1} \begin{matrix} N(\lda_n(J_1), J) & = & \left\{ \begin{aligned} &n_1+n_2 \quad && \mbox{при } \gamma \leqslant 0, \\ &n_1+n_2+1 \quad && \mbox{иначе. } \end{aligned} \right. \end{matrix} \end{equation} Рассмотрим теперь функцию $z|_{J_2}$. Она является собственной функцией Неймана-Робена с параметром $\gamma$ на $J_2$, отвечающей собственному числу $\lda_n(J_1)$ и имеющей $n_2$ корней, %\pagebreak %\[ %\widetilde z'' = - \lda_n(J_1) \rho \widetilde z, %\] %\[ %\widetilde z'(c_2) = 0, \quad \widetilde z'(d_2) + \gamma \widetilde z(d_2) = 0. %\] а значит, рассуждением, аналогичным предыдущему, получаем формулу \begin{equation}\label{Neq2} \begin{matrix} N(\lda_n(J_1), J_2) & = & \left\{ \begin{aligned} &n_2 \quad && \mbox{при } \gamma \leqslant 0, \\ &n_2+1 \quad && \mbox{иначе. } \end{aligned} \right. \end{matrix} \end{equation} Заметим, также, что в силу Предложения \ref{oscil} \begin{equation}\label{Neq3} n = N(\lda_n(J_1), J_1) = n_1. \end{equation} Складывая формулы \eqref{Neq1}, \eqref{Neq2}, \eqref{Neq3}, приходим к выводу, что \[ F(\lda_n(J_1)) = N(\lda_n(J_1), J) - N(\lda_n(J_1), J_1)-N(\lda_n(J_1), J_2) = 0. \] Если $\lda_n(J_1)$ --- одновременно точка разрыва двух считающих функций, то $\gamma = 0$, а значит она оказывается точкой разрыва всех трех. Поэтому во всех случаях \[ F(\lda_n(J_1)+0) = -1, \] так как при увеличении аргумента изменяется на единицу либо только слагаемое $N(\lda_n(J_1), J)$, либо все три слагаемых изменяются на единицу одновременно. Точно так же, начиная строить для $\lda_n(J_2)$ функцию $z$ с $J_2$ и продолжая на оставшиеся части отрезка, получаем \[ F(\lda_n(J_2)) = 0, \quad F(\lda_n(J_2)+0) = -1. \] Во всех остальных точках разрывов (в точках разрывов $N(\lda,J)$, не являющихся разрывами других слагаемых) функция $F$ может только увеличиваться и только на $1$, а потому наборы $\{ \lda_n(J) \}$ и $\{\lda_n(J_1) \} \cup \{\lda_n(J_2) \}$ должны нестрого чередоваться, и для $n$, для которых $\lda_n(J) \not\in \{\lda_n(J_1) \} \cup \{\lda_n(J_2) \}$, выполняется \[ F(\lda_n(J)) = -1, \quad F(\lda_n(J)+0) = 0. \] Кроме того, $F(0) = 0$, и в нуле сосредоточены три собственных числа $\lda_0(J) = \lda_0(J_1) = \lda_0(J_2)$, а первая ненулевая точка разрыва --- это собственное значение $\lda_1(J)$. Таким образом, чередование начинается с элемента набора $\{\lda_n(J_1) \} \cup \{\lda_n(J_2) \}$. \end{proof} \begin{rusremark} В доказательстве Теоремы \ref{4.1} не используется условие $a_{i}-b_{i-1}>0$, поэтому она верна и в случае лестницы, имеющей пустые промежуточные отрезки. Кроме того, в нем используются осцилляционные свойства собственных функций (Предложение \ref{oscil}), но не используется самоподобие меры $\rho$. В случае, когда $m=2$, $k_1=k_2=1$, %покрываемом(??) результатами