\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{mathrsfs} 
\usepackage{tikz}
\usepackage{pgfplots}
\usepackage{float}
\floatstyle{boxed}
\restylefloat{figure}
\usepackage{amsthm}
\theoremstyle{theorem}
\newtheorem{theorem}{Теорема}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{Предложение}
\newtheorem{lemma}[theorem]{Лемма}
\newtheorem{condition}[theorem]{Условие}
\newtheorem{remark}[theorem]{Замечание}
\newtheorem{corollary}[theorem]{Следствие}

\providecommand{\keywords}[1]{\textbf{{Ключевые слова:}} #1}
\setcounter{tocdepth}{1}

\usepackage[paperwidth=20.5cm,paperheight=29.7cm,width=16.5cm,height=25.5cm,top=24mm,headsep=11mm]{geometry}

\numberwithin{equation}{section}
\begin{document}
\title{Об усреднении первой начально-краевой задачи для~периодических гиперболических систем с~помощью обратного преобразования Лапласа\footnote{Представлено Т.~А. Суслиной.}\;\,\footnote{Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, грант №14-21-00035.}}
\author{Ю. М. Мешкова \footnote{Лаборатория им. П.~Л. Чебышева, Санкт-Петербургский государственный университет, 14 линия В.~О., дом 29Б, Санкт-Петербург 199178 Россия.  E-mail: {\tt{y.meshkova@spbu.ru}, \tt{juliavmeshke@yandex.ru}}. }}

\maketitle

\begin{abstract}
Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. 
В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассматривается самосопряженный матричный сильно эллиптический дифференциальный оператор $B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon \leqslant 1$, второго порядка при условии Дирихле на границе. Коэффициенты оператора $B_{D,\varepsilon}$ периодичны и зависят от $\mathbf{x}/\varepsilon$. Нас интересует поведение операторов $\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ и  $B_{D,\varepsilon} ^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon} ^{1/2})$, $t\in\mathbb{R}$, в пределе малого периода. 
Для них получены аппроксимации по норме операторов, действующих из некоторого подпространства $\mathcal{H}$ пространства Соболева $H^4(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. 
Кроме этого, для $B_{D,\varepsilon} ^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon} ^{1/2})$ получена аппроксимация при учете корректора по норме операторов, действующих из $\mathcal{H}\subset H^4(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$.  
Результаты применяются к усреднению решения первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения $\partial ^2_t \mathbf{u}_\varepsilon =-B_{D,\varepsilon} \mathbf{u}_\varepsilon $.
\end{abstract}

\keywords{периодические дифференциальные операторы, гиперболические системы, усреднение, операторные оценки погрешности.}

\tableofcontents

\addcontentsline{toc}{section}{Введение}
\section*{Введение}
Работа относится к теории усреднения (гомогенизации) периодических дифференциальных операторов (ДО). Теории усреднения посвящена обширная литература; см., например, книги \cite{BaPa,BeLP,ZhKO,Sa}.

\subsection{Постановка задачи} 

Пусть $\Gamma\subset\mathbb{R}^d$ --- решетка и $\Omega$ --- элементарная ячейка решетки $\Gamma$.  Для $\Gamma$-периодических функций в $\mathbb{R}^d$ используем обозначение $f^\varepsilon (\mathbf{x}):=f(\varepsilon ^{-1}\mathbf{x})$, $\varepsilon >0$.  
Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ мы изучаем самосопряженный матричный сильно эллиптический ДО второго порядка ${B}_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$,  при условии Дирихле на границе. Старшая часть оператора ${B}_{D,\varepsilon}$ задается в факторизованной форме 
$A_{\varepsilon}=b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$, 
где $b(\mathbf{D})$ --- матричный однородный ДО первого порядка, $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая матрица-функция в $\mathbb{R}^d$, ограниченная и положительно определенная. (Точные условия на $b(\mathbf{D})$ и $g(\mathbf{x})$ приведены ниже в п.~\ref{Subsection operatoer A_D,eps}.) Оператор ${B}_{D,\varepsilon}$ задан дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{B_D,eps in introduction}
{B}_{\varepsilon}=b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x}) b(\mathbf{D})
+\sum_{j=1}^d\bigl(a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j+D_ja_j^\varepsilon(\mathbf{x})^*\bigr)
+Q^\varepsilon (\mathbf{x}) +\lambda I
\end{equation}
при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$. 
Здесь $\Gamma$-периодические матрицы-функции $a_j(\mathbf{x})$, $j=1,\dots,d$, и $Q(\mathbf{x})$ берутся из подходящих пространств $L_p(\Omega)$, причем $Q(\mathbf{x})$ предполагается эрмитовой. Постоянная $\lambda$ выбрана так, чтобы оператор $B_{D,\varepsilon}$ был положительно определен. (Точные условия на коэффициенты см. ниже в п.~\ref{Subsection lower order terms}.) Строгое определение оператора ${B}_{D,\varepsilon}$ дается через соответствующую квадратичную форму, заданную на классе Соболева $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$.

Коэффициенты оператора $B_{D,\varepsilon}$ быстро осциллируют при малом $\varepsilon$. \textit{Нас интересует }поведение при $\varepsilon\rightarrow 0$ решения первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения:
\begin{equation}
\label{introduction hyperbolic system}
\begin{cases}
\frac{\partial ^2\mathbf{u}_\varepsilon }{ \partial t^2}(\mathbf{x},t)=-(B_\varepsilon\mathbf{u}_\varepsilon )(\mathbf{x},t)+\mathbf{F}(\mathbf{x},t),\quad
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0,\\
\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\quad \frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon}{\partial t}(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}).
\end{cases}
\end{equation}
При $\boldsymbol{\varphi}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $\boldsymbol{\psi}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n))$ 
имеем 
\begin{equation*}
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)=\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\varphi}
+B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\psi}+\int _0^t B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin \left((t-\widetilde{t})B_{D,\varepsilon}^{1/2}\right)\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{t})\,d\widetilde{t}.
\end{equation*}
Таким образом, вопрос о поведении решения задачи \eqref{introduction hyperbolic system} сводится к изучению поведения операторов $\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ и $B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ в пределе малого периода.

\subsection{Основные результаты} 

\textit{Наш первый основной результат }--- оценки
\begin{align}
\label{intr Th cos B_D,eps}
\Bigl\Vert &
\left(
\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos (t (B_D^0)^{1/2})
\right)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C \varepsilon \left(1+\vert t\vert ^5\right) ,
\\
\label{intr Th sin 1}
\Bigl\Vert & \left( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\right) (B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C\varepsilon \vert t\vert (1+\vert t\vert ^5) ,
\end{align}
справедливые при $t\in\mathbb{R}$ и достаточно малом $\varepsilon$. Здесь $B_D^0$ --- \textit{эффективный оператор }с постоянными коэффициентами. \textit{Второй основной результат} --- аппроксимация 
\begin{equation}
\label{intr Th sin 2}
\begin{split}
\Bigl\Vert &
\bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
-\varepsilon \mathcal{K}_D(\varepsilon ;t)\bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C\varepsilon ^{1/2} (1+t ^6).
\end{split}
\end{equation}
Здесь $\mathcal{K}_D(\varepsilon ;t)$ --- \textit{корректор.} Он содержит быстро осциллирующие множители и потому зависит от $\varepsilon$. В общем случае корректор содержит сглаживающий оператор. Если граница области достаточно гладкая, при $d\leqslant 8$ сглаживатель удается устранить. Постоянные в оценках \eqref{intr Th cos B_D,eps}--\eqref{intr Th sin 2} контролируются явно через данные задачи. Результаты такого сорта называют \textit{операторными оценками погрешности в теории усреднения.} При фиксированном времени $t$ оценки \eqref{intr Th cos B_D,eps}, \eqref{intr Th sin 1} имеют точный порядок $O(\varepsilon)$. Порядок оценки \eqref{intr Th sin 2} хуже: $O(\varepsilon ^{1/2})$. Это объясняется влиянием границы области. Для оператора $\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})$ получить аналог оценки \eqref{intr Th sin 2} не удается, однако возможно аппроксимировать ,,сглаженный'' косинус:
\begin{equation}
\label{cos corrector introduction}
\begin{split}
\Bigl\Vert &\Bigl(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-\cos (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1}-\varepsilon\mathscr{K}(\varepsilon;t)\Bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
C\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5).
\end{split}
\end{equation}
Это согласуется с результатами \cite{BrOFMu}, см. обсуждение в п.~\ref{Subsection Survey} ниже.



\subsection{Обзор} 

\label{Subsection Survey}

В настоящее время активно изучаются операторные оценки погрешности в теории усреднения. Интерес к этой тематике возник в связи с работой М.~Ш.~Бирмана и Т.~А.~Суслиной \cite{BSu}. В \cite{BSu} рассматривался оператор $A_\varepsilon=b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$. С помощью \textit{спектрального подхода} была установлена оценка
\begin{equation}
\label{A_eps res L2 intr}
\Vert (A_\varepsilon +I)^{-1}-(A^0+I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon .
\end{equation}
Здесь $A^0=b(\mathbf{D})^* g ^0 b(\mathbf{D})$ --- эффективный оператор, $g^0$ --- постоянная эффективная матрица. Аппроксимация оператора $(A_\varepsilon +I)^{-1}$ по $(L_2\rightarrow H^1)$-норме получена в \cite{BSu06}:
\begin{equation}
\label{A_eps res H1 intr}
\Vert (A_\varepsilon +I)^{-1}-(A^0+I)^{-1}-\varepsilon K(\varepsilon)\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C\varepsilon.
\end{equation}
Впоследствии оценки \eqref{A_eps res L2 intr} и \eqref{A_eps res H1 intr} были перенесены Т.~А.~Суслиной \cite{SuAA}  на более общий оператор $B_\varepsilon$ вида \eqref{B_D,eps in introduction}, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$.

К гиперболическим системам спектральный метод применялся в работах \cite{BSu08,M,DSu}. В \cite{BSu08} установлены аппроксимации
\begin{align}
\label{Th BSu cos introduction}
&\Vert \cos (t {A}_\varepsilon ^{1/2})-\cos (t( {A}^0)^{1/2})\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant C\varepsilon (1+\vert t\vert) ,
\\
\label{Th BSu}
\begin{split}
\Vert   {A}_\varepsilon^{-1/2}\sin( t  {A}^{1/2}_\varepsilon)-( {A}^0)^{-1/2}\sin ( t ( {A}^0)^{1/2})\Vert_{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (1+\vert t\vert )^2,
\quad t\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{align}
В \cite{M} получено улучшение оценки \eqref{Th BSu} относительно типа операторной нормы:
\begin{equation}
\begin{split}
\label{Th sin M principal term introduction}
\Vert {A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin( t  {A}^{1/2}_\varepsilon)-( {A}^0)^{-1/2}\sin ( t ( {A}^0)^{1/2})\Vert_{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)} \leqslant C\varepsilon (1+\vert t\vert ), \quad  t\in\mathbb{R},
\end{split}
\end{equation}
и аппроксимация оператора ${A}_\varepsilon^{-1/2}\sin( t  {A}^{1/2}_\varepsilon)$ при учете корректора по $(H^2\rightarrow H^1)$-норме:
\begin{align}
\label{main result 2}
\begin{split}
\left\Vert  {A}_\varepsilon ^{-1/2}\sin ( t  {A}_\varepsilon ^{1/2})-( {A}^0)^{-1/2}\sin ( t ( {A}^0)^{1/2})-\varepsilon\mathrm{K}(\varepsilon ; t)\right\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant C \varepsilon(1+\vert t\vert),\quad t\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{align}
В \cite{DSu} была подтверждена точность оценок \eqref{Th BSu cos introduction}, \eqref{Th sin M principal term introduction} относительно типа операторной нормы (в общем случае).

В оценках \eqref{A_eps res H1 intr} и \eqref{main result 2} корректоры имеют похожую структуру. Естественно ожидать, что и для операторного косинуса справедлива аппроксимация с корректором той же формы. Однако в \cite{BrOFMu} установлено, что это имеет место только при специальном выборе начальных данных. В нашем случае этот выбор отвечает оценке \eqref{cos corrector introduction}. В общем случае аппроксимация с корректором найдена в работах \cite{BraLe,CaDCoCaMaMarG1}. Однако из-за дисперсии волн в неоднородной области корректор нелокален. Дисперсионные эффекты при гомогенизации волнового уравнения изучались в работах \cite{ABriV,ConOrV,ConSaMaBalV}. Операторные оценки в упомянутых работах 
не обсуждались.

\textit{Другой подход} к получению операторных оценок погрешности в теории усреднения был предложен В.~В.~Жиковым \cite{Zh1}. В работах \cite{Zh1,ZhPas2} были получены оценки вида \eqref{A_eps res L2 intr}, \eqref{A_eps res H1 intr} для операторов акустики и теории упругости.  Метод, названный авторами \textit{\glqq модифицированным методом первого приближения\grqq\,} или \textit{\glqq методом сдвига\grqq}, основан на анализе первого приближения к решению и введении в задачу дополнительного параметра. Помимо задач в $\mathbb{R}^d$ в работах \cite{Zh1,ZhPas2} изучались задачи усреднения в ограниченной области $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ при условии Дирихле либо Неймана на границе. Дальнейшие результаты В. В. Жикова, С. Е. Пастуховой и их учеников отражены в обзоре \cite{ZhPasUMN}.

Операторные оценки погрешности при усреднении задач Дирихле и Неймана для эллиптического уравнения второго порядка в ограниченной области изучались многими авторами, см. \cite{ZhPas2,Gr1,Gr2,KeLiS,PSu,Su13,Su_SIAM}.  Подробный обзор можно найти во введении к работе \cite{MSuPOMI}, в которой  установлены оценки
\begin{align}
\label{intr ell main result 1}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta I )^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C(\phi)\varepsilon\vert\zeta\vert ^{-1/2},
\\
\label{intr ell main result 2}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta I )^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant C(\phi)\bigl(\varepsilon ^{1/2}\vert \zeta\vert ^{-1/4}+\varepsilon\bigr), 
\end{split}
\end{align}
$\vert \zeta\vert \geqslant 1$, 
для оператора вида \eqref{B_D,eps in introduction}. Величины $C(\phi)$ контролируются явно в терминах данных задачи и угла $\phi=\mathrm{arg}\,\zeta$. 
(Близкие результаты получены К. Ксу \cite{Xu3} при фиксированном $\zeta$.) 

Усреднение первой начально-краевой задачи для параболического уравнения с оператором \eqref{B_D,eps in introduction} изучалось в недавней работе Ю. М. Мешковой и Т. А. Суслиной \cite{MSuAA17}. Метод \cite{MSuAA17} основан на тождестве $$e^{-tB_{D,\varepsilon}}=-\frac{1}{2\pi i}\int _\gamma e^{-\zeta t}(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\,d\zeta,$$
и использовании оценок \eqref{intr ell main result 1}, \eqref{intr ell main result 2}. Здесь $\gamma\subset\mathbb{C}$ --- контур, обходящий спектр оператора $B_{D,\varepsilon}$ в положительном направлении. Напомним, что в соответствии с классической теоремой Троттера-Като (см., например, \cite[глава~X, теорема 1.1]{Sa}), сильная сходимость полугрупп следует из сильной сходимости резольвент, в то время как в \cite{MSuAA17} речь идет об аппроксимации в равномерной операторной топологии с явным контролем погрешности. Отметим недавнюю работу \cite{ChEl}, где обсуждается перенос теоремы Троттера-Като на слабую и равномерную операторные топологии и применение к гомогенизации параболических уравнений, но без операторных оценок. 

Также отметим недавний препринт \cite{CooSav}, в котором (независимо от настоящей работы) из оценки вида \eqref{intr ell main result 1} для $B_{D,\varepsilon}=-\mathrm{div}\, g^\varepsilon (\mathbf{x})\nabla$ (и $\zeta =0$) выводится гомогенизация аттракторов квазилинейного волнового уравнения. Однако результаты \cite{CooSav} не допускают записи в равномерной операторной топологии. 
Таким образом, операторных оценок погрешности при усреднении гиперболических систем в ограниченной области ранее известно не было.

\subsection{Метод}

Настоящая работа развивает метод \cite{MSuAA17}: мы выводим операторные оценки для нестационарной задачи из эллиптических результатов с помощью обратного преобразования Лапласа. (Конечно, при усреднении гиперболических задач преобразование Лапласа применялось и ранее -- см. \cite[глава 2, п. 3.9]{BeLP}, \cite[гл. V, \S 6, стр. 90]{Sa} и \cite{Pas,ZhPas1}. Отметим также, что в \cite[глава IV]{ZhKO} с помощью преобразования Лапласа изучалась нестационарная система уравнений Максвелла. Однако операторные оценки погрешности в вышеперечисленных работах не обсуждались.)

Метод основан на использовании тождества
\begin{equation}
\label{int cos tozd}
\cos \bigl(tB_{D,\varepsilon}^{1/2}\bigr)B_{D,\varepsilon}^{-2}
=-\frac{t^2}{2}B_{D,\varepsilon}^{-1}+B_{D,\varepsilon}^{-2}
+\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c} }\lambda ^{-3}(B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2)^{-1}e^{\lambda t}\,d\lambda,\quad c>0 ,
\end{equation}
и результатов об аппроксимации оператора $(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$, $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, с двухпараметрическими (относительно $\varepsilon$ и $\zeta$) оценками погрешности. Требуемые аппроксимации установлены в \cite{MSuPOMI}. Из \eqref{int cos tozd}, аналогичного тождества для эффективного оператора и аппроксимации \eqref{intr ell main result 1} следует неравенство \eqref{intr Th cos B_D,eps}. 
Чтобы вывести оценку \eqref{intr Th sin 1} из \eqref{intr Th cos B_D,eps}, используем представления 
\begin{equation}
\label{int sin tozd}
B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon }^{1/2})
=\int _0^t \cos (\tau B_{D,\varepsilon}^{1/2})\,d\tau,
\quad
(B_D^0)^{-1/2}\sin \left(t(B_D^0)^{1/2}\right)
=\int _0^t \cos \left(\tau (B_D^0)^{1/2}\right)\,d\tau .
\end{equation} 

Из \eqref{int cos tozd}, аналогичного равенства для эффективного оператора и оценки \eqref{intr ell main result 2} вытекает аппроксимация при учете корректора для $B_{D,\varepsilon}^{-1}\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$. Из этой аппроксимации, тождеств \eqref{int sin tozd} и результатов об \glqq усреднении\grqq\, резольвенты следует неравенство \eqref{intr Th sin 2}.

Наличие оператора $(B_D^0)^{-2}$ в оценках \eqref{intr Th cos B_D,eps}--\eqref{intr Th sin 2} обусловлено используемым методом. Из-за этого на начальные данные и правую часть в \eqref{introduction hyperbolic system} приходится накладывать следующие ограничения:
\begin{equation}
\label{intr inital data and F}
\boldsymbol{\varphi},\boldsymbol{\psi}\in\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2, \quad \mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2}),
\end{equation}
где $\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2}$ рассматривается как подпространство в $H^4(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. 
Таким образом, требуется более высокая гладкость начальных данных и правой части в \eqref{introduction hyperbolic system}, чем для задач во всем пространстве. По-видимому, результаты работы не являются точными по отношению к классам начальных данных и правой части уравнения. Однако применяемая техника не позволяет усилить результаты.

\subsection{Структура работы} Работа состоит из трех параграфов и введения. В \S\ref{Section 1} описан класс операторов $B_{D,\varepsilon}$, определен эффективный оператор $B_D^0$ и сформулированы результаты об аппроксимации резольвенты $(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$. В \S\ref{Section 2} приведены основные результаты работы, доказательство которых вынесено в \S\ref{Section 3}. 

\subsection{Обозначения} Пусть $\mathfrak{H}$, $\mathfrak{H}_*$ --- комплексные сепарабельные гильбертовы пространства. Символы $(\cdot ,\cdot)_\mathfrak{H}$ и $\Vert \cdot\Vert _\mathfrak{H}$ означают скалярное произведение и норму в $\mathfrak{H}$; символ $\Vert \cdot\Vert _{\mathfrak{H}\rightarrow\mathfrak{H}_*}$ означает норму линейного непрерывного оператора из $\mathfrak{H}$ в $\mathfrak{H}_*$.

Используем обозначения $\mathbb{Z}_+$ для множества неотрицательных целых чисел и $\mathbb{R}_+$ для положительной полуоси $[0,\infty)$.

