\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[russian]{babel} \usepackage{amsmath} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage[dvipsnames]{xcolor} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tikz} \usepackage{pgfplots} \usepackage{float} \floatstyle{boxed} \restylefloat{figure} \usepackage{amsthm} \theoremstyle{theorem} \newtheorem{theorem}{Теорема}[section] \newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение} \newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма} \newtheorem{condition}[theorem]{Условие} \newtheorem{remark}[theorem]{Замечание} \newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие} \providecommand{\keywords}[1]{\textbf{{Ключевые слова:}} #1} \setcounter{tocdepth}{1} \usepackage[paperwidth=20.5cm,paperheight=29.7cm,width=16.5cm,height=25.5cm,top=24mm,headsep=11mm]{geometry} \numberwithin{equation}{section} \begin{document} \title{Об усреднении первой начально-краевой задачи для~периодических гиперболических систем с~помощью обратного преобразования Лапласа\footnote{Представлено Т.~А. Суслиной.}\;\,\footnote{Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант №14-21-00035.}} \author{Ю. М. Мешкова \footnote{Лаборатория им. П.~Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственный университет, 14 линия В.~О., дом 29Б, Санкт-Петербург 199178 Россия. E-mail: {\tt{y.meshkova@spbu.ru}, \tt{juliavmeshke@yandex.ru}}. }} \maketitle \begin{abstract} Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный сильно эллиптический дифференциальный оператор $B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon \leqslant 1$, второго порядка при условии Дирихле на границе. Коэффициенты оператора $B_{D,\varepsilon}$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Нас интересует поведение операторов $\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ и $B_{D,\varepsilon} ^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon} ^{1/2})$, $t\in\mathbb{R}$, в пределе малого периода. Для них получены аппроксимации по норме операторов, действующих из некоторого подпространства $\mathcal{H}$ пространства Соболева $H^4(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Кроме этого, для $B_{D,\varepsilon} ^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon} ^{1/2})$ получена аппроксимация при учете корректора по норме операторов, действующих из $\mathcal{H}\subset H^4(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Результаты применяются к усреднению решения первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения $\partial ^2_t \mathbf{u}_\varepsilon =-B_{D,\varepsilon} \mathbf{u}_\varepsilon $. \end{abstract} \keywords{периодические дифференциальные операторы, гиперболические системы, усреднение, операторные оценки погрешности.} \tableofcontents \addcontentsline{toc}{section}{Введение} \section*{Введение} Работа относится к теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО). Теории усреднения посвящена обширная литература; см., например, книги \cite{BaPa,BeLP,ZhKO,Sa}. \subsection{Постановка задачи} Пусть $\Gamma\subset\mathbb{R}^d$ --- решетка и $\Omega$ --- элементарная ячейка решетки $\Gamma$. Для $\Gamma$-периодических функций в $\mathbb{R}^d$ используем обозначение $f^\varepsilon (\mathbf{x}):=f(\varepsilon ^{-1}\mathbf{x})$, $\varepsilon >0$. Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ мы изучаем самосопряженный матричный сильно эллиптический ДО второго порядка ${B}_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, при условии Дирихле на границе. Старшая часть оператора ${B}_{D,\varepsilon}$ задается в факторизованной форме $A_{\varepsilon}=b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$, где $b(\mathbf{D})$ --- матричный однородный ДО первого порядка, $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая матрица-функция в $\mathbb{R}^d$, ограниченная и положительно определенная. (Точные условия на $b(\mathbf{D})$ и $g(\mathbf{x})$ приведены ниже в п.~\ref{Subsection operatoer A_D,eps}.) Оператор ${B}_{D,\varepsilon}$ задан дифференциальным выражением \begin{equation} \label{B_D,eps in introduction} {B}_{\varepsilon}=b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x}) b(\mathbf{D}) +\sum_{j=1}^d\bigl(a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j+D_ja_j^\varepsilon(\mathbf{x})^*\bigr) +Q^\varepsilon (\mathbf{x}) +\lambda I \end{equation} при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$. Здесь $\Gamma$-периодические матрицы-функции $a_j(\mathbf{x})$, $j=1,\dots,d$, и $Q(\mathbf{x})$ берутся из подходящих пространств $L_p(\Omega)$, причем $Q(\mathbf{x})$ предполагается эрмитовой. Постоянная $\lambda$ выбрана так, чтобы оператор $B_{D,\varepsilon}$ был положительно определен. (Точные условия на коэффициенты см. ниже в п.~\ref{Subsection lower order terms}.) Строгое определение оператора ${B}_{D,\varepsilon}$ дается через соответствующую квадратичную форму, заданную на классе Соболева $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Коэффициенты оператора $B_{D,\varepsilon}$ быстро осциллируют при малом $\varepsilon$. \textit{Нас интересует }поведение при $\varepsilon\rightarrow 0$ решения первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения: \begin{equation} \label{introduction hyperbolic system} \begin{cases} \frac{\partial ^2\mathbf{u}_\varepsilon }{ \partial t^2}(\mathbf{x},t)=-(B_\varepsilon\mathbf{u}_\varepsilon )(\mathbf{x},t)+\mathbf{F}(\mathbf{x},t),\quad \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0,\\ \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\quad \frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon}{\partial t}(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}). \end{cases} \end{equation} При $\boldsymbol{\varphi}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n))$ имеем \begin{equation*} \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)=\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\varphi} +B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\psi}+\int _0^t B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin \left((t-\widetilde{t})B_{D,\varepsilon}^{1/2}\right)\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{t})\,d\widetilde{t}. \end{equation*} Таким образом, вопрос о поведении решения задачи \eqref{introduction hyperbolic system} сводится к изучению поведения операторов $\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ и $B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ в пределе малого периода. \subsection{Основные результаты} \textit{Наш первый основной результат }--- оценки \begin{align} \label{intr Th cos B_D,eps} \Bigl\Vert & \left( \cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos (t (B_D^0)^{1/2}) \right)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C \varepsilon \left(1+\vert t\vert ^5\right) , \\ \label{intr Th sin 1} \Bigl\Vert & \left( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\right) (B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C\varepsilon \vert t\vert (1+\vert t\vert ^5) , \end{align} справедливые при $t\in\mathbb{R}$ и достаточно малом $\varepsilon$. Здесь $B_D^0$ --- \textit{эффективный оператор }с постоянными коэффициентами. \textit{Второй основной результат} --- аппроксимация \begin{equation} \label{intr Th sin 2} \begin{split} \Bigl\Vert & \bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) -\varepsilon \mathcal{K}_D(\varepsilon ;t)\bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant C\varepsilon ^{1/2} (1+t ^6). \end{split} \end{equation} Здесь $\mathcal{K}_D(\varepsilon ;t)$ --- \textit{корректор.} Он содержит быстро осциллирующие множители и потому зависит от $\varepsilon$. В общем случае корректор содержит сглаживающий оператор. Если граница области достаточно гладкая, при $d\leqslant 8$ сглаживатель удается устранить. Постоянные в оценках \eqref{intr Th cos B_D,eps}--\eqref{intr Th sin 2} контролируются явно через данные задачи. Результаты такого сорта называют \textit{операторными оценками погрешности в теории усреднения.} При фиксированном времени $t$ оценки \eqref{intr Th cos B_D,eps}, \eqref{intr Th sin 1} имеют точный порядок $O(\varepsilon)$. Порядок оценки \eqref{intr Th sin 2} хуже: $O(\varepsilon ^{1/2})$. Это объясняется влиянием границы области. Для оператора $\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})$ получить аналог оценки \eqref{intr Th sin 2} не удается, однако возможно аппроксимировать ,,сглаженный'' косинус: \begin{equation} \label{cos corrector introduction} \begin{split} \Bigl\Vert &\Bigl(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-\cos (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1}-\varepsilon\mathscr{K}(\varepsilon;t)\Bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant C\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5). \end{split} \end{equation} Это согласуется с результатами \cite{BrOFMu}, см. обсуждение в п.~\ref{Subsection Survey} ниже. \subsection{Обзор} \label{Subsection Survey} В настоящее время активно изучаются операторные оценки погрешности в теории усреднения. Интерес к этой тематике возник в связи с работой М.~Ш.~Бирмана и Т.~А.~Суслиной \cite{BSu}. В \cite{BSu} рассматривался оператор $A_\varepsilon=b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. С помощью \textit{спектрального подхода} была установлена оценка \begin{equation} \label{A_eps res L2 intr} \Vert (A_\varepsilon +I)^{-1}-(A^0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon . \end{equation} Здесь $A^0=b(\mathbf{D})^* g ^0 b(\mathbf{D})$ --- эффективный оператор, $g^0$ --- постоянная эффективная матрица. Аппроксимация оператора $(A_\varepsilon +I)^{-1}$ по $(L_2\rightarrow H^1)$-норме получена в \cite{BSu06}: \begin{equation} \label{A_eps res H1 intr} \Vert (A_\varepsilon +I)^{-1}-(A^0+I)^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon. \end{equation} Впоследствии оценки \eqref{A_eps res L2 intr} и \eqref{A_eps res H1 intr} были перенесены Т.~А.~Суслиной \cite{SuAA} на более общий оператор $B_\varepsilon$ вида \eqref{B_D,eps in introduction}, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. К гиперболическим системам спектральный метод применялся в работах \cite{BSu08,M,DSu}. В \cite{BSu08} установлены аппроксимации \begin{align} \label{Th BSu cos introduction} &\Vert \cos (t {A}_\varepsilon ^{1/2})-\cos (t( {A}^0)^{1/2})\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon (1+\vert t\vert) , \\ \label{Th BSu} \begin{split} \Vert {A}_\varepsilon^{-1/2}\sin( t {A}^{1/2}_\varepsilon)-( {A}^0)^{-1/2}\sin ( t ( {A}^0)^{1/2})\Vert_{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (1+\vert t\vert )^2, \quad t\in\mathbb{R}. \end{split} \end{align} В \cite{M} получено улучшение оценки \eqref{Th BSu} относительно типа операторной нормы: \begin{equation} \begin{split} \label{Th sin M principal term introduction} \Vert {A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin( t {A}^{1/2}_\varepsilon)-( {A}^0)^{-1/2}\sin ( t ( {A}^0)^{1/2})\Vert_{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (1+\vert t\vert ), \quad t\in\mathbb{R}, \end{split} \end{equation} и аппроксимация оператора ${A}_\varepsilon^{-1/2}\sin( t {A}^{1/2}_\varepsilon)$ при учете корректора по $(H^2\rightarrow H^1)$-норме: \begin{align} \label{main result 2} \begin{split} \left\Vert {A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin ( t {A}_\varepsilon ^{1/2})-( {A}^0)^{-1/2}\sin ( t ( {A}^0)^{1/2})-\varepsilon\mathrm{K}(\varepsilon ; t)\right\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant C \varepsilon(1+\vert t\vert),\quad t\in\mathbb{R}. \end{split} \end{align} В \cite{DSu} была подтверждена точность оценок \eqref{Th BSu cos introduction}, \eqref{Th sin M principal term introduction} относительно типа операторной нормы (в общем случае). В оценках \eqref{A_eps res H1 intr} и \eqref{main result 2} корректоры имеют похожую структуру. Естественно ожидать, что и для операторного косинуса справедлива аппроксимация с корректором той же формы. Однако в \cite{BrOFMu} установлено, что это имеет место только при специальном выборе начальных данных. В нашем случае этот выбор отвечает оценке \eqref{cos corrector introduction}. В общем случае аппроксимация с корректором найдена в работах \cite{BraLe,CaDCoCaMaMarG1}. Однако из-за дисперсии волн в неоднородной области корректор нелокален. Дисперсионные эффекты при гомогенизации волнового уравнения изучались в работах \cite{ABriV,ConOrV,ConSaMaBalV}. Операторные оценки в упомянутых работах не обсуждались. \textit{Другой подход} к получению операторных оценок погрешности в теории усреднения был предложен В.~В.