работы \cite{Rast1}, из Теоремы \ref{4.1} с учетом Леммы \ref{lemma1} следует, в частности, соотношение \[ N(\tau^{-1}\lda_n) = 2N(\lda_n) \] и соответствующее ему свойство \[ \tau\lda_{2n} = \lda_n, \] которое в работах \cite{VSh3}, \cite{Rast1}, \cite{V3} называется спектральной периодичностью. \end{rusremark} \section{Доказательство основного результата}\label{par:4} Для доказательства Теоремы \ref{main_theo} нам потребуются следующие факты: \begin{rusproposition}\label{sing} \textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~4.1.3]{VSh3})}} Пусть $f\in L_2[0,1]$ "--- ограниченная непостоянная неубывающая функция, $\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность неубывающих ступенчатых функций, а $\{\mathfrak A_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность множеств точек разрыва функций $f_n$. Пусть также при $n\to\infty$ выполняется асимптотическое соотношение \[ (\#\mathfrak A_n+2)\cdot\|f-f_n\|_{L_2[0,1]}=o(1). \] Тогда монотонная функция $f$ является чисто сингулярной (т.е. $f'$ сингулярна относительно меры Лебега). \end{rusproposition} \begin{rusproposition}\label{5.2} \textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~5.2.1]{VSh3})}} Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность занумерованных в порядке возрастания собственных значений граничной задачи с самоподобным весом \begin{gather*} \left\{ \begin{split} &-y''=\lambda\rho y,\\ &y'(0)=y'(1)=0, \end{split} \right. \end{gather*} а $\{\mu_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- аналогичная последовательность для отвечающей тому же уравнению граничной задачи \[ y'(0)-\gamma_0y(0)=y'(1)+\gamma_1y(1)=0, \] где $\gamma_0,\,\gamma_1\geq 0$. Тогда \[ \sum\limits_{n=0}^{\infty} |\ln\mu_n-\ln\lambda_n| < +\infty. \] \end{rusproposition} \begin{rusremark} Более общие результаты о регуляризованных произведениях собственных значений рассматривались также в \cite{Naz2}. \end{rusremark} \begin{rustheorem}\label{Th5.1} В обозначениях Теоремы \ref{4.1}, если $c_2-d_1>0$, то в логарифмической шкале множество, на котором функция $F$, определенная в \eqref{Fdef}, отлична от нуля, имеет конечную лебегову меру. Иначе говоря, если обозначить через $\{ \mu_n(J) \}_{n=0}^\infty$ упорядоченные по возрастанию элементы набора $\{\lda_n(J_1) \} \cup \{\lda_n(J_2) \}$, то \[ \sum\limits_{n=0}^{\infty}|\ln\lambda_{n}(J)-\ln\mu_{n}(J)| < +\infty. \] \end{rustheorem} \begin{proof} Обозначим через $\nu_n(J_1)$ собственные числа задачи \begin{gather*} \left\{ \begin{split} &-y'' = \lda\rho y, \\ &y'(c_1) = y'(d_1) + \dfrac{2}{c_2-d_1}\cdot y(d_1) = 0, \end{split} \right. \end{gather*} через $\nu_n(J_2)$ -- собственные числа задачи \begin{gather*} \left\{ \begin{split} &-y'' = \lda\rho y, \\ &y'(c_2) - \dfrac{2}{c_2-d_1}\cdot