Символы $\langle \cdot ,\cdot\rangle$ и $\vert \cdot\vert$ означают соответственно скалярное произведение и норму в $\mathbb{C}^n$, $\mathbf{1}_n$ -- единичная $(n\times n)$-матрица. Если $a$ --- $(m\times n)$-матрица, то символ $\vert a\vert$ означает норму матрицы $a$ как оператора из $\mathbb{C}^n$ в $\mathbb{C}^m$. 
Для $z\in\mathbb{C}$ через $z^*$ обозначается комплексно сопряженное число. (Мы используем такое нестандартное обозначение, так как верхняя черта означает среднее значение периодической функции по ячейке периодов.) 
Используем обозначения $\mathbf{x}=(x_1,\dots , x_d)\in\mathbb{R}^d$, $iD_j=\partial _j =\partial /\partial x_j$, $j=1,\dots,d$, $\mathbf{D}=-i\nabla=(D_1,\dots ,D_d)$. Классы $L_p$ вектор-функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ со значениями в $\mathbb{C}^n$ обозначаем через $L_p(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, $1\leqslant p\leqslant \infty$. Классы Соболева $\mathbb{C}^n$-значных функций в области $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ обозначаются через $H^s(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. 
Через $H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ обозначается замыкание класса $C_0^\infty (\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в пространстве $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. При $n=1$ пишем просто $L_p(\mathcal{O})$, $H^s(\mathcal{O})$ и т. д., но, если это не ведет к недоразумениям, мы применяем такие упрощенные обозначения и для пространств вектор-функций или матричнозначных функций. Символ $L_p((0,T);\mathfrak{H})$, $1\leqslant p\leqslant\infty$, означает $L_p$-пространство $\mathfrak{H}$-значных функций на интервале $(0,T)$.

Различные оценочные постоянные обозначаются символами $c$, $\mathfrak{c}$, $C$, $\mathcal{C}$, $\mathscr{C}$, $\mathfrak{C}$  
(возможно, с индексами и значками).

\subsection*{Благодарность}

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить Т. А. Суслину за внимание к работе.

\section{Результаты усреднения задачи Дирихле для эллиптических систем}
\label{Section 1}

\subsection{Решетки в $\mathbb{R}^d$} 
\label{Subsection lattices}
Пусть $\Gamma \subset \mathbb{R}^d$ --- решетка, порожденная базисом $\mathbf{a}_1,\dots ,\mathbf{a}_d \in \mathbb{R}^d$:
$$\Gamma =\Bigl\lbrace
\mathbf{a}\in \mathbb{R}^d : \mathbf{a}=\sum _{j=1}^d \nu _j \mathbf{a}_j, \nu _j\in \mathbb{Z}
\Bigr\rbrace ,$$
и пусть $\Omega$ --- элементарная ячейка решетки $\Gamma$:
$$\Omega =
\Bigl \lbrace
\mathbf{x}\in \mathbb{R}^d :\mathbf{x}=\sum _{j=1}^d \tau _j \mathbf{a}_j , -\frac{1}{2}<\tau _j<\frac{1}{2}
\Bigr\rbrace .$$
Через $\vert \Omega \vert $ обозначим меру Лебега ячейки $\Omega$: $\vert \Omega \vert =\mathrm{mes}\,\Omega$. 
Положим 
$2r_1:=\mathrm{diam}\,\Omega$.

Базис $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_d\in\mathbb{R}^d$, двойственный к $\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_d$, определяется из соотношений $\langle\mathbf{b}_j,\mathbf{a}_i\rangle=2\pi\delta _{ji}$. Решетка $\widetilde{\Gamma}$, порожденная базисом $\mathbf{b}_1,\dots,\mathbf{b}_d $, называется двойственной по отношению к решетке $\Gamma$. Положим $2r_0:=\min _{0\neq \mathbf{b}\in\widetilde{\Gamma}}\vert \mathbf{b}\vert $.

Через $\widetilde{H}^1(\Omega)$ обозначается подпространство тех функций из $H^1(\Omega)$, $\Gamma$-периодическое продолжение которых на $\mathbb{R}^d$ принадлежит $H^1_{\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. Если $\Phi (\mathbf{x})$~---~$\Gamma$-периодическая мат\-ри\-ца-функция в $\mathbb{R}^d$, положим 
$\Phi ^\varepsilon (\mathbf{x}):=\Phi (\mathbf{x}/\varepsilon)$, $\varepsilon >0$; \begin{equation*}
\overline{\Phi}:=\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \Phi(\mathbf{x})\,d\mathbf{x},\quad
 \underline{\Phi}:=\left(\vert \Omega\vert ^{-1}\int _\Omega \Phi(\mathbf{x})^{-1}\,d\mathbf{x}\right)^{-1}. 
\end{equation*}
Здесь при определении $\overline{\Phi}$ предполагается, что $\Phi\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$, а при определении $\underline{\Phi}$ считается, что матрица $\Phi$ квадратная и неособая, причем $\Phi^{-1}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R}^d)$. Через $[\Phi^\varepsilon ]$ обозначается оператор умножения на матрицу-функцию $\Phi^\varepsilon (\mathbf{x})$.

\subsection{Сглаживание по Стеклову} Рассмотрим оператор сглаживания по Стеклову $S_\varepsilon^{(k)}$, действующий в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ (где $k\in\mathbb{N}$) по правилу
\begin{equation}
\label{S_eps}
\begin{split}
(S_\varepsilon^{(k)} \mathbf{u})(\mathbf{x})=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _\Omega \mathbf{u}(\mathbf{x}-\varepsilon \mathbf{z})\,d\mathbf{z},\quad \mathbf{u}\in L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)
.
\end{split}
\end{equation}
Зависимость $S_\varepsilon ^{(k)}$ от $k$ мы будем опускать в обозначениях, и писать просто $S_\varepsilon$. 
Очевидно, $S_\varepsilon \mathbf{D}^\alpha \mathbf{u}=\mathbf{D}^\alpha S_\varepsilon \mathbf{u}$ при $\mathbf{u}\in H^\sigma(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ 
для любого мультииндекса $\alpha$ такого, что $\vert \alpha\vert \leqslant \sigma$. 
Нам потребуются следующие свойства оператора $S_\varepsilon$
(см. \cite[леммы 1.1 и 1.2]{ZhPas2} или \cite[предложения 3.1 и 3.2]{PSu}).

\begin{proposition}
\label{Proposition S__eps - I}
Для любой функции $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^k)$ 
выполнена оценка
\begin{equation*}
\Vert S_\varepsilon \mathbf{u}-\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \varepsilon r_1\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)},
\end{equation*}
где $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$.
\end{proposition}

\begin{proposition}
\label{Proposition f^eps S_eps}
Пусть $\Phi$ --- $\Gamma$-периодическая функция в $\mathbb{R}^d$ такая, что $\Phi\in L_2(\Omega)$. 
Тогда оператор $[\Phi ^\varepsilon ]S_\varepsilon $ непрерывен в $L_2(\mathbb{R}^d)$ и справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert [\Phi^\varepsilon]S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{-1/2}\Vert \Phi\Vert _{L_2(\Omega)}.
\end{equation*}
\end{proposition}


\subsection{Оператор $A_{D,\varepsilon}$} 
\label{Subsection operatoer A_D,eps}
Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. 
В $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор $A_{D,\varepsilon}$, формально заданный дифференциальным выражением $$A_\varepsilon = b(\mathbf{D})^*g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})$$ при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$. 
(Договоримся снабжать нижним индексом \glqq$D$\grqq\, дифференциальный оператор при условии Дирихле и его квадратичную форму, но не формальное дифференциальное выражение, соответствующее оператору.) 
Здесь $g(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическая эрмитова $(m\times m)$-матрица-функция (вообще говоря, с комплексными элементами). Считаем, что $g(\mathbf{x})>0$ и $g,g^{-1}\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$. Дифференциальный оператор $b(\mathbf{D})$ имеет вид $b(\mathbf{D})=\sum _{j=1}^d b_jD_j$, где $b_j$, $j=1,\dots ,d$, --- постоянные матрицы размера $m\times n$ (вообще говоря, с комплексными элементами). Считаем, что $m\geqslant n$ и что символ $b(\boldsymbol{\xi})=\sum _{j=1}^d b_j\xi_j$ оператора $b(\mathbf{D})$ имеет максимальный ранг:
$$\mathrm{rank}\,b(\boldsymbol{\xi})=n,\quad 0\neq \boldsymbol{\xi}\in\mathbb{R}^d.$$
Это условие равносильно существованию таких постоянных $\alpha _0$ и $\alpha _1$, что
\begin{equation}
\label{<b^*b<}
\alpha _0\mathbf{1}_n \leqslant b(\boldsymbol{\theta})^*b(\boldsymbol{\theta}) 
\leqslant \alpha _1\mathbf{1}_n,\quad 
\boldsymbol{\theta}\in \mathbb{S}^{d-1};\quad 
0<\alpha _0\leqslant \alpha _1<\infty.
\end{equation}
Отметим сразу оценки, вытекающие из \eqref{<b^*b<}:
\begin{equation}
\label{b_l <=}
\vert b_j\vert \leqslant \alpha _1^{1/2},\quad j=1,\dots ,d.
\end{equation}

Точное определение оператора $A_{D,\varepsilon}$ дается через квадратичную форму
\begin{equation}
\label{a_D,eps}
\mathfrak{a}_{D,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]=\int _{\mathcal{O}}\langle g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u}\rangle \,d\mathbf{x},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
Продолжая функцию $\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ нулем на $\mathbb{R}^d\setminus\mathcal{O}$ и учитывая \eqref{<b^*b<}, находим
\begin{equation}
\label{a_D,eps estimates}
\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}\Vert\mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant 
\mathfrak{a}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}]
\leqslant \alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathcal{O})},
\quad
\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}

\subsection{Младшие члены. Оператор $B_{D,\varepsilon}$} 
\label{Subsection lower order terms}
Мы изучаем самосопряженный оператор $B_{D,\varepsilon}$, старшая часть которого совпадает с $A_{\varepsilon}$. Чтобы определить младшие члены оператора, введем $\Gamma$-периодические $(n\times n)$-матрицы-функции (вообще говоря, с комплексными элементами) $a_j$, $j=1,\dots ,d$, такие, что
\begin{equation*}
a_j \in L_\rho (\Omega ), \quad\rho =2 \;\mbox{при}\;d=1,\quad\rho >d\;\mbox{при}\;d\geqslant 2,\quad j=1,\dots ,d.
\end{equation*}
Далее, пусть $Q$  --- такая $\Gamma$-периодическая эрмитова $(n\times n)$-матрица-функция (с комплексными элементами), что
\begin{equation}
\label{Q condition}
Q\in L_s(\Omega ),\quad s=1 \;\mbox{при}\;d=1,\quad s >d/2\;\mbox{при}\;d\geqslant 2.
\end{equation}
В силу теоремы вложения Соболева наложенные на $\rho$ и $s$ условия гарантируют сильную подчиненность младших членов оператора $B_{D,\varepsilon}$ его старшей части $A_\varepsilon$.

Для удобства дальнейших ссылок назовем ,,исходными данными'' следующие величины
\begin{equation}
\label{problem data}
\begin{split}
&d,\,m,\,n,\,\rho ,\,s ;\,\alpha _0,\, \alpha _1 ,\,\Vert g\Vert _{L_\infty},\, \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},\, \Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)},\, j=1,\dots ,d;\,
\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)};\\
&\text{параметры решетки }\Gamma ;\;\text{область }\mathcal{O}.
\end{split}
\end{equation}

В $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим оператор $B_{D,\varepsilon}$, $0<\varepsilon\leqslant 1$, формально заданный дифференциальным выражением
\begin{equation}
\label{B_D,eps}
B_{\varepsilon}=b(\mathbf{D})^* g^\varepsilon (\mathbf{x})b(\mathbf{D})+\sum _{j=1}^d \left(
a_j^\varepsilon (\mathbf{x})D_j +D_j a_j^\varepsilon (\mathbf{x})^*
\right)
+Q^\varepsilon (\mathbf{x})+\lambda I
\end{equation}
при условии Дирихле на границе. Здесь постоянная $\lambda$ выбрана так (см. \eqref{lambda =} ниже), чтобы оператор $B_{D,\varepsilon}$ был положительно определен. Точное определение оператора $B_{D,\varepsilon}$ дается через квадратичную форму
\begin{equation}
\label{b_D,eps}
\begin{split}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon }[\mathbf{u},\mathbf{u}]&=(g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+2\mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d (a_j^\varepsilon D_j \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\\
&+(Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}+\lambda ( \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation}
Проверим замкнутость формы $\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}$. Применяя неравенство Гёльдера и теорему вложения Соболева, можно показать (см.  \cite[(5.11)--(5.14)]{SuAA}), что для любого $\nu>0$ найдутся такие постоянные $C_j(\nu)>0$, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert a_j^*\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant \nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_j(\nu )\Vert \mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad j=1,\dots ,d.
\end{split}
\end{equation*} 
Делая замену переменной $\mathbf{y}:=\varepsilon ^{-1}\mathbf{x}$ и обозначая $\mathbf{u}(\mathbf{x})=:\mathbf{v}(\mathbf{y})$, отсюда получаем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert   (a_j^\varepsilon )^*\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}
&=\int _{\mathbb{R}^d}\vert a_j(\varepsilon ^{-1}\mathbf{x})^*\mathbf{u}(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}
=\varepsilon ^d\int _{\mathbb{R}^d}\vert a_j(\mathbf{y})^*\mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y}\\
&\leqslant \varepsilon ^d\nu \int _{\mathbb{R}^d}\vert \mathbf{D}_{\mathbf{y}}\mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y}
+\varepsilon ^d C_j(\nu)\int _{\mathbb{R}^d}\vert \mathbf{v}(\mathbf{y})\vert ^2\,d\mathbf{y}\\
&\leqslant \nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_j(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\quad \mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation*}
Тогда с учетом \eqref{<b^*b<} для любого $\nu >0$ найдется такая постоянная \break $C(\nu)>0$, что
\begin{equation}
\label{sum a-j u}
\begin{split}
\sum _{j=1}^d \Vert (a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u}\Vert ^2 _{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \nu
\Vert (g^\varepsilon)^{1/2}b(\mathbf{D})\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}
+C(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation}
Если $\nu$ фиксировано, то $C(\nu)$ зависит лишь от $d$, $\rho$, $\alpha _0$,  от норм $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots ,d$, и от параметров решетки $\Gamma$.

В силу \eqref{<b^*b<} для $\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ выполнено
\begin{equation}
\label{Du <= c_1^2a}
\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant c_1^2\Vert (g^\varepsilon )^{1/2}b(\mathbf{D})\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},
\end{equation}
где $c_1:=\alpha _0 ^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert^{1/2}_{L_\infty}$.
Отсюда и из \eqref{sum a-j u} вытекает, что
\begin{equation}
\label{2Re sum j <=}
\begin{split}
2\left\vert \mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d (D_j\mathbf{u},(a_j^\varepsilon)^*\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\right\vert 
\leqslant\frac{1}{4}\Vert (g^\varepsilon)^{1/2}b(\mathbf{D})\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)} +c_2\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\
\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1,
\end{split}
\end{equation}
где $c_2:=8c_1^2C(\nu _0)$ при $\nu _0:=2^{-6}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}$.

Далее, в силу условия \eqref{Q condition} на $Q$ для любого $\nu >0$ найдется постоянная $C_Q(\nu)>0$ такая, что
\begin{equation}
\label{(Qu,u)<=}
\begin{split}
\vert (Q^\varepsilon \mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathbb{R}^d)}\vert \leqslant\nu \Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)}+C_Q(\nu)\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathbb{R}^d)},\\
\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1 .
\end{split}
\end{equation}
При фиксированном $\nu$ величина $C_Q(\nu)$ контролируется через $d$, $s$, $\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}$ и параметры решетки $\Gamma$.

Фиксируем 
постоянную $\lambda$ в \eqref{B_D,eps} как в \cite[п. 2.8]{MSu15}:
\begin{equation}
\label{lambda =}
\lambda := C_Q(\nu _*)+c_2\quad\text{при}\;\nu _* :=2^{-1}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}.
\end{equation}

Вернемся к форме \eqref{b_D,eps}. Продолжим функцию $\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ нулем в $\mathbb{R}^d\setminus\mathcal{O}$. 
Теперь из \eqref{a_D,eps}, \eqref{Du <= c_1^2a}, \eqref{2Re sum j <=} и \eqref{(Qu,u)<=} при $\nu=\nu_*$ получаем оценку снизу для формы \eqref{b_D,eps}:
\begin{equation}
\label{b_eps >=}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant \frac{1}{4}\mathfrak{a}_{D,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n);\quad c_*:=\frac{1}{4}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}.
\end{equation}
Далее, в силу \eqref{a_D,eps estimates}, \eqref{2Re sum j <=} и \eqref{(Qu,u)<=} при $\nu=1$ выполнено
\begin{equation}
\label{1.15a new}
\begin{split}
&\mathfrak{b}_{D,\varepsilon} [\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant C_*\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})},\quad 
\mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{split}
\end{equation}
где $C_*:=\max\lbrace\frac{5}{4}\alpha _1\Vert g\Vert _{L_\infty}+1;C_Q(1)+\lambda +c_2\rbrace$. Таким образом, форма $\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}$ замкнута. Отвечающий ей самосопряженный в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ оператор обозначим через $B_{D,\varepsilon}$.

С помощью неравенства Фридрихса из \eqref{b_eps >=} получаем
\begin{equation}
\label{b D,eps >= H1-norm}
\mathfrak{b}_{D,\varepsilon}[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2}\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{equation}
Поэтому оператор $B_{D,\varepsilon}$ положительно определен. Отметим оценку, вытекающую из \eqref{b_eps >=} и \eqref{b D,eps >= H1-norm}:
\begin{align}
\label{H^1-norm <= BDeps^1/2}
\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant c_3\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n);\quad c_3:=c_*^{-1/2}\left(1+(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{2}\right)^{1/2}.
\end{align}

Нам потребуются следующие неравенства, вытекающие из \eqref{b D,eps >= H1-norm} и \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}:
\begin{align}
\label{B_D,eps L2 ->L2}
&\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c_*^{-1}(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{2}=:\mathcal{C}_1,
\\
\label{B_D,eps L2 ->H^1}
&\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant c_3 \Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c_3 c_*^{-1/2}\mathrm{diam}\,\mathcal{O}=:\mathcal{C}_2.
\end{align}

\subsection{Эффективная матрица и ее свойства}  Эффективный оператор для $A_{D,\varepsilon} $ задается дифференциальным выражением $$A^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})$$ при условии Дирихле на $\partial\mathcal{O}$. Здесь $g^0$ --- постоянная \textit{эффективная} матрица размера $m\times m$. Матрица $g^0$ выражается через решение вспомогательной задачи на ячейке. Пусть $\Gamma$-периодическая $(n\times m)$-матрица-функция $\Lambda (\mathbf{x})$ --- (слабое) решение задачи
\begin{equation}
\label{Lambda problem}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m)=0,\quad \int _{\Omega }\Lambda (\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
Положим
\begin{equation}
\label{tilde g}
\widetilde{g}(\mathbf{x}):=g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x})+\mathbf{1}_m).
\end{equation}
Тогда эффективная матрица задана выражением
\begin{equation}
\label{g^0}
g^0:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega} \widetilde{g}(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}.
\end{equation}
Можно показать, что матрица $g^0$ положительно определена.

