\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[T2A]{fontenc}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm} 
\usepackage{mathtext}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{perpage} %the perpage package
\MakePerPage{footnote} %the perpage package command

\setlength{\topmargin}{-.5in}
\setlength{\textheight}{9in}
\setlength{\oddsidemargin}{.125in}
\setlength{\textwidth}{6.25in}

\renewcommand{\le}{\leqslant}
\renewcommand{\ge}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}

\renewcommand{\thesection}{\S\arabic{section}}

\newcommand{\lda}{\lambda}
\newcommand{\Wo}{{\raisebox{0.2ex}{\(\stackrel{\circ}{W}\)}}{}}

\frenchspacing

%\newtheorem{theorem}{Theorem}
%\newtheorem{lemma}{Lemma}
%\newtheorem{proposition}{Proposition}
%\newtheorem{corollary}{Corollary}
\newtheorem{rustheorem}{Теорема}
\newtheorem{ruslemma}{Лемма}
\newtheorem{rusproposition}{Предложение}
\newtheorem{ruscorollary}{Следствие}
\newtheorem{rusconjecture}{Гипотеза}

\theoremstyle{definition}
%\newtheorem{definition}{Definition}
%\newtheorem{remark}{Remark}
%\newtheorem{example}{Example}
\newtheorem{rusdefinition}{Определение}
\newtheorem{rusremark}{Замечание}
\newtheorem{rusexample}{Пример}

\newenvironment{rusbibliography}{\renewcommand{\refname}{{\large\sc Литература}}\vspace{-0.5cm}\begin{thebibliography}}{\end{thebibliography}}

\begin{document}
\title{О спектре задачи Штурма-Лиувилля с арифметически самоподобным весом\footnote{Представлено А.~И.~Назаровым}}
\author{Растегаев~Н.~В. \\ \small{СПбГУ, Лаборатория им. П.Л.Чебышева}
%\\ \small{199178, 14 линия В.О., дом 29Б} 
\\ \small{Россия, Санкт-Петербург, 199178, 14 линия В.О., 29Б}
\\ \small{rastmusician@gmail.com}}
\renewcommand{\today}{}%{11 декабря 2013 г.}
\maketitle
\abstract{
Изучается спектральная асимптотика задачи Штурма-Лиувилля с сингулярной арифметически самоподобной весовой мерой. Полученные ранее результаты А.~А.~Владимирова и И.~А.~Шейпака, а также автора, опирающиеся на свойство спектральной периодичности, накладывают значительные ограничения на параметры самоподобия. 
В данной работе предлагается новый метод оценки считающей функции собственных значений. Это позволяет рассмотреть существенно более широкий класс самоподобных мер.
}

%\tableofcontents

%\pagebreak

\section{Введение}

В настоящей работе обобщаются результаты %работ \cite{SV}, 
\cite{VSh3}, \cite{Rast1} об асимптотике спектра задачи
\begin{gather}
\left\{
\begin{split}\label{eq:1.1}
    &-y'' = \lambda\rho y,\\ %\label{eq:1.2}
    &y'(0)-\gamma_0 y(0)=y'(1)+\gamma_1 y(1)=0.%y'(0)=y'(1)=0,
\end{split}
\right.
\end{gather}
где $\rho$ --- вероятностная мера, первообразная которой представляет собой самоподобную функцию обобщенного канторовского типа 
(в частности, $\rho$ сингулярна относительно меры Лебега). 
\begin{rusremark}
Хорошо известно, что изменение граничных условий задачи влечет
возмущение квадратичной формы ранга два. Из общей вариационной теории 
(см. \cite[\S10.3]{BS2}) следует, 
что считающие функции собственных значений граничных задач, отвечающих 
одному и тому же уравнению, но разным граничным условиям, не могут различаться более, чем на 2. Поэтому главный член асимптотики спектра от граничных условий не зависит.
\end{rusremark}
\begin{rusremark}
Вопрос об асимптотике спектра задачи \eqref{eq:1.1}, кроме самостоятельного интереса, возникает в задаче о малых уклонениях гриновских гауссовских процессов в $L_2(\rho)$ (см.~\cite{Naz}).
\end{rusremark}
Вопрос об асимптотическом
поведении собственных значений задачи \eqref{eq:1.1} восходит к работам 
М.~Г.~Крейна (см., например, \cite{K}).

Из работы \cite{BS1} следует, что если мера $\rho$ содержит абсолютно 
непрерывную компоненту, то ее сингулярная составляющая не влияет на 
главный член асимптотики спектра.

В случае чисто сингулярной меры $\rho$ из работы \cite{B} видно, что
считающая функция 
$$N(\lda) = \#\{n: \lda_n<\lda\}$$ собственных чисел 
краевой задачи для оператора 
$(-1)^ly^{(2l)}$ допускает оценку $o(\lda^{\frac{1}{2l}})$ вместо
обычной асимптотики $N(\lda)\sim C\lda^{\frac{1}{2l}}$ в случае меры,
содержащей регулярную составляющую. 
Для некоторых специальных классов мер
в \cite{B} были получены лучшие оценки снизу для собственных чисел.

Точный степенной порядок $D$ роста считающей функции $N(\lda)$ в
случае самоподобной меры $\rho$ был установлен в \cite{F} (см. также
более ранние работы \cite{HU} и \cite{MR}, где получены частные результаты, 
касающиеся классической канторовой лестницы).

В работах \cite{SV} и \cite{KL} 
показано, что считающая функция  собственных 
значений задачи \eqref{eq:1.1} имеет при $\lambda\to+\infty$ асимптотику
\begin{equation}\label{eq:mes_asymp}
	N(\lambda)=\lambda^D\cdot\bigl(s(\ln\lambda)+o(1)\bigr),
\end{equation}
где $s$ "--- некоторая непрерывная
$T$-периодическая функция, показатель $D\in(0,\frac{1}{2})$. 
В случае неарифметичности типа самоподобия 
(см. Определение \ref{arithm} ниже) 
первообразной меры $\rho$,
функция $s$ вырождается в константу.

В работе \cite{Naz} этот результат обобщается на случай 
дифференциального оператора высшего четного порядка, и, кроме того,
сформулирована следующая гипотеза.
\begin{rusconjecture}\label{Conj1} Функция $s$ 
является непостоянной для произвольного веса с 
арифметически самоподобной первообразной, не совпадающего с мерой Лебега. 
\end{rusconjecture}

В работе \cite{VSh1} при помощи компьютерных вычислений доказано, 
что функция 
$s$ действительно не может являться постоянной в том
простейшем случае, когда обобщённая первообразная веса $\rho$ 
представляет собой классическую канторову лестницу.