~Жиковым \cite{Zh1}. В работах \cite{Zh1,ZhPas2} были получены оценки вида \eqref{A_eps res L2 intr}, \eqref{A_eps res H1 intr} для операторов акустики и теории упругости. Метод, названный авторами \textit{\glqq модифицированным методом первого приближения\grqq\,} или \textit{\glqq методом сдвига\grqq}, основан на анализе первого приближения к решению и введении в задачу дополнительного параметра. Помимо задач в $\mathbb{R}^d$ в работах \cite{Zh1,ZhPas2} изучались задачи усреднения в ограниченной области $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ при условии Дирихле либо Неймана на границе. Дальнейшие результаты В. В. Жикова, С. Е. Пастуховой и их учеников отражены в обзоре \cite{ZhPasUMN}. Операторные оценки погрешности при усреднении задач Дирихле и Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в ограниченной области изучались многими авторами, см. \cite{ZhPas2,Gr1,Gr2,KeLiS,PSu,Su13,Su_SIAM}. Подробный обзор можно найти во введении к работе \cite{MSuPOMI}, в которой установлены оценки \begin{align} \label{intr ell main result 1} \Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta I )^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C(\phi)\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/2}, \\ \label{intr ell main result 2} \begin{split} \Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta I )^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant C(\phi)\bigl(\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+\varepsilon\bigr), \end{split} \end{align} $\vert \zeta\vert \geqslant 1$, для оператора вида \eqref{B_D,eps in introduction}. Величины $C(\phi)$ контролируются явно в терминах данных задачи и угла $\phi=\mathrm{arg}\,\zeta$. (Близкие результаты получены К. Ксу \cite{Xu3} при фиксированном $\zeta$.) Усреднение первой начально-краевой задачи для параболического уравнения с оператором \eqref{B_D,eps in introduction} изучалось в недавней работе Ю. М. Мешковой и Т. А. Суслиной \cite{MSuAA17}. Метод \cite{MSuAA17} основан на тождестве $$e^{-tB_{D,\varepsilon}}=-\frac{1}{2\pi i}\int _\gamma e^{-\zeta t}(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\,d\zeta,$$ и использовании оценок \eqref{intr ell main result 1}, \eqref{intr ell main result 2}. Здесь $\gamma\subset\mathbb{C}$ --- контур, обходящий спектр оператора $B_{D,\varepsilon}$ в положительном направлении. Напомним, что в соответствии с классической теоремой Троттера-Като (см., например, \cite[глава~X, теорема 1.1]{Sa}), сильная сходимость полугрупп следует из сильной сходимости резольвент, в то время как в \cite{MSuAA17} речь идет об аппроксимации в равномерной операторной топологии с явным контролем погрешности. Отметим недавнюю работу \cite{ChEl}, где обсуждается перенос теоремы Троттера-Като на слабую и равномерную операторные топологии и применение к гомогенизации параболических уравнений, но без операторных оценок. Также отметим недавний препринт \cite{CooSav}, в котором (независимо от настоящей работы) из оценки вида \eqref{intr ell main result 1} для $B_{D,\varepsilon}=-\mathrm{div}\, g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$ (и $\zeta =0$) выводится гомогенизация аттракторов квазилинейного волнового уравнения. Однако результаты \cite{CooSav} не допускают записи в равномерной операторной топологии. Таким образом, операторных оценок погрешности при усреднении гиперболических систем в ограниченной области ранее известно не было. \subsection{Метод} Настоящая работа развивает метод \cite{MSuAA17}: мы выводим операторные оценки для нестационарной задачи из эллиптических результатов с помощью обратного преобразования Лапласа. (Конечно, при усреднении гиперболических задач преобразование Лапласа применялось и ранее -- см. \cite[глава 2, п. 3.9]{BeLP}, \cite[гл. V, \S 6, стр. 90]{Sa} и \cite{Pas,ZhPas1}. Отметим также, что в \cite[глава IV]{ZhKO} с помощью преобразования Лапласа изучалась нестационарная система уравнений Максвелла. Однако операторные оценки погрешности в вышеперечисленных работах не обсуждались.) Метод основан на использовании тождества \begin{equation} \label{int cos tozd} \cos \bigl(tB_{D,\varepsilon}^{1/2}\bigr)B_{D,\varepsilon}^{-2} =-\frac{t^2}{2}B_{D,\varepsilon}^{-1}+B_{D,\varepsilon}^{-2} +\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c} }\lambda ^{-3}(B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2)^{-1}e^{\lambda t}\,d\lambda,\quad c>0 , \end{equation} и результатов об аппроксимации оператора $(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$, $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности. Требуемые аппроксимации установлены в \cite{MSuPOMI}. Из \eqref{int cos tozd}, аналогичного тождества для эффективного оператора и аппроксимации \eqref{intr ell main result 1} следует неравенство \eqref{intr Th cos B_D,eps}. Чтобы вывести оценку \eqref{intr Th sin 1} из \eqref{intr Th cos B_D,eps}, используем представления \begin{equation} \label{int sin tozd} B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon }^{1/2}) =\int _0^t \cos (\tau B_{D,\varepsilon}^{1/2})\,d\tau, \quad (B_D^0)^{-1/2}\sin \left(t(B_D^0)^{1/2}\right) =\int _0^t \cos \left(\tau (B_D^0)^{1/2}\right)\,d\tau . \end{equation} Из \eqref{int cos tozd}, аналогичного равенства для эффективного оператора и оценки \eqref{intr ell main result 2} вытекает аппроксимация при учете корректора для $B_{D,\varepsilon}^{-1}\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$. Из этой аппроксимации, тождеств \eqref{int sin tozd} и результатов об \glqq усреднении\grqq\, резольвенты следует неравенство \eqref{intr Th sin 2}. Наличие оператора $(B_D^0)^{-2}$ в оценках \eqref{intr Th cos B_D,eps}--\eqref{intr Th sin 2} обусловлено используемым методом. Из-за этого на начальные данные и правую часть в \eqref{introduction hyperbolic system} приходится накладывать следующие ограничения: \begin{equation} \label{intr inital data and F} \boldsymbol{\varphi},\boldsymbol{\psi}\in\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2, \quad \mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2}), \end{equation} где $\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2}$ рассматривается как подпространство в $H^4(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Таким образом, требуется более высокая гладкость начальных данных и правой части в \eqref{introduction hyperbolic system}, чем для задач во всем пространстве. По-видимому, результаты работы не являются точными по отношению к классам начальных данных и правой части уравнения. Однако применяемая техника не позволяет усилить результаты. \subsection{Структура работы} Работа состоит из трех параграфов и введения. В \S\ref{Section 1} описан класс операторов $B_{D,\varepsilon}$, определен эффективный оператор $B_D^0$ и сформулированы результаты об аппроксимации резольвенты $(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$. В \S\ref{Section 2} приведены основные результаты работы, доказательство которых вынесено в \S\ref{Section 3}. \subsection{Обозначения} Пусть $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ --- комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Символы $(\cdot ,\cdot)_\mathfrak{H}$ и $\Vert \cdot\Vert _\mathfrak{H}$ означают скалярное произведение и норму в $\mathfrak{H}$; символ $\Vert \cdot\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*}$ означает норму линейного непрерывного оператора из $\mathfrak{H}$ в $\mathfrak{H}_*$. Используем обозначения $\mathbb{Z}_+$ для множества неотрицательных целых чисел и $\mathbb{R}_+$ для положительной полуоси $[0,\infty)$. Символы $\langle \cdot ,\cdot\rangle$ и $\vert \cdot\vert$ означают соответственно скалярное произведение и норму в $\mathbb{C}^n$, $\mathbf{1}_n$ -- единичная $(n\times n)$-матрица. Если $a$ --- $(m\times n)$-матрица, то символ $\vert a\vert$ означает норму матрицы $a$ как оператора из $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C}^m$. Для $z\in\mathbb{C}$ через $z^*$ обозначается комплексно сопряженное число. (Мы используем такое нестандартное обозначение, так как верхняя черта означает среднее значение периодической функции по ячейке периодов.) Используем обозначения $\mathbf{x}=(x_1,\dots , x_d)\in\mathbb{R}^d$, $iD_j=\partial _j =\partial /\partial x_j$, $j=1,\dots,d$, $\mathbf{D}=-i\nabla=(D_1,\dots ,D_d)$. Классы $L_p$ вектор-функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ со значениями в $\mathbb{C}^n$ обозначаем через $L_p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$. Классы Соболева $\mathbb{C}^n$-значных функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ обозначаются через $H^s(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Через $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ обозначается замыкание класса $C_0^\infty (\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в пространстве $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. При $n=1$ пишем просто $L_p(\mathcal{O})$, $H^s(\mathcal{O})$ и т. д., но, если это не ведет к недоразумениям, мы применяем такие упрощенные обозначения и для пространств вектор-функций или матричнозначных функций. Символ $L_p((0,T);\mathfrak{H})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, означает $L_p$-пространство $\mathfrak{H}$-значных функций на интервале $(0,T)$. Различные оценочные постоянные обозначаются символами $c$, $\mathfrak{c}$, $C$, $\mathcal{C}$, $\mathscr{C}$, $\mathfrak{C}$ (возможно, с индексами и значками). \subsection*{Благодарность} Автор считает своим приятным долгом поблагодарить Т. А. Суслину за внимание к работе. \section{Результаты усреднения задачи Дирихле для эллиптических систем} \label{Section 1} \subsection{Решетки в $\mathbb{R}^d$} \label{Subsection lattices} Пусть $\Gamma \subset \mathbb{R}^d$ --- решетка, порожденная базисом $\mathbf{a}_1,\dots ,\mathbf{a}_d \in \mathbb{R}^d$: $$\Gamma =\Bigl\lbrace \mathbf{a}\in \mathbb{R}^d : \mathbf{a}=\sum _{j=1}^d \nu _j \mathbf{a}_j, \nu _j\in \mathbb{Z} \Bigr\rbrace ,$$ и пусть $\Omega$ --- элементарная ячейка решетки $\Gamma$: $$\Omega = \Bigl \lbrace \mathbf{x}\in \mathbb{R}^d :\mathbf{x}=\sum _{j=1}^d \tau _j \mathbf{a}_j , -\frac{1}{2}<\tau _j<\frac{1}{2} \Bigr\rbrace .$$ Через $\vert \Omega \vert $ обозначим меру Лебега ячейки $\Omega$: $\vert \Omega \vert =\mathrm{mes}\,\Omega$. Положим $2r_1:=\mathrm{diam}\,\Omega$. Базис $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_d\in\mathbb{R}^d$, двойственный к $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_d$, определяется из соотношений $\langle\mathbf{b}_j,\mathbf{a}_i\rangle=2\pi\delta _{ji}$. Решетка $\widetilde{\Gamma}$, порожденная базисом $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_d $, называется двойственной по отношению к решетке $\Gamma$. Положим $2r_0:=\min _{0\neq \mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\vert \mathbf{b}\vert $. Через $\widetilde{H}^1(\Omega)$ обозначается подпространство тех функций из $H^1(\Omega)$, $\Gamma$-периодическое продолжение которых на $\mathbb{R}^d$ принадлежит $H^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. Если $\Phi (\mathbf{x})$~---~$\Gamma$-периодическая мат\-ри\-ца-функция в $\mathbb{R}^d$, положим $\Phi ^\varepsilon (\mathbf{x}):=\Phi (\mathbf{x}/\varepsilon)$, $\varepsilon >0$; \begin{equation*} \overline{\Phi}:=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \Phi(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},\quad \underline{\Phi}:=\left(\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \Phi(\mathbf{x})^{-1}\,d\mathbf{x}\right)^{-1}. \end{equation*} Здесь при определении $\overline{\Phi}$ предполагается, что $\Phi\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$, а при определении $\underline{\Phi}$ считается, что матрица $\Phi$ квадратная и неособая, причем $\Phi^{-1}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. Через $[\Phi^\varepsilon ]$ обозначается оператор умножения на матрицу-функцию $\Phi^\varepsilon (\mathbf{x})$. \subsection{Сглаживание по Стеклову} Рассмотрим оператор сглаживания по Стеклову $S_\varepsilon^{(k)}$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ (где $k\in\mathbb{N}$) по правилу \begin{equation} \label{S_eps} \begin{split} (S_\varepsilon^{(k)} \mathbf{u})(\mathbf{x})=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _\Omega \mathbf{u}(\mathbf{x}-\varepsilon \mathbf{z})\,d\mathbf{z},\quad \mathbf{u}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k) . \end{split} \end{equation} Зависимость $S_\varepsilon ^{(k)}$ от $k$ мы будем опускать в обозначениях, и писать просто $S_\varepsilon$. Очевидно, $S_\varepsilon \mathbf{D}^\alpha \mathbf{u}=\mathbf{D}^\alpha S_\varepsilon \mathbf{u}$ при $\mathbf{u}\in H^\sigma(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ для любого мультииндекса $\alpha$ такого, что $\vert \alpha\vert \leqslant \sigma$. Нам потребуются следующие свойства оператора $S_\varepsilon$ (см. \cite[леммы 1.1 и 1.2]{ZhPas2} или \cite[предложения 3.1 и 3.2]{PSu}). \begin{proposition} \label{Proposition S__eps - I} Для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ выполнена оценка \begin{equation*} \Vert S_\varepsilon \mathbf{u}-\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \varepsilon r_1\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}, \end{equation*} где $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$. \end{proposition} \begin{proposition} \label{Proposition f^eps S_eps} Пусть $\Phi$ --- $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что $\Phi\in L_2(\Omega)$. Тогда оператор $[\Phi ^\varepsilon ]S_\varepsilon $ непрерывен в $L_2(\mathbb{R}^d)$ и справедлива оценка \begin{equation*} \Vert [\Phi^\varepsilon]S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{-1/2}\Vert \Phi\Vert _{L_2(\Omega)}. \end{equation*} \end{proposition} \subsection{Оператор $A_{D,\varepsilon}$} \label{Subsection operatoer A_D,eps} Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор $A_{D,\varepsilon}$, формально заданный дифференциальным выражением $$A_\varepsilon = b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$$ при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$. (Договоримся снабжать нижним индексом \glqq$D$\grqq\, дифференциальный оператор при условии Дирихле и его квадратичную форму, но не формальное дифференциальное выражение, соответствующее оператору.) Здесь $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая эрмитова $(m\times m)$-матрица-функция (вообще говоря, с комплексными элементами). Считаем, что $g(\mathbf{x})>0$ и $g,g^{-1}\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$. Дифференциальный оператор $b(\mathbf{D})$ имеет вид $b(\mathbf{D})=\sum _{j=1}^d b_jD_j$, где $b_j$, $j=1,\dots ,d$, --- постоянные матрицы размера $m\times n$ (вообще говоря, с комплексными элементами). Считаем, что $m\geqslant n$ и что символ $b(\boldsymbol{\xi})=\sum _{j=1}^d b_j\xi_j$ оператора $b(\mathbf{D})$ имеет максимальный ранг: $$\mathrm{rank}\,b(\boldsymbol{\xi})=n,\quad 0\neq \boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d.