Из \eqref{Lambda problem} следует, что
\begin{equation}
\label{b(D)Lambda <=}
\Vert b(\mathbf{D})\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega\vert ^{1/2}m^{1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}^{1/2}.
\end{equation}
Нам потребуются оценки для решения задачи \eqref{Lambda problem}, полученные в \cite[(6.28) и п.~7.3]{BSu05}:
\begin{align}
\label{Lambda <=}
&\Vert \Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{1/2}M_1,\quad M_1:=m^{1/2}(2r_0)^{-1}\alpha _0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty},\\
\label{DLambda<=}
&\Vert \mathbf{D}\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant \vert \Omega \vert ^{1/2}M_2,\quad M_2:=m^{1/2}\alpha _0^{-1/2}\Vert g\Vert ^{1/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}.
\end{align}

Отметим оценки для эффективной матрицы, известные в теории усреднения как вилка Фойгта--Рейсса 
(см., например, \cite[гл. 3, теорема 1.5]{BSu}).

\begin{proposition}
Пусть $g^0$ --- эффективная матрица \eqref{g^0}. Тогда
\begin{equation}
\label{Foigt-Reiss}
\underline{g}\leqslant g^0\leqslant \overline{g}.
\end{equation}
В случае, когда $m=n$, справедливо тождество $g^0=\underline{g}$.
\end{proposition}

Из \eqref{Foigt-Reiss} вытекают неравенства 
\begin{equation}
\label{g0<=}
\vert g^0\vert \leqslant \Vert g\Vert _{L_\infty},\quad \vert (g^0)^{-1}\vert \leqslant \Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}.
\end{equation} 

Выделим случаи, когда в \eqref{Foigt-Reiss} реализуется верхняя или нижняя грань, см. \cite[гл. 3, предложения 1.6 и 1.7]{BSu}. 

\begin{proposition}
Равенство $g^0=\overline{g}$ равносильно соотношениям
\begin{equation}
\label{overline-g}
b(\mathbf{D})^* {\mathbf g}_k(\mathbf{x}) =0,\ \ k=1,\dots,m,
\end{equation}
где ${\mathbf g}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})$.
\end{proposition}

\begin{proposition} Равенство $g^0 =\underline{g}$ равносильно представлениям
\begin{equation}
\label{underline-g}
{\mathbf l}_k(\mathbf{x}) = {\mathbf l}_k^0 + b(\mathbf{D}) {\mathbf w}_k,\ \ {\mathbf l}_k^0\in \mathbb{C}^m,\ \
{\mathbf w}_k \in \widetilde{H}^1(\Omega;\mathbb{C}^m),\ \ k=1,\dots,m,
\end{equation}
где ${\mathbf l}_k(\mathbf{x})$, $k=1,\dots,m,$ --- столбцы матрицы $g(\mathbf{x})^{-1}$.
\end{proposition}


\subsection{Эффективный оператор} 
\label{Subsection Effective operator}
Чтобы описать усреднение младших членов оператора $B_{D,\varepsilon}$, рассмотрим 
 $\Gamma$-периодическую $(n\times n)$-матрицу-функцию $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$, являющуюся решением задачи
\begin{equation}
\label{tildeLambda_problem}
b(\mathbf{D})^*g(\mathbf{x})b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})+\sum \limits _{j=1}^dD_ja_j(\mathbf{x})^*=0,\quad \int _{\Omega }\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})\,d\mathbf{x}=0.
\end{equation}
(Уравнение понимается в слабом смысле.) 
Отметим сразу оценки, установленные в \cite[(7.51), (7.52)]{SuAA}:
\begin{align}
\label{b(D) tilde Lambda <=}
&\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}
\leqslant C_a n^{1/2}\alpha_0 ^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},\\
\label{tilde Lambda<=}
&\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant (2r_0)^{-1}C_an^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},
\\
\label{D tilde Lambda}
&\Vert \mathbf{D}\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant C_a n^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty},
\end{align}
где $C_a^2=\sum _{j=1}^d \int _\Omega \vert a_j(\mathbf{x})\vert ^2\,d\mathbf{x}$. 

Определим постоянные матрицы $V$ и $W$ равенствами
\begin{align}
\label{V=}
&V:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega}(b(\mathbf{D})\Lambda (\mathbf{x}))^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x},\\
\label{W=}
&W:=\vert \Omega \vert ^{-1}\int _{\Omega} (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))^*g(\mathbf{x})(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x}))\,d\mathbf{x}.
\end{align}

В пространстве $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ рассмотрим квадратичную форму
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]&=(g^0b(\mathbf{D})\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}
+2\mathrm{Re}\,\sum _{j=1}^d (\overline{a_j}D_j\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}
-2\mathrm{Re}\,(V\mathbf{u},b(\mathbf{D})\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}\\
&-(W\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}
+(\overline{Q}\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})}
+\lambda (\mathbf{u},\mathbf{u})_{L_2(\mathcal{O})},
\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{split}
\end{equation*}
Следующие оценки установлены в \cite[(2.22) и (2.23)]{MSuPOMI}:
\begin{align}
\label{b_D^0 ots }
&c_*\Vert \mathbf{D}\mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})}\leqslant \mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]\leqslant c_4\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{H^1(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\\
\label{b_D^0 ots 2}
&\mathfrak{b}_D^0[\mathbf{u},\mathbf{u}]\geqslant c_*(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2}\Vert \mathbf{u}\Vert ^2_{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n).
\end{align}
Здесь постоянная $c_4$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data}. 
Отвечающий форме $\mathfrak{b}_D^0$ самосопряженный в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ оператор обозначим через $B_D^0$. Объединяя \eqref{b_D^0 ots } и \eqref{b_D^0 ots 2}, находим
\begin{equation}
\label{H^1-norm <= BD0^1/2}
\begin{split}
&\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathcal{O})}\leqslant c_3\Vert (B_D^0)^{1/2}\mathbf{u}\Vert _{L_2(\mathcal{O})},\quad \mathbf{u}\in H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n),
\end{split}
\end{equation}
где $c_3$ --- постоянная из \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}. Из \eqref{b_D^0 ots 2} и \eqref{H^1-norm <= BD0^1/2} вытекают оценки
\begin{align}
\label{B_D^0 L2 ->L2}
&\Vert (B_{D}^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \mathcal{C}_1,
\\
&\Vert (B_{D}^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant \mathcal{C}_2.
\nonumber
\end{align}
Здесь постоянные $\mathcal{C}_1$ и $\mathcal{C}_2$ --- те же, что в \eqref{B_D,eps L2 ->L2} и \eqref{B_D,eps L2 ->H^1}.

В силу условия $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$  оператор $B_D^0$ задается дифференциальным выражением 
\begin{equation}
\label{B_D^0}
B^0=b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})-b(\mathbf{D})^*V-V^*b(\mathbf{D})
+\sum _{j=1}^d(\overline{a_j+a_j^*})D_j-W+\overline{Q}+\lambda I
\end{equation}
на области определения $H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\cap H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. При этом
\begin{equation}
\label{B_D^0 L2 ->H^2}
\Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_3.
\end{equation}
Здесь постоянная $\mathcal{C}_3$ зависит лишь от исходных данных \eqref{problem data}. Для оправдания этого факта сошлемся на теоремы о повышении гладкости для сильно эллиптических систем (см. \cite[глава 4]{McL}).

\begin{remark}
Вместо условия $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$ можно было бы наложить неявное требование\textnormal{:} ограниченная область $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ с липшицевой границей такова, что справедлива оценка \eqref{B_D^0 L2 ->H^2}. Для такой области основные результаты работы в операторных терминах \textnormal{(}см. теоремы~\textnormal{\ref{Theorem cos New}, \ref{Theorem sin corrector}} и \textnormal{\ref{Theorem cos corrector}}\textnormal{)} остаются в силе. В случае скалярных эллиптических операторов широкие достаточные условия на $\partial \mathcal{O}$, обеспечивающие справедливость оценки \eqref{B_D^0 L2 ->H^2}, можно найти в \textnormal{\cite{KoE}} и \textnormal{\cite[гл. 7]{MaSh} (}в частности, достаточно, чтобы $\partial\mathcal{O}\in C^\alpha$, $\alpha >3/2${\rm)}.
\end{remark}

\begin{lemma}
\label{Lemma (B_D0)2 and H4-norm}
Пусть $\boldsymbol{\Phi} \in \mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2\subset H^4(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Тогда
\begin{equation}
\label{BD0^2PHi<= Lm}
\Vert (B_D^0)^2\boldsymbol{\Phi} \Vert _{L_2(\mathcal{O})}\leqslant\mathfrak{C}\Vert \boldsymbol{\Phi} \Vert _{H^4(\mathcal{O})},
\end{equation}
где постоянная $\mathfrak{C}$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{lemma}

\begin{proof}
В силу \eqref{b_l <=}, \eqref{g0<=}, \eqref{B_D^0} для $\boldsymbol{\Psi}\in \mathrm{Dom}\,B_D^0$ выполнено
\begin{equation}
\label{BD0Phi<= start of the proof}
\begin{split}
\Vert B_D^0\boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant
d\alpha _1 \Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D}^2 \boldsymbol{\Psi} \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+2\alpha _1^{1/2}d^{1/2}\vert V\vert \Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Psi} \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+2\vert \Omega\vert ^{1/2}\Bigl(\sum _{j=1}^d\vert \overline{a_j}\vert ^2\Bigr)^{1/2}\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\left(\vert W\vert +\vert \overline{Q}\vert +\lambda\right)\Vert \boldsymbol{\Psi} \Vert _{L_2(\mathcal{O})}
.
\end{split}
\end{equation}

Из \eqref{b(D)Lambda <=}, \eqref{b(D) tilde Lambda <=} и \eqref{V=} следует, что
\begin{equation}
\label{V<=}
\vert V\vert\leqslant \vert \Omega\vert ^{-1}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert b(\mathbf{D})\Lambda \Vert _{L_2(\Omega)}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\Vert _{L_2(\Omega)}\leqslant C_V,
\end{equation}
где $C_V:=\vert \Omega\vert ^{-1/2}\alpha _0^{-1/2}C_a m^{1/2}n^{1/2}\Vert g\Vert ^{3/2}_{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^{3/2}_{L_\infty}$.

Используя \eqref{b(D) tilde Lambda <=} и \eqref{W=}, находим
\begin{equation}
\label{W<=}
\vert W\vert \leqslant\vert \Omega\vert ^{-1}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\Vert ^2_{L_2(\Omega)}\leqslant C_W,
\end{equation}
где $C_W:=\vert \Omega\vert ^{-1}C_a^2n\alpha _0^{-1}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert g^{-1}\Vert ^2_{L_\infty}$.

Очевидно,
\begin{equation}
\label{sum aj2<=}
\sum _{j=1}^d\vert \overline{a_j}\vert ^2\leqslant \vert \Omega\vert ^{-1}C_a^2,\quad
\vert \overline{Q}\vert \leqslant \vert \Omega\vert ^{-1/s}\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}.
\end{equation}

Объединяя \eqref{BD0Phi<= start of the proof}--\eqref{sum aj2<=}, получаем
\begin{equation}
\label{BDoPhi 5 st<=}
\begin{split}
\Vert B_D^0\boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
C_B\left(\Vert \mathbf{D}^2 \boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}+\Vert \boldsymbol{\Psi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right)
,\quad\boldsymbol{\Psi}\in\mathrm{Dom}\,B_D^0.
\end{split}
\end{equation}
Здесь $C_B:=\max\lbrace d\alpha _1 \Vert g\Vert _{L_\infty};2(d\alpha _1)^{1/2}C_V+2C_a;C_W+\vert \Omega\vert ^{-1/s}\Vert Q\Vert _{L_s(\Omega)}+\lambda\rbrace$. В качестве $\boldsymbol{\Psi}$ будем брать $B_D^0\boldsymbol{\Phi}$, $\boldsymbol{\Phi}\in\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2$.

Рассуждая по аналогии с \eqref{BD0Phi<= start of the proof} и используя \eqref{B_D^0}, \eqref{V<=}--\eqref{sum aj2<=}, находим
\begin{equation}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{D}^2 B_D^0\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
\Vert \mathbf{D}^2 b(\mathbf{D})^*g^0b(\mathbf{D})\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}^2b(\mathbf{D})^*V\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}^2V^*b(\mathbf{D})\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&+\sum _{j=1}^d\Vert (\overline{a_j+a_j^*})\mathbf{D}^2D_j\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}^2W\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \overline{Q}\mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\lambda\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_B\left(\Vert \mathbf{D}^4\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}^3\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right).
\end{split}
\end{equation}
Аналогично,
\begin{align}
&\Vert \mathbf{D}B_D^0\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_B\left(\Vert \mathbf{D}^3\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right),
\\
\label{BDoPhi<= 8st}
&\Vert B_D^0\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_B\left(\Vert \mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right).
\end{align}
Комбинируя \eqref{BDoPhi 5 st<=}--\eqref{BDoPhi<= 8st}, находим
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &(B_D^0)^2\boldsymbol{\Phi}\Vert_{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_B^2\left(\Vert \mathbf{D}^4\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+2\Vert \mathbf{D}^3\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+3\Vert\mathbf{D}^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+2\Vert \mathbf{D}\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
+\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}\right)
\\
&\leqslant 3\sqrt{5}C_B^2\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})},\quad\boldsymbol{\Phi}\in \mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2.
\end{split}
\end{equation*}
Мы получили оценку \eqref{BD0^2PHi<= Lm} с постоянной $\mathfrak{C}:=3\sqrt{5}C_B^2$.
\end{proof}

\subsection{Аппроксимации резольвенты $(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$}

Сформулируем результаты усреднения резольвенты оператора $B_{D,\varepsilon}$, полученные в \cite{MSuPOMI}. См. также краткое сообщение \cite{MSuFAA2017}.

Выберем числа $\varepsilon _0$, $\varepsilon _1\in (0,1]$ согласно следующему условию.

\begin{condition}
\label{condition varepsilon}
Пусть $\mathcal{O}\subset \mathbb{R}^d$ --- ограниченная область. Положим $$(\partial\mathcal{O})_{\varepsilon}: =\left\lbrace \mathbf{x}\in \mathbb{R}^d : \mathrm{dist}\,\lbrace \mathbf{x};\partial\mathcal{O}\rbrace <\varepsilon \right\rbrace .$$ 
Пусть существует такое число $\varepsilon _0\in (0,1]$, что полоску $(\partial\mathcal{O})_{\varepsilon _0}$ можно покрыть конечным набором окрестностей, допускающих диффеоморфизмы класса $C^{0,1}$, распрямляющие границу $\partial\mathcal{O}$. Обозначим $\varepsilon _1:=\varepsilon _0 (1+r_1)^{-1}$, 
где $2r_1=\mathrm{diam}\,\Omega$.
\end{condition}
Очевидно, величина $\varepsilon _1$ зависит только от области $\mathcal{O}$ и решетки $\Gamma$.

Отметим, что условие \ref{condition varepsilon} было бы обеспечено только липшицевостью $\partial\mathcal{O}$; более сильное ограничение $\partial\mathcal{O}\in C^{1,1}$ мы наложили, чтобы гарантировать оценку \eqref{B_D^0 L2 ->H^2}.

Следующий результат установлен в \cite[теоремы 9.2 и 10.1]{MSuPOMI}.

\begin{theorem}
\label{Theorem resolvent}
Пусть $\mathcal{O}\subset
\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Пусть выполнены условия п. \textnormal{\ref{Subsection operatoer A_D,eps}--\ref{Subsection Effective operator}}. Пусть число $\varepsilon _1$ подчинено условию \textnormal{\ref{condition varepsilon}}.

\noindent
$1^\circ$. Пусть  $\zeta =\vert \zeta \vert e^{i\phi}\in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}_+$, $\vert \zeta \vert \geqslant 1$. Положим
\begin{equation*}
c(\phi):=\begin{cases}
\vert \sin \phi \vert ^{-1}, &\phi\in (0,\pi /2)\cup (3\pi /2 ,2\pi),\\
1, &\phi\in [\pi /2,3\pi /2].
\end{cases}
\end{equation*}
Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{sem'.a}
\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_1 c(\phi)^2\varepsilon\vert \zeta\vert ^{-1/2} .
\end{equation}


\noindent
$2^\circ$. 
Пусть $c_\flat$ --- общая нижняя грань операторов $B_D^0$ и $B_{D,\varepsilon}$ при $0<\varepsilon\leqslant \varepsilon _1$. 
Положим $\psi =\mathrm{arg}\,(\zeta -c_\flat)$, $0<\psi <2\pi$, и
\begin{equation}
\label{rho(zeta)}
\varrho _ \flat (\zeta):=\begin{cases}
c(\psi)^2\vert \zeta -c_\flat\vert ^{-2}, &\vert \zeta -c_\flat\vert <1,\\
c(\psi)^2, &\vert \zeta -c_\flat\vert \geqslant 1.
\end{cases}
\end{equation}
Тогда при $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat,\infty)$ 
выполнено
\begin{align}
\label{Th dr appr 1}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta I )^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{2}\varrho _ \flat (\zeta )\varepsilon .
\end{align}

Постоянные $C_1$ и $C_2$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}

Постоянная $c_\flat$ в теореме \ref{Theorem resolvent}($2^\circ$) --- любая общая нижняя грань операторов $B_D^0$ и $B_{D,\varepsilon}$. \textit{Будем считать, что}
\begin{equation}
\label{c_flat}
c_\flat :=4^{-1}\alpha _0\Vert g^{-1}\Vert ^{-1}_{L_\infty}(\mathrm{diam}\,\mathcal{O})^{-2},
\end{equation}
опираясь на неравенства \eqref{b D,eps >= H1-norm}, \eqref{b_D^0 ots 2} и выражение для постоянной $c_*$ (см. \eqref{b_eps >=}).

Фиксируем линейный непрерывный оператор продолжения 
\begin{equation}
\label{P_O H^1, H^2}
\begin{split}
P_\mathcal{O}: H^l(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\rightarrow H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n),\quad l\in\mathbb{Z}_+.
\end{split}
\end{equation}
Такой ,,универсальный'' оператор продолжения существует для любой ограниченной области с липшицевой границей (см. \cite{St} или \cite{R}).
При этом 
\begin{equation}
\label{PO}
\| P_{\mathcal O} \|_{H^l({\mathcal O}) \to H^l({\mathbb R}^d)} \leqslant C_{\mathcal O}^{(l)},\quad l\in\mathbb{Z}_+,
\end{equation}
где постоянная $C_{\mathcal O}^{(l)}$ зависит лишь от $l$ и от области ${\mathcal O}$.
Через $R_\mathcal{O}$ обозначим оператор сужения функций в $\mathbb{R}^d$ на область $\mathcal{O}$. 
Положим 
\begin{equation}
\label{K_D(eps,zeta)}
K_D(\varepsilon ;\zeta ):=R_{\mathcal{O}}\bigl([\Lambda ^\varepsilon ] b(\mathbf{D})+[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\bigr)S_\varepsilon P_{\mathcal{O}}(B_D^0-\zeta I)^{-1}.
\end{equation}
Корректор \eqref{K_D(eps,zeta)} ограничен как оператор, действующий из $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Это нетрудно установить с помощью предложения \ref{Proposition f^eps S_eps} и включений $\Lambda$, $\widetilde{\Lambda}\in\widetilde{H}^1(\Omega)$. Отметим, что $\Vert \varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}=O(1)$ при малом $\varepsilon$ и фиксированном $\zeta$. 

Выпишем результаты \cite[теоремы 9.2 и 10.1]{MSuPOMI}.
\begin{theorem} 
\label{Theorem resolvent corrector}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem resolvent}}. 
Пусть $K_D(\varepsilon ;\zeta )$ --- оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}.