В работе \cite{VSh3} Гипотеза \ref{Conj1} была подтверждена для ``ровных'' лестниц (см. \eqref{even_ladder} ниже). Для таких лестниц была доказана следующая теорема.
\begin{rustheorem}\label{Th1}
Коэффициент $s$ из асимптотики \eqref{eq:mes_asymp} допускает 
представление
\begin{equation}\label{Th1eqn}
	\forall t\in [0,\nu]\quad s(t)=e^{-Dt}\,\sigma(t),
\end{equation}
где $\sigma$ "--- некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.
\end{rustheorem}
Отсюда утверждение о непостоянстве функции $s(t)$ следует немедленно. 
Этот
результат позднее обобщен в работе \cite{V3} на случай уравнения 
четвертого порядка.

В работе \cite{Rast1} результат из \cite{VSh3} обобщен на более широкий класс лестниц, удовлетворяющих условиям \eqref{wider_case}.

Целью настоящей работы является обобщение Теоремы \ref{Th1}
на произвольные лестницы, обладающие арифметическим самоподобием и ненулевыми промежуточными интервалами.

Работа имеет следующую структуру. В \ref{par:2} приводятся 
необходимые определения
самоподобных функций обобщенного канторовского типа, выводятся их
свойства, определяется исследуемый класс функций и формулируется основной результат. В \ref{par:3}
 устанавливаются вспомогательные факты, касающиеся  свойств спектра. Наконец, в \ref{par:4} доказывается вариант Теоремы \ref{Th1} для выделенного класса лестниц.

\section{Самоподобные функции. Формулировка \\ основного результата}\label{par:2}
\noindent
Пусть $m\geq 2$,
$\{I_i = [a_i,b_i]\}_{i=1}^m$ ~--- подотрезки $[0,1]$, не
пересекающиеся по внутренности, $b_j \leqslant a_{j+1}$, $\{\rho_i\}_{i=1}^m$ --- набор положительных чисел,
 таких что
$\sum\limits_{i=1}^m\rho_i = 1$, $\{e_i\}_{i=1}^m$ --- булевские величины. 

Определим семейство аффинных преобразований
\begin{equation*}
S_i(t) = 
\left\{
\begin{split}
&a_i + (b_i-a_i)\,t, \quad e_i = 0, \\
&b_i - (b_i-a_i)\,t, \quad e_i = 1,
\end{split}
\right.
\end{equation*}
сжимающих $[0,1]$ на
$I_i$ и меняющих ориентацию, если $e_i = 1$.

Определим оператор
$\mathcal{S}$, действующий в пространстве $L_{\infty}[0,1]$ следующим 
образом:
\begin{equation*}
\mathcal{S}(f) = \sum\limits_{i=1}^m
\left(\chi_{I_i}(e_i + (-1)^{e_i}f\circ S_i^{-1})+\chi_{\{x>b_i\}} \right)\rho_i.
\end{equation*}
График функции $\mathcal{S}(f)$ на каждом из отрезков $I_i$ подобен графику $f$, а на промежуточных интервалах она постоянна.
%Легко проверить (см., например, \cite{Sh}), что
\begin{rusproposition}
\textbf{\textsc{(см., напр., \cite[Лемма 2.1]{Sh})}}
$\mathcal{S}$~--- сжимающее отображение в $L_{\infty}[0,1]$.
\end{rusproposition}
Отсюда по теореме Банаха о неподвижной точке существует (единственная) функция $C\in L_{\infty}[0,1]$
такая, что $\mathcal{S}(C)=C$.
%\begin{rusdefinition}
Такую функцию $C(t)$ будем называть
\textit{обобщенной канторовой лестницей} с $m$ ступеньками.
%\end{rusdefinition}

Функцию $C(t)$ можно искать как равномерный предел последовательности
$\mathcal{S}^k(f)$ для \mbox{$f(t)\equiv t$},
что позволяет считать ее непрерывной и монотонной, причем
$C(0)=0$, $C(1)=1$.
Производная функции $C(t)$ в смысле обобщенных функций~--- сингулярная 
мера $\rho$ без атомов, самоподобная по Хатчинсону (см. \cite{H}),
т.е. для любого измеримого множества $E$ удовлетворяющая соотношению 
\begin{equation*}
\rho(E) = \sum\limits_{i=1}^m \rho_i \cdot \rho(S_i^{-1}(E\cap I_i)).
\end{equation*}
Более общие способы построения самоподобных функций описаны в
\cite{Sh}.

\begin{rusremark}
Не умаляя общности, можно считать, что $a_1 = 0$, $b_m = 1$, в противном случае меру можно растянуть, что приведет к домножению спектра на константу.
\end{rusremark}

\begin{rusdefinition}\label{arithm}
Самоподобие будем называть \textit{арифметическим}, если 
логарифмы величин $\rho_i(b_i-a_i)$ соизмеримы. Иначе говоря,
\begin{equation*}
\rho_i(b_i-a_i) = \tau^{k_i}, \quad i=1...m,
\end{equation*}
для некоторой постоянной $\tau$ и $k_i \in \mathbb{N}$, таких, что $\text{НОД}(k_i, i=1\ldots m) = 1$.
\end{rusdefinition}

%\begin{rusdefinition}\label{even_ladder}
\noindent Будем называть обобщенную канторову лестницу
\textit{ровной}, если
\begin{equation}\label{even_ladder}
 \forall i=2,\dots, m\quad \rho_i=\rho_1=\frac{1}{m},
\quad b_i - a_i=b_1 - a_1,\quad a_i - b_{i-1}=a_2 - b_1 > 0.
\end{equation}
Именно такой класс лестниц рассмотрен в работе \cite{VSh3}.
%\end{rusdefinition}

В работе \cite{Rast1} формула \eqref{Th1eqn} доказана для арифметически самоподобных лестниц со следующими условиями: 
\begin{equation}\label{wider_case}
\forall i = 2,\dots, m \quad a_{i}-b_{i-1} > 0, \;\;
k_i = k_1 = 1.
\end{equation}