y(c_2) = y'(d_2) = 0. \end{split} \right. \end{gather*} Зафиксируем отвечающую $\lda_n(J)$ собственную функцию $y_n$ и рассмотрим ее сужение на отрезки $J_1$ и $J_2$. Поскольку $\rho|_{[d_1,c_2]}\equiv 0$, то $y_n|_{[d_1, c_2]}$ -- линейная функция, а значит, выполняется соотношение \[ \dfrac{y_n(c_2)}{y_n'(c_2)}-\dfrac{y_n(d_1)}{y_n'(d_1)} = c_2-d_1. \] Отсюда следует, что \[ \dfrac{y_n(c_2)}{y_n'(c_2)} \geqslant \dfrac{c_2-d_1}{2} \mbox{ или } -\dfrac{y_n(d_1)}{y_n'(d_1)} \geqslant \dfrac{c_2-d_1}{2}, \] а значит выполняется одна из следующих оценок: \[ 0 \leqslant -\dfrac{y_n'(d_1)}{y_n(d_1)}\leqslant \dfrac{2}{c_2-d_1}, \] либо \[ 0 \leqslant \dfrac{y_n'(c_2)}{y_n(c_2)}\leqslant \dfrac{2}{c_2-d_1}, \] что, в силу вариационного принципа, влечет $\lda_k(J_1) \leqslant \lda_n(J) \leqslant \nu_k(J_1)$ или $\lda_k(J_2) \leqslant \lda_n(J) \leqslant \nu_k(J_2)$, где $k$ --- число корней $y_n$, попавших внутрь отрезка $J_1$ или $J_2$ соответственно. Далее, поскольку наборы $\{\mu_n(J)\}_{n=0}^\infty$ и $\{\lda_n(J)\}_{n=0}^\infty$ нестрого чередуются, начиная с $\mu_0(J)$, имеем $\mu_n(J) \leqslant \lda_n(J)$. Более того, выполняется соотношение \[ \mu_n(J) = \max\{ \mu_k(J) : \mu_k(J)\leqslant\lda_n(J)\}, \] а поскольку $\lda_k(J_{1,2})$ принадлежат $\{\mu_n(J)\}_{n=0}^\infty$, из соотношения $\lda_k(J_{1,2})\leqslant\lda_n(J)$ следует $\lda_k(J_{1,2})\leqslant\mu_n(J)$. Получается, что для любого $n$ найдется некоторое $k$, для которого выполняется одна из двух цепочек неравенств: $$\lda_k(J_1) \leqslant \mu_n(J) \leqslant \lda_n(J) \leqslant \nu_k(J_1),$$ либо $$\lda_k(J_2) \leqslant \mu_n(J) \leqslant \lda_n(J) \leqslant \nu_k(J_2).$$ Получается, что объединение непересекающихся отрезков $\bigcup\limits_{n=0}^\infty [\mu_n(J), \lda_n(J)]$ полностью содержится в объединении $\Big( \bigcup\limits_{n=0}^\infty [\lda_n(J_1), \nu_n(J_1)] \Big) \cup \Big( \bigcup\limits_{n=0}^\infty [\lda_n(J_2), \nu_n(J_2)] \Big)$. Отсюда с учетом Предложения \ref{5.2} получаем оценку \begin{gather*} \sum\limits_{n=0}^{\infty}|\ln\lambda_{n}(J)-\ln\mu_{n}(J)| \leqslant \sum\limits_{n=0}^{\infty}|\ln\nu_{n}(J_1)-\ln\lda_{n}(J_1)| + {} \\ {} + \sum\limits_{n=0}^{\infty}|\ln\nu_{n}(J_2)-\ln\lda_{n}(J_2)| < +\infty. \end{gather*} \end{proof} \begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{main_theo}] Из \eqref{eq:mes_asymp} имеем \[ N(\lda) = \lda^D\big(s(\ln \lda)+\varepsilon(\lda)\big), \] где $\varepsilon(\lda)\to 0$ при $\lda\to\infty$. Для произвольного $k\in\mathbb{N}$ получаем \[ N(\tau^{-k}\lda) = \tau^{-kD} \lda^D(s(\ln\lda) + \varepsilon(\tau^{-k}\lda)), \] откуда $$s(\ln\lda)\lda^D = \lim\limits_{k\to\infty} \tau^{kD}N(\tau^{-k}\lda)$$ равномерно на отрезке. Введем обозначение \[ \sigma(t) := s(t) e^{Dt} = \lim\limits_{k\to\infty} \tau^{kD}N(\tau^{-k} e^t), \quad t\in[0,T]. \] Определим более удобную для нас последовательность ступенчатых приближений этой функции. \paragraph{Случай $m=2$.