\noindent $1^\circ$. При $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{28}
\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant C_3 c(\phi)^2(\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}+\varepsilon ).
\end{equation}

\noindent $2^\circ$.  Пусть $c_\flat$ --- постоянная \eqref{c_flat}. 
Тогда при $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus[c_\flat,\infty)$ 
выполнено
\begin{equation}
\label{31}
\Vert  (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\leqslant C_4(\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta )^{1/2}+\varepsilon \vert 1+\zeta\vert ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta)).
\end{equation}
Постоянные $C_3$ и $C_4$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}

\begin{corollary}
\label{ellliptic corollary}
В условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem resolvent corrector}} 
при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert\geqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation}
\label{30}
\begin{split}
\Vert & (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant  C_5\left( c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}+c(\phi)^{3/2}\varepsilon ^{1/2}\right).
\end{split}
\end{equation}
\end{corollary}

Следствие \ref{ellliptic corollary} вытекает из теоремы~\ref{Theorem resolvent corrector}($1^\circ$) и грубой оценки для операторов под знаком нормы в \eqref{28}. Для этого нам потребуются оценки для резольвент $(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}$ и $(B_D^0-\zeta I)^{-1}$ (см. \cite[леммы 2.1 и 2.3]{MSuPOMI}).

\begin{lemma}
\label{Lemma resolvents grubo ots}
Пусть $B_{D,\varepsilon}$ и $B_D^0$ --- операторы вида \eqref{B_D,eps} и \eqref{B_D^0} соответственно, действующие в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ при условии Дирихле. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$ справедливы оценки
\begin{align*}
&\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1},
\\
&\Vert \mathbf{D}(B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \mathcal{C}_4 c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1/2},
\\
&\Vert (B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1},
\\
&\Vert \mathbf{D}(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \mathcal{C}_4 c(\phi)\vert \zeta\vert ^{-1/2},
\\
&\Vert (B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}
\leqslant\mathcal{C}_3c(\phi).
\end{align*}
Здесь $\mathcal{C}_4:=2^{3/2}\alpha _0^{-1/2}\Vert g^{-1}\Vert ^{1/2}_{L_\infty}$, постоянная $\mathcal{C}_3$ --- та же, что в \eqref{B_D^0 L2 ->H^2}.
\end{lemma}

\begin{proof}[Доказательство следствия \textnormal{\ref{ellliptic corollary}}.]
Оценим оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}:
\begin{equation}
\label{ell corr proof start}
\begin{split}
\varepsilon &\Vert K_{D}(\varepsilon ;\zeta)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\left(\varepsilon\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}+\Vert (\mathbf{D}\Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\right)
\Vert b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+\left(\varepsilon\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}+\Vert (\mathbf{D}\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\right)
\Vert P_\mathcal{O} (B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+\varepsilon \Vert \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert \mathbf{D} b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert_{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+\varepsilon\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\Vert \mathbf{D}P_\mathcal{O}(B_D^0-\zeta I)^{-1}\Vert_{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Из предложения \ref{Proposition f^eps S_eps} и неравенств \eqref{Lambda <=}, \eqref{DLambda<=}, \eqref{tilde Lambda<=}, \eqref{D tilde Lambda} вытекают оценки
\begin{align}
\label{Lambda S_eps<=}
&\Vert \Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant M_1,
\\
&\Vert (\mathbf{D}\Lambda )^\varepsilon S_\varepsilon\Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant M_2,
\nonumber
\\
\label{tildeLambda S_eps<=}
&\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant  \vert\Omega\vert ^{-1/2}(2r_0)^{-1}C_an^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}=:\widetilde{M}_1,
\\
&\Vert (\mathbf{D}\widetilde{\Lambda} )^\varepsilon S_\varepsilon \Vert _{L_2(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\leqslant\vert\Omega\vert ^{-1/2}C_a n^{1/2}\alpha _0^{-1}\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}=:\widetilde{M}_2.
\nonumber
\end{align}
С учетом этих неравенств из леммы~\ref{Lemma resolvents grubo ots} и \eqref{<b^*b<}, \eqref{PO}, \eqref{ell corr proof start} следует, что
\begin{equation}
\label{29}
\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant \widehat{C}_5 c(\phi),\quad 0<\varepsilon\leqslant 1,\quad\vert\zeta\vert\geqslant 1,
\end{equation}
где $\widehat{C}_5:=\left(2+(M_1+M_2)\alpha_1^{1/2}C_\mathcal{O}^{(1)}+\widetilde{M}_1C_\mathcal{O}^{(1)}\right)
(1+\mathcal{C}_4)
+(\widetilde{M}_1+\widetilde{M}_2)C_\mathcal{O}^{(0)}+M_1\alpha_1^{1/2}C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_3
$.

Объединяя \eqref{28} и \eqref{29}, при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $\zeta\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_+$, $\vert\zeta\vert \geqslant 1$, имеем
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert & (B_{D,\varepsilon}-\zeta I)^{-1}-(B_D^0-\zeta I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \min\lbrace  C_3 c(\phi)^2(\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}+\varepsilon );\widehat{C}_5 c(\phi)\rbrace
\\
&\leqslant   C_3 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}+\min\lbrace  C_3 c(\phi)^2\varepsilon ; \widehat{C}_5 c(\phi)\rbrace
\\
&\leqslant  C_3 c(\phi)^2\varepsilon ^{1/2}\vert\zeta\vert ^{-1/4}+(C_3\widehat{C}_5)^{1/2}c(\phi)^{3/2}\varepsilon ^{1/2}.
\end{split}
\end{equation*}
Мы пришли к оценке \eqref{30} с постоянной $C_5:=\max\lbrace C_3;(C_3\widehat{C}_5)^{1/2}\rbrace$.
\end{proof}

\subsection{Аппроксимация оператора $B_{D,\varepsilon}^{-1/2}$}

Из теоремы \ref{Theorem resolvent} вытекает следующий результат.

\begin{lemma}
\label{Lemma square root of resolvent}
В условиях теоремы \textnormal{\ref{Theorem resolvent}} при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ выполнена оценка
\begin{equation}
\label{lemma square root of resolvent}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant {C}_6\varepsilon ^{1/2}.
\end{equation}
Постоянная ${C}_6$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{lemma}
\begin{proof}
Справедливо тождество
\begin{equation*}
B_{D,\varepsilon}^{-1/2}=\pi ^{-1}\int _0^\infty \nu ^{-1/2}(B_{D,\varepsilon}+\nu I)^{-1}\,d\nu .
\end{equation*}
См., например, \cite[глава III, \S 3, п. 4]{ViGKo}. Для $(B_D^0)^{-1/2}$ верно аналогичное представление. Поэтому
\begin{equation*}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \pi ^{-1}\int _0^\infty \nu ^{-1/2}\Vert (B_{D,\varepsilon}+\nu I)^{-1}-(B_D^0 +\nu I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\,d\nu .
\end{equation*}
Так как $c_\flat $ --- общая нижняя грань операторов $B_{D,\varepsilon}$ и $B_D^0$, выполнено
\begin{equation*}
\Vert (B_{D,\varepsilon}+\nu I)^{-1}-(B_D^0+\nu I)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant 2(\nu +c_\flat )^{-1},\quad \nu\in\mathbb{R}_+ .
\end{equation*}
Отсюда 
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert & B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 2^{1/2} \pi ^{-1}\int _0^\infty \nu ^{-1/2}(\nu +c_\flat )^{-1/2}\Vert (B_{D,\varepsilon}+\nu I)^{-1}-(B_D^0 +\nu I)^{-1}\Vert ^{1/2} _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\,d\nu .
\end{split}
\end{equation*}
При $\nu \in [0,1]$ воспользуемся  аппроксимацией \eqref{Th dr appr 1}:
\begin{equation*}
\Vert (B_{D,\varepsilon}+\nu I)^{-1}-(B_D^0 +\nu I)^{-1}\Vert  _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_2\varepsilon \max \lbrace 1; (c_\flat +\nu)^{-2}\rbrace
\leqslant C_2\varepsilon \max \lbrace 1;c_\flat ^{-2}\rbrace .
\end{equation*}
При $\nu >1$ применим оценку \eqref{sem'.a}:
\begin{equation*}
\Vert (B_{D,\varepsilon}+\nu I)^{-1}-(B_D^0 +\nu I)^{-1}\Vert  _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_1\varepsilon \nu ^{-1/2},\quad \nu >1.
\end{equation*}
С учетом этих соображений справедливо неравенство
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
&\leqslant 2^{1/2} \pi ^{-1}C_2^{1/2}\max\lbrace 1; c_\flat ^{-1}\rbrace \varepsilon ^{1/2}
\int _0 ^1\nu ^{-1/2}(\nu+c_\flat )^{-1/2}\,d\nu
\\
&+2^{1/2}\pi ^{-1}C_1^{1/2}\varepsilon ^{1/2}\int _1^\infty \nu ^{-1/2}(\nu +c_\flat )^{-1/2}\nu ^{-1/4}\,d\nu .
\end{split}
\end{equation*}
Оценивая интегралы, получаем оценку \eqref{lemma square root of resolvent} с постоянной
$$ {C}_6:=2^{3/2}\pi ^{-1}C_2^{1/2}c_\flat ^{-1/2}\max\lbrace 1;c_\flat ^{-1}\rbrace+2^{5/2}\pi ^{-1}C_1^{1/2}.$$
\end{proof}

\section{Постановка задачи. Основные результаты}
\label{Section 2}

\subsection{Первая начально-краевая задача для гиперболических систем}
\textit{Цель работы --- }изучить поведение в пределе малого периода решения первой начально-краевой задачи для гиперболического уравнения:
\begin{equation}
\label{hyperbolic system}
\begin{cases}
\frac{\partial ^2\mathbf{u}_\varepsilon }{ \partial t^2}(\mathbf{x},t)=-(B_\varepsilon\mathbf{u}_\varepsilon )(\mathbf{x},t)+\mathbf{F}(\mathbf{x},t),\\
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0,\\
\mathbf{u}_\varepsilon (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\quad \frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon}{\partial t}(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}).
\end{cases}
\end{equation}
Здесь $\boldsymbol{\varphi},\boldsymbol{\psi}\in\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2}$, $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2})$. (Наложенные ограничения продиктованы техникой, используемой в настоящей работе.) Имеем
\begin{equation}
\label{u_eps=}
\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)=\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\varphi}
+B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\psi}+\int _0^t B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin \left((t-\widetilde{t})B_{D,\varepsilon}^{1/2}\right)\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{t})\,d\widetilde{t}.
\end{equation}
Поэтому для изучения поведения решения $\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,t)$ достаточно получить аппроксимации операторов $\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ и $B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$.

Эффективная задача имеет вид
\begin{equation}
\label{effective hyperbolic system}
\begin{cases}
\frac{\partial ^2\mathbf{u}_0 }{ \partial t^2}(\mathbf{x},t)=-(B^0 \mathbf{u}_0 )(\mathbf{x},t)+\mathbf{F}(\mathbf{x},t),\\
\mathbf{u}_0(\cdot,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0,\\
\mathbf{u}_0 (\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x}),\quad \frac{\partial \mathbf{u}_0}{\partial t}(\mathbf{x},0)=\boldsymbol{\psi}(\mathbf{x}).
\end{cases}
\end{equation}
Тогда
\begin{equation}
\label{u_0=}
\begin{split}
\mathbf{u}_0 (\cdot ,t)&=\cos \left(t(B_D^0)^{1/2}\right)\boldsymbol{\varphi}
+(B_D^0)^{-1/2}\sin \left(t(B_D^0)^{1/2}\right)\boldsymbol{\psi}
\\
&+\int _0^t (B_D^0)^{-1/2}\sin \left((t-\widetilde{t})(B_D^0)^{1/2}\right)\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{t})\,d\widetilde{t}.
\end{split}
\end{equation}

\subsection{Основные результаты работы в операторных терминах}
\label{Subsection main results}

\begin{theorem}
\label{Theorem cos New}
Пусть $\mathcal{O}\subset
\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{1,1}$. Пусть выполнены условия п. \textnormal{\ref{Subsection operatoer A_D,eps}--\ref{Subsection Effective operator}}. Пусть число $\varepsilon _1$ подчинено условию \textnormal{\ref{condition varepsilon}}.  
Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{Th cos B_D,eps}
\Bigl\Vert &
\left(
\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos (t (B_D^0)^{1/2})
\right)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_7 \varepsilon \left(1+\vert t\vert ^5\right) ,
\\
\label{Th sin 1}
\Bigl\Vert & \left( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\right) (B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant C_7\varepsilon \vert t\vert (1+\vert t\vert ^5) .
\end{align}
Постоянная $C_7$ зависит только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}


Естественно надеяться получить для гиперболических систем аналог теоремы \ref{Theorem resolvent corrector}. Но  аппроксимировать по энергетической норме операторный косинус не удается, хотя оператор $B_{D,\varepsilon}^{-1}\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ приблизить можно (см. теорему~\ref{Theorem cos corrector} ниже). Это согласуется с результатами \cite{BrOFMu}. Зато для оператора $B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$ удается получить приближение по энергетической норме.

\begin{theorem}
\label{Theorem sin corrector}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem cos New}}. Пусть матрицы-функции $\Lambda (\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические решения задач \eqref{Lambda problem} и \eqref{tildeLambda_problem} соответственно. Пусть $S_\varepsilon $ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps} и $P_\mathcal{O}$ --- оператор продолжения \eqref{P_O H^1, H^2}. 
Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ выполнена оценка
\begin{equation}
\label{Th sin 2}
\begin{split}
\Bigl\Vert &
\bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\\
&-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant C_8\varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6).
\end{split}
\end{equation}
Пусть $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ --- матрица-функция \eqref{tilde g}. 
Обозначим
\begin{equation*}
G_D(\varepsilon ;t):=\left(\widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})+g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \right)
P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}).
\end{equation*}
Тогда для оператора $g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})$, отвечающего \glqq потоку\grqq, при $t\in\mathbb{R}$ и \break$0<\varepsilon\leqslant\varepsilon_1$ справедлива аппроксимация
\begin{equation}
\label{Th fluxes operator terms}
\begin{split}
\bigl\Vert \bigl(
g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})
-
G_D(\varepsilon ;t)
\bigr)(B_D^0)^{-2}\bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
C_9 \varepsilon ^{1/2}  (1+ t ^6).
\end{split}
\end{equation}
Здесь постоянные $C_8$ и $C_9$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}

Доказательства теорем~\ref{Theorem cos New} и \ref{Theorem sin corrector} вынесены в \S\ref{Section 3}.

\subsection{Об аппроксимации оператора $\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}$ в энергетическом классе}

\begin{theorem}
\label{Theorem cos corrector}
В условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem sin corrector}} при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ 
справедлива оценка
\begin{equation}
\label{Th cos with correction term}
\begin{split}
\Bigl\Vert &\Bigl(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-1}
\\
&-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant C_{10}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5).
\end{split}
\end{equation}
Постоянная $C_{10}$  зависит только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}

Доказательство теоремы~\textnormal{\ref{Theorem cos corrector}} вынесено в \S\ref{Section 3}.

Теорема~\textnormal{\ref{Theorem cos corrector}} позволяет получить аппроксимацию в энергетическом классе для гиперболических систем со специальным выбором начальных данных:
\begin{equation*}
\partial _t^2\mathbf{u}_\varepsilon =-B_{\varepsilon}\mathbf{u}_\varepsilon,
\quad\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0,
\quad\mathbf{u}_\varepsilon \vert _{t=0}=B_{D,\varepsilon}^{-1}\boldsymbol{\varphi},\quad (\partial _t\mathbf{u}_\varepsilon )\vert _{t=0}=0,
\end{equation*}
где $\boldsymbol{\varphi}\in\mathrm{Dom}\,B_D^0= H^2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\cap H^1_0(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. В этом случае эффективная задача имеет вид
\begin{equation*}
\partial _t^2\mathbf{u}_0 =-B^0\mathbf{u}_0,
\quad\mathbf{u}_0(\cdot,t)\vert _{\partial\mathcal{O}}=0,
\quad\mathbf{u}_0 \vert _{t=0}=(B_{D}^0)^{-1}\boldsymbol{\varphi},\quad (\partial _t\mathbf{u}_0 )\vert _{t=0}=0.
\end{equation*}
Из \eqref{BDoPhi 5 st<=} и \eqref{Th cos with correction term} вытекает оценка
\begin{equation*}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)-\mathbf{u}_0(\cdot ,t)-\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon)S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0(\cdot,t)\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\leqslant 3^{1/2}C_BC_{10}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5)\Vert \boldsymbol{\varphi}\Vert _{H^2(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Возможность аппроксимации в энергетическом классе для решения при таком выборе начальных данных согласуется с результатами \cite{BrOFMu}. 

Отметим, что с помощью леммы~\ref{Lemma square root of resolvent} и оценок \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}, \eqref{B_D^0 L2 ->L2} из теоремы~\ref{Theorem cos corrector} можно вывести аппроксимацию оператора $\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}$:
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}(B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2})(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
c_3\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(B_D^0)^{-1/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
c_3C_6\mathcal{C}_1\varepsilon^{1/2}.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{Th cos with correction term} вытекает оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\Bigl\Vert & \bigl(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}-(I+\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon)S_\varepsilon P_\mathcal{O})
\cos(t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1/2}\Bigr)
\\
&\times
(B_D^0)^{-3/2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant(C_{10}+c_3C_6\mathcal{C}_1)\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5).
\end{split}
\end{equation*}

\subsection{Устранение сглаживающего оператора в корректоре}
\label{Subsection main results no S_eps}

Оказывается, что сглаживающий оператор в корректоре может быть устранен, если наложить на матрицы-функции $\Lambda (\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ дополнительные условия. 

\begin{condition}
\label{Condition Lambda in L infty}
Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} ограничено, т. е. $\Lambda\in L_\infty (\mathbb{R}^d)$.
\end{condition}

Случаи, когда условие~\ref{Condition Lambda in L infty} выполнено автоматически, выделены в \cite[лемма 8.7]{BSu06}.

\begin{proposition}
\label{Proposition Lambda in L infty <=}
Условие~\textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений\textnormal{:}

\noindent
$1^\circ )$ $d\leqslant 2${\rm ;}

\noindent
$2^\circ )$ размерность $d\geqslant 1$ произвольна, а дифференциальное выражение $A_\varepsilon$ имеет вид $A_\varepsilon =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами{\rm ;}

\noindent
$3^\circ )$ размерность $d$ произвольна, и $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы соотношения \eqref{underline-g}.
\end{proposition}

Для того, чтобы устранить $S_\varepsilon$ в члене корректора, содержащем $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon$, достаточно наложить следующее условие.

\begin{condition}
\label{Condition tilde Lambda in Lp}
Предположим, что $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ задачи \eqref{tildeLambda_problem} таково, что
\begin{equation*}
\widetilde{\Lambda}\in L_p(\Omega),\quad p=2 \;\mbox{при}\;d=1,\quad p>2\;\mbox{при}\;d=2, \quad p=d \;\mbox{при}\;d\geqslant 3.
\end{equation*}
\end{condition}

Следующий результат установлен в \cite[предложение 8.11]{SuAA}.

\begin{proposition}
\label{Proposition tilde Lambda in Lp if}
Условие \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} заведомо выполнено, если справедливо хотя бы одно из следующих предположений\textnormal{:}

\noindent
$1^\circ )$ $d\leqslant 4${\rm ;}

\noindent
$2^\circ )$ размерность $d$ произвольна, а дифференциальное выражение $A_{\varepsilon}$ имеет вид $A_{\varepsilon} =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами. 
\end{proposition}

\begin{remark}
\label{Remark scalar problem}
Если $A_{\varepsilon} =\mathbf{D}^* g^\varepsilon (\mathbf{x})\mathbf{D}$, где $g(\mathbf{x})$ --- симметричная матрица с вещественными элементами, то из  \textnormal{\cite[глава {\rm III}, теорема {\rm 13.1}]{LaU}} следует, что $\Lambda,\widetilde{\Lambda}\in L_\infty$, причем норма $\Vert\Lambda\Vert _{L_\infty}$ не превосходит величины, зависящей от $d$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$ и $\Omega$, а норма $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_\infty }$ оценивается в терминах $d$, $\rho$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots ,d$, и $\Omega$. В этом случае условия \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}} и \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}} справедливы одновременно.
\end{remark}

Наша цель в этом пункте --- доказать следующую теорему.

\begin{theorem}
\label{Theorem no S-eps} 
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem sin corrector}}. Пусть матрица-функция $\Lambda(\mathbf{x})$ подчинена условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}, а матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ --- условию \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Обозначим
\begin{equation}
\label{GD0}
G_D^0(\varepsilon ;t):=\left(\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})+g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon  \right)
(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}).
\end{equation}
Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы аппроксимации
\begin{align}
\label{Th sin corr no S_eps-1}
\begin{split}
\Bigl\Vert &
\bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-
 \bigl(I+\varepsilon\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_{11} \varepsilon ^{1/2}  (1+ t ^6),
\end{split}
\\
\label{Th sin corr no S_eps flux-1}
\begin{split}
\bigl\Vert & \bigl(
g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})
-
G_D^0(\varepsilon ;t)
\bigr)(B_D^0)^{-2}\bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
C_{12} \varepsilon ^{1/2}  (1+ t ^6).
\end{split}
\end{align}
Постоянные $C_{11}$ и $C_{12}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}, от $p$ и от норм $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$, $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$.
\end{theorem}

Для доказательства теоремы \ref{Theorem no S-eps} нам потребуются следующие результаты, установленные в  \cite[леммы 7.7 и 7.8]{MSuPOMI}.

\begin{lemma}
\label{Lemma Lambda (S-I)}
Пусть $\Gamma$-периодическое матричнозначное решение $\Lambda (\mathbf{x})$ задачи \eqref{Lambda problem} удовлетворяет условию \textnormal{\ref{Condition Lambda in L infty}}. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ выполнено
\begin{equation*}
\Vert [\Lambda ^\varepsilon ]b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant\mathfrak{C}_\Lambda .
\end{equation*}
Постоянная $\mathfrak{C}_\Lambda$ зависит только от $m$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от параметров решетки $\Gamma$ и нормы $\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}$.
\end{lemma}

\begin{lemma}
\label{Lemma tilde Lambda(S-I)}
Пусть матричнозначное $\Gamma$-периодическое решение $\widetilde{\Lambda }(\mathbf{x})$ задачи \eqref{tildeLambda_problem} удовлетворяет условию \textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Пусть $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant 1$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ](S_\varepsilon -I)\Vert _{H^2(\mathbb{R}^d)\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}\leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}.
\end{equation*}
Постоянная $\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}$ зависит только от $n$, $d$, $\alpha _0$, $\alpha _1$, $\rho$, $\Vert g\Vert _{L_\infty}$, $\Vert g^{-1}\Vert _{L_\infty}$, от норм $\Vert a_j\Vert _{L_\rho (\Omega)}$, $j=1,\dots,d$, от $p$, $\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}$ и от параметров решетки $\Gamma$.
\end{lemma}

Следующее утверждение несложно проверить с помощью неравенства Гёльдера и теоремы вложения Соболева (ср. \cite[лемма 3.5]{MSu15}).

\begin{lemma}
\label{Lemma tilde Lambda norm}
Пусть матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ подчинена условию~\textnormal{\ref{Condition tilde Lambda in Lp}}. Тогда при \break$0<\varepsilon\leqslant 1$ оператор $[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon]$ непрерывен из $H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$, причем
\begin{equation*}
\Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\leqslant\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}C_\Omega (p),
\end{equation*}
где $C_\Omega (p)$ --- норма оператора вложения $H^1(\Omega)\hookrightarrow L_{2(p/2)'}(\Omega)$. Здесь $(p/2)'=\infty$ при $d=1$, и $(p/2)'=p/(p-2)$ при $d\geqslant 2$.
\end{lemma}

\begin{proof}[Доказательство теоремы \textnormal{\ref{Theorem no S-eps}}.]
Результат теоремы \ref{Theorem no S-eps} выводится из теоремы \ref{Theorem sin corrector} с помощью лемм \ref{Lemma Lambda (S-I)}, \ref{Lemma tilde Lambda(S-I)} и \ref{Lemma tilde Lambda norm}.

