\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsmath,amscd}
\renewcommand{\i}{\item}
\newcommand{\twosum}[2]{\sum_{\begin{array}{c} {\scriptstyle #1}\\
{\scriptstyle #2} \end{array}}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\A}{\mathbb{A}}
\renewcommand{\b}[1]{{\bf #1}}
\newcommand{\cl}[1]{{\cal #1}}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\sst}[1]{\sum_{#1}\hspace{-1mm}^{*}\hspace{1mm}}
\newcommand{\sumst}{\sst}
\newtheorem{theorem}{Теорема}
\newtheorem{lemma}{Лемма}
\newtheorem{cor}{Следствие}
\newtheorem{defin}{Определение}
\newtheorem{prop}{Предложение}
\newtheorem{con}{Гипотеза}
\newtheorem {nota}{Обозначения}
\def\Th{{\hat T}}
\def\Gal{{\rm{Gal}}}
\def\GL{{\rm{GL}}}
\def\Hom{{\rm Hom}}
\def\Spec{{\rm Spec\;}}
\def\tr{{\rm tr\;}}
\begin{document}

\title
{Гипотеза Римана и диофантовы уравнения.}
\author{ Б.З. Мороз}
\date{}
\maketitle


1. Как известно \cite{H}, \cite{I}, любое перечислимое множество диофантово. Доказательство этой теоремы конструктивно, так что для любого перечислимого подмножества $S$ множества натуральных чисел $\N$ в
принципе можно построить полином $P_{S}(t;{\bf x})$ in $\Z[t,{\bf x}],\;{\bf x}:=(x_1, \dots, x_n),\;n\in \N$ под
условием
$$S=\{a\mid a\in \N,\;(\exists\;{\bf b}\in\Z^{n})\; P_{S}(a;{\bf b})=0\}.$$
Развитая в ходе доказательства этой теоремы техника диофантового кодирования позволяет переформулировать
многие математические проблемы как задачи о разрешимости подходящих диофантовых уравнений; в частности, 
гипотеза Римана (=: RH) эквивалентна неразрешимости некоторого диофантового уравнения (ср. \cite{C}, \cite{J}).  
Цель этой заметки -  построить такое уравнение (ср. \cite{A}). 

\bigskip
{\bf Обозначения.} Как обычно, $\Z$ есть кольцо целых чисел, $\N$  -  множество натуральных (:= положительных 
целых) чисел, $\N_{0}:=\N\cup\{0\}$ и $\psi (n)$  есть функция Чебышёва, так что
$$\psi (n):=\;\text{н.о.к.}\;\{1,2,...,n\}\;\;\text{при}\;n\in\N.$$
Положим 
$${\bf x}\ast {\bf y} :=  (a_{1},...,a_{m},b_{1},...,b_{n})\;\;\text{и}\;\;L({\bf x})=m,\; L({\bf y})=n$$
при ${\bf x}:= (a_{1},...,a_{m})$ и ${\bf y}:= (b_{1},...,b_{n})$. Положим, для краткости,
$$(\forall j\leq n)\;{\mathfrak A}:=\forall j\;((j\in\N\;\&\;j\leq n)\;\Rightarrow\;{\mathfrak A})$$
и
$$(\exists j\leq n)\;{\mathfrak A}:=\exists j\;(j\in\N\;\&\;j\leq n\;\&\;{\mathfrak A}),$$
где $\mathfrak{A}$ есть какая-либо арифметическая формула. Остальные используемые обозначения
самоочевидны или общеприняты.

Следуя \cite[\rm\S 6.4]{J}, определим на $\N_{0}^{2}$ бинарное отношение
$$A(a,b):=\;\exists c\;(c>b+1\;\&\; (1+1/c)^{cb}\leq a+1<4(1+1/c)^{cb}).$$