} Рассмотрим сперва для наглядности случай $m=2$. Пусть, не умаляя общности, $k_1\leqslant k_2$. Определим \[ f_j(t) := C\tau^{jD}\sum_{i=0}^{k_2-1} C_i N(\tau^{-i-j}e^t), \quad t\in[0,T]. \] Подберем коэффициенты $C_i$ таким образом, чтобы выполнялось равенство \[ f_{j+1}(t) - f_j(t) = C\tau^{jD}\Big(N(\lda) - N(\tau^{k_1}\lda) - N(\tau^{k_2}\lda)\Big), \] где $\lda = \tau^{-k_2-j}e^t$. Прямым вычислением с использованием \eqref{period} несложно убедиться, что \[ C_i = \left\{ \begin{aligned} &\tau^{-(k_2-i)D} \quad && k_2-i=1,\ldots, k_1, \\ &\tau^{-(k_2-i)D}\cdot\big(1-\tau^{k_1 D}\big) \quad && k_2-i=k_1+1,\ldots, k_2. \end{aligned} \right. \] Вторая строчка не реализуется при $k_1 = k_2$. Заметим, что \[ \lim_{j\to+\infty}f_j(t) = C\sum\limits_{i=0}^{k_2-1} C_i\tau^{-iD} \lim_{j\to+\infty}\tau^{(i+j)D}N(\tau^{-i-j}e^t) = \sigma(t) \cdot C\sum\limits_{i=0}^{k_2-1} C_i\tau^{-iD}, \] поэтому если положить \[ C = \Big(\sum_{i=0}^{k_2-1} C_i \tau^{-iD}\Big)^{-1}, \] %Можно отметить, что $C_0 = \tau^{-kD} - \tau^{-(k-l)D} = 1$. %чтобы выполнялось соотношение то будет выполнено \[ \sigma(t) = \lim_{j\to+\infty}f_j(t). \] Заметим, что по Лемме \ref{lemma1} \[ N(\lda) - N(\tau^{k_1}\lda) - N(\tau^{k_2}\lda) = N(\lda, [0,1]) - N(\lda, I_1) - N(\lda, I_2), \] а значит, с учетом Теоремы \ref{4.1} легко видеть, что \begin{equation}\label{fmod} |f_{j+1}(t) - f_j(t)| \leq C\tau^{jD}, \end{equation} а число разрывов $f_j$, как суммы $k_2$ слагаемых, каждое из которых имеет не более $N(\tau^{-k_2-j})$ разрывов, допускает оценку \begin{equation}\label{fbreaks} \#\mathfrak A_j \leq k_2 N(\tau^{-k_2-j}) \leq \widetilde{C} \tau^{-jD}. \end{equation} Все, что нам осталось для применения Предложения \ref{sing} --- это доказать оценку \begin{equation}\label{fmeas} meas\{t\in[0, T]: f_j(t)\neq f_{j+1}(t)\} = o(1), \quad j\to\infty. \end{equation} Обозначим через $\{\mu_n\}_{n=0}^\infty$ последовательность упорядоченных по возрастанию элементов набора $\{\lda_n(I_1) \} \cup \{\lda_n(I_2) \}$. Так как $\lda_n$ и $\mu_n$ нестрого чередуются, и чередование начинается с $\mu_0$, имеем $\mu_n \leqslant \lda_n$ для всех $n\geqslant 0$. Мы пытаемся оценить меру множества, где \[ N(\lda, [0,1]) - N(\lda, I_1) - N(\lda, I_2) \neq 0. \] Это верно только если \[ \lda \in \bigcup\limits_{n=0}^\infty \left[\mu_{n}, \lda_{n}\right], \] а учитывая $\lda = \tau^{-k_1-j}e^t$ и $t\in[0, T]$, получаем \[ (k_1+j)T + t \in \Big( \bigcup\limits_{n=0}^\infty \left[\ln\mu_{n}, \ln\lda_{n}\right] \Big) \cap [(k_1+j)T, (k_1+j+1)T]. \] Мера объединения \[ \Big| \bigcup\limits_{n=0}^\infty \left[\ln\mu_{n}, \ln\lda_{n}\right] \Big| = \sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\lambda_{n}-\ln\mu_{n}| \] ограничена в силу Теоремы \ref{Th5.1}, а значит мера его пересечения с уходящими на бесконечность отрезками стремится к нулю, что доказывает оценку \eqref{fmeas}. Из соотношений \eqref{fmod} и \eqref{fmeas} получаем оценку \[ \|f_{j+1} - f_j\|_{L_2[0,1]} = o(\tau^{jD}), \] откуда следует, что \[ \|\sigma - f_j\|_{L_2[0,1]} = o(\tau^{jD}). \] Применяя эту оценку вместе с \eqref{fbreaks}, получаем \[ (\#\mathfrak A_n+2)\cdot\|\sigma-f_n\|_{L_2[0,1]} = o(1), \] что позволяет применить Предложение \ref{sing} для функции $\sigma$, завершая доказательство теоремы для данного случая. %\section{Обобщение} %Докажем теперь общий случай. \paragraph{Общий случай.} %\[ %N(\lda) = \lda^D\big(s(\ln \lda)+\varepsilon(\lda)\big), %\] %где $\varepsilon(\lda)\to 0$ при $\lda\to\infty$. Для произвольного $k\in\mathbb{N}$ получаем %\[ %N(\tau^{-k}\lda) = \tau^{-kD} \lda^D(s(\ln\lda) + \varepsilon(\tau^{-k}\lda)), %\] %откуда $$s(\ln\lda)\lda^D = \lim\limits_{k\to\infty} \tau^{kD}N(\tau^{-k}\lda)$$ %равномерно на отрезке. Значит существует равномерный предел %\[ %\sigma(t) := \lim\limits_{k\to\infty} \tau^{kD}N(\tau^{-k} e^t). %\] %Определим более удобную для нас последовательность ступенчатых приближений этой функции. Пусть $\{\kappa_i\}_{i=1}^{p}$ --- упорядоченные по возрастанию элементы множества $\{k_i\}_{i=1}^m$ без повторений, $\{l_i\}_{i=1}^{p}$ --- их кратности (количество отрезков $I_n$, которым отвечает значение с соответствующим номером). Аналогично случаю $m=2$ определяем функции и константы \[ f_j(t) := C\tau^{jD}\sum_{i=0}^{\kappa_p-1} C_i N(\tau^{-i-j}e^t), \quad t\in[0,T], \] \[ C_i = \left\{ \begin{aligned} &\tau^{-(\kappa_p-i)D} \quad && \kappa_p-i=1,\ldots, \kappa_1, \\ &\tau^{-(\kappa_p-i)D}\cdot\big(1-l_1 \tau^{\kappa_1 D}\big) \quad && \kappa_p-i=\kappa_1+1,\ldots, \kappa_2, \\ &\tau^{-(\kappa_p-i)D}\cdot\big(1-l_1 \tau^{\kappa_1 D}-l_2 \tau^{\kappa_2 D}\big) \quad && \kappa_p-i=\kappa_2+1,\ldots, \kappa_3, \\ &\ldots && \\ &\tau^{-(\kappa_p-i)D}\cdot\Big(1-\sum_{j=1}^{p-1} l_j \tau^{\kappa_j D}\Big) \quad && \kappa_p-i=\kappa_{p-1}+1,\ldots, \kappa_p, \end{aligned} \right. \] \[ C = \Big(\sum_{i=0}^{\kappa_p-1} C_i \tau^{-iD}\Big)^{-1}. \] Из \eqref{period} имеем \[ \sum_{i=1}^{p} l_i\tau^{\kappa_i D} = 1, \] откуда \[ 1 - \sum_{i=1}^{r} l_i\tau^{\kappa_i D} > 0, \quad r=1,\ldots, p-1, \] %\[ %\sum_{i=0}^{\kappa_p-1} C_{\kappa_p - i} \tau^{-iD} = \sum_{i=1}^{\kappa_p} C_i \tau^{-(\kappa_p-i)D} = %\kappa_p \tau^{-\kappa_pD} - \sum_{j=1}^{p-1} (\kappa_p-\kappa_j)l_j\tau^{-(\kappa_p-\kappa_j)D} = {} %\] %\[ %{} = \kappa_p \Big( \tau^{-\kappa_pD} - \sum_{j=1}^{p-1} l_j\tau^{-(\kappa_p-\kappa_j)D}\Big) + %\sum_{j=1}^{p-1} \kappa_j l_j\tau^{-(\kappa_p-\kappa_j)D} = \kappa_p l_p + \sum_{j=1}^{p-1} \kappa_j l_j\tau^{-(\kappa_p-\kappa_j)D} > 0, %\] а значит, константы $C_i$ положительны, и константа $C$ определена корректно. Так же, как и в предыдущем случае, такой выбор констант $C_i$ обеспечивает нам соотношение %Можно отметить, что $C_0 = \tau^{-kD} - \tau^{-(k-l)D} = 1$. %При таком определении, \[ f_{j+1}(t) - f_j(t) = C\tau^{jD}\Big(N(\lda) - \sum_{j=1}^p l_j N(\tau^{\kappa_j}\lda)\Big), \] где $\lda = \tau^{-\kappa_p-j}e^t$, а выбор константы $C$ --- соотношение \[ \sigma(t) = \lim_{j\to+\infty}f_j(t). \] Учитывая Лемму \ref{lemma1}, \[ f_{j+1}(t) - f_j(t) = %C\tau^{jD}\Big(N(\lda) - \sum_{j=1}^p l_j N(\tau^{\kappa_j}\lda)\Big) = {} %\] %\[ %{} = C\tau^{jD}\Big(N(\lda, [0,1]) - \sum_{j=1}^m N(\lda, I_j)\Big) = {} \] \[ {} = C\tau^{jD}\sum_{j=1}^{m-1}\Big( N(\lda, [a_j, 1]) - N(\lda, [a_{j+1}, 1]) - N(\lda, I_j)\Big). \] С учетом Теоремы \ref{4.1} легко видеть, что \[ |f_{j+1}(t) - f_j(t)| \leq C(m-1)\tau^{jD}, \] а число разрывов $f_j$ допускает оценку \[ \#\mathfrak A_j \leq \kappa_p N(\tau^{-\kappa_p-j}) \leq \widetilde{C} \tau^{-jD}. \] Все, что нам осталось для применения Предложения \ref{sing} --- это доказать оценку \[ meas\{t\in[0, T]: f_k(t)\neq f_{k+1}(t)\} = o(1), \quad k\to\infty, \] которая напрямую следует из Теоремы \ref{Th5.1} так же, как и в случае $m=2$. \end{proof} \bigskip Автор выражает благодарность А.~И.~Назарову за постановку задачи и внимание, проявленное к работе, а также Д.~Д.~Черкашину за ценные замечания. \bigskip \bigskip Основные результаты работы (Теоремы 2, 3) получены при поддержке Российского научного фонда, грант №14-21-00035. Вспомогательный результат (Теорема 4) получен при поддержке гранта РФФИ (проект 16-01-00258a). \bigskip \bigskip \begin{rusbibliography}{99} \addcontentsline{toc}{section}{Литература} \bibitem{VSh3} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{О задаче Неймана для уравнения Штурма--Лиувилля с самоподобным весом канторовского типа}// Функциональный анализ и его приложения. "--- 2013. "--- Т.~47 вып.~4. "--- С.~18--29. \bibitem{Rast1} Н.~В.~Растегаев, \emph{Об асимптотике спектра задачи Неймана для уравнения Штурма–Лиувилля с самоподобным весом обобщенного канторовского типа}// Зап. научн. сем. ПОМИ. "--- 2014. "--- 425. "--- C.~86–-98. \bibitem{BS2} М.~С.~Бирман, М.~З.~Соломяк. \emph{Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве} // Изд. ``Лань''. "--- 2010. \bibitem{Naz} А.~И.~Назаров. \emph{Логарифмическая асимптотика малых уклонений для некоторых гауссовских процессов в \(L_2\)-норме относительно самоподобной меры}// Записки науч.~семинаров ПОМИ. "--- 2004. "--- Т.~311. "--- С.~190--213. \bibitem{K} М.