Применяя лемму \ref{Lemma Lambda (S-I)} и \eqref{PO}, получаем
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-1}
\begin{split}
\Vert &\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant \mathfrak{C}_\Lambda C_\mathcal{O}^{(2)}\Vert (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})},\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation}
Имеем
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-2-a}
\begin{split}
\Vert & (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}
\Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\Vert (B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
В силу спектральной теоремы и элементарного неравенства $\vert \sin\mu\vert /\vert \mu\vert \leqslant 1$, $\mu\in\mathbb{R}$, выполнено
\begin{equation*}
\Vert (B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant\vert t\vert.
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{B_D^0 L2 ->L2}, \eqref{B_D^0 L2 ->H^2} и \eqref{proof no S_eps-2-a} следует, что
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-2}
\begin{split}
\Vert  (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}
\leqslant\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3\vert t\vert ,\quad t\in\mathbb{R}.
\end{split}
\end{equation}

На основании леммы \ref{Lemma tilde Lambda(S-I)} и \eqref{PO}, \eqref{proof no S_eps-2} выполнено
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-3}
\begin{split}
\Vert &\widetilde{\Lambda}^\varepsilon (S_\varepsilon -I)P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}C_\mathcal{O}^{(2)}\Vert (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}}C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3\vert t\vert 
,\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant 1.
\end{split}
\end{equation}

Теперь из \eqref{Th sin 2}, \eqref{proof no S_eps-1}, \eqref{proof no S_eps-2} и \eqref{proof no S_eps-3} вытекает оценка \eqref{Th sin corr no S_eps-1} с постоянной $C_{11}:=C_8+
(\mathfrak{C}_\Lambda +\mathfrak{C}_{\widetilde{\Lambda}})C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3 $. Мы учли, что $\vert t\vert\leqslant (1+ t ^6)$, $t\in\mathbb{R}$.

Перейдем к доказательству неравенства \eqref{Th sin corr no S_eps flux-1}. Из \eqref{b_l <=} и \eqref{Th sin corr no S_eps-1} следует, что
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-5.a}
\begin{split}
\Bigl\Vert & \Bigl(
g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})
-g^\varepsilon b(\mathbf{D})\bigl(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)
(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\Bigr)
\\
&\times
(B_D^0)^{-2}
\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{11}\varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6),\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1.
\end{split}
\end{equation}
Имеем
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-6}
\begin{split}
g^\varepsilon & b(\mathbf{D})\bigl(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)
(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\\
&=
g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
+g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\Lambda)^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\\
&+ g^\varepsilon \bigl(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\bigr)^\varepsilon (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
+ \varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) D_l (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2}).
\end{split}
\end{equation}
Чтобы оценить четвертый член справа в \eqref{proof no S_eps-6}, воспользуемся условиями \ref{Condition Lambda in L infty} и \ref{Condition tilde Lambda in Lp}, леммой \ref{Lemma tilde Lambda norm} и неравенством \eqref{b_l <=}:
\begin{equation*}
\begin{split}
\Biggl\Vert & \varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) D_l (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\Biggr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\varepsilon (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}\Vert b(\mathbf{D})\mathbf{D}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&+\varepsilon (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}C_\Omega (p)\Vert P_\mathcal{O}\mathbf{D} (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
С помощью \eqref{b_l <=}, \eqref{PO} и \eqref{proof no S_eps-2} отсюда получаем
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-7.a}
\begin{split}
\Biggl\Vert  \varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) D_l (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\Biggr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \varepsilon \vert t\vert \widehat{C}_{12},\quad t\in\mathbb{R},
\end{split}
\end{equation}
где $\widehat{C}_{12}:=(d\alpha _1)^{1/2}\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3\Vert g\Vert _{L_\infty}\bigl(
(d\alpha _1)^{1/2}\Vert \Lambda\Vert _{L_\infty}
+C_\Omega (p)C_\mathcal{O}^{(1)}\Vert \widetilde{\Lambda}\Vert _{L_p(\Omega)}\bigr)$. 

Из \eqref{proof no S_eps-5.a}--\eqref{proof no S_eps-7.a} вытекает оценка \eqref{Th sin corr no S_eps flux-1} с постоянной $C_{12}:=(d\alpha_1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{11}+\widehat{C}_{12}$.
\end{proof}

\subsection{Устранение сглаживающего оператора в корректоре в случае, когда $3\leqslant d\leqslant 8$}
\label{Subsection main results no S_eps, 3<=d=<8}

Рассмотрим возможность устранения сглаживателя при $d\geqslant 3$ без наложения дополнительных условий на матрицы-функции $\Lambda$ и $\widetilde{\Lambda}$. (В силу предложений~\ref{Proposition Lambda in L infty <=} и \ref{Proposition tilde Lambda in Lp if} при $d\leqslant 2$ применима теорема~\ref{Theorem no S-eps}.) 

Оказывается, что если граница области достаточно гладкая, то при $3\leqslant d\leqslant 8$ сглаживающий оператор $S_\varepsilon$ может быть устранен из обоих членов корректора. Чтобы показать это, нам потребуются мультипликаторные свойства матриц-функций $\Lambda ^\varepsilon$ и $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon$. Следующий результат установлен в \cite[леммы 6.3 и 6.5, следствия 6.4 и 6.6]{MSuAA17}.

\begin{lemma}
\label{Lemma Lambda multiplicator properties}
Пусть матрица-функция $\Lambda({\mathbf x})$ является $\Gamma$-периодическим решением задачи 
\textnormal{\eqref{Lambda problem}}. Пусть $d\geqslant 3$ и $l=d/2$. 

\noindent $1^\circ$. При $0< \varepsilon \leqslant 1$
оператор $[\Lambda^\varepsilon]$  
непрерывно переводит $H^{l-1}({\mathcal O};{\mathbb C}^m)$ в $L_2({\mathcal O};{\mathbb C}^n)$,
причем
\begin{equation*}
\|[\Lambda^\varepsilon] \|_{ H^{l-1}({\mathcal O}) \to L_2({\mathcal O})}
\leqslant C^{(0)} .
\end{equation*}

\noindent $2^\circ$. При $0< \varepsilon \leqslant 1$
для ${\mathbf u} \in H^{l}({\mathbb R}^d; {\mathbb C}^m)$ справедливы 
включение $\Lambda^\varepsilon {\mathbf u} \in H^1({\mathbb R}^d;{\mathbb C}^n)$ и оценка 
\begin{equation*}
\| \Lambda^\varepsilon {\mathbf u}\|_{H^1({\mathbb R}^d)} \leqslant  C^{(1)} \varepsilon^{-1}
\| {\mathbf u}\|_{L_2({\mathbb R}^d)} + C^{(2)}  \|{\mathbf u}\|_{H^l({\mathbb R}^d)}.
\end{equation*}
 Постоянные $C^{(0)}$, $C^{(1)}$ и $C^{(2)}$ зависят от $m$, $d$, $\alpha_0$, $\alpha_1$,
$\|g\|_{L_\infty}$, $\|g^{-1}\|_{L_\infty}$ и от параметров решетки $\Gamma$. 
\end{lemma}

\begin{lemma}
\label{Lemma tilde Lambda multiplicator properties}
Пусть матрица-функция $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{tildeLambda_problem}. Пусть $d\geqslant 3$ и $l=d/2$.

\noindent
$1^\circ$. При $0<\varepsilon\leqslant 1$ оператор $[\widetilde{\Lambda}^\varepsilon]$ непрерывно переводит $H^{l-1}(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$, причем
\begin{equation*}
\Vert [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ]\Vert _{H^{l-1}(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \widetilde{C}^{(0)}.
\end{equation*}

\noindent
$2^\circ$. При $0<\varepsilon\leqslant 1$ для $\mathbf{u}\in H^l(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ справедливы включение $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\mathbf{u}\in H^1(\mathbb{R}^d;\mathbb{C}^n)$ и оценка
\begin{equation*}
\Vert \widetilde{\Lambda}^\varepsilon\mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
\leqslant \widetilde{C}^{(1)}\varepsilon ^{-1}\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^1(\mathbb{R}^d)}
+\widetilde{C}^{(2)}\Vert \mathbf{u}\Vert _{H^l(\mathbb{R}^d)}.
\end{equation*}
Постоянные  
$
\widetilde{C}^{(0)}$, $ \widetilde{C}^{(1)}$ и $ \widetilde{C}^{(2)}$ 
зависят только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{lemma}

В соответствии с теоремами о повышении гладкости для сильно эллиптических систем (см., например, \cite[теорема 4.18]{McL}) справедливо следующее утверждение.

\begin{lemma}
\label{Lemma with conditions on boundary}
Пусть $3\leqslant d\leqslant 8$. Пусть $\partial\mathcal{O}\in C^{d/2,1}$, если $d$ четное, и $\partial\mathcal{O}\in C^{(d+1)/2,1}$, если $d$ --- нечетное. Тогда оператор $(B_D^0)^{-5/2}$ непрерывно переводит $L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ в \break$H^{d/2+1}(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ и справедлива оценка
\begin{equation}
\label{BD0 -5/2 to Hl+1}
\Vert (B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^{l+1}(\mathcal{O})}\leqslant\mathscr{C}_l,\quad l=d/2.
\end{equation}
\end{lemma}

Отметим также, что при произвольном $d\geqslant 1$ и $\partial\mathcal{O}\in C^{4,1}$ выполнено $(B_D^0)^{-5/2}:L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)\rightarrow H^5(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$,
\begin{equation}
\label{BD0 -5/2 to H5}
\Vert (B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^5(\mathcal{O})}\leqslant \mathcal{C}_5.
\end{equation}

\begin{theorem}
\label{Theorem d<=6 no S_eps}
Пусть справедливы условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem sin corrector}}, причем $3\leqslant d\leqslant 8$ и $\partial\mathcal{O}$ удовлетворяет условиям леммы~\textnormal{\ref{Lemma with conditions on boundary}}. Пусть 
$G_D^0(\varepsilon ;t)$ --- оператор \eqref{GD0}. 
Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ имеют место аппроксимации
\begin{align}
\label{Th sin corr no S_eps}
\begin{split}
\Bigl\Vert &
\bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-
 \bigl(I+\varepsilon\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})\bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_{13} \varepsilon ^{1/2}  (1+ t ^6),
\end{split}
\\
\label{Th sin corr no S_eps flux}
\begin{split}
\bigl\Vert & \bigl(
g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})
-
G_D^0(\varepsilon ;t)
\bigr)(B_D^0)^{-2}\bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant
C_{14} \varepsilon ^{1/2}  (1+ t ^6).
\end{split}
\end{align}
Постоянные $C_{13}$ и $C_{14}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}
\end{theorem}

\begin{proof}
В силу предложения~\ref{Proposition S__eps - I}, леммы~\ref{Lemma Lambda multiplicator properties}($2^\circ$) и \eqref{<b^*b<} выполнено
\begin{equation*}
\begin{split}
\varepsilon\Vert &[\Lambda ^\varepsilon ](S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
C^{(1)}\Vert (S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+\varepsilon C^{(2)}\Vert (S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^l(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
r_1\alpha _1^{1/2}C^{(1)}\varepsilon\Vert \mathbf{D}^2P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
+
2\alpha _1^{1/2}C^{(2)}\varepsilon \Vert \mathbf{D}P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^l(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{PO}, \eqref{BD0 -5/2 to Hl+1} следует, что
\begin{equation}
\label{term with Lambda}
\begin{split}
\varepsilon\Vert &[\Lambda ^\varepsilon ](S_\varepsilon -I)b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\varepsilon\alpha _1^{1/2}\left(r_1C^{(1)}C_\mathcal{O}^{(2)}\Vert (B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^2(\mathcal{O})}+2C^{(2)}C_\mathcal{O}^{(l+1)}\Vert (B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^{l+1}(\mathcal{O})}\right)
\\
&\leqslant
\varepsilon\alpha _1^{1/2}\left(r_1C^{(1)}C_\mathcal{O}^{(2)}
+2C^{(2)}C_\mathcal{O}^{(l+1)}\right)\mathscr{C}_l,\quad 3\leqslant d=2l\leqslant 8.
\end{split}
\end{equation}

Аналогично, с помощью леммы~\ref{Lemma tilde Lambda multiplicator properties}($2^\circ$) получаем
\begin{equation}
\label{term with tilde Lambda}
\begin{split}
\varepsilon \Vert & [\widetilde{\Lambda}^\varepsilon ](S_\varepsilon -I)P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\varepsilon\left(r_1\widetilde{C}^{(1)}C_\mathcal{O}^{(2)}+2\widetilde{C}^{(2)}C_\mathcal{O}^{(l)}\right)
\mathscr{C}_l,\quad 3\leqslant d=2l\leqslant 8.
\end{split}
\end{equation}

Объединяя \eqref{Th sin 2}, \eqref{term with Lambda} и \eqref{term with tilde Lambda}, приходим к оценке \eqref{Th sin corr no S_eps} с постоянной $C_{13}:=C_8+\alpha _1^{1/2}\left(r_1C^{(1)}C_\mathcal{O}^{(2)}
+2C^{(2)}C_\mathcal{O}^{(l+1)}\right)\mathscr{C}_l+\left(r_1\widetilde{C}^{(1)}C_\mathcal{O}^{(2)}+2\widetilde{C}^{(2)}C_\mathcal{O}^{(l)}\right)
\mathscr{C}_l$. 

Перейдем к доказательству неравенства \eqref{Th sin corr no S_eps flux}. Из \eqref{b_l <=} и \eqref{Th sin corr no S_eps} следует, что
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-5}
\begin{split}
\Bigl\Vert & \Bigl(
g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})
-g^\varepsilon b(\mathbf{D})\bigl(I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\varepsilon\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)
(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\Bigr)
\\
&\times
(B_D^0)^{-2}
\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant (d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{13}\varepsilon ^{1/2} (1+ t ^6),\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1.
\end{split}
\end{equation}
Тождество \eqref{proof no S_eps-6} сохраняет силу. 
Чтобы оценить четвертый член справа в \eqref{proof no S_eps-6}, воспользуемся леммами~\ref{Lemma Lambda multiplicator properties}($1^\circ$) и \ref{Lemma tilde Lambda multiplicator properties}($1^\circ$) и неравенствами  \eqref{b_l <=}, \eqref{BD0 -5/2 to Hl+1}:
\begin{equation}
\label{proof no S_eps-7}
\begin{split}
&\Biggl\Vert  \varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon \bigr) D_l (B_D^0)^{-5/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\Biggr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\varepsilon \Vert g\Vert _{L_\infty}(d\alpha _1)^{1/2}
\left\Vert \left(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\right)
\mathbf{D}(B_D^0)^{-5/2}\right\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\varepsilon \Vert g\Vert _{L_\infty}(d\alpha _1)^{1/2}
\left(
C^{(0)}(d\alpha _1)^{1/2}\Vert \mathbf{D}^2(B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^{l-1}(\mathcal{O})}+\widetilde{C}^{(0)}\Vert \mathbf{D}(B_D^0)^{-5/2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^{l-1}(\mathcal{O})}\right)
\\
&\leqslant
\varepsilon\widehat{C}_{14},\quad d\leqslant 8,\quad
\widehat{C}_{14}:=\Vert g\Vert _{L_\infty}(d\alpha _1)^{1/2}
\left(C^{(0)}(d\alpha _1)^{1/2}+\widetilde{C}^{(0)}\right)\mathscr{C}_l.
\end{split}
\end{equation}
Из \eqref{proof no S_eps-5} и \eqref{proof no S_eps-7} вытекает оценка \eqref{Th sin corr no S_eps flux} с постоянной $C_{14}:=(d\alpha_1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}C_{13}+\widehat{C}_{14}$.
\end{proof}

\begin{remark}
Если $\partial\mathcal{O}\in C^{4,1}$ и $d=9,10$, то устранить сглаживающий оператор $S_\varepsilon$ удается только в члене корректора, содержащем $\widetilde{\Lambda}^\varepsilon$. Для этого вместо леммы \textnormal{\ref{Lemma with conditions on boundary}} используем оценку \eqref{BD0 -5/2 to H5}.
\end{remark}

\subsection{Усреднение решения первой начально-краевой задачи}

Применим результаты п.~\ref{Subsection main results} и \ref{Subsection main results no S_eps} к усреднению решения первой начально-краевой задачи \eqref{hyperbolic system}. Заметим, что если $\boldsymbol{\Phi}\in\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^{2}$, то функцию $\boldsymbol{\Phi}$ можно представить в виде $\boldsymbol{\Phi} =(B_D^0)^{-2}\boldsymbol{\check{\Phi}}$, где $\boldsymbol{\check{\Phi}}\in L_2(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$. Если $\partial\mathcal{O}\in C^{3,1}$, то в силу леммы~\ref{Lemma (B_D0)2 and H4-norm}
\begin{equation*}
\Vert \boldsymbol{\check{\Phi}}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
=\Vert (B_D^0)^2\boldsymbol{\Phi}\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \mathfrak{C}\Vert \boldsymbol{\Phi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}.
\end{equation*}
Применяя эти соображения к функциям $\boldsymbol{\varphi}$, $\boldsymbol{\psi}$ и $\mathbf{F}(\cdot,t)$, используя тождества \eqref{u_eps=}, \eqref{u_0=} и теорему~\ref{Theorem cos New}, получаем следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem solutions L2}
Пусть $\mathcal{O}\subset\mathbb{R}^d$ --- ограниченная область с границей класса $C^{3,1}$. Пусть выполнены условия п.~\textnormal{\ref{Subsection operatoer A_D,eps}--\ref{Subsection Effective operator}}. 
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon $ --- решение задачи \eqref{hyperbolic system} и $\mathbf{u}_0$ --- решение эффективной задачи \eqref{effective hyperbolic system}, причем $\boldsymbol{\varphi}$, $\boldsymbol{\psi}\in \mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2)$. Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедлива оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)-\mathbf{u}_0(\cdot,t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \mathfrak{C} C_7
\varepsilon (1+\vert t\vert ^5)
\left(
\Vert \boldsymbol{\varphi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+\vert t\vert \Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+\vert t\vert \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right).
\end{split}
\end{equation*}
Постоянные $\mathfrak{C}$ и $C_7$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}

На основании теорем~\ref{Theorem cos New} и~\ref{Theorem sin corrector} получаем аппроксимацию по энергетической норме решения $\mathbf{u}_\varepsilon$ задачи \eqref{hyperbolic system} при $\boldsymbol{\varphi}=0$.

\begin{theorem}
\label{Theorem solutions corrector}
Пусть в условиях теоремы~\textnormal{\ref{Theorem solutions L2}} $\boldsymbol{\varphi}=0$. При $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ имеем
\begin{equation}
\label{Th sol energy 1}
\left\Vert \frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon}{\partial t}(\cdot ,t)-\frac{\partial \mathbf{u}_0}{\partial t}(\cdot ,t)\right\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \mathfrak{C}C_7\varepsilon  (1+\vert t\vert ^5)
\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right).
\end{equation}
Пусть $\Lambda(\mathbf{x})$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})$ --- $\Gamma$-периодические решения задач \eqref{Lambda problem} и \eqref{tildeLambda_problem} соответственно. Пусть $P_\mathcal{O}$ --- линейный непрерывный оператор продолжения \eqref{P_O H^1, H^2} и $S_\varepsilon$ --- оператор сглаживания по Стеклову \eqref{S_eps}. Положим $\widetilde{\mathbf{u}}_0(\cdot ,t):=P_\mathcal{O}\mathbf{u}_0(\cdot,t)$. Через $\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,t)$ обозначим первое приближение к решению $\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)$\textnormal{:}
\begin{equation*}
\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\cdot ,t):=\widetilde{\mathbf{u}}_0(\cdot,t)+\varepsilon \Lambda^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0(\cdot,t)
+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0(\cdot,t),
\quad
\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot ,t):=\widetilde{\mathbf{v}}_\varepsilon (\cdot ,t)\vert _{\mathcal{O}}.
\end{equation*}
Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ выполнена оценка
\begin{equation}
\label{Th sol energy 2}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,t)-\mathbf{v}_\varepsilon (\cdot,t)\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\leqslant
\mathfrak{C} C_8\varepsilon ^{1/2}(1+ t ^6)
\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right).
\end{equation}
Пусть $\widetilde{g}(\mathbf{x})$ --- матрица-функция \eqref{tilde g}. Для потока $\mathbf{p}_\varepsilon(\cdot ,t):=g^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot,t)$ при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедлива аппроксимация
\begin{equation}
\label{Th sol energy 3}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,t)-\widetilde{g}^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})\widetilde{\mathbf{u}}_0(\cdot,t)
-g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon S_\varepsilon \widetilde{\mathbf{u}}_0(\cdot,t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
\mathfrak{C} C_9 \varepsilon ^{1/2}  (1+ t ^6)
\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right).
\end{split}
\end{equation}
Постоянные $\mathfrak{C}$, $C_8$ и $C_9$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}

\begin{proof}
Оценки \eqref{Th sol energy 2} и \eqref{Th sol energy 3} прямо следуют из теоремы \ref{Theorem sin corrector}, леммы~\ref{Lemma (B_D0)2 and H4-norm} и соотношений \eqref{u_eps=}, \eqref{u_0=}. 