$$ Это условие равносильно существованию таких постоянных $\alpha _0$ и $\alpha _1$, что \begin{equation} \label{d\;\mbox{при}\;d\geqslant 2,\quad j=1,\dots ,d. \end{equation*} Далее, пусть $Q$ --- такая $\Gamma$-периодическая эрмитова $(n\times n)$-матрица-функция (с комплексными элементами), что \begin{equation} \label{Q condition} Q\in L_s(\Omega ),\quad s=1 \;\mbox{при}\;d=1,\quad s >d/2\;\mbox{при}\;d\geqslant 2. \end{equation} В силу теоремы вложения Соболева наложенные на $\rho$ и $s$ условия гарантируют сильную подчиненность младших членов оператора $B_{D,\varepsilon}$ его старшей части $A_\varepsilon$. Для удобства дальнейших ссылок назовем ,,исходными данными'' следующие величины \begin{equation} \label{problem data} \begin{split} &d,\,m,\,n,\,\rho ,\,s ;\,\alpha _0,\, \alpha _1 ,\,\Vert g\Vert _{L_\infty},\, \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},\, \Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)},\, j=1,\dots ,d;\, \Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)};\\ &\text{параметры решетки }\Gamma ;\;\text{область }\mathcal{O}. \end{split} \end{equation} В $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор $B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, формально заданный дифференциальным выражением \begin{equation} \label{B_D,eps} B_{\varepsilon}=b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})+\sum _{j=1}^d \left( a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j +D_j a_j^\varepsilon (\mathbf{x})^* \right) +Q^\varepsilon (\mathbf{x})+\lambda I \end{equation} при условии Дирихле на границе. Здесь постоянная $\lambda$ выбрана так (см. \eqref{lambda =} ниже), чтобы оператор $B_{D,\varepsilon}$ был положительно определен. Точное определение оператора $B_{D,\varepsilon}$ дается через квадратичную форму \begin{equation} \label{b_D,eps} \begin{split} \mathfrak{b}_{D,\varepsilon }[\mathbf{u},\mathbf{u}]&=(g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+2\mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d (a_j^\varepsilon D_j \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\\ &+(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+\lambda ( \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{split} \end{equation} Проверим замкнутость формы $\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}$. Применяя неравенство Гёльдера и теорему вложения Соболева, можно показать (см. \cite[(5.11)--(5.14)]{SuAA}), что для любого $\nu>0$ найдутся такие постоянные $C_j(\nu)>0$, что \begin{equation*} \begin{split} \Vert a_j^*\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_j(\nu )\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad j=1,\dots ,d. \end{split} \end{equation*} Делая замену переменной $\mathbf{y}:=\varepsilon ^{-1}\mathbf{x}$ и обозначая $\mathbf{u}(\mathbf{x})=:\mathbf{v}(\mathbf{y})$, отсюда получаем \begin{equation*} \begin{split} \Vert (a_j^\varepsilon )^*\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)} &=\int _{\mathbb{R}^d}\vert a_j(\varepsilon ^{-1}\mathbf{x})^*\mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x} =\varepsilon ^d\int _{\mathbb{R}^d}\vert a_j(\mathbf{y})^*\mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y}\\ &\leqslant \varepsilon ^d\nu \int _{\mathbb{R}^d}\vert \mathbf{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y} +\varepsilon ^d C_j(\nu)\int _{\mathbb{R}^d}\vert \mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y}\\ &\leqslant \nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_j(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1. \end{split} \end{equation*} Тогда с учетом \eqref{0$ найдется такая постоянная \break $C(\nu)>0$, что \begin{equation} \label{sum a-j u} \begin{split} \sum _{j=1}^d \Vert (a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant \nu \Vert (g^\varepsilon)^{1/2}b(\mathbf{D})\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)} +C(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1. \end{split} \end{equation} Если $\nu$ фиксировано, то $C(\nu)$ зависит лишь от $d$, $\rho$, $\alpha _0$, от норм $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots ,d$, и от параметров решетки $\Gamma$. В силу \eqref{0$ найдется постоянная $C_Q(\nu)>0$ такая, что \begin{equation} \label{(Qu,u)<=} \begin{split} \vert (Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\vert \leqslant\nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_Q(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\ \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1 . \end{split} \end{equation} При фиксированном $\nu$ величина $C_Q(\nu)$ контролируется через $d$, $s$, $\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}$ и параметры решетки $\Gamma$. Фиксируем постоянную $\lambda$ в \eqref{B_D,eps} как в \cite[п. 2.8]{MSu15}: \begin{equation} \label{lambda =} \lambda := C_Q(\nu _*)+c_2\quad\text{при}\;\nu _* :=2^{-1}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}. \end{equation} Вернемся к форме \eqref{b_D,eps}. Продолжим функцию $\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ нулем в $\mathbb{R}^d\setminus\mathcal{O}$. Теперь из \eqref{a_D,eps}, \eqref{Du <= c_1^2a}, \eqref{2Re sum j <=} и \eqref{(Qu,u)<=} при $\nu=\nu_*$ получаем оценку снизу для формы \eqref{b_D,eps}: \begin{equation} \label{b_eps >=} \mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant \frac{1}{4}\mathfrak{a}_{D,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n);\quad c_*:=\frac{1}{4}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}. \end{equation} Далее, в силу \eqref{a_D,eps estimates}, \eqref{2Re sum j <=} и \eqref{(Qu,u)<=} при $\nu=1$ выполнено \begin{equation} \label{1.15a new} \begin{split} &\mathfrak{b}_{D,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant C_*\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n), \end{split} \end{equation} где $C_*:=\max\lbrace\frac{5}{4}\alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}+1;C_Q(1)+\lambda +c_2\rbrace$. Таким образом, форма $\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}$ замкнута. Отвечающий ей самосопряженный в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ оператор обозначим через $B_{D,\varepsilon}$. С помощью неравенства Фридрихса из \eqref{b_eps >=} получаем \begin{equation} \label{b D,eps >= H1-norm} \mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2}\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{equation} Поэтому оператор $B_{D,\varepsilon}$ положительно определен. Отметим оценку, вытекающую из \eqref{b_eps >=} и \eqref{b D,eps >= H1-norm}: \begin{align} \label{H^1-norm <= BDeps^1/2} \Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant c_3\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n);\quad c_3:=c_*^{-1/2}\left(1+(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{2}\right)^{1/2}. \end{align} Нам потребуются следующие неравенства, вытекающие из \eqref{b D,eps >= H1-norm} и \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}: \begin{align} \label{B_D,eps L2 ->L2} &\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant c_*^{-1}(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{2}=:\mathcal{C}_1, \\ \label{B_D,eps L2 ->H^1} &\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant c_3 \Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant c_3 c_*^{-1/2}\mathrm{diam}\,\mathcal{O}=:\mathcal{C}_2. \end{align} \subsection{Эффективная матрица и ее свойства} Эффективный оператор для $A_{D,\varepsilon} $ задается дифференциальным выражением $$A^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$$ при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$. Здесь $g^0$ --- постоянная \textit{эффективная} матрица размера $m\times m$. Матрица $g^0$ выражается через решение вспомогательной задачи на ячейке. Пусть $\Gamma$-периодическая $(n\times m)$-матрица-функция $\Lambda (\mathbf{x})$ --- (слабое) решение задачи \begin{equation} \label{Lambda problem} b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m)=0,\quad \int _{\Omega }\Lambda (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0. \end{equation} Положим \begin{equation} \label{tilde g} \widetilde{g}(\mathbf{x}):=g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m). \end{equation} Тогда эффективная матрица задана выражением \begin{equation} \label{g^0} g^0:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega} \widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}. \end{equation} Можно показать, что матрица $g^0$ положительно определена. Из \eqref{Lambda problem} следует, что \begin{equation} \label{b(D)Lambda <=} \Vert b(\mathbf{D})\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega\vert ^{1/2}m^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}. \end{equation} Нам потребуются оценки для решения задачи \eqref{Lambda problem}, полученные в \cite[(6.28) и п.~7.3]{BSu05}: \begin{align} \label{Lambda <=} &\Vert \Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{1/2}M_1,\quad M_1:=m^{1/2}(2r_0)^{-1}\alpha _0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty},\\ \label{DLambda<=} &\Vert \mathbf{D}\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{1/2}M_2,\quad M_2:=m^{1/2}\alpha _0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}. \end{align} Отметим оценки для эффективной матрицы, известные в теории усреднения как вилка Фойгта--Рейсса (см., например, \cite[гл. 3, теорема 1.5]{BSu}). \begin{proposition} Пусть $g^0$ --- эффективная матрица \eqref{g^0}. Тогда \begin{equation} \label{Foigt-Reiss} \underline{g}\leqslant g^0\leqslant \overline{g}. \end{equation} В случае, когда $m=n$, справедливо тождество $g^0=\underline{g}$. \end{proposition} Из \eqref{Foigt-Reiss} вытекают неравенства \begin{equation} \label{g0<=} \vert g^0\vert \leqslant \Vert g\Vert _{L_\infty},\quad \vert (g^0)^{-1}\vert \leqslant \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}. \end{equation} Выделим случаи, когда в \eqref{Foigt-Reiss} реализуется верхняя или нижняя грань, см. \cite[гл. 3, предложения 1.6 и 1.7]{BSu}. \begin{proposition} Равенство $g^0=\overline{g}$ равносильно соотношениям \begin{equation} \label{overline-g} b(\mathbf{D})^* {\mathbf g}_k(\mathbf{x}) =0,\ \ k=1,\dots,m, \end{equation} где ${\mathbf g}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})$. \end{proposition} \begin{proposition} Равенство $g^0 =\underline{g}$ равносильно представлениям \begin{equation} \label{underline-g} {\mathbf l}_k(\mathbf{x}) = {\mathbf l}_k^0 + b(\mathbf{D}) {\mathbf w}_k,\ \ {\mathbf l}_k^0\in \mathbb{C}^m,\ \ {\mathbf w}_k \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^m),\ \ k=1,\dots,m, \end{equation} где ${\mathbf l}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})^{-1}$. \end{proposition} \subsection{Эффективный оператор} \label{Subsection Effective operator} Чтобы описать усреднение младших членов оператора $B_{D,\varepsilon}$, рассмотрим $\Gamma$-периодическую $(n\times n)$-матрицу-функцию $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$, являющуюся решением задачи \begin{equation} \label{tildeLambda_problem} b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})+\sum \limits _{j=1}^dD_ja_j(\mathbf{x})^*=0,\quad \int _{\Omega }\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0. \end{equation} (Уравнение понимается в слабом смысле.) Отметим сразу оценки, установленные в \cite[(7.51), (7.52)]{SuAA}: \begin{align} \label{b(D) tilde Lambda <=} &\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)} \leqslant C_a n^{1/2}\alpha_0 ^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},\\ \label{tilde Lambda<=} &\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant (2r_0)^{-1}C_an^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}, \\ \label{D tilde Lambda} &\Vert \mathbf{D}\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant C_a n^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}, \end{align} где $C_a^2=\sum _{j=1}^d \int _\Omega \vert a_j(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}$. Определим постоянные матрицы $V$ и $W$ равенствами \begin{align} \label{V=} &V:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega}(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x}))^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x},\\ \label{W=} &W:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega} (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x}. \end{align} В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим квадратичную форму \begin{equation*} \begin{split} \mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]&=(g^0b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} +2\mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d (\overline{a_j}D_j\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} -2\mathrm{Re}\,(V\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\\ &-(W\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} +(\overline{Q}\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})} +\lambda (\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}, \quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{split} \end{equation*} Следующие оценки установлены в \cite[(2.22) и (2.23)]{MSuPOMI}: \begin{align} \label{b_D^0 ots } &c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant c_4\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n), \\ \label{b_D^0 ots 2} &\mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2}\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n). \end{align} Здесь постоянная $c_4$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data}. Отвечающий форме $\mathfrak{b}_D^0$ самосопряженный в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ оператор обозначим через $B_D^0$. Объединяя \eqref{b_D^0 ots } и \eqref{b_D^0 ots 2}, находим \begin{equation} \label{H^1-norm <= BD0^1/2} \begin{split} &\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant c_3\Vert (B_D^0)^{1/2}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n), \end{split} \end{equation} где $c_3$ --- постоянная из \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}. Из \eqref{b_D^0 ots 2} и \eqref{H^1-norm <= BD0^1/2} вытекают оценки \begin{align} \label{B_D^0 L2 ->L2} &\Vert (B_{D}^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_1, \\ &\Vert (B_{D}^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_2. \nonumber \end{align} Здесь постоянные $\mathcal{C}_1$ и $\mathcal{C}_2$ --- те же, что в \eqref{B_D,eps L2 ->L2} и \eqref{B_D,eps L2 ->H^1}. В силу условия $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$ оператор $B_D^0$ задается дифференциальным выражением \begin{equation} \label{B_D^0} B^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})-b(\mathbf{D})^*V-V^*b(\mathbf{D}) +\sum _{j=1}^d(\overline{a_j+a_j^*})D_j-W+\overline{Q}+\lambda I \end{equation} на области определения $H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\cap H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. При этом \begin{equation} \label{B_D^0 L2 ->H^2} \Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_3. \end{equation} Здесь постоянная $\mathcal{C}_3$ зависит лишь от исходных данных \eqref{problem data}. Для оправдания этого факта сошлемся на теоремы о повышении гладкости для сильно эллиптических систем (см. \cite[глава 4]{McL}). \begin{remark} Вместо условия $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$ можно было бы наложить неявное требование\textnormal{:} ограниченная область $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ с липшицевой границей такова, что справедлива оценка \eqref{B_D^0 L2 ->H^2}. Для такой области основные результаты работы в операторных терминах \textnormal{(}см. теоремы~\textnormal{\ref{Theorem cos New}, \ref{Theorem sin corrector}} и \textnormal{\ref{Theorem cos corrector}}\textnormal{)} остаются в силе. В случае скалярных эллиптических операторов широкие достаточные условия на $\partial \mathcal{O}$, обеспечивающие