Сформулируем основной результат нашей работы.
\begin{rustheorem}\label{main_theo}
Пусть лестница арифметически самоподобна, и $a_{i}-b_{i-1} > 0$ для всех $i=2,\ldots, m$.
Тогда имеет место формула \eqref{Th1eqn}.
%\[
%	\forall t\in [0,\nu]\quad s(t)=e^{-Dt}\,\sigma(t),
%\]
%где $\sigma$ "--- некоторая чисто сингулярная неубывающая функция.
\end{rustheorem}


\begin{rusremark}
Для описанного класса лестниц показатель $D$ и период функции $s(t)$
определяются следующими соотношениями, полученными в \cite{SV}:
\begin{equation}\label{period}
\sum\limits_{i=1}^m \tau^{k_iD} = 1, \quad T = -\ln\tau.
\end{equation}
\end{rusremark}

\section{Вспомогательные свойства спектра}\label{par:3}
Будем рассматривать формальную граничную задачу
\begin{equation}
\left\{
\begin{split}\label{eq:3.1}
    &-y''=\lambda\rho y,\\ %\label{eq:3.2}
    &y'(a)-\gamma_0 y(a)=y'(b)+\gamma_1 y(b)=0.
\end{split}
\right.
\end{equation}
Ее обобщенным решением называется функция $y \in W_2^1[a,b]$,
удовлетворяющая интегральному тождеству
$$ \int\limits_a^b y'\eta'\, dx +
\gamma_0y(a)\eta(a)+\gamma_1y(b)\eta(b) = 
\lda\int\limits_a^b y\eta \;\rho(dx)  $$
для любой функции $\eta \in W_2^1[a,b]$. Подставляя в интегральное 
тождество
функции \mbox{$\eta \in \Wo_2^1[a,b]$}, 
устанавливаем, что производная $y'$
является первообразной сингулярной меры без атомов $\lda\rho y$,
откуда следует, что $y \in C^1[a,b]$. 

Нам требуется
следующий частный случай Утверждения~11 из \cite{V2}.

\begin{rusproposition}\label{oscil} 
%\textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~11]{V2})}}
Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность
занумерованных в порядке возрастания собственных значений граничной 
задачи \eqref{eq:3.1} с произвольной мерой $\rho$. 
Тогда независимо от выбора 
индекса $n\in\mathbb N_0$ собственное значение $\lambda_n$ является 
простым, причём отвечающая ему собственная
функция не обращается в нуль на границе отрезка \([0,1]\) и имеет 
внутри этого отрезка в точности \(n\) различных нулей.
\end{rusproposition}
В частности,
Предложение \ref{oscil} выполняется для произвольных определенных выше самоподобных 
мер, а также для их нетривиальных сужений на подотрезки $[0,1]$.

Обозначим через $\lda_n([a,b])$, $n\geqslant 0$, собственные числа задачи
\begin{gather*}
\left\{
\begin{split}
&-y'' = \lda\rho y, \\
&y'(a) = y'(b) = 0,
\end{split}
\right.
\end{gather*}
а через 
\begin{equation*}%\label{Ndef}
N(\lda, [a,b]) = \#\{ n: \lda_n([a,b])<\lda \} 
\end{equation*}
их считающую функцию. Заметим, что во всех случаях $\lda_0([a,b]) = 0$.

Из самоподобия меры $\rho$ следует такое утверждение.
\begin{ruslemma}\label{lemma1}
$$\lda_n(I_i) = \tau^{-k_i}\lda_n([0,1]),$$
$$N(\lda, I_i) = N(\tau^{k_i}\lda, [0,1]).$$
\end{ruslemma}
\begin{proof}
Второе утверждение напрямую следует из первого. Чтобы доказать первое утверждение, рассмотрим отвечающую собственному числу $\lda_n(I_i)$ собственную функцию $y_n$ и построим функцию $z$ на $[0,1]$ по следующей формуле:
\[
z = y_n \circ S_i,
\]
где $S_i$ --- определенное в \S 2 афинное сжатие. Ясно, что $z$ удовлетворяет граничным условиям Неймана на концах отрезка $[0,1]$, и для него выполняется следующее соотношение:
\[
z'' = (y_n''\circ S_i) \cdot (b_i-a_i)^2 = \lda_n(I_i)(b_i-a_i)^2 \cdot (\rho\circ S_i)\cdot (y_n\circ S_i) .
\]
Заметим также, что
\[
C\circ S_i = \mathcal{S}(C) \circ S_i = \rho_i \cdot (e_i + (-1)^{e_i}C) + \sum\limits_{j=1}^{i-1} \rho_j,
\]
откуда взятием производной получаем
\[
\rho\circ S_i = \rho_i(b_i-a_i)^{-1}\rho,
\]
а значит,
\[
z'' = \lda_n(I_i)\rho_i(b_i-a_i) \rho z = \lda_n(I_i)\tau^{k_i} \rho z.
\] 
Таким образом, функция $z$ отвечает собственному числу $\lda_n(I_i)\tau^{k_i}$ задачи Неймана на отрезке $[0,1]$ и имеет на нем ровно $n$ корней, а значит, утверждение доказано.
\end{proof}