Обсудим доказательство неравенства \eqref{Th sol energy 1}. Дифференцируя по времени выражение \eqref{u_eps=}, где $\boldsymbol{\varphi}=0$, находим
\begin{equation*}
\frac{\partial \mathbf{u}_\varepsilon}{\partial t}(\cdot ,t)
=\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\boldsymbol{\psi}
+\int _0^t \cos \left((t-\widetilde{t})B_{D,\varepsilon}^{1/2}\right)\mathbf{F}(\cdot ,\widetilde{t})\,d\widetilde{t}.
\end{equation*}
Для решения эффективной задачи справедливо аналогичное представление. С учетом леммы~\ref{Lemma (B_D0)2 and H4-norm} отсюда и из теоремы \ref{Theorem cos New} следует оценка \eqref{Th sol energy 1}.
\end{proof}

Из теоремы~\ref{Theorem d<=6 no S_eps} выводим следующий результат.

\begin{theorem}
\label{Theorem no_S_eps solutions}
Пусть выполнены условия теоремы~\textnormal{\ref{Theorem solutions corrector}}, причем $d\leqslant8$. При $d=7,8$ предположим дополнительно, что $\partial\mathcal{O}\in C^{4,1}$. Обозначим
\begin{equation*}
\check{\mathbf{v}}_\varepsilon (\cdot  ,t):=\mathbf{u}_0(\cdot,t)+\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )\mathbf{u}_0(\cdot ,t).
\end{equation*}
Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ имеют место аппроксимации
\begin{align*}
\Vert &\mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)-\check{\mathbf{v}}_\varepsilon (\cdot,t)\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
\leqslant \mathfrak{C} C_{13}\varepsilon  ^{1/2} (1+t ^6)
\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right),
\\
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,t)-\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot,t)-g^\varepsilon (b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda})^\varepsilon\mathbf{u}_0(\cdot ,t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \mathfrak{C} C_{14} \varepsilon  ^{1/2}  (1+t ^6)
\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right).
\end{split}
\end{align*}
Постоянные $\mathfrak{C}$, $C_{13}$ и $C_{14}$ зависят только от исходных данных \eqref{problem data}.
\end{theorem}

\subsection{Специальный случай} 
Предположим теперь, что $g^0=\underline{g}$, т. е. справедливы представления \eqref{underline-g}. Тогда в силу предложения \ref{Proposition Lambda in L infty <=}($3^\circ$) выполнено условие \ref{Condition Lambda in L infty}. При этом согласно \cite[замечание 3.5]{BSu05} матрица-функция \eqref{tilde g} постоянна и совпадает с $g^0$, т. е. $\widetilde{g}(\mathbf{x})=g^0=\underline{g}$. Таким образом, $\widetilde{g}^\varepsilon b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot,t)=g^0b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot,t)$.

Предположим дополнительно, что справедливо равенство 
\begin{equation}
\label{sum Dj aj =0}
\sum _{j=1}^d D_j a_j(\mathbf{x})^* =0.
\end{equation}
Тогда $\Gamma$-периодическое решение задачи \eqref{tildeLambda_problem}  равно нулю:  $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$ 
 и из теоремы \ref{Theorem no S-eps} вытекает следующий результат.

\begin{proposition}
Пусть выполнены условия теоремы \textnormal{\ref{Theorem solutions corrector}}. Пусть справедливы представления \eqref{underline-g} и равенство \eqref{sum Dj aj =0}. Тогда при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon \leqslant \varepsilon _1$ для потока $\mathbf{p}_\varepsilon (\cdot,t)$ имеет место аппроксимация
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &\mathbf{p}_\varepsilon (\cdot ,t)-g^0 b(\mathbf{D})\mathbf{u}_0(\cdot,t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \mathfrak{C} C_{12}\varepsilon  ^{1/2}  (1+ t ^6)
\left(\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+\Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right).
\end{split}
\end{equation*}
\end{proposition}

\subsection{Случай нулевого корректора} 
Предположим дополнительно, что $g^0=\overline{g}$, т. е. выполнены соотношения \eqref{overline-g}. 
Пусть справедливо условие \eqref{sum Dj aj =0}. 
Тогда $\Gamma$-периодические решения задач \eqref{Lambda problem} и~\eqref{tildeLambda_problem} равны нулю: $\Lambda (\mathbf{x})=0$ и $\widetilde{\Lambda}(\mathbf{x})=0$. Из теорем~\ref{Theorem sin corrector} и \ref{Theorem cos corrector} вытекает, что при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ справедливы оценки
\begin{align}
\label{sin with K=0}
\Bigl\Vert &\Bigl(
B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t(B_D^0)^{1/2})
\Bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert
_{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant 
C_8\varepsilon ^{1/2}(1+t ^6),
\\
\label{2.33 corr =0}
\Bigl\Vert &\Bigl(
\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-\cos(t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1}\Bigr)
(B_D^0)^{-1}\Bigr\Vert
 _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant
C_{10}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5).
\end{align}
Из теоремы~\ref{Theorem resolvent corrector}($2^\circ$) следует, что в рассматриваемом случае выполнено
\begin{equation}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}\Vert  _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant
C_4(c_\flat ^{-1}+c_\flat ^{-2})\varepsilon ^{1/2},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1.
\end{equation}
Последовательно применяя \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2} и \eqref{1.15a new}, находим
\begin{equation}
\label{2.35 corr =0}
\begin{split}
\Vert &\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant c_3\Vert B_{D,\varepsilon}^{1/2}\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant c_3C_*^{1/2}\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\Vert (B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
Объединяя \eqref{B_D^0 L2 ->L2} и \eqref{2.33 corr =0}--\eqref{2.35 corr =0}, получаем, что при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ выполнено
\begin{equation}
\label{cos with K =0}
\Bigl\Vert \Bigl(
\cos(tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos(t(B_D^0)^{1/2})\Bigr)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant
C_{15}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5).
\end{equation}
Здесь $C_{15}:=C_{10}+c_3C_*^{1/2}C_4(c_\flat ^{-1}+c_\flat ^{-2})\mathcal{C}_1$.

С помощью \eqref{sin with K=0} и \eqref{cos with K =0} получаем аппроксимацию в классе Соболева $H^1(\mathcal{O};\mathbb{C}^n)$ для решения \eqref{u_eps=} задачи \eqref{hyperbolic system}.

\begin{proposition}
Пусть $\mathbf{u}_\varepsilon $ и $\mathbf{u}_0$ --- решения задач \eqref{hyperbolic system} и \eqref{effective hyperbolic system} соответственно при $\boldsymbol{\varphi}$, $\boldsymbol{\psi}\in \mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2$ и $\mathbf{F}\in L_{1,\mathrm{loc}}(\mathbb{R};\mathrm{Dom}\,(B_D^0)^2)$. Пусть справедливы соотношения \eqref{overline-g} и \eqref{sum Dj aj =0}. Тогда при $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ и $t\in\mathbb{R}$ выполнена оценка
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert \mathbf{u}_\varepsilon (\cdot ,t)-\mathbf{u}_0(\cdot ,t)\Vert _{H^1(\mathcal{O})}
&\leqslant \mathfrak{C}C_{15}\varepsilon ^{1/2}(1+\vert t\vert ^5)\Vert \boldsymbol{\varphi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}
\\
&+\mathfrak{C}C_8\varepsilon ^{1/2}(1+t ^6)\left(
\Vert \boldsymbol{\psi}\Vert _{H^4(\mathcal{O})}+ \Vert \mathbf{F}\Vert _{L_1((0,t);H^4(\mathcal{O}))}\right).
\end{split}
\end{equation*}
\end{proposition}

\section{Доказательства теорем \ref{Theorem cos New} и \ref{Theorem sin corrector}} 
\label{Section 3}

\subsection{Доказательство теоремы \ref{Theorem cos New}}

Доказательство оценки \eqref{Th cos B_D,eps}  основано на использовании обратного преобразования Лапласа и применении теоремы~\ref{Theorem resolvent}. Чтобы обеспечить сходимость появляющихся при этом интегралов, вместо косинуса мы рассматриваем функцию вида 
$$\left(\cos (ta^{1/2})-1+at^2/2\right)a^{-2},$$ 
для которой обратное преобразование Лапласа убывает быстрее (см., например, \cite[раздел 17.13]{Grad}).

\begin{proof}[Доказательство теоремы \textnormal{\ref{Theorem cos New}}.]

При $t=0$ результат \eqref{Th cos B_D,eps} 
тривиален: $\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})\vert _{t=0}=\cos (t(B_D^0)^{1/2})\vert _{t=0}=I$, поэтому далее будем считать, что $t>0$. Это не ограничивает общности, так как косинус --- четная функция.

Учитывая оценку
\begin{equation}
\label{AD,eps -1 -...}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\leqslant C_{16}\varepsilon , \quad C_{16}:=\max \lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace C_2,
\end{equation}
вытекающую из \eqref{rho(zeta)}, \eqref{Th dr appr 1}, на основании тождества
\begin{equation*}
\begin{split}
B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}
=
\frac{1}{2}(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})(B_{D,\varepsilon}^{-1}+(B_D^0)^{-1})
+\frac{1}{2}(B_{D,\varepsilon}^{-1}+(B_D^0)^{-1})(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})
\end{split}
\end{equation*}
и оценок \eqref{B_D,eps L2 ->L2}, \eqref{B_D^0 L2 ->L2} 
получаем, что
\begin{equation}
\label{raznost' kvadratov resolvent}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant 2\mathcal{C}_1C_{16}\varepsilon .
\end{equation}
Поэтому
\begin{equation}
\label{cos-cos Res AD0}
\begin{split}
\Bigl\Vert & \left(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos (t(B_D^0)^{1/2})\right)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant \Vert \cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})\left(B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}\right)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&+\Vert \cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos(t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}\\
&\leqslant 2\mathcal{C}_1C_{16}\varepsilon +\Vert \cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos(t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}

Пусть $a>0$ --- параметр. Справедливо тождество
\begin{equation}
\label{basic identity for functions}
\left(
\frac{1}{2}a t^2-1+\cos (t\sqrt{a})
\right)a^{-2}
=\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda = c} \lambda ^{-3}(a+\lambda ^2)^{-1}e^{\lambda t}\,d\lambda,\quad
c>0.
\end{equation}
В этом несложно убедиться, посчитав интеграл в правой части \eqref{basic identity for functions} по вычетам.

Будем считать, что постоянная $c$ в \eqref{basic identity for functions} равна $\sqrt{c_\flat}/t$. С помощью спектральной теоремы из \eqref{basic identity for functions} выводим равенство
\begin{equation}
\label{basic identity}
\left(
\frac{1}{2}B_{D,\varepsilon} t^2-I+\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})
\right)B_{D,\varepsilon}^{-2}
=\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda = \sqrt{c_\flat}/t} \lambda ^{-3}(B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2 I)^{-1}e^{\lambda t}\,d\lambda .
\end{equation}
Для эффективного оператора справедливо аналогичное тождество, поэтому
\begin{equation}
\label{14}
\begin{split}
\cos (&t B_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}
=
-\frac{t^2}{2}\left(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}\right)
+\left( B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}\right)\\
&+\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat}/t}\lambda ^{-3}
\left(
(B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2I)^{-1}-(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}\right)e^{\lambda t}\,d\lambda .
\end{split}
\end{equation}
Отсюда на основании \eqref{AD,eps -1 -...} и \eqref{raznost' kvadratov resolvent} заключаем, что
\begin{equation}
\label{cos-cos=something + int norm estimate}
\begin{split}
\Vert & \cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos (t(B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 2^{-1}C_{16}\varepsilon t^2+2\mathcal{C}_1C_{16}\varepsilon
\\
&+\left\Vert \frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat}/t}\lambda ^{-3}
\left(
(B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2I)^{-1}-(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}\right)e^{\lambda t}\,d\lambda \right\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}

Перейдем к оцениванию интеграла в правой части \eqref{cos-cos=something + int norm estimate}. Сделаем в нём замену переменной $\lambda t=\mu$:
\begin{equation}
\label{mathfrak I=}
\begin{split}
&\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat}/t}\lambda ^{-3}
\left(
(B_{D,\varepsilon}+\lambda ^2I)^{-1}-(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}\right)e^{\lambda t}\,d\lambda \\
&=\frac{t^2}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\mu =\sqrt{c_\flat}}e^\mu \mu ^{-3}
\left(
(B_{D,\varepsilon}+\frac{\mu ^2}{t^2} I)^{-1}-(B_D^0+\frac{\mu ^2}{t ^2} I)^{-1}\right)\,d\mu=:\mathfrak{I}(\varepsilon ;t) .
\end{split}
\end{equation}

Будем считать, что $\mu = \sqrt{c_\flat} +i\beta$, $\beta\in\mathbb{R}$. Поймем, где меняется величина $\zeta _t :=-\mu ^2/t^{2}$. Имеем
\begin{equation}
\label{3.8a}
\mu ^2 = c_\flat-\beta ^2 +i2\beta\sqrt{c_\flat}=:x+iy.
\end{equation}
Тогда
$$
\begin{cases}
x=c_\flat -\beta ^2,\\
y=2\beta\sqrt{c_\flat}.
\end{cases}
$$
Следовательно,
$$
\begin{cases}
x=c_\flat - (4c_\flat)^{-1}y^2,
\\
\beta =2^{-1}c_\flat ^{-1/2}y.
\end{cases}
$$
Таким образом, величина $\zeta _t$ пробегает параболу $\Pi _t$ (см. рис. \ref{Picture parabola}):
\begin{equation}
\label{Pi}
\Pi _t:=\left\lbrace\zeta _t\in\mathbb{C} : \mathrm{Re}\,\zeta _t=-\frac{c_\flat}{t^2}+\frac{t^2}{4 c_\flat}(\mathrm{Im}\,\zeta _t)^2\right\rbrace .
\end{equation}

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
    \begin{axis}[
            axis lines=middle,
            axis line style=->,
            xmin=-5,xmax=5,
            ymin=-5,ymax=5,
            xlabel=$\mathrm{Re}\,\zeta _t$,
            ylabel=$\mathrm{Im}\,\zeta_t$,
            xtick=\empty,
            ytick=\empty,
            xticklabels=\empty,
            yticklabels=\empty,
        ]
        \addplot[smooth,thick, blue,-]({x^2/4-1},{x});
    \end{axis}
    \draw[black,thick] (0.5,4.5) circle (3.5mm);
\draw (0.5,4.8) node [below]{$\zeta _t$};
 \draw (2.8,2.8) node [below left]{$-\frac{c_\flat}{t^2}$};
  \draw[fill] (2.75,2.85) circle (1.5pt);
  \draw (3.6,2.1) node [below right]{$-\frac{2c_\flat}{t^2}$};
  \draw[fill] (3.42,1.675) circle (1.5pt);
  \draw (3.5,4.2) node [below right]{$\frac{2c_\flat}{t^2}$};
  \draw[fill] (3.42,4.015) circle (1.5pt);
\end{tikzpicture}
\caption{Парабола $\Pi _t$.}
\label{Picture parabola}
\end{center}
\end{figure}

При $\zeta _t\in\Pi _t$, $\mathrm{Re}\,\zeta _t<c_\flat +1$, будем пользоваться  аппроксимацией \eqref{Th dr appr 1} для резольвенты $(B_{D,\varepsilon}-\zeta _t I)^{-1}$. Оценим величину $\varrho _\flat (\zeta _t)$ при рассматриваемых $\zeta _t\in\Pi _t$. Имеем
\begin{equation}
\label{zeta_t(beta)=}
\zeta _t =-\frac{\mu ^2}{t^2}=\frac{\beta ^2 - c_\flat}{t^2}-i\frac{2\beta\sqrt{c_\flat}}{t^2},\quad \beta\in\mathbb{R}.
\end{equation}
Поэтому
\begin{equation*}
\vert\zeta _t-c_\flat\vert^2 =\left(\frac{\beta ^2 - c_\flat}{t^2}-c_\flat\right)^2
+\frac{4\beta ^2c_\flat}{t^4}.
\end{equation*}
После элементарных преобразований 
находим
\begin{equation*}
\vert\zeta _t-c_\flat\vert^2 = t^{-4}\left(
(\beta ^2-c_\flat t^2 )^2
+2\beta ^2 c_\flat +c_\flat ^2+2 c_\flat ^2 t^2
\right).
\end{equation*}
Отсюда
\begin{equation*}
\vert\zeta _t -c_\flat\vert ^{-2}\leqslant\frac{t^2}{2c_\flat ^2}.
\end{equation*}
При $\zeta _t\in \Pi _t$, $\mathrm{Re}\,\zeta _t\leqslant c_\flat$,  будем пользоваться оценкой
\begin{equation}
\label{rho<=c_1}
\varrho _\flat (\zeta _t)
\leqslant\max\lbrace 1;\vert\zeta _t-c_\flat\vert ^{-2}\rbrace
\leqslant\max\lbrace 1;(2c_\flat ^2)^{-1}t^2\rbrace
\leqslant\mathfrak{c}_1(t^2+1);\quad\mathfrak{c}_1:=\max \lbrace 1;(2c_\flat ^2)^{-1}\rbrace .
\end{equation}
Пусть $\psi _t=\mathrm{arg}\,(\zeta _t-c_\flat)$. 
При $\zeta _t\in\Pi _t$, $c_\flat <\mathrm{Re}\,\zeta _t\leqslant c_\flat +1$, величину $\varrho _\flat (\zeta _t)$ оценим следующим образом:
\begin{equation}
\label{3.11b}
\varrho _\flat (\zeta _t)\leqslant \max\lbrace c(\psi _t)^2\vert \zeta _t -c_\flat\vert ^{-2};c(\psi _t)^2\rbrace
=\max\lbrace \vert \mathrm{Im}\,(\zeta _t-c_\flat)\vert ^{-2}; c(\psi _t)^2\rbrace .
\end{equation}
Имеем
\begin{equation}
\label{3.11a}
\vert\mathrm{Im}\,(\zeta _t-c_\flat)\vert ^{-2}=\vert\mathrm{Im}\,\zeta _t\vert ^{-2}
\leqslant\vert\mathrm{Im}\widehat{\zeta}_t\vert ^{-2},\quad\zeta _t\in\Pi _t,\; c_\flat <\mathrm{Re}\,\zeta _t\leqslant c_\flat +1.
\end{equation}
Здесь $\widehat{\zeta}_t$ --- точка контура $\Pi _t$ такая, что $\mathrm{Re}\,\widehat{\zeta}_t =c_\flat$. (Таких точек две, годится любая.) Пусть этой точке отвечает значение параметра $\widehat{\beta}\in\mathbb{R}$. Тогда 
\begin{equation*}
\mathrm{Re}\,\widehat{\zeta}_t=c_\flat =\frac{\widehat{\beta}^2-c_\flat}{t^2}.
\end{equation*}
Отсюда $\widehat{\beta}^2=c_\flat(1+t^2)$. И в силу \eqref{3.11a} при рассматриваемых $\zeta _t\in\Pi _t$ выполнено
\begin{equation}
\label{zvezda}
\vert \mathrm{Im}\,(\zeta _t -c_\flat )\vert ^{-2}=
\vert\mathrm{Im}\,\zeta _t\vert ^{-2}
\leqslant\frac{t^4}{4c_\flat}\widehat{\beta}^{-2}
=\frac{ t^4}{4c_\flat ^2(1+t^2)}\leqslant\frac{t^2}{4c_\flat ^2}.
\end{equation}