\begin{lemma}\hspace{-0.4pc}{\bf.} Имеют место следующие утверждения: 
$$(\forall a\in\N_{0}\;\exists\;b\in\N_{0})\; A(a,b)$$
и
$$A(a,b)\Rightarrow |b-\log (a+1)|<2.$$ 
\end{lemma}
{\bf Доказательство.}  См. \cite[\rm\S 6.4]{J}.
\begin{lemma}\hspace{-0.4pc}{\bf.}
Гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению: 
\begin{equation}
(\forall n\geq 73)\;|\psi (n) - n|<n^{1/2}(\log n)^{2}.
\end{equation}
\end{lemma}
{\bf Доказательство.}  Эта эквивалентность доказана в работе \cite{D} .
\begin{prop}\hspace{-0.4pc}{\bf.}
Отрицание гипотезы Римана эквивалентно существованию положительных 
целых чисел $k, l, m, n$,  удовлетворяющих следующим условиям:
$${\mathfrak A}_{1}:= n\geq 73;\; {\mathfrak A}_{2}:=(\forall y\leq n)\;y|m;\; 
{\mathfrak A}_{3}:=(\forall y\leq m - 1\;\exists x\leq n)\; x\not|\;y;$$
$${\mathfrak A}_{4}:=A(m-1, l);\; {\mathfrak A}_{5}:=A(n-1, k);\; 
{\mathfrak A}_{6}:=(l-n)^{2} > 4nk^{4}.$$
\end{prop}
{\bf Доказательство.}  Как показано в \cite[\rm\S 6.4]{J}, это утверждение следует из лемм 1 и 2.