Докажем теперь основное утверждение этого параграфа.
\begin{rustheorem}\label{4.1}
Пусть $J_1 = [c_1, d_1]$, $J_2 = [c_2, d_2]$ --- %непересекающиеся по внутренности
подотрезки $[0,1]$, и пусть $c_2-d_1 \geqslant 0$, а $\rho|_{[d_1, c_2]} \equiv 0$. Обозначим $J:=[c_1, d_2]$.
Тогда функция
\begin{equation}\label{Fdef}
	F(\lda) := N(\lda, J) - N(\lda, J_1)-N(\lda, J_2)
\end{equation}
имеет разрывы в точках $\lda_n(J)$, $\lda_n(J_1)$, $\lda_n(J_2)$. При этом
элементы наборов $\{ \lda_n(J) \}_{n=0}^\infty$ и $\{\lda_n(J_1) \}_{n=0}^\infty \cup \{\lda_n(J_2) \}_{n=0}^\infty$ нестрого чередуются, и в точках $\{\lda_n(J_1) \}_{n=0}^\infty \cup \{\lda_n(J_2) \}_{n=0}^\infty$ функция $F$ меняет значение с $0$ на $-1$, а в точках $\{ \lda_n(J) \}_{n=0}^\infty$, не содержащихся в $\{\lda_n(J_1) \}_{n=0}^\infty \cup \{\lda_n(J_2) \}_{n=0}^\infty$, меняет значение с $-1$ на $0$.
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Зафиксируем отвечающую собственному значению $\lambda_n(J_1)$ \\ 
собственную функцию $y_n$. Построим функцию $z\in C(J)$ следующим образом:
%\begin{equation*}
%z = \sum\limits_{k=1}^m
%c_k\chi_{I_k}(y_n\circ S_k^{-1}) + 
%\sum\limits_{k=1}^{m-1}d_k \chi_{\{b_k<x<a_{k+1}\}}.
%\end{equation*}
\begin{align*}
z &= y_n\text{ на отрезке } J_1, \\
z &\equiv y_n(d_1)\text{ на отрезке } [d_1, c_2],
\end{align*}
наконец, на отрезке $J_2$ определим $z$ как решение задачи Коши
\begin{equation*}
\left\{
\begin{split}
&-z'' = \lda_n(J_1)\rho z, \\
&z(c_2) = y_n(d_1), \\ &z'(c_2) = 0.
\end{split}
\right.
\end{equation*}
%кроме того, продолжим ее гладко константой на промежуточный отрезок и решением задачи Коши для уравнения \eqref{eq:1.1} при $\lda = \lambda_n(J_1)$ на отрезок $J_2$. 
Нетрудно видеть, что получившаяся функция 
непрерывно дифференцируема и является решением задачи
\begin{equation*}
\left\{
\begin{split}
&-z'' = \lambda_n(J_1) \rho z, \\
&z'(c_1)= z'(d_2) + \gamma z(d_2)=0,
\end{split}
\right.
\end{equation*}
где $\gamma := -\dfrac{z'(d_2)}{z(d_2)}$ (если $z(d_2) = 0$, то полагаем $\gamma=\infty$).

Обозначим через $n_1$ и $n_2$ число корней функции $z$ внутри отрезков $J_1$ и $J_2$ соответственно. %(если $\gamma = \infty$, то корень на краю отрезка $J_2$ также посчитан в $n_2$).
Число $\lda_n(J_1)$ является собственым числом задачи Неймана-Робена (или задачи Неймана-Дирихле при $\gamma = \infty$) на отрезке $J$, имеющим внутри него $n_1+n_2$ корней, а поскольку в силу вариационного принципа собственные числа задачи монотонно зависят от $\gamma$, то можно, учитывая Предложение \ref{oscil}, написать следующие оценки:
%\[
%\lda_{n_1+n_2-1}(J) < \lda_n(J_1) < \lda_{n_1+n_2}(J) \mbox{ при } \gamma = \infty, 
%\]
\begin{equation}\label{ldanJ1}
\begin{aligned}
\lda_{n_1+n_2}(J) < &\lda_n(J_1) < \lda_{n_1+n_2+1}(J)  \quad &&\mbox{ при } \gamma > 0 \mbox{ или } \gamma = \infty, \\
\lda_{n_1+n_2-1}(J) < &\lda_n(J_1) \leqslant \lda_{n_1+n_2}(J)  \quad &&\mbox{ при } \gamma \leqslant 0.
\end{aligned}
\end{equation}
Заметим, что по определению считающей функции
\[
N(\lda_{j}(J), J) = j, \quad N(\lda_{j}(J)+0, J) = j+1,
\]
 для всех $j\geqslant 0$, что позволяет переписать оценки \eqref{ldanJ1} в виде следующей формулы:
\begin{equation}\label{Neq1}
 \begin{matrix}
    N(\lda_n(J_1), J) & =
    & \left\{
    \begin{aligned}
    &n_1+n_2 \quad && \mbox{при } \gamma \leqslant 0, \\
    &n_1+n_2+1 \quad && \mbox{иначе. }
    \end{aligned} \right.
    \end{matrix}
\end{equation}
Рассмотрим теперь функцию $z|_{J_2}$. Она является собственной функцией Неймана-Робена с параметром $\gamma$ на $J_2$, отвечающей собственному числу $\lda_n(J_1)$ и имеющей $n_2$ корней,
%\pagebreak
%\[
%\widetilde z'' = - \lda_n(J_1) \rho \widetilde z,
%\]
%\[
%\widetilde z'(c_2) = 0, \quad \widetilde z'(d_2) + \gamma \widetilde z(d_2) = 0.
%\]
а значит, рассуждением, аналогичным предыдущему, получаем формулу
\begin{equation}\label{Neq2}
 \begin{matrix}
    N(\lda_n(J_1), J_2) & =
    & \left\{
    \begin{aligned}
    &n_2 \quad && \mbox{при } \gamma \leqslant 0, \\
    &n_2+1 \quad && \mbox{иначе. }
    \end{aligned} \right.
    \end{matrix}
\end{equation}
Заметим, также, что в силу Предложения \ref{oscil}
\begin{equation}\label{Neq3}
n = N(\lda_n(J_1), J_1) = n_1.
\end{equation}
Складывая формулы \eqref{Neq1}, \eqref{Neq2}, \eqref{Neq3}, приходим к выводу, что
\[
F(\lda_n(J_1)) = N(\lda_n(J_1), J) - N(\lda_n(J_1), J_1)-N(\lda_n(J_1), J_2) = 0.
\]
Если $\lda_n(J_1)$ --- одновременно точка разрыва двух считающих функций, то $\gamma = 0$, а значит она оказывается точкой разрыва всех трех. Поэтому во всех случаях 
\[
F(\lda_n(J_1)+0) = -1, 
\]
так как при увеличении аргумента изменяется на единицу либо только слагаемое $N(\lda_n(J_1), J)$, либо все три слагаемых изменяются на единицу одновременно.

Точно так же, начиная строить для $\lda_n(J_2)$ функцию $z$ с $J_2$ и продолжая на оставшиеся части отрезка, получаем
\[
F(\lda_n(J_2)) = 0, \quad F(\lda_n(J_2)+0) = -1.
\]
Во всех остальных точках разрывов (в точках разрывов $N(\lda,J)$, не являющихся разрывами других слагаемых) функция $F$ может только увеличиваться и только на $1$, а потому наборы  $\{ \lda_n(J) \}$ и $\{\lda_n(J_1) \} \cup \{\lda_n(J_2) \}$ должны нестрого чередоваться, и для $n$, для которых $\lda_n(J) \not\in \{\lda_n(J_1) \} \cup \{\lda_n(J_2) \}$, выполняется
\[
F(\lda_n(J)) = -1, \quad F(\lda_n(J)+0) = 0.
\]
Кроме того, $F(0) = 0$, и в нуле сосредоточены три собственных числа $\lda_0(J) = \lda_0(J_1) = \lda_0(J_2)$, а первая ненулевая точка разрыва --- это собственное значение $\lda_1(J)$. Таким образом, чередование начинается с элемента набора $\{\lda_n(J_1) \} \cup \{\lda_n(J_2) \}$.
\end{proof}

\begin{rusremark}
В доказательстве Теоремы \ref{4.1} не используется условие $a_{i}-b_{i-1}>0$, поэтому она верна и в случае лестницы, имеющей пустые промежуточные отрезки. Кроме того, 
в нем используются осцилляционные свойства собственных функций (Предложение \ref{oscil}), но не используется самоподобие меры $\rho$.