справедливость оценки \eqref{B_D^0 L2 ->H^2}, можно найти в \textnormal{\cite{KoE}} и \textnormal{\cite[гл. 7]{MaSh} (}в частности, достаточно, чтобы $\partial\mathcal{O}\in C^\alpha$, $\alpha >3/2${\rm)}. \end{remark} \begin{lemma} \label{Lemma (B_D0)2 and H4-norm} Пусть $\boldsymbol{\Phi} \in \mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2\subset H^4(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Тогда \begin{equation} \label{BD0^2PHi<= Lm} \Vert (B_D^0)^2\boldsymbol{\Phi} \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant\mathfrak{C}\Vert \boldsymbol{\Phi} \Vert _{H^4(\mathcal{O})}, \end{equation} где постоянная $\mathfrak{C}$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data}. \end{lemma} \begin{proof} В силу \eqref{b_l <=}, \eqref{g0<=}, \eqref{B_D^0} для $\boldsymbol{\Psi}\in \mathrm{Dom}\,B_D^0$ выполнено \begin{equation} \label{BD0Phi<= start of the proof} \begin{split} \Vert B_D^0\boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} &\leqslant d\alpha _1 \Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}^2 \boldsymbol{\Psi} \Vert _{L_2(\mathcal{O})} +2\alpha _1^{1/2}d^{1/2}\vert V\vert \Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Psi} \Vert _{L_2(\mathcal{O})} \\ &+2\vert \Omega\vert ^{1/2}\Bigl(\sum _{j=1}^d\vert \overline{a_j}\vert ^2\Bigr)^{1/2}\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\left(\vert W\vert +\vert \overline{Q}\vert +\lambda\right)\Vert \boldsymbol{\Psi} \Vert _{L_2(\mathcal{O})} . \end{split} \end{equation} Из \eqref{b(D)Lambda <=}, \eqref{b(D) tilde Lambda <=} и \eqref{V=} следует, что \begin{equation} \label{V<=} \vert V\vert\leqslant \vert \Omega\vert ^{-1}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert b(\mathbf{D})\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant C_V, \end{equation} где $C_V:=\vert \Omega\vert ^{-1/2}\alpha _0^{-1/2}C_a m^{1/2}n^{1/2}\Vert g\Vert ^{3/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{3/2}_{L_\infty}$. Используя \eqref{b(D) tilde Lambda <=} и \eqref{W=}, находим \begin{equation} \label{W<=} \vert W\vert \leqslant\vert \Omega\vert ^{-1}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\Vert ^2_{L_2(\Omega)}\leqslant C_W, \end{equation} где $C_W:=\vert \Omega\vert ^{-1}C_a^2n\alpha _0^{-1}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^2_{L_\infty}$. Очевидно, \begin{equation} \label{sum aj2<=} \sum _{j=1}^d\vert \overline{a_j}\vert ^2\leqslant \vert \Omega\vert ^{-1}C_a^2,\quad \vert \overline{Q}\vert \leqslant \vert \Omega\vert ^{-1/s}\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}. \end{equation} Объединяя \eqref{BD0Phi<= start of the proof}--\eqref{sum aj2<=}, получаем \begin{equation} \label{BDoPhi 5 st<=} \begin{split} \Vert B_D^0\boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_B\left(\Vert \mathbf{D}^2 \boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right) ,\quad\boldsymbol{\Psi}\in\mathrm{Dom}\,B_D^0. \end{split} \end{equation} Здесь $C_B:=\max\lbrace d\alpha _1 \Vert g\Vert _{L_\infty};2(d\alpha _1)^{1/2}C_V+2C_a;C_W+\vert \Omega\vert ^{-1/s}\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}+\lambda\rbrace$. В качестве $\boldsymbol{\Psi}$ будем брать $B_D^0\boldsymbol{\Phi}$, $\boldsymbol{\Phi}\in\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2$. Рассуждая по аналогии с \eqref{BD0Phi<= start of the proof} и используя \eqref{B_D^0}, \eqref{V<=}--\eqref{sum aj2<=}, находим \begin{equation} \begin{split} \Vert &\mathbf{D}^2 B_D^0\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} \leqslant \Vert \mathbf{D}^2 b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \mathbf{D}^2b(\mathbf{D})^*V\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \mathbf{D}^2V^*b(\mathbf{D})\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} \\ &+\sum _{j=1}^d\Vert (\overline{a_j+a_j^*})\mathbf{D}^2D_j\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \mathbf{D}^2W\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \overline{Q}\mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\lambda\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant C_B\left(\Vert \mathbf{D}^4\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \mathbf{D}^3\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right). \end{split} \end{equation} Аналогично, \begin{align} &\Vert \mathbf{D}B_D^0\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_B\left(\Vert \mathbf{D}^3\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right), \\ \label{BDoPhi<= 8st} &\Vert B_D^0\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_B\left(\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right). \end{align} Комбинируя \eqref{BDoPhi 5 st<=}--\eqref{BDoPhi<= 8st}, находим \begin{equation*} \begin{split} \Vert &(B_D^0)^2\boldsymbol{\Phi}\Vert_{L_2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant C_B^2\left(\Vert \mathbf{D}^4\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +2\Vert \mathbf{D}^3\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +3\Vert\mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +2\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})} +\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right) \\ &\leqslant 3\sqrt{5}C_B^2\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})},\quad\boldsymbol{\Phi}\in \mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2. \end{split} \end{equation*} Мы получили оценку \eqref{BD0^2PHi<= Lm} с постоянной $\mathfrak{C}:=3\sqrt{5}C_B^2$. \end{proof} \subsection{Аппроксимации резольвенты $(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$} Сформулируем результаты усреднения резольвенты оператора $B_{D,\varepsilon}$, полученные в \cite{MSuPOMI}. См. также краткое сообщение \cite{MSuFAA2017}. Выберем числа $\varepsilon _0$, $\varepsilon _1\in (0,1]$ согласно следующему условию. \begin{condition} \label{condition varepsilon} Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ --- ограниченная область. Положим $$(\partial\mathcal{O})_{\varepsilon}: =\left\lbrace \mathbf{x}\in \mathbb{R}^d : \mathrm{dist}\,\lbrace \mathbf{x};\partial\mathcal{O}\rbrace <\varepsilon \right\rbrace .$$ Пусть существует такое число $\varepsilon _0\in (0,1]$, что полоску $(\partial\mathcal{O})_{\varepsilon _0}$ можно покрыть конечным набором окрестностей, допускающих диффеоморфизмы класса $C^{0,1}$, распрямляющие границу $\partial\mathcal{O}$. Обозначим $\varepsilon _1:=\varepsilon _0 (1+r_1)^{-1}$, где $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$. \end{condition} Очевидно, величина $\varepsilon _1$ зависит только от области $\mathcal{O}$ и решетки $\Gamma$. Отметим, что условие \ref{condition varepsilon} было бы обеспечено только липшицевостью $\partial\mathcal{O}$; более сильное ограничение $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$ мы наложили, чтобы гарантировать оценку \eqref{B_D^0 L2 ->H^2}. Следующий результат установлен в \cite[теоремы 9.2 и 10.1]{MSuPOMI}. \begin{theorem} \label{Theorem resolvent} Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Пусть выполнены условия п. \textnormal{\ref{Subsection operatoer A_D,eps}--\ref{Subsection Effective operator}}. Пусть число $\varepsilon _1$ подчинено условию \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. \noindent $1^\circ$. Пусть $\zeta =\vert \zeta \vert e^{i\phi}\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta \vert \geqslant 1$. Положим \begin{equation*} c(\phi):=\begin{cases} \vert \sin \phi \vert ^{-1}, &\phi\in (0,\pi /2)\cup (3\pi /2 ,2\pi),\\ 1, &\phi\in [\pi /2,3\pi /2]. \end{cases} \end{equation*} Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$ справедлива оценка \begin{equation} \label{sem'.a} \Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_1 c(\phi)^2\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2} . \end{equation} \noindent $2^\circ$. Пусть $c_\flat$ --- общая нижняя грань операторов $B_D^0$ и $B_{D,\varepsilon}$ при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$. Положим $\psi =\mathrm{arg}\,(\zeta -c_\flat)$, $0<\psi <2\pi$, и \begin{equation} \label{rho(zeta)} \varrho _ \flat (\zeta):=\begin{cases} c(\psi)^2\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-2}, &\vert \zeta -c_\flat\vert <1,\\ c(\psi)^2, &\vert \zeta -c_\flat\vert \geqslant 1. \end{cases} \end{equation} Тогда при $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat,\infty)$ выполнено \begin{align} \label{Th dr appr 1} \Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta I )^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{2}\varrho _ \flat (\zeta )\varepsilon . \end{align} Постоянные $C_1$ и $C_2$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}. \end{theorem} Постоянная $c_\flat$ в теореме \ref{Theorem resolvent}($2^\circ$) --- любая общая нижняя грань операторов $B_D^0$ и $B_{D,\varepsilon}$. \textit{Будем считать, что} \begin{equation} \label{c_flat} c_\flat :=4^{-1}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2}, \end{equation} опираясь на неравенства \eqref{b D,eps >= H1-norm}, \eqref{b_D^0 ots 2} и выражение для постоянной $c_*$ (см. \eqref{b_eps >=}). Фиксируем линейный непрерывный оператор продолжения \begin{equation} \label{P_O H^1, H^2} \begin{split} P_\mathcal{O}: H^l(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\rightarrow H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad l\in\mathbb{Z}_+. \end{split} \end{equation} Такой ,,универсальный'' оператор продолжения существует для любой ограниченной области с липшицевой границей (см. \cite{St} или \cite{R}). При этом \begin{equation} \label{PO} \| P_{\mathcal O} \|_{H^l({\mathcal O}) \to H^l({\mathbb R}^d)} \leqslant C_{\mathcal O}^{(l)},\quad l\in\mathbb{Z}_+, \end{equation} где постоянная $C_{\mathcal O}^{(l)}$ зависит лишь от $l$ и от области ${\mathcal O}$. Через $R_\mathcal{O}$ обозначим оператор сужения функций в $\mathbb{R}^d$ на область $\mathcal{O}$. Положим \begin{equation} \label{K_D(eps,zeta)} K_D(\varepsilon ;\zeta ):=R_{\mathcal{O}}\bigl([\Lambda ^\varepsilon ] b(\mathbf{D})+[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\bigr)S_\varepsilon P_{\mathcal{O}}(B_D^0-\zeta I)^{-1}. \end{equation} Корректор \eqref{K_D(eps,zeta)} ограничен как оператор, действующий из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Это нетрудно установить с помощью предложения \ref{Proposition f^eps S_eps} и включений $\Lambda$, $\widetilde{\Lambda}\in\widetilde{H}^1(\Omega)$. Отметим, что $\Vert \varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}=O(1)$ при малом $\varepsilon$ и фиксированном $\zeta$. Выпишем результаты \cite[теоремы 9.2 и 10.1]{MSuPOMI}. \begin{theorem} \label{Theorem resolvent corrector} Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem resolvent}}. Пусть $K_D(\varepsilon ;\zeta )$ --- оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}. \noindent $1^\circ$. При $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$ справедлива оценка \begin{equation} \label{28} \Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant C_3 c(\phi)^2(\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}+\varepsilon ). \end{equation} \noindent $2^\circ$. Пусть $c_\flat$ --- постоянная \eqref{c_flat}. Тогда при $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat,\infty)$ выполнено \begin{equation} \label{31} \Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\leqslant C_4(\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta )^{1/2}+\varepsilon \vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)). \end{equation} Постоянные $C_3$ и $C_4$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}. \end{theorem} \begin{corollary} \label{ellliptic corollary} В условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem resolvent corrector}} при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$ справедлива оценка \begin{equation} \label{30} \begin{split} \Vert & (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\ &\leqslant C_5\left( c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}+c(\phi)^{3/2}\varepsilon ^{1/2}\right). \end{split} \end{equation} \end{corollary} Следствие \ref{ellliptic corollary} вытекает из теоремы~\ref{Theorem resolvent corrector}($1^\circ$) и грубой оценки для операторов под знаком нормы в \eqref{28}. Для этого нам потребуются оценки для резольвент $(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$ и $(B_D^0-\zeta I)^{-1}$ (см. \cite[леммы 2.1 и 2.3]{MSuPOMI}). \begin{lemma} \label{Lemma resolvents grubo ots} Пусть $B_{D,\varepsilon}$ и $B_D^0$ --- операторы вида \eqref{B_D,eps} и \eqref{B_D^0} соответственно, действующие в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ при условии Дирихле. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ справедливы оценки \begin{align*} &\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1}, \\ &\Vert \mathbf{D}(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_4 c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1/2}, \\ &\Vert (B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1}, \\ &\Vert \mathbf{D}(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant \mathcal{C}_4 c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1/2}, \\ &\Vert (B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})} \leqslant\mathcal{C}_3c(\phi). \end{align*} Здесь $\mathcal{C}_4:=2^{3/2}\alpha _0^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}$, постоянная $\mathcal{C}_3$ --- та же, что в \eqref{B_D^0 L2 ->H^2}. \end{lemma} \begin{proof}[Доказательство следствия \textnormal{\ref{ellliptic corollary}}.] Оценим оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}: \begin{equation} \label{ell corr proof start} \begin{split} \varepsilon &\Vert K_{D}(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \left(\varepsilon\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}+\Vert (\mathbf{D}\Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\right) \Vert b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &+\left(\varepsilon\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}+\Vert (\mathbf{D}\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\right) \Vert P_\mathcal{O} (B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &+\varepsilon \Vert \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert \mathbf{D} b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert_{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &+\varepsilon\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert \mathbf{D}P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert_{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{split} \end{equation} Из предложения \ref{Proposition f^eps S_eps} и неравенств \eqref{Lambda <=}, \eqref{DLambda<=}, \eqref{tilde Lambda<=}, \eqref{D tilde Lambda} вытекают оценки \begin{align} \label{Lambda S_eps<=} &\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant M_1, \\ &\Vert (\mathbf{D}\Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant M_2, \nonumber \\ \label{tildeLambda S_eps<=} &\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \vert\Omega\vert ^{-1/2}(2r_0)^{-1}C_an^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}=:\widetilde{M}_1, \\ &\Vert (\mathbf{D}\widetilde{\Lambda} )^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant\vert\Omega\vert ^{-1/2}C_a n^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}=:\widetilde{M}_2. \nonumber \end{align} С учетом этих неравенств из леммы~\ref{Lemma resolvents grubo ots} и \eqref{1$ применим оценку \eqref{sem'.a}: \begin{equation*} \Vert (B_{D,\varepsilon}+\nu I)^{-1}-(B_D^0 +\nu I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_1\varepsilon \nu ^{-1/2},\quad \nu >1. \end{equation*} С учетом этих соображений справедливо неравенство \begin{equation*} \begin{split} \Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} &\leqslant 2^{1/2} \pi ^{-1}C_2^{1/2}\max\lbrace 1; c_\flat ^{-1}\rbrace \varepsilon ^{1/2} \int _0 ^1\nu ^{-1/2}(\nu+c_\flat )^{-1/2}\,d\nu \\ &+2^{1/2}\pi ^{-1}C_1^{1/2}\varepsilon ^{1/2}\int _1^\infty \nu ^{-1/2}(\nu +c_\flat )^{-1/2}\nu ^{-1/4}\,d\nu . \end{split} \end{equation*} Оценивая интегралы, получаем оценку \eqref{lemma square root of resolvent} с постоянной $$ {C}_6:=2^{3/2}\pi ^{-1}C_2^{1/2}c_\flat ^{-1/2}\max\lbrace 1;c_\flat ^{-1}\rbrace+2^{5/2}\pi ^{-1}C_1^{1/2}.