~Г.~Крейн. \emph{Определение плотности неоднородной симметричной струны по спектру}// ДАН СССР. "--- 1951. "--- Т.~76, N~3. "--- С.~345--348. \bibitem{BS1} М.~С.~Бирман, М.~З.~Соломяк. \emph{Асимптотика спектра слабо полярных интегральных операторов}// Изв. АН СССР, матем. "--- 1970. "--- Т.~34. N~6. "--- С.~1143--1158. \bibitem{B} В.~В.~Борзов. \emph{О количественных характеристиках сингулярных мер}// Проблемы матем. физики. "--- 1970. "--- Т.~4. "--- С.~42--47. \bibitem{F} T.~Fujita. \emph{A fractional dimention, self-similarity and a generalized diffusion operator} // Taniguchi Symp. PMMP. Katata. "--- 1985. "--- С.~83--90. \bibitem{HU} I.~Hong, T.~Uno. \emph{Some consideration of asymptotic distribution of eigenvalues for the equation $d^2u/dx^2 + \lda\rho(x)u = 0$}// Japanese Journ. of Math. "--- 1959. "--- Т.~29. "--- С.~152--164. \bibitem{MR} H.~P.~McKean, D.~B.~Ray. \emph{Spectral distribution of a differential operator}// Duke Math. Journ. "--- 1962. "--- Т.~29. "--- С.~281--292. \bibitem{SV} M.~Solomyak, E.~Verbitsky. \emph{On a spectral problem related to self-similar measures}// Bull. London Math.~Soc. "--- 1995. "--- Т.~27, N~3. "--- С.~242--248. \bibitem{KL} J.~Kigami, M.~L.~Lapidus. \emph{Weyl’s problem for the spectral distributions of Laplacians on p.c.f. self-similar fractals}// Comm. Math. Phys. --- 1991. --- Т.~158. --- С.~93--125. \bibitem{VSh1} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{Самоподобные функции в пространстве \(L_2[0,1]\) и задача Штурма--Лиувилля с сингулярным индефинитным весом}// Матем. сборник. "--- 2006. "--- Т.~197, N~11. "--- С.~13--30. \bibitem{V3} А.~А.~Владимиров. \emph{Осцилляционный метод в задаче о спектре дифференциального оператора четвертого порядка с самоподобным весом}// Алгебра и анализ. "--- 2015. "--- 27:2. "--- C.~83–95. \bibitem{Sh} И.~А.~Шейпак. \emph{О конструкции и некоторых свойствах самоподобных функций в пространствах \(L_p[0,1]\)}// Матем. заметки. "--- 2007. "--- Т.~81, N~6. "--- С.~924--938. \bibitem{H} J.~E.~Hutchinson. \emph{Fractals and self similarity}// Indiana Univ. Math. J."--- 1981. "--- Т.~30, N~5. "--- С.~713--747. \bibitem{V2} А.~А.~Владимиров. \emph{К осцилляционной теории задачи Штурма--Лиувилля с сингулярными коэффициентами}// Журнал выч.~матем. и матем.~физ. "--- 2009. "--- Т.~49, N~9. "--- С.~1609--1621. %\bibitem{VSh2} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{Асимптотика собственных %значений задачи высшего чётного порядка с дискретным самоподобным весом}// %\texttt{arXiv:1009.5335}. \bibitem{Naz2} А.~И.~Назаров. \emph{Об одном семействе преобразований гауссовских случайных функций}// Теория вероятностей и ее применения. "--- 2009. "--- Т.~54. N~2. "--- С.~209--225. \end{rusbibliography} \end{document}