В случае, когда $m=2$, $k_1=k_2=1$, %покрываемом(??) результатами работы \cite{Rast1}, 
из Теоремы \ref{4.1} с учетом Леммы \ref{lemma1} следует, в частности, соотношение 
\[
N(\tau^{-1}\lda_n) = 2N(\lda_n)
\]
и соответствующее ему свойство
\[
\tau\lda_{2n} = \lda_n,
\]
которое в работах \cite{VSh3}, \cite{Rast1}, \cite{V3} называется спектральной периодичностью.
\end{rusremark}



\section{Доказательство основного результата}\label{par:4}
Для доказательства Теоремы \ref{main_theo} нам потребуются следующие факты:

\begin{rusproposition}\label{sing}
\textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~4.1.3]{VSh3})}}
Пусть $f\in L_2[0,1]$ "--- ограниченная непостоянная неубывающая функция,
$\{f_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность неубывающих ступенчатых
функций, а $\{\mathfrak A_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность множеств
точек разрыва функций $f_n$. Пусть также при $n\to\infty$ выполняется
асимптотическое соотношение
\[
	(\#\mathfrak A_n+2)\cdot\|f-f_n\|_{L_2[0,1]}=o(1).
\]
Тогда монотонная функция $f$ является чисто сингулярной (т.е. $f'$ сингулярна относительно меры Лебега).
\end{rusproposition}

\begin{rusproposition}\label{5.2}
\textbf{\textsc{(\cite[Утверждение~5.2.1]{VSh3})}}
Пусть $\{\lambda_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- последовательность
занумерованных в порядке возрастания собственных значений граничной задачи
с самоподобным весом
\begin{gather*}
\left\{
\begin{split}
	&-y''=\lambda\rho y,\\
	&y'(0)=y'(1)=0,
\end{split}
\right.
\end{gather*}
а $\{\mu_n\}_{n=0}^{\infty}$ "--- аналогичная последовательность для 
отвечающей тому же уравнению граничной задачи
\[
	y'(0)-\gamma_0y(0)=y'(1)+\gamma_1y(1)=0,
\]
где $\gamma_0,\,\gamma_1\geq 0$. Тогда
\[
	\sum\limits_{n=0}^{\infty} |\ln\mu_n-\ln\lambda_n| < +\infty.
\]
\end{rusproposition}

\begin{rusremark}
Более общие результаты о регуляризованных произведениях собственных
значений рассматривались также в \cite{Naz2}.
\end{rusremark}

\begin{rustheorem}\label{Th5.1}
В обозначениях Теоремы \ref{4.1}, если $c_2-d_1>0$, то в логарифмической шкале множество, на котором функция $F$, определенная в \eqref{Fdef}, отлична от нуля, имеет конечную лебегову меру. Иначе говоря, если обозначить через $\{ \mu_n(J) \}_{n=0}^\infty$
упорядоченные по возрастанию элементы набора $\{\lda_n(J_1) \} \cup \{\lda_n(J_2) \}$, то
\[
\sum\limits_{n=0}^{\infty}|\ln\lambda_{n}(J)-\ln\mu_{n}(J)| < +\infty.
\]
\end{rustheorem}
\begin{proof}
Обозначим через $\nu_n(J_1)$ собственные числа задачи
\begin{gather*}
\left\{
\begin{split}
&-y'' = \lda\rho y, \\
&y'(c_1) = y'(d_1) + \dfrac{2}{c_2-d_1}\cdot y(d_1) = 0,
\end{split}
\right.
\end{gather*}
через $\nu_n(J_2)$ -- собственные числа задачи
\begin{gather*}
\left\{
\begin{split}
&-y'' = \lda\rho y, \\
&y'(c_2) - \dfrac{2}{c_2-d_1}\cdot y(c_2) = y'(d_2) = 0.
\end{split}
\right.
\end{gather*}
Зафиксируем отвечающую $\lda_n(J)$ собственную функцию $y_n$ и рассмотрим ее сужение на отрезки $J_1$ и $J_2$.
Поскольку $\rho|_{[d_1,c_2]}\equiv 0$, то $y_n|_{[d_1, c_2]}$ -- линейная функция, а значит, выполняется соотношение
\[
\dfrac{y_n(c_2)}{y_n'(c_2)}-\dfrac{y_n(d_1)}{y_n'(d_1)} = c_2-d_1.
\]
Отсюда следует, что
\[
\dfrac{y_n(c_2)}{y_n'(c_2)} \geqslant \dfrac{c_2-d_1}{2} \mbox{ или }
-\dfrac{y_n(d_1)}{y_n'(d_1)} \geqslant \dfrac{c_2-d_1}{2},
\]
а значит выполняется одна из следующих оценок:
\[
0 \leqslant -\dfrac{y_n'(d_1)}{y_n(d_1)}\leqslant \dfrac{2}{c_2-d_1},
\]
либо
\[
0 \leqslant \dfrac{y_n'(c_2)}{y_n(c_2)}\leqslant \dfrac{2}{c_2-d_1},
\]
что, в силу вариационного принципа, влечет $\lda_k(J_1) \leqslant \lda_n(J) \leqslant \nu_k(J_1)$ или $\lda_k(J_2) \leqslant \lda_n(J) \leqslant \nu_k(J_2)$, где $k$ --- число корней $y_n$, попавших внутрь отрезка $J_1$ или $J_2$ соответственно. Далее, поскольку наборы $\{\mu_n(J)\}_{n=0}^\infty$ и $\{\lda_n(J)\}_{n=0}^\infty$ нестрого чередуются, начиная с $\mu_0(J)$, имеем $\mu_n(J) \leqslant \lda_n(J)$. Более того, выполняется соотношение
\[
\mu_n(J) = \max\{ \mu_k(J) : \mu_k(J)\leqslant\lda_n(J)\},
\] 
а поскольку $\lda_k(J_{1,2})$ принадлежат $\{\mu_n(J)\}_{n=0}^\infty$, из соотношения $\lda_k(J_{1,2})\leqslant\lda_n(J)$ следует $\lda_k(J_{1,2})\leqslant\mu_n(J)$. Получается, что для любого $n$ найдется некоторое $k$, для которого выполняется одна из двух цепочек неравенств:
$$\lda_k(J_1) \leqslant \mu_n(J) \leqslant \lda_n(J) \leqslant \nu_k(J_1),$$ 
либо 
$$\lda_k(J_2) \leqslant \mu_n(J) \leqslant \lda_n(J) \leqslant \nu_k(J_2).$$ 
Получается, что объединение непересекающихся отрезков $\bigcup\limits_{n=0}^\infty [\mu_n(J), \lda_n(J)]$ полностью содержится в объединении $\Big( \bigcup\limits_{n=0}^\infty [\lda_n(J_1), \nu_n(J_1)] \Big) \cup \Big( \bigcup\limits_{n=0}^\infty [\lda_n(J_2), \nu_n(J_2)] \Big)$. 
Отсюда с учетом Предложения \ref{5.2} получаем оценку
\begin{gather*}
\sum\limits_{n=0}^{\infty}|\ln\lambda_{n}(J)-\ln\mu_{n}(J)| \leqslant 
 \sum\limits_{n=0}^{\infty}|\ln\nu_{n}(J_1)-\ln\lda_{n}(J_1)| + {} \\
 {} + \sum\limits_{n=0}^{\infty}|\ln\nu_{n}(J_2)-\ln\lda_{n}(J_2)| < +\infty.
\end{gather*}
\end{proof}