$$ \end{proof} \section{Постановка задачи. Основные результаты} \label{Section 2} \subsection{Первая начально-краевая задача для гиперболических систем} \textit{Цель работы --- }изучить поведение в пределе малого периода решения первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения: \begin{equation} \label{hyperbolic system} \begin{cases} \frac{\partial ^2\mathbf{u}_\varepsilon }{ \partial t^2}(\mathbf{x},t)=-(B_\varepsilon\mathbf{u}_\varepsilon )(\mathbf{x},t)+\mathbf{F}(\mathbf{x},t),\\ \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0,\\ \mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\quad \frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon}{\partial t}(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}). \end{cases} \end{equation} Здесь $\boldsymbol{\varphi},\boldsymbol{\psi}\in\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2}$, $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2})$. (Наложенные ограничения продиктованы техникой, используемой в настоящей работе.) Имеем \begin{equation} \label{u_eps=} \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)=\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\varphi} +B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\psi}+\int _0^t B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin \left((t-\widetilde{t})B_{D,\varepsilon}^{1/2}\right)\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{t})\,d\widetilde{t}. \end{equation} Поэтому для изучения поведения решения $\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,t)$ достаточно получить аппроксимации операторов $\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ и $B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$. Эффективная задача имеет вид \begin{equation} \label{effective hyperbolic system} \begin{cases} \frac{\partial ^2\mathbf{u}_0 }{ \partial t^2}(\mathbf{x},t)=-(B^0 \mathbf{u}_0 )(\mathbf{x},t)+\mathbf{F}(\mathbf{x},t),\\ \mathbf{u}_0(\cdot,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0,\\ \mathbf{u}_0 (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\quad \frac{\partial \mathbf{u}_0}{\partial t}(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}). \end{cases} \end{equation} Тогда \begin{equation} \label{u_0=} \begin{split} \mathbf{u}_0 (\cdot ,t)&=\cos \left(t(B_D^0)^{1/2}\right)\boldsymbol{\varphi} +(B_D^0)^{-1/2}\sin \left(t(B_D^0)^{1/2}\right)\boldsymbol{\psi} \\ &+\int _0^t (B_D^0)^{-1/2}\sin \left((t-\widetilde{t})(B_D^0)^{1/2}\right)\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{t})\,d\widetilde{t}. \end{split} \end{equation} \subsection{Основные результаты работы в операторных терминах} \label{Subsection main results} \begin{theorem} \label{Theorem cos New} Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Пусть выполнены условия п. \textnormal{\ref{Subsection operatoer A_D,eps}--\ref{Subsection Effective operator}}. Пусть число $\varepsilon _1$ подчинено условию \textnormal{\ref{condition varepsilon}}. Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки \begin{align} \label{Th cos B_D,eps} \Bigl\Vert & \left( \cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos (t (B_D^0)^{1/2}) \right)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_7 \varepsilon \left(1+\vert t\vert ^5\right) , \\ \label{Th sin 1} \Bigl\Vert & \left( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\right) (B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_7\varepsilon \vert t\vert (1+\vert t\vert ^5) . \end{align} Постоянная $C_7$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data}. \end{theorem} Естественно надеяться получить для гиперболических систем аналог теоремы \ref{Theorem resolvent corrector}. Но аппроксимировать по энергетической норме операторный косинус не удается, хотя оператор $B_{D,\varepsilon}^{-1}\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ приблизить можно (см. теорему~\ref{Theorem cos corrector} ниже). Это согласуется с результатами \cite{BrOFMu}. Зато для оператора $B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ удается получить приближение по энергетической норме. \begin{theorem} \label{Theorem sin corrector} Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem cos New}}. Пусть матрицы-функции $\Lambda (\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические решения задач \eqref{Lambda problem} и \eqref{tildeLambda_problem} соответственно. Пусть $S_\varepsilon $ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps} и $P_\mathcal{O}$ --- оператор продолжения \eqref{P_O H^1, H^2}. Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ выполнена оценка \begin{equation} \label{Th sin 2} \begin{split} \Bigl\Vert & \bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) \\ &-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant C_8\varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6). \end{split} \end{equation} Пусть $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ --- матрица-функция \eqref{tilde g}. Обозначим \begin{equation*} G_D(\varepsilon ;t):=\left(\widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})+g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \right) P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}). \end{equation*} Тогда для оператора $g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$, отвечающего \glqq потоку\grqq, при $t\in\mathbb{R}$ и \break$0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ справедлива аппроксимация \begin{equation} \label{Th fluxes operator terms} \begin{split} \bigl\Vert \bigl( g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2}) - G_D(\varepsilon ;t) \bigr)(B_D^0)^{-2}\bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_9 \varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6). \end{split} \end{equation} Здесь постоянные $C_8$ и $C_9$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}. \end{theorem} Доказательства теорем~\ref{Theorem cos New} и \ref{Theorem sin corrector} вынесены в \S\ref{Section 3}. \subsection{Об аппроксимации оператора $\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}$ в энергетическом классе} \begin{theorem} \label{Theorem cos corrector} В условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem sin corrector}} при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедлива оценка \begin{equation} \label{Th cos with correction term} \begin{split} \Bigl\Vert &\Bigl(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-1} \\ &-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant C_{10}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5). \end{split} \end{equation} Постоянная $C_{10}$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data}. \end{theorem} Доказательство теоремы~\textnormal{\ref{Theorem cos corrector}} вынесено в \S\ref{Section 3}. Теорема~\textnormal{\ref{Theorem cos corrector}} позволяет получить аппроксимацию в энергетическом классе для гиперболических систем со специальным выбором начальных данных: \begin{equation*} \partial _t^2\mathbf{u}_\varepsilon =-B_{\varepsilon}\mathbf{u}_\varepsilon, \quad\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0, \quad\mathbf{u}_\varepsilon \vert _{t=0}=B_{D,\varepsilon}^{-1}\boldsymbol{\varphi},\quad (\partial _t\mathbf{u}_\varepsilon )\vert _{t=0}=0, \end{equation*} где $\boldsymbol{\varphi}\in\mathrm{Dom}\,B_D^0= H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\cap H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. В этом случае эффективная задача имеет вид \begin{equation*} \partial _t^2\mathbf{u}_0 =-B^0\mathbf{u}_0, \quad\mathbf{u}_0(\cdot,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0, \quad\mathbf{u}_0 \vert _{t=0}=(B_{D}^0)^{-1}\boldsymbol{\varphi},\quad (\partial _t\mathbf{u}_0 )\vert _{t=0}=0. \end{equation*} Из \eqref{BDoPhi 5 st<=} и \eqref{Th cos with correction term} вытекает оценка \begin{equation*} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)-\mathbf{u}_0(\cdot ,t)-\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon)S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0(\cdot,t)\Vert _{H^1(\mathcal{O})} \leqslant 3^{1/2}C_BC_{10}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5)\Vert \boldsymbol{\varphi}\Vert _{H^2(\mathcal{O})}. \end{equation*} Возможность аппроксимации в энергетическом классе для решения при таком выборе начальных данных согласуется с результатами \cite{BrOFMu}. Отметим, что с помощью леммы~\ref{Lemma square root of resolvent} и оценок \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}, \eqref{B_D^0 L2 ->L2} из теоремы~\ref{Theorem cos corrector} можно вывести аппроксимацию оператора $\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}$: \begin{equation*} \begin{split} \Vert &\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}(B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2})(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant c_3\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant c_3C_6\mathcal{C}_1\varepsilon^{1/2}. \end{split} \end{equation*} Отсюда и из \eqref{Th cos with correction term} вытекает оценка \begin{equation*} \begin{split} \Bigl\Vert & \bigl(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(I+\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon)S_\varepsilon P_\mathcal{O}) \cos(t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1/2}\Bigr) \\ &\times (B_D^0)^{-3/2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant(C_{10}+c_3C_6\mathcal{C}_1)\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5). \end{split} \end{equation*} \subsection{Устранение сглаживающего оператора в корректоре} \label{Subsection main results no S_eps} Оказывается, что сглаживающий оператор в корректоре может быть устранен, если наложить на матрицы-функции $\Lambda (\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ дополнительные условия. \begin{condition} \label{Condition Lambda in L infty} Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} ограничено, т. е. $\Lambda\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$. \end{condition} Случаи, когда условие~\ref{Condition Lambda in L infty} выполнено автоматически, выделены в \cite[лемма 8.7]{BSu06}. \begin{proposition} \label{Proposition Lambda in L infty <=} Условие~\textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений\textnormal{:} \noindent $1^\circ )$ $d\leqslant 2${\rm ;} \noindent $2^\circ )$ размерность $d\geqslant 1$ произвольна, а дифференциальное выражение $A_\varepsilon$ имеет вид $A_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами{\rm ;} \noindent $3^\circ )$ размерность $d$ произвольна, и $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{underline-g}. \end{proposition} Для того, чтобы устранить $S_\varepsilon$ в члене корректора, содержащем $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon$, достаточно наложить следующее условие. \begin{condition} \label{Condition tilde Lambda in Lp} Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ задачи \eqref{tildeLambda_problem} таково, что \begin{equation*} \widetilde{\Lambda}\in L_p(\Omega),\quad p=2 \;\mbox{при}\;d=1,\quad p>2\;\mbox{при}\;d=2, \quad p=d \;\mbox{при}\;d\geqslant 3. \end{equation*} \end{condition} Следующий результат установлен в \cite[предложение 8.11]{SuAA}. \begin{proposition} \label{Proposition tilde Lambda in Lp if} Условие \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений\textnormal{:} \noindent $1^\circ )$ $d\leqslant 4${\rm ;} \noindent $2^\circ )$ размерность $d$ произвольна, а дифференциальное выражение $A_{\varepsilon}$ имеет вид $A_{\varepsilon} =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами. \end{proposition} \begin{remark} \label{Remark scalar problem} Если $A_{\varepsilon} =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами, то из \textnormal{\cite[глава {\rm III}, теорема {\rm 13.1}]{LaU}} следует, что $\Lambda,\widetilde{\Lambda}\in L_\infty$, причем норма $\Vert\Lambda\Vert _{L_\infty}$ не превосходит величины, зависящей от $d$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и $\Omega$, а норма $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_\infty }$ оценивается в терминах $d$, $\rho$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots ,d$, и $\Omega$. В этом случае условия \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} и \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} справедливы одновременно. \end{remark} Наша цель в этом пункте --- доказать следующую теорему. \begin{theorem} \label{Theorem no S-eps} Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem sin corrector}}. Пусть матрица-функция $\Lambda(\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}, а матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ --- условию \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Обозначим \begin{equation} \label{GD0} G_D^0(\varepsilon ;t):=\left(\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})+g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon \right) (B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}). \end{equation} Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы аппроксимации \begin{align} \label{Th sin corr no S_eps-1} \begin{split} \Bigl\Vert & \bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})- \bigl(I+\varepsilon\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant C_{11} \varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6), \end{split} \\ \label{Th sin corr no S_eps flux-1} \begin{split} \bigl\Vert & \bigl( g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2}) - G_D^0(\varepsilon ;t) \bigr)(B_D^0)^{-2}\bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_{12} \varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6). \end{split} \end{align} Постоянные $C_{11}$ и $C_{12}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}, от $p$ и от норм $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$. \end{theorem} Для доказательства теоремы \ref{Theorem no S-eps} нам потребуются следующие результаты, установленные в \cite[леммы 7.7 и 7.8]{MSuPOMI}. \begin{lemma} \label{Lemma Lambda (S-I)} Пусть $\Gamma$-периодическое матричнозначное решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} удовлетворяет условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ выполнено \begin{equation*} \Vert [\Lambda ^\varepsilon ]b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant\mathfrak{C}_\Lambda . \end{equation*} Постоянная $\mathfrak{C}_\Lambda$ зависит только от $m$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от параметров решетки $\Gamma$ и нормы $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$. \end{lemma} \begin{lemma} \label{Lemma tilde Lambda(S-I)} Пусть матричнозначное $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})$ задачи \eqref{tildeLambda_problem} удовлетворяет условию \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедлива оценка \begin{equation*} \Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ](S_\varepsilon -I)\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}. \end{equation*} Постоянная $\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}$ зависит только от $n$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\rho$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от норм $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots,d$, от $p$, $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$ и от параметров решетки $\Gamma$. \end{lemma} Следующее утверждение несложно проверить с помощью неравенства Гёльдера и теоремы вложения Соболева (ср. \cite[лемма 3.5]{MSu15}). \begin{lemma} \label{Lemma tilde Lambda norm} Пусть матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ подчинена условию~\textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Тогда при \break$0<\varepsilon\leqslant 1$ оператор $[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon]$ непрерывен из $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, причем \begin{equation*} \Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}C_\Omega (p), \end{equation*} где $C_\Omega (p)$ --- норма оператора вложения $H^1(\Omega)\hookrightarrow L_{2(p/2)'}(\Omega)$. Здесь $(p/2)'=\infty$ при $d=1$, и $(p/2)'=p/(p-2)$ при $d\geqslant 2$. \end{lemma} \begin{proof}[Доказательство теоремы \textnormal{\ref{Theorem no S-eps}}.] Результат теоремы \ref{Theorem no S-eps} выводится из теоремы \ref{Theorem sin corrector} с помощью лемм \ref{Lemma Lambda (S-I)}, \ref{Lemma tilde Lambda(S-I)} и \ref{Lemma tilde Lambda norm}. Применяя лемму \ref{Lemma Lambda (S-I)} и \eqref{PO}, получаем \begin{equation} \label{proof no S_eps-1} \begin{split} \Vert &\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant \mathfrak{C}_\Lambda C_\mathcal{O}^{(2)}\Vert (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})},\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant 1. \end{split} \end{equation} Имеем \begin{equation} \label{proof no S_eps-2-a} \begin{split} \Vert & (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})} \Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \Vert (B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}. \end{split} \end{equation} В силу спектральной теоремы и элементарного неравенства $\vert \sin\mu\vert /\vert \mu\vert \leqslant 1$, $\mu\in\mathbb{R}$, выполнено \begin{equation*} \Vert (B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant\vert t\vert. \end{equation*} Отсюда и из \eqref{B_D^0 L2 ->L2}, \eqref{B_D^0 L2 ->H^2} и \eqref{proof no S_eps-2-a} следует, что \begin{equation} \label{proof no S_eps-2} \begin{split} \Vert (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})} \leqslant\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3\vert t\vert ,\quad t\in\mathbb{R}. \end{split} \end{equation} На основании леммы \ref{Lemma tilde Lambda(S-I)} и \eqref{PO}, \eqref{proof no S_eps-2} выполнено \begin{equation} \label{proof no S_eps-3} \begin{split} \Vert &\widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I)P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}C_\mathcal{O}^{(2)}\Vert (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3\vert t\vert ,\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant 1. \end{split} \end{equation} Теперь из \eqref{Th sin 2}, \eqref{proof no S_eps-1}, \eqref{proof no S_eps-2} и \eqref{proof no S_eps-3} вытекает оценка \eqref{Th sin corr no S_eps-1} с постоянной $C_{11}:=C_8+ (\mathfrak{C}_\Lambda +\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}})C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3 $. Мы учли, что $\vert t\vert\leqslant (1+ t ^6)$, $t\in\mathbb{R}$. Перейдем к доказательству неравенства \eqref{Th sin corr no S_eps flux-1}. Из \eqref{b_l <=} и \eqref{Th sin corr no S_eps-1} следует, что \begin{equation} \label{proof no S_eps-5.a} \begin{split} \Bigl\Vert & \Bigl( g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon}^{1/2}) -g^\varepsilon b(\mathbf{D})\bigl(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr) (B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) \Bigr) \\ &\times (B_D^0)^{-2} \Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{11}\varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6),\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1. \end{split} \end{equation} Имеем \begin{equation} \label{proof no S_eps-6} \begin{split} g^\varepsilon & b(\mathbf{D})\bigl(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr) (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) \\ &= g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) +g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\Lambda)^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) \\ &+ g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) + \varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) D_l (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}). \end{split} \end{equation} Чтобы оценить четвертый член справа в \eqref{proof no S_eps-6}, воспользуемся условиями \ref{Condition Lambda in L infty} и \ref{Condition tilde Lambda in Lp}, леммой \ref{Lemma tilde Lambda norm} и неравенством \eqref{b_l <=}: \begin{equation*} \begin{split} \Biggl\Vert & \varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) D_l (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) \Biggr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \varepsilon (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}\Vert b(\mathbf{D})\mathbf{D}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \\ &+\varepsilon (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}C_\Omega (p)\Vert P_\mathcal{O}\mathbf{D} (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}. \end{split} \end{equation*} С помощью \eqref{b_l <=}, \eqref{PO} и \eqref{proof no S_eps-2} отсюда получаем \begin{equation} \label{proof no S_eps-7.a} \begin{split} \Biggl\Vert \varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) D_l (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}) \Biggr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant \varepsilon \vert t\vert \widehat{C}_{12},\quad t\in\mathbb{R}, \end{split} \end{equation} где $\widehat{C}_{12}:=(d\alpha _1)^{1/2}\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3\Vert g\Vert _{L_\infty}\bigl( (d\alpha _1)^{1/2}\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty} +C_\Omega (p)C_\mathcal{O}^{(1)}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}\bigr)$. Из \eqref{proof no S_eps-5.a}--\eqref{proof no S_eps-7.a} вытекает оценка \eqref{Th sin corr no S_eps flux-1} с постоянной $C_{12}:=(d\alpha_1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{11}+\widehat{C}_{12}$. \end{proof} \subsection{Устранение сглаживающего оператора в корректоре в случае, когда $3\leqslant d\leqslant 8$} \label{Subsection main results no S_eps, 3<=d=<8} Рассмотрим возможность устранения сглаживателя при $d\geqslant 3$ без наложения дополнительных условий на матрицы-функции $\Lambda$ и $\widetilde{\Lambda}$. (В силу предложений~\ref{Proposition Lambda in L infty <=} и \ref{Proposition tilde Lambda in Lp if} при $d\leqslant 2$ применима теорема~\ref{Theorem no S-eps}.) Оказывается, что если граница области достаточно гладкая, то при $3\leqslant d\leqslant 8$ сглаживающий оператор $S_\varepsilon$ может быть устранен из обоих членов корректора. Чтобы показать это, нам потребуются мультипликаторные свойства матриц-функций $\Lambda ^\varepsilon$ и $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon$. Следующий результат установлен в \cite[леммы 6.3 и 6.5, следствия 6.4 и 6.6]{MSuAA17}. \begin{lemma} \label{Lemma Lambda multiplicator properties} Пусть матрица-функция $\Lambda({\mathbf x})$ является $\Gamma$-периодическим решением задачи \textnormal{\eqref{Lambda problem}}. Пусть $d\geqslant 3$ и $l=d/2$. \noindent $1^\circ$. При $0< \varepsilon \leqslant 1$ оператор $[\Lambda^\varepsilon]$ непрерывно переводит $H^{l-1}({\mathcal O};{\mathbb C}^m)$ в $L_2({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$, причем \begin{equation*} \|[\Lambda^\varepsilon] \|_{ H^{l-1}({\mathcal O}) \to L_2({\mathcal O})} \leqslant C^{(0)} . \end{equation*} \noindent $2^\circ$. При $0< \varepsilon \leqslant 1$ для ${\mathbf u} \in H^{l}({\mathbb R}^d; {\mathbb C}^m)$ справедливы включение $\Lambda^\varepsilon {\mathbf u} \in H^1({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ и оценка \begin{equation*} \| \Lambda^\varepsilon {\mathbf u}\|_{H^1({\mathbb R}^d)} \leqslant C^{(1)} \varepsilon^{-1} \| {\mathbf u}\|_{L_2({\mathbb R}^d)} + C^{(2)} \|{\mathbf u}\|_{H^l({\mathbb R}^d)}. \end{equation*} Постоянные $C^{(0)}$, $C^{(1)}$ и $C^{(2)}$ зависят от $m$, $d$, $\alpha_0$, $\alpha_1$, $\|g\|_{L_\infty}$, $\|g^{-1}\|_{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. \end{lemma} \begin{lemma} \label{Lemma tilde Lambda multiplicator properties} Пусть матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{tildeLambda_problem}. Пусть $d\geqslant 3$ и $l=d/2$. \noindent $1^\circ$. При $0<\varepsilon\leqslant 1$ оператор $[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon]$ непрерывно переводит $H^{l-1}(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, причем \begin{equation*} \Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\Vert _{H^{l-1}(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant \widetilde{C}^{(0)}. \end{equation*} \noindent $2^\circ$. При $0<\varepsilon\leqslant 1$ для $\mathbf{u}\in H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ справедливы включение $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и оценка \begin{equation*} \Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon\mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)} \leqslant \widetilde{C}^{(1)}\varepsilon ^{-1}\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)} +\widetilde{C}^{(2)}\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^l(\mathbb{R}^d)}. \end{equation*} Постоянные $ \widetilde{C}^{(0)}$, $ \widetilde{C}^{(1)}$ и $ \widetilde{C}^{(2)}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}. \end{lemma} В соответствии с теоремами о повышении гладкости для сильно эллиптических систем (см., например, \cite[теорема 4.18]{McL}) справедливо следующее утверждение. \begin{lemma} \label{Lemma with conditions on boundary} Пусть $3\leqslant d\leqslant 8$. Пусть $\partial\mathcal{O}\in C^{d/2,1}$, если $d$ четное, и $\partial\mathcal{O}\in C^{(d+1)/2,1}$, если $d$ --- нечетное. Тогда оператор $(B_D^0)^{-5/2}$ непрерывно переводит $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в \break$H^{d/2+1}(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и справедлива оценка \begin{equation} \label{BD0 -5/2 to Hl+1} \Vert (B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^{l+1}(\mathcal{O})}\leqslant\mathscr{C}_l,\quad l=d/2. \end{equation} \end{lemma} Отметим также, что при произвольном $d\geqslant 1$ и $\partial\mathcal{O}\in C^{4,1}$ выполнено $(B_D^0)^{-5/2}:L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\rightarrow H^5(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, \begin{equation} \label{BD0 -5/2 to H5} \Vert (B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^5(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_5. \end{equation} \begin{theorem} \label{Theorem d<=6 no S_eps} Пусть справедливы условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem sin corrector}}, причем $3\leqslant d\leqslant 8$ и $\partial\mathcal{O}$ удовлетворяет условиям леммы~\textnormal{\ref{Lemma with conditions on boundary}}. Пусть $G_D^0(\varepsilon ;t)$ --- оператор \eqref{GD0}. Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ имеют место аппроксимации \begin{align} \label{Th sin corr no S_eps} \begin{split} \Bigl\Vert & \bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})- \bigl(I+\varepsilon\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant C_{13} \varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6), \end{split} \\ \label{Th sin corr no S_eps flux} \begin{split} \bigl\Vert & \bigl( g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2}) - G_D^0(\varepsilon ;t) \bigr)(B_D^0)^{-2}\bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant C_{14} \varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6). \end{split} \end{align} Постоянные $C_{13}$ и $C_{14}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data} \end{theorem} \begin{proof} В силу предложения~\ref{Proposition S__eps - I}, леммы~\ref{Lemma Lambda multiplicator properties}($2^\circ$) и \eqref{L2} и \eqref{2.33 corr =0}--\eqref{2.35 corr =0}, получаем, что при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ выполнено \begin{equation} \label{cos with K =0} \Bigl\Vert \Bigl( \cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos(t(B_D^0)^{1/2})\Bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant C_{15}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5). \end{equation} Здесь $C_{15}:=C_{10}+c_3C_*^{1/2}C_4(c_\flat ^{-1}+c_\flat ^{-2})\mathcal{C}_1$. С помощью \eqref{sin with K=0} и \eqref{cos with K =0} получаем аппроксимацию в классе Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ для решения \eqref{u_eps=} задачи \eqref{hyperbolic system}. \begin{proposition} Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon $ и $\mathbf{u}_0$ --- решения задач \eqref{hyperbolic system} и \eqref{effective hyperbolic system} соответственно при $\boldsymbol{\varphi}$, $\boldsymbol{\psi}\in \mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2)$. Пусть справедливы соотношения \eqref{overline-g} и \eqref{sum Dj aj =0}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $t\in\mathbb{R}$ выполнена оценка \begin{equation*} \begin{split} \Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)-\mathbf{u}_0(\cdot ,t)\Vert _{H^1(\mathcal{O})} &\leqslant \mathfrak{C}C_{15}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5)\Vert \boldsymbol{\varphi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})} \\ &+\mathfrak{C}C_8\varepsilon ^{1/2}(1+t ^6)\left( \Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+ \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right). \end{split} \end{equation*} \end{proposition} \section{Доказательства теорем \ref{Theorem cos New} и \ref{Theorem sin corrector}} \label{Section 3} \subsection{Доказательство теоремы \ref{Theorem cos New}} Доказательство оценки \eqref{Th cos B_D,eps} основано на использовании обратного преобразования Лапласа и применении теоремы~\ref{Theorem resolvent}. Чтобы обеспечить сходимость появляющихся при этом интегралов, вместо косинуса мы рассматриваем функцию вида $$\left(\cos (ta^{1/2})-1+at^2/2\right)a^{-2},$$ для которой обратное преобразование Лапласа убывает быстрее (см., например, \cite[раздел 17.13]{Grad}). \begin{proof}[Доказательство теоремы \textnormal{\ref{Theorem cos New}}.] При $t=0$ результат \eqref{Th cos B_D,eps} тривиален: $\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})\vert _{t=0}=\cos (t(B_D^0)^{1/2})\vert _{t=0}=I$, поэтому далее будем считать, что $t>0$. Это не ограничивает общности, так как косинус --- четная функция. Учитывая оценку \begin{equation} \label{AD,eps -1 -...} \Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{16}\varepsilon , \quad C_{16}:=\max \lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace C_2, \end{equation} вытекающую из \eqref{rho(zeta)}, \eqref{Th dr appr 1}, на основании тождества \begin{equation*} \begin{split} B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2} = \frac{1}{2}(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})(B_{D,\varepsilon}^{-1}+(B_D^0)^{-1}) +\frac{1}{2}(B_{D,\varepsilon}^{-1}+(B_D^0)^{-1})(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}) \end{split} \end{equation*} и оценок \eqref{B_D,eps L2 ->L2}, \eqref{B_D^0 L2 ->L2} получаем, что \begin{equation} \label{raznost' kvadratov resolvent} \Vert B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant 2\mathcal{C}_1C_{16}\varepsilon . \end{equation} Поэтому \begin{equation} \label{cos-cos Res AD0} \begin{split} \Bigl\Vert & \left(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos (t(B_D^0)^{1/2})\right)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\ &\leqslant \Vert \cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\left(B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}\right)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\ &+\Vert \cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos(t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\ &\leqslant 2\mathcal{C}_1C_{16}\varepsilon +\Vert \cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos(t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}. \end{split} \end{equation} Пусть $a>0$ --- параметр. Справедливо тождество \begin{equation} \label{basic identity for functions} \left( \frac{1}{2}a t^2-1+\cos (t\sqrt{a}) \right)a^{-2} =\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda = c} \lambda ^{-3}(a+\lambda ^2)^{-1}e^{\lambda t}\,d\lambda,\quad c>0. \end{equation} В этом несложно убедиться, посчитав интеграл в правой части \eqref{basic identity for functions} по вычетам. Будем считать, что постоянная $c$ в \eqref{basic identity for functions} равна $\sqrt{c_\flat}/t$. С помощью спектральной теоремы из \eqref{basic identity for functions} выводим равенство \begin{equation} \label{basic identity} \left( \frac{1}{2}B_{D,\varepsilon} t^2-I+\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2}) \right)B_{D,\varepsilon}^{-2} =\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda = \sqrt{c_\flat}/t} \lambda ^{-3}(B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2 I)^{-1}e^{\lambda t}\,d\lambda . \end{equation} Для эффективного оператора справедливо аналогичное тождество, поэтому \begin{equation} \label{14} \begin{split} \cos (&t B_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2} = -\frac{t^2}{2}\left(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}\right) +\left( B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}\right)\\ &+\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat}/t}\lambda ^{-3} \left( (B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2I)^{-1}-(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}\right)e^{\lambda t}\,d\lambda . \end{split} \end{equation} Отсюда на основании \eqref{AD,eps -1 -...} и \eqref{raznost' kvadratov resolvent} заключаем, что \begin{equation} \label{cos-cos=something + int norm estimate} \begin{split} \Vert & \cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \\ &\leqslant 2^{-1}C_{16}\varepsilon t^2+2\mathcal{C}_1C_{16}\varepsilon \\ &+\left\Vert \frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat}/t}\lambda ^{-3} \left( (B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2I)^{-1}-(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}\right)e^{\lambda t}\,d\lambda \right\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}. \end{split} \end{equation} Перейдем к оцениванию интеграла в правой части \eqref{cos-cos=something + int norm estimate}. Сделаем в нём замену переменной $\lambda t=\mu$: \begin{equation} \label{mathfrak I=} \begin{split} &\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat}/t}\lambda ^{-3} \left( (B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2I)^{-1}-(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}\right)e^{\lambda t}\,d\lambda \\ &=\frac{t^2}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\mu =\sqrt{c_\flat}}e^\mu \mu ^{-3} \left( (B_{D,\varepsilon}+\frac{\mu ^2}{t^2} I)^{-1}-(B_D^0+\frac{\mu ^2}{t ^2} I)^{-1}\right)\,d\mu=:\mathfrak{I}(\varepsilon ;t) . \end{split} \end{equation} Будем считать, что $\mu = \sqrt{c_\flat} +i\beta$, $\beta\in\mathbb{R}$. Поймем, где меняется величина $\zeta _t :=-\mu ^2/t^{2}$. Имеем \begin{equation} \label{3.8a} \mu ^2 = c_\flat-\beta ^2 +i2\beta\sqrt{c_\flat}=:x+iy. \end{equation} Тогда $$ \begin{cases} x=c_\flat -\beta ^2,\\ y=2\beta\sqrt{c_\flat}. \end{cases} $$ Следовательно, $$ \begin{cases} x=c_\flat - (4c_\flat)^{-1}y^2, \\ \beta =2^{-1}c_\flat ^{-1/2}y. \end{cases} $$ Таким образом, величина $\zeta _t$ пробегает параболу $\Pi _t$ (см. рис. \ref{Picture parabola}): \begin{equation} \label{Pi} \Pi _t:=\left\lbrace\zeta _t\in\mathbb{C} : \mathrm{Re}\,\zeta _t=-\frac{c_\flat}{t^2}+\frac{t^2}{4 c_\flat}(\mathrm{Im}\,\zeta _t)^2\right\rbrace . \end{equation} \begin{figure} \begin{center} \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines=middle, axis line style=->, xmin=-5,xmax=5, ymin=-5,ymax=5, xlabel=$\mathrm{Re}\,\zeta _t$, ylabel=$\mathrm{Im}\,\zeta_t$, xtick=\empty, ytick=\empty, xticklabels=\empty, yticklabels=\empty, ] \addplot[smooth,thick, blue,-]({x^2/4-1},{x}); \end{axis} \draw[black,thick] (0.5,4.5) circle (3.5mm); \draw (0.5,4.8) node [below]{$\zeta _t$}; \draw (2.8,2.8) node [below left]{$-\frac{c_\flat}{t^2}$}; \draw[fill] (2.75,2.85) circle (1.5pt); \draw (3.6,2.1) node [below right]{$-\frac{2c_\flat}{t^2}$}; \draw[fill] (3.42,1.675) circle (1.5pt); \draw (3.5,4.2) node [below right]{$\frac{2c_\flat}{t^2}$}; \draw[fill] (3.42,4.015) circle (1.5pt); \end{tikzpicture} \caption{Парабола $\Pi _t$.} \label{Picture parabola} \end{center} \end{figure} При $\zeta _t\in\Pi _t$, $\mathrm{Re}\,\zeta _t0$. Имеем \begin{equation*} c_\flat +1 =\mathrm{Re}\,\widetilde{\zeta}_t=\frac{\widetilde{\beta}^2-c_\flat}{t^2}. \end{equation*} Отсюда \begin{equation} \label{tilde beta} \widetilde{\beta}^2=c_\flat +t^2(c_\flat +1). \end{equation} Поэтому \begin{equation*} \left( \mathrm{Im}\,\widetilde{\zeta}_t\right)^2 =\frac{4\widetilde{\beta}^2c_\flat}{t^4} = \frac{4 c_\flat ^2+4c_\flat t^2(c_\flat +1)}{t^4}. \end{equation*} Далее, \begin{equation*} c(\widetilde{\psi}_t)^2 =\frac{\vert\widetilde{\zeta}_t-c_\flat\vert ^2}{\left( \mathrm{Im}\,\widetilde{\zeta}_t\right)^2} =\frac{\left(\mathrm{Re}\,(\widetilde{\zeta}_t-c_\flat)\right)^2+\left( \mathrm{Im}\,\widetilde{\zeta}_t\right)^2}{\left( \mathrm{Im}\,\widetilde{\zeta}_t\right)^2} =\frac{t^4+4c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}{4 c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}. \end{equation*} Пользуясь элементарным неравенством $1\leqslant (c_\flat +1)^2$, находим \begin{equation*} c(\widetilde{\psi}_t)^2 \leqslant \frac{t^4(c_\flat +1)^2+4c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}{4 c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}= \frac{\left(t^2(c_\flat +1)+2c_\flat\right)^2}{4 c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}. \end{equation*} Уменьшая знаменатель, получаем \begin{equation*} c(\widetilde{\psi}_t)^2 \leqslant\frac{\left(t^2(c_\flat +1)+2c_\flat\right)^2}{2 c_\flat ^2 +c_\flat t^2(c_\flat +1)} =\frac{t^2(c_\flat +1)+2c_\flat}{c_\flat}=2+(1+c_\flat ^{-1})t^2. \end{equation*} Отсюда и из \eqref{3.11b}, \eqref{zvezda} вытекает, что при $\zeta _t\in \Pi _t$, $c_\flat <\mathrm{Re}\,\zeta _t\leqslant c_\flat +1$, верна оценка \begin{equation} \label{rho<=c_2} \varrho _\flat (\zeta _t) \leqslant \max\lbrace(2 c_\flat)^{-2}t^2;2+(1+c_\flat ^{-1})t^2\rbrace \leqslant\mathfrak{c}_2(t^2+1);\quad\mathfrak{c}_2:=\max\lbrace (2c_\flat)^{-2};2;1+c_\flat ^{-1}\rbrace . \end{equation} Объединяя \eqref{rho<=c_1} и \eqref{rho<=c_2}, заключаем, что \begin{equation} \label{rho <=c_3} \varrho _\flat (\zeta _t)\leqslant\mathfrak{c}_3(1+t^2),\quad\zeta _t\in\Pi _t,\;\mathrm{Re}\,\zeta _t\leqslant c_\flat +1;\quad\mathfrak{c}_3:=\max\lbrace\mathfrak{c}_1;\mathfrak{c}_2\rbrace . \end{equation} Пусть теперь $\zeta _t\in\Pi _t$, $\mathrm{Re}\,\zeta _t >c_\flat +1$. На этом участке контура будем оценивать подынтегральное выражение в \eqref{mathfrak I=} с помощью \eqref{sem'.a}. Пусть $\phi _t=\mathrm{arg}\,\zeta _t$. Заметим, что с учетом \eqref{zeta_t(beta)=} выполнено \begin{equation} \label{estimates large beta's} t^2\vert\mu ^{-3}\vert\vert\zeta _t\vert ^{-1/2}c(\phi_t)^2=t^{-1}\vert\zeta _t\vert ^{-2}c(\phi_t)^2=t^{-1}\vert\mathrm{Im}\,\zeta _t\vert ^{-2}=(4c_\flat)^{-1}t^3\beta ^{-2}. \end{equation} Теперь мы можем оценить интеграл \eqref{mathfrak I=}. Имеем \begin{equation*} \mathfrak{I}(\varepsilon ;t) =\frac{t^2}{2\pi}\int _{-\infty}^\infty e^{\sqrt{c_\flat}}e^{i\beta}( \mu (\beta)) ^{-3} \left( (B_{D,\varepsilon}+\frac{\mu (\beta) ^2}{t^2} I)^{-1}-(B_D^0+\frac{\mu (\beta) ^2}{t ^2} I)^{-1}\right)\,d\beta , \end{equation*} где $\mu (\beta)=c_\flat ^{1/2}+i\beta$. На основании \eqref{sem'.a}, \eqref{Th dr appr 1}, \eqref{rho <=c_3} и \eqref{estimates large beta's} отсюда выводим \begin{equation} \label{I<= int1 +int 2} \Vert\mathfrak{I}(\varepsilon ;t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant\frac{e^{\sqrt{c_\flat}}t^2}{2\pi} \left(\varepsilon C_2\mathfrak{c}_3(1+t^2)\int _{-\widetilde{\beta}}^{\widetilde{\beta}}\vert\mu (\beta)\vert ^{-3} \,d\beta +\varepsilon C_1 (2c_\flat)^{-1} t \int _{\widetilde{\beta}}^\infty \beta ^{-2}\,d\beta\right) . \end{equation} (Напомним, что значение параметра $\beta=\widetilde{\beta}$ (см. \eqref{tilde beta}) отвечает точке $\widetilde{\zeta}_t\in \Pi _t$, для которой $\mathrm{Re}\,\widetilde{\zeta}_t=c_\flat +1$.) Заметим, что $\vert \mu (\beta)\vert\geqslant \mathrm{Re}\,\mu (\beta)=c_\flat ^{1/2}$, и в силу \eqref{tilde beta} выполнено \begin{equation} \int _{-\widetilde{\beta}}^{\widetilde{\beta}}\vert\mu (\beta)\vert ^{-3} \,d\beta \leqslant 2c_\flat ^{-3/2}\widetilde{\beta}=2c_\flat ^{-3/2}\sqrt{c_\flat +t^2(c_\flat+1)} \leqslant\mathfrak{c}_4 (t^2+1)^{1/2}, \end{equation} где $\mathfrak{c}_4:=2c_\flat ^{-3/2}(c_\flat +1)^{1/2}$. Далее, согласно \eqref{tilde beta} имеем \begin{equation} \label{int 2<=} \int _{\widetilde{\beta}}^\infty \beta ^{-2}\,d\beta =\widetilde{\beta}^{-1}=(c_\flat +t^2(c_\flat +1))^{-1/2} \leqslant t^{-1}(c_\flat +1)^{-1/2}. \end{equation} Объединяя \eqref{I<= int1 +int 2}--\eqref{int 2<=}, находим \begin{equation} \label{I itog estimate} \Vert \mathfrak{I}(\varepsilon ;t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant\mathfrak{c}_5\varepsilon t^2 \left( (1+t^2)^{3/2}+1\right), \end{equation} где \begin{equation*} \mathfrak{c}_5:=\frac{e^{\sqrt{c_\flat}}}{2\pi}\max\lbrace \mathfrak{c}_3\mathfrak{c}_4 C_2;(2c_\flat )^{-1}(c_\flat +1)^{-1/2}C_1\rbrace . \end{equation*} Объединяя \eqref{cos-cos Res AD0}, \eqref{cos-cos=something + int norm estimate}, \eqref{mathfrak I=} и \eqref{I itog estimate}, приходим к оценке \begin{equation} \label{Th cos B_D,eps different terms t} \Bigl\Vert \left( \cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos (t (B_D^0)^{1/2}) \right)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant \widehat{C}_7\varepsilon \left(1+t^2 +t^2(1+t^2)^{3/2}\right) \end{equation} с постоянной $ \widehat{C}_7:=\max\left\lbrace 4\mathcal{C}_1C_{16};2^{-1}C_{16}+\mathfrak{c}_5\right\rbrace $. Заметим, что при $\vert t\vert \leqslant 1$ старшая степень