Оценим теперь $c(\psi _t)$. При $\zeta _t\in\Pi _t$, $c_\flat <\mathrm{Re}\,\zeta _t\leqslant c_\flat +1$, очевидно выполнено $c(\psi _t)\leqslant c(\widetilde{\psi}_t)$, где $\widetilde{\psi}_t=\mathrm{arg}\,\widetilde{\zeta}_t$, $\widetilde{\zeta}_t\in\Pi _t$, $\mathrm{Re}\,\widetilde{\zeta}_t=c_\flat +1$. (Таких точек на контуре две.) Будем считать, что точке $\widetilde{\zeta}_t\in\Pi _t$ отвечает значение параметра $\widetilde{\beta}>0$. Имеем
\begin{equation*}
c_\flat +1 =\mathrm{Re}\,\widetilde{\zeta}_t=\frac{\widetilde{\beta}^2-c_\flat}{t^2}.
\end{equation*}
Отсюда
\begin{equation}
\label{tilde beta}
\widetilde{\beta}^2=c_\flat +t^2(c_\flat +1). 
\end{equation}
Поэтому
\begin{equation*}
\left(
\mathrm{Im}\,\widetilde{\zeta}_t\right)^2
=\frac{4\widetilde{\beta}^2c_\flat}{t^4}
=
\frac{4 c_\flat ^2+4c_\flat t^2(c_\flat +1)}{t^4}.
\end{equation*}
Далее,
\begin{equation*}
c(\widetilde{\psi}_t)^2
=\frac{\vert\widetilde{\zeta}_t-c_\flat\vert ^2}{\left(
\mathrm{Im}\,\widetilde{\zeta}_t\right)^2}
=\frac{\left(\mathrm{Re}\,(\widetilde{\zeta}_t-c_\flat)\right)^2+\left(
\mathrm{Im}\,\widetilde{\zeta}_t\right)^2}{\left(
\mathrm{Im}\,\widetilde{\zeta}_t\right)^2}
=\frac{t^4+4c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}{4 c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}.
\end{equation*}
Пользуясь элементарным неравенством $1\leqslant (c_\flat +1)^2$, находим
\begin{equation*}
c(\widetilde{\psi}_t)^2
\leqslant
\frac{t^4(c_\flat +1)^2+4c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}{4 c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}=
\frac{\left(t^2(c_\flat +1)+2c_\flat\right)^2}{4 c_\flat ^2 +4c_\flat t^2(c_\flat +1)}.
\end{equation*}
Уменьшая знаменатель, получаем
\begin{equation*}
c(\widetilde{\psi}_t)^2
\leqslant\frac{\left(t^2(c_\flat +1)+2c_\flat\right)^2}{2 c_\flat ^2 +c_\flat t^2(c_\flat +1)}
=\frac{t^2(c_\flat +1)+2c_\flat}{c_\flat}=2+(1+c_\flat ^{-1})t^2.
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{3.11b}, \eqref{zvezda} вытекает, что при $\zeta _t\in \Pi _t$, $c_\flat <\mathrm{Re}\,\zeta _t\leqslant c_\flat +1$, верна оценка
\begin{equation}
\label{rho<=c_2}
\varrho _\flat (\zeta _t)
\leqslant \max\lbrace(2 c_\flat)^{-2}t^2;2+(1+c_\flat ^{-1})t^2\rbrace
\leqslant\mathfrak{c}_2(t^2+1);\quad\mathfrak{c}_2:=\max\lbrace (2c_\flat)^{-2};2;1+c_\flat ^{-1}\rbrace .
\end{equation}
Объединяя \eqref{rho<=c_1} и \eqref{rho<=c_2}, заключаем, что
\begin{equation}
\label{rho <=c_3}
\varrho _\flat (\zeta _t)\leqslant\mathfrak{c}_3(1+t^2),\quad\zeta _t\in\Pi _t,\;\mathrm{Re}\,\zeta _t\leqslant c_\flat +1;\quad\mathfrak{c}_3:=\max\lbrace\mathfrak{c}_1;\mathfrak{c}_2\rbrace .
\end{equation}

Пусть теперь $\zeta _t\in\Pi _t$, $\mathrm{Re}\,\zeta _t >c_\flat +1$. На этом участке контура будем оценивать подынтегральное выражение в \eqref{mathfrak I=} с помощью \eqref{sem'.a}. 
Пусть $\phi _t=\mathrm{arg}\,\zeta _t$. 
Заметим, что с учетом \eqref{zeta_t(beta)=} выполнено 
\begin{equation}
\label{estimates large beta's}
t^2\vert\mu ^{-3}\vert\vert\zeta _t\vert ^{-1/2}c(\phi_t)^2=t^{-1}\vert\zeta _t\vert ^{-2}c(\phi_t)^2=t^{-1}\vert\mathrm{Im}\,\zeta _t\vert ^{-2}=(4c_\flat)^{-1}t^3\beta ^{-2}.
\end{equation} 

Теперь мы можем оценить интеграл \eqref{mathfrak I=}. Имеем
\begin{equation*}
\mathfrak{I}(\varepsilon ;t)
=\frac{t^2}{2\pi}\int _{-\infty}^\infty e^{\sqrt{c_\flat}}e^{i\beta}( \mu (\beta)) ^{-3}
\left(
(B_{D,\varepsilon}+\frac{\mu (\beta) ^2}{t^2} I)^{-1}-(B_D^0+\frac{\mu (\beta) ^2}{t ^2} I)^{-1}\right)\,d\beta ,
\end{equation*}
где $\mu (\beta)=c_\flat ^{1/2}+i\beta$. 
На основании \eqref{sem'.a}, \eqref{Th dr appr 1}, \eqref{rho <=c_3} и \eqref{estimates large beta's} отсюда выводим
\begin{equation}
\label{I<= int1 +int 2}
\Vert\mathfrak{I}(\varepsilon ;t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant\frac{e^{\sqrt{c_\flat}}t^2}{2\pi}
\left(\varepsilon C_2\mathfrak{c}_3(1+t^2)\int _{-\widetilde{\beta}}^{\widetilde{\beta}}\vert\mu (\beta)\vert ^{-3} \,d\beta
+\varepsilon C_1 (2c_\flat)^{-1} t \int _{\widetilde{\beta}}^\infty \beta ^{-2}\,d\beta\right) .
\end{equation}
(Напомним, что значение параметра $\beta=\widetilde{\beta}$ (см. \eqref{tilde beta}) отвечает точке $\widetilde{\zeta}_t\in \Pi _t$, для которой $\mathrm{Re}\,\widetilde{\zeta}_t=c_\flat +1$.) 
Заметим, что $\vert \mu (\beta)\vert\geqslant \mathrm{Re}\,\mu (\beta)=c_\flat ^{1/2}$, и в силу \eqref{tilde beta} выполнено
\begin{equation}
\int _{-\widetilde{\beta}}^{\widetilde{\beta}}\vert\mu (\beta)\vert ^{-3} \,d\beta
\leqslant 2c_\flat ^{-3/2}\widetilde{\beta}=2c_\flat ^{-3/2}\sqrt{c_\flat +t^2(c_\flat+1)}
\leqslant\mathfrak{c}_4 (t^2+1)^{1/2},
\end{equation}
где $\mathfrak{c}_4:=2c_\flat ^{-3/2}(c_\flat +1)^{1/2}$.

Далее, согласно \eqref{tilde beta} имеем
\begin{equation}
\label{int 2<=}
\int _{\widetilde{\beta}}^\infty \beta ^{-2}\,d\beta =\widetilde{\beta}^{-1}=(c_\flat +t^2(c_\flat +1))^{-1/2}
\leqslant t^{-1}(c_\flat +1)^{-1/2}.
\end{equation}

Объединяя \eqref{I<= int1 +int 2}--\eqref{int 2<=}, находим
\begin{equation}
\label{I itog estimate}
\Vert \mathfrak{I}(\varepsilon ;t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant\mathfrak{c}_5\varepsilon t^2 \left( (1+t^2)^{3/2}+1\right),
\end{equation}
где
\begin{equation*}
\mathfrak{c}_5:=\frac{e^{\sqrt{c_\flat}}}{2\pi}\max\lbrace \mathfrak{c}_3\mathfrak{c}_4 C_2;(2c_\flat )^{-1}(c_\flat +1)^{-1/2}C_1\rbrace .
\end{equation*}

Объединяя 
\eqref{cos-cos Res AD0}, \eqref{cos-cos=something + int norm estimate}, \eqref{mathfrak I=} и \eqref{I itog estimate}, приходим к оценке 
\begin{equation}
\label{Th cos B_D,eps different terms t}
\Bigl\Vert
\left(
\cos (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})-\cos (t (B_D^0)^{1/2})
\right)(B_D^0)^{-2}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant \widehat{C}_7\varepsilon \left(1+t^2 +t^2(1+t^2)^{3/2}\right) 
\end{equation} с постоянной 
$
\widehat{C}_7:=\max\left\lbrace 4\mathcal{C}_1C_{16};2^{-1}C_{16}+\mathfrak{c}_5\right\rbrace 
$. 
Заметим, что при $\vert t\vert \leqslant 1$ старшая степень времени в правой части \eqref{Th cos B_D,eps different terms t} --- это $t^0$, а при $\vert t\vert >1$ старшая степень --- $t^5$. С учетом этого соображения из \eqref{Th cos B_D,eps different terms t} вытекает оценка \eqref{Th cos B_D,eps} с постоянной $C_7:=2(1+\sqrt{2})\widehat{C}_7$.

С помощью тождества 
\begin{equation}
\label{sin tozd}
B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon }^{1/2})
=\int _0^t \cos (\tau B_{D,\varepsilon}^{1/2})\,d\tau
\end{equation}
и аналогичного тождества для эффективного оператора на основании \eqref{Th cos B_D,eps} получаем оценку \eqref{Th sin 1}.
\end{proof}

\subsection{Доказательство теоремы~\textnormal{\ref{Theorem cos corrector}}}


\begin{proof}[Доказательство теоремы~\textnormal{\ref{Theorem cos corrector}}]
Аналогично \eqref{basic identity} имеем
\begin{equation*}
\cos \bigl(t(B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}
=-\frac{t^2}{2}(B_D^0)^{-1}+(B_D^0)^{-2}
+\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat} /t}\lambda ^{-3}(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}e^{\lambda t}\,d\lambda .
\end{equation*}
Отсюда вытекает, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}
&=-\frac{\varepsilon t^2}{2}K_D(\varepsilon ;0)+\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)(B_D^0)^{-1}\\
&+\frac{\varepsilon}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat} /t}\lambda ^{-3}K_D(\varepsilon ;-\lambda ^2)e^{\lambda t}\,d\lambda .
\end{split}
\end{equation*}
Здесь $K_D(\varepsilon;\cdot)$ --- оператор \eqref{K_D(eps,zeta)}. 
Следовательно, с учетом \eqref{14} имеем
\begin{equation}
\label{33}
\begin{split}
&\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}
-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}
\\
&=-\frac{t^2}{2}\left( B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)\right)
+\left(B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)(B_D^0)^{-1}\right)
\\
&+\frac{1}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\lambda =\sqrt{c_\flat} /t}\lambda ^{-3}
\left(
(B_{D,\varepsilon }+\lambda ^2 I)^{-1}-(B_D^0+\lambda ^2 I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;-\lambda ^2)\right)
e^{\lambda t}\,d\lambda.
\end{split}
\end{equation}
Последнее слагаемое в правой части \eqref{33} обозначим через $\mathcal{I}(\varepsilon ;t)$.

На основании \eqref{B_D,eps L2 ->H^1}, \eqref{B_D^0 L2 ->L2} и \eqref{Th dr appr 1}, \eqref{31} имеем
\begin{equation}
\label{34}
\begin{split}
\Vert& B_{D,\varepsilon}^{-2}-(B_D^0)^{-2}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \Vert B_{D,\varepsilon}^{-1}\bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}\bigr)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&+\Vert \left(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;0)\right)(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant
\mathcal{C}_2C_2\max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace\varepsilon +2\max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace\mathcal{C}_1C_4\varepsilon ^{1/2} \leqslant\mathfrak{c}_6\varepsilon ^{1/2},
\end{split}
\end{equation}
где $\mathfrak{c}_6:=\max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace(\mathcal{C}_2C_2+2\mathcal{C}_1C_4)$.

В силу \eqref{31}, \eqref{33} и \eqref{34} выполнено
\begin{equation}
\label{35}
\begin{split}
\Vert &\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})(B_{D,\varepsilon})^{-2}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}
\\
&-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace C_4\varepsilon ^{1/2} t^2 +\mathfrak{c}_6\varepsilon ^{1/2}+\Vert \mathcal{I}(\varepsilon ;t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}.
\end{split}
\end{equation}
В интеграле $\mathcal{I}(\varepsilon ;t)$ сделаем замену переменной $\lambda t=\mu$:
\begin{equation}
\label{36}
\mathcal{I}(\varepsilon ;t)
=\frac{t^2}{2\pi i}\int _{\mathrm{Re}\,\mu =\sqrt{c_\flat}}e^\mu \mu ^{-3}
\left(
(B_{D,\varepsilon}+\frac{\mu ^2}{t^2} I)^{-1}-(B_D^0+\frac{\mu ^2}{t^2}I)^{-1}-\varepsilon K_D\bigl(\varepsilon;-\frac{\mu ^2}{t^2}\bigr)\right)\,d\mu .
\end{equation}
Считаем, что $\mu =\mu (\beta)= c_\flat ^{1/2}+i\beta$, $\beta\in\mathbb{R}$. Величина $\zeta _t (\beta)=-\mu (\beta)^2 /t^2$ лежит на параболе $\Pi _t$ (см. \eqref{Pi}). 
При $-\widetilde{\beta}\leqslant\beta\leqslant\widetilde{\beta}$ (здесь $\widetilde{\beta}$ определено в \eqref{tilde beta}) будем пользоваться оценкой \eqref{31}. Заметим, что в силу \eqref{3.8a}
\begin{equation*}
\begin{split}
\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta _t)^{1/2}+\varepsilon \vert 1+\zeta _t\vert ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta _t)
&\leqslant
\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta _t)(1+(1+\vert \zeta _t\vert )^{1/2})
\\
&\leqslant
\varepsilon ^{1/2}\varrho _\flat (\zeta _t)\left(1+\left(1+t^{-2}(c_\flat +\beta ^2)\right)^{1/2}\right).
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{31}, \eqref{tilde beta}, \eqref{rho <=c_3} следует, что
\begin{equation}
\label{37}
\begin{split}
\Vert &(B_{D,\varepsilon}-\zeta _t(\beta)I)^{-1}-(B_D^0-\zeta _t(\beta)I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta _t(\beta))\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant 
\varepsilon ^{1/2}(1+t^2)\mathfrak{c}_3C_4\left(2+t^{-1}(c_\flat ^{1/2} +\widetilde{\beta})\right)
,\quad -\widetilde{\beta}\leqslant\beta\leqslant\widetilde{\beta}.
\end{split}
\end{equation}
При $\vert\beta\vert >\widetilde{\beta}$ применим \eqref{30} и учтем оценку
\begin{equation*}
\begin{split}
\vert \mu (\beta)\vert ^{-3} \frac{c(\phi _t)^2}{\vert \zeta _t (\beta)\vert ^{1/4}}
&=
t^{-3}\vert \zeta _t (\beta)\vert ^{-3/2}\frac{c(\phi _t)^2}{\vert \zeta _t (\beta)\vert ^{1/4}}
=
t^{-3}\frac{\vert\zeta _t (\beta)\vert ^{1/4}}{\vert\mathrm{Im}\,\zeta _t (\beta)\vert ^2}
\\
&=t^{-3}\frac{\left(t^{-2}(\beta ^2 +c_\flat)\right)^{1/4}}{t^{-4}4\beta^2 c_\flat}
\leqslant (4c_\flat)^{-1}t^{1/2}(\beta ^{-3/2}+c_\flat ^{1/4}\beta ^{-2})
\end{split}
\end{equation*}
и равенство
\begin{equation*}
c(\phi_t)^{3/2}\vert\mu (\beta )\vert^{-3}=\frac{\vert\zeta _t (\beta)\vert ^{3/2}}{t^3\vert\mathrm{Im}\,\zeta _t(\beta)\vert ^{3/2}}\vert\zeta _t(\beta)\vert ^{-3/2}= 2^{-3/2}c_\flat ^{-3/4}\beta ^{-3/2}.
\end{equation*}
Получаем
\begin{equation}
\label{38}
\begin{split}
\vert \mu (\beta)\vert ^{-3}\Vert (B_{D,\varepsilon}-\zeta _t(\beta )I)^{-1}-(B_D^0-\zeta _t(\beta) I)^{-1}-\varepsilon K_D(\varepsilon ;\zeta _t(\beta))\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
\leqslant C_5 \varepsilon ^{1/2}\left(t^{1/2}(4c_\flat)^{-1}(\beta ^{-3/2}+c_\flat ^{1/4}\beta ^{-2})
+2^{-3/2}c_\flat ^{-3/4}\beta ^{-3/2}\right).
\end{split}
\end{equation}
Из \eqref{36}--\eqref{38} и оценки $\vert \mu (\beta)\vert \geqslant c_\flat ^{1/2}$ следует, что
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert & \mathcal{I}(\varepsilon ;\zeta )\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant
\frac{t^2 e^{\sqrt{c_\flat}}}{2\pi}
\Bigl(
\mathfrak{c}_3C_4(1+t^2)\varepsilon ^{1/2}\left(2+t^{-1}(c_\flat ^{1/2} +\widetilde{\beta})\right)\int _{-\widetilde{\beta}}^{\widetilde{\beta}}\vert\mu (\beta)\vert ^{-3}\,d\beta
\\
&+2\varepsilon ^{1/2}t^{1/2}(4c_\flat )^{-1}C_5 \int _{\widetilde{\beta}}^\infty  (\beta ^{-3/2}+c_\flat ^{1/4}\beta ^{-2})\,d\beta
+2\varepsilon ^{1/2}C_5 2^{-3/2}c_\flat ^{-3/4}\int _{\widetilde{\beta}}^\infty \beta ^{-3/2}\,d\beta\Bigr)
\\
&\leqslant \frac{t^2 e^{\sqrt{c_\flat}}}{2\pi}
\Bigl(
\mathfrak{c}_3C_4(1+t^2)\varepsilon ^{1/2}c_\flat ^{-3/2}\left(2+t^{-1}(c_\flat ^{1/2} +\widetilde{\beta})\right)2\widetilde{\beta}
+\varepsilon ^{1/2}t^{1/2}c_\flat ^{-1}C_5\widetilde{\beta}^{-1/2}
\\
&+\varepsilon ^{1/2}t^{1/2}(2c_\flat )^{-1}c_\flat ^{1/4}C_5\widetilde{\beta}^{-1}
+2^{1/2}\varepsilon ^{1/2} C_5 c_\flat ^{-3/4}\widetilde{\beta}^{-1/2}\Bigr).
\end{split}
\end{equation*}
Отметим, что в силу \eqref{tilde beta}
\begin{align*}
&(1+t^2)\widetilde{\beta}\leqslant (1+t^2)^{3/2}(c_\flat +1)^{1/2},
\\
&\widetilde{\beta}^{-1/2}\leqslant t^{-1/2}(c_\flat +1)^{-1/4}.
\end{align*}
Тогда
\begin{align*}
&t^{1/2}\widetilde{\beta}^{-1/2}\leqslant  (c_\flat +1)^{-1/4},\\
&t^{1/2}\widetilde{\beta}^{-1}\leqslant t^{-1/2}(c_\flat +1)^{-1/2}.
\end{align*}
Следовательно,
\begin{equation}
\label{39}
\Vert \mathcal{I}(\varepsilon ;t)\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant \mathfrak{c}_7\varepsilon ^{1/2}t^2\left((1+t^2)^{3/2}(1+t^{-1})+t^{-1/2}+1\right),
\end{equation}
где
\begin{equation*}
\begin{split}
\mathfrak{c}_7&:=(2\pi )^{-1}e^{\sqrt{c_\flat}}\max
\Bigl\lbrace
2\mathfrak{c}_3C_4c_\flat ^{-3/2}(c_\flat +1)^{1/2}\max\lbrace 2+(c_\flat +1)^{1/2};2c_\flat ^{1/2}\rbrace
;
(c_\flat +1)^{-1/4}c_\flat ^{-1}C_5;
\\
&2^{-1}c_\flat ^{-3/4}(c_\flat +1)^{-1/2}C_5
+2^{1/2} C_5 c_\flat ^{-3/4}(c_\flat +1)^{-1/4}\Bigr\rbrace .
\end{split}
\end{equation*}
Объединяя \eqref{35} и \eqref{39}, приходим к оценке
\begin{equation}
\label{Th cos with correction term t different terms}
\begin{split}
\bigl\Vert &\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-2}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}
\\
&-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-2}\bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widehat{C}_{10}\varepsilon ^{1/2}\left(1+t^2\bigl(t^{-1/2}+1+(1+t^2)^{3/2}(1+t^{-1})\bigr)\right).
\end{split}
\end{equation}
Здесь $\widehat{C}_{10}:=\max \bigl\lbrace C_4 \max\lbrace 1; c_\flat ^{-2}\rbrace  +\mathfrak{c}_7;\mathfrak{c}_6\bigr\rbrace$. Наконец, согласно \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2}, \eqref{B_D,eps L2 ->L2} и \eqref{AD,eps -1 -...},
\begin{equation*}
\begin{split}
\Vert &\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}\\
&\leqslant c_3
\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant c_3\mathcal{C}_1^{1/2}C_{16} \varepsilon .
\end{split}
\end{equation*}
Отсюда и из \eqref{Th cos with correction term t different terms} вытекает оценка
\begin{equation}
\label{4.11}
\begin{split}
\Bigl\Vert &\Bigl(\cos (tB_{D,\varepsilon}^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-1}
\\
&-\varepsilon \bigl(\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon\bigr)S_\varepsilon P_\mathcal{O}\cos \bigl(t (B_D^0)^{1/2}\bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr)(B_D^0)^{-1}\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant \widetilde{C}_{14}\varepsilon ^{1/2}\left(1+t^2\bigl(1+t^{-1/2}+(1+t^2)^{3/2}(1+t^{-1})\bigr)\right).
\end{split}
\end{equation}
Здесь $\widetilde{C}_{10}:=\widehat{C}_{10} +c_3\mathcal{C}_1^{1/2}C_16 $. 
В заключение заметим, что при $\vert t\vert <1$ старшая степень $t$ в правой части \eqref{4.11} --- это $t^0$, а при $\vert t\vert \geqslant 1$ старшая степень ---  $t^5$. С учетом этого соображения из \eqref{4.11} вытекает оценка \eqref{Th cos with correction term} с постоянной $C_{10}:=(3+2^{5/2})\widetilde{C}_{10}$.
\end{proof}