\bigskip
2. Техника диофантового кодирования \cite {H} - \cite {J}, \cite {B}, \cite {C} позволяет построить
полиномы 
$$P_{i}(k,l,m,n;{\bf x}),\;{\bf x}:=(x_1, \dots, x_{n_{i}}),\;1\leq i\leq 6,$$ 
с целыми рациональными коэффициентами такие, что
\begin{equation}
{\mathfrak A}_{i}\;\Leftrightarrow\;(\exists\;{\bf b}\in\Z^{n_{i}})\; P_{i}(k,l,m,n;{\bf b})=0
\;\;\text{при}\;1\leq i\leq 6.
\end{equation}
Технически проще, однако, построить целочисленные полиномы
$$G_{i}(k,l,m,n;{\bf x}),\;{\bf x}:=(x_1, \dots, x_{m_{i}}),\;1\leq i\leq 6,$$
удовлетворяющие условиям
\begin{equation} 
{\mathfrak A}_{i}\;\Leftrightarrow\;(\exists\;{\bf b}\in\N^{m_{i}})\; G_{i}(k,l,m,n;{\bf b})=0\;\;\text{при}\;1\leq i\leq 6.
\end{equation}
 Чтобы перейти от соотношений (3) к соотношениям (2), достаточно воспользоваться теоремой Лагранжа,
заменив натуральные числа в (3) на суммы четырёх квадратов целых чисел, ср.  \cite[\rm\S 1.3]{J}.
\begin{lemma}\hspace{-0.4pc}{\bf.} Полиномы
$$G_{1}(k,l,m,n;{\bf x}):=72-n+x_1,\;{\bf x}:=x_1$$ 
и
$$G_{6}(k,l,m,n;{\bf x}):=(l-n)^{2} - 4nk^{4}+x_1,\;{\bf x}:=x_1$$
(с $m_{1}=m_{6}=1$) удовлетворяют условию $(3)$ при $i\in\{1, 6\}$ . 
\end{lemma}
{\bf Доказательство.} Это утверждение очевидно.
\begin{lemma}\hspace{-0.4pc}{\bf.} В обозначениях работы $[4]$, положим
$$G_{2}(k,l,m,n;{\bf x},{\bf b}):=(m-b_{1}x_{1}-b_{2})^{2}+(m+nb_{3}-b_{4})^{2}-H_{1}({\bf x},{\bf b})$$
с  ${\bf x}:={\bf x}^{(1)}\ast ...\ast{\bf x}^{(6)},\; L({\bf x})=601$;
$$ L({\bf x}^{(1)})= L({\bf x}^{(4)})= L({\bf x}^{(5)})=1,
 L({\bf x}^{(2)})=118,  L({\bf x}^{(3)})= L({\bf x}^{(6)})=240\;\;\text{и}\;L({\bf b})=7.$$
Полином $G_{2}(k,l,m,n;{\bf x},{\bf b})$ (с $m_{2}=608$) удовлетворяет условию $(3)$ при $i=2$, т.е.
\begin{equation} 
{\mathfrak A}_{2}\;\Leftrightarrow\;(\exists\;{\bf x}\in\N^{601}, {\bf b}\in\N^{7})\; G_{2}(k,l,m,n;{\bf x},{\bf b})=0.
\end{equation}
\end{lemma}
{\bf Доказательство.} Ясно, что
$${\mathfrak A}_{2}\;\Leftrightarrow\;(\forall j\leq n\;\exists\;c\in\N)\;P(n,j;m,c)=0$$
с  
$$P(n,j;m,c):=m-jc.$$ 
Полагая
$$R(n,T;m):=m+nT,$$ 
легко находим, что полиномы $P$ и $R$ удовлетворяют всем условиям теоремы об устранении 
ограниченного квантора всеобщности \cite[Proposition 6]{E}. Соотношение (4) есть следствие этой теоремы.
\begin{lemma}\hspace{-0.4pc}{\bf.} В обозначениях работы $[4]$, положим
$$P(m-1,j;n,{\bf c}):=(c_{1}-c_{3}-c_{5})^{2}+(n-c_{1}-c_{4}+1)^{2}+(j-c_{1}(c_{2}-1)-c_{3})^{2},$$
$$R(m-1,T;n):=9T^{2}+(2T+n+1)^{2}+(m+T^{2}+2T)^{2}$$
и
$$G_{3}(k,l,m,n;{\bf x},{\bf b}):=(P(m-1,b_{1};n,{\bf x}^{(1)})-b_{2})^{2}+(R(m-1,b_{3};n)-b_{4})^{2}+
H_{5}({\bf x},{\bf b})$$
с  
$${\bf x}:={\bf x}^{(1)}\ast ...\ast{\bf x}^{(10)};\;  L({\bf x}^{(1)})= L({\bf x}^{(4)})= L({\bf x}^{(5)})=5, $$
$$ L({\bf x}^{(2)})=118,\;   L({\bf x}^{(3)})= L({\bf x}^{(6)})=...= L({\bf x}^{(10)})=240$$
и 
$$L({\bf b})=7.$$
Полином $G_{3}(k,l,m,n;{\bf x},{\bf b})$ (с $m_{3}=1580$) удовлетворяет условию $(3)$ при $i=3$, т.е.
\begin{equation}
{\mathfrak A}_{3}\;\Leftrightarrow\;(\exists\;{\bf x}\in\N^{1573}, {\bf b}\in\N^{7})\; G_{3}(k,l,m,n;{\bf x},{\bf b})=0.
\end{equation}
\end{lemma}
{\bf Доказательство.} Отметим прежде всего, что
$${\mathfrak A}_{3}\;\Leftrightarrow\;(\forall j\leq n\;\exists\;{\bf c}\in\N^{5})\;P(m-1,j;n,{\bf c})=0.$$
С другой стороны,  нетрудно показать, что полиномы $P$ и $R$ удовлетворяют всем условиям 
теоремы об устранении ограниченного квантора всеобщности \cite[Proposition 6]{E}. Как и 
при доказательстве леммы 4, соотношение (5) вытекает из этой теоремы.
\begin{lemma}\hspace{-0.4pc}{\bf.} Пусть, в обозначениях работы $[4]$,
$$G_{0}(a,b;{\bf x}):=(z_{1}+b-c+1)^{2}+(z_{2}+y_{1}-y_{2}(a+1)-1)^{2}+$$
$$(z_{3}-4y_{1}+y_{2}(a+1))^{2}+f_{3}(y_{1},1+c,bc;{\bf x}^{(1)})+f_{3}(y_{2},c,bc;{\bf x}^{(2)})$$
с  
$${\bf x}:=c\ast {\bf z}\ast {\bf y}\ast {\bf x}^{(1)}\ast  {\bf x}^{(2)},\;{\bf z}:=(z_{1},z_{2},z_{3}),\;
{\bf y}:=(y_{1},y_{2}),$$
$${\bf x}^{(j)}:=({\bf x}^{(j)}_{1},...,{\bf x}^{(j)}_{20})\;\;\text{при}\;j\in\{1,2\}.$$
Тогда
\begin{equation}
A(a, b)\;\Leftrightarrow\;(\exists\;{\bf x}\in\N^{46})\;G_{0}(a,b;{\bf x})=0.
\end{equation}
\end{lemma}
{\bf Доказательство.} По определению,
\begin{equation}
A(a, b)\;\Leftrightarrow\;\;\exists c\;(c>b+1\;\&\; (1+c)^{cb}\leq (a+1)c^{cb}<4(1+c)^{cb}).
\end{equation}
Соотношение $(6)$ следует из соотношения $(7)$ и леммы о диофантовости функции
$$\varphi: \N^{2}\;\rightarrow\;\N,\; \varphi: (x,y)\mapsto x^{y}$$
возведения в степень \cite[Lemma 2]{E}. 
\begin{cor}\hspace{-0.4pc}{\bf.} Положим
$$G_{4}(k,l,m,n;{\bf x}):=G_{0}(m-1,l;{\bf x})\;\;\text{и}\;\;G_{5}(k,l,m,n;{\bf x}):=G_{0}(n-1,k;{\bf x}),$$
тогда
\begin{equation}
{\mathfrak A}_{i}\;\Leftrightarrow\;(\exists\;{\bf x}\in\N^{46})\;G_{i}(k,l,m,n;{\bf x})=0\;\;\text{при}\;\;
i\in\{4,5\}.
\end{equation}
\end{cor}
{\bf Доказательство.} Соотношение $(8)$ следует из $(6)$ при 
$$(a,b)=(m-1,l), i=4\;\;\text{или}\;\;(a,b)=(n-1,k), i=5.$$