\begin{proof}[Доказательство Теоремы \ref{main_theo}]
Из \eqref{eq:mes_asymp} имеем
\[
N(\lda) = \lda^D\big(s(\ln \lda)+\varepsilon(\lda)\big),
\]
где $\varepsilon(\lda)\to 0$ при $\lda\to\infty$. Для произвольного $k\in\mathbb{N}$ получаем
\[
N(\tau^{-k}\lda) = \tau^{-kD} \lda^D(s(\ln\lda) + \varepsilon(\tau^{-k}\lda)),
\]
откуда $$s(\ln\lda)\lda^D = \lim\limits_{k\to\infty} \tau^{kD}N(\tau^{-k}\lda)$$
равномерно на отрезке. Введем обозначение
\[
\sigma(t) := s(t) e^{Dt} = \lim\limits_{k\to\infty} \tau^{kD}N(\tau^{-k} e^t),
\quad t\in[0,T].
\]
Определим более удобную для нас последовательность ступенчатых приближений этой функции.

\paragraph{Случай $m=2$.}
Рассмотрим сперва для наглядности случай $m=2$.
Пусть, не умаляя общности, $k_1\leqslant k_2$. Определим
\[
f_j(t) := C\tau^{jD}\sum_{i=0}^{k_2-1} C_i N(\tau^{-i-j}e^t),
\quad t\in[0,T].
\]
Подберем коэффициенты $C_i$ таким образом, чтобы выполнялось равенство
\[
f_{j+1}(t) - f_j(t) = C\tau^{jD}\Big(N(\lda) - N(\tau^{k_1}\lda) - N(\tau^{k_2}\lda)\Big),
\]
где $\lda = \tau^{-k_2-j}e^t$. Прямым вычислением с использованием \eqref{period} несложно убедиться, что
\[
C_i = \left\{
\begin{aligned}
&\tau^{-(k_2-i)D} \quad && k_2-i=1,\ldots, k_1, \\
&\tau^{-(k_2-i)D}\cdot\big(1-\tau^{k_1 D}\big) \quad && k_2-i=k_1+1,\ldots, k_2.
\end{aligned}
\right.
\]
Вторая строчка не реализуется при $k_1 = k_2$.
Заметим, что
\[
\lim_{j\to+\infty}f_j(t) = C\sum\limits_{i=0}^{k_2-1} C_i\tau^{-iD} \lim_{j\to+\infty}\tau^{(i+j)D}N(\tau^{-i-j}e^t) = \sigma(t) \cdot C\sum\limits_{i=0}^{k_2-1} C_i\tau^{-iD},
\]
поэтому если положить
\[
C = \Big(\sum_{i=0}^{k_2-1} C_i \tau^{-iD}\Big)^{-1},
\]
%Можно отметить, что $C_0 = \tau^{-kD} - \tau^{-(k-l)D} = 1$.
%чтобы выполнялось соотношение
то будет выполнено
\[
\sigma(t) = \lim_{j\to+\infty}f_j(t).
\]
Заметим, что по Лемме \ref{lemma1}
\[
N(\lda) - N(\tau^{k_1}\lda) - N(\tau^{k_2}\lda) = N(\lda, [0,1]) - N(\lda, I_1) - N(\lda, I_2),
\]
а значит, с учетом Теоремы \ref{4.1} легко видеть, что
\begin{equation}\label{fmod}
|f_{j+1}(t) - f_j(t)| \leq C\tau^{jD},
\end{equation}
а число разрывов $f_j$, как суммы $k_2$ слагаемых, каждое из которых имеет не более $N(\tau^{-k_2-j})$ разрывов, допускает оценку
\begin{equation}\label{fbreaks}
\#\mathfrak A_j \leq k_2 N(\tau^{-k_2-j}) \leq \widetilde{C} \tau^{-jD}.
\end{equation}
Все, что нам осталось для применения Предложения \ref{sing} --- это доказать оценку
\begin{equation}\label{fmeas}
meas\{t\in[0, T]: f_j(t)\neq f_{j+1}(t)\} = o(1), \quad j\to\infty.
\end{equation}
Обозначим через $\{\mu_n\}_{n=0}^\infty$ последовательность упорядоченных по возрастанию элементов набора $\{\lda_n(I_1) \} \cup \{\lda_n(I_2) \}$. 
Так как $\lda_n$ и $\mu_n$ нестрого чередуются, и чередование начинается с $\mu_0$, имеем $\mu_n \leqslant \lda_n$ для всех $n\geqslant 0$.  Мы пытаемся оценить меру множества, где
\[
N(\lda, [0,1]) - N(\lda, I_1) - N(\lda, I_2) \neq 0.
\]
Это верно только если 
\[
\lda \in \bigcup\limits_{n=0}^\infty 
\left[\mu_{n}, \lda_{n}\right],
\]
а учитывая $\lda = \tau^{-k_1-j}e^t$ и $t\in[0, T]$, получаем
\[
(k_1+j)T + t \in \Big( 
\bigcup\limits_{n=0}^\infty 
\left[\ln\mu_{n}, \ln\lda_{n}\right]
\Big) \cap [(k_1+j)T, (k_1+j+1)T].
\]
Мера объединения
\[
\Big| 
\bigcup\limits_{n=0}^\infty 
\left[\ln\mu_{n}, \ln\lda_{n}\right]
\Big| = \sum\limits_{n=1}^{\infty}|\ln\lambda_{n}-\ln\mu_{n}|
\]
ограничена в силу Теоремы \ref{Th5.1}, а значит мера его пересечения с уходящими на бесконечность отрезками стремится к нулю, что доказывает оценку \eqref{fmeas}.