\subsection{Доказательство теоремы \ref{Theorem sin corrector}}



\begin{proof}[Доказательство теоремы \textnormal{\ref{Theorem sin corrector}}.]


Используя теорему \ref{Theorem cos corrector}, тождество \eqref{sin tozd} и аналогичное тождество для эффективного оператора, 
находим
\begin{equation}
\label{int Th cos corrector}
\begin{split}
\Bigl\Vert &
\bigl( B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (tB_{D,\varepsilon }^{1/2})B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1}
\\
&-\varepsilon (\Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon )S_\varepsilon P_\mathcal{O} (B_D^0)^{-1/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})(B_D^0)^{-1}\bigr)
(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\\
&\leqslant C_{10}\varepsilon ^{1/2} \vert t\vert (1+\vert t\vert ^5),\quad t\in\mathbb{R},\quad 0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1.
\end{split}
\end{equation}
Далее, на основании \eqref{H^1-norm <= BDeps^1/2},  \eqref{B_D^0 L2 ->L2} и  \eqref{AD,eps -1 -...} имеем
\begin{equation}
\label{sin simple}
\Vert B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})(B_{D,\varepsilon}^{-1}-(B_D^0)^{-1})(B_D^0)^{-1}\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow H^1(\mathcal{O})}
\leqslant c_3\max \lbrace 1;c_\flat ^{-2}\rbrace C_2\mathcal{C}_1\varepsilon .
\end{equation}
Объединяя \eqref{int Th cos corrector} и \eqref{sin simple}, приходим к оценке \eqref{Th sin 2} с постоянной $$C_8:=2\left(C_{10}+c_3\max \lbrace 1;c_\flat ^{-2}\rbrace C_2\mathcal{C}_1\right).$$

Проверим неравенство \eqref{Th fluxes operator terms}. Из \eqref{b_l <=} и \eqref{Th sin 2} следует, что при $t\in\mathbb{R}$ и $0<\varepsilon\leqslant\varepsilon _1$ выполнено
\begin{equation}
\label{flux proof start}
\begin{split}
\Bigl\Vert & \Bigl(
g^\varepsilon b(\mathbf{D})B_{D,\varepsilon}^{-1/2}\sin (t B_{D,\varepsilon}^{1/2})
-g^\varepsilon b(\mathbf{D})\bigl( I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})S_\varepsilon P_\mathcal{O}+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O}\bigr)
(B_D^0)^{-1/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})
\Bigr)
\\
&\times(B_D^0)^{-2}
\Bigr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathcal{O})}
\leqslant(d\alpha _1)^{1/2}C_{8}\Vert g\Vert _{L_\infty}
\varepsilon ^{1/2}
 (1+t ^6).
\end{split}
\end{equation}
Имеем
\begin{equation}
\label{flux tozd}
\begin{split}
g^\varepsilon & b(\mathbf{D})\bigl( I+\varepsilon \Lambda ^\varepsilon b(\mathbf{D})S_\varepsilon P_\mathcal{O}+\varepsilon \widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O}\bigr)
(B_D^0)^{-1/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})
(B_D^0)^{-2}
\\
&=
g^\varepsilon b(\mathbf{D})(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})
+
g^\varepsilon \left(b(\mathbf{D})\Lambda\right)^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}
(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})
\\
&+g^\varepsilon \left(b(\mathbf{D})\widetilde{\Lambda}\right)^\varepsilon S_\varepsilon P_\mathcal{O}
(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})
\\
&+\varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l\left(\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\right)
P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2}).
\end{split}
\end{equation}
Четвертое слагаемое справа в \eqref{flux tozd} оценим на основании \eqref{b_l <=}, \eqref{Lambda S_eps<=} и \eqref{tildeLambda S_eps<=}:
\begin{equation}
\label{4 summand flux}
\begin{split}
\Biggl\Vert &
\varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l\left(\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\right)
P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Biggr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\varepsilon (d\alpha _1)^{1/2} \Vert g\Vert _{L_\infty}
M_1\Vert b(\mathbf{D})\mathbf{D}P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&+\varepsilon (d\alpha _1)^{1/2} \Vert g\Vert _{L_\infty}\widetilde{M}_1  \Vert \mathbf{D}P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}.
\end{split}
\end{equation}
Объединяя \eqref{<b^*b<}, \eqref{PO}, \eqref{proof no S_eps-2}  и
\eqref{4 summand flux}, находим
\begin{equation}
\label{4 summand flux itog}
\begin{split}
\Biggl\Vert &
\varepsilon \sum _{l=1}^d g^\varepsilon b_l\left(\Lambda ^\varepsilon S_\varepsilon b(\mathbf{D})D_l+\widetilde{\Lambda}^\varepsilon S_\varepsilon D_l\right)
P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Biggr\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant
\varepsilon \vert t\vert \widehat{C}_9,\quad t\in\mathbb{R},
\quad 0<\varepsilon\leqslant 1
,
\end{split}
\end{equation}
где $\widehat{C}_9:=(d\alpha _1)^{1/2}\Vert g\Vert _{L_\infty}\bigl(M_1\alpha _1^{1/2}C_\mathcal{O}^{(2)}
+\widetilde{M}_1C_\mathcal{O}^{(1)}\bigr)\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3 $.


В силу предложения \ref{Proposition S__eps - I} и \eqref{<b^*b<}, \eqref{PO}, \eqref{proof no S_eps-2} имеем
\begin{equation}
\label{flux proof final}
\begin{split}
\Vert & g^\varepsilon b(\mathbf{D})(S_\varepsilon -I)P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}
\\
&\leqslant 
\varepsilon r_1\Vert g\Vert _{L_\infty}\Vert \mathbf{D} b(\mathbf{D})P_\mathcal{O}(B_D^0)^{-5/2}\sin (t (B_D^0)^{1/2})\Vert _{L_2(\mathcal{O})\rightarrow L_2(\mathbb{R}^d)}\\
&\leqslant
\varepsilon \vert t\vert r_1\Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1^{1/2}C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3.
\end{split}
\end{equation}
Теперь из \eqref{tilde g}, \eqref{flux proof start}, \eqref{flux tozd}, \eqref{4 summand flux itog} и \eqref{flux proof final} вытекает неравенство \eqref{Th fluxes operator terms} с постоянной $C_9:=(d\alpha _1)^{1/2}C_8\Vert g\Vert _{L_\infty}+\widehat{C}_9+r_1\Vert g\Vert _{L_\infty}\alpha _1^{1/2}C_\mathcal{O}^{(2)}\mathcal{C}_1\mathcal{C}_3$.
\end{proof}



\addcontentsline{toc}{section}{Список литературы}
\begin{thebibliography}{XXXX}
\bibitem[ABriV]{ABriV} 
{Allaire G., Briane M., Vanninathan M., \textit{A comparison between two-scale asymptotic expansions and Bloch wave expansions for the homogenization of periodic structures}, SeMA Journal {\bf 73} (2016), no.~3,  237--259.}
\bibitem[BaPa]{BaPa} Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П., \textit{Осреднение процессов в периодических средах}, Наука, М., 1984.
\bibitem[BeLPap]{BeLP} Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G., \textit{Asymptotic analysis for periodic structures},  corrected reprint of the 1978 original. AMS Chelsea Publishing, Providence, 2011. 
\bibitem[BSu1]{BSu} 
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Периодические дифференциальные операторы второго порядка. Пороговые свойства и усреднения}, Алгебра и анализ {\bf 15} (2003), вып.~5, 1--108.}
\bibitem[BSu2]{BSu05}
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Усреднение периодических эллиптических дифференциальных операторов с учетом корректора}, Алгебра и анализ {\bf 17} (2005), вып.~6, 1–104.}
\bibitem[BSu3]{BSu06} 
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Усреднение периодических дифференциальных операторов с учетом корректора. Приближение решений в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Алгебра и анализ {\bf 18} (2006), №~6, 1–130.}
\bibitem[BSu4]{BSu08} 
{Бирман М. Ш., Суслина Т. А., \textit{Операторные оценки погрешности при усреднении нестационарных периодических уравнений}, Алгебра и анализ {\bf 20} (2008), №~6, 30--107.}
\bibitem[BrOtFMu]{BrOFMu}
{Brahim-Otsmane S., Francfort G. A., Murat F., \textit{Correctors for the homogenization of the wave and heat equations}, J. Math. Pures Appl. {\bf 71} (1992), 197--231.} 
\bibitem[BraLe]{BraLe} 
{Brassart M., Lenczner M., \textit{A two scale model for the periodic homogenization of the wave equation}, J. Math. Pures Appl. 
{\bf 93} (2010), no. 5, 474--517.}
\bibitem[CaDiCoCalMaMarG]{CaDCoCaMaMarG1} 
{Casado-Diaz J., Couce-Calvo J., Maestre F., Martin-Gomez J. D., \textit{Homogenization and correctors for the wave equation
with periodic coefficients}, Math. Models Methods Appl. Sci. {\bf 24} (2014), 1343–-1388.}
\bibitem[ChEl]{ChEl} Chill~R., ter Elst~A.~F.~M., \textit{Weak and Strong Approximation of Semigroups on Hilbert Spaces}, Integr. Equ. Oper. Theory  {\bf 90} (2018), no.~9. 
\bibitem[ConOrV]{ConOrV} 
{Conca C., Orive R., Vanninathan M., \textit{On Burnett coefficients in periodic media}, J. Math. Phys. {\bf 47}, 032902 (2006), no. 3.}
\bibitem[ConSaMaBalV]{ConSaMaBalV} 
{Conca C., SanMartin J., Balilescu L., Vanninathan M., \textit{Optimal bounds on dispersion coefficient in one-dimensional periodic media}, Math. Models Methods Appl. Sci. {\bf 19} (2009), 1743--1764.}
\bibitem[CooSav]{CooSav}  Cooper~Sh., Savostianov~A., \textit{Homogenisation with error estimates of attractors for damped semi-linear anisotropic wave equations}, 	arXiv:1804.09947 (2018).
\bibitem[DSu]{DSu} Dorodnyi~M.~A., Suslina~T.~A., \textit{Spectral approach to homogenization of hyperbolic equations with periodic coefficients}, J. Differential Equations {\bf 264} (2018), no. 12, 7463--7522.
\bibitem[Gr1]{Gr1} Griso~G., \textit{Error estimate and unfolding for periodic homogenization},
Asymptot. Anal. \textbf{40} (2004), no. 3/4, 269--286.
\bibitem[Gr2]{Gr2} Griso~G., \textit{Interior error estimate for periodic homogenization},
Anal. Appl. \textbf{4} (2006), no. 1, 61--79.
\bibitem[GraRy]{Grad} Градштейн И. С., Рыжик И. М., \textit{Таблицы интегралов, рядов и произведений}, БХВ-Петербург, СПб., 2011.
\bibitem[KeLiS]{KeLiS} Kenig C.~E., Lin F., Shen Z.,
\textit{Convergence rates in $L^2$ for elliptic homogenization problems},
Arch. Rat. Mech. Anal. \textbf{203} (2012), no. 3, 1009--1036.
\bibitem[KoE]{KoE} Кондратьев В. А., Эйдельман С. Д., \textit{Об условиях на граничную поверхность в теории эллиптических граничных задач}, Докл. АН СССР {\bf 246} (1979), вып.~4, 812--815.
\bibitem[LaU]{LaU} Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., \textit{Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа}, Наука, М., 1964.
\bibitem[MaSh]{MaSh} Мазья В. Г., Шапошникова Т. О., \textit{Мультипликаторы в пространствах дифференцируемых функций}, Изд. ЛГУ, Ленинград, 1986.
\bibitem[McL]{McL} McLean W., \textit{Strongly elliptic systems and boundary integral equations},  Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2000.
\bibitem[M]{M}
{Meshkova Yu., 
\textit{On operator error estimates for homogenization of hyperbolic systems with periodic coefficients},  arXiv:1705.02531 (2017).}
\bibitem[MSu1]{MSu15} 
{Meshkova Yu. M., Suslina T. A., \textit{Two-parametric error estimates in homogenization of second order elliptic systems in $\mathbb{R}^d$}, Appl. Anal. {\bf 95} (2016), no. 7, 1413--1448.}  
\bibitem[MSu2]{MSuPOMI} 
{Meshkova Yu. M., Suslina T. A., \textit{Homogenization of the Dirichlet problem for~elliptic systems: Two-parametric error estimates}, arXiv:1702.00550v4 (2017).}
\bibitem[MSu3]{MSuFAA2017}
{Мешкова Ю. М., Суслина Т. А., \textit{Усреднение задачи Дирихле для эллиптических и параболических систем с периодическими коэффициентами}, Функц. анализ и его прил. {\bf 51} (2017), вып.~3, 87--93.}
\bibitem[MSu4]{MSuAA17} 
{Мешкова Ю. М., Суслина Т. А., \textit{Усреднение первой начально-краевой задачи для параболических систем: операторные оценки погрешности}, Алгебра и анализ {\bf 29} (2017), №~6, 99--158.}
\bibitem[Pas]{Pas} Пастухова С. Е., \textit{О сходимости гиперболических полугрупп в переменном гильбертовом пространстве}, Труды семинара им. И. Г. Петровского, {\bf 24} (2004), 216–241.
\bibitem[PSu]{PSu} 
{Пахнин М. А., Суслина Т. А., \textit{Операторные оценки погрешности при усреднении эллиптической задачи Дирихле в ограниченной области}, Алгебра и анализ {\bf 24} (2012), №~6, 139--177.}
\bibitem[R]{R} 
{Rychkov V. S., \textit{On restrictions and extensions of the Besov and Triebel--Lizorkin spaces with respect to Lipschitz domains}, J. London Math. Soc. {\bf 60} (1999), 237--257.}
\bibitem[Sa]{Sa} Санчес-Паленсия Э., \textit{Неоднородные среды и теория колебаний}, Мир, М., 1984.
\bibitem[St]{St} Стейн И. М., \textit{Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций}, Мир, М., 1973.
\bibitem[Su1]{Su_MMNP} 
{Suslina T. A., \textit{Homogenization of a periodic parabolic Cauchy problem in the
Sobolev space $H^1(\mathbb{R}^d)$}, Math. Model. Nat. Phenom. {\bf 5} (2010), no. 4, 390--447.}
\bibitem[Su2]{SuAA} 
{Суслина Т. А., 
\emph{Усреднение в классе Соболева $H^1(\mathbb{R}^d)$ для периодических эллиптических дифференциальных операторов второго порядка при включении членов первого порядка}, Алгебра и анализ {\bf 22} (2010), вып. 1, 108--222.}
\bibitem[Su3]{Su13}  Suslina T. A., \textit{Homogenization of the Dirichlet problem for elliptic systems: $L_2$-operator error estimates}, Mathematika {\bf 59}  (2013), no.~2, 463-476.
\bibitem[Su4]{Su_SIAM} Suslina T. A., \textit{Homogenization of the Neumann problem for elliptic systems with periodic coefficients}, SIAM J. Math. Anal. {\bf 45} (2013), no. 6, 3453-3493.
\bibitem[ViGKo]{ViGKo} Виленкин Н. Я., Горин Е. А., Костюченко А. Г. и др., \textit{Функциональный анализ}. Серия \glqq Справочная математическая библиотека\grqq , Наука, М., 1964.
\bibitem[Xu]{Xu3}
{Xu~Q., \textit{Convergence rates for general elliptic homogenization problems in Lipschitz domains},
SIAM~J. Math. Anal. {\bf 48} (2016), no.~6, 3742--3788.} 
\bibitem[ZhKO]{ZhKO} Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., \textit{Усреднение дифференциальных операторов}, Физматлит, М., 1993.
\bibitem[Zh]{Zh1} Жиков В. В., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, Докл. РАН {\bf 403} (2005), №~3, 305--308.
\bibitem[ZhPas1]{ZhPas2} Zhikov V. V., Pastukhova S. E., \textit{On operator estimates for some problems in homogenization theory}, Russ. J. Math. Phys. {\bf 12} (2005), no. 4, 515-524.
\bibitem[ZhPas2]{ZhPas1} 
{Жиков В. В., Пастухова С. Е., \textit{О теореме Троттера–Като в переменном пространстве}, Функц. анализ и его прил., {\bf 41}:4 (2007), 22–29.}
\bibitem[ZhPas3]{ZhPasUMN} Жиков В. В., Пастухова С. Е., \textit{Об операторных оценках в теории усреднения}, УМН {\bf 71 (429)} (2016), №~3, 27–122.
\end{thebibliography}

\end{document}