\bigskip
{\bf Обозначение.} Положим
$$G({\bf z}):=\sum_{i=1}^{6}G_{i}(k,l,m,n;{\bf y}^{(i)})^{2}$$
с  
$${\bf z}:=(k,l,m,n)\ast {\bf y},\; {\bf y}:={\bf y}^{(1)}\ast ...\ast{\bf y}^{(6)},\; L({\bf z})=2286;$$
$$ L({\bf y}^{(1)})= L({\bf y}^{(6)})= 1,\;L({\bf y}^{(2)})=608,\; 
 L({\bf y}^{(3)})=1580,\; L({\bf y}^{(4)})=L({\bf y}^{(5)})=46.$$
\begin{theorem}\hspace{-0.4pc}{\bf.} Гипотеза Римана эквивалентна утверждению
$$(\forall\;{\bf z}\in\N^{2286})\;G({\bf z})\not= 0.$$
\end{theorem}
{\bf Доказательство.} Это утверждение вытекает из предложения 1, лемм 3 - 5 и следствия 1.

\bigskip
3. {\bf Открытая проблема.} Построить достаточно простое диофантово уравнение, 
неразрешимость которого эквивалентна гипотезе Римана.




\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{H} Ю.В. Матиясевич, Диофантовость перечислимых множеств, {\em Доклады АН СССР,} 191:2 (1970), 278-282 .
\bibitem{I}  Ю.В. Матиясевич, Диофантово представление перечислимых предикатов, {\em Известия АН СССР (Серия математическая),} 35:1 (1971), 3-30.
\bibitem{J}  Ю.В. Матиясевич, {\em Десятая проблема Гильберта,} Москва, Наука, 1993.
\bibitem{E} M. Carl and B.Z. Moroz, On a Diophantine representation of the predicate of provability, {\em Записки научных семинаров ПОМИ,} 407 (2012),  77-104. 
\bibitem{B} M. Davis, Hilbert's tenth problem is unsolvable, {\em The American Mathematical Monthly, 80 (1973),} 233 - 269.
\bibitem{C} M. Davis, Yu. Matijasevi${\breve c}$, and Ju. Robinson, Hilbert's tenth problem. Diophantine equations: positive aspects of a negative solution,\\
{\em Proceedings of Symposia in Pure Mathematics,} 28 (1976), 323-378.
\bibitem{A} J.M. Hernandez Caceres, The Riemann Hypothesis and Diophantine equations, Master's Thesis Mathematics,
{\em Mathematical Institute, University of Bonn,} May 2, 2018.
\bibitem{D} L. Schoenfield, Sharper bounds for the Chebyshev functions $\psi (x)$ and $\theta(x)$,
{\em  Mathematics of Computation,} 30 (1976), 337- 360.
\end{thebibliography}
\end{document}