Из соотношений \eqref{fmod} и \eqref{fmeas} получаем оценку
\[
\|f_{j+1} - f_j\|_{L_2[0,1]} = o(\tau^{jD}),
\]
откуда следует, что
\[
\|\sigma - f_j\|_{L_2[0,1]} = o(\tau^{jD}).
\]
Применяя эту оценку вместе с \eqref{fbreaks}, получаем
\[
(\#\mathfrak A_n+2)\cdot\|\sigma-f_n\|_{L_2[0,1]} = o(1),
\]
что позволяет применить Предложение \ref{sing} для функции $\sigma$, завершая доказательство теоремы для данного случая.

%\section{Обобщение}
%Докажем теперь общий случай.
\paragraph{Общий случай.}
%\[
%N(\lda) = \lda^D\big(s(\ln \lda)+\varepsilon(\lda)\big),
%\]
%где $\varepsilon(\lda)\to 0$ при $\lda\to\infty$. Для произвольного $k\in\mathbb{N}$ получаем
%\[
%N(\tau^{-k}\lda) = \tau^{-kD} \lda^D(s(\ln\lda) + \varepsilon(\tau^{-k}\lda)),
%\]
%откуда $$s(\ln\lda)\lda^D = \lim\limits_{k\to\infty} \tau^{kD}N(\tau^{-k}\lda)$$
%равномерно на отрезке. Значит существует равномерный предел
%\[
%\sigma(t) := \lim\limits_{k\to\infty} \tau^{kD}N(\tau^{-k} e^t).
%\]
%Определим более удобную для нас последовательность ступенчатых приближений этой функции.
Пусть $\{\kappa_i\}_{i=1}^{p}$ --- упорядоченные по возрастанию элементы множества $\{k_i\}_{i=1}^m$ без повторений, $\{l_i\}_{i=1}^{p}$ --- их кратности (количество отрезков $I_n$, которым отвечает значение с соответствующим номером). Аналогично случаю $m=2$ определяем функции и константы
\[
f_j(t) := C\tau^{jD}\sum_{i=0}^{\kappa_p-1} C_i N(\tau^{-i-j}e^t),
\quad t\in[0,T],
\]
\[
C_i = 
\left\{
\begin{aligned}
&\tau^{-(\kappa_p-i)D} \quad  && \kappa_p-i=1,\ldots, \kappa_1, \\
&\tau^{-(\kappa_p-i)D}\cdot\big(1-l_1 \tau^{\kappa_1 D}\big) \quad  && \kappa_p-i=\kappa_1+1,\ldots, \kappa_2, \\
&\tau^{-(\kappa_p-i)D}\cdot\big(1-l_1 \tau^{\kappa_1 D}-l_2 \tau^{\kappa_2 D}\big) \quad  && \kappa_p-i=\kappa_2+1,\ldots, \kappa_3, \\
&\ldots && \\
&\tau^{-(\kappa_p-i)D}\cdot\Big(1-\sum_{j=1}^{p-1} l_j \tau^{\kappa_j D}\Big) \quad  && \kappa_p-i=\kappa_{p-1}+1,\ldots, \kappa_p,
\end{aligned}
\right.
\]
\[
C = \Big(\sum_{i=0}^{\kappa_p-1} C_i \tau^{-iD}\Big)^{-1}.
\]
Из \eqref{period} имеем
\[
\sum_{i=1}^{p} l_i\tau^{\kappa_i D} = 1,
\]
откуда
\[
1 - \sum_{i=1}^{r} l_i\tau^{\kappa_i D} > 0, \quad r=1,\ldots, p-1,
\]
%\[
%\sum_{i=0}^{\kappa_p-1} C_{\kappa_p - i} \tau^{-iD} = \sum_{i=1}^{\kappa_p} C_i \tau^{-(\kappa_p-i)D} =
%\kappa_p \tau^{-\kappa_pD} - \sum_{j=1}^{p-1} (\kappa_p-\kappa_j)l_j\tau^{-(\kappa_p-\kappa_j)D} = {}
%\]
%\[
%{} = \kappa_p \Big( \tau^{-\kappa_pD} - \sum_{j=1}^{p-1} l_j\tau^{-(\kappa_p-\kappa_j)D}\Big) +
%\sum_{j=1}^{p-1} \kappa_j l_j\tau^{-(\kappa_p-\kappa_j)D} = \kappa_p l_p + \sum_{j=1}^{p-1} \kappa_j l_j\tau^{-(\kappa_p-\kappa_j)D} > 0, 
%\]
а значит, константы $C_i$ положительны, и константа $C$ определена корректно. Так же, как и в предыдущем случае, такой выбор констант $C_i$ обеспечивает нам соотношение
%Можно отметить, что $C_0 = \tau^{-kD} - \tau^{-(k-l)D} = 1$.
%При таком определении,
\[
f_{j+1}(t) - f_j(t) = C\tau^{jD}\Big(N(\lda) - \sum_{j=1}^p l_j N(\tau^{\kappa_j}\lda)\Big),
\]
где $\lda = \tau^{-\kappa_p-j}e^t$, а выбор константы $C$ --- соотношение
\[
\sigma(t) = \lim_{j\to+\infty}f_j(t).
\]
Учитывая Лемму \ref{lemma1},
\[
f_{j+1}(t) - f_j(t) = 
%C\tau^{jD}\Big(N(\lda) - \sum_{j=1}^p l_j N(\tau^{\kappa_j}\lda)\Big) = {}
%\]
%\[
%{} =
C\tau^{jD}\Big(N(\lda, [0,1]) - \sum_{j=1}^m N(\lda, I_j)\Big) = {}
\]
\[
{} = C\tau^{jD}\sum_{j=1}^{m-1}\Big( N(\lda, [a_j, 1]) - N(\lda, [a_{j+1}, 1]) - N(\lda, I_j)\Big).
\]
С учетом Теоремы \ref{4.1} легко видеть, что
\[
|f_{j+1}(t) - f_j(t)| \leq C(m-1)\tau^{jD},
\]
а число разрывов $f_j$ допускает оценку
\[
\#\mathfrak A_j \leq \kappa_p N(\tau^{-\kappa_p-j}) \leq \widetilde{C} \tau^{-jD}.
\]
Все, что нам осталось для применения Предложения \ref{sing} --- это доказать оценку
\[
meas\{t\in[0, T]: f_k(t)\neq f_{k+1}(t)\} = o(1), \quad k\to\infty,
\]
которая напрямую следует из Теоремы \ref{Th5.1} так же, как и в случае $m=2$.
\end{proof}

\bigskip


Автор выражает благодарность А.~И.~Назарову за постановку задачи и внимание, 
проявленное к работе, а также Д.~Д.~Черкашину за ценные замечания.

\bigskip
\bigskip

Основные результаты работы (Теоремы 2, 3) получены при поддержке Российского научного фонда, грант  №14-21-00035. Вспомогательный результат (Теорема 4) получен при поддержке 
 гранта РФФИ (проект 16-01-00258a).

\bigskip
\bigskip

\begin{rusbibliography}{99}
\addcontentsline{toc}{section}{Литература}

\bibitem{VSh3} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{О задаче Неймана для уравнения Штурма--Лиувилля с самоподобным весом
канторовского типа}// Функциональный анализ и его приложения. "---
2013. "--- Т.~47 вып.~4. "--- С.~18--29.

\bibitem{Rast1} Н.~В.~Растегаев, \emph{Об асимптотике спектра задачи Неймана для уравнения Штурма–Лиувилля с самоподобным весом обобщенного канторовского типа}// Зап. научн. сем. ПОМИ. "--- 2014. "--- 425. "---  C.~86–-98.

\bibitem{BS2} М.~С.~Бирман, М.~З.~Соломяк. \emph{Спектральная теория
самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве} // 
Изд. ``Лань''. "--- 2010.

\bibitem{Naz} А.~И.~Назаров. \emph{Логарифмическая асимптотика малых уклонений
для некоторых гауссовских процессов в \(L_2\)-норме относительно самоподобной
меры}// Записки науч.~семинаров ПОМИ. "--- 2004. "--- Т.~311. "--- С.~190--213.

\bibitem{K} М.~Г.~Крейн. \emph{Определение плотности неоднородной 
симметричной струны по спектру}//
ДАН СССР. "--- 1951. "--- Т.~76, N~3. "--- С.~345--348.

\bibitem{BS1} М.~С.~Бирман, М.~З.~Соломяк. \emph{Асимптотика спектра
слабо полярных интегральных операторов}// Изв. АН СССР, матем.
"--- 1970. "--- Т.~34. N~6. "--- С.~1143--1158.

\bibitem{B} В.~В.~Борзов. \emph{О количественных характеристиках 
сингулярных мер}// Проблемы матем. физики. "--- 1970. "--- Т.~4.
"--- С.~42--47.

\bibitem{F} T.~Fujita. \emph{A fractional dimention, self-similarity
and a generalized diffusion operator} // Taniguchi Symp. PMMP. Katata.
"--- 1985. "--- С.~83--90.

\bibitem{HU} I.~Hong, T.~Uno. \emph{Some consideration of asymptotic 
distribution of eigenvalues for
the equation $d^2u/dx^2 + \lda\rho(x)u = 0$}// Japanese Journ. of Math.
"--- 1959. "--- Т.~29. "--- С.~152--164.

\bibitem{MR} H.~P.~McKean, D.~B.~Ray. \emph{Spectral distribution of a differential operator}// Duke Math. Journ. "--- 1962. "---
Т.~29. "--- С.~281--292.

\bibitem{SV} M.~Solomyak, E.~Verbitsky. \emph{On a spectral problem related to
self-similar measures}// Bull. London Math.~Soc. "--- 1995. "--- Т.~27, N~3. "---
С.~242--248.

\bibitem{KL} J.~Kigami, M.~L.~Lapidus. \emph{Weyl’s problem for the spectral 
distributions of Laplacians on p.c.f. self-similar fractals}// Comm. Math. Phys. ---
1991. --- Т.~158. --- С.~93--125.

\bibitem{VSh1} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{Самоподобные функции
в пространстве \(L_2[0,1]\) и задача Штурма--Лиувилля с сингулярным индефинитным
весом}// Матем. сборник. "--- 2006. "--- Т.~197, N~11. "--- С.~13--30.

\bibitem{V3} А.~А.~Владимиров. \emph{Осцилляционный метод в задаче о спектре дифференциального оператора четвертого порядка с самоподобным весом}// Алгебра и анализ. "--- 2015. "--- 27:2. "--- C.~83–95. 

\bibitem{Sh} И.~А.~Шейпак. \emph{О конструкции и некоторых свойствах
самоподобных функций в пространствах \(L_p[0,1]\)}// Матем. заметки. "--- 2007. "---
Т.~81, N~6. "--- С.~924--938.

\bibitem{H} J.~E.~Hutchinson. \emph{Fractals and self similarity}//
Indiana Univ. Math. J."--- 1981. "--- Т.~30, N~5. "--- С.~713--747.

\bibitem{V2} А.~А.~Владимиров. \emph{К осцилляционной теории задачи Штурма--Лиувилля
с сингулярными коэффициентами}// Журнал выч.~матем. и матем.~физ. "--- 2009. "---
Т.~49, N~9. "--- С.~1609--1621.

%\bibitem{VSh2} А.~А.~Владимиров, И.~А.~Шейпак. \emph{Асимптотика собственных
%значений задачи высшего чётного порядка с дискретным самоподобным весом}//
%\texttt{arXiv:1009.5335}.

\bibitem{Naz2} А.~И.~Назаров. \emph{Об одном семействе преобразований
гауссовских случайных функций}// Теория вероятностей и ее применения. "--- 2009. "--- Т.~54. N~2. "--- С.~209--225.

\end{rusbibliography}

\end{document}