времени в правой части \eqref{Th cos B_D,eps different terms t} --- это $t^0$, а при $\vert t\vert >1$ старшая степень --- $t^5$. С учетом этого соображения из \eqref{Th cos B_D,eps different terms t} вытекает оценка \eqref{Th cos B_D,eps} с постоянной $C_7:=2(1+\sqrt{2})\widehat{C}_7$. С помощью тождества \begin{equation} \label{sin tozd} B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon }^{1/2}) =\int _0^t \cos (\tau B_{D,\varepsilon}^{1/2})\,d\tau \end{equation} и аналогичного тождества для эффективного оператора на основании \eqref{Th cos B_D,eps} получаем оценку \eqref{Th sin 1}. \end{proof} \subsection{Доказательство теоремы~\textnormal{\ref{Theorem cos corrector}}} \begin{proof}[Доказательство теоремы~\textnormal{\ref{Theorem cos corrector}}] Аналогично \eqref{basic identity} имеем \begin{equation*} \cos \bigl(t(B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2} =-\frac{t^2}{2}(B_D^0)^{-1}+(B_D^0)^{-2} +\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat} /t}\lambda ^{-3}(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}e^{\lambda t}\,d\lambda . \end{equation*} Отсюда вытекает, что \begin{equation*} \begin{split} \varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2} &=-\frac{\varepsilon t^2}{2}K_D(\varepsilon ;0)+\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)(B_D^0)^{-1}\\ &+\frac{\varepsilon}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat} /t}\lambda ^{-3}K_D(\varepsilon ;-\lambda ^2)e^{\lambda t}\,d\lambda . \end{split} \end{equation*} Здесь $K_D(\varepsilon;\cdot)$ --- оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}. Следовательно, с учетом \eqref{14} имеем \begin{equation} \label{33} \begin{split} &\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2} -\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2} \\ &=-\frac{t^2}{2}\left( B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)\right) +\left(B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)(B_D^0)^{-1}\right) \\ &+\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat} /t}\lambda ^{-3} \left( (B_{D,\varepsilon }+\lambda ^2 I)^{-1}-(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;-\lambda ^2)\right) e^{\lambda t}\,d\lambda. \end{split} \end{equation} Последнее слагаемое в правой части \eqref{33} обозначим через $\mathcal{I}(\varepsilon ;t)$. На основании \eqref{B_D,eps L2 ->H^1}, \eqref{B_D^0 L2 ->L2} и \eqref{Th dr appr 1}, \eqref{31} имеем \begin{equation} \label{34} \begin{split} \Vert& B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}\bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}\bigr)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &+\Vert \left(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)\right)(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \mathcal{C}_2C_2\max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace\varepsilon +2\max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace\mathcal{C}_1C_4\varepsilon ^{1/2} \leqslant\mathfrak{c}_6\varepsilon ^{1/2}, \end{split} \end{equation} где $\mathfrak{c}_6:=\max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace(\mathcal{C}_2C_2+2\mathcal{C}_1C_4)$. В силу \eqref{31}, \eqref{33} и \eqref{34} выполнено \begin{equation} \label{35} \begin{split} \Vert &\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})(B_{D,\varepsilon})^{-2}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2} \\ &-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace C_4\varepsilon ^{1/2} t^2 +\mathfrak{c}_6\varepsilon ^{1/2}+\Vert \mathcal{I}(\varepsilon ;t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}. \end{split} \end{equation} В интеграле $\mathcal{I}(\varepsilon ;t)$ сделаем замену переменной $\lambda t=\mu$: \begin{equation} \label{36} \mathcal{I}(\varepsilon ;t) =\frac{t^2}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\mu =\sqrt{c_\flat}}e^\mu \mu ^{-3} \left( (B_{D,\varepsilon}+\frac{\mu ^2}{t^2} I)^{-1}-(B_D^0+\frac{\mu ^2}{t^2}I)^{-1}-\varepsilon K_D\bigl(\varepsilon;-\frac{\mu ^2}{t^2}\bigr)\right)\,d\mu . \end{equation} Считаем, что $\mu =\mu (\beta)= c_\flat ^{1/2}+i\beta$, $\beta\in\mathbb{R}$. Величина $\zeta _t (\beta)=-\mu (\beta)^2 /t^2$ лежит на параболе $\Pi _t$ (см. \eqref{Pi}). При $-\widetilde{\beta}\leqslant\beta\leqslant\widetilde{\beta}$ (здесь $\widetilde{\beta}$ определено в \eqref{tilde beta}) будем пользоваться оценкой \eqref{31}. Заметим, что в силу \eqref{3.8a} \begin{equation*} \begin{split} \varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta _t)^{1/2}+\varepsilon \vert 1+\zeta _t\vert ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta _t) &\leqslant \varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta _t)(1+(1+\vert \zeta _t\vert )^{1/2}) \\ &\leqslant \varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta _t)\left(1+\left(1+t^{-2}(c_\flat +\beta ^2)\right)^{1/2}\right). \end{split} \end{equation*} Отсюда и из \eqref{31}, \eqref{tilde beta}, \eqref{rho <=c_3} следует, что \begin{equation} \label{37} \begin{split} \Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta _t(\beta)I)^{-1}-(B_D^0-\zeta _t(\beta)I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta _t(\beta))\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \varepsilon ^{1/2}(1+t^2)\mathfrak{c}_3C_4\left(2+t^{-1}(c_\flat ^{1/2} +\widetilde{\beta})\right) ,\quad -\widetilde{\beta}\leqslant\beta\leqslant\widetilde{\beta}. \end{split} \end{equation} При $\vert\beta\vert >\widetilde{\beta}$ применим \eqref{30} и учтем оценку \begin{equation*} \begin{split} \vert \mu (\beta)\vert ^{-3} \frac{c(\phi _t)^2}{\vert \zeta _t (\beta)\vert ^{1/4}} &= t^{-3}\vert \zeta _t (\beta)\vert ^{-3/2}\frac{c(\phi _t)^2}{\vert \zeta _t (\beta)\vert ^{1/4}} = t^{-3}\frac{\vert\zeta _t (\beta)\vert ^{1/4}}{\vert\mathrm{Im}\,\zeta _t (\beta)\vert ^2} \\ &=t^{-3}\frac{\left(t^{-2}(\beta ^2 +c_\flat)\right)^{1/4}}{t^{-4}4\beta^2 c_\flat} \leqslant (4c_\flat)^{-1}t^{1/2}(\beta ^{-3/2}+c_\flat ^{1/4}\beta ^{-2}) \end{split} \end{equation*} и равенство \begin{equation*} c(\phi_t)^{3/2}\vert\mu (\beta )\vert^{-3}=\frac{\vert\zeta _t (\beta)\vert ^{3/2}}{t^3\vert\mathrm{Im}\,\zeta _t(\beta)\vert ^{3/2}}\vert\zeta _t(\beta)\vert ^{-3/2}= 2^{-3/2}c_\flat ^{-3/4}\beta ^{-3/2}. \end{equation*} Получаем \begin{equation} \label{38} \begin{split} \vert \mu (\beta)\vert ^{-3}\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta _t(\beta )I)^{-1}-(B_D^0-\zeta _t(\beta) I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta _t(\beta))\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ \leqslant C_5 \varepsilon ^{1/2}\left(t^{1/2}(4c_\flat)^{-1}(\beta ^{-3/2}+c_\flat ^{1/4}\beta ^{-2}) +2^{-3/2}c_\flat ^{-3/4}\beta ^{-3/2}\right). \end{split} \end{equation} Из \eqref{36}--\eqref{38} и оценки $\vert \mu (\beta)\vert \geqslant c_\flat ^{1/2}$ следует, что \begin{equation*} \begin{split} \Vert & \mathcal{I}(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant \frac{t^2 e^{\sqrt{c_\flat}}}{2\pi} \Bigl( \mathfrak{c}_3C_4(1+t^2)\varepsilon ^{1/2}\left(2+t^{-1}(c_\flat ^{1/2} +\widetilde{\beta})\right)\int _{-\widetilde{\beta}}^{\widetilde{\beta}}\vert\mu (\beta)\vert ^{-3}\,d\beta \\ &+2\varepsilon ^{1/2}t^{1/2}(4c_\flat )^{-1}C_5 \int _{\widetilde{\beta}}^\infty (\beta ^{-3/2}+c_\flat ^{1/4}\beta ^{-2})\,d\beta +2\varepsilon ^{1/2}C_5 2^{-3/2}c_\flat ^{-3/4}\int _{\widetilde{\beta}}^\infty \beta ^{-3/2}\,d\beta\Bigr) \\ &\leqslant \frac{t^2 e^{\sqrt{c_\flat}}}{2\pi} \Bigl( \mathfrak{c}_3C_4(1+t^2)\varepsilon ^{1/2}c_\flat ^{-3/2}\left(2+t^{-1}(c_\flat ^{1/2} +\widetilde{\beta})\right)2\widetilde{\beta} +\varepsilon ^{1/2}t^{1/2}c_\flat ^{-1}C_5\widetilde{\beta}^{-1/2} \\ &+\varepsilon ^{1/2}t^{1/2}(2c_\flat )^{-1}c_\flat ^{1/4}C_5\widetilde{\beta}^{-1} +2^{1/2}\varepsilon ^{1/2} C_5 c_\flat ^{-3/4}\widetilde{\beta}^{-1/2}\Bigr). \end{split} \end{equation*} Отметим, что в силу \eqref{tilde beta} \begin{align*} &(1+t^2)\widetilde{\beta}\leqslant (1+t^2)^{3/2}(c_\flat +1)^{1/2}, \\ &\widetilde{\beta}^{-1/2}\leqslant t^{-1/2}(c_\flat +1)^{-1/4}. \end{align*} Тогда \begin{align*} &t^{1/2}\widetilde{\beta}^{-1/2}\leqslant (c_\flat +1)^{-1/4},\\ &t^{1/2}\widetilde{\beta}^{-1}\leqslant t^{-1/2}(c_\flat +1)^{-1/2}. \end{align*} Следовательно, \begin{equation} \label{39} \Vert \mathcal{I}(\varepsilon ;t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant \mathfrak{c}_7\varepsilon ^{1/2}t^2\left((1+t^2)^{3/2}(1+t^{-1})+t^{-1/2}+1\right), \end{equation} где \begin{equation*} \begin{split} \mathfrak{c}_7&:=(2\pi )^{-1}e^{\sqrt{c_\flat}}\max \Bigl\lbrace 2\mathfrak{c}_3C_4c_\flat ^{-3/2}(c_\flat +1)^{1/2}\max\lbrace 2+(c_\flat +1)^{1/2};2c_\flat ^{1/2}\rbrace ; (c_\flat +1)^{-1/4}c_\flat ^{-1}C_5; \\ &2^{-1}c_\flat ^{-3/4}(c_\flat +1)^{-1/2}C_5 +2^{1/2} C_5 c_\flat ^{-3/4}(c_\flat +1)^{-1/4}\Bigr\rbrace . \end{split} \end{equation*} Объединяя \eqref{35} и \eqref{39}, приходим к оценке \begin{equation} \label{Th cos with correction term t different terms} \begin{split} \bigl\Vert &\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2} \\ &-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}\bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \widehat{C}_{10}\varepsilon ^{1/2}\left(1+t^2\bigl(t^{-1/2}+1+(1+t^2)^{3/2}(1+t^{-1})\bigr)\right). \end{split} \end{equation} Здесь $\widehat{C}_{10}:=\max \bigl\lbrace C_4 \max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace +\mathfrak{c}_7;\mathfrak{c}_6\bigr\rbrace$. Наконец, согласно \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}, \eqref{B_D,eps L2 ->L2} и \eqref{AD,eps -1 -...}, \begin{equation*} \begin{split} \Vert &\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\ &\leqslant c_3 \Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant c_3\mathcal{C}_1^{1/2}C_{16} \varepsilon . \end{split} \end{equation*} Отсюда и из \eqref{Th cos with correction term t different terms} вытекает оценка \begin{equation} \label{4.11} \begin{split} \Bigl\Vert &\Bigl(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-1} \\ &-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant \widetilde{C}_{14}\varepsilon ^{1/2}\left(1+t^2\bigl(1+t^{-1/2}+(1+t^2)^{3/2}(1+t^{-1})\bigr)\right). \end{split} \end{equation} Здесь $\widetilde{C}_{10}:=\widehat{C}_{10} +c_3\mathcal{C}_1^{1/2}C_16 $. В заключение заметим, что при $\vert t\vert <1$ старшая степень $t$ в правой части \eqref{4.11} --- это $t^0$, а при $\vert t\vert \geqslant 1$ старшая степень --- $t^5$. С учетом этого соображения из \eqref{4.11} вытекает оценка \eqref{Th cos with correction term} с постоянной $C_{10}:=(3+2^{5/2})\widetilde{C}_{10}$. \end{proof} \subsection{Доказательство теоремы \ref{Theorem sin corrector}} \begin{proof}[Доказательство теоремы \textnormal{\ref{Theorem sin corrector}}.] Используя теорему \ref{Theorem cos corrector}, тождество \eqref{sin tozd} и аналогичное тождество для эффективного оператора, находим \begin{equation} \label{int Th cos corrector} \begin{split} \Bigl\Vert & \bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon }^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1} \\ &-\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )S_\varepsilon P_\mathcal{O} (B_D^0)^{-1/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1}\bigr) (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \\ &\leqslant C_{10}\varepsilon ^{1/2} \vert t\vert (1+\vert t\vert ^5),\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1. \end{split} \end{equation} Далее, на основании \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}, \eqref{B_D^0 L2 ->L2} и \eqref{AD,eps -1 -...} имеем \begin{equation} \label{sin simple} \Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})} \leqslant c_3\max \lbrace 1;c_\flat ^{-2}\rbrace C_2\mathcal{C}_1\varepsilon . \end{equation} Объединяя \eqref{int Th cos corrector} и \eqref{sin simple}, приходим к оценке \eqref{Th sin 2} с постоянной $$C_8:=2\left(C_{10}+c_3\max \lbrace 1;c_\flat ^{-2}\rbrace C_2\mathcal{C}_1\right).$$ Проверим неравенство \eqref{Th fluxes operator terms}. Из \eqref{b_l <=} и \eqref{Th sin 2} следует, что при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ выполнено \begin{equation} \label{flux proof start} \begin{split} \Bigl\Vert & \Bigl( g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon}^{1/2}) -g^\varepsilon b(\mathbf{D})\bigl( I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})S_\varepsilon P_\mathcal{O}+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O}\bigr) (B_D^0)^{-1/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2}) \Bigr) \\ &\times(B_D^0)^{-2} \Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})} \leqslant(d\alpha _1)^{1/2}C_{8}\Vert g\Vert _{L_\infty} \varepsilon ^{1/2} (1+t ^6). \end{split} \end{equation} Имеем \begin{equation} \label{flux tozd} \begin{split} g^\varepsilon & b(\mathbf{D})\bigl( I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})S_\varepsilon P_\mathcal{O}+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O}\bigr) (B_D^0)^{-1/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2}) (B_D^0)^{-2} \\ &= g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2}) + g^\varepsilon \left(b(\mathbf{D})\Lambda\right)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O} (B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2}) \\ &+g^\varepsilon \left(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\right)^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O} (B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2}) \\ &+\varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l\left(\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\right) P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2}). \end{split} \end{equation} Четвертое слагаемое справа в \eqref{flux tozd} оценим на основании \eqref{b_l <=}, \eqref{Lambda S_eps<=} и \eqref{tildeLambda S_eps<=}: \begin{equation} \label{4 summand flux} \begin{split} \Biggl\Vert & \varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l\left(\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\right) P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Biggr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &\leqslant \varepsilon (d\alpha _1)^{1/2} \Vert g\Vert _{L_\infty} M_1\Vert b(\mathbf{D})\mathbf{D}P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \\ &+\varepsilon (d\alpha _1)^{1/2} \Vert g\Vert _{L_\infty}\widetilde{M}_1 \Vert \mathbf{D}P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}. \end{split} \end{equation